Hidrologia Computacional Y Modelos Digitales Del Terreno

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Hidrolog´ıa Computacional y Modelos Digitales del Terreno —Teor´ıa, pr´actica y filosof´ıa de una nueva forma de an´alisis hidrol´ogico.—

V´ıctor Olaya Ferrero

c Copyright 2004 V´ıctor Olaya

Edici´on 0.95 Rev. 26 de enero de 2004 Se concede permiso para copiar, distribuir o modificar esta obra bajo los t´erminos expresados en la licencia Creative Common Attribution Share–alike, la cual puede encontrarse en www.creativecommons.org. La licencia se aplica a todo el texto, as´ı como las im´agenes creadas por el propio autor, que ser´an aquellas para las que no se especifique de modo explicito una distinta procedencia. Este libro puede descargarse de forma libre en varios formatos, incluyendo formatos editables, en la direccion web http://heart.sf.net/textos.

A Teresa, un peque˜ no pago en una deuda infinita.

Science is what we understand well enough to explain to a computer. Art is everything else we do. Donald E. Knuth

...hydrology is more than simply a subject to be learned, more than a science to be studied, more even than a profession we are proud to practice; it deals with natural phenomena of intrinsic beauty, whose technical intricacy and importance to humanity motivate our life’s work. David R. Maidment

Con la intenci´ on de favorecer la difusi´on de los conocimientos recogidos en esta obra en la medida de lo posible y hacer los mismos accesibles con car´acter general y sin restricciones ni impedimentos, ´esta se distribuye de forma libre bajo una licencia de tipo Creative Commons Atribution–Share Alike. Esto significa que Usted tiene total libertad para: Copiar o distribuir partes o la totalidad de este trabajo. Crear nuevos trabajos a partir de ´este, modificarlo o tomar y utilizar elementos del mismo. Realizar un uso comercial de esta obra. Bajo las condiciones: Debe darse cr´edito en todo momento al autor original. Las obras derivadas de ´esta deben distribuirse bajo una licencia id´entica a la presente. Para consultar los t´erminos detallados de la licencia de distribuci´on vaya a http://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/ Para cualquier comentario o consulta al respecto, puede consultar con el autor en la direcci´on de correo electr´onico [email protected] Este libro puede obtenerse en formato PDF, as´ı como las fuentes originales del mismo en formato LATEXen la direccion Web http://heart.sf.net/textos.html

´Indice general Pr´ ologo

XVII

Introducci´ on

I

XXI

Fundamentos y Elementos B´ asicos

1

Introducci´ on

3

1. Historia 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Aplicaciones inform´aticas hidrol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas de Informaci´on Geogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Los SIG en los modelos hidrol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos con fuerte componente SIG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones con componentes SIG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Ventajas de la incorporaci´on de los SIG en la modelizaci´on hidrol´ogica 1.4. Aplicaciones para estudio de la erosi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. An´alisis del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 9 11 11 12 13 14 15

2. MDTs y an´ alisis del terreno 17 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Modelos Digitales Del Terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Tipos de Modelos Digitales del Terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Representaci´on vectorial mediante contornos . . . . . . . . . . . . . . . 20 Representaci´on vectorial mediante redes de tri´angulos irregulares (TIN) 21 Representacion raster mediante celdas de resoluci´on variable . . . . . . 22 Representacion Raster mediante celdas de resoluci´on constante . . . . . 23 2.2.2. Mallas raster de datos continuos y discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Valores B´asicos que configuran el MDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Referenciaci´on espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Orientaci´on de la malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Resoluci´on o tama˜ no de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Matriz de datos de elevaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Valor arbitrario para celdas sin datos conocidos . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4. Caracter´ısticas del MDT para su uso en hidrolog´ıa . . . . . . . . . . . . 30 2.2.5. Creaci´on del Modelo Digital del Terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ponderaci´on por distancia inversa (IDW) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ajuste de funciones polin´omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 xi

Curvas adaptativas (Splines) . . . . . . . . . . . . . . Otros planteamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Modificaci´on de resoluci´on del MDT . . . . . . . . . . 2.3. Param´etros principales a partir del MDT . . . . . . . . . . . 2.3.1. Caracterizaci´on Matem´atica del MDT para su an´alisis 2.3.2. Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Orientaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. El problema de las zonas llanas. Parte I . . . . . . . . 2.3.5. Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Par´ametros derivados de las curvaturas . . . . . . . . 2.3.7. C´alculo de direcciones de flujo . . . . . . . . . . . . . El modelo D8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El modelo Rho8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El modelo FD8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El modelo D∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El modelo KRA (Kinematic Routing Algorithm) . . . El modelo DEMON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros Planteamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8. El problema de las zonas llanas. Parte II . . . . . . . . 2.3.9. El problema de las depresiones . . . . . . . . . . . . . 2.3.10. Encauzamiento forzado. River-Burning . . . . . . . . . 2.3.11. Procesamiento completo del MDT . . . . . . . . . . . 2.3.12. Flujo acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.13. Lagos y embalses como parte del MDT . . . . . . . . . 2.3.14. El concepto de ´area aportante espec´ıfica . . . . . . . . 2.3.15. ´Indice topogr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.16. ´Indice de potencia de cauce . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.17. Valores medios aguas arriba . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.18. Clasificaci´on de formas del relieve . . . . . . . . . . . . 3. Cauces y redes de drenaje 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Extraccion de redes de drenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordenes de Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad de drenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Redes de drenaje a partir de flujo acumulado . . . . . 3.2.3. Redes de drenaje a partir de ordenes de Strahler . . . 3.2.4. Redes de drenaje empleando datos de curvatura . . . 3.3. Caracterizaci´on de redes de drenaje . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Almacenamiento y manejo de redes de drenaje . . . . 3.3.2. Par´ametros derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . An´alisis en planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An´alisis longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades fractales de los cauces y redes de drenaje

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4. Cuencas vertientes 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Definici´on de cuencas a partir del MDT . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Cuencas a partir de un punto de salida . . . . . . . . . . . 4.2.2. Subdivisi´on en subcuencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Selecci´on de puntos de subdivisi´on . . . . . . . . . . . . . Subcuencas con apoyo en la red de drenaje . . . . . . . . Subcuencas con un umbral de ´area m´ınima . . . . . . . . 4.3. Caracterizaci´on de cuencas vertientes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Tratamiento raster–vectorial de cuencas . . . . . . . . . . 4.3.2. Par´ametros b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Per´ımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par´ametros de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud de la cuenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algo sobre la naturaleza fractal de las cuencas . . . . . . Elipse equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La funci´on ancho de cuenca . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Distancias y tiempos de salida para las distintas celdas de Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par´ametros de forma derivados . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Tiempos y distancias a cabecera . . . . . . . . . . . . . .

II

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Modelizaci´ on Hidrol´ ogica

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183

Introducci´ on

185

5. Ideas generales y antecedentes 5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Datos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Modelos de suceso y modelos continuos . . . . . . . 5.3.2. Modelos agregados y distribuidos . . . . . . . . . . . 5.3.3. Modelos f´ısicos y conceptuales . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Modelos seg´ un su objetivo . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Apoyo en la cartograf´ıa digital . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Modelos de suceso y modelos continuos . . . . . . . 5.4.2. Modelos agregados y distribuidos . . . . . . . . . . . 5.4.3. Modelos f´ısicos y conceptuales . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Regionalizaci´on y unidades de respuesta hidrol´ogica 5.5. Algunos modelos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. TOPMODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. DHSVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.5.3. Heart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.6. Conclusiones y consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6. Precipitaci´ on y evaporaci´ on 6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Precipitaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. El Modelo Digital de Precipitaciones . . . . . 6.2.2. Fuentes de datos no puntuales . . . . . . . . 6.2.3. Fuentes de datos puntuales . . . . . . . . . . 6.2.4. Creaci´on del MDP . . . . . . . . . . . . . . . M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobre la naturaleza m´ ultiple del MDP . . . . Ajuste del MDP con el MDT . . . . . . . . . 6.2.5. Interpolaci´on del MDP basada en el MDT . . 6.2.6. Sobre la naturaleza cartogr´afica del MDP . . 6.2.7. Utilizaci´on del MDP . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8. Utilizaci´on autonoma de datos puntuales . . 6.2.9. Nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Evaporaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Insolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Evapotranspiraci´on . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4. Datos de evapotranspiraci´on a partir de otras 6.3.5. Algunas consideraciones . . . . . . . . . . . .

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7. Infiltraci´ on y escorrent´ıa 7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Informaci´on de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Vegetaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Humedad precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Infiltraci´on y Escorrent´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Un enfoque conceptual: El m´etodo del N´ umero de Curva . 7.3.2. M´etodos de base f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. El m´etodo del modelo TOPMODEL . . . . . . . . . . . .

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8. Caudales l´ıquidos 8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Algunos planteamientos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. M´etodos sobre modelos agregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. C´alculo de caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hidrogramas unitarios a partir de datos de tormentas y aforos Hidrograma unitarios sint´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hidrogramas unitarios geomorfol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Conducci´on del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. M´etodos sobre modelos distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. C´alculo de hidrogramas mediante isocronas . . . . . . . . . . . Caudal constante en cada celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caudal variable en cada celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hidrogramas unitarios a partir de la relaci´on tiempo–area . . .

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Sobre el c´alculo del tiempo de salida . . . . . . 8.4.2. M´etodos combinados . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Calculo de caudales sobre un enfoque continuo 8.4.4. El m´etodo del modelo TOPMODEL . . . . . .

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9. Caudales s´ olidos y erosi´ on 9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Erosi´on en cauces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Erosi´on en ladera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Algunas consideraciones previas . . . . . . . . . . . 9.3.2. USLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. USPED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4. Otros ´ındices relacionados con fen´omenos erosivos 9.3.5. Modelos de base f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Movimientos en masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Evoluci´on de la morfolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

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Anexos

A. Herramientas inform´ aticas A.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. SAGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Manejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Administraci´on de m´odulos . . . . . . . . . . . . Trabajo gen´erico con mallas raster . . . . . . . . El modulo Geo–statistics – Kriging . . . . . . . . El m´odulo Grid Gridding . . . . . . . . . . . . . El m´odulo Terrain Analysis Pre–Processing . . . El m´odulo Terrain Analysis: Morphometry . . . El m´odulo Terrain Analysis: Flow Accumulation El modulo Terrain Analysis: Indices . . . . . . . El m´odulo Terrain Analysis: Channels . . . . . . A.3. Heart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Manejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las opciones de documentaci´on . . . . . . . . . . A.3.2. La documentaci´on generada . . . . . . . . . . . . Documentaci´on cartogr´afica . . . . . . . . . . . . Redes de drenaje y cuencas . . . . . . . . . . . . Caudales l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. TOPSIMPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Topsimpl.exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creaci´on de simulaciones interactivas . . . . . . . Almacenamiento de simulaciones . . . . . . . . . A.5. Anim–Top.exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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B. Calidad de aguas B.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . B.2. Desplazamiento de contaminantes B.3. Otros par´ametros . . . . . . . . . B.4. Modificaciones particulares . . .

. . . . . a partir . . . . . . . . . .

. . . . . . . . de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . de flujo . . . . . . . . . .

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Pr´ ologo Durante el tiempo que he dedicado al estudio de la hidrolog´ıa desde el comienzo de mi inter´es y mis primeras experiencias, hasta la fecha de hoy, y a trav´es de sus muy diversas ramas y enfoques, mi recorrido ha estado sustentado siempre por esa extensa pl´etora de vol´ umenes a los que uno acaba tomando cari˜ no y reuniendo con af´an casi de coleccionista, am´en de —como resulta l´ogico— leer concienzudamente para aprender lo m´as posible, que es a fin de cuentas lo que se pretende. Trat´andose, como es, de una ciencia relativamente nueva —casi desarrollada en su totalidad a lo largo del siglo XX—, y cuyo avance y desarrollo no se han caracterizado en ning´ un momento por una excesiva intensidad, el n´ umero de obras de calidad disponibles al respecto es, sin embargo, suficiente para satisfacer y sobrepasar ampliamente las exigencias de cualquiera que decida abordar su gratificante estudio y busque un apoyo m´as o menos fuerte en la bibliograf´ıa. As´ı ha sido en mi caso, y ello se me antoja, en las circunstancias actuales, raz´ on suficiente para no albergar intenci´on alguna de redactar un volumen acerca de la hidrolog´ıa en su concepto cl´asico, pues en modo alguno podr´ıa alcanzar o equipararse con ninguno de los que residen en mi biblioteca o los que he le´ıdo en uno u otro momento. Creo que los trabajos ya publicados a este respecto satisfar´an sin duda esas necesidades en cualquier lector como en su momento satisfacieron las m´ıas y lo siguen haciendo cada vez que tengo ocasi´on de releerlos. Junto a la hidrolog´ıa y sus componentes tanto desde el punto de vista puramente matem´ atico como desde el f´ısico (entendido ´este como relativo al territorio sobre el que los procesos hidrol´ogicos tienen lugar) o el ambiental, paralelamente y con fruici´on —no siempre ligada al acierto o al ´exito, todo sea dicho— he cultivado el estudio de una ciencia en apariencia no demasiado cercana, gracias a la cual he obtenido similares recompensas y he disfrutado de no pocos gratos momentos en su ejercicio: la Computaci´on. Con este t´ermino que aqu´ı en castellano puede ciertamente sonar algo extra˜ no, hago alusi´on a aquello que en idioma ingles acertadamente se conoce como Computer Science, bajo una perspectiva, no obstante, alejada del purismo y la ret´orica que caracteriza a la matem´atica computacional (otro t´ermino ´este quiz´as de m´as habitual uso) y m´as cercana al concepto particular que yo tengo de ella desde mi perspectiva de ingeniero y con el eminente sentido pr´actico que debe dotarse a la misma para el desarrollo de labores de ingenier´ıa como es el caso de la hidrolog´ıa. Esa computaci´ on que, con los matices anteriores se˜ nalados en este caso, constituye una rama particular de la matem´atica, es la que ha llamado mi atenci´on de modo mas poderoso durante todo este tiempo, y la que el lector podr´a encontrar en este libro siempre que aflore en su p´aginas el aspecto netamente computacional de lo que aqu´ı se recoge. M´as reciente a´ un que la hidrolog´ıa, y sin embargo habiendo sufrido practicamente a lo largo de toda su corta vida un enorme desarrollo del que somos testigos hoy en d´ıa con la misma o mayor evidencia que anteriormente, la computaci´on es tambi´en una ciencia ampliamente documentada a todos los niveles. Las obras acerca de la misma en sentido amplio, as´ı como las de su ejecuci´on pr´actica en la programaci´on de computadores —tan s´olo una parte de lo que engloba la Inform´atica actual—, desbordan la capacidad de cualquier interesado en el tema, ya sea a nivel profesional o aficionado, no existiendo aspecto alguno que no quede tratado con xvii

rigor y correcci´on en al menos una media docena de libros facilmente adquiribles y de calidad reconocida. Raz´on es ´esta, una vez mas, suficiente para no tratar de escribir referencia alguna sobre computaci´on o programaci´on, campos en los que me declaro no m´as que un principiante, dotado, eso s´ı, de cierta capacidad y sobre todo inquietud para aplicar lo poco o nada que por el momento conozco en t´erminos de computaci´on, sobre otras ´areas distintas de mi conocimiento. Multitud de libros son los que ya ocupan esta parcela bien poblada de la literatura, los cuales servir´an para que el lector pueda adquirir la necesaria destreza y conocimientos, no solo para seguir con total fluidez este libro, sino para afrontar empresas mucho mayores con absolutas garant´ıas. Si bien el estudio y la pr´actica de una de las actividades anteriores —o cualquier otra actividad intelectual, ya sea en ´estos o en otros campos muy distintos— reporta un beneficio para quien la ejercita, la uni´on de dos de ellas supera con creces la suma individual de las mismas, dando lugar a un todo mayor que las partes y estableciendo una suerte de sinergia cuyas implicaciones van mas all´a tanto a nivel personal como en lo puramente cient´ıfico, pues es de sobra conocido que los planteamientos derivados de la conjunci´on de ramas de la ciencia antes alejadas son de gran inter´es, y con frecuencia de mucha mayor relevancia que sus antecesores individualistas. Pese a todo lo anterior, mi recorrido a trav´es de esta Hidrolog´ıa Computacional, —t´ermino que empleo aqu´ı y que por el momento no he visto apenas recogido expl´ıcitamente en ninguna otra obra, definiendo con exactitud para mi gusto el enfoque que pretendo recoger en estas p´ aginas— ha seguido en materia de bibliograf´ıa un camino bien distinto. Las publicaciones de peso sobre an´alisis hidrol´ogico basadas en el empleo de ordenadores son escasas o inexistentes, y en ning´ un caso hacen justicia a las dos ramas que se unen en sus planteamientos para formarla. Olvidando casi siempre la componente ambiental de la hidrolog´ıa y muy escasas veces llegando a la verdadera teor´ıa que reside en los algoritmos que dan lugar al antedicho an´alisis, la bibliograf´ıa existente a este respecto se constituye en su gran mayor´ıa como obras de referencia de las por otra parte escasas aplicaciones inform´aticas desarrolladas sobre este tema, privando a potenciales alumnos del conocimiento de los fundamentos tanto hidrol´ogicos como computacionales — y especialmente los de planteamiento conjunto —, que cimentan dichas aplicaciones. A la pasi´on que ha despertado y despierta en m´ı la uni´on de mi labor como hidr´ologo y mi desarrollo en terminos de computaci´on, se une ahora ese extra˜ no sentimiento de novedad que acaba por dar el empujon definitivo a una idea que hace alg´ un tiempo empezo a gestarse y que ahora ve la necesidad de plasmarse en una obra completa y quedar reflejada con la entidad que merece su contenido. No obstante, este libro tal y como llega al lector ahora, no guarda m´as novedad que la de su planteamiento y est´a en deuda con muchas otras obras, entre las que, obviamente, se encuentran todas las ya citadas como cl´asicas o relevantes dentro de la hidrolog´ıa o la computaci´on. Al desarrollar este texto he tenido en cuenta muchos de los planteamientos y perspectivas presentes en dichas obras, tratando de mantener un rigor y una claridad en la exposici´on de ambos temas, siempre en un justo equilibrio. Era obvio que deb´ıa incluirse un m´ınimo de explicaci´on de los fundamentos hidrol´ogicos de cada apartado, pero se ha supuesto que el lector ya posee un m´ınimo manejo de los mismos o puede ayudarse de otra obra de referencia enfocada mas directamente para este proposito. Por otra parte, la tentaci´on de incluir abundantes elementos netamente inform´aticos tales como c´odigos o pseudoc´odigos de los algoritmos presentados ha estado presente desde las primeras concepciones del libro, aunque definitivamente la esencia real de lo que se pretende transmitir en estas p´aginas ha quedado plasmada en muchas ocasiones mediante una notaci´on estrictamente matem´atica, que servir´a, no obstante, como valiosa codificaci´on en el caso de que el lector pretenda transponer los contenidos del libro el alg´ un tipo programa inform´atico. Se xviii

incluyen, no obstante, en un justo equilibrio, pseudoc´odigos que act´ uan como valioso apoyo a la formulaci´on matem´atica de cada aspecto, pues en tales ocasiones se ha considerado oportuno ´ incluir los mismos en aras de una mejor comprensi´on del apartado correspondiente. Estos, a su vez, servir´an a modo de interesante complemento para quienes gusten de ampliar lo aqu´ı recogido con una exposici´on netamente inform´atica de lo mismo. Adem´as de las anteriores consideraciones de tipo formal, y de buscar un cierto y l´ ogico paralelismo estructural con otras obras similares desde el punto de vista matem´atico, la incorporaci´on en mi trabajo de los elementos que yo mismo agradezco encontrar en otros textos, en ocasiones bastante definitorios de por s´ı de aquellas ciencias sobre las que ´estos versan, ha sido otra constante a lo largo del periodo dedicado a la redacci´on de este libro. As´ı, he intentado impregnar mis lineas con ese ligero toque de humor y cordialidad — y tambien, por qu´e no decirlo, cierta dosis de locura y extravagancia — que uno con frecuencia halla en los libros acerca de computaci´on, a la vez que manteni´endome dentro de los l´ımites del rigor y, en cierta medida, frialdad, que son de uso corriente en los textos de ingenier´ıa; combinados todos ellos con la, a mi entender, importante carga po´etica de que debe dotarse a la ciencia, y que tan habitual era en los textos antiguos como gustaba de recordar Cicer´on en sus notables alabanzas a la poes´ıa contenida en las obras matem´aticas de Dem´ocrito. Todo ello espero que sirva para dar claridad a este trabajo, a la par que haga m´as amena la relacion entre la obra y el lector, independientemente de la profundidad que ´este desee dar a su propia lectura. Por u ´ltimo, no podr´ıa esta obra aspirar a ninguna relevancia si no contase en su pr´ ologo con una nutrida serie de agradecimientos, pues siempre son muchas las personas que apoyan la creaci´on de una obra escrita, bien sea a trav´es de su trabajo de revisi´on y consejo o bien mediante el simple soporte moral a veces m´as necesario que cualquier otra cosa. De otro modo, la obra no tendr´ıa las mismas posibilidades de ver la luz y, de hacerlo, desde luego no ser´ıa en circunstancias igual de favorables. Agradecimientos en primer lugar, por el vital papel que han jugado en todo el devenir de esta obra, antes incluso de su misma concepci´on y desarrollo, a la gente que comparti´o conmigo las horas de trabajo y de no tanto trabajo en la Unidad Docente de Hidr´aulica e Hidrolog´ıa de la E.T.S.I. Montes de Madrid. Entre ellos, muy particularmente a Jose Luis Garc´ıa Rodr´ıguez (Josele para los amigos, y yo creo que tengo la suerte de ser uno de ellos), pues su labor de apoyo y reconocimiento me atrevo a decir que ha sido uno de los principales detonantes de mi decisi´on de escribir este libro. Junto a ´el, Jose Carlos Robredo y mis compa˜ neros de trabajo, muy particularmente Fernando Magdaleno Mas y Enrique Onrubia Sobrino, han sabido a lo largo del tiempo que pasamos juntos inculcarme un aprecio y entusiasmo por la hidrolog´ıa sin el cual el trabajo de redacci´on de una obra como ´esta se me antoja desde aqu´ı practicamente inabordable. En el aspecto matem´atico, las anteriores personas tienen su equivalente en Jos´e Manuel P´erez Gonz´alez, quien desde nuestros primeros contactos supo ense˜ narme no solamente los conceptos propios de la matem´atica y la ingenier´ıa, sino el gusto y disfrute de los mismos a trav´es de algunas de las mejores lecciones a las que he tenido la suerte de asistir hasta la fecha. Afortunadamente, mi desarrollo profesional ha tenido lugar siempre en un entorno de cordialidad y amistad que, sin duda, ha fomentado mis inquietudes a nivel acad´emico y ha contribuido de modo muy notable a forjar en m´ı los fundamentos necesarios que han hecho desembocar parte de mis aspiraciones en el estudio y puesta en pr´actica de conocimientos tales como los que se recogen en este libro. Dicho de otro modo, mis compa˜ neros de estudio y trabajo no pueden quedar fuera de este apartado, pues cada uno de ellos a su manera puso su peque˜ no grano de arena en el largo camino que pasa por (pero no concluye en) esta obra. Son quiz´as demasiados para nombrarlos expl´ıcitamente, pero a buen seguro que los a˜ nos que hemos pasados juntos y las experiencias que hemos vivido har´an que cada cual sepa con exactitud el xix

papel que ha jugado en mi propio desarrollo y la forma en que debiera aparecer aqu´ı reflejado. No por t´ıpico resulta menos relevante el agradecimiento a toda mi familia, pues de ellos he tomado la voluntad y el resto de elementos necesarios sin los cuales tampoco podr´ıa articularse esta obra ni siquiera en su expresi´on mas sencilla. Mi madre, que foment´o en mi la inquietud imprescindible para abordar una labor como ´esta y la soport´o despu´es con su admiraci´on y afecto, es por derecho propio coautora de muchas de estas p´aginas. De igual modo, mi padre, quien representa como nadie ese amor por el conocimiento del que me hago participe al elaborar este texto, y es de esta manera un referente de primer´ısimo orden a seguir en mi trabajo, podr´ıa firmar con su nombre una buena parte de lo aqu´ı desarrollado. Mi agradecimiento m´as sincero, para finalizar este apartado, debe ir irremisiblemente a Teresa por haberme acompa˜ nado durante todo este tiempo y estar a mi lado haciendo posible no s´olo ´esta, sino todas las aventuras, grandes o peque˜ nas, que emprendo en la vida. Para todos ellos, por haber estado junto a m´ı durante este tiempo, no puedo resistir la tentaci´on de copiar aqu´ı las elegantes y sencillas palabras de C.B.Boyer para agradecerles su paciencia al tolerar la desorganizaci´ on provocada por el nacimiento de otro libro a´ un en la familia. VICTOR OLAYA FERRERO Madrid. Enero 2004.

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Introducci´ on Acerca de este libro Escribir un libro bajo el sugerente aunque en parte incierto t´ıtulo de Hidrolog´ıa Computacional me pareci´o en el origen —y me lo sigue pareciendo a´ un hoy en d´ıa— una tarea primordialmente de conciliaci´on y equilibrio cuyas implicaciones iban a requerir un notable esfuerzo de s´ıntesis por mi parte. Si conjugar los inter´es propios de quien escribe con los enfoques de los potenciales lectores de su obra resulta ya un aspecto sobre el que debe ponerse gran atenci´on y esfuerzo, dar forma a un producto cuyos posibles destinatarios no quedan perfectamente definidos es una tarea que, cuando menos, intimida e incluso asusta a un escritor ciertamente inexperto en estas lides como es mi caso. Al comenzar la redacci´on de este libro, me pregunt´e a m´ı mismo por el tipo de lector que podr´ıa hacer uso de mi obra. No logrando hallar una respuesta concreta, decid´ı lanzarme a la confecci´on del libro y dejar que el propio devenir del mismo fuera quien hallara una respuesta a mi cuesti´on inicial. Desde mi perspectiva actual, ahora creo que obr´e adecuadamente. El resultado de este trabajo, este libro, condensa toda la experiencia por m´ı acumulada durante los u ´ltimos a˜ nos en el estudio de los procesos hidrol´ogicos desde un punto de vista computacional, plasmado a su vez en el desarrollo de aplicaciones inform´aticas de an´alisis hidrol´ogico, y no representa sino una herramienta b´asica para la creaci´on de nuevas aplicaciones, el estudio de nuevos m´etodos mediante los que abordar el amplio campo de la hidrolog´ıa y, en definitiva, otra forma distinta de aproximarse a la comprensi´on y entendimiento de los princi´ es, en resumen, la pios que rigen las din´amicas del agua y el medio en terminos gen´ericos. Esa definici´ on informal pero altamente gr´afica de lo que yo entiendo por Hidrolog´ıa Computacional, y la cual creo ha quedado — salvando las imposibilidades y deficiencias s´olo achacables a mi propia persona — explicada en estas p´aginas de manera did´actica y accesible. Respecto al subt´ıtulo y Modelos Digitales del Terreno, ´estos elementos cartogr´aficos representan una de las grandes contribuciones a la hidrolog´ıa actual, y muy particularmente a la de corte computacional, siendo el verdadero armaz´on sobre el que se levanta esta obra, as´ı como la estructura conceptual sobre la que hasta la fecha he desarrollado la mayor parte de mi trabajo en hidrolog´ıa, el cual he tratado de plasmar en estas p´aginas. Es por ello que, en el seno de este libro el termino ((computacional)) y los Modelos Digitales del Terreno son conceptos intimamente ligados, como a lo largo de los distintos cap´ıtulos podra observarse con claridad. Asimismo, comentar que he cre´ıdo conveniente, por la propia integridad del texto y su coherencia, incluir en el mismo algunos — bastantes, a decir verdad — elementos de an´ alisis del terreno basados en estas formas de cartograf´ıa, adem´as de los estrictamente ligados a los modelos hidrol´ogicos, pues soy de la opini´on de que enriquecen notablemente el conjunto del texto y, aun de modo indirecto, s´ı contribuyen al sentido hidrol´ogico del mismo de una u otra forma. Bien es cierto que los textos cl´asicos de hidrolog´ıa se encuentran repletos de referencias a elementos cartogr´aficos para la explicaci´on de sus contenidos, si bien en ellos raramente xxi

se encuentran apartados relativos a esa cartograf´ıa como elemento aislado o al an´alisis de la misma desde otro punto de vista. Esta misma relaci´on entre cartograf´ıa y an´alisis hidrol´ogico se antoja, sin embargo, m´as estrecha y vinculante en el contexto que aqu´ı se trata, siendo ´este el motivo por el cual considero que resulta favorable la inclusi´on de otra serie de formulaciones y algoritmos relacionados con el an´alisis del terreno en sentido estricto. Es mi creencia que el lector, a quien quiz´as con demasiada presunci´on adjudico una cierta inquietud por la materia, sabr´a sacar partido de estos complementos para profundizar y comprender en mayor medida el resto de la obra, confirmando de este modo la conveniencia de incorporar los mismos en el seno de este texto. De un modo u otro, los Modelos Digitales del Terreno representan en esta obra no u ´nicamente una forma de informaci´on a partir de la cual pueden extraerse una gran mayor´ıa de los par´ametros u ´tiles para el an´alisis hidrol´ogico, sino una entidad a la vez tangible y abstracta que act´ ua como elemento visible de la naturaleza computacional de los modelos y formulaciones que se plantean desde la perspectiva de la obra. Por ello, desde mi ´optica particular, la extensi´on dedicada a ´estos, por grande que pueda ser, est´a en todo momento justificada por el papel preponderante que juegan en el conjunto global de este texto, m´as all´a de la mera utilidad pr´actica que pueda derivarse de los mismos. En lo referente a la propia estructura de la obra, dos partes principales se distinguen en ella, cada una de las cuales trata un diferente nivel de detalle, encontr´andose las verdaderas formulaciones de corte hidrol´ogico en la segunda de dichas divisiones. La conexi´on entre ambas es, sin embargo, un elemento clave para la completa interpretaci´on del texto, y para unir los campos propios de la hidrolog´ıa con los elementos computacionales que dan a este texto su elemento diferencial y su verdadera raz´on de ser. De cara a su utilizaci´on como materia de estudio, la divisi´on del contenido en grandes bloques tem´aticos, as´ı como en apartados interrelacionados pero siempre guardando una relativa independencia, ha sido pensada para facilitar la lectura y consulta de los mismos por separado, aunque es cierto que cada parte requiere el conocimiento de las anteriores. No obstante, puede estudiarse el bloque primero, dedicado b´asicamente a modelos geomorfol´ogicos con o sin ´ relaci´on hidrol´ogica, por parte de personas interesadas en este aspecto. Esta es, por ejemplo, una buena metodolog´ıa para comprender en profundidad el funcionamiento de aplicaciones de tipo SIG, ya que una gran parte de sus fundamentos en cuanto a an´alisis de tipo raster queda all´ı recogida. Cada cap´ıtulo se complementa con una serie breve de ejercicios con eminente finalidad did´actica, principalmente relacionados con los aspectos m´as computacionales de cada materia, que perfectamente pueden resolverse en la mayor´ıa de los casos con el empleo exclusivo de l´ apiz y papel o simplemente sin ellos, reflexionando acerca de algunas cuestiones acerca de la materia tratada. No se trata de ejercicios al uso como los que podr´ıan encontrarse en un libro de texto cualquiera, sino de propuestas para el lector m´as interesado que desee una motivaci´on adicional para avanzar en la comprensi´on de cuanto se explica en cada cap´ıtulo o busque extender dichas explicaciones hacia otros aspectos que, si bien carecen de entidad para figurar en el n´ ucleo del texto, son de sumo inter´es desde otros puntos de vista m´as o menos cercanos conceptualmente. Todo esto no es, en resumen, sino explicar c´omo el libro se ha construido sobre la base de mis propias preferencias a la hora de utilizar de modo ´agil y eficaz libros de similares caracter´ısticas, y que creo que son comunes a una gran fracci´on de lectores de las mismas. Una vez m´as, espero que la elecci´on haya sido acertada en la medida que logre sus objetivos y clarifique los diversos aspectos del contenido dentro de lo posible. xxii

A qui´ en va dirigido este libro Ya he comentado en la introducci´on de este libro que los posibles destinatarios del mismo no eran claros en un principio, siendo esto debido principalmente a la propia indeterminaci´ on de la obra en su tem´atica y a la ya tambi´en comentada ambig¨ uedad que reside sobre el t´ıtulo de ´esta. No obstante, el propio devenir del texto ha perfilado con detalle a sus posibles lectores, en base a mis intenciones al respecto y la mayor o menor idoneidad de los enfoques sopesados de cara a la estructura de los temas. En l´ıneas generales, se han evitado todas las explicaciones que, desde la perspectiva de este texto, sean superfluas por ser de aplicaci´on habitual y pertenecer de un modo u otro a la cultura hidrol´ogica general, por lo que el lector debe conocer el significado de las mismas y el uso frecuente de ellas fuera de las l´ıneas tratadas en esta obra. As´ı, se emplean de modo directo numerosas expresiones sin proceder a la demostraci´on de las mismas o detallar su procedencia, reserv´andose las explicaciones de mayor profundidad para los conceptos novedosos o cuya naturaleza los hace m´as propios de la materia aqu´ı tratada en sentido estricto. Iguales consideraciones pueden hacerse para las partes m´as matem´aticas y computacionales del texto, donde tambi´en se ha supuesto un cierto conocimiento de las estructuras y conceptos utilizados. Sin necesidad de que ambas facciones del libro, tanto la hidrol´ogica como la computacional, sean conocidas con especial detalle, el aprovechamiento completo de sus contenidos se da cuando existe una base m´ınima de ambas, pues de este modo se puede enfocar la lectura desde cualquiera de los ´angulos posibles y aplicar la materia aqu´ı desarrollada en una u otra forma. Aunque no es en absoluto necesaria, una cierta familiaridad con el manejo — o al menos los conceptos principales — de Sistemas de Informaci´on geogr´afica ser´a, sin duda, de muy notable ayuda a la hora de obtener una visi´on lo m´as rica posible del tema que se desarrolla. Todo esto hace que el perfil de lector de esta obra contenga unos ciertos conocimientos acerca de las disciplinas que en ella concurren, aunque siempre dentro de unos l´ımites razonables. Para ello, si bien muchas formulaciones quedan, como se ha dicho, sin ser detalladas en profundidad por considerarse m´as propias de textos con otro enfoque distinto, se presentan de tal modo que su significado y el papel que juegan sea comprendido a´ un desde el desconocimiento de los pormenores de las mismas, y se indica en la medida de lo posible el camino hacia dichos pormenores para el lector que as´ı lo requiera. Adem´as, una gran parte de mi intenci´on al redactar este libro ha sido dejar plasmado no s´olo el contenido t´ecnico de la integraci´on entre la hidrolog´ıa y la pr´actica de la misma sobre una base computacional, sino tambi´en las ideas generales y la filosof´ıa de esta uni´on, la cual puede extraerse del texto prescindiendo de las formulaciones explicitas que contiene el mismo. Esto hace accesible el texto no u ´nicamente a lectores con un inter´es directo en el aspecto tecnol´ogico subyacente en aplicaciones inform´aticas para an´alisis hidrol´ogico, sino tambi´en a usuarios de ´estas que podr´an, mediante la comprensi´on de las metodolog´ıas globales en que dichas aplicaciones se basan, hacer un mejor uso de las mismas e interpretar sobre una base m´as solida de conocimiento los resultados as´ı obtenidos

Qu´ e es la Hidrolog´ıa Computacional Ante un t´ermino que, por su cierta novedad y por la potencial extensi´on que puede cobrar dependiendo del enfoque dado, goza de una ambig¨ uedad tal como el presente, es requisito imprescindible acotar al menos someramente la extensi´on de la materia y centrar la tem´ atica del n´ ucleo principal de la obra. Este ejercicio de s´ıntesis beneficia sin duda al lector, pero tambi´en contribuye a encauzar el esfuerzo del autor, que en su situaci´on puede estar confundido igualmente ante las fronteras algo inciertas del entorno al que debe limitarse. xxiii

La primera y obvia concepci´on del t´ermino pasa, naturalmente, por la del estudio de las formulaciones habituales de la hidrolog´ıa centrado sobre la manera en que ´estas pueden ser adaptadas para su incorporaci´on dentro de programas inform´aticos como herramientas de aplicaci´on de las mismas. Sin ser en su totalidad err´onea, no es ´esta la idea que reside aqu´ı tras el termino computacional, pues cualquier modelo ya existente puede ser llevado a un entorno inform´atico sin apenas problemas, siendo los conocimientos necesarios para efectuar esta tarea muy distantes de los que se pretenden exponer en el presente texto. La atenci´on principal se centra, sin embargo, y aun con una natural tendencia hacia la parte netamente inform´atica de lo explicado (dist´ıngase lo inform´atico de lo computacional), hacia el desarrollo de nuevos modelos y nuevas metodolog´ıas que se apoyen fuertemente en realidades computacionales y otros elementos tales como paradigmas de datos, cuya aplicaci´on pr´actica queda restringida a un entorno inform´atico. En otras palabras, se trata de formular los problemas, soluciones y desarrollos habituales de la hidrolog´ıa desde un enfoque diferente, dot´andola de una caracterizaci´on eminentemente m´as num´erica y sustituyendo donde sea posible las f´ormulas puntuales por los algoritmos elaborados, entre otras acciones, introduciendo as´ı la materia dentro de ese concepto del que ahora tal vez el lector pueda tener una imagen m´as precisa, y que t´acitamente y atraidos por lo interesante del t´ermino hemos acordado en denominar Hidrolog´ıa Computacional. La presencia de los MDTs, como a continuaci´on veremos, es fundamental en dar forma a las ideas anteriores. El esquema de la figura (1) creo que representa de modo sint´etico el conjunto de la hidrolog´ıa que va a encontrarse en este libro, de modo estructural, y que, con algunas variaciones, es el que puede hallarse en la inmensa mayor´ıa de hidrolog´ıa al uso, con car´acter global. Sobre ´el me basar´e para hacer las puntualizaciones que intentar´e que definan con mayor exactitud la materia de este texto.

Figura 1: Representaci´on esquem´atica de la materia a tratar en este libro desde el punto de vista de la hidrolog´ıa.

En trazo grueso se encuentran se˜ naladas aquellas ´areas donde las modificaciones que presentan al trabajar sobre ese mencionado aspecto computacional son m´as notables respecto a las aproximaciones y modelos cl´asicos. Ser´an ´estas las que con mayor profundidad se analicen a lo largo de los diferentes cap´ıtulos del libro y las que contribuir´an en mayor medida a xxiv

consolidar y dar forma a la verdadera esencia del mismo. En lugar destacado entre todas ellas, resulta obligado comenzar con los elementos relativos a la cartograf´ıa de elevaciones, con los que se iniciar´a la exposici´on de materias de esta obra y los cuales se constituir´an as´ı desde el primer momento como elementos car´acter´ısticos que permiten la diferenciaci´on del enfoque escogido en estas p´aginas frente a los enfoques de la hidrolog´ıa cl´asica. Estos elementos, adem´as, tendr´an su extensi´on, aunque de menor importancia, sobre la cartograf´ıa tem´atica, no siendo ´esta, sin embargo, un elemento que d´e lugar a ning´ un planteamiento novedoso que merezca ser rese˜ nado aqu´ı en esta visi´on global de las caracter´ısticas del texto. El segundo n´ ucleo de importancia se sit´ ua, como cabr´ıa esperar, sobre los propios modelos hidrol´ogicos, que se ven aumentados gracias a la potencia asociada a los formatos de datos empleados para la informaci´on sobre la que ´estos trabajan, en especial, como se ha indicado ya, a los elementos de cartograf´ıa del relieve. El manejo de modelos distribuidos y la adaptaci´ on de modelos agregados en direcci´on a los anteriores, constituyen el coraz´on de esta secci´ on y uno de los n´ ucleos fuertes, tanto en su importancia pr´actica como en el significado y valor intr´ınseco de sus formulaciones asociadas, de todo el conjunto del libro. Como resulta l´ogico pensar, el numero de modelos que se incluyen dentro de este bloque es muy elevado, haciendo referencia a una cantidad ciertamente notable de procesos que deben ser considerados en dicha modelizaci´on. He tratado en este sentido de ser sint´etico, recogiendo con mayor ´enfasis aquellos aspectos mas acordes con la l´ınea expositiva del texto, en detrimento de aquellos menos novedosos, que no menos importantes. Asimismo, el caracter did´actico de algunos modelos o su mayor relaci´on con los aspectos que se desarrollan a lo largo de los cap´ıtulos correspondientes han sido factores de mayor peso que la propia utilizaci´on real o la difusion de dichos modelos, entendi´endose que la obra, aun con vocaci´on pr´actica, es un elemento te´orico y expositivo y a tal perfil debe adecuarse en la mayor medida posible. Adem´as de todo lo anterior, otros elementos complementarios presentan modificaciones sustanciales que los acercan a la filosof´ıa de esta obra y ser´an, por tanto, detalladas las formulaciones alternativas a la que estos elementos dan lugar desde el aspecto computacional sobre el que vamos a trabajar, aunque, l´ogicamente, con menor extensi´on y detalle. En todo lo anteriormente comentado, vamos a asistir a un cambio en el enfoque tradicional dado a las unidades empleadas como datos de partida, particularmente en su caracterizaci´ on cuantitativa, descubriendo en este sentido informaci´on no tratada con anterioridad a la par que trabajando con informaci´on cl´asica en un nivel distinto de precisi´on y fiabilidad, todo ello posibilitado por nuevos enfoques que a su vez, aun con fundamentos te´oricos puramente matem´aticos, se apoyan en realidades inform´aticas de conocimiento habitual hoy en d´ıa. Se ha buscado siempre un correcto equilibrio entre la pura teor´ıa del enfoque computacional (“Computer Science is not more about computers than astronomy is about telescopes” reza la famosa frase de Dijkstra) y la aplicaci´on pr´actica del mismo, imprescindible para el sentido f´ısico e hidrol´ogico de lo explicado (implementaci´on en software, uso directo a partir de aplicaciones de tipo SIG, etc.) Por lo anterior, es mi intenci´on que esta obra no se constituya tan s´olo como un libro de texto acerca de las nuevas formulaciones que existen en relaci´on con la hidrolog´ıa, sino m´ as bien como un trabajo de referencia en el cual, y fundament´andose sobre las anteriores t´ecnicas como cualidad diferencial del mismo, se incluya una importante dosis de filosof´ıa acerca de la modelizaci´on computacional de los fen´omenos naturales y la aplicaci´on de una herramienta tan poderosa como el Modelo Digital del Terreno en los mismos. En todo momento, la plasmaci´on de los conceptos hidrol´ogicos debe quedar patente desde la ´optica del hidr´ ologo como profesional de la gesti´on del medio, no descuidando la visi´on de los problemas desde tal perspectiva, y articul´andola ventajosamente mediante los planteamientos de nuevo cu˜ no que definen la naturaleza del texto. xxv

xxvi

´ INTRODUCCION

El resto, lo que no se ha dicho aqu´ı sobre el significado intr´ınseco de esta Hidrolog´ıa Computacional, queda sin duda recogido en las otras p´aginas que componen el texto, atesor´andose as´ı una notable informaci´on acerca de esa representaci´on computacional de los fen´omenos naturales, de aplicabilidad no solo en ´este, si no en otros temas relativos al an´alisis del medio. No obstante, debe ser el lector quien busque la exacta combinaci´on entre ciencia y filosof´ıa, entre aplicaci´on pr´actica y teor´ıa, entre los diversos significados atribu´ıbles a cada valor extra´ıdo, pues es ´esa, y no otra, la raz´on que alimenta el imprescindible aprecio por el conocimiento y, en cierto modo, ata a uno a las p´aginas de un libro, constituyendo de ese modo el equilibrado binomio escritor–lector y d´andole raz´on de ser por derecho propio.

Parte I

Fundamentos y Elementos B´ asicos

1

Introducci´ on Resulta l´ogico antes de abordar el estudio de cualquier materia — m´as a´ un cuando ´esta es extensa y compleja en buena parte, como el caso actual — tratar de comprender los elementos que la componen para emplear este conocimiento en el trabajo posterior con modelos m´ as complejos construidos a partir de estas unidades b´asicas. En ocasiones, este estudio es de una necesidad imperiosa, si bien viene acompa˜ nado de materia densa y frecuentemente tediosa que debe ser superada como requisito previo para atacar otras ´areas de mayor inter´es que requieren un manejo fluido de la anterior. No es ´este el caso, pues el an´alisis de algunos de los elementos hidrol´ogicos iniciales, aun sin entrar en ning´ un modelo en sentido estricto, y sin alcanzarse todav´ıa las formulaciones que con derecho propio pueden denotarse con el calificativo de hidrol´ ogicas, depara momentos de gran belleza y planteamientos que en nada desmerecen a los presentes en otros bloques posteriores en cuanto a complejidad, utilidad pr´actica o calidad cient´ıfica. En el entorno de trabajo de esta obra, el cual a su vez se ir´a progresivamente definiendo en este primer bloque, el estudio de los elementos hidrol´ogicos b´asicos aporta por s´ı mismo un volumen muy elevado de informaci´on, al mismo tiempo que da lugar a formulaciones altamente interesantes y complejas que ya aqu´ı, al comienzo de la exposici´on, mostrar´ an la filosof´ıa subyacente en lo que hemos venido a denominar Hidrolog´ıa Computacional. Sirvan estas palabras introductorias para motivar al lector en su recorrido, en pos de un autor que con tan solamente una liger´ısima ventaja pas´o por estas mismas lineas con igual entusiasmo. Los elementos que se estudiar´an son b´asicamente dos: los r´ıos y las cuencas vertientes; conceptos sobradamente conocidos y de obvia transcendencia en cualquier asunto relacionado con la hidrolog´ıa. La aparente sencillez de ´estos se ver´a extendida a lo largo de un buen n´ umero de p´aginas que permitir´an, adem´as de obtener resultados de inter´es de cara a otros apartados posteriores del libro, caracterizar exhaustivamente estos elementos desde un elevado n´ umero de perspectivas. La aproximaci´on a estas definiciones y operaciones con los elementos b´asicos desde un entorno informatizado guarda, no obstante, algunas diferencias conceptuales con las ideas cl´asicas de estos mismos elementos, en cuanto que ´estas exigen, por su parte y a efectos de una exposici´on completa de sus caracter´ısticas, una mayor desenvoltura en el manejo de la cartogr´afia del medio f´ısico sobre el que se sit´ uan r´ıos y cuencas. La potencia de los c´alculos que podemos abordar para el manejo y caracterizaci´on de r´ıos y cuencas viene derivada de una mayor capacidad intr´ınseca de las representaciones cartogr´aficas digitales frente a las habituales, por lo que la relacion entre ambas realidades se hace m´as estrecha y altamente m´as dependiente. Ello hace necesaria la presentaci´on de una nutrida bater´ıa de conceptos y algoritmos referidos a las representaciones digitales del terreno — y la informaci´on espacial, en t´erminos generales —, materia que como se ha dicho es necesaria para la introducci´ on de los conceptos primordiales presentados en este bloque. Sin embargo, no debe verse en absoluto como un elemento ajeno al estudio hidrol´ogico que persigue este libro, pues m´as adelante se ver´a que esta misma cartograf´ıa ser´a la que, directa e indirectamente, confiera su potencia a los algoritmos y planteamientos de corte plenamente hidrol´ogico que ser´an analizados entonces. 3

4 Ajeno a la l´ınea general de esta primera parte del libro, pero importante para dar un encuadre global del mismo, se incluye como comienzo de este bloque un peque˜ no cap´ıtulo dedicado la historia, breve pero intensa, del tratamiento computacional de los procesos hidrol´ogicos, con particular ´enfasis en todo cuanto guarda relaci´on con el empleo de cartograf´ıa digital y el an´alisis del relieve a partir de Modelos Digitales del Terreno.

Cap´ıtulo 1

Historia de la modelizaci´ on hidrol´ ogica computacional If the 20th century taught us anything, it is to be cautious about the word impossible. Charles Platt The past is a foreign country; they do things differently there. L. P. Hartley

1.1.

Introducci´ on

Pese a que son escasas las referencias que a lo largo de esta obra se hacen sobre textos publicados con anterioridad a 1985, siendo por tanto el periodo hist´orico del an´alisis hidrol´ ogico computacional aqu´ı considerado tan sumamente corto como 20 a˜ nos, el desarrollo de esta disciplina en este tiempo ha sido lo suficientemente intenso como para merecer un tratamiento particular en una obra de estas caracter´ısticas. Si el conocimiento de la historia de una rama de la ciencia es importante — am´en de sumamente gratificante y entretenido — para la comprensi´on de ´esta, el corto intervalo de tiempo en que se puede encuadrar la historia del estudio hidrol´ogico mediante m´etodos inform´ aticos, m´as reducido a´ un si se incorpora en este el empleo de Modelos Digitales del Terreno, no resta importancia a la presentaci´on de ciertos conceptos hist´oricos, que a buen seguro aportar´an una primera visi´on de sumo inter´es. El encuadre de las principales tendencias y logros dentro de su marco correspondiente, desarrollado aqu´ı en estas primeras p´aginas del libro, es mi creencia que constituyen sin duda la m´as adecuada introducci´on hacia el contenido m´as t´ecnico de la obra, despertando el apetito ci´entifico del lector de la mejor manera posible. En un enfoque distinto al del resto de la obra, en la cual se intenta huir de los elementos inform´ aticos tales como aplicaciones concretas y recalar principalmente sobre las formulaciones algor´ıtmicas y matem´aticas de las principales ideas y fundamentos, esta secci´on esta compuesta principalmente por alusiones directas a gran parte de las aplicaciones caracter´ısticas de cada ´epoca o tendencia analizada. Esto se explica, adem´as de por el car´acter no t´ecnico de este cap´ıtulo, por la ´ıntima relaci´on que con frecuencia, y especialmente en los modelos m´as cl´asicos, existe entre dicho modelo y la aplicaci´on mediante la que ´este se empleao, de tal modo que la aplicaci´on en s´ı es definitoria de una etapa de desarrollo y una concepci´on particular a este respecto. 5

CAP´ITULO 1. HISTORIA

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1.2.

Aplicaciones inform´ aticas hidrol´ ogicas

Con lo anterior, un breve recorrido por las aplicaciones inform´aticas que a lo largo de sus a˜ nos de existencia se han consolidado como verdaderas herramientas con valor propio dentro de la modelizaci´on hidrol´ogica, sirve de primera imagen acerca de la relaci´on que entre la ciencia de la hidrolog´ıa y la de la computaci´on ha existido a trav´es de los u ´ltimos tiempos. Si nos remontamos a los or´ıgenes de la utilizaci´on de las computadoras en problemas de ingenier´ıa, r´apidamente podremos observar como, junto a disciplinas tales como el c´alculo de estructuras o el an´alisis y predicci´on meteorol´ogica, la hidrolog´ıa es una ciencia que, por sus propias caracter´ısticas, pronto supo aprovechar las por entonces nuevas y brillantes capacidades de proceso brindadas por los medios inform´aticos. No obstante, y como bien apuntan algunos autores (Lopez Garc´ıa, 2002), el avance en cuanto a teor´ıas y metodolog´ıas en el campo de la hidrolog´ıa durante los u ´ltimos a˜ nos resulta muy notablemente inferior al de la mayor´ıa de ramas similares de la ciencia, en particular las del ´ambito de la f´ısica aplicada y todas sus numerosas derivaciones, coexistiendo en la actualidad algunos modelos modernos con gran n´ umero de formulaciones cl´asicas que conservan su vigencia y no parece vayan a perder su importancia en un plazo inmediato de tiempo. Esta circunstancia no constituye, sin embargo, una incongruencia m´as all´a de lo aparente, sino tan s´olo la constataci´on de que, en la realidad, el an´alisis hidrol´ogico ha seguido una distinta evoluci´on a otras disciplinas, enriqueci´endose con el aporte de las nuevas tecnolog´ıas pero sin necesidad por ello de redefinir sus principios m´as b´asicos, manteniendo gran parte de los ya existentes, de probada eficacia, y en base a los cuales se han obtenido hasta la fecha grandes ´exitos en lo que a planificaci´on hidrol´ogica respecta. Esta forma de aprovechamiento de las posibilidades brindadas por el uso de ordenadores, en conjunci´on con las ideas cl´asicas y s´olidamente fundamentadas de la hidrolog´ıa, es la que da lugar a las diferentes concepciones presentes en el software de tipo hidrol´ogico, y mediante cuyo an´alisis van a presentarse las ideas m´as importantes al respecto. Veamos, pues, una breve rese˜ na de la evoluci´on seguida de forma simultanea por los modelos matem´aticos hidrol´ogicos y las capacidades de computaci´on de los equipos inform´aticos. Comenzando por el origen, las aplicaciones inform´aticas permitieron en el comienzo a los profesionales de la hidrolog´ıa el c´alculo r´apido y preciso de par´ametros tales como caudales punta o vol´ umenes de escorrent´ıa, posibilitando adem´as un an´alisis de unidades hidrol´ogicas mayores con un grado de detalle impensable sin la ayuda de computadores. Se trataba, no obstante, de una mera labor de computaci´on en el sentido estricto de la palabra, d´andose uso a los ordenadores como fuente exclusiva de capacidad de proceso, cuya u ´nica aportaci´on a la labor del hidr´ologo resid´ıa en la realizaci´on masiva de c´alculos inviables de otro modo para el trabajador humano. Una consecuencia inmediata de lo anterior fue la incorporaci´on dentro de los modelos hidrol´ogicos de resultados y formulaciones ya existentes, cuya complejidad, sin embargo, hacia impracticable hasta ese momento incorporar tal nivel de detalle dentro de un modelo operado de forma manual. Con la potencia de c´omputo de los ordenadores — sin duda en aquella ´epoca ni remotamente similar a la que hoy en dia conocemos, pero s´ı suficiente para cumplir su cometido —, gran cantidad de formulaciones f´ısicas y algunas de car´acter emp´ırico referidas a elementos particulares del ciclo hidrol´ogico se introducen en modelos de creciente complejidad. Estas formulaciones, muchas de ellas hasta entonces m´as te´oricas que pr´acticas, apoyadas en los elementos del c´alculo num´erico, y en conjunto con los conceptos utilizados fuera del entorno computacional para la modelizaci´on hidrol´ogica, dan forma a los primeros modelos y definen un esquema que habr´a de durar hasta la actualidad. Es habitual que en los textos modernos de hidrolog´ıa gen´erica se incluya un apartado referido a estas primeros modelos con dicha filosof´ıa, bajo el nombre de Modelos matem´ aticos, trat´andose brevemente los fundamen-

´ ´ 1.2. APLICACIONES INFORMATICAS HIDROLOGICAS

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tos te´oricos de dichos modelos, cosa que no se har´a aqu´ı pues el objetivo principal respecto a los mismos en esta obra es tan s´olo el referente a su encuadre hist´orico. Hacia 1966 aparece el modelo Stanford desarrollado por Crawford y Linsey, considerado habitualmente como el primer modelo completo de la era inform´atica, que habr´ıa de dar comienzo a una ´epoca de elevada productividad en lo que a modelos hidrol´ogicos se refiere. La evoluci´on del modelo Stanford corre a cargo de sus mismos autores, quienes a comienzos de los a˜ nos 70 desarrollan la aplicaci´on HSP (acr´onimo de Hydrocomp Simulation Program), a la que a˜ naden funcionalidades relativas al estudio de la calidad de las aguas, as´ı como otras sobre transporte de sedimentos. En estos primeros modelos se advierte ya el inter´es que reside en el estudio de los procesos hidrol´ogicos mediante modelos continuos, siendo de este tipo un muy elevado n´ umero de soluciones que ven la luz en estos a˜ nos y los inmediatamente sucesivos. Una vez m´ as, es la mera capacidad de proceso la que marca la diferencia, permitiendo llevar a la pr´actica la implementaci´on eficaz de modelos continuos, con anterioridad vetada bajo unas m´ınimas exigencias de detalle y precisi´on. Aproximadamente hacia 1975 surge el m´aximo exponente de esta filosof´ıa de an´alisis hidrol´ogico, materializado en el desarrollo de la aplicaci´on HSPF (acr´onimo de Hydrologic Simulation Program–Fortran) por la Agencia de Protecci´on Medioambiental (EPA) de los Estados Unidos. HSPF engloba todas las caracter´ısticas del modelo Stanford y su sucesor HSP, adem´ as de las presentes en dos m´odulos adicionales previamente desarrollados por la EPA bajo las denominaciones respectivas de ARM (Agricultural Runoff Modelling) y NPS (Nonpoint Source Pollutant Loading Model ). HSPF se contituye as´ı como una aplicaci´on completa para la modelizaci´on de la totalidad de procesos que pueden considerarse dentro del ciclo hidrol´ogico, de una dimensi´on conceptual quiz´as en exceso elevada, aunque debe reconocerse una buena estructura del programa pese a su gran complejidad. El manejo del programa no es, como cabe esperar, en absoluto sencillo, y los requerimientos en cuanto a datos de partida son muy elevados, siendo, no obstante, un modelo de aplicaci´on habitual tanto entonces como ahora. Desde su creaci´on, el desarrollo del HSPF no se ha visto interrumpido hasta la actualidad, siendo la versi´on 12 del programa, hecha p´ ublica en 2001, la m´as reciente de cuantas ha conocido este modelo. Pese a no haber variado la filosof´ıa b´asica del programa en lo que a su dise˜ no y utilizaci´on se refiere, se han hecho esfuerzos paralelos de integrar el modelo con las nuevas realidades inform´aticas que han ido surgiendo paulatinamente, manten´ıendose asi su vigencia y el caracter de referente obligado que ha caracterizado a HSPF desde su origen. HSPF se puede descargar gratuitamente en la direccion web http://water.usgs.gov/software/hspf.html Paralelamente a lo anterior, y al mismo tiempo que se despierta el inter´es por los modelos de base f´ısica y de tipo continuo tales como HSPF, se empiezan a desarrollar tambi´en en Estados Unidos otra serie de aplicaciones en las que el papel decisivo de la inform´atica se pone igualmente de manifiesto en modelos conceptuales destinados a la modelizaci´on de eventos concretos. El U.S Corps of Engineers, a trav´es de su Cuerpo de Ingenieros (el ya famoso Hydrological Corp of Engineers, HEC ) es el abanderado de este tipo de modelos, sentando las bases para los futuros desarrollos en dicho campo mediante el desarrollo de los modelos matem´ aticos HEC–1, HEC–2, etc. y sus aplicaciones asociadas. De forma m´as particular, son de rese˜ nar las siguientes aplicaciones, cada una de las cuales se ha constituido a lo largo de su existencia como un hito importante dentro de la modelizaci´ on hidrol´ogica en general, y dentro de su campo de aplicaci´on en particular.

CAP´ITULO 1. HISTORIA

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HEC–1. El elemento mas cercano a lo que aqu´ı denominamos hidrolog´ıa computacional dentro de los desarrollados por el HEC es este HEC–1, el cual fue desarrollado a partir de 1968, y evolucion´o notablemente hasta los a˜ nos 90, con una fuerte revisi´on en 1973 en cuanto a su forma de uso y otros aspectos similares. Presentan una amplia gama de funcionalidades destinadas a analizar las consecuencias y fen´omenos hidrol´ogicos de una tormenta concreta, entendiendo la cuenca como un conjunto de unidades conectadas sobre las que se aplican diferentes formulaciones hidrol´ogicas e hidr´aulicas. En los a˜ nos 90, una nueva versi´on bajo el nombre de HEC–HMS (HEC-Hydrological Modelling System) sustituye a HEC–1 a˜ nadiendole una interfaz de usuario acorde con las tendencias vigentes en ese sentido y mejorando algunos aspectos t´ecnicos del mismo. Pese a que ni HEC–1 ni su sucesor HEC–HMS trabajan directamente de modo alguno con Modelos Digitales del Terreno, los planteamientos de los mismos son sumamente interesante para el establecimiento de modelos te´oricos del tipo de los orientados al an´alisis de eventos, por lo que muchas ideas tratadas en estas p´aginas se corresponder´an o se asemejar´an en cierta medida a las implementadas en estas aplicaciones. HEC–2. Uno de los primeros modelos desarrollados por el HEC es el destinado a la modelizaci´on fluvial y el estudio de calados a lo largo de cauces y llanuras de inundaci´on. Siguiendo un desarrollo similar al de HEC–1, aparece como tal en 1968, aunque el modelo ya se encontraba implementado en otro software aunque con un nombre distinto. Como elemento importante que es, tambi´en ha sufrido un fuerte desarrollo, conociendo numerosas versiones y mejoras. La evoluci´on de esta aplicaci´on dio lugar ya en los a˜ nos 90 al programa HEC–RAS (HEC-River Analysis System), ampliamente utilizado en la actualidad, y que no es sino un HEC–2 mejorado y dotado de una interfaz gr´afica. Por su escasa componente hidrol´ogica — al menos en el sentido en que ´esta se concibe en este trabajo —, se aleja del contenido de estas p´aginas y no ser´a aqu´ı desarrollado ninguno de sus conceptos o ideas. HEC–5 y HEC–6. Algo m´as alejados de la filosof´ıa de este texto, y no con la misma relevancia que los dos anteriores, estas aplicaciones forman tambi´en parte importante de la familia de aplicaciones desarrolladas por el HEC. HEC–5 es un programa para la modelizaci´on de sistemas de presas y embalses, mientras que HEC–6 es un modelo unidimensional para el estudio de transporte de sedimentos en cauces. Tanto estas aplicaciones originales como sus actuales versiones pueden descargarse libremente en la pagina web

http://www.hec.usace.army.mil Se recomienda que el lector trabaje con las mismas en la medida que le sea posible, pues se trata de aplicaciones de gran inter´es y altamente complementarias de todo lo que aqu´ı se desarrolla, constituyendo elementos de primer orden en lo que a la relaci´on entre hidrolog´ıa y computaci´on se refiere, tanto desde el punto de vista te´orico como desde el pr´actico. La precisi´on, sin embargo, de la que hacen gala estas aplicaciones — es decir, los modelos que en ellas se implementan —, est´a basada en la concepci´on que presentan del ciclo hidrol´ogico y sus distintos elementos conceptuales, siendo, por tanto, una precisi´on que deriva de la posibilidad de formular modelos sobre una base m´as amplia al amparo de la potencia aportada por el ordenador. Con respecto a la utilizaci´on cl´asica de otros modelos y otras filosof´ıa previas a la introducci´on de la inform´atica, la precisi´on en t´erminos espaciales no var´ıa, sin embargo,

´ GEOGRAFICA ´ 1.3. SISTEMAS DE INFORMACION

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muy notablemente, apoy´andose el conocimiento del terreno en representaciones cartogr´ aficas de similares caracter´ısticas a las que en dicha etapa prev´ıa era de uso habitual. Ser´a con la introducci´on de mejoras en los aspectos puramente cartogr´aficos cuando se produzca un nuevo salto en la evoluci´on de la modelizaci´on hidrol´ogica computacional, al aportar dicha cartograf´ıa unas nuevas fuentes de datos que abrir´an el camino para el desarrollo de formulaciones novedosas. Adem´as de traer consigo la precisi´on espacial que con anterioridad se encontraba ausente, las propias caracter´ısticas de esta nueva informaci´on geogr´afica van a hacer posible un an´alisis desde puntos de vista distintos, desarroll´andose paralelamente t´ecnicas de an´alisis que enriquecer´an enormemente el ´ambito de la hidrolog´ıa aplicada. ´ Esta, y no otra, es la circunstancia que resulta de inter´es para el tema de esta obra, siendo obligado el repasar la historia reciente de los avances cartogr´aficos y su integraci´on en el ´ambito de la hidrolog´ıa, bien con alguna de las aplicaciones ya presentadas o bien a trav´es del desarrollo de nuevas herramientas con una filosof´ıa distinta o apoyadas en otros paradigmas de manejo y procesado de la informaci´on.

1.3.

Sistemas de Informaci´ on Geogr´ afica

Si a lo largo de este recorrido breve por la historia reciente de los modelos matem´aticos hidrol´ogicos desde la aparici´on de los computadores, debi´eramos escoger un punto de inflexi´ on en cuanto a concepci´on de los mismos o, m´as espec´ıficamente, de los entornos de aplicaci´ on de los mismos, sin duda la aparici´on de los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica (SIG) ha representado y viene representando en la actualidad la apertura de un nuevo campo de actuaci´on, mediante el cual las posibilidades del an´alisis hidrol´ogico se extienden hasta l´ımites con anterioridad insospechados. Un Sistema de Informaci´on Geogr´afica es, en la definici´on extremadamente simple pero brillante de Bonham–Carter (1994) ((un sistema inform´atico para la gesti´on de datos espaciales)), entendi´endose el adjetivo espacial como relativo a objetos cuyas coordenadas son conocidas y determinadas. Similar definici´on proponen Star y Estes (1990), para quienes un SIG es un sistema de informaci´on que est´a dise˜ nado para trabajar con datos referenciados por coordenadas espaciales o geogr´aficas, es decir, un SIG es a la vez un sistema de base de datos con capacidades espec´ıficas para datos referenciados espacialmente y un conjunto de operaciones para operar (an´alisis) con los datos. La historia de los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica se remonta a la d´ecada de los 60, tambi´en con el comienzo de la era inform´atica, cuando el avance tecnol´ogico dio lugar a una redefinici´on del an´alisis cartogr´afico. Junto al papel decisivo que en el desarrollo de los SIG jug´o la r´apida evoluci´on de las primeras computadoras, otros factores tales como las creciente necesidades a nivel de gesti´on urban´ıstica, propiciaron la b´ usqueda de soluciones en esta direcci´on. As´ı, la creaci´on de las primeras aplicaciones inform´aticas con capacidades propias de lo que hoy considerar´ıamos un SIG comenz´o a tener lugar, evolucionando con posterioridad de modo parejo a la propia evoluci´on de las capacidades de los ordenadores, y muy especialmente las de ´estos en cuanto a representaci´on gr´afica se refiere. Durante estos periodos iniciales, el desarrollo y concepci´on de los SIG tiene lugar fundamentalmente en Norteam´erica, aunque tambi´en en algunos puntos de Europa tales como la Experimental Cartography Unit, en el Reino Unido. En Estados Unidos, el Harvard Laboratory for Computer Graphics and Spatial Analysis se constituye como la primera ((potencia)) en lo que a desarrollo de aplicaciones de manejo y producci´on de informaci´on espacial, sentando las bases formales para el futuro desarrollo de los SIG en sentido estricto. Las herramientas desarrolladas en esta ´epoca, aunque incluyendo elementos de an´ alisis destinados a satisfacer las necesidades existentes en ese sentido en muy diversos campos, se

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CAP´ITULO 1. HISTORIA

centran principalmente en la creaci´on de documentos cartogr´aficos. Las l´ımitadas capaces gr´aficas de los ordenadores disponibles en esa ´epoca limitan la s´alida de los programas al formato impreso, demostr´andose as´ı, no obstante, que la inform´atica representa una soluci´on potente y eficaz para la producci´on cartogr´afica. La primera herramienta inform´atica que puede considerarse relevante a este respecto es SYNMAP, un paquete de diversas aplicaciones desarrollado en el Harvard Laboratory en 1964, el cual despierta un enorme inter´es por una tecnolog´ıa hasta entonces desconocida. Los programas que que le siguen, tales como CALFORM y SYMVU, ambos ya a finales de los 60, mantienen el mismo enfoque, mejorando la calidad de los mapas generados u ofreciendo otras posibilidades de visualizaci´on m´as avanzadas. Tambien a finales de los 60 ve la luz de la mano del mismo equipo una aplicaci´on denominada GRID que, en su evoluci´on, constituir´a el origen de an´alisis SIG de tipo raster, el cual, como se detallar´a extensamente en los primeros cap´ıtulos, constituye la base fundamental sobre la que se va a desarrollar en esta obra el estudio de los Modelos Digitales del Terreno y su aplicaci´on a la hidrolog´ıa. No obstante, y haciendo referencia al uso de los SIG que en estas p´aginas guarda inter´es — esto es, su utilizaci´on en relaci´on con la hidrolog´ıa —, son otras ramas de la ciencia y otras necesidades de planificaci´on territorial las que hacen uso en primer lugar de esta nueva tecnolog´ıa. Mientras tanto, la hidrolog´ıa, y especialmente la modelizaci´on hidrol´ogica, no emplea a fondo las capacidades de los SIG, desarroll´andose en estos a˜ nos y tambi´en en los siguientes un buen n´ umero de modelos que no se apoyan directamente sobre las capacidades de an´alisis territorial que dichos SIG comienzan a implementar. En 1974, se implanta en Estados Unidos el primer sistema inform´atico con base cartogr´afica para la gestion de recursos hidrol´ogicos, constituyendo una utilizaci´on de un SIG con gran relevancia desde el punto de vista de la hidrolog´ıa. Aun as´ı, no se trata en absoluto de una herramienta de modelizaci´on, y mucho menos a´ un de una basada en Modelos Digitales del Terreno. Las primeras formulaciones que aparecen sobre ´analisis del terreno basado en MDTs, con una filosof´ıa similar a las recogidas en este texto, no ven la luz hasta mediados de los a˜ nos 80, cuando las condiciones desde todos los puntos de vista son ya las ´optimas para el desarrollo de esta rama de conocimiento como tal. A partir de esta ´epoca, y tras el periodo inicial que podr´ıamos establecer hasta mediados de los 70, el desarrollo de los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica, consolidados ya plenamente, se prosigue a un ritmo sorprendente que contin´ ua a´ un hoy en nuestros d´ıas, y el cual es seguido tambi´en por todas las aplicaciones con componente SIG tales como las de corte hidrol´ogico. As´ı, una vez los SIG han asentado su posici´on, la modelizaci´on hidrol´ogica empieza a abrirse paso por nuevas v´ıas, integrando elementos de an´alisis espacial en sus formulaciones al tiempo que se mejoran los modelos existentes sobre bases conceptuales distintas. Junto con las nuevas posibilidades brindadas por la aparici´on de las tecnolog´ıas de base SIG, los nuevos entornos gr´aficos y las complejas y vistosas interfaces de usuario por todos conocidas en los sistemas operativos y aplicaciones actuales aportan su particular grano de arena para redefinir el concepto original de aplicaci´on inform´ atica hidrol´ogica, pudi´endose encontrar actualmente productos de novedoso planteamiento junto a adaptaciones de los cl´asicos modelos, siendo ´estos, por otra parte, el est´andar actual como ya lo fueron en la generaci´on anterior sus inmediatos predecesores. Adem´as de lo anterior, la creciente potencia de la que disfrutan los ordenadores a medida que avanza el tiempo, hace viable el empleo ya de MDTs como fuentes de datos habituales, reconoci´endose a ´estos como elementos de primera l´ınea para el an´alisis del terreno y, por extensi´on, el an´alisis hidrol´ogico. Ello se ve reflejado en las propias capacidades de los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica, que crecen ampliamente en este sentido, as´ı como las de los modelos hidrol´ogicos que comienzan a hacer uso de dichos elementos de an´alisis fisiogr´afico basados en

´ GEOGRAFICA ´ 1.3. SISTEMAS DE INFORMACION

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MDTs. Los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica como tales no resultan, sin embargo, suficientes de por s´ı para lograr una modelizaci´on hidrol´ogica precisa, no ya desde el punto de vista pr´actico, donde su utilizaci´on est´a a la orden del d´ıa en los trabajos de ingenier´ıa relacionados con la hidrolog´ıa, sino desde el aspecto puramente conceptual. La gran generalidad que caracteriza a estas aplicaciones hace imposible que se encuentren completamente adaptadas para el an´ alisis intenso de la informaci´on de partida desde un punto de vista hidrol´ogico, y en particular para el an´alisis del Modelo Digital del Terreno como documento cartogr´afico clave en este sentido. De igual modo, las formulaciones implementadas en aplicaciones como la ya mencionadas HSPF o la familia de los HEC no cabe implementarlas en un SIG de los habitualmente presentes en el mercado, por lo que la capacidad real de producir resultados hidrol´ogicos — los obtenidos generalmente con un SIG en relaci´on con la hidrolog´ıa son principalmente de tipo geomorfol´ogico, extra´ıdos a partir del an´alisis del terreno —, sigue siendo una posesi´ on exclusiva de las aplicaciones independientes desarrolladas expresamente para tal fin.

1.3.1.

Los SIG en los modelos hidrol´ ogicos

No obstante, los SIG, desde su misma creaci´on, han marcado una pauta fundamental a seguir en cualquier disciplina relacionada con el manejo de informaci´on espacial — la hidrolog´ıa entre ellas —, por lo que su papel en la evoluci´on de la parte de la hidrolog´ıa que aqu´ı se estudia es, sin duda alguna, de vital importancia. La manera en que las aplicaciones m´ as actuales se acercan a esa pauta y se hacen participes de los conceptos SIG dentro de sus propias caracter´ısticas, define formas diversas de entender la relaci´on entre la cartograf´ıa digital, el an´ alisis hidrol´ogico y la utilizaci´on de m´etodos computacionales, pudiendo en base a ello realizarse una divisi´on b´asica de dichas aplicaciones como la presentada a continuaci´ on. Modelos con fuerte componente SIG A falta de una denominaci´on m´as adecuada, se engloban bajo este nombre aquellas aplicaciones que, tomando una notable influencia de los fundamentos y modo de utilizaci´on de aplicaciones SIG gen´ericas, presentan las capacidades propias de ´estas de modo integrado. La presencia de capacidades SIG no debe ser necesariamente abundante, pudiendo limitarse a las funciones estrictamente necesarias para el buen funcionamiento del modelo, pero la inclusi´ on de una aplicaci´on en este grupo se basa en que el modelo que se implementa en la misma se haya concebido teniendo en cuenta dichas capacidades SIG, pudiendo operarse exclusivamente — o al menos con caracter proritario — cuando se dispone de los resultados obtenidos mediante ´estas. El an´alisis de la informaci´on espacial se convierte as´ı en un elemento integrante del modelo, estando los algoritmos de dicho an´alisis al mismo nivel que los propiamente implicados en la obtenci´on de par´ametros hidrol´ogicos. Una vez la representaci´on digital de la informaci´on ha cobrado cierta importancia y se demuestra como de verdadera relevancia de cara a la mejora de los modelos existentes en la totalidad de campos relacionados con el an´alisis del medio — lo cual sucede alrededor de la d´ecada de los 80 —, el desarrollo de nuevas formulaciones se adscribe en t´erminos generales a esta filosof´ıa, aunque no de forma absoluta e inmediata. Un modelo pionero en este grupo, y que ser´a un referente constante a lo largo de este texto, es el conocido TOPMODEL (Beven y Kirkby, 1979) que, pese a ser modelizado sin tener en cuenta las capacidades propias de los SIG, se basa fuertemente en la topograf´ıa y propicia una integraci´on muy cercana con el an´alisis de dicha topograf´ıa a partir de MDTs. En 1983 aparece un modelo de gran importancia, tanto en lo referente a su uso directo como desde el punto de vista del desarrollo de nuevos modelos, pues constituye un referente

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CAP´ITULO 1. HISTORIA

de notable peso en este sentido. Desarrollado en el Instituto Dan´es de Hidrolog´ıa, el modelo MIKE–SHE podemos decir que, por su potencia, complejidad y, en resumen, capacidades generales, es un equivalente con base SIG de modelos del tipo HSPF, donde una gran parte de los elementos del ciclo hidrol´ogico puede modelizarse con detalle. Tambi´en son de destacar los modelos IHDM (Institute of Hydrology Distributed Model ) (Beven et al ), WATFLOOD (Kouwen et al, 1988) y Hydrotel (Fortin et al, 1995) , por hacerse part´ıcipes de esta filosof´ıa anteriormente descrita, entre otros. Este u ´ltimo modelo se ha desarrollado, seg´ un su propios autores, con la idea de sacar el m´aximo provecho a la informaci´on espacial proveniente de la teledetecci´on y de los SIGs, con lo que se demuestra como un fuerte representante de esta concepci´on de modelos ampliamente basados en SIG. Otros modelos de esta ´ındole, muchos de ellos de aplicaci´on local o con notables simplificaciones, van surgiendo progresivamente a partir de mitad de los a˜ nos 80 como parte de proyectos particulares, pudiendo nombrarse los modelos Xinanjiang (Zhao et al, 1980) y OWLS (Chen, 1996) como dos ejemplos t´ıpicos de los modelos surgidos desde entonces hasta la actualidad. Aplicaciones con componentes SIG Por otra parte, ciertos modelos ya existentes siguen desarroll´andose ya con el apoyo en algunos Sistemas de Informaci´on Geogr´afica comunes, con variable dependencia con respecto el an´alisis del terreno llevado a cabo en dichos SIGs. En general, y dada la gran cantidad de datos que habitualmente se requieren para alimentar los modelos hidrol´ogicos, se desarrollan elementos integrados dentro de un SIG que permiten facilitar la obtenci´on y mejorar el manejo de dicha cantidad de datos. M´as importante a´ un, algunos de estos componentes SIG dan lugar a nuevas posibilidades — muchas de ellas derivadas de la gran potencia que reside en los MDTs como representaciones del relieve —, abriendo el camino hacia la modificaci´on de los modelos con los que se relacionan y la incorporaci´ on en ´estos de nuevas capacidades m´as ´ıntimamente relacionadas con la informacion espacial disponible. Un ejemplo cl´asico de esta circunstancia lo encontramos en los desarrollos llevados a cabo por el HEC para la mejora de sus modelos HEC–RAS y HEC–HMS . Como parte de este esfuerzo, surgen las aplicaciones HEC–GeoRAS y HEC-GeoHMS, las cuales, trabajando sobre el popular SIG ArcView, permiten el c´alculo automatizado de buena parte de los par´ametros que son necesarios para la operaci´on de los modelos implementados en HEC–RAS y HEC– HMS respectivamente. No obstante, no a˜ naden ningun elemento adicional al modelo, aunque permiten que ´este sea utilizado con una precisi´on mayor y trabajando con una resoluci´on espacial mucho m´as elevada que la que podr´ıa obtenerse mediante la medida e introducci´on manual de los datos. Una aplicaci´on de notable peso en la actualidad es la denominada Watershed Modelling System (WMS), la cual se presenta como una herramienta con capacidades SIG y dotada de un intuitivo entorno gr´afico, mediante la cual pueden calcularse gran parte de los par´ametros requeridos para la modelizaci´on hidrol´ogica — no tan s´olo los derivados del MDT, sino otros de distinta naturaleza tales como factores de escorrent´ıa a partir de cartograf´ıa tem´atica, por ejemplo —. Una vez dichos par´ametros han sido calculados, el programa es tambi´en una interfaz para los modelos m´as conocidos y de distintas naturalezas (HSPF, HEC–HMS y HEC– RAS, entre muchos otros), con lo que desde el propio WMS puede llamarse a ´estos y obtener as´ı los resultados hidrol´ogicos buscados. La diferencia con HEC–GeoRAS y HEC-GeoHMS reside, adem´as de en la mayor versatilidad del programa, en el hecho de que no depende de ning´ un SIG como tal, sino que implementa ´el mismo aquellas capacidades de tipo SIG que resultan necesarias para el estudio hidrol´ogico. Desde otro punto de vista, Maidment et al (2001) desarrollan sobre el SIG ArcView un sistema denominado ArcHydro que pretende establecerse como estructura ´optima para el

´ GEOGRAFICA ´ 1.3. SISTEMAS DE INFORMACION

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almacenamiento y aprovechamiento de toda la informaci´on empleada tanto en la modelizaci´ on hidr´aulica como en la hidrol´ogica, y siempre sobre una base SIG importante. Lejos de constituir un modelo como tal, se trata de una estructura conceptual encaminada al establecimiento de una serie de ideas acerca de c´omo debe llevarse a cabo el manejo de informaci´on de inter´es hidrol´ogico dentro de un Sistema de Informaci´on Geogr´afica. Todas estas aplicaciones y componentes son, no obstante, relativamente novedosas, habi´endose comenzado el desarrollo de las mismas en los a˜ nos 90, pese a lo cual han alcanzado ya en la actualidad una cierta madurez. Paralelamente a estas aplicaciones mas importantes, se han desarrollado elementos que permiten conectar una gran variedad de modelos m´as antiguos o bien de reciente desarrollo, con los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica m´as populares. En particular, el SIG ArcView y los SIGs de libre distribuci´on GRASS y PCRaster disponen de una gran cantidad de trabajo desarrollado en torno a ellos en relaci´on con la modelizaci´ on hidrol´ogica. El modelo CASC2D (Ogden, 1997), por ejemplo, es un representante claro de este tipo, estando incorporado sobre GRASS, pero al mismo tiempo existiendo una interfaz dentro de WMS para la preparaci´on de los datos necesarios para su ejecuci´on, con lo que se ve que un modelo dado puede acogerse a varios enfoques, permiti´endose su aplicaci´on de modos distintos seg´ un resulte conveniente.

1.3.2.

Ventajas de la incorporaci´ on de los SIG en la modelizaci´ on hidrol´ ogica

Los aspectos positivos que pueden achacarse a la llegada de las aplicaciones de tipo SIG al ´ambito de la modelizaci´on hidrol´ogica, ya sea mediante uno de los enfoques anteriores u otro distinto, pueden analizarse desde diferentes puntos de vista. Lejos de limitarse al aumento en la precisi´on y la automatizaci´on del c´alculo de par´ametros, la filosof´ıa novedosa que presentan los modelos relacionados con funcionalidades de tipo SIG tiene consecuencias favorables en muchos otros aspectos. Una enumeraci´on de los mismos podr´ıa ser, en l´ıneas generales, la siguiente. C´alculo mas preciso de par´ ametros f´ısicos necesarios para operar con los modelos hidrol´ogicos. Aumento de la resoluci´on espacial de trabajo a todos los niveles. An´alisis de la variaci´on espacial de factores como coeficientes de escorrent´ıa o similares, que hasta entonces deb´ıan considerarse como par´ametros de valor u ´nico constante. An´alisis de la variaci´on espacial de la precipitaci´on, hasta entonces considerada como elemento constante y est´atico. Esto permite un an´alisis de las diferentes intensidades de precipitaci´on para los distintos puntos de una cuenca, as´ı como el estudio de los movimientos de las tormentas y las variaciones que ello conlleva. Aparici´on de nuevos enfoques tales como modelos plenamente distribuidos, o recursos y t´ecnicas nuevas basadas en el conocimiento exhaustivo del medio f´ısico en el que se desarrollan los fen´omenos hidrol´ogicos. Adem´as de lo anterior, la introducci´on de conceptos de tipo SIG en el ´ambito de la hidrolog´ıa ha propulsado el estudio hidrol´ogico de modo notable, continuando un hecho que ven´ıa sucediendo desde la aparici´on de los primeros ordenadores, y que ha llevado a la hidrolog´ıa aplicada a experimentar un fuerte desarrollo y alcanzar un estado de madurez muy importante en nuestros d´ıas.

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CAP´ITULO 1. HISTORIA

Un u ´ltimo aspecto que no debe olvidarse en relaci´on con los SIG es la estrecha relaci´on que existe entre ´estos y la teledetecci´on, haciendo posible el empleo de elementos de esta u ´ltima disciplina en el an´alisis hidrol´ogico. La gran importancia que una buena base de cartograf´ıa tem´atica tiene sobre el estudio la gran mayor´ıa de procesos del ciclo hidrol´ogico hace f´acil comprender la importancia que la incorporaci´on de la teledetecci´on, especialmente intensa en este aspecto en los u ´ltimos tiempos, supone a este respecto. La evoluci´on de la teledetecci´on se encuentra actualmente en su momento m´aximo, siendo su avance extremadamente r´apido, con las consecuencias favorables que ello conlleva para el ´ambito de la hidrolog´ıa conforme los planteamientos de ´esta se van adaptando a las nuevas prestaciones que dicha ciencia ofrece.

1.4.

Aplicaciones y modelos para p´ erdidas de suelo y erosi´ on

Puesto que son tambi´en tratados en un cap´ıtulo de esta obra, los an´alisis referentes a la erosi´on y su relaci´on con la presencia de cartograf´ıa digital deben ser tambi´en analizados en su evoluci´on a lo largo del tiempo. Frente al an´alisis hidrol´ogico antes descrito, donde los planteamientos eran m´as variados, los modelos desarrollados para la estimaci´on de p´erdidas de suelo y erosi´on siguen en lineas generales unos patrones comunes muy similares, dependiendo intensamente de los resultados obtenidos en el an´alisis del MDT. Este hecho se pondr´a de manifiesto en la breve rese˜ na de las aplicaciones mas importantes, as´ı como especialmente cuando se alcancen dentro del texto los contenidos particulares sobre esta materia. La diferenciaci´on de etapas notables en cuanto a la concepci´on de los distintos planteamientos, al igual que suced´ıa en el caso de los modelos tratados en el apartado anterior, presenta un punto clave en la aparici´on de los Sistemas de Informaci´on Geogr´afica, y especialmente en la implantaci´on definitiva de ´estos en el campo del an´alisis y la gesti´on del medio. De este modo, aproximadamente a mediados de la d´ecada de los ochenta, cuando la presencia de MDTs se hace notable y las capacidades y t´ecnicas disponibles para el manejo de ´estos han alcanzado una cierta evoluci´on, empiezan a surgir actualizaciones de los modelos cl´asicos al mismo tiempo que otros nuevos se desarrollan sobre bases conceptuales nuevas apoyadas fundamentalmente en las capacidades de tipo SIG que se encuentran ya disponibles. Anteriormente a este periodo, el uso de medios inform´aticos para el c´alculo de p´erdidas de suelo se basaba fundamentalmente en el aumento de detalle obtenido gracias a la capacidad de manejar extensas bases de datos que permit´ıan los ordenadores. As´ı, el modelo cl´asico de la Ecuaci´on Universal de P´erdidas de Suelo (USLE), da paso al modelo RUSLE, donde la formulaci´on de la expresi´on b´asica es la misma, pero cada factor se descompone hasta un nivel de detalle mayor, siendo complejo el manejo del gran n´ umero de par´ametros necesarios sin la ayuda de la aplicaci´on desarrollada a tal efecto y designada con el mismo nombre del modelo. La tendencia hacia la creaci´on de modelos de tipo f´ısico tambi´en es notable en este caso, comenz´andose el desarrollo de modelos de esta ´ındole que tratan de superar las limitaciones achacables a los previamente existentes, generalmente asociadas con las hip´otesis asumidas por los mismos. De estos planteamientos surgen modelos como el WEPP (Water Erosion Prediction Project), el EUROSEM (European Soil Erosion Model) o KINEROS2, rese˜ nables entre el gran n´ umero de otras formulaciones de menor entidad que surgen progresivamente. No obstante, la llegada de los SIG marca el camino hacia una nueva serie de prestaciones que a˜ nadir a los modelos para el estudio de la erosi´on. Dichos SIGs hacen posible que, en todos los modelos existentes, as´ı como en todos los que desde ese momento se desarrollen, los par´ametros relativos a la morfolog´ıa del relieve — presentes en todas las formulaciones — puedan estimarse de un modo distinto con un grado mucho mayor de precisi´on. Por otra parte, el estudio agregado de los fen´omenos erosivos se ve mejorado por la posibilidad de estudiar

´ 1.5. ANALISIS DEL TERRENO

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dichos fen´omenos de modo distribuido sobre una cuenca, aumentando la resoluci´on al igual que suced´ıa con otros modelos hidrol´ogicos enfocados al estudio de caudales y similares. Con lo anterior, las adaptaciones de modelos sobre Sistemas de Informaci´on Geogr´afica son abundantes — y recientes —, existiendo variedad de modelos sobre los SIGs m´as populares. A destacar en este sentido las realizadas sobre los modelos USLE y RUSLE — las cuales se analizar´an en detalle en el cap´ıtulo correspondiente —, as´ı como por ejemplo el modelo SWAT, del cual existen interfaces sobre los SIGs GRASS y ArcInfo , desarrolladas todas ellas ya en la d´ecada de los 90. La tendencia actual es la uni´on dentro de un mismo modelo — y, por tanto, de una misma aplicaci´on inform´atica —, de las capacidades de modelizaci´on de erosi´on, pero tambi´en las de estimaci´on de escorrent´ıas y caudales que son necesarias para los mismos, constituyendose verdaderos modelos hidrol´ogicos como tales, aunque siempre con un enfoque prioritario sobre el an´alisis de procesos erosivos. Modelos como los anteriormente citados EUROSEM o KINEROS2 son ejemplos de esta filosof´ıa. Para cerrar este apartado, no debe tampoco dejar de hacerse menci´on en este punto a la teledetecci´ on, que contribuye igualmente de manera notable a la obtenci´on de par´ametros tem´aticos y a posibilitar una actualizaci´on r´apida y constante de los mismos, incorporando as´ı importantes elementos dentro de la modelizaci´on de la erosi´on basada en aplicaciones de tipo SIG y en un tratamiento inform´atico de los datos disponibles.

1.5.

An´ alisis del terreno

Por su especial implicaci´on dada la tem´atica de esta obra, los aspectos hist´oricos referidos al an´alisis del terreno a partir de la figura fundamental del Modelo Digital del Terreno resulta conveniente tratarlos brevemente de modo aislado. Constituyendo un apartado particular dentro del an´alisis asociado a los SIG, la mayor potencialidad demostrada por los MDTs frente a otras representaciones cartog´aficas, as´ı como la mejor disposici´on para prestarse a un an´alisis computacional intenso, han hecho que en numerosas ocasiones las implementaciones a este respecto se hayan realizado de forma ajena a los grandes SIG como tales. Situando temporalmente el trabajo con MDTs, se puede afirmar que su an´alisis fuerte no tiene lugar hasta la d´ecada de los 80, pese a que ya existi´an con anterioridad aplicaciones como GRID que permit´ıan el trabajo con mallas de datos raster, principal formato en que este trabajo sobre los MDTs se va a desarrollar. El desarrollo pleno de las metodolog´ıas actuales tiene lugar enteramente ya en los a˜ nos 90, encontr´andose una buena parte de dichas metodolog´ıas relacionadas con el an´alisis hidrol´ogico y la extracci´on de par´ametros y elementos de inter´es en la modelizaci´on hidrol´ogica, pudiendo mencionarse a ´esta como una de las grandes beneficiarias del desarrollo de todas las t´ecnicas alrededor de los MDTs y su estudio detallado. Entre las aplicaciones aut´onomas donde se implementan las rutinas y algoritmos principales a este respecto cabe destacar los programas originales de Jenson — que, como veremos, son responsables de un cierto n´ umero de formulaciones de gran trascendencia —, as´ı como los programas TAPES–G (Terrain Analysis Programs for the Environmental Sciences) (Gallant y Wilson, 1996) o TOPAZ (TOpographic PArametriZation) (Garbrecht y Martz, 1997), tambi´en de muy importante relevancia. TARDEM, (Tarboton, 1997) representa igualmente un hito importante en la historia de an´alisis hidrol´ogico basado en MDTs. Esta aplicaci´on ha sido implementada sobre un SIG — en particular ArcGIS de ESRI — bajo el nombre de TAUDEM. Otras aplicaciones a destacar pueden ser RiverTools (Peckham, 1997), especialmente orientada a la extracci´on de par´ametros hidrol´ogicos, y SAGA (Conrad, 2002), con una impresio-

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CAP´ITULO 1. HISTORIA

nante bater´ıa de elementos para el an´alisis del terreno, y que por el gran inter´es que conlleva para este texto ser´a detallada en su manejo y fundamentos en otros apartados del mismo. La gran mayor´ıa de estos programas generan resultados que son necesarios para la utilizaci´on de modelos hidrol´ogicos, y constituyen asimismo el referente seguido por otra serie de modelos desarrollados con posterioridad y que incorporan en ellos mismos las capacidades de an´alisis del terreno necesarias para su propio funcionamiento. Por u ´ltimo, no debe olvidarse, junto a los anteriores, las soluciones implementadas en los meros Sistemas de Informaci´on Geogr´afica, en especial la gran serie de funcionalidades presentes en el SIG libre GRASS, as´ı como el m´odulo GRID de an´alisis raster presente desde sus primeras versiones en el software ArcInfo — y continuada en sus versiones actuales —, y que ha jugado un importante papel en el desarrollo de gran n´ umero de planteamientos en relaci´on con los MDTs

Cap´ıtulo 2

MDTs y an´ alisis del terreno If you torture the data enough, it will confess. Ronald Coase Errors using inadequate data are much less than those using no data at all. Charles Babbage

2.1.

Introducci´ on

Los avances en las t´ecnicas de recogida de informaci´on, conjugados con los nuevos formatos de almacenamiento de dicha informaci´on y la creciente potencia inform´atica disponible para su manejo, se han erigido en los u ´ltimos a˜ nos como los verdaderos impulsores de las t´ecnicas y planteamientos existentes en las disciplinas fundamentadas en el an´alisis del territorio y el medio f´ısico, entre ellas la hidrolog´ıa. El objetivo de este primer cap´ıtulo es introducir con el suficiente detalle las nuevas formas de cartograf´ıa y presentaci´on de la informaci´on espacial, obteniendo un conocimiento profundo de ´estas que nos permita abordar su an´alisis y realizar una explotaci´on rigurosa y eficaz de dicha informaci´on en toda su extensi´on. De entre las formas cartogr´aficas analizadas es preponderante, tanto por su importancia general como por el mayor empleo del que ser´a objeto posteriormente en las formulaciones hidrol´ogicas, el Modelo Digital del Terreno (MDT), equivalente directo en formato digital de la cartograf´ıa de elevaciones habitual mediante curvas de nivel. Otros formatos y otro tipo de informaciones son analizadas, no obstante, siendo empleadas en distintos puntos de este libro. Con ello, quedan recogidas aqu´ı todas las formas de almacenamiento de informaci´ on espacial cuyo an´alisis pueda derivar resultados de inter´es desde el punto de vista del estudio hidrol´ogico. En todos estos elementos cartogr´aficos, el an´alisis se restringe a las propiedades y caracter´ısticas cuya comprensi´on sea necesaria para posteriores operaciones, prescindiendo de una larga serie de conceptos (muy larga, a decir verdad, dado el desarrollo y la complejidad de estas entidades) de igual o mayor importancia, cuyas implicaciones suponemos resueltas y sin transcendencia alguna sobre el material aqu´ı tratado. El conocimiento de estas otras facetas, de ´ındole muy similar en ocasiones a las aqu´ı presentadas, es comentado muy sucintamente para enfocar al lector avanzado que, sin duda, complementar´a eficazmente los contenidos de este libro con otras lecturas de entre las propuestas como b´asicas para cada apartado. 17

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2.2.

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Modelos Digitales Del Terreno

La utilizaci´on de cartograf´ıa de elevaciones de corte cl´asico, con representaciones del terreno basadas en sistemas de representaci´on m´as o menos habituales (el m´as extendido, con diferencia, el sistema acotado habitual en los mapas de curvas de nivel), ha venido siendo la constante en el desarrollo habitual de actividades que requirieran de uno u otro modo una cierta representaci´on del terreno, bien como elemento primigenio para la realizaci´on de an´alisis diversos o como formato para la presentaci´on de los resultados de ´estos u otros an´alisis realizados sobre los distintos elementos del medio. El manejo de la informaci´on territorial y, en particular, de la informaci´on referente a elevaciones, se ha realizado mediante el uso de modelos anal´ogicos tales como los mapas y planos por todos conocidos, situaci´on que en los u ´ltimos tiempos, y en relaci´on con las t´ecnicas que ata˜ nen al desarrollo de la materia de este libro, ha variado sensiblemente con la introducci´on de modelos de naturaleza digital, y en particular los denominados Modelos Digitales del Terreno (MDT). Si la cartograf´ıa de curvas de nivel constitu´ıa la base para el estudio de los componentes de un entorno hidrol´ogico, ahora es el MDT quien, bajo los conceptos y formulaciones existentes hoy en d´ıa para la generalidad de la cartograf´ıa en soporte digital, se encargar´a de proporcionar la informaci´on altitudinal detallada que servir´a de base a la pr´actica totalidad de an´alisis posteriores. El registro de la realidad f´ısica de una zona mediante elementos gr´aficos (curvas de nivel) llevado a cabo en los medios cartogr´aficos cl´asicos, se sustituye ahora en los MDTs por un almacenamiento de la informaci´on de tipo puramente num´erico mediante el cual es posible, adem´as de la l´ogica restituci´on de las representaciones cl´asicas cuya vigencia actual no debe cuestionarse, el desarrollo de un an´alisis m´as detallado y profundo del relieve y sus consecuencias en cada ´ambito de estudio (el hidrol´ ogico en el caso de esta obra). Este almacenamiento en calidad num´erica es el que permitir´a la automatizaci´on de las tareas de an´alisis, junto con la incorporaci´on de dicha informaci´on dentro de los algoritmos num´ericos dise˜ nados para la caracterizaci´on de la misma, y cuyo desarrollo y fundamentos constituyen el grueso del presente cap´ıtulo. Es esta cualidad de mayor potencialidad como generadora de futura informaci´on la que hace que los Modelos Digitales del Terreno, entendidos ´estos como la alternativa cartogr´afica a los mapas utilizados cl´asicamente en hidrolog´ıa, deban ser analizados en este libro con un rigor y profundidad por encima de otros conceptos mas expl´ıcitamente situados dentro de la pura hidrolog´ıa, y con un desarrollo mucho mayor que el que sus antecedentes hubieran merecido en textos sobre la misma materia pero sin el enfoque computacional otorgado al presente. Explicada, pues, la importancia de este tema en el conjunto de la obra, comencemos con una definici´on cl´asica habitual en textos sobre el mismo para fundamentar la exposici´on posterior. En la definici´on de Burrough (1998), un MDT es ((una representaci´on matricial regular de la variaci´on continua del relieve en el espacio)) Bajo esta definici´on, acertada y precisa, se presentan, no obstante, y sin m´as informaci´on accesoria, una serie de indefiniciones que ahora trataremos con detalle, presentando las alternativas posibles que en la actualidad vienen emple´andose al respecto, para posteriormente sobre ellas acotar nuestro ´ambito de actuaci´on y proceder a la introducci´on pormenorizada de algoritmos y formulaciones relacionadas.

2.2.1.

Tipos de Modelos Digitales del Terreno

La validez del aserto de Burrough deja, en primer lugar, aisladas una serie de posibilidades que actualmente, si bien con menor frecuencia, se presentan para solucionar el almacenamiento de datos espaciales de elevaciones y su posterior procesado. La naturaleza matricial del

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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modelo que Burrough describe es solo una — aunque la m´as habitual — de llevar a cabo lo anterior, definiendo cada caso y cada estudio una forma particular de solucionar el problema. Para el caso del an´alisis hidrol´ogico ´esta es, sin duda, la que mayores ventajas ofrece, unidas estrechamente con una mayor facilidad para la comprensi´on de los fundamentos matem´aticos y la implementaci´on de ´estos mediante algoritmos correspondientes, lo cual, sin embargo, no es ´obice para evitar la exposici´on de algunas de esas otras soluciones con las cuales el an´ alisis en t´erminos hidrol´ogicos puede igualmente llevarse a cabo. Adem´as de lo anterior, y pese a que el MDT es el documento cartogr´afico por excelencia para el an´alisis que se pretende abordar en esta obra, existen otra serie de mapas con los que tambi´en se trabajar´a en formato digital y cuyas caracter´ısticas no dan lugar a una tan clara preferencia por uno u otro formato. Por ello, y tomando distancia para estudiar no s´olo los MDTs — que ya se analizar´an con profusi´on en sucesivos apartados — sino el conjunto global de documentos cartogr´aficos de inter´es para nuestro cometido actual, se tratar´an de explicar seguidamente las diversas alternativas en cuanto al almacenamiento de estos mapas en un formato digital adecuado. Debe entenderse ahora, pues, un MDT m´as all´a del significado f´ısico del mismo, su procedencia o sus cualidades inherentes desde el punto de vista tangible del modelo que constituye, y pensar en ´el como una mera forma de almacenamiento de los datos recogidos en campo de uno u otro modo, y que contienen de por s´ı la informaci´on geomorfol´ogica del relieve objeto de an´alisis posterior. As´ı, pueden desde esta perspectiva definirse los siguientes enfoques o concepciones de los datos seg´ un su modo de almacenamiento, los cuales, como se dijo, no s´ olo son aplicables para el caso de recoger elevaciones — ´este es el caso del MDT —, sino cualquier otra variable espacial que pueda dar lugar a la elaboraci´on de alg´ un tipo de cartograf´ıa. Enfoque Vectorial . El enfoque vectorial se basa en el almacenamiento de los datos mediante entidades independientes, cada una de las cuales posee unas caracter´ısticas propias que lo definen, y siendo su conjunto el que conforma la estructura espacial de las propiedades asociadas en el ´area tratada. Las entidades consideradas son por norma general de tipo geom´etrico, en particular puntos, rectas y pol´ıgonos en el caso bidimensional habitual. La estructura vectorial permite una gran flexibilidad en el manejo de la informaci´on, en cuanto que ´esta puede tener distintas formas y caracter´ısticas con menores limitaciones que en el caso raster que se ver´a a continuaci´on, lo que la hace ideal para almacenar informaci´on tem´atica, como la empleada frecuentemente en aplicaciones SIG para, por ejemplo, estudios de planificaci´on ambiental o similares, por nombrar una disciplina quiz´as mas cercana al lector. La informaci´on almacenada en formato vectorial tal como la anterior, generalmente es m´as econ´omica en t´erminos de almacenamiento, aunque desde el punto de vista de su procesado no ofrece las ventajas y potencia del formato raster para el caso que se contempla en estas p´aginas. Enfoque Raster . La filosof´ıa de almacenamiento raster guarda la informaci´on de modo regular en unidades predefinidas. En este caso la superficie queda dividida en elementos regulares a cada uno de los cuales se le asocia un valor correspondiente a la variable estudiada en dicho elemento. En el caso mas frecuente, ´estos suelen ser generalmente celdas de tipo cuadrado, lo que permite asimilar la estructura de tesela con elementos cuadrados a una matriz ordinaria sobre la cual efectuar los c´alculos pertinentes. Este hecho da lugar a un an´alisis m´as sencillo y potente de las variaciones de las propiedades en el espacio, a la

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO par que m´as intuitivo y simple. La notaci´on de los procesos queda tambi´en simplificada en gran medida para este caso. El inconveniente principal del modelo raster reside en la discretizaci´on del espacio a la que da lugar, responsable directa de una perdida de precisi´on que se antoja la desventaja m´as notable del mismo, y la cual debe ser asumida desde un primer momento a la hora de trabajar bajo este modelo de almacenamiento, siendo conscientes de dicha circunstancia. La ventaja principal — am´en de la ya citada simplicidad en la gran mayor´ıa de los casos —, la encontramos especialmente en el manejo eficiente y adecuado de informaci´on de tipo continuo, tal y como es el caso de las elevaciones recogidas en el MDT, al permitir las operaciones sobre dicha informaci´on de una manera mas acorde con la propia naturaleza de la misma. Dentro de este enfoque, la disposici´on de la unidades que conforman el terreno representado, tanto en su forma como en su organizaci´on o distribuci´on sobre el espacio que representan, da lugar a diversos planteamientos presentes en desigual proporci´on a la hora de su aplicaci´on real en unas u otras disciplinas. As´ı, conjuntamente con la mencionada estructura de malla de celdas cuadradas, otras configuraciones posibles pasan por el empleo de celdas hexagonales formando paneles de tipo abeja — reconocido en ocasiones como estructura mas ´optima y con menor error de cara al c´alculo realizado sobre la misma, aunque de uso poco extendido por perder gran parte de la simplicidad que caracteriza a la estructura de celdas cuadradas —, o estructuras con densidades de mallado variables seg´ un las distintas ´areas del terreno que se consideren.

Las dos tendencias anteriores definen en l´ıneas generales unos conceptos y unas filosof´ıas de almacenamiento sobre las cuales a´ un pueden darse variaciones de cierta entidad como brevemente se apunt´o en el u ´ltimo caso. Habi´endose expresado sin detalle la mejor disposici´on para nuestro trabajo de las mallas raster frente a las estructuras de tipo vectorial — se profundizar´a en este aspecto en breve —, podemos ahora analizar con algo m´as de detalle las principales formas que se derivan de los paradigmas anteriores, concluyendo as´ı la descripci´on de ´estos y emplaz´andonos en situaci´on adecuada para adentrarnos seguidamente en su an´alisis pormenorizado. Representaci´ on vectorial mediante contornos Acostumbrada como estar´a cualquier persona cuyo trabajo implique un estudio del medio a trav´es de cartograf´ıa a trabajar con mapas cl´asicos de curvas de nivel, la representaci´on mediante ellas de la topograf´ıa de un terreno sigue y seguir´a siendo una fuente importante de informaci´on. Muchas son, sin duda, las ventajas de esta forma de representaci´on adem´as de su familiaridad de manejo, ventajas que, sin embargo, se materializan en mayor medida para un uso directo por parte de la persona, y plantean dificultades e inconvenientes de notable calibre a la hora de ser incorporadas como datos base dentro de formulaciones algor´ıtmicas como las que deben tratarse en este libro. Desde el punto de vista de su almacenamiento, resulta claro que un mapa de elevaciones mediante curvas de nivel constituye una representaci´on de tipo vectorial, compuesta por un conjunto de l´ıneas a las cuales se asocia un valor altitudinal concreto. Se asocian al mismo, por tanto, las dificultades de manejo anteriormente aducidas, as´ı como una limitada potencialidad para generar nueva informaci´on en base a operaciones algoritmicas m´as o menos sencillas Sin olvidar su importancia ni ignorar el hecho de que en la actualidad existe una gran parte de cartograf´ıa del terreno en este formato — aunque, todo sea dicho, no pensada para un uso intenso desde el punto de vista del an´alisis hidrol´ogico —, debemos afirmar que no es ´este el formato m´as apto para la llevar a cabo nuestra tarea, por razones tales como la

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discontinuidad en la informaci´on almacenada o la dificultad o imposibilidad de aprovechar ´esta para un estudio directo de otros par´ametros que resultan del c´alculo sencillo mediante la utilizaci´on de distintos formatos. La obtenci´on de Modelos Digitales del Terreno en otros formatos a partir de curvas de nivel es, en mi experiencia, una manera bastante extendida de obtener una base sobre la que, pretendidamente, disponer de un mejor material para llevar a cabo an´alisis de tipo hidrol´ ogico u otros. Este hecho, derivado de la facilidad de obtenci´on de cartograf´ıa basada en representaci´on de curvas de nivel , supone en muchos casos un error notable ya que, si bien se puede llegar a estructuras que permiten un an´ alisis mas completo y se adaptan mejor a las exigencias de las formulaciones empleadas en dicho an´alisis, dan lugar a cartograf´ıa de calidad insuficiente, desvirtuando la informaci´on de partida al suponer que en base a ella pueden obtenerse mejoras sensibles en cuanto a cantidad y calidad de los datos representados. En otras palabras, la conversi´on de mapas de curvas de nivel en estructuras ´optimas para su an´alisis computacional — tales como las mallas raster que en breve se tratar´an — representa una tarea en absoluto sencilla y de la que el usuario habitual debe prescindir salvando la tentaci´on de llevar a cabo este trabajo mediante, por ejemplo, la aplicaci´on de alg´ un que otro algoritmo de interpolaci´on en un Sistema de Informacion Geogr´afica de los habituales, en ar´ as de la precisi´on y bondad de los resultados. La recomendaci´on sint´etica no es otra que la de procurarse los datos — siempre que ello resulte viable, obviamente – en el formato adecuado, y nunca olvidando que en la transformaci´on, de tener ´esta lugar, siempre se pierde informaci´ on aunque pueda en ocasiones parecer lo contrario. Representaci´ on vectorial mediante redes de tri´ angulos irregulares (TIN) La representaci´on vectorial mediante redes de tri´angulos irregulares (Triangulated Irregular Network en ingles, TIN abreviadamente) (Peucker, 1978), representa una alternativa moderna y notablemente eficiente para el almacenamiento de datos de elevaciones. B´asicamente, el terreno se caracteriza mediante la definici´on de una serie de puntos de inter´es o representativos del mismo, los cuales se conectan formando una red de tri´angulos con mayor densidad en las zonas abruptas (donde son necesarios m´as puntos representativos para su caracterizaci´ on) y menor en las zonas llanas. El terreno queda as´ı dividido en tri´angulos los cuales definen planos con unas caracter´ısticas propias de pendiente y orientaci´on espacial que caracterizan el relieve dentro de dicho tri´angulo, y en base a los cuales, y en relaci´on con los tri´angulos adyacentes, pueden derivarse sucesivos par´ametros.

Figura 2.1: Representaci´on del relieve mediante redes de tri´angulos irregulares (TIN) (Adaptado de Mitasova).

Para el lector interesado en el aspecto computacional, rico y abundante, de esta construcci´on, comentar que la elaboraci´on de la red de tri´angulos se realiza dando lugar a una estructura conocida como triangulaci´ on de Delaunay en la que se cumplen una serie de propiedades que garantizan el buen comportamiento desde el punto de vista matem´atico para

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

posteriores an´alisis. Sin abundar, por innecesario, en este concepto, apuntar tan s´olo la relevancia de estas estructuras dentro de la geometr´ıa computacional y la gran aplicabilidad en campos de estudio muy diversos donde representan elementos b´asicos de utilizaci´on habitual. Volviendo al caso que nos ocupa, esto es, la hidrolog´ıa, los TIN , mejorando las prestaciones ofrecidas por las representaciones basadas en isol´ıneas, se demuestran insuficientes para un an´alisis preciso, principalmente por el costo en t´erminos computacionales y de almacenamiento que supondr´ıa el trabajo bajo unas condiciones de precisi´on similares a las ofrecidas, por ejemplo, por una representaci´on de tipo raster. La principal ventaja de la representaci´on mediante tri´angulos irregulares, es decir, la capacidad de caracterizar el espacio con u ´nicamente una fracci´on de sus puntos, extrayendo aquellos mas caracter´ısticos y reduciendo la complejidad fisiogr´afica a elementos sencillos, se pierde cuando el n´ umero de tales puntos aumenta dr´asticamente para cumplir las exigencias m´ınimas deseables de cara al an´alisis hidrol´ogico. Es as´ı que, pese a la bondad de este m´etodo desde muchos puntos de vista, no lo emplearemos en este texto por considerar que, en su forma com´ un y con unas caracter´ısticas de detalle habituales, representa una alternativa mejorable en cuanto a precisi´on de los resultados finales obtenidos a partir de su estudio. Lo anterior no quiere decir, sin embargo, que disponi´endose de una representaci´on del terreno mediante un TIN , ´este presente dificultades notables o impedimentos para su an´alisis tales como las que fueron objetadas en el caso de trabajar con curvas de nivel. Si bien las formulaciones y algoritmos superan en la pr´actica totalidad de operaciones la complejidad de los mismos sobre mallas raster — ya se ha dicho que la sencillez es la gran virtud de ´estas —, un TIN, siempre teniendo presentes las limitaciones de precisi´on aducidas con anterioridad, representa una alternativa adecuada para el an´alisis hidrol´ogico, aunque por motivos de espacio y homogeneidad de contenidos no queden reflejadas las formulaciones correspondientes en este texto. Aunque no tan extensa como en el caso raster, existe una cierta bibliografia acerca del tratamiento de redes de triangulos para an´alisis hidrol´ogico, algunas de cuyas referencias he optado por incluir al final de este libro pese a no ser mencionadas explicitamente en el mismo, pues pueden resultar de inter´es para el lector. Los resultados en este sentido, no obstante, son de car´acter mayoritariamente experimental, no siendo nada frecuente el encontrar implementaciones de an´alisis hidrol´ogico basadas en TINs en software comercial habitual. Por u ´ltimo, y al igual que se se˜ nal´o en el caso de las representaci´on mediante curvas de nivel y su conversi´ on en otros formatos, la relativa facilidad con la que dichas otras modalidades de representaci´on pueden derivarse a partir de un TIN no debe dar lugar a equ´ıvocos y debe quedar claro que tal conversi´on, aun creando un escenario mas propicio, no mejora la calidad de los datos y por tanto dif´ıcilmente lo har´a con la de los resultados obtenibles. Mi insistencia a este respecto — y que espero el lector sepa disculpar — viene motivada por mi propia experiencia en este campo, donde con demasiada frecuencia tienen lugar este tipo de hechos que pueden restar valor a un estudio hidrol´ogico bien realizado por un error grave pero subsanable de los conceptos de base. Representacion raster mediante celdas de resoluci´ on variable Dejando ya las representaciones basadas en el paradigma vectorial de almacenamiento de datos espaciales, entramos en el concepto radicalmente distinto del almacenamiento mediante modelos de tipo raster, el cual en breve nos llevar´a al tipo de representaci´on que nos acompa˜ nar´a a lo largo de todo el resto del libro como base para la casi totalidad del trabajo sucesivo. Aunque surgen al amparo de las mallas de resoluci´on constante, de las que representan una adaptaci´on y una cierta evoluci´on, analizaremos en primer lugar aquellas de resoluci´on

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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variable, sobre las que tan s´olo nos detendremos brevemente pues sus caracter´ısticas, a´ un suponiendo una mejora en cuanto a optimizaci´on de tiempo y recursos, no han dado lugar hasta la fecha a apenas formulaciones de an´alisis dentro de la hidrolog´ıa — s´ı en otros campos —, por lo que no ser´an consideradas como elementos u ´tiles de cara a nuestros objetivos.

Figura 2.2: Esquema de una malla irregular de datos. El concepto fundamental de este modelo de almacenamiento consiste, no en una divisi´ on regular del espacio en unidades elementales de id´enticas caracter´ısticas, sino en una descomposici´on jer´arquica del terreno que da lugar a un divisi´on en zonas de resoluci´on variable. El almacenamiento de una estructura como la anterior, lejos de poder llevarse a cabo mediante una simple matriz — el caso m´as sencillo de malla de celdas cuadradas — o un conjunto de valores dispuestos seg´ un un determinado patr´on regular, debe darse haciendo uso de m´ as complejas estructuras de datos tales como arboles jer´arquicos de caracter din´amico, que elevan notablemente la complejidad de cara a un an´alisis de la informaci´on en ellos contenida. La figura (2.2) muestra un esquema del aspecto de las unidades irregulares en una malla como la anterior. Las ventajas del empleo de mallas con resoluci´on variable, no suponiendo un factor en absoluto cr´ıtico para el estudio que pretendemos, no resultan adecuadas para el mismo al no compensarse el modo alguno el esfuerzo adicional necesario para tratar con la complejidad que ata˜ nen desde el punto de vista de su manejo y procesado. Representacion Raster mediante celdas de resoluci´ on constante Y llegamos por u ´ltimo al formato de almacenamiento que, como se viene anunciando desde algunas l´ıneas atr´as, va a establecerse como elemento b´asico de trabajo de aqu´ı en adelante, y sobre el que, de un modo u otro, va a versar directamente el contenido restante de este cap´ıtulo. Aunque se tratar´an en profundidad todos los aspectos relacionados con los MDTs representados como mallas de celdas regulares, la definici´on sint´etica de los mismos se realiza en este punto de la forma m´as breve posible, siendo, no obstante, suficiente para aportar una idea completa de ´estos. La sencillez conceptual de esta forma de representaci´on aflora una vez m´as haciendo patente la raz´on principal que ha llevado a la misma a su posici´on privilegiada como formato de almacenamiento y fuente de informaci´on en lo que a relieve y topograf´ıa del terreno se refiere. Una malla de celdas regulares no es sino una divisi´on de una zona en unidades de forma regular, de tal forma que el conjunto de ´estas dispuestas de modo ordenado cubra la totalidad de la zona, quedando reflejadas las caracter´ısticas de la misma en los valores asociados a cada una de dichas unidades. De entre las unidades que pueden tomarse, resulta un´anime el empleo de celdas de forma cuadrada, dando lugar a una malla lo m´as regular posible que tambi´en hace m´aximas otras cualidades tales como sencillez y facilidad de an´alisis y que permite un

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

empleo ´optimo de la misma para el estudio hidrol´ogico del terreno representado.

Figura 2.3: Representaci´on num´erica y en escala de grises de una porci´on de un Modelo Digital del Terreno

Aunque en este libro no se tratar´a el empleo de im´agenes a´ereas o fotograf´ıas de sat´elite para el an´alisis hidrol´ogico, resulta interesante comentar que el formato en que estas im´agenes se almacenan para uso mediante medios inform´aticos no es sino una malla raster en la que cada celda, en lugar de contener valores de altura u otro par´ametro f´ısico, contiene informaci´on sobre la tonalidad e intensidad de color de la misma. La coincidencia en estos formatos har´a mucho mas sencillo el uso conjunto de ambas fuentes de datos, siendo ´esta una de las principales razones de la fuerte presencia de representaciones raster en el uso y manejo habitual de datos geogr´aficos. Pese a ello, ya se ha dicho que el empleo de im´agenes de cualquier tipo no quedar´a contemplado en este texto como materia a tratar, manteni´endose, no obstante, el mayor inter´es de las mallas raster para nuestro trabajo, justificado plenamente por la naturaleza del estudio que en base a ellas pretendemos desarrollar en estas p´aginas. A falta de mejores palabras o mayores descripciones que no entren ya en el terreno de lo redundante, una imagen del aspecto de una de malla regular de elevaciones, complementada con una representaci´on mediante escala de grises de la misma, se muestra en la figura (2.3), poniendo punto final a este apartado y encamin´andonos ya hacia verdadero an´alisis del terreno, una vez que la forma ´optima de representar ´este ya fue con exactitud definida.

2.2.2.

Mallas raster de datos continuos y discretos

La buena disposici´on del almacenamiento mediante mallas raster para contener informaci´on espacial relativa a variables contin´ uas, supone uno de los hechos mas notables acerca de las mismas y, como se ha visto, una de las circunstancias que m´as importante papel han jugado en la elecci´on de este tipo de estructuras para contener los datos b´asicos de elevaciones a partir de los cuales vamos a estructurar nuestro trabajo desde este punto. Estas elevaciones, siendo una variable continua, se prestan perfectamente a representarse haciendo uso de una malla raster, al igual que muchos otros par´ametros con los que se va a trabajar a lo largo del libro con mayor o menor profundidad. No obstante, otros tantos de estos par´ametros no son en absoluto de naturaleza continua, si bien su importancia para el an´alisis hidrol´ogico es a menudo elevada, debiendo emplearse de tal manera que los formatos de todos los datos que entran a concurso en el an´alisis a desarrollar sea adecuados y compatibles con un uso conjunto de la totalidad de datos antedichos. El objetivo de este breve apartado no es otro que recalcar esta circunstancia, aprovechando la ocasi´on para comentar algo m´as acerca del almacenamiento de esos datos no continuos y las similitudes y diferencias que se presentan en comparaci´on con el registro de datos continuos. Dentro de los datos de naturaleza no continua podemos establecer una divisi´on de acuerdo con que la informaci´on en s´ı se encuentre directamente en los valores recogidos en la malla

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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raster o bien estos sean simplemente una codificaci´on que permita la conexi´on con una base de datos donde se encuentre dicha informaci´on almacenada. Una malla raster que recoja valores del par´ametro C de la Ecuaci´on Universal de P´erdidas de Suelo (USLE) es un ejemplo del primer caso, mientras que una malla donde se almacene informaci´on acerca de los usos de suelo (de la cual podr´ıa derivarse la anterior) se encontrar´ıa en el segundo caso. En la medida de lo posible, la utilizaci´on de este u ´ltimo tipo de mallas de datos se va a evitar a lo largo del texto, en cuanto que resulta m´as adecuado trabajar sobre elementos que conformen una informaci´on completa de modo aut´onomo, no debiendo entrar en explicaciones accesorias acerca del manejo de otras formas derivadas. Una vez comprendida la naturaleza y los fundamentos b´asicos de las mallas raster para almacenamiento de datos espaciales, independientemente de la informaci´on que contengan, se trata de poder aplicar directamente ese conocimiento para todas las operaciones relacionadas con la hidrolog´ıa que van a ser llevadas a cabo a lo largo de estas p´aginas. La utilizaci´on de un enfoque raster para datos no continuos no resulta tan conveniente como en el caso de datos continuos, siendo superada en muchos sentidos por un almacenamiento de tipo vectorial, alternativa que se presenta con mas frecuencia en el uso habitual de este tipo de informaci´on en pr´acticamente cualquier campo. No obstante, por las cuestiones de coherencia y simplicidad mencionadas anteriormente, se ha considerado oportuno adoptar un u ´nico paradigma de estructura de datos para todos los diversos tipos de informaci´ on a utilizar, decisi´on que se ha decantado a favor del tipo raster bas´andose principalmente en la preponderancia de los datos de elevaci´on, continuos ellos, en el entorno tratado. A buen seguro el lector, con lo aqu´ı recogido y con alguna informaci´on de f´acil obtenci´on acerca de modelos vectoriales y de la relaci´on raster–vectorial, podr´a aprovechar ´optimamente ambas filosof´ıas en una aplicaci´on pr´actica de lo que en estas p´aginas queda desarrollado.

2.2.3.

Valores B´ asicos que configuran el MDT

Analizadas ya las distintas formas bajo las cuales puede presentarse el Modelo Digital del Terreno y escogida la m´as adecuada, pasamos ahora a definir con algo m´as de precisi´on las diversas peculiaridades t´ecnicas de aquella que nos servir´a de base de aqu´ı en adelante, es decir, del Modelo Digital del Terreno registrado como una matriz de celdas cuadradas. Cinco son los elementos principales que resultan necesarios para una definici´on completa de la entidad anterior, a saber: Una referenciaci´on espacial de las celdas de acuerdo con alg´ un sistema habitual de coordenadas. Una definici´on de la orientaci´on de la zona estudiada, de cara a conocer la variaci´ on de dichas coordenadas a lo largo de las diversas celdas de la malla. Una dimensi´on dada de las celdas. Una matriz con los valores de altitud correspondientes a las celdas. Un valor arbitrario para las celdas cuya informaci´on se desconoce. El estudio de cada uno de ´estos por separado y la integraci´on y concepci´on conjunta de los mismos nos dar´a los caracteres definitivos del MDT necesarios para su empleo, y arrojar´ a sin duda una cierta luz sobre la naturaleza de los mismos que facilitar´a la comprensi´on de futuros elementos y formulaciones.

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Referenciaci´ on espacial La localizaci´on en el espacio de cada valor dispuesto sobre el MDT y almacenado como parte de ´este resulta, de modo obvio, una necesidad para el estudio de la variaci´on y el comportamiento de la variable que dicho valor representa. De otro modo, los atributos geogr´aficos de las entidades que recogen los anteriores valores son un elemento imprescindible para dotar de sentido y utilidad al Modelo Digital del Terreno configurado. En el enfoque vectorial, donde se ve´ıa la independencia de las entidades, la adjudicaci´on de unos atributos espaciales que permitan la localizaci´on de cada una de ellas es necesaria para todas y cada una de las mismas, al no existir ning´ un tipo de coherencia espacial que permita la deducci´on de unas a partir de otras. La estructura regular y perfectamente estructurada de una malla raster hace innecesaria la definici´on con car´acter individual de dichas propiedades espaciales, en cuanto que el conocer una en particular ya nos faculta, en virtud de la antedicha regularidad, para extraer la de cualquier otra celda que deseemos. As´ı pues, una informaci´on de primera necesidad reside en la definici´on de la localizaci´on de una celda cualquiera, estableci´endose ´esta como referente en t´erminos geogr´aficos para el resto de la malla y permiti´endonos el emplazamiento completo de la zona representada por nuestro MDT Orientaci´ on de la malla Aunque resulta raro encontrar, por una mera raz´on de simplicidad, Modelos Digitales del Terreno cuya orientaci´on sea distinta de la Norte–Sur — esto es, que el eje vertical del MDT representa el eje Norte–Sur —, es conveniente resaltar aqu´ı esta circunstancia con el fin de establecer por completo la totalidad de informaci´on necesaria para la correcta definici´on del MDT. Aunque con frecuencia se obvia este hecho y se da por supuesta la orientaci´on Norte– Sur de la malla, resulta ´este un par´ametro de igual importancia que los restantes, el cual, en conjunci´on con la referenciaci´on espacial ya comentada, nos permite comenzar a extender dicha referenciaci´on al resto de celdas de la malla seg´ un se apunt´o con anterioridad. Sup´ongase que se trabaja con coordenadas UTM, la orientaci´on es la habitual ya mencionada y se conocen las coordenadas X e Y de una celda. Por sencillez, sea esta celda la situada en la parte superior izquierda de la malla y denominemos a y b a dichas coordenadas respectivamente. Si representamos nuestra malla de datos como una matriz, quedando representada cada celda por un elemento de dicha matriz, y situamos en cada celda el par de valores que representan la situaci´on de la misma, se tiene algo como lo siguiente.   (a, b) ? . . .  ? ? ...    .. .. . . . . . Definamos una funci´on fU T M (x, y) que nos indica la coordenada de una celda determinada, en base a la celda original de la cual se conoce su localizaci´on exacta. x e y son respectivamente la columna y la fila en que se encuentra la celda en cuesti´on dentro de la malla. Dicha funci´on tendr´a una expresi´on como la siguiente: fU T M (x, y) = (a + x · g, b − y · g)

(2.1)

Como puede apreciarse, se hace uso de una variable g necesaria para establecer la relaci´on entre la distancia medida en celdas y la existente en las unidades en que se trabaje con las coordenadas UTM (habitualmente metros). Este par´ametro, que no es otro que la resoluci´on o dimensi´on de las celdas, y que se abordar´a en el siguiente punto, completa los necesarios para una correcta referenciaci´on espacial del MDT como fuente de informaci´on.

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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Para cualquier lector con conocimientos b´asicos de ´algebra resulta obvio que lo anterior puede escribirse ventajosamente de modo matricial seg´ un lo siguiente 

xU T M yU T M



 =

x y



g 0 0 −g



 +

a b

 (2.2)

perspectiva que complementa el desarrollo previo y facilita la comprensi´on del sencillo proceso que tienen lugar en este punto y que es de imprescindible comprensi´on para la asimilaci´ on de los conceptos b´asicos relativos al manejo de MDTs a este nivel. Resoluci´ on o tama˜ no de celda Habiendo ya hecho un uso anticipado de este par´ametro, debiera restar poco que decir acerca del mismo, como as´ı sucede, siendo consciente el lector a estas alturas del papel que juega y lo que representa en el conjunto del MDT. No obstante, algunas puntualizaciones pueden ser hechas pues es ´este, y no otro, el elemento que define la precisi´on y la capacidad intr´ınseca del MDT y su estructura para dar lugar a resultados con uno u otro margen de exactitud. Como puede deducirse de la expresi´on del punto anterior, el par´ametro g es empleado indistintamente tanto como dimensi´on en la direcci´on N–S como en la O–E, en una indicaci´ on m´as de que el tipo de celdas usadas es el cuadrado, siendo por tanto las dimensiones de dichas celdas iguales en ambos ejes. El trabajo con celdas rectangulares es posible mediante la definici´ on de dos resoluciones, aunque por no utilizarse en el presente contexto no es procedente detallar mas informaci´on al respecto. Desde un punto de vista cuantitativo, y sin entrar a detallar formulaciones relativas al an´alisis de errores o similares, sino apoy´andonos en la experiencia y el uso cotidiano con una eminente finalidad pr´actica, debemos considerar de modo adecuado la magnitud m´as ´optima de este par´ametro para los MDTs que pretendemos emplear como elemento base en nuestro estudio hidrol´ogico. As´ı, atendiendo a los objetivos planteados en este libro y teniendo en mente la aplicaci´on correcta y siempre realista de las formulaciones que ser´an desarrolladas, los tama˜ nos de celda recomendables para el an´alisis hidrol´ogico y que la simple experiencia se˜ nala como m´as adecuados desde el punto de vista de la precisi´on y al mismo tiempo la operabilidad de los datos, se sit´ uan en el entorno de los 10–50 metros, pudiendo este valor aumentarse seg´ un las circunstancias en caso de trabajar con cuencas de gran tama˜ no y MDTs de amplia extensi´on. Es posible tambi´en el trabajo con resoluciones menores hasta un nivel incluso subm´etrico, aunque el empleo de ´estas suele venir restringido a estudios de car´acter muy local y modelizaciones puntuales, como por ejemplo las que encontraremos en el cap´ıtulo dedicado al estudio de los fen´omenos erosivos en laderas. Siendo, como es, el objeto de este libro el trabajo con cuencas y unidades hidrol´ogicas de similar entidad, se entiende que las formulaciones presentadas a lo largo del texto sean adecuadas para su aplicaci´on sobre MDTs con la citada resoluci´on alrededor torno a los 10 o 50 metros con car´acter general, salvo excepciones que en su momento ser´an convenientemente indicadas. Con lo anterior, la localizaci´on del MDT y el empleo sobre una correcta base geogr´afica de sus restantes componentes, que en breve ser´an desarrolladas, quedan ambas resueltas mediante la definici´on de las variables ya explicadas exclusivamente, y ser´a sobre ellas mismas seg´ un los casos generales descritos anteriormente — es decir, trabajando con coordenadas UTM y utilizando como unidad de medida el metro — como se supondr´a que se encuentra dispuesto el MDT en el que basaremos el trabajo subsecuente. Merece hacerse menci´on en este punto, y antes de continuar con los restantes elementos que configuran el conjunto del MDT y lo habilitan como herramienta de trabajo en el en-

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

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torno actual, a la relaci´on existente entre los elementos de georreferenciaci´on que acaban de describirse y las formas m´as habituales en que esta misma labor se realiza en el caso de las im´agenes a´ereas, fuente de informaci´on cartogr´afica en formato digital que guarda amplia similitud con nuestros MDTs como ya se dijo en la justificaci´on del uso de ´estos. Este paralelismo ayudar´a sin duda a una mejor comprensi´on del apartado, a la vez que introducir´a algunos conceptos b´asicos pero de suma relevancia relativos a un elemento tan importante dentro del tratamiento actual de la informaci´on espacial como son las im´agenes a´ereas y similares. Para una de estas im´agenes ´aereas, una metodolog´ıa habitual de establecer su georreferenciaci´on consiste en el almacenamiento de los par´ametros anteriores en un fichero asociado, generalmente con el mismo nombre y tomando como extensi´on la primera y ultima letra de la extensi´on del fichero de imagen, a˜ nadiendo a estas una uve doble (por ejemplo, el fichero asociado a una imagen en formato .tif quedaria como .tfw. Se tiene as´ı lo que se conoce como un World File, y que es el fichero encargado de guardar la informaci´on mediante la cual es posible conocer la situaci´on exacta de la imagen a la que hace referencia. La estructura de uno de ´estos ficheros posibles se recoge bajo estas l´ıneas. 1.0 0.0 0.0 -1.0 691200.0 4576000.0 La explicaci´on del significado de las anteriores l´ıneas es el siguiente. L´ınea 1. Tama˜ no de celda en la direcci´on Este–Oeste ´ L´ıneas 2 y 3. Angulos de rotaci´on del plano respecto a los ejes x e y. Estos valores son siempre iguales a cero. L´ınea 5. Tama˜ no de celda en la direcci´on Norte–Sur, con signo negativo L´ıneas 6 y 7. Coordenadas UTM X y UTM Y del punto superior izquierdo de la imagen. Los anteriores valores son empleados para realizar un transformaci´on af´ın de la forma        xU T M x g τx a = + yU T M y τy g b

(2.3)

donde la notaci´on es similar a la de 2.2, apareciendo los t´erminos τx y τy , que representan las rotaciones respecto a los ejes x e y. No obstante, por ser estos valores iguales a cero, la anterior expresi´on se asimila de inmediato a (2.2). La similitud mencionada, por tanto, entre la georreferenciaci´on habitual en el caso de im´agenes con la que se viene aqu´ı presentando para el caso de MDTs, es patente de modo notable, y mediante lo anterior quedar´a claro por completo el significado de cada uno de los t´erminos que venimos manejando a este respecto. No es mi intenci´on en este libro el entrar en aspectos puramente inform´aticos, y mucho menos el trabajar con determinados formatos de fichero siempre susceptibles de mejora o de caer en desuso por motivos ajenos a su propia bondad. He cre´ıdo sin embargo interesante realizar el anterior apunte, as´ı como, para concluir este punto, incluir un peque˜ no ejemplo de fichero raster almacenado mediante texto ASCII, para as´ı arrojar algo m´as de luz sobre esta materia. El siguiente fragmento representa la cabecera de georreferenciacion de un fichero MDT almacenado seg´ un el formato ASCII GRID propuesto por ESRI , elegido ´este simplemente por

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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su facilidad de comprensi´on y su empleo relativamente habitual, pero sin entrar en significados adicionales acerca del mismo que escapan a los objetivos de este libro. Consid´erelo el lector tan s´olo como una licencia tomada para consolidar los aspectos que acaban de ser explicados, fundamentada, eso s´ı, en un elemento puramente pr´actico de lo relativo a MDTs y mallas raster gen´ericas. ncols nrows xllcorner yllcorner cellsize nodata_value

445 586 570000 4378000 90 -9999

El contenido del fichero es bastante explicativo de por s´ı, incluso a pesar de que algunos t´erminos restan por definirse, lo cual se har´a seguidamente en los pr´oximos puntos. De cualquier modo, queda patente la similitud entre ambas entidades, no siendo necesario a˜ nadir m´ as informaci´on al respecto. Matriz de datos de elevaci´ on Todo lo explicado con anterioridad no tendr´ıa ning´ un sentido si se prescindiera de los valores de altitud que corresponden a cada celda, siendo los anteriores par´ametros meros complementos que dotan de aut´entico sentido espacial a la informaci´on contenida en la matriz de datos. N´otese que de aqu´ı en adelante se emplear´a el t´ermino matriz con absoluta soltura para referirse a la malla del MDT, aunque no debe perderse de vista que esto es as´ı por encontrarnos utilizando una malla con celdas cuadradas, lo cual nos permite realizar esa imagen entre ambos conceptos. En similitud una vez m´as con el caso de trabajar con im´agenes, las cuales tambi´en son almacenadas seg´ un una filosof´ıa raster, la matriz de datos contendr´ıa directamente en este caso la informaci´on de colores de cada pixel (as´ı se denomina a cada celda dentro de la imagen), conformando el total de ellas la representaci´on gr´afica que representa dicha imagen. Por lo dem´as, la simple comprensi´on del anterior concepto matricial debiera ser suficiente para dejar claro el significado de este componente principal del MDT, no resultando necesaria una mayor explicaci´on al respecto. Tiempo tendr´a el lector en sucesivos apartados para sumergirse de lleno en esta matriz de valores que constituye la piedra angular del an´ alisis hidrol´ogico computacional — al menos en su apartado relativo al terreno donde tienen lugar los propios fen´omenos de la hidrolog´ıa — y que desde este punto nos guiar´a a trav´es del resto de apartados y conceptos en los que poco a poco vamos adentr´andonos. Valor arbitrario para celdas sin datos conocidos Por u ´ltimo, ciertamente no imprescindible en muchos casos, pero s´ı en otros, debemos definir aqu´ı un elemento del MDT que nos posibilitar´a la utilizaci´on de bloques de datos donde algunos de ellos puedan ser desconocidos, sin que ello d´e lugar a un mal funcionamiento o una imposibilidad para el desarrollo de cierto tipo de an´alisis. Puesto que la forma de la matriz que define la informaci´on altitudinal de nuestro MDT debe ser rectangular (no necesariamente el numero de filas debe ser igual al de columnas y la matriz ser cuadrada) y en ocasiones la informaci´on de la que podemos disponer no es tal (por ejemplo, si nuestra zona de estudio se sit´ ua cercana al l´ımite entre dos comunidades aut´onomas de tal modo que ambas comunidades quedan representadas en el rect´angulo que engloba dicha zona, es probable que s´olo dispongamos de los datos para la comunidad de inter´es) ello implica que a dichas celdas

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

de las cuales no disponemos de informaci´on v´alida debe asignarse un valor que permita operar sobre el resto sin que esta circunstancia interfiera en modo alguno. El establecimiento de un valor que se convenga expl´ıcitamente en el MDT para reflejar este tipo de celdas sin datos, y la incorporaci´on en los algoritmos de an´alisis de alguna metodolog´ıa para el reconocimiento y tratamiento particular de dichas celdas, permitir´a el trabajo con mallas completas o incompletas de modo indistinto. En el momento de abordar los primeros algoritmos y formulaciones, este hecho se har´a patente en dichos algoritmos quedando claro el concepto y su utilidad como parte integrante del Modelo Digital de Elevaciones. Hago notar, para concluir, que la tentadora opci´on de asignar sin m´as valor cero a las celdas sin datos es, l´ogicamente, err´onea, ya que cualquier algoritmo la interpretar´a como una celda al nivel del mar, dando lugar a resultados con nula significaci´on y no consiguiendo el resultado buscado que no es otro que el de ignorar dichas celdas centrando el an´alisis sobre aquellas que si poseen datos v´alidos. Los valores a escoger para este par´ametro deben situarse fuera del intervalo abarcable por las elevaciones presentes en un terreno, es decir, por ejemplo en los valores menores de −100 o mayores de 8848, suponiendo que los datos correspondientes a cada celda se encuentran expresados en metros. Mas a´ un, el valor de celda sin datos va a ser empleado tambi´en en las mallas que se generen a partir del MDT para otros par´ametros dados, existiendo la posibilidad de emplear un valor distinto en cada una, aunque siendo m´as interesante el empleo de una constante comun a todas ellas. Valores negativos con gran valor absoluto son adecuados para este supuesto, pues no tienen ocurrencia para ninguna de las variables que a lo largo del texto van a ser descritas y analizadas.

2.2.4.

Caracter´ısticas del MDT para su uso en hidrolog´ıa

El fin para el cual deseemos emplear una entidad como el Modelo Digital del Terreno condiciona inevitablemente las cualidades propias que tal entidad debe poseer. La calidad del MDT, esto es, la capacidad intr´ınseca del mismo para servir a nuestros fines de tipo hidrol´ogico, va a quedar definida mediante una serie de factores a los que se deber´a prestar atenci´on con anterioridad al comienzo de un estudio hidrol´ogico desarrollado sobre la base de uno de dichos MDTs. No es el objeto de este libro el tratar en profundidad los asuntos relativos a las cualidades exactas del MDT desde el punto de vista del an´alisis de errores motivados por unos u otros aspectos propios del mismo sobre los diversos resultados obtenidos a partir de su an´alisis. La literatura en este sentido, rica y abundante en mucho mayor medida que en otras materias como pueda ser el propio uso del MDT, es materia a tratar por quienes desarrollen esos MDTs o quienes busquen un an´alisis m´as cercano a la investigaci´on que a la aplicaci´on directa de estos elementos cartogr´aficos en el uso del agua o la planificaci´on hidrol´ogica, tareas propias de la hidrolog´ıa en su sentido original y que, pese a venir ocultas por otras componentes en este texto, siguen siendo el principal objetivo a obtener con la utilizaci´on de los conocimientos aqu´ı desarrollados. Es, sin embargo, objeto primordial de este libro el preparar al hidr´ologo que haga uso de cuanto en estas p´aginas se recoge para que dicha utilizaci´on tenga lugar en las mejores condiciones y, en la medida de lo posible, se lleve a cabo con unas garant´ıas de calidad adecuadas y acordes con la naturaleza su trabajo. En otras palabras, para que ´este hidrol´ologo sepa elegir adecuadamente su fuente de informaci´on y, en caso de no ser as´ı, ser consciente de la aptitud de las fuentes de que dispone para la realizaci´on de sus trabajos. De modo m´as particular, creo interesante el recalcar los aspectos relativos principalmente a las resoluciones de los mapas, en cuanto que, para un mismo nivel de correcci´on y error cometido en la creaci´on del MDT, la precisi´on de ´este que lo faculta o inhabilita para una

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

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tarea concreta viene definida de forma casi exclusiva por dichas resoluciones. Este punto tendr´a, no obstante, y por mi parte, un enfoque netamente pr´actico, casi a modo de consejo general para quien deba en un momento dado acometer el an´alisis de un MDT con fines hidrol´ogicos. Informaci´on mas particular al respecto, y desde un punto de vista m´as ((formal)), puede encontrarse por ejemplo en (Walker, 1999) o (Gyasi–Agyei, 1995) Dos son las resoluciones que deben analizarse, a saber: Resolucion o tama˜ no de celda. La resoluci´on o tama˜ no de celda es quiz´as una de las caracter´ısticas que en mayor medida condiciona la validez de un MDT para un determinado uso. Valores en el rango 10–50 metros fueron calificados de modo general como adecuados para nuestros prop´ositos de an´alisis hidrol´ogico y, si bien ello es correcto, no debe tampoco ser utilizado este dato a modo de receta, sino m´as bien como una magnitud orientativa cuya comprensi´on debe fundamentarse en el entendimiento de las operaciones que van a llevarse a cabo sobre dicho MDT y el significado de cuantos resultados se obtengan de las mismas. Debe recalcarse en este sentido que ning´ un MDT es bueno per se, sino que cobra su valor en relaci´on con la finalidad principal que desee darse al mismo — obviamente, siempre es mejor una mayor resoluci´on, aunque este hecho puede tambi´en matizarse —. Por ello, debemos siempre atender al objetivo que se persigue con el fin de escoger las mejores caracter´ısticas del MDT, de tal modo que ´estas se sit´ uen en un ´optimo equilibrio entre precisi´on y rendimiento. Un hecho que debe advertirse, y que progresivamente iremos comprobando a medida que avancemos en el texto, es la atenuaci´on de gran parte de los errores u omisiones cometidos — o, m´as exactamente, de sus consecuencias — seg´ un vamos incorporando los datos procedentes del MDT en modelos con una mayor componente hidrol´ogica. As´ı, el c´alculo de par´ametros morfol´ogicos o la extracci´on de redes de drenaje presentan una mayor sensbilidad a las imprecisiones del MDT que, por ejemplo, el c´alculo de un hidrograma de avenida donde entren a formar parte de los datos de p´artida esos mismos par´ametros morfol´ogicos. La correcta delimitaci´on de las prioridades y objetivos debe constituir, por tanto, un paso previo antes de juzgar la idoneidad de un determinado MDT para el an´alisis hidrol´ ogico. Por otra parte, es necesario analizar los conceptos que van a emplearse en dicho an´ alisis y ponerlos en conjunto con las propias caracter´ısticas del terreno, pues ambos elementos tambi´en influyen de forma notable en el valor propio del MDT para una determinada tarea. El empleo de un MDT con un tama˜ no de celda de, por ejemplo, 40 metros, no tiene sentido para el estudio de p´erdidas de suelo en ladera si estas laderas tienen longitudes menores de dichos 40 metros, siendo necesario el empleo de una resoluci´ on mucho mayor para este caso. De igual modo, las actuales capacidades de los ordenadores y la informaci´on disponible no hacen viable el estudio de una cuenca de tama˜ no medio con un MDT con resolucion de celda de 0,5 metros. Sin embargo, de ser esto posible, quiz´as tan elevada precisi´on debiera analizarse de modo detallado desde el punto de vista conceptual, pues en la extracci´on de cauces que m´as adelante analizaremos, dichos cauces tienen un ancho de una sola celda, y resulta obvio que cualquier cauce con cierta entidad sobrepasa con creces el anteriormente mencionado ancho de celda. Cuestiones como ´esta deben ser planteadas en referencia a los distintos elementos que concurren en la utilizaci´on de un MDT, siendo aplicables tanto al tama˜ no de celda como al resto de cualidades propias de un Modelo Digital del Terreno, pues todas ellas se prestan de un modo u otro a un an´alisis similar desde el punto de vista de su adecuaci´ on para un determinado fin.

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

32 Resoluci´on vertical

Id´enticas consideraciones a las realizadas con anterioridad para el tama˜ no de celda pueden hacerse ahora respecto a la resoluci´on vertical. En l´ıneas generales, puede decirse que el trabajo con precisi´on centim´etrica es m´as que suficiente en la pr´actica totalidad de casos, mientras que una precisi´on igual o inferior al metro resulta insuficiente para la mayor´ıa de MDTs. De modo m´ as particular, es interesante poner de manifiesto la dependencia de este elemento con el relieve presente en el MDT — zonas de relieve muy marcado podr´an ser caracterizadas con una resoluci´on menor —, as´ı como con el tama˜ no de celda empleado — a tama˜ nos de celda mayores, la resoluci´on vertical puede tambi´en ser menor —. Este hecho obedece a que, de cara al an´alisis posterior, no s´olo los valores como tales de las celdas son importantes, sino la configuraci´on del propio relieve que se deriva de los mismos, por lo que lo realmente importante es mantener la configuraci´on real al discretizar el terreno en el MDT, evitando la aparici´on de formas diferentes tales como zonas llanas a causa de una resoluci´on ineficiente en la medida de las elevaciones. Como se ha dejado ver ya — y se va a ver con m´as detalle en pr´oximos puntos —, existe una cierta similitud entre los conceptos de malla raster de datos de elevaci´on e imagen digital, hasta el punto que en ocasiones el almacenamiento y trabajo en an´alisis del terreno se presenta a traves de im´agenes. Estas im´agenes, aunque adecuadas a efectos de representaci´on visual — para ello son im´agenes — no poseen caracter´ısticas adecuadas para emplearse como m´etodo de almacenamiento y manejo de MDTs destinados al an´alisis hidrol´ogico, siendo esto debido mayoritariamente a una insuficiencia de resoluci´on vertical. Para comprender esto, t´engase en cuenta que, en la mayor´ıa de estas im´agenes, la representaci´on se realiza mediante una escala de grises, siendo la profundidad del color de 8 bits , esto es, 256 colores. Es f´acil comprender que, con tan s´olo 256 niveles de elevaci´on, un relieve con una relativamente moderada diferencia de altitudes extremas de 256 metros ya supone la utilizaci´on de una resoluci´on vertical de 1 metro, la cual con anterioridad se present´o como insuficiente en buena parte de los casos. Por lo tanto, y aunque numerosas aplicaciones inform´aticas admiten como entrada MDTs en formato imagen, desde aqu´ı desaconsejo el uso de ´estas en favor de otros formatos m´as y espec´ıficos y mejor adaptados ara el manejo de informaci´on relativa al relieve.

2.2.5.

Creaci´ on del Modelo Digital del Terreno

Si bien se ha argumentado y justificado con sobrada extensi´on la conveniencia de analizar de modo prolijo la informaci´on contenida o directamente derivable de los MDTs, aun cuando ´esta no sea directamente de tipo hidrol´ogico, la elaboraci´on del mismo sobrepasa el ´ambito de esta obra y tan s´olo unas breves nociones acerca de la misma ser´an apuntadas en este apartado. Entrando en el terreno directo de la cartograf´ıa, y, m´as a´ un, en el de una cartograf´ıa novedosa y en constante evoluci´on 1 que constituye de por s´ı una rama independiente de la ciencia, la complejidad asociada a esta labor, teniendo en cuenta las ventajas que su explicaci´on puede aportar al contenido de esta obra, hace poco interesante y necesaria su incorporaci´on en el presente texto. Se supondr´a, por tanto, que el MDT es un dato de partida y una materia prima para nuestro estudio, sobre cuya confecci´on se rese˜ na, no obstante, y a t´ıtulo complementario, alguna informaci´on adicional que sirva de introducci´on en este tema. 1 Frecuentemente, y m´ as en la literatura inglesa que en la espa˜ nola, aparece el t´ermino Cartograf´ıa Computacional para referirse a este ´ ambito de estudio.

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

33

Una raz´on, sin embargo, para justificar la inclusi´on explicita de metodolog´ıas para la creaci´on de mallas de datos a partir de datos de otra ´ındole, es la posibilidad de emplear estas metodolog´ıas para otras mallas distintas del MDT, las cuales, por sus propias caracter´ısticas, s´ı son mas susceptibles de ser obtenidas mediante creaci´on propia con unos requerimiennos de calidad suficientes. Veremos que este hecho se pondr´a de manifiesto en el trabajo con otro tipo de informaci´on de partida al margen de las elevaciones, ya en la segunda parte del libro, dotando de cierto inter´es a las formulaciones que en este apartado brevemente van ser introducidas. Volviendo al caso particular del MDT, el proceso de elaboraci´on de ´este, simplificando al m´aximo los detalles, se compone de forma general de dos etapas principales bien diferenciadas: la toma de datos de partida y la realizaci´on de operaciones adecuadas sobre dichos datos para dar lugar al MDT ya en su forma u ´til y apta para la incorporaci´on del mismo como fuente b´asica de informaci´on altitudinal. De estas dos etapas, aunque nunca profundizando en exceso dada la limitada relevancia del tema como fue ya justificado previamente, se har´a un mayor ´enfasis en este apartado sobre la segunda de ellas, pues es ´esta la que quiz´as tenga mayor inter´es, as´ı como la que de lugar a formulaciones y teor´ıas mas acordes con la l´ınea general de la obra. Brevemente describiendo la primera de las antedichas fases, la toma de datos puede llevarse a cabo mediante los m´etodos habituales que se han venido utilizando para la confecci´on de cartograf´ıa de elevaciones cl´asica, es decir, los procesos basados en el trabajo directo en campo y la medici´on explicita de una serie de valores que permitan posteriormente la generalizaci´ on de los mismos a la escala correspondiente y la creaci´on de este modo de un documento cartogr´afico final. As´ımismo, estos m´etodos cl´asicos pueden y deben combinarse con la utilizaci´ on de tecnolog´ıas m´as actuales, las cuales permiten la obtenci´on de datos con una precisi´on mayor en l´ıneas generales, as´ı como en n´ umero m´as elevado, ambas condiciones muy favorables para la posterior creaci´on del MDT. Por u ´ltimo, deben considerarse de igual modo los m´etodos indirectos que no requieren la toma explicita de datos sobre el terreno, recogiendo ´estos de otros documentos cartogr’ficos preexistentes. El aprovechamiento de cartograf´ıa de elevaciones de curvas de nivel como fuente tanto primaria como de apoyo de informaci´on, representa un ejemplo de lo anterior. Entrando en el apartado concerniente a la creaci´on en s´ı del MDT una vez que los datos han sido obtenidos mediante alguna de las metodolog´ıas anteriores, y en particular en las operaciones y t´ecnicas que para tal fin son empleadas, es necesario definir aunque sea de modo somero las caracter´ısticas que se busquen en dicho MDT que va a ser creado. Siendo conocedores, como somos ya a estas alturas, de la mayor bondad y mejor disposici´on de las mallas raster regulares para acoger la informaci´on de relieve de cara a su empleo posterior desde el punto de vista hidrol´ogico, ser´a en la creaci´on de una de tales mallas en lo que nos basaremos para la introducci´on de las siguientes metodolog´ıas. Frente a la regularidad en la disposici´on de los datos de elevaci´on dentro de la malla raster, los m´etodos de recogida de informaci´on con anterioridad esbozados dan lugar a una serie discreta de datos dispuestos de modo irregular. La tarea primordial es, por tanto, la conversi´on de los datos recogidos en un conjunto regular, a trav´es de la estimaci´on de altitudes para cada una de las celdas de la malla en funci´on de los datos de que se dispone. Esta estimaci´on, matem´aticamente hablando, es un proceso de interpolaci´on para el cual pueden emplearse diversas metodolog´ıas, cada una de ellas con una mejor o peor aptitud para la creaci´on de MDTs adecuados de cara al an´alisis que se pretende realizar, y que ser´ an brevemente analizadas a continuaci´on. Para cada una de las celdas del MDT, la aplicaci´on de una de estas formulaciones teniendo en consideraci´on un n´ umero arbitrario de los puntos m´as cercanos a la misma, permite obtener un valor para la cota de dicha celda, construy´endose as´ı la totalidad de la malla requerida.

34

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

En todo momento, debe tenerse en cuenta que la precisi´on del resultado obtenido, m´as que de la propia naturaleza y bondad del m´etodo de interpolaci´on aplicado, depende de los datos de partida, la densidad de ´estos y la disposici´on espacial de los mismos. As´ı, por ejemplo, la aplicaci´on de cualquiera de tales m´etodos sobre puntos exteriores a la nube de puntos recogida, constituyendo una extrapolaci´on en lugar de una interpolaci´on, conduce f´acilmente a valores poco reales que denotan la falta de informaci´on para dichas localizaciones. La buena calidad desde todos los puntos de vista de los datos originales es, por tanto, factor imprescindible — y habitualmente el mayor escollo que se presenta en la creaci´on de un MDT — para la obtenci´on de resultados adecuados sobre los cuales pueda procederse a un uso en condiciones ´optimas. Ponderaci´ on por distancia inversa (IDW) El primer y mas sencillo m´etodo de interpolaci´on, dado un conjunto P de n puntos (´estos se corresponder´an con los n puntos m´as cercanos antes comentados, no con la totalidad de la nube de puntos de partida, ya que esto tendr´ıa un costo computacional muy elevado) y una celda con coordenadas conocidas, eval´ ua el valor asociado a dicha celda en funci´on del valor de los puntos considerados, seg´ un la inversa de la distancia entre cada punto y la celda, mediante una expresi´on de la forma Pn zi dki zb = Pi=1 n k i=1 di

(2.4)

donde k es un par´ametro que generalmente toma el valor 2.

Figura 2.4: Superficie obtenida mediante interpolaci´on con ponderaci´on por distancia inversa (Adaptado de Mitasova).

La superficie resultante de la aplicaci´on de este m´etodo no es muy adecuada para el an´alisis hidrol´ogico, ya que presenta l´ıneas de fractura importantes y, en general, el relieve es abrupto y guarda importantes errores con respecto a la superficie real modelizada. Ello puede observarse de modo sencillo si se generan las curvas de nivel de una superficie obtenida por aplicaci´on de este m´etodo, ya que ´estas muestran formas extra˜ nas y poco coherentes que ponen de manifiesto los errores existentes en la mismas. Por otra parte, la aplicaci´on de este m´etodo genera superficies con abundantes depresiones de origen artificial, circunstancia que, como ya veremos m´as adelante, constituye una grave problem´atica de cara a la asignaci´on de direcciones de flujo, y a la cual se dedicar´an numerosas p´aginas dentro de esta obra. Kriging La formulaci´on del Kriging se basa, al igual que en el anterior caso, en una ponderaci´on lineal de la forma

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

zb =

n X

35

zi Λ i

(2.5)

i=1

siendo Λi los pesos asignados a cada uno de los puntos considerados.

Figura 2.5: Superficie obtenida mediante interpolaci´on por Kriging (Adaptado de Mitasova). La diferencia del m´etodo, sobre la que no se entrar´a en detalle, reside en la consideraci´ on de aspectos adicionales para el establecimiento de los pesos, en particular la utilizaci´on del variograma realizado a partir de los puntos conocidos. Un variograma experimental se genera con las varianzas de los distintos puntos, ajustando a ´este por m´etodos estad´ısticos un nuevo variograma de tipo te´orico que sera el que se emplee posteriormente para la asignaci´on de pesos seg´ un lo expresado en (2.5) En lo referente a los resultados obtenidos, las superficies obtenidas mediante Kriging2 son, por regla general, aptas apara el an´alisis hidrol´ogico, aunque adolecen de una excesiva suavidad en su formas, perdi´endose, por tanto, una parte notable de la informaci´on del relieve en caso de que ´este sea pronunciado. Por otra parte, esta forma evita la presencia de depresiones en el modelo, con las ventajas asociadas a este hecho seg´ un brevemente se introdujo en el punto anterior. Ajuste de funciones polin´ omicas Considerando funciones polin´omicas de diverso grado, el cual ser´a escogido en funci´on de las necesidades existentes, se trata de ajustar estad´ısticamente uno de tales polinomios sobre el entorno formado por los puntos considerados, de tal modo que la posterior utilizaci´on del polinomio obtenido junto con las coordenadas de los puntos cuya quiere calcularse, permitan la obtenci´on de dichas cotas. Al realizarse el ajuste sobre una serie de puntos dados, no se puede predecir el comportamiento de la superficie definida por el polinomio fuera de dicho entorno, por lo que los problemas relativos a la extrapolaci´on de valores se acent´ uan m´as si cabe en el empleo de este m´etodo. La calidad de los resultados obtenidos varia notablemente con el tipo de funci´on ajustada y la propia calidad de los puntos considerados, por lo que no puede darse una caracterizaci´ on general de los mismos y de su utilidad de cara a un an´alisis posterior en profundidad. Curvas adaptativas (Splines) El nombre de esta metodolog´ıa hace referencia a la filosof´ıa que reside detr´as de la familia a la que pertenece este tipo de curvas, mediante las cuales la superficie definida pasa por los puntos muestrales, ajust´andose a ´estos de modo perfecto y siendo mas suave que en el caso 2 La aplicaci´ on del Kriging se encuentra en ocasiones citada en castellano como Krigeado, t´ermino que, personalmente, no acostumbro a usar, pese a lo cual considero interesante incluir esta aclaraci´ on al respecto

36

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

de ajustar un polinomio. Dichos puntos de control, a los cuales debe asociarse igualmente un peso correspondiente, permiten el c´alculo de la superficie fuera de los mismos, minimizando la curvatura de la misma (el concepto de curvatura ser´a analizado con posterioridad en el apartado dedicado al propio an´alisis del terreno).

Figura 2.6: Superficie obtenida mediante interpolaci´on con curvas adaptativas (Splines) (Adaptado de Mitasova).

Un s´ımil f´ısico de los anterior es el de una membrana el´astica unida a una serie de puntos, resultando el resto de puntos de la malla correspondientes a la forma natural que dicha membrana adoptar´ıa. Dentro de los splines, encontramos diferentes opciones que se ajustan a la definici´on general anterior, pudiendo efectuarse ajustes sobre los mismos — en los cuales no entraremos —, as´ı como existiendo planteamientos diversos seg´ un unos u otros autores y seg´ un el campo de aplicaci´on principal al que vayan a destinarse los resultados de la interpolaci´on. Sin profundizar en su formulaci´on, compleja m´as all´a de lo aqu´ı necesario para introducir el m´etodo, y en lo referente a la c´alidad del los MDTs generados, ´estos presentan generalmente curvas suaves y un n´ umero reducido de depresiones artificiales y artefactos, por lo que resultan adecuados para su utilizaci´on posterior en el an´alisis del terreno. Otros planteamientos Aunque las metodolog´ıas b´asicas para la interpolaci´on de mallas de datos, ya sean de elevaciones o de cualquier otro par´ametro, son las presentadas en los apartados anteriores, existen algunas otras metodolog´ıas que resulta de inter´es incluir tambi´en brevemente aqu´ı. Por otra parte, para el caso particular del MDT, la abundancia y buena disponibilidad de informaci´on altitudinal recogida como curvas nivel hace que dicha forma de representaci´on topogr´afica sea con frecuencia el punto de partida para la elaboraci´on del MDT. Pese a que puede darse una rasterizaci´ on de las curvas de nivel y tratar ´estas como puntos, la consideraci´on en cierta medida de ´estas como l´ıneas puede aprovecharse a la hora de plantear algoritmos de interpolaci´on, como seguidamente veremos. As´ı, una soluci´on sencilla y que aporta buenos resultados (Gousie, 1998) es la interpolaci´on de curvas de nivel entre dos dadas, previa a la utilizaci´on de las mismas en el proceso de interpolaci´on del MDT propiamente dicho. Para ello, y siendo a y b los valores de elevaci´on de dichas curvas de nivel conocidas, simplemente se toma un punto A sobre una de ellas y se une con el punto B m´as cercano en la otra curva. La recta que pasa por dichos puntos representan la recta de m´ axima pendiente, y al punto medio del segmento AB puede asign´arsele una cota a+b . La estimaci´ on de un n´ umero suficiente de puntos da lugar a una nueva curva de nivel por 2 uni´on de los mismos. Este recurso tan simple, aunque obviamente no enriquece la informaci´on de partida y no pasa de ser un u ´til ((truco)) ciertamente propenso a la introducci´on de imprecisiones, puede tener consecuencias interesantes sobre la malla posteriormente interpolada mediante uno de los algoritmos ya presentados, al disminuir el efecto de aterrazamiento que en algunos de

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

37

ellos aparece. T´engase en cuenta, no obstante, que esta consideraci´on se hace desde el punto de vista de la mayor coherencia en su aspecto general entre la superficie interpolada y la real, aunque desde la perspectiva del posterior uso en el an´alisis hidrol´ogico tambi´en existen ventajas notables. Por norma general, como quiz´ as ya haya comprobado el lector, doy prioridad a la configuraci´on cualitativa de la fisiograf´ıa del terreno y su correcci´on de cara a la modelizaci´on de los procesos hidrol´ogicos, frente a la precisi´on num´erica e incluso conceptual desde el punto de vista cartogr´afico. Si se tienen en cuenta los resultados hidrol´ogicos que constituyen nuestro objetivo final, esta aparente perdida de rigor queda plenamente justificada en base a ofrecer unas garant´ıas adecuadas en los procesos que, sobre el MDT, van a tener lugar para permitir el alcance de dichos resultados. Por u ´ltimo, para concluir este apartado, un enfoque matem´atico distinto para la creaci´ on de una malla de datos a partir de valores puntuales es el basado en un tratamiento matricial del problema, llevando este a cabo mediante la resoluci´on de sistemas de ecuaciones asociados a los valores de elevaci´on de cada celda. Fijada una restricci´on para la superficie generada mediante la interpolaci´on, ´esta puede expresarse mediante una relaci´on entre el valor de elevaci´ on de una celda dad celda — sea xi,j — y el de las de su entorno — de la forma xi+m,j+n , teni´endose as´ı una ecuaci´on en xi,j . Planteando una ecuaci´on como la anterior para cada una de las celdas de la malla, se tiene el sistema anteriormente mencionado, cuya resoluci´on lleva a la obtenci´ on de todos los valores xi,j de dicha malla, algunos de los cuales ya eran conocidos — los datos de partida — y otros no. En particular, se puede obtener una ecuaci´on tal si para cada celda suponemos que su valor de elevaci´on es la media de las elevaci´ones de las celdas situadas al Norte, Sur, Este y Oeste de la misma (Randolph, 2000), es decir 1 Zi,j = (Zi,j−1 + Zi,j+1 + Zi−1,j + Zi+1,j ) 4

(2.6)

Se introduce aqu´ı una notaci´on que nos acompa˜ nar´a en gran parte del texto para los valores de las distintas celdas de la malla, de tal modo que dichos valores, en este caso alturas, se denotan de la forma zi,j , siendo i la fila y j la columna en que se encuentra dicha celda dentro de la malla en cuesti´on. Esta notaci´on de car´acter gen´erico se complementar´a con otras m´ as particulares cuando el an´alisis se restrinja a zonas determinadas dentro del conjunto de celdas. La anterior expresi´on es equivalente a decir que la superficie cumple una ecuaci´ on de Lagrange de la forma 3 ∂2z ∂2z + =0 ∂x2 ∂y 2

(2.7)

Pese a su buen car´acter did´actico y el inter´es conceptual que este enfoque puede tener, desde el punto de vista computacional su eficacia se encuentra a primera vista en clara desventaja con respecto a otros planteamientos . N´otese que el n´ umero de ecuaciones del sistema resultante es N = nfilas · nfilas con lo que para un caso t´ıpico de una malla 500 × 500 el sistema resultante presenta nada menos que 250000 ecuaciones. No obstante, la propia forma de estas ecuaciones hace que la matriz A del sistema resultante sea muy rala, con lo que para el trabajo con la misma pueden emplearse m´etodos num´ericos particulares para este tipo de casos. Como mejora de este m´etodo en t´erminos de la buena conformaci´on de las superficies resultante, y para evitar algunos resultados no deseados tales como formas bruscas en las cercan´ıas de las curvas de nivel o puntos aislados utilizados como datos de partida, el sistema original 3 El planteamiento de un esquema en diferencias finitas para esta ecuaci´ on lleva a un resultado id´entico al expresado en (2.6)

38

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Figura 2.7: Curvas de nivel originales(a), interpolaci´on con sistema no indeterminado(b) y con sistema indeterminado empleando coeficiente c = 1 (c) y c = 10 (d) (tomado de Randolph, 2000)

puede ser ampliado a˜ nadiendole ecuaciones correspondientes a dichos puntos conocidos, de la forma c · zi,j = c · a

(2.8)

donde a es el valor conocido para el punto (i, j) y c es un coeficiente cuya utilidad en breve se ver´a. El sistema anterior es un sistema indeterminado con una expresi´on matricial de la forma AZ = B

(2.9)

pese a lo cual es posible hallar una soluci´on ´optima disminuyendo el error cuadr´atico medio, esto es, disminuyendo el valor de la expresi´on (AZ − b)t (AZ − B). En dicha soluci´on, puede controlarse el peso que se asigna a los valores conocidos — es decir, la fidelidad de la superficie interpolada para con los valores que se conocen de dichos puntos —, variando el par´ametro c. Como se refleja en la figura (2.7), el a´ umento del valor de c hace aumentar la suavidad de las formas, de modo que ´estas se ajustan con menor precisi´on a las curvas de nivel empleadas como informaci´on de origen.

2.2.6.

Modificaci´ on de resoluci´ on del MDT

Aun a riesgo de incurrir en algunos errores conceptuales que desde el punto de vista del cart´ografo puedan parecer poco menos que her´eticos, brevemente voy a incluir en este peque˜ no apartado algunas reflexiones principalmente basadas en mi experiencia acerca del manejo de MDTs previo al trabajo directo sobre la informaci´on contenida en los mismos. Enlazando con un punto anterior, la idoneidad de una determinada resoluci´on para garantizar la buena integridad de los resultados obtenidos, entonces analizada, puede necesitar, partiendo de la base del MDT del que se disponga, un cambio en la resoluci´on, quiz´as hacia una mayor (por cuestiones de representaci´on gr´afica, por ejemplo), o quiz´as hacia una menor (por cuestiones de eficiencia computacional o recursos limitados). En ambos casos, una variaci´on en el tama˜ no de celda representa el equivalente a un cambio de escala en un mapa cl´asico, y pueden por tanto hacerse al respecto las mismas consideraciones que son por todos conocidas, de cara a mantener la calidad y coherencia del dato empleado.

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

39

No obstante, el car´acter num´erico del MDT, junto con el enfoque hacia el uso hidrol´ogico que pretende darse al mismo, hacen pertinente el a˜ nadir algunas matizaciones sobre lo anterior.

Figura 2.8: Cambio de resoluci´on realizado aplicando interpolaci´on bic´ubica. Con objeto de comprender las implicaciones de un cambio de tama˜ no de celda, se deben analizar primero los m´etodos y t´ecnicas matem´aticas que permiten llevar este proceso a cabo, para despu´es plantear algunas ideas sobre el propio proceso en s´ı y su significado de cara a la utilizaci´on posterior a que se va a someter como parte del estudio hidrol´ogico. La variaci´on del tama˜ no de celda se lleva a cabo mediante m´etodos de interpolaci´on para mallas regulares de datos, entre los cuales podemos citar los m´as comunes tales como la interpolaci´on por vecindad, la bilineal o la bic´ ubica. Sin ninguna duda, el lector versado en temas de tratamiento digital de im´agenes encontrar´a familiares estos t´erminos, pues hacen alusi´on a t´ecnicas frecuentes en esta materia, poni´endose as´ı de manifiesto los puntos en com´ un que comparte dicha disciplina con gran parte del trabajo que aqu´ı realizamos sobre Modelos Digitales del Terreno y estructuras cartogr´aficas similares. Esta relaci´on veremos que nos acompa˜ nar´a en numerosos otros puntos a lo largo del texto. Analizando con algo m´as de detalle los m´etodos enunciados con anterioridad, podemos efectuar algunos comentarios adicionales sobre los mismos con el fin de juzgar la idoneidad para su aplicaci´on sobre un MDT. De menor a mayor complejidad, tenemos: Por vecindad (en ingl´es Nearest Neighbour , literalmente ((vecino m´as pr´oximo))). No se trata en realidad de una interpolaci´on pues simplemente realiza una nueva malla insertando nuevas celdas cuyos valores se calculan por mera vecindad, tomando el de la celda mas cercana. Este m´etodo no es recomendable, pues genera grupos de celdas contiguas con el mismo valor de elevaci´on (zonas planas irreales), y no mejora la resoluci´on, por lo que no aporta el aumento de definici´on que se pretende. Bilineal. Los valores de las celdas de la nueva malla interpolada se asignan ponderando los de las celdas situadas entorno de la misma en la malla original, con lo que se consigue mantener en mayor medida la forma real del relieve. Particularmente, con el caso de im´agenes este m´etodo — y tambi´en el siguiente, aunque en menor medida — da lugar a im´agenes con transiciones de color mas suaves, — m´as ((borrosas)) por decirlo de otro modo m´as gr´afico —, lo que en el caso de un MDT se traduce en relieves mas suaves con curvas m´as dulces. La formulaci´on matem´atica del m´etodo es como sigue. Para una celda (i0 , j 0 ) en la nueva malla interpolada, su valor en funci´on de los de las 4 celdas m´as cercanas a la misma en la malla original viene dado por la expresi´on

z(i0 ,j 0 ) = z(i,j) R(−a)R(b) + z(i,j+1) R(a)R(−(1 − b)) + + z(i+1,j) R(1 − a)R(b) + + z(i+1,j+1) R(1 − a)R(−(1 − b)) donde R(x) es una funci´on triangular de la forma

(2.10)

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

40



x+1 1−x

R(x) =

si − 1 ≤ x ≤ 0 si − 0 ≤ x ≤ 1

(2.11)

Bic´ ubica. M´ as compleja y menos eficiente computacionalmente que la anterior, ofrece mejores resultados y mejores estimaciones de valores que ´esta al considerar como datos de partida para la interpolaci´on un mayor n´ umero de puntos en el entorno de la celda dada. La utilizaci´on de este n´ umero m´as elevado de celdas hace que se deba sustituir la funci´on R(x) anteriormente presentada por una m´as compleja en t´erminos matem´aticos, siendo, no obstante, el principio de la interpolaci´on el mismo. Para el caso habitual de emplear como funci´on interpolante un spline c´ ubico, se tiene z(i0 ,j 0 ) =

2 2 X X

z(i+m,j+n) R(m − a)R(−(m − b))

(2.12)

m=−1 n=−1

1 R(x) = ((x + 2)3+ − 4(x + 1)3+ + 6(x)3+ − 4(x − 1)3+ ) 6 siendo (x)m +

 =

xm 0

si x > 0 si x ≤ 0

(2.13)

(2.14)

Puesto que estamos trabajando con esa asimilaci´on entre im´agenes digitales y MDTs, utilicemos las consideraciones y conceptos de estas primeras para conocer con mayor precisi´on lo que supone el llevar a cabo los anteriores m´etodos de interpolaci´on sobre los MDTs que van a constituir la base de nuestro trabajo. Mi objetivo con este apartado es probar que, siempre dentro de unos l´ımites l´ogicos y sin caer en el abuso, la reducci´on de tama˜ no de celda en un Modelo Digital de Terreno no es una pr´actica tan err´onea y desvirtuadora de la informaci´on como su equivalente en cartograf´ıa cl´asica, esto es, un cambio de escala mediante ampliaci´on (o reducci´on, aunque este caso puede considerarse menos grave) directa de un mapa. En primer lugar, t´engase en cuenta que una ampliaci´on directa de un mapa, a´ un variando el tama˜ no de ´este, no hace aparecer informaci´on nueva, manteniendo exactamente la misma cantidad de informaci´on. En t´erminos de im´agenes, esto constituye lo que se denomina un redimensionamiento (resizing en la literatura inglesa). Por el contrario, la interpolaci´on de un MDT, lo que en t´erminos de im´agenes se denominar´ıa como un remuestreo (resampling en ingl´es), incorpora nueva informaci´on al nuevo MDT, al disponer de nuevos datos de altura para las celdas que han sido introducidas con la variaci´on de resoluci´on. Obviamente, esta mayor cantidad de datos no nos aporta un mayor conocimiento del relieve, pues la informaci´on de partida es la misma y los datos nuevos no han sido medidos directamente en campo, con lo que se puede decir que se ha a˜ nadido un cierto porcentaje de informaci´on ((posible)). Sin embargo, de cara a su uso, en cierta medida disponemos de un MDT que, no siendo en ning´ un caso superior al original en cuanto a su fiabilidad y precisi´on, si puede haber mejorado de alg´ un modo sus prestaciones intr´ınsecas para producir resultados de calidad. En particular, centremos en la capacidades de representaci´on que pueden obtenerse a partir de un MDT. Como en su momento veremos, la definici´on de los cauces se lleva a cabo tambi´en sobre la base de la estructura matricial de dicho MDT, estableci´endose una serie de celdas que conforman estos cauces. Si el tama˜ no de celda es ´optimo para el an´alisis hidrol´ogico pero grande para el trazado preciso de cauces, la calidad de las representaciones asociadas ser´a mejorable en lo que a dichos cauces respecta. Aunque un aumento de resoluci´on no aportar´a informaci´on accesoria sobre el trazado en planta del cauce — aunque dividamos una celda en un numero mayor, no podemos saber como se mueve el agua en ´estas m´as alla de la tendencia general de

2.2. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO

41

la celda original —, resulta claro que la representaci´on ser´a igual de exacta conceptualmente pero de mucha mayor calidad desde el punto de vista gr´afico. Otros aspectos de ´ındole visual tambi´en se ven de modo similar favorecidos por un aumento de resoluci´on, confirmando as´ı las mejor disposici´on de la nueva malla con respecto a la original, al menos en este sentido. No solamente en los aspectos de tipo gr´afico se hacen patentes las posibles mejoras que han tenido lugar con el remuestreo de la malla, sino tambi´en en algunos de tipo num´erico, de modo m´as o menos notable seg´ un la propia naturaleza de cada par´ametro. Algunos como la pendiente, por ejemplo, no se mejoran en absoluto, ya que la pendiente asociada a una celda de las interpoladas — en su momento se comprender´a cuando se conozcan los algoritmos y expresiones que permiten su c´alculo — es puramente un producto de dicha interpolaci´ on, sigui´endose para dicha interpolaci´on la pendiente natural que definen las celdas de datos conocidos que se emplean como informaci´on de origen. Otros, como los histogramas de tiempos de salida, de importancia para el c´alculo de hidrogramas seg´ un algunas metodolog´ıas — tambi´en se comprender´a esto una vez la materia haya sido desarrollada —, se ven sin embargo mejorados al aumentar la resoluci´on del MDT, aument´andose de igual modo la asociada a estos par´ametros derivados. Sin entrar en absoluto en el tema, que ser´a tratado en el cap´ıtulo correspondiente, parece l´ogico pensar que para dos celdas con tiempos de salida x e y, un punto intermedio cuyos datos han sido interpolados empleando, entre otros, los de los anteriores puntos, su tiempo de salida tambi´en ser´a intermedio entre x e y, siendo esto lo que va a tener lugar una vez este par´ametro se eval´ ue sobre la nueva malla. As´ı, se tiene la misma informaci´on pero en un n´ umero mayor de celdas, con lo que puede aumentarse la definici´on en algunos resultados tales como el que acaba de comentarse. Todo esto, no obstante, no debe animar al uso indiscriminado de remuestreos para variar la resoluci´on de la malla, haciendo creer que una informaci´on de poco detalle puede ser convertida autom´aticamente en una perfectamente v´alida para llevar a cabo un estudio hidrol´ogico de cualquier magnitud o nivel de precisi´on. Por el contrario, debe hacer ver la importancia de una buena entrada de datos en cualquier modelo — recu´erdese aquello de rubbish in, rubbish out —, aunque tambi´en las posibilidades que los distintos m´etodos matem´aticos nos ofrecen para, dado el caso de que dicha entrada no cumpla unas caracter´ısticas dadas, intentar adaptarla a los requisitos deseables de cara al an´alisis que se plantea. Aunque el aumento del tama˜ no de celda — es decir, una reducci´on en el n´ umero de celdas equivalente a un aumento de escala — no supone, en principio, una acci´on que pueda degradar la informaci´on convertida en la misma medida que la disminuci´on de tama˜ no de celda tratada hasta este punto, tambi´en es necesario tener en cuenta los distintos m´etodos para llevar a cabo esta operaci´on, pues puede perderse detalle o desvirtuarse el relieve representado con la utilizaci´on de alguno de ellos. En l´ıneas generales, los m´etodos de interpolaci´on son adecuados o no para realizar el remuestreo de la malla de datos, tanto si se trata de disminuir el tama˜ no de celda como de aumentarlo. As´ı, las interpolaci´ones bilineal y bic´ ubica son ambas adecuadas, mientras que la realizada por vecindad no es recomendada, ya que, dependiendo de la relaci´on entre las resoluciones de inicio y final, algunas celdas pueden obviarse como informaci´on de partida mientras que otras pueden considerarse en m´as de una ocasi´on, produci´endose as´ı celdas consecutivas con la misma elevaci´ on. Por u ´ltimo, se˜ nalar que el empleo de cartograf´ıa tem´atica en formato raster, caso especialmente frecuente cuando ´esta u ´ltima se deriva de la interpretaci´on de im´agenes aereas o de sat´elite, en conjunto con un MDT, obliga en la pr´actica totalidad de los casos al remuestreo de una de dichas fuentes de datos con objeto de homogeneizar todas ellas previamente a su an´alisis y el trabajo con las mismas. Generalmente, es mucho m´as recomendable remuestrear la cartograf´ıa tem´atica (por decirlo

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

42

Figura 2.9: Cambio de resoluci´on de una imagen a´erea para homogeneizar ´esta con el MDT de la misma zona.

de un modo sencillo, la mayor intensidad de an´alisis a la que vamos a someter al MDT lo hace mas sensible al error que pueda introducirse en ´el con la variaci´on del tama˜ no de celda), debiendo, no obstante, tenerse en cuenta el formato de la informaci´on que se contenga en la misma. Si el mapa tem´atico contiene directamente valores de un par´ametro — tales como, por ejemplo, un valor para el factor C de la Ecuaci´on Universal de P´erdidas de Suelo —, los m´etodos m´as precisos tales como los de interpolaci´on bic´ ubica o bilinear deben utilizarse con preferencia. Si, por el contrario, el mapa contiene valores de clase que permiten dividir las distintas celdas en grupos — tales como, por ejemplo, clases de vegetaci´on en base a las cuales puede derivarse el factor C anteriormente citado —, el m´etodo de vecindad debe emplearse obligatoriamente para evitar la aparici´ on de valores que representen a clases inexistentes. Cuando se trabaje con im´agenes a´ereas directamente, es de inter´es el considerar esta misma circunstancia referente a los m´etodos de interpolaci´on aplicables, en relaci´on con la interpretaci´on de la imagen que vaya a llevarse a cabo.

2.3.

Param´ etros principales a partir del MDT

El an´alisis f´ısico del terreno a partir de los valores de elevaci´on contenidos en las celdas del Modelo Digital del Terreno, quiz´as por la inherente buena disposici´on de los mismos para el estudio mediante procedimientos y algoritmos diversos, as´ı como por el mayor nivel de detalle y precisi´on respecto a las representaciones cl´asicas, permite obtener resultados de mucha mayor amplitud, tanto en cantidad y calidad como en el propio significado de los mismos. Con lo anterior, y una vez disponemos de una forma efectiva y adecuada de representar determinada porci´on de la superficie terrestre y almacenar ´esta en un entorno desde el que proceder a su estudio, es el momento de comenzar a apuntar las metodolog´ıas para llevar a cabo dicho estudio y de ir descubriendo paulatinamente hacia qu´e resultados tangibles puede conducirnos el mismo. El objetivo de esta secci´on no es otro que, de modo progresivo y simult´aneamente, ir introduciendo la forma ´optima de proceder en nuestro trabajo con el MDT a la par que se van presentando una serie de par´ametros de inter´es y analiz´andose su significado y las implicaciones o la importancia que ´estos pueden tener para futuros c´alculos. Esto conllevar´a irremisiblemente una favorable familiarizaci´on del lector con el tratamiento habitual de los MDTs, y una comprensi´on de las realidades que ´estos representan y que, de modo directo, son las responsables del comportamiento hidrol´ogico del ´area estudiada y que abordaremos en profundidad m´as adelante en este texto. La superaci´on de este apartado nos conducir´a entonces a las importantes unidades hidrol´ogicas que constituyen el n´ ucleo de los pr´oximos cap´ıtulos, y para las cuales se introdu-

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

43

cir´an otros m´etodos de c´alculo y otras formulaciones en gran medida basadas en las que a lo largo de la presente secci´on ser´an estudiadas. Asimismo, buena parte de los par´ametros aqu´ı recogidos, por su caracter b´asico como definitorios del relieve y la geomorfolog´ıa de la zona de estudio tienen amplio inter´es en muchas otras ramas distintas de la propia hidrolog´ıa, dotando este hecho de un inter´es a´ un mayor, si cabe, a todo cuanto va a explicarse en los pr´oximos apartados. A lo largo de este texto, y en particular en este cap´ıtulo dedicado mayoritariamente al an´alisis del terreno, adem´as de las explicaciones te´oricas y los gr´aficos asociados a las mismas, es conveniente plasmar cada concepto en un caso de aplicaci´on real y, por tanto, hacer uso de MDTs reales sobre los que calcular los correspondientes par´ametros a medida que estos vayan siendo estudiados. Para este fin, se presentan im´agenes — comenzando por la figura (2.10), conteniendo el propio MDT y una representaci´on en relieve sombreado del mismo — basadas en un MDT correspondiente a la zona de Yukon, Canad´a, con resoluci´on de 90 metros . La utilizaci´on de esta malla de elevaciones, pese a su baja resoluci´on y su lejan´ıa al entorno geogr´afico tanto del autor como (probablemente) del lector, se justifica con la libre distribuci´on de la misma a trav´es de Internet, que este u ´ltimo podr´a encontrar para su propia experimentaci´on y trabajo junto con otras similares para ese ´area, en la direcci´on http://renres.gov.yk.ca/pubs/rrgis/data/90m-dem-down.html.

Figura 2.10: Representaci´on del MDT en escala de grises (izquierda) y relieve sombreado(derecha). Las tonalidades m´ as claras en el primero de ellos representan valores de elevacion mayores.

Permiti´endome por u ´ltimo una licencia m´as, los mapas aparecen a lo largo del texto sin sus correspondientes escalas ni orientaciones, circunstancia que, siendo imperdonable en otro contexto, resulta perfectamente ignorable en el presente, donde la representaci´on visible de los par´ametros analizados es el u ´nico objetivo que se persigue. Para m´as informaci´on a este respecto, he incluido un anexo al final del libro donde puede encontrarse, adem´as de completas referencias sobre lo anterior, datos acerca de las aplicaciones empleadas para la generaci´on de estas im´agenes y la forma en que dichas aplicaciones pueden ser de igual modo obtenidas y utilizadas para una exploraci´on m´as avanzada y tangible de los conceptos recogidos en estas p´aginas

2.3.1.

Caracterizaci´ on Matem´ atica del MDT para su an´ alisis

Las herramientas cl´asicas y habituales de la matem´atica, del c´alculo y del ´algebra entre otras ramas, van a ser nuestros medios b´asicos para extraer toda la informaci´on posible que

44

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

celosamente guardan los MDTs de las zonas f´ısicas que representan. M´as aun, el adjetivo computacional con que adornamos en el el t´ıtulo a la hidrolog´ıa que se presenta en este texto hace que el empleo de m´etodos num´ericos y conceptos similares sea quien nos abra las puertas al estudio que pretendemos llevar a cabo, basado siempre en esa entidad — n´ umerica ella misma en su totalidad — que es el Modelo Digital del Terreno. Dar un tratamiento matem´atico riguroso a la informaci´on de que disponemos es, por tanto, el siguiente paso a efectuar en este recorrido. As´ı, aproximar la informaci´on contenida en el MDT, sujeta por su parte a la propia estructura que le hemos conferido de malla rectangular, a los conceptos matem´aticos sencillos pero potentes que ser´an nuestra fuente de resultados sucesivos, es el objetivo de este apartado en el que se establecer´an las definiciones y elementos con que trabajaremos seguidamente. Comencemos con una definici´on primera sumamente sencilla. Consideremos una funci´on que represente a nuestro Modelo Digital del Terreno y cumpla la siguiente identidad. z = f (x, y) donde x e y representan respectivamente la columna y la fila de una celda dada, y z la cota de dicha celda, es decir, el valor de la misma en el MDT. De existir una funci´on como ´esta y poder disponerse de una expresi´on explicita de ella, ´esta contendr´ıa en s´ı toda informaci´on del MDT. Parece l´ogico pensar, sin embargo, que las formas naturales del terreno no son definibles con dicha sencillez en pr´acticamente ninguna ocasi´on, y es por ello por lo que debemos recurrir a alguna estructura de datos para almacenar la informaci´on sobre un territorio, tal y como venimos haciendo mediante el empleo de un MDT en cualquiera de sus diversas formas que en su momento fueron analizadas. No obstante, lo anterior nos sirve para ver que nuestro camino debe ir guiado a la obtenci´on de alg´ un tipo de aproximaci´on mediante una formulaci´on explicita ya que ´esta, adem´as de una simplificaci´on, permitir´a el an´alisis al permitir la aplicaci´on de todos los conceptos matem´aticos de que dispongamos para tratar una superficie como la que constituye un MDT, y que no son en absoluto pocos. Resulta de inter´es recalcar esta peculiar notaci´on matem´atica que se va a utilizar de aqu´ı en adelante para las mallas de datos con las que se trabaje, independientemente de si se pretende o no aplicar alg´ una formulaci´on dada sobre dichos datos. Como mero elemento de notaci´on y definici´on de una malla cualquiera, ´esta se considera como una funci´on de la forma f :N ×M →R siendo N = {1, 2, 3, . . . , n} y M = {1, 2, 3, . . . , m} los subconjuntos de los n y m primeros n´ umeros naturales, donde estas variables representan a su vez el numero de columnas y filas respectivamente de la malla. Es decir, se define toda malla como una discretizaci´on de una superficie, obtenida restringiendo el conjunto inicial a un conjunto finito que contiene las coordenadas enteras de las celdas de dicha malla, permitiendo de este modo el almacenamiento ´ de dicha superficie con un n´ umero tambi´en finito de elementos que la caracterizan. Este es, a decir verdad, el problema que radica en los modelos de almacenamiento de datos que se han descrito al principio del libro, el intentar describir la infinitud de informaci´on de un terreno dado en una serie de valores finitos de tal modo que permitan su almacenamiento en un soporte apto para su posterior procesado, llevando a cabo este almacenamiento con una p´erdida de informaci´on y detalle asumible. Volviendo a la mera caracterizaci´on matem´atica del MDT, y para comenzar ´esta de un modo gradual y sin entrar excesivamente en los pormenores de c´alculo ni los conceptos te´oricos aplicados para ello — no olvidemos que ´este es un libro ante todo de hidrolog´ıa —, podemos suponer que el terreno puede ser expresado mediante una superficie cuadr´atica de la forma

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

f (x, y) = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f

45

(2.15)

El porqu´e de la elecci´on de esta funci´on se fundamenta principalmente en el n´ umero elevado de datos (es decir, de celdas) que se requerir´ıan para una funci´on de orden mayor, y la insuficiencia de precisi´on que ofrece una funci´on de orden menor. El equilibrio entre ambos planteamientos se considera que se obtiene con suficiente rigor y exactitud mediante una funci´on como la expresada anteriormente aunque, repetimos, no se entrar´a en detalle sobre las disquisiciones que llevan a tal conclusi´on. Para simplificar la posterior operaci´on con esta ecuaci´on, suele tomarse, no obstante, de la forma ax2 by 2 + + cxy + dx + ey + f (2.16) 2 2 Otras alternativas relativamente populares son, por ejemplo, ecuaciones lineales (Travis, et al, 1975) de la forma f (x, y) =

f (x, y) = ax + by + c + d

(2.17)

o bien, en el otro extremo, ajustando una funci´on que pase por los nueve puntos de la submalla, con la forma f (x, y) = ax2 y 2 + bx2 y + cxy 2 + dx2 + ey 2 + f xy + gx + hy + k

(2.18)

c´alcul´andose las constantes a hasta k mediante interpolaci´on de Lagrange. Centrando el desarrollo de este apartado en la ecuaci´on original introducida en (2.16), y aplicando dicha funci´on a la caracterizaci´on del terreno que se persigue, es f´acil comprender que hacer que esta funci´on se ajuste en la mayor medida posible a la superficie real del terreno tal y como ´esta se encuentra recogida en el MDT con una menor o mayor precisi´on, resulta poco l´ogico, intuy´endose de antemano que la fidelidad para con el relieve real de tal funci´ on ser´a poco menos que nula. No obstante, si en lugar de trabajar a nivel global con la totalidad de la malla lo hacemos a nivel local tomando el entorno inmediato de un punto, esta simplificaci´ on cobra mayor sentido y los par´ametros que puedan calcularse a partir de la ecuaci´on que se deduzca en dicha porci´on de la malla ser´an m´as representativos de las caracter´ısticas reales del punto tomado. Haciendo esta operaci´on para cada uno de los puntos de la malla, definiendo localmente sus entornos mediante funciones como la anterior, podemos llegar a una caracterizaci´on matem´atica del MDT tomando este como un conjunto de peque˜ nas mallas cada una de las cuales representa una superficie con su ecuaci´on caracter´ıstica perfectamente definida. Abundemos en este hecho estudiando la manera correcta de considerar el entorno de cada punto y, una vez ´este se encuentra establecido, c´omo llevar a cabo el ajuste que conduzca finalmente a una expresi´on algebraica del mismo. Si el ajuste de la funci´on al terreno se efectua por el m´etodo de m´ınimos cuadrados, y puesto que hay seis par´ametros en la expresi´on de dicha funci´on, requerir´a un m´ınimo de seis valores para poder computarse. Un entorno de tan s´olo una celda alrededor de una concreta de ellas da lugar a una submalla de 3 × 3 = 9 celdas, suficientes ya para llevar a cabo el antedicho ajuste. Obviamente, entornos mayores pueden considerarse en la medida que se crea necesario, aunque ello supone una creciente complejidad en el ajuste y, sobre todo, no supone necesariamente un aumento de precisi´on si se considera suficiente el empleo de u ´nicamente 9 celdas, ya que las celdas que se a˜ naden pueden no tener representatividad debido a su alejamiento de la celda central sobre la que se centran las operaciones. As´ı pues, sea la siguiente submalla de 9 celdas centrada alrededor de la celda denominada z5 .

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

46

z1 z4 z7

z2 z5 z8

z3 z6 z9

Evans propone a partir de lo anterior la definici´on de los par´ametros que configuran la superficie cuadr´atica a la que se pretende aproximar el entorno local de z5 de acuerdo con las siguiente expresiones, todas ellas en funci´on de las 9 celdas consideradas en dicho entorno 4 y de la distancia entre ellas, que coincide l´ogicamente con el tama˜ no de celda y que representamos de foma simb´olica con la letra g. z1 + z3 + z4 − z6 − z 7 − z9 z2 + z5 − z + 8 − 6g 2 3g 2 z1 + z2 + z 3 − z7 − z8 − z9 z4 + z5 − z + 6 b= − 6g 2 3g 2 z3 + z 7 − z 1 − z9 c= 4g 2 z 3 + z6 + z9 − z1 − z4 − z 7 d= 6g z1 + z2 + z3 − z7 − z 8 − z9 e= 6g

a=

(2.19) (2.20) (2.21) (2.22) (2.23)

2(z2 + z4 + z6 − z8 ) − (z1 + z3 + z7 − z9 ) + 5z5 (2.24) 9 Se tiene as´ı ya una funci´on algebraica sobre la que comenzar el trabajo de an´alisis y cuyo estudio dar´a lugar a nuevos valores correspondientes al punto empleado como centro en cada caso. De igual modo, disponemos de un adaptaci´on num´erica de dicha funci´on, la cual nos permite aplicar los resultados que extraigamos de la misma sobre el MDT que nos encontremos analizando. La extracci´on de los antedichos valores y resultados es, por tanto, el siguiente paso a dar. Si recordamos cuanto se dijo en el tema precedente alrededor de las representaciones en formato raster, se coment´o entonces que ´estas eran adoptadas por su conveniencia para la representaci´on de altitudes en el MDT, pero que igualmente podr´ıan ser empleadas para otra serie de par´ametros cuya distribuci´on espacial desea plasmarse en un documento cartogr´afico, especialmente aquellas de tipo continuo. Siendo continuas todas las variables que derivaremos en este cap´ıtulo del an´alisis del MDT, resulta altamente interesante el representar ´estas mediante modelos n´ umericos como el MDT y crear nuevas mallas de dichos valores que representen, por ejemplo, las pendientes u orientaciones a lo largo de las celdas que configuran la zona de estudio. M´as a´ un, resultar´a de inter´es, como en su momento veremos, trabajar con las nuevas mallas creadas aplicando sobre ´estas algoritmos similares a los que las han dado lugar, para de este modo extraer nuevos conceptos a su vez expresables en sucesivas mallas de datos. La creaci´on de una malla de datos a partir de la caracterizaci´on del MDT de modo local, se consigue desplazando la submalla del entorno (en este caso de dimensiones 3 × 3) a lo largo f=

4

La consideraci´ on de las ocho celdas vecinas, aunque no es una terminolog´ıa de uso frecuente en relaci´ on con los MDTs y deriva principalmente del trabajo con aut´ omatas celulares, se conoce en general como vecindad de Moore, en alusi´ on a Edward F. Moore, y es probablemente el tipo de vecindad mas extendido en todos los campos — el presente por ejemplo, en el famoso ((juego de la vida)) de Conway —. Otros tipos de vecindad, tales con el de Von Neumann — nombrado en referencia al matem´ atico John Von Neumann —, considerando u ´nicamente las celdas situadas en vertical y horizontal, no en diagonal, aparecen con frecuencia aunque, de cara al an´ alisis del terreno, pueden introducir un notable sesgo y no resultar suficientes para el objetivo de caracterizaci´ on morfol´ ogica que se persigue

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

47

de todas las celdas, de tal modo que todas sean en un momento centro del entorno definido, recogi´endose as´ı los valores correspondientes a cada una de ellas, que se dispondr´an en la nueva malla correspondiente al par´ametro analizado en cada caso. Si el lector esta familiarizado con las t´ecnicas habituales para tratamiento de im´agenes digitales, reconocer´a inmediatamente esta t´ecnica como la empleada en la aplicaci´on de filtros a dichas im´agenes. Te´oricamente, muchos de estos filtros — o similares desde el punto de vista conceptual — pueden ser aplicados sobre un MDT, aunque, puesto que dicho proceso modifica la informaci´on del MDT, deben emplearse con suma precauci´on para evitar que desvirt´ uen la misma. No siendo una operaci´ on necesaria para el buen desarrollo del an´alisis hidrol´ogico que perseguimos, no se tratar´an en este texto los conceptos referentes al filtrado de MDTs, present´andose en la medida de lo posible alternativas m´as espec´ıficas e id´oneas para nuestra labor.

Figura 2.11: Esquema del desplazamiento de una submalla 3 × 3 para el an´alisis completo de la malla del MDT mediante el estudio local de sus propiedades.

Te´oricamente, la metodolog´ıa anterior relativa al movimiento de la submalla 3 × 3 permite la creaci´on de nuevas mallas de informaci´on, excepci´on hecha de las filas y columnas dispuestas en los extremos de la malla original, para las cuales este planteamiento pierde sentido ya que la disposici´on de dicha submalla sobre una celda situada en una de ellas obliga al emplazamiento de algunas celdas de dicha ventana fuera de la propia malla, es decir, en zonas sin datos conocidos. No resulta ´este un hecho de elevada importancia, m´axime si se tiene en cuenta que el inter´es por dichos puntos, si se tom´o una malla de informaci´on con una margen suficiente sobre la zona objeto de estudio, ser´a escaso o pr´acticamente nulo. No obstante, existen formulaciones para cada par´ametro de los que a continuaci´on se describan, adaptando ´estos a la circunstancia marginal de este tipo de celdas, los cuales, sin embargo, no se a˜ nadir´an por motivo de la antedicha poca relevancia que estas celdas poseen. Un u ´ltimo apunte antes de pasar directamente a la exposici´on de par´ametros extra´ıbles del MDT. Pese a que a lo largo de los pr´oximos puntos se va a fundamentar la obtenci´ on de dichos par´ametros en la caracterizaci´on matem´atica que en este apartado se ha descrito, existen siempre diversas alternativas para cada uno de ellos, la mayor´ıa de las veces de mayor sencillez y que, no obstante, son empleadas con igual o mayor frecuencia y forman parte muy importante de numerosos paquetes inform´aticos de uso habitual en este campo. Cuando as´ı sea, ´estas formulaciones ser´an comentadas con igual detalle con el u ´nico prop´osito de documentar cada apartado de la mejor forma posible y arrojar una idea clara de su significado y de las metodolog´ıas existentes para el trabajo con el mismo. La base matem´atica o f´ısica de la que derivan ´estas otras formulaciones ser´a esbozada igualmente para una mejor comprensi´ on de todas las alternativas.

2.3.2.

Pendiente

El an´alisis propiamente dicho del Modelo Digital del Terreno comienza en este punto con algunas variables sencillas inherentes a cada celda, que servir´an adem´as para introducir de modo progresivo la din´amica y estructura de la obra en cuanto a distribuci´on y contenidos.

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

48

Para comenzar esta primera aproximaci´on a la evaluaci´on y c´alculo de esas variables que definen el propio MDT y lo caracterizan desde otros puntos de vista — por supuesto, desde el punto de vista hidrol´ogico —, nuestro recorrido debe partir irremisiblemente del an´alisis de la pendiente, magnitud imprescindible para la casi totalidad de elementos sucesivos, en especial los de mayor notoriedad desde un aspecto netamente hidrol´ogico. La importancia de la pendiente como factor propio de cada celda en gran parte de los estudios posteriores que van a realizarse, resulta obvia sin apenas necesidad de recurrir a otros an´alisis matem´aticos o la presentaci´on de nuevas f´ormulas, en cuanto que es inmediato asociar el valor de dicha pendiente al comportamiento de la pr´actica totalidad de los procesos que tiene lugar sobre el territorio definido. La pendiente como tal es la verdadera caracter´ıstica definitoria del relieve, y par´ametros de tal importancia como la velocidad de flujo del agua, el riesgo de erosi´on o la mayor o menor infiltraci´on de agua en el suelo, entre muchas otras, vienen condicionadas por el valor de dicha pendiente. Se comprende as´ı que esta pendiente, m´as all´a del tratamiento matem´atico al que vamos a someter seguidamente su c´alculo, sea empleada no u ´nicamente como punto de partida en las explicaciones sucesivas, sino como referencia inicial para la descripci´on de las bondades que desde este punto, y ya introducidos en el an´alisis del MDT sensu stricto, nos proporciona dicho MDT a trav´es de su condici´on de representaci´on cartogr´afica num´erica. Partiendo de la funci´on matem´atica descrita en un apartado precedente, y a la cual asimilabamos la forma del MDT en un entorno local de un punto dado, la pendiente puede calcularse a trav´es de las primeras derivadas de dicha funci´on, como probablemente el lector con cierta inquietud matem´atica ya haya supuesto o al menos intuido. De aqu´ı en adelante los conceptos que van a aplicarse poco tienen que ver con la hidrolog´ıa o la propia geomorfolog´ıa, y se sit´ uan sin embargo en el campo de la geometr´ıa diferencial, aplicada, eso s´ı, a los resultados previos obtenidos en relaci´on con los Modelos Digitales del Terreno que nos sirven de punto de partida para todo este trabajo. Asi pues, es esta pendiente un par´ametro que, junto con el que se explicar´a a continuaci´on — la orientaci´on — puede derivarse a partir de dichas derivadas parciales, motivo por el cual la definici´on y evaluaci´on de las mismas resulta el siguiente paso l´ogico a seguir en la presente exposici´on. Los t´erminos que pretendemos calcular, a los que denotaremos como p y q respectivamente y de aqu´ı en adelante, por mera simplicidad en la exposici´on de sucesivas f´ormulas, se expresan de la siguiente forma. p=

∂z ∂x

y

q=

∂z ∂y

(2.25)

Aplicando lo anterior sobre la expresi´on introducida en (2.16), pueden reescribirse estas ecuaciones como

2

p=

∂( ax2 +

q=

∂( ax2

2

by 2 2

+ cxy + dx + ey + f ) = ax + cy + d ∂x 2 + by2 + cxy + dx + ey + f ) = by + cx + e ∂y

(2.26) (2.27)

El valor que realmente nos interesa calcular es el del centro de la submalla, donde se sit´ ua a su vez el eje de coordenadas, por lo que podemos simplificar la anterior expresi´on haciendo x = y = 0. Si, adem´as de esto, procedemos a sustituir los valores de (2.19), se obtiene

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

∂z z3 + z6 + z 9 − z1 − z4 − z7 =d= ∂x 6g ∂z z1 + z 2 + z 3 − z7 − z8 − z9 q= =e= ∂y 6g

p=

49

(2.28) (2.29)

Estas son, definitivamente, las expresiones de las derivadas dentro de las submallas 3 × 3 que venimos analizando alrededor de un punto dado del MDT. El gradiente de la superficie, es decir, el vector perpendicular a la misma, tiene la forma ∇f = (

∂z ∂z , ) = (p, q) ∂x ∂y

(2.30)

La pendiente que buscamos obtener no es sino el ´angulo entre dicho vector gradiente y la vertical, el cual, haciendo uso de conceptos b´asicos de c´alculo de ´angulos entre vectores, se obtiene seg´ un la expresi´on p γ = arctan d2 + e2 (2.31) Desde otro punto de vista, puede obtenerse la pendiente combinando las dos derivadas parciales seg´ un γ = arctan

p dz = arctan d2 + e2 dxy

(2.32)

alcanzando, l´ogicamente, un resultado id´entico.

Figura 2.12: Mapa de pendientes. Las tonalidades m´as claras indican pendientes mayores. Por u ´ltimo, otra forma distinta de contemplar este c´alculo es interpretando la metodolog´ıa expuesta como resultado de la aplicaci´on de filtros aritm´eticos, en particular uno de la forma −g −g −g

0 0 0

g g g

para la extracci´on del valor de p, y uno del tipo −g 0 g

−g 0 g

−g 0 g

50

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

para el c´alculo del factor q, empleando luego estos valores en la formulaci´on presentada en (2.31). A lo largo del texto, veremos — ya se ha dejado constancia anteriormente de este hecho — que los planteamientos relativos al trabajo con MDTs guardan una estrecha relaci´on con muchos puntos dentro del an´alisis digital de im´agenes la utilizaci´on de dichas im´agenes en teledetecci´on o como elementos para el an´alisis geogr´afico. La interpretaci´on basada en filtros a buen seguro que ser´a familiar para aquellos lectores con conocimientos en esta disciplina, que reconocer´an en el esquema de arriba lo que se conoce habitualmente como n´ ucleo de Prewitt — aunque en este caso multiplicado por g —, utilizado con frecuencia para la detecci´on de bordes — que, en t´erminos de color de la imagen, no son sino zonas con gradientes de magnitud elevada—. La utilizaci´on de estos filtros se lleva a cabo simplemente desplazando la anterior ventana y calculando para cada celda central un nuevo valor que no es sino la media ponderada de los 9 de dicha ventana, empleando como coeficientes de ponderaci´on de cada uno los valores que se encuentran en el filtro. En la aplicaci´on directa de las expresiones matem´aticas formuladas con anterioridad y su implementaci´on particular, debe considerarse la presencia de celdas sin datos dentro de la malla, como ya se apunt´o al definir este elemento, debiendo asignarse como valor de la pendiente para aquellas celdas cuyo entorno de 8 celdas no se conozca de modo completo dicho valor de ausencia de datos. Asimismo, como tambi´en se apunt´o, las celdas de los extremos de la malla se descartan por su escasa relevancia. Con objeto de reflejar expl´ıcitamente estos hechos, los cuales van a merecer id´entico tratamiento en la totalidad de factores que ser´an analizados en las pr´oximas p´aginas y que derivan del an´alisis de la submalla 3 × 3, se introduce seguidamente la expresi´on algor´ıtmica en pseudoc´odigo para la creaci´on de una malla de pendientes, compuesta por dos funciones. La estructura en t´erminos computacionales que seguir´an el resto de par´ametros de similar ´ındole es practicamente igual a la aqu´ı presentada, con lo que ´esta sirve tambi´en a t´ıtulo ejemplificador de la manera de emplear las formulaciones que componen este cap´ıtulo. De modo particular, se denota como NODATA a la constante que refleja la ausencia de datos en una celda, quedando el algoritmo como sigue. funci´ on CalcularPendienteCelda (i,j) // i,j son las coordenadas de la celda // Z es la matriz de elevaciones // g es la resoluci´ on { desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si Z(i+n,j+m) = NODATA entonces { devolver NODATA } } } p=Z(i-1,j+1)+Z(i,j+1)+Z(i+1,j+1) -Z(i-1,j-1)+Z(i,j-1)+Z(i+1,j-1) q=Z(i-1,j-1)+Z(i-1,j)+Z(i-1,j+1) -Z(i+1,j-1)+Z(i+1,j)+Z(i+1,j+1)

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

51

pendiente=sqrt(p*p+q*q) devolver pendiente } procedimiento CrearMallaPendientes() //S es la malla de pendientes. //NC es el n´ umero de columnas de la malla. //NF el n’umero de filas. { desde i=2 hasta i=NF-1 { desde j=2 hasta j=NC-1 { S(i,j)=CalcularPendienteCelda(i,j) } } } N´otese que, pese a no hacerse uso en la expresi´on de la pendiente del valor propio de la celda, no resulta muy correcto — pese a ser perfectamente posible — desde el punto de vista conceptual el asignarle una pendiente a una celda sin datos de altura. Es por ello que la comprobaci´on sobre la ausencia o presencia de datos se extiende a todas las celdas de la submalla 3 × 3 y no exclusivamente a las 8 empleadas expl´ıcitamente en la f´ormula correspondiente. Hasta este punto, hemos dado una caracterizaci´on de la pendiente en un punto a partir del tratamiento matem´atico de la superficie a la que hemos asimilado el entorno de una celda en el seno del MDT. No obstante, la pendiente, por su car´acter de factor b´asico y de muy habitual c´alculo, conoce muchas otras aproximaciones diferentes, algunas de las cuales, pese a su simpleza, son utilizadas con tanta o incluso m´as frecuencia que la ya explicada y es con estas otras formulaciones como aparece en algunos paquetes inform´aticos desarrollados a este efecto. Otras, sin embargo, son producto de aproximaciones muy sencillas y, en cierto modo, primigenias, que se mantienen por su mera simplicidad y por el hecho de que, a efectos pr´acticos, pueden cumplir, y de hecho cumplen, su cometido de forma eficaz pues no son de una imprecisi´on importante. Algunos de estos otros modos de calcular la pendiente en una celda son enumerados a continuaci´on como cierre de este apartado. Sustituci´on de los valores de p y q por las siguiente expresiones: p=

z2 + z7 2g

,

q=

z4 + z6 2g

(2.33)

Se calculan, por tanto, u ´nicamente las pendientes en las direcciones de los ejes principales, procedi´endose a la evaluaci´on de la pendiente global en la celda aplicando la formulaci´ on propuesta en (2.31) Estas formulaciones se corresponden con filtros de la forma 0 −g 0

0 0 0

0 g 0

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

52

para la direccion del eje x, y del tipo 0 0 0

−g 0 g

−0 0 0

para el eje y M´etodo basado en diferencias finitas de tercer orden (Horn, 1981), mediante las expresi´ones

(z9 + 2z6 + z3 ) − (z7 + 2z4 + z1 ) 8g (z7 + 2z8 + z9 ) − (z1 + 2z2 + z3 ) q= 8g

p=

(2.34) (2.35)

M´axima pendiente entre la celda central y las celdas circundantes. Media de las pendientes entre la celda central y las celdas circundantes. El c´alculo de esta pendiente entre la celda central y las de su entorno, por constituir el fundamente de uno de los modelos de establecimiento de direcciones de flujo m´as habituales, se analizar´a con sumo detalle m´as adelante en este cap´ıtulo. No obstante, y pese a la importancia de esta formulaci´on sobre dicho algoritmo de direcciones de flujo, su utilizaci´on para la evaluaci´on de la pendiente no es frecuente por su excesiva sencillez. Como apunta Bosque Sendra (1992), las otras alternativas, adem´as de ser mas correctas desde el punto de vista cuantitativo, conceptualmente se encuentran tambi´en m´as cercanas al concepto matem´atico de primera derivada que representa la pendiente.

2.3.3.

Orientaci´ on

Estrechamente relacionada, aunque sin una tan amplia implicaci´on directa con las magnitudes de los principales elementos hidrol´ogicos como la pendiente, otra variable de inter´es con la que debe comenzarse el estudio de las caracter´ısticas fisiogr´aficas del territorio sobre la base del Modelo Digital del Terreno es la orientaci´on. Dicha orientaci´on de una celda debe considerarse como un par´ametro de relevancia en los aspectos hidrol´ogicos a trav´es de su influencia en la propia caracterizaci´on morfol´ogica del terreno, especialmente en la influencia que ´esta tiene para los aspectos clim´aticos a nivel local y en las diferenciaciones entre, por ejemplo, zonas de umbr´ıa y solana, entre otras. Como veremos m´as adelante, ya entrados en la segunda parte del libro, el aumento de resoluci´on que nos posibilita el empleo de Modelos Digitales del terreno en el ´ambito de aplicaci´on de las formulaciones de tipo hidrol´ogico que ser´an descritas posteriormente, hace interesante el considerar la magnitud de ciertas variables y su estrecha relaci´on con los valores de orientaci´on, de cara a la elaboraci´on de modelos m´as precisos y detallados. Dejando a un lado el papel que pueda jugar la orientaci´on en futuros apartados y recabando en el aspecto matem´atico de su formulaci´ on seg´ un venimos trabajando en los u ´ltimos puntos, ´esta surge sencillamente una vez se han definido los conceptos previos de las derivadas parciales y la expresi´on de ´estas en funci´on de las celdas circundantes a una celda dada. La orientaci´on, al igual que la pendiente, es un par´ametro que deriva de las antedichas primeras derivadas y es en base a las mismas que podemos dar una metodolog´ıa para su c´ alculo. El concepto de dicho aspecto no es otro que el ´angulo formado por el vector normal

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

53

a la superficie en el punto dado, y el del vector que define la direcci´on Norte, entendiendo as´ı dicha orientaci´on como el ´angulo azimutal de la perpendicular al terreno, de tal modo que tome un valor de 0o para el caso de una orientaci´on Norte, 90o para la orientaci´on Este, y as´ı sucesivamente. Los anteriores conceptos nos llevan, en t´erminos mas expl´ıcitos y cuantitativos desde el punto de vista matem´atico a la siguiente expresi´on para la orientaci´on, expresada ´esta en radianes. φ=

p q

(2.36)

La igualdad anterior se obtiene con suma sencillez proyectando el vector gradiente sobre el plano xy y calculando la tangente del ´angulo formado por dicha proyecci´on y el vector (0, 1) perteneciente a dicho a este plano, es decir, el vector que indica el Norte en el mismo. Los valores de p y q, conocidos con anterioridad a partir de los datos del MDT, permiten aplicar con extrema simplicidad este u ´ltimo resultado La forma habitual de utilizar este par´ametro no es, pese a todo, la anterior, siendo mucho m´as frecuente y de mayor utilidad pr´actica la presentaci´on del resultado expresado en grados sexagesimales, esto es, de acuerdo con lo siguiente. φ = arctan(p/q)

(2.37)

La notaci´on matem´atica del concepto queda completa en este punto, no siendo as´ı con la formulaci´on algor´ıtmica que pueda derivar del mismo, sobre la que deben realizarse ciertas puntualizaciones. Generalmente la orientaci´on se acostumbra a dar en el intervalo 0–360o , siendo este rango tambien interesante para el trabajo interno de un posible algoritmo asociado, por razones que en breve ser´an comentadas. Ello hace necesaria la distinci´on entre los valores positivos o negativos que la implementaci´on de la funci´on arcotangente arroje en cada caso y el estudio de ´estos para poder en funci´on de los mismos asignar correctamente el ´angulo correspondiente dentro de los valores antes comentados. Se trata, por tanto, de una mera puntualizaci´on sin mayor importancia y de f´acil soluci´on pr´actica, pero cuya rese˜ na creo es interesante si se tiene en mente una implementaci´on de lo explicado a lo largo de este punto.

Figura 2.13: Mapa de orientaciones. El rango de variaci´on va desde los 0o (negro) hasta los 360o (blanco).

Se˜ nalar para concluir que este par´ametro de orientaci´on, al igual que sucede con la pendiente en su concepci´on de elemento caracterizador de la tasa de variaci´on de la variable

54

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

representada en la malla analizada, ser´a utilizado en alg´ un otro punto a lo largo del texto en mallas distintas de las de elevaciones, por lo que es importante la comprensi´on de estos ´ conceptos (sencilla, por otra parte) para futuras formulaciones y elementos adicionales. Estos, no obstante, ser´an comentados de nuevo y adaptados al entorno en que se presenten, cuando la ocasi´on as´ı lo exija.

2.3.4.

El problema de las zonas llanas. Parte I

Al introducir la descripci´on matem´atica de las superficies recogidas en el MDT, y en particular al presentar la manera en que nuevas mallas de datos iban a ser calculadas a partir de la utilizaci´on sucesiva de una submalla 3×3 a lo largo de todas las celdas, un problema de forma surgi´o al tratar aquellas celdas situadas en los extremos, resultando necesario para las mismas aportar una formulaci´on accesoria. Esta excepci´on, el primer obst´aculo para la aplicaci´on de una metodolog´ıa generalizada en nuestra actual tarea, era, sin embargo, un problema con caracter gen´erico que afectaba a los procedimientos de c´alculo de cualquier par´ametro, independientemente de la naturaleza de ´este y siempre que estuviera basado, obviamente, en el trabajo con la submalla de entorno de una celda seg´ un lo definido. El trabajo con el gradiente, no obstante, aporta un nuevo inconveniente que obliga a tener en consideraci´on algunos aspectos adicionales para garantizar la buena definici´on del mismo en la totalidad de las celdas que conforman la malla objeto de an´alisis. Este hecho, adem´as, nos presenta una primera definici´on de una de las circunstancias de mayor relevancia que ata˜ nen al trabajo con MDTs, y que es aquella relativa a las zonas llanas, es decir, con valor de pendiente nulo (aunque veremos que no es ´este exactamente el caso en el presente apartado). No por azar se ha a˜ nadido al t´ıtulo de este punto la coletilla de Parte I, en referencia a una posterior secuela donde estas circunstancias ser´an analizadas con mucho mas detalle, pues influir´an entonces de manera muy notable en otra serie de par´ametros y elementos a calcular. En lo referente al caso actual del gradiente, la presencia en el denominador de la ecuaci´on ∂z (2.37) del componente q = ∂x nos obliga a tomar ciertas medidas ante la posibilidad de que ´este pueda tomar un valor nulo, quedando en tal caso indefinido el valor de la orientaci´on de dicha celda. Si u ´nicamente es nulo el valor de q, pero no lo es el de p, ello simplemente indica que nos encontramos ante una celda cuya orientaci´on coincide con el eje x, es decir, orientada exactamente al Este o al Oeste dependiendo del signo que tome valor de p. No existe m´as problema en tal caso salvo la necesidad expresa de contemplar la anterior posibilidad en una supuesta formulaci´on algor´ıtmica que pueda desarrollarse para la evaluaci´on de la orientaci´on. Frente a esto, existen celdas a las cuales no resulta posible asignar un valor de orientaci´on y obligan a la adici´on de nuevos supuestos para reflejar de igual modo estas circunstancias. Dichas celdas no son otras que aquellas donde la pendiente sea nula, esto es, que p = q = 0, quedando el valor de la orientaci´on igual al cociente 00 , y por tanto, indeterminado. Analizando la situaci´on desde un punto de vista de la l´ogica m´as habitual, independientemente del aspecto matem´atico, resulta obvio que un punto por completo plano no puede tener orientaci´on alguna, por lo que debe asignarse alg´ un valor establecido que indique esta ausencia de orientaci´on o, como suele denominarse, orientaci´on a Todos los Vientos (TV). Desde un punto de vista f´ısico del propio relieve que se analiza, debemos pensar que la existencia de una zona perfectamente plana no es sino un artificio derivado de la propia naturaleza del MDT que se est´a empleando y de la discretizaci´on y la disminuci´on de la informaci´on que implica dicho uso. No obstante, situaciones como ´esta son altamente frecuentes en pr´acticamente cualquier MDT, incluso con independencia de la resoluci´on con que se trabaje, por lo que debe buscarse una soluci´on para las dificultades que ahora se presentan. Como ya se apun-

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

55

to con anterioridad, tambi´en ser´a necesario proponer alternativas o formulaciones adicionales en algunos otros par´ametros que posteriormente ser´an estudiados y en los que la incidencia de este hecho es ciertamente mas grave. La soluci´on adoptada con car´acter habitual en relaci´on con la orientaci´on pasa por la utilizaci´on de los valores recomendados algunas l´ıneas atr´as, es decir, expresar ´esta siempre dentro del intervalo 0–360o ; y utilizar un valor fuera de este rango — habitualmente −1 — para indicar que la celda es plana y resulta imposible el c´alculo de un valor de orientaci´ on adecuado. De este modo se establece una convenci´on sencilla — cualquier otra que el lector pueda adoptar ser´a igualmente v´alida — que permite, ahora s´ı, aplicar las ecuaciones obtenidas relativas a este par´ametro en la totalidad de las celdas y casos posibles que pueden encontrarse en un Modelo Digital del Terreno dado. Profundizando algo m´as en lo mencionado unas pocas l´ıneas m´as arriba sobre la artificialidad de las zonas perfectamente llanas, y aunque la formulaci´on propuesta para la evaluaci´ on de la pendiente no implique de por s´ı una imposibilidad o cualquier otra dificultad de c´alculo en las mismas, resulta interesante el plantear alg´ un tipo de enfoque como el asumido para el caso de la orientaci´on, aplicando alg´ un tipo de clasificaci´on a ciertos datos en funci´on de sus valores. Algunos autores como Mitasova recomiendan el establecimiento de un umbral m´ınimo de pendiente bajo el cual se puede asumir que la zona es totalmente plana y, por tanto, debe ser tratada con las formulaciones alternativas que se hayan propuesto para este caso en cada uno de los par´ametros que se estudien. Este planteamiento quiz´as no cobre un especial sentido a estas alturas del texto, pero se puede justificar con la presencia de algunas variables relacionadas con la pendiente en el denominador de otras expresiones que en su momento ser´an analizadas, de tal modo que valores muy bajos de pendiente pueden arrojar resultados de una magnitud exagerada para estas expresiones, magnitud que no es consistente, en ocasiones, con el significado f´ısico del par´ametro calculado. A este respecto no existen an´alisis detallados que permitan al menos esbozar un valor indicativo para el antedicho umbral, pero la menci´on de esta circunstancia debe ser considerada por el lector si ´este desea implementar algunas de las metodolog´ıas descritas en este texto, asignando dicho valor umbral en funci´on de las propias circunstancias o de sus consideraciones personales acerca del tema.

2.3.5.

Curvaturas

La consideraci´on realizada hasta el momento respecto a la superficie representada por las celdas del MDT y su an´alisis como tal superficie desde un punto de vista matem´atico, permite continuar nuestro estudio e incluir en el mismo algunos par´ametros adicionales que extienden y complementan los anteriores y, aun sin una aparente relevancia como caracterizadores de fen´omenos f´ısicos, sean ´estos hidrol´ogicos o no, constituyen informaci´on de gran inter´es y la base para una integraci´on posterior con verdadero significado f´ısico. De entre estas variables de inter´es son destacables las curvaturas, particularmente en el sentido de la m´axima pendiente (vertical) y en el de la curva de nivel asociada a la celda (horizontal), cuya expresi´ on matem´atica se analiza a continuaci´on. Dejando atr´as las variables que guardaban una dependencia directa con las derivadas de primer orden — pendiente y orientaci´on —, la variaci´on de ´estas expresada a trav´es de las derivadas parciales de segundo orden va a ser la base de partida para el presente apartado y para la extracci´on de los par´ametros que de ellas pueden deducirse. El significado de estos nuevos par´ametros y su utilidad desde un punto de vista pr´actico ser´an explicados a la par que se presenta una expresi´on te´orica de los mismos siguiendo la estructura general del texto hasta el momento.

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

56

Las expresiones de las que vamos a partir en este caso y que deben definirse en nuestro ambito de trabajo en relaci´on con el MDT son, pues, las siguientes. ´ r=

∂2z ∂x2

,

s=

∂2z ∂y 2

,

t=

∂2z ∂x∂y

(2.38)

A ´estas deben sumarse, l´ogicamente, las ya deducidas derivadas de primer orden, que tambi´en pasar´an a formar parte de las formulaciones que a continuaci´on se desarrollan. Las expresiones que se obtienen para lo anterior, simplemente derivando la ecuaci´on general de la superficie del MDT en la submalla 3 × 3, son las siguientes: 2

r=

∂ 2 ( ax2 +

s=

∂ 2 ( ax2

t=

∂ 2 ( ax2 +

2

2

by 2 2

+ cxy + dx + ey + f ) =a ∂x2 2 + by2 + cxy + dx + ey + f ) =b ∂y 2 by 2 2

+ cxy + dx + ey + f ) =c ∂x∂y

(2.39) (2.40) (2.41)

Las curvaturas de la superficie pueden tomarse en diversos sentidos, de los cuales s´olo dos de ellos ser´an aqu´ı detallados por su mayor relevancia, compartiendo todos ellos una serie de aspectos en com´ un tanto a nivel matem´atico como en su interpretacion posterior. Las curvaturas como tales vienen a indicarnos la morfolog´ıa c´oncava o convexa del punto analizado de acuerdo con una direcci´on dada, direcci´on que, seg´ un sea tomada, tendr´a unas u otras implicaciones sobre la significaci´on f´ısica de los valores obtenidos. Al respecto de estos valores, se van a obtener aqu´ı a trav´es de expresiones que arrojan valores reales como resultado, pero tambi´en resulta com´ un tener en cuenta u ´nicamente los signos de los mismos (o ausencia de tal signo si el valor es nulo) para caracterizar la curvatura considerada sencillamente como c´oncava o convexa (o plana en el caso nulo). Podemos, en primer lugar, y comenzando con una introducci´on generalista que emplearemos como base para la definici´on de las curvaturas que resultan de inter´es, dar una expresi´on gen´eral para cualquier curvatura, de tal modo que ´esta quede en funci´on de la secci´on sobre la que quiera considerarse la misma, y que ser´a de la forma mostrada a continuaci´on. k=

∂2z ∂x2

2

2

∂ z ∂ z 2 cos2 β1 + 2 ∂x∂y cos β1 cos β2 + ∂y 2 cos β2 q ∂z 2 ∂z 2 cos ν 1 + ( ∂x ) + ( ∂y )

(2.42)

donde β1 y β2 son los ´angulos del vector normal a la secci´on considerada con los ejes x e y, y ν el formado por la propia secci´on y la normal a la superficie en el punto analizado. A partir de la expresi´on anterior, ahora s´olo resta definir aquellas secciones que son de mayor inter´es o que pueden proporcionar una informaci´on con un mayor significado con respecto a la caracterizaci´on del terreno que llevamos a cabo, y en especial con aquellos aspectos que puedan guardar alguna relaci´on con fen´omenos hidrol´ogicos diversos. En un primer lugar, y si ya sabemos que la curvatura sirve como un indicador de la concavidad o convexidad en el plano de la secci´on propuesta, parece l´ ogico tratar de estudiar este valor en el plano por el cual se va a producir la escorrent´ıa del agua, es decir, en un plano dispuesto perpendicularmente a la curva de nivel de tal modo que la intersecci´on de ´este con la superficie nos de la l´ınea de m´axima pendiente. Se llega as´ı a lo que denominaremos curvatura vertical, y para la cual los ´angulos que quedaban sin definir en la expresi´on gen´erica mostrada en (2.42) toman, aplicando ya la notaci´on introducida en (2.26) los valores siguientes.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

cos ν = 1 ,

q

cos β1 = p 3

p2 + q 2

,

57

−p

cos β2 = p

p2 + q 2

(2.43)

Llevando estos a (2.42) y simplificando, obtenemos la expresi´on de la curvatura vertical que queda como sigue. k=

q 2 r − 2pqs + p2 t p (p2 + q 2 ) 1 + p2+ q 2

(2.44)

Al estar fundamentada en la aplicaci´on de la formula gen´erica sobre el plano que da lugar a la m´axima pendiente, esta curvatura va a guardar una relaci´on directa con el flujo del agua que discurre en la direcci´on de dicha l´ınea de m´axima pendiente. As´ı, en las zonas en las que el valor de la curvatura sea positivo, es decir, cuando la pendiente aumente y nos encontramos por tanto en una zona de tipo convexo, el flujo de agua tender´a a acelerarse en ese punto, con las consecuencias que pueden deducirse en una primera aproximaci´on sobre otra serie de factores aparte del propio movimiento del agua, como pueden ser la capacidad erosiva del dicho flujo, entre otros. No obstante, el an´alisis de aspectos como el anterior deben contrastarse tambi´en con la curvatura en sentido de la curva de nivel, pues es la conjunci´on de ambas la que terminar´a por darnos una visi´on m´as efectiva de la realidad geomorfol´ogica de la celda y permitirnos en base a ella la evaluaci´on de otra serie de circunstancias como las anteriomente rese˜ nadas. Dicha curvatura en el sentido de la curva de nivel, a la que denotaremos como curvatura horizontal, puede obtenerse de un modo similar al anterior, sin m´as que proceder a una definici´on del nuevo plano de la secci´on a emplear, definici´on que vendr´a dada por los valores de los ´angulos correspondientes, y que queda recogida a continuaci´on. cos ν = 1

,

p

cos β1 = p 3

(p2

+

q 2 )(1

+

q 2 )(1

+ p2 + q 2 )

q

cos β2 = p

(p2

+ p2 + q 2 )

(2.45)

De nuevo, llevando este resultado a la ecuaci´on general de las curvaturas y operando, se tiene k=

q 2 r − 2pqs + p2 t p (p2 + q 2 ) (1 + p2 + q 2 )3

(2.46)

Esta segunda curvatura calculada puede relacionarse en sus sentido aplicado tambi´en con el flujo de agua que circula a trav´es de la celda, aunque de un modo distinto y altamente com´ plementario a lo visto en el caso de la curvatura vertical. Esta u ´ltima, haciendo referencia a la variaci´on de pendiente sobre el mismo eje del flujo (la m´axima pendiente), aporta informaci´ on relativa al perfil longitudinal del r´ıo. En el caso de la curvatura horizontal, esta informaci´ on no es otra que la tocante a la secci´on transversal del cauce de flujo del agua, supuesto ´este formado por la celda central objeto de an´alisis y las circundantes. La informaci´on acerca de esta secci´on y la concavidad o convexidad — no ya de la secci´on, pues en la escala de trabajo es probable que el cauce real del r´ıo apenas ocupe una celda parcialmente, sino del entorno —, puede aportar un dato de inter´es acerca de la convergencia o divergencia del flujo a su paso por al celda considerada. As´ı, formas c´oncavas indican una convergencia neta del entorno de la celda hacia el centro de la misma, existiendo por tanto un aumento de concentraci´on de flujo, mientras que las formas convexas suponen procesos por completo opuestos a los anteriores. Se comprende que lo anterior es de aplicaci´on m´as correcta para flujos en ladera, pues en el caso de flujos encauzados, aunque el perfil de dicho cauce no se refleje, como se ha dicho, en

58

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

los datos del MDT, es l´ogico que vaya confinado a dicho perfil no siendo relevante la curvatura en el exterior del mismo salvo en caso de avenida, y no con car´acter general. Como en el caso anterior, las implicaciones del signo de esta curvatura puede interpretarse desde otros puntos de vista y con referencia a aspectos variados de la geomorfolog´ıa del terreno, quedando sin embargo definidas sus implicaciones de un modo menos robusto mediante el s´olo empleo de ´este par´ametro de forma aislada.

Figura 2.14: Mapas de curvatura horizontal (derecha) y vertical (izquierda). Las zonas claras representan concavidad, mientras que las de tonalidad oscura indican convexidad.

Ambas curvaturas, tal y como se han expuesto en este punto, no son a la escala de trabajo que venimos aplicando elementos de tanta importancia como los anteriores de pendiente y orientaci´on — por razones obvias —, ni resulta tan efectivo y u ´til el trabajo con las mismas, principalmente por las limitaciones a la interpretaci´on de su significado que se derivan de la naturaleza misma de estos par´ametros. Un an´alisis a nivel m´as local, pasando como es l´ogico por el empleo de tama˜ nos de celda inferiores, dotar´ıa de mayor sentido pr´actico a estas variables y permitir´ıa un empleo m´as ´optimo de los resultados obtenidos, pues dichas interpretaciones resultan m´as fieles a la realidad en escalas menores que la que hemos dado como v´alida para operar con el resto de variables vistas hasta el momento. Por su parte, el an´alisis a un mayor nivel tal como el que ya se argument´o como nivel de trabajo correcto para el enfoque de esta obra, sin ser err´oneo, debe considerarse de modo indicativo, en especial para aquellos factores que derivan de un modo parcial de los valores de las curvaturas. De otro modo, si no se obvian estos otros factores derivados o se toman sin el debido recelo y prudencia, los resultados de ellos extra´ıdos pueden no estar en concordancia con los obtenidos mediante otros modelos mas espec´ıficos. Esta circunstancia hace alusi´on directa a los aspectos en relaci´on con la erosi´on, la cual puede interpretarse en una primera aproximaci´on a partir de las curvaturas y los par´ametros elaborados a partir de las mismas como se ver´a en el siguiente punto. Dicha relaci´on entre curvaturas y procesos erosivos debe tomarse con precauci´on, siendo recomendable el hacer uso de las primeras para los aspectos comentados en lo tocante al comportamiento de los flujos de agua (aceleraci´on, concentraci´on, etc) y emplear las interpretaciones derivadas como elementos indicadores pero en absoluto categ´oricos en referencia al aspecto sobre el que versen dichas interpretaciones. Desde el punto de vista matem´atico existen otro tipo de curvaturas adem´as de las aqu´ı presentadas, pues ´estas constituyen una importante parcela dentro de la geometr´ıa diferencial, siendo relativamente sencillo encontrar la expresi´on de las mismas en los textos habituales sobre el tema. No obstante, la relaci´on de muchos de estos par´ametros con alg´ un tipo de sig-

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

59

nificado f´ısico en general, y de tipo hidrol´ogico en particular, no es en absoluto un´animemente aceptada y se ha preferido no dar excesivo desarrollo a este tema. Algunas de estas otras expresiones de las curvaturas, se utilizan de todos modos como base para ejercicios propuestos al final de este cap´ıtulo, que satisfar´an la curiosidad del lector m´as inquieto e incitar´ an al an´alisis de la significaci´on de los mismos, procurando as´ı de modo indirecto, sin duda, una mejor comprensi´on de todo lo explicado en estas l´ıneas.

2.3.6.

Par´ ametros derivados de las curvaturas

Considerando como de mayor importancia las curvaturas propuestas con anterioridad, y asumiendo que ´estas, por su propia definici´on, pueden servir en conjunto, y unidas a la pendiente y la orientaci´on, para dar una definici´on suficientemente completa del terreno desde el punto de vista morfol´ogico, cabe plantear la posibilidad de elaborar formulaciones conjuntas donde intervengan las dos antedichas curvaturas. El significado pleno de ´estas, como se ha comentado ya con anterioridad, puede aflorar en estos nuevos planteamientos, apoyado en la complementariedad de dichos par´ametros en cuanto que caracterizan similares magnitudes pero desde puntos de vista diferentes y bien definidos de modo individual. El trabajo con los valores de las curvaturas obtenidos y la incorporaci´on de ´estos dentro de nuevos planteamientos puede realizarse tanto de forma precisa y cuantitativa, recurriendo a los valores exactos obtenidos, como de forma cualitativa, simplemente empleando el trinomio c´ oncavo/convexo/plano, de forma que las diferentes combinaciones de los valores de ambas curvaturas, aun pudiendo matizarse en cuanto a su importancia, signifiquen estructuras de uno u otro tipo u ´nicamente basadas en dicha caracterizaci´on cualitativa. Por su mayor simplicidad y no perder pese a ella su representatividad y valioso significado, comenzaremos por este u ´ltimo planteamiento para pasar con posterioridad a un an´ alisis n´ umerico de mayor exactitud. Tanto para este primer posicionamiento cono para el que ser´a seguidamente desarrollado, las similitudes conceptuales entre ambas curvaturas pueden servir como punto de partida para establecer la forma de unir ´estas de un modo u otro. Aunque reflejen aspectos b´asicamente distintos, se puede intuir que en ambos, la caracterizaci´on de una celda dada como c´oncava o convexa supone en cierta medida la ocurrencia de procesos que guardan alguna relaci´on f´ısica entre ellos. Por ejemplo, para el caso de curvatura horizontal de tipo c´oncava, esto supone una concentraci´on del agua que, dada la forma de la secci´on transversal al flujo, vierte sobre la linea que ´este define, dando lugar a una acumulaci´on de dicho flujo. Si centramos la antenci´ on en una curvatura vertical c´oncava, ´esta supone una disminuci´on de la velocidad del flujo, por lo tanto representa un potencial retenci´on de agua en este punto. Ello, unido a que la forma c´oncava viene asociada con una capacidad para albergar dicha retenci´on, lleva r´apidamente a la conclusi´on de que, tambi´en en este caso, la concavidad puede asimilarse a un proceso que bien podr´ıa definirse como de acumulaci´on. Aplicando un razonamiento similar, es sencillo asociar a las curvaturas de tipo convexo procesos de dispersi´on del flujo, que tal como sucede en el caso anterior ser´an acentuados cuando ambas curvaturas tengan el mismo signo y ver´an compensados sus efectos cuando tengan signos contrarios y no se produzca una suma de ambos. Conjuntamente con los valores extremos de acumulaci´on o dispersi´on, existe una gran parte de combinaciones intermedias que vienen a representar zonas donde no se encuentran definidos con suficiente entidad ninguno de los procesos anteriores, a las que denominaremos zonas de tr´ansito, complet´andose as´ı una caracterizaci´on sencilla pero altamente pr´actica de las zonas analizadas. En la figura (2.15) se exponen a modo de tabla de dos entradas las combinaciones posibles

60

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

seg´ un lo anterior, acompa˜ nadas de representaciones gr´aficas complementarias que aclaran el significado de cada una de ellas y sirven de resumen visual de la formulaci´on propuesta.

Figura 2.15: Caracterizaci´on de procesos de acumulaci´on seg´un los valores de las curvaturas horizontal y vertical asociadas

Extendiendo el planteamiento anterior en lo referente a la precisi´on del mismo, pero manteniendo la base conceptual que reside tras ´el, estamos en condiciones en este punto de tratar de desarrollar una expresi´on matem´atica que permita la obtenci´on de resultados similares a los anteriores desde un punto de vista num´erico en lugar de una simple distinci´on en tres clases. En primer lugar, la magnitud de la curvatura global como funci´on compuesta de las dos curvaturas estudiadas, independientemente de su signo, debe considerarse de cara a la cuantificaci´on de la intensidad con que los procesos de acumulacion o deposici´on van a darse en la celda objeto de an´alisis. Esta combinaci´on ambos par´ametros puede darse a traves de lo que se den´omina curvatura acumulada, y cuya sencilla expresi´on es ka = kh kv

(2.47)

Se tiene as´ı ya un primer elemento cuantificador de los efectos derivados con anterioridad de las curvaturas, el cual indica la magnitud de dichos efectos, ya sean ´estos acumulaciones o dispersiones del flujo. Se necesita, por tanto, para completar lo anterior y dotar de significado a esta curvatura acumulada, alg´ un par´ametro que determine el fen´omeno que tiene lugar mayoritariamente sobre la celda analizada, ya que la expresi´on anterior no permite la evaluaci´on del mismo por meras razones de su formulaci´on matem´atica. A este respecto, una simple media aritm´etica de las curvaturas horizontal y vertical puede cumplir de forma ´optima la funci´on requerida, quedando as´ı definida una nueva variable seg´ un lo siguiente: kh + kv (2.48) 2 Ya con estos dos factores, una nueva composici´on de ambos nos permite obtener un par´ametro aut´onomo caracterizador de los procesos ya descritos, a la vez que cuantificando la importancia de los mismos. La expresi´on a la que se llega en este caso alcanzando el fin perseguido, puede ser del tipo de la mostrada bajo estas l´ıneas. km =

kAT D = km ka

(2.49)

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

61

El estudio de los fen´omenos de acumulaci´on, tr´ansito o dispersi´on queda ahora definido con una mayor solidez al hacer uso de ambas curvaturas descritas en el apartado precedente, y pueden as´ı derivarse nuevos resultados adem´as de los ya introducidos y relacionados con los propios flujos de agua y su comportamiento. La informaci´on relativa a dichos fen´omenos puede ser utilizada para la estimaci´on de propiedades del suelo que afecten a la hidrolog´ıa subterranea o a los procesos de infiltraci´on, entre otros; para estudios de estabilidad del terreno o para derivar par´ametros que pueden definir en una primera aproximaci´on el comportamiento y din´amica de elementos contaminantes en el suelo, de inter´es tambien para un an´alisis hidrol´ogico desde el punto de vista de la calidad de las aguas. Muchos estos aspectos, sin embargo, escapando a la filosof´ıa y alcance de esta obra, no ser´an analizados con mayor detalle, quedando como verdadero resultado de importancia en este sentido el ya desarrollado en las l´ıneas anteriores, y que sirve como colof´ on a los referidos a una mera caracterizaci´on morfol´ogica del terreno con car´acter local, es decir, basada u ´nicamente en las valores registrados para las celdas en el entrono inmediato de cada celda problema. A partir de este punto, el resto de formulaciones que a´ un restan por estudiar ampliar´ an la zona de influencia que debe ser considerada, siendo planteadas desde un nuevo punto de vista como a continuaci´on comenzaremos a ver. Antes de ello no obstante, nos entretendremos en una u ´ltima propiedad de cada celda, de car´acter distinto a las anteriores — especialmente seg´ un los modelos que se adopten para su c´alculo —, y a la que, por su vital importancia, se dedicar´a amplio n´ umero de p´aginas, no escatimando detalle alguno en su presentaci´on.

2.3.7.

C´ alculo de direcciones de flujo

Los elementos b´asicos del an´alisis hidrol´ogico —r´ıos y cuencas— seg´ un ya qued´o expresado en la introduccion, son la base inicial para constituir el entorno de aplicaci´on de las formulaciones posteriores, siendo su caracterizaci´on y definici´on el nucleo central de esta primera parte del libro. Dichos r´ıos y cuencas, aun en su condici´on de elementos b´asicos, estando plasmados sobre un contexto computacional y sobre la base de un MDT tal y como ´este reci´en fue definido, pueden reducirse a unidades menores de las que, a su vez, es posible partir para su propia definici´on y establecimiento. As´ı, y como se ver´a m´as adelante en t´erminos m´ as formales y rigurosos, los r´ıos pueden entenderse como conjuntos de celdas por las que circula una cierta cantidad de agua de forma canalizada, y las cuencas como agrupaciones de dichas celdas cuyo flujo acaba alcanzado una celda dada. Es f´acil darse cuenta, por tanto, de que la celda, la unidad m´ınima que encontramos en el MDT como entidad cartogr´afica, se constituye tambi´en como la unidad de partida para el resto de elementos, siendo as´ı su an´alisis el que nos facultar´a para posteriormente llevar a cabo el estudio de entidades m´as complejas y modelos de mayor envergadura. Comencemos, pues, a trabajar con estas piezas b´asicas para, encaj´andolas met´odicamente construir en sucesivos cap´ıtulos las antedichas entidades. De entre las caracter´ısticas m´ as relevantes de cada una de las celdas, destaca de manera especial la denominada direcci´ on de flujo, en cuanto que ´esta caracteriza el movimiento del agua a trav´es de la celda y condiciona, por tanto, gran n´ umero de otras formulaciones y planteamientos. La relevancia de este factor lo corroboran la extensa literatura al respecto y el notable esfuerzo investigador que se ha llevado a cabo con el u ´nico objetivo de conseguir definir una metodolog´ıa que explique satisfactoriamente el comportamiento del agua a trav´es de las distintas celdas que componen el MDT, siendo consistente con los procesos observados en la realidad. La discretizaci´on del terreno en unidades m´ınimas (celdas) que propone el Modelo Digital del Terreno es, como parece l´ogico, el principal escollo que se presenta para la modelizaci´on de un fen´omeno continuo como el estudiado, y frente al cual se han desarrollado

62

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

con notable ´exito las metodolog´ıas y formulaciones que se expondr´an en el presente apartado. La definici´on del comportamiento de la celda como unidad aislada en lo referente al flujo de agua a trav´es de la misma viene condicionada directamente por las celdas circundantes, ya que es la relaci´on entre las alturas de cada una ellas con la celda central la que indica la direcci´on de flujo. Dicha direcci´on est´a fundamentada en el principio b´asico y evidente de que el agua en su recorrido se mueve siempre hacia el menor potencial posible, esto es, hacia la direcci´on de m´axima pendiente. Se considerar´a, por tanto, para comenzar, el esquema ya bien conocido de submalla 3 × 3 que ser´a utilizado como fundamento conceptual tambi´en en este caso. Posteriormente, el refinamiento de este an´alisis y la consideraci´on de cierta serie de circunstancias posibles, haran que debamos ((mirar m´as all´a)) de esas 9 celdas para la formulaci´on de alternativas y soluciones de c´alculo aceptables. Manteni´endonos por el momento sobre el esquema anterior, el problema a resolver en este punto consiste en, a partir de la celda central, calcular el patr´on de movimiento del agua desde la misma; problema que admite una cierta variedad de planteamientos, siendo todos ellos aqu´ı analizados en orden creciente de complejidad o precisi´on. El modelo D8 La perspectiva mas sencilla y adecuada para comenzar la exposici´on de algoritmos en torno al c´alculo de direcciones de flujo, es la denominada D8 (O’Callaghan y Mark, 1984), acr´onimo derivado de su denominaci´on en lengua inglesa Deterministic 8. Esta formulaci´on, si bien ciertos estudios posteriores realizados con respecto a la misma han puesto de manifiesto que bajo determinadas circunstancias da lugar a resultados err´oneos y no representa con fidelidad la realidad hidrol´ogica del territorio, es la implementada en la gran mayor´ıa de paquetes de an´alisis hidrol´ogico y la que, en t´erminos generales, resulta de m´as com´ un aplicaci´on debido principalmente a su sencillez operativa y facilidad de comprensi´on. Asimismo, como m´as adelante se ver´a, permite obtener mejores resultados en t´erminos de eficacia de computaci´on, precisamente debido a la simplicidad de sus fundamentos, la cual permite la simplificaci´on de ciertos procesos. Baste decir aqu´ı, a modo de resumen, que la formulaci´on D8 ofrece resultados de calidad sobradamente aceptable en la gran mayor´ıa de los casos, siendo, de cualquier manera, el fundamento b´asico para la mayor parte de las otras formulaciones que ser´an estudiadas, representando, por ´estas y otras razones, la metodolog´ıa clave para el an´alisis hidrol´ogico de Modelos Digitales del Terreno. Es de rese˜ nar, adem´as, que las posibles deficiencias del modelo desde el punto de vista del estudio geomorfol´ogico se diluyen cuando los resultados de ´este son utilizados en el an´alisis hidrol´ogico en sentido estricto (verdadero objetivo que perseguimos), corroborando as´ı la vigencia y bondad de este m´etodo y el desarrollo extenso del que va a ser objeto en estas p´aginas. Los fundamentos te´oricos de esta metodolog´ıa son intuitivos e inmediatos. Para el modelo D8, y dada una celda problema, el agua puede abandonar ´esta u ´nicamente en ocho direcciones posibles, esto es, las ocho que resultan de unir el centro de la celda inicial con los de las las ocho circundantes. El ´angulo de desplazamiento del flujo queda as´ı discretizado en intervalos de 45o (360/8), circunstancia que se erige como principal inconveniente del m´etodo al restringir la variedad de situaciones reales a tan solo 8 posibles. Los errores en la delimitaci´on de cuencas, la aparici´on de segmentos rectil´ıneos en zonas llanas o la acumulaci´on de errores en pendientes mon´otonas, son, entre otras, algunas de las consecuencias indeseadas de lo anterior, y ser´an explicadas con mas detalle en sucesivas p´aginas. La metodolog´ıa del D8, no obstante, presenta tambi´en ventajas notables adem´as de la sencillez y buen rendimiento ya mencionados, siendo interesante resaltar que se establece una relaci´on biun´ıvoca entre los cauces trazados empleando direcciones de flujo calculadas

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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mediante D8 y las propias direcciones, hecho que se pierde en los enfoques de tipo no discreto que se plantean como soluciones para la optimizaci´on y mejora del m´etodo. El proceso de c´alculo de la direcci´on de flujo es sencillo, y requiere u ´nicamente el calculo de una pendiente media entre la celda central y las 8 circundantes, la cual se eval´ ua mediante la expresi´on zi+m,j+n − zi,j ; m, n ∈ {−1, 0, 1}, mn 6= m + n (2.50) l N´otese que se ha introducido de nuevo la notaci´on generica de la malla en lugar de la definida para la submalla 3 × 3, pues resulta m´as apropiada para este caso y para los restantes desde este punto en adelante. La condici´on nm 6= n + m se a˜ nade u ´nicamente para evitar el caso m = n = 0, esto es el an´alisis de la propia celda problema, ya que s´olo tiene sentido el estudio de las 8 en contacto con ella, pero no de ella misma. Por u ´ltimo, la expresi´on en el denominador representa la distancia entre los centros de las celdas entre las que se calculan, pero no se emplea aqu´ı directamente la variable g de tama˜ no de celda, ya que la distancia a aplicar no es igual en las celdas situadas en la vertical o en la horizontal de la celda central, que en las celdas situadas en diagonal a la misma. Puede, no obstante, expresarse l en funci´on de g de acuerdo con lo siguiente. γ=

 l=

g √ si |n + m| = 1 6 1 g 2 si |n + m| =

(2.51)

Teniendo todo esto en cuenta, podemos establecer la siguiente celda en el flujo sin m´ as que buscar la mayor de las pendientes calculadas para todas las celdas del entorno considerado, siendo esta la direcci´on que seguir´a el agua a su paso por la celda que hemos analizado. La concepci´on simplista expresada no utiliza, como vemos, la caracterizaci´on de la pendiente que vimos en el apartado correspondiente algunas p´aginas atr´as, restringiendo tambi´en el c´alulo de este par´ametro a las 8 direcciones posibles que conforman el ab´anico de posibilidades con las que trabaja esta metodolog´ıa. En realidad, esta metodolog´ıa usa no u ´nicamente el concepto de pendiente, sino tambi´en ideas relativas a la orientaci´on de la celda, aunque ´estos se presentan bajo una formulaci´on matem´atica bien distinta debida al distinto objetivo perseguido en este caso. Puesto que nuestro planteamiento trabaja por el momento sobre un entorno cerrado y bien conocido de la celda en forma de submalla, la extensi´on de los resultados de dicha celda al resto del MDT y el desarrollo de nuevas mallas de informaci´on puede perfectamente llevarse a cabo desplazando la citada submalla por la totalidad de las celdas que componen el MDT, como ya se hiciera para otros par´ametros. Sin embargo, la presencia de las celdas lim´ıtrofes en los extremos de la malla debe solventarse en esta ocasi´on ignorando ´estas para el c´ alculo, ya que resulta imposible sin conocer la totalidad del entorno el definir de forma correcta la direcci´on del flujo en dichas celdas. Este hecho, no obstante, y con menos incidencia incluso que en esos otros par´ametros ya analizados, no tiene apenas relevancia para la extracci´ on de informaci´on posterior, debido a la improbable utilizaci´on de dichos datos no calculados. Las consecuencias de la propia estructura de esta metodolog´ıa pueden comenzar a extraerse ya, poniendo de manifiesto tanto las indudables ventajas del m´etodo como las importantes carencias que, si bien no cobran gran relevancia en la gran mayor´ıa de los casos, deben se˜ nalarse convenientemente. Si bien los par´ametros con los que ven´ıamos trabajando hasta este punto eran m´ as independientes al no constituir una base conceptual — lo cual no quiere decir que no fueran elementos b´asicos y de vital importancia — de tal calibre, el c´alculo de direcciones de flujo es el pilar b´asico hacia otra serie de formulaciones claves de desarrollo posterior. M´as a´ un, resulta

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

tambi´en, por decirlo de alg´ un modo, la base algor´ıtmica para los pr´oximos algoritmos que se alcanzar´an cuando demos un paso m´as en la caracterizaci´on hidrol´ogica de la zona, motivo por el cual la elevada simplicidad del D8 cobra un inter´es importante de cara a la sencillez de estos otros algoritmos y a la complejidad y rendimiento que puede esperarse de los mismos. Como era de esperar, las ventajas traen asociadas de modo inseparable los inconvenientes, y en este caso la reducci´on de las direcciones de flujo a u ´nicamente 8 posibles se constituye como gran aliciente a la par que como responsable de los problemas que aquejan a la metodolog´ıa D8. El hecho de que el flujo desde una celda dada pueda salir de ´esta hacia una y solamente una de sus celdas vecinas, supone una incapacidad manifiesta del modelo para aproximar su comportamiento al que tiene lugar en zonas con divergencia de flujo, pues este no puede dividirse entre dos celdas vecinas, desplaz´ andose hacia una de ellas exclusivamente. Enlazando con otros conceptos del libro, recu´erdese la relaci´on existente entre las curvaturas de una celda, en especial la curvatura plana, y la existencia de procesos de convergencia o divergencia de flujo, y n´otese que s´olo el primero de dichos procesos puede modelizarse efectivamente haciendo uso de la metodolog´ıa del D8. Adem´as, las caracter´ısticas propias de este algoritmo dan lugar a que flujos de agua que presenten rutas ciertamente distintas (con diferencias en orientaci´on de hasta 44o , por ejemplo) pueden quedar englobadas dentro de un misma categor´ıa de flujo, ya que las direcciones reales son truncadas para encajar dentro de uno de los intervalos de amplitud π/4. Esta amplitud, desde muchos puntos de vista es excesivamente elevada para mantener la fiabilidad del modelo en la totalidad de los casos y, si bien en t´erminos generales es valida a nivel del MDT de forma global, localmente puede dar lugar a estructuras fluviales poco l´ogicas o incluso carentes de sentido.

Figura 2.16: Propagaci´on de errores de direcci´on en el modelo D8.La flecha se˜nala la direcci´on real de la pendiente y las celdas sombreadas la direcci´on de flujo calculada

Entre estas estructuras, las cuales son por lo general sencillas de localizar sobre la representaci´on gr´afica de los resultados de el an´alisis de direcciones de flujo, especialmente cuando se hace a trav´es de resultados derivados como la extracci´on de redes de drenaje, se encuentran las l´ıneas paralelas de flujo. Estas l´ıneas, correspondientes en la gran mayor´ıa de ocasiones a r´ıos que se intersecan bajo un ´angulo peque˜ no y que hasta el punto de interesecci´on fluyen sin una sinuosidad excesiva, representan un problema no s´olo para la conformaci´on de los ri´os elaborados a partir de las direcciones de flujo en lo relativo a su forma, sino especialmente en lo tocante a la estructura jer´arquica y la entidad que dichos cauces tengan dentro de la red de drenaje. Para el caso descrito de los cauces anteriores, la sinuosidad de ´estos desaparece quedando convertido su trazado en una linea recta, al tiempo que la intersecci´on entre ambos se desplaza aguas abajo pudiendo incluso no tener lugar y quedando sustituida por un continuo discurrir en paralelo. Esta circunstancia, adem´as de no reflejar la verdadera geometr´ıa del cauce, hace desaparecer el cauce de mayor entidad que se forma tras la confluencia de los cauces, situaci´on que supone una mayor imprecisi´on cuando lo anterior tenga lugar no u ´nicamente con dos cauces sino con un n´ umero mayor de ellos, lo que frecuentemente ocurre en formaci´ones con

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.17: L´ıneas paralelas de flujo como resultado de la aplicaci´on del modelo D8 laderas mon´otonas de cierta extensi´on, donde el flujo recogido de las mismas queda conformado por una elevada cantidad de cauces de nula entidad. La bondad de este m´etodo esta ligada, por tanto, de modo directo con las caracter´ısticas de la zonas representada en el MDT, y se puede afirmar que, en t´erminos generales, la ausencia absoluta de artificios e imprecisiones como las anteriores es dif´ıcil de encontrar, aunque la presencia de ´estos en escasas ocasiones tiene consecuencias muy relevantes sobre los resultados a obtener posteriormente, en particular sobre los de tipo hidrol´ogico que se obtengan a partir de las cuencas y los r´ıos calculados, aunque ´estos no sean del todo fieles a las estructuras fluviales reales. Haciendo resumen de lo anterior, vemos que los dos inconvenientes principales a los que debe hacerse frente, y cuya superaci´on representa el avance l´ogico hacia la construcci´ on de mejores modelos, son la discretizaci´on del flujo — cuyo resultado m´as patente es la presencia de l´ıneas de flujo paralelas —, y la imposibilidad para modelizar los procesos de divergencia de dicho flujo al contemplarse u ´nicamente la posibilidad de que ´este vierta sobre una u ´nica de sus celdas circundantes, es decir, que el flujo quede modelizado de forma unidimensional. La soluci´on de los problemas anteriores al tiempo que se trata de mantener la simpleza conceptual del modelo ha sido el objetivo de n´ umerosas formulaciones alternativas — unas con caracter m´as experimental que otras y sin aplicaci´on pr´actica de utilidad real, a decir verdad —, y el motor que ha impulsado la evoluci´on del primigenio D8 hacia concepciones m´ as elaboradas en las cuales se tiene en consideraci´on de forma m´as preponderante la realidad de los procesos de escorrent´ıa como fen´omenos continuos. Restringidos al r´ıgido cors´e del MDT y su estructura discreta, la obtenci´on de la flexibilidad necesaria para aproximar en mayor grado los modelos te´oricos con los resultados visibles se ha llevado a cabo a trav´es de algunos de los planteamientos con los que seguidamente se contin´ ua el desarrollo de este apartado. El modelo Rho8 Como primer objetivo a considerar, dada la mayor simplicidad de los algoritmos relacionados, analizaremos la evoluci´on centrada principalmente en la soluci´on del problema de las l´ıneas paralelas y el trazado de direcciones de flujo las cuales, al emplearse para la formaci´ on de cauces (c´omo llevar esto acabo se ver´a en el apartado correspondiente dentro de algunas p´aginas), den como resultado trazados de dichos cauces con aspectos mas naturales y m´ as cercanos a la verdadera geometr´ıa en planta del r´ıo. El enfoque m´as sencillo en este sentido es el modelo Rho8, debido a Fairfield y Leymarie (1991), y en el que, de la forma m´as sencilla posible, se solventa parcialmente esta circunstancia sin necesidad de introducir una elevada complejidad accesoria ni eliminar la discretizaci´ on o propia en ´angulos de 45 , incorporando simplemente a la formulaci´on del D8 algunos elementos estoc´asticos que marcan la diferencia entre ambos modelos.

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Estos valores hacen referencia a la desviaci´on existente entre el valor de inclinaci´on calculado de acuerdo con la aplicaci´on del D8 (es decir, el valor m´ ultiplo de π/4 que resulta de la direcci´on de flujo asociada a la celda) y la verdadera orientaci´on de la celda calculada seg´ un las formulaciones m´as precisas que en su momento fueron explicadas. Haciendo uso de la relaci´on entre ambos, se asigna a las diferentes celdas sobre las que puede verter el flujo una probabilidad de que, en efecto, ´estas reciban dicho flujo. Se consigue as´ı que, en caso de que la inclinaci´on sea constante y alejada de los m´ ultiplos de π/4 a los que se restringen las posibilidades del D8, la asignaci´on de direcciones de flujo no tenga tambi´en un valor constante sino que var´ıe de acuerdo con las antedichas probabilidades dando lugar a una direcci´on global del cauce m´as acorde con la orientaci´on calculada. Antes de pasar a dar una formulaci´on m´as precisa del algoritmo, veamos lo anterior sobre un caso concreto para arrojar luz sobre este aspecto. Supongase un MDT o una porci´on del mismo que represente a una ladera de inclinaci´on constante 15o medidos como ´angulo azimutal. El empleo de un sencillo D8 sin los refinamientos especificados previamente generar´ıa una linea de flujo perfectamente en la direccion del eje vertical, esto es, de 0o , incurriendo de este modo en un considerable error de 15o debido al truncamiento de los valores. Las modificaciones aportadas por el algoritmo Rho8 van a generar, sin embargo, una l´ınea cuya direcci´on global es cercana a dichos 15o reales existentes sobre el terreno, de acuerdo con lo siguiente: La orientaci´on calculada de 15o se sit´ ua entre dos posibles direcciones del D8 como son la de 0o y la de 45o . Mientras que el D8 asimila la orientaci´on existente siempre a la de 0o , es razonable pensar que tambi´en podr´ıa asimilarse a la de 45o , l´ogicamente con una menor frecuencia al existir una mayor diferencia. La evaluaci´on de dicha frecuencia es ahora el u ´nico paso que resta para concluir la aplicaci´on del m´etodo, y que, como puede intu´ırse, tiene una soluci´on sumamente sencilla. Acudiendo a las diferencias entre el ´angulo de orientaci´on y los m´ ultiplos de π/4 considerados, ´estas son, en valor num´erico expresado en radianes, las mostradas a continuaci´on. d1 = π/12 − 0 = π/12

,

d2 = π/4 − π/12 = π/6

(2.52)

Las relaciones entre estos valores y la magnitud del intervalo, es decir, π/4, son por tanto las siguientes: π/12 1 π/6 2 = , p2 = = (2.53) π/4 3 π/4 3 Y estos valores representan ya las probabilidades p y 1 − p (ya que, como resulta l´ogico, p2 = 1 − p1 ) que deben asignarse a las direcciones de flujo de 0o y 45o respectivamente, y tener ´estas en consideraci´on a la hora de asignar direcciones de flujo a las celdas del MDT. El caso considerado de un MDT el cual define una pendiente constante puede ser sustituido por cualquier otro (el supuesto considerado lo era solamente a efectos did´acticos, la constancia del mismo no es, obviamente requisito para esta metodolog´ıa), evalu´andose en cada celda la orientaci´on previamente a la asignaci´on de la direcci´on de flujo. De este modo, se tienen siempre dos celdas destino alternativas — aquellas que indican las direcciones entre las cuales se enmarca el valor de orientaci´on que caracteriza a la celda problema —, y se resuelve la disyuntiva entre ambas mediante la aplicaci´on de sencillos conceptos probabil´ısticos como los que se acaban de presentar. Como es obvio, la aplicaci´on de los valores de probabilidad en el seno de un algoritmo desarrollado seg´ un las directivas anteriores necesita el concurso de alg´ un tipo de funci´on aleatoria que permita simular la propia aleatoriedad del modelo, aspecto que, no obstante, representa escasas complicaciones y resulta ciertamente trivial en t´erminos de implementaci´on del algoritmo. p1 =

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Un formulaci´on general del m´etodo se recoge seguidamente. Para simplificar las expresiones, se utiliza la notaci´on siguiente para los elementos de la submalla de entorno de una celda dada. z7 z6 z5

z0

z1 z2 z3

z4

(2.54)

Con ello, para una celda cualquiera dentro de la malla, salvo las situadas en sus extremos, definimos la funci´on f : M∗ −→ M

(2.55)

donde M representa el conjunto de celdas de la malla y el asterisco indica que se excluyen los celdas extremas. Si la orientaci´on en la celda analizada tiene un valor φ expresado en radianes, la forma de esta funci´on es como la mostrada seguidamente. f (m) = zi

donde i =

 

,

i∈N

φ [ π/4 ](mod 8) con frecuencia p1 =

(2.56) φ π φ−[ π/4 ]4 π/4

 ] φ [(mod 8) con frecuencia p2 = 1 − p π/4

(2.57)

Aparentemente, este planteamiento soluciona de modo elegante y simple uno de los grandes problemas asociadas a la metodolog´ıa del D8 como son las l´ıneas de flujo paralelas, pese a lo cual la instauraci´on actual del mismo y su implementaci´on en herramientas habituales de c´alculo es escasa y relegada a la pura experimentaci´on te´orica. Las razones de este hecho hay que buscarlas en la propia estructura del algoritmo y las consecuencias poco ventajosas que derivan del mismo. La aliatoriedad que implica la aplicaci´on del Rho8 elimina en cierta medida las l´ıneas paralelas de flujo y solventa la gran problem´atica comentada de la subestimaci´on de ´ areas aportantes por la creaci´on de cauces independientes, pero sin embargo no es tan precisa en lo tocante a la propia forma de los cursos de agua definidos. Si bien globalmente la direcci´ on de ´estos en zonas de formas relativamente homog´eneas es mas pr´oxima a la realidad, en otros casos lo u ´nico que aporta el modelo es una mayor ((naturalidad)) al definir una sinuosidad derivada del tratamiento aleatorio de las direcciones de flujo, pero ´esta es tambi´en un artificio y, dependiendo de las diferencias entre la pendiente real y las direcciones asignadas seg´ un la filosof´ıa del D8, puede no tener un mejor ajuste con el trazado real del r´ıo. La sinuosidad introducida en los cauces da lugar en ocasiones a que estos se crucen cuando realmente no existe este hecho, sobreestim´andose as´ı el ´area vertiente desde el punto de intersecci´on hacia aguas abajo, o bien fuerza la aparici´on de puntos sin apenas ´area vertiente aguas arriba, pues son ((esquivados)) por el flujo debido a la componente aleatoria introducida en su movimiento. A todo lo anterior, debe sumarse que, sobre una misma malla y utilizando una implementaci´on del Rho8 para evaluar las direcciones de flujo, cada ejecuci´on del mismo arrojar´ a un resultado distinto derivado de la naturaleza del modelo, lo cual no es en absoluto un hecho ventajoso, en especial teniendo a la vista la notable cantidad de formulaciones que se van a derivar de este par´ametro en concreto. Queda, pues, este modelo como un primer intento — tanto conceptual como cronol´ ogico — de aproximarnos hacia algoritmos mas elaborados, pero que ha sido superado por muchos

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

de ellos y que, igualmente, no supone de modo global una importante ventaja sobre el cl´asico D8 de cara a nuestros objetivos en este aspecto. El modelo FD8 La siguiente etapa a la que debemos hacer menci´on en este punto incorpora ya una soluci´on expl´ıcita encaminada a la consideraci´on de un modelo continuo en lo que a direcci´on de flujo se refiere. Este objetivo, que te´oricamente se lograba con el modelo Rho8 a nivel global (v´ease el caso concreto utilizado entonces como ejemplo introductorio), se va a obtener ya a nivel de celda, esto es, a la m´ınima escala de trabajo, suponiendo un salto conceptual que requiere una nueva definici´ on de la problem´atica y de las soluciones adoptadas. Estas diferencias deber´an ser tenidas en cuenta posteriormente en diversos puntos, pues condicionan tambi´en la complejidad y exactitud de otras formulaciones derivadas, llegando a suponer en ´estas la necesidad de plantear enfoques totalmente distintos seg´ un se haya utilizado uno u otro algoritmo para la determinaci´on de las direcciones de flujo de las celdas del MDT. La diferente concepci´on de este modelo FD8 (Quinn , 1991) se debe a la consideraci´on de un flujo bidimensional, permitiendo que no sea u ´nicamente una celda la que reciba el flujo de agua, sino que ´este se reparta de acuerdo con una expresi´on matem´atica entre las circundantes. Se obtiene de este modo la posibilidad de modelizar los procesos de difusi´on, obst´aculo conceptual que ya fue mencionado y que ninguno de los anteriores algoritmos solucionaban. Se pasa as´ı de los algoritmos de direcci´on de flujo simple (Single Flow Direction en lengua inglesa, SFD abreviadamente de aqu´ı en adelante) a los de direcci´on de flujo m´ ultiple (Multiple Flow Direction en ingl´es, MFD abreviadamente), estableci´endose una primera divisi´on entre los modelos que se van presentando de acuerdo con los enfoques que realicen respecto a algunas de las circunstancias clave del proceso que modelizan. En su caracterizaci´on desde el punto de vista matem´atico, el reparto de flujo entre las celdas vecinas a una dada se establece mediante coeficientes que indican la proporci´on del flujo total que llegar´a a cada una de ellas, y que son obtenidos de acuerdo con una expresi´on de la forma siguiente. (tan γm )x fm = P8 x i=1 (tan γi )

(2.58)

donde x es un factor de convergencia cuyo valor define el comportamiento del algoritmo. A valores m´as altos de este coeficiente, el flujo resultante es mas concentrado, resultando una mayor dispersi´on del mismo para valores bajos. La formulaci´on original de Quinn emplea un valor x = 1, y los estudios de Zhou(1997) demuestran que este es un valor ´optimo, especialmente en terrenos convexos. Autores como Holmgren (1994) recomiendan el uso de valores entre 4 y 6, considerando que de este modo se obtiene un adecuado equilibrio entre los enfoques anteriormente comentados. Por otra parte los valores de las tangentes pueden obtenerse sencillamente seg´ un lo expresado en (2.50). Como es inmediato pensar, s´olo deben emplearse aquellas tangentes que sean positivas, esto es, que representen ´angulos entre la celda central y celdas de inferior elevaci´on, pues es exclusivamente hacia ´estas hacia donde va a desplazarse el flujo. Detr´as de la formulaci´on simple y los conceptos ciertamente intuitivos y l´ogicos de este modelo, las consecuencias del mismo desde casi todos los puntos de vista son notables. Atendiendo primero al propio trabajo con el mismo, muy especialmente en t´erminos de su implementaci´on y explotaci´on de resultados, esta primera debe tener en cuenta una serie de circunstancias que no se presentaban hasta el momento y que, pese a la sencilla expresi´on en la que se basa el FD8, a˜ naden abundante complejidad a la formulaci´on algor´ıtmica del mismo.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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La consideraci´on bidimensional del flujo da como resultado una multiplicidad de valores a devolver por el algoritmo, ya que ahora no debe calcular tan s´olo una celda sobre la que se vierte el flujo, sino un conjunto de ellas, y acompa˜ nar adem´as a cada una de ellas de un valor representando el porcentaje de flujo que recibe la misma. Mas a´ un, y con especial inter´es para otros par´ametros a´ un por analizar como es el caso de la acumulaci´on de flujo, ese valor del porcentaje debe ser propagativo, ya que debe ser aplicado sobre el total de flujo que entra en la celda origen, el cual es a su vez funci´on de los porcentajes asignados a la misma desde todas las situadas aguas arriba y que vierten sobre ella. La utilizaci´on de este m´etodo se antoja compleja en mayor medida que los modelos anteriores, altamente simples tanto en t´erminos de sus expresiones matem´aticas como sus implementaciones, pese a lo cual las ventajas asociadas son notables y compensan este aumento de complejidad. Recalando en la exactitud del modelo y sus ventajas de utilizaci´on, unidas ´estas a la riqueza conceptual que aporta, se ve que el FD8 comporta un importante salto cualitativo respecto a los anteriores, suponiendo un primer representante de los algoritmos de tipo MFD y superando as´ı gran parte de las deficiencias asociadas al D8 a costa, eso s´ı, de incorporar elementos en la formulaci´on que dificultan en cierto modo el trabajo con el propio algoritmo. A´ un as´ı, se mantienen de alguna manera los problemas relativos a la estimaci´on de ´areas vertientes, generalmente reflejados en una subestimaci´on de ´estas, derivados en parte del empleo del coeficiente x analizado en (2.58) a trav´es de cuyo valor debe alcanzarse la justa proporci´ on de difusi´on que caracteriza al flujo. La calibraci´on de este par´ametro de la ecuaci´on podr´ıa considerarse como un elemento de inter´es de cara a un uso del modelo en las mejores condiciones posible y la superaci´ on de este modo de las antedichas deficiencias, existiendo incluso an´alisis para la estimaci´ on de valores ´optimos para terrenos que representen a superficies matem´aticas. La aplicabilidad de esta soluci´on es, sin embargo, escasa, debiendo asumirse las anteriores circunstancias como inherentes al modelo. El modelo D∞ Una de las mejores y m´as interesantes tentativas que han sido propuestas para ampliar la potencia del modelo D8 y conseguir la caracterizaci´on de los flujos en un abanico de valores m´ as extenso que el de las 8 celdas circundantes a una dada, es la formulada por David Tarboton con su modelo D∞ (1997). La intenci´ on del autor es clara y as´ı se puede deducir r´apidamente de la denominaci´on que asigna a su modelo, en cuanto que se busca un abanico de posibilidades infinito, esto es, una medida continua de los ´angulos en que el flujo entre celdas contiguas se produce. Los planteamientos que residen tras este m´etodo son muy similares a los del FD8, intentando refinar algunos aspectos del mismo que se consideran mejorables, por lo que nos apoyaremos en sus expresiones anteriormente explicadas. Uno de los tem´as de inter´es para justificar la perspectiva adoptada en este modelo es el relativo a la modelizaci´on de la difusi´on, la cual recordamos que pod´ıa ajustarse modificando los valores del par´ametro x en (2.58). Pese a que, como se ha justificado, la modelizaci´ on de esta difusi´on es un aspecto de inter´es y constituye una de las caracter´ısticas de inter´es que adjudic´abamos a la formulaci´on del modelo FD8, es tambi´en cierto que en gran medida la difusi´on introducida por este m´etodo es poco realista en ocasiones y, como consecuencia de lo anterior, puede ser una desventaja para la aplicaci´on de posteriores algoritmos, en particular los destinados al c´alculo del area vertiente aguas arriba. Conjuntamente con este hecho, el c´alculo de la pendiente basado en la orientaci´ on de la celda, la cual deriva a su vez del ajuste de una funci´on mat´em´atica a la superficie en el

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entorno local de la celda como ya vimos en su momento, no garantiza la obtenci´on de resultados coherentes en la absoluta totalidad de casos posibles. Por ello, los algoritmos construidos en base al FD8 no son por completo robustos, aunque bien puede afirmarse que el error que se introduce puede en la gran mayor´ıa de las ocasiones desestimarse. Las superaci´on de las dos circunstancias desfavorables presentadas, esto es, la modelizaci´on mas realista de la dispersi´on y la b´ usqueda de un algoritmo por completo robusto, son el punto de partida para la creaci´on del m´etodo D∞, cuya formulaci´on seguidamente se introduce. En primer lugar, y en relaci´on con el segundo de los objetivos comentados, resulta obvio que debe proponerse una forma distinta de evaluar pendiente y orientaci´on, con objeto de suplir las carencias de la metodolog´ıa hasta el momento utilizada y sobre la que se fundamenta este aspecto en el modelo FD8. A este respecto, se propone la consideraci´on de la submalla 3 × 3 como una superficie representada por caras triangulares (aunque nada tiene que ver con aquel, la perspectiva seg´ un esto es muy similar a la de un TIN aunque con una eminente regularidad en los tri´angulos, y recu´erdese que en el TIN ´estos son irregulares), cada uno de los cuales est´a definido por la celda central y dos celdas consecutivas de su entorno. Se tienen as´ı un total de 8 de estos tri´angulos, cada uno de los cuales define un plano, no siendo dicho plano el producto de ning´ un tipo de ajuste, sino que pasa exactamente por los tres puntos utilizados para su c´alculo. El problema de la robustez algor´ıtmica va encontrando de este modo una buena soluci´on, especialmente teniendo en cuenta que las pendientes y orientaciones calculadas — que no son sino las pendientes y orientaciones de cada plano considerado — se eval´ uan empleando u ´nicamente los datos de la celda central y de cada plano y direcci´on dados, no utiliz´andose el resto de celdas que pueden aportar alguna desviaci´on al resultado. El c´alculo de las pendientes y orientaciones para cada plano se lleva a cabo mediante la siguiente formulaci´on, muy similar en gran n´ umero de aspectos a lo ya conocido a este respecto y explicado previamente en las secciones correspondientes. Utilizando las expresiones introducidas en (2.50) se calculan las pendientes en las direcciones de los ejes principales. Para ello, y puesto que en la formaci´on del tri´angulo concurren siempre adem´as de celda central una celda diagonal y otra no diagonal, ello debe computarse como la pendiente entre la celda no diagonal y las otras dos, teni´endose as´ı las dos componentes buscadas. Estas dos pendientes son utilizadas como componentes en la ecuaci´on (2.31) obteni´endose as´ı la pendiente del plano sobre el que se sit´ ua el tri´angulo, y en (2.36) para calcular la orientaci´on del mismo. Esta orientaci´on t´engase en cuenta que, una vez calculada para cada tri´angulo, deben referirse todas ellas a un origen com´ un, por ejemplo medidas como angulos azimutales a partir de la direcci´on Norte como viene siendo habitual. H´agase, por lo ´ tanto, especial hincapi´e en este sentido y de aqu´ı en adelante, en todo lo referente a la implementaci´on y el control de signos y resultados derivados del uso de la funci´on arcotangente, como ya se mencion´o en el apartado dedicado a la orientaci´on algunos puntos atr´as. Con las pendientes de todos y cada uno de los ocho tri´angulos, simplemente se tomar´a la mayor de todas ellas y la orientaci´on asociada a dicho tri´angulo, siendo ´esta la que deber´a ser considerada de cara a establecer la direcci´on de flujo en la celda analizada. La figura (2.18) muestra de forma gr´afica el esquema de facetas triangulares en que se basa el desarrollo anterior. Resta, por u ´ltimo, establecer la difusi´on entre las dos celdas sobre las que se sit´ ua el tri´angulo, para lo cual se aplica una sencilla proporci´on como la siguiente.

φb φa + φb φa fb = φa + φb

fa =

(2.59)

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.18: C´alculo de direcciones y reparto de flujo sobre facetas triangulares en el modelo DD∞ siendo fa y fb las proporciones de flujo que deben asignarse a cada celda de las anteriores. Es claro ver que, dada la forma de construir los tri´angulos, φa + φb = π/4. De aqu´ı en adelante, y una vez repartido el flujo, la forma de operar no se diferencia en absoluto de la que se utiliza para el FD8, excepci´on hecha de que con este m´etodo u ´nicamente dos celdas a lo sumo pueden constituirse como receptoras de dicho flujo. En este punto, podemos advertir como la formulaci´on anterior tambi´en soluciona la ocurrencia de fen´omenos de difusi´on irreales (generalmente por exceso), al disminuir ´esta acotando el ´ambito de celdas sobre las que puede salir el flujo a tal s´olo dos. Este hecho supone no s´ olo una mejora conceptual y una mejor aproximaci´on a la realidad del proceso modelizado, sino tambi´en una ventaja en t´erminos de implementaci´on de este algoritmo y el empleo de dicha implementaci´on para posteriores formulaciones relacionadas. La metodolog´ıa del D∞, sencilla a la par que correcta, se demuestra as´ı como la mejor alternativa analizada hasta el momento, siendo, no en vano, un referente de notable importancia en cuanto a las formulaciones que deben implementarse con objeto de superar las carencias ya comentadas de otros m´etodos. Siendo la mas reciente de cuantas veremos en este apartado, supera los puntos d´ebiles de el resto — incluyendo las no basadas en D8 y que ser´an en breve tratadas —, estableci´endose como punto de imprescindible consideraci´on para una futura ampliaci´on de cualquier m´etodo desarrollado para la evaluaci´on de direcciones de flujo. El modelo KRA (Kinematic Routing Algorithm) Los anteriores algoritmos, con sus particularidades y diferencias, constituyen lo que podr´ıamos denominar la familia del D8, pues comparten una base com´ un que no es otra que la base te´orica del propio D8 matizada o extendida de diversas formas seg´ un el caso. El modelo KRA (acr´onimo de Kinematic Routing Algorithm)(Lea, 1992) — conocido tambi´en como de ((bola rodante)) —, no obstante, ataca el problema de la determinaci´on de direcciones de flujo desde una perspectiva distinta, siendo mediante la consideraci´on de otros conceptos distintos a los que residen en los fundamentos de las anteriores metodolog´ıas como se consigue superar las deficiencias achacables al D8 y a algunos de sus sucesores. Con las matizaciones ya expuestas en cada caso, el movimiento del agua en todos los modelos de la familia del D8 se efect´ ua entre los centros de las celdas, que act´ uan seg´ un esto como casillas de un tablero a trav´es de las cuales el flujo se va desplazando. Este planteamiento se ha mantenido en todos los modelos presentados hasta este punto sin sufrir variaci´on alguna, habi´endose buscado la continuidad angular del flujo — principal carencia del D8 como ya sabemos — a trav´es de planteamientos elaborados sobre esta base conceptual. En el modelo KRA, la variaci´on de las ideas anteriores da lugar a una concepci´on nueva que aporta tanto nuevos resultados como una serie de circunstancias tambi´en novedosas de cara a su implementaci´on y el trabajo con el propio algoritmo. En este caso, la estructura de celdas

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a modo de casillas, comentada anteriormente, da paso a una nueva concepci´on en la que las celdas no son sino divisiones establecidas sobre un continuo sobre el que el agua se desplaza sin los impedimentos que exist´ıan hasta el momento en el resto de enfoques propuestos. A partir de lo anterior, dicho movimiento se modeliza como el de una bola que rodase sobre la superficie definida — de ah´ı el nombre —, cayendo siempre en la direcci´on de la m´axima pendiente. La discretizaci´on que existe en los datos de partida — el MDT —, no se traduce en una discretizaci´on en el movimiento del agua sobre la superficie que este MDT define, al menos no en t´erminos de las direcciones que puedan seguirse, con lo que de este modo se resuelve directamente el problema de la continuidad de dichas direcciones. Antes de pasar a ver la formulaci´on exacta de este modelo, se presenta en la figura (2.19 una comparaci´on gr´afica entre un flujo calculado mediante D8 y otro mediante este nuevo m´etodo, que servir´a a buen seguro para comprender la notable diferencia que existe entre las concepciones de ambos.

Figura 2.19: Comparativa entre flujos calculados mediante KRA (trazo fino) y D8 (trazo grueso) N´otese que la direcci´on de flujo en una celda es lo que es ahora caracter´ıstico de dicha celda, pero no la celda siguiente aguas abajo, ya que ´esta depende de la direcci´on de la de aguas arriba y ´esta a su vez de las inmediatamente por encima de ella, y as´ı sucesivamente. Este hecho veremos que es uno de los grandes inconvenientes del modelo al impedir la utilizaci´on de algoritmos recursivos para otras formulaciones derivadas, suponiendo una eficacia en t´erminos computacionales mucho menor que la de los m´etodos basados en D8. Veamos con algo m´as formalismo y detalle los fundamentos en los que se basa la aplicaci´on de este m´etodo. El primer par´ametro que debemos calcular y que nos servir´a para establecer la direcci´on en que el agua se desplaza a trav´es de la celda, es la orientaci´on de la misma, que en este caso, siguiendo la formulaci´on original de Lea, se eval´ ua haciendo uso u ´nicamente de las celdas circundantes no-diagonales. Esto es, seg´ un lo mostrado en (2.54), las celdas z2 , z4 , z6 y z8 . Sobre ´estas, se calcula la pendiente individual entre cada una de dichas celdas y la central aplicando la expresi´on mostrada en (2.50), tom´andose posteriormente el mayor valor de todos los calculados. De las 3 celdas restantes, se toman las dos m´as cercanas a aquella en cuya direcci´on la pendiente es m´axima, eligi´endose a su vez entre ellas la que presente una mayor pendiente. Por u ´ltimo, se consideran las magnitudes de pendiente anteriores con sus correspondientes direcciones como vectores y se obtiene mediante la suma de ambos el vector que indica la direcci´on de flujo a considerar en la celda. La figura (2.20) muestra un esquema de lo anterior. Una vez se conoce el valor de la orientaci´on para cada celda, puede procederse a conducir el flujo a trav´es de ellas, punto ´este donde reside la principal diferencia con las metodolog´ıas seguidas por el resto de modelos, ya que este flujo no es u ´nico y la sola informaci´on contenida en la propia celda no basta para caracterizar su movimiento. La metodolog´ıa a aplicar difiere, por tanto, notablemente de lo visto hasta ahora, ya que permite, por ejemplo, que para dos flujos cualesquiera que atraviesan una celda, ´estos salgan de ella hacia dos celdas distintas, en funci´on

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.20: C´alculo de direcci´on de flujo seg´un Kinematic Routing Algorithm (KRA) (Lea, 1992), como suma vectorial de m´ aximas pendientes no diagonales.

unicamente de los puntos de entrada en la misma. Tales son, logicamente, las consecuencias de considerar el espacio representado por el MDT como algo continuo, prescindi´endose de las unidades que suponen las celdas y las fronteras que representan los l´ımites de ´estas Como ya se se˜ nal´o de forma sucinta, la desaparici´on de la relaci´on existente entre cada celda y la inmediatamente aguas abajo supone el mayor problema a la hora de manejar esta metodolog´ıa, al no poder definirse entonces el flujo sin el conocimiento de lo que acontece aguas arriba. Si al pasar del D8 al FD8 se dijo que el resultado que deb´ıa dar este u ´ltimo ya no era una celda sobre la que verter, sino un n´ umero mayor de ellas entre las que el flujo se repart´ıa, ahora este resultado debe expresarse como un punto de salida de la celda, as´ı como uno de entrada del flujo que se analiza — recu´erdese que por una celda puede pasar m´ as de una l´ınea de flujo. De hecho, deben pasar tantas como celdas existan aguas arriba de la misma —. La conexi´on de estos puntos forma la linea completa de flujo de la escorrent´ıa generada en la celda inicial, elemento que ahora, al no existir una relaci´on fija entre cada celda y la celda (o celdas) aguas abajo, resulta necesario conocer para aplicar los resultados obtenidos de cara a futuras aplicaciones. Observado este hecho desde otro punto de vista, podemos afirmar que, mientras que el registro de direcciones de flujo en los modelos tipo D8 se realiza bajo un planteamiento raster al igual que los datos del MDT, ´este se lleva a cabo con una filosof´ıa netamente vectorial mediante este nuevo enfoque. La mezcla de ambos planteamientos parece l´ogico pensar que, aun superando las conocidas desventajas asociadas a la concepci´on raster, a˜ nade dificultades de concepto y de tipo pr´actico con objeto de compatibilizar la utilizaci´on de los datos seg´ un ambas filosof´ıas. Matem´aticamente, si con un m´etodo como el D8 obten´ıamos una matriz de datos referentes a las direcciones de flujo, en este caso el resultado no es sino un campo vectorial caracterizado a trav´es de algunas de sus l´ıneas de flujo, especificadas ´estas a partir de una cantidad discreta de puntos para cada una de ellas, coincidentes con la intersecci´on de las mismas con la malla que representa los bordes de las celdas del MDT. La posible mayor complejidad asociada a la formulaci´on algor´ıtmica de lo anterior no es, sin embargo, un defecto importante del mismo, pero s´ı lo es la eficacia computacional del mismo, muy notablemente peor que en todos los modelos anteriores. Mientras que el desplazamiento de la submalla 3 × 3 a lo largo de las celdas del MDT bastaba para computar las direcciones de flujo de todo el MDT, ahora el an´alisis de una celda sola requiere tambi´en el estudio de todas cuantas se encuentren aguas abajo de la misma. En realidad, s´ı que puede establecerse una direcci´on de flujo con una u ´nica operaci´on por celda, pues la direcci´on como tal se obtiene con el c´alculo de la orientaci´on seg´ un la metodolog´ıa descrita algunas l´ıneas atr´as, pero la utilidad pr´actica de esto es bastante limitada. Como podr´a intuir el lector, el estudio de direcciones de flujo no tiene demasiado inter´es de por s´ı, sino como elemento b´asico para la obtenci´on de otros par´ametros derivados o la extracci´ on

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

de elementos hidrol´ogicos tales como redes de drenaje o cuencas, y es ah´ı, en la utilizacion de las direcciones de flujo calculadas con este m´etodo para esas tareas, donde el rendimiento del mismo se demuestra inferior al de otros planteamientos. Haciendo un breve an´alisis con algo m´as de rigor — y anticipando algunos conceptos de pr´oximos cap´ıtulos —, supongamos que se analiza un MDT que contiene una cuenca vertiente y est´a constituido por un n´ umero n de celdas, excluyendo las extremas. Ser´ıan por tanto necesarias n operaciones para la aplicaci´on de, por ejemplo, el m´etodo D8 sobre esta malla, con objeto de calcular las direcciones de cada celda y emplear ´estas para calcular una cuenca vertiente como conjunto de celdas cuyo flujo pasa por una dada. Si en su lugar aplicamos el KRA este valor se eleva notablemente, como veremos a continuaci´on. Suponiendo que la longitud del flujo desde una celda dada hasta que se alcanza en el trayecto un extremo de la malla es de aproximadamente igual a la mitad de la longitud del lado de esta u ´ltima, y considerando por simplicidad que la malla es cuadrada, para cadap celda sobre la que se eval´ ua la direcci´on del p flujo generado en ella se deben llevar a cabo n/2 operaciones. Esto arroja un total de n3 /2 operaciones a realizar sobre el total de la malla, valor notablemente superior si se tiene en cuenta que el n´ umero de celdas sobre las que se trabaja suele ser muy elevado. Empleando una notaci´on m´as acorde con el resultado, podemos decir que los m´etodos de la familia del D8 hasta ahora vistos son de complejidad O(n) respecto al n´ umero de celdas, siendo el analizado en este punto de complejidad O(n3/2 ). No debe preocuparse el lector si no es capaz de comprender por completo lo anterior, pues los fundamentos para la delimitaci´on de cuencas vertientes a partir del MDT se expondr´an con gran detalle en un proximo cap´ıtulo, siendo entonces cuando se explique en profundidad la base te´orica que permite realizar dicho an´alisis, del cual tan s´olo se ha mostrado un peque˜ no esbozo con car´ acter meramente indicativo. Mencionar, para completar el estudio relativo a la formulaci´on algor´ıtmica del m´etodo, que la robustez en una implementaci´on pr´actica bajo las premisas anteriores no es del todo sencilla de obtener, existiendo determinadas estructuras topogr´aficas — una celda que represente un punto de silla es una de ellas — sobre que las que el m´odelo puede arrojar un comportamiento carente de sentido. Dejando a un lado el aspecto computacional del m´etodo, el an´alisis de sus caracter´ısticas nos indica una carencia importante que no ha sido mejorada con respecto al D8, y que radica en la consideraci´on unidimensional del flujo no permitiendo la modelizaci´on de los fen´omenos de dispersi´on. Este hecho veremos que se solucionar´a con el enfoque dado en el modelo DEMON, donde sobre una base similar se a˜ nade una perspectiva bidimensional del flujo con objeto de completar ese aspecto. En lo referente al calculo de direcciones, ah´ı ya vimos que el problema se soluciona por completo, ofreciendo este m´etodo algunos de los resultados m´as precisos y que m´as de acuerdo est´an con los observados sobre el terreno. Los fundamentos del mismo hacen que sea posible alcanzar esa precisi´on en mayor medida que el resto de modelos analizados hasta ahora. El modelo DEMON Representando un paso m´as all´a en el desarrollo de modelos no basados en el D8 y con una filosofia similar en cuanto a gran parte de los conceptos asumidos para fundamentar el m´etodo con el modelo KRA, encontramos el modelo DEMON (Digital Elevation MOdel Networks) (Costa–Cabral y Burgess, 1994). El principal objetivo de este modelo es la consecuci´on de una modelizaci´on realista del flujo, que tenga en cuenta la naturaleza bidimensional del mismo, al mismo tiempo que refleje fielmente la diferentes direcciones de flujo, no quedando limitada a los esquemas de 8 celdas

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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circundantes como en los modelos de la familia del D8. Esta u ´ltimo consideraci´on se obtiene con la aplicaci´on de las ideas introducidas en el modelo KRA, las cuales son adaptadas y extendidas con objeto de dar soluci´on igualmente a la primera de las deficiencias citadas. Para poder modelizar el flujo como un proceso bidimensional, se modifican algunos de los conceptos base que residen tras el modelo KRA, a˜ nadiendo una mayor complejidad a los par´ ametros y elementos que tomaban parte en dicho modelos. As´ı, el flujo que antes se generaba con car´acter puntual en el centro de cada celda y era conducido aguas abajo a trav´es de una linea de flujo, se genera ahora en la totalidad de la celda y realiza su recorrido a lo largo de una banda de flujo, cuyo ancho var´ıa a lo largo de dicho recorrido aumentando en las zonas donde la topograf´ıa tiene car´acter divergente, disminuyendo en las de tipo convergente, y manteni´endose constante en las planas. Como consecuencias de lo anterior, para cada celda no existe una linea de flujo hacia aguas abajo, sino dos, una representando a cada uno de los l´ımites de la antedicha banda. Considerese la siguiente notaci´on para las celdas del entorno de la submalla 3 × 3 centrada sobre una celda. z1

z2

z4

z3

(2.60) La orientaci´on para este m´etodo se define, como suced´ıa en el caso del modelo KRA, como la del vector suma de dos componentes en los ejes horizontal y vertical, las cuales toman respectivamente los valores. 1 (−z1 + z2 + z3 − z4 ) 2g 1 b= (z1 + z2 − z3 − z4 ) 2g

a=

(2.61) Si esta orientaci´on es m´ ultiplo de π/2, el flujo sale por una u ´nica celda de las situadas en el entorno. Si, por el contrario, es un valor distinto, el flujo se divide entre dos celdas, pero siempre de las no-diagonales. Este hecho se debe a que, si se diera un flujo entre celdas que est´an en contacto diagonal, la anchura de la banda asociada seria infinitamente peque˜ na, pues as´ı lo es la superficie de contacto entre ambas, siendo este hecho inconsistente con el concepto de ´area aportante espec´ıfica, el cual ser´a detallado m´as adelante en este cap´ıtulo, y que es considerado por los autores de este modelo como una base conceptual para el mismo. En cierta media, el modelo DEMON se asemeja a lo que suced´ıa con el modelo D∞, donde el flujo tambi´en se divid´ıa exclusivamente entre dos celdas, aunque entonces lo hacia entre dos consecutivas de la vecindad. Con lo anterior, para una celda dada, y considerando el flujo generado en la misma, la banda creada por dicho flujo aguas abajo de la celda se puede calcular del modo que, gr´aficamente, queda esquematizado en la figura (2.21). Cada celda da lugar a una malla como la mostrada, de tal modo que, como ya veremos m´as adelante, ´estas pueden utilizarse para el c´alculo de flujos acumulados y otros par´ametros de importancia. A simple vista, la complejidad del modelo DEMON de cara a la creaci´on de una malla de direcciones de flujo y la utilizaci´on de la misma, es much´ısimo m´as elevada que en cualquiera de los m´etodo anteriores, y parece ser necesario el redefinir muchos conceptos debido a la gran diferencia conceptual que existe entre su planteamiento y el que hasta el momento — con ligeras variaciones —, venimos viendo. No obstante, el modelo DEMON se plantea en origen

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

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Figura 2.21: C´alculo de la malla de flujo para el flujo generado en una celda dada (en negro), seg´un el modelo DEMON. Las zonas en gris indican el trazado del tubo de flujo generado. Los porcentajes de flujo en cada celda se recogen en la malla de la derecha.

como una mejora particular de cara a la evaluaci´on del flujo acumulado y el ´area aportante especifica, por lo que ser´a en la explicaci´on posterior de estos t´erminos cuando se vea la aplicaci´on pr´actica — compleja y costosa en t´erminos computacionales, pero asequible — de lo ahora explicado. Sirva este apartado, por tanto, no como una explicaci´on completa del m´etodo, sino una introducci´on al mismo y a su base conceptual, que ser´a complementada con lo que m´as adelante se desarrollar´a en relaci´on con otros elementos a calcular. Otros Planteamientos Las posibilidades que se presentan para la generaci´on de nuevos modelos o variaciones particulares de los anteriores es grande, en cuanto que ninguno de los anteriores es por completo satisfactorio o mejor que el resto en todos los aspectos. Aun as´ı, estos algoritmos, siempre con el original D8 a la cabeza, a pesar de las m´ ultiples carencias achacables a su funcionamiento, representan de modo completo al ab´anico de alternativas que con car´acter general podemos encontrar y que pueden utilizarse de base para nuevos planteamientos. Se˜ nalar, igualmente, que la combinaci´on de las ideas recogidas en los diferentes modelos, tambi´en puede constituirse en una fuente de nuevas alternativas. En general, todos ellos pueden entenderse como combinaci´on de dos partes bien diferenciadas: una primera de c´alculo de orientacion y una segunda representada por la propia metodolog´ıa para conducir el flujo en funci´on de dicha orientaci´on. Utilizando elementos de modelos distintos, algunas soluciones complementarias pueden obtenerse, con variables resultados. En general, parece aceptado que la bondad de un m´etodo o los defectos que pueden achacarse al mismo son funci´on principalmente del algoritmo de direcci´on de flujo en s´ı, no teniendo apenas influencia la forma en que la direcci´on de la pendiente es evaluada. Para los objetivos perseguidos por esta obra, ´estos son suficientes para dar una idea de lo que se persigue con el an´alisis del MDT en lo tocante a direcciones de flujo y, realmente, son ´estos los que de un modo u otro van a poder encontrarse en el uso habitual, quedando el resto de formulaciones que puedan hallarse relegadas a un uso marginal, m´axime cuando la pr´actica totalidad de ellas no tiene a sus espaldas una comprobaci´on suficiente que permita afirmar la robustez de los algoritmos asociados, al menos a un nivel ´optimo para su empleo pr´actico.

2.3.8.

El problema de las zonas llanas. Parte II

Nada se ha hablado hasta el momento acerca de una de las circunstancias que m´as incidencia tiene sobre el correcto funcionamiento de los algoritmos anteriores, desarroll´andose ahora en un punto aparte precisamente por esa universalidad del problema al afectar al c´alculo de

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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direcciones de flujo independientemente de la metodolog´ıa empleada para llevar a cabo esta tarea. Las circunstancias de las que hablamos no son otras que la presencia de celdas planas, para las cuales ya en su momento se dijo algo en lo referente al c´alculo de la orientaci´on. Sin profundizar m´as, ya se puede intuir que esta orientaci´on, al formar parte de algunas formulaciones de las anteriores y no estar definida en ciertos puntos, va a implicar la imposibilidad de evaluar en dichos puntos las direcciones de flujo, hecho frente al cual deber´a encontrarse alguna soluci´on que garantice un correcto funcionamiento de los algoritmos analizados en el apartado precedente. Estudiaremos esto en profundidad, comenzando paulatinamente y b´asando la explicaci´ on en el modelo D8, pues una malla de elevaciones correcta desde el punto de vista de las zonas llanas se puede considerar apta para cualquier otra metodolog´ıa y, adem´as, el empleo mucho m´as abundante de esta metodolog´ıa hace que las formulaciones que se van a exponer hayan sido desarrolladas pensando en dicho D8 o, al menos, en otros m´etodos de su misma familia. Anal´ıcemos en primer lugar la siguiente submalla 3 × 3 cuyos valores expresan la altura en metros y tratemos de asignarle una direcci´on de flujo desde la celda central. 600.11 601.08 600.11

612.23 605.40 603.18

615.52 611.09 610.45

Puesto que suponemos que se utiliza el D8, debemos, por tanto, obtener como resultado la siguiente celda en el descenso del flujo, es decir, una celda que caracterice dicha direcci´ on como una de las 8 posibles asociadas a las 8 celdas circundantes a la celda problema. Esta celda, sin embargo, no est´a bien definida, pues si evaluamos la pendiente hacia cada una de las celdas exteriores, existen dos de ellas para las cuales este valor coincide, siendo, adem´ as, el m´aximo buscado. La asignaci´on de una direcci´on de flujo es, por tanto, imposible con el solo respaldo de lo que hasta aqu´ı conocemos, haci´endose patente la necesidad de ampliar los supuestos estudiados o a˜ nadir complementos a los mismos. En una implementaci´on com´ un del algoritmo del D8, la pendiente se va calculando para cada una de las 8 celdas circundantes, asumi´endose que ´esta pendiente es el m´aximo si es mayor que las calculadas anteriormente. Con un planteamiento as´ı, si se sigue, por ejemplo, el sentido horario que va de z1 hasta z8 en los c´alculos sucesivos de pendiente, y existen dos celdas, sean za y zb , tal que a < b que comparten ambas el m´aximo valor de dicha pendiente, siempre se tomar´a como direcci´on de flujo la determinada por za , teniendo as´ı lugar un sesgo presente siempre en celdas en las que se produzca una situaci´on como la anterior o similar. Ante esta situaci´on, se ve claramente que la informaci´on contenida en la submalla 3 × 3, si bien resulta apropiada para la estimaci´on de toda suerte de valores asociados a la celda central, se demuestra insuficiente cuando es necesario tomar algunas decisiones. La soluci´ on del problema pasa, como parece l´ogico, por ampliar el rango de informaci´on que representa dicha submalla y observar m´as alla, tratando de averiguar cual de las opciones que se presentan es la adecuada, es decir, a cu´al de las celdas cuyos valores de pendiente suponen el m´ aximo dentro de la submalla se la debe designar como siguiente celda en el recorrido del flujo de agua. Este ejemplo anterior, no obstante, tan s´olo representa una primera aproximaci´on al verdadero problema que se pretende analizar en este apartado, por lo que ser´a ya en el tratamiento de las zonas planas donde se ampl´ıe esa extensi´on de la submalla y se adjunten formulaciones que sirvan para solucionar dicho problema. En lo referente a casos como el anterior, ´estos son en realidad poco frecuentes — aunque pudiera pensarse que m´as infrecuentes, por irreales, debieran ser las zonas planas, la construcci´on del MDT generalmente hace que esto no sea as´ı. —, por lo que la decisi´on — notablemente salom´onica, por otra parte —, que se asume

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

en todos los modelos en que puede aparecer esta disyuntiva, es la de simplemente escoger la primera celda seleccionada, asumiendo sin mayor complicaci´on y sin apenas consecuencias el sesgo al que anteriormente se hizo menci´on. La infrecuencia de este tipo de celdas es, no obstante, funci´on de la precisi´on con que las elevaciones hayan sido registradas en el MDT, siendo recomendable y muy deseable que ´esta sea del orden del cent´ımetro, tal y como en el ejemplo incluido en este caso. Entrando de lleno en el problema de las celdas planas, en ellas la submalla 3 × 3 tiene una expresi´on como la mostrada bajo estas lineas, 722.50 718.88 715.15

719.31 715.15 715.15

723.12 715.15 715.15

esto es, con una serie de valores iguales a los de la celda central y todos los restantes mayores. En este caso ya no es posible el aplicar una soluci´on como la enunciada para la situaci´on precedente, siendo necesario el formular una alternativa m´as refinada y definir ´esta en t´erminos rigurosos que permitan su utilizaci´on del mismo modo que los algoritmos correspondientes para el c´alculo de direcciones de flujo son utilizados en las celdas que no constituyen un caso especial como las del presente apartado. Parece l´ogico pensar que esa necesidad adicional de informaci´on que tenemos en este punto podr´ıa tal vez aliviarse utilizando una submalla mayor de tal modo que otros elementos del relieve que no fueran llanos entraran a formar parte de nuestra ventana de estudio permiti´endonos as´ı conocer una mayor extensi´on del relieve y disponiendo de este modo de otro nuevo punto de vista que, junto con los resultados obtenidos hasta el momento, quiz´as sean suficientes para decidir acerca de la direcci´on de flujo que debe asignarse. El objetivo no es, sin embargo, el c´ alculo de las pendientes o las orientaciones sobre una submalla mayor aplicando una formulaci´on matem´atica acorde con las nuevas circunstancias, sino, aplicando conceptos l´ogicos acerca del comportamiento del flujo — por ejemplo, que este flujo va de las zonas mas altas a las mas bajas —, recopilar informaci´on que nos permita un juicio correcto al respecto. Todo esto que ha sido explicado por el momento de un modo bastante ((literario)) debe, l´ogicamente, plasmarse en una definici´on algor´ıtmica y una serie de expresiones matem´aticas, las cuales se desarrollar´an a continuaci´on. Como en todos los casos anteriores, el esfuerzo por parte de distintos investigadores ha dado lugar a diversas soluciones, habiendo quedado cada una de ellas m´as o menos arraigada en el uso habitual en funci´on de sus propias caracter´ısticas en cuanto a sencillez o eficacia. Comenzando por la antedicha sencillez, y acerc´andonos un poco m´as en detalle a la manera en que los datos adicionales que se obtienen de aumentar la submalla pueden emplearse para el fin actual, el primer planteamiento consiste sencillamente en asimilar la direcci´on de flujo de la celda a la tendencia en ese sentido de las celdas que vierten sobre la misma. Trabajando sobre la metodolog´ıa del D8 para ello, y entendiendo cada direcci´on de flujo como un vector que une el centro de la celda origen con el de aquella sobre la que vierte su flujo, una simple suma vectorial de los vectores que representan dichos flujos dar´a lugar a un nuevo vector al cual puede asimilarse la direcci´on resultante en la zona llana. Obviamente, este vector puede asimilarse a una de las 8 celdas circundantes como siguiente celda hacia aguas abajo en funci´on de su ´angulo, quedando de este modo resuelta la complicaci´on. Una sencilla representaci´on gr´afica de lo anterior se presenta en la figura (2.22). Si alguna de las celdas situadas alrededor de la celda problema es a su vez plana, al evaluar la direcci´on de flujo de ´esta ser´a necesario recurrir tambi´en al algoritmo anterior, continu´andose as´ı sucesivamente hasta alcanzar una zona no llana, momento en el cual quedar´an definidas todas las direcciones anteriores hasta llegar a dicho emplazamiento desde la celda problema original.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.22: C´alculo de direcci´on de flujo sobre una celda llana (en trazo grueso) como suma vectorial de las direcciones de las celdas que vierten sobre la misma (en trazo fino).

Como se puede observar, hacemos uso en este punto de una informaci´on que, si bien u ´nicamente extraemos de las 8 celdas circundantes (su direcci´on de flujo), ´esta a su vez deriva de una submalla de extensi´on 5 × 5, ya que es con los datos de la misma con los que es posible extraer las direcciones de flujo de todas las celdas que componen la submalla 3 × 3 analizada. La informaci´on adicional de la que se dispone nos permite tener un nuevo criterio gracias al cual asignar una direcci´on perfectamente definida a una celda plana. Aunque solucionando eficientemente la dificultad de las zonas planas, esta metodolog´ıa adolece de algunos problemas de precisi´on, permitiendo la evaluaci´on de una direcci´on de flujo en zonas planas pero arrojando en determinadas ocasiones resultados con ciertas deficiencias, especialmente para zonas planas de gran extensi´on. La posibilidad de existencia de m´as de un punto de salida o la indeterminaci´on en ciertos casos de la direcci´on a asignar por existir varias opciones v´alidas, implica la introducci´on de elementos arbitrarios que, como en otros casos anteriores, conllevan una serie de elementos negativos ya conocidos. El ya bien conocido por todos problema de las l´ıneas paralelas de flujo es en este caso uno de los principales aspectos que pueden asociarse con esta metodolog´ıa. Un enfoque alternativo, muy popular y debido a Jenson y Domingue (1988), propone una filosof´ıa opuesta empleando las celdas hacia las que vierte la zona llana y que tengan por s´ı mismas un flujo bien definido. Con ellas, aplicando un proceso iterativo similar al anterior, se define el flujo de las celdas circundantes a las mismas encamin´andolo hacia ellas y continuando de este modo hacia las restantes celdas hasta completar la totalidad de la zona llana. Para cada celda sin direcci´on asignada, si existen en su entorno una celda con direcci´on de flujo definida, se establece la direcci´on de dicha celda hacia aquella ya definida, repiti´endose este proceso hasta que no existan celdas sin direcci´on de flujo. No obstante, la similitud en cuanto a sus conceptos, aunque con algunas diferencias, hace que puedan asociarse a esta alternativa unas desventajas similares a las comentadas en el m´etodo anterior. Reflejando las ideas presentes en estos m´etodos, particularizadas en el algoritmo de Jenson y Domingue, la formulaci´on algor´ıtmica de los mismos puede bosquejarse en un pseudoc´ odigo como el representado a continuaci´ on. N´otese que la ejecuci´on de este algoritmo est´a encaminada a la creaci´on de una malla de direcciones de flujo, y se debe dar con posterioridad a la asignaci´ on de este par´ametro para todas aquellas celdas en las que esto sea posible, es decir, aquellas que no representen zonas llanas. Ser´a entonces, en base a la informaci´on de dichas celdas recogida en la malla, que se consiga asignar una direcci´on a aquellas que s´ı se encuentran sobre zonas planas. procedimiento DireccionFlujoZonasLlanasJenson { mientras haya celdas sin direcci´ on de flujo asignadas

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

80 {

para cada celda sin asignar { si hay celda con direcci´ on asignada en su entorno, entonces { asignar direcci´ on hacia la celda ya asignada } si no { no hacer nada, la direcci´ on se asignar´ a a esta celda en una pr´ oxima iteraci´ on } } } } La sencillez del algoritmo se comprende f´acilmente pese a la expresi´on poco detallada que se ha preferido aportar del mismo, siendo tambi´en sencillo comprender que, pese a conllevar un coste computacional mayor que la simple asignaci´on de flujo en zonas cualesquiera sin caracter´ısticas especiales, se trata de un proceso muy eficaz debido a su inherente simplicidad. Como mejora a introducir sobre el trabajo de Jenson y Domingue, y especialmente con la finalidad de eliminar o disminuir el problema de las l´ıneas paralelas derivado entre otras razones de esta simplicidad, Tribe (1992) propuso la adici´on de cierta informaci´on adicional sobre la zona llana, de tal modo que una aplicaci´on posterior del algoritmo se realizara en mejores condiciones. Esta circunstancia es de especial inter´es para zonas llanas de una cierta dimensi´on, donde el comportamiento del flujo modelizado seg´ un lo anterior puede ser en ocasiones ciertamente ((err´atico)). Para ello, y localizando lo que podr´ıamos denominar un eje principal de la zona llana trazado entre el punto de salida y uno de entrada establecido, se asignar´ıan direcciones a las celdas situadas en ese eje, de tal modo que ´estas fueran coherentes con la direcci´on del mismo. De este modo, el posterior forzado de direcciones no se realizar´ıa ya de forma exclusiva hacia la salida de la llanura sino tambi´en hacia el eje de la misma, siendo esto de especial inter´es si se trata de ´areas llanas que ocupan un n´ umero considerable de celdas, pues aporta una especie de encauzamiento del flujo sobre la zona llana que supone una importante mejora en la coherencia y realismo de las direcciones asignadas. Esta soluci´on queda reflejada esquem´ aticamente en la figura (2.23).

Figura 2.23: Definici´on de un eje principal de la zona plana entre los puntos extremos (1) y(2), seg´un (Tribe,1992).

Repasando ahora todos los enfoques anteriores y sus variaciones propuestas, vemos que en el primero de ellos u ´nicamente se hace uso de aquellas celdas que vierten sobre la celda

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

81

plana motivo de an´alisis en cada caso, es decir, aquellas con elevaci´on mayor que dicha celda problema. El planteamiento f´ısico que se desarrolla es, por tanto, la conducci´on del flujo lejos de las zonas de mayor elevaci´on, siguiendo la direcci´on que ´estas determinan. Es posible tambi´en, como se vi´o para el segundo m´etodo, plantear la hip´otesis en sentido inverso, esto es, conduciendo el agua desde la zona plana hacia las ´areas de menor altura a trav´es de la localizaci´on de un punto de salida de la zona llana – la celda en contacto con la misma con menor elevaci´on — y a partir del mismo ir asignando sucesivamente direcciones de flujo sobre las celdas en las que ´esta ya fue asignada, hasta que todas las zonas de la llanura quedan definidas en este aspecto. En un siguiente paso, uniendo estos dos posibles enfoques para una misma formulaci´ on, el algoritmo que se presenta a continuaci´on (Garbrecht y Martz, 1997), el cual supone una mejora notable en cuanto a la coherencia y veracidad de sus resultados, as´ı como en el error y sesgo introducido en los mismos (Srivastava, 2000), no s´olo conduce el flujo alej´andolo de las zonas de mayor elevaci´on o acerc´ andolo a las de menor, sino considerando los dos fen´omenos de modo simultaneo, representando as´ı de un modo mas fiel el verdadero fen´omeno f´ısico que tiene lugar en la generaci´on y conducci´on de un flujo l´ıquido como el estudiado. Mientras que en el caso de el algoritmo propuesto por Jenson y Domingue la asignaci´ on de las direcciones de flujo no implica la modificaci´on del MDT, pudiendo ´estas deducirse a partir de las celdas del entorno, el algoritmo de Garbrecht y Martz conlleva la modificaci´ on — una doble modificaci´on, ya que se consideran los dos enfoques ya comentados — de las celdas del MDT, elimin´andose el ´area de planicie que queda sustituida por una zona con una inclinaci´on tal que permite ya el flujo del agua hacia las direcciones correspondientes, y por tanto el c´alculo de las direcciones de flujo de modo habitual. Esta caracter´ıstica de alteraci´on del terreno veremos que es com´ un en las formulaciones destinadas a la eliminaci´ on de depresiones, las cuales ser´an analizadas en el siguiente punto. Antes de de entrar en algunas expresiones m´as precisas de este u ´ltimo algoritmo considerado, resulta interesante una comparaci´on visual entre las diferentes formulaciones propuestas para el tratamiento de depresiones, las cuales se recogen en las figuras (2.24) y (2.25). La comprensi´on de lo recogido en estas figuras permitir´a tener una mejor visi´on sobre la naturaleza y funcionamiento de ambos algoritmos, facilitando la mejor comprensi´on del propuesto por Garbrecht y Martz, que a continuaci´on ser´a detallado.

Figura 2.24: C´alculo de direcci´ones de flujo sobre zonas llanas seg´un Jenson y Domingue (1988). La malla de la izquierda representa las alturas del MDT, donde se aprecia la zona llana de elevaci´on 1 (en gris). Las mallas sucesivas presentan las etapas del proceso iterativo de asignaci´on de direcciones de flujo a partir del punto de salida existente.

Entrando ya en la formulaci´on del algoritmo de Garbrecht y Martz, el resultado buscado es un par de mallas de datos cada una de las cuales va a recoger el aumento en altura que debe darse a cada celda con objeto de crear esa nueva topograf´ıa que elimine las zonas llanas

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Figura 2.25: Modificaci´on del MDT para el c´alculo de direcci´ones de flujo sobre zonas llanas seg´un Garbrecht y Martz. De iquierda a derecha y de arriba a abajo: Elevaciones originales, modificaci´on de elevaciones seg´ un los dos supuestos considerados y elevaciones finales resultantes.

y permita conducir el flujo de forma perfectamente determinada en cualquiera de las celdas del MDT. Cada una de dichas mallas se corresponder´a con los dos conceptos ya expresados anteriormente, es decir, el alejamiento de las zonas de mayor elevaci´on y la conducci´on hacia las de menor cota. Veremos de forma individual la creaci´on de cada una de las mismas. Un primer elemento a definir antes de entrar en la creaci´on directa de las mallas de elevaci´on suplementaria es la forma de establecer dicha elevaci´on. Puesto que se trata de establecer aumentos de cota en las celdas que conforman la zona llana, se ha de definir un intervalo m´ınimo en que especificar dicha elevaci´on, es decir, una resoluci´on a utilizar en las mallas a crear, sea . As´ı, el valor final de las celdas del MDT, originalmente de la forma zi,j , pasar´a a ser de la forma zi,j + k , con k ∈ N, una vez ´este haya sido modificado. 2 Los autores de este algoritmo proponen un valor  = 100000 ν, donde ν es la resoluci´on vertical propia del MDT. Es interesante se˜ nalar que la magnitud escogida no tiene consecuencias sobre el comportamiento del algoritmo en t´erminos de su rendimiento, pero s´ı sobre el funcionamiento correcto del mismo, debiendo garantizarse que no se escoge una magnitud demasiado elevada que produzca resultados incorrectos. Por ello, el valor anterior es suficiente desde todos los puntos de vista, y ser´a el que desde aqu´ı consideraremos para su uso. Con este valor ya definido, la creaci´on de la primera malla — en este caso, la de alejamiento de las zonas m´as elevadas — se lleva a cabo seg´ un un esquema iterativo en el que se modifican en cada iteraci´on aquellas celdas en cuyo entorno existan otras celdas de mayor elevaci´on pero ninguna con menor. En cada nueva iteraci´on, se modifican adem´as primeramente todas aquellas celdas que hayan sido incrementadas en una pasada anterior. El proceso de iteraci´on se detiene cuando resulta posible asignar una direcci´on de flujo a todas las celdas de la zona llana, por lo que la comprobaci´on de si una celda tiene direcci´on de flujo asignada o no, se debe llevar a cabo teniendo en cuenta las modificaciones que han sido introducidas en iteraciones precedentes. N´otese que al final de este proceso, y aunque s´olo se ha completado la mitad de las operaciones que conlleva este algoritmo, ya es posible guiar el flujo en la totalidad de la zona llana. Sin embargo, de no a˜ nadir el paso restante — esto es, la creaci´on de la otra malla de elevaciones a a˜ nadir —, el flujo resultante presentar´a con frecuencia defectos del tipo de las l´ıneas paralelas , siendo adecuado en t´erminos de operatividad pero no en cuanto a su precisi´on se refiere. Un pseudoc´odigo para este planteamiento es el recogido bajo estas l´ıneas. La matriz donde se recogen las elevaciones suplementarias se denota como M , siendo el valor de resoluci´on  expresado como E. procedimiento ModificacionAltura1() {

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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mientras haya celdas sin direcci´ on de flujo posible { para cada celda { si es imposible asignar direcci´ on de flujo { si existen celdas mas elevadas en el entorno { M(i,j)=M(i,j)+E } } si no { si M(i,j)>0 { M(i,j)=M(i,j)+E } } } } } La expresi´on para cada celda puede, l´ogicamente, acotarse y no trabajar con toda la malla en cada iteraci´on, delimitando inicialmente la extensi´on original de las zonas llanas y almacenando los l´ımites de las mismas de modo sencillo. El trabajo posterior s´olo sobre dichas zonas disminuir´a el tiempo de proceso requerido por el algoritmo, no excesivamente elevado de todos modos. Muy similar enfoque se plantea para la elaboraci´on de la segunda malla, actu´andose en este caso sobre las celdas del propio interior de la zona llana tratada. Para ello, de modo sumamente sencillo, en cada iteraci´on se incrementa la elevaci´on en aquellas celdas de la zona llana a las que no se pueda asignar direcci´on de flujo. Puesto que al menos existir´a una celda de salida, esta quedar´a con su elevaci´on original, cre´andose a partir de la misma a lo largo de las sucesivas iteraciones el gradiente buscado que dar´a una forma hidrol´ogicamente v´alida — en t´erminos del an´alisis del MDT —, a la llanura tratada. La formulaci´on algor´ıtmica de lo anterior es inmediata, quedando como sigue. procedimiento ModificacionAltura2() { mientras haya celdas sin direcci´ on de flujo posible { para cada celda { si es imposible asignar direcci´ on de flujo { M(i,j)=M(i,j)+E } } } }

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Una vez que ya se disponen las dos mallas, basta sumar ´estas y obtener la variaci´on total que debe a˜ nadirse a cada celda del MDT, pudiendo as´ı crearse un MDT modificado y ya sin zonas planas que dificulten o imposibiliten la asignaci´on de direcciones de flujo de forma gen´erica. Una u ´ltima situaci´on puede aparecer en la cual sea necesario realizar operaciones adicionales para obtener una direcci´on de flujo v´alida en algunas celdas. Estas circunstancias suelen aparecer en las celdas centrales de una zona llana formada por varias celdas, donde los gradientes que aparecen como consecuencia de los dos pasos a seguir en el algoritmo, son opuestos y se cancelan entre s´ı, dejando celdas llanas al final del proceso. En este caso, sobre dichas celdas aun llanas, se ejecutar´a el algoritmo del paso 2 — es decir, forzar un flujo sobre las 1 ν, para evitar que zonas de menor elevaci´on —, pero utilizando como resoluci´on  = 100000 con este nuevo desarrollo aparezcan nuevas zonas llanas. Este hecho justifica la elecci´on del valor original de , escogido con vistas a este u ´ltimo ajuste posible donde un valor /2 debe utilizarse preferentemente para garantizar el buen funcionamiento global del algoritmo. Como conclusi´on a todo este apartado, es interesante subrayar que las circunstancias relativas al tratamiento de zonas planas son de gran importancia, especialmente en el an´alisis de Modelos Digitales del Terreno que representen ´areas de topograf´ıa predominantemente llana, donde es habitual encontrar este tipo de zonas debido a las deficiencias en la resoluci´on — esencialmente la vertical — de los datos de partida. No obstante, y m´as all´a de la presencia o no de zonas planas en el MDT original, es de gran inter´es el conocer y aplicar los algoritmos anteriores, pues son asimismo una etapa intermedia para la soluci´on de otra problem´atica de mayor relevancia como es la de las depresiones del terreno, cuya soluci´on completa queda reflejada en el siguiente apartado.

2.3.9.

El problema de las depresiones

Habiendo analizado un elemento del relieve para el cual los algoritmos de asignaci´on de direcciones de flujo desarrollados no presentan un comportamiento adecuado, como es el caso de las zonas llanas , y habiendo comentado algunas soluciones existentes a este respecto, llega ahora el momento de abordar la que es quiz´as la mayor dificultad presente para la utilizaci´on de un MDT como fuente de informaci´on de tipo hidrol´ogico seg´ un lo explicado hasta este momento. Para comenzar, consid´erese el siguiente esquema y tr´atese de asignar una direcci´on de flujo a la celda central. 601.17 602.48 603.12

607.20 595.33 603.18

614.11 610.90 612.54

Como con sencillez habr´a podido deducir el lector, las pendientes que aparecen en el antedicho esquema son todas ellas dirigidas hacia la celda central, por lo que el flujo est´a dirigido hacia la misma no siendo posible encontrar una direcci´on de salida para el mismo, tal y como se pretende. Una estructura como la anterior constituye lo que denominamos una depresi´on — habitualmente reflejado en la literatura en lengua inglesa como pit o sink y en ocasiones apareciendo con esta denominaci´on en textos en castellano —, constituyendo el tratamiento de dichas depresiones, como se ha dicho, un apartado de vital importancia de cara al aprovechamiento de la informaci´on de caracter hidrogr´afica contenida en el MDT, y siendo el tema desarrollado en el presente apartado. La depresi´on anterior se encuentra formada por una u ´nica celda, posibilidad m´as simple de cuantas a este respecto pueden aparecer en un Modelo Digital del Terreno, y adecuada para comenzar la exposici´on de este punto. No obstante, y aunque frecuentemente asociadas

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a diferentes razones que las anteriores, es posible encontrar zonas de mayor extensi´on a las que globalmente no resulta factible la asignaci´on de una flujo a trav´es de las mismas haciendo uso exclusivo de las formulaciones conocidas. Estas formaciones incluyen depresiones dentro de otras depresiones – depresiones anidadas — o morfolog´ıas de tipo llano hundidas sobre el nivel general, entre otras. El tratamiento de todas ellas de acuerdo con los diversos algoritmos que se van a proponer a continuaci´on, se ver´a, no obstante, que es u ´nico en su concepci´on, por regla general. Para atacar el problema de las zonas llanas, y aplicando algunas ideas expresadas en los apartados relativos a los par´ametros b´asicos tales como pendiente y orientaci´on, se planteaba en su momento la artificialidad de dichas zonas, convini´endose as´ı que el estudio de la procedencia o significado de tales zonas sin pendiente definida era importante para la obtenci´ on de una soluci´on a la problem´atica que ´estas supon´ıan. De igual modo, comprender en este caso la raz´on de que las citadas depresiones se encuentren presentes en el MDT va a servir de apoyo a las diferentes alternativas recogidas, ya que es en funci´on de dicha naturaleza de las depresiones como se estructuran y plantean los algoritmos correspondientes. Estudiaremos por ello en primer lugar las concepciones que se presentan, para posteriormente exponer la formulaci´on asociada a cada una de ellas en l´ıneas generales. Las depresiones de peque˜ no tama˜ no tal y como la representada en el ejemplo precedente, se asumen generalmente como derivadas de los procesos de interpolaci´on y c´alculo asociados con la creaci´on del propio MDT, los cuales introducen debido a su propia formulaci´on una serie de artificios entre los que se encuentran principalmente las antedichas depresiones. El tratamiento de este tipo de elementos es, sin embargo, sencillo y no implica la necesidad de algoritmos elaborados, ya que la simplicidad de la propia depresi´on hace innecesario el planteamiento de ´estos. En este caso, el objetivo que se persigue es simplemente conducir el flujo que llega a la celda problema hacia la siguiente, asumiendo que la informaci´on para la misma es en cierto modo incorrecta y debe establecerse una simple transici´on a trav´es de la misma. Para ello, se rellena la depresi´on estableciendo para la misma un valor situado entre los dos m´ınimos valores de su celdas circundantes, consiguiendo de este modo que el flujo sea conducido sobre la celda de m´ınima cota, como parece l´ogico que debe ocurrir. Sea (i, j) una celda dada, y sean de entre sus celdas circundantes (i + n1 , j + m1 ) y (i + n2 , j + m2 ) las dos de menor altitud de entre ellas. El valor que debe recibir como nueva cota la celda (i, j) viene expresado de la forma zi,j = zi+n1 ,j+m1 + δ(zi+n2 ,j+m2 − zi+n1 ,j+m1 )

;

(2.62)

siendo δ ∈ (0, 1) ,

n1 , n2 , m1 , m2 = −1, 0, 1

;

ni · mi 6= ni + mi

Se da soluci´on mediante la anterior metodolog´ıa de modo r´apido y sencillo a este primer tipo de depresiones, ganando complejidad este asunto conforme consideramos otro tipo de formaciones de mayor entidad. Como puede notarse, el tratamiento de las depresiones seg´ un lo anterior modifica el MDT que se utiliza como dato de partida, por lo que estas operaciones deben llevarse a cabo anteriormente al c´alculo de cualquier par´ametro a partir del mismo. Es por ello que este tipo de actuaciones sobre el MDT de cara a la preparaci´on del mismo para una mejor explotaci´on de la informaci´on en ´el contenida, reciben con frecuencia el calificativo de preprocesamiento del Modelo Digital del Terreno Un tipo de preprocesamiento gen´erico que puede contribuir a la eliminaci´on de depresiones — siempre que ´estas sean peque˜ nas y poco profundas – es un filtrado gen´erico que suavice el relieve de la zona, evitando as´ı la presencia de puntos at´ıpicos como es el presente caso. Uno de los filtros m´as frecuentemente utilizados es el filtro de mediana, que asigna como nuevo

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

valor a cada celda el de la mediana de sus 8 celdas vecinas, obteniendo as´ı un nuevo MDT de formas mas suaves y redondeadas que el de partida. La utilizaci´on de la mediana en lugar de alg´ un tipo de media obliga a que el valor establecido para cada celda sea un valor existente en el propio MDT, evit´andose as´ı la introducci´on de valores irreales, con las l´ogicas consecuencias ventajosas que ello supone desde el punto de vista conceptual de esta operaci´on. El empleo de filtros, no obstante, representando uno de los primeros intentos para hacer frente a problemas originados por depresiones del terreno (Mark, 1984), no garantiza en absoluto la eliminaci´on sistem´atica de cualquier tipo de ´estas, por lo que no puede considerarse m´as que como una simple operaci´on con resultados positivos a este respecto, pero sin car´acter definitivo alguno. Adem´as, aunque una modificaci´on del MDT est´a impl´ıcita en los m´etodos que se describen en esta secci´on, dicha modificaci´on debe minimizar su efecto en las zonas que no presenten ning´ un problema del tipo que ahora venimos tratando. Lejos de cumplir este requisito, el suavizado con car´acter global del MDT hace sufrir a ´este una variaci´on que lleva irremisiblemente asociada una notable p´erdida de informaci´on, por lo que es altamente recomendable el evitar pr´acticas de esta ´ındole para mantener la precisi´on original del MDT y preservar la informaci´on que contiene. Volviendo, por tanto, a la formulaci´on de los algoritmos espec´ıficos para la eliminaci´on de depresiones, y partiendo como se ha comentado de la concepci´on que cada autor tiene acerca de la naturaleza de ´estas, autores como Mark (1984) consideran que una depresi´on surge en la creaci´on del MDT como consecuencia de una estimaci´on a la baja de la altura de las celdas que conforman dicha depresi´on, siendo necesaria la elevaci´on de las cotas asociadas a las mismas para hacer desaparecer ´esta y dar lugar a un MDT preparado para un an´alisis robusto desde el punto de vista hidrol´ogico. Otros como Garbrecht y Martz (1992, 1996), adoptan el enfoque anterior, pero a˜ naden al mismo una posibilidad totalmente opuesta, esto es, que la depresi´on sea debida a una estimaci´on excesiva de la altura de una celda, lo que provoca que dicha celda — o celdas — act´ uen a modo de dique, obstruyendo el desplazamiento del flujo a lo largo de las celdas err´oneas. La soluci´on cuando se tiene este caso no comparte por completo su filosof´ıa con la anterior, sino que contempla de igual modo la disminuci´on de la cota en aquellas celdas donde se presenten las caracter´ısticas precedentes. La figura (2.26) muestra ambos planteamientos de forma gr´afica.

Figura 2.26: Causas posibles a considerar como implicadas en la aparici´on de depresiones err´oneas en el MDT

El algoritmo que refleja el primero de los anteriores enfoques se basa en la localizaci´on de las zonas de depresi´on y el llenado de las mismas a un nivel fijo que permita la circulaci´on del flujo sobre ´estas, teniendo en cuenta el relieve situado en el entorno de la depresi´on u ´nicamente para el establecimiento de tal nivel fijo, de forma que exista dentro del MDT modificado — esto

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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es, el MDT con las depresiones ya rellenas — un punto de desag¨ ue de la zona que constitu´ıa la depresi´on y que ha sido eliminada. La utilizaci´on de un nivel fijo para la obtenci´on de lo anterior da lugar a una zona plana, la cual deber´a ser tratada mediante alguna metodolog´ıa de las introducidas en apartados precedentes. Este hecho puede provocar, en depresiones de gran tama˜ no tales como las que constituyen un lago — caso que ser´a brevemente tratado de forma individual en un pr´oximo apartado —, la aparici´on de las ya cl´asicas l´ıneas de flujo paralelas seg´ un los m´etodos utilizados, consigui´endose, no obstante, conducir el flujo pese a la existencia de la depresi´on. Plasmando ambas alternativas desde el punto de vista algor´ıtmico, las operaciones iniciales que conducen a la puesta en pr´actica de las ideas generales descritas son similares en cualquiera de los enfoques planteados, pues consisten principalmente en la localizaci´on y delimitaci´on correcta de las celdas que conforman la depresi´on, sobre las que posteriormente — y es aqu´ı donde se ponen de manifiesto las diferentes concepciones ya introducidas — se actuar´a con objeto de convertir ´esta en una zona donde resulte posible asignar direcciones de flujo, en particular en una zona llana. Adem´as de la localizaci´on de las propias celdas de la depresi´on, el conocimiento del entorno inmediato de la misma es necesario para situar un punto de salida por el cual, una vez la depresi´on haya quedado eliminada — llenada —, el flujo correspondiente a la misma contin´ ue su trayectoria hacia aguas abajo. Puesto que la localizaci´on de la depresi´on es fundamental en ambas metodolog´ıas, se expondr´a primeramente la metodolog´ıa a seguir para esta tarea, particularmente en la forma en que Garbrecht y Martz la definen por ser la misma m´as clara y sencilla y no suponer diferencia conceptual de cara a la distinci´on entre los m´etodos que se analizan para la eliminaci´ on de depresiones. Se parte en primer lugar de una eliminaci´on de las depresiones de car´acter puntual, la cual ya fue analizada al comienzo de este punto, y que evitar´a el proceso innecesario, al tratar dichas depresiones de una u ´nica celda de la manera mas sencilla — y por tanto, eficiente — posible. Posteriormente, se comienza el an´alisis localizando aquellas celdas sin direcci´ on de flujo asignada que, sin embargo, puedan reciban flujo al existir una celda en su entorno inmediato con una cota mayor asociada. La utilizaci´on exclusiva de estas celdas elimina el trabajo con zonas sin direcciones de flujo pero constituidas por celdas planas, las cuales no constituyen el objetivo de este apartado y cuyo tratamiento ya fue detallado con anterioridad. De aqu´ı en adelante, la denominaci´on de celda de depresi´ on hace referencia a las anterior con car´acter exclusivo. Una vez localizadas estas celdas de depresi´on, a partir de las mismas se define expl´ıcitamente la depresi´on en toda su extensi´on, siendo desde ese punto cuando se pueden efectuar las pertinentes acciones. Para ello, el procedimiento centra una submalla de tama˜ no inicial 5 × 5 entorno a cada celda de depresi´on receptora de flujo, marcando dicha celda. Posteriormente, se analizan secuencialmente las restantes celdas de la submalla y se marcan aquellas que son adyacentes a una celda previamente marcada y simult´aneamente poseen una cota igual o mayor a la de dicha celda. Este proceso de an´alisis de la submalla se repite sucesivamente hasta que no se se˜ nalen nuevas celdas dentro de la misma. Las celdas as´ı marcadas constituyen una zona aportante a la depresi´on, en la cual debe localizarse como siguiente paso un potencial punto de salida. Dicha celda de salida o desag¨ ue debe cumplir la condici´on de ser adyacente a otra celda fuera de la zona aportante y poseer una cota mayor que dicha celda. Puede darse el caso de que existan varias de dichas celdas, en cuyo caso se exige la de menor elevaci´on, o bien una de modo arbitrario si ´estas coinciden. En el caso de no existir una celda de desag¨ ue , ello significa que la submalla 5 × 5 no cubre en su totalidad la depresi´on, debiendo entonces aumentarse la dimensi´on de la misma y repetir el proceso anterior de identificaci´on de ´area aportante y posterior b´ usqueda de puntos de desag¨ ue. Este aumento de la submalla continuar´a hasta que resulte posible hallar uno de

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

tales puntos, momento en el cual la depresi´on habr´a sido se˜ nalada en toda su extensi´on. Con la metodolog´ıa anterior, no s´olo las depresiones, sino tambi´en las zonas planas, habr´an sido se˜ naladas. Puesto que el objetivo perseguido es la conversi´on de las primeras en las u ´ltimas, y sobre ´estas no se pretende realizar ninguna modificaci´on, es necesario ignorar aquellas ´areas seleccionadas que constituyan zonas planas, para evitar tratarlas cuando no es necesario el llevar a cabo ninguna actuaci´on sobre las mismas. Para ello, basta buscar una celda dentro de las que forman la depresi´on, cuya cota sea menor que la del punto de desag¨ ue. Si existe, la zona constituye una depresi´on; si no, es una zona plana. Antes de entrar en la descripci´on de los procedimientos para la modificaci´on de las depresiones de acuerdo con los distintos m´etodos introducidos, se presenta una expresi´on en pseudocodigo — como es habitual, con una sintaxis relajada — del m´etodo explicado para la localizaci´on de las mismas. Dicho algoritmo da como resultado una matriz DEP(i,j) en que las celdas de depresi´on tienen valor 1 y las restantes valor 0. La matriz de elevaciones se denota como Z(i,j). Por u ´ltimo, el punto de salida de la depresi´on localizada se almacena en una vector llamado PS() procedimiento LocalizacionDepresiones() { Para cada celda (i,j) sin direcci´ on de flujo asignada y con una celda en su entorno con mayor elevaci´ on { //2k+1 es el tama~ no de la submalla k = 1 existePuntoSalida = falso mientras no existePuntoSalida { k=k+1 nuevaCeldaMarcada = verdadero mientras nuevaCeldaMarcada { nuevaCeldaMarcada = falso desde m = -k hasta k { desde n = -k hasta k { desde a = -1 hasta 1 { desde b = -1 hasta 1 { si DEP(i+m+a,j+n+b) = 1 y Z(i+m,j+n) >= Z(i+m+a,j+n+b) { DEP(i+m,j+n) = 1 nuevaCeldaMarcada = verdadero } } } } } }

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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alturaSalida = 100000 // un numero elevado desde m = -k hasta k { desde n = -k hasta k { si DEP(i+m,j+n) = 1 { desde a = -1 hasta 1 { desde b = -1 hasta 1 { si DEP(i+m+a,j+n+b) = 0 y Z(i+m,j+n) >= Z(i+m+a,j+n+b) y Z(i+m,j+n) < alturaSalida { alturaSalida = Z(i+m,j+n) PS(NumeroDepresion).fila = i+m PS(NumeroDepresion).columna = j+n existePuntoSalida = verdadero } } } } } } } } Es sencillo mejorar el rendimiento de este algoritmo evitando algunas comprobaciones redundantes en los bucles aunque, de cara a mantener una cierta claridad y limitar la extensi´ on del mismo, no se han incluido estas modificaciones, que a buen seguro el lector sabr´a a˜ nadir por s´ı mismo sin mucha dificultad. Con los puntos de desag¨ ue localizados, los pasos restantes son sencillos, especialmente cuando s´olo se considera necesario el llenado de la depresi´on, como es el caso del primer algoritmo — Jenson y Domingue — presentado. Los pasos a seguir en este caso son simplemente el llenado de toda la depresi´on, elevando la cota de sus celdas a la del punto de salida, lo cual puede llevarse a cabo seg´ un un algoritmo como el presentado a continuaci´on, aplicando el mismo sobre un punto dado de la depresi´on y empleando la altura correspondiente a su citada celda de desag¨ ue. procedimiento LlenarDepresion(i,j,z) //i,j es un punto cualquiera de la depresi’on //z es la altura a la que se debe { DEP(i,j) = 0 Z(i,j) = z desde m = -1 hasta 1 { desde n = -1 hasta 1 {

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if DEP(i+m,j+n) = 1 { LlenarDepresion(i+m,j+n,z) } } } } Llegados a este punto, la depresi´on ha quedado ya sustituida por una zona llana sobre la que se pueden asignar direcciones de flujo en virtud de las formulaciones desarrolladas en el apartado precedente. No obstante, si se supone que la depresi´on no se produce exclusivamente como consecuencia de una subestimaci´on de la elevaci´on, sino tambi´en por una sobreestimaci´on en determinadas celdas — es decir, seg´ un la metodolog´ıa propuesta por Garbrecht y Martz —, debe intercalarse entre la localizaci´on de las depresiones y su llenado un procedimiento de disminuci´on de altura en dichas celdas, que act´ ue ((rompiendo)) los diques u obstrucciones artificiales que el error de cota en las mismas produce. Una vez que este procedimiento se haya ejecutado, las celdas restantes ser´an elevadas haciendo uso de igual modo del anterior algoritmo presentado. La metodolog´ıa a este respecto es la siguiente: El proceso de eliminaci´on de obst´aculos y apertura de una v´ıa de salida para el agua se realiza actuando sobre celdas que separan zonas de elevaci´on inferior a la de dicha celda. La distancia entre dichas zonas debe acotarse con objeto de evitar que se produzca una actuaci´on sobre celdas que no constituyen verdaderamente un obst´aculo, pues se sit´ uan entre ´areas que no tienen en realidad comunicaci´on y cuyo aislamiento no se debe a una sobreestimaci´on de la elevaci´on de las celdas intermedias. Se define as´ı una longitud de apertura, que limita la modificaci´on de elevaci´on en grupos de celdas mayores que el valor de dicha longitud. Se propone de forma habitual un valor de 2 celdas, que se demuestra adecuado en la pr´actica y es usado de forma general sin mayores consideraciones. El proceso de apertura comienza con la localizaci´on de la celda de desag¨ ue y todas aquellas dentro de la depresi´on que poseen la misma altura que ´esta. Para cada una de ellas, se estudia si son adyacentes a una celda situada fuera de la depresi´on y con una cota menor. En caso de ser as´ı, se analiza si se encuentran a una distancia menor que la longitud de apertura respecto a alguna celda dentro de la depresi´on tambi´en con menor cota. En tal caso, se trata de celdas cuya cota podr´ıa ser modificada para simular la incisi´on de la v´ıa de salida de la depresi´on. Dicho proceso se efect´ ua disminuyendo la cota de la celda en cuesti´on a la de aquella otra sobre la que vierte en el exterior de la depresi´on. Puesto que se considera una longitud de apertura de 2 celdas, es necesario disminuir la cota de otra de ellas tambi´en hasta la misma altura, lo cual se lleva a cabo sobre la siguiente celda en el camino m´as directo hacia el interior de la depresi´on, siempre que la cota de dicha celda sea mayor que la nueva. En caso de existir varios puntos de la depresi´on donde llevar a cabo el anterior proceso de disminuci´on de altura, se tomar´a aquel en que exista un mayor desnivel entre la celda que conforma la obstrucci´on y su adyacente en el exterior de la depresi´on. En caso de ser coincidentes, se tomar´a el de mayor pendiente hacia el interior de la depresi´on, eligi´endose uno cualquiera de modo arbitrario si tambi´en esta magnitud presenta un mismo valor. La figura (2.27) presenta un esquema comparativo de los diferentes resultados que se obtienen mediante la aplicaci´on de un simple llenado y de la consideraci´on conjunta de llenado y apertura. Junto con los dos m´etodos anterior, sin duda los m´as extendidos e implementados, Planchon (2001) propone una nueva soluci´on con un planteamiento radicalmente opuesto, a trav´es de la cual se obtiene, adem´as del resultado buscado y la eliminaci´on de la depresi´on del mismo

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.27: De derecha a izquierda, elevaciones originales, eliminaci´on de la depresi´on usando llenado y eliminaci´ on de la depresi´ on mediante llenado y modificaci´on de celdas obst´aculo. En negro, celda de desag¨ ue. En gris, celdas modificadas.

modo que con los m´etodos ya presentados, un mayor rendimiento en t´erminos computacionales. Esta circunstancia, seg´ un el autor, lo hace altamente interesante para el trabajo con mallas de gran tama˜ no tales como las obtenidas mediante alguna de las m´as actuales tecnologias, donde resulta posible obtener resoluciones muy elevadas. En t´erminos m´as concretos, la complejidad O(n2 ) de los m´etodos ((cl´asicos)) se reduce hasta O(n1,2 ), consigui´endose, por tanto, una notable mejora en el rendimiento. La base de este algoritmo, la cual establece la diferencia clara con los m´etodos ya analizados, consiste en el enfoque llevado a cabo como base del proceso. Mientras que en los casos anteriores se llenaban las depresiones hasta una altura dada, en este caso el planteamiento es opuesto, pues trabaja ((inundando)) la totalidad el MDT — elevando la cota de todo ´el como si hubiera un exceso de agua a lo largo de toda su extensi´on —y posteriormente eliminando dicha capa de agua a excepci´on de en las depresiones, donde ´esta se queda y llena de este modo las mismas, elimin´andolas. La figura (2.28) muestra un sencillo esquema del funcionamiento de esta formulaci´on.

Figura 2.28: Eliminaci´on de depresiones seg´un Planchon (2001). Entrando en la tratamiento algor´ıtmico, Planchon propone una doble soluci´on consistente en una implementaci´on directa y una optimizada, de las cuales aqu´ı simplemente se tratar´ a la primera, por ser m´as sint´etica y quedar, sin embargo, recogida en ella la filosof´ıa del m´etodo. De igual modo, dicho m´etodo puede convertir las depresiones en zonas planas o bien en superficies con una ligera inclinaci´on que permita la aplicaci´on directa de cualquier algoritmo de direcciones de flujo sobre las mismas. Por su diferente concepci´on con respecto a otras soluciones presentadas, se desarrollar´a aqu´ı en detalle tan s´olo esta segunda posibilidad. La diferenciaci´on entre ambas es, sin embargo, de tipo formal, pues depende de la magnitud de un par´ametro de diferencia altitudinal  — advi´ertase la similitud con los procedimientos para el c´alculo de direcciones de flujo sobre zonas llanas —, el cual toma valor cero en el caso de crear una zona llana, y distinto de cero en el supuesto contrario. En este segundo caso, son

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

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necesarios dos valores de , uno para los saltos correspondientes al desplazamiento entre celdas diagonales, y otro para los realizados entre celdas que comparten uno de sus lados. La relaci´on entre √ los mismos es, como cabe pensar, igual a la de la longitud de dichos desplazamientos, es decir 2. Para formular los algoritmos correspondientes, se emplean dos mallas de elevaciones. Por una parte, la malla propia del MDT — que denotaremos como Z —, y por otra la malla de elevaciones con la capa de agua — que llamaremos W —, sobre la que se trabajar´a eliminando dicha capa seg´ un ya se ha comentado brevemente con anterioridad. Este trabajo sobre W dar´a lugar a una malla de datos final de elevaciones, sea Wf , que ser´a el resultado final buscado, y que cumplir´a las siguientes condiciones f Wi,j ≥ Zi,j

∀i, j

Desde cada celda existe una l´ınea de flujo hasta un borde de la malla, con saltos entre celdas continuas con un valor igual o superior a  Wf es la superficie de m´ınima elevaci´on que cumple las anteriores condiciones Las elevacion de W se inicializan a un valor muy elevado h — sea, por ejemplo, h = 10000 —, salvo en los extremos de la malla. Es decir,  Wi,j =

Zi,j h

si (i, j) es celda de borde en caso contrario

(2.63)

Sobre estos valores, se disminuyen mediante un proceso iterativo las elevaciones de las celdas de W , aplicando dos operaciones fundamentales que a continuaci´on se describen, las cuales se emplean seg´ un las caracter´ısticas propias de cada celda y sus circundantes. Si se cumple entre una celda central — denotada de aqu´ı en adelante con el sub´ındice c — y alguna de sus vecinas — denotadas ´estas con v — la relaci´on Zc ≥ Wv + (c, v)

(2.64)

donde (c, v) es el valor de epsilon correspondiente al desplazamiento entre las dos celdas consideradas, entonces se efect´ ua la asignaci´on Wc = Zc

(2.65)

En caso de no darse lo anterior, se comprueba una segunda relaci´on entre la celda y sus vecinas de la forma Wc > Wv + (c, v)

(2.66)

y en caso de que ´esta se cumpla con alguna de dichas celdas vecinas, se establece Wc = Wv + (c, v)

(2.67)

Estas dos relaciones se comprueban sucesivamente para todas las celdas de la malla, comenzando cada vez que se produzca una modificaci´on, y continuando hasta que se recorra toda la extensi´on malla sin realizar ning´ un nuevo cambio en los valores de las celdas de W . Expresado en forma de pseudoc´odigo, y con una sintaxis acorde con la explicaci´on anterior, este proceso tiene la forma siguiente.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

93

procedimiento EliminarDepresiones() { inicio: para cada celda c de la malla { para cada celda v vecina c { si Z(c)>=W(v)+epsilon(c,v) { W(c)=Z(c) //comienza de nuevo el analisis de la malla ir a inicio } si W(c)>W(v)+epsilon(c,v) { W(c)=W(v)+epsilon(c,v) //comienza de nuevo el analisis de la malla ir a inicio } } } } } Como puede verse, una ventaja de este algoritmo, adem´as de su rendimiento, es la sencillez del mismo, pues puede expresarse completamente en muy pocas l´ıneas de pseudoc´odigo, siendo su implementaci´on pr´acticamente inmediata. La alternativa optimizada, aun siendo algo m´ as compleja, tambi´en presenta relativa simplicidad, siendo igualmente m´as facil de implementar que las soluciones presentadas hasta el momento. Su expresi´on, no obstante, y como ya se dijo, no se detalla aqu´ı, remitiendose al lector a la referencia original de los autores, donde esta se expone con extenso detalle. Con independencia de sus diferencias, las tres concepciones anteriores se encuadran, como m´etodos de preprocesamiento que, previamente a la utilizaci´on del MDT para el an´ alisis hidrol´ogico del mismo, estudian y analizan ´este, localizando las deficiencias presentes en el mismo y corrigi´endolas con objeto de construir un MDT m´as adecuado para con posterioridad llevar a cabo el antedicho an´alisis desde el punto de vista de la hidrolog´ıa. Resulta posible, no obstante, entrar de modo directo en la asignaci´on de direcciones de flujo y recurrir a los algoritmos de llenado de depresiones u ´nicamente cuando esto sea necesario, es decir, cuando no resulte posible la asignaci´on de dicha direcci´on en una celda dada. En particular, resulta habitual asignar a una celda incluida dentro de una depresi´on una altura derivada de la aplicaci´on del sencillo esquema recogido en (2.62), para posteriormente tratar de asignar de nuevo una direcci´on de flujo a dicha celda, llev´andose a cabo este procedimiento en el mismo momento de c´alculo de las citadas direcciones de flujo. Esta forma de proceder se asimila con frecuencia al comportamiento natural de un flujo de agua, el cual, al alcanzar una depresi´on, la llena progresivamente hasta desbordar de la misma por su punto mas bajo. Esta asimilaci´on, altamente gr´afica y did´actica, y como tal presente en algunos libros de texto al respecto (vease Felic´ısimo, 1994), no se corresponde sin embargo con las bondades de este enfoque desde un punto de vista de su fiabilidad o el propio rendimiento de una implementaci´on pr´actica del mismo. As´ı, para el caso de depresiones sencillas formadas por una celda el funcionamiento del

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

m´etodo no encierra ning´ un problema, siendo realmente id´entica su aplicacion a priori como su utilizaci´on ((en tiempo real)). Cuando nos encontramos con una depresi´on mayor, sin embargo, es necesario ya considerar que la correci´on de una celda dada puede tener influencia sobre sus vecinas, debiendo volver a asignarse una direcci´on de flujo a las mismas. Continuando con el claro s´ımil que se present´o anteriormente, este hecho se corresponde con la manera en que un flujo de agua llenar´ıa una depresi´on, recorri´endola en su totalidad, aspecto nada ventajoso en relaci´on con las direcciones de flujo finales que pueden obtenerse. De este modo, el trazado definitivo de un flujo bien puede ser un recorrido que visita por completo todas y cada una de las celdas de la depresi´on, saliendo finalmente por su punto de desag¨ ue y continuando desde ah´ı su camino aguas abajo. Si bien el resultado es correcto en t´erminos de entrada y salida de flujo en la depresi´on, no lo es as´ı en cuanto a la distancia real que ´este recorre, la cual ser´a un factor importante para algunas formulaciones a´ un por introducir en este texto, y que queda claramente sobrestimada en este supuesto. Desde el punto de vista de la eficacia de este planteamiento, t´engase en cuenta que el recorrido del flujo por la depresi´on no es en absoluto un elemento que propicie un eficaz funcionamiento de un algoritmo basado en este m´etodo. Recurriendo una vez m´as a la equiparaci´on entre el proceso natural de llenado de una depresi´on por un flujo l´ıquido, debemos tener en cuenta que el tiempo para la ejecuci´on de este proceso depende directamente de las condiciones — en particular del volumen total — de la depresi´on, pudiendo presentarse casos altamente desfavorables. Por todo lo anterior, se considera preferente el empleo de una postura de preproceso, superior como se ha visto a otras que, si bien resultan de inter´es conceptual, no son capaces de ofrecer los mismos resultados que ´esta en un gran n´ umero de aspectos.

2.3.10.

Encauzamiento forzado. River-Burning

La informaci´on contenida en el MDT nos ha servido hasta este punto para la extracci´on de una larga serie de par´ametros, encontr´andose entre ´estos la direcci´on de flujo para cada una de sus celdas, matizado ´este en los u ´ltimos apartados para poder contemplar la totalidad de casos posibles que te´oricamente cabe encontrarse en el seno de un MDT cualquiera. Durante la exposici´on precisamente de este param´etro, se ha hecho menci´on en cada metodolog´ıa analizada a la fiabilidad de los resultados obtenidos por ´esta y, aunque todav´ıa no se ha procedido a una exposici´on detallada de dicho apartado, la comprobaci´on de la mencionada fiabilidad a trav´es de la correspondencia entre las redes de drenaje obtenidas a partir de las direcciones de flujo establecidas y las redes realmente existentes sobre el territorio objeto de an´alisis. Este elemento que constituye la red de drenaje — de car´acter netamente vectorial, visto desde otra perspectiva conceptual —, a la par que puede ser empleado como comprobaci´on a posteriori de las direcciones de flujo calculadas, puede tambi´en servir como dato a priori para, en uni´on con el propio MDT, conformar una bater´ıa de datos de partida de superior precisi´on que la obtenida mediante la sola utilizaci´on del MDT como viene siendo costumbre hasta este apartado. De otro modo, el comportamiento del flujo en las celdas del MDT no ocupadas por cauces es completamente desconocido, releg´andose la asignaci´on del mismo a los algoritmos presentados en apartados precedentes. Por el contrario, si se dispone de una cartograf´ıa de la red de drenaje observable en la zona, la presencia de un cauce sobre una celda dada es un indicativo de absoluta fiabilidad de la direcci´on de flujo que debe computarse en dicha celda, pues el r´ıo debe fluir hacia la siguiente celda tambi´en caracterizada como cauce y, de ser correctos los resultados arrojados por los algoritmos utilizados al respecto, ´estos deben estar en completa concordancia con los resultados observados sobre el terreno. Es decir, que, de un modo u otro, debemos forzar la direcci´on de flujo en las celdas conocidas de cauce para que dicho flujo se

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

95

ajuste a la realidad. Esta correcci´on del flujo — cuando sea necesario, ya que puede coincidir de por s´ı, y as´ı debiera ser si el MDT presenta la calidad suficiente — se lleva a cabo, l´ogicamente, a traves de la modificaci´on de las cotas de las celdas implicadas, siendo ´estas no solamente las que directamente contienen un cauce, sino tambi´en las situadas en un peque˜ na regi´ on de influencia, como a continuaci´on se analizar´a con mayor detalle. Elaborada a partir de una caracterizaci´on vectorial de la red de drenaje observada realmente, consideremos una nueva malla raster que nos denote con exactitud las celdas sobre las cuales debe existir situarse un cauce de dicha red. La malla as´ı definida puede representar una funci´on discreta de la forma f : M × N −→ N  f (i, j)

= 0 si la celda no es una celda de cauce 6= 0 si la celda es una celda de cauce

(2.68)

Algunos aspectos deben comentarse acerca de la creaci´on de esta malla a partir de la informaci´on vectorial, pues la consistencia y buenas caracter´ısticas de la misma son importantes para poder aplicar con garant´ıas los procesos que seguidamente ser´an explicados. Los puntos a los que se debe atender en esta conversi´on son, esencialmente, los siguientes dos: Correcci´on de celdas donde la red de drenaje implique una direcci´on de flujo m´ ultiple. Aunque posteriormente pueden aplicarse algoritmos de tipo MFD sobre el MDT resultante de las operaciones introducidas en este apartado, el desarrollo de las mismas se basa en la consideraci´on de una u ´nica direcci´on de flujo. Este tipo de celdas pueden presentarse cuando dos cauces se aproximan y en el proceso de conversi´on ambos son asimilados a una u ´nica celda. Eliminaci´on de confluencias consecutivas. Aun pudiendo tratar lo anterior desde un punto de vista algor´ıtmico, simplemente se refleja aqu´ı a modo de apunte, m´as encaminado hacia un conocimiento casual de esta situaci´ on y un control visual de la misma que a la formulaci´on de algoritmos o expresiones que permitan ´ eliminar los errores anteriores. Estos, por otra parte, son escasamente frecuentes para redes de drenaje de morfolog´ıa habitual, sobre las cuales una conversi´on a formato raster no ata˜ ne apenas complicaciones relevantes. Una vez se dispone, por tanto, de esta nueva malla, resulta obvio que en base a ella deben modificarse los valores recogidos en el MDT, plante´andose para este fin algunas alternativas que difieren entre s´ı en cuanto a nivel de refinamiento y precisi´on, as´ı como en su versatilidad en relaci´on con las caracter´ısticas de la red de drenaje empleada como informaci´on de apoyo. Para todos los casos que siguen, el enfoque considerado es el de elaborar un MDT modificado y basar los posteriores c´alculos en ´este, en lugar de utilizar el MDT original y la malla raster con los cauces de modo conjunto, perspectiva que tambi´en resulta posible considerar y que, sin embargo, es de mucho mas infrecuente utilizaci´on. En primer lugar, el planteamiento m´as inmediato pasa por la actuaci´on u ´nicamente sobre las celdas de cauce propiamente dichas, llevando a cabo la operaci´on que da nombre a este apartado — River Burning, literalmente ((marcar a fuego)) los r´ıos — y que expl´ıcitamente viene a decir que, de alg´ un modo, deben quedar marcados sobre el MDT los recorridos de los cauces existentes, de tal manera que los algoritmos encargados de la determinaci´ on de

96

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

direcciones de flujo no puedan sino asignar las correspondientes a dichos cauces en las celdas situadas bajo los mismos. Este trazado de los r´ıos sobre el MDT se lleva a cabo de forma habitual encajonando los mismos mediante una disminuci´on de la cota de las celdas correspondientes del orden aproximado de los 5 metros, valor que, no obstante, puede variarse de acuerdo con las circunstancias, siendo l´ogicamente preferible el disminuir su magnitud en la menor medida posible, para de ese modo introducir la menor variaci´on en el MDT. Para una resoluci´on habitual de trabajo, ello hace pr´acticamente imposible que desde los cauces el flujo pueda dirigirse a otro punto m´as que al siguiente punto de cauce, con lo que se garantiza que este flujo circule a trav´es de los mismos. De igual modo, el fuerte desnivel existente con respecto a las cotas de las celdas situadas en contacto con el cauce hace que ´estas tambi´en tributen sobre el trazado definido, cumpli´endose as´ı, en primera instancia y de una forma algo ((agresiva)) — excesivamente forzada, tal vez —, el objetivo que se persegu´ıa de lograr unos trazados de cauces coherentes con la realidad. Una vez se dispone de este MDT modificado, la evaluaci´on de las direcciones de flujo se deja en manos de los algoritmos existentes para esta tarea, los cuales operar´an sobre dicho MDT de la manera habitual. Obs´ervese que la modificaci´on anterior, aun reflejando circunstancias reales y basadas en elementos observados como son los propios cauces de la red de drenaje real, introduce en el MDT una variaci´on notable cuyo resultado es, desde el punto de vista morfol´ogico, irreal en todos los sentidos. Es por ello que, puesto que el inter´es principal a la hora de llevar a cabo lo anterior es u ´nicamente con objeto de refinar los aspectos relativos a las direcciones de flujo, debe ser tan s´ olo para el c´alculo de dichas direcciones para lo que se utilice el MDT modificado, manteni´endose el MDT original como fuente de informaci´on para el c´omputo de cualquiera de las otras variables hasta aqu´ı desarrolladas en el texto. El c´alculo de pendiente, por ejemplo, dar´a unos valores ciertamente irreales en las orillas de los cauces. Superando el planteamiento anterior y llevando a cabo el ajuste entre la red de drenaje almacenada en la malla raster previamente definida y el MDT original de un modo mas eficaz y adecuado, un procedimiento global para la asignaci´on de direcciones de flujo apoyadas en cartograf´ıa de redes drenaje es el que se presenta seguidamente (Turcotte et al, 2001), y que refleja perfectamente las capacidades que la conjunci´on de estos dos tipos de informaci´on tiene para el estudio de este par´ametro de modo correcto. En contraste con la simplicidad del enfoque anterior, totalmente desarrollado en un u ´nico paso, se presentan en ´este tres grupos principales de celdas de acuerdo con su relaci´on con la red de drenaje, las cuales ven asignadas sus direcciones de flujo de modo distinto y propician la divisi´on del metodolog´ıa a seguir en etapas bien diferenciadas. La ejecuci´on de estas etapas va a dar lugar a una nueva matriz con direcciones de flujo correspondientes a cada celda, pudiendo venir ´estas expresadas, por ejemplo, como la siguiente celda aguas abajo — trabajamos en todo momento con el modelo D8 — o bien como una codificaci´on num´erica del ´angulo — m´ ultiplo siempre de 45o — en que se da dicho flujo. A pesar de haber utilizado anteriormente la malla de direcciones de flujo, a partir de este punto su uso va a ser intenso, siendo interesante el crear una malla a tal efecto en lugar de proceder al c´alculo de las direcciones de flujo cuando ´estas se requieran para un nuevo c´alculo. Una codificaci´on habitual — siempre en el caso del D8 — para estas direcci´ones, y con objeto de evitar el almacenamiento de las coordenadas de la siguiente celda — una informaci´on doble —, es la indicaci´on de dicha siguiente celda mediante un esquema como el siguiente. 32 16 8

64 −− 4

128 1 2

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

97

Los algoritmos presentados a lo largo de este texto no har´an un uso expl´ıcito de ning´ un formato para la malla de direcciones de flujo, debiendo ser, no obstante, esta circunstancia del conocimiento del lector, de cara a plantear ´el una implementaci´on pertinente de cuanto se va desarrollando aqu´ı sobre la base de dichas direcciones. Para la construcci´on de una matriz de direcciones de flujo en la presente metodolog´ıa, primeramente las celdas sobre las cuales existe un cauce deben contener una direcci´on que resulte consistente con la propia estructura de la red de drenaje. Si en la conversi´on de la representaci´on vectorial a la malla raster se cumplieron los requisitos con anterioridad enunciados, cada punto de dicha malla deber´a estar rodeado por 1, 2 o 3 puntos, seg´ un se trate de un punto extremo — inicio o final de cauce —, un punto del trazado o un punto de intersecci´ on respectivamente. En cualquiera de los casos, para cada uno de dichos puntos, y si se conoce cual de los que se encuentran en contacto con ´el es el situado aguas abajo, la asignaci´ on de una direcci´on de flujo es inmediata sin m´as que conducir el flujo a dicha celda aguas abajo. Para llevar a cabo lo anterior, se debe comenzar por el extremo inferior de la red, generalmente el punto de salida de una cuenca dada, y asignar las direcciones de modo recursivo a cada uno de los situados inmediatamente aguas arriba hasta llegar a la cabecera de cada cauce. La conectividad entre las celdas de cauce y el buen trazado de ´estos sobre la malla raster queda garantizado por las condiciones ya enunciadas al inicio de este apartado. El empleo de este tipo de algoritmos de car´acter recursivo va a ser una constante en buena parte de las formulaciones desarrolladas en ´esta y las pr´oximas secciones del libro, siendo ´este uno de los casos en los que una expresi´on mediante pseudoc´odigo resulta m´as conveniente que la simple notaci´on matem´atica. Empleando, pues, este tipo de elementos, uno de tales pseudoc´odigos para el algoritmo comentado anteriormente es el siguiente. procedimiento DireccionFlujoEnCauces (i,j) //se aplica inicialmente sobre el punto m´ as aguas abajo de la red de drenaje { desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si (i+m,j+n) es celda de cauce y no (n=0 y m=0) entonces { asignar a dicha celda direcci´ on de flujo sobre (i,j) DireccionFlujoEnCauces (i+m,j+n) //llamada recursiva } } } } Con lo anterior, las celdas ocupadas por la red de drenaje han sido ya correctamente asignadas, lo cual garantiza la coherencia de los valores registrados para las mismas, no pudiendo hacerse extensible dicha garant´ıa para otras celdas de la malla. Son estas otras celdas, en particular las que se encuentran en un ´area de influencia de los cauces establecidos, las que deben modificarse convenientemente para que exista a su vez una transici´on correcta entre las anteriores y aquellas celdas alejadas de los cauces que ver´an signada su direcci´on de flujo mediante la mera aplicaci´on del algoritmo correspondiente — en este caso el D8, como ya se ha comentado —. Para estas celdas en la vecindad inmediata de las de cauce se propone una reducci´ on de

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

98

la cota asociada a cada una, en funci´on de la perturbaci´on causada por la presencia de dicho cauce, lo cual viene expresado de forma gen´erica por la expresi´on recogida bajo estas l´ıneas. 0 zi,j = zi,j + Pi,j

(2.69)

0 son, respectivamente, las elevaciones de la celda (i, j) en el MDT original y donde zi,j y zi,j en el modificado, y Pi,j el coeficiente de perturbaci´on anteriormente mencionado. Para este ultimo factor, se propone una evaluaci´on en funci´on del inverso de la distancia, de tal modo que a partir de una cierta separaci´on — es decir, cuando una celda se encuentre fuera del ´ambito de influencia del cauce —, dicho par´ametro sea pr´acticamente nulo. La tendencia asint´otica hacia cero de una funci´on como la adoptada permite obtener este resultado. M´as expl´ıcitamente, el par´ametro P(i,j) a emplear en la igualdad anterior tomar´a una expresi´on de la forma

P(i,j) =

1 2



Rm R(i,j)

1/α (2.70)

en la que Rm define la m´axima influencia radial, α es un coeficiente y R(i,j) indica la distancia existente entre la celda (i, j) y la celda de cauce mas pr´oxima. En la anterior expresi´on la determinaci´on de los valores a adjudicar tanto a Rm como a α son las claves para la aplicaci´on correcta de esta fase del m´etodo, pues ´esta debe llevarse a cabo de tal modo que resulte de la misma una transici´on correcta entre los dos tipos de celdas analizados en las restantes etapas. Comenzando con el valor de Rm este debe ser suficientemente elevado para eliminar las posibles discrepancias que puedan surgir en la determinaci´on de direcciones de flujo para las celdas con cierta proximidad a alg´ un cauce. Por otra parte, si se le asigna un valor excesivamente alto, ello implicar´a el alcance de la expresi´on anterior a celdas que en realidad no son influidas por la presencia de los cauces, desvirtu´andose as´ı la informaci´on contenida en el MDT para dichas celdas. Una vez m´as, el valor ´optimo guarda relaci´on con la resoluci´on empleada en el MDT, aunque si suponemos una resoluci´on habitual en el rango con el que venimos trabajando hasta el momento, un valor alrededor de Rm = 5 ofrece buenos resultados y una notable coherencia en su aplicaci´on pr´actica. Respecto al coeficiente α, la formulaci´ on original supone el empleo de coeficientes de perturbaci´on P(i,j) u ´nicamente con valores enteros, para lo cual, y con objeto de que ´estos tengan distinto valor seg´ un las diferentes distancias, se propone la expresi´on α=

ln(Rm ) − ln(Rm − 1) ln(3)

(2.71)

Aunque no tenga mucho sentido el considerar la suposici´on de los valores enteros, dada la preparaci´on de cualquier aplicaci´on inform´atica actual en este ´ambito para el manejo de valores reales, la anterior expresi´on sigue constituyendo una buena aproximaci´on para el establecimiento de un valor ´optimo de este coeficiente y es por tanto utilizada como tal. Aplicando todo lo anterior a las celdas que no est´an situadas sobre un cauce, tanto las de la proximidad inmediata como las situadas a mayor distancia, completar´ıamos la segunda etapa del m´etodo habiendo concluido la definici´ on del MDT modificado. En ´el, existir´an ahora tres tipos principales de celdas: aquellas sobre al cauce, cuyos valores no han sido modificados, ya que las direcciones de los mismos han sido asignadas directamente; aquellas en las proximidades cuyas cotas habr´an sufrido ciertas variaciones que garantizan la coherencia de las direcciones de flujo de las mismas; y el resto de celdas cuyas direcciones ser´an las mismas tanto sobre el MDT

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

99

modificado como sobre el original, pues han sufrido una modificaci´on total o pr´acticamente nula. Resta ya tan solo aplicar el algoritmo correspondiente para la asignaci´on de direcciones de flujo a todas las celdas excepto las de cauce, registrando los resultados en la malla de direcciones de flujo y completando as´ı las misma al unir dichos resultados a los valores ya almacenados en la misma y correspondientes a las celdas situadas dentro de la red de drenaje seg´ un se especific´o en la primera etapa del proceso. Con lo anterior, la creaci´on de una malla de direcciones de flujo m´as precisa haciendo uso de informaci´on adicional referente a la red de drenaje existente en el terreno, queda concluida ya, encontr´andonos por lo tanto en disposici´on de sacar un mayor partido de la misma a trav´es de la extracci´on de nuevos par´ametros a partir de ella.

2.3.11.

Procesamiento completo del MDT

Aunque se han ido apuntando en diversas ocasiones aspectos relativos a la secuencia de pasos a emplear para el trabajo con el MDT seg´ un las operaciones y algoritmos hasta el momento presentados, es conveniente en este punto dar un esquema breve de dicha secuencia a modo de resumen. Una vez se conocen las metodolog´ıas para realizar la preparaci´on y el an´alisis b´asico del MDT desde el punto de vista de su morfolog´ıa, el conjunto global de dicho an´alisis se compone de las siguientes etapas. Llenado de depresiones del MDT Modificaci´on del MDT para encauzamiento forzado (cuando corresponda) Asignaci´on de direcciones de flujo Asignaci´on de direcciones sobre zonas planas Con lo anterior, la malla de direcciones de flujo se obtiene con precisi´on de un modo robusto y adecuado, pudiendo procederse sin mayor consideraci´on al c´alculo de cuantos par´ametros restan y pueden evaluarse con la ayuda de los anteriores.

2.3.12.

Flujo acumulado

Llegados a este punto, la asignaci´on de direcciones de flujo es ya una realidad y, como se vio en el u ´ltimo punto, ´esta puede almacenarse a su vez en una nueva malla de direcciones, con independencia de la morfolog´ıa del terreno, puesto que todos los casos ya han sido contemplados y disponemos de la garant´ıa del buen funcionamiento de los algoritmos en todos ellos. Como tal, esa direcci´on de flujo a la que hemos dedicado un extenso n´ umero de p´ aginas no tiene, sin embargo, un significado directo importante, no habi´endose todav´ıa, de hecho, extra´ıdo ning´ un par´ametro f´ısico de importancia a partir de los datos proporcionados por dichas direcciones. Es el momento ahora, pues, de utilizar los resultados anteriores, en particular la malla de direcciones de flujo, para extraer un par´ametro que nos va a proporcionar una informaci´on sumamente importante y sobre el que se fundamenta gran parte del an´ alisis posterior, como es la acumulaci´on de flujo. El conocimiento de este valor resultar´a, adem´ as, clave para los temas de los pr´oximos cap´ıtulos — esto es, la definici´on y caracterizaci´ on de r´ıos y cuencas a partir del MDT — sirviendo as´ı de nexo de uni´on entre el amplio trabajo desarrollado para la asignaci´on de direcciones de flujo y la realizaci´on pr´actica de la utilidad de ´este en la extracci´on de las unidades y elementos hidrol´ogicos b´asicos.

100

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Conceptualmente, la idea de flujo acumulado de una celda— tambi´en expresado como area aportante o ´area aguas arriba, entre otras muchas denominaciones — es simplemente ´ el conocimiento del ´area total cuyo flujo, que se desplaza de celda en celda siguiendo las direcciones calculadas con cualquiera de los algoritmos ya conocidos, acaba vertiendo sobre la celda problema. El conocimiento de este par´ametro ser´a un indicativo, entre otras cosas, del caudal circulante por la celda o la capacidad erosiva de dicho flujo en la misma, aspectos que en su momento ser´an analizados convenientemente cuando corresponda la explicaci´on detallada de tales magnitudes. Las formulaciones algor´ıtmicas para el c´alculo de este par´ametro, aunque van a buscar como u ´nico resultado la creaci´on de una nueva malla que contenga las acumulaciones de flujo correspondientes a cada celda, presentar´an, como es l´ogico, expresiones distintas en funci´on de cada uno de los algoritmos para asignaci´on de direcciones que se emplee en cada caso. Algunas de las consecuencias de este hecho ya han ido introduci´endose levemente como ventajas o inconvenientes de cada uno de dichos algoritmos, y ser´an detalladas en profundidad en este apartado. Para comenzar el estudio de los algoritmos que nos van a conducir hacia la matriz de flujo acumulado, hag´amoslo en primera instancia no teniendo en mente ninguna metodolog´ıa concreta, sino planteando conceptos generales acerca del significado del valor que buscamos y la forma de llegar a su conocimiento con los materiales y conocimientos de que disponemos hasta el momento. Es obvio que desde cada celda del MDT podemos trazar el recorrido (o recorridos, si se usa un algoritmo de flujo de tipo MFD) de la escorrent´ıa de dicha celda aguas abajo hasta el punto de salida de dicho flujo de la malla. Podemos, por tanto, conocer cada una de las celdas que por las que pasa dicho flujo, a˜ nadiendo a dichas celdas el ´area aportante de la celda inicial. Repitiendo este proceso para cada celda de la malla y acumulando sus respectivas ´areas a todas las restantes celdas aguas abajo, obtendremos el flujo acumulado de todas ellas seg´ un esta primera formulaci´on. En una notaci´on muy laxa, un posible pseudoc´odigo para lo anterior quedar´ıa como sigue: procedimiento CalcularMallaFlujoAcumulado1() { para cada celda de la malla { desde (i,j)=celda inicial hasta (i,j)=celda de salida de la malla { flujo acumulado en (i,j)=flujo acumulado en (i,j) + ´ area de una celda } } } Lo anterior puede aplicarse, con las correspondientes adaptaciones, a la pr´actica totalidad de los algoritmos para el c´alculo de direcciones de flujo. Debe considerarse, por ejemplo, la divisi´on del flujo en aquellos algoritmos de tipo MFD , en los que, suponiendo que la distribuci´on del flujo es homog´enea en la superficie de cada celda, las fracciones correspondientes a cada celda aguas abajo se pueden traducir en fracciones de ´area, debiendo, por tanto, acumularse a cada una de ellas una parte del ´area de cada celda. Este ´area, por otra parte, se eval´ ua sencillamente como A = g 2 , siendo g el ancho de celda o resoluci´on, expresado en las unidades habituales (generalmente metros). Si bien este planteamiento es correcto y completo, ya deber´ıa saber el lector por lo que en su momento se comento algunos apartados atr´as, que no representa la soluci´on computacio-

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

101

nalmente mas eficaz, aunque s´ı la de m´as universal validez, motivo por el cual debe quedar igualmente recogida en estas l´ıneas. Si centramos ahora nuestra atenci´on sobre el modelo D8, y notando como A a la matriz de flujo acumulado, podemos llegar a una formulaci´on algor´ıtmica m´as optimizada, partiendo del hecho de que A(i,j) =

1 1 X X

δ(n,m) · A(i+n,j+m)

,

m · n 6= m + n

(2.72)

n=−1 n=−1

donde  δ(n,m)

= 1 si la celda (i + n, j + m) vierte sobre (i, j) = 0 si la celda (i + n, j + m) no vierte sobre (i, j)

(2.73)

Transformando esta notaci´on matem´atica en una expresi´on algor´ıtmica, tenemos una funci´on que puede expresarse mediante un pseudoc´odigo de la forma siguiente. funci´ on FlujoAcumulado1 (i,j) { flujoAcc=´ area de una celda desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+m,j+n) vierte sobre (i+j) entonces { flujoAcc=flujoAcc+FlujoAcumulado1(i+m,j+n) } } } } devolver flujoAcc } Las implicaciones ventajosas de esta formulaci´on son obvias en cuanto que u ´nicamente las celdas que en efecto aportan flujo sobre la celda problema (i, j) son tratadas, siendo adem´ as analizadas en una u ´nica ocasi´on, existiendo as´ı una optimizaci´on notable en relaci´on con el n´ umero de operaciones necesarias para completar el c´alculo buscado. Consid´erese adem´as que la llamada recursiva hacia las celdas superiores de cara a conocer el flujo acumulado en ellas, puede ser m´as r´apida si este flujo ya se conoce de antemano, no resultando necesario seguir subiendo aguas arriba hasta el origen del flujo. Si aplicamos este concepto para generar la malla completa de flujo acumulado — lo anterior era s´olo para un punto dado —, veremos que no en todos los puntos va a resultar imprescindible realizar el antedicho ascenso, resultando al final que tan s´olo se evaluar´an tantas celdas como tenga la malla, pues ninguna deber´a ser analizada en m´as de una ocasi´on. Con lo anterior, planteamos la siguiente modificaci´on para el algoritmo precedente, en el cual se hace uso de la malla de flujo acumulado, en vista de la utilizaci´on de este algoritmo dentro de uno destinado al c´alculo de dicha malla y que en breve ser´a introducido. Los valores de flujo acumulado quedan en la matriz denotada como F.

102

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Puesto que nos acercamos ya a una versi´on definitiva del algoritmo, es procedente en este punto incorporar en el mismo una circunstancia que en su momento detallamos para el caso de valores puntuales evaluados mediante el desplazamiento de la submalla 3 × 3, tales como pendiente u orientaci´on, y que no es otro que el relativo a la ausencia de datos en determinadas celdas del MDT. La consideraci´on explicita de estas celdas se contempla tambi´en en el algoritmo a continuaci´on presentado. funci´ on FlujoAcumulado2 (i,j) { si F(i,j)=0 entonces { flujoAcc=´ area de una celda desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+m,j+n)=NODATA, entonces { devolver NODATA } si (i+m,j+n) vierte sobre (i+j) entonces { flujoAguasArriba=FlujoAcumulado2(i+m,j+n) si flujoAguasArriba=NODATA, entonces { devolver NODATA } flujoAcc=flujoAcc+FlujoAguasArriba } } } } } si no, si F(i,j)=NODATA entonces { devolver NODATA } si no { flujoAcc=F(i,j) } devolver flujoAcc } Como puede verse si se analiza el aspecto relativo a las celdas sin datos, toda celda que presente aguas arriba una de dichas celdas recibir´a un valor NODATA como flujo acumulado, ya que esta celda sin datos interrumpe el proceso recursivo hacia aguas arriba, haciendo imposible el calcular desde ese punto el ´area aportante, e invalidando as´ı cualquier resultado obtenido. El hecho de que existan celdas con un valor NODATA en la malla deber´a ser tenido en cuenta

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

103

para todas las futuras formulaciones que hagan uso de la misma — que van a ser muchas —, aun cuando ello no se refleje de modo explicito en el texto. Utilizando el algoritmo anterior para el c´alculo de flujo acumulado en una celda dada, y extendi´endolo a todas las celdas de la malla mediante su ejecuci´on sobre cada una de ellas — formulaci´on de suma sencillez —, la malla de flujo acumulado queda definida con unas notables ventajas respecto al planteamiento inicial expresado al comienzo del apartado. Puesto que hemos comprobado la mejor eficacia de este nuevo algoritmo, el cual hemos basado originalmente sobre la formulaci´on del D8, es procedente tratar ahora de adaptar la idea que reside tras el mismo a las distintas otras metodolog´ıas para las asignaci´on de direcciones de flujo. Comenzando con aquellas de tipo MFD de la familia misma del D8 — l´ease, FD8 y D∞ —, la expresi´on (2.72) puede emplearse de igual modo sustituyendo los valores de δ(n,m) recogidos en (2.73) por

 δ(n,m)

= p si la celda (i + n, j + m) vierte sobre (i, j); p ∈ (0, 1) = 0 si la celda (i + n, j + m) no vierte sobre (i, j)

(2.74)

La adaptaci´on se antoja a simple vista bastante sencilla, y parece en una primera impresi´ on que resultar´a posible mantener las buenas cualidades en cuanto a eficacia que caracterizaban a este enfoque en el caso del D8. Para ver esto de un modo m´as claro, recurramos a la formulaci´ on algor´ıtmica que queda como sigue. Por razones de espacio, se presenta el algoritmo sin la consideraci´on de celdas sin datos. funci´ on FlujoAcumulado3 (i,j) { si F(i,j)=0 entonces { flujoAcc=´ area de una celda desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+m,j+n) vierte sobre (i+j) entonces { p=fracci´ on de flujo de (i+n,j+n) que llega a (i+j) flujoAcc=flujoAcc+p·FlujoAcumulado3(i+n,j+m) } } } } } si no { flujoAcc=F(i,j) } devolver flujoAcc }

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´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

No habiendo modificado apenas el algor´ıtmo original, resulta claro que la estructura recursiva de las formulaciones anteriores — la que realmente aporta la eficacia a este planteamiento —, puede seguir aplic´andose, quedando cubierta de este modo la familia del D8 al completo en lo que a creaci´on de la malla de flujo acumulado respecta. La pregunta que debemos plantearnos en este punto es si podremos continuar esta progresi´on y extender el rango de aplicaci´on de esta filosof´ıa a los modelos KRA y DEMON, pregunta cuya respuesta, aunque ya se ha anticipado en diversas ocasiones que es negativa, ser´a justificada con algo m´as de detalle en este punto. La relaci´on que une a una celda y la situada inmediatamente aguas arriba de la misma, y que permite en el anterior algoritmo la aplicaci´on de lo expresado en (2.72), queda reflejada en el mismo en la l´ınea si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces, la cual permite conocer si, efectivamente, una celda se encuentra aguas arriba de otra dada o no. Esta relaci´on, sencilla de concepto y sumamente f´acil de comprobar bajo las premisas de los algoritmos de la familia del D8, no puede tratarse igual si se utiliza cualquiera de los restantes modelos, pues ya sabemos que la relaci´on entre el flujo de una celda y su paso a otra situada aguas abajo de la misma no depende exclusivamente de dicha celda sino tambi´en de todas las que se encuentran aguas arriba de la misma. La necesidad de analizar todas esas celdas, inevitable seg´ un la formulaci´on de estos m´etodos, hace perder validez a las formulaciones recursivas que han sido presentadas, al eliminar la ventaja de las mismas en cuanto al ahorro de operaciones y de celdas que es necesario analizar. Como resultado de lo anterior, las aplicaciones que implementan tanto el modelo KRA como el modelo DEMON se ven obligadas a recurrir a formulaciones menos optimizadas, resultando imposible con las mismas el obtener un rendimiento equivalente al que puede lograrse en el caso de emplear cualquiera de los m´etodos de la familia del D8. Una vez m´as, la simplicidad de ´estos se demuestra como un elemento altamente ventajoso desde el punto de vista puramente computacional, apoy´ando en dicha sencillez la construcci´on de algoritmos altamente eficientes como los que hemos visto. Independientemente del rendimiento de sus algoritmos asociados, es obvio que todos los modelos permiten el c´alculo de la matriz de flujo acumulado, la cual puede emplearse en este punto para complementar todo lo dicho anteriormente acerca de cada uno de dichos modelos. El an´alisis de una estructura dada representada mediante un MDT aplicando todos ellos, y la generaci´on consecuente de las mallas de flujo acumulado derivadas, aporta un elemento de comparaci´on que, no s´olo de modo num´erico, sino especialmente de forma visual, nos da una buena idea de las limitaciones y cualidades en cuanto a precisi´on y realismo de sus resultados de cada uno de los modelos que conocemos. La figura (2.29) representa las acumulaciones de flujo para un MDT cuya superficie constituye un cono circular, arrojando interesantes resultados. La elecci´on de una superficie matem´atica en lugar de un MDT real hace posible una mayor claridad y una mejor comprensi´on de los resultados que conlleva la comparaci´on de las distintas representaciones. Es de inter´es rese˜ nar que, por la propia naturaleza de los valores que contiene la malla de acumulaci´on de flujo, con magnitudes muy elevadas en algunas pocas celdas que concentran el flujo — y que anticipamos ya aqu´ı que servir´an para la determinaci´on de cauces en pr´oximos cap´ıtulos —, la representaci´on habitual en escala de color mediante una gradaci´on lineal no ofrece apenas informaci´on de inter´es o, al menos, no del mismo modo que esta forma de representaci´on lo hace con otras mallas como la propia del MDT, la de pendientes, etc. Se utiliza en este caso una rampa de color de tipo logar´ıtmico, aument´andose de este modo la informaci´on que puede obtenerse de dicha representaci´on, tal y como queda reflejado en la Figura (2.30).

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

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Figura 2.29: Representaci´on de flujo acumulado sobre un cono circular, seg´un los principales algoritmos de asignaci´ on de direcciones de flujo (adaptado de (Conrad, 1998))

Figura 2.30: Representaci´on de una malla de flujo acumulado con escala lineal (izquierda) y logar´ıtmica (derecha). Se ve con facilidad la mayor utilidad de esta u ´ltima para este tipo de par´ametro

2.3.13.

Lagos y embalses como parte del MDT

El empleo de las distintas formulaciones para el c´alculo de direcciones de flujo, en conjunci´on con los algoritmos presentados para los casos de zonas planas o depresiones, nos permite ya definir un direcci´on de flujo en cualquier celda del MDT. Mientras que las depresiones formadas por pocas celdas se asumen como errores derivados de los procesos de interpolaci´ on en la creaci´on del MDT, la existencia en ocasiones de grandes depresiones suele reflejar la presencia de embalses o lagos, los cuales, seg´ un el caso, tambi´en pueden estar reflejados como zonas llanas sin relieve, al registrarse como elevaci´on la cota de la l´amina de agua en lugar de la batimetr´ıa correspondiente. Pese a que, como se ha dicho, ninguna de estas circunstancias representa un problema, algor´ıtmicamente hablando, la consideraci´on de los conceptos representados en el MDT y la coherencia que debe existir entre ´estos y los resultados obtenidos nos obliga a reconsiderar las alterativas empleadas en este tipo de casos. Por definici´on, los algoritmos para el c´alculo de direcciones se han desarrollado partiendo de la base de una aplicaci´on en zonas con cierto relieve, aport´andose a posteriori las soluciones correspondientes a algunos de los problemas que inmediatamente se derivaron de su empleo,

106

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

tales como los relativos a zonas llanas o depresiones. La existencia de lagos o cualquier otro tipo de acumulaci´on de agua, as´ı como la de grandes zonas llanas tales como llanuras de inundaci´on, hace necesario considerar estos elementos con anterioridad, si se desea obtener una formulaci´on consistente en todos los sentidos. Autores como Liang y Mackay (1997), han propuesto soluciones encaminadas a mantener una coherencia topol´ogica de la red de drenaje a obtener, soluciones que no se detallar´an aqu´ı pues constituyen planteamientos muy particulares y con objetivos realmente no de primer orden de cara a la modelizaci´on hidrol´ogica m´as all´a de la caracterizaci´on exclusiva de los elementos hidrogr´aficos. En el momento de detallar la creaci´on de la red de drenaje, veremos como ´esta para nosotros va a ser u ´nicamente un elemento de tipo l´ıneal, consideraci´on suficiente para toda la modelizaci´on posterior y la extracci´on precisa de otros par´ametros. Por ello, el trabajo con lagos y embalses no debe preocuparnos tanto desde un punto de vista de la propia red de drenaje o de la precisi´on conceptual de los algoritmos, sino m´as bien desde la coherencia de las interpretaciones que se lleven a cabo a partir de los mismos.

Figura 2.31: Trazado de flujo alrededor de un lago, seg´un Liang y Mackay. (Tomado de Liang y Mackay, 1997)

Par´ametros como longitudes de flujo o flujo acumulado se mantienen correctas mediante la aplicaci´on de los algoritmos b´asicos, pues todo el ´area del lago acaba vertiendo sobre el punto de salida del mismo y las rutas de flujo hasta este u ´ltimo son ´optimas (excepci´on hecha del ´ empleo de un algoritmo de llenado din´amico, seg´ un ya se coment´o en su momento). Estos y otros valores derivados no deben considerarse como err´oneos pese a la presencia de grandes depresiones, pudiendo ser empleados de aqu´ı en adelante sin mayores consideraciones. La presencia de lagos, deducida a partir del propio MDT o a partir de cartograf´ıa de entidades generalmente en formato vectorial, debe considerarse, no obstante, pues sobre los modelos hidrol´ogicos de aplicaci´on posterior su incidencia es notable. El conocimiento de las longitudes de flujo a trav´es del lago (esto es, la longitud misma de la zona de agua retenida), debe ser un elemento clave para la aplicaci´on de modelos que consideren el efecto laminador del lago. De igual modo, la aplicaci´on de modelos de estimaci´on de perdidas de suelo debe tener en cuenta que las zonas definidas como lago se encuentran cubiertas de agua, con el fin de no considerar los valores que, sobre la base del MDT, sean calculados para estas zonas. Ejemplos como los anteriores pueden encontrarse en otros aspectos, y en todo momento debe guardarse una visi´on global de los modelos que se utilizan, con objeto de localizar y asimilar circunstancias como la ahora presentada. Una vez m´as, y como viene siendo habitual, apelo desde aqu´ı a la coherencia hidrol´ogica de cualquier resultado u operaci´on, preparando paulatinamente el enfoque que m´as adelante deber´a darse a los modelos hidrol´ogicos, y que ser´a independiente de la procedencia de los datos que entren a formar parte de los mismos.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

2.3.14.

107

El concepto de ´ area aportante espec´ıfica

La utilizaci´on del concepto de ´area aportante, especialmente de cara a algunos par´ametros posteriores, debe sustituirse por un ´area espec´ıfica, esto es, si se supone que el flujo acumulado vierte a trav´es de un ancho dado, la magnitud del ´area aportante por unidad de ancho. Disponiendo de una malla de flujo acumulado creada mediante la utilizaci´on de, por ejemplo, el modelo D8, se considera que el ancho a utilizar para la evaluaci´on del ´area aportante espec´ıfica es el ancho de la celda — que denotabamos como g —, por lo que simplemente dividiendo por este valor los recogidos en cada celda de dicha malla de flujo acumulado, obtendremos la nueva malla buscada. As´ı, a (2.75) g Se coment´o en su momento que un objetivo primordial del modelo DEMON era mejorar en cuanto a su precisi´on los resultados relativos a ´areas aportantes, entre los cuales inclu´ımos este de ´area aportante espec´ıfica, el cual no se mencio˜ n´o entonces por no haber sido presentado a´ un. La consecuencia de esta mayor precisi´on es una mayor complejidad en el c´alculo de la malla correspondiente, como ya en su momento vimos que suced´ıa para la correspondiente al area aportante. La dimensi´on en cada caso del ancho a utilizar debe ser evaluada a partir de la propia anchura de los tubos de flujo, con lo que este valor no es constante para todas las celdas, teniendo lugar la creaci´on de dicha malla simultaneamente con la de ´area aportante. De cualquier modo, y de forma ciertamente parad´ojica, los par´ametros derivados que hacen uso del area aportante espec´ıfica se han desarrollado basados en metodolog´ıa de la familia del D8, siendo mediante ´estas como su aplicaci´on se lleva a cabo de modo habitual, y no mediante el modelo DEMON. a0 =

2.3.15.

´Indice topogr´ afico

Entre esos par´ametros, uno con especial inter´es, y que va a suponer nuestra primera incursi´on en el terreno de los contenidos m´as hidrol´ogicos del texto, es el definido por Beven y Kirkby (1979) con la expresi´on I = ln(a0 / tan β)

(2.76)

donde a0 es el ´area aportante espec´ıfica reci´en explicada, y β la pendiente en la celda — por su presencia habitual, se mantiene la notaci´on original de los autores en lugar de la que venimos empleando hasta ahora para la pendiente —. N´otese la presencia en el denominador de la expresi´on de un valor que puede anularse, y que debe ser tenido en cuenta en la formulaci´on del correspondiente algoritmo con objeto de mantener la coherencia global de los resultados. Lo habitual en tal caso es la sustituci´on de la pendiente nula por una de magnitud muy peque˜ na, del orden de 0,0001 % por ejemplo, de tal modo que no suponga una dificultad para la evaluaci´on global de la malla de valores. Detr´as de su aspecto sencillo, el ´ındice topogr´afico es, de cara a modelizar algunos de los aspectos hidrol´ogicos de una celda o conjunto de ellas, un par´ametro sumamente importante que en cap´ıtulos posteriores aparecer´a con frecuencia como fuente relevante de informaci´ on del relieve. Sirva decir a este respeto que este ´ındice topogr´afico es el u ´nico parametro relativo a la topograf´ıa necesario para la operaci´on con el modelo TOPMODEL, de los mismos autores, lo que da una idea de cu´an completo puede resultar a la hora de definir las caracter´ısticas de una celda dada en lo que a su comportamiento hidrol´ogico respecta. Las interpretaciones a que se presta son sumamente variadas, aunque originalmente fue definido con objeto de expresar la relaci´on entre la morfolog´ıa del relieve y la acumulaci´ on de

108

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Figura 2.32: Mapa de ´ındice topogr´afico. Las tonalidades m´as claras indican valores mayores. agua en el suelo, responsable ´esta a su vez de la escorrent´ıa generada, velocidad de flujo, etc. En particular, un uso principal de este ´ındice es el relacionado con la producci´on de escorrent´ıa bajo el supuesto de que esta se produce en presencia de una saturaci´on de agua en el suelo, momento en el que nivel fre´atico alcanza la superficie. Desde otro punto de vista, la concepci´on inicial del par´ametro se encamina hacia a identificaci´on de zonas que se comporten de igual modo desde el punto de vista hidrol´ogico, ofreciendo por tanto una id´entica respuesta en lo que respecta a la relaci´on precipitaci´on–escorrent´ıa. Sirve, por tanto, como un indice de similitud hidrol´ogica de sumo interes para la agrupaci´on de zonas con caracter´ısticas homogeneas en ese sentido, permitiendo el an´alisis conjunto de las mismas y el planteamientos de distintos enfoques en los modelos asociados. No obstante, todos estos an´alisis del significado de este factor ser´an detallados en profundidad en cada uno de los diferentes puntos donde se haga uso del mismo a lo largo del texto, sirviendo lo anterior u ´nicamente a modo de introducci´on y de presentaci´on de las expresiones que definen su valor.

2.3.16.

´Indice de potencia de cauce

Si el ´area aportante a una celda puede en una primera aproximaci´on relacionarse con la magnitud del flujo que pasa por la misma, la adici´on de otros par´ametros en conjunto con dicho ´area aportante puede dar nueva informaci´on acerca de las caracter’sticas propias de este flujo. Como su nombre indica, el ´ındice de potencia de cauce (Stream Power Index en la literatura inglesa), aporta informaci´on accesoria sobre la potencia asociada a dicho flujo, al combinar la propia ´area aportante (que, por la naturaleza del par´ametro, resulta m´as adecuado utilizar el ´area espec´ıfica), junto con la pendiente de la celda, la cual influye directamente sobre la velocidad del flujo. La expresi´on de este par´ametro, por tanto, es de la forma P = a0 · γ

(2.77)

El ´ındice de potencia de cauce representa una primera aproximaci´on al estudio de los procesos erosivos, ya que, por su propia definici´on, est´a muy ligado a la capacidad de los flujos para producir dichos fen´omenos erosivos, sirviendo para la localizaci´on gen´erica de puntos donde ´estos se den con mayor intensidad, especialmente a nivel de cauce.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

109

Figura 2.33: Mapa de potencia de cauce. Las tonalidades m´as claras indican valores mayores. La representaci´ on de este mapa, al igual que el de ´area acumulada, se realiza preferentemente con escala de tipo logar´ıtmico

2.3.17.

Valores medios aguas arriba

Aunque veremos en su momento con detalle y extensi´on todos los aspectos relacionados con la definici´on de cuencas y subcuencas y la relaci´on de estos conceptos con las formulaciones introducidas para el c´alculo de ´areas aportantes, se presentan aqu´ı al cierre de este cap´ıtulo algunos conceptos relativos a la estimaci´on de valores medios aguas arriba de las distintas celdas. Estos valores, que representan valores medios de las subcuencas asociadas a cada celda, sirven como un peque˜ no enlace entre ambas ideas, a la vez que permiten la creaci´on de mallas de valores que, para determinados aspectos, pueden resultar de mayor inter´es o presentarse como interesante informaci´on adicional sobre un par´ametro concreto. Para un par´ametro dado ρ, el valor medio de ´este aguas arriba en una celda (i, j), que denotaremos como ρ∗i,j , puede evaluarse seg´ un la expresi´on P ρi,j + ρ∗a,b · aa,b ∗ (2.78) ρi,j = ai,j siendo las celdas (a, b) aquellas que vierten directamente sobre (i, j), es decir, que vierten sobre (i, j) y pertenecen al entorno inmediato de dicha celda. Por su parte, ai,j es el ´area aportante en (i, j). Sobre esta formulaci´on, un planteamiento recursivo como los que ya se conocen para el propio calculo de a sirve de modo sencillo para calcular los valores medios del par´ametro considerado. Este puede tener la expresi´on siguiente en forma de pseudoc´odigo, desarrollada para una celda dada (i, j). Como es habitual, la aplicaci´on a todas las celdas conforma la malla completa buscada. El valor del par´ametro ρ se supone en una malla R y el de flujo acumulado en una denotada como F, al igual que en casos anteriores. La malla final buscada se denota como R2. funci´ on ValorMedioAguasArriba (i,j) { si R2(i,j)=0 entonces { flujoAcc=´ area de una celda desde n=-1 hasta n=1 {

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

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Figura 2.34: Mapa de pendiente media aguas arriba. Las tonalidades m´as claras indican valores mayores.

desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+m,j+n) vierte sobre (i+j) entonces { valorMedio=(R(i,j)+ValorMedioAguasArriba(i+m,j+n) *F(i+m,j+n))/F(i,j) } } } } } si no { valorMedio=R2(i,j) } devolver valorMedio } La figura (2.34) muestra como ejemplo un mapa de pendiente media aguas arriba. La comparaci´on de ´este con el mapa de pendientes simples y el an´alisis conjunto queda como propuesta para el lector.

2.3.18.

Clasificaci´ on de formas del relieve

La caracterizaci´on del relieve tambi´en desde un punto de vista cualitativo resulta igualmente una tarea posible mediante el an´alisis del MDT, a la par que da lugar a otra serie de elementos que tambi´en pueden ser incorporados dentro de la propia modelizaci´on hidrol´ogica. De un modo distinto, como resulta l´ogico, a como los valores num´ericos obtenidos hasta el momento van a utilizarse posteriormente, la clasificaci´on de las formas principales del relieve puede igualmente usarse como resultado de base, presentando un especial inter´es de cara a la creaci´on de unidades con similares caracter´ısticas en lo que a relieve respecta, y por tanto tambi´en con una posible similaridad en cuanto a su comportamiento hidrol´ogico.

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

111

Pese a constituir un an´alisis marcadamente de tipo geomorfol´ogico, se puede, por tanto, asociar al mismo un enlace con el estudio hidrol´ogico, motivo por el cual es pertinente su exposici´on con algo de detalle. Asimismo, la mera caracterizaci´on basada en los resultados obtenidos mediante la clasificaci´on de las zonas de relieve puede servir para la caracterizaci´ on propia de las unidades hidrol´ogicas con las que m´as adelante se trabajar´a, teni´endose as´ı un elemento complementario para la definici´on completa de las mismas. La clasificaci´on de formas del relieve se basa principalmente en los trabajos de Hammond (1954, 1964), los cuales se adaptan con sencillez a la estructura de malla de datos del MDT (Dikau, 1991), pues su fundamento se encuentra en par´ametros de sencillo c´alculo. En particular, tres son los par´ametros que han de calcularse y a partir de los cuales se llevar´a a cabo ´ la clasificaci´on de la morfolog´ıa predominante. Estos son Pendiente Relieve relativo Tipo de perfil cada uno de los cuales se analizar´a individualmente a continuaci´on. Respecto a la pendiente, se trabaja aqu´ı ya de modo cualitativo, simplemente estableciendo una distinci´on entre las zonas de topograf´ıa mas o menos llana y las restantes. El umbral que marca la separaci´on entre ambas clases lo establece Hammond en un 8 %, aunque Brabyn(1998) argumenta que la diferente forma en que la pendiente se calcula sobre el MDT frente a la metodolog´ıa clasica de Hammond hace intersante una reconsideraci´on de dicho valor. Frente a la pendiente como valor u ´nico de una celda y calculado sobre la ya bien conocida submalla 3 × 3, las restantes magnitudes se eval´ uan sobre un determinado conjunto de celdas alrededor de una dada, de mayor dimensi´on que dicha submalla. Este conjunto se puede tomar como una nueva submalla cuadrada n × n centrada en la celda, o bien de forma circular considerando aquellas celdas a una distancia de la celda central menor que un determinado valor. Valores de ancho de submalla en el entorno de los 10 kil´ometros son de uso m´as o menos generalizado. Para el caso del relieve relativo, simplemente localizando la celda de mayor elevaci´on y la de menor dentro de la submalla — o circulo — considerada, la diferencia de ambas es el valor buscado. Dicha diferencia se emplea para establecer una divisi´on en clases, particularmente en seis de ellas seg´ un los siguientes valores. 0–150 m 150–300 m 150–600 m 600–900 m 900–1500 m >1500 m La figura (2.35) muestra un ejemplo de malla de valores de relieve relativo y su posterior clasificaci´on en grupos. N´otese la gran similitud que se puede apreciar entre dicha malla y la de pendientes, pues, en cierto modo, este par´ametro constituye una especie de ((pendiente ampliada)).

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

112

Figura 2.35: Valores de relieve relativo(izquierda) y clasificaci´on de los mismos en clases (derecha). Los trabajos originales de Hammond, as´ı como las adaptaciones inform´aticas posteriores como la de Dikau, se encuentran enfocadas hacia un an´alisis a gran escala y con objeto de identificar las principales clases de elementos morfol´ogicos dentro del macrorelieve de una zona relativamente amplia. Ello hace sencillo comprender el porqu´e de los valores limite mencionados, as´ı como tambi´en los comentados para el tama˜ no de la submalla, los cuales pudieran resultan algo inadecuados para un an´alisis a menor escala en vistas a una posterior utilizaci´on de los datos en relaci´on con la hidrolog´ıa. El ajuste de los valores de las clases puede adaptarse, con vistas al an´alisis hidrol´ogico que se persigue, en funci´on de el car´acter global del relieve u otras circunstancias, justificando los valores siempre en aspectos relativos a la similitud hidrol´ogica de las clases de formas de relieve que como objetivo final se busca definir. Por u ´ltimo, el tipo de perfil se obtiene a partir de la caracterizaci´on de pendientes dentro de la submalla, as´ı como mediante una nueva malla de valores que ´ındica la posici´on relativa de cada celda dentro del terreno de la submalla, clasific´andola como zona baja o alta dentro del mismo. Para el c´alculo de esta nueva malla de datos se hace uso de la diferencia entre la altura de la celda central y la m´axima en la submalla. Comparando este valor con el del relieve relativo, si el primero es superior a la mitad del segundo, la celda se clasifica como zona baja. De lo contrario, se trata de una zona alta. La malla resultante — con dos valores posibles, bajo o alto — se superpone a la malla de pendientes — tambi´en con dos valores, llano o no — y se obtiene una nueva malla con cuatro valores posibles, la cual representa ya la informaci´on buscada sobre el tipo de perfil. Esta malla de tipo de perfil, junto con la de pendiente, deben ahora reclasificarse para dar lugar a nuevas mallas con cuatro clases diferentes, las cuales, al superponerse con las seis clases definidas en la malla de relieve relativo — la cual y ha sido clasificada con anterioridad — , dar´an una nueva malla de formas de relieve con un total posible de 4 × 6 × 4 = 96 clases. La reclasificaci´on se hace empleando medias de valores en los entornos de cada celda — conocidas como medias focales —, siendo la ventana a considerar del mismo tama˜ no que las empleadas con anterioridad. En el caso de la pendiente, para ello se asigna valor 100 a las celdas de pendiente superior al umbral, y 0 a las celdas llanas, calcul´andose la antedicha ´ media focal de cada celda, que constituye el valor de la malla final relativa a pendientes. Este es, en realidad, un valor de porcentaje de celdas no llanas, y se reclasifica en 4 intervalos seg´ un 0–25 % 25–50 %

´ 2.3. PARAMETROS PRINCIPALES A PARTIR DEL MDT

113

50–75 % 75–100 % Para el caso del tipo de relieve, tambi´en debe calcularse un porcentaje, pero en esta ocasi´ on el de celdas con pendiente situadas en zonas bajas. A este tipo de celdas se le asocia valor 100, siendo 0 el valor del resto, y procediendo a calcular la media focal y aplicar posteriormente una clasificaci´on en los citados 4 intervalos. Las tres mallas obtenidas se combinan para dar una con las 96 posibilidades ya citadas, y constituyendo una clasificaci´on de las formas de relieve presentes, al tiempo que permitiendo la localizaci´on de zonas similares desde dicho punto de vista. Para cada una de esas clases, algunas de las cuales se agrupan por constituir formas similares, puede aportarse una nomenclatura que complemente el car´acter descriptivo de la malla de valores obtenida. No obstante, por ser en cierta medida un elemento subjetivo en funci´on de algunos par´ametros elegidos tales como tama˜ nos de submalla empleados o configuraci´on general del relieve, adem´as de por no presentar aplicabilidad dentro del an´alisis hidrol´ogico, no se presenta aqu´ı dicha nomenclatura. Simplemente, una vez que se han clasificado las distintas zonas, el an´alisis de los valores y formas que caracterizan a cada una de ellas, puede utilizarse para asignar un tipo de comportamiento hidrol´ogico u otro a las distintas clases y as´ı establecer agrupaciones comunes o crear unidades globales que compartan un comportamiento similar. Esta es la base de la denominada regionalizaci´ on, la cual se ver´a m´as adelante dentro de la siguiente parte de la obra.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

La aplicaci´ on de algunos de los conceptos introducidos en este cap´ıtulo sobre mallas de datos distintas de las habituales, relacionando dichos conceptos con otros elementos calculados, puede ser una fuente de nuevas interpretaciones y par´ametros asociados. Estudiar algunas de ellas tales como una malla de pendientes de la malla de flujo acumulado, malla de ´ındice topogr´ afico acumulado, o cualquier otra que pueda considerarse de inter´es. Plantear la metodolog´ıa de creaci´on de la misma y razonar sobre su posible significado f´ısico e hidrol´ ogico.

2.

Plant´eese un algoritmo para el c´alculo de valores m´aximos de curvatura en las celdas, ent´endi´endose ´este como el valor de curvatura en la direcci´on que maximiza dicho valor.

3.

Plantee lo mismo para la curvatura m´ınima.

4.

Asigne alguna interpretaci´ on de corte hidrol´ogico a las mallas creadas con los anteriores algoritmos.

114

´ CAP´ITULO 2. MDTS Y ANALISIS DEL TERRENO

Cap´ıtulo 3

Cauces y redes de drenaje Tu as la plus belle fa¸con de suivre l0 exemple des fleuves entre les pertes du ciel et l0 ego¨ısme des ˆısles Juan Larrea Agua que llevan los r´ıos ¿a d´onde ir´a? ´ ˜er Luis Alvarez Pin

3.1.

Introducci´ on

Llegados a este punto, y salvando las omisiones existentes por descuido o quiz´as por un intencionado olvido — no siempre un exceso de informaci´on es positivo —, tenemos ya en nuestro poder una completa suerte de par´ametros que, a nivel mayoritariamente local, nos definen con casi absoluta completitud las caracter´ısticas del terreno recogido en el MDT sobre el que se desarrolla nuestro trabajo. Sin embargo, todo lo recogido hasta este punto, y aunque se ha pretendido darle en todo momento un enfoque pr´oximo a la hidrolog´ıa y relacionar siempre que fuera posible los elementos introducidos con los conceptos hidrol´ogicos habituales, no constituye sino un preliminar — muy importante, eso s´ı, basta para ello ver la extensi´ on dedicada — de cara a alcanzar los apartados propios de la hidrolog´ıa que verdaderamente atesoran el inter´es y el atractivo de la obra. La hidrolog´ıa, ya sea en su concepto cl´asico o moderno, estudiada a trav´es de elementos sencillos o con las ultimas tendencias en cuanto a cualquiera de sus aspectos, no la forman ninguno de los par´ametros vistos hasta el momento y ni siquiera tampoco los r´ıos, cuencas u otras unidades hidrogr´aficas como las que se analizan en ´este y el siguiente cap´ıtulo. La hidrolog´ıa se esconde en conceptos tangibles y utiles a la vez que relativamente et´ereos como son por ejemplo los hidrogramas de c´alculo y, mas a´ un, en la realizaci´on de los mismos a trav´es del fluir que da lugar a estos hidrogramas, sus valores punta, sus vol´ umenes de escorrent´ıa, y las implicaciones que todos ellos tiene para la vida del hombre. Esta aproximaci´on no exenta de abundante po´etica que se ha recogido de forma exquisita y con palabras m´as o menos engoladas en gran parte de la literatura hidrol´ogica — lo cual me agrada notablemente — se ha perdido en la pr´actica totalidad de los textos que recogen de un modo u otro el empleo de nuevas t´ecnicas y nuevos elementos (especialmente MDTs) para el an´alisis hidrol´ogico, no haci´endose justicia a esta hidrolog´ıa para la que supuestamente se plantean novedosas soluciones. Mi inter´es, como ya queda bien expresado en el pr´ologo de la obra, es reconciliar estas dos posturas, hermanando al mismo tiempo la visi´on cl´asica del hidr´ologo con los elementos computacionales y las aportaciones tecnol´ogicas actuales, contribuyendo cada uno de ellos a esta mezcla con sus virtudes caracter´ısticas, para as´ı concluir 115

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

con formulaciones que puedan considerarse part´ıcipes de la belleza, utilidad y relevancia que ambos campos a˜ naden a las mismas. En un libro, pues, que se ha planteado como un ejercicio de conciliaci´on y uni´on, el presente capitulo — junto con el siguiente — es, a su vez, una secci´on que sirve como nexo entre planteamientos y realidades distintas dentro del mismo. Huelga por lo tanto decir que estos cap´ıtulos representan un elemento de uni´on de primer orden para ligar — y de este modo comprender — los dos puntos de vista que se pretende confluyan sobre estas p´aginas, residiendo en este hecho su gran importancia ya que, como se ver´a, ´esta es notable desde ambas visiones. Esta doble vertiente se manifiesta en el mayor detalle con que son tratados los elementos hidrogr´aficos en relaci´on con los textos de hidrolog´ıa m´as cl´asicos, a la par que queda reflejado en la abundancia de algoritmos y la profundidad de estudio de los mismos en relaci´on con todos los aspectos de inter´es tanto de cuencas como de r´ıos. Para llevar a cabo ese primer acercamiento entre los par´ametros ya estudiados y las formulaciones puramente hidrol´ogicas, muchas de las cuales son cl´asicas y no consideran de modo expl´ıcito dichos par´ametros, la determinaci´on de cauces y redes de drenaje a partir de los mismos representa un camino perfecto para ir avanzando en la direcci´on correcta hacia resultados cada vez con una mayor componente hidrol´ogica. Si he elegido tratar este tema antes que el dedicado a las cuencas vertientes es sencillamente por la ventaja que ello conllevar´a posteriormente cuando se aborde al an´alisis de ´estas, ya que una buena parte de los resultados que ahora sean deducidos tendr´an su papel importante en las formulaciones y algoritmos que entonces se desarrollen. Es ´este, por tanto, un cap´ıtulo breve – la caracterizaci´on excesiva de las unidades hidrogr´aficas no tiene ning´ un sentido desde la perspectiva que se considera aqu´ı — pero altamente intenso, donde se introducen los conceptos primordiales que permitir´an comprender con rigor y precisi´on los pormenores del manejo de cauces y redes de drenaje en nuestro entorno actual, fundamentado primordialmente en el empleo de Modelos Digitales del Terreno como fuentes b´ asicas de informaci´on. El estudio de estos cauces y redes de drenaje y el trabajo con los mismos, a buen seguro supondr´a una continuaci´on adecuada a los conocimientos desarrollados en el cap´ıtulo anterior, tanto por su significado propio como por su posici´on global dentro de este texto y de la materia del mismo en t´erminos generales.

3.2.

Extraccion de redes de drenaje

De un modo u otro, como ya en cierta medida intuimos, la informaci´on referente a las redes de drenaje que recorren la zona de estudio debe estar recogida en el propio MDT y en los par´ametros que hasta el momento hemos derivado del an´alisis del mismo. Las direcciones de flujo, cuya vital importancia ha sido ya puesta de manifiesto, permiten evaluar los recorridos de todos y cada uno de los flujos originados en cada celda del MDT, con lo que, utilizando las mismas, debiera ser posible la obtenci´ on de una red de drenaje completa dentro del ´area de trabajo considerada. Una red red de drenaje tal, representa, sin embargo, un elemento nada coincidente con la entidad que buscamos, pues la informaci´on a todas luces excesiva de un n´ umero tan elevado de flujos no se corresponde con la configuracion de los cauces que realmente buscamos, ni permite dar una idea de la entidad e importancia de los mismos, adem´as de presentar escasa utilidad El objetivo, pues, de este cap´ıtulo es, en primera instancia, la definici´on de cauces a partir de los datos del MDT, pero de un modo consistente con el significado de dichos cauces seg´ un de modo habitual los entendemos. Es decir, definir aquellas celdas sobre las cuales se emplaza un curso de agua visible y bien definido, cuya entidad estar´a l´ogicamente en funci´on de las caracter´ısticas clim´atol´ogicas de la zona y la precipitaci´on recibida por la cuenca, pero en todo momento conformando una entidad hidrogr´afica de relevancia como tal. La selecci´on de las

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

117

celdas que deben se˜ nalarse como celdas de cauce y los m´etodos para realizar dicha selecci´ on, junto con sus teor´ıas de base, todos forman el conjunto de esta primera parte del cap´ıtulo dedicada a la mera extracci´on de cauces sobre la u ´nica base de los datos recogidos en el MDT. El comienzo de esta exposici´on debe centrarse no todav´ıa sobre los criterios a emplear para acometer esta extracci´on de la red de drenaje existente, sino en las propias caracter´ısticas que ´esta debe cumplir, y que nos facilitar´an la comprensi´on de posteriores formulaciones y la justificaci´on conceptual de ambas. En primer lugar, trabajamos ya no con par´ametros individuales para cada celda o malla de celdas, sino con una entidad para cuya definici´on y representaci´on recurriremos a un conjunto de dichas celdas, pero que, m´as all´a de esa representaci´on se trata de una unidad con una serie de cualidades que deben estar presentes para que, efectivamente, se trate de una red de drenaje coherente tanto con la realidad como con el concepto de red de drenaje en s´ı. Algunas de estas cualidades importantes a las que hay que atender son, por ejemplo, la conectividad de las celdas que forman la red o la inexistencia de flujos circulares, entre otros posibles defectos que pueden presentarse a´ un haciendo uso adecuado de los conceptos de base que sirven de fundamento para la extracci´on de la citada red de drenaje. Al respecto de la conectividad entre cauces, ´esta debe cumplirse como requisito b´ asico entre los pertenecientes a una misma cuenca, pero puede — y de hecho pr´acticamente nunca sucede — no darse este hecho entre muchos de los cauces que definamos sobre un MDT, pues es probable que ´estos pertenezcan a cuencas distintas. Puesto que a´ un no se ha tratado el tema de las cuencas vertientes, el cual constituye el tema principal del siguiente cap´ıtulo, en el presente no se har´an referencias directas a elementos de las mismas que no hayan sido introducidos, aunque se entiende que todo lo aqu´ı detallado para una red de drenaje dada, hace referencia a la red de drenaje de una cuenca vertiente, y se supone que, por tanto, ´esta es conocida de alg´ un modo. La ´ıntima relaci´on entre estos dos conceptos obliga a que la presentaci´on en primer lugar de los m´etodos asociados con la definici´on y caracterizaci´on de uno de ellos d´e lugar a ciertos vac´ıos en al propia exposici´on, aunque en la medida de lo posible ´estos son evitables con la introducci´on de sencillos conceptos, cuya comprensi´on posterior ser´a completa una vez que ambos elementos queden suficientemente desarrollados. As´ı pues, la visi´on de la red de drenaje como una entidad bien definida es la base de las teor´ıas que van a exponerse en este cap´ıtulo relativas tanto al c´omputo de los cauces que las constituyen y su caracterizaci´on, como al manejo de los mismos. Los conceptos as´ı establecidos para el tratamiento de las redes de drenaje como objetos ge´ometricos cargados de significado f´ısico, son del m´aximo inter´es para su utilizaci´on posterior en m´odelos hidrol´ogicos, pues caracter´ısticas como la ya mencionada conectividad son las que permitir´an, en el empleo de modelos hidrol´ogicos basados en el an´alisis independiente de subcuencas, la conexi´on entre esos resultados individuales de cara a la obtenci´on de par´ametros globales de la cuenca. Como se ver´a en su momento, la propia definici´on de las subcuencas puede sacar tambi´en partido de la estructura de la red de drenaje con el fin de lograr que dicha definici´on d´e lugar a resultados ´optimos desde el punto de vista del an´alisis hidrol´ogico. Desde el punto de vista te´orico, es un hecho que la disposici´on de los cauces en el terreno y sus caracter´ısticas de forma est´an en relaci´on directa con un alto n´ umero de factores que van desde la propia morfolog´ıa del terreno hasta la litolog´ıa, pasando por la vegetaci´on presente y el uso de suelo, entre otros. No obstante, y aunque esta simplificaci´on pueda resultar en ciertos casos excesiva — especialmente cuando los otros factores sean notablemente heterogeneos a lo largo de la superficie cubierta por el MDT —, consideraremos que la extracci´on de la red de drenaje puede llevarse a cabo exclusivamente a partir del MDT, es decir, que la morfolog´ıa del terreno es el factor preponderante de modo absoluto en la definici´on de dicha estructura hidrogr´afica.

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

Aun as´ı, la forma de considerar la informaci´on recogida en el MDT acerca de esta morfolog´ıa admite diversos enfoques en virtud de los distintos par´ametros que de ella pueden derivarse. Como veremos en breve, esta diversidad da lugar a la elaboraci´on de criterios distintos que permiten el establecimiento de las redes de drenaje en funci´on de diversos conceptos e ideas. Desde el punto de vista de la operatividad y los procedimientos a emplear, con car´acter general podemos dar dos enfoques principales para la extracc´ıon completa de cauces una vez se han estudiado las distintas celdas del MDT con alguno de los criterios antes comentados. En primer lugar, la definici´on individual de celdas que, cumpliendo dicho criterio, se consideran como celdas de cauce, siendo el conjunto de ´estas el que constituye la red de drenaje. Esta aproximaci´on, sin consideraciones adicionales, es f´acil ver que no garantiza caracter´ısticas tales como la conectividad entre las celdas se˜ naladas. En segundo lugar, la definici´on de las celdas en las cuales se considera que el cauce comienza, y desde dicho punto de cabecer´a se procede al trazado del resto del cauce recorriendo la malla hacia aguas abajo empleando para ello las direcciones de flujo correspondientes. Este m´etodo, de aplicaci´on tambien sencilla, s´ı garantiza la conectividad de la red extra´ıda. Tanto una como otra perspectiva van a tener su lugar en los desarrollos que desde este punto van a hacerse sobre las distintas metodolog´ıas, en funci´on de su adaptaci´on a las mismas. Respecto a este u ´ltimo, no obstante, es de inter´es se˜ nalar que, dada la concepci´on que de los cauces tendremos sobre la malla del MDT, y con objeto de garantizar una coherencia de los resultados, el c´alculo de celdas aguas abajo de la considerada como cabecera debe llevarse a cabo de modo exclusivo mediante un algoritmo de tipo SFD, pues el empleo de algoritmo de tipo MFD puede dar lugar a resultados incorrectos. Para recoger gr´aficamente esta idea, puede acudir a la imagen (3.1), donde se representan los trazados de los flujos aguas abajo de un punto dado, calculados seg´ un el D8 — de tipo SFD — y el FD8 — de tipo MFD —. En el primero de ellos el resultado es un cauce perfectamente definido que, a primera vista, puede asimilarse al trazado real de dicho cauce. En el segundo caso, sin embargo, la consideraci´on de la difusi´on hace que el flujo se reparta a lo largo de un n´ umero elevado de celdas, ((abriendo)) progresivamente el cauce y ensanch´andolo.

Figura 3.1: Trazado de flujo aguas abajo de un punto dado por las metodolog´ıas del D8 y FD8. La flecha ´ındica la direcci´ on de flujo.

Este comportamiento es interesante para los flujos en ladera, en los cuales el planteamiento del FD8 rompe las limitaciones del D8 y da una modelizaci´on m´as real para dichos flujos. En los flujos encauzados, sin embargo, la simple experiencia y observaci´on indica que el flujo no se difunde a un numero tan amplio de celdas, ya que se encuentra confinado dentro del perfil transversal del cauce. La resoluci´on habitual de trabajo de un MDT en an´alisis hidrol´ogico se vi´o en su momento que no era suficiente para tener en consideraci´on dicho perfil transversal y otros elementos de la morfolog´ıa fluvial, por lo que el anterior confinamiento no existe como

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

119

tal sobre el MDT. Ello hace que, a medida que se va abriendo el cauce, algunas celdas aparezcan dentro del mismo, pero es sencillo pensar que gran parte de las mismas no van a ser en realidad celdas de cauce. Dicha ((apertura)) del cauce, la cual podr´ıa tener lugar en zonas de llanura de inundaci´ on, no parece, sin embargo, l´ogico encontrarla localmente en peque˜ nos tramos puntuales del curso alto, tal y como se observa en la figura (3.1). Se tiene as´ı una situaci´on ambigua y en la que una definici´on del trazado del cauce no es posible de forma fiable. En caso de haber realizado un encauzamiento forzado, el flujo s´ı se mantendr´a dentro del cauce con independencia del m´etodo que se emplee, no apareciendo la circunstancia anterior, pero, en caso contrario, la restricci´on que impone la mayor sencillez de los algoritmos de tipo SFD es un buen sustituto de dicho encauzamiento forzado. Es de inter´es, por tanto, el empleo de estos algoritmos para la definici´on de cauces a partir de las celdas de cabecera. La limitaci´on a algoritmos de tipo SFD no supone una limitaci´on a la familia del D8, pudiendo emplearse en perfectas condiciones el m´etodo KRA — no as´ı el DEMON, pues ´este no es unidimensional —, obteni´endose, de hecho, trazados de los cauces m´as correctos y precisos que con el D8, y manteni´endose las ventajas de ´este desde el punto de vista de lo anteriormente se˜ nalado.

3.2.1.

Conceptos b´ asicos

Antes de proceder a la presentaci´on y desarrollo de los distintos criterios y m´etodos, es necesario introducir algunos conceptos y par´ametros asociados sobre los cuales los antedichos m´etodos se fundamentan, y mediante cuya medida ser´a posible extraer los valores que nos servir´an como herramienta en la definici´on propiamente dicha de los cauces y redes de drenaje. Estos par´ametros, probablemente ya conocidos en cierto modo por el lector, y que quiz´ as encontrasen un lugar m´as conveniente en los apartados dedicados a la mera caracterizaci´ on de los cauces una vez que ´estos ya han sido definidos, se recogen aqu´ı con el objeto u ´nico de que su expresi´ on y concepto sean ambos conocidos y puedan utilizarse sin dificultades en las secciones dedicadas espec´ıficamente a la extracci´on de redes de drenaje que vendr´an a continuaci´ on. Ordenes de Strahler Sin ninguna duda, si debe elegirse un par´ametro como m´as importante dentro de los que a continuaci´on va a describirse, especialmente teniendo en cuenta su relevancia y su implicaci´ on en otras formulaciones, los valores relacionados con la estructuraci´on jer´arquica de la red de drenaje deben ocupar un lugar preponderante. Definitorios de por s´ı de la estructura que subyace bajo los diferentes cauces y sus interrelaciones, la asignaci´on de los denominados ordenes a cada tramo de la red supone la adjudicaci´on de valores que act´ uan no s´olo como meros descriptores de dichos tramos, sino como una informaci´on de notable utilidad para gran parte de otros an´alisis asociados. Los distintos esquemas existentes para efectuar la antedicha codificaci´on y reflejar de un modo u otro la jerarqu´ıa existente en la cuenca, parten del trabajo original de Horton, de vital importancia en este aspecto y predecesores de todas las adaptaciones posteriores. Ser´ a, sin embargo, con una de dichas adaptaciones con la que nosotros realicemos nuestro trabajo, en particular la propuesta por Strahler, por su mayor difusi´on y uso actual, adem´as de considerarla m´as adecuada que la de Horton pese a compartir ambas un plantamiento te´orico id´entico y diferenciarse tan s´olo en un aspecto formal. Siguiendo, por tanto, a Strahler, los tramos de cabecera tienen orden 1, modific´andose este orden en los distintos tramos aguas abajo en funci´on de las confluencias con otros tramos. Si en una confluencia se unen n tramos con ordenes respectivos O1 , O2 , . . . , On , el orden del tramo que comienza en dicha confluencia viene dado por la funci´on

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

120

O = Θ(O1 , O2 , . . . , On )

(3.1)

la cual se define seg´ un A = {O1 , O2 , . . . On }  Θ(A) =

m´ax{A} m´ax{A} + 1

;

Ok ∈ N

si ∃!k ∈ {1, . . . , n} /Ok = m´ax{A} en caso contrario

(3.2)

Pese a qu´e, conceptualmente, el an´alisis invita a ser llevado a cabo desde una perspectiva de tipo vectorial (la anterior formulaci´on no contiene referencia alguna a celdas o elementos matriciales), ´esta ser´a mostrada en profundidad en un apartado posterior, por lo que el objetivo en este momento se centra en la caracterizaci´on de los distintos tramos mediante sus ´ordenes recurriendo de modo exclusivo a la representaci´on raster de los mismos. Esta representaci´on, que a´ un no ha sido introducida y corresponde al punto dedicado a la propia extracci´on de los cauces, se adelanta aqu´ı ante la necesidad de disponer de una malla para registrar los cauces, pese a que ´estos a´ un no han sido extra´ıdos del MDT. Supondremos, no obstante, para continuar el desarrollo, que la informaci´on acerca de los mismos obra ya en nuestro poder en un formato raster sobre una malla como siempre de las mismas caracter´ısticas que la del MDT de origen. De modo m´as expl´ıcito, lo anterior conlleva a la definici´on de una funci´on de la forma fCAU : M × N −→ N  fCAU (i, j)

= 0 si la celda no es una celda de cauce 6= 0 si la celda es una celda de cauce

(3.3)

a la cual, como es habitual, asociamos su malla de datos correspondiente. Si el lector recuerda, esta funci´on es id´entica a la en su momento introducida para la realizaci´on de encauzamiento de flujo forzado en (2.3.10). No obstante, de cara al contenido de este apartado, es m´as interesante una modificaci´on de la misma de la forma  fCAU (i, j)

= 0 si la celda no es una celda de cauce = n si la celda es una celda de cauce

(3.4)

siendo n el orden de Strahler del cauce que se sit´ ua sobre la celda considerada. La creaci´on de esta malla se puede llevar a cabo sencillamente recorriendo los distintos trazados aguas abajo de las celdas de cabecera — que suponemos son conocidas y cuyo c´alculo se expondr´a detalladamente en su momento —, asignando a cada celda de dichos recorridos un valor en funci´on de los valores que ´esta y las de su entorno tengan cada vez que uno de tales recorridos pase por ella — es decir, en funci´on de qu´e otros tramos han pasado tambi´en por la celda en cuesti´on —. De un modo m´as expresivo, se trata de comprobar la importancia de los puntos de cada tramo por la importancia de los tramos que acaban vertiendo su flujo en el, cada uno de los cuales marca este hecho en la matriz de ´ordenes a medida que esta se va construyendo. En t´erminos de algoritmos, lo anterior puede realizarse mediante una rutina como la que sigue, basada en el conocimiento de las celdas de cabecera de la red de drenaje analizada. La malla de ordenes se denota aqu´ı como O.

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

121

procedimiento CrearMallaOrdenes (C()) // C() es el vector de celdas de cabecera { para cada celda en C() { ord=1 // esta variable guarda el orden de la celda actual P1 = punto de cabecera de C() P2 = P1 hasta que P1 alcance la salida de { P1 = P2 P2 = punto aguas abajo de P1 O(P1.fila P1.columna) = ord si O(P2.fila P2.columna) = ord, { si alrededor de P2 hay m´ as de igual a ord, entonces { ord = ord+1 } } si no, si O(P2.fila P2.columna) { pasar a la siguiente celda en } }

la cuenca

entonces dos celdas con orden

> ord, entonces C()

} } Como puede verse, tan s´olo se modifica el orden a medida que se desciende aguas abajo cuando se produce una confluencia de tramos, y u ´nicamente si los cauces que confluyen tiene el mismo orden. La condici´on que define una confluencia por la presencia de al menos 4 celdas de cauce dentro de la submalla 3 × 3 puede, te´oricamente, darse fuera de dicha confluencia si de modo local el cauce tiene una forma mas o menos zigzagueante, pese a lo cual no suele suceder en la pr´actica, dando buenos resultados el algoritmo anterior. No obstante, es posible darle la necesaria robustez a dicho algoritmo — a costa de una ligera p´erdida en rendimiento —, a˜ nadiendo condiciones a las celdas de verter sobre celdas fuera de la submalla o bien sobre la celda central. El empleo conjunto de la malla de flujo acumulado tambi´en permite mejorar el algoritmo anterior haciend´olo m´as robusto. La creaci´on de un algoritmo as´ı queda, no obstante, como tarea para el lector. Tambi´en como interesante ejercicio se propone comprobar que el orden en que se analicen las distintas celdas de cabecera no influye en el resultado final. Tras este primer algoritmo, puede comprobarse desde otro punto de vista la escasa idoneidad del empleo de m´etodos de tipo MFD para asignaci´on de direcciones de flujo, con objeto de definir los cauces a partir de puntos de cabecera conocidos. Las ((aperturas)) de los cauces que supone el empleo de estos m´etodos, como en su momento se vio, y la consideraci´on, por tanto, de cauces de ancho mayor de una celda, complican sobremanera el establecimiento de algoritmos como el anterior. Esta circunstancia ser´a patente a lo largo de todas las formulaciones basadas en la representaci´on raster de los cauces, en mayor o menor medida, por lo cual, con independencia de los errores conceptuales que puedan asociarse, el empleo de m´etodos

122

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

de tipo MFD no es recomendable para esta tarea, tampoco desde la perspectiva puramente computacional. La estructura jer´arquica de la red es por tanto, un dato que ya conocemos y con el que podremos a partir de este punto trabajar, aunque m´as adelante se ver´an otras metodolog´ıas alternativas para evaluar dicha estructura y los diferentes ordenes presentes a lo largo de los tramos que componen la red analizada. Esta estructura, y particularmente cuando se encuentra expresada de la forma anterior, tiene notables implicaciones puramente hidrol´ogicas, pues, entre otras cosas, constituye la base para la construcci´on de los denominados hidrogramas unitarios geomorfol´ ogicos, concepto ´este que tambi´en ser´a tratado dentro de este texto, en la pr´oxima parte del mismo. Dejando a un lado estas aplicaciones, no obstante, se pueden tambi´en evaluar otra serie de par´ametros de car´acter ya puramente num´erico, como sencillos valores que se extraen de los ordenes y la frecuencia de aparici´on de estos en los distintos tramos y que, siendo igualmente descriptores de la configuraci´on de la cuenca y su topolog´ıa, jugar´an m´as adelante su papel en otras formulaciones. Estos otros par´ametros no son otros que los en su momento propuestos por el propio Horton, los cuales componen las leyes que llevan su nombre y no constituyen sino simples relaciones de f´acil c´alculo y empleo. La ley principal, conocida como Ley de los n´ umeros de corriente, tiene la expresi´on RB =

nω+1 nω

(3.5)

donde RB es lo que denominaremos Relaci´ on de bifurcaci´ on y nx es el numero de tramos de orden x. Seg´ un Horton, el numero de tramos los distintos ´ordenes est´a en progresi´on geom´etrica, lo cual, conociendo un valor medio de RB , permite estimar el n´ umero de tramos de un orden dado seg´ un Ω−ω nω = RB

(3.6)

donde Ω es el orden m´aximo de toda la red de drenaje (tambi´en identificado como el orden de la cuenca que engloba a esa red de drenaje.) Otras leyes de similar formulaci´on fueron enunciadas por Horton y autores posteriores (Schumm ,1956), referidas a longitud (mediante un par´ametro RL ) y ´areas drenantes (RA ) totales de cada orden de tramo en lugar de al n´ umero de ´estos. Todas estas leyes son principalmente de car´acter geomorfol´ogico, alejadas de un significado con neto caracter hidrol´ogico que pueda ser de inter´es directo para al an´alisis desde el punto de vista de la hidrolog´ıa. No obstante, su aplicaci´on para el c´alculo de otros factores en virtud de la renovada relevancia que han cobrado en relaci´on con diversas formulaciones actuales, hace posible acercar estas razones definidas por Horton hacia una interpretaci´on de mayor utilidad desde nuestra perspectiva de hidr´ologos, la cual combine la inherente capacidad descriptiva de las mismas con alguna informaci´on referente a la respuesta y comportamiento hidrol´ogico de las redes de drenaje as´ı definidas. Densidad de drenaje Otro par´ametro caracterizador de la configuraci´on de la red de drenaje, esta vez no desde un punto de vista cualitativo, sino meramente cuantitativo, es la densidad de drenaje. Esta densidad de drenaje, de expresi´on sumamente sencilla, viene a indicar una medida de la compacidad de la propia red, pues representa la relaci´on entre la longitud total de los tramos y el ´area vertiente que contribuye su flujo a los mismos, magnitud que nos da una idea de la ((cantidad)) de r´ıo que presenta una red dada.

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

123

De modo mas preciso, L (3.7) A donde L es la longitud total de los cauces y A el ´area vertiente sobre el punto de m´axima acumulaci´on de flujo de la red. Como tal, y aplicada a toda la red de drenaje en su conjunto, la densidad de drenaje es simplemente otro par´ametro m´as que puede emplearse para un definici´on de la misma. No obstante, estudi´ando su significado m´as en profundidad la riqueza de este valor aumenta, especialmente en el an´alisis no ya de la de la red completa, sino de distintas ((ramas)) de la misma. As´ı, se deduce con facilidad que en las zonas mas escarpadas vamos a encontrar valores de densidad de drenaje mas elevados, pues en ellas el flujo tiende a concentrarse — encauzarse — m´as que en las ´areas de escasa pendiente o, sobre todo, zonas tales como llanuras de inundaci´ on o formaciones similares. Siendo la densidad de drenaje una medida de la concentraci´on de los cauces, el resultado anterior parece, por tanto, justificado con una base f´ısica sencilla. Esta diferencia de valores que implica una heterogeneidad espacial del par´ametro, adem´ as de suscitar el l´ogico inter´es por el estudio del mismo no exclusivamente para la red de modo global, representa un hecho que posteriormente podr´a ser esgrimido para la mejora de los m´etodos destinados a la extracci´on de redes de drenaje a partir del MDT, motivo por el cual se ha incluido dentro de este apartado de conceptos previos por considerarse altamente relevante su conocimiento y comprensi´on. La b´ usqueda de modelos mas reales va a tender, como veremos, a la definici´on de aquellos que, en t´erminos de la densidad de drenaje, est´en en concordancia con la variabilidad espacial de esta magnitud seg´ un ha quedado patente. D=

3.2.2.

Redes de drenaje a partir de flujo acumulado

Con amplia diferencia, muy especialmente en cuanto a la implementaci´on en aplicaciones inform´aticas diversas se refiere, la utilizaci´on de los datos de flujo acumulado es la metodolog´ıa m´as popular y ampliamente extendida para la extracci´on de redes de drenaje a partir de MDTs. Las razones de este hecho debemos buscarlas sencillamente en la simplicidad conceptual que hace que este planteamiento se constituya como primera alternativa l´ogica a la hora de formular metodolog´ıas al respecto. La base te´orica en que se fundamenta ese enfoque es sencilla desde todos los puntos de vista. Consid´erese que la presencia de los cauces como estructuras concretas y definidas es fruto de la propia acci´on del flujo de agua, y directamente proporcional a la importancia de dicho flujo. En otras palabras, la definici´on de un umbral de caudal a partir del cual ´este pudiera considerarse suficientemente importante como para producir la formaci´on f´ısica del cauce y darle al mismo tiempo la entidad suficiente para su constituci´on, supondr´ıa la instauraci´on de un umbral del propio cauce, es decir, un comienzo o cabecera del mismo. Conceptualmente, por tanto, este m´etodo de extracci´on de redes de drenaje es exclusivamente hidrol´ogico, teniendo tan s´ olo en cuenta los factores relativos a la propia hidrolog´ıa y los fen´omenos relativos a la misma que tienen lugar en las distintas celdas de la malla del MDT. La relaci´on directa entre caudal y ´area aportante, comentada en alg´ un punto anterior y que ser´a de constante aparici´on a partir de aqu´ı en los restantes cap´ıtulos del libro, nos indica que la definici´on de dicho umbral puede realizarse sobre nuestra ya conocida malla de flujo acumulado, siendo en base a ella como podremos elaborar un criterio adecuado para establecer con precisi´on los cauces que componen la red de drenaje. El trabajo sobre la malla de flujo acumulado y sus valores, y puesto que, como se ha dicho, nuestros resultados van a estar referidos a una cuenca dada, requiere, por supuesto, que la

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

totalidad de dicha cuenca se encuentre contenida en el MDT sobre el que trabajamos. De otro modo, las ´areas aportantes ser´an siempre menores a las reales pues faltar´a computar las celdas aguas arriba que quedan fuera de la malla. Esta raz´on por s´ı sola resta sentido al trabajo con otros cauces fuera de la cuenca estudiada, ya que con gran frecuencia muchos de ellos no aparecer´an reflejados como tales en los resultados obtenidos, con independencia del m´etodo empleado, pues todos estos m´etodos se basan en la l´ogica consideraci´on de cuanto acontece aguas arriba, haciendo necesaria la presencia de la cuenca en su totalidad para la obtenci´on de resultados coherentes y de utilidad. La definici´on, pues, de un umbral de flujo acumulado, permite estudiar los valores en la correspondiente malla y asignar a las distintas celdas un valor u otro seg´ un que ´estas se sit´ uen sobre un cauce o no. Esto no es sino lo que ya se vio al comienzo del cap´ıtulo en (3.3), y ser´a la malla entonces definida la que pretendamos crear con lo aqu´ı explicado. La forma de proceder en este caso, no obstante, no se basa en la consideraci´on individual de las celdas de esta malla sino, como se coment´o con anterioridad, en la b´ usqueda de las celdas de cabecera y posterior delineaci´on del trazado aguas abajo de las mismas . La formulaci´on de este m´etodo permite llevar a cabo ´este procedimiento en lugar de definir mediante un criterio global para las celdas, siendo as´ı m´as ventajosa en determinados aspectos ya mencionados algunas l´ıneas atr´as. De cara al conocimiento de tales celdas de cabecera, ´estas, para un umbral δ establecido, cumplen sobre la malla definida unas condiciones del tipo

  ai,j > δ ai+m,j+n > δ ⇒ (i + m, j + n) no vierte sobre (i, j),  n, m = −1, 0, 1

(3.8)

siendo a el ´area acumulada. La segunda condici´on se a˜ nade para seleccionar s´olo las celdas de cabecera y no el resto de las situadas aguas abajo para las cuales tambi´en se cumple la primera de dichas condiciones. El conocimiento de las celdas de cabecera de modo aislado no s´olo es interesante de cara a garantizar una buena estructura de la red de drenaje, sino tambi´en para la realizaci´on de posteriores operaciones y an´alisis sobre la misma, como en su momento se ver´a, por lo que este planteamiento, a´ un sencillo, es altamente potente de cara a la continuaci´on del estudio sobre los cauces. La cuesti´ on m´as importante, sin embargo, relativa a la definici´on de cauces llevada a cabo mediante este m´etodo no es la puramente algor´ıtmica, sencilla como se ha visto, sino una de tipo conceptual relativa al umbral de flujo a utilizar. La relaci´on entre el valor de este umbral y otros par´ametros tales como la superficie o forma de la cuenca, por ejemplo, debe buscarse para poder obtener una red de drenaje que se encuentre en concordancia con la real, de tal modo que permita el c´alculo de dicho valor a partir de otra serie de factores conocidos. El estudio de estas relaciones y su significado, no s´olo nos van a permitir establecer un criterio s´olido para la fijaci´on del par´ametro δ, sino que, adem´as, aumentar´an nuestro conocimiento acerca del porqu´e de la configuraci´on natural de los cauces, aportando informaci´on al respecto desde un nuevo punto de vista. En este sentido, descubrimos una pequ´ena pincelada de una idea que veremos con m´as detalle y de forma mejor definida en pr´oximos cap´ıtulos, y que no es otra que la de emplear el entorno computacional en el que nos movemos, no s´olo como un entorno de c´alculo donde aplicar formulaciones establecidas, sino como un modelo virtual simplificado — una maqueta digital, por llamarlo de otro modo — de la realidad hidrol´ogica de una zona dada. Sobre esta maqueta, como sobre un modelo a escala, podemos, m´as que aplicar teor´ıas ya definidas, experimentar y probar extrayendo nuevos conceptos e ideas.

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

125

De cara al estudio de par´ametro δ en s´ı, veamos cual es la influencia del mismo sobre la red de drenaje, en t´erminos de las caracter´ısticas de ´esta. La figura (3.2) muestra dos redes extra´ıdas empleando los valores de acumulaci´on δ = 5000 ha y δ = 1 ha para un mismo MDT. Como se puede ver, en el primero de los casos el aspecto de dicha red resulta algo ((escaso)) mientras que, por el contrario, en el segundo de ellos presenta una apariencia excesivamente densa.

Figura 3.2: Redes de drenaje extra´ıdas para valores de umbral de 5000 ha (izquierda) y 1 ha (derecha) De lo anterior extraemos dos conclusiones principales. Por un lado, que el efecto inmediato de la variaci´on del umbral de definici´on de cauces es sobre la mayor o menor ramificaci´ on de la red de drenaje obtenida. Por otro, que los valores por exceso o defecto conducen a estructuras con aspecto distinto a que podemos considerar como habitual para este tipo de entidades — dentro del amplio margen de variaci´on de las mismas, l´ogicamente —, por lo que esa configuraci´on natural de los cauces resulta un inmejorable indicativo de la correcci´on o no de elegir un valor dado para δ Atendiendo a ´esto, la primera alternativa que se presenta, de car´acter no num´erico, es la mera comparaci´on entre una fuente cartogr´afica externa referida a cauces y el resultado obtenido con diversos valores de umbral, tanteando estos u ´ltimos hasta obtener un resultado aceptable. En la comparaci´on de ambas debe ponerse especial atenci´on en el n´ umero de cauces que componen la red, as´ı como especialmente en el inicio de los mismos, que deber´a hacerse coincidir en la medida de lo posible en las dos representaciones. Este m´etodo de establecimiento de umbral resulta por completo correcto desde el punto de vista conceptual, y muy ventajoso en t´erminos pr´acticos, por lo que constituye la soluci´on m´as habitual a la hora del trabajo real. No obstante, el objetivo aqu´ı perseguido es expresar alguna conclusi´on de car´acter num´erico al respecto, as´ı como indagar hasta donde sea posible en la explicaci´on de los fundamentos f´ısicos que justifiquen dicha conclusi´on y su significado. Por ello, a´ un aceptando totalmente lo anterior, debemos seguir hacia un an´alisis m´as detallado y riguroso de cauces y redes de drenaje desde la perspectiva de nuestra tarea actual. Para ello, para poder dotar de un enfoque num´erico a cuanto vamos a expresar seguidamente acerca de las redes de drenaje, se hace necesaria ya la utilizaci´on de algunos de los conceptos previos que al comienzo del cap´ıtulo fueron introducidos como base te´orica necesaria. En referencia a uno de ellos, la densidad de drenaje, es de inter´es notar que, utilizando el enfoque de definir la red de drenaje a partir de un valor umbral de ´area aportante acumulada, se trabaja sobre la hip´otesis de que el valor de caudal en cada punto es proporcional a dicho valor de ´area aportante, haciendo uso de ese mismo umbral para toda las celdas del MDT y todas las unidades hidrol´ogicas — cuencas y subcuencas — que en ´este puedan contenerse. Tarboton y

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

Ames (2001) se˜ nalan que esto significa la creaci´on de una red con densidad de drenaje uniforme a lo largo de todo el espacio, lo cual no se ajusta con total exactitud a la realidad, donde este par´ametro var´ıa entre distintas zonas en funci´on de las caracter´ısticas y la naturaleza de las mismas. Ello viene a decir, en otra interpretaci´on, que la red de drenaje calculada con estos criterios puede ajustarse aproximadamente a la red de drenaje real, tanteando los valores de δ como ya se coment´o, pero este ajuste no podr´a ser perfecto en todos los sentidos, debiendo darse prioridad a alguno de los factores que en su momento se propusieron para efectuar el mismo (puntos de comienzo de rios, n´ umero de cauces totales, etc.) Sin tratar todav´ıa con esos par´ametros de los que antes se habl´o, una propuesta sencilla para el c´alculo de un umbral adecado es la realizada por Tarboton et al (1991), consistente en el estudio de la relaci´on entre el ´area aportante y la pendiente en cada celda, a˜ nadiendo de este modo una cierta componente morfol´ogica — a la evaluaci´on del umbral, que no a la naturaleza propia del m´etodo — que permita la obtenci´on de resultados correctos. La aplicaci´on pr´actica de esta idea queda explicada de forma visual representando la relaci´on entre las dos variables mediante una gr´afica como la mostrada en la figura (3.3). En ella se aprecia claramente c´omo los valores muestran una relaci´on lineal a partir de un determinado punto, el cual constituye el umbral que buscamos de ´area aportante. La teor´ıa que apoya lo anterior se basa en que la diferenciaci´on entre las zonas donde dominan los procesos de flujo en ladera y las zonas con procesos de tipo fluvial viene marcado por un cambio en el signo de la expresi´on dγ ıa de ser positivo en el primer caso a da , que pasar´ negativo en el segundo. En la pr´actica, este hecho no se refleja con tanta exactitud, pero s´ı que puede advertirse una pendiente notablemente negativa a partir de un cierto punto, frente a la pendiente menos marcada del primer tramo. El punto en el que dicha pendiente se advierte es el que debe emplearse como umbral para la definici´on de cauces.

Figura 3.3: Estimaci´on de umbral de flujo acumulado en funci´on de la relacion entre ´area aportante y pendiente en cada celda, seg´ un Tarboton et al (1991) (Adaptado de Bertolo (2000).

Trabajando ya de un modo directo con los par´ametros relativos a la propia red de drenaje extra´ıda, de cara al establecimiento de un umbral adecuado, y en particular haciendo uso de la clasificaci´on de los distintos tramos seg´ un los ordenes de Horton–Strahler, el mismo Tarboton realiza una propuesta notable a este respecto haciendo uso de las diferencias altitudinales entre los extremos de cada tramo — variable que denominaremos ((salto)) altitudinal del tramo, en una traducci´ on directa del t´ermino empleado por los autores originales —. Los fundamentos del m´etodo residen en los estudios realizados por Broscoe (1959), en los que se formulaba una ley de constancia de los antedichos saltos altitudinales. El objetivo que se pretende obtener es fijar un umbral de definici´on de cauces de tal modo que el salto altitudinal en los tramos de orden 1 no difiera estad´ısticamente del valor del este mismo par´ametro en los tramos de orden superior, siendo as´ı la red de drenaje obtenida consistente con esta ley,

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

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y con los fen´omenos y leyes geomorfol´ogicas que gobiernan los procesos de creaci´on de dichas redes de drenaje en la naturaleza. Sobre esta base te´orica, y pasando a analizar la ejecuci´on pr´actica del metodo, para llevar a cabo lo anterior deben considerarse los distintos tramos en que se divide la red de drenaje extra´ıda, de acuerdo con los ordenes de los mismos. Es decir, cada uno de ellos representar´ a un tramo con el mismo orden en toda su longitud, existiendo aguas abajo del mismo un tramo distinto con orden superior, y aguas arriba uno con orden inferior, o nada si el orden del presente es 1. Una vez se dispone de la divisi´on en los distintos tramos cada uno de ellos con un orden dado, se procede a evaluar el salto altitudinal de cada uno, calculando los valores medios de este par´ametro de modo separado para los tramos de orden 1 por una parte y los restantes por otra. Con los resultados anteriores, se eval´ ua el estad´ıstico t de Student para las diferencias entre los valores medios de salto para las dos clases de tramos definidos anteriormente en funci´ on de su orden, seg´ un t= q

Ha − Hb (nx −1)Sx2 +(ny −1)Sy2 nx +ny −2

q

(3.9) 1 nx

+

1 ny

donde H representa el salto altitudinal medio, S la desviaci´on t´ıpica de dicho salto y n el n´ umero de tramos en la red de drenaje. Los sub´ındices a y b hacen referencia, respectivamente, a los valores correspondientes a tramos de orden 1 y tramos de ordenes superiores. Probando con diferentes valores de umbral, la consecuci´on de los objetivos mencionados en referencia a la obtenci´on de una red de drenaje donde los saltos altitudinales no difieran entre las clases de tramos estudiadas, se obtiene para aquel valor umbral que resulte en un valor de t m´as cercano pero no superior a 2. Se tiene as´ı un criterio s´olido y fundamentado sobre una base geomorfol´ogica, que complementa a la concepci´on puramente hidrol´ogica de la extracci´on de cauces a partir de las ´areas aportantes, permitiendo la obtenci´on de mejores resultados. Como puede verse, la formulaci´on de este m´etodo no aporta una nueva filosof´ıa en cuanto a la forma de definir las celdas que forman parte de la red de drenaje, sino solamente una t´ecnica y un criterio para la elecci´on del umbral adecuado. Para el caso presentado hasta este punto, se supone que este umbral era un umbral de flujo acumulado, pues es a partir de este valor como, por el momento, definimos la red de drenaje. No obstante, y dada la naturaleza del m´etodo desarrollado en relaci´on con los saltos altitudinales, es f´acil ver que ´este puede aplicarse a toda aquella m´etodolog´ıa de extracci´on de redes de drenaje que implique el establecimiento previo de una magnitud para un par´ametro dado, existiendo as´ı diversas alternativas en funci´on del valor asignado al mismo, ya que es sobre esas alternativas sobre las que se escoge las m´ as correcta a posteriori, analizando las propias caracter´ısticas de la red de drenaje obtenida. El m´etodo de elecci´on de umbral anterior debe considerarse como una muy u ´til herramienta para todos aquellas formulaciones que requieran el uso de dicho umbral, evitando la asignaci´ on al mismo de un valor arbitrario, sino uno consistente con la propia geomorfolog´ıa del terreno, con las consecuencias sobre la correcci´on conceptual de los resultados que a este respecto pueden asociarse. Por u ´ltimo, una propuesta distinta para la extracci´on de cauces basada en los valores de ´area aportante es la desarrollada por Montgomery y Dietrich (1999), mediante la que intentan eliminar el problema de la densidad de drenaje constante, incluyendo la pendiente dentro de la formulaci´on del m´etodo de tal modo que esta densidad sea mayor en las zonas de mayor inclinaci´on — generalmente las cabeceras de los cauces — y menor en las zonas llanas — esto es, conforme nos vamos acercando hacia los tramos medios y bajos de los cursos —. En

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

comparaci´on con las aportaciones al c´alculo del umbral de ´area aportante, en este caso se da una reformulaci´on del m´etodo, atendiendo a similares conceptos, pero incorporando un mayor n´ umero de elementos f´ısicos en la modelizaci´on propuesta. Para ello, en lugar de trabajar con el ´area aportante, se propone el trabajar con un par´ametro con la expresi´on A0 = a0 S α

(3.10)

donde a0 es el ´area aportante espec´ıfica, S la pendiente en la celda y α un factor que debe determinarse emp´ıricamente, proponiendo los propios Montgomery y Dietrich para las zonas por ellos estudiadas un valor de α = 2. Por su formulaci´on, el par´ametro global anterior tiene, por tanto, unidades de longitud. Con lo anterior, el problema de fijar un umbral para A0 previamente a la extracci´on de la red de drenaje sigue existiendo — a˜ nadiendose adem´as la necesidad de fijar un valor para α —, pero te´oricamente los resultados debieran ser m´as acordes con la realidad hidrogr´afica de la zona. No obstante, el empleo pr´actico de este m´etodo frecuentemente exagera las diferencias entre las densidades de drenaje de zonas distintas, dando lugar a densidades excesivas en las cabeceras y defectivas en las zonas situadas m´as aguas abajo. Como u ´ltimo aspecto a comentar acerca de las metodolog´ıas de c´alculo de redes de drenaje basadas en los valores de flujo acumulado que se han presentado, es de inter´es recalcar que, por hacer ´estas uso de dicho valor de flujo acumulado y su malla asociada, pueden emplearse en conjunci´on con cualquiera de los m´etodos de asignaci´on de direcciones de flujo, ya que en todos ellos es posible el c´alculo de dicha malla. La mayor complejidad y las particularidades de otros planteamientos que seguidamente ser´an desarrollados, veremos que impiden esta universalidad de aplicaci´on de uno u otro modo.

3.2.3.

Redes de drenaje a partir de ordenes de Strahler

Al inicio de este cap´ıtulo se estudi´o la creaci´on de una malla de ´ordenes de Strahler para los rios definidos por una serie de celdas de cabecera, las cuales en ese momento se supusieron ya conocidas, habiendose presentado en el punto anterior una forma posible de obtener las mismas. La aplicaci´on de los mismos conceptos entonces empleados, pero utilizando como celdas de cabecera la totalidad de las contenidas en la malla del MDT, va a dar lugar a una malla sin — en principio, un sentido hidrol´ogico claro, la cual, no obstante, va a permitir el planteamiento de una nueva metodolog´ıa para la extracci´on de la red de drenaje buscada. Puesto que la malla de ordenes de Strahler asi creada implica un n´ umero muy elevado de cauces — todas las celdas perteneceran a uno — la tarea a realizar para obtener una red de drenaje m´as ((l´ogica)) es la reducci´on de la complejidad de la red definida con todos los flujos. Desde este punto de vista, parece l´ogico emplear dicha malla como punto de partida, en un enfoque distinto al considerado anteriormente aunque tambi´en basado de forma exclusiva en conceptos hidrol´ogicos. Para ello, el uso de los ordenes de Strahler vuelve a ser un recurso muy importante, pues ser´a en funci´on de ´estos, y no ya de los valores de ´area aportante, que se designen unas u otras celdas como celdas de cauce. La idea a desarrollar en este aspecto (Peckham, 1992) es bien sencilla, y se basa sencillamente en el establecimiento de un nuevo umbral a aplicar sobre la malla de ordenes de Strahler definida en (3.4) N´otese, sin embargo, que, dado el planteamiento que aqu´ı seguimos, no existir´a ninguna celda en dicha malla con valor cero, pues, en un principio, todas son celdas de cauce. Con el valor de este umbral, todas aquellas celdas cuyo orden sea menor que el mismo deben considerarse como celdas de no-cauce, formando las restantes la red de drenaje buscada. Con

3.2. EXTRACCION DE REDES DE DRENAJE

129

lo anterior, y sobre la red total de cauces, se van ((cortando)) aquellos de menor entidad — que no representan cauces en la realidad —, dejando tan s´olo os de mayor importancia. No obstante, y pese a extraerse la red de drenaje de la malla de ordenes, los valores que quedan en ella despu´es de la reducci´on en las celdas de cauce no representan los ordenes correspondientes a dichos cauces. Es necesario restar el umbral aplicado al valor de cada celda, para que de este modo aquellas sobre cauces de primer orden tengan como valor 1, y as´ı sucesivamente. La dificultad en la definici´on de un umbral de flujo acumulado desaparece con este m´etodo, pero queda sustituida por la problem´atica de un nuevo valor umbral, al respecto del cual se pueden realizar id´enticas consideraciones. El menor rango de variaci´on de los ordenes de Horton–Strahler frente a los valores de ´area aportante, hace mas sencillo, no obstante, el tanteo sobre ´estos hasta la obtenci´on de una soluci´on satisfactoria. Como vemos, aun haciendo uso de un enfoque distinto, la alternativa propuesta es similar a la anterior, en cuanto que mantiene las deficiencias conceptuales del mismo, fundament´andose en aspectos puramente hidrol´ogicos y obligando a una densidad de drenaje constante a lo largo de toda la malla. Desde el punto de vista algor´ıtmico, la creaci´on de la malla de ordenes constituye el aspecto m´as destacable de todo el proceso, debi´endose buscar una soluci´on eficiente ante la utilizaci´ on de un n´ umero tan elevado de celdas de cabecera, reformulando lo expresado para el caso de considerar la definici´on de esta misma malla una vez ya se conoce con precisi´on la red de drenaje final. La expresi´on de este algoritmo, no obstante, se recoger´a posteriormente en el texto, pues creo que es interesante el conocimiento de una serie de aspectos y puntos de vista diferentes a´ un no tratados, que ayudar´an a un planteamiento m´as adecuado del mismo. Se se˜ nala, por u ´ltimo, que esta m´etodolog´ıa, al contrario que la anterior, no se aplica correctamente con m´etodos de calculo de direcciones de flujo m´ ultiples, ya que requiere trazados de flujo bien definidos que constituyan los cauces asociados a las celdas, para luego poder con ellos evaluar los ordenes de las mismas. La aplicaci´on de un m´etodo como el KRA si es, sin embargo, posible en la pura teor´ıa, ya que las direcciones de flujo, aun no estando su valor limitado a m´ ultiplos de 45o , se encuentra perfectamente definido por una direcci´on en cada celda, resultando del conjunto de las mismas una serie de l´ıneas de flujo adecuadas para su uso con este m´etodo. No obstante, la complejidad que vendr´ıa asociada al c´alculo de la malla de ordenes sobre la base de los cauces as´ı definidos es muy elevada, por lo que no se considera su utilizaci´on de cara a la extracci´on de redes de drenaje.

3.2.4.

Redes de drenaje empleando datos de curvatura

Los inconvenientes principales asociados a los anteriores m´etodos ven´ıan siempre relacionados con los valores de densidades de drenaje, tanto si ´estos eran constantes como si eran variables, pues a este respecto se obten´ıan resultados no perfectamente coherentes con la realidad hidrogr´afica que pretend´ıa modelizarse. El enfoque adoptado en los modelos anteriores, de tipo principalmente hidrol´ogico, guarda estrecha relaci´on con los problemas se˜ nalados, por lo que la superaci´on de los mismos debe pasar por un nuevo planteamiento que, o bien sustituya al anterior, o bien complemente los fundamentos del mismo con otros relativos a otros aspectos de tal modo que en su conjunto permitan la elaboraci´on de criterios m´as completos y precisos. Esta uni´on de diversos criterios ya se ha visto en algunas alternativas anteriormente tratadas, habi´endose incluido ´estas, no obstante, bajo el mismo apartado debido a sus similitud, pues representaban modificaciones conceptuales de peque˜ na escala. Una novedosa formulaci´on distinta a lo anterior, desarrollada por Tarboton y Ames (2001), se basa tambi´en en la consideraci´ on del ´area situada hidrol´ogicamente por encima de la celda, pero calculando dicho ´area no con todas las celdas, sino tan s´olo con las que cumplen una

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

Figura 3.4: Identificaci´on de celdas de valle seg´un Peucker y Douglas (1975). En cada pasada se se˜nala la celda m´as elevada de cada cuatro. Las celdas no se˜ naladas al final del proceso constituyen las celdas de valle.

determinada condici´on relativa a la curvatura de las mismas. En particular, se considera que las celdas que tienen una influencia que debe ser considerada sobre el establecimiento o no de cauces y la presencia de fen´omenos de flujo encauzado, son aquellas de tipo c´oncavo, entendi´endose que ´estas son las que concentran el flujo de agua (recu´erdese lo comentado a este respecto en el apartado dedicado al c´alculo de curvaturas) La localizaci´on de estas celdas, en lugar de con la aplicaci´on de los conceptos de curvatura vistos en su momento, se lleva a cabo mediante un algoritmo (Peucker y Douglas, 1975) basado en una matriz 2 × 2 que se desplaza a lo largo de todas las celdas de la malla. En cada punto, de las 4 celdas que componen dicha matriz se se˜ nala sobre una nueva malla la celda de mayor elevaci´on. Una vez que se ha desplazado la submalla 2 × 2 a lo largo del todo el MDT, las celdas que no han sido se˜ naladas representan celdas de valle por la que discurren los r´ıos. La figura (3.4) muestra gr´aficamente la aplicaci´on del algoritmo de localizaci´on de celdas c´ oncavas.

Figura 3.5: Mapa de celdas de valle, elaborado segun Peucker y Douglas (1975). Las celdas en negro representan celdas de valle. El c´ alculo del ´ area aportante se lleva a cabo empleando u ´nicamente las celdas en blanco

Tomando esta u ´ltima malla, los patrones que en ella se presentan se asemejan a la red de drenaje buscada, aunque siendo en muchos casos una red inconexa cuya utilizaci´on no es posible en sucesivas etapas a causa de dicha falta de conectividad. Si, como se dijo, se consideran los valores de ´area acumulada calculados s´olo con las anteriores celdas de valle, es posible la definici´on de un nuevo umbral a partir del cual comenzar a trazar los cauces, siendo la red de drenaje derivada de este planteamiento mas acorde con las caracter´ısticas reales de dichas redes, tal y como se estableci´o en origen.

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

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Un ejemplo de malla de celdas c´oncavas se presenta en la figura (3.5). La decisi´on sobre este umbral vuelve a ser de nuevo el gran obst´aculo conceptual a salvar, para lo cual la metodolog´ıa basada en ´ordenes de Strahler y sus saltos altitudinales resulta una herramienta adecuada, en virtud de lo en su momento detallado a este respecto.

3.3.

Caracterizaci´ on de redes de drenaje

La disposici´on plena de la informaci´on referente a la red de drenaje extra´ıda del MDT y recogida en la malla correspondiente de cauces — o la variaci´on propuesta de la misma con valores de orden de Strahler en las celdas — nos coloca en situaci´on de proceder al an´ alisis de las mismas y continuar extrayendo valores de inter´es a trav´es del estudio de las distintas propiedades que dicha red posee. La literatura existente a este respecto es muy elevada, y el n´ umero de par´ametros propuestos por muy distintos autores a lo largo del tiempo hace inviable el recoger aqu´ı m´as que una peque˜ na fracci´on representativa de los mismos. A´ un as´ı, muchos de estos par´ametros se prestan a interpretaci´ones similares, existiendo siempre algunos de ellos para los que su comprobaci´ on pr´actica y desarrollo posterior se encuentra en un estado m´as evolucionado, debiendo tenerse en cuenta, adem´as, que una caracterizaci´on excesiva de las redes de drenaje m´as all´a de lo necesario para nuestro estudio hidrol´ogico final, no es procedente. Por todo lo anterior, se presentan aqu´ı tan s´olo aquellos elementos que guardan un inter´es notable para una posterior utilizaci´on en otros modelos, as´ı como otros par´ametros de cierta entidad que resultan de utilidad para la comparaci´on entre distintas redes de drenaje y la clasificaci´on de las mismas. Por otra parte, el intenso desarrollo que ha tenido lugar en los u ´ltimos a˜ nos a este respecto, si bien algo disminuido en la actualidad debido a la dificultad de encontrar explicaciones e interpretaciones f´ısicas e hidrol´ogicas, hace que deban tenerse en cuenta desde la perspectiva de este libro algunos de estos planteamientos actuales y novedosos, por cuanto ellos representan desde la perspectiva matem´atica y computacional y lo que pueden aportar de cara al car´ acter general de la obra. Por u ´ltimo, de modo muy especial, los aspectos relativos a las caracter´ısticas del propio MDT y su utilizaci´on a diferentes escalas y resoluciones hacen necesaria la sustituci´on de algunos par´ametros de uso com´ un o, al menos, la introducci´on de mejoras sobre los mismos. Puesto que muchos de estos par´ametros se ha comprobado que var´ıan con la resoluci´on empleada, se deben utilizar alternativas que sean independientes a este respecto, las cuales resulta obvio que deben recogerse en este texto. Esta secci´on comienza, no obstante, no directamente con la caracterizaci´on propiamente dicha de las redes de drenaje, sino con un apartado dedicado a la forma en que ´esta debe ser manejada y utilizada en dicha caracterizaci´on. Este apartado, adem´as de preparar el camino para las futuras metodolog´ıas, presentar´a una interesante base conceptual de los cauces y redes de drenaje desde el punto computacional, complet´andose as´ı el contenido del cap´ıtulo con un conocimiento preciso de estos elementos hidrogr´aficos desde todos los ´angulos posibles.

3.3.1.

Almacenamiento y manejo de redes de drenaje

Sumidos como estamos en un ambiente computacional donde el manejo de estructuras de datos est´a a la orden del d´ıa y en gran n´ umero de ocasiones supone el elemento diferencial que permite obtener resultados mas ventajosos en cuanto a eficiencia y alcance, el trabajo con redes de drenaje requiere la introducci´on de algunos conceptos previos al respecto, que nos facultaran para un mejor trabajo posterior con estos elementos.

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

Si para el caso del MDT hac´ıamos uso de la naturaleza matricial del mismo, y a partir de ´esta como elemento algebraico introduc´ıamos formulaciones asociadas para el c´alculo de par´ametros sobre el mismo, la asimilaci´on de la red de drenaje a otra estructura matem´atica como es un grafo, nos va a permitir alcanzar una nueva serie de posibilidades en cuanto al an´alisis y manejo de dicha red se refiere. El soporte raster del que nos hemos servido hasta el momento para obtener la red de drenaje, debe complementarse con una nueva forma de manejo de esta u ´ltima, la cual se expondr´a con detalle en este apartado. Ya entrando en la concepci´on de ´ındole vectorial, una red de drenaje dada se compone de una serie concreta de puntos que pueden representar tanto cabeceras de cauce como uniones entre cauces, junto con un conjunto de relaciones (uniones entre dichos puntos). Es r´apido ver que lo anterior se puede equiparar sin dificultades a los nodos y aristas que definen propiamente un grafo. Particularmente, cualquier red de drenaje obtenida mediante cualquiera de los m´etodos ya expuestos constituye lo que se denomina un arbol o, de otro modo, un grafo ac´ıclico conexo, jerga matem´atica que no viene a decir sino que para todo recorrido entre dos nodos cualesquiera, existe siempre un u ´nico camino posible dentro del grafo. La pregunta es ahora la manera en que debemos trabajar sobre una red de drenaje ya extra´ıda y almacenada en formato raster, para poder disponer de ella expresada como un conjunto de nodos y aristas, y conocer la forma m´as adecuada para el almacenamiento de la estructura resultante. Una vez m´as, el trabajo realizado con los ´ordenes de Strahler nos va a resultar de gran ayuda, ya que es necesario realizar una simplificaci´on previa para la cual ser´a de vital importancia la localizaci´on de las confluencias entre cauces. Una vez conozcamos estos puntos, as´ı como las cabeceras de los cauces cuya localizaci´on quedo bien explicada en apartados precedentes, podremos deducir las relaciones entre estos puntos (los nodos) aplicando nuestro conocimiento de direcciones de flujo y estudiando el recorrido aguas abajo de cada uno de ellos y las intersecciones con otros distintos tramos dentro de la red de drenaje. Antes de comenzar propiamente con el trabajo sobre la red de drenaje y las celdas que la componen, y analizar las operaciones que nos permitir´an convertir ´esta en una estructura de grafo simplificada y de utilidad para nuestro trabajo futuro, veamos como almacenar tal estructura, para de ese modo definir con m´as precisi´on a donde pretendemos llegar con las antedichas operaciones. Estando compuesto el grafo por un conjunto de nodos y aristas, con una estrecha relaci´on entre ambos, el almacenamiento num´erico del mismo puede plantearse desde el punto de vista de ambos elementos constituyentes, esto es, almacenando las propiedades de los nodos o de las aristas. El almacenamiento de los v´ertices resulta desde el punto de vista computacional menos eficiente, ya que se lleva a cabo mediante registros de longitud fija y con un notable desperdicio de espacio debido a la variedad de posibilidades en cuanto al numero de otros nodos que pueden estar conectados a cada uno. En particular, y empleando una nomenclatura propia de la teor´ıa de grafos en conjunto con la correspondiente a la naturaleza hidrol´ogica de nuestro ´arbol, cada nodo verter´a hacia uno s´olo de los restantes — al que denominaremos padre —, y podr´an verter sobre el mismo un n´ umero variable de otros nodos — que denominaremos hijos —. La notaci´on anterior se comprende mejor si se interpreta el ´arbol formado por la red como un ´arbol geneal´ogico. La antedicha multiplicidad e indeterminaci´on del n´ umero de hijos que puede tener un nodo, hace que el almacenamiento del ´arbol mediante el registro de sus nodos no sea interesante, favoreci´endose as´ı el empleo de un enfoque centrado en las caracter´ısticas de las aristas. Desde un punto de vista f´ısico, y abandonando por un instante lo puramente geom´etrico, se ve que, conceptualmente, tambi´en es mas correcto el almacenamiento de las aristas — que en realidad representan a los r´ıos, con todas sus caracter´ısticas —, frente al de los nodos — que constituyen tan s´olo las confluencias entre cauces, con menor informaci´on de relevancia para el an´alisis

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

133

hidrol´ogico. As´ı pues, una metodolog´ıa para el almacenamiento de un ´arbol mediante sus aristas debe ser la empleada en este caso, existiendo para ello diversas alternativas de las que aqu´ı mostraremos la m´as sencilla y habitual. En ella, y puesto que cada arista une siempre dos nodos, el registro de todas ellas pasa por una numeraci´on inicial de los nodos y la posterior definici´ on de sus relaciones mediante pares ordenados que indiquen los dos nodos entre los cuales se establece una arista. No obstante, la disposici´on espacial de dichos nodos no es conocida, ya que no almacenamos ninguna informaci´on sobre los mismos, por lo que debe establecerse de antemano alg´ un criterio en el orden de los anteriores pares ordenados que nos permita reconstruir a partir de los mismos la topolog´ıa de la red. En realidad, esta topolog´ıa es la verdadera informaci´on que perseguimos almacenar pues, m´as all´a de la propia geometr´ıa y forma de la red, es ella quien define las relaciones hidrol´ogicas en base a las cuales se podr´an articular con posterioridad los modelos hidrol´ogicos, especialmente aquellos de tipo agregado basados en el an´alisis independiente de subunidades hidrol´ogicas y su posterior integraci´on. Respecto al criterio a aplicar, ´este se basa en comenzar con el nodo de la red que no tiene padre — en t´erminos hidrol´ogicos, el que representa el punto de salida de la cuenca —, e ir a˜ nadiendo pares de acuerdo con un esquema recursivo, de tal modo que se a˜ nade la arista correspondiente al nodo hijo situado m´as a la izquierda, pasando a analizarse ´este entonces del mismo modo, y as´ı hasta llegar a un nodo sin hijos (las aristas que incluyen nodos sin hijos se denominan frecuentemente hojas, o tambi´en aristas externas). Terminado esto, se contin´ ua con la siguiente arista hacia la derecha, la cual hab´ıa quedado en espera almacenada en una pila, evidenciandose as´ı la naturaleza recursiva del proceso. Un ejemplo gr´afico como el mostrado en la figura (3.6) a buen seguro ayudar´a a una comprensi´on correcta del esquema de codificaci´on propuesto, algo farragoso, sin duda, de explicar con palabras.

Figura 3.6: Codificaci´on de un grafo de tipo ´arbol para su almacenamiento. Este tipo de procedimientos recursivos vemos que aparecen — y aparecer´an en pr´oximas ocasiones — en numerosos algoritmos y procedimientos de los aqu´ı explicados, siempre en relaci´on con la estructura de los diferentes flujos que tiene lugar a lo largo de las celdas del MDT. Como veremos, ello no indica sino una naturaleza com´ un de sus planteamientos y pone de manifiesto la relaci´on existente entre ellos, la cual permitir´a la evaluaci´on de par´ametros diversos a trav´es de distintas metodolog´ıas y elementos, que se constituir´an como caminos en apariencia aislados que confluyen sobre un mismo resultado. Volviendo a la propia codificaci´on del grafo que representa la red de drenaje, y aunque

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

´esta se lleve a cabo empleando las aristas del mismo, es en base a los nodos como vamos a realizar dicha codificaci´on, en virtud del algoritmo de tipo recursivo ya explicado, pues son ´estos los que deben numerarse. Para ello, y en primer lugar, el conocimiento de los nodos, constituidos por puntos de cabecera y confluencias, se lleva a cabo seg´ un lo explicado en el apartado correspondiente a los ´ordenes de Strahler, disponi´endose de las coordenadas exactas — en t´erminos de celdas — de cada uno de ellos. Con lo anterior, simplemente basta generar todos los pares ordenados estudiando las relaciones entre nodos, tarea que puede llevarse a cabo utilizando la informaci´on sobre direcciones de flujo, simplemente buscando el siguiente nodo aguas abajo de cada uno de ellos y estableciendo una arista entre cada par de este modo definido. Por u ´ltimo, la ordenaci´on adecuada de estos pares se efect´ ua aplicando el algoritmo ya presentado, comenzando por el nodo en el cierre de la cuenca y ascendiendo seg´ un dicta la propia formulaci´on del algoritmo. El esquema expuesto, considerando en an´alisis los hijos de izquierda a derecha, puede realizarse sin dificultades al disponer de las coordenadas de todos los nodos implicados. El hecho de que estos nodos y sus caracter´ısticas no queden recogidos en el esquema de almacenamiento propuesto, no impide, l´ogicamente, que la informaci´on derivada de los mismos no pueda ser utilizada en el proceso de codificaci´on. De este modo, la ya citada topolog´ıa de la cuenca queda perfectamente recogida y en condiciones de ser utilizada en aquellos modelos hidrol´ogicos que hagan uso de la misma, pese a lo cual, no siendo u ´nicamente su empleo sobre estos modelos el objetivo que se persigue, el almacenamiento exclusivo de las propiedades topol´ogicas de la red puede ser insuficiente desde el punto de vista del estudio hidrol´ogico que realizamos. La adici´on de valores num´ericos con un neto significado f´ısico a la estructura de aristas establecida, combinando as´ı dos puntos de vista de gran inter´es sobre la red de drenaje, complementa ventajosamente la informaci´on ya almacenada convirti´endola en una herramienta de primer orden para nuestros prop´ositos. Para llevar a cabo este aumento de la informaci´on recogida, basta proponer una extensi´on a la codificaci´on hasta ahora utilizada, sustituyendo los pares ordenados por n-uplas de datos que contengan, adem´as de los nodos que definen la arista, n−2 par´ametros adicionales referentes a dichas aristas o, de otro modo, a los cauces que ´estas representan y que son los que realmente contienen la informaci´on que nos es de inter´es. Por ejemplo, si almacenamos un u ´nico parametro adicional consistente en la longitud en metros del tramo representado por cada arista, la nueva codificaci´on del grafo mostrado en la figura (3.6) podr´ıa tener un aspecto como el siguiente. (1,2,300) (2,3,420) (3,4,200) (4,5,250) (4,6,200) . . . El nivel de detalle y cantidad de informaci´on accesoria que puede recogerse, se establece en funci´on de las necesidades en cada caso, no existiendo limite al mismo. Con independencia de la adici´on de un valor de longitud de cada tramo como se ha visto, la sola estructura de grafo nos permite definir una nueva medida de distancia entre dos puntos dados dentro de la red. Si la suma de las longitudes de los tramos que median entre dos puntos — es decir, la suma de las longitudes asociadas a las aristas entre dos nodos — mide la distancia a trav´es del cauce entre esos dos puntos, el n´ umero de tramos distintos en ese

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

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recorrido representa lo que denominaremos distancia topol´ ogica. Esta nueva medida de la separaci´on entre puntos veremos cuando lleguemos al factor ancho de cuenca en el siguiente cap´ıtulo, que puede relacionarse con el comportamiento hidrol´ogico de dicha cuenca del mismo modo que la distancia sobre el cauce o incluso la distancia euclidea entre los citados puntos. As´ı pues, una vez se tiene una codificaci´on completa que incluye las cualidades de la red de drenaje y sus cauces desde diversos puntos de vista altamente complementarios entre s´ı, es momento de proceder al an´alisis de la misma y extracci´on de nuevos par´ametros derivados, aspecto que se desarrollar´a seguidamente, no sin antes profundizar algo m´as en el significado y naturaleza de la red de drenaje tal y como la hemos almacenado en su calidad de grafo de tipo ´arbol. Volvamos ahora a la red de drenaje que definimos inicialmente, considerando para su creaci´on todos los flujos como formadores de cauces. Recu´erdese que la creaci´on de ´esta red no ten´ıa sentido con el empleo de cualquier m´etodo distinto del D8, por lo que ser´a ´este el que supondremos se utiliza. Recu´erdese tambi´en que no se emplean todas las celdas de la malla, sino las de una cuenca dada, con el fin de tener una u ´nica red. Si expresamos dicha red con la notaci´ on introducida en este apartado, consider´andola como un grafo de tipo ´arbol, podemos destacar algunas caracter´ısticas interesantes. En primer lugar, y para que el grafo sea conexo, solo debemos trabajar con los flujos incluidos dentro de una cuenca dada, aspecto que se se˜ nalo ya en el inicio del cap´ıtulo y se recalca aqu´ı de nuevo. En segundo lugar, y cumpliendo la condici´on anterior, el numero de nodos de la red es igual al numero de celdas de la cuenca, ya que todas las celdas son nodos. Por u ´ltimo, el n´ umero de hijos de cada nodo est´a en este caso limitado a 7, esto es, todas las celdas del entorno de cada una, excepto al menos una que ser´a hacia la que verter´a ella misma. Analizando este grafo, podemos, por ejemplo, trabajar con ´el para intentar obtener la red de drenaje de la cuenca, eliminando partes del mismo hasta obtener un grafo reducido que represente dicha red de drenaje en su adecuada complejidad. De entre las aristas que existir´ an en la red, pongamos atenci´on en las que hab´ıamos denominado hojas, aquellas que en uno de sus extremos ten´ıan celdas sin hijos. Desde un punto de vista hidrogr´afico, ´estas pueden interpretarse como los tramos de menor importancia o, en otras palabras, los de orden 1. Si sobre el ´arbol que constituye la red de drenaje, ((podamos)) el mismo eliminando sus hojas, obtendremos un nuevo grafo mas reducido que el anterior. Pero n´otese que, si realizamos esta operaci´on sucesivamente un n´ umero n de veces hasta obtener una red de drenaje que consideremos ´optima, en realidad obtendremos la misma red que resultar´ıa de eliminar todos los cauces con ordenes de Strahler menores que n, tal y como en su momento fue explicado. El enfoque sobre una base raster que entonces se realiz´o, se ha sustituido ahora por uno m´as claramente vectorial, aunque los resultados finales de ambos, independientemente de la forma en que se expresen, son id´enticos como puede verse. Adem´as de poder servir para la extracci´on de estructuras como la anterior, este almacenamiento de la red de drenaje total posibilita igualmente el c´alculo de algunos par´ametros, algunos de ellos relacionados con las cuencas vertientes y que en su momento ser´an analizados. Esta relaci´on se debe al hecho de que trabajamos sobre la red existente en el interior de la cuenca, por lo que, a nuestro nivel de trabajo, los lazos que unen a ambos conceptos son muy estrechos. Para el caso, por ejemplo, de evaluar el orden de Strahler de una arista, puede partirse de la expresi´on que relaciona dicho orden con el de las aristas hijas — enti´endase que son aquellas que unen al nodo padre con los nodos hijos —, seg´ un OP = Θ(OH1 , OH2 , . . . , OHn ) donde Θ(x) es la funci´on definida en (3.2).

(3.11)

136

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

Vista desde un punto de vista algor´ıtmico, la ecuaci´on anterior da pie a la elaboraci´on del correspondiente algoritmo recursivo para la caracterizaci´on total del ´arbol — es decir, de las celdas que conforman una cuenca si estamos en el ultimo caso de emplear todos los flujos —, el cual se corresponde con el mencionado en su momento en el apartado (3.2.3), recogi´endose la expresi´on m´as expl´ıcita de este u ´ltimo — de naturaleza raster —, como entonces se dijo, ahora que se conoce algo m´as al respecto del mismo y sus fundamentos. La finalizaci´on de la recursi´on se da en las aristas exteriores — las hojas —, para las cuales su orden es igual a 1. funci´ on CalcularOrdenCelda (i,j) { ordMax = 1 desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces { si O(i+n,j+m) = 0 entonces { CalcularOrdenCelda (i+n,j+m) } ord = O(i+n,j+m) si ord > ordMax entonces { ordMax = ord numCeldasOrdenMax=1 } si no, si ord = OrdMax entonces { numCeldasOrdenMax=numCeldasOrdenMax+1 } } } } } si numCeldasOrden>1 entonces { ordMax=ordMax+1 } O(i,j)=ordMax devolver ordMax } Para definir los ordenes de todo un ´arbol, bastar´ıa ejecutar este algoritmo sobre la celda (nodo) padre, de tal modo que pueda subirse recursivamente a todas las restantes, para obtener un mapa como el mostrado en la figura (3.7). Similar caso encontramos para el flujo acumulado, que en esa ocasi´on vendr´ıa expresado tambi´en en funci´on de los hijos — las celdas vertientes de la vecindad, desde el punto de vista

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

137

Figura 3.7: Mapa de ordenes de Strahler. N´otese la similitud con el de flujo acumulado, aunque en este caso la representaci´ on esta realizada con escala l´ıneal y los valores se disponene u ´nicamente en el rango 1 − 7.

raster ya conocido — seg´ un 2

AP = g +

np X

AH

(3.12)

n=1

expresi´ on en la que, en realidad, hacemos uso de la disposici´on regular de los nodos de la red, en cuanto que sus caracter´ısticas son homog´eneas al representar cada uno de ellos una celda de la malla con id´enticas caracter´ısticas de forma, ´area, etc. De no ser as´ı, cada arista podr´ıa tener asociado un distinto valor de ´area a la que representa — que ser´ıa almacenada mediante el uso de la extensi´on de los pares ordenados ya explicada —, debiendo sustituirse en la anterior expresi´on el valor g 2 por el valor particular de dicho ´area. Pese a todo lo visto anteriormente, por regla general la gran mayor´ıa de estos factores y otros similares resultan m´as sencillos de obtener trabajando directamente sobre una malla de valores, en un enfoque puramente raster, que sobre la estructura de grafo de la red de drenaje total, presentada a efectos principalmente te´oricos y conceptuales. Una vez m´as, no obstante, el conocimiento de diferentes alternativas y enfoques y la aplicaci´on de las mismas en un cierto n´ umero de los temas tratados, hace posible acercarse al estudio de los elementos implicados desde otro punto de vista complementario. El an´alisis de la red de drenaje total como un grafo seg´ un lo anterior nos ha servido como nueva aproximaci´on te´orica a ciertos conceptos, permiti´endonos ver ´estos desde una ´optica distinta, hecho siempre ventajoso de cara a la comprensi´on global de los fen´omenos estudiados. Pese a todo, como ya se ha dicho, el uso de grafos lo limitaremos de aqu´ı en adelante a la propia red de drenaje obtenida con alguno de los m´etodos en su momento descritos, procediendo con ella a un an´alisis pormenorizado de otra serie de par´ametros relacionados.

3.3.2.

Par´ ametros derivados

Como ya se dijo en la introducci´on al cap´ıtulo, los par´ametros que resulta de inter´es reflejar en estas p´aginas son principalmente aquellos cuyo uso posterior sea relevante en los modelos de naturaleza hidrol´ogica, en conjunto con aquellos que supongan una evoluci´on conceptual y pr´actica de otros par´ametros, desarrollados para adaptarse de forma m´as ventajosa a las fuentes de informaci´on con las que trabajamos, en particular el MDT. Sobre la base de las representaciones introducidas para las redes de drenaje y sus cauces constituyentes, un an´alisis detallado — siempre sin perder la perspectiva del estudio hidrol´ ogi-

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CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

co que perseguimos — puede dar como fruto la extracci´on de los par´ametros que a continuaci´on ser´an tratados. La forma de obtener ´estos en el entorno de datos en el que nos movemos, y, especialmente, la interpretaci´on de los valores obtenidos y el an´alisis del significado que cabe asociar a algunos de estos par´ametros de nueva creaci´on, son el n´ ucleo conceptual de este apartado. An´ alisis en planta Para proceder al an´alisis de los cauces apoyado sobre el Modelo Digital de Terreno del que ´estos han sido extra´ıdos, he optado por dividir los par´ametros de inter´es de acuerdo a la perspectiva con que estos sean contemplados, diferenciando por una parte el estudio geom´etrico del trazado en planta y por otra el estudio longitudinal de diversos par´ametros. Esta divisi´on, en apariencia carente de una base f´ısica, establece una buena clasificaci´on de las propiedades de los cauces analizados ya que, mientras que el propio dise˜ no en planta de ´estos da lugar a par´ametros principalmente de forma, el estudio longitudinal de cada cauce nos presenta informaci´on referida a las caracter´ısticas intr´ınsecas de ´este desde otros puntos de vista sin ninguna implicaci´on geom´etrica. Comenzando con el an´alisis geom´etrico de la forma de un cauce, dos par´ametros principales nos van a servir de punto de partida: la distancia total del cauce L y la distancia en linea recta entre su cabecera y su punto final L∗ . Ambas magnitudes, sumamente sencillas de calcular sobre el MDT, nos sirven para tener una primera idea de la respuesta hidrol´ogica que puede asociarse a la red de drenaje — y, por extensi´on, a su cuenca asociada —, bajo la suposici´on de que ´esta guarda relaci´on directa con la propia forma de los cauces. Para ello, la sinuosidad del cauce, con la expresi´on L (3.13) L∗ nos sirve como un buen indicador de lo anterior. La sinuosidad de un r´ıo, o la de una red de drenaje como funci´on de la de sus r´ıos constituyentes, se incluye de forma habitual dentro del estudio geomorfol´ogico de los cauces, con inter´es especial para el estudio de su din´amica y evoluci´on, siendo escaso el empleo de este par´ametro con un significado hidrol´ogico importante. No obstante, el distinto an´alisis al que podemos acceder gracias al MDT, convierte a la sinuosidad en un concepto que, aplicado de modo distinto, y como veremos en el pr´oximo cap´ıtulo, puede asociarse a un significado con mayor componente hidrol´ogica en relaci´on con la capacidad respuesta de las distintas estructuras hidrogr´aficas. τ=

An´ alisis longitudinal El estudio de c´omo los diversos par´ametros estudiados var´ıan a lo largo de las distintas celdas que componen un cauce desde su origen hasta su desembocadura final, supone una de las principales ventajas de las que podemos disfrutar gracias al trabajo con mallas raster de datos. Para todas estas mallas, la divisi´on de la longitud total de un cauce en un n´ umero dado de celdas, y en virtud de la buena resoluci´on de dichas celdas, nos permite analizar con detalle la evoluci´on y comportamiento del par´ametro asociado a dicha malla a lo largo del cauce en su totalidad. Dependiendo de la naturaleza de cada par´ametro, las interpretaciones de los resultados ser´an unas u otras, como a continuaci´on veremos. Los primeros resultados a este respecto los vamos a obtener,como parece l´ogico, a partir del estudio de los valores del propio MDT, el cual nos aportar´a informaci´on correspondiente a la morfolog´ıa del cauce considerado. El estudio de los valores de altura para las distintas celdas del recorrido nos conduce, de forma inmediata, a la obtenci´on del perfil longitudinal del r´ıo. La curva que compone este elemento, siendo algo ya conocido y utilizado con anterioridad

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

139

a la introducci´on de los MDTs tal y como ahora los conocemos, se puede crear en nuestro entorno actual con una mucho m´as elevada precisi´on, tan alta como lo sea la resoluci´ on del Modelo Digital del Terreno que empleemos. Mas all´a de lo anterior, la existencia de otras mallas id´enticas en su configuraci´on al MDT y relativas a otros par´ametros, nos abre la puerta hacia el estudio del comportamiento de los mismos aguas abajo de la cabecera del cauce, obteni´endose interesantes conclusiones. Un primer elemento de inter´es lo hallamos en el estudio de los valores de flujo acumulado, cuya representaci´on gr´afica tendr´a un aspecto similar al mostrado en la figura (3.8). Los saltos que se presentan en la curva se corresponden con las confluencias entre el cauce estudiado y sus tributarios, indicando la magnitud de los mismos el tama˜ no de las cuencas asociadas a dichos afluentes.

Figura 3.8: Evoluci´on del ´area acumulada a lo largo del cauce. Si para una cuenca dada estudiamos su cauce principal — el de mayor longitud —, la mayor o menor irregularidad de la curva procedente de la malla de flujos acumulados nos da una interesante informaci´on acerca de la configuraci´on interna de la cuenca, reflej´andose de modo altamente sint´etico la estructura de las distintas subcuencas que vierten sobre el cauce principal, pudi´endo observarse si ´esta se encuentra compuesta por un numero elevado de subcuencas peque˜ nas o bien por grandes subunidades. Las diferentes configuraciones posibles pueden a su vez asociarse con diferentes comportamientos y respuestas por parte de la cuenca, con lo que el aspecto de esta curva es posible relacionarlo en cierta medida con el comportamiento De modo cuantitativo, la desviaci´on t´ıpica de los valores de flujo acumulado a lo largo de las diferentes celdas de cauce se constituye como un par´ametro adecuado para el an´ alisis num´erico de lo anterior. Valores elevados de esta desviaci´on — enti´edase elevados en relaci´ on con el ´area total de la cuenca — indican una configuraci´on menos fragmentada, mientras que valores menores representan una estructura con mayor cantidad de cuencas vertientes de menor tama˜ no vertiendo sobre el cauce principal de la cuenca. Combinando la malla de ´area acumulada con la de pendientes, obtenemos el ya conocido ´ındice de potencia de cauce, cuyo an´alisis puede ser sumamente interesante con objeto de obtener una primera impresi´on acerca de los procesos erosivos a lo largo de los distintos tramos del cauce analizado. De igual modo, y siguiendo en esta misma l´ınea, la pr´ actica totalidad de mallas de datos pueden estudiarse a lo largo del recorrido de un cauce dado, siendo relativamente sencillo el formular interpretaciones al respecto, trabajo que se deja como propuesta para el lector, no ya u ´nicamente con las mallas que hasta el momento se conocen, sino tambi´en con las que desde este punto en adelante ser´an presentadas. Propiedades fractales de los cauces y redes de drenaje Una de las tendencias y enfoques que han dado lugar a m´as trabajo e investigaci´on en los u ´ltimos a˜ nos en las ´areas de la hidrolog´ıa y, especialmente, la geomorfolog´ıa, es la relacionada con la geometr´ıa fractal de los cauces y redes de drenaje. Estos estudios, si bien muchos no tienen relaci´on alguna con el empleo de Modelos Digitales del Terreno, han sabido sacar

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

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provecho del empleo de dichas representaciones cartogr´aficas, pues ´estas definen un escenario de actuaci´on muy favorable para este tipo de an´alisis. La relaci´on entre las propiedades fractales de un elemento y el an´alisis de las variaciones del mismo con la escala de estudio, junto con el sencillo trabajo sobre los conceptos de resoluci´on asociados a los MDT, han permitido ligar estas dos facetas para generar una teor´ıa fractal de las redes de drenaje que en muchos puntos se une al an´alisis de las mismas a partir de Modelos Digitales del Terreno. No obstante, toda esa vasta cantidad de informaci´on ha sido desarrollada en la gran mayor´ıa de los casos con un prop´osito meramente descriptivo, y enfocado hacia el conocimiento de estas estructuras hidrogr´aficas desde el punto de vista geomorfol´ogico. El enlace de los resultados obtenidos con aspectos claramente hidrol´ogicos tales como el comportamiento de las redes de drenaje estudiadas o sus cuencas vertientes asociadas, se encuentra ausente de muchos de estos an´alisis, siendo ´esta, desde la perspectiva del hidr´ologo, la asignatura pendiente del estudio de las propiedades fractales de los cauces. El objetivo de este apartado es, en primer lugar, la introducci´on de los conceptos m´as generales — sin entrar, como resulta l´ogico en detalles te´oricos extensos — acerca de la naturaleza fractal de las redes de drenaje, presentando los m´etodos habituales para el c´alculo de la dimensi´on de ´estas y similares par´ametros. Con este fin, se estudiar´an las cuestiones relativas con la escala de trabajo y la variabilidad o no de los c´alculos realizados que, de un modo u otro, contribuir´an a una mejor comprensi´on de la naturaleza tanto de los cauces individuales como de las redes de drenaje. En segundo lugar, se intentar´a establecer v´ınculos entre los anteriores resultados y lo puramente hidrol´ogico, dando un sentido pr´actico a cuantos resultados puedan derivarse del an´alisis fractal que se desarrolla. Comenzando, pues, este desarrollo, introduzcamos de un modo simple el concepto de dimensi´on fractal y el concepto gen´erico que se esconde tras esta u ´ltima palabra. Para ello consid´erese una representaci´on de un r´ıo y la forma del mismo. Mirando ´esta, y sin ninguna informaci´on complementaria, no resulta posible deducir la escala de trabajo, pues el aspecto de la red es similar con independencia de dicha escala. En otras palabras, la sinuosidad caracter´ıstica de la apariencia del cauce aparece a distintas escalas de un modo similar. Esta propiedad, denominada autosemejanza , es una de las propiedades caracter´ısticas de los objetos fractales, dentro de los cuales, como vamos viendo, podemos englobar las redes de drenaje. No s´olo las redes de drenaje, sino tambi´en los cauces aislados presentan por su sinuosidad propiedades fractales y aspectos a considerar en relaci´on con la escala de trabajo. Sup´ongase — y este es el ejemplo m´as cl´asico en relaci´on con los fractales — que desea medir la longitud de un cauce dado, dotado ´este de su sinuosidad caracter´ıstica, sobre un mapa a una escala concreta. Si se toma como unidad de medida sobre un mapa el centimetro — esto es, tomando un comp´as con una apertura de un cent´ımetro —, la medida obtenida reflejar´a todas aquellas convoluciones del cauce de magnitud mayor de un centimetro. Si se modifica esa unidad de de medida — se abre o cierra el comp´as de medida —, la nueva medici´on realizada, una vez convertida a unidades reales en virtud de la escala del mapa, arrojar´a un resultado distinto, al poder tomarse un mayor o menor detalle de la inherente sinuosidad del trazado del cauce. Este hecho, que no suceder´ıa en caso de ser dicho trazado recto, es indicador de la naturaleza fractal de la forma del cauce, tal y como en estas l´ıneas se intenta definir. De lo anterior puede deducirse una relaci´on estrecha entre la medida del objeto y la resoluci´on de trabajo, manifestaci´on cl´asica por excelencia de la condici´on fractal de un objeto, en este caso del cauce concreto que analizamos. En lineas generales, y buscando una definici´on que englobe lo anterior, se puede afirmar que un fractal cumple alguna de las siguientes propiedades (Falconer, 1997): Posee detalle a cualquier escala.

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

141

No puede ser descrito mediante la geometr´ıa euclidea cl´asica. Posee alg´ un tipo de autosemejanza, generalmente estad´ıstica. Puede ser descrito mediante un algoritmo recursivo sencillo. Sin entrar en detalles t´ecnicos, y expresado en palabras sencillas, el concepto de dimensi´ on fractal surge al amparo de las anteriores propiedades como una extensi´on a la dimensi´ on 1 topol´ogica habitual. As´ı, mientras que ´esta u ´ltima toma valores enteros (1 para la recta, 2 para el plano...), la dimensi´on fractal toma un valor no necesariamente entero siendo, no obstante, consistente a su vez con la definici´on de dimensi´on topol´ogica de tal modo que las asociadas a rectas o planos siguen manteniendo el mismo valor entero habitual. Si la mayor dimensi´on del plano respecto a la recta indica que este primero es ((mas grande)) o ((mas extenso)), tambi´en la dimensi´on fractal aplicada a otros objetos tales como las redes de drenaje va a dar una idea de esa ((grandeza)) y, al aplicarse el concepto sobre objetos irregulares, nos va a proporcionar por tanto informaci´on acerca de la complejidad de dicho objeto. En un an´alisis m´as matem´atico, se tiene que un objeto de dimensi´on topol´ogica D, si lo reducimos a una escala 1 : n (es decir, dividimos entre n su tama˜ no en todas las dimensiones), el objeto mayor se encuentra formado por nD copias del objeto escalado. Gr´aficamente, esto puede observarse en la figura (3.9). El valor de D, que no tiene porqu´e ser un entero al no existir restricciones prioritarias para su magnitud, constituye lo que se conoce como dimensi´ on 2 de Hausdorff , y es una de las maneras mas extendidas y comunes de evaluar la dimensi´ on fractal de un objeto.

Figura 3.9: Explicaci´on gr´afica del significado de la dimensi´on de Hausdorff. Por tanto, se tiene que N = rD

(3.14)

Tomando logaritmos a ambos lados y despejando D, se obtiene log(N ) (3.15) log(r) Esta dimensi´on, por no limitar su valor a los n´ umeros enteros, se identifica con el concepto de dimensi´on fractal, y permite la definici´on de objeto fractal como aquel cuya dimensi´ on D=

1 Dar una definici´ on formal de esta dimensi´ on es complejo, aunque intuitivamente es sencillo, pue se corresponde con el concepto de dimensi´ on que habitualmente utilizamos. 2 En referencia al matem´ atico alem´ an Felix Hausdorff (1868–1942)

142

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

fractal es mayor que su dimensi´on topol´ogica — para objetos tales como una recta o un cuadrado, ambas dimensiones coinciden, como ya se dijo —. Regresando al caso que nos ocupa, ya en los estudios originales de Mandelbrot (1973), iniciadores de toda esta corriente en torno a lo fractal, las redes de drenaje er´an analizadas desde la perspectiva de dicha geometr´ıa fractal, pues su estructura presentaba notables aspectos de inter´es desde ese punto; estudios que, como se ha dicho, han tenido notable continuaci´on hasta la fecha. El objetivo perseguido entonces era, no obstante, por completo distinto al que se pretende recoger en estas p´aginas. De cara a nuestro inter´es principalmente centrado en la caracterizaci´on de estas redes y sus cauces constituyentes desde todos los puntos de vista y su posterior utilizaci´on en relaci´on con diversos aspectos hidrol´ogicos, el hecho primordial que debemos tener en cuenta es la dependencia de la longitud calculada sobre el MDT de la resoluci´on que caracteriza a ´este. Ello nos lleva a plantear la posibilidad de buscar m´etodos que permitan dar un valor similar a la longitud pero independiente de la escala. La soluci´on a este hecho la vamos a encontrar en el propio estudio fractal de redes de drenaje y cauces, y en los conceptos que seguidamente van a analizarse, en especial la denominada dimensi´ on fractal de dichas estructuras. De entre las formas mas habituales para el c´alculo de la mencionada dimensi´on fractal, dos son las que muestran mayor inter´es desde el punto de vista del estudio hidrol´ogico y teniendo en cuenta el apoyo de ´este sobre el uso de MDTs. Por una parte, un m´etodo bien conocido es el denominado box–counting (literalmente, ((contar cajas))), basado en la discretizaci´ on del objeto cuya dimensi´on fractal se desea medir mediante una cuadr´ıcula de diversos tama˜ nos y el recuento posterior del n´ umero de celdas de dicha cuadr´ıcula mediante los que queda definido dicho objeto. En otras palabras, y para el caso que se trata, una rasterizaci´ on a diferentes escalas de la red de drenaje estudiada nos facilitar´a la informaci´on necesaria para calcular la dimensi´on fractal de la misma.

Figura 3.10: Forma de proceder en la aplicaci´on del metodo box-counting para el c´alculo de la dimensi´on fractal de una red de drenaje.

Para cada tama˜ no de cuadr´ıcula se obtiene un valor de numero de celdas, dando as´ı lugar a una serie de pares de valores del tipo (Si , Ni ). Si se representa ahora en una curva no los pares anteriores, sino los logaritmos de estos de la forma (log(Si ), log(Ni )), se obtiene una figura como la mostrada en (3.11), en la que la curva trazada se asemeja notablemente a una recta. Ajustando una recta a la misma, la pendiente γ de dicha recta representa la dimensi´on fractal del objeto tratado, puesto que el valor obtenido de este modo se ajusta conceptualmente al definido para esta magnitud. Pese a la sencillez operativa del anterior m´etodo y la similitud formal en cuanto a la

´ DE REDES DE DRENAJE 3.3. CARACTERIZACION

143

Figura 3.11: Ajuste de una recta sobre los pares de valores (log(Si ), log(Ni )). La pendiente de dicha recta es la dimensi´ on fractal buscada.

utilizaci´on de mallas regulares con las operaciones que se vienen desarrollando sobre la malla del MDT, los estudios m´as rigurosos — y abundantes — en relaci´on con el an´alisis fractal de redes de drenaje se enfocan desde un punto de vista distinto. La expresi´on m´as cl´asica — si la relativa juventud de la misma permite emplear este t´ermino — es la debida a La Barbera y Rosso (1989), reflejada bajo estas l´ıneas. D=

log(RB ) log(RL )

(3.16)

donde RB y RL son, respectivamente,la relaci´on de bifurcaci´on y la relaci´on correspondiente a la longitud de los tramos de cada orden, seg´ un fueron introducidas ambas magnitudes algunas p´aginas atr´as. La evaluaci´on de la dimensi´on fractal se lleva a cabo de este modo en base a la forma y la topolog´ıa de la red de drenaje, haciendo uso de algunos de los valores que a este respecto se utilizan de modo habitual como descriptores de la misma. En ambos casos, tanto con el empleo del box–counting como aplicando las expresiones basadas en las relaciones definidas por Horton, la dimensi´on fractal debe medirse sobre el trazado real de los cauces que forman la red, no sobre los extra´ıdos a partir del MDT, pues ´estos pueden variar seg´ un los diferentes par´ametros empleados para su extracci´on, desvi´andose en mayor o menor medida de los trazados observados sobre el terreno. Igualmente, debe recalcarse la diferencia conceptual que existe entre el hecho de estudiar diferentes tama˜ nos de celda al emplear el m´etodo box–counting, y el hecho de trabajar con el MDT a distintas resoluciones, si bien las diferencias que se aprecian en este ultimo caso seg´ un la resoluci´on escogida son indicadoras de la propia geometr´ıa fractal de la red de drenaje. Por u ´ltimo, debe se˜ nalarse que, adem´as de estudiar la red de drenaje completa, puede trabajarse de modo exclusivo con un cauce aislado, en particular con el cauce principal dentro de la cuenca, aunque en t´erminos generales este an´alisis resulta mas improductivo tanto desde el punto de vista conceptual como desde la posibilidad de lograr una interpretaci´on tangible de los resultados, existiendo a este respecto una biliograf´ıa menos extensa y, si cabe, menos convergente a´ un. En lo referente a una interpretaci´on pr´actica de los resultados anteriores, poco es, no obstante, lo que puede deducirse en t´erminos puramente hidrol´ogicos del valor la dimensi´ on fractal de la que ahora tenemos conocimiento, pues no est´a del todo clara la relaci´on que exista entre este par´ametro y las propias caracter´ısticas hidrol´ogicas de la red de drenaje. A

144

CAP´ITULO 3. CAUCES Y REDES DE DRENAJE

esto debe sumarse las aparentes contradicciones que existen en cuanto a valores y expresiones referentes a la dimensi´on fractal de r´ıos y cuencas, lo que impide poder generalizar acerca de los mismos y su significado desde el punto de vista del an´alisis hidr´ologico en sentido estricto. Parece que puede establecerse una relaci´on directa entre el valor de la dimensi´on fractal de la red asociada a un cauce y lo caudaloso del mismo, aunque una comprobaci´on rigurosa de este hecho est´a a´ un por darse. En principio, un an´alisis sencillo parece corroborar esta idea, ya que, bajo la hip´otesis de que los cauces se inician a partir de un umbral de caudal dado — hip´otesis hidrol´ogica, por lo tanto —, las topograf´ıas o las condiciones clim´aticas que propicien valores altos de caudal en las celdas provocar´an un inicio temprano de los cauces y, por tanto, una densidad de drenaje mayor. Esta densidad elevada puede asociarse a una mayor complejidad de la red de drenaje establecida y ´esta, a su vez, a una dimensi´on fractal mayor. Es interesante el establecer esta relaci´on entre densidad de drenaje, umbral de inicio de cauces y dimension fractal, ya que futuros estudios acerca de esta u ´ltima podr´ıan aportar nuevos planteamientos y herramientas para una definici´on m´as precisa de cauces a partir del MDT, incorporando en las mismas los diversos elementos derivados del an´alisis fractal de las propias redes de drenaje. Junto a lo anterior, las mediciones realizadas en algunos r´ıos corroboran en cierto modo la vinculaci´on entre el caudal de un cauce y su dimensi´on fractal, al encontrarse en l´ıneas generales valores m´as elevados para cauces con mayores caudales. Algunos autores (Clap, 1996), abogan, no obstante, por un valor constante para la dimensi´on fractal tanto de redes de drenaje como de r´ıos, si bien sus estudios se centran en conjuntos de r´ıos dentro de una misma zona geogr´afica. Una vez m´as, puede verse la escasa convergencia de los resultados existentes al respecto, que no debe, sin embargo, frenar el estudio de las propiedades fractales de los elementos hidrogr´aficos, en espera de poder obtener un eminente sentido pr´actico de los mismos de cara al an´alisis hidrol´ogico final.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

Sea γ un par´ ametro definido por la relaci´on entre el numero de celdas de cauce y las restantes dentro de una cuenca dada. Est´ udiese el posible significado de γ y su sentido f´ısico e hidrol´ogico. Est´ udiese γ desde el punto de vista del an´alisis fractal.

2.

Un par´ametro de relativo inter´es es la distancia desde cada celda al cauce m´as pr´oximo. Dicha distancia es hidrol´ ogica, es decir, no euclidea sino empleando las direcciones de flujo para calcular los trazados. Elab´ orese un algoritmo que permita la obtenci´on de una malla de datos con dichas distancias.

3.

Basado en el anterior, elabore un algoritmo para la creaci´on de una malla de valores con las diferencias de altura entre cada celda y el cauce mas pr´oximo a la misma. Asigne una interpretaci´on a dicha malla y sus valores asociados.

4.

Interpr´etese el significado atribuible a la curva de frecuencias y valores estad´ısticos asociados a los anterior par´ ametro dentro de una cuenca.

5.

Interpr´etese el significado atribuible a la curva de frecuencias y valores estad´ısticos asociados a la malla de ordenes de Strahler generada considerando la red de drenaje formada por todos los flujos entre celdas.

Cap´ıtulo 4

Cuencas vertientes Eventually, all things merge into one, and a river runs through it. Norman MacLean

4.1.

Introducci´ on

El cierre de esta parte dedicada a la introducci´on de los elementos b´asicos y, especialmente, la manera de trabajar con los mismos en base a la fuente primaria de informaci´on que constituye nuestro ya bien conocido Modelo Digital del Terreno, lo pone en este cap´ıtulo el estudio de las cuencas vertientes. Definitorias por s´ı solas de una buena parte de cuanto acontece hidrol´ogicamente sobre una zona, y coronadas por derecho propio como entidades hidrol´ ogicas de primer orden, las cuencas vertientes que constituyen el verdadero escenario donde se representa la totalidad de la hidrolog´ıa nos van a mostrar tambi´en aqu´ı unos resultados y unas formulaciones de gran inter´es desde todos los puntos de vista. Habi´endonos ya aproximado con el estudio de los cauces y redes de drenaje a esa ya mencionada conversi´on de los resultados primigenios individuales en otros m´as acordes con los modelos hidrol´ogicos a los cuales pretendemos llevarlos para la obtenci´on de nueva informaci´ on, no ser´a en absoluto complejo comprender ahora la manera en que, aprovechando esos mismos par´ametros sencillos, es posible conformar unidades de mayor entidad y calibre como son las antedichas cuencas. Desde el punto de vista meramente conceptual y en relaci´on con el tinte general de la obra, la identificaci´on entre los algoritmos para extracci´on de cauces y dichos cauces puede extenderse en este punto de modo sencillo para equiparar las metodolog´ıas que, a partir de las direcciones de flujo como par´ametros de mayor importancia, nos van a permitir definir cuencas y subcuencas con niveles de detalle y precisi´on hasta este punto desconocidos. Lo anterior, avanzando a grandes pasos hacia un horizonte nuevo de posibilidades en relaci´on con las metodolog´ıas y resultados cl´asicos, nos va a permitir acercarnos de modo casi definitivo a la esencia que va a residir en la explicaci´on de los modelos hidrol´ogicos ya en la siguiente parte del texto, haciendo patente en cierta medida las principales diferencias que existen entre los modelos actuales fuertemente basados en el MDT como herramienta de trabajo y los cl´asicos fundamentados en las formas cartogr´aficas menos novedosas. As´ı, este u ´ltimo cap´ıtulo vuelve a ser un capitulo de uni´on, no extenso en exceso pero cargado de contenidos, y en el que de modo natural abandonamos el an´alisis de unidades y elementos aislados para incorporarnos ya en la modelizaci´on completa de los fen´omenos hidrol´ogicos combinando todas las siempre vigentes implicaciones que ello conlleva con los nuevos conocimientos de los que ahora disponemos. De este modo, comenzaremos ya a configurar por fin esa hidrolog´ıa computacional que es el n´ ucleo primordial de todo este texto como conjunto, para gozar de una visi´on diferente y complementaria del ciclo hidrol´ogico antes desconocida para nosotros. 145

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

146

4.2.

Definici´ on de cuencas a partir del MDT

Acudiendo a los conceptos de base que deben permanecer siempre tras cualquier modelo o formulaci´on desarrollada, y abriendo as´ı camino hacia las formulaciones algor´ıtmicas que al respecto, recordamos en este punto el concepto de cuenca vertiente como el ´area cuya escorrent´ıa acaba pasando en su recorrido aguas abajo desde el punto donde se genera por otro punto dado, aquel que denominamos de cierre de la cuenca. Con el conocimiento de este concepto y sabiendo trasladar su significado y sus implicaciones al entorno de la informaci´on de la que ahora disponemos tras el an´alisis geomorfol´ogico previo que hemos llevado a cabo, no debe resultar complicada la extracci´on de las cuencas vertientes para un determinado punto de salida. Sobre ellas, posteriormente y en este mismo cap´ıtulo, procederemos a explicar los m´etodos para calcular sus par´ametros definitorios, tanto cl´asicos como mas recientes, y los m´etodos de manejo de dichas cuencas desde el punto de vista ya habitual en este libro. Una vez m´as, justificando de nuevo la importancia concedida en su momento a este par´ametro, la direcci´on de flujo es el elemento clave del que debemos hacer uso, pues ser´a ´este y no otro, quien nos permita dar forma con toda precisi´on a las cuencas vertientes que ahora pretendemos definir. El conocimiento de esta direcci´on de flujo de cada celda nos permitir´a deducir para cada una de ellas, y siguiendo el recorrido desde las mismas hacia aguas abajo, si pertenecen o no a la cuenca que pretendemos definir. Con objeto de registrar de alg´ un modo las celdas que constituyen la cuenca buscada, vamos a emplear una nueva malla — y una nueva funci´on asociada, por tanto—, de tal modo que se cumpla fCU E : M × N −→ N  fCU E (i, j)

= 0 si la celda no es una celda de cuenca 6= 0 si la celda es una celda de cuenca

(4.1)

Si obtenemos la anterior malla a partir de los par´ametros hasta ahora conocidos, de ah´ı en adelante, y a trav´es de operaciones nada complejas, podremos deducir todos y cada uno de los par´ametros caracter´ısticos de la cuenca definida. Esta obtenci´on de la malla no es dif´ıcil adivinar que va a llevarse a cabo de manera casi id´entica a como en su momento se obten´ıa la malla de flujo acumulado, pues lo que buscamos no es sino las celdas de origen de dicho flujo acumulado para un punto en concreto. Es igualmente sencillo suponer que las circunstancias entonces explicadas en relaci´on con las diferencias existentes entre los modelos de asignaci´on de direcciones de flujo van a mantenerse en este caso, existiendo metodolog´ıas con ventaja respecto a las restantes que, aunque deben en este caso a˜ nadirse otros matices, van a presentar deficiencias especialmente en cuanto a su rendimiento que no en cuanto a su precisi´on.

4.2.1.

Cuencas a partir de un punto de salida

La manera mas habitual de definir una cuenca, y por otra parte la m´as u ´til e interesante, resulta de la simple definici´on de su punto de salida. Algunos autores — y as´ı queda reflejado en algunas aplicaciones inform´aticas disponibles para este cometido —, incorporan tambi´en entre las posibilidades de definici´on otras como, por ejemplo, la definici´on de una secci´on completa, la cual es definida mediante una l´ınea que posteriormente es convertida a formato raster y de este modo queda constituida la secci´on como un conjunto de puntos (celdas) de salida contiguos. La concepci´on de un u ´nico punto de salida resulta sin embargo suficiente para el desarrollo de las explicaciones que se van a llevar a cabo, siendo muy sencillo el extender ´estas para el

´ DE CUENCAS A PARTIR DEL MDT 4.2. DEFINICION

147

caso de una secci´on de cierre no puntual. No obstante, es interesante recalcar que, tal y como los cauces fueron definidos en el apartado precedente, ´estos tan s´olo van a tener un ancho de una celda, independientemente de su dimensi´on real. El apoyo en dichos cauces para el establecimiento sobre ellos de un punto de salida ´optimo y adecuado, de la misma manera que se viene utilizando sobre la cartograf´ıa cl´asica, nos indica, por tanto, el mayor inter´es que tiene la utilizaci´on de una celda exclusivamente como definitoria del cierre de la cuenca a calcular. Mas a´ un, veremos en posteriores apartados que los cauces van a constituir una fuente de informaci´on complementaria de mucho valor de cara al trabajo con subcuencas, por lo que resulta adecuado mantener esa coherencia entre las cualidades y caracter´ısticas de ambos elementos hidrogr´aficos. Respecto a la situaci´on de dicha celda, y puesto que todo el ´area de la cuenca va a verter por definici´on sobre la misma, ´esta tendr´a un valor de flujo acumulado notablemente alto, dependiendo, l´ogicamente, de las propias dimensiones de la cuenca. Ello viene a decir que el punto de cierre se situar´a con probabilidad sobre una celda de cauce, por lo que el conocimiento de la red de drenaje de acuerdo con algunas de las metodolog´ıas introducidas en el cap´ıtulo anterior, resulta un interesante elemento de apoyo para proceder a la localizaci´on exacta de la celda de cierre de la cuenca a definir. Entrando en la formulaci´on algor´ıtmica de la materia y, como ya es habitual, comenzando con sobre la formulaci´on del D8, ´esta se encuentra basada en el algoritmo que qued´o recogido con el nombre de FlujoAcumulado2, el cual, aplicado sobre un u ´nico punto, devolver´a el valor exacto del ´area de la cuenca vertiente a dicho punto, dejando adem´as en cada una de las celdas que la componen el ´area acumulada de las mismas — es decir, un valor distinto de cero que las identificar´a como celdas pertenecientes a la cuenca seg´ un lo se˜ nalado en (4.1)—. La metodolog´ıa b´asica es, por tanto, muy sencilla una vez que se han detallado en profundidad las formulaciones que conducen a la creaci´on de la malla de flujo acumulado, pues la relaci´on entre este par´ametro y el concepto de cuenca se ve inmediatamente que es muy elevada. De igual modo, la utilizaci´on de un modelo de direcciones de flujo de la familia del D8 como pueda ser el D∞ se lleva a cabo mediante la aplicaci´on del algoritmo correspondiente al mismo, en ese caso el que en su momento denominamos FlujoAcumulado3 y que dar´a lugar a un resultado similar al caso anterior. Este resultado, sin embargo, ser´a similar en cuanto a que se compondr´a de una serie de celdas con valores nulos y otras con valores no nulos, siendo en base a los mismos como se proceder´a posteriormente para la evaluaci´on de todos los par´ametros de la cuenca que resulten de inter´es, pero la consideraci´on de las celdas no debiera llevarse a cabo de un modo similar, al menos desde un punto de vista puramente te´orico. Analizaremos seguidamente este hecho y las razones por las que estas metodolog´ıas no arrojan resultados cuya interpretaci´on puede llevarse a cabo de modo por completo id´entico. El par´ametro del que se dispone una vez queda definida la cuenca es exclusivamente el ´ area de dicha cuenca, que no es otra que el ´area aportante en la celda que constituye el punto de cierre. Este par´ametro que, como resulta l´ogico pensar, podr´a ser calculado posteriormente a partir de la cuenca definida por numerosas formas distintas, resulta sin embargo conveniente emplearlo con el valor inicial, pues es as´ı, por diversas razones, como se obtiene una mayor precisi´on en el mismo. En el caso de emplear D8 en su formulaci´on original, este c´alculo del ´area puede realizarse tambi´en mediante el conteo de las celdas de la cuenca, pues el resultado, dadas las caracter´ısticas del algoritmo va a ser id´entico, ya que si una celda esta incluida en la cuenca ello implica que toda su ´area es aportante a la misma y por tanto debe incluirse como tal. Si se recurre, sin embargo, a un algoritmo de tipo MFD, van a existir celdas en el per´ımetro de la cuenca que, aunque marcadas como pertenecientes a la misma, s´olo van a aportar una fracci´ on de

148

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

su flujo, pudiendo desplazarse el resto hacia otras celdas que no forman parte de la cuenca. Este hecho, que queda perfectamente reflejado en la distribuci´on del flujo y tendr´a su efecto correspondiente sobre el flujo acumulado y, consecuentemente, sobre el ´area obtenida de la cuenca en el momento de su definici´on, no queda registrado en la malla que representa la cuenca, ya que no existe manera alguna de expresar que solo una fracci´on de la celda debe incorporarse dentro de la misma. Globalmente, por tanto, es l´ogico pensar que la forma de la cuenca va a ser m´as precisa con un algoritmo de direcciones de flujo m´ ultiples, pero localmente, sobre todo en en la periferia de la cuenca, la correlaci´on entre lo que realmente se ha calculado y lo recogido en la malla correspondiente a la definici´on de la cuenca puede no ser tan elevada. Esto, sin que deba ser tenido en cuenca como una imprecisi´on del m´etodo de grave importancia, debe considerarse para evitar inconsistencias — que siempre ser´an peque˜ nas, de cualquier modo —, entre el dato original de ´area y otros que puedan derivar del mismo. Un ejemplo de esto lo encontramos en la elaboraci´on de una curva hipsogr´afica mediante la reclasificaci´on de las celdas seg´ un su altura y la posterior extracci´on de porcentajes de est´as utilizando el ´area calculada en inicio. Llevando esto a cabo, es probable que el proceso no arroje un resultado completo (estos porcentajes no sumar´an un total de 100 %, pudiendo presentarse, seg´ un los casos, desviaciones notables), por lo que se debe ser consciente de las circunstancias que motivan tal hecho, de cara a su entendimiento.

Figura 4.1: Comparaci´on entre la cuenca delimitada mediante la aplicaci´on del m´etodo D8 (derecha) y el FD8 (izquierda) para un mismo punto de cierre.

Algunas consideraciones a este respecto, tratando las diferentes naturalezas de los datos manejados, as´ı como especialmente el empleo conjunto de representaciones raster y vectorial de las cuencas, se har´an en un apartado posterior centrado sobre esta materia. Lo expuesto con anterioridad puede observarse gr´aficamente en la figura (4.1). En ella, la imagen de la derecha muestra la cuenca calculada para un punto de salida, realizando el c´ alculo aplicando el m´etodo del D8, y en dicha imagen se observa como u ´nicamente existen dos ((tipos)) de celda — esto es, dos tipos de tonalidades —: aquellas que pertenecen a la cuenca y aportan a la misma todo el flujo generado en ellas, y aquellas otras que no lo son y no aportan en absoluto flujo. La imagen de la izquierda, sin embargo, posee un rango de variaci´on de tonalidades que se corresponden con la mayor o menor proporci´on de flujo que las celdas aportan a la cuenca vertiente, calculada para el mismo punto de salida pero en este caso empleando la formulaci´on del FD8. Las diferencias de forma de las cuencas no son notables, aunque es obvio que existen aspectos distintos en ambas, que se pueden apreciarse a simple vista.

´ DE CUENCAS A PARTIR DEL MDT 4.2. DEFINICION

149

En lo referente a la aplicaci´on de los m´etodos no basados en el D8, esto es, KRA y DEMON, estos presentan, como se ha dicho, una notable p´erdida de eficacia respecto a los hasta ahora analizados. La base conceptual de su empleo para la determinaci´on de una cuenca vertiente, es, no obstante, sencilla para el caso de KRA, aunque algo m´as compleja y menos adecuada de utilizar para el caso de DEMON. Para ambos m´etodos simplemente deben estudiarse los recorridos aguas abajo de cada celda y comprobar si dicho recorrido pasa por la celda que constituye el punto de salida. Para el caso del KRA, esto se lleva a cabo analizando los distintos recorridos directamente, mientras que en caso del modelo DEMON se deben analizar las mallas correspondientes a los flujos generados en cada una de las celdas y los valores en dichas mallas para la celda de cierre. La posibilidad de divisi´on de flujo entre varias celdas en el caso de emplear DEMON, da lugar a las mismas consideraciones que ya en su momento se hicieron para el caso de m´etodos de tipo MFD. No obstante, en el uso pr´actico y la implementaci´on de ´estos m´etodos en el software habitual, los algoritmos basados en D8 son notablemente m´as comunes que el resto de cara a la delimitaci´on de cuencas vertientes, siendo para esta tarea a´ un m´as predominantes que para las tratadas anteriormente como el c´alculo de ´areas vertientes, entre otras. La utilizaci´on de m´etodos recursivos tales como los que pueden ser empleados en conjunci´ on con las metodolog´ıas de la familia del D8 sirve para exponer en este punto la necesidad de realizar un llenado de depresiones, as´ı como las posibles deficiencias del metodo de asignaci´ on de direcciones de flujo basado en corregir las elevaciones en el momento de calcular una direcci´on de flujo de una celda de depresi´on, simulando el comportamieno natural del agua al llenar dicha depresi´on. La figura (4.2) muestra un corte transversal de un perfil de terreno en el cual se incluye una depresi´on de tama˜ no mayor de una celda. Veamos como, aplicando un algoritmo recursivo sobre la celda de cierre situada en la parte baja de la ladera, dicho algoritmo no ofrece los resultados oportunos si la depresi´ on no ha sido llenada con anterioridad.

Figura 4.2: Fuentes de error en la extracci´on de cuencas vertiente mediante algoritmos recursivo en zonas con depresiones.

En primer lugar, tratemos de conducir el flujo desde la parte superior de la ladera a la inferior. Con un algoritmo de asignaci´on de direcciones cualquiera, y sin haber realizado una eliminaci´on previa de depresiones, al flujo se detendr´a al llegar a dicha depresi´on — que abarca no solo a 3, sino tambi´en a 2 —. Modificando din´amicamente la misma, se conseguir´a, al cabo de una serie de pasos, llenarla y conducir el flujo a su exterior. El problema se soluciona, pues, en el descenso, pero veremos que no es as´ı cuando se invierte la direcci´on de proceso, tal y como sucede con cualquier algoritmo recursivo que trabaja ((hacia aguas arriba)). Comenzando la delimitaci´on de la cuenca, recordemos que cada celda toma la cuenca de

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CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

todas aquellas celdas inmediatas situadas aguas arriba de la misma y que vierten sobre ella. Cuando la depresi´on esta llena, la celda marcada como 2 aportar´ıa su flujo a la celda 1 y, por tanto, la cuenca de 1 contiene a la de 2. Sin embargo, cuando la depresi´on no esta completa, no existe problema alguno para asignar una direcci´on a 2 — al contrario que suced´ıa en el caso de 3 —, ya que vierte sobre 3 si se toma el MDT sin modificar, es decir, hacia el interior de la depresi´on. Por tanto, la modificaci´on de las celdas seg´ un se calculan direcciones de flujo no interviene en este proceso, pues no resulta necesario (err´oneamente, por supuesto), dando lugar a una cuenca de 1 incorrecta, y por tanto tambi´en a una cuenca err´onea para el punto de cierre aguas abajo. Este esquema muestra de forma sencilla una problem´atica m´as asociada a la existencia de depresiones de m´as de una celda de extensi´on, justificando una vez m´as la necesidad ya expuesta de eliminar tales elementos con anterioridad al trabajo con el MDT. Con independencia de las metodolog´ıas empleadas, es importante, por u ´ltimo, hacer hincapi´e en el concepto f´ısico de la cuenca, el cual no debe ser nunca olvidado, siendo necesario el comprobar que, efectivamente, los resultados de los algoritmos que se han presentado y van a presentarse a este respecto, se corresponden con la realidad y con la entidad conceptual que tales cuencas representan. Reivindicando una vez m´as la hidrolog´ıa en s´ı como realidad tangible del medio f´ısico, por encima de los conceptos matem´aticos y computacionales que no son sino herramientas en apoyo de la misma, debe hacerse ver que existe un amplio abanico de circunstancias las cuales no quedan contempladas en los casos anteriores y requieren un tratamiento distinto. Es mi opini´on que los modelos de tipo computacional, especialmente cuando implican algoritmos de cierta complejidad y potencia, son de mayor precisi´on y a la vez belleza que cualquier otra clase de modelo, pero al mismo tiempo esta potencia puede enmascarar otros aspectos tales como una cierta falta de flexibilidad en sus planteamientos de partida. Es tambi´en mi creencia que la matem´ atica computacional y el empleo de nuevas metodolog´ıas de corte inform´atico como las que pueblan estas p´aginas no han alcanzado a´ un dentro del colectivo hidrol´ogico las mismas cotas que la matem´atica mas cl´asica en cuanto a su comprensi´on conjunta de ambas ciencias y, especialmente, del significado f´ısico de la hidrolog´ıa. Por todo lo anterior, se debe tener siempre presente el concepto b´asico de los distintos elementos, para no aplicar ning´ una clase de formulaci´on, sea ´esta de un tipo u otro, a modo de receta. Para que comprenda el lector de una mejor forma lo que se quiere decir con lo anterior, t´engase en consideraci´on el concepto de cuenca como ´area que aporta el agua recogida en la misma a un punto de salida establecido. Ciertas circunstancias, tales como un estrato inclinado impermeable en las cercan´ıas del borde de la cuenca, pueden provocar que parte del flujo originado en lugares ajenos a la cuenca seg´ un lo calculado mediante el an´alisis del MDT, en realidad s´ı acabe alcanzando el punto de salida dado. La condici´on del MDT como definitorio exclusivamente de la superficie del terreno (definici´on, eso s´ı, muy precisa y de gran valor), impide que ´este MDT pueda, de modo aut´onomo, cubrir todas las posibilidades y ser por tanto un elemento completo de informaci´on, perspectiva esta que no debe perderse de vista. Expresado de otro modo, los resultados obtenidos mediante cualquiera de las t´ecnicas introducidas en este texto deber´an siempre corroborarse por la aplicaci´on de los conceptos de base y las sencillas t´ecnicas cl´asicas, amen de contrastarse siempre con la correspondiente e inevitable observaci´on sobre el terreno.

´ DE CUENCAS A PARTIR DEL MDT 4.2. DEFINICION

4.2.2.

151

Subdivisi´ on en subcuencas

Una de las grandes diferencias entre las posibilidades ofrecidas por los Modelos Digitales del Terreno frente la cartograf´ıa cl´ asica en lo que a la definici´on de cuencas vertientes se refiere, es la posibilidad de modificar la escala de trabajo en el tratamiento de estos elementos. La labor habitual de caracterizaci´on de una cuenca vertiente se complementa de modo sumamente interesante con una atomizaci´on de la misma y divisi´on a su vez en subunidades hidrol´ ogicas constituyentes, llevada a cabo con la resoluci´on y detalle deseados. Este planteamiento permite, junto con una mejor comprensi´on de la cuenca global, la articulaci´on de modelos m´as complejos en los que se alcance una mayor precisi´on a trav´es del estudio independiente de cada una de estas subcuencas y la aplicaci´ on posterior de modelos hidrol´ogicos habituales — ya sean agregados o distribuidos, aunque principalmente los primeros —, procediendo por u ´ltimo a la combinaci´on estructurada de los resultados obtenidos aisladamente en cada una de ellas. La definici´on de las subcuencas constituyentes cuyo conjunto interrelacionado compone la cuenca global objeto de estudio, se lleva a cabo en t´erminos operativos desde un planteamiento similar al ya expresado para la extracci´on de esta u ´ltima, utilizando los par´ametros del cap´ıtulo previo con especial inter´es en direcciones de flujo y ´areas acumuladas, e introduciendo de igual modo la matriz de cuencas definida en (4.1) Esta matriz, que fue definida entonces para contener una u ´nica cuenca vertiente, debe redefinirse ahora para aumentar la capacidad intr´ınseca de la misma y reflejar de alg´ un modo las distintas subunidades que quedar´an establecidas una vez los correspondientes algoritmos procedan a efectuar la divisi´on de la cuenca mayor. La modificaci´on a incorporar en la forma de la matriz pasa por la utilizaci´on de los valores de sus celdas de un modo algo m´as restringido, contemplando una divisi´on algo m´as elaborada que la simple igualdad o no a cero de dichos valores, pues no es ya un problema de dicotom´ıa el que pretendemos tratar, sino compuesto de un m´as elevado n´ umero de elementos, mayor cuanto mayor sea la resoluci´on empleada y por tanto la cantidad total de subcuencas con las que se trabaje. Bas´andonos en ´esto, una posible nueva expresi´on para la formulaci´on introducida en (4.1) es la siguiente:

fCU E : M × N −→ N

 fCU E (i, j)

= 0 si la celda no es una celda de la cuenca = n si la celda es una celda de la subcuenca n.

n ∈ N∗

(4.2)

Esta nueva expresi´on permitir´ a diferenciar de modo exacto cada una de las subcuencas, al quedar cada una de ellas formada por aquellas celdas para las cuales su valor coincide con el c´odigo asignado a dicha subcuenca, y siendo el resto de ellas ajenas a la misma. Esto da lugar a una caracterizaci´on binaria de la cuenca sobre la malla, del mismo modo que ocurr´ıa para el caso de la cuenca global seg´ un lo explicado en al apartado anterior. M´as expl´ıcitamente, buscamos llegar a una estructura similar a la malla mostrada a continuaci´on, representando ´esta una cuenca y sus subcuencas constituyentes, l´ogicamente con un n´ umero muy reducido de celdas por meras razones de espacio.

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

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0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 3 3 0 0

1 1 1 1 1 3 3 0

1 1 2 1 2 3 3 3

2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 2 2 3 3 0 0

0 0 2 0 0 0 0 0

Si se considera la cuenca global como un conjunto de celdas que cumplen la propiedad de pertenecer a la cuenca definida, realizar una subdivisi´on en subcuencas supone, por tanto, la realizaci´on de una partici´on sobre dicho conjunto. La introducci´on de los algoritmos que nos permitir´an extraer la malla anterior a partir del MDT es el siguiente paso a seguir en este desarrollo, previa explicaci´on de algunas ideas que deben tenerse en cuenta para llevar esto a cabo y formular dichos algoritmos. Como se ver´a, los conceptos a aplicar vuelven a ser los mismos, aplicados de un modo u otro, pero siempre guardando abundantes elementos en com´ un. En primer lugar, aun existiendo un punto de cierre de la cuenca global, que coincidir´a asimismo con el de la subcuenca situada m´as aguas abajo, deben considerarse los puntos de cierre de cada una de las subcuencas, siendo en funci´on de ´estos como quedar´an las mismas definidas. En una primera aproximaci´on, la definici´on individual de una subcuenca y la creaci´on de la malla asociada seg´ un lo expresado en (4.2) puede realizarse con una leve modificaci´on del algoritmo para el c´alculo de flujo acumulado que en su momento se emple´o en el caso de una u ´nica cuenca, tal y como el recogido seguidamente. En este caso se denota como C la matriz que recoge la pertenencia de cada celda a una u otra subcuenca. procedimiento DefinirSubcuenca (i,j,cod) // (i,j) debe ser el punto de cierre de cada subcuenca // cod es el c´ odigo de la subcuenca { si C(i,j)=0, entonces C(i,j)=cod { desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces { DefinirSubcuenca (i+n,j+m,cod) } } } } } si no { //no hacer nada

´ DE CUENCAS A PARTIR DEL MDT 4.2. DEFINICION

153

} } De este modo, no es ya el ´area vertiente a cada punto el resultado que queda en cada celda, sino la subcuenca vertiente dentro de la cual se incluye la misma, con lo que la malla resultante ya es similar a la introducida algunas l´ıneas atr´as. La incorporaci´on tambi´en de ese ´area como resultado de la funci´on — notese que ahora se trata de un procedimiento y no una funci´ on, esto es, no devuelve valor alguno — es sumamente sencilla, y no se ha recogido aqu´ı tan s´ olo por motivos de sencillez conceptual del algoritmo. Sobre la adici´on de esta funcionalidad y la utilizaci´on del valor de dicho ´area cabe plantearse las mismas cuestiones que ya en su momento fueron introducidas, y que no se reescribir´an aqu´ı, debiendo considerarse, no obstante, que el conocimiento exacto del ´area de la cuenca global implica un elemento extra de cara a la comprobaci´on de otros valores o el ajuste de posibles errores cometidos. En relaci´on con el uso del anterior, debemos notar que ´este, aplicado sin m´as a una serie de puntos de cierre, no resulta, sin embargo, suficiente cuando se deben considerar ´estos como un conjunto dentro de una cuenca dada y, sobre todo, la relaci´on existente entre las subcuencas definidas tal que el flujo que se genera en algunas de ellas pasa por el punto de cierre de otras, no debiendo pese a ello ser incluidas en las mismas. Se debe encontrar un orden adecuado para que la definici´on de unas subcuencas no afecte a la de las restantes, y a˜ nadir alguna consideraci´on complementaria al empleo del algoritmo antes presentado, con el fin de que ´este se ejecute en circunstancias adecuadas para una extracci´on correcta de las subcuencas buscadas. Sean dos cuencas A y B definidas respectivamente por los puntos de cierre a y b, tal que A vierte sobre B. Si se aplica el algoritmo anterior sobre b y despu´es sobre a, las cuencas que se obtendr´an ser´an respectivamente B + A y A, ya que en la primera ejecuci´on, al verter las celdas de A sobre b y no estar incluidas todav´ıa en ninguna cuenca — su valor en la malla es cero —, pasar´an a formar parte de la primera cuenca definida. El hecho anterior hace necesario conocer la disposici´on de los distintos puntos de cierre y la relaci´on existente entre ellos en cuanto a si el recorrido aguas abajo de cada uno de ellos pasa por alguno de los puntos restantes. Sobre la base de esta relaci´on, ya resulta posible crear un conjunto de subcuencas que represente una partici´on de la cuenca completa, disponiendo as´ı de unidades perfectamente definidas, las cuales pueden ser utilizadas en modelos hidrol´ ogicos que consideren la unidad global de trabajo dividida en otras unidades menores, esto es, en subcuencas para cada una de las que resulta posible calcular sus principales par´ametros hidrol´ogicos. La utilizaci´on de la relaci´on existente entre los puntos de cierre puede aplicarse una vez se han calculado las subcuencas en un orden cualquiera, mediante la sustraccion seg´ un corresponda de las subcuencas que vierten sobre una dada, repitiendo esto para cada una de las definidas. Resulta m´as sencillo, sin embargo, tener esta relaci´on en consideraci´on previamente a la definici´on de las subunidades hidrol´ogicas, simplemente procediendo a la ejecuci´ on del algoritmo correspondiente en el orden correcto, de tal modo que en la definici´on de una de dichas subunidades, todas las restantes que viertan sobre la misma ya hayan sido establecidas, quedando de este modo excluidas en virtud de la formulaci´on algoritmica utilizada. Con ello, un algoritmo posible es el que se incluye a continuaci´on para la creaci´on de un conjunto de subcuencas a partir de otro formado por puntos de cierre. Estos puntos de cierre se disponen en un vector de puntos denominado P. procedimiento Subdividir (P) // P es el vector de puntos de cierre {

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

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//n es el numero de puntos en P hasta que todos los puntos en P hayan sido utilizados { desde i=1 hasta 1=n { si no hay puntos sin analizar aguas arriba de P(n), entonces { DefinirSubcuenca(P(n).fila, P(n).columna, n) } si no { //pasar a otro punto de P } } } } Este algoritmo ya garantiza el buen funcionamiento del proceso en su conjunto, dando como resultado una malla que define perfectamente las distintas subcuencas extra´ıdas en base a los puntos utilizados, y que podr´an cada una de ellas ser analizadas independiente para la extracci´on de nuevos par´ametros asociados, mediante los algoritmos que en la correspondiente secci´on ser´an en breve estudiados. La caracterizaci´on de un punto como aguas arriba de otro dado se lleva a cabo sencillamente estudiando el recorrido del flujo desde el mismo y comprobando si en dicho recorrido pasa o no por la celda que constituye el otro punto dado. El desarrollo de un algoritmo a este respecto es una tarea sumamente sencilla que el lector puede acometer sin encontrar ninguna dificultad en ello.

4.2.3.

Selecci´ on de puntos de subdivisi´ on

Con lo recogido en el apartado precedente, la subdivisi´on en subcuencas ha quedado perfectamente definida desde el punto de vista de su formulaci´on y sus algoritmos asociados, disponiendo ya en este punto de una metodolog´ıa robusta cuya aplicaci´on ofrece con garant´ıas el resultado deseado. Dicha aplicaci´on, sin embargo, no es posible sin el concurso de los puntos de salida que definen cada una de las subcuenca definidas y, por el momento, nada se ha dicho acerca de las caracter´ısticas que ´estos deben cumplir para potenciar la utilidad de las subcuencas que queden definidas. Por una parte, se ha hablado del aumento de resoluci´on y precisi´on que supone la realizaci´on de esta subdivisi´on a partir de los datos previamente extra´ıdos del MDT, lo cual puede ser de utilidad para llevar a cabo la definici´on de subcuencas con un nivel de detalle previamente establecido. Por otro lado, el destino m´as relevante de la informaci´on extra´ıda de las subcuencas es su incorporaci´on de las mismas como unidades hidrol´ogicas en modelos complejos, siendo interesante el definir por tanto ´estas teniendo en cuenta el concepto que suponen para su uso futuro. Con estas consideraciones, el presente apartado pretende comentar algunos aspectos de inter´es de cara a realizar una elecci´on justificada de los puntos de cierre y, como consecuencia, de las subcuencas sobre ellos establecidas. Las alternativas a las cuales se prestar´a especial atenci´on son las siguientes. Definici´on de subcuencas con apoyo en la red de drenaje Definici´on de subcuencas con una ´area m´axima

´ DE CUENCAS A PARTIR DEL MDT 4.2. DEFINICION

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Subcuencas con apoyo en la red de drenaje Ya en el caso de la extracci´on de la cuenca vertiente principal mencion´abamos el hecho de que el punto de salida se situar´ıa con toda posibilidad sobre un cauce dadas las definiciones de ambos elementos. El conocimiento completo de la red de drenaje y los distintos cursos de agua e interesecciones de ellos que la componen, supone de igual modo una informaci´on valiosa de cara al establecimiento de puntos de cierre para las subcuencas a definir. El uso de la informaci´on recogida en la red de drenaje, al establecer un cierto v´ınculo entre la misma y la estructura de las unidades hidrol´ogicas extra´ıdas, aporta una coherencia en el sentido hidrogr´afico que, sin duda, resulta ventajosa para una aplicaci´on tambien coherente y correcta de los resultados que van a obtenerse dentro de futuros modelos hidrol´ogicos. La existencia del anterior v´ınculo establece, indirectamente, una relaci´on entre la definici´ on de las subcuencas y los valores empleados para el trazado de la red de drenaje, tales como umbrales de flujo acumulado y similares. Esta circunstancia hace que el conocimiento de las subcuencas definidas pueda, en cierta medida, tenerse en cuenta para un establecimiento correcto de todos los par´ametros que concurren en la aplicaci´on de las distintas metodolog´ıas implicadas. Sobre la forma de utilizar la red de drenaje disponible, tres son las posibilidades principales que se consideran de forma habitual, pudiendo, no obstante, definirse otras en funci´on de los propios conceptos sobre los que se trabaja y las necesidades particulares de un estudio dado. Dichas posibilidades se resum´en en: Localizaci´on de puntos de cierre sobre confluencias entre cauces cualesquiera. Esta alternativa considera a cada cauce, independientemente de su magnitud, como definitorio de una subcuenca vertiente, de tal modo que a lo largo de la misma s´olo es posible encontrar un cauce perteneciente a la red de drenaje utilizada. Muy frecuentemente este planteamiento da lugar a una atomizaci´on excesiva, as´ı como a cuencas vertientes de tama˜ no insuficiente, generadas por cauces de escasa longitud, sobre las cuales la extracci´ on de par´ametros asociados carece de sentido en una fase posterior. Localizaci´on de puntos de cierre sobre confluencias entre cauces y el cauce principal. Una primera alternativa para tomar en consideraci´on la importancia de los cauces de cara a construir sobre los mismos las subcuencas vertientes buscadas, es la utilizaci´ on de puntos u ´nicamente sobre el cauce principal. La definici´on de este cauce se lleva a cabo simplemente evaluando las longitudes de todos los que forman parte de la red de drenaje desde su punto de cabecera hasta la salida de la cuenca, y escogiendo el de mayor valor. El empleo de esta metodolog´ıa basada en un cauce central que act´ ua como eje recolector de los flujos de las subcuencas establecidas, adem´as de las ventajas en cuanto al n´ umero de ´estas resultante y la mayor l´ogica de dicho resultado, permite asimismo el eliminar las cuencas de reducido tama˜ no y cauces de poca entidad ya comentados, y que pueden aparecer igualmente siempre que cumplan la condici´on impuesta de verter sobre el cauce principal. El estudio de la variaci´on del flujo acumulado a lo largo de las distintas celdas que forman el cauce, en el orden que se establece entre ellas por las propias direcciones de flujo de las mismas, permite disponer de una nueva perspectiva de las subunidades existentes y su aportaci´on sobre el flujo total del cauce principal, siendo posible la localizaci´on sencilla — y por tanto, tambi´en sencilla de expresar en t´erminos de algoritmos — de cuencas de dimensi´on reducida, confluencias m´ ultiples, etc. Localizaci´on de puntos de cierre en funci´on del orden de los cauces. La soluci´on, sin duda, con un significado hidrol´ogico mas correcto y por tanto una mayor transcendencia de cara al uso posterior de los resultados arrojados por la misma, pasa

156

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES por la consideraci´on completa de la importancia de los cauces y su posici´on dentro de la bien definida jerarqu´ıa de la red de drenaje en su conjunto. En el momento de analizar la caracterizaci´on de las cuencas de drenaje ya se introdujeron un buen n´ umero de par´ametros que tanto individualmente como en conjunto pod´ıan recoger las caracter´ısticas principales de las cuencas. Bien para su uso aislado o bien para la determinaci´on de otros valores tales como los que permiten definir de modo adecuado la propia red de drenaje, estos par´ametros ya fueron presentados en el tema anterior y ahora pueden ser aplicados en la presente circunstancia fundamentando as´ı la elecci´on de los puntos de cierre seg´ un diversos planteamientos. Entre ellos, no obstante, los ordenes de Horton–Strahler se consolidan como la opci´on m´as interesante y sencilla de aplicar, eligi´endose los puntos en que este par´ametro cambia entre dos valores dados. Se tiene de este modo una especie de orden de las subcuencas, ya que todas ellas estar´an construidas a partir de cauces de un orden establecido, resultado conceptualmente de gran inter´es en comparaci´on con los anteriormente presentados.

Figura 4.3: Subcuencas establecidas sobre las confluencias con el cauce principal (izquierda) y sobre las confluencias entre cauces cualesquiera (derecha). En la fila inferior, esquema funcional de la cuenca en su conjunto.

N´otese que, una vez que se escogen las intersecciones de cauces que van a a emplearse para la definici´on de los puntos de salida, e independientemente del criterio empleado para ello, en cada intersecci´on deben definirse 2 puntos de cierre — suponiendo que confluyen 2 cauces —, situados estos en las celdas inmediatamente aguas arriba de la confluencia en la direcci´on de ambos cauces que se unen. De no ser as´ı y tomar un u ´nico punto en la propia uni´on, la estructura de subcuencas ser´ıa por completo distinta.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

157

Subcuencas con un umbral de ´ area m´ınima Si la divisi´on de las cuencas seg´ un la importancia de sus cauces asociados constituye una alternativa de inter´es, la definici´ on de las mismas en cuanto a su propia importancia, esto es, su propio tama˜ no, es otra opci´on a considerar en este sentido. De modo similar al caso de la definici´on de r´ıos, el establecimiento de un umbral permite proceder a la delineaci´ on de subcuencas seg´ un la resoluci´on fijada por dicho umbral, con similares connotaciones a lo entonces presentado. El algoritmo empleado para esta tarea (Band,1986), hace uso de un nuevo concepto, generando una malla en la que se recogen las diferencias de flujo acumulado. Es decir, para cada celda se eval´ ua el flujo acumulado en la misma y el de aquella celda sobre la que vierte (suponemos que esta celda es u ´nica, pues trabajamos con D8), introduci´endose la diferencia entre ambos valores en la celda correspondiente de la malla de diferencias. Las celdas para las cuales su valor de flujo acumulado y el valor recogido en esta nueva malla sean superiores ambos al umbral establecido, se marcan como celdas de cierre de una subcuenca, quedando as´ı constituido el conjunto de las mismas sobre el que ya es posible ejecutar los algoritmos presentados con anterioridad. El empleo de este planteamiento resulta adecuado en cuanto que evita la presencia de cuencas de peque˜ no tama˜ no y guarda un sentido hidrol´ogico notable. La forma de seleccionar los puntos en funci´on de los saltos del valor de flujo acumulado obliga, por otra parte, a que ´estos se sit´ uen en confluencias de varios cauces, con lo que dicha coherencia se corrobora nuevamente erigiendo a este m´etodo como una alternativa adecuada a la vez que popular, pues se encuentra implementada, frecuentemente con car´acter exclusivo, en la pr´actica totalidad de aplicaciones inform´aticas existentes.

4.3.

Caracterizaci´ on de cuencas vertientes

La ejecuci´on de los algoritmos y formulaciones hasta aqu´ı introducidas acerca de las cuencas — y subcuencas en que ´estas pueden dividirse — nos permiten tan solo la extracci´on de las mismas y su definici´on sobre una malla raster en las que hemos venido registr´andolas hasta este momento. La cualidad de estas unidades hidrol´ogicas como elementos de base de aqu´ı en adelante, requiere en este punto la introducci´on de metodolog´ıas adecuadas para en an´ alisis y el manejo adecuado de estas unidades, tanto de modo conjunto como individualmente, con objeto de permitir una correcta utilizaci´on de las mismas en un futuro. Este proceso necesita, en primer lugar, la definici´on de los m´etodos m´as ´optimos para trabajar con una informaci´on que, por el momento, almacenamos en una malla raster de cuencas, y que, dada la diferente naturaleza de los par´ametros que pretendemos derivar de esta informaci´on, deber´a ser replanteada a˜ nadiendo algunas nuevas formas de manejo y almacenamiento que faciliten el estudio de cuantas caracter´ısticas de inter´es deban analizarse respecto a las subcuencas definidas. En segundo lugar, la presentaci´on de los factores a extraer debe incluir los elementos cl´asicos al mismo tiempo que, como ya suced´ıa con las redes de drenaje, debe aprovechar las posibilidades brindadas por la propia potencia del MDT para incorporar nuevos valores que complementen a los anteriores, abriendo as´ı paso hacia un conocimiento m´as profundo de el conjunto de unidades hidrol´ogicas considerado. Este conjunto, cuando deba analizarse de modo global teniendo en cuenta las relaciones existentes, debe mostrar una estructura adecuada que posteriormente sera de vital importancia para la formulaci´on de los modelos hidrol´ogicos. La extracci´on tambi´en de las interrelaciones presente entre las distintas subunidades, ser´a objeto de an´alisis dentro de este apartado, a trav´es de los conceptos y formulaciones correspondientes. Comentar, por u ´ltimo, que dada la cantidad elevada de par´ametros descriptores de la

158

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

cuenca que pueden encontrarse en la literatura al respecto, se recogen en este cap´ıtulo s´olo aquellos que tengan inter´es desde el punto de vista computacional o supongan alguna ventaja o enfoque novedoso acorde con la perspectiva de la obra, dejando de lado otra serie de factores que, si bien pueden ser muy importantes, no encuentran su lugar en estas p´aginas por no aportarse nada nuevo mediante el tratamiento computacional de los mismos. De igual modo, los par´ametros que a su vez dependen de otros, y aun cuando estos u ´ltimos s´ı sean analizados, no se exponen aqu´ı pues tampoco complementan de modo alguno al enfoque principal del texto. Si el lector echa de menos algunos par´ametros — y probablemente lo har´a —, que no piense que ´estos no han sido considerados relevantes desde el punto de vista de la hidrolog´ıa, sino tan s´olo que la explicaci´on y an´alisis que de ellos puede aqu´ı hacerse no mejorar´a en ning´ un caso la que pueda encontrarse en cualquier texto de hidrolog´ıa cl´asico. En estos casos, no obstante, resulta de inter´es para el propio lector el tratar de plantear el uso y evaluaci´on de estos par´ametros desde la base computacional y sobre el MDT como fuente de datos b´asica, al menos de forma conceptual. M´as a´ un, algunos de estos par´ametros y su estudio quedan como motivadoras propuestas en el apartado de ejercicios de este mismo cap´ıtulo.

4.3.1.

Tratamiento raster–vectorial de cuencas

Antes de entrar en la descripci´on y m´etodos de c´alculo de los principales par´ametros extra´ıbles de las cuencas definidas en apartados anteriores, una mirada a la naturaleza misma de estos par´ametros nos va a proporcionar informaci´on importante de cara a la forma en que debemos manejar las antedichas cuencas en las evaluaci´on de tales par´ametros. Gran parte de los valores que resultan de inter´es para la caracterizac´ıon de las cuencas como elementos geom´etricos, precisamente por esa cualidad geom´etrica, se estudian en mejores condiciones si expresamos la forma y estructura de estas cuencas de un modo distinto. La adaptaci´on de lo recogido en la malla de cuencas a un lenguaje diferente y m´as adecuado para este bloque de operaciones de corte eminentemente geom´etrico, en particular a un lenguaje con componente vectorial basado en la topolog´ıa del conjunto de elementos, es, por tanto, una operaci´on que debe llevarse a cabo a tal efecto. Otros par´ametros, por su parte, se eval´ uan correctamente sobre la propia malla raster, debiendo pues coexistir ambos enfoques, y siendo mediante la utilizaci´on conjunta de los mismos como se lograr´a extraer una mayor cantidad de informaci´on acerca de las unidades hidrol´ogicas analizadas. Si bien la transformaci´on de un elemento vectorial en su equivalente raster se lleva a cabo con mejor complejidad — as´ı ya se vio en el caso de la rasterizaci´on de la informaci´on de cauces y redes de drenaje previa a las operaciones encaminadas a producir un encauzamiento forzado sobre el MDT —, la operaci´on inversa requiere de la introducci´on de algunos conceptos y algoritmos relacionados, todos ellos con algo mas de entidad propia que los anteriores. La materia inicial, por tanto, de este punto dedicado a la conciliaci´on de ambas perspectivas de almacenamiento de datos espaciales en lo referente a cuencas, se centra en la conversi´on de las cuencas a partir de la malla raster correspondiente, en entidades vectoriales, particularmente en pol´ıgonos definidos como conjuntos cerrados de v´ertices contiguos. La implicaci´on topol´ogica de lo que va a desarrollarse a continuaci´on hace interesante la introducci´on de una definici´on previa como la siguiente. Definici´ on 1 (Componente conectado) Se dice que un conjunto de puntos forma un Componente conectado si, para dos puntos cualesquiera Pi y Pj , existe una secuencia Pi . . . Pj que cumple las siguientes condiciones:

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

159

Todos los puntos de la secuencia Pi y Pj forman parte del objeto (en nuestro caso, son celdas en la cuenca vertiente analizada) Dos puntos consecutivos en la secuencia Pi y Pj son vecinos. El concepto de vecindad utilizado implica que un punto dado se encuentra en la vecindad de Moore de otro o, dicho de modo m´as prosaico, dentro de la ventana 3 × 3 asociada a este u ´ltimo, tal y como la venimos utilizando a lo largo de todo el texto. En otros t´erminos, lo que buscamos obtener es, por tanto, un componente conectado que represente la cuenca y en base al cual nos resulte posible derivar una estructura puramente vectorial de dicha cuenca. Este componente conectado supondr´a una primera aproximaci´ on a dicha representaci´on vectorial, en cuanto que u ´nicamente incluir´a las celdas del contorno de la cuenca, siendo mediante la uni´on de dichas celdas — tarea viable en virtud de la relaci´ on de vecindad exigida por definici´on —, y considerando a ´estas como v´ertices, como se lograr´ a en ultima instancia crear el pol´ıgono buscado de la cuenca. Una vez m´as, la literatura a este respecto es m´as abundante y extensa de lo que puede quedar recogido en este libro, proviniendo de campos diversos que poco o nada tiene que ver con la materia aqu´ı tratada, y de los cuales tomaremos los conceptos b´asicos, suficientes a todas luces para el alcance de nuestros objetivos. De cualquier modo, la filosof´ıa de la gran mayor´ıa de algoritmos existentes guarda amplias similitudes entre s´ı, pudiendo su esquema de actuaci´ on resumirse de modo gen´erico en los apartados a continuaci´on enumerados. Localizaci´on de un punto en el entorno de la cuenca, esto es, un punto perteneciente al componente conectado que se busca. A partir de ese punto, trazado del contorno desplaz´andose por los sucesivos puntos que van a formar el mismo. El movimiento entre puntos (celdas), se realiza de acuerdo a unas reglas prefijadas que constituyen el algoritmo en s´ı y en las que reside la principal diferencia entre los distintos enfoques existentes. Finalizaci´on del recorrido cuando se cumpla una condici´on de finalizaci´on previamente establecida. Sobre la base de lo anterior, introducimos un algoritmo conocido como algoritmo de Moore que, basado en un planteamiento sumamente sencillo, cumple perfectamente la labor designada salvando dificultades relativas a conjuntos de puntos con conectividades particulares, y con un correcto comportamiento en t´erminos de su eficacia y rendimiento asociados. Partiendo de la celda inicial, el algoritmo de Moore recorre la totalidad de la vecindad de Moore de un punto — que llamaremos punto activo — en el sentido de las agujas del reloj, hasta encontrar un nuevo punto que pertenezca al patr´on — en nuestro caso, otro punto de la cuenca indicado como tal en la matriz correspondiente —, convirti´endose ´este en el nuevo punto activo. Una vez hecho esto, se efect´ ua de nuevo el mismo an´alisis en el actual punto activo, comenzando el recorrido por la vecindad de este nuevo punto por el ultimo punto recorrido en el an´alisis de vecindad anterior previo a encontrar dicho punto activo. Este recorrido por las celdas del vecindario debe realizarse en un orden dado, siendo lo m´as habitual el hacerlo en el sentido de las agujas del reloj. Se procede de este modo hasta regresar al punto original, almacenando los puntos analizados como v´ertices del contorno a obtener. Existen circunstancias en las que el criterio de finalizaci´on del mero retorno a la celda inicial no resulta suficiente, debiendo recurrirse a otros criterios m´as depurados. No obstante, para los prop´ositos de introducci´on de este tipo de formulaciones que aqu´ı se pretenden, resulta suficiente con las consideraciones recogidas por el momento.

160

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

La expresi´on del anterior algoritmo, descrito de modo laxo en aras de una mejor comprensi´on de las l´ıneas generales del mismo, es la siguiente. Los puntos que conforman el conjunto de v´ertices que da forma al pol´ıgono de la cuenca quedan almacenados en el vector de puntos V. funci´ on ConvertirCuencaVectorial { celdaInicial=un punto cualquiera del exterior de la cuenca celdaActiva=celdaInicial Mientras no se cumpla criterio de finalizaci´ on { Si celdaVecindario no es celda de cuenca, entonces { celdaVecindario=siguiente celda en vecindario } si no { A~ nadir celdaActiva a V() Intercambiar valores de celdaActiva y celdaVecindario } } } Del modo anterior, cada una de las cuencas y subcuencas de trabajo consideradas como unidades independientes pueden ser convertidas en una entidad vectorial que, junto con la propia representaci´on raster, nos posibilitar´an su an´alisis en futuros apartados que en breve ser´an desarrollados. Quedando este aspecto, pues, resuelto con lo anterior, no debemos perder ahora de vista la consideraci´on de la cuenca como sistema constituido por las anteriores subcuencas y sus relaciones y dependencias mutuas. Esta visi´on, lejos de poder comprenderse con una naturaleza dual, debe reducirse a una estructura netamente vectorial, pues es s´olo mediante ella que ser´a posible utilizar esta pr´oximamente. El objetivo no ser´a ya la caracterizaci´on de dicha estructura, sino la utilizaci´on directa de la misma para articular los modelos hidrol´ogicos en los que las relaciones entre las distintas subcuencas son un aspecto imprescindible de los mismos. Al igual que en el caso de las redes de drenaje, la estructura que se busca es de tipo ´arbol cuyas aristas representan a cada una de las subcuencas con sus caracter´ısticas particulares. La creaci´on del mismo, para la cual u ´nicamente resulta necesario emplear los puntos de salida y la malla de subcuencas como informaci´ on base adem´as de la l´ogica malla de direcciones de flujo, se basa en conceptos sencillos sobre las relaciones entre dichos puntos de cierre, de modo similar a lo que ya se vio para la propia ordenaci´on de dichos puntos previa a la utilizaci´on de los mismos sobre el algoritmo de definici´on de subcuencas, as´ı como en la creaci´on de un grafo similar en el caso de las redes de drenaje. Las caracter´ısticas de los grafos creados resultan, por l´ogica, similares a las de los obtenidos para la red de drenaje asociada, especialmente si las cuencas fueron definidas utilizando esta u ´ltima como informaci´on de apoyo, por lo que se prestan a similares an´alisis desde todos los puntos de vista. No siendo, como se ha dicho, este an´alisis de relevancia, sino la propia conectividad entre las unidades hidrol´ogicas, as´ı como su estructura global, nuestra atenci´on debe centrarse exclusivamente sobre la informaci´on topol´ogica que ser´a la que resulte de utilidad en futuros modelos para conectar los resultados obtenidos de modo individual para cada subcuenca.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

4.3.2.

161

Par´ ametros b´ asicos

Con la cuenca y sus subcuencas constituyentes perfectamente definidas y almacenadas de todas las maneras posibles y necesarias, es el momento de tomar cada una de ellas de modo independiente y caracterizarla de modo preciso extrayendo una serie de par´ametros que nos permitir´an completar nuestro conocimiento de dichas entidades y disponer de cuanta informaci´on resulta necesaria sobre las mismas para acometer futuros desarrollos. Los primeros aspectos a tener en cuenta son, por su sencillez, los relacionados con la forma de la cuenca en su concepto m´as cl´asico, y se materializan en par´ametros como los enunciados a continuaci´on. ´ Area Per´ımetro Centro de gravedad Momentos de inercia Factores de forma Elementos cuyo c´alculo, con las circunstancias en que nos encontramos y en nuestro marco de trabajo, competen a aspectos b´asicos de geometr´ıa computacional y como tales aqu´ı ser´ an descritos. El conocimiento de la cuenca como un conjunto de v´ertices — esto es, como un pol´ıgono — hace interesante introducir expresiones matem´aticas de corte num´erico particulares para este caso, de tal modo que ´estas puedan implementarse con sencillez. En todos ellos, debemos tener en cuenta que, frente al manejo cl´asico de la cuenca de un modo principalmente gr´afico con cierto soporte num´erico (longitudes de ejes, etc.), el tratamiento puramente num´erico al que sometemos ahora a las unidades hidrol´ogicas nos abre un nuevo abanico de posibilidades y de par´ametros adicionales que es posible calcular con una elevada precisi´on. Por ello, adem´as de modificar la forma en que los anteriores elementos pueden ser calculados, este registro de la cuenca mediante nuestro vector de puntos los cuales definen el pol´ıgono de la misma, o mediante su registro en una malla de datos, hace que podamos considerar de modo novedoso par´ametros como los siguientes. Pendiente Orientaci´on Longitud de la cuenca Elipse equivalente Algunos de ´estos par´ametros ya formaban parte de los descriptores utilizados tradicionalmente, si bien en este caso sufren una fuerte modificaci´on, no ya en su m´etodolog´ıa de c´ alculo, sino, como se ver´a, en los propios conceptos que los sustentan. Todos los anteriores, con las explicaciones pertinentes acerca de su significado y modo de c´alculo, se recogen a continuaci´on de modo individual y suficientemente detallados.

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

162 ´ Area

Comenzamos la descripci´on de los m´etodos de c´alculo para los par´ametros b´asicos de cuenca con un recordatorio acerca de la utilizaci´on del ´area vertiente, par´ametro ´este que ya vimos puede ser calculado a partir de las representaciones tanto raster como vectorial de la cuenca considerada. Incidiendo una vez m´as en la necesidad de mantener una coherencia conceptual entre los diferentes valores extra´ıdos de las representaciones utilizadas, y un control sobre los errores que puedan ser introducidos por el uso conjunto de ambas, complementamos lo ya conocido con una expresi´on anal´ıtica del ´area de la cuenca en funci´on de los puntos (xi , yi ) de su contorno. Dicha expresi´on es de la forma n 1 X xi yi+1 − xi+1 yi (4.3) A= 2 i=1

donde se considera que el v´ertice n + 1 se corresponde con el primero, esto es, el pol´ıgono es cerrado. Per´ımetro Por su caracter de magnitud l´ıneal, cabe aplicar al per´ımetro de la cuenca todas las consideraciones que fueron apuntadas en relaci´ on con la naturaleza fractal de los cauces, estructuras tambi´en de tipo lineal. La variabilidad de los valores a obtener en la medici´on del perimetro seg´ un la escala empleada, hace necesario tener este hecho en cuenta a la hora de su utilizaci´on como parte de otras expresiones, o bien para su uso aislado en el seno de cualquier calculo que pueda realizarse. Frente a otros par´ametros como el ´area (con unidades [L2 ]) o los momentos de inercia 4 ([L ]), que por su dimensi´on son m´as invariables respecto a la escala utilizada, el per´ımetro experimenta, como se dijo, una mayor variaci´on en sus valores. La consideraci´on de este hecho, sin restar la importancia de este par´ametro, llevar´a, como podremos comprobar, al desarrollo de par´ametros de forma que no lo incorporen en su expresi´on, hecho que veremos particularmente reflejado en el concepto de elipse equivalente. En lo referente a su c´alculo, ´este resulta obvio utilizando la representaci´on vectorial de la cuenca, sin m´as que expresarlo como la suma de distancias entre los diferentes pares de puntos consecutivos que definen a ´esta. M´as expresamente, P =

n p X (xi+1 + xi )2 + (yi+1 + yi )2

(4.4)

i=1

Centro de gravedad Haciendo uso del ´area de la cuenca ya conocida, las coordenadas del centro de gravedad de la misma pueden evaluarse mediante la expresi´ones n

Cx = Cy =

1 X (xi xi+1 )(xi yi+1 − xi+1 yi ) 6A 1 6A

i=1 n X

(yi yi+1 )(xi yi+1 − xi+1 yi )

(4.5)

i=1

M´as all´a de su significado geom´etrico este factor resulta interesante como parte necesaria para el c´alculo de otros elementos hidrol´ogicos, por lo que su conocimiento exacto a la par que

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

163

preciso puede considerarse tambi´en como una interesante ventaja asociada a la caracterizaci´ on num´erica de la cuenca que venimos utilizando. Cuando la cuenca tiene un aspecto bastante irregular, puede ocurrir que el centro de gravedad se sit´ ue fuera de la misma. Es frecuente en estos casos, seg´ un el uso principal que se va dar al par´ametro, calcular el centro de gravedad como el correspondiente al rect´angulo que engloba a la cuenca, o el de la elipse en la que ´esta se inscribe, con objeto de que el punto as´ı calculado caiga en el interior. En tal caso, la formulaci´on anterior se sustituye por una m´ as sencilla e inmediata de implementar, debiendo, no obstante, implementarse a su vez la pertinente comprobaci´on en caso de que se desee contemplar de modo diferenciado ambos supuestos. Momentos de inercia Los par´ametros de caracterizaci´on de cuenca cl´asicos no incluyen los momentos de inercia como tales dentro de los mismos, ni como valores aislados ni tampoco como factores a incorporarse en otros distintos descriptores. No obstante, veremos en breve que lo que definiremos como elipse equivalente , y que va a constituir un par´ametro de sumo inter´es para la caracterizaci´on de la cuenca vertiente, depende directamente para su c´alculo del conocimiento de los momentos de inercia, en particular de los evaluados respecto a unos ejes centrados sobre el centro de gravedad de dicha cuenca. Por otra parte, el c´alculo computacional de los momentos de inercia complementa de forma interesante a las expresiones ya mostradas para ´areas y centro de gravedad, cerrando el conjunto de las propiedades de masa que pueden atribuirse al dise˜ no en planta de la cuenca. En su expresi´on matem´atica, los valores que buscamos responden a las formulaciones Z Z Z Z Z Z Ix0 = y 02 dxdy Iy0 = x02 dxdy Ix0 y0 = y 0 x0 dxdy (4.6) Partiendo del conocimiento de los v´ertices, lo anterior se puede expresar de la forma ****************** Par´ ametros de forma A excepci´on de la elipse equivalente, cuya construcci´on y significado se analizar´an de modo detallado con posterioridad, los par´ametros y atributos de forma que se pueden asociar a una cuenca dada son todos ellos de corte cl´asico, basados en sencillas formulaciones a partir de factores tambi´en sencillos. Estos factores, tales como ´areas o per´ımetros, cuyo c´alculo ya ha sido tratado en las condiciones de trabajo actuales y a partir de las formas existentes para la representaci´on de las cuencas, pasan a formar parte de las expresiones de dichos par´ametros de forma, no existiendo dificultad alguna ni debiendo realizarse ning´ un tipo de adaptaci´ on sobre su forma cl´asica. Entre estos par´ametros est´an los sobradamente conocidos por todos como rect´angulo equivalente, ´ındice de compacidad de Gravelius, elongaci´on media de la cuenca, etc., cuyas formulaciones no se recogen aqu´ı por considerarse irrelevantes a efectos del desarrollo global del texto. Respecto a estos par´ametros, es adecuado comentar que resulta conveniente dar uso a los mismos en la justa medida que ´estos merecen, especialmente considerando la muchas veces ausente relaci´on de sus valores con otros factores hidrol´ogicos y las nuevas prestaciones que pueden obtenerse del MDT a trav´es de otros valores m´as actuales. El empleo de estos par´ametros de forma generalmente se asocia u ´nicamente a un af´an de descripci´on de la cuenca — tambi´en importante, no cabe duda — y a algunas formulaciones estad´ısticas que, por medio de regresiones, asocian valores de caudales punta o factores similares a los valores de dichos

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

164

par´ametros. Estas u ´ltimas, por otra parte, siendo habituales en unas zonas geogr´aficas, no lo son tanto en otras, con lo que su relativa utilidad se diluye con dicha circunstancia. Como iremos comprobando a medida que avance el cap´ıtulo, la mayor cantidad de informaci´on de la que ahora disponemos acerca de la cuenca gracias al empleo del MDT, hace conveniente el buscar par´ametros m´as complejos que los cl´asicos, aprovechando en mayor medida dicha informaci´on y generando elementos de tipo num´erico o gr´afico con una riqueza conceptual mayor y una relaci´on m´as intensa y justificada frente a los aspectos hidrol´ogicos de la propia cuenca. Pendiente La pendiente representa el primer factor caracterizador de la cuenca al que el uso de cartograf´ıa digital va a modificar notablemente. Detr´as de la simpleza asociada a este concepto, el trabajo con mapas cl´asicos para la obtenci´on de este par´ametro relativo a una cuenca no era tarea sencilla, al menos en lo que a su c´alculo directo se refiere, por lo que generalmente se hac´ıa uso de otra serie de formulaciones que, provenientes de desarrollos te´oricos previos, permit´ıan su c´omputo a partir de otros de valores cuya medici´on sobre el mapa resultaba m´as asequible. Una de dichas formulaciones utilizada con frecuencia es la recogida en la expresi´on S=

L ∆H

(4.7)

donde ∆H es la diferencia de alturas entre el punto mas elevado de la cuenca y el punto de salida, y L es la separaci´on hidrol´ogica entre ambos puntos, es decir, la longitud de la cuenca, par´ametro que se analizar´a m´as adelante con mayor detalle. En realidad, se puede ver que la pendiente de la cuenca se considera como la pendiente del trayecto hidrol´ogico mas largo posible dentro de la misma, con lo cual muchos aspectos relacionados con la pendiente a escala global de la cuenca no quedan reflejados con la suficiente correcci´on. El conocimiento, con mayor o menor resoluci´on — aunque siempre en un orden de magnitud superior al que pod´ıa disponerse en el trabajo con un mapa cl´asico — del terreno sobre el que se sit´ ua la cuenca, permite prescindir de formulaciones accesorias y simplemente calcular la pendiente media de la cuenca realizando una media de las pendientes en cada una de las celdas de la misma. De este modo, la precisi´on de lo calculado, aunque ligada a la resoluci´on y calidad del MDT empleado, ser´a mayor y, sobre todo, se referir´a a un par´ametro con un significado f´ısico m´as genuino al no derivar de expresiones otras que las propias de c´alculo de la pendiente en cada celda. As´ı, la expresi´on habitual de lo que, sobre la base del MDT, se entiende de forma habitual como pendiente de la cuenca, no es sino PN γcue =

n=1 γn

N

(4.8)

siendo N el numero de celdas de la cuenca. Orientaci´ on En un caso muy similar al anterior, tambi´en el empleo de meros conceptos estad´ısticos nos aporta un m´etodo sencillo y muy superior para asignar al conjunto de la cuenca una orientaci´on dada.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

165

Debe hacerse notar a este respecto, tan s´olo que dichos conceptos estad´ısticos deben tomar en consideraci´on la forma en que dicha orientaci´on qued´o recogida en los algoritmos pertinentes, con valores en el rango 0—360 y utilizando un valor arbitrario (comunmente −1), para indicar la falta de orientaci´on. Tambi´en es de inter´es hacer ver que, en muchas ocasiones, resulta interesante no calcular tan s´olo una media aritm´etica de los valores en las distintas celdas, sino evaluar la moda de los mismos con el fin de conocer la orientaci´on general de la cuenca por sus valores m´as frecuentes, adem´as de establecer comparaciones e interpretaciones adicionales con dichos resultados. Por lo dem´as, las nociones expresadas para el caso de la pendiente pueden adaptarse sin mayor problema a este par´ametro. Longitud de la cuenca La longitud como par´ametro propio de la cuenca se relaciona con la m´axima distancia existente entre puntos de dicha cuenca, en particular entre el punto de cierre de la misma y el hidrol´ogicamente m´as alejado, alejamiento ´este que debe medirse tanto en l´ınea recta como teniendo en cuenta los recorridos de los flujos desde cada celda, perfectamente definidos por las direcciones de flujo en las mismas. Esta distancia de flujo desde una celda hasta la salida de la cuenca, adem´as de por su propio significado, constituye un elemento muy importante de cara a su incorporaci´on en modelos hidrol´ogicos, en especial a trav´es del c´alculo de los tiempos de salida asociados a las distintas celdas. La necesidad de su conocimiento para la evaluaci´on de factores tan importantes como el tiempo de concentraci´on de la cuenca, ponen de manifiesto, igualmente, la relevancia de un c´alculo preciso de este valor. Por todo ello, su explicaci´on detallada es merecedora de un apartado individual que ser´ a introducido m´as adelante en este mismo cap´ıtulo, no aport´andose m´as detalles en el presente punto. Algo sobre la naturaleza fractal de las cuencas Si bien no con tanta intensidad como en el caso de las redes de drenaje, las cuales por su propia naturaleza se prestan m´as a este an´alisis, la propiedades de tipo fractal de las cuencas, su dimensi´on fractal y otros aspectos relacionados, han sido estudiados igualmente con o sin el apoyo de Modelos Digitales del Terreno. El estudio de estas propiedades, si bien, de un modo similar a como suced´ıa con las redes de drenaje, no ha dado lugar a interpretaciones explicitamente hidrol´ogicas de las mismas ni definiciones de aplicabilidad notable acerca de la relaci´on entre las mismas y el comportamiento de la cuenca, ha abierto nuevos caminos que s´ı han conducido al desarrollo de otros descriptores de inter´es y de utilidad pr´actica notable. El objetivo principal en la creaci´on de par´ametros de descripci´on de cuencas no es otro que el disponer de una serie valores asociados a la cuenca — en particular, a su forma — , que permitan clasificar la misma de acuerdo con las propiedades que se estime que est´ an asociadas a dicha forma y, por tanto, a los valores de los par´ametros utilizados. Los par´ametros tradicionales de amplio uso y bien conocidos en el entorno hidrol´ogico se basan generalmente en relaciones entre las magnitudes b´asicas tales como ´area o per´ımetro de la cuenca. Entre los anteriores se encuentran el ´ındice de compacidad de Gravelius, el rect´angulo equivalente y una larga serie de elementos similares presentes con frecuencia en estudios hidrol´ogicos de todo tipo, y que ya fueron brevemente mencionados algunas l´ıneas atr´as. Del an´alisis de los factores b´asicos a partir de los cuales se definen estos par´ametros de forma m´as elaborados, sabemos ya que ´estos dependen de la resoluci´on del MDT de partida, pues as´ı se vio que suced´ıa para el caso de las magnitudes asociadas a cauces y redes de drenaje,

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

166

siendo algunas de ellas muy similares conceptualmente. En particular, las magnitudes de tipo l´ıneal como el per´ımetro de la cuenca var´ıan ciertamente con la resoluci´on elegida, por lo que es recomendable su utilizaci´on en conjunto con la informaci´on relativa a dicha resoluci´on, de cara a conocer con veracidad la exactitud de los resultados obtenidos posteriormente. Por tanto, resulta de inter´es el definir par´ametros independientes de la escala considerada, los cuales, a la par que permiten su c´alculo de modo robusto a partir de un MDT con independencia de sus caracter´ısticas, definan la cuenca y su forma geom´etrica desde un punto de vista interesante para el an´alisis hidrol´ogico de la misma. Elipse equivalente Partiendo de las anteriores premisas, una de las propuestas m´as interesantes para la descripci´on de cuencas vertientes es la realizada por Moussa (2003), desarrollando un par´ametro de similar concepci´on que algunos de los cl´asicos ya existentes, pero dotado de esa invariabilidad que lo va a hacer sumamente interesante, especialmente con las interpretaciones hidrol´ogicas que de ´el pueden derivarse. Este concepto es lo que denominaremos elipse equivalente. Entrando en la propia caracterizaci´on del par´ametro, las propiedades que debe cumplir la elipse equivalente asociada a una cuenca concreta se resumen en las siguientes. El centro de la elipse es el centro de gravedad de la cuenca. Los ejes principales de la cuenca son los ejes principales de inercia de la cuenca. El ´area de la elipse es la misma que la de la cuenca. La relaci´on entre los momentos de inercia m´ınimo y m´aximo, es la misma en la elipse y en la cuenca. Bajo las condiciones anteriores, la construcci´on de esta elipse se lleva a cabo seg´ un lo siguiente. Los desarrollos te´oricos que dan lugar a estos resultados se obvian por razones de espacio, pudiendo consultarse en cualquier texto al uso sobre este tema. Por una parte, tomando unos ejes cartesianos x0 e y 0 con centro en el centro de gravedad de la superficie de la cuenca, se tienen los momentos de inercia ya introducidos en la ecuaci´on (4.6). Los momentos de inercia m´aximo y minimo se obtienen sobre unos ejes centrados tambi´en sobre el centro de gravedad, pero girados un ´angulo ω en sentido horario. El valor de este angulo viene dado por la expresi´on ´ tan 2ω =

Ix0 y0 Ix0 − Iy0

(4.9)

Dichos momentos de inercia extremos toman los valores

"

Imax

Ix0 + Iy0 = + 2

"

Imin

Ix0 − Iy0 = + 2

Ix0 + Iy0 2 Ix0 + Iy0 2

2

#1 2

+ Ix20 y0

(4.10) #1

2

2

+

Ix20 y0

(4.11)

Por otra parte, los valores anteriores para una elipse se obtienen de las expresiones mostradas a continuaci´on.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

167

πa3 b πab3 ; Imin = (4.12) 4 4 Con el conjunto de estos resultados resulta ya posible el c´alculo de los par´ametros que definen la elipse equivalente, sin m´as que imponer sobre las expresiones anteriores las condiciones que debe cumplir dicha elipse. En particular, realizando esta imposici´on y operando sobre las expresiones obtenidas, se obtienen para los valores de los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente los valores Imax =

"

A a= π



1 Ri

1 # 2

1 2



;

 A 1 1 b= Ri 2 2 π

(4.13)

donde A es el ´area de la elipse — que, recu´erdese, debe ser igual a la de la cuenca —, y Ri la relaci´on entre los momentos de inercia extremos — que tambi´en deben coincidir en ambos elementos —. Con estos valores de longitud de los semiejes, junto con el emplazamiento del centro de gravedad y el ´angulo ω, la elipse queda completamente definida. Asi, una vez que para una cuenca dada se dispone de su elipse equivalente, debemos buscar en las propiedades de ´esta las caracter´ısticas que nos aporten alg´ un tipo de informaci´on acerca de la cuenca desde el punto de vista de su comportamiento hidrol´ogico. En primer lugar, y considerando la misma como una entidad aislada, sus caracter´ısticas principales — que no son otras que las que hemos estudiado anteriormente para su propia definici´on —, sirven como descriptores de la forma de ´esta y, por tanto, de la de la cuenca asociada. La medida de la elongaci´on de la cuenca, de inmediata relaci´on con el tiempo de respuesta de la misma, se mide con un par´ametro de la forma E =a+b

(4.14)

Por otro lado, si situamos espacialmente tanto la cuenca como la elipse — recordemos que deben coincidir sus centros de gravedad, pues ´esta es una de las condiciones iniciales —, la relaci´on existente entre ambos elementos puede ser fuente de nueva informaci´on. De modo particular, Moussa propone estudiar la l´ınea que une el centro de gravedad con el punto de salida de la cuenca y, sobre ´esta, la distancia entre dicho punto de salida y la intersecci´on entre la elipse y la citada l´ınea. Esta distancia entre el borde de la elipse y el punto de salida, que ser´a positiva si ´este se encuentra dentro de la elipse equivalente o negativa en caso contrario, lleva a la definici´on de un par´ametro de elongaci´on m´as robusto de la forma E =a+b+d

(4.15)

donde d representa la antedicha distancia. La utilidad pr´actica de ambos par´ametros de elongaci´on ser´a puesta de manifiesto en posteriores cap´ıtulos, pues se va a demostrar como par´ametro geomorfol´ogico de cierta relevancia para determinados aspectos ya dentro de la propia modelizaci´on hidrol´ogica. Aunque no forma parte de la interpretaci´on dada por Moussa al concepto de elipse equivalente, me parece interesante complementar esta exposici´on con un aspecto relativo a la orientaci´on de dicha elipse. Esta orientaci´on, que puede por ejemplo caracterizarse como el ´angulo azimutal del eje mayor, es bien distinta a la orientaci´on de la cuenca que tratamos algunas p´aginas atras, pues aqu´ella se refer´ıa a la estructura espacial de la cuenca, mientras que ´esta la considera u ´nicamente como una entidad plana y estudia su disposici´on sobre el plano. No obstante, la orientaci´on de la elipse equivalente se corresponder´a en muchas ocasiones (dependiendo de otros aspectos relativos a la propia forma de la cuenca tambi´en cuantificables

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

168

Figura 4.4: Cuenca vertiente y su elipse equivalente asociada (Adaptado de Moussa, 2003). mediante descriptores cl´asicos) con la de los cauces principales de la cuenca, y representar´a, asimismo, una indicaci´on de la direcci´on principal de los accidentes geomorfol´ogicos que definen el terreno de la cuenca. Esta cualidad de poseer una configuraci´on espacial, en contraste con otros par´ametros como el de rect´angulo equivalente — donde dicho rect´angulo no tiene una presencia f´ısica ni una localizaci´on concreta —, abre quiz´as la posibilidad a nuevos an´alisis que tengan tambi´en en cuenta este hecho. Aunque muchos otros par´ametros y medidas podr´ıan derivarse del an´alisis exhaustivo de la elipse equivalente, los hasta ahora presentados representan los de mayor inter´es y los que verdaderamente guardan una utilidad practica digna de menci´on. M´as adelante, entrados ya de lleno en los modelos hidrol´ogicos, volveremos brevemente sobre el concepto de elipse equivalente para hacer un uso avanzado de la informaci´on que ´esta nos proporciona. La funci´ on ancho de cuenca En el intento de definir un par´ametro que caracterice el comportamiento hidrol´ogico de la cuenca, la funci´on ancho de cuenca (Bras, 1990) no sol´o toma en cuenta las caracter´ısticas de dicha cuenca, sino que se apoya adem´as en las de la red de drenaje que recorre la misma. Al contrario que los valores que venimos analizando, el ancho de cuenca tiene una naturaleza distinta, no definiendo un valor concreto para la cuenca sino una funci´on como tal, con una expresi´on de la forma fAN CHO : R −→ N fAN CHO (x) = n´ umero de tramos de cauce a la distancia x

(4.16)

donde x es una distancia medida desde el punto de salida. Esta distancia puede ser tanto o una distancia sobre el cauce como una distancia en linea recta, o bien lo que en su momento se defini´o como distancia topol´ogica medida como el numero de tramos diferentes entre dos puntos dados. Para todos ellos es f´acil notar que el empleo de la interpretaci´on en forma de grafo de la red de drenaje es mas ventajosa que el trabajo sobre su equivalente raster. La caracterizaci´on de la cuenca mediante la funci´on ancho no se lleva a cabo con un valor u ´nico del par´ametro, sino con el trazado de la funci´on para los valores de distancia entre 0 y la longitud de la cuenca — en caso de que se emplee como distancia la distancia hidrol´ogica —. De modo gr´afico, y utilizando la distancia topol´ogica de la red de drenaje, la figura (4.5), muestra el resultado de aplicar lo anterior sobre la red de drenaje de una cuenca dada.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

169

Figura 4.5: Funci´on ancho de cuenca a partir de distancias topol´ogicas (Adaptado de Bras,1990) El aspecto de la funci´on, similar en cierto modo a un hidrograma de avenida, nos da una primera aproximaci´on a la forma que ´este puede tener para una tormenta dada sobre la cuenca, caracterizando as´ı mediante el aspecto de la curva trazada el comportamiento hidrol´ ogico de la cuenca a grandes rasgos. Como veremos cuando en breve estudiemos las distancias y tiempos de salida — de los cuales esta funci´on ancho de cuenca puede considerarse como una sencilla introducci´on —, el concepto es similar en ambos casos, convirtiendo a este conjunto de par´ametros en elementos de sencillo c´alculo que nos permiten de un modo r´apido y sencillo la clasificaci´on de las cuencas de acuerdo con los patrones que muestren para la representaci´ on de los mismos. Tanto las distancias de salida como la propia funci´on ancho tienen inter´es de cara a la evaluaci´on de los hidrogramas unitarios, que ser´an analizados en su momento en pr´oximos temas. La obtenci´on de los valores que definen la funci´on ancho de cuenca es sencilla tanto a partir de la representaci´on raster de la cuenca como, particularmenre, a partir de la codificaci´ on en forma de grafo de la red de drenaje siempre que ´esta contenga asimismo datos sobre distancias y longitudes de las aristas. Otros par´ ametros Con lo visto hasta este punto, el desarrollo e introducci´on de otros par´ametros adicionales no es ya necesario, pues disponemos de una buena caracterizaci´on de la cuenca desde diversos puntos de vista. No obstante, el provecho que hemos extra´ıdo de la naturaleza raster de la informaci´on original, es decir, de la potencia intr´ınseca de las representaciones cartogr´aficas que constituyen el n´ ucleo de este libro, puede ampliarse sin m´as que considerar la propia naturaleza de estas representaciones. En algunos de los par´ametros anteriores, la mejora aportada por el uso de MDTs y mallas raster para el c´alculo de valores tales como la pendiente o la orientaci´on de la cuenca, simplemente se ha basado en una mejora de la resoluci´on que permit´ıa la caracterizaci´on global de la cuenca a partir del estudio de los valores de este par´ametro en las distintas celdas, sus frecuencias, valores medios, etc. Esta forma de sacar partido al formato cartogr´afico que empleamos puede, sin embargo, extenderse a cualquier otro par´ametro, independientemente de si ´este puede tener de modo aislado entidad suficiente como par´ametro descriptor propio de la cuenca. De otro modo, cualquiera de las mallas de datos con las que hemos trabajado hasta este momento, estudiada en las celdas de la cuenca, va a arrojar alg´ un tipo de informaci´ on sobre dicha cuenca, cuya interpretaci´on puede ser altamente descriptiva de la misma. El mismo MDT, con su informaci´on de altura, nos da un claro ejemplo de lo anterior. Estudiando la altura media de la cuenca y sus valores de desviaci´on t´ıpica, por ejemplo, obtendremos un descriptor interesante de lo escarpado que es el terreno de la cuenca. Una curva hipsogr´afica, par´ametro cl´asico de primera l´ınea para la caracterizaci´on de una cuenca

170

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

vertiente, no es sino una curva de frecuencias acumuladas, y ´esta puede obtenerse de modo casi inmediato con los datos del MDT mediante un algoritmo pr´acticamente obvio. Aplicando estas ideas a otras mallas (direcciones de flujo, ´ındice topogr´afico, ´area acumulada. . . ), podemos tener ante nosotros un n´ umero muy extenso de enfoques que van a dar buena cuenta de las caracter´ısticas de la cuenca y todas sus distintas cualidades. Cl´asicamente, por ejemplo, se consideraba poco representativo el dato de pendiente media de la cuenca estimado mediante, la pendiente del cauce principal, por lo que se empleaban conjuntamente otros descriptores de la pendiente tales como una curva de frecuencia de la misma dentro de la cuenca, calculada a partir de las mediciones en una serie de puntos arbitrarios de la misma. Las posibilidades que abre el empleo de un MDT, permitiendo tomar no una serie de puntos, sino la totalidad de ellos para realizar el antedicho an´alisis de frecuencia, suponen una gran ventaja en la evaluaci´on de par´ametros cl´asicos, as´ı como en el desarrollo de nuevos factores de similar interpretaci´on pero con caracter´ısticas m´as ventajosas desde muchos puntos de vista. Es interesante que el lector trabaje sobre este tema buscando los significados de las magnitudes que seg´ un lo anterior puedan derivarse de las mallas definidas en el texto — o incluso de algunas nuevas mallas derivadas de las anteriores —, pues ´este ser´a un ejercicio que ayudar´a notablemente a la comprensi´on de la filosof´ıa que reside en el an´alisis computacional de los datos que vamos progresivamente obteniendo, y que se plasmar´a de modo definitivo y muy tangible sobre los modelos hidrol´ogicos a exponer en pr´oximos cap´ıtulos.

4.3.3.

Distancias y tiempos de salida para las distintas celdas de la cuenca

Como ya se introdujo brevemente algunas p´aginas atr´as, el estudio de las distancias recorridas por cada punto en su recorrido a trav´es de la cuenca guarda notable importancia para diversos aspectos hidrol´ogicos que merecen una cierta atenci´on preferente dentro de este texto. El estudio de dichas distancias, no s´olo para celdas concretas, sino tambi´en como valores medios de las mismas o sus distribuciones relativas, suponen una informaci´on de primer orden asociada a la morfolog´ıa de la cuenca y, m´as interesante a´ un, al comportamiento hidrol´ogico de ´esta derivado de dicha morfolog´ıa. A esto debe sumarse el hecho de que la adici´on posterior de formulaciones complementarias con un componente fuertemente hidr´aulico y el concurso otra serie de datos permiten convertir los valores referentes a distancias de salida en tiempos de recorrido, abriendo as´ı una nueva perspectiva sobre la respuesta hidrol´ogica tanto global como local de la cuenca. La informaci´on de la que disponemos acerca de la superficie de la cuenca, aprovechando la caracterizaci´on tridimensional de la misma y el detalle de ´esta, permite precisar con suficiente resoluci´on los distintos aspectos que definen esa relaci´on entre la forma y comportamiento de la unidad hidrogr´afica considerada, profundiz´andose as´ı en el conocimiento de los procesos hidrol´ogicos que sobre ella tienen lugar desde un nuevo punto de vista. Mientras que los par´ametros presentados hasta el momento tienen en consideraci´on la cuenca como una estructura plana — as´ı es el pol´ıgono que define a dicha cuenca seg´ un lo definimos — o bien utilizan la altura con c´aracter puntual, la cuenca es una estructura espacial cuyas cualidades desde el punto de vista hidrol´ogico est´an igualmente influidas por las tres dimensiones de la misma. El estudio de todas ellas de modo conjunto, haciendo posible esa importante visi´on adicional de la cuenca, se ve materializado en el an´alisis del par´ametro que se desarrolla en este punto. La ejecuci´on de este an´alisis, para el que es necesaria la completa informaci´on altitudinal de los puntos que componen la cuenca, nos obliga a regresar a la definici´on original de la misma en formato raster, siendo as´ı como se ponen de manifiesto las ventajas de cada formato de almacenamiento que para la caracterizaci´on f´ısica de dicha cuenca en su momento elegimos. Podemos decir, de modo resumido, que el estudio de distancias en el seno de la cuenca es

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

171

tambi´en un par´ametro de forma de la misma, aunque, sin ninguna duda, reflejo de un an´ alisis m´as profundo e intenso y con derivaciones notables sobre diversos aspectos hidrol´ogicos que paulatinamente iremos presentando. En este apartado, todos los anteriores aspectos ser´an estudiados desde el punto de vista conceptual, pues su relativa novedad — o al menos la novedad en las capacidades que de su actual resoluci´on pueden derivarse — hacen recomendable el tratar expl´ıcitamente la interpretaci´on de valores empleados y obtenidos. Por supuesto, lo anterior se acompa˜ nar´a de las formulaciones y algoritmos correspondientes que sirven para una aplicaci´on directa y un mejor desarrollo de la base te´orica antedicha. El objetivo del trabajo en este punto vamos a materializarlo, como ya es habitual, en la elaboraci´on de una nueva malla regular de valores, los cuales en este caso ser´an las distancias — o tiempos — recorridas por el flujo generado en cada celda en su trayecto aguas abajo hasta el punto de cierre de la cuenca. La ya citada cualidad de la cuenca como entidad espacial tridimensional, junto con las ventajas asociadas al estudio de las mismas en este sentido sobre la potente base del MDT, pueden ponerse de manifiesto antes de entrar en la formulaci´on directa de algoritmos y la exposici´on de conceptos, mediante un peque˜ no ((experimento)) que, a buen seguro, va a servir para ir comprendiendo la manera en que estos an´alisis, en apariencia de mera clasificaci´ on, son fieles indicadores del comportamiento final de la cuenca desde el punto de vista de la hidrolog´ıa en su m´as puro sentido.

Figura 4.6: Cuenca original y modificada para variar la distribuci´on de tiempos de salida. La respuesta y comportamiento hidrol´ ogico de ambas es distinto, pese a compartir valores de otros par´ametros de forma.

Para ello, se lleva a cabo sobre la base de un MDT — en este caso, por simplicidad, se ha trabajado con una cuenca semicircular creada a partir de una formulaci´on puramente matem´atica — una modificaci´on de alturas en algunas de sus celdas, aumentando o disminuyendo elevaciones en diversas zonas, de tal modo que los recorridos del flujo desde estas zonas se vean modificados con respecto a los existentes en el MDT original. Por supuesto, la modificaci´ on se realiza de forma que los l´ımites de la cuenca no se vean modificados, actuando sobre puntos interiores. Asimismo, realizada esta acci´on, otros par´ametros de forma no ven apenas modificados sus valores, reflejando desde ese punto de vista dos cuencas pr´acticamente id´enticas. La imagen (4.6) muestra vistas en relieve de ambas cuencas, tanto original como modificada1 . 1

Para el lector m´ as inquieto, algunos comentarios acerca de c´ omo se ha desarrollado esta modificaci´ on. A pesar de que se coment´ o que los formatos de im´ agenes en escala de grises no son correctos para el almacenamiento de MDTs, s´ı que pueden ser empleados para experiencias como ´estas donde la precisi´ on en las resoluciones pasa a un segundo plano, abriendo as´ı todo un enorme abanico de posibilidades gracias a las infinitas funcionalidades de los programas de tratamiento digital de im´ agenes. Con un programa tal como GIMP (disponible en www.gimp.org) puede emplear filtros y otros elementos para alterar MDTs almacenados como im´ agenes y estudiar las consecuencias de ello sobre aspectos hidrol´ ogicos, utilizando con posterioridad las aplicaciones que se describen en el anexo correspondiente.

172

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

Figura 4.7: Variaci´on en las distribuciones de frecuencias de los tiempos de salida al modificar internamente la cuenca. A la izquierda, cuenca original. A la derecha, cuenca modificada.

El c´alculo de las distancias de salida, convertidas en este caso en tiempos de salida — en breve se ver´a como llevar esto a cabo —, arroja sin embargo resultados muy distintos. Si se representa una curva de frecuencia de los valores obtenidos, su aspecto para la misma cuenca sobre los distintos MDTs es bien distinta, como queda reflejado en la figura (4.7). Aunque se trata de un tema que ser´a analizado en un cap´ıtulo posterior, es probable que el lector haya intuido ya la similitud de estas curvas de frecuencia — especialmente la segunda de ellas, por no estar asociada a una cuenca tan ((artificial)) — con las formas habituales de un hidrograma. Asumiendo esta relaci´on — completamente cierta, por otra parte—, entre distancias de salida y variaci´on de caudal en la salida de la cuenca, resulta obvio que la configuraci´on interna de la cuenca de la que estas distancias nos informan se encuentra ´ıntimamente ligada con el comportamiento y la respuesta hidrol´ogica de la cuenca ante los eventos de precipitaci´on que sobre ella tengan lugar. Por tanto, el inter´es por este par´ametro y por su significado queda perfectamente justificado en este punto, d´ andole la importancia que merece como caracterizador completo de la cuenca tanto f´ısicamente como desde el punto de vista de su actividad en el ciclo hidrol´ogico. Veremos m´as adelante alg´ un otro ejemplo de las diferencias existentes entre estos dos MDTS — original y modificado —, que pese a mantener los mismos valores de los par´ametros m´as cl´asicos ya estudiados, representan entidades distintas respecto a su comportamiento hidrol´ogico. Distancias Comprobada la importancia de la distancia de flujo como factor a utilizar en el an´alisis hidrol´ogico, y habiendo quedado introducida la relaci´on entre ´esta y otra serie de elementos que con posterioridad ser´an analizados en mayor detalle, es momento de entrar en la metodolog´ıa que permite el c´alculo y evaluaci´on de dicha distancia. Una vez m´as, como para todo an´alisis que se encuentre relacionado en alguna medida con el flujo de agua a trav´es de la propia cuenca, resultan b´asicas como elemento de partida las direcciones de flujo en cada celda. Con ´estas, el seguimiento del flujo desde cada una de ellas hasta la celda de cierre de la cuenca nos se˜ nalar´a un recorrido entre celdas que, de modo sencillo, podemos medir disponiendo de ese modo de la distancia buscada para cada una. Tambi´en una vez m´as, la formulaci´on explicita de estos conceptos y la elaboraci´ on de algoritmos asociados puede realizarse en condiciones ventajosas a trav´es de expresiones recursivas, teniendo en cuenta que, denominando fDIST (i, j) a la funci´on que da la distancia recorrida desde la celda (i, j) hasta la salida, se cumple Pruebe y experimente con estas acciones. Adem´ as de ser muy instructivo, es algo tremendamente divertido y supone una nueva manera de entender los MDTs como tales y las aplicaciones que trabajan sobre los mismos. Intente adjudicar una interpretaci´ on hidrol´ ogica a las modificaciones que haga y a los resultados obtenidos sobre ellas.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

fDIST (i, j) = fDIST (i + m, j + n) + g

p

173

m2 + n2

(4.17)

donde g es el tama˜ no de celda y (i + m, j + n) es la celda sobre la que vierte (i, j). La consideraci´on de una u ´nica celda como receptora del flujo desde (i, j) nos indica que, como es sencillo advertir, el razonamiento anterior se encuentra basado sobre la metodolog´ıa del D8 y que, como viene siendo habitual, s´olo se trata de un razonamiento completo si se aplica este m´etodo, debiendo precisarse su significado a la hora de utilizar uno distinto. A medida que nos acercamos, no obstante, a las formulaciones m´as hidrol´ogicas y tratamos de dar un sentido distinto del mero an´alisis del terreno a los resultados que vamos obteniendo, este m´etodo del D8 que ya era por s´ı mismo el eje principal de todas las formulaciones relacionadas con la direcci´on de flujo, se va haciendo a´ un mas preponderante. La simplicidad y eficacia de los algoritmos que derivan del mismo, s´olo ensombrecidas por la mayor imprecisi´ on que el m´etodo en s´ı conlleva, se ve favorecida al emplear sus resultados en conceptos con una cada vez mayor componente hidrol´ogica. Por ello, las nuevas formulaciones que van siendo explicadas en ´este y lo ser´an en sucesivos cap´ıtulos, cada vez van a basarse m´as exclusivamente en los conceptos del D8, quedando su aplicaci´on en conjunto con otros m´etodos como un ejercicio pr´actico para el lector. La interpretaci´on de los resultados cuando se contempla el uso de uno de dichos otros m´etodos, aunque paulatinamente con menor relevancia, se comentar´a siempre que se considere necesario. En el caso que ahora nos ocupa, el empleo de un algoritmo de tipo MFD, resultando en un desplazamiento desde cada celda a un n´ umero m´as elevado de celdas circundantes, da lugar a otros tantos recorridos aguas abajo y sus correspondientes distancias y tiempos asociados. Este hecho hace desaparecer el sentido de trabajar sobre una malla de distancias, pues para cada celda de la misma debieran recogerse m´as de un valor, en particular tantos como celdas distintas reciban el flujo existente en ella. A efectos del resultado final, y considerando la implicaci´on hidrol´ogica ya mostrada de este par´ametro, la precisi´on aportada por otros m´etodo distintos del D8 no supone una diferencia de precisi´on relevante. Los diversos recorridos desde cada celda son altamente similares siempre, por lo que, traduciendo las distancias a tiempos y las ´areas acumuladas a caudales l´ıquidos, los resultados van a a ser altamente similares. En un s´ımil muy adecuado para este contexto, vemos que la incorporaci´on de interpretaciones hidrol´ogicas sobre los resultados obtenidos ejerce un dulce efecto laminador sobre los errores o imprecisiones que pueden achacarse a cada m´etodo, haciendo as´ı que, cada vez con m´as justificaci´on, la decisi´on entre los mismos se lleve a cabo u ´nicamente en virtud de la eficacia y sencillez de sus algoritmos y expresiones asociadas. Centr´andonos, pues, sobre el D8 como metodolog´ıa base, la expresi´on en pseudoc´ odigo con que se cierra el desarrollo de este apartado, queda como sigue. La matriz de distancias se denota como D. Ejecutando este algoritmo sobre la celda de cierre, las distancias hasta dicha celda desde todas las restantes de la cuenca quedan definidas en esta matriz. procedimiento CalcularDistanciaSalida (i,j) // (i,j) es el punto de cierre { desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces {

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

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D(i+n,j+m)=D(i,j)+ g * SQR(n*n+m*m) CalcularDistanciaSalida (i+n,j+m) } } } } }

Figura 4.8: Representaci´on de una malla de distancias de salida. Los tonos m´as claros representan distancias mayores.

El par´ametro que ha dado lugar en origen al c´alculo de las distancias de flujo, es decir, la longitud de la cuenca, se calcula con suma sencillez una vez que se conoce la malla de distancias haciendo uso del algoritmo anterior. Simplemente buscando el mayor valor en la misma, la celda a la cual corresponda ese valor es la situada hidrol´ogicamente m´as alejada de la salida de la cuenca y, por tanto, la que determina la longitud de la misma. La representaci´on de una malla de distancias de salida se recoge en la figura (4.8) Tiempos Conociendo ya las distancias existentes entre las celdas y el punto de salida de la cuenca, y aplicando la sencilla y por todos conocida relaci´on entre tiempo y distancia t = s/v, podemos proceder a la transformaci´on de esta u ´ltima en el primero, de sumo inter´es para consideraciones hidrol´ogicas diversas como ya qued´o introducido hace algunas l´ıneas. La velocidad que nos permite realizar la conversi´on anterior es el u ´nico par´ametro en el que debemos, por tanto, centrarnos en esta secci´on, dependiendo de la precisi´on — y complejidad asociada — a dicha velocidad, que los valores de tiempo obtenidos sean correspondientemente m´as precisos — y complejos sus algoritmos asociados —. Dos metodolog´ıas para la estimaci´on de velocidades van a ser analizadas y presentadas: velocidad constante y velocidad variable en funci´on del flujo acumulado y la pendiente. En ambos casos se busca como resultado final un valor para cada una de las celdas de la cuenca, aunque, por ser esta malla constante en el primer caso, no es necesario reflejar dicho valor en una malla pudiendo emplearse directamente sobre la distancia de cada punto. A la hora de utilizar la velocidad para crear la malla de tiempos, en el caso de emplear una velocidad variable, el tiempo de paso entre dos celdas variar´a a lo largo del recorrido aguas abajo de cada celda, por lo que debe en primer lugar calcularse la malla de velocidades y despu´es, con ella, elaborar directamente la de tiempos sin pasar por una malla de distancias intermedia.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

175

En el caso de velocidad constante, simplemente dividiendo la distancia por el valor de dicha velocidad se obtiene sin necesidad de m´as operaciones la nueva malla buscada. Ambas formas de proceder se analizan con el detalle a continuaci´on. Comenzando por el mucho m´as sencillo supuesto de velocidad uniforme en todas las celdas de la cuenca, la forma de operar con la misma ha quedado suficientemente clara con las breves indicaciones dadas anteriormente. El u ´nico aspecto que resta es, pues, calcular dicha velocidad a emplear, para lo cual debemos recurrir a la longitud de la cuenca como par´ametro de base. Con dicha longitud para el punto mas alejado, si se conociese el tiempo que dicho punto tarda en recorrer el camino que lo separa del punto de cierre, podr´ıamos f´acilmente calcular la velocidad media de su recorrido, la cual bien podr´ıa aplicarse como velocidad media del flujo en la cuenca — siempre, obviamente, con el l´ogico error que se incorpora al utilizar una hip´otesis tan sumamente simplificadora como la actual —. Pero dicho tiempo no es otro que el tiempo de concentraci´on, par´ametro para el cual existen numerosas formulaciones y que podemos conocer sin dificultades acudiendo a alguna de las mismas. Habitualmente, la formula de Kirpich — tambi´en conocida como f´ormula de California — se utiliza para esta cometido, siendo su expresi´on tc = 0,01947S −0,385 L0,77

(4.18)

donde S es la pendiente media de la cuenca — medida de la forma cl´asica, esto es, como la pendiente del curso m´as largo —, y L la longitud de la cuenca — nuevamente, la del curso m´as largo —. Conociendo tiempo y distancia, el calculo de la velocidad puede darse en este punto por finalizado. El aspecto de una malla de tiempos de salida creada seg´ un lo anterior, se corresponde directamente con el de la malla de distancias asociada, pues existe una relaci´on constante entre ambos par´ametros en cada una de las celdas. Si la hip´otesis empleada se considera excesivamente simplista, pueden a˜ nadirse alg´ un refinamiento a la misma sin necesidad de entrar en c´alculos mucho m´as complejos, diferenciando en cuanto a su velocidad de flujo las celdas de cauce de las que presentan escurrimiento en ladera. Acudiendo a la malla de flujo acumulado, se asignar´a a las celdas que superen un valor umbral la velocidad calculada seg´ un lo expresado anteriormente, tomando para el resto de celdas un valor inferior. Garrote y Bras proponen la relaci´on Vcauce (4.19) k donde k se sit´ ua seg´ un estos autores en el intervalo de valores 10–15. Esta leve modificaci´ on supone una mejora conceptual y de precisi´on para el c´alculo de tiempos, y su empleo es relativamente habitual para evitar la suposici´on de una velocidad hom´ogenea en la totalidad de las zonas de la cuenca independientemente de sus caracter´ısticas. El verdadero aumento de precisi´on — y de fidelidad para con el proceso real modelizado — se consigue, no obstante, teniendo en cuenta algunos par´ametros m´as de los que entran a formar parte del fen´omeno de escurrimiento y desplazamiento del flujo, aparte de los ya considerados. En primer lugar, la idea introducida anteriormente de caracterizar de modo diferente las zonas de cauce de aquellas sin flujo encauzado — l´ease, con poco flujo acumulado — parece un primer paso a llevar a cabo. El umbral a emplear, sin embargo, no tiene una finalidad similar a la que ve´ıamos en el caso de la propia definici´on de cauces y, consecuentemente, puede basarse en diferentes conceptos y simplificarse su elecci´on. Por ejemplo, Huggins y Burney (1982) consideran que el flujo en ladera no encauzado tan s´olo puede darse durante los primeros 100 metros. Si empleamos una hipot´etica cuenca Vladera =

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

176

vertiente semicircular con ese radio, se tiene un resultado de aproximadamente 1,8 hect´areas, valor que, aceptando lo anterior, puede utilizarse como divisor entre los dos tipos de flujo considerados. Desde este punto, debemos ahora formular un m´etodo para calcular la velocidad teniendo en cuenta que en las celdas a partir de ese umbral el flujo est´a canalizado — aplicando, por tanto, las ecuaciones de la hidr´aulica relativas a ese hipot´etico canal de flujo — y que en las restantes el tipo de flujo es en ladera. Para este primer caso, la velocidad del flujo estar´a en relaci´on directa con el caudal que conforme dicho flujo canalizado a trav´es de una ecuaci´on como la bien conocida de Manning seg´ un la cual Q=

1 S 1/2 A5/3 n P 2/3

(4.20)

Por ello, el conocimiento de este caudal circulante debe ser un paso previo a la estimaci´on de la velocidad, pues es requisito en la anterior expresi´on. La exposici´on detallada de metodolog´ıas para ello es parte del n´ ucleo de la siguiente secci´on del libro, por lo que no se profundizar´a excesivamente en este aspecto, simplemente indicando una aproximaci´on posible — aunque la mas habitual y extendida — que nos permita disponer de valores aproximados de caudal para el c´alculo de la velocidad. Los detalles acerca de la misma, as´ı como de otros planteamientos de similar ´ındole, quedan recogidos en un posterior apartado y podr´an ser implementados en lo aqu´ı expuesto de igual modo una vez sean desarrollados en mayor profundidad. Suponiendo que se dispone de valores de intensidad de precipitaci´on neta en cada celda —este hecho ser´a tambi´en en su momento analizado —, pueden convertirse estos valores en caudales aplicando la ecuaci´on Q = i · g2

(4.21)

donde g es el lado de la celda — por tanto g 2 es el ´area de la misma — y i es la intensidad de escorrent´ıa en ella. Del mismo modo que podemos calcular las ´areas de flujo acumulado, si hacemos uso de una nueva matriz que contenga los caudales evaluados en virtud de la anterior expresi´on, podemos sencillamente calcular el caudal acumulado en cada celda, esto es, el caudal que entra en la misma y que debemos llevar a nuestra formula para el c´alculo de velocidades (Al–Smadi, 1998). Los restantes par´ametros de la f´ormula tales como per´ımetro mojado o ´area de la secci´on se calculan suponiendo una forma del canal, por regla general triangular. La pendiente a utilizar puede obtenerse, naturalmente, como la pendiente en la propia celda, o bien la pendiente en la direcci´on de flujo seg´ un los principios en que se basa la propia metodolog´ıa del D8 . Con estos par´ametros, se sustituyen sus expresiones en la expresi´on de Manning, quedando as´ı una ecuaci´on con el calado y como u ´nica inc´ognita, la cual puede resolverse de modo sencillo mediante alg´ un m´etodo num´erico habitual. Una vez el calado es conocido, el ´area de la secci´on puede calcularse, y con ella la velocidad buscada seg´ un la bien conocida expresi´on V =

Q A

(4.22)

En el caso de flujo en ladera en aquellas celdas que no superen el umbral establecido de ´rea aportante, la velocidad puede obtenerse combinando la formula de Manning presentada a en (4.20) con una aproximaci´on al proceso mediante la teor´ıa de onda cinem´atica. Siguiendo a Overton y Meadows (1976), el calado puede tomar la expresi´on

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

y=

n·i·x √ S

177

(4.23)

donde n es el n´ umero de Manning y x la distancia recorrida sobre el plano de flujo. Esta u ´ltima se estima como la distancia desde la celda de borde mas cercana — es decir, una celda sobre la que no viertan otras y su flujo acumulado sea igual a g 2 —, o bien, simplificando m´as, suponiendo una cuenca semicircular y, con el valor de ´area acumulada a, calculando el radio de ´esta que ser´a el valor a considerar como distancia de flujo x. En un pr´oximo apartado se tratar´a mas en detalle el c´alculo exacto de esta distancia hacia la cabecera del flujo aguas arriba. Es decir, r 2a x= (4.24) π Llevando (4.23) a (4.20), se llega a la ecuaci´on (i · x)0,4 S 0,3 (4.25) n0,6 la cual nos permite ya disponer de un valor de velocidad tambi´en para estas celdas con flujo en ladera. De este modo, todas las celdas de la malla, de una u otra forma, tienen ya una velocidad asociada particular, estimada en base a sus propias caracter´ısticas. Con los anteriores elementos y la metodolog´ıa que brevemente se ha apuntado, la creaci´on de una malla de velocidades puede llevarse a cabo sin mayores dificultades, siendo ´esta ya utilizable para el c´alculo de tiempos de salida, destino final al que pretendemos llegar con este an´alisis. La formulaci´on global presentada hasta este punto constituye s´olo una posible forma de hacer frente a la evaluaci´on de una malla de velocidades apta para su aplicaci´on en el c´alculo de tiempos de salida. Otras muchas alternativas pueden plantearse a este respecto, tantas como diferentes planteamientos hidr´aulicos o consideraciones f´ısicas puedan asumirse, por lo que la soluci´on presentada no es sino un representante — habitual, eso s´ı — de ese conjunto de soluciones. El objetivo de este apartado no es el de presentar una formulaci´on de modo categ´ orico, sino poner de manifiesto las dos tendencias gen´ericas — empleo de velocidad constante o de una malla de velocidades variables —, de tal modo que con las metodolog´ıas de aplicaci´ on sobre las que ´estas se sustentan, cada cual pueda con conocimiento de causa construir sus propios modelos o aplicar los que considere m´as oportunos y precisos. M´as a´ un, uno de los objetivos principales no es sino la comparaci´on efectiva entre la hip´otesis de velocidad constante — aplicable de modo aproximado en el caso cl´asico de emplear cartograf´ıa en papel — y la de velocidad variable — s´olo empleable sobre la base de un MDT —, poniendo de manifiesto las diferencias ventajosas que surgen en este aspecto del uso de cartograf´ıa digital y que se ver´an directamente reflejadas tambi´en en posteriores apartados. La presentaci´on de los algoritmos b´asicos a este respecto es sin duda el componente esencial del apartado, por encima de formulaciones particulares en todo caso. As´ı pues, una vez se dispone de la malla de velocidades, con independencia del m´etodo utilizado para su confecci´on, basta modificar el algoritmo que se present´o para la evaluaci´ on de la malla de distancias y utilizar una formulaci´on como la mostrada a continuaci´on para crear la malla de tiempos de salida que buscamos. La malla de tiempos se denota en esta ocasi´ on como T, siendo V la correspondiente a las velocidades. V =

procedimiento CalcularTiempoSalida (i,j) // (i,j) es el punto de cierre

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CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

{ desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces { velocidad = (V(i,j)+V(i+n,j+m))/2 T(i+n,j+m)=T(i,j)+ (g * SQR(n*n+m*m)/ velocidad) CalcularTiempoSalida (i+n,j+m) } } } } } Puesto que el recorrido entre celdas se hace entre los centros de ´estas, se recorre la mitad de la celda origen y la mitad de la celda destino, lo cual justifica la utilizaci´on de una velocidad media como la propuesta en la formulaci´on anterior. Como puede observarse en la figura (4.9), el aspecto de una malla de tiempos de salida con velocidad variable difiere notablemente del aspecto para su malla de distancias asociadas, debido a la relaci´on variable que existe entre ambos par´ametros en cada celda.

Figura 4.9: Representaci´on de una malla de tiempos de salida con velocidad variable. Los tonos m´as claros representan tiempos mayores.

Una alternativa m´as sencilla a todo lo anterior, tanto en concepto como en su aplicaci´on, pero manteniendo el empleo de velocidad variable, se basa en la consideraci´on de la propia f´ormula de Kirpich para el tiempo de concentraci´on, aplicando la misma a cada celda de la cuenca. El tiempo as´ı obtenido es el tiempo de salida de la celda, es decir, directamente el valor que buscamos para formar la malla de tiempos. Como longitud de flujo para la f´ormula se utiliza la distancia de salida desde dicha celda, y la pendiente media del cauce se eval´ ua con la diferencia de cotas entre la celda y el punto de salida, adem´as de la propia distancia. Sin entrar en un planteamiento con una componente hidr´aulica tan fuerte como el anterior, se tiene de este modo una aproximaci´on mas realista que en el caso de velocidad constante, al considerar de modo particular las condiciones de cada celda y su recorrido aguas abajo.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

179

N´otese que al aplicar una hip´otesis de velocidad constante — y tambi´en en esta u ´ltima formulaci´on que se acaba de comentar — hac´ıamos uso para el c´alculo de ´esta del tiempo de concentraci´on calculado mediante una formula cualquiera para el mismo, de tal modo que el tiempo de recorrido para el punto hidrol´ogicamente m´as alejado era precisamente igual a dicho tiempo de concentraci´on. En el caso de velocidad variable, no hemos necesitado recurrir a dicho par´ametro, pero sobre la malla de tiempos calculada, te´oricamente el tiempo m´as elevado se corresponde con el concepto de tiempo de concentraci´on de la cuenca. Esto nos aporta una nueva metodolog´ıa con una base f´ısica para la estimaci´on de este importante par´ametro, al mismo tiempo que, en conjunto con las propias f´ormulas para la determinaci´on del mismo, constituye un elemento de comprobaci´on de sumo inter´es para la calibraci´on de los elementos que se emplean en la estimaci´on de velocidades de flujo en las distintas celdas de la malla. Par´ ametros de forma derivados Las distancias y tiempos de salida considerados como par´ametros en ´ıntima relaci´on con la forma y configuraci´on interna de la cuenca, adem´as de su implicaci´on en el c´alculo de otros par´ametros hidrol´ogicos como ya se ha visto y se ver´a con m´as detalle en sucesivos cap´ıtulos, pueden servir para la estimaci´on de interesantes par´ametros de forma de la cuenca, los cuales, por la diferente naturaleza de la informaci´on recogida en dichas distancias y tiempos en relaci´ on con otros par´ ametros b´asicos utilizados, tambi´en ser´an de ´ındole distinta a los par´ametros de forma hasta ahora presentados. De ellos, se van a introducir dos gen´ericos que dan buena idea de esta nueva perspectiva de la que venimos hablando en relaci´on a la utilizaci´on de estos valores, en este caso con particular inter´es en las distancias. Consid´erese una malla de distancias de flujo desde cada celda a la celda de salida — la cual denotaremos como (Sfil , Scol ) — y apl´ıquese a cada una de ellas la funci´on fSIN : M × N −→ R fDIST (i, j) (i − Sfil )2 + (j − Scol )2

fSIN (i, j) = p

(4.26)

Recordando los conceptos relativos a cauces, la anterior definici´on no es sino la de la sinuosidad del recorrido que desde cada celda va aguas abajo hasta la celda de salida. Este concepto, que en su momento era utilizado para el caso de los cauces, ahora puede aplicarse a cada uno de los flujos de agua, independientemente de si estos tiene entidad o no para ser considerados cauces. Es de inter´es recalcar que entonces las distancias se calculaban utilizando los puntos de cabecera y definiendo expl´ıcitamente el trazado de cada recorrido, mientras que en este caso, y puesto que todas las celdas de la cuenca se consideran como tales puntos de cabecera, la introducci´on de algoritmos m´as eficaces es necesaria y fuerza a la consideraci´ on de un planteamiento distinto. De cualquier modo, y m´as all´a del inter´es de la propia sinuosidad de un u ´nico trazado, definamos una sinuosidad global de la cuenca con la expresi´on P fSIN (i, j)g 2 τ= ; ∀(i, j) ∈ C (4.27) A siendo C el conjunto de celdas que pertenecen a la cuenca. El significado f´ısico de este par´ametro se puede apreciar r´apidamente si recurrimos de nuevo a la comparaci´on entre los MDTs original y modificado que se presentaron al principio de este apartado. Mientras que para el primero de ellos el valor de la sinuosidad de cuenca es τ ≈ 1 — pues los recorridos en una cuenca semicircular circular son lo m´as directos posibles —, en

CAP´ITULO 4. CUENCAS VERTIENTES

180

el segundo caso, donde la modificaci´on introducida obliga al agua a ((dar m´as rodeos)) antes de llegar al cierre de la cuenca, el valor de sinuosidad es de τ = 1, 85. Es claro, por tanto, y como parece l´ogico dada la formulaci´on establecida, que la sinuosidad guarda abundante informaci´on acerca del comportamiento hidrol´ogico de la cuenca, en particular acerca de cuan ((d´ırecto)) se desplaza el flujo desde las distintas zonas de la cuenca hasta su punto de cierre. Una interpretaci´on similar recordemos que se asocia tambi´en a la forma plana de la cuenca, donde las formas circulares muestran una eficacia mayor en desalojar el flujo que las alargadas o fusiformes. La combinaci´on de ambos par´ametros es, naturalmente, de gran inter´es para definir con notable justificaci´on la naturaleza de la cuenca en este sentido. En esa misma linea, definamos un segundo par´ametro de forma de la cuenca, que evaluaremos seg´ un la expresi´on P χ=

fDIST (i, j) · g 2 A

;

∀(i, j) ∈ C

(4.28)

Este nuevo factor no es sino una media de las distancias recorridas desde cada celda, por lo que, en principio, resulta de poca informaci´on pues es por completo dependiente de las dimensiones de la cuenca. Dividiendo lo anterior entre el ´area de la misma, obtendremos un par´ametro de mayor aplicabilidad que nos podr´a permitir establecer comparaciones entre diversas cuencas. P χ=

fDIST (i, j) · g 2 A2

;

∀(i, j) ∈ C

(4.29)

De igual modo que con el factor de sinuosidad de cuenca τ anteriormente definido, el significado f´ısico de este nuevo valor guarda un relaci´on directa con la eficacia de la cuenca para la evacuaci´on del flujo en ella generado. Como puede verse, la combinaci´on de ´estos y otros par´ametros de forma, as´ı como otros factores asociados a la geometr´ıa de la cuenca permite, llegados a este punto, caracterizar por completo la misma y disponer de los valores necesarios para acometer definitivamente el planteamiento de modelos hidrol´ogicos completos con los que ir alcanzando los verdaderos objetivos del estudio que iniciamos al comienzo de la obra.

4.3.4.

Tiempos y distancias a cabecera

En la ecuaci´on (4.23), hacia aparici´on el par´ametro x de distancia sobre la l´ınea de flujo, el cual se dijo que pod´ıa asimilarse a la distancia entre la celda analizada y la cabecera del flujo que llega a la misma. Una vez que se conocen los mecanismos e ideas para el c´alculo de los tiempos y distancias de salida, y puesto que existe gran similitud, puede abordarse una definici´on m´as detallada de dicha distancia a cabecera y la formulaci´on de las pertinentes formulaciones al respecto. La creaci´on de una malla de distancias a cabecera, objetivo de este apartado, nos permitir´a, al igual que la malla de tiempos de salida, su utilizaci´on posterior en otros aspectos hidrol´ogicos, como en su momento analizaremos. Puesto que existe una relaci´on estrecha entre tiempos y distancias de salida, y dicha relaci´on se mantiene de igual modo en el caso de ser medidas hacia la cabecera — aguas arriba — en lugar de hacia el punto de salida de la cuenca — aguas abajo —, u ´nicamente se desarrollar´an los aspectos relativos a las distancias, entendi´endose que la conversi´on de ´estas en tiempos puede llevarse a cabo en virtud de lo ya explicado en el apartado precedente. De modo similar al caso anterior, para el c´alculo de una malla de distancias u ´nicamente resultar´a necesario el propio MDT, mientras que en el caso de tiempos ´este deber´a complementarse con una malla de velocidades, siendo este primer caso, como ya se ha dicho, el que ser´a aqu´ı tratado.

´ DE CUENCAS VERTIENTES 4.3. CARACTERIZACION

181

Figura 4.10: Representaci´on de una malla de distancias a cabecera. Las tonalidades claras indican mayor distancia.

Trabajando pues sobre el MDT, y denotando como tcab i,j el tiempo a cabecera de la celda (i, j), se tiene que

tcab ax(tcab i,j = m´ i+m,j+n +

p

n2 + m2 ) n, m = −1, 0, 1

(i + m, j + n) vierte sobre (i, j) (4.30)

es decir, el m´aximo entre las distancias de las celdas aportantes a la celda problema, m´ as la propia distancia a dicha celda. La adici´on de una condici´on de inicio en el que se exprese el valor de tcab sin referencia a otras celdas, permitir´a el establecimiento de una formulaci´on recursiva, actuando como finalizador de la recursi´on. Esta condici´on no es otra que tcab i,j = 0

(4.31)

para las celdas (i, j) que sean ellas mismas de cabecera, es decir, aquellas que no reciban ning´ un tipo de flujo. Con todo lo anterior, las ideas principales desarrolladas se plasman sobre el siguiente algoritmo, el cual, como ya es habitual, permite mediante su utilizaci´on sobre la celda de cierre de la cuenca el c´alculo de la malla buscada. La matriz de distancias se denota como D. funcion CalcularDistanciaACabecera(i,j) { distanciaMax=0 desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces { distancia = CalcularDistanciaCabecera(i+m,j+n) + + SQR(n*n+m*m)

distanciaMax=max(distanciaMax, distancia) } } } } D(i,j) = distanciaMax devolver distanciaMax } La figura (4.10) recoge el aspecto de una malla de distancias a cabecera obtenida seg´ un lo anterior. La representaci´on de la malla se presenta con escala logar´ıtimica para potenciar la informaci´on que de la misma puede obtenerse. N´otese lo f´acil que resulta sobre esta malla la localizaci´on de los cauces — con distancias elevadas y en tonalidad clara — y las cumbres y crestas — con distancia corta o nula y en color negro —. Como resulta l´ogico, el valor m´aximo de distancia a cabecera debe coincidir con el valor m´aximo obtenido en la malla de tiempos de salida, no ocurriendo esto mismo con otros par´ametros de tipo estad´ıstico que de ambas mallas puedan derivarse. Esta u ´ltima circunstancia puede comprobarse simplemente por el hecho de que la representaci´on logar´ıtmica arroje una mayor informaci´on visual de la malla de tiempos a cabecera, lo cual no ocurr´ıa en el caso de la correspondiente a tiempos de salida.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

Elaborar un algoritmo para el c´ alculo de la curva hipsogr´afica de una cuenca dada.

2.

Una propuesta distinta para obtener la pendiente media de una cuenca consiste en el c´alculo de la media de pendiente de todos los recorridos entre cada celda y el punto de salida. Escriba un algoritmo para llevar a cabo dicho c´ alculo.

3.

Se define la altura de cuenca como la diferencia de elevaci´on entre el punto de cierre de la misma y la mayor cota aguas arriba del mismo. Plantear un algoritmo para el c´alculo de una malla de alturas de cuenca.

4.

Se define la altura relativa como la diferencia entre la altura media de la cuenca vertiente a una celda dada y la altura de dicha celda. Elab´ore un algoritmo para la obtenci´on de una malla de datos de este valor y desarrolle una interpretaci´on hidrol´ogica del mismo.

5.

Elaborar un algoritmo para el c´ alculo del centro de gravedad de la cuenca bas´andose u ´nicamente en la representaci´ on raster de la misma.

6.

El uso combinado del MDT con la malla de cuencas y subcuencas nos permite considerar estas u ´ltimas como elementos tridimensionales con volumen. Partiendo de esta consideraci´on, elab´orense algoritmos para realizar los siguientes c´alculos. C´alculo del volumen de la cuenca. C´alculo del centro de gravedad de la cuenca.

7.

Utilizando la representaci´ on vectorial del per´ımetro de la cuenca, elab´orense algoritmos para el c´alculo de los ejes mayores y menores de la misma.

8.

La superficie calculada de la cuenca es la superficie proyectada de la misma. Elaborar un algoritmo para el c´alculo de la superficie real de la cuenca teniendo en cuenta las pendientes entre celdas. Est´ udiese la relaci´ on entre estos dos par´ametros.

9.

Estudiar la relaci´ on entre superficie real y superficie proyectada para diferentes MDTs y a diferentes resoluciones. ¿Exhibe este par´ ametro propiedades fractales? Raz´onese la respuesta.

Parte II

Modelizaci´ on Hidrol´ ogica

183

Introducci´ on Ahora s´ı, todas las piezas del juego desde el punto de vista f´ısico se han dispuesto para que podamos llevar a cabo el an´alisis hidrol´ogico que perseguimos, de tal modo que ´este haga suyas las ventajas asociadas a los par´ametros previamente extra´ıdos, los cuales son m´as precisos y exactos en virtud de la utilizaci´on del MDT como fuente base de informaci´on. No obstante, ese MDT, el tablero donde vamos a jugar nuestra partida, debe ser ahora considerado como tal, no limit´andonos al mero empleo de los valores de que ya disponemos sobre los modelos cl´asicos conocidos, sino tambi´en adaptando esos modelos a la nueva realidad del entorno en el que trabajamos, llevando m´as alla a´ un esas ventajas que antes se comentaban. Dando un paso m´as, no s´olo debemos reconsiderar la manera en que los modelos que conozcamos (u otros que puedan desarrollarse) vayan a ser aplicados, sino que nuestro ya profundo conocimiento del MDT y de otras entidades similares (todas ellas tambi´en escenarios sobre los que vamos a poner en escena nuestra modelizaci´on) nos debiera permitir la incorporaci´ on de nuevos elementos en las mismas condiciones de mayor precisi´on y potencia, simplemente haciendo uso de los conceptos que hasta ahora conocemos y aplic´andolos sobre otros aspectos distintos. Por una parte, pues, este segundo bloque del libro act´ ua como un crisol donde se condensan los elementos ya desarrollados, cobrando sentido al incorporarse en su destino final, que no es otro que el de los distintos modelos hidrol´ogicos al uso. Por otra parte, representa tambi´en una continuaci´on en la linea argumental seguida hasta el momento, prosiguiendo en la introducci´ on de nuevos conceptos e ideas con diverso grado de novedad sobre los enfoques cl´asicos habituales. Desde uno u otro punto de vista, el desarrollo de la materia que ahora va a introducirse representa el sentido exacto de esa hidrolog´ıa computacional que da t´ıtulo a este texto, y como tal debe verse en todo momento. Las ideas a exponer son realmente sencillas y concretas, pero el n´ umero de formulaciones posibles es en exceso elevado. Por ello, lo m´as conveniente en mi opini´on ha sido intentar mostrar por encima de todo esas ideas y esos principios fundamentales, de modo que ´estos reflejen los elementos b´asicos necesarios para el desarrollo sobre cualquier base te´orica de las muchas existentes, de modelos hidrol´ogicos con base computacional. De igual forma, no todos los modelos para los cuales se haya planteado un enfoque computacional y est´en plasmados en diferentes aplicaciones inform´aticas han sido recogidos aqu´ı, pues es en conjunto con el empleo de Modelos Digitales del Terreno o de la informaci´on que de ellos hemos derivado, como se define la verdadera materia que queda tratada en este texto. El uso de ordenadores en hidrolog´ıa se remonta a las primeras epocas de ´estos, cuando ejerc´ıan como mero soporte en el c´alculo de los distintos resultados sobre los modelos existentes, aportando al an´alisis hidrol´ogico tan solo su potencia bruta de c´alculo. Es, sin embargo, con la introducci´on de las nuevas tecnolog´ıas relativas al registro de la informaci´on espacial, ya en epocas m´as recientes, cuando se produce el giro que permite la utilizaci´on de esos mismos ordenadores (ahora m´as potentes) de un modo notablemente distinto, abriendo nuevas filosof´ıas y extendiendo el ab´anico de la hidrolog´ıa hacia los territorios que pretenden cubrirse con este texto. Como consecuencia de lo anterior, la exposiciones de esta parte se fundamentan m´ as en 185

186 pasajes descriptivos de caracter muchas veces puramente verbal, no recurri´endose con excesiva frecuencia al empleo de f´ormulas explicitas relativas a los modelos utilizados, salvo como ejemplo puntual de las ideas desarrolladas, o cuando la existencia de alg´ un modelo un´animemente aceptado o de mayor inter´es de cara a la materia tratada exige la presentaci´on de las ecuaciones que lo definen. El objetivo de este enfoque no es otro que centrar todo lo posible la atenci´on sobre la filosof´ıa de utilizaci´on de las tecnolog´ıas que vamos conociendo progresivamente — siempre sin perder el sentido pr´actico, obviamente —, de modo que, aun mostrando las formulaciones m´as id´oneas para ser integradas junto con el trabajo que ya ha sido realizado sobre el MDT, el lector pueda abordar la implementaci´on de cualquier planteamiento de un modo ventajoso y sin perder, sino potenciar, las ventajas que ya se obtuvieron con dicho an´alisis ya efectuado. Pese a todo lo anterior, el primer cap´ıtulo presenta un breve resumen de algunos modelos existentes que conjugan el an´alisis hidrol´ogico con el empleo de Modelos Digitales del Terreno y cartograf´ıa de similares caracter´ısticas, para as´ı introducir los planteamientos generales de ´estos, de los cuales, con ciertas modificaciones y adiciones por mi parte, he tomado parte de los desarrollos que se exponen en cap´ıtulos sucesivos respecto a los diferentes param´etros utilizados. El conocimiento de estos modelos y su herramientas inform´aticas asociadas, cada uno de ellos con sus particularidades, ventajas e inconvenientes, facilitar´a la comprensi´on de los conceptos gen´ericos a todos ellos, al mismo tiempo que aporta una perspectiva de mayor riqueza sobre la propia modelizaci´on computacional de los procesos hidrologicos. En otras palabras, mientras que en la primera parte de la obra se han recogido la pr´actica mayor´ıa — al menos desde el punto de vista de su implementaci´on real en software — de las formulaciones existentes para el an´alisis del terreno con una finalidad hidrol´ogica, en esta segunda parte no se incluyen apenas ejemplos de formulaciones como tales en relaci´on con la modelizaci´on hidrol´ogica en todos sus sentidos, y cuando esto sucede es u ´nicamente con car´acter ejemplificador. El n´ ucleo de los cap´ıtulos restantes se basa, por encima de todo, en ideas gen´ericas y pautas habituales al respecto. La estructuraci´on de este resto de cap´ıtulos que componen la presente parte, en cierta medida se asemeja a los esquemas habituales en los libros de hidrolog´ıa de tipo general, aunque el desarrollo de cada uno de ellos internamente no se corresponde con un esquema cl´asico, poni´endose m´as ´enfasis en unos conceptos y menos en otros. La frontera que separa los contenidos de ambas partes no se encuentra por completo definida, incluy´endose en la presente algunos elementos que bien podr´ıan pertenecer a la anterior (en especial los primeros cap´ıtulos), mientras que ya en dicha parte precedente se avanzaron algunos conceptos m´as propios de ´esta. No obstante, se ha buscado una estructura que haga aut´onomos a ambos bloques, quedando el primero centrado principalmente sobre lo concerniente al an´alisis del terreno, trat´andose en este segundo los temas principalmente de corte hidrol´ogico, entendida esta cualidad desde distintos puntos de vista. Por todo lo mencionado con anterioridad, las teor´ıas y resultados aqu´ı recogidos son s´olo ejemplos con car´acter gen´erico con cierta base cl´asica y cierta base m´as actual, que podr´an siempre ser matizados o adaptados de acuerdo con una u otra propuesta de tipo te´orico, pero que guardan siempre en su fondo ese concepto que venimos denominando Hidrolog´ıa computacional y que ahora ya por fin comienza a trazarse de modo definitivo.

Cap´ıtulo 5

Ideas generales y antecedentes “And relationships,” he had told her, “contained the essential meaning of life.” Pearl S. Buck

5.1.

Introducci´ on

Muchos son los elementos que intervienen en los distintos fen´omenos hidrol´ogicos y, diferenciados por el uso que en mayor o menor medida hacen de los mismos, muchos son tambi´en los modelos hidrol´ogicos y enfoques que se presentan. Todos estos par´ametros, cuyo significado y su vinculaci´on con el an´alisis de MDTs, as´ı como su tratamiento en un entorno computacional, ser´an desarrollados a lo largo de los pr´oximos capitulos, podr´an comprenderse con mayor facilidad si previamente se ha explicitado, aunque sea tan s´olo mediante unas ligeras pinceladas, el papel que cada uno de ellos juega en los resultados finales a obtener de los modelos existentes y la forma general de integrarlos. La variedad de objetivos que pueden perseguirse dentro del an´alisis hidrol´ogico da lugar a una variedad igual de planteamientos, los cuales, combinados con las m´ ultiples formulaciones existentes para el estudio de un proceso aislado, propician una todav´ıa mayor multiplicidad de alternativas, imposible de abarcar en una obra de la entidad de la presente. La principal finalidad de este cap´ıtulo es agrupar las m´as importantes de dichas alternativas en los grandes bloques definidos de forma habitual para la clasificaci´on de modelos, introduciendo las peculiaridades de cada uno, sus necesidades a nivel de datos base y otras caracter´ısticas que se consideren de inter´es para un buena comprensi´on de los mismos. Sobre todos estos aspectos, se trabajar´a, por supuesto, desde el punto de vista computacional y desde un enfoque cercano al que se viene aplicando hasta el momento. En pr´oximos apartados, cada uno de esos datos necesarios para uno u otro tipo modelo, que ahora van a ser mencionados brevemente y con caracter gen´erico, se disgregar´a en sus componentes b´asicos, descendi´endose desde la caracterizaci´on global hacia algunos de los aspectos espec´ıficos de ciertos modelos, en especial de aquellos m´as comunes o cuyos resultados hayan sido contrastados en mayor medida por el uso habitual. Debe tenerse en cuenta, en todo caso, que la relativa novedad en el desarrollo de modelos hidrol´ogicos que cumplan las condiciones generales de los aqu´ı tratados, hace que, por una parte, no existan modelos preferentes con una diferencia notable sobre los anteriores, al mismo tiempo que, por otra, propicia la coexistencia de todos los modelos sin que ´estos compartan un n´ umero elevado de enfoques comunes o presenten cierta homogeneidad como conjunto. Uno de los objetivos de esta parte del libro — y de toda la obra como conjunto — es buscar esos puntos de similitud que puedan, al menos dentro de este contexto, acercarse a una cierta homogeneidad de cara a estructurar adecuadamente el conocimiento existente en este 187

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

188

sentido, de tal modo que queden recogidas las ideas generales al respecto. Para ello, creo que es adecuada la presentaci´on de los conceptos comenzando por aspectos muy generales basados en las distintas mallas de informaci´on, para luego ir detallando la obtenci´on de las mismas y el an´alisis en que esta obtenci´on se basa, as´ı como las diversas formas de empleo de cada una de dichas mallas. De este modo, todos los diferentes niveles en que puede estructurarse la creaci´on de un modelo hidrol´ogico sobre una base computacional quedan tratados, desde el mero concepto gen´erico — adecuado para un usuario con inter´es en un conocimiento m´as profundo de las herramientas que maneja — hasta el puro detalle algor´ıtmico — para quien desee proceder directamente a la implementaci´on de las teor´ıas desarrolladas —.

5.2.

Datos b´ asicos

Las necesidades b´asicas en cuanto a datos de los modelos aqu´ı analizados no deben diferenciarse de las que puedan resultar habituales para cualquier modelo com´ un, no suponiendo una gran variaci´on a este respecto el hecho de que la operaci´on del modelo vaya a llevarse a cabo ´ en t´erminos computacionales. Unicamente, la mayor capacidad de que se dispone mediante medios inform´aticos para el proceso de datos hace que puedan incluirse grados de complejidad adicionales sin existir problemas de exceso de informaci´on — siempre dentro de unos l´ımites — y, sobre todo, y a efectos de la estructura que va a seguir esta parte del libro, permite centrar todo el trabajo en las distintas mallas de datos, unas ya conocidas y otras que se ir´an presentando, a niveles distintos de detalle como ya se ha dicho. Procedamos, pues, para comenzar, al estudio de dichas mallas b´asicas desde un punto de vista muy generalista, de modo mayoritariamente descriptivo y conceptual. Estas mallas de datos constituyen, a grandes rasgos, los bloques en que se divide el resto de esta parte del texto, y que, aun no siendo utilizados por todos los tipos de modelos, se presentan como relevantes a nivel global. Estas mallas, en una primera aproximaci´on excesivamente simplista, se puede considerar que son las siguientes: Escorrent´ıa Infiltraci´on Precipitaci´on P´erdidas (evapotranspiraci´on, intercepci´on, etc.) Progresivamente, se ir´an matizando los significados de las anteriores, a˜ nadiendo o quitando elementos seg´ un el caso, y particularizando los casos concretos que afectan a la obtenci´on y empleo de dichas mallas. Para la exposici´on de los restantes conceptos, hago notar que el enfoque principal se centra sobre modelos de tipo distribuido — independiente del objeto que tengan dichos modelos, que m´as adelante ser´a matizado —, entendi´endose que para los m´odelos agregados, la simple consideraci´on de lo anterior con las simplificaciones derivadas de dicha ((agregaci´on)) hace posible la comprensi´on de ´estos. Aun cuando esto no es as´ı realmente, puede considerarse una opci´on correcta el centrarse sobre los modelos distribuidos, cuya mayor riqueza conceptual — en l´ıneas generales — los hace m´as adecuados como soporte para los desarrollos te´oricos pertinentes. Por otra parte, la estructura de malla regular del MDT sobre el que hasta este punto hemos centrado el trabajo es especialmente propicia para el desarrollo de modelos distribuidos, como en breve veremos.

´ 5.2. DATOS BASICOS

189

Sobre un modelo hidrol´ogico distribuido, en t´erminos m´as o menos gen´ericos, el concepto de celda como elemento unitario que ya ve´ıamos en el an´alisis del terreno se mantiene en este caso a nivel de hidrolog´ıa en lugar de relieve. Cada celda es as´ı un elemento aislado pero relacionado con sus celdas vecinas, en cuyo interior, y considerando los distintos fen´omenos que tienen lugar — tambi´en registrados en mallas de datos con id´entica divisi´on en celdas — se estudian las distintas componentes del ciclo hidrol´ogico y su evoluci´on temporal. Una de tales celdas, caracterizada ya como un elemento en equilibrio desde el punto de vista hidrol´ ogico, con entradas y salidas y con un comportamiento dado que viene definido por los valores de los distintos par´ametros dentro de la misma, queda representada en la figura (5.1)

Figura 5.1: Balance h´ıdrico en una celda dada dentro de un modelo distribuido b´asico. Las diferentes componentes se pueden identificar r´apidamente entre aquellas que algunas l´ıneas atr´as fueron introducidas como mallas b´asicas, por lo que, extendiendo el planteamiento de una celda a la totalidad de la malla — para ello es necesario conocer la relaci´on existente entre las distintas celdas al respecto de cada una de dichas componentes —, se puede redibujar este esquema dando lugar a uno como el mostrado en la figura (5.2). En esta u ´ltima, la bater´ıa de capas de informaci´on, cada una de ellas registrada en una malla de datos, dan lugar a unos resultados —que pueden ser una o varias capas m´as, o bien datos puntuales —, en virtud del an´alisis de los procesos que tienen lugar en cada una de las celdas.

Figura 5.2: Estructura b´asica de un modelo hidrol´ogico distribuido. Desde otro punto de vista, como queda reflejado en la figura (5.3), cada celda puede tam-

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

190

bi´en considerarse como una unidad independiente desde el punto de vista de sus caracter´ısticas f´ısicas — relieve, vegetaci´on y suelo, esencialmente —, pudi´endose en base a las mismas proceder a la obtenci´on de las capas de informaci´on anteriormente mencionadas de escorrent´ıa, infiltracion, etc. La utilizaci´on directa de mallas de datos referidos a dichas cualidades f´ısicas para la obtenci´on de los par´ametros hidrol´ogicos mencionados, constituye la principal materia del resto de cap´ıtulos del texto.

Figura 5.3: Caracterizaci´on de cada celda como una unidad independiente desde el punto de vista de sus caracter´ısticas f´ısicas. La base para el desarrollo de modelos distribuidos reside fuertemente en esta consideraci´on (Adaptado de Wigmosta)

Alguna informaci´on relacionada con dichas salidas en formato malla de datos son tambi´en requeridas para alguno de los modelos, en particular los valores iniciales sobre los que comenzar la ejecuci´on del mismo. As´ı, se constituye el conjunto de capas del modelo como formado por un subconjunto de ellas que aportan informaci´on acerca de las condiciones y elementos que act´ uan, junto con otro compuesto por mallas de datos sobre las que se reflejan las variaciones de estado en funci´on de lo que indiquen al respecto las anteriores capas y las propias formulas en que se base el modelo. Respecto a las relaciones existentes entre celdas, ´estas es l´ogico pensar que van a depender principalmente del terreno y su relieve, por lo que el MDT va a ser nuestra herramienta de trabajo b´asica tambi´en en este punto. En particular, para el conjunto de entradas y salidas que caracterizan una celda, unas de ellas derivan de los valores concretos de ciertos par´ametros sobre la celda en cada instante t, mientras que otras se calculan a partir de los valores en el instante t − 1 para las celdas de influencia de la celda problema. De modo mas formal, para una variable λ estudiada, y denotando con letras min´ usculas los par´ametros del primer grupo y con may´ usculas los del segundo, podemos expresar de forma gen´erica λi,j t

=

7 X k=1

k ,j+nk λi+m t−1

+ at + bt + · · · +

7 X k=1

k ,j+nk Ai+m t−1

+

7 X

i+mk ,j+nk Bt−1

(5.1)

k=1

i,j representa el valor de la variable X en la celda (i, j) en el instante t − 1. donde Xt−1 Para las celdas de influencia, se suman las entradas de ´estas. Se ha supuesto que existen como mucho 7 celdas de influencia, por lo que es f´acil intuir que se consideran u ´nicamente las situadas en el ya bien conocido entorno 3 × 3. Los valores de m y n se ajustan por tanto a los habituales, donde m, n = 0, 1, −1 ; m · n 6= m + n. Todo ello debiera ser indicativo suficiente de que, como la l´ogica dicta, es la direcci´on de flujo el par´ametro principal para establecer la relaci´on entre celdas en la forma de las antedichas celdas de influencia. Con lo anterior, las ideas m´as generales sobre los modelos quedan definidas, y resumidas de forma sencilla en esta primera etapa. En base a ellas, puede continuarse el an´alisis, espec´ıficando en qu´e medida los anteriores elementos son necesarios en cada tipo de modelo y los requisitos que para cada uno de ellos presentan ´estos u ´ltimos.

5.3. TIPOS DE MODELOS

5.3.

191

Tipos de modelos

Las distinciones que frecuentemente se hacen entre los distintos tipos de modelos existentes pueden llevarse desde muchos puntos de vista, existiendo clasificaciones, generalmente de tipo dicot´omico, seg´ un qu´e aspecto del propio modelo sea el que se tiene en cuenta a la hora de clasificar. Para los objetivos de este libro, y considerando que presentan un mayor inter´es de cara a su aplicaci´on directa — son divisiones que permiten separar modelos cuya formulaci´ on computacional se presta a una implementaci´on pr´actica distinta —, as´ı como por motivos netamente did´acticos, se considerar´an los siguientes criterios Modelos de suceso y modelos continuos. Modelos agregados y modelos distribuidos. Modelos f´ısicos y conceptuales. Modelos seg´ un su objetivo. En el primer cap´ıtulo del libro ya se trabaj´o con algunos conceptos referentes a modelos al introducir la evoluci´on hist´orica de los mismos y su relaci´on con el empleo de perspectivas computacionales. En este caso, no obstante, se aborda la materia desde un punto de vista m´as t´ecnico, con el objeto de mostrar una visi´on global del conjunto de modelos que permita encuadrar conceptualmente las formulaciones y algoritmos hasta el momento desarrollados en el texto, as´ı como los que se desarrollar´an desde este punto en adelante. Es seguro, de cualquier modo, que este nuevo an´alisis ayudar´a a la comprensi´on de la evoluci´on hist´orica ya presentada, igual que ´esta resulta de inter´es para entender el contexto en que tiene lugar la aplicaci´on de la base te´orica aqu´ı desarrollada.

5.3.1.

Modelos de suceso y modelos continuos

Una primera divisi´on conceptual es la basada en el periodo de tiempo considerado como objeto de la modelizaci´on. Mientras que los modelos de suceso calculan los par´ametros — especialmente hidrogramas — asociados a un lluvia concreta con una duraci´on relativamente reducida (horas o d´ıas), los continuos est´an principalmente dirigidos al estudio del r´egimen hidrol´ogico sobre un intervalo de tiempo de magnitud muy superior al de los anteriores, debiendo incorporarse en la modelizaci´on ciertos elementos y procesos que pueden ser despreciados en los modelos de suceso. Ambos tipos de modelos son tratados con igual intensidad a lo largo de estas p´aginas, pues se enfocan hacia el estudio de un mismo suceso f´ısico pero desde diferentes perspectivas y con objetivos tambi´en distintos. En general, los modelos de suceso suelen situarse dentro de los denominados de proyecto, utilizados, entre otras cosas, para el dimensionamiento de obras o el an´ alisis de la extensi´on de las zonas inundables. Por su parte, los modelos continuos se sit´ uan m´as cerca de los conocidos como modelos predictivos, m´as enfocados hacia la estimaci´ on a corto y medio plazo a partir de datos observados, pudiendo incluir asimismo predicciones meteorol´ogicas como datos de entrada. Para el lector que no desconociera de antemano estos t´erminos, habr´a sido facil reconocer en las explicaciones del apartado anterior relativas al equilibrio hidrol´ogico de cada celda un modelo m´as probablemente de tipo continuo que enfocado a eventos. Esta elecci´ on es as´ı unicamente debido al mayor n´ umero de variables que se consideran en estos primeros, lo que los hace m´as adecuados para la introducci´on te´orica de una visi´on global como la anterior.

192

5.3.2.

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

Modelos agregados y distribuidos

La divisi´on de mayor relevancia en el entorno en que trabajamos es, sin duda, la establecida en funci´on del tratamiento que se d´e a las diferentes unidades en que se divide la zona objeto de an´alisis y las caracter´ısticas de dichas unidades. Los modelos agregados consideran las cuencas y subcuencas como unidades de trabajo, mientras que en los distribuidos las unidades, adem´as de tener generalmente menor tama˜ no y estar definidas de forma regular, no tienen un significado hidrol´ogico tan definido ni representan elementos hidrogr´aficos concretos. La estructura de los MDTs y mallas de datos adicionales, as´ı como de las im´agenes a´ereas o procedentes de sensores remotos, todas ellas ya divididas en unidades m´ınimas (celdas o p´ıxeles), hace que resulte natural el emplear estas mismas unidades tambi´en como unidades hidrol´ogicas, existiendo por tanto una tendencia natural a plantear sobre dicha estructura modelos de tipo distribuido. Por ello, y como se ha dicho ya anteriormente, ser´a en ´estos en los que se base prioritariamente este texto, quedando, no obstante, ampliamente representadas las soluciones que, en relaci´on con modelos agregados, pueden derivarse del an´alisis computacional del terreno y otros factores implicados. Lejos de no aprovechar las ventajas que de este an´alisis puede obtenerse, los m´odelos agregados tambi´en se surten abundantemente de las mismas, haci´endolo adem´as mediante una adaptaci´on sencilla y manteniendo as´ı su vigencia y validez con una mejora notable en sus prestaciones en cuanto a precisi´on y fiabilidad. Es por ello que, si bien es probable que la base expositiva se incline m´as hacia los modelos distribuidos — al menos conceptualmente — ser´an abundantes los contenidos acerca de modelos agregados, concedi´endose en este sentido igual importancia a ambos planteamientos. Desde un punto de vista te´orico es interesante hacer notar que los modelos distribuidos, al apoyarse en una divisi´on sistem´atica del terreno — en celdas cuadradas en este caso — emplean como unidades m´ınimas unos elementos sin ninguna significaci´on hidrol´ogica. Los de tipo conceptual, sin embargo, y aunque el apoyo sobre la malla del MDT permita alcanzar una resoluci´on muy elevada y trabajar con unidades peque˜ nas, se fundamentan siempre en elementos con significado hidrol´ogico, por lo que en su aspecto conceptual se presentan, al menos a primera vista, con un inter´es adicional a este respecto (Gim´enez Fern´andez, J.C, comunicaci´on personal) En contra de la opini´on de algunos autores (vease, por ejemplo, Frances, 1995), creo que la aparente inferioridad de los modelos agregados no es tal cuando se analizan todos los aspectos que concurren sobre la evaluaci´on de los mismos, debiendo plantearse una coexistencia armoniosa entre ´estos y los modelos distribuidos, siendo err´oneo en un texto como el presente dejar de lado a alguno de los mismos en favor del otro.

5.3.3.

Modelos f´ısicos y conceptuales

Otra clasificaci´on de modelos que ha visto potenciada la presencia y empleo de uno de sus representantes con la introducci´on de nuevas t´ecnicas basadas en elementos de cartograf´ıa digital y en el tratamiento computacional de los mismos, es la que hace referencia a las bases te´oricas en las que se fundamentan dichos modelos. Los modelos denominados f´ısicos se basan en el empleo directo de las expresiones matem´aticas que, para cada fen´omeno concreto, se encuentran definidas y son de aplicaci´on habitual tanto desde el punto de vista pr´actico como en el desarrollo te´orico de otros planteamientos. Las ecuaciones de conservaci´on de la masa y conservaci´on de la cantidad de movimiento, por poner ejemplos sencillos y bien conocidos, son algunas de las m´as b´asicas y primordiales a considerar. La utilizaci´on de este enfoque implica el trabajo con una gran cantidad de datos y el proceso de toda ese volumen de informaci´ on de acuerdo con las diversas f´ormulas matem´aticas

5.4. APOYO EN LA CARTOGRAF´IA DIGITAL

193

utilizadas, circunstancia que, sin duda alguna, se ha visto favorecida por la utilizaci´on de medios inform´aticos en la implementaci´on y el uso pr´actico de estos modelos. Junto a esto, la imposibilidad conceptual de generalizar algunas de estas formulaciones te´oricas para elementos de tal magnitud como cuencas o subcuencas ha hecho que el escenario dispuesto por los modelos distribuidos sea altamente m´as compatible con la idea de un modelo f´ısico, por lo que son estos modelos de base f´ısica y de tipo distribuido los grandes beneficiarios de este nuevo entorno de trabajo y, por tanto, con una presencia muy importante dentro de esta obra. Por su parte, los modelos conceptuales generalmente se presentan como simplificaciones de m´as sencilla aplicaci´on con respecto a los modelos f´ısicos, bas´andose en una formulaci´ on de tipo experimental convenientemente contrastada. Al igual que suced´ıa con los modelos agregados, tambi´en ´estos, pese a la buena disposici´on de sus opuestos los modelos de base f´ısica, aprovechan en gran medida los resultados derivados del an´alisis de MDTs y similares. Para ello, pueden sin dificultad integrarse de modo sumamente ventajoso con los modelos de tipo distribuido, al mismo tiempo que, si se conjugan con enfoques de tipo agregado, algunos de sus conceptos b´asicos pueden ser mejorados o redefinidos de acuerdo con los resultados de los que se dispone sobre la base del tratamiento computacional de datos base que ya fue presentado.

5.3.4.

Modelos seg´ un su objetivo

Aunque no es una clasificaci´on al uso como las anteriores, es interesante separar los disintos modelos en funci´on de qu´e se persigu´e con su aplicaci´on. Existiendo modelos que trabajan con un gran n´ umero de variables finales en sus resultados, as´ı como otros de car´acter m´as especifico, puede con sencillez establecerse una distinci´on en funci´on de c´ ual de dichas variables finales queda modelizada en mejor forma en cada uno de ellos, constituyendo as´ı la verdadera utilidad del mismo. M´as all´a de lo anterior, el inter´es que puede tener dentro de este texto se debe a que esta capacidad principal de cada modelo es quien va a condicionar en gran medida la formulaci´on conceptual de ´este. En particular, se van a considerar aqu´ı los que se enfocan principalmente hacia la estimaci´ on de caudales — bien de tipo medio o extremos de car´acter puntual —, as´ı como al estudio de fen´omenos erosivos tanto desde un punto de vista puramente cuantitativo como desde el aspecto cualitativo, m´as interesante este u ´ltimo para el manejo y gesti´on de cuencas vertientes, la restauraci´on hidrol´ogica y otras actividades similares. Otras finalidades, tales como el estudio de la calidad de las aguas o el movimiento de nutrientes, o la evaluaci´on de los recursos h´ıdricos globales, no se tratan en profundidad, centr´andose la exposici´on sobre los anteriormente mencionados. Como puede verse, el ´enfasis principal se sit´ ua sobre los procesos de tipo f´ısico y relacionados con el flujo superficial, en detrimento de otros como, por ejemplo, aquellos que se fundamenten en mayor medida en el estudio de la hidrolog´ıa subterr´anea, aspecto tambi´en algo tratado en estas p´aginas, aunque muy lejos de la extensi´on que, por su complejidad, podr´ıa recibir en otro tipo de textos. El inter´es por los modelos de tipo f´ısico ya fue justificado algunas l´ıneas atr´as, puesto que, al verse su aplicaci´on facilitada por el empleo de cartograf´ıa digital y el tratamiento sobre un entorno inform´atico, resulta pertinente centrarse sobre este tipo de modelos, con objeto de sacar el m´aximo partido a todo lo ya desarrollado, incorpor´andolo de manera ventajosa en este tipo de modelos una vez ´estos han sido tratados con la suficiente extensi´on.

5.4.

Apoyo en la cartograf´ıa digital

Las diferentes necesidades que deben afrontarse para el empleo de uno u otro tipo de modelo hidrol´ogico hace que, considerando la totalidad o una gran parte de datos como provenientes

194

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

de fuentes cartogr´aficas, el uso de dicha cartograf´ıa no se d´e en la misma medida en todos los tipos de modelos a estudiar. Por ello, resulta adecuado en este cap´ıtulo de introducci´on de fundamentos b´asicos el presentar de manera esquem´atica el modo en que cada tipo de modelo se apoya sobre los distintos elementos cart´ograficos que componen el abanico de datos de los que se dispone, y entre los cuales sobresale en el contexto de este libro el Modelo Digital del Terreno y todas las mallas de datos que del mismo derivan. Asimismo, gran parte de variables no se presentan en formato cartogr´afico pero derivan de alg´ una malla de datos — muy especialmente del MDT —, existiendo tambi´en diversidad en cuanto a la utilizaci´on de ´estas variables y la forma en que deben considerarse como parte de los modelos hidrol´ogicos empleados. En posteriores cap´ıtulos, cada uno de los elementos a utilizar — y en especial cada una de las mallas de datos con las que se trabaja en el conjunto global de modelos — ser´a detallada a diferentes niveles, debiendo considerarse entonces la incorporaci´on del mismo bajo unas u otras circunstancias, en funci´on del tipo de modelo a utilizar y los aspectos que a continuaci´on ser´an indicados en relaci´on cada una de las clasificaciones ya conocidas. Con car´acter general, la vinculaci´on que pueda existir entre un tipo de modelo y las diferentes mallas de datos disponibles no debe verse u ´nicamente como una necesidad cuantitativa de n´ umero de par´ametros distintos requeridos por el modelo, sino como un indicador cualitativo que indica el tipo de relaci´on que se establece entre dicho modelo y el conjunto de mallas de datos o, visto de otro modo, la forma en que cada modelo saca partido a las capacidades de dichas mallas y c´omo esto puede aplicarse ante una posible implementaci´on del modelo dentro de una aplicaci´on de tipo SIG. Como veremos progresivamente desde este punto en adelante, y a medida que aumentemos el detalle del an´alisis asociado a cada factor, la comprensi´on de este uso distinto de elementos es la que define el verdadero n´ ucleo de ideas que permite la implementaci´on de cada formulaci´on y la articulaci´on de las mismas en modelos completos y consistentes. Para el caso particular del MDT y el empleo del mismo, se apuntan seguidamente algunas breves ideas de acuerdo con los tipos de modelos ya conocidos.

5.4.1.

Modelos de suceso y modelos continuos

Comenzando el estudio seg´ un los tipos de modelos, y siguiendo un esquema similar al del apartado anterior, estudiamos en primer lugar las diferencias que surgen como consecuencia de los periodos de tiempo que abarca la modelizaci´on desarrollada. En este caso, es de resaltar la dependencia de los modelos de suceso en los distintos tipos de cartograf´ıa es menor en t´erminos absolutos, al ser necesario un menor detalle debido a la duraci´on menor de los eventos estudiados, la cual permite prescindir de ciertos elementos como ya se dijo. Es por ello que ciertas capas, tales como las de evapotranspiraci´on, no van a aparecer en modo alguno en estos modelos. Por otra parte, la caracterizaci´on de la respuesta de la cuenca es un factor importante que debe lograrse en la mejor medida posible, por lo que la informaci´on geomorfol´ogica obtenida mediante el an´alisis del MDT va a encontrar un uso notable en todos aquellos modelos de esta clase. La pr´actica totalidad de par´ametros que han sido estudiados en relaci´on con el an´alisis del terreno van a tener alguna utilidad dentro de los modelos agregados, en contraste con los modelos continuos, donde, pese a su mayor complejidad, la modelizaci´on prescinde de, por ejemplo, gran parte de los par´ametros descriptores de cuencas y cauces. Esta circunstancia se justifica y se refuerza con el hecho de que, en las condiciones actuales, los modelos de tipo agregado se emplean con mas frecuencia en conjunci´on con planteamientos enfocados m´as al estudio de eventos que al an´alisis continuo, existiendo una mayor vinculaci´on, como veremos, entre estos modelos agregados y la informaci´on geomorfol´ogica, en particular

5.4. APOYO EN LA CARTOGRAF´IA DIGITAL

195

la constituida por resultados individuales.

5.4.2.

Modelos agregados y distribuidos

Efectivamente, como se acaba de introducir, los modelos agregados van ligados a la utilizaci´on de par´ametros globales en lugar de par´ametros particulares para cada celda, como es el caso en los modelos distribuidos. La forma habitual de relacionar el an´alisis del terreno a partir del MDT con esta circunstancia, la encontramos en un uso predominante de los par´ ametros globales obtenidos para cuencas o subcuencas, en detrimento de informaci´on puntual que pueda representarse mediante nuevas mallas de datos. Desde la perspectiva de los modelos agregados, debe entenderse la presencia de un MDT como una alternativa que permite la automatizaci´on de los c´alculos a efectuar sobre el relieve, consigui´endose mediante su uso tambi´en una resoluci´on y precisi´on altamente superior a la que se obtendr´ıa mediante el empleo de cartograf´ıa cl´asica. Podemos decir, por estar los valores obtenidos del MDT utilizados en este esquema relacionados con la estructura de cuencas y redes de drenaje — elementos hidrogr´aficos de la cuenca de estudio —, que el apoyo de este tipo de modelos en la cartograf´ıa digital de elevaciones es de tipo predominantemente hidrogr´afico, en contraste con un aprovechamiento m´as netamente hidrol´ogico que tiene lugar en los modelos de tipo distribuido. En el caso de los modelos distribuidos, aun manteni´endose un enfoque todav´ıa de corte conceptual, la integraci´on de los MDTs como fuente de datos se realiza de modo m´as pr´ oximo, incorpor´andose con mayor actividad dentro del proceso de modelizaci´on en sus sucesivas etapas.

5.4.3.

Modelos f´ısicos y conceptuales

La diferencia entre estas dos filosof´ıas de modelo en lo referente al uso que realizan de la cartograf´ıa digital de elevaciones y la intensidad en que dicha utilizaci´on se da, no son tan apreciables como en los casos anteriores. Tanto los modelos f´ısicos como los conceptuales requieren en la mayor´ıa de ocasiones informaci´on de relieve o derivada del mismo, por lo que su dependencia de la informaci´on geomorfol´ogica es similar, al menos en cuanto a su magnitud. A efectos de las consideraciones que pueda ser necesario realizar en el planteamiento de uno u otro tipo de modelo y la implementaci´on del empleo de MDTs en el seno de los mismos, pueden tomarse ´estos modelos de forma id´entica sin que existan diferencias notables que condicionen la manera en que la integraci´on con los elementos de cartograf´ıa digital deba realizarse.

5.4.4.

Regionalizaci´ on y unidades de respuesta hidrol´ ogica

Sin tratar este punto de un tipo particular de modelo como los expuestos con anterioridad, la regionalizaci´on constituye un aspecto en ´ıntima relaci´on con los conceptos de modelos agregados y distribuidos, a la par que un elemento a considerar si se trabaja sobre una base cartogr´afica actual con una cierta resoluci´on y calidad. Por regionalizaci´on entendemos la creaci´on, dentro de la zona analizada, de ´areas de similares caracter´ısticas hidrol´ogicas cuyo comportamiento pueda considerarse homog´eneo, simplificando de este modo el tabajo con las mismas. Como ya se ha dejado entender ligeramente y se profundizar´a m´as adelante en el tema, el modelo TOPMODEL es un ejemplo de lo anterior, al agrupar las ´areas en funci´on de los valores del par´ametro conocido como ´ındice topogr´ afico. Los criterios para establecer las distinciones pueden ser sumamente diversos, y muchos de ellos pueden inferirse o derivarse de cuanto en cap´ıtulos sucesivos se tratar´a en referencia a los distintos componentes del ciclo hidrol´ogico. Entre estos criterios, como se deduce con

196

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

facilidad, el relieve es un factor presente en ellos con notable fuerza, y por tanto el MDT, m´as aun considerando la ventajosa estructura de su disposici´on regular, es una herramienta de importancia para llevar a cabo dicha regionalizaci´on. Los resultados de ´esta constituyen lo que se denominan Unidades de Respuesta Hidrol´ ogica(Hydrological Response Units en ingles, abreviadamente HRU), y representan elementos que pueden considerarse con un comportamiento similar a efectos de la modelizaci´on posterior a que se va a someter la zona analizada. La divisi´on de dicha zona en estas unidades permite simplificar la informaci´on total contenida en el MDT y otros elementos cartograf´ıcos, al mismo tiempo que se tiene en consideraci´on la variabilidad espacial de los par´ametros que dichos elementos describen. Se sit´ uan, por tanto, en un punto intermedio entre los modelos agregados y los modelos distribuidos, presentando asimismo formulaciones intermedias entre ambos. La utilizaci´on de las Unidades de Respuesta Hidrol´ogica tiene, no obstante, algunos de los inconvenientes asociados a los enfoques agregados, principalmente debido a que la situaci´on de cada una de las unidades dentro de la cuenca no es considerada habitualmente, no siendo en muchos casos dichas unidades conexas, sino simplemente conjuntos de puntos — celdas, si se trabaja con la estructura regular de malla ya habitual — con un comportamiento com´ un. La discontinuidad de las unidades hace necesario efectuar ciertas suposiciones a la hora de relacionar todas ellas para el c´alculo de, por ejemplo, un caudal generado a nivel de cuenca, del mismo modo que dichas suposiciones se realizan sobre un modelo agregado. En algunos aspectos, tales como la estimaci´on de p´erdidas de suelo, la circunstancia anterior tiene un peso relativo menor sobre la precisi´on final asociada, siendo por ejemplo com´ un en cierta medida la creaci´on de unidades de respuesta referidas a erosi´on — frecuentemente presentadas bajo el nombre de Erosion Response Units (ERU) —. En este texto, no se tratar´a el empleo de HRUs como tal alternativa intermedia entre modelos agregados y distribuidos para ning´ un par´ametro, salvo en el caso puntual del modelo TOPMODEL, el cual implementa una filosof´ıa similar a este concepto como ya se dijo. La regionalizaci´on desde el punto de vista hidrologico, representa, pese a todo, una forma interesante de clasificar una cuenca y caracterizarla, siendo interesante el considerar la creaci´on de mallas de datos de las distintas clases creadas de acuerdo con un criterio dado, y el posterior an´alisis de las mismas. Elementos tales como la distribuci´on de frecuencias de las diversas clases existentes son de gran inter´es de cara a obtener una visi´on global y resumida de la cuenca y su comportamiento. De cualquier manera, la exposici´on de las ideas del TOPMODEL y los planteamientos del mismo constituye una gran informaci´on al respecto, pues sus esquemas pueden extrapolarse y emplearse con par´ametros de regionalizaci´ on distintos al propio ´ındice topogr´afico. La adopcion de simplificaciones tales como las que implica el empleo del modelo TOPMODEL son, en cierta medida, gran parte del mecanismo general que reside tras la utilizaci´on de elementos de regionalizaci´on y el an´alisis posterior de las diferentes clases o unidades generadas.

5.5.

Algunos modelos de referencia

El estudio y an´alisis de algunos modelos existentes y utilizados en la actualidad, en cuyas implementaciones se ponen en juego un cierto n´ umero de los elementos de an´alisis del terreno como los ya estudiados, resulta de sumo inter´es para mostrar una visi´on global de la manera en que el empleo de MDTs y mallas raster de datos pueden contribuir al desarrollo de formulaciones hidrol´ogicas m´as precisas y adecuadas. Por ello, y con el fin de introducir una visi´on global de la materia a venir en pr´oximos cap´ıtulos, se recogen en esta secci´on algunos ejemplos de modelos que en su conjunto cubren buena parte de las ideas desarrolladas o por desarrollar en este texto, presentando las concepciones b´asicas de los mismos.

5.5. ALGUNOS MODELOS DE REFERENCIA

197

La comprensi´on de las estructuras b´asicas que definen estos modelos debe tomarse como un paso importante dentro del entendimiento de la filosof´ıa y arquitectura gen´erica de modelos hidrol´ogicos computacionales con apoyo en MDTs, previo al estudio detallado de otras formulaciones accesorias que se desarrollan a partir de dichas arquitecturas conceptuales. De entre la gran variedad de modelos hidrol´ogicos que pueden encontrarse, se han elegido aquellos que se corresponden en mayor medida con el tema del texto — esto es, la utilizaci´ on fuerte de MDTs como ayuda en las distintas facetas a considerar dentro del an´alisis hidrol´ ogico —, centrando asimismo la atenci´ on sobre los que presentaban una mayor generalidad y eran por tanto aptos para la presentaci´on de conceptos que posteriormente se tratar´an en detalle en los pr´oximos temas. La muestra as´ı escogida es suficientemente representativa de cara al contenido de esta obra, constituyendo una buena base tanto desde una ´optica te´orica como en vistas al planteamiento de nuevos modelos mediante el empleo de determinados componentes o ideas tomadas de los aqu´ı presentados.

5.5.1.

TOPMODEL

Tanto desde el punto de vista hist´orico como desde el relativo a su utilizaci´on real y su bondad como elemento ejemplificador de tipo did´actico, el modelo TOPMODEL es sin duda un punto de referencia de cuyo an´ alisis pueden surgir gran n´ umero de ideas y planteamientos en relaci´on con la modelizaci´on computacional de fen´omenos hidrol´ogicos. En particular, una buena parte de los conceptos desarrollados en este texto, aunque tratados desde un punto de vista siempre generalista, toman en parte su forma a partir de los presentes en la concepci´ on original de este modelo. TOPMODEL es un modelo en el cual las din´amicas de los flujos superficial y subsuperficial se modelizan a partir de las relaciones y balances h´ıdricos en los distintos niveles del perfil ed´afico, acudiendo a planteamientos por regla general sencillos y facilmente utilizables. La base principal en t´erminos de su formulaci´on se centra en torno a su tratamiento del suelo y, muy especialmente, su utilizaci´ on particular del terreno, caracterizado a partir de el ´ındice topogr´afico cuya definici´on ya se introdujo en (2.3.15) a trav´es de la expresi´on I = ln(a/ tan β)

(5.2)

La utilizaci´on de este par´ametro y la concepci´on global del modelo tienen como principal consecuencias la gran sencillez del mismo tanto conceptualmente como desde el punto de vista de su utilizaci´on pr´actica, lo cual ha permitido el mantenimiento y evoluci´on ´optima del modelo desde sus or´ıgenes hasta la actualidad. Es de rese˜ nar que, originalmente, cuando el modelo fue formulado, la presencia de MDTs y la disponibilidad de ´estos en buenas condiciones de precisi´ on y resoluci´on de cara a su uso hidrol´ogico era altamente limitada. No obstante, a medida que los MDTs se fueron estableciendo como fuentes de datos clave para el an´ alisis topogr´afico, la idea de un modelo centrado en un ´ındice basado en el relieve y en algunos de los conceptos de an´alisis de relieve que ya conocemos, se integr´o perfectamente con el empleo de dichos MDTs, favoreciendo notablemente el desarrollo del modelo TOPMODEL y permiti´endole alcanzar el status actual del que disfruta. TOPMODEL fue, asimismo, uno de los primero modelos que comenz´o a integrarse con ´exito sobre aplicaciones y conceptos SIG – aparte del propio MDT —, constituy´endose como un representante importante dentro de lo que a modelizaci´on hidrologica basada en SIG se refiere. El enfoque de este texto sobre la aplicaci´on de los Modelos Digitales del Terreno en la modelizaci´on hidrol´ogica obliga a que, como es l´ogico esperar, se preste especial atenci´ on a este modelo, no ya u ´nicamente por su propia formulaci´on, sino por las buenas caracter´ısticas que desde el punto de vista educacional ofrece. Sin centrar la atenci´on sobre los aspectos m´ as

198

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

espec´ıficos o particulares, la presencia en una u otra medida de elementos del TOPMODEL o su influencia m´as o menos directa va a ser una constante a lo largo de buena parte de las restantes p´aginas. Como sus autores indican, TOPMODEL no es un modelo completo de por s´ı, sino tan s´olo un conjunto de conceptos que pueden aplicarse para la modelizaci´on hidrol´ogica de un ´area dada, especialmente en aquellas cuencas que cumplen en buena medida las suposiciones en que se fundamentan dichos conceptos, y que en breve ser´an presentadas. Las adaptaciones de las ideas y principios b´asicos del TOPMODEL son, por tanto, abundantes y realizadas con mayor o menor refinamiento, siendo, no obstante, sobre las ideas b´asicas sobre las que se articular´an aqu´ı los desarrollos pertinentes, abri´endose al lector la posibilidad de su adaptaci´on y mejora al combinarse con el resto de aspectos que en los pr´oximos cap´ıtulos ser´an igualmente tratados. Un esquema gen´erico de la estructura del TOPMODEL se refleja en la figura (5.4). La simplicidad del modelo queda puesta de manifiesto, al tiempo que su estructura, contrastada con los esquemas tipo que se presentaron algunas p´aginas, nos aporta cierta informaci´on sobre la naturaleza del mismo.

Figura 5.4: Estructura conceptual del modelo TOPMODEL Aparte de que el balance de entradas y salidas es sumamente similar al del esquema tipo, la caracter´ıstica mas rese˜ nable la encontramos en los conceptos de flujo superficial y flujo subsuperficial y en la consideraci´on que de los mismos hace el modelo, especialmente del u ´ltimo de ellos. M´as expl´ıcitamente, la generaci´on de escorrent´ıa viene asociada a aquellas celdas cuyo nivel fre´atico llega hasta la superficie, fen´omeno que, como ya vimos, puede estudiarse mediante los valores del ´ındice topogr´afico . Se puede ver ya en este punto la dependencia intensa sobre la topograf´ıa, caracter´ıstica esencial del TOPMODEL ya comentada con anterioridad. En l´ıneas generales, se puede decir que el modelo TOPMODEL se fundamenta en unas sencillas hip´otesis principales, a saber: El flujo subsuperficial puede ser representado por una sucesi´on de estados instantaneos del nivel fre´atico El gradiente hidr´aulico del perfil saturado del suelo puede ser descrito mediante la topograf´ıa, en particular mediante la pendiente en cada punto considerado. La transmisividad del suelo varia de forma aproximadamente exponencial con la profundidad. Con lo anterior, la ejecuci´on del modelo supone el estudio de los diferentes excesos o d´eficits de agua en el suelo, los cuales caracterizar´an a su vez las escorrent´ıas generadas y permitir´an la obtenci´on de resultados hidrol´ogicos derivados. Puesto que, como se ha dicho, las referencias a este modelo van a ser frecuentes en sucesivos apartados una vez se entre en detalle para cada uno de los factores que intervienen en balance

5.5. ALGUNOS MODELOS DE REFERENCIA

199

hidr´ologico de las unidades consideradas, esta secci´on se limitar´a a comentar las generalidades al respecto, reserv´andose para posteriores p´aginas un an´alisis m´as en profundidad, donde convenientemente se se˜ nalar´a la procedencia de las formulaciones seg´ un corresponda. De igual modo, la integraci´on final de todos los diferentes par´ametros y f´ormulas de cara a la obtenci´ on de resultados se tratar´a en detalle en el tema correspondiente. Desde el punto de vista pr´actico, el modelo se opera con valores relativos a los siguientes factores: Precipitaci´on Caracter´ısticas del suelo Condiciones iniciales ´Indice topogr´afico Opcionalmente histograma de tiempos de salida. Aunque tanto el ´ındice topogr´afico como los valores de tiempos de salida derivan de sus correspondientes mallas, las cuales a su vez provienen del an´alisis del MDT, la informaci´ on que toma el modelo no es en forma de mallas de datos, sino en forma de valores puntuales o series de valores, con lo que su apoyo ((directo)) sobre la cartograf´ıa digital es pr´acticamente nulo. En particular, tanto los tiempos de salida como el ´ındice topogr´afico se introducen en TOPMODEL como histogramas de frecuencias de los mismos en la cuenca analizada. Los restantes par´ametros tales como las caracter´ısticas del suelo se introducen como valores puntuales, siendo la precipitaci´on empleada como una serie de ´estos correspondiente al desarrollo temporal de la tormenta que se estudia. En el caso de los valores que definen las caracter´ısticas del suelo, es posible el empleo de mallas que reflejen la variabilidad espacial de los mismos, aunque lo habitual es la suposici´on de valores constantes debido a que la informaci´on a este respecto suele ser inexistente, siendo los propios autores conscientes de ello al plantear su modelo y la implementaci´on pr´actica del mismo. Junto a estos elementos resulta posible la introducci´on de elementos relativos a subcuencas y elementos hidrogr´aficos de cara a complementar el modelo, aunque se puede decir que no forman parte del funcionamiento propio del mismo en sentido estricto. Como puede verse, la sencillez es una de las cualidades m´as notables del TOPMODEL, unida a su uso intenso pero simple de la informaci´on topogr´afica, derivada ´esta, por supuesto, del Modelo Digital del Terreno de la forma que ya conocemos. La informaci´on del suelo tambi´en cobra un papel relevante el en proceso de modelizaci´on, dejando claro que son el suelo y el relieve los principales condicionadores del comportamiento hidrol´ogico en la cuenca seg´ un este modelo. Todos los detalles acerca de los distintos par´ametros, asi como el significado de ´estos, se detallar´a en profundidad a lo largo de los proximos cap´ıtulos.

5.5.2.

DHSVM

De creaci´on m´as reciente que el anterior, el modelo DHSVM (Distributed Hydrological Soil-Vegetation Model) supone una formulaci´on mas detallada de los procesos hidrol´ogicos, considerando activamente el papel del suelo y la vegetaci´on y la evoluci´on de estos, y teniendo en cuenta su influencia en los valores de distintos par´ametros del modelo, los cuales, como era el caso de la evapotranspiraci´ on, se introduc´ıan directamente en el modelo como dato de procedencia externa.

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

200

DHSVM es un modelo distribuido de base f´ısica el cual, al igual que el TOPMODEL, centra sus capacidades en la modelizaci´on del flujo superficial — escorrent´ıa — y subsuperficial. El mayor nivel de detalle del modelo redunda en una elevada cantidad de capas de informaci´on que deben incluirse en el mismo, como cabe esperar. De modo particular, el n´ ucleo de proceso del modelo lo constituye el estudio en profundidad de los balances de masa y energia en cada celda, el cual se lleva a cabo mediante el empleo de un alto n´ umero de mallas de datos. Estas mallas de datos pueden agruparse esquem´aticamente en los siguientes grupos. Informacion del relieve en forma de un MDT Informaci´on fisica del suelo en relaci´on con su textura y propiedades de tipo hidr´aulico Informaci´on acerca de la vegetaci´on Informaci´on meteorol´ogica, incluyendo precipitaci´on, temperatura, velocidad del viento, radiaci´on de onda corta y radiaci´on de onda larga. Como se puede observar, los requerimientos en cuando a datos meteorol´ogicos son muy notables debido a la necesidad de conocer todos estos factores de cara a evaluar algunos par´ametros tales como la ETP con el nivel de detalle que pretende el modelo. En la exposici´on detallada de estos par´ametros a lo largo de los sucesivos cap´ıtulos del libro, se tomar´a una postura intermedia entre la simpleza en ciertos aspectos del TOPMODEL y la mayor complejidad del DSHVM, opt´andose por mostrar los detalles de formulaci´on u ´nicamente en aquellos par´ametros para los cuales pueda darse un uso m´as intenso del MDT, en detrimento de otras mallas de datos cuyo c´alculo queda fuera del tema central de esta obra.

5.5.3.

Heart

En contraste con las concepciones principalmente de tipo continuo de los modelos anteriores, Heart representa una soluci´on eminentemente enfocada al an´alisis de eventos, siendo por tanto su planteamiento distinto en numerosos aspectos. Dotado de una amplia gama de capacidades de an´alisis del terreno en sentido estricto, el modulo de modelizaci´on hidrol´ogica de Heart hace uso de dichas capacidades para integrar modelos tanto agregados como distribuidos que aprovechan los resultados extra´ıdos del MDT para ofrecer una modelizaci´on precisa de eventos hidrol´ogicos sobre cuencas de peque˜ no y medio tama˜ no. Los modelos agregados se corresponden en gran medida, salvo algunas mejoras y ciertas simplificaciones, con los implementados en el conocido programa HEC–HMS y su antecesor HEC–1, vinculados fuertemente, no obstante, con el an´alisis del terreno que el propio Heart realiza, y que hace innecesaria la introducci´on de un buen n´ umero de par´ametros que son extra´ıdos directamente por el programa a partir del MDT. Las capas de informaci´on necesaria para operar Heart son las mismas con independencia del modelo que se emplee dentro de los implementados en el programa, pudiendo esquematizarse en las siguientes: Informaci´on del relieve en forma de un MDT Parametros de escorrent´ıa de cada celda, en particular Numeros de Curva. Precipitaci´on. Opcionalmente informaci´on acerca de vegetaci´on y suelo para la estimaci´on de perdidas de suelo.

5.6. CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES

201

Puesto que se trata de un modelo de suceso y uno de sus usos importantes es el relacionado con el dise˜ no hidrol´ogico y la estimaci´on de par´ametros hidrol´ogicos en eventos m´aximos, Heart admite la introducci´on de los datos referidos a precipitaci´on como series de datos puntuales en base a las cuales se elaboran las correspondientes mallas, disponiendo de m´odulos de an´ alisis estad´ıstico de datos y generaci´on de eventos de c´alculo. Los pormenores de este proceso se analizar´an con detalle en el pr´oximo tema, donde quedar´an reflejados con mayor profundidad los conceptos a este respecto. La naturaleza propia del modelo hace que, como puede verse, la complejidad y volumen de informaci´on necesaria para su operaci´on sea menor, pues gran parte de los factores de mayor complejidad quedan ignorados como ya se explic´o en su momento. Desde el punto de vista de las ideas en las que se fundamenta, Heart se distingue de los anteriores, como modelo de suceso que es, en no plantear para cada celda un equilibrio de masa o energ´ıa, acudiendo a elementos conceptuales — muchos de ellos de tipo cl´asico — que se adaptan a las caracter´ısticas de la implementaci´on y el trabajo intenso realizado en el an´alisis de Modelos Digitales del Terreno como datos b´asicos. Aunque tambi´en se incorporan formulaciones f´ısicas explicitas en algunos puntos, ´estas no lo hacen en un esquema similar al que resulta habitual para los modelos de tipo continuo tales como los ya presentados DHSVM o TOPMODEL. Desde un punto de vista de su relaci´on con los MDTs y el an´alisis del terreno, Heart centra esta relaci´on sobre la extracci´on de par´ametros concretos que luego son incorporados dentro de las formulaciones de tipo conceptual. En este sentido, el an´alisis del MDT se adhiere a todo lo en su momento comentado acerca del uso que los modelos de tipo agregado hacen del MDT, pues el nucleo de Heart es un modelo agregado en su mayor´ıa, al mismo tiempo que un modelo que depende ´ıntimamente de la presencia de un MDT para su funcionamiento.

5.6.

Conclusiones y consideraciones

Antes de comenzar a tratar los elementos b´asicos de la modelizaci´on hidrol´ogica y exponer sus particularidades en relaci´on con el entorno computacional y la utilizaci´on de MDTs, puede prepararse el recorrido por los siguientes temas mediante una ultima mirada global a los mismos. Al comienzo del cap´ıtulo, se reflej´o de modo gr´afico en la figura (5.2) el esquema de capas de informaci´ on dentro de un modelo hidrol´ogico t´ıpico. Los pr´oximos cap´ıtulos no har´an sino entrar en detalle en cada una de las mallas entonces reflejadas de forma indicativa, relacionando ´estas con los Modelos Digitales del Terreno y presentando las formulaciones oportunas en cada caso. En un punto intermedio entre la simplicidad del esquema general y el detalle que en breve se desarrollar´a para cada elemento, la figura (5.5) traza una visi´on gen´erica sobre la forma en que un Modelo Digital del Terreno puede ser combinado con otras capas de informaci´ on o puede servir de apoyo para el desarrollo de ´estas de cara a una modelizaci´on hidrol´ ogica posterior. Es f´acil comprender que la elevada complejidad de los an´alisis que implican las distintas relaciones expl´ıcitamente plasmadas en dicha figura, unido a la multiplicidad en muchos casos de los elementos en ella recogidos y a la necesidad de un estudio a lo largo de un n´ umero elevado de intervalos de tiempo, convierte al estudio detallado de los fen´omenos hidrol´ogicos en un un sistema sumamente complejo. Este sistema no puede ni debe limitarse a la realizaci´on de c´alculos sobre las diferentes mallas de datos disponibles, debiendo estar dotado de una correcta estructura y construido sobre una arquitectura conceptual adecuada a los objetivos buscados con la propia modelizaci´on.

202

CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

Figura 5.5: Esquema de la utilizaci´on e incorporaci´on de Modelos Digitales del Terreno en los diferentes elementos que forman parte de un proceso de modelizaci´on hidrol´ogica gen´erico.

No es el prop´osito de los pr´oximos cap´ıtulos, ni tampoco de esta obra en su conjunto, el plantear desde aqu´ı un modelo completo que integre toda la informaci´on que en estas p´aginas se presenta acerca de los distintos factores y par´ametros a considerar. Por el contrario, se trata de introducir las diversas maneras en que la presencia de un MDT como caracterizador preciso del relieve puede ayudar en la confecci´on de las mallas de datos involucradas en la modelizaci´on como datos de partida. Para cada una de los par´ametros analizados, se estudia la implicaci´on del MDT y otros elementos afines desde un punto de vista te´orico, entrando en detalle con objeto de matizar suficientemente los pormenores de dicha implicaci´on. No obstante, la presentaci´on de todos estos elementos no obliga a la utilizaci´on de su conjunto completo, siendo en funci´on de las caracter´ısticas de cada modelo que se utilizan unos conceptos u otros. La exposici´on de estos conceptos e ideas es el fin fundamental de los restantes cap´ıtulos del libro. Como ejemplo, los modelos existentes presentados algunos apartados atr´as hacen uso de un n´ umero mayor o menor de formulaciones de acuerdo con su nivel de detalle. Se busca que el lector comprenda la forma en que estos modelos se construyen, adquiera un conocimiento suficiente para abordar la implementaci´on de un modelo de similares caracter´ısticas sobre una base inform´atica y, especialmente, comprenda el importante papel que las representaciones digitales del relieve, materializadas de modo particular en el MDT, pueden jugar en el seno de dicho modelo.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

¿Que tipo de modelos ser´ an m´ as sensibles a la utilizaci´on de uno u otro algoritmo de asignaci´on de direcciones de flujo, los continuos o los de suceso? Raz´onese la respuesta.

5.6. CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES 2.

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¿En que tipo de modelos resulta mas relevante la aplicaci´on de algoritmos eficientes computacionalmente, los continuos o los de suceso? Raz´onese la respuesta.

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CAP´ITULO 5. IDEAS GENERALES Y ANTECEDENTES

Cap´ıtulo 6

Precipitaci´ on y evaporaci´ on The sky is crying. Elmore James There are holes in the sky, Where the rain gets in. They’re not very large, So the rain is thin. Spike Milligan

6.1.

Introducci´ on

Dos elementos que frecuentemente constituyen de por s´ı bloques distintos dentro de los textos de hidrolog´ıa, se presentan unidos en ´este con objeto de mostrar las similitudes que en lo referente a su manejo podemos encontrar en ambos elementos. La utilizaci´on de conceptos similares, aunque aplicados en cada caso sobre los fundamentos y componentes te´oricos relativos a cada uno de estos fen´omenos, servir´a para introducir las nociones generales de la utilizaci´on de informaci´on meteorol´ogica y similar dentro de nuestra filosof´ıa de trabajo, a la par que mostrando algunas de las ventajas que pueden derivarse de este uso. Abandonando ya el mero an´alisis del relieve, los Modelos Digitales del Terreno nos siguen acompa˜ nando de dos formas distintas, una de tipo conceptual y otra con car´acter m´as tangible. En primer lugar, la propia estructura del MDT sobre la que tanto ya se ha hablado se va a demostrar tambi´en u ´til para el trabajo con la informaci´on manejada en este cap´ıtulo, extendiendo a´ un m´as su valor e idoneidad para el desarrollo de nuestro trabajo. En segundo lugar, la aplicaci´on directa de los Modelos Digitales del Terreno para el c´alculo de ciertos par´ametros va a suponer un aumento importante en la cantidad de informaci´on disponible, redundando en una mayor disponibilidad de informaci´on de cara al desarrollo de modelos adecuados relativos tanto a la precipitaci´on como, especialmente, a la evaporaci´on, ambos procesos de suma importancia dentro del ciclo hidrol´ogico. A´ un sin entrar de lleno en la pura modelizaci´on hidrol´ogica, nos vamos acercando cada vez m´ as a la misma, introduciendo elementos que poco a poco conforman todo el espectro necesario para un correcto desarrollo de ´esta.

6.2.

Precipitaci´ on

La precipitaci´on es, sin ning´ un duda, el punto en el que debemos comenzar la exposici´on del presente bloque. Es esta precipitaci´on la que, al llegar al suelo (es decir, al entrar en contacto con ese terreno que con tanta profundidad estudiamos en la parte anterior) producir´ a los 205

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´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

fen´omenos hidrol´ogicos sobre los que guardamos inter´es, y la que por tanto debemos conocer para estimar con posterioridad la magnitud y forma de los mismos. Desde la perspectiva que nos ocupa, el objetivo principal no es otro que el de conocer la forma en que los datos de precipitaci´on disponibles pueden integrarse con toda la informaci´on que ya hemos extra´ıdo del MDT, para, en la medida de lo posible, producir una suerte de sinergia entre ambos conjuntos de datos, siempre gracias al empleo de nuevos planteamientos, tecnolog´ıas y m´etodos como algunos de los ya explicados. Los datos sobre los que nos centraremos, y en base a los cuales debemos tratar de cumplir lo anterior, son principalmente datos en formatos cl´asicos, pues son ´estos mayoritariamente los que vamos a poder obtener de las fuentes habituales. En cierta forma, la situaci´on es similar a la que se introdujo hace ya bastantes p´aginas en lo referente a la creaci´on del MDT, cuando se comentaba la habitual procedencia de la informaci´on base de mapas de elevaciones cl´asicos y similares. Tambi´en en este caso se har´a menci´on a la adaptaci´on y conversi´on entre formatos, compar´andose las metodolog´ıas y necesidades de ambos casos. No obstante, los avances tecnol´ogicos no han dejado de lado al ´ambito de la recogida de datos de tipo meteorol´ogico, existiendo de modo complementario a las anteriores, otras formas de presentaci´ on de esta informaci´on, m´as acordes con los planteamientos aqu´ı desarrollados, y que analizaremos de igual modo. Respecto a ´estos, en ning´ un caso es mi intenci´on entrar en temas puramente meteorol´ogicos, de an´alisi estad´ıstico estad´ıstica, predicci´on o similares, sino tan solo describir los nuevos elementos relativos a la precipitaci´on que pueden entrar a formar parte de los modelos hidrol´ogicos que m´as adelante se estudiar´an, poniendo de manifiesto diferencias y ventajas de ´estos con otros ya conocido y habituales en la hidrolog´ıa en su sentido m´as cl´asico. La atenci´on se centra, pues, sobre dichos elementos, y no sobre formulaciones o planteamientos novedosos que dentro del ´ambito propio de la meteorolog´ıa se encuentren relacionados con los anteriores, siendo este un campo amplio y complejo en el que no resulta procedente entrar en el contexto de esta obra.

6.2.1.

El Modelo Digital de Precipitaciones

Si sobre la matriz de datos del MDT, y mediante su an´alisis concreto, obten´ıamos otra serie de mallas relativas a otros tantos par´ametros, parece l´ogico pensar que para el registro de los datos de precipitaci´on, si pretendemos continuar el an´alisis por una linea similar, debemos acudir a una representaci´on raster de los mismos que pueda integrarse de forma armoniosa con toda la bater´ıa de factores de los que ya disponemos. Surge as´ı el concepto que, por mera extensi´on, denominaremos Modelo Digital de Precipitaciones (MDP abreviadamente), y que no es sino una nueva malla en cada una de cuyas celdas se contendr´a un valor de precipitaci´on asociado a la misma. Si para el registro de las elevaciones cambi´abamos los mapas cl´asicos de curvas de nivel por el MDT, en el caso de las precipitaciones los mapas de isohietas van a dar paso al MDP como documento cartogr´afico, obteni´endose de este cambio una serie notable de ventajas, a imagen de como suced´ıa para el caso del relieve. No obstante, y como se analizar´a en detalle, la cartograf´ıa de precipitaciones que manejaremos, de cara a incluirla directamente dentro de los modelos hidrol´ogicos que se planteen, ser´a bien distinta de la representada en mapas de isohietas, al menos en una de sus posibles concepciones. En este caso, y con el fin de extraer una mayor potencia y adecuar en la mayor medida posible los datos disponibles a su uso en la modelizaci´ on hidrol´ogica propiamente dicha, la informaci´on contenida en la cartograf´ıa no s´ olo reflejar´a valores puntuales de las distintas magnitudes meteorol´ogicas, sino que tambi´en se encontrar´a asociada a eventos concretos definidos por series de m´ ultiples valores, de tal modo que nos permita modelar directamente, mediante la utilizaci´on conjunta con otras mallas

´ 6.2. PRECIPITACION

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de datos y ciertos elementos adicionales, los fen´omenos hidrol´ogicos que tienen lugar como consecuencia de dichos eventos. Por ello, la denominaci´on de MDP va a englobar tanto a mallas de datos para valores sencillos — precipitaci´on media mensual, por ejemplo — como mallas que recojan el desarrollo de sucesos meteorol´ogicos, cuyas caracter´ısticas se tratar´an con mayor profundidad en breve. Estas u ´ltimas se asocian al empleo de eventos y, por su mayor peculiaridad, ser´an expuestas aqu´ı con algo m´as de detalle. Con este MDP tal y como ha sido introducido en sus distintas formas, y una vez que desarrollemos en profundidad los m´etodos y las circunstancias que deben tenerse en cuenta para la creaci´on del mismo, ser´a ya posible estudiar la interacci´on entre la precipitaci´ on y el terreno, pues ambos se encuentran representados de modo similar, siendo de este modo sencillo el modelizar con precisi´on los diferentes fen´omenos que tienen lugar a partir de dicha interacci´on, siendo los escorrent´ıa e infiltraci´on los m´as importantes de los mismos. Existe, no obstante, una diferencia conceptual entre el MDT y el MDP cuando ´este u ´ltimo se refiere a un evento dado que, aun no afectando al empleo conjunto de ambos, si es necesario comentar para la comprensi´on de este u ´ltimo. Mientras que el terreno puede considerarse como algo fijo y est´atico (prescindiendo, obviamente, de enfoques geol´ogicos) para cuyo registro es suficiente contar con una malla de datos, los fen´omenos de precipitaci´on son variables y rara vez constantes, siendo adem´as de notable importancia el reflejar la propia din´amica de los mismos. Esa din´amica de la precipitaci´on es la que da forma los resultados finales tales como hidrogramas de avenida, y la que por lo tanto debe ser tenida en cuenta con la m´ axima consideraci´on. Si se considera un punto dado, la definici´on del relieve de ese punto se resume en un u ´nico valor de altura. Si se considera la definici´on de un evento meteorol´ogico dado — m´as explicitamente, una tormenta — sobre el mismo punto, este vendr´a registrado como un hietograma, es decir, un conjunto de valores con una disposici´on temporal dada. Si en lugar de puntos trabajamos con mallas de celdas, el relieve quedar´a reflejado mediante un simple MDT, mientras que las precipitaciones requieren de un n´ umero dado de mallas distintas, n´ umero que depender´a del intervalo de tiempo estudiado y la resoluci´on con que se quiera llevar a cabo ese estudio. Este hecho se refleja graficamente en la figura (6.1).

Figura 6.1: Estructura multicapa del MDP asociado a un evento. Extracci´on del hietograma asociado a un punto a partir de los valores contenidos en ´este.

El tiempo es, en el caso de la precipitaci´on, un nuevo elemento a considerar, aunque, como veremos, no a˜ nade dificultad alguna a las metodolog´ıas de c´alculo a utilizar una vez que se disponga del MDP. Pese a necesitarse m´as de una malla de datos de precipitaci´on para la caracterizaci´on de una tormenta, veremos que el estudio hidrol´ogico de las consecuencias de

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´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

esa tormenta sobre un terreno dado se va a llevar a cabo empleando las distintas mallas de precipitaci´on de modo aislado (cada una de ellas representa un intervalo de tiempo independiente del resto), por lo que, a efectos pr´acticos, este hecho u ´nicamente tiene como consecuencia una multiplicidad en los c´alculos a desarrollar, pero no una mayor complejidad de los mismos. Desde un punto de vista cualitativo, tanto el MDT como el MDP son mallas de datos continuos, y pueden por tanto ser objeto de an´alisis similares o bajo consideraciones parecidas. No obstante, el an´alisis del MDP desde la perspectiva del an´alisis hidrol´ogico guarda un inter´es mucho menor, pues esta precipitaci´on encuentra su significado real una vez alcanza el suelo, siendo entonces cuando su estudio debe ser desarrollado a un nivel m´as profundo. Este hecho provocar´a, entre otras cosas, que las exigencias que ser´an comentadas para la creaci´on del MDP sean mucho menos restrictivas que en el caso del MDT.

6.2.2.

Fuentes de datos no puntuales

Para comenzar el estudio de elementos meterol´ogicos, resulta imprescindible el analizar los distintos tipos de datos y ver en detalle las caracter´ısticas propias de los mismos. De este modo, se podr´a lograr una mejor comprensi´on que nos permita, cuando sea necesario, adaptar la informaci´on contenida en dichos datos al entorno de trabajo sobre el que se plantean los distintos modelos hidrol´ogicos, y sacar el m´aximo partido de esta informaci´on. Aunque no constituyen el formato m´as habitual para la obtenci´on de datos meteorol´ogicos, y su utilizaci´on con cierta intensidad es relativamente reciente, la similitud de las fuentes de datos no puntuales con los MDPs que vamos a utilizar hace interesante el an´alisis de estas en primer lugar, para as´ı comprender algo m´as esos MDPs y situarse en mejor disposici´on de cara a la creaci´on de los mismos a partir de las mas comunes fuentes de datos puntuales. Los datos m´as habituales de los que se puede disponer no referidos a un u ´nico punto geogr´afico, y particularizando para el caso de Espa˜ na y la informaci´on disponible del Instituto Nacional de Meteorolog´ıa, son los mapas de intensidad de precipitaci´on basados en la utilizaci´on de radar meteorol´ogico, correspondientes a intervalos de 1 y 6 horas. La figura (6.2) muestra una imagen de uno de dichos mapas.

Figura 6.2: Mapa de intensidad de precipitaci´on en una hora, obtenido a partir de radar. Las distintas intensidades se representan mediante tonalidades de gris.

El formato de la informaci´on procedente del radar, que es presentada como una imagen, hace notablemente sencilla la incorporaci´on de estas im´agenes como capas del MDP, pues ambas entidades son de similar naturaleza. La resoluci´on espacial, no obstante, es mucho menor para las im´agenes de radar que para las mallas de datos de elevaciones, siendo del orden del kil´ometro en estas primeras, con lo que es obligado proceder a adaptar su tama˜ no para compatibilizarlas con las u ´ltimas, sin existir mayor dificultad al respecto. Deben, no

´ 6.2. PRECIPITACION

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obstante, tenerse en cuenta las mismas ideas que ya fueron introducidas para la modificaci´ on del tama˜ no de celda en el caso de MDTs mediante remuestreo de la malla de datos. Al respecto de esta resoluci´on, la validez de la misma para llevar a cabo un an´alisis hidrol´ogico cualquiera est´a en relaci´on directa con el tama˜ no de la cuenca analizar, que deber´a ser suficiente para garantizar una cierta representatividad de la informaci´on aportada por las im´agenes de radar. Por otra parte, debe pensarse que una mayor resoluci´on en ´estas, alcanzando el nivel del MDT, no tiene excesivo sentido ya que la precipitaci´on no var´ıa tanto espacialmente como el relieve, por lo que u ´nicamente se concibe su uso a esas resoluciones como una adaptaci´on para integrar ambos tipos de datos, pero no como una caracter´ıstica que deba presentarse en origen. En t´erminos generales se puede afirmar que resulta adecuada la resoluci´on presentada por las im´agenes de radar, m´axime si se compara con la que pueden ofrecer las fuentes de datos puntuales, sensiblemente menor y ofrecida en un formato menos cercano al de los MDPs que pretendemos utilizar. En cuanto a su resoluc´ıon temporal, la informaci´on horaria es de amplio inter´es para elaborar hietogramas con un detalle adecuado, por lo que se deduce que un conjunto de im´agenes de radar con estas caracter´ısticas es una fuente de primer orden para la creaci´ on de un MDP completo y de gran utilidad relativo a un evento dado, mediante el que se va a poder modelizar el conjunto de fen´omenos hidrol´ogicos que tienen lugar sobre la cuenca como consecuencia de dicho evento. La utilizaci´on en este sentido de los datos del radar meteorol´ogico va a tener como destino principal dentro de los diversos objetivos que se plantean con los modelos hidrol´ogicos a´ un por desarrollar, la modelizaci´on de eventos conocidos sobre cuencas aforadas de cara a la calibraci´on de dichos modelos sobre las mismas, as´ı como, con caracter m´as novedoso, el estudio hidrol´ogico en tiempo real para el control y monitorizaci´on de la actividad hidol´ogica en la cuenca. La facilidad de obtenci´on y uso de im´agenes de radar hace de estas una herramienta que, si bien no satisface una buena parte de las necesidades en cuanto a estudio hidrol´ ogico se refiere, se demuestra de gran utilidad en muchas otras, siendo superior a la mayor´ıa de los restantes formatos existentes. Informaci´ on detallada acerca del uso del radar puede consultarse, por ejemplo, en (Abbott, 1996). Junto con la informaci´on de radar para un periodo concreto, encontramos tambi´en distintos tipos de datos no centrados en eventos que satisfar´an el resto de necesidades al respecto, tanto para el caso presente de la precipitaci´on como en el de los valores de temperatura que proximamente ser´an introducidos. Entre ellos, los mapas de isohietas que ya fueron citados anteriormente, los cuales pueden interpolarse para obtener mallas regulares de datos, juegan un papel preponderante, siendo intermedios en cuanto a su cercan´ıa con los MDPs entre las im´agenes de radar y los datos de fuentes puntuales. No obstante, la similitud existente con estos u ´ltimos en su tratamiento hace que sea en el desarrollo de ´estos, que tendr´a lugar a continuaci´on, donde se vean en detalle las operaciones que deben aplicarse en este caso.

6.2.3.

Fuentes de datos puntuales

Los datos m´as habituales de los que vamos a disponer para la obtenci´on de valores de inter´es, tanto asociados a eventos como de tipo medio, son los recogidos en las diferentes estaciones meteorol´ogicas, y que constituyen las series de datos con cuyo an´alisis se obtienen los par´ametros estad´ısticos cl´asicos en este aspecto, ademas de extraerse directamente la informaci´on relativa a un periodo concreto de tiempo. La literatura al respecto de estos primeros es extensa, existiendo muy diversos resultados que pueden obtenerse, y siendo el objetivo de este apartado el mostrar la manera de aprovechar estos de la mejor forma posible y llevarlos

´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

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a una estructura tal como el MDP ya presentado. Tanto para los datos concretos de un evento dado, como para aquellos resultados estad´ısticos que permitan el c´alculo de hietogramas para eventos m´aximos, as´ı como para valores medios, la creaci´on del MDP ser´a tratada con detalle en los siguientes apartados. De este modo, con indiferencia de los datos de partida, quedar´an establecidas las ideas principales acerca de dicho MDP y las caracter´ısticas que deben buscarse en ´el para garantizar su validez de cara al uso que se pretende del mismo.

6.2.4.

Creaci´ on del MDP

Estudiados ya los distintos tipos de datos de los que podemos disponer, la incorporaci´on de ´estos dentro de los esquemas de trabajo que van a plantearse requiere su adaptaci´on al formato concreto del MDP tal y como lo hemos recogido, proceso acerca del cual es conveniente hacer algunas puntualizaciones. En particular, y puesto que es a la vez el caso mas frecuente y el que requiere un n´ umero de operaciones m´as considerable, se tratar´an los aspectos relativos a datos de tipo puntual, especificando las caracter´ısticas de dichas operaciones en funci´on del propio contenido y naturaleza de estos datos. Respecto a los datos de tipo no puntual, hemos visto que ´estos pr´acticamente no requieren apenas un proceso de elaboraci´on hasta llegar a un MDP utilizable, por lo que resulta m´as interesante centrarse en el otro tipo de fuentes de datos presentado. Como ya se ha dado a entender en alg´ un punto anterior, la situaci´on a la que se debe hacer frente es muy similar a lo ya visto en el caso de la creaci´on del MDT, ya que, al menos conceptualmente, el proceso es pr´acticamente id´entico, implicando la creaci´on de una malla regular de datos a partir de una informaci´on irregular y dispersa. La ejecuci´on de esta tarea se lleva a cabo, tambi´en de igual modo, mediante interpolaci´on sobre los datos conocidos, pudiendo aplicarse los mismos algoritmos que en su momento fueron brevemente comentados. Sin embargo, la distinta naturaleza de la informaci´on, junto con el uso menos intenso que se va a dar a las mallas creadas en comparaci´on con un Modelo Digital del Terreno, establecen una serie de diferencias que afectan directamente a la manera en que estas mallas deben ser desarrolladas y las condiciones bajo las cuales este desarrollo debe llevarse a cabo. Por una parte, se argument´o notablemente en su momento la inconveniencia de la creaci´on por parte de uno mismo del Modelo Digital del Terreno, al no garantizarse de este modo que aquello que fuera creado tuviera las caracter´ısticas id´oneas para su utilizaci´on en el an´alisis del terreno tal como ´este se ha planteado. Las posibilidades de obtenci´on de un Modelo Digital de Precipitaciones como tal resultan, sin embargo, pr´acticamente nulas, estando disponibles los datos en otros formatos, en particular como datos puntuales correspondientes a la red de estaciones presente en la zonas estudiada. Junto con este hecho, no debe olvidarse que, para una zona dada, este MDP no es en absoluto u ´nico. A los datos particulares para una tormenta, de utilidad para la modelizaci´on de un evento concreto, se suman las infinitas posibilidades que pueden derivarse del estudio de hietogramas de tormenta y aguaceros de c´alculo obtenidos a partir del an´alisis estad´ıstico de series de valores, que utilizaremos para la modelizaci´on de eventos m´as desfavorables, entre otros. Todo ello hace necesario que debamos dar forma a ese MDP a partir de cuantos valores dispongamos, siendo necesaria su elaboraci´on particular a falta de otras fuentes accesorias que puedan proveernos la informaci´on requerida en formato conveniente. Esta necesidad, al contrario que en el caso del MDT, puede aceptarse dentro de unos m´argenes de calidad perfectamente asimilables, debiendo cumplir unos requisitos menores que en el caso del MDT, requisitos que se satisfacen mediante la creaci´on de la malla a partir de los datos puntuales de estaciones, empleando para ello cualquier m´etodo de los ya conocidos. Para comprender este hecho debe tenerse en cuenta que los errores cometidos en la inter-

´ 6.2. PRECIPITACION

211

polaci´on de datos climat´ologicos van a tener su reflejo sobre los resultados finales mediante la modificaci´on de las magnitudes de ´estos en la misma medida en que los datos interpolados se desv´ıen de los valores reales. Se trata, por tanto, de una consecuencia que afecta de modo cuantitativo a dichos resultados. Por el contrario, la modificaci´on de los valores de elevaciones, si es de cierta importancia — como suced´ıa con algunos de los m´etodos de interpolaci´ on comentados —, supone una modificaci´on del relieve cuyas consecuencias pueden ser de gran dimensi´on al var´ıar la propia morfolog´ıa del terreno creando estructuras geomorfol´ogicas por completo distintas a las presentes en la realidad. La afeci´on que se produce es, por tanto, tanto cuantitativa como cualitativa, siendo ´esta la principal raz´on que se aduce para desechar la creaci´on del MDT a partir de datos en otro formato, con car´acter particular por parte de la propia persona que posteriormente llevar´a a cabo un estudio hidrol´ogico sobre dicho MDT. M´ etodos Aceptando, pues, la creaci´on del MDP, es momento de profundizar algo m´as en la manera en que la misma se llevar´a a cabo. Desde el punto de vista matem´atico, cualquiera de los m´etodos de interpolaci´on van a dar resultados aceptables, por lo que todos ellos podr´ıan ser utilizados sin ninguna consideraci´on accesoria de cara a la realizaci´on de esta tarea. No obstante, y aunque ya se dijo que las consecuencias sobre los resultados finales que pueden derivar del uso de uno u otro m´etodo no son relevantes, la utilizaci´on de los m´etodos que eran adecuados para la creaci´on del MDP parece favorecerse frente a aquellos menos adecuados, al menos en t´erminos generales, existiendo algunas puntualizaciones interesantes que deben tenerse en cuenta en funci´on de la naturaleza del dato interpolado. Con car´acter general, debe considerarse, a ´este y a otros respectos, que el n´ umero de puntos en los que basar la interpolaci´on va a ser muy inferior al considerado en el caso de manejar elevaciones, con lo que interesa la aplicaci´on de m´etodos que den buenos resultados con un n´ umero reducido de puntos. Este n´ umero de puntos reducido tiene tambi´en sus consecuencias sobre la consideraci´ on algor´ıtmica de los m´etodos aplicables y la eficacia de los distintos planteamientos, permiti´endonos realizar simplificaciones o llevar a cabo algunas adaptaciones como en breve veremos. Entre los distintos m´etodos de interpolaci´on no existen grandes diferencias en este sentido, por lo que no favorece la utilizaci´on particular de ninguno de ellos. Sin embargo, influye sobre la aplicaci´on de todos ellos, haciendo, por ejemplo, innecesaria la selecci´on de un n´ umero dado de puntos alrededor de una celda a interpolar, pudiendo utilizar en cada interpolaci´ on la totalidad de los puntos conocidos, en virtud del reducido tama˜ no de la muestra. De forma m´as particular, deben considerarse tambi´en las caracter´ısticas propias de la muestra de cara a la elecci´on de uno u otro m´etodo, ya que en funci´on de ´estas y del objetivo que se persiga en el an´alisis de la informaci´on de precipitaciones una vez el MDP haya sido creado, ser´a m´as adecuado decantarse por un m´etodo u otro. As´ı, la utilizaci´on de m´etodos como Kriging o Splines, generalmente se˜ nalados como soluciones m´as exactas en t´erminos de error medio introducido, da lugar a superficies suaves que en ocasiones pueden desestimar por defecto o exceso los valores reales extremos, siendo especialmente evidente este primer caso cuando se trata de crear una malla de valores m´aximos de precipitaci´on pero ninguno de los puntos de datos conocidos registra el valor m´aximo absoluto presente en la malla (Lynch, 1998). Como es l´ogico pensar, si se trata de modelizar eventos m´aximos, una estimaci´on a la baja puede tener efectos graves sobre la posterior utilizaci´on de los resultados, por lo que en estos casos el uso de Splines o Kriging no es tan recomendable. Parad´ojicamente, la ponderaci´ on por distancia inversa (IDW) se muestra mucho m´as interesante en estos casos, pese a ser m´ as impreciso y mucho menos adecuado para la interpolaci´on de alturas en el MDT, como ya vimos.

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´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

No obstante, el empleo de ponderaci´on por distancia inversa es tambi´en mucho m´as recomendable en el caso de disponer del valor m´aximo en uno de los puntos conocidos, por lo que, en caso de no suceder as´ı, debe tenerse en cuenta esta circunstancia y comprobar los valores obtenidos en el proceso de interpolaci´on. Algunas alternativas han sido propuestas a este respecto, entre las cuales es interesante la desarrollada por Sch¨afer (1991), en la cual se apoya sobre una malla raster de valores de precipitaci´on medios mensuales — de m´as f´acil obtenci´on que una referida a un evento concreto —, para estimar la distribuci´on de las precipitaciones m´aximas con las que se trabaja. En particular, supone que la distribuci´on de la precipitaci´on diaria es similar a la de la media mensual, con lo que, conociendo esta u ´ltima, puede crear la malla relativa a la primera sin m´as que hacer que en cada celda, la relaci´on entre su precipitaci´on media y la de la celda conocida de m´aximo valor sea igual a la relaci´on existente entre ellas en lo que respecta a la precipitaci´on diaria. La extensi´on de esta idea a eventos de distinta duraci´on, aunque supone asumir un hecho en absoluto corroborado — ya es quiz´as muy elevada la magnitud de la suposici´on en el planteamiento original —, constituye una interesante soluci´on en cuanto que se basa en informaci´on m´as contrastada y se apoya en la misma de modo ventajoso, permitiendo, al menos en cierta medida desde un enfoque conceptual, una relativa mejora respecto al empleo aislado de un m´etodo de interpolaci´on en las circunstancias dadas. Por u ´ltimo, y frente a las soluciones basadas en la interpolaci´on de datos, existe una soluci´on habitual basada en ponderaci´on y de uso muy frecuente en el caso tratado, que es la basada en los denominados pol´ıgonos de Thiessen 1 Este m´etodo se basa en la creaci´on de pol´ıgonos asociados a cada punto de datos conocidos, de tal forma que, para cada otro punto dentro del pol´ıgono, su punto de datos conocidos m´as cercanos es el asociado a dicho pol´ıgono. Las diferencias con los resultados obtenidos de la utilizaci´on de m´etodos de interpolaci´on es clara, principalmente porque la malla as´ı creada no es en absoluto de tipo continuo, no extray´endose de este modo todas las prestaciones que la propia naturaleza del MDP puede ofrecer, y siendo en su uso posterior cuando estas diferencias deben igualmente ser consideradas. Se puede decir, de modo sint´etico, que este MDP es de una naturaleza por completo distinta, aunque la utilizaci´on del mismo guarda tambi´en inter´es para alguna serie de modelos, motivo por el cual se recoge en estas p´aginas. Desde otro punto de vista, de inmediato se aprecia que estos pol´ıgonos de Thiessen se prestan a una utilizaci´on y un almacenamiento desde un punto de vista vectorial, en contraste con la naturaleza raster del MDP en su sentido original, y tal como se deriva de los m´etodos de interpolaci´on ya mencionados. Desde esta perspectiva, los pol´ıgonos de Thiessen constituyen una estructura matem´atica denominada Teselaci´ on de Voronoi, dual a su vez de la conocida como Triangulaci´ on de Delaunay. Si recuerda el lector, esta u ´ltima se mencion´o al comienzo del libro como la base para el desarrollo de redes de tri´angulos irregulares, esto es, de los TINs, con lo que en cierto modo que se establece una ligera analog´ıa entre ambos conceptos. En este caso, no obstante, las circunstancias son bien distintas. Habiendo asumido el modelo raster como ´optimo para nuestro trabajo, debemos disponer de la informaci´on de pol´ıgonos de Thiessen en dicho formato, por lo cual, en caso de trabajar con ellos en formato vectorial, ser´a necesario realizar una conversi´on entre ambos. Adem´as, el escaso n´ umero de puntos nos permite, sin excesiva penalizaci´on de rendimiento, el plantear la creaci´on de la teselaci´on desde 1 Las denominaciones que pueden encontrarse para estos pol´ıgonos son muy variadas, ya que guardan inter´es para un amplio n´ umero de diversas disciplinas, siendo frecuente que en cada una de ellas reciban el nombre de quien en primer lugar adapto su uso a la materia de la misma. Originariamente se conocen como celdas de Dirichlet , aunque en su empleo relativo a datos meteorol´ ogicos es habitual la denominaci´ on de Pol´ıgonos de Thiessen, que ser´ a la que adoptemos en este texto. Desde el punto de vista del ´ ambito puramente matem´ atico, lo m´ as frecuente es encontrar el conjunto de estos pol´ıgonos bajo la denominaci´ on de teselacion de Voronoi.

´ 6.2. PRECIPITACION

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un punto de vista exclusivamente raster, sin pasar previamente por un conocimiento de los pol´ıgonos de modo vectorial, por lo que ´este no ser´a analizado.

Figura 6.3: creaci´on de pol´ıgonos de Thiessen sobre una base raster. Con un rendimiento menor — peor cuanto mayor sea el n´ umero de puntos de datos conocidos — que los algoritmos usuales, y ciertamente con una menor elegancia desde el punto de vista puramente computacional, es posible la creaci´on de un MDP basado en pol´ıgonos de Thiessen simplemente calculando para cada celda la distancia a cada uno de los puntos de datos conocidos, y asignando a la misma el valor de aquella situada mas pr´oxima. La discretizaci´on del espacio en celdas permite llevar a cabo este proceso, en oposici´on a los algoritmos existentes (abundantes, ya que, como en su momento se indic´o, ´esta es una parcela rica dentro de la geometr´ıa computacional), que, como es l´ogico fuera de nuestro entorno de trabajo, no consideran dicha divisi´on. Haciendo una peque˜ na abstracci´on, y suponiendo que las estaciones representan celdas de datos conocidos y el objetivo de este m´etodo es completar las celdas restantes de la malla, la forma de proceder en el mismo es similar a la del algoritmo que denomin´abamos de vecindad para el remuestreo de im´agenes, y que pod´ıa ser aplicado en el cambio de resoluci´on del MDT. La similar naturaleza de tipo raster de im´agenes y mallas de datos, permite una vez m´ as un cierto v´ınculo, escaso en esta ocasi´on concreta, pero que permite mediante su comprensi´ on avanzar hacia en cierto modo hacia la integraci´on de dos disciplinas altamente complementarias como son las anteriores. Volviendo al aspecto mas pr´ actico una vez el anterior proceso ha sido llevado a cabo, la malla del MDP creada mediante este m´etodo puede emplearse de igual modo que las de tipo continuo, si bien su utilidad es mayor — y, especiamente, m´as habitual — en el caso de modelos agregados donde la extracci´on de par´ametros medios es necesaria a partir de dicho MDP. Para este caso, la utilizaci´ on de pol´ıgonos de Thiessen representa un punto de apoyo intermedio de inter´es de cara a la realizaci´on de dicha tarea. Utilizando el MDP en conjunto con la malla de subcuencas, se obtienen valores medios para cada una de ellas, siendo estos valores los que posteriormente se llevar´an a los modelos hidrol´ogicos correspondientes. La multiplicidad del MDP no tiene lugar en el caso de emplear este tipo de interpolaci´ on, ya que los valores de la celda s´olo son referencias a datos externos, siendo dichos datos los que deber´an contener toda la informaci´on asociada a los eventos de precipitaci´on, y por tanto, los que deben estar compuestos no de valores u ´nicos, sino de una serie m´ ultiple de ellos. Sobre la naturaleza m´ ultiple del MDP Llegados a este punto, y aun conociendo bastante acerca de la metodolog´ıa para la creaci´on de un MDT, resta todav´ıa tener en cuenta la propia naturaleza del mismo como conjunto

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de diversas capas representando los distintos intervalos de tiempo considerados, cuando dicho MDP recoge la informaci´on de una tormenta concreta. La aplicaci´on de cualquier metodolog´ıa de las previamente comentadas (o cualquier otra al respecto) debe dar resultados coherentes para los puntos de valores conocidos, al mismo tiempo que debe mantener una misma coherencia entre las distintas capas creadas. Para ver de modo m´as claro lo anterior, utilicemos un ejemplo. Supongamos dos puntos de datos para cada uno de los cuales se dispone de un hietograma recogido, siendo estos hietogramas de aspecto similar pero uno de ellos comenzando en un intervalo de tiempo distinto. La interpretaci´on m´as inmediata de esta situaci´on es la de que la tormenta que produjo ambos hietogramas se desplaz´o entre los puntos donde estos se recogieron, siendo l´ogico pensar que, en una localizaci´on intermedia entre ambos, el hietograma tendr´a un aspecto similar pero comenzando con un retardo menor. Veamos c´omo obtener a partir de dichos dos hietogramas y el emplazamiento de los mismos un MDP para la zona en la que estos se encuentran y para la tormenta recogida en dichos hietogramas. Sobre ello, analizaremos las particularidades antes mencionadas que se deben tener en cuenta en la creaci´on del MDP con objeto de garantizar un significado correcto del mismo. La forma m´as simple y l´ogica de tener en cuenta el conjunto de valores para los distintos intervalos de tiempo, pasa por interpolar una malla de datos para cada uno de dichos intervalos. Para cada malla, se utilizar´an en los distintos puntos conocido los datos de sus correspondientes hidrogramas para el intervalo considerado. Utilizando, por ejemplo, como m´etodo de interpolaci´on una ponderaci´on por distancia inversa, y para una celda situada a igual distancia de los dos puntos de registro de hietogramas, la figura (6.4) muestra el resultado obtenido seg´ un el procedimiento trazado anteriormente. Resulta obvio que este resultado no se ajusta al que se busca, habiendo quedado modificado el hietograma y desvirtu´andose de este modo la informaci´on contenida en el conjunto de capas del MDP.

Figura 6.4: Ponderaci´on de hietogramas mediante ponderaci´on directa de cada intervalo. El resultado no se ajusta a la interpretaci´on l´ ogica.

De lo anterior se deduce que no es suficiente con trabajar de forma aislada con los valores correspondientes a cada malla raster de las que componen el MDP, sino tambi´en con el conjunto de ellas y sus relaciones. Dichas relaci´ones, en este caso, vienen impuestas por el tiempo, pues

´ 6.2. PRECIPITACION

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es ´este quien ordena el conjunto de datos y representa la otra dimensi´on existente en nuestras mallas. La consideraci´on de dicho tiempo como un factor m´as sobre el que se deben llevar a cabo las operaciones pertinentes, nos har´a obtener una metodolog´ıa mas adecuada para la creaci´on de un MDP con un sentido correcto y coherente con la propia l´ogica de los valores utilizados como partida. Una propuesta sencilla a este respecto, que soluciona de modo ´optimo el problema al que antes nos enfrentabamos, consiste en modelizar los distintos hietogramas a˜ nadiendo a los mismo un nuevo par´ametro δ que indique el retardo en el comienzo de la precipitaci´ on en cada uno de ellos. Se a˜ nade de este modo un par´ametro con unidades de tiempo que permite trabajar con las magnitudes temporales de un modo similar a como se realiza para los valores de precipitaci´on del hietograma, integrando las mismas en un esquema num´erico a trav´es de la aplicaci´on de alguno de los m´etodos ya conocidos. La aplicaci´on de esta alternativa al caso tratado con anterioridad se refleja en la figura (6.5), en la que se puede apreciar la mayor similitud del resultado obtenido con aquel que la mera l´ogica dictaba.

Figura 6.5: Ponderaci´on de hietogramas considerando retardos. El resultado se corresponde con la interpretaci´ on l´ ogica.

Resulta claro que el empleo de pol´ıgonos de Thiessen elimina esta problem´atica, ya que, independientemente de la naturaleza de los datos manejados, la malla que se constituye con este m´etodo u ´nicamente indica el punto de informaci´on conocida m´as cercano a cada celda, siendo por tanto una entidad de por s´ı que no necesita de otras mallas accesorias para poder ser utilizada. En todo lo anterior, hemos manejado informaci´on real registrada en puntos concretos, la cual puede ser utilizada tanto en modelos agregados como distribuidos, y para la modelizaci´ on de un evento dado o la calibraci´on del modelo empleado en base al ajuste de los resultados observados y los obtenido con el mismo. Este sencillo recurso presentado quizas sea de dificil aplicaci´on en caso de cuencas de gran tama˜ no donde la variabilidad espacial de la precipitaci´ on no pueda ser recogida mediante conceptos tan simples. En tal supuesto, la aplicaci´on de otras ideas, o quizas la divisi´on de la cuenca en subunidades hidrol´ogicas, sean necesarias con objeto de realizar planteamientos coherentes. Lo que se pretende mostrar aqu´ı es, no obstante, la necesidad de garantizar esa coherencia siempre que se recurra a la utilizaci´on de un MDP tal y como el que en este apartado nos ocupa. Un caso distinto al anterior lo encontramos en la utilizaci´on de hietogramas de c´alculo, los

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Figura 6.6: Secuencia de etapas en la creaci´on del MDP a partir de hietogramas puntuales (a) o datos estad´ısticos puntuales para la creaci´ on de tormentas de dise˜ no (b).

cuales, aunque formalmente constituyen un caso similar al precedente, pueden tratarse de un modo alternativo teniendo en cuenta el origen de los mismos. La creaci´on de estos hietogramas generalmente deriva de valores sencillos — precipitaciones m´aximas para un periodo dado de tiempo y un determinado periodo de retorno, por ejemplo —, por lo que se puede realizar una interpolaci´on sobre dichos valores y, con la malla creada a partir de los mismos, desarrollar los hietogramas asociados a cada celda, los cuales formar´an las distintas capas del MDP. El empleo de hietogramas sint´eticos para dise˜ no hidrol´ogico puede as´ı, sin necesidad de tener en cuenta otras circunstancias, adaptarse a la utilizaci´on de un Modelo Digital de Precipitaciones de un modo sencillo y correcto. En caso de ser necesarios m´ ultiples datos (por ejemplo para la creaci´on de un hietograma tipo a partir de los valores de P0,5 , P1 y P6 ), ´estos pueden utilizarse de forma independiente en la creaci´on de sus respectivas mallas, puesto que no existe relaci´on entre ellos que impida proceder de dicha forma. Esta forma de proceder se compara con la presentada anteriormente en la figura (6.6). N´otese que la secuencia de pasos es diferente en el caso de trabajar con hietogramas de dise˜ no, interpol´andose sobre los valores estad´ısticos y no sobre los hidrogramas, ya que ´estos se crean con posterioridad. Ajuste del MDP con el MDT Una mejora a incluir en el MDP, teniendo en cuenta la informaci´on de elevaciones con la que se va a realizar un uso conjunto, es la modificaci´on de valores de precipitaci´on en funci´on de la altitud de cada celda. Conociendo el valor de elevaci´on de la celda a interpolar y los de las celdas de datos conocidos donde se sit´ uan las estaciones, es posible ajustar las precipitaciones recogidas en estas mismas haciendo uso de la diferencia de alturas entre ambas, cre´andose de este modo un MDP m´as realista que tiene en cuenta el relieve de la cuenca para la asignaci´on de los valores de precipitaci´on correspondientes. Este ajuste puede llevarse a cabo cuando las fuentes de datos sean hietogramas, bien de tipo sint´etico o bien recogidos en una tormenta dada, o tambi´en para el caso de ciertos valores puntuales en base a los que luego se obtengan dichos hietogramas sint´eticos, tales como precipitaciones m´aximas para un intervalo de tiempo dado. No es recomendable aplicarlos, sin embargo, sobre par´ametros estad´ısticos que den lugar a valores utilizables con posterioridad (tales como las medias y desviaciones t´ıpicas que entran a formar parte en la tan habitual formulacion de Gumbel ), ni sobre los MDPs formados a partir de im´agenes de radar, pues estas ya han sufrido diversos procesos de ajuste previamente. No obstante, la aplicaci´on de lo anterior requiere el conocimiento preciso del gradiente de precipitaci´on existente respecto a la altura en la zona, par´ametro que no es en absoluto

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homog´eneo en t´erminos espaciales, y que puede no ser f´acil de obtener con la precisi´on deseable. En general, dependiendo de la localizaci´on, as´ı como de la propia configuraci´on del relieve que d´e lugar a una mayor o menor homogeneidad, existir´an o no regresiones apropiadas para la correcci´on de datos de precipitaci´ on en funci´on de la altura. Una soluci´on para poder utilizar la informaci´on del MDT sin conocer el antedicho gradiente, pasa por la utilizaci´on volum´etrica del m´etodo de interpolaci´on elegido, es decir, aplic´andolo en 3 dimensiones en lugar de en 2, con lo cual se obtiene un volumen como resultado en lugar de una superficie como en el caso de las mallas de datos que manejamos. La obtenci´ on posterior de la malla de precipitaciones se lleva a cabo intersecando el volumen resultante con el MDT y tomando los valores de dicha intersecci´on como valores que pasar´an a formar parte del MDP buscado. Las consideraciones acerca de los distintos m´etodos de interpolaci´on son las mismas en ´ este caso que para el caso bidimensional. Unicamente debe considerarse la mayor complejidad computacional de este enfoque, tanto desde el punto de vista de su rendimiento como de su implementaci´on.

6.2.5.

Interpolaci´ on del MDP basada en el MDT

Si bien los m´etodos de interpolaci´on antes desarrollados, as´ı como las correspondientes consideraciones respecto a los mismos, son una herramienta adecuada para llevar a cabo la creacion del MDP, la dependencia de la variable interpolada — esto es, la precipitacion — con el relieve, puede emplearse como elemento complementario para que dicha creaci´ on se d´e con mayor precisi´on a partir de los datos disponibles. La citada dependencia no se limita u ´nicamente a la ya conocida en relaci´on a la altura, sino tambi´en la referida a la propia configuraci´on del relieve, la orientaci´on, y otros aspectos que pueden tener influencia local sobre los valores de precipitaci´on. Con la base anterior, una propuesta de inter´es mediante la cual se obtienen resultados de elevada precisi´on es la formulada en el modelo PRISM (Parameter–elevation Regressions on Independent Slopes Model ) por Daly et al (1994), aplicable, en principio, en zonas con relieve monta˜ noso. La base te´orica de este modelo se fundamenta en la consideraci´on de que, sobre una regi´on de relieve pronunciado, dicho relieve da lugar al establecimiento de diferentes reg´ımenes pluviom´etricos en funci´on de la orograf´ıa, debiendo este hecho reflejarse de alg´ un modo a la hora de la creaci´on de un mapa de precipitaci´on a partir de un numero determinado de observaciones puntuales. Para ello, y con la ayuda del Modelo Digital del Terreno, se agrupan las celdas en los distintos reg´ımenes que puedan extraerse en funci´on del an´alisis del terreno, y estos datos se ponen en com´ un con los tipos de reg´ımenes presentes en las celdas de las que se dispone de informaci´on puntual, emple´andose esta clasificaci´on a la hora de interpolar las restantes de la malla. Por supuesto, la propia altura de cada celda tambi´en es empleada como dato de inter´es. Entrando en detalle, el modelo PRISM define el concepto de faceta como una cualidad aplicable a cada celda y evaluable en funci´on de las orientaciones tanto de la propia celda en cuesti´on como de las situadas en un entorno de la misma. Las celdas con id´entico valor de faceta se entiende que presentar´an similar comportamiento en cuanto a su r´egimen climatol´ogico y a los gradientes que presenten las principales variables meteorol´ogicas en funci´on de la altitud. De modo particular, la creaci´on de una malla de facetas implica la realizaci´on de los siguientes pasos C´alculo de la orientaci´on de cada celda, de la forma habitual ya conocida. C´alculo de la distribuci´on de orientaciones de las celdas circundantes a cada celda individual.

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Asignaci´on de un valor de faceta en funci´on de los anteriores elementos. La ejecuci´on de este u ´ltimo paso es la que presentan el n´ ucleo del algoritmo en lo que a la creaci´on de la malla de facetas respecta, llev´andose a cabo mediante el uso de una clave de tipo dicot´omico basada en los valores de orientaci´on que aparezcan con m´axima frecuencia. La malla de facetas se emplea entonces como elemento b´asico para llevar a cabo la interpolaci´on ajustando los pesos asignados a los datos conocidos en funci´on de la similitud de facetas existente entre dichos datos y las celdas interpoladas. Para los detalles completos del m´etodo puede consultarse (Daly, 1994). Sin ser un m´etodo tan espec´ıfico como el anterior, dise˜ nado expresamente para la interpolaci´on de datos meteorol´ogicos, puede a˜ nadirse en una formulaci´on como el Kriging informaci´on adicional correspondiente a las elevaciones, para de este modo considerar la influencia de este factor en la propia precipitaci´on. El establecimiento de una relaci´on entre ambas variables que pueda incorporarse dentro de las propias expresiones del Kriging, puede llevarse a cabo de diversos modos y desde distintos puntos de vista. Una referencia muy completa acerca de la incorporaci´on de MDTs en la interpolaci´on de datos de precipitaci´on mediante diversos m´etodos es (Goovaerts,2000). Para m´as informaci´on, referencias generales sobre geoestad´ıstica mas all´a de las breves nociones aqu´ı recogidas son, por ejemplo, (Clark, 2000) y (Armstrong, 1998), el primero de ellos m´as sencillo y con menor carga matem´atica.

6.2.6.

Sobre la naturaleza cartogr´ afica del MDP

Hemos visto ya que la consideraci´on de la variable temporal en el MDP lo hacia distinto de otras mallas simples como el MDT, debiendo considerarse este hecho en aspectos tales como su creaci´on a partir de datos puntuales, entre otros. De igual modo, existe una diferencia entre el MDP y los propios valores puntuales o las representaciones cartogr´aficas cl´asicas de valores de precipitaci´on, la cual, si bien no afecta en la misma medida al uso directo que hagamos de este elemento, influye en la concepci´on propia del MDT y en las posibilidades que ´ete brinda de cara a su estudio con car´acter global. De manera similar a la diferencia que encontramos entre el an´alisis del terreno mediante un MDT y mediante un plano topogr´afico cl´asico, donde este primero nos abre un ab´anico nuevo de posibilidades conceptuales ademas de elevar enormemente el detalle de c´alculo, en este caso el MDP permite la consideraci´on de nuevas circunstancias y nuevos elementos antes no tratados, que pueden pasar a formar de los modelos que de aqu´ı en adelante puedan plantearse. De modo particular, ser´an los MDP asociados a eventos concretos, donde esa componente temporal antes mencionada cobra mayor importancia, los que presentan circunstancias merecedoras de cierta rese˜ na en este sentido. En ellos, el conocimiento de los eventos no s´olo desde un punto de vista de su evoluci´on en el tiempo — esto es, la informaci´on que se derivar´ıa de un mero hietograma —, permite estudiar ´estos tambi´en en su evoluci´on espacial, analizando por ejemplo su desplazamiento o la variaci´on del ´area afectada por una tormenta a lo largo del intervalo de tiempo en que ´esta se produce. El establecimiento de relaciones entre la intensidad m´axima de precipitaci´on y el ´area de la tormenta puede, por ejemplo, proporcionar elementos interesantes de cara a dimensionar los eventos de c´alculo en funci´on del tama˜ no de la cuenca, bajo una perspectiva m´as realista a partir de la informaci´on que puede extraerse del estudio de los MDP desde todos los puntos de vista posible. A este respecto, no va a darse aqu´ı formulaci´on explicita alguna, principalmente porque las conclusiones sobre el tema son a´ un inexistentes, siendo, no obstante, un campo de estudio fuerte del que todav´ıa deben extraerse buen numero de resultados aprovechando el enorme potencial que este tipo de representaciones de datos pluviom´etricos nos ofrece. He considerado importante, de cualquier modo, incluir este breve apunte al respecto, pues el planteamiento de

´ 6.2. PRECIPITACION

219

cualquier nuevo tipo de modelo o concepto en relaci´on con el mismo requiere un conocimiento adecuado del potencial de los elementos que se manejan, tan necesario o m´as que el propio conocimiento meramente t´ecnico de los mismo.

6.2.7.

Utilizaci´ on del MDP

La utilizaci´on del MDP parece, en primera instancia, pensada para el caso de modelos hidrol´ogicos distribuidos, en los que se constituye como un elemento clave de los mismos, al suponer una alternativa distribuida a otros formatos en que pueden registrarse los datos meteorol´ogicos necesarios, reflejando la informaci´on particular para cada uno de los puntos que se toman en consideraci´on. No obstante, su aplicaci´on dentro de modelos agregados tambi´en resulta perfectamente posible — as´ı se coment´o para los creados empleando pol´ıgonos de Thiessen —, a la par que ventajosa, pues representan una fuente de informaci´on de sumo inter´es. Del mismo modo que a partir del MDT pueden extraerse par´ametros simples acerca de una cuenca o una zona concreta a partir de los valores existentes en las celdas que componen ´esta, el estudio de los valores del MDP dentro de las ´areas estudiadas puede arrojar resultados de inter´es que ser´ an utilizables como caracterizadores de las unidades que se consideren en dichos modelos. En el momento de estudiar cada modelo, se detallar´a la forma en que ´este toma sus datos meteorol´ogicos, analiz´andose el uso del MDP como fuente de dichos datos y expresando la soluci´on que debe tomarse en cada caso para la adaptaci´on de los datos de ´este a la forma concreta que sea m´as acorde con el citado modelo.

6.2.8.

Utilizaci´ on autonoma de datos puntuales

Aunque el MDP es una estructura altamente ventajosa que puede crearse a partir de datos puntuales como hemos visto, cabe la posibilidad de emplear estos datos tambi´en de forma directa, lo cual tiene sentido sobre todo en el caso de modelos agregados. En este caso, la estimaci´on de valores medios a partir del MDP y la malla de subcuencas es una soluci´ on habitual como ya se dijo, si bien el car´acter agregado de los modelos permite el trabajo sin necesidad de pasar obligatoriamente por un elemento de tipo distribuido como es el MDP. La caracterizaci´on espacial de los datos procedentes de estaciones permite sustituir los procesos de interpolaci´on correspondientes a la creaci´on del MDP por ponderaciones puntuales sobre un punto concreto de cada subcuenca, siendo habitual el uso del centro de gravedad de la misma. Se ve aqu´ı una raz´on por la cual, seg´ un se coment´o en su momento, interesa que dicho centro se encuentre dentro de la propia cuenca, existiendo formulaciones adicionales en caso de que esto as´ı no suceda. No debe perderse de vista en ning´ un momento el uso m´as ((simple)) de los datos de que se dispone para el an´alisis hidrol´ ogico — en este caso la precipitaci´on —, pues en ocasiones, y dependiendo del modelo que se aplique, puede tener tanto o m´as sentido que el empleo de elementos complejos distribuidos, siendo altamente m´as sencillo desde todas las perspectivas.

6.2.9.

Nieve

Para concluir dentro de este apartado los aspectos concernientes al aporte liquido que va tener lugar sobre cada celda de nuestra malla de estudio, no puede dejarse a un lado algunas consideraciones al respecto de la cobertura nivosa y la forma en que los datos acerca de esta debe ser utilizados e incorporados como parte del estudio que se va a llevar a cabo. Sin ninguna duda, una fuente importante de agua que debe tenerse en cuenta es la proveniente del manto nivoso que puede cubrir total o parcialmente una zona de estudio, y cuyo

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deshielo da lugar a vol´ umenes de escorrent´ıa que pueden ser m´as o menos importantes seg´ un sean las caracter´ısticas de dicha zona y el tipo de modelo que se aplique sobre la misma. En general, en lo referente a este libro, el estudio de los elementos propios de la nivolog´ıa y su papel dentro de la modelizaci´on hidrol´ogica computacional tal y como aqu´ı es entendida va a tratarse apenas en estas p´aginas, por considerarse un elemento relativamente marginal en un ´ambito de aplicaci´on mediterraneo, entre otras circunstancias. Asimismo, la elevada relaci´on que existe entre los fundamentos f´ısicos que rigen los procesos relacionados con la nieve con otros factores tratados m´as en profundidad dentro del texto — en especial, los fen´omenos de evaporaci´on que seguidamente se tratar´an — hace que, una vez la relaci´on de estos u ´ltimos con el empleo de MDTs quede puntualizada, sea sencillo adaptar sus conceptos para el planteamiento de un modelo en el que se considere como elemento fundamental el aporte del manto nivoso y la evoluci´on del mismo.

6.3.

Evaporaci´ on

De escaso inter´es para el planteamiento de modelos de eventos tales como los empleados en dise˜ no hidrol´ogico, los procesos de evaporaci´on deben ser tenidos en cuenta, sin embargo, cuando se trata de modelizar fen´omenos hidrol´ogicos sobre un intervalo de tiempo m´as largo o en los que las propia magnitud de los mismos no haga posible prescindir de dichos procesos. La utilizaci´on de modelos continuos, los cuales, como sabemos, son algunos de los grandes beneficiarios de las ventajas obtenidas por el empleo de Modelos Digitales del Terreno y de toda la bater´ıa de elementos que circundan a los mismos, no pueden concebirse sin el concurso de una modelizaci´on adecuada de todo lo concerniente a la evaporaci´on que tiene lugar sobre la cuenca analizada. Desde la o´ptica de este texto, la incorporaci´on de los MDTs como base sobre la que apoyar los c´alculos sobre evaporaci´on es altamente similar a cuanto ya hemos visto para el caso de la precipitaci´ on, incorpor´andose adem´as algunas formulaciones accesorias en relaci´on con el an´alisis del terreno que, por su propia utilidad y concepto, resulta m´as conveniente introducir ahora en lugar de en la primera parte del libro. El conjunto de estos elementos nos dotar´a de la informaci´on suficiente para poder modelizar de forma efectiva el conjunto de procesos referentes a evaporaci´on, y con ellos, junto con lo ya dispuesto tras el apartado correspondiente a la precipitaci´on, continuar hacia la utilizaci´on conjunta de toda esta informaci´on dentro de los modelos hidrol´ogicos de uno u otro tipo. De forma concreta, tres se puede decir de forma esquem´atica que son los factores que influyen principalmente en la magnitud de la evaporaci´on que se da sobre una zona dada, y que por tanto deben ser evaluados y tenidos en cuenta para la formulaci´on de modelos al respecto: insolaci´on, temperatura y viento. Sobre estos dos primeros van a residir las funcionalidades de mayor inter´es en relaci´on con los MDTs en particular y las mallas raster en general, siendo menos importante la aportaci´on de ´estas sobre el tercer elemento, al menos al nivel de trabajo que aqu´ı se desarrolla. ´ Ellos tendr´an su explicaci´on detallada en algunos de los siguientes puntos, coment´andose los pormenores correspondientes a cada caso. Con objeto de evaluar la evaporaci´on producida en un punto dado — es decir, en una celda dada, puesto que se va a continuar con la estructura matricial tambi´en en este caso —, hagamos uso de una f´ormula gen´erica al respecto, sobre la cual quedar´an plasmadas las necesidades de datos que debemos cubrir. Se puede considerar, en l´ıneas muy generales, que la gran mayor´ıa de f´ormulas para el c´alculo de la evaporaci´on se ajustan a una expresi´on de la forma EV = f (T, E, V, α1 , α1 , . . . , αn )

(6.1)

´ 6.3. EVAPORACION

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donde EV es la evaporaci´on, T la temperatura, E la energ´ıa de la radiaci´on recibida sobre el punto considerado, V la velocidad del viento y α1 , α2 ,. . . ,αn otra serie de par´ametros normalmente climatol´ogicos tales como el ´albedo de la atm´osfera o la humedad relativa del aire, por nombrar algunos de los m´as habituales. Los dos primeros par´ametros — esto es, T y E — son los que pueden ser obtenidos de modo m´as exacto mediante el apoyo en la informaci´on del MDT, por lo que ser´an los que se traten en los pr´oximos apartados. A efectos de las explicaciones que siguen, la elecci´on de una u otra formulaci´on dentro del esquema anterior es irrelevante, puesto que todas ellas contienen los par´ametros de temper´atura e insolaci´on mencionados. Se tiene, por tanto, que con independencia de la expresi´ on considerada, ´esta podr´a sacar provecho del an´alisis de los MDTs y mallas similares a este respecto, el cual a continuaci´on queda detallado.

6.3.1.

Temperatura

El trabajo con los datos de temperatura que son necesarios para el anterior modelo, se asemeja pr´acticamente en su totalidad al que tiene lugar con los datos de precipitaci´on, aunque son muchas las circunstancias que hacen ´este primero m´as sencillo en muchos aspectos. Como se dijo en la introducci´on, los conceptos relativos a meteorolog´ıa se re´ unen bajo este u ´nico cap´ıtulo con objeto de reflejar la similitud entre ellos desde el punto de vista de su manejo y empleo sobre una base conceptual com´ un, por lo que, una vez que se han estudiado la gran mayor´ıa de aspectos en el apartado correspondiente a la precipitaci´on, ser´a sencillo aplicar esas ideas al caso de la temperatura, poniendo primero de manifiesto las ya mencionadas diferencias. En primer lugar, la obvia distinci´on que debe advertirse entre ambos es la necesidad de un dato u ´nico para el caso de la temperatura, el´ıminandose as´ı el concepto m´ ultiple, y reduci´endose a una sola capa la representaci´on en malla de los datos sobre dicha temperatura — podr´ıamos denominar a estos Modelo Digital de Temperaturas, aunque prescindiremos de cualquier denominaci´on particular para los mismos —. Bien es cierto que la temperatura var´ıa a lo largo del tiempo de igual modo que lo hace la precipitaci´ on, por lo que deber´an emplearse un cierto numero de mallas para reflejar su din´amica de modo adecuado, pero no existe necesidad alguna de tratar esas distintas capas de temperatura como asociadas a un evento concreto, siendo de cara a su uso pr´actico unidades mucho mas independientes que las que conforman el MDP. El uso de las distintas mallas del MDP como caracterizadoras de un evento concreto es m´as notable en los modelos de suceso, donde la temperatura no es un par´ametro a tener en cuenta, como ya sabemos. Por ello, podemos trabajar bajo la consideraci´on de la independencia entre s´ı de las distintas mallas de temperatura, sin menoscabo de la precisi´on, tanto pr´actica como conceptual, de la modelizaci´on que sobre esa hip´otesis llevemos a cabo. En segundo lugar, la creaci´on de esta malla raster de temperaturas no s´olo ofrece una mayor simplicidad debido a lo anterior, sino que, por sus caracter´ısticas, permite encontrar alternativas adecuadas a la misma, evitando as´ı ´esta creaci´on y pudiendo recurrir a fuentes de datos ya adecuadas a las filosof´ıa raster que nos es necesaria para nuestro trabajo. No debe perderse de vista en ning´ un momento el destino de los datos de temperatura dentro del an´alisis hidrol´ogico, los cuales, como ya se dijo, se dirigen mayoritariamente a modelos continuos, no siendo necesaria una caracterizaci´on termom´etrica instant´anea de la zonas estudiada, sino m´as bien consistente en valores medios. La mayor disponibilidad de este tipo de datos en un formato acorde con las necesidades que tenemos de cara a la utilizaci´ on conjunta con MDTs y MDPs, la cual en su momento fue comentada en relaci´on con las fuentes de datos no puntuales, nos permite considerar la creaci´on de una malla de temperaturas a partir de interpolaci´on como una alternativa m´as, aunque tal vez no con tanta preponderancia como

´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

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suced´ıa en el caso precedente con el MDP. De generarse dicha malla haciendo uso de los m´etodo de interpolaci´on ya conocidos, el trabajo con valores medios y no con valores extremos modifica conceptualmente la interpretaci´on que debe darse a los resultados desde el punto de vista de su conveniencia. Aunque la aplicaci´on de cualquiera de dichos m´etodos, y con unas exigencias de precisi´on similares a las que ya fueron presentadas en el caso de la precipitaci´on, se presenta como una alternativa correcta y suficiente, autores como Collins (1996) se muestran partidarios de utilizar una interpolaci´on basada ajuste de funciones pol´ın´omicas, justificando esta elecci´on en una minimizaci´on el error medio absoluto cometido en el proceso. La interpolaci´on con apoyo en el MDT es, por supuesto, una opci´on que aqu´ı puede considerarse igualmente, siendo v´alidos los planteamientos de modelos y t´ecnicas como el PRISM , ya comentado para el caso de la precipitaci´on. Por u ´ltimo, tambi´en el ajuste de los valores de temperatura tras el proceso de interpolaci´on se ve simplificado o, al menos, no presenta las mismas complicaciones en su aplicaci´on que las comentadas en el caso de la precipitaci´on. La estabilidad y constancia de las variaciones de temperatura con la altitud — el gradiente adiab´atico del aire saturado se cifra en 0, 55o C por cada 100 metros — permiten que, con el apoyo del MDT, las temperaturas puedan ser ajustadas en las distintas celdas de modo pr´acticamente inmediato. Una manera sencilla de proceder a este respecto es simplemente reducir todos los valores de temperatura en los puntos conocidos a una determinada elevaci´on base, interpolar sobre los mismos y, posteriormente, ajustar la malla resultante en funci´on de la diferencia entre los valores del MDT para cada celda y el antedicho valor base. Todos estos factores unidos hacen que disponer de una matriz de valores de temperatura con una correcci´on suficiente sea una tarea relativamente asequible, por lo que debe considerarse a ´esta vivamente como dato de inter´es dentro de los modelos hidrol´ogicos que sean planteados, y siempre en la medida de lo posible de acuerdo con la propia naturaleza de dichos modelos.

6.3.2.

Insolaci´ on

Dentro de los elementos que se analizan en este cap´ıtulo relativos a las entradas y salidas relacionadas con el estudio climatol´ogico que deben considerarse en el planteamiento de determinados modelos, la ayuda m´as importante por parte de los MDTs se encuentra, sin duda, en el estudio de la energ´ıa radiante de origen solar y la magnitud de ´esta sobre la superficie terrestre. El conocimiento detallado del terreno permite un an´alisis local de las condiciones de cada celda a este respecto, permitiendo tambi´en as´ı la incorporaci´on de datos a la misma escala que el resto de informaci´on por el momento extra´ıda, y aportando una descripci´on del balance energ´etico con un nivel de detalle ´optimo para su incorporaci´on dentro de las formulaciones que hagan uso de este factor, como a continuaci´on veremos. La estimaci´on de la insolaci´on en t´erminos de energ´ıa recibida por una superficie — par´ametro que en u ´ltima instancia es el que debemos estimar para una posterior evaluaci´on de la evaporaci´on — va a implicar el c´alculo de dos factores independientes. Por una parte, el n´ umero de horas de sol efectivas, para el cual deben considerarse las caracter´ısticas del entorno de cada celda, estudiando los efectos de sombra que los puntos de dicho entorno pueden causar. Por otra parte, las propias caracter´ısticas de la celda en cuanto a su orientaci´on y pendiente, pues ´estas condicionaran la manera en que la insolaci´on incide sobre la misma y el aporte energ´etico que ´esta recibe. En primer lugar, y abordando la estimaci´on de insolaci´on efectiva, debe definirse un algoritmo que nos indique la situaci´on o no en sombra de un punto dado a partir del an´alisis de su relieve, as´ı como considerando unas determinadas caracter´ısticas sobre la posici´on del sol,

´ 6.3. EVAPORACION

223

indispensables para condicionar los c´alculos a las diferentes horas del d´ıa y momentos del a˜ no en que se produzcan. Este u ´ltimo hecho nos indica ya que los modelos hidrol´ogicos en los que pretendamos incorporar este tipo de an´alisis deber´an ser dependientes de la ´epoca del a˜ no en que se den, siendo por tanto de tipo continuo, pues en modo alguno la fecha de ocurrencia afecta significativamente a los resultados derivados de los modelos de suceso. Como elementos de caracterizaci´on de la posici´on del sol se emplean los conocidos ´angulos azimutal (φs ) y de elevaci´on (γs ), los cuales pueden calcularse de modo sencillo a partir de la latitud de la zona de estudio y la declinaci´on correspondiente a la ´epoca del a˜ no concreta. Para estudiar la insolaci´on durante un periodo de tiempo dado — cuya duraci´on, de cara a integrar los resultados con los modelos hidrol´ogicos, ser´a la del periodo de tiempo en que se analicen dichos modelos —, se discretiza a su vez este mismo periodo mediante unas divisiones de menor longitud y se calculan los par´ametros de insolaci´on para esos subintervalos, acumul´andose finalmente para obtener un resultado correspondiente al intervalo mayor. Sobre la base anterior, el algoritmo para caracterizaci´on de zonas en sombra se adapta a una formulaci´on sencilla consistente en comprobar si desde el punto analizado existe contacto visual con el sol, para lo cual se compara la l´ınea de visi´on trazada entre dicho sol y la celda con el perfil del terreno sobre esa misma linea. Si el terreno es superior en alg´ un punto a la linea de visi´on, el terreno act´ ua como obst´aculo y, por tanto, la zona esta en sombra. La figura (6.7) refleja gr´aficamente esta idea.

Figura 6.7: Zonas en sombra (a) frente a zonas bajo insolaci´on (b), por comparaci´on entre el perfil del terreno y la l´ınea de visi´ on entre la celda problema y el sol.

La pendiente de la linea de visi´on es, l´ogicamente, la que dicta el ´angulo de elevaci´ on del sol sobre el horizonte. Respecto al perfil del terreno, este se eval´ ua sobre una recta con ´angulo Φ igual al ´angulo azimutal del sol, trazando el perfil a partir de los datos de altura del MDT y las distancias entre las celdas sucesivas que pertenecen a dicha recta, como se recoge de forma visual en la figura (6.8). La determinaci´on de estas celdas puede llevarse a cabo mediante sencilla interpolaci´on o, de modo m´as particular, mediante alg´ un algoritmo desarrollado a este efecto, tal y como un algoritmo de Bresenham. A continuaci´on se presenta un algoritmo resumen de las ideas anteriores. A efectos del mismo, se considera que el perfil del terreno es calculado por una funci´on de la forma PerfilTerreno(x1,y1,x2 la cual crea un vector de pares de valores (altura, distancia desde la celda origen) que permite la posterior generaci´on de la curva de perfil. funcion EstaEnSombra (i,j,azimut,elevacion) // ´ angulos expresados en radianes { //calculamos un punto de referencia inmediatamente //fuera de la malla en la direcci´ on del sol puntoSol= //calculamos el perfil entre ese punto y la celda problema perfil=PerfilTerreno(i,j,puntoSol.x,puntoSol.y)

´ Y EVAPORACION ´ CAP´ITULO 6. PRECIPITACION

224

Figura 6.8: Determinaci´on de celdas a considerar en el perfil del terreno seg´un la posici´on del sol determinada por su ´ angulo azimutal.

desde i=1 hasta numero de elementos en Perfil { distancia=perfil[i].x alturaLinea=tan(elevacion)*distancia si alturaLinea WII WIII −WII   N  = m´ın NII − NII −NI (WII − W ), WI si W < WII WII −WI

(7.12)

El valor de W para las condiciones extremas I y III no tiene porqu´e ser el extremo inferior o superior de dicho par´ametro en la malla, motivo por el cual se toman valores m´aximos y m´ınimos en las expresiones anteriores. El empleo de este planteamiento debe ser, no obstante, complementado con una calibraci´on adecuada del modelo, en cuanto que la informaci´on disponible al respecto, dado el car´acter ciertamente experimental de la propia formulacion, es bastante escasa. La figura (7.2) muestra la conversi´on de una malla de valores de N´ umero de Curva en sus valores corregidos de acuerdo con la expresi´on anterior.

Figura 7.2: Creaci´on de malla de N´umeros de Curva adaptados en base a mallas de N´umeros de Curva e ´Indice Topogr´afico.

Al respecto de las puntualizaciones que deben hacerse en relaci´on a la discretizaci´on del terreno mediante la malla regular del MDT y la implicaci´on de este hecho en la evaluaci´on de la escorrent´ıa, ´estas derivan principalmente de la consideraci´on de cada celda como elemento aislado cuando en realidad no es as´ı. La aplicaci´on del m´etodo del N´ umero de Curva en cada celda hace uso u ´nicamente del valor de precipitaci´on de dicha celda recogido en el MDP, no siendo, sin embargo, la u ´nica entrada que presenta la celda, ya que recibe asimismo el aporte de las celdas situadas aguas arriba de la misma. En particular, para un instante dado t de un evento de precipitaci´on, recibir´a toda la escorrent´ıa de todas aquellas celdas situadas a un tiempo de viaje hacia dicha celda en el intervalo (t, t + ), siendo  la resoluci´on temporal con que se lleve a cabo la modelizaci´on. Este planteamiento, no obstante, supone una complejidad muy elevada, opt´andose con car´acter general por emplear la simplificaci´on ya expuesta de considerar u ´nicamente la precipitaci´on en cada celda como aporte recibido por la misma, simplificaci´on que da lugar a la introducci´on, en un principio, de errores como los reflejados en la figura (7.3). Estos errores no se refieren a la escorrent´ıa puntual en cada celda, sino a la que llega a la salida de la cuenca procedente de dicha celda. A efectos de calcular el hidrograma resultante a la salida de la cuenca — objetivo principal en un modelo de suceso tal y como el que se ha supuesto implementa esta metodolog´ıa del N´ umero de Curva —, para las celdas de cabecera, la escorrent´ıa que se estima en ellas es mayor que la que alcanza la salida, pues una vez abandona la celda esta escorrent´ıa puede infiltrarse en alguna otra celda aguas abajo, disminuyendo su magnitud. Por otra parte, para

´ Y ESCORRENT´IA 7.3. INFILTRACION

243

Figura 7.3: Errores en la estimaci´on de la precipitaci´on efectiva aportada por cada celda al hidrograma, al suponer dicha celda como unidad aislada en la aplicaci´on del m´etodo del N´ umero de Curva.

las celdas interiores, la escorrent´ıa calculada puede ser inferior a la real, ya que el suelo en la celda puede estar saturado por el flujo recibido de aguas arriba, mientras que seg´ un el planteamiento realizado, solo se ha considerado la saturaci´on producida por la precipitaci´ on. No obstante, y teniendo en cuenta que lo que se busca es fundamentalmente el antedicho hidrograma en el punto de cierre de la cuenca, la cancelaci´on de estos efectos opuestos de tal modo que puedan despreciarse est´a en funci´on de la homogeneidad de la precipitaci´on entre las diferentes zonas. La experiencia demuestra, sin embargo, que existe un muy buen ajuste si se supone de antemano dicha cancelaci´on, por lo que el planteamiento simplificado se emplea de forma general aqu´ı y tambi´en en el pr´oximo cap´ıtulo cuando se eval´ ue expl´ıcitamente el hidrograma generado por dicha escorrent´ıa en el conjunto de la cuenca analizada. Pese a que hasta este punto se ha evaluado la escorrent´ıa con car´acter individual para cada celda — y sin incorporar en el proceso la relaci´on de dicha celda con otras, como acabamos de ver —, la divisi´on de las mallas de datos en estas unidades m´ınimas no obliga a llevar a cabo un an´alisis completamente distribuido del par´ametro escorrent´ıa. Resulta posible — y habitual — dentro de modelos agregados, y a pesar de que se disponga en ´estos de informaci´ on en forma de mallas de datos, trabajar considerando como unidades m´ınimas las subcuencas como elementos hidrogr´aficos fundamentales. Para la estimaci´on de valores de escorrent´ıa asociados a subcuencas estimados mediante la aplicaci´on del m´etodo del Numero de Curva, es frecuente tomar valores medios de este u ´ltimo par´ametro a partir de los valores del conjunto de celdas incluidas en la subcuenca. De igual modo, pueden tomarse valores medios de precipitaci´on a partir de los registrados en dichas celdas de la cuenca para los distintos intervalos considerados — esto es, para los distintas capas del MDP asociado a la tormenta —. Esta ultima opci´on, sin embargo, se sustituye frecuentemente por el empleo de enfoques con mayor car´acter agregado, tales como emplear como dato de precipitaci´on el resultante de la interpolaci´on de las estaciones disponibles en un punto situado en el centro de gravedad de la subcuenca — es decir, sin necesidad de generar un MDP —, o el empleo de aquella estaci´ on con mayor influencia sobre la cuenca, lo cual se estima mediante pol´ıgonos de Thiessen – y, suponiendo la creaci´on de estos sobre una base raster, se tomar´ıa aquella estaci´on que fuera la m´as cercana a un mayor n´ umero de celdas dentro de las incluidas dentro de la cuenca —. No obstante, la utilizaci´on de un esquema distribuido en el c´alculo de la escorrent´ıa no restringe en absoluto el tipo de modelo hidrol´ogico en el que la informaci´on sobre dicho par´ametro va a ser utilizada, pudiendo ((agregarse)) los datos en el c´alculo de caudales como u ´ltimo paso

´ Y ESCORRENT´IA CAP´ITULO 7. INFILTRACION

244

del modelo. Ello hace m´as interesante el trabajo con un planteamiento distribuido, pues, al contrario que en los modelos hidrol´ogicos como tales, donde no se puede afirmar categ´oricamente la ventaja del enfoque distribuido frente al agregado, s´ı se puede afirmar que el conocimiento distribuido de los datos de partida de dicho modelo es superior en t´erminos generales al agregado.

7.3.2.

M´ etodos de base f´ısica

Como ya se introdujo en el primer tema de esta segunda parte, una de las consecuencias inmediatas del uso de cartograf´ıa digital, derivada principalmente de la mayor resoluci´on de ´estas, as´ı como de la estructura regular de las mismas en el caso de emplear mallas de datos como las que venimos usando hasta este punto, reside en la posibilidad de plantear modelos f´ısicos sobre las unidades elementales constituidas por cada una de las celdas en dichas mallas. Sobre el contexto de esta obra, ello implica que, comenzando por esta secci´on y en las siguientes, una constante en las exposiciones que se plantean sea la convivencia de las formulaciones de tipo conceptual o emp´ırico adaptadas a la nueva naturaleza de la base cartogr´afica disponible, junto a formulaciones de tipo f´ısico seg´ un lo expresado con anterioridad. Habiendo ya tratado la manera en que un m´etodo como el del N´ umero de Curva puede integrarse con el empleo de MDTs, el tratamiento de modelos f´ısicos complementa en este sentido dicha exposici´on, y pone de manifiesto las diferencias existentes entre ambos enfoques y las implementaciones de los mismos. Estas diferencias y consideraciones al respecto aparecer´an nuevamente, como se ha dicho, en otros puntos diversos a tratar en posteriores cap´ıtulos. Se aprovecha tambi´en la presentaci´on de este m´etodo para introducir igualmente los aspectos relativos al manejo de formulaciones sobre escorrent´ıa en modelos continuos frente al enfoque de eventos del m´etodo anterior, mostrando as´ı las diferencias entre ambos ´ambitos de empleo, quiz´as m´as relevantes que las puramente debidas al m´etodo como tal. La mayor idoneidad de un planteamiento f´ısico de cara al desarrollo de un modelo continuo, hace que estos primeros se empleen aqu´ı como un veh´ıculo para introducir la exposici´on te´orica de las ideas y fundamentos de los segundos. Una primera — e importante — diferencia reside en el nivel de detalle y el volumen tanto de entradas como de salidas que ambos modelos deben considerar. La evaluaci´on no s´olo de la escorrent´ıa, sino tambi´en de la infiltraci´on en los modelos continuos, hace necesario el registro de ese valor — y, por tanto, la creaci´on de una malla asociada, as´ı como una consideraci´on m´as detallada de las abstracciones, estudiando de modo espec´ıfico las p´erdidas por intercepci´on y requiriendo consecuentemente una informaci´on m´as precisa acerca de la cubierta vegetal. Volviendo al ya introducido esquema de celda como unidad de an´alisis, la figura (7.4) muestra de forma gr´afica las anteriores diferencias. Sobre los elementos reflejados para el caso de un modelo continuo empleando un m´etodo de c´alculo de escorrent´ıas con base f´ısica, se desarrollar´a a continuaci´on la exposici´on de las ideas relacionadas con cada uno de dichos elementos. Una vez m´as el enfoque principal no se realizar´a sobre las formulaciones en s´ı — muchas de ellas son formulaciones cl´asicas que pueden consultarse con mucho mayor detalle en textos habituales de hidrolog´ıa — sino en la propia estructura del modelo sobre el ´ambito distribuido y de base f´ısica en el que trabajamos, y el apoyo en el MDT. En primer lugar, las abstracciones y p´erdidas debidas a la vegetaci´on, simplificadas al m´aximo en el m´etodo del Numero de Curva, se prestan a una modelizaci´on m´as detallada. Como puede verse en la imagen (7.4), el c´omputo de estas p´erdidas se da anteriormente a la entrada del valor de precipitaci´on en el modelo de escorrent´ıa como tal, deduci´endose de este dichas perdidas como primer paso, aunque tambi´en con posteridad. Respecto a la reducci´on primera una postura sencilla a este respecto es la definici´on de un valor de capacidad de

´ Y ESCORRENT´IA 7.3. INFILTRACION

245

Figura 7.4: Comparaci´on visual entre el esquema de funcionamiento de un modelo de escorrentia sencillo como el N´ umero de Curva y uno complejo de base f´ısica.

retenci´on dependiente de la vegetaci´on existente, y la caracterizaci´on de cada celda no s´ olo con el tipo de vegetaci´on, sino tambi´en el porcentaje cubierto por la misma. Las p´erdidas a deducir quedan en este caso expresadas por estos dos par´ametros permitiendo un reflejo m´ as fiel del fen´omeno. Una caracter´ıstica b´asica que se encuentra presente en estos modelos con mayor nivel de detalle es la divisi´on del suelo en diferentes niveles, a cada uno de los cuales se asigna un comportamiento — y por tanto una serie de formulas correspondientes —, condicionando ´esto la forma en que los distintos fen´omenos son tratados. As´ı, la evapotranspiraci´on, adem´ as de considerarse con anterioridad a la entrada de un valor de precipitaci´on, se toma tambi´en en funci´on de los valores de agua presente en aquellos niveles del suelo susceptibles a dicha ET. El empleo de la malla de ETP es un elemento muy frecuente en este sentido para evaluar el valor de ET, tanto desde estos niveles como en la primera reducci´on. En algunos casos, como ya veremos en el caso de TOPMODEL, la capacidad de la vegetacion — responsable de la primera disminuci´on de la precipitaci´on — y del nivel de suelo, se re´ unen en un u ´nico valor. Simplificaciones de este tipo son frecuentes, as´ı como la adici´on de mayor complejidad planteando posturas opuestas que presenten una diferenciaci´on mayor de los elementos modelizados. Dos o tres niveles suelen ser los habituales, aunque existen modelos en los que se establecen un mayor n´ umero de divisiones, con las consecuencias que ello tiene en el empleo del modelo, especialmente desde el punto de vista de la obtenci´on de datos necesarios para alimentar el mismo. Las formulaciones incorporadas en este tipo de esquemas para la modelizaci´on de la escorrent´ıa deben simplemente estudiar el reparto de la precipitaci´on neta sobre las divisiones establecidas, teniendo en cuenta las relaciones entre ellas y los valores que cada una presenta para cada instante de tiempo analizado. Aunque no se ajusta puramente a esta estructura debido a algunas simplificaciones que presenta, la organizaci´on del modelo TOPMODEL, que seguidamente se analizar´a con mayor detalle, servir´a sin duda para aclarar estas ideas. Con todo ello, la generaci´on de escorrent´ıa se modeliza de un modo mas detallado, pudiendo este nivel de detalle aumentarse tanto como se desee — a decir verdad, mucho m´as all´ a de lo que un uso pr´actico del modelo planteado permite —, considerando las interacciones entre los diferentes niveles desde todos los puntos de vista posibles. A efectos de ejemplo, la figura (??) presenta el esquema b´asico de dichas relaciones en el modelo LISFLOOD, el cual, por

246

´ Y ESCORRENT´IA CAP´ITULO 7. INFILTRACION

su moderada complejidad, sirve perfectamente para recoger gr´aficamente las ideas referentes a este tipo de modelos. La infiltraci´on en este caso se eval´ ua mediante la cl´asica y bien conocida metodolog´ıa de Green–Ampt. Se incluyen en la figura elementos correspondientes a la generaci´on y conducci´on del flujo, propios del pr´oximo tema, a efectos de reflejar completa la estructura del modelo.

Figura 7.5: Esquema de funcionamiento del modelo LISFLOOD (DeRoo). Es importante recalcar que, al contrario de lo que sucede en el c´alculo de caudales donde, como ya veremos, la adopci´on de enfoques distribuidos y mayores niveles de complejidad cambia el esquema de proceso en lo que al manejo de las distintas celdas del MDT respecta, en este caso las celdas siguen consider´andose como entidades individuales, aplic´andose sobre cada una de las mismas las formulaciones oportunas, ya sean ´estas sencillas como en el m´etodo del N´ umero de Curva o bien complejas como las introducidas esquem´aticamente aqu´ı. Considerando las puntualizaciones ya realizadas en el caso del m´etodo del N´ umero de Curva relativas a los errores y compensaciones de los mismos que se pod´ıan atribuir al an´alisis con car´acter individual de cada celda, se puede decir que, en realidad, el empleo de la estructura en celdas del MDT — no as´ı del MDT como tal, pues hemos visto que tiene suma utilidad para la obtenci´on de la informaci´on de partida — no aporta grandes novedades al c´alculo de prepitaci´on neta. En otras palabras, un esquema como el de la figura (??) requiere el empleo de medios inform´aticos para el manejo de su gran volumen de datos, pero no es dependiente de la cartograf´ıa digital, siendo, de hecho, habitual encontrar diagramas de este tipo en libros de hidrolog´ıa que, presentando alg´ un ligero enfoque computacional, no lo hacen sobre la base de un MDT u otras estructuras similares — v´ease (Ponce, 1989) o (Chow, 1988), por ejemplo —. No obstante, el estudio distribuido de la escorrent´ıa es necesario para plantear modelos distribuidos en la generaci´on de caudales o bien obtener resultados m´as potentes con los modelos agregados, por lo que las ventajas del estudio a nivel de celda de la escorrent´ıa, aun

´ Y ESCORRENT´IA 7.3. INFILTRACION

247

no siendo excesivamente patentes ahora, existen y se mostraran plenamente en el pr´ oximo cap´ıtulo. Dicho de otro modo, el an´alisis de los balances de masa en cada celda — un indicativo de peso de la naturaleza distribuida y el aprovechamiento del MDT — a´ un no toma su peso total a estas alturas, siendo con el tratamiento de caudales cuando aparezca con la importancia que tiene.

7.3.3.

El m´ etodo del modelo TOPMODEL

En un punto intermedio entre modelos f´ısicos puramente distribuidos — generalmente mucho m´ as complejos en t´erminos de la informaci´on necesaria para su empleo — y la sencillez y elevada parsimonia del m´etodo del Numero de Curva, se encuentra el m´etodo del modelo TOPMODEL, el cual, por su buen car´acter did´actico y por la peculiar dependencia en los datos extra´ıdos del MDT, resulta muy conveniente desarrollar aqu´ı con algo de profundidad. Su distinta concepci´on, complementando a las anteriores, muestra otra forma distinta de aproximarse a la modelizaci´on de los distintos elementos del ciclo hidrol´ogico, siempre basando el trabajo en el MDT y otros elementos adicionales ya conocidos. Conceptualmente, TOPMODEL se fundamenta en un esquema seg´ un el cual se compartimenta el terreno en tres zonas de almacenamiento. Zona de intercepci´on Zona no saturada Zona saturada De estas tres, la intercepci´on procede de la primera, siendo la precipitaci´on total menos dicha evapotranspiraci´on la cantidad que pasa a la siguiente zona, tal y como muestra la figura (7.6). Para el c´alculo de dicha evapotranspiraci´on en un intervalo dado de los considerados en la modelizaci´on, se hace uso del valor de ETP que debe introducirse como par´ametro en el modelo, as´ı como de la propia cantidad del agua SR que se encuentre disponible en dicha zona de almacenamiento en ese intervalo. Esta cantidad ´esta en funci´on de la precipitaci´ on y del valor que tuviera en el anterior intervalo, existiendo un m´aximo SRM ax que debe tambi´en introducirse como un par´ametro en el modelo.

Figura 7.6: Esquema de zonas y procesos en el modelo TOPMODEL (Beven y Kirby, 1979). En cada intervalo se pierde por evapotranspiraci´on el valor m´ınimo entre SR y la ETP del intervalo, pudiendo as´ı obtenerse la precipitaci´on neta en el mismo. El estado inicial de la zona se intercepci´on se introduce tambi´en como par´ametro SR0 . Es sencillo ver que SRM ax es, en cierta manera, la informaci´on que el modelo toma acerca de la cobertura vegetal y las p´erdidas que ´esta puede suponer, siendo importante un buen ajuste del mismo. Con la precipitaci´on neta ya estimada, el trabajo sobre las otras dos zonas consideradas permite estimar el flujo generado seg´ un seguidamente se desarrolla. Los valores de los caudales

248

´ Y ESCORRENT´IA CAP´ITULO 7. INFILTRACION

Qsub y Qsup y la manera de trabajar con los mismos para obtener resultados globales de la cuenca, se ver´an en el proximo cap´ıtulo. Entrando en los fundamentos del modelo para la generaci´on de escorrent´ıas, la ecuaci´on fundamental en que se basa el TOPMODEL, relacionada ´esta con el ´ındice topogr´afico I, es la referida al c´alculo de un d´eficit de humedad en cada celda, la cual toma la forma S = S + m[(I − I) − (δ − δ)]

(7.13)

siendo m un par´ametro relacionado con la disminuci´on de la transmisividad del suelo en funci´on de la profundidad, S el d´eficit de humedad anterior, I el ´ındice topogr´afico y δ un par´ametro con la expresi´on δ = ln T0

(7.14)

siendo T0 la transmisividad del suelo. S, δ y I representan los valores medios de la cuenca vertiente para los correspondientes par´ametros. Como ya se ha comentado, es muy habitual considerar constante el valor de T0 — principalmente por falta de datos acerca del mismo — con lo que el sumando (δ − δ) se anula, simplificando as´ı la ecuaci´on. Respecto al par´ametro m y a la transmisividad, comentar que el propio ´ındice topogr´afico como tal deriva de la consideraci´on de un variaci´on exponencial negativa de de esta u ´ltima a lo largo del perfil ed´afico. Existen tambi´en (Ambroise et al, 1996) formulaciones basadas en perfiles parab´olicos o lineales, que dan lugar a indices topogr´aficos de la formas respectivas s I= I=

a0 tan γ

(7.15)

a0 tan γ

(7.16)

para los cuales las restantes formulaciones del modelo tambi´en son distintas. No obstante, la consideraci´on exponencial original ser´ a la que se trate en este texto, siendo sencilla la adaptaci´on de los conceptos a las restantes variantes. Volviendo al valor del d´eficit S, por representar ´este dicho deficit, aquellas celdas en las que se tenga S < 0 indicar´an una presencia de saturaci´on, y por tanto la ocurrencia de escorrent´ıa. Con ello, la dependencia directa de la escorrent´ıa con el ´ındice topogr´afico se puede ver con sencillez en la ecuaci´on (7.13) Los valores medios de cuenca δ y I se eval´ uan directamente sobre las mallas correspondientes, llev´andose a cabo el calculo de S para cada intervalo — de duraci´on  — del periodo de tiempo estudiado, en base al valor del intervalo anterior seg´ un St = St−1 + (qt−1 − r)

(7.17)

siendo qt−1 la escorrent´ıa total de la cuenca en el intervalo t − 1 dividida por el ´area total de la cuenca. r es la recarga neta en el suelo, es decir, las entradas al sistema. Con este valor medio para el intervalo t se calculan posteriormente los valores del d´eficit en cada celda durante dicho intervalo, y as´ı sucesivamente para todo el periodo analizado. Debe establecerse como dato de entrada la condici´on inicial S0 , la cual se eval´ ua a partir de la expresi´on S0 = −m · ln

Q0 T0 e−I

(7.18)

´ Y ESCORRENT´IA 7.3. INFILTRACION

249

siendo Q0 un valor inicial de caudal, el cual es, en u ´ltima instancia, el valor que debe introducirse como condici´on inicial. Como puede observarse, al ser dependiente de modo exclusivo del ´ındice topogr´afico como variable local, todas aquellas celdas que compartan el valor de dicho par´ametro tendr´ an un id´entico comportamiento hidrol´ogico. Pese a trabajar celda a celda, el modelo TOPMODEL se define como un modelo semidistribuido, ya que el c´alculo de escorrent´ıas y generaci´ on de caudales como tal no se lleva a cabo sobre el MDT y sus celdas, sino, aprovechando la similitud hidrol´ogica de las zonas con igual valor del ´ındice topogr´afico, sobre el histograma de distribuci´ on del mismo. La divisi´on de dicho histograma en una serie de clases reduce en gran medida el c´alculo, pues se analizan dichas clases y se estudian los d´eficits de humedad en ellas, utilizando luego los porcentajes ocupados por dicha clase dentro de la cuenca para conocer las ´areas totales en las que se producen los fen´omenos de escorrent´ıa y empleando ´estas. Por lo anterior, se dice con frecuencia que TOPMODEL es un modelo de ((´area contribuyente variable)) ya que la fracci´on de la cuenca que genera escorrent´ıa se modifica a lo largo de los intervalos que se analizan. La dimensi´on de este ´area viene condicionada por la topograf´ıa, las caracter´ısticas del suelo y la humedad en la cuenca.

Figura 7.7: Variaci´on del ´area contribuyente (en negro) a medida que se modifica el umbral de saturaci´on en funci´ on del ´ındice topogr´ afico.

Una de las caracter´ısticas de inter´es del enfoque del TOPMODEL en lo referente a la escorrent´ıa seg´ un lo anterior, es, tal y como citan sus propios autores, la posibilidad de analizar gr´aficamente mediante elementos cartogr´aficos la evoluci´on de las ´areas contribuyentes mencionadas con anterioridad y del proceso general de escorrent´ıa. La creaci´on de mallas con los valores del d´eficit de humedad para distintos momentos dentro del lapso de tiempo analizado, p´ermite estudiar de una manera complementaria a la puramente num´erica la respuesta de la cuenca a la precipitaci´on, siendo ello de gran car´acter did´actico, as´ı como desde el punto de vista del aprovechamiento e interpretaci´on de cualquier otro resultado derivado del propio modelo. La figura (7.7) muestra un ejemplo de lo anterior, quedando en ella reflejada la variaci´ on

250

´ Y ESCORRENT´IA CAP´ITULO 7. INFILTRACION

de ´areas activas a medida que se modifica el umbral de ´ındice topogr´afico a partir del cual se da la saturaci´on. Aunque no con el mismo significado, este an´alisis de las diferentes mallas de escorrent´ıa puede tambi´en llevarse a cabo en caso de aplicar otros m´etodos para la conversi´on de precipitaci´on en precipitaci´on neta, teniendo ello, no obstante, menor inter´es cuando no se contempla la variabilidad del ´area contribuyente como en el presente caso. Estos aspectos, no obstante, se analizar´an tambi´en desde otro punto de vista en el siguiente cap´ıtulo, cuando se traten los aspectos propiamente relacionados con la generaci´on de caudales.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

En la exposici´ on de la p´ agina 238 se hace referencia a una clasificaci´on de las celdas seg´ un su caracterizaci´ on como parte del relieve global. Realice un esquema de las caracter´ısticas principales de los tipos de celdas descritos (de valle, de cresta y de ladera) en funci´on de las pendientes y longitudes aguas arriba y aguas abajo de dicha celda, e intente escribir un algoritmo que permita realizar dicha clasificaci´ on.

Cap´ıtulo 8

Caudales l´ıquidos Well there’s floodin’down in Texas. All of the telephone lines are down. And I’ve been tryin’to call my baby. Lord and I can’t get a single sound. Stevie Ray Vaughan c´omo querr´ıa que un desborde caudal viniera a redimirla y la empapara con su sol en hervor o sus lunas ondeadas y las recorriera palmo a palmo y la entendiera palma a palma. Mario Benedetti

8.1.

Introducci´ on

Sin duda alguna, los resultados m´as importantes de cuantos pueden derivarse en t´erminos hidrol´ogicos de la informaci´on obtenida hasta este punto de las distintas mallas de datos — y en especial del MDT —, son los referentes a caudales que van a ser desarrollados en el presente cap´ıtulo. Si bien la informaci´on correspondiente a los balances de agua planteados dentro de los modelos continuos para cada celda a lo largo de los distintos intervalos resulta de gran inter´es, los resultados de que se dispone hasta el momento dentro de los modelos de suceso no ver´an su culminaci´on hasta que sean empleados para la elaboraci´on de elementos hidrol´ogicos tales como hidrogramas de avenida o similares. Por esta raz´on, la importancia de este cap´ıtulo es notable, y as´ı lo ser´a tambi´en el detalle en que las formulaciones y algoritmos correspondientes al mismo ser´an analizadas seguidamente. La distinci´on anterior entre modelos continuos y de suceso no ser´a, sin embargo, tan patente en la estructura de las exposiciones que siguen como en otras previas, pero s´ı se establecer´a una distinci´on entre las metodolog´ıas y algoritmos propios de modelos distribuidos y las relacionadas con modelos de tipo agregado. La distinta consideraci´on de las unidades m´ınimas de trabajo en cada una de estas filosof´ıas da lugar a diferentes enfoques y alternativas, que son en cada caso m´as ´optimas para su utilizaci´on con uno u otro tipo de modelos, y que deben analizarse por separado para guardar una coherencia l´ogica y una correcta estructuraci´on de los contenidos. En realidad, y aunque se mantenga la divisi´on relacionada con los tipos de modelo, la diferenciaci´on entre las distintas filosof´ıas — muy relacionada, no obstante, con el caracter agregado o distribuido del enfoque — se hace en tres bloques principales (Asante, 2000) basados en el concepto de volumen de control (Chow, 1988) , seg´ un lo siguiente: 251

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

252

Metodolog´ıas basadas en unidades hidrogr´aficas. La cuenca se define como un conjunto de subunidades con significado hidrogr´afico y una serie de elementos que los relacionan — uniones, bifurcaciones, etc. —. Cada una de estas subunidades constituye el volumen de control, y los flujos se transmiten entre los volumenes de control de acuerdo con las relaciones anteriormente mencionadas. Es, como se aprecia, un enfoque m´as cercano a los modelos agregados. Metodolog´ıas basadas en transmisi´ on celda a celda. Fundamentadas en el an´alisis del balance hidrol´ogico en cada celda y las de su entorno inmediato. Metodolog´ıas de tipo source–to–sink. En estos m´etodos, cada elemento en que se divide la cuenca se relaciona exclusivamente con la salida de la misma, siendo por tanto el volumen de control la ruta de flujo entre dicho elemento y el punto de cierre. A lo largo de este volumen de control, pueden considerarse diferentes reg´ımenes de flujo. Aunque pueden enfocarse desde planteamientos distribuidos o m´as bien agregados, en este texto lo relacionaremos con los de tipo distribuido, como ya veremos en el desarrollo de hidrogramas a partir de tiempos de salida. Dentro de los distribuidos, los de evento se sit´ uan m´as cercanos a este punto de vista conceptual, como tambi´en comprobaremos. Con todo lo anterior, una notable serie de m´etodos ser´an expuestos y analizados, concluyendose as´ı una buena parte del estudio hidrol´ogico perseguido originalmente y obteni´endose ya resultados que ponen de manifiesto la gran potencialidad del an´alisis llevado a cabo en puntos anteriores para la obtenci´on de dichos resultados de modo preciso y eficaz.

8.2.

Algunos planteamientos sencillos

Antes de entrar en la exposici´on de las metodolog´ıas correspondientes a cada uno de los tres grupos principales enunciados con anterioridad, algunas ideas con menor componente hidrol´ogica se van a exponer brevemente en este apartado, con el fin de introducir algunos enfoques que ponen de manifiesto la relaci´on entre los valores extra´ıdos del MDT y los resultados hidrologicos que como objetivo final buscamos. Estos m´etodos, en general muy sencillos y tan s´olamente v´alidos con caracter aproximado, se basan en el establecimiento de relaciones derivadas de formulaciones emp´ıricas, que permitan enlazar ciertos valores obtenidos del an´alisis del relieve con algunos par´ametros hidrol´ogicos de inter´es tales como caudales punta. Una primera de estas ideas es la reflejada en el denominado mapa de caudales punta potenciales, cuyo resultado es la creaci´on de una malla con valores de dicho caudal potencial, mediante la cual poder conocer, por ejemplo, y de forma visual y muy aproximada, los riesgos de avenidas e inundaciones en los distintos puntos de una cuenca. Frente a los resultados del tipo hidrograma asociados a elementos meteorol´ogicos particulares — ya sea estos correspondientes a eventos concretos o bien valores medios — que vamos a ver en los m´etodos que ser´an en breve analizados, esta primera aproximaci´on simplemente busca una caracterizaci´on ((est´atica)) con innegable valor pr´actico, con objeto de disponer de una primera estimaci´on en tareas tales como el dise˜ no hidrol´ogico, entre otras. Dentro de los par´ametros a emplear los valores de caudal punta m´aximo en cada celda, el area aportante se demuestra — como a primera vista parece l´ogico — como la m´as indicada ´ a tal efecto. As´ı, se trata de establecer ecuaciones de la forma Q = f (A)

(8.1)

que sean aplicables a las distintas celdas del MDT. Estas ecuaciones pueden ser u ´nicas, o bien establecerse diferentes grupos en funci´on del propio valor del ´area aportante u otros

8.2. ALGUNOS PLANTEAMIENTOS SENCILLOS

253

par´ametros conocidos con o sin relaci´on con el relieve de la cuenca. Es l´ogico pensar que dichas ecuaciones ser´an generalmente de car´acter regional, pues resulta altamente complejo e impreciso el formular expresiones que puedan trascender con cierta fiabilidad un ´ambito local de aplicaci´on. Bao (1997) propone el empleo de expresiones de la forma Qpot = αAβ

(8.2)

determin´andose experimentalmente mediante regresiones los valores de los coeficientes α y β Propone, asimismo, la diferenciaci´on en distintas regiones, a cada una de las cuales le corresponder´ıan unos valores particulares de α y β. Esta diferenciaci´on se llevar´ıa a cabo en funci´on de la propia ´area aportante, estableci´endose una serie de umbrales que delimitan los grupos definidos. Una carencia importante de este enfoque es, sin duda, el hecho de no considerar otros aspectos no geomorfol´ogicos de la cuenca tales como la vegetaci´on existente y sus caracter´ısticas, entre otros. Este hecho puede remediarse parcialmente tomando en consideraci´on dichos par´ametros en la divisi´on en grupos, aunque ello conllevar´ıa el desarrollo de un mayor numero de expresiones asociadas a las distintas divisiones, perdi´endose en parte el gran atractivo de esta metodolog´ıa basado en su sencillez. Junto con el mapa de caudales potenciales m´aximos, otro elemento de similar ´ındole lo constituye el mapa de caudales promedio asociados a un evento, el cual ofrece tambi´en una visi´on r´apida y nada compleja de la actividad hidrol´ogica de la cuenca a lo largo de dicho evento. Pese mantener una gran simplicidad, vemos que se asocia ya a un suceso de precipitaci´ on concreto, con lo que toma en consideraci´on otra serie de datos adicionales como ya veremos. Por otra parte, la existencia de ecuaciones tales como las introducidas en (8.1) no se hacen necesarias, pudiendo trabajarse exclusivamente con datos que hasta el momento conocemos y hemos calculado en alg´ un punto anterior de los ya tratados. Veremos, adem´as, que este mapa de caudales promedio puede ser de utilidad para incorporar sus valores con posterioridad en otra serie de formulaciones, estando as´ı dotando de una cierta utilidad adicional debido al c´aracter gen´erico del par´ametro que representa. La creaci´on de un mapa como el anterior admite tambi´en su desarrollo mediante la aplicaci´on de enfoques distintos. La utilizaci´on de mallas de valores de escorrent´ıa y el propio MDT, junto con la malla de tiempos de salida, se presenta, no obstante como la opci´on m´as simple y l´ogica a este respecto. Para ello, la idea fundamental reside en calcular el caudal en cada celda como una media de los generados en celdas aguas arriba — evaluados mediante la expresi´on (4.21) y supuesta una generaci´on instant´anea de los mismos —, teniendo en cuenta el tiempo total de salida de ese caudal, es decir: P Qi,j =

tMax i,j

Qa,b − ti,j

(a, b) pertenece a la cuenca de (i, j)

(8.3)

siendo ta,b el tiempo de salida de la celda (a, b) y tMax el tiempo de salida de la celda m´ as i,j alejada entre aquellas que vierten sobre (i, j). Es f´acil apreciar que la diferencia entre estos valores de tiempo se corresponde con el tiempo a cabecera, valor que ya en su momento fue analizado y del que podemos crear una malla con suma simplicidad. De otro modo, y teniendo ahora ya en cuenta que la tormenta en la que se produce el caudal promedio a calcular tiene una duraci´on dada, puede obtenerse un mapa de caudales promedios a partir del tiempo a cabecera de cada celda, dividiendo el volumen generado en el total de las celdas aguas arriba de una dada entre el tiempo de cabecera de la misma m´ as el

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

254

Figura 8.1: Representaci´on de una malla de caudales promedio, supuesta una escorrent´ıa instantanea (T = 0) de 1 mm en cada celda.

tiempo de generaci´on de dicho caudal — que representa el tiempo en el que todo ese caudal va a pasar por dicha celda —. Es decir, PN Qi,j =

n=1 in · g tcab i,j + T

2

(8.4)

siendo N el numero de celdas aguas arriba y T la duraci´on de la tormenta. Se asume mediante lo anterior que intensidad de la escorrent´ıa es constante a lo largo de la duraci´on de la tormenta. La simple divisi´on de la malla de caudales — a su vez calculada a partir de las de intensidad de escorrent´ıa y las direcciones de flujo mediante un mecanismo similar al empleado en la creaci´on de la malla de ´area aportante — y la de tiempos a cabecera m´as la duraci´on de la tormenta, da lugar a una nueva malla de valores promedio de caudal. Por u ´ltimo, y puesto que para cualquiera de los anteriores planteamientos es necesario el empleo de un valor de intensidad de precipitaci´on neta en cada celda para la estimaci´on del caudal generado, este valor, con objeto de mantener la sencillez tanto conceptual como pr´actica del mapa de caudales promedio, es conveniente tomarlo u ´nico. As´ı, y si se dispone de mallas de datos correspondientes a la escorrent´ıa en cada celda para los distintos intervalos, una nueva malla con la media de las mismas debe ser creada para su utilizaci´on en este caso, siendo innecesario el trabajar con un n´ umero m´ ultiple de valores dado el car´acter estimativo aproximado del propio elemento que se desarrolla. La creaci´on de una malla de valores de caudal medio puede llevarse a cabo tambi´en desde un punto de vista agregado, haciendo uso de un hietograma de escorrent´ıa asociado a la cuenca para la tormenta analizada. De igual modo, en este caso se considerar´ıa la media de los valores presentes para los distintos intervalos, siendo tal vez m´as adecuado el considerar solamente aquellos en los que la escorrent´ıa es no nula, es decir, a partir del momento de la tormenta en que la cuenca comienza a dar respuesta en forma de escorrent´ıa. Se recoge en la figura (8.1) un mapa de caudales promedio tal y como el propuesto sobre estas l´ıneas, considerando una generaci´on instant´anea de la escorrent´ıa, es decir, T = 0.

8.3.

M´ etodos sobre modelos agregados

Entrando ya en modelos m´as complejos capaces de ofrecer gran parte de los resultados propios de an´alisis hidrol´ogico en su sentido completo, los de mayor sencillez son los basados

´ 8.3. METODOS SOBRE MODELOS AGREGADOS

255

en una concepci´on agregada de las diferentes variables que toman parte en dicha modelizaci´ on. La divisi´on en subcuencas de podemos disponer en virtud de los algoritmos introducidos en el cap´ıtulo (4.2.2), nos ofrece la posibilidad de utilizar dichas cuencas como unidades hidrol´ ogicas, estudiando as´ı la cuenca global como un conjunto interconectado de dichas unidades. Esta aproximaci´on al an´alisis de los fen´omenos y variables hidrol´ogicas principales, m´as cercana al estudio cl´asico y a los conceptos b´asicos empleados habitualmente en un contexto no computacional, puede, sin embargo, sacar provecho de la amplia informaci´on de que disponemos a partir del MDT, complementando e incluso ampliando dichos m´etodos y las ideas que los definen. En particular, el presente punto se divide en dos apartados, uno de ellos dedicado al estudio de caudales para las distintas subcuencas y el otro a la manera en que dichas subcuencas van a relacionarse. Estos son, en otras palabras, los aspectos relativos al c´alculo de caudales propiamente dicho, y a la conducci´on de dichos caudales entre los diversos puntos de la red de subcuencas establecida. Por supuesto, este esquema puede aplicarse sin necesidad de dividir la cuenca estudiada, considerando a ´esta como u ´nica unidad existente — agregaci´on m´axima posible que puede realizarse —. No obstante, el aprovechamiento de los algoritmos de an´alisis hidrogr´afico basados en el MDT es ´optimo cuando se consideran unidades de menor tama˜ no, manteni´endose de ese modo un modelo de tipo agregado — ya que las unidades consideradas, por su condiciones de subcuencas, tienen pleno significado hidrogr´afico —, pero ganando en resoluci´on y situando a dicho modelo en un punto intermedio que le permite disfrutar de algunas de las ventajas de los modelos distribuidos en lo que a su precisi´on y exactitud se refiere. De igual modo, el car´acter agregado del modelo no impide que en determinados aspectos se entre al detalle a nivel de celda, no en los propios conceptos, sino sencillamente buscando ese aumento de precisi´on y elevada resoluci´on antes mencionado, aproxim´andose ocasionalmente a una concepci´on distribuida del an´alisis de ciertos elementos.

8.3.1.

C´ alculo de caudales

Para el c´alculo de caudales, este elemento se va a expresar mediante el habitual uso de hidrogramas, es decir, de curvas que expresan la relaci´on entre caudal y tiempo sobre un intervalo definido. Con objeto de utilizar una notaci´on matem´atica acorde con el planteamiento posterior de algoritmos a este respecto, podemos definir un hidrograma como un como un vector de pares ordenados de la forma H = {(t1 , Q1 ), (t2 , Q2 ), . . . , (tn , Qn )}

;

n∈N

(8.5)

Esto se simplifica habitualmente suponiendo que tn − tn−1 =  ;

 = cte

(8.6)

con lo que el hidrograma queda como H = (Q1 , Q2 , . . . , Qn )} ;

n∈N

(8.7)

notaci´on que emplearemos de aqu´ı en adelante. Una metodolog´ıa muy extendida e implementada con profusi´on en diversas aplicaciones — comenzando por la original HEC–1 — es la del denominado Hidrograma Unitario, de tipo emp´ırico, la cual se considerar´a como formulaci´on fundamental en este sentido, y como tal se analizar´a en profundidad, no ya en su formulaci´on b´asica — bien conocida —, sino especialmente en la relaci´on con los aspectos relativos al an´alisis de terreno que han sido desarrollados con anterioridad.

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

256

La metodolog´ıa del hidrograma unitario se basa en asumir una serie de hip´otesis referidas a la escorrent´ıa generada por un evento de precipitaci´on, En particular, ´estas pueden sintetizarse (Ponce, 1989) en los principios de linealidad y superposicion. Seg´ un el primero, el hidrograma para una precipitaci´on neta distinta de la unidad puede obtenerse multiplicando el hidrograma producido por una precipitaci´on neta unitaria por el valor de la precipitaci´on neta considerada. El segundo hace referencia a la posibilidad de obtener el hidrograma de un evento combinando los hidrogramas de los distintos intervalos en que ´este puede dividirse. Este proceso se denomina convoluci´ on. El hidrograma generado por una precipitaci´on neta de 1 mm es el que denominaremos Hidrograma Unitario y denotaremos como HU = (Qu1 , Qu2 , . . . , Qun )

(8.8)

Seg´ un veremos, ´este nos servir´a como modelo para relacionar la precipitaci´on efectiva con el hidrograma generado por la misma. Asumiendo lo anterior, y para una tormenta caracterizada mediante un numero dado n de intervalos de duraci´on fija 0 , puede calcularse el hidrograma generado en una cuenca mediante la expresi´on H=

n X

Hi

(8.9)

i=1

donde Hi representa el hidrograma correspondiente al intervalo i − esimo, el cual a su vez se eval´ ua seg´ un Hi = Pi HU = (Pi Qu1 , Pi Qu2 , . . . , Pi Qun )

(8.10)

siendo Pi la precipitaci´on efectiva en el intervalo i − esimo, obtenida en funci´on de la precipitaci´on y alguna metodolog´ıa de las presentadas en el cap´ıtulo anterior. En este caso, por ser una pr´actica habitual, y por adaptarse convenientemente a las car´acter´ısticas del m´etodo, basaremos el an´alisis en la metodolog´ıa del Numero de Curva. As´ı, el valor de escorrent´ıa puede calcularse a partir de un valor medio del N´ umero de Curva, o como media de los estimados en cada celda haciendo uso de sus N´ umeros de Curva propios. Es decir 1 P = fEsc (N C, P0 )

(8.11)

P = fEsc (N C, P0 )

(8.12)

o bien

N´otese que, pese a ser conveniente por simplificar de manera notable, no es necesario que los intervalos  y 0 sean iguales, ya que puede calcularse la escorrent´ıa generada entre dos puntos cualesquiera a lo largo de la duraci´on de la tormenta dividiendo proporcionalmente la producida en cada intervalo, cuando sea necesario. De igual modo, advi´ertase que el operador suma ((+)) aplicado a hidrogramas no es una suma vectorial como tal, ya que los vectores pueden tener diferente dimensi´on — si la duraci´on de los hidrograma es distinta —, siendo una suma componente a componente pero mas ((relajada)), ya que permite sumar dichos vectores de diferente ´ındole igualando a cero las componentes no presentes. 1 Para evitar un n´ umero excesivo de sub´ındices y super´ındices, desde este punto en adelante la notaci´ on P hace referencia a la precipitaci´ on efectiva y no a la precipitaci´ on ca´ıda, como ven´ıa entendi´endose hasta este punto.

´ 8.3. METODOS SOBRE MODELOS AGREGADOS

257

Sobre la base de esta teor´ıa, el elemento base del que por el momento carecemos es el propio hidrograma unitario, para cuya determinaci´on se presentan diversas alternativas, las cuales se estudiar´an seguidamente, con atenci´on a las aportaciones que el an´alisis de los Modelos Digitales del Terreno puede realizar a este respecto. Hidrogramas unitarios a partir de datos de tormentas y aforos El hidrograma unitario, en su calidad de representante de la respuesta de la cuenca, debe guardar una relaci´on fuerte con la misma y sus caracter´ısticas. Por este su obtenci´on a a partir de datos reales registrados sobre dicha cuenca resulta la metodolog´ıa ideal, llev´andose ´esta a cabo a partir de la ((deconvoluci´on)) de un hidrograma registrado en la misma, conoci´endose el hidrograma de tormenta que lo gener´o. Esta forma de obtener el hidrograma unitario, no obstante, resulta imposible de llevar a la pr´actica en muchos casos, al no encontrarse aforadas una gran mayor´ıa de cuencas, y no siendo en general extrapolables los resultados de unas cuencas a otras en base a su similaridad o proximidad geogr´afica. Por este motivo, y por no aportar nada nuevo en este sentido la presencia del MDT o la naturaleza computacional del entorno en que se lleva a cabo la modelizaci´on hidrol´ ogica, este texto se centrar´a sobre otras maneras diferentes de obtener el hidrogramama unitario, sin considerar ´esta en detalle. Hidrograma unitarios sint´ eticos Si bien el hidrograma unitario debe guardar, te´oricamente, una relaci´on estrecha con las caracter´ısticas de la cuenca como tal, de modo cl´asico, y debido a la dificultad de c´alculo por los elevados requerimientos de datos que entra˜ naba la obtenci´on de dichos hidrogramas como ya se ha dicho, la opci´on habitual resid´ıa en la utilizaci´on de los denominados hietogramas sint´eticos. Pese a que el an´alisis del MDT nos va a permitir aproximarnos a la obtenci´ on de hidrogramas unitarios de modo m´as real y teniendo en consideraci´on las particularidades de la cuenca de modo m´as intenso, el empleo de estos hidrogramas sint´eticos sigue siendo una constante en la actualidad, tanto por su fiabilidad como por su sencillez intr´ınseca. Por su propia naturaleza, como se ha dicho, los hidrogramas sint´eticos guardan una relaci´ on no muy elevada con las caracter´ısticas particulares de la cuenca, por lo que las ventajas de un conocimiento exhaustivo del terreno se manifiestan en menor forma en este caso. No obstante, son necesarios algunos factores derivados de la morfolog´ıa de la cuenca, por lo que el conocimiento preciso de ´esta tiene una influencia directa sobre la precisi´on con que se definen dichos hidrogramas unitarios. El m´as extendido y popular de estos hidrogramas unitarios sint´eticos es el triangular desarrollado por el Soil Conservation Service (SCS) estadounidense, definido por los siguiente factores. tl = 0, 6tc

(8.13)

 + tl 2

(8.14)

tb = 2,67tp

(8.15)

tp =

Qp = 0,208

A ; tp

(8.16)

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

258

donde tp es el tiempo al pico del hidrograma, Qp el caudal punta, tb el tiempo base o duraci´on total del hidrograma, tc el tiempo de concentraci´on, A el ´area de la cuenca y tl el tiempo de retardo Al respecto del empleo del tiempo de concentraci´on como par´ametro necesario, ´este puede calcularse a trav´es de cualquiera de las f´ormulas conocidas o bien utilizarse un mapas de tiempos de salida y localizar en ´el el punto m´as alejado, como ya se coment´o en su momento — obviamente, en la confecci´on de este mapa no debe haberse utilizado la f´ormula del tiempo de concentraci´on en ning´ un punto —. No obstante, si se dispone de este mapa, veremos m´as adelante que existe otra forma distinta de obtener un hidrograma unitario — no de tipo sint´etico, en este caso —, de forma particular para la cuenca que se analiza. Debe tenerse en cuenta igualmente que el valor 0, 6 que aparece en la expresi´on del tiempo de retardo es el correspondiente a la utilizaci´on de la formula de Kirpich para el c´alculo de tc — la m´as habitual para este cometido —, debiendo utilizarse otro valor en caso de utilizar otra formulaci´on distinta. Un nuevo factor asociado a la forma de la cuenca, tal y como la posici´on de su centro de gravedad, puede emplearse para el c´alculo de un distinto tipo de hidrograma unitario sint´etico como es el de Snyder , definido por las expresiones tp =

12 Ct (L · Lc )0,3 11

Qp = 2, 78

Cp A tp

(8.17) (8.18)

siendo Cp y Ct par´ametros relacionados con la retenci´on y el almacenamiento en la cuenca que se estiman a partir de datos de aforo en la cuenca estudiada o en otras cercanas. L es la longitud del cauce de mayor longitud y Lc la distancia entre la salida de la cuenca y el punto de cauce m´as cercano al centro de gravedad de la misma. En este caso, la duraci´on viene definida por el propio hidrograma seg´ un =

Tl 5, 5

(8.19)

De entre los par´ametros que intervienen en las anteriores expresiones resulta especialmente relevante desde nuestra perspectiva la relativa a la posici´on del centro de gravedad, pues este par´ametro puede ser complejo de evaluar sobre una base cartogr´afica cl´asica, siendo relativamente sencillo con la ayuda del MDT sin m´as que hacer uso de algunos resultados que ya se conocen en este punto. Partiendo de la cabecera del rio m´as largo de la cuenca — que es conocido en virtud de lo explicado en el cap´ıtulo correspondiente —, se va descendiendo por ´el a lo largo de las sucesivas celdas y calcul´andose la distancia — euclidea, en este caso — entre dichas celdas y el centro de gravedad. Tomando la celda con el m´ınimo valor, se obtiene la posici´on buscada. De este modo, el hidrograma unitario de Snyder se convierte en una alternativa sencilla de implementar, cuyo c´alculo es similar en cuanto a complejidad al del hidrograma unitario triangular del SCS, una vez se conocen los resultados desarrollados en cap´ıtulos precedentes. Hidrogramas unitarios geomorfol´ ogicos El comportamiento en t´erminos hidrol´ogicos de una cuenca es obvio que depende principalmente de la morfolog´ıa de la misma, raz´on por la cual los par´ametros que definen dicha morfolog´ıa deben entrar a formar parte en la medida de lo posible en las formulaciones como las desarrolladas en este cap´ıtulo. No obstante, se ha visto ya que los hidrogramas unitarios sint´eticos no incorpor´an gran parte de la informaci´on acerca de dicha morfolog´ıa, por lo que

´ 8.3. METODOS SOBRE MODELOS AGREGADOS

259

´ no reflejan la totalidad de factores que definen la misma. Esta era, como ya se dijo, una de las razones por las que el conocimiento detallado del terreno que nos permiten los MDTs no supon´ıa una diferencia realmente notable en cuanto a su precisi´on o a las propias prestaciones que de su metodolog´ıa pueden extraerse. En un intento por incorporar con m´as intensidad las caracter´ısticas morfol´ogicas de la cuenca vertiente, Rodr´ıguez–Iturbe y Vald´es (1979) definen el concepto de Hidrograma Unitario Geomorfol´ogico Instantaneo (HUGI, de aqu´ı en adelante), el cual a lo largo de los a˜ nos se ha demostrado como una herramienta de enorme utilidad para el estudio en aquellas cuencas de las que no se dispone de pr´acticamente informaci´on alguna. M´as a´ un, por sus propias caracter´ısticas, los HUGIs, en todas sus diferentes formulaciones propuestas por diferentes autores, se han visto potenciados y favorecidos notablemente por el an´alisis riguroso del terreno efectuado sobre la base de un MDT, motivo por el cual son analizados aqu´ı con cierto detalle. Para desarrollar la explicaci´on de este concepto, es necesario primero mencionar el concepto m´as gen´erico de Hidrograma Unitario Instantaneo (HUI), el cual representa la funci´ on de densidad de probabilidad, para un volumen instant´aneo unitario de precipitaci´on neta sobre la cuenca, del tiempo de salida de una gota de agua desde un punto aleatorio de dicha cuenca. Como tal, el HUI es un descriptor directo de la respuesta de la cuenca ante un evento de precipitaci´on, y su conocimiento posibilita por tanto el c´alculo de hidrogramas asociados a eventos concretos que pueden modelizarse a trav´es de este planteamiento. Si el hidrograma unitario refleja el comportamiento de la cuenca para una tormenta generadora de una escorrent´ıa unitaria con una duraci´on determinada — que denot´abamos como  por ser coincidente con el intervalo de trabajo en la estimaci´on del hidrograma final —, el Hidrograma Unitario Instantaneo hace lo propio suponiendo que la precipitaci´on tiene una duraci´on infinitesimal, es decir, que en un instante dado ((aparece)) sobre la cuenca la escorrent´ıa unitaria que caracteriza al propio hidrograma. Aunque este planteamiento es puramente te´orico, es importante porque mediante el mismo se puede reflejar la respuesta de la cuenca con independencia de la duraci´on de la tormenta, siendo as´ı unicamente dependiente de la propia cuenca y sus caracter´ısticas particulares (Chow et al, 1988). La conversi´on de un HUI en un hidrograma unitario habitual de duraci´on  puede realizarse simplemente aplicando HU It + HU It− (8.20) 2 El tema de los HUIs fue intensamente tratado en los a˜ nos 70, pero despu´es de este periodo ha existido un vac´ıo de aproximadamente unos 20 a˜ nos en su estudio, principalmente debido a las dificultades de establecer relaciones entre las caracter´ısticas de estos HUIs con los par´ ametros habituales que pueden extraerse de las cuencas. El an´alisis en mayor profundidad del relieve que permite el MDT, en conjunto con algunos nuevos planteamientos, ha contribuido a poner de nuevo de actualidad este concepto, en gran medida gracias al propio concepto de los HUGIs y su dependencia de los aspectos morfol´ogicos del relieve. La idea fundamental detr´as de los HUGIs es establecer un v´ınculo entre el HUI y la morfolog´ıa de la cuenca, de tal modo que el c´alculo de este u ´ltimo sea sencillo en base al conocimiento de ciertos par´ametros geomorfol´ogicos de obtenci´on relativamente sencilla. En particular, los propios Rodr´ıguez–Iturbe y Vald´es dan expresiones para los par´ametros definitorios del hidrograma unitario como tp y qp — el desarrollo matem´atico hasta estos resultados no se detalla aqu´ı por ser extenso —, seg´ un HUt =

−0,43 tp = R L

1, 31 V Lω

(8.21)

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

260

0, 44Lω qp = V



RB RA

0,55

−0,38 RL

(8.22)

siendo RB el radio de bifurcaci´on y RA y RL los radios correspondientes a las ´areas y longitudes asociadas a los tramos de la red de drenaje.ω es el orden m´aximo de cauce presente en la cuenca. Respecto al par´ametro V , este representa la velocidad media del flujo en la cuenca, que mediante esta metodolog´ıa se asume constante. Este valor permite la introducci´on de aspectos relativos a una respuesta no lineal por parte de la cuenca, siendo uno de los elementos acerca de los cuales m´as se ha debatido y escrito con respecto a la obtenci´on precisa del HUGI. El propio Rodriguez–Iturbe (1982) propone la estimaci´on de V en funci´on de las caracter´ısticas de una tormenta dada, desarrollando as´ı un hidrograma unitario geomorfoclim´atico. Para una tormenta de intensidad media — supuesta constante— ir , las expresiones que definen a ´este son tp =

0, 871 π 0,4

qp = 0, 585π 0,4

(8.23)

(8.24)

siendo π=

L0,25 Ω 1,5 ir AΩ RL αΩ

(8.25)

donde A representa ´area de la cuenca y √ αΩ =

SΩ 2 3

(8.26)

nBΩ siendo BΩ y SΩ la pendiente en el cauce de mayor orden. Las variaciones sobre el tema son muchas, en cuanto que los estudios realizados al respecto y la literatura existente son ambos abundantes, si bien las expresiones anteriores son las b´asicas y de m´as com´ un uso. En relaci´on con el empleo de algunos elementos ya tratados con anterioridad, otra aproximaci´on rese˜ nable a la obtenci´on de un Hidrograma Unitario Geomorfol´ogico Instantaneo de una cuenca dada es la basada en el concepto de elipse equivalente, ya estudiado en el cap´ıtulo correspondiente a la caracterizaci´on de cuencas vertientes. Sobre los par´ametros a y b definidos entonces en referencia a los ejes principales de dicha elipse y el valor d relacionado con la distancia entre la elipse y el punto de salida de la cuenca, Moussa expone algunas relaciones entre ´estos y los par´ametros que definen el HUGI. V´ease (Moussa, 2003) para m´as detalles. La relaci´on con las propiedades fractales de la red de drenaje tambi´en ha sido un tema de importante trabajo, como parece l´ogico pensar dada la relaci´on entre la formulaci´on del HUGI expuesta con anterioridad y los ordenes de Horton, muy unidos ´estos a la naturaleza fractal de los cauces como ya se trato en su momento. En esta linea se encuentra (Wang, 2000), entre otros. Aunque, una vez m´as, se subraya la poca homogeneidad de resultados en este aspecto, todo hace pensar que el MDT es una herramienta b´asica para establecer relaciones entre aspectos geomorfol´ogicos e hidrol´ogicos desde esta perspectiva, restando mucho por trabajar en dicha direcci´on.

´ 8.3. METODOS SOBRE MODELOS AGREGADOS

8.3.2.

261

Conducci´ on del flujo

Desde el conocimiento de los hidrogramas generados por cada subcuenca para una tormenta dada, la obtenci´on de un hidrograma correspondiente a la cuenca global se lleva a cabo mediante la combinaci´on de ´estos de acuerdo con una formulaci´on desarrollada a tal efecto, la cual brevemente ser´a analizada, as´ı como algunas posibilidades de estudio complementarias en este sentido. El establecimiento de una relaci´on formal entre los hidrogramas de las subcuencas seg´ un se va a detallar a continuaci´on, no queda, l´ogicamente, limitado al c´alculo de ´estos mediante la metodolog´ıa ya vista del hidrograma unitario, sino tambi´en otras que m´as adelante se ver´ an o cualquiera que se emplee para tal prop´osito. El planteamiento de modelos combinados con elementos tanto agregados como distribuidos, tal y como se tratar´a algo m´as adelante, es un ejemplo claro de lo anterior. De modo sencillo, la conexi´on de los diferentes valores implica por una parte el conocimiento de ciertas formulaci´ones relacionadas con el desplazamientos de los hidrogramas — con las cuales el lector se encuentre probablemente familizarizado — as´ı como algunas consideraciones referentes al orden y sistema en que dichos valores deben utilizarse sobre estas formulaciones. Con respecto al primer aspecto, existen diversos planteamientos basados tanto en conceptos hidr´aulicos como hidrol´ogicos, que permiten estimar la modificaci´on que sufre un hidrograma al desplazarse entre dos puntos dados. Es lo que se conoce con el nombre de conducci´ on del hidrograma. Sin entrar en detalles, nos serviremos para el an´alisis de este punto de una formulaci´ on popular en este sentido como es la de Muskingum, la cual, a partir de la ecuaci´on de continuidad deduce una expresi´on de las coordenadas del hidrograma modificado — que denotaremos como H0 —, seg´ un 0 Hi+1 = C1 Hi + C2 Hi+1 + C3 Hi0

(8.27)

siendo C1 =

Kx + 2 −Kx + 2 K(1 − x) − 2 ; C = ; C = 2 3 K(1 − x) 2 K(1 − x) 2 K(1 − x) 2

(8.28)

Una vez conocemos las metodolog´ıas para estimar los hidrogramas generados en cada subcuenca, as´ı como las relativas a la conducci´on de los mismos, debe entrar en juego como elemento final la propia estructura de la cuenca y las interrelaciones entre sus subelementos, pues los hidrogramas que deben conducirse son los formados por todos aquellos otros hidrogramas — bien sean ´estos generados directamente por una subcuenca o bien sean ya hidrogramas conducidos cuyo origen se encuentra en subcuencas situadas m´as hacia aguas arriba — que confluyen sobre una subcuenca dada y la atraviesan. La presentaci´on de ciertas ideas y una formulaci´on algor´ıtmica a este respecto, adem´as de cumplir su cometido cerrando el desarrollo concerniente a enfoques agregados, presenta una circunstancia relativa al orden de c´alculo que tambi´en deber´a considerarse mas adelante en los modelos distribuidos con mayor ´enfasis si cabe. Una vez m´as, como ya fue habitual en la extracci´on y an´alisis de la cuenca vertiente y sus subcuencas, ser´a un sencillo algoritmo recursivo quien nos permita evaluar el par´ametro que buscamos, en este caso el hidrograma a la salida de la cuenca. Sea para cada subcuenca i su hidrograma generado por dicha subcuenca Hi , calculado seg´ un las metodolog´ıas explicadas l´ıneas atr´as. La relaci´on entre las subcuencas hace que el caudal que pasa por ellas no sea exclusivamente el generado en las mismas, sino tambi´en el que proviene de aguas arriba. As´ı, puede expresarse en una primera aproximaci´on que

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

262

H∗i = Hi +

m X

Hj

∀j, j vierte sobre i

(8.29)

j=1

siendo m el n´ umero de subcuencas que se encuentran aguas arriba de i. Se indica con un asterisco que el hidrograma corresponde a la suma de todos los que pasan por la subcuenca. No obstante, nada se ha tenido en cuenta con respecto a la conducci´on de los hidrogramas, y al hacerlo veremos que algunas modificaciones deben realizarse sobre la formulaci´on anterior. En primer lugar, los hidrogramas Hj de esas subcuencas situadas aguas arriba deben sustituirse por sus correspondientes ya conducidos H0j , siendo esa conducci´on dependiente de la distancia hacia aguas arriba en que fueron generados. Por otra parte, si han sido conducidos a trav´es de otras subcuencas k situadas entre la subcuenca i analizada y la j generadora del hidrograma, debe considerarse el hidrograma H0∗k , el cual ya incluir´a el caudal que fue aportado por la subcuenca j. Ello debe tenerse en cuenta para no sumar en m´as de una ocasi´on el hidrograma formado en una sola subcuenca. Por u ´ltimo, el hidrograma generado por i es el correspondiente a la salida de la propia subcuenca i, mientras que los hidrogramas de aguas arriba se conocen en la salida de sus respectivas subcuencas, es decir, en la entrada sobre i, por lo que deben conducirse a trav´es de ´esta Con todo lo anterior, se puede reformular la expresi´on (8.29) de la forma H∗i = Hi +

m X

H0∗j

∀j, j vierte directamente sobre i

(8.30)

j=1

N´otese que se han restringido las entradas u ´nicamente a las subcuencas que vierten directamente sobre la cuenca problema, pues estas ya incluyen todo el flujo que proviene de aguas arriba de las mismas. Igualmente, es interesante rese˜ nar que mediante algunas de las metodolog´ıas estudiadas para la divisi´on de una cuenca en subcuencas, todas las entradas a una cuenca dada se realizan sobre un mismo punto, con lo que en lugar de conducir cada uno de los hidrogramas entrantes y sumarlos con posterioridad, se puede conducir en un u ´nico proceso la suma de todos ellos. Llevar las anteriores ecuaciones a un algoritmo requiere, en primer lugar, conocer cu´ales son dichas subcuencas que vierten directamente, algo sumamente sencillo conociendo los puntos de salida de cada una de ellas y haciendo uso de la malla de subcuencas en su momento definida en (4.2). Simplemente tomando el punto (a, b)i de cierre de la subcuenca i y calculando la celda situada aguas abajo mediante el empleo de la direccion de flujo en (a, b)i , el valor c de la malla de subcuencas en dicha celda es el n´ umero de subcuenca que se busca. Si denotamos como fSig la funci´on que asigna a cada cuenca su siguiente cuenca aguas abajo, se tiene que  fSig (i, j)

= 0 para la ultima subcuenca aguas abajo = c para el resto de subcuencas c = 1, . . . , m

(8.31)

siendo m el n´ umero total de subcuencas. Como es l´ ogico, el punto de salida de la ultima subcuenca coincide con el de la cuenca global, es decir, con el punto donde se busca conocer el hidrograma asociado a la tormenta en u ´ltima instancia. De cara a plantear el algoritmo correspondiente, resulta sin embargo de mayor inter´es conocer una relaci´on en sentido inverso, es decir, no qu´e cuenca es la siguiente para una dada, sino cu´ales vierten sobre una concreta. La creaci´on de un vector asociado a cada cuenca con esta informaci´ on es un proceso trivial.

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

263

En este punto, es interesante recordar la forma propuesta para el almacenamiento de la topolog´ıa de la red de drenaje en forma de grafo — la cual, como se dijo, coincidir´a con la de la estructura de las subcuencas asociadas si estas han sido creadas a partir de los puntos de uni´ on de los distintos tramos — con objeto de mostrar su utilidad en el caso que ahora nos ocupa. La disposici´on de un estructura tal simplifica las operaciones a llevar a cabo y permite un sencillo establecimiento de las relaciones entre subelementos hidrogr´aficos, por lo que se pone de este ´ modo de manifiesto la utilidad de la misma. Esta es, por tanto, una forma muy adecuada para el almacenamiento esquem´atico de la configuraci´on de la cuenca, de sumo inter´es para proceder a la combinaci´on de los distintos hidrogramas calculados de forma individual en las diferentes subcuencas. Con los elementos anteriores, la expresi´on algoritmica buscada para la obtenci´on de hidrogramas correspondientes a cada subcuenca es la mostrada seguidamente. Se supone la existencia de una funci´on Conducir que efect´ ua la conducci´on del hidrograma a lo largo de una subcuenca aplicando una formulaci´on como la de Muskingum ya introducida previamente funci´ on CalcularHidrogramaTotal (cod) // cod es el c´ odigo de la subcuenca { H=hidrograma generado en cod Para cada subcuenca i que vierte sobre cod { H1=CalcularHidrogramaTotal(i) H2=Conducir(H1) H=H+H2 } } Aprovechando la llamada recursiva del algoritmo, basta ejecutar el mismo sobre la ultima subcuenca aguas abajo para que, no solo el hidrograma a la salida de la cuenca global, sino todos los correspondientes a las distintas subcuencas, sean calculados en el proceso. Si se almacenan de algun modo los hidrogramas intermedios, este procedimiento a˜ nade la caracter´ıstica interesante de proporcionar dichos hidrogramas para todo el conjunto de unidades hidrogr´aficas consideradas, pudiendo as´ı estudiarse el efecto de la tormenta sobre cada una de ellas de modo aislado y en puntos concretos de relevancia de la cuenca global.

8.4.

M´ etodos sobre modelos distribuidos

La consideraci´on de las celdas del MDT como unidades m´ınimas de generaci´on de escorrent´ıa abre una nueva serie de posibilidades para el c´alculo de caudales, las cuales, haciendo uso de formulaciones bien conocidas, se adaptan a la definici´on distribuida de la cuenca vertiente objeto de an´alisis y permiten plantear concepciones novedosas de gran inter´es. El trabajo que primero abordaremos en este sentido es similar a las metodolog´ıas conocidas de modo cl´asico como basadas en isocronas — tambien denominadas frecuentemente como basadas en la relaci´on tiempo–´ area —, formuladas ahora con una resoluci´on mucho mayor que modifica sensiblemente la forma de proceder sobre dichas isocronas. Pese a la diferencia conceptual que, como veremos, existe, se mantendr´a esta denominaci´on pues es altamente significativa y hace alusi´on adecuada a la propia naturaleza del m´etodo. Con la notaci´on ya introducida anteriormente, este enfoque se corresponde con lo que se vino a denominar de tipo source–to–sink, siendo estudiados a continuaci´on de ellos los modelos de tipo celda a celda.

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

264

Las diferentes formas de plantear la descripci´on de las t´ecnicas que permiten tomar los valores de escorrent´ıa de cada celda en cada intervalo de tiempo considerado y dar lugar a partir de ellos a un hidrograma correspondiente a la cuenca para dicha tormenta, se van a analizar aqu´ı en ordente creciente de complejidad. De esta forma, comenzando por una aproximaci´on muy b´asica, se ir´a aumentando conceptualmente el modelo, a˜ nadiendo al mismo m´as detalle de modo paulatino. Estas ideas iniciales que van a desarrollarse se ajustan principalmente a los modelos de tipo suceso, pues en ellos se considera tan solamente esa escorrent´ıa como responsable directa del hidrograma, a˜ nadiendose con posterioridad quiz´as un caudal base al mismo. Los modelos continuos, que ser´an analizados con posterioridad, deben tener en cuenta otra serie de flujos en el punto donde desee evaluarse el hidrograma, por lo que, dada su mayor complejidad, es preferible tratarlos a continuaci´on de los anteriores.

8.4.1.

C´ alculo de hidrogramas mediante isocronas

El empleo del concepto de isocronas puede llevarse a cabo mediante planteamientos que se engloban en los siguientes bloques Caudal constante en cada celda El primer planteamiento que cabe establecer para la conversi´on del conjunto de valores de escorrent´ıa en un hidrograma resultante, haciendo uso tan s´olo de los valores de dicha escorrent´ıa y los tiempos de salida de cada celda, es la mera suma de caudales en su tiempo correspondiente, es decir, reflejando en este proceso la simple traslaci´on del caudal generado en cada celda. Puesto que trabajamos con una resoluci´on temporal dada  — o, lo que es lo mismo, dividimos la duraci´on total de la tormenta en un n´ umero k de intervalos —, deberemos calcular los hidrogramas generados para cada intervalo, y posteriormente sumar ´estos en su correspondiente tiempo para obtener el hidrograma final buscado. De este modo, el hidrograma obtenido en un intervalo p dado vendr´ıa definido a partir de la expresi´on de cada uno de sus componentes, seg´ un Hpt

=

m X

Qtn

(8.32)

n=1

siendo Qtn los caudales que llegan a a la salida de la cuenca en el intervalo p y son generados en el intervalo n por las celdas (i, j) tales que  · p < ti,j ≤ ( + 1) · p

(8.33)

donde ti,j es el tiempo de salida para la celda (i, j). La estimaci´on del caudal generado en cada celda puede llevarse a cabo aplicando la expresi´on Qti,j

t Vi,j = 

(8.34)

t es el volumen de escorrent´ donde Vi,j ıa generado en la celda en el intervalo considerado, y que se eval´ ua aplicando al formula t V = Pi,j · g2

(8.35)

es decir, como producto de la altura de escorrent´ıa por el ´area de la celda, en unidades homog´eneas.

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

265

Con esto se tiene ya el hidrograma producido por la escorrent´ıa generada en el instante t. De igual modo pueden conocerse los hidrogramas resultantes de las escorrent´ıas para los distintos intervalos que componen la duraci´on total de la tormenta, y la convoluci´on de los mismos dar´a lugar al hidrograma final en la salida de la cuenca, originado por la tormenta en su conjunto. El inicio de cada hidrograma debe desplazarse en funci´on del intervalo al que corresponde, de tal modo que para un intervalo t las componentes del hidrograma ya desplazado H0t cumplan que H0t n = 0 , ∀n < t

Figura 8.2: Hidrograma de tipo cuadrado resultante de la suposici´on de caudal constante.

Caudal variable en cada celda Llegados ya a un primer conocimiento del hidrograma de salida estimado haciendo uso de los tiempos de salida, la primera simplificaci´on que a partir de este punto trataremos de superar para refinar el modelo en la medida de lo posible es la introducida mediante la estimaci´on anterior del caudal generado en la celda. La formulaci´on planteada implica la asumci´on de un caudal constante, de tal modo que el hidrograma generado en la celda para el intervalo estudiado es de tipo cuadrado, tal y como lo muestra la figura (8.2). Este hecho, a medida que se aumenta la resoluci´on temporal y espacial, tiene menores consecuencias sobre el resultado final en el c´alculo del hidrograma a la salida de la cuenca, pudi´endose, no obstante, mejorar esta aproximaci´on de modo relativamente simple, al menos conceptualmente. Partiendo del volumen de escorrent´ıa total calculado en (8.35), este puede distribuirse a lo largo de la duraci´on del intervalo haciendo uso, por ejemplo, de un hidrograma unitario como los estudiados con anterioridad en el apartado precedente. El valor de ´area a utilizar en este caso ser´ıa el ´area de la propia celda, y el tiempo de concentraci´on puede tomarse el de tr´ ansito a trav´es de la misma, obtenido empleando la velocidad en ´esta, valor que se conoce pues en su momento ya vimos la manera de calcular uns malla correspondiente a este par´ametro. La duraci´ on de la tormenta en este supuesto es la duraci´on del intervalo con el que trabajemos para la obtenci´on del hidrograma final a la salida de la cuenca. Otra opci´on posible es emplear un hidrograma adimensional como el propuesto por el SCS. Seg´ un ´este, se tiene una funci´on discreta que relaciona un numero finito de valores de tiempo con sus correspondientes caudales, y puede calcularse mediante dicha funci´on para unos datos particulares la forma del hidrograma generado. En concreto, es necesario conocer los valores de volumen de escorrent´ıa total y caudal punta. El primero de ellos ya se ha obtenido mediante las ecuaci´on (8.35), y para el segundo puede hacerse uso de una expresi´on a este efecto tal como la ya presentada para el caso del hidrograma unitario triangular, la formula racional, u otra que se estime oportuna y cuya utilizaci´on sea justificada. T´engase en cuenta en este caso, que el empleo del hidrograma unitario asume que la duraci´ on de la tormenta es menor que 1, 33 · Tc , con lo que, en funci´on de los tiempos de concentraci´on de las celdas — que depender´an directamente de su tama˜ no —, deber´a trabajarse con un intervalo m´as peque˜ no en ciertas ocasiones.

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

266

Figura 8.3: Desplazamiento de los hidrogramas generados en cada celda en funci´on del tiempo de salida ts de la misma.

Con lo anterior, cada celda da lugar a un hidrograma para la escorrent´ıa generada en ella t . La obtenci´ en un instante dado t, el cual denominaremos Hi,j on del hidrograma generado en la salida de la cuenca por la escorrent´ıa que se produce a lo largo de ese instante se obtiene sumando dichos hidrogramas, de la misma manera que ya se vio para el caso de la suma de hidrogramas unitarios — aunque el concepto en este caso en diferente —. No obstante, debe tenerse en cuenta la posici´on de cada celda dentro de la cuenca, aplicando a cada hidrograma un retardo equivalente al tiempo de salida de la celda que lo produce, tal y como esquem´aticamente se refleja en la figura. (8.3). El valor del tiempo de salida que se utilizaba en la ecuaci´on (8.33) para agrupar los distintos caudales generados por las celdas, se aplica aqu´ı directamente a los hidrogramas ahora obtenidos en cada una de ellas, con objeto de poder sumar estos posteriormente sin dificultad As´ı, los hidrogramas de la forma Hti,j = (Qt1 , Qt2 , . . . , Qtn ) Qt2 , . . . , Qtn−1 6= 0

(8.36)

pasan a ser de la forma Hti,j = (Qt1 , Qt2 , . . . , Qtk , . . . , Qtm ) Qt1 , . . . , Qtk+1 = 0

Qtk+2 , . . . , Qtm−1 6= 0

;

;

m=k+n

(8.37)

donde tsi,j k=  

 (8.38)

siendo tsi,j el tiempo de salida de la celda (i, j). Y ahora ya s´ı, el hidrograma a la salida generado por la precipitaci´on en el instante t puede expresarse como Ht =

X

Hti,j

(8.39)

Con el conjunto de hidrogramas para los distintos instantes, se obtiene por convoluci´on de ´estos el hidrograma definitivo de la tormenta para la cuenca analizada, seg´ un H=

T X n=t0

Hn

(8.40)

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

267

El aumento de complejidad del algoritmo es grande con la introducci´on de esta u ´ltima modificaci´on, pues se pasa de tener un valor asociado a cada celda para un instante dado a convertir dicho valor en un hidrograma completo con un numero notable de valores que lo definen. Sin a˜ nadir complejidad adicional al mecanismo del algoritmo en cuanto a lo que el c´alculo del hidrograma final se refiere — que se seguir´a haciendo mediante la suma de hidrogramas parciales —, la consideraci´on de los efectos de laminaci´on que tienen lugar en el desplazamiento de los hidrogramas desde cada celda hasta la salida de la cuenca es otro aspecto a tener en cuenta para refinar en la medida de lo posible el modelo planteado. La posibilidad de conducir individualmente cada uno de los hidrogramas generados en las celdas para cada intervalo de tiempo es, quiz´as, algo excesiva considerando la magnitud de los mismos — ya es quiz´as innecesario en muchos casos, como se dijo, el emplear hidrogramas no constantes en cada celda— y los distintos factores que no se tienen en consideraci´on dentro del modelo, as´ı como las asumciones que se han realizado hasta este punto. Una propuesta de menor complejidad que la anterior es la laminaci´on de los hidrogramas a la salida de la cuenca correspondientes a cada intervalo, de tal modo que la convoluci´ on final se lleve a cabo sobre los hidrogramas que reflejan la traslaci´on del flujo desde cada celda — establecida en funci´on de los tiempos de salida de las mismas —, as´ı como la conducci´ on del mismo. Tambi´en, en lugar de trabajar en este orden, puede hacerse en orden inverso, sumando todos los hidrogramas generados en una celda y obteniendo el hidrograma que dicha celda genera a lo largo de toda la tormenta. Posteriormente, se traslada y se conduce dicho hidrograma hasta la salida de la cuenca, haciendo lo mismo para cada una de las celdas y sumando todos los hidrogramas obtenidos. Esta conducci´on sobre los hidrograma finales correspondientes a cada intervalo o bien los correspondientes a cada celda puede efectuarse tambi´en, como resulta l´ogico, si se trabaja con la hip´otesis de caudal constante con la que se comenz´o este apartado, ya que no es necesaria la presencia de hidrogramas en cada celda. Una forma relativamente com´ un de efectuar la conducci´on del flujo aprovechando la estructura de la malla del MDT en celdas regulares, es considerando ´estas como embalses lineales y aplicando un modelo de embalses lineales en serie, tal y como se muestra en la figura (8.4).

Figura 8.4: Conducci´on del hidrograma en cada celda aplicando el modelo de embalses lineales en serie.

Cada celda es considerada como uno de tales embalses lineales, caracteriz´andose ´estos por una constante de almacenamiento K que refleja el tiempo medio de estancia del flujo en el embalse. Dicho valor puede considerarse como el tiempo de paso, aunque es habitual suponerlo

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

268

constante para todas las celdas de la malla. La modificaci´on del hidrograma al paso por el embalse se eval´ ua mediante la expresi´on 0 Hi0 = 2C1 Hi + C2 Hi−1

(8.41)

siendo Hi =

Hi + Hi−1 2

(8.42)

y

C 2+C 2−C C2 = 2+C C1 =

(8.43) (8.44)

donde C se obtiene como la relaci´on K El hidrograma entrante en una celda, es el saliente de la anterior, con lo que, considerando la constancia del valor de K a lo largo de todo el trayecto desde una celda hasta el punto de salida de la cuenca, puede calcularse la variaci´on del hidrograma generado en la misma aplicando la formulaci´on anterior un n´ umero n de veces, siendo n el numero de celdas que recorre el flujo desde la inicial hasta el punto de cierre. Otra formulaci´on similar a la anterior es la incluida en la aplicaci´on HEC–HMS bajo la denominaci´on del modelo ModClark, seg´ un Ht0

    0 = Ht + 1 − Ht−1 R + 0, 5 R + 0, 5

(8.45)

siendo R un par´ametro de almacenamiento que puede determinarse emp´ıricamente (HEC, 1982) Por ultimo, una propuesta distinta algo m´as simple que se basa en considerar el desplazamiento del flujo desde cada celda hasta la salida de la cuenca como un mero desplazamiento — es decir, sin tener en cuenta conducci´on de ning´ un tipo, tal y como se present´o en origen la formulaci´on —, pero introduciendo el uso de una funci´on que refleje las p´erdidas de transmisi´on que tienen lugar, disminuyendo el volumen que llega a la salida con respecto al que originalmente se genera en la celda. Tal funci´on es de la forma (Ashour, 2000) Vx = V0 · R x

(8.46)

donde x es la distancia entre la celda considerada y la de salida de la cuenca, Vx es el volumen a la distancia x, V0 es el volumen inicial y R la relaci´on entre un volumen inicial y el que se obtiene a una distancia unitaria. Dicho valor de R debe obtenerse empiricamente o mediante regresiones existentes a tal efecto desarrolladas en funci´on de la morfolog´ıa de la zona y las caracter´ısticas generales del medio. Como puede verse desde este punto, el c´alculo de un hidrograma mediante alguna de las propuestas anteriores no se corresponde exactamente con el tratamiento cl´asico de las isocronas, puesto que, aun manteniendo una semejanza conceptual clara, la gran diferencia en la resoluci´on de trabajo da lugar a consideraciones complementarias y posibilidades nuevas que no se contemplaban con anterioridad.

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

269

Hidrogramas unitarios a partir de la relaci´ on tiempo–area Otra posibilidad para el empleo de los tiempos de salida y su malla de datos asociada se basa en intentar relacionar las ideas explicadas con anterioridad a este respecto con aquellas que residen en la metodolog´ıa del hidrograma unitario. Si se asume una linealidad en la respuesta de la cuenca — en particular, en el proceso de conversi´on de precipitaci´on en escorrent´ıa — los diferentes hidrogramas para cada intervalo, con los cuales se realiza la convoluci´on final, son proporcionales entre s´ı, es decir Ht ∝ Ht0

∀t, t0

(8.47)

Para poder afirmar este resultado, se debe suponer tambi´en que la precipitaci´on es constante en todas las celdas, es decir 0

t t Pi,j Pi,j = 0 Pit0 ,j 0 Pit0 ,j 0

∀t, t0

∀i, i0 , j, j 0

(8.48)

siendo esta asumci´on perfectamente aceptable para cuencas con un tama˜ no moderado. Con ello, conociendo el hidrograma generado para una escorrent´ıa concreta — equivalente en su volumen, por ejemplo, a una escorrent´ıa global de 1 mm en todas las celdas de la cuenca —, no es necesario calcular el hidrograma para el resto de intervalos, pues pueden conocerse a partir del hidrograma de un u ´nico de dichos intervalos. El ahorro en t´erminos computacionales que supone este enfoque es muy grande, como puede intuirse, y la p´erdida de precisi´on que implica, dependiendo de las caracter´ısticas de la cuenca y de lo adecuado que resulte en cada caso asumir las hip´otesis anteriores, puede no ser excesivamente significativa. Asimismo, el anterior enfoque permite enlazar perfectamente la utilizaci´on de las informaci´on referente a tiempos de salida con el empleo de datos de precipitaci´on no distribuidos, es decir, sin hacer uso de un MDP sino tan solo empleando datos puntuales. Si se calcula el hidrograma generado en la salida de la cuenca por una escorrent´ıa de 1 mm en cada celda, y a partir de un hietograma de tormenta que se suponga constante para toda la cuenca, puede obtenerse el hidrograma resultante de dicha tormenta sin m´as que calcular los hidrogramas para cada intervalo como proporcionales al generado por la escorrent´ıa de 1 mm. Como resulta obvio, ese hidrograma usado como modelo no es sino un hidrograma unitario — en particular, a falta de a˜ nadir la atenuaci´on del mismo, constituye el conocido como hidrograma unitario de Clark —, pero generado en este caso a partir de los tiempos de salida como u ´nico dato de p´artida. Por ser estos tiempos de salida directamente dependientes del relieve y la conformaci´on de la cuenca en t´erminos geomorfol´ogicos, este hidrograma unitario guarda una ´ıntima relaci´on con dicha morfolog´ıa, por lo que no se trata en absoluto de uno de tipo sint´etico sino, por el contrario, de un hidrograma ((real)) y particularmente relacionado con la cuenca de la que deriva. Puesto que la escorrent´ıa es constante en cada celda — fijada en 1 mm para determinar el car´acter unitario del hidrograma resultante — la forma del hidrograma calculado ser´a igual a la del histograma de frecuencias de los tiempos de salida para las celdas de la cuenca. As´ı, puede obtenerse a partir de dicho histograma sin m´as que multiplicar la frecuencia de cada valor de tiempo — expresada en tanto por ciento — por el valor a = VT , siendo V el volumen total correspondiente a la tormenta sobre la cuenca y T el tiempo de salida correspondiente al punto m´as alejado, es decir, el ancho del hidrograma que se va a obtener. Un u ´ltimo paso resta en esta metodolog´ıa, que es, como se ha dicho antes, la conducci´ on del hidrograma — haciendo uso de los datos de tiempos de salida tan s´olo se realiza una traslaci´ on, como ya se coment´o —, y mediante la cual las componentes del hidrograma resultante H0 se eval´ uan a trav´es de una de las expresiones ya introducidas en el apartado precedente. Un resumen gr´afico de la obtenci´on de este hidrograma unitario se recoge en la figura (8.5).

270

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

Figura 8.5: Creaci´on de un hidrograma unitario a partir del histograma de tiempos de salida. Sobre el c´ alculo del tiempo de salida En el apartado dedicado al c´alculo de tiempos de salida y la malla de datos correspondiente, dos planteamientos principales fueron considerados: velocidad constante a lo largo de la malla o velocidad variable. En este segundo supuesto — m´as realista y, por tanto, de mayor inter´es — el caudal circulante pasaba a formar parte de las formulaciones para el c´alculo de velocidad, siendo, como ahora vemos, dicha velocidad tambi´en un factor que influye en la estimaci´on de caudales y de hidrogramas asociados. Existe as´ı una relaci´on bidireccional entre ambos factores, que hace que sea interesante comentar algunas ideas al respecto antes de abordar el siguiente apartado. En primer lugar, la existencia de un u ´nico mapa de velocidades supone que la velocidad — y por tanto el tiempo de tr´ansito — en una celda es constante a lo largo de la duraci´on de la tormenta. Sin embargo, esta suposici´on no se cumple, ya que el caudal — del cual depende la velocidad — var´ıa a lo largo del tiempo. La creaci´on de un nuevo mapa de velocidades para cada intervalo considerado dentro del evento de precipitaci´on que se analiza, debe por tanto llevarse a cabo — al menos desde el punto de vista de la pura teor´ıa — para reflejar este hecho. En segundo lugar, el c´alculo de caudal que se emplea para la estimaci´on de la velocidad, asimilando ´este a un caudal acumulado procedente de todas las celdas aguas arriba, tampoco representa con precisi´on la magnitud del flujo circulante por cada celda concreta. Con independencia del tipo y forma del hidrograma que se supone que tiene lugar en la celda, es claro que, salvo para las celdas de cabecera — las cuales no est´an en el grupo de celdas de cauce para las cuales es necesario estimar este caudal —, el flujo no pasa por la celda en un u ´nico intervalo. Por lo tanto, tan s´olo una parte del caudal calculado es el que pasa en cada instante, emple´andose as´ı un valor mayor de caudal y, consecuentemente, sobreestim´andose la velocidad de flujo en las celdas de cauce. Una posible correcci´on ser´ıa la obtenida aplicando un valor medio de caudal, apoy´andose, por ejemplo, en el mapa de caudales promedio tal y como ´este fue definido en el apartado (8.2). Esta estimaci´on ser´a m´as precisa — a costa de una mayor complejidad y un n´ umero mayor de operaciones a realizar — con lo que tambi´en la velocidad estimada ganar´ıa en su exactitud.

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

271

Debe tenerse en cuenta, no obstante, y a efectos de la obtenci´on del hidrograma final a la salida de la cuenca, la importancia en cierto sentido moderada que la velocidad en zonas encauzadas puede tener. Por un parte, la sensibilidad de la forma y valores extremos del hidrograma a las variaciones de dicha velocidad no es de una magnitud muy elevada. Por otra, las celdas afectadas de esta velocidad son minor´ıa dentro de la malla del MDT, siendo en la gran mayor´ıa de las celdas un flujo de tipo en ladera. Es conveniente, por tanto, juzgar la idoneidad de llevar a cabo un planteamiento m´ as complejo, siendo en lineas generales suficientemente buena la aproximaci´on realizada mediante el empleo del mapa de caudales medios, o incluso la suposici´on inicial de caudal constante igual a todo el caudal generado aguas arriba. Un justo equilibrio entre la precisi´on y la operatividad del m´etodo implementado — la carga computacional del trabajo con tiempos de salida es en general elevada en comparaci´on con otras metodolog´ıas — debe guiar, como es l´ogico, la construcci´on de modelos con estas bases funcionales.

8.4.2.

M´ etodos combinados

Aunque su planteamiento se antoja m´as complejo, especialmente en t´erminos de una implementaci´on pr´actica de los mismos, puede perfectamente considerar el desarrollo de modelos que apliquen de modo conjunto las teor´ıas de los dos grupos generales hasta el momento tratados. Esta aproximaci´on es interesante para el tratamiento de grandes cuencas donde un estudio global pueda ser incorrecto al no poder asumirse la constancia de ciertas variables. En tal caso, el empleo de una divisi´on en subcuencas y el trabajo con ´estas seg´ un lo expresado en el apartado (8.3.2), estableciendo las relaciones entre los caudales generados en cada una de ellas, parece una opci´on correcta — y habitual —, al tratarse independientemente dichas subcuencas, las cuales, por su m´as reducido tama˜ no, se estudian como una unidad aut´onoma pudiendo asumirse algunos hechos que no ser´ıa tan correcto asumir para la cuenca global.

Figura 8.6: Representaci´on esquem´atica de un metodo combinado. El an´alisis distribuido de las unidades hidrol´ ogicas (izquierda), se emplea para, con los datos obtenidos, utilizar posteriormente un modelo agregado(derecha).

Pese a que el establecimiento de relaciones entre las subunidades derivado del an´alisis de la jerarqu´ıa de la cuenca se ha tratado junto a los modelos agregados, no es necesario que dichas subcuencas se analicen mediante m´etodos agregados, pudiendo estudiarse por m´etodos distribuidos, en particular haciendo uso de los tiempos de salida anteriormente explicados — tiempos de salida en este caso hasta el punto de cierre de la subcuenca, no el de la cuenca global —.

272

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

As´ı, como se muestra esquem´aticamente en la figura 8.6, se tendr´an una serie de subcuencas analizadas de modo aislado estimando los hidrogramas a la salida de las misma de forma distribuida utilizando la informaci´on de las celdas, para luego aplicar conceptos m´as cercanos al enfoque agregado sobre el conjunto de los mismos. La bondad de ´estos planteamientos es grande en el caso de cuencas de cierta dimensi´on o aquellas cuya propia variabilidad haga interesante la divisi´on de las mismas en unidades de mayor homogeneidad, p´ udiendose sobre las mismas aprovecharse la propia potencia de los m´odelos distribuidos gracias al empleo conjunto de forma paralela a otra serie de ideas.

8.4.3.

Calculo de caudales sobre un enfoque continuo

Los anteriores planteamientos, aun considerando individualmente a cada celda y evaluando en cada una de las mismas no u ´nicamente el caudal que ´estas generan, sino la forma detallada en que ´este se desplaza hasta la salida de la cuenca, no se basan, sin embargo en el an´alisis directo del comportamiento del flujo celda a celda. Dentro de los enfoques presentados al principio del apartado, ´estos se englobar´ıan en aquellos que en su momento se denominaron como source–to–sink. Un paso m´as all´a en el nivel de detalle — y por tanto, irremisiblemente, en su complejidad y volumen de informaci´on manejado — se puede dar mediante el estudio de los flujos en cada celda y cada intervalo considerado dentro de la tormenta, analizando el movimiento de los mismos entre celdas contiguas. El elemento final cuya obtenci´on se plantea en este caso no es ya el hidrograma en la salida de la cuenca — que podr´a obtenerse como un resultado parcial, no obstante —, sino un conjunto de mallas, tantas como intervalos de tiempo se consideren, en las cuales se refleje el volumen de escorrent´ıa que atraviesa cada celda en dicho intervalo. Este resultado permite, adem´as de conocer los hidrogramas asociados al evento de precipitaci´on en cualquier punto de la cuenca analizada, la obtenci´on de nuevas formas de representaci´on tales como animaciones gr´aficas de la evoluci´on en la respuesta hidrol´ogica de la cuenca, resultados que sin la presencia del MDT y la estructura de mallas de datos correspondientes no podr´ıan obtenerse. Se trata pues, de un enfoque fuertemente dependiente de cuanto por el momento se ha desarrollado sobre la utilizaci´on y aprovechamiento de MDTs, y donde ´estos demuestran con intensidad su potencia al aspecto. En cierta medida, el enfoque celda a celda podr´ıa asimilarse a la manera de proceder en el enfoque agregado — aunque es obviamente distribuido —, pues ´este u ´ltimo puede en u ´ltima instancia denominarse como ((cuenca a cuenca)), y dentro de un esquema distribuido cada celda se considera como una cuenca particular con condiciones propias. No obstante, la carencia de significado hidrogr´afico de las celdas y la regularidad de las mismas, as´ı como el mayor n´ umero en que se presentan, hace m´as adecuado el tomar otra serie de metodolog´ıas para la resoluci´on del problema. Primeramente, una perspectiva sencilla que se presenta como una extensi´on de las ideas recogidas en el mapa de caudales promedio ser´a presentada, permiti´endonos ya un conocimiento de las distintas mallas que han sido se˜ naladas como objeto final del an´alisis en este sentido. El conocimiento de algunas otras ideas asociadas a tiempos de salida har´a sumamente sencilla la comprensi´on y la implementaci´on de esta primera alternativa. Posteriormente, se tratar´a la cuesti´on desde un punto de vista con mayor base f´ısica, presentando algunas formulaci´ones nuevas en las que la anteriormente mencionada estructura ((celda a celda)) se hace m´as patente, as´ı como su similitud con la estructura entre cuencas del modelo agregado. Dentro de ´este u ´ltimo enfoque, se analizar´a en primer lugar una aproximaci´on sencilla al fen´omeno, considerando que desde cada punto hasta la salida de la cuenca el flujo pasa por

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

273

una serie de almacenamientos con comportamiento lineal — las celdas — sufriendo los efectos propios de los mismos. En segundo lugar, se presentar´a una perspectiva con mayor carga matem´atica, basada en la resoluci´on num´erica de la ecuaci´on de onda cinem´atica, planteada esta sobre cada una de las celdas que forman las distintas rutas de descenso hacia el punto de cierre de la cuenca. El planteamiento de todos estos modelos considera el flujo con c´aracter unidimensional, por lo que, como venimos asumiendo en gran parte de los u ´ltimos cap´ıtulos, la metodolog´ıa empleada para el conocimiento de las direcciones de flujo que condicionan dichas rutas de descenso ser´a el sencillo y cl´asico D8. Entrando en la primera formulaci´on, en base a las direcciones definidas por el D8 sobre las distintas celdas del MDT, y en conjunci´on con el mapa de tiempos de salida, pueden crearse mallas de vol´ umenes de escorrent´ıa — o caudales, si se emplea el tiempo del intervalo considerado — para cada intervalo dentro de la duraci´on de la tormenta, aplicando conceptos similares a los ya vistos para el empleo de dichos tiempos de salida. Puesto que no se trata en este caso de obtener un hidrograma en un punto concreto, sino un n´ umero dado de mallas — que en realidad representan un n´ umero de n de hidrogramas, siendo n el n´ umero de celdas en la cuenca analizada —, las consideraciones que deben realizarse deben ser revisadas, especialmente de cara al rendimiento de los algoritmos que deban plantearse. En este caso, si aplic´aramos directamente la metodolog´ıa de isocronas, y puesto que se van a generar datos en cada celda, dichas celdas adquieren la consideraci´on de punto de cierre de una subcuenca, con lo que ser´a necesario conocer un n´ umero muy elevado de cuencas, siendo el manejo de esta informaci´on y el trabajo con la misma poco eficaz. Si en el c´alculo de hidrogramas mediante isocronas se a˜ nad´ıan en cada intervalo los caudales generados en celdas que cumplieran una condici´on determinada seg´ un su tiempo de salida — v´ease la ecuaci´ on (8.33) —, en esta ocasi´on, y a efectos de calcular el caudal en una celda en un intervalo dado — esto es, en una de las mallas que van a generarse — deben considerarse aquellas que cumplan dicha condici´on pero adem´as pertenezcan a la cuenca vertiente de la celda problema. Ello obliga a, de alg´ un modo, almacenar las relaciones entre todas las celdas de la cuenca, de forma que pueda identificarse dicha relaci´on de modo sencillo en el momento de sumar los caudales a cada una de ellas. Para ello, resulta m´as conveniente en esta ocasi´on no realizar un esquema ((hacia aguas arriba)), sino en el sentido propio del flujo. Es decir, desde cada celda registrar el conjunto de celdas hacia las que el flujo de esta se desplaza. Este planteamiento, que fue calificado en su momento como muy inferior a los algoritmos recursivos presentados para el c´alculo de tiempos de salida o estimaci´on de ´areas aportantes, es en este caso m´as adecuado debido a la diferente problem´atica que se presenta. Por simplicidad, se considerar´ a en esta primera exposici´on que la tormenta es de intensidad constante, por lo que las precipitaciones efectivas — y por tanto los caudales generados — en cada celda no var´ıan a lo largo de la misma. Ello hace necesaria la utilizaci´on de tan s´olo una malla de caudales generados en las celdas, las cuales denotaremos como Qi,j . La adaptaci´ on para una precipitaci´on variable es sumamente sencilla. Las mallas de caudales que atraviesan cada celda en los diferentes intervalos en que se estudia la tormenta se denotan como Qn siendo expresados dichos valores de sus celdas de la forma Qni,j . De acuerdo con este planteamiento, y para la malla n–esima — es decir, la correspondiente al intervalo n entre los instantes tn−1 = (n − 1) y tn = n ·  —, los caudales de las distintas celdas pueden evaluarse como Qni,j =

X

Qa,b

siendo (a, b) las celdas que pertenecen a la cuenca de (i, j) y cumplen

(8.49)

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

274

(n − 1) ≤ ta,b ≤ n · 

(8.50)

La inclusi´on del tiempo hace que la formulaci´on sea mas compleja que en el caso del mapa de caudales medios. Para llevar a la practica lo anterior se procede, como ya se ha dicho, desde aguas arriba haca aguas abajo, no calculando qu´e celdas vierten sobre una dada en el intervalo considerado, sino sobre qu´e celda se vierte el caudal generado en una celda concreta en un tiempo igual al de dicho intervalo. Para ello, desde cada celda se va descendiendo hacia aguas abajo empleando ´ las direcciones de flujo y sumando el tiempo empleado en dicho descenso. Este se detiene cuando el valor de tiempo cumple la condici´on expresada en (8.50), a˜ nadi´endose entonces el correspondiente caudal a la celda donde se haya detenido el proceso. Siguiendo este mismo esquema para los diferentes intervalos, las mallas buscadas pueden ser obtenidas en una primera aproximaci´on. No obstante, el proceso es computacionalmente intenso, y puede simplificarse en cierta medida, no compensando la utilizaci´on de ´este como tal frente a la de m´etodos m´as elaborados como los de base con mayor componente f´ısica que posteriormente se analizar´an. Una simplificaci´on inmediata es la basada en la sustituci´on de la ecuacion (8.49) por la nueva expresi´on Qni,j =

X

(Qa,b + Qn−1 a,b ) + Qi,j

(8.51)

cumpliendo en esta ocasi´on las celdas (a, b) la condici´on ta,b ≤ 

(8.52)

Es decir, se utilizan los resultados correspondientes al u ´ltimo intervalo para generar los del siguiente. De este modo, al ser menor el tiempo en el que se detiene el descenso desde cada celda, los recorridos son mas cortos y el costo computacional se reduce sensiblemente. No obstante, hay una p´erdida de precisi´on en el proceso debida a la discretizaci´on de los tiempos de salida en intervalos de longitud  — y el redondeo que ello supone —, y la utilizaci´on de valores peque˜ nos de dicho  puede impedir el funcionamiento correcto del m´etodo. Una alternativa a lo anterior es, siguiendo la misma idea, considerar en cada instante lo que sucede en cada celda y sus circundantes, planteando que el volumen en una celda es igual a la suma los vol´ umenes entrantes que provienen de dichas celdas circundantes y de la precipitaci´on, menos el saliente hacia la celda situada aguas abajo. Es decir, n = Vi,j

X

n n ) + Vi,j − Vs(i,j) (Vs(a,b)

(8.53)

n siendo Vs(i,j) el volumen saliente de la celda (i, j), que puede calcularse haciendo uso del intervalo  y el tiempo de tr´ansito entre cada celda y la situada aguas abajo de la misma, seg´ un la expresi´on n−1 n = Vi,j Vs(i,j)

ti,j

 − ta,b

(8.54)

siendo (a, b) la celda sobre la que vierte (i, j), y debiendo cumplirse, por mera l´ogica, que ti,j − ta,b ≥ , siendo esta circunstancia un posible inconveniente del m´etodo, ya que para mallas con una resoluci´on elevada, el valor de  puede ser excesivamente peque˜ no y generarse una informaci´on excesiva, con el costo de proceso que ello conlleva. Con los vol´ umenes, los caudales correspondientes se calculan aplicando Q=

V 

(8.55)

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

275

La aplicaci´on de un modelo de embalse l´ıneal, seg´ un en su momento fue enunciado, supone una alternativa a este planteamiento, considerando el efecto de almacenamiento de la propia celda. Paralelamente a la metodolog´ıa anterior, los m´etodos con una mayor base f´ısica representan otra forma de proceder al c´alculo de caudales en las distintas celdas de la malla, analizando los diferentes flujos mediante el estudio del equilibrio hidr´aulico de las mismas. El planteamiento de ecuaciones que definen los estados a lo largo de las distintas l´ıneas de flujo, las cuales se encuentran fragmentadas en celdas sobre cada una de las cuales se aplicar´an dichas formulaciones, representa la metodolog´ıa a seguir para esta tarea, de forma no muy distinta de lo ya visto. La resoluci´on de las ecuaciones resultantes, seg´ un su mayor o menor complejidad, requerir´a el empleo de m´etodos con distinto grado de dificultad, que se analizan seguidamente. Estas ecuaciones permiten incorporar a la modelizaci´on del flujo elementos de tr´ansito distribuido de avenidas, pues se aplican formulaciones para dicho tr´ansito a escala de celda y teniendo en cuenta el total de elementos y par´ametros que est´an en relaci´on con la misma. Denotando como Qt la malla de caudales en el instante t y Qti,j el caudal en la celda (i, j) en ese mismo instante una aproximaci´on bastante habitual se formula haciendo uso del modelo de onda cinem´atica. De acuerdo con ´este, el flujo puede definirse seg´ un la ecuacion de continuidad ∂Q ∂A + −q =0 ∂x ∂t

(8.56)

y la ecuaci´on de conservaci´on del momento 1 ∂Q 1 ∂(Q2 /A) ∂y + +g − g(Sf − S0 ) = 0 A ∂t A ∂x ∂x

(8.57)

Esta u ´ltima no obstante, y dadas las asumciones del propio m´etodo de onda cinem´atica, se reduce al ultimo t´ermino, pudiendo despreciarse los restantes. S f = S0

(8.58)

siendo S0 la pendiente del canal y Sf la pendiente de la linea de energ´ıa Esta ecuaci´on puede tambi´en expresarse de la forma A = αQβ

(8.59)

Derivando respecto del tiempo se obtiene ∂A ∂Q = αβQβ−1 ∂t ∂t

(8.60)

y llevando esto a (8.56), ´esta ultima ecuaci´on queda de la forma ∂Q ∂Q + αβQβ−1 =q ∂x ∂t

(8.61)

Siendo S0 = Sf , se puede expresarse el caudal de acuerdo con la f´ormula de Manning, por lo que se tiene

A=

nP 2/3 √ S0

!3/5 Q3/5

con lo que, asimilando esta expresi´on a (8.59), se tiene

(8.62)

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

276

nP 2/3 √ S0

α=

!3/5 ;

β = 0, 6

(8.63)

La ecuaci´on (8.61) permite con esta u ´ltima consideraci´on modelizar el comportamiento del flujo a lo largo del canal considerado. No obstante, la naturaleza de dicha ecuaci´on diferencial hace que para su resoluci´on deban emplearse m´etodos num´ericos que hagan posible el planteamiento de una formulaci´on algor´ıtmica al respecto. El m´etodo de diferencias finitas permite convertir (8.61) en un conjunto de ecuaciones algebraicas con las que resulta asequible el trabajo y la resoluci´on de las mismas, y ser´a mediante su aplicaci´on como se emplee dicha ecuaci´on para el estudio del flujo en cada celda de la malla. M´as detalles acerca de las diferentes metodolog´ıas basadas en diferencias finitas puede encontrarse en (Chow, 1988), apunt´andose aqu´ı tan s´olo los aspectos principales y reserv´andose la exposici´on fundamentalmente a los elementos concernientes a la implementaci´on de dicha metodolog´ıa sobre la base de trabajo del MDT. As´ı, utilizando un esquema lineal en diferencias finitas, se obtienen las expresiones Qn+1 − Qn+1 ∂Q i ≈ i+1 ∂x 2 Qn+1 − Qni+1 ∂Q ≈ i+1 ∂x 2 n Q − Qn+1 i Q ≈ i+1 2 n+1 q n − qi+1 q ≈ i+1 2

(8.64) (8.65) (8.66) (8.67)

n+1 siendo Qn+1 es el i+1 el caudal saliente en una celda dada en el instante n + 1. El valor de Qi valor de caudal entrante, que se obtiene sumando los valores correspondiente a los caudales en t + 1 para todas las celdas que vierten sobre la celda problema. q es la entrada de flujo que tiene lugar a lo largo del tramo sobre el que se aplica la formulaci´on de onda cinem´atica, y que ser´a igual al volumen total de escorrent´ıa generado por precipitaci´on en la celda — esto es, Qi,j —, dividido entre el tiempo  utilizado. El valor de q es, por tanto, constante para todos los instantes si se supone una constancia de la precipitaci´on y la respuesta del terreno, como as´ı se ha hecho, aunque se insiste una vez m´as en la posibilidad relativamente sencilla de emplear una malla de escorrent´ıas. Llevando estas expresiones a (8.61), se obtiene

Qn+1 i+1 =

n+1  ∆x Qi

+

αβQni+1  ∆x



n+1 Qn i+1 −Qi 2

 + αβ

β−1

n+1 Qn i+1 −Qi 2

+ β−1

n −q n+1 qi+1 i+1 2

(8.68)

donde ∆x es el intervalo espacial que se considera, que puede hacerse igual al ancho de celda √ 2+1 g (Downer, 2002), aunque puede tambi´en tomarse como 2 , es decir, una media entre la distancia horizontal entre celdas y la diagonal, seg´ un se considere. El principal aspecto de inter´es desde el punto de vista computacional y su uni´on con el Modelo Digital del Terreno y las mallas de datos implicadas, es la necesidad de que, en cada n+1 paso de c´alculo del valor de Qn+1 , los cuales dependen i+1 , deben conocerse los valores de Qi de los valores de caudal en ese mismo intervalo de tiempo n + 1 para las celdas situadas inmediatamente aguas arriba de la celda problema. Ello obliga a que el c´alculo de los caudales

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

277

a lo largo de las distintas celdas se lleva a cabo en un determinado orden, de tal modo que los caudales de dichas celdas aguas arriba se encuentren ya calculados en el momento de proceder a la evaluaci´on del caudales sobre una celda concreta. Tambi´en resulta posible el llevar a cabo el proceso con un esquema recursivo, de la manera que ya ha sido presentada para otra buena serie de operaciones similares, que ser´a el que aqu´ı se adopte. El establecimiento de un orden de procesado de las celdas, que se ve implementado mediante la estructura recursiva propuesta, puede verse gr´aficamente en la figura (8.7)

Figura 8.7: Mapa de ordenes de celda. Las celdas con tonalidades mas claras se procesan con posterioridad a las de tonalidad oscura.

Una vez se conocen los valores de caudal Q para los instantes y celdas correspondientes, los valores de q y α son tambi´en conocidos, siendo el de β el u ´nico que a´ un resta por precisar. ´ Este se encuentra en funci´on del per´ımetro mojado P , el cual a su vez depende del caudal y puede en funci´on de ´este obtenerse de la manera ya expuesta en el caso del c´alculo de velocidades de flujo en las celdas. Como valor de caudal a emplear, una buena aproximaci´ on es utilizar el del instante precedente, suponiendo que la forma del hidrograma en cada celda no es brusca y no se dan, por tanto, cambios fuertes en la magnitud de dicho caudal entre intervalos consecutivos. Un algoritmo para el c´alculo de caudales seg´ un lo anterior tendr´ıa la forma siguiente. Los diferentes mapas de caudales se almacenan en un array de la forma Q(i,j,t) y la malla de precipitaci´on efectiva se denota como P(i,j). Se supone la existencia de una funci´ on OndaCinematica(Q1,Q2,q) que implementa la formulaci´on introducida en (8.68). funci´ on CalcularQOndaCinematica (i,j,t) { //Q1 es el caudal entrante //Q2 es el caudal de la celda en el instante anterior Q1 = 0 desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+m,j+n) vierte sobre (i+j) entonces { Q1 = Q1 + CalcularQOndaCinematica (i+m,j+n,t)

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

278 } } } } Q2=Q(i,j,t-1) Q(i,j,t) = OndaCinematica (Q1,Q2,P(i,j)) devolver Q(i,j,t) }

El c´alculo completo de todas las mallas de caudales correspondientes a la duraci´on completa de la precipitaci´on, se llevar´ıa a cabo mediante una funci´on como la siguiente. funci´ on CalcularMallas CaudalesOndaCinematica () { desde t = 2 hasta t = n´ umero de mallas totales { // x e y son las coordenadas del punto de cierre de la cuenca CalcularQOndaCinematica(x,y,i) } } La malla de caudales para el instante inicial (i = 1) se supone que es nula en su totalidad, aunque pueden introducirse otros valores como condiciones iniciales seg´ un resulte oportuno, sin suponer ello una dificultad adicional que deba contemplarse. Las ideas algor´ıtmicas anteriores pueden servir como base para otra serie de planteamientos fundamentados en diferentes ecuaciones. As´ı, esquemas similares pueden plantearse haciendo uso de otras ecuaciones derivadas de las formulas de Saint–Venant , tales como la correspondiente a la onda din´amica. Asimismo, en lugar de formulaciones mas complejas, otras mas sencillas, incluso de tipo conceptual, pueden aplicarse mediante este esquema de trabajo. La consideraci´on de las celdas como embalses lineales es una posibilidad en este sentido, aplicando las f´ormulas en su momento introducidas pero efectuando el an´alisis a escala de cada celda en lugar de entre cada celda y el punto de salida de la cuenca. Es decir, mediante un esquema celda a celda en lugar de uno de tipo source–to–sink . M´as a´ un, el conocimiento relativo de la magnitud de los distintos factores que permiten considerar o no los distintos t´erminos de dichas ecuaciones puede utilizarse para emplear una distinta formulaci´on seg´ un las celdas que se consideren. As´ı, es com´ un aplicar una formulaci´on a los flujos en ladera y otra a los flujos de cauce y otra los flujos encauzados, consider´andose que cada uno de ellos tiene cualidades bien diferenciadas. Como puede observarse, las ideas en este sentido — aunque detalladas en su base f´ısica con algo m´as de profundidad — se asemejan notablemente a cuanto se vio en su momento para el c´alculo de velocidades en las distintas celdas.

8.4.4.

El m´ etodo del modelo TOPMODEL

Tambien en este cap´ıtulo dedicado a la estimaci´on de caudales se dedica un apartado particular al modelo TOPMODEL, como continuaci´on de los resultados que, en lo referente a la escorrent´ıa, fueron extra´ıdos en un anterior apartado. Se concluye de esta forma el an´alisis de dicho modelo, al mismo tiempo que, una vez que las metodolog´ıas para la articulaci´on de

´ 8.4. METODOS SOBRE MODELOS DISTRIBUIDOS

279

modelos de estimaci´on de caudales ha quedado desarrollada, se presenta un enfoque concreto y se encuadra dentro de los ya tratados, ayudando as´ı a la comprensi´on global del tema del cap´ıtulo. En el cap´ıtulo anterior se vio como pod´ıa evaluarse una malla con valores del d´eficit de saturaci´on en cada celda, calculando ´esta para los distintos intervalos de tiempo, y existiendo en funci´on de dichos valores un ´area que se consideraba ((activa)) y que era la que aportaba flujo en cada momento, motivo por el cual el modelo se denominada como de ´area contribuyente variable. En este cap´ıtulo se tratar´a la forma — sencilla, por otra parte — de convertir las mallas de d´eficit en valores de caudal generado por la cuenca, analizando la teor´ıa que subyace igualmente en la consideraci´on de los desplazamientos desde las celdas ((activas)) y la salida de la cuenca. Se ve aqu´ı que TOPMODEL, pese a su naturaleza distribuida, no ofrece resultados por completo distribuidos tales como los que fueron analizados en el apartado precedente, ya que no permite, por ejemplo, la creaci´on de mallas con valores de caudal en cada celda, como las que ya hemos visto en el punto anterior. En el modelo TOPDMODEL, dos son los par´ametros a este respecto que se evaluan. Por una parte, el caudal superficial debido a la escorrent´ıa. Por otra, el caudal base debido a los movimientos subsuperficiales. En lo que respecta al caudal subsuperficial, este se eval´ ua en funci´on del deficit medio de la cuenca mediante la expresi´on qsub = e−(I−δ) e

−St m

(8.69)

siendo qsub el caudal espec´ıfico, esto es, por unidad de ancho. La expresi´on correspondiente al flujo superficial es de la forma se obtiene simplemente mediante las escorrent´ıas que se producen en las celdas saturadas. En ellas, se considera como escorrent´ıa el valor por encima de la saturaci´on, asi como las entradas a la celda, las cuales, como es l´ogico, no puede infiltrar. La expresi´on para este caso es de la forma qsup

1 = A

Z

Aact



 −St + r dA 

(8.70)

donde A es el ´area total de la cuenca y AAct el area saturada — activa —. El caudal correspondiente a cada intervalo de tiempo considerado es la suma de los dos anteriores, obteni´endose as´ı con un n´ umero m´ınimo de operaciones el resultado buscado. La suposici´on, no obstante, de que todo el caudal generado en un intervalo llega a la salida de la cuenca en un instante dado, carece de sentido salvo cuando las dimensiones de la cuenca sean muy reducidas. Por esta raz´on, el modelo incorpora la posibilidad de distribuir temporalmente los valores generados, d´andose de este modo una modelizaci´on mas realista. El enfoque adoptado en este sentido por el modelo es similar al que se ha podido encontrar en el caso anterior del caudal, bas´andose en valores medios y en una cierta regionalizaci´on de las diferentes ´areas, clasificadas en esta ocasi´on en funci´on de su distancia al punto de cierre de la cuenca analizada. As´ı el modelo toma como datos necesarios para llevar a cabo este ajuste un valor medio de velocidad y una curva de distribuci´on de distancias a la salida. Estos dos elementos permiten obtener un histograma de tiempos de salida, a semejanza de como ya ve´ıamos algunos apartados atr´as en la opci´on m´as simple del empleo de este factor. Con estos componentes, y pese a que s´olo son las ´areas activas las que generan escorrent´ıa, se supone que ´esta se distribuye uniformemente sobre toda la cuenca, esto es, que toda la cuenca es activa y el caudal se reparte por igual entre todas ellas. As´ı, se lleva hasta la salida de la cuenca el volumen de escorrent´ıa generado en un instante, pero distribuido a lo largo de un periodo de tiempo dado.

CAP´ITULO 8. CAUDALES L´IQUIDOS

280

El lector podr´a f´acilmente apreciar en estas ideas una obvia similitud con planteamientos b´asicos ya explicados, pudiendo asimilarse en gran medida a la creaci´on de hidrogramas unitarios a partir de isocronas y la suposici´on de una linealidad en la respuesta de la cuenca como entidad hidrol´ogica. La versi´on aqu´ı presentada del modelo TOPMODEL es la m´as habitual y a la vez la m´as sencilla, pudi´endose plantear notables mejoras — como de hecho as´ı sucede —, que no se presentar´an aqu´ı pues gran parte de ellas pueden derivarse de conceptos previos — as´ı sucede, por ejemplo, para la mejora del empleo de tiempos de salida — o bien est´an relacionadas con los propias formulaciones f´ısicas en que se fundamenta el modelo — por ejemplo, las que tienen que ver con la variaci´on de transmisividad a lo largo de la profundidad del suelo—. Esta versi´on b´asica es la que, por otra parte, se implementa en la aplicaci´on que puede obtenerse de sus autores a trav´es de Internet, as´ı como — en l´ıneas generales — en aquella cuyo manejo se detalla en el anexo correspondiente para que el lector pueda experimentar personalmente con la misma. Respecto a la influencia de los par´ametros considerados en los resultados finales, un an´alisis conciso puede encontrarse en (Fedak, 1999), donde se desarrollan igualmente algunos elementos relativos al ajuste de los mismos y la calibraci´on general del modelo. Por u ´ltimo, y habiendo concluido la exposici´on de todos los aspectos relativos a este m´etodo, es de inter´es rese˜ nar que la implementaci´on de estas ideas puede consultarse de modo explicito en el c´odigo fuente del programa, el cual los autores ponen a disposici´on en la direcci´on Web http://www.es.lancs.ac.uk/hfdg/topmodel.html Una versi´ on en C de este c´odigo — el original est´a escrito en FORTRAN — se debe a Peckham, y puede encontrarse igualmente en http://instaar.colorado.edu/topoflow/Downloads/Models/TopModel/C version/topmodel.c siendo m´as clara y legible que la anterior, y por tanto m´as interesante a efectos did´acticos.

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

¿C´omo pueden simplificarse los m´etodos basados en isocronas para una tormenta de duraci´on T cuyos intervalos son todos de la misma intensidad — es decir, la tormenta es de intensidad constante —? Plantee las modificaciones correspondientes sobre los algoritmos presentados a este respecto en el texto.

Cap´ıtulo 9

Caudales s´ olidos y erosi´ on El agua horada la piedra, el viento dispersa el agua, la piedra detiene al viento. Agua, viento, piedra. Octavio Paz si el agua acaba con los caminos, ¿qu´e no har´a en los intestinos? ´n popular mejicano Refra

9.1.

Introducci´ on

La clara influencia de la topograf´ıa en las acciones erosivas del agua sobre el terreno, sumada a las derivadas de la propia magnitud de los flujos erosionantes — las cuales tambi´en guardan relaci´on directa con el relieve, seg´ un hemos visto —, hacen que la presencia de un elemento tal como el MDT suponga un apoyo muy notable para la mejora de los modelos sobre fen´omenos erosivos y las estimaciones de p´erdidas de suelo y caudales solidos. Centrando la atenci´on sobre los factores directamente derivados del an´alisis del relieve, aunque tambi´en analizando la influencia que sobre los restantes puede tener el trabajo bajo las circunstancias actuales, ya bien conocidas por el lector de los anteriores cap´ıtulos, se presentar´an en ´este las formulaciones que permiten actualizar los planteamientos cl´asicos y a˜ nadir un nuevo nivel de detalle a los mismos. Este desarrollo pondr´a de manifiesto la forma en que nuevas ideas y nuevas concepciones pueden derivarse del conocimiento exacto de par´ametros con anterioridad no tratados, dando lugar a su vez a distintos enfoques y maneras de cuantificar o definir los procesos erosivos que tienen lugar sobre un terreno dado. Aunque la diferencia m´as notable viene, como resulta l´ogico, desde un punto de vista cuantitativo — no olvidemos que trabajamos sobre un MDT, entidad eminentemente num´erica —, los aspectos cualitativos son de tremenda importancia para las labores de gesti´on y planificaci´on ligadas a los fen´omenos erosivos, por lo que tambi´en en este sentido deben contemplarse adaptaciones ventajosas a partir de los nuevos planteamientos desarrollados. As´ı, tanto modelos expl´ıcitos como interpretaciones de los resultados ser´an ligadas sobre la base formal del Modelo Digital del Terreno, con objeto de demostrar la buena disposici´on del mismo en todos los aspectos dentro de lo que al estudio de la erosi´on a nivel hidrol´ogico respecta. Muchos son los modelos que sobre este concepto pueden encontrarse, comparti´endo en muchas ocasiones un buen n´ umero de planteamientos comunes. No obstante, se ha centrado el texto tan s´olo sobre aquellos planteamientos de corte m´as general, los cuales, al tiempo que permiten una aplicaci´on general y no local de sus formulaciones, sirven de modo correcto para 281

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

282

la exposici´on de los conceptos de base que relacionan el empleo de MDTs con el c´alculo de par´ametros diversos asociados al estudio de la erosi´on en la pr´actica totalidad de sus facetas. Como es l´ogico esperar, distintas perspectivas se presentan a la hora de formular modelos en este sentido sobre la base del MDT, en funci´on del uso que de su informaci´on realicen. Por una parte, se tratar´an aquellos en que el MDT se emplea como una fuente para la obtenci´on de los par´ametros necesarios que deben incorporarse a las distintas formulaciones de corte m´as o menos habitual, destacando entre ellas la USLE. En cierto modo, se trata de un enfoque de puro proceso encaminado a la obtenci´on de los datos de entrada necesarios, y con un particular car´acter aislado — puesto que cada celda se va a analizar de modo independiente — , el cual puede asimilarse al uso que del MDT se realizaba en su momento en la aplicaci´on de una metodolog´ıa tal y como la del hidrograma unitario, por ejemplo. Por otra parte, desde otro punto de vista distinto, se ver´an propuestas basadas en formulaciones de tipo f´ısico, que tratan el an´alisis al nivel de las relaciones entre cada celda y sus circundantes, planteando en cada una alg´ un tipo de ecuaci´on definitoria de los procesos de transporte de sedimentos. Se a˜ nade de este modo complejidad — y por tanto, inevitablemente, dificultad para su empleo — a los modelos propuestos, los cuales ser´an tambi´en analizados en un apartado independiente. Este tipo de modelos se asemejar´ıa en mayor medida a lo que en su momento se describi´o en el apartado (8.4.3) ((Calculo de caudales sobre un enfoque continuo)).

9.2.

Erosi´ on en cauces

La erosi´on en cauces como tal, veremos que se trata de manera ´optima sobre la base del MDT como parte de los modelos de base f´ısica que, por su conveniencia y su encuadre dentro de un contexto global, se desarrollan en el proximo apartado. Por dicha raz´on, se tratan en el mismo los aspectos relativos a la modelizaci´on de procesos erosivos en cauces como una parte espec´ıfica de dichos modelos f´ısicos, siendo no obstante la importancia de dicha parte en lo que a su relaci´on con los MDTs se refiere, mucho menor que el caso de erosion en ladera, donde se ver´a el alto grado de ventaja que el an´alisis del terreno sobre el MDT supone.

9.3.

Erosi´ on en ladera

Sin duda alguna, es correcto afirmar que el an´alisis de la erosi´on en ladera representa uno de los puntos en los que el conocimiento detallado del terreno que aporta el MDT ha supuesto una mayor innovaci´on y una ventaja de car´acter general con independencia de las formulaciones que para ello se empleen, no ya dentro del estudio de los fen´omenos erosivos en t´erminos globales, sino dentro del marco completo de la hidrolog´ıa tal y como se recoge en esta obra. Lo anterior no es de extra˜ nar si se tiene en cuenta el papel preponderante de la topograf´ıa dentro de este tipo de procesos erosivos, siendo grande, por tanto, la diferencia que el empleo intenso de un MDT supone frente a procedimientos de corte cl´asico. Dentro de este punto, una gran parte del mismo se centrar´a sobre la conocida Ecuaci´on Universal de Perdidas de Suelo (USLE), la cual constituye la formulaci´on mas extendida y de uso habitual, as´ı como de implementaci´on mas difundida a la par que sencilla sobre una buena serie de aplicaciones con capacidades SIG de modo gen´erico. Sobre la adaptaci´on de la formulaci´on cl´asica de la USLE, as´ı como acerca de las modificaciones que sobre la misma se realizan apoyadas en algunos nuevos par´ametros entre los ya conocidos que derivan del MDT, tratar´a principalmente este apartado. Junto a lo anterior, algunas ideas y conceptos novedosos, as´ı como el an´alisis de otros modelos tambi´en de cierta importancia, completar´an el an´alisis de los aspectos relativos a la

´ EN LADERA 9.3. EROSION

283

incorporaci´on de MDTs al an´alisis de los procesos erosivos en ladera.

9.3.1.

Algunas consideraciones previas

Antes de entrar directamente en los aspectos meramente algor´ıtmicos y la exposici´ on de expresiones matem´aticas relacionadas con la erosi´on en ladera como primer elemento de los expuestos a lo largo de este cap´ıtulo, creo conveniente hacer alguna serie de puntualizaciones ´ acerca del empleo particular de MDTs en el campo concreto del estudio de la erosi´on. Estas no son sino reflexiones acerca de la interrelaci´on entre los propios MDTs y las formulaciones asociadas a los mismos que van a presentarse, de tal modo que sirvan para que la coordinaci´on entre dichos elementos se produzca de la manera m´as correcta posible y el lector tome conciencia de ello en su conjunto. Por parte de los MDTs como fuente de informaci´on, puede apuntarse — como ya brevemente se apunt´o en el apartado correspondiente a la idoneidad de los mismos para los estudios hidrol´ogicos de modo gen´erico — una mayor necesidad de disponer de resoluciones horizontales elevadas. La utilizaci´on de par´ametros como la longitud de pendiente, habitualmente de magnitud reducida, hacen que una resoluci´on de 80 metros, aceptable – aunque no muy precisa — para el an´alisis de elementos hidrol´ogicos tales como caudales, pueda resultar insuficiente para la modelizaci´on de procesos erosivos en ladera, seg´ un la propia configuraci´on del terreno y sus caracter´ısticas. Asimismo, la utilizaci´on m´as ((directa)) de los par´ametros del relieve dentro de las expresiones y formulaciones empleadas, hace que la incidencia de la precisi´on adoptada en el MDT sea m´as notable en la estimaci´on de valores relacionados con la erosi´on que en algunos de los ya tratados como los anteriormente mencionados caudales, entre otros. En lo referente a las propias formulaciones, y en particular la USLE como representante destacado de buena parte de las restantes — sean ´estas o no analizadas aqu´ı —, es conveniente no olvidar la vocaci´on de las mismas y las limitaciones que se asumen con su utilizaci´ on, independientemente de la potencial mejora que la presencia del MDT pueda suponer. As´ı, una ecuaci´on como la USLE, originalmente desarrollada para su aplicaci´on en terrenos agr´ıcolas, y cuya utilizaci´on se ha venido recomendando con caracter general como indicativo para la gesti´on en relaci´on con la planificaci´on hidrol´ogica, haciendo un uso m´as cualitativo que cuantitativo de sus resultados, no debe pensarse que por la incorporaci´on de MDTs va a arrojar resultados de precisi´on suficiente como para permitir un uso exclusivamente cuantitativo y num´erico de los mismos. La USLE como tal es muy adecuada para estimaciones de gran utilidad — pero remarcando el t´ermino estimaciones —, no siendo en el aspecto de la precisi´ on en sentido puro donde los MDTs aportan una diferencia de importancia. La mayor resoluci´on del MDT frente a otras fuentes cartogr´aficas permite — y ´esa es quiz´as la mayor ventaja a destacar — el empleo de los valores de la USLE en las distintas celdas del MDT, tratados ´estos de forma relativa y no absoluta. As´ı, permite la extracci´ on de patrones de erosi´on (Van Remortel, 2001) a lo largo de las zonas analizadas y, especialmente, la localizaci´on de las zonas m´as sensibles y con mayor problem´atica en este sentido, siendo esto de enorme utilidad para llevar a cabo una gesti´on y planificaci´on hidrol´ogica correcta. Es importante tener, por tanto, claro el significado de los resultados ofrecidos por una formulaci´on como la USLE — ya sea con o sin la utilizaci´on de MDTs —, y encuadrar adecuadamente el tipo de mejoras que se llevan a cabo sobre la misma, las cuales no deben necesariamente encaminarse de modo exclusivo a un aumento en la precisi´on numerica de los valores finales obtenidos, siendo siempre importante el dar una interpretaci´on correcta a cuantos resultados de ella se deriven.

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

284

9.3.2.

USLE

La ecuaci´on b´asica que define la perdida de suelo seg´ un la USLE y tambi´en su posterior sucesora la RUSLE — Ecuaci´on Universal de Perdidas de Suelo Revisada — tiene la forma A = RKLSCP

(9.1)

donde A es la citada perdida expresada en toneladas por hect´area y a˜ no, R es un factor dependiente de la agresividad del clima, K es un factor dependiente de las caracter´ısticas del suelo, LS es un factor que depende de la pendiente y la longitud de la misma, C es un factor dependiente de la cobertura vegetal y P es un factor dependiente de las practicas de cultivo presentes. La aplicaci´on de esta formulaci´on a cada una de las celdas del MDT dentro de la cuenca analizada nos permitir´a obtener una malla con valores de erosi´on potencial en las mismas, de la cual con posterioridad podr´an obtenerse valores para el conjunto de la cuenca, as´ı como realizar otra serie de usos que m´as adelante en este mismo cap´ıtulo se detallar´an. Obviamente, esta utilizaci´on ser´a id´entica en el caso de emplear cualquier otra formulaci´on, ya sea de las aqu´ı rese˜ nadas o de otro tipo, present´andose no obstante en este punto por meras razones de su car´acter inicial dentro del actual cap´ıtulo. Entrando en la propia formulaci´on de la USLE y su adaptaci´on al contexto del trabajo con el MDT, como resulta l´ogico, las ventajas asociadas al MDT van a derivar casi totalmente de los aspectos relacionados con el factor LS — tambi´en conocido como factor topogr´afico —, pues es ´este el que puede evaluarse con la sola ayuda del MDT y donde la precisi´on de los par´ametros extra´ıdos del mismo puede ponerse de manifiesto. Respecto al resto de par´ametros, las consideraciones que sobre ellos pueden realizarse son similares a las en su momento comentadas para la obtenci´on de cartograf´ıa tem´atica en relaci´on con los procesos de conversi´on precipitaci´on–escorrent´ıa, en cuanto que la obtenci´on de las correspondientes mallas de datos puede derivarse de forma ventajosa a partir de la teledetecci´on, entre otros aspectos. La utilizaci´on del MDT en este sentido, si bien existe una relaci´on conceptual, no es de verdadera aplicabilidad, debiendo restringirse su uso como tal a los par´ametros puramente topogr´aficos. En lo referente a ´estos, la formulaci´ on original de Wischmeier y Smith (1978) — desarrollada, como parece l´ogico pensar, sin tener en cuenta la presencia de MDTs — es de la forma  LS =

λ 22, 13

m

65, 4 sin2 γ + 4, 56 sin γ + 0, 0654




(9.2)

siendo λ la longitud proyectada en la horizontal de la ladera en metros y m un factor que puede estimarse seg´ un la expresi´on (McCool et al, 1989) β 1+β

(9.3)

sin γ 0, 0896(3(sin γ)0,8 + 0, 56)

(9.4)

m= siendo β=

En las anteriores ecuaciones, los par´ametros b´asicos provenientes del MDT no son sino la pendiente y la longitud de la misma — proyectada en este caso —, parametros sobre los cuales se debe, por tanto, centrar el consiguiente desarrollo y explicaci´on te´orica.

´ EN LADERA 9.3. EROSION

285

Respecto a la longitud de la pendiente, se entiende ´esta como distancia hacia aguas arriba de cada celda, por la cual el agua discurre hasta llegar a dicha celda y dar lugar al fen´ omeno erosivo. De los par´ametros que hasta el momento se han desarrollado, el m´as relacionado es la distancia a cabecera, cuya formulaci´on fue entonces tratada en el apartado (4.3.4). Aprovechando la base conceptual de este elemento, es sencillo formular un algoritmo para la extracci´ on de longitudes de pendiente, como a continuaci´on se tratar´a. En su concepto, la longitud de ladera puede asimilarse a la distancia a cabecera, si se considera que esta u ´ltima no se mide necesariamente hasta el punto mas lejano hacia aguas arriba sino que una discontinuidad en la pendiente interrumpe la ladera como tal y provoca la finalizaci´on de la medici´on. La modificaci´on a incluir, por tanto, no es otra que la localizaci´on de dichos puntos de interrupci´on, y sobre el conocimiento de estos reformular el algoritmo propuesto para la evaluaci´on de distancias a cabecera con objeto de adaptarlo al nuevo par´ametro. Estos puntos de interrupci´on se corresponden en su sentido f´ısico con zonas donde el flujo sufre una ralentizaci´on y en las cuales no se produce erosi´on neta sino que ´esta es sustituida por una deposici´on causada por el ((freno)) que dicho relieve impone en el flujo. La definici´ on num´erica de los mismos que permita implementar de modo sencillo su localizaci´on en el correspondiente algoritmo se basa en que la linea de flujo entre dos celdas a lo largo de una ladera debe cumplir la siguiente restricci´on referente a sus pendientes. γi,j > αγi0 ,j 0

;

(i0 , j 0 ) vierte sobre (i, j)

(9.5)

donde α es un par´ametro habitualmente de valor 0, 5 Es decir, que la pendiente no disminuya bruscamente, pues de ser as´ı el relieve condicionar´ıa una disminuci´on notable en la velocidad de flujo. Algunos autores proponen formulaciones alternativas a la anterior, imponiendo una relaci´on similar en la que γi,j se sustituye por la pendiente media aguas arriba (Griffin, 1988) o bien la m´axima pendiente aguas arriba (Wilson, 1986). Ninguna de las formulaciones se ha demostrado mas veros´ımil que las restantes, por lo que se utilizar´a la primera de ellas por mera simplicidad. Con esto, la longitud de la pendiente queda definida de forma robusta, pudiendo plantearse un algoritmo sobre las ideas anteriores, muy similar, como ya se dijo, al destinado a la evaluaci´on de las distancias a cabecera. La estructura de dicho algoritmo se recoge esquem´aticamente bajo estas l´ıneas. La pendiente de las celdas se supone recogida en la matriz pend. funcion CalcularLongitudDePendiente(i,j) { distanciaMax=0 desde n=-1 hasta n=1 { desde m=-1 hasta m=1 { si no (n=0 y m=0) entonces { si (i+n,j+m) vierte sobre (i+j) entonces { distancia = CalcularLongitudDePendiente(i+m,j+n) + + SQR(n*n+m*m) si pend(i,j) < 0,5*pend(i+m,j+n) { distancia = 0

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

286 }

distanciaMax=max(distanciaMax, distancia) } } } } D(i,j) = distanciaMax devolver distanciaMax } N´otese que la distancia empleada ya es la proyecci´on requerida por la f´ormula, puesto que se calcula u ´nicamente en funci´on de la distancia entre los centros de las celdas, sin considerar la pendiente. Pese a que la anterior formulaci´on es relativamente habitual y a efectos pr´acticos su uso puede considerarse v´alido con unos requerimientos de precisi´on suficientes, mediante su empleo se toma para cada celda el valor de longitud de pendiente m´aximo de entre los provenientes todas aquellas celdas que vierten sobre la misma, constituyendo esto una indeterminaci´on conceptual en cierta medida, cuyo significado f´ısico no es por completo consistente con las ideas b´asicos de los modelos de erosi´on, y en particular la USLE. Una alternativa es considerar aquel flujo que viene de la celda situada aguas arriba sobre la direcci´on de m´axima pendiente y remontar dicha linea de flujo repitiendo este mismo planteamiento. La direcci´on de la misma se puede evaluar como la opuesta a la orientaci´on de la celda, es decir, en radianes, φi,j − π. La longitud buscada ser´a entonces la de la celda situada sobre dicha direcci´on m´as la distancia existente entre ella y la celda problema analizada. El resto de las celdas del entorno no son analizadas. El uso del gradiente se puede sustituir por el c´alculo de la direcci´on de flujo aplicando el m´etodo del D8, y posteriormente tomando la celda situada en la direcci´on inversa al mismo. Si desde la celda problema (i, j) el flujo se desplaza hacia (i + m, j + n), la celda a considerar hacia aguas arriba sera la (i − m, j − n) Hasta este punto, las formulaciones mostradas no constituyen sino la forma de calcular sobre el MDT los par´ametros cl´asicos presentes en las f´ormulas originales de la USLE, sin aportar mayor diferencia que la l´ogica mayor precisi´on que el propio MDT como fuente cartogr´afica supone. No obstante, las diferencias que pueden establecerse con respecto a los medios cartogr´aficos cl´asicos son tambi´en de tipo conceptual, reformulando las expresiones originales o los propios conceptos con objeto de incorporar en los mismos cierta serie de consideraciones que anteriormente no era posible tratar. As´ı, el empleo exclusivo de la longitud de pendiente y la propia pendiente no tiene en consideraci´on elementos tales como la convergencia de flujo, que, como ya sabemos, pueden conocerse con detalle mediante algunos de los par´ametros que ya han sido tratados en apartados anteriores. La evoluci´on de los par´ametros de la USLE — y por tanto, en cierta medida, de la propia USLE — propiciada por la introducci´on del an´alisis del terreno a partir de MDTs es, pues, uno de los apartados relevantes de el presente punto. Otros aspectos, tales como el hecho de no poder aplicar esta formulaci´on sobre zonas que no experimenten erosi´on neta — la USLE no contempla los procesos de deposici´on — no son mejorados mediante la diferente evaluaci´on de par´ametros, aunque m´as adelante veremos alternativas a este respecto. Adelantando las ideas de dichas alternativas, las cuales se fundamentan en una base f´ısica en contraposici´on a la naturaleza emp´ırica de la propia USLE, ´estas tratan de dar una expresi´on entre la morfolog´ıa del relieve y los par´ametros definitorios de los procesos erosivos. Sea la

´ EN LADERA 9.3. EROSION

287

expresi´ on siguiente (Julien y Simmons, 1985) relativa al caudal espec´ıfico — por unidad de ancho — de sedimentos . qs = φq m (sin β)n iδ

 τ  0

τ

(9.6)

donde qs es el caudal solido espec´ıfico, q es el es caudal de agua espec´ıfico, i es la intensidad de precipitaci´on, τ y τ0 son los valores del esfuerzo cortante y esfuerzo cortante cr´ıtico respectivamente, β es la pendiente, y los restantes elementos son coeficientes que se determinan experimentalmente por regla general. De forma m´as sint´etica qs = K 0 q m (sin β)n

(9.7)

De la anterior expresi´on, tiene inter´es para el aspecto aqu´ı tratado el factor q m (sin β)n , pues es el que guarda relaci´on directa con la forma del terreno y puede enlazarse con los par´ametros descriptores de la misma que ya han sido presentados. La relaci´on de la pendiente es obvia, mientras que el valor de q puede relacionarse con el ´area aportante espec´ıfica mediante la expresi´on ya conocida q = a0 · i

(9.8)

que deriva de la suposici´on de una intensidad constante de escorrent´ıa, y en la que a0 es el ´area aportante espec´ıfica e i la citada intensidad de escorrent´ıa. Compar´ando con la formulaci´on de la USLE, y estableciendo las equivalencias R ≈ im , KCP ≈ K 0 y LS ≈ a0m (sin β)n , al tiempo que se toman los valores tipo empleados en las parcelas de experimentaci´on de la USLE, puede adaptarse el t´ermino que refleja la influencia del terreno en la emisi´on de sedimentos para que resulte coherente con los valores del par´ametro LS de dicha USLE, quedando un par´ametro adimensional de la forma  LS =

a0 22, 13

m 

sin β 0, 0896

n (9.9)

que es la expresi´on propuesta por Moore y Burch para la evaluaci´on del par´ametro LS teniendo en consideraci´on algunas circunstancias adicionales y siendo muy adaptable al conocimiento del terreno derivado del MDT, como se acaba de ver. m y n son par´ametros a establecer emp´ıricamente, para los cuales Moore y Wilson (1992) mostraron que, con laderas menores de 100 metros de longitud y pendientes hasta 14o los valores m = 0, 6 y n = 1, 4 daban resultados ajustados a las formulaciones originales. Por su parte, Foster (1993) propone unos valores de m = n = 1 para el caso en que la erosi´on predominante sea de tipo laminar, o bien m = 1, 6 y n = 1, 3 en caso de que exista predominio de erosi´on en regueros. Pese a ser esta expresi´on coherente en sus valores con los obtenidos a partir de la formulaci´on cl´asica de la USLE, estos l´ımites es importante tenerlos en cuenta, siendo conscientes de que la aplicaci´on de la f´ormula a todas las celdas de un MDT arrojar´a para algunas de ellas resultados que no podr´an tomarse como tales bajo un m´ınimo de fiabilidad. En particular los muy elevados valores de ´area aportante espec´ıfica a0 que se presentan en algunas celdas — las que constituyen los cauces — hace aparecer valores extremadamente altos del par´ametro LS, valores que no son l´ogicos desde la perspectiva del propio significado del mismo, y que deber´an ser tratados de una forma distinta. Es importante no olvidar este hecho y no caer en

288

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

Figura 9.1: Mapa de factor LS calculado empleando ´area aportante espec´ıfica en lugar de longitud de pendiente

una utilizaci´on generalizada de la formula concreta mostrada con anterioridad, hecho sumamente com´ un y que debe evitarse, procediendo al menos a una interpretaci´on m´as cuidadosa de los valores obtenidos. La figura (9.1) muestra el aspecto un mapa del factor LS evaluado seg´ un la metodolog´ıa anterior. Debido a la presencia de valores altos puntuales seg´ un se ha comentado anteriormente, se representa mediante escala logar´ıtmica para ampliar la cantidad de informaci´on aportada por dicha representaci´on. Un u ´ltimo apartado en relaci´on con la USLE — sobre la cual, como vemos, el trabajo ha sido intenso de cara a explotar el potencial de esta formulaci´on de forma paralela al de los propios MDTs —, es el referente a la incorporaci´on, de alg´ un modo, de los fen´omenos de deposici´on que tienen lugar en ciertas celdas de la malla. Esta incorporaci´on, por las propias limitaciones de la USLE , no va a darse de un modo expl´ıcito indic´andose en qu´e celda se produce — como veremos que ser´a el caso en la USPED —, sino tan s´olo estableciendo que los sedimentos generados en una celda no van a llegar por completo a la salida de la cuenca. Se establecen as´ı unos coeficientes de ajuste que permiten la generaci´on de una malla de sedimentos ((efectivos)) generados en cada celda, y que desde el punto de vista de la planificaci´on pueden ser m´as interesantes, en especial cuando resulte de importancia el valor de emisi´on global de la cuenca. Numerosas expresiones han sido propuestas para el c´alculo de los factores de correcci´on anteriores, los cuales denominaremos razones de erosi´ on neta R. Cada uno de ellos tiene en cuenta diferentes factores que influyen sobre los valores finales de dicha raz´on, siendo en su mayor´ıa de tipo emp´ırico. La aplicaci´on de todos ellos dentro del trabajo sobre el MDT y los datos del terreno conocidos es altamente similar tanto en su aspecto pr´actico como en su fiabilidad o exactitud. Por una parte, Sun y McNulty (1998) proponen una expresi´on basada en la distancia entre cada celda y el cauce m´as cercano, de la forma D L

(9.10)

L = 5, 1 · 1, 79A

(9.11)

R = 1 − 0, 97 donde D es la distancia al cauce m´as cercano y

siendo A la masa de sedimentos calculada para la celda mediante la aplicaci´on de la USLE.

´ EN LADERA 9.3. EROSION

289

El par´ ametro L representa la m´axima distancia que una cantidad A de sedimentos puede desplazarse. Esta ecuaci´on deriva principalmente del estudio en cuencas con cubierta forestal, recomendando los autores su uso tan s´olo en otras cuencas que cumplan a su vez estas caracter´ısticas. Yagow et al (1988), dan una formulaci´on basada en la distancia y la pendiente, seg´ un R = e0,4233L·Sf

(9.12)

siendo Sf = e−16,1·

0,057r L

(9.13)

donde r es la diferencia de cotas entre la celda considerada y la del cauce m´as cercano. Al contrario que la anterior, esta f´ormula se recomienda principalmente para un uso en ´areas de cultivos o pastos. Con car´acter m´as general, Vanoni (1975), eval´ ua el valor de R en funci´on del ´area aportante, proponiendo la expresi´on R = 0, 42a−0,125

(9.14)

expres´andose el ´area a en este caso en millas cuadradas. Otras expresiones existen en funci´on de la precipitaci´on o incluso del tama˜ no medio de las part´ıculas del sedimento, siendo, no obstante, las anteriores las mas adecuadas, en especial para su integraci´on sobre el an´alisis topogr´afico que se viene realizando. Rese˜ nar, para finalizar, que los resultados relativos a la USLE, en especial los relativos a la extracci´on de los par´ametros topogr´aficos a partir de MDTs, son aplicables de igual modo a las formulaciones derivadas de la misma tales como la RUSLE o la MUSLE (Modified Universal Soil Loss Equation). Esta u ´ltima adapta la USLE para ofrecer valores de perdidas de suelo asociados a un evento de precipitaci´on concreto en lugar de valores medios anuales, a trav´es de la expresi´on A = 11, 8(Qqp )0,56 KLSCP

(9.15)

siendo Q el volumen de escorrent´ıa del evento y qp el caudal punta del mismo. Ambos valores pueden extraerse con suma sencillez del hidrograma generado por la precipitaci´on considerada. El resto de par´ametros tienen el mismo significado que en la USLE. La introducci´on de par´ametros relativos a caudales permite, como veremos que tambi´en ocurre con mayor intensidad en los modelos de base f´ısica, aprovechar los resultados de cap´ıtulos previos, en particular los relativos a dichos caudales recogidos en las mallas creadas a tal efecto mediante las formulaciones tratadas en el cap´ıtulo precedente. El planteamiento de dicha ecuaci´on en cada celda de la malla con los valores anteriores da lugar a mallas de perdidas de suelo para una tormenta dada, extendi´endose as´ı la concepci´on inicial del m´etodo destinada a la estimaci´on de valores u ´nicos a nivel de cuenca, implement´andose sobre un esquema distribuido. Los valores en las distintas celdas de la malla, no obstante, deben una vez mas ser tomados con cierta precauci´on, no interpret´ando los mismos de forma directa sino siendo conscientes del salto cualitativo que dicha implementaci´ on supone y las consecuencias del mismo sobre la aplicabilidad y exactitud del m´etodo sobre una zona dada Tanto en el caso anterior como en la aplicaci´on de la propia USLE o cualquier otro modelo que genere como resultado final una malla con valores de perdidas de suelo en cada celda, la propia estructura de dicha malla puede emplearse para la obtenci´on de otros nuevos valores de notable inter´es. As´ı, la obtenci´on de un valor de emisi´on de una cuenca, objetivo original de

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

290

las formulaciones hasta ahora vistas, se obtiene mediante la suma de los sedimentos generados en todas las celdas que conforman dicha cuenca — utilizando, si as´ı se considera, las razones de erosi´on neta —. Mas all´a de esto, pueden obtenerse de modo sencillo valores medios aguas arriba de cada celda o flujos solidos acumulados en cada una de ellas, empleando la cuenca vertiente de las mismas, resultados que pueden resultar de sumo inter´es para un conocimiento global de la unidad hidrol´ogica desde el punto de vista de los procesos erosivos que tiene lugar en la misma. En resumen, la combinaci´on de la malla de potencial de erosion ofrecida por modelos del tipo USLE y similares con las mallas de direcciones de flujo y otras derivadas del an´alisis del MDT, abren una nueva forma de an´ alisis en este sentido. Este enfoque es, como pronto veremos, una cualidad que se manifiesta con car´acter elemental en los modelos de tipo f´ısico, donde toda la informaci´on hasta el momento obtenida es aprovechada para una modelizaci´on realista de la erosi´on en su concepto m´as gen´erico.

9.3.3.

USPED

Partiendo de la propia USLE, y considerando las limitaciones anteriormente expuestas de la misma, la USPED (Unit Stream Power–based Erosion Deposition) (Mitasova et al, 1996) pretende tomar en consideraci´on todos los elementos que pueden derivarse del an´alisis del terreno sobre un MDT, dando lugar a un modelo de erosion–deposici´on de aplicabilidad m´as gen´erica y con resultados tanto conceptual como materialmente m´as precisos. El desarrollo de la USLE parte de la capacidad de transporte, la cual se supone igual al caudal s´olido seg´ un ´este se expres´o en la ecuaci´on (9.6). Con los valores de dicha capacidad de transporte CT , puede expresarse la erosi´on (o deposici´on) ED de cada celda en funci´on de la variaci´on de la misma, expresada mediante la divergencia del caudal s´olido — que, recordemos, se supone igual a la capacidad de transporte —. Es decir, ED =

∂(CT cos φ) ∂(CT sin φ) + ∂x ∂y

(9.16)

expresi´on que puede integrarse con relativa sencillez sobre la estructura de mallas de datos que ya se conocen, haciendo uso de conceptos habituales como flujos acumulados, pendientes y orientaciones sobre las mallas implicadas en el c´alculo. En particular, Mitasova indica los siguientes pasos a seguir, cada uno con sus correspondientes mallas de datos, e incorporando mallas de los par´ametros K y C. C´alculo de una malla de pendientes. C´alculo de una malla orientaciones. C´alculo de una malla de ´area aportante espec´ıfica a0 . Con lo anterior, c´alculo de una malla con valores para la expresi´on (9.7). Esta se obtiene mediante los pasos a continuaci´on enunciados. Los valores de m y n a emplear son los en su momento comentados en funci´on del tipo de erosi´on predominante para el c´alculo del factor LS de la USLE. C´alculo de una malla para el t´ermino K · C · CT cos φ. Se incorporan en este punto las mallas referentes a los valores de la USLE relacionados con el suelo y la cubierta vegetal. C´alculo de la derivada respecto a x de este t´ermino aplicando

´ EN LADERA 9.3. EROSION

291

• C´ alculo de una malla de pendiente y otra de orientaci´on empleando la anterior. Es decir, la magnitud y la orientaci´on del vector gradiente a la superficie definida por la expresi´on obtenida a partir de la capacidad de transporte K · C · CT cos φ. • La derivada buscada tiene la expresi´on ∂(K · C · CT cos φ) = cos φ0 · tan γ 0 ∂x

(9.17)

siendo φ0 y γ 0 la pendiente y orientaci´on anteriores, respectivamente. de igual modo, c´alculo de una malla para K · CCT sin φ, su pendiente y su orientaci´ on, y su derivada respecto a y seg´ un ∂(K · C · CT sin φ) = sin φ00 · tan γ 00 ∂y

(9.18)

La malla final con los valores de erosi´on–deposici´on es la suma de las dos mallas de derivadas calculadas. Para el caso de erosi´on predominante en ladera, Mitasova recomienda multiplicar ´esta por 10.

Figura 9.2: Mapa de erosi´on deposici´on seg´un la USPED. Las tonalidades claras indican erosi´on y las oscuras deposici´ on.

La figura (9.2) muestra un ejemplo del resultado obtenido mediante las operaciones anteriores. No obstante, la interpretaci´on de la USPED debe hacerse fundamentalmente con car´ acter cualitativo, pues su formulaci´on propia no incorpora par´ametros en los que se consideren elementos tales como las caracter´ısticas del suelo o la vegetaci´on, emple´andose los existente en la USLE seg´ un los autores proponen. Pese a ello, las diferentes circunstancias en las que estos otros factores fueron desarrollados, obliga a la b´ usqueda de otros par´ametros espec´ıficamente adaptados a los conceptos de la USPED, de cara a poder comparar los valores mediante dicho modelo obtenidos con los provenientes de la USLE. Con lo anterior, la USPED representa as´ı una formulaci´on sencilla con notables ventajas frente a la USLE o sus derivadas, manteniendo, no obstante, su simplicidad de uso, lo que se traduce en una f´acil implementaci´on dentro del contexto relativo a MDTs y otros elementos similares en el cual se desarrolla la materia de esta obra.

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

292

9.3.4.

Otros ´ındices relacionados con fen´ omenos erosivos

Sin profundizar m´as en el detalle o refinamiento de los par´ametros topogr´aficos que pueden tratarse en relaci´on con los procesos erosivos, es interesante, no osbtante, recordar brevemente algunos otros elementos tambi´en meramente topogr´aficos que guardan un cierto sentido como primera aproximaci´on para el conocimiento de la forma en que los procesos de erosi´on y deposici´on tiene lugar sobre el terreno, mostrando la implicaci´on de los mismos con la tem´atica del presente cap´ıtulo. Utilizando como base primordial los valores de pendiente y ´area aportante, son diversos los ´ındices que pueden hallarse en relaci´on con la presencia de procesos erosivos a lo largo de las distintas celdas del MDT. Todos ellos, ya conocidos, presentan utilidad desde el punto de vista de su an´alisis cualitativo y el conocimiento en t´erminos relativos de los patrones en que dichos par´ametros, cada uno de ellos relacionados con un aspecto concreto, se presentan sobre una zona de estudio. Los valores absolutos asociados de los mismos, aun siendo tambi´en de inter´es, es dific´ıl relacionarlos de forma general con otros par´ametros m´as habituales o ((conocidos)) en lo que a erosi´on se refiere. Algunos de estos par´ametros derivados son los siguientes. El ´ındice topogr´afico, bien conocido ya y tratado en profundidad, puede interpretarse desde el punto de vista de la erosi´on si se considera que es un ´ındice en el que se refleja la tendencia de las distintas celdas a acumular agua. Esta acumulaci´on de agua puede tambi´en equipararse a la acumulaci´on de sedimentos, con lo que, en primera aproximaci´on, las zonas de alto valor del ´ındice topogr´afico puede constituir zonas de altos valores de deposici´on. As´ımismo, la propia caracterizaci´on de la humedad ed´afica puede ser significativa a efectos de la cohesi´on entre las part´ıculas del suelo, presentando as´ı una — peque˜ na — influencia, al menos en los estados iniciales de los eventos de precipitaci´on que originan procesos erosivos. Al igual que este ´ındice de humedad, a cualquier otro de los tratados en el tema correspondiente a la infiltraci´on puede asign´arsele un significado en esta misma sentido. Junto con lo anterior, recordemos el ´ındice de potencia de cauce, presentado en los cap´ıtulos iniciales del texto bajo la expresi´on P = a0 · γ

(9.19)

y que basa su significado en la sencilla relaci´on existente entre la capacidad erosiva de un flujo y dos par´ametros tales como la magnitud de dicho flujo — materializada aqu´ı como el ´area aportante espec´ıfica al suponerse una relaci´on directa entre dicho valor y el caudal como viene siendo habitual — y la pendiente por la que pasa dicho flujo. El inter´es del ´ındice de potencia de cauce no es tan s´olo el de su valor total en cada celda, el cual no puede relacionarse con valores de generaci´on de sedimentos de forma directa, sino el estudio de la distribuci´on de dichos valores. As´ı, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre los valores de una celda y las situadas aguas arriba o abajo de la misma resulta de inter´es para localizar los puntos en que se produzcan variaciones bruscas de este par´ametro a lo largo de las distintas de flujo. En una aproximaci´on sencilla, analizando las variaciones en la magnitud del ´ındice topogr´afico entre dos celdas una de las cuales vierte sobre la siguiente, podemos establecer una raz´on entre ambos de la forma

´ EN LADERA 9.3. EROSION

r=

a0i0 ,j 0 · γi0 ,j 0 Pi,j = 0 Pi0 ,j 0 ai,j · γi,j

293

(i0 , j 0 ) vierte sobre (i, j)

(9.20)

Si se desprecia la diferencia entre los valores de ´area aportante — algo bastante l´ ogico, especialmente en las celdas de cauce — dicha raz´on, mediante la que podemos localizar los puntos de erosi´on o deposici´on — dependiendo del signo — m´as notables, no es sino un cociente entre las pendientes en una celda y la situada aguas abajo, es decir, la variaci´on de dicha pendiente sobre la linea de m´axima inclinaci´on. Esto es equivalente, en otros t´erminos, a la curvatura vertical de la superficie, par´ametro que, como se sabe, tiene notable influencia en la acumulaci´on o generaci´on de sedimentos, corrobor´andose as´ı el inter´es del par´ametro analizado, que permite llegar a un resultado conocido por una v´ıa distinta. Avanzando m´as a´ un en esta idea, el uso de una malla de ´ındices de potencia de cauce — o de cualquier otra que represente una capacidad erosiva — puede combinarse con el conocimiento de direcciones de flujo de una manera similar a lo ya visto en el caso de caudales l´ıquidos, y que veremos aparece tambi´en de forma habitual en los modelos distribuidos de base f´ısica.

Figura 9.3: Mapa de balance neto de potencia de cauce. Las tonalidad des blancas indican deposici´on potencial, mientas que las negras se˜ nalan erosi´on potencial.

Para una celda dada, la capacidad de erosi´on del agua al pasar por la misma — directamente relacionada con el caudal solido que puede desplazar a trav´es de ella — viene indicada por el ´ındice de potencia de cauce en dicha celda. De igual modo, la suma de la capacidad de erosi´on de las celdas inmediatamente aguas arribas puede relacionarse con el caudal solido que puede llegar a la celda considerada. La comparaci´on entre estos valores puede asociarse con facilidad a la tendencia a la deposici´on o a la erosi´on neta que dicha celda presentar´a. De este modo, no s´olo la capacidad absoluta de la celda, sino tambi´en las de aquellas otras con las que establece una relaci´on inmediata de vecindad, es empleada para la generaci´on de informaci´on relevante en lo que a erosi´on respecta. Analizando La diferencia entre la capacidad erosiva de una celda y la de las celdas situadas aguas arriba de la misma, en caso de ser ´esta positiva, supondr´an la presencia de fuertes erosiones, al ser la capacidad del flujo para el transporte de sedimentos mayor en gran medida que la inmediatamente anterior, con lo que dicho ((exceso)) de potencia se emplear´a en la erosi´on del terreno en dicha la celda. Inversamente, disminuciones notables a lo largo de la linea de flujo supondr´an una deposici´on en las celdas en que

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

294

tengan lugar. Este sencillo an´alisis veremos en breve que es la base para el planteamiento de modelos con planteamiento f´ısico, como parece l´ogico anticipar. La figura (9.3) muestra un ejemplo de una malla en la que se recogen los valores de las diferencias entre la suma de ´ındices de potencia de cauce entrantes y el propio de cada celda. La utilizaci´on de estas mallas con balances netos de un determinado par´ametro en cada celda, se puede extender a otra serie de mallas base, ejercicio de an´alisis que se deja como tarea para el lector m´as inquieto El objetivo de esta breve exposici´on no ha sido sino mostrar algunas otras formas de trabajar con el MDT en los aspectos relativos a la erosi´on, en especial poniendo de manifiesto la muy interesante aportaci´on de ´estos desde el punto de vista cualitativo. La naturaleza num´erica del MDT invita a un tratamiento num´erico y cuantitativo de cuantos par´ametros derivan del mismo, pero no debe olvidarse nunca la interpretaci´on de los mismos desde otros puntos de vista, pues en ciertos casos — y ´este quiz´as sea uno de ellos — la informaci´on obtenida es de mayor utilidad desde dichos enfoques, especialmente en los aspectos relativos a la gesti´on y planificaci´on hidrol´ogica.

9.3.5.

Modelos de base f´ısica

Un salto conceptual similar al que en su momento qued´o descrito entre la aplicaci´on de la metodolog´ıa del hidrograma unitario y el tratamiento de modelos de tipo continuo y distribuido, ambos sobre la base del MDT, va a tener lugar tambi´en en el estudio de los fenomenos erosivos seg´ un en esta obra se presentan. La informaci´on puntual y m´as concreta — un hidrograma entonces, un valor global de erosi´on o una malla de perdidas anuales en el caso actual — va a dar paso a mallas de datos que definan el estado de los fen´omenos erosivos a lo largo de una serie de instantes que constituyen el periodo de estudio considerado. Adem´as, en la creaci´on de estas mallas se tendr´a en cuenta no u ´nicamente la aplicaci´on de una determinada formulaci´on de modo individual sobre cada celda, sino tambi´en las relaciones entre ´estas expresadas a trav´es de sus direcciones de flujo correspondiente, en un acercamiento m´as real al proceso global que se desarrolla. La base f´ısica de los modelos obliga, como ya se intuye, a considerar con un mayor nivel de detalle las particularidades del propio agente erosivo analizado, es decir, del flujo de agua. Ello da entrada a gran parte de los resultados desarrollados en el apartado anterior, en particular a las mallas con valores de caudales en cada celda, que jugar´an un importante papel en la creaci´on de sus equivalente referidas a los fen´omenos de erosi´on y deposici´on a lo largo del terreno representado por el MDT. La buena integraci´on con los modelos hidrol´ogicos distribuidos – especialmente los de base f´ısica —, es, como resulta sencillo pensar, una de las principales cualidades de los modelos de erosi´on tambi´en basados en formulaciones de tipo f´ısico. Una vez m´as, el planteamiento se fundamenta, en t´erminos generales, en el an´alisis de las entradas y salidas — en este caso flujos s´ olidos — en cada celda, las cuales definen el propio estado de la celda en cada instante considerado. Las distintas caracter´ısticas de las celdas del MDT hacen interesante modelizar ´estas de modo distinto, aplicando formulas diferentes dentro del amplio ab´anico de expresiones que a este respecto pueden encontrarse. La distinci´on, ya habitual, entre las celdas de cauce y las de ladera, es una consideraci´on b´asica que cumple perfectamente su cometido de separar localizaciones con muy diferentes circunstancias, permitiendo aplicar con cierta homogeneidad los planteamientos correspondientes a cada una de las partes establecidas. Para el caso de ladera, la expresi´on particular a aplicar es, con caract´er gen´erico, de la forma

´ EN LADERA 9.3. EROSION

295

Si,j = CTi,j −

X

CTi,j

(9.21)

siendo Si,j el volumen de sedimentos generados en la celda (i, j) y CTi,j la capacidad de transporte en la misma. P En caso de que la capacidad de transporte sea mayor que el sumatorio CTi,j — que no representa sino el volumen de sedimentos entrantes a la celda desde las situadas aguas arriba —, parte del volumen expresado por dicho sumatorio se depositar´a en la celda. En caso de ser menor, la capacidad de transporte restante provocar´a erosi´on sobre la celda. En ambos casos, la salida de sedimentos de la celda es igual a la capacidad de transporte del flujo que atraviesa la misma, con independencia de la procedencia de ´estos. Dicha capacidad de transporte puede evaluarse seg´ un la expresi´on (Yang, 1996) CT = Ct Q

(9.22)

donde Ct se obtiene a partir de la ecuaci´on  log Ct = I + J

V S Vcr S − ω ω

 (9.23)

En lo referente a los sedimentos transportados a lo largo del cauce, la generaci´on de ´estos o su deposici´on se puede modelizar igualmente recurriendo a los conceptos y formulaciones cl´asicas aplicadas a cada una de las celdas como elementos unitarios interrelacionados. Como ejemplo sencillo, Takara y Sayama (1997) proponen una separaci´on b´asica entre la carga total de fondo y la carga de lavado, es decir, qBT y qL con la notaci´on habitual de la hidr´aulica fluvial. Formulas habituales como las de Colby o Laursen — para el primer t´ermino — o Einstein y derivadas — para el segundo —, por citar algunas, pueden adaptarse sin dificultad a este contexto con las pertinentes consideraciones. La utilizaci´on, una vez m´as, de los par´ametros hidrol´ogicos relativos a caudales y sus mallas asociadas tal y como ´estas se obtuvieron en el cap´ıtulo anterior, es parte integrante de la utilizaci´on de estas formulaciones. Si el planteamiento de modelos distribuidos de base f´ısica nos facultaba para la obtenci´on de mallas de caudales para cada intervalo de tiempo analizado, esta filosof´ıa puede extenderse a los fen´omenos erosivos que ahora se tratan, calculando los efectos que sobre el terreno tiene la escorrent´ıa generada por una tormenta a lo largo de su duraci´on y las etapas que en la misma se diferencien. El establecimientos de estos modelos en base a formulaciones particulares como las que gen´ericamente se han introducido algunas l´ıneas atr´as, es sencillo conceptualmente dada la similitud con los esquemas ya presentados para el caso de caudales l´ıquidos. M´as all´a de las formulas particulares a aplicar, campo en el que la bibliograf´ıa es extensa y se sit´ ua fuera del ´ambito de esta obra, se debe resaltar la metodolog´ıa para aplicar dichas formulas sobre el esquema de celdas del MDT y las relaciones existentes entre ambas a trav´es de las direcciones de flujo, y que no es sino la entonces comentada para el caso de caudales l´ıquidos. Habiendo calculado previamente la malla de caudales pertinentes, y puesto que el c´alculo de los vol´ umenes de sedimentos en una celda requiere el conocimiento de las entradas provenientes de de celdas aguas arriba, un esquema recursivo o mediante un orden preestablecido de celdas debe aplicarse para poder resolver las correspondientes ecuaciones en cada una de ellas. Una vez m´as, los detalles al respecto son los mismos que fueron desarrollados en el cap´ıtulo precedente. La exposici´on en detalle de un modelo concreto se encuentra fuera de lugar dentro del presente contexto, siendo ´estos en la gran mayor´ıa de casos muy extensos y requiriendo una amplia bater´ıa de datos — es decir, de mallas de informaci´on — a introducir, en especial referentes a la caracterizaci´on del suelo desde todos los puntos de vista. Con los conceptos anteriores, no obstante, el conocimiento de f´ormulas particulares al respecto permite una

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

296

implementaci´on sencilla sobre la base del MDT y los par´ametros de ´el extra´ıdos, los cuales, en lineas generales, se encuentran presentes de uno u otro modo en la mayor´ıa de modelos por el momento desarrollados. Todas estas ideas, no obstante, requieren, por la habitual complejidad de las expresiones asociadas, la incorporaci´on de m´as mallas de datos o, m´as ´optimamente, la suposici´on de valores constantes para algunos de los numerosos par´ametros implicados. Ello hace que, en la pr´actica, la utilidad real de una formulaci´ on tan detallada sea reducida y existan dificultades para una aplicaci´on en buenas condiciones de la misma.

9.4.

Movimientos en masa

Entre las causas primordiales que desencadenan la ocurrencia de movimientos en masa, la topograf´ıa ocupa, sin lugar a dudas, un lugar destacado. Este hecho hace que, tambi´en en este caso, el an´alisis del MDT, en combinaci´on con algunos par´ametros adicionales a su vez implicados, permita la obtenci´on de informaci´on al respecto y la confecci´on de cartograf´ıa relativa al riesgo de presencia de dichos movimientos en masa. Esta informaci´on es de car´acter eminentemente cualitativo, fundamentado en la definici´on, sobre la base primordial del MDT, de ´ındices de estabilidad que permiten estimar el riego de deslizamientos en masa para cada una de las celdas del mismo. Dichos ´ındices de estabilidad pueden componerse a partir de las variables b´asicas de la topograf´ıa, o bien incorporando junto a ´estas algunos otros factores, para los cuales, como cabe esperar, deben aportarse las pertinentes mallas de datos que describan los mismos a lo largo de la zona analizada. En el extremo de la sencillez, el uso exclusivo de la pendiente es una primera opci´on que, a rasgos generales, puede indicar el condicionamiento que este par´ametro — no el u ´nico implicado, aunque quiz´as el m´as importante — plantea de cara a la estabilidad del terreno representado por las distintas celdas. El valor de 35o , denominado habitualmente ((angulo de reposo)), es empleado con frecuencia para establecer una divisi´on sencilla entre las celdas de pendiente mayor que dicho valor — con riesgo de deslizamiento — o menores — sin riego —. Elaborando un ´ındice m´as detallado y con un fundamento m´as robusto, una de las propuestas m´as interesantes a este respecto la encontramos en los elementos implementados en el m´odulo SINMAP (Pack, 1998), del cual ya se habl´o brevemente al tratar los aspectos relacionados con la humedad precedente, como parte del cap´ıtulo dedicado a la estimaci´on de escorrent´ıa. El ´ındice de estabilidad definido se basa en la aplicaci´on de la teor´ıa de pendiente infinita (Hammond et al, 1992) — tambi´en conocido como de talud infinito —, la cual define un factor de seguridad como la relaci´on entre las fuerzas gravitatorias — desestabilizantes — y las de cohesi´on — estabilizantes — mediante la expresi´on FS =

Cr + Cs + cos2 γ[ρs g(D − DW ) + (ρs g − ρw g)Dw ] tan α Dρs g sin γ cos γ

(9.24)

donde Cr y Cs son la cohesi´on de las ra´ıces y del suelo, respectivamente; γ la pendiente; ρs la densidad del suelo mojado; ρw la densidad del agua; g la aceleraci´on de la gravedad; D la profundidad vertical del suelo; Dw la profundidad de la lamina de agua en el suelo y α el angulo de fricci´on interna del suelo. ´ Si tanto la profundidad del suelo como la de la l´amina de agua se consideran en la perpendicular a la pendiente en lugar de en la vertical, se tienen dos par´ametros h y hw — v´ease la figura (9.4) — que permiten reducir la expresi´on anterior a la forma FS =

C + cos γ(1 − wr) tan α sin γ

(9.25)

9.4. MOVIMIENTOS EN MASA

297

siendo hw h ρw r= ρs Cr + Cs C= hρs g w=

(9.26) (9.27) (9.28)

Figura 9.4: Sustituci´on de las profundidades verticales de suelo y lamina de agua por profundidades perpendiculares al terreno en el modelo SINMAP.

El enlace de lo anterior con la informaci´on del MDT se lleva a cabo considerando las asumciones del TOPMODEL con algunas modificaciones, para dar lugar a un ´ındice de humedad w de la forma   Ra0 w = m´ın ,1 (9.29) T sin γ el cual ya fue presentado en su momento en el apartado (7.2.3) como ´ındice topogr´afico de humedad. Llevando esta expresi´on a (9.25), se tiene   0 r) tan α C + cos γ(1 − m´ın T Ra , 1 sin γ (9.30) FS = sin γ En esta ecuaci´on, se toma habitualmente un valor fijo r = 0, 5, estableci´endose para los restantes par´ametros C R on con un valor m´ınimo y uno m´aximo, T y tan α un intervalo de variaci´ entre los cuales se supone var´ıan dichos par´ametros, conform´andose as´ı unas distribuciones homog´eneas de probabilidad. Tomando el caso mas desfavorable, — es decir, los l´ımites inferiores de C y tan α y el superior de R T —, si el valor obtenido de FS es mayor de uno, la celda considerada es estable y el valor de el ´ındice de estabilidad IE igual al de FS, es decir     0 2a C1 + cos γ 1 − m´ın TR r1 tan α , 1 2 sin γ IE = FSmin = (9.31) sin γ En caso de resultar un valor de FS mayor de 1, se define en tal caso el ´ındice de estabilidad como IE = Prob(FS > 1)

(9.32)

´ ´ CAP´ITULO 9. CAUDALES SOLIDOS Y EROSION

298

Figura 9.5: Valores de ´ındice de estabilidad en el modelo SINMAP en funci´on de ´area y pendiente (adaptado de (Pack, 1998)).

Por el contrario, si tomando los par´ametros considerados en su magnitud m´as favorable el valor resultante de FS es menor de 1, el ´ındice de estabilidad es nulo, ya que si FSmax < 1, se tiene IE = Prob(FS > 1) = 0

(9.33)

Los diferentes casos posibles dan lugar a gr´aficas como la mostrada en la figura (9.5). El an´alisis matem´atico que permite obtener las expresiones concretas de la probabilidad requeridas en el segundo caso presentado, es extenso y complejo, no procediendo su inclusi´on en este texto, una vez los conceptos principales acerca de la utilizaci´on de los factores topogr´aficos provenientes del MDT ha quedado indicada. No obstante, puede consultarse dicho desarrollo en (Pack, 1998), pudiendo encontrarse adem´as junto al c´odigo fuente de la extensi´on SINMAP para ArcView , con la implementaci´on completa, en la direcci´on web

http://moose.cee.usu.edu/sinmap/simmap.htm Con los valores de EI obtenidos seg´ un lo anterior, pueden clasificarse las distintas zonas — celdas — haciendo uso de la siguiente tabla, tomando en consideraci´on la incertidumbre reflejada en los valores de los par´ametros implicados en la formulaci´on.. Indice de estabilidad (IE) EI>1,5 1,54>EI>1,25 1,25>EI>15

1>EI>0,5

0,5>EI>0

0>EI

Estado Zona estable Zona moderadamente estable Zona casi estable. A partir de este punto se pueden producir deslizamientos en masa. Zona inestable. Menos del 50 % probabilidad de que se produzca deslizamiento en funci´on de los valores de par´ametros considerados. Zona inestable. Menos del 50 % probabilidad de que se produzca deslizamiento Zona incondicionalmente inestable

´ DE LA MORFOLOG´IA 9.5. EVOLUCION

9.5.

299

Evoluci´ on de la morfolog´ıa

El conocimiento en detalle de los procesos erosivos al que se tiene alcance mediante el empleo del MDT seg´ un lo explicado a lo largo de los anteriores apartados, al tiempo que aumenta la precisi´on de los resultados aporta una informaci´on de car´acter distribuido, sustituyendo los valores gen´ericos que constitu´ıan hasta el momento de forma general la informaci´on extra´ıda de los modelos de erosi´on por mallas completas de datos donde adem´as del propio resultado num´erico quedan definidas las propias caracter´ısticas ((f´ısicas)) de dicha erosi´on sobre el terreno. El estudio de los patrones erosivos principales, o la localizaci´on de ´areas con valores mayores de perdidas totales o altas tasas de sedimentaci´on se pueden acometer ahora de forma sencilla, siendo ´esta una de las grandes ventajas que deben considerarse a la hora de evaluar el inter´es que para el estudio de los procesos erosivos tiene el empleo de Modelos Digitales del Terreno como fuentes primarias de datos. M´as all´a de lo anterior, las tasas de erosi´on o deposici´on particulares permiten el analizar la evoluci´on del terreno y la modificaci´on que tendr´a lugar en ´este, sin m´as que establecer una sencilla relaci´on entre los vol´ umenes de sedimentos transportados — generalmente en esta magnitud se expresan los resultados de las formulaciones habituales — y las dimensiones que sobre el terreno tienen los resultados de dicho transporte. Esta relaci´on se lleva a cabo mediante la consideraci´on de un valor medio de densidad del suelo y el sedimento. Aunque no resulta de inter´es alguno para el estudio de la evoluci´on de la morfolog´ıa a corto y medio plazo — los ritmos de erosi´on son muy lentos a esta escala de tiempo —, s´ı es interesante para conocer las variaciones en puntos determinados, tales como embalses o zonas donde una erosi´on neta superior a un determinado valor pueda suponer alg´ un perjuicio de cierta importancia. El an´alisis de estos puntos, modelizados con anterioridad en base a un u ´nico par´ametro global, se trata ahora sobre una importante cantidad de informaci´on a un nivel de detalle ciertamente elevado, mostr´andose las ventajas tanto a una escala global como con car´acter puntual. Aunque desde muchos puntos de vista resulta una consideraci´on a todas luces excesiva, puede tambi´en incluirse la modificaci´on del terreno dentro del MDT, de tal modo que las sucesivos calculos de los par´ametros topogr´aficos implicados en el desarrollo de los procesos erosivos – pendiente, etc. — tengan en cuenta dicha modificaci´on. Es interesante mencionar tambi´en, con una mayor relevancia que en el caso anterior, las posibilidades que ofrece el estudio hasta este punto realizado, de cara a lograr una modelizaci´ on computacional de la morfolog´ıa de r´ıos y cauces. Aunque un an´alisis detallado en este sentido requiere la introducci´on de modelos de evidente car´acter hidr´aulico, la integraci´on de los valores necesarios para la aplicaci´on de dichos modelos con el an´alisis hidrol´ogico de cuencas a partir del MDT, es una opci´on interesante que permite el enlace entre los aspectos hidr´aulicos e hidrol´ogicos sobre la coyuntura del MDT. Frente a modelos sin un enlace explicito tales como el HEC–HMS —hidrol´ogico — y el HEC–RAS — hidr´aulico— algunas soluciones tales como los modelos CCHE1D, CCHE2D y CCHE3D integran adecuadamente formulaciones y herramientas de an´alisis del terreno y uso del MDT con modelos hidrol´ogicos para ofrecer soluciones de gran inter´es como la mostrada a t´ıtulo de ejemplo en la figura (9.6)

Ejercicios y cuestiones propuestas 1.

Elabore un algoritmo para el c´alculo de una malla de flujo solido (de sedimentos) anual, empleando la malla de erosi´ on potencial de la USLE y las direcciones de flujo.

2.

Estudie la posible utilizaci´ on de mallas del tipo anterior para el estudio de aterramiento de obras hidr´ aulicas, tiempos de relleno de cu˜ nas de sedimentos y otros similares. Plantee esquemas de

Figura 9.6: Evoluci´on de la morfolog´ıa fluvial — en este caso, la evoluci´on de un meandro — simulada mediante la aplicaci´ on del modelo CCHE2D (Wu y Vieira, 2002). Las distintas tonalidades de gris indican la elevaci´ on del lecho. algoritmos posibles, empleando otros elementos de modelizaci´on del terreno conocidos.

Parte III

Anexos

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Ap´ endice A

Herramientas inform´ aticas utilizadas To err is human–and to blame it on a computer is even more so. Robert Olsen Programming today is a race between software engineers striving to build bigger and better idiot-proof programs, and the Universe trying to produce bigger and better idiots. So far, the Universe is winning. Rich Cook

A.1.

Introducci´ on

La teor´ıa recogida a trav´es de las paginas de este texto tiene su verdadera realizaci´ on pr´actica en el desarrollo de aplicaciones inform´aticas basadas en la misma, que permitan de modo tangible el alcanzar un conocimiento m´as profundo de la realidad hidrol´ogica de una zona dada. Esta relaci´on existente entre los aspectos te´orico y pr´actico se demuestra, no obstante, como eminentemente reciproca, al servir estas aplicaciones ya desarrolladas tambi´en como valiosos instrumentos para complementar el aprendizaje y estudio de los conceptos que tras ellas mismas residen. A lo largo de este texto, y como es l´ogico pensar considerando la naturaleza computacional del mismo, el empleo de herramientas inform´aticas es una constante que ha quedado plasmada de modo expl´ıcito en gran parte de las representaciones gr´aficas que se incluyen en el mismo, y que dan prueba de la aplicaci´on directa de buena cantidad de las formulaciones recogidas. Aun as´ı, el manejo directo de estos programas supone un paso m´as para entrar en contacto directo con la modelizaci´on hidrol´ogica computacional en sus diversos aspectos, raz´on ´esta por la cual he intentado facilitar la posibilidad de que el lector combine provechosamente el texto en s´ı con la experiencia directa sobre las implementaciones de los elementos te´oricos en ´el descritos. Dichas implementaciones se encuentran en diversas aplicaciones de obtenci´ on y manejo relativamente simples, que son las mismas que yo particularmente he empleado para la composici´on de elementos gr´aficos y similares en los distintos cap´ıtulos del libro. En el presente anexo, para cada una de estas aplicaciones se aportar´a informaci´on acerca de la forma de obtener la misma, sus requerimientos m´ınimos y algunas indicaciones someras sobre su manejo, al tiempo que se detallan aquellos apartados te´oricos del texto con los que se relaciona principalmente dicha aplicaci´on. En la pr´actica, ning´ un programa engloba la totalidad de conceptos aqu´ı presentados, pero a trav´es de diferentes enfoques, un n´ umero no excesivamente elevado de ellos puede servir suficientemente para poder llevar a la pr´actica la casi totalidad del contenido te´orico que se ha desarrollado en esta obra. 303

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

304

Como es l´ogico comprender, la informaci´on aportada no constituye en ning´ un caso una referencia exhaustiva, sino tan solamente un conjunto b´asico de indicaciones que servir´an para introducir al lector en el manejo de cada programa y permitirle avanzar por s´ı mismo m´as all´a, siendo ello sencillo en virtud de la escasa complejidad de uso que presentan las aplicaciones consideradas en lineas generales. Las principales aplicaciones que van a presentarse son las siguientes, cada una de las cuales se detallar´a a continuaci´on en un punto independiente. SAGA (System for an Automated Geo-scientific Analysis) Heart (Hydrological and Environmental Analysis and Reporting Tool) TOPSIMPL

A.2.

SAGA

Heredero directo de una aplicaci´on denominada DiGeM, del mismo autor, SAGA es un programa con abundantes capacidades SIG de las cuales, no obstante, son principalmente de inter´es en relaci´on con el texto aquellas que originalmente se encontraban implementadas en DiGeM, esto es, las que se sit´ uan dentro del an´alisis del terreno — es decir, de la primera parte del libro —. Pese a que las capacidades de SAGA como aplicaci´on permiten la programaci´on de m´odulos accesorios y por tanto podr´ıan incorporarse algunos elementos de modelizaci´on hidrol´ogica propiamente dicha, la utilidad inmediata que presenta de cara a nuestros objetivos reside en el mero an´alisis del terreno, donde se demuestra como opci´on completa y altamente potente que permitir´a el estudio de la gran mayor´ıa de formulaciones a este respecto. SAGA se distribuye bajo la filosof´ıa de software libre y puede obtenerse en la direcci´on web http://134.76.76.30/saga/html/index.php

A.2.1.

Manejo

La caracter´ıstica principal de SAGA en lo que a su estructura se refiere es el emplazamiento de sus capacidades en diversos m´odulos, cada uno de los cuales realiza una serie de funciones espec´ıficas relacionadas con un ´area concreta, y que pueden ser asimismo desarrollados por cualquier usuario con los conocimientos de programaci´on necesarios. SAGA como tal es un entorno que provee las funciones necesarias para la implementaci´on de estas capacidades, y cuyo manejo b´ asico es sumamente intuitivo y accesible al usuario general. Por ser posible y relativamente sencillo el desarrollo de m´odulos particulares para SAGA, el n´ umero de ´estos disponible puede ir en aumento, pudiendo ser los de nueva creaci´on ampliamente interesantes para el campo aqu´ı tratado. Aunque su uso y empleo no quede reflejado en estas p´aginas, una vez la filosof´ıa global del manejo de m´odulos es asimilada resulta f´acil incorporar otros nuevos y aprovechar las formulaciones incorporadas en los mismos, a˜ nadiendolos as´ı a la peque˜ na bater´ıa de procedimientos que en estas p´aginas se recoge. Se recomienda visitar ocasionalmente la pagina Web del programa en busca de dichos m´odulos. Administraci´ on de m´ odulos La administraci´on de los m´odulos del programa es una tarea sencilla pero esencial, la cual instaura los elementos necesarios para proceder con posterioridad al trabajo de an´alisis correspondiente. En nuestro caso, ´este se lleva a cabo mediante los m´odulos de an´alisis del terreno, siendo ´estos los u ´nicos cuya utilizaci´on se describir´a en el presente apartado.

A.2. SAGA

305

La ventana de administraci´on de modulos de SAGA puede mostrarse haciendo clic en el men´ u Modules→Module Library Manager...

Desde dicha ventana, el bot´on Load Library hace aparecer un cuadro de di´alogo desde el que se pueden seleccionar las librer´ıas — con extensi´on .mlb — que se desean cargar. Las relacionadas con an´alisis del terreno y otros aspectos a tratar en este punto dentro de las que acompa˜ nan al programa, son las siguientes, las cuales deber´an cargarse para poder continuar el seguimiento del texto:

Geostatistics Kriging Grid Gridding Terrain analysis Channels Terrain analysis Flow Terrain analysis Indices Terrain analysis Morphometry Terrain analysis Preprocessing Cada uno de estos m´odulos se centra sobre un aspecto particular de los tratados en este texto, y ser´a analizado de modo particular en un apartado independiente algo m´as adelante dentro de este cap´ıtulo. Antes de ello, se presentan algunas de las nociones generales del manejo de mallas raster dentro de SAGA, las cuales son aplicables con independencia de la naturaleza de las mismas o el tipo de an´alisis al que se quiera someter a ´estas. Trabajo gen´ erico con mallas raster Antes de entrar en el estudio particular de los modulos de interes se˜ nalados con anterioridad, se tratan los aspectos gen´ericos de SAGA, los cuales permiten el manejo esencial de mallas raster de todo tipo y el trabajo con las mismas. La pantalla principal de SAGA se divide en dos elementos principales: una zona donde se muestran im´agenes reducidas de todas las mallas cargadas en cada momento, y otra zona donde puede trabajarse en detalle con una o varias de las mismas.

306

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

En la zona de la izquierda existen tres pesta˜ nas, de las cuales tan s´olo nos es de inter´es la etiquetada como Grids, pues las restantes son para el trabajo con capas de datos de tipo vectorial, no siendo ´estas apenas necesarias para nuestro trabajo, y siendo adem´as este aspecto mucho menos desarrollado en SAGA, frente al aspecto raster donde reside su verdadera potencia. La obligatoriedad de emplear ficheros de datos de tipo vectorial — en particular, de punto – para llevar a cabo operaciones de interpolaci´on, hace que deban utilizarse con car´acter ocasional este tipo de ficheros, siendo, no obstante, muy similar su manejo y tratamiento, por lo que ser´an en su momento rese˜ nadas brevemente. Para comenzar el trabajo de an´alisis, necesitar´a una malla de datos, en concreto un MDT. Recuerde que la malla de ejemplo utilizada en las ilustraciones de este libro puede descargarse gratuitamente en

http://renres.gov.yk.ca/pubs/rrgis/data/90m-dem-down.html Dicha malla tiene formato ASCII GRID de ESRI — con extensi´on .asc — por lo que deber´a cargar el m´odulo Grid IO.mlb de la manera ya tratada con anterioridad, de cara a poder introducir mallas en este formato de fichero. Una vez cargada la extensi´on vaya al men´ u Modules → Files → Grid →Import y seleccione Import ESRI Arc/Info Grid Le aparecer´a una nueva ventana como la siguiente.

Como iremos viendo a lo largo de los siguientes puntos, esta ventana — con m´as o menos campos — es com´ un a la pr´actica totalidad de comandos de SAGA que requieran la entrada

A.2. SAGA

307

de informaci´on por parte del usuario. Por decirlo de alg´ un modo, ´este es el cuadro de di´ alogo est´andar en el programa. Para proceder a la importaci´on de una malla, pulse sobre el campo File y le aparecer´ a un cuadro de di´alogo para elegir fichero. Elija el que contenga la malla que desee cargar y a continuaci´on haga clic en OK. La malla se cargar´a y su imagen reducida aparecer´a en la zona izquierda de la ventana principal. La extensi´on Grid IO.mlb permite tambi´en exportar cualquier malla al formato ASCII GRID, haciendo uso para ello del men´ u Modules → Files → Grid → Export → Export ESRI Arc/Info Grid. Podr´a emplear este comando para guardar las mallas que genere con el uso de la aplicaci´on seg´ un las operaciones que a lo largo de este cap´ıtulo ser´an detalladas. Para ver m´as en detalle una malla cargada en el programa, haga doble clic sobre la imagen de la misma. Una nueva ventana aparecer´a, conteniendo una representaci´on de ´esta a mayor tama˜ no. Puede aumentar dicho tama˜ no empleando las herramientas de zoom y desplazamiento que encontrar´a en la parte superior de la ventana, en la barra de herramientas.

Herramienta Zoom in Herramienta Zoom out Herramienta Zoom area Herramienta Pan

La herramienta Zoom in aumenta el tama˜ no de la representaci´on, acerc´andose a la misma. La herramienta Zoom out disminuye el tama˜ no de la representaci´on, alej´andose de ´esta. La herramienta Zoom area permite seleccionar un area de representaci´on particular, en lugar de la totalidad de la malla. Para ello, haga clic sobre la ventana y arrastre para definir un rect´angulo que contenga a dicha nueva ´area de representaci´on. Para recuperar el ´area de representaci´on total, haga clic sobre la ventana con el bot´on derecho del rat´on. La herramienta Pan permite mover la representaci´on, cambiando as´ı el ´area que aparece en la ventana, especialmente cuando trabaje con un ´area de representaci´on restringida creada seg´ un lo anterior. Adem´as de modificar la zona y tama˜ no de la representaci´on de la malla de datos, puede var´ıar la apariencia de la misma de diversas maneras, adecu´andola a la naturaleza de los datos. Para ello, haga clic con el bot´on derecho sobre la vista reducida de la malla y seleccione Settings... Le aparecer´a una ventana de di´alogo como la ya presentada con anterioridad, en este caso con numerosos campos relativos a las caracter´ısticas propias de la malla cargada, as´ı como acerca de su representaci´on y empleo dentro del programa. De la misma, las opciones de inter´es de cara a modificar la representaci´on de la malla de datos en cuesti´on son las recogidas bajo el apartado Classification Type, donde se pueden ajustar los colores de la rampa de color asociada a los distintos valores, haciendo clic en el concepto Color Classes. El establecimiento de los mismos es sumamente sencillo e intuitivo, pudiendo cargarse rampas predefinidas o grabando cualquiera que sea creada por el usuario.

308

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Tambi´en resulta posible, acudiendo al concepto, Scaling Mode, seleccionar entre representaci´on con escala lineal o logar´ıtmica, siendo cada una de ellas adecuada a un tipo de mallas de datos en funci´on de la variaci´on de los valores en las mismas. Algunos par´ametros estad´ısticos de la malla considerada se pueden consultar en la misma ventana, as´ı como otra serie de ajustes gr´ aficos que no se detallan aqu´ı pero son relativamente sencillos de operar. Al margen de la forma de representaci´on de las mallas, y una vez se conoce la forma de manejar ´estas, pueden realizarse an´alisis sencillos de los valores presentes en cualquier malla de que se disponga dentro del programa. Una consulta b´asica de inter´es es la referente al histograma de frecuencias de dichos valores. Para consultarlo haga clic con el bot´on derecho sobre la representaci´on reducida de la malla a analizar y seleccione Histogram. Le aparecer´a una ventana como la siguiente, conteniendo dicho histograma.

Sobre el mismo puede seleccionar una amplitud de valores y obtener una representaci´on detallada del mismo. Para ello, haga clic en el punto de inicio del intervalo que desee ampliar y arrastre hasta el extremo opuesto del mismo. Para volver a la extensi´on completa del histograma, pinche con el bot´on derecho sobre el mismo. Note que, al variar la extensi´on del histograma, var´ıa la representaci´on de la malla, pues se consideran s´olo los valores en el intervalo seleccionado, aplic´andose la rampa de color exclusivamente sobre los mismos. Para realizar un an´alisis de regresi´on entre dos mallas de datos dadas, seleccione el men´ u Grid → Regression analysis → New. . . En la ventana que aparecer´a seguidamente, seleccione en los campos Grid A y Grid B las mallas que se encuentren cargadas que desee emplear en el an´alisis. En el campo Method seleccione Grid A with Grid B. Pulse OK y el an´alisis de regresi´on se mostrar´a en una nueva ventana.

A.2. SAGA

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Por u ´ltimo, finalizando este muy breve repaso a las funciones mas importantes de tipo general, mencionar la posibilidad de obtener visiones tridimensionales de una malla cualquiera, haciendo clic sobre la representaci´ on reducida de la misma y utilizando el comando 3D–View. En la ventana que le mostrar´a el programa, introduzca en el campo Elevation la malla que contiene el MDT con las elevaciones. En ocasiones, sin embargo, puede resultar interesante que las elevaciones no sean realmente cotas de altitud, sino los propios valores de la malla que se representa, para que dicha elevaci´on se utilice como una forma m´as de resaltar el valor en cada celda, en lugar de para proyectar la representaci´on de una malla dada sobre el terreno considerado. En tal caso, seleccione en el campo Elevation la propia malla que desee representar.

La ventana que el programa muestra con la representaci´on tridimensional es interactiva y sumamente sencilla de manejar. Experimente con ella para obtener las mejores im´agenes y perspectivas, haciendo clic con ambos botones del raton y arrastrando el mismo simult´ aneamente.

El modulo Geo–statistics – Kriging Comenzando ya con los detalles particulares de los m´odulos que nos son de inter´es, el modulo Geo–statistics – Kriging, recogido en el fichero de librer´ıa denominado Geostatistics Kriging, permite la creaci´on de mallas de datos regulares a partir de informaci´on puntual distribuida de forma irregular, haciendo uso de la t´ecnica del kriging . Es, por tanto, de utilidad para la creaci´on de gran n´ umero de mallas tales como las de precipitaci´on, temperatura, o el propio Modelo Digital del Terreno. Una vez cargado este m´odulo, un nuevo men´ u aparece en Modules→ Geo–Statistics → Kriging → Ordinary Kriging. . . , que da acceso a la ventana principal para el manejo de sus funciones asociadas. Otros men´ us principales aparecen de igual modo para distintas variaciones de la t´ecnica de kriging, de muy similar manejo, y que no se tratar´an aqu´ı. Para los siguientes apartados relativos a t´ecnicas de interpolaci´on no utilizaremos la malla de datos del MDT, pues no tienen relaci´on alguna con el an´alisis del terreno propiamente dicho. Sin embargo, antes de llevar a cabo una interpolaci´on mediante kriging — y tambi´en en cualquier otro tipo de m´etodo de los que posteriormente se tratar´an —, es necesario cargar un tema de puntos con valores puntuales de la variable a interpolar. El formato m´as habitual para este tipo de informaci´on espacial de naturaleza vectorial es el Shapefile de ESRI, el cual puede ser le´ıdo por SAGA sin necesidad de cargar ning´ un m´odulo adicional. Simplemente vaya al men´ u File y seleccione Open. en el cuadro de di´alogo que aparecer´a puede ya seleccionar su fichero Shapefile, que ser´a cargado por SAGA e incluido en la pesta˜ na correspondiente de la zona situada en la parte izquierda de la ventana principal del programa. Asimismo, se mostrara la capa de puntos con mas detalle en una ventana individual, del mismo modo que suced´ıa con las mallas raster.

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

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Obtener un fichero de puntos a trav´es de Internet es mas sencillo que conseguir un MDT, simplemente haciendo una busqueda gen´erica no le resultar´a complicado encontrar alguno. De cualquier forma, un fichero con datos de puntos para usar a modo de ejemplo puede encontrarse en http://heart.sf.net/puntos.shp Con el fichero de puntos ya cargado, vaya al comando Ordinary Kriging mencionado con anterioridad. Haciendo clic en el mismo, el programa le mostrar´a un cuadro de di´alogo habitual. Seleccione el nombre del archivo de puntos que desee utilizar mediante la lista desplegable situada en el campo Shapes y elija el atributo de dichos puntos que desee utilizar para la interpolaci´on mediante la lista denominada Field. Puede ajustar el desarrollo del propio kriging ajustando los restantes par´ametros de la ventana.

Haga clic en OK Una segunda ventana aparecer´a, en la cual debe incluir informaci´on referente a la malla de salida que desea obtener tras la interpolaci´on. Esta ventana es com´ un a todos los m´etodos de interpolaci´on existentes en el programa. Seleccione la opcion true en el campo Fit Extent e introduzca el tama˜ no de celda que desea para la malla final en el campo Grid size. Las unidades empleadas ser´an aquellas en las que se encuentren referenciados los datos puntuales empleados como informaci´on de partida. Haga clic en OK y una nueva malla de datos se sumar´a a las que en ese momento pudiera tener cargadas, apareciendo una imagen reducida de la misma en la correspondiente pesta˜ na. El m´ odulo Grid Gridding De similar manejo que el anterior, el m´ odulo Gridding, incorporado en el fichero Grid gridding.mlb permite la creaci´on de mallas de datos a partir de informaci´on irregular de caracter puntual. Las metodolog´ıas mediante las que esto puede llevarse a cabo se encuentran en el men´ u Modules → Grid → Gridding Entre ellas, dos son las que han sido tratadas a lo largo de este texto: por vecindad — accesible mediante el men´ u Nearest Neighbour — y por distancia inversa — men´ u Inverse Distance —. El manejo de ambos comandos es semejante al ya explicado para el caso del kriging, exisitiendo una primera ventana donde deben especificarse los datos de partida y los par´ametros propios del m´etodo de interpolaci´on a utilizar, junto con una segunda ventana donde se concretan las caracter´ısticas de la malla resultante.

A.2. SAGA

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El m´ odulo Terrain Analysis Pre–Processing Entrando en el trabajo directo del MDT, el primer m´odulo al que debe hacerse menci´ on es el recogido en el fichero Terrain analysis Preprocessing.mlb, mediante el cual pueden efectuarse las tareas previas al an´alisis de dicho MDT, conformando lo que en su momento denomin´abamos preprocesamiento. SAGA permite eliminar las depresiones o crear una malla de direcciones de flujo sobre las mismas. La primera opci´on resulta m´as interesante, aunque puede trabajar con la segunda como una buena manera de profundizar en los conceptos en que dicho trabajo con las depresiones se fundamenta. Para eliminar las depresiones de un MDT y obtener una nueva malla sin las mismas, seleccione el men´ u Modules → Terrain Analysis → Pre–Processing → Sink Removal. En la ventana que aparecer´a seguidamente se˜ nale en el campo Method el m´etodo a emplear. Experimente con ambas opciones e intente comprender las diferencias entre ´estas. El resultado obtenido es, a fin de cuentas, igualmente v´alido para c´alculos posteriores. Seleccione la opci´on —CREATE NEW — en el apartado Preproccesed DEM. Esto har´ a que se cree un nuevo MDT corregido en lugar de corregirse el anterior directamente.

Seleccione OK y tendr´a ya un MDT sobre el que trabajar sin problemas de aqu´ı en adelante. El m´ odulo Terrain Analysis: Morphometry El an´alisis propiamente dicho del MDT se inicia con el modulo Morphometry recogido en el archivo de m´odulo Terrain analysis Morphometry.mlb, gracias al cual resulta posible la obtenci´on de los principales par´ametros morfolog´ıcos del terreno, es decir, la materia tratada en los primeros apartados de libro. Los primeros c´alculos que pueden llevar a cabo son los de pendiente, orientaci´on y curvatura, los cuales pueden efectuarse a trav´es del men´ u Modules → Terrain Analysis → Morphometry → Local Morphometry. En la ventana que mostrar´a el programa — como ver´a, el uso de los m´odulos comparte muchos puntos en com´ un entre s´ı — seleccione en el campo Elevation la malla de datos que contenga el MDT — use uno sin depresiones — y seleccione —CREATE NEW — en todos los campos bajo el apartado Output.

Mediante el u ´ltimo men´ u, puede seleccionar la formulaci´on a aplicar para el c´alculo de los par´ametros citados. Las basadas en ajuste de polinomios de segundo grado — Fit 2 degree. . . —

312

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

se basan en los conceptos desarrollados en esta obra. Tenga en cuenta que otras formulaciones como la de Tarboton tambi´en han sido vistas en el texto, aunque como parte de otros cap´ıtulos, ya que no contemplaban el c´alculo de curvaturas. Por este motivo, si especifica la creaci´on de un mallas de curvaturas con alguno de esos m´etodos, dichas mallas ser´an enteramente de valor nulo. Como es habitual, las mallas creadas pasan a formar parte del conjunto de ellas recogidas en la pesta˜ na de proyecto correspondiente. SAGA permite tambi´en obtener resultados que no sean nuevas mallas de datos, como por ejemplo una curva hipsogr´afica. Para ello seleccione el men´ u Modules → Terrain Analysis → Morphometry → Hypsometry y en la ventana que el programa le mostrar´a seguidamente introduzca en el campo Number of Classes el numero de divisiones que desea para dicha curva. Establezca la opci´on —CREATE NEW —, como ya es habitual, en el apartado Output. A continuaci´on haga clic en OK El resultado generado por SAGA es una tabla, y como tal, se recoge en la pesta˜ na Tables de la zona izquierda de la ventana principal.

Haga clic sobre dicha pesta˜ na y despu´es haga doble clic sobre la tabla que encontrar´a en la misma bajo el nombre Hypsometric Curve. . .. Una ventana como la mostrada bajo estas l´ıneas se abrir´a, pudiendo en ella consultar los datos de la curva hipsogr´afica creada.

Para representar gr´aficamente la curva, haga clic con el bot´on derecho sobre el antedicho nombre de la tabla y seleccione Diagram → Show. Pulse OK en la ventana que se abrir´a a continuaci´on y el programa le mostrar´a una curva similar a la siguiente.

A.2. SAGA

313

El m´ odulo Terrain Analysis: Flow Accumulation

El m´odulo Flow Accumulation, accesible mediante la carga del fichero de librer´ıa Terrain analysis Flo permite aplicar los distintos m´etodos de asignaci´on de direcciones de flujo y obtener mediante los mismos las mallas de ´area acumulada y otras derivadas, como a continuaci´on veremos. Las metodolog´ıas a utilizar se dividen en bloques seg´ un la naturaleza de las mismas, en relaci´on a las caracter´ısticas de los algoritmos que se emplean en cada una de ellas, tal y como con detalle se trat´o en el cap´ıtulo correspondiente en la primera parte de la obra. As´ı, los m´etodos que permiten la formulaci´on de un algoritmo recursivo se agrupan en un men´ u diferente que aquellos para los cuales lo anterior no resulta posible. El men´ u Modules → Terrain Analysis → Flow Accumulation → Recursive Upward Processing da acceso a la utilizaci´on de aquellos metodos que permiten el planteamiento de algoritmos recursivos, es decir, aquellos de la familia — en sentido amplio — del D8. En la ventana de par´ametros correspondientes, u ´nicamente debe especificarse la malla de elevaciones a emplear — tambi´en en este caso, utilice una sin depresiones —, as´ı como el m´etodo a usar, ´este u ´ltimo en el campo Method. En caso de emplear FD8 — recogido aqu´ı bajo la denominacion de Multiple Flow Directions —, puede ajustar tambi´en el factor de convergencia introduciendo su valor en el campo Convergence.

Adem´as de la malla de flujo acumulado, otras complementarias tales como distancias de flujo o pendientes medias aguas arriba pueden generarse en el mismo bloque de proceso, sin m´as que establecer el valor —CREATE NEW — en el campo correspondiente. De igual modo, los restantes m´etodos cuya naturaleza no permite el planteamiento de un algoritmo recursivo pueden emplearse para el c´alculo de la malla de flujo acumulado, accediendo a los mismos a trav´es del elemento de men´ u Modules → Terrain Analysis → Flow Accumulation → Flow Tracing. La ventana de par´ametros correspondiente es similar a la del resto de m´etodos ya comentada anteriormente. Por u ´ltimo, dos elementos dentro del men´ u correspondiente a acumulaci´on de flujo, bajo los nombres Upslope Area y Downslope Area, permiten conocer el ´area aguas arriba de un punto, o bien las celdas aguas abajo por las que pasa el flujo generado en dicha celda. En una ventana de par´ametros como las anteriores, se especifica el m´etodo a utilizar — para el caso de ´area aguas arriba, s´olo los m´etodos recursivos pueden emplearse —, y posteriormente se hace clic en un punto cualquiera de la malla analizada. A partir de ese punto, el programa genera una nueva malla como la mostrada bajo estas l´ıneas — en este caso, para ´area aguas arriba empleando FD8 —, relativa al par´ametro analizado.

314

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

El modulo Terrain Analysis: Indices Conocida ya el ´area aportante a cada celda, as´ı como los descriptores morfol´ogicos locales de la misma, los ´ındices topogr´aficos pueden evaluarse con sencillez recurriendo al m´odulo Indices, el cual se incorpora al programa mediante la carga del fichero de librer´ıa Terrain analysis Indices.mlb. El men´ u correspondiente al mismo se sit´ ua bajo Modules → Terrain Analysis → Indices, encontr´andose en el comando Topographic Indices los par´ametros que han sido tratados en este texto y resultan de inter´es. Haciendo clic en dicho men´ u, un cuadro de di´alogo de los ya habituales aparece en pantalla, en el cual deben especificarse la malla de elevaciones como dato de partida, junto con la malla que contenga datos de ´area acumulada seg´ un se calcul´o mediante los comandos tratados en el anterior punto. La introducci´on de una malla con valores de transmisividad T0 es opcional, emple´andose la misma para el c´alculo de un indice topogr´afico teniendo en cuenta una variabilidad de dicho par´ametro, seg´ un se vio en (7.5)

Con esta informaci´on, SAGA genera mallas de datos relativas al ´ındice topogr´afico, ´ındice de potencia de cauce y factor LS de la USLE, este u ´ltimo considerando ´area aportante en lugar de longitud de pendiente. El m´ odulo Terrain Analysis: Channels El u ´ltimo m´odulo con el que se concluye el ´analisis del terreno de cara a sus caracter´ısticas desde el punto de vista de la hidrolog´ıa, es el referente a la extracci´on de redes de drenaje y cuencas vertientes, implementado en el fichero de librer´ıa Terrain analysis Channels.mlb Comenzando por la extracci´on de cauces, esta es accesible a trav´es del men´ u Modules → Terrain Analysis → Channels → Channel Network. En la ventana de entrada de par´ametros correspondiente debe especificarse la malla de elevaciones, as´ı como la malla sobre la que establece los umbrales. Para ello, en el campo Initiation Grid, seleccione en la lista desplegable la malla que contenga el ´area acumulada.

A.3. HEART

315

El criterio de iniciaci´on es un umbral m´ınimo, por lo que debe especificarse en el campo Initiation Type el modo Greater than, introduci´endose en la casilla correspondiente al campo Initiation Threshold el valor en celdas a considerar como dicho umbral.

Con esos datos, SAGA genera una malla de cauces con los ordenes de Strahler de cada celda, siempre que ´estas constituyan uno de tales cauces. Igualmente, otra malla en la que las celdas contienen la direcci´on del tramo al que pertenecen se crea de forma paralela a la anterior. Con los cauces definidos, el programa permite el c´alculo de las cuencas asociadas, tomando como puntos de cierre de las mismas las intersecciones entre dos cualesquiera de los anteriores. Para ello, seleccione el elemento de men´ u Modules → Terrain Analysis → Channels → Watershed Basins y en la ventana de par´ametros que el programa le mostrar´a especifique la malla de elevaciones y la que contiene la informaci´on de la red de drenaje anteriormente generada. Si lo desea, puede incluir un valor m´ınimo — expresado en celdas — para las cuencas a crear, de tal modo que se evite la delimitaci´on de subcuencas de escaso tama˜ no y con poco inter´es desde el punto de vista de la configuraci´on hidrol´ogica global de la cuenca en su conjunto.

Para finalizar este bloque de herramientas, el m´odulo incluye la posibilidad de crear malla relativas a distancias de flujo hacia cauces, tanto distancias horizontales como saltos altitudinales, cuyo manejo es sumamente sencillo y similar a lo anterior, y cuyos elementos de men´ u correspondientes se encuentran tambi´en bajo Modules → Terrain Analysis → Channels al igual que los precedentes.

A.3.

Heart

Con una filosof´ıa muy distinta al anterior programa, Heart es una aplicaci´on eminentemente destinada al an´alisis hidrol´ogico a nivel de cuenca vertiente, especialmente desarrollado para cuencas de peque˜ no y medio tama˜ no, auqnue con ciertos elementos que permiten su aplicaci´ on en buenas condiciones sobre cuencas de mayor complejidad y dimensi´on. Su inter´es desde el punto de vista de este libro reside en la fuerte dependencia de la informaci´on cartogr´afica — especialmente el MDT — que presenta, y sobre la que realiza un an´alisis en profundidad, tanto desde el punto de vista geomorfol´ogico — principal enfoque de SAGA, seg´ un acaba de verse — como desde el puramente hidrol´ogico. Cubre, por tanto, ambas partes de lo explicado en esta obra, con mayor o menor profundidad seg´ un el caso concreto.

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

316

Desde el punto de vista inform´atico Heart ha sido desarrollado bajo la filosof´ıa de Sistema de Informacion Geogr´afica Orientado a Producci´on de Documentos (SIG–OPD)(Olaya, 2003), con lo cual presenta los principios asociados a este tipo de herramientas inform´aticas, fundamentalmente caracterizados por una gran sencillez de uso, interactividad reducida y generaci´on de resultados en los que la buena estructuraci´on de los mismos es el aspecto m´as destacable. Por ello, el manejo de Heart es sencillo y, con los conocimientos obtenidos a trav´es de esta obra, apenas ser´an necesarias un par de nociones para que usted pueda extraer toda la potencia a este software. Puede descargar Heart de forma libre en la direcci´on web

http://heart.sf.net Simplemente descomprima el fichero de descarga en una carpeta a tal efecto y obtendr´a todos los elementos del programa, incluyendo la documentaci´on extensa del mismo y su uso, de la cual este apartado es tan s´olo una peque˜ na parte, aunque suficiente considerando que los conceptos te´ oricos de la aplicaci´on ya son conocidos por usted.

A.3.1.

Manejo

Aunque puede utilizarse desde un entorno de l´ınea de comandos — m´as complejo — aqu´ı se detallar´a su uso a trav´es de la interfaz Beat, sumamente m´as sencillo e intuitivo. Para cargar Beat, vaya a la carpeta bin dentro del directorio donde situ´o Heart y ejecute el fichero Beat.exe. Le aparecer´a una ventana como la siguiente.

El proyecto Dicha ventana contiene cajas de texto con los elementos b´asicos de un proyecto de an´alisis hidrol´ogico. M´ as a´ un, dicho proyecto puede analizarse tan s´olo con el MDT y con datos meteorol´ogicos, prescindiendo de otra informaci´on cartogr´afica — a costa de obtener una menor informaci´on, claro est´a —. Ser´a en esta versi´on m´as b´asica como veremos el programa y sus capacidades, siendo en los propios resultados del programa donde se podr´a apreciar la relaci´on entre Heart y todo lo tratado en cap´ıtulos anteriores. Para especificar un MDT haga clic en el bot´on situado al lado de la caja de texto que debe contener el fichero correspondiente, etiquetada como Modelo Digital del Terreno. El programa le mostrar´a un cuadro de di´alogo donde deber´a elegir el fichero del MDT que desee usar. En la carpeta samples dentro del directorio de Heart podr´a encontrar el MDT utilizado en las im´agenes de esta obra bajo el nombre test.asc. A continuaci´on seleccione los datos clim´atologicos, haciendo clic en el bot´on de la caja de texto correspondiente, y cargando en eta ocasi´on el fichero datos de la misma carpeta samples. Heart admite informaci´on de series de precipitaci´on mensuales en el formato de datos del Instituto Nacional de Meteorolog´ıa (INM) espa˜ nol.

A.3. HEART

317

Con estos datos ya es suficiente para proceder a la creaci´on de documentaci´on asociada al proyecto, la cual nos servir´a para el an´alisis del programa. Si desea a˜ nadir otros elementos cartogr´aficos como datos de partida, la forma de proceder es muy similar. Consulte la ayuda del programa para m´as detalles al respecto y acerca del formato en que dicha informaci´ on debe introducirse. Puede acceder a dicha ayuda a trav´es del men´ u Ayuda → Ver Ayuda. . . Para poder comenzar el an´alisis de los datos introducidos, debe guardar el proyecto bajo un nombre concreto. Seleccione el men´ u Proyecto → Guardar Proyecto Como. . . e introduzca en el cuadro de di´alogo que el programa le mostrar´a el nombre con el que desea guardar dicho proyecto. Una vez el proyecto ha sido guardado, puede llamar al motor de documentaci´on de Heart acudiendo al men´ u Ejecutar → Lanzar Heart. En una ventana nueva, se iniciar´a dicho motor y las sucesivas etapas del an´alisis, las cuales con sencillez identificar´a de acuerdo con la materia previamente tratada en el texto, ir´an se˜ nal´andose a medida que el proceso vaya avanzando. La ventana de Heart es una ventana en linea de comandos, y tendr´a un aspecto similar al mostrado bajo estas l´ıneas.

Cuando el proceso concluya, la informaci´on habr´a quedado convenientemente almacenada y podr´a ser consultada o empleada directamente sin problema alguno. No obstante, y puesto que tan s´olo se han presentado los conceptos b´asicos acerca del manejo de proyectos en Heart, nada se ha especificado acerca de los par´ametros que rigen el an´alisis hidrol´ogico realizado u otros par´ametros tales como, por ejemplo, en que carpeta han sido almacenados los ficheros creados por Heart mediante dicho an´alisis Por tanto, antes de pasar a recorrer la documentaci´on generada, es conveniente presentar el otro elemento b´asico de Heart que, junto con el propio proyecto de trabajo, permiten el manejo total de las capacidades del programa. Dicho elemento son las opciones de documentaci´ on. Las opciones de documentaci´ on Como se ha visto, es sumamente sencillo con el programa obtener documentaci´on — sobre la cual en breve se profundizar´a — a partir de un conjunto de datos de partida. La forma en que el usuario puede controlar c´omo dicha informaci´on es generada y adaptarla a la medida de sus necesidades es a trav´es de las opciones, acerca de las cuales se tratar´a a continuaci´ on. Es importante comprender adecuadamente el funcionamiento de esta parte del programa, pues constituye un elemento b´asico para poder aprovechar de manera correcta toda la potencia que Heart ofrece, sin por ello suponer una dificultad adicional notable. Heart toma las opciones de un fichero de texto creado a tal efecto, el cual se crea autom´ aticamente al emplear Beat, pudiendo especificarse todas las opciones del mismo de forma gr´ afica haciendo uso de la interfaz del programa y una ventana de opciones existente en el mismo Para acceder a dicha ventana de configuraci´on de opciones vaya al men´ u Opciones → Editar Opciones. . . . Le aparecer´a una como la siguiente.

318

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Las opciones de Heart se dividen en grupos para cada uno de los cuales existe una pesta˜ na en la parte superior de la ventana. La gran mayor´ıa de estas opciones, al menos las de mayor contenido hidrol´ogico, deben resultarle conocidas, pues guardan relaci´on con los par´ametros de ajuste que a lo largo del texto se han comentado en referencia a los distintos algoritmos y m´etodos introducidos. Por lo anterior, y por la extensi´on del n´ umero de opciones disponibles, tan s´olo se comentar´an las m´as b´asicas para dar una idea general del uso de las mismas. Todas las opciones y par´ametros ajustables se encuentran, no obstante, extensamente detalladas en la ayuda del programa, por lo que, en caso de duda acerca de las restantes, puede acudir a la misma para encontrar explicaci´ones aclaratoria sobre ellas. Las opciones sobre las que se hara ´enfasis son las las que controlan la definici´on de cauces y cuencas vertientes, situadas en las pesta˜ nas C´ alculo y General. En la pesta˜ na general puede introducir el punto de cierre de la cuenca especificando sus coordenadas UTM separadas por un espacio. Una manera m´as sencilla de hacerlo es, sin embargo, de modo gr´afico, en caso de que ya haya establecido en la ventana de proyecto un MDT v´alido. Para ello, pulse el bot´on situado al lado de la caja de texto de las coordenadas. Al cabo de un tiempo en el que el programa eval´ ua el MDT y establece unos cauces orientativos, aparecer´a una nueva ventana con dichos cauces similar a la mostrada a continuaci´on

Puede desplazar la representaci´on pinchando y arrastrando con el boto˜ n izquierdo, y puede hacer zoom si emplea el bot´on derecho. Una vez localice el punto de salida deseado — sobre un

A.3. HEART

319

cauce —, haga doble clic sobre ´el y las coordenadas de dicho punto pasar´an autom´aticamente a la caja de texto anteriormente comentada. Para establecer el umbral de establecimiento de cauces, vaya a la pesta˜ na C´ alculo e introduzca dicho umbral expresado en metros cuadrados de ´area vertiente aguas arriba en la casilla correspondiente.

Este umbral puede considerarse sobre el conjunto de celdas aguas arriba, o bien teniendo en cuenta u ´nicamente las celdas de tipo c´oncavo. La elecci´on de la opci´on deseada se puede hacer a trav´es de un Check box situado tambi´en en esta pesta˜ na.

Por u ´ltimo, y para pasar al an´alisis de la documentaci´on, dentro de la pesta˜ na General escriba dentro de la caja de texto Directorio Documentaci´ on la ruta de acceso completa en la que desee almacenar los documentos generados por el programa.

Con estas opciones establecidas, cierre la ventana de opciones haciendo clic en el bot´ on Aceptar y vuelva a ejecutar Heart de la manera ya explicada para generar nueva informaci´ on que seguidamente se tratar´a.

A.3.2.

La documentaci´ on generada

Una parte b´asica de Heart y su utilizaci´on pr´actica reside, como aplicaci´on de tipo SIG– OPD que es, en la documentaci´on estructurada que ofrece como resultado de la ejecuci´ on de sus distintas funcionalidades sobre un proyecto dado, y de acuerdo con unas opciones convenientemente establecidas. El formato principal de esta documentaci´on es el formato HTML, por lo que podr´a usted consultar la misma empleando su navegador habitual. Brevemente, se describen en este apartado algunos de los aspectos m´as relevantes de dicha documentaci´on, como una introducci´on para la interpretaci´on correcta de la misma y su enlace con los aspectos vistos en los diferentes cap´ıtulos del texto. Para m´as informaci´on, puede acudir a la ayuda del programa, donde tambi´en este apartado se encuentra ampliamente desarrollado. Para abrir la p´agina principal de la documentaci´on vaya a la carpeta que estableci´o en las opciones como carpeta de documentaci´on y abra el fichero index.html, haciendo simplemente doble clic sobre el mismo. La ventana principal contiene una serie de campos, de los cuales, por no hacer en exceso extenso este apartado, se tratar´an los siguientes: Documentaci´on cartogr´afica Caracterizaci´ on de redes de drenaje y cuencas vertientes Caudales l´ıquidos Los restantes son de facil interpretaci´on con la informaci´on que aqu´ı se aporta, pudi´endose recurrir, no obstante, a la ayuda del programa donde quedan detallados con mayor profundidad. Cada uno de los puntos anteriores se analiza seguidamente de modo aislado.

320

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Documentaci´ on cartogr´ afica La documentaci´on cartogr´afica generada por Heart incluye todas las mallas de datos con las que el programa trabaja y que resultan relevantes para el conocimiento de la zona analizada. Dichas mallas se presentan representadas con las correspondientes escalas de color seg´ un la naturaleza del pr´ametro en cuesti´on, siendo el propio programa el que prepara dichos elementos gr´aficos de modo autom´atico. Todas estas mallas, tanto las de car´acter geomorfol´ogico — la mayor´ıa — como las relacionadas con otros aspectos, han sido detalladas extensamente a lo largo del texto, por lo que el lector no tendr´a dificultad alguna en comprender las mismas. Para cada una de ellas, adem´as de la imagen de la representaci´on junto a una escala y un indicador de orientaci´on, se presentan algunos datos particulares de tipo estad´ıstico referidos al par´ametro al que dicha malla hace referencia. Algunos de dichos datos son valores num´ericos sencillos, mientras que otros representan enlaces a nuevas paginas de informaci´on, pues se trata de documentaci´on asociada de mayor extensi´on que un simple valor puntual.

Los valores calculados se presentan tanto para el total de la malla del MDT como para las celdas incluidas dentro de la cuenca vertiente especificada. Una constante en la informaci´on generada por Heart es la presencia de gr´aficas, tanto de barras como en forma de curva, siempre acom˜ na˜ nadas por tablas en las que se reflejan los valores a partir de los cuales se crean dichas gr´aficas. A trav´es de las gr´aficas asociadas a los elementos cartogr´aficos incluidos en la documentacion generada, es sencillo comprender las l´ıneas generales que se aplican a la creaci´ on de las mismas. Sobre un mapa dado, haga clic en Histograma. Le aparecer´a una ventana como la siguiente.

En el caso de histogramas de frecuencias — como es este caso — se incluyen tambi´en histogramas acumulados y acumulados inversos, siendo su consulta id´entica en los tres casos. Justamente por debajo de la imagen de cada histograma, se encuentra el enlace Tabla de datos. Haciendo clic sobre ´el, se accede a la tabla de datos correspondiente a dicho histograma, en una nueva pagina en formato HTML.

A.3. HEART

321

Como se ha dicho, esta presencia conjunta de tablas y gr´aficas es una constante para toda la informaci´on creada que pueda presentarse de este modo, con independencia de su naturaleza o del par´ametro al que se haga referencia.

Caracterizaci´ on de redes de drenaje y cuencas vertientes El enlace Caracterizaci´ on de redes de drenaje y cuencas vertientes da acceso a la informaci´on referida a los elementos hidrogr´aficos principales, los cuales se analizan aqu´ı por separado. En primer lugar, la caracterizaci´on de las cuencas vertientes se realiza en Heart tanto a nivel general como para cada una de las subcuencas delimitadas en funci´on de los par´ametros introducidos en el archivo de opciones. Como informaci´on inicial en la p´agina correspondiente, encontramos algunos factores sencillos referidos a la totalidad de la cuenca.

Junto a ´estos, cuatro representaciones gr´aficas de la divisi´on subcuencas se incluyen asimismo, siendo la ultima de ellas un esquema funcional de la cuenca en su conjunto. Las tres restantes, correspondientes respectivamente a la simple divisi´on de la cuenca global y a la representaci´on de las subcuencas en funci´on de sus n´ umeros de curva y p´erdidas de suelo medio, dan acceso a la informaci´on de cada una de dichas subcuencas de un modo m´as detallado. Sobre una representaci´on cualquiera de las antedichas tres, haga clic con el rat´on dentro de una subcuenca. Acceder´a a una p´agina con algunos campos de informaci´on referidos a dicha subcuenca y enlaces adicionales tales como los siguientes.

322

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Los enlaces le llevar´an a informaci´on en forma de gr´aficas, cada una de ellas con su tabla asociada, de la manera ya explicada en el punto anterior. Con respecto a los cauces, la forma de proceder para la consulta de la informaci´on es sumamente sencilla. En este caso, la representaci´on de la cuenca y sus subcuencas se ve sustituida por una representaci´on de la red de drenaje, mediante la cual puede igualmente acceder a informaci´on complementaria. Los colores de los cauces representan sus ´ordenes de Strahler correspondientes.

Cada cabecera de un cauce queda se˜ nalada mediante un punto rojo, sobre el cual puede hacerse clic para obtener la informaci´on pertinente a dicho cauce. La ventana correspondiente a esta informaci´on presenta tanto valores puntuales como un enlace a una curva de perfil longitudinal del mismo.

Caudales l´ıquidos Dentro de los caudales l´ıquidos, los cuales constituyen una de las partes fundamentales de la documentaci´on generada por Heart, tanto por si mismas como en lo que respecta a la consideraci´on de ´estas desde esta obra, se deben distinguir dos bloques principales. Por una parte, aquellas metodolog´ıa que generan hidrogramas completos como resultado. Por otra, los

A.3. HEART

323

que tan s´olo dan resultados puntuales. Estos u ´ltimos, formados por la aplicaci´on de la formula racional a la cuenca de modo global, as´ı como otras formulaciones emp´ıricas, no son de inter´es desde nuestro punto de vista actual, por lo que no se tratan, no necesitando, no obstante, explicaci´on alguna debido a su sencillez. Los enlaces que dan acceso a los hidrogramas calculados por el programa son los correspondientes a las tres metodolog´ıas que el mismo aplica, a saber: Hidrograma unitario Isocronas con velocidad constante Isocronas con velocidad variable Para todos ellos, el esquema de organizaci´on de la informaci´on correspondiente es similar, tal y como a continuaci´on se detallar´a. En primer lugar, seleccionando la metodolog´ıa, acceder´a a una nueva p´agina donde podr´a elegir la tormenta para la cual desea consultar los resultados disponibles. Se encontrar´an enlaces tanto para las tormentas generadas para los distintos periodos de retorno en base a las series anuales incorporadas, como para aquellas introducidas manualmente mediante sus hietogramas asociados.

Seleccionando uno de dichos periodos de retorno, se accede directamente al hidrograma asociado a la correspondiente tormenta, el cual tambi´en presenta, como es habitual, su tabla de datos asociada.

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

324

Ademas de existir esta informaci´on para los tres m´etodos mencionados con anterioridad, el enlace Hidrogramas por subcuencas permite acceder a la informaci´on correspondiente al estudio de la cuenca completa a partir del an´alisis de sus subcuencas constituyentes. En este caso, los enlaces correspondientes a las distintas tormentas no dan acceso al hidrograma directamente, sino a una nueva p´agina con enlaces a cada una de las subcuencas definidas.

Los hidrogramas correspondientes a las subcuencas difieren a su vez de los anteriormente mostrados, pues contienen mayor informaci´on al reflejar no solo el caudal en la salida de la subcuenca, sino tambi´en el entrante y el que se genera en la misma.

A.4.

TOPSIMPL

Como u ´ltima aplicaci´on, y complementando a las anteriores que permit´ıan el an´alisis del terreno – ambas —, as´ı como el empleo de un modelo enfocado al estudio de eventos — Heart — , la presencia de un modelo de tipo continuo y un software asociado a ´este completa el grupo de aplicaciones que se tratan en este cap´ıtulo, y mediante las cuales el lector podr´a experimentar de modo directo con gran parte de los elementos, tanto te´oricos como pr´acticos, vistos a lo largo del texto. De forma particular, el modelo TOPMODEL, que ha supuesto un referente importante en estas p´aginas, queda tambi´en aqu´ı reflejado, concretamente a trav´es de una adaptaci´on del mismo denominada TOPSIMPL, la cual, por sus propias caracter´ısticas y los complementos adicionales que presenta, es m´as adecuada a los efectos did´acticos que aqu´ı se persiguen. Una vez se comprenda el funcionamiento de TOPSIMPL, y conociendo los aspectos te´oricos generales de TOPMODEL, es igualmente sencillo trabajar con la aplicaci´on propia del TOPMODEL, la cual puede descargarse en http://www.es.lancs.ac.uk/hfdg/topmodel.html TOPSIMPL puede descargarse en la direcci´on web http://www.lthe.hmg.inpg.fr/hlsurf/topsimpl/download.htm Descomprima el archivo obtenido en un directorio y de entre los ficheros resultantes ejecute install.exe. Esto instalar´a el programa, siendo el proceso sumamente sencillo e inmediato. Dos aplicaciones son las que incluye el paquete: una conteniendo el modelo como tal y arrojando resultados de forma m´as ((cl´asica)) (topsimpl.exe), y otra mediante la que se pueden obtener resultados cartogr´aficos tales como animaciones del ´area activa para los distintos intervalos de un periodo considerado (anim-top.exe). Ambas ser´an brevemente analizadas seguidamente.

A.4. TOPSIMPL

A.4.1.

325

Topsimpl.exe

Para ejecutar TOPSIMPL, vaya al directorio donde instal´o el programa y ejecute el archivo topsimpl.exe. La ventana inicial de la aplicaci´on tiene una apariencia como la siguiente.

El primer paso para trabajar con la informaci´on es crear un proyecto, definiendo los ficheros que contienen los datos base, de forma muy similar a lo que ve´ıamos en el caso de Heart. Haga clic sobre la opci´on Define a new study. El programa le mostrar´a una nueva pantalla donde deber´a introducir el nombre que desea asignar al proyecto y seguidamente pulsar la tecla Enter. Le aparecer´an entonces unos nuevos campos donde introducir los nombre y la ruta de acceso de los ficheros de datos antes mencionados, quedando una pantalla de la forma mostrada a continuaci´on.

En este caso trabajaremos con los datos de ejemplo que trae el programa, y que se encuentran situados en la carpeta Examples bajo el directorio en el que el programa se encuentre instalado. Haciendo clic en los botones situados junto a las cajas de texto, podr´a elegir los correspondientes archivos. El u ´ltimo de ellos, el asociado a la caja situada en la parte inferior de la ventana, es opcional, y representa la distribuci´on del ´ındice topogr´afico. Puesto que el ejemplo que se adjunta con la aplicaci´on incluye tambi´en un fichero de ´ındice topogr´afico, y teniendo en cuenta que, de cara al contenido de este texto, es un par´ametro de importancia, usaremos dicho fichero aun no siendo estrictamente imprescindible. Para que TOPSIMPL utilice el fichero incluido en dicha caja de texto, es necesario que el bot´on de selecci´on situado inmediatamente encima este se˜ nalado en la opci´on Known Una vez el proyecto ha sido definido, puede procederse a la realizaci´on de an´alisis sobre el mismo. En la ventana principal del programa seleccione ahora la opci´on Open an already defined project. En la ventana que aparecer´a seguidamente, seleccione el proyecto que ha creado con anterioridad — el cual se identificar´a por el nombre que le asign´o — y pulse el boton OK. Con ello, se accede a la ventana principal de an´alisis mostrada bajo estas l´ıneas.

326

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

De las distintas opciones existentes, se detallar´an a continuaci´on las relacionadas con la creaci´on propiamente dicha de datos de simulaci´on hidrol´ogica, as´ı como los elementos que permiten el uso posterior de la otra aplicaci´on incluida en el paquete y que m´as adelante ser´a tratada.

Creaci´ on de simulaciones interactivas Para desarrollar una simulaci´on con los datos de partida especificados en el proyecto, haga clic sobre el boton denominado Interactive simulation. Ver´a un cuadro de di´alogo como el siguiente.

En ´el debe incluir los par´ametros que rigen la propia simulaci´on, y cuyo significado ya debiera ser conocido. Por constituir una adaptaci´on simple del TOPMODEL, el modelo TOPSIMPL considera las perdidas por intercepci´on y ET como constantes, debiendo introducirse las mismas mediante un u ´nico valor en el campo Inter. Un valor de la conductividad del suelo debe proporcionarse en el campo K0 . Con los valores de los par´ametros establecidos, haga clic en OK para ver los resultados de la simulaci´on. Aparecer´a una ventana nueva en cuya parte superior existen botones mediante los que puede ir avanzando a tra’ves de las distintas ´etapas o eventos de la simulaci´on.

Para cada uno de ellos, la ventana presenta una gr´afica con la precipitaci´on — que fue introducida como dato de partida — y la escorrent´ıa generada – calculada por el programa —.

A.4. TOPSIMPL

327

As´ımismo, se recoge otra gr´afica con el hidrograma calculado, as´ı como el que se introduce en el modelo a efectos de calibraci´on, pudiendo compararse los mismos para de este modo obtener un buen ajuste de los par´ametros anteriormente fijados.

Almacenamiento de simulaciones La simulaci´on interactiva presentada con anterioridad es u ´til para trabajar sobre la misma y efectuar un ajuste de los par´ametros implicados, aunque no resulta posible almacenar los resultados obtenidos para una consulta posterior, o bien para su inclusi´on en alg´ un tipo de documento. Para ello, es necesario recurrir a otra funci´on a la cual tambi´en se accede desde la ventana principal de operaciones, en este caso mediante el bot´on Simulation on file. Haciendo clic sobre ´este bot´on, TOMPSIMPL le preguntar´a mediante un cuadro de di´ alogo con tres botones el tipo de formato en que desea almacenar los resultados de la simulaci´ on.

Puesto que en breve vamos a utilizar estos resultados para mostrar el manejo de la aplicaci´on restante incluida en el paquete junto a TOPSIMPL, elija el formato propio de esta aplicaci´on haciendo clic sobre el bot´on Topsimpl. A continuaci´on el programa le mostrar´a el ya conocido cuadro donde deber´a introducir los par´ ametros de la simulaci´on y, una vez haya realizado esto, un cuadro de di´alogo para especificar el nombre del fichero en el que la simulaci´on debe ser almacenada.

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

328

A.5.

Anim–Top.exe

La naturaleza del modelo TOPMODEL como modelo de ´area contribuyente variable se puede ver de forma clara mediante el empleo de la otra aplicaci´on denominada — lac´onicamente — Visual TOPSIMPL , incluida junto al propio modelo TOPSIMPL analizado en el punto anterior, la cual se ejecuta mediante el fichero Anim-top.exe situado en el directorio de instalaci´on del programa. El uso de esta aplicaci´on permite un an´alisis distinto de la evoluci´on del proceso de formaci´on de escorrent´ıa y generaci´on de caudales, dividiendo ´este en sus intervalos y pudiendo llevarse a cabo un seguimiento del mismo tambi´en a trav´es de elementos cartogr´aficos. La pantalla principal del programa introduce sus funciones b´asicas, siendo sumamente sencilla y presentando un aspecto similar al siguiente.

Las dos acciones principales de preparaci´on de datos a las que se puede acceder desde dicha ventana son la introducci´on de un MDT y la de una malla con valores del ´ındice topogr´afico, a llevar a cabo en dicho orden. Una vez quedan definidos dichos datos, se puede emplear un fichero de simulaci´on generado seg´ un se explic´o en el punto anterior, para seguir la evoluci´on del mismo sobre la cartograf´ıa especificada. Comenzando con la introducci´on de las mallas, un detalle importante es el formato en que el programa admite ´estas, no siendo ´este en absoluto estandar, por lo que deber´a ser el lector el que deba llevar a cabo la adaptaci´on, sencilla por otra parte, a dicho formato. Tambi´en en el caso de los fichero de entrada en TOPSIMPL, ´estos deb´ıan encontrarse en un formato concreto, aunque la presencia de archivos de ejemplo hac´ıa entonces innecesaria la creaci´on de los mismos, la cual deber´a afrontar el lector — tambi´en es ello sencillo — tan s´olo si desea analizar unos datos particulares m´as all´a de los empleados para presentar el manejo gen´erico de la aplicaci´on. El formato de mallas de datos compatible con Visual TOPSIMPL es muy similar al formato ASCII GRID de ESRI, presentando tan s´olo diferencias en la cabecera. Los campos de este u ´ltimo — ve´ase la p´agina 29 para detalles — deben ser sustituidos simplemente por el n´ umero de columnas, n´ umero de filas, y tama˜ no de celda, sin necesidad de datos de georeferenciaci´on. Para el MDT que venimos usando, ´este contendr´ıa lo siguiente. 445 586 90 El resto del archivo, los datos de elevaci´on como tales, son por completo id´enticos en su formato. La modificaci´on anterior puede hacerse de forma muy simple mediante el uso de un editor de texto ASCII tal como el bloc de notas de Windows, por ejemplo. La extensi´on del fichero debe renombrarse a .dtm en el caso del MDT y a .it en el caso de la malla de ´ındice topogr´afico.

A.5. ANIM–TOP.EXE

329

Una vez preparados los ficheros — no s´olo el MDT sino tambi´en el que contiene la malla de ´ındice topogr´afico, que coincidir´a en su cabecera — ´estos deben introducirse en el programa. Comenzando con el MDT, ´este se incorpor´a a Visual TOPSIMPL seleccionando el bot´on Input a new DTM. Selecci´one en el cuadro de di´alogo que el programa le mostrar´a el fichero que contenga el MDT en el formato ya explicado. A continuaci´on, el programa le mostrar´ a un nuevo cuadro para que incluya un nombre identificativo del fichero.

Una vez haya especificado el mismo, haga clic en OK. Una u ´ltima ventana le aparecer´ a, en la cual podr´a incluir un valor para las celdas sin datos — el cual, recuerde, ya no se encontraba en la cabecera del fichero —.

Con estos datos, Visual TOPSIMPL procesa el MDT mostrando una ventana de progreso mientras ello tiene lugar.

Para el caso de la malla de ´ındice topogr´afico, seleccione en la ventana principal el bot´ on Input a new Topographic Index map. A continuaci´on, en la ventana que el programa le mostrar´a, seleccione el MDT al que se asocia dicha malla, y que en este caso deber´a escoger de una lista en la cual encontrar´a el nombre que asign´o al MDT correspondiente cuando ´este fue procesado en el paso anterior. Seleccionelo, pulse OK y seguidamente especifique el fichero que contiene la malla de ´ındice topogr´afico en la caja de di´alogo que el programa le mostrar´a. Al igual que en el caso anterior, Visual TOPSIMPL comenzar´a a procesar los datos indicados, reflejando su progreso en una peque˜ na ventana dispuesta a tal efecto. Una vez el proceso concluye, ya se est´a en condiciones de consultar los datos de una simulaci´on sobre las mallas previamente incluidas. En la ventana principal seleccione Event story. Volver´a a ver la lista de MDTs que han sido incorporados al programa, reconociendo de nuevo el que usted proces´o mediante el nombre que adjudic´o al mismo. Selecci´onelo y pulse OK. Ver´a una pantalla como la siguiente.

330

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Con los elementos de la barra de botones situada en la parte superior, podr´a hacer avanzar la simulaci´on a lo largo de los instantes considerados, pudiendo regular la velocidad de progresi´on entre los mismos con el indicador de tiempo situado en la parte derecha de dicha barra. A medida que la simulaci´on avanza, pueden observarse los valores de precipitaci´on y escorrent´ıa, as´ı como los de caudal obtenido y registrado, del mismo modelo que ya ocurr´ıa en el caso de TOPSIMPL, aunque aqu´ı de forma din´amica.

Por u ´ltimo, y de forma destacable, la vista de mapa situada en la parte derecha va reflejando los cambios en el ´area activa de la cuenca, se˜ nalandose en tonalidad azul aquellas celdas que se encuentran saturadas y producen escorrent´ıa, tal y como se muestra bajo estas l´ıneas

A.5. ANIM–TOP.EXE

331

332

´ ´ APENDICE A. HERRAMIENTAS INFORMATICAS

Ap´ endice B

Algunas ideas sobre contaminaci´ on y calidad de aguas In wine there is wisdom, in beer there is strength, in water there is bacteria. David Auerbach

B.1.

Introducci´ on

Lejos de formar parte importante de los modelos de calidad de agua como tales, el empleo de MDTs puede, no obstante, y en virtud de su mayor potencia para la definici´on de flujos con respecto a la cartograf´ıa cl´asica, aporta informaci´on de gran inter´es para algunos aspectos relacionados con procesos de contaminaci´on y similares. Una vez m´as, el conocimiento de las direcciones de flujo es el elemento principal del an´alisis a desarrollar, y sobre la base ya adquirida respecto a dicho elemento pueden elaborarse algunos desarrollos de inter´es dentro del campo de la calidad de aguas y el transporte de contaminantes. El objeto de este breve ap´endice no es otro que poner de manifiesto la relaci´on entre par´ametros ya conocidos extra´ıdos del MDT y dicho transporte, del mismo modo en que ´estos par´ametros ya fueron asociados al propio movimiento del agua o al desplazamiento de sedimentos en los cap´ıtulos correspondientes. La exposici´on de algunas ideas gen´ericas servir´a para enfocar el trabajo en este ´ambito, mostrando as´ı que tambi´en aqu´ı el MDT y el an´alisis del terreno que ´este representa son de utilidad.

B.2.

Desplazamiento de contaminantes a partir de direcciones de flujo

El aprovechamiento del conocimiento detallado de las direcciones de flujo de cara a la difusi´on de elementos contaminantes puede llevar a cabo desde dos perspectivas. Por una parte, dada una celda o un conjunto de ellas en las que se presenta un elemento contaminante, estudiar hacia qu´e otras celdas dicho elemento puede desplazarse a trav´es de los flujos que tienen lugar sobre el terreno. Por otra parte, de modo inverso, dada una celda, conocer qu´e otras celdas tienen influencia sobre ´esta y podr´ıan aportar elementos contaminantes sobre ella. Es sencillo ver que estos an´alisis se corresponden con la delineaci´on del cauce aguas abajo de un punto o el c´alculo de la cuenca vertiente aguas arriba de otro, tareas ya con profusi´ on detalladas en cap´ıtulos precedentes. No obstante, algunas precisiones al respecto servir´an para delimitar con m´as exactitud la utilizaci´on de las t´ecnicas ya conocidas en este sentido, e intentar a˜ nadir algunos componentes adicionales a las mismas. 333

334

´ APENDICE B. CALIDAD DE AGUAS

Primeramente, debe apuntarse la perdida de inter´es que m´etodos tales como el D8 o KRA sufren en favor de algoritmos de tipo MFD, pues resulta claro que la modelizaci´on de la difusi´on del flujo es un aspecto relevante de cara a modelizar la difusi´on propia que los agentes contaminantes pueden sufrir. Tanto si el an´alisis se lleva a cabo hacia aguas arriba como si lo es hacia aguas arriba, m´etodos como el FD8 o el D∞ se demuestran de mayor inter´es para esta tarea. Aprovechando las formulaciones propias de estos m´etodo se puede calcular no s´olo aquellas celdas hacia las que puede desplazarse un contaminante, sino tambi´en la proporci´on en la que lo har´a, considerando la difusi´on del flujo y las fracciones del mismo asignadas a cada celda de las situadas aguas abajo. Iguales puntualizaciones pueden hacerse para el estudio hacia aguas arriba, donde los conceptos ya desarrollados en su momento pueden aplicarse de id´entico modo en este caso.

B.3.

Otros par´ ametros y su relaci´ on con el movimiento de contaminantes

La similar condici´on que tanto los flujos l´ıquidos como los solidos, al igual que los relacionados con elementos contaminantes, presentan en cuanto a su movimiento, permite establecer un paralelismo gen´erico que dota de nuevas interpretaciones a algunos elementos ya conocidos. Sin ir m´as lejos, la tendencia a la acumulaci´on que se refleja en el ´ındice topogr´afico tambi´en se puede traducir en una acumulaci´on de nutrientes o elementos contaminantes, sirviendo as´ı, en una primera aproximaci´on, para localizar areas de potencial concentraci´on de dichos elementos. Igualmente, par´ametros como los tiempos de salida se pueden emplear para obtener una estimaci´on del tiempo de difusi´on de un contaminante vertido en una fuente puntual, evaluando el tiempo que tardar´a en llegar a las celdas situadas abajo, y pudiendo establecerse prioridades a este respecto en funci´on del mismo. M´ as a´ un, para aquellos contaminantes vol´atiles o con una vida dada, dicho tiempo puede emplearse para evaluar la variaci´on de concentraci´on del mismo en los distintos puntos a los que va a difundirse. Un planteamiento algo m´as detallado para este hecho se desarrollar´a, no obstante, en el siguiente apartado. Por otra parte, algunos elementos no dependen exclusivamente del terreno exclusivamente en lo que respecta al movimiento a trav´es del mismo, sino que su presencia viene condicionada por su formaci´on ((in situ)), encontr´andose ´esta condicionada en mayor o menor medida por la topograf´ıa. En este sentido, pueden relacionarse la probabilidad de ocurrencia de estos procesos con ´ındices tales como los ´ındices de humedad topogr´afica, entre otros, o bien desarrollando nuevos par´ametros en funci´on del tipo de condici´on f´ısica que deba presentar el terreno para favorecer cada clase de fen´omeno.

B.4.

Modificaciones particulares para el transporte de contaminantes

Pese a las similitudes establecidas en el punto anterior, las cuales simplemente hacen ver la posibilidad de extender la aplicaci´on de los m´etodos y par´ametros ya conocidos en el nuevo campo en el que ahora nos encontramos, las caracter´ısticas propias de ´este nos permiten algunas adaptaciones sencillas que llevan un poco m´as all´a dicha extensi´on en la utilidad de los conceptos b´asicos tales como las direcciones de flujo o las ´areas acumuladas. Una de tales adaptaciones es la incorporaci´on de funciones que consideren la variaci´on del contaminante en su recorrido, evalu´andose las perdidas sufridas — de concentraci´on, por

B.4. MODIFICACIONES PARTICULARES

335

ejemplo — y la contaminaci´on efectiva que finalmente alcanza cada una de las celdas aguas abajo. Considerando una masa determinada m de contaminante sobre una celda dada, la masa que llega a cada una de las celdas inmediatamente aguas abajo de la anterior puede expresarse de la forma m = m0 · p · D

(B.1)

donde p representa la fracci´on de flujo que llega a dicha celda aguas abajo y D es un factor que expresa la masa restante una vez se consideran las perdidas que tienen lugar en el desplazamiento. Este factor D no debe necesariamente ser constante, pudiendo variar para cada celda. En particular, si se conocen los tiempos de paso a trav´es de las distintas celdas, se puede establecer el valor de D seg´ un la expresi´on (Tarboton, 2003) D = eλt

(B.2)

No debe olvidarse que los tiempos de paso por una celda, al contrario que el tiempo de salida de la misma, no son una caracter´ıstica propia de la celda, sino que depende del recorrido en que se atraviese ´esta, seg´ un se expres´o en su momento en la secci´on (4.3.3). Por ello, el valor de D calculado seg´ un la anterior expresi´on es propio de cada movimiento entre celdas, no de la celda en s´ı. Tanto si existe una unica fuente, como si se tienen varias celdas donde se incorporan los elementos contaminantes, y suponiendo un abastecimiento ilimitado en el tiempo de dicho contaminante, puede crearse una malla con la carga total que llega a cada celda c mediante la expresi´on mi,j =

N X

m(n)p(c, n)D(c, n)

n=1

siendo N el n´ umero de celdas vecinas que vierten sobre la celda c.

(B.3)

336

´ APENDICE B. CALIDAD DE AGUAS

Acerca de la bibliograf´ıa

La bibliograf´ıa presentada incluye m´as referencias de las estrictamente citadas en el texto, con la esperanza de servir de guia hacia terrenos no visitados desde estas p´aginas, los cuales, por acotar pertinentemente la tem´atica y magnitud conceptual del texto, he debido dejar sin tratar o tan s´olo tratar superficialmente. Estas referencias, acerca de temas tales como, por ejemplo, el an´alisis del terreno basado en TINs, creo que pueden constituir un buen punto para continuar el estudio m´as all´ a be esta obra o complementar eficazmente el contenido de la misma. Unas pocas referencias, en especial aquellas que considero de mayor importancia tanto desde el punto de vista de la inclusi´on de sus resultados en el texto como por su relevancia con car´acter global en el propio desarrollo de la hidrolog´ıa computacional y el an´alisis digital del terreno, se acompa˜ nan de breves comentarios con objeto de profundizar levemente en su contenido y, de modo paralelo, hacer algo m´as ameno un elemento tan ((frio)) — y, sin duda, tedioso de crear — como una bibliograf´ıa. Por u ´ltimo, se indican en algunos casos los enlaces a las paginas web de los autores u otras relacionadas, en las que puedan descargarse los correspondientes art´ıculos, facilit´andose de este modo la obtenci´on de los mismos.

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339

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Knowledge is of two kinds. We know a subject ourselves, or we know where we can find information on it. SAMUEL JOHNSON

´Indice de figuras 1.

Representaci´ on esquem´ atica de la materia a tratar en este libro desde el punto de vista de la hidrolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv

2.1. Representaci´ on del relieve mediante redes de tri´angulos irregulares (TIN) (Adaptado de Mitasova). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Esquema de una malla irregular de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Representaci´ on num´erica y en escala de grises de una porci´on de un Modelo Digital del Terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Superficie obtenida mediante interpolaci´ on con ponderaci´on por distancia inversa (Adaptado de Mitasova). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Superficie obtenida mediante interpolaci´ on por Kriging (Adaptado de Mitasova). . . . . 2.6. Superficie obtenida mediante interpolaci´ on con curvas adaptativas (Splines) (Adaptado de Mitasova). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Curvas de nivel originales(a), interpolaci´ on con sistema no indeterminado(b) y con sistema

indeterminado empleando coeficiente c = 1 (c) y c = 10 (d) (tomado de Randolph, 2000) 2.8. Cambio de resoluci´ on realizado aplicando interpolaci´on bic´ ubica. . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Cambio de resoluci´ on de una imagen a´erea para homogeneizar ´esta con el MDT de la misma zona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Representaci´ on del MDT en escala de grises (izquierda) y relieve sombreado(derecha).

21 23 24 34 35 36 38 39 42

Las tonalidades m´ as claras en el primero de ellos representan valores de elevacion mayores. 43 2.11. Esquema del desplazamiento de una submalla 3 × 3 para el an´ alisis completo de la malla del MDT mediante el estudio local de sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Mapa de pendientes. Las tonalidades m´ as claras indican pendientes mayores. . . . . . . . 2.13. Mapa de orientaciones. El rango de variaci´ on va desde los 0o (negro) hasta los 360o (blanco). 2.14. Mapas de curvatura horizontal (derecha) y vertical (izquierda). Las zonas claras representan concavidad, mientras que las de tonalidad oscura indican convexidad. . . . . . . . 2.15. Caracterizaci´ on de procesos de acumulaci´on seg´ un los valores de las curvaturas horizontal y vertical asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Propagaci´ on de errores de direcci´on en el modelo D8.La flecha se˜ nala la direcci´on real de la pendiente y las celdas sombreadas la direcci´on de flujo calculada . . . . . . . . . . . . . 2.17. L´ıneas paralelas de flujo como resultado de la aplicaci´ on del modelo D8 . . . . . . . . . . 2.18. C´ alculo de direcciones y reparto de flujo sobre facetas triangulares en el modelo DD∞ . 2.19. Comparativa entre flujos calculados mediante KRA (trazo fino) y D8 (trazo grueso) . . . 2.20. C´ alculo de direcci´ on de flujo seg´ un Kinematic Routing Algorithm (KRA) (Lea, 1992), como suma vectorial de m´ aximas pendientes no diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21. C´ alculo de la malla de flujo para el flujo generado en una celda dada (en negro), seg´ un

el modelo DEMON. Las zonas en gris indican el trazado del tubo de flujo generado. Los porcentajes de flujo en cada celda se recogen en la malla de la derecha. . . . . . . . . . . 2.22. C´ alculo de direcci´ on de flujo sobre una celda llana (en trazo grueso) como suma vectorial de las direcciones de las celdas que vierten sobre la misma (en trazo fino). . . . . . . . . . 2.23. Definici´ on de un eje principal de la zona plana entre los puntos extremos (1) y(2), seg´ un (Tribe,1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24. C´ alculo de direcci´ ones de flujo sobre zonas llanas seg´ un Jenson y Domingue (1988). La malla de la izquierda representa las alturas del MDT, donde se aprecia la zona llana de elevaci´ on 1 (en gris). Las mallas sucesivas presentan las etapas del proceso iterativo de asignaci´ on de direcciones de flujo a partir del punto de salida existente. . . . . . . . . . .

359

47 49 53 58 60 64 65 71 72 73

76 79 80

81

2.25. Modificaci´ on del MDT para el c´ alculo de direcci´ones de flujo sobre zonas llanas seg´ un

Garbrecht y Martz. De iquierda a derecha y de arriba a abajo: Elevaciones originales, modificaci´ on de elevaciones seg´ un los dos supuestos considerados y elevaciones finales resultantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.26. Causas posibles a considerar como implicadas en la aparici´ on de depresiones err´oneas en el MDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.27. De derecha a izquierda, elevaciones originales, eliminaci´ on de la depresi´on usando llenado y eliminaci´ on de la depresi´ on mediante llenado y modificaci´on de celdas obst´aculo. En negro, celda de desag¨ ue. En gris, celdas modificadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.28. Eliminaci´ on de depresiones seg´ un Planchon (2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.29. Representaci´ on de flujo acumulado sobre un cono circular, seg´ un los principales algoritmos de asignaci´ on de direcciones de flujo (adaptado de (Conrad, 1998)) . . . . . . . . . . . . . 105 2.30. Representaci´ on de una malla de flujo acumulado con escala lineal (izquierda) y logar´ıtmica (derecha). Se ve con facilidad la mayor utilidad de esta u ´ltima para este tipo de par´ametro 105 2.31. Trazado de flujo alrededor de un lago, seg´ un Liang y Mackay. (Tomado de Liang y Mackay, 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.32. Mapa de ´ındice topogr´ afico. Las tonalidades m´as claras indican valores mayores. . . . . . 108 2.33. Mapa de potencia de cauce. Las tonalidades m´ as claras indican valores mayores. La representaci´ on de este mapa, al igual que el de ´area acumulada, se realiza preferentemente con escala de tipo logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.34. Mapa de pendiente media aguas arriba. Las tonalidades m´ as claras indican valores mayores. 110 2.35. Valores de relieve relativo(izquierda) y clasificaci´ on de los mismos en clases (derecha). . 112 3.1. Trazado de flujo aguas abajo de un punto dado por las metodolog´ıas del D8 y FD8. La flecha ´ındica la direcci´ on de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2. Redes de drenaje extra´ıdas para valores de umbral de 5000 ha (izquierda) y 1 ha (derecha) 125 3.3. Estimaci´ on de umbral de flujo acumulado en funci´on de la relacion entre ´area aportante y pendiente en cada celda, seg´ un Tarboton et al (1991) (Adaptado de Bertolo (2000). . . 126 3.4. Identificaci´ on de celdas de valle seg´ un Peucker y Douglas (1975). En cada pasada se

se˜ nala la celda m´ as elevada de cada cuatro. Las celdas no se˜ naladas al final del proceso constituyen las celdas de valle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Mapa de celdas de valle, elaborado segun Peucker y Douglas (1975). Las celdas en negro representan celdas de valle. El c´ alculo del ´area aportante se lleva a cabo empleando u ´nicamente las celdas en blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Codificaci´ on de un grafo de tipo ´ arbol para su almacenamiento. . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Mapa de ordenes de Strahler. N´ otese la similitud con el de flujo acumulado, aunque en este caso la representaci´ on esta realizada con escala l´ıneal y los valores se disponene u ´nicamente en el rango 1 − 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Evoluci´ on del ´ area acumulada a lo largo del cauce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Explicaci´ on gr´ afica del significado de la dimensi´on de Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Forma de proceder en la aplicaci´ on del metodo box-counting para el c´alculo de la dimensi´on fractal de una red de drenaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Ajuste de una recta sobre los pares de valores (log(Si ), log(Ni )). La pendiente de dicha recta es la dimensi´ on fractal buscada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Comparaci´ on entre la cuenca delimitada mediante la aplicaci´on del m´etodo D8 (derecha) y el FD8 (izquierda) para un mismo punto de cierre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Fuentes de error en la extracci´ on de cuencas vertiente mediante algoritmos recursivo en zonas con depresiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Subcuencas establecidas sobre las confluencias con el cauce principal (izquierda) y sobre

4.4. 4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

las confluencias entre cauces cualesquiera (derecha). En la fila inferior, esquema funcional de la cuenca en su conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuenca vertiente y su elipse equivalente asociada (Adaptado de Moussa, 2003). . . . . . Funci´on ancho de cuenca a partir de distancias topol´ ogicas (Adaptado de Bras,1990) . . Cuenca original y modificada para variar la distribuci´on de tiempos de salida. La respuesta y comportamiento hidrol´ ogico de ambas es distinto, pese a compartir valores de otros par´ametros de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variaci´on en las distribuciones de frecuencias de los tiempos de salida al modificar internamente la cuenca. A la izquierda, cuenca original. A la derecha, cuenca modificada. . . Representaci´ on de una malla de distancias de salida. Los tonos m´as claros representan distancias mayores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

130 133

137 139 141 142 143

148 149

156 168 169

171 172 174

4.9. Representaci´ on de una malla de tiempos de salida con velocidad variable. Los tonos m´as claros representan tiempos mayores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Representaci´ on de una malla de distancias a cabecera. Las tonalidades claras indican mayor distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Balance h´ıdrico en una celda dada dentro de un modelo distribuido b´ asico. . . . . . . . . 5.2. Estructura b´ asica de un modelo hidrol´ogico distribuido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Caracterizaci´ on de cada celda como una unidad independiente desde el punto de vista

178 181 189 189

de sus caracter´ısticas f´ısicas. La base para el desarrollo de modelos distribuidos reside fuertemente en esta consideraci´on (Adaptado de Wigmosta) . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4. Estructura conceptual del modelo TOPMODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.5. Esquema de la utilizaci´ on e incorporaci´on de Modelos Digitales del Terreno en los diferentes elementos que forman parte de un proceso de modelizaci´on hidrol´ogica gen´erico. . 202 6.1. Estructura multicapa del MDP asociado a un evento. Extracci´ on del hietograma asociado a un punto a partir de los valores contenidos en ´este. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Mapa de intensidad de precipitaci´ on en una hora, obtenido a partir de radar. Las distintas intensidades se representan mediante tonalidades de gris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. creaci´ on de pol´ıgonos de Thiessen sobre una base raster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Ponderaci´ on de hietogramas mediante ponderaci´on directa de cada intervalo. El resultado no se ajusta a la interpretaci´ on l´ogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Ponderaci´ on de hietogramas considerando retardos. El resultado se corresponde con la interpretaci´ on l´ ogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Secuencia de etapas en la creaci´ on del MDP a partir de hietogramas puntuales (a) o datos estad´ısticos puntuales para la creaci´on de tormentas de dise˜ no (b). . . . . . . . . . . . . . 6.7. Zonas en sombra (a) frente a zonas bajo insolaci´ on (b), por comparaci´on entre el perfil del terreno y la l´ınea de visi´ on entre la celda problema y el sol. . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Determinaci´ on de celdas a considerar en el perfil del terreno seg´ un la posici´on del sol determinada por su ´ angulo azimutal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Esquema conceptual del modelo MIKE–SHE (Adaptada de DHI, 1985). . . . . . . . . . . 7.1. Relaci´ on entre LAI y NDVI. Las curvas delimitan el intervalo de confianza del 95 % (adaptado de (Wylie et al, 2000)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Creaci´ on de malla de N´ umeros de Curva adaptados en base a mallas de N´ umeros de Curva e ´Indice Topogr´ afico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Errores en la estimaci´ on de la precipitaci´on efectiva aportada por cada celda al hidrogra-

7.4. 7.5. 7.6. 7.7.

ma, al suponer dicha celda como unidad aislada en la aplicaci´on del m´etodo del N´ umero de Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaci´ on visual entre el esquema de funcionamiento de un modelo de escorrentia sencillo como el N´ umero de Curva y uno complejo de base f´ısica. . . . . . . . . . . . . . . Esquema de funcionamiento del modelo LISFLOOD (DeRoo). . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de zonas y procesos en el modelo TOPMODEL (Beven y Kirby, 1979). . . . . . Variaci´ on del ´ area contribuyente (en negro) a medida que se modifica el umbral de saturaci´ on en funci´ on del ´ındice topogr´afico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 208 213 214 215 216 223 224 227

234 242

243 245 246 247 249

8.1. Representaci´ on de una malla de caudales promedio, supuesta una escorrent´ıa instantanea (T = 0) de 1 mm en cada celda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.2. Hidrograma de tipo cuadrado resultante de la suposici´ on de caudal constante. . . . . . . 265 8.3. Desplazamiento de los hidrogramas generados en cada celda en funci´ on del tiempo de salida ts de la misma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.4. Conducci´ on del hidrograma en cada celda aplicando el modelo de embalses lineales en serie. 267 8.5. Creaci´ on de un hidrograma unitario a partir del histograma de tiempos de salida. . . . . 270 8.6. Representaci´ on esquem´ atica de un metodo combinado. El an´alisis distribuido de las uni-

dades hidrol´ ogicas (izquierda), se emplea para, con los datos obtenidos, utilizar posteriormente un modelo agregado(derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.7. Mapa de ordenes de celda. Las celdas con tonalidades mas claras se procesan con posterioridad a las de tonalidad oscura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.1. Mapa de factor LS calculado empleando ´ area aportante espec´ıfica en lugar de longitud de pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Mapa de erosi´ on deposici´ on seg´ un la USPED. Las tonalidades claras indican erosi´on y las oscuras deposici´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288 291

9.3. Mapa de balance neto de potencia de cauce. Las tonalidad des blancas indican deposici´ on potencial, mientas que las negras se˜ nalan erosi´on potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Sustituci´ on de las profundidades verticales de suelo y lamina de agua por profundidades perpendiculares al terreno en el modelo SINMAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Valores de ´ındice de estabilidad en el modelo SINMAP en funci´ on de ´area y pendiente (adaptado de (Pack, 1998)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Evoluci´ on de la morfolog´ıa fluvial — en este caso, la evoluci´on de un meandro — simulada

293 297 298

mediante la aplicaci´ on del modelo CCHE2D (Wu y Vieira, 2002). Las distintas tonalidades de gris indican la elevaci´ on del lecho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

´Indice alfab´ etico Curvas de nivel, 17, 18, 20–22, 33 Curvaturas, 55, 58, 59 acumulada, 60 horizontal, 57, 59 vertical, 56, 57, 59

O(n), 74 O(n2 ), 91 O(n1,2 ), 91 O(n3/2 ), 74 Al–Smadi, 176 Algoritmo de Bresenham, 223 Ames, 129 Ancho de cuenca, 135, 168, 169 ArcHydro, 12 ArcInfo, 15, 16 GRID, 16 ArcView, 12, 13, 298 Area aportante espec´ıfica, 107, 108, 128, 287, 288, 290, 292 Area contribuyente variable, 249, 279, 328 Aristas externas, 133 ARM, 7 Asante, 251 ASCII GRID, 28, 306, 328 Autosemejanza, 140, 141

D∞, 103, 334 D8, 62, 64–69, 71–74, 76–78, 96, 97, 101, 103, 104, 107, 118, 119, 135, 147, 148, 157, 173, 176, 273, 313, 334 DEMON, 74, 104, 107, 119, 149 Deposici´ on, 286, 288, 290, 292–294, 299 Depresiones, 34–36, 81, 84–88, 90, 91, 93, 105, 106, 149, 150, 311, 313 Dietrich, 127 DiGem, 304 Dimensi´ on de Hausdorff, 141 fractal, 140, 141, 144 topol´ ogica, 141, 142 Dimension fractal, 142 Dirichlet, 212 Distancia euclidea, 135 topol´ ogica, 168 topol´ ogica, 135 Domingue, 81

Balance neto en celda, 294 Beat, 316 bertolo, 340 Beven, 12 Bits, 32 Bonham–Carter, 9 Bosque Sendra, 52 Box–counting, 142, 143 Bras, 168 Burrough, 18, 19

Ecuaci´ on de continuidad, 275 Einstein, 295 Elipse equivalente, 163, 166, 260 Elongaci´ on media de cuenca, 163 Encauzamiento forzado, 119 Enfoque raster, 19 Enfoque Vectorial, 19 EPA, 7 Erosi´ on, 14, 15, 48, 58, 282, 299 en regueros, 287 laminar, 287 patrones, 283 ERU, 196 ESRI, 28, 306, 309, 328 Estes, 9 EUROSEM, 14, 15 Evans, 46 Evapotranspiraci´ on, 226, 247 Experimental Cartography Unit, 9

CALFORM, 10 Carga de lavado, 295 Carga total de fondo, 295 CASC2D, 13 Caudal promedio, 253, 270 Caudales punta potenciales, 252 CCHE1D, 299 CCHE2D, 299 CCHE3D, 299 Celda de desag¨ ue, 87 Chow, 251 Clark, 341 Colby, 295 Collins, 222 Constante de almacenamiento, 267 Convoluci´ on, 256 Conway, 46 Crawford, 7 cressie, 342

F´ ormula de California, 175 Faceta, 217 Factor C, 25, 42

363

Factor de convergencia, 68, 313 Factor LS, 314 Fairfield, 65 Fall, 237, 238 FD8, 68–71, 103, 118, 148, 313, 334 Felicisimo, 225 Fortin, 12 Foster, 287 Fracci´ on de Cabida Cubierta, 233 Gallant, 15 Garbrecht, 15, 81, 86 Georreferenciaci´ on, 26 GIMP, 171 GIS, 15 Gousie, 36 Gradiente adiab´ atico del aire, 222 Grafo, 168 Grafo ac´ıclico conexo, 132 GRASS, 13, 15, 16 Green–Ampt, 246 GRID, 10, 15 Gumbel, 216 Hargreaves, 227 Harvard Laboratory, 9 Heart, 200, 201, 304, 316 HEC, 7 HEC–1, 8, 200, 255 HEC–5, 8 HEC–6, 8 HEC–GeoHMS, 12 HEC–GeoRAS, 12 HEC–HMS, 12, 200, 268 HEC–RAS, 8, 12 Hidrograma adimensional, 265 unitario, 255, 256, 259 unitario Clark, 269 Unitario Geomorfol´ ogico Instantaneo, 259, 260 Unitario Instantaneo, 259 unitario sint´etico, 257 unitario Snyder, 258 unitario triangular, 265 unitario triangular SCS, 257, 258 Hojas, 133, 135 Horton, 119, 122 HRU, 196 HSP, 7 HSPF, 7, 12 HTML, 319 Hydrotel, 12 IDW, 34, 211 IHDM, 12 Im´ agenes de radar, 208 aereas, 24, 28, 41, 42, 192, 233, 235 de radar, 209, 216 digitales, 47 Im´ agenes digitales, 40 Indice de compacidad de Gravelius, 163, 165

Indice de estabilidad, 296, 297 Indice de potencia de cauce, 108, 139, 292 Indice de radiaci´ on, 225, 236 Indice topogr´ afico, 107, 195–199, 236, 248, 292, 314, 328, 334 Indice topogr´ afico de humedad, 237, 241, 297 Indice topogr´ afico de humedad relativa, 238 INM, 316 Interpolaci´ on Bic´ ubica, 40 Bilineal, 39 de Lagrange, 45 por distancia inversa, 310 por vecindad, 310 volum´etrica, 217 Isocronas, 263, 268, 273, 280 Jenson, 15, 81 Jenson y Domingue, 80 KINEROS2, 14, 15 Kirpich, 175, 178, 258 Kouwen, 12 KRA, 74, 104, 119, 149, 334 Kriging, 34, 35, 211, 218, 309 kriging, 310 L´ıneas paralelas de flujo, 67, 79, 80, 82, 87 La Barbera, 143 Lagrange, 37 LAI, 233, 234 Laursen, 295 Lenguaje C, 280 FORTRAN, 280 Leymarie, 65 Linsey, 7 LISFLOOD, 245 Longitud de apertura, 90 Lynch, 211 Maidment, 12 Mandelbrot, 142 Manning, 176, 275 Mark, 62, 86 Martz, 15, 81, 86 MDF, 313 MDP, 206, 208–211, 215, 216, 218 Meadows, 176 Media focal, 112 MFD, 68, 69, 95, 100, 103, 118, 121, 147, 149, 173, 334 MIKE–SHE, 12, 227 Mitasova, 55, 291 ModClark, 268 Modelos matem´ aticos, 6 Stanford, 7 Montgomery, 127 Moore, 287 Morgan, 237, 238 Moussa, 260

Multiple Flow Direction, 68 Muskingum, 261, 263 MUSLE, 289 N´ umero de Curva, 240, 242, 243 NDVI, 233, 234, 239 Nearest Neighbour, 39 Nodo hijo, 132 padre, 132 NPS, 7 Nucleo de Prewitt, 50 O’Callaghan, 62 Ogden, 13 Onda cinem´ atica, 275–277 Onda din´ amica, 278 Ordenes de Strahler, 128, 131, 132, 134, 135, 137 Overton, 176 OWLS, 12 Pack, 237 PCRaster, 13 Peckham, 128, 280 Pendiente, 47 Pendiente infinita modelo de, 296 Peucker, 21 Piran´ ometro, 225 Pol´ıgonos de Thiessen, 212, 213, 215, 243 Preprocesamiento del MDT, 85, 311 PRISM, 217, 222 Quinn, 68 Rasterizaci´ on, 36, 142 Raz´ on de erosi´ on neta, 288, 290 Rect´ angulo equivalente, 165 Redimensionamiento, 40 Regionalizaci´ on, 113, 195 Relaci´ on de bifurcaci´ on, 122, 143 Relieve relativo, 111, 112 Remuestreo, 40 Resoluci´ on de modificaci´ on , 82, 84 horizontal, 27, 31 modificaci´ on, 38 vertical, 32, 82 Rho8, 65–68 RIRO, 41 RiverTools, 15 Rodr´ıguez–Iturbe, 259, 260 Rosso, 143 RUSLE, 14 SAGA, 15, 304, 305, 315 Saint–Venant, 278 Sch¨ afer, 212 SCS, 257 SFD, 68, 118, 119 Shapefile, 309 SIG, 9–15

SIG–OPD, 316 Single Flow Direction, 68 SINMAP, 237, 296, 298 Smith, 284 Source–to–sink, 252, 263, 272, 278 Spline, 40 Splines, 35, 211 Star, 9 Strahler, 119 Superficie cuadr´ atica, 44 SYMVU, 10 SYNMAP, 10 t de Student, 127 Talud infinito modelo de, 296 TAPES, 15 Tarboton, 15, 129, 312, 335 TARDEM, 15 TAUDEM, 15 Teselaci´ on de Voronoi, 212 Thalweg, 235 Thornthwaite, 226, 227 Tiempo de concentraci´ on, 175, 178, 258 Tiempo de estancia, 267 Tiempo de paso, 267, 335 Tiempo de salida, 335 TIN, 21, 22, 70, 212 Tipo de perfil, 112 TOPAZ, 15 TOPMODEL, 11, 107, 196, 197, 228, 236, 237, 247, 279 TOPSIMPL, 304, 324 Tr´ ansito distribuido de avenidas, 275 Transmisividad del suelo, 248 Triangulaci´ on de Delaunay, 21, 212 Tribe, 80 Unidad de Respuesta Hidrol´ ogica, 196 USLE, 14, 25, 282–284, 286–291, 314 USPED, 288, 290, 291 Vald´es, 259 Variograma, 35 Vecindad de Moore, 46 Vecindad de Von Neumann, 46 Visual TOPSIMPL, 328, 329 Volumen de control, 251 WATFLOOD, 12 WEPP, 14 Wilson, 15, 285, 287 Wischmeier, 284 WMS, 12 World File, 28 Xinanjiang, 12 Zonas llanas, 21, 32, 54, 62, 76, 79–81, 83–85, 91, 105, 106, 127