Halliday & Resnick Fundamentals of Physics, Extended [Extended, 12 ed.] 9781119773511, 9781119801191, 9781119801269, 9781119801146, 9781119798569, 9781119773474

Citation preview

/

/

MATHEMATICAL FORMULAS* 

Quadratic Formula

Derivatives and Integrals

_______ 

√  2 

−b ±  b  − 4ac  If ax 2  + bx + c = 0, then x = _____________  2a 

d  sin x = cos x  ___ 

Binomial Theorem n(n − 1)x 2  . . .  nx + _________  ( 1 + x) n  = 1 + ___  +  1!  2! 

x 

→  →  →  a ⋅  b =  b ⋅  →  a = a  b  + a  b  + a  b  = ab cos θ z  z 

|  | 



dx  = ln(x +  _________  _______ 



x dx  = − __________  1  __________ 



dx  x  __________  = ____________ 

√ x 2  + a 2 

(x 2  + a 2 ) 3/2  (x 2  + a 2 ) 3/2 

a 2 ( x 2  + a 2 ) 1/2 

Cramer’s Rule

b x  b y  b z 

Two simultaneous equations in unknowns x and y,  a 1 x + b 1 y = c 1  and  a 2 x + b 2 y = c 2 , 

a y  a z  a x  a y  a x  a z  ˆ  ˆ  = i  − ˆ j  + k  b y  b z  b x  b z  b x  b y 

|  |  |  |  |  | 

have the solutions 

|c   b  | = c  b  − c  b  x =  a  b  a  b  − a  b  | a  b | 

ˆ    ˆ  = (a y b z  − b y a z ) i + (a  z b x  − b z a x ) ˆj + (a  x b y  − b x a y ) k 

c 1  b 1 

2  2  _______ 

  →  | → a ×  b | = ab sin θ

Trigonometric Identities

α + β

1 

1 

2 

2 

1  2  2  1  __________  1  2 

2  1 

and  a 1  c 1 

| 

1  1  _  sin α ± sin β = 2 sin _  2 (α ± β) cos 2 (α ∓ β) 

cos α + cos  β

x 2  + a 2 ) 

( x 2  + a 2 ) 1/2 

ˆ i  ˆ j  k  ˆ  →  →  →  a  a  a  →  a ×  b = − b  ×  a =  x  y  z 

1  = 2 cos  _  ( 2 

x 

 e   dx = e 

dx 

→  Let θ be the smaller of the two angles between →  a and  b .   Then  y  y 

 cos x dx = sin x 

d  e x  = e x  ___ 

(x 2   0)  in seconds. (a) What is  the acceleration  when t  =  3.0 s?  (b)  When  (if  ever)  is  the  acceleration  zero?  (c) When (if ever) is the velocity zero? (d) When (if ever) does  the speed equal 10 m/s?  16  M 

CALC 

GO 

→

→

→

A cart is propelled over an xy plane with acceleration com-  ponents a x  = 4.0 m/s 2  and a y  = ‒2.0 m/s 2 .  Its  initial velocity has  components v 0x  = 8.0 m/s  and v 0y  = 12 m/s.  In  unit-vector nota-  tion, what is the velocity of the cart when it reaches its greatest y  coordinate?  17  M 

M  A moderate  wind accelerates  a  pebble over  a  horizon-  tal  xy  plane  with  a  constant acceleration  a  =  (5.00  m / s 2 ) ˆ  i  +  (7.00 m / s2    ) ˆ  j. At time t = 0, the velocity is (4.00 m/s) ˆ  i. What are  the (a) magnitude and (b) angle of its velocity when it has been  displaced by 12.0 m parallel to the x axis? 

18 

→

CALC  The acceleration of a particle moving only on a hori-  zontal xy plane is given by a  = 3t ˆ  i + 4t ˆ  j, where a  is in meters per  second-squared and t is  in seconds. At t  = 0, the position vec-  tor  r  = (20.0 m) ˆ  i + (40.0 m) ˆ  j locates the particle, which then has  the velocity vector  v  = (5.00 m / s) ˆ  i + (2.00 m / s) ˆ  j. At t = 4.00 s,  what are  (a)  its position vector in unit-vector notation and (b)  the angle between its direction of travel and the positive direc-  tion of the x axis?  →

H  GO  In  Fig. 4.12, particle  A moves along the line y = 30 m  with  a  constant  velocity  v  of  magnitude  3.0 m/s  and  paral-  lel to the x axis. At the instant  particle  A  passes  the  y  axis,  particle  B  leaves  the  origin  with a  zero  initial speed  and  a  constant acceleration a  of mag-  nitude  0.40 m/s 2 .  What  angle  θ between  a  and  the  positive  direction  of  the  y  axis  would  result in a collision? 

20 

(s)

Average Acceleration and Instantaneous 

GO 

→

→

→

θ

CALC 

→

→

→

The position  r  of  a particle moving in an  xy  plane is given by  r  = (2.00 t 3  − 5.00t) ˆ  i + (6.00 − 7.00t 4 ) ˆ  j, with r  in  meters and t in seconds. In unit-vector notation, calculate (a)  r ,  (b)  v , and (c)  a  for t = 2.00 s. (d) What is the angle between the  positive direction of the x axis and a line tangent to the particle’s  path at t = 2.00 s?  E 

→

→

20° 

Acceleration  11 

CALC  SSM  A particle moves so that its position (in meters)  as  a  function of time (in  seconds)  is  r  =  ˆ  i  +  4 t 2 ˆj   +  t k̂.    Write  expressions for (a)  its velocity and (b) its acceleration as functions  of time.  ̂ ˆ  ˆ  14  E  A proton initially has  v  = 4.0  i − 2.0  j + 3.0k  and then 4.0 s  ̂ later  has  v  =  −2.0 ˆ  i  −  2.0 ˆ  j  +  5.0k  (in  meters  per  second).  For  that 4.0 s, what are (a)  the proton’s average acceleration  a avg  in  unit-vector notation, (b) the magnitude of a avg , and (c) the angle  between a avg  and the positive direction of the x axis? 

13  E 

19  H 

→

Module 4.3 

At one instant a bicyclist is 40.0 m due east of a park’s flag-  pole, going due south with a speed of 10.0 m/s. Then 30.0 s later,  the cyclist is 40.0 m due north of the flagpole, going due east with  a  speed of 10.0 m/s. For the cyclist  in  this 30.0 s  interval, what  are  the  (a)  magnitude and  (b)  direction  of  the  displacement,  the (c) magnitude and (d) direction of the average velocity, and  the (e) magnitude and (f) direction of the average acceleration?  12  E 

→

y

v 

A

θ

→

a

→

x

B

Figure  4.12 

Problem 20. 

/

92

C HAP T ER 4  MOT ION  IN  T WO  AND  T HREE  D IMENSIONS 

Module 4.4 

Projectile Motion 

A  dart  is  thrown  horizontally  with  an  initial  speed  of  10 m/s toward point P, the bull’s-eye on a dart board. It hits at  point Q on the rim, vertically below P, 0.19 s later. (a) What is  the distance PQ? (b) How far away from the dart board is the  dart released?  21 

E 

E  A  small ball rolls  horizontally off the edge of a tabletop  that is  1.20 m high. It  strikes  the  floor at a  point 1.52 m  hori-  zontally from the table edge. (a) How long is the ball in the air?  (b) What is its speed at the instant it leaves the table?  23  E  A projectile is fired horizontally from a gun that is 45.0 m  above  flat  ground,  emerging  from  the  gun  with  a  speed  of  250 m/s.  (a)  How  long  does  the  projectile  remain  in  the  air?  (b)  At  what  horizontal distance  from  the  firing point  does  it  strike  the  ground?  (c)  What is  the  magnitude  of  the  vertical  component of its velocity as it strikes the ground? 

22 

BIO  FCP  In the 1991 World Track and Field Champion-  ships in Tokyo, Mike Powell jumped 8.95 m, breaking by a full  5 cm the 23-year long-jump record set by Bob Beamon. Assume  that Powell’s speed on takeoff was 9.5 m/s (about equal to that  of a sprinter)  and that g = 9.80 m/s 2  in Tokyo. How much less  was Powell’s range than the maximum possible range for a par-  ticle launched at the same speed?  25  E  FCP  The current world-record motorcycle jump is 77.0 m,  set  by  Jason  Renie. Assume that he  left the take-off ramp  at  12.0° to the horizontal and that the take-off and landing heights  are the same. Neglecting air drag, determine his take-off speed. 

24  E 

E  A stone is  catapulted at time t = 0, with an initial veloc-  ity  of  magnitude 20.0 m/s  and at  an  angle of  40.0° above  the  horizontal. What are the magnitudes of the (a)  horizontal and  (b) vertical components of its displacement from the catapult site  at t = 1.10 s? Repeat for the (c) horizontal and (d) vertical com-  ponents at t = 1.80 s, and for the (e)  horizontal and (f)  vertical  components at t = 5.00 s.  27  M  A  certain  airplane  has  a  θ speed of 290.0 km/h and is diving  at  an  angle  of  θ =  30.0°  below  the  horizontal  when  the  pilot  releases a radar decoy (Fig. 4.13).  The horizontal distance between  the  release  point  and  the  point  where  the  decoy  strikes  the  d ground  is  d = 700 m.  (a)  How  long is  the  decoy in  the air?  (b)  How high was the release point?  Figure  4.13  Problem 27. 

26 

M  GO  In  Fig. 4.14, a  stone is  projected at a  cliff of height  h  with an initial speed of  42.0 m/s  directed at  angle  θ0  = 60.0°  above the horizontal. The stone strikes at A, 5.50 s after launch-  ing. Find (a) the height h of the cliff, (b)  the speed of the stone  just before impact at A, and (c) the maximum height H reached  above the ground. 

28 

A

H

θ0

h

A projectile’s launch speed is five times its speed at maxi-  mum height. Find launch angle θ0 .  29  M 

GO  A soccer ball is kicked from the ground with an initial  speed of 19.5 m/s at an upward angle of 45°. A player 55 m away  in the direction of the kick starts running to meet the ball at that  instant. What must be his average speed if he is to meet the ball  just before it hits the ground?  30  M 

M  FCP  In  a  jump spike, a  volleyball player slams  the ball  from overhead and toward the opposite floor. Controlling the  angle of the spike  is  difficult. Suppose a  ball is  spiked from a  height of 2.30 m with an initial speed of 20.0 m/s at a downward  angle of 18.00°. How much farther on the opposite floor would it  have landed if the downward angle were, instead, 8.00°? 

31 

GO  You  throw  a  ball  M  toward  a  wall  at  speed  25.0 m/s  and at angle θ0  = 40.0° above the  horizontal  (Fig.  4.15).  The  wall  θ0 is  distance  d  =  22.0 m  from  the  d release point of the ball. (a) How  far above the release  point does  Figure  4.15  Problem 32.  the  ball  hit  the  wall?  What  are  the (b)  horizontal and (c) vertical components of its velocity as  it hits the wall? (d) When it hits, has it passed the highest point  on its trajectory?  32 

M  SSM  A plane, diving with constant speed at an angle of  53.0° with the vertical, releases a projectile at an altitude of 730 m.  The projectile hits  the ground 5.00 s  after release.  (a)  What  is  the speed of the plane? (b)  How far  does the projectile travel  horizontally during its  flight? What are  the (c)  horizontal and  (d)  vertical  components  of  its  velocity  just  before  striking  the ground? 

33 

FCP  A trebuchet was a hurling machine built to attack the  walls of a castle under siege. A large stone could be hurled against  a wall to break apart the wall. The machine was not placed near  the wall because then arrows could reach  it from the castle wall.  Instead, it was positioned so that the stone hit the wall during the  second half of its flight. Suppose a stone is launched with a speed  of v 0  = 28.0 m/s and at an angle of θ0  = 40.0°. What is the speed  of the stone if it hits the wall (a) just as  it reaches  the top of its  parabolic path and (b) when it has descended to half that height?  (c) As a percentage, how much faster is it moving in part (b) than  in part (a)? 

34  M 

SSM  A rifle that shoots bullets at 460 m/s is to be aimed  at a target 45.7 m away. If  the center of the target is level with  the  rifle,  how  high  above  the  target  must  the  rifle  barrel  be  pointed so that the bullet hits dead center? 

35  M 

M  GO  During  a  tennis  match, a  player  serves  the  ball at  23.6 m/s,  with the  center  of the  ball leaving  the racquet  hori-  zontally 2.37 m  above the court surface. The  net is  12 m away  and 0.90 m  high. When  the ball  reaches  the  net, (a)  does  the  ball clear  it and (b)  what is  the distance between the center of  the ball and the top of the net? Suppose that, instead, the ball is  served as before but now it leaves the racquet at 5.00° below the  horizontal. When the ball reaches the net, (c) does the ball clear  it and (d) what now is the distance between the center of the ball  and the top of the net? 

36 

M  SSM  A  lowly high diver pushes  off horizontally with  a speed of 2.00 m/s from the platform edge 10.0 m above the 

37  Figure  4.14 

Problem 28. 

/

93

P ROBL EMS 

surface of the water. (a) At what horizontal distance from the  edge is the diver 0.800 s after pushing off? (b) At what vertical  distance above the surface of the water is the diver just then?  (c) At what horizontal distance from the edge does the diver  strike the water?  A golf ball is struck  v  at  ground  level.  The  speed  of  the golf  ball  as  a  function of the  time  is  shown in Fig. 4.16, where  t = 0  at  the  instant  the  ball is struck. The  scaling  v  on  the vertical  axis is  set  0 1 2 3 4 5 by v a  = 19 m/s and v b = 31  t (s) m/s. (a) How far does the  Figure  4.16  Problem 38.  golf  ball  travel  horizon-  tally before returning to ground level? (b)  What is the maxi-  mum height above ground level attained by the ball?  38  M 

v 0

3.0 m

b

18 m

θ0

)s/m( v

In  Fig. 4.17, a  ball is  thrown leftward from the left  h edge of the roof, at height h  θ above  the  ground.  The  ball  hits  the  ground  1.50 s  later,  d at  distance  d = 25.0 m  from  the  building  and  at  angle  Figure  4.17  Problem 39.  θ = 60.0° with the horizontal.  (a) Find h. (Hint: One way is to reverse the motion, as if on video.)  What are the (b) magnitude and (c) angle relative to the horizontal  of the velocity at which the ball is thrown? (d) Is the angle above or  below the horizontal?  39 

M 

M  FCP  Suppose that a  shot putter  can  put  a  shot  at  the  world- class speed v 0 = 15.00 m/s and at a height of 2.160 m. What  horizontal distance would the shot travel if the launch angle θ0  is (a) 45.00° and (b) 42.00°? The answers indicate that the angle  of 45°, which maximizes the range of projectile motion, does not  maximize the horizontal distance when the launch and landing  are at different heights. 

40 

GO  FCP  Upon  spotting  M  Insect on twig an  insect  on  a  twig  overhang-  ing  water,  an  archer  fish  squirts  d water drops at the insect to knock  it  into  the  water  (Fig.  4.18).   Although  the  insect  is  located  along a straight-line path at angle  Archer fish ϕ and distance d, a drop must be  launched at a different angle θ0  if  Figure  4.18  Problem 41.  its  parabolic  path  is  to  intersect  the insect. If  ϕ0  = 36.0° and d = 0.900 m, what launch angle θ0  is  required for the drop to be at the top of the parabolic path when  it reaches the insect?  41 

M  FCP  In  1939  or  1940,  Emanuel  Zacchini  took  his  human-cannonball act to an extreme: After being shot from  a cannon, he soared over three Ferris wheels and into a net (Fig.  4.19). Assume that he is launched with a speed of 26.5 m/s and at  an angle of 53.0°. (a) Treating him as a particle, calculate his clear-  ance over the first wheel. (b) If he reached maximum height over  the middle wheel, by how much did he clear it? (c) How far from  the cannon should the net’s center have been positioned (neglect  air drag)? 

42 

Net

23 m R

 

a

3.0 m

Figure  4.19 

Problem 42. 

M  A  ball is shot from the ground into the air. At a  height  of 9.1 m, its  velocity is  v  =  (7.6 ˆ  i  + 6.1 ˆ  j)  m / s, with  ˆ  i  horizontal  and ˆ  j upward. (a)  To what maximum height does the ball rise?  (b)  What total horizontal distance does  the ball  travel? What  are  the (c) magnitude and (d)  angle (below the horizontal)  of  the ball’s velocity just before it hits the ground? 

43 

→

M  A baseball leaves a pitcher’s hand horizontally at a speed  of 161 km/h. The distance to the batter is 18.3 m. (a)  How long  does the ball take to travel the first half of that distance? (b) The  second half? (c)  How far does the ball fall freely during the first  half? (d) During the second half? (e) Why aren’t the quantities in  (c) and (d) equal? 

44 

M  In  Fig. 4.20, a  ball is  launched with a  velocity of  v 0 d2 magnitude  10.0 m/s,  at  an  Ball angle  of  50.0°  to  the  hori-  zontal. The  launch  point is  d1 at the base of a ramp of hor-  Figure  4.20  Problem 45.  izontal  length  d 1  = 6.00 m  and height  d 2  = 3.60 m.  A  plateau is  located at  the top of  the  ramp. (a) Does the ball land on the ramp or the plateau? When  it lands, what are the (b) magnitude and (c) angle of its displace-  ment from the launch point? 

45 

BIO  GO  FCP  In basketball, hang is an illusion in which a  player  seems to weaken  the gravitational acceleration  while in  midair. The illusion depends much on a  skilled player’s  ability  to rapidly shift the ball between hands during the flight, but it  might also be supported by the longer horizontal distance the  player travels in the upper part of the jump than in the lower  part. If a player jumps with an initial speed of v 0  = 7.00 m/s at  an angle of θ0  = 35.0°, what percent of the jump’s range does  the player spend in the upper half of the jump (between maxi-  mum height and half maximum height)? 

46  M 

SSM  A batter hits a pitched ball when the center of the  ball is  1.22 m above the ground. The  ball leaves  the bat at an  angle of 45° with the ground. With that launch, the ball should  have a horizontal range (returning to the launch level) of 107 m.  (a)  Does  the  ball  clear  a  7.32-m-high  fence  that  is  97.5 m  horizontally  from  the launch point? (b) At the  θ fence,  what  is  the  distance  between the  fence  top  and  h the ball center? 

47  M 

GO  In Fig. 4.21, a ball  is  thrown  up  onto  a  roof,  landing 4.00 s later at height  h = 20.0 m above the release  48  M 

d

Figure  4.21 

Problem 48. 

/

94

C HAP T ER 4  MOT ION  IN  T WO  AND  T HREE  D IMENSIONS 

level. The  ball’s path just before landing is  angled  at  θ = 60.0°  with  the  roof.  (a)  Find  the  horizontal  distance  d  it  travels.  (See the hint to Problem 39.) What are the (b)  magnitude and  (c) angle (relative to the horizontal) of the ball’s initial velocity?  A football kicker can give the ball an initial speed of  25 m/s. What are  the (a)  least  and (b)  greatest elevation angles  at which he can kick  the ball to score  a field goal  from  a point  50 m in front of goalposts whose  horizontal bar is 3.44 m above  the ground?  49  H 

h

SSM 

H  BIO  FCP  A  skilled skier  knows to jump upward  before  reaching a downward slope. Consider a jump in which the launch  speed  is  v 0  =  10  m/s, the  launch angle  is  θ0  =  11.3°, the initial  course is approximately flat, and the steeper track has a slope of  9.0°. Figure 4.22a shows a prejump that allows the skier to land on  the top portion of the steeper track. Figure  4.22b shows  a jump  at the edge of the steeper track. In Fig. 4.22a, the skier  lands at  approximately the launch level. (a)  In  the landing, what  is  the  angle  ϕ between the skier’s  path and the slope?  In  Fig. 4.22b,  (b)  how far below  the launch level  does  the skier  land  and (c)  what  is  ϕ?  (The  greater  fall and greater  ϕ can result  in loss  of  control in the landing.) 

51 

h

Figure  4.24 

Problem 53. 

H  GO  A  ball  is  to  be  shot  from  level  ground  with  a  cer-  tain  speed.  Figure  4.25  shows  the  range  R  it  will  have  versus  the  launch  angle  θ0 .  The  value  of θ0  determines the flight time;  let t max  represent  the  maximum  flight  time.  What  is  the  least  speed  the  ball  will  have  during  its flight if θ0  is chosen such that  the flight time is 0.500t max ? 

54 

200 )m( R

H  Two  seconds  after  being  projected  from  ground  level, a projectile is displaced 40 m horizontally and 53 m ver-  tically above its launch point. What are the (a) horizontal and  (b) vertical components of the initial velocity of the projectile?  (c)  At the instant the projectile achieves its maximum height  above ground level, how far is  it displaced horizontally from  the launch point? 

GO 

50 

D

100

0

θ0

Figure  4.25 

Problem 54. 

H  SSM  A ball rolls  horizontally off the top of a  stairway  with a speed of 1.52 m/s. The steps are 20.3 cm high and 20.3 cm  wide. Which step does the ball hit first? 

55 

Module 4.5 

Uniform Circular Motion 

An Earth satellite moves in a circular orbit 640 km (uni-  form circular  motion) above Earth’s  surface with a  period of  98.0 min. What are (a) the speed and (b) the magnitude of the  centripetal acceleration of the satellite?  56  E 

E  A  carnival  merry-go-round rotates  about a  vertical  axis  at a constant rate. A man standing on the edge has  a constant  speed of 3.66 m/s and a centripetal acceleration  a  of magnitude  1.83 m/s 2 . Position vector  r  locates him relative to the rotation  axis. (a) What is the magnitude of r ? What is the direction of  r  when a  is directed (b) due east and (c) due south? 

57 

→

→

→

(a )

(b ) Figure  4.22 

Problem 51. 

H  A  ball is  to be  shot from level ground toward a  wall  at  distance x (Fig. 4.23a). Figure 4.23b shows the y component vy    of  the ball’s velocity just as it would reach the wall, as a function of  that distance x. The scaling is set by v ys  = 5.0 m/s and x s  = 20 m.  What is the launch angle? 

v ys y

xs

 

)s/m( y v

0

(a) –v ys

Problem 52. 

H  GO  In  Fig. 4.24, a  baseball is  hit at  a  height h = 1.00 m  and then caught at the same height. It travels alongside a wall,  moving up past the top of the wall 1.00 s after it is hit and then  down past the top of the wall 4.00 s later, at distance D = 50.0 m  farther along the wall. (a)  What horizontal distance is traveled  by the ball from hit to catch? What are the (b) magnitude and  (c)  angle (relative to  the horizontal) of  the ball’s velocity just  after being hit? (d) How high is the wall? 

53 

E  A  woman  rides  a  carnival  Ferris  wheel  at  radius  15 m,  completing five  turns  about its  horizontal  axis  every  minute.  What are  (a)  the period of the motion, the (b)  magnitude and  (c) direction of her centripetal acceleration at the highest point,  and the (d) magnitude and (e) direction of her centripetal accel-  eration at the lowest point? 

59 

A centripetal-acceleration addict rides in uniform circular  motion with  radius r = 3.00 m. At  one instant his  acceleration  is  a  = (6.00 m/s 2 ) ˆ  i + (−4.00 m/s 2 ) ˆ  j. At that instant, what are the  values of (a)  v  ⋅  a  and (b)  r  ×  a ?  60  E 

→

(m) (b ) x

Figure  4.23 

A rotating fan completes 1200 revolutions every minute.  Consider the tip of a  blade, at a  radius of 0.15 m. (a)  Through  what distance does the tip move in  one revolution? What are  (b)  the  tip’s  speed and  (c)  the  magnitude of  its  acceleration?  (d) What is the period of the motion?  58  E 

52 

x

→

→

→

→

→

→

When a large  star becomes a supernova, its core  may be  compressed so tightly that it becomes a neutron star, with a radius  of about 20 km (about the size of the San Francisco area).  If  a  neutron star rotates once every second, (a) what is the speed of a  particle on the star’s equator and (b) what is the magnitude of the  particle’s centripetal acceleration? (c) If the neutron star rotates  faster, do the answers to (a) and (b) increase, decrease, or remain  the same?  61  E 

E  What is  the magnitude of  the acceleration  of a  sprinter  running at 10 m/s when rounding a turn of radius 25 m? 

62 

/

95

P ROBL EMS 

GO  At t1    = 2.00 s, the acceleration of a particle in counter-  clockwise circular motion is (6.00 m/s 2 ) ˆ  i + (4.00 m/s 2 ) ˆ  j. It moves  at constant speed. At time t 2  = 5.00 s, the particle’s acceleration  is  (4.00 m/s 2 ) ˆ  i  +  (‒6.00 m/s 2 ) ˆ  j.  What  is  the  radius  of  the  path  taken by the particle if t 2  ‒ t 1  is less than one period?  63  M 

M  GO  A  particle  moves  horizontally  in  uniform circular  motion, over  a  horizontal  xy  plane. At  one  instant, it  moves  through the point at coordinates (4.00 m, 4.00 m) with a velocity  of ‒5.00 ˆ  i m/s and an  acceleration  of +12.5 ˆ  j m/s 2 . What are  the  (a) x and (b) y coordinates of the center of the circular path? 

64 

A purse at radius 2.00 m and a wallet at radius 3.00 m travel  in uniform circular  motion on the floor of a merry-go-round as  the ride turns. They  are on the same radial line. At one instant,  the acceleration of the purse is (2.00 m/s 2 ) ˆ  i + (4.00 m/s 2 ) ˆ  j. At that  instant and in unit-vector notation, what is the acceleration of the  wallet?  65  M 

A particle moves  along a circular  path over  a  horizontal  xy coordinate system, at constant speed. At time t 1  = 4.00 s, it is  at point (5.00 m, 6.00 m) with  velocity (3.00 m/s) ˆ  j  and accelera-  tion in the positive x direction. At time t 2  = 10.0 s, it has velocity  (−3.00 m/s) ˆ  i and acceleration in the positive y direction. What are  the (a) x and (b) y coordinates of the center of the circular path if  t 2  ‒ t 1  is less than one period?  66 

back along the sidewalk to his starting point, taking 10.0 s. What  is the ratio of the man’s running speed to the sidewalk’s speed?  Module 4.7 

→

M  Two  highways  intersect  as  shown  in  Fig.  4.26.  At  the  instant  shown,  a  police  car  P  is  distance  d P  = 800 m  from the  intersection  and  moving  at  speed  v P  = 80 km/h.  Motorist  M  is distance d M  = 600 m from the intersection and moving at speed  v M  = 60 km/h. 

y

M 

M

SSM  A boy whirls a stone in a horizontal circle of radius  1.5 m and at height 2.0 m above level ground. The string breaks,  and the stone flies off horizontally and strikes the ground after  traveling a  horizontal distance of 10 m. What is the magnitude  of the centripetal acceleration  of the stone during the  circular  motion? 

A  cat rides  a  merry-go-round turning with uniform  circular  motion. At  time t 1  =  2.00 s,  the  cat’s  velocity is  v 1  =  (3.00 m / s) ˆ  i + (4.00 m / s) ˆ  j, measured on a horizontal xy coordinate  system. At t 2  = 5.00 s, the cat’s velocity is  v 2  = (−3.00  m / s) ˆ  i +  (−4.00 m / s) ˆ  j. What are (a) the magnitude of the cat’s centripetal  acceleration  and (b)  the cat’s  average  acceleration  during the  time interval t 2  ‒ t 1 , which is less than one period?  H 

→

Module 4.6 

Relative Motion in One Dimension 

A cameraman on a pickup truck is traveling westward at  20 km/h  while  he  records  a  cheetah that  is  moving westward  30  km/h  faster  than  the  truck.  Suddenly,  the  cheetah  stops,  turns, and then runs at 45 km/h eastward, as measured by a sud-  denly nervous crew  member who stands alongside the cheetah’s  path. The change in the animal’s  velocity takes  2.0 s. What  are  the (a)  magnitude and (b) direction of the animal’s acceleration  according to the cameraman and the (c) magnitude and (d) direc-  tion according to the nervous crew member?  69  E 

E  A boat is  traveling upstream in the positive direction of  an  x  axis  at 14 km/h with respect  to  the water  of a  river.  The  water  is  flowing at 9.0 km/h with respect  to the ground. What  are  the  (a)  magnitude and (b)  direction of  the boat’s velocity  with respect to the ground? A child on the boat walks from front  to  rear  at  6.0 km/h with respect  to the boat. What are  the  (c)  magnitude and (d) direction of the child’s velocity with respect  to the ground? 

70 

A suspicious-looking man runs as fast as he can along  a  moving  sidewalk  from  one  end  to  the  other,  taking 2.50 s.  Then security agents appear, and the man runs as fast as he can  71  M 

dM

BIO 

v M P

v P

x

dP

GO 

→

→

73 

67  H 

68 

Relative Motion in Two Dimensions 

A rugby player runs with the ball directly toward his oppo-  nent’s  goal,  along  the  positive  direction  of  an  x  axis.  He  can  legally pass  the ball to a  teammate as long as  the ball’s velocity  relative to the field does not have a  positive x  component. Sup-  pose the player runs at speed 4.0 m/s relative to the field while he  passes  the ball with velocity  v BP  relative to himself. If  v BP  has  magnitude 6.0 m/s, what is the smallest angle it can have for the  pass to be legal?  72  E 

Figure  4.26  Problem 73.  (a)  In unit-vector notation, what is  the velocity of the motorist  with respect to the police car? (b) For the instant shown in Fig.  4.26, what is the angle between the velocity found in (a) and the  line of sight between the two cars? (c) If the cars maintain their  velocities, do the answers to (a) and (b) change as the cars move  nearer the intersection?  M  After flying for 15 min in a wind blowing 42 km/h at an  angle of 20° south of east, an airplane pilot is over a town that is  55 km due north of the starting point. What is the speed of the  airplane relative to the air? 

74 

SSM  A train travels due south at 30 m/s (relative to the  ground) in a  rain  that is  blown toward the south by  the wind.  The path of each raindrop makes an angle of 70° with the verti-  cal, as  measured  by an observer  stationary on the ground. An  observer  on  the  train,  however,  sees  the  drops  fall  perfectly  vertically. Determine the speed of the raindrops relative to the  ground. 

75  M 

M  A light plane attains an  airspeed of 500 km/h. The pilot  sets  out for a  destination 800 km due north but discovers  that  the plane must be headed 20.0° east  of due north to fly  there  directly. The plane arrives  in 2.00 h. What were  the (a) magni-  tude and (b) direction of the wind velocity? 

76 

M  SSM  Snow is  falling  vertically  at  a  constant  speed  of  8.0 m/s.  At  what  angle  from  the  vertical  do  the  snowflakes  appear to be falling as viewed by the driver of a car traveling on  a straight, level road with a speed of 50 km/h? 

77 

/

96

C HAP T ER 4  MOT ION  IN  T WO  AND  T HREE  D IMENSIONS 

In the overhead view of  N Fig. 4.27, Jeeps P and B race  along  straight  lines,  across  P E flat terrain, and past station-  ary border guard A. Relative  θ1 A to  the guard, B  travels  at  a  θ2 constant speed of 20.0 m/s, at  the angle θ2  = 30.0°. Relative  B to the guard, P  has acceler-  ated from  rest  at  a  constant  Figure  4.27  Problem 78.  rate of 0.400 m/s 2  at the angle  θ1 = 60.0°. At a certain time during the acceleration, P has a speed  of 40.0 m/s. At that time, what are the (a) magnitude and (b) direc-  tion of the velocity of P relative to B and the (c)  magnitude and  (d) direction of the acceleration of P relative to B?  78  M 

Two ships, A and B, leave port at the same time.  Ship A travels  northwest at  24 knots, and ship  B  travels at 28  knots in a direction 40° west of south. (1 knot = 1 nautical mile  per  hour; see  Appendix D.) What are  the (a)  magnitude and  (b)  direction of the velocity of ship A relative to B?  (c)  After  what time will the ships be 160 nautical miles apart? (d) What  will be the bearing of B (the direction of B’s position) relative  to A at that time?  79 

M 

In  Fig. 4.28a, a  sled moves  in  the negative x  direction at  constant speed v s  while a ball of ice is  shot from the sled  with  a velocity  v 0  =  v 0x ˆ  i +  v 0y ˆ  j  relative  to the sled. When  the ball  lands, its horizontal displacement ∆x bg  relative to the ground  (from its launch position to its landing position) is measured.  Figure 4.28b  gives  ∆x bg  as a  function of v s .  Assume  the ball  lands at approximately its launch height. What are the values  of (a) v 0x  and (b) v 0y ? The ball’s displacement ∆x bs  relative to  the sled can also be measured. Assume that the sled’s velocity  is not changed when the ball is shot. What is ∆x bs when v s  is (c)  5.0 m/s and (d) 15 m/s?  84 

→

40

SSM 

M 

y

Sled x

(a)

0

10

–40

CALC  GO  Ship A is located 4.0 km north and 2.5 km east  of ship B. Ship A has a velocity of 22 km/h toward the south,  and ship B  has a velocity of 40 km/h in a direction 37° north  of east.  (a)  What is  the velocity  of A  relative  to  B  in  unit-  vector notation with ˆ  i toward the east? (b) Write an expression  (in  terms  of  ˆ  i  and  ˆ  j)  for  the position of A  relative  to B  as  a  function of t, where t  = 0 when the ships are in the positions  described  above. (c)  At what time is the separation between  the ships least? (d) What is that least separation?  H  GO  A  200-m-wide river  has  a  uniform  flow speed  of  1.1 m/s  through  a  jungle  and  toward  the  east.  An  explorer  wishes  to  leave  a  small  clearing  on  the  south  bank  and  cross the river  in a powerboat that moves at a constant speed  of 4.0 m/s  with respect  to  the water.  There  is  a  clearing  on  the north bank 82 m upstream from a point directly opposite  the clearing on the south bank. (a) In what direction must the  boat be  pointed in order  to travel  in a  straight line and land  in the clearing on the north bank? (b) How long will the boat  take to cross the river and land in the clearing? 

82 

(b ) Figure  4.28 

Problem 84. 

You are kidnapped by political-science majors (who are  upset  because  you  told  them political  science  is  not  a  real  science).  Although blindfolded,  you  can  tell  the  speed  of  their car (by the whine of the engine), the time of travel (by  mentally counting off seconds),  and  the  direction of  travel  (by  turns  along  the  rectangular  street  system).  From  these  clues,  you  know  that  you  are  taken  along  the  following  course:  50  km/h for  2.0 min,  turn  90°  to the  right, 20 km/h  for 4.0 min, turn  90° to the right, 20 km/h for  60 s, turn  90°  to the left, 50 km/h for 60 s, turn 90° to the right, 20 km/h for  2.0 min, turn 90° to the left, 50 km/h for  30 s. At that point,  (a) how far are you from your starting point, and (b) in what  direction relative to your initial direction of travel are you?  85 

A  radar  station  detects  an  airplane  approaching  directly  from the east.  At first  observation,  the airplane  is  at  distance  d 1  = 360 m  from  the  station  and  at  angle  θ1  = 40°  above  the  horizon (Fig. 4.29). The airplane is  tracked through an  angular  change ∆θ = 123° in the vertical east – west plane; its distance is  then d 2  = 790 m. Find the (a) magnitude and (b) direction of the  airplane’s displacement during this period.  86 

Airplane d2

Additional Problems 

A woman who can row a boat at 6.4 km/h in still water  faces a long, straight river with a width of 6.4 km and a current of  3.2 km/h. Let ˆ  i point directly across the river and ˆ  j point directly  downstream. If  she  rows  in  a  straight  line  to  a  point directly  opposite her  starting position, (a)  at  what angle to  ˆ  i  must she  point the boat and (b) how long will she take? (c) How long will  she  take if, instead, she  rows  3.2 km down the  river  and then  back to her starting point? (d)  How long if she rows 3.2 km up  the river and then back to her starting point? (e)  At what angle 

20

v s (m/s)

GO 

81  H 

83 

Ball

v s

)m( gb xΔ

A  200-m-wide river  flows  due  east  at  a  uniform  speed of 2.0 m/s. A boat with a speed of 8.0 m/s relative to the  water  leaves  the  south  bank  pointed in  a  direction  30°  west  of north. What are the (a)  magnitude and (b)  direction of the  boat’s velocity relative to the ground? (c)  How long does  the  boat take to cross the river?  80 

to ˆ  i  should she point the boat if she wants to cross  the river in  the shortest possible time? (f) How long is that shortest time? 

Δ

θ

d1

θ1

W

BIO 

E

Radar dish Figure  4.29 

Problem 86. 

SSM  A baseball is hit at ground level. The ball reaches its  maximum height above ground level 3.0 s  after being hit. Then  2.5 s after reaching its maximum height, the ball barely clears a 

87 

/

P ROBL EMS 

fence that is 97.5 m from where it was hit. Assume the ground is  level. (a) What maximum height above ground level is reached  by the ball? (b) How high is the fence? (c) How far beyond the  fence does the ball strike the ground?  Long  flights at midlatitudes in  the Northern Hemisphere  encounter the jet stream, an eastward airflow that can affect a  plane’s speed relative to Earth’s surface. If a  pilot maintains a  certain speed relative to the air (the plane’s airspeed), the speed  relative to the surface (the plane’s ground speed) is more when  the flight is in the direction of the jet stream and less when the  flight is  opposite the jet  stream. Suppose a round-trip flight is  scheduled  between two  cities  separated  by  4000 km, with the  outgoing flight in the direction of the jet stream and the return  flight opposite it. The  airline computer  advises an  airspeed of  1000 km/h, for which the difference in flight times for the outgo-  ing and return flights is 70.0 min. What jet-stream speed is the  computer using?  88 

SSM  A particle starts from the origin at t = 0 with a velocity  ˆ  / s and moves in the xy plane with constant acceleration  of 8.0 j m  (4.0 ˆ  i + 2.0 ˆ  j) m / s2    . When the particle’s x coordinate is 29 m, what  are its (a) y coordinate and (b) speed? 

89 

BIO  At  what  initial  speed must the basketball  player  in  Fig.  4.30  throw  the  ball, at  angle  θ0  = 55°  above  the  horizontal,  to  make  the  foul  shot?  The  horizontal  distances  are  d 1  = 1.0 ft  and  d 2  = 14 ft,  and  the  heights  are  h 1  = 7.0 ft and h 2  = 10 ft. 

90 

SSM  Oasis  A is 90 km due west  of oasis  B. A desert  camel  leaves A and takes 50 h to walk 75 km at 37° north of due east.  Next it  takes  35 h  to  walk 65 km  due south. Then  it  rests  for  5.0 h.  What  are  the  (a)  magnitude  and  (b)  direction  of  the  camel’s displacement relative to A  at the resting  point? From  the time the camel leaves A until the end of the rest period, what  are  the (c)  magnitude and (d)  direction of its average velocity  and (e)  its average  speed? The  camel’s last  drink was  at  A; it  must be at B no more than 120 h later for its next drink. If it is to  reach B just in time, what must be the (f) magnitude and (g) direc-  tion of its average velocity after the rest period? 

93 

FCP  Curtain of  death. A large  metallic asteroid  strikes  Earth  and quickly digs a crater into the rocky material below ground level  by launching rocks upward and outward. The following table gives  five pairs of launch speeds and angles (from the horizontal) for such  rocks,  based  on  a  model of  crater  formation. (Other  rocks,  with  intermediate speeds  and angles, are  also  launched.) Suppose that  you are  at x = 20 km when the asteroid  strikes the ground at  time  t = 0 and position x = 0 (Fig. 4.32). (a) At t = 20 s, what are the x and  y coordinates of the rocks headed in your direction from launches  A through E? (b)  Plot these coordinates and then sketch a  curve  through the points to include rocks with intermediate launch speeds  and angles. The curve  should indicate what you would see  as  you  look up into the approaching rocks. 

94 

θ0

Launch  Speed (m/s)  Angle (degrees) 

d1

A  B  C  D  E 

h2 h1

d2

During volcanic erup-  Figure 4.30  Problem 90.  tions, chunks of solid rock  can be blasted out of the volcano; these projectiles are called  volcanic bombs. Figure 4.31 shows a cross  section of Mt. Fuji,  in Japan. (a)  At what initial speed would a  bomb have to be  ejected, at angle  θ0  = 35° to the horizontal, from the vent at  A  in  order  to  fall at  the  foot of the  volcano at  B,  at verti-  cal distance h = 3.30 km and horizontal distance d = 9.40 km?  Ignore, for the moment, t he effects of air on the bomb’s travel.  (b) What would be the time of flight? (c) Would the effect of  the air increase or decrease your answer in (a)?  91 

A

97

θ0

h

d

B

520  630  750  870  1000 

14.0  16.0  18.0  20.0  22.0 

y

You x (km) 0

10 Figure  4.32 

20

Problem 94. 

Figure 4.33 shows the straight path of a par-  B ticle across  an xy coordinate system as the par-  ticle is accelerated from rest during time interval  y ∆t 1 .  The  acceleration is  constant. The  xy  coor-  A dinates for point A  are  (4.00 m, 6.00 m); those  x for point B are (12.0 m, 18.0 m). (a) What is the  Figure  4.33  ratio a y /a x  of the acceleration components? (b)  What  are the coordinates of the particle if the  Problem 95.  motion is  continued for another interval equal  to ∆t 1 ?  95 

For women’s volleyball the top of the net is  2.24 m above  the floor and the court measures 9.0 m by 9.0 m on each side of  the net. Using a jump serve, a player strikes the ball at a point  that is 3.0 m above the floor and a horizontal distance of 8.0 m  from the net. If the initial velocity of the ball is horizontal, (a)  what minimum magnitude must it have if the ball is to clear the  net and (b) what maximum magnitude can it have if the ball is to  strike the floor inside the back line on the other side of the net?  96 

Figure  4.31 

Problem 91. 

An  astronaut  is  rotated  in  a  horizontal  centrifuge  at  a  radius of 5.0 m. (a) What is the astronaut’s speed if the centrip-  etal acceleration has a magnitude of 7.0g? (b) How many revo-  lutions per  minute are  required  to  produce this  acceleration?  (c) What is the period of the motion?  92 

/

98

C HAP T ER 4  MOT ION  IN  T WO  AND  T HREE  D IMENSIONS 

SSM  A rifle is aimed horizontally at a target 30 m away. The  bullet hits the  target 1.9 cm  below  the aiming point. What are  (a) the bullet’s time of flight and (b) its speed as it emerges from  the rifle? 

97 

A  particle is  in uniform circular  motion about the origin  of an xy coordinate system, moving clockwise with a  period of  7.00 s.  At one  instant, its  position vector  (measured  from the  origin) is  r  = (2.00 m) ˆ  i − (3.00 m) ˆ  j. At that instant, what is its  velocity in unit-vector notation?  98 

→

In  Fig. 4.34, a  lump of  wet  putty moves in  uniform circular  motion as  it  rides  at  a  radius  of  Wheel 20.0 cm  on  the  rim  of  a  wheel  rotating counterclockwise with a  Putty h period of 5.00 ms. The lump then  happens to fly off the rim at the  d 5 o’clock position (as  if on a clock  Figure  4.34  Problem 99.  face). It leaves the rim at a height  of h = 1.20 m from the floor and at a distance d = 2.50 m from  a wall. At what height on the wall does the lump hit?  99 

An iceboat sails  across  the surface of a frozen lake with  constant acceleration produced by the wind. At a certain instant  the  boat’s  velocity is  (6.30 ˆ  i  ‒ 8.42 ˆ  j)  m/s.  Three  seconds  later,  because of a wind shift, the boat is instantaneously at rest. What  is its average acceleration for this 3.00 s interval?  100 

In  Fig.  4.35,  a  ball  is  vc  shot  directly  upward  from  the  ground  with  an  initial  speed  of  v 0 v 0 = 7.00 m/s.  Simultaneously,  a  Ball construction elevator cab begins to  move upward from the ground with  Figure  4.35  Problem 101.  a  constant speed  of v c  = 3.00 m/s.  What  maximum  height  does  the  ball reach relative to (a) the ground and (b) the cab floor? At what  rate does the speed of the ball change relative to (c) the ground and  (d) the cab floor?  101 

A magnetic field forces an electron to move in a circle with  radial  acceleration 3.0 × 10 14 m/s 2 .  (a)  What is  the speed of the  electron if the radius of its circular path is 15 cm? (b) What is the  period of the motion?  102 

In 3.50 h, a balloon drifts 21.5 km north, 9.70 km east, and  2.88 km upward from its release  point on the ground. Find (a)  the magnitude of its average velocity and (b) the angle its aver-  age velocity makes with the horizontal.  103 

A ball is  thrown horizontally from a height of 20 m and  hits the ground with a speed that is three times its initial speed.  What is the initial speed?  104 

A projectile is launched with an initial speed of 30 m/s at  an angle of 60° above the horizontal. What are  the (a)  magni-  tude and (b) angle of its velocity 2.0 s after launch, and (c) is the  angle above or below the horizontal? What are  the (d)  magni-  tude and (e) angle of its velocity 5.0 s after launch, and (f) is the  angle above or below the horizontal?  ˆ  106  The position vector for a proton is initially  r  = 5.0  i − 6.0 ˆ  j +  ̂ ̂ 2.0k  and  then later  is  r  =  −2.0 ˆ  i  +  6.0 ˆ  j  +  2.0k  ,  all in meters.  (a) What is the proton’s displacement vector, and (b) to what  plane is that vector parallel?  105 

→

→

y A  particle  P  travels  with  constant  speed  on  a  circle  of  radius  r = 3.00 m  (Fig.  4.36)  and  completes one revolution in 20.0 s.  P The  particle  passes  through  O  r at time t = 0. State the following  vectors in magnitude-angle nota-  tion  (angle  relative  to  the  posi-  tive direction of x).  With respect  to O,  find the particle’s  position  x O vector at the times t  of (a) 5.00 s,  (b)  7.50 s,  and (c)  10.0 s. (d)  For  Figure  4.36  Problem 107.  the 5.00 s interval from the end of  the  fifth second to the end of the tenth second, find the parti-  cle’s displacement. For that interval, find (e) its average velocity  and its velocity at the (f) beginning and (g) end. Next, find the  acceleration at the (h) beginning and (i) end of that interval. 

107 

The fast French train known as the TGV (Train à Grande  Vitesse) has a  scheduled average speed of 216 km/h. (a)  If  the  train goes around a  curve  at that speed and the magnitude of  the  acceleration  experienced  by  the  passengers  is  to  be  lim-  ited to 0.050g, what is  the smallest radius  of curvature for the  track  that can be tolerated? (b)  At what speed  must the train  go around a curve  with a 1.00 km radius to be at the accelera-  tion limit?  108 

(a) If an electron is projected horizontally with a speed of  3.0 × 10 6  m/s, how far will it fall in traversing 1.0 m of horizontal  distance? (b) Does the answer increase or decrease if the initial  speed is increased?  109 

A person walks up a stalled 15-m-long escalator in 90 s.  When standing on the same escalator, now moving, the person is  carried up in 60 s. How much time would it take that person to  walk up the moving escalator?  Does the answer depend on the  length of the escalator?  110  BIO 

(a)  What is the magnitude of the centripetal acceleration  of an object on Earth’s equator due to the rotation of Earth?  (b) What would Earth’s rotation period have to be for objects  on the equator to have a centripetal acceleration of magnitude  9.8 m/s 2 ?  111 

The range of a projectile depends not only on v 0  and θ0  but also on the value g of the free-fall acceleration, which varies  from place to place. In 1936, Jesse  Owens established a world’s  running broad jump record  of 8.09 m at the Olympic Games at  Berlin (where g = 9.8128 m/s 2 ). Assuming the same values of v 0  and  θ0 ,  by  how  much  would  his  record have differed if he had com-  y peted instead in 1956 at Melbourne  (where g = 9.7999 m/s 2 )?  112  FCP 

Figure  4.37 shows  the path  taken by a drunk skunk over level  ground, from initial point i to final  point f. The angles are  θ1  = 30.0°,  θ2  = 50.0°, and θ3  = 80.0°, and the  distances  are  d 1  =  5.00 m,  d 2  =  8.00 m, and d 3  = 12.0 m. What are  the (a)  magnitude and (b)  angle  of the skunk’s displacement from  i to f ? 

3

113 

d2

2

d3

1 d 1

x

i

f

Figure  4.37 

Problem 113. 

/

P ROBL EMS 

The position vector r  of a particle moving in the xy plane  is r  = 2t ˆ  i + 2  sin[(π/4 rad/s)t] ˆ  j, with r  in meters and t in seconds.  (a) Calculate the x and y components of the particle’s position  at t  = 0, 1.0, 2.0, 3.0, and  4.0 s  and  sketch the particle’s path  in the xy  plane for the interval 0 ≤ t ≤ 4.0 s. (b) Calculate the  components of the particle’s velocity at t = 1.0, 2.0, and 3.0 s.  Show that the velocity is tangent to the path of the particle and  in the direction the particle is moving at each time by drawing  the velocity vectors on the plot of the particle’s path in part (a).  (c)  Calculate the components of the particle’s acceleration at  t = 1.0, 2.0, and 3.0 s.  →

114  →

→

Circling  the  Galaxy. The  Solar System is  moving along an  approximately  circular  path  of  radius  2.5  ×  10 4  ly  (light-years)  around the center of the Milky  Way Galaxy with a speed  of 205  km/s. (a) How far has a person traveled along that path by the time  of the person’s 20th birthday? (b) What is the period of the circling?  115 

Record  motorcycle jump. Figure 4.38 illustrates the ramps  for the 2002 world-record motorcycle jump set by Jason  Renie.  The ramps were H = 3.00 m high, angled at θR  = 12.0°, and sepa-  rated by distance D = 77.0 m. Assuming that he landed halfway  down the landing ramp and that the slowing effects of the air were  negligible, calculate the speed at which he left the launch ramp.  116 

y

Launch

θ

v 0

Landing H

R

θ

R

99

30° below the horizontal and a constant acceleration of 1.0 m/s 2  upward. (a)  At what time t  does the glider  reach the ground?  (b) How far horizontally has the glider traveled by then? (c) For  the same initial conditions, what constant acceleration will cause  the glider to reach the ground with zero speed (no motion)? Use  ̂ unit-vector notation, with i  in the horizontal direction of travel  ̂ and j  upward.  Pittsburgh  left. Drivers  in  Pittsburgh, Pennsylvania, are  alert for an aggressive maneuver dubbed the Pittsburgh left. Fig-  ure 4.39 gives an example that resulted in a collision. Cars A and  B were initially stopped at a red light. At the onset of the green  light at time t = 0, car A moved forward with acceleration a A but  the driver of  car  B, wanting to make a left turn in front of A,  anticipated the light change by moving during the yellow light  for the perpendicular traffic. The driver started at time t = ‒Δt  and moved through a quarter circle with tangential acceleration  a B  until there was a front‒side collision. In your investigation of  the accident, you find that the width of each lane is w = 3.00 m  and the width of car B is b = 1.50 m. The cars were in the middle  of a lane initially and in the collision. Assume the accelerations  were  a A  =  3.00 m/s 2  and a B  = 4.00  m/s 2  (which  is  aggressive).  When the collision occurred, (a) how far had A moved, (b) what  was the speed of A, (c)  what was  the time, (d) how far had the  middle front of B moved, and (e)  what was the speed of B? (e)  What was  the value of Δt?  (Engineers  and physicists  are  com-  monly hired to analyze traffic accidents and then testify in court  as expert witnesses.)  122 

x

b

w

D

Figure  4.38 

Problem 116.  B

Circling the Sun. Considering  only the orbital motion of  Earth around the Sun, how far has a person traveled along the  orbit by the day of their 20th birthday? Earth’s speed along its  orbit is 30 × 10 3  m/s.  117 

Airboat. You are to ride  an airboat over  swampy water,  starting from rest  at point i  with an  x  axis  extending due  east  and a y axis extending due north. First, moving at 30° north of  due east: (1) increase your speed at 0.400 m/s 2  for 6.00 s; (2) with  whatever speed you then have, move for  8.00 s;  (3)  then slow  at  0.400 m/s 2  for  6.00 s. Immediately then move due west: (4)  increase  your speed at 0.400 m/s 2  for  5.00 s;  (5)  with whatever  speed you then have, move for 10.0 s; (6) then slow at 0.400 m/s 2  until you stop. In  magnitude-angle notation, what then is  your  average velocity for the trip from point i?  118 

Detective work. In  a  police story, a  body is  found 4.6 m  from the base of a building and 24 m below an open window. (a)  Assuming the victim left that window horizontally, what was the  victim’s speed just then? (b)  Would you guess the death to be  accidental? Explain your answer.  119 

A throw from third. A third baseman wishes to throw to  first base, 127 ft distant. His best throwing speed is 85 mi/h. (a) If  he throws the ball horizontally 3.0 ft above the ground, how far  from first base will it hit the ground? (b) From the same initial  height, at what upward angle must he throw the ball if the first  baseman is to catch it 3.0 ft above the ground? (c) What will be  the time of flight in that case?  120 

Gliding down to ground. At time t  =  0, a  hang glider is  7.5 m above level ground with a velocity of 8.0 m/s at an angle of  121 

A

Figure  4.39 

Problem 122. 

g dependence of projectile motion. A device shoots a small  ball horizontally with speed 0.200 m/s from a height of 0.800 m  above  level  ground on  another  planet. The  ball  lands  at  dis-  tance d from the base of the device directly below the ejection  point. What is g on the planet if d is (a) 7.30 cm, (b) 14.6 cm, and  (c) 25.3 cm?  123 

Disappearing bicyclist. Figure 4.40 is an overhead view of  your car (width C = 1.50 m) and a large truck (width T = 1.50 m  and length L = 6.00 m). Both are stopped for a red traffic light  waiting to  make a  left-hand turn and are  centered in a  traffic  lane. You are sitting at distance d = 2.00 m behind the front of  your car next to the left-hand window. Your street has two lanes  in each direction; the perpendicular street has one lane in each  direction; each lane has width w = 3.00 m. A bicyclist moves at  124 

/

100

C HAP T ER 4  MOT ION  IN  T WO  AND  T HREE  D IMENSIONS 

a speed of 5.00 m/s toward the intersection along the middle of  the curb  lane of the opposing traffic. Sight line  1 is  your  view  just as  the bicyclist disappears  behind the truck. Sight line 2 is  your view just as the bicyclist reappears. For how long does the  bicyclist disappear from your view? This is a common dangerous  situation for bicyclists, motorcyclists, skateboarders, inline skat-  ers, and drivers of scooters and short cars. 

w

h t aP

Sight line 2

Sight line 1

Driver

Figure  4.40 

Problem 124. 

Stuntman jump. A movie stuntman is to run across a roof-  top and jump horizontally off it, to land on the roof of the next  building (Fig. 4.41). The  rooftops are  separated  by  h  = 4.8  m  vertically  and  d  =  6.2 m  horizontally. Before  he  attempts the  jump, he wisely calculates if the jump is  possible. Can he make  the jump if his maximum rooftop speed is v 0  = 4.5 m/s?  125 

Passing British rail trains. Two British rail trains pass  each  other on parallel tracks moving in opposite directions. Train A has  length L A  = 300 m and is moving at speed v A = 185 km/h. Train B  has length L B = 250 m and is moving at speed v B = 200 km/h. How  long does the passage take to a passenger on (a) A and (b) B?  126 

Rising fast ball. A batter in a baseball game will sometimes  describe a pitch as  being a rising ball, termed a  hop. Although  technically possible, such upward motion would require a large  backspin on the ball so that an aerodynamic force would lift the  ball. More likely, a  rising ball is  an illusion stemming from the  batter’s  misjudgment of  the  ball’s  initial speed.  The  distance  between the pitching rubber and home plate is  60.5 ft. If a ball  is thrown horizontally with no spin, how far does it drop during  its flight if the initial speed v 0  is (a) 36 m/s (slow, about 80 mi/h)  and (b) 43 m/s (fast, about 95 mi/h)? (c) What is the difference  in the two displacements? (d) If the batter anticipates the slow  ball, will the swing be below the ball or above it?  127 

CALC  Car  throwing stones.  Chipsealing is  a  common and  relatively inexpensive way to pave a road. A layer of hot tar is  sprayed onto the existing road surface and then stone chips are  spread over the surface. A heavy roller then embeds the chips  in the tar. Once the tar  cools, most of the stones  are  trapped.  However,  some  loose  stones  are  scattered  over  the  surface.  They eventually will be swept up by a street cleaner, but if cars  drive over  the road before then, the rear  tires on a  leading car  can  launch stones  backward  toward  a  trailing car  (Fig.  4.42).  Assume that the stones are launched at speed v 0  = 11.2 m/s (25  mi/h), matching the speed of the cars. Also assume that stones  can leave the tires of the lead car at road level and at any angle  and not be stopped by mud flaps or the underside of the car. In  terms of car  lengths L c  = 4.50 m, what is the least separation L  between the cars such that stones will not hit the trailing car? 

128 

Portions of car rear

Portions of car front

v0

v0

v0

v0 h

d

Stone Figure  4.42 

Figure  4.41 

Problem 128. 

Problem 125. 

/

C

H

A

P

T

E

R

5

Force and Motion—I 

5.1  NEWTON’S FIRST AND SECOND LAWS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

5.1.1  Identify that a force is a vector quantity and thus has 

acting on it as vectors with  their tails anchored on 

both magnitude and direction and also components.  5.1.2  Given  two or more forces acting  on the same par-  ticle, add the forces as

vectors

the particle.  5.1.6  Apply the relationship (Newton’s second law) 

to get the net force. 

between  the net force on an  object, the  mass of the 

5.1.3  Identify Newton’s first and second laws of motion. 

object, and the acceleration  produced by the net 

5.1.4  Identify  inertial  reference frames.  5.1.5  Sketch a free-body diagram for an object, show- 

force.  5.1.7  Identify that only  external forces on an object can 

ing the object as a particle  and drawing  the forces 

cause the object to accelerate. 

Key  Ideas  ●

The velocity of an object can  change (the object can 

●

The mass of a body is the characteristic of that body 

accelerate) when  the object is acted on by one or more 

that relates the body’s acceleration to the net force 

forces (pushes or pulls) from other objects. Newtonian 

causing the acceleration.  Masses are scalar quantities. 

mechanics relates accelerations and forces.  ●

Forces are vector quantities.  Their magnitudes are 

→

●

The net force 

F net  on a body with mass m is related  a  by  →

to the body’s acceleration 

defined  in terms of the acceleration they would give the 

→

F net = m a  , 

standard kilogram. A force that accelerates that standard 

→

2 

body by exactly 1 m/s  is defined to have a magnitude  of 1 N. The direction of a force is the direction of the 

which  may be written  in the component versions 

F net, x  = ma x   F net,y = ma y   and  F net,z = ma z .   

acceleration  it causes. Forces are combined according to  the rules of vector algebra. The net force on a body is the  vector sum of all the forces acting on the body.  ●

The second law  indicates that in SI units 

If  there is no net force on a body, the body remains 

1 N = 1 kg ⋅ m / s2    . 

at rest if  it is initially  at rest or moves in  a straight line  at  constant speed if  it is in  motion.  ●

Reference frames in which  Newtonian mechanics 

●

A free-body diagram is a stripped-down diagram 

in which  only o ne body is considered. That body is 

holds are called inertial  reference frames or inertial 

represented by either  a sketch or a dot. The external 

frames. Reference  frames in which Newtonian  mechanics 

forces on the body are  drawn,  and a coordinate 

does not hold are called noninertial  reference frames or 

system is superimposed, oriented so as to simplify 

noninertial  frames. 

the solution. 

What Is Physics? 

We have seen that part  of physics  is a study of  motion,  including  accelerations,  which are changes in velocities. Physics is also a study of what can cause an object  to accelerate. That cause is a force, which is, loosely speaking, a push or pull on the  object. The force is said to act on  the object to change its velocity. For  example,  when a dragster accelerates, a  force from the track acts on the rear tires to cause  the dragster’s acceleration. When a defensive guard knocks down a quarterback, a  force from the guard acts on the quarterback to cause the quarterback’s backward 

101 /

102

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

acceleration. When a car slams into a telephone pole, a force on the car from the  pole causes the car to stop. Science, engineering, legal, and medical journals  are  filled with articles about forces on objects, including people.  A Heads Up. Many students find  this  chapter to be  more challenging than  the  preceding  ones.  One  reason  is  that  we  need  to  use  vectors  in  setting  up  equations—we  cannot just  sum some scalars. So,  we need  the vector rules from  Chapter 3. Another reason is  that we shall  see a lot  of different arrangements:  Objects will move along floors, ceilings, walls, and ramps. They will move upward  on  ropes  looped  around  pulleys or by  sitting in  ascending or  descending eleva-  tors. Sometimes, objects will even be tied together.  However, in spite of the variety of arrangements, we need only a single key  idea (Newton’s second law) to solve most of the homework problems. The pur-  pose of this chapter is for us to explore how we can apply that single key idea to  any given arrangement. The application  will take experience—we need to  solve  lots of problems, not just read words. So, let’s go through some of the words and  then get to the sample problems.  Newtonian Mechanics 

The relation between a force and the acceleration it causes was first understood  by Isaac Newton (1642–1727) a nd is the subject of this chapter. The study of that  relation, as Newton presented it, is called Newtonian mechanics. We shall focus  on its three primary laws of motion.  Newtonian mechanics does  not  apply  to  all  situations.  If  the speeds  of  the  interacting bodies are very large—an appreciable fraction of the speed of light—we  must  replace Newtonian  mechanics with  Einstein’s  special  theory  of  relativity,  which holds at any speed, including those near the speed of light. If the interacting  bodies are on the scale of atomic structure (for example, they might be electrons in  an atom), we must replace Newtonian mechanics with quantum mechanics. Physi-  cists now view Newtonian mechanics as a special case of these two more compre-  hensive theories. Still, it is a very important special case because it applies to the  motion of objects ranging in size from the very small (almost on the scale of atomic  structure) to astronomical (galaxies and clusters of galaxies).  Newton’s First Law 

Before  Newton formulated his  mechanics, it  was thought  that  some  influence,  a  “force,” was needed to  keep  a body  moving at constant velocity. Similarly, a  body  was thought  to be in  its “natural state” when it was at rest. For  a body  to  move with  constant velocity, it seemingly had to  be  propelled in  some way, by  a push or a pull. Otherwise, it would  “naturally” stop moving.  These ideas  were  reasonable. If  you  send  a puck  sliding  across a  wooden  floor, it does indeed slow and then stop. If you want to make it move across the  floor with constant velocity, you have to continuously  pull or push  it.  Send a puck sliding  over the ice of a skating rink,  however, and it goes a lot  farther. You can imagine longer and more slippery surfaces, over which the puck  would  slide  farther and farther. In  the limit  you can think  of  a long, extremely  slippery  surface (said  to  be  a  frictionless  surface),  over which  the  puck  would  hardly slow. (We can in fact come close to this situation by sending a puck sliding  over a horizontal air table, across which it moves on a film of air.)  From these observations, we can conclude that a body will keep moving with  constant velocity if no force acts on it. That leads us to the first of Newton’s three  laws of motion:  Newton’s First Law: If no force acts on a body, the body’s velocity cannot  change; that is, the body cannot accelerate. 

/

5.1  NEWP ON’S  F IRSP   HND  SE- OND   L HWS 

103

In other words, if the body is at rest, it stays at rest. If it is moving, it continues to  move with the same velocity (same m agnitude and same direction).  F

Force 

Before we begin working problems with  forces, we need  to discuss  several fea-  tures of forces, such as the force unit,  the vector nature of forces, the combining  of forces, and  the circumstances in which  we can measure forces (without being  fooled  by a fictitious force).  Unit. We can define the unit of force in terms of the acceleration a force would  give to the standard kilogram (Fig. 1.3.1), which has a mass defined  to be exactly  1 kg. Suppose we put that body on a horizontal, frictionless surface and pull hori-  zontally (Fig. 5.1.1) such that the body has an acceleration of 1 m/s 2 . Then we can  define our applied force as having a magnitude of 1 newton (abbreviated N). If we  then pulled  with a force magnitude of 2 N, we would  find that the acceleration is  2 m/s 2 . Thus, the acceleration is proportional  to the force. If the standard body of  1 kg has an acceleration of magnitude a (in meters per second per second), then the  force (in newtons) producing  the acceleration has a magnitude equal to a. We now  have a workable definition  of the force unit.  Vectors. Force  is  a  vector  quantity  and  thus  has  not  only  magnitude  but  also  direction.  So,  if  two  or  more  forces  act on  a  body,  we find  the  net  force  (or resultant force) by adding  them as vectors, following the rules of Chapter 3.  A single force that  has the same magnitude and direction  as the  calculated net  force would  then have the same effect as all the individual forces. This fact, called  the principle of superposition  for forces, makes everyday forces reasonable and  predictable. The  world  would  indeed  be strange and  unpredictable  if,  say, you  and a friend each pulled  on the standard body with  a force of 1 N and somehow  the net pull  was 14 N and the resulting acceleration was 14 m/s 2 .  In this book,  forces are most often represented with a vector symbol such  as F , and a net force is represented with the vector symbol F net . As with other  vectors, a  force  or  a  net  force  can have  components  along  coordinate  axes.  When  forces  act  only  along  a  single  axis, they  are single-component  forces.  Then we can drop the overhead arrows on the force symbols and just use signs  to indicate the directions of the forces along that axis.  The First Law. Instead of our previous wording, the more proper statement  of Newton’s first law is in terms of a net force:  →

a →

A force F  on the  standard kilogram gives that body  an acceleration  a .  Figure  5.1.1 

→

→

Newton’s First Law: If no net force acts on a body ( F net    = 0), the body’s velocity  cannot change; that is, the body cannot accelerate.  →

There may be multiple forces acting on a body, but  if their net force is zero, the  body  cannot accelerate. So, if  we happen to know  that a body’s  velocity is con-  stant, we can immediately say that the net force on it is zero.  Inertial  Reference  Frames 

Newton’s  first  law  is  not  true  in  all  reference frames, but  we  can  always find  reference frames in which it (as well as the rest of Newtonian mechanics) is true.  Such special frames are referred to as inertial reference frames, or simply inertial  frames.  An inertial reference frame is one in which Newton’s laws hold. 

For example, we can assume that the ground is an inertial frame provided we can  neglect Earth’s astronomical motions (such as its rotation). 

/

104

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

N W

E S

(a)

Earth’s rotation causes an apparent deflection. (b)

(a) The path of a puck  sliding from the north pole as seen  from a stationary point in space.  Earth rotates to the east. (b) The path  of the puck as seen from the ground.  Figure  5.1.2 

That assumption works well if, say, a puck is sent sliding along a short strip  of frictionless ice—we would  find that the puck’s  motion  obeys Newton’s laws.  However, suppose the puck is sent sliding along a long ice strip extending from  the  north  pole  (Fig.  5.1.2a).  If  we  view  the puck  from  a  stationary  frame in  space, the puck moves south  along a simple straight line because Earth’s rota-  tion  around  the north  pole  merely slides the ice  beneath the puck.  However,  if  we view the puck from a point  on  the ground  so  that we rotate with  Earth,  the  puck’s  path  is  not  a  simple  straight  line.  Because the  eastward speed  of  the ground  beneath the puck is greater the farther south  the puck slides, from  our ground-based view the puck appears to be deflected westward (Fig. 5.1.2b).  However, this  apparent  deflection  is  caused  not  by  a  force  as  required  by  Newton’s laws but by the fact that we see the puck from a rotating frame. In this  situation, the ground is a noninertial frame, and trying to explain the deflection  in terms of a force would lead us to a fictitious force. A more common example  of inventing such a nonexistent force can occur in  a car that is rapidly increas-  ing in speed. You might claim that a force to the rear shoves you hard into the  seat back.  FCP  In this book  we usually assume that the ground  is an inertial frame and that  measured forces and accelerations are from this frame. If measurements a re made  in, say, a vehicle that is accelerating relative to the ground, then the measurements  are being made in a noninertial frame and the results can be surprising. 

Checkpoint 5.1.1 

Which of the figure’s six arrangements correctly show the vector addition of forces F 1  and F 2  to yield the third vector, which is meant to represent their net force F net ?  →

→

→

F1

(a)

F1

F2

F1

(b)

F2

(c )

F2

F2

F1

(d )

F1

F1

(e)

F2

(f )

F2

Mass 

From everyday e xperience you already know that applying a given force to bod-  ies (say, a baseball and a bowling ball) results in different accelerations. The com-  mon  explanation is correct: The  object with  the  larger mass is  accelerated less.  But we can be more precise. The acceleration is actually inversely related to the  mass (rather than, say, the square of the mass).  Let’s justify that inverse relationship. Suppose, as previously, we push on the  standard body (defined to have a mass of exactly 1  kg) with a force of magnitude  1 N.  The body  accelerates with  a magnitude of  1 m/s 2 . Next we push  on  body  X with  the  same force  and  find  that  it accelerates at 0.25 m/s 2 . Let’s  make the  (correct) assumption that with the same force,  m X  ___  a  ___  =  0  ,  m 0  

a X 

/

5.1  NEWP ON’S  F IRSP   HND  SE- OND   L HWS 

105

and thus  a 0   1.0 m / s2    = 4.0 kg.  _________  m X = m 0  ___  a X = (1.0 kg) 0.25 m / s2    Defining the mass of X in this way is useful only if the procedure is consistent.  Suppose  we apply an 8.0 N force first to the standard body (getting an accelera-  tion  of  8.0 m/s 2 )  and  then  to  body  X (getting an acceleration of  2.0 m/s 2 ). We  would  then calculate the mass of X as  a 0   8.0 m / s2    = 4.0 kg,  ________  m X = m 0  ___  a X  = (1.0 kg) 2.0 m / s2    which means that our procedure is consistent and thus usable.  The results also suggest that mass is an intrinsic characteristic of a body—it  automatically comes with the existence of the body. Also, it is a scalar quantity.  However, the nagging question remains: What, exactly, is mass?  Since the word mass is used in everyday English, we should have some intui-  tive  understanding  of  it,  maybe something that  we  can  physically sense. Is  it  a body’s size, weight, or density? The answer is no, although those characteristics  are sometimes confused  with  mass. We can  say only  that the  mass of a body  is  the characteristic that relates a force on the body to the resulting acceleration. Mass  has no  more familiar definition;  you  can have a physical sensation  of mass only  when you try to accelerate a  body, as in the kicking of a baseball or a bowling ball. 

Newton’s Second Law 

All the definitions,  experiments, and observations we have discussed so  far can  be summarized in one neat statement:  Newton’s Second Law: The net force on a body is equal to the product of the  body’s mass and its acceleration. 

In equation form,  →

F net  = m a  →

(5.1.1) 

(Newton’s second law). 

Identify the Body. This  simple  equation  is  the  key idea  for  nearly  all  the  homework problems in this chapter, but we must use it cautiously. First, we must  be certain about which  body we are applying it to. Then  F net  must be the vector  sum of all the forces that act on that body. Only forces that act on that body  are  to be included in the vector sum, not forces acting on other bodies that might be  involved in the given situation. For example, if you are in a rugby scrum, the net  force on you is the vector sum of all the pushes and pulls on your body. It does not  include any push or pull  on another player from you or from anyone else. Every  time you work a force problem, your first step is to clearly state the body to which  you are applying Newton’s law.  Separate Axes. Like other vector equations, Eq. 5.1.1 is equivalent to three  component equations, one for each axis of an xyz coordinate system:  →

F net, x = ma x  ,  F net, y = ma y  ,  and  F net, z   = ma z  . 

(5.1.2) 

Each of  these equations  relates the  net  force component  along an  axis to  the  acceleration along that same axis. For  example, the  first equation  tells us that  the sum of all the force components along the x axis causes the x component a x   of the body’s  acceleration, but  causes no  acceleration in the y and z directions.  Turned around, the acceleration component a x  is caused only by the sum of the 

/

106

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

force components along the x axis and is completely unrelated to force compo-  nents along another axis. In general,  The acceleration component along a given axis is caused only by the sum of the force  components along that same axis, and not by force components along any other axis. 

Forces in Equilibrium. Equation 5.1.1 tells us that if the net force on a body  is zero, the body’s  acceleration a  = 0. If the body  is at rest, it stays at rest; if it  is moving, it continues to move at constant velocity. In such cases, any forces on  the body balance one another, and both the forces and the body are said to be in  equilibrium.  Commonly, the forces are also said to  cancel one  another, but  the  term “cancel” is tricky. It does not  mean that the forces cease to exist (canceling  forces is not  like canceling dinner  reservations). The forces still act on  the body  but cannot change the velocity.  Units. For SI units, Eq. 5.1.1 tells us that  →

1 N = (1 kg)(1 m / s2    ) = 1 kg ⋅ m / s2    . 

(5.1.3) 

Some force units in other systems of units are g iven in Table 5 .1.1 a nd Appendix D.  Table 5.1.1  Units  in Newton’s Second Law (Eqs. 5.1.1 and 5.1.2) 

System 

Force 

Mass 

Acceleration 

SI  CGS a  British b 

newton (N)  dyne  pound (lb) 

kilogram (kg)  gram (g)  slug 

m/s 2  cm/s 2  ft/s 2 

a 

1 dyne = 1 g ⋅ cm/s 2 .  1 lb = 1 slug ⋅ ft/s 2 . 

b 

Diagrams. To  solve  problems  with  Newton’s  second  law,  we  often  draw  a free-body diagram in  which  the only  body  shown  is the one  for which  we are  summing forces. A sketch  of  the body  itself  is preferred by  some teachers but,  to  save space in  these chapters, we shall  usually represent the body  with  a dot.  Also, each force on the body is drawn as a vector arrow with its tail anchored on  the  body.  A coordinate  system is usually included,  and  the acceleration of  the  body  is sometimes shown  with a vector arrow (labeled as an acceleration). This  whole procedure is designed to focus our attention on the body of interest.  External Forces Only. A system consists  of  one  or  more  bodies,  and  any  force  on  the  bodies  inside  the  system from  bodies  outside  the system is  called  an external force. If the bodies making up a system are rigidly connected to one  another, we can treat the system a s one composite body, and the net force F net on  it is the vector sum of all external forces. (We do not include internal forces —that  is, forces between two bodies inside the system. Internal forces cannot accelerate  the  system.) For  example, a connected railroad engine  and  car form  a system.  If, say, a tow line  pulls  on  the front  of  the engine, the force due to  the tow line  acts  on  the  whole  engine–car system. Just  as  for  a single  body,  we  can  relate  the net external force on a system to its acceleration with Newton’s second law,  F net  = m a , where m is the total mass of the system.  →

→

→

Checkpoint 5.1.2 

3N

5N

The figure here shows  two horizontal forces acting  on a block on a frictionless floor. If a third horizon-  tal force F 3  also acts on the block, what are the magnitude and direction of F 3  when the  block is (a) stationary and (b) moving to the left with a constant speed of 5 m/s?  →

→

/

5.1  NEWP ON’S  F IRSP   HND  SE- OND   L HWS 

Sample Problem 5.1.1

One- and two-dimensional forces,  puck 

Here are examples of  how  to  use  Newton’s  second  law  for  a puck  when one  or two  forces act on  it. Parts A, B,  and  C  of  Fig.  5.1.3 show  three  situations  in  which  one  or  two  forces act on  a puck  that moves over frictionless  ice  along  an  x  axis,  in  one-dimensional  motion.  The  puck’s  mass is m = 0.20 kg. Forces F 1 and F 2  are directed  along  the  axis  and  have  magnitudes  F 1  = 4.0 N  and  F 2  = 2.0  N.  Force  F 3  is  directed  at  angle  θ = 30°  and  has  magnitude  F 3  = 1.0 N. In  each situation,  what is  the  acceleration of the puck?  →

A F1 x

The horizontal force causes a horizontal acceleration.

( a)

→

Puck

→

F1

x

This is a free-body diagram.

(b )

B

KEY IDEA In  each  situation  we  can  relate  the  acceleration  a  to  the  net  force F net  acting on  the  puck  with  Newton’s second  law,  F net  =  m a  . However, because the  motion  is  along only  the  x axis, we can simplify each situation by writing the second law  for x components only:  →

F2

F1 x

→

→

107

(c )

→

F net, x = ma x .   

F2

(5.1.4) 

F1

For  Fig. 5.1.3b,  where only  one  horizontal  force acts, Eq. 5.1.4 gives us 

This is a free-body diagram.

C F2

θ

F3

F 1   = ma x ,   

x

Only the horizontal component of F3 competes with F2.

(e )

which, with given data, yields 

F2

F 1   _______  4.0 N  2  a x  = __  m =  0.20 kg = 20 m / s  . 

x

(d )

The  free-body diagrams for  the three situations  are also  given in Fig. 5.1.3, with the puck represented by a dot.  Situation A:

These forces compete. Their net force causes a horizontal acceleration.

(Answer) 

The  positive answer indicates that  the  acceleration is  in  the positive direction of the x axis. 

θ

F3

x

This is a free-body diagram.

(f )

In three situations, forces act on a puck that moves  along an x axis. Free-body diagrams are also shown.  Figure 5.1.3 

In  Fig. 5.1.3d, two  horizontal  forces act on  the  puck,  F 1  in  the  positive direction  of  x and  F 2  in  the  negative direction. Now Eq. 5.1.4 gives us 

F 3, x  is. (Force F 3 is two-dimensional but the motion is only  one-dimensional.) Thus, we write Eq. 5.1.4 as 

F 1  − F 2  = ma x,  

F 3, x  − F 2   = ma x  . 

Situation B: →

→

which, with given data, yields  F 1  − F 2  ____________  4.0 N − 2.0 N  2  a x  =  ______  m  =  0.20 kg  = 10 m / s  .  (Answer)  Thus,  the  net  force  accelerates the  puck  in  the  positive  direction of the x axis.  →

In Fig. 5.1.3f, force F 3 is not directed along the  direction of the puck’s acceleration; only the x component  Situation C:

→

(5.1.5) 

From  the  figure, we see that  F 3, x  = F 3   cos θ.  Solving for  the acceleration and substituting for F 3, x  yield  F 3, x − F 2   ___________  F 3  cos θ − F 2   a x   = ________  m  =  m  (1.0 N)(cos 30°) − 2.0 N  =  _____________________  = −5.7 m / s2    .  0.20 kg 

(Answer)  Thus,  the  net force  accelerates the  puck  in  the  negative  direction of the x axis. 

Hdditional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

108

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

Sample Problem 5.1.2

Two-dimensional  forces,  cookie  tin 

Here we find  a  missing  force by  using  the  acceleration.  In the overhead view of Fig. 5.1.4a, a 2.0 kg cookie  tin is  accelerated a t 3.0 m/s 2 in the direction shown by  a , over a  frictionless horizontal surface. The acceleration is caused  by three horizontal forces, only two of which are shown: F 1  of magnitude 10 N and F 2 of magnitude 20 N. What is the  third  force  F 3  in  unit-vector notation  and  in  magnitude-  angle notation? 

F 3, x  = ma x  − F 1, x  − F 2, x  

→

→

→

= m(a cos 50°) − F 1  cos(−150°) − F 2  cos 90°.  Then, substituting known  data, we find  F 3, x   = (2.0 kg)(3.0 m/s 2 ) cos 50° − (10 N) cos(−150°) 

→

− (20 N) cos 90°  = 12.5 N. 

KEY IDEA The net force F net on the tin is the sum of the three forces  and is related to  the acceleration  a  via Newton’s second  law ( F net  = m a ). Thus, 

F 3, y  = ma y  − F 1, y   − F 2, y   = m(a sin 50°) − F 1  sin(−150°) − F 2  sin 90° 

→

→

→

→

→

= (2.0 kg)(3.0 m/s 2 ) sin 50° − (10 N) sin(−150°)  − (20 N) sin 90° 

(5.1.6) 

F 1 + F 2 + F 3 = m a ,  →

= −10.4 N. 

which gives us 

Vector: →

→

(5.1.7) 

→

F 3 = m a   − F 1 − F 2 .  →

Because this  is  a two-dimensional  problem,  we cannot find F 3 merely by substituting the magnitudes for  the vector quantities on the right side of Eq. 5.1.7. Instead,  we must vectorially add m a , −F 1  (the reverse of F 1 ), and  −F 2 (the reverse of F 2 ), as shown in Fig. 5.1.4b. This addi-  tion  can be done  directly on  a vector-capable calculator  because we know  both  magnitude and angle for all three  vectors. However, here we shall evaluate the right side of  Eq. 5.1.7 in terms of components, first along the x axis and  then along the y axis. Caution: Use only one axis at a time.  Calculations:

In unit-vector notation, we can write  F 3 = F 3,x ˆ  i + F 3,y ˆ  j = (12.5 N) ˆ  i − (10.4 N) ˆ  j 

→

≈ (13 N) ˆ  i − (10 N) ˆ  j. 

(Answer) 

→

→

→

→

Similarly, along the y axis we find 

y components: →

→

Along the x axis we have 

x components:

→

→

We  can  now  use  a  vector-capable calculator  to  get  the  magnitude and  the angle of  F 3 . We  can also use  Eq.  3.1.6  to  obtain  the  magnitude and  the  angle (from  the  positive  direction of the x axis) as  →

__________ 

2  2  F 3  =  √ F 3,  x   + F 3, y   = 16 N 

F 

3 , y   θ = tan −1 ____  = −40°.  F 

and 

3 , x  

(Answer) 

y

These are two of the three horizontal force vectors.

This is the resulting horizontal acceleration vector.

F2

y

We draw the product of mass and acceleration as a vector. – F1

a

– F2

50° ma

x

30° F1

(a)

(b)

x

F3

Then we can add the three vectors to find the missing third force vector.

(a) An overhead view of two of three horizontal forces that act on a cookie tin,  resulting in acceleration a . F 3  is not shown. (b) An arrangement of vectors m a , −F 1 ,  and −F 2  to find force F 3 .  Figure  5.1.4 

→

→

→

→

→

→

Hdditional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

5.2  SOME  A HRP I- U L HR F OR- ES 

109

5.2  SOME PARTICULAR FORCES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

5.2.1  Determine the magnitude and direction of the gravi- 

5.2.4  Determine the magnitude and direction  of the 

tational force acting on a body with a given mass, at a 

normal force on an object when  the object is 

location with a given free-fall  acceleration. 

pressed or pulled  onto a surface. 

5.2.2  Identify that the weight  of a body is the magni- 

5.2.5  Identify that the force parallel  to the surface  is a 

tude of the net force required  to prevent the  body 

frictional  force that appears when  the object slides 

from falling  freely, as measured from the reference  frame of the ground. 

or attempts to slide along the surface.  5.2.6  Identify that a tension force is said to pull at both 

5.2.3  Identify that a scale gives an object’s weight when 

ends of a cord (or a cord-like object) when  the cord 

the measurement is done in an inertial frame but not in 

is taut. 

an accelerating frame, where  it gives an  apparent weight. 

Key  Ideas  →

●

A gravitational force 

F g on a body is a pull  by another 

→

●

A normal force 

F N is the force on a body from a sur- 

body. In most situations in  this book, the other body 

face against which  the body presses. The normal force 

is Earth or some other astronomical body. For Earth, 

is always perpendicular  to the surface. 

the force is directed  down toward the ground, which  is  assumed to be an inertial  frame.  With that assumption,  →

F g is 

the magnitude of 

f  is the force on a body when  the 

body slides or attempts to slide along a surface. The 

as to oppose the sliding. On a frictionless surface, the  frictional  force is negligible. 

m is the body’s mass and  g is the magnitude of 

the free-fall  acceleration.  ●

A frictional force 

force is always parallel to the surface and directed so 

F g  = mg,  where 

→

●

●

When a cord is under tension, each end of the cord pulls 

on a body. The pull is directed along the cord, away from 

W  of a body is the magnitude of the upward 

The weight 

force needed  to balance the gravitational force on the  body. A body’s weight  is related to the body’s mass by 

the point of attachment to the body. For a massless cord (a  cord with  negligible mass), the pulls at both ends of the cord  have the same magnitude 

T, even if the cord runs around 

a massless, frictionless pulley (a pulley with negligible  mass 

W = mg. 

and negligible  friction on its axle to oppose its rotation). 

Some  Particular Forces  The  Gravitational Force  →

A gravitational force F g on a body is a certain type of pull  that is directed toward  a second body. In these early chapters, we do not discuss the nature of this force  and  usually consider  situations  in  which  the  second  body  is  Earth. Thus,  when  we speak of  the  gravitational force F g  on  a body,  we usually mean a  force that  pulls  on it directly toward the center of Earth—that is, directly down  toward the  ground. We shall assume that the ground is an inertial frame.  Free Fall. Suppose a body of mass m is in free fall with the free-fall accelera-  tion of magnitude g. Then, if we neglect the effects of the air, the only force acting  on the body  is the gravitational force F g . We can relate this downward force and  downward  acceleration with  Newton’s second  law ( F  =  m a ). We  place a  ver-  tical  y  axis along  the  body’s  path,  with  the  positive direction  upward.  For  this  axis, Newton’s second  law can be written in  the form F net, y   = ma y  , which, in our  situation, becomes  −F g = m( − g)  →

→

→

or 

F g   = mg. 

→

(5.2.1) 

In words, the magnitude of the gravitational force is equal to the product mg. 

/

110

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

mL

mR

At Rest. This same gravitational force, with the same magnitude, still acts on  the body  even when the body is not in free fall but is, say, at rest on a pool  table  or moving across the table. (For the gravitational force to disappear, Earth would  have to disappear.)  We can write Newton’s second law for the gravitational force in these vector  forms:  ˆ  F g = −F g ˆ  j = −mg  j = m g  ,   

→

(5.2.2) 

→

ˆ is the unit  vector that points  upward along a y axis, directly away from  where j  the  ground,  and  g  is  the  free-fall acceleration (written  as  a  vector), directed  downward.  →

F gL

= mL g

FgR

= mR g

An equal-arm balance.  When the device is in balance, the  gravitational force F gL  on the body  being weighed (on the left pan) and  the total gravitational force F gR  on  the reference bodies (on the right  pan) are equal. Thus, the mass m L  of the body being weighed is equal  to the total mass m R  of the reference  bodies.  Figure  5.2.1 

→

→

Weight 

The weight W of a body is the magnitude of the net force required to prevent the  body  from falling freely, as measured by someone on  the ground. For  example,  to keep a ball at rest in your hand  while you stand on the ground, you must pro-  vide an upward force to balance the gravitational force on  the ball  from Earth.  Suppose the magnitude of the gravitational force is 2.0 N. Then the magnitude of  your upward force must be 2.0 N, and thus  the weight W of the ball is 2.0 N. We  also say that the ball weighs 2.0 N and speak about the ball weighing 2.0 N.  A  ball  with  a  weight  of  3.0 N  would  require  a  greater force  from  you—  namely, a 3.0 N force—to keep it at rest. The reason is that the gravitational force  you must balance has a greater magnitude—namely, 3.0 N. We say that this sec-  ond  ball is heavier than the first ball.  Now let us generalize the situation. Consider a body that has an acceleration  a  of zero relative to the ground, which we again assume to be an inertial frame.  Two forces act on  the body: a downward gravitational force F g  and  a balancing  upward force of magnitude W. We can write Newton’s second law for a vertical y  axis, with the positive direction upward, as 

→

→

F net, y  = ma y.   In our situation, this becomes  W − F g  = m(0)  or 

W = F g  

(weight, with ground as inertial frame). 

(5.2.3)  (5.2.4) 

This equation tells us (assuming the ground  is an inertial frame) that  Scale marked in either weight or mass units

The weight W of a body is equal to the magnitude F g  of the gravitational force  on the body. 

Substituting  mg for F g  from Eq. 5.2.1, we find  W = mg  Fg

(weight), 

(5.2.5) 

= mg

A spring scale. The read-  ing is proportional to the weight of  the object on the pan, and the scale  gives that weight if marked in weight  units. If, instead, it is marked in mass  units, the reading is the object’s  weight only if the value of g at the  location where the scale is being  used is the same as the value of g  at the location where the scale was  calibrated.  Figure  5.2.2 

which relates a body’s weight to its mass.  Weighing. To weigh a body means to measure its weight. One way to do this  is to place the body on  one of the pans of an equal-arm balance (Fig. 5.2.1) and  then  place  reference bodies  (whose  masses are known)  on  the  other  pan  until  we strike a balance (so that the gravitational forces on the two sides match). The  masses on  the pans then match, and we know  the mass of  the body.  If we know  the value of g for the location of the balance, we can also find  the weight of the  body with Eq. 5.2.5.  We can also weigh a body with a spring scale (Fig. 5.2.2). The body stretches  a spring, moving a pointer along a scale that has been calibrated and marked in 

/

5.2  SOME  A HRP I- U L HR F OR- ES 

111

either  mass or  weight  units.  (Most  bathroom  scales in  the  United  States  work  this  way  and  are marked in  the  force  unit  pounds.)  If  the  scale is  marked in  mass units, it is accurate only where the value of g is the same as where the scale  was calibrated.  The weight of  a body  must  be measured when  the body  is not  accelerating  vertically relative to the ground. For example, you can measure your weight on  a  scale in your bathroom or on a fast train. However, if you repeat the measure-  ment  with  the  scale  in  an  accelerating elevator, the  reading differs  from  your  weight  because of  the  acceleration. Such  a measurement is  called an  apparent  weight.  Caution: A body’s  weight is not its mass. Weight is the magnitude of a force  and  is  related to  mass by  Eq.  5.2.5. If  you  move a body  to  a point  where  the  value of g is different, the body’s mass (an intrinsic property) is not different but  the weight is. For example, the weight of a bowling ball having a mass of 7.2 kg is  71 N on Earth but only 12 N on the Moon. The mass is the same on Earth and the  Moon,  but the free-fall acceleration on the Moon  is only 1.6 m/s 2 .  The  Normal Force 

If you stand on a mattress, Earth pulls you downward, but you remain stationary.  The reason is that the mattress, because it deforms downward due to you, pushes  up on you. Similarly, if you stand on a floor, it deforms (it is compressed, bent, or  buckled ever so slightly) and pushes up on  you. Even a seemingly rigid concrete  floor  does this  (if it  is not  sitting  directly on  the ground, enough  people  on  the  floor could  break it).  The push  on you from the mattress or floor  is a normal force F N . The name  comes from the mathematical term normal, meaning perpendicular: The force on  you from, say, the floor  is perpendicular to the floor.  →

When a body presses against a surface, the surface (even a seemingly rigid  one) deforms and pushes on the body with a normal force F N  that is perpen-  dicular to the surface.  →

Figure 5.2.3a shows an example. A block of mass m presses down on a table,  deforming  it somewhat because of  the gravitational force F g  on  the  block.  The  table pushes up on the block with normal force F N . The free-body diagram for the  block is given in Fig. 5.2.3b. Forces F g and F N are the only two forces on the block  and they are both  vertical. Thus, for the block  we can write Newton’s second law  for a positive-upward y axis (F net, y  = ma y) as    →

→

→

→

F N  − F g  = ma y.   y

The normal force is the force on the block from the supporting table.

Normal force FN

Block

FN

Block x

The gravitational force on the block is due to Earth’s downward pull.

Fg

( a)

The forces balance.

Fg

(b)

(a) A block resting on a table experiences a normal force F N  perpendicular  to the tabletop. (b) The free-body diagram for the block.  Figure  5.2.3 

→

/

112

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

From Eq. 5.2.1, we substitute mg for F g , finding    F N  − mg = ma y.   Then the magnitude of the normal force is  F N = mg + ma y  = m(g + a y  ) 

(5.2.6) 

for any vertical acceleration a y  of the table and block (they might be in an accel-  erating elevator). (Caution: We have already included the sign for g but a y  can be  positive or negative here.) If the table and block  are not  accelerating relative to  the ground, then a y   = 0 and Eq. 5.2.6 yields  F N = mg. 

(5.2.7) 

Checkpoint 5.2.1 

In Fig. 5.2.3, is the magnitude of the normal force F N  greater than, less than, or equal  to mg if the block and table are in an elevator moving upward (a) at constant speed  and (b) at increasing speed?  →

Friction 

Direction of attempted slide f →

A frictional force  f  opposes the attempted slide of a body  over a surface.  Figure  5.2.4 

If we either slide or attempt to slide a body over a surface, the motion  is resisted  by a bonding between the body and the surface. (We discuss this bonding more in  the next chapter.) The resistance is considered to be a single force  f , called either  the  frictional  force  or  simply  friction.  This  force  is  directed along  the  surface,  opposite the direction of the intended motion (Fig. 5.2.4). Sometimes, to simplify  a situation, friction is assumed to be negligible (the surface, or even the body,  is  said to be frictionless).  →

Tension 

When  a cord (or  a rope,  cable, or other  such  object) is  attached to a body  and  pulled taut, the cord pulls on the body with a force T  directed away from the body  and along the cord (Fig. 5.2.5a). The force is often called a tension force because  the cord is said to be in a state of tension  (or to  be under  tension), which means  that it is being pulled taut. The tension in the cord is the magnitude T of the force  on the body. For example, if the force on the body  from the cord has magnitude  T = 50 N, the tension in the cord is 50 N.  A cord is often said to be massless (meaning its mass is negligible compared  to the body’s  mass) and unstretchable. The cord then exists only as a connection  between two  bodies. It  pulls  on  both  bodies  with  the  same force magnitude T,  →

T

T

T

T

The forces at the two ends of the cord are equal in magnitude.

(a )

(b )

T

T

(c )

(a) The cord, pulled taut, is under tension. If its mass is negligible, the cord  pulls on the body and the hand with force T , even if the cord runs around a massless,  frictionless pulley as in (b) and (c).  Figure  5.2.5 

→

/

5.3  HA A L Y ING  NEWP ON’S  L HWS 

113

even if the bodies and the cord are accelerating a nd even if the cord runs around  a  massless, frictionless  pulley  (Figs. 5.2.5b  and  c). Such  a  pulley  has  negligible  mass compared to the bodies and negligible friction on its axle opposing its rota-  tion. If the cord wraps halfway around a pulley, as in Fig. 5.2.5c, the net force on  the pulley from the cord has the magnitude 2T.  Checkpoint 5.2.2 

The suspended body in Fig. 5.2.5c weighs 75 N. Is T equal to, greater than, or less than  75 N when the body is moving upward (a) at constant speed, (b) at increasing speed,  and (c) at decreasing speed? 

5.3  APPLYING NEWTON’S LAWS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

5.3.1  Identify Newton’s third law  of motion and third-law 

5.3.3  For an arrangement where a system of several 

force pairs. 

objects moves rigidly together, draw a free-body 

5.3.2  For an object that moves vertically or on a horizon- 

diagram and apply Newton’s second law  for the 

tal or inclined  plane, apply Newton’s second law  to a 

individual  objects and also for the system taken as 

free-body diagram of the object. 

a composite object. 

Key  Ideas  →

F net on a body with mass m is related to  the body’s acceleration  a  by  ●

The net force 

→

→

→

●

If a force 

F BC  acts on body B due to body C, then  F CB  on body C due  to body B:  →

there is a force 

F net  = m a ,  →

→

→

F BC  = F CB . 

which  may be written  in the component versions 

F net,x = m a  x   F net,y = m a  y   and  F net,z = m a  z.  

The forces are equal  in magnitude but opposite in  direction. 

Newton’s Third Law 

Two bodies are said to interact when they push or pull on each other—that is,  when a force acts on each body due to the other body. For example, suppose  you  position  a book  B  so  it leans  against a crate C  (Fig. 5.3.1a). Then  the  book and crate interact: There is a horizontal force F BC on the book from the  crate (or due to the crate) and a horizontal force F CB  on  the crate from the  book  (or due  to the book).  This pair of forces is shown  in Fig. 5.3.1b. New-  ton’s third law states that  →

Book B

Crate C

→

(a)

FBC

Newton’s Third Law: When two bodies interact, the forces on the bodies  from each other are always equal in magnitude and opposite in direction. 

FC B

B

C

(b )

For the book  and crate, we can write this law as the scalar relation  F BC  = F CB 

(equal magnitudes) 

or as the vector relation  →

→

F BC  = −F CB 

Figure  5.3.1 

(equal magnitudes and opposite directions), 

The force on B due to C has the same magnitude as the force on C due to B.

(a) Book B leans against crate  →

(5.3.1)  C. (b) Forces  F BC  (the force on the book  →

from the crate)  and F CB  (the force on  where the minus sign means that these two forces are in opposite directions.  the crate from the book) have the same  We can call the forces between two interacting bodies a third-law force pair.  magnitude and are opposite in direction. 

/

114

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

Cantaloupe

FC E

Cantaloupe C

These are third-law force pairs.

F EC

Table T

Earth Earth E (a )

(c ) F CT

These forces just happen to be balanced.

F CT

(normal force from table)

So are these. F TC

F CE

(gravitational force) (b )

(d )

(a) A cantaloupe lies on a table that stands on Earth. (b) The forces on  the cantaloupe are  F CT  and F CE . (c) The third-law force pair for the cantaloupe–Earth  interaction. (d) The third-law force pair for the cantaloupe–table interaction.  Figure  5.3.2 

→

→

When  any two bodies  interact in any situation, a third-law force pair is present.  The book  and crate in Fig. 5.3.1a are stationary, but the third law would  still hold  if they were moving and even if they were accelerating.  As another example, let us  find  the third-law force pairs involving the can-  taloupe in Fig. 5.3.2a, which lies on a table that stands on Earth. The cantaloupe  interacts with the table and with  Earth (this time, there are three bodies  whose  interactions we must sort out).  Let’s first focus on the forces acting on the cantaloupe (Fig. 5.3.2b). Force F CT  is the normal force on the cantaloupe from the table, and force F CE  is the gravi-  tational force on  the cantaloupe due  to Earth. Are they a third-law force pair?  No,  because they  are forces  on  a single  body,  the  cantaloupe,  and  not  on  two  interacting bodies.  To  find  a  third-law  pair,  we must  focus  not  on  the  cantaloupe  but  on  the  interaction  between  the  cantaloupe  and  one  other  body.  In  the  cantaloupe–  Earth interaction (Fig. 5.3.2c), Earth pulls on the cantaloupe with a gravitational  force F CE  and the cantaloupe pulls  on Earth with a gravitational force F EC . Are  these forces a third-law force pair? Yes, because they are forces on two interacting  bodies, the force on each due to the other. Thus, by Newton’s third law,  →

→

→

→

→

→

F CE  = − F EC 

(cantaloupe–Earth interaction). 

Next, in  the cantaloupe–table interaction, the force on the cantaloupe from  the table is F CT  and, conversely, the force on the table from the cantaloupe is F TC  (Fig. 5.3.2d). These forces are also a third-law force pair, and so  →

→

→

→

F CT  = − F TC 

(cantaloupe–table interaction). 

Checkpoint 5.3.1 

Suppose that the cantaloupe and table of Fig. 5.3.2 are in an elevator cab that begins  to accelerate upward. (a) Do the magnitudes of F TC  and F CT  increase, decrease, or stay  the same? (b) Are those two forces still equal in magnitude and opposite in direction?  (c) Do the magnitudes of F CE  and F EC  increase, decrease, or stay the same? (d) Are  those two forces still equal in magnitude and opposite in direction?  →

→

→

→

/

5.3  HA A L Y ING  NEWP ON’S  L HWS 

115

Applying Newton’s Laws 

The rest of this chapter consists of sample problems. You should  pore over them,  learning their procedures for attacking a problem. Especially important is know-  ing how to translate a sketch of a situation into a free-body diagram with appro-  priate axes, so that Newton’s laws can be applied. 

Sample Problem 5.3.1

Block  on table,  block  hanging 

Figure 5.3.3 shows  a block  S (the sliding  block) with  mass  M  =  3.3 kg. The  block  is  free to  move along a horizontal  frictionless surface and connected, by a cord that wraps over  a frictionless pulley, to a second block H (the hanging block),  with  mass m = 2.1 kg. The  cord  and pulley have negligible  masses compared to  the blocks  (they are “massless”). The  hanging  block  H falls as  the  sliding  block  S accelerates to  the right. Find (a) the acceleration of block S, (b) the accel-  eration of block H, and (c) the tension in the cord.  Q  What is this problem all about?  You  are given  two  bodies—sliding  block  and  hang-  ing  block—but  must  also  consider Earth,  which  pulls  on  both  bodies.  (Without  Earth,  nothing  would  happen  here.) A total  of five forces act on  the  blocks, as shown  in Fig. 5.3.4:  1.  The  cord  pulls  to  the  right  on  sliding  block  S  with  a  force of magnitude T.  2.  The cord pulls upward on hanging block H with a force  of  the  same  magnitude  T.  This  upward  force  keeps  block H from falling freely.  3.  Earth  pulls  down  on  block  S  with  the  gravitational  force F gS , which has a magnitude equal to Mg.  →

4.  Earth  pulls  down  on  block  H  with  the  gravitational  force F gH , which has a magnitude equal to mg.  →

→

5.  The table pushes up on block S with a normal force F N .  There is another thing  you  should  note.  We assume  that the cord does not stretch, so that if block H falls 1 mm  Sliding block S M

Frictionless surface m

Hanging block H

FN

Block S T

M

F gS T m

F gH

Figure 5.3.4 

The forces acting on the two blocks of Fig. 5.3.3. 

in a certain time, block S moves 1 mm to the right in that  same time. This means that the blocks move together and  their accelerations have the same magnitude a.  Q  How  do  I  classify this  problem?  Should  it  suggest a  particular law of physics to me?  Yes. Forces, masses, and accelerations are involved,  and they should  suggest Newton’s second law of motion,  F net = m a  . That is our starting key idea. 

→

→

Q  If  I  apply  Newton’s  second  law  to  this  problem,  to  which body should  I apply it?  We  focus  on  two  bodies,  the  sliding  block  and  the  hanging block.  Although they are extended objects (they  are  not  points),  we  can  still  treat  each  block  as  a  par-  ticle because every part  of  it moves in  exactly the  same  way. A second key idea is to apply Newton’s second law  separately to each block.  Q  What about the pulley?  We cannot represent the pulley as a particle because  different parts of it move in different ways. When we discuss  rotation,  we shall  deal with  pulleys  in  detail.  Meanwhile,  we eliminate the pulley from consideration by assuming its  mass to be negligible compared with the masses of the two  blocks. Its only function is to change the cord’s orientation.  →

A block S of mass M is connected to a block H of  mass m by a cord that wraps over a pulley.  Figure  5.3.3 

Block H

Q  OK. Now how do I apply F net = m a  to the sliding block?  Represent block S as a particle of mass M and draw all  the forces that act on it, as in Fig. 5.3.5a. This is the block’s  free-body diagram. Next, draw a set of axes. It makes sense  →

/

116

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

We can now substitute mg for F gH and −a for a y  (negative  because block  H accelerates in the  negative direction of  the y axis). We find  T − mg = −ma.  (5.3.6) 

y

y

FN

a

Now note that Eqs. 5.3.4 a nd 5.3.6 are simultaneous equa-  tions  with the same two unknowns,  T and a. Subtracting  these equations eliminates T. Then solving for a yields  m  g.  a = _______  (5.3.7)  M + m 

T T

M

F gS

m

x

Sliding block S

a

x

F gH

(a)

Hanging block H

Substituting this result into Eq. 5.3.4 yields 

( b)

(a) A free-body diagram for block S of Fig. 5.3.3.  (b) A free-body diagram for block H of Fig. 5.3.3. 

Mm  g.  T =  _______  M + m 

Figure  5.3.5 

Putting in the numbers gives, for these two quantities,  2.1 kg  m  g = _____________  a = _______  (9.8 m / s2    )  M + m  3.3 kg + 2.1 kg 

to draw the x axis parallel to the table, in the direction  in  which the block moves.  Q  Thanks,  but  you  still  haven’t  told  me  how  to  apply  F net  =  m a   to  the  sliding  block.  All  you’ve  done  is  explain how to draw a free-body diagram.  You  are  right,  and  here’s  the  third  key  idea:  The  expression F net = M a  is a vector e quation, so we can write  it as three component equations:  →

→

→

→

F net, x  = Ma x  

F net, y  = Ma y  

F net, z  = Ma z   (5.3.2) 

in which F net, x, F    net, y , and F    net, z  are the components of the  net force along the three axes. Now we apply  each com-  ponent  equation to  its corresponding  direction. Because  block  S  does  not  accelerate  vertically,  F net,y = Ma y   becomes  F N − F gS  = 0 

or 

F N = F gS . 

(5.3.3) 

Thus in the y direction, the magnitude of the normal force is  equal to the magnitude of the gravitational force.  No force acts in the z direction, which is perpendicu-  lar to the page.  In the x direction, there is only one force component,  which is T. Thus, F net, x = Ma x  becomes  T = Ma. 

(5.3.4) 

This equation contains two unknowns, T and a; so we can-  not  yet solve it.  Recall, however, that  we have not  said  anything about the hanging block.  →

Q  I  agree. How  do  I  apply  F net  =  m a   to  the  hanging  block?  We apply it just as we did for block S: Draw a free-body  diagram for  block  H, as in  Fig. 5.3.5b. Then apply F net  =  m a  in  component form. This time, because the  accelera-  tion is along the y axis, we use the y part of Eq. 5.3.2 (F net, y  =  ma y) to write    →

→

→

T − F gH  = ma y.  

(5.3.5) 

(5.3.8) 

= 3.8 m / s2    and 

(Answer) 

(3.3 kg)(2.1 kg)  Mm  g = ______________  T =  _______  (9.8 m / s2    )  M + m  3.3 kg + 2.1 kg  = 13 N. 

(Answer) 

Q  The problem is now solved, right?  That’s  a fair  question,  but  the  problem is  not  really  finished until we have examined the results to see whether  they make sense. (If you  made these calculations on  the  job,  wouldn’t  you  want to  see whether they made sense  before you turned them in?)  Look  first  at Eq.  5.3.7. Note  that it  is  dimensionally  correct and that the acceleration a will always be less than  g (because of the cord, the hanging block is not in free fall).  Look  now  at  Eq.  5.3.8,  which  we  can  rewrite  in  the form  M  mg.  T = _______  M + m 

(5.3.9) 

In  this  form, it  is  easier to  see that this  equation  is  also  dimensionally correct, because both T and mg have dimen-  sions of forces. Equation 5.3.9 also lets us see that the ten-  sion in the cord is always less than mg, and thus is always  less than the gravitational force on the hanging block. That  is a comforting thought because, if T were greater than mg,  the hanging block would accelerate upward.  We can also check the results by studying special cases,  in which we can guess what the answers must be. A simple  example is to put g = 0, as if the experiment were carried out  in interstellar space. We know  that in  that case, the blocks  would not move from rest, there would  be no forces on the  ends of  the  cord, and  so  there would  be  no  tension  in  the  cord. Do the formulas predict this? Yes, they do. If you put  g = 0 in  Eqs. 5.3.7 and 5.3.8, you find  a = 0 and T = 0. Two  more special cases you might try are M = 0 and m → ∞. 

Hdditional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

5.3  HA A L Y ING  NEWP ON’S  L HWS 

Sample Problem 5.3.2

Cord  accelerates  box up a  ramp 

Many  students  consider  problems  involving  ramps  (inclined  planes) to  be  especially hard.  The  difficulty  is  probably visual because we work with (a) a tilted coordi-  nate system and (b) the components  of the gravitational  force, not the full force. Here is a typical example with all  the tilting  and angles explained. (In WileyPLUS, the fig-  ure is available as an animation with voiceover.) In spite  of the tilt, the key idea is to apply Newton’s second law to  the axis along which the motion occurs.  In  Fig.  5.3.6a,  a cord  pulls  a box  of  sea biscuits  up  along a frictionless plane inclined at angle θ = 30.0°. The  box has mass m = 5.00 kg, and the force from the cord has  magnitude T  = 25.0 N. What is  the  box’s  acceleration a  along the inclined plane? 

perpendicular  to  the  plane),  as  expressed by  Newton’s  second law (Eq. 5.1.1).  We need to write Newton’s second law for  motion  along an  axis. Because the box  moves along  the  inclined  plane,  placing an  x axis  along  the  plane  seems  reasonable  (Fig.  5.3.6b).  (There  is  nothing  wrong  with  using our usual coordinate system, but the expressions for  components  would  be  a lot  messier because of  the  mis-  alignment of the x axis with the motion.)  After  choosing  a  coordinate  system,  we  draw  a  free-body  diagram  with  a  dot  representing  the  box  (Fig. 5.3.6b). Then we draw all the vectors for the forces  acting on  the box, with the tails of the vectors anchored  on  the dot.  (Drawing the vectors willy-nilly on  the dia-  gram can easily lead to  errors, especially on  exams, so  always anchor the tails.)  Force T  from the cord is up the plane and has magni-  tude T = 25.0 N. The gravitational force F g is downward (of  Calculations:

KEY IDEA

→

The  acceleration  along  the  plane  is  set  by  the  force  components  along  the  plane  (not  by  force  components 

(a) A box is pulled up a plane  by a cord. (b) The three forces acting on  the box: the cord’s force T , the gravita-  tional force F g , and the normal force F N .  (c)–(i) Finding the force components  along the plane and perpendicular to it.  In  WileyPLUS, this figure is available as  an animation with voiceover. 

→

y

Figure  5.3.6 

Normal force

→

→

→

T

The box accelerates.

Cord’s pull

θ

θ

Fg

Gravitational force

(b)

Perpendicular component of

This is also. 90° – θ

θ

θ

θ

Fg

Hypotenuse

Fg

(c )

A 

x

FN

Cord

(a)

This is a right triangle. 90° – θ

117

(d)

Parallel component of

(e )

θ

(f )

Adjacent leg (use cos θ )

Opposite leg (use sin θ )

Fg

The net of these forces determines the acceleration.

θ

mg

cos θ

mg

mg

(g)

mg

These forces merely balance.

y x T

x

FN

sin θ

sin θ

mg

( h)

cos θ

(i )

/

118

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

course)  and  has  magnitude  mg  =  (5.00 kg)(9.80 m/s 2 )  =  49.0 N. That direction means that only a component of the  force is along the plane, and only that component (not the  full  force)  affects the  box’s  acceleration along  the  plane.  Thus, before we can write Newton’s second law for motion  along  the  x  axis, we  need  to  find  an  expression for  that  important component.  Figures 5.3.6c to h  indicate the  steps that lead to the  expression. We start with the given angle of the plane and  work our way to a triangle of the force components (they are  the legs of the triangle and the full force is the hypotenuse).  Figure 5.3.6c shows that the angle between the ramp and  F g  is 90°  −  θ. (Do  you  see a right  triangle  there?) Next,  Figs. 5.3.6d to f show F g  and its components: One compo-  nent is parallel to the plane (that is the one we want) and  the other is perpendicular to the plane.  Because the perpendicular component is perpendicu-  lar, the  angle between it and  F g  must be  θ (Fig. 5.3.6d).  The component  we want is the far leg of  the component  right  triangle.  The  magnitude  of  the  hypotenuse  is  mg  (the magnitude of the gravitational force). Thus, the com-  ponent  we want has magnitude mg sin θ (Fig. 5.3.6g).  We  have  one  more  force  to  consider,  the  normal  force F N shown in Fig. 5.3.6b. However, it is perpendicular to 

the plane and thus  cannot affect the motion along the plane.  (It has no component along the plane to accelerate the box.)  We are now ready to write Newton’s second  law for  motion along the tilted x axis:  F net, x  = ma x.   The component a x  is the only component of the acceleration  (the box  is  not  leaping up  from  the plane, which  would  be  strange, or  descending into  the plane, which  would  be even  stranger). So, let’s simply write a for the acceleration along the  plane. Because T  is in the positive x direction and the com-  ponent mg sin  θ is in the negative x direction, we next write  →

→

T − mg sin  θ = ma. 

→

Substituting data and solving for a, we find  a = 0.100 m /s 2 . 

→

(Answer) 

The  result  is  positive,  indicating  that  the  box  acceler-  ates up the inclined plane, in the positive direction of the  tilted x axis. If we decreased the magnitude of T  enough  to make a = 0, the box would  move up  the plane at con-  stant speed. And if we decrease the magnitude of T  even  more, the  acceleration would  be negative in spite  of  the  cord’s pull.  →

→

→

Sample Problem 5.3.3

(5.3.10) 

Fear and  trembling on a roller  coaster 

Many roller-coaster enthusiasts prefer riding  in the first car  because they enjoy being the first to go over an “edge” and  onto  a downward  slope.  However, many other enthusiasts  prefer the rear car, claiming that going over the edge is far 

more frightening there.  What produces  that  fear factor  in  the  last  car  of  a  traditional  gravity-driven roller  coaster?  Let’s consider  a coaster having 10 identical cars with  total  mass M and massless interconnections.  Figure 5.3.7a shows 

θ

(a)

( b) T x

x

' T

1 Mg sin θ 10

( c) T x

'

x

T

9 Mg sin θ 10

(d )

A roller coaster with (a) the first car on a slope and (b) all but the last car  on the slope. (c) Free-body diagrams for the cars  on the plateau and the car  on the slope  in (a). (d) Free-body diagrams for (b).  Figure  5.3.7 

/

5.3  HA A L Y ING  NEWP ON’S  L HWS 

the coaster just after the first car has begun its descent along  a  frictionless  slope  with  angle  θ.  Figure  5.3.7b  shows  the  coaster just before the last car begins its descent. What is the  acceleration of the coaster in these two situations? 

KEY IDEAS (1) The net force on an object causes the object’s accel-  eration, as related by Newton’s second law ( F net = m a  ).  (2) When the motion is along a single axis, we write that law  in component form (such as F net, x = ma x) and  we use only    force components along that axis. (3) When several objects  move together with  the same velocity and the same accel-  eration, they can be regarded as a single composite object.  Internal forces act between the individual objects, but only  external forces can cause the composite object to accelerate.  →

→

Figure  5.3.7c  shows  free-  body  diagrams associated  with  Fig.  5.3.7a,  with  conve-  nient axes superimposed. The tilted x ′ axis has its positive  direction  up  the  slope.  T  is  the  magnitude of  the  inter-  connection  force  between the  car on  the  slope  and  the  cars still  on  the  plateau. Because the  coaster consists of  10 identical  cars with  total  mass M,  the mass of  the  car  1  on  the slope  is  __  M and  the mass of  the cars on  the pla-  10  9  teau  is  __  M.  Only  a  single  external force acts  along  the  10  x axis on  the  nine-car composite—namely, the  intercon-  nection  force  with  magnitude  T.  (The  forces  between  the nine cars are internal forces.) Thus,  Newton’s second  law  for  motion  along  the  x axis (F net, x  =  ma x)    becomes 

From Sample Problem 5.3.2, we know  to write that gravi-  tational  component  as  −mg  sin θ,  where  m  is  the  mass.  Because we know  that the car accelerates down the slope  in the negative x ′ direction with magnitude a, we can write  1  the acceleration a s −a. Thus, for this car, with mass __  M we  10  write Newton’s second law for motion along the x ′ axis as  1  1  T − __  Mg sin  θ = __  M(−a).  10  10  9  Substituting our result of T = __  Ma, we find  10  1  a =  __  g sin  θ.  10 

where a is the magnitude of the acceleration a x  along the  x axis.  Along the tilted x ′ axis, two forces act on the car on the  slope: the interconnection force with magnitude T (in the  positive direction of the axis) and the x ′ component of the  gravitational force (in  the negative direction of  the axis). 

(Answer) 

Figure 5.3.7d shows free-body  diagrams associated with Fig. 5.3.7b. For the car still on the  plateau, we rewrite our previous result for the tension as  Calculations for Fig. 5.3.7b:

1  T = __  Ma.  10 

Calculations for Fig. 5.3.7a:

9  T =  __  10 Ma, 

119

Similarly, we rewrite the  equation  for  motion  along  the  x ′ axis as  9  9  T − __  Mg sin  θ = __  M(−a).  10  10 

Again solving for a, we now find 

9  a =  __  g sin  θ.  10 

(Answer) 

This last answer is 9 times the first answer.  Thus,  in  general,  the  acceleration  of  the  cars  greatly  increases as more of them go over the edge and onto  the  slope.  That  increase  in  acceleration occurs  regardless of  your car choice, but your interpretation of the acceleration  depends on the choice. In the first car, most of the accelera-  tion occurs on the slope and is due to the component of the  gravitational force along the slope, which is reasonable. In  the last car, most of the acceleration occurs on the plateau  and is due to the push on you from the back of your seat.  That push rapidly increases as you approach the edge, giv-  ing you the frightening sensation that you are about to be  hurled off the plateau and into the air.  The fear factor:

Hdditional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Sample Problem 5.3.4

Forces  within an elevator  cab 

Although  people  would  surely  avoid  getting  into  the  elevator  with  you,  suppose  that  you  weigh  yourself  while  on  an  elevator that  is  moving. Would  you weigh  more than, less than, or the same as when the scale is on  a stationary floor?  In Fig. 5.3.8a, a passenger of mass m = 72.2 kg stands  on a platform scale in an elevator cab. We are concerned  with  the  scale  readings  when  the  cab  is  stationary  and  when it is moving up or down.  (a) Find a general solution for the scale reading, whatever  the vertical motion  of the cab. 

KEY IDEAS (1) The  reading is  equal  to  the  magnitude of  the  normal  force F N  on the  passenger from the scale. The only  other  force acting on the passenger is the  gravitational force F g ,  as shown in the free-body diagram of Fig. 5.3.8b. (2) We can  relate the  forces on  the  passenger to  his  acceleration  a  by using Newton’s second law ( F net = m a  ). However, recall  that we can use this law only in an inertial frame. If the cab  accelerates, then  it  is not  an inertial frame. So  we choose  the ground to be our inertial frame and make any measure  of the passenger’s acceleration relative to it.  →

→

→

→

→

/

120

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

Substituting  this  and  other  known  values  into Eq. 5.3.12, we find  Calculation:

y

F N = (72.2 kg)(9.8 m/s 2  + 0) = 708 N. 

FN

(Answer) 

This  is  the  weight  of  the  passenger and  is  equal  to  the  magnitude F g  of the gravitational force on him.  (c) What does the scale read if the cab accelerates upward  at 3.20 m/s 2 and downward at 3.20 m/s 2 ? 

Passenger

Fg

(a )

(b )

These forces compete. Their net force causes a vertical acceleration.

Calculations:

F N = (72.2 kg)(9.8 m/s 2 + 3.20 m/s 2 )  = 939 N, 

(a) A passenger  stands on a platform scale  that indicates either his weight or his apparent weight.  (b) The free-body diagram for the passenger, showing the  normal force F N  on him from the scale and the gravitational  force F g .  →

→

Because the  two  forces  on  the  passenger  and his acceleration are all directed vertically, along the y  axis in Fig. 5.3.8b, we can use Newton’s second law writ-  ten for y components (F net, y = ma y) to get    Calculations:

or 

(5.3.11) 

This tells us that the scale reading, which is equal to normal  force  magnitude  F N, depends  on  the  vertical acceleration.    Substituting  mg for F g  gives us  F N = m(g + a) 

(Answer)  (5.3.12) 

for  any  choice  of  acceleration a.  If  the  acceleration  is  upward, a is positive; if it is downward, a is negative.  (b)  What  does  the  scale read if  the  cab  is  stationary or  moving upward at a constant 0.50 m/s? 

KEY IDEA For  any constant velocity (zero or otherwise), the accel-  eration a of the passenger is zero. 

Sample Problem 5.3.5

(Answer) 

and for a = −3.20 m/s 2 , it gives 

Figure  5.3.8 

F N − F g  = ma  F N = F g  + ma. 

For a = 3.20 m/s 2 , Eq. 5.3.12 g ives 

F N = (72.2 kg)(9.8 m/s 2 − 3.20 m/s 2 )  = 477 N. 

(Answer) 

For  an  upward  acceleration (either  the  cab’s  upward  speed  is  increasing  or  its  downward  speed  is  decreas-  ing),  the  scale  reading  is  greater than  the  passenger’s  weight. That  reading is  a measurement of  an  apparent  weight, because it  is  made in  a noninertial  frame. For  a  downward  acceleration  (either  decreasing  upward  speed or increasing downward speed), the scale reading  is less than the passenger’s weight.  (d)  During  the  upward  acceleration in  part  (c), what  is  the magnitude F net  of the net force on the passenger, and  what  is  the  magnitude a p,cab  of  his  acceleration as  mea-  sured in the frame of the cab? Does F net  = m a p,cab ?  →

→

The magnitude F g   of the gravitational force  on  the passenger does  not  depend  on  the  motion  of  the  passenger or  the cab; so, from  part (b), F g   is  708 N. From  part (c), the magnitude F N of the normal force on the pas-  senger during the upward acceleration is the 939 N reading  on the scale. Thus, the net force on the passenger is  Calculation:

F net  = F N − F g  = 939 N − 708 N = 231 N,  (Answer)  during  the  upward  acceleration. However, his  accelera-  tion a p,cab  relative to the frame of the cab is zero. Thus, in  the noninertial  frame of  the  accelerating cab, F net  is  not  equal to ma p,cab , and Newton’s second law does not hold. 

Acceleration  of block  pushing on block 

Some  homework  problems  involve  objects  that  move  together, because they are either shoved together or tied  together. Here is an example in which you apply Newton’s  second law to the composite of two blocks and then to the  individual blocks.  In Fig. 5.3.9a, a constant horizontal force F app  of mag-  nitude  20  N is  applied  to  block  A  of  mass  m A = 4.0 kg,  which  pushes  against block  B  of  mass m B = 6.0 kg.  The  blocks slide over a frictionless surface, along an x axis.  →

(a) What is the acceleration of the blocks?  →

Because  force  F app  is  applied  directly  to block  A, we use Newton’s second law to relate that force  to the acceleration a of block A. Because the motion is along  the x axis, we use that law for x components (F net, x = ma x ),  writing it as  Serious

Error:

→

F app  = m A a. 

/

REV IEW  &  SU MMHRY  

B F app

A x

(a)

Fapp

A

F AB x

( b)

B F BA x

(c)

connected system. We can relate the net force on the system  to the acceleration of the system with Newton’s second law.  Here, once again for the x axis, we can write that law as 

This force causes the acceleration of the full two-block system.

F app  = (m A  + m B)a,    →

These are the two forces acting on just block A. Their net force causes its acceleration.

where  now  we  properly  apply  F app  to  the  system  with  total mass m A + m B. Solving for a and substituting known    values, we find 

This is the only force causing the acceleration of block B.

(Answer) 

F app  20 N  2  _____________  a = ________  m A + m B  =  4.0 kg + 6.0 kg = 2.0  m / s  . 

(a) A constant horizontal force F app  is applied to  block A, which pushes against block B. (b) Two horizontal forces  act on block A. (c) Only one horizontal force acts on block B.  →

Figure  5.3.9 

→

However, this  is seriously wrong because F app  is not  the  only horizontal force acting on block  A. There is also the  force F AB from block  B (Fig. 5.3.9b).  →

→

Solution: Let  us  now  include  force  F AB  by  writing, again for the x axis,  Dead-End

F app  − F AB  = m Aa.   

Thus,  the  acceleration of  the  system and  of  each block  is  in the positive direction of the x axis and has the magnitude  2.0 m/s 2 .  →

(b)  What is  the (horizontal)  force  F BA  on  block  B  from  block A (Fig. 5.3.9c)? 

KEY IDEA We  can  relate the  net  force  on  block  B  to  the  block’s  acceleration with Newton’s second law.  Here we can write that law, still for compo-  nents along the x axis, as  Calculation:

F BA  = m Ba,   

→

(We  use  the  minus  sign  to  include  the  direction  of  F AB .)  Because  F AB  is  a  second  unknown,  we  cannot  solve  this  equation for a.  Solution: Because  of  the  direction  in  which  force  F app  is  applied,  the two  blocks  form  a rigidly  Successful

121

→

which, with known  values, gives  F BA  = (6.0 kg)(2.0 m/s 2 ) = 12 N. 

(Answer) 

→

Thus,  force F BA  is in  the  positive direction of  the  x axis  and has a magnitude of 12 N. 

Hdditional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Review & Summary The  velocity  of  an  object  can  change (the object can accelerate)  when the object is  acted on  by one or more forces (pushes or pulls) from other objects. New-  tonian mechanics relates accelerations and forces.  Newtonian  Mechanics 

Forces  are  vector  quantities.  Their  magnitudes  are  defined in terms of the acceleration they would give the standard  kilogram. A force that accelerates that standard body by exactly  1 m/s 2  is defined to have a  magnitude of 1 N. The direction of  a force is the direction of the acceleration it causes. Forces are  combined according to the rules of vector algebra. The net force  on a body is the vector sum of all the forces acting on the body.  Force 

Reference frames  in which  Newtonian mechanics holds are called inertial reference frames  or  inertial  frames.  Reference  frames  in  which  Newtonian  mechanics does not hold are called noninertial reference frames  or noninertial frames.  Inertial  Reference Frames 

The  mass  of a  body is  the characteristic  of that body  that relates the body’s acceleration to the net force causing the  acceleration. Masses are scalar quantities.  Mass 

→

→

If there is no net force on a body, the  body remains at rest if it is initially at rest or moves in a straight  line at constant speed if it is in motion.  Newton’s First Law 

→

The net force F net  on a body with  mass m is related to the body’s acceleration  a  by  Newton’s Second Law 

F net  = m a ,  →

(5.1.1) 

which may be written in the component versions  F net, x  = ma x  F net, y  = ma y  and  F net, z  = ma z .  (5.1.2) 

/

122

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

The second law indicates that in SI units 

W = mg. 

1 N = 1 kg ⋅ m / s 2 . 

(5.1.3) 

A  free-body diagram is  a  stripped-down diagram in which  only one body is considered. That body is represented by either a  sketch or a dot. The external forces on the body are drawn, and  a coordinate system is  superimposed, oriented so as  to simplify  the solution.  →

A  gravitational  force  F g  on  a  body is a pull by another body. In  most situations in this book,  the other body is Earth or  some other astronomical body. For  Earth, the force  is  directed down toward the ground, which is  assumed to be an inertial frame. With that assumption, the mag-  nitude of F g  is  Some  Particular  Forces 

→

F g  = mg, 

(5.2.1) 

where m is  the body’s mass and g is  the magnitude of the free-  fall acceleration.  The  weight W  of  a  body is  the  magnitude of  the upward  force needed to balance the gravitational force on the body. A  body’s weight is related to the body’s mass by 

(5.2.5) 

→

A  normal force  F N  is  the force  on a  body from a  surface  against which the body presses. The normal force is always per-  pendicular to the surface.  A frictional force  f  is  the force on a body when the body  slides or  attempts to slide along a  surface. The force is  always  parallel to the surface and directed so as  to oppose the sliding.  On a frictionless surface, the frictional force is negligible.  When a cord is under tension, each end of the cord pulls on  a body. The pull is directed along the cord, away from the point  of attachment to the body. For a massless cord (a cord with neg-  ligible mass), the pulls at both ends of the cord have the same  magnitude T, even if the cord runs  around a massless, friction-  less pulley (a pulley with negligible mass and negligible friction  on its axle to oppose its rotation).  →

If a force F BC  acts on body B due to  body C, then there is a force F CB  on body C due to body B:  →

Newton’s Third Law 

→

F BC  = −F CB . 

→

→

Questions Figure  5.1 gives  the  free-body diagram for  four  situations  in which an object is  pulled by several  forces  across  a friction-  less  floor,  as  seen  from  overhead.  In  which  situations  does  the acceleration  a  of the object have (a)  an x component and  1 

→

y

→

y

y

7N

6N

3N 5N

2N

x

x

4N

(2)

Two horizontal forces, 

3N

pull a  banana split across  a  fric-  tionless  lunch  counter.  Without  using  a  calculator,  determine  which  of  the  vectors  in  the  free-body  diagram  of  Fig.  5.2  best represent  (a)  F 1  and (b)  F 2 .  What is the net-force component  along (c)  the x  axis  and (d)  the  y  axis?  Into  which  quadrants  do (e)  the  net-force  vector  and  (f) the split’s acceleration vector  point? 

y

1

4 2

4N

(4)

Question 1.  →

→

In Fig. 5.3, forces F 1  and F 2  are  applied to a lunchbox as it slides at  constant velocity over a frictionless  floor. We are  to decrease  angle  θ without  changing  the  magnitude  of F 1 . For constant velocity, should  we increase, decrease, or maintain  the magnitude of F 2 ? 

F 1  = (3 N) ˆ  i − (4 N) ˆ  j  and  F 2  = −(1 N) ˆ  i − (2 N) ˆ  j, 

3N x

5N

3  →

3N

5N

(3) Figure  5.1 

→

x

4N 4N

→

2N

5N

2N

(1)

y

6N

3N

2N

4N

2 

(b) a y component? (c) In each situation, give the direction of a  by naming either a quadrant or a direction along an axis. (Don’t  reach for the calculator because this can be answered with a few  mental calculations.) 

F1

F2

→

3

Figure  5.3 

θ Question 3. 

→

→

x

7 8

6

→

→

5 Figure  5.2 

At  time  t = 0,  constant  F  begins  to  act  on  a  rock  moving  through deep space in the +x direction. (a) For time t > 0, which  are possible functions x(t)  for the rock’s position: (1)  x = 4t − 3,  (2) x = −4t 2  + 6t − 3, (3) x = 4t 2  + 6t − 3? (b) For which function  is F  directed opposite the rock’s initial direction of motion?  4 

Question 2. 

Figure 5.4 shows overhead views of four situations in which  forces act on a block that lies on a frictionless floor. If the force  5 

/

123

QU ESP IONS 

magnitudes are  chosen properly, in  which situations  is  it  pos-  sible that the block is (a)  stationary and (b) moving with a con-  stant velocity? 

Figure 5.7 gives three graphs of velocity component vx    (t) and  three graphs of velocity component v y (t). The graphs are not to  scale. Which v x (t)  graph and which v y (t)  graph best correspond  to each of the four situations in Question 1 and Fig. 5.1?  8 

v x

F1

(1)

(2)

F2

F1

v x

v x

F2

t F3

F1

(3)

t

t

F1

F2

(4)

F2

Figure  5.4 

(a )

F3

Question 5. 

(b )

v y

(c )

v y

Figure  5.5  shows  the  same  breadbox  in  four  situations  where horizontal forces are applied. Rank the situations accord-  ing to the magnitude of the box’s acceleration, greatest first. 

v y

6 

3N

6N

58 N

(a) 13 N

t

(b ) 15 N

(d ) Figure  5.5 

(d )

t

(e )

25 N

43 N

(c )

t

60 N

20 N

Figure  5.7 

(f )

Question 8. 

Figure 5.8 shows a train of four blocks being pulled across  a frictionless floor by force F . What total mass is accelerated  to the right by (a) force F , (b) cord 3, and (c) cord 1? (d) Rank  the  blocks  according  to  their  accelerations,  greatest  first.  (e) Rank the cords according to their tension, greatest first.  9 

→

→

Question 6. 

FCP  July  17, 1981, Kansas  City: The  newly opened Hyatt  Regency  is  packed  with  people  listening  and  dancing  to  a  band playing favorites from the 1940s. Many of the people are  crowded onto the walkways that hang like bridges  across  the  wide atrium. Suddenly two of the walkways  collapse,  falling  onto the merrymakers on the main floor.  The walkways were suspended one above another on ver-  tical  rods  and held in place by nuts threaded  onto the rods.  In  the  original  design,  only two long  rods  were  to be  used,  each extending through all three walkways (Fig. 5.6a). If each  walkway and the merrymakers  on it have a combined mass of  M,  what is  the total mass  supported by the threads  and two  nuts on (a) the lowest walkway and (b) the highest walkway?  Apparently someone responsible for the actual construc-  tion realized that threading nuts on a rod is impossible except  at the ends, so the design was changed: Instead, six rods were  used, each connecting two walkways (Fig. 5.6b). What now is  the total mass supported by the threads and two nuts on (c) the  lowest walkway, (d) the upper side of the highest walkway, and  (e)  the lower side of the highest walkway? It was  this design  that failed on that tragic night—a simple engineering error. 

7 

Cord 1

10 kg

3 kg

Cord 2

Figure  5.8 

5 kg

Cord 3

2 kg

F

Question 9. 

10 kg Figure  5.9  shows  three  5 kg blocks  being  pushed  across  2 kg F a  frictionless  floor  by  horizon-  tal  force  F .  What  total  mass  1 2 3 is  accelerated  to  the  right  by  Figure  5.9  Question 10.  (a)  force  F ,  (b)  force  F 21  on  block  2  from  block  1,  and  (c)  force F 32  on block 3 from block 2? (d) Rank the blocks accord-  ing  to  their  acceleration  magnitudes, greatest  first.  (e)  Rank  forces F , F 21 , and F 32 according to magnitude, greatest first.  10 

→

→

→

→

→

→

→

→

A vertical force F  is applied to a block of mass m that lies on  a floor. What happens to the magnitude of the normal force F N  on the block from the floor as magnitude F is increased from  zero if force F  is (a) downward and (b) upward?  11 

→

→

Rods

Walkways

Figure 5.10 shows four choices for the direction of a force  of magnitude F to be applied to a block on an inclined plane.  The  directions  are  either  hori-  b zontal or vertical. (For choice b,  the force is not enough to lift the  a block  off the  plane.)  Rank  the  c choices  according  to  the  mag-  nitude of the normal force  act-  30° d ing on the block from the plane,  greatest first.  Figure  5.10  Question 12.  12 

Nuts

(a ) Figure  5.6 

Question 7. 

(b )

/

124

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

Problems Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 5.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Newton’s First and Second Laws 

E 

E  Two  horizontal forces act on a 2.0 kg chopping block that  can slide over a frictionless kitchen counter, which lies in an xy  plane. One force is F 1  = (3.0 N) ˆ  i + (4.0 N) ˆ  j. Find the acceleration  of the  chopping block in unit-vector notation  when the other  force  is  (a)  F 2  = (−3.0  N) ˆ  i  + (−4.0  N) ˆ  j, (b)  F 2  = (−3.0  N) ˆ  i  +  ˆ  ˆ  (4.0 N) j, and (c)  F 2  = (3.0 N) i + (−4.0 N) ˆ  j. 

2 

→

→

→

→

m/s 2 

E  If the 1 kg standard body has an acceleration of 2.00  at 20.0° to the positive direction of an x axis, what are (a) the x  component and (b) the y component of the net force acting on  the body, and (c) what is the net force in unit-vector notation? 

3 

While two forces act on it, a particle is to move at the con-  stant velocity v  = (3 m / s) ˆ  i − (4 m / s) ˆ  j. One of the forces is F 1  =  (2 N) ˆ  i + (−6 N) ˆ  j. What is the other force?  4  M 

→

→

→

→

→

CALC  A 0.340 kg particle moves in an xy plane according to  x(t) = −15.00 + 2.00t − 4.00t 3  and  y(t) = 25.00 + 7.00t − 9.00t 2 ,  with x  and y in meters  and t  in seconds. At t = 0.700 s, what  are  (a)  the magnitude and (b)  the angle (relative  to the posi-  tive direction of the x axis) of the net force on the particle, and  (c) what is the angle of the particle’s direction of travel? 

9  M 

GO  A  0.150 kg  particle  moves  along  an  x  axis  M  CALC  according  to  x(t) = −13.00 + 2.00t + 4.00t 2  − 3.00t 3 ,  with  x  in  meters and t in seconds. In unit-vector notation, what is the net  force acting on the particle at t = 3.40 s?  10 

A 2.0 kg particle moves along an x axis, being propelled by  a variable force directed along that axis. Its  position is given by  x = 3.0 m + (4.0 m/s)t + ct 2  − (2.0 m/s 3 )t 3 , with x in meters and t  in seconds. The factor c is  a constant. At t = 3.0 s, the force on  the particle has a magnitude of 36 N and is in the negative direc-  tion of the axis. What is c?  11  M 

→

→

Two horizontal forces  F 1  and F 2  act on a 4.0 kg disk  that slides  over frictionless  ice, on which an xy coordinate sys-  tem is laid out. Force F 1  is in the positive direction of the x axis  and  has  a  magnitude of  7.0 N.  Force  F 2  has  a  magnitude of  9.0 N. Figure 5.14 gives the x component v x  of the velocity of the  disk as a function of time t during the sliding. What is the angle  between the constant directions of forces  F 1  and F 2 ?  12 

H 

GO 

→

→

→

→

4 )s/m( x v

M  GO  Three  astronauts,  pro-  y pelled by jet backpacks, push and  guide  a  120 kg  asteroid  toward  a  processing  dock, exerting  the  forces  shown  in  Fig.  5.11,  with  F1 F 1  = 32 N,  F 2  = 55 N,  F 3  = 41 N,  θ1 x θ1 = 30°,  and  θ3 = 60°.  What  is  θ3 F2 the  asteroid’s  acceleration (a)  in  unit-vector  notation  and  as  (b)  F3 a  magnitude and  (c)  a  direction  relative  to  the  positive  direction  Figure  5.11  Problem 5.  of the x axis?  6  M  In  a  two-dimensional tug-  Alex of-war, Alex, Betty, and Charles  Charles pull  horizontally  on  an  automo-  bile tire at the angles shown in the  overhead  view  of  Fig.  5.12. The  tire remains stationary in spite of  the  three  pulls.  Alex  pulls  with  force  F A  of  magnitude  220 N,  Betty 137° and  Charles  pulls  with  force  F C  of  magnitude  170 N.  Note  that  the  direction of  F C  is  not given.  What is the magnitude of Betty’s  Figure  5.12  Problem 6.  force F B ?  y 7  M  SSM  There  are two forces  on  the  2.00 kg  box  in  the  over-  head  view  of  Fig.  5.13, but  only  F1 one  is  shown.  For  F 1  = 20.0 N,  x a  = 12.0 m/s 2 ,  and  θ  = 30.0°,  find  the second force (a) in unit-vector  θ notation and  as  (b)  a  magnitude  a and  (c)  an  angle  relative  to  the  positive direction of the x axis.  Figure  5.13  Problem 7. 

5 

M  A  2.00 kg  object is  subjected to  three forces  that give it  an acceleration  a  = −(8.00  m / s2    ) ˆ  i  + (6.00  m / s 2 ) ˆ  j. If two of the  three forces are F 1 = (30.0 N) ˆ  i + (16.0 N) ˆ  j and F 2  = −(12.0 N) ˆ  i +  (8.00 N) ˆ  j, find the third force. 

8 

Only two horizontal forces  act  on a  3.0 kg  body that can  move over  a  frictionless  floor. One force  is  9.0 N, acting  due  east, and the other is 8.0 N, acting 62° north of west. What is the  magnitude of the body’s acceleration?  1 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

 

GO  SSM 

2

–2

0

1

2

3

–4 t

Figure  5.14 

(s)

Problem 12. 

→

→

→

→

Module 5.2 

Some Particular Forces 

Figure  5.15 shows  an arrangement  in  which  four  disks  are  suspended  by  cords.  The longer,  top cord  loops  over  a  frictionless  pulley  and  pulls  with  a  force  of  magnitude 98 N  on  the  wall  to  which  it  is  attached.  The  tensions  in  the  three  shorter cords are  T 1 = 58.8 N, T 2  = 49.0 N,  and  T 3  = 9.8 N.  What  are  the  masses  of (a)  disk A, (b)  disk B, (c)  disk C, and  (d) disk D?  13 

E 

E  A  block  with a  weight  of 3.0 N  is  at  rest  on  a  horizontal surface.  A  1.0 N  upward  force is  applied to the  block by 

A T1 B T2 C T3 D

14 

Figure  5.15 

Problem 13. 

/

A ROBL EMS 

SSM  (a) An 11.0 kg salami is supported by a cord that runs  to a spring scale, which is supported by a cord hung from the ceil-  ing (Fig. 5.16a). What is the reading on the scale, which is marked  in  SI weight  units? (This  is  a  way to measure  weight by  a deli  owner.) (b)  In Fig. 5.16b the salami is supported by a cord that  runs around a pulley and to a scale. The opposite end of the scale  is attached by a cord to a wall. What is the reading on the scale?  (This is the way by a physics major.) (c) In Fig. 5.16c the wall has  been replaced with a second 11.0 kg salami, and the assembly is  stationary. What is the reading on the scale? (This is the way by  a deli owner who was once a physics major.) 

15  E 

Spring scale

E  FCP  In  April  1974,  John Massis of Belgium man-  aged  to  move  two  passen-  ger  railroad  cars.  He  did  so  by  clamping  his  teeth  down  on  a  bit  that  was  attached  to  the  cars  with  a  rope  and  then leaning backward while  pressing  his  feet  against  the  Figure  5.19  Problem 18.  railway  ties  (Fig.  5.19).  The  cars together weighed 700 kN  (about 80 tons). Assume that he pulled with a constant force that  was 2.5 times his body weight, at an upward angle θ of 30° from the  horizontal. His mass  was  80 kg, and he moved the cars  by 1.0 m.  Neglecting any  retarding force from the wheel rotation, find the  speed of the cars at the end of the pull. 

18 

SSM  A 500 kg rocket sled can be accelerated at a constant  rate from rest  to 1600 km/h in 1.8 s. What is  the magnitude of  the required net force? 

19  E 

A car traveling at 53 km/h hits a bridge abutment. A pas-  senger in the car moves forward a distance of 65 cm (with respect  to the road) while being brought to rest by an inflated air bag.  What magnitude of force  (assumed constant) acts  on the  pas-  senger’s upper torso, which has a mass of 41 kg? 

Spring scale

20  E 

(b) Spring scale

A

IM

S

EG

AO

N

LA

→

A  constant horizontal force  F a  pushes  a  2.00 kg  FedEx  package across  a  frictionless  floor on  which  an  xy  coordinate  system has been drawn. Figure 5.20 gives the package’s x and y  velocity components versus time t. What are the (a)  magnitude  and (b) direction of F a ?  21 

E 

→

( a)

10 )s/m( x v

(c )

Problem 15. 

 

Figure  5.16 

Rod Some insects can walk  below a  thin rod (such  as  a  twig)  Leg Tibia by  hanging from  it. Suppose that  joint θ such  an  insect  has  mass  m  and  hangs  from  a  horizontal  rod  as  shown  in  Fig.  5.17,  with  angle  θ = 40°.  Its  six  legs  are  all  under  Figure  5.17  Problem 16.  the same tension, and the leg sec-  tions nearest the body are horizontal. (a) What is the ratio of the  tension in  each  tibia (forepart  of a  leg)  to the insect’s  weight?  (b)  If the insect straightens out its legs somewhat, does the ten-  sion in each tibia increase, decrease, or stay the same?  BIO 

1 t

0 )s/m( yv

Module 5.3 

0

1

2

3

–10

Applying 

In  Fig. 5.18, let  the  mass  of  the  block  be  8.5 kg  and  the  angle  θ be  30°.  Find (a)  the  tension  in  the cord and (b)  the normal  force  acting  on  the  block.  (c)  If the cord is cut, find the  magnitude  of  the  resulting  acceleration of the block.  E 

3

–5

Newton’s Laws  17 

2 (s)

 

16  M 

5

t

Figure  5.20 

SSM 

m

tio Fric

ss nle

θ Figure  5.18 

Problem 17. 

(s)

Problem 21. 

FCP  A customer sits in an amusement park ride in which  the compartment is to be pulled downward in the negative direc-  tion of a  y  axis  with an  acceleration  magnitude of  1.24g,  with  g = 9.80 m/s 2 . A 0.567 g coin rests on the customer’s knee. Once  the motion begins and in unit-vector notation, what is the coin’s  acceleration  relative to  (a)  the  ground and (b)  the customer?  (c)  How  long  does  the  coin  take  to  reach  the  compartment 

22  E 

/

 ssergnoC fo  yr arbiL  ,sotohP  dlroW ediW/PA

means of an attached vertical string. What are the (a) magnitude  and  (b)  direction of  the  force  of  the  block  on the  horizontal  surface? 

125

126

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

ceiling, 2.20 m  above  the knee?  In  unit-vector  notation, what  are (d)  the actual force on the coin and (e)  the apparent force  according to the customer’s measure of the coin’s acceleration?  Tarzan, who weighs 820 N, swings from a cliff at the end of  a 20.0 m vine that hangs from a high tree limb and initially makes  an angle of 22.0° with the vertical. Assume that an x axis extends  horizontally away from the cliff edge and a y axis extends upward.  Immediately after Tarzan steps off the cliff, the tension in the vine  is 760 N. Just then, what are (a) the force on him from the vine in  unit-vector notation and the net force on him (b) in unit-vector  notation and as (c)  a magnitude and (d) an angle relative to the  positive direction of the x axis? What are the (e) magnitude and  (f) angle of Tarzan’s  acceleration just then?  23  E 

0.13 g, its speed before entering the branch was 220 m/s, and its  penetration depth was  15 mm. If  its speed  was  decreased  at a  uniform rate, what was the magnitude of the force of the branch  on the toothpick?  SSM  A block is projected up a frictionless inclined plane  with initial speed v 0  = 3.50 m/s. The angle of incline is  θ = 32.0°.  (a) How far up the plane does the block go? (b) How long does  it take to get there? (c) What is its speed when it gets back to the  bottom? 

31  M 

M  Figure  5.22  shows  an  over-  y head  view  of  a  0.0250 kg  lemon  F1 half and two of the three horizontal  forces that act on it as it is on a fric-  θ1 x tionless table. Force  F 1  has  a  mag-  nitude of 6.00 N and is at θ1  = 30.0°.  θ2 Force F 2  has a magnitude of 7.00 N  F2 and is  at  θ2  = 30.0°.  In  unit-vector  notation,  what  is  the  third  force  Figure  5.22  Problem 32.  if  the  lemon  half  (a)  is  station-  ary,  (b)  has  the  constant  velocity  v  =  (13.0 ˆ  i  −  14.0 ˆ  j )  m/s, and (c)  has  the varying  velocity  v  =  (13.0t ˆ  i − 14.0t ˆ  j) m / s2    , where t is time? 

32 

→

There  are  two  horizontal  F1 x forces  on  the  2.0 kg  box  in  the  overhead  view  of  Fig.  5.21  but  only  one  (of  magnitude  F 1  =  Figure  5.21  Problem 24.  20 N)  is  shown.  The  box  moves  along the x axis. For each of the following values for the accelera-  tion a x  of the box, find  the second force in unit-vector notation:  (a) 10 m/s 2 , (b) 20 m/s 2 , (c) 0, (d) −10 m/s 2 , and (e) −20 m/s 2 .  24 

E 

Sunjamming. A “sun yacht” is a spacecraft with a large sail  that is pushed by sunlight. Although such a push is tiny in every-  day circumstances, it can be large enough to send the spacecraft  outward  from  the  Sun  on  a  cost-free  but slow  trip.  Suppose  that the spacecraft has a mass of 900 kg and receives a push of  20 N. (a) What is the magnitude of the resulting acceleration?  If the craft starts from rest, (b) how far will it travel in 1 day and  (c) how fast will it then be moving?  25  E 

The tension at which a fishing line snaps is commonly called  the line’s “strength.” What minimum strength is needed for a line  that is to stop a salmon of weight 85 N in 11 cm if the fish is initially  drifting at 2.8 m/s? Assume a constant deceleration.  26  E 

7  E  SSM  An  electron with  a  speed  of  1.2 × 10  m/s  moves  horizontally  into  a  region  where  a  constant  vertical  force  of  4.5 × 10 −16  N  acts  on it.  The  mass  of  the  electron is  9.11 ×  10 −31  kg.  Determine  the  vertical  distance  the  electron  is  deflected during the time it has moved 30 mm horizontally.  27 

A  car  that  weighs  1.30 × 10 4  N  is  initially  moving  at  40 km/h when the brakes are applied and the car is brought to a  stop in 15 m. Assuming the force that stops the car is constant,  find (a) the magnitude of that force and (b) the time required  for  the change in  speed. If  the initial speed is  doubled, and  the car experiences the same force during the braking, by what  factors are (c) the stopping distance and (d) the stopping time  multiplied? (There could be a lesson here about the danger of  driving at high speeds.)  28 

E 

A firefighter who weighs 712 N slides down a vertical pole  with an acceleration of 3.00 m/s 2 , directed downward. What are  the (a)  magnitude and (b)  direction (up or down) of the verti-  cal  force  on  the firefighter  from the  pole  and  the (c)  magni-  tude and (d) direction of the vertical force on the pole from the  firefighter?  29  E 

E  FCP  The  high-speed winds around a  tornado can  drive  projectiles into trees, building walls, and even metal traffic signs.  In a laboratory simulation, a standard wood toothpick was shot  by pneumatic gun into an oak branch. The toothpick’s mass was 

30 

→

→

→

M  An elevator  cab and  its  load have a  combined mass  of  1600 kg. Find the tension in the supporting cable when the cab,  originally moving downward  at  12 m/s, is  brought to  rest  with  constant acceleration in a distance of 42 m. 

33 

M  GO  In  Fig.  5.23, a  crate  of mass m = 100 kg is  pushed at  constant speed  up  a  frictionless  ramp ( θ = 30.0°)  by a horizontal  force  F .  What  are  the  magni-  tudes of (a)  F  and (b)  the force  on the crate from the ramp? 

m

34 

F

→

→

θ

Problem 34.  The  velocity  of  a 3.00 kg particle  is given by  v  =  (8.00t ˆ  i + 3.00 t 2 ˆj  ) m/s, with time t in seconds. At the instant the  net force  on the particle  has  a  magnitude of  35.0 N, what  are  (a) the direction (relative to the positive direction of the x axis)  of the net force and (b) the particle’s direction of travel?  Figure  5.23 

35 

M 

CALC 

→

Holding on to a towrope moving parallel to a frictionless  ski slope, a 50 kg skier is pulled up the slope, which is at an angle  of 8.0° with the horizontal. What is  the magnitude F rope  of the  force on the skier  from the rope  when (a)  the magnitude v  of  the skier’s velocity is constant at 2.0 m/s and (b) v = 2.0 m/s as v  increases at a rate of 0.10 m/s 2 ?  36  M 

M  A 40 kg girl and an 8.4 kg sled are on the frictionless ice  of a frozen lake, 15 m apart but connected by a rope of negligible  mass. The girl exerts a horizontal 5.2 N force on the rope. What  are the acceleration magnitudes of (a) the sled and (b) the girl?  (c) How far from the girl’s initial position do they meet? 

37 

A 40 kg skier skis directly down a frictionless slope angled  at 10° to the horizontal. Assume the skier moves in the negative  direction of an x axis along the slope. A wind force with compo-  nent F x  acts on the skier. What is F x  if the magnitude of the ski-  er’s velocity is  (a) constant, (b) increasing  at a rate of 1.0 m/s 2 ,  and (c) increasing at a rate of 2.0 m/s 2 ?  38  M 

A sphere of mass 3.0 × 10 −4  kg is suspended from a cord.  A steady horizontal breeze pushes  the sphere  so that the cord  39  M 

/

A ROBL EMS 

makes a constant angle of 37° with the vertical. Find (a) the push  magnitude and (b) the tension in the cord.  GO  A dated box of dates, of mass 5.00 kg, is sent sliding up  a frictionless ramp at an angle of θ to the horizontal. Figure 5.24  gives, as a function of time t, the component v x  of the box’s velocity  along an x axis that extends directly up the ramp. What is the mag-  nitude of the normal force on the box from the ramp?  40  M 

4 2 )s/m( xv

 

0

1

2

3

–2

An elevator cab is pulled upward by a cable. The cab and  its  single  occupant  have  a  combined  mass  of  2000 kg.  When  that occupant drops a coin, its acceleration relative to the cab is  8.00 m/s 2  downward. What is the tension in the cable?  46  M 

BIO  GO  FCP  The Zacchini family was renowned for their  human-cannonball act in which a family member was shot from  a  cannon using either elastic  bands or  compressed  air.  In  one  version of the act, Emanuel Zacchini was shot over three Ferris  wheels to land in a net at the same height as the open end of the  cannon and at a range of 69 m. He was propelled inside the barrel  for 5.2 m and launched at an angle of 53°. If his mass was 85 kg  and he underwent constant acceleration inside  the barrel, what  was the magnitude of the force propelling him? (Hint: Treat the  launch as though it were along a ramp at 53°. Neglect air drag.) 

47  M 

M  GO  In  Fig. 5.27,  elevator  cabs  A  and  B  are connected by a  short cable and can be pulled  upward or lowered by the cable above cab A. Cab A  has  mass  1700 kg;  cab  B  has  mass  1300  kg.  A 12.0 kg box of catnip lies on the floor of cab A.  The  tension  in  the  cable  connecting the  cabs  is  1.91 × 10 4  N. What is the magnitude of the normal  force on the box from the floor? 

48 

–4 t

Figure  5.24 

127

(s)

Problem 40. 

Using a rope that will snap if the tension in it exceeds 387 N,  you need to lower a bundle of old roofing material weighing 449 N  from a point 6.1 m above the ground. Obviously if you hang the  bundle on the rope, it will snap. So, you allow the bundle to accel-  erate downward. (a) What magnitude of the bundle’s acceleration  will put the rope on the verge of snapping? (b) At that accelera-  tion, with what speed would the bundle hit the ground?  41  M 

M  GO  In  earlier  days,  horses  pulled barges  down  canals  in the manner shown in Fig. 5.25. Suppose the horse  pulls on  the  rope with a  force of 7900 N  at an angle of  θ = 18°  to the  direction  of  motion  of  the  barge,  which  is  headed  straight  along the positive direction of an x axis. The mass of the barge  is 9500 kg, and  the magnitude of its acceleration is  0.12  m/s 2 .  What are the (a) magnitude and (b) direction (relative to posi-  tive x) of the force on the barge from the water? 

42 

A

In Fig. 5.28, a block of mass m = 5.00 kg is  B pulled along a  horizontal  frictionless  floor  by  a  cord that exerts a force of magnitude F = 12.0 N  at an angle  θ = 25.0°. (a)  What is  the magnitude  of the block’s acceleration? (b) The force magni-  Figure  5.27  tude F is  slowly increased.  What is its  value just  Problem 48.  before the block is lifted (completely) off the floor? (c) What is  the magnitude of the block’s acceleration just before it is  lifted  (completely) off the floor?  49  M 

m

θ

F

θ Figure  5.28 

Problems 49 and 60.  Figure  5.25 

Problem 42. 

M  SSM  In Fig. 5.26, a  chain consisting of  five links, each of mass 0.100 kg, is lifted verti-  cally  with constant acceleration  of magnitude  a = 2.50 m/s 2 .  Find the magnitudes of  (a)  the  force  on  link 1  from  link 2,  (b)  the  force  on  link 2 from link 3, (c) the force on link 3  from  link 4, and (d)  the force on link 4  from link 5.  Then find the magnitudes of (e) the force F  on  the top link from the person  lifting the chain  and (f) the net force accelerating each link. 

43 

→

F

5 4

a

3 2 1

A  lamp  hangs  vertically  from  a  cord  in  a descending elevator that decelerates at 2.4 m/s 2 .  Figure  5.26  (a)  If the tension in the cord is 89 N, what is the  Problem 43.  lamp’s mass? (b) What is the cord’s tension when  the elevator ascends with an upward acceleration of 2.4 m/s 2 ?  44 

M 

An elevator cab that weighs 27.8 kN moves upward. What  is the tension in the cable if the cab’s speed is (a)  increasing at  a rate of 1.22 m/s 2  and (b) decreasing at a rate of 1.22 m/s 2 ?  45  M 

GO  In Fig. 5.29, three bal-  A lot boxes are connected by cords,  one  of  which  wraps  over  a  pul-  B ley  having  negligible  friction  on  C its axle and negligible mass.  The  three  masses  are  m A  = 30.0 kg,  Figure  5.29  Problem 50.  m B  = 40.0 kg,  and m C  = 10.0 kg.  When  the  assembly  is  released  from  rest,  (a) what is  the tension in the cord connect-  ing B and C, and (b) how far does A move  in  the  first  0.250 s  (assuming  it  does  not  reach the pulley)?  50  M 

Figure  5.30  shows  two  blocks  connected  by  a  cord  (of  negligible  mass)  that passes over a frictionless pulley (also of  negligible mass). The arrangement is known  as  Atwood’s  machine.  One  block  has  mass  m 1  = 1.30 kg; the other has mass m 2  = 2.80 kg.  What  are  (a)  the  magnitude of  the  blocks’  acceleration and (b) the tension in the cord?  51 

M 

GO 

m1

m2

Figure  5.30 

Problems 51  and 65. 

/

128

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

An 85 kg man lowers himself to the ground from a height  of  10.0 m  by  holding onto a  rope  that runs  over  a  frictionless  pulley to a 65 kg sandbag. With what speed does the man hit the  ground if he started from rest?  53  M  In Fig. 5.31, three connected blocks are pulled to the right  on  a horizontal frictionless  table by a  force  of magnitude T 3  =  65.0 N. If m 1  = 12.0 kg, m 2  = 24.0 kg, and m 3  = 31.0 kg, calculate  (a) the magnitude of the system’s acceleration, (b) the tension T 1 ,  and (c) the tension T 2 .  52  M 

m1

T1

m2

T2

Figure  5.31 

T3

m3

Problem 53. 

GO  Figure  5.32  shows  four  penguins  that  are  being  M  playfully pulled along very  slippery (frictionless)  ice  by a  cura-  tor. The masses  of three penguins and the tension in two of the  cords  are  m 1  = 12 kg,  m 3  = 15 kg,  m 4  = 20 kg,  T 2  = 111 N,  and  T 4  = 222 N. Find the penguin mass m 2  that is not given.  54 

m4 m3

m1

T2

Figure  5.32 

T4

Problem 54. 

m1 M  SSM  Two  blocks are  in contact  on  a  frictionless  table.  A  horizontal  m2 force  is  applied to the  larger  block, as  F shown  in  Fig.  5.33.  (a)  If  m 1  = 2.3 kg,  m 2  = 1.2 kg,  and  F = 3.2 N,  find  the  Figure  5.33  magnitude  of  the  force  between  the  Problem 55.  two blocks. (b)  Show that if a  force of  the same magnitude F is applied to the  smaller block but in the opposite direction, the magnitude of the  force  between the blocks is  2.1 N, which is not the  same value  calculated in (a). (c) Explain the difference. 

55 

→

In Fig. 5.34a, a constant horizontal force F a  is applied  to  block A, which  pushes against block B  with a  20.0 N  force  directed horizontally to the right. In Fig. 5.34b, the same force  F a  is applied to block B; now block A pushes on block B with a  10.0 N force directed horizontally to the left. The blocks have a  combined mass of 12.0 kg. What are the magnitudes of (a) their  acceleration in Fig. 5.34a and (b) force F a ?  56  M 

GO 

→

→

A

B

Fa

B

A

Fa

(a )

(b ) Figure  5.34 

Problem 56. 

M  A block of mass m  1  = 3.70 kg on a frictionless plane inclined  at angle θ = 30.0° is connected by a cord over a massless, friction-  less  pulley to a second block of mass  m 2  = 2.30 kg (Fig. 5.35).  What are (a)  the magnitude of the acceleration of each block,  (b)  the direction of the acceleration of the hanging block, and  (c)  the tension in the cord? 

57 

m1

m2

θ Figure  5.35 

Problem 57. 

M  Figure  5.36  shows  a  man  sitting in a bosun’s chair that dan-  gles from a massless  rope, which  runs  over  a  massless,  friction-  less  pulley and back down to the  man’s hand. The combined mass  of man and chair is 95.0 kg. With  what force  magnitude must the  man pull on the rope if he is to  rise  (a) with a constant velocity  and  (b)  with  an  upward  accel-  eration  of  1.30 m/s 2 ?  (Hint:  A  free-body  diagram  can  really  help.)  If  the  rope  on  the  right  extends  to  the  ground  and  is  Figure  5.36  Problem 58.  pulled  by  a  co-worker,  with  what force  magnitude must the  co-worker pull for the man to rise (c) with a constant velocity  and (d) with an upward acceleration of 1.30 m/s 2 ? What is the  magnitude of the force on the ceiling from the pulley system  in (e) part a, (f )  part b, (g) part c, and (h) part d? 

58 

M  SSM  A  10 kg  monkey  climbs  up  a  massless  rope  that  runs  over  a  frictionless  tree  limb  and  back  down  to a  15 kg  pack-  age  on  the  ground  (Fig.  5.37).  (a)  What is  the magnitude of the  least  acceleration  the  monkey  must have if it is to lift the package  off the ground? If, after the pack-  age  has  been  lifted, the  monkey  stops its climb and holds onto the  rope, what are the (b) magnitude  and (c)  direction of the monkey’s  acceleration and (d) the tension in  the rope? 

59 

Bananas

M  CALC  Figure  5.28  shows  Figure  5.37  Problem 59.  a  5.00 kg  block  being  pulled  along  a  frictionless  floor  by  a  cord  that  applies  a  force  of  constant magnitude 20.0 N  but with an  angle  θ(t)  that varies  with time. When angle θ = 25.0°,  at what rate is the accelera-  tion of the block changing if (a)  θ(t) = (2.00 × 10 −2  deg/s)t and  (b)  θ(t) = −(2.00 × 10 −2  deg/s)t? (Hint: The angle should be in  radians.) 

60 

M  SSM  A  hot-air  balloon  of  mass  M  is  descending  vertically with downward  acceleration of magnitude a.  How  much mass (ballast) must be thrown out to give the balloon an  upward acceleration of magnitude a? Assume that the upward  force  from the air  (the  lift) does  not change  because  of the  decrease in mass. 

61 

BIO  FCP  In shot putting, m any athletes elect to launch the  shot at an angle that is  smaller than the theoretical one (about 

62  H 

/

A ROBL EMS 

42°) at which the distance of a projected ball at the same speed  and  height  is  greatest.  One  reason  has  to  do  with  the  speed  the athlete can give  the shot during the acceleration  phase of  the throw. Assume that a  7.260 kg  shot is  accelerated  along a  straight  path of length 1.650 m  by a  constant applied force  of  magnitude 380.0 N,  starting with  an  initial speed of  2.500 m/s  (due  to  the  athlete’s preliminary  motion). What is  the  shot’s  speed at the end of the acceleration phase if the angle between  the path and the horizontal is (a)  30.00° and (b)  42.00°? (Hint:  Treat  the motion as  though it were  along a  ramp at the given  angle.) (c) By what percent is the launch speed decreased if the  athlete increases  the angle from 30.00° to 42.00°? 

cable if the cars  are at the maximum permissible mass and are  being accelerated up the incline at 0.81 m/s 2 ?  Support cable Pull cable

θ

Figure 5.38 gives, as  a  function of time t, the  force  component F x  that  acts  on  a  3.00 kg  ice  block that  can  move only along the x axis. At t = 0, the block is  moving in the  positive direction of the axis, with a speed of 3.0 m/s. What are its  (a) speed and (b) direction of travel at t = 11 s?  63 

H 

CALC 

GO 

Figure  5.40 

6

Problem 66. 

H  Figure  5.41  shows  three  blocks attached by cords that loop  over  frictionless  pulleys.  Block  B  lies  on  a  frictionless table; the  masses  are  m A  =  6.00 kg,  m B  =  8.00 kg,  and  m C  = 10.0 kg.  When  the  blocks  are  released,  what  is  the  tension  in  the  cord  at  the  right? 

67 

)N( xF

0

2

4

6

8

10

12

–4 t

Figure  5.38 

(s)

Problem 63. 

129

B

C

A

Figure  5.41 

Problem 67. 

BIO  FCP  A shot putter launches a 7.260 kg shot by push-  ing it along a straight line of length 1.650 m and at an angle of  34.10° from the horizontal, accelerating the shot to the launch  speed from its initial speed of 2.500 m/s (which is due to the ath-  lete’s preliminary motion). The shot leaves the hand at a height  of 2.110 m and at an angle of 34.10°, and it lands at a horizon-  tal distance of 15.90 m. What is  the magnitude of the athlete’s  average force on the shot during the acceleration phase? (Hint:  Treat  the  motion during  the  acceleration  phase  as  though  it  were along a ramp at the given angle.) 

68  H 

GO  Figure 5.39 shows a box of mass m 2  = 1.0 kg on a fric-  tionless plane inclined at angle θ = 30°. It is connected by a cord  of negligible mass to a box of mass m 1  = 3.0 kg on a horizontal  frictionless surface. The pulley is frictionless and massless. (a) If  the magnitude of horizontal force F  is 2.3 N, what is the tension  in the connecting cord? (b) What is the largest value the magni-  tude of F  may have without the cord becoming slack?  64  H 

→

→

m1

Additional Problems  F

In  Fig. 5.42, 4.0 kg  block  A  and  6.0 kg  block  B  are  con-  nected by a string of negligible mass. Force F A  = (12 N) ˆ  i acts on  block A; force F B  = (24 N) ˆ  i acts on block B. What is the tension  in the string?  69 

→

m2

θ Figure  5.39 

→

Problem 64. 

GO  CALC  Figure 5.30 shows Atwood’s machine, in which  two  containers  are  connected  by  a  cord  (of  negligible  mass)  passing  over  a  frictionless  pulley (also  of negligible mass).  At  time t = 0, container 1 has mass 1.30 kg and container 2 has mass  2.80 kg, but container 1 is losing mass (through a leak) at the con-  stant rate of 0.200 kg/s. At what rate is the acceleration magnitude  of the containers changing at (a) t = 0 and (b) t = 3.00 s? (c) When  does the acceleration reach its maximum value? 

A

FA

B

FB

65  H 

H  GO  Figure  5.40  shows  a  section  of  a  cable-car  system.  The  maximum permissible  mass  of each car  with occupants is  2800 kg. The cars, riding on a support cable, are pulled by a sec-  ond cable attached to the support tower on each car.  Assume  that the cables  are  taut and inclined at angle θ = 35°. What is  the difference in tension between adjacent sections of the pull 

66 

x

Figure  5.42 

Problem 69. 

FCP  An 80 kg man drops to a concrete patio from a window  0.50 m above the patio. He neglects to bend his knees on landing,  taking 2.0 cm to stop. (a) What is  his average  acceleration from  when his feet first touch the patio to when he stops? (b) What is  the magnitude of the average  stopping force exerted  on him  by  the patio? 

70 

Rocket thrust. A rocket and its payload have a total mass of  5.0 × 10 4  kg. How large is the force produced by the engine (the  thrust) when (a) the rocket hovers over the launchpad just after  ignition, and (b) the rocket is accelerating upward at 20 m/s 2 ?  71 

/

130

- CHA P ER 5  F OR- E  HND   MOP ION—I 

Block and three cords. In Fig. 5.43, a block B of mass M =  15.0 kg hangs by a cord from a knot K of mass m K , which hangs  from a ceiling by means of two cords. The cords have negligible  mass, and the magnitude of the gravitational force on the knot is  negligible compared to the gravitational force on the block. The  angles are  θ1  = 28° and θ2  = 47°. What is the tension in (a) cord  3, (b) cord 1, and (c) cord 2?  72 

θ1

θ2

Cord 1

Cord 2 Knot K Cord 3

M

Figure  5.43 

Sled pull. Two people pull with constant forces 90.0 N and  92.0 N in opposite directions on a 25.0 kg sled on frictionless ice.  The sled is initially stationary. At the end of 3.00 s, what are its  (a) displacement and (b) speed?  75 

Dockside lifting. Figure  5.46  shows  the  cable  rigging  for  a crane to lift a large container with mass 2.80 × 10 4  kg onto or  from a ship. Assume that the mass  is  uniformly spread within  the container. The container is supported at its corners by four  identical cables that are under tension T 4  and that are at an angle  θ4 = 60.0° with the vertical. They are attached to a horizontal bar  that is  supported by two identical cables under tension T 2  and  at angle  θ2  =  40.0° with the vertical. They are  attached to the  main crane cable that is  under tension T 1  and vertical. Assume  the mass of the bar is negligible compared to the weight of the  container. What are the values of (a) T 1 , (b) T 2 , and (c) T 4 ?  76 

Main cable

Block B

Problem 72. 

θ2 θ2

Forces  stick−block. In  Fig. 5.44, a  33  kg  block  is  pushed  across  a frictionless floor by means of a 3.2 kg stick. The block  moves from rest through distance d = 77 cm in 1.7 s at constant  acceleration.  (a)  Identify  all  horizontal  third-law  force  pairs.  (b)  What is  the  magnitude of  the force  on  the stick  from the  hand? (c) What is the magnitude of the force on the block from  the stick? (d) What is the magnitude of the net force on the stick?  73 

Horizontal bar

θ4 θ4 θ4 θ4

a

m M

Figure  5.44 

Wo rldw ide Shipping

Frictionless surface

Problem 73. 

Lifting cable danger. Cranes  are used to lift steel beams at  construction sites (Fig. 5.45a).  Let’s look at the danger in  such  a lift for a beam with length L = 12.0 m, a square  cross-section  with edge length w = 0.540 m, and density  ρ = 7900 kg/m 3 . The  main cable  from  the  crane  is  attached  to  two  short  cables  of  length h = 7.00 m symmetrically attached to the beam at distance  d from the midpoint (Fig. 5.45b). (a) What is the tension T main  in  the main cable when the beam is lifted at constant speed? What is  the tension T short in each short cable if d is (b) 1.60 m, (c) 4.24 m,  and (d) 5.91 m? (e) As d increases, what happens to the danger  of the short cables snapping? 

Figure  5.46 

74 

Main cable  sotohptisopeD/midnaroz

h

h

d

d L

(a )

(b ) Figure  5.45 

Problem 74. 

Beam

Problem 76. 

Crate on truck. A 360 kg crate rests  on the bed of a truck  that is moving at speed v 0  = 120 km/h in the positive direction  of an x axis. The driver applies the brakes and slows to a speed  v = 62 km/h in 17 s at a constant rate and without the crate slid-  ing. What magnitude of force acts on the crate during this 17 s?  77 

Noninertial frame  projectile.  A device  shoots a  small  ball  horizontally with speed 0.200 m/s from height h = 0.800 m above  an elevator floor. The ball lands at distance d from the base of  the device directly below the ejection point. The vertical accel-  eration of the elevator can be controlled. What is the elevator’s  acceleration magnitude a  if d  is  (a)  14.0  cm, (b)  20.0 cm,  and  (c) 7.50 cm?  78 

BIO  A  car  crashes  head on into a  wall and stops, with the  front collapsing  by 0.500 m. The  70 kg driver  is  firmly held to  the seat by a seat belt and thus moves forward by 0.500 m during  the crash. Assume that the acceleration (or deceleration) is con-  stant during the crash. What is its magnitude of the force on the  driver from the seat belt during the crash  if the initial speed of  the car is (a) 35 mi/h and (b) 70 mi/h? 

79 

Redesigning  a  ramp.  Figure  5.47  shows  a  block  that  is  released on a frictionless ramp at angle θ = 30.0° and that then  slides down through distance d = 0.800 m along the ramp in a  80 

/

A ROBL EMS 

131

certain time t 1 . What should the angle be to increase the sliding  time by 0.100 s?  Physics

Circus

Block Figure  5.48 

Problem 82. 

d

Penguin’s weight. A weight-conscious penguin with a mass  of 15.0 kg rests on a bathroom scale (Fig. 5.49). What is the pen-  guin’s weight in (a) newtons and (b) pounds? What is the mag-  nitude (newtons) of the normal force on the penguin from the  scale?  83 

θ Figure  5.47 

Problem 80 

Two  forces.  The  only  two  forces  acting  on  a  body  have  magnitudes of F 1  = 20 N and F 2 = 35 N and directions that differ  by  80°. The resulting acceleration  has a  magnitude of 20  m/s 2 .  What is the mass of the body?  81 

Physics  circus  train. You are charged with moving a circus  to the next town. You have two engines and need to attach four  boxcars to each, as shown in Fig. 5.48 for one of the engines. The  mass of each boxcar is given below in kilograms, and each engine  produces the same accelerating force. (a) Determine which box-  cars  should be connected to  each engine so  that the accelera-  tions of the trains are both a = 2.00 m/s 2 . (b) Next, determine the  sequence  of  boxcars  in each  train that minimizes the  tensions  in the interconnections between boxcars. Here is an example of  an  answer:  CBAF —boxcar  C  would be  the last  (leftmost) one  and boxcar F would be the first (rightmost) one. For the train  with boxcar B, what are  the interconnection tensions between  (c)  the front boxcar  and the boxcar behind it and (d)  the last  boxcar and the boxcar in front of it?  82 

A 7.50 × 10 5 , B 7.00 × 10 5 , C 6.00 × 10 5 , D 5.00 × 10 5 , E 4.00 × 10 5 ,  F 3.50 × 10 5 , G 2.00 × 10 5 , H 1.00 × 10 5 

Scale

Figure  5.49 

Problem 83. 

Pop. If a person drinks a can of Diet Coke before enter-  ing the doctor’s  office to be weighed, how much will the drink  increase  the weight measurement? Answer in pounds. The  can  has  12 US fluid ounces  and the drink is  flavored water  with a  density of 997 kg/m 3 .  84  BIO 

/

C

H

A

P

T

E

R

6

Force and Motion—II 

6.1  FRICTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

6.1.1  Distinguish between  friction in  a static situation 

6.1.3  For objects on horizontal, vertical, or inclined 

and in a kinetic  situation. 

planes in situations involving friction,  draw free-body 

6.1.2  Determine direction and magnitude of a frictional 

diagrams and apply Newton’s second law. 

force. 

Key Ideas  →

●

When  a force 

→

F  tends to slide a body along a 

●

surface,  a frictional  force from the surface  acts on 

The magnitude of 

given by 

f s,max =  μs F N , 

the body. The frictional  force is parallel  to the surface  and directed so as to oppose the sliding.  It is due to  bonding between  the body and the surface.  →

f s . If there  is sliding, the frictional  f k .  →

force is a kinetic frictional  force 

→

●

If a body does not move, the static frictional  force  →

F  parallel  to the surface  are  f s  is directed opposite  that component. If the component increases,  f s  also  and the component of 

→

equal  in magnitude, and 

increases. 

μs  is the coefficient  of static friction  and F N  is the  →

If the body does not slide, the frictional force is a  static frictional  force 

where 

→

f s  has a maximum value  f s,max 

f s 

F  f s,max , the body slides on 

magnitude of the normal force. If the component of  parallel  to the surface  exceeds  the surface.  ●

If the body begins to slide on the surface, the 

magnitude of the frictional force rapidly decreases to a  →

constant value 

f k  given by 

f k  =  μk F N,  

where 

μk  is the coefficient  of kinetic  friction. 

What Is Physics? 

In this chapter we focus on the physics of three common types of force: frictional  force, drag force, and centripetal force. An engineer preparing a car for the India-  napolis 500 must consider all three types. Frictional forces acting on the tires are  crucial to the car’s acceleration out of the pit and out of a curve (if the car hits an  oil slick, the friction is lost and so is the car). Drag forces acting on the car from  the passing air must be minimized or else the car will consume too much fuel and  have to pit too early (even one 14 s pit stop can cost a driver the race). Centrip-  etal forces are crucial in the turns (if there is insufficient centripetal force, the car  slides into  the wall). We start our discussion with frictional forces.  Friction 

Frictional forces are unavoidable in our daily lives. If we were not able to counteract  them, they would  stop every moving object and bring to a halt every rotating shaft.  About 20% of the gasoline used in an automobile is needed to counteract friction in  the engine and in  the drive train. On the other hand, if friction were totally absent,  we could  not  get an automobile to  go  anywhere, and  we could  not  walk or  ride a 

132 /

6.1  F RIC T ION 

133

bicycle. We could  not  hold  a pencil, and, if we could, it would  not  write. Nails and  screws would be useless, woven cloth would fall apart, and knots would  untie.  Three Experiments. Here we deal with the frictional forces that exist between  dry solid surfaces, either stationary relative to each other or moving across each  other at slow speeds. Consider three simple thought experiments:  1.  Send  a book  sliding  across a long  horizontal  counter. As expected, the book  slows  and then  stops.  This  means the book  must have an acceleration paral-  lel to the counter surface, in the direction opposite the book’s  velocity. From  Newton’s second law, then, a force must act on the book  parallel to the coun-  ter surface, in the direction opposite its velocity. That force is a frictional force.  2.  Push  horizontally on  the book  to make it travel at constant velocity along the  counter.  Can the  force from  you  be  the only  horizontal  force on  the book?  No,  because  then  the  book  would  accelerate. From  Newton’s  second  law,  there must be a second  force, directed opposite  your force but with the same  magnitude, so  that  the  two  forces  balance. That  second  force  is a  frictional  force, directed parallel to the counter.  3.  Push  horizontally on a heavy crate. The crate does not move. From Newton’s  second law, a second force must also be acting on the crate to counteract your  force. Moreover, this second  force must be directed opposite your  force and  have the same magnitude as your  force, so that the two forces balance. That  second  force is a frictional  force. Push  even harder. The crate still  does  not  move. Apparently the frictional force can change in magnitude so that the two  forces still balance. Now push with all your strength. The crate begins to slide.  Evidently, there is a maximum magnitude of  the  frictional force. When  you  exceed that maximum magnitude, the crate slides. 

Two Types of Friction. Figure 6.1.1 shows a similar situation. In Fig. 6.1.1a,  a  block  rests on  a tabletop,  with  the  gravitational force  F g  balanced by  a nor-  mal force F N . In Fig. 6.1.1b, you exert a force F  on the block, attempting to pull  it  to  the  left.  In  response, a  frictional  force  f s  is  directed  to  the  right,  exactly  →

→

→

→

There is no attempt at sliding. Thus, no friction and no motion.

FN

Frictional force = 0 Fg

(a )

Force F attempts sliding but is balanced by the frictional force. No motion. Force F is now stronger but is still balanced by the frictional force. No motion. (a) The forces on a  stationary block. (b–d) An exter-  nal force F , applied to the block,  is balanced by a static frictional  force  f s .  As F is increased, f s  also  increases,  until f s  reaches a certain  maximum value.  (Figure continues)  Figure  6.1.1 

→

→

FN

Frictional force = F

fs

F

Fg

(b ) FN

fs

F

Frictional force = F

Fg

(c )

Force F is now even stronger but is still balanced by the frictional force. No motion.

A 

FN fs

F

Frictional force = F

Fg

(d )

/

134

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

Finally, the applied force has overwhelmed the static frictional force. Block slides and accelerates.

FN

Weak kinetic frictional force

F fk

Fg

(e ) v 

FN

Same weak kinetic frictional force

fk

F

Fg

→

(f )

Static frictional force can only match growing applied force.

e cr of lanoit cirf f o edutinga M

(Continued)  (e) Once  f s  reaches its maximum value, the  block “breaks away,” accelerating  suddenly in the direction of F .  ( f ) If the block is now to move  with constant velocity, F must be  reduced from the maximum value  it had just before the block broke  away. (g) Some experimental  results for the sequence (a) through  ( f ). In  WileyPLUS, this figure is  available as an animation with  voiceover.  Figure  6.1.1 

To maintain the speed, weaken force F to match the weak frictional force.

a

Maximum value of f s fk is approximately constant

Kinetic frictional force has only one value (no matching).

Breakaway

0 (g)

Time

→

balancing your force. The force  f s  is called the static frictional force. The block  does not move.  Figures 6.1.1c and  6.1.1d show  that  as you  increase the  magnitude of  your  applied  force, the magnitude of  the  static frictional force  f s  also  increases and  the block remains at rest. When the applied force reaches a certain magnitude,  however, the block  “breaks away” from  its  intimate contact  with  the  tabletop  and accelerates leftward (Fig. 6.1.1e). The frictional force that then opposes the  motion is called the kinetic frictional force  f k .  Usually, the magnitude of the kinetic frictional force, which acts when there  is motion, is less than the maximum m agnitude of the static frictional force, which  acts when  there is  no  motion.  Thus,  if  you  wish  the  block  to  move  across the  surface with  a constant  speed, you must  usually decrease the magnitude of  the  applied  force once  the  block  begins  to  move, as in  Fig.  6.1.1f.  As an example,  Fig. 6.1.1g shows the results of an experiment in which the force on  a block  was  slowly  increased until  breakaway occurred.  Note the  reduced  force needed  to  keep the block  moving at constant speed after breakaway.  Microscopic View. A frictional force is, in essence, the vector sum of many  forces acting between the surface atoms of one body and those of another body. If  two highly polished and carefully cleaned metal surfaces are brought together in  a very good vacuum (to keep them clean), they cannot be made to slide over each  other.  Because the  surfaces are so smooth,  many atoms  of one  surface contact  many atoms of  the other surface, and  the surfaces cold-weld  together instantly,  forming a single piece of metal. If a machinist’s specially polished gage blocks are  brought  together in air, there is less atom-to-atom contact, but  the blocks  stick  firmly to each other and can be separated only by means of a wrenching motion.  Usually, however, this much atom-to-atom contact is not possible. Even a highly  polished  metal surface is far from being flat on the atomic scale. Moreover, the  surfaces of  everyday objects have layers of oxides  and other  contaminants that  reduce cold-welding.  When two ordinary surfaces are placed together, only the high points  touch  each other. (It is like having the Alps of Switzerland turned over and placed down  on the Alps of Austria.) The actual microscopic area of contact is much less than  the apparent macroscopic contact area, perhaps by a factor of 10 4 . Nonetheless,  →

→

/

6.1  F RIC T ION 

many contact points  do  cold-weld together. These welds produce  static friction  when an applied force attempts to slide the surfaces relative to each other.  If the applied force is great e nough to pull one surface across the other, there  is first a tearing of  welds (at breakaway) and then  a continuous  re-forming and  tearing of  welds as movement occurs and chance contacts are made (Fig. 6.1.2).  The kinetic  frictional force  f k  that opposes the  motion  is the vector sum of  the  forces at those many chance contacts.  If the two surfaces are pressed together harder, many more points  cold-weld.  Now getting the surfaces to slide relative to each other requires a greater applied  force: The static frictional force  f s  has a greater maximum value. Once the sur-  faces are sliding, there are many more points  of momentary cold-welding, so the  kinetic frictional force  f k  also has a greater magnitude.  Often, the sliding motion of one surface over another is “jerky” because the two  surfaces alternately stick together and then slip. Such repetitive stick-and-slip can pro-  duce squeaking or squealing, as when tires skid on  dry pavement, fingernails scratch  along a chalkboard, or a rusty hinge is opened. It can also produce beautiful and capti-  vating sounds, as in music when a bow is drawn properly across a violin string.  FCP 

135

(a )

→

→

(b )

→

The mechanism of sliding  friction. (a) The upper surface is  sliding to the right over the lower  surface in this enlarged view.  (b) A detail, showing two spots  where cold-welding has occurred.  Force is required to break the welds  and maintain the motion.  Figure  6.1.2 

Properties of Friction 

Experiment shows that when a dry and unlubricated body  presses against a sur-  face in  the  same condition  and  a  force F attempts to  slide  the  body  along  the  surface, the resulting frictional force has three properties:  →

→

If the body does not move, then the static frictional force f s  and the  component of  F  that is parallel to the surface balance each other. They are  equal in magnitude, and  f s  is directed opposite that component of F . 

Property 1. 

→

→

→

→

Property 2. 

The magnitude of  f s  has a maximum value f s,max that is given by  f s,max = μ s F N,  

(6.1.1) 

where μs  is the coefficient of static friction and F N is the magnitude of the nor-  mal force on  the body  from the surface. If the magnitude of the component  of F  that is parallel to the surface exceeds f s,max , then the body begins to slide  along the surface.  →

If the body  begins to slide along the surface, the magnitude of the  frictional force rapidly decreases to a value f k  given by 

Property 3. 

f k  = μk F N,  

(6.1.2) 

where μk  is the  coefficient of  kinetic friction. Thereafter, during  the sliding,  a kinetic  frictional  force  f k  with  magnitude given by Eq. 6.1.2 opposes  the  motion.  →

The  magnitude F N  of  the normal  force appears in  properties  2 and  3 as a  measure of how  firmly the body  presses against the surface. If the body presses  harder, then, by Newton’s third law, F N is greater. Properties 1 and 2 are worded  in terms of a single applied force F , but they also hold  for the net force of several  applied forces acting on the body. Equations 6.1.1 and 6.1.2 are not vector equa-  tions; the direction of  f s or  f k is always parallel to the surface and opposed to the  attempted sliding, and the normal force F N is perpendicular to the surface.  The coefficients  μs  and  μk  are dimensionless  and must be determined exper-  imentally. Their  values depend  on  certain properties  of  both  the body  and  the  surface; hence, they are usually referred to with the preposition  “between,” as in  “the value of μs between an egg and a Teflon-coated skillet is 0.04, but that between  rock-climbing shoes and rock is as much as 1.2.” We assume that the value of  μk  does not depend on the speed at which the body slides along the surface.  →

→

→

→

/

136

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

Checkpoint 6.1.1 

A block lies on a floor. (a) What is the magnitude of the frictional force on it from the  floor? (b) If a horizontal force of 5 N is now applied to the block, but the block does  not move, what is the magnitude of the frictional force on it? (c) If the maximum  value f s,max  of the static frictional force on the block is 10 N, will the block move if  the magnitude of the horizontally applied force is 8 N? (d) If it is 12 N? (e) What is  the magnitude of the frictional force in part (c)? 

Sample Problem 6.1.1

Angled force  applied  to an initially stationary block 

This sample problem involves a tilted applied force, which  requires that we work with components to find a frictional  force.  The  main  challenge is  to  sort  out  all  the  compo-  nents. Figure 6.1.3a shows a force of magnitude F = 12.0 N  applied  to  an  8.00  kg  block  at  a  downward  angle  of  θ = 30.0°. The coefficient of static friction between block  and floor is s  = 0.700; the coefficient of kinetic friction is  k = 0.400. D oes the block begin to slide or does it remain  stationary? What is the magnitude of the frictional force  on the block? 

KEY IDEAS (1) When  the object  is stationary on  a surface, the static  frictional  force  balances  the  force  component  that  is  attempting to  slide the object  along  the surface. (2) The  maximum possible magnitude of that force is given by Eq.  6.1.1 ( f s,max =  s F N). (3) If the component of  the applied    force along the surface exceeds this limit on the static fric-  tion, the block begins to slide. (4) If the object slides, the  kinetic frictional force is given by Eq. 6.1.2 ( f k  = k F N).   

F N − mg − F sin θ = m(0), 

(6.1.4) 

F N = mg + F sin θ . 

(6.1.5) 

which gives us 

Now we can evaluate f s,max = s F N:    f s,max  = s (mg + F sin θ) 

= (0.700)((8.00 kg)(9.8 m/s 2 ) + (12.0 N )(sin 30°))  = 59.08 N.  (6.1.6) 

Because the magnitude F x   (= 10.39 N ) of the force com-  ponent  attempting to  slide  the  block  is  less than  f s,max  (=  59.08 N), the block  remains stationary. That means  that the magnitude f s  of the frictional force matches F x  .  From Fig. 6.1.3d, we can write Newton’s second law for  x components as  F x  − f s  = m(0),  and thus 

To see if the block slides (and thus to calcu-  late the magnitude of the frictional force), we must compare  the applied force component F x  with the maximum m agni-  tude f s,max that the static friction can have. From the trian-  gle of components and full force shown in Fig. 6.1.3b, we  see that 

(6.1.7) 

f s  = F x   = 10.39 N ≈ 10.4 N. 

(Answer) 

Calculations:

y

θ

x

Fx

θ

F

F x  = F cos θ = (12.0 N ) cos 30° = 10.39 N. 

Block

Fy

F

(a )

(b)

(6.1.3) 

From Eq. 6.1.1, we know  that  f s,max  =  s F N, but we need    the magnitude F N  of  the  normal force  to  evaluate f s,max .  Because the  normal  force  is  vertical, we  need  to  write  Newton’s second  law (F net,y  =  ma y) for the vertical force    components  acting  on  the  block,  as  displayed  in  Fig.  6.1.3c.  The  gravitational  force  with  magnitude  mg  acts  downward.  The  applied  force  has  a  downward  compo-  nent F y  =  F sin  θ . And  the vertical acceleration a y   is just  zero. Thus, we can write Newton’s second law as 

FN

Block Fy fs

Fg

(c )

Fx

(d )

(a) A force is applied to an initially stationary block.  (b) The components of the applied force. (c) The vertical force  components. (d) The horizontal force components.  Figure  6.1.3 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

137

6.1  F RIC T ION 

Sample Problem 6.1.2

Snowboarding 

Most snowboarders (Fig. 6.1.4a) realize that a snowboard  will  easily  slide  down  a  snowy  slope  because  the  fric-  tion  between the snow and the moving board  warms the  snow,  producing  a micron-thick  layer of  meltwater with  a low coefficient of kinetic  friction. However, few snow-  boarders  realize that  the  normal  force  supporting  them  is  mainly  due  to  air  pressure, not  the  snow  itself.  Here  we  examine the  forces  on  a  70 kg  snowboarder  sliding  directly down the fall line of an 18° slope, which  is a blue  square slope  in the rating system of North America. The  coefficient of kinetic friction is 0.040. We will use an x axis  that is directed down  the slope  (Fig. 6.1.4b). (a) What  is  the acceleration down the slope? 

wind-packed snow, the board’s passage is too brief for the  air to be squeezed out and is momentarily trapped. For a  board  with  a length  of  1.5 m and  moving at 15 m/s, how  long is it over any given part of the snow?  L  = _ 1.5 m    t = _  v  15 m/s = 0.10 s. 

(Answer) 

(c) For such a brief interval, the compression by the snow-  boarder increases the  pressure of  the trapped  air, which  then contributes 2/3 of the normal force. What is the con-  tribution  F air  for the 70 kg snowboarder?  2  F air  = _  mg cos θ 3 

2  =  _  (70 kg)(9.8 m/s 2 )(cos 18°)  3 

= 435 N. 

KEY IDEAS (1)  The  snowboarder  accelerates (the  speed  increases)  down  the slope due to a net force F net,x , which is the vec-  tor  sum  of  the  frictional  force  f k  up  the  slope  and  the  component F g,x of the gravitational force down the slope.  (2) The frictional force is a kinetic  frictional force with a  magnitude given by Eq. 6.1.2 ( f k  =  k F N), in  which F N  is    the  magnitude of  the  normal  force  on  the  snowboarder  (perpendicular to the slope). (3) We can relate the accel-  eration  of  the  snowboarder  to  the  net  force  along  the  slope  by  writing Newton’s second  law  (F net,x  =  ma x) for    motion  along the slope. 

(Answer) 

→

 segamI ytteG/noisiVlatigiD/kuineL lyrraD

Figure  6.1.4b  shows  the  component  mg  sin  θ of  the  gravitational force  down  the  slope  and  the  component  mg  cos  θ perpendicular  to  it.  The  normal  force F N matches that perpendicular component, so  Calculations:

F N = mg cos θ and thus the magnitude of the frictional force up the slope is  f k  = μ k F N = μ k mg cos θ. 

(a)

We  then  find  the  acceleration a x   along  the  x  axis from  Newton’s second law: 

y

F net,x = ma x   −f k  + mg sin  θ = ma x   − μ k mg cos θ + mg sin θ = ma x   g(− μk  cos θ + sin θ) = a x   a x  = (9.8 m/s 2 )(−0.040 cos 18° + sin 18°)  = −2.7 m/s 2 .  (Answer)  (b) If the board’s speed is less than 10 m/s, the air between  the snow particles beneath the board flows off to the sides  and the normal force is provided directly by the particles.  The  result  is  the  same  for  fresh  snow  for  even  faster  speeds  because the  snow  is  porous  so  that  the  air  can  be  squeezed out.  However, for  those  faster speeds  over 

FN fk

mg

mg

cos θ

θ

sin θ

θ x

Fg

(b)

(a) Snowboarding. (b) A free-body diagram for  the snowboarder.  Figure  6.1.4 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

138

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

6.2  THE DRAG FORCE AND TERMINAL SPEED  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

6.2.1 Apply the relationship between the drag force on an 

6.2.2 Determine the terminal speed of an object falling 

object moving through air and the speed of the object. 

through air. 

Key Ideas  ●

When there is relative motion between air (or some 

other fluid)  and a body, the body experiences a drag  force 

area of a cross section taken perpendicular  to the rela- 

D  that opposes the relative motion and points in the 

direction in which  the fluid  flows relative to the body. The  →

D  is related to the relative speed v by an  experimentally determined drag coefficient  C according to  magnitude of 

1  D = _  CρAv 2 ,  2 

where 

v ). 

→

tive velocity 

→

●

When a blunt object has fallen  far enough through  →

D and the gravi-  F g  on the body become equal. The body  then falls at a constant terminal  speed v t  given by  air, the magnitudes of the drag force  →

tational force 

_____ 

 is the fluid  density (mass per unit volume) and 

v t  = 

A is the effective  cross-sectional area of the body (the 

2F g  

√ CρA .  _____ 

The Drag Force  and Terminal Speed 

A fluid  is anything that can flow—generally either a gas or a liquid.  When there  is a relative velocity between a fluid  and a body (either because the body moves  through the fluid or because the fluid moves past the body), the body experiences  a drag force  D  that  opposes  the  relative motion  and  points  in  the  direction  in  which the fluid flows relative to the body.  Here we examine only cases in which air is the fluid,  the body is blunt  (like  a  baseball) rather than  slender (like  a  javelin), and  the  relative motion  is  fast  enough so that the air becomes turbulent (breaks up into swirls) behind the body.  In such cases, the magnitude of the drag force D is related to the relative speed v  by an experimentally determined drag coefficient C according to  →

→

1  D =  _  CρAv 2 ,  2 

(6.2.1) 

where  is the air density (mass per volume) and A is the effective c ross-sectional  area  of  the  body  (the  area  of  a  cross  section  taken  perpendicular  to  the  velocity  v ). The  drag coefficient C (typical values range from 0.4 to  1.0) is not  truly a constant for a given body because if v varies significantly, the value of C  can vary as well. Here, we ignore such complications.  Downhill  speed skiers know  well that drag depends on  A and  v 2 . To reach  high speeds a skier must reduce D as much as possible by, for example, riding the  skis in the “egg position” (Fig. 6.2.1) to minimize A.  Falling. When  a  blunt  body  falls  from  rest through  air,  the  drag force  D  is directed upward; its magnitude gradually increases from zero as the speed of  the  body  increases. This  upward  force  D  opposes  the  downward  gravitational  force  F g  on  the body.  We  can relate these forces  to  the body’s  acceleration by  writing Newton’s second law for a vertical y axis (F net,y = ma y) as    →

 segamI ytteG/+E/rtonhcet

This skier crouches in  an “egg position” so as to minimize  her effective cross-sectional area  and thus minimize the air drag act-  ing on her.  Figure  6.2.1 

→

→

→

D − F g  = ma, 

(6.2.2) 

where m is the mass of the body. As suggested in Fig. 6.2.2, if the body falls long  enough, D eventually equals F g  . From Eq. 6.2.2, this means that a = 0, and so the  body’s speed no longer increases. The body then falls at a constant speed, called  the terminal speed v t . 

/

6.2  T HE  D RAG  F ORC E  AND  T ERMINAL   SP EED  

139

Table 6.2.1  Some Terminal  Speeds in Air 

Object 

Terminal Speed (m/s) 

95% Distance a  (m) 

145  60  42  31  20  9  7  5 

2500  430  210  115  47  10  6  3 

Shot (from shot put)  Sky diver (typical)  Baseball  Tennis ball  Basketball  Ping-Pong ball  Raindrop (radius = 1.5 mm)  Parachutist (typical)  a 

This is the distance through which the body must fall from rest to reach 95% of its terminal speed. 

Based on Peter J. Brancazio, Sport Science,  1984, Simon & Schuster, New York. 

To find  v t , we set a = 0 in Eq. 6.2.2 and substitute for D from Eq. 6.2.1,  obtaining  1  _  CρAv 2  t  − F g  = 0,  2 

_____ 

which gives 

v t = 

2 F g  

.  √ _____  CρA 

As the cat’s speed increases, the upward drag force increases until it balances the gravitational force.

(6.2.3) 

D D

Fg

Fg

Fg

(a )

(b )

(c )

The forces that act on a body  falling through air: (a) the body when it  has just begun to fall and (b)  the free-body  diagram a little later, after a drag force  has developed. (c) The drag force has  increased  until it balances the gravitational  force on the body. The body now falls at its  constant terminal speed.  Figure  6.2.2 

 moc.kcotsrettuhS/oinotnA ykS

Table 6.2.1 gives values of v t  for some common objects.  According to calculations* based on Eq. 6.2.1, a cat must fall about six  floors  to reach terminal speed. Until it does so, F g  > D and the cat acceler-  ates downward because of the net downward force. Recall from Chapter 2  that  your  body  is  an  accelerometer, not  a  speedometer. Because the  cat  also senses the acceleration, it is frightened and keeps its feet underneath  its body,  its head tucked  in, and its spine  bent upward, making A small, v t  large, and injury likely.  However, if the cat does reach v t  during  a longer fall, the acceleration  vanishes and the cat relaxes somewhat, stretching its legs and neck horizon-  tally outward and  straightening its  spine  (it then resembles a flying  squir-  rel). These actions increase area A and thus also, by Eq. 6.2.1, the drag D.  The cat begins to slow because now D > F g   (the net force is upward), until  a new,  smaller v t  is  reached. The  decrease in  v t  reduces the  possibility  of  serious injury  on landing. Just before the end  of the fall, when it  sees it  is  nearing the ground, the cat pulls  its legs back beneath its body  to prepare  FCP  for the landing.  Humans often  fall from  great heights for  the  fun  of  skydiving. How-  ever, in  April  1987, during  a jump,  sky diver Gregory Robertson  noticed  that  fellow  sky diver  Debbie Williams had  been  knocked  unconscious  in  a  collision  with  a  third  sky  diver  and  was unable  to  open  her  parachute.  Robertson, who  was well above Williams at the time and who  had not yet  opened his parachute for the 4 km plunge, reoriented his body head-down  so as to minimize A and  maximize his downward speed. Reaching an esti-  mated v t of 320 km/h, he caught up with Williams and then went into a hori-  zontal “spread eagle” (as in  Fig. 6.2.3) to increase D so that he could  grab  her. He opened her parachute and then, after releasing her, his own, a scant  10 s before impact. Williams received extensive internal injuries due to her  FCP  lack of control on landing but survived. 

Falling body

Sky divers in a horizontal  “spread eagle” maximize air drag.  Figure  6.2.3 

*W. O.  Whitney and C. J.  Mehlhaff, “High-Rise Syndrome in Cats.” The Journal of the American  Veterinary Medical  Association, 1987. 

/

140

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

Sample Problem 6.2.1

Terminal  speed  of  falling raindrop 

A  raindrop  with  radius  R  =  1.5 mm  falls  from  a  cloud  that is at height  h = 1200 m above the ground. The drag  coefficient C for  the drop  is 0.60. Assume that the  drop  is spherical throughout  its fall. The density of water  w  is  1000 kg/m 3 , and the density of air  a is 1.2 kg/m 3 .  (a) As Table 6.1.1 indicates, the raindrop reaches terminal  speed after falling just a few meters. What is the terminal  speed? 

KEY IDEA The  drop  reaches a terminal speed  v t  when  the  gravita-  tional  force on  it  is balanced by the air drag force on  it,  so its acceleration is zero. We could  then apply Newton’s  second law and the drag force equation to find v t, but Eq.    6.2.3 does all that for us.  To use Eq. 6.2.3, we need the drop’s effec-  tive cross-sectional  area A and  the magnitude F g   of  the  gravitational  force.  Because the  drop  is  spherical, A  is  the area of a circle (R 2 ) that has the same radius  as the  sphere. To find F g, we use three facts: (1) F    g  = mg, where  m is the drop’s  mass; (2) the (spherical) drop’s  volume is  4  V =  _  πR 3 ; and (3) the density of the water in the drop  is  3  the mass per volume, or  w  = m/V. Thus, we find  Calculations:

4  3  F g   = Vρw g = _  πR  ρw g.  3 

We next substitute this, the expression for A, and the given  data into Eq. 6.2.3. Being careful to distinguish between the  air density  a and the water density w , we obtain 

______ 

2 F  v t  =  Cρa A 

√ 

g  ______  = 

_________ 

8πR  ρw g  _________  = 

_______ 

√ 3Cρ πR  √ 8R3Cρρ g  3 

a 

2 

w  _______  a 

___________________________________ 

(8 )(1.5 × 10 −3  m)(1000 kg  /m 3 )(9.8 m / s2    )  =  ___________________________________  (3)(0.60)(1.2 kg  /m 3 )  (Answer )  = 7.4 m / s ≈ 27 km / h. 

√ 

Note that the height of the cloud  does not enter into  the  calculation.  (b) What would  be the drop’s speed just before impact if  there were no drag force? 

KEY IDEA With no drag force to reduce the drop’s  speed during the  fall, the drop  would  fall with  the constant free-fall accel-  eration g, so the constant-acceleration e quations of Table  2.4.1 apply.  Because we know  the acceleration is g, the  initial velocity v 0   is 0, and the displacement x − x 0   is −h,  we use Eq. 2.4.6 to find v:  Calculation:

____ 

___________________ 

v  =  √ 2gh = √ (2)(9.8 m / s2    )(1200 m)  =  153 m / s ≈ 550 km / h. 

(Answer ) 

Had  he  known  this,  Shakespeare  would  scarcely have  written, “it droppeth as the gentle rain from heaven, upon  the place beneath.” In fact, the speed is close to that of a  bullet from a large-caliber handgun! 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Checkpoint 6.2.1 

Is the terminal speed for a large raindrop greater than, less than, or the same as that  for a small raindrop, assuming that both drops are spherical? 

6.3  UNIFORM CIRCULAR MOTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

6.3.1  Sketch the path taken in  uniform  circular  motion 

6.3.3  For a particle  in uniform  circular  motion, apply 

and explain  the velocity, acceleration,  and force vec- 

the relationship between  the radius  of the path, the 

tors (magnitudes and directions) during  the motion. 

particle’s speed and mass, and the net force acting 

6.3.2  ldentify  that unless there is a radially  inward  net 

on the particle. 

force (a centripetal  force), an object cannot move in  circular  motion. 

/

6.3  U NIF ORM  C IRC U L AR MOT ION 

141

Key  Ideas  ●

If a particle  moves in a circle  or a circular  arc of 

radius 

R  at constant speed v , the particle  is said to 

●

This acceleration is due to a net centripetal force on 

the particle,  with magnitude given by 

2 

____ ,  F =  mv  R 

be in uniform  circular  motion. It then has a centripetal  acceleration 

a  with  magnitude given by 

→

2 

v  .  a =  __  R 

where  →

and 

m is the particle’s mass. The vector quantities  a  →

F  are directed toward the center of curvature of the 

particle’s path. 

Uniform Circular Motion 

From Module 4.5, recall that when a body  moves in a circle (or a circular arc) at  constant speed v, it is said to be in  uniform circular motion. Also recall that the  body  has a centripetal acceleration (directed toward the center of the circle) of  constant magnitude given by  2 

v  (centripetal acceleration ),  a = __  R 

(6.3.1) 

where R is the radius of the circle. Here are two examples:  1.  Rounding a curve in a car. You are sitting in the center of the rear seat of a car  moving at a constant high speed along a flat road. When the driver suddenly  turns left, rounding  a corner in a circular arc, you slide across the seat toward  the  right  and  then  jam against the  car wall for  the  rest of  the turn.  What  is  going on?  While the car moves in the circular arc, it is in uniform circular motion; that is,  it has an acceleration that is directed toward the center of the circle. By Newton’s  second law, a force must cause this acceleration. Moreover, the force must also  be directed toward the center of the circle. Thus, it  is a centripetal force, where  the  adjective indicates the  direction. In this  example, the centripetal force is  a  frictional force on the tires from the road; it makes the turn possible.  If you  are to move in  uniform  circular motion  along  with  the  car, there  must  also  be  a centripetal force  on  you.  However, apparently the  frictional  force on  you  from the  seat was not  great enough to  make you  go in  a circle  with  the  car. Thus,  the  seat slid  beneath you,  until  the  right  wall  of  the  car  jammed into you. Then its push  on you provided the needed centripetal force  on you, and you joined the car’s uniform circular motion.  2.  Orbiting Earth. This time you are a passenger in the space shuttle Atlantis. As  it and you orbit  Earth, you float through your cabin. What is going on?  Both  you and  the shuttle are in  uniform circular motion and  have accel-  erations directed toward the center of the  circle. Again by Newton’s second  law, centripetal forces must cause these accelerations. This time the centrip-  etal forces are gravitational pulls  (the pull on  you and the pull  on the shuttle)  exerted by Earth and directed radially inward, toward the center of Earth.  In both car and shuttle you are in uniform circular motion, acted on by a cen-  tripetal force—yet your sensations in the two situations are quite different. In the  car, jammed up against the wall, you are aware of being compressed by the wall.  In the orbiting shuttle, however, you are floating around with no sensation of any  force acting on you. Why this difference?  The difference is due  to the  nature of  the  two centripetal forces. In the  car, the centripetal force is the push on the part of your body touching the car  wall. You can sense the compression on that part of your body. In the shuttle,  the centripetal force is Earth’s gravitational pull  on every atom of your body. 

/

142

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

v 

r

Puck String

T

R

The puck moves in uniform circular motion only because of a toward-thecenter force.

An overhead view of a hockey puck moving with constant speed v in a  circular path of radius R on a horizontal frictionless surface. The centripetal force on  the puck is T , the pull from the string, directed inward along the radial axis r extending  through the puck.  Figure  6.3.1 

→

Thus,  there is  no  compression (or  pull)  on  any  one  part  of  your  body  and  no  sensation  of  a  force  acting  on  you.  (The  sensation  is  said  to  be  one  of  “weightlessness,” but that description is tricky. The pull  on you by Earth has  certainly not disappeared and, in fact, is only a little less than it would be with  you on the ground.)  Another example of a centripetal force is shown in Fig. 6.3.1. There a hockey  puck  moves around  in a circle at constant speed v while tied to  a string  looped  around a central peg. This time the centripetal force is the radially inward pull on  the puck from the string. Without that force, the puck would slide off in a straight  line instead of moving in a circle.  Note  again that  a centripetal  force  is  not  a  new  kind  of  force.  The  name  merely indicates the direction  of  the force. It can, in  fact, be a frictional  force,  a gravitational force, the force from a car wall or a string, or any other force. For  any situation:  A centripetal force accelerates a body by changing the direction of the body’s  velocity without changing the body’s speed. 

From Newton’s second law and Eq. 6.3.1 (a = v 2 /R), we can write the magnitude  F of a centripetal force (or a net centripetal force) as  v 2  (magnitude of centripetal force ).  F = m __  R 

(6.3.2) 

Because the speed v here is constant, the magnitudes of the acceleration and the  force are also constant.  However, the directions of the centripetal acceleration and force are not con-  stant; they vary continuously so as to always point toward the center of the circle.  For this reason, the force and acceleration vectors are sometimes drawn along a  radial axis r that moves with the body and always extends from the center of the  circle to  the  body,  as in  Fig.  6.3.1. The positive direction  of  the  axis is radially  outward, but the acceleration and force vectors point  radially inward. 

Checkpoint 6.3.1 

As every amusement park fan knows, a Ferris wheel is a ride consisting of seats  mounted on a tall ring that rotates around a horizontal axis. When you ride in a  Ferris wheel at constant speed, what are the directions of your acceleration a  and the  normal force F N  on you (from the always upright seat) as you pass through (a) the  highest point and (b) the lowest point of the ride? (c)  How does the magnitude of  the acceleration at the highest point compare with that at the lowest point? (d) How  do the magnitudes of the normal force compare at those two points?  →

→

/

6.3  U NIF ORM  C IRC U L AR MOT ION 

Sample Problem 6.3.1

143

Vertical  circular  loop, Diavolo 

Largely because of  riding  in  cars, you  are used  to  hori-  zontal circular motion. Vertical circular motion would  be  a novelty. In this  sample problem, such motion  seems to  defy the gravitational force.  In a 1901 c ircus performance, A llo “Dare D evil” Dia-  volo introduced the stunt of riding a bicycle in a loop-the-  loop  (Fig. 6.3.2a). Assuming that the loop  is a circle with  radius  R =  2.7 m, what  is the least speed v that Diavolo  and his bicycle could have at the top of the loop to remain  in contact with it there?  FCP 

KEY IDEA We can assume that Diavolo and his bicycle travel through  the top of the loop  as a single particle in uniform circular  motion. Thus,  at the top,  the  acceleration  a  of  this  par-  ticle  must  have  the  magnitude  a  =  v 2 /R  given  by  Eq.  6.3.1 and  be  directed  downward,  toward  the  center of  the circular loop.  →

The  forces  on  the  particle  when  it  is  at  the top of the loop are shown in the free-body diagram of  Fig 6.3.2b.  The gravitational force F g  is downward along  a y axis; so is the normal force F N on the particle from the  loop  (the loop  can push  down, not  pull up); so also is the  centripetal acceleration of  the  particle. Thus,  Newton’s  second law for y components (F net,y  = ma y ) gives us    Calculations:

→

→

muesuM dlroW sucriC fo noissimr ep htiw decudorper hpargotohP

−F N − F g  = m(−a)  v 2  .  __  −F N  − mg = m (−    R ) 

and 

If the particle has the least speed v needed to remain  in  contact, then  it  is  on  the  verge of  losing  contact with  the loop  (falling away from  the loop),  which  means that  F N  = 0 at the top of the loop  (the particle and loop  touch  but  without  any normal  force). Substituting  0 for  F N  in  Eq. 6.3.3, solving for v, and  then substituting  known val-  ues give us 

(a )

___ 

y

a

FN

Fg

_______________ 

v = √ gR = √ (9.8 m/s 2 )(2.7 m ) 

Diavolo and bicycle

The normal force is from the overhead loop.

(6.3.3) 

The net force provides the toward-the-center acceleration.

(b)

(a) Contemporary advertisement for Diavolo  and (b)  free-body diagram for the performer at the top of  the loop.  Figure  6.3.2 

= 5.1 m / s. 

(Answer ) 

Diavolo made certain that  his  speed at the  top  of  the  loop  was greater than  5.1 m/s so  that  he  did  not lose contact with the loop  and fall away from it. Note  that this speed requirement is independent of the mass of  Diavolo and his bicycle. Had he feasted on, say, pierogies  before his performance, he still would have had to exceed  only 5.1 m/s to maintain contact as he passed through the  top of the loop.  Comments:

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Sample Problem 6.3.2

Driving in flat  turns and upside  down 

A  modern  race  car  is  designed  so  that  the  passing air  pushes  down  on  it,  allowing  the  car to  travel much  faster through  a flat turn  in  a Grand  Prix without friction failing. This downward push is called  negative lift. Can a race car have so much negative lift that  it could  be driven upside down  on a long ceiling, as done  fictionally by a sedan in the first Men in Black movie?  Figure 6.3.3a represents a Grand Prix race car of mass  m = 600 kg as it travels on  a flat track in a circular arc of  radius R = 100 m. Because of the shape of the car and the  wings on it, the passing air exerts a negative lift F L  down-  ward on the car. The coefficient of static friction between  Upside-down racing:

→

the tires and the track is 0.75. (Assume that the forces on  FCP  the four tires are identical.)  (a) If the car is on the verge of sliding out of the turn when  its speed is 28.6 m/s, what is the magnitude of the negative  lift F L acting downward on the car?  →

KEY IDEAS 1.  A  centripetal force must  act  on  the  car because the  car is  moving around  a circular arc; that  force  must  be directed toward the center of curvature of the arc  (here, that is horizontally). 

/

144

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

2 

2.  The  only  horizontal  force  acting on  the  car is  a fric-  tional force on the tires from the road. So the required  centripetal force is a frictional force.  3.  Because the car is not sliding, the frictional force must  be a static frictional force  f s  (Fig. 6.3.3a). 

v  F L = m ( ____  μs R  − g ) 

(28.6 m / s) 2  = (600 kg )  _____________ − 9.8  m / s2     (0.75 )(100 m )   

(

→

4.  Because the car is on the verge of sliding, the magni-  tude  f s  is  equal  to  the  maximum value  f s,max  =  s F N,   where F N is the magnitude of the normal force F N act-  ing on the car from the track.  →

→

The frictional  force  f s  is  shown  in  the free-body diagram of Fig. 6.3.3b. It is in the negative  direction  of  a  radial axis r  that always extends from  the  center  of  curvature  through  the  car  as  the  car  moves.  The  force produces  a centripetal acceleration of  magni-  tude  v 2 /R.  We  can  relate  the  force  and  acceleration by  writing Newton’s second law for components along the r  axis (F net,r  = ma r ) as  Radial calculations:

v 2  __  −f s  = m (−    R ) . 

2 

= 663.7 N ≈ 660 N. 

(b) The magnitude F L of the negative lift on a car depends  on the square of the car’s speed v 2 , just as the drag force  does (Eq. 6.2.1). Thus, the negative lift on  the car here is  greater when the car travels faster, a s it does on a straight  section of track. What is the magnitude of the negative lift  for a speed of 90 m/s? 

KEY IDEA F L  is proportional to v 2 . 

(6.3.4) 

(6.3.5) 

Substituting  our known negative lift of F L  = 663.7 N and  solving for F L,90 give us 

calculations: Next,  let’s  consider  the  verti-  cal  forces  on  the  car.  The  normal  force  F N  is  directed  up,  in  the  positive  direction  of  the  y  axis in  Fig.  6.3.3b.  The gravitational force F g  = m g  and the negative lift F L  are directed down.  The acceleration of  the car along the  y axis is zero. Thus we can write Newton’s second law for  components along the y axis (F net,y  = ma y  ) as 

Calculations:

F L,90 = 6572 N ≈ 6600 N. 

Vertical

→

→

→

→

F N − mg − F L  = 0,  or 

F N = mg + F L.   

(Answer ) 

Thus  we can write a ratio  of the  negative  lift F L,90 at v = 90 m/s to our result for the negative lift F L  at v = 28.6 m/s as  F L, 90  __________  (90 m / s) 2  ______  =  .  F L  (28.6 m / s) 2 

Substituting  f s,max = s F N for f s  leads us to  v  .  μ s F N = m ( __  R ) 

)

(6.3.6) 

Now  we  can  combine  our  results  along the two axes by substituting  Eq. 6.3.6 for F N  in Eq.  6.3.5. D oing so and then solving for F L  lead to  Combining results:

(Answer ) 

The gravitational force is, of course,  the force to beat if there is a chance of racing upside down:  Upside-down racing:

F g  = mg = (600 kg)(9.8 m/s 2 )  = 5880 N.  With the car upside down, the negative lift  is an upward  force  of  6600 N,  which  exceeds the  downward  5880 N.  Thus,  the  car  could  run  on  a long  ceiling provided  that  it moves at about 90 m/s (= 324 km/h = 201 mi/h). How-  ever, moving that fast while right side up  on a horizontal  track  is  dangerous enough,  so  you  are not  likely  to  see  upside-down  racing except in the movies. 

Friction: toward the center FN

r

Center

Car

fs

fs

r

a

R

Fg

The toward-thecenter force is the frictional force.

Normal force: helps support car

y

v 

Gravitational force: pulls car downward

FL

(a )

Track-level view of the forces

(b )

Negative lift: presses car downward

(a) A race car moves around a flat curved track at constant speed v. The frictional  force  f s  provides the necessary centripetal force along a radial axis r. (b) A free-body diagram  (not to scale)  for the car, in the vertical plane containing r.  Figure  6.3.3  →

/

145

QU EST IONS 

Review & Summary When a force F tends to slide a body along a surface,  a  frictional  force from  the surface  acts  on the  body. The  fric-  tional force is parallel to the surface and directed so as to oppose  the sliding. It is due to bonding between the atoms on the body  and the atoms on the surface, an effect called cold-welding.  If the body does not slide, the frictional force is a static fric-  tional force  f s . If there is sliding, the frictional force is a kinetic  frictional force  f k .  →

Friction 

→

related to the relative speed v by an experimentally determined  drag coefficient C according to  1 CρAv 2 ,  D =  _  2 

(6.2.1) 

where  is the fluid density (mass per unit volume) and A is the  effective cross-sectional  area  of the body (the  area  of a  cross  section taken perpendicular to the relative velocity v ).  →

→

→

1.  If a body does not move, the static frictional force  f s  and the  component of  F  parallel to the surface  are equal in magni-  tude, and  f s  is directed opposite that component. If the com-  ponent increases, f s  also increases.  2.  The magnitude of  f s  has a maximum value f s,max  given by  →

→

When a blunt object has fallen far enough  through air, the magnitudes of the drag force D and the gravita-  tional force F g  on the body become equal. The body then falls at  a constant terminal speed v t  given by  Terminal Speed 

→

→

_____ 

2 Fg   v t  =  _____ .  CρA 

√ 

→

f s ,max  =  s F N , 

(6.1.1) 

where  s  is the coefficient of static friction and F N is the mag-  nitude of the normal force. If the component of F  parallel to  the surface exceeds f s,max , the static friction is overwhelmed  and the body slides on the surface.  3.  If the body begins to slide on the surface, the magnitude of  the frictional force rapidly decreases  to a  constant value f k  given by  →

f k  = k F N , 

(6.1.2) 

(6.2.3) 

If  a  particle  moves  in  a  circle  or a circular  arc of radius R at constant speed v, the particle is  said to be in uniform circular  motion. It then has  a centripetal  acceleration  a  with magnitude given by  Uniform  Circular Motion 

→

2 

v  .  a = __  R 

(6.3.1) 

This acceleration is due to a net centripetal force on the particle,  with magnitude given by  2 

mv  ,  F = ____  R 

where k is the coefficient of kinetic friction.  When there is  relative motion between air  (or  some other fluid) and a body, the body experiences a drag force  D that opposes the relative motion and points in the direction in  which the fluid flows relative to the body. The magnitude of D is  Drag  Force  →

→

(6.3.2)  →

where m is the particle’s  mass. The vector quantities a  and F  are  directed toward  the center of curvature  of the particle’s  path. A particle can move in circular motion only if a net cen-  tripetal force acts on it.  →

Questions In Fig. 6.1, if the box is station-  θ ary  and  the  angle  θ between  the  x horizontal and force F  is increased  F somewhat, do the following quan-  Figure  6.1  Question 1.  tities increase, decrease, or remain  the same: (a)  F x ; (b)  f s ; (c)  F N ; (d)  f s,max ? (e)  If, instead, the box  is sliding and  θ is increased, does the magnitude of the frictional  force on the box increase, decrease, or remain the same?  1 

→

Repeat Question  1  for  force  F  angled upward  instead  of  downward as drawn.  →

2 

→

In Fig. 6.2, horizontal force F 1 of magnitude 10 N is applied to  a box on a floor, but the box does  F1 not slide. Then, as the magnitude  of  vertical  force  F 2  is  increased  from zero, do the following quan-  F2 tities  increase,  decrease,  or  stay  Figure  6.2  Question 3.  the same: (a) the magnitude of the  frictional force  f s  on the box; (b)  the magnitude of the normal  force F N  on the box from the floor; (c)  the maximum value f s,max  of the magnitude of the static frictional force  on the box? (d)  Does the box eventually slide?  3 

→

→

→

In three experiments, three different horizontal forces are  applied to the same block lying on the same countertop. The  force  magnitudes are  F 1  = 12 N, F 2  = 8 N, and F 3  = 4 N. In  each experiment, the block remains stationary in spite of the  applied force. Rank the forces according to (a) the magnitude  f s  of the static frictional force on the block from the counter-  top and (b)  the maximum value  f s,max  of that force,  greatest  first.  4 

If  you press  an  apple crate  against a  wall  so  hard that the  crate cannot slide down the wall, what is the direction of (a) the  static  frictional  force  f s  on  the  crate  from  the  wall  and  (b)  the normal force F N  on the crate from the wall? If you increase  your push, what happens to (c) f s , (d) F N , and (e) f s,max ?  5 

→

→

In  Fig. 6.3, a  block of  mass  m  is  held  stationary on a ramp by the frictional force  on it  from the ramp. A  force  F ,  directed  up the ramp, is  then applied to  the block  and gradually increased in magnitude from  zero.  During  the  increase,  what  happens  to the direction and magnitude of the fric-  tional force on the block?  6 

F

→

θ Figure  6.3 

Question 6. 

/

146

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

Reconsider  Question 6  but with the  force  F  now directed  down the ramp. As the magnitude of F  is increased  from zero,  what happens to the direction  and magnitude of the frictional  force on the block?  →

7 

→

In  Fig. 6.4, a horizontal force of 100 N is to be applied to a  10  kg  slab that is  initially stationary  on a  frictionless  floor, to  accelerate  the  slab. A 10  kg  block lies  on top of  the slab; the  coefficient of friction  between  the block and the slab  is  not  known, and the block might slip. In  fact, the contact between  the block and  the slab  might even  be frictionless.  (a)  Consid-  ering  that possibility, what  is  the  possible range  of  values for  the magnitude of the slab’s acceleration a slab ? (Hint: You don’t  need written calculations; just consider extreme  values  for  .)  (b)  What is  the possible range  for the magnitude a block  of the  block’s acceleration?  8 

Block

100 N

Slab Figure  6.4 

Question 8. 

Figure  6.5  shows  the  overhead  view  of  the  path  of  an  amusement-park ride that travels at constant speed through five  circular arcs  of radii R 0 , 2R 0 , and 3R 0 . Rank the arcs  according  to the magnitude of the centripetal force on a rider traveling in  the arcs, greatest first.  9 

fall just west of Chicago. The  stunt was great fun until the last  sky diver with the pumpkin opened his  parachute. The  pump-  kin broke free from his grip, plummeted about 0.5 km, ripped  through the roof of a house, slammed into the kitchen floor, and  splattered all over the newly remodeled kitchen. From the sky  diver’s viewpoint and  from the pumpkin’s viewpoint, why  did  the sky diver lose control of the pumpkin?  A  person  riding  a  Ferris  wheel  moves  through  positions  at (1)  the top, (2)  the bottom, and (3)  midheight. If  the wheel  rotates at a  constant  rate, rank  these three  positions  according  to  (a)  the  magnitude  of  the  person’s  centripetal  acceleration,  (b) the magnitude of the net centripetal force on the person, and  (c) the magnitude of the normal force on the person, greatest first.  11 

During a routine flight in 1956, test pilot Tom Attridge put  his jet fighter into a 20° dive for a test of the aircraft’s  20  mm  machine cannons. While traveling faster than sound at 4000 m  altitude, he shot a burst of rounds. Then, after allowing the can-  nons to cool, he shot another burst at 2000 m; his speed was then  344 m/s, the speed of the rounds relative to him was 730 m/s, and  he was still in a dive.  Almost immediately the canopy around him was shredded  and his right air intake was damaged. With little flying capability  left, the jet crashed into a wooded area, but Attridge managed  to escape the resulting explosion. Explain what apparently hap-  pened just after  the second burst of cannon rounds. (Attridge  has been the only pilot who has managed to shoot himself down.)  12 

A box is  on a  ramp that is at angle  θ to the horizontal.  As  θ is increased  from zero, and before the box slips, do the  following increase, decrease, or remain the same: (a) the com-  ponent of the gravitational force on the box, along the ramp,  (b) the magnitude of the static frictional force on the box from  the ramp, (c) the component of the gravitational force on the  box, perpendicular to the ramp, (d) the magnitude of the nor-  mal force  on the box  from the ramp, and  (e)  the maximum  value f s,max  of the static frictional force?  13 

2 1

Figure  6.5 

3

5

4

Question 9. 

FCP  In 1987, as a Halloween stunt, two sky divers passed a  pumpkin back and forth between them while they were in free 

10 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at  instructor’s discretion) in  WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 6.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying

Circus of Physics

Friction 

The floor of a  railroad flatcar is  loaded with loose crates  having a coefficient of static friction of 0.25 with the floor. If the  train is initially moving at a speed of 48 km/h, in how short a dis-  tance can the train be stopped at constant acceleration without  causing the crates to slide over the floor?  1 

E 

In  a  pickup game  of dorm  shuffleboard, students crazed  by final exams use a broom to propel a calculus book along the  dorm hallway. If the 3.5 kg book is  pushed from rest through a  distance of 0.90 m by the horizontal 25 N force from the broom  and then has a speed of 1.60 m/s, what is the coefficient of kinetic  friction between the book and floor?  3  E  SSM  A  bedroom bureau  with a  mass  of  45 kg, including  drawers  and clothing, rests  on  the floor. (a)  If  the  coefficient  2 

E 

Biomedical  application 

and at flyingcircusofphysics.com 

of static friction between the bureau and the floor is 0.45, what  is  the magnitude of the minimum horizontal force  that a  per-  son must apply to start the bureau moving? (b) If  the drawers  and clothing, with 17 kg mass, are removed before the bureau is  pushed, what is the new minimum magnitude?  A slide-loving pig slides down a certain 35° slide in twice the  time it would take to slide down a frictionless 35° slide. What is  the coefficient of kinetic friction between the pig and the slide?  4  E 

GO  A 2.5 kg block is initially at rest on a horizontal surface.  A horizontal force F  of magnitude 6.0 N and a vertical force P  are then applied to the block (Fig. 6.6). The coefficients of fric-  tion for the block and surface are s  = 0.40 and k  = 0.25. Deter-  mine the magnitude of the frictional force acting on the block if  the magnitude of P  is (a) 8.0 N, (b) 10 N, and (c) 12 N.  5  E 

→

→

→

/

P ROBL EMS 

0.500mg is  then applied at  upward angle  θ = 20°. What is  the  magnitude of the  acceleration  of the  block across  the floor  if  the friction coefficients are  (a)   s  =  0.600 and  k  =  0.500 and  (b)  s  = 0.400 and  k  = 0.300? 

P F

Figure  6.6 

147

SSM  A 68 kg crate is dragged across a floor by pulling on  a rope attached to the crate and inclined 15° above the horizon-  tal. (a) If the coefficient of static friction is 0.50, what minimum  force  magnitude  is  required  from  the  rope  to  start  the  crate  moving? (b)  If   k  =  0.35, what is  the magnitude of the  initial  acceleration of the crate? 

11  E 

Problem 5. 

E  A  baseball player with mass  m = 79 kg, sliding into sec-  ond base, is retarded by a frictional force of magnitude 470 N.  What is the coefficient of kinetic friction k between the player  and the ground? 

6 

E  SSM  A person  pushes horizontally with a  force of  220 N  on a 55 kg crate to move it across  a level floor. The coefficient  of kinetic friction between the crate and the floor is 0.35. What is  the magnitude of (a) the frictional force and (b) the acceleration  of the crate?  8  E  FCP  The  mysterious  sliding  stones.  Along  the  remote  Racetrack  Playa  in  Death  Valley, California,  stones  some-  times  gouge  out  prominent  trails  in  the  desert  floor,  as  if  the stones had been migrating (Fig. 6.7). For years  curiosity  mounted about why the stones moved. One explanation was  that  strong  winds  during  occasional  rainstorms  would  drag  the rough stones over ground softened by rain. When the des-  ert dried out, the trails  behind the stones were hard-baked in  place. According to measurements, the coefficient of kinetic  friction  between  the  stones  and  the  wet  playa  ground  is  about 0.80. What horizontal force  must act on a 20 kg stone  (a  typical mass)  to maintain the stone’s  motion once  a  gust  has started it moving? (Story continues with Problem 37.) 

7 

E  BIO  In  about  1915,  Henry  Sincosky  of  Philadelphia suspended  himself from  a  rafter  by gripping the rafter  with the thumb of each  hand on one side and the fingers on the oppo-  site side (Fig. 6.10). Sincosky’s mass was 79 kg.  If  the  coefficient  of  static  friction  between  hand and  rafter  was  0.70,  what was  the  least  magnitude of  the  normal  force  on  the  rafter  from each  thumb or  opposite fingers?  (After  suspending  himself, Sincosky  chinned himself  on the rafter and then moved hand-over-hand  along the rafter. If you do not think Sincosky’s  grip was remarkable, try to repeat his stunt.) 

12 

A worker pushes horizontally on a 35 kg  crate  with  a  force  of  magnitude  110 N.  The  coefficient of  static friction between  the crate  and the floor is  0.37. (a)  What is  the value of  Figure  6.10  f s,max  under  the  circumstances?  (b)  Does  the  crate move? (c) What is the frictional force on  Problem 12.  the  crate  from  the  floor?  (d)  Suppose,  next,  that a second worker pulls directly upward on the crate to help  out. What is the least vertical pull that will allow the first work-  er’s  110 N  push to  move the crate? (e)  If, instead, the second  worker pulls horizontally to help out, what is the least pull that  will get the crate moving?  13  E 

E  Figure  6.11  shows  the  Joint with ice cross  section of  a  road  cut  into  B A' the  side  of  a  mountain.  The  solid line AAʹ represents a weak  F bedding plane along which slid-  θ ing is possible. Block B  directly  above  the highway  is  separated  A from uphill rock by a large crack  Figure  6.11  Problem 14.  (called a joint), so that only fric-  tion between the block and the bedding plane prevents sliding.  The mass of the block is 1.8 × 10 7  kg, the dip angle θ of the bed-  ding plane is 24°, and the coefficient of static friction between  block and plane is 0.63. (a) Show that the block will not slide  under these circumstances. (b) Next, water seeps into the joint  and  expands  upon  freezing, exerting on  the  block a  force  F  parallel  to  AAʹ.  What  minimum value  of  force magnitude  F  will trigger a slide down the plane? 

14 

 ecruoS ecneicS/dahcS yrreJ Figure  6.7 

Problem 8. What moved the stone? 

GO  A 3.5 kg block is pushed  along a horizontal floor by a force  F  of  magnitude  15 N  at  an  angle  θ =  40°  with  the  horizon-  tal  (Fig.  6.8).  The  coefficient of  kinetic friction between the block  and the floor is 0.25. Calculate the  magnitudes  of  (a)  the  frictional  force on the block from the floor  and (b) the block’s acceleration.  9  E 

θ

→

Figure  6.9  shows  an  ini-  tially stationary block of  mass  m  on a floor. A force of magnitude  10 

E 

→

F

Problems 9 and 32.  y

F

x

Figure  6.9 

E  The  coefficient  of  static  friction  between  Teflon  and  scrambled  eggs  is  about 0.04. What is  the smallest angle from  the horizontal that will cause the eggs to slide across the bottom  of a Teflon-coated skillet? 

15 

Figure  6.8 

θ Problem 10. 

M  A  loaded  penguin  sled  weighing  80 N  rests  on  a  plane  inclined at angle  θ = 20° to the horizontal (Fig. 6.12). Between  the sled and the plane, the coefficient of static friction is 0.25, and  the  coefficient  of  kinetic  friction  is  0.15.  (a)  What  is  the 

16 

/

148

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

→

F

θ Figure  6.12 

Problems 16 and 22. 

→

In Fig. 6.13, a force P  acts  x on  a  block  weighing  45 N.  The  P block is initially at rest on a plane  θ inclined at  angle  θ = 15° to the  Figure  6.13  Problem 17.  horizontal. The positive direction  of the x axis is up the plane. Between block and plane, the coeffi-  cient of static friction is  s = 0.50 and the coefficient of kinetic fric-  tion is  k = 0.34. In unit-vector notation, what is the frictional force  on the block from the plane when P is (a) (−5.0 N ) ˆ  i, (b) (−8.0 N ) ˆ  i,  ˆ    and (c) (−15 N )i?  17  M 

→

M  GO  You testify as  an  expert  witness  in a  case  involving  an  accident in  which  car  A  slid  into the rear  of  car  B,  which  was  stopped  at  a  red  light  along  a  road  headed  down  a  hill  (Fig. 6.14). You find that the slope of the hill is  θ = 12.0°, that  the cars  were separated by distance d = 24.0 m when the driver  of car A  put the car  into a  slide (it lacked any automatic anti-  brake-lock system), and that the speed of car  A at the onset of  braking was v 0  = 18.0 m/s. With what speed did car A hit car B if  the coefficient of kinetic friction was (a) 0.60 (dry road surface)  and (b) 0.10 (road surface covered with wet leaves)? 

18 

A

B d

θ Figure  6.14 

Problem 18.  →

A  12 N  horizontal  force  F  y pushes a block weighing 5.0 N against  F a  vertical wall (Fig. 6.15). The  coef-  x ficient of static  friction between the  wall  and  the  block is  0.60, and  the  coefficient of kinetic friction is  0.40.  Figure  6.15  Problem 19.  Assume that the block is not moving  initially. (a)  Will the block move? (b)  In unit-vector notation,  what is the force on the block from the wall?  19 

M 

m In  Fig. 6.16, a  box  of  m Cheerios  (mass m C  = 1.0 kg) and  F a  box of  Wheaties  (mass  m W  =  3.0 kg)  are  accelerated  across  a  Figure  6.16  Problem 20.  horizontal surface by a horizon-  tal force F  applied to the Cheerios box. The magnitude of the  frictional force on the Cheerios  box is 2.0 N, and the magni-  tude of the frictional force on the Wheaties box is 4.0 N. If the  magnitude of F  is 12 N, what is the magnitude of the force on  the Wheaties box from the Cheerios box? 

20 

M 

GO 

C

W

→

→

GO  In  Fig. 6.12, a sled  F is  held  on  an  inclined plane  F2 by a  cord  pulling directly up  the plane. The sled is to be on  the  verge  of  moving  up  the  F1 plane. In Fig. 6.17, the magni-  tude F required of the cord’s  0 2 force  on  the  sled  is  plotted  Figure  6.17  Problem 22.  versus  a  range  of  values  for  the  coefficient  of  static  friction   s  between  sled  and  plane:  F 1  = 2.0 N, F 2  = 5.0 N, and  2  = 0.50. At what angle θ is the plane  inclined?  22  M 

µs

µ

M  When  the three  blocks  in  Fig.  6.18  are  released  from  rest,  they accelerate  with a  magnitude  of 0.500 m/s 2 . Block 1 has mass M,  block 2  has  2M,  and  block 3  has  2M.  What  is  the  coefficient  of  kinetic  friction  between  block  2  and the table? 

2

23 

M  A  4.10 kg  block is  pushed  along a floor by a constant applied  force that is horizontal and has  a  magnitude of 40.0 N. Figure 6.19  gives  the  block’s  speed  v  versus  time t as the block moves along an  x  axis  on  the  floor. The  scale  of  the figure’s vertical axis is  set  by  v s = 5.0 m/s. What is the coefficient  of  kinetic  friction  between  the  block and the floor? 

1

3 Figure  6.18 

vs 

24 

M  SSM  Block  B  in  Fig. 6.20  weighs  711 N. The  coefficient of  static friction between block and  table is 0.25; angle θ is 30°; assume  that the cord between B  and the  knot is horizontal. Find the maxi-  mum weight of block A for which  the system will be stationary. 

Problem 23. 

)s/m( v

v 0

CALC  An initially stationary box of sand  is to be pulled  across  a floor by means of a cable in which the tension should  not exceed 1100 N. The coefficient of static friction between the  box and the floor is 0.35. (a) What should be the angle between  the cable and the horizontal in order to pull the greatest possible  amount of sand, and (b) what is the weight of the sand and box  in that situation? 

21  M 

 

least  magnitude of the  force  F ,  parallel  to  the  plane,  that  will  prevent  the  sled  from  slipping  down the plane? (b) What is the  minimum magnitude F that will  start  the  sled  moving  up  the  plane?  (c)  What  value  of  F  is  required to move the sled up the  plane at constant velocity? 

0

0.5 (s)

1.0

t

Figure  6.19 

Problem 24. 

25 

Knot

θ

B

A

GO  Figure 6.21 shows three  crates  being  pushed  over  a  con-  Figure  6.20  Problem 25.  crete floor by a horizontal force F  of  magnitude 440 N.  The  masses  m1 of the crates  are m 1  = 30.0 kg, m 2  m3 m2 = 10.0 kg, and m 3  =  20.0 kg. The  coefficient  of  kinetic  friction  F between the floor and each of the  crates  is  0.700.  (a)  What  is  the  Figure  6.21  Problem 26.  magnitude  F 32  of  the  force  on  crate 3 from crate 2? (b) If the crates  then slide onto a polished  floor, where the coefficient of kinetic friction is less than 0.700, is  26  M 

→

/

P ROBL EMS 

magnitude F 32  more than, less than, or the same as it was  when  the coefficient was 0.700?  GO  Body  A  in  Fig.  6.22  M  weighs 102 N, and body B weighs  32 N. The coefficients of friction  between A and the incline are  s =  0.56  and   k   =  0.25.  Angle  θ is  40°.  Let  the  positive  direction  of an x axis be up the incline. In  unit-vector notation, what is the  acceleration of A if A is initially  (a)  at  rest,  (b)  moving  up  the  incline,  and  (c)  moving  down  the incline? 

Frictionless, massless pulley

27 

A

M  SSM  Two  blocks, of weights  3.6 N  and 7.2 N,  are  con-  nected by a massless string and slide down a 30° inclined plane.  The coefficient of kinetic friction between the lighter block and  the plane is 0.10, and the coefficient between the heavier block  and the plane is 0.20. Assuming that the lighter block leads, find  (a) the magnitude of the acceleration of the blocks and (b) the  tension in the taut string. 

31 

GO  A block is pushed across a floor by a constant force that  is applied at downward angle θ (Fig. 6.8). Figure 6.25 gives the  acceleration magnitude a versus a range of values for the coeffi-  cient of kinetic friction  k between block and floor: a 1  = 3.0 m/s 2 ,   k2  = 0.20, and  k3  = 0.40. What is the value of θ?  32  M 

B

θ Figure  6.22 

Problems 27 and 28. 

a

In Fig. 6.22, two blocks are connected over a pulley. The  mass  of block A is  10 kg, and the coefficient of kinetic friction  between A and the incline is 0.20. Angle θ of the incline is  30°.  Block A slides down the incline at constant speed. What is the  mass  of  block B?  Assume  the connecting  rope  has  negligible  mass. (The pulley’s function is only to redirect the rope.)  28  M 

GO  In Fig. 6.23, blocks A and B have weights of 44 N and  22 N, respectively. (a) Determine the minimum weight of block  C  to keep A from sliding if  s  between A and the table is 0.20.  (b) Block C suddenly is lifted off A. What is the acceleration of  block A if  k between A and the table is 0.15? 

a1

0

Frictionless, massless pulley

A

μ3

k

μ

k

k

Figure  6.25 

Problem 32. 

H  SSM  A  1000  kg  boat is  traveling  at  90  km/h when  its  engine  is  shut  off.  The  magnitude  of  the  frictional  force  f k  between boat and water is proportional to the speed v of the boat:  f k  =  70v, where  v  is  in meters  per second  and f k  is  in  newtons.  Find the time required for the boat to slow to 45 km/h. 

33 

→

GO  In  Fig. 6.26, a slab  of  H  m2 F mass  m 1  =  40 kg  rests  on a  fric-  μ = 0 m 1 x tionless floor, and a block of mass  m 2  = 10 kg rests on top of the slab.  Figure  6.26  Problem 34.  Between block and slab, the coef-  ficient of static friction is 0.60, and the coefficient of kinetic fric-  tion is 0.40. A horizontal force F  of magnitude 100 N begins to  pull directly on the block, as shown. In unit-vector notation, what  are the resulting accelerations of (a) the block and (b) the slab?  34 

B

Figure  6.23 

μ2

– a1

29  M 

C

149

Problem 29. 

M  CALC  A  toy  chest  and  its  contents  have  a  combined  weight of 180 N. The  coefficient of static  friction between toy  chest and floor is  0.42. The child in Fig. 6.24 attempts to move  the chest across  the floor by pulling on an attached rope. (a)  If  θ is 42°, what is the magnitude of the force F that the child must  exert on the rope to put the chest on the verge of moving? (b)  Write  an  expression  for  the  magnitude F required  to  put the  chest on the verge of moving as a function of the angle θ. Deter-  mine (c)  the value of  θ for which F is  a minimum and (d)  that  minimum magnitude. 

30 

→

→

m H  The two  blocks (m = 16 kg  F and M = 88 kg) in Fig. 6.27 are not  attached to each other. The coef-  M ficient  of  static  friction  between  the  blocks  is   s  =  0.38,  but  the  Frictionless surface beneath the larger block is  Figure  6.27  Problem 35.  frictionless. What is the minimum  magnitude of the horizontal force F  required to keep the smaller  block from slipping down the larger block? 

35 

→

Module 6.2 

The Drag Force and Terminal Speed 

The terminal speed of a sky diver is 160 km/h in the spread-  eagle position and 310 km/h in the nosedive position. Assuming  that the diver’s drag coefficient C does not change from one posi-  tion to  the other,  find the ratio of the effective cross-sectional  area A in the slower position to that in the faster position.  36  E 

θ

Figure  6.24 

Problem 30. 

M  FCP  Continuation of  Problem  8. Now  assume  that Eq.  6.2.1 gives the magnitude of the air  drag  force on the typical  20 kg stone, which presents to the wind a vertical cross-sectional  area  of  0.040  m 2  and  has  a  drag  coefficient C  of  0.80. Take 

37 

/

150

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

the air density to be 1.21 kg/m 3 , and the coefficient of kinetic  friction to be 0.80. (a) In kilometers per hour, what wind speed  V  along the ground is needed to maintain the stone’s motion  once it has started moving? Because winds along the ground are  retarded by  the ground, the wind  speeds  reported for  storms  are  often measured  at a  height of 10 m. Assume  wind speeds  are  2.00 times those along the ground. (b)  For your answer  to  (a), what wind speed  would be reported for  the storm? (c)  Is  that value reasonable for a high-speed wind in a storm? (Story  continues with Problem 65.)  Assume Eq. 6.2.1 gives the drag force on a pilot plus ejec-  tion seat just after they are ejected from a plane traveling horizon-  tally at 1300 km/h. Assume also that the mass of the seat is equal  to the mass of the pilot and that the drag coefficient is that of a sky  diver. Making a reasonable guess of the pilot’s mass and using the  appropriate v t  value from Table 6.2.1, estimate the magnitudes  of (a)  the drag force on the pilot + seat  and (b)  their horizon-  tal  deceleration (in  terms  of  g),  both just after  ejection. (The  result  of (a)  should indicate an  engineering  requirement: The  seat must include a protective barrier to deflect the initial wind  blast away from the pilot’s head.)  38  M 

Calculate the  ratio  of  the drag  force  on  a  jet  flying  at  1000 km/h at an altitude of 10 km to the drag force on a prop-  driven transport flying at half that speed and altitude. The den-  sity of air is 0.38 kg/m 3 at 10 km and 0.67 kg/m 3 at 5.0 km. Assume  that the airplanes have the same effective cross-sectional  area  and drag coefficient C.  39 

M 

M  FCP  In downhill speed  skiing a skier is  retarded by both  the air drag force on the body and the kinetic frictional force on  the skis. (a) Suppose the slope angle is θ = 40.0°, the snow is dry  snow with a coefficient of kinetic friction  k = 0.0400, the mass of  the skier and equipment is m = 85.0 kg, the cross-sectional area of  the (tucked) skier is A = 1.30 m 2 , the drag coefficient is C = 0.150,  and the air density is 1.20 kg/m 3 . (a) What is the terminal speed?  (b) If a skier can vary C by a slight amount dC by adjusting, say,  the hand positions, what is  the corresponding  variation  in the  terminal speed? 

If the wheel’s speed is doubled, what is the magnitude F N  at the  (c) highest and (d) lowest point?  A police officer in hot pursuit drives her car through a cir-  cular turn of radius  300 m with a  constant speed of 80.0  km/h.  Her  mass  is  55.0 kg.  What are  (a)  the magnitude and (b)  the  angle (relative to vertical) of the net force of the officer on the  car seat? (Hint: Consider both horizontal and vertical forces.)  46  M 

FCP  A circular-motion addict of mass  80 kg rides a  Fer-  ris wheel around in a vertical circle of radius 10 m at a constant  speed of 6.1 m/s. (a) What is the period of the motion? What is  the magnitude of the normal force on the addict from the seat  when both go through (b)  the highest point of the circular path  and (c) the lowest point? 

47  M 

M  FCP  A  roller-coaster  car  at  an  amusement  park  has  a  mass of 1200 kg when fully loaded with passengers.  As the car  passes over the top of a circular hill of radius 18 m, assume that  its  speed is  not changing. At the top  of the hill,  what are  the  (a) magnitude F N  and (b) direction (up or down) of the normal  force on the car from the track if the car’s  speed is v = 11 m/s?  What are (c)  F N  and (d) the direction if v = 14 m/s? 

48 

GO  In  Fig. 6.28, a car  is driven at constant speed over a  circular hill and then into a circular valley with the same radius.  At the top of the hill, the normal force on the driver from the car  seat is 0. The driver’s mass is 70.0 kg. What is the magnitude of  the normal force on the driver from the seat when the car passes  through the bottom of the valley?  49  M 

Radius

40 

Module 6.3 

Uniform Circular  Motion 

A cat dozes on a stationary merry-go-round in an amuse-  ment park, at a radius of 5.4 m from the center of the ride. Then  the operator  turns on  the ride  and brings  it  up to its  proper  turning rate of one complete rotation every 6.0 s.  What is the  least coefficient of static friction between the cat and the merry-  go-round that will allow the cat to stay in place, without sliding  (or the cat clinging with its claws)?  41  E 

Radius

Figure  6.28 

Problem 49. 

M  CALC  An 85.0  kg  passenger  is  made to  move  along a  circular  path of radius  r  =  3.50 m  in uniform circular  motion.  (a) Figure 6.29a is a plot of the required magnitude F of the net  centripetal force for a range of possible values of the passenger’s  speed v. What is the plot’s slope at v = 8.30 m/s? (b) Figure 6.29b  is a plot of F for a range of possible values of T, the period of the  motion. What is the plot’s slope at T = 2.50 s? 

50 

F

Suppose the coefficient of static friction between the road  and the  tires  on a  car  is  0.60 and the  car  has  no negative lift.  What speed will put the car on the verge of sliding as it rounds a  level curve of 30.5 m radius? 

F

42  E 

E  What is  the  smallest radius  of an  unbanked (flat)  track  around which a bicyclist can travel if her speed is  29 km/h and  the  s  between tires and track is 0.32? 

v 

43 

During an Olympic bobsled run, the Jamaican team makes  a  turn  of radius  7.6  m  at  a  speed  of 96.6  km/h. What is  their  acceleration in terms of g?  44  E 

M  SSM  FCP  A  student  of  weight  667  N  rides  a  steadily  rotating Ferris  wheel  (the student sits  upright). At the highest  point, the magnitude of the normal force F N  on the student from  the seat is  556 N. (a)  Does the student feel “light” or  “heavy”  there?  (b)  What is  the  magnitude of  F N  at  the  lowest  point? 

45 

→

→

T

(a)

(b) Figure  6.29 

Problem 50. 

M  SSM  An airplane  is  flying  in a horizontal circle at a speed of  480 km/h  (Fig.  6.30). If  its  wings  are tilted at angle  θ = 40° to  the  horizontal, what  is  the  radius  of  the  circle  in  which  the  plane  is  flying? Assume that  the required  force  is  provided  entirely  by  an  “aerodynamic lift” that is perpen-  dicular to the wing surface. 

51 

θ Figure  6.30 

Problem 51.  /

151

P ROBL EMS 

FCP  An amusement park ride consists of a car moving in  a  vertical circle on the end of a  rigid boom of negligible mass.  The  combined weight of the car  and  riders  is  5.0 kN, and the  circle’s  radius is 10 m. At the top of the circle, what are the (a)  magnitude F B  and (b) direction (up or down) of the force on the  car from the boom if the car’s speed is v = 5.0 m/s? What are (c)  F B  and (d) the direction if v = 12 m/s? 

52  M 

M  An old streetcar  rounds  a  flat corner  of radius  9.1 m,  at 16  km/h. What angle with the vertical will be  made by the  loosely hanging hand straps? 

53 

In  designing  circular  rides  for  amusement  parks, mechanical engineers must consider how small variations  in  certain  parameters  can  alter  the  net force  on  a  passenger.  Consider a passenger  of mass m riding around a horizontal cir-  cle  of radius  r  at speed v.  What is  the variation dF in the net  force  magnitude  for  (a)  a  variation  dr  in  the  radius  with  v  held constant, (b) a variation dv in the speed with r held constant,  and (c) a variation dT in the period with r held constant?  54 

M 

CALC 

FCP 

A  bolt  is  threaded  onto  Bolt one end of a thin horizontal rod,  and the rod is  then rotated hori-  Rod zontally about its  other end. An  engineer monitors the motion by  Strobed flashing  a  strobe  lamp  onto  the  positions rod and bolt, adjusting the strobe  rate until the bolt appears to be in  Figure  6.31  Problem 55.  the same eight places during each  full rotation of the rod (Fig. 6.31). The strobe rate is 2000 flashes  per second; the bolt has mass 30 g and is at radius 3.5 cm. What  is the magnitude of the force on the bolt from the rod?  55 

M 

the car hit the wall? To avoid the crash, a driver could elect to  turn the car so that it just barely misses  the wall, as shown in  the figure. (d)  What magnitude of frictional force  would be  required to keep the car in a  circular  path of radius  d and at  the given  speed v 0 ,  so that the car  moves in a  quarter  circle  and then parallel  to the wall?  (e)  Is  the required  force  less  than f s,max  so that a circular path is possible?  H  SSM  In  Fig. 6.34,  a  1.34  kg  ball  is  connected by  means of two massless  strings,  each  of  length  L  =  1.70  m,  to  a  vertical, rotating rod. The  strings  are  tied to the rod with separation d = 1.70 m  and are  taut. The  tension in  the upper  string is  35 N. What are the (a)  tension  in the lower string, (b) magnitude of the  net force F net  on the ball, and (c) speed  of  the  ball?  (d)  What  is  the  direction  of F net ? 

59 

Rotating rod

Figure  6.34 

Problem 59.  60  GO  In Fig. 6.35, a box of ant aunts (total mass m  1  = 1.65 kg)  and a box of ant uncles (total mass m 2  = 3.30 kg) slide down an  inclined plane while attached by a massless  rod parallel to the  plane. The angle of incline is θ = 30.0°. The coefficient of kinetic  friction between the aunt box and the incline is 1  = 0.226; that  between the uncle box and the incline is  2  = 0.113. Compute  (a) the tension in the rod and (b) the magnitude of the common  acceleration of the two boxes. (c) How would the answers to (a)  and (b) change if the uncles trailed the aunts?  Additional Problems 

m1

m2

θ

GO 

Figure  6.35 

Problem 60. 

r m

SSM  A  block of  mass m  t  =  4.0 kg  is  put on  top of a  block  of mass m b  = 5.0 kg. To cause the top block to slip on the bot-  tom one while the bottom one is  held fixed, a horizontal force  of at least  12 N  must be applied to the top block. The assem-  bly  of  blocks is  now placed  on a  horizontal, frictionless  table  (Fig. 6.36). Find the magnitudes of (a)  the maximum horizon-  tal force  F  that can be  applied to the  lower block so  that the  blocks will move together and (b)  the resulting acceleration of  the blocks. 

61 

M

M  FCP  Brake  or  turn?  Figure  6.33  depicts an  overhead view  of a  car’s path as the car travels toward a  Figure  6.32  Problem 57.  wall. Assume that the driver  begins  to brake the car when the distance to  the wall  is d  = 107  m, and take the  car’s  mass as  m = 1400 kg, its initial  speed as v 0  = 35 m/s, and the coeffi-  cient  of  static  friction  as  s   =  0.50.  Assume  that the car’s  weight is  dis-  Car path tributed  evenly on  the four  wheels,  d even during braking. (a) What mag-  nitude  of  static  friction  is  needed  Wall (between tires and road) to stop the  Figure  6.33  car  just  as  it  reaches  the  wall?  (b)  Problem 58.  What is the maximum possible static  friction f s,max ? (c) If the coefficient of kinetic friction between  the (sliding) tires and the road is k  = 0.40, at what speed will 

58 

L

→

GO  A banked circular highway curve is designed for traf-  fic moving at 60 km/h. The radius of the curve is 200 m. Traffic  is  moving along the highway at 40  km/h on a rainy  day. What  is  the minimum coefficient of friction between tires  and  road  that will allow cars to take the turn without sliding off the road?  (Assume the cars do not have negative lift.) 

A puck of mass m = 1.50 kg  slides in a circle of radius r = 20.0 cm on  a frictionless table while attached to a  hanging cylinder of mass M = 2.50 kg  by  means  of  a  cord  that  extends  through a hole in the table (Fig. 6.32).  What speed keeps the cylinder at rest? 

d

→

56  M 

57  M 

L

→

mt

mb

Figure  6.36 

F

Problem 61. 

A 5.00 kg stone is rubbed across the horizontal ceiling of a  cave passageway (Fig. 6.37). If the coefficient of kinetic friction  is  0.65 and the force applied to the stone is angled at  θ = 70.0°,  what must the magnitude of the force be for the stone to move at  constant velocity?  62 

/

152

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

m1

F

θ

m2

θ

Stone Figure  6.37 

Problem 62. 

BIO  FCP  In  Fig.  6.38, a  49  kg  rock  climber  is  climbing  a  “chimney.” The coefficient of static friction between her shoes  and the rock is 1.2; between her back and the rock is 0.80. She  has  reduced  her  push  against the rock  until her  back and her  shoes are on the verge of slipping. (a) Draw a free-body diagram  of her. (b) What is the magnitude of her push against the rock?  (c)  What fraction of her  weight is  supported  by the  frictional  force on her shoes? 

63 

Figure  6.39 

Problem 66. 

67  In  Fig. 6.40, a  crate  slides  down an  inclined right-angled  trough. The coefficient of kinetic friction between the crate and  the trough is  k . What is the acceleration of the crate in terms  of k , θ, and g? 

90°

θ Figure  6.40 

Problem 67. 

Engineering a highway curve. If a car goes through a curve too  fast, the car tends to slide out of the curve. For a banked curve with  friction, a frictional force acts on a fast car to oppose the tendency  to slide out of the curve; the force is directed down the bank (in the  direction water would drain). Consider a circular curve of radius  R = 200 m and bank angle θ, where the coefficient of static fric-  tion between  tires  and  pavement  is  s .  A  car  (without  nega-  tive  lift)  is  driven  around  the  curve.  (a)  Find  an  expression  for the car speed  v max  that puts the car  on the verge  of sliding  out. (b)  On  the  same  graph,  plot  v max  versus  angle  θ for  the  range 0° to 50°, first for  s  = 0.60 (dry  pavement) and then for  s = 0.050 (wet or icy pavement). In kilometers per hour, evaluate  v max  for a bank angle of θ = 10° and for (c)  s  = 0.60 and (d) s  =  0.050. (Now you can see why accidents occur in highway curves  when icy conditions are not obvi-  P ous to drivers, who tend to drive  at normal speeds.)  68 

Figure  6.38 

Problem 63. 

A high-speed railway car goes around a flat, horizontal cir-  cle of radius 470 m at a constant speed. The magnitudes of the  horizontal and vertical components of the force of the car on a  51.0 kg passenger  are 210 N and 500 N, respectively. (a) What  is the magnitude of the net force (of all the forces) on the pas-  senger? (b) What is the speed of the car?  64 

FCP  Continuation of Problems  8 and 37. Another explana-  tion is  that the stones  move only when  the water  dumped on  the playa during a  storm freezes into a  large, thin sheet of ice.  The stones are  trapped in place in  the ice. Then, as  air flows  across  the ice during a wind, the air-drag forces on the ice and  stones move them both, with the stones gouging out the trails.  The magnitude of the air-drag force on this horizontal “ice sail”  is given by D ice  = 4C ice A ice v 2 , where C ice  is the drag coefficient  (2.0 × 10 −3 ),   is the air density (1.21 kg/m 3 ), A ice  is the horizon-  tal area of the ice, and v is the wind speed along the ice.  Assume  the  following: The  ice  sheet  measures  400  m  by  500 m by 4.0 mm and has a coefficient of kinetic friction of 0.10  with the ground and a  density of 917 kg/m 3 . Also assume that  100 stones identical to the one in Problem 8 are  trapped in the  ice. To maintain the motion of the sheet, what are the required  wind  speeds  (a)  near  the  sheet  and (b)  at  a  height of  10  m?  (c) Are these reasonable values for high-speed winds in a storm? 

65 

GO  In  Fig. 6.39, block 1  of mass  m 1  = 2.0 kg  and block 2  of mass m 2  = 3.0 kg are connected by a string of negligible mass  and are initially held in place. Block 2 is on a frictionless surface  tilted at θ = 30°. The coefficient of kinetic friction between block  1  and the horizontal  surface is  0.25. The  pulley has  negligible  mass  and  friction. Once  they  are  released,  the  blocks  move.  What then is the tension in the string?  66 

A  student,  crazed  by  final  exams, uses  a force  P  of magni-  tude 80  N  and  angle  θ =  70°  to  push  a  5.0  kg  block  across  the  ceiling of his  room  (Fig. 6.41). If  the  coefficient  of  kinetic  friction  between the block and the ceiling  is  0.40, what is  the  magnitude of  the block’s acceleration? 

θ

69 

→

GO  Figure 6.42 shows a coni-  cal  pendulum, in  which  the bob  (the small object at the lower end  of the cord) moves in a horizon-  tal circle at constant speed. (The  cord sweeps out a cone as the bob  rotates.) The  bob has  a  mass  of  0.040 kg, the string has length L =  0.90 m  and negligible mass,  and  the bob follows a circular path of  circumference  0.94 m. What are  (a)  the tension in the string  and  (b) the period of the motion? 

Figure  6.41 

Problem 69. 

70 

Cord

L

Bob

Figure  6.42 

r

Problem 70. 

/

P ROBL EMS 

An 8.00 kg  block of steel is at  rest on a  horizontal table.  The  coefficient  of  static  friction  between  the  block and  the  table is 0.450. A force is to be applied to the block. To three sig-  nificant figures, what is the magnitude of that applied force if it  puts the block on the verge of sliding when the force is directed  (a)  horizontally, (b)  upward at 60.0° from the horizontal, and  (c)  downward at 60.0° from the horizontal?  71 

A box of canned goods slides down a ramp from street level  into the basement of a grocery store with acceleration 0.75 m/s 2  directed down the ramp. The ramp makes an angle of 40° with  the horizontal. What is the coefficient of kinetic friction between  the box and the ramp?  72 

the  plank. When the  angle of inclination with  the  horizontal  reaches 30°, the box starts to slip, and it then slides 2.5 m down  the  plank  in  4.0 s  at  constant acceleration. What  are  (a)  the  coefficient of  static friction and (b)  the  coefficient of  kinetic  friction between the box and the plank?  SSM  Block A in Fig. 6.45 has mass m  A  = 4.0 kg, and block B  has mass  m B  = 2.0 kg. The  coefficient of kinetic friction between  block B and the horizontal plane is  k  = 0.50. The inclined plane  is  frictionless  and  at  angle  θ =  30°. The  pulley serves  only  to  change the direction of the cord connecting the blocks. The cord  has negligible mass. Find (a) the tension in the cord and (b) the  magnitude of the acceleration of the blocks. 

79 

In  Fig. 6.43, the coefficient of  kinetic fric-  tion between the block and inclined plane is 0.20,  and angle θ is 60°. What are the (a) magnitude a  and (b) direction (up or down the plane) of the  θ block’s acceleration if the block is sliding down  the plane? What are (c) a and (d) the direction if  Figure  6.43  the block is sent sliding up the plane?  Problem 73.  73 

A 110 g hockey puck sent sliding over ice is stopped in 15 m  by the frictional force on it from the ice. (a) If its initial speed is  6.0 m/s, what is the magnitude of the frictional force? (b) What is  the coefficient of friction between the puck and the ice? 

Frictionless, massless pulley

A locomotive accelerates  a 25-car train along a level track.  Every car has a mass of 5.0 × 10 4  kg and is subject to a frictional  force f = 250v, where the speed v is in meters per second and the  force f is in newtons. At the instant when the speed of the train is  30 km/h, the magnitude of its acceleration is 0.20 m/s 2 . (a) What  is  the  tension in  the coupling  between the  first  car  and  the  locomotive? (b)  If this tension is equal to the maximum force  the locomotive can exert on the train, what is the steepest grade  up which the locomotive can pull the train at 30 km/h?  76 

A house is built on the top of a hill with a nearby slope at angle 

θ = 45° (Fig. 6.44). An engineering study indicates that the slope 

angle should be reduced because  the top layers of soil along the  slope  might slip past  the lower layers.  If the coefficient of static  friction between two  such layers  is 0.5, what is  the least angle  ϕ through  which  the  present  slope  should  be  reduced  to  prevent  slippage? 

New slope Original slope

ϕ

Figure  6.44 

Problem 76. 

What is the terminal speed of a 6.00 kg spherical ball that  has a radius of 3.00 cm and a drag coefficient of 1.60? The den-  sity of the air through which the ball falls is 1.20 kg/m 3 .  77 

A  student wants  to  determine  the  coefficients  of  static  friction  and  kinetic friction between  a  box  and  a  plank. She  places  the  box  on  the  plank and  gradually  raises  one  end  of  78 

μ

mA

k

A

θ Figure  6.45 

Problem 79. 

Calculate  the  magnitude  of  the  drag  force  on  a  missile  53 cm in diameter cruising at 250 m/s at low altitude, where the  density of air is  1.2 kg/m 3 . Assume C = 0.75.  80 

SSM  A bicyclist travels in a circle of radius 25.0 m at a con-  stant speed of 9.00 m/s. The bicycle–rider mass is 85.0 kg. Calcu-  late the magnitudes of  (a)  the force  of friction on the  bicycle  from the road and (b) the net force on the bicycle from the road. 

81 

In  Fig.  6.46,  a  stuntman  drives a car (without negative lift)  over the top of a hill, the cross sec-  R tion of which can be approximated  by  a  circle  of  radius  R  = 250  m.  Figure  6.46  Problem 82.  What  is  the  greatest  speed  at  which he can drive without the car leaving the road at the top of  the hill?  82 

You must push a crate across a floor to a docking bay. The  crate  weighs  165  N.  The  coefficient of  static friction between  crate and floor is 0.510, and the coefficient of kinetic friction is  0.32. Your force on the crate is directed horizontally. (a)  What  magnitude of your push puts the crate on the verge  of sliding?  (b) With what magnitude must you then push to keep the crate  moving at  a  constant velocity? (c)  If, instead, you  then push  with the same magnitude as the answer to (a), what is the mag-  nitude of the crate’s acceleration?  83 

→

In  Fig.  6.47,  force  F  is  y applied to a  crate  of mass  m on  θ a  floor  where  the  coefficient of  x static friction between crate and  floor is  s . Angle  θ is  initially 0°  F but is gradually increased so that  Figure  6.47  Problem 84.  the force vector rotates clockwise  in the figure. During the rotation, the magnitude F of the force  is continuously adjusted so that the crate is always on the verge  of sliding. For  s  = 0.70, (a)  plot the ratio F/mg versus  θ and  (b)  determine the angle  θinf  at which  the ratio  approaches an  infinite value. (c) Does lubricating the floor increase or decrease  θinf , or is the value unchanged? (d) What is θinf for s = 0.60?  84 

θ

mB B

74 

75 

153

/

154

C HAP T ER 6  F ORC E  AND   MOT ION—II 

In the early afternoon, a car is parked on a street that runs  down a steep hill, at an angle of 35.0° relative to the horizontal.  Just then the coefficient of static friction between the tires and  the street surface is 0.725. Later, after nightfall, a sleet storm hits  the area, and the coefficient decreases  due to both the ice and a  chemical change in the road surface because of the temperature  decrease.  By  what percentage  must the coefficient decrease  if  the car is to be in danger of sliding down the street?  85 

FCP  A  sling-thrower  puts  a  stone  (0.250 kg)  in  the sling’s  pouch (0.010 kg) and then begins to make the stone and pouch  move in a  vertical circle  of radius 0.650 m. The  cord  between  the pouch and the person’s  hand has  negligible mass  and  will  break when the tension in the cord is  33.0 N or more. Suppose  the sling-thrower can gradually increase the speed of the stone.  (a)  Will the breaking  occur at the lowest point of the circle  or  at the highest point? (b)  At what speed of  the stone will that  breaking occur? 

86 

SSM  A car weighing 10.7 kN and traveling at 13.4 m/s with-  out negative lift attempts  to round an  unbanked curve  with a  radius of 61.0 m. (a)  What magnitude of the frictional force on  the tires is required to keep the car on its circular path? (b) If the  coefficient of  static  friction between  the tires  and the  road  is  0.350, is the attempt at taking the curve successful? 

87 

In Fig. 6.48, block 1 of mass  θ F m 1  = 2.0 kg and  block 2  of mass  m1 m 2  =  1.0 kg  are  connected  by  a  m2 string  of  negligible  mass.  Block  2 is  pushed by force F  of magni-  Figure  6.48  Problem 88.  tude 20 N and angle θ = 35°. The  coefficient of kinetic friction between each block and the hori-  zontal surface is 0.20. What is the tension in the string?  88 

→

SSM  A filing cabinet weighing 556 N rests on the floor. The  coefficient of static friction between it and the floor is 0.68, and  the  coefficient  of  kinetic  friction  is  0.56.  In  four  different  attempts to move it, it is pushed with horizontal forces of magni-  tudes (a)  222 N, (b) 334 N, (c)  445 N, and (d) 556 N. For each  attempt, calculate  the  magnitude  of  the  frictional  force  on  it  from the floor. (The cabinet is initially at rest.) (e)  In which of  the attempts does the cabinet move? 

89 

In  Fig. 6.49, a block weighing 22 N is held  at  rest  against  a  vertical  wall  by  a  horizontal  force  F  of magnitude 60  N. The  coefficient of  F static  friction  between  the  wall  and  the  block  is  0.55,  and  the  coefficient  of  kinetic  friction  between them is 0.38. In six experiments, a sec-  ond force P  is applied to the block and directed  parallel  to the wall with  these magnitudes and  Figure  6.49  directions: (a) 34 N, up, (b) 12 N, up, (c) 48 N, up,  Problem 90.  (d) 62 N, up, (e) 10 N, down, and (f) 18 N, down.  In  each  experiment,  what  is  the  magnitude of  the  frictional  force  on the block? In  which does  the block move (g)  up the  wall and (h) down the wall? (i)  In which is  the frictional force  directed down the wall?  90 

→

→

Down and up. (a)  Let an x axis extend up a plane inclined  at  angle  θ =  60° with the  horizontal. What is  the  acceleration  of  a  block sliding  down the plane  if the  coefficient of  kinetic  friction between the  block and plane is  0.20? (b)  What is  the  91 

acceleration if  the block is  given an  upward shove  and is  still  sliding up the slope?  Airport luggage. In an airport, luggage is transported from  one location to another by a  conveyor belt. At a  certain loca-  tion, the belt moves down an incline that makes an angle of 2.5°  with the horizontal. Assume that with such a slight angle there  is no slipping of the luggage and that an x  axis extends up the  incline. Determine the frictional force  from the  belt on  a  box  with weight 69  N  when  the box  is  on  that incline for  the fol-  lowing situations: (a)  The belt is  stationary. (b)  The belt has a  constant speed of 0.65 m/s. (c) The belt has a speed of 0.65 m/s  that is increasing at a rate of 0.20 m/s 2 . (d) The belt has a speed  of 0.65 m/s that is decreasing  at a rate of 0.20 m/s 2 . (e) The belt  has a speed of 0.65 m/s that is increasing at a rate of 0.57 m/s 2 .  92 

How far?  A block slides  down an  inclined plane of slope  angle θ with a constant velocity. It is then projected up the plane  with an initial speed v 0 . (a)  How far  up the plane will it move  before coming to rest? (b) Will it slide down again?  93 

Turntable candy. An M&M candy piece is placed on a sta-  tionary turntable, at a distance of 6.6 cm from the center. Then  the turntable is turned on and its turning rate  adjusted so that  it makes 2.00 full turns in 2.45 s. The candy rides the turntable  without slipping. (a)  What is the magnitude of its acceleration?  (b) If the turntable rate is gradually increased to 2.00 full turns  every 1.80 s,  the candy piece then begins to slide. What is  the  coefficient of static friction between it and the turntable?  94 

Circling the Galaxy. The Solar System is moving along an  approximately circular path of radius  2.5 ×  10 4  ly (light-years)  around the center of the Milky Way Galaxy with a speed of 205  km/s. (a)  In  years,  what is  the  period of the circling?  (b)  The  mass of the Solar System is approximately equal to the mass of  the Sun (1.99 × 10 30  kg). What is the magnitude of the centrip-  etal force on the Solar System in the circling?  95 

Icy curb ramps. Slipping and falling while walking on an  icy surface is a very common occurrence in winter weather. The  danger comes when a person steps forward because then the full  weight is  over only the rear  foot while that foot pushes  back-  ward. The static coefficient of friction of a  common shoe  (flat  shoe or pump) on ice is μ s  = 0.050. Let the person’s mass be m =  70 kg. (a) On a level surface, what magnitude F of the horizon-  tal  backward  push  puts  the  person  on  the  verge  of  slipping?  (b) Most  urban communities require curb ramps  (Fig. 6.50) so  that wheelchairs  can  travel  between sidewalk  and  street. The  common allowed slope is for a rise of 1 distance unit to a (hori-  zontal) length of 12 distance units, which gives a slope of 8.33%.  If the person attempted to stand on such a ramp that is covered  with ice,  what would  be  the  magnitude of  the  component of  the gravitational force on the person down the ramp? (c)  What  would be the maximum magnitude of the static frictional force  up the ramp? (d) Can the person stand like that without slipping  (or walk up the ramp)? (e) What is the maximum angle θverge  of  a ramp such that the person is on the verge of slipping? (f) Some  brands of winter footwear allow a person to walk up a ramp that  is at the maximum allowed angle of 7.0° without slipping. If the  backward force magnitude that puts the person on the verge of  slipping is 34 N, what is the coefficient of static friction between  the footwear and the ice?  96  BIO 

/

P ROBL EMS 

155

Wood plate

θ

Stone plate Wood support

 moc.kcotsrettuhS/adiemlA ed yendiS

(b)

Problem 98. (a) Chalk used in rock climbing.  (b) Hang bar arrangement.  Figure  6.51 

Sliding down a ski slope on your back. Suppose you fall off  your skis while skiing down a uniform slope at a moderate speed  of 12 m/s. If you are wearing common ski overalls and land on  your back, the coefficient of kinetic friction between the overalls  and the snow  is  0.25. Assume  an x  axis  extends up  the slope.  What is  your velocity along the axis  when you hit a tree  after  sliding for 7.0 s if you are on (a)  a blue slope (for beginners)  at  slope angle 12°, (b) a red slope at angle 18°, and (c) a black slope  at angle 25°? (d) If  you avoid all obstacles, on which slope will  you slide to a stop and how far will that take?  99 

Figure 6.50 

Problem 96. 

Braking  distance  in  snow.  You  are  driving  at  60  mi/h  (= 26.8 m/s). Assume that you then brake at a constant accelera-  tion with the maximum static friction on the tires from the road-  way (no sliding). What is your minimum braking distance if the  coefficient of static friction μ s  is (a) 0.70 for dry asphalt, (b) 0.30  for a snow layer of depth 2.5 mm, and (c)  0.15 for a snow layer  of a depth 3.20 cm? (The lesson here is simple: Slow down when  driving in snow.)  97 

BIO  Rock  climbing  chalk.  Many  rock  climbers,  whether  outdoors or in a gym, periodically dip their fingers into a chalk  bag  hanging  from the  back  of  their  belt  to  coat  their  fingers  (Fig. 6.51a). (The chalk is magnesium carbonate, not classroom  chalk.)  Climbers claim  that the  chalk dries  their fingers  from  sweat,  allowing better  grips  on  the  holds  but  other  climbers  doubt that effect. In a research experiment, experienced climb-  ers  supported their weight on a hang bar, something commonly  used  in  training. However,  this  hang bar  could be  tilted (Fig.  6.51b). On its wood support, researchers  attached a stone plate  from  which a  climber  would hang by  one hand, and then the  researchers  increased  the tilt angle  θ until the climber slipped  off. From the slip angle θslip we  can calculate the coefficient of  static friction μs  between the fingers and the stone plate. What  is  μs  for limestone when  θslip  is  (a)  32.6° for unchalked fingers  and  (b)  37.2°  for  chalked  fingers?  What  is  μs  for  sandstone  when  θslip  is  (a)  36.5° for  unchalked fingers  and  (b)  41.9° for  chalked fingers? 

98 

Car on an icy hill—destined for YouTube video. Some of  the funniest videos on YouTube show cars in uncontrolled slides  on icy roads, especially  icy  hills. Here  is an  example of such a  slide. A car with an initial speed v 0  = 10.0 m/s slides down a long  icy road with an inclination of θ = 5.00° (a mild incline, nothing  like the hills of San Francisco). The coefficient of kinetic friction  between the tires and the ice is  μk  = 0.10. How far does the car  take to slide to a stop if we assume that it does not hit anything  along the way?  100 

Controlled  platoon  of  cars.  A  platoon  of  cars  moves  along a road under computer control with uniform spacings and  equal speeds that are set by a dynamic system that monitors the  weather  road  conditions. It  determines  the  speed  for  a  given  spacing such that, in an emergency, each car would stop just as  it reached the car in front of it. The coefficient of static friction  μs is 0.700 for dry asphalt and 0.300 for rain-wetted asphalt. The  cars  each have length L = 4.50 m. What should the controlled  speed be (meters per second, miles per hour, and kilometers per  hour) if  the bumper–bumper spacing is  2L  for (a)  dry  asphalt  and (b)  wet asphalt? What should it be if the spacing is 5L for  (a) dry asphalt and (b) wet asphalt?  101 

 segamI ytteG/muxula

(a)

/

C

H

A

P

T

E

R

7

Kinetic Energy and Work 

7.1  KINETIC  ENERGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.1.1  Apply the relationship between  a particle’s kinetic 

7.1.2  Identify that kinetic energy is a scalar quantity. 

energy, mass, and speed. 

Key Idea  ●

K associated with  the motion of a particle of mass m and speed v, where v is well  below the speed of 

The kinetic  energy 

light, is 

1  K =  _  mv 2  2 

(kinetic  energy). 

What Is Physics? 

One of the fundamental goals of physics is to investigate something that everyone  talks about:  energy. The topic  is obviously  important. Indeed, our  civilization is  based on acquiring and effectively using energy.  For example, e veryone knows that any type of motion requires energy: Flying  across the Pacific Ocean requires it. Lifting material to the top floor of an office  building  or to  an orbiting  space station  requires it. Throwing a fastball requires  it. We  spend  a tremendous amount of  money to  acquire and  use energy. Wars  have been started because of  energy resources. Wars have been ended because  of  a sudden,  overpowering  use  of  energy by  one  side.  Everyone knows  many  examples of energy and its use, but what does the term energy really mean?  What Is Energy? 

The  term energy is so broad  that a clear definition  is difficult  to  write. Techni-  cally, energy is a scalar quantity associated with the state (or condition) of one or  more objects. However, this definition  is too vague to be of help to us now.  A looser  definition  might at  least get us  started. Energy is a  number that  we associate with a system of one or more objects. If a force changes one of the  objects by, say, making it move, then  the energy number changes. After count-  less experiments, scientists and engineers realized that if the scheme by which we  assign energy numbers is planned  carefully, the numbers can be used to  predict  the outcomes of experiments and, even more important, to build  machines, such  as flying machines. This success is based on a wonderful property of our universe:  Energy can be transformed from one type to another  and transferred from one  object to another, but the total amount is always the same (energy is conserved).  No exception to this principle of energy conservation has ever been found. 

156 /

7.1  KINET IC   ENERGY  

157

Money. Think  of  the  many types of  energy as being  numbers representing  money in  many types of bank  accounts. Rules have been made about what such  money  numbers mean and  how  they can  be  changed.  You  can  transfer money  numbers  from one  account  to  another  or  from  one  system to  another,  perhaps  electronically with  nothing  material actually moving. However, the total  amount  (the  total  of  all  the money  numbers) can  always be  accounted  for:  It  is  always  conserved. In this  chapter we focus  on  only  one type of  energy (kinetic  energy)  and on only one way in which energy can be transferred (work).  Kinetic  Energy 

Kinetic energy K is energy associated with the state of  motion of an object. The  faster  the  object  moves,  the  greater is  its  kinetic  energy. When  the  object  is  stationary, its kinetic energy is zero.  For an object of mass m whose speed v is well below the speed of light,  1  K = _  mv 2  2 

(7.1.1) 

(kinetic energy). 

For  example, a  3.0 kg  duck  flying  past  us  at  2.0 m/s  has  a  kinetic  energy  of  6.0 kg ⋅ m 2 /s 2 ; that is, we associate that number with the duck’s motion.  The SI unit of kinetic energy (and all types of energy) is the joule (J), named  for James Prescott Joule, an English scientist of the 1800s, a nd defined as  1 joule = 1 J = 1 kg ⋅ m 2 /s 2 . 

(7.1.2) 

Thus, the flying duck has a kinetic energy of 6.0 J. 

Checkpoint 7.1.1 

The speed of a car (treat it as being a particle) increases from 5.0 m/s to 15.0 m/s.  What is the ratio of the final kinetic energy K f  to the initial kinetic energy K i ? 

Sample Problem 7.1.1

Kinetic energy, train crash 

 ssergnoC fo yrarbiL fo ysetruoC

In 1896 in Waco, Texas, William Crush parked two loco-  motives  at  opposite  ends  of  a  6.4-km-long  track,  fired  them up, tied their throttles open, and then allowed them  to crash head-on at full speed (Fig. 7.1.1) in front of 30,000  spectators. Hundreds of people were hurt by flying debris;  several were killed.  Assuming each locomotive weighed  1.2 × 10 6 N and its acceleration was a constant 0.26 m/s 2 ,  what was the total kinetic energy of the two  locomotives  FCP  just before the collision? 

KEY IDEAS (1) We need to find the kinetic energy of each locomotive  with Eq. 7.1.1, but that means we need each locomotive’s  speed  just before  the collision  and  its mass. (2)  Because  we can assume e ach locomotive had constant acceleration,  we can use the equations in Table 2.1.1 to find  its speed v  just before the collision. 

The aftermath of an 1896 crash of two  locomotives.  Figure  7.1.1 

/

158

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

6 

We  choose  Eq.  2.4.6  because  we  know  values for all the variables except v: 

N  = 1.22 × 10 5  kg.  __________  m =  1.2 × 10  9.8 m/s 2 

v 2 = v 2  0  + 2a(x − x 0).   

Now, using Eq. 7.1.1, we find the total kinetic energy  of the two locomotives just before the collision as 

Calculations:

With v 0  = 0 and x − x 0   = 3.2 × 10 3 m (half the initial sepa-  ration), this yields  2 

2 

1  K = 2( _  mv 2 ) = (1.22 × 10 5  kg)(40.8 m/s) 2  2 

3 

= 2.0 × 10 8  J. 

v  = 0 + 2(0.26 m /s  )(3.2 × 10  m),  or 

v = 40.8 m/s = 147 km/h. 

We can find the mass of each locomotive by dividing  its given weight by g: 

(Answer) 

This collision was like an exploding bomb. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

7.2  WORK AND KINETIC ENERGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.2.1  Apply the relationship between a force (magnitude 

7.2.3  If multiple  forces act on a particle,  calculate  the 

and direction) and the work done on a particle by the  force when  the particle undergoes a displacement. 

net work done by them.  7.2.4  Apply the work–kinetic energy theorem to relate 

7.2.2  Calculate work by taking a dot product of the 

the work done by a force (or the net work done by 

force vector and the displacement vector, in either 

multiple  forces) and the resulting  change  in kinetic 

magnitude-angle  or unit-vector notation. 

energy. 

Key Ideas  ●

W  is energy transferred to or from an object via 

Work 

●

When two or more forces act on an object, their 

a force acting on the object. Energy transferred to the 

net work is the sum of the individual  works done by 

object is positive work, and from the object, negative 

the forces, which  is also equal  to the work that would 

work. 

be done on the object by the net force 

→

→

●

The work done on a particle by a constant force  →

ing  dis placement 

●

W = Fd cos  ϕ = F  ⋅ d  →

in which  →

of 

→

(work, constant force), 

ϕ is the constant angle between the directions  →

F  and  d . 

F  that  is  along  the  displace-  d  can do work on the object. 

→

ment 

ΔK = K f − K i = W 

(work–kinetic energy theorem), 

K i  is the initial  kinetic energy of the particle  K f is the kinetic  energy after the work is done. The 

in which  and 

Only  the  component of 

ΔK in the kinetic  energy  W  done on the particle: 

For a particle,  a change 

equals the net work 

→

●

F  dur- 

d  is  

F net of those 

forces. 

equation rearranged gives us 

K f  = K i  + W. 

Work 

If you accelerate a n object to a greater speed by applying a force to the object, you  1  increase the kinetic energy K (=  _  mv 2 ) of the object. Similarly, if you decelerate  2  the object to a lesser speed by applying a force, you decrease the kinetic energy  of the object. We account for these changes in kinetic energy by saying that your  force  has  transferred energy to  the  object  from  yourself  or  from  the  object  to 

/

7.2  WORK  AND  KINET IC   ENERGY  

159

yourself. In such a transfer of energy v ia a force, work W is said to be done on the  object by the force. More formally, we define work as follows:  Work W is energy transferred to or from an object by means of a force acting on  the object. Energy transferred to the object is positive work, and energy trans-  ferred from the object is negative work. 

“Work,” then,  is transferred energy; “doing  work” is the act of  transferring the  energy.  Work has the same units  as energy and is a scalar quantity.  The term transfer can be  misleading. It does not  mean that anything mate-  rial flows into or out of the object; that is, the transfer is not like a flow of water.  Rather, it  is like  the  electronic transfer of  money between two  bank  accounts:  The number in one account goes up while the number in the other account goes  down, with nothing material passing between the two accounts.  Note that we are not concerned here with the common meaning of the word  “work,” which  implies that  any physical or  mental labor  is work.  For  example,  if  you  push  hard  against a wall, you  tire  because of  the  continuously  repeated  muscle contractions that are required, and you are, in the common sense, work-  ing. However, such effort does not  cause an energy transfer to or from the wall  and thus is not work done on the wall as defined here.  To avoid confusion  in this chapter, we shall use the symbol W only for work  and shall represent a weight with its equivalent mg. 

Work and Kinetic Energy  Finding  an Expression for  Work 

Let  us  find  an  expression for  work  by considering  a  bead  that  can slide  along  a frictionless wire that is stretched along  a horizontal  x axis (Fig. 7.2.1). A con-  stant force F , directed at an angle ϕ to  the wire, accelerates the bead along  the  wire.  We  can relate the  force  and  the  acceleration with  Newton’s  second  law,  written for components along the x axis:  →

F x  = ma x,  

(7.2.1)  →

where m is the bead’s  mass. As the bead  moves through  a displacement  d , the  force changes the bead’s velocity from an initial  value v 0 to some other value  v .  Because the  force is  constant, we  know  that  the  acceleration is  also  constant.  Thus, we can use Eq. 2.4.6 to write, for components along the x axis,  →

v 2 = v 2  0 + 2 a  xd.   

→

(7.2.2) 

Solving  this  equation  for  a x,   substituting  into  Eq.  7.2.1, and  rearranging then  give us  1  1  _  mv 2  − _  mv 2 = F  d.  2 

2 

0 

x 

(7.2.3) 

The first term is the kinetic energy K f  of the bead at the end of the displacement  d, and the second term is the kinetic energy K i  of the bead at the start. Thus, the  left side of Eq. 7.2.3 tells us the kinetic energy has been changed by the force, and  the right side tells us the change is equal to F x d. Therefore, the work W done on    the bead by the force (the energy transfer due to the force) is  W = F x d.   

(7.2.4) 

If we know values for F x  and d, we can use this equation to calculate the work W.  To calculate the work a force does on an object as the object moves through some  displacement, we use only the force component along the object’s displacement.  The force component perpendicular to the displacement does zero work. 

/

160

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

From Fig. 7.2.1, we see that we can write F x   as F cos  ϕ, where ϕ is the angle  between the directions of the displacement d  and the force F . Thus,  →

W = Fd cos ϕ

A 

This component does no work.

Small initial kinetic energy F

ϕ

Wire

Ki

x

(7.2.5) 

(work done by a constant force). 

F

Bead

→

This force does positive work on the bead, increasing speed and kinetic energy.

ϕ

x

v 0

This component does work.

F

ϕ

A constant force F  directed at angle ϕ to  the displacement d  of a bead on a wire accelerates  the  bead along the wire, changing the velocity of the bead  from v 0  to v . A “kinetic energy gauge” indicates the  resulting change in the kinetic energy of the bead, from  the value K i  to the value K f .  In  WileyPLUS, this figure is available as an animation  with voiceover.  →

Figure  7.2.1 

→

→

Larger final kinetic energy

→

F Kf

ϕ v 

Displacement

d

We can use the definition  of the scalar (dot) product (Eq. 3.3.1) to write  →

→

W = F  ⋅ d 

(work done by a constant force), 

(7.2.6) 

→

where F is the magnitude of F . (You may wish to review the discussion of scalar  products  in  Module  3.3.) Equation  7.2.6 is  especially useful  for  calculating the  work when F  and  d  are given in unit-vector notation.  Cautions. There are two restrictions to using Eqs. 7.2.4 through 7.2.6 to cal-  culate work  done  on  an  object  by  a force. First, the  force must  be  a constant  force; that is, it must not  change in magnitude or direction as the object moves.  (Later, we shall discuss what to do  with  a variable force that changes in  magni-  tude.) Second, the object must be particle-like. This  means that the object must  be rigid; all parts of it must move together, in the same direction. In this chapter  we  consider  only  particle-like objects, such  as the  bed  and  its  occupant  being  pushed in Fig. 7.2.2.  Signs for Work. The work done on  an object by a force can be either positive  work or negative work. For example, if angle ϕ in Eq. 7.2.5 is less than 90°, then cos ϕ is positive and thus so is the work. However, if ϕ is greater than 90° (up to 180°), then  cos ϕ is negative and thus so is the work. (Can you see that the work is zero when  ϕ = 90°?) These results lead to a simple rule. To find the sign of the work done by a  force, consider the force vector component that is parallel to the displacement:  →

F

A contestant in a bed  race. We can approximate the bed  and its occupant as being a particle  for the purpose of calculating the  work done on them by the force  applied by the contestant.  Figure  7.2.2 

→

A force does positive work when it has a vector component in the same direction  as the displacement, and it does negative work when it has a vector component in  the opposite direction. It does zero work when it has no such vector component. 

Units for Work. Work  has  the  SI  unit  of  the  joule,  the  same  as  kinetic  energy. However, from  Eqs. 7.2.4 and  7.2.5 we can see that  an equivalent unit 

/

7.2  WORK  AND  KINET IC   ENERGY  

161

is the newton-meter (N ⋅ m). The corresponding unit in the British system is the  foot-pound  (ft ⋅ lb). Extending Eq. 7.1.2, we have  1 J = 1 kg · m 2 /s 2 = 1 N · m = 0.738 ft · lb. 

(7.2.7) 

Net Work. When  two or  more forces act on  an object, the net work done  on  the object  is  the sum of  the works  done  by  the individual  forces. We  can  calculate the net work in two ways. (1) We can find the work done by each force  and then sum those works. (2) Alternatively, we can first find the net force F net  of those forces. Then we can use Eq. 7.2.5, substituting the magnitude F net for F  and also the angle between the directions of F net and  d  for ϕ. Similarly, we can use  Eq. 7.2.6 with F net substituted for F .  →

→

→

→

→

Work–Kinetic  Energy  Theorem 

Equation 7.2.3 relates the change in kinetic energy of the bead (from a n initial K i = 

1  1  2  _  _  mv 2    ) done  on  the  bead. For such  0  to  a later K f   =  2 mv  ) to the work  W (= F xd 2 

particle-like objects, we can generalize that  equation. Let ΔK be the change in  the kinetic energy of the object, and let W be the net work done on it. Then  ΔK = K f − K i = W, 

(7.2.8) 

which says that  change in the kinetic 

net work done on  .  the particle  ) 

(  energy of a particle )  = (  We can also write 

K f = K i  + W, 

(7.2.9) 

which says that  kinetic energy after 

kinetic energy 

the net 

(the net work is done    ) = ( before the net work ) + ( work done ).   These  statements are known  traditionally  as the  work–kinetic  energy theorem  for particles. They hold for both positive and negative work: If the net work done  on a particle is positive, then the particle’s kinetic energy increases by the amount  of  the work. If the net work  done  is negative, then the particle’s kinetic  energy  decreases by the amount of the work.  For example, if the kinetic  energy of  a particle is initially 5 J and  there is a  net transfer of 2 J to the particle (positive net work), the final  kinetic  energy is  7 J. If, instead, there is a net transfer of 2 J from the particle (negative net work),  the final kinetic energy is 3 J.  Checkpoint 7.2.1 

A particle moves along an x axis. Does the kinetic energy of the particle increase,  decrease, or remain the same if the particle’s velocity changes (a) from −3 m/s to  −2 m/s and (b) from −2 m/s to 2 m/s? (c) In each situation, is the work done on the  particle positive, negative, or zero? 

Sample Problem 7.2.1

Work  done by two constant forces,  industrial  spies 

Figure 7.2.3a shows two industrial spies sliding an initially  stationary 225 kg floor  safe a displacement  d  of  magni-  tude 8.50 m. The push F 1 of spy 001 is 12.0 N at an angle  of  30.0° downward from the horizontal; the pull  F 2 of spy  002 is 10.0 N at 40.0° above the horizontal. The magnitudes  →

→

→

and  directions  of  these forces  do  not  change as the  safe  moves, and the floor and safe make frictionless contact.  →

(a)  What  is  the  net  work  done  on  the  safe by  forces  F 1  and F 2 during the displacement d ?  →

→

/

162

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

Spy 002

Spy 001

Only force components parallel to the displacement do work. FN

Safe d

→

Because these forces are constant in both magnitude and  direction, we can find the work they do with Eq. 7.2.5. 

F1

Fg

→

KEY IDEA

F2

40.0° 30.0°

(a )

(b) During the displacement, what is the work W g  done on  the safe by the gravitational force F g  and  what is  the work  W N done on the safe by the normal force F N from the floor? 

(b )

(a) Two spies move a floor safe through a displace-  ment d . (b) A free-body diagram for the safe.  Figure  7.2.3  →

Thus,  with  mg  as  the  magnitude  of  the  gravitational force, we write  Calculations:

and 

KEY IDEAS (1) The net work W done on the safe by the two forces is  the sum of the works they do individually. (2) Because we  can treat the safe as a particle and the forces are constant  in  both  magnitude and  direction,  we  can use  either  Eq.  7.2.5 (W = Fd cos ϕ ) or Eq. 7.2.6 (W = F  ⋅  d ) to calculate  those works. Let’s choose Eq. 7.2.5.  →

→

From Eq. 7.2.5 and the free-body diagram  for the safe in Fig. 7.2.3b, the work done by F 1 is  Calculations:

→

W 1   = F 1 d cos  ϕ1  = (12.0 N)(8.50 m)(cos 30.0°)    = 88.33 J, 

W g  = mgd cos 90° = mgd(0) = 0 

(Answer) 

W N = F Nd cos 90° = F    N d(0) = 0.   

(Answer) 

We should  have known  this  result.  Because these forces  are perpendicular to the displacement of the safe, they do  zero work on the safe and do not transfer any energy to or  from it.  (c) The safe is initially stationary. What is its speed v f  at  the end of the 8.50 m displacement? 

KEY IDEA The speed of  the safe changes because its kinetic  energy  is changed when energy is transferred to it by F 1  and F 2 .  →

→

We relate the speed to  the work  done  by  combining Eqs. 7.2.8 (the work–kinetic energy theorem)  and 7.1.1 (the definition  of kinetic energy):  Calculations:

→

and the work done by F 2 is  W 2  = F 2d cos  ϕ2 = (10.0 N)(8.50 m )(cos 40.0°)    = 65.11 J. 

1  1  2  _  2  W = K f − K i  = _  2 mv f  −  2 mv i . 

The  initial  speed  v i  is  zero,  and  we  now  know  that  the  work done  is 153.4 J. Solving for v f  and then substituting  known data, we find  that 

Thus, the net work W is  W = W 1  + W 2  = 88.33 J + 65.11 J  = 153.4 J ≈ 153 J. 

____ 

(Answer) 

2W  =  ____ 

v f = √  m 

During  the  8.50 m  displacement,  therefore,  the  spies  transfer 153 J of energy to the kinetic energy of the safe. 

Sample Problem 7.2.2

_________ 

2(153.4 J  ) 

√ _________  225 kg 

= 1.17 m / s. 

(Answer) 

Work  done by a  constant force  in unit-vector notation 

During  a storm, a crate of crepe is sliding  across a slick,  oily  parking  lot  through  a  displacement  d  =  (−3.0 m) ˆ  i  while a steady wind pushes  against the crate with a force  F  =  (2.0  N) ˆ  i  +  (−6.0  N) ˆ  j.  The  situation  and  coordinate  axes are shown in Fig. 7.2.4. 

The parallel force component does negative work, slowing the crate.

→

y

→

(a) How much work does this force do on the crate during  the displacement? 

KEY IDEA Because we can treat the crate as a particle and  because  the  wind  force is  constant  (“steady”) in  both  magnitude 

Force F  slows a crate during  displacement d .  →

Figure  7.2.4 

x F

→

d

and direction  during the displacement, we can use  either  Eq. 7.2.5 (W = Fd cos ϕ ) or Eq. 7.2.6 (W  =  F  ⋅  d ) to cal-  culate the work.  Since  we know  F  and  d  in  unit-vector  notation, we choose Eq. 7.2.6.  →

→

→

→

/

7.3  WORK  D ONE  BY   T HE  GRAV IT AT IONAL   F ORC E 

Calculations:

We write 

W = F  ⋅ d  = [(2.0 N) ˆ  i + (−6.0 N) ˆ  j] ⋅ [(−3.0 m ) ˆ  i].  →

→

Of the possible unit-vector dot products, only ˆ  i ⋅ ˆ  i, ˆ  j ⋅ ˆ  j, and  ˆ  ˆ  k · k are nonzero (see Appendix E). Here we obtain  ˆ  ˆ i + (−6.0 N)(−3.0 m) ˆ  W = (2.0 N)(−3.0 m) i ·  j · ˆ  i  = (−6.0 J)(1) + 0 = −6.0 J. 

(Answer) 

Thus, the force does a negative 6.0 J of work on the crate,  transferring 6.0 J of energy from the kinetic energy of the  crate. 

163

(b) If the crate has a kinetic energy of 10 J at the beginning  of displacement d , what is its kinetic energy at the end of d ?  →

→

KEY IDEA Because the  force  does  negative work  on  the  crate,  it  reduces the crate’s kinetic energy.  Using the  work–kinetic  energy theorem in  the form of Eq. 7.2.9, we have  Calculation:

K f = K i  + W = 10 J + (−6.0 J) = 4.0 J. 

(Answer) 

Less kinetic energy means that the crate has been slowed. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

7.3  WORK DONE BY THE GRAVITATIONAL FORCE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.3.1  Calculate  the  work done by the gravitational 

7.3.2  Apply the work–kinetic energy theorem to situa- 

force when an  object is lifted  or lowered. 

tions where an object is lifted  or lowered. 

Key  Ideas  →

W g   done by the gravitational force F g on  a particle-like object of mass m as the object moves  through a displacement d  is given by  ●

The work 

→

W g   = mgd cos ϕ , 

●

change 

ΔK = K f  − K i  = W a   + W g  .  If 

ϕ is the angle between  F g and d .  →

in which 

→

W g  done by the gravitational force and the  ΔK in the object’s kinetic  energy by 

the work 

K f  = K i, then the equation reduces to    W a   = −W g,  

which  tells us that the applied force transfers as much 

W a   done by an applied  force as a particle- 

The work 

like object is either  lifted or lowered is related  to 

energy to the object as the gravitational force transfers  from it. 

Work Done by the Gravitational Force 

We next examine the work done  on an object by the gravitational force acting on  it. Figure 7.3.1 shows a particle-like tomato of mass m that is thrown upward  with  _ mv 2 . As the tomato rises,  initial speed v 0  and thus with initial kinetic energy K i  =  1  0  2  it is slowed by a gravitational force F g ; that is, the tomato’s kinetic energy decreases  because F g  does work on  the tomato  as it rises. Because we can treat the tomato  as a particle, we can use Eq. 7.2.5 (W = Fd cos ϕ ) to express the work done during  a displacement  d . For the force magnitude F, we use  mg as the  magnitude of F g .  Thus, the work W g  done by the gravitational force F g is  →

→

→

→

→

W g  = mgd cos ϕ

(work done by gravitational force). 

(7.3.1) 

/

164

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

→

→

K

v  Fg

For  a rising  object,  force  F g  is directed opposite  the  displacement  d , as  indicated in Fig. 7.3.1. Thus,  ϕ = 180° and 

f

W g  = mgd cos 180° = mgd(−1) = −mgd. 

The force does negative work, decreasing speed and kinetic energy.

d

The minus sign tells us that during the object’s rise, the gravitational force act-  ing on the object transfers energy in the amount mgd from the kinetic energy  of the object. This is consistent with the slowing of the object as it rises.  After the object has reached its maximum height and is falling back down,  the angle ϕ between force F g and displacement d  is zero. Thus, 

Fg K

v 0

→

i

→

W g  = mgd cos 0° = mgd(+1) = +mgd. 

Fg

(7.3.3) 

The  plus  sign  tells  us that  the  gravitational force  now  transfers energy in  the  amount mgd to the kinetic energy of the falling object (it speeds up, of course). 

Because the gravitational  force F g  acts on it, a particle-like tomato  of mass m thrown upward slows from  velocity v 0  to velocity v  during displace-  ment d . A kinetic energy gauge indi-  cates the resulting change in the kinetic  _  2  energy of the tomato, from K i  = 1  2  mv 0  to  1  2  _  K f  = 2  mv  .  Figure  7.3.1  →

→

(7.3.2) 

→

→

Work Done  in Lifting  and Lowering an Object  →

Now suppose we lift a particle-like object by applying a vertical force F  to it.  During  the  upward  displacement, our  applied  force  does  positive  work  W a   on  the object while  the gravitational force does negative work  W g   on  it. Our  applied  force  tends  to  transfer energy to  the  object  while  the  gravitational  force  tends  to  transfer energy from  it.  By Eq.  7.2.8, the  change  ΔK  in  the  kinetic energy of the object due to these two energy transfers is 

Upward displacement

d

F

Object Fg

(a)

F

Object

Fg

ΔK = K f  − K i  = W a   + W g  , 

Does positive work

in which  K f  is the kinetic  energy at the end of the displacement and K i  is that at  the start of the displacement. This  equation also  applies if we lower the object,  but  then the gravitational force tends to transfer energy to the object while  our  force tends to transfer energy from it.  If an object is stationary before and after a lift (as when you lift a book from the  floor to a shelf), then K f and K i  are both zero, and Eq. 7.3.4 reduces to 

Does negative work

W a  + W g  = 0 

Does negative work

or 

Does positive work

W a   = −mgd cos ϕ →

(a)  An applied force F  lifts an object. The object’s displace-  ment d  makes an angle ϕ = 180°  with the gravitational force F g  on the  object. The applied force does  positive work on the object. (b) An  applied force F  lowers an object. The  displacement d  of the object makes  an angle ϕ = 0° with the gravita-  tional force F g . The applied force  does negative work on the object.  Figure  7.3.2  →

→

→

→

(work d one in lifting  and lowering; K f  = K i),   

(7.3.5) 

(7.3.6) 

with ϕ being the angle between F g and d . If the displacement is vertically upward  (Fig. 7.3.2a), then  ϕ = 180° and the work done  by the applied force equals mgd.  If the displacement is vertically downward (Fig. 7.3.2b), then ϕ = 0° and the work  done by the applied force equals −mgd.  Equations 7.3.5 and 7.3.6 apply to any situation in which an object is lifted or  lowered, with  the  object stationary before and  after the lift.  They are indepen-  dent of the magnitude of the force used. For example, if you lift a mug from the  floor to over your head, your force on the mug varies c onsiderably during the lift.  Still, because the mug is stationary before and after the lift, the work your force  does  on  the mug is given by Eqs.  7.3.5 and  7.3.6, where, in  Eq. 7.3.6, mg is  the  weight of the mug and d is the distance you lift it.  →

(b )

→

W a   = −W g.  

Note  that  we get the  same result  if  K f  and  K i  are not  zero but  are still  equal.  Either way, the result means that the work done by the applied force is the nega-  tive of the work done by the gravitational force; that is, the applied force transfers  the same amount of energy to the object as the gravitational force transfers from  the object. Using Eq. 7.3.1, we can rewrite Eq. 7.3.5 as 

Downward displacement

d

(7.3.4) 

→

/

7.3  WORK  D ONE  BY   T HE  GRAV IT AT IONAL   F ORC E 

Sample Problem 7.3.1

Work  in pulling a  sleigh up a snowy slope 

In  this  problem  an object  is  pulled  along a ramp but  the  object starts and ends at rest and thus has no overall change  in its kinetic energy (that is important). Figure 7.3.3a shows  the situation. A rope pulls  a 200 kg sleigh (which you may  know) up a slope at incline angle θ = 30°, through distance  d = 20 m. The sleigh and its contents have a total mass of  200 kg. The snowy slope is so slippery that we take it to be  frictionless. How much work is done by each force acting  on the sleigh? 

KEY IDEAS (1)  During the  motion,  the  forces are constant  in  mag-  nitude  and direction and  thus  we can calculate the work  done  by each with  Eq.  7.2.5 (W =  Fd  cos  ϕ) in  which  ϕ is the angle between the force and the displacement. We  reach the same result with Eq. 7.2.6 (W = F  ⋅ d ) in which  we take  a dot  product  of  the force vector and  displace-  ment  vector.  (2)  We  can  relate the  net  work  done  by  the  forces to  the  change in  kinetic  energy (or  lack  of  a  change, as here) with  the work–kinetic  energy theorem  of Eq. 7.2.8 (ΔK = W).  →

The  second  (equivalent) way to  get this  result  is to  use the full gravitational force F g instead of a component.  The angle between F g and d  is 120° (add the incline angle  30° to 90°). So, Eq. 7.2.5 gives us  →

The  first  thing  to  do  with  most  physics  problems involving forces is to draw a free-body diagram to  organize our thoughts. For the sleigh, Fig.7.3.3b is our free-  body diagram, showing the gravitational force F g , the force  T  from the rope, and the normal force F N from the slope. 

W g  = F gd cos 120° = mgd cos 120°   

= (200 kg)(9.8 m/s 2 )(20 m) cos 120°  = −1.96 × 10 4 J. 

→

Let’s start with this easy  calculation.  The  normal  force  is  perpendicular  to  the  slope and thus also to the sleigh’s displacement. Thus the  normal force does not affect the sleigh’s motion and does  zero work.  To be more formal, we can apply Eq. 7.2.5 to  write  Work W N by the normal force.

W N  = F N d cos 90° = 0. 

We have  two  ways  of  calculating this work.  The quicker way is to use the work–  kinetic energy theorem of  Eq.  7.2.8 (ΔK = W),  where the  net work  W done  by the forces is  W N  + W g   + W T  and the  change ΔK in the kinetic energy is just zero (because the ini-  tial and final kinetic energies are the same—namely, zero).  So, Eq. 7.2.8 gives us  0 = W N + W g  + W T  = 0 − 1.96 × 10 4 J + W T  W T  = 1.96 × l0 4 J. 

and 

F net,x = ma x,   F T  − mg sin 30° = m(0),  to find 

W T  = F T d cos 0° = (mg sin 30°)d cos 0°  = (200 kg)(9.8 m /s 2 )(sin 30°)(20 m) cos 0°  = 1.96 × 10 4 J. 

We  can  find  the  work  done  by  the  gravitational  force  in  either  of  two  ways (you  pick  the  more  appealing way). From  an  ear-  lier  discussion  about  ramps  (Sample Problem  5.3.2 and  Fig.  5.3.6), we know  that  the component  of  the gravita-  tional force along the slope has magnitude mg sin θ and is  directed down  the slope. Thus the magnitude is 

(Answer) 

(Answer) 

d

(a )

θ FN

x T

The  angle  ϕ between  the  displacement  and  this  force  component is 180°. So we can apply Eq. 7.2.5 to write  = −1.96 × 10  J. 

F T  = mg sin 30°. 

This is the magnitude. Because the force and the displace-  ment are both up  the slope, the angle between those two  vectors is zero. So, we can now write Eq. 7.2.5 to find  the  work done by the rope’s force: 

Work Wg by the gravitational force.

W g  = F gx d cos 180° = (980 N)(20 m)(−1) 

(Answer) 

Instead of doing  this,  we can apply Newton’s second law  for  motion  along  the  x axis to  find  the magnitude  F T  of  the rope’s force. Assuming that the acceleration along the  slope is  zero (except for the  brief  starting and  stopping),  we can write 

(Answer) 

F gx = mg sin θ = (200 kg)(9.8 m/s 2 ) sin 30°  = 980 N. 

(Answer) 

Work WT by the rope’s force.

→

→

→

→

→

Calculations:

4 

165

Does negative work

mg

sin θ mg

(b)

θ

F

Does positive work cos θ

g

The  negative result  means  that  the  gravitational  force  Figure  7.3.3  (a)  A sleigh is pulled up a snowy slope. (b) The  free-body diagram for the sleigh.  removes energy from the sleigh. 

/

166

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

Sample Problem 7.3.2

Work done on an accelerating  elevator cab 

An  elevator  cab  of  mass m = 500 kg  is  descending  with  speed v i  = 4.0 m/s when its supporting  cable begins to slip,  allowing it to fall with constant acceleration a  =  g / 5  (Fig.  7.3.4a).  →

Elevator cable

→

(a) During the fall through a distance d = 12 m, what is the  work W g  done on the cab by the gravitational force F g ?  →

KEY IDEA We can treat the cab as a particle and thus  use Eq. 7.3.1  (W g  = mgd cos ϕ ) to find the work W g.   From  Fig.  7.3.4b,  we  see  that  the  angle  between the directions of  F g  and the cab’s displacement d  is 0°. So,  Calculation:

→

→

2 

W g   = mgd cos 0° = (500 kg)(9.8 m/s  )(12 m)(1) 

An  elevator cab,  descending with  speed v i , suddenly  begins to acceler-  ate downward. (a)  It moves through  a displacement d  with constant accel-  eration  a  =  g / 5.  (b) A free-body  diagram for the  cab, displacement  included. 

y

Figure  7.3.4 

Cab

T

→

→

Fg d

→

Does negative work Does positive work

a

(a )

(b )

(b) During the 12 m fall, what is the work W T  done on the  cab by the upward pull T  of the elevator cable? 

Note that  W T  is not  simply the  negative of W g   because the cab accelerates during the fall. Thus, Eq. 7.3.5  (which assumes that the initial  and final  kinetic  energies  are equal) does not apply here. 

KEY IDEA

(c) What is  the net  work  W  done  on  the  cab during  the  fall? 

= 5.88 × 10 4 J ≈ 59 kJ. 

(Answer) 

→

We can calculate work W T  with Eq. 7.2.5 (W = Fd cos  ϕ)  by  first  writing  F net,y = ma y   for  the  components  in  Fig.  7.3.4b.  Calculations:

The net work is the sum of the works done  by the forces acting on the cab:  Calculation:

W = W g  + W T  = 5.88 × 10 4 J − 4.70 × 10 4 J  = 1.18 × 10 4  J ≈ 12 kJ. 

We get  T − F g   = ma. 

(7.3.7) 

Solving for T, substituting mg for F g, and then substituting    the result in Eq. 7.2.5, we obtain  W T = Td cos ϕ = m(a + g)d cos ϕ . 

(7.3.8) 

Next,  substituting  −g/5  for  the  (downward)  acceleration  a and  then  180° for  the  angle ϕ between the  directions of  forces T  and m g  , we find  g  4 mgd cos ϕ W T  = m ( − __  + g ) d cos   ϕ = __    5  5  4 (500 kg)(9.8 m / s2  = __    )(12 m) cos 180°  5  = −4.70 × 10 4 J ≈ −47 kJ.  (Answer)  →

Caution:

→

(Answer) 

(d) What is the cab’s kinetic energy at the end  of the 12 m  fall? 

KEY IDEA The kinetic energy changes because of the net work done  on the cab, according to Eq. 7.2.9 (K f  = K i + W).  From Eq. 7.1.1, we write the initial kinetic  1  energy as K i  =  _  mv 2  i . We then write Eq. 7.2.9 as  2  Calculation:

1  K f = K i  + W =  _  mv 2  i  + W  2 

1  2  4  = _  2 (500 kg)(4.0 m/s)  + 1.18 × 10   J 

= 1.58 × 10 4  J ≈ 16 kJ. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Checkpoint 7.3.1 

We do work W 1  in pulling some boxy fruit up along a frictionless ramp by a rope  through a distance d. We then increase the angle of the ramp and again pull the boxy  fruit up the ramp through the same distance d. Is our work greater than, less than, or  the same as W 1 ? 

/

7.4  WORK  D ONE  BY  A  SP RING  F ORC E 

167

7.4  WORK DONE BY A SPRING FORCE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.4.1  Apply the relationship  (Hooke’s law)  between the 

to the final  position of the object or by using the 

force on an  object due to a spring, the stretch or com-  pression of the spring, and the spring constant of the 

known  generic result of that integration.  7.4.4  Calculate work by graphically integrating on a 

spring. 

graph of force versus position of the object. 

7.4.2  Identify  that a spring force is a variable  force. 

7.4.5  Apply the work–kinetic energy theorem to situa- 

7.4.3  Calculate  the work done on an object by a spring 

tions in which  an object is moved by a spring force. 

force by integrating the force from the initial  position 

Key  Ideas  →

●

The force 

F s  from a spring is  →

→

F s  = −kd 

●

(Hooke’s law), 

●

→

where 

A spring force is thus a variable  force: It varies with 

the displacement of the spring’s free  end. 

d  is the displacement of the spring’s free end 

If an object is attached to the spring’s free  end, the 

W s  done on the object by the  spring force when  x i  to a final  position x f  is  work 

from its position when  the spring is in its relaxed state 

k  is the spring  x axis 

(neither  compressed nor extended), and 

constant (a measure of the  spring’s stiffness). If  an 

the object is moved from an  initial  position 

1  2  _  W s  = _  kx −  1  kx 2 .  2  i  2  f 

lies along the spring, with  the origin at the location of the  spring’s free  end when  the spring is in  its relaxed state, 

If 

we  can write 

F x  = −kx 

x i  = 0 and  x f  = x , then  the equation  becomes  1  2  W s  = − _  kx  .  2 

(Hooke’s law). 

Work Done by a Spring  Force 

We next want to examine the work done on a particle-like object by a particular  type  of  variable force—namely, a  spring  force,  the  force  from  a spring.  Many  forces in nature have the same mathematical form as the spring  force. Thus,  by  examining this one force, you can gain an understanding of many others.  The  Spring  Force 

Figure 7.4.1a shows a spring in its relaxed state—that is, neither compressed nor  extended. One end is fixed, and a particle-like object—a block,  say—is attached  to  the other,  free end. If we stretch the spring  by pulling  the block  to the right  as in Fig. 7.4.1b, the spring pulls  on the block  toward the left. (Because a spring  force acts to restore the relaxed state, it is sometimes said to be a restoring force.)  If we compress the  spring by  pushing  the block  to  the  left as in  Fig. 7.4.1c, the  spring now pushes on the block  toward the right.  To a good approximation for many springs, the force F s  from a spring is pro-  portional to the displacement d  of the free end from its position  when the spring  is in the relaxed state. The spring force is given by 

x Fx

=0 =0

Block attached to spring x

0 (a )

→

→

→

→

F s  = −k d 

x Fx

positive negative

d Fs

(7.4.1) 

(Hooke’s law), 

0 (b )

which  is known  as Hooke’s law after Robert Hooke, an English scientist of  the  late 1600s. The minus sign in  Eq. 7.4.1 indicates that the direction of the spring 

x

d

(a) A spring in its relaxed state. The origin of an x axis has been placed  at the end of the spring that is attached to a block. (b)  The block is displaced by d ,  and the spring is stretched by a positive amount x. Note the restoring force F s  exerted  by the spring. (c) The spring is compressed by a negative amount x. Again, note the  restoring force. 

Fs

Figure  7.4.1 

x

x

Fx

negative positive

→

→

x

x

0 (c )

/

168

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

force is always opposite the direction of the displacement of the spring’s free end.  The constant k is called the spring constant (or force constant) and is a measure  of  the  stiffness of  the  spring.  The  larger k  is,  the  stiffer the  spring;  that  is, the  larger k is, the stronger the spring’s pull or push for a given displacement. The SI  unit for k is the newton per meter.  In Fig. 7.4.1 a n x axis has been placed parallel to the length of the spring, with  the origin (x = 0) at the position  of the free end when the spring is in its relaxed  state. For this common arrangement, we can write Eq. 7.4.1 as  F x   = −kx 

(Hooke’s law), 

(7.4.2) 

where  we  have  changed the  subscript.  If  x  is  positive  (the  spring  is  stretched  toward the right on the x axis), then F x   is negative (it is a pull toward the left). If  x is negative (the spring is compressed toward the left), then F x   is positive (it is  a push toward the right). Note that a spring force is a variable force because it is  a function  of x, the position  of the free end. Thus  F x   can be symbolized as F(x).  Also note that Hooke’s law is a linear relationship between F x  and x.  The Work Done  by a Spring  Force 

To find the work done by the spring force as the block in Fig. 7.4.1a moves, let us  make two simplifying assumptions about  the spring. (1) It is massless; that is, its  mass is negligible relative to the block’s mass. (2) It is an ideal spring; that is, it  obeys Hooke’s law exactly. Let us also assume that the contact between the block  and the floor is frictionless and that the block  is particle-like.  We give the block a rightward jerk to get it moving and then leave it alone. As  the block moves rightward, the spring force F x  does work on the block,  decreasing  the kinetic  energy and slowing  the block.  However, we cannot find  this  work  by  using Eq. 7.2.5 (W = Fd cos ϕ ) because there is no one value of F to plug into that  equation—the value of F increases as the block stretches the spring.  There is a neat way around  this  problem. (1) We break up  the block’s  dis-  placement into tiny segments that are so small that we can neglect the variation  in  F in each segment. (2) Then in  each segment, the force has (approximately)  a single value and  thus we can  use Eq.  7.2.5 to  find the  work in  that segment.  (3) Then we add  up the work results for  all the segments to get the total work.  Well, that is our intent, but we don’t really want to spend the next several days  adding up a great many results and, besides, they would be only approximations.  Instead,  let’s  make the  segments infinitesimal  so  that the  error  in  each work  result goes to zero. And  then let’s add  up  all the results by integration instead  of  by hand.  Through  the ease of calculus, we can do  all this  in  minutes instead  of days.  Let the block’s initial  position  be x i  and its later position  be x f. Then divide    the distance between those two  positions into many segments, e ach of tiny length  Δx. Label these segments, starting from  x i, as segments 1, 2, and  so  on.  As the    block  moves through  a segment, the spring  force hardly varies because the seg-  ment is so short  that  x hardly  varies. Thus,  we can approximate the force mag-  nitude  as being  constant within  the segment. Label these  magnitudes as F x1  in  segment 1, F x2 in segment 2, and so on.  With  the  force  now  constant  in  each  segment, we  can find  the  work  done  within  each segment by using Eq. 7.2.5. H ere ϕ = 180°, and so cos  ϕ = −1. Then  the work done is −F x1 Δx in segment 1, −F x 2 Δx in segment 2, and so on. The net  work W s  done by the spring, from x i  to x f , is the sum of all these works:  W s  = ∑ −F xj  Δx, 

(7.4.3) 

/

7.4  WORK  D ONE  BY  A  SP RING  F ORC E 

169

where j labels the segments. In the limit as Δx goes to zero, Eq. 7.4.3 becomes  x f 

W s  =  −F x dx    . 

(7.4.4) 

x i 

From Eq. 7.4.2, the force magnitude F x   is kx. Thus, substitution  leads to  x f 

x f 

i 

i 

W s  =  −kx dx = −k   x dx  x  x  x  1  1  = (− _  k)[ x  2 ] f  = (− _  k)( x 2 − x 2 ).  2 

x i 

2 

f 

i 

(7.4.5) 

Multiplied  out, this yields  1  2  1  _ kx 2  W s  =  _  kx −  2  f  2  i 

(work b y a spring force). 

(7.4.6) 

This  work  W s  done  by  the  spring  force can  have a  positive or  negative value,  depending  on  whether the net transfer of  energy is to  or  from the block  as the  block  moves from x i  to x f . Caution: The  final  position  x f  appears in  the second  term on the right side of Eq. 7.4.6. Therefore, Eq. 7.4.6 tells us:  Work W s  is positive if the block ends up closer to the relaxed position (x = 0) than  it was initially. It is negative if the block ends up farther away from x = 0. It is zero  if the block ends up at the same distance from x = 0. 

If x i  = 0 and if we call the final position x, then Eq. 7.4.6 becomes  1  2  W s  = − _  kx  2 

(work by a spring force). 

(7.4.7) 

The  Work Done  by an Applied  Force 

Now suppose that we displace the block along the x axis while continuing to apply a  force F a to it. During the displacement, our applied force does work W a  on the block  while  the  spring  force does  work  W s. By  Eq.  7.2.8, the  change ΔK in  the  kinetic    energy of the block due to these two energy transfers is  →

ΔK = K f − K i  = W a  + W s , 

(7.4.8) 

in which  K f is the kinetic energy at the end of the displacement and K i  is that at  the start of  the displacement. If the block  is stationary before and after the dis-  placement, then K f and K i  are both zero and Eq. 7.4.8 reduces to  W a  = −W s . 

(7.4.9) 

If a block that is attached to a spring is stationary before and after a displace-  ment, then the work done on it by the applied force displacing it is the negative  of the work done on it by the spring force. 

Caution: If the block is not stationary before and after the displacement, then this  statement is not true.  Checkpoint 7.4.1 

For three situations, the initial and final positions, respectively, along the x axis for the  block in Fig. 7. 4.1 are (a) −3 cm, 2 cm; (b) 2 cm, 3 cm; and (c) −2 cm, 2 cm. In each situ-  ation, is the work done by the spring force on the block positive, negative, or zero? 

/

170

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

Sample Problem 7.4.1

Work done  by a spring to change kinetic energy 

When  a spring  does  work  on  an  object,  we  cannot  find  the  work  by  simply  multiplying  the  spring  force  by  the  object’s displacement. The reason is that there is no one  value  for  the  force—it  changes. However, we  can  split  the displacement up into  an infinite number of tiny parts  and then approximate the force in each as being constant.  Integration sums the  work  done  in  all those  parts. Here  we use the generic result of the integration.  In  Fig.  7.4.2,  a  cumin  canister  of  mass  m = 0.40 kg  slides across a horizontal frictionless counter with speed v =  0.50 m/s. It then runs into and compresses a  spring of spring  constant  k = 750 N/m.  When  the  canister is  momentarily  stopped  by  the  spring,  by  what  distance  d  is  the  spring  compressed? 

The spring force does negative work, decreasing speed and kinetic energy.

v 

k

Frictionless

m

d

Stop Figure  7.4.2 

First touch

A canister moves toward a spring. 

Putting the first two of these ideas together,  we write the work–kinetic energy theorem for the canister  as  Calculations:

1  2  K f  − K i = − _  kd  .  2 

KEY IDEAS 1.  The work W s  done on the canister by the spring force  is  related  to  the  requested  distance  d  by  Eq.  7.4.7  1  2  ( W s  = − _  kx  ), with d replacing x.  2  2.  The  work  W s  is  also related to  the  kinetic  energy of  the canister by Eq. 7.2.8 (K f − K i = W ). 

Substituting  according to the third  key idea gives us this  expression:  1  1  2  0 −  _  mv 2 = − _  kd  .  2  2 

Simplifying,  solving  for  d,  and  substituting  known  data  then give us  ________ 

___ 

0.40 kg  m  = (0.50 m / s)  ________  d = v √ __  k  750 N / m  

3.  The  canister’s kinetic  energy has  an  initial  value  of  1  2  K  =  _  2 mv  and  a  value of  zero  when  the  canister is  momentarily at rest. 

√ 

= 1.2 × 10 −2  m = 1.2 cm. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

7.5  WORK DONE BY A GENERAL VARIABLE FORCE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.5.1  Giv en a variable  force as a function  of pos i- 

7.5.3  Convert a graph of acceleration versus position 

tion,  calculate  the  work done by it on an  object by  integrating  the function  from the  initial  to the  final 

to a graph of force versus position.  7.5.4  Apply the work–kinetic energy theorem to situa- 

position of the  object, in  one  or more dimens ions . 

tions where  an object is moved by a variable  force. 

7.5.2  Given  a graph of force versus position, calculate  the work done by graphically  integrating from the  initial  position to the final  position of the object. 

Key Ideas  →

●

When the force 

F  on a particle-like  object depends  F  →

on the position of the object, the work done by 

y but not on x or z , and component F z  may  z but not on x or y , then  the work is 

depend on  depend on 

on the object while  the object moves from an initial 

r i  with coordinates (x i, y    i, z    i)    to a final  posi-  tion  r f with  coordinates  (x  , y  , z  )  must be found by    f  f  f  integrating  the force. If we assume that component F x   may depend on  x but not on  y or z, component F y   may 

x f 

y f 

z f 

x i 

y i 

z i 

W =  F x  dx +  F y  dy +   F z  dz. 

position 

→

●

F  has only an  x component, then this reduces to 

If 

x f 

W =  F(x ) dx .  x i 

/

171

7.5  WORK  D ONE  BY  A  GENERAL   V ARIABL E  F ORC E 

Work is equal to the area under the curve.

Work Done by a General Variable Force  One-Dimensional  Analysis 

Let us return to the situation of Fig. 7.2.1 but now consider the force to be in the  positive direction of the x axis and the force magnitude to vary with position  x.  Thus,  as the bead (particle) moves, the magnitude F(x) of the force doing  work  on it changes. Only the magnitude of this variable force changes, not its direction,  and the magnitude at any position does not change with time.  Figure  7.5.1a  shows  a  plot  of  such  a  one-dimensional  variable force.  We  want an expression for the work done on the particle by this force as the particle  moves from an initial point x i to a final point x f . However, we cannot use Eq. 7.2.5  (W = Fd  cos  ϕ ) because it applies only  for  a constant force  F . Here, again, we  shall use calculus. We divide the area under the curve of Fig. 7.5.1a into a number  of narrow strips of width Δx (Fig. 7.5.1b). We choose Δx small enough to permit  us to take the force F(x) as being reasonably constant over that interval. We let  F j,avg be the average v alue of F (x) within the jth interval. Then in Fig. 7.5.1b, F j,avg  is the height of the jth strip.  With F j,avg considered constant, the increment (small amount) of work ΔW j  done  by  the force in  the jth  interval is  now approximately given by  Eq. 7.2.5  and is 

( )

F x

(a)

0

xi

xf

x

→

ΔW j  = F j,avg Δx. 

(7.5.1) 

We can approximate that area with the area of these strips. ( )

F x

Δ Wj F j,

(b )

0

xi

In Fig. 7.5.1b, ΔW j  is then equal to the area of the jth rectangular, s haded strip.  To approximate the total work  W done by the force as the particle moves  from x i  to x f, we add the areas of all the strips between x    i  and x f  in  Fig. 7.5.1b:  W = ∑Δ W j  = ∑F j,avg Δx. 

W =  lim  ∑F j,avg Δx.  Δx→0 

F

x

( x)

0

(c )

xi

Δx

xf

x

For the best, take the limit of strip widths going to zero.

(7.5.3)  F

This limit is exactly what we mean by the integral of the function F(x) between  the limits x i  and x f. Thus, Eq. 7.5.3 becomes    x f 

xf

We can do better with more, narrower strips.

(7.5.2) 

Equation  7.5.2 is an approximation  because the broken  “skyline” formed by the  tops  of  the  rectangular strips  in  Fig.  7.5.1b  only  approximates  the  actual  curve  of F(x).  We can make the approximation better by reducing the strip width Δx and  using more strips (Fig. 7.5.1c). In the limit, we let the strip width approach zero;  the number of strips then becomes infinitely large and we have, a s an exact result, 

Δx

avg

( x)

W

W =  F(x) dx  x i 

(work: variable force). 

(7.5.4) 

If we know  the function  F(x), we can substitute  it into  Eq.  7.5.4, introduce  the proper limits of integration, carry out the integration, and thus find the work.  (Appendix  E  contains  a  list  of  common  integrals.) Geometrically, the  work  is  equal to the area between the F(x) curve and the x axis, between the limits x i and  x f (shaded in Fig. 7.5.1d ).  Three-Dimensional  Analysis 

Consider now a particle that is acted on by a three-dimensional force  ˆ  ˆ  F  = F xˆ  i + F    y j + F    zk    , 

→

(7.5.5) 

in  which  the  components  F x, F  F z   can depend  on  the  position  of  the par-    y , and    ticle;  that  is,  they  can  be  functions  of  that  position.  However, we  make  three 

(d )

0

xi

xf

x

(a)  A one-dimensional  force F ( x)  plotted against the dis-  placement x of a particle on which it  acts. The particle moves from x i  to x f .  (b) Same as (a) but with the area  under the curve divided into narrow  strips. (c) Same as (b) but with the  area divided into narrower strips.  (d) The limiting case. The work done  by the force is given by Eq. 7.5.4 and  is represented by the shaded area  between the curve and the x axis and  between x i  and x f .  Figure  7.5.1  →

/

172

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

simplifications: F x   may depend on x but not on y or z, F y  may depend on y but not  on  x or z, and F z   may depend on  z but  not on  x or y. Now let the particle move  through an incremental displacement  ˆ .  d r  = dx ˆ  i + dy ˆ  j + dz k 

(7.5.6) 

→

→

The increment of work dW done on the particle by F  during the displacement d r  is, by Eq. 7.2.6, 

→

dW = F  ⋅ d r  = F x    dx + F y dy + F    z dz.    →

→

(7.5.7) 

→

The work W done by F  while the particle moves from an initial position r i  having  coordinates (x i, y    i, z    i) to a final position r    f  having coordinates (x f  , y f , z    f) is then    r f 

x f 

y f 

z f 

i 

i 

i 

i 

W =  dW =   F x   dx +  F y  dy +  F z  dz .  r  x  y  z 

(7.5.8) 

→

If F  has only an x component, then the y and z terms in Eq. 7.5.8 are zero and the  equation reduces to Eq. 7.5.4.  Work–Kinetic  Energy  Theorem with a Variable  Force 

Equation  7.5.4 gives the  work  done  by a variable force  on  a particle in  a one-  dimensional  situation.  Let  us  now  make  certain that  the  work  is  equal  to  the  change in kinetic energy, as the work–kinetic energy theorem states.  Consider a particle of mass m, moving along an x axis and acted on  by a  net force F(x) that  is directed along that axis. The work  done  on the particle  by this  force as the  particle moves from position  x i  to position  x f  is  given by  Eq. 7.5.4 as  x f 

x f 

x i 

x i 

W =  F(x ) dx =   ma dx , 

(7.5.9) 

in which we use Newton’s second law to replace F(x) with ma. We can write the  quantity ma dx in Eq. 7.5.9 as  dv dx.  (7.5.10)  ma dx = m ___  dt  From the chain rule of calculus, we have  dv  = ___  dv ___  dx =  ___  dv v,  ___ 

(7.5.11) 

dv v dx = mv dv.  ma dx = m ___  dx 

(7.5.12) 

dt 

dx  dt 

dx 

and Eq. 7.5.10 becomes 

Substituting  Eq. 7.5.12 into Eq. 7.5.9 yields  v f 

v f 

W =  mv dv = m  v dv  v i 

v i 

1  1  _  2  = _  mv 2  f  −  2 mv i .  2 

(7.5.13) 

Note that  when we change the variable from x to v we are required to  express  the limits on the integral in terms of the new variable. Note also that because the  mass m is a constant, we are able to move it outside the integral.  Recognizing the  terms  on  the  right  side  of  Eq.  7.5.13 as  kinetic  energies  allows us to write this equation as  W = K f  − K i  = ΔK,  which is the work–kinetic energy theorem. 

/

173

7.5  WORK  D ONE  BY  A  GENERAL   V ARIABL E  F ORC E 

Checkpoint 7.5.1 

A particle moves along an x axis from x = 0 to x = 2.0 m as a force F  = (3 x 2  N) ˆ  i acts  on it. How much work does the force do on the particle in that displacement?  →

Sample Problem 7.5.1

Epidural 

 ecruoS ecneicS/izzaraM .P rD

(a) 12

)N( F

In  a procedure  commonly used  in  childbirth,  a  surgeon  or  an anesthetist must  run  a needle through  the skin  on  the patient’s back (Fig. 7.5.2a), then through  various tis-  sue  layers and  into  a narrow  region  called  the  epidural  space that lies within the spinal canal surrounding the spi-  nal cord.  The needle is intended  to deliver an anesthetic  fluid.  This  tricky  procedure  requires  much  practice  so  that  the doctor  knows  when  the needle  has reached the  epidural  space and  not  overshot it,  a mistake that  could  result  in serious complications.  In the past, that  practice  has  been done  with  actual patients. Now, however, new  doctors can practice on  virtual-reality simulations before  injecting their first patient, allowing a doctor to learn how  the force varies with a needle’s penetration.  Figure 7.5.2b is a graph of the force magnitude F ver-  sus displacement x of the needle tip  in a typical epidural  procedure.  (The  line  segments have  been  straightened  somewhat from the original data.) As x increases from 0,  the  skin  resists the  needle, but  at x  = 8.0 mm the  force  is  finally  great enough  to  pierce  the  skin,  and  then  the  required  force  decreases. Similarly,  the  needle  finally  pierces the  interspinous  ligament at  x = 18 mm and  the  relatively tough  ligamentum flavum  at x  =  30 mm. The  needle  then  enters  the  epidural  space  (where  it  is  to  deliver the anesthetic fluid),  and the force drops sharply.  A  new  doctor  must  learn  this  pattern  of  force  versus  displacement to  recognize when  to  stop  pushing  on  the  needle. Thus,  this  is the  pattern to  be programmed into  a  virtual-reality simulation  of  epidural  procedure.  How  much work W is done by the force exerted on the needle  to get the needle to the epidural space at x = 30 mm? 

6

0

10

20 x

12

30

(mm) (b) J

F

C

(1) We can calculate the work W done by a variable force  F(x) by integrating the force versus position  x. Equation  7.5.4 tells us that 

)N( F

KEY IDEAS

E

6

K A

G B

H

I

D

x f 

W =  F(x) dx .  x i 

We want the work done by the force during the displace-  ment from x i  = 0 to x f = 0.030 m.  (2) We can evaluate the integral by finding the area under  the curve on the graph of Fig 7.5.2b. 

0

10

20 x

30

(mm) ( c)

(a) Epidural injection. (b) The force magnitude F  versus displacement x of the needle. (c) Splitting up the graph  to find the area under the curve.  Figure  7.5.2 

/

174

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

Because our graph consists of straight-line  segments, we  can  find  the  area  by  splitting  the  region  below  the  curve into  rectangular and  triangular regions,  as shown in Fig. 7.5.2c. For example, the area in triangular  region A is  Calculations:

Once we’ve calculated the areas for all the labeled regions  in the figure, we find  that the total work is  W = (sum of the areas of regions A through K)  = 0.048 + 0.024 + 0.012 + 0.036 + 0.009 + 0.001 + 0.016  + 0.048 + 0.016 + 0.004 + 0.024 

1  area A = _  (0.0080 m )(12 N) = 0.048 N ⋅ m = 0.048 J.  2 

= 0.238 J. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

7.6  POWER  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

7.6.1  Apply the  relationship between average power, 

7.6.3  Determine the instantaneous power by taking 

the  work done by a force, and  the time interval in 

a dot product of the force vector and an object’s 

which  that work is done. 

velocity vector, in  magnitude-angle and unit-vector 

7.6.2  Given  the work as a function  of time, find the 

notations. 

instantaneous power. 

Key Ideas  ●

The power due to a force is the  rate at which  that 

force does work on an object.  ●

If the force does work 

●

Instantaneous power is the instantaneous rate of 

doing work: 

____ .  P =  dW  dt 

W  during a time interval  Δt, 

the average power due to the force over that time  interval is 

F  at an angle  ϕ

→

●

For a force 

to the direction  of travel 

of the instantaneous velocity 

W .  P avg = ___  Δt 

v , the instantaneous 

→

power is 

P = Fv cos ϕ = F  ⋅  v .  →

→

Power 

The time rate at which work is done by a force is said to be the power due to the  force. If a force does an amount of work W in an amount of time Δt, the average  power due to the force during that time interval is  W  P avg = ___  Δt 

(average power). 

(7.6.1) 

The instantaneous power P is the instantaneous time rate of doing  work,  which  we can write as  dW  P = ____  dt 

(instantaneous power). 

(7.6.2) 

Suppose  we know  the work W(t) done  by a force as a function  of time. Then to  get the instantaneous  power P at, say, time t = 3.0 s during  the work,  we would  first take the time derivative of W(t) and then evaluate the result for t = 3.0 s. 

/

7.6  P OWER 

175

The SI unit of power is the joule per second. This unit is used so  often that it has a special name, the watt (W), after James Watt, who  greatly improved the rate at which steam engines could  do  work. In  the British  system, the unit  of  power  is  the foot-pound  per second.  Often the horsepower is used.  These are related by  (7.6.3) 

1 horsepower = 1 hp = 550 ft ⋅ lb / s = 746 W. 

(7.6.4) 

 sserP amuZ/nialgeR

and 

1 watt = 1 W = 1 J / s = 0.738 ft ⋅ lb / s 

Inspection of Eq. 7.6.1 shows that work can be expressed as power  multiplied by time, as in the common unit kilowatt-hour. Thus,  1 kilowatt-hour = 1 kW ⋅ h = (10 3  W )(3600 s) 

The power due to the truck’s applied  force on the trailing load is the rate at which that  (7.6.5)  force does work on the load.  Figure  7.6.1 

= 3.60 × 10 6  J = 3.60 MJ. 

Perhaps because they appear on  our utility  bills, the watt and the kilowatt-hour  have become identified as electrical units. They can be used equally well as units  for  other examples of  power  and energy. Thus,  if you  pick  up  a book  from  the  floor and put it on a tabletop, you are free to report the work that you have done  as, say, 4 × 10 −6 kW · h (or more conveniently as 4 mW · h).  We can  also express the  rate at which  a force  does  work  on  a particle (or  particle-like object) in terms of that force and the particle’s velocity. For a particle  that is moving along a straight line (say, an x axis) and is acted on  by a constant  force F  directed at some angle ϕ to that line, Eq. 7.6.2 becomes  →

F cos ϕ dx  dW  = __________  dx  P = ___  = F cos ϕ (___   dt ),   dt  dt  P = Fv cos ϕ . 

or 

(7.6.6)  →

Reorganizing the right  side of  Eq.  7.6.6 as the  dot  product  F  ⋅  v , we may also  write the equation as  →

P = F  ⋅  v  →

→

(7.6.7) 

(instantaneous p ower).  →

For example, the truck in Fig. 7.6.1 e xerts a force F  on the trailing load, which  has velocity  v  at some instant. The instantaneous power due  to F  is the rate at  which F  does work on the load at that instant and is given by Eqs. 7.6.6 and 7.6.7.  Saying that this power is “the power of the truck” is often acceptable, but keep in  mind what is meant: Power is the rate at which the applied force does work.  →

→

→

Checkpoint 7.6.1 

A block moves with uniform circular motion because a cord tied to the block is  anchored at the center of a circle. Is the power due to the force on the block from the  cord positive, negative, or zero? 

Sample Problem 7.6.1

Power,  force,  and  velocity 

Here we calculate an instantaneous work—that is, the rate  at which work is being done at any given instant rather than  averaged over a time interval. Figure 7.6.2 shows constant  forces  F 1  and  F 2  acting  on  a box  as the  box slides  right-  ward across a frictionless floor. Force F 1  is horizontal, with  →

→

→

→

magnitude 2.0 N;  force F 2  is angled upward  by 60° to the  floor  and  has magnitude 4.0 N. The  speed v of  the  box  at  a certain instant is 3.0 m/s. What is the power due to each  force acting on the box at that instant, and what is the net  power? Is the net power changing at that instant? 

/

176

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

KEY IDEA

→

We want an instantaneous power, not  an average power  over  a  time  period.  Also,  we  know  the  box’s  velocity  (rather than the work done on it). 

Negative power. (This force is removing energy.) Frictionless

60°

F1

→

→

P 2  = F 2 v cos  ϕ2 = (4.0 N)(3.0 m/s) cos 60°    (Answer)  →

This  positive  result  tells  us  that  force  F 2  is  transferring  energy to the box at the rate of 6.0 J/s.  The  net  power  is  the  sum  of  the  individual  powers  (complete with their algebraic signs): 

v 

P net = P 1  + P 2  

→

Two forces F 1  and F 2  act on a box that slides  rightward across a frictionless floor. The velocity of the box  is  v .  Figure  7.6.2 

= −6.0 W + 6.0 W = 0, 

→

We use Eq. 7.6.6 for each force. For  force F 1 , at angle ϕ 1 = 180° to velocity v , we have  Calculation: →

→

= 6.0 W. 

Positive power. (This force is supplying energy.)

F2

This  negative result  tells  us  that  force  F 1  is  transferring  energy from the box at the rate of 6.0 J/s.  For force F 2 , at angle ϕ2 = 60° to velocity v , we have 

→

(Answer) 

which tells us that the net rate of transfer of energy to or  _ mv 2 )  from the box is zero. Thus, the kinetic energy (K =  1  2  of the box is not changing, and so the speed of the box will  remain at 3.0 m/s. With  neither the forces F 1  and  F 2  nor  the velocity v  changing, we see from Eq. 7.6.7 that P 1  and  P 2  are constant and thus so is P net .  →

P 1  = F 1  v cos ϕ 1 = (2.0 N)(3.0 m/s) cos 180° 

→

→

= −6.0 W. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Review & Summary The  kinetic energy  K  associated  with the  motion of a particle of mass m and speed v, where v is well below  the speed of light, is  Kinetic  Energy 

1  2  K = _  (kinetic energy).  2 mv 

Work W is energy transferred to or from an object via  a  force  acting on  the object. Energy  transferred  to the object  is positive work, and from the object, negative work.  The work done on a  particle by a constant force F  during displacement d  is  →

W = Fd cos  ϕ = F  ⋅  d  (work, constant force),  →

→

→

→

W g  = mgd cos  ϕ, 

(7.1.1) 

Work 

Work  Done  by  a Constant  Force 

The  work W g  done by the gravitational force F g  on a particle-like object of mass  m as the object moves through a displacement d  is given by  Work  Done  by  the  Gravitational  Force 

→

(7.2.5, 7.2.6) 

in  which  ϕ is  the constant  angle  between  the directions  of  F  and  d .  Only  the  component of  F  that is  along  the  displace-  ment d  can do work on the object. When two or more forces act  on an object, their net work is  the sum of the individual works  done by the forces,  which is  also equal to the work that would  be done on the object by the net force F net  of those forces. 

→

The  work  W a  done by  an  applied force as  a  particle-like  object is  either lifted or  lowered is  related to the work  W g  done by  the  gravitational force  and  the  change ΔK  in  the  object’s kinetic  energy by  Work  Done  in  Lifting  and  Lowering  an Object 

ΔK = K f  − K i  = W a  + W g . 

→

→

(7.3.1) 

in which ϕ is the angle between F g  and d .  →

(7.3.4) 

→

→

→

For a particle, a change ΔK in  the kinetic energy equals the net work W done on the particle:  Work and Kinetic Energy 

ΔK = K f  − K i  = W  (work–kinetic energy theorem), 

(7.2.8) 

in which K i  is the initial kinetic energy of the particle and K f  is the  kinetic energy  after  the work is  done. Equation 7.2.8 rearranged  gives us  K f  = K i  + W. 

(7.2.9) 

If K f  = K i , then Eq. 7.3.4 reduces to  W a  = −W g , 

(7.3.5) 

which tells us that the applied force transfers as much energy to  the object as the gravitational force transfers from it.  Spring Force 

The force F s  from a spring is  →

→

→

F s  = −k d  (Hooke’s law), 

(7.4.1) 

where d is the displacement of the spring’s free end from its posi-  tion when the spring is in its relaxed state (neither compressed  nor extended), and k  is  the spring  constant (a  measure of  the  spring’s  stiffness).  If  an  x  axis  lies  along  the  spring,  with  the  →

/

177

QU EST IONS 

origin at the location of the spring’s free end when the spring is  in its relaxed state, Eq. 7.4.1 can be written as  F x  = −kx  (Hooke’s law). 

may depend on y but not on x or z, and component F z  may depend  on z but not on x or y, then the work is 

(7.4.2) 

A  spring  force  is  thus  a  variable  force:  It  varies  with  the  displacement of the spring’s free end.  If an  object is  attached  to the spring’s free end, the work W s  done on the object by the  spring force when the object is moved from an initial position x i  to a final position x f  is 

x f 

y f 

z f 

x i 

y i 

z i 

W =  F x dx +  F y dy +  F z  dz .   →

If F  has only an x component, then Eq. 7.5.8 reduces to  x f 

W =   F(x) dx .  

Work  Done  by  a  Spring  Force 

1  2  _  1  2  W s  = _  2 kx i  − 2  kx f . 

(7.4.6) 

If x i  = 0 and x f  = x, then Eq. 7.4.6 becomes  1  W s  = − _  k x 2 .  2 

(7.4.7) 

When the force F  on a par-  ticle-like object depends on the position of the object, the work done  by F  on the object while the object moves from an initial position  r i  with coordinates (x i , y i , z i ) to a final position r f  with coordinates  (x f , y f , z f ) must be found by integrating the force. If we assume that  component F x  may depend on x but not on y or z, component F y  →

Work Done by a Variable Force  →

(7.5.8) 

(7.5.4) 

x i 

The power due to a force is the rate at which that force  does work on an object. If the force does  work W during a time  interval Δt, the average power due to the force over that time inter-  val is  W .  P avg  = ___  (7.6.1)  Δt  Power 

Instantaneous power is the instantaneous rate of doing work:  dW .  P = ___  (7.6.2)  dt  For  a  force  F  at  an  angle  ϕ to  the  direction of  travel  of  the  instantaneous velocity v , the instantaneous power is  →

→

P = Fv cos  ϕ = F  ⋅  v .  →

(7.6.6, 7.6.7) 

→

Questions Rank the following velocities according to the kinetic energy  a particle will have with each velocity, greatest first: (a)  v  = 4 ˆ  i +  3 ˆ  j, (b)  v  = −4 ˆ  i + 3 ˆ  j, (c)  v  = −3 ˆ  i + 4 ˆ  j, (d)  v  = 3 ˆ  i − 4 ˆ  j, (e)  v  = 5 ˆ  i,  and (f) v = 5 m/s at 30° to the horizontal.  1 

y

→

→

→

Figure 7.1a shows  two horizontal forces that act on a block  that is sliding to the right across a frictionless floor. Figure 7.1b  shows three plots of the block’s kinetic energy K versus time t.  (a ) Which of the plots best  corresponds  to the following three  situations: (a)  F 1  = F 2 , (b)  F 1  >  F 2 , (c)  F 1   k B ). The spring force of  which spring does more work if the springs are compressed (a) the  same distance and (b) by the same applied force?  9 

F2 F1 Fx

x

1 2 3 4 5 6 7 8

(m)

–F1

A glob of slime is launched or dropped from the edge of a  cliff. Which of the graphs in Fig. 7.7 could possibly show how the  kinetic energy of the glob changes during its flight?  10 

–F2

Figure  7.4 

Question 6.  K

K

K

K t

In Fig. 7.5, a greased pig has a choice of three frictionless slides  along which to slide to the ground. Rank the slides  according to  how much work the gravitational force does on the pig during the  descent, greatest first.  7 

t

t

(a ) K

(d )

K

t

K

t

(f) Figure  7.7 

(b )

(c )

K

(e )

(a )

t

(b )

t

t

(g )

(h )

Question 10. 

(c )

In  three  situations, a  single  force  acts  on  a  moving  par-  ticle.  Here  are  the  velocities  (at  that instant)  and  the  forces:  (1)  v  = (−4 ˆ  i) m / s, F  = (6 ˆ  i − 20 ˆ  j) N; (2)  v  = (2 ˆ  i − 3 ˆ  j) m / s, F  =  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  (−2 j + 7 k) N; (3)  v  = (−3 i +  j)  m/s, F  = (2 i  + 6 ˆ  j)  N. Rank the  situations according to the rate at which  energy  is  being trans-  ferred,  greatest  transfer  to  the  particle  ranked  first,  greatest  transfer from the particle ranked last.  11 

Figure  7.5 

Question 7. 

→

→

→

Figure 7.6a shows  four situations in which  a horizontal force  acts  on the same  block, which  is initially at rest. The  force mag-  nitudes are  F 2  = F 4  = 2F 1  = 2F 3 . The  horizontal component v x  of  the block’s  velocity is  shown  in Fig. 7.6b  for the  four situations.  (a) Which plot in Fig. 7.6b best corresponds to which force in Fig.  7.6a?  (b)  Which plot in Fig. 7.6c  (for  kinetic energy  K  versus  time t) best corresponds to which plot in Fig. 7.6b?  8 

F1

F2

F3

F4

→

→

→

Figure 7.8 shows three arrangements of a block attached to  identical springs  that are  in their relaxed state when the block  is  centered  as  shown.  Rank  the  arrangements  according  to  the magnitude of the net force on the block, largest first, when the  block is  displaced by distance d (a)  to the right and (b)  to the  left. Rank  the  arrangements  according  to  the  work  done  on  the block by the spring forces, greatest first, when the block is  displaced by d (c) to the right and (d) to the left.  12 

x

(a) v x

K A B

(1)

E F t

t

(2) Figure  7.8 

(3)

Question 12. 

G

C

H

D

(b )

(c ) Figure  7.6 

Question 8. 

/

P ROBL EMS 

179

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 7.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying Circus of Physics

Kinetic Energy 

Module 7.2 

A proton (mass m = 1.67 × 10 −27  kg) is being acceler-  ated along a straight line at 3.6 × 10 15  m/s 2  in a machine. If the  proton has  an initial speed  of 2.4 × 10 7  m/s and travels  3.5 cm,  what  then  is  (a)  its  speed  and  (b)  the  increase  in  its  kinetic  energy?  1  E 

SSM 

E  If  a  Saturn V  rocket  with an  Apollo spacecraft  attached  had  a  combined mass  of  2.9 × 10 5  kg  and  reached  a  speed  of  11.2 km/s, how much kinetic energy would it then have? 

2 

E  FCP  On August 10, 1972, a large  meteorite skipped across  the  atmosphere  above  the western  United States  and western  Canada, much like a stone skipping across  water. The accompa-  nying fireball was so bright that it could be seen in the daytime  sky and was brighter than the usual meteorite trail. The meteor-  ite’s mass was about 4 × 10 6  kg; its speed was about 15 km/s. Had  it  entered the  atmosphere vertically,  it  would have hit Earth’s  surface with about the same speed. (a) Calculate the meteorite’s  loss of kinetic energy (in joules) that would have been associated  with the vertical impact. (b) Express  the energy as a multiple of  the explosive energy of 1 megaton of TNT, which is 4.2 × 10 15  J.  (c)  The  energy  associated  with  the  atomic  bomb  explosion  over Hiroshima was equivalent to 13 kilotons of TNT.  To how  many Hiroshima bombs would the meteorite impact have been  equivalent?  E  FCP  An explosion at ground level  leaves a  crater  with a  diameter  that  is  proportional to  the  energy  of  the  explosion  1  raised to the _  3  power; an explosion of 1 megaton of TNT leaves  a  crater  with a  1 km  diameter. Below  Lake  Huron  in  Michi-  gan there appears to be an ancient impact crater with a 50 km  diameter.  What was  the  kinetic  energy  associated  with  that  impact, in  terms  of  (a)  megatons of  TNT  (1  megaton yields  4.2 × 10 15  J)  and (b) Hiroshima bomb equivalents (13  kilotons  of TNT each)? (Ancient meteorite or comet impacts may have  significantly altered  the climate, killing off the  dinosaurs  and  other life-forms.) 

4 

M  A father racing his son  has half the kinetic energy of the  son, who has half the mass of the father. The father speeds up by  1.0 m/s and then has the same kinetic energy as the son. What  are the original speeds of (a) the father and (b) the son? 

5 

→

→

→

t2

5 x

10 (m)

Figure  7.9 

Problem 6. 

t3

15

20

=0

0.5 s

0

1.0 s

1.5 s

0.2 x

0.4 (m)

Figure  7.10 

2.0 s 0.6

0.8

Problem 7. 

E  A ice block floating in a river  is  pushed through a displace-  ment d  =  (15  m) ˆ  i  −  (12  m) ˆ  j  along a  straight  embankment by  rushing water, which exerts a force F  = (210 N ) ˆ  i − (150 N ) ˆ  j on  the block. How much work does the force do on the block during  the displacement? 

8 

→

→

The only force acting on a 2.0 kg canister that is moving in  an xy plane has a magnitude of 5.0 N. The canister initially has a  velocity of 4.0 m/s in the positive x direction and some time later  has a velocity of 6.0 m/s in the positive y direction. How much  work is done on the canister by the 5.0 N force during this time?  9  E 

E  A coin  slides  over  a  frictionless  plane and  across  an xy  coordinate system from the origin to a point with xy coordinates  (3.0 m, 4.0 m)  while a  constant force  acts  on it. The  force has  magnitude 2.0 N and is  directed at a counterclockwise angle of  100° from the positive direction of the x axis. How much work is  done by the force on the coin during the displacement? 

10 

M  A  12.0 N  force  with a  fixed orientation does work  on  a particle  as the particle moves through the three-dimensional  ˆ  displacement d  = (2.00 ˆ  i − 4.00 ˆ  j + 3.00 k) m. What is  the angle  between the force and the displacement if the change in the par-  ticle’s kinetic energy is (a) +30.0 J and (b) −30.0 J? 

11 

→

A can of bolts and nuts is  pushed 2.00 m along an x axis  by a broom along the greasy  (frictionless)  floor of a car  repair  shop  in a  version  of shuffleboard. Figure 7.11  gives  the work  W done on the can by the con-  stant horizontal force from the  broom,  versus  the  can’s  posi-  W tion x. The scale of the figure’s  vertical axis is set by W s  = 6.0 J.  (a)  What  is  the  magnitude of  that force?  (b)  If  the  can  had  an  initial  kinetic  energy  of  3.00 J,  moving  in  the  positive  direction of the x  axis, what is  0 1 2 x (m) its kinetic energy at the end of  the 2.00 m?  Figure  7.11  Problem 12.  12  M 

s

W

0

t1

t

)J(

A bead with mass 1.8 × 10 −2  kg is moving along a wire in  the positive direction of an x axis. Beginning at time t = 0, when  the bead passes  through x = 0  with speed  12 m/s, a  constant  force acts on the bead. Figure 7.9 indicates the bead’s position  at these  four times: t 0  = 0, t 1  = 1.0 s,  t 2  = 2.0 s,  and  t 3  = 3.0 s.  The  bead momentarily stops  at t = 3.0 s. What  is  the kinetic  energy of the bead at t = 10 s?  6  M 

Work and Kinetic Energy 

A 3.0 kg body is at rest on a frictionless horizontal air track  when a constant horizontal force F  acting in the positive direction  of an x axis along the track is applied to the body. A stroboscopic  graph of the position of the body as it slides to the right is shown  in Fig. 7.10. The  force F  is applied to the body at t = 0, and the  graph  records  the position of the body at 0.50 s  intervals. How  much work is done on the body by the applied force  F  between  t = 0 and t = 2.0 s?  7  E 

3 

t0

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

/

180

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

M  A luge and its rider, with a  total mass  of 85 kg, emerge  from  a  downhill  track  onto  a  horizontal  straight  track  with  an initial speed of 37 m/s. If a force slows them to a stop at a con-  stant rate of 2.0 m/s 2 , (a)  what magnitude F is  required for the  force,  (b)  what  distance  d  do  they  travel  while  slowing,  and  (c) what work W is done on them by the force? What are (d) F,  (e) d, and (f) W if they, instead, slow at 4.0 m/s 2 ? 

13 

M  GO  An 8.0 kg  object is  moving in the positive direc-  tion of an x axis. When it passes through x = 0, a constant force  directed along the axis begins  K (J ) to act on it. Figure 7.14 gives  its  kinetic  energy  K  versus  K0 position  x  as  it  moves  from  x = 0  to  x  = 5.0 m;  K 0  =  30.0  J.  The  force  continues  to  act.  What  is  v  when  the  x (m) 0 5 object  moves  back  through  Figure  7.14  Problem 16.  x = −3.0 m? 

16 

r

→

d

GO  Figure  7.13  shows  M  F2 three  forces  applied to a  trunk  that moves  leftward  by  3.00 m  θ over  a  frictionless  floor.  The  F1 force  magnitudes  are  F 1  =  5.00 N,  F 2  = 9.00 N,  and  F 3  =  3.00 N, and the indicated angle  F3 is  θ = 60.0°.  During  the  dis-  placement, (a)  what  is  the  net  Figure  7.13  Problem 15.  work  done on the trunk by the  three  forces  and  (b)  does  the  kinetic energy of the trunk increase or decrease?  15 

M  GO  In  Fig. 7.15, a block of  F ice slides down a frictionless ramp  at angle θ = 50° while an ice worker  pulls on the block (via a rope) with  a force F r  that has a magnitude of  50 N and  is  directed up  the ramp.  As  the  block  slides  through  dis-  tance d  =  0.50 m  along the  ramp,  θ its kinetic energy increases by 80 J.  Figure 7.15  Problem 19.  How  much  greater  would  its  kinetic  energy  have  been  if  the  rope had not been attached to the block? 

19 

A block is sent up a friction-  less  ramp  along  which  an  x  axis  extends upward. Figure 7.16 gives  the kinetic energy of the block as  a function of position x; the scale  of the  figure’s  vertical  axis  is  set  by  K s  = 40.0 J.  If  the  block’s  ini-  tial speed is  4.00 m/s, what is  the  normal force on the block?  20  M 

Ks

)J ( K

y M  GO  Figure 7.12 shows an  overhead view of three horizon-  F3 tal forces acting on a cargo can-  ister that was initially stationary  θ3 F1 but now moves across a friction-  x less floor. The force magnitudes  are  F 1  = 3.00 N,  F 2  = 4.00 N,  θ2 and  F 3  = 10.0 N,  and  the  indi-  F2 cated  angles  are  θ2  = 50.0°  and  Figure  7.12  Problem 14.  θ3 = 35.0°. What is the net work  done  on  the  canister  by  the  three forces during the first 4.00 m of displacement? 

14 

the car’s weight) by 5.0 cm, how much work did her force do on  the car? 

0 x

Figure  7.16 

1 (m)

2

Problem 20. 

SSM  A cord is used to vertically lower  an initially station-  ary block of mass  M at a  constant downward acceleration of g/4.  When the block has fallen a distance d, find (a)  the work done by  the cord’s force on the block, (b) the work done by the gravitational  force on the block, (c)  the kinetic energy of the block, and (d) the  speed of the block. 

21  M 

M  A  cave  rescue  team  lifts  an  injured  spelunker  directly  upward and out of a sinkhole by means of a motor-driven cable.  The lift is performed in three stages, each requiring a vertical dis-  tance of 10.0 m: (a) the initially stationary spelunker is accelerated  to a speed of 5.00 m/s; (b) he is then lifted at the constant speed of  5.00 m/s;  (c)  finally he is  decelerated  to zero  speed. How  much  work is done on the 80.0 kg rescuee by the force lifting him during  each stage? 

22 

M  In  Fig.  7.17,  a  constant  force  F a  of  magnitude  82.0 N  is  applied  to  a  3.00 kg  shoe  box  at  angle ϕ = 53.0°, causing the box to  move up a frictionless ramp at con-  stant  speed.  How  much  work  is  done on the  box by  F a  when the  box  has  moved  through  vertical  distance h = 0.150 m? 

23 

→

ϕ

Fa

→

Module 7.3 

Work Done by the Gravitational Force 

A helicopter lifts a  72 kg astronaut 15 m vertically  from  the ocean  by  means  of a  cable. The  acceleration  of  the  astronaut is g/10. How much work is  done on the astronaut by  (a) the force from the helicopter and (b) the gravitational force  on  her?  Just  before  she  reaches  the  helicopter,  what are  her  (c) kinetic energy and (d) speed?  17 

E 

SSM 

(a) In  1975 the roof of Montreal’s Velodrome,  with a weight of 360 kN, was lifted by 10 cm so that it could be  centered. How much work was done on the roof by the forces  making the lift? (b)  In  1960 a  Tampa, Florida, mother report-  edly raised one end of a car that had fallen onto her son when a  1  jack failed. If her panic lift effectively raised 4000 N (about _  of  4  18  E 

BIO  FCP 

Figure  7.17 

Problem 23. 

M  GO  In  Fig. 7.18, a  hori-  zontal  force  F a  of  magnitude  d 20.0 N  is  applied  to  a  3.00 kg  psychology  book  as  the  book  slides a distance d = 0.500 m up    a  frictionless  ramp  at  angle  F θ = 30.0°.  (a)  During  the  dis-  θ placement, what is the net work  done  on  the  book  by  F a ,  the  Figure  7.18  Problem 24.  gravitational force on the book,  and the normal force on the book? (b) If the book has zero kinetic 

24 

→

y y g g o llo o o h h c c y y s s P P

a

→

/

P ROBL EMS 

GO  In  Fig.  7.19,  a  0.250 kg  block  of  H  cheese lies on the floor of a 900 kg elevator cab  that is being pulled upward by a cable through  distance d 1  = 2.40 m and then through distance  d 2  = 10.5 m. (a) Through d 1 , if the normal force  on the block from the floor has constant mag-  nitude F N = 3.00 N,  how  much  work  is  done  on  the cab  by  the  force  from  the cable?  (b)  Through  d 2 ,  if the work  done on  the cab  by  the (constant) force from the cable is 92.61 kJ,  what is the magnitude of F N ?  25 

Module 7.4 

M  In  Fig.  7.4.1a,  a  block  K of  mass  m  lies  on  a  horizon-  tal  frictionless  surface  and  is  attached to  one  end  of  a  hori-  0 0 0.5 1 1.5 2 zontal  spring  (spring  constant  x (m) k) whose other end is fixed. The  Figure  7.21  Problem 30.  block is initially at rest at the posi-  tion where the spring is unstretched (x = 0) when a constant hori-  zontal force F  in the positive direction of the x axis is applied to  it. A plot of the resulting kinetic energy of the block versus its  position x is  shown in Fig. 7.21. The scale  of the figure’s verti-  cal axis  is  set  by K s  = 4.0 J.  (a)  What is  the magnitude of  F ?  (b) What is the value of k? 

30 

s

)J ( K

energy at the start of the displacement, what is its speed at the end  of the displacement? 

181

→

Figure  7.19 

Problem 25. 

→

CALC  SSM  The only force acting on a 2.0 kg body as  it  moves along a positive x axis has  an x component F x  = −6x N,  with x in meters. The velocity at x = 3.0 m is 8.0 m/s. (a) What is  the velocity of the body at x = 4.0 m? (b) At what positive value  of x will the body have a velocity of 5.0 m/s? 

31  M 

Work Done by a Spring Force 

In Fig. 7.4.1, we must apply a force of magnitude 80 N to hold  the  block stationary  at x = −2.0 cm. From that position, we  then  slowly move the block so that our force does +4.0 J of work on the  spring–block system; the block is then again stationary. What is the  block’s position? (Hint: There are two answers.)  26  E 

A spring and block are in the arrangement of Fig. 7.4.1. When  the  block is  pulled out to x = +4.0 cm, we  must apply  a  force of  magnitude 360 N to hold it there. We pull the block to x  = 11 cm  and then release  it. How much work  does  the  spring do on the  block as the block moves from x i  = +5.0 cm to (a) x = +3.0 cm,  (b) x = −3.0 cm, (c) x = −5.0 cm, and (d) x = −9.0 cm?  27  E 

E  During  spring  semester  at MIT,  residents  of the parallel  buildings of the East Campus dorms battle one another with large  catapults that are made with surgical hose mounted on a window  frame.  A  balloon filled  with  dyed  water  is  placed  in  a  pouch  attached to the hose, which is then stretched through the width of  the room. Assume that the stretching of the hose obeys Hooke’s  law with a spring constant of 100 N/m. If the hose is stretched by  5.00 m and then released, how much work does the force from the  hose do on the balloon in the pouch by the time the hose reaches  its relaxed length? 

28 

M  In  the arrangement  of Fig. 7.4.1, we  gradually pull the  block from x = 0  to x = +3.0 cm, where it  is  stationary. Figure  7.20 gives the work that our force does on the block. The scale  of the figure’s vertical axis is set by W s  = 1.0 J. We then pull the  block out  to x = +5.0 cm  and  release  it  from rest.  How  much  work does the spring do on the block when the  block moves  from x i  = +5.0 cm to (a)  x = +4.0 cm, (b)  x = −2.0 cm, and (c)  x = −5.0 cm? 

29 

Ws

M  Figure 7.22 gives  spring  F force  F x  versus  position  x  for  F the  spring–block  arrangement  of  Fig.  7.4.1. The  scale  is  set  x (cm) by  F s  = 160.0  N.  We  release  –2 –1 0 1 2 the  block  at  x = 12 cm.  How  much work  does the  spring do  –F on  the  block  when  the  block  Figure  7.22  Problem 32.  moves from x i  = +8.0 cm to (a)  x = +5.0 cm,  (b)  x = −5.0 cm,  (c) x = −8.0 cm, and (d) x = −10.0 cm? 

32 

x

s

s

GO  The block in Fig. 7.4.1a lies on a horizontal frictionless  surface, and the spring  constant is  50 N/m. Initially, the spring  is  at  its  relaxed  length and  the block is  stationary  at  position  x = 0. Then an applied force with a constant magnitude of 3.0 N  pulls the  block in  the positive direction of  the x  axis,  stretch-  ing the spring  until the block stops. When that stopping point  is reached, what are (a)  the position of the block, (b) the work  that has been done on the block by the applied force, and (c) the  work that has been done on the block by the spring force? Dur-  ing the block’s displacement, what are  (d)  the block’s position  when its  kinetic energy  is  maximum and (e)  the  value of that  maximum kinetic energy?  33  H 

Module 7.5 

Work Done by a General Variable Force 

A 10 kg brick moves along an x axis. Its acceleration  as a function of its position is shown in Fig. 7.23. The scale of the  figure’s vertical axis is set by a s  = 20.0 m/s 2 . What is the net work  performed on the brick by the force causing the acceleration as  the brick moves from x = 0 to x = 8.0 m?  34  E 

CALC 

)2 s/m(

)J ( W

as

a

0

1 x

Figure  7.20 

(cm)

2

Problem 29. 

3

00

2 x

Figure  7.23 

4 (m)

6

8

Problem 34. 

/

182

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

E  CALC  SSM  The force on a particle is directed along an x  axis and given by F = F 0 (x/x 0  − 1). Find the work done by the force  in moving the particle from x = 0 to x = 2x 0 by (a) plotting F(x) and  measuring the work from the graph and (b) integrating F(x). 

35 

CALC  GO  A 5.0 kg block  moves in a straight line on a hor-  izontal frictionless surface under  the influence of a force that var-  ies with position as shown in Fig.  7.24.  The  scale  of  the  figure’s  vertical axis is set by F s  = 10.0 N.  How much work is done by the  force as the block moves from  the origin to x = 8.0 m? 

the cord is a constant 25.0 N. What is the change in the kinetic  energy of the cart during the move?  y

36  E 

)N( e croF

Fs

2

4

8

M 

CALC 

–Fs

Position (m)

Figure  7.24 

Problem 36. 

→

a s

)2 s/m( a

2

4

6

x

8

(m)

2

Figure  7.26 

Module 7.6 

x

1

Problem 42. 

Power 

A force of 5.0 N acts on a 15 kg body initially  at rest. Compute the work done by the force in (a) the first, (b)  the second, and (c)  the third seconds and (d) the instantaneous  power due to the force at the end of the third second.  43  E 

GO 

0

x x

Figure 7.25 gives  the acceleration of a 2.00 kg  particle as an applied force F a  moves it from rest along an x axis  from x = 0 to x = 9.0 m. The scale of the figure’s vertical axis is set  by a s  = 6.0 m/s 2 . How much work has the force done on the par-  ticle when  the particle reaches  (a)  x = 4.0 m, (b)  x = 7.0 m, and  (c) x = 9.0 m? What is the particle’s speed and direction of travel  when it reaches (d) x = 4.0 m, (e) x = 7.0 m, and (f) x = 9.0 m?  37 

T

h

0

CALC 

SSM 

A skier is pulled by a towrope up a frictionless ski slope  that  makes  an  angle  of  12°  with  the  horizontal.  The  rope  moves parallel to the slope with a  constant speed of 1.0 m/s.  The  force  of  the  rope  does  900 J  of  work  on  the  skier  as  the skier  moves a  distance of 8.0 m up the incline. (a)  If the  rope moved with a constant speed of 2.0 m/s, how much work  would the force of the rope do on the skier as the skier moved  a distance of 8.0 m up the incline? At what rate is the force of  the rope doing work on the skier when the rope moves with a  speed of (b) 1.0 m/s and (c) 2.0 m/s?  44  E 

E  SSM  A  100 kg  block is  pulled at a  constant speed of  5.0 m/s across  a  horizontal floor by  an  applied force  of 122 N  directed 37° above the horizontal. What is the rate at which the  force does work on the block? 

45 

–as Figure  7.25 

Problem 37. 

The loaded cab of an elevator has a mass  of 3.0 × 10 3  kg  and moves 210 m up the shaft in 23 s at constant speed. At what  average rate does the force from the cable do work on the cab?  46  E 

M  CALC  A  1.5 kg  block  is  initially at  rest  on  a  horizontal  frictionless  surface  when  a  horizontal  force  along  an  x  axis  is  applied to the block. The force is given by F ( x)  =  ( 2.5 − x 2 ) ˆ  i N,  where x is in meters and the initial position of the block is x = 0.  (a)  What is  the kinetic energy  of  the block as  it passes  through  x = 2.0 m? (b)  What is  the maximum kinetic energy of the block  between x = 0 and x = 2.0 m?  2  ˆ  acts on a particle  39  M  CALC  GO  A force F  = (cx − 3.00 x  ) i  as  the particle moves along an  x axis,  with F  in  newtons, x  in  meters, and c  a constant. At x = 0, the particle’s kinetic energy is  20.0 J; at x = 3.00 m, it is 11.0 J. Find c. 

38 

→

→

→

M  CALC  A can  of sardines  is made to move  along an x axis  from x = 0.25 m to x = 1.25 m by a force with a magnitude given by  F = exp(−4x 2 ), with x in meters and F in newtons. (Here exp is the  exponential function.) How much work is done on the can by the  force? 

40 

M  CALC  A  single  force  acts  on a  3.0 kg particle-like object  whose  position  is  given  by  x = 3.0t − 4.0t 2  + 1.0t 3 ,  with  x  in  meters and t in seconds. Find the work done by the force from  t = 0 to t = 4.0 s. 

41 

H  GO  Figure 7.26 shows  a cord  attached to a  cart that can  slide  along a frictionless horizontal rail aligned along an x axis.  The  left end  of  the cord  is  pulled  over  a  pulley,  of negligible  mass and friction and at cord height h = 1.20 m, so the cart slides  from x 1  = 3.00 m to x 2  = 1.00 m. During the move, the tension in 

42 

A machine carries a 4.0 kg package from an initial position  ˆ  at  t = 0  to  a  final  of  d i  =  (0.50  m) ˆ  i  +  (0.75  m) ˆ  j  +  (0.20  m) k  ˆ  ˆ  ˆ  position of d f  = (7.50 m )i +    (12.0 m ) j + (7.20 m ) k at t = 12 s. The  constant force  applied by the machine on the package is  F  =  ˆ  i +  j +  find (a)  (2.00 N )ˆ    ( 4.00 N )ˆ    (6.00 N ) k. For that displacement,  the work done on the package by the machine’s force and (b) the  average power of the machine’s force on the package.  47  M  →

→

→

A 0.30 kg ladle sliding on a horizontal frictionless surface  is  attached  to  one  end  of  a  horizontal  spring  (k = 500  N/m)  whose other end is fixed. The ladle has a kinetic energy of 10 J  as it passes through its equilibrium position (the point at which  the spring  force  is  zero).  (a)  At what rate  is  the  spring  doing  work on the ladle as the ladle passes  through its equilibrium  position? (b) At what rate is the spring doing work on the ladle  when the spring  is  compressed 0.10 m and the ladle is  moving  away from the equilibrium position?  48  M 

M  SSM  A fully loaded, slow-moving freight elevator has  a cab with a  total mass of 1200 kg, which is required to travel  upward 54 m  in 3.0 min, starting and  ending at  rest. The  ele-  vator’s  counterweight  has  a  mass  of  only  950 kg,  and  so  the  elevator motor must help. What average  power is  required  of  the force the motor exerts on the cab via the cable? 

49 

(a)  At a certain instant, a particle-like object is acted on  by a force F  =  (4.0 N )ˆ  i −  j +    (2.0 N )ˆ    (9.0 N )k while the object’s   ˆ  50  M 

→

/

183

P ROBL EMS 

velocity is  v  = −( 2.0  m / s )ˆ  i   +  (4.0  m / s )k. What is  the  instanta-   ˆ  neous rate at which the force does work on the object? (b) At  some other time, the velocity consists of only a y component. If  the force is unchanged and the instantaneous power is  −12 W,  what is the velocity of the object?  ˆ  acts  on  51  M  A force  F  =  (3.00  N  i   +  ( 7.00  N ) ˆ  j  +  ( 7.00  N ) k  )ˆ  →

→

a  2.00 kg  mobile  object  that  moves  from  an  initial  position  of  ˆ  to a final position of d f  =  d i  = ( 3.00 m ) ˆ  i − (2.00 m )ˆ  j +    (5.00 m ) k  ˆ  −( 5.00  m ) ˆ  i  +  (4.00  m ) ˆ  j  +  (7.00  m ) k in 4.00 s. Find (a)  the work  done on the object by the force in the 4.00 s interval, (b) the aver-  age power due to the force during that interval, and (c)  the angle  between vectors d i  and d f . 

→

→

→

→

H  CALC  A funny car  accelerates  from rest  through a  mea-  sured track distance in time T with the engine operating at a con-  stant power P. If the track crew can increase the engine power by  a differential amount dP, what is the change in the time required  for the run? 

52 

Additional Problems 

→

→

To pull a 50 kg crate across a horizontal frictionless floor, a  worker applies a force of 210 N, directed 20° above the horizon-  tal. As the crate moves 3.0 m, what work is done on the crate by  (a) the worker’s force, (b) the gravitational force, and (c) the nor-  mal force? (d) What is the total work?  58 

A force F a  is applied to a bead as  the bead is moved along a straight wire  through  displacement  +5.0 cm.  The  magnitude of F a  is set at a certain value,  but  the  angle  ϕ between  F a  and  the  bead’s displacement can be chosen. Fig-  ure 7.30 gives  the work  W done by  F a  on the bead for a  range  of  ϕ values;  W 0  =  25  J.  How  much  work  is  done  by F a  if ϕ is (a) 64° and (b) 147°?  59 

→

→

W0

)J( W

Figure 7.27 shows a cold package of hot dogs sliding right-  ward  across  a  frictionless  floor through a  distance d = 20.0 cm  while  three forces  act  on the  package. Two  of them are  hori-  zontal  and  have  the  magnitudes F 1  = 5.00 N  and  F 2  = 1.00 N;  the  third  is  angled down by  θ = 60.0°  and  has  the  magnitude  F 3  = 4.00 N.  (a)  For  the 20.0 cm  displacement, what is  the net  work done on the package by the three applied forces, the gravi-  tational force on the package, and the normal force on the pack-  age? (b) If the package has a mass of 2.0 kg and an initial kinetic  energy of 0, what is its speed at the end of the displacement?  53 

to move it distance d = 4.00 m to the  side (Fig. 7.29). (a) What is the magni-  tude of F  when the crate is in this final  position? During the crate’s displace-  ment, what  are  (b)  the  total work  L done on it, (c)  the work done by the  gravitational force  on the  crate,  and  (d) the work done by the pull on the  crate  from  the  rope?  (e)  Knowing  F that  the  crate  is  motionless  before  and  after  its  displacement,  use  the  d answers to (b), (c), and (d) to find the  Figure  7.29  Problem 57.  work your force F  does on the crate.  (f) Why is the work of your force not equal to the product of the  horizontal displacement and the answer to (a)? 

→

→

0

Problem 59. 

→

d F2

θ F3

Problem 53. 

GO  The  only  force  acting  F (N) on  a  2.0 kg  body as  the  body  F moves along an x axis varies as  1 2 3 4 5 x (m) shown in Fig. 7.28. The scale of  0 the  figure’s  vertical  axis  is  set  by  F s  =  4.0 N. The velocity of  –F the body at x = 0 is 4.0 m/s. (a)  Figure  7.28  Problem 54.  What  is  the  kinetic energy  of  the body at x = 3.0 m? (b) At what value of x will the body have  a kinetic energy of 8.0 J? (c) What is the maximum kinetic energy  of the body between x = 0 and x = 5.0 m?  54 

A frightened child is restrained by her mother as the child  slides  down a  frictionless playground slide. If  the force on the  child from the mother is  100 N up the slide, the child’s kinetic  energy increases by 30 J as she moves down the slide a distance  of 1.8 m. (a)  How much work is done on the child by the gravi-  tational force during the 1.8 m descent? (b)  If  the child is  not  restrained  by  her  mother,  how  much  will  the  child’s  kinetic  energy increase as she comes down the slide that same distance  of 1.8 m?  60 

F1

Figure  7.27 

ϕ Figure  7.30 

x

s

s

SSM  BIO  A horse pulls a cart with a force of 40 lb at an angle  of 30° above the horizontal and moves along at a speed of 6.0 mi/h.  (a) How much work does the force do in 10 min? (b) What is the  average power (in horsepower) of the force? 

55 

An initially stationary 2.0 kg object accelerates  horizontally  and uniformly to a speed of 10 m/s in 3.0 s. (a) In that 3.0 s interval,  how much work is done on the object by the force accelerating it?  What is the instantaneous power due to that force (b) at the end of  the interval and (c) at the end of the first half of the interval?  56 

A 230 kg crate  hangs from the end of a  rope of length L  =  12.0 m. You push horizontally on the crate with a varying force F  57 

→

How much work is done by a force F = (2x N ) ˆ  i + (3 N ) ˆ  j,  with x in meters, that moves a particle from a position  r i  = (2 m )ˆ  i   ˆ  ˆ  + (3 m )ˆ  j to a position r  = − 4 m  i −  3 m  j?    ( )   ( )  f  →

61  CALC 

→

→

A 250 g  block is  dropped onto a  relaxed  vertical  spring  that  has  a  spring  constant  of  k =  2.5 N/cm  (Fig.  7.31).  The  block  becomes  attached to the spring and compresses the spring  12 cm before momentarily stopping. While the  spring is  being compressed, what work  is done  on the block by (a) the gravitational force on it  and (b) the spring force? (c) What is the speed of  the block just before it hits the spring? (Assume  that  friction  is  negligible.)  (d)  If  the  speed  at  impact is  doubled, what is  the maximum com-  pression of the spring?  62 

Figure  7.31 

Problem 62. 

SSM  To push a 25.0 kg crate up a frictionless incline, angled  at 25.0° to the horizontal, a worker exerts a force of 209 N par-  allel to the incline. As  the crate slides  1.50 m, how much work  is  done on the crate by  (a)  the worker’s applied force, (b)  the 

63 

/

184

C HAP T ER 7  KINET IC   ENERGY   AND   WORK 

gravitational force on the crate, and (c) the normal force exerted  by the incline on the crate? (d) What is the total work done on  the crate? 

the boat to slide  in a  straight line  for a  distance  of 8.0 m  in  a direction 20° north of east. What is the kinetic energy of the  iceboat at the end of that 8.0 m? 

Boxes  are  transported  from one  location to  another in a  warehouse by means of a conveyor belt that moves with a con-  stant speed of 0.50 m/s. At a certain location the conveyor belt  moves for 2.0 m up an incline that makes an angle of 10° with  the horizontal, then for 2.0 m horizontally, and finally for 2.0 m  down an incline that makes an angle of 10° with the horizontal.  Assume that a 2.0 kg box rides on the belt without slipping. At  what rate is the force of the conveyor belt doing work on the box  as the box moves (a) up the 10° incline, (b) horizontally, and (c)  down the 10° incline? 

69 

64 

In  Fig. 7.32, a  cord  runs  around two  massless,  frictionless  pulleys. A canister with mass  m = 20 kg hangs from one pulley,  and you exert a force  F  on the  free end of the cord.  (a)  What  must  be  the  magnitude  of  F  if you are to lift the canister at  a  constant  speed?  (b)  To  lift  the canister  by 2.0 cm, how far  must  you pull  the free  end of  the cord? During that lift, what  is  the work  done on the canis-  ter  by  (c)  your  force  (via  the  cord)  and (d)  the gravitational  force?  (Hint:  When  a  cord  loops around a pulley as shown,  m F it pulls on the pulley with a net  force that is twice the tension in  Figure  7.32  Problem 65.  the cord.)  65 

→

→

If  a  car  of  mass  1200 kg  is  moving  along  a  highway  at  120  km/h, what  is  the  car’s  kinetic  energy  as  determined  by  someone standing alongside the highway?  66 

A spring with a pointer attached is  hanging next to a  scale marked in millimeters. Three different packages are hung  from the spring, in turn, as  shown in Fig. 7.33. (a)  Which mark  on the scale  will the pointer indicate when no package is hung  from the spring? (b) What is the weight W of the third package?  67 

If a ski lift raises 100 passengers  averaging 660 N in weight  to a  height of 150 m in 60.0 s, at constant speed, what average  power is required of the force making the lift?  ˆ   ˆ  70  A force F  =  (4.0 N )i + c  j acts on a  particle as the particle  travels  through displacement  d  =  (3.0  m ) ˆ  i  −  ( 2.0  m )ˆ  j.    (Other  forces also act on the particle.) What is c if the work done on the  particle by force F  is (a) 0, (b) 17 J, and (c)  −18 J?  →

→

→

Kinetic energy.  If  a  vehicle with a  mass  of 1500  kg  has  a  speed of 120 km/h, what is the vehicle’s kinetic energy as deter-  mined by someone passing the vehicle at 140 km/h?  71 

Work calculated by graphical integration. In Fig. 7.34b,  an 8.0 kg block slides along a frictionless floor as a force acts on  it, starting at x 1 = 0 and ending at x 3  = 6.5 m. As the block moves,  the magnitude and direction of the force vary according to the  graph shown in Fig. 7.34a. For example, from x = 0 to x =  1 m,  the force is positive (in the positive direction of the x axis)  and  increases  in  magnitude from 0  to 40  N.  And from  x  =  4  m to  x = 5  m, the force is negative and increases in magnitude from  0 to 20 N. The block’s kinetic energy at x 1  is K 1  = 280 J. What is  the block’s speed at (a) x 1  = 0, (b) x 2  = 4.0 m, and (c) x 3  = 6.5 m?  72  CALC 

F

(N)

40

0

2

4

–20

6

x

(m)

x

(m)

(a )

SSM 

v 1

0

v 2

F

2

v 3

F

4

6

(b) Figure  7.34 

mm

mm

0

mm

0

0

30 40

Brick load. A load of bricks with mass m = 420 kg is to be  lifted by a winch to a stationary position at height h = 120 m in  5.00 min. What must be the average power of the winch motion  in kilowatts and horsepower?  73 

BIO  CALC  Hip fracture and body mass  index. Hip fracture  due to a fall is  a chronic problem, especially with older people  and people subject to seizures. One research focus is on the cor-  relation between fracture risk and weight, specifically, the body  mass index (BMI). That index is defined as m/h 2 , where m is the  mass (in kilograms) and h is the height (in meters) of a person.  Is  a person with a higher BMI more or less  likely to fracture a  hip in a fall on a floor?  One way to measure the fracture risk is to measure the amount  of energy absorbed as the hip impacts the floor and any cover-  ing in  a  sideways  fall. During the  impact and compression  of  the floor and covering, the force from the hip does work on the 

74 

60

W

110 N 240 N Figure  7.33 

Problem 67. 

An iceboat is  at rest  on  a  frictionless  frozen lake  when  a  sudden wind  exerts  a  constant force  of 200 N, toward  the  east, on the boat. Due to the angle of the sail, the wind causes  68 

Problem 72. 

/

P ROBL EMS 

floor and covering. A larger  amount of work implies a smaller  amount of energy left to fracture the hip. In  an experiment, a  participant is held horizontally in a sling with the left hip 5.0 cm  above a force plate with a floor covering. When the participant  is dropped, measurements are made of the force magnitude F  on  the plate during impact and the plate’s deflection d. Figure 7.35  gives  idealized plots for two participants. For A:  m =  55.0 kg,  h = 1.70 m, peak force F A  = 1400 N, and maximum plate deflec-  tion d A  = 2.00 cm. For B: m = 110 kg, h = 1.70 m, F B2  = 1600 N,  d B2  = 6.00 cm, and intermediate force F B1  = 500 N at deflection  d B1  = 4.00 cm.  What  is  the  BMI  for  (a)  (lighter)  participant  A  and  (b)  (heavier)  participant B? (c)  Which participant experiences the  greater peak force from the plate, the lighter one or the heavier  one? How much energy is  absorbed by the plate and covering  (how much work is done on the plate) for (d) participant A and  (e)  participant B? What is  the absorbed energy  per  unit mass  of  (f)  participant  A and  (g)  participant B?  (h)  Do the results  indicate higher plate absorption (and thus lower fracture risk for  the participant) for the higher BMI or lower BMI? (i) Does this  correlate with the peak force results?  F FB 2 FA

185

driver  is  firmly held to the seat  by a  seat belt and thus moves  forward by 0.500 m during the crash. Assume that the force on  the driver from the seat belt is  constant during the crash. Use  the work−kinetic energy theorem to find the magnitude of that  force during the crash if the initial speed of the car is (a) 35 mi/h  and (b)  70  mi/h? (c)  If  the initial speed  is  multiplied by  2,  as  here, by what multiplying factor is the force increased?  CALC  Work and power as functions of time. A body of mass  m accelerates uniformly from rest to speed v f  in time t f . In terms  of these  symbols, at time t,  what is  (a)  the  work done on  the  body and (b) the power delivered to the body? 

76 

Work, train observer, ground observer. An object with mass  m  is  initially stationary  inside  a  train  that moves  at  constant  speed u along an x axis. A constant force then gives the object  an acceleration  a  in the forward  direction for  time t. In  terms  of these  given  symbols, how much work  is  done by  the force  as  measured by (a)  an observer  stationary inside the train and  (b) an observer stationary alongside the track?  77 

CALC  Work and power, graphical integration. A single force  acts  on a  3.0 kg  body that moves along an x  axis.  Figure 7.36  gives the velocity v versus time t due to the motion. What is the  work  done on  the body (sign  included) for  the  time intervals  (a) 0 to 2.0 ms, (b) 2.0 to 5.0 ms, (c)  5.0 to 8.0 ms, and (d) 8.0 to  11  ms? What is  the average  power supplied to the body (sign  included) for the time intervals (e) 0 to 2.0 ms, (f) 2.0 to 5.0 ms,  (g) 5.0 to 8.0 ms, and (h) 8.0 to 11 ms? 

78 

v  (m/s)

FB 1

d dA

Figure  7.35 

dB 1

dB 2

Problem 74. 

Car crash force from seat belt. A car crashes head on into a  wall and stops, with the front collapsing by 0.500 m. The 70 kg 

7.0 –7.0

2.0

5.0

75 

Figure  7.36 

8.0

11

t (ms)

Problem 78. 

/

C

H

A

P

T

E

R

8

Potential  Energy and  Conservation of Energy 

8.1 

POTENTIAL ENERGY 

Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

8.1.1  Distinguish a conservative force from a noncon- 

8.1.3  Calculate the gravitational potential  energy 

servative force. 

of a particle  (or, more properly, a particle–Earth 

8.1.2  For a particle moving between  two points, iden-  tify that the work done by a conservative force does 

system).  8.1.4  Calculate the elastic potential energy of a block– 

not depend on which  path the particle  takes. 

spring system. 

Key Ideas  ●

A force is a conservative force if the net work it does 

y i  y f, the change  in the gravitational potential   

potential energy. If the particle moves from height 

on a particle moving around any closed path, from an 

to height 

initial  point and then back to that point, is zero. Equiva- 

energy of the particle–Earth system is 

lently, a force is conservative if the net work it does on 

ΔU = mg( y  f − y i ) = mg Δy. 

a particle  moving between  two points does not depend  on the path taken by the particle.  The gravitational 

If  the reference  point of  the particle is  s et as  

y i  =  0 

force and the spring force are conservative forces; the 

●

kinetic  frictional force is a nonconservative force. 

and the corres ponding grav itational potential energy  

●

Potential energy is energy that is associated with  the 

configuration  of a system in which  a conservative force  acts. When  the conservative force does work  particle  within  the system, the change 

W on a 

potential energy  

y is  

ΔU in the poten- 

U( y ) = mgy. 

tial energy of the system is 

∆U = −W.  If the particle  moves from point 

x i  to point x f, the   

change  in the potential energy of the system is 

U i  =  0,  then  the grav itational  U  when  the particle is  at any  height 

of the s y s tem is   s et as  

●

Elastic potential energy is the energy associated with 

the state of compression or extension of an elastic object.  For a spring that exerts a spring force 

x

F = −kx  when 

its free  end has displacement  , the elastic potential  energy is 

x f 

1  2  U(x) = _  kx  .  2 

ΔU = −  F(x ) dx .  x t 

●

The potential energy associated with a system con- 

sisting of Earth and a nearby particle  is gravitational 

●

The reference  configuration  has the spring at its 

relaxed length, at which 

x = 0 and  U = 0 . 

186 /

8.1 

P OT ENT IAL   ENERGY  

187

What Is Physics? 

 FR 321/kuhcretseN iilatiV

One  job  of  physics  is  to  identify  the  different  types  of  energy  in  the  world,  especially those that  are of common importance. One general type of  energy is  potential energy U. Technically, potential energy is energy that can be associated  with  the configuration (arrangement) of a system of objects that exert forces on  one another.  This is a pretty formal definition of something that is actually familiar to you.  An example might help better than the definition: A bungee-cord jumper plunges  from a staging platform (Fig. 8.1.1). The system of objects consists of Earth and the  jumper. The force between the objects is the gravitational force. The configuration  of the system changes (the separation between the jumper and Earth decreases—  that is, of course, the thrill of the jump). We can account for the jumper’s motion and  increase in kinetic energy by defining a gravitational potential energy U. This is the  energy associated with  the state of  separation between two  objects that attract  each other by the gravitational force, here the jumper and Earth.  When the jumper begins to stretch the bungee cord near the end of the plunge,  the system of objects consists of the cord and the jumper. The force between the  objects is an elastic (spring-like) force. The configuration  of  the system changes  (the cord stretches). We can account for the jumper’s decrease in  kinetic energy  and  the cord’s increase in  length by defining an elastic potential energy U. This  is the energy associated with the state of compression or extension of  an elastic  object, here the bungee cord.  Physics determines how  the  potential energy of  a system can be calculated  so  that  energy might  be stored  or  put  to  use. For  example, before  any particu-  lar bungee-cord jumper takes the plunge, someone (probably a mechanical engi-  neer) must determine the correct cord to be used by calculating the gravitational  and elastic potential energies that can be expected. Then the jump is only thrilling  and not fatal. 

The kinetic energy of a  bungee-cord jumper increases  during  the free fall, and then the cord begins  to stretch, slowing the jumper.  Figure  8.1.1 

Work and Potential Energy 

In Chapter 7 we discussed the relation between work and a change in kinetic energy.  Here we discuss the relation between work and a change in potential energy.  Let us throw a tomato upward (Fig. 8.1.2). We already know that as the tomato  rises, the work W g  done on the tomato by the gravitational force is negative because  the force transfers energy from the kinetic energy of the tomato. We can now finish  the story by saying that this energy is transferred by the gravitational force to the  gravitational potential energy of the tomato–Earth system. 

Negative work done by the gravitational force

Positive work done by the gravitational force

A tomato is thrown upward. As it rises, the  gravitational force does negative work on it, decreasing its  kinetic energy. As the tomato descends, the gravitational  force does positive work on it, increasing its kinetic energy.  Figure  8.1.2 

/

188

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

x

0

(a )

The  tomato  slows, stops, and  then  begins  to  fall  back  down  because of  the  gravitational force. During the fall, the transfer is reversed: The work W g  done on  the tomato by the gravitational force is now positive—that force transfers energy  from the gravitational potential energy of the tomato–Earth system to the kinetic  energy of the tomato.  For  either  rise  or  fall,  the  change  ΔU  in  gravitational potential  energy  is  defined as being  equal  to  the negative of the  work  done  on  the tomato  by the  gravitational force. Using the general symbol W for work, we write this as  ΔU = −W. 

x

0

(b )

A block, attached to a  spring and initially at rest at x = 0, is  set in motion toward the right. (a) As  the block moves rightward (as indi-  cated by the arrow), the spring force  does negative work on it. (b) Then, as  the block moves back toward x = 0,  the spring force does positive work  on it.  Figure  8.1.3 

(8.1.1) 

This  equation  also  applies  to  a  block–spring  system, as  in  Fig.  8.1.3. If  we  abruptly shove the block to send it moving rightward, the spring force acts leftward  and  thus  does  negative work  on  the block,  transferring energy from the kinetic  energy of the block to the elastic potential energy of the spring–block system. The  block  slows and  eventually stops, and�� then begins to move leftward because the  spring  force is still  leftward. The  transfer of  energy is then  reversed—it is  from  potential energy of the spring–block system to kinetic energy of the block.  Conservative  and Nonconservative  Forces 

Let us list the key elements of the two situations we just discussed:  1.  The system consists of two or more objects.  2.  A force acts between a particle-like object (tomato or block) in the system a nd  the rest of the system.  3.  When the system configuration changes, the force does work (call it W 1) on the    particle-like object, transferring energy between the kinetic  energy K of  the  object and some other type of energy of the system.  4.  When  the  configuration  change  is  reversed, the  force  reverses  the  energy  transfer, doing work W 2  in the process.  In a situation in  which W 1   = −W 2   is always true, the other type of energy is  a potential energy and the force is said to be a conservative force. As you might  suspect, the gravitational force and the spring force are both  conservative (since  otherwise we could  not have spoken of gravitational potential energy and elastic  potential energy, a s we did previously).  A force that is not conservative is called a nonconservative force. The kinetic  frictional force and drag force are nonconservative. For  an example, let us send  a block sliding  across a floor  that is not frictionless. During the sliding, a kinetic  frictional  force from the floor  slows the block  by  transferring energy from its  kinetic energy to a type of energy called thermal energy (which has to do with the  random  motions  of  atoms and  molecules). We  know  from  experiment that  this  energy transfer cannot be reversed (thermal energy cannot be transferred back to  kinetic energy of the block by the kinetic frictional force). Thus, although we have  a system (made up  of the block  and the floor), a force that acts between parts of  the  system, and  a transfer of energy by the force, the force is  not  conservative.  Therefore, thermal energy is not a potential energy.  When  only  conservative forces  act  on  a  particle-like  object,  we  can  greatly  simplify otherwise difficult  problems involving motion  of  the  object. Let’s next  develop a test for identifying conservative forces, which will provide one means  for simplifying such problems.  Path  Independence  of Conservative Forces 

The primary test for determining whether a force is conservative or nonconserva-  tive is this: Let the force act on a particle that moves along any closed path, begin-  ning at some initial  position  and eventually returning to that position  (so that the 

/

8.1 

P OT ENT IAL   ENERGY  

189

particle makes a round trip beginning and ending at the initial position). The force is  conservative only if the total energy it transfers to and from the particle during the  round  trip along this and any other closed path is zero. In other words:  The net work done by a conservative force on a particle moving around any  closed path is zero. 

We  know  from  experiment  that  the  gravitational  force  passes  this  closed-  path test. An example is the tossed tomato of Fig. 8.1.2. The tomato leaves the launch  1  point  with speed v 0   and kinetic energy _  mv 02  . The gravitational force acting on the  2  tomato slows it,  stops it, and  then causes it  to fall  back down. When  the tomato  1  returns to the launch point, it again has speed v 0  and kinetic energy _  mv 02  . Thus, the  2  gravitational force transfers as much energy from the tomato during the ascent as  it transfers to the tomato during the descent back to the launch point. The net work  done on the tomato by the gravitational force during the round trip is zero.  An important result of the closed-path test is that: 

1 2

a

(a )

1

The force is conservative. Any choice of path between the points gives the same amount of work.

b

2

a

The work done by a conservative force on a particle moving between two points  does not depend on the path taken by the particle. 

b

And a round trip gives a total work of zero.

(b )

(a) As a conservative force  acts on it, a particle can move from  point a to point b along either path 1  or path 2. (b) The particle moves in  a round trip, from point a to point b  along path 1 and then back to point  a along path 2.  Figure  8.1.4 

For  example, suppose that a particle moves from point  a to point  b in Fig. 8.1.4a  along either path 1 or path 2. If only a conservative force acts on the particle, then  the work done on the particle is the same along the two paths. In symbols, we can  write this result as  W ab,1 = W ab,2 ,  (8.1.2)  where the subscript ab indicates the initial and  final points, respectively, a nd the  subscripts 1 and 2 indicate the path.  This  result  is  powerful  because it  allows  us  to  simplify  difficult  problems  when  only  a conservative force is  involved. Suppose  you  need to  calculate the  work done by a conservative force along a given path between two points, and the  calculation is difficult or even impossible without additional information. You can  find the work by substituting some other path between those two points for which  the calculation is easier and possible.  Proof  of Equation 8.1.2 

Figure 8.1.4b shows an arbitrary round trip for a particle that is acted upon by a sin-  gle force. The particle moves from an initial point  a to point b along path 1 and then  back  to  point  a along  path  2. The  force does  work  on  the particle as  the particle  moves along  each path. Without  worrying about  where positive work  is  done  and  where negative work is done, let us just represent the work  done from a to b along  path 1 as W ab,1 and the work done from b back to a along path 2 as W ba,2 . If the force  is conservative, then the net work done during the round trip must be zero:  and thus 

W ab,1  + W ba,2  = 0,  W ab,1  = −W ba,2 . 

(8.1.3) 

In words, the work done along the outward path must be the negative of the work  done along the path back.  Let us  now consider the work  W ab,2  done on  the particle by the force when  the particle moves from a to b along path 2, as indicated in Fig. 8.1.4a. If the force  is conservative, that work is the negative of W ba,2 :  W ab,2  = −W ba,2 . 

(8.1.4) 

/

190

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

Substituting  W ab,2 for −W ba,2  in Eq. 8.1.3, we obtain  W ab,1  = W ab,2 ,  which is what we set out to prove.  Checkpoint 8.1.1 

The figure shows three paths connecting  points a and b. A single force F  does the indi-  cated work on a particle moving along each path  in the indicated direction. On the basis of this  information, is force F  conservative? 

–60 J

→

a

Sample Problem 8.1.1

The gravitational force is conservative. Any choice of path between the points gives the same amount of work. a

a

KEY IDEAS

b

(1)  We  cannot  calculate  the  work  by  using  Eq.  7.3.1  (W g   = mgd cos ). The reason is that the angle  between  the  directions  of  the  gravitational  force F g   and  the  dis-  placement d  varies along  the  track in  an  unknown  way.  (Even if  we  did  know  the  shape  of  the  track and  could  calculate  along it, the calculation could be very difficult.)  (2) Because Fg   is a conservative force, we can find the work  by choosing some other path between a and b—one  that  makes the calculation easy.  →

→

→

Let us choose the dashed path in Fig. 8.1.5b;  it consists of  two straight segments. A long the horizontal  segment, the angle  is a constant 90°. Even though we do  not know the displacement along that horizontal segment,  Eq. 7.3.1 tells us that the work W h done there is  Calculations:

W h  = mgd cos 90° = 0.  Along the vertical segment, the displacement d is 0.80 m  and,  with  F g   and  d  both  downward,  the  angle   is  a  →

b

Equivalent  paths for  calculating  work, slippery  cheese 

The  main  lesson  of  this  sample  problem  is  this:  It  is  perfectly all  right  to  choose  an  easy  path  instead  of  a  hard path. Figure  8.1.5a shows a 2.0 kg block  of slippery  cheese that  slides along  a frictionless track from point  a  to point  b. The  cheese travels through  a total distance of  2.0 m along the track, and  a net vertical distance of 0.80  m. How much work is done on the cheese by the gravita-  tional force during the slide? 

→

60 J 60 J

→

(a)

b

(b)

(a) A block of cheese slides along a frictionless  track from point a to point b. (b) Finding the work done on  the cheese by the gravitational force is easier along the dashed  path than along the actual path taken by the cheese; the result  is the same for both paths.  Figure  8.1.5 

constant 0°. Thus, Eq. 7.3.1 gives us, for the work W v  done  along the vertical part of the dashed path,  W v  = mgd cos 0° 

= (2.0 kg)(9.8 m/s 2 )(0.80 m)(1) = 15.7 J.  →

The  total  work  done  on  the  cheese by F g   as  the  cheese  moves  from  point  a  to  point  b  along  the  dashed  path  is then  W = W h  + W v  = 0 + 15.7 J ≈ 16 J.  (Answer)  This  is also the work  done  as the cheese slides along  the  track from a to b. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Determining  Potential Energy Values 

Here we find  equations  that give the value of the two types of potential energy  discussed  in  this  chapter:  gravitational  potential  energy  and  elastic  potential  energy. However, first  we  must  find  a general relation  between a conservative  force and the associated potential energy. 

/

8.1 

P OT ENT IAL   ENERGY  

191

Consider a particle-like object that  is part of a system in  which  a conserva-  tive force F  acts. When  that force does work W on  the object, the change ∆U in  the potential energy associated with the system is the negative of the work done.  We wrote this fact as Eq. 8.1.1 (∆U = −W). For the most general case, in which the  force may vary with position, we may write the work W as in Eq. 7.5.4:  →

x f 

W =  F(x) dx. 

(8.1.5) 

x i 

This  equation  gives the work  done  by  the force when  the object  moves from  point x i to point x f , changing the configuration of the system. (Because the force  is conservative, the work is the same for all paths between those two points.)  Substituting  Eq.  8.1.5 into  Eq.  8.1.1, we  find  that  the  change  in  potential  energy due to the change in configuration is, in general notation,  x f 

∆U = −  F(x) dx. 

(8.1.6) 

x i 

Gravitational  Potential  Energy 

We  first  consider  a particle with  mass m moving vertically along  a y  axis (the  positive direction is upward). A s the particle moves from point y i to point y f , the  gravitational force F g  does  work  on  it. To  find  the corresponding  change in  the gravitational potential energy of the particle–Earth system, we use Eq. 8.1.6  with two changes: (1) We integrate along the y axis instead of the x axis, because  the gravitational force acts vertically. (2) We substitute −mg for the force symbol F,  because F g has the magnitude mg and is directed down the y axis. We then have  →

→

y f 

y f 

y f 

ΔU = −  (−mg) dy = mg  dy = mg  y  ,  y i 

y i 

which yields 

[  ] y 

i 

∆U = mg( y  f − y i) = mg ∆y.   

(8.1.7) 

Only  changes  ∆U  in  gravitational  potential  energy  (or  any  other  type  of  potential energy) a re physically meaningful. However, to simplify a calculation or  a discussion, we sometimes would like to say that a certain gravitational potential  value U is associated with a certain particle–Earth system when the particle is at  a certain height y. To  do so, we rewrite Eq. 8.1.7 as  U − U i  = mg( y − y i).   

(8.1.8) 

Then  we take U i  to be the gravitational potential energy of the system when it is  in a reference c onfiguration in which the particle is at a reference point y i . Usually  we take U i  = 0 and y i = 0. Doing this changes Eq. 8.1.8 to  U( y) = mgy 

(gravitational potential energy). 

(8.1.9) 

This equation tells us:  The gravitational potential energy associated with a particle–Earth system  depends only on the vertical position y (or height) of the particle relative to the  reference position y = 0, not on the horizontal position. 

Elastic  Potential  Energy 

We  next  consider  the  block–spring  system shown  in  Fig.  8.1.3, with  the  block  moving on  the  end  of  a  spring  of  spring  constant  k. As  the  block  moves from  point  x i to point x f , the spring force F x  = −kx does work on the block. To  find the 

/

192

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

corresponding change in the elastic potential energy of the block–spring system,  we substitute −kx for F(x) in Eq. 8.1.6. We then have  x f 

x f 

x f 

1  ΔU = −  (−kx) dx = k  x dx = _  k [x 2 ] x  i ,  2  x i 

x i 

1  2  _  ΔU = _  kx  −  1  kx 2 .  2  f   2  i 

or 

(8.1.10) 

To associate a  potential energy v alue U with the block at position x, we choose  the reference configuration to be when the spring is at its relaxed length and the  block is at x i  = 0. Then the elastic potential energy U i  is 0, and Eq. 8.1.10 becomes  1  2  U − 0 = _  kx  − 0,  2 

which gives us  1  2  U(x ) =  _  kx  2 

(8.1.11) 

(elastic potential energy). 

Checkpoint 8.1.2 

A particle is to move along an x axis from x = 0 to x 1  while  F1 a conservative force, directed along the x axis, acts on the parti-  cle. The figure shows three situations in which the x component  of that force varies with x. The force has the same maximum  magnitude F 1  in all three situations. Rank the situations accord-  ing to the change in the associated potential energy during the  (1) particle’s motion, most positive first. 

Sample Problem 8.1.2

F1 x1 x1

x1

(2)

(3)

–F1

Choosing reference  level  for gravitational  potential  energy, sloth 

Here is an example with  this lesson  plan: Generally you  can choose  any level to  be the  reference level, but  once  chosen, be  consistent. A 2.0 kg  sloth  hangs 5.0 m above  the ground (Fig. 8.1.6).  (a)  What  is  the  gravitational  potential  energy  U  of  the  sloth–Earth system if we take the reference point y = 0 to be  (1) at the ground, (2) at a balcony floor that is 3.0 m above  the  ground, (3) at  the limb, and  (4) 1.0  m above the limb?  Take the gravitational potential energy to be zero at y = 0. 

KEY IDEA

6

3

1

0

5

2

0

3

0

–2

–3

0

–3

–5

–6

Once we have chosen  the  reference point  for  y =  0, we  can calculate the gravitational potential energy U of  the  system relative to that reference point with Eq. 8.1.9.  Calculations:

For choice (1) the sloth is at y = 5.0 m, and 

U = mgy = (2.0 kg)(9.8 m/s 2 )(5.0 m)  = 98 J. 

(Answer) 

(1)

For the other choices, the values of U are 

(3)

(4)

Four choices of reference point y = 0. Each y axis  is marked in units of meters. The choice affects the value of the  potential energy U of the sloth–Earth system. However, it does  not affect the change ∆U in potential energy of the system if  the sloth moves by, say, falling.  Figure  8.1.6 

(2)  U = mgy = mg(2.0 m) = 39 J,  (3)  U = mgy = mg(0) = 0 J,  (4)  U = mgy = mg(−1.0 m)  = −19.6 J ≈ −20 J. 

(2)

(Answer) 

/

193

8.2  C ONSERV AT ION  OF   MEC HANIC AL   ENERGY  

(b)  The  sloth  drops  to  the  ground.  For  each  choice  of  reference point,  what  is  the  change  ∆U in  the  potential  energy of the sloth–Earth system due to the fall? 

For  all  four  situations,  we  have  the  same  ∆y = −5.0 m. Thus, for (1) to (4), Eq. 8.1.7 tells us that  Calculation:

∆U = mg ∆y = (2.0 kg)(9.8 m/s 2 )(−5.0 m) 

KEY IDEA

= −98 J. 

(Answer) 

The  change  in  potential  energy does  not  depend  on  the  choice of the reference point for y = 0; instead, it depends  on the change in height ∆y.  Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

8.2  CONSERVATION OF MECHANICAL ENERGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

8.2.1  After first clearly defining  which  objects form a 

8.2.2  For an isolated system in which  only conservative 

system, identify  that the mechanical  energy of the 

forces act, apply the conservation of mechanical 

system is the sum of the kinetic energies and poten- 

energy to relate the initial  potential  and kinetic ener- 

tial energies of those objects. 

gies to the potential and kinetic  energies at a later  instant. 

Key  Ideas  ●

E mec  of a system is the sum  K and potential energy U: 

The mechanical  energy 

of its kinetic  energy 

E mec  = K + U.  ●

principle  of conservation of mechanical  energy is writ-  ten as 

K 2  + U 2  = K 1   + U 1,  

An isolated system is one in which  no external force 

in which  the subscripts refer to different  instants during 

causes energy changes. If only conservative forces 

an energy transfer process. This conservation principle 

do work within  an isolated system, then  the mechani- 

can also be written as 

E mec  of the system cannot  change. This 

cal energy 

∆E mec  = ∆K + ∆U = 0. 

Conservation of Mechanical Energy 

The mechanical energy E mec  of a system is the sum of its potential energy U and  the kinetic energy K of the objects within  it:  E mec  = K + U 

(mechanical energy). 

(8.2.1) 

In this  module, we examine what happens to this  mechanical energy when only  conservative  forces  cause  energy  transfers  within  the  system—that  is,  when  frictional and drag forces do  not act on  the objects in  the system. Also, we shall  assume that the system is isolated from its environment; that is, no external force  from an object outside the system causes energy changes inside the system.  When  a  conservative force  does  work  W  on  an  object  within  the  system,  that force transfers energy between kinetic  energy K of the object and potential  energy U of the system. From Eq. 7.2.8, the change ∆K in kinetic energy is  ∆K = W 

(8.2.2) 

/

194

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

and from Eq. 8.1.1, the change ∆U in potential energy is  ∆U = −W. 

(8.2.3) 

Combining Eqs. 8.2.2 and 8.2.3, we find that  ∆K = −∆U. 

(8.2.4) 

In words, one of these energies increases exactly as much as the other decreases.  We can rewrite Eq. 8.2.4 as  K 2  − K 1  = −(U 2  − U 1),   

(8.2.5) 

where  the  subscripts  refer to  two  different  instants  and  thus  to  two  different  arrangements of the objects in the system. Rearranging Eq. 8.2.5 yields  K 2  + U 2  = K 1  + U 1  

(conservation of mechanical energy). 

(8.2.6) 

In words, this equation says:  the sum of K and U for 

the sum of K and U for 

(  any state of a system  ) =  (any other state of the system   ) ,  when the system is isolated and only conservative forces act on the objects in the  system. In other words: 

In an isolated system where only conservative forces cause energy changes, the  kinetic energy and potential energy can change, but their sum, the mechanical  energy E mec  of the system, cannot change. 

This result is called the principle of conservation of mechanical energy. (Now you  can see where conservative forces got their name.) With  the aid of Eq. 8.2.4, we  can write this principle in one more form, as  ∆E mec = ∆K + ∆U = 0. 

(8.2.7) 

The  principle  of  conservation  of  mechanical  energy allows  us  to  solve  problems that would be quite difficult to solve using only Newton’s laws:  When the mechanical energy of a system is conserved, we can relate the sum  of kinetic energy and potential energy at one instant to that at another instant  without considering the intermediate motion and without finding the work done  by the forces involved. 

Figure  8.2.1 shows  an  example in  which  the  principle  of  conservation  of  mechanical  energy can  be  applied: As  a  pendulum  swings,  the  energy of  the  pendulum–Earth system is transferred back and forth between kinetic  energy K  and  gravitational potential energy U, with the sum K + U being constant. If we  know  the gravitational potential energy when the pendulum  bob is at its highest  point  (Fig. 8.2.1c), Eq. 8.2.6 gives us the kinetic  energy of the bob  at the lowest  point  (Fig. 8.2.1e).  For  example, let us  choose the  lowest point  as the reference point, with  the  gravitational potential energy U2   = 0. Suppose then that the potential energy at the  highest point is U 1  = 20 J relative to the reference point. Because the bob momen-  tarily stops at its highest  point, the kinetic  energy there  is K 1   =  0. Putting  these  values into Eq. 8.2.6 g ives us the kinetic energy K 2  at the lowest point:  K 2  + 0 = 0 + 20 J 

or 

K 2  = 20 J. 

/

8.2  C ONSERV AT ION  OF   MEC HANIC AL   ENERGY  

195

v = +v max

All kinetic energy v  v 

v  U U

K

K U

(a )

(h)

K

(b )

A pendulum, with its  mass concentrated in a bob at the  lower end, swings back and forth.  One full cycle of the motion is  shown. During the cycle the values  of the potential and kinetic ener-  gies of the pendulum–Earth system  vary as the bob rises  and falls, but  the mechanical energy E mec  of the  system remains constant. The energy  E mec  can be described as continu-  ously shifting between the kinetic  and potential forms. In stages (a) and  (e), all the energy is kinetic energy.  The bob then has its greatest speed  and is at its lowest point. In stages  (c) and (g), all the energy is potential  energy. The bob then has zero speed  and is at its highest point. In stages  (b), (d), ( f ), and (h), half the energy  is kinetic energy and half is potential  energy. If the swinging involved a  frictional force at the point where the  pendulum is attached to the ceiling,  or a drag force due to the air, then  E mec  would not be conserved, and  eventually the pendulum would stop.  Figure  8.2.1 

v  = 0

v  = 0

All potential energy U

The total energy does not change (it is conserved ).

All potential energy

K

U

(g )

K

(c )

v  = –v max

v 

U

K

(f )

v 

U

v 

K

(d )

All kinetic energy U

K

(e )

Note that we get this result without considering the motion between the highest  and  lowest points  (such  as in  Fig. 8.2.1d) and without  finding the work  done  by  any forces involved in the motion. 

Checkpoint 8.2.1 

The figure shows  A four situations—one  in which an initially  stationary block is  dropped and three  in which the block is  allowed to slide down  B B B B frictionless ramps.  (1) (2) (3) (4) (a) Rank the situa-  tions according to the  kinetic energy of the block at point B, greatest first. (b) Rank them according to the  speed of the block at point B, greatest first. 

/

196

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

Sample Problem 8.2.1

Conservation of  mechanical  energy,  water slide 

The  huge advantage of using  the conservation of energy  instead of  Newton’s  laws of  motion  is that  we can jump  from the  initial  state to  the  final  state without  consider-  ing  all  the  intermediate motion. Here is  an  example. In  Fig. 8.2.2, a  child of mass m is released from rest at the top  of a water slide, at height h = 8.5 m above the bottom  of  the  slide. Assuming that  the  slide  is  frictionless because  of the water on  it, find the child’s  speed at the bottom of  the slide. 

The total mechanical energy at the top is equal to the total at the bottom.

KEY IDEAS (1) We  cannot find  her speed at the bottom  by using her  acceleration along  the  slide  as we might  have in  earlier  chapters because  we  do  not  know  the  slope  (angle) of  the  slide. However, because that  speed  is  related to  her  kinetic  energy, perhaps we can use  the principle  of  con-  servation of mechanical energy to get the speed. Then we  would  not need to know the slope. (2) Mechanical energy  is  conserved in  a  system if  the  system is  isolated and  if  only  conservative forces cause energy transfers within  it.  Let’s check.  Forces: Two forces act on  the child. The gravitational  force, a conservative force, does work on her. The normal  force on her from the slide does no work because its direc-  tion at any point  during the descent is always perpendicu-  lar to the direction in which the child moves.  System:  Because the  only  force  doing  work  on  the  child is the gravitational force, we choose the child–Earth  system as our system, which we can take to be isolated.  Thus, we have only a conservative force doing work in  an isolated system, so we can use the principle of conser-  vation of mechanical energy.  Let the mechanical energy be E mec,t  when  the child is at the top of the slide and E mec,b  when she is at  the bottom. Then the conservation principle tells us  Calculations:

E mec,b  = E mec,t . 

(8.2.8) 

Figure  8.2.2 

a height h. 

h

A child slides down a water slide as she descends 

To  show both  kinds of mechanical energy, we have  K b + U b = K t + U t , 

(8.2.9) 

1  _  _ mv 2 + mgy .  mv b2   + mgy b  =  1  t  t  2  2 

or 

Dividing by m and rearranging yield  v b2   = v t2    + 2g(y t  − y b).    Putting v t  = 0 and y t  − y b = h leads to  ____ 

__________________ 

v b  = √ 2gh =  √ (2)(9.8 m/s 2 )(8.5 m)  = 13 m / s. 

(Answer) 

This is the same speed that the child would reach if she fell  8.5 m vertically. On an actual slide, some frictional forces  would act and the child would not be moving quite so fast.  Although  this  problem  is  hard  to  solve  directly with Newton’s laws, using conservation of mechan-  ical energy makes the  solution  much  easier. However, if  we were asked to find the time taken for the child to reach  the bottom  of  the  slide, energy methods  would  be  of  no  use; we would need to know the shape of the slide, and we  would have a difficult problem.  Comments:

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

8.3  READING A POTENTIAL ENERGY CURVE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

8.3.1  Given  a particle’s  potential energy as a function 

x

of its position  , determine the force on the particle. 

x

8.3.2  Given  a graph of potential energy versus  , deter-  mine  the force on a particle. 

x

8.3.3  On a graph of potential energy versus  , super-  impose a line for a particle’s mechanical  energy and  determine the particle’s  kinetic energy for any given 

x

value of  . 

/

8.3  READ ING  A  P OT ENT IAL   ENERGY   C U RV E 

8.3.4  If a particle moves along an 

x axis, use a potential 

8.3.5  On a potential energy graph, identify any turning 

energy graph for that axis and the conservation of 

points and any regions where the particle is not 

mechanical  energy to relate the energy values at one  position to those at another  position. 

197

allowed  because of energy requirements.  8.3.6  Explain  neutral  equilibrium,  stable equilibrium,  and unstable  equilibrium. 

Key  Ideas  ●

U(x) for a  F(x) acts on 

a particle,  we can find the force as 

dU(x )  F(x ) = − _.   dx  U(x)  is given on a graph, then at any value of x ,  the force  F(x) is the negative of the slope of the curve  ●

K(x) = E mec  − U(x), 

If we know the potential energy function 

system in  which  a one-dimensional  force 

If 

where 

E mec  is the mechanical  energy of the system.  x at which  the particle  K = 0 ). 

● A turning point is a point 

reverses its motion (there,  ●

The particle is in  equilibrium  at points where  the 

U(x) curve is zero (there,  F(x) = 0 ). 

slope of the 

there and the kinetic energy of the particle  is given by 

Reading a Potential Energy Curve 

Once again we consider a particle that is part of a system in which a conservative  force  acts. This  time suppose  that  the  particle is  constrained to  move along  an  x axis while the conservative force does work on it. We want to plot the potential  energy U(x) that is associated with that force and the work that it does, and then  we want to consider how we can relate the plot back to the force and to the kinetic  energy of the particle. However, before we discuss such plots, we need one more  relationship between the force and the potential energy.  Finding  the  Force  Analytically 

Equation 8.1.6 tells us how to find the change ∆U in potential energy between two  points  in a one-dimensional situation if we know  the force F(x). Now we want to  go the other  way; that  is, we know  the potential  energy function  U(x) and  want  to find  the force.  For one-dimensional motion, the work W done by a force that acts on a par-  ticle as the particle moves through  a distance ∆x is F(x) ∆x. We can then  write  Eq. 8.1.1 as  ∆U(x) = −W = −F(x) ∆x. 

(8.3.1) 

Solving for F(x) and passing to the differential limit yield  dU(x )  F(x ) = − _  (one-dimensional motion),  dx 

(8.3.2) 

which is the relation we sought.  1 kx 2 , which is the elastic poten-  We can check this result by putting U(x ) = _  2  tial  energy function  for  a spring  force. Equation  8.3.2 then  yields, as expected,  F(x) = −kx, which is Hooke’s law. Similarly, we can substitute U(x) = mgx, which  is  the  gravitational potential  energy function  for  a  particle–Earth system, with  a particle of mass m at height x above Earth’s surface. Equation 8.3.2 then yields  F = −mg, which is the gravitational force on the particle.  The  Potential  Energy Curve 

Figure 8.3.1a is a plot  of a potential  energy function  U(x) for a system in  which  a particle is in one-dimensional motion while a conservative force F(x) does work  on it. We can easily find F(x) by (graphically) taking the slope of the U(x) curve at 

/

198

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

various points. (Equation 8.3.2 tells us that F(x) is the negative of the slope of the  U(x) curve.) Figure 8.3.1b is a plot  of F(x) found  in this way.  Turning  Points 

In the absence of a nonconservative force, the mechanical energy E of  a system  has a constant value given by  U(x) + K(x) = E mec . 

(8.3.3) 

Here K(x) is  the kinetic energy function  of  a particle in  the system (this  K(x)  gives  the  kinetic  energy  as  a  function  of  the  particle’s  location  x).  We  may  rewrite Eq. 8.3.3 as  K(x) = E mec  − U(x). 

(8.3.4) 

Suppose  that E mec  (which  has a constant value, remember) happens to be 5.0 J.  It would  be represented in Fig. 8.3.1c by a horizontal line  that runs through  the  value 5.0 J on the energy axis. (It is, in fact, shown there.)  Equation 8.3.4 and Fig. 8.3.1d tell us how  to determine the kinetic  energy K  for any location x of the particle: On the U(x) curve, find U for that location x and  then subtract U from E mec . In Fig. 8.3.1e, for example, if the particle is at any point  to the right of x 5  , then K = 1.0 J. The value of K is greatest (5.0 J) when the particle  is at x 2  and least (0 J) when the particle is at x 1.   Since K can never be negative (because v 2 is always positive), the particle can  never move to the left of x 1  , where E mec  − U is negative. Instead, as the particle  moves toward x 1   from x 2 , K decreases (the particle slows) until  K = 0 at x 1   (the    particle stops there).  Note that  when  the  particle reaches x 1, the  force on  the  particle, given  by    Eq.  8.3.2, is positive (because the  slope  dU/dx is negative). This  means that  the  particle does not remain at x 1  but instead begins to move to the right, opposite its  earlier m otion. Hence x  1  is a turning point, a place where K = 0 (because U = E mec )  and  the particle changes direction. There is  no  turning  point  (where K =  0) on  the right side of the graph. When  the particle heads to the right, it will continue  indefinitely. 

A  U

( J) ( )

U x

This is a plot of the potential energy U versus position x.

Force is equal to the negative of the slope of the U(x ) plot.

6

F

(N)

Strong force, +x direction

5 4

+

3 x1

2 1 (a )

x2

x3

x4

x5

x

– x1

x2

x3

x4

x5

x

(b )

Mild force, –x direction

(a) A plot of U(x), the potential energy function of a system containing a  particle confined to move along an x axis. There is no friction, so mechanical energy is  conserved. (b) A plot of the force F(x) acting on the particle, derived from the potential  energy plot by taking its slope at various points. (Figure continues)  Figure  8.3.1 

/

8.3  READ ING  A  P OT ENT IAL   ENERGY   C U RV E 

U

( J),

E mec

The flat line shows a given value of the total mechanical energy Emec.

( J)

U

( J),

E mec

( J)

( )

U x

6

E mec

= 5.0 J

The difference between the total energy and the potential energy is the kinetic energy K. U(x )

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

Emec

x1

K

x2

x3

x4

x

x5

(d )

x1

At this position, K is zero (a turning point ). The particle cannot go farther to the left. ( J),

= 5.0 J

1

(c )

U

199

E mec

( J)

At this position, K is greatest and the particle is moving the fastest.

6

Emec

U

= 5.0 J

E mec

x3

x4

x

x5

For either of these three choices for Emec, the particle is trapped (cannot escape left or right).

( J)

6

5

5

4

K

= 5.0 J at x 2

4

3

K

= 1.0 J at x > x 5

3

2

2

1 (e )

( J),

x2

1 x1

x2

x3

x4

x5

x

(f )

x1

x2

x3

x4

x

x5

(Continued)  (c)–(e) How to determine the kinetic energy. ( f ) The U(x) plot  of (a) with three possible values of E mec  shown. In  WileyPLUS, this figure is available as  an animation with voiceover.  Figure  8.3.1 

Equilibrium  Points 

Figure 8.3.1f shows three different values for E mec  superposed on  the plot  of the  potential  energy function  U(x)  of  Fig.  8.3.1a. Let  us  see how  they  change  the  situation. If E mec  = 4.0 J (purple line), the turning point  shifts from x 1   to a point  between x 1   and x 2. Also, at any point  to  the right  of x 5, the system’s mechanical      energy is equal to its potential energy; thus, the particle has no kinetic energy and  (by Eq. 8.3.2) no force acts on  it, and so it must be stationary. A particle at such  a position  is said to be in neutral equilibrium.  (A marble placed on a horizontal  tabletop is in that state.)  If E mec = 3.0 J (pink line), there are two turning points: One is between x 1 and    x 2, and the other is between x    4  and x 5  . In addition, x 3  is a point  at which K = 0. If  the particle is located exactly there, the force on  it is also zero, and  the particle  remains stationary. However, if  it  is  displaced  even slightly in  either  direction,  a nonzero  force pushes  it farther in  the same direction, and the particle contin-  ues to  move. A particle at such  a position  is said to  be in  unstable equilibrium.  (A marble balanced on top of a bowling ball is an example.) 

/

200

C HAP T ER 8  P OT ENT IAL   ENERGY   AND   C ONSERV AT ION  OF   ENERGY  

Next consider the particle’s behavior if E mec  = 1.0 J (green line). If we place it  at x 4 , it is stuck there.  It cannot move left or right on its own because to do so would    require a negative kinetic energy. If we push it slightly left or right, a restoring force  appears that moves it back to x 4 .    A  particle at such a position  is said to be in stable  equilibrium. (A marble placed at the bottom of a hemispherical bowl is an example.)  If we place the particle in the cup-like potential well centered at x 2, it is between two    turning points. It can still move somewhat, but only partway to x 1  or x 3 .   

Checkpoint 8.3.1 

The figure gives the potential energy function  U(x) for a system in which a particle is in one-  dimensional motion. (a) Rank regions AB,  BC, and CD according to the magnitude of the  force on the particle, greatest first. (b) What is  the direction of the force when the particle is in  region AB? 

)J( ) x(U

Sample Problem 8.3.1

5 3 1 B

C D

Reading  a potential  energy graph 

20 E mec

16 )J ( U

A 2.00 kg particle moves along an x axis in one-dimensional  motion  while a conservative force along that axis acts on  it. The  potential energy U(x) associated with the force is  plotted in Fig. 8.3.2a. That is, if the particle were placed at  any position between x = 0 and x = 7.00 m, it would  have  the plotted value of U. A t x = 6.5 m, the particle has veloc-  ity  v 0 = (−4.00 m/s ) ˆ  i. 

= 16 J

Kinetic energy is the difference between the total energy and the potential energy.

K1

7

K0

→

0

(a) From Fig. 8.3.2a, determine the particle’s speed at x 1 =    4.5 m. 

1 x

20

1  2  _  1  2  K 0  = _  2 mv 0   =  2 (2.00 kg)(4.00 m/s) 

= 16.0 J.  Because the potential energy there is U = 0, the mechani-  cal energy is  E mec = K 0  + U 0  = 16.0 J + 0 = 16.0 J .  This  value  for  E mec  is  plotted  as  a  horizontal  line  in  Fig. 8.3.2a. From  that figure we see that  at x =  4.5 m, the  potential energy is  U 1   = 7.0 J. The  kinetic energy K 1   is the  difference between E mec and U 1:   K 1  = E mec  − U 1  = 16.0 J − 7.0 J = 9.0 J. 

5

6

7

Turning point

16

U

At x = 6.5 m, the particle has kinetic energy 

)J (

(1) The particle’s kinetic energy is given by Eq. 7.1.1 (K =  1  _  mv 2 ). (2) Because only  a conservative force acts on  the  2  particle, the  mechanical energy E mec  (=  K  +  U ) is  con-  served as the particle moves. (3) Therefore, on  a plot  of  U(x) such as Fig. 8.3.2a, the kinetic energy is equal to the  difference between E mec  and U. 

4 (m)

(a )

KEY IDEAS

Calculations:

x A

7

1

4

x

(m)

The kinetic energy is zero at the turning point (the particle speed is zero).

d

(b)

(a) A plot of potential energy U versus position x.  (b) A section of the plot used to find where the particle turns  around.  Figure  8.3.2 

1  Because K 1   = _  mv 12  , we find  2 

v 1   = 3.0 m / s. 

(Answer) 

(b) Where is the particle’s turning point located? 

KEY IDEA The  turning  point  is  where the  force momentarily stops  and then reverses the particle’s motion. That is, it is where  the particle momentarily has v = 0 and thus K = 0. 

/

8.4  WORK  D ONE  ON  A  SY ST EM  BY   AN  EXT ERNAL   F ORC E 

Because K is the difference between E mec  and  U, we  want  the  point  in  Fig. 8.3.2a  where  the  plot  of  U  rises to  meet the  horizontal  line  of  E mec , as shown  in  Fig.  8.3.2b. Because the  plot  of  U is  a straight  line  in  Fig.  8.3.2b, we can draw  nested right  triangles as shown  and then write the proportionality  of distances  Calculations:

KEY IDEA The force is given by Eq. 8.3.2 (F(x) = −dU(x)/dx): The force  is equal to the negative of the slope on a graph of U(x).  For the graph of Fig. 8.3.2b, we see that for  the range 1.0 m  0, what are  given by  v  =  −2.0 t 3 i m  (a)  the angular momentum L  of the car  and (b)  the torque  τ on the car,  both calculated about the origin? What are  (c)  L  and (d)  τ about the point (2.0 m, 5.0 m, 0)? What are (e) L  and  (f)  τ  about the point (2.0 m, −5.0 m, 0)? 

73 

→

→

→

→

→

→

→

A  wheel  rotates  clockwise  about its  central  axis  with an  angular  momentum  of  600 kg · m2   /s.  At  time  t = 0,  a  torque  of  magnitude  50 N ·  m  is  applied  to  the  wheel  to  reverse  the  rotation. At what time t is the angular speed zero?  74 

SSM  In  a  playground,  there  is  a  small  merry-go-round  of  radius  1.20 m  and  mass  180 kg.  Its  radius  of  gyration (see  Problem 79  of Chapter 10)  is  91.0 cm. A child of mass  44.0 kg  runs at  a  speed of 3.00 m/s  along a path that is  tangent to the  rim of  the initially stationary  merry-go-round and then jumps  on.  Neglect  friction  between  the  bearings  and  the  shaft  of  the  merry-go-round. Calculate (a)  the rotational inertia of the  merry-go-round about its axis of rotation, (b) the magnitude of  the angular momentum of  the running child about the axis  of  rotation of the merry-go-round, and (c) the angular speed of the  merry-go-round and child after the child has jumped onto the  merry-go-round. 

75 

A uniform block of granite in the shape of a book has face  dimensions of 20 cm and 15 cm and a thickness of 1.2 cm. The  density (mass  per  unit volume)  of  granite  is  2.64  g/cm 3 .  The  block rotates around an axis that is perpendicular to its face and  halfway between its center and a corner. Its angular momentum  about that axis  is  0.104  kg ·  m2    /s.  What is  its  rotational kinetic  energy about that axis?  76 

Two particles, each of mass  2.90 × 10 −4  kg and speed  5.46 m/s,  travel  in  opposite  directions  along  parallel  lines  separated by 4.20 cm. (a) What is the magnitude L of the angular  momentum of the two-particle system around a  point midway  between the  two lines?  (b)  Is  the  value different for  a  differ-  ent location of  the point? If  the direction of  either particle  is  reversed, what are the answers for (c) part (a) and (d) part (b)?  77 

SSM 

A  wheel of radius  0.250 m, moving initially at 43.0  m/s,  rolls  to  a  stop  in  225 m.  Calculate  the  magnitudes  of  its  78 

/

343

P ROBL EMS 

(a)  linear  acceleration  and  (b)  angular  acceleration.  (c)  Its  rotational inertia is 0.155 kg ·  m 2  about its central axis. Find the  magnitude of the torque about the central axis due to friction  on the wheel.  CALC  Change in angular speed. In Fig. 11.8.6, a cockroach  with mass  m  rides  on  a  uniform disk of  mass  M  =  8.00m and  radius  R  =  0.0800 m.  The  disk  rotates  like a  merry-go-round  around its central axis. Initially, the cockroach is at radius r = 0  and the angular speed  of the disk is  ωi  = 1.50 rad/s.  Treat the  cockroach as a particle. The cockroach crawls  out to the rim of  the disk. When the cockroach  passes  r  = 0.800R, at  what rate  dω/ dr does the angular speed change as it moves outward? 

79 

Rolling  into  a  loop.  In  Fig.  11.39,  three  objects  will  be  released  from rest  at  height h  =  41.0 cm  to roll smoothly down a  h R straight track  and into a circular  loop of radius  R  = 14.0 cm. The  objects  are  (a)  a  thin  hoop, (b)  a  solid,  uniform  disk,  and  (c)  a  Figure  11.39  Problems 80  solid, uniform sphere,  each  with  and 82.  radius  r  ≪  R.  Determine  if  the  object  will  reach  the  top  of  the  loop  (without falling  off the  track) and calculate its speed there.  80 

Change in angular momentum. In Fig. 11.8.6, a Texas cock-  roach with mass  m = 0.0500 kg (they are large)  rides on a  uni-  form disk of mass M = 10.0m and radius R = 0.100 m. The disk  rotates like a  merry-go-round around its central axis. Initially,  the cockroach  is  at  radius r  = R  and the angular speed of the  disk is  ωi  = 0.800 rad/s. Treat the cockroach  as  a particle. The  cockroach  crawls  inward to r  =  0.500R. What is  the change in  81 

angular momentum of  (a)  the  cockroach–disk system, (b)  the  cockroach, and (c)  the disk?  CALC  Speed in a loop. In Fig. 11.39, a solid, uniform sphere  is released from rest at height h = 3R and rolls smoothly down  a straight track and into a  circular loop of radius R  = 14.0 cm.  The  release  height is  sufficiently high that the sphere  reaches  the top of the loop with some speed v. We  repeat the demon-  stration by  gradually increasing  h. At  what rate  dv/dh does  v  increase when h reaches the value 4R? 

82 

Rolling friction. When an object  rolls over a surface, the contact area  com of  both the  object and  the  surface  F can  continuously  deform  and  recover. Energy  is  lost  in that con-  tinuous motion and thus the kinetic  energy  of  the  object  gradually  h decreases. A rolling friction is said to  Figure  11.40  Problem 83.  act on the object, with a magnitude  f r  given by f r  =  μr F N , where μr  is the coefficient of rolling friction  and F N  is the magnitude of the normal force. In Fig. 11.40, a pool  ball rolls rightward over the felt of a pool table. The deformation  of the ball is negligible but the deformation of the felt creates the  rolling friction. The support forces  along the contact area  can  then be represented  by shifting the normal force F N  rightward  by distance h from being directly under the center of mass. The  torque due to that force about the center of mass works against  the rotation. The ball has mass m = 97.0 g and radius r = 26.2 mm,  and the shift distance is h = 0.330 mm. (a) What is the magnitude  of the torque due to the normal force? How much energy is lost  to the  torque if  the ball  rolls  through (b)  one revolution  and  (c) distance L = 30.0 cm? (d) What is the value of μr ?  83 

N

→

/

C

H

A

P

T

E

R

1

2

Equilibrium  and Elasticity  12.1  EQUILIBRIUM  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

12.1.1  Distinguish between  equilibrium  and static 

12.1.4  For a given distribution of particles, calculate  the 

equilibrium. 

coordinates of the center of  gravity and the  center of 

12.1.2  Specify the four conditions for static equilibrium. 

mass. 

12.1.3  Explain  center of gravity and how it relates to  center  of mass. 

Key Ideas  ●

A rigid body at rest is said to be in static equilibrium. 

xy plane,  all  torque vectors are  z axis, and the balance-of-torques equa- 

If the forces lie in the 

For such a body, the vector sum of the external forces 

parallel  to the 

acting on it is zero: 

tion is equivalent to the single component equation 

→

F net  = 0  If all the forces lie  in the 

xy plane,  this vector equation 

is equivalent to two component equations: 

F net, x   = 0  and  F net, y  = 0  ●

net, z  = 0 

(balance of forces). 

(balance of forces). 

Static equilibrium  also implies that the vector sum 

●

(balance of torques). 

The gravitational force acts individually  on each ele- 

ment of a body. The net effect  of all individual  actions  may be found  by imagining an equivalent total gravi-  →

tational force 

F g acting  at the center of gravity. If the  g  is the same for all the ele-  →

gravitational acceleration 

of the external  torques acting on the body about any

ments of the body, the center of gravity is at the center 

point is zero, or 

of mass. 

τ net  = 0 

→

(balance of torques). 

What Is Physics? 

Human constructions are supposed to be stable in spite of the forces that act on them.  A building,  for example, should  be stable in spite of the gravitational force and wind  forces on it, and a bridge should be stable in spite of the gravitational force pulling it  downward and the repeated jolting it receives from cars and trucks.  One focus of physics is on what allows an object to be stable in spite of any  forces acting on it. In this chapter we examine the two main aspects of stability:  the equilibrium of the forces and torques acting on rigid objects and the elasticity  of nonrigid objects, a property that governs how such objects can deform. When  this physics is done  correctly, it is the subject of countless articles in physics and  engineering journals;  when  it  is  done  incorrectly, it  is  the  subject of  countless  articles in newspapers and legal journals. 

Equilibrium 

344

Consider these objects: (1) a book  resting on  a table, (2) a hockey puck  sliding  with  constant  velocity across a  frictionless surface, (3) the  rotating blades  of  a  ceiling fan, and (4) the wheel of a bicycle that is traveling along a straight path at  constant speed. For each of these four objects, 

/

12.1  EQU IL IBRIU M 

345

→

1.  The linear momentum P of its center of mass is constant.  →

2.  Its angular momentum L about its center of mass, or about any other point,  is  also constant.  We say that such objects are in equilibrium. The two requirements for equilibrium  are then  (12.1.1)  P = a constant  and  L = a constant.  →

→

 kcotsrettuhS/iarapoB hgniS tijrawnaK

Our  concern  in  this  chapter  is  with  situations  in  which  the  constants  in  Eq.  12.1.1 are zero;  that is,  we are concerned largely with  objects that  are not  moving in any way—either in  translation or in  rotation—in  the reference frame  from which we observe them. Such  objects are in static equilibrium. Of the four  objects mentioned near the beginning of this module, only one—the book  resting  on the table—is in static equilibrium.  The balancing rock  of  Fig.  12.1.1 is  another example of  an  object  that, for  the present at least, is in static equilibrium. It shares this property with countless  other structures, such as cathedrals, houses, filing cabinets, and taco stands, that  remain stationary over time.  As we discussed in Module 8.3, if a body returns to a state of  static equilib-  rium after having been displaced from that  state by a force, the  body  is said to  be in stable static equilibrium. A marble placed at the bottom of a hemispherical  bowl is an example. However, if a small force can displace the body and end the  equilibrium, the body is in unstable static equilibrium.  A Domino. For example, suppose we balance a domino with the domino’s  center of  mass  vertically above  the  supporting  edge,  as  in  Fig.  12.1.2a.  The  torque about the supporting edge due to the gravitational force F g on the domino  is zero because the line of action of F g is  through that edge. Thus,  the domino  is  in  equilibrium. Of course, even a slight  force on  it due to  some chance dis-  turbance ends the equilibrium.  As the line  of action  of F g  moves to one  side  of the supporting  edge (as in Fig. 12.1.2b), the torque due to F g increases the  rotation  of  the domino.  Therefore, the  domino  in  Fig.  12.1.2a  is  in  unstable  static equilibrium.  The domino  in  Fig. 12.1.2c is not  quite  as unstable. To  topple  this  domino,  a  force would  have to  rotate it  through  and  then  beyond  the  balance position  of Fig. 12.1.2a, in  which  the center of mass is above a supporting  edge. A slight  force will  not  topple  this  domino,  but  a vigorous flick  of  the finger  against the  domino  certainly will.  (If we arrange a chain  of  such  upright dominos,  a finger  FCP  flick against the first can cause the whole chain to fall.)  A Block. The child’s square block in Fig. 12.1.2d is even more stable because  its center of mass would  have to be moved even farther to get it to pass above a  supporting edge. A flick of the finger may not topple  the block. (This is why you  never see a chain of toppling square blocks.) The worker in Fig. 12.1.3 is like both 

A balancing rock.  Although its perch seems precarious,  the rock is in static equilibrium.  Figure  12.1.1 

→

→

→

→

To tip the block, the center of mass must pass over the supporting edge.

com Fg

(a)

Fg

Fg

Supporting edge (b )

(c )

(a) A domino bal-  anced on one edge, with its center of  mass vertically above that edge. The  gravitational force F g  on the domino  is directed through the supporting  edge. (b) If the domino is rotated  even slightly from the balanced orien-  tation, then F g  causes a torque that  increases the rotation. (c) A domino  upright on a narrow side is somewhat  more stable than the domino in (a).  (d) A square block is even more  stable.  Figure  12.1.2 

B Fg

(d )

→

→

/

346

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

the domino and the square block:  Parallel to the beam, his stance is wide and he  is stable; perpendicular to the beam, his stance is narrow and he is unstable (and  at the mercy of a chance gust of wind).  The analysis of static equilibrium is very important in engineering practice. The  design engineer must isolate and  identify all  the  external forces and  torques  that  may act on  a structure and,  by  good  design  and  wise  choice of  materials, ensure  that the structure will remain stable under these loads. Such analysis is necessary to  ensure, for example, that bridges do  not collapse under their traffic and wind loads  and that the landing gear of aircraft will function after the shock of rough landings.   tidEotohP/rennerB treboR

The Requirements of Equilibrium 

The  translational  motion  of  a body  is  governed by  Newton’s second  law in  its  linear momentum form, given by Eq. 9.3.6 as 

Robert Brenner/PhotoEdit 

A construction worker  balanced on a steel beam is in static  equilibrium but is more stable parallel  to the beam than perpendicular to it.  Figure  12.1.3 

→

dP .  F net  = ___  dt 

→

(12.1.2)  →

If  the  body  is  in  translational  equilibrium—that  is,  if  P  is  a  constant—then  dP / dt = 0 and we must have  →

→

F net  = 0 

(balance of forces ). 

(12.1.3) 

The rotational motion  of  a body  is governed by Newton’s second law in  its  angular momentum form, given by Eq. 11.7.4 a s  →

dL .  τ net  = ___  dt 

(12.1.4) 

→

→

→

If the body is in  rotational equilibrium—that is, if L is a constant—then dL / dt = 0  and we must have 

τ net  = 0 

→

(balance of torques ). 

(12.1.5) 

Thus, the two requirements for a body to be in equilibrium are as follows: 

1.  The vector sum of all the external forces that act on the body must be zero.  2.  The vector sum of all external torques that act on the body, measured about  any possible point, must also be zero. 

These requirements obviously hold  for static equilibrium. They also hold  for the  more general equilibrium in which  P and L are constant but not zero.  Equations 12.1.3 a nd 12.1.5, a s vector equations, are each equivalent to three  independent component equations, one for each direction of the coordinate axes:  →

→

Balance of  forces 

Balance of  torques 

F net,x = 0  F net,y = 0  F net,z = 0 

net,x = 0  net,y = 0  net,z = 0 

(12.1.6) 

The Main Equations. We shall simplify matters by considering only situations  in which the forces that act on the body  lie in the xy plane. This  means that the only  torques that can act on the body must tend to cause rotation around an axis parallel to 

/

12.1  EQU IL IBRIU M 

347

the z axis. With this assumption, we eliminate one force equation and two torque equa-  tions from Eqs. 12.1.6, leaving  F net, x  = 0 

(balance of forces), 

(12.1.7) 

F net, y  = 0 

(balance of forces), 

(12.1.8) 

net, z = 0 

(balance of torques). 

(12.1.9) 

Here, net,z  is  the  net  torque  that  the  external forces  produce either  about  the  z axis or about any axis parallel to it.  A  hockey  puck  sliding  at  constant  velocity  over  ice  satisfies  Eqs.  12.1.7,  12.1.8, a nd 12.1.9 a nd is thus in equilibrium but not in static equilibrium. For static  equilibrium, the linear momentum P  of the puck  must be not only  constant but  also zero; the puck must be at rest on the ice. Thus, there is another requirement  for static equilibrium:  →

3.  The linear momentum P  of the body must be zero.  →

Checkpoint 12.1.1 

The figure gives six overhead views of a uniform rod on which two or more forces act  perpendicularly to the rod. If the magnitudes of the forces are adjusted properly (but kept  nonzero), in which situations can the rod be in static equilibrium? 

(a )

(b )

(c )

(d )

(e )

(f )

The Center  of Gravity 

The gravitational force on an extended body is the vector sum of the gravitational  forces acting on the individual  elements (the atoms) of the body. Instead of con-  sidering all those individual  elements, we can say that  The gravitational force F g  on a body effectively acts at a single point, called the  center of gravity (cog) of the body.  →

Here the word “effectively” means that if the gravitational forces on  the individual  elements were somehow turned off  and  the gravitational force  F g  at the center of  gravity were turned on, the net force and the net torque (about any point) acting on  the body would  not change.  Until now, we have assumed that the gravitational force F g acts at the center  of mass (com) of the body. This is equivalent to assuming that the center of grav-  ity is at the center of mass. Recall that, for a body of mass M, the force F g is equal  to M g , where g  is the acceleration that the force would produce if the body were  →

→

→

→

→

/

348

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

to fall freely. In the proof that follows, we show that 

y

If  g  is the same for all elements of a body, then the body’s center of gravity  (cog) is coincident with the body’s center of mass (com).  →

mi F gi

Line of action x

xi

O

Moment arm

(a )

This  is  approximately true  for  everyday objects  because  g  varies  only  a little  along  Earth’s  surface and  decreases in  magnitude  only  slightly  with  altitude.  Thus,  for  objects like  a mouse  or a moose,  we have been  justified  in  assuming  that the gravitational force acts at the center of mass. After the following  proof,  we shall resume that assumption.  →

y

Proof 

First,  we  consider  the  individual  elements of  the  body.  Figure  12.1.4a  shows  an  extended body,  of  mass M,  and  one  of  its  elements, of  mass m i .  A gravita-  tional  force  F gi  acts on  each  such  element and  is  equal  to  m i g i . The  subscript  on  g i  means g i  is the gravitational acceleration at the location of the element i (it  can be different for other elements).  For  the body  in  Fig. 12.1.4a, each force  F gi  acting on  an  element produces  a  torque  i  on  the  element about  the  origin  O,  with  a  moment arm x i.    Using  Eq. 10.6.3 ( = r ⊥F ) as a guide, we can write each torque    as    i  →

cog

→

Fg x cog

O

Moment arm

→

→

→

x

Line of action

(b )

(a) An element of mass  m i  in an extended body. The gravi-  tational force F gi  on the element has  moment arm x i  about the origin O  of the coordinate system. (b) The  gravitational force F g  on a body is  said to act at the center of gravity  (cog) of the body. Here F g  has  moment arm x cog  about origin O. 

i  = x i F gi . 

Figure  12.1.4 

→

→

→

(12.1.10) 

The net torque on all the elements of the body is then 

τ net =  τi  =  ∑

∑

x i F gi . 

(12.1.11) 

Next, we consider the body as a whole. Figure 12.1.4b shows the gravitational  force F g  acting at the body’s center of gravity. This force produces a torque   on  the body  about  O, with moment arm x cog . Again using  Eq. 10.6.3, we can write  this torque as  →

 = x cog F g . 

(12.1.12) 

→

The  gravitational force F g  on  the body  is equal  to  the sum  of the  gravitational  forces  F gi  on  all its  elements, so we can substitute  Σ F gi  for  F g   in  Eq. 12.1.12 to  write  →

 = x cog 

∑

F gi . 

(12.1.13) 

→

Now recall that the torque due to force F g acting at the center of gravity is equal to  the net torque due to all the forces F gi  acting on all the elements of the body. (That  is  how  we defined  the center of  gravity.) Thus,   in  Eq. 12.1.13 is  equal to  net  in  Eq. 12.1.11. Putting those two equations together, we can write  →

x cog  ∑ F gi  = ∑ x i F gi  Substituting  m i g i  for F gi  gives us  x cog ∑ m i g i  = ∑ x i m i g i . 

(12.1.14) 

Now here is a key idea: If the accelerations g i  at all the locations of the elements  are the same, we can cancel g i  from this equation to write  x cog  ∑ m i  = ∑ x i m i . 

(12.1.15) 

The sum Σ m  i  of the masses of all the elements is the mass M of the body. There-  fore, we can rewrite Eq. 12.1.15 a s  1 ∑ x m .  x cog  = ___  M  i  i 

(12.1.16) 

/

12.2  SOME  EXAMP L ES  OF  ST AT IC   EQU IL IBRIU M 

349

The right side of this  equation gives the coordinate x com  of the body’s  center of  mass (Eq.  9.1.4). We now  have what  we sought  to prove. If the  acceleration of  gravity is the same at all locations of the elements in a body, then the coordinates  of the body’s com and cog are identical:  x cog  = x com . 

(12.1.17) 

12.2  SOME EXAMPLES OF STATIC EQUILIBRIUM  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

12.2.1  Apply the  force and torque conditions for static 

of the origin (about which  to calculate  torques) can 

equilibrium. 

simplify  the calculations  by eliminating one or more 

12.2.2  Identify that a wise choice  about the placement 

unknown  forces from the torque equation. 

Key  Ideas  ●

A rigid body at rest is said to be in static equilibrium. 

●

Static equilibrium  also implies that the vector sum 

For such a body, the vector sum of the external  forces 

of the external  torques acting on the body about any

acting on it is zero: 

point is zero, or 

→

F net  = 0 

If all the forces lie in the 

τ net  = 0 

→

( balance of forces ). 

xy plane,  all torque vectors are  z axis, and the balance-of-torques equa- 

If the forces lie in the 

xy plane,  this vector equation 

parallel  to the 

is equivalent to two component equations: 

F net, x  = 0  and  F net, y  = 0 

(balance  of torques ). 

tion is equivalent to the single component equation 

net, z = 0 

(balance of forces). 

(balance of torques). 

Some  Examples of Static  Equilibrium 

Here  we  examine  several sample  problems  involving  static  equilibrium.  In  each, we select a system of  one or  more objects to  which we apply  the equa-  tions  of  equilibrium  (Eqs.  12.1.7, 12.1.8, and  12.1.9). The  forces involved  in  the equilibrium are all in the xy plane, which means that the torques involved  are parallel to the z axis. Thus, in  applying Eq. 12.1.9, the balance of torques,  we  select an  axis parallel to  the z  axis about  which to  calculate the torques.  Although  Eq. 12.1.9 is  satisfied for  any such choice of  axis, you  will  see that  certain  choices  simplify  the  application  of  Eq.  12.1.9 by  eliminating  one  or  more unknown  force terms. 

Checkpoint 12.2.1 

The figure gives an overhead view of a uniform rod in static equilibrium. (a) Can  you find the magnitudes of unknown forces F 1  and F 2  by balancing the forces? (b) If  you wish to find the magnitude of force F 2  by using a balance of torques equa-  tion, where should you place a rotation axis to eliminate F 1  from the equation? (c) The  magnitude of F 2  turns out to be 65 N. What then is the magnitude of F 1 ?  →

→

→

→

→

20 N

→

4d

2d

10 N

d

F1

d

F2

30 N

/

350

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

Sample Problem 12.2.1

System

Balancing  a horizontal beam 

In  Fig.  12.2.1a,  a  uniform  beam,  of  length  L  and  mass  m = 1.8  kg, is  at rest on  two  scales. A uniform  block,  with  mass M = 2.7 kg, is at rest on the beam, with its center a dis-  tance L/4 from the beam’s left end. What do the scales read? 

L

L

4

Block

M

Beam m

Scale

Scale

KEY IDEAS The  first  steps  in  the  solution  of  any  problem  about  static  equilibrium  are  these:  Clearly  define  the  system  to  be  analyzed and  then  draw  a  free-body diagram of  it,  indicating all the forces on  the system. Here, let us  choose  the system as the beam and block taken together. Then the  forces on  the  system are shown  in  the  free-body diagram  of Fig. 12.2.1b. (Choosing the system takes experience, and  often  there  can be  more than  one  good  choice.) Because  the system is in static equilibrium, we can apply the balance  of forces equations (Eqs. 12.1.7 and 12.1.8) and the balance  of torques equation (Eq. 12.1.9) to it.  The  normal  forces  on  the  beam  from  the  scales are F l  on the left and F r  on  the right. The scale read-  ings  that  we  want  are  equal  to  the  magnitudes  of  those  forces. The  gravitational force F g,beam  on  the  beam acts at  the beam’s center of mass and is equal to m g  . Similarly, the  gravitational force F g,block  on  the  block  acts at  the block’s  center of  mass and  is  equal  to  m g  . However, to  simplify  Fig. 12.2.1b, the block  is represented by a dot  within  the  boundary  of  the  beam and  vector  F g,block  is  drawn  with  its tail  on that  dot. (This  shift  of the  vector F g,block  along  its  line  of  action  does  not  alter  the  torque  due  to  F g,block  about any axis perpendicular to the figure.)  The  forces  have  no  x  components,  so  Eq.  12.1.7  (F net, x  = 0)  provides  no  information.  For  the  y  compo-  nents, Eq. 12.1.8 (F net,y = 0) gives us 

(a ) y

Fl

The vertical forces balance but that is not enough. L

Fr

2 L

4

x

Block

Beam F g, bea m = mg

We must also balance torques, with a wise choice of rotation axis.

Calculations: →

→

F g,block

= Mg (b )

→

→

→

→

→

→

→

F l  + F r  − Mg − mg = 0. 

(12.2.1) 

This equation contains two unknowns,  the forces F l  and  F r , so  we also  need to  use Eq. 12.1.9, the balance-  of-torques equation. We can apply it to any rotation axis  perpendicular to the plane of Fig. 12.2.1. Let us choose a  rotation axis through the left end of the beam. We shall  also use our general rule for  assigning signs to torques:  If  a  torque  would  cause an  initially  stationary body  to  rotate  clockwise  about  the  rotation  axis, the  torque  is  negative. If the rotation would be counterclockwise, the  torque  is  positive. Finally, we shall write the torques in  the form r ⊥ F, where the moment arm r ⊥ is 0 for F l , L/4 for  M g , L/2 for m g  , and L for F r .  We now can write the balancing equation (net, z  = 0) as  →

→

→

→

(0)(F l) – (L/4)(Mg) – (L/2)(mg) + (L)(F    r) = 0,   

(a) A beam of mass m supports a block of mass  M.  (b)  A free-body diagram, showing the forces that act on the  system beam + block.  Figure  12.2.1 

which gives us  1  1  F r = _  Mg + _  mg  4  2  1  1  = _  (2.7 kg)(9.8 m/s 2 ) + _  (1.8 kg)(9.8 m/s 2 )  4  2 

=15.44 N ≈ 15 N. 

(Answer) 

Now,  solving  Eq.  12.2.1 for  F l  and  substituting  this  result,  we find  F l  = (M + m)g − F r  = (2.7 kg + 1.8 kg)(9.8 m /s 2 ) − 15.44 N 

= 28.66 N ≈ 29 N. 

(Answer) 

Notice  the  strategy in  the  solution:  When  we  wrote  an equation  for the balance of force components, we got  stuck  with two unknowns.  If we had written an equation  for the balance of torques around some arbitrary axis, we  would  have again gotten stuck with those two unknowns.  However, because we chose the axis to  pass through  the  point of application of one of the unknown  forces, here F l ,  we  did  not  get stuck.  Our  choice  neatly eliminated  that  force from  the torque  equation,  allowing  us to  solve for  the other unknown  force magnitude F r. Then we returned    to  the  equation  for  the  balance of  force components  to  find the remaining unknown  force magnitude.  →

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

351

12.2  SOME  EXAMP L ES  OF  ST AT IC   EQU IL IBRIU M 

Sample Problem 12.2.2

Balancing  a  leaning boom 

Figure  12.2.2a  shows  a  safe (mass  M = 430 kg)  hanging  by a rope  (negligible mass) from a boom  (a = 1.9 m and  b = 2.5 m)  that  consists  of  a uniform  hinged  beam (m =  85 kg) and horizontal cable (negligible mass). 

b

Cable

θ

(a) What  is the  tension T c  in  the  cable? In  other  words,  what is the magnitude of the force T c  on  the beam from  the cable?  →

Beam com

m

a

Rope

KEY IDEAS The  system here  is  the  beam  alone,  and  the  forces  on  it  are shown  in  the  free-body  diagram  of  Fig.  12.2.2b.  The  force from the cable is T c . The gravitational force on the  beam acts at the beam’s  center of  mass (at  the beam’s  center)  and  is  represented by  its  equivalent  m g  .  The  vertical component  of  the  force  on  the  beam  from  the  hinge is  F v , and the horizontal  component  of  the force  from the hinge is F h . The force from the rope supporting  the  safe  is  T r .  Because  beam,  rope,  and  safe  are  stationary, the  magnitude  of  T r  is  equal  to  the  weight  of  the  safe:  T r  = Mg.  We  place  the  origin  O  of  an  xy  coordinate system at the hinge. Because the system is in  static equilibrium, the balancing equations apply to it. 

Hinge

(a )

→

M

→

y

Tc

→

θ

→

Tr

→

Beam

→

Let us start with  Eq. 12.1.9 ( net, z  = 0). Note that  we  are asked  for  the  magnitude  of  force T c  and  not  of  forces  F h  and  F v  acting  at  the  hinge,  at  point  O.  To  eliminate F h  and  F v  from  the  torque  calculation,  we  should  calculate  torques  about  an  axis  that  is  perpendicular to the figure at point  O. Then F h  and F v  will  have moment arms of zero. The lines of action for T c , T r ,  and  m g  are  dashed  in  Fig.  12.2.2b.  The  corresponding  moment arms are a, b, and b/2.  Writing  torques in  the form of  r ⊥ F and  using  our  rule    about  signs  for  torques,  the  balancing  equation  net,z   = 0  becomes 

Here is the wise choice of rotation axis.

Calculations:

→

→

→

→

→

x Fh

(a) A heavy safe is hung from a boom consisting  of a horizontal steel cable and a uniform beam. (b) A free-  body diagram for the beam.  Figure  12.2.2 

→

→

→

→

1  _  (a) (T c)    − (b)(T r ) − (2 b )(mg)  =  0. 

F v 

O

(b )

→

mg

(12.2.2) 

Substituting Mg for T r  and solving for T c, we find that    1  gb(M + _  m)    2  T c  =  _a _ 2 

(9.8 m/s  )(2.5 m)(430 kg + 85/2 kg)  ______  = _______________ 1.9 m  = 6093 N ≈ 6100 N.  (Answer)  (b) Find  the magnitude  F of  the net  force  on  the  beam  from the hinge. 

magnitude F  of  the  net  force.  Because we know  T c, we    apply the force balancing equations to the beam.  Calculations:

F net, x  = 0 as 

For the horizontal balance, we c an rewrite  F h − T c = 0, 

and so 

(12.2.3) 

F h  = T c  = 6093 N. 

For the vertical balance, we write F net,y  = 0 as  F v  − mg − T r  = 0.  Substituting  Mg for T r  and solving for F v, we find that    F v  = (m + M)g = (85 kg + 430 kg)(9.8 m/s 2 )  = 5047 N.  From the Pythagorean theorem, we now have  _ 

2  F = √ F 2  h + F v 

____________________ 

= √ (6093 N) 2 + (5047 N ) 2  ≈ 7900 N.   (Answer ) 

KEY IDEA Now we want  the horizontal  component  F h  and  vertical  component  F v   so  that  we can  combine  them  to  get the 

Note that  F is substantially greater than  either the com-  bined  weights of  the  safe and  the  beam, 5000 N,  or  the  tension in the horizontal wire, 6100 N. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

352

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

Sample Problem 12.2.3

Balancing  a  leaning ladder 

In  Fig.  12.2.3a,  a  ladder  of  length  L = 12 m  and  mass  m = 45 kg  leans against a  slick  wall  (that  is,  there  is  no  friction  between the  ladder  and  the  wall).  The  ladder’s  upper  end is at height h = 9.3 m above the  pavement on  which  the  lower  end  is  supported  (the  pavement is  not  frictionless). The  ladder’s center of  mass is L/3 from the  lower  end,  along  the  length  of  the  ladder. A  firefighter  of  mass M = 72 kg  climbs  the  ladder  until  her  center of  mass is L/2 from the lower end. What then  are the mag-  nitudes of the forces on  the ladder from the wall and the  pavement? 

KEY IDEAS

a torque  due to  M g  about any axis perpendicular to the  figure. Thus, the shift does not affect the torque balancing  equation that we shall be using.)  The only  force on the ladder from the wall is the hori-  zontal  force  F w  (there  cannot  be  a frictional  force  along  a frictionless wall, so there is no  vertical force on  the lad-  der  from  the  wall).  The force  F p  on  the  ladder  from  the  pavement has two components: a horizontal component F px  that  is  a  static  frictional  force  and  a  vertical  component  F py  that is a normal force.  To apply the balancing equations, let’s start with the  torque  balancing of  Eq. 12.1.9 ( net,z = 0). To  choose an  axis about  which  to  calculate the  torques,  note  that  we  have unknown  forces ( F w  and F p ) at the two  ends of the  ladder.  To  eliminate,  say,  F p  from  the  calculation,  we  place the axis at point O, perpendicular to the figure (Fig.  12.2.3b). We also place the origin of an xy coordinate sys-  tem at O. We can find  torques about O with any of Eqs.  10.6.1 through 10.6.3, but Eq. 10.6.3 ( = r ⊥F ) is easiest to    use here. Making a wise choice about the placement of the  origin can make our torque calculation much easier.  To find the moment arm r ⊥  of the horizontal force F w  from the wall, we draw a line of action through that vec-  tor (it is the horizontal  dashed line shown in Fig. 12.2.3c).  Then r ⊥  is the perpendicular distance  between O and the  line  of action.  In Fig. 12.2.3c, r ⊥   extends  along the y axis  and  is  equal to  the  height  h.  We  similarly draw  lines  of  →

→

→

→

→

→

First,  we  choose  our  system  as  being  the  firefighter  and  ladder,  together,  and  then  we  draw  the  free-body  diagram of  Fig. 12.2.3b  to  show  the forces acting on  the  system. Because the  system is  in  static  equilibrium,  the  balancing  equations  for  both  forces  and  torques  (Eqs.  12.1.7 through 12.1.9) can be applied to it.  In  Fig.  12.2.3b,  the  firefighter  is  repre-  sented with a dot  within the boundary of the ladder. The  gravitational force on  her is represented with its  equiva-  lent expression M g , and that vector has been shifted along  its line of action (the line extending through the force vec-  tor), so that its tail is on the dot. (The shift does not alter  Calculations:

→

A 

→

→

→

Frictionless

y

System

Here are all the forces.

Fw

L

Firefighter com

h

Firefighter

Ladder com

F py

Ladder

Mg mg

F px

x

3

a/

a

(a)

O

(b )

a/

2

(a) A firefighter climbs halfway up a ladder that is leaning against a friction-  less wall. The pavement beneath the ladder is not frictionless. (b)  A free-body diagram,  showing the forces that act on the firefighter + ladder system. The origin O of a coordinate  system is placed at the point of application of the unknown force F p  (whose vector compo-  nents F px  and F py  are shown). (Figure 12.2.3 continues on following page.)  Figure  12.2.3 

→

→

→

/

353

12.2  SOME  EXAMP L ES  OF  ST AT IC   EQU IL IBRIU M 

y

y

y

y

This moment arm is perpendicular to the line of action.

Fw

F py

h

Mg mg

(c )

F px

O

O

x

O

x

Here too.

Choosing the rotation axis here eliminates the torques due to these forces.

a/

O

x

2

Here too.

y

a/

x

3 y

Fw

These vertical forces balance.

These horizontal forces balance. (Continued from previous  page) (c) Calculating the torques. (d)  Balancing the forces. In WileyPLUS, this  figure is available as an animation with  voiceover. 

F py

Figure  12.2.3 

Mg mg

(d )

action for the gravitational force vectors M g  and m g   and  see that their  moment arms extend along  the x axis. For  the distance a shown in Fig. 12.2.3a, the moment arms are  a/2 (the firefighter is halfway up  the ladder) and a/3 (the  ladder’s center of mass is one-third  of the way up the lad-  der),  respectively. The moment arms for  F px  and  F py  are  zero because the forces act at the origin.  Now, with  torques written  in  the  form r ⊥ F, the  bal-    ancing equation  net,z = 0 becomes  →

→

→

(A positive torque corresponds to counterclockwise rotation  and a negative torque corresponds to clockwise rotation.)  Using the Pythagorean theorem for the right triangle  made by the ladder in Fig. 12.2.3a, we find that  _ 

a = √ L 2 − h 2  = 7.58 m. 

O

x

O

x

Then Eq. 12.2.4 g ives us  ga(M/2 + m/3)  F w = _ _   h  2  (9.8 m/s  )(7.58 m)(72/2 kg + 45/3 kg)  =  ______________________  9.3 m  = 407 N ≈ 410 N.  (Answer) 

→

−(h)(F w ) + (a/2)(Mg) + (a/3)(mg)  + (0)(F px ) + (0)(F py ) = 0.  (12.2.4) 

F px

Now  we  need  to  use  the  force  balancing  equations  and Fig. 12.2.3d. The equation F net, x  = 0 gives us  F w  − F px  = 0,  so 

F px  = F w  = 410 N. 

(Answer) 

The equation F net,y = 0 gives us  F py  − Mg − mg = 0,  so 

F py  = (M + m)g = (72 kg + 45 kg)(9.8 m /s 2 )  = 1146.6 N ≈ 1100 N. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

354

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

Sample Problem 12.2.4

Chimney  climb 

We seek the magnitude F N of those two forces, which is also  the magnitude of her push against either wall.  The  balancing  equation  for  vertical forces  F net,y  =  0  gives us  f 1   + f 2  – mg = 0. 

In  Fig. 12.2.4, a rock  climber with  mass m =  55 kg  rests  during  a chimney climb, pressing only with her shoulders  and feet against the walls of a fissure of width  w = 1.0 m.  Her  center of  mass is  a  horizontal  distance d  =  0.20 m  from the wall against which  her shoulders are pressed. A  static friction force  f 1  acts on her feet with  coefficient of  static friction µ1 = 1.1. A static friction force f 2  acts on her  shoulders  with  coefficient of  static friction  µ 2  =  0.70. To  rest, the  climber wants to  minimize her  horizontal  push  on  the  walls.  The  minimum  occurs  when  her  feet  and  shoulders  are both  on  the  verge of  sliding.  (a)  What  is  that minimum horizontal push on the walls?  →

We want the climber to be on the verge of sliding at both  her feet and her shoulders. That means we want the static  frictional  forces  there  to  be  at  their  maximum  values  f s,max . From Module 6.1, those maximum values are  f 1   = μ1 F N  and  f 2  =  μ2 F N .  Substituting  these expressions into  the vertical-force bal-  ancing equation leads to  2  (55 kg)(9.8 m/s  )    mg  _  _ _ F N = _ =  = 299 N ≈ 300 N.  μ1 + μ2  1.1 + 0.70  Thus, her minimum horizontal push must be about 300 N. 

→

(b)  For  that  push,  what  must  be  the  vertical distance h  between her feet and her shoulders if she is to be stable? 

f2

Here we want to  balance the torques on  the climber. We can write the torques in  the form r ⊥F,    where r ⊥   is the moment arm of  force F. We can choose  any rotation axis to  do that, but  a wise choice can sim-  plify our work. Let’s choose the axis through her shoul-  ders. Then  the moment arms of  the forces acting there  (the  normal  force  and  the  frictional  force) are simply  zero. Frictional force f 1, the normal force F    N at her feet,  and  the gravitational force F g   have moment arms w, h,  and d.  Recalling our rule about  the signs of torques and the  corresponding  directions,  we  can  now  write  the  torque  balancing equation τ net = 0 around the rotation axis as 

FN

Calculations:

f1

h

→

FN

→

→

y

Fg = m g

d x

w

The forces on a climber resting in a rock chimney.  The push of the climber on the chimney walls results in the  normal F N  and the static frictional forces  f 1  and f 2 .    Figure  12.2.4 

→

→

→

Solving for h, setting f 1  = μ1 F N, and substituting our result    of F N = 299 N and other known values, we find that  f 1  w – mgd  μ1 F Nw – mgd  mgd    _ =   _____________________  h =  _ = μ1 w – __  F N  F N  F N 

KEY IDEAS First,  we choose our  system as being the  climber. Because  she is  in  static equilibrium,  we can apply a force balancing  equation for the horizontal forces and also one for the verti-  cal forces. In addition,  the torques around any rotation axis  balance.  Figure 12.2.4 shows the forces that act on  her.  The only horizontal forces are the normal forces F N  on  her  from the walls, at her feet and shoulders. The static friction  forces  on  her  are  f 1   and  f 2, directed upward.  The  gravita-    tional force F g with magnitude mg acts at her center of mass.  The equation F net,x = 0 tells us that the two normal forces on  her  must be equal  in  magnitude and  opposite  in  direction.  Calculations:

→

→

→

–(w)( f 1) + (h)(F  f 2) + (0)(  F N) = 0.    N) + (d)(mg) + (0)(       

→

(55 kg)(9.8 m/s 2 )(0.20 m)  = (1.1)(1.0 m) – ______________________  299 N  = 0.739 m  ≈ 0.74 m  If h is more than or less than 0.74 m, she must exert a force  greater than  299 N on  the  walls to  be  stable. Here, then,  is  the  advantage of  knowing  physics  before  you  climb  a  chimney. When you  need to  rest, you will  avoid the (dire)  error of novice climbers who place their feet too high or too  low.  Instead, you  will know  that there is  a “best” distance  between shoulders and feet, requiring the least push and giv-  ing you a good chance to rest. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

12.3  EL AST IC IT Y  

355

12.3  ELASTICITY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

12.3.1  Explain  what an  indeterminate  situation is. 

12.3.4  For shearing, apply the equation that relates 

12.3.2  For tension and compression, apply the equa-  tion that relates stress to strain and Young’s 

stress to strain and the shear modulus.  12.3.5  For hydraulic  stress, apply the equation that 

modulus. 

relates fluid  pressure to strain and the bulk modulus. 

12.3.3  Distinguish between yield strength and ultimate  strength. 

Key Ideas  ●

Three elastic moduli are used to describe the elastic 

behavior (deformations) of objects as they respond to 

●

When an object is under a shearing stress, the 

stress–strain relation is written as 

F  = G _ Δx ,   _ 

forces that act on them. The strain (fractional  change in 

A 

length) is linearly related to the applied stress (force per  unit area) by the proper modulus, according to the gen-  eral stress–strain relation 

where 

L 

∆x/L is the shearing  strain of the object, ∆x is 

the displacement of one end of the object in the direc-  →

stress = modulus × strain. 

tion of the applied  force 

F , and  G is the shear modulus  F/A. 

of the object. The stress is  ●

When  an object is under  tension or compression, the 

stress–strain relation is written  as 

When an object undergoes hydraulic  compression 

due to a stress exerted by a surrounding fluid,  the 

F  = E _ ΔL ,   _  A 

●

stress–strain relation is written as 

L 

∆L/L  is the tensile or compressive strain of  the object,  F is the magnitude of the applied  force  F  causing the strain, A  is the cross-sectional area over  which  F  is applied  (perpendicular  to A ), and  E  is the  Young’s modulus for the object. The stress is F/A . 

_,   p  = B  ΔV 

V 

where 

→

→

where 

p  is the pressure (hydraulic stress) on the object  ∆V/V (the strain) is the absolute value 

due to the fluid, 

of the fractional change  in the object’s volume due to  that pressure, and 

B is the bulk modulus of the object. 

Indeterminate Structures 

For  the problems of  this chapter, we have only  three independent  equations at  our disposal, usually two balance-of-forces equations and one balance-of-torques  equation  about  a  given rotation  axis. Thus,  if  a  problem  has  more than  three  unknowns,  we cannot solve it.  Consider an unsymmetrically loaded car. What are the forces—all different—on  the four tires? A gain, we cannot find them because we have only three independent  equations.  Similarly, we can solve an equilibrium problem  for a table with three  legs but not  for one with four  legs. Problems like these, in which there are more  unknowns  than equations, are called indeterminate.  Yet solutions  to indeterminate problems exist in the  real world.  If you rest  the tires of the car on four platform scales, e ach scale will register a definite read-  ing, the sum of the readings being the weight of the car. What is eluding us in our  efforts to find the individual forces by solving equations?  The problem is that we have assumed—without making a great point of it—  that the  bodies  to  which we apply the  equations  of static equilibrium  are per-  fectly rigid. By this we mean that they do not deform when forces are applied to  them. Strictly, there are no such bodies. The tires of the car, for example, deform  easily under load until  the car settles into a position  of static equilibrium.  We have all  had experience with  a wobbly  restaurant table, which  we usu-  ally level by putting folded paper under one of the legs. If a big enough elephant  sat on such a table, however, you  may be sure that if the table did  not  collapse,  /

356

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

it  would  deform just  like  the  tires  of  a  car. Its  legs would  all  touch  the  floor,  the forces acting upward on the table legs would  all assume definite (and differ-  ent) values as in Fig. 12.3.1, a nd the table would no longer wobble. Of course, we  (and the elephant) would  be thrown out onto  the street but, in principle, how do  we find  the individual  values of those  forces acting on the legs in this  or similar  situations where there is deformation?  To  solve  such  indeterminate  equilibrium  problems,  we  must  supplement  equilibrium  equations with  some  knowledge of  elasticity, the branch  of  physics  and engineering that describes how real bodies  deform when forces are applied  to them. 

com

F4

F2

Checkpoint 12.3.1 

A horizontal uniform bar of weight 10 N is to hang from a ceiling by two wires that  exert upward forces F 1  and F 2  on the bar. The figure shows four arrangements for  the wires. Which arrangements, if any, are indeterminate (so that we cannot solve for  numerical values of F 1  and F 2 )?  →

F1

Fg

F3

→

→

The table is an inde-  terminate structure. The four forces  on the table legs differ from one  another in magnitude and cannot be  found from the laws of static equilib-  rium alone. 

→

Figure  12.3.1 

F1

F2

F1

d

10 N

d

/2

d

10 N (c )

F2

10 N

(a )

F1

d

(b )

F2

F1

F2

10 N (d )

Elasticity 

The atoms of a metallic  solid are distributed on a repetitive  three-dimensional lattice. The springs  represent interatomic forces.  Figure 12.3.2 

When  a large number of  atoms come together to  form a metallic solid,  such as  an iron nail, they settle into equilibrium positions in a three-dimensional lattice, a  repetitive arrangement in which each atom is a well-defined equilibrium distance  from  its  nearest neighbors.  The  atoms are held  together by  interatomic forces  that  are modeled as tiny  springs  in  Fig.  12.3.2. The  lattice  is remarkably rigid,  which is another way of saying that the “interatomic springs” are extremely stiff.  It is for this reason that we perceive many ordinary objects, such as metal ladders,  tables, and spoons, as perfectly rigid. Of course, some ordinary objects, such as gar-  den hoses or rubber gloves, do not strike us as rigid at all. The atoms that make up  these objects do not form a rigid lattice like that of Fig. 12.3.2 but are aligned in long,  flexible molecular chains, each chain being only loosely bound  to its neighbors.  All real “rigid” bodies  are to some extent elastic, which  means that we can  change  their  dimensions  slightly  by  pulling,  pushing,  twisting,  or  compressing  them. To get a feeling for the orders  of magnitude involved, consider a vertical  steel rod 1 m long and 1 cm in diameter attached to a factory ceiling. If you hang  a subcompact car from the free end of such a rod, the rod will stretch but only by  about  0.5 mm, or 0.05%. Furthermore, the rod  will  return to  its original length  when the car is removed.  If you hang two cars from the rod, the rod will be permanently stretched and  will not  recover its original length when you remove the load. If you hang three  cars from the rod, the rod  will break. Just before rupture, the elongation of  the 

/

12.3  EL AST IC IT Y  

357

F

Δx

V F

ΔV L

L

+ ΔL

(a )

L

(b )

(c )

F

F

(a) A cylinder subject to tensile stress  stretches by an amount ∆L. (b) A  cylinder subject to shearing stress  deforms by an amount ∆x, somewhat like a pack of  playing cards would. (c) A solid sphere subject to uniform hydraulic stress  from a fluid  shrinks in volume by an amount ∆V. All the deformations shown are greatly exaggerated.  Figure  12.3.3 

rod  will be less than 0.2%. Although  deformations of this  size seem small, they  are important in engineering practice. (Whether a wing under load will stay on an  airplane is obviously important.)  Three Ways. Figure 12.3.3 shows three ways in  which a solid  might change  its  dimensions  when  forces act on  it. In  Fig.  12.3.3a, a cylinder is  stretched. In  Fig. 12.3.3b, a cylinder is deformed by a force perpendicular to its long axis, m uch  as  we might  deform a  pack  of  cards or  a  book.  In  Fig.  12.3.3c,  a solid  object  placed in a fluid  under high pressure is compressed uniformly on all sides. What  the three deformation types have in common is that a stress, or deforming force  per unit  area, produces a strain, or unit  deformation. In Fig. 12.3.3, tensile stress  (associated with stretching) is illustrated in (a), shearing stress in (b), and hydrau-  lic stress in (c).  The  stresses and  the strains  take  different forms  in  the three  situations  of  Fig. 12.3.3, but—over the range of engineering usefulness—stress and strain are  proportional  to each other. The constant of  proportionality  is  called a modulus  of elasticity, so that  stress = modulus × strain. 

L

A test specimen used  to determine a stress–strain curve  such as that of Fig. 12.3.5. The change  ∆L that occurs in a certain length L  is measured in a tensile stress–strain  test.  Figure  12.3.4 

(12.3.1) 

Tension and Compression 

For  simple tension  or compression,  the stress on  the object  is  defined  as F/A,  where  F  is  the magnitude  of  the force  applied  perpendicularly  to  an  area A  on  the object. The strain, or unit deformation, is then the dimensionless quan-  tity ∆L/L, the fractional (or sometimes percentage) change in  a length of  the  specimen. If the specimen is a long rod and the stress does not exceed the yield  strength, then not only the entire rod but also every section of it experiences the  same strain when a given stress is applied. Because the strain is dimensionless,  the modulus in Eq. 12.3.1 has the same dimensions as the stress—namely, force  per unit area. 

Ultimate strength Yield strength )A/F( ssertS

In a standard test of  tensile  properties, the  tensile stress on  a test cylinder  (like  that in  Fig. 12.3.4) is slowly increased from zero to  the point  at which  the  cylinder fractures, and  the  strain  is carefully measured and  plotted.  The result  is a graph of  stress versus strain  like that  in Fig.  12.3.5. For a substantial range  of  applied  stresses, the stress–strain relation is  linear, and  the  specimen recov-  ers its original dimensions  when  the stress is removed; it  is here that Eq.  12.3.1  applies. If the stress is increased beyond the yield strength S y  of the specimen, the  specimen becomes permanently deformed. If the stress continues to increase, the  specimen eventually ruptures, at a stress called the ultimate strength S u . 

0

Rupture

Range of permanent deformation Linear (elastic) range

Strain (ΔL/L )

A stress–strain curve  for a steel test specimen such as that  of Fig. 12.3.4. The specimen deforms  permanently when the stress is equal  to the yield strength of the specimen’s  material. It ruptures when the stress  is equal to the ultimate strength of the  material.  Figure 12.3.5 

/

358

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

The modulus for tensile and compressive stresses is called the Young’s modulus  and is represented in engineering practice by the symbol E. Equation 12.3.1 becomes  F  = E _ ΔL .   _  A 

Courtesy  Micro Courtesy Micro Measurements, Measurements, a a  Division Division  of  Vishay Precision Group, Raleigh, NC 

A strain gage of over-  all dimensions 9.8 mm by 4.6 mm.  The gage is fastened with adhesive  to the object whose strain is to be  measured; it experiences  the same  strain as the object. The electrical  resistance of the gage varies with  the strain, permitting strains up to  3% to be measured.  Figure  12.3.6 

(12.3.2) 

L 

The strain ∆L/L in a specimen can often be measured conveniently with a strain  gage (Fig. 12.3.6), which can be attached directly to operating machinery with an  adhesive. Its electrical properties are dependent on the strain it undergoes.  Although the Young’s modulus  for an object may be almost the same for ten-  sion and compression, the object’s ultimate strength may well be different for the two  types of stress. Concrete, for example, is very strong in compression but is so weak in  tension that it is almost never used in that manner. Table 12.3.1 shows the Young’s  modulus and other elastic properties for some materials of engineering interest.  Shearing 

In the case of shearing, the stress is also a force per unit area, but  the force vec-  tor lies in the plane of the area rather than perpendicular to it. The strain is the  dimensionless  ratio  ∆x/L, with  the quantities  defined  as shown  in  Fig. 12.3.3b.  The corresponding modulus, which is given the symbol G in engineering practice,  is called the shear modulus. For shearing, Eq. 12.3.1 is written as  F  = G _ Δx .   _  A 

(12.3.3) 

L 

Shearing occurs in rotating shafts under load and in bone fractures due to bending.  Hydraulic  Stress 

In Fig. 12.3.3c, the stress is the fluid  pressure p on the object, and, as you will see  in Chapter 14, pressure is a force per unit area. The strain is ∆V/V, where V is the  original  volume of  the specimen and  ∆V is the  absolute  value of  the change in  volume. The corresponding  modulus,  with  symbol B, is called the bulk  modulus  of the material. The object is said to be under hydraulic compression, and the pres-  sure can be called the hydraulic stress. For this situation, we write Eq. 12.3.1 as  ΔV .   p = B _

(12.3.4) 

V 

The bulk  modulus  is 2.2 × 10 9 N/m 2  for  water and  1.6 × 10 11  N/m 2  for  steel.  The  pressure at the  bottom  of  the Pacific Ocean, at its average depth  of  about  4000 m, is 4.0 × 10 7 N/m 2 . The fractional compression ∆V/V of a volume of water  due to this pressure is 1.8%; that for a steel object is only about 0.025%. In gen-  eral, solids—with their rigid atomic lattices—are less compressible than liquids, in  which the atoms or molecules are less tightly coupled to their neighbors. 

Table 12.3.1  Some Elastic  Properties of Selected Materials  of Engineering  Interest 

Material  Steel a  Aluminum  Glass  Concrete c  Wood d  Bone  Polystyrene 

Young’s  Modulus E  (10 9  N/m 2 ) 

Density   (kg/m 3 )  7860  2710  2190  2320  525  1900  1050 

200  70  65  30  13  9 b  3 

a 

b 

c 

d 

Structural steel (ASTM-A36).  High strength 

Ultimate  Strength S u  (10 6  N/m 2 )  400  110  50 b  40 b  50 b  170 b  48 

Yield  Strength S y  (10 6  N/m 2 )  250  95  —  —  —  —  — 

In compression.  Douglas fir. 

/

12.3  EL AST IC IT Y  

Sample Problem 12.3.1

Stress and strain of  elongated  rod 

One  end  of  a  steel  rod  of  radius  R = 9.5  mm  and  length L = 81 cm is held in a vise. A force of magnitude  F = 62 kN  is  then  applied  perpendicularly  to  the  end  face (uniformly across the area) at the other end, pulling  directly away from the vise. What are the stress on  the  rod and the elongation ∆L and strain of the rod? 

KEY IDEAS (1) Because the force is  perpendicular to  the end face  and  uniform,  the  stress is  the  ratio  of  the  magnitude  F  of  the force to  the area A.  The ratio  is  the left  side  of  Eq.  12.3.2. (2) The elongation  ∆L  is  related to  the  stress  and  Young’s  modulus  E  by  Eq.  12.3.2  (F/A =  E ∆L/L). (3) Strain is the ratio of the elongation to the  initial length L.  Calculations:

= 2.2 × 10 8 N/m 2 . 

(Answer) 

The yield strength for structural steel is 2.5 × 10 8 N/m 2 , so  this rod is dangerously close to its yield strength.  We  find  the  value of  Young’s  modulus  for  steel in  Table 12.3.1. Then from Eq. 12.3.2 we find the elongation:  (F/A)L  _____________________  (2.2 × 10 8 N/m 2 )(0.81 m )  ∆L =  _ _   =  E  2.0 × 10 11 N/m 2  = 8.9 × 10 –4 m = 0.89 mm.  (Answer)  For the strain, we have  –4 

8.9 × 10  m  ∆L =  _____________________  __  L 

0.81 m 

= 1.1 × 10 –3 = 0.11%. 

(Answer) 

Balancing  a wobbly  table 

A  table  has  three  legs  that  are  1.00 m  in  length  and  a  fourth  leg that is longer by d = 0.50 mm, so that the table  wobbles slightly. A steel cylinder with mass M = 290 kg is  placed on  the table (which  has a mass much less than M)  so that all four legs are compressed but unbuckled and the  table is level but no longer wobbles. The legs are wooden  cylinders with  cross-sectional area A = 1.0 cm 2 ; Young’s  modulus is E = 1.3 × 10 10  N/m 2 . What are the magnitudes  of the forces on the legs from the floor? 

KEY IDEAS

F 4L  F 3L      __  = __  + d.  AE 

(12.3.6) 

AE 

We  cannot  solve  this  equation  because  it  has  two  unknowns, F 4  and F 3 .    To get a second equation containing F 4  and F 3, we can    use a vertical y axis and  then  write the  balance of  vertical  forces (F net,y  = 0) as  3F 3  + F 4  − Mg = 0, 

(12.3.7) 

where Mg  is  equal  to  the  magnitude  of  the  gravitational  force on the system. (Three legs have force F 3 on them.) To  solve  the  simultaneous  equations  12.3.6 and  12.3.7 for,  say, F 3, we first use Eq. 12.3.7  to find that F 4  = Mg − 3F 3.     Substituting  that  into  Eq.  12.3.6 then  yields, after some  algebra,  →

We take the table plus  steel cylinder as our  system. The  situation is like that in Fig. 12.3.1, except now we have a  steel cylinder on  the table. If the tabletop remains level,  the legs must be compressed in the following  ways: Each  of the short legs must be compressed by the same amount  (call  it  ∆L 3  )  and  thus  by  the  same force  of  magnitude  F 3  . The  single  long  leg must  be  compressed by  a larger  amount ∆L 4   and thus by a force with a larger magnitude  F 4  . In other words, for a level tabletop, we must have  ∆L 4  = ∆L 3  + d. 

(12.3.5) 

From Eq. 12.3.2, we can relate a change in length to the  force causing the change with  ∆L = FL/ AE, where L is the  original length of a leg. We can use this relation to replace ∆L 4   and ∆L 3   in Eq. 12.3.5. However, note that  we can approxi-  mate the original length L as being the same for all four legs.  Making those replacements and that approx-  imation gives us  Calculations:

4  6.2 × 10  N  F  =  __  F  = _ _   stress = __  2  A  πR  (π)(9.5 × 10 –3 m) 2 

To find the stress, we write 

Sample Problem 12.3.2

359

Mg  dAE  F 3  =  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  – _____________________  4  4L  2  (290 kg)(9.8 m/s  )  = _____________________  4  (5.0 × 10 –4 m)(10 –4 m 2 )(1.3 × 10 10 N/m 2 )  –  _____________________  (4)(1.00 m )  = 548 N ≈ 5.5 × 10 2 N. 

(Answer) 

From Eq. 12.3.7 we then find  F 4  = Mg − 3F 3  = (290 kg)(9.8 m/s 2 ) − 3(548 N)  ≈ 1.2 kN. 

(Answer) 

You can show that the three short legs a re e ach compressed  by 0.42 mm and the single long leg by 0.92 mm. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

360

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

Review & Summary A rigid body at rest is said to be in static  equilibrium. For  such  a  body, the  vector  sum  of the  external  forces acting on it is zero:  Static Equilibrium 

→

F net = 0  (balance of forces). 

(12.1.3) 

If all the forces lie in the xy plane, this vector equation is equiva-  lent to two component equations:  F net, x  = 0  and  F net, y  = 0  (balance of forces).  (12.1.7, 12.1.8)  Static  equilibrium  also  implies  that  the  vector  sum  of  the  external torques acting on the body about any point is zero, or 

τnet  = 0 

→

(12.1.5) 

(balance of torques). 

If the forces lie in the xy plane, all torque vectors are parallel to  the z axis, and Eq. 12.1.5 is equivalent to the single component  equation  net, z = 0  (balance of torques).  (12.1.9)  The  gravitational force  acts  individu-  ally on each element of a body. The net effect of all individual  actions may  be  found by  imagining an  equivalent total gravi-  tational force  F g  acting  at  the center  of gravity.  If  the  gravi-  tational acceleration  g  is  the same  for all  the elements of the  body, the center of gravity is at the center of mass.  Center  of  Gravity 

→

→

Three  elastic  moduli are  used  to  describe  the elastic behavior (deformations) of objects as they respond to  forces that act on them. The strain (fractional change in length)  is linearly related to the applied stress  (force per  unit area) by  the proper modulus, according to the general relation  Elastic  Moduli 

stress = modulus × strain. 

When an object is under ten-  sion or compression, Eq. 12.3.1 is written as  Tension and Compression 

F  = E _  ΔL ,  _  A 

(12.3.2) 

L 

where ∆L/L is the tensile or compressive strain of the object, F  is the magnitude of the applied force F  causing the strain, A is  the cross-sectional area over which F  is applied (perpendicular  to A, as in Fig. 12.3.3a), and E  is the Young’s modulus for the  object. The stress  is F/A.  →

→

When  an  object  is  under  a  shearing  stress,  Eq.  12.3.1 is written as  Shearing 

F  = G _  Δx ,  _ 

(12.3.3) 

L 

A 

where  ∆x/L  is  the  shearing  strain  of  the  object,  ∆x  is  the  displacement of one  end of  the  object in  the direction of  the  applied force F  (as in Fig. 12.3.3b), and G is the shear modulus  of the object. The stress  is F/A.  →

When  an  object  undergoes  hydraulic  compression due to a stress exerted by a surrounding fluid, Eq.  12.3.1 is written as  Hydraulic  Stress 

ΔV ,  p = B _  V 

(12.3.4) 

where p is  the pressure  (hydraulic stress)  on the object due to  the fluid, ∆V/V (the strain) is the absolute value of the fractional  change in the object’s volume due to that pressure, and B is the  bulk modulus of the object. 

(12.3.1) 

Questions Figure  12.1  shows  three  situations  in  which  the  same  horizontal rod is supported by a hinge on a wall at one end and  a  cord at its other end. Without written calculation, rank the  situations according to the magnitudes of (a) the force on the  rod from the cord, (b) the vertical force on the rod from the hinge,  and (c) the horizontal force on the rod from the hinge, greatest  first.  1 

50 ° 

50 ° 

compared to that of the safe. (a)  Rank the positions according  to the force on post A due to the safe, greatest compression first,  greatest tension last, and indicate where, if anywhere, the force  is zero. (b) Rank them according to the force on post B.  Figure 12.3 shows four overhead views  of rotating uniform  disks that are sliding across  a frictionless floor. Three forces, of  magnitude F, 2F, or 3F, act on each disk, either at the rim, at the  center, or  halfway between rim  and center. The  force  vectors  rotate along with the disks, and, in the “snapshots” of Fig. 12.3,  point left or right. Which disks are in equilibrium?  3 

F

(1)

(2) Figure  12.1 

(3)

In  Fig.  12.2,  a  rigid  beam  is  attached to two posts that are fas-  tened to a floor. A small but heavy  safe is  placed at the six positions  indicated,  in  turn.  Assume  that  the mass of the beam is negligible 

1

F

2F

3F

2F

Question 1. 

2 

F

F

2F

F

(a)

2

3

4

5

(b ) Figure  12.3 

6

F

2F

F

(c )

(d )

Question 3. 

A  ladder  leans  against a  frictionless  wall  but is  prevented  from  falling because  of  friction  between it  and  the  ground.  Suppose you shift the base of the ladder toward the wall. Deter-  mine whether the following become larger, smaller, or stay the  4 

A

B

Figure  12.2 

Question 2. 

/

QU EST IONS 

same (in  magnitude): (a)  the normal force  on the ladder from  the ground, (b)  the force  on the ladder from the  wall, (c)  the  static frictional force on the ladder from the ground, and (d) the  maximum value f s,max  of the static frictional force.  Figure 12.4 shows a  mobile of toy penguins hanging from  a ceiling. Each crossbar is horizontal, has negligible mass, and  extends three times as far to the right of the wire supporting  it as to the left. Penguin 1 has mass m 1  = 48 kg. What are the  masses of (a) penguin 2, (b) penguin 3, and (c) penguin 4?  5 

361

pulley pulls on the pulley with a net  force that is twice the tension in the  cord.) (b) What is the tension in the  short cord labeled with T ? 

Fa

In  Fig.  12.8,  a  vertical  rod  is  hinged  at  its  lower  end  and  Figure  12.8  Question 9.  attached  to  a  cable  at  its  upper  end.  A  horizontal  force  F a  is  to  be applied to the rod as shown. If the point at which the force is  applied is moved up the rod, does the tension in the cable increase,  decrease, or remain the same?  9 

→

A B Figure  12.9  shows  a  hori-  zontal block  that is  suspended  by  two  wires,  A  and  B,  which  are  identical  except  for  their  com original lengths. The  center  of  mass  of the  block is  closer  to  Figure  12.9  Question 10.  wire B than to wire A. (a) Mea-  suring torques about the block’s center of mass, state whether  the magnitude of the torque due to wire A is greater than, less  than, or equal to the magnitude of the torque due to wire B. (b)  Which wire  exerts more  force on the block? (c)  If the wires  are  now equal in length, which one was originally shorter (before the  block was suspended)? 

10 

1

2 3

Figure  12.4 

4

Question 5. 

C Figure 12.5 shows an overhead  view  of  a  uniform stick  on which  four forces act. Suppose we choose  O A B a  rotation axis  through  point  O,  calculate  the  torques  about  that  Figure  12.5  Question 6.  axis  due  to  the  forces,  and  find  that  these  torques  balance.  Will  the torques balance if, instead, the rotation axis is chosen to be at  (a) point A (on the stick), (b) point B (on line with the stick), or  (c) point C (off to one side of the stick)? (d) Suppose, instead, that  we find that the torques about point O do not balance. Is  there  another point about which the torques will balance? 

6 

In Fig. 12.6, a  stationary 5  kg rod  AC  is  held  against  a  wall  by  a  rope  and  friction  D between rod and wall. The uniform rod is 1 m  long, and angle  θ =  30°. (a)  If you are  to  θ find the magnitude of the force  T  on the  B C rod  from the rope  with a  single equation, at  A what labeled point should a  rotation axis  be  placed? With that choice of axis and counter-  Figure  12.6  clockwise torques positive, what is the sign of  Question 7.  (b)  the torque τw  due to the rod’s weight and  (c)  the torque τr  due to the pull on the rod by  the rope? (d) Is the magnitude of τr greater than, less than, or equal  to the magnitude of τw ?  8  Three  piñatas  hang  from  the  (stationary)  assembly  of  massless  pulleys and cords seen in Fig. 12.7.  T One long cord  runs  from the ceil-  ing at the right to the lower pulley  at the left, looping halfway around  all  the  pulleys.  Several  shorter  cords  suspend  pulleys  from  the  ceiling or piñatas from the pulleys.  10 The  weights  (in  newtons)  of  two  piñatas  are  given.  (a)  What is  the  17 weight  of  the  third  piñata?  (Hint:  A cord that loops halfway around a  Figure  12.7  Question 8. 

The table gives  the initial lengths of three rods  and the  changes in their lengths when forces are applied to their ends  to put them under  strain. Rank  the rods  according  to their  strain, greatest first.  11 

Initial Length 

Change in Length 

2L 0  4L 0  10L 0 

∆L 0  2∆L 0  4∆L 0 

Rod A  Rod B  Rod C 

7 

→

A  physical therapist gone wild has constructed the (sta-  tionary) assembly  of massless  pulleys  and  cords  seen  in Fig.  12.10. One long cord wraps around all the pulleys, and shorter  cords suspend pulleys from the ceiling or weights from the pul-  leys. Except for one, the weights (in newtons) are  indicated.  (a) What is that last weight? (Hint: When a cord loops halfway  around a pulley as here, it pulls on the pulley with a net force  that is twice the tension in the cord.) (b) What is the tension in  the short cord labeled T?  12 

T

6 5

34

Figure  12.10 

20 15

23

Question 12. 

/

362

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 12.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Equilibrium 

A 75 kg window cleaner uses a 10 kg ladder that is 5.0 m long.  He places one end on the ground 2.5 m from a wall, rests the upper  end against a cracked window, and climbs the ladder. He is 3.0 m up  along the ladder when the window breaks. Neglect friction between  the ladder and window and assume that the base of the ladder does  not slip. When the window is  on the verge  of breaking, what are  (a)  the magnitude of the  force  on the  window from the  ladder,  (b) the magnitude of the force on the ladder from the ground, and  (c) the angle (relative to the horizontal) of that force on the ladder?  7  E 

Because g varies so little over the extent  y of  most structures,  any  structure’s  center  of  3 4 gravity effectively coincides with its center of  mass. Here is a fictitious example where g var-  ies  more significantly. Figure 12.11 shows an  2 5 array of six particles, each with mass m, fixed  to the edge  of a  rigid structure  of negligible  1 6 x mass. The distance between adjacent particles  Figure  12.11  along the edge is 2.00 m. The following table  Problem 1.  2  gives  the value of g  (m/s  )  at each  particle’s  location. Using the coordinate system shown,  find (a)  the x  coordinate x com  and  (b) the y coordinate y com  of  the center of mass of the six-particle system. Then find (c)  the  x coordinate x cog  and (d) the y  coordinate y cog  of the center of  gravity of the six-particle system.  1  E 

Particle 

g 

Particle 

g 

1  2  3 

8.00  7.80  7.60 

4  5  6 

7.40  7.60  7.80 

Module 12.2 

E  A  physics  Brady  Bunch, whose  weights  in  newtons  are  indicated in  Fig. 12.13, is  balanced on  a  seesaw.  What is  the  number  of  the  person  who  causes  the  largest  torque  about  the  rotation axis  at fulcrum f  directed (a)  out of the page and  (b) into the page? 

8 

1

2

220

330

440

4

3

2

Some Examples of Static Equilibrium 

An automobile with a mass of 1360 kg has 3.05 m between  the front and rear  axles. Its  center of gravity is  located 1.78 m  behind the  front  axle.  With the  automobile on  level  ground,  determine the magnitude of the force  from the ground on  (a)  each  front wheel (assuming  equal  forces  on the front wheels)  and  (b)  each  rear  wheel  (assuming  equal  forces  on  the  rear  wheels).  E  SSM  In  Fig.  12.12,  a  uniform  sphere  of  mass  m = 0.85 kg  and  radius  r = 4.2 cm  is  held in place by a massless  rope attached  to  a  frictionless  wall  a  distance  L = 8.0 cm  above the center of the sphere. Find (a) the  tension in the rope and (b) the force on the  sphere from the wall. 

3 

An archer’s bow is drawn at its midpoint  until the tension in the string is equal to the  force  exerted  by  the  archer.  What  is  the  angle between the two halves of the string? 

3

4

5

6

7

8

560

440

330

220 newtons

1

2

3

4 meters

f

L

r

Figure  12.12 

Problem 3.  E  A  rope  of  negligible mass  is  stretched  horizontally  between  two  supports  that  are  3.44 m apart. When an  object  of weight 3160 N is  hung at  the  center of the rope, the rope is observed to sag by 35.0 cm. What  is the tension in the rope?  5 

E  A scaffold of mass  60 kg and length 5.0 m is  supported in  a horizontal position by a vertical cable at each end. A window  washer of mass 80 kg stands at a point 1.5 m from one end. What  is the tension in (a) the nearer cable and (b) the farther cable? 

1

0

Problem 8. 

E  SSM  A meter stick  balances horizontally on a knife-edge  at  the  50.0 cm  mark.  With  two  5.00 g  coins  stacked  over  the  12.0 cm mark, the stick is found to balance at the 45.5 cm mark.  What is the mass of the meter stick? 

9 

GO  The system in Fig. 12.14  is  in  equilibrium, with  the  string  in  the  center  exactly  horizontal.  Block  A  weighs  40 N,  block  B  weighs  50 N,  and angle    is  35°.  Find  (a)  tension  T 1 ,  (b)  tension  T 2 , (c) tension T 3 , and (d) angle θ.  10  E 

T1

ϕ

θ

T3

T2

A

B Figure  12.15  shows  a  diver of weight 580 N  standing  at the end of a diving board with  Figure  12.14  Problem 10.  a  length  of L = 4.5 m  and negli-  gible mass. The board is  fixed to  L two pedestals (supports)  that are  separated  by  distance  d = 1.5 m.  Of the forces acting on the board,  what  are  the  (a)  magnitude and  d (b)  direction (up or down) of the  force  from  the  left pedestal  and  the  (c)  magnitude and (d)  direc-  Figure  12.15  Problem 11.  tion  (up  or  down)  of  the  force  from  the  right  pedestal?  (e)  Which  pedestal  (left  or  right)  is  being stretched, and (f) which pedestal is being compressed? 

11 

4  E 

560

Figure  12.13 

2  E 

6 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

E 

SSM 

/

363

P ROBL EMS 

In Fig. 12.16, trying to get his car out of mud, a man ties one  end of a rope around the front bumper and the other end tightly  around a utility pole 18 m away. He then pushes sideways  on the  rope at its midpoint with a force of 550 N, displacing the center of  the rope 0.30 m, but the car barely moves. What is the magnitude of  the force on the car from the rope? (The rope stretches somewhat.)  12  E 

F

Figure  12.16 

Problem 12. 

In Fig. 12.20, a uniform beam  of weight 500 N  and length 3.0 m is  suspended horizontally. On the left  it is  hinged to a wall; on the right it  is supported by a cable bolted to the  wall at distance D above the beam.  The least tension that will snap the  cable  is  1200 N.  (a)  What  value of  D corresponds  to that tension? (b)  To prevent the cable from snap-  ping, should D  be  increased  or  decreased from that value?  17  E 

E  GO  In  Fig.  12.21,  hori-  zontal  scaffold  2,  with  uniform  mass  m 2  = 30.0 kg  and  length  L 2  = 2.00 m, hangs from horizon-  tal scaffold 1, with uniform mass  m 1  = 50.0 kg.  A  20.0 kg  box  of  nails lies on scaffold 2, centered  at distance d = 0.500 m from the  left end. What is the tension T in  the cable indicated? 

Cable D

Beam Figure  12.20 

E  BIO 

E  In  Fig. 12.18, a  horizontal  scaffold,  of  length  2.00 m  and  uniform  mass  50.0 kg,  is  sus-  pended  from  a  building by  two  cables.  The  scaffold  has  dozens  Figure  12.18  Problem 14.  of paint cans stacked on it at various points. The total mass of  the paint cans is 75.0 kg. The tension in the cable at the right  is 722 N. How far horizontally from that cable is the center of  mass of the system of paint cans? 

14 

→

→

→

Forces  F 1 ,  F 2 ,  and F 3  act on  the structure  of Fig. 12.19,  shown  in  an  overhead view.  We  wish  to  put  the  structure  in  equilibrium  by  applying a  fourth  force, at  a  point such  as  P.  The fourth force has vector components F h  and F v . We are given  that a = 2.0 m,  b = 3.0 m, c = 1.0 m, F 1  =  20 N,  F 2  = 10  N, and  F 3  = 5.0 N. Find (a) F h , (b) F v , and (c) d.  15 

E 

→

F1 c

F2

b

O

a

F v  d

F3

Problem 15. 

A uniform cubical crate is 0.750 m on each side and weighs  500 N. It rests on a floor with one edge against a very small, fixed  obstruction. At what least height above the floor must a horizon-  tal force of magnitude 350 N be applied to the crate to tip it?  16  E 

d

d L2

Figure  12.21 

Problem 18. 

L

F ⊥ 

E  BIO  A bowler holds a  bowling ball (M = 7.2 kg) in the  palm of his  hand (Fig. 12.23). His  upper arm  is  vertical;  his  lower arm (1.8 kg) is horizontal. What is the magnitude of (a)  the force  of the biceps muscle on  the lower arm  and  (b)  the  force between the bony structures at the elbow contact point? 

Biceps M

Elbow contact point

4.0 cm 15 cm 33 cm

Problem 20. 

Lower arm (forearm plus hand) center of mass

Strut The system in Fig. 12.24 is  in equilibrium. A concrete block  T of  mass  225 kg  hangs  from  the  end of the uniform strut of mass  θ 45.0 kg.  A  cable  runs  from  the  ϕ ground, over the top of the strut,  Hinge and  down  to the block, holding  Figure  12.24  Problem 21.  the  block  in  place.  For  angles   = 30.0° and θ = 45.0°, find (a) the tension T in the cable and  the (b) horizontal and (c) vertical  components of the force on  the strut from the hinge.  21  M 

Fh

Figure  12.19 

d

20 

Figure  12.23  x

2

E  To  crack  a  certain  nut in  d a  nutcracker,  forces  with  mag-  nitudes  of  at  least  40 N  must  act on its  shell  from both sides.  For the nutcracker of Fig. 12.22,  F ⊥  with  distances  L = 12 cm  and  d = 2.6 cm,  what  are  the  force  Figure  12.22  Problem 19.  components  F ⊥  (perpendicular  to the handles) corresponding to that 40 N? 

a

P

=?

19 

→

y

T

1

18 

Figure  12.17  Calf muscle shows the anatomical struc-  tures  in  the  lower leg  and  Lower leg bones foot  that  are  involved  in  standing on tiptoe, with the  heel  raised  slightly off  the  B floor so that the foot effec-  A tively  contacts  the  floor  only  at  point  P.  Assume  P a b distance  a = 5.0  cm,  dis-  tance  b = 15 cm,  and  the  Figure  12.17  Problem 13.  person’s weight W = 900 N.  Of the forces acting on the foot, what are the (a) magnitude and (b)  direction (up or down) of the force at point A from the calf muscle  and the (c)  magnitude and (d) direction (up or down) of the force  at point B from the lower leg bones?  13 

Problem 17. 

/

364

C HAP T ER 12  EQU IL IBRIU M  AND  EL AST IC IT Y  

BIO  GO  FCP  In Fig. 12.25,  w a  55 kg  rock  climber  is  in  a  lie-  back  climb  along  a  fissure,  with  hands  pulling on  one  side  of  the  fissure  and  feet  pressed  against  d h the opposite side. The fissure  has  com width  w = 0.20 m,  and the  center  of mass of the climber is a horizon-  tal  distance  d = 0.40 m  from  the  fissure.  The  coefficient  of  static  friction  between  hands  and  rock  Figure  12.25  Problem 22.  is  1  = 0.40,  and  between  boots  and rock it is 2  = 1.2. (a) What is the least horizontal pull by the  hands and push by the feet that will keep the climber stable? (b)  For the horizontal pull of (a), what must be the vertical distance  h between hands and feet? If the climber encounters wet rock, so  that 1  and 2  are reduced, what happens to (c) the answer to (a)  and (d) the answer to (b)? 

22  M 

GO  In Fig. 12.26, one end of  a  uniform beam of weight 222  N  is  hinged to a  wall; the other end  is supported by a wire that makes  angles  θ = 30.0°  with  both  wall  and  beam.  Find  (a)  the  tension  in the wire and the (b)  horizontal  and (c) vertical components of the  force of the hinge on the beam.  24  M  BIO  GO  FCP  In  Fig. 12.27,  a climber with a weight of 533.8 N  is  held by a  belay rope  connected  to her  climbing  harness  and  belay  device; the force of the rope on her  has a line of action through her cen-  ter  of  mass.  The  indicated  angles  are  θ = 40.0° and   = 30.0°. If  her  feet are on the verge of sliding on  the vertical wall, what is the coeffi-  cient of static friction between her  climbing shoes and the wall? 

the feet–ground contact point. If he  is on the verge of sliding, what is the  coefficient of static friction between  feet and ground? 

y

L

In Fig. 12.30, a 15 kg  com block  is  held  in  place  via  a  pulley  d system.  The  person’s  upper  arm  is  vertical; the forearm is at angle  x θ = 30°  with  the  horizontal.  Fore-  a arm and hand together have  a mass  Figure  12.29  Problem 26.  of 2.0 kg, with a center of mass at dis-  tance d 1  = 15 cm from the contact point of the forearm bone and  the upper-arm  bone (humerus).  The  triceps  muscle pulls  verti-  cally upward on the forearm at distance d 2  = 2.5 cm behind that  contact point. Distance d 3  is 35 cm. What are the (a) magnitude  and (b) direction (up or down) of the force on the forearm from  the triceps muscle and the (c) magnitude and (d) direction (up or  down) of the force on the forearm from the humerus?  27  M 

BIO 

GO 

23  M 

In  Fig.  12.28,  what  magnitude of  (constant)  force  F  applied  horizontally  at  the  axle  of the wheel is  necessary  to raise  the wheel over  a step obstacle of  height  h = 3.00 cm?  The  wheel’s  radius is r = 6.00 cm, and its mass  is m = 0.800 kg.  25 

M 

θ Triceps Hinge

com

θ Humerus

Figure  12.26 

Problem 23. 

Figure  12.30 

Problem 27. 

θ d1

d3

Block

d2

M  GO  In  Fig. 12.31, suppose  the  length  L  of  the  uniform bar  is  3.00 m  and its  weight is  200 N.  Also,  let  the  block’s  weight  W = 300 N and the angle θ = 30.0°.  The  wire  can  withstand  a  maxi-  mum tension of 500 N. (a) What is  the maximum possible distance x  before the wire  breaks? With the  block  placed  at  this maximum x,  what are the (b) horizontal and (c)  vertical  components of  the  force  on the bar from the hinge at A? 

28 

ϕ

SSM 

→

θ

Figure  12.27 

Problem 24. 

M  A  door  has  a  height  of  2.1 m along a  y axis that extends  vertically  upward  and  a  width  of  0.91 m  along  an  x  axis  that  extends outward from the hinged  edge of the door. A hinge 0.30 m  from  the  top and a  hinge 0.30 m  from the bottom each support half  the door’s mass, which is 27 kg. In  unit-vector notation, what are the  forces  on the door at (a)  the top  hinge and (b) the bottom hinge?  30  M  GO  In  Fig. 12.32, a  50.0 kg  uniform  square  sign,  of  edge  length L = 2.00 m, is hung from a 

C

x

θ

com

A

B

L

Figure  12.31 

Problems 28 and 34. 

29 

r

F

h

Figure  12.28 

Problem 25. 

In Fig. 12.29, a climber leans out against a vertical  ice wall that has negligible friction. Distance a is 0.914 m and dis-  tance L is 2.10 m. His center of mass is distance d = 0.940 m from  26  M 

GO 

FCP 

Cable

dv 

Hinge Rod L

L dh

Figure  12.32 

Problem 30.  /

365

P ROBL EMS 

horizontal rod  of length d h   = 3.00 m  and  negligible mass.  A  cable is attached to the end  of the rod and  to a  point on the  wall at distance d v  = 4.00 m above the point where the rod is  hinged to the wall. (a) What is the tension in the cable? What  are  the  (b)  magnitude and (c)  direction (left  or  right)  of  the  horizontal component of the force on the rod from the wall, and  the (d) magnitude and (e) direction (up or down) of the vertical  component of this force?  31  M  GO  In  Fig.  12.33,  a  nonuniform bar is suspended  at  rest  in  a  horizontal posi-  θ ϕ tion  by  two  massless  cords.  L One  cord  makes  the  angle  θ = 36.9°  with  the  vertical;  com x the  other  makes  the  angle   = 53.1°  with  the  vertical.  If  the length L of the bar  is  Figure  12.33  Problem 31.  6.10 m, compute the distance  x from the left end of the bar to its center of mass.  M  In  Fig. 12.34, the  driver  of  a  car  on  a  horizontal  road  makes an emergency stop by applying the brakes so that all four  wheels lock and skid along the road. The coefficient of kinetic  friction between tires and road is 0.40. The separation between  the front and rear axles is  L = 4.2 m, and the center of mass of  the car  is located at distance d = 1.8 m behind the front axle and  distance h = 0.75 m above the road. The car  weighs 11 kN. Find  the magnitude of (a) the braking acceleration of the car, (b) the  normal force on each rear  wheel, (c)  the normal force on each  front wheel, (d)  the braking force on each rear  wheel, and (e)  the braking force on each front wheel. (Hint: Although the car is  not in translational equilibrium, it is in rotational equilibrium.) 

32 

h

d

Figure  12.34 

Problem 32. 

→

In Fig. 12.31, a thin horizontal bar AB of negligible weight  and length L is hinged to a vertical wall at A and supported at  B by a thin wire BC that makes an angle θ with the horizontal.  A block of weight W can be moved anywhere along the bar; its  position is defined by the distance x from the wall to its center  of mass. As a function of x, find (a) the tension in the wire, and  the (b) horizontal and (c) vertical components of the force on  the bar from the hinge at A.  34  M 

SSM  A cubical box is filled with sand and weighs 890 N.  We wish to “roll” the box by pushing horizontally on one of the  upper  edges. (a)  What  minimum force  is  required?  (b)  What  minimum coefficient of static friction between box and floor is  required?  (c)  If  there  is  a  more efficient way  to roll  the  box,  find the smallest possible force that would have to  be applied  directly to the box to roll it. (Hint: At the onset of tipping, where  is the normal force located?) 

35  M 

M  BIO  FCP  Figure  12.36 shows  a  70  kg  climber  hanging  by  only  the  crimp  y hold of one hand on the edge of a shallow  x horizontal ledge in  a  rock  wall. (The  fin-  gers  are pressed down to gain purchase.)  Her feet touch the rock wall at distance  H = 2.0  m  directly  below  her  crimped  fingers  but do not provide any support.  Her center of mass is distance a = 0.20 m  from the wall. Assume that the force from  com the ledge supporting her fingers is equally  shared  by  the  four fingers.  What are  the  values of the (a)  horizontal component F h  and (b) vertical component F v  of the force  on each fingertip? 

36 

GO  In Fig. 12.37, a uniform plank, with  a length L of 6.10 m and a weight of 445 N,  rests on the ground and against a frictionless  roller at the top of a wall of height h = 3.05 m.  The  plank  remains  in  equilibrium for  any  value  of  θ ≥ 70°  but  slips  if  θ   v? For  such  supersonic  speeds, Eqs.  17.7.1 and  17.7.9 no  longer  apply.  Figure 17.8.1b depicts the spherical wavefronts that originated at  various positions of the source. The radius of any wavefront is vt,  where t is the time that has elapsed since the source emitted that  (a) wavefront. Note that all the wavefronts bunch  along a V-shaped  envelope in this two-dimensional drawing. The wavefronts actu-  W1 ally extend in three dimensions, and the bunching actually forms  a cone called the Mach cone. A shock wave exists along the sur-  face of this cone, because the bunching of  wavefronts causes an  abrupt  rise and fall of air pressure as the surface passes through  any point.  From Fig. 17.8.1b, we see that the half-angle θ of the  cone (the Mach cone angle) is given by  v  __  v  sin  θ = ___  (17.8.1)  v S t  =  v S  (Mach cone angle).  The ratio v S /v is the Mach number. If a plane flies at Mach  2.3, its  speed is 2.3 times the speed of  sound  in  the air through  which  the plane is flying. The shock wave generated by a super-  sonic aircraft (Fig. 17.8.2) or projectile produces a burst of sound,  (b )

v S

S

x

Surface of Mach cone vt W6

v S

θ S1

S6

x S

v S t

 yaG nhoJ  ngisnE yb otohp yvaN .S.U fo ysetruoC

(a) A source of sound S moves at speed  v S  equal to the speed of sound and thus as fast as the  wavefronts it generates. (b) A source S moves at speed  v S  faster than the speed of sound and thus faster than the  wavefronts. When the source was at position S 1  it gener-  ated wavefront W 1 , and at position S 6  it generated W 6 . All  the spherical wavefronts expand at the speed of sound v  and bunch along the surface of a cone called the Mach  cone, forming a shock wave. The surface of the cone has  half-angle θ and is tangent to all the wavefronts.  Figure  17.8.1 

Shock waves produced by the wings of a Navy FA 18 jet.  The shock waves are visible because the sudden decrease in air pressure  in them caused water molecules in the air to condense, forming a fog.  Figure  17.8.2 

/

530

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

called a sonic  boom, in which  the air pressure first suddenly  increases and then  suddenly decreases below normal before returning to normal. Part of the sound  that is heard when a rifle is fired is the sonic boom produced by the bullet. When  a long  bull  whip  is snapped, its tip  is  moving faster than  sound  and  produces a  FCP  small sonic boom—the crack of the whip. 

Checkpoint 17.8.1 

The speed of sound varies with altitude in Earth’s atmosphere. If a supersonic air-  plane changes altitude such that the speed of sound in the air is then slower, does the  Mach angle increase  or decrease? 

Review & Summary Sound  waves  are  longitudinal  mechanical  waves that can travel through solids, liquids, or gases. The speed  v of a sound wave in a medium having bulk modulus B and den-  sity ρ is  Sound  Waves 

__ 

and, equivalently, when ΔL is related to λ by  ΔL  = 0.5, 1.5, 2.5, . . . .  ___ 

λ

The intensity I of a sound wave at a surface  is the average rate per  unit area at which energy is transferred  by the wave through or onto the surface:  Sound Intensity 

B  v = √ __  ρ

(speed of sound). 

(17.1.3) 

In air at 20°C, the speed of sound is 343 m/s.  A  sound  wave  causes  a  longitudinal displacement  s  of  a  mass element in a medium as given by  s = s m  cos(kx − ωt), 

(17.2.1) 

where  s m  is  the  displacement  amplitude (maximum  displace-  ment) from equilibrium, k = 2π/λ, and ω = 2πf, λ and f being the  wavelength and  frequency  of  the sound  wave. The  wave  also  causes a pressure change Δp from the equilibrium pressure:  Δp = Δp m  sin(kx − ωt),  Δp m  = (vρω)s m . 

P ,  I = __  A 

where P is the time rate of energy transfer (power) of the sound  wave and  A is  the area  of the surface  intercepting the  sound.  The intensity I  is  related to  the displacement amplitude s m  of  the sound wave by  1  2  2  I  = _  (17.4.2)  2  ρvω s m . 

(17.2.2) 

(17.2.3) 

Sound  Level  in  Decibels 

The  interference  of  two  sound  waves  with  identical wavelengths passing through a common point depends  on their phase difference ϕ there. If the sound waves were emit-  ted in phase and are traveling in approximately the same direc-  tion, ϕ is given by 

(dB) is defined as 

(17.3.3) 

where ΔL is  their path length difference (the difference in the  distances  traveled by  the  waves  to  reach  the  common point).  Fully constructive interference occurs when ϕ is an integer mul-  tiple of 2π,  for m = 0, 1, 2, . . . , 

(17.3.4) 

and, equivalently, when ΔL is related to wavelength λ by  ΔL  = 0, 1, 2, . . . .  ___ 

λ

(17.3.5) 

Fully destructive interference occurs when ϕ is an odd multiple  of π, 

ϕ = (2m + 1)π, 

for m = 0, 1, 2, . . . , 

(17.3.6) 

The  sound  level  β in  decibels 

I ,  β = ( 10 dB ) log __  I 

Interference 

ΔL 2π,  ϕ = ___  λ

(17.4.1) 

The intensity at a distance r from a point source that emits sound  waves of power P s  is  P s  I = ____  .  (17.4.3)  4πr 2 

where the pressure amplitude is 

ϕ = m(2π), 

(17.3.7) 

0 

(17.4.4) 

where I 0  (= 10 −12  W/m 2 ) is a reference intensity level to which all  intensities  are  compared.  For  every  factor-of-10  increase  in  intensity, 10 dB is added to the sound level.  Standing sound wave  patterns can be  set up in pipes. A pipe open at both ends will  resonate at frequencies  Standing Wave Patterns in Pipes 

v  = ___  nv  f = __  (17.5.2)  λ 2L ,  n = 1, 2, 3, . . . ,  where v  is the speed of sound in the air  in the pipe. For a pipe  closed  at  one  end  and  open  at  the  other,  the  resonant  fre-  quencies are  v  = ___  nv  f = __  (17.5.4)  λ 4L ,  n = 1, 3, 5, . . . .  Beats arise when two waves having slightly different fre-  quencies, f 1  and f 2 , are detected together. The beat frequency is  Beats 

f beat  = f 1  − f 2 . 

(17.6.5) 

/

QU EST IONS 

The  Doppler effect is  a change in the  observed  frequency  of  a  wave  when the  source  or  the  detec-  tor  moves  relative  to  the  transmitting  medium (such  as  air).  For  sound  the observed  frequency  f ′  is  given  in terms  of the  source frequency f by  The  Doppler  Effect 

v ± v D  f ′ = f ______  v ± v S  (general Doppler effect) , 

(17.7.1) 

531

The signs are chosen such that f ′ tends to be greater for motion  toward and less for motion away.  If the speed of a source relative to the medium  exceeds the speed of sound in the medium, the Doppler equation  no longer applies. In such a case, shock waves  result. The half-  angle θ of the Mach cone is given by  Shock Wave 

where v D  is the speed of the detector relative to the medium, v S  is that of the source, and v is the speed of sound in the medium. 

v  sin   θ = __  v S  (Mach cone angle). 

(17.8.1) 

Questions In a first experiment, a sinusoidal sound wave is sent through  a  long tube of  air,  transporting  energy  at the  average  rate  of  P avg,1 . In a second experiment, two other sound waves, identical  to the first one, are to be sent simultaneously through the tube  with  a  phase  difference  ϕ of  either  0,  0.2  wavelength, or  0.5  wavelength between the waves.  (a)  With  only mental calcula-  tion, rank  those choices  of  ϕ according  to the average  rate  at  which the waves will transport energy, greatest first. (b) For the  first choice of ϕ, what is the average rate in terms of P avg,1 ?  1 

In Fig. 17.1, two point sources  S 1 L1 S 1  and  S 2 ,  which  are  in  phase,  P emit  identical  sound  waves  of  S 2 L2 wavelength  2.0 m.  In  terms  of  Figure  17.1  Question 2.  wavelengths,  what  is  the  phase  difference  between  the  waves  arriving  at  point P  if  (a)  L 1  = 38 m  and  L 2  = 34 m, and  (b)  L 1  = 39 m and L 2  = 36 m? (c) Assuming that the source sepa-  ration is much smaller than L 1  and L 2 , what type of interfer-  ence occurs at P in situations (a) and (b)? 

third lowest harmonic, and pipe E in its fourth lowest harmonic.  Without computation, rank  all  five  pipes  according  to  their  length, greatest  first. (Hint: Draw the  standing waves  to scale  and then draw the pipes to scale.)  B

C

D

A

2 

In Fig. 17.2, three long tubes  L L (A,  B,  and  C )  are  filled  with  different  gases  under  differ-  ent  pressures.  The  ratio  of  the  L bulk  modulus  to  the  density  is  16B 0 /ρ0 indicated for each gas in terms of  L a basic value B 0 /ρ0 . Each tube has  A a  piston  at  its  left  end  that  can  send  a  sound  pulse  through  the  tube (as  in Fig. 16.1.2). The three  L pulses  are  sent  simultaneously.  4 B 0/ρ0 B Rank the tubes according  to the  time of arrival of the pulses at the  open right ends of the tubes, ear-  B 0/ρ0 C liest first.  Figure  17.2  Question 3.  3 

The  sixth harmonic is  set  up  in a pipe. (a) How many open ends does the pipe have (it has at  least one)? (b) Is  there a node, antinode, or some intermediate  state at the midpoint?  4 

In Fig. 17.3, pipe A is made to oscillate in its third harmonic  by a small internal sound source. Sound emitted at the right end  happens to resonate four nearby pipes, each with only one open  end (they are not drawn to scale). Pipe B oscillates in its lowest  harmonic, pipe C  in  its second  lowest harmonic, pipe D in  its  5 

E

Figure  17.3 

Question 5. 

Pipe A has length L and one open end. Pipe B has length 2L  and two open ends. Which harmonics of pipe B have a frequency  that matches a resonant frequency of pipe A?  6 

Figure  17.4  shows  a  moving  sound source S that emits at a cer-  tain frequency, and  four station-  ary  sound  detectors.  Rank  the  2 detectors  according  to  the  fre-  quency of  the sound they detect  from the source, greatest first.  7 

3

4 1

S

Figure  17.4 

Question 7. 

A  friend  rides,  in  turn,  the  f rims of three fast merry-go-rounds  3 while holding a sound source that  emits isotropically at a certain fre-  t quency. You  stand far  from each  merry-go-round.  The  frequency  2 1 you hear for each of your friend’s  Figure  17.5  Question 8.  three rides varies as the merry-go-  round rotates. The variations in frequency for the three rides are  given by the three curves in Fig. 17.5. Rank the curves  accord-  ing to (a) the linear speed v of the sound source, (b) the angu-  lar  speeds  ω of the merry-go-rounds, and (c)  the radii r  of the  merry-go-rounds, greatest first.  8 

For  a  particular  tube,  here  are  four  of  the  six  harmonic  frequencies below 1000 Hz: 300, 600, 750, and 900 Hz. What two  frequencies are missing from the list?  9 

Figure 17.6 shows a stretched string of length L and pipes  a, b,  c, and d of lengths L, 2L, L/2, and L/2, respectively. The  string’s tension is adjusted until the speed of waves on the string  equals the  speed of  sound waves  in  the  air. The  fundamental  10 

/

532

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

mode of oscillation is  then set up on the string. In  which pipe  will the sound produced by the string cause resonance, and what  oscillation mode will that sound set up? 

L

b

You are given four tuning forks. The fork with the lowest  frequency oscillates at 500 Hz. By striking two tuning forks at a  time, you can produce the following beat frequencies, 1, 2, 3, 5,  7, and 8 Hz. What are the possible frequencies of the other three  forks? (There are two sets of answers.)  11 

a

c

Figure  17.6 

d

Question 10. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

FCP  Additional  information  available in The

BIO  Flying

Circus of Physics

Where needed in the problems, use  speed of sound in air = 343 m/s  and 

density of air = 1.21 kg/m 3 

unless otherwise specified.  Module 17.1 

Speed of Sound 

Two spectators  at a soccer  game see, and a moment later  hear, the ball being kicked on the playing field. The time delay  for  spectator A is  0.23 s,  and for  spectator B  it is  0.12 s.  Sight  lines from the two spectators to the player kicking the ball meet  at an angle of 90°. How far are (a)  spectator A and (b) specta-  tor B from the player? (c) How far are the spectators from each  other?  2  E  What is  the  bulk modulus of oxygen  if  32.0 g  of oxygen  occupies 22.4 L and the speed of sound in the oxygen is 317 m/s?  1 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

E 

E  FCP  When the door of the Chapel of the Mausoleum  in  Hamilton, Scotland, is  slammed  shut, the  last  echo  heard  by  someone standing  just  inside  the  door  reportedly  comes  15 s  later. (a)  If  that echo were due to a  single reflection off a  wall  opposite the door,  how far  from the  door  is  the  wall?  (b)  If,  instead, the wall is 25.7 m away, how many reflections (back and  forth) occur? 

through the air alongside the rod. If the speed of sound in air is  343 m/s, what is the length of the rod?  M  SSM  A stone is  dropped into a  well. The splash  is heard  3.00 s later. What is the depth of the well? 

7 

M  CALC  GO  FCP  Hot chocolate effect. Tap a  metal spoon  inside a mug of water and note the frequency f i  you hear. Then  add a spoonful of powder (say, chocolate mix or instant coffee)  and tap again as  you stir  the powder. The  frequency you hear  has a lower value f s  because the tiny air bubbles released by the  powder change the water’s bulk modulus. As the bubbles reach  the water surface and disappear, the frequency gradually shifts  back  to  its  initial value.  During the  effect, the  bubbles don’t  appreciably change the water’s density or volume or the sound’s  wavelength.  Rather,  they  change  the  value  of  dV/dp —that  is,  the  differential  change  in  volume  due  to  the  differential  change in the pressure caused by the sound wave in the water. If  f s /f i  = 0.333, what is the ratio (dV/dp) s /(dV/dp) i ? 

8 

3 

A column of soldiers, marching at 120  paces  per  minute,  keep in step with the beat of a drummer at the head of the col-  umn. The soldiers in the rear end of the column are striding for-  ward with the left foot when the drummer is advancing with the  right foot. What is the approximate length of the column?  5  M  SSM  Earthquakes  generate  sound  waves  inside  Earth.  Unlike a gas, Earth can experience both transverse (S) and longi-  tudinal (P) sound waves. Typically, the speed of S waves is about  4.5 km/s, and that of P waves  8.0 km/s. A seismograph  records  P  and  S  waves  from an  earthquake. The  first  P  waves  arrive  3.0 min before the first S waves. If the waves travel in a straight  line, how far away did the earthquake occur?  4 

E 

M  A  man  strikes  one  end  of  a  thin  rod  with  a  hammer.  The  speed of sound in the rod  is  15  times the speed of sound  in  air.  A  woman, at  the  other  end  with  her  ear  close  to  the  rod,  hears  the  sound of  the  blow  twice  with  a  0.12 s  interval  between; one sound comes through the rod and the other comes 

6 

Module 17.2  9  E 

Traveling Sound Waves 

If the form of a sound wave traveling through air is  s(x, t) = (6.0 nm) cos(kx + (3000 rad/s)t + ϕ), 

how much time does any given air molecule along the path take  to move between displacements s = +2.0 nm and s = −2.0 nm?  E  BIO  FCP  Underwater  illu-  sion.  One  clue  used  by  your  Wavefronts brain  to  determine  the  direction  of  a  source  of  sound  is  the  time  d delay  Δt  between  the  arrival  of  θ the sound at the ear closer  to the  θ source  and the arrival  at the far-  D R ther ear.  Assume that the source  L Figure  17.7  Problem 10.  is distant so that a wavefront from  it  is  approximately  planar  when  it  reaches  you,  and  let  D  represent  the  separation  between  your ears. (a)  If the source is located at angle θ in front of you  (Fig. 17.7), what is Δt in terms of D and the speed of sound v in  air? (b) If you are  submerged in water and the sound source  is  directly to your right, what is Δt in terms of D and the speed of  sound v w  in water? (c)  Based on the time-delay clue, your brain  interprets the submerged sound to arrive at an angle θ from the  forward direction. Evaluate θ for fresh water at 20°C. 

10 

/

P ROBL EMS 

E  BIO  SSM  Diagnostic ultrasound of frequency 4.50 MHz  is  used to examine tumors in soft tissue. (a)  What is  the wave-  length in air of such a sound wave? (b)  If the speed of sound in  tissue is 1500 m/s, what is the wavelength of this wave in tissue? 

11 

E  The  pressure  in  a  traveling sound  wave is  given by  the  equation 

12 

Δp = (1.50 Pa) sin π[(0.900 m −1 ) x − (315 s −1 )t].  Find the (a)  pressure amplitude, (b) frequency, (c)  wavelength,  and (d) speed of the wave.  A sound wave of the form s = s m  cos(kx − ωt + ϕ) travels  at 343 m/s through air in a long horizontal tube. At one instant,  air  molecule A  at  x = 2.000 m  is  at  its  maximum positive dis-  placement of 6.00 nm and air  molecule B at x = 2.070 m is  at a  positive displacement of 2.00 nm. All the molecules between A  and B are at intermediate displacements. What is the frequency  of the wave?  13  M 

M  Figure  17.8  shows  the  Δp (mPa) output from a  pressure  moni-  tor  mounted at  a  point along  Δp the path taken by a sound wave  of a single frequency traveling  at  343  m/s through air  with a  –1 1 2 uniform density of 1.21 kg/m 3 .  –Δp The vertical axis scale is set by  Δp s  = 4.0 mPa. If the displace-  ment  function of  the  wave  is  t (ms) s(x, t) = s m  cos(kx − ωt), what  Figure  17.8  Problem 14.  are  (a)  s m,    (b)  k,  and  (c)  ω?  The  air is  then cooled so  that its density is 1.35 kg/m 3  and the  speed of a sound wave through it is 320 m/s. The sound source  again  emits the  sound wave  at the  same  frequency  and  same  pressure amplitude. What now are (d) s m , (e) k, and (f) ω? 

14 

s

s

GO  FCP  A handclap on stage in an amphitheater sends  out sound waves that scatter from terraces of width w = 0.75 m  (Fig. 17.9). The sound returns to the stage as a periodic series of  pulses, one from each terrace; the parade of pulses sounds like  a  played note. (a)  Assuming  that  all  the rays  in  Fig.  17.9 are  horizontal, find the frequency at which the pulses return (that is,  the frequency of the perceived note). (b) If the width w  of the  terraces were smaller, would the frequency be higher or lower?  15  M 

M  FCP  Two  loudspeakers  are  located 3.35 m apart  on an  outdoor stage. A  listener is  18.3 m from one  and 19.5 m  from  the other. During the sound check, a signal generator drives the  two speakers in phase with the same amplitude and frequency.  The  transmitted frequency is  swept through the audible range  (20  Hz to 20 kHz). (a)  What is the lowest frequency f min,1 that  gives minimum signal (destructive interference) at the listener’s  location? By  what number must f min,1  be multiplied to get  (b)  the  second  lowest  frequency  f min,2  that  gives  minimum  signal  and (c)  the third lowest frequency f min,3 that gives minimum sig-  nal? (d) What is the lowest frequency f max,1  that gives maximum  signal (constructive interference)  at the listener’s  location? By  what number must f max,1  be multiplied to get (e) the second low-  est frequency f max,2  that gives maximum signal and (f ) the third  lowest frequency f max,3  that gives maximum signal? 

17 

GO  In  Fig.  17.10,  sound  M  L waves  A  and  B,  both  of  wave-  A length  λ,  are  initially  in  phase  and  traveling rightward,  as  indi-  L cated by the two rays. Wave A is  B reflected from  four  surfaces  but  ends  up  traveling  in  its  original  L direction.  Wave  B  ends  in  that  direction  after  reflecting  from  two  surfaces.  Let  distance  L  in  Figure  17.10  Problem 18.  the figure be expressed  as a mul-  tiple q of  λ : L = qλ.  What are  the (a)  smallest and (b)  second  smallest values of q that put A and B exactly out of phase with  each other after the reflections?  18 

GO  Figure 17.11 shows two  S1 S2 D isotropic point sources  of  sound,  S 1 and S 2 . The sources emit waves  Figure  17.11  Problem 19.  in  phase  at  wavelength  0.50 m;  they are  separated  by  D = 1.75 m. If  we  move a  sound detec-  tor  along a  large  circle  centered  at the  midpoint between the  sources, at how many points do waves arrive at the detector (a)  exactly in phase and (b) exactly out of phase?  19  M 

Figure 17.12 shows four isotropic point sources  of sound  that are uniformly spaced on an x axis. The sources  emit sound  at the same wavelength λ and same amplitude s m , and they emit  in phase. A point P is shown on the x axis. Assume that as  the  sound waves travel to P, the decrease in their amplitude is negli-  gible. What multiple of s m  is the amplitude of the net wave at P  if distance d in the figure is (a)  λ/4, (b) λ /2, and (c)  λ?  20  M 

S1 w

Module 17.3  E 

S3

d

S4

Problem 15. 

Interference 

P

d

Figure  17.12 

Two  sound  waves,  from two  different sources  with the  same frequency, 540 Hz, travel in the same direction at 330 m/s.  The  sources  are  in  phase. What is  the phase  difference  of the  waves at a point that is 4.40 m from one source and 4.00 m from  the other?  16 

S2

d

Terrace

Figure  17.9 

533

Problem 20. 

M  SSM  In  Fig.  17.13,  two  speakers  separated  by  distance  d 1  = 2.00 m  are  in  phase.  Assume  the amplitudes of the sound waves  from  the  speakers  are  approxi-  mately  the  same  at  the  listener’s  ear at distance d 2  = 3.75 m directly  in  front  of  one  speaker.  Consider  the  full  audible range  for  normal 

21 

d1

Speakers Listener d2

Figure  17.13 

Problem 21. 

/

534

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

hearing, 20 Hz to 20 kHz. (a) What is the lowest frequency f min,1  that gives minimum signal (destructive  interference) at the lis-  tener’s  ear?  By  what  number must  f min,1  be  multiplied to  get  (b) the second lowest frequency f min,2 that gives minimum signal  and (c) the third lowest frequency f min,3 that gives minimum sig-  nal? (d) What is the lowest frequency f max,1  that gives maximum  signal (constructive interference) at the listener’s ear? By what  number must f max,1  be  multiplied to get  (e)  the  second lowest  frequency f max,2  that gives maximum signal and (f ) the third low-  est frequency f max,3  that gives maximum signal?  In Fig. 17.14, sound with a  r 40.0 cm wavelength travels right-  ward from a  source and through  Source Detector a  tube that consists  of  a  straight  Figure  17.14  Problem 22.  portion and a  half-circle. Part of  the  sound  wave  travels  through  the half-circle and then rejoins the rest of the wave, which goes  directly  through the  straight  portion. This  rejoining results  in  interference.  What  is  the  smallest  radius  r  that  results  in  an  intensity minimum at the detector?  22  M 

GO  Figure 17.15 shows two  y point sources  S 1  and S 2  that emit  sound  of  wavelength  λ = 2.00 m.  S1 P The emissions are isotropic and in  x phase, and the separation between  the sources  is  d = 16.0 m. At any  d point P  on  the  x  axis,  the  wave  S2 from  S 1  and  the  wave  from  S 2  interfere. When P is very far away  (x ≈ ∞),  what  are  (a)  the  phase  Figure  17.15  Problem 23.  difference  between  the  arriving  waves from S 1  and S 2  and (b) the type of interference they pro-  duce? Now move point P  along the x axis  toward S 1 . (c)  Does  the phase difference between the waves  increase  or decrease?  At  what  distance  x  do  the  waves  have  a  phase  difference  of  (d) 0.50λ, (e) 1.00λ, and (f) 1.50λ?  23  H 

Module 17.4 

E  The  source of  a sound wave  has  a power  of 1.00 μ W. If  it is  a  point source,  (a)  what  is  the intensity 3.00 m  away  and  (b) what is the sound level in decibels at that distance? 

30 

BIO  FCP  GO  When you “crack” a knuckle, you suddenly  widen the knuckle cavity, allowing more volume for the synovial  fluid inside it and causing a gas bubble suddenly to appear in the  fluid. The sudden production of the bubble, called “cavitation,”  produces a  sound pulse—the cracking sound. Assume that the  sound is transmitted uniformly in all directions and that it fully  passes from the knuckle interior to the outside. If the pulse has  a sound level of 62  dB at your  ear, estimate the rate at  which  energy is produced by the cavitation. 

31  E 

E  BIO  FCP  Approximately a  third of people with normal  hearing have ears  that continuously emit a low-intensity sound  outward through the ear  canal. A  person with  such spontane-  ous  otoacoustic  emission  is  rarely  aware  of  the  sound, except  perhaps in a noise-free environment, but occasionally the emis-  sion is loud enough to be heard by someone else nearby. In one  observation, the  sound wave had a  frequency  of 1665  Hz  and  a pressure  amplitude of 1.13 × 10 −3  Pa. What were  (a)  the dis-  placement amplitude and (b) the intensity of the wave emitted  by the ear?  33  E  BIO  FCP  Male Rana catesbeiana bullfrogs are known for  their loud mating call. The call is emitted not by the frog’s mouth  but by its eardrums, which lie on the surface of the head. And,  surprisingly, the sound has nothing to do with the frog’s inflated  throat. If  the  emitted sound has  a  frequency  of  260 Hz and  a  sound level of 85 dB (near the eardrum), what is the amplitude  of the eardrum’s oscillation? The air density is 1.21 kg/m 3 . 

32 

M  GO  Two  atmospheric sound sources  A  and B  emit iso-  tropically at constant power. The  sound levels  β of their emis-  sions are plotted in Fig. 17.16 versus  the radial distance r  from  the sources.  The  vertical  axis  scale  is  set  by  β1  = 85.0  dB  and  β2 = 65.0 dB. What are (a)  the ratio of the larger power to the  smaller power and (b) the sound level difference at r = 10 m? 

34 

Intensity and Sound Level 

β1

Suppose that  the  sound level  of  a  conversation  is  initially at an angry 70 dB and then drops to a soothing 50 dB.  Assuming that the frequency of the sound is 500 Hz, determine  the (a)  initial and (b)  final sound intensities and the (c)  initial  and (d) final sound wave amplitudes.  24 

E 

BIO 

) Bd(

β

E  A  sound wave  of  frequency  300 Hz  has  an  intensity of  1.00 μW/m 2 . What is the amplitude of the air oscillations caused  by this wave? 

B

25 

E  A  1.0 W  point  source  emits  sound  waves  isotropically.  Assuming that the energy  of the waves  is  conserved, find the  intensity  (a)  1.0 m  from  the  source  and  (b)  2.5 m  from  the  source. 

26 

SSM  A certain sound source is increased in sound level by  30.0 dB. By what multiple is (a) its intensity increased and (b) its  pressure amplitude increased?  28  E  Two sounds differ in sound level by 1.00 dB. What is the  ratio of the greater intensity to the smaller intensity? 

27  E 

E  SSM  A  point  source  emits  sound  waves  isotropically.  The intensity of the waves 2.50 m from the source is 1.91 × 10 −4  W/m 2 . Assuming that the energy of the waves is conserved, find  the power of the source. 

29 

A

β2 Figure  17.16 

Problem 34. 

100 r

500 (m)

1000

A point source emits 30.0 W of sound isotropically. A small  microphone intercepts the sound in an area of 0.750 cm 2 , 200 m  from  the  source.  Calculate  (a)  the  sound  intensity there  and  (b) the power intercepted by the microphone.  35  M 

M  BIO  FCP  Party  hearing. As  the number of people at  a  party increases, you must raise  your voice for a listener to hear  you against the background noise of the other partygoers. How-  ever, once you reach the level of yelling, the only way you can  be heard is if you move closer to your listener, into the listener’s  “personal space.” Model the situation by replacing you with an  isotropic point source of fixed power P  and replacing your lis-  tener with a point that absorbs part of your sound waves. These  points are  initially separated  by r i  = 1.20 m. If  the background 

36 

/

P ROBL EMS 

noise  increases  by Δβ = 5  dB, the sound level at your  listener  must also increase. What separation r f  is then required?  GO  A  sound source  sends  a  sinusoidal  sound  wave  of  H  angular frequency 3000 rad/s  and amplitude 12.0 nm through a  tube of air. The internal radius of the tube is 2.00 cm. (a) What  is  the average rate at which energy (the sum of the kinetic and  potential energies)  is  transported  to  the  opposite  end  of  the  tube? (b) If, simultaneously, an identical wave travels along an  adjacent, identical tube, what is the total average rate at which  energy is  transported to the opposite ends of the two tubes by  the waves? If, instead, those two waves are sent along the same  tube  simultaneously, what  is  the  total  average  rate  at  which  they  transport  energy  when  their  phase  difference  is  (c)  0,  (d) 0.40π rad, and (e)  π rad?  37 

Module 17.5 

Sources of Musical Sound 

The water level in a vertical glass tube 1.00 m long can be  adjusted to any position in the tube. A tuning fork vibrating at  686 Hz is held just over the open top end of the tube, to set up a  standing wave of sound in the air-filled top portion of the tube.  (That  air-filled top portion acts  as  a  tube with one end closed  and the other end open.) (a)  For how many different positions  of the water level will sound from the fork set up resonance  in  the tube’s air-filled portion? What are the (b)  least and (c) sec-  ond least water heights in the tube for resonance to occur?  38  E 

E  SSM  (a)  Find the speed  of  waves  on a  violin string  of  mass  800  mg and length 22.0 cm if  the fundamental frequency  is  920 Hz. (b)  What is the tension in the string? For the funda-  mental, what is the wavelength of (c) the waves on the string and  (d) the sound waves emitted by the string? 

39 

E  Organ pipe A, with both ends  open, has  a  fundamental  frequency of 300 Hz. The third harmonic of organ pipe B, with  one end open, has the same frequency as the second harmonic  of pipe A. How long are (a) pipe A and (b) pipe B? 

40 

E  A  violin  string  15.0 cm  long  and  fixed  at  both  ends  oscillates in its n = 1 mode. The speed of waves on the string is  250 m/s, and the speed of sound in air is  348 m/s. What are the  (a) frequency and (b) wavelength of the emitted sound wave? 

41 

A sound wave in a fluid medium is reflected at a barrier so  that a standing wave is formed. The distance between nodes is  3.8 cm, and the speed of propagation is  1500 m/s. Find the fre-  quency of the sound wave.  42  E 

E  SSM  In  Fig.  17.17,  S  is  a  small  loud-  speaker driven by an audio oscillator with a fre-  quency that is varied from 1000 Hz to 2000 Hz,  and D is  a cylindrical pipe with two open ends  and a length of 45.7 cm. The speed of sound in  the air-filled pipe is  344 m/s. (a)  At how many  frequencies  does  the  sound  from  the  loud-  speaker set up resonance in the pipe? What are  the  (b)  lowest and  (c)  second lowest  frequen-  cies at which resonance occurs? 

been produced? (b)  If  that dinosaur could be  recreated (as  in  Jurassic Park), would a person with a hearing range of 60 Hz to  20 kHz be able to hear that fundamental mode and, if so, would  the sound be  high or low frequency? Fossil skulls that contain  shorter  nasal  passages  are  thought to  be  those  of  the female  Parasaurolophus. (c) Would that make the female’s fundamen-  tal frequency higher or lower than the male’s?  In pipe A, the ratio of a particular harmonic frequency to  the next lower harmonic frequency is  1.2. In  pipe B,  the ratio  of a particular harmonic frequency to the next lower harmonic  frequency  is  1.4. How many open ends  are  in  (a)  pipe  A  and  (b) pipe B?  45  E 

GO  Pipe A, which is  1.20 m long and open at both ends,  oscillates at its third lowest harmonic frequency. It is filled with  air for which the speed of sound is 343 m/s. Pipe B, which is closed  at one end, oscillates at its  second lowest harmonic frequency.  This  frequency  of  B  happens  to  match  the  frequency  of  A.  An x axis extends along the interior of B, with x = 0 at the closed  end. (a) How many nodes are along that axis? What are the (b)  smallest and (c) second smallest value of x locating those nodes?  (d) What is the fundamental frequency of B?  46  M 

A well with vertical sides  and water  at the bottom reso-  nates at 7.00 Hz and at no lower frequency. The air-filled portion  of the well acts as a tube with one closed end (at the bottom) and  one open end (at the top). The air in the well has a  density of  1.10 kg/m 3  and a bulk modulus of 1.33 × 10 5  Pa. How far down  in the well is the water surface?  47  M 

One of the harmonic frequencies of tube A with two open  ends is 325 Hz. The next-highest harmonic frequency is 390 Hz.  (a) What harmonic frequency is next highest after the harmonic  frequency 195 Hz? (b)  What is the number of this next-highest  harmonic? One of the harmonic frequencies of tube B with only  one open end is 1080 Hz. The next-highest harmonic frequency  is  1320  Hz. (c)  What harmonic frequency is  next highest after  the harmonic frequency 600 Hz? (d) What is the number of this  next-highest harmonic?  48  M 

SSM  A  violin  string  30.0 cm  long  with  linear  density  M  0.650  g/m is  placed near a loudspeaker that is fed by an audio  oscillator  of  variable  frequency.  It  is  found  that the  string  is  set into oscillation only at the frequencies 880 and 1320 Hz as the  frequency of the oscillator is varied over the range 500 –1500 Hz.  What is the tension in the string? 

49 

GO  A tube 1.20 m long is closed at one end. A stretched  wire is placed near the open end. The wire is  0.330 m long and  has a mass of 9.60 g. It is fixed at both ends and oscillates in its  fundamental mode. By  resonance, it sets the air column in the  tube into  oscillation at  that  column’s fundamental frequency.  Find (a) that frequency and (b) the tension in the wire.  50  M 

43 

S D

Figure  17.17 

Problem 43. 

BIO  FCP  The crest of a Parasaurolophus dinosaur skull is  shaped somewhat like a trombone and contains a nasal passage  in the form of a  long, bent tube open at  both ends. The dino-  saur may have used the passage to produce sound by setting up  the fundamental mode in it. (a) If the nasal passage in a certain  Parasaurolophus fossil is 2.0 m long, what frequency would have 

44  E 

535

Module 17.6 

Beats 

The A string of a violin is a little too tightly stretched. Beats  at 4.00 per second are heard when the string is sounded together  with  a  tuning fork  that  is  oscillating  accurately  at  concert  A  (440 Hz). What is the period of the violin string oscillation?  51  E 

E  A  tuning fork  of unknown frequency  makes 3.00  beats  per second with a standard fork of frequency 384 Hz. The beat  frequency decreases when a small piece of wax is put on a prong  of the first fork. What is the frequency of this fork? 

52 

/

536

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

M  SSM  Two  identical  piano  wires  have  a  fundamen-  tal  frequency  of  600 Hz  when  kept  under  the  same  tension.  What  fractional  increase  in  the  tension of  one  wire  will  lead  to  the  occurrence  of  6.0  beats/s  when  both  wires  oscillate  simultaneously? 

53 

You have five tuning forks that oscillate at close but dif-  ferent  resonant  frequencies.  What  are  the  (a)  maximum  and  (b) minimum number of different beat frequencies you can pro-  duce by sounding the forks two at a time, depending on how the  resonant frequencies differ?  54  M 

up in each tube, and some  1 of the sound that escapes  2 from them is  detected by  3 D detector D,  which  moves  directly  away  from  the  4 Figure  17.19  Problem 62.  tubes.  In  terms  of  the  speed  of  sound  v,  what  speed must the detector have such that the detected frequency  of the sound from (a) tube 1, (b) tube 2, (c) tube 3, and (d) tube  4 is equal to the tube’s fundamental frequency?  M  An acoustic  burglar  alarm  consists  of a  source  emitting  waves of frequency 28.0 kHz. What is the beat frequency between  the source waves and the waves reflected from an intruder walk-  ing at an average speed of 0.950 m/s directly away from the alarm? 

63  Module 17.7 

The Doppler Effect 

A whistle of frequency 540 Hz moves in a circle of radius  60.0 cm at an angular speed of 15.0 rad/s. What are the (a) low-  est  and (b)  highest frequencies  heard by  a  listener a  long dis-  tance away, at rest with respect to the center of the circle?  55  E 

E  An ambulance with a  siren  emitting a  whine at  1600 Hz  overtakes and passes a cyclist pedaling a bike at 2.44 m/s. After  being passed, the cyclist hears a frequency of 1590 Hz. How fast  is the ambulance moving? 

56 

E  A  state trooper  chases  a  speeder  along  a  straight road;  both  vehicles  move  at  160 km/h. The  siren  on  the  trooper’s  vehicle produces sound at a  frequency of 500  Hz. What is  the  Doppler shift in the frequency heard by the speeder? 

57 

A sound source A and a reflecting surface B move directly  toward each other. Relative to the air, the speed of source A is  29.9 m/s, the  speed of  surface  B  is  65.8 m/s, and  the speed  of  sound is 329 m/s. The source emits waves at frequency 1200 Hz  as  measured  in the source  frame. In  the reflector frame, what  are the (a)  frequency and (b) wavelength of the arriving sound  waves?  In  the  source  frame, what  are  the  (c)  frequency  and  (d) wavelength of the sound waves reflected back to the source?  58  M 

GO  In Fig. 17.18, a French submarine and a U.S. subma-  rine  move toward each other during maneuvers  in  motionless  water  in  the  North Atlantic. The  French  sub  moves  at  speed  v F   =  50.00  km/h, and  the  U.S. sub  at  v US  = 70.00  km/h. The  French sub  sends out a  sonar  signal (sound  wave in  water)  at  1.000 ×  10 3  Hz. Sonar  waves  travel  at 5470 km/h. (a)  What is  the  signal’s  frequency  as  detected by  the U.S. sub?  (b)  What  frequency is  detected by the French sub in the signal reflected  back to it by the U.S. sub?  59  M 

French

v F Figure  17.18 

v US

U.S.

Problem 59. 

M  A  stationary  motion  detector  sends  sound  waves  of  frequency 0.150 MHz toward a truck approaching at a speed of  45.0 m/s. What is  the frequency of the waves  reflected back to  the detector? 

60 

BIO  GO  FCP  A bat is flitting about in a cave, navigating via  ultrasonic  bleeps. Assume  that the sound emission frequency of  the bat is 39 000 Hz. During one fast swoop directly toward a flat  wall surface, the bat is moving at 0.025 times the speed of sound in  air. What frequency does the bat hear reflected off the wall? 

61  M 

Figure 17.19 shows four tubes with lengths 1.0 m or 2.0 m,  with one or two open ends as  drawn. The third harmonic is set  62  M 

A stationary detector measures the frequency of a sound  source that first moves at constant velocity directly toward the  detector  and  then  (after  passing  the  detector)  directly  away  from it. The  emitted frequency  is  f.  During the approach  the  detected frequency is  f ′app    and during the recession it is f ′rec    . If  ( f ′ app − f ′ rec )/f = 0.500, what is the ratio v s /v of the speed of the  source to the speed of sound?  64  M 

GO  A 2000 Hz siren and a civil defense official are both at  rest with respect to the ground. What frequency does the official  hear if the wind is blowing at 12 m/s (a)  from source to official  and (b) from official to source?  65  H 

GO  Two trains are traveling toward each other at 30.5 m/s  relative to the ground. One train is blowing a whistle at 500 Hz.  (a)  What  frequency  is  heard  on  the  other  train  in  still  air?  (b) What frequency is heard on the other train if the wind is blow-  ing at 30.5 m/s toward the whistle and away from the listener? (c)  What frequency is heard if the wind direction is reversed?  66  H 

H  SSM  A  girl  is  sitting near  the  open window of  a  train  that is  moving at a  velocity of 10.00 m/s to the east. The  girl’s  uncle stands near the tracks and watches the train move away.  The locomotive whistle emits sound at frequency 500.0 Hz. The  air  is  still. (a)  What frequency does  the uncle hear?  (b)  What  frequency does the girl hear? A wind begins to blow from the  east at 10.00 m/s. (c) What frequency does the uncle now hear?  (d) What frequency does the girl now hear? 

67 

Module 17.8 

Supersonic Speeds, Shock Waves 

The shock wave off the cockpit of the FA 18 in Fig. 17.8.2  has an angle of about 60°. The airplane was traveling at  about  1350 km/h  when  the  photograph  was  taken.  Approximately  what was the speed of sound at the airplane’s altitude?  68  E 

M  SSM  FCP  A  jet  plane  passes  over  you  at  a  height  of  5000 m and a speed of Mach 1.5. (a) Find the Mach cone angle  (the sound speed is 331 m/s). (b) How long after the jet passes  directly overhead does the shock wave reach you? 

69 

M  A  plane flies  at  1.25 times the speed  of  sound. Its  sonic  boom reaches a man on the ground 1.00 min after the plane passes  directly overhead. What is the altitude of the plane? Assume the  speed of sound to be 330 m/s. 

70 

Additional Problems 

At a distance of 10 km, a  100 Hz horn, assumed to be an  isotropic point source, is barely audible. At what distance would  it begin to cause pain?  71 

/

537

P ROBL EMS 

A  bullet is  fired with  a  speed  of 685 m/s.  Find the angle  made by the shock cone with the line of motion of the bullet.  72 

BIO  FCP  A sperm whale (Fig. 17.20a)  vocalizes by produc-  ing  a  series  of  clicks. Actually, the whale  makes only a  single  sound near the front of its head to start the series.  Part of that  sound  then emerges  from the head  into the water  to  become  the first click of the series.  The rest  of the sound travels  back-  ward  through the spermaceti sac  (a  body of fat), reflects from  the frontal sac  (an air layer), and then travels forward through  the spermaceti sac.  When it reaches  the distal sac  (another air  layer)  at the front of the head, some of the sound escapes  into  the  water  to  form  the second  click,  and  the rest  is  sent  back  through the spermaceti sac (and ends up forming later clicks).  Figure 17.20b shows a strip-chart recording of a series of clicks.  A unit time interval of 1.0 ms is  indicated on the chart. Assum-  ing that the speed of sound in the spermaceti sac  is 1372 m/s, find  the length of the spermaceti sac. From such a calculation, marine  scientists estimate the length of a whale from its click series. 

73 

traveling in its original direction. What multiple of wavelength λ is the smallest value of distance L in the figure that puts A and B  exactly out of phase with each other after the reflections?  78  A trumpet player on a moving railroad flatcar moves toward  a  second  trumpet  player  standing  alongside  the  track  while  both play  a  440 Hz  note. The  sound waves  heard  by a  station-  ary observer  between the two players have a  beat frequency of  4.0 beats/s. What is the flatcar’s speed?  GO  In  Fig. 17.22, sound of wavelength  0.850 m  is  emitted  isotropically by point source S. Sound ray  1 extends directly to  detector D, at distance L = 10.0 m. Sound ray 2 extends to D via  a reflection (effectively, a “bouncing”) of the sound at a flat sur-  face. That reflection occurs on a perpendicular bisector to the SD  line, at distance d from the line. Assume that the reflection shifts  the sound wave by 0.500λ . For what least value of d (other than  zero)  do the direct  sound and the reflected sound arrive  at  D  (a) exactly out of phase and (b) exactly in phase?  79 

Spermaceti sac Distal sac

Ray 2

Frontal sac

d

S

__ 2

Ray 1

L

Figure  17.22 

D

__ 2 L

Problem 79. 

GO  A  detector initially moves at constant velocity directly  toward  a  stationary  sound  source  and  then  (after  passing  it)  directly from it. The emitted frequency is f. During the approach  the detected frequency is f ′a  pp and during the recession it is f ′r ec .   If the frequencies are related by (f ′app    − f ′rec    )/f = 0.500, what is  the ratio v D /v of the speed of the detector to the speed of sound?  80 

(a )

1.0 ms

SSM  (a)  If  two sound waves, one in air  and one in  (fresh)  water, are equal in intensity and angular frequency, what is the  ratio of the pressure amplitude of the wave in water to that of  the wave in air? Assume the water and the air are at 20°C. (See  Table 14.1.1.) (b) If the pressure  amplitudes are  equal instead,  what is the ratio of the intensities of the waves? 

81 

(b)

Figure  17.20 

Problem 73. 

The  average  density  of  Earth’s  crust  10 km  beneath the  continents is 2.7 g/cm 3 . The speed of longitudinal seismic waves  at that depth, found by timing their arrival from distant earth-  quakes, is  5.4  km/s. Find the bulk modulus of  Earth’s crust  at  that depth. For comparison, the bulk modulus of steel is about  16 × 10 10  Pa.  74 

A  certain  loudspeaker  system  emits  sound  isotropically  with a  frequency of 2000 Hz  and an intensity of  0.960 mW/m 2  at  a  distance of  6.10 m. Assume  that there are  no reflections.  (a)  What is  the intensity at 30.0 m? At 6.10 m, what are (b) the  displacement amplitude and (c) the pressure amplitude?  75 

Find the ratios  (greater  to  smaller)  of the  (a)  intensities,  (b)  pressure  amplitudes, and  (c)  A particle displacement amplitudes  for two sounds whose sound lev-  L els differ by 37 dB.  76 

In Fig. 17.21, sound waves A  and B, both of wavelength λ , are  initially  in  phase  and  traveling  rightward,  as  indicated  by  the  two  rays.  Wave  A  is  reflected  from  four  surfaces  but  ends  up  77 

L

B

Figure  17.21 

Problem 77. 

A continuous sinusoidal longitudinal wave is  sent along a  very long coiled spring from an attached oscillating source. The  wave travels in the negative direction of an x axis; the source fre-  quency is 25 Hz; at any instant the distance between successive  points of maximum expansion in the spring is 24 cm; the maxi-  mum longitudinal displacement of a  spring  particle is 0.30 cm;  and the particle at x = 0 has zero  displacement at time t = 0. If  the wave is written in the form s(x, t) = s m  cos(kx ± ωt), what are  (a) s m,   (b) k, (c)  ω, (d) the wave speed, and (e) the correct choice  of sign in front of ω?  82 

BIO  SSM  Ultrasound, which  Incident ultrasound consists of sound waves with fre-  quencies above the human audi-  θ ble range, can be used to produce  Artery an  image  of  the  interior  of  a  human  body.  Moreover,  ultra-  sound can be used to measure the  speed of the blood in the body; it  Figure  17.23  Problem 83.  does so by comparing the frequency of the ultrasound sent into  the body with  the frequency  of  the ultrasound  reflected back 

83 

/

538

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

to  the  body’s surface  by  the blood. As  the  blood pulses,  this  detected frequency varies.  Suppose that an ultrasound image of the arm of a patient  shows  an  artery  that is  angled at  θ = 20°  to  the  ultrasound’s  line of  travel  (Fig. 17.23). Suppose also  that the frequency  of  the ultrasound reflected by the blood in the artery is  increased  by  a  maximum  of  5495 Hz  from  the  original  ultrasound  fre-  quency of 5.000 000 MHz. (a)  In  Fig. 17.23, is  the direction of  the blood flow rightward or leftward? (b) The speed of sound in  the human arm is 1540 m/s. What is the maximum speed of the  blood? (Hint: The Doppler effect is caused by the component of  the blood’s velocity along the ultrasound’s direction of travel.)  (c)  If  angle  θ were  greater,  would the reflected  frequency  be  greater or less?  The speed of sound in a certain metal is v m . One end of a long  pipe of that metal of length L is struck a hard blow. A listener at  the other end hears  two sounds, one from the wave  that travels  along the pipe’s metal wall and the other from the wave that trav-  els through the air inside the pipe. (a) If v is the speed of sound  in air, what is the time interval Δt between the arrivals of the two  sounds  at the listener’s  ear?  (b)  If  Δt = 1.00 s  and the metal is  steel, what is the length L?  84 

FCP  An  avalanche  of  sand  along  some  rare  desert  sand  dunes can produce a booming that is loud enough to be heard  10 km  away. The  booming apparently  results  from  a  periodic  oscillation  of  the  sliding  layer  of  sand—the  layer’s  thickness  expands and contracts. If the emitted frequency is  90 Hz, what  are (a) the period of the thickness oscillation and (b) the wave-  length of the sound? 

85 

A sound source moves along an x axis, between detectors  A and B. The wavelength of the sound detected at A is 0.500 that  of the sound detected at B. What is the ratio νs /ν of the speed of  the source to the speed of sound?  86 

SSM  A siren emitting a sound of frequency 1000 Hz moves  away from you toward the face of a  cliff at a  speed of 10 m/s.  Take the speed of sound in air  as  330 m/s. (a)  What is the fre-  quency of the sound you hear  coming directly from the siren?  (b) What is the frequency of the sound you hear reflected off the  cliff? (c) What is the beat frequency between the two sounds? Is  it perceptible (less than 20 Hz)? 

87 

At a certain point, two waves produce pressure variations  given by Δp 1  = Δp m  sin  ωt and  Δp 2  = Δp m  sin(ωt − ϕ).  At this  point, what  is  the  ratio  Δp r /Δp m ,  where  Δp r  is  the  pressure  amplitude of the resultant wave, if ϕ is (a) 0, (b)  π/2, (c)  π/3, and  (d)  π/4?  88 

Two sound waves with an amplitude of 12 nm and a wave-  length of 35 cm travel in the same direction through a long tube,  with a  phase difference of  π/3 rad. What are the (a)  amplitude  and (b)  wavelength  of the net  sound wave  produced by  their  interference?  If,  instead, the  sound  waves  travel  through the  tube  in  opposite directions,  what  are  the  (c)  amplitude  and  (d) wavelength of the net wave?  89 

A sinusoidal  sound wave moves at 343 m/s through air  in  the  positive direction of  an  x  axis.  At one  instant during  the  oscillations, air  molecule A is  at its  maximum displacement in  the negative direction of the axis while air molecule B  is at its  equilibrium position. The separation between those molecules is  15.0 cm, and the molecules between A and B have intermediate  90 

displacements in the negative direction of the axis. (a)  What is  the frequency of the sound wave?  In  a  similar  arrangement  but  for  a  different  sinusoidal  sound wave, at  one  instant air  molecule C  is  at  its  maximum  displacement in the positive direction while molecule D is at its  maximum displacement in the negative direction. The separa-  tion between the molecules is again 15.0 cm, and the molecules  between C and D have intermediate displacements. (b) What is  the frequency of the sound wave?  Two identical tuning forks can oscillate at 440 Hz. A person  is located somewhere  on the line between them. Calculate the  beat frequency as measured by this individual if (a) she is stand-  ing still and the tuning forks move in the same direction along  the line at 3.00 m/s, and (b)  the tuning forks are stationary and  the listener moves along the line at 3.00 m/s.  91 

You can estimate your distance from a lightning stroke by  counting the seconds between the flash you see and the thunder  you later hear. By what integer should you divide the number of  seconds to get the distance in kilometers?  92 

SSM  Figure  17.24  shows  an  S air-filled, acoustic  interferometer,  used  to demonstrate the interfer-  A B ence of sound waves. Sound source  S is an oscillating diaphragm; D is  a  sound detector, such  as  the ear  D or a microphone. Path SBD can be  varied in length, but path SAD is  Figure  17.24  Problem 93.  fixed. At D, the sound wave com-  ing along path SBD interferes with that coming along path SAD.  In one demonstration, the sound intensity at D has a minimum  value of 100  units at one position of the movable arm and con-  tinuously climbs to a maximum value of 900 units when that arm  is shifted by 1.65 cm. Find (a) the frequency of the sound emitted  by the source and (b) the ratio of the amplitude at D of the SAD  wave to that of the SBD wave. (c) How can it happen that these  waves have different amplitudes, considering that they originate  at the same source? 

93 

On July 10, 1996, a granite block broke away from a wall in  Yosemite Valley  and, as  it began  to slide  down the wall, was  launched into  projectile  motion. Seismic  waves  produced  by  its impact with the ground triggered seismographs as  far away  as 200 km. Later measurements indicated that the block had a  mass  between 7.3 × 10 7  kg  and 1.7 × 10 8  kg and  that it  landed  500 m vertically below the launch point and 30 m horizontally  from  it.  (The  launch  angle  is  not  known.)  (a)  Estimate  the  block’s kinetic energy just before it landed.  Consider two types of seismic waves  that spread from the  impact point—a hemispherical body wave traveled through the  ground in  an  expanding  hemisphere  and  a  cylindrical  surface  wave traveled along the ground in an expanding shallow verti-  cal cylinder (Fig. 17.25). Assume that the impact lasted 0.50 s,  the vertical cylinder had a depth d of 5.0 m, and each wave type  received 20%  of the energy the block had just  before impact.  Neglecting any mechanical energy  loss  the waves  experienced  as they traveled, determine the intensities of (b) the body wave  and  (c)  the  surface  wave  when  they  reached  a  seismograph  200 km away. (d)  On the basis  of these  results, which wave  is  more easily detected on a distant seismograph?  94 

/

P ROBL EMS 

Cylindrical wave

ω = 6.80 × 10 6  rad/s  (Fig. 17.26). 

Impact d

Hemispherical wave Figure  17.25 

Problem 94. 

The  sound  intensity is  0.0080 W/m 2  at  a  distance  of  10 m  from an isotropic point source  of sound. (a)  What is  the  power of the source? (b) What is the sound intensity 5.0 m from  the source? (c) What is the sound level 10 m from the source?  95 

SSM 

Four sound waves are to be sent through the same tube of  air, in the same direction:  s 1 (x, t) = (9.00 nm) cos(2 πx − 700πt),  s 2(  x, t) = (9.00 nm) cos(2 πx − 700πt + 0.7π),  s 3 (x, t) = (9.00 nm) cos(2 πx − 700πt + π),  s 4 (x, t) = (9.00 nm) cos(2 πx − 700πt + 1.7π).  What is the amplitude of the resultant wave? (Hint: Use a pha-  sor diagram to simplify the problem.)  96 

Straight line AB connects two point sources that are 5.00 m  apart, emit 300 Hz sound waves of the same amplitude, and emit  exactly out of phase. (a) What is the shortest distance between  the midpoint of AB  and a  point on AB  where  the interfering  waves  cause  maximum oscillation  of the  air  molecules?  What  are the (b) second and (c)  third shortest distances?  97 

A  point  source  that  is  stationary  on  an  x  axis  emits  a  sinusoidal  sound  wave  at  a  frequency  of  686 Hz  and  speed  343  m/s.  The  wave  travels  radially  outward  from  the  source,  causing air molecules to oscillate radially inward and outward.  Let us  define a wavefront as  a line that connects points where  the air molecules have the maximum, radially outward displace-  ment. At any given instant, the wavefronts are concentric circles  that are  centered on the source. (a)  Along x, what is  the adja-  cent wavefront separation? Next, the source moves along x at a  speed of 110 m/s. Along x, what are  the wavefront separations  (b) in front of and (c)  behind the source?  98 

You are  standing at a  distance D from an isotropic point  source  of  sound.  You  walk  50.0 m  toward  the  source  and  observe that the intensity of the sound has  doubled. Calculate  the distance D.  99 

Pipe A has only one open end; pipe B is four times as long  and has two open ends. Of the lowest 10 harmonic numbers n B  of  pipe B, what  are  the (a)  smallest, (b)  second smallest, and  (c)  third smallest  values  at  which a  harmonic  frequency  of B  matches one of the harmonic frequencies of A?  100 

A toy rocket moves at a speed of 242 m/s directly toward a  stationary  pole  (through stationary  air)  while  emitting sound  waves  at  frequency  f  =  1250  Hz.  (a)  What  frequency  f ′  is  sensed  by a detector that is attached to the pole? (b)  Some of  the sound reaching the pole reflects to the rocket, which has an  onboard detector. What frequency f ″ does it detect?  101 

SHM Doppler shift. A microscopic structure is  in simple  harmonic motion in air along an x axis with angular frequency  102 

539

v 

From  a  stationary  source,  a  x beam of ultrasound of frequency  f 0  is  directed  toward  the  struc-  Figure  17.26  Problem 102.  ture  along  that  axis.  The  echo  returned to a stationary  detector at the ultrasound source var-  ies  in  frequency  during  the oscillation  from a  lowest value  f L  to a highest value f H . The ratio f L /f 0  is  0.800. (a)  Where in the  oscillation is the structure when f L  is emitted? What are (b) the  amplitude x m  of the oscillation and (c)  the ratio f H /f 0 ?  Beats  with  Doppler  shifts.  v  1 Figure 17.27  shows  two  isotropic  x D point  sources  of  sound:  Sources  v  2 S 1  and S 2  are moving in the posi-  Figure  17.27  Problem 103.  tive direction of an x axis  toward  detector D, and both emit sound with frequency f = 500 Hz. S 1  moves at speed v S1  = 0.180v, where v is the speed of sound. S 2  moves at v S2  = 0.185v. What is the beat frequency of the sound  at the detector?  103 

S

S

Off-axis  Doppler  shift.  In  y Fig.  17.28,  a  bat  flies  at  speed  v  x v b = 9.00 m/s along an x axis while  x emitting sound at  frequency  f  =  d 80.0  kHz. The  sound  is  detected  by D, located at distance d = 20.0  D m  off  the  axis.  Assume  that the  bat is  an  isotropic  sound source.  (a)  What frequency f ′ is detected  by D when the bat emits the sound  Figure  17.28  Problem 104.  at x b  = −113  m. (Hint: What is  the velocity component toward  D just  then?) (b)  What is  the bat’s coordinate at the moment  of detection? (c)  As the bat continues toward the origin of the  coordinate system, does f ′ increase, decrease, or stay the same,  and what is the detected frequency of the sound that is emitted  at the origin?  104 

b

b

Sound speed  in  aluminum. An  experimenter  wishes  to  measure the speed of sound in an aluminum rod 10 cm long by  measuring the time a  sound pulse takes to travel the length of  the rod. If  results  good to  four significant figures  are  desired,  (a)  how  precisely  must  the  length of  the  rod  be  known, and  (b)  how closely must the experimenter be able to resolve time  intervals?  105 

The loudest. One way to measure “loudness”  is with the  sound pressure level SPL (units dB SPL), which is defined as  Δ p m  SPL = 20 log (____    p  ),   106 

0 

where  Δp m  is  the  measured  pressure  amplitude of  the  sound  wave and p 0  is the reference pressure  of 20  µPa (= 20  µN/m 2 ).  For a sustained sinusoidal sound wave, the upper limit for the  pressure amplitude is Δp m  = 1 atm. In that case, what are (a) the  maximum pressure and (b) the minimum pressure in the wave?  (c)  What is  the  SPL?  (This  is  the  “loudest” that a  sustained  sound wave can be in Earth’s atmosphere.)  Longest string−can telephone. To make a string−can tele-  phone (Fig. 17.29), punch a  hole in  the bottom of two  empty  food cans (or paper cups). Then, from the exterior of each can,  run a string through the hole and tie a knot at the end to prevent  the end from slipping back through the hole. Give one can  to  someone with the instruction to walk away and then pull on that  107 

/

540

C HAP T ER 17  WAV ES—II 

can so that the string is under tension. You can then talk to the  other person by speaking into your can. Your sound causes the  can bottom to oscillate, which periodically pulls and releases the  string, sending pulses along the string. When those pulses reach  the bottom of the other can, that bottom oscillates,  producing  sound waves in the can’s air. The other person thus hears  your  message. A better design is with steel wire (instead of ordinary  string) that is  welded to the can bottoms to form rigid connec-  tions. The  Guinness World Record  for the  longest string−can  telephone  is  242.62  m,  set  in  Chosei,  Chiba,  Japan, in  2019.  Assume that steel  wire  was  used. What is  the time difference  Δt between a pulse sent along the wire and a pulse sent through  the air? 

Figure  17.29 

Problem 107. 

Chalk squealing on a chalkboard. To make a chalk stick  squeal  when  drawn  across  a  ceramic  (clay)  chalkboard  (Fig.  17.30), first rub it several  times over the area to be used. Then  hold  the  chalk  stick  about  30°  from  a  perpendicular  to  the  board  and  pull  it. The  chalk can  undergo repeated  stick  and  slip,  producing  the  irritating  squeal.  The  oscillations  respon-  sible for the sound occur in a shear layer that is a 0.3-mm-thick  layer  between the  board  and  chalk  stick  whenever  the  chalk  slips after sticking. Waves from that oscillating layer travel into  the board, which radiates the sound much like a  drumhead. If  108 

 moc.kcotsrettuhS/kcotsnoT Figure  17.30 

Problem 108. 

the frequency  of the  squeal-  ing  is  2050  Hz,  what  is  the  wavelength of the sound that  reaches  you?  (If  the  chalk  stick is  short, your  grip on it  damps  out  the  oscillations,  eliminating the squeal.) 

S1

S2

P1

Wave  interference.  Fig-  P2 ure  17.31a  shows  two  point  sound  sources  S 1  and  S 2  (a ) located on a line. The sources  emit  sound  isotropically,  in  phase, and at the same wave-  θ length λ and same amplitude.  θ P1 Detection  point  P 1  is  on  a  perpendicular  bisector  to  the line between the sources;  waves  arrive  there  with zero  phase  difference.  Detection  P3 point P 2  is on the line through  the  sources;  waves  arrive  (b) there with a phase difference  Figure  17.31  Problem 109.  of  5.0  wavelengths.  (a)  In  terms of wavelengths, what is the distance between the sources?  (b) What type of interference occurs at point P 1 ?  The sources are now both moved directly away from point  P 1  by a  distance of λ / 2, at an angle of  θ = 30° (Fig. 17.31b). (c)  In terms of wavelengths, what is the phase difference between  the waves arriving at point P 3 , which is on the new line through  the sources? (d) What type of interference occurs at point P 3 ?  109 

BIO  Firing range. The  most common handgun carried  by  United States police officers is the Glock 22 (0.40 caliber). The  officers must qualify and train with the weapon on firing ranges  where hearing protection is required to avoid hearing loss, pos-  sibly  permanent  loss.  In  one  investigation  of  the  protection,  a Glock 22 was  fired  1.0 m from a mannequin. The noise  was  detected by two microphones. One was  under protective  gear  on the mannequin’s ear and one was adjacent to the mannequin  and unprotected. The noise level was measured in terms of the  sound pressure level SPL (units dB SPL), which is defined as  p  SPL = 20 log (__   p 0 ) ,  where p is the measured sound pressure and p 0  is the reference  pressure  of 20  µPa (= 20  µN/m 2 ). What were the pressures  for  (a) 158 dB SPL for the unprotected microphone, (b) 123 dB SPL  for the mannequin with the protective earmuffs, and (c) 103 dB  SPL for the mannequin with both earmuffs and earplugs?  The  recommended allowable exposure set by the National Institute  for Occupational Safety and Health is 140 dB SPL, which would  be exceeded by an officer firing a Glock 22 without protection,  as is sometimes required in the line of duty. 

110 

/

C

H

A

P

T

E

R

1

8

Temperature, Heat, and the First  Law of Thermodynamics 

18.1  TEMPERATURE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.1.1  Identify the lowest temperature as 0 on the 

18.1.4  Explain  the conditions for measuring a tempera- 

Kelvin scale (absolute zero).  18.1.2  Explain  the zeroth law of thermodynamics. 

ture with  a constant-volume gas thermometer.  18.1.5  For a constant-volume gas thermometer, relate 

18.1.3  Explain  the conditions for the triple-point 

the pressure and temperature of the gas in some 

temperature. 

given state to the pressure and temperature at the  triple point. 

Key  Ideas  ●

Temperature is an SI base quantity related  to our 

●

In the SI system, temperature is measured on the 

sense of hot and cold. It is measured with a ther- 

Kelvin scale,  which  is based on the triple point of water 

mometer, which  contains  a working substance with  a 

(273.16  K). Other  temperatures are then defined  by 

measurable property, such as length  or pressure, that 

use of a constant-volume gas thermometer, in which  a 

changes  in a regular  way as the substance becomes 

sample of gas is maintained  at constant volume so its 

hotter or colder. 

pressure is proportional to its temperature. We define 

●

When  a thermometer and some other object are 

placed  in contact with  each other, they eventually reach 

T  as measured with a gas thermom- 

the temperature  eter to be 

thermal equilibrium.  The reading of the  thermometer 

p  T = (273.16 K) (  lim  ___  p  ).  

is then  taken to be the temperature of the other 

gas→0  3  

object. The process provides consistent and  useful  temperature measurements because of the zeroth law  of 

A and B are each  in  thermal  C (the thermometer), then 

T  is in kelv ins ,  and  p 3   and  p  are  the  pres s ures  of 

thermodynamics: If  bodies 

Here 

equilibrium  with a third body 

the  gas  at 273.16  K and the meas ured  temperature, 

A and B are  in thermal equilibrium  with  each other. 

res pectiv ely . 

What Is Physics? 

One  of  the  principal  branches  of  physics and  engineering is  thermodynamics,  which is the study and application of the thermal energy (often called the internal  energy) of  systems. One of the central concepts of  thermodynamics is tempera-  ture. Since childhood, you have been developing a working knowledge of thermal  energy and  temperature. For example, you  know  to  be cautious with hot  foods  and hot  stoves and to store perishable foods  in cool  or cold  compartments. You  also know how to control the temperature inside home and car, and how to pro-  tect yourself from wind chill and heat stroke. 

541 /

542

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

1039

108 106 )K( erutarepmeT

104 102 100

Universe just after beginning Highest laboratory temperature Center of the Sun

Surface of the Sun Tungsten melts Water freezes Universe today Boiling helium-3

Temperature 

10 –2 10 –9

Examples of  how  thermodynamics figures  into  everyday engineering  and  science are countless. Automobile engineers are concerned with the heating of a  car engine, such as during  a NASCAR race. Food  engineers are concerned both  with the proper heating of foods,  such as pizzas being microwaved, and with the  proper cooling of foods,  such as TV dinners being quickly frozen at a processing  plant. Geologists are concerned with the transfer of thermal energy in an El Niño  event and  in  the  gradual warming of  ice expanses in  the  Arctic and  Antarctic.  Agricultural engineers are concerned with the weather conditions that determine  whether the agriculture of a country thrives or  vanishes. Medical engineers are  concerned with how a patient’s temperature might distinguish  between a benign  FCP  viral infection and a cancerous growth.  The  starting  point  in  our  discussion  of  thermodynamics is  the  concept  of  temperature and how it is measured. 

Record low temperature

Some temperatures on  the Kelvin scale. Temperature T = 0  corresponds  to 10 −∞  and cannot be  plotted on this logarithmic scale.  Figure  18.1.1 

Temperature is one of the seven SI base quantities. Physicists measure tempera-  ture on  the Kelvin scale, which  is marked in  units  called kelvins. Although the  temperature of a body apparently has no upper  limit, it does have a lower limit;  this  limiting  low  temperature is  taken  as  the  zero  of  the  Kelvin  temperature  scale. Room temperature is about 290 kelvins, or 290 K as we write it, above this  absolute zero. Figure 18.1.1 shows a wide range of temperatures.  When  the universe began 13.8 billion  years ago, its  temperature was about  10 39  K. As the universe expanded it cooled, and it  has now reached an average  temperature of about 3 K. We on Earth are a little warmer than that because we  happen to live near a star. Without our Sun,  we too would  be at 3 K (or, rather,  we could not exist). 

The Zeroth Law of Thermodynamics 

Thermally sensitive element

A thermoscope. The  numbers increase when the device  is heated and decrease when it is  cooled. The thermally sensitive  element could be—among many  possibilities—a coil of wire whose  electrical resistance is measured and  displayed.  Figure 18.1.2 

The properties of many bodies  change as we alter their temperature, perhaps by  moving them from  a refrigerator to  a warm oven. To  give a few examples: As  their temperature increases, the volume of a liquid  increases, a  metal rod grows a  little longer, and the electrical resistance of a wire increases, a s does the pressure  exerted by a confined gas. We can use any one of these properties as the basis of  an instrument that will help us pin down the concept of temperature.  Figure  18.1.2 shows  such  an  instrument.  Any  resourceful  engineer could  design and construct it, using  any one of the properties listed above. The instru-  ment is fitted with  a digital  readout display and has the following  properties: If  you heat it (say, with a Bunsen burner), the displayed number starts to increase;  if you then put it into a refrigerator, the displayed number starts to decrease. The  instrument is not calibrated in any way, and the numbers have (as yet) no physical  meaning. The device is a thermoscope but not (as yet) a thermometer.  Suppose that, as in Fig. 18.1.3a, we put  the thermoscope (which we shall call  body  T)  into  intimate contact with  another body  (body  A). The  entire  system  is confined  within  a thick-walled insulating  box. The  numbers displayed by  the  thermoscope roll  by until,  eventually, they come to rest (let us  say the  reading  is  “137.04”) and  no  further  change takes place. In  fact, we suppose  that  every  measurable property of body T and of body A has assumed a stable, unchanging  value. Then we say that the two bodies are in thermal equilibrium with each other.  Even  though  the  displayed  readings for  body  T  have  not  been  calibrated, we  conclude that bodies  T and A must be at the same (unknown)  temperature.  Suppose  that  we  next  put  body  T  into  intimate contact with  body  B  (Fig.  18.1.3b) and  find  that the  two  bodies  come to  thermal equilibrium  at the  same 

/

18.1  T EMP ERAT U RE 

543

T

T S

A

S

B

(a )

T T

B

A

(b )

A

B

(c )

(a) Body T (a thermoscope) and body A are in thermal equilibrium. (Body  S is a thermally insulating screen.) (b) Body T and body B are also in thermal equilib-  rium, at the same reading of the thermoscope. (c) If (a) and (b) are true, the zeroth law  of thermodynamics states that body A and body B are also in thermal equilibrium.  Figure  18.1.3 

reading  of  the  thermoscope.  Then  bodies  T  and  B  must  be  at  the  same (still  unknown)  temperature. If we now put bodies A and B into intimate contact (Fig.  18.1.3c), are they immediately in  thermal equilibrium  with  each other? Experi-  mentally, we find that they are.  The experimental fact shown in Fig. 18.1.3 is summed up in the zeroth law of  thermodynamics: 

If bodies A and B are each in thermal equilibrium with a third body T, then A  and B are in thermal equilibrium with each other. 

In less formal language, the  message of  the zeroth law is: “Every body  has  a  property  called  temperature. When  two  bodies  are  in  thermal  equilibrium,  their  temperatures are equal.  And  vice versa.” We can now  make our  thermo-  scope (the third body T) into a thermometer, confident that its readings will have  physical meaning. All we have to do is calibrate it.  We  use  the  zeroth  law  constantly  in  the  laboratory.  If  we  want  to  know  whether  the  liquids  in  two  beakers are at  the  same temperature, we  measure  the temperature of  each with  a thermometer. We do  not  need to  bring the two  liquids  into intimate contact and observe whether they are or are not in thermal  equilibrium.  The zeroth  law, which  has been  called a logical  afterthought, came to light  only  in  the  1930s, long  after the  first  and  second  laws of  thermodynamics had  been  discovered and  numbered. Because the  concept of  temperature is  funda-  mental to those two laws, the law that establishes temperature as a valid concept  should  have the lowest number—hence the zero. 

Measuring Temperature 

Here we  first  define  and  measure temperatures on  the  Kelvin  scale. Then  we  calibrate a thermoscope so as to make it a thermometer.  The  Triple  Point  of Water 

To set up a temperature scale, we pick  some reproducible  thermal phenomenon  and, quite arbitrarily, assign a certain Kelvin temperature to its environment; that  is, we select a standard fixed point  and give it a standard fixed-point temperature.  We could, for example, select the freezing point  or the boiling  point of water but,  for technical reasons, we select instead the triple point  of water. 

/

544

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Gas thermometer bulb

Liquid  water, solid ice, and water vapor (gaseous water) can coexist, in ther-  mal equilibrium,  at only  one  set of  values of  pressure and  temperature. Figure  18.1.4 shows a triple-point cell, in which this so-called triple point of water can be  achieved in the laboratory. By international agreement, the triple point  of water  has been assigned a value of 273.16 K as the standard fixed-point temperature for  the calibration of thermometers; that is, 

Vapor

T 3  = 273.16 K  Ice Water

A triple-point cell, in  which solid ice, liquid water, and water  vapor coexist in thermal equilibrium.  By international agreement, the tem-  perature of this mixture has been  defined to be 273.16 K. The bulb of a  constant-volume gas thermometer is  shown inserted into the well of the cell.  Figure 18.1.4 

Gas-f illed bulb

(18.1.1) 

in which the subscript 3 means “triple point.” This agreement a lso sets the size of  the kelvin as 1/273.16 of  the difference between the triple-point  temperature of  water and absolute zero.  Note that  we do  not  use  a degree mark in  reporting  Kelvin  temperatures.  It is 300 K (not  300°K), and it is read “300 kelvins” (not  “300 degrees Kelvin”).  The usual SI prefixes apply. Thus, 0.0035 K is 3.5 mK. No distinction  in nomen-  clature  is  made between Kelvin  temperatures and  temperature differences, so  we can write, “the boiling point of sulfur is 717.8 K” and “the temperature of this  water bath was raised by 8.5 K.”  The Constant-Volume Gas Thermometer 

The  standard  thermometer, against which  all  other  thermometers are  calibrated,  is  based  on  the  pressure  of  a  gas  in  a  fixed  volume.  Figure  18.1.5 shows  such  a  constant-volume gas thermometer; it consists of a gas-filled bulb connected by a tube  to a mercury manometer. By raising and lowering reservoir R, the mercury level in the  left arm of the U-tube can always be brought to the zero of the scale to keep the gas  volume constant (variations in the gas volume can affect temperature measurements).  The temperature of any body  in thermal contact with the bulb  (such as the  liquid  surrounding  the bulb in Fig. 18.1.5) is then defined to be 

Scale

0

T = Cp, 

(18.1.2) 

in which p is the pressure exerted by the gas and C is a constant. From Eq. 14.3.2,  the pressure p is 

h

p = p 0  −  gh, 

T

R

A constant-volume gas  thermometer, its bulb immersed in a  liquid whose temperature T is to be  measured.  Figure  18.1.5 

(triple-point temperature), 

(18.1.3) 

in  which  p 0   is  the  atmospheric pressure,  is  the  density of  the  mercury in  the  manometer, and h is the measured difference between the mercury levels in the  two arms of the tube.* (The minus sign is used in Eq. 18.1.3 because pressure p is  measured above the level at which the pressure is p 0  .)  If we next put the bulb in a triple-point cell (Fig. 18.1.4), the temperature now  being measured is  T 3  = Cp 3,  

(18.1.4) 

in which p 3  is the gas pressure now. Eliminating C between Eqs. 18.1.2 a nd 18.1.4  gives us the temperature as  p  p  ___  ) ( ___  T = T 3 (    p  )  = (273.16 K  p  )   3 

3 

(provisional). 

(18.1.5) 

We still have a problem with  this thermometer. If we use it to measure, say,  the  boiling  point  of water, we find  that  different gases in the  bulb  give slightly  different results. However, as we use smaller and smaller amounts of gas to fill  the  bulb,  the readings converge nicely to  a single temperature, no  matter what  gas we use. Figure 18.1.6 shows this convergence for three gases.  *For pressure units, we shall use units introduced in Module 14.1. The SI unit for pressure is the  newton per square meter, which is called  the pascal (Pa). The pascal is related to other common  pressure units by  1 atm = 1.01 × 10 5 Pa = 760 torr = 14.7 lb/in. 2 . 

/

18.2  T HE  C EL SIU S AND  F AHRENHEIT   SC AL ES 

373.50

)K( erutarepmeT

Temperatures measured by a  constant-volume gas thermometer, with its  bulb immersed in boiling water. For temper-  ature calculations using Eq. 18.1.5, pressure  p 3  was measured at the triple point of water.  Three different gases in the thermometer  bulb gave generally different results at dif-  ferent gas pressures,  but as the amount of  gas was decreased  (decreasing p 3 ), all three  curves converged to 373.125 K.  Figure  18.1.6 

545

373.40

N2

373.125 K

373.30 373.20

H2

373.10

He 0

20

40 p3

60 (kPa)

80

100

120

Thus the recipe for measuring a temperature with a gas thermometer is  p  T = (273.16 K) (  lim  ___  p  ).  

(18.1.6) 

gas→0  3  

The  recipe  instructs  us  to  measure  an  unknown  temperature  T  as  follows:  Fill  the  thermometer bulb  with  an  arbitrary amount  of  any  gas (for  example,  nitrogen)  and  measure p 3   (using  a triple-point  cell) and  p,  the  gas pressure at  the temperature being measured. (Keep the gas volume the same.) Calculate the  ratio p/p 3. Then repeat both  measurements with  a smaller amount of gas in  the    bulb,  and again calculate this ratio. Continue this way, using smaller and smaller  amounts of  gas, until  you  can extrapolate to  the ratio  p/p 3   that you  would  find  if there were approximately no  gas in the bulb.  Calculate the temperature T by  substituting that extrapolated ratio into Eq. 18.1.6. (The temperature is called the  ideal gas temperature.) 

Checkpoint 18.1.1 

For four gas samples, here are the pressure of the gas at temperature T and the pres-  sure of the gas at the triple point. Rank the samples according to T, greatest first.  Sample 

Pressure (kPa) 

Triple-Point Pressure (kPa) 

1  2  3  4 

2.6  4.8  5.5  7.2 

2.0  4.0  5.0  6.0 

18.2  THE CELSIUS AND FAHRENHEIT SCALES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.2.1  Convert a temperature between any two (linear)  temperature scales, including  the Celsius, Fahrenheit, 

18.2.2  Identify that a change  of one degree is the same  on the Celsius and Kelvin scales. 

and Kelvin  scales. 

Key  Idea  ●

The Celsius temperature scale is defined  by 

with 

T  in kelvins. The Fahrenheit temperature scale is 

defined  by 

T C  = T − 273.15°, 

9  T F  = __  T  + 32°.  5  C 

/

546

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

The Celsius and Fahrenheit Scales 

So  far, we have discussed only the Kelvin scale, used in basic scientific work. In  nearly all countries of the world, the Celsius scale (formerly called the centigrade  scale) is the scale of choice for popular and  commercial use and much scientific  use. Celsius temperatures are measured in  degrees, and  the Celsius degree has  the same size as the kelvin. However, the zero of the Celsius scale is shifted to a  more convenient value than absolute zero. If T C represents a Celsius temperature  and T a Kelvin temperature, then  T C  = T − 273.15°. 

(18.2.1) 

In expressing temperatures on the Celsius scale, the degree symbol is commonly  used.  Thus,  we  write  20.00°C for  a  Celsius  reading but  293.15 K  for  a  Kelvin  reading.  The Fahrenheit scale, used in the United States, employs a smaller degree  than the Celsius scale a nd a different zero of temperature. Y ou can easily v erify  both  these differences by examining an ordinary room thermometer on  which  both  scales  are  marked.  The  relation  between  the  Celsius  and  Fahrenheit  scales is  9  T F  = _  T  + 32° ,  5  C 

(18.2.2) 

where T F is Fahrenheit temperature. Converting between these two scales can be  done easily by remembering a  few corresponding points, such as the freezing and  boiling points of water (Table 18.2.1). Figure 18.2.1 c ompares the Kelvin, Celsius,  and Fahrenheit scales.  We use the letters C and F to distinguish  measurements a nd degrees on  the  two scales. Thus,  0°C = 32°F  means that 0° on the Celsius scale measures the same temperature as 32° on  the  Fahrenheit scale, whereas  5 C° = 9 F°  means that a temperature difference of 5 Celsius degrees (note the degree sym-  bol  appears after  C) is  equivalent to  a  temperature difference of  9  Fahrenheit  degrees. 

Triple point of water

Absolute zero

273.16 K

0K

0.01°C

–273.15°C

32.02°F

–459.67°F

The Kelvin, Celsius, and  Fahrenheit temperature scales compared.  Figure  18.2.1 

Table 18.2.1  Some Corresponding  Temperatures 

Temperature 

°C 

°F 

Boiling point of water a  Normal body temperature  Accepted comfort level  Freezing point of water a  Zero of Fahrenheit scale  Scales coincide 

100  37.0  20  0  ≈ −18  −40 

212  98.6  68  32  0  −40 

a 

Strictly,  the boiling point of water on the Celsius scale is 99.975°C,  and the freezing point is 0.00°C. Thus, there is slightly less than 100 C°  between those two points. 

/

18.3  T HERMAL   EXP ANSION 

547

Checkpoint 18.2.1 

The figure here shows three  70 °X linear temperature scales with  the freezing and boiling points  of water indicated. (a) Rank the  degrees on these scales by size,  greatest first. (b) Rank the fol-  –20 °X lowing temperatures, highest  first: 50°X, 50°W, and 50°Y. 

Sample Problem 18.2.1

120 °W

90 ° Y

30 °W

0° Y

Boiling point

Freezing point

Conversion between  two temperature scales 

Suppose you come across old scientific notes that describe  a temperature scale called Z on which the boiling  point of  water is 65.0°Z and the freezing point is −14.0°Z. To what  temperature on the Fahrenheit scale would a temperature  of  T = −98.0°Z correspond?  Assume that  the  Z scale is  linear;  that  is, the  size of  a Z  degree is  the same every-  where on the Z scale. 

KEY IDEA

Z 65.0 °Z

F Boil

79.0 Z°  –14.0 °Z

212 °F 180 F ° 

Freeze

32 °F

84.0 Z°  T

= –98.0 °Z

T

=?

An unknown temperature scale compared with  the Fahrenheit temperature scale.  Figure  18.2.2 

A  conversion  factor  between  two  (linear)  temperature  scales can be calculated by using two known  (benchmark)  temperatures, such  as the boiling  and  freezing points  of  water. The number of  degrees between the  known  tem-  peratures  on  one  scale  is  equivalent  to  the  number  of  degrees between them on the other scale.  We  begin  by  relating  the  given  temper-  ature T to either known  temperature on the Z scale. Since  T  = −98.0°Z  is  closer  to  the  freezing  point  (−14.0°Z)  than  to  the  boiling  point  (65.0°Z), we  use  the  freezing  point.  Then we note that the T we seek is below this point  by  −14.0°Z −  (−98.0°Z) = 84.0 Z°  (Fig.  18.2.2). (Read  this difference as “84.0 Z degrees.”)  Next, we set  up  a conversion  factor  between the  Z  and  Fahrenheit  scales to  convert this  difference. To  do  so, we use both  known  temperatures on the Z scale and  Calculations:

the corresponding temperatures on the Fahrenheit scale.  On  the  Z  scale, the  difference between the  boiling  and  freezing points  is  65.0°Z − (−14.0°Z) = 79.0 Z°.  On  the  Fahrenheit  scale,  it  is  212°F − 32.0°F = 180 F°.  Thus,  a  temperature difference of 79.0 Z° is equivalent to a temper-  ature difference of 180 F° (Fig. 18.2.2), a nd we can use the  ratio (180 F°)/(79.0 Z°) as our conversion factor.  Now, since T is below the freezing point by 84.0 Z°, it  must also be below the freezing point  by  180 F°  = 191 F°.  (84.0 Z°) _______  79.0 Z°  Because the freezing point  is at 32.0°F, this means that  T = 32.0°F − 191 F° = −159°F. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

18.3  THERMAL EXPANSION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.3.1  For one-dimensional  thermal expansion, apply 

18.3.3  For three-dimensional thermal  expansion, apply 

the relationship between  the temperature change 

the relationship between  the temperature change 

∆T, the length change  ∆L, the initial  length  L, and 

∆T, the volume change  ∆V, the initial  volume V, and 

the coefficient  of linear  expansion 

the coefficient  of volume expansion  . 

. 



18.3.2  For two-dimensional  thermal expansion, use  one-dimensional  thermal expansion to find  the  change  in area. 

/

548

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Key Ideas  ●

All objects change  size with changes in  temperature. 

For a temperature change  linear  dimension 

The change 

 is the coefficient  of linear  expansion. 

∆V  in the volume V  of a solid or liquid  is  ∆V = V ∆T. 

L is given by 

∆L = L ∆T,  in which 

●

∆T, a change ∆L  in any 

 = 3 is the material’s coefficient  of volume 

Here 

expansion. 

Thermal Expansion 

 segamI ytteG  /aideM PWB/samohT hguH

When a Concorde flew  faster than the speed of sound, ther-  mal expansion due to the rubbing by  passing air increased the aircraft’s  length by about 12.5 cm. (The tem-  perature increased to about 128°C  at the aircraft nose and about 90°C  at the tail, and cabin windows were  noticeably warm to the touch.)  Figure  18.3.1 

You  can often  loosen  a tight  metal jar lid  by holding  it  under  a  stream of  hot  water. Both  the metal of the lid and the glass of the jar expand as the hot  water  adds energy to  their  atoms. (With  the added  energy, the atoms can move a bit  farther from  one  another than  usual,  against the  spring-like  interatomic forces  that hold  every solid  together.) However, because the atoms in the metal move  farther apart than those  in the glass, the lid  expands more than the jar and thus  is loosened.  Such thermal expansion of materials with an increase in temperature must be  anticipated in many c ommon situations. When a bridge is subject to large seasonal  changes in  temperature, for  example, sections  of  the  bridge  are separated by  expansion slots so that the sections have room to expand on hot days without the  bridge buckling. When a dental cavity is filled, the filling material must have the  same thermal expansion properties as the surrounding tooth; otherwise, consum-  ing cold ice cream a nd then hot coffee would be very painful. When the Concorde  aircraft (Fig. 18.3.1) was built, the design had to allow for the thermal expansion  of the fuselage during supersonic flight because of frictional heating by the pass-  FCP  ing air.  The thermal expansion properties  of some materials can be put  to common  use. Thermometers and  thermostats may be based on  the differences in  expan-  sion  between the components  of  a bimetal strip  (Fig. 18.3.2). Also,  the familiar  liquid-in-glass  thermometers are based on  the  fact that  liquids  such  as mercury  and alcohol expand to a different (greater) extent than their glass containers. 

Table 18.3.1  Some Coefficients of 

a 

Linear Expansion 

Substance  Ice (at 0°C)  Lead  Aluminum  Brass  Copper  Concrete  Steel  Glass (ordinary)  Glass (Pyrex)  Diamond  Invar b  Fused quartz 

Linear  Expansion 

 (10 

−6 

/C°) 

51  29  23  19  17  12  11  9  3.2  1.2  0.7  0.5 

a Room temperature values except for 

the listing for ice.  b This alloy was designed to have a low  coefficient of expansion. The word is a  shortened form of “invariable.” 

If the temperature of a metal rod of length L is raised by an amount ∆T, its length  is found  to increase by an amount  ∆L = L ∆T, 

(18.3.1) 

in which  is a constant called the coefficient of linear expansion. The coefficient  has the unit “per degree” or “per kelvin” and depends on the material. Although   varies somewhat with temperature, for most practical purposes it can be taken  as constant for a particular material. Table 18.3.1 shows some coefficients of lin-  ear expansion. Note that the unit  C° there could  be replaced with the unit K.  Brass Steel = T0 (a )

T

Different amounts of expansion or contraction can produce bending.

T

> T0 (b )

(a) A bimetal strip, consisting of a strip of brass and a strip of steel welded  together, at temperature T 0 . (b) The strip bends as shown at temperatures above this  reference temperature. Below the reference temperature the strip bends the other way.  Many thermostats operate on this principle, making and breaking an electrical contact  as the temperature rises  and falls.  Figure  18.3.2 

/

18.3  T HERMAL   EXP ANSION 

The same steel ruler  at two different temperatures.  When it expands, the scale, the  numbers, the thickness, and the  diameters of the circle and circu-  lar hole are all increased by the  same factor. (The expansion has  been exaggerated for clarity.) 

549

Figure  18.3.3 

1

2

3

4

(a )

1

2

3

5

6

7

Circle Circular hole 4

5

6

7

(b )

The thermal expansion of a solid is like photographic enlargement except it  is in three dimensions. Figure 18.3.3b shows the (exaggerated) thermal expansion  of  a steel ruler. Equation  18.3.1 applies to  every linear dimension  of  the  ruler,  including  its  edge, thickness,  diagonals, and  the  diameters of  the circle  etched  on it  and  the circular hole  cut in  it. If the disk  cut  from that hole  originally fits  snugly in the hole, it will continue to fit snugly if it undergoes the same tempera-  ture increase as the ruler.  Volume Expansion 

If  all dimensions  of  a solid  expand with  temperature, the  volume of  that solid  must also expand. For  liquids,  volume expansion is the only meaningful expan-  sion  parameter. If  the  temperature of  a  solid  or  liquid  whose  volume  is  V  is  increased by an amount ∆T, the increase in volume is found  to be  ∆V = V ∆T, 

(18.3.2) 

where   is the coefficient of volume expansion of the  solid  or liquid.  The coef-  ficients of volume expansion and linear expansion for a solid are related by 

 = 3. 

(18.3.3) 

The most common liquid,  water, does  not behave like other liquids.  Above  about 4°C, water expands as the temperature rises, as we would  expect. Between  0 and about 4°C, however, water contracts with increasing temperature. Thus, at  about 4°C, the density of water passes through a maximum. A t all other tempera-  tures, the density of water is less than this maximum value.  This behavior of water is the reason lakes freeze from the top down rather  than  from  the bottom  up. As water on  the surface is cooled  from, say, 10°C  toward  the  freezing point,  it  becomes denser  (“heavier”) than  lower  water  and sinks to the bottom. Below 4°C, however, further cooling makes the water  then  on the surface less dense (“lighter”) than the lower water, so it stays on  the surface until  it freezes. Thus  the surface freezes while the lower water is  still  liquid.  If lakes froze from  the bottom  up,  the  ice so formed  would  tend  not  to melt completely during  the summer, because it  would  be insulated by  the water above. After a few years, many bodies of open  water in the temper-  ate zones of Earth would be frozen solid all year round—and aquatic life could  FCP  not exist. 

Checkpoint 18.3.1 

The figure here shows four rectangular metal plates, with sides  of L, 2L, or 3L. They are all made of the same material, and their  temperature is to be increased by the same amount. Rank the  plates according to the expected increase in (a) their vertical  heights and (b) their areas, greatest first. 

(1)

(2)

(3)

(4)

/

550

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Sample Problem 18.3.1

Thermal expansion  on the Moon 

 noitartsinimdA ecapS dna scituanoreA lanoitaN/CSJ

When  Apollo  15  landed  on  the  Moon  at  the  foot  of  the  Apennines  mountain  range,  an  American flag  was  planted (Fig. 18.3.4). The aluminum, telescoping flagpole  was 2.0 m long with a coefficient of linear expansion 2.3 ×  10 −5 /° C. At that latitude on the Moon  (26.1° N), the tem-  perature varied  from  290 K  in  the  day  to  110 K  in  the  night. What was the change in length of the pole between  day and night? 

KEY IDEA The length increased as the temperature increased.  Calculation:

We simply use Eq. 18.3.1: 

ΔL = Lα ΔT = (2.0 m)(2.3 × 10 −5 / C° )(180 K )  = 8.3 × 10 −3  m = 8.3 mm. 

Figure  18.3.4 

Apollo 15. 

18.4  ABSORPTION OF HEAT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.4.1  Identify that  thermal

energy

is associated with 

∆T of a substance,  Q and the  substance’s specific  heat  c and mass m. 

18.4.6  For a temperature change 

the random motions of the microscopic bodies in 

relate the change to the heat transfer 

an object.  18.4.2  Identify that heat

Q is the amount of transferred 

energy (either to or from an object’s thermal energy)  due to a temperature difference between  the object  and its environment.  18.4.3  Convert energy units between  various measure- 

18.4.7  Identify  the three phases of matter.  18.4.8  For a phase change of a substance, relate  the 

Q , the heat of transformation L, and  m transformed.  18.4.9  Identify  that if a heat transfer Q takes a sub-  heat transfer 

the amount of mass 

ment systems. 

stance across a phase-change temperature, the 

18.4.4  Convert between  mechanical or electrical  energy 

transfer must be calculated  in  steps: (a) a tem- 

and thermal energy. 

perature change  to reach the phase-change tem- 

∆T  of a substance,  relate the change  to the heat transfer  Q and the  substance’s heat capacity C. 

18.4.5  For a temperature change 

perature,  (b) the phase change,  and then  (c) any  temperature change  that moves the substance away  from the phase-change  temperature. 

Key Ideas  ●

Q is energy that is transferred between  a sys- 

Heat 

tem and its environment because  of a temperature 

in which 

C is the heat capacity of the object. If the  m, then 

object has mass 

difference  between  them. It can be measured in joules 

Q = cm( T f − T i ), 

(J), calories (cal),  kilocalories (Cal or kcal), or British  thermal units  (Btu), with 

1 cal = 3.968 × 10 −3  Btu = 4.1868 J.  ●

If heat 

Q is absorbed by an object, the object’s tem-  T f  − T i  is related to Q by 

perature change 

Q = C(T f  − T i),   

where 

c is the specific heat of the material making up 

the object.  ●

The molar specific  heat of a material is the heat 

capacity per mole, which  means per 

6.02 × 10 23  ele- 

mentary units of the material. 

/

18.4  ABSORP T ION  OF   HEAT  

●

Heat absorbed by a material may change the mate- 

●

551

L V  is the amount of energy 

The heat of vaporization 

rial’s physical state—for example, from solid to liquid  or 

per unit  mass that must be added to vaporize a liquid 

from liquid  to gas. The amount of energy required per unit 

or that must be removed to condense a gas. 

mass to change  the state (but not the temperature) of a 

L. Thus, 

particular material is its heat of transformation 

Q = Lm. 

●

The heat of fusion 

L F is the amount of energy per 

unit mass that must be added to melt a solid or that  must be removed to freeze a liquid. 

Temperature and Heat 

If you take a can of cola from the refrigerator a nd leave it on the kitchen table, its  temperature will rise—rapidly at first but then  more slowly—until  the tempera-  ture of the cola equals that of the room (the two are then in thermal equilibrium).  In the same way, the temperature of a cup of hot coffee, left sitting on the table,  will fall until it also reaches room temperature.  In generalizing this  situation, we describe the cola or the coffee as a system  (with  temperature T S) and the relevant parts of the kitchen as the  environment    (with temperature T E) of that system.  O ur observation is that if T  is not equal to    S  T E, then T    S will change (T E can also change some) until the two temperatures are  equal and thus thermal equilibrium  is reached.  Such  a change  in  temperature is  due  to  a change in  the  thermal energy of  the system because of  a transfer of energy between the system and the system’s  environment.  (Recall that  thermal energy is an  internal energy that  consists of  the  kinetic  and  potential  energies associated with  the  random  motions  of  the  atoms,  molecules,  and  other  microscopic  bodies  within  an  object.)  The  trans-  ferred energy is called heat and is symbolized Q. Heat is positive when energy is  transferred to a system’s thermal energy from its environment (we say that heat  is  absorbed by the  system). Heat is negative when energy is transferred from a  system’s thermal energy to  its environment (we say that heat is released or lost  by the system).  This transfer of energy is shown in Fig. 18.4.1. In the situation of Fig. 18.4.1a,  in which T S  > T E, energy  is transferred from the system to the environment, so Q    is negative. In Fig. 18.4.1b, in which  T S = T E , there is no such transfer, Q is zero,  and  heat is neither released nor absorbed. In Fig. 18.4.1c, in which  T S  TE

Q

Environment

The system has the same temperature, so ...

0

If the temperature of a system exceeds that of its environment as in (a), heat  Q is lost by the system to the environment until thermal equilibrium (b) is established.  (c) If the temperature of the system is below that of the environment, heat is absorbed  by the system until thermal equilibrium is established.  Figure  18.4.1 

In  1948,  the  scientific  community  decided  that  since  heat  (like  work)  is  transferred energy, the SI  unit  for  heat should  be the  one  we use  for energy—  namely, the joule. The calorie is now defined to be 4.1868 J (exactly), with no refer-  ence to the heating of water. (The “calorie” used in nutrition, sometimes called the  Calorie (Cal), is really a  kilocalorie.) The relations among the various heat units are  1 cal = 3.968 × 10 −3 Btu = 4.1868 J. 

(18.4.1) 

The Absorption of Heat by Solids and Liquids  Heat  Capacity 

The heat capacity C of an object is the proportionality  constant between the heat  Q that the object  absorbs or  loses and  the resulting temperature change ∆T of  the object; that is,  Q = C ∆T = C(T f  − T i ), 

(18.4.2) 

in  which  T i  and  T f  are  the  initial  and  final  temperatures of  the  object.  Heat  capacity C  has  the  unit  of  energy  per  degree or  energy  per  kelvin.  The  heat  capacity C of, say, a marble slab used in a bun warmer m ight be 179 cal/C°, which  we can also write as 179 cal/K or as 749 J/K.  The word  “capacity” in  this  context is really misleading in  that it  suggests  analogy with the capacity of a bucket to hold water. That analogy is false, and you  should  not think  of the object as “containing” heat or being limited in its ability  to absorb heat. Heat transfer can proceed without limit as long  as the necessary  temperature difference is maintained. The object may, of course, melt or vapor-  ize during the process. 

/

18.4  ABSORP T ION  OF   HEAT  

553

Specific  Heat 

Table  18.4.1  Some Specific Heats 

Two objects made of the same material—say, m arble—will have heat capacities  proportional  to their masses. It is therefore convenient to define a “heat capacity  per unit  mass” or specific heat c that refers not to an object but to a unit mass of  the material of which the object is made. Equation 18.4.2 then becomes 

and Molar  Specific Heats at Room 

Q = cm ∆T = cm(T f − T i).   

Molar  Specific  Specific Heat  Heat 

(18.4.3) 

Through experiment we would find that although the heat capacity of a particular  marble slab  might  be  179 cal/C°  (or  749 J/K),  the specific heat of  marble  itself  (in that slab or in any other marble object) is 0.21 cal/g · C° (or 880 J/kg · K ).  From the way the calorie and the British thermal unit  were initially defined,  the specific heat of water is  c = 1 cal/g · C° = 1 Btu/lb · F° = 4186.8 J/kg · K. 

Temperature 

(18.4.4) 

Table  18.4.1 shows  the specific heats of  some substances at room  temperature.  Note that the value for water is relatively high. The specific heat of any substance  actually depends somewhat on temperature, but the values in Table 18.4.1 a pply  reasonably well in a range of temperatures near room temperature.  Checkpoint 18.4.1 

A certain amount of heat Q will warm 1 g of material A by 3 C° and 1 g of material B  by 4 C°. Which material has the greater specific heat?  Molar  Specific  Heat 

In  many  instances  the  most  convenient  unit  for  specifying  the  amount  of  a  substance is the mole (mol), where 

cal  Substance  Elemental  Solids  Lead  Tungsten  Silver  Copper  Aluminum  Other Solids  Brass  Granite  Glass  Ice (−10°C)  Liquids  Mercury  Ethyl  alcohol  Seawater  Water 

g · K 

J 

J 

kg · K  mol · K 

0.0305  0.0321  0.0564  0.0923  0.215 

128  134  236  386  900 

0.092  0.19  0.20  0.530 

380  790  840  2220 

0.033 

140 

0.58  0.93  1.00 

2430  3900  4187 

26.5  24.8  25.5  24.5  24.4 

1 mol = 6.02 × 10 23 elementary units  of any substance. Thus 1 mol of aluminum means 6.02 × 10 23  atoms (the atom is  the elementary unit), and 1 mol of aluminum oxide means 6.02 × 10 23  molecules  (the molecule is the elementary unit of the compound).  When quantities are expressed in moles, specific heats must also involve moles  (rather than a mass unit);  they are then called molar specific heats. Table 18.4.1  shows the values for some elemental solids  (each consisting of a single element)  at room temperature.  An Important Point 

In  determining and  then  using  the  specific heat  of  any  substance, we  need  to  know  the  conditions  under  which  energy is  transferred as heat. For  solids  and  liquids,  we usually assume that  the  sample is  under  constant  pressure (usually  atmospheric) during the transfer. It is also conceivable that the sample is held at  constant volume while  the heat is absorbed. This means that thermal expansion  of the sample is prevented by applying external pressure. For solids  and liquids,  this is very hard to arrange e xperimentally, but the effect can be calculated, and it  turns out that the specific heats under constant pressure and constant volume for  any solid or liquid differ usually by no more than a few percent. Gases, a s you will  see, have quite  different values for  their specific heats under  constant-pressure  conditions  and under constant-volume conditions.  Heats  of Transformation 

When  energy is  absorbed  as  heat by  a solid  or  liquid,  the  temperature of  the  sample does not necessarily rise. Instead, the sample may change from one phase,  or  state, to  another. Matter can exist in  three common states: In  the solid  state, 

/

554

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

the molecules of a sample are locked  into a fairly rigid structure by their mutual  attraction. In  the liquid  state, the  molecules have more energy and move about  more. They may form brief clusters, but the sample does not  have a rigid struc-  ture and can flow  or settle into  a container. In the gas, or vapor, state, the mol-  ecules have even more energy, are free of  one another, and  can fill  up  the  full  volume of a container.  Melting. To  melt a solid  means to change it from the solid  state to  the liq-  uid  state. The process requires energy because the molecules of  the solid  must  be freed from their rigid structure. Melting an ice cube to form liquid  water is a  common example. To freeze a liquid  to form a solid is the reverse of melting and  requires that energy be removed from the liquid,  so that the molecules can settle  into a rigid structure.  Vaporizing. To  vaporize a liquid  means to  change it from  the  liquid  state  to the vapor (gas) state. This  process, like  melting, requires energy because the  molecules must be freed from their clusters. Boiling liquid  water to transfer it to  water vapor (or steam—a gas of individual water molecules) is a common exam-  ple.  Condensing  a gas to  form  a liquid  is the  reverse of  vaporizing; it  requires  that energy be removed from the gas, so that the molecules can cluster instead of  flying away from one another.  The amount of energy per unit mass that must be transferred as heat when a  sample completely undergoes a phase change is called the heat of transformation L.  Thus, when a sample of mass m completely undergoes a phase change, the total  energy transferred is  Q = Lm. 

(18.4.5) 

When the phase change is from liquid  to gas (then the sample must absorb heat)  or from  gas to liquid  (then the sample must release heat), the heat of transfor-  mation  is called the heat of vaporization  L V. For  water at its normal  boiling  or    condensation temperature,  L V  = 539 cal/g = 40.7 kJ/mol = 2256 kJ/kg. 

(18.4.6) 

When the phase change is from solid to liquid (then the sample must absorb heat)  or from liquid  to solid (then the sample must release heat), the heat of transfor-  mation is called the heat of fusion L F. For water at its normal freezing or melting    temperature,  L F = 79.5 cal/g = 6.01 kJ/mol = 333 kJ/kg. 

(18.4.7) 

Table 18.4.2 shows the heats of transformation for some substances.  Table 18.4.2  Some Heats of  Transformation 

Melting 

Boiling 

Substance 

Melting Point (K) 

Heat of Fusion L F  (kJ/kg) 

Boiling Point (K) 

Heat of Vaporization L V  (kJ/kg) 

Hydrogen  Oxygen  Mercury  Water  Lead  Silver  Copper 

14.0  54.8  234  273  601  1235  1356 

58.0  13.9  11.4  333  23.2  105  207 

20.3  90.2  630  373  2017  2323  2868 

455  213  296  2256  858  2336  4730 

/

18.4  ABSORP T ION  OF   HEAT  

Sample Problem 18.4.1

Hot slug in water,  coming to equilibrium 

A copper slug whose mass m c is 75 g is heated in a labora-  tory oven  to a temperature T of  312°C. The slug is  then  dropped into a glass beaker containing a mass m w  = 220 g  of  water. The heat capacity C b  of  the beaker is 45 cal/K.  The initial  temperature T i  of the water and the beaker is  12°C. Assuming that the  slug,  beaker, and  water are an  isolated system and the water does not vaporize, find the  final temperature T f of the system a t thermal equilibrium. 

KEY IDEAS (1) Because the system is isolated, the system’s total energy  cannot  change  and  only  internal  transfers  of  thermal  energy can occur. (2) Because nothing in the system under-  goes a phase change, the thermal energy transfers can only  change the temperatures.  To relate the transfers to the temperature  changes, we can use Eqs. 18.4.2 a nd 18.4.3 to write  for the water:  Q w = c w m w(T  (18.4.8)    f  − T i );  for the beaker:  Q b  = C b(T  − T  );  (18.4.9)    f  i  for the copper:  Q c  = c cm  (18.4.10)    c(T    f   − T ). 

Temperatures a re contained in Eq. 18.4.12 only as differ-  ences. Thus,  because the  differences on  the Celsius and  Kelvin  scales  are  identical,  we  can  use  either  of  those  scales in this equation. Solving it for T f , we obtain  c cm    cT + C    bT    i  + c wm    wT    i  T f  = _____________________  .  c wm    w  + C b  + c cm    c  Using Celsius temperatures and taking  values for  c c  and  c w from Table 18.4.1, we find the numerator to be  (0.0923 cal/g · K)(75 g)(312°C) + (45 cal/K)(12°C)  + (1.00 cal/g · K)(220 g)(12°C) = 5339.8 cal,  and the denominator to be  (1.00 cal/g · K)(220 g ) + 45 cal/K  + (0.0923 cal/g · K)(75 g) = 271.9 cal/C°. 

Calculations:

Because the total energy of the system c annot change, the  sum of these three energy transfers is zero:  Q w + Q b  + Q c  = 0. 

(18.4.11) 

Substituting  Eqs.  18.4.8 through  18.4.10 into  Eq.  18.4.11  yields  c wm    w(T    f   − T i) + C    b(T    f   − T i) + c    cm    c(T    f   − T ) = 0. (18.4.12) 

Sample Problem 18.4.2

We then have  5339.8 cal  = 19.6° C ≈ 20° C.  T f =  ___________  271.9 cal / C° 

(Answer) 

From the given data you can show that  Q w  ≈ 1670 cal, 

Q b  ≈ 342 cal, 

Q c ≈ −2020 cal. 

Apart from  rounding  errors,  the algebraic sum  of  these  three heat transfers is indeed zero, as required by the con-  servation of energy (Eq. 18.4.11). 

Heat to change temperature  and state 

(a)  How  much  heat  must  be  absorbed  by  ice  of  mass  m = 720 g at −10°C to take it to the liquid  state at 15°C? 

KEY IDEAS The  heating  process  is  accomplished  in  three  steps:  (1)  The  ice  cannot  melt  at  a  temperature  below  the  freezing point — so  initially,  any  energy  transferred to  the  ice  as heat can only  increase the  temperature of the  ice, until  0°C is reached. (2) The temperature then cannot  increase until  all the ice melts — so any energy transferred  to the ice as heat now can only change ice to liquid  water,  until  all the ice melts. (3) Now  the energy transferred to  the liquid  water as heat can only increase the temperature  of the liquid  water.  The heat Q 1  needed to take the ice from  the initial T i  = −10°C to the final T f = 0°C (so that the ice  can then melt) is given by Eq. 18.4.3 (Q = cm ∆T ). Using  the specific heat of ice c ice  in Table 18.4.1 g ives us  Warming the ice:

555

Q 1   = c ice m(T f − T i )  = (2220 J /kg · K)(0.720 kg)[0°C − (−10°C)]  = 15 984 J ≈ 15.98 kJ.  The heat Q 2   needed to melt all the ice is  given by Eq. 18.4.5 (Q = Lm). Here L is the heat of fusion  L F,   with  the  value given in  Eq.  18.4.7 and  Table  18.4.2.  We find  Melting the ice:

Q 2  = L F m = (333 kJ/kg)(0.720 kg) ≈ 239.8 kJ.  The heat Q 3  needed to increase the  temperature of  the water from  the initial  value T i  = 0°C  to the final value T f = 15°C is given by Eq. 18.4.3 (with the  specific heat of liquid  water c liq ):  Warming the liquid:

Q 3  = c liq m(T f − T i )  = (4186.8 J /kg · K)(0.720 kg)(15°C − 0°C)  = 45 217 J ≈ 45.22 kJ. 

/

556

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

The  total  required  heat  Q tot  is  the  sum  of  the  amounts required in the three steps:  Q tot  = Q 1  + Q 2   + Q 3   = 15.98 kJ + 239.8 kJ + 45.22 kJ  ≈ 300 kJ.  (Answer)  Total:

Note  that  most  of  the  energy goes  into  melting the  ice  rather than raising the temperature. 

194 kJ. From step 2, we can see that this amount of heat  is insufficient  to  melt all  the ice. Because the melting of  the ice is incomplete, we must  end  up  with  a mixture of  ice and liquid; the temperature of the mixture must be the  freezing point, 0°C.  We can find the mass m of ice that is melted  by the available energy Q rem by using Eq. 18.4.5 with L F :  Calculations:

(b) If we supply the ice with a total energy of only 210 kJ (as  heat), what are the final state and temperature of the water? 

KEY IDEA From  step  1, we  know  that  15.98 kJ  is  needed  to  raise  the  temperature  of  the  ice  to  the  melting  point.  The  remaining heat  Q rem  is  then  210 kJ − 15.98 kJ,  or  about 

Q rem  _________  m = _____  =  194 kJ  = 0.583 kg ≈ 580 g.  L F  333 kJ / kg  Thus, the mass of the ice that remains is 720 g − 580 g, or  140 g, a nd we have  580 g water  and  140 g ice,  at 0°C. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

18.5  THE FIRST LAW OF THERMODYNAMICS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.5.1  If an enclosed gas expands or contracts, cal-  culate the work 

18.5.6  Identify the algebraic sign of a heat transfer 

W done by the gas by integrating 

Q that is associated with  a transfer  to a gas and a 

the gas pressure with  respect to the volume of the  enclosure. 

transfer from the gas. 

∆E int  of a gas 

18.5.7  Identify that the internal  energy 

18.5.2  Identify  the algebraic  sign of work 

W associated 

tends to increase  if the heat transfer is  to the gas, 

with expansion and contraction of a gas. 

and it tends to decrease if the gas does work on its 

p-V  graph of pressure versus volume for 

18.5.3  Given  a 

a process, identify  the starting point (the initial  state) 

environment.  18.5.8  Identify that in  an adiabatic process with  a gas, 

Q with  the environment. 

and the final  point (the final  state) and calculate  the  work by using graphical  integration. 

there is no heat transfer 

18.5.9  Identify that in  a constant-volume process with 

p-V graph of pressure versus volume for a 

W  done by the gas. 

18.5.4  On  a 

gas, identify  the algebraic sign of the work associated 

a gas, there is no work 

18.5.10  Identify that in a cyclical process with  a gas, 

∆E int . 

with  a right-going process and  a left-going process.  18.5.5  Apply the first law of thermodynamics to relate 

there is no net change in  the internal  energy 

18.5.11  Identify that in a free expansion with  a gas, the 

∆E int  of a gas, the  Q transferred as heat to or from the gas, and  the work W  done on or by the gas. 

Q , work done W, and change  in inter-  ∆E int  are each zero. 

the change in the internal  energy 

heat transfer 

energy 

nal  energy 

Key Ideas  ●

A gas may exchange energy with its surroundings 

W  done by a gas as  it expands or contracts from an initial  volume V i  to a  final  volume V f  is given by  through  work. The amount of work 

p 

The integration is necessary because the pressure  may vary during the volume change.  ●

The principle  of conservation of energy for a thermo- 

dynamic process is expressed in the first law  of ther-  modynamics, which  may assume either of the forms 

∆E int  = E int, f  − E int, i  = Q − W 

v f 

W = dW =  p dV.  v i 

or 

dE int  = dQ − dW 

(first law) 

(first law). 

/

18.5  T HE  F IRST   L AW OF   T HERMOD Y NAMIC S 

E int  represents the internal  energy of the material,  which 

●

depends only on the material’s state (temperature, pres- 

independent. 

Q represents the energy exchanged  Q is 

sure, and volume). 

as heat between the system and its surroundings; 

positive if  the system absorbs heat and negative if the  system loses heat. 

W is the work done by the system; 

W is positive if  the system expands against an external  force from the surroundings and negative if the system 

●

557

Q and  W are path dependent;  ∆E int  is path  The first law  of thermodynamics finds  application in 

several special  cases: 

adiabatic processes: 

Q = 0,  ∆E int  = −W 

constant-volume processes: 

W = 0,  ∆E int  = Q 

cyclical processes: 

∆E int  = 0,  Q = W 

free expansions: 

Q = W = ∆E int  = 0 

contracts because of an external force. 

A  Closer Look at Heat and Work 

Here we look  in some detail at how  energy can be transferred as heat and work  between a system a nd its environment. Let us take as our system a  gas confined to  a cylinder with a movable piston, as in Fig. 18.5.1. The upward force on the piston  due to the pressure of the confined gas is equal to the weight of lead shot loaded  onto  the top of the piston. The walls of the cylinder are made of insulating mate-  rial that does not allow any transfer of energy a s heat. The bottom of the cylinder  rests on a reservoir for thermal energy, a thermal reservoir (perhaps a hot plate)  whose temperature T you can control by turning a knob.  The  system (the  gas) starts  from  an  initial  state  i,  described by  a  pressure  p i, a volume V    i, and a temperature T    i. You want to change the system to a final    state f, described by a pressure p f,   a volume V f,   and a temperature T f.   The proce-  dure by which you change the system from its initial state to its final state is called  a thermodynamic process. During such a process, energy may be transferred into  the  system from  the  thermal reservoir (positive  heat)  or  vice  versa (negative  heat). Also, work can be done  by the system to raise the loaded piston  (positive  work) or lower it (negative work). We assume that all such changes occur slowly,  with  the result  that  the system is always in  (approximate) thermal equilibrium  (every part is always in thermal equilibrium).  Suppose that you remove a  few lead shot from the piston of Fig. 18.5.1,  allowing the gas to push the piston  and remaining shot upward through a  differential displacement d s  with an upward force F . Since the displace-  ment is  tiny,  we  can assume that  F  is constant  during  the displacement.  Then F  has a magnitude that is equal to pA, where p is the pressure of the  gas and A is the face area of the piston. The differential work dW done by  the gas during the displacement is  →

→

→

→

→

dW = F · d s  = (pA)(ds) = p(A ds)  →

= p dV, 

W

(18.5.1) 

in which dV is the differential change in the volume of the gas due to the  movement of the piston.  When you  have removed enough  shot to  allow  the  gas to  change its  volume from V i  to  V f,   the  total  work  done  by the  gas is  V f 

W = dW =   p dV .  V i 

(18.5.2) 

During the volume change, the pressure and temperature m ay also change.  To evaluate Eq. 18.5.2 directly, we would need to know how pressure var-  ies with  volume for the actual process by which the system changes from  state i to state f.  One Path. There are actually many ways to take the gas from state i  to state f. One way is shown  in Fig. 18.5.2a, which is a plot of the pressure 

Steam

Insulatio n

Liquid water

Q

Thermal reservoir

T

Control knob

A gas is confined to a cyl-  inder with a movable piston. Heat Q can  be added to or withdrawn from the gas  by regulating the temperature T of the  adjustable thermal reservoir. Work W can  be done by the gas by raising or lowering  the piston.  Figure  18.5.1 

/

558

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

A 

It still goes from i to f, but now it does more work.

Gas moves from i to f, doing positive work.

i

a

W W

(a ) 0

>0

f

(b ) 0

We can control how much work it does.

f

(c ) 0

Volume

>0

f

Volume

Cycling clockwise yields a positive net work.

Moving from f to i, it does negative work.

h

erusserP

erusserP

erusserP

i

i

f W

d

c

(d ) 0

i

W

Volume

g

>0

erusserP

Process

erusserP

erusserP

i

It still goes from i to f, but now it does less work.

Volume

(e ) 0

0

f

(f ) 0

Volume

(a) The shaded area represents  the work W done by a system as it goes  from an initial state i to a final state f .  Work W is positive because the system’s volume  increases.  (b) W is still positive, but now greater. (c)  W is still positive, but now smaller.  (d) W can be even smaller (path icdf ) or larger (path ighf ). (e) Here the system goes  from state f to state i as the gas is compressed to less volume by an external force. The  work W done by the system is now negative. ( f ) The net work W net  done by the system  during a complete cycle is represented by the shaded area.  Figure  18.5.2 

of the gas versus its volume and which is called a p-V diagram. In Fig. 18.5.2a, the  curve indicates that the pressure decreases a s the volume increases. The integral  in Eq. 18.5.2 (and thus the work W done by the gas) is represented by the shaded  area under  the curve between points  i and  f. Regardless of what exactly we do  to take the gas along the curve, that work is positive, due to the fact that the gas  increases its volume by forcing the piston upward.  Another Path. Another  way to  get from  state i  to  state f is  shown  in  Fig.  18.5.2b. There the change takes place in two steps—the first from state i to state  a, and the second from state a to state f.  Step  ia  of  this  process  is  carried  out  at  constant  pressure,  which  means  that  you  leave undisturbed  the lead  shot  that  ride  on  top  of  the  piston  in  Fig.  18.5.1. You  cause the  volume to  increase (from V i  to  V f ) by slowly  turning  up  the temperature control knob, raising the temperature of the gas to some higher  value T a.   (Increasing the temperature increases the  force from the  gas on  the  piston, moving it upward.) During this step, positive work is done by the expand-  ing  gas (to  lift the  loaded piston)  and  heat is absorbed  by the  system from the  thermal reservoir (in  response to  the arbitrarily small temperature differences  that you create as you turn up the temperature). This heat is positive because it  is added to the system.  Step af of the process of Fig. 18.5.2b is carried out at constant volume, so you  must wedge the piston,  preventing it  from moving. Then  as you use the control 

/

18.5  T HE  F IRST   L AW OF   T HERMOD Y NAMIC S 

559

knob  to decrease the temperature, you find that the pressure drops from p a  to its    final value p f. During this step, heat is lost by the system  to the thermal reservoir.    For the overall process iaf, the work W, which  is positive and  is carried out  only during step ia, is represented by the shaded area under the curve. Energy is  transferred as heat during both  steps ia and af, with a net energy transfer Q.  Reversed Steps. Figure  18.5.2c  shows  a  process in  which  the  previous two  steps  are carried out  in  reverse order.  The  work  W  in  this  case is smaller than  for Fig. 18.5.2b, as is the net heat absorbed. Figure 18.5.2d suggests that you can  make the work  done  by the  gas as small as you  want (by following  a path  like  icdf ) or as large as you want (by following a path like ighf ).  To sum up: A system can be taken from a given initial  state to a given final  state by an infinite number of processes. Heat may or may not  be involved, and  in  general, the  work  W  and  the  heat Q  will  have different values for  different  processes. We say that heat and work are path-dependent quantities.  Negative Work. Figure 18.5.2e shows an example in which negative work is  done by a system as some external force compresses the system, reducing its vol-  ume. The absolute value of the work done  is still  equal to the area beneath the  curve, but because the gas is compressed, the work done by the gas is negative.  Cycle. Figure  18.5.2f  shows  a  thermodynamic  cycle  in  which  the  system  is  taken from  some initial  state i to  some other  state f and  then  back to  i. The  net  work  done  by  the  system during  the  cycle is  the  sum  of  the  positive  work  done  during the expansion and the negative work  done during  the compression.  In  Fig.  18.5.2f,  the  net  work  is  positive because the  area under  the  expansion  curve (i to f ) is greater than the area under the compression curve ( f to i).  Checkpoint 18.5.1 

p

The p-V diagram here shows six curved paths  (connected by vertical paths) that can be followed  by a gas. Which two of the curved paths should  be part of a closed cycle (those curved paths plus  connecting vertical paths) if the net work done by  the gas during the cycle is to be at its maximum  positive value? 

b

d

f

a

c

e

V

The First Law of Thermodynamics 

You  have just  seen  that when  a system changes from  a given initial  state to  a  given final state, both  the work  W and  the heat Q depend on  the nature of  the  process. Experimentally, however, we find a surprising thing. The quantity Q − W  is  the  same for  all  processes. It depends  only  on  the  initial  and  final  states and  does  not depend at all on how  the system gets from one to the other. All other  combinations of Q and W, including Q alone, W alone, Q + W, and Q − 2W, are  path dependent; only the quantity Q − W is not.  The quantity Q − W  must represent a change in  some intrinsic  property of  the system. We call this property the internal energy E int  and we write  ∆E int  = E int,f  − E int,i  = Q − W 

(first law). 

(18.5.3) 

Equation 18.5.3 is the first law of thermodynamics. If the thermodynamic system  undergoes only a differential change, we can write the first law as*  dE int  = dQ − dW 

(first law). 

(18.5.4) 

*Here dQ and dW, unlike dE int , are not true differentials; that is, there are no such functions as  Q( p, V ) and W( p, V ) that depend only on the state of the system. The quantities dQ and dW are  called  inexact differentials  and are usually represented by the symbols d¯Q  and d¯W.  For our purposes,  we can treat them simply as infinitesimally  small energy transfers. 

/

560

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

The internal energy E int  of a system tends to increase if energy is added as  heat Q and tends to decrease if energy is lost as work W done by the system. 

In Chapter 8, we discussed the principle of energy conservation as it applies  to  isolated systems—that is, to systems in  which  no  energy enters or  leaves the  system. The  first  law  of  thermodynamics is  an  extension  of  that  principle  to  systems that are not isolated. In such cases, e nergy m ay be transferred into or out  of the system as either work W or heat Q. In our statement of the first law of ther-  modynamics above, we assume that there are no changes in the kinetic energy or  the potential energy of the system a s a whole; that is, ∆K = ∆U = 0.  Rules. Before this chapter, the term work and the symbol W always meant  the  work  done  on  a  system. However, starting with  Eq.  18.5.1 and  continuing  through the next two chapters about thermodynamics, we focus on the work done  by a system, such as the gas in Fig. 18.5.1.  The work done  on  a system is always the negative of the work  done  by the  system, so if we rewrite Eq. 18.5.3 in terms of the work W on  done on  the system,  we have ∆E int  = Q + W on . This  tells us  the  following:  The  internal energy of  a  system tends to  increase if heat is absorbed by the system or if positive work is  done  on the system. Conversely, the internal energy tends  to decrease if heat is  lost by the system or if negative work is done on the system. 

p

Checkpoint 18.5.2 

The figure here shows four paths on a p-V diagram  along which a gas can be taken from state i to state f.  Rank the paths according to (a) the change ∆E int  in  the internal energy of the gas, (b) the work W done  by the gas, and (c) the magnitude of the energy trans-  ferred as heat Q between the gas and its environ-  ment, greatest first. 

4 3

i

2 1

f

V

Some  Special Cases of the First Law of  Thermodynamics 

Here are four thermodynamic processes as summarized in Table 18.5.1.  1.  Adiabatic processes. An  adiabatic  process is  one  that  occurs  so  rapidly  or  occurs  in a system that is  so well insulated  that no  transfer of  energy as heat  occurs between the system and its environment. Putting Q = 0 in the first law  (Eq. 18.5.3) y ields  ∆E int  = −W 

(18.5.5) 

(adiabatic process). 

Table 18.5.1  The First Law of Thermodynamics: Four Special Cases 

The Law: ∆E int  = Q − W (Eq. 18.5.3)  Process  Adiabatic  Constant volume  Closed cycle  Free expansion 

Restriction 

Consequence 

Q = 0  W = 0  ∆E int  = 0  Q = W = 0 

∆E int  = −W  ∆E int  = Q  Q = W  ∆E int  = 0 

/

18.5  T HE  F IRST   L AW OF   T HERMOD Y NAMIC S 

This  tells us that if work  is done by the system (that is, if W is positive),  the internal energy of the system decreases by the amount of work. Con-  versely, if work is done on the system (that is, if W is negative), the inter-  nal energy of the system increases by that amount.  Figure 18.5.3 shows an idealized adiabatic process. Heat cannot enter  or leave the system because of the insulation.  Thus, the only way energy  can be transferred between the system and  its environment is by work.  If we remove shot from the piston  and allow the gas to expand, the work  done by the system (the gas) is positive and the internal energy of the gas  decreases. If, instead, we add shot and compress the gas, the work done  by the system is negative a nd the internal energy of the gas increases. 

561

We slowly remove lead shot, allowing an expansion without any heat transfer. Lead shot

W

2.  Constant-volume processes. If the volume of a system (such  as a gas) is  held constant, that system can do no work. Putting W = 0 in the first law  (Eq. 18.5.3) y ields  ∆E int  = Q 

(18.5.6) 

(constant-volume process). 

Thus, if heat is absorbed by a system (that is, if Q is positive), the internal  energy of the system increases. Conversely, if heat is lost during the process  (that is, if Q is negative), the internal energy of the system m ust decrease. 

Insulation

3.  Cyclical processes. There  are  processes  in  which,  after  certain  inter-  changes of heat and work, the system is restored to its initial state. In that  case, no intrinsic property of the system—including its internal energy—  can possibly change. Putting ∆E int  = 0 in the first law (Eq. 18.5.3) y ields  Q = W 

An adiabatic expansion can  be carried out by slowly removing lead  shot from the top of the piston. Adding  lead shot reverses the process at any stage.  Figure  18.5.3 

(18.5.7) 

(cyclical  process). 

Thus, the net work done during the process must exactly equal the net amount  of energy transferred a s heat; the store of internal energy of the system remains  unchanged. Cyclical processes form a closed loop  on a p-V plot,  as shown  in  Fig. 18.5.2f. We discuss such processes in detail in Chapter 20.  4.  Free expansions. These are adiabatic processes in  which  no  transfer of  heat  occurs between the system and its environment and no work is done on or by  the system. Thus, Q = W = 0, and the first law requires that  ∆E int  = 0 

(18.5.8) 

(free expansion). 

Figure 18.5.4 shows how such an expansion can be carried out. A gas, which is  in thermal equilibrium within itself, is initially confined by a closed stopcock to  one half of an insulated double chamber; the other half is evacuated. The stop-  cock is opened, and the gas expands freely to fill both  halves of the chamber.  No heat is transferred to or from the gas because of the insulation. No work is  done  by the gas because it rushes into  a vacuum and  thus does not  meet any  pressure.  A  free  expansion  differs  from  all  other  processes  we  have  considered  because it cannot  be done slowly  and in a controlled  way. As a result, at any  given instant  during  the sudden  expansion, the gas is not  in  thermal equilib-  rium and its pressure is not uniform. Thus, although we can plot the initial and  final states on a p-V diagram, we cannot plot the expansion itself. 

Checkpoint 18.5.3 

Stopcock

Vacuum

Insulation

The initial stage of a  free-expansion process. After the  stopcock is opened, the gas fills both  chambers and eventually reaches an  equilibrium state.  Figure  18.5.4 

p

For one complete cycle as shown in the p-V diagram here,  are (a) ∆E int  for the gas and (b) the net energy transferred  as heat Q positive, negative, or zero?  V

/

562

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Sample Problem 18.5.1

First law  of thermodynamics: work, heat, internal energy change 

Let 1.00 kg of liquid water at 100°C be converted to steam  at  100°C  by  boiling  at  standard  atmospheric  pressure  (which is 1.00 atm or 1.01 × 10 5 Pa) in the arrangement of  Fig. 18.5.5. The volume of that water changes from an ini-  tial value of 1.00 × 10 −3 m 3 as a liquid to 1.671 m 3 as steam.  (a)  How  much  work  is  done  by  the  system during  this  process? 

KEY IDEA The change in  the system’s internal energy is  related to  the heat (here, this is energy transferred into the system)  and the work  (here, this is energy transferred out  of  the  system) by the first law of thermodynamics (Eq. 18.5.3).  Calculation:

∆E int  = Q − W = 2256 kJ − 169 kJ 

KEY IDEAS (1) The system must do positive work because the volume  increases. (2) We calculate the work W done by integrat-  ing the pressure with respect to the volume (Eq. 18.5.2).  Because  here  the  pressure  is  constant  at  1.01 × 10 5 Pa, we can take p outside the integral. Thus,  Calculation:

V f 

V f 

W =  p dV = p  dV = p( V f − V i)    V i 

We write the first law as 

5 

V i 

−3 

≈ 2090 kJ = 2.09 MJ. 

(Answer) 

This  quantity  is  positive,  indicating  that  the  internal  energy  of  the  system  has  increased  during  the  boiling  process. The added energy goes into  separating the H 2O    molecules, which  strongly  attract one  another in  the  liq-  uid  state. We see that, when water is boiled,  about  7.5%  (= 169 kJ/2260 kJ) of the heat goes into the work of push-  ing back the atmosphere. The rest of  the heat goes into  the internal energy of the system. 

= (1.01 × 10  Pa)(1.671 m 3 − 1.00 × 10  m 3 )  = 1.69 × 10 5 J = 169 kJ. 

(Answer)  Lead shot

(b)  How  much  energy  is  transferred  as  heat  during  the  process? 

KEY IDEA

W

Because the  heat  causes  only  a  phase  change  and  not  a  change  in  temperature, it  is  given  fully  by  Eq.  18.4.5  (Q = Lm). 

Steam

Because the change is from liquid to gaseous  phase,  L  is  the  heat  of  vaporization  L V,    with  the  value  given in Eq. 18.4.6 and Table 18.4.2. We find 

Liquid water

Calculation:

Q

Thermal reservoir

Q = L V m = (2256 kJ/kg)(1.00 kg)  = 2256 kJ ≈ 2260 kJ. 

(Answer) 

(c) What is the change in the system’s internal energy dur-  ing the process? 

Insulation

T

Control knob

Water boiling at constant pressure. Energy is  transferred from the thermal reservoir as heat until the liquid  water has changed completely into steam. Work is done by the  expanding gas as it lifts the loaded piston.  Figure  18.5.5 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

18.6  HEAT TRANSFER MECHANISMS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

18.6.1  For thermal conduction through a layer, apply  the relationship between  the energy-transfer rate 

P cond  and the layer’s area A, thermal  conductiv-  ity k , thickness L , and temperature difference  ∆T  (between its two sides). 

18.6.2  For a composite slab (two or more layers) that  has reached the steady state in which  temperatures  are no longer changing, identify  that (by the con-  servation of energy) the rates of thermal  conduction 

P cond  through the layers must be equal. 

/

18.6  HEAT   T RANSF ER  MEC HANISMS 

ε

18.6.3  For thermal conduction through a layer, apply 

L, and thermal  conductivity k. 

ness 

by convection, in which  a warmer fluid  (gas or liquid)  tends to rise in  a cooler fluid.  18.6.5  In  the  em issio n of thermal radiation  by  an 

(in  kelv ins ).  18.6.6  In the  absorption of thermal radiation by an object,  apply the relationship between the energy-transfer rate 

P abs  and the object’s surface area  A and emissivity ε,  and the  environmental temperature T (in kelvins).  18.6.7  Calculate the net energy-transfer rate P net  of 

object, apply  the relations hip  between the energ y -  trans fer rate 

T 

emis s iv ity   , and  surface temperature 

R, thick- 

the relationship  between thermal  resistance 

18.6.4  Identify that thermal energy can be transferred 

563

an object emitting radiation  to its environment and 

P rad  and the object’s  s urface  area  A, 

absorbing radiation  from that environment. 

Key  Ideas  ●

P cond  at which  energy is conducted through 

The rate 

a slab for which  one face is maintained  at the higher 

T H  and the other face is maintained  at the  lower temperature  T C  is  temperature 

Q  T H − T C  P cond  = __ = kA ________  .  t  L  Here each face  of the slab has area 

A, the length  of the  L, and  k  is the 

●

Radiation is an energy transfer via the emission of 

P rad  at which  an 

electromagnetic energy. The rate 

object emits energy via thermal radiation  is 

P rad  = σε AT 4 , 

σ (= 5.6704 × 10 −8 W/m 2 · K 4 ) is the Stefan –  Boltzmann constant, ε is the emissivity of the object’s  where 

surface, 

A is its surface area, and T is its surface temper-  P abs  at which an object absorbs 

slab (the distance between  the faces) is 

ature (in kelvins). The rate 

thermal  conductivity of the material. 

energy via thermal radiation from its environment, which 

● Convection occurs when  temperature differences 

T env (in kelvins), is 

is at the uniform  temperature 

P abs  =  σεAT 4  env . 

cause an energy transfer by motion within  a fluid. 

Heat  Transfer Mechanisms 

We  have  discussed  the  transfer  of  energy  as  heat  between  a  system  and  its  environment, but we have not yet described how that transfer takes place. There  are three transfer mechanisms: conduction,  convection, and radiation. Let’s next  examine these mechanisms in turn.  Conduction 

If you leave the end of a metal poker in a fire for enough time, its handle will get  hot.  Energy is  transferred from the  fire to  the handle  by (thermal) conduction  along  the length of  the poker.  The vibration amplitudes of  the atoms and  elec-  trons  of  the metal at the  fire end of  the poker  become relatively large because  of the high temperature of their environment. These increased vibrational ampli-  tudes, and thus the associated energy, are passed along the poker,  from atom to  atom, during  collisions  between adjacent atoms. In  this  way, a region  of  rising  temperature extends itself along the poker to the handle.  Consider a slab of face area A and thickness L, whose faces are maintained at  temperatures T H  and T C  by a hot reservoir and a cold reservoir, as in Fig. 18.6.1.  Let Q be the energy that is transferred as heat through the slab, from its hot face  to  its cold  face, in  time t. Experiment shows  that the conduction  rate P cond  (the  amount of energy transferred per unit time) is  T  Q  H  − T C  _________  P cond  = ___  t  = kA  L  , 

We assume a steady transfer of energy as heat. L

Hot reservoir at TH

k

Cold reservoir at TC

Q

(18.6.1) 

in  which  k,  called  the  thermal  conductivity,  is  a  constant  that  depends  on  the  material of which  the  slab is  made. A material that  readily transfers energy by  conduction  is a good  thermal conductor  and  has a high  value of k. Table  18.6.1  gives  the  thermal conductivities  of  some  common  metals, gases, and  building  materials. 

TH

> TC

Thermal conduction.  Energy is transferred as heat from  a reservoir at temperature T H  to a  cooler reservoir at temperature T C  through a conducting slab of thick-  ness L and thermal conductivity k.  Figure  18.6.1 

/

564

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Table 18.6.1  Some Thermal 

Thermal Resistance  to Conduction  (R-Value) 

Conductivities 

If you are interested in insulating  your house  or in  keeping cola cans cold  on  a  picnic, you are more concerned with poor heat conductors than with good ones.  For  this  reason, the  concept  of  thermal resistance R  has  been  introduced  into  engineering practice. The R-value of a slab of thickness L is defined as  L .  R = __  (18.6.2)  k  The lower the thermal conductivity  of the material of which a slab is made, the  higher  the  R-value of  the  slab; so  something that  has  a high  R-value is  a poor  thermal conductor and thus a good thermal insulator.  Note that R is a property attributed to a slab of a specified thickness, not to  a material. The commonly used unit for R (which, in the United States at least, is  almost never stated) is the square foot–Fahrenheit degree–hour per British ther-  mal unit (ft 2 · F° · h/Btu). (Now you know  why the unit is rarely stated.) 

Substance  Metals  Stainless steel  Lead  Iron  Brass  Aluminum  Copper  Silver 

k (W/m · K)  14  35  67  109  235  401  428 

Gases  Air (dry)  Helium  Hydrogen 

0.026  0.15  0.18 

Building Materials  Polyurethane foam  Rock wool  Fiberglass  White pine  Window glass 

0.024  0.043  0.048  0.11  1.0 

Conduction Through a Composite Slab 

Figure 18.6.2 shows a composite slab, consisting of two materials having different  thicknesses L 1   and  L 2   and  different thermal conductivities  k 1   and  k 2  . The tem-  peratures of the outer surfaces of the slab are T H and T C. Each face of the slab has    area A. Let us derive an expression for the conduction  rate through the slab under  the assumption that the transfer is a steady-state process; that is, the temperatures  everywhere in the slab and the rate of energy transfer do not change with time.  In the steady state, the conduction  rates through the two materials must be  equal. This is the same as saying that the energy transferred through one material  in a certain time must be equal to that transferred through the other material in  the same time. If this were not true, temperatures in the slab would  be changing  and we would  not have a steady-state situation. Letting T X be the temperature of  the interface between the two materials, we can now use Eq. 18.6.1 to write  k 2A k 1A   (T H  − T X)      (T X  − T C)    P cond  =  _______________  = _______________  .  L 2   L 1  

(18.6.3) 

Solving Eq. 18.6.3 for T X yields, after a little algebra,  k 1 L    2 T    C + k 2L    1 T    H  T X = ___________________  .  k 1L  + k    2  2L    1 

(18.6.4) 

Substituting  this expression for T X into either equality of Eq. 18.6.3 y ields 

Hot reservoir at TH

L2

L1

k2

k1

A( T H  − T C)    P cond  = _______________  .  L 1 /    k 1  + L 2 /    k 2   Cold reservoir at TC

Q

(18.6.5) 

We can extend Eq. 18.6.5 to apply to any number n of materials m aking  up a slab:  A(T H  − T C)    P cond  = _____________  .  (18.6.6)  ∑(L/ k)  The summation sign in the denominator tells us to add the values of L/k for  all the materials. 

TX

The energy transfer per second here ...

... equals the energy transfer per second here.

Heat is transferred  at a steady  rate through a composite slab made up of  two different materials with different thick-  nesses and different thermal conductivities.  The steady-state temperature at the interface  of the two materials is T X .  Figure  18.6.2 

Checkpoint 18.6.1 

The figure shows the face and interface temperatures of a composite slab  consisting of four materials, of identical thicknesses, through which the heat  transfer is steady. Rank the materials according to their thermal conductivi-  ties, greatest first.  25°C

15°C

10 °C

a

b

–5.0 °C c

–10°C d

/

18.6  HEAT   T RANSF ER  MEC HANISMS 

565

Convection 

When  you  look  at the flame of  a candle or  a match, you  are watching thermal  energy  being  transported  upward  by  convection.  Such  energy transfer occurs  when  a fluid,  such  as air or water, comes in  contact with  an object  whose tem-  perature is higher than that of the fluid.  The temperature of the part of the fluid  that  is  in  contact with  the  hot  object  increases, and  (in  most  cases) that  fluid  expands and thus becomes less dense. Because this expanded fluid  is now lighter  than  the  surrounding  cooler  fluid,  buoyant  forces cause it  to  rise. Some  of  the  surrounding  cooler fluid  then  flows so as to  take the place of the rising warmer  fluid, and the process can then continue.  Convection is part of  many natural processes. Atmospheric convection plays a  fundamental role in determining global climate patterns and daily weather variations.  Glider pilots  and birds alike seek rising thermals (convection currents of  warm air)  that keep them aloft. Huge energy transfers take place within the oceans by the same  process. Finally, energy is transported to the surface of the Sun from the nuclear fur-  nace at its core by enormous cells of convection, in which hot gas rises to the surface  along the cell core and cooler gas around the core descends below the surface.  Radiation 

The third  method by which  an object and its environment can exchange energy  as heat is via electromagnetic waves (visible light is one kind  of electromagnetic  wave). Energy transferred in this way is often called thermal radiation to distin-  guish it from electromagnetic signals (as in, say, television broadcasts) and from  nuclear radiation (energy and particles emitted by nuclei). (To “radiate” gener-  ally means to  emit.) When  you  stand  in  front  of  a big fire, you  are warmed by  absorbing thermal radiation from the fire; that is, your thermal energy increases  as the fire’s thermal energy decreases. No medium is required for heat transfer  via radiation—the radiation can travel through vacuum from, say, the Sun to you.  The rate P rad  at which  an object emits energy via electromagnetic radiation  depends  on  the  object’s surface area A and  the  temperature T of  that  area in  kelvins and is given by  P rad  = σεAT 4 . 

Edward Kinsman/Science Source 

A false-color thermo-  gram reveals the rate at which energy  is radiated by a cat. The rate is color-  coded, with white and red indicating  the greatest radiation rate. The nose  is cool.  Figure  18.6.3 

(18.6.7) 

Here σ = 5.6704 × 10 −8 W/m 2 · K4    is called the Stefan–Boltzmann constant after Josef  Stefan (who discovered Eq. 18.6.7 experimentally in 1879) and Ludwig Boltzmann  (who  derived it  theoretically soon  after). The symbol  ε represents the emissivity of  the object’s surface, which has a value between 0 and 1, depending on  the compo-  sition  of  the surface. A surface with  the maximum emissivity of  1.0 is  said to  be a  blackbody radiator, but such a surface is an ideal limit and does not occur in nature.  Note again that the temperature in Eq. 18.6.7 must be in kelvins so that a tempera-  ture of absolute zero corresponds to no radiation. Note also that every object whose  temperature is above 0 K—including you—emits thermal radiation. (See Fig. 18.6.3.)  The rate P abs  at which  an object absorbs energy via thermal radiation from  its environment, which we take to be at uniform temperature T env  (in kelvins), is  P abs  = σε AT 4 env . 

(18.6.8) 

The emissivity ε in Eq. 18.6.8 is the same as that in Eq. 18.6.7. A n idealized black-  body radiator, with  ε = 1, will absorb all the radiated energy it intercepts (rather  than sending a portion back away from itself through reflection or scattering).  Because an object both  emits and absorbs thermal radiation, its net rate P net  of energy e xchange due to thermal radiation is  P net = P abs  − P rad  = σεA(T 4 env − T 4 ). 

(18.6.9) 

/

566

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

David A. Northcott/Getty Images 

A rattlesnake’s face has thermal  radiation detectors, allowing the snake to strike at  an animal even in complete darkness.  Figure  18.6.4 

Sample Problem 18.6.1

P net  is positive if net energy is being absorbed via radiation and nega-  tive if it is being lost via radiation.  Thermal radiation is involved in the numerous medical cases of  a dead rattlesnake striking a hand  reaching toward it. Pits between  each eye and  nostril  of a rattlesnake (Fig.  18.6.4) serve as sensors  of  thermal radiation. When,  say, a mouse moves close to  a rattle-  snake’s head, the  thermal radiation from the mouse triggers these  sensors, causing a reflex action in which the snake strikes the mouse  with  its  fangs  and  injects  its  venom.  The  thermal radiation  from  a reaching hand  can cause the same reflex action even if  the snake  has  been  dead  for  as long  as 30  min because the  snake’s nervous  system continues  to function.  As one snake expert advised, if  you  must  remove a recently killed  rattlesnake, use a  long  stick  rather  FCP  than your hand. 

Thermal conduction through a  layered  wall 

Figure  18.6.5  shows  the  cross  section  of  a  wall  made  of  white pine  of  thickness  L a   and  brick of  thickness  L d  (= 2.0L a ),    sandwiching  two  layers  of  unknown  mate-  rial  with  identical  thicknesses  and  thermal conductivi-  ties. The thermal conductivity of the pine is k a   and that  of  the brick is  k d  (= 5.0k a ). The face area A of  the wall    is  unknown.  Thermal conduction  through  the  wall  has  reached the steady state; the only known  interface tem-  peratures  are  T 1   = 25°C,  T 2   = 20°C,  and  T 5  = −10°C.  What is interface temperature T 4?   

KEY IDEAS (1) Temperature T 4   helps determine the rate P d  at which  energy is  conducted  through  the  brick,  as  given by  Eq.  18.6.1. H owever, we lack enough data to solve Eq. 18.6.1  for T 4. (2) Because the conduction  is steady, the conduc-    tion rate P d  through the brick must equal the conduction  rate P a  through the pine. That gets us going.  Calculations:

write 

From  Eq.  18.6.1 and  Fig.  18.6.5, we  can 

T 1  − T 2   T 4   − T 5   _______  P a  = k aA  and  P d = k d A _______  .    L a   L d  T1

Indoors

T2

T3

T4

T5

ka

kb

kc

kd

La

Lb

Lc

Ld

(b )

(c )

(a ) Figure  18.6.5 

(d )

Setting P a  = P d  and solving for T 4  yield  k a L    d  (T 1  − T 2)  T 4  =  _____    + T 5  .  k dL    a 

Outdoors

The energy transfer per second is the same in each layer.

Steady-state heat transfer through a wall. 

Letting L d  = 2.0L a  and k d  = 5.0k a , and inserting the known    temperatures, we find  k a (  2.0 La  )    (25° C − 20° C)    + (−10° C )  T 4   =  _________  (5.0k a )  L a   = −8.0° C. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Sample Problem 18.6.2

Making ice  by radiating  to the sky 

During  an  extended  wilderness  hike,  you  have  a  ter-  rific  craving for  ice. Unfortunately,  the  air  temperature  drops to only 6.0°C each night—too high to freeze water.  However, because a  clear, moonless  night  sky  acts  like  a  blackbody  radiator  at  a  temperature of  T s  =  −23°C,  perhaps  you  can  make  ice by  letting  a shallow  layer of 

water radiate energy to such a sky. To start, y ou thermally  insulate a container from the ground  by placing a poorly  conducting layer of, say, foam rubber, bubble  wrap, Sty-  rofoam peanuts, or straw beneath it. Then you pour water  into  the  container,  forming  a  thin,  uniform  layer  with  mass m = 4.5 g, top surface A = 9.0 cm 2 , depth d = 5.0 mm, 

/

567

REV IEW  &  SU MMARY  

emissivity ε = 0.90, and initial temperature 6 .0°C. Find the  time required  for the  water to  freeze via radiation. Can  the freezing be accomplished during one night? 

The total required energy loss is thus  Q tot  = Q 1  + Q 2   = −113 J − 1499 J = −1612 J.  While  the water loses energy by  radiating to  the sky, it also absorbs energy radiated to it from the sky.  In a total time t, we want the net energy of this exchange  to  be the energy loss Q tot ; so  we want the  power of  this  exchange to be  net energy  Q tot  power = __________ =  ____  (18.6.10)  t  .  time  Radiation:

KEY IDEAS (1) The water cannot  freeze at a temperature above the  freezing point.  Therefore, the radiation must first remove  an amount of energy Q 1   to reduce the water temperature  from  6.0°C  to  the  freezing point  of  0°C.  (2) The  radia-  tion then must remove an additional amount of energy Q  2   to  freeze all  the water. (3) Throughout  this  process, the  water is also absorbing energy radiated to it from the sky.  We want a net loss of energy.  Using  Eq.  18.4.3 and  Table  18.4.1,  we find that cooling the water to 0°C requires an energy  loss of  Cooling the water:

Q 1 = cm( T f − T i )  = (4190 J/kg ⋅ K)(4.5 × 10 −3 kg)(0° C − 6.0° C)  = −113 J.  Thus, 113 J must be radiated away by the water to drop its  temperature to the freezing point.  Using Eq. 18.4.5 (Q = mL) with the  value of L being L F  from Eq. 18.4.7 or Table 18.4.2, and  inserting a minus sign to indicate an energy loss, we find  Freezing the water:

Q 2 = −mL F  = −(4.5 × 10 −3 kg)(3.33 × 10 5 J/kg)  = −1499 J. 

The power of such an energy e xchange is also the net rate  P net  of  thermal radiation,  as  given by  Eq.  18.6.9; so  the  time t required for the energy loss to be Q tot  is  Q  Q  t =  ____ = _______________  .  (18.6.11)  4  P net  σεA( T 4  s  − T  )  Although  the  temperature  T  of  the  water  decreases  slightly while the water is cooling, we can approximate T  as being  the freezing point,  273 K. With  T s  = 250 K, the  denominator of Eq. 18.6.11 is  (5.67 × 10 −8 W/m 2 ⋅ K 4 )(0.90)(9.0 × 10 −4 m 2 )  × [(250 K) 4 − (273 K) 4 ] = −7.57 × 10 −2 J/s,  and Eq. 18.6.11 g ives us  −1612 J  t =  _________________  −7.57 × 10 −2 J/s  = 2.13 × 10 4  s = 5.9 h. 

(Answer) 

Because t is less than a night,  freezing water by having it  radiate to the  dark sky is feasible. In  fact, in  some parts  of  the world  people  used  this  technique long  before  the  introduction  of electric freezers. 

Review & Summary Temperature is an SI base  quantity related to  our  sense  of  hot and  cold. It  is  measured  with a thermometer, which contains a working substance with a  measurable property, such as length or pressure, that changes in  a regular way as the substance becomes hotter or colder.  Temperature; Thermometers 

When a thermometer  and  some other  object are  placed  in  contact with each  other,  they eventually reach thermal equilibrium. The  reading of the  thermometer is then taken to be the temperature of the other  object. The process provides consistent and useful temperature  measurements because of the zeroth law of thermodynamics: If  bodies  A  and  B  are  each  in  thermal equilibrium with  a  third  body C (the thermometer), then A and B are in thermal equilib-  rium with each other.  Zeroth Law of  Thermodynamics 

In  the SI  system, tem-  perature is measured on the Kelvin scale, which is based on the  The  Kelvin  Temperature Scale 

triple  point of  water  (273.16 K).  Other  temperatures  are  then  defined by use of a constant-volume gas thermometer, in which a  sample of gas is maintained at constant volume so its pressure is  proportional to its temperature. We define the temperature T as  measured with a gas thermometer to be  p  T = (273.16 K) (  lim  ___  p  )  .  gas→0  3 

(18.1.6) 

Here T is in kelvins, and p 3  and p are the pressures  of the gas at  273.16 K and the measured temperature, respectively.  Celsius  and  Fahrenheit  Scales 

ture scale is defined by 

T C  = T − 273.15°, 

The  Celsius  tempera-  (18.2.1) 

with T in kelvins. The Fahrenheit temperature scale is defined by  9  T F  = _  T  + 32° .   5  C 

(18.2.2) 

/

568

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

All objects change size  with changes  in  temperature. For  a temperature change ∆T, a  change ∆L  in any  linear dimension L is given by  Thermal Expansion 

∆L = L ∆T, 

(18.3.1) 

in which  is the coefficient of linear expansion. The change ∆V  in the volume V of a solid or liquid is  ∆V = V ∆T. 

(18.3.2) 

Here  = 3 is the material’s coefficient of volume expansion.  Heat Q is  energy that is transferred  between a  sys-  tem  and  its  environment because  of  a  temperature  differ-  ence between them. It can be measured in joules (J), calories  (cal),  kilocalories  (Cal  or kcal),  or  British thermal units  (Btu), with  He a t 

1 cal = 3.968 × 10 −3  Btu = 4.1868 J. 

(18.4.1) 

If heat Q is absorbed  by an object, the object’s temperature change  T f  − T i  is  related  to Q by  Heat Capacity and Specific Heat 

Q = C(T f  − T i ), 

(18.4.2) 

in which C  is  the heat capacity of the object. If  the object has  mass m, then  Q = cm(T f  − T i ), 

(18.4.3) 

where  c  is  the  specific  heat  of  the  material  making  up  the  object. The molar specific heat of a material is the heat capacity  per  mole, which means per 6.02 × 10 23  elementary units of the  material.  Matter can  exist  in  three com-  mon states: solid, liquid, and vapor. Heat absorbed by a mate-  rial  may  change  the  material’s  physical  state—for  example,  from solid to liquid or from liquid to gas. The amount of energy  required per unit mass to change the state (but not the temper-  ature)  of a particular  material is  its  heat of  transformation L.  Thus,  Heat  of  Transformation 

Q = Lm. 

(18.4.5) 

The  heat of  vaporization L V  is  the amount of energy  per unit  mass  that must be added to vaporize a  liquid or  that must be  removed to condense a gas. The heat of fusion L F  is the amount  of energy per  unit mass  that must be  added to melt a solid or  that must be removed to freeze a liquid.  A  gas  may  exchange energy with its surroundings through work. The amount  of work W done by a gas as it expands or contracts from an initial  volume V i to a final volume V f  is given by  Work  Associated  with  Volume  Change 

V f 

W =  dW =  p dV.  V i 

(18.5.2) 

The integration is  necessary  because  the pressure  p may  vary  during the volume change.  The principle of conser-  vation of energy for a thermodynamic process  is expressed in  the first law of thermodynamics, which may assume either of  the forms  First Law of Thermodynamics 

or 

∆E int = E int, f  − E int,i  = Q − W 

(18.5.3) 

dE int = dQ − dW. 

(18.5.4) 

E int  represents  the  internal  energy  of  the  material,  which  depends only on the material’s state (temperature, pressure, and  volume). Q represents  the energy  exchanged as  heat between  the  system  and  its  surroundings;  Q  is  positive  if  the  system  absorbs heat and negative if the system loses heat. W is the work  done by the system; W is positive if the system expands against  an external force from the surroundings and negative if the sys-  tem contracts because  of an external force. Q and W  are  path  dependent; ∆E int  is path independent.  The first law of thermody-  namics finds application in several special cases:  Applications of the First Law 

adiabatic processes: 

Q = 0,  ∆E int = −W 

constant-volume processes: 

W = 0,  ∆E int  = Q 

cyclical processes: 

∆E int = 0,  Q = W 

free expansions:  Q = W = ∆E int = 0  The  rate  P cond at which energy is conducted through a slab for which one  face is  maintained at the higher temperature T H  and the other  face is maintained at the lower temperature T C  is  Conduction,  Convection,  and  Radiation 

Q  T H  − T C .  __________  P cond = ___  t  = kA  L 

(18.6.1) 

Here each face of the slab has area A, the length of the slab (the  distance between the faces) is L, and k is the thermal conductiv-  ity of the material.  Convection  occurs  when  temperature  differences  cause  an  energy transfer by motion within a fluid.  Radiation is  an energy  transfer  via the emission  of electro-  magnetic energy. The rate P rad  at which an object emits energy via  thermal radiation is  P rad  = σεAT 4 , 

(18.6.7) 

where  σ (= 5.6704 × 10 −8  W/m 2 · K4    )  is  the  Stefan–Boltzmann  constant, ε is  the emissivity of the object’s surface, A is  its sur-  face area, and T is its surface temperature (in kelvins). The rate  P abs  at  which  an  object  absorbs  energy  via  thermal radiation  from its environment, which is at the uniform temperature T env  (in kelvins), is  P abs = σεAT 4 env . 

(18.6.8)  /

QU EST IONS 

569

Questions The initial length L, change in temperature ∆T, and change  in length ∆L of four rods are given in the following table. Rank  the  rods  according  to  their coefficients  of  thermal expansion,  greatest first.  1 

Rod 

L (m) 

∆T (C°) 

∆L (m) 

a  b  c  d 

2  1  2  4 

10  20  10  5 

4 × 10 −4  4 × 10 −4  8 × 10 −4  4 × 10 −4 

Figure  18.1  shows  three  lin-  150 °  ear  temperature  scales,  with  the  freezing  and  boiling  points  of  X water  indicated.  Rank  the  three  scales according to the size of one  –50 °  degree on them, greatest first.  2 

120 °  Y –140 ° 

60 °  Z 20 ° 

Figure  18.1  Question 2.  Materials A, B, and C are solids  that  are  at their  melting  tempera-  tures. Material A requires 200 J to melt 4 kg, material B requires  300 J to melt 5 kg, and material C requires 300 J to melt 6 kg. Rank  the materials according to their heats of fusion, greatest first. 

A sample A of liquid water and a  sample B of ice, of iden-  tical  mass,  are  placed  in  a  thermally  insulated container and  allowed to come to thermal equilibrium. Figure 18.2a is a sketch  of  the  temperature T  of  the samples  versus  time t.  (a)  Is  the  equilibrium temperature above, below, or at the freezing point  of  water?  (b)  In  reaching  equilibrium, does  the  liquid partly  freeze,  fully freeze, or  undergo no  freezing? (c)  Does  the  ice  partly melt, fully melt, or undergo no melting?  4 

Question  4  continued:  Graphs  b  through  f  of  Fig.  18.2  are  additional sketches  of  T  versus  t,  of  which  one  or  more  are  impossible  to produce. (a)  Which is  impossible  and why?  (b)  In the possible ones, is the equilibrium temperature above,  below, or  at  the  freezing  point of water?  (c)  As  the possible  situations reach equilibrium, does the liquid partly freeze, fully  freeze, or  undergo no freezing? Does the ice partly melt, fully  melt, or undergo no melting?  5 

T

Figure  18.4  shows  two  closed  cycles  on  p p p-V  diagrams  for  a  gas.  The  three  parts  of  cycle  1  are  of  the  same length and shape  V V as  those  of  cycle  2.  (1) (2) For each cycle,  should  Figure  18.4  Questions 7 and 8.  the  cycle  be  traversed  clockwise  or  counter-  clockwise if (a) the net work W done by the gas is to be positive and  (b) the net energy transferred by the gas as heat Q is to be positive?  7 

3 

T

The left side of the wall  is  20 C°  higher  than  1 2 3 1 3 2 3 1 2 the right side. Rank the  arrangements  accord-  ing  to  (a)  the  (steady  (a ) (b ) (c ) state)  rate  of  energy  Figure  18.3  Question 6.  conduction through the  wall  and  (b)  the  tem-  perature difference across material 1, greatest first. 

T

For  which cycle  in  Fig. 18.4, traversed  clockwise,  is  (a)  W  greater and (b) Q greater?  8 

Three  different  materials  of  T identical mass are placed one at a  time in a  special freezer  that can  1 2 extract energy from a material at  a  certain  constant  rate.  During  3 the cooling process, each material  t begins in the liquid state and ends  in the solid state; Fig. 18.5 shows  Figure  18.5  Question 9.  the temperature T  versus  time t.  (a) For material 1, is the specific heat for the liquid state greater  than  or  less  than  that for  the  solid  state?  Rank  the  materials  according to (b)  freezing-point temperature, (c)  specific  heat in  the liquid state, (d) specific heat in the solid state, and (e) heat of  fusion, all greatest first.  9 

A solid cube of edge length r, a solid sphere of radius r, and  a solid hemisphere of radius r, all made of the same material, are  maintained at temperature 300 K in an environment at tempera-  ture 350 K. Rank the objects  according to the  net rate  at which  thermal radiation is exchanged with the environment, greatest first.  10 

A hot object is dropped into a thermally insulated container  of water,  and the  object and water  are  then allowed to  come  to thermal equilibrium. The experiment is  repeated twice, with  different hot objects. All three objects have the same mass and  initial  temperature,  and  the  mass  and  initial  temperature  of  the water are the same in the three experiments. For each of the  experiments, Fig. 18.6 gives graphs of the temperatures T of the  object and the water versus time t. Rank the graphs according to  the specific heats of the objects, greatest first.  11 

(a )

t

(b )

T

t

(c )

T

t

T

T

(d )

t

(e )

Figure  18.2 

t

(f )

T

t

Questions 4 and 5. 

Figure 18.3 shows three different arrangements of materials 1,  2, and 3 to form a wall. The thermal conductivities are k 1 > k 2 > k 3 .  6 

T

(a )

t

(b ) Figure  18.6 

t

(c )

t

Question 11.  /

570

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 18.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying

Circus of Physics

Temperature 

Suppose the temperature of a gas is 373.15 K when it is  at  the boiling point of water. What then is the limiting value of the  ratio of the pressure  of the gas  at that boiling point to its pres-  sure at the triple point of water? (Assume the volume of the gas  is the same at both temperatures.)  1 

E 

E  Two  constant-volume gas  thermometers  are  assembled,  one with nitrogen and the  other with hydrogen. Both contain  enough  gas  so  that  p 3  = 80 kPa.  (a)  What  is  the  difference  between the pressures in the two thermometers if both bulbs are  in  boiling  water?  (Hint:  See  Fig. 18.1.6.) (b)  Which  gas  is  at  higher pressure? 

2 

E  A  gas  thermometer  is  con-  structed  of  two  gas-containing  bulbs,  each  in  a  water  bath,  as  shown in Fig. 18.7. The pressure  difference  between  the  two  bulbs is  measured  by a  mercury  manometer as shown. Appropri-  Figure  18.7  Problem 3.  ate  reservoirs,  not  shown in  the  diagram, maintain constant gas volume in the two bulbs. There  is  no  difference  in pressure  when both baths  are  at  the triple  point of  water. The  pressure  difference  is  120  torr  when  one  bath is at the triple point and the other is at the boiling point of  water. It is 90.0 torr when one bath is at the triple point and the  other is at an unknown temperature to be measured. What is the  unknown temperature? 

3 

Module 18.2 

The Celsius and Fahrenheit  Scales 

(a)  In  1964,  the  temperature  in  the  Siberian  village  of  Oymyakon  reached  −71°C.  What  temperature  is  this  on  the  Fahrenheit scale?  (b)  The highest officially recorded tempera-  ture in the continental United States was 134°F in Death Valley,  California. What is this temperature on the Celsius scale?  4 

E 

At what temperature is the Fahrenheit scale reading equal  to (a) twice that of the Celsius scale and (b) half that of the Cel-  sius scale?  5  E 

On a linear X temperature scale, water freezes at −125.0°X  and  boils at  375.0°X. On  a  linear  Y  temperature  scale,  water  freezes  at  −70.00°Y and  boils at  −30.00°Y. A temperature  of  50.00°Y corresponds to what temperature on the X scale?  6  M 

Suppose that on a linear temperature scale X, water boils at  −53.5°X and freezes at −170°X. What is a temperature of 340 K  on the X scale? (Approximate water’s boiling point as 373 K.)  7  M 

Module 18.3 

Thermal Expansion 

At 20°C, a  brass  cube  has  edge  length 30 cm. What  is  the increase  in the surface area  when it is heated from 20°C  to 75°C?  8 

E 

A circular hole in an aluminum plate is 2.725 cm in diameter  at  0.000°C. What is  its  diameter when the  temperature of the  plate is raised to 100.0°C?  9  E 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

An aluminum flagpole is 33 m high. By how much does its  length increase as the temperature increases by 15 C°?  10  E 

What is  the volume of a lead ball at 30.00°C if the ball’s  volume at 60.00°C is 50.00 cm 3 ?  11  E 

E  An  aluminum-alloy rod  has  a  length  of  10.000 cm  at  20.000°C and a length of 10.015 cm at the boiling point of water.  (a) What is the length of the rod at the freezing point of water?  (b) What is the temperature if the length of the rod is 10.009 cm? 

12 

SSM  Find the change in volume of an aluminum sphere  with an initial radius of 10 cm when the sphere is  heated from  0.0°C to 100°C. 

13  E 

When the temperature of a copper coin is raised by 100 C°,  its diameter increases by 0.18%. To two significant figures, give  the percent increase in (a)  the area of a face, (b) the thickness,  (c)  the volume, and (d)  the mass  of the coin. (e)  Calculate the  coefficient of linear expansion of the coin.  14  M 

M  A steel rod  is  3.000 cm  in diameter at 25.00°C. A brass  ring has  an  interior diameter of 2.992 cm  at  25.00°C. At what  common temperature will the ring just slide onto the rod? 

15 

When the temperature of a metal cylinder is raised from  0.0°C to 100°C, its length increases by 0.23%. (a)  Find the per-  cent change in density. (b) What is the metal? Use Table 18.3.1.  16  M 

3  SSM  An aluminum cup of 100 cm  capacity is completely  filled with glycerin at 22°C. How much glycerin, if any, will spill  out of the cup if the temperature of both the cup and the glyc-  erin is increased to 28°C? (The coefficient of volume expansion  of glycerin is 5.1 × 10 −4 /C°.)  17  M 

M  At  20°C,  a  rod  is  exactly  20.05 cm  long  on  a  steel  ruler. Both are  placed in an oven at 270°C, where the rod now  measures 20.11 cm on the same ruler. What is the coefficient of  linear expansion for the material of which the rod is made? 

18 

CALC  GO  A vertical glass tube of length L = 1.280 000 m  is  half filled with a  liquid at 20.000 000°C. How much will the  height of the liquid column change when the tube and liquid are  heated to  30.000 000°C?  Use  coefficients  glass  =  1.000 000  ×  10 −5 /K and liquid = 4.000 000 × 10 −5 /K. 

19  M 

GO  In  a  certain  experi-  M  Electric ment,  a  small  radioactive  Radioactive heater source source  must  move  at  selected,  extremely  slow  speeds.  This  Clamp motion is  accomplished  by  fas-  d tening the source  to  one end of  Figure  18.8  Problem 20.  an  aluminum  rod  and  heating  the central section of the rod in a controlled way. If the effective  heated section of the rod in Fig. 18.8 has length d = 2.00 cm, at  what constant rate must the temperature of the rod be changed  if the source is to move at a constant speed of 100 nm/s?  20 

H  SSM  As  a  result  of  a  temperature  rise  of  32  C°,  a  bar  with a crack at its center buckles upward (Fig. 18.9). The fixed 

21 

/

P ROBL EMS 

distance  L 0  is  3.77 m  and  the  coefficient of linear expansion of  the bar is  25 × 10 −6 /C°. Find the  rise x of the center.  Module 18.4 

at a constant rate. Figure 18.10 gives  the temperature T of the  sample versus time t; the horizontal scale is set by t s  = 80.0 min.  The sample freezes during the energy removal. The specific heat  of the sample in its initial liquid phase is 3000 J/kg · K. What are  (a)  the  sample’s heat of fusion and (b)  its  specific heat in  the  frozen phase? 

L0

x L0

Absorption of 

Heat 

Figure  18.9  Problem 21.  One  way  to  keep  the  contents  of  a  garage  from  becoming  too  cold  on  a  night  when  a  severe  subfreezing  temperature is  forecast is to put a tub of water in the garage. If  the mass of the water is 125 kg and its initial temperature is 20°C,  (a) how much energy must the water transfer to its surroundings  in order to freeze completely and (b) what is the lowest possible  temperature of the water and its surroundings until that happens? 

22 

E 

FCP 

E  SSM  A small  electric  immersion  heater is  used  to heat  100 g of water for a cup of instant coffee. The heater is labeled  “200  watts” (it  converts electrical  energy to thermal energy at  this  rate).  Calculate the  time required  to  bring  all  this  water  from 23.0°C to 100°C, ignoring any heat losses. 

23 

E  A  certain substance  has  a  mass  per  mole of  50.0 g/mol.  When  314 J  is  added as  heat to  a  30.0 g  sample, the sample’s  temperature rises  from 25.0°C to 45.0°C. What are the (a) spe-  cific heat and (b) molar specific heat of this substance? (c) How  many moles are in the sample? 

24 

CALC  The specific heat of a substance varies with temper-  ature according to the function c = 0.20 + 0.14T + 0.023T 2 , with  T in °C and c  in cal/g · K. Find the energy required to raise  the  temperature of 2.0 g of this substance from 5.0°C to 15°C. 

32  M 

Nonmetric version: (a)  How long does  a  2.0 × 10 5  Btu/h  water  heater take to  raise  the  temperature of 40  gal  of water  from 70°F to 100°F? Metric version: (b) How long does a 59 kW  water  heater  take to  raise  the temperature  of  150 L  of water  from 21°C to 38°C?  33 

M 

M  GO  Samples A  and  B  are  at  different initial tempera-  tures  when they are  placed in  a  thermally insulated container  and allowed to come to thermal equilibrium. Figure 18.11a gives  their temperatures T versus time t. Sample A has a mass of 5.0 kg;  sample B has a mass of 1.5 kg. Figure 18.11b is a general plot for  the material of sample B. It shows the temperature change ∆T  that the material undergoes when energy is  transferred  to it as  heat Q. The change ∆T is plotted versus the energy Q per unit  mass of the material, and the scale of the vertical axis is set  by  ∆T s  = 4.0 C°. What is the specific heat of sample A? 

34 

100

A

60

B

20

SSM  Calculate the minimum amount of energy, in joules,  required to completely melt 130 g of silver initially at 15.0°C. 

How much water remains unfrozen after 50.2 kJ is transferred  as heat from 260 g of liquid water initially at its freezing point?  M  In  a  solar  water  heater,  energy  from the  Sun is  gathered  by water that circulates  through tubes in a rooftop collector. The  solar  radiation  enters  the  collector  through  a  transparent  cover  and warms the water in the tubes; this water is pumped into a hold-  ing tank. Assume that the efficiency of the overall  system is 20%  (that  is,  80%  of the  incident  solar  energy  is  lost  from the  300 system).  What collector area  is necessary  to raise  the tem-  perature of 200 L of water in  270 the  tank  from 20°C  to 40°C  in 1.0 h when the intensity of  250 incident sunlight is 700 W/m 2 ? 

29 

)K( T

M  A  0.400 kg  sample is  placed in a cooling apparatus  that removes energy as heat 

0

ts t

Figure  18.10 

(min)

Problem 30. 

0 t

10 (min)

20

0 Q

(a)

27  E 

28  E 

ΔTs

)°C( TΔ

E  What mass  of butter, which has  a usable energy content  of  6.0 Cal/g  (= 6000 cal/g), would be  equivalent to the change  in gravitational potential energy of a 73.0 kg man who ascends  from sea level to the top of Mt. Everest, at elevation 8.84 km?  Assume that the average g for the ascent is 9.80 m/s 2 . 

26 

What mass  of steam at 100°C must be mixed with 150 g  of ice at its melting point, in a thermally insulated container, to  produce liquid water at 50°C?  31  M 

)C°( T

E  BIO  A certain diet doctor encourages  people to diet by  drinking ice  water. His  theory  is  that the  body must burn  off  enough fat to raise the temperature of the water from 0.00°C to  the body temperature of 37.0°C. How many liters  of ice  water  would have to be consumed to burn off 454 g (about 1 lb) of fat,  assuming that burning this much fat requires 3500 Cal be trans-  ferred  to the ice  water?  Why is  it  not advisable to follow this  diet? (One liter = 10 3  cm 3 . The density of water is 1.00 g/cm 3 .) 

25 

30 

571

8 /m (kJ/kg)

16

(b ) Figure  18.11 

Problem 34. 

An insulated  Thermos  contains  130 cm 3  of hot  coffee  at  80.0°C. You put in a 12.0 g ice cube at its melting point to cool the  coffee. By how many degrees has your coffee cooled once the ice has  melted and equilibrium is reached? Treat the coffee as though it were  pure water and neglect energy exchanges with the environment.  35 

M 

M  A  150 g  copper  bowl  contains  220 g  of  water,  both  at  20.0°C. A  very  hot 300 g  copper cylinder  is  dropped into the  water, causing the water to boil, with 5.00 g being converted to  steam. The  final temperature  of the  system  is  100°C. Neglect  energy transfers  with the environment. (a)  How  much energy  (in calories) is transferred to the water as heat? (b) How much to  the bowl? (c) What is the original temperature of the cylinder? 

36 

M  A person makes a quantity of iced tea by mixing 500 g of  hot tea (essentially water)  with an equal mass of ice at its melt-  ing point. Assume the mixture has negligible energy exchanges  with its environment. If the tea’s initial temperature is T i  = 90°C,  when  thermal  equilibrium  is  reached  what  are  (a)  the  mix-  ture’s  temperature T f  and (b) the remaining mass  m f  of ice? If 

37 

/

572

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

T i  = 70°C, when thermal equilibrium is reached  what are (c)  T f  and (d) m f ?  M  A  0.530 kg  sample  of liquid water  and  a  sample  of ice  are placed in a thermally insulated container. The container also  contains a  device that transfers  energy as  heat from the liquid  water to the ice at a constant rate P, until thermal equilibrium  is  reached. The temperatures T of the liquid water and the ice  are given in Fig. 18.12 as functions of time t; the horizontal scale  is set by t s  = 80.0 min. (a) What is rate P? (b) What is the initial  mass of the ice in the container? (c) When thermal equilibrium  is reached, what is the mass of the ice produced in this process? 

38 

V 0  to  4.0V 0  while  its  pressure  decreases  from p 0  to  p 0 /4.0.  If  V 0  = 1.0 m 3  and p 0  = 40 Pa, how much work is done by the gas if  its pressure changes with volume via (a) path A, (b) path B, and  (c) path C?  CALC  GO  A thermodynamic system is  taken from state  A to state B to state C, and then back to A, as shown in the p-V  diagram of Fig. 18.15a. The vertical scale is set by p s  = 40 Pa, and  the horizontal scale is  set by V s  = 4.0 m 3 . (a)–(g)  Complete the  table in Fig.  18.15b  by inserting a plus sign, a  minus sign, or  a  zero in each indicated cell. (h) What is the net work done by the  system as it moves once through the cycle ABCA? 

44  E 

40 C

20

ps

)aP( erusserP

)C° ( T

0

–20 0 t

Figure  18.12 

A

ts

(min)

Problem 38. 

(a )

Volume (m3)

GO  Calculate the specific heat of a metal from the follow-  ing data. A container made of the metal has a mass of 3.6 kg and  contains 14 kg of water. A 1.8 kg piece of the metal initially at a  temperature of 180°C is  dropped into the water. The container  and water initially have a temperature of 16.0°C, and the final  temperature of the entire (insulated) system is 18.0°C.  40  M 

The First 

Law of Thermodynamics 

In  Fig. 18.14, a  gas  sample  expands  from  43 

E 

CALC 

D

Figure  18.13 

Problem 42. 

A

C

B

4.0V0

V0

3

Volume (m ) Figure  18.14 

Problem 43. 

(a)

(b)

+

B

C

+

(c)

(d)

C

A

(e)

(f)

(g)

Problem 44. 

45 

40 C

30

B

20 10 A

0 V Suppose 200 J of work  3 Volume (m ) is  done  on  a  system  and  70.0 cal  is  extracted  from  Figure  18.16  Problem 45.  the  system  as  heat.  In  the  sense of the first law of ther-  modynamics, what are  the values (including algebraic signs) of  (a) W, (b) Q, and (c) ∆E int ?  s

46  E 

SSM  When  a  system  is  a f taken from state i to state f along  path  iaf  in  Fig. 18.17, Q = 50 cal  and  W = 20 cal.  Along  path  ibf,  Q = 36 cal. (a)  What  is  W  along  i b path ibf ? (b) If W = −13 cal for the  0 Volume return  path fi,  what is  Q for  this  path? (c)  If  E int,i  = 10 cal, what  is  Figure  18.17  Problem 47.  E int,f ? If E int,b = 22 cal, what is Q for  (d) path ib and (e) path bf ? 

47  M 

As  a  gas  is  held within a  closed chamber, it passes through the  cycle shown in Fig. 18.18. Determine  the energy transferred by the system  as heat during constant-pressure pro-  cess  CA if the energy added as  heat  Q AB  during constant-volume process  AB is 20.0 J, no energy is transferred  as heat during adiabatic process BC,  and  the  net  work  done  during  the  cycle is 15.0 J.  48 

p0

0

E  SSM  A  gas  CALC  within  a  closed  chamber  undergoes  the  cycle  shown  in  the  p-V  diagram  of  Fig.  18.16. The  horizontal  scale  is  set  by  V s  =  4.0  m 3 .  Cal-  culate the net energy added  to the system as heat during  one complete cycle. 

B

M 

B

GO 

erusserP

Module 18.5 

Cu

)aP( erusserP

H  GO  A 20.0 g copper ring  at  0.000°C  has  an  inner  diam-  eter of D = 2.54000 cm. An alu-  minum  sphere  at  100.0°C  has  a  diameter  of d = 2.545  08 cm.  The sphere is put on top of the  ring  (Fig.  18.13),  and  the  two  are allowed to come to thermal  equilibrium,  with  no  heat  lost  to  the  surroundings.  The  sphere just passes  through the  ring  at  the  equilibrium  tem-  perature. What is the mass  of  the sphere? 

42 

Figure  18.15 

(b)

ΔEint

erusserP

(a) Two 50 g ice cubes are dropped into 200 g of water  in a thermally insulated container. If the water is initially at 25°C,  and the ice comes directly from  d a freezer at −15°C, what is the  final  temperature  at  thermal  equilibrium?  (b)  What  is  the  final  temperature  if  only  one  Al ice cube is used?  SSM 

Vs

W

A

)2m/N( erusserP

GO  Ethyl alcohol has a boiling point of 78.0°C, a freez-  ing point of −114°C, a heat of vaporization of 879 kJ/kg, a heat  of  fusion  of  109 kJ/kg,  and  a  specific  heat  of  2.43 kJ/kg · K.  How  much  energy  must  be  removed  from  0.510 kg  of  ethyl  alcohol that is initially a gas at 78.0°C so that it becomes a solid  at −114°C? 

0

39  M 

41  H 

B

Q

A

0

C

Volume

Figure  18.18 

Problem 48.  /

573

P ROBL EMS 

M 

GO 

A  lab  sample  of  gas  is  taken through cycle  abca shown  in  the p-V diagram of Fig. 18.20. The  net work done is +1.2 J. Along path  ab, the change in the internal energy  is  +3.0 J  and  the magnitude of  the  work  done is  5.0 J.  Along path  ca,  the energy transferred to the gas as  heat is +2.5 J. How much energy is  transferred  as  heat  along  (a)  path  ab and (b) path bc?  50 

M 

GO 

Module 18.6 

additional energy must each bee produce during the 20  min to  maintain 47°C? 

p a

b

c

d V

Figure  18.19 

Problem 49. 

p

a

Figure  18.21 

b

c V

Figure  18.20 

Problem 50. 

Heat Transfer Mechanisms 

A sphere of radius 0.500 m, temperature 27.0°C, and emis-  sivity 0.850 is located in an environment of temperature 77.0°C.  At what rate does the sphere (a)  emit and (b)  absorb thermal  radiation? (c) What is the sphere’s net rate of energy exchange?  E  The ceiling of  a single-family dwelling in  a  cold climate  should  have  an  R-value  of  30.  To  give  such  insulation,  how  thick would a layer of (a) polyurethane foam and (b) silver have  to be? 

52 

SSM  Consider the slab shown in Fig. 18.6.1. Suppose that  L  = 25.0 cm, A = 90.0 cm 2 , and the material is  copper. If T H  =  125°C, T C  = 10.0°C, and a steady state is reached, find the con-  duction rate through the slab. 

53  E 

If you were to walk briefly in space without a  spacesuit  while far  from the Sun  (as  an  astronaut does  in the  movie  2001,  A  Space  Odyssey),  you  would  feel  the  cold  of  space—while  you  radiated  energy,  you  would  absorb  almost  none from your environment. (a)  At what rate would you lose  energy? (b)  How much energy would you lose in 30 s? Assume  that your emissivity is  0.90, and estimate other data needed in  the calculations.  E 

BIO 

FCP 

CALC  A cylindrical copper rod of length 1.2 m and cross-  sectional area  4.8 cm 2  is  insulated along its side. The  ends are  held at a temperature difference of 100 C° by having one end in  a water–ice mixture and the other in a mixture of boiling water  and steam. At what rate (a) is energy conducted by the rod and  (b) does the ice melt? 

55  E 

M  BIO  FCP  The  giant hornet Vespa  mandarinia japonica  preys on Japanese bees. However, if one of the hornets attempts  to invade a beehive, several hundred of the bees quickly form a  compact ball around the hornet to stop it. They don’t sting, bite,  crush, or suffocate it. Rather they overheat it by quickly raising  their body temperatures from the normal 35°C to 47°C or 48°C,  which  is  lethal to  the hornet but not to  the bees  (Fig.  18.21).  Assume the following: 500 bees form a ball of radius R = 2.0 cm  for a  time t = 20  min, the primary loss of energy by  the ball is  by thermal radiation, the ball’s surface has  emissivity  ε = 0.80,  and the ball has a uniform temperature. On average, how much 

56 

Problem 56. 

M  (a)  What is  the rate  of  energy loss  in  watts per  square  meter through a glass window 3.0 mm thick if the outside tem-  perature is  −20°F and the inside temperature is  +72°F? (b)  A  storm window having the same thickness of glass is installed par-  allel to the first window, with an air gap of 7.5 cm between the  two windows. What now is the rate of energy loss if conduction  is the only important energy-loss mechanism? 

57 

51  E 

54 

 ytisrevinU  awagamaT ,onO otasaM .rD ©

Figure  18.19 represents  a  closed  cycle  for a  gas  (the  figure  is  not drawn to scale).  The  change  in the internal energy  of the gas  as  it moves from a to c along the path  abc is −200 J. As it moves from c to  d, 180 J must be transferred  to it as  heat. An additional transfer of 80 J  to  it as  heat is  needed as  it  moves  from d to a. How much work is done  on the gas as it moves from c to d?  49 

A solid cylinder of radius r 1  = 2.5 cm, length h 1  = 5.0 cm,  emissivity 0.85, and temperature 30°C is  suspended in an envi-  ronment of  temperature  50°C.  (a)  What  is  the  cylinder’s  net  thermal radiation transfer rate P 1?   (b) If the cylinder is stretched  until its radius is r 2  = 0.50 cm, its net thermal radiation transfer  rate becomes P 2 . What is the ratio P 2 /P 1 ?  58  M 

M  In Fig. 18.22a, two identical  rectangular  rods  of  metal  are  welded end to end, with a tempera-  ture of T 1  = 0°C on the left side and  a temperature of T 2  = 100°C on the  right side.  In  2.0 min, 10 J  is  con-  ducted at a constant rate from the  right  side  to  the  left  side.  How  much  time  would  be  required  to  conduct  10 J  if  the  rods  were  welded side to side as in Fig. 18.22b? 

59 

Figure  18.23  shows  the cross  section  of  a  wall  made  of  three  layers.  The  layer  thick-  nesses  are  L 1 ,   L 2  = 0.700L 1,   and  L 3  = 0.350L 1 .  The  thermal  con-  ductivities  are  k 1 ,  k 2  = 0.900k 1 ,  and  k 3  = 0.800k 1 .  The  tempera-  tures at the left side and right side  of the wall  are  T H  = 30.0°C  and  T C  = −15.0°C, respectively. Ther-  mal conduction is steady. (a) What  is the temperature difference ∆T 2  across  layer  2  (between  the  left  and right sides of the layer)? If k 2  were, instead, equal to 1.1k 1 ,  (b)  would  the  rate  at  which  energy  is  conducted  through  the  wall  be greater  than, less  than, or  the  same as  previously, and (c)  what  would be the value of ∆T 2 ?  60 

M 

GO 

CALC  SSM  In Fig. 18.24, a  5.0  cm  slab  has  formed  on  an 

T2

T1

(a) T2

T1

(b ) Figure  18.22 

Problem 59. 

k1

k2

k3

TH

TC L1

L2

Figure  18.23 

L3

Problem 60. 

Air Ice Water

61  M 

Figure  18.24 

Problem 61.  /

574

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

outdoor tank of water. The air is at −10°C. Find the rate of ice  formation (centimeters  per hour). The ice has  thermal conduc-  tivity 0.0040 cal/s · cm ·  C° and density 0.92 g/cm 3 . Assume there is  no energy transfer through the walls or bottom.  M  FCP  Leidenfrost  effect. A  Water drop water drop will last about 1  s  on  h a  hot skillet  with  a  temperature  L Skillet between 100°C and about 200°C.  However,  if  the  skillet  is  much  Figure  18.25  Problem 62.  hotter, the  drop can  last  several  minutes, an effect named after an early investigator. The longer  lifetime is due to the support of a thin layer of air and water vapor  that separates  the  drop from  the metal (by  distance  L  in  Fig.  18.25). Let L = 0.100 mm, and assume  that the drop is  flat with  height  h = 1.50  mm and  bottom face  area  A = 4.00 × 10 −6  m 2 .  Also  assume  that  the  skillet  has  a  constant  temperature  T s  = 300°C and the drop has a temperature of 100°C. Water has  density   = 1000  kg/m 3 ,  and  the  supporting  layer  has  thermal  conductivity k = 0.026 W/m ·  K. (a)  At what rate is  energy con-  ducted from the skillet to the drop through the drop’s  bottom  surface? (b) If conduction is the primary way energy moves from  the skillet to the drop, how long will the drop last? 

62 

Figure 18.26 shows (in cross section) a wall consisting  of  four  layers,  with  thermal conductivities k 1  = 0.060 W/m ·  K,  k 3  = 0.040 W/m ·  K, and k 4  = 0.12 W/m ·  K (k 2 is not known). The  layer thicknesses are  L 1  = 1.5 cm, L 3  = 2.8 cm, and L 4  = 3.5 cm  (L 2  is  not  known).  The  known  temperatures  are  T 1  = 30°C,  T 12  = 25°C, and T 4  = −10°C. Energy transfer through the wall is  steady. What is interface temperature T 34 ?  63  M 

GO 

k1

k2

k3

T1 T 12

L1

T23

L2

Figure  18.26 

k4 T34

L3

T4

L4

Problem 63. 

FCP  Penguin  huddling.  To  withstand  the  harsh  M  BIO  weather of  the Antarctic, emperor penguins huddle in  groups  (Fig. 18.27). Assume that a  penguin is  a circular  cylinder with  a top surface area  a = 0.34 m 2  and height h = 1.1 m. Let P r  be  the rate at which an  individual penguin radiates energy to the 

64 

environment (through  the top and  the sides);  thus  NP r  is  the  rate at which N identical, well-separated penguins radiate. If the  penguins huddle closely to form a huddled cylinder with top sur-  face area Na and height h, the cylinder radiates at the rate P h . If  N = 1000, (a) what is the value of the fraction P h /NP r  and (b) by  what percentage does huddling reduce the total radiation loss?  Ice has formed on a shallow pond, and a steady state has  been reached, with the air above the ice at −5.0°C and the bot-  tom of the pond at 4.0°C. If the total depth of ice + water is 1.4 m,  how thick is the ice? (Assume that the thermal conductivities of  ice and water are 0.40 and 0.12 cal/m ·  C° ·  s, respectively.)  66  H  CALC  GO  FCP  Evaporative cooling of beverages. A cold  beverage can be kept cold even on a  warm day  if it is  slipped  into a porous ceramic container that has been soaked in water.  Assume that energy lost to evaporation matches the net energy  gained via the radiation exchange through the top and side sur-  faces. The container and beverage have temperature T = 15°C,  the environment has temperature Tenv    = 32°C, and the container  is a cylinder with radius r = 2.2 cm and height 10 cm. Approxi-  mate the emissivity as ε = 1, and neglect other energy exchanges.  At what rate dm/dt is the container losing water mass?  65  M 

Additional Problems 

In the extrusion of cold chocolate from a tube, work is done  on the chocolate by  the pressure  applied by a  ram forcing the  chocolate through the tube. The work per unit mass of extruded  chocolate is equal to p/, where p is the difference between the  applied pressure and the pressure where the chocolate emerges  from the tube, and  is the density of the chocolate. Rather than  increasing  the  temperature  of  the  chocolate,  this  work  melts  cocoa fats in the chocolate. These fats have a heat of fusion of  150 kJ/kg. Assume  that all  of the  work goes  into that melting  and that these fats make up 30% of the chocolate’s mass. What  percentage of the fats melt during the extrusion if p = 5.5 MPa  and  = 1200 kg/m 3 ?  68  Icebergs in the North Atlantic present hazards to shipping,  causing the lengths of shipping routes to be increased by about  30%  during the  iceberg  season. Attempts to  destroy  icebergs  include planting explosives, bombing, torpedoing, shelling, ram-  ming, and coating with black soot. Suppose that direct melting  of the iceberg, by placing heat sources  in the ice, is  tried. How  much energy as heat is required to melt 10% of an iceberg that  has a mass of 200 000 metric tons? (Use 1 metric ton = 1000 kg.)  67 

Figure 18.28 displays a  closed cycle  for a gas. The change in internal energy  along path ca is −160 J. The energy trans-  ferred  to  the  gas  as  heat  is  200 J  along  path  ab,  and  40 J  along  path  bc.  How  much work is  done by the gas along (a)  path abc and (b) path ab?  69 

p c

a

b V

Figure  18.28 

 otohpsoiB / totoretroT nialA ©

Figure  18.27 

Problem 64. 

In  a  certain  solar  house,  energy  Problem 69.  from  the  Sun  is  stored  in  barrels  filled  with water. In  a  particular  winter stretch  of  five cloudy  days,  1.00 × 10 6  kcal is needed to maintain the inside of the house at  22.0°C. Assuming that the water in the barrels is at 50.0°C and  that the water has a density of 1.00 × 10 3  kg/m 3 , what volume of  water is required?  70 

A  0.300 kg  sample  is  placed  in  a  cooling apparatus  that  removes  energy  as  heat  at  a  constant  rate  of  2.81 W.  Figure  18.29 gives the temperature T  of the sample versus  time t. The  71 

/

575

P ROBL EMS 

temperature scale is set by T s  = 30°C  and  the  time  scale  is  set  by  t s  = 20  min. What is the specific heat of the  sample? 

Ts

r

)C°( T

The  average  rate  at  which  energy  is  conducted  outward  through the ground surface in North  America  is  54.0 mW/m 2 ,  and  the  0 t average thermal conductivity of the  t (min) near-surface  rocks  is  2.50 W/m ·  K.  Assuming  a  surface  temperature of  Figure 18.29  Problem 71.  10.0°C,  find  the  temperature  at  a  depth of 35.0  km (near  the base  of the crust). Ignore  the heat  generated by the presence of radioactive elements.  72 

s

What is the volume increase of an aluminum cube 5.00 cm  on an edge when heated from 10.0°C to 60.0°C?  73 

In  a  series  of  experiments,  T block B is to be placed in a ther-  mally  insulated  container  with  block A, which has the same mass  as  block B. In  each  experiment,  block  B  is  initially  at  a  certain  temperature T B , but temperature  T A  of  block  A  is  changed  0 T 1 T 2 from  experiment to  experiment.  T (K) Let  T f  represent  the  final  tem-  perature  of the two blocks when  Figure  18.30  Problem 74.  they reach thermal equilibrium in  any of the experiments. Figure 18.30 gives temperature T f  versus  the initial temperature T A  for a range  of possible values  of T A ,  from T A1  = 0  K to T A2  = 500  K. The vertical axis scale is  set by  T fs  = 400 K. What are (a) temperature T B  and (b) the ratio c B /c A  of the specific heats of the blocks?  74 

through the sides of the icicle or  T down  through  the  tip  because  there  is  no  temperature  change  Energy transfer in  those  directions.  It  can  lose  energy and freeze only by sending  energy  up  (through  distance  L)  L to the top of the icicle, where the  temperature T r  can be below 0°C.  Liquid coating Take L = 0.12 m  and T r  = −5°C.  (0°C) Assume  that  the  central  tube  Liquid water and the upward conduction path  (0°C) both  have  cross-sectional  area  A. In terms of A, what rate is  (a)  Figure  18.32  Problem 78.  energy  conducted  upward  and  (b)  mass  converted from liquid to ice  at the top of the central  tube? (c) At what rate does the top of the tube move downward  because of water freezing there? The thermal conductivity of ice  is 0.400 W/m ·  K, and the density of liquid water is 1000 kg/m 3 . 

fs

)K( T

f

A

A

A

CALC  SSM  A sample of gas  expands from an  initial pres-  sure and volume of 10 Pa and 1.0 m 3  to a final volume of 2.0 m 3 .  During the expansion, the pressure  and volume are  related by  the equation p = aV 2 , where a = 10 N/m 8 . Determine the work  done by the gas during this expansion. 

79 

Figure 18.33a  shows  a  cylinder containing gas  and  closed  by a movable piston. The cylinder is kept submerged in an ice–  water mixture. The piston is quickly pushed down from position  1 to position 2 and then held at position 2 until the gas is again at  the temperature of the ice–water mixture; it then is slowly raised  back to position 1. Figure 18.33b is a  p-V diagram for the pro-  cess. If 100 g  of ice is melted during the cycle, how much work  has been done on the gas?  80 

Figure  18.31  displays  a  p closed cycle  for a gas. From c to  c b,  40 J  is  transferred  from  the  gas  as heat. From b to a, 130 J  is  transferred  from the gas  as heat,  and  the  magnitude of  the  work  a b done by the gas is 80 J. From a to  c,  400 J  is  transferred  to the  gas  V as heat. What is the work done by  Figure  18.31  Problem 75.  the  gas  from a  to  c?  (Hint: You  need to supply the plus and minus signs for the given data.)  75 

2

SSM  The temperature of a 0.700 kg cube of ice is decreased  to −150°C. Then energy is gradually transferred  to the cube as  heat  while it is  otherwise  thermally isolated from its  environ-  ment. The total transfer is 0.6993 MJ. Assume the value of c ice  given in Table 18.4.1 is  valid for temperatures from −150°C to  0°C. What is the final temperature of the water?  CALC  GO  FCP  Icicles. Liquid water coats an active (grow-  ing) icicle and extends up a short, narrow tube along the central  axis  (Fig. 18.32). Because the water–ice  interface must have a  temperature of  0°C, the water  in the  tube cannot lose  energy 

78 

Start

Ice and water V2

Volume

V1

(b )

(a ) Figure  18.33 

76 

77 

erusserP

Three equal-length straight rods, of aluminum, Invar, and  steel, all at 20.0°C, form an equilateral triangle with hinge pins  at the vertices. At what temperature will the angle opposite the  Invar rod be 59.95°? See Appendix E for needed trigonometric  formulas and Table 18.3.1 for needed data. 

1

Problem 80. 

p SSM  A  sample  of  gas  undergoes a transition from an  initial state  a to  a  final state  b  3p /2 by  three  different paths  (pro-  2 a cesses),  as  shown  in  the  p-V  1 p b diagram  in  Fig.  18.34,  where  3 V b  = 5.00V i .  The  energy  trans-  p /2 ferred  to  the  gas  as  heat  in  process  1 is  10p i V i . In  terms of  V V V p i V i ,  what  are  (a)  the  energy  transferred to the gas as heat in  Figure  18.34  Problem 81.  process 2 and (b) the change in  internal energy that the gas undergoes in process 3? 

81 

i

i

i

i

b

/

576

C HAP T ER 18  T EMP ERAT U RE,  HEAT ,  AND   T HE  F IRST  L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

A copper rod, an aluminum rod, and a brass  rod, each of  6.00 m length and 1.00 cm diameter, are placed end to end with  the aluminum rod between the other two. The free  end  of the  copper rod is maintained at water’s boiling point,  and the free  end of the brass rod is maintained at water’s freezing point. What  is  the  steady-state  temperature  of  (a)  the  copper–aluminum  junction and (b) the aluminum–brass junction?  82 

SSM  The  temperature  of  a  Pyrex  disk  is  changed  from  10.0°C to 60.0°C. Its initial radius is 8.00 cm; its initial thickness  is 0.500 cm. Take these data as being exact. What is the change  in the volume of the disk? (See Table 18.3.1.) 

83 

BIO  (a) Calculate the rate at which body heat is conducted  through the clothing of a  skier in  a steady-state process, given  that the body surface  area is  1.8 m 2 , and the clothing is  1.0 cm  thick; the skin surface temperature is 33°C and the outer surface  of the clothing is at 1.0°C; the thermal conductivity of the cloth-  ing is 0.040 W/m ·  K. (b) If, after a fall, the skier’s clothes became  soaked with water of thermal conductivity 0.60 W/m ·  K, by how  much is the rate of conduction multiplied? 

84 

SSM  A 2.50 kg lump of aluminum is  heated to 92.0°C and  then dropped into 8.00 kg of water at 5.00°C. Assuming that the  lump–water system  is  thermally isolated, what is  the system’s  equilibrium temperature? 

85 

A glass window pane is exactly 20 cm by 30 cm at 10°C. By  how much has its area increased when its temperature is  40°C,  assuming that it can expand freely?  86 

BIO  A recruit  can join the semi-secret  “300 F”  club at the  Amundsen–Scott South Pole Station only when the outside tem-  perature is  below −70°C. On such a day, the recruit first basks  in a hot sauna and then runs outside wearing only shoes. (This  is, of  course, extremely dangerous, but the rite  is  effectively a  protest against the constant danger of the cold.)  Assume that upon stepping out of the sauna, the recruit’s  skin temperature is 102°F and the walls, ceiling, and floor of  the  sauna  room  have  a  temperature  of  30°C.  Estimate  the  recruit’s  surface area, and take the skin emissivity to be 0.80.  (a) What is the approximate net rate P net  at which the recruit  loses energy via thermal radiation exchanges with the room?  Next, assume  that when outdoors,  half the  recruit’s  surface  area  exchanges thermal radiation with the sky at a tempera-  ture of −25°C and the other half exchanges thermal radiation  with the snow and ground at a temperature of −80°C. What is  the approximate net rate at which the recruit loses energy via  thermal radiation exchanges with (b) the sky and (c) the snow  and ground? 

87 

A steel rod at 25.0°C is bolted at both ends and then cooled.  At what temperature will it rupture? Use Table 12.3.1.  88 

BIO  An athlete needs to lose weight and decides to do it by  “pumping iron.” (a)  How many times must an  80.0 kg weight  be lifted a distance of 1.00 m in order to burn off 1.00 lb of fat,  assuming that that much fat is equivalent to 3500 Cal? (b) If the  weight is lifted once every 2.00 s, how long does the task take? 

89 

Soon after Earth  was  formed, heat released  by the decay  of  radioactive  elements  raised  the  average  internal  tempera-  ture from 300 to 3000 K, at about which value it remains today.  Assuming  an  average  coefficient  of  volume  expansion  of  3.0 × 10 −5  K −1 , by how much has  the radius of Earth increased  since the planet was formed?  90 

It is possible to melt ice by rubbing one block of it against  another. How much work, in joules, would you have to do to get  1.00 g of ice to melt?  91 

A  rectangular  plate  of  glass  initially  has  the  dimensions  0.200 m by 0.300 m. The coefficient of linear expansion for the  glass is 9.00 × 10 −6 /K. What is the change in the plate’s area if its  temperature is increased by 20.0 K?  −3  93  Suppose that you intercept 5.0 × 10  of the energy radiated  by a  hot sphere  that has  a  radius  of 0.020 m, an emissivity  of  0.80, and a surface temperature of 500 K. How much energy do  you intercept in 2.0 min?  94  A  thermometer  of  mass  0.0550 kg  and  of  specific  heat  0.837  kJ/kg ·  K reads  15.0°C. It  is then completely immersed in  0.300 kg of water, and it comes to the same final temperature as  the water. If the thermometer then reads 44.4°C, what was  the  temperature of the water before insertion of the thermometer?  95  A sample of gas expands from  p V 1  = 1.0 m 3  and  p 1  = 40 Pa  to  A V 2  = 4.0 m 3  and  p 2  = 10 Pa  along  p 1 path  B  in  the  p-V  diagram  in  Fig.  18.35.  It  is  then  compressed  B back to  V 1  along  either path A  or  path C. Compute the net work done  C by  the  gas  for  the complete  cycle  p2 along (a) path BA and (b) path BC.  92 

V

V1 V2 Figure 18.36 shows a compos-  0 Figure  18.35  Problem 95.  ite bar  of length L  = L 1  + L 2  and  consisting of  two materials.  L1 L2 One  material  has  length  L 1  and coefficient of  linear  expansion  1 ;  the other has  L length  L 2  and  coefficient  Figure  18.36  Problem 96.  of  linear  expansion  2 .  (a)  What  is  the  coefficient  of  linear expansion  for the composite bar? For a particular com-  posite bar, L is 52.4 cm, material 1 is steel, and material 2 is brass.  If  = 1.3 × 10 −5 /C°, what are the lengths (b) L 1  and (c) L 2?    97  On finding your stove out of order, you decide to boil the  water for a cup of tea by shaking it in a Thermos flask. Suppose  that you use tap water at 19°C, the water falls 32 cm each shake,  and you  make 27  shakes  each  minute. Neglecting  any  loss  of  thermal energy by  the  flask, how  long (in  minutes) must  you  shake the flask until the water reaches 100°C?  98  The  p-V  diagram  in  Fig.  18.37  p shows two paths along which a  sam-  ple of gas  can  be taken from state a  p 2 to state b, where  V b  = 3.0V 1 . Path 1  2 requires that energy equal to 5.0p 1 V 1  be  transferred  to  the  gas  as  heat.  p 1 a b 1 Path 2  requires  that energy  equal to  5.5p 1 V 1  be  transferred  to  the  gas  as  V heat. What is the ratio p 2 /p 1 ?  V1 V 99  Density  change.  The  density  ρ Figure  18.37  Problem 98.  of something is  the ratio  of its  mass  m  to its  volume V.  If  the  volume is  temperature  dependent, so  is  the  density.  Show  that a  small  change in density ∆ρ with a small increase ∆T in temperature is  approximately given by  Δ ρ = −βρ ΔT, 

96 

b

/

P ROBL EMS 

where  β is  the  coefficient  of  volume  expansion.  Explain  the  minus sign. 

altering the rate at which it produces energy. If it becomes cov-  ered with snow, it can increase that production so that its ther-  mal radiation melts the snow to re-expose the plant to sunlight.  Let’s model a skunk cabbage with a cylinder of height h = 5.0 cm  and radius R  = 1.5 cm and assume it is  surrounded  by a snow  wall at temperature T env = −3.0°C (Fig. 18.39). If the emissivity ε is 0.80, what is the net rate of energy exchange via thermal radia-  tion between the plant’s curved side and the snow? 

Two rods. (a)  Show that if the lengths of two rods of dif-  ferent solids are inversely proportional to their respective  coef-  ficients of linear expansion at the same initial temperature, the  difference in  length between them will be constant at  all tem-  peratures.  What should be  the lengths of  (b)  a steel  and (c)  a  brass rod at 0.00°C so that at all temperatures their difference in  length is 0.30 m?  100 

Rail expansions. Steel railroad rails are laid when the tem-  perature is 0° C. What gap should be left between rail  sections  so that they just touch when the temperature rises to 42° C? The  sections are 12.0 m long and the coefficient of linear expansion  for steel is 11 × 10 −6 / C° .   105 

101 

BIO  Candy bar  energy. A  candy bar  has  a  marked nutri-  tional value of 350 Cal. How many kilowatt-hours of energy will  it deliver to the body as it is digested? 

103 

Skunk cabbage. Unlike most other plants, a skunk cab-  bage can regulate its internal temperature (set at T = 22°C) by  104  BIO 

 segamI ytteG/fidraT nnaD/AWL

Heating ice. A 15.0 kg sample of ice is  initially at a  tem-  perature  of  −20° C.  Then  7.0  ×  10 6  J  is  added  as  heat to  the  sample, which is  otherwise isolated. What then is  the sample’s  temperature?  102 

Martian thermal expansion. Near the equator on Mars, the  temperature can range from −73° C at night to 20° C during the  day. If  a  hut is  constructed with steel beams of length 4.40 m,  what would be the change in  beam length from night to  day?  The coefficient of linear expansion for steel is 11 × 10 −6 / C° .   106 

Suspended ball. A ball of radius 2.00 cm, temperature 280  K, and emissivity 0.800 is suspended in an environment of tem-  perature 300 K. What is the net rate of energy transfer via radia-  tion between the ball and the environment?  107 

BIO  Thermal  emission  from  forehead.  Noncontact  thermom-  eters  (Fig.  18.40)  are  used  to  quickly  measure  the  temperature  of  a  person, to  monitor for  fever  from  an  infection.  They  measure  the power of the radiation from a  surface,  usually  the  forehead,  in  the  infrared  range,  which  is  just  outside the visible light range. Skin  has an emissivity  ε = 0.97. What is  the total power (infrared  and vis-  ible) of the radiation per unit area  when the temperature is (a) 97.0°F  (a common early morning temper-  ature), (b)  99.0°F (a  common late  afternoon  temperature),  and  (c)  103°F  (a  temperature  indicating  infection)? 

108 

 moc.kcotsrettuhS/ngiseD_PzG

Ice  skating.  A  long-  standing  explanation  of  ice  skating (Fig. 18.38)  is  that the  ice  is  slippery  beneath  the  skate  because  the  weight  of  the  skater  creates  sufficient  stress  (pressure)  beneath  the  skate  to  melt  the  ice,  thus  lubricating  the  skate–ice  con-  tact area.  At temperature T  =  −1° C, the pressure required to  melt ice  is  1.4  ×  10 7  N/m 2 . At  that  temperature,  if  a  skater  with weight F g  = 800  N stands  evenly  on  both  skates,  with  Figure  18.38  Problem 101.  each contact area A = 14.3 mm 2 ,  what  is  the  stress  σ beneath  each skate? (The result appears to support the pressure-melting  explanation of ice  skating, but the catch is  that this  is  a  static  calculation whereas ice skating involves moving skates, perhaps  rapidly. More promising explanations involve friction melting of  the ice by a skate, with the skate not contacting the ice but being  supported by meltwater beneath it.) 

577

Figure  18.40 

Problem 108. 

Composite slab  conduction. A  composite  slab  with  face  area  A =  26 ft 2  consists  of 2.0 in. of  rock wool and 0.75 in. of  white pine. The thermal resistances  for a 1.0 in. slab are  109 

R rw  = 3.3 ft 2 ⋅ ° F  ⋅ h/Btu,  R

The  temperature  difference  between  the  slab  faces  is  65  F°.  What is the rate of heat transfer through the slab? 

h

Figure  18.39 

R wp  = 1.3 ft 2 ⋅ ° F  ⋅ h/Btu. 

Problem 104. 

/

C

H

A

P

T

E

R

1

9

The Kinetic Theory of Gases  19.1  AVOGADRO’S NUMBER  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.1.1  Identify Avogadro’s number 

N A.   

m of  M of the molecules in the  sample, the number of moles n  in the sample, and  Avogadro’s number  N A.   

19.1.3  Apply the relationships between  the mass 

19.1.2  Apply the relationship between  the number 

n

of moles  , the number  of molecules 

N A.   

a sample,  the molar mass 

N, and 

Avogadro’s number 

Key Ideas  ●

The kinetic theory of gases relates the macroscopic 

●

properties of gases (for example, pressure and temper- 

m of the individual 

A mole is related to the mass 

molecules of the substance by 

ature) to the microscopic properties of gas molecules 

M = mN A . 

(for example, speed and kinetic energy).  ●

N A  (Avogadro’s 

One  mole of a substance contains 

number)  elementary units (usually  atoms or molecules),  where 

N A  is found  experimentally to be 

N A  = 6.02 × 10 23  mol −1 

n  contained in  a s ample of  M sam , cons is ting of  N molecules ,  is related to  the molar mas s  M  of the molecules  and to Av oga-  dro’s  number  N A  as giv en  by   ●

(Avogadro’s number). 

The number of  moles  

mas s  

M sam  _____  M  N  = _____  n =  ___  =  sam .  N A  M  mN A 

M  of any substance is the mass of 

One  molar mass 

one mole of the substance. 

What Is Physics? 

One of the main subjects in thermodynamics is the physics of gases. A gas con-  sists of atoms (either individually or bound  together as molecules) that fill their  container’s volume and  exert pressure on the  container’s walls. We can usually  assign a temperature to  such  a contained gas. These three variables associated  with  a gas—volume, pressure, and  temperature—are all  a consequence  of  the  motion  of  the atoms. The volume is a result  of the  freedom the atoms  have to  spread throughout  the container, the pressure is a result of the collisions  of  the  atoms with the container’s walls, and the temperature has to do with the kinetic  energy of the atoms. The kinetic theory of gases, the focus of this chapter, relates  the motion of the atoms to the volume, pressure, and temperature of the gas.  Applications of  the kinetic theory of  gases are countless. Automobile  engi-  neers are concerned with  the combustion  of  vaporized fuel (a gas) in  the auto-  mobile  engines. Food  engineers are concerned  with  the production  rate of the  fermentation gas that  causes bread  to  rise as it  bakes.  Beverage engineers are  concerned with  how gas can produce the head in a glass of beer or shoot  a cork  from  a  champagne bottle.  Medical engineers and  physiologists  are  concerned  with  calculating how  long  a scuba diver  must pause  during  ascent to  eliminate  nitrogen gas from the bloodstream (to avoid the bends). Environmental scientists  are concerned with how heat exchanges between the oceans and the atmosphere  can affect weather conditions.  The first step in our discussion of the kinetic theory of gases deals with measur-  ing the amount of a gas present in a sample, for which we use Avogadro’s number. 

C

578

H

A

P

T

E

R

1

9

/

19.2  ID EAL   GASES 

579

Avogadro’s Number 

When  our  thinking  is  slanted toward  atoms  and  molecules, it  makes sense  to  measure the  sizes of our  samples in  moles. If we do  so,  we can be certain that  we are comparing samples that contain the same number of atoms or molecules.  The mole is one of the seven SI base units and is defined as follows:  One mole is the number of atoms in a 12 g sample of carbon-12. 

The obvious  question  now  is: “How many atoms or molecules are there in a  mole?” The answer is determined experimentally and, as you saw in Chapter 18, is  N A  = 6.02 × 10 23  mol −1 

(Avogadro’s number), 

(19.1.1) 

−1 

where mol  represents the inverse mole or  “per mole,” and  mol  is the  abbre-  viation  for  mole.  The  number  N A  is  called  Avogadro’s  number  after  Italian  scientist Amedeo Avogadro (1776 –1856), who suggested that all gases occupying  the same volume under the same conditions of temperature and pressure contain  the same number of atoms or molecules.  The number of moles n contained in a sample of any substance is equal to the ratio  of the number of molecules N in the sample to the number of molecules N A in 1 mol:    N .  n = ___  N A 

(19.1.2) 

(Caution:  The  three symbols  in  this  equation  can  easily be  confused  with  one  another, so  you  should  sort  them with  their  meanings now,  before  you  end  in  “N-confusion.”) We can find  the number of  moles n  in a sample from the mass  M sam  of  the  sample  and  either  the  molar  mass  M  (the  mass  of  1 mol)  or  the  molecular mass m (the mass of one molecule):  M sam  M  sam  n =  _____  =  _____  .  M  mN A 

(19.1.3) 

In  Eq.  19.1.3, we used  the  fact that  the mass M  of  1 mol  is  the product  of  the  mass m of one molecule and the number of molecules N A  in 1 mol:  M = mN A.   

(19.1.4) 

Checkpoint 19.1.1 

If hydrogen H is collected from space (where it is monatomic) and forced into a con-  tainer (where  it forms H 2  molecules), is the number of moles multiplied by 2, divided  by 2, or unchanged? 

19.2  IDEAL GASES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.2.1  Identify why an ideal  gas is said to be ideal.  19.2.2  Apply either  of the two forms of the ideal  gas  law, written  in terms of the number  of moles 

N. 

n  or the 

number of molecules 

R  and the 

Boltzmann constant  .  19.2.4  Identify that the temperature in the ideal gas law  must be in kelvins. 

expans ion  of a gas  and  a cons tant-temperature  contraction.  19.2.6  Identify the term isotherm. 

19.2.3  Relate the ideal  gas constant 

k

p-V  diagrams for a constant-temperature 

19.2.5  Sketch 

19.2.7  Calculate  the work done  by  a gas , including  the algebraic  s ign, for an expans ion  and a co n-  traction along an  is otherm.  19.2.8  For an isothermal process, identify  that the  change  in internal  energy 

∆E  is zero and that the 

/

580

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

energy 

Q transferred as heat is equal  to the work W 

p-V  diagram, sketch a constant-pressure 

19.2.10  On  a 

done.  19.2.9  On a 

process and determine the work done in terms of 

p-V diagram,  sketch a constant-volume 

area on the  diagram. 

process and identify  the amount of work done in  terms of area on the diagram. 

Key Ideas  ●

p V, and temperature T are related by 

k is 

An ideal gas is one for which  the pressure  , 

volume 

pV = nRT 

where  the Boltzmann constant 

R  = 1.38 × 10 −23  J / K.  k = ___  N A 

(ideal gas law). 

n  is the number of moles of the gas present and  R is a constant (8.31 J/mol · K) called the gas constant.  Here 

●

The ideal gas law can  also be written  as 

●

The work done  by an ideal gas during  an isothermal 

(constant-temperature) change  from volume  volume 

V f  is 

V f  W = nRT  ln __  V i 

pV = NkT, 

V i  to 

(ideal gas, isothermal process). 

Ideal Gases 

Our goal in  this chapter is to explain the macroscopic properties of a gas—such  as its  pressure and  its  temperature—in terms of  the  behavior of  the  molecules  that make it up. However, there is an immediate problem: which  gas? Should  it  be  hydrogen, oxygen, or methane, or  perhaps uranium  hexafluoride? They  are  all  different. Experimenters have found,  though,  that  if  we confine 1 mol sam-  ples of various gases in boxes of identical volume and hold  the gases at the same  temperature, then  their measured pressures are almost  the same, and  at lower  densities the differences tend to disappear. Further experiments show that, at low  enough densities, all real gases tend to obey the relation  pV = nRT 

(ideal gas law), 

(19.2.1) 

in which  p is the absolute (not gauge) pressure, n is the number of moles of  gas  present, and  T is the temperature in  kelvins. The  symbol R is a constant called  the gas constant that has the same value for all gases—namely,  R = 8.31 J/mol · K. 

(19.2.2) 

Equation  19.2.1 is called the ideal  gas law. Provided  the gas density is  low, this  law holds for any single gas or for any mixture of different gases. (For a mixture,  n is the total number of moles in the mixture.)  We can rewrite Eq. 19.2.1 in an alternative form, in terms of a constant called  the Boltzmann constant k, which is defined as  R    8.31 J/mol ⋅ K  k = _ = ___________  = 1.38 × 10 −23  J/K.  N A  6.02 × 10 23 mol –1 

(19.2.3) 

This allows us to write R = kN A . Then, with Eq. 19.1.2 (n = N/N A), we see that    nR = Nk. 

(19.2.4) 

Substituting  this into  Eq. 19.2.1 g ives a second expression for the ideal gas law:  pV = NkT 

(ideal gas law). 

(19.2.5) 

(Caution: Note the difference between the two expressions for the ideal gas law—  Eq. 19.2.1 involves the number of moles n, and Eq. 19.2.5 involves the number of  molecules N.)  You may well ask, “What is an  ideal gas, and what is so ‘ideal’  about it?” The  answer lies in the simplicity of the law (Eqs. 19.2.1 and 19.2.5) that governs its macro-  scopic properties. Using this law—as you will see—we can deduce many properties 

/

581

19.2  ID EAL   GASES 

Suppose  we  put  an  ideal  gas  in  a  piston–cylinder  arrangement like  those  in  Chapter 18. Suppose also that we allow the gas to expand from an initial volume  V i  to  a  final  volume V f  while  we  keep  the  temperature T  of  the  gas constant.  Such  a process, at constant  temperature, is called an  isothermal expansion (and  the reverse is called an isothermal compression).  On a p-V diagram, an isotherm is a curve that connects points that have the same  temperature. Thus, it is a graph of pressure versus volume for a gas whose tempera-  ture T is held constant. For n moles of an ideal gas, it is a graph of the equation  1  = (a constant) __  1 .  p = nRT  __  (19.2.6)  V  V  Figure 19.2.2 shows three isotherms, each corresponding to a different (constant)  value of T. (Note that the values of  T for  the isotherms increase upward to  the  right.) Superimposed on the middle isotherm is the path followed by a gas during  an isothermal expansion from state i to state f at a constant temperature of 310 K.  To find  the work  done  by an  ideal gas during  an isothermal expansion, we  start with Eq. 18.5.2,  W =  

V i 

p dV. 

V f 

V i 

V f 

dV  = nRT  ln V  .  _____  V  [  ] 

(19.2.9) 

V i 

By evaluating the  expression in  brackets at the  limits  and  then  using  the rela-  tionship  ln a − ln b = ln(a/b), we find that  V f  W = nRT  ln __  V i 

The expansion is along an isotherm (the gas has constant temperature). p

i

(19.2.7) 

This  is a general expression for the work  done  during  any change in volume of  any gas. For  an ideal gas, we can use Eq. 19.2.1 ( pV = nRT ) to substitute  for p,  obtaining  V f  nRT dV.  W =  _____  (19.2.8)  V  V i  Because we are considering  an  isothermal expansion, T  is constant,  so  we can  move it in front of the integral sign to write  W = nRT 

(a) Before and (b) after  images of a large steel tank crushed  by atmospheric pressure after inter-  nal steam cooled and condensed.  Figure  19.2.1 

Work Done  by an Ideal Gas at Constant Temperature 

V f 

 moc.emilsrotcod.www fo ysetruoC

of the ideal gas in a simple way. Although there is no such thing in nature as a  truly ideal gas, all real gases approach the ideal state at low enough densities—  that is, under conditions in which their molecules are far enough apart that they  do not interact with one another. Thus, the ideal gas concept allows us to gain  useful insights into the limiting behavior of real gases.  Figure 19.2.1 g ives a dramatic example of the ideal gas law. A stainless-  steel tank with a volume of 18 m 3 was filled with steam at a temperature of  110°C through  a valve at one  end. The  steam supply  was then  turned  off  and  the  valve closed,  so  that the  steam was trapped inside  the tank  (Fig.  19.2.1a). Water from a fire hose was then poured  onto  the tank to  rapidly  cool it. Within  less than a minute, the enormously sturdy tank was crushed  (a ) (Fig. 19.2.1b), as if some giant invisible creature from a grade B science fic-  tion movie had stepped on it during a rampage.  Actually, it was the atmosphere that crushed the tank. As the tank was  cooled  by the  water stream, the  steam cooled  and  much of  it  condensed,  which  means that  the number N of  gas molecules and  the  temperature T  of the gas inside the tank both  decreased. Thus, the right side of Eq. 19.2.5  decreased, and because volume V was constant, the gas pressure p on  the  left side also decreased. The gas pressure decreased so much that the exter-  nal  atmospheric  pressure was  able  to  crush  the  tank’s  steel  wall.  Figure  19.2.1 was staged, but this  type of  crushing sometimes occurs in industrial  FCP  (b ) accidents (photos and videos can be found  on the Web). 

(ideal gas, isothermal process). 

(19.2.10) 

T

= 320 K

T

= 310 K

T

= 300 K

f

V

Three isotherms on a  p-V diagram. The path shown along  the middle isotherm represents an  isothermal expansion of a gas from  an initial state i to a final state f.  The path from f to i along the iso-  therm would represent the reverse  process—that is, an isothermal  compression.  Figure  19.2.2 

/

582

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Recall that the symbol ln specifies a natural logarithm, which has base e.  For an expansion, V f  is greater than V i , so the ratio V  f /V  i  in Eq. 19.2.10 is greater  than unity. The natural logarithm of a quantity greater than unity is positive, and  so the work  W done  by an ideal gas during  an isothermal expansion is positive,  as we  expect. For  a compression,  V f  is  less  than  V i ,  so  the  ratio  of  volumes in  Eq. 19.2.10 is less than unity. The natural logarithm in that equation—hence the  work W—is negative, again as we expect.  Work Done at  Constant Volume and at Constant Pressure 

Equation  19.2.14 does  not  give the  work  W  done  by  an ideal  gas during  every  thermodynamic process. Instead, it  gives the  work  only  for  a process in  which  the  temperature is held  constant.  If the temperature varies, then  the symbol  T  in Eq. 19.2.8 c annot be moved in front of the integral symbol as in Eq. 19.2.9, a nd  thus we do not end up with Eq. 19.2.10.  However, we can always go back to  Eq. 19.2.7 to find  the work  W done  by  an  ideal  gas (or  any  other  gas) during  any  process, such  as a constant-volume  process and a constant-pressure process. If the volume of the gas is constant, then  Eq. 19.2.7 y ields  W = 0 

(19.2.11) 

(constant-volume process). 

If, instead, the volume changes while the pressure p of the gas is held  constant,  then Eq. 19.2.7 becomes  W = p(V f − V i ) = p ∆V 

(constant-pressure p rocess). 

(19.2.12) 

Checkpoint 19.2.1 

An ideal gas has an initial pressure of 3 pressure  units and  an initial volume of 4 volume units. The table gives the  final pressure  and volume of the gas (in those same units)  in five processes. Which processes start and end on the  same isotherm? 

Sample Problem 19.2.1

KEY IDEA Because the gas is  ideal, we can use  the  ideal gas law  to  relate its  parameters, both  in  the  initial  state i and  in  the  final state f. 

Note here that if we converted the given initial  and final  volumes from  liters to  the  proper  units  of  cubic  meters,  the  multiplying  conversion  factors  would  cancel  out  of  Eq. 19.2.13. The same would  be true for conversion fac-  tors that  convert the  pressures from  atmospheres to  the  proper  pascals. However, to  convert the  given tempera-  tures to  kelvins requires the  addition  of  an amount  that  would  not  cancel and thus  must be included.  Hence, we  must write  T i = (273 + 20) K = 293 K 

From Eq. 19.2.1 we can write 

p i V i  = nRT i 

and 

a  b  c  d  e  12  6  5  4  1  1  2  7  3  12 

Ideal gas  and changes  of temperature,  volume, and pressure 

A cylinder contains 12 L of  oxygen at 20°C  and  15 atm.  The  temperature  is  raised  to  35°C,  and  the  volume  is  reduced to 8.5 L. What is the final pressure of  the gas in  atmospheres? A ssume that the gas is ideal. 

Calculations:

p  V 

p f V f = nRT f . 

and 

Dividing the second equation by the first equation and solv-  ing for p f yields  p i T f V i  p f = _____ .  T i V f 

(19.2.13) 

T f = (273 + 35) K = 308 K. 

Inserting the given data into Eq. 19.2.13 then yields  (15 atm )(308 K )(12 L )  p f  =  __________________  = 22 atm.  (Answer)  (293 K )(8.5 L ) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

583

19.3  P RESSU RE,  T EMP ERAT U RE,  AND   RMS SP EED  

Sample Problem 19.2.2

Work  by an ideal  gas 

One mole of oxygen (assume it to be an ideal gas) expands  at a constant temperature T of 310 K from an initial vol-  ume V i  of  12 L to  a final  volume V f  of  19 L. How much  work is done by the gas during the expansion? 

KEY IDEA

You  can show that if the expansion is now reversed,  with the gas undergoing an isothermal compression from  19  L to  12  L, the  work  done  by the  gas will  be  −1180 J.  Thus, an external force would  have to do 1180 J of work  on the gas to compress it. 

Generally we find  the work  by integrating the gas pres-  sure  with  respect  to  the  gas  volume,  using  Eq.  19.2.7.  However, because the gas here is ideal and the expansion  is isothermal, that integration leads to Eq. 19.2.10. 

i

2.0

Calculation:

= 1180 J. 

(Answer) 

The  expansion  is  graphed  in  the  p-V  diagram  of  Fig.  19.2.3. The work done by the gas during  the expansion is  represented by the area beneath the curve if. 

The  shaded area rep-  resents the work  done by 1 mol of  oxygen in expand-  ing from V i  to V f  at a temperature  T of 310 K.  Figure  19.2.3 

)mta( erusserP

Therefore, we can write  V f  W = nRT  ln   __  V i  19 L  = (1 mol )(8.31 J / m ol ⋅ K )(310 K )  ln _____  12 L 

3.0

f T

= 310 K

1.0 W

Vi

0

Vf

10 20 Volume (L)

30

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

19.3  PRESSURE, TEMPERATURE, AND RMS SPEED  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.3.1  Identify that the pressure on the interior walls  of 

root-mean-square speed 

a gas container is due  to the molecular  collisions with  the walls. 

speed 

v avg . 

v rms  and the average 

19.3.4  Relate the pressure of an ideal  gas to the rms  speed 

19.3.2  Relate  the pressure on a container wall  to the  momentum of the gas molecules and the time inter- 

v rms  of the molecules. 

19.3.5  For an ideal  gas, apply the relationship  between 

T  and the rms speed v rms  and  M of the molecules. 

the gas temperature 

vals between  their collisions with  the wall. 

molar mass 

19.3.3  For the molecules of an ideal gas, relate the 

Key  Ideas  ●

In terms of the speed of the gas molecules, the pres- 

n moles of an ideal  gas is 

sure exerted by 

nMv 2  rms  p = ________  ,  3V 

_ 

where 

of the molecules, 

M  is the molar mass, and  V is the 

volume.  ●

The rms speed can  be written  in terms of the 

temperature as 

v rms  = √ (v 2 ) avg  is the root-mean-square speed 

_____ 

3RT .  v rms  =  √ ____  M 

Pressure, Temperature, and RMS  Speed 

Here is our first kinetic theory problem. Let n moles of an ideal gas be confined  in a cubical box of  volume V, as in Fig. 19.3.1. The walls of  the box are held  at  temperature T. What is the connection between the pressure p exerted by the gas  on the walls and the speeds of the molecules? 

/

584

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

y

Normal to shaded wall

v 

m L

x L z

L

A cubical box of edge  length L, containing n moles of an  ideal gas. A molecule of mass m and  →  velocity  v  is about to collide with  the shaded wall of area L 2 .  A normal  to that wall is shown.  Figure  19.3.1 

The molecules of gas in the box are moving in all directions and with various  speeds, bumping  into  one  another and bouncing  from the walls of  the box  like  balls in a racquetball court. We ignore (for the time being) collisions of the mol-  ecules with one another and consider only elastic collisions with the walls.  Figure 19.3.1 shows a typical gas molecule, of mass m and velocity →  v , that is  about  to collide  with the shaded wall. Because we assume that any collision of a  molecule with a wall is elastic, when this molecule collides with the shaded wall,  the only  component of its velocity that is changed is the x component, and  that  component is reversed. This means that the only change in the particle’s momen-  tum is along the x axis, and that change is  ∆p x  = (−mv x) − (mv    x) = −2mv    x .    Hence, the momentum ∆p x   delivered to the wall by the molecule during the col-  lision  is +2mv x  . (Because in this  book  the symbol p represents both  momentum  and pressure, we must be careful to note that here p represents momentum and  is a vector quantity.)  The  molecule  of  Fig. 19.3.1 will  hit  the  shaded  wall  repeatedly. The  time  ∆t  between collisions is the time the molecule takes to travel to the opposite  wall and  back again (a distance  2L) at speed v x  . Thus,  ∆t is  equal to  2L/v x  . (Note that this  result holds  even if the molecule bounces off any of the other walls along the way,  because those walls are parallel to x and so cannot change v x .) Therefore, the aver-    age rate at which momentum is delivered to the shaded wall by this single molecule is  2 

Δ p x  _____  2mv x  ____  mv  ____  =  =  x  .  Δt 

2L/ vx  

L 

→  From  Newton’s  second  law  ( F  =  d →  p / dt),  the  rate at  which  momentum  is  delivered to the wall is the force acting on that wall. To  find  the total  force, we  must add up  the contributions  of all the molecules that strike the wall, allowing  for the possibility that they all have different speeds. Dividing the magnitude of  the total force F x   by the area of the wall (= L 2 ) then gives the pressure p on that  wall, where now  and  in  the rest of this  discussion,  p  represents pressure. Thus,  using the expression for ∆p x /∆t, we can write this pressure as    F x   _______________________________  mv 2  / L + mv x2 2 / L  + ⋅ ⋅ ⋅ + mv x2 N / L  p =  ______  =  x1  2  L  L 2  m  v 2  + v 2  + ⋅ ⋅ ⋅ +v 2  ,  =  _____  x2  xN ) (L    3 ) ( x1 

(19.3.1) 

where N is the number of molecules in the box.  Since  N = nN A ,  there  are nN A  terms  in  the  second  set  of  parentheses of  Eq.  19.3.1. We  can  replace  that  quantity  by  nN A ( v x 2  ) avg ,  where  ( v x 2  ) avg  is  the  average value of  the  square  of  the  x components  of  all  the  molecular speeds.  Equation 19.3.1 then becomes  nmN A  2  p = ______  ( v x   ) avg .  L 3  However, mN A  is the molar mass M of the gas (that is, the mass of 1 mol of the  gas). Also, L 3 is the volume of the box, so  nM ( v  x2  ) avg  p =  _________  .  (19.3.2)  V  For  any  molecule,  v 2 = v x2   + v y2   + v z2  .  Because  there  are  many  molecules  and because they are all moving in random directions, the average v alues of the  1  2  squares of their velocity components are equal, so that v x2   = _  3 v  . Thus, Eq. 19.3.2  becomes  nM( v  2 ) avg  p = _________  .  (19.3.3)  3V  The square root  of (v 2 ) avg  is a kind  of average speed, called the root-mean-  square speed of the molecules and symbolized by v rms . Its name describes it rather  well: You square each speed, you find the mean (that is, the average) of all these  /

585

19.3  P RESSU RE,  T EMP ERAT U RE,  AND   RMS SP EED  

_ 

squared speeds, and then you take the square root of that mean. With  √ ( v  2 ) avg =  v rms , we can then write Eq. 19.3.3 a s  nMV r2 ms  p = _______  .  3V 

Table 19.3.1  Some RMS Speeds at 

Gas 

Molar  Mass  (10 −3  kg/mol) 

v rms  (m/s) 

2.02  4.0 

1920  1370 

18.0  28.0  32.0 

645  517  483 

44.0 

412 

64.1 

342 

Hydrogen (H 2 )  Helium (He)  Water vapor  (H 2 O)  Nitrogen (N 2)    Oxygen (O 2 )  Carbon dioxide  (CO 2 )  Sulfur dioxide  (SO 2 ) 

_____ 

3RT .  v rms  = √ ____  M 

(19.3.5) 

Table 19.3.1 shows some rms speeds calculated from Eq. 19.3.5. The speeds are  surprisingly  high.  For  hydrogen  molecules  at  room  temperature (300 K),  the  rms speed is 1920 m/s, or 4300 mi/h—faster than  a speeding bullet!  On the sur-  face of the Sun,  where the temperature is 2 × 10 6  K, the rms speed of hydrogen  molecules would  be  82 times greater than at room  temperature were it not  for  the fact that at such high  speeds, the molecules cannot survive collisions  among  themselves. Remember too  that the rms speed  is only  a kind  of average speed;  many molecules move much faster than this, and some much slower.  The speed of  sound  in a gas is closely related to  the rms speed  of the mol-  ecules of that gas. In a sound  wave, the disturbance is passed on  from molecule  to  molecule by  means of  collisions.  The  wave cannot  move any faster than  the  “average” speed of the molecules. In fact, the speed of sound  must be somewhat  less than  this  “average” m olecular speed because not  all molecules are moving  in  exactly the same direction  as the  wave. As examples, at  room  temperature,  the  rms speeds of  hydrogen and  nitrogen  molecules are 1920 m/s and  517 m/s,  respectively. The  speeds  of  sound  in  these  two  gases at  this  temperature are  1350 m/s a nd 350 m/s, respectively.  A question often arises: If molecules move so fast, why does it take as long as  a minute or so before you can smell perfume when someone opens a bottle across  a room?  The  answer is  that,  as we shall  discuss  in  Module  19.5, each perfume  molecule may have a high  speed  but  it  moves away from  the  bottle  only  very  slowly because its repeated collisions with other molecules prevent it from mov-  ing directly across the room to you.  Checkpoint 19.3.1 

The following gives the temperatures and molar masses  (in terms of a basic amount M 0 ) for three gases. Rank the  gases according to their rms speeds, greatest first. 

Gas  A  B  C 

T  400 K  360 K  280 K 

a 

For convenience, we often set room  temperature equal to 300 K even though  (at 27°C or 81°F) that represents a fairly warm  room. 

M  4M 0  3M 0  2M 0 

Average  and rms values 

Here are five numbers: 5, 11, 32, 67, and 89. 

Calculation:

(a) What is the average v alue n avg of these numbers?  Calculation:

=  300 K) a 

(19.3.4) 

This tells us how the pressure of the gas (a purely macroscopic quantity) depends  on the speed of the molecules (a purely microscopic quantity).  We  can  turn  Eq.  19.3.4  around  and  use  it  to  calculate  v rms .  Combining  Eq. 19.3.4 with the ideal gas law ( pV = nRT ) leads to 

Sample Problem 19.3.1

Room Temperature (T

We find this from 

5 + 11 + 32 + 67 + 89 = 40.8.  n avg = __________________  5 

We find this from 

_______________________ 

n rms  = 

+ 11  + 32  + 67  + 89  √ 5 _______________________  5  2 

2 

= 52.1.  (Answer) 

(b) What is the rms value n rms  of these numbers? 

2 

2 

2 

(Answer) 

The  rms  value  is  greater  than  the  average value  because  the  larger  numbers—being  squared—are  rela-  tively more important in forming the rms value. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

586

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

19.4  TRANSLATIONAL KINETIC  ENERGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.4.1  For an ideal gas, relate the average kinetic 

19.4.3  Identify  that a measurement of a gas tempera- 

energy of the molecules to their rms speed. 

ture is effectively a measurement of the average 

19.4.2  Apply the relationship between  the average 

kinetic  energy of the gas molecules. 

kinetic  energy and the temperature of the gas. 

Key Ideas  ●

The average translational kinetic  energy per molecule 

●

The average translational kinetic  energy is related to 

the temperature of the gas: 

in an ideal  gas is 

3  K avg = _  kT.  2 

1  2  K avg = _  mv rms  .  2 

Translational Kinetic Energy 

We again consider  a single  molecule of  an  ideal gas as it  moves around  in  the  box of Fig. 19.3.1, but we now assume that its speed changes when it collides with  1 mv 2 . Its average  other molecules. Its translational kinetic energy at any instant is _  2  translational kinetic energy over the time that we watch it is  1  2  1  2  1  2  _  _  K avg = ( _  2 mv  ) avg =  2 m ( v   ) a vg =  2 mv rms , 

(19.4.1) 

in  which  we make the assumption  that the  average speed of  the molecule dur-  ing our observation is the same as the average speed of all the molecules at any  given time. (Provided the total energy of the gas is not changing and provided we  observe our  molecule for long  enough,  this  assumption is  appropriate.) Substi-  tuting for v rms  from Eq. 19.3.5 leads to  1  3RT  ____  K avg = ( _  2 m)  M  .  However, M/m,  the  molar  mass divided  by  the  mass  of  a  molecule, is  simply  Avogadro’s number. Thus,  ____ .  K avg =  3RT  2N A  Using Eq. 19.2.3 (k = R/N A), we can then write    3  K avg = _  kT.  2 

(19.4.2) 

This equation tells us something unexpected:  At a given temperature T, all ideal gas molecules—no matter what their mass—  3  have the same average translational kinetic energy—namely, _  2 kT. When we  measure the temperature of a gas, we are also measuring the average transla-  tional kinetic energy of its molecules. 

Checkpoint 19.4.1 

A gas mixture consists of molecules of types 1, 2, and 3, with molecular masses m 1  >  m 2  > m 3 . Rank the three types according to (a) average kinetic energy and (b) rms  speed, greatest first. 

/

19.5  MEAN  F REE  P AT H 

587

19.5  MEAN FREE PATH  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.5.1  Identify what  is meant by mean free path. 

path, the diameter of the molecules, and the number 

19.5.2  Apply the relationship between  the mean free 

of molecules per unit volume. 

Key  Idea  ●

The mean free path 

λ of a gas molecule  is its average path length between 

collisions and is given by 

1  λ = ___________  ,  _  2  √ 2 π d  N/ V  where 

N/V is the number  of molecules per unit volume and  d  is the molecular 

diameter. 

Mean Free  Path 

We  continue  to  examine the motion  of  molecules in  an  ideal  gas. Figure  19.5.1  shows the path of  a typical molecule as it moves through  the gas, changing both  speed and direction abruptly as it collides elastically with other molecules. Between  collisions,  the molecule moves in a straight line  at constant  speed. Although  the  figure shows the other molecules as stationary, they are (of course) also moving.  One useful parameter to describe this random motion  is the mean free path    of the molecules. As its name implies,  is the average distance traversed by a  molecule between collisions.  We expect  to vary inversely with  N/V, the num-  ber  of molecules per unit  volume (or  density of molecules). The larger N/V is,  the more collisions there should  be and the smaller the mean free path. We also  expect  to vary inversely with the size of the molecules—with their diameter d,  say. (If the molecules were points,  as we have assumed them to  be, they would  never  collide  and  the  mean  free path  would  be  infinite.)  Thus,  the  larger the  molecules are, the smaller the mean free path. We can even predict that  should  vary (inversely) as the square of the molecular diameter because the cross section  of a molecule—not its diameter—determines its effective target area.  The expression for the mean free path does, in fact, turn out to be  _  1  λ = ____________  √ 2 π d 2  N/ V 

A molecule traveling  through a gas, colliding with other  gas molecules in its path. Although  the other molecules are shown as sta-  tionary, they are also moving  in a similar fashion.  Figure  19.5.1 

(19.5.1) 

(mean free path). 

To justify Eq. 19.5.1, we focus attention on a single molecule and assume—as  Fig. 19.5.1 suggests—that our  molecule is traveling with  a constant speed v and  that all the other molecules are at rest. Later, we shall relax this assumption.  We assume further that the molecules are spheres of diameter d. A collision  will  then take place if the centers of two molecules come within  a distance d of  each other, as in Fig. 19.5.2a. Another, more helpful way to look  at the situation  (a) A collision occurs when  the centers of two molecules come within a  distance d of each other, d being the molec-  ular diameter. (b) An equivalent but more  convenient representation is to think of the  moving molecule as having a radius d and  all other molecules as being points. The  condition for a collision is unchanged.  Figure  19.5.2 

d m

m

m

d

d

(a)

2d

m

(b )

/

588

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

2d

v Δt

In time ∆t the moving molecule effectively sweeps out a cylinder of length  v ∆t and radius d.  Figure  19.5.3 

is to consider our single molecule to have a radius of d and all the other molecules  to be points, as in Fig. 19.5.2b. This does not change our criterion for a collision.  As our  single molecule zigzags through  the gas, it  sweeps out  a short  cylin-  der  of  cross-sectional area   d 2  between successive collisions.  If  we  watch  this  molecule for a time interval ∆t, it moves a distance v ∆t, where v is its assumed  speed. Thus, if we align all the short  cylinders swept out  in interval ∆t, we form  a composite  cylinder (Fig.  19.5.3) of  length  v  ∆t  and  volume ( d 2 )(v ∆t). The  number of collisions that occur in time ∆t is then equal to the number of (point)  molecules that lie within  this cylinder.  Since N/V is the number of molecules per unit  volume, the number of mole-  cules in the cylinder is N/V times the volume of the cylinder, or (N/V )( d 2 v ∆t ).  This is also the number of collisions  in time ∆t. The mean free path is the length  of the path (and of the cylinder) divided by this number:  length of path during Δt  ___________  v Δt  λ = ________________________  ≈  number of collisions in Δt  πd 2 v Δt N/ V  1  .  = _______  πd 2 N/ V 

(19.5.2) 

This equation is only approximate because it is based on the assumption that  all  the molecules except one  are at rest. In  fact, all the  molecules are moving;  when  this  is taken properly into  account, Eq.  19.5.1 results. Note that  it differs  _  from the (approximate) Eq. 19.5.2 only by a factor of 1/ √ 2 .  The  approximation  in  Eq.  19.5.2 involves the  two  v symbols  we canceled.  The  v in  the  numerator is v avg , the mean speed  of the  molecules relative to  the  container. The  v  in  the  denominator  is  v rel , the  mean speed  of  our  single  mol-  ecule relative to  the  other  molecules, which  are moving. It is  this  latter average  speed  that  determines the  number of  collisions.  A  detailed calculation,  _  taking  into account the actual speed distribution  of the molecules, gives v rel = √ 2 vavg    and  _  thus the factor √ 2 .  The  mean  free  path  of  air  molecules  at  sea  level  is  about  0.1 m.  At  an  altitude  of  100 km,  the  density  of  air  has  dropped  to  such  an  extent  that  the  mean free  path  rises  to  about  16 cm. At  300 km,  the  mean free  path  is  about  20 km. A problem faced by those who would  study the physics and chemistry of  the upper atmosphere in the laboratory is the unavailability of containers large  enough to hold  gas samples (of Freon, carbon dioxide, and ozone) that simulate  upper atmospheric conditions. 

Checkpoint 19.5.1 

One mole of gas A, with molecular diameter 2d 0  and average molecular speed v 0 , is  placed inside a certain container. One mole of gas B, with molecular diameter d 0  and  average molecular speed 2v 0  (the molecules of B are smaller but faster), is placed  in an identical container. Which gas has the greater average collision rate within its  container? 

/

19.6  T HE  D IST RIBU T ION  OF   MOL EC U L AR  SP EED S 

Sample Problem 19.5.1

589

Mean free  path, average  speed,  collision frequency 

(a) What is the mean free path   for oxygen molecules at  temperature T = 300 K and pressure p = 1.0 atm? Assume  that  the molecular diameter is d = 290 pm and  the gas is  ideal. 

KEY IDEA Each  oxygen  molecule  moves among  other  moving  oxy-  gen molecules in a zigzag path due to the resulting collisions.  Thus, we use Eq. 19.5.1 for the mean free path.  We first  need  the  number of  molecules per  unit  volume, N/V. Because we assume the gas is ideal, we  can use the ideal gas law of Eq. 19.2.5 ( pV = NkT ) to write  N/V = p/kT. Substituting  this into Eq. 19.5.1, we find  Calculation:

collisions for any given molecule? At what rate does the mol-  ecule collide; that is, what is the frequency f of its collisions? 

KEY IDEAS (1) Between collisions,  the molecule travels, on  average,  the mean free path   at speed v. (2) The average rate or  frequency at which  the collisions  occur  is the  inverse of  the time t between collisions.  From  the  first key idea, the  average time  between collisions is  Calculations:

1.1 × 10  m  distance = ___  λ = ___________  t = ________  v  speed  450 m / s  −7 

= 2.44 × 10 −10  s ≈ 0.24 ns. 

1  kT  λ = ___________  = ________  _  2  _  2  √ 2 πd   N/ V  √ 2 πd  p  −23 

(1.38 × 10   J/K )(300 K)  _________  = ________________________ _  2  √ 2 π (2.9 × 10 −10  m)  (1.01 × 10 5  Pa)  = 1.1 × 10 −7  m. 

This  tells us that, on average, a ny given oxygen molecule  has less than a nanosecond between collisions.  From the second key idea, the collision frequency is  1 = ________ 1  _____ = 4.1 × 10 9 s −1 .  f = __  t  2.44 × 10 −10  s 

(Answer) 

This is about 380 molecular diameters.  (b)  Assume the  average speed of  the  oxygen molecules is  v = 450 m/s. What is  the average time t between successive 

(Answer) 

(Answer) 

This  tells us that, on average, a ny given oxygen molecule  makes about 4 billion  collisions per second. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

19.6  THE DISTRIBUTION OF MOLECULAR SPEEDS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.6.1  Explain  how Maxwell’s speed distribution law  is  used to find  the fraction  of molecules with  speeds in  a certain  speed range. 

showing  the probability distribution versus speed  and indicating  the relative positions of the average 

speed 

used to find the average speed, the rms speed, and  the most probable speed. 

19.6.2  Sketch a graph of Maxwell’s  speed distribution, 

speed 

19.6.3  Explain  how Maxwell’s speed distribution is 

v avg , the most probable speed v P , and the rms  v rms . 

T and  molar mass M,  calculate  the average speed v a vg  , the most probable  speed v  v rms .  P, and the rms speed   

19.6.4  For a given temperature 

Key  Ideas  ●

The Maxwell  speed distribution 

_____ 

P(v) is a function 

v avg = 

P(v) dv gives the fraction  of molecules with  speeds in the interval  dv at speed v:  such that 

3/2 

the molecules of a gas are 

(average speed), 

_____ 

2 

Three measures of the distribution of speeds among 

____ 

____  v P  =  √ 2RT    M 

M  2  −Mv  /2RT  P(v ) = 4 π(_____  .   2 πRT )  v  e  ●

√ 8RT  πM 

(most probable speed), 

_____ 

and 

____  v rms  =  √ 3RT  M 

(rms speed). 

/

590

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

The Distribution of Molecular Speeds 

The root-mean-square speed v rms  gives us a general idea of  molecular speeds in  a gas at a given temperature. We often  want to know  more. For  example, what  fraction of the molecules have speeds greater than the rms value? What fraction  have speeds greater than twice the rms value? To answer such questions, we need  to know  how  the possible values of  speed are distributed  among the molecules.  Figure 19.6.1a shows this distribution  for oxygen molecules at room temperature  (T = 300 K); Fig. 19.6.1b compares it with the distribution  at T = 80 K.  In 1852, Scottish physicist James Clerk Maxwell first solved  the problem of  finding  the speed distribution  of gas molecules. His result, known  as Maxwell’s  speed distribution  law, is  3/2 

M  2  −Mv  /2RT  P(v ) = 4 π(_____  .   2 πRT )  v  e  2 

(19.6.1) 

Here M  is the molar mass of the gas, R is the gas constant, T is the gas temper-  ature,  and  v  is  the  molecular  speed.  It  is  this  equation  that  is  plotted  in  Fig. 19.6.1a, b. The quantity P(v) in Eq. 19.6.1 a nd Fig. 19.6.1 is a probability  distri-  bution function:  For any speed v, the product  P(v) dv (a dimensionless quantity) is  the fraction of molecules with speeds in the interval dv centered on speed v.  As Fig. 19.6.1a shows, this fraction is equal to the area of a strip with height  P(v) and  width  dv.  The  total  area under  the distribution  curve corresponds  to  the  fraction  of  the  molecules  whose  speeds  lie  between zero  and  infinity.  All  molecules fall into this category, so the value of this total area is unity; that is,  ∞ 

 P(v) dv = 1. 

(19.6.2) 

0 

The fraction (frac) of molecules with speeds in an interval of, say, v 1  to v 2  is then  v 2 

frac =  P(v) dv. 

(19.6.3) 

v 1 

Average,  RMS,  and Most  Probable Speeds 

In  principle,  we can find  the average speed  v avg  of  the  molecules in  a gas with  the  following  procedure: We weight each value of  v in  the  distribution;  that  is,  we multiply it  by the fraction P(v) dv of  molecules with speeds in  a differential 

A 

4.0

)m/s 3 – 01( )v ( P

2.0

T

)m/s 3 – 01( )v ( P

(a)

3.0

v P v rms

0

Area = P (v) dv 

v avg

1.0

0

200

 

dv

400

600 800 Speed (m/s)

1000

= 80 K

2.0

1200

T

(a) The Maxwell speed distribution for oxy-  gen molecules at T = 300 K. The three characteristic  speeds  are marked. (b) The curves for 300 K and 80 K. Note that  the molecules move more slowly at the lower temperature.  Because these are probability distributions, the area under  each curve has a numerical value of unity. 

= 300 K

1.0

Figure  19.6.1 

0 (b )

0

200

400

600 800 Speed (m/s)

1000

1200

/

19.6  T HE  D IST RIBU T ION  OF   MOL EC U L AR  SP EED S 

591

interval dv centered on v. Then we add up all these values of v P(v) dv. The result  is v avg . In practice, we do all this by evaluating  ∞ 

v avg =   v P(v) dv.  0 

(19.6.4) 

Substituting  for P(v) from Eq. 19.6.1 a nd using generic integral 20 from the list of  integrals in Appendix E, we find  _____ 

v avg = 

8RT  √ ____  πM 

(average speed). 

(19.6.5) 

Similarly, we can find the average of the square of the speeds (v 2 ) avg with  ∞ 

(v 2 ) avg =   v 2 P(v ) dv.  0 

(19.6.6) 

Substituting  for  P(v) from Eq.  19.6.1 and  using generic integral 16 from the list  of  integrals in Appendix E, we find  3RT .  ( v  2 ) avg =  ____  M 

(19.6.7) 

The square root of (v 2 ) avg is the root-mean-square speed v rms . Thus,  _____ 

3RT  v rms  = √ ____  M 

(rms speed), 

(19.6.8) 

which agrees with Eq. 19.3.5.  The  most  probable  speed  v P  is  the  speed  at  which  P(v)  is  maximum (see  Fig. 19.6.1a). To calculate v P   , we set dP/dv = 0 (the slope of the curve in Fig. 19.6.1a  is zero at the maximum of the curve) and then solve for v. Doing so, we find  _____ 

2RT  v P  =  √ ____  M 

(most probable speed). 

(19.6.9) 

A molecule is more likely to have speed v P than any other speed, but some molecules  will  have speeds that are many times v P. These molecules lie in the high-speed tail    of a distribution  curve like that in Fig. 19.6.1a. Such higher speed molecules make  possible both rain and sunshine (without  which we could not exist):  Rain  The speed distribution  of  water molecules in, say, a pond  at summer-  time temperatures can be represented by a curve similar to that of Fig. 19.6.1a.  Most  of  the  molecules lack  the energy to  escape from the surface. However, a  few of the molecules in the high-speed tail of the curve can do so. It is these water  molecules that evaporate, making clouds  and rain possible.  As  the  fast  water  molecules  leave  the  surface,  carrying energy  with  them,  the  temperature of  the  remaining water is  maintained by  heat transfer from  the  surroundings. Other fast molecules—produced in particularly favorable collisions—  quickly take the place of those that have left, and the speed distribution is maintained.  Sunshine  Let the distribution  function  of  Eq. 19.6.1 now  refer to protons  in  the  core  of  the  Sun.  The  Sun’s  energy is  supplied  by  a nuclear fusion  process  that starts with the merging of two  protons. However, protons repel each other  because of  their  electrical charges, and  protons  of  average speed  do  not  have  enough kinetic energy to overcome the repulsion and get close enough to merge.  Very fast protons with speeds in the high-speed tail of the distribution  curve can  do so, however, and for that reason the Sun can shine.  Checkpoint 19.6.1 

For any given temperature, rank the three measures of speed—v avg , v P , and v rms —  greatest first. 

/

592

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Sample Problem 19.6.1

Speed  distribution in a  gas 

In oxygen (molar mass M = 0.0320 kg/mol) at room tem-  perature  (300 K),  what  fraction  of  the  molecules  have  speeds in the interval 599 to 601 m/s? 

KEY IDEAS

The total area under the plot of P(v) in Fig. 19.6.1a is  the total fraction of molecules (unity), and the area of the  thin gold strip (not to scale) is the fraction we seek. Let’s  evaluate frac in parts:  frac = (4 )(A)(v 2 )(e B )(∆v), 

1.  The speeds of the molecules are distributed  over a wide  range of values, with the distribution  P(v) of Eq. 19.6.1.  2.  The fraction of molecules with speeds in a differential  interval dv is P(v) dv.  3.  For a larger interval, the fraction is found  by integrat-  ing P(v) over the interval.  4.  However, the interval ∆v = 2 m/s here is small compared  to the speed v = 600 m/s on which it is centered. 

where 

Because ∆v is small, we can avoid the inte-  gration by approximating the fraction as 

Substituting A and B into Eq. 19.6.10 y ields 

Calculations:

M  _____ 

3/2 

frac = P(v ) Δv = 4π(  v  e  2πRT ) 

Sample Problem 19.6.2

2  −Mv 2 /2RT 

Δv. 

3/2 

0.0320 kg/mol  M  3/2 =  _____________________________  A = ( _____  ((2   π)(8.31 J / m ol ⋅ K)(300 K) )  2 πRT )  =  2.92 × 10 −9  s 3 / m 3    (0.0320 kg/mol) (600 m/ s) 2  Mv 2  = − _______________________  and B = − ____  2RT  (2)(8.31 J/mol ⋅ K)(300 K)  = −2.31.  frac = (4 )(A)(v 2 )(e B )(∆v) 

= (4 )(2.92 × 10 −9 s 3 /m 3 )(600 m/s) 2 (e −2.31 )(2 m/s)  = 2.62 × 10 −3 = 0.262%. 

(Answer) 

Average  speed,  rms speed,  most probable  speed 

The molar mass M of oxygen is 0.0320 kg/mol. 

Calculation:

We end up with Eq. 19.6.8, which gives us  _____ 

(a) What  is  the  average speed  v avg  of  oxygen gas mole-  cules at T = 300 K? 

3RT  v rms  =  √ ____  M 

______________________ 

KEY IDEA

= 

To find  the average speed, we must weight speed v with  the distribution  function P(v) of Eq. 19.6.1 a nd then inte-  grate the resulting expression over the range of possible  speeds (from zero to the limit of an infinite speed).  Calculation:

(19.6.10) 

We end up with Eq. 19.6.5, which gives us  _____ 

8 (8.31 J/mol ⋅ K )(300 K )  ______________________ 

π(0.0320 kg/mol ) 

= 445 m / s. 

(Answer) 

KEY IDEA

______________________ 

√ 

= 483 m / s. 

This  result,  plotted  in  Fig.  19.6.1a,  is  greater  than  v avg  because the  greater speed values influence the  calculation  more when  we integrate the  v 2  values than  when  we inte-  grate the v values.  (c) What is the most probable speed v P  at 300 K? 

8RT  v avg = √ ____  πM  = 

3(8.31 J/mol ⋅ K)(300 K) 

√ ______________________  0.0320 kg / m ol 

(Answer) 

This result is plotted in Fig. 19.6.1a.  (b) What is the root-mean-square speed v rms  at 300 K? 

KEY IDEA To find v rms , we must first find (v 2 ) avg by weighting v 2 with  the distribution  function P(v) of Eq. 19.6.1 a nd then inte-  grating the expression over the range of possible speeds.  Then we must take the square root of the result. 

Speed v P  corresponds to the maximum of the distribution  function  P(v), which  we obtain  by setting the  derivative  dP/dv = 0 and solving the result for v.  Calculation:

We end up with Eq. 19.6.9, which gives us  _____ 

2RT  v P  = √ ____  M  ______________________  2 (8.31 J/mol ⋅ K )(300 K )  =  ______________________  0.0320 kg/mol 

√ 

= 395 m / s. 

(Answer) 

This result is also plotted in Fig. 19.6.1a. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

19.7  T HE  MOL AR  SP EC IF IC   HEAT S  OF   AN  ID EAL  GAS 

593

19.7  THE MOLAR SPECIFIC HEATS OF AN IDEAL GAS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.7.1  Identify that the internal  energy of an ideal mona- 

entirely into the internal  energy (the random trans- 

tomic gas is the sum of the translational kinetic ener- 

lational  motion) but that in a constant-pressure 

gies of its atoms. 

process energy also goes into the work done to 

19.7.2  Apply the relationship between  the internal 

E int  of a monatomic ideal gas, the number  of  moles n, and the gas temperature T.  energy 

expand the  gas.  19.7.7  Identify that for a given change  in temperature,  the change  in the internal  energy of an ideal gas is 

19.7.3  Distinguish between monatomic, diatomic, and 

the same for  any process and is most easily calcu- 

polyatomic ideal  gases.  19.7.4  For monatomic, diatomic, and polyatomic  ideal gases, evaluate the molar specific heats for a  constant-volume process and a constant-pressure  process. 

lated by assuming a constant-volume process.  19.7.8  For an ideal  gas, apply the relationship  between 

Q , number  of moles n, and temperature change  ∆T , using the appropriate molar specific  heat.  19.7.9  Between  two isotherms on a  p-V diagram,  heat 

19.7.5  Calculate  a molar specific heat at constant pres- 

sketch a constant-volume process and a constant- 

C p  by adding R to the molar specific  heat at  constant volume C V, and  explain why  (physically) C p    sure 

is greater. 

pressure process, and for each identify  the work  done in terms of area on the graph.  19.7.10  Calculate the work done by an ideal  gas for a 

19.7.6  Identify that the energy transferred  to an ideal  gas as heat in  a constant-volume process goes 

constant-pressure process.  19.7.11  Identify that work is zero for constant volume. 

Key  Ideas  ●

C V of a gas at constant vol- 

The molar specific  heat 

pressure is defined  to be 

Q  C p  = _____ ,  n ΔT 

ume is defined  as 

Q  ΔE int  C V  = _____ = _____  ,  n ΔT  n ΔT  Q is the energy transferred as heat to or from  n  moles of the gas, ∆T is the resulting  temperature change of the gas, and  ∆E int  is the result-  in which 

in  which 

Q, n, and ΔT  are defined  as above. C p  is also 

given by 

C p  = C V  + R. 

a sample of 

●

●

For an ideal  monatomic gas, 

3  C V  = _  R = 12.5 J/mol ⋅ K.  2  ●

C p  of a gas at constant 

The molar specific  heat 

n moles of an ideal  gas, 

For 

ing change  in the internal  energy of the gas. 

E int  = nC VT   

(ideal gas). 

n moles of a confined  ideal gas undergo a temper-  ature change  ∆T due to any process, the change in  the  ● If 

internal  energy of the gas is 

∆E int  = nC V  ∆T 

(ideal gas, any process). 

The Molar Specific Heats  of an Ideal Gas 

In this module, we want to derive from molecular considerations an expression for  the internal energy E int  of  an ideal gas. In  other words, we want an expression for  the energy associated with the random motions of the atoms or molecules in the gas.  We shall then use that expression to derive the molar specific heats of an ideal gas.  Internal Energy  E

int 

Let us first assume that our ideal gas is a monatomic gas (individual atoms rather  than  molecules), such  as  helium,  neon,  or  argon.  Let  us  also  assume that  the  internal energy E int  is the sum of the translational kinetic energies of the atoms.  (Quantum theory disallows rotational kinetic energy for individual atoms.)  The average translational kinetic energy of a single atom depends only on the  3 kT. A sample of n moles of  gas temperature and is given by Eq. 19.4.2 as K avg = _  2  such a gas contains nN A  atoms. The internal energy E int  of the sample is then  3  E int  =  (nN A )K avg = (nN A ) (_  kT ).  2 

(19.7.1)  /

594

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Using Eq. 19.2.3 (k = R/N A), we can rewrite this as    3  E int  = _  nRT  2 

Pin

(monatomic ideal gas). 

(19.7.2) 

Pin

The internal energy E int  of an ideal gas is a function of the gas temperature  only;  it does not depend on any other variable. 

Q

T

Thermal reservoir (a )

p +

Δ p

The temperature increase is done without changing the volume.

f

With Eq. 19.7.2 in hand,  we are now able to derive an expression for the  molar specific heat of an ideal gas. Actually, we shall derive two expressions.  One is for the case in which the volume of the gas remains constant as energy  is transferred to or from it as heat. The other is for the case in which the pres-  sure of the gas remains constant as energy is transferred to or from it as heat.  The symbols for these two molar specific heats are C V  and C p , respectively.  (By convention, the capital letter C is used in both cases, even though C V and  C p  represent types of specific heat and not heat capacities.)  Molar  Specific  Heat  at Constant Volume 

erusserP

p i T + V

Δ T

T

Volume (b )

(a) The temperature  of an ideal gas is raised from T to  T + ∆T in a constant-volume process.  Heat is added, but no work is done.  (b) The process on a p-V diagram.  Figure  19.7.1 

Figure 19.7.1a shows n moles of an ideal gas at pressure p and temperature T,  confined to a cylinder of fixed volume V. This initial state i of the gas is marked  on the p-V diagram of Fig. 19.7.1b. Suppose now that you add a small amount  of  energy to  the gas as heat Q by  slowly turning  up  the temperature of  the  thermal reservoir. The gas temperature rises a small amount to T + ∆T, and its  pressure rises to p + ∆p, bringing the gas to final state f. In such experiments,  we would find that the heat Q is related to the temperature change ∆T by  Q = nC V  ∆T 

(constant volume), 

(19.7.3) 

where C V  is a constant called the molar specific heat at constant volume. Substi-  tuting  this  expression  for  Q into  the  first  law  of  thermodynamics as  given  by  Eq. 18.5.3 (∆E int  = Q − W ) yields  ∆E int  = nC V  ∆T − W. 

(19.7.4) 

With  the volume held  constant, the  gas cannot  expand and  thus  cannot  do  any  work. Therefore, W = 0, and Eq. 19.7.4 g ives us  Table 19.7.1  Molar  Specific Heats at 

Constant Volume 

Molecule  Monatomic 

Example  2 

He  Ar 

Ideal  Real 

12.5  12.6  5  _  R = 20.8 

Ideal  Real 

Polyatomic 

3 R = 12.5  _ 

Ideal  Real 

Diatomic 

C V  (J/mol · K) 

2 

N 2  O 2 

20.7  20.8  3R = 24.9 

NH 4  CO 2 

29.0  29.7 

ΔE int  C V  = _____  .  n ΔT 

(19.7.5) 

From Eq. 19.7.2, the change in internal energy must be  3  Δ E int  = _  nR ΔT.  2 

(19.7.6) 

Substituting  this result into  Eq. 19.7.5 y ields  _ R = 12.5 J/mol ⋅ K  C V =  3  2 

(monatomic gas). 

(19.7.7) 

As  Table  19.7.1 shows,  this  prediction  of  the  kinetic  theory  (for  ideal  gases)  agrees very well  with  experiment for  real monatomic  gases, the  case that  we  have assumed. The (predicted and) experimental values of C V  for diatomic gases  (which  have molecules with two atoms) and polyatomic gases (which have mol-  ecules with  more than  two atoms)  are greater than  those  for  monatomic gases  for  reasons that  will  be  suggested in  Module  19.8. Here we make the  prelimi-  nary assumption that the C V values for diatomic and polyatomic gases a re greater  than  for monatomic gases because the more complex molecules can rotate and  thus  have rotational kinetic  energy. So,  when  Q is transferred to  a diatomic or 

/

19.7  T HE  MOL AR  SP EC IF IC   HEAT S  OF   AN  ID EAL  GAS 

polyatomic  gas,  only  part  of  it  goes  into  the  translational  kinetic  energy,  increasing the temperature. (For now we neglect the possibility of also put-  ting energy into oscillations of the molecules.)  We can now generalize Eq. 19.7.2 for the internal energy of any ideal gas  3  by substituting C V  for _  R; we get  2  (any ideal gas). 

(19.7.8) 

This equation applies not only to an ideal monatomic gas but also to diatomic  and  polyatomic  ideal  gases, provided  the  appropriate value of  C V  is  used.  Just as with  Eq. 19.7.2, we see that the internal energy of a gas depends on  the temperature of the gas but not on its pressure or density.  When a confined ideal gas undergoes temperature c hange ∆T, then from  either Eq. 19.7.5 or Eq. 19.7.8 the resulting change in its internal energy is  ∆E int  = nC V  ∆T 

(ideal gas, any process). 

The paths are different, but the change in the internal energy is the same.

f

3

erusserP

E int  = nC VT   

595

f

1

f

2

i

T +

Δ T

T

Volume

Three paths represent-  ing three different processes  that take  an ideal gas from an initial state i at  temperature T to some final state f  at temperature T + ∆T.  The change  ∆E int  in the internal energy of the gas  is the same for these three processes  and for any others that result in the  same change of temperature. 

(19.7.9) 

Figure  19.7.2 

This equation tells us:  A change in the internal energy E int  of a confined ideal gas depends on only the  change in the temperature, not on what type of process produces the change. 

As  examples,  consider  the  three  paths  between  the  two  isotherms  in  the  p-V  diagram of  Fig. 19.7.2. Path 1 represents a constant-volume process.  Path 2  represents a constant-pressure process (we examine it next). Path 3 represents a  process in  which no  heat is exchanged with the system’s environment (we  discuss  this  in  Module  19.9). Although  the values of  heat Q and work  W  associated with these three paths differ, as do p f  and V f , the values of ∆E int  associated with the three paths are identical and are all given by Eq. 19.7.9,  because they all involve  the same temperature change ∆T. Therefore, no  matter what path is actually taken between T and T + ∆T, we can always use  path 1 and Eq. 19.7.9 to compute ∆E int  easily. 

W

Molar  Specific  Heat  at Constant Pressure 

We now  assume that the temperature of  our ideal  gas is increased by the  same small amount  ∆T as previously but  now  the necessary energy (heat  Q) is added with the gas under constant pressure. An experiment for doing  this  is  shown  in Fig.  19.7.3a; the p-V diagram for the process is plotted  in  Fig. 19.7.3b. From such experiments we find that the heat Q is related to the  temperature change ∆T by  Q = nC p  ∆T 

(constant pressure), 

(a )

(19.7.12) 

erusserP

We next replace each term in Eq. 19.7.11. For ∆E int , we substitute from Eq.  19.7.9. For  Q, we substitute  from Eq. 19.7.10. To  replace W, we first note  that since the pressure remains constant, Eq. 19.2.12 tells us that W = p ∆V.  Then we note that, using the ideal gas equation ( pV = nRT ), we can write 

T

The temperature increase is done without changing the pressure.

(19.7.10) 

where C p  is a constant called the molar specific heat at constant pressure.  This  C p   is  greater than  the  molar  specific  heat  at  constant  volume  C V ,  because energy must now be supplied not only to raise the temperature of  the gas but also for the gas to do work—that is, to lift the weighted piston  of Fig. 19.7.3a.  To relate molar specific heats C p  and C V , we start with the first law of  thermodynamics (Eq. 18.5.3):  ∆E int  = Q − W.  (19.7.11) 

W = p ∆V = nR ∆T. 

Q

Thermal reservoir

p

f i T + p V

(b )

Δ V

Δ T

T V +

Δ V

Volume

(a) The temperature  of an ideal gas is raised from T to  T + ∆T in a constant-pressure pro-  cess. Heat is added and work is done  in lifting the loaded piston. (b) The  process on a p-V diagram. The work  p ∆V is given by the shaded area.  Figure  19.7.3 

/

596

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Monatomic

Diatomic

__ 7 nR ΔT 2

The relative  values of Q for a mona-  tomic gas (left side) and  a diatomic gas undergo-  ing a constant-volume  process  (labeled “con V”)  and a constant-pressure  process  (labeled “con p”).  The transfer of the  energy into work W and  internal energy (∆E int ) is  noted. 

Q

@ con p W

Figure  19.7.4 

__ 5 nR ΔT 2

Q

@ con p

Q

@ con V

ΔEint

__ 3 2 nR ΔT

Q

rotation trans

ΔEint

W W

rotation trans

ΔEint

W

trans

@ con V ΔEint

trans

Making  these substitutions  in  Eq.  19.7.11 and  then  dividing  through  by  n  ∆T,  we find  C V  = C p  − R  and then  C p  = C V  + R. 

(19.7.13) 

This prediction of kinetic theory agrees well with experiment, not only for mona-  tomic gases but also for gases in general, as long as their density is low enough so  that we may treat them as ideal.  The  left side of  Fig. 19.7.4 shows  the relative values of  Q for  a monatomic  3  gas undergoing  either  a constant-volume process  (Q =  _  nR ΔT ) or  a constant-  2  5  _  pressure process (Q =  2 nR ΔT ) . Note that for the latter, the value of Q is higher  by the amount W, the work done  by the gas in the expansion. Note also that for  the constant-volume process, the energy a dded as Q goes entirely into the change  in internal energy ∆E int  and for the constant-pressure process, the energy added  as Q goes into  both ∆E int  and the work W.  p

Checkpoint 19.7.1 

The figure here shows five paths traversed by a gas on a  p-V diagram. Rank the paths according to the change in  internal energy of the gas, greatest first. 

1

2

3

4

5

T3

T2

T1 V

Sample Problem 19.7.1

Monatomic gas, heat, internal energy, and work 

A bubble  of  5.00 mol  of  helium  is  submerged  at  a certain  depth  in liquid  water when the water (and thus the helium)  undergoes a temperature increase ∆T of 20.0 C° at constant  pressure.  As  a  result,  the  bubble  expands.  The  helium  is  monatomic and ideal.  (a) How much energy is added to the helium as heat dur-  ing the increase and expansion? 

KEY IDEA Heat  Q  is  related to  the  temperature change  ∆T  by  a  molar specific heat of the gas.  Because the  pressure  p  is  held  constant  during  the  addition  of  energy, we use  the molar specific  Calculations:

heat at constant pressure C p  and Eq. 19.7.10,  Q = nC p  ∆T, 

(19.7.14) 

to  find  Q.  To  evaluate C p  we  go  to  Eq.  19.7.13, which  tells  us  that  for  any  ideal  gas, C p  = C V  + R.  Then  from  Eq. 19.7.7, we know that for any monatomic gas (like the  helium here), C V  =  3 2 _ R. Thus, Eq. 19.7.14 g ives us  3  5  Q = n(C V + R) ΔT = n (_  R + R ) ΔT = n (_  R  ΔT  2  2  )

= (5.00 mol )(2.5 )(8.31 J/mol ⋅ K )(20.0 C° )  = 2077.5 J ≈ 2080 J. 

(Answer) 

(b) What is the change ∆E int  in the internal energy of the  helium during the temperature increase? 

/

19.8  D EGREES  OF   F REED OM  AND  MOL AR  SP EC IF IC   HEAT S 

KEY IDEA Because the bubble expands, this is not a constant-volume  process. However, the helium is nonetheless confined (to  the bubble). Thus,  the change ∆E int  is the same as would  occur  in  a  constant-volume process with  the  same tem-  perature change ∆T.  We can now easily find the constant-volume  change ∆E int  with Eq. 19.7.9:  Calculation:

3  ΔE int  =  nC V  ΔT = n (_  2 R ) ΔT 

=  (5.00 mol )(1.5 )(8.31 J/mol ⋅ K )(20.0 C° )  = 1246.5 J ≈ 1250 J. 

(Answer) 

(c) How much work W is done by the helium as it expands  against the pressure of the surrounding  water during  the  temperature increase? 

KEY IDEAS The work done by any gas expanding against the pressure  from its environment is given by Eq. 19.2.7, which tells us  to integrate p dV. When the pressure is constant (as here), 

597

we can simplify that to  W = p  ∆V. When the gas is ideal  (as here), we can use the ideal gas law (Eq. 19.2.1) to write  p ∆V = nR ∆T.  Calculation:

We end up with 

W = nR ΔT  = (5.00 mol )(8.31 J/mol ⋅ K )(20.0 C° )  = 831 J.  (Answer)  Because we happen to know  Q and ∆E int ,  we can work  this problem another way: We can account  for the energy c hanges of the gas with the first law of ther-  modynamics, writing  Another way:

W = Q − ∆E int  = 2077.5 J − 1246.5 J  = 831 J. 

(Answer) 

Let’s follow  the  energy. Of the  2077.5 J  transferred to  the  helium  as heat Q,  831 J goes into  the  work W required for the expansion and 1246.5 J goes into  the  internal  energy E int ,  which,  for  a monatomic  gas, is  entirely the kinetic  energy of  the atoms in  their transla-  tional motion.  These several results are suggested on  the  left side of Fig. 19.7.4.  The transfers:

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

19.8  DEGREES OF FREEDOM AND MOLAR SPECIFIC HEATS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.8.1  Identify that a degree of freedom is associated 

19.8.4  Identify that at low temperatures a diatomic gas 

with each way a gas can  store energy (translation, 

has energy in  only translational motion, at higher tem- 

rotation, and oscillation). 

peratures it also has energy in molecular rotation, and 

_  19.8.2  Identify that an energy of  2 

kT  per molecule  is 

1 

associated with each  degree of freedom.  19.8.3  Identify that a monatomic gas can have an inter-  nal energy consisting of only translational motion. 

at even higher temperatures it can also have energy in  molecular oscillations.  19.8.5  Calculate the molar specific  heat for monatomic  and diatomic ideal gases in a constant-volume pro-  cess and a constant-pressure process. 

Key  Ideas  ●

We find 

C V by using the equipartition  of energy 

theorem, which  states that every degree of freedom  of a molecule  (that is, every independent  way it can  store energy) has associated with it—on average—an 

1  1  _  kT  per molecule  ( = _  RT per mole). 

energy 

2 

●

If 

2 

f  is the number of degrees of freedom, then 

E int  = ( f /2)nRT  and 

f  C V = ( __ ) R = 4.16f J/mol ⋅ K.  2  ● For monatomic gases f = 3  (three translational  degrees); for diatomic gases f = 5 (three translational  and two rotational degrees). 

Degrees of Freedom and Molar Specific Heats  3  As Table 19.7.1 shows,  the prediction  that C V  =  _  R agrees with  experiment for  2  monatomic gases but fails for diatomic and polyatomic gases. Let us try to explain  the discrepancy by considering the possibility that molecules with more than one  atom can store internal energy in forms other than translational kinetic energy. 

/

598

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Table 19.8.1  Degrees of  Freedom for Various Molecules 

Degrees of Freedom  Molecule 

Example 

Translational 

Rotational 

Total ( f ) 

He  O 2  CH 4 

3  3  3 

0  2  3 

3  5  6 

Monatomic  Diatomic  Polyatomic 

He (a ) He

O

O (b ) O 2 H

C

H

H

H

(c ) CH 4

Models of molecules as  used in kinetic theory: (a) helium,  a typical monatomic molecule; (b)  oxygen, a typical diatomic molecule;  and (c) methane, a typical polyatomic  molecule. The spheres represent  atoms, and the lines between them  represent bonds. Two rotation axes  are shown for the oxygen molecule.  Figure  19.8.1 

Predicted Molar Specific Heats  C V (Eq. 19.8.1) 

C p = C V  + R 

_  3  2 

R 

5 R  _ 

_  5 R  2 

_  7 R 

3R 

4R 

2  2 

Figure 19.8.1 shows common models of helium (a monatomic molecule, con-  taining a single atom), oxygen (a diatomic molecule, containing two atoms), and  methane (a polyatomic molecule). From such  models, we would  assume that all  three types of  molecules can have translational motions (say, moving left–right  and  up–down)  and  rotational  motions  (spinning  about  an  axis  like  a  top).  In  addition, we would  assume that the diatomic and polyatomic molecules can have  oscillatory motions, with the atoms oscillating slightly toward and away from one  another, as if attached to opposite ends of a spring.  To keep account of the various ways in which energy can be stored in a gas,  James Clerk Maxwell introduced the theorem of the equipartition of energy:  Every kind of molecule has a certain number f of degrees  of freedom, which are  independent ways in which the molecule can store energy. Each such degree of  freedom has associated with it—on average—an energy of _ 1 2 kT per molecule  (or  1 _ 2 RT per mole). 

Let us apply the theorem to the translational and rotational motions of the  molecules in Fig. 19.8.1. (We discuss  oscillatory motion  below.) For the transla-  tional motion,  superimpose an xyz coordinate system on any gas. The molecules  will,  in general, have velocity components  along all  three axes. Thus,  gas mole-  cules of all types have three degrees of translational freedom (three ways to move  _  in translation) and, on average, a n associated energy of 3 ( 1  2 kT) per molecule.  For the rotational motion,  imagine the origin  of  our xyz coordinate system at  the  center of  each molecule in  Fig. 19.8.1. In  a gas, each molecule should  be able  to rotate with an angular velocity component along each of  the three axes, so each  gas should  have three degrees of rotational freedom and, on  average, an additional  1 kT ) per molecule. However, e xperiment shows this is true only for the  energy of 3 ( _  2  polyatomic molecules. According to  quantum  theory, the  physics dealing with  the  allowed motions and  energies of  molecules and atoms, a monatomic gas molecule  does not  rotate and so  has no  rotational energy (a single atom cannot rotate like a  top). A diatomic molecule can rotate like a top only about axes perpendicular to the  line  connecting the  atoms (the axes are shown  in  Fig. 19.8.1b) and  not  about  that  line itself. Therefore, a diatomic molecule can have only two degrees of rotational  _  freedom and a rotational energy of only 2 ( 1  2 kT) per molecule.  To extend our analysis of molar specific heats (C p  and C V  in Module 19.7) to  ideal diatomic and polyatomic gases, it is necessary to retrace the derivations of  3 nRT ) with E  = ( f/2)  that analysis in detail. First, we replace Eq. 19.7.2 ( Ei nt  = _  int  2  nRT, where f is the number of  degrees of freedom listed in  Table 19.8.1. D oing  so leads to the prediction  f  C V  = ( __ ) R = 4.16f J/mol ⋅ K,  2 

(19.8.1) 

which  agrees—as  it  must—with  Eq.  19.7.7  for  monatomic  gases  ( f = 3).  As  Table 19.7.1 shows, this  prediction  also agrees with experiment for  diatomic gases  ( f = 5),  but  it  is  too  low  for  polyatomic  gases  ( f = 6  for  molecules  comparable  to CH 4).   

/

19.8  D EGREES  OF   F REED OM  AND  MOL AR  SP EC IF IC   HEAT S 

599

Checkpoint 19.8.1 

Here are three gases with the same value of n that will undergo constant-volume pro-  cesses with the same temperature change of ΔT = 10 C°.  1. Monatomic gas  2. Diatomic gas without rotation  3. Diatomic gas with rotation  (a) Rank the processes according to the value of the molar specific heat at constant  volume C V , greatest first. (b) Next, rank them according to the value of the change  ΔK tran in the translational kinetic energy, greatest first. (c)  Now rank them according  to the value of the change ΔE int  in the internal energy, greatest first. 

Sample Problem 19.8.1

Diatomic  gas, heat, temperature,  internal energy 

We transfer 1000 J as heat Q to a diatomic gas, allowing  the gas to expand with the pressure held constant. The gas  molecules each rotate around  an internal axis but  do not  oscillate. How much of the 1000 J goes into the increase of  the gas’s internal energy? O f that amount, how much goes  into ∆K tran (the kinetic energy of the translational motion  of  the  molecules) and  ∆K rot  (the  kinetic  energy of  their  rotational motion)? 

KEY IDEAS 1.  The  transfer of  energy as heat Q to  a gas under  con-  stant  pressure is  related to  the  resulting temperature  increase ∆T via Eq. 19.7.10 (Q = nC p  ∆T ).  2.  Because the gas is diatomic with molecules undergoing  rotation but  not  oscillation, the molar specific heat is,  7  from Fig. 19.7.4 a nd Table 19.8.1, Cp   =  _  2 R.  3.  The  increase ∆E int  in  the internal energy is  the same  as would  occur with a constant-volume process result-  ing  in  the  same  ∆T.  Thus,  from  Eq.  19.7.9, ∆E int  =  nC V ∆T. From Fig. 19.7.4 a nd Table 19.8.1, we see that  5 R.  C V =  _  2  4.  For the same n and ∆T, ∆E int  is greater for a diatomic  gas  than  for  a  monatomic  gas  because  additional  energy is required for rotation.  Let’s first get the temperature change ∆T  due to the transfer of energy as heat. From Eq. 19.7.10, sub-  _  stituting 7  2 R for C p , we have  Increase in E int :

Q  ΔT = ____  .  7  _  2 nR 

(19.8.2) 

We next find ΔE int  from Eq. 19.7.9, substituting the molar  _ R)  for  a  constant-volume  process  specific  heat  C V  (=  5  2  and  using  the  same ΔT.  Because we  are dealing  with  a 

diatomic  gas,  let’s  call  this  change  ΔE int,dia .  Equation  19.7.9 g ives us  Q  5  5  R  ____  =  _  Q  ΔE int,dia  = nC V  ΔT = n _  2  ( _  7 nR )  7  2  = 0.71428Q = 714.3 J. 

(Answer) 

In words, about  71% of the energy transferred to the gas  goes into  the internal energy. The rest goes into the work  required  to  increase the  volume  of  the  gas,  as  the  gas  pushes the walls of its container outward.  If we were to increase the temperature of  a monatomic gas (with the same value of n) by the amount  given in  Eq. 19.8.2, the internal energy would  change by  a  smaller  amount,  call  it  ∆E int, mon ,  because  rotational  motion is not involved. To calculate that smaller amount,  we still use Eq. 19.7.9 but now  we substitute the value of  C V for a monatomic gas—namely, CV    = _ 3 2 R. So,  Increases in K:

_ R ΔT.  ΔE int,mon  = n 3  2 

Substituting  for ∆T from Eq. 19.8.2 leads us to  Q  3  3  ____  = _  ΔE int,mon = n _  2 R (  _  7 Q  )   n 7  R 2  = 0.42857Q = 428.6 J.  For  the  monatomic  gas, all  this  energy would  go  into  the  kinetic  energy  of  the  translational  motion  of  the  atoms.  The  important  point  here is that  for  a diatomic  gas with  the same values of  n  and ∆T, the same amount of  energy  goes into  the kinetic  energy of  the translational motion  of  the  molecules. The  rest of  ∆E int,dia  (that  is, the  additional  285.7 J)  goes into  the  rotational  motion  of  the molecules.  Thus, for the diatomic gas,  ∆K trans  = 428.6 J  and  ∆K rot  = 285.7 J.  (Answer) 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

/

600

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

4

A  Hint of Quantum Theory 

7/2

We can improve the agreement of  kinetic  theory with  experi-  ment  by  including  the  oscillations  of  the  atoms  in  a  gas  of  5/2 diatomic or polyatomic molecules. For example, the two atoms  in the O 2  molecule of Fig. 19.8.1b can oscillate toward and away  2 Rotation from  each other,  with  the  interconnecting  bond  acting  like  a  3/2 spring. However, e xperiment shows that such oscillations occur  1 only at relatively high  temperatures of the  gas—the motion  is  Translation “turned on” only when the gas molecules have relatively large  energies. Rotational  motion  is  also  subject  to  such  “turning  0 on,” but at a lower temperature.  20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10 000 Temperature (K) Figure 19.8.2 is of help in seeing this turning on of rotational  Figure 19.8.2  C  V /R versus temperature  motion  and  oscillatory  motion.  The  ratio  C V /R  for  diatomic  for (diatomic) hydrogen gas. Because  hydrogen  gas (H 2)    is  plotted  there  against temperature, with  the  temperature  rotational and oscillatory motions  scale logarithmic  to  cover several orders  of  magnitude. Below  about  80 K, we  begin at certain energies, only transla-  find  that C V /R = 1.5. This result implies that only the three translational degrees  tion is possible at very low tempera-  of freedom of hydrogen are involved in the specific heat.  tures. As the temperature increases,  As the  temperature increases, the  value  of  C V /R  gradually increases to  2.5,  rotational motion can begin. At still  implying that two additional degrees  of freedom have become involved. Quantum  higher temperatures, oscillatory  theory shows that these two degrees  o f freedom are associated with the rotational  motion can begin.  motion  of  the hydrogen molecules and that this  motion  requires a certain mini-  mum amount of energy. At very low temperatures (below  80 K), the molecules  do  not  have enough energy to  rotate. As the temperature increases from 80 K,  first a few molecules and then more and more of them obtain  enough energy to  rotate, and the value of C V /R increases, until all of the molecules are rotating and  C V /R = 2.5.  Similarly, quantum  theory  shows  that  oscillatory  motion  of  the  molecules  requires a certain (higher) minimum amount of energy. This  minimum amount  is not met until  the molecules reach a temperature of about 1000 K, as shown  in  Fig.  19.8.2. As the  temperature increases beyond 1000 K, more and  more mol-  ecules have enough energy to oscillate and the value of C V /R increases, until  all  of the molecules are oscillating and C V /R = 3.5. (In Fig. 19.8.2, the plotted curve  stops at 3200 K because there the atoms of a hydrogen molecule oscillate so much  that they overwhelm their bond,  and the molecule then dissociates into two sepa-  rate atoms.)  The turning on of the rotation and vibration of the diatomic and polyatomic  molecules is  due  to  the  fact that  the  energies of  these  motions  are  quantized,  that is, restricted to certain values. There is a lowest allowed value for each type  of  motion. Unless  the thermal agitation of  the surrounding  molecules provides  those lowest amounts, a molecule simply cannot rotate or vibrate.  3

Oscillation

R

/ VC

19.9  THE ADIABATIC EXPANSION OF AN IDEAL GAS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

19.9.1  On a 

p-V diagram,  sketch an adiabatic  expan- 

sion (or contraction) and identify  that there is no heat  exchange 

Q with  the environment. 

19.9.2  Identify that in  an adiabatic expansion, the gas  does work on the environment, decreasing the gas’s  internal  energy, and that in  an adiabatic contrac-  tion, work is done on the gas, increasing the internal  energy. 

19.9.3  In an adiabatic expansion or contraction, relate the  initial  pressure and volume to the final  pressure and  volume.  19.9.4  In an adiabatic  expansion or contraction, relate  the initial  temperature and volume to the final  tem-  perature and volume.  19.9.5  Calculate  the work done in an adiabatic  process  by integrating the pressure with  respect to volume. 

/

19.9  T HE AD IABAT IC   EXP ANSION  OF   AN  ID EAL  GAS 

19.9.6  Identify that a free  expansion of a gas into a 

by the first law of thermodynamics, the internal 

vacuum is adiabatic  but no work is done and thus, 

energy and temperature of the gas do not change. 

Key  Ideas  ●

When  an ideal gas undergoes a slow adiabatic  vol- 

ume change  (a change  for which 

 pV  = a constant 

Q = 0), 

601

in which 

 (= C p /C V)   is the ratio of molar specific  heats 

for the gas. 

(adiabatic process), 

●

For a free expansion, 

pV =  a constant. 

The Adiabatic Expansion of an Ideal Gas 

We  saw  in  Module  17.2  that  sound  waves  are  propagated  through  air  and  other  gases as a series of  compressions  and  expansions; these variations in  the  transmission  medium take  place so  rapidly that  there  is  no  time  for  energy to  be  transferred from  one  part  of  the medium to  another  as heat. As we saw in  Module  18.5, a process for  which  Q = 0 is an  adiabatic process. We can ensure  that Q = 0 either by carrying out the process very quickly (as in sound  waves) or  by doing it (at any rate) in a well-insulated container.  Figure  19.9.1a shows  our  usual  insulated cylinder, now  containing  an  ideal  gas and resting on an insulating stand. By removing mass from the piston, we can  allow the gas to expand adiabatically. As the volume increases, both the pressure  and  the  temperature drop.  We  shall  prove  next  that  the  relation  between the  pressure and the volume during such an adiabatic process is   pV  = a constant 

(19.9.1) 

(adiabatic process), 

in  which   = C p /C V , the ratio  of  the  molar specific heats for  the gas. On a p-V  diagram such  as that  in  Fig.  19.9.1b, the  process occurs  along  a line  (called  an   adiabat) that  has the  equation  p = (a constant)/V  . Since  the gas goes from  an  initial state i to a final state f, we can rewrite Eq. 19.9.1 a s    p i V  i  = p f V  f  (adiabatic process).  (19.9.2)  To write an equation for an adiabatic process in terms of T and V, we use the  ideal gas equation ( pV = nRT ) to eliminate p from Eq. 19.9.1, finding  nRT  γ _____  (  V  ) V  = a constant. 

We slowly remove lead shot, allowing an expansion without any heat transfer. W

Adiabat (Q = 0) erusserP

i

Insulation

f

Isotherms: 700 K 500 K 300 K

Volume (a )

(b )

(a) The volume of an ideal gas is increased by removing mass from the  piston. The process  is adiabatic (Q = 0). (b) The process proceeds from i to f along an  adiabat on a p-V diagram.  Figure  19.9.1 

/

602

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Because n and R are constants, we can rewrite this in the alternative form   TV  −1 = a constant 

(adiabatic process), 

(19.9.3) 

in which the constant is different from that in Eq. 19.9.1. When the gas goes from  an initial state i to a final state f, we can rewrite Eq. 19.9.3 a s   −1  T i V i −1 = T fV  (adiabatic process).  (19.9.4)    f  Understanding adiabatic processes a llows you to understand why popping the  cork on a cold bottle of champagne or the tab on a cold can of soda causes a  slight  fog to form at the opening of the container. At the top of any unopened carbon-  ated drink  sits a gas of carbon dioxide and water vapor. Because the pressure of  that gas is much greater than atmospheric pressure, the gas expands out into  the  atmosphere when  the container is opened.  Thus,  the gas volume increases, but  that means the gas must do  work  pushing  against the  atmosphere. Because the  expansion is rapid, it is adiabatic, and the only source of energy for the work is the  internal energy of  the gas. Because the internal energy decreases, the  tempera-  ture of the gas also decreases a nd so does the number of water molecules that can  remain as a vapor. So, lots of the water m olecules condense into tiny drops of fog.  Proof  of Eq. 19.9.1 

Suppose that you remove some shot from the piston  of Fig. 19.9.1a, allowing the  ideal gas to push  the piston  and the remaining shot upward and thus  to increase  the volume by a differential amount dV. Since the volume change is tiny, we may  assume that the pressure p of the gas on the piston  is constant during the change.  This  assumption  allows us  to say that the work  dW  done  by  the gas during  the  volume increase is equal to p dV. From Eq. 18.5.4, the first law of thermodynam-  ics can then be written as  dE int  = Q − p dV. 

(19.9.5) 

Since  the  gas  is  thermally insulated  (and  thus  the  expansion  is  adiabatic), we  substitute  0 for  Q. Then  we use Eq.  19.7.9 to substitute  nC V  dT for  dE int . With  these substitutions, and after some rearranging, we have  p  n dT = −  ___   dV.  ( C V ) 

(19.9.6) 

Now from the ideal gas law ( pV = nRT ) we have  p dV + V dp = nR dT. 

(19.9.7) 

Replacing R with its equal, C p  − C V, in Eq. 19.9.7  y ields    p dV + V dp  n dT = ____________  .  C p − C V 

(19.9.8) 

Equating Eqs. 19.9.6 a nd 19.9.8 a nd rearranging then give  C p  ___  dp  dV  = 0.  ___  ___  p  + 

( C V )  V 

Replacing  the  ratio  of  the  molar  specific  heats  with  integral 5 in Appendix E) yield 



and  integrating  (see 

ln p +  ln V = a constant.   Rewriting the left side as ln pV  and then taking the antilog of both sides, we find   pV  = a constant.  (19.9.9) 

/

603

19.9  T HE AD IABAT IC   EXP ANSION  OF   AN  ID EAL  GAS 

Free  Expansions 

Recall from  Module  18.5 that a free expansion  of  a gas is an  adiabatic process  with no  work  or  change in  internal energy. Thus,  a free expansion differs from  the  adiabatic process described by Eqs.  19.9.1 through  19.9.9, in  which  work  is  done  and  the internal energy changes. Those  equations  then  do  not  apply  to  a  free expansion, even though such an expansion is adiabatic.  Also recall that in a free expansion, a gas is in equilibrium only at its initial  and  final  points;  thus,  we  can plot  only  those  points,  but  not  the expansion  itself, on  a  p-V  diagram. In  addition,  because ∆E int  = 0,  the  temperature of  the final state must be that of the initial state. Thus, the initial and final points  on  a  p-V  diagram must  be  on  the  same isotherm, and  instead  of  Eq.  19.9.4  we have  T i  = T f 

(free expansion). 

(19.9.10) 

If we next assume that the gas is ideal (so that pV = nRT ), then because there  is no  change  in  temperature, there can  be no  change in  the product  pV. Thus,  instead of Eq. 19.9.1 a  free expansion involves the relation  p i V i  = p f V f 

Sample Problem 19.9.1

(free expansion). 

(19.9.11) 

Work  done by a  gas in an adiabatic  expansion 

Initially an ideal diatomic gas has pressure p i = 2.00 × 10 5 Pa  and volume V i  = 4.00 × 10 −6 m 3 . How much work W does  it do, and  what is the change ∆E int  in  its internal energy  if it expands adiabatically to volume V f = 8.00 × 10 −6 m 3 ?  Throughout  the process, the molecules have rotation but  not oscillation. 

this expression into Eq. 19.9.12 a nd integrating lead us to  v 

v 

f  f  W =  p dV =  V −γ p i V iγ   dV 

v i 

v i 

v f 

1  p V γ V − γ+1  V f  = p i V i γ  V −γ  dV = ______  ]V  − γ + 1  i  i [ i  v i  1  p V γ V −γ+1 − V −γ +1  .  = ______  i  ] − γ + 1  i  i  [ f 

KEY IDEAS (1)  In  an  adiabatic  expansion,  no  heat  is  exchanged  between the  gas and  its  environment,  and  the  energy  for the  work  done  by  the gas comes from  the internal  energy. (2)  The final  pressure and  volume are related  to the initial pressure and volume by  Eq. 19.9.2 (p i V i γ =  p f V γf ). (3) The work done  by a gas in any process can be  calculated by  integrating  the  pressure with  respect  to  the volume (the work is due to the gas pushing the walls  of its container outward).  We  want  to  calculate the  work  by  filling  out this integration,  Calculations:

v f 

W =  p dV,  v i 

(19.9.12) 

but we first need an expression for the pressure as a func-  tion  of volume (so that  we integrate the expression with  respect to volume). So, let’s rewrite Eq. 19.9.2 with indefi-  nite symbols (dropping the subscripts f ) as  1  p V γ = V −γ p V γ.  p = ___  (19.9.13)  i  i  V γ i  i  The  initial  quantities  are  given  constants  but  the  pres-  sure p is a function of the variable volume V. Substituting 

(19.9.14) 

Before we substitute  in  given data, we must determine  the  ratio   of  molar specific  heats for  a gas of  diatomic  molecules with  rotation  but  no  oscillation.  From Table  19.8.1 we find  C 

7  _  R 

p  2  γ = ___  = ____  = 1.4.  5  C  _  V 

R 

(19.9.15) 

2 

We can now write the work done by the gas as the follow-  ing (with volume in cubic meters a nd pressure in pascals):  1  (2.00 × 10 5 )(4.00 × 10 −6 ) 1.4  W = ________  −1.4 + 1  × [(8.00 × 10 −6 ) −1.4+1 − (4.00 × 10 −6 ) −1.4+1 ]  = 0.48 J. 

(Answer) 

The first law of thermodynamics (Eq. 18.5.3) tells us that  ∆E int  = Q − W. Because Q  = 0 in the adiabatic expansion,  we see that  ∆E int  = −0.48 J. 

(Answer) 

With  this decrease in  internal energy, the gas tempera-  ture must also decrease because of the expansion. 

/

604

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

Sample Problem 19.9.2

Adiabatic  expansion,  free  expansion 

Initially, 1 mol of oxygen (assumed to be an ideal gas) has  temperature 310 K and  volume 12 L. We will  allow it  to  expand to volume 19 L.  (a) What would  be the final temperature if the gas expands  adiabatically? Oxygen (O 2) is diatomic and here has rotation    but not oscillation. 

KEY IDEAS 1.  When  a gas expands against the pressure of  its  envi-  ronment, it must do work.  2.  When  the process is adiabatic (no  energy is  transferred  as heat), then the energy required for the work can come  only from the internal energy of the gas.  3.  Because the  internal  energy decreases, the  tempera-  ture T must also decrease.  We can relate the initial and final tempera-  tures and volumes with Eq. 19.9.4:  Calculations:

T i V iγ  −1 = T f V fγ  −1 . 

(19.9.16) 

Because the molecules are diatomic and have rotation but  not oscillation, we can take the molar specific heats from  Table 19.8.1. Thus, 

Problem-Solving Tactics

7  _ R 

C 

p  ___ = 1.40.  γ =  ___  =  2  _  C  5  2 R 

V 

Solving Eq. 19.9.16 for T f  and inserting known  data then  yield  (310 K )(12 L ) 1.40−1  T i V iγ  −1  _________________  T f  =  ______  =  (19 L ) 1.40−1  V f γ−1  0.40 

12  =  (310 K ) ( _  19 )

= 258 K. 

(Answer) 

(b) What would  be the final temperature and pressure if,  instead, the gas expands freely to the  new volume, from  an initial pressure of 2.0 Pa? 

KEY IDEA The  temperature  does  not  change  in  a  free  expansion  because there is nothing  to  change the  kinetic energy of  the molecules.  Calculation:

Thus, the temperature is  T f = T i  = 310 K. 

(Answer) 

We find the new pressure using Eq. 19.9.11, which gives us  V i  12 L = 1.3 Pa.  p f = p i __  = (2.0 Pa ) _____  V f  19 L 

(Answer) 

A Graphical  Summary of Four Gas Processes 

erusserP

In this  chapter we have discussed  four  special processes  that an  ideal gas can undergo.  An example of  each (for  a monatomic ideal gas) is shown  in Fig. 19.9.2, a nd some  associated characteristics a re given in Table 19.9.1, includ-  ing  two  process names  (isobaric  and  isochoric)  that  we  have not used but that you might see in other courses. 

i

1 2 3

4 f

f f f

Checkpoint 19.9.1 

Rank paths 1, 2, and 3 in Fig. 19.9.2 according to the energy  transfer to the gas as heat, greatest first. 

700 K 500 K 400 K

Volume

A p-V diagram representing four special pro-  cesses for an ideal monatomic gas.  Figure  19.9.2 

Table 19.9.1  Four Special Processes 

Some Special Results  Path in Fig. 19.9.2  1  2  3  4 

Constant Quantity 

Process Type 

p  T    pV  , TV  −1  V 

Isobaric  Isothermal  Adiabatic  Isochoric 

(∆E int = Q − W and ∆E int = nC V  ∆T for all paths)  Q = nC p  ∆T; W = p ∆V  Q = W = nRT ln(V f /V i );  ∆E int = 0  Q = 0;  W = −∆E int  Q = ∆E int = nC V  ∆T;  W = 0 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

REV IEW  &  SU MMARY  

605

Review & Summary The  kinetic  theory  of  gases  relates the macroscopic properties of gases (for  example, pres-  sure and temperature) to the microscopic properties of gas mol-  ecules (for example, speed and kinetic energy).  Kinetic  Theory  of  Gases 

One  mole  of  a  substance  contains  N A   (Avogadro’s  number)  elementary  units  (usually  atoms or  molecules), where N A  is found experimentally to be  Avogadro’s  Number 

N A  = 6.02 × 10 23  mol −1 

(Avogadro’s number). 

(19.1.1) 

One molar mass M of any substance is the mass of one mole of  the substance. It is related to the mass m of the individual mole-  cules of the substance by  M = mN A . 

(19.1.4) 

The  number of  moles  n  contained in  a  sample of  mass  M sam ,  consisting of N molecules, is given by  M sam  _____  M  N  = _____  n =  ___  =  sam .  N A  M  mN A 

(19.1.2, 19.1.3) 

An  ideal  gas  is  one  for  which  the  pressure  p,  volume V, and temperature T are related by  Ideal  Gas 

pV = nRT  (ideal gas law). 

(19.2.1) 

Here n is the number of moles of the gas present and R is a con-  stant (8.31 J/mol ·  K)  called the gas  constant. The  ideal gas  law  can also be written as  pV = NkT,  (19.2.5)  where the Boltzmann constant k is  R  = 1.38 × 10 −23  J / K.  k = ___  N A 

(19.2.3) 

The  work  done by an ideal gas during an isothermal (constant-temperature)  change from volume V i  to volume V f  is  V f  W = nRT  ln  __  (ideal gas, isothermal process).  (19.2.10)  V i  Work  in  an  Isothermal  Volume  Change 

The  pressure exerted by n moles of an ideal gas, in terms of the speed  of its molecules, is  Pressure,  Temperature,  and  Molecular Speed 

2 

nMVrms  p = _______  ,  _ 

3V 

(19.3.4) 

where  v rms  =  √ (v 2 ) avg  is  the  root-mean-square  speed  of  the  molecules of the gas. With Eq. 19.2.1 this gives  _____ 

3RT .  v rms  = √ ____  M 

(19.3.5) 

The average transla-  tional kinetic energy K avg  per molecule of an ideal gas is  Temperature and  Kinetic Energy 

3 kT.  K avg  =  _  2 

(19.4.2) 

The mean free path  of a gas molecule is  its average path length between collisions and is given by  Mean Free Path 

_  1  λ = ____________  ,  √ 2 π d 2  N/ V 

(19.5.1) 

where N/V is the number of molecules per unit volume and d is  the molecular diameter.  The  Maxwell  speed  distri-  bution P(v)  is  a  function such  that  P(v)  dv  gives  the  fraction  of molecules with speeds in the interval dv at speed v:  Maxwell  Speed  Distribution 

3/2 

M  P(v)  = 4π( ______  v 2  e −Mv  /2RT .  2πRT )   2 

(19.6.1) 

Three  measures  of the distribution of speeds  among the mol-  ecules of a gas are  _____ 

8RT  v avg  = √ ____  πM 

(average speed), 

(19.6.5) 

_____ 

2RT  v P  = √ ____  (19.6.9)  M  (most probable speed),  and the rms speed defined above in Eq. 19.3.5.  The molar specific heat C V  of a gas  at constant volume is defined as  Molar Specific Heats 

Q  ΔE int  C V  = _____  =  _____  ,  (19.7.3, 19.7.5)  n ΔT  n ΔT  in which Q is the energy transferred as heat to or from a sample  of n moles of the gas, ∆T is the resulting temperature change of  the gas, and ∆E int  is the resulting change in the internal energy  of the gas. For an ideal monatomic gas,  3  C V  =  _  2 R = 12.5 J/mol ⋅ K. 

(19.7.7) 

The  molar  specific  heat  C p  of  a  gas  at  constant  pressure  is  defined to be  Q  C p  =  _____ ,  n ΔT 

(19.7.10) 

in which Q, n, and ∆T are defined as above. C p is also given by  C p   = C V  + R. 

(19.7.13) 

For n moles of an ideal gas,  E int  = nC V T 

(ideal gas). 

(19.7.8) 

If n moles of a confined ideal gas undergo a temperature change  ∆T due to any process, the change in the internal energy of the  gas is  ∆E int  = nC V  ∆T 

(ideal gas, any process). 

(19.7.9) 

The equipartition of energy  theorem states that every degree of freedom of a molecule has an  1  _  _  energy 1  2 kT per molecule ( =  2 RT per mole). If f is the number of  degrees of freedom, then E int  = (f/2)nRT and  Degrees of Freedom and CV

f 

C V  = ( _  R = 4.16f J/mol ⋅ K.  2) 

(19.8.1) 

/

606

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

For monatomic gases f = 3 (three translational degrees); for diatomic  gases f = 5 (three translational and two rotational degrees).  When an ideal gas  undergoes an adia-  batic volume change (a change for which Q = 0),  Adiabatic Process 

pV  = a constant  (adiabatic process), 

(19.9.1) 

in which  (= C p /C V )  is the ratio of molar specific heats for the  gas. For a free expansion, however, pV = a constant. 

Questions For  four situations for an  a  b  c  d  ideal gas,  the  table gives  the  −50  +35  −15  +20  energy transferred  to or from  Q  the  gas  as  heat Q  and either  W  −50  +35  the work  W  done by  the gas  W  −40  +40  on  or the work W on  done on the  gas,  all  in  joules.  Rank  the  four situations in  terms of the temperature change of  the gas,  most positive first.  1 

In  the  p-V  diagram  of  Fig. 19.1, the gas does 5 J of work  when  taken  along  isotherm  ab  and 4 J when taken along adiabat  bc.  What  is  the  change  in  the  internal energy  of the  gas  when  it is taken along the straight path  from a to c?  2 

p

A certain amount of energy is  p to be transferred  as heat to 1 mol  1 of a monatomic gas (a) at constant  2 pressure  and (b)  at  constant vol-  3 ume, and  to  1 mol  of  a  diatomic  4 gas  (c)  at  constant  pressure  and  V (d)  at  constant  volume.  Figure  19.3 shows four paths from an ini-  Figure  19.3  Question 5.  tial point to four final points on a  p-V diagram for the two gases. Which path goes with which pro-  cess? (e) Are the molecules of the diatomic gas rotating?  5 

The  dot  in  Fig. 19.2b  represents  the  initial state  of  a  gas,  and the isotherm through the dot divides the p-V diagram into  regions 1 and 2. For the following processes,  determine whether  the change ∆E int  in  the internal energy  of the  gas  is  positive,  negative, or zero: (a)  the gas moves up along the isotherm, (b)  it moves down along the isotherm, (c)  it moves to anywhere in  region 1, and (d) it moves to anywhere in region 2.  6 

a

b

c

For a temperature increase of  V ∆T 1,   a certain amount of an ideal  Figure  19.1  Question 2.  gas  requires  30 J  when heated at  constant volume  and  50  J  when  heated  at  constant pressure.  How much work is done by the gas in the second situation?  3 

The dot in Fig. 19.2a represents the initial state of a gas, and  the vertical line  through the dot divides the p-V diagram into  regions 1 and 2. For the following processes, determine whether  the work W done by the gas is positive, negative, or zero: (a) the  gas  moves up along the vertical line, (b)  it  moves down along  the vertical line, (c) it moves to anywhere in region 1, and (d) it  moves to anywhere in region 2.  4 

(a)  Rank  the  four  paths  of  Fig.  19.9.2  according  to  the  work done by the gas, greatest first. (b) Rank paths 1, 2, and 3  according to the change in the internal energy of the gas, most  positive first and most negative last.  7 

The  dot in  Fig.  19.2c  represents  the  initial state  of  a  gas,  and the adiabat through the dot divides the p-V diagram into  regions 1 and 2. For the following processes,  determine whether  the corresponding heat Q is  positive, negative, or zero: (a)  the  gas  moves up  along the  adiabat, (b)  it moves  down along the  adiabat, (c) it moves to anywhere in region 1, and (d) it moves  to anywhere in region 2.  8 

An ideal diatomic gas, with molecular rotation but without  any molecular  oscillation, loses  a  certain amount of energy  as  heat Q. Is  the resulting decrease  in the internal energy  of the  gas greater if the loss occurs in a constant-volume process or in  a constant-pressure process?  9 

p

p

1

p

2

2

2

1

1

V

(a)

(b )

Figure  19.2 

V

Questions 4, 6, and 8. 

Does the  temperature of an  ideal gas  increase, decrease,  or  stay  the  same  during  (a)  an  isothermal  expansion,  (b)  an  expansion at constant pressure, (c)  an adiabatic expansion, and  (d) an increase in pressure at constant volume?  10 

V

(c )

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at  instructor’s discretion) in  WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 19.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying

Circus of Physics

Avogadro’s Number 

Find the mass in kilograms of 7.50 × 10 24  atoms of arsenic,  which has a molar mass of 74.9 g/mol.  1  E 

Biomedical  application 

and at flyingcircusofphysics.com 

E  Gold has a molar mass of 197 g/mol. (a) How many moles  of gold are in a 2.50 g sample of pure gold? (b) How many atoms  are in the sample? 

2 

/

P ROBL EMS 

Module 19.2 

Ideal Gases 

Oxygen gas  having a  volume of 1000 cm 3  at  40.0°C  and  1.01 × 10 5  Pa  expands  until  its  volume  is  1500 cm 3  and  its  pressure  is  1.06 × 10 5  Pa. Find (a)  the  number of  moles of  oxygen present and (b) the final temperature of the sample.  3 

E 

SSM 

E  A quantity of ideal gas  at 10.0°C and 100 kPa occupies  a  volume of 2.50 m 3 . (a) How many moles of the gas are present?  (b)  If  the pressure  is  now  raised  to 300 kPa and the  tempera-  ture is raised to 30.0°C, how much volume does the gas occupy?  Assume no leaks. 

4 

E  The  best  laboratory  vacuum  has  a  pressure  of  about  1.00  × 10 −18  atm, or  1.01 × 10 −13  Pa. How many gas  molecules  are there per cubic centimeter in such a vacuum at 293 K? 

5 

Suppose 1.80 mol of an ideal gas is taken from a volume of  3.00 m 3  to a  volume of 1.50 m 3  via  an isothermal compression  at 30°C. (a) How much energy is transferred  as heat during the  compression, and (b) is the transfer to or from the gas?  7  E 

E  Compute (a)  the number of moles and (b)  the number of  molecules in 1.00 cm 3  of an ideal gas at a pressure of 100 Pa and  a temperature of 220 K. 

the  chamber  reached  the  hatch and  clamped  to  the  hull, the  crew could escape into the chamber. During the descent, air was  released from tanks to prevent water from flooding the cham-  ber.  Assume that the  interior air  pressure  matched the water  pressure at depth h as given by p 0  + gh, where p 0  = 1.000 atm is  the surface pressure and  = 1024 kg/m 3  is the density of seawa-  ter. Assume a surface  temperature of 20.0°C and a submerged  water temperature of −30.0°C. (a) What is the air volume in the  chamber at the surface? (b)  If  air had not been released from  the tanks, what would have been the air volume in the chamber  at depth h = 80.0 m? (c) How many moles of air were needed to  be released to maintain the original air volume in the chamber?  GO  A sample of an ideal gas  is  taken through the cyclic process  abca shown  in Fig. 19.4. The  scale  of the vertical axis is set by p b  = 7.5  kPa and p ac  = 2.5 kPa. At point a,  T = 200 K.  (a)  How  many  moles  of  gas  are  in  the  sample?  What  are  (b)  the temperature of the gas  at  point b,  (c)  the  temperature of  the gas  at  point c,  and (d)  the net  energy  added  to  the  gas  as  heat  during the cycle?  13  M 

An automobile tire has a volume of 1.64 × 10 −2  m 3  and con-  tains air at a gauge pressure  (pressure above atmospheric pres-  sure)  of 165 kPa when the temperature is  0.00°C. What is  the  gauge pressure of the air in the tires when its temperature rises  to 27.0°C  and its  volume increases  to  1.67 × 10 −2  m 3 ?  Assume  atmospheric pressure is 1.01 × 10 5  Pa.  A container encloses 2 mol of an ideal gas that has molar  mass M 1  and 0.5 mol of a second ideal gas that has molar mass  M 2  = 3M 1 . What fraction of the total pressure on the container  wall is attributable to the second gas? (The kinetic theory expla-  nation of pressure leads to the experimentally discovered law of  partial pressures for a mixture of gases that do not react chemi-  cally:  The  total pressure  exerted  by  the  mixture  is  equal  to  the  sum of the pressures  that the several gases  would exert separately  if  each  were  to  occupy  the  vessel  alone. The  molecule–vessel  collisions  of one type would not be altered by the presence of  another type.) 

b

pb

pa c

a

c

1.0 3.0 Volume (m 3) Figure  19.4 

Problem 13. 

In the temperature range 310 K to 330 K, the pressure p  of a certain nonideal gas is related to volume V and temperature  T by  14  M 

T  − (0.006 62 J/K 2 ) ___  T 2 .  p = (24.9 J/K ) __  V  V 

8 

9  E 

)aPk( erusserP

FCP  Water bottle in a hot car. In the American Southwest,  the  temperature in a  closed car  parked in  sunlight during the  summer can be high enough to burn flesh. Suppose a  bottle of  water  at  a  refrigerator  temperature of 5.00°C is  opened, then  closed, and then left in a  closed car  with an  internal tempera-  ture  of 75.0°C. Neglecting the thermal expansion of the water  and the bottle, find the pressure in the air pocket trapped in the  bottle. (The pressure can be enough to push the bottle cap past  the threads that are intended to keep the bottle closed.) 

6  E 

607

How much work is  done by the gas if its temperature is raised  from 315 K to 325 K while the pressure is held constant?  Suppose 0.825 mol of an ideal gas undergoes an isother-  mal expansion  as  energy  is  added to it  as  heat Q. If  Fig. 19.5  shows  the final volume V f  versus  Q, what is  the  gas  tempera-  ture? The scale of the vertical axis is set by V fs  = 0.30 m 3 , and the  scale of the horizontal axis is set by Q s  = 1200 J.  15  M 

10  E 

)3m( f

V

3  CALC  SSM  Air that initially occupies 0.140 m  at a gauge  pressure  of 103.0 kPa is expanded isothermally to a pressure of  101.3 kPa and then cooled at constant pressure  until it reaches  its  initial volume. Compute the work  done by the air. (Gauge  pressure  is  the  difference  between  the  actual  pressure  and  atmospheric pressure.) 

Vf s

0

11  M 

M  BIO  FCP  GO  Submarine rescue. When the U.S. subma-  rine Squalus became disabled at a  depth of 80  m, a cylindrical  chamber was lowered from a ship to rescue the crew. The cham-  ber had a radius of 1.00 m and a height of 4.00 m, was  open at  the bottom, and held two  rescuers.  It  slid along a  guide cable  that a  diver  had attached to a  hatch  on the  submarine. Once 

12 

Figure  19.5 

Problem 15. 

Q

(J)

Qs

An air bubble of volume 20 cm 3  is at the bottom of a lake  40 m deep, where the temperature is 4.0°C. The bubble rises  to  the surface, which is  at  a temperature of  20°C. Take  the tem-  perature of the bubble’s air  to be the same  as  that of the sur-  rounding water. Just as  the bubble reaches the surface, what is  its volume?  16  H 

GO  Container A in Fig. 19.6 holds an ideal gas at a pres-  sure of 5.0 × 10 5  Pa and a temperature of 300 K. It is connected  by  a  thin tube (and  a  closed  valve)  to  container B, with  four  17  H 

/

608

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

times the volume of A. Container  B  holds  the  same  ideal  gas  at  a  pressure  of  1.0 × 10 5  Pa  and  a  temperature of 400 K. The  valve  is  opened to  allow the pressures  to equalize, but the temperature  of  each  container  is  maintained.  What then is the pressure?  Module 19.3 

E  The  mean free path of nitrogen molecules at  0.0°C  and  1.0 atm is 0.80 × 10 −5  cm. At this temperature and pressure there  are 2.7 × 10 19  molecules/cm 3 . What is the molecular diameter? 

30 

M  In  a  certain  particle  accelerator,  protons travel  around  a  circular  path  of  diameter  23.0 m  in  an  evacuated  chamber,  whose residual gas is at 295 K and 1.00 × 10 −6  torr pressure. (a)  Calculate the number of gas molecules per cubic centimeter at  this pressure.  (b)  What is  the mean free  path of  the gas  mol-  ecules if the molecular diameter is 2.00 × 10 −8  cm? 

31 

A B

Figure  19.6 

Problem 17. 

Pressure, Temperature, and RMS Speed 

The temperature and pressure in the Sun’s atmosphere are  2.00 × 10 6  K and 0.0300 Pa. Calculate the rms speed of free elec-  trons  (mass  9.11 × 10 −31  kg)  there, assuming they are  an  ideal  gas.  18  E 

E  (a)  Compute  the  rms  speed  of  a  nitrogen molecule  at  20.0°C.  The  molar  mass  of  nitrogen  molecules  (N 2 )  is  given  in  Table  19.3.1. At  what  temperatures  will  the  rms  speed  be  (b) half that value and (c)  twice that value? 

19 

E  Calculate the rms  speed of helium atoms at 1000 K. See  Appendix F for the molar mass of helium atoms. 

20 

E  SSM  The  lowest possible  temperature in  outer space  is  2.7 K. What is the rms speed of hydrogen molecules at this tem-  perature? (The molar mass is given in Table 19.3.1.) 

M  At 20°C and 750  torr  pressure, the mean free paths for  argon  gas  (Ar)  and  nitrogen gas  (N 2 )  are   Ar  = 9.9 × 10 −6  cm  and N 2  = 27.5 × 10 −6  cm. (a) Find the ratio of the diameter of an  Ar atom to that of an N 2  molecule. What is the mean free path  of argon at (b) 20°C and 150 torr, and (c)  −40°C and 750 torr? 

32 

Module 19.6 

The Distribution of Molecular Speeds 

E  The  speeds  of  10  molecules  are  2.0,  3.0,  4.0, . . . ,  11 km/s. What are their (a) average speed and (b) rms speed? 

33 

SSM 

The speeds of 22 particles are as follows (N i  represents the  number of particles that have speed v i ):  34  E 

21 

Find the rms speed of argon atoms at 313 K. See Appendix  F for the molar mass of argon atoms. 

N i  v i  (cm/s) 

22  E 

A beam of hydrogen molecules  (H 2 )  is  directed toward  a  wall, at  an  angle  of  55°  with  the  normal  to  the  wall.  Each  molecule in  the  beam has  a  speed  of  1.0 km/s  and  a  mass  of  3.3 × 10 −24  g. The beam strikes the wall over an area of 2.0 cm 2 ,  at  the  rate  of  10 23  molecules  per  second. What  is  the  beam’s  pressure on the wall?  23 

M 

Module 19.4 

Translational Kinetic Energy 

Determine the average value of the translational kinetic  energy  of  the  molecules  of  an  ideal  gas  at  temperatures  (a)  0.00°C and (b)  100°C. What is  the translational kinetic energy  per mole of an ideal gas at (c) 0.00°C and (d) 100°C?  25 

E 

What is the average translational kinetic energy of nitrogen  molecules at 1600 K?  26  E 

Water standing in the open at 32.0°C evaporates because  of  the  escape  of  some  of  the  surface  molecules.  The  heat  of  vaporization (539 cal/g) is approximately equal to εn, where ε is  the average energy of the escaping molecules and n is the num-  ber of molecules per gram. (a) Find ε. (b) What is the ratio of ε to the average kinetic energy of H 2 O  molecules, assuming the  latter is related to temperature in the same way as it is for gases?  27  M 

Mean Free  Path 

At what frequency would the wavelength of sound in air  be equal to the mean free path of oxygen molecules at 1.0 atm  pressure and 0.00°C? The molecular diameter is 3.0 × 10 −8  cm. 

6 

8 

2 

1.0 

2.0 

3.0 

4.0 

5.0 

What are (a) v avg , (b) v rms , and (c)  v P ?  Ten particles are moving with the following speeds: four  at 200 m/s, two at 500 m/s, and four at 600 m/s. Calculate their  (a) average and (b) rms speeds. (c) Is  v rms > v avg ?  35  E 

The most probable speed of the molecules in a gas at tem-  perature T 2  is equal to the rms speed of the molecules at tem-  perature T 1 . Find T 2 /T 1 .  36  M 

SSM  Figure  19.7  shows  a  hypothetical speed distribution for  a sample  of N  gas particles  (note  that  P(v) = 0  for  speed  v > 2v 0).    What  are  the  values  of  (a)  av 0 ,  (b)  v avg /v 0 ,  and  (c)  v rms /v 0 ?  (d)  What fraction of the particles has  a speed between 1.5v 0  and 2.0v 0 ? 

37  M 

a

0

v 0 Speed

Figure  19.7 

2v 0

Problem 37. 

Figure 19.8 gives the probability distribution for nitrogen  gas. The scale of the horizontal axis is set by v s  = 1200 m/s. What  are the (a) gas temperature and (b) rms speed of the molecules?  38  M 

) v(P

Module 19.5 

4 

) v(P

At 273 K and 1.00 × 10 −2  atm, the density of a gas is 1.24 ×  10 −5  g/cm 3 .  (a)  Find  v rms  for  the  gas  molecules.  (b)  Find  the  molar mass of the gas and (c)  identify the gas. See Table 19.3.1.  24  M 

2 

28  E 

SSM  The atmospheric density at an altitude of 2500 km is  about 1 molecule/cm 3 . (a) Assuming the molecular diameter of  2.0 × 10 −8  cm, find the mean free path predicted by Eq. 19.5.1.  (b) Explain whether the predicted value is meaningful. 

29  E 

0

v s v  (m/s) Figure  19.8 

Problem 38. 

/

P ROBL EMS 

At what temperature does the rms speed of (a) H 2  (molec-  ular hydrogen) and (b) O 2  (molecular oxygen) equal the escape  speed from Earth (Table 13.5.1)? At what temperature does the  rms  speed  of (c)  H 2  and (d)  O 2  equal the escape  speed from  the Moon (where  the  gravitational acceleration  at the  surface  has magnitude 0.16g)? Considering the answers to parts (a) and  (b),  should there  be  much (e)  hydrogen and  (f)  oxygen high  in  Earth’s upper  atmosphere, where the  temperature is  about  1000 K?  39  M 

Two  containers  are  at  the  same  temperature. The  first  contains gas with pressure p 1 , molecular mass m 1 , and rms speed  v rms1 .  The  second  contains gas  with pressure  2.0p 1 ,  molecular  mass m 2 , and average speed v avg2  = 2.0v rms1 . Find the mass ratio  m 1 /m 2 .  40 

M 

A hydrogen molecule (diameter 1.0 × 10 −8  cm), traveling at  the rms speed, escapes from a 4000 K furnace into a chamber con-  taining cold argon atoms (diameter 3.0 × 10 −8  cm) at a density of  4.0 × 10 19 atoms/cm 3 . (a) What is the speed of the hydrogen mol-  ecule? (b)  If it collides with an argon atom, what is the closest  their centers can be, considering each as spherical? (c)  What is  the initial number of collisions  per second  experienced by the  hydrogen molecule?  (Hint:  Assume  that the  argon  atoms are  stationary. Then the mean free path of the hydrogen molecule is  given by Eq. 19.5.2 and not Eq. 19.5.1.)  41  M 

Module 19.7 

The Molar Specific Heats of an Ideal Gas 

What is the internal energy of 1.0 mol of an ideal mona-  tomic gas at 273 K?  42 

E 

GO  The temperature of 3.00 mol of an ideal diatomic gas  is increased by 40.0 C° without the pressure of the gas changing.  The  molecules  in the gas  rotate but do  not oscillate.  (a)  How  much energy is transferred  to the gas as  heat? (b)  What is the  change in the internal energy of the gas? (c) How much work is  done by the gas?  (d)  By how much does the rotational kinetic  energy of the gas increase?  43  M 

)aPk( erusserP

M  GO  One  mole of an  ideal  b a p diatomic  gas  goes  from  a  to  c  along  the  diagonal  path  in  Fig.  19.9. The scale of the vertical axis  p c is set by p ab  = 5.0 kPa and p c  = 2.0  kPa, and the scale of the horizon-  tal axis is  set by V bc  = 4.0 m 3  and  V V V a  = 2.0 m 3 . During the transition,  Volume (m 3) (a)  what is the change in internal  Figure  19.9  Problem 44.  energy  of  the  gas,  and  (b)  how  much energy is added to the gas as heat? (c)  How much heat is  required if the gas goes from a to c along the indirect path abc? 

44 

ab

c

a

bc

M  The  mass  of  a  gas  molecule can  be  computed from  its  specific heat at constant volume c V .  (Note that this is not C V . )  Take c V  = 0.075 cal/g · C° for argon and calculate (a) the mass of  an argon atom and (b) the molar mass of argon. 

45 

M  Under  constant pressure,  the  temperature  of  2.00 mol  of  an  ideal  monatomic gas  is  raised  15.0 K. What  are  (a)  the  work W done by the gas, (b)  the energy transferred  as heat Q,  (c) the change ∆E int in the internal energy of the gas, and (d) the  change ∆K in the average kinetic energy per atom? 

46 

The temperature of 2.00 mol of an ideal monatomic gas is  raised 15.0 K at constant volume. What are (a) the work W done  47  M 

609

by the gas, (b) the energy transferred  as heat Q, (c)  the change  ∆E int in the internal energy of the gas, and (d) the change ∆K in  the average kinetic energy per atom?  GO  When 20.9 J was  added as heat to a  particular ideal  gas,  the volume of  the gas  changed from  50.0 cm 3  to  100 cm 3  while the pressure remained at 1.00 atm. (a) By how much did  the  internal energy  of  the  gas  change? If  the  quantity of  gas  present was 2.00 × 10 −3  mol, find (b) C p   and (c) C V .   48  M 

M  SSM  A  container  holds  a  mixture  of  three  nonreact-  ing gases:  2.40 mol of gas  1  with C V1  = 12.0 J/mol ·  K,  1.50 mol  of  gas  2  with C V2  = 12.8  J/mol · K, and  3.20 mol of  gas  3  with  C V3  = 20.0 J/mol · K. What is C V  of the mixture? 

49 

Module 19.8 

Degrees of Freedom and Molar Specific 

Heats 

We give 70 J as heat to a diatomic gas, which then expands  at constant pressure. The gas molecules rotate but do not oscil-  late. By how much does the internal energy of the gas increase?  50  E 

E  When 1.0 mol of  oxygen (O  2)     gas  is  heated at  constant  pressure starting at 0°C, how much energy must be added to the  gas as heat to double its volume? (The molecules rotate but do  not oscillate.) 

51 

GO  Suppose 12.0 g of oxygen (O 2 ) gas  is heated at con-  stant  atmospheric  pressure  from  25.0°C  to  125°C.  (a)  How  many moles of  oxygen are  present?  (See  Table 19.3.1 for  the  molar mass.) (b) How much energy is transferred to the oxygen  as  heat? (The  molecules rotate but do not oscillate.)  (c)  What  fraction of  the heat is  used to raise  the internal energy  of the  oxygen?  52  M 

M  SSM  Suppose  4.00 mol  of  an  ideal  diatomic gas,  with  molecular rotation but not oscillation, experienced a  tempera-  ture  increase  of  60.0 K  under  constant-pressure  conditions.  What are  (a)  the energy transferred  as  heat Q, (b)  the change  ∆E int  in internal energy of the gas, (c)  the work W done by the  gas,  and  (d)  the  change  ∆K  in  the  total  translational  kinetic  energy of the gas? 

53 

Module 19.9 

The Adiabatic Expansion of an Ideal Gas 

We know that for an adiabatic process pV  = a constant.  Evaluate “a constant” for an adiabatic process involving exactly  2.0 mol of an ideal gas passing through the state having exactly  p = 1.0 atm and T = 300 K. Assume a diatomic gas whose mol-  ecules rotate but do not oscillate.  54  E 

A certain gas  occupies a volume of 4.3 L  at a pressure  of  1.2 atm and a temperature of 310 K. It is  compressed adiabati-  cally to a volume of 0.76 L. Determine (a) the final pressure and  (b) the final temperature, assuming the gas to be an ideal gas for  which  = 1.4.  55  E 

Suppose 1.00 L of a gas with  = 1.30, initially at 273 K and  1.00 atm, is suddenly compressed adiabatically to half its initial  volume. Find its  final (a)  pressure  and  (b)  temperature. (c)  If  the gas is  then cooled to 273 K at constant pressure, what is its  final volume?  56  E 

M  The  volume  of  an  ideal  gas  is  adiabatically  reduced  from 200 L to 74.3 L. The initial pressure  and temperature are  1.00 atm and 300 K. The final pressure is 4.00 atm. (a) Is the gas  monatomic, diatomic, or polyatomic? (b) What is the final tem-  perature? (c) How many moles are in the gas? 

57 

/

610

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

M  GO  Figure 19.10 shows  two paths that may be taken by  a gas from an initial point i to a final point f. Path 1 consists of  an isothermal  expansion (work  is  50 J  in magnitude), an adia-  batic  expansion  (work  is  40 J  in  magnitude),  an  isothermal  compression  (work  is  30  J  in  magnitude),  and  then  an  adia-  batic  compression  (work  is  25 J  in  magnitude).  What  is  the  change in  the  internal energy  of  the gas  if  the gas  goes  from  point i to point f along path 2? 

59 

p i

Path 1 Isothermal f

Adiabatic

Path 2

V

Figure  19.10 

Problem 59. 

Adiabatic wind. The  normal airflow over  the  Rocky  Mountains  is  west  to  east.  The  air  loses  much  of  its  moisture  content and  is  chilled as  it  climbs  the  western  side  of  the  mountains. When  it  descends  on  the  eastern  side,  the  increase  in  pressure  toward  lower  altitudes  causes  the  tem-  perature  to  increase.  The  flow,  then  called  a  chinook  wind,  can rapidly raise  the air  temperature at the base  of the moun-  tains.  Assume  that  the  air  pressure  p  depends  on  altitude  y  according  to  p = p 0  exp  (−ay),  where  p 0  = 1.00  atm  and  a = 1.16  ×  10 −4  m −1 .  Also  assume  that the  ratio  of the  molar  4  specific heats is  γ =  _  3 . A  parcel of air  with an  initial tempera-  ture  of  −5.00°C  descends  adiabatically  from  y 1  = 4267  m  to  y = 1567 m. What is its temperature at the end of the descent?  M 

GO 

FCP 

M  GO  A  gas is  to be expanded from initial state i to final  state f along either path 1  or path 2  on a p-V diagram. Path 1  consists of three steps: an isothermal expansion (work is 40 J in  magnitude), an adiabatic expansion (work is 20 J in magnitude),  and another isothermal expansion (work is  30 J in magnitude).  Path 2 consists of two steps: a pressure reduction at constant vol-  ume and an expansion at constant pressure. What is the change  in the internal energy of the gas along path 2? 

61 

GO  An ideal diatomic gas, with rotation but no oscillation,  undergoes an adiabatic compression. Its initial pressure and vol-  ume  are  1.20 atm and  0.200 m 3 .  Its  final pressure  is  2.40 atm.  How much work is done by the gas?  62  H 

H  Figure  19.11  shows  a  cycle  undergone  by  1.00 mol  of  an  ideal  monatomic  gas.  The  temperatures  are  T 1  = 300 K,  T 2  = 600 K,  and  T 3  = 455 K.  For  1 → 2,  what  are  (a)  heat  Q,  (b) the change in internal energy ∆E int , and (c)  the work done 

63 

2 Adiabatic 1

3

Volume Figure  19.11 

Problem 63. 

Additional Problems 

Calculate the work  done by  an  external  agent during an  isothermal compression of 1.00 mol of oxygen from a volume of  22.4 L at 0°C and 1.00 atm to a volume of 16.8 L.  64 

An  ideal  gas  undergoes  an  adiabatic  compression  from  p = 1.0 atm,  V = 1.0 × 10 6  L,  T = 0.0°C  to  p = 1.0 × 10 5  atm,  V = 1.0 × 10 3  L.  (a)  Is  the  gas  monatomic, diatomic, or  poly-  atomic? (b) What is its final temperature? (c)  How many moles  of gas are present? What is the total translational kinetic energy  per mole (d) before and (e)  after the compression? (f)  What is  the ratio of the squares of the rms  speeds before and after the  compression?  65 

An ideal gas consists of 1.50 mol of diatomic molecules that  rotate but do not oscillate. The  molecular diameter is  250 pm.  The gas is expanded at a constant pressure of 1.50 × 10 5  Pa, with  a transfer of 200 J as heat. What is the change in the mean free  path of the molecules?  66 

Isothermal

60 

W? For 2 → 3, what are (d) Q, (e)  ∆E int , and (f) W? For 3 → 1, what  are  (g)  Q, (h)  ∆E int , and (i)  W?  For the full cycle, what are (j) Q,  (k)  ∆E int , and (l)  W?  The initial  pressure  at  point  1  is  1.00 atm  (= 1.013 × 10 5  Pa). What are  the  (m)  volume and  (n)  pressure  at  point 2  and  the (o)  volume and  (p) pressure at point 3? 

erusserP

GO  FCP  Opening champagne. In a bottle of champagne,  the pocket of gas (primarily carbon dioxide) between the liquid  and the cork  is  at pressure  of p i  = 5.00 atm. When the cork  is  pulled from the bottle, the gas  undergoes  an adiabatic expan-  sion until its pressure  matches the ambient air pressure  of 1.00  4  atm. Assume that the ratio of the molar specific heats is  γ = _  3 .  If  the gas  has  initial temperature T i  = 5.00°C, what is  its  tem-  perature at the end of the adiabatic expansion?  58  M 

An  ideal  monatomic  gas  initially  has  a  temperature  of  330 K and a pressure  of 6.00 atm. It is  to expand from volume  500 cm 3  to  volume 1500 cm 3 .  If  the  expansion  is  isothermal,  what are  (a)  the final pressure  and (b)  the work  done by  the  gas? If, instead, the expansion is adiabatic, what are (c) the final  pressure and (d) the work done by the gas?  67 

In  an  interstellar  gas  cloud  at  50.0  K,  the  pressure  is  1.00 × 10 −8  Pa. Assuming  that  the molecular  diameters  of  the  gases in the cloud are all 20.0 nm, what is their mean free path?  68 

SSM  The  envelope and basket of a  hot-air balloon have a  combined weight of 2.45 kN, and the envelope has  a  capacity  (volume) of 2.18 × 10 3  m 3 . When it is fully inflated, what should  be the temperature of the enclosed air to give the balloon a lifting  capacity (force) of 2.67 kN (in addition to the balloon’s weight)?  Assume that the surrounding air, at 20.0°C, has a weight per unit  volume of 11.9 N/m 3  and a molecular mass of 0.028 kg/mol, and  is at a pressure of 1.0 atm. 

69 

An ideal gas, at initial temperature T 1  and initial volume  2.0 m 3 ,  is  expanded  adiabatically to  a  volume of  4.0 m 3 ,  then  expanded  isothermally  to  a  volume  of  10 m 3 ,  and  then  com-  pressed adiabatically back to T 1 . What is its final volume?  70 

SSM  The  temperature  of  2.00 mol of  an  ideal  monatomic  gas  is  raised  15.0 K  in an  adiabatic process.  What are  (a)  the  work W  done by the gas, (b) the energy transferred  as  heat Q,  (c)  the change ∆E int  in internal energy  of the gas,  and (d)  the  change ∆K in the average kinetic energy per atom? 

71 

At what temperature do atoms of helium gas have the same  rms speed as molecules of hydrogen gas at 20.0°C? (The molar  masses are given in Table 19.3.1.)  72 

/

P ROBL EMS 

SSM  At  what frequency  do  molecules  (diameter  290  pm)  collide in (an ideal) oxygen gas (O 2 )  at temperature 400 K and  pressure 2.00 atm? 

73 

(a) What is the number of molecules per cubic meter in air  at 20°C and at a pressure of 1.0 atm (= 1.01 × 10 5  Pa)? (b) What  is  the mass  of 1.0 m 3  of this air? Assume that 75% of the mol-  ecules are nitrogen (N 2 ) and 25% are oxygen (O 2 ).  74 

The temperature of 3.00 mol of a certain gas with C V  = 6.00  cal/mol · K is to be raised 50.0 K. If the process is at constant vol-  ume, what are (a) the energy transferred as heat Q, (b) the work  W  done by the  gas, (c)  the change ∆E int  in internal energy of  the gas, and (d) the change ∆K in the total translational kinetic  energy?  If  the process  is  at  constant pressure ,  what are  (e)  Q,  (f) W, (g) ∆E int , and (h) ∆K? If the process is adiabatic, what are  (i) Q, (j) W, (k) ∆E int ,  and (l) ∆K?  75 

During a compression at a constant pressure of 250 Pa, the  volume of an ideal gas decreases  from 0.80 m 3  to 0.20 m 3 . The  initial  temperature  is  360 K,  and  the  gas  loses  210 J  as  heat.  What are (a) the change in the internal energy of the gas and (b)  the final temperature of the gas?  76 

CALC  SSM  Figure  19.12  shows  a  hypothetical speed dis-  tribution for particles of a certain  gas: P(v) = Cv 2  for 0  v 0 . Find (a)  an  expression  for C  in terms of v 0 ,  (b) the average speed of the par-  ticles, and (c) their rms speed. 

77 

)v(P 0 Figure  19.12 

Speed

v 0

Problem 77. 

(a)  An ideal  gas  initially at  pressure  p 0  undergoes  a  free  expansion until its volume is 3.00 times its initial volume. What  then is the ratio of its pressure  to p 0 ? (b) The gas is next slowly  and adiabatically compressed  back to its original volume. The  pressure  after compression is (3.00) 1/3 p 0 . Is  the gas monatomic,  diatomic, or  polyatomic? (c)  What is  the ratio  of the  average  kinetic energy per molecule in this final state to that in the initial  state?  78 

An ideal gas  undergoes isothermal compression from  an initial volume of 4.00 m 3  to a final volume of 3.00 m 3 . There is  3.50 mol of the gas, and its temperature is 10.0°C. (a) How much  work is done by the gas? (b) How much energy is transferred as  heat between the gas and its environment?  79 

SSM 

Oxygen  (O 2 )  gas  at  273 K  and  1.0 atm  is  confined  to  a  cubical  container 10 cm  on  a  side.  Calculate ∆U g /K avg ,  where  ∆U g  is  the  change in  the  gravitational potential energy  of  an  oxygen molecule falling the height of the  box and K avg  is  the  molecule’s average translational kinetic energy.  80 

(a)  What is  the  volume occupied by  1.00 mol of  an ideal  gas  at standard conditions—that is, 1.00 atm (=  1.01 × 10 5  Pa)  and 273 K? (b)  Show that the number of molecules  per  cubic  centimeter  (the  Loschmidt  number)  at  standard  conditions is  2.69 × 10 9 .  82 

SSM  A sample of ideal gas expands from an initial pressure  and volume of 32 atm and 1.0 L  to a final volume of 4.0 L. The  initial temperature  is  300 K. If  the  gas  is  monatomic and  the  expansion isothermal, what are the (a) final pressure p f , (b) final  temperature T f , and (c)  work W  done by the gas? If  the gas  is  monatomic and the expansion adiabatic, what are (d) p f , (e) T f ,  and (f)  W? If  the gas  is  diatomic and the expansion adiabatic,  what are (g) p f , (h) T f , and (i) W? 

83 

An ideal gas  with 3.00 mol is initially in state 1  with pres-  sure  p 1  = 20.0 atm and  volume V 1  = 1500 cm 3 .  First  it is  taken  to  state  2  with  pressure  p 2  = 1.50p 1  and  volume  V 2  = 2.00V 1 .  Then it is taken to state 3 with pressure p 3  = 2.00p 1  and volume  V 3  = 0.500V 1 . What is the temperature of the gas  in (a) state 1  and (b)  state 2?  (c)  What is  the net change in internal energy  from state 1 to state 3?  84 

Uranium  diffusion.  To  enhance  the  effectiveness  of  the  nuclear  fission  of  uranium,  the  highly  fissionable  U-235  iso-  tope must be separated  from the less  readily fissionable U-238  isotope. One way to do this is  to  form the uranium into a  gas  (UF 6 )  and allow it to diffuse repeatedly through a porous bar-  rier (up 4000 times). The lighter molecule will diffuse faster, the  effectiveness  of  the barrier  being  determined by  a  separation  factor α, defined as the ratio of the two rms speeds. What is the  separation factor for the two kinds of uranium hexafluoride gas  molecules?  85 

Opening a freezer  door. Initially a household freezer com-  partment  is  filled with  air  at  room  temperature  T i  =  27.0°C.  Then the door is closed and the cooling in the walls is turned on  until the air temperature  is at  the recommended value of T f  =  −18.0°C. The door has height h = 0.600 m and width w = 0.760 m,  with hinges on the left edge (and thus with a rotation axis there)  and a  handle on the right edge. Assume that the freezer  is  air-  tight. What are (a) the pressure difference Δp between the inside  and outside of the door, (b) the net force F on the door from that  pressure difference, and (c) the force F a needed to open the door  by pulling on the handle perpendicular to the door?  86 

Work in adiabatic expansion. Determine the work done by  any ideal gas  (monatomic, diatomic, or  polyatomic) during an  adiabatic expansion from volume V i  and pressure  p i  to volume  V f  and pressure p f  by apply-  ing  W  =  ∫ p dV  and  pV γ =  a  constant.  (b)  Show  that  the  result  is  equivalent  to  −Δ Eint    ,where the change in  internal energy  is  given by  Δ Eint    = nC V ΔT.  87 

Champagne cork pop-  ping. When the  cork  on a  champagne bottle is pulled  out,  the  carbon  dioxide  gas  (CO 2 )  above  the  liq-  uid  undergoes  adiabatic  expansion  as  it  pushes  its  way  out  into  the  air.  If  the  bottle  was  initially  at  temperature  T i  =  20.0°C  and  the  gas  pressure  was  initially  at  pressure  88 

 otohP kcotS ymalA/yarB yaJ

An  ideal  gas  is  taken through a  complete cycle  in  three  steps: adiabatic expansion with work equal to 125 J, isothermal  contraction at 325 K, and increase  in pressure  at constant vol-  ume. (a) Draw a p-V diagram for the three steps. (b) How much  energy is transferred as heat in step 3, and (c) is it transferred to  or from the gas?  81 

611

Figure  19.13 

Problem 88. 

/

612

C HAP T ER 19  T HE  KINET IC   T HEORY   OF  GASES 

p i = 7.5 atm, what is the temperature of the gas at the end of the  expansion? The decrease  in temperature causes  water  mole-  cules in the gas to condense, forming a fog of tiny water drops  (Fig. 19.13).  At  what temperature  is  the  average  translational  kinetic  energy of a molecule in a gas equal to 4.0 × 10 −19  J?  89 

Champagne  cork  flight.  When  a  champagne  bottle  is  opened, the cork shoots vertically  upward from the bottle into  the air  due  to the pressure  difference  between the 7.5  atm of  the carbon dioxide gas beneath it and the atmospheric air pres-  sure.  The  cork  has  mass  m  =  9.1  g  and  cross-sectional  area  A = 2.5 cm 2 , and the cork’s acceleration (assumed constant) lasts  for  time interval Δt  = 1.2 ms.  Neglecting air  resistance  during  90 

the flight and assuming the release is outdoors (no ceiling), how  high will the cork fly?  Most probable speed. A container holds a gas of molecular  hydrogen (H 2 ) at a temperature of 250 K. What are (a) the most  probable speed v P  of the molecules and (b) the maximum value  P max  of the  probability distribution function P(v)?  (c)  With a  graphing calculator or computer math package, determine what  percentage of the molecules  have speeds  between 0.500v P  and  1.50v P . The  temperature is  then increased  to 500 K. What are  (d)  the  most  probable speed  v P  of  the  molecules  and  (e)  the  maximum value  P max  of  the  probability  distribution  function  P(v)? Did (f)  v P  and (g)  P max  increase, decrease, or remain the  same during the temperature increase?  91 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

0

Entropy and the Second Law  of Thermodynamics 

20.1  ENTROPY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

20.1.1  Identify the second law of thermodynamics: If a 

ΔT that is small  T, apply the relationship  between  the entropy change ΔS , the transferred  heat  Q , and the average temperature T a vg 

20.1.5  For a temperature change 

process occurs in a closed system, the entropy of 

relative to the temperature 

the system increases for irreversible  processes and  remains constant for reversible processes; it never  decreases. 

(in kelvins). 

20.1.2  Identify that entropy is a state function  (the value 

20.1.6  For an ideal  gas, apply the relationship  between 

ΔS and the initial  and final 

for a particular state of the system does not depend 

the entropy change 

on how that state is reached). 

values of the pressure and volume. 

20.1.3  Calculate the change  in entropy for a process by 

20.1.7  Identify that if  a process is an irreversible one, 

integrating the inverse of the temperature (in kelvins)  with respect to the heat 

the integration for the entropy change  must be 

Q transferred during  the 

done for a reversible process that takes the system 

process. 

between  the same initial  and final  states as the 

20.1.4  For a phase change with a constant-temperature  process, apply the relationship between the entropy  change 

irreversible  process.  20.1.8  For stretched rubber, relate the elastic force to 

ΔS, the total transferred heat  Q, and the  T (in  kelvins). 

the rate at which  the rubber’s entropy changes with 

temperature 

the change  in the stretching distance. 

Key  Ideas  ●

An irreversible process is one that cannot  be 

Q is the energy transferred as heat to or from the  T  is the temperature of 

Here 

reversed by means of small changes in the environ- 

system during  the process, and 

ment. The direction in  which  an irreversible process 

the system in kelvins during the process. 

ΔS  of the sys- 

proceeds is set by the change  in entropy  tem undergoing the process. Entropy 

S is a state prop- 

●

For a reversible isothermal process, the expression 

for an entropy change  reduces to 

erty (or state function)  of the system; that is, it depends 

Q  ΔS = S f − S i  = __ .  T 

only on the state of the system and not on the way in  which  the system reached that state. The entropy pos-  tulate states (in part): If an irreversible  process occurs  in a closed system, the entropy of the system always 

●

When the temperature change 

after the process, the entropy change  can be approxi- 

increases. 

ΔS for an irreversible process  that takes a system from an initial  state i  to a final  state f  is exactly equal  to the entropy change ΔS  for 

mated as 

any reversible process that takes the system between 

where 

●

ΔT of a system is 

small relative to the temperature (in  kelvins) before and 

The entropy change 

those same two states. We  can compute the latter (but  not the former) with 

f 

ΔS = S f − S i =  

i 

dQ  ___  .  T 

Q  ΔS = S f  − S i  ≈  ____ ,  T avg  T avg is the system’s average temperature during 

the process.  ●

When an ideal  gas changes reversibly from an initial 

T i  and volume V i  to a final  state 

state with temperature 

613 /

614

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

T f  and volume V f, the change  ΔS  in   

with  temperature 

occurs in a closed system, the entropy of the system 

the entropy of the gas is 

increases for irreversible  processes and remains con- 

V f  T f  ΔS = S f − S i  = nR ln  ___ + nC V  ln __ .  V i  T i 

●

stant for reversible processes. It never decreases. In  equation form, 

The second law  of thermodynamics, which  is an 

extension of the entropy postulate, states: If a process 

ΔS ≥ 0. 

What Is Physics? 

Time has  direction, the direction  in  which  we age. We  are accustomed to many  one-way processes—that is, processes that can occur  only in  a certain sequence  (the  right  way) and  never in  the  reverse sequence (the  wrong  way). An  egg is  dropped onto a floor, a pizza is baked, a car is driven into a lamppost, large waves  erode  a  sandy  beach—these one-way  processes are  irreversible, meaning that  they cannot be reversed by means of only small changes in their environment.  One goal of physics is to understand why time has direction and why one-way  processes are irreversible. Although this  physics might seem disconnected  from  the practical issues of everyday life, it is in fact at the heart of any engine, such as  a car engine, because it determines how well an engine can run.  The key to understanding why one-way processes c annot be reversed involves  a quantity known as entropy. 

Irreversible Processes and Entropy 

The  one-way  character of  irreversible processes is  so  pervasive that  we take it  for granted. If these processes were to occur spontaneously (on their own) in the  wrong way, we would  be astonished. Yet none  of these wrong-way events would  violate the law of conservation of energy.  For  example, if  you  were to  wrap  your  hands  around  a  cup  of  hot  coffee,  you would  be astonished if your hands  got cooler and the cup got warmer. That  is  obviously  the wrong  way for  the energy transfer, but  the total  energy of  the  closed system (hands + cup of coffee) would  be the same as the total energy if the  process had  run  in  the right  way. For  another example, if you  popped  a helium  balloon, you would be astonished if, later, all the helium molecules were to gather  together in the original shape of the balloon. That is obviously the wrong way for  molecules to spread, but the total energy of the closed system (molecules + room)  would  be the same as for the right way.  Thus,  changes in  energy within  a closed  system do  not  set the  direction  of  irreversible processes. Rather, that  direction  is  set by  another property  that we  shall discuss in this chapter—the change in entropy ΔS of the system. The change  in  entropy  of a system is defined later in  this  module, but  we can here state its  central property, often called the entropy postulate:  If an irreversible process  occurs in a closed system, the entropy S of the system  always increases; it never decreases. 

Entropy differs from energy in that entropy does not obey a conservation law. The  energy of a closed system is conserved; it always remains constant. For irreversible  processes, the entropy of a closed system always increases. Because of this prop-  erty, the change in entropy is sometimes called “the arrow of time.” For example,  we associate the explosion of a popcorn kernel with the forward direction of time  and  with  an  increase in  entropy. The  backward  direction  of  time  (a video  run 

/

20.1  ENT ROP Y  

backwards) would  correspond  to  the exploded popcorn  re-forming the original  kernel.  Because this  backward process  would  result  in  an  entropy  decrease, it  never happens.  There are two  equivalent ways to define the change in  entropy of  a system:  (1) in terms of the system’s temperature and the energy the system gains or loses  as heat, and (2) by counting the ways in which the atoms or molecules that make  up the system can be arranged. We use the first approach in this module and the  second in Module 20.4. 

615

Stopcock closed

System

Vacuum

Insulation (a) Initial state i

Change in Entropy 

Let’s  approach  this  definition  of  change  in  entropy  by  looking  again  at a  pro-  cess that we described in  Modules  18.5 and 19.9: the free expansion of  an ideal  gas. Figure  20.1.1a shows  the  gas in  its  initial  equilibrium  state i, confined  by a  closed stopcock to the left half of a thermally insulated container. If we open the  stopcock, the gas rushes to fill the entire container, eventually reaching the final  equilibrium  state f  shown  in  Fig. 20.1.1b. This  is  an  irreversible process; all  the  molecules of the gas will never return to the left half of the container.  The  p-V  plot  of  the  process, in  Fig.  20.1.2, shows  the  pressure and  volume  of  the  gas in  its  initial  state  i  and  final  state f. Pressure and  volume  are state  properties, properties that depend only on the state of the gas and not on how  it  reached that state. Other  state properties are temperature and  energy. We  now  assume that the gas has still another state property—its entropy. Furthermore, we  define  the change in  entropy S f − S i  of a system during  a process that takes the  system from an initial state i to a final state f as  f 

dQ  ΔS = S f − S i  =  ____  t  T 

(change in entropy defined). 

(20.1.1) 

Stopcock open

(b ) Final state f

The free expansion  of an ideal gas. (a) The gas is con-  fined to the left half of an insulated  container by a closed stopcock. (b)  When the stopcock is opened, the gas  rushes to fill the entire container.  This process  is irreversible; that is, it  does not occur in reverse,�� with the  gas spontaneously collecting itself in  the left half of the container.  Figure  20.1.1 

i

erusserP

Here Q is the energy transferred as heat to or  from the system during  the pro-  cess, and  T is the temperature of the system in kelvins. Thus, an entropy change  depends not only on the energy transferred as heat but also on the temperature a t  which the transfer takes place. Because T is always positive, the sign of ΔS is the  same as that of Q. We see from Eq. 20.1.1 that the SI unit for entropy and entropy  change is the joule per kelvin.  There is a problem, however, in  applying Eq. 20.1.1 to  the free expansion of  Fig. 20.1.1. A s the gas rushes to fill the entire container, the pressure, temperature,  and volume of the gas fluctuate unpredictably. In other words, they do not have a  sequence of well-defined equilibrium values during the intermediate stages of the  change from initial state i to final state f. Thus, we cannot trace a pressure–volume  path  for the  free expansion on  the p-V  plot  of Fig. 20.1.2, and we cannot  find  a  relation between Q and T that allows us to integrate as Eq. 20.1.1 requires.  However, if entropy is truly a state property, the difference in entropy between  states i and f must depend only on those states and not at all on the way the system  went from one state to the other. Suppose, then, that we replace the irreversible  free expansion of Fig. 20.1.1 with a reversible process that connects states i and f.  With a reversible process we can trace a pressure–volume path on a p-V plot, and  we can find a relation between Q and T that allows us to use Eq. 20.1.1 to obtain  the entropy change.  We saw in Module 19.9 that the temperature of an ideal gas does not change  during  a free expansion: T i = T f = T. Thus, points  i and f in Fig. 20.1.2 must be on  the same isotherm. A convenient replacement process is then a reversible isother-  mal expansion from state i to state f, which actually proceeds along that isotherm.  Furthermore, because T  is  constant  throughout  a  reversible isothermal expan-  sion, the integral of Eq. 20.1.1 is greatly simplified. 

Irreversible process

f

Volume

A p-V diagram showing  the initial state i and the final state  f of the free expansion of Fig. 20.1.1.  The intermediate states of the gas  cannot be shown because they are  not equilibrium states.  Figure  20.1.2 

/

616

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Insulation

Lead shot

Q T

Thermal reservoir

Control knob

Figure  20.1.3 shows  how to produce  such a reversible isothermal expansion.  We  confine  the  gas  to  an  insulated  cylinder  that  rests  on  a  thermal reservoir  maintained at the temperature T. We  begin by placing just enough lead shot  on  the movable piston  so  that the pressure and volume of  the gas are those  of the  initial  state i  of  Fig. 20.1.1a. We  then  remove shot  slowly  (piece by  piece) until  the  pressure and  volume of  the gas are those of  the final  state f of  Fig. 20.1.1b.  The temperature of the gas does not  change because the gas remains in thermal  contact with the reservoir throughout the process.  The reversible isothermal expansion of Fig. 20.1.3 is physically quite different  from the irreversible free expansion of Fig. 20.1.1. H owever, both  processes have  the same initial  state and the same final state and thus must have the same change  in entropy.  Because we removed the lead shot slowly, the intermediate states of  the gas are equilibrium states, so we can plot them on a p-V diagram (Fig. 20.1.4).  To  apply Eq. 20.1.1 to the  isothermal expansion, we take the constant tem-  perature T outside the integral, obtaining  f 

1  dQ.  ΔS = S f − S i  = __  T i 

(a) Initial state i

Reversible process

Because ∫ dQ = Q, where  Q  is  the  total  energy transferred as heat  during  the  process, we have  Q  ΔS = S f  − S i  = ___  T 

Lead shot

(change in entropy, isothermal process). 

(20.1.2) 

To  keep the temperature T of the gas constant during  the isothermal expansion  of Fig. 20.1.3, heat Q must have been energy transferred from the reservoir to the  gas. Thus, Q is positive and the entropy of the gas increases during the isothermal  process and during the free expansion of Fig. 20.1.1.  To  summarize:  To  find the entropy change for an irreversible  process, replace  that process  with  any reversible process  that connects the same initial and final states. Calculate  the entropy change for this reversible  process with Eq. 20.1.1. 

T

(b ) Final state f

The isothermal  expansion of an ideal gas, done in a  reversible way. The gas has the same  initial state i and same final state f  as in the irreversible  process  of Figs.  20.1.1 and 20.1.2.  Figure  20.1.3 

i

When the  temperature change ΔT  of a system is small relative to  the tem-  perature  (in  kelvins)  before  and  after the  process, the  entropy  change  can  be  approximated as  Q  ΔS = S f − S i  ≈ _____ ,  (20.1.3)  T avg  where T avg is the average temperature of the system in kelvins during the process. 

Checkpoint 20.1.1 

Water is heated on a stove. Rank the entropy changes of the water as its temperature  rises (a) from 20°C to 30°C, (b) from 30°C to 35°C, and (c) from 80°C to 85°C,  greatest first. 

Isotherm

erusserP

f T

Entropy as a State  Function 

Volume

A p-V diagram for the  reversible isothermal expansion of  Fig. 20.1.3. The intermediate states,  which are now equilibrium states,  are shown.  Figure  20.1.4 

We have assumed that entropy, like pressure, energy, a nd temperature, is a prop-  erty of  the state of  a system and  is  independent  of  how that  state is  reached.  That  entropy  is indeed  a state function  (as state properties are usually called)  can be  deduced only by  experiment. However, we can prove it  is a state func-  tion for the special and important case in which an ideal gas is taken through  a  reversible process. 

/

20.1  ENT ROP Y  

617

To make the process reversible, it is done slowly in a series of small steps, with  the gas in  an equilibrium  state at the end  of  each step. For  each small step, the  energy transferred as heat to or from the gas is dQ, the work  done  by the gas is  dW, and the change in internal energy is dE int . These are related by the first law of  thermodynamics in differential form (Eq. 18.5.4):  dE int  = dQ − dW.  Because the steps  are reversible, with  the  gas in  equilibrium  states, we can use  Eq. 18.5.1 to replace dW  with p dV and Eq. 19.7.9 to replace dE int  with nC V dT.  Solving for dQ then leads to  dQ = p dV + nC V dT.  Using the ideal gas law, we replace p in this equation with nRT/V. Then we divide  each term in the resulting equation by T, obtaining  dQ  dV  + nC  ___  dT .  ___ = nR ___  V  T  V  T  Now let us integrate each term of this equation between an arbitrary initial  state  i and an arbitrary final state f to get  f 



i 

dQ  ___  =  T 

f 

f 

dV  dT  ___  ___   nR  V  +  nC V  T  .  i  i 

The quantity on the left is the entropy change ΔS (= S f  − S i) defined by Eq. 20.1.1.    Substituting  this and integrating the quantities on the right yield  V f  T f  ΔS = S f  − S i  = nR ln ___ + nC V ln  ___ .  V i  T i 

(20.1.4) 

Note  that  we  did  not  have to  specify  a  particular reversible process  when  we  integrated. Therefore, the integration must hold  for all reversible processes that  take the gas from state i to state f. Thus, the change in entropy ΔS  between the  initial  and  final  states of  an  ideal  gas depends  only  on  properties of  the  initial  state (V i and T i) and properties of the final state (V    f  and T f ); ΔS does not depend    on how the gas changes between the two states.  a

An ideal gas has temperature T 1  at the initial state i shown in the p-V diagram here.  The gas has a higher temperature T 2  at final states a and b, which it can reach along  the paths shown. Is the entropy change along the path to state a larger than, smaller  than, or the same as that along the path to state b? 

Sample Problem 20.1.1

erusserP

Checkpoint 20.1.2 

i

T2

T1 b

T2

Volume

Entropy change  of two blocks  coming to thermal equilibrium 

Figure 20.1.5a shows  two identical copper blocks  of mass  m = 1.5 kg: block  L at temperature T iL  = 60°C and block  R at temperature T iR  = 20°C. The blocks are in a thermally  insulated  box  and are separated by an insulating  shutter.  When  we  lift  the  shutter, the  blocks  eventually come to  the equilibrium temperature Tf  = 40°C (Fig. 20.1.5b). What  is the net entropy change of the two-block  system during  this  irreversible process? The  specific  heat  of  copper  is  386 J/kg · K. 

KEY IDEA To  calculate the entropy  change, we  must find  a revers-  ible process that takes the system from the initial state of  Fig. 20.1.5a to the final state of Fig. 20.1.5b. We can calcu-  late the net entropy change ΔS rev of the reversible process  using Eq. 20.1.1, a nd then the entropy change for the irre-  versible process is equal to ΔS rev . 

/

618

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

For the reversible process, we need a ther-  mal reservoir whose temperature can be changed slowly  (say, by turning a knob). We then take the blocks  through  the following two steps, illustrated in Fig. 20.1.6.  Calculations:

With  the  reservoir’s  temperature  set  at  60°C,  put  block  L  on  the  reservoir. (Since  block  and  reservoir  are at the same temperature, they are already in  thermal  equilibrium.)  Then  slowly  lower  the  temperature of  the  reservoir and the block  to  40°C. As the block’s  tempera-  ture  changes  by  each  increment dT  during  this  process,  energy dQ  is  transferred as  heat  from  the  block  to  the  reservoir. Using Eq. 18.4.3, we can write this  transferred  energy as dQ = mc dT, where c is the specific heat of cop-  per. According  to  Eq.  20.1.1, the entropy  change ΔS L  of  block  L  during  the  full  temperature change  from initial  temperature T iL  (= 60°C = 333 K) to final temperature T f  (= 40°C = 313 K) is  Step

1:

f 

T f 

Movable shutter Insulation Warm

Cool

Ti L

Ti R

Tf

Tf

L

R

L

R

Irreversible process

(a)

(b )

(a) In the initial state, two copper blocks L and R,  identical except for their temperatures, are in an insulating box  and are separated by an insulating shutter. (b) When the shut-  ter is removed, the blocks exchange energy as heat and come  to a final state, both with the same temperature T f .  Figure  20.1.5 

Insulation L

R

T f 

dQ  mc dT  = mc  ____  dT  Δ S L  =   ____ =  _______   T  T  T  i  T iL  T iL  T f  = mc ln ____ .  T iL 

Q

Reservoir (a ) Step 1

Q

(b ) Step 2

The blocks of Fig. 20.1.5 can proceed from their  initial state to their final state in a reversible way if we use a  reservoir with a controllable temperature (a)  to extract heat  reversibly from block L and (b) to add heat reversibly to  block R.  Figure  20.1.6 

Inserting the given data yields  313 K  Δ S L  = (1.5 kg)(386 J/kg ⋅ K) ln ______  333 K  = −35.86 J/K.  With the reservoir’s temperature now set at 20°C,  put  block  R on  the reservoir. Then  slowly  raise the  tem-  perature of the reservoir and the block to 40°C. With  the  same  reasoning used  to find  ΔS L , you  can show  that the  entropy change ΔS R  of block  R during this process is  Step 2:

313 K  Δ S R  = (1.5 kg)(386 J/kg ⋅ K) ln ______  293 K  = +38.23 J/K.  The  net  entropy  change  ΔS rev  of  the  two-block  system  undergoing this two-step reversible process is then 

Sample Problem 20.1.2

ΔS rev  = ΔS L + ΔS R  = −35.86 J/K + 38.23 J/K = 2.4 J/K.  Thus, the net entropy change ΔS irrev for the two-block sys-  tem undergoing the actual irreversible process is  ΔS irrev  = ΔS rev = 2.4 J/K. 

(Answer) 

This  result  is  positive,  in  accordance  with  the  entropy  postulate. 

Entropy change of a  free  expansion  of a  gas 

Suppose 1.0 mol of nitrogen gas is confined to the left side  of the container of Fig. 20.1.1a. You open the stopcock, and  the volume of the gas doubles. What is the entropy change  of the gas for this irreversible process? Treat the gas as ideal. 

KEY IDEAS (1) We can determine the entropy change for the irrevers-  ible process by calculating it for a reversible process that  provides the same change in volume. (2) The temperature  of the gas does not change in the free expansion. Thus, the  reversible process should  be  an  isothermal  expansion—  namely, the one of Figs. 20.1.3 and 20.1.4. 

From Table 19.9.1, the energy Q added  as  heat to the gas as it expands isothermally at temperature  T from an initial volume V i  to a final volume V f is  Calculations:

V f  Q = nRT ln ___ ,  V i  in  which  n  is  the number of  moles  of  gas present. From  Eq.  20.1.2 the entropy  change for this  reversible process  in which the temperature is held constant is  V f  Q  nRT ln( Vf  / Vi  )  ΔS rev  = __ = ______________ = nR ln  ___ .  T  T  V i 

/

20.1  ENT ROP Y  

Substituting  n = 1.00 mol and V f /V i  = 2, we find  V f  Δ S rev  = nR ln  ___ = (1.00 mol)(8.31 J  / m ol ⋅ K)(ln 2)  V i  = +5.76 J/K. 

619

Thus, the entropy change for the free expansion (and for  all other processes that connect the initial and final states  shown in Fig. 20.1.2) is  ΔS irrev  = ΔS rev = +5.76 J/K. 

(Answer) 

Because ΔS  is  positive,  the  entropy  increases, in  accor-  dance with the entropy postulate. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

The Second Law of Thermodynamics 

Here is a puzzle. In the process of going from (a) to (b) in Fig. 20.1.3, the entropy  change of the gas (our system) is positive. However, because the process is revers-  ible, we can also go from (b) to (a) by, say, gradually adding lead shot to the piston,  to restore the initial  gas volume. To  maintain a constant temperature, we need to  remove energy as heat, but that means Q is negative and thus the entropy change  is  also.  Doesn’t  this  entropy  decrease violate  the  entropy  postulate:  Entropy  always increases? No, because the postulate holds  only for irreversible processes  in closed systems. Here, the process is not irreversible and the system is not closed  (because of the energy transferred to and from the reservoir as heat).  However, if we include the reservoir, a long with the gas, as part of the system,  then we do have a closed system. Let’s check the change in entropy of the enlarged  system gas + reservoir for the process that takes it  from (b) to (a) in Fig. 20.1.3.  During  this reversible process, energy is transferred as heat from the gas to  the  reservoir—that is, from one part of the enlarged system to another. Let |Q| repre-  sent the absolute value (or magnitude) of this heat. With  Eq. 20.1.2, we can then  calculate separately the  entropy  changes for  the  gas (which  loses  |Q|)  and  the  reservoir (which gains |Q|). We get  |Q |  ΔS gas = − ___  T  | Q |  ΔS res  = +  ____ .  T 

and 

The entropy change of the closed system is the sum of these two quantities: 0.  With this result, we can modify the entropy postulate to include both revers-  ible and irreversible processes: 

If a process  occurs in a closed system, the entropy of the system increases  for  irreversible processes  and remains constant for reversible processes. It never  decreases. 

Although entropy may decrease in part of a closed system, there will always be an  equal or larger entropy increase in another part of the system, so that the entropy  of the system as a whole never decreases. This fact is one form of the second law  of thermodynamics and can be written as  ΔS ≥ 0 

(second law of thermodynamics), 

(20.1.5) 

where the greater-than sign applies to irreversible processes and the equals sign  to reversible processes. Equation 20.1.5 applies only to closed systems. 

/

620

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

In the real world almost all processes are irreversible to some extent because  of  friction, turbulence, and  other  factors, so  the entropy  of  real closed  systems  undergoing  real  processes  always  increases. Processes  in  which  the  system’s  entropy remains constant are always idealizations.  Force  Due  to Entropy 

To  understand  why  rubber  resists  being  stretched, let’s  write  the  first  law  of  thermodynamics  dE = dQ − dW  for  a  rubber  band  undergoing  a  small  increase  in  length  dx  as  we  stretch  it  between our hands. The force from the rubber band has magnitude F, is directed  inward, and does  work  dW  =  −F dx  during  length  increase dx. From  Eq. 20.1.2  (ΔS = Q/T), small changes in  Q and  S  at  constant  temperature are related by  dS = dQ/T, or dQ = T dS. So, now we can rewrite the first law as  dE = T dS + F dx. 

(20.1.6) 

To  good  approximation, the  change dE  in  the  internal energy of  rubber  is  0 if  the  total  stretch of  the  rubber  band  is not  very much. Substituting  0 for  dE  in  Eq. 20.1.6 leads us to an expression for the force from the rubber band:  dS .  F = −T ___  dx 

Coiled

(a )

Uncoiled (b )

F

F

A section of a rub-  ber band (a) unstretched and (b)  stretched, and a polymer within it  (a) coiled and (b) uncoiled.  Figure  20.1.7 

(20.1.7) 

This  tells us that  F is proportional  to  the rate dS/dx at which  the rubber  band’s  entropy changes during  a small change dx in the rubber band’s length. Thus, you  can feel the effect of entropy on your hands as you stretch a rubber band.  To  make  sense of  the  relation  between force  and  entropy, let’s  consider  a  simple  model  of  the  rubber  material. Rubber  consists  of  cross-linked  polymer  chains (long molecules with cross links) that resemble three-dimensional zig-zags  (Fig. 20.1.7). When the rubber band is at its rest length, the polymers are coiled up  in a spaghetti-like arrangement. Because of the large disorder  of the molecules,  this  rest state has a high  value of  entropy. When  we stretch a rubber  band,  we  uncoil many of those polymers, aligning them in the direction of stretch. Because  the alignment decreases the disorder, the entropy  of the  stretched rubber  band  is less. That  is, the change dS/dx in Eq. 20.1.7 is  a negative quantity because the  entropy decreases with stretching. Thus, the force on our  hands from the rubber  band is due to the tendency of the polymers to return to their former disordered  FCP  state and higher value of entropy. 

20.2  ENTROPY IN THE REAL WORLD: ENGINES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

20.2.1  Identify that a heat engine  is a device that  extracts energy from its environment in the form of  heat and does useful  work and that in  an ideal heat  engine,  all  processes are  reversible, with no wasteful  energy transfers. 

p-V  diagram for the cycle of a Carnot 

20.2.2  Sketch a 

engine,  indicating  the direction of cycling, the nature 

done in the cycle, and the heat transferred  during  each process (including  algebraic  sign).  20.2.3  Sketch a Carnot cycle on a temperature–entropy  diagram, indicating  the heat transfers.  20.2.4  Determine the net entropy change around a  Carnot cycle.  20.2.5  Calculate  the efficiency 

εC  of a Carnot engine  in 

of the processes involved, the work done during 

terms of the heat transfers and also in  terms of the 

each  process (including  algebraic  sign), the net work 

temperatures of the reservoirs. 

/

20.2  ENT ROP Y   IN  T HE  REAL   WORL D :  ENGINES 

20.2.6  Identify that there are  no perfect  engines in 

621

p-V diagram for the cycle of a Stirling 

20.2.7  Sketch a 

Q from a high-  temperature reservoir goes entirely into the work W  which  the energy transferred as heat 

engine, indicating  the direction of cycling, the nature  of the processes involved, the work done during  each 

done by the engine. 

process (including algebraic sign), the net work done in  the cycle, and the heat transfers during each process. 

Key Ideas  ●

An engine is a device that, operating in a cycle, 

Q H |  from a high-temperature  reservoir and does a certain  amount of work | W|. The  extracts energy as heat |

efficiency 

ε of any engine  is defined  as 

energy we get  |W |  ε = ________________  = _____ .  energy we pay for  | Q H|   ●

In an ideal  engine,  all processes are reversible and 

no wasteful  energy transfers occur due to, say, friction  and turbulence.  ●

in  which 

T H  and  T L  are the temperatures of the high- 

and low-temperature reservoirs, respectively. Real  engines  always have an efficiency  lower  than that of  a Carnot engine.  Ideal engines that are not Carnot  engines  also have efficiencies  lower  than that of a  Carnot engine.  ●

A perfect engine  is an imaginary engine  in which 

energy extracted as heat from the high-temperature  reservoir is converted completely to work. Such  an  engine  would  violate the second law of thermodynam- 

A Carnot engine  is an ideal engine  that follows the 

cycle of Fig. 20.2.2.  Its efficiency  is 

T L  | Q L |  ɛC  = 1 − _____  = 1 − ___  ,  |Q H|   T H 

ics, which  can be restated as follows:  No series of  processes is possible whose sole result is the absorp-  tion of energy as heat from a thermal reservoir and the  complete conversion of this energy to work. 

Entropy in the  Real World: Engines 

A heat engine, or more simply, an engine, is a device that  extracts energy from  its environment in the form of heat and  does useful work. At the heart of every  engine is a working substance. In a steam engine, the working substance  is water, in both its vapor and its liquid form. In an automobile engine the  Schematic of working  substance is a gasoline–air mixture. If an engine is to  do  work  a Carnot engine on a sustained basis, the working substance must operate in a cycle; that  is, the working substance must pass through a closed series of thermody-  TH namic processes, called strokes, returning again and again to each state in  Heat is QH its  cycle. Let us see what the  laws of  thermodynamics can tell us  about  absorbed. the operation of engines.  A Carnot Engine 

We  have seen that we can learn much  about  real gases by analyzing an  ideal gas, which  obeys the simple law pV = nRT. Although an ideal  gas  does not exist, any real gas approaches ideal behavior if its density is low  enough. Similarly, we can study real engines by analyzing the behavior of  an ideal engine. 

W

Heat is lost.

Work is done by the engine.

QL

TL

The elements of a  Carnot engine. The two black arrow-  heads on the central loop suggest  the working substance operating in a  cycle, as if on a p-V plot. Energy |Q H |  is transferred as heat from the high-  temperature reservoir  at temperature  T H  to the working substance. Energy  |Q L | is transferred as heat from the  working substance to the low-tem-  perature reservoir  at temperature T L .  Work W is done by the engine (actu-  ally by the working substance)  on  something in the environment.  Figure  20.2.1 

In an ideal engine, all processes  are reversible and no wasteful energy  transfers  occur due to, say, friction and turbulence. 

We shall  focus on  a particular ideal engine called a Carnot  engine after the  French scientist and engineer N. L. Sadi Carnot (pronounced “car-no”), who first  proposed  the engine’s concept in 1824. This ideal engine turns  out to be the best  (in principle) at using energy as heat to do useful work. Surprisingly, Carnot was  able  to  analyze the performance of  this  engine  before the  first  law of  thermo-  dynamics and the concept of entropy had been discovered.  Figure 20.2.1 shows schematically the operation of  a Carnot engine. During  each cycle of the engine, the working substance absorbs energy |Q H | as heat from 

/

622

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

a  thermal reservoir at  constant  temperature T H  and  discharges energy |Q L|   as  heat to a second thermal reservoir at a constant lower temperature T L.    Figure 20.2.2 shows  a p-V plot  of  the Carnot cycle—the cycle followed by  the working substance. A s indicated by the arrows, the cycle is traversed in the  clockwise  direction. Imagine the  working  substance to  be  a gas, confined  to  an  insulating  cylinder with  a weighted, movable piston. The  cylinder may be  placed at will on either of the two thermal reservoirs, a s in Fig. 20.1.6, or on an  insulating  slab. Figure  20.2.2a  shows  that, if  we place  the  cylinder in  contact  with the high-temperature reservoir at temperature T H , heat |Q H | is transferred  to the working substance from this reservoir a s the gas undergoes an isothermal  expansion from volume V a   to volume V b . Similarly, with the working substance  in  contact with  the  low-temperature reservoir at  temperature T L , heat |Q L | is  transferred from  the  working  substance  to  the  low-temperature reservoir as  the  gas undergoes an  isothermal  compression from  volume V c  to  volume  V d  (Fig. 20.2.2b).  In the engine of Fig. 20.2.1, we assume that heat transfers to or from the work-  ing substance can take place only  during  the isothermal processes ab and  cd of  Fig. 20.2.2. Therefore, processes bc  and da in  that figure, which  connect the two  isotherms at temperatures T H  and  T L , must be  (reversible) adiabatic processes;  that is, they must be processes in which no energy is transferred as heat. To  ensure  this, during processes bc and da the cylinder is placed on an insulating slab as the  volume of the working substance is changed.  During  the  processes ab  and  bc  of  Fig. 20.2.2a, the  working  substance is  expanding  and thus  doing  positive work  as it  raises the weighted piston. This  work  is  represented in  Fig.  20.2.2a  by  the  area  under  curve abc.  During  the  processes cd and da (Fig. 20.2.2b), the working substance is  being compressed,  which means that it is doing negative work on  its environment or, equivalently,  that its environment is doing work on it as the loaded piston descends. This work  is represented by the area under curve cda. The net work per cycle, which is rep-  resented by W in both Figs. 20.2.1 a nd 20.2.2, is the difference between these two  areas and is a positive quantity equal to the area e nclosed by cycle abcda in Fig.  20.2.2. This  work  W  is  performed  on  some  outside  object, such  as  a  load  to  be lifted. 

A 

Stages of a Carnot engine

Positive work is done.

QH

b

a

Adiabatic: no heat

erusserP

erusserP

A pressure–  volume plot of the cycle  followed by the working  substance of the Carnot  engine in Fig. 20.2.1. The cycle  consists of two isothermal  processes  (ab and cd) and two  adiabatic processes  (bc and  da). The shaded area enclosed  by the cycle is equal to the  work W per cycle done by the  Carnot engine.  Figure  20.2.2 

Isothermal: heat is absorbed

a

b

W

W TH

d c

0

Volume

(a )

TL

Adiabatic: no heat

TH

QL

d

c

0

Negative work is done.

Volume

TL

Isothermal: heat is lost

(b )

/

623

20.2  ENT ROP Y   IN  T HE  REAL   WORL D :  ENGINES 

H

a

erutarepmeT

W = |Q H|   − | Q L|  . 

Q

b TH

T

Equation  20.1.1 (ΔS =  ∫ dQ/T)  tells  us that  any  energy transfer  as heat  must involve a change in entropy. To  see this for a Carnot engine, we can plot  the  Carnot  cycle on  a  temperature–entropy (T-S)  diagram as in  Fig. 20.2.3.  The lettered points a, b, c, and d there correspond to the lettered points in the  p-V diagram in Fig. 20.2.2. The  two horizontal lines in Fig. 20.2.3 c orrespond  to  the  two  isothermal  processes  of  the  cycle. Process  ab  is  the  isothermal  expansion of the cycle. A s the working substance (reversibly) absorbs energy  | Q H    |  as  heat at  constant  temperature T H  during  the  expansion, its  entropy  increases. Similarly, during the isothermal compression cd, the working  sub-  stance (reversibly) loses energy | Q L   | as heat at constant temperature T L , and  its entropy decreases.  The two vertical lines in Fig. 20.2.3 correspond to the two adiabatic processes  of the Carnot cycle. Because no energy is transferred as heat during the two pro-  cesses, the entropy of the working substance is constant during them.  The Work  To  calculate the net work done  by a Carnot engine during  a cycle,  let us apply  Eq. 18.5.3, the first law of thermodynamics (ΔE int  = Q − W), to  the  working substance. That substance must return again and again to any arbitrarily  selected state in the cycle. Thus, if X represents any state property of the working  substance, such  as pressure, temperature, v olume, internal energy, or entropy, we  must have ΔX = 0 for  every cycle. It follows that ΔE int  = 0 for a complete cycle  of  the working substance. Recalling that Q in Eq. 18.5.3 is the net heat transfer  per cycle and  W is the net work, we can write the first law for this  cycle (or any  ideal cycle) as 

d

c Q

TL

L

Entropy S

The Carnot cycle of  Fig. 20.2.2 plotted on a temperature–  entropy diagram. During processes  ab and cd the temperature remains  constant. During processes  bc  and da the entropy remains constant.  Figure  20.2.3 

(20.2.1) 

Entropy Changes  In a Carnot engine, there are two  (and only two)  reversible  energy transfers  as heat, and  thus  two  changes in  the  entropy  of  the  working  substance—one at temperature T H  and  one  at T L . The  net  entropy  change per  cycle is then  |Q H|   _____  | Q  |  (20.2.2)  ΔS = ΔS H  + ΔS L  = _____  −  L  .  T H  T L 

Here ΔS H  is positive because energy |Q H | is added  to  the working  substance as  heat (an increase in entropy) and ΔS L  is negative because energy |Q L | is removed  from  the  working  substance as  heat  (a decrease in  entropy). Because entropy  is a state function, we must have ΔS = 0 for  a complete cycle. Putting  ΔS = 0 in  Eq. 20.2.2 requires that  |Q H|  |Q L|      _____  = _____  . 

T H 

T L 

(20.2.3) 

Note  that,  because T H > T L, we  must  have |Q H| > |Q      L|;    that  is, more  energy is  extracted as heat  from the  high-temperature reservoir than  is  delivered to  the  low-temperature reservoir.  We shall now derive an expression for the efficiency of a Carnot engine.  Efficiency  of a Carnot Engine 

The  purpose of  any engine is to transform as much of  the extracted energy Q H  into work as possible. We measure its success in doing so by its thermal efficiency  ε, defined as the work the engine does per cycle (“energy we get”) divided by the  energy it absorbs as heat per cycle (“energy we pay for”):  |W|  energy we get  ε = ___________________  = _____  energy we pay for  |Q  |  H 

(efficiency, any engine). 

(20.2.4) 

/

624

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

Perfect engine: total conversion of heat to work

TH

Q

H

L=

| Q L|  Q H | −  |Q L|     ɛ =  |____________  = 1 −  _____  .  |Q  |  | Q  |  H 

H 

(20.2.5) 

Using Eq. 20.2.3 for a Carnot engine, we can write this as  W

Q

For any ideal engine we substitute for W from Eq. 20.2.1 to write Eq. 20.2.4 a s 

T L  ____  ɛC  = 1 −  T 

(= Q H)

0

The elements of  a perfect engine—that is, one  that converts heat Q H  from a  high-temperature reservoir  directly  to work W with 100% efficiency.  Figure  20.2.4 

H 

(efficiency, Carnot engine), 

(20.2.6) 

where  the  temperatures T L  and  T H  are in  kelvins.  Because T L   T L, the  right  side  of  this  equation  is  negative and  thus  the  net    change in entropy per cycle for the closed system refrigerator + reservoirs is also  negative. Because such  a decrease in  entropy  violates the  second  law  of  ther-  modynamics (Eq. 20.1.5), a perfect refrigerator does not exist. (If you want your  refrigerator to operate, you must plug it in.)  Here, then, is another way to state the second law of thermodynamics:  No series of processes  is possible whose sole result is the transfer of energy  as heat from a reservoir  at a given temperature to a reservoir  at a higher  temperature. 

In short, there are no perfect refrigerators.  Checkpoint 20.3.1 

You wish to increase the coefficient of performance of an ideal refrigerator. You can  do so by (a) running the cold chamber at a slightly higher temperature, (b) running  the cold chamber at a slightly lower temperature, (c) moving the unit to a slightly  warmer room, or (d) moving it to a slightly cooler room. The magnitudes of the tem-  perature changes are to be the same in all four cases. List the changes according to  the resulting coefficients of performance, greatest first. 

The Efficiencies of Real Engines 

Let  εC  be  the  efficiency of  a Carnot  engine  operating between two  given tem-  peratures. Here we prove that no  real engine operating between those tempera-  tures can have an efficiency greater than  εC . If it could, the engine would  violate  the second law of thermodynamics.  Let us  assume that  an inventor,  working in  her garage, has  constructed  an  engine X, which she claims has an efficiency εX that is greater than εC : 

εX >  εC 

(20.3.4) 

(a claim). 

Let us couple  engine X to a Carnot refrigerator, as in  Fig. 20.3.3a. We  adjust the  strokes of the Carnot refrigerator so that the work it requires per cycle is just equal  to that provided by engine X. Thus, no (external) work is performed on or by the  combination engine + refrigerator of Fig. 20.3.3a, which we take as our system.  If Eq. 20.3.4 is true, from the definition of efficiency (Eq. 20.2.4), we must have  |W |  |W|  _____  > _____ ,  |Q′ H |  |Q H|    where the prime refers to engine X and the right side of the inequality is the efficiency  of the Carnot refrigerator when it operates as an engine. This inequality requires that  | Q H|    >  |Q′  H | . 

(20.3.5) 

TH

(a) Engine X drives  a Carnot refrigerator. (b) If, as  claimed, engine X is more effi-  cient than a Carnot engine, then  the combination shown in (a) is  equivalent to the perfect refrig-  erator shown here. This violates  the second law of thermodynam-  ics, so we conclude that engine X  cannot be more efficient than a  Carnot engine.  Figure  20.3.3 

Q' H

Engine

Q

H

Carnot refrigerator

Q

X

Perfect refrigerator

W

Q' L

Q

L

Q

TL

(a )

(b)

/

20.4  A  ST AT IST IC AL   V IEW  OF   ENT ROP Y  

629

Because the  work  done  by engine  X is  equal  to  the  work  done  on  the  Carnot  refrigerator, we have, from the first law of thermodynamics as given by Eq. 20.2.1,  | Q H|    −  | Q L | = |Q′  H |  − |Q′  L |, 

which we can write as  | Q H|    −  |Q′  H | =  |Q L|    − | Q′  L | = Q. 

(20.3.6) 

Because of Eq. 20.3.5, the quantity Q in Eq. 20.3.6 m ust be positive.  Comparison of Eq. 20.3.6 with Fig. 20.3.3 shows that the net effect of engine  X and the Carnot refrigerator working in combination is to transfer energy Q as  heat from a low-temperature reservoir to  a high-temperature reservoir without  the requirement of work. Thus, the combination acts like the perfect refrigerator  of Fig. 20.3.2, whose existence is a violation of the second law of thermodynamics.  Something must be wrong with  one  or more of  our  assumptions, and  it can  only be Eq. 20.3.4. We conclude that no real engine can have an efficiency greater  than  that of a Carnot  engine when both  engines work between the same two tem-  peratures. At most, the real engine can have an efficiency equal to that of a Carnot  engine. In that case, the real engine is a Carnot engine. 

20.4  A STATISTICAL VIEW OF ENTROPY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

20.4.1  Explain  what is meant by the configurations  of a 

20.4.3  Identify that all  microstates are  equally  probable 

system of molecules. 

but the configurations with more microstates are 

20.4.2  Calculate the multiplicity of a given  configuration. 

more probable than the other configurations.  20.4.4  Apply Boltzmann’s entropy equation  to calculate  the entropy associated with  a multiplicity. 

Key  Ideas  ●

The entropy of a system can be defined  in terms of 

assumption of statistical mechanics  is that all  the micro- 

the possible distributions of its molecules. For identical 

states are equally  probable. Thus, configurations with  a 

molecules, each possible distribution of molecules is 

large multiplicity  occur most often. When 

called  a microstate of the system. All equivalent micro- 

(say, 

states are grouped into a configuration  of the system.  The number  of microstates in a configuration  is the  multiplicity  ●

W of the configuration.  N molecules that may be distributed 

For a system of 

N is very large  N = 10 22  molecules or more), the  molecules are  nearly always in  the configuration in  which  n 1  = n 2.    ●

W of a configuration  of a system and  S of the system in that configuration are 

The multiplicity 

the entropy 

related by Boltzmann’s entropy equation: 

between  the two halves of a box, the multiplicity is 

S = k ln W , 

given by 

N!  ,  W =  _______  n 1 ! n    2 !    in  which 

n 1  is the number  of molecules in one  half  of  n 2  is the number in  the other half.  A basic 

the box and 

where  ●

−23 

k = 1.38 × 10 

When 

J/K is the Boltzmann  constant. 

N  is very large (the usual case), we can  ln N!  with Stirling’s  approximation: 

approximate 

ln N! ≈ N(ln N) − N. 

A  Statistical View  of Entropy 

In Chapter 19 we saw that the macroscopic properties of gases can be explained in  terms of their microscopic, or molecular, behavior. Such  explanations are part of  a study called statistical mechanics. Here we shall focus our attention on a single 

/

630

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

(a )

Insulation

(b )

An insulated box con-  tains six gas molecules. Each mol-  ecule has the same probability of  being in the left half of the box as  in the right half. The arrangement in  (a) corresponds  to configuration III  in Table 20.4.1, and that in (b) corre-  sponds to configuration IV.  Figure  20.4.1 

problem, one involving the distribution  of gas molecules between the two halves  of an insulated box. This problem is reasonably simple to analyze, a nd it allows us  to use statistical mechanics to calculate the entropy change for the free expansion  of an ideal gas. You  will see that statistical mechanics leads to the same entropy  change as we would  find using thermodynamics.  Figure 20.4.1 shows a box that contains six identical (and thus  indistinguish-  able) molecules of  a gas. At  any instant, a given molecule will  be  in  either the  left or the right half of  the box; because the two  halves have equal volumes, the  molecule has the same likelihood, or probability, of being in either half.  Table  20.4.1 shows  the  seven possible  configurations  of  the  six  molecules,  each configuration labeled with a Roman numeral. For example, in configuration  I, all six molecules are in the left half of the box (n 1  = 6) and none are in the right  half (n 2  = 0). We  see that, in general, a given configuration  can be achieved in a  number of different ways. We call these different arrangements of the molecules  microstates. Let us  see how  to  calculate the  number  of  microstates that  corre-  spond  to a given configuration.  Suppose  we have N molecules, distributed  with  n 1   molecules in  one  half of  the box and n 2  in the other. (Thus n 1  + n 2  = N.) Let us imagine that we distribute  the molecules “by hand,” one at a time. If N = 6, we can select the first molecule  in six independent ways; that is, we can pick any one of the six molecules. We can  pick  the second molecule in  five ways, by picking any one of  the remaining five  molecules; and so on. The total number of ways in which we can select all six mol-  ecules is  the  product  of  these independent  ways, or  6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.  In  mathematical shorthand  we  write  this  product  as 6! = 720, where 6!  is  pro-  nounced  “six factorial.” Your  hand  calculator can  probably  calculate factorials.  For later use you will need to know that 0! = 1. (Check this on your calculator.)  However, because the  molecules  are  indistinguishable,  these  720 arrange-  ments  are not  all different. In  the  case that  n 1  = 4 and  n 2  = 2  (which  is  config-  uration III in Table 20.4.1), for example, the order in which you put four molecules  in one half of the box does not matter, because after y ou have put all four in, there  is no way that you can tell the order in which you did  so. The number of ways in  which you can order the four molecules is 4! = 24. Similarly, the number of ways  in which you can order two molecules for the other half of the box is simply 2! = 2.  To get the number of different arrangements that lead to the (4, 2) split of configu-  ration III, we must divide 720 by 24 and also by 2. We call the resulting quantity,  which is the number of microstates that correspond to a given configuration, the  multiplicity W of that configuration. Thus, for configuration III,  6!  =  ______  720  = 15.  W III  =  _____  4 ! 2 !  24 × 2  Thus, Table 20.4.1 tells us there are 15 independent microstates that correspond to  configuration III. Note that, as the table also tells us, the total number of micro-  states for six molecules distributed over the seven configurations is 64.  Extrapolating from six molecules to the general case of N molecules, we have  N!  W = ________  n 1! n    2!   

(multiplicity of configuration). 

(20.4.1) 

You should  verify the multiplicities for all the configurations in Table 20.4.1.  The basic assumption of statistical mechanics is that  All microstates are equally probable. 

In other words, if we were to take a great many snapshots of the six molecules as  they jostle around  in  the box of  Fig. 20.4.1 and then  count  the number of times 

/

20.4  A  ST AT IST IC AL   V IEW  OF   ENT ROP Y  

W

Table 20.4.1  Six Molecules  in a Box 

I  II  III  IV  V  VI  VII 

6  5  4  3  2  1  0 

Multiplicity W  (number of microstates) 

Calculation  of W  (Eq. 20.4.1) 

Entropy  10 −23  J/K  (Eq. 20.4.2) 

1  6  15  20  15  6  1 

6!/(6! 0!) = 1  6!/(5! 1!) = 6  6!/(4! 2!) = 15  6!/(3! 3!) = 20  6!/(2! 4!) = 15  6!/(1! 5!) = 6  6!/(0! 6!) = 1 

0  2.47  3.74  4.13  3.74  2.47  0 

0  1  2  3  4  5  6 

Total = 64 

each  microstate occurred,  we  would  find  that  all  64  microstates would  occur  equally often. Thus  the system will spend, on  average, the same amount of time  in each of the 64 microstates.  Because all  microstates are  equally  probable  but  different  configurations  have different numbers of microstates, the configurations are not all equally prob-  able. In Table  20.4.1 configuration  IV, with  20 microstates, is  the most  probable  configuration, with  a probability of 20/64 = 0.313. This  result means that the sys-  tem is in configuration IV 31.3% of the time. Configurations I and VII, in which  all the  molecules are in  one half  of the  box, are the  least probable, each with  a  probability  of  1/64 = 0.016 or  1.6%. It  is  not  surprising  that  the  most  probable  configuration  is the one in  which the molecules are evenly divided between the  two  halves of  the  box,  because that  is  what  we  expect at thermal equilibrium.  However, it is surprising that there is any probability, however small, of finding all  six molecules clustered in half of the box, with the other half empty.  For large values of N there are extremely large numbers of  microstates, but  nearly all the microstates belong to the configuration in which the molecules are  divided equally between the two halves of the box, as Fig. 20.4.2 indicates. Even  though  the measured temperature and  pressure of  the gas remain constant, the  gas is  churning  away endlessly as its  molecules “visit” all  probable  microstates  with equal probability. However, because so few microstates lie outside the very  narrow central configuration peak of Fig. 20.4.2, we might as well assume that the  gas molecules are always divided equally between the two halves of the box. As  we shall see, this is the configuration with the greatest entropy. 

Sample Problem 20.4.1

setatsor cim fo re bmuN

Configuration  Label  n 1  n 2 

631

Central configuration peak

0 25 50 75 100% Percentage of molecules in left half

For a large number  of molecules in a box, a plot of the  number of microstates that require  various percentages of the molecules  to be in the left half of the box. Nearly  all the microstates correspond to an  approximately equal sharing of the  molecules between the two halves of  the box; those microstates form the  central configuration peak on the plot.  For N ≈ 10 22 , the central configuration  peak is much too narrow to be drawn  on this plot.  Figure  20.4.2 

Microstates and multiplicity 

Suppose  that there are 100 indistinguishable  molecules in  the box of Fig. 20.4.1. H ow many microstates are associated  with  the  configuration  n 1  = 50 and  n 2  = 50, and  with  the  configuration  n 1  = 100 and n 2  = 0? Interpret the results in  terms of the relative probabilities of the two configurations. 

KEY IDEA The multiplicity W of a configuration of indistinguishable  molecules in  a closed  box is the  number of independent  microstates with that configuration, as given by Eq. 20.4.1. 

Calculations:

Thus, for the (n 1  , n 2) configuration (50, 50),   

N!  = _______  100 !  W =  _______  n 1  ! n 2  !  50 ! 50 !  157 

9.33 × 10  =  ______________________  (3.04 × 10 64 )(3.04 × 10 64 )  = 1.01 × 10 29 . 

(Answer) 

Similarly, for the configuration (100, 0 ), we have  N!  =  _______  100 !  =  __  1  =  __  1 = 1.  W = _______  n 1  !  n 2  !  100 ! 0 !  0 !  1 

(Answer) 

/

632

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

mean i n g: Thus,  a  50–50  distribution  is  more  likely  than  a  100–0 distribution  by  the  enormous  fac-  tor  of  about  1 × 10 29 .  If  you  could  count,  at  one  per  nanosecond, the number of microstates that correspond  to  the  50–50  distribution,  it  would  take  you  about  3 × 10 12  years, w hich is about 200 times longer than the  age of the universe. Keep in mind that the 100 molecules  Th e

used  in  this  sample  problem  is  a  very  small  number.  Imagine what  these  calculated  probabilities  would  be  like for  a mole  of  molecules, say about  N = 10 24 . Thus,  you  need  never worry  about  suddenly  finding  all  the  air  molecules  clustering  in  one  corner  of  your  room,  with you  gasping for air in  another  corner. So, you can  breathe easy because of  the physics of entropy. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Probability  and Entropy 

In  1877, Austrian  physicist  Ludwig  Boltzmann  (the  Boltzmann  of  Boltzmann’s  constant k) derived a relationship between the entropy S of a configuration of a  gas and the multiplicity W of that configuration. That relationship is  S = k ln W 

(Boltzmann’s entropy equation). 

(20.4.2) 

This famous formula is engraved on Boltzmann’s tombstone.  It is natural  that S  and  W should  be related by a logarithmic function. The  total  entropy  of  two systems is the  sum of  their separate entropies. The  proba-  bility  of occurrence of  two independent  systems is the product  of their separate  probabilities. Because ln ab = ln a + ln b, the logarithm seems the logical way to  connect these quantities.  Table 20.4.1 displays the entropies  of the configurations of  the six-molecule  system of Fig. 20.4.1, c omputed using Eq. 20.4.2. Configuration IV, which has the  greatest m ultiplicity, also has the greatest entropy.  When you use Eq. 20.4.1 to calculate W, your calculator may signal “OVER-  FLOW” if you try to find  the factorial of a number greater than a few hundred.  Instead, you can use Stirling’s approximation for ln N!:  ln N! ≈ N(ln N) − N 

(Stirling’s approximation). 

(20.4.3) 

The  Stirling  of  this  approximation  was an  English  mathematician and  not  the  Robert Stirling of engine fame. 

Checkpoint 20.4.1 

A box contains 1 mol of a gas. Consider two configurations: (a) each half of the box  contains half the molecules and (b) each third of the box contains one-third of the  molecules. Which configuration has more microstates? 

Sample Problem 20.4.2

Entropy change  of free  expansion  using microstates 

In Sample Problem 20.1.1, we showed that when n moles  of an ideal gas doubles its volume in a free expansion, the  entropy  increase from the initial  state i to  the final  state  f  is S f − S i  = nR  ln  2. Derive this  increase in  entropy  by  using statistical mechanics. 

KEY IDEA We can relate the entropy S of any given configuration of  the molecules in  the  gas to  the  multiplicity  W  of  micro-  states for that configuration, using Eq. 20.4.2 (S = k ln W). 

/

REV IEW  &  SU MMARY  

633

We  are  interested  in  two  configurations:  the  final  configuration  f  (with  the  molecules occupying  the full volume of their container in Fig. 20.1.1b) and the  initial  configuration  i (with  the  molecules occupying the  left  half of  the  container). Because the  molecules are in  a closed container, we can calculate the multiplicity W of  their  microstates with  Eq. 20.4.1. Here we have N mole-  cules in the n moles of the gas. Initially, with the molecules  all in the left half of the container, their (n 1, n    2) configura-    tion is (N, 0). Then, Eq. 20.4.1 g ives their multiplicity as 

Now, applying  Eq. 20.4.3 to  evaluate Eq. 20.4.4, we find  that 

N!  = 1.  W i  = _____  N! 0 ! 

S f = nR ln 2. 

Finally,  with  the  molecules spread  through  the  full  vol-  ume, their  (n 1  , n 2) configuration  is  (N/2, N/2). Then, Eq.    20.4.1 g ives their multiplicity as 

The  change in  entropy  from  the initial  state to  the final  is thus  S f − S i  = nR ln 2 − 0 

Calculations:

N!  W f =  ____________  .  (N/ 2 ) ! (N/ 2 ) !  From Eq. 20.4.2, the initial and final entropies are  and 

S i  = k ln W i  = k ln 1 = 0  S f = k ln W f = k ln(N!) − 2k ln[(N/2)!].  (20.4.4) 

In writing Eq. 20.4.4, we have used the relation  a  = ln  a − 2 ln  b.  ln ___  b 2 

S f  = k ln(N!) − 2k ln[(N/2)!]  = k[N(ln N) − N] − 2k[(N/2) ln(N/2) − (N/2)]  = k[N(ln N) − N − N ln(N/2) + N]  = k[N(ln N) − N(ln N − ln 2)] = Nk ln 2.  (20.4.5)  From Eq. 19.2.4 we can substitute nR for  Nk, where R is  the universal gas constant. Equation 20.4.5 then becomes 

= nR ln 2, 

(Answer) 

which  is  what  we  set  out  to  show.  In  the  first  sample  problem  of  this  chapter  we  calculated  this  entropy  increase for  a free expansion with  thermodynamics by  finding  an  equivalent  reversible process  and  calculat-  ing the entropy change for that process in terms of tem-  perature and  heat transfer. In  this  sample problem, we  calculate the  same increase  in  entropy  with  statistical  mechanics using the fact that the system consists of mol-  ecules. In short, the two, very different approaches give  the same answer. 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

Review & Summary An irreversible  process  is  one  that  cannot be reversed  by means of small changes in the environ-  ment. The direction in which an irreversible process  proceeds is  set  by the  change in entropy ΔS  of the system  undergoing the  process. Entropy S  is  a state  property  (or  state  function)  of the  system; that is, it depends only on the state of the system and not  on the way  in which the system reached  that state. The entropy  postulate  states  (in  part):  If  an  irreversible  process  occurs  in  a  closed system, the entropy of the system always increases.  One-Way  Processes 

The entropy change ΔS for  an irreversible  process  that takes a  system from an initial state  i to a final state f is exactly equal to the entropy change ΔS for  any reversible  process that takes the system between those same  two states. We can compute the latter (but not the former) with 

When the temperature change ΔT of a system is small relative  to the temperature (in kelvins) before and after the process, the  entropy change can be approximated as  Q  ΔS = S f  − S i  ≈  _____ ,  T avg 

where T avg is the system’s average temperature during the process.  When an ideal gas  changes reversibly  from an initial state  with temperature T i  and volume V i  to a final state with tempera-  ture T f  and volume V f , the change ΔS in the entropy of the gas is 

Calculating Entropy Change 

f 

dQ  ΔS = S f  − S i  =  ____ .  i  T 

(20.1.1) 

Here Q is  the energy transferred  as heat to or  from the system  during the  process, and T  is  the  temperature of  the system  in  kelvins during the process.  For a reversible isothermal process, Eq. 20.1.1 reduces to  Q  ΔS = S f  − S i  = ___ .  (20.1.2)  T 

(20.1.3) 

V f  T f  ΔS = S f  − S i  = nR ln ___  + nC V  ln  ___ .  V i  T i 

(20.1.4) 

This law, which  is  an  extension  of  the  entropy  postulate, states:  If  a  process  occurs in a closed system, the entropy of the system increases for  irreversible  processes  and  remains  constant  for  reversible  pro-  cesses. It never decreases. In equation form,  The Second Law of Thermodynamics 

ΔS ≥ 0. 

(20.1.5) 

An  engine  is  a  device  that,  operating  in  a  cycle,  extracts energy as heat |Q H | from a high-temperature reservoir and  Engines 

/

634

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

does a certain amount of work |W|. The efficiency ε of any engine  is defined as  energy we get  |W|  ε = _____________________  = ______ .  (20.2.4)  energy we pay for  | Q H |  In  an  ideal  engine, all  processes  are  reversible  and no  waste-  ful energy  transfers  occur  due  to, say, friction and  turbulence.  A Carnot engine is an ideal engine that follows the cycle of Fig.  20.2.2. Its efficiency is  T L  | Q L |   ɛ C = 1 − ______  = 1 − ____  ,  (20.2.5, 20.2.6)  T H  | Q H |   in which T H  and T L  are the temperatures of the high- and low-  temperature reservoirs,  respectively. Real engines always  have  an efficiency lower than that given by Eq. 20.2.6. Ideal engines  that are not Carnot engines also have lower efficiencies.  A  perfect  engine  is  an  imaginary  engine  in  which  energy  extracted as heat from the high-temperature reservoir is converted  completely to work. Such an engine would violate the second law  of thermodynamics, which can be restated as follows: No series  of  processes  is possible whose sole result is the absorption of energy  as heat from a thermal reservoir  and the complete conversion of  this energy to work. 

A perfect refrigerator  is an imaginary refrigerator in which  energy extracted as  heat from the low-temperature reservoir  is  converted completely to heat discharged to the high-temperature  reservoir, without any need for work. Such a refrigerator would  violate the second law of thermodynamics, which can be restated  as follows: No series of processes  is possible whose sole result is  the transfer  of energy  as  heat from a reservoir  at a  given tem-  perature to a reservoir  at a higher temperature. 

A refrigerator  is  a  device  that, operating  in  a cycle, has work W done on it as it extracts energy |Q L|  as heat  from  a  low-temperature  reservoir.  The  coefficient  of  perfor-  mance K of a refrigerator is defined as  |Q L |   what we want  = _____  K =  ___________________  .  (20.3.1)  what we pay for  | W|  A Carnot refrigerator is a Carnot engine operating in reverse.  For a Carnot refrigerator, Eq. 20.3.1 becomes 

in which n 1  is the number of molecules in one half of the box and  n 2  is the number in the other half. A basic assumption of statistical  mechanics  is that all the microstates are  equally  probable. Thus,  configurations with a large multiplicity occur most often.  The  multiplicity W of a  configuration of a  system and the  entropy  S  of  the  system  in  that  configuration are  related  by  Boltzmann’s entropy equation: 

Refrigerators 

T L  | Q L|    K C  = _____________  = __________  .  | Q H |  −  | Q L |  T H  − T L 

(20.3.2, 20.3.3) 

The  entropy of  a  sys-  tem can be defined in terms of the possible distributions of its  molecules. For identical molecules, each possible distribution of  molecules  is  called  a  microstate  of  the  system. All equivalent  microstates are grouped into a configuration of the system. The  number of microstates in a configuration is the multiplicity W of  the configuration.  For a system of N molecules that may be distributed between  the two halves of a box, the multiplicity is given by  Entropy  from  a  Statistical  View 

N!  ,  W = _________  n 1 !  n 2 ! 

(20.4.1) 

S = k ln W, 

(20.4.2) 

where k = 1.38 × 10 −23  J/K is the Boltzmann constant. 

Questions Point i  in  Fig. 20.1  represents  the  initial state of an ideal gas  at  temperature  T.  Taking  algebraic  signs into account, rank the entropy  changes that the gas undergoes as  it moves, successively  and revers-  ibly, from point i to points a, b, c,  and d, greatest first. 

An ideal monatomic gas at initial temperature T 0  (in kelvins)  expands from initial volume V 0  to volume 2V 0  by  each  of the  five processes  indicated in the T-V diagram of Fig. 20.2. In which  process  is  the  expansion (a)  isothermal, (b)  isobaric  (constant  pressure), and (c) adiabatic? Explain your answers. (d) In which  processes  does the entropy of the gas decrease?  4 

1 

a

erusserP

d

b i

T c

T

+ ΔT

T

– ΔT

Volume

In  four  experiments,  blocks  Figure  20.1  Question 1.  A and B, starting at different ini-  tial  temperatures, were  brought  together in  an  insulating  box  and allowed to reach a common final temperature. The entropy  changes for the blocks in the four experiments had the follow-  ing values (in joules per kelvin), but not necessarily in the order  given. Determine which values for A go with which values for B.  2 

A  B 

2.0T0

C

1.5T0

D

T0

A

E

0.63 T0

F

Values  8  −3 

5  −8 

3  −5 

V0

9  −2 

A  gas,  confined  to  an  insulated  cylinder,  is  compressed  adiabatically  to  half  its  volume. Does  the  entropy  of  the  gas  increase, decrease, or remain unchanged during this process?  3 

B

erutarepmeT

Block 

2.5T0

Volume

Figure  20.2 

2 V0

Question 4. 

In  four  experiments,  2.5 mol  of  hydrogen  gas  undergoes  reversible  isothermal  expansions,  starting  from  the  same  vol-  ume but at  different temperatures. The corresponding  p-V  plots  5 

/

P ROBL EMS 

are  shown in Fig. 20.3.  Rank  the  situations  according  to  the  change  in  the entropy  of the gas, greatest first. 

635

Three  Carnot  engines operate  between temperature limits  of (a) 400 and 500 K, (b) 500 and 600 K, and (c) 400 and 600 K.  Each engine extracts the same amount of energy per cycle from  the  high-temperature  reservoir.  Rank  the  magnitudes  of  the  work done by the engines per cycle, greatest first.  8 

p

a b

A box contains 100  c atoms  in  a  configura-  d tion that has 50 atoms  V in  each  half  of  the  Figure  20.3  Question 5.  box. Suppose that you  could count the differ-  ent microstates associated with this configuration at the rate of  100  billion states  per  second, using a  supercomputer. Without  written calculation, guess how much computing time you would  need: a day, a year, or much more than a year.  6 

Does the entropy per cycle increase, decrease, or remain the  same for (a) a Carnot engine, (b) a real engine, and (c) a perfect  engine (which is, of course, impossible to build)?  7 

An inventor claims  to have  invented four engines, each  of  which  operates  between  constant-temperature  reservoirs  at  400  and  300 K. Data  on  each  engine, per  cycle  of  operation,  are: engine A, Q H  = 200 J, Q L  = −175 J, and W = 40 J; engine B,  Q H  = 500 J,  Q L  = −200 J,  and W = 400 J; engine C, Q H  = 600 J,  Q L  = −200 J, and W = 400 J; engine D, Q H  = 100 J,  Q L  = −90 J,  and W = 10 J. Of the first and second laws of thermodynamics,  which (if either) does each engine violate?  9 

Does  the entropy  per  cycle  increase, decrease,  or  remain  the same  for  (a)  a  Carnot  refrigerator, (b)  a  real  refrigerator,  and (c) a perfect refrigerator (which is, of course, impossible to  build)?  10 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 20.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying Circus of Physics

Entropy 

Suppose 4.00 mol  of an  ideal  gas  undergoes  a  reversible  isothermal  expansion  from volume V 1  to  volume  V 2  = 2.00V 1  at temperature T = 400 K. Find (a)  the work done  by the gas and (b) the entropy change of the gas. (c) If the expan-  sion is reversible and adiabatic instead of isothermal, what is the  entropy change of the gas?  1 

E 

CALC 

SSM 

An ideal gas undergoes a reversible isothermal expansion at  77.0°C, increasing its volume from 1.30 L  to 3.40 L. The entropy  change of the gas is 22.0 J/K. How many moles of gas are present?  2  E 

E  A  2.50 mol sample of an ideal gas expands reversibly  and  isothermally at  360 K  until its volume is  doubled. What is  the  increase in entropy of the gas? 

3 

E  Find (a)  the energy  absorbed as  heat and (b)  the change  in  entropy of  a  2.00 kg  block of copper  whose temperature is  increased  reversibly  from 25.0°C  to 100°C. The specific heat of  copper is 386 J/kg ·  K. 

5 

E  (a)  What is  the entropy  change of  a  12.0 g  ice  cube  that  melts  completely in  a  bucket  of  water  whose  temperature  is  just above the freezing point of water? (b) What is the entropy  change of a 5.00 g spoonful of water that evaporates completely  on a  hot plate whose temperature is  slightly above the boiling  point of water? 

6 

M  A  50.0 g  block  of copper  whose  temperature is  400 K  is  placed  in  an  insulating box  with  a  100 g  block of  lead  whose  temperature is  200 K. (a) What is  the equilibrium temperature  of the two-block system? (b) What is the change in the internal 

energy  of the system between the initial state and the equilib-  rium state? (c) What is the change in the entropy of the system?  (See Table 18.4.1.)  M  At  very  low  temperatures, the molar  specific heat  C  V  of  many solids is approximately C V  = AT 3 , where A depends on the  particular substance. For aluminum, A = 3.15 × 10 −5  J/mol · K 4 .  Find the entropy change for 4.00 mol of aluminum when its tem-  perature is raised from 5.00 K to 10.0 K. 

8 

M  CALC  A 10 g ice cube at −10°C is placed in a lake whose  temperature  is  15°C.  Calculate  the  change  in  entropy  of  the  cube–lake system as  the ice cube comes to thermal equilibrium  with the lake. The specific heat of ice is 2220 J/kg ·  K. (Hint: Will  the ice cube affect the lake temperature?) 

9 

M  A  CALC  60 364 g  block is  put in  contact with  a  ther-  40 mal  reservoir.  The  block is initially at a  20 lower  temperature  than  the  reservoir.  T T Assume  that  the  T (K) consequent  transfer  Figure  20.4  Problem 10.  of  energy  as  heat  from the reservoir to  the block is reversible. Figure 20.4 gives the change in entropy ΔS  of the block until thermal equilibrium is reached. The scale of the  horizontal axis is set by T a  = 280 K and T b = 380 K. What is the  specific heat of the block? 

10 

)K/J( SΔ

E  How  much  energy  must  be  transferred  as  heat  for  a  reversible  isothermal expansion of an ideal gas  at 132°C if the  entropy of the gas increases by 46.0 J/K? 

4 

7 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

a

b

SSM  In an experiment, 200 g of aluminum (with a specific  heat of 900 J/kg ·  K)  at  100°C  is  mixed with 50.0 g  of water  at 

11  M 

/

636

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

20.0°C, with the mixture thermally isolated. (a) What is the equi-  librium temperature? What are the entropy changes of (b)  the  aluminum, (c)  the water, and (d) the aluminum–water system? 

Δ Ss

)K/J( SΔ 0

0.8

1.6 Vf

Figure  20.5 

2.4 (m 3)

3.2

4.0

Problem 12. 

In  the irreversible  process  of Fig. 20.1.5, let the initial  temperatures  of  the identical  blocks  L  and  R  be  305.5  and  294.5 K, respectively, and let 215 J be the energy that must be  transferred  between the blocks in order  to reach equilibrium.  For  the reversible  processes  of Fig. 20.1.6, what is  ΔS  for (a)  block L, (b) its reservoir,  (c) block R, (d) its reservoir,  (e) the  two-block system, and  (f)  the  system  of the two  blocks  and  the two reservoirs?  13 

M 

CALC  (a) For 1.0 mol of  a  monatomic ideal  gas  taken  through the cycle in Fig. 20.6,  where  V 1  =  4.00V 0 ,  what  is  W/p 0 V 0  as  the  gas  goes  from  state  a  to  state  c  along  path  abc?  What  is  ΔE int /p 0 V 0  in  going (b)  from b to c  and (c)  through one full cycle? What  is ΔS in going (d) from b to c  and (e) through one full cycle? 

14  M 

erusserP

2 p0 p0

c

b

V0

V1

Volume

Figure  20.6 

Problem 14. 

A mixture of 1773 g of water and 227 g of ice is in an initial  equilibrium state at  0.000°C. The  mixture is  then, in  a  revers-  ible  process, brought  to a  second equilibrium state  where  the  water–ice ratio, by mass, is 1.00:1.00 at 0.000°C. (a) Calculate the  entropy change of the system during this  process. (The  heat of  fusion for  water is  333 kJ/kg.) (b)  The  system is  then returned  to the initial equilibrium state in an irreversible process  (say, by  using a Bunsen burner). Calculate the entropy change of the sys-  tem during this process. (c) Are your answers consistent with the  second law of thermodynamics?  An 8.0 g  ice  cube at  −10°C  is  put  into  a  Thermos  flask containing 100 cm 3 of water  at  20°C.  By  how  much  has  the  entropy  of  the  cube–water  sys-  tem  changed  when  equilibrium  is  reached? The  specific heat  of  ice is 2220 J/kg ·  K.  M 

M 

erusserP

In  Fig. 20.7, where  V 23  =  3.00V 1 ,  n  moles  of  a  diatomic  ideal  gas  are  taken through  the  17 

1

GO 

Ts

0

Entropy (J/K)

Figure  20.8 

Ss

Problem 18. 

Suppose 1.00 mol of a monatomic ideal gas is taken from  initial pressure  p 1  and volume V 1  through two steps: (1) an iso-  thermal expansion to volume 2.00V 1  and (2) a pressure increase  to 2.00p 1  at constant volume. What is  Q/p 1 V 1  for (a) step 1 and  (b)  step  2? What is  W/p 1 V 1  for  (c)  step  1  and (d)  step  2?  For  the full process, what are  (e)  ΔE int /p 1V   1    and (f) ΔS? The gas  is  returned to its initial state and again taken to the same final state  but now through these two steps: (1) an isothermal compression  to pressure  2.00p 1  and (2)  a  volume increase  to 2.00V 1  at con-  stant pressure. What is Q/p 1 V 1 for (g) step 1 and (h) step 2? What  is W/p 1V   1    for (i) step 1 and (j) step 2? For the full process, what  are (k) ΔE int /p 1 V 1  and (l) ΔS?  19  H 

CALC  Expand 1.00 mol of an monatomic gas  initially at  5.00  kPa  and  600 K  from  initial volume  V i  = 1.00 m 3  to  final  volume V f  = 2.00 m 3 . At any instant during the expansion, the  pressure  p  and  volume  V  of  the  gas  are  related  by  p = 5.00  exp[(V i  − V)/a], with p in kilopascals, V i  and V  in cubic meters,  and a = 1.00 m 3 . What are the final (a) pressure and (b) tempera-  ture of the gas?  (c)  How much work is  done by the gas  during  the expansion? (d)  What is  ΔS  for  the expansion? (Hint: Use  two simple reversible processes to find ΔS.) 

20  H 

a

15  M 

16 

GO  A 2.0 mol sample of an  ideal monatomic gas  undergoes  the  reversible  process  shown in  Fig. 20.8. The scale of the vertical  axis  is  set  by  T s  = 400.0  K  and  the scale  of the  horizontal axis  is  set by S s  = 20.0 J/K. (a)  How  much  energy  is  absorbed  as  heat by the gas? (b) What is the  change in the internal energy of  the gas?  (c)  How much work is  done by the gas?  18  M 

)K( erutarepmeT

M  A  gas  sample undergoes  a  reversible  isothermal  expan-  sion. Figure 20.5 gives the change ΔS in entropy of the gas versus  the final volume V f  of the gas. The scale of the vertical axis is set  by ΔS s  = 64 J/K. How many moles are in the sample? 

12 

cycle with the molecules rotating but not oscillating. What are  (a)  p 2 /p 1 ,  (b)  p 3 /p 1 ,  and  (c)  T 3 /T 1 ?  For  path  1 → 2,  what  are  (d)  W/nRT 1 , (e)  Q/nRT 1 ,  (f)  ΔE int /nRT 1 , and  (g)  ΔS/nR?  For  path 2 → 3, what are  (h)  W/nRT 1 ,  (i)  Q/nRT 1 ,  (j)  ΔE int /nRT 1 ,  (k) ΔS/nR?  For path 3 → 1, what are  (l)  W/nRT 1 , (m) Q/nRT 1 ,  (n) ΔE int /nRT 1 , and (o) ΔS/nR? 

2 3

V1

Volume

Figure  20.7 

CALC  GO  An insulated Thermos contains 130 g of water  at 80.0°C. You put in a  12.0 g  ice cube at 0°C  to form a  sys-  tem of ice + original  water. (a)  What is the equilibrium tem-  perature of the system? What are  the entropy changes of the  water that was  originally the ice cube (b)  as it melts and (c)  as it warms  to the equilibrium temperature? (d)  What is the  entropy change of the original  water  as it cools  to the equi-  librium temperature? (e)  What is  the net entropy change of  the ice + original  water  system  as  it reaches  the equilibrium  temperature? 

22  H 

Isothermal Adiabatic

GO  FCP  Energy  can be  removed from water  as  heat at  and even below the normal freezing point (0.0°C at atmospheric  pressure)  without causing the water to freeze; the water is then  said  to be  supercooled.  Suppose a  1.00 g  water  drop is  super-  cooled until its temperature is that of the surrounding air, which  is at −5.00°C. The  drop then suddenly and irreversibly  freezes,  transferring energy to the air as heat. What is the entropy change  for the drop? (Hint: Use a three-step reversible process as if the  water were  taken through the normal freezing point.) The spe-  cific heat of ice is 2220 J/kg · K.  21  H 

V23

Problem 17. 

/

637

P ROBL EMS 

Module 20.2 

Entropy in the Real World: Engines 

A  Carnot  engine  whose  low-temperature  reservoir  is  at  17°C  has  an  efficiency  of  40%.  By  how  much  should  the  temperature of the high-temperature reservoir  be increased  to  increase the efficiency to 50%?  23 

E 

a range of T H . The scale of the vertical axis is set by Q Hs  = 6.0 kJ.  If T H  is set at 550 K, what is Q H ?  Q

)Jk( H Q

A Carnot engine absorbs 52 kJ as heat and exhausts 36 kJ  as heat in each cycle. Calculate (a) the engine’s efficiency and (b)  the work done per cycle in kilojoules.  24  E 

E  A  Carnot engine  has an  efficiency of 22.0%. It  operates  between constant-temperature reservoirs differing in temperature  by 75.0 C°. What is the temperature of the (a) lower-temperature  and (b) higher-temperature reservoir? 

25 

In  a  hypothetical nuclear fusion reactor, the fuel is  deu-  terium gas  at  a  temperature of  7 × 10 8  K. If  this  gas  could be  used to operate a  Carnot engine with T L  = 100°C, what would  be the engine’s efficiency? Take both temperatures to be exact  and report your answer to seven significant figures.  26 

0 250

350

TH

Figure  20.10 

(K)

Problem 32. 

M  In the first stage of a two-stage Carnot engine, energy is  absorbed as  heat Q 1  at temperature T 1 , work W 1  is  done, and  energy  is  expelled as  heat Q 2  at  a  lower  temperature T 2 . The  second stage absorbs that energy as heat Q 2 , does work W 2 , and  expels energy  as heat Q 3  at a still lower temperature T 3 . Prove  that the efficiency of the engine is (T 1  − T 3 )/T 1 . 

28 

GO  Figure  20.9  shows  a  M  c b reversible  cycle  through  which  V, p 1.00  mol  of  a  monatomic  ideal  gas is taken. Assume that p = 2p 0 ,  V = 2V 0 ,  p 0  = 1.01 × 10 5  Pa,  and  V0 , p0 V 0  = 0.0225 m 3 . Calculate (a) the  d a work  done  during the  cycle, (b)  the energy  added as  heat during  stroke abc, and (c)  the efficiency  of the cycle. (d) What is the effi-  Volume ciency  of a  Carnot  engine oper-  Figure  20.9  Problem 29.  ating  between  the  highest  and  lowest temperatures that occur in the  cycle? (e)  Is  this greater  than or less than the efficiency calculated in (c)?  29 

M  SSM  Figure  20.11  shows  a reversible  cycle through which  1.00 mol  of  a  monatomic  ideal  gas is taken. Volume V c  = 8.00V b .  Process  bc is an adiabatic expan-  sion,  with  p b   =  10.0  atm  and  V b  = 1.00 × 10 −3 m 3 . For the cycle,  find (a)  the energy  added to the  gas  as  heat, (b)  the  energy leav-  ing  the  gas  as  heat, (c)  the  net  work done by the gas, and (d) the  efficiency of the cycle. 

33 

Adiabatic

c

a

Vb

Volume

Figure  20.11 

Vc

Problem 33. 

M  GO  An ideal  gas  (1.0 mol) is  the working substance  in  an engine that operates  on the cycle  shown in  Fig. 20.12. Pro-  cesses  BC  and DA  are  reversible  and adiabatic. (a)  Is  the gas  monatomic, diatomic, or  polyatomic? (b)  What  is  the  engine  efficiency? 

34 

erusserP

p0

A B

erusserP

A  500 W  Carnot  engine  operates  between  constant-  temperature  reservoirs  at  100°C  and  60.0°C. What is  the  rate  at  which energy  is  (a)  taken in  by  the engine as  heat and (b)  exhausted by the engine as heat? 

b

pb

erusserP

E  SSM  A  Carnot  engine  operates  between  235°C  and  115°C, absorbing  6.30 × 10 4  J  per  cycle  at  the higher tempera-  ture. (a)  What  is  the  efficiency of the  engine? (b)  How much  work per cycle is this engine capable of performing? 

p0

D

/32 V0

2 V0

C

8 V0 Volume

Figure  20.12 

16 V0

Problem 34. 

M 

M 

A Carnot engine is set up to produce a certain work  W  per  cycle. In  each  cycle, energy  in  the  form of  heat  Q H  is  transferred  to  the  working  substance  of  the  engine from  the  higher-temperature thermal reservoir, which is at an adjustable  temperature  T H .  The  lower-temperature  thermal  reservoir  is  maintained at temperature T L  = 250 K. Figure 20.10 gives Q H  for  32  M 

The  cycle  in  Fig.  3.00 p1 20.13  represents  the  operation  of  a  gasoline  internal  combus-  tion engine. Volume V3    = 4.00V 1 .  p1 Assume the gasoline–air intake  mixture  is  an  ideal  gas  with  γ = 1.30.  What  are  the  ratios  (a)  T 2 /T 1 ,  (b)  T 3 /T 1 ,  (c)  T 4 /T 1 ,  (d) p 3 /p 1 , and (e) p 4 /p 1 ? (f) What  is the engine efficiency?  35 

H 

CALC 

erusserP

The  efficiency of  a  particular  car  engine  is  25%  when  the engine does  8.2 kJ  of work  per  cycle. Assume the process  is reversible. What are (a) the energy the engine gains per cycle  as  heat  Q gain  from  the  fuel  combustion  and  (b)  the  energy  the  engine loses per  cycle as  heat Q lost ?  If a  tune-up increases  the efficiency to 31%, what are (c) Q gain and (d) Q lost at the same  work value?  31 

300

E 

27 

30 

Hs

GO 

Module 20.3 

Refrigerators 

and Real Engines 

2 Adiabatic 3

Spark 1 Adiabatic

Intake 4

V1

Figure  20.13 

Volume

V3

Problem 35. 

How much work must be done by a Carnot refrigerator to  transfer 1.0 J as heat (a) from a reservoir  at 7.0°C to one at 27°C,  (b) from a reservoir at −73°C to one at 27°C, (c) from a reservoir  36  E 

/

638

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

at −173°C to one at 27°C, and (d) from a reservoir  at −223°C to  one at 27°C?  SSM  A heat pump is used to heat a building.  The external  temperature is  less  than the internal temperature. The  pump’s  coefficient of  performance  is  3.8, and the  heat  pump delivers  7.54 MJ  as  heat to the building each hour. If  the heat pump is  a Carnot engine working in reverse, at what rate must work be  done to run it? 

37  E 

The electric motor of a heat pump transfers energy as heat  from the outdoors, which is at −5.0°C, to a room that is at 17°C. If  the heat pump were a Carnot heat pump (a Carnot engine work-  ing in reverse), how much energy would be transferred as heat to  the room for each joule of electric energy consumed?  38  E 

E  SSM  A  Carnot  air  conditioner  takes  energy  from  the  thermal energy  of  a  room at  70°F  and  transfers  it  as  heat  to  the outdoors, which is at 96°F. For each joule of electric energy  required  to  operate  the air  conditioner, how  many joules  are  removed from the room? 

39 

E  To  make ice,  a  freezer  that is  a  reverse  Carnot  engine  extracts  42 kJ as  heat at −15°C  during each cycle, with coeffi-  cient of performance 5.7. The room temperature is 30.3°C. How  much (a) energy per cycle is delivered as heat to the room and  (b) work per cycle is required to run the freezer? 

40 

M  An air  conditioner operating between 93°F and 70°F is  rated at  4000 Btu/h cooling capacity. Its  coefficient of  perfor-  mance is 27% of that of a Carnot refrigerator operating between  the same two temperatures. What horsepower is required of the  air conditioner motor? 

41 

The  motor in a refrigerator has  a power of 200 W.  If the  freezing compartment is at 270 K and the outside air is at 300 K,  and assuming the efficiency of a Carnot refrigerator, what is the  maximum amount of energy that can be extracted as heat from  the freezing compartment in 10.0 min?  42  M 

M  GO  Figure 20.14  represents  a  Carnot  engine  that  works  between  temperatures  T 1  = 400 K  and  T 2  =  150 K and drives a Car-  not  refrigerator  that  works between temper-  atures  T 3  = 325 K and  T 4  = 225 K. What is the  ratio Q 3/  Q 1?   

43 

T1 T3

Q1

Q

3

W

Q

Q

2

4

T4 T2

Refrigerator

(a)  During each  Engine cycle, a Carnot engine  Figure  20.14  Problem 43.  absorbs  750 J  as  heat  from a high-temperature  reservoir  at 360 K, with the low-temperature reservoir  at 280 K.  How  much  work  is  done  per  cycle?  (b)  The  engine  is  then  made to  work  in  reverse  to  function as  a  Carnot  refrigerator  between  those  same  two  reservoirs.  During  each  cycle,  how  much work is  required to remove 1200 J  as heat from the low-  temperature reservoir?  44  M 

Module 20.4  45  E 

A Statistical View of Entropy 

Construct a table like Table 20.4.1 for eight molecules. 

A box contains N identical gas molecules equally divided  between its two halves. For N = 50, what are (a) the multiplicity  46  M 

W of the central  configuration, (b)  the total number of micro-  states, and (c)  the percentage of the time the system spends in  the central  configuration? For  N = 100, what are (d)  W  of the  central  configuration, (e)  the total number of  microstates, and  (f) the percentage of the time the system spends in the central  configuration? For N = 200, what are (g) W of the central config-  uration, (h) the total number of microstates, and (i) the percent-  age of the time the system spends in the central configuration?  (j) Does the time spent in the central configuration increase  or  decrease with an increase in N?  SSM  A box contains N gas  molecules. Consider the  box  to  be  divided  into  three  equal  parts.  (a)  By  extension  of  Eq. 20.4.1, write a formula for the multiplicity of any given con-  figuration. (b)  Consider  two  configurations: configuration  A  with equal numbers of molecules in all three thirds of the box,  and configuration B  with equal numbers of molecules  in each  half of the box divided into two equal parts  rather than three.  What is the ratio W A /W B  of the multiplicity of configuration A  to  that of  configuration B?  (c)  Evaluate  W A /W B  for  N = 100.  (Because 100 is not evenly divisible by 3, put 34 molecules into  one of the three box parts of configuration A and 33 in each of  the other two parts.) 

47  H 

Additional Problems 

Four  particles  are  in  the  insulated  box  of  Fig.  20.4.1.  What are  (a)  the  least  multiplicity, (b)  the  greatest  multiplic-  ity, (c)  the  least  entropy, and  (d)  the  greatest  entropy  of  the  four-particle system?  48 

A cylindrical copper rod of length 1.50 m and radius 2.00 cm  is insulated to prevent heat loss through its curved surface. One  end is attached to a thermal reservoir fixed at 300°C; the other is  attached to a thermal reservoir  fixed at 30.0°C. What is the rate  at which entropy increases for the rod–reservoirs  system?  49 

Suppose  0.550  mol  of  an  ideal  gas  is  isothermally  and  reversibly expanded in the four situations given below. What is  the change in the entropy of the gas for each situation?  50 

Situation  Temperature (K)  Initial volume (cm 3 )  Final volume (cm 3 ) 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

250  0.200  0.800 

350  0.200  0.800 

400  0.300  1.20 

450  0.300  1.20 

SSM  As a sample of nitrogen gas (N  2 ) undergoes a tempera-  ture increase  at constant volume, the distribution of molecular  speeds  increases.  That  is,  the  probability  distribution  function  P(v)  for  the molecules  spreads  to  higher  speed values, as  sug-  gested in  Fig.  19.6.1b. One way  to report  the spread  in P(v)  is  to measure the difference Δv between the most probable speed  v P  and the rms speed v rms . When P(v) spreads  to higher speeds,  Δv increases. Assume that the gas is ideal and the N 2  molecules  rotate but do not oscillate. For 1.5 mol, an initial temperature of  250 K, and a final temperature of 500 K, what are (a) the initial  difference Δv i , (b)  the final difference Δv f , and (c)  the entropy  change ΔS for the gas? 

51 

Suppose 1.0 mol of a monatomic ideal gas initially at 10 L  and 300 K  is  heated at  constant volume to  600 K, allowed  to  expand  isothermally  to  its  initial  pressure,  and  finally  com-  pressed  at  constant pressure  to  its  original  volume, pressure,  and temperature. During the cycle, what are (a)  the net energy  52 

/

P ROBL EMS 

entering the system (the gas) as heat and (b) the net work done  by the gas? (c) What is the efficiency of the cycle? 

TH Q' H

Suppose that a deep shaft were drilled in Earth’s  crust  near  one  of the  poles, where  the  surface  temperature is  −40°C, to  a  depth where  the temperature  is  800°C. (a)  What  is  the theoretical limit to the efficiency of an engine operating  between these temperatures?  (b)  If  all  the energy  released  as  heat into the low-temperature reservoir  were  used  to melt ice  that was initially at −40°C, at what rate could liquid water at 0°C  be produced by a 100 MW power plant (treat it as  an engine)?  The specific heat of ice is 2220 J/kg ·  K; water’s heat of fusion is  333 kJ/kg. (Note that the engine can operate only between 0°C  and 800°C in this case. Energy exhausted at −40°C cannot warm  anything above −40°C.)  53 

CALC 

GO 

What is the entropy change for 3.20 mol of an ideal mona-  tomic gas undergoing a reversible  increase in temperature from  380 K to 425 K at constant volume? 

639

Engine X

QH

Ideal refrigerator

Q

Perfect refrigerator

W

Q' C

Q

C

Q

TC

(a )

(b ) Figure  20.16 

Problem 61. 

54 

CALC 

CALC  FCP  Figure 20.15 gives  the  force  magnitude F versus  stretch  dis-  tance  x  for  a  rubber  band, with  the  scale  of the F axis  set by F s  = 1.50  N  and the scale  of the x axis set by x s  =  3.50  cm. The  temperature  is  2.00°C.  When  the  rubber  band  is  stretched  by x = 1.70 cm, at what rate  does the  entropy  of  the  rubber  band  change  during a small additional stretch? 

56 

F

(N)

Fs

0

xs

x

(cm)

Figure  20.15 

The  temperature  of  Problem 56.  1.00  mol  of  a  monatomic ideal  gas  is  raised  reversibly  from 300 K  to 400 K, with its  volume kept  constant. What is the entropy change of the gas?  57 

58 

CALC 

Repeat Problem 57, with the pressure  now kept constant. 

CALC  SSM  A 0.600 kg sample of water is initially ice at tem-  perature −20°C. What is the sample’s entropy change if its tem-  perature is increased to 40°C? 

59 

A  three-step  cycle  is  undergone  by  3.4 mol  of  an  ideal  diatomic gas: (1)  the temperature of the gas  is  increased  from  200 K  to  500 K  at  constant  volume; (2)  the  gas  is  then  iso-  thermally expanded to its original pressure; (3)  the gas  is  then  contracted  at  constant  pressure  back  to  its  original  volume.  Throughout the cycle, the molecules rotate but do not oscillate.  What is the efficiency of the cycle?  60 

An inventor has built an engine X and claims that its efficiency  of an  ideal  engine operating  between the same two temperatures. Suppose you couple engine X  to an ideal refrigerator (Fig. 20.16a) and adjust the cycle of engine  X so that the work per cycle it provides equals the work per cycle  required by the ideal refrigerator. Treat this combination as a sin-  gle unit and show that if the inventor’s claim were true (if εX > ε),  the combined unit would act as a perfect refrigerator (Fig. 20.16b),  transferring energy as heat from the low-temperature reservoir  to  the high-temperature reservoir  without the need for work.  61 

εX  is  greater  than  the efficiency  ε

CALC  Suppose  2.00  mol  1 2 of  a  diatomic  gas  is  taken  350 reversibly  around  the  cycle  shown in  the T-S  diagram  of  Fig.  20.17,  where  S 1  = 6.00  300 J/K  and  S 2  = 8.00  J/K.  The  3 molecules  do  not  rotate  or  oscillate. What  is  the  energy  transferred  as  heat Q for  (a)  path 1  →  2,  (b)  path 2  →  3,  S1 S2 and  (c)  the  full  cycle?  (d)  Entropy ( J /K) What is  the  work  W  for  the  Figure  20.17  Problem 62.  isothermal  process?  The  vol-  ume V 1  in state 1 is 0.200 m 3 .  What is the volume in (e) state 2 and (f) state 3?  What is the change ΔE int for (g) path 1 → 2, (h) path 2 → 3,  and (i) the full cycle? (Hint: (h) can be done with one or two lines  of calculation using Module 19.7 or with a page of calculation using  Module 19.9.) (j) What is the work W for the adiabatic process? 

62 

)K( erutarepmeT

A 600 g lump of copper at 80.0°C is placed in 70.0 g of  water at 10.0°C in an insulated container. (See Table 18.4.1 for  specific heats.) (a)  What is  the equilibrium temperature of the  copper–water system? What entropy changes do (b) the copper,  (c)  the  water,  and  (d)  the  copper–water  system  undergo  in  reaching the equilibrium temperature?  55 

CALC  A three-step cycle is undergone reversibly by 4.00 mol  of an ideal gas: (1) an adiabatic expansion that gives the gas 2.00  times its  initial volume, (2)  a  constant-volume process, (3)  an  isothermal compression back to the initial state of the gas. We  do not know whether the gas is  monatomic or diatomic; if it is  diatomic, we  do not know whether the molecules  are  rotating  or  oscillating. What are  the entropy  changes for  (a)  the cycle,  (b) process 1, (c) process  3, and (d) process  2? 

63 

(a)  A  Carnot engine operates  between a  hot reservoir  at  320  K and a  cold one at 260 K. If  the engine absorbs  500 J  as  heat per  cycle  at  the hot  reservoir,  how much work  per  cycle  does it deliver? (b) If the engine working in reverse functions as  a refrigerator between the same two reservoirs, how much work  per  cycle must be supplied to remove  1000 J  as  heat from the  cold reservoir?  64 

A  2.00 mol diatomic gas  initially at 300 K  undergoes  this  cycle: It  is  (1)  heated  at  constant volume  to  800 K,  (2)  then  allowed to  expand isothermally to  its initial pressure, (3)  then  compressed at constant pressure to its initial state. Assuming the  gas molecules neither rotate nor oscillate, find (a) the net energy  transferred as heat to the gas, (b) the net work done by the gas,  and (c)  the efficiency of the cycle.  65 

An ideal refrigerator  does 150 J  of work  to remove  560 J  as heat from its cold compartment. (a) What is the refrigerator’s  66 

/

640

C HAP T ER 20  ENT ROP Y   AND  T HE  SEC OND   L AW  OF   T HERMOD Y NAMIC S 

coefficient  of  performance?  (b)  How  much  heat  per  cycle  is  exhausted to the kitchen?  Suppose  that  260 J  is  conducted  from  a  constant-  temperature reservoir  at 400 K to one at (a)  100 K, (b)  200 K,  (c) 300 K, and (d) 360 K. What is the net change in entropy ΔS net  of the reservoirs  in each case? (e) As the temperature difference  of the two reservoirs  decreases, does ΔS net  increase, decrease, or  remain the same?  67 

An apparatus that liquefies helium is in a room maintained  at 300 K. If  the helium in the apparatus is  at 4.0 K, what is  the  minimum ratio Q to /Q from , where  Q to  is  the energy  delivered as  heat to the room and Q from  is the energy removed as heat from  the helium?  68 

GO  A  brass  rod  is  in  thermal  contact  with  a  constant-  temperature  reservoir  at  130°C  at  one  end  and  a  constant-  temperature reservoir  at 24.0°C at the other end. (a)  Compute  the total change in entropy of the rod–reservoirs  system when  5030 J of energy  is conducted through the rod, from one reser-  voir to the other. (b) Does the entropy of the rod change?  69 

CALC  A 45.0 g block of tungsten at 30.0°C and a 25.0 g block  of silver at −120°C are placed together in an insulated container.  (See Table 18.4.1 for specific heats.) (a) What is the equilibrium  temperature? What entropy changes do (b) the tungsten, (c) the  silver, and (d)  the tungsten–silver system  undergo  in reaching  the equilibrium temperature? 

70 

Turbine. The  turbine in a  steam  power plant takes steam  from a boiler at 520° C and exhausts it into a condenser at 100° C.  What is its maximum possible efficiency?  71 

Heat pump. A heat pump can act as  a refrigerator  to heat  a  house  by drawing  heat from outside, doing some work, and  discharging heat inside the house. At what minimum rate must  72 

energy be supplied to the heat pump if the outside temperature  is −10° C, the interior temperature is  kept at 22° C, and the rate  of heat delivery to the interior must be 16 kW to offset the nor-  mal heat losses there?  Stirling engine. Figure 20.2.6 is a p-V diagram for an ideal-  ized version of a small Stirling engine, named for Reverend Rob-  ert Stirling of the Church of Scotland, who proposed the scheme  in 1816. The engine uses n = 8.1 × 10 −3  mol of an ideal gas, oper-  ates between hot and cold heat reservoirs  of temperatures T H  = 95° C  and T L  =  24° C, and runs  at  the rate  of 0.70 cycle  per  second. A  cycle consists  of  an isothermal  expansion (ab, from  V a  to 1.5V a ), an isothermal compression (cd), and two constant-  volume processes  (bc and da). (a) What is the engine’s net work  per cycle? (b) What is the power of the engine? (c) What is the  net heat transfer  into the  gas  during a  cycle? (d)  What is  the  efficiency ε of the engine?  73 

Automobile. An automobile engine with an efficiency ε of  22.0% operates at 95.0 cycles per second and does work at the  rate of 120 hp. (a) How much work in joules does the engine do  per cycle? (b)  How much heat does the engine absorb (extract  from  the  “reservoir”)  per  cycle?  (c)  How  much  heat  is  dis-  carded by the engine per cycle and lost to the low-temperature  reservoir?  74 

Backward  engine. An  ideal engine has  efficiency  ε. Show  that if you run  it backward as  an  ideal refrigerator, the coeffi-  cient of performance will be K = (1 − ε)/ε.  75 

Refrigerator  work  and  heat.  A  household  refrigerator,  whose coefficient of performance K is  4.70, extracts  heat from  the cold chamber at the rate of 250 J  per cycle. (a)  How much  work per cycle is required to operate the refrigerator? (b) How  much heat per cycle is discharged to the room, which forms the  high-temperature reservoir  of the refrigerator?  76 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

1

Coulomb’s Law 

21.1  COULOMB’S LAW  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

21.1.1  Distinguish between  being electrically  neutral, 

21.1.10  Identify that Coulomb’s law applies only to 

negatively charged, and positively charged  and 

(point-like) particles and objects that can be treated 

identify excess charge.  21.1.2  Distinguish between  conductors, nonconductors 

as particles.  21.1.11  If more than one force acts on a particle,  find 

(insulators), semiconductors, and superconductors. 

the net force by adding all the forces as vectors, not 

21.1.3  Describe the electrical properties of the particles  inside an atom. 

scalars.  21.1.12  Identify that a shell  of uniform  charge  attracts 

21.1.4  Identify conduction electrons and explain  their 

or repels a charged particle that is outside the shell 

role in making a conducting object negatively or 

as if all  the shell’s  charge were concentrated as a 

positively charged.  21.1.5  Identify what  is meant by “electrically  isolated” 

particle  at the shell’s center.  21.1.13  Identify that if a charged particle is located 

and by “grounding.” 

inside  a shell of uniform  charge, there  is no net elec- 

21.1.6  Explain  how a charged object can set up  induced  charge in a second object. 

trostatic force on the particle  from the shell.  21.1.14  Identify that if excess charge is put on a 

21.1.7  Identify that charges with the same electrical 

spherical  conductor, it spreads out uniformly  over 

sign repel each  other and those with  opposite elec-  trical signs attract each  other. 

the external  surface area.  21.1.15  Identify that if two identical  spherical  conduc- 

21.1.8  For either of the particles in a pair of charged 

tors touch or are connected by conducting wire,  any 

particles, draw a free-body diagram,  showing the  electrostatic force (Coulomb force) on it and anchor- 

excess charge will  be shared equally.  21.1.16  Identify that a nonconducting  object can have 

ing the tail of the force vector on that particle. 

any given distribution of charge, including  charge at 

21.1.9  For either of the particles in a pair of charged  particles, apply Coulomb’s law  to relate the mag- 

interior  points.  21.1.17  Identify current  as the rate at which  charge 

nitude of the electrostatic force, the charge magni-  tudes of the particles, and the separation between 

moves through a point.  21.1.18  For current  through a point, apply the relation- 

the particles. 

ship between  the current, a time interval, and the  amount of charge that moves through the point in  that time interval. 

Key  Ideas  ●

The strength of a particle’s electrical interaction  with 

objects around it depends on its electric  charge (usu-  ally represented as 

q), which  can be either positive or 

negative. Particles  with the same sign of charge repel  each  other, and particles  with opposite signs of charge  attract each other.  ●

●

Conductors are materials in which  a significant 

number of electrons are free to move. The charged  particles in nonconductors (insulators) are not free to  move.  ●

Electric  current 

passes a point: 

An object with  equal  amounts of the two kinds of 

charge is electrically neutral,  whereas  one with an 

i  is the rate dq/dt  at which  charge  dq  i = ___ .  dt 

imbalance  is electrically charged  and has an excess 

●

charge. 

electric  force) between two charged particles. If the 

Coulomb’s law  describes the electrostatic force (or 

641 /

642

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

q 1   and  q 2 , are separated by dis-   

particles have charges 

r

tance  , and are at rest (or moving only slowly) relative  to each other, then the magnitude of the force acting  on each due to the other is given by 

|q 1  || q 2|  1  ______    F = _____  4πε0  r 2 

●

If multiple  electrostatic forces act on a particle,  the 

individual forces.  ●

ε0 = 8.85 × 10 −12 C 2 /N · m 2 is the permittivity  constant. The ratio 1/4 πε0  is often replaced  with the  where 

k = 8.99 × 

electrostatic constant (or Coulomb constant) 

●

charge). 

net force is the vector sum (not scalar sum) of the 

(Coulomb’s law), 

10 9 N · m 2 /C 2 . 

of charge) or directly  away   from it (s ame s ign of 

Shell theorem 1: A charged particle  outside a shell 

with charge uniformly  distributed on its surface  is  attracted or repelled  as if the shell’s charge  were  concentrated as a particle  at its center.  ●

Shell theorem 2: A charged particle  inside a shell 

with charge uniformly  distributed on its surface  has no 

The electros tatic force v ector acting on a charged 

particle due  to a s econd charged particle is  either  directly  toward the s econd particle  (oppos ite s igns  

net force acting  on it due to the shell.  ●

Charge on a conducting spherical  shell  spreads 

uniformly  over the (external) surface. 

What Is Physics? 

F

Glass Glass –F (a )

F

–F

Glass Plastic

(b )

(a) The two glass rods  were each rubbed with a silk cloth  and one was suspended by thread.  When they are close to each other,  they repel each other. (b) The plastic  rod was rubbed with fur. When  brought close to the glass rod, the  rods attract each other. 

You are surrounded  by devices that depend on the physics of electromagnetism,  which is the combination of electric and magnetic phenomena. This physics is at  the  root  of  computers,  television, radio,  telecommunications, household  light-  ing, and even the ability of food  wrap to cling to a container. This physics is also  the basis of  the natural world.  Not only  does it hold  together all the atoms and  molecules in the world, it also produces lightning, auroras, and rainbows.  The physics of electromagnetism was first studied by the early Greek philos-  ophers, who discovered that if a piece of amber is rubbed and then brought near  bits of straw, the straw will jump to the amber. We now know  that the attraction  between amber and  straw  is  due  to  an  electric force.  The  Greek philosophers  also discovered that if  a certain type of  stone (a naturally occurring magnet) is  brought near bits of iron, the iron will jump to the stone. We now know  that the  attraction between magnet and iron is due to a magnetic force.  From  these  modest  origins  with  the  Greek  philosophers,  the  sciences of  electricity and magnetism developed separately for centuries—until 1820, in fact,  when Hans Christian Oersted found a connection between them: An electric c ur-  rent in a wire can deflect a magnetic compass needle. Interestingly enough, Oer-  sted made this discovery, a big surprise, while preparing a lecture demonstration  for his physics students.  The new science of  electromagnetism was developed further by workers in  many countries. One of the best was Michael Faraday, a  truly gifted experimenter  with a talent for physical intuition  and visualization. That talent is attested to by  the fact that his collected laboratory notebooks do not contain a single equation.  In  the  mid-nineteenth  century, James Clerk  Maxwell put  Faraday’s ideas into  mathematical form, introduced  many new ideas of his own, and put electromag-  netism on a sound  theoretical basis.  Our discussion  of electromagnetism is spread through  the next 16 chapters.  We begin with electrical phenomena, and our first step is to discuss the nature of  electric charge and electric force. 

Figure  21.1.1 

Electric Charge 

Here are two demonstrations that seem to be magic, but  our job  here is to make  sense of  them. After rubbing  a glass rod  with  a silk  cloth  (on  a  day when  the  humidity  is  low), we hang the  rod  by means of  a thread tied  around  its  center  (Fig. 21.1.la). Then we rub a second glass rod with the silk cloth and bring it near 

/

21.1  C OU L OMB’S  L AW 

643

the hanging rod. The hanging rod magically m oves away. We can see that a force  repels  it  from  the second  rod,  but  how?  There  is  no  contact with  that  rod,  no  breeze to push on it, and no sound  wave to disturb it.  In the second demonstration we replace the second rod with a plastic rod that  has been rubbed  with  fur. This  time, the hanging rod moves toward the nearby  rod  (Fig. 21.1.1b). Like the repulsion, this  attraction occurs without any contact  or obvious communication between the rods.  In the next chapter we shall discuss how the hanging rod knows of the pres-  ence of the other  rods, but  in  this  chapter let’s  focus on  just  the forces that are  involved. In the first demonstration, the force on  the hanging rod  was repulsive,  and in the second, attractive. After a great many investigations, scientists figured  out that the forces in these types of demonstrations are due to the electric charge  that  we set  up  on  the  rods  when  they are  in  contact  with  silk  or  fur.  Electric  charge is an intrinsic property of the fundamental particles that make up objects  such as the rods, silk, and fur. That is, charge is a property that comes automati-  cally with those particles wherever they exist.  Two Types. There  are two  types  of  electric charge, named  by  the  Ameri-  can  scientist and  statesman Benjamin Franklin  as positive  charge and  negative  charge. He could have called them anything (such as cherry and walnut), but using  algebraic signs as names comes in handy when we add up charges to find  the net  charge. In most everyday objects, such as a mug, there are about equal numbers of  negatively charged particles and positively charged particles, and so the net charge  is zero, the charge is said to  be balanced, and the object is said to be electrically  neutral (or just neutral for short).  Excess Charge. Normally you are approximately neutral. However, if you live  in regions where the humidity is low, you know  that the charge on your  body can  become slightly unbalanced when you walk across certain carpets. Either you gain  negative charge from the carpet (at the points of contact between your shoes with  the carpet) and become negatively charged, or you lose negative charge and become  positively charged. Either way, the extra charge is said to be an excess charge. You  probably don’t notice it until  you reach for a door handle or another person. Then,  if  your  excess charge is enough,  a spark leaps between you and the  other  object,  eliminating your excess charge. Such sparking can be annoying and even somewhat  painful. Such charging and discharging do not happen in humid conditions because  the water in the air neutralizes your excess charge about as fast as you acquire it.  Two  of  the  grand mysteries in  physics are (1) why does  the  universe have  particles with electric charge (what is it, really?) a nd (2) why does electric charge  come in two types (and not, say, one type or three types). We are still working on  the answers. Nevertheless, with lots of experiments similar to our two demonstra-  tions scientists discovered that  Particles with the same sign of electrical charge repel each other, and particles  with opposite signs attract each other. 

In  a moment we shall  put  this  rule into  quantitative form as Coulomb’s  law of  electrostatic  force  (or  electric  force)  between charged particles. The  term elec-  trostatic is used to emphasize that, relative to each other, the charges are either  stationary or moving only very slowly.  Demos. Now let’s get back to the demonstrations to understand the motions  of the rod as being something other than just  magic. When we rub  the glass rod  with  a silk  cloth, a small amount of negative charge moves from the rod  to  the  silk  (a transfer like that between you and a carpet), leaving the rod with a small  amount of excess positive charge. (Which way the negative charge moves is not  obvious  and requires a lot  of experimentation.) We rub  the silk over the rod to  increase the number of  contact points  and  thus  the amount, still  tiny,  of  trans-  ferred charge. We hang the rod from the thread so as to electrically isolate it from 

/

644

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

F

+++ ++++++++ + +

Glass

+ + +++++ ++++++++ + +

Glass –F

(a )

+++ Glass ++++++++ + + –F F – – –––– Plastic –––––––– – – (b )

(a) Two charged rods of  the same sign repel each other. (b)  Two charged rods of opposite signs  attract each other. Plus signs indicate  a positive net charge, and minus  signs indicate a negative net charge.  Figure  21.1.2 

–– – – –––– – – + + + + Neutral copper +++++ + –F F – – ––––––––––– – – Charged plastic

A neutral copper rod  is electrically isolated from its sur-  roundings by being suspended on a  nonconducting thread. Either end of  the copper rod will be attracted by  a charged rod. Here, conduction elec-  trons in the copper rod are repelled  to the far end of that rod by the  negative charge on the plastic rod.  Then that negative charge attracts  the remaining positive charge on the  near end of the copper rod, rotating  the copper rod to bring that near end  closer to the plastic rod.  Figure  21.1.3 

its surroundings  (so that the surroundings  cannot neutralize the rod by giving it  enough  negative charge to  rebalance its  charge). When  we rub  the  second  rod  with  the silk  cloth, it too  becomes positively charged. So when  we bring  it near  the first rod, the two rods repel each other (Fig. 21.1.2a).  Next, when  we rub  the plastic rod  with  fur, it  gains excess negative charge  from the fur. (Again, the transfer direction is learned through many e xperiments.)  When we bring the plastic rod (with negative charge) near the hanging glass rod  (with positive charge), the rods are attracted to each other (Fig. 21.1.2b). All this  is subtle. You cannot see the charge or its transfer, only the results.  Conductors and Insulators 

We  can  classify  materials generally according  to  the  ability  of  charge to  move  through  them. Conductors  are materials through  which  charge can move rather  freely; examples include metals (such as copper in common lamp wire), the human  body, and tap water. Nonconductors—also called insulators—are materials through  which charge cannot move freely; examples include  rubber (such as the insulation  on common lamp wire), plastic, glass, and chemically pure water. Semiconductors  are materials that are intermediate between conductors  and insulators;  examples  include  silicon  and germanium in computer chips.  Superconductors  are materials  that  are perfect  conductors,  allowing  charge to  move  without any hindrance.  In  these chapters we discuss only conductors and insulators.  Conducting Path. Here  is  an  example of  how  conduction  can  eliminate  excess charge on  an object.  If you  rub  a copper  rod  with  wool,  charge is  trans-  ferred from the wool  to the rod.  However, if you are holding the rod while also  touching a faucet connected to metal piping,  you  cannot charge the rod in spite  of  the  transfer. The  reason is  that you,  the  rod,  and  the  faucet are all conduc-  tors connected, via the plumbing, to Earth’s surface, which is a huge conductor.  Because the excess charges put  on  the rod  by the wool  repel one another, they  move away from one another by moving first through the rod, then through you,  and then  through the faucet and  plumbing to reach Earth’s surface, where they  can spread out. The process leaves the rod electrically neutral.  In thus  setting up  a pathway of  conductors  between an object  and  Earth’s  surface, we  are  said  to  ground  the  object,  and  in  neutralizing  the  object  (by  eliminating an unbalanced positive or negative charge), we are said to discharge  the object.  If instead of holding  the copper  rod  in your  hand,  you hold  it by an  insulating  handle, you eliminate the conducting  path to  Earth, and  the rod  can  then be charged by rubbing (the charge remains on the rod), as long as you do not  touch it directly with your hand.  Charged Particles. The  properties of  conductors  and insulators  are due  to  the structure and electrical nature of atoms. Atoms consist  of positively charged  protons, negatively charged electrons, and electrically neutral neutrons. The pro-  tons and neutrons are packed tightly together in a central nucleus.  The charge of  a single electron and that of  a single proton  have the same  magnitude but  are opposite  in  sign.  Hence, an  electrically neutral atom con-  tains  equal  numbers  of  electrons  and  protons.  Electrons  are held  near  the  nucleus because they have the electrical sign opposite that of the protons in the  nucleus and thus are attracted to the nucleus. Were this not true, there would  be no atoms and thus no you.  When  atoms  of  a conductor  like  copper  come  together to  form  the  solid,  some  of  their  outermost  (and  so  most  loosely  held)  electrons become free to  wander about within  the solid, leaving behind  positively charged atoms ( positive  ions). We call the mobile  electrons conduction  electrons. There are few (if any)  free electrons in a nonconductor.  Induced Charge. The  experiment of  Fig. 21.1.3 demonstrates the  mobility  of charge in a conductor. A negatively charged plastic rod will attract either end 

/

645

21.1  C OU L OMB’S  L AW 

of an isolated neutral copper rod. What happens is that many of the conduction  electrons in the closer end of the copper rod are repelled by the negative charge  on  the plastic rod. Some of the conduction  electrons move to the far end  of the  copper  rod,  leaving the near end  depleted in  electrons and  thus  with an  unbal-  anced  positive  charge. This  positive  charge is  attracted to  the  negative charge  in  the  plastic rod.  Although  the copper  rod  is  still  neutral, it  is said to  have an  induced charge, which means that some of its positive and negative charges have  been separated due to the presence of a nearby charge.  Similarly,  if  a  positively  charged glass  rod  is  brought  near  one  end  of  a  neutral copper rod,  induced charge is again set up in the neutral copper  rod but  now the near end gains conduction electrons, becomes negatively charged, and is  attracted to the glass rod, while the far end is positively charged.  Note that only conduction  electrons, with  their negative charges, can move;  positive ions  are fixed in place. Thus, an object becomes positively charged only  through the removal of negative charges. 

A

–  –  –  –  –  ––   N2 +  +  +  +  +  +  + 

B

Two pieces of a  wintergreen candy as they fall away  from each other. Electrons jumping  from the negative surface of piece  A to the positive surface of piece B  collide with nitrogen (N 2 ) molecules  in the air.  Figure  21.1.4 

Blue  Flashes  from a Wintergreen  Candy 

Indirect evidence for  the  attraction of  charges with  opposite  signs can  be seen  with  a  wintergreen LifeSaver (the  candy  shaped  in  the  form  of  a  marine  life-  saver). If you  adapt your  eyes to darkness for  about  15  minutes and  then  have  a friend chomp  on a piece of the candy in the darkness, you will see a faint blue  flash  from your  friend’s  mouth  with  each chomp. Whenever a chomp  breaks a  sugar crystal into pieces, each piece will probably end up with a different number  of electrons. Suppose a crystal breaks into pieces A and B, with A ending up with  Always draw the force more electrons on its surface than B (Fig. 21.1.4). This means that B has positive  vector with the tail on ions (atoms that lost electrons to A) on its surface. Because the electrons on A are  the particle. strongly attracted to the positive ions on B, some of those electrons jump across  the gap between the pieces.  The forces push the As A and B move away from each other, air (primarily nitrogen, N 2) flows    (a ) particles apart. into  the gap, and many of the jumping electrons collide with  nitrogen molecules  in the air, causing the molecules to emit ultraviolet light. You cannot see this type  of light. However, the wintergreen molecules on the surfaces of the candy pieces  absorb the ultraviolet light and then emit blue light, which you can see—it is the  Here too. FCP  blue light coming from your friend’s mouth.  (b)

Coulomb’s Law 

Now we come to the equation for Coulomb’s  law, but first a caution. This equa-  tion  works for only charged particles (and a few other things that can be treated  as particles). For extended objects, with charge located in many different places,  we need more powerful techniques. So,  here we consider just charged particles  and not, say, two charged cats.  If two charged particles are brought near each other, they each exert an elec-  trostatic force on  the other.  The  direction  of  the  force vectors depends on  the  signs  of  the  charges. If  the  particles have  the  same sign  of  charge, they  repel  each other. That  means that the  force vector on  each is  directly away from the  other  particle (Figs.  21.1.5a and  b). If  we release the  particles, they accelerate  away from each other. If, instead, the particles have opposite signs of charge, they  attract each other. That means that the force vector on each is directly toward the  other  particle (Fig. 21.1.5c).  If we release the  particles, they  accelerate toward  each other.  The  equation  for  the  electrostatic forces  acting  on  the  particles  is  called  Coulomb’s  law after Charles-Augustin de Coulomb, whose experiments in 1785  led him to it. Let’s write the equation in vector form and in terms of the particles  shown  in Fig. 21.1.6, where particle 1 has charge q 1  and particle 2 has charge q 2.  

But here the forces pull the particles together.

(c )

Two charged particles  repel each other if they have the  same sign of charge, either (a) both  positive or (b) both negative. (c)  They attract each other if they have  opposite signs of charge.  Figure  21.1.5 

F

r q1

ˆr

q2

The electrostatic force  on particle 1 can be described in  terms of a unit vector r ̂ along an axis  through the two particles, radially  away from particle 2.  Figure  21.1.6 

/

646

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

(These symbols can represent either positive or negative charge.) Let’s also focus  on particle 1 and write the force acting on it in terms of a unit vector r ̂ that points  along a radial axis extending through the two  particles, radially away from par-  ticle 2. (As with other unit  vectors, r ̂ has a magnitude of exactly 1  and no unit; its  purpose is to point,  like a direction arrow on a street sign.) With these decisions,  we write the electrostatic force as  q 1  q 2   F  = k _____  r ̂ (Coulomb’s law),  (21.1.1)  r 2  →

where r is the separation between the particles and k is a positive constant called  the electrostatic constant or the Coulomb constant. (We’ll discuss k below.)  Let’s first check the direction of the force on particle 1 as given by Eq. 21.1.1.  If q 1   and q 2   have the same sign, then the product q 1q    2   gives us a positive result.  So,  Eq.  21.1.1 tells us  that  the  force on  particle 1 is  in  the  direction  of  r ̂. That  checks, because particle 1 is being repelled from particle 2. Next, if q 1  and q 2  have  opposite signs, the product q 1  q 2  gives us a negative result. So, now Eq. 21.1.1 tells  ̂ us that the force on particle 1 is in the direction opposite r . That checks because  particle 1 is being attracted toward particle 2. 

Checkpoint 21.1.1 

The figure shows five  A C C D B pairs of plates: A, B,  and D are charged  plastic plates and C is  an electrically neutral  B A D A D copper plate. The elec-  trostatic forces between  the pairs of plates are shown for three of the pairs. For the remaining two pairs, do  the plates repel or attract each other? 

An Aside. Here is  something  that  is  very curious.  The  form  of  Eq.  21.1.1  is the same as that of Newton’s equation (Eq. 13.1.3) for  the gravitational force  between two particles with masses m 1  and m 2  and separation r :  m 1  m 2   F  = G ______  r ̂ (Newton’s law),  (21.1.2)  r 2  where G is the gravitational constant. Although the two types of forces are wildly  different, both equations describe inverse square laws (the 1/r 2 dependences) that  involve a product  of  a property of  the  interacting particles—the charge in  one  case and  the  mass in  the  other.  However, the  laws differ  in  that  gravitational  forces are always attractive but  electrostatic forces may be  either attractive or  repulsive, depending on the signs of the charges. This difference arises from the  fact that there is only one type of mass but two types of charge.  Unit. The SI unit  of charge is the coulomb. For practical reasons having to  do  with the accuracy of  measurements, the coulomb unit  is derived from the SI  unit ampere for electric current i. We shall discuss current in detail in Chapter 26,  but here let’s just note that current i is the rate dq/dt at which charge moves past  a point or through a region:  dq  i = ___  (electric  current).  (21.1.3)  dt  Rearranging Eq. 21.1.3 a nd replacing the symbols with their units  (coulombs C,  amperes A, a nd seconds s) we see that  →

1 C = (1 A)(1 s). 

/

21.1  C OU L OMB’S  L AW 

647

Force Magnitude. For  historical  reasons  (and  because doing  so  simplifies  many other formulas), the electrostatic constant k in Eq. 21.1.1 is often written as  1/4πε0 . Then the magnitude of the electrostatic force in Coulomb’s law becomes  |q 1| |q 2|   1  ______  F = _____  4πε0  r 2 

(Coulomb’s law). 

(21.1.4) 

The constants in Eqs. 21.1.1 a nd 21.1.4 have the value  1  = 8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C2  k =  _____    .  4 πε0 

(21.1.5) 

The  quantity  ε0 , called the  permittivity constant, sometimes appears separately  in equations and is  ε0 = 8.85 × 10 −12 C 2 /N ⋅ m 2 .  (21.1.6) 

Working a Problem. Note that the charge magnitudes appear in Eq. 21.1.4,  which  gives us the force magnitude. So, in working problems in this chapter, we  use Eq. 21.1.4 to find the magnitude of a force on a chosen particle due to a sec-  ond  particle and we separately determine the direction of the force by consider-  ing the charge signs of the two particles.  Multiple Forces. As  with  all  forces  in  this  book,  the  electrostatic  force  obeys  the principle of superposition.  Suppose  we have n charged particles near  a chosen particle called particle 1; then the net force on particle 1 is given by the  vector sum  →

→

→

→

→

→

F 1,net = F 12 + F 13 + F 14 + F 15 + . . . + F 1n , 

(21.1.7) 

→

in which, for example, F 14 is the force on particle 1 due to the presence of particle 4.  This equation is the key to many of the homework problems, so let’s state it  in  words. If you want to  know  the net force acting on a chosen charged particle  that  is  surrounded  by  other  charged particles, first  clearly identify that  chosen  particle and  then  find  the  force  on  it  due  to  each of  the  other  particles. Draw  those  force vectors in  a free-body diagram of  the chosen particle, with  the tails  anchored on the particle. (That may sound  trivial, but failing to do so easily leads  to errors.) Then add all those forces as vectors a ccording to the rules of Chapter 3,  not as scalars. (You cannot just willy-nilly add up their magnitudes.) The result is  the net force (or resultant force) acting on the particle.  Although  the  vector  nature  of  the  forces  makes  the  homework  problems  harder  than  if  we simply had  scalars, be  thankful  that  Eq.  21.1.7 works.  If two  force vectors did  not  simply add  but  for some reason amplified each other, the  world  would be very difficult to understand and manage.  Shell Theories. Analogous  to  the  shell  theories for  the  gravitational force  (Module 13.1), we have two shell theories for the electrostatic force:  Shell theory 1. A charged particle outside a shell with charge uniformly distrib-  uted on its surface is attracted or repelled as if the shell’s charge were concen-  trated as a particle at its center. 

Shell theory 2. A charged particle inside a shell with charge uniformly distrib-  uted on its surface has no net force acting on it due to the shell. 

(In the first theory, we assume that the charge on  the shell is much greater than  the particle’s charge. Thus the presence of the particle has negligible effect on the  distribution  of charge on the shell.) 

/

648

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

Spherical  Conductors 

If excess charge is placed on a spherical shell that is made of conducting material, the  excess charge spreads uniformly over the (external) surface. For example, if we place  excess electrons on  a spherical metal shell,  those electrons repel one  another  and  tend to move apart, spreading over the available surface until they are uniformly dis-  tributed. That arrangement maximizes the distances between all pairs of the excess  electrons. According to the first shell theorem, the shell then will attract or repel an  external charge as if all the excess charge on the shell were concentrated at its center.  If we remove negative charge from a spherical metal shell, the resulting pos-  itive charge of the shell is also spread uniformly over the surface of the shell. For  example, if we remove n electrons, there are then n sites of positive charge (sites  missing an electron) that are spread uniformly over the shell. According to  the  first shell theorem, the shell will again attract or repel an external charge as if all  the shell’s excess charge were concentrated at its center.  Checkpoint 21.1.2 

The figure shows two  e p p protons (symbol p) and one  electron (symbol e) on an axis. On the central proton, what is the direction of (a) the  force due to the electron, (b) the force due to the other proton, and (c) the net force? 

Sample Problem 21.1.1

Finding the net force  due to two other particles 

This sample problem actually contains three examples, to  build  from basic stuff to harder stuff. In each we have the  same charged particle 1. First there is a single force acting  on it (easy stuff). Then there are two forces, but they are  just  in opposite  directions (not  too  bad). Then  there are  again two forces but  they are in very different directions 

A 

(ah, now  we have to  get serious about  the fact that they  are vectors). The key to all three examples is to draw the  forces correctly before you reach for a calculator, other-  wise you may be  calculating nonsense on  the  calculator.  (Figure 21.1.7 is available in WileyPLUS as an animation  with voiceover.) 

y

This is the first arrangement. q1

q4

This is the second arrangement. q2

q1 x

q3

3 4

R

(a)

3 4 x

R

F 12

This is still the particle of interest. F 12

F 13 x

(d )

It is pushed away from particle 2.

It is pulled toward particle 3. It is pushed away from particle 2.

x

y

F 12

x

(b )

q2

(e )

(c )

This is the particle of interest.

This is the third arrangement.

θ

q1

q2

R

θ

F 14

This is still the particle of interest. x

It is pulled toward (f ) particle 4. It is pushed away from particle 2.

(a) Two charged particles of charges q 1  and q 2  are fixed in place on an x axis.  (b) The free-body diagram for particle 1, showing the electrostatic force on it from particle 2.  (c) Particle 3 included. (d) Free-body diagram for particle 1. (e) Particle 4 included. ( f ) Free-  body diagram for particle 1.  Figure  21.1.7 

/

649

21.1  C OU L OMB’S  L AW 

|q 1| |q 3|   1  ______  F 13  = _____  3  2  R)  4πε0  ( _  4 

(a)  Figure  21.1.7a  shows  two  positively  charged  par-  ticles  fixed  in  place  on  an  x  axis.  The  charges  are  q 1  = 1.60 × 10 −19  C and  q 2  = 3.20 × 10 −19 C, and  the par-  ticle separation is R = 0.0200 m . What are the magnitude  and  direction  of  the electrostatic force F 12  on  particle 1  from particle 2? 

= (8.99 × 10 9  N ⋅ m 2 / C2    ) 

→

(1.60 × 10 −19 C)(3.20 × 10 −19 C)  × ____________________________  2  _ ) 2 (0.0200 m)  ( 3  4 

KEY IDEAS

= 2.05 × 10 −24 N.  →

Because both particles are positively charged, particle 1  is  repelled  by  particle  2,  with  a  force magnitude given  by Eq. 21.1.4. Thus, the direction of force F 12 on particle 1  is  away  from  particle  2,  in  the  negative  direction  of  the  x  axis,  as  indicated  in  the  free-body  diagram  of  Fig. 21.1.7b. 

We can also write F 13  in unit-vector notation:    F 13 = (2.05 × 10 −24  N) ˆi. 

→

→

Using Eq. 21.1.4 with separation R substi-  tuted for r, we can write the magnitude F 12  of this force as  Two particles:

|q 1| |q 2|   1  ______  F 12  = _____  4πε0  R 2 

→

→

→

→

→

F 1, net  = F 12  + F 13 

= −(1.15 × 10 −24  N) ˆ  i + (2.05 × 10 −24 N) ˆ  i  −25  ˆ   = (9.00 × 10  N) i.  (Answer) 

→

Thus,  F 1, net  has  the  following  magnitude  and  direction  (relative to the positive direction of the x axis): 

= (8.99 × 10 9  N ⋅ m 2 / C2    )  (1.60 × 10 −19 C)(3.20 × 10 −19 C)  × _____________________________  (0.0200 m  ) 2  = 1.15 × 10 −24  N. 

→

Thus, force F 12 has the following magnitude and direction  (relative to the positive direction of the x axis):  1.15 × 10 −24  N  and  180°. 

(Answer) 

→

We can also write F 12 in unit-vector notation as  F 12  = −(1.15 × 10 −24  N) ˆ  i. 

→

(Answer) 

(b)  Figure  21.1.7c is  identical to  Fig. 21.1.7a except that  particle 3 now lies on the x axis between particles 1 and 2.  Particle  3  has  charge  q 3  = −3.20 × 10 −19  C  and  is  at  a  3  distance _  R from particle 1. What is the net electrostatic  4  force F 1, net  on particle 1 due to particles 2 and 3?  →

9.00 × 10 −25  N  and  0°. 

The presence of particle 3 does not alter the electrostatic  force  on  particle  1 from  particle 2. Thus,  force  F 12  still  acts  on  particle  1.  Similarly,  the  force  F 13  that  acts  on  particle 1 due to particle 3 is not affected by the presence  of  particle 2.  Because particles 1  and  3  have charge  of  opposite  signs, particle 1 is  attracted to  particle 3. Thus,  force F 13  is directed toward particle 3, as indicated in the  free-body diagram of Fig. 21.1.7d.  →

→

→

→

To  find  the  magnitude of  F 13 ,  we can  rewrite Eq. 21.1.4 a s 

(Answer) 

(c)  Figure  21.1.7e  is  identical  to  Fig.  21.1.7a  except  that  particle  4  is  now  included.  It  has  charge  q 4   =  3 R  from particle 1, and  −3.20 × 10 −19 C,  is  at a  distance _  4  lies on  a line that makes an angle θ = 60° with the x axis.  What is the net electrostatic force F 1, net  on particle 1 due  to particles 2 and 4?  →

KEY IDEA →

→

The  net  force  F 1 ,net  is  the  vector  sum  of  F 12  and  a  new  force  F 14  acting  on  particle 1 due  to  particle 4. Because  particles 1 and 4 have charge of opposite signs, particle 1  is attracted to  particle 4. Thus,  force  F 14  on  particle 1 is  directed toward particle 4, at angle  θ = 60°, as indicated  in the free-body diagram of Fig. 21.1.7f.  →

→

Four particles:

KEY IDEA

Three particles:

→

The  net  force  F 1, net  on  particle  1  is  the  vector  sum  of F 12 and F 13 ; that is, from Eq. 21.1.7, we can write the net  force F 1, net  on particle 1 in unit-vector notation as  →

We can rewrite Eq. 21.1.4 a s 

1  | q 1| | q 4|   F 14 =  _____ ______  3  2  R)  4 πε0  ( _  4 

= (8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C2    )  (1.60 × 10 −19 C)(3.20 × 10 −19 C)  × ____________________________  3  2  2  ( _  )  (0.0200 m)  4  = 2.05 × 10 −24  N.  →

Then from Eq. 21.1.7, we can write the net force F 1,net on  particle 1 as  →

→

→

F 1, net = F 12  + F 14 . 

/

650

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

→

→

Because the forces F 12  and F 14  are not  directed along the  same axis, we cannot sum simply by combining their mag-  nitudes. Instead, we must add them as vectors, using one  of the following methods.  .  Summing directly on a vector-capable c alcula-  tor. For  F 12 , we enter the magnitude 1.15 × 10 −24  and the  angle 180°. For  F 14 , we enter the magnitude 2.05 × 10 −24  and the angle 60°. Then we add the vectors. 

.  Summing components  axis by axis. The  sum  of the x components gives us  Method 3

F 1,net,x  = F 12,x + F 14,x = F 12 + F 14 cos  60°   = −1.15 × 10 −24 N + (2.05 × 10 −24  N)(cos 60°)  = −1.25 × 10 −25  N. 

Method 1

→

→

The sum of the y components gives us  F 1,net,y = F 12,y + F 14,y  = 0 + F 14 sin  60°  

.  Summing  in  unit-vector  notation .  First  we  rewrite F 14 as  Method

= (2.05 × 10 −24 N)(sin  60°)  = 1.78 × 10 −24 N. 

2

→

F 14 = ( F 14 cos θ) ˆ  i + ( F 14 sin  θ) ˆ  j. 

→

−24 

Substituting  2.05 ×  10  becomes 

→

N  for  F 14  and  60°  for  θ ,  this 

−24  ˆ  ˆ  F 14 = (1.025 × 10 −24 N) i + (1.775 × 10  N) j. 

→

→

______________ 

2  −24  F 1,net =  √ F 2  N.  (Answer)  1 ,net,x + F 1,net,y   = 1.78 × 10  →

To find the direction of F 1,net we take 

Then we sum:  →

The net force F 1,net has the magnitude 

F 

1 ,net,y   θ = tan −1  ______  = −86.0° .  F 

→

F 1, net = F 12  + F 14 

1 ,net,x  

= −(1.15 × 10 −24  N) ˆ  i 

→

However,  this  is  an  unreasonable  result  because  F 1,net  must  have  a  direction  between  the  directions  of  F 12  and  F 14 . To correct θ, we add 180°, obtaining 

−24    +(1.025 × 10 −24  N) ˆi + (1.775 × 10  N) ˆj   ≈ (−1.25 × 10 −25  N) ˆ  i + (1.78 × 10 −24 N) ˆ  j. 

→

→

(Answer) 

−86.0° + 180° = 94.0°. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

Checkpoint 21.1.3 

The figure here shows three arrangements of an electron e and two  protons p. (a) Rank the arrangements according to the magnitude  of the net electrostatic force on the electron due to the protons,  e largest first. (b) In situation c, is the angle between the net force on  the electron and the line labeled d less than or more than 45°? 

Sample Problem 21.1.2

e

D d

d

p

p

p

(a )

D

p

D

e

p (b )

d

p (c )

Equilibrium of two forces  on a  particle 

Figure 21.1.8a shows two particles fixed in  place: a particle  of  charge q 1  = +8q  at  the  origin  and  a particle of  charge  q 2  = −2q at x = L. At what point  (other than  infinitely  far  away) can a proton be placed so that it is in equilibrium (the  net force on  it is zero)? Is that equilibrium  stable or unsta-  ble? (That is, if the proton  is displaced, do the forces drive  it back to the point of equilibrium or drive it farther away?) 

This tells us that at the point we seek, the forces acting on  the proton  due to the other two particles must be of equal  magnitudes,  F 1  = F 2 ,  (21.1.9)    and that the forces must have opposite directions.  Because a  proton  has  a positive  charge, the  proton and the particle of charge q 1   are of the same sign,  and  force  F 1  on  the  proton  must  point  away  from  q 1.   Also, the proton and the particle of charge q 2  are of oppo-  site signs, so force F 2  on  the proton  must point  toward q 2.   “Away from q 1” and “toward q  opposite direc-    2” can be in    tions only if the proton  is located on  the x axis.  If  the  proton  is  on  the  x axis  at any  point  between  q 1   and  q 2, such  as point  P in  Fig. 21.1.8b, then  F 1  and F 2    Reasoning:

→

KEY IDEA →

→

If F 1  is the force on the proton due to charge q 1   and F 2  is  the force on the proton due to charge q 2, then the point we    seek is where F 1 + F 2  = 0. Thus,  →

→

→

→

F 1  = −F 2 . 

(21.1.8) 

→

→

→

/

651

21.1  C OU L OMB’S  L AW 

are in the same direction and not in  opposite  directions  Pushed away from q1, as required. If the proton  is at any point  on the x axis to  pulled toward q 2. y y the left of  q 1, such as point S in  Fig. 21.1.8c, then F 1  and F 2    F2 are in  opposite  directions.  However, Eq.  21.1.4 tells  us  q2 q1 q1 q2 x x that  F 1  and  F 2  cannot  have  equal  magnitudes there:  F 1   P L F must be greater than F 2, because F  1   1  is produced by a closer  charge (with lesser r) of greater magnitude (8q versus 2q).  (a ) (b ) The forces cannot cancel Finally, if the proton  is at any point on the x axis to the  (same direction). right of  q 2, such  as point  R in  Fig. 21.1.8d, then  F 1  and  F 2    y y are again in opposite directions. However, because now the  F2 q1 q2 q1 q2 F2 charge of  greater magnitude (q 1) is  farther away from  the    x x proton  than the charge of lesser magnitude, there is a point  S R F1 F1 at  which  F 1   is  equal to  F 2. Let x be the  coordinate of  this    point, and let q p be the charge of the proton.  (c ) The forces cannot cancel (d ) The forces can cancel, Calculations: With  Eq.  21.1.4, we  can  now  rewrite  Eq.  (one is definitely larger). at the right distance. 21.1.9:  Figure  21.1.8  (a) Two particles of charges q  1  and q 2  are fixed in  8qq p  _____  2qq p  1  _____  1  ________  _____  place on an x axis, with separation L. (b)–(d) Three possible  =  .  (21.1.10)  4πε0  x 2  4πε0  (x − L) 2  locations P, S, and R for a proton. At each location, F 1  is the  force on the proton from particle 1 and F 2  is the force on the  (Note  that  only  the  charge  magnitudes  appear  in  Eq.  proton from particle 2.  21.1.10. We already decided about  the  directions  of  the  forces in drawing Fig. 21.1.8d and do not  want to include  The  equilibrium  at x = 2L is  unstable; that  is, if  the  any  positive  or  negative  signs  here.)  Rearranging  Eq.  proton  is displaced leftward from point  R, then F 1   and F 2   21.1.10 g ives us  both  increase but F  2  increases more (because q 2  is closer  x − L  2 = __  1 .  _____  than q  ), and a net force will drive the proton farther left-  (  x  )   4  1  ward.  If  the  proton  is  displaced  rightward, both  F 1   and  After taking the square roots of both  sides, we find  F 2   decrease but  F 2    decreases more, and  a net  force will  x − L = __  1  then drive the proton  farther rightward. In a stable equi-  _____  x  2  librium, if the proton  is displaced slightly, it returns to the  and  x = 2L.  (Answer)  equilibrium position.  →

→

→

→

→

→

→

→

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Sample Problem 21.1.3

Charge sharing by two identical  conducting spheres 

In Fig. 21.1.9a, two identical, electrically isolated conduct-  ing spheres A and B are separated by a (center-to-center)  distance a that  is large compared to  the spheres. Sphere  A has a positive charge of +Q, and sphere B is electrically  neutral. Initially, there  is no  electrostatic force between  the  spheres.  (The  large  separation  means  there  is  no  induced charge.)  (a) Suppose the spheres are connected for a moment by a  conducting  wire. The wire is thin  enough so that any net  charge on  it is  negligible. What  is the  electrostatic force  between the spheres after the wire is removed? 

KEY IDEAS (1)  Because the  spheres  are identical,  connecting  them  means that they end up with identical charges (same sign 

q

=0

+Q /2

+Q /2

+Q /2

B

–Q / 2

a

A

+Q

(a )

+Q /2

(b )

(c )

–Q / 2 (d )

q

=0

(e )

Two small conducting spheres A and B. (a) To  start, sphere A is charged positively. (b) Negative charge is  transferred from B to A through a connecting wire. (c) Both  spheres are then charged positively. (d) Negative charge is  transferred through a grounding wire to sphere A. (e) Sphere  A is then neutral.  Figure  21.1.9 

/

652

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

and  same  amount).  (2)  The  initial  sum  of  the  charges  (including  the  signs of  the  charges) must equal  the final  sum of the charges.  When  the  spheres  are  wired  together,  the  (negative) conduction  electrons  on  B,  which  repel  one  another, have a  way to move away from one another (along  the  wire  to  positively  charged A,  which  attracts them—  Fig. 21.1.9b). As B loses negative charge, it becomes posi-  tively charged, and as A gains negative charge, it becomes  less positively charged. The transfer of charge stops when  the charge on  B has increased to +Q/2 and the charge on  A  has  decreased to  +Q/2, which  occurs  when  −Q/2 has  shifted from B to A.  After the  wire  has  been  removed (Fig.  21.1.9c),  we  can assume that the charge on either sphere does not dis-  turb the uniformity of the charge distribution on the other  sphere,  because  the  spheres  are  small  relative to  their  Reasoning:

separation. Thus, we can apply  the first shell  theorem to  each sphere. By Eq. 21.1.4 with q 1  = q 2  = Q/2 and r = a,  (Q / 2 )(Q/ 2 )  ______  Q  2  1  ___________  1  __  F =  _____  =  .  (Answer)  16πε0  ( a )  4 πε0  a 2  The spheres, now positively charged, repel each other.  (b) Next, suppose sphere A is grounded momentarily, and  then the ground  connection is removed. What now is the  electrostatic force between the spheres?  When we provide a conducting path between  a charged object and the ground (which is a huge conduc-  tor),  we neutralize the object.  Were sphere A negatively  charged, the mutual repulsion between the excess electrons  would cause them to move from the sphere to the ground.  However, because sphere A is positively charged, electrons  with a total charge of −Q/2 move from the ground up onto  the sphere (Fig. 21.1.9d), leaving the sphere with a charge  of 0 (Fig. 21.1.9e). Thus, the electrostatic force is again zero.  Reasoning:

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

21.2  CHARGE IS QUANTIZED  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

21.2.1  Identify the elementary charge. 

21.2.2  Identify  that the charge of a particle  or object  must be a positive or negative integer  times the  elementary charge. 

Key Ideas  ●

Electric  charge is quantized  (restricted to certain 

values).  ●

elementary charge,  which  is the magnitude of the  charge of the electron  and proton (

≈ 1.602 × 10 −19 C ) . 

ne,  n  is a positive or negative integer and  e is the 

The charge of a particle  can be written  as 

where 

Charge Is Quantized 

In  Benjamin  Franklin’s  day,  electric  charge  was  thought  to  be  a  continuous  fluid—an  idea that was useful  for many purposes. However, we now  know  that  fluids  themselves, such as air and water, are not continuous  but  are made up of  atoms and molecules; matter is discrete. Experiment shows that “electrical fluid”  is also not continuous  but is made up of multiples of a certain elementary charge.  Any positive or negative charge q that can be detected can be written as  q = ne, 

n = ±1, ±2, ±3, . . . , 

(21.2.1) 

in which e, the elementary charge, has the approximate value  e = 1.602 × 10 −19  C. 

(21.2.2) 

The electron has a charge of −e and the proton has a charge of +e (Table 21.2.1).  The neutron is electrically neutral with no  charge. Those  three particles are the 

/

21.2  C HARGE  IS  QU ANT IZED  

653

Table 21.2.1  The Charges of  Three Particles  and Their Antiparticles 

Particle 

Symbol 

Electron  Proton  Neutron 

e or e − 

Charge  −e  +e  0 

p  n 

Antiparticle 

Symbol 

Charge 

Positron  Antiproton  Antineutron 

e + 

+e  −e  0 

_  p  _  n 

Table 21.2.2  The Charges of  Two  Quarks and Their  Antiparticles 

Quark 

Symbol 

Charge 

Antiparticle 

Up 

u 

2  + _  e  3 

Antiup 

Down 

d 

1  − _  3 e 

Antidown 

Symbol  _  u  _  d 

Charge  2  − _  e  3  1  + _  3 e 

only particles in your body and any common material. The electron does not con-  sist of internal particles, but the proton and neutron consist of three quarks (Table  21.2.2). U ncommon particles consist of a quark  and an antiquark or either three  quarks or three antiquarks. The quarks and antiquarks have fractional charges of  ±e/ 3  or ±2e/ 3 . However, because quarks cannot be detected individually and for  historical reasons, we do not take their charge to be the elementary charge.  You  often  see phrases—such as  “the charge on  a  sphere,” “the amount  of  charge transferred,” and  “the charge carried by the electron”—that suggest that  charge is a substance. (Indeed, such statements have already a ppeared in this chap-  ter.) You should,  however, keep in mind what is intended:  Particles are the sub-  stance and charge happens to be one of their properties, just as mass is.  When a physical quantity such as charge can have only discrete values rather  than any value, we say that the quantity is quantized. It is possible, for example,  to find  a particle that has no  charge at all or a charge of +10e or  −6e, but  not a  particle with a charge of, say, 3.57e.  The quantum of  charge is small. In an ordinary 100 W lightbulb,  for exam-  ple, about 10 19  elementary charges enter the bulb  every second and just as many  leave. However, the graininess of electricity does not show up in such large-scale  phenomena (the bulb  does not flicker with each electron).  Checkpoint 21.2.1 

Initially, sphere A has a charge of −50e and sphere B has a charge of +20e. The  spheres are made of conducting material and are identical in size. If the spheres then  touch, what is the resulting charge on sphere A? 

Sample Problem 21.2.1

Mutual electric  repulsion  in a nucleus 

The  nucleus  in  an  iron  atom  has  a  radius  of  about  4.0 × 10 −15  m and contains 26 protons.  (a)  What  is  the  magnitude  of  the  repulsive  electrostatic  force  between two  of  the  protons  that  are separated by  4.0 × 10 −15 m? 

KEY IDEA The  protons  can  be  treated  as charged particles,  so  the  magnitude of the electrostatic force on one from the other  is given by Coulomb’s  law. 

Table 21.2.1 tells us that the charge of a pro-  ton is +e. Thus, Eq. 21.1.4 g ives us  Calculation:

2 

1  __  e  F =  _____  4 πε0  r 2  2  (8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C2    )(1.602 × 10 −19 C)  = ___________________________________  2  (4.0 × 10 −15  m)  = 14 N.  (Answer)  This is a small force to be acting on a mac-  roscopic object like a cantaloupe, but an enormous force  No explosion:

/

654

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

to be acting on  a proton.  Such  forces should  explode the  nucleus of any element but hydrogen (which has only one  proton  in  its  nucleus).  However, they  don’t,  not  even in  nuclei  with  a great many protons.  Therefore, there must  be some enormous  attractive force to  counter  this  enor-  mous repulsive electrostatic force.  (b)  What  is  the  magnitude  of  the  gravitational  force  between those same two protons? 

KEY IDEA Because  the  protons  are  particles,  the  magnitude  of  the  gravitational  force  on  one  from  the  other  is  given  by  Newton’s  equation  for  the  gravitational force  (Eq. 21.1.2).  With  m p  (=  1.67 × 10 −27  kg)  representing  the mass of a proton, Eq. 21.1.2 g ives us  Calculation:

m p2   F = G ____  r 2 

2 

(6.67 × 10 −11  N ⋅ m 2 / kg 2 )(1.67 × 10 −27  kg)  = _____________________________________  2  (4.0 × 10 −15  m)  = 1.2 × 10 −35 N.  (Answer)  This result tells us that the (attrac-  tive)  gravitational force  is  far  too  weak  to  counter  the  repulsive  electrostatic  forces  between  protons  in  a  nucleus. Instead, the  protons  are bound  together by  an  enormous force called (aptly) the strong nuclear force — a   force that acts between protons (and neutrons) when they  are close together, as in a nucleus.  Although  the  gravitational  force  is  many  times  weaker than  the electrostatic force, it  is more important  in  large-scale situations  because  it  is  always  attractive.  This means that it can collect many small bodies into huge  bodies  with  huge  masses, such  as planets and  stars, that  then  exert  large  gravitational  forces.  The  electrostatic  force, on  the  other  hand,  is repulsive for  charges of  the  same sign, so it is unable  to collect either positive charge  or  negative charge into  large concentrations  that  would  then exert large electrostatic forces.  Weak versus strong:

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

21.3  CHARGE IS CONSERVED  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

21.3.1  Identify that in any isolated physical process, 

21.3.3  Identify  mass number  and atomic number in 

the net charge cannot change  (the net charge  is 

terms of the number  of protons, neutrons, and 

always conserved). 

electrons. 

21.3.2  Identify an annihilation  process of particles and  a pair production of particles. 

Key Ideas  ●

The net electric  charge of any isolated system is 

always conserved.  ●

●

If two charged particles appear as a result of a 

pair production process, they have opposite signs of 

If two charged particles  undergo an annihilation 

charge. 

process, they have opposite signs of charge. 

Charge Is Conserved 

If you rub  a glass rod  with silk,  a positive charge appears on the rod.  Measure-  ment shows  that a negative charge of equal magnitude appears on the silk. This  suggests that rubbing does not create charge but only transfers it from one body to  another, upsetting the electrical neutrality of each body during the process. This  hypothesis  of  conservation  of  charge, first  put  forward  by  Benjamin Franklin,  has stood  up  under  close  examination, both  for large-scale charged bodies  and  for atoms, nuclei, and elementary particles. No exceptions have ever been found. 

/

21.3  C HARGE  IS  C ONSERV ED  

655

Thus, we add electric charge to our list of quantities—including  energy and both  linear momentum and angular momentum—that obey a conservation law.  Important examples of  the  conservation of  charge occur  in  the  radioactive  decay  of  nuclei,  said  to  be  radionuclides.  In  the  process, a  nucleus  transforms  into  (becomes) a different type of nucleus. For example, a uranium-238 nucleus  234  ( 238  92 U) transforms into  a thorium-234 nucleus (  90 Th)  by emitting an alpha  par-  ticle. That particle can be symbolized with  α, but because it has the same makeup  as a helium-4 nucleus, it can also be symbolized with  4  2 He. In these symbols, we  use the chemical notation for the element. The superscript is the mass number A  that gives the total number of protons  and neutrons in  the nucleus (collectively  called the nucleons), and the subscript is the atomic number or charge number Z  that gives the number of protons. Appendix E gives the chemical symbols and the  values of Z for all elements.  We can write the alpha decay of uranium-238 as  238  234  4  92 U →  90 Th +  2 He. 

(21.3.1) 

The initial uranium nucleus is said to be the parent nucleus, and the resulting tho-  rium nucleus is said to be the daughter nucleus. Note the conservation of charge:  On the left the parent nucleus has 92 protons (and thus a charge of +92e), and on  the right the two nuclei together have 92 protons (and thus the same charge). The  mass number A is also conserved, but that is not our focus here.  Another type of radioactive decay is electron capture in which  a proton  in a  parent nucleus “captures” one of the inner electrons of the atom to form a neu-  tron  (which remains in the daughter nucleus) and to release a neutrino  ν (which  has no charge):  p + e − → n +  ν. 

(21.3.2) 

e − + e + → γ + γ

(annihilation). 

(21.3.3) 

In applying the conservation-of-charge principle, we must add the charges alge-  braically, with due regard for their signs. In the annihilation  process of Eq. 21.3.3  then, the net charge of the system is zero both before and after the event. Charge  is conserved.  In pair production, the converse of annihilation,  charge is also conserved. In  this process a gamma ray transforms into an electron and a positron: 

γ → e − + e + 

(pair production). 

e 

(21.3.4) 

Figure 21.3.1 shows such a pair-production event that occurred in a bubble cham-  ber. (This  is a device in  which  a liquid  is suddenly  made hotter  than  its boiling  point.  If a charged particle passes through it, tiny vapor bubbles form along the  particle’s trail.) A gamma ray entered the chamber from the bottom and at one  point  transformed into  an electron and a positron. Because those  new particles 

e 

 yrotarobaL yelekreB ecnerwaL fo ysetruoC

The  process reduces the  atomic  number  Z  by  one,  but  the  net  charge is  con-  served: The net charge on the left is +e + (−e) = 0 and the net charge on the right  is 0 + 0 = 0. After the capture, an outer electron can drop into the inner vacancy  left by the captured electron. That transition can release a n x ray. Alternatively,  it can provide the energy for another of the outer electrons to escape the atom, a  process first discovered by Lise Meitner in 1922 and then independently by Pierre  Auger in 1923. Today the process is used in cancer therapy: A radionuclide  that  undergoes electron capture is encapsulated and placed next to the cancer cells so  that  the Auger–Meitner electrons can lethally damage the cells and  thus  reduce  the cancer.  Another example of charge c onservation occurs when an electron e − (charge  −e)  and  its  antiparticle, the  positron  e +  (charge +e),  undergo  an  annihilation  process, transforming into two gamma rays (high-energy light): 

A photograph of trails  of bubbles left in a bubble chamber  by an electron and a positron. The  pair of particles was produced by a  gamma ray that entered the chamber  directly from the bottom. Being  electrically neutral, the gamma ray  did not generate a telltale trail of  bubbles along its path, as the elec-  tron and positron did.  Figure  21.3.1 

/

656

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

were charged and  moving, each left  a trail of  bubbles.  (The  trails were curved  because a magnetic field had been set up in the chamber.) The gamma ray, being  electrically neutral, left no trail. Still, you can tell exactly where it underwent pair  production—at  the tip  of the curved V, which is where the trails of the electron  and positron begin.  PET Scans 

A widely used method of obtaining images inside a human body is positron emis-  sion  tomography (PET). A beta-plus (positron)  emitter is injected into a patient,  where it will tend to collect in a tumor. When one of the nuclei emits a positron  as a proton transforms to a neutron, that positron undergoes particle annihilation  with  an  electron in  the surrounding  tissue  within  a micron  of  the  nucleus  (Eq.  21.3.3). We can approximate the total  momentum of  the positron  and electron  as being  zero. From  the  conservation of  momentum, the  two  gamma rays that  are produced must also have a total momentum of zero, which requires that they  travel away from their production  site in opposite directions.  A PET apparatus consists of gamma-ray detectors that are commonly arranged  in a ring around the production  site in the patient (Fig. 21.3.2a). When two detec-  tors are triggered on opposite  sides of the ring (Fig. 21.3.2b) within  a narrow time  interval, the system backtracks the gamma-ray paths to determine the location of  the production  site and thus the site of the tumor. An image of the site is built  up  as this determination is done repeatedly with gamma-ray pairs emitted in various  directions into the ring. 

 mocsweN/sserP AMUZ/yvaN .S.U

Ring of detectors Tumor Gamma-ray pair (a)

(b )

(a) Patient in a PET scan apparatus. (b) Annihilation of a positron and  electron sends gamma rays in opposite directions to the ring of detectors.  Figure  21.3.2 

Review & Summary The strength of a particle’s electrical inter-  action with objects around it depends on its electric charge (usu-  ally represented as q), which can be either positive or negative.  Particles  with  the  same  sign  of  charge  repel  each  other,  and  Electric Charge 

particles with  opposite signs  of charge  attract  each  other. An  object with  equal amounts of the two  kinds of charge  is  elec-  trically neutral, whereas  one  with  an  imbalance is  electrically  charged and has an excess charge. 

/

QU EST IONS 

Conductors are materials in which a significant number of  electrons are free to move. The charged particles in nonconduc-  tors (insulators) are not free to move.  Electric current i is the rate dq/dt at which charge passes  a  point:  dq  i = ___  (electric  current).  (21.1.3)  dt  Coulomb’s  Law  Coulomb’s law describes  the electrostatic  force  (or  electric force)  between two charged  particles.  If  the  particles  have  charges  q 1  and  q 2,   are  separated  by  distance  r,  and are  at rest  (or  moving only slowly) relative to each other,  then the magnitude of the force acting on each due to the other  is given by  q 1 ||q 2 |  1  |______  F = _____  (Coulomb’s law),  4πε 0  r 2 

(21.1.4) 

where  ε0  =  8.85 ×  10 −12  C 2 /N ⋅ m 2  is  the permittivity constant.  The ratio 1/4πε0  is often replaced with the electrostatic constant  (or Coulomb constant) k = 8.99 × 10 9  N ⋅ m2    /C 2 .  The electrostatic force vector acting on a charged particle  due  to a  second  charged particle  is  either  directly toward the  second particle (opposite signs of charge) or directly away from 

657

it (same sign of charge). As with other types of forces, if multiple  electrostatic forces act on a particle, the net force is the vector  sum (not scalar sum) of the individual forces.  The two shell theories for electrostatics are  Shell  theorem  1:  A  charged  particle  outside  a  shell  with  charge  uniformly  distributed  on  its  surface  is  attracted  or  repelled as  if the shell’s  charge were  concentrated as  a  par-  ticle at its center.  Shell theorem 2: A charged particle inside a shell with charge  uniformly distributed on its surface  has  no net  force acting  on it due to the shell.  Charge on a  conducting spherical shell spreads uniformly over  the (external) surface.  Electric  charge  is  quantized  (restricted  to  certain values).  The  charge  of  a  particle can  be  written as  ne, where n is a  positive or negative integer and e  is  the elementary charge, which is the magnitude of the charge of  the electron and proton (≈ 1.602 × 10 −19  C).  The  Elementary  Charge 

The net  electric charge  of  any  isolated system is always conserved.  Conservation  of  Charge 

Questions Figure 21.1 shows  (1) –e –e +e –e four  situations  in  which  five  charged  (2) particles  are  evenly  +e +e +e –e spaced  along an  axis.  The charge values are  (3) –e –e +e +e indicated  except  for  the  central  particle,  (4) –e +e +e –e which  has  the  same  Figure  21.1  Question 1.  charge in all four situ-  ations. Rank the situations according  to the  magnitude of the  net electrostatic force on the central particle, greatest first.  1 

Figure 21.2 shows  three pairs  of identical spheres  that are  to be touched together and then separated. The  initial charges  on them are indicated. Rank the pairs according to (a) the mag-  nitude of  the  charge  transferred  during  touching and  (b)  the  charge left on the positively charged sphere, greatest first.  2 

+6 e

–4e

0

(1)

+2 e

–12e

(2) Figure  21.2 

+14 e

(3)

Question 2. 

Figure  21.3  shows  four  situations  in  which  charged  parti-  cles  are  fixed in place  on an  axis.  In  which situations  is  there  3 

+q

–3q

–q

(a) +3 q

+3 q (b )

–q (c ) Figure  21.3 

–3 q

Question 3. 

+q (d )

a point to the left of the particles where an electron will be  in  equilibrium?  Figure  21.4  shows  two  –3 q –q charged particles on an axis. The  charges  are  free to move. How-  Figure  21.4  Question 4.  ever, a third charged particle can  be placed at a certain point such that all three particles are then  in equilibrium. (a)  Is  that point to the left of the first two par-  ticles, to their  right, or  between  +4 q them? (b)  Should the third par-  ticle  be  positively  or  negatively  –2 q +2 q –2 q charged?  (c)  Is  the  equilibrium  +q stable or unstable?  4 

r In Fig. 21.5, a central particle  –7q –7q of  charge  −q  is  surrounded  by  R two circular rings of charged par-  +q ticles.  What  are  the  magnitude  and direction of the net electro-  –2 q –2 q static  force  on  the  central  par-  +4 q ticle  due to  the  other particles?  Figure  21.5  Question 5.  (Hint: Consider symmetry.) 

5 

A positively charged ball is brought close to an electrically  neutral isolated  conductor. The  conductor is  then grounded  while  the  ball is  kept close.  Is  the conductor  charged  posi-  tively,  charged  negatively, or  neutral  if  (a)  the  ball  is  first  taken away  and then the ground connection is removed and  (b) the ground connection is first removed and then the ball  is taken away?  6 

Figure  21.6  shows  three  situations  involving  a  charged  particle  and a  uniformly charged  spherical  shell.  The  charges  are  given, and the  radii  of  the shells  are  indicated. Rank  the  7 

/

658

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

situations according  to the magnitude of the force on the par-  ticle due to the presence of the shell, greatest first.  +2q

–q

+6 q d

2R

R

+5Q

–4Q

/2 +8Q

(b )

(c )

R

(a ) Figure  21.6 

Question 7. 

Figure  21.7 shows  four  arrangements  of  charged particles.  Rank the arrangements according  to the magnitude of the net  electrostatic force on the particle with charge +Q, greatest first.  p

p

d

d

p

2d

+Q

(a )

+Q

e

2d (b)

e

d

d

+Q

e

2d

(c )

(d ) Figure  21.7 

Question 8. 

Figure 21.8 shows four situations in which particles of charge  +q  or −q are  fixed in place. In  each situation, the particles on  the  x  axis  are  equidistant  from the  y  axis.  First,  consider  the  middle particle in situation 1; the middle particle experiences an  electrostatic force from each of the other two particles. (a) Are  the magnitudes F of those forces the same or  different? (b)  Is  the magnitude of the net force on the middle particle equal to,  greater than, or  less  than 2F ? (c)  Do the x  components of the  two forces add or cancel? (d) Do their y components add or can-  cel? (e)  Is  the direction of the net force on the middle particle  9 

y

Figure 21.10 shows three identical conducting bubbles A,  B, and  C  floating in a  conducting container that is  grounded  by a  wire. The bubbles initially have the same charge. Bubble  A bumps into the container’s ceiling and then into bubble B.  Then bubble B bumps into bubble C, which then drifts to the  container’s floor. When bubble C reaches the floor, a charge of  −3e is transferred upward through the wire, from the ground to  the container, as indicated. (a) What was  the initial charge of  each bubble? When (b) bubble A and (c)  bubble B  reach the  floor, what is the charge transfer through the wire? (d) During  this whole process,  what is the total charge  transfer  through  the wire?  11 

e

p

2d

–7 q In  Fig.  21.9,  a  +2 q +4 q central particle of charge  −2q is  surrounded by a  square array  of charged  –5q –3 q particles,  separated  by  either  distance d  or  d/2  –2 q along  the  perimeter  of  +3 q the  square.  What  are  the  magnitude  and  –3q –5 q direction  of  the  net  electrostatic  force  on  +2 q the central  particle  due  +4 q –7 q to  the  other  particles?  Figure  21.9  Question 10.  (Hint: Consideration  of  symmetry can greatly reduce the amount of work required here.)  10 

8 

+Q

that of the  canceling components or  the adding components?  (f)  What is  the direction of that  net force? Now  consider  the  remaining situations: What is  the  direction of the net force  on  the middle particle in (g) situation 2, (h) situation 3, and (i) situ-  ation 4? (In each situation, consider the symmetry of the charge  distribution and  determine the canceling components and  the  adding components.) 

A

B

Grounded conducting container

y

–q

+q +q

+q

x

+q

C

+q

(1)

(2)

y

y

x

– 3 e Figure  21.10 

–q

Figure 21.11 shows four situations in which a  central pro-  ton is partially surrounded by protons or electrons fixed in place  along a half-circle. The angles  θ are  identical; the angles  ϕ are  also. (a) In each situation, what is the direction of the net force  on the central proton due to the other particles?  (b) Rank the  four situations according to the magnitude of that net force on  the central proton, greatest first.  12 

+q +q

Question 11. 

–q

x

+q

(3)

–q (4)

Figure  21.8 

Question 9. 

x

/

659

P ROBL EMS 

y

p

p

p

y

ϕ ϕ

p

e

p

p

θ

ϕ ϕ

x

p

p

ϕ ϕ

x

p

p

p

θ ϕ ϕ

x

θ p

e

(1)

e

p e

θ

θ p

y

e

e p

θ

θ p

y

e

(2)

x

θ e

e

p

(3)

Figure  21.11 

p

e (4)

Question 12. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 21.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying Circus of Physics

Coulomb’s Law 

SSM  Of the charge Q initially on a tiny sphere, a portion q  is to be transferred to a second, nearby sphere. Both spheres can  be treated as  particles and are  fixed with a certain separation.  For what value of q/Q  will the electrostatic force between the  two spheres be maximized?  E  Identical isolated conducting spheres  1  and 2  have  equal  charges and are separated by a distance that is large compared  with their diameters (Fig. 21.12a). The electrostatic force acting  on sphere 2 due to sphere 1 is F . Suppose now that a third iden-  tical sphere 3, having an insulating handle and initially neutral,  is  touched first to sphere 1 (Fig. 21.12b), then to sphere 2 (Fig.  21.12c),  and  finally  removed  (Fig.  21.12d).  The  electrostatic  force that now acts on sphere 2  has magnitude F ʹ. What is the  ratio F ʹ/F ? 

2 

→

1

2

F

1 3

(a )

1

2

(b )

2

–F'

1

2

F

'

3

(c )

(d ) Figure  21.12 

Problem 2. 

E  SSM  What  must  be  the  distance  between  point  charge  q 1  = 26.0 μC and point charge q 2  = −47.0 μC for the electrostatic  force between them to have a magnitude of 5.70 N? 

3 

In the return stroke of a typical lightning bolt, a cur-  rent of 2.5 × 10 4  A exists for 20 μs.  How much charge is  trans-  ferred in this event?  4 

E  FCP 

A particle of charge +3.00 × 10 −6  C is 12.0 cm distant from  a second particle of charge −1.50 × 10 −6  C. Calculate the magni-  tude of the electrostatic force between the particles.  5  E 

1  E 

–F

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

Two  equally charged particles are  held 3.2 × 10 −3  m apart  and then released from rest. The initial acceleration of the first  particle  is  observed  to  be  7.0 m/s 2  and  that  of  the  second  to  be 9.0 m/s 2 . If the mass of the first particle is 6.3 × 10 −7  kg, what  are (a) the mass of the second particle and (b) the magnitude of  the charge of each particle?  6 

E 

M  In  Fig.  21.13,  three  L12 L 23 x charged  particles  lie  on  an  1 2 3 x  axis.  Particles  1  and  2  are  fixed in place. Particle 3 is free  Figure 21.13  Problems 7 and 40.  to move, but the net electrostatic force on it from particles 1 and  2 happens to be zero. If L 23  = L 12 , what is the ratio q 1 /q 2 ?  8  M  In Fig. 21.14, three identical  d A B conducting spheres  initially have  the  following charges:  sphere  A,  4Q;  sphere  B,  −6Q;  and  sphere  C, 0. Spheres A and B are fixed in  place, with a center-to-center sep-  C aration  that  is  much larger  than  the  spheres.  Two  experiments  Figure  21.14  Problem 8.  are  conducted. In  experiment 1,  sphere  C  is  touched to sphere  A  and then (separately)  to sphere  B,  and then it  is  removed. In  experiment 2, starting with the same initial states, the procedure  is  reversed:  Sphere  C  is  touched to  sphere  B  and  then (sepa-  rately) to sphere A, and then it is removed. What is the ratio of  the electrostatic force between A and B at the end of experiment  2 to that at the end of experiment 1? 

7 

M  SSM  Two  identical conducting  spheres,  fixed  in  place,  attract each  other with an  electrostatic  force of  0.108 N  when  their  center-to-center separation  is  50.0 cm.  The  spheres  are  then  connected  by  a  thin  conducting  wire.  When  the  wire  is 

9 

/

660

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

removed, the spheres repel each other with an electrostatic force  of 0.0360 N. Of the initial charges on the spheres, with a positive  net charge, what was (a) the negative charge on one of them and  (b) the positive charge on the other?  GO  In  Fig.  21.15,  four  par-  M  ticles  form  a  square.  The  charges  are  q 1  = q 4  = Q  and  q 2  = q 3  = q.  (a)  What  is  Q/q  if  the  net  electro-  static  force  on  particles  1  and  4  is  zero? (b) Is there any value of q that  makes  the  net  electrostatic  force  on  each  of  the  four  particles  zero?  Explain.  10 

y

1

2

a

a

a

3

4

a

x

M  In  Fig.  21.15,  the  particles  Figure  21.15  have charges q 1  = −q 2  = 100 nC  and  Problems 10 and 11.  q 3  = −q 4  = 200 nC,  and  distance  a = 5.0 cm. What are the (a) x and (b) y components of the net  electrostatic force on particle 3? 

11 

Two particles are fixed on an x axis. Particle 1 of charge  40 μC is located at x = −2.0 cm; particle 2 of charge Q is located  at x = 3.0 cm. Particle 3 of charge magnitude 20 μC  is released  from rest on the y axis at y = 2.0 cm. What is the value of Q if the  initial acceleration of particle 3 is in the positive direction of (a)  the x axis and (b) the y axis?  13  M  GO  In  Fig.  21.16,  particle  1  y of  charge  +1.0 μ C  and  particle  2  of  2 1 charge −3.0 μC are held at separation  x L = 10.0 cm on an x axis. If particle 3  L of unknown charge q 3  is to be located  Figure  21.16  Problems  such  that  the  net  electrostatic  force  13, 19, 30, and 58.  on  it  from  particles  1  and  2  is  zero,  what must be the (a) x and (b) y coordinates of particle 3?  14  M  Three particles are fixed on an x axis. Particle 1 of charge  q 1  is at x = −a, and particle 2 of charge q 2  is at x = +a. If their  net electrostatic force on particle 3 of charge +Q is  to be zero,  what must be the ratio q 1 /q 2  when particle 3 is at (a) x = +0.500a  and (b) x = +1.50a?  12  M 

M  GO  The  charges  and  coordinates  of  two  charged  par-  ticles  held  fixed in  an  xy  plane  are  q 1  = +3.0 μC,  x 1  = 3.5 cm,  y 1  = 0.50 cm, and q 2  = −4.0 μC, x 2  = −2.0 cm, y 2  = 1.5 cm. Find  the (a) magnitude and (b) direction of the electrostatic force on  particle 2 due to particle 1. At what (c)  x and (d) y coordinates  should a  third particle  of charge  q 3  = +4.0 μ C  be  placed such  that the net electrostatic force  on particle 2  due to particles 1  and 3 is zero? 

15 

The scale of the x axis is set by x s  = 8.0 cm. What are (a) the sign  of charge q 1  and (b) the ratio q 2 /q 1 ?  M  In  Fig.  21.18a,  particles  1  1 and  2  have  charge  20.0 μ C  each  d and are held at separation distance  d 3 d = 1.50 m. (a)  What is  the magni-  tude  of  the  electrostatic  force  on  d particle 1 due to particle 2? In Fig.  2 21.18b, particle 3 of charge 20.0 μC  (b ) is  positioned so  as  to  complete an  (a) equilateral triangle. (b) What is the  Figure  21.18  Problem 17.  magnitude of  the  net  electrostatic  force on particle 1 due to particles 2 and 3? 

17 

M  In  Fig. 21.19a,  three  posi-  x A B C tively charged particles  are  fixed  (a ) on  an  x  axis.  Particles  B  and  C  are  so  close  to  each  other  that  x they  can  be  considered  to  be  B A C at  the  same  distance  from  par-  (b ) ticle A. The net force on particle  Figure  21.19  Problem 18.  A  due  to  particles  B  and  C  is  2.014 × 10 −23  N  in the  negative direction of the  x  axis. In  Fig.  21.19b, particle B has been moved to the opposite side of A but  is still at the same distance from it. The net force on A is  now  2.877 × 10 −24  N in the negative direction of the x axis. What is  the ratio q C /q B ?  19  M  SSM  In Fig. 21.16, particle 1 of charge +q and particle 2  of charge +4.00q are held at separation L = 9.00 cm on an x axis.  If particle 3 of charge q 3  is to be located such that the  three par-  ticles remain in place when released, what must be the (a) x and  (b) y coordinates of particle 3, and (c) the ratio q 3 /q? 

18 

GO  Figure 21.20a shows an arrangement of three charged  particles separated by distance d. Particles A and C are fixed on  the x axis, but particle B can be moved along a circle centered on  particle A. During the movement, a radial line between A and B  makes an angle θ relative to the positive direction of the x axis  (Fig. 21.20b). The curves in Fig. 21.20c give, for two situations,  the magnitude F net  of the net electrostatic force  on particle A  due to the other particles. That net force is given as a function  of angle θ and as a multiple of a basic amount F 0 . For example  on curve 1, at θ = 180°, we see that F net = 2F 0 . (a)  For the situ-  ation corresponding to curve 1, what is  the ratio of the charge  of particle C to that of particle B (including sign)? (b)  For the  situation corresponding to curve 2, what is that ratio?  20  H 

2

In Fig. 21.17a, particle 1 (of charge q 1 ) and particle 2  (of  charge  q 2 )  are  fixed  in  place  on  an  x  axis,  8.00 cm  apart.  Particle 3 (of charge q 3  = +8.00 × 10 −19  C) is to be placed on the  line between particles 1 and 2 so that they produce a net electro-  static force F 3, net  on it. Figure 21.17b gives the x component of  that force versus the coordinate x at which particle 3 is placed.  16 

M 

GO 

d

1

d x B

t enF

A

C

1

(a )

2

→

y

2 (a )

x

)N 3 2 – 01( F

1

1 0

θ

B

A

x

0

xs

–1 (b )

Figure  21.17 

d

Problem 16. 

x

0 0 ° 

C

(b)

(cm)

90 ° 

θ

180 ° 

(c ) Figure  21.20 

Problem 20. 

CALC  GO  A nonconducting spherical shell, with an inner  radius of 4.0 cm and an outer radius of 6.0 cm, has charge spread  nonuniformly through its  volume between its  inner and  outer 

21  H 

/

661

P ROBL EMS 

surfaces.  The  volume charge  density   is  the  charge  per  unit  volume, with the unit coulomb per cubic  meter. For  this shell   = b/r, where r  is the distance in meters from the center of the  shell and b = 3.0 μ C/m 2 . What is the net charge in the shell?  22  H  GO  Figure 21.21 shows  an  y arrangement of four charged par-  3 ticles,  with  angle  θ = 30.0°  and  distance  d = 2.00 cm.  Particle  2  θ x has  charge  q 2  = +8.00 × 10 −19  C;  θ d D 1 2 particles  3  and  4  have  charges  q 3  = q 4  =  −1.60 ×  10 −19  C. (a)  4 What is  distance D between the  origin  and  particle  2  if  the  net  Figure  21.21  Problem 22.  electrostatic  force  on  particle  1  due to the other particles is zero?  (b) If  particles 3  and 4 were  moved closer to the x axis but maintained their symmetry about  that axis,  would the  required value of D  be  greater  than, less  than, or the same as in part (a)?  GO  In  Fig.  21.22,  par-  H  y ticles  1  and  2  of  charge  1 q 1  = q 2  = +3.20 × 10 −19  C  are  on  d a  y  axis  at  distance  d = 17.0 cm  x from  the  origin.  Particle  3  of  3 charge  q 3  = +6.40 × 10 −19  C  is  d moved gradually along the x axis  2 from x = 0 to x = +5.0 m. At what  Figure  21.22  Problem 23.  values  of  x  will  the  magnitude  of  the  electrostatic  force  on the  third  particle from  the other  two particles be (a) minimum and (b) maximum? What are the  (c) minimum and (d) maximum magnitudes?  23 

Module 21.2 

Charge  Is Quantized 

E 

E  How many electrons would have to be  removed from a  coin to leave it with a charge of +1.0 × 10 −7  C?  26  E  What is the magnitude of the electrostatic force between a  singly charged sodium ion (Na + , of charge +e) and an adjacent  singly charged chlorine ion (Cl − , of charge −e) in a salt crystal if  their separation is 2.82 × 10 −10  m? 

→

→

In  Fig. 21.16, particles 1 and 2 are  fixed in place on an x  axis, at a  separation of L = 8.00 cm. Their charges  are  q 1  = +e  and q 2  = −27e.  Particle 3  with charge  q 3  = +4e  is  to  be placed  on the  line between particles 1  and 2,  so  that they produce a  net electrostatic force F 3, net on it. (a) At what coordinate should  particle 3  be placed to minimize the magnitude of that force?  (b) What is that minimum magnitude?  30  M 

→

M  Earth’s  atmosphere is  constantly bombarded by  cosmic  ray protons that originate somewhere in space. If the protons all  passed  through the atmosphere, each square  meter of Earth’s  surface would intercept protons at the average rate of 1500 pro-  tons per second. What would be the electric current intercepted  by the total surface area of the planet? 

31 

GO  Figure 21.24a shows charged particles 1 and 2 that are  fixed in place on an x axis. Particle 1 has a  charge with a mag-  nitude of |q 1 | = 8.00e. Particle 3 of charge q 3  = +8.00e is initially  on the x axis near particle 2. Then particle 3 is gradually moved  in the positive direction of the x axis. As a result, the magnitude  of the net electrostatic force F 2, net on particle 2 due to particles  1  and 3  changes. Figure 21.24b  gives  the x  component of that  net force as a function of the position x of particle 3. The scale  of the x axis is set by x s  = 0.80 m. The plot has an asymptote of  F 2, net  = 1.5 × 10 −25  N as x → ∞. As a multiple of e and including  the sign, what is the charge q 2  of particle 2?  32  M 

→

2 y

1

25 

E  SSM  The  magnitude of  the electrostatic force  between  two  identical  ions  that  are  separated  by  a  distance  of  5.0  ×  10 −10  m is 3.7 × 10 −9  N. (a) What is the charge of each ion? (b)  How many electrons  are “missing” from each ion (thus giving  the ion its charge imbalance)?  28  E  BIO  FCP  A  current of  0.300 A through your chest  can  send your heart into fibrillation, ruining the normal rhythm of  heartbeat and disrupting the flow  y of  blood  (and  thus  oxygen)  to  4 your brain. If that current persists  for  2.00 min,  how  many  conduc-  x 1 3 tion  electrons  pass  through your  chest?  29  M  GO  In  Fig. 21.23, particles  2 2 and 4, of charge −e, are fixed in  place on a y axis, at y 2  = −10.0 cm  Figure  21.23  Problem 29. 

27 

2

3

x

)N 5 2 – 01( t en ,2F

Two  tiny, spherical  water  drops,  with identical charges  of  −1.00 × 10 −16  C,  have  a  center-to-center  separation  of  1.00 cm. (a) What is the magnitude of the electrostatic force act-  ing between them? (b) How many excess electrons are on each  drop, giving it its charge imbalance?  24 

and y 4  = 5.00 cm. Particles 1 and 3, of charge −e, can be moved  along  the x  axis.  Particle  5,  of  charge  +e,  is  fixed  at  the  ori-  gin. Initially particle  1 is  at  x 1  = −10.0 cm  and  particle  3  is  at  x 3  = 10.0 cm. (a)  To  what x  value must particle 1 be  moved to  rotate the direction of the net electric force  F net  on particle 5  by  30°  counterclockwise? (b)  With particle  1  fixed at  its  new  position, to what x value must you move particle 3 to rotate F net  back to its original direction? 

1 0 –1

(a )

x xs

0

(m)

(b )

Problem 32.  33  M  Calculate the number of coulombs of positive charge  in  250 cm 3  of  (neutral)  water.  (Hint: A  hydrogen atom contains  one proton; an oxygen atom contains eight protons.)  Figure  21.24 

H  GO  Figure 21.25 shows  y electrons 1 and 2 on an x axis  and  charged  ions  3  and  4  of  3 –q identical  charge  −q  and  at  1 2 θ x identical  angles  θ.  Electron  2  –e –e θ is free to move; the other three  –q particles  are  fixed  in place  at  4 horizontal  distances  R  from  R R electron 2 and are intended to  hold  electron  2  in  place.  For  Figure  21.25  Problem 34.  physically  possible  values  of  q ≤ 5e, what are the (a) smallest, (b) second smallest, and (c) third  smallest values of θ for which electron 2 is held in place? 

34 

/

662

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

H  SSM  In  crystals  of  the  salt  cesium  chloride,  cesium  ions  Cs +   form the eight corners  of  a  cube  and a  chlorine ion  Cl −  is  at the cube’s center (Fig. 21.26). The edge length of the  cube is 0.40 nm. The Cs +  ions are each deficient by one electron  (and  thus  each  has  a  charge  of  +e),  and the  Cl −  ion  has  one  excess  electron (and thus has  a  charge of −e). (a)  What is  the  magnitude of the net electrostatic force exerted on the Cl −  ion  by the eight Cs + ions at the corners of the cube? (b) If one of the  Cs +  ions is missing, the crystal is said to have a defect; what is the  magnitude of the net electrostatic force exerted on the Cl −  ion  by the seven remaining Cs +  ions? 

35 

Cl – Cs+

to solve  this  problem?  (c)  How  many kilograms  of  hydrogen  ions (that is, protons) would be needed to provide the positive  charge calculated in (a)?  In  Fig. 21.29, two tiny conduct-  ing  balls  of  identical  mass  m  and  identical charge q hang from noncon-  ducting threads of length L. Assume  that  θ is  so  small  that  tan  θ can  be  replaced  by  its  approximate  equal,  sin θ. (a) Show that  42 

L

L

1/3 

q 2 L  x =  ________  ( 2πε 0 mg) 

gives the equilibrium separation x of  the balls. (b) If L = 120 cm, m = 10 g,  and x = 5.0 cm, what is  |q|? 

0.40 nm

θθ

q

q x

Figure  21.29  (a) Explain what happens to the  Problems 42 and 43.  balls of Problem 42 if one of them is  discharged (loses its charge q to, say,  the ground). (b)  Find the new equilibrium separation x, using  the given values of L and m and the computed value of | q|. 

43 

Figure  21.26 

Module 21.3 

Problem 35. 

Charge  Is Conserved 

Electrons and positrons are produced by the nuclear trans-  formations of protons and neutrons known as beta decay. (a) If  a proton transforms into a neutron, is  an electron or a positron  produced? (b) If a neutron transforms into a proton, is an elec-  tron or a positron produced?  36  E 

E  SSM  Identify  X  in  the  following  nuclear  reactions:  (a)  1 H + 9 Be  →  X + n;  (b)  12 C + 1 H  →  X;  (c)  15 N + 1 H  →  4  He + X. Appendix F will help. 

37 

Additional Problems 

GO  Figure  21.27  shows  four  A B C identical conducting spheres  that  are  actually  well  separated  from  one  another. Sphere  W  (with  an  W initial charge  of  zero)  is  touched  Figure  21.27  Problem 38.  to sphere A and then they are sep-  arated. Next, sphere W  is  touched to sphere  B (with an  initial  charge of −32e) and then they are separated. Finally, sphere W  is touched to sphere C (with an initial charge of +48e), and then  they are separated. The final charge on sphere W is +18e. What  was the initial charge on sphere A?  38 

SSM  In  Fig. 21.28, particle  1  of charge +4e  is above a floor by  distance d 1  = 2.00 mm and  parti-  cle 2 of charge +6e is on the floor,  at  distance  d 2  = 6.00 mm  hori-  zontally from particle 1. What is  the  x  component of  the  electro-  static  force  on  particle  2  due  to  particle 1? 

39 

y

1 d1

2

x

d2

Figure  21.28 

Problem 39. 

In Fig. 21.13, particles 1  and 2 are  fixed in place, but par-  ticle 3 is  free to move. If the net electrostatic force on particle  3 due to particles 1 and 2 is zero and L 23  = 2.00L 12 ,  what is the  ratio q 1 /q 2 ?  40 

(a)  What equal positive charges  would have to be placed  on  Earth  and  on  the  Moon  to  neutralize  their  gravitational  attraction? (b) Why don’t you need to know the lunar distance  41 

SSM  How far  apart must two protons be if the magnitude  of the electrostatic force acting on either one due to the other is  equal to the magnitude of the gravitational force on a proton at  Earth’s surface? 

44 

How many  megacoulombs of positive  charge  are  in  1.00  mol of neutral molecular-hydrogen gas (H 2 )?  45 

d d d In  Fig. 21.30,  four  particles  x are  fixed  along  an  x  axis,  sepa-  1 2 3 4 rated  by  distances  d = 2.00 cm.  Figure  21.30  Problem 46.  The charges are  q 1  = +2e, q 2  = −e, q 3  = +e, and q 4  = +4e, with  e = 1.60 × 10 −19  C. In unit-vector notation, what is the net elec-  trostatic force on (a) particle 1 and (b) particle 2 due to the other  particles? 

46 

GO  Point charges of +6.0 μC  and −4.0 μC are  placed on an  x  axis,  at  x = 8.0 m  and  x = 16 m,  respectively.  What  charge  must be placed at x = 24 m so that any charge placed at the ori-  gin would experience no electrostatic force?  47 

In  Fig. 21.31, three identical con-  A ducting  spheres  form  an  equilateral  triangle  of  side  length  d = 20.0 cm.  d d The  sphere  radii  are  much  smaller  than  d,  and  the  sphere  charges  are  q A   = −2.00 nC,  q B  = −4.00 nC,  and  B C q C  = +8.00 nC. (a)  What is  the magni-  d tude of the electrostatic force between  Figure  21.31  spheres  A  and C?  The following steps  Problem 48.  are then taken: A and B are connected  by a thin wire and then disconnected; B is grounded by the wire,  and the wire is then removed; B and C are connected by the wire  and  then disconnected. What  now  are  the  magnitudes  of  the  electrostatic force (b) between spheres A and C and (c) between  spheres B and C?  48 

A  neutron consists  of one “up”  quark  of charge  +2e/3  and two “down” quarks each having charge −e/3. If we assume  that the down quarks  are 2.6 × 10 −15  m apart inside the neu-  tron, what is the magnitude of the electrostatic force between  them?  49 

/

P ROBL EMS 

Figure  21.32  shows  a  long,  nonconducting, massless  rod  of length L, pivoted at its center and balanced with a  block of  weight W at a distance x from the left end. At the left and right  ends of the rod are attached small conducting spheres with posi-  tive charges q and 2q, respectively. A distance h directly beneath  each of these spheres is  a fixed sphere with positive charge Q.  (a) Find the distance x when the rod is horizontal and balanced.  (b)  What value should h have so that the rod exerts no vertical  force on the bearing when the rod is horizontal and balanced?  50 

L x

+q

Rod

Bearing

+2q

h

+Q

W

Figure  21.32 

+Q

Problem 50. 

CALC  A charged nonconducting rod, with a length of 2.00 m  and a cross-sectional area of 4.00 cm 2 , lies along the positive side  of an x axis with one end at the origin. The volume charge den-  sity   is  charge  per  unit volume in  coulombs per  cubic  meter.  How many excess  electrons are  on the rod  if   is (a)  uniform,  with a value of −4.00 μC/m 3 , and (b)  nonuniform, with a value  given by  = bx 2 , where b = −2.00 μC/m 5 ? 

51 

A particle of charge Q is  fixed at the origin of an xy coor-  dinate system. At t = 0  a  particle (m = 0.800 g, q = 4.00 μC)  is  located  on  the  x  axis  at  x = 20.0 cm,  moving with a  speed  of  50.0 m/s in the positive y direction. For what value of Q will the  moving particle execute circular  motion? (Neglect the gravita-  tional force on the particle.) 

We know that the negative charge on the electron and the  positive charge on the proton are equal. Suppose, however, that  these  magnitudes  differ  from  each  other  by  0.00010%.  With  what force  would two copper coins, placed  1.0  m apart, repel  each  other?  Assume  that each  coin  contains 3  × 10 22  copper  atoms. (Hint: A neutral copper  atom contains 29  protons and  29 electrons.) What do you conclude?  57 

In Fig. 21.16, particle 1 of charge −80.0 μC and particle 2 of  charge  +40.0 μC  are  held  at  separation  L = 20.0 cm  on  an  x  axis. In unit-vector notation, what is the net electrostatic force  on particle  3,  of charge  q 3  = 20.0 μ C, if  particle  3  is  placed  at  (a)  x = 40.0 cm and (b)  x = 80.0 cm? What should be the (c)  x  and (d)  y coordinates of particle 3 if the net electrostatic force  on it due to particles 1 and 2 is zero?  58 

59 

What is the total charge in coulombs of 75.0 kg of electrons? 

GO  In Fig. 21.33, six charged particles surround particle 7 at  radial distances of either d = 1.0 cm or 2d, as drawn. The charges  are  q 1  = +2e,  q 2  = +4e,  q 3  = +e,  q 4  = +4e,  q 5  = +2e,  q 6  = +8e,  q 7  = +6e, with e = 1.60 × 10 −19 C. What is the magnitude of the  net electrostatic force on particle 7?  60 

y

2

1

52 

What  would  be  the  magnitude  of  the  electrostatic  force  between two  1.00 C  point charges  separated  by  a  distance of  (a) 1.00 m and (b) 1.00 km if such point charges existed (they do  not) and this configuration could be set up?  53 

A charge of 6.0 μC is to be split into two parts that are then  separated by 3.0 mm. What is the maximum possible magnitude  of the electrostatic force between those two parts?  54 

Of the charge Q on a tiny sphere, a fraction α is to be trans-  ferred  to a  second, nearby sphere. The spheres  can be  treated  as particles. (a)  What value of α maximizes the magnitude F of  the electrostatic force between the two spheres? What are the  (b) smaller and (c) larger values of α that put F at half the maxi-  mum magnitude?  55 

BIO  FCP  If a cat repeatedly rubs against your cotton slacks  on a dry  day, the charge transfer between the cat hair  and the  cotton can leave you with an excess charge of −2.00 μ C. (a) How  many electrons are transferred between you and the cat?  You will gradually discharge via the floor, but if instead of  waiting, you immediately reach toward a faucet, a painful spark  can suddenly appear as your fingers near the faucet. (b) In that  spark, do electrons flow from you to the faucet or  vice versa?  (c) Just before the spark appears, do you induce positive or neg-  ative charge in the faucet? (d) If, instead, the cat reaches a paw  toward the faucet, which way do electrons flow in the resulting  spark? (e) If you stroke a cat with a bare hand on a dry day, you  should take care  not to  bring your  fingers near  the cat’s  nose  or  you will hurt it with a spark. Considering that cat hair is  an  insulator, explain how the spark can appear. 

663

7

3

x

4

5 6

Problem 60. 

Figure  21.33 

Three  charged  particles  form  a  triangle: Particle  1  with  charge Q 1  = 80.0 nC is at xy coordinates (0, 3.00 mm), particle 2  with charge Q 2  is  at (0, −3.00 mm), and particle 3  with charge  q = 18.0 nC  is  at (4.00 mm, 0). In  unit-vector notation, what is  the electrostatic force on particle 3 due to the other two particles  if Q 2  is equal to (a) 80.0 nC and (b) −80.0 nC?  61 

SSM  In Fig. 21.34, what are the (a) magnitude and (b) direc-  tion of the net electrostatic force on particle 4 due to the other  three particles? All four particles are fixed in the xy plane, and q 1  = −3.20 × 10 −19  C, q 2  = +3.20 × 10 −19  C, q 3  = +6.40 × 10 −19  C, q 4  = +3.20 × 10 −19  C, θ1 = 35.0°, d 1  = 3.00 cm, and d 2  = d 3  = 2.00 cm. 

62 

y

2

56 

d2

θ1

4 d3

3

x

d1

1 Figure  21.34 

Problem 62. 

Charge of a penny. A U.S. penny has mass m = 3.11 g and  contains equal amounts of positive and negative charge. Assume  the coin is made entirely of copper (molar mass M = 63.5 g/mol,  atomic number Z  = 29). (a)  What is  the magnitude q of these  charges? (b) If the charges could be concentrated into two sep-  arate  bundles held 100  m apart, what would be  the attractive  force between the bundles?  63 

/

664

C HAP T ER 21  C OU L OMB’S  L AW 

Quarks. What is the quark composition of (a) a proton, (b)  a  neutron, and (c)  an  antiproton? (The symbols can be  in any  order.) (d) When a nucleon undergoes beta-minus emission (see  problem 67), what is the change in the quark composition?  64 

Electrostatic and gravitational forces. The average distance  r  between the electron and the central proton in the hydrogen  atom is  5.3 × 10 −11  m. What are the magnitudes of (a)  the elec-  trostatic  force  and  (b)  the  gravitational  force  acting  between  the particles?  (c)  Can  the latter account for holding the  atom  together?  65 

BIO  Electron  capture  in  cancer  therapy.  Certain  radionu-  clides can decay by electron capture, 

66 

p + e −  → n + ν,  and then the daughter nuclei can release  Auger–Meitner elec-  trons. If the radionuclides are placed next to cancer cells, those  released  electrons  can  lethally damage  the  cells.  What  is  the  125  daughter atom if the parent atom is (a) iodine 123  53 I, (b) iodine  53 I,  and (c) gallium 67  Ga?  31  BIO  Beta-minus decay  in  cancer  therapy. Certain  radionu-  clides undergo beta-minus decay, in which a neutron transforms  into a  proton (which  remains  in  the nucleus)  and  releases  an  electron and a neutrino:  n → p + e −  + ν. 

67 

If  the radionuclides  are  placed  next to  a  tumor, the released  electrons can lethally damage the tumor. What is the daughter  67  atom if the parent atom is (a)  iodine 131  53 I, (b) copper  29 Cu, and  90  (c)  yttrium 39 Y? The first two are  used for smaller tumors, the  third for larger tumors.  Smoke  detectors.  Many  household  smoke  detectors  (Fig.  21.35)  contain  radioactive  americium-241  241  95 Am, which  is  an  alpha emitter. The alpha particles  ionize the air (they strip elec-  trons  from the air  molecules) between two charged plates. The  freed  electrons  then flow to the positively charged plate. Thus,  there is an electrical current between the plates. If smoke particles  enter the air, they reduce that current, which triggers an alarm.  What is the daughter nucleus produced by the alpha decay?  68 

BIO  Alpha decay  in  cancer  therapy.  Certain  radionuclides  decay by  emitting an alpha particle. To  treat  bone cancer, an  alpha emitter such as radium 223  88 Ra is attached to a carrier mol-  ecule that is  then taken up by bone as  though it were calcium.  What is the daughter atom if the parent atom is (a) radium 223  88 Ra,  225 Ac?  (b) radium 226  Ra, and (c) actinium  88  89 

69 

BIO  Competitive decays  in cancer  diagnosis. Some radionu-  clides can  undergo either beta-plus decay  or electron capture.  What  is  the  resulting  daughter  when  carbon  11  6 C  undergoes  (a)  beta-plus  decay  and  (b)  electron  capture?  What  is  the  daughter when  18  9 F undergoes (c)  beta-plus decay and (d) elec-  tron capture? 

70 

Uranium fission.  If  a  slow  neutron is  captured by  a  ura-  nium-235  nucleus  (a  large  nucleus),  the  nucleus  can  fission  (split) into two intermediate-size nuclei and release two or three  neutrons. Here is one possibility:  71 

(a)  235  144  92 U + n →  56 Ba +  (b) (c) + 3n. 

What numbers go into superscript (a) and subscript (b), and what  chemical symbol goes into position (c)? (d) The intermediate-size  nuclei have too many neutrons to be stable and so they decay by  beta-minus decays, in which a neutron becomes a proton and the  nucleus emits an electron and a neutrino (which has no charge).  See Problem 67. What daughter nucleus results from the decay  of 144  56 Ba?  BIO  Gamma cameras. To image organs in a patient’s body,  the patient is  injected with  a substance  containing radioactive  99  molybdenum 99  42 Mo, which decays to technetium 43 Tc, and then  slid into a  gamma camera (Fig. 21.36). The  technetium is pro-  duced in a higher energy state but while in the gamma camera  it reduces  its  energy  by  emitting a  gamma ray. The  patient is  partially surrounded  by  an  array  of  gamma-ray detectors that  function much like a  conventional camera capturing an  image  with visible light. The detection system produces an image of the  patient showing the emission sites of the gamma rays. (Radio-  nuclides that  emit  electrons,  positrons,  or  alpha particles  are  not useful in  deep imaging because those particles travel  only  a short distance through the body whereas the gamma rays can  99  escape and reach the detectors.)  In the decay of  99  42 Mo to  43 Tc,  what particle is emitted in addition to a neutrino? 

72 

 moc.kcotsrettuhS/nigamS rteP

 FR321/medgicanitsed Figure  21.35 

Problem 68. 

Figure  21.36 

Problem 72. 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

2

Electric Fields 

22.1  THE ELECTRIC  FIELD  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.1.1  Identify that at every point in the space sur- 

ev en though there is no contact between  the 

rounding a charged particle,  the particle sets up an  electric field 

→

E , which  is a vector quantity and thus 

particles .  22.1.3  Explain  how a small positive test charge is used 

has both magnitude and direction. 

(in principle)  to measure the electric  field  at any 

→

22.1.2  Identify how an  electric field 

E  can be us ed 

to explain  how a charged particle  can exert an 

given point.  22.1.4  Explain  electric field  lines,  including  where  they 

→

electros tatic force 

F  on a s econd charged particle 

originate  and terminate and what their  spacing  represents. 

Key  Ideas  ●

A charged  particle sets up an electric field  (a vector 

●

Electric  field lines  help us visualize  the direction  and 

quantity) in the surrounding space. If a second charged 

magnitude of electric  fields.  The electric  field  vector at 

particle  is located in that space, an electrostatic force 

any point is tangent to the field  line  through that point. 

acts on it due to the magnitude and direction of the 

The density of field lines  in that region is proportional 

field  at its location. 

to the magnitude of the electric  field  there. Thus, 

→

E  at any point is defined  in terms  of the electrostatic force F  that would be exerted on a  positive test charge q 0  placed  there:  ●

The electric  field 

closer field  lines  represent a stronger field. 

→

→

F  E =  ___  q  . 

→

0 

●

Electric  field lines  originate on positive charges and 

terminate on negative charges. So, a field line  extend-  ing from a positive charge must end on a negative  charge. 

What Is Physics? 

Figure  22.1.1 shows  two positively charged particles. From  the preceding chap-  ter  we know  that  an  electrostatic force acts  on  particle 1 due  to  the  presence  of  particle  2. We  also  know  the  force  direction  and,  given  some  data, we  can  calculate the force magnitude. However, here is a leftover nagging question. How  does particle 1 “know” of  the presence of  particle 2? That is, since the particles  do  not  touch,  how  can particle 2 push  on  particle 1—how  can there be such  an  action at a distance?  One purpose of physics is to record observations about our world, such as the  magnitude and direction of the push on particle 1. Another purpose is to provide  an explanation of what is recorded. Our purpose in this chapter is to provide such  an explanation to this nagging question about electric force at a distance.  The  explanation  that  we  shall  examine here  is  this:  Particle 2  sets  up  an  electric field at all points  in the surrounding space, even if the space is a vacuum.  If we place particle 1 at any point in that space, particle 1 knows of the presence  of particle 2 because it is affected by the electric field particle 2 has already set up 

+

+

q

q

1

2

How does charged  particle 2 push on charged particle 1  when they have no contact?  Figure  22.1.1 

665 /

666

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

at that point. Thus, particle 2 pushes on particle 1 not by touching it as you would  push  on a coffee mug by making contact. Instead, particle 2 pushes by means of  the electric field it has set up.  Our goals in  this  chapter are to  (1) define electric field, (2) discuss  how  to  calculate it for various arrangements of charged particles and objects, and (3) dis-  cuss how an electric field can affect a charged particle (as in making it move). 

F

+

+ + + Test charge q0 + + at point P ++ ++ + + Charged object

(a)

The rod sets up an electric f ield, which can create a force on the test charge.

E

+ ++ + + ++ ++ ++ P

Electric field at point P

→

(a) A positive test charge  q 0  placed at point P near a charged  object. An electrostatic force F  acts  on the test charge. (b) The electric  field E  at point P produced by the  charged object.  Figure  22.1.2 

→

→

→

– – –

–

+ Positive

test charge

(a )

–

– – –

–

E

Electric f ield lines

→

F  E = ___  q 

→

–

F

– – –

A lot of different fields are used in science and engineering. For example, a  tem-  perature field for an auditorium is the distribution  of temperatures we would find  by measuring the temperature at many points  within  the auditorium.  Similarly,  we could  define a pressure field in a swimming pool. Such  fields are examples of  scalar fields because temperature and pressure are scalar quantities, having only  magnitudes and not directions.  In  contrast, an  electric field  is  a  vector  field  because it  is  responsible  for  conveying the information for a force, which involves both  magnitude and direc-  tion.  This field  consists of a distribution  of electric field vectors E , one for each  point  in the space around a charged object. In principle, we can define E at some  point  near  the  charged object,  such  as point  P in  Fig. 22.1.2a,  with  this  proce-  dure: At P, we place a particle with a small positive charge q 0, called a test charge    because we use it to test the field. (We want the charge to be small so that it does  not  disturb  the object’s charge distribution.)  We then  measure the electrostatic  force F  that acts on the test charge. The electric field at that point  is then  →

(b )

– – –

The Electric Field 

0 

(22.1.1) 

(electric field). 

Because the test charge is  positive, the two  vectors in  Eq. 22.1.1 are in  the  same direction, so the direction of E is the direction  we measure for  F . The mag-  nitude  of E  at point  P is F/q 0. As shown  in Fig. 22.1.2b, we always represent an    electric field with an arrow with its tail anchored on the point where the measure-  ment  is made. (This  may sound  trivial,  but  drawing  the  vectors any other  way  usually results in errors. Also, another common error is to mix up the terms force  and field because they both start with the letter f. Electric force is a push or pull.  Electric field is an abstract property set up by a charged object.) From Eq. 22.1.1,  we see that the SI unit for the electric field is the newton per coulomb  (N/C).  We can shift the test charge around  to various other  points,  to measure the  electric fields there, so that we can figure out the distribution  of the electric field  set up by the charged object. That field exists independent of the test charge. It is  something that a charged object sets up in the surrounding space (even vacuum),  independent of whether we happen to come along to measure it.  For  the next  several modules, we determine the  field  around  charged par-  ticles and various charged objects. First, however, let’s examine a way of visual-  izing electric fields.  →

→

→

(b )

(a) The electrostatic  force F acting on a positive test  charge near a sphere of uniform  negative charge. (b) The electric field  vector E  at the location of the test  charge, and the electric field lines in  the space near the sphere. The field  lines extend toward the negatively  charged sphere. (They originate on  distant positive charges.)  Figure  22.1.3  →

→

Electric Field Lines 

Look  at the space in the room  around  you.  Can you visualize a field  of vectors  throughout  that  space—vectors with  different  magnitudes  and  directions?  As  impossible  as that seems, Michael Faraday, who  introduced  the idea of electric  fields in  the 19th century, found  a way. He envisioned lines, now  called electric  field lines, in the space around any given charged particle or object.  Figure 22.1.3 gives an example in which  a sphere is uniformly  covered with  negative charge. If we place a positive test charge at any point  near the  sphere 

/

22.1  T HE  EL EC T RIC   F IEL D  

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + +

Positive test charge

+

+

F

+ + + +

(a)

+ + + +

+ + + +

667

+ + + + + + + + + + + (c )

+ +

E

(b )

(a) The force on a positive test charge near a very large, nonconducting  sheet with uniform positive charge on one side. (b) The electric field vector E  at the  test charge’s location, and the nearby electric field lines, extending away from the sheet.  (c) Side view.  Figure  22.1.4 

→

(Fig. 22.1.3a), we find that an electrostatic force pulls  on  it toward the center of  the sphere. Thus at every point around  the sphere, an electric field vector points  radially inward toward the sphere. We can represent this electric field with elec-  tric field lines as in Fig. 22.1.3b. At any point, such as the one shown, the direction  of the field line through the point  matches the direction of the electric vector at  that point.  The  rules  for  drawing  electric fields  lines  are these:  (1) At  any  point,  the  electric field  vector must be tangent to the electric field  line through  that point  and  in the same direction. (This  is easy to  see in  Fig. 22.1.3 where the lines  are  straight, but we’ll see some curved lines soon.) (2) In a plane perpendicular to the  field  lines, the relative density of the lines  represents the relative magnitude of  the field there, with greater density for greater m agnitude.  If the sphere in Fig. 22.1.3 were uniformly covered with positive charge, the  electric field vectors at all points around it would be radially outward and thus so  would  the electric field lines. So, we have the following rule:  Electric field lines extend away from positive charge (where they originate) and  toward negative charge (where they terminate). 

In Fig. 22.1.3b, they originate on distant positive charges that are not shown.  For another example, Fig. 22.1.4a shows part of an infinitely large, noncon-  ducting  sheet  (or  plane)  with  a  uniform  distribution  of  positive  charge on  one  side. If we place a positive test charge a t any point near the sheet (on either side),  we find  that the electrostatic force on  the particle is outward and perpendicular  to the sheet. The perpendicular orientation is reasonable because any force com-  ponent  that is, say, upward is balanced out by an equal component that is down-  ward. That leaves only outward, and thus the electric field vectors a nd the electric  field  lines  must  also be  outward  and  perpendicular  to  the  sheet, as shown  in  Figs. 22.1.4b and c.  Because the  charge on  the sheet is  uniform, the  field  vectors and  the field  lines are also. Such a field is a uniform electric field, meaning that the electric field  has the same magnitude and direction at every point within the field. (This is a lot  easier to work  with than a nonuniform  field, where there is variation from point  to point.)  Of course, there is no such thing as an infinitely large sheet. That is just  a way of saying that we are measuring the field at points close to the sheet relative  to the size of the sheet and that we are not near an edge.  Figure  22.1.5  shows  the  field  lines  for  two  particles  with  equal  positive  charges. Now the field  lines are curved, but  the rules still  hold:  (1) The  electric 

+ E

+

Field lines for two  particles with equal positive charge.  Doesn’t the pattern itself suggest that  the particles repel each other?  Figure  22.1.5 

/

668

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

field vector at any given point  must be tangent to the field line at that point  and  in  the same direction,  as shown  for  one  vector, and  (2) a closer spacing means  a larger field magnitude. To  imagine the full  three-dimensional pattern of field  lines  around  the  particles, mentally rotate the pattern in  Fig. 22.1.5 around  the  axis of symmetry, which is a vertical line through both  particles.  Checkpoint 22.1.1 

Electric field lines extend across a lab experiment, from a charged plate on the  right to a charged plate on the left. Is the left plate positively charged or negatively  charged? 

22.2  THE ELECTRIC  FIELD DUE TO A CHARGED PARTICLE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.2.1  In a sketch, draw a charged  particle, indicate  its 

and  the distance 

→

E at that point, with  its tail anchored on 

field  vector  the point. 

E, the  charge magnitude |q |,  r between the point and  the 

the field  magnitude 

sign, pick a nearby point, and then  draw the electric 

particle.  22.2.4  Identify  that the equation  given here  for the 

22.2.2  For a given point in the electric  field  of a 

magnitude of an electric  field  applies only to a 

charged  particle, identify  the direction  of the field 

particle,  not an extended object. 

→

E when  the particle  is positively charged and 

vector 

22.2.5  If more than  one electric  field  is set up at a 

when  it is negatively charged. 

point, draw each  electric field  vector and then find 

22.2.3  For a given point in  the electric field  of a 

the net electric  field  by adding the individual  electric 

charged  particle, apply the relationship between 

fields as vectors (not as scalars). 

Key Ideas  ●

ticle with  charge 

●

→

E set up by a par-  q  at distance r from the particle is  q |  1  |___  E =  _____  .  4 πε 0 r 2 

The magnitude of the electric field 

The electric field  vectors set up by a positively 

charged particle  all point directly away from the 

particle. Those set up by a negatively charged particle  all point directly toward the particle.  ●

If more than one charged particle sets up an electric 

field at a point, the net electric field  is the vector sum  of the individual  electric fields—electric  fields obey the  superposition principle. 

The Electric Field Due to a Point Charge 

To find the electric field due to a charged particle (often called a point charge), we place  a positive test charge q 0  at any point  near the particle, at distance r. From Coulomb’s  law (Eq. 21.1.4), the force on the test charge due to the particle with charge q is  qq 0   1  ____  F  = _____  r ̂.  4 πε 0  r 2 

→

→

As previously, the direction  of  F  is  directly away from the particle if  q is  positive  (because q 0  is positive) and directly toward it if q is negative. From Eq. 22.1.1, we can  now write the electric field set up by the particle (at the location of the test charge) as  q  F  _____  1  __  E = ___  q 0   =  4 πε r 2 r ̂ 0 

→

→

(charged particle). 

(22.2.1) 

/

22.2  T HE EL EC T RIC   F IEL D  D U E T O  A  C HARGED   P ART IC L E 

669

→

Let’s  think  through  the  directions  again.  The  direction  of  E  matches that  of  the force on the positive test charge: directly away from the point  charge if q is  positive and directly toward it if q is negative.  So,  if  given  another  charged  particle,  we  can  immediately  determine  the  directions  of  the electric field  vectors near  it by  just  looking  at the  sign of  the  charge q. We can find  the magnitude at any given distance r by converting  Eq. 22.2.1 to a magnitude form:  |q |  1  ___  E = _____  (22.2.2)  (charged particle).  4πε0  r 2  We write |q | to avoid the danger of getting a negative E when q is negative, and  then  thinking  the  negative sign  has  something  to  do  with  direction.  Equation  22.2.2 g ives magnitude E only. We must think about the direction separately.  Figure  22.2.1 gives  a  number  of  electric field  vectors  at  points  around  a  positively  charged particle, but  be  careful. Each  vector  represents the  vector  quantity at the point  where the tail of  the arrow is anchored. The vector is not  something that stretches from a “here” to a “there” a s with a displacement vector.  In  general, if  several electric fields  are  set up  at  a  given  point  by  several  charged particles, we  can  find  the  net  field  by  placing  a  positive  test  particle  at the point  and then writing out the force acting on  it due to each particle, such  as F 01 due to particle 1. Forces obey the principle of superposition,  so we just add  the forces as vectors: 

+

→

→

→

→

→

F 0 = F 01 + F 02  + · · · + F 0n . 

To  change  over to  electric field,  we repeatedly use  Eq.  22.1.1 for  each of  the  individual forces:  →

→

→

→

F 0  ___  F 01  ___  F 02  F 0n  ___  E =  ___  q  =  q  +  q  + · · · +  q  →

0 

0 

→

→

0 

The electric field vec-  tors at various points around a posi-  tive point charge.  Figure  22.2.1 

0 

→

= E 1 + E 2 + · · · + E n . 

(22.2.3) 

This tells us that electric fields also obey the principle of superposition. If you want  the  net  electric field  at a given  point  due  to  several particles, find  the electric  field due to each particle (such as E 1 due to particle 1) and then sum the fields as  vectors. (As with electrostatic forces, you cannot just willy-nilly add up the mag-  nitudes.) This addition of fields is the subject of many of the homework problems.  →

Checkpoint 22.2.1 

The figure here shows a proton p and an electron e on an x axis. What is the direction of  the electric field due to the electron at (a) point S  x and (b) point R? What is the direction of the net  S e R p electric field at (c) point R and (d) point S? 

Sample Problem 22.2.1

Net electric  field  due to three  charged  particles 

Figure  22.2.2a  shows  three  particles  with  charges q 1  =  +2Q, q 2  = −2Q, and q 3  = −4Q, each a distance d from the  origin. What net electric field E is produced at the origin?  →

KEY IDEA

To  find  the  magnitude of  E 1 , which is due to q 1, we use Eq. 22.2.2,  substituting d for    r and 2Q for q and obtaining  Magnitudes and directions:

→

→

Charges q 1, q  q 3   produce  electric field  vectors E 1 ,    2, and    E 2 , and E 3 , respectively, at the origin, and the net electric  field is the vector sum E = E 1 + E 2  + E 3 . To find this sum, 

→

we first must find the magnitudes and orientations of the  three field vectors. 

→

→

→

→

→

2Q  1  ___  E 1  = _____  .  4πε0  d 2 

/

670

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

of  them. Thus,  the three electric fields  produced  at the  origin  by  the three charged particles are oriented  as in  Fig.  22.2.2b.  ( Caution:  Note  that  we  have  placed  the  tails of the vectors at the point where the fields are to be  evaluated; doing so decreases the chance of error. Error  becomes very probable if the tails of the field vectors are  placed on the particles creating the fields.) 

y

q1

q3

d

d

30 ° 

30°  30 ° 

Find the net field at this empty point.

x

d

y

y

→

E3

30°  30° 

Field away

E2 E1

(b )

We can now add the fields vectorially  just  as we added  force vectors in  Chapter  21. However,  here we can use symmetry to simplify the procedure. From  Fig. 22.2.2b, we see that electric fields E 1  and E 2  have the  same direction. Hence, their vector sum has that direction  and has the magnitude  Adding the fields:

q2

(a )

E3

Field toward

30 °  30 ° 

x

Field toward

2Q  _____  2Q  1  ___  E 1  + E 2  = _____  +  1  ___  2  4πε0  d  4πε0  d 2  4Q  1  ___  = _____  ,  4πε0  d 2 

x

E1

(c )

+

E2

(a) Three particles with charges q 1 , q 2 , and q 3  are  at the same distance d from the origin. (b) The electric field  vectors E 1 , E 2 , and E 3 , at the origin due to the three particles.  (c) The electric field vector E 3  and the vector sum E 1  + E 2  at  the origin.  Figure  22.2.2 

→

→

→

→

→

→

→

→

Similarly, we find the magnitudes of E 2  and E 3 to be  2Q  4Q  1  ___  1  ___  E 2   = _____  and  E 3  = _____  .  2  d  4πε0  4 πε 0  d 2  We  next  must  find  the  orientations  of  the  three  electric field vectors at the origin. Because q 1   is  a posi-  tive charge, the field  vector it  produces  points  directly  away from it, and  because q 2   and q 3   are both  negative,  the field vectors they produce point directly toward each 

→

→

which happens to equal the magnitude of field E 3 .  We must now combine two vectors, E 3 and the vector  sum E 1 + E 2 , that have the same magnitude and that are  oriented symmetrically about  the  x axis, as  shown  in  Fig.  22.2.2c. From the symmetry of Fig. 22.2.2c, we realize that  the  equal  y components  of  our  two  vectors cancel (one  is  upward  and  the  other  is  downward)  and  the  equal  x  components add (both  are rightward). Thus, the net elec-  tric field E at the origin is in the positive direction of the x  axis and has the magnitude  →

→

→

→

E = 2 E 3x = 2 E 3  cos 30°  4Q  6.93Q  1  ___  = (2) _____  (0.866) = _______  .  (Answer)  2  4πε0 d 2  4 πε0  d 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

22.3  THE ELECTRIC  FIELD DUE TO A DIPOLE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.3.1  Draw an electric dipole,  identifying the charges  (sizes and signs), dipole axis, and direction  of the  electric  dipole moment.  22.3.2  Identify the direction of the electric  field at any  given point along the dipole  axis, including  between  the charges.  22.3.3  Outline  how the equation  for the electric  field 

magnitude decreases with  increase  in distance. That  is, identify  which  drops off faster.  22.3.5  For an electric  dipole, apply the relationship 

p  of the dipole moment,  d  between the charges, and the 

between  the magnitude  the separation  magnitude 

q of either of the charges. 

22.3.6  For any distant point along a dipole axis, apply 

due to an electric  dipole is derived from the equa- 

the relationship between  the electric  field  magni- 

tions for the electric  field  due to the individual 

tude 

charged  particles that form the dipole. 

and either the dipole moment magnitude 

22.3.4  For a single charged particle  and an electric  dipole,  compare the rate at which  the electric  field 

E, the distance z from the center of the dipole,  p or the  product of charge magnitude  q  and charge  separation d . 

/

671

22.3  T HE  EL EC T RIC   F IEL D   D U E T O  A  D IP OL E 

Key  Ideas  ●

qd  _____  p  1  ___  E = _____  =  1  ___ ,  2 πε0  z 3  2 πε0  z 3 

An electric  dipole consists of two particles  with 

q  but opposite signs,  separated by a small distance  d.  ● The electric  dipole moment  p  has magnitude  qd  and  charges of equal magnitude 

where 

→

points from the negative charge to the positive charge.  ●

●

The magnitude of the electric  field set up by an elec- 

z is the distance between  the point and the 

center of the dipole.  Because of the 

1/z 3  dependence,  the field  magnitude 

of an electric  dipole decreases more rapidly with 

tric dipole at a distant point on the dipole axis (which 

distance than the field  magnitude of either  of the indi- 

runs through both particles) can be written in terms of 

vidual charges forming the dipole,  which  depends 

qd  or the magnitude  p  of the dipole 

either  the product 

1/r 2 . 

on 

moment: 

The Electric Field Due to an Electric Dipole 

Figure 22.3.1 shows  the pattern of electric field lines for  two particles that have  the same charge magnitude q but opposite  signs, a very common and important  arrangement known as an electric dipole . The particles are separated by distance  d and lie along the dipole axis, an axis of symmetry a round which you can imagine  rotating the pattern in Fig. 22.3.1. Let’s label that axis as a z axis. Here we restrict  our interest to the magnitude and direction of the electric field E at an arbitrary  point  P along the dipole  axis, at distance z from the dipole’s midpoint.  Figure  22.3.2a  shows  the  electric fields  set  up  at  P  by  each  particle.  The  nearer particle with  charge +q sets up  field  E (+)  in the positive direction of  the  z axis (directly away from the particle). The farther particle with charge −q sets  up a smaller field E (−) in the negative direction (directly toward the particle). We  want the net field at P, as given by Eq. 22.2.3. H owever, because the field vectors  are along the same axis, let’s simply indicate the vector directions with  plus and  minus signs, as we commonly do with forces along a single axis. Then we can write  the magnitude of the net field at P as 

+

→

E = E (+)  − E (−) 

E

–

The pattern of electric  field lines around an electric dipole,  with an electric field vector E shown  at one point (tangent to the field line  through that point).  Figure  22.3.1 

→

q  q  1  ____  1  ____  =  _____  −  _____  2  4 πε0 r 2  4 πε r  ( + )  0  ( − )  q  q  =  _____________  − _____________  .  1  2  1  2  _  4 πε0 (z −  2 d)  4πε0 (z + _  d)  2 

(22.3.1) 

After a little algebra, we can rewrite this equation as  q  1  1  E = _______  _________  − _________  .  d  2  d  2  ___  4πε0 z 2   ( 1 − ___  1 +    )   (   )   2z  2z 

(

)

(22.3.2) 

After forming a common denominator and multiplying its terms, we come to  q  q  2d/ z   d  E = _______ ___________  = _______ ___________  .  2  2  2  2  2  d  d  ___  ___  3  4 πε0 z  1 −  1 −  2 πε z  0  (  (  ( 2z )  )  ( 2z)  ) 

(22.3.3) 

We are usually interested in the electrical effect of a dipole only at distances  that are large compared with the dimensions of the dipole—that is, at distances  such  that  z ⪢ d. At  such large distances, we have d /2z⪡ 1 in  Eq.  22.3.3. Thus,  in  our  approximation, we can neglect the d/2z term in  the denominator,  which  leaves us with  qd  1  ___  E = _____  .  (22.3.4)  2πε0  z 3 

/

672

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

The product qd, which involves the two intrinsic properties q and d of the  dipole,  is  the magnitude p  of  a vector quantity known  as the electric dipole  moment  p  of the dipole.  (The unit  of  p  is the coulomb-meter.) Thus,  we can  write Eq. 22.3.4 a s 

z E (+)

→

→

p  1  ___  E =  _____  2 πε0  z 3 

P

E (–)

(22.3.5) 

(electric  dipole). 

The direction of  p  is taken to be from the negative to the positive end of the  r(+) dipole, as indicated in Fig. 22.3.2b. We can use the direction of  p to specify the  orientation of a dipole.  z Up here the +q r(–) Equation 22.3.5 shows that, if we measure the electric field of a dipole only  f ield dominates. at distant points, we can never find q and d separately; instead, we can find only  their product. The field at distant points  would  be unchanged if, for example,  + +q + q were doubled  and d simultaneously halved. Although  Eq. 22.3.5 holds  only  p for distant points along the dipole axis, it turns out that E for a dipole varies a s  d Dipole 1/r 3 for all distant points, regardless of whether they lie on the dipole axis; here  center r is the distance between the point  in question and the dipole center.  – –q – Inspection of Fig. 22.3.2 a nd of the field lines in Fig. 22.3.1 shows that the  Down here the –q direction  of E  for distant  points  on  the dipole  axis is always the direction of  f ield dominates. the dipole  moment vector  p . This is true whether point  P in Fig. 22.3.2a is on  (a ) (b ) the upper or the lower part of the dipole  axis.  Inspection of Eq. 22.3.2 shows that if you double the distance of a point  from  Figure  22.3.2  (a) An electric dipole.  a dipole,  the electric field  at the point  drops  by a factor of 8. If you  double  the  The electric field vectors E ( +)  and  distance from a single point  charge, however (see Eq. 22.2.2), the electric field  E (−)  at point P on the dipole axis  drops  only  by a factor  of  4. Thus  the  electric field  of  a  dipole  decreases more  result from the dipole’s two charges.  Point P is at distances r (+)  and r (−)  rapidly with  distance than  does  the electric field  of  a single  charge. The  physi-  from the individual charges that  cal reason  for  this  rapid  decrease in  electric field  for  a dipole  is  that from  dis-  make up the dipole. (b) The dipole  tant points a dipole looks like two particles that almost—but not quite—coincide.  moment p of the dipole points from  Thus,  because they  have charges of  equal  magnitude  but  opposite  signs,  their  the negative charge to the positive  electric fields at distant points  almost—but not quite—cancel each other.  →

→

→

→

→

→

→

charge. 

Checkpoint 22.3.1 

At a distant point on the dipole axis, how does the direction of the field vector E  compare with the direction for the dipole moment vector  p for a point (a) above the  dipole and (b) below the dipole?  →

→

Sample Problem 22.3.1

Electric  dipole  and atmospheric  sprites 

Sprites (Fig. 22.3.3a) are huge flashes that occur far above  a  large  thunderstorm.  They  were  seen  for  decades  by  pilots  flying at night, but they were so brief and dim that  most  pilots  figured they were just  illusions.  Then  in  the  1990s sprites  were captured on  video.  They are still  not  well  understood  but  are believed to  be  produced  when  especially powerful lightning  occurs between the ground  and storm clouds, particularly when the lightning transfers  a huge amount of negative charge −q from the ground  to  the base of the clouds (Fig. 22.3.3b).  Just after such a transfer, the ground has a complicated  distribution  of positive charge. However, we can model the  electric field due to the charges in the clouds and the ground  by assuming a vertical electric dipole that has charge −q at 

cloud  height h  and  charge +q  at below-ground  depth  h  (Fig. 22.3.3c). If q = 200 C and h = 6.0 km, what is the mag-  nitude  of  the  dipole’s  electric field  at  altitude  z 1  = 30 km  somewhat above the clouds and  altitude z 2  = 60 km some-  FCP  what above the stratosphere? 

KEY IDEA We can approximate the magnitude E of an electric dipole’s  electric field on the dipole axis with Eq. 22.3.4.  Calculations:

We write that equation as  q(2h)  1  _____  E = _____  ,  2πε0  z 3 

/

22.4  T HE  EL EC T RIC   F IEL D  D U E T O  A  L INE  OF   C HARGE 

673

z

–q Cloud  ASAN fo ysetruoC

(a)

h

Charge transfer (b )

h

– – – – – – Ground

+q

(c )

(a) Photograph of a sprite. (b) Lightning in which a large amount of  negative charge is transferred from ground to cloud base. (c) The cloud–ground system  modeled as a vertical electric dipole.  Figure  22.3.3 

where 2h is the separation between −q and +q in Fig. 22.3.3c.  For the electric field at altitude z 1  = 30 km, we find  3 

m)  1  (200 C)(2)(6.0 × 10  _____________________  E = _____  3  3  2 πε0  (30 × 10  m)  = 1.6 × 10 3  N / C. 

(Answer) 

Similarly, for altitude z 2  = 60 km, we find  E = 2.0 × 10 2 N/C. 

(Answer) 

As  we  discuss  in  Module  22.6,  when  the  magni-  tude  of  an  electric field exceeds a  certain critical value 

E c, the field  can pull  electrons out of  atoms (ionize the    atoms), and then the freed electrons can run into  other  atoms, causing those  atoms to  emit light.  The value of  E c  depends  on  the density of  the air  in  which  the elec-  tric field exists. At altitude z 2  = 60 km the density of the  air is so low that E = 2.0 × 10 2 N/C exceeds E c, and thus    light is emitted by the atoms in the air. That light forms  sprites. Lower down, just above the clouds at z 1  = 30 km,  the density of  the air  is much higher, E = 1.6 × 10 3  N/C  does  not  exceed  E c ,  and  no  light  is  emitted.  Hence,  sprites occur only far above storm clouds. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

22.4  THE ELECTRIC  FIELD DUE TO A LINE OF CHARGE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.4.1  For a uniform  distribution of charge, find  the 

the line  by splitting the distribution up into charge 

λ for charge along a line,  the  surface charge density σ for charge  on a surface,  and the volume charge density ρ for charge  in a 

dq  and then summing (by integration)  dE set up at the point by 

linear  charge density 

volume. 

elements 

the electric  field  vectors 

→

each  element.  22.4.3  Explain  how symmetry can be used to simplify 

22.4.2  For charge that is distributed uniformly  along a 

the calculation  of the electric  field  at a point near a 

line,  find the net electric  field at a given point near 

line  of uniformly  distributed charge. 

Key  Ideas  ●

The equation  for the electric  field  set up by a particle 

does not apply to an extended object with charge (said  to have a continuous charge distribution).  ●

To find  the electric  field  of an extended object at a 

point, we first consider the electric  field set up by a  charge element 

dq  in the object, where  the element is 

small enough  for us to apply the equation for a particle. 

Then we sum, via integration, components of the elec-  tric fields  ●

→

dE from all the charge elements. 

Becaus e  the indiv idual  electric fields  

→

dE hav e dif- 

ferent  magnitudes  and point in  different  directions ,  we  first s ee if  s y mmetry  allows  us to cancel out  any  of  the components  of the fields,  to s implify   the  integration. 

/

674

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

The Electric Field Due to a Line of Charge 

Table 22.4.1  Some Measures of 

Electric Charge 

Name  Charge  Linear charge  density  Surface charge  density  Volume charge  density 

Symbol 

SI Unit 

q 

C 

λ

C/m 

σ

C/m 2 

ρ

C/m 3 

So  far we  have dealt  with  only  charged particles, a  single  particle or  a simple  collection of them. We now  turn to a much more challenging situation in  which  a thin  (approximately one-dimensional)  object  such as a rod  or ring  is charged  with a huge number of particles, more than we could ever even count. In the next  module, we consider two-dimensional objects, such as a disk with charge spread  over a surface. In the next chapter we tackle three-dimensional objects, such as a  sphere with charge spread through a volume.  Heads Up. Many students consider this module to be the most difficult in the  book  for a variety of reasons. There are lots of steps to take, a lot of vector fea-  tures to keep track of, and after all that, we set up and then solve an integral. The  worst part, however, is that the procedure can be different for different arrange-  ments of the  charge. Here, as we focus  on  a particular arrangement (a charged  ring),  be aware of  the  general approach, so that  you  can tackle  other  arrange-  ments in the homework (such as rods and partial circles).  Figure  22.4.1 shows  a thin  ring  of  radius  R with  a  uniform  distribution  of  positive charge along  its circumference. It is made of  plastic, which  means that  the charge is fixed in place. The ring is surrounded  by a pattern of electric field  lines, but here we restrict our interest to an arbitrary point  P on  the central axis  (the axis through the ring’s center and perpendicular to the plane of the ring), at  distance z from the center point.  The  charge of  an  extended object  is  often  conveyed in  terms of  a charge  density rather than the total charge. For a line of charge, we use the linear charge  density  λ (the  charge per  unit  length), with  the  SI  unit  of  coulomb  per  meter.  Table 22.4.1 shows the other charge densities that we shall be using for charged  surfaces and volumes.  First Big Problem. So  far, we  have an equation  for  the  electric field  of  a  particle. (We can combine the field of several particles as we did for the electric  dipole to generate a special equation, but  we are still basically using Eq. 22.2.2.)  Now  take a look  at the ring  in  Fig. 22.4.1. That  clearly is not  a particle and  so  Eq. 22.2.2 does not apply. So what do we do?  The answer is to mentally divide the ring into differential elements of charge  that are so small that we can treat them as though they are particles. Then we can  apply Eq. 22.2.2.  Second Big Problem. We now know  to apply Eq. 22.2.2 to each charge ele-  ment dq (the front d emphasizes that the charge is very small) and can write an  expression for its contribution of electric field dE (the front d emphasizes that the  contribution  is very small). However, each such contributed field vector at P is in  its own direction. How can we add them to get the net field at P?  The  answer is  to split  the  vectors into  components  and  then  separately  sum one  set of components  and  then  the other set. However, first we check  to see if  one set simply all cancels out.  (Canceling out components saves lots  of work.)  Third Big Problem. There is a huge number of dq  elements in the ring and  thus a huge number of dE  components to add up,  even if we can cancel out one  set of  components. How  can we add  up  more components  than  we could  even  count? The answer is to add them by means of integration.  Do It. Let’s do all this (but again, be aware of the general procedure, not just  the fine details). We arbitrarily pick the charge element shown in Fig. 22.4.1. Let  ds be the arc length of that (or any other) dq element. Then in terms of the linear  density λ (the charge per unit length), we have  →

→

dq = λ ds. 

(22.4.1) 

An Element’s Field. This  charge  element sets  up  the  differential  electric  field dE  at P, at distance r from the element, as shown in Fig. 22.4.1. (Yes, we are  →

/

675

22.4  T HE  EL EC T RIC   F IEL D  D U E T O  A  L INE  OF   C HARGE 

introducing  a new  symbol that  is not  given in  the problem statement, but  soon  we shall replace it with “legal symbols.”) Next we rewrite the field equation for a  particle (Eq. 22.2.2) in terms of our new symbols dE and dq, but then we replace  dq using Eq. 22.4.1. The field magnitude due to the charge e lement is 

z dE

θ P

dq  _____  1  ___  λ ds .  dE = _____  =  1  ____  2  4 πε 0  r  4πε0  r 2 

(22.4.2) 

θ

Notice that  the  illegal symbol  r is  the hypotenuse  of  the  right  triangle dis-  played in Fig. 22.4.1. Thus, we can replace r by rewriting Eq. 22.4.2 a s 

λ ds  .  1  _________  dE = _____ 

(22.4.3) 

4 πε 0  ( z   + R  )  2 

z r

2 

Because e very c harge element has the same charge and the same distance from  point  P,  Eq.  22.4.3 gives  the  field  magnitude  contributed  by  each  of  them.  Figure 22.4.1 also tells us that each contributed dE  leans at angle θ to the cen-  tral  axis (the z  axis) and thus  has components  perpendicular  and  parallel to  that axis.  Canceling Components. Now comes the neat part, where we eliminate one  set of those components. In Fig. 22.4.1, consider the charge element on the oppo-  site side of the ring. It too contributes the field magnitude dE but the field vector  leans at angle  θ in  the opposite  direction  from the vector from our  first  charge  element, as indicated in the side view of Fig. 22.4.2. Thus  the two perpendicular  components cancel. All around  the ring, this cancelation occurs for every charge  element and  its symmetric partner on  the  opposite  side  of  the  ring.  So  we can  neglect all the perpendicular components.  Adding Components. We have another big win  here. All the remaining  components are in the positive direction of the z axis, so we can just add them  up  as scalars. Thus  we can already tell  the direction  of the net  electric field  at P: directly away from  the  ring. From Fig.  22.4.2, we see that  the  parallel  components  each  have magnitude dE  cos  θ,  but  θ is  another illegal symbol.  We can replace cos  θ with  legal symbols by again using  the right triangle in  Fig. 22.4.1 to write  →

z = _____________  z  cos θ = __  .  r  ( z 2    + R 2 ) 1/2 

(22.4.4) 

Multiplying  Eq.  22.4.3 by Eq. 22.4.4 gives us the parallel field  component  from  each charge element:  zλ 1  _____________  dE cos θ = _____  ds.  4πε0  ( z 2    + R 2 ) 3/2 

+ + + + +

+

ds

+

+ + + + + + +

+

R + + + + + + +

+

+ + + + + + +

A ring of uniform posi-  tive charge. A differential element of  charge occupies a length ds (greatly  exaggerated for clarity). This ele-  ment sets up an electric field dE at  point P.  Figure  22.4.1 

→

z dE dE

cos θ dE

θ θ

The electric fields set  up at P by a charge element and its  symmetric partner (on the opposite  side of the ring). The components  perpendicular to the z axis cancel;  the parallel components add.  Figure  22.4.2 

(22.4.5) 

Integrating. Because we must sum a huge number of these components, each  small, we set up  an  integral that  moves along the  ring, from  element to  element,  from a starting point  (call it  s = 0) through  the full  circumference (s = 2πR). Only  the quantity s varies as we go through the elements; the other symbols in Eq. 22.4.5  remain the same, so we move them outside the integral. We find  2πR 

zλ E =  dE cos  θ = _________________  4πε0 ( z 2    + R 2 ) 3/2 0  zλ(2πR)  = _______________  .  4 πε 0 ( z 2    + R 2 ) 3/2 

ds  (22.4.6) 

This is a fine answer, but we can also switch to the total charge by using λ = q/(2πR): 

/

676

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

qz  E = ______________  4 πε0 ( z 2    + R 2 ) 3/2 

(charged ring). 

(22.4.7) 

If the charge on the ring is negative, instead of positive as we have assumed, the  magnitude of the field at P is still given by Eq. 22.4.7. H owever, the electric field  vector then points  toward the ring instead of away from it.  Let us check Eq. 22.4.7 for a point  on the central axis that is so far away that  z ⪢ R. For such a point, the expression z 2 + R 2 in Eq. 22.4.7 can be approximated  as z 2 , and Eq. 22.4.7 becomes  q  1  ___  E = _____  4 πε 0  z 2 

(charged ring at large distance). 

(22.4.8) 

This  is  a reasonable result  because from a large distance, the ring  “looks  like”  a point charge. If we replace z with r in Eq. 22.4.8, we indeed do have the magni-  tude of the electric field due to a point  charge, as given by Eq. 22.2.2.  Let us  next check Eq. 22.4.7 for  a point  at the center of  the ring—that is,  for z = 0. At that point, Eq. 22.4.7 tells us that E = 0. This is a reasonable result  because if we were to place a test charge at the center of the ring, there would  be  no  net electrostatic force acting on  it;  the force due to  any element of  the  ring would  be canceled by the force due to the element on  the opposite side of  the ring. By Eq. 22.1.1, if the force at the center of the ring were zero, the elec-  tric field there would also have to be zero. 

Sample Problem 22.4.1

Electric  field  of a  charged  circular  rod 

Figure 22.4.3a shows  a plastic rod  with a uniform charge  −Q. It is bent  in a 120° circular arc of radius  r and  sym-  metrically placed  across an  x axis with  the  origin  at the  center of curvature P of the rod. In terms of Q and r, what  is the electric field E due to the rod at point  P?  →

KEY IDEA Because the  rod  has  a  continuous  charge  distribution,  we must find  an expression for  the electric fields  due to  differential elements of the rod and then sum those fields  via calculus.  Consider  a differential  element having arc  length  ds  and  located  at  an  angle  θ above  the  x  axis  (Figs. 22.4.3b and c). If we let λ represent the linear charge  density of the rod, our element ds has a differential charge  of magnitude  dq = λ ds.  (22.4.9)  An element:

Our element produces a differential  electric field dE  at point  P, which is a distance r from the  element. Treating the element as a point  charge, we can  rewrite Eq. 22.2.2 to express the magnitude of dE as  The element’s field: →

→

dq  _____  λ ds .  1  ___  dE = _____  =  1  ____  4 πε 0  r 2  4 πε0  r 2  →

(22.4.10) 

The  direction  of  dE  is  toward  ds  because  charge  dq  is  negative. 

Our  element has  a  symmetrically  located (mirror image) element ds′ in the bottom half of  the rod.  The electric field dE ′ set up at P by ds′ also has  the magnitude given by Eq. 22.4.10, but  the field  vector  points  toward  ds′  as shown  in  Fig. 22.4.3d. If we resolve  the electric field vectors of ds and ds′ into x and y compo-  nents as shown  in  Figs. 22.4.3e and  f, we see that  their y  components cancel (because they have equal magnitudes  and are in  opposite  directions). We also  see that their  x  components have equal  magnitudes and  are in  the same  direction.  Symmetric partner:

→

Thus, to find the electric field set up by the rod,  we need sum (via integration) only the x components of the  differential electric fields set up by all the differential ele-  ments of the rod. From Fig. 22.4.3f and Eq. 22.4.10, we can  write the component dE x  set up by ds as  Summing:

1  __  λ cos θ  ds.  dE x  = dE cos  θ = _____  4πε0  r 2 

(22.4.11) 

Equation 22.4.11 has two variables, θ and s. Before we can  integrate it, we must eliminate one variable. We do so by  replacing ds, using the relation  ds = r dθ , 

in  which  dθ is the  angle at P that  includes  arc length  ds  (Fig.  22.4.3g).  With  this  replacement, we  can  integrate  Eq.  22.4.11 over  the  angle  made by  the  rod  at P, from  θ = −60° to  θ = 60°; that will give us  the field magnitude  at P: 

/

677

22.4  T HE  EL EC T RIC   F IEL D  D U E T O  A  L INE  OF   C HARGE 

This negatively charged rod is obviously not a particle. y

But we can treat this element as a particle. y

Plastic rod of charge –Q

A 

Here is the f ield the element creates. y

y

ds

ds

ds

dE

60° P

r

x

60°

x

P

dE

θ

x

P

P

θ θ

x

dE'

Symmetric element ds' (a )

(b )

These y components just cancel, so neglect them.

(d )

(c )

Here is the f ield created by the symmetric element, same size and angle.

These x components add. Our job is to add all such components.

y

y ds

y

ds

dEy

dE

dE

P

θ θ

θ θ

x P

dE'

dEx

x

We use this to relate the element’s arc length to the angle that it subtends.

ds

d

θ

r

x P

dE'

Symmetric element ds'

Symmetric element ds'

(e )

(g)

(f )

Available in WileyPLUS as an animation with voiceover. (a) A plastic rod of  charge −Q is a circular section of radius r and central angle 120°; point P is the center of  curvature of the rod. (b)–(c) A differential element in the top half of the rod, at an angle θ to the x axis and of arc length ds, sets up a differential electric field dE at P. (d) An ele-  ment ds′, symmetric to ds about the x axis, sets up a field dE ′ at P with the same magni-  tude. (e)–( f ) The field components. (g) Arc length ds makes an angle dθ about point P.  Figure  22.4.3 

→

→

E =  dE x   = 

60° 

circle. Its  arc  length  is  then  2πr/3,  and  its  linear  charge  density must be 

1  __  λ cos  θ r d θ _____ 

−60°  4 60° 

πε 0  r 

2 

λ λ sin θ = ______  cos  θ dθ = ______  4 πε0 r −60°  4πε0 r  λ [sin  60° − sin (−60° )]   = ______  4 πε0 r  1.73λ .  = ______  4 πε0 r 

charge  _____  Q  0.477Q  λ = ______  =  = _______ .  r  length  2 πr / 3  

[  ] 

60°  −60° 

Substituting  this into Eq. 22.4.12 a nd simplifying give us 

(If we had reversed the limits on the integration, we would  have gotten  the same result but  with  a minus  sign. Since  the integration gives only  the magnitude of E , we would  then have discarded the minus sign.)  →

To evaluate λ, we note that the full rod  subtends  an  angle  of  120°  and  so  is  one-third  of  a  full  Charge density:

(1.73)(0.477Q)  E =  _____________  4πε0 r 2  0.83Q  =  ______  .  4 πε0 r 2 

(22.4.12) 

(Answer) 

→

The direction  of E  is toward the rod, along the axis of sym-  metry of  the  charge distribution.  We  can  write  E  in  unit-  vector notation as  0.83Q  ̂ E = ______  i .  4 πε0 r 2  →

→

/

678

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

Problem-Solving Tactics

A Field  Guide for Lines of Charge  →

Here is  a  generic guide  for  finding  the  electric field  E  produced at a point  P by a line of uniform charge, either  circular or straight. The general strategy is to pick out an  element dq  of  the  charge, find  dE  due  to  that  element,  and integrate dE over the entire line of charge.  →

→

If the line of charge is circular, let ds be the arc  length of an element of the distribution.  If the line  is straight, run an x axis along it and let dx be the  length of an element. Mark the element on a sketch. 

Step 1. 

Relate the charge dq of the element to the  length of the element with either dq = λ ds or dq =  λ dx. Consider dq and λ to be positive, even if the  charge is actually negative. (The sign of the charge is  used in the next step.) 

Step 2. 

→

Express the field dE  produced at P by dq with  Eq. 22.2.2, replacing q in that equation with either  λ ds or λ dx. If the charge on the line is positive, then  at P draw a vector dE  that points  directly away from  dq. If the charge is negative, draw the vector pointing  directly toward dq. 

Step 3. 

→

Always look  for any symmetry in the situa-  tion. If P is on an axis of symmetry of the charge  distribution,  resolve the field dE  produced by dq into  components that are perpendicular and parallel to  the axis of symmetry. Then consider a second ele-  ment dq′ that is located symmetrically to dq about  the line of symmetry. A t P draw the vector dE ′ that  this symmetrical e lement produces and resolve it into  components. One of the components produced by dq  is a canceling component; it is canceled by the corre-  sponding component produced by dq′ and needs no  further attention. The other component produced by  dq is an adding component; it adds to the correspond-  ing component produced by dq′. Add the adding  components of all the elements via integration. 

Step 4. 

→

→

Here are four  general types of  uniform charge  distributions,  with strategies for the integral of step 4.  Ring, with point  P on (central) axis of symmetry,  as in Fig. 22.4.1. In the expression for dE, replace r 2  with z 2  + R 2 , as in Eq. 22.4.3. Express the adding com-  ponent  of dE  in terms of θ . That introduces cos θ , but  θ is  identical for  all elements and  thus  is not  a vari-  able. Replace cos  θ as in Eq. 22.4.4. Integrate over s,  around the circumference of the ring. 

Circular arc, with point  P at the center of curva-  ture, as in Fig. 22.4.4. Express the adding component  of  dE  in  terms of  θ . That  introduces  either  sin  θ or  cos  θ. Reduce the  resulting two  variables s  and  θ to  one, θ, by replacing ds with r d θ. Integrate over θ from  one end of the arc to the other end.  Straight line, with point  P on an extension of the  line,  as in  Fig. 22.4.4a. In  the  expression for dE, re-  place r  with  x.  Integrate over x, from end  to  end  of  the line of charge.  Straight  line,  with  point  P  at  perpendicular  dis-  tance y from the line of charge, as in Fig. 22.4.4b. In  the  expression for  dE,  replace r  with  an  expression  involving x and y. If P is on the perpendicular bisector  of the line of charge, find an expression for the adding  component of  dE . That will introduce  either sin  θ or  cos  θ . Reduce the resulting two  variables x and  θ to  one,  x, by replacing the trigonometric function  with  an expression (its definition)  involving x and y. Inte-  grate over x from end to end of the line of charge. If P  is not on a line of symmetry, a s in Fig. 22.4.4c, set up  an integral to sum the components dE x , and integrate    over x to find  E x . Also  set up  an integral to sum  the    components  dE y,   and  integrate over x again to  find  E y . Use the components E    x  and E y  in the usual way to  find the magnitude E and the orientation of E .  →

→

→

One arrangement of the integration limits gives  a  positive  result.  The  reverse gives the  same  result  with a minus sign; discard the minus sign. If the result  is to be stated in terms of the total charge Q of the dis-  tribution,  replace λ with Q/L, in which L is the length  of the distribution. 

Step 6. 

P

x

(a ) P

Step  5. 

→

+ + + + + + + + +

P

y

+ + + + + + + + + (b )

y

x

+ + + + + + + + + (c )

x

(a) Point P is on an extension of the line of  charge. (b) P is on a line of symmetry of the line of charge, at  perpendicular distance y from that line. (c) Same as (b) except  that P is not on a line of symmetry.  Figure  22.4.4 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

/

679

22.5  T HE  EL EC T RIC   F IEL D  D U E T O  A  C HARGED   D ISK 

y

Checkpoint 22.4.1 

The figure here shows three nonconducting rods, one circular  and two straight. Each has a uniform charge of magnitude Q  along its top half and another along its bottom half. For each rod,  what is the direction of the net electric field at point P ? 

y

–Q

y

+Q P

+Q P

x

+Q

P

x

+Q

(a )

x

–Q

(b )

(c )

22.5  THE ELECTRIC  FIELD DUE TO A CHARGED DISK  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.5.1  Sketch a disk with  uniform  charge and indicate  the direction  of the electric  field  at a point on the  central axis if the charge is positive and if it is  negative. 

used to find the equation  for the electric  field  on the  central  axis of a uniformly  charged  disk.  22.5.3  For a point on the central  axis of a uniformly  charged disk, apply the relationship  between the 

22.5.2  Explain  how the equation  for the electric  field on  the central  axis of a uniformly  charged  ring can be 

σ

surface  charge density  , the disk radius 

z to that point. 

R, and the 

distance 

Key  Idea  ●

On  the central  axis through a uniformly  charged disk, 

z  σ 1 − _________  _  E =  ____  √ z 2 + R 2 )  2 ε0 ( 

gives the electric field  magnitude. Here 

z is the dis-  R 

tance along the axis from the center  of the disk,  is the radius of the disk, and 

σ is the surface charge 

density. 

The Electric Field Due to a Charged Disk 

Now we switch from a line of charge to a surface of charge by examining the elec-  tric field of a circular plastic  disk, with  a radius R and a uniform surface charge  density  σ (charge per unit  area, Table 22.4.1) on its top surface. The disk sets up  a pattern of electric field lines around it, but here we restrict our attention to the  electric field  at an arbitrary point  P  on  the  central axis, at distance z from  the  center of the disk, as indicated in Fig. 22.5.1.  We could  proceed as in  the preceding module but  set up  a two-dimensional  integral to include all of the field contributions  from the two-dimensional distribu-  tion of charge on the top surface. However, we can save a lot of work with a neat  shortcut using our earlier work with the field on the central axis of a thin ring.  We superimpose a ring  on  the  disk  as shown  in  Fig.  22.5.1, at an arbitrary  radius  r  ≤ R. The ring  is so  thin  that we can treat the  charge on  it  as a charge  element dq. To  find its small contribution  dE to the electric field at point  P, we  rewrite Eq. 22.4.7 in terms of the ring’s charge dq and radius r:  dq z  dE = ________________  .  4πε0 ( z2    + r 2 ) 3/2 

dE

P

z

dr

r

R

(22.5.1) 

The ring’s field points  in the positive direction of the z axis.  To find the total field at P, we are going to integrate Eq. 22.5.1 from the center  of the disk at r = 0 out to the rim at r = R so that we sum all the dE contributions  (by sweeping our arbitrary ring over the entire disk surface). However, that means  we want to integrate with respect to a variable radius r of the ring. 

A disk of radius R and  uniform positive charge. The ring  shown has radius r and radial width  dr. It sets up a differential electric  field dE at point P on its central axis.  Figure  22.5.1 

→

/

680

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

We get dr into  the expression by  substituting  for dq  in  Eq.  22.5.1. Because  the ring is so thin, call its thickness dr. Then its surface area dA is the product of  its circumference 2πr and thickness dr. So, in terms of the surface charge density  σ, we have  dq = σ dA = σ (2πr dr). 

(22.5.2) 

After substituting this into  Eq. 22.5.1 a nd simplifying slightly, we can sum all the  dE contributions  with  R 

−3/2  σz  E =  dE = ____  (z 2  + r 2 )  (2r) dr,  4 ε0  0 

(22.5.3) 

where we have pulled  the  constants (including  z) out  of the  integral. To solve  3 , and  this integral, we cast it in the form ∫ X m dX by setting X = (z 2 + r 2 ), m = − _  2  dX = (2r) dr. For the recast integral we have  m+1 

m  X  ______   X  dX =  m + 1 , 

and so Eq. 22.5.3 becomes 

R 

σz  (z 2 + r 2 ) −1/2  .  E = ____  _____________  _    4 ε   − 1 

[

0 

2 

] 0 

(22.5.4) 

Taking the limits in Eq. 22.5.4 a nd rearranging, we find  z  σ 1 −  ___________  _________  E =  ____  2 ε0  (  √ z 2 + R 2 ) 

(charged disk) 

(22.5.5) 

as the magnitude of the electric field produced by a flat, circular, charged disk at  points on its central axis. (In carrying out the integration, we assumed that z ≥ 0.)  If we let R → ∞ while keeping z finite, the second term in the parentheses in  Eq. 22.5.5 a pproaches zero, and this equation reduces to 

σ E = ____  2 ε0 

(infinite sheet). 

(22.5.6) 

This is the electric field produced by an infinite sheet of uniform charge located  on  one  side of  a nonconductor  such  as plastic. The  electric field  lines  for  such  a situation are shown in Fig. 22.1.4.  We also get Eq. 22.5.6 if we let z → 0 in Eq. 22.5.5 while keeping R finite. This  shows that at points  very close to the disk, the electric field set up by the disk  is  the same as if the disk were infinite in extent.  Checkpoint 22.5.1 

In Fig. 22.5.1, as we sweep the ring outward, what happens to the ring’s contribution  of electric field at point P? 

22.6  A POINT CHARGE IN  AN ELECTRIC  FIELD  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.6.1  For a charged particle placed in an  external  electric  field  (a field  due to other charged objects),  →

apply the relationship between  the electric  field 

E 

q , and the  F  that acts on the particle,  and 

at that point, the particle’s  charge 

field  when  the particle is positively charged and  negatively charged.  22.6.2  Explain  Millikan’s  procedure of measuring the  elementary charge. 

→

electrostatic force 

identify  the relative directions of the force and the 

22.6.3  Explain  the general  mechanism of ink-jet  printing. 

/

22.6  A  P OINT   C HARGE  IN  AN  EL EC T RIC   F IEL D  

681

Key  Ideas  ●

q is placed in an external  E , an electrostatic force F  acts on the 

If a particle  with charge 

electric  field 

→

→

particle: 

●

If charge 

q is positive, the force vector is in the same  q  is negative,  the 

direction  as the field  vector. If charge 

force vector is in the opposite direction  (the minus  sign  →

in the equation reverses the force vector from the field 

→

F  = qE . 

vector). 

A  Point Charge  in an Electric Field 

In  the  preceding four  modules  we worked  at  the  first of  our  two  tasks: given  a  charge distribution,  to  find  the  electric field  it  produces  in  the  surrounding  space. Here we begin the second task: to determine what happens to a charged  particle when it is in an electric field set up by other stationary or slowly moving  charges.  What happens is that an electrostatic force acts on the particle, as given by  →

(22.6.1) 

→

F  = qE ,  →

in  which q is the charge of the particle (including  its sign) and E is the electric  field  that  other  charges have produced  at  the  location  of  the  particle. (The  field  is  not  the field set up  by  the particle itself; to  distinguish  the two fields,  the field acting on  the particle in Eq. 22.6.1 is often called the external field. A  charged particle or  object  is  not  affected by  its own  electric field.) Equation  22.6.1 tells us 

The electrostatic force F  acting on a charged particle located in an external elec-  tric field E  has the direction of E  if the charge q of the particle is positive and  has the opposite direction if q is negative.  →

→

→

Oil spray

Measuring  the  Elementary  Charge 

Equation 22.6.1 played a role in the measurement of the elementary charge e by  American physicist Robert A. Millikan in 1910–1913. Figure 22.6.1 is a represen-  tation of his apparatus. When tiny oil drops are sprayed into chamber A, some of  them become charged, either positively or negatively, in the process. Consider a  drop that drifts downward through the small hole in plate P 1  and into chamber C.  Let us assume that this drop has a negative charge q.  If switch  S in Fig. 22.6.1 is open  as shown,  battery B has no  electrical effect  on chamber C. If the switch is closed (the connection between chamber C and the  positive terminal of  the battery is then  complete), the  battery causes an excess  positive charge on conducting plate P 1  and an excess negative charge on conduct-  ing  plate P 2  . The charged plates set up  a downward-directed electric field  E  in  chamber C. According to Eq. 22.6.1, this field exerts a n electrostatic force on any  charged drop that happens to be in the chamber a nd affects its motion. In particu-  lar, our negatively charged drop will tend to drift upward.  By timing the motion  of oil drops  with the switch opened and with  it closed  and  thus  determining  the  effect  of  the  charge q,  Millikan  discovered that  the  values of q were always given by  →

q = ne, 

for n = 0, ±1, ±2, ±3, . . . , 

(22.6.2) 

A Insulating chamber wall

P1 Oil drop

C

Microscope

P2 S

+

B

–

The Millikan oil-drop  apparatus for measuring the elemen-  tary charge e. When a charged oil  drop drifted into chamber C through  the hole in plate P 1 , its motion could  be controlled by closing and opening  switch S and thereby setting up or  eliminating an electric field in cham-  ber C. The microscope was used to  view the drop, to permit timing of its  motion.  Figure  22.6.1 

/

682

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

Paper Input signals Def lecting plate E

G

C

Def lecting plate

Ink-jet printer. Drops shot from generator G receive a charge in charging  unit C. An input signal from a computer controls the charge and thus the effect of field  E  on where the drop lands on the paper.  Figure  22.6.2 

→

in which  e turned  out  to be the fundamental constant  we call the elementary  charge, 1.60 × 10 −19 C.  Millikan’s  experiment is convincing  proof  that charge is  quantized, and  he earned the  1923 Nobel  Prize in  physics in  part for this  work.  Modern measurements of the elementary charge rely on a variety of interlocking  experiments, all more precise than the pioneering experiment of Millikan.  Ink-Jet Printing 

The  need  for  high-quality,  high-speed  printing  has  caused  a  search  for  an  alternative to  impact printing,  such  as occurs  in  an old  typewriter. Building  up  letters by squirting tiny drops of ink at the paper is one such alternative.  Figure  22.6.2  shows  a  negatively  charged  drop  moving  between  two  conducting  deflecting  plates,  between  which  a  uniform,  downward-directed  electric field  E  has  been  set up.  The  drop  is  deflected upward  according to  Eq.  22.6.1 and then  strikes the  paper at a position  that is  determined by the  magnitudes of E and the charge q of the drop.  In practice, E is held constant and the position  of the drop  is determined by  the charge q delivered to  the drop  in  the charging unit,  through which  the drop  must  pass  before  entering the  deflecting system. The  charging unit,  in  turn,  is  activated by electronic signals that encode the material to be printed.  →

→

Electrical  Breakdown and Sparking 

 ecruoS ecneicS/sivaD-traH madA

The metal wires are  so charged that the electric fields  they produce in the surrounding  space cause the air there to undergo  electrical breakdown.  Figure  22.6.3 

If the magnitude of an electric field in air exceeds a certain critical value E c, the    air undergoes electrical breakdown, a process whereby the field removes e lectrons  from the atoms in the air. The air then begins to conduct electric current because  the  freed electrons are propelled  into  motion  by  the field.  As they move, they  collide with any atoms in their path, causing those atoms to emit light. We can see  the paths, commonly called sparks, taken by the freed electrons because of that  emitted light.  Figure 22.6.3 shows  sparks above  charged metal wires where  the  FCP  electric fields due to the wires cause electrical breakdown of the air. 

Checkpoint 22.6.1 

(a) In the figure, what is the direction of the elec-  trostatic force on the electron due to the external  electric field shown? (b) In which direction will  the electron accelerate if it is moving parallel to  the y axis before it encounters the external field?  (c) If, instead, the electron is initially moving right-  ward, will its speed increase, decrease, or remain  constant? 

y

E

e

x

/

22.7  A  D IP OL E IN  AN  EL EC T RIC   F IEL D  

Sample Problem 22.6.1

683

Motion of a  charged  particle  in an electric  field 

Figure  22.6.4  shows  the  y deflecting plates of an ink-  jet  printer, with  superim-  Plate posed  coordinate  axes.  m ,Q An  ink  drop  with  a  mass  E −10  x m  of  1.3 × 10  kg and  a  0 x = L negative  charge  of  mag-  Plate nitude  Q = 1.5 × 10 −13 C  enters the region between  Figure  22.6.4  An ink drop of  the  plates,  initially  mov-  mass m and charge magnitude  ing  along  the  x  axis  with  Q is deflected in the electric  speed  v x  = 18 m/s.  The  field of an ink-jet printer.  length  L  of  each  plate  is  1.6 cm. The plates are charged and thus produce an elec-  tric field at all points  between them. Assume that field E  is downward directed, is uniform, and has a magnitude of  1.4 × 10 6 N/C. What is the vertical deflection of the drop  at the far edge of the plates? (The gravitational force on  the drop  is small relative to the electrostatic force acting  on the drop and can be neglected.) 

electrostatic force of  magnitude QE acts upward  on  the  charged drop.  Thus,  as the drop  travels parallel to the x  axis at constant speed v x, it accelerates  upward with some    constant acceleration a y.   Applying  Newton’s  second  law  (F = ma)  for components along the y axis, we find that  Calculations:

QE  F  ____  a y   = __  m =  m  . 

Let  t  represent  the  time  required  for  the  drop  to  pass  through the region between the plates. During t the verti-  cal and horizontal displacements of the drop  are  1  2  y = _  and  L = v xt,    2 a y  t 

→

KEY IDEA The  drop  is  negatively  charged  and  the  electric  field  is  directed  downward.  From  Eq.  22.6.1,  a  constant 

(22.6.3) 

(22.6.4) 

respectively. Eliminating  t  between these two  equations  and substituting Eq. 22.6.3 for a y, we find    2  QE  L   y = ______  2mv 2  x  2  −13  (1.5 × 10  C)(1.4 × 10 6 N/C)(1.6 × 10 −2 m)  = ________________________________________  (2)(1.3 × 10 −10  kg)(18 m/s) 2  = 6.4 × 10 −4 m  = 0.64 mm. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

22.7  A DIPOLE IN  AN ELECTRIC  FIELD  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

22.7.1  On a sketch of an electric  dipole in an external 

22.7.3  For an electric  dipole in  an external electric field, 

electric field,  indicate  the direction  of the field,  the 

relate the potential energy of the dipole to the work 

direction of the dipole moment, the direction  of the 

done by a torque as the dipole rotates in the electric 

electrostatic forces on the two ends of the dipole,  and the direction  in which  those forces tend to 

field.  22.7.4  For an electric  dipole in an external  electric  field, 

rotate the dipole,  and identify  the value  of the net 

calculate  the potential  energy by taking a dot product 

force on the dipole. 

of the dipole moment vector and the electric  field 

22.7.2  Calculate  the torque on an electric  dipole in  an  external electric  field by evaluating a cross product  of the dipole moment vector and the electric field 

vector, in  magnitude-angle notation and unit-vector  notation.  22.7.5  For an electric  dipole in an external  electric  field, 

vector, in  magnitude-angle  notation and unit-vector 

identify  the angles for the minimum  and maximum 

notation. 

potential  energies and the angles for the minimum  and maximum torque magnitudes. 

/

684

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

Key Ideas  ●

p  E is given by a  →

The torque on an electric  dipole of dipole moment 

●

→

when  placed in  an external  electric  field 

If the dipole orientation changes, the work done by 

the electric  field  is 

cross product: 

W = −ΔU. 

τ =  p  × E .  →

→

●

A potential energy 

→

If the change  in orientation is due to an external agent, 

U is associated with the orienta- 

W a  = −W. 

the work done by the agent is 

tion of the dipole moment in the field,  as given by a dot  product: 

→

U = − p ⋅ E .  →

A  Dipole in an Electric Field 

We have defined the electric dipole moment  p of an electric dipole to be a vector that  points from the negative to the positive end of the dipole. As you will see, the behavior  of a dipole in a uniform external electric field E can be described completely in terms  of the two vectors E  and  p , with no need of any details about the dipole’s structure.  A molecule of water (H 2O) is an electric dipole; Fig. 22.7.1  shows why. There    the black dots  represent the oxygen nucleus (having eight protons) and the two  hydrogen nuclei (having one proton  each). The colored enclosed areas represent  the regions in which electrons can be located around the nuclei.  In a water molecule, the  two hydrogen atoms and  the oxygen atom do  not  lie on a straight line but  form an angle of about 105°, as shown  in Fig. 22.7.1. A s  a result, the molecule has a definite “oxygen side” and “hydrogen side.” More-  over, the 10 electrons of the molecule tend to remain closer to the oxygen nucleus  than to the hydrogen nuclei. This makes the oxygen side of the molecule slightly  more negative than  the hydrogen side and creates an electric dipole  moment  p  that points  along the symmetry axis of the molecule as shown.  If the water mol-  ecule is placed in an external electric field, it behaves as would be expected of the  more abstract electric dipole  of Fig. 22.3.2.  To examine this behavior, we now consider such an abstract dipole in a uniform  external electric field E , as shown in Fig. 22.7.2a. We assume that the dipole is a rigid  structure that consists of two centers of opposite charge, each of magnitude q, sepa-  rated by a distance d. The dipole moment  p  makes an angle θ with field E .  Electrostatic forces act on the charged ends of the dipole. Because the electric  field is uniform, those forces act in opposite directions (as shown in Fig. 22.7.2a)  and with the same magnitude F = qE. Thus, because the field is uniform, the net  force on the dipole from the field is zero and the center of mass of the dipole does  not  move. However, the forces on  the charged ends do  produce a net torque  τ on the dipole about its center of mass. The center of mass lies on the line connect-  ing the charged ends, at some distance x from one end and thus a distance d − x  from the other end. From Eq. 10.6.1 (τ = rF sin  ϕ), we can write the magnitude  of the net torque  τ as  →

→

→

Positive side Hydrogen

Hydrogen p

→

→

105° Oxygen

→

Negative side

A molecule of H 2 O,  showing the three nuclei (repre-  sented by dots) and the regions in  which the electrons can be located.  The electric dipole moment p points  from the (negative) oxygen side to  the (positive) hydrogen side of the  molecule.  Figure  22.7.1 

→

→

→

→

→

τ = Fx sin  θ + F(d − x) sin  θ = Fd sin  θ.  (22.7.1)  We can also write the magnitude of  τ in terms of the magnitudes of the elec-  →

tric field E and the dipole  moment p = qd. To do  so, we substitute qE for F and  p/q for d in Eq. 22.7.1, finding that the magnitude of  τ is  →

τ = pE sin θ . 

(22.7.2) 

We can generalize this equation to vector form as 

τ

→

→

=  p  × E  →

(22.7.3) 

(torque on a dipole). 

→

Vectors  p  and E  are shown  in Fig. 22.7.2b. The torque  acting on  a dipole  tends  to  rotate  p  (hence the dipole)  into  the direction of  field E , thereby reducing  θ.  →

→

→

/

685

22.7  A  D IP OL E IN  AN  EL EC T RIC   F IEL D  

In Fig. 22.7.2, such rotation is clockwise. As we discussed in  Chapter 10, we can  represent a torque that gives rise to a clockwise rotation by including a minus sign  with the magnitude of the torque. With that notation, the torque of Fig. 22.7.2 is 

τ = −pE sin θ . 

p

(22.7.4) 

Potential  Energy of an Electric  Dipole 

+q

d

F

θ

com

E

–q

Potential energy can be associated with the orientation of an electric dipole  in  –F an electric field. The dipole  has its least potential energy when it is in its  equi-  librium  orientation,  which  is  when  its  moment  p  is  lined  up  with  the field  E  (a) (then  τ =  p  × E  = 0). It has greater potential  energy in  all other  orientations.  The dipole is being Thus  the dipole  is  like a pendulum,  which  has its  least gravitational potential  torqued into alignment. energy in its equilibrium orientation—at its lowest point. To rotate the dipole  or  the pendulum to any other orientation requires work by some external agent.  p θ E In any situation involving potential energy, we are free to define the zero-  τ potential-energy  configuration  in  an  arbitrary  way  because  only  differences  in  (b ) potential energy have physical meaning. The expression for the potential energy of  Figure  22.7.2  (a) An electric dipole in  an electric dipole  in an external electric field is simplest if we choose the potential  a uniform external electric field E .  energy to be zero when the angle θ in Fig. 22.7.2 is 90°. We then can find the poten-  Two centers of equal but opposite  tial  energy U of the dipole  at any other value of  θ with  Eq. 8.1.1 (ΔU = −W ) by  charge are separated by distance d.  calculating the work W done by the field on the dipole when the dipole is rotated to  The line between them represents  that value of θ from 90°. With the aid of Eq. 10.8.5 (W =  ∫ τ d θ) and Eq. 22.7.4, we  their rigid connection. (b) Field E  causes a torque  τ on the dipole. The  find that the potential energy U at any angle θ is  →

→

→

→

→

→

→

→

direction of  τ is into the page, as  represented by the symbol ⊗.  →

U = −W = −  Evaluating the integral leads to 

θ

τ d θ = 

90° 

θ

90° 

pE sin  θ dθ . 

U = −pE cos θ. 

(22.7.5)  (22.7.6) 

We can generalize this equation to vector form as  →

U = − p ⋅ E  →

(potential energy of a dipole). 

(22.7.7) 

Equations 22.7.6 and 22.7.7 show us that the potential energy of the dipole is least (U =  −pE) when θ = 0 ( p and E are in the same direction); the potential energy is greatest  (U = pE) when  θ = 180° ( p and E are in opposite directions).  When a dipole rotates from an initial orientation  θi  to another orientation  θf ,  the work W done on the dipole  by the electric field is  →

→

→

→

W = −ΔU = −(U f − U i ), 

(22.7.8) 

where  U f  and  U i  are calculated with  Eq.  22.7.7. If  the  change in  orientation  is  caused by an applied torque (commonly said to be due to an external agent), then  the work W a  done on the dipole by the applied torque is the negative of the work  done on the dipole by the field; that is,  W a  = −W = (U f − U i).   

(22.7.9) 

Microwave  Cooking 

In  liquid  water, where molecules are relatively free to  move around,  the  elec-  tric  field  produced  by  each  molecular dipole  affects  the  surrounding  dipoles.  As a result, the molecules bond  together in  groups of two or three, because the  negative (oxygen) end  of  one  dipole  and  a positive  (hydrogen) end  of  another  dipole  attract each other.  Each time a group  forms, electric potential  energy is  transferred  to  the  random  thermal motion  of  the  group  and  the  surrounding  molecules. And each time collisions  among the molecules break up a group, the  transfer is reversed. The temperature of the water (which is associated with  the  average thermal motion) does not change because, on the average, the net trans-  fer of energy is zero. 

/

686

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

Bond broken by rotation

Rotation due to torque

A group of three water  molecules. A torque due to an oscil-  lating electric field in a microwave  oven breaks one of the bonds  between the molecules and thus  breaks up the group.  Figure  22.7.3 

Sample Problem 22.7.1

In a microwave oven, the story differs. When the oven is operated, the micro-  waves produce (in the oven) an electric field that rapidly oscillates back and forth  in  direction. If  there is water in the  oven, the oscillating  field  exerts oscillating  torques on the water m olecules, continually rotating them back and forth to align  their  dipole  moments with  the field  direction.  Molecules that  are bonded  as a  pair can twist around their common bond  to stay aligned, but molecules that are  bonded in a group of three must break at least one of their two bonds (Fig. 22.7.3).  The energy to break these bonds  comes from the electric field, that is, from  the microwaves. Then  molecules that have broken  away from groups  can form  new groups, transferring the energy they just gained into  thermal energy. Thus,  thermal energy is added to  the water when  the groups  form but  is not removed  when the groups break apart, and the temperature of the water increases. Foods  that contain water can be cooked in a microwave oven because of the heating of  that water. If water molecules were not electric dipoles, this would  not be so and  FCP  microwave ovens would  be useless.  Checkpoint 22.7.1 

(1) +

The figure shows four orientations of an electric  dipole in an external electric field. Rank the  orientations according to (a) the magnitude of the  torque on the dipole and (b) the potential energy  (3) + of the dipole, greatest first. 

+ (2)

θ θ

θ θ

E

+ (4)

Torque  and  energy of an electric  dipole  in an electric  field 

A neutral water molecule (H 2O) in its vapor state has an    electric dipole moment of magnitude 6.2 × 10 −30 C · m.  (a) How far apart are the molecule’s centers of  positive  and negative charge? 

KEY IDEA The  torque  on  a  dipole  is  maximum when  the  angle  θ between p  and E is 90°.  →

Calculation:

KEY IDEA A molecule’s dipole  moment depends on  the magnitude  q  of  the  molecule’s positive or  negative charge and  the  charge separation d.  There are 10 electrons and  10 protons  in  a neutral water molecule; so the magnitude of its  dipole  moment is  p = qd = (10e)(d ),  in  which  d  is  the separation we are seeking and  e is  the  elementary charge. Thus,  Calculations:

p  6.2 × 10 −30  C ⋅ m  d =  ____ = __________________  10e  (10)(1.60 × 10 −19 C)  = 3.9 × 10 −12 m = 3.9 pm. 

(Answer) 

This  distance  is  not  only  small,  but  it  is  also  actually  smaller than the radius of a hydrogen atom.  (b)  If  the  molecule  is  placed  in  an  electric  field  of  1.5 × 10 4  N/C, what maximum torque  can the  field exert  on it? (Such a field can easily be set up in the laboratory.) 

→

Substituting  θ = 90° in Eq. 22.7.2 y ields 

τ = pE sin  θ

= (6.2 × 10 −30  C ⋅ m)(1.5 × 10 4  N/C)(sin  90°)  = 9.3 × 10 −26  N ⋅ m. 

(Answer) 

(c) How  much work  must an external agent do  to  rotate  this  molecule by 180° in  this  field,  starting from  its fully  aligned position, for which  θ = 0? 

KEY IDEA The  work  done  by  an  external agent  (by  means  of  a  torque applied to the molecule) is equal to the change  in the molecule’s potential energy due to the change in  orientation.  Calculation:

From Eq. 22.7.9, we find 

W a  = U 180° − U 0   = (−pE cos  180° ) − (−pE cos  0)  = 2pE = (2)(6.2 × 10 −30  C ⋅ m)(1.5 × 10 4 N/C)  = 1.9 × 10 −25  J. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

687

QU EST IONS 

Review & Summary To  explain  the  electrostatic  force  between  two charges, we assume that each charge sets up an electric field  in the space  around it. The force acting on each charge is  then  due to the electric field set up at its location by the other charge.  Electric  Field 

The electric field E at any point  is  defined in  terms  of  the electrostatic  force  F  that would be  exerted on a positive test charge q 0  placed there:  →

Definition of Electric Field 

→

→

F  E  = ___  q  . 

→

(22.1.1) 

0 

Electric field lines provide a means for  visualizing  the  direction and  magnitude of electric  fields. The  electric field vector at any point is tangent to a field line through  that point. The density of field lines in any region is proportional  to the magnitude of the electric field in that region. Field lines  originate on positive charges and terminate on negative charges. 

The  electric field due to a continuous charge distribution is found by  treating charge elements as point charges and then summing, via  integration, the electric field vectors produced by all the charge  elements to find the net vector.  Field Due to  a Continuous  Charge Distribution 

The  electric field magni-  tude at a point on the central axis through a uniformly charged  disk is given by  Field  Due  to  a  Charged  Disk 

z  σ 1 − _________  _  E = ____  ,  2  (   √  2 ε0  z  + R 2 ) 

Electric Field Lines 

The magnitude of the elec-  tric  field E  set up by a point charge  q at a distance r  from the  charge is  Field Due to a Point  Charge 

(22.5.5) 

where z is the distance along the axis from the center of the disk,  R is the radius of the disk, and σ is the surface charge density.  When a  point charge q is placed in an external electric field E , the elec-  trostatic force F  that acts on the point charge is  Force on a Point Charge in an Electric Field 

→

→

→

|q|  1  ___  E = _____  .  4πε0  r 2 

(22.2.2) 

→

(22.6.1) 

→

F  = qE . 

→

→

Force  F  has  the  same  direction as  E  if  q  is  positive and  the  opposite direction if q is negative. 

→

The direction of E is away from the point charge if the charge is  positive and toward it if the charge is negative.  An electric dipole con-  sists  of  two  particles  with  charges  of  equal  magnitude  q  but  opposite  sign,  separated  by  a  small  distance  d.  Their  elec-  tric  dipole moment  p  has  magnitude qd  and points  from the  negative  charge to  the positive charge.  The  magnitude of the  electric field set up by the dipole at a distant point on the dipole  axis (which runs through both charges) is  p  1  _____  E =  _____  ,  (22.3.5)  2πε0  z 3  where z is the distance between the point and the center of the  dipole.  Field  Due to  an Electric Dipole 

→

When  an  electric  dipole of  dipole moment p is placed in an electric field E , the field exerts  a torque  τ on the dipole:  Dipole  in  an  Electric  Field 

→

→

→

τ =  p × E . 

→

(22.7.3) 

→

→

The dipole has a potential energy U associated with its orienta-  tion in the field:  (22.7.7) 

U = − p ⋅ E .  →

→

This potential energy is defined to be zero when  p  is perpen-  dicular to E ; it is least (U = −pE) when  p is aligned with E  and  greatest (U = pE) when  p  is directed opposite E .  →

→

→

→

→

→

Questions Figure 22.1 shows three arrangements of electric field lines.  In  each arrangement, a  proton is  released from rest at point A  and  is  then accelerated  through point B  by  the  electric  field.  Points A  and B  have  equal separations  in  the  three  arrange-  ments. Rank the arrangements according to the linear momen-  tum of the proton at point B, greatest first.  1 

A

B

(a )

A

B

(b ) Figure  22.1 

Question 1. 

A

B

(c )

Figure  22.2  shows  +6 q two  square  arrays  of  charged  particles.  The  squares,  which  are  cen-  tered  on  point  P,  are  misaligned.  The  par-  ticles  are  separated  by  –2 q either  d  or  d/2  along  the  perimeters  of  the  squares.  What  are  the  magnitude and direction  of  the  net  electric  field  +3 q at P? 

–2q

2 

In Fig. 22.3, two par-  ticles  of  charge  −q  are  3 

+2 q

–3q –q

+3 q

P

–q –3q

+2 q

–2q Figure  22.2 

–q

+6 q

Question 2. 

/

688

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

arranged symmetrically about the  y y  axis; each produces  an  electric  P field at  point P  on  that axis.  (a)  Are  the magnitudes of the fields  –q –q at  P  equal?  (b)  Is  each  electric  x field  directed  toward  or  away  d d from the charge producing it? (c)  Is  the magnitude of the net elec-  Figure  22.3  Question 3.  tric field at P equal to the sum of  the magnitudes E of the two field vectors (is it equal to 2E )? (d)  Do the x components of those two field vectors add or cancel?  (e) Do their y components add or cancel? (f) Is the direction of  the net field at P that of the canceling components or the adding  components? (g) What is the direction of the net field?  Figure  22.4  shows  four situations in  which  four  charged  particles  are evenly spaced to the  left and right of a central  point. The charge values  are  indicated. Rank the  situations  according  to  the  magnitude  of  the  net  electric  field at  the  central  point,  greatest  first.  4 

(1)

(2)

(3)

(4)

+e

–e

–e

+e

+e

+e

–e

–e

–e

+e

+e

+e

–e

–e d

+e d

d

–e d

Figure  22.4  Question 4.  Figure  22.5  shows  two  charged  particles  fixed  in  place  on  an  axis.  (a)  +q –3 q Where  on  the  axis  (other  than  at an infinite distance) is  there a  Figure  22.5  Question 5.  point at  which  their  net  electric  field is zero: between the charges, to their left, or to their right?  (b)  Is  there a  point of zero  net electric field anywhere off the  axis (other than at an infinite distance)? 

5 

In  Fig.  22.6,  two  identical  circular  nonconducting rings  are  P1 P2 P3 centered  on  the  same  line  with  their planes perpendicular to the  Ring A Ring B line.  Each  ring  has  charge  that  Figure  22.6  Question 6.  is  uniformly  distributed  along  its  circumference.  The  rings  each produce electric fields at points along the line. For three  situations, the charges on rings A and B are, respectively, (1) q 0  and q 0 , (2) −q 0  and −q 0 , and (3) −q 0  and q 0 . Rank the situations  according to the magnitude of the net electric field at (a)  point  P 1  midway between the rings, (b) point P 2  at the center of ring  B, and (c)  point P 3  to the right of ring B, greatest first.  6 

The potential energies associated with four orientations of an  electric dipole in an electric field are (1) −5U 0 , (2) −7U 0 , (3) 3U 0 ,  and (4) 5U 0 , where U 0 is positive. Rank the orientations accord-  ing to (a)  the angle between the electric dipole moment  p  and  the electric  field E  and (b) the magnitude of the torque on the  electric dipole, greatest first. 

Figure 22.7 shows  two disks  and a  flat ring,  each with  the  same uniform charge Q. Rank the objects according to the mag-  nitude of the electric field they create at points P (which are at  the same vertical heights), greatest first.  9 

P

P

P

2R

R

(a )

R

(b)

2R

(c )

Figure  22.7 

Question 9. 

In Fig. 22.8, an electron e  travels through a  small hole in  plate A  and then toward plate  B.  A  uniform  electric  field  in  e +q 2 the  region  between  the  plates  then slows the electron without  +q 1 –q3 deflecting  it.  (a)  What  is  the  n direction of the field? (b) Four  A B other  particles  similarly  travel  Figure  22.8  Question 10.  through  small  holes  in  either  plate A or plate B and then into  the region between the plates. Three have charges +q 1 , +q 2 , and  −q 3 . The  fourth (labeled n)  is  a  neutron, which is  electrically  neutral. Does  the  speed  of  each  of those  four  other particles  increase, decrease,  or  remain the same  in  the region between  the plates?  10 

In Fig. 22.9a, a circular plastic rod with uniform charge +Q  produces an electric field of magnitude E at the center of curva-  ture (at the origin). In Figs. 22.9b, c, and d, more circular rods,  each with identical uniform charges +Q, are added until the cir-  cle is complete. A fifth arrangement (which would be labeled e)  is like that in d except the rod in the fourth quadrant has charge  −Q. Rank the five arrangements according to the magnitude of  the electric field at the center of curvature, greatest first.  11 

y

y

x

(a )

x

(b ) y

y

7 

x

x

→

→

(a)  In  Checkpoint  22.7.1,  if  the  dipole  rotates  from  ori-  entation 1  to orientation 2,  is  the work  done on the dipole by  the field positive, negative, or  zero? (b)  If, instead, the dipole  rotates from orientation 1 to orientation 4, is the work done by  the field more than, less than, or the same as in (a)? 

(c )

8 

(d ) Figure  22.9 

Question 11. 

When  three  electric  dipoles  are  near  each  other,  they  each  experience  the  electric  field  of  the  other  two,  and  the  12 

/

689

P ROBL EMS 

three-dipole  system  has  a  certain  potential energy. Figure 22.10 shows  two  arrangements  in  which  three  electric  dipoles  are  side  by  side.  (a ) (b ) Each dipole has the same magnitude  of  electric  dipole moment, and the  Figure  22.10  Question 12.  spacings  between  adjacent  dipoles  are identical. In which arrangement is the potential energy of the  three-dipole system greater? 

(of length L/2) are straight, and points P are aligned with their  midpoints. Rod c (of length L/2) forms a complete circle about  point P. Rank the rods according to the magnitude of the elec-  tric field they create at points P, greatest first.  Figure 22.12 shows five protons that are launched in a uni-  form electric field E ; the magnitude and direction of the launch  velocities are indicated. Rank the protons according to the mag-  nitude of their accelerations due to the field, greatest first.  14 

→

Figure 22.11 shows three rods, each with the same charge  Q spread uniformly along its length. Rods a (of length L) and b  13 

P

P

P

L

L

(a)

/2

(b )

Figure  22.11 

E

Question 13. 

/2

L

3 m/s

5 m/s

b

d

e

c

a

10 m/s

(c )

7 m/s

16 m/s Figure  22.12 

Question 14. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 22.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying Circus of Physics

The Electric Field 

Sketch qualitatively the  electric  field lines  both between  and outside two concentric  conducting spherical shells  when a  uniform positive charge  q 1  is  on the inner shell and a uniform  negative charge −q 2  is on the outer. Consider the cases  q 1  > q 2 ,  q 1  = q 2 , and q 1   0  is  E net,x  maximum? (b)  If  particle 2  has  charge  −q 2  = −3e, what is the value of that maximum? 

10 

y

–q 2 x

)C/N 8 – 01( x,t enE

+q 1

2 0

0

xs

–4 x (cm) (b )

(a ) Figure  22.17 

In Fig. 22.21, the three particles  are  fixed  in  place  and  have  charges  q 1  = q 2  = +e  and  q 3  = +2e.  Distance  a = 6.00 μ m. What are  the  (a)  magni-  tude and (b)  direction of the net elec-  tric field at point P due to the particles? 

Problem 10. 

SSM  Two charged particles are fixed to an x axis: Particle  1 of charge q 1  = 2.1 × 10 −8  C is at position x = 20 cm and particle  2 of charge q 2  = −4.00q 1  is at position x = 70 cm. At what coor-  dinate on the axis (other than at infinity) is the net electric field  produced by the two particles equal to zero? 

11  M 

GO  Figure  22.18  shows  M  y an  uneven  arrangement  of  elec-  p trons  (e)  and  protons  (p)  on  a  e circular arc  of radius r = 2.00 cm,  with angles  θ1  = 30.0°,  θ2  = 50.0°,  θ2 p θ3 = 30.0°,  and  θ4  = 20.0°.  What  p θ3 θ1 e θ4 are  the  (a)  magnitude  and  (b)  x direction (relative to the positive  direction of the x axis)  of the net  Figure  22.18  Problem 12.  electric field produced at the cen-  ter of the arc?  12 

y

1

15  M 

a

P

2 3

x

a

Figure  22.21 

Figure  22.22  shows  a  plas-  Problem 15.  tic  ring  of  radius  R  =  50.0 cm.  Two  small  charged  beads  are  on  the  ring:  Bead  1  of  charge  +2.00 μC  y is  fixed in  place  at  the  left  side;  Ring bead  2  of  charge  +6.00 μC  can  Bead 2 be  moved  along  the  ring.  The  R θ two beads produce a  net electric  x field of magnitude E at the center  Bead 1 of the  ring. At  what (a)  positive  and (b) negative value of angle θ should bead 2 be positioned such  that E = 2.00 × 10 5  N/C?  Figure  22.22  Problem 16.  16 

–2

L

zero? (b)  Sketch the net electric field  lines between and around the particles. 

H 

Two charged  beads are  on  the plastic ring in Fig. 22.23a. Bead 2, which is not shown, is fixed  in place on the ring, which has radius R = 60.0 cm. Bead 1, which  is not fixed in place, is  initially on the x  axis at angle  θ = 0°. It  is  then moved to the opposite side, at angle  θ  = 180°, through  the first and second quadrants of the xy coordinate system. Figure  22.23b gives the x component of the net electric field produced  at the origin by the two beads as a function of θ, and Fig. 22.23c  gives the y component of that net electric field. The vertical axis  scales are set by E xs  = 5.0 × 10 4  N/C and E ys  = −9.0 × 10 4  N/C.  (a) At what angle θ is  bead 2 located? What are the charges  of  (b) bead 1 and (c) bead 2?  17  H 

y

Ring Figure  22.19  shows  z Bead 1 a  proton (p)  on  the  central  axis  R p through  a  disk  with  a  uniform  θ x charge  density  due  to  excess  electrons.  The  disk  is  seen  from  e e an  edge-on view. Three of  those  e (a) electrons  are  shown:  electron  e c  R R 90°  180 °  at  the  disk  center  and  electrons  E 0 θ Figure  22.19  Problem 13.  e s  at  opposite  sides  of  the  disk,  at radius R  from the center. The  proton is initially at distance z = R = 2.00 cm from the disk. At  0 θ that location, what are the magnitudes of (a) the electric field E c  90°  180 °  due to electron e c  and (b) the net electric field E s,net  due to elec-  trons e s ? The proton is then moved to z = R/10.0. What then are  (c ) E the magnitudes of (c) E c  and (d) E s,net  at the proton’s location?  (b ) –E (e) From (a) and (c) we see that as the proton gets nearer to the  Figure  22.23  Problem 17.  disk, the magnitude of E c  increases,  as expected. Why does the  Module 22.3  The Electric Field Due to a Dipole  magnitude of E s,net  from the two side electrons decrease, as we  see from (b) and (d)?  18  M  The electric field of an electric dipole along the dipole axis  y is approximated by Eqs. 22.3.4 and 22.3.5. If a binomial expan-  14  M  In  Fig.  22.20,  particle  1  of  sion is  made of Eq. 22.3.3, what is the next term in the expres-  charge q 1  = −5.00q and particle 2 of  sion for the dipole’s electric field along the dipole axis? That is,  charge  q 2  = +2.00q  are  fixed to  an  x what is E next in the expression  q1 q2 x axis. (a) As a multiple of distance  L qd  1  _____  L, at what coordinate on the axis is  E = _____  + E next ?  Figure  22.20  Problem 14.  2πε 0  z 3  the net electric field of the particles  13 

M 

GO 

s

c

s

xs

)C/N 4 01( yE

→

)C/N 4 01( xE

→

→

→

xs

ys

→

→

/

691

P ROBL EMS 

M  Figure  22.24  shows  an  electric  dipole.  What  are  the  (a) magnitude and (b) direction (relative to the positive direction  of the x axis) of the dipole’s electric field at point P, located at  distance r ⪢ d? 

19 

+

+q

/2

d

y

x

r P

/2

d

–q

– Figure  22.24 

Problem 19. 

M  Equations  22.3.4  and  22.3.5  are  approximations  of  the  magnitude of  the  electric  field  of  an  electric  dipole,  at  points along the dipole axis. Consider  a  point P  on  that axis  at distance z = 5.00d  from the dipole center (d is  the separa-  tion distance between the particles of the dipole). Let E appr  be  the magnitude of the field at point P as approximated by Eqs.  22.3.4 and 22.3.5. Let E act  be the actual magnitude. What is the  ratio E appr /E act ? 

20 

z H  SSM  Electric  quadrupole.  Figure  22.25  shows  a  generic  d d electric quadrupole. It consists of  – – – + two dipoles with dipole moments  + P –q –q +q that are  equal  in  magnitude but  +q opposite in  direction. Show  that  the value of E  on the axis  of the  –p +p quadrupole  for  a  point P  a  dis-  Figure  22.25  Problem 21.  tance  z  from  its  center  (assume  z ⪢ d ) is given by 

21 

3Q  E = _________  ,  4πε0 z 4 

The Electric Field Due to a Line of Charge 

E  Density, density, density. (a)  A charge −300e is  uniformly  distributed along a circular arc of radius 4.00 cm, which subtends  an angle of 40°. What is the linear charge density along the arc?  (b) A charge −300e is  uniformly distributed over one face of a  circular disk of radius 2.00 cm. What is the surface charge den-  sity over that face? (c)  A charge −300e is uniformly distributed  over the surface of a sphere of radius 2.00 cm. What is the sur-  face charge density over that surface? (d) A charge −300e is uni-  formly spread through the volume of a sphere of radius 2.00 cm.  What is the volume charge density in that sphere? 

22 

E  Figure 22.26 shows two par-  allel  nonconducting  rings  with  their central axes along a common  line. Ring 1 has uniform charge q 1  and  radius R;  ring  2  has  uniform  charge  q 2  and the same radius  R.  The  rings  are  separated  by  dis-  tance  d = 3.00R.  The  net electric 

23 

z CALC  A thin nonconduct-  ing  rod  with  a  uniform distribu-  tion of  positive charge  Q is  bent  into  a  complete  circle  of  radius  R  (Fig.  22.27).  The  central  per-  pendicular  axis  through the  ring  is  a  z  axis, with  the origin at  the  R center  of  the  ring.  What  is  the  magnitude  of  the  electric  field  Figure  22.27  Problem 24.  due  to  the  rod  at  (a)  z = 0  and  (b) z = ∞? (c) In  terms of R, at what positive value of z is that  magnitude maximum? (d) If R = 2.00 cm and Q = 4.00 μ C, what  is the maximum magnitude? 

24  M 

M  Figure  22.28 shows  three  y circular  arcs  centered  on  the  3R +9 Q origin  of  a  coordinate  system.  –4Q 2R On  each  arc,  the  uniformly  +Q distributed  charge  is  given  in  R terms  of  Q = 2.00 μC.  The  radii  x are given in terms of R = 10.0 cm.  What are the (a) magnitude and  (b) direction (relative to the pos-  Figure  22.28  Problem 25.  itive x direction) of the net elec-  tric field at the origin due to the arcs? 

25 

GO  In Fig. 22.29, a thin glass rod  forms a semicircle of radius r = 5.00 cm.  Charge  is  uniformly  distributed  along  the  rod,  with  +q = 4.50 pC  in  the  upper  half  and  −q = −4.50 pC  in  the  lower  half.  What  are  the  (a)  magni-  tude and (b)  direction (relative to  the  positive  direction  of  the  x  axis)  of  the electric  field E  at P, the center  of  the semicircle?  26  M 

y

+q x

r

Ring 1

q1

Ring 2

q2

P R

R

GO  In  Fig.  22.30,  two  curved  M  plastic  rods,  one  of  charge  +q  and  the  other  of  charge  −q,  form  a  circle  of  radius  R = 8.50 cm  in  an  xy  plane.  The  x  axis  passes  through both of the  connecting  points,  and  the  charge  is  distributed  uniformly on  both rods.  If  q = 15.0 pC,  what  are  the  (a)  magni-  tude and (b)  direction  (relative to  the  positive direction of  the x  axis)  of  the  electric field E  produced at P, the cen-  ter of the circle? 

Figure  22.29 

Problem 26. 

27 

→

P

–q

→

in which Q (= 2qd 2 ) is known as the quadrupole moment of the  charge distribution.  Module 22.4 

field at point P on the common line, at distance R from ring 1, is  zero. What is the ratio q 1 /q 2 ? 

y

+q

P

x

–q Figure  22.30 

Problem 27. 

M  CALC  Charge  is  uniformly distributed around a  ring  of  radius R = 2.40 cm, and the resulting electric field magnitude E  is  measured along the ring’s central axis  (perpendicular to the  plane of  the ring).  At  what distance  from the  ring’s  center  is  E maximum? 

28 

GO  Figure 22.31a shows a nonconducting rod with a uni-  formly distributed charge +Q. The rod forms a half-circle with  radius R and produces an electric field of magnitude E arc  at its  center of curvature P. If the arc is collapsed to a point at distance  29  M 

R d

Figure  22.26 

Problem 23. 

/

692

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

R from P (Fig. 22.31b),  by what factor is  the magnitude of the  electric field at P multiplied? 

+Q

+Q

P

P

R

R

(a )

(b ) Figure  22.31 

Problem 29. 

GO  Figure  22.32  shows  M  z two  concentric  rings,  of  radii  P R  and  R′ = 3.00R,  that  lie  on  the same plane. Point P  lies  on  D the  central  z  axis,  at  distance  D = 2.00R  from  the  center  of  the  rings.  The  smaller  ring  has  R uniformly  distributed  charge  R' +Q. In  terms  of Q, what  is  the  uniformly distributed charge on  the larger ring if the net electric  field at P is zero?  Figure  22.32  Problem 30.  31  M  CALC  SSM  In  Fig.  22.33,  a  nonconducting  rod  of  –q length L = 8.15 cm has a charge  P – x −q = −4.23 fC  uniformly  dis-  a L tributed  along  its  length.  (a)  What is  the linear  charge  den-  Figure  22.33  Problem 31.  sity  of  the  rod?  What  are  the  (b) magnitude and (c)  direction  (relative to the positive direction of the x axis) of the electric field  produced at point P, at distance a = 12.0 cm from the rod? What  is the electric field magnitude produced at distance a = 50 m by  (d)  the rod and (e)  a  particle of charge  −q = −4.23 fC that we  use to replace the rod? (At that distance, the rod  “looks” like  a particle.)  32  H  CALC  GO  In Fig. 22.34, pos-  y itive charge  q = 7.81 pC  is  spread  P uniformly  along  a  thin  noncon-  ducting rod of length L = 14.5 cm.  R What  are  the  (a)  magnitude and  (b)  direction (relative to the posi-  tive direction of the x  axis) of the  + + + + + + + + + x electric  field  produced  at  point  L P,  at  distance  R = 6.00 cm  from  the  rod  along  its  perpendicular  Figure  22.34  Problem 32.  bisector?  33  H  CALC  GO  In  Fig. 22.35,  + + + + a  “semi-infinite”  nonconduct-  ing  rod  (that  is,  infinite in  one  direction only)  has  uniform lin-  ear  charge  density λ . Show that  R the  electric  field  E p  at  point P  P makes an  angle of  45° with the  rod  and that this  result is  inde-  Figure  22.35  Problem 33.  pendent of the distance R. (Hint:  Separately find the component of E p  parallel to the rod and the  component perpendicular to the rod.)  30 

–

–

→

–

→

Module 22.5 

The Electric Field Due to a Charged Disk 

A  disk of  radius  2.5 cm  has  a  surface  charge  density  of 5.3  μC/m 2  on its  upper  face. What is  the  magnitude of  the  electric field produced by the disk at a point on its central axis at  distance z = 12 cm from the disk?  34 

E 

E  SSM  At  what distance  along the  central perpendicular  axis of a uniformly charged plastic disk of radius 0.600 m is  the  magnitude of the electric field equal to one-half the magnitude  of the field at the center of the surface of the disk?  36  M  A circular plastic disk with radius R = 2.00 cm has a uni-  formly distributed charge Q = +(2.00 × 10 6 )e on one face. A cir-  cular ring of width 30 μm is centered on that face, with the center  of that width at radius r = 0.50 cm. In coulombs, what charge is  contained within the width of the ring? 

35 

M  Suppose  you  design  an  z z apparatus  in  which a  uniformly  P P charged  disk  of  radius  R  is  to  produce  an  electric  field.  The  field magnitude  is  most  impor-  tant along the central perpendic-  ular axis of the disk, at a point P  at distance 2.00R  from  the disk  (Fig. 22.36a).  Cost analysis  sug-  gests  that  you  switch  to  a  ring  (a ) (b ) of the  same outer  radius  R  but  Figure  22.36  Problem 37.  with  inner  radius  R / 2.00  (Fig.  22.36b). Assume that the ring will have the same surface charge  density as  the original disk. If  you switch to the ring, by  what  percentage will you decrease the electric field magnitude at P? 

37 

M  Figure  22.37a  shows  a  circular  disk  that  is  uniformly  charged. The central z axis is perpendicular to the disk face, with  the origin at the disk. Figure 22.37b gives the magnitude of the  electric field along that axis in terms of the maximum magnitude  E m  at the disk surface. The z axis scale is set by z s = 8.0 cm.What  is the radius of the disk? 

38 

z

Em

0.5 Em 0 z

(a )

zs

(b ) Figure  22.37 

Module 22.6 

(cm)

Problem 38. 

A Point Charge  in an Electric Field 

In  Millikan’s  experiment, an  oil drop  of  radius  1.64 μm  and density 0.851 g/cm 3  is suspended in chamber C (Fig. 22.6.1)  when  a  downward  electric  field  of  1.92 × 10 5  N/C  is  applied.  Find the charge on the drop, in terms of e.  39 

E 

GO  An electron with a speed of 5.00 × 10 8  cm/s enters an  electric field of magnitude 1.00 × 10 3  N/C, traveling along a field  line in the direction that retards its motion. (a) How far will the  electron travel  in  the  field  before stopping momentarily, and  (b) how much time will have elapsed? (c)  If the region contain-  ing the electric field is 8.00 mm long (too short for the electron  to stop within it), what fraction of the electron’s initial kinetic  energy will be lost in that region?  40  E 

/

P ROBL EMS 

SSM  A charged cloud system produces an electric field in  the air  near Earth’s surface. A particle of charge −2.0 × 10 −9  C  is  acted  on by  a  downward  electrostatic  force  of  3.0 × 10 −6  N  when placed in this field. (a) What is the magnitude of the elec-  tric field? What are the (b) magnitude and (c)  direction of the  electrostatic force F el  on a proton placed in this field? (d) What  is  the magnitude of  the gravitational force  F g  on the  proton?  (e) What is the ratio F el /F g  in this case? 

41  E 

→

→

Humid air breaks down (its molecules become ionized) in  an electric field of 3.0 × 10 6  N/C. In that field, what is the magni-  tude of the electrostatic force on (a) an electron and (b) an ion  with a single electron missing?  42  E 

SSM  An electron is released from rest in a uniform elec-  tric  field of  magnitude 2.00 × 10 4  N/C.  Calculate the  accelera-  tion of the electron. (Ignore gravitation.) 

43  E 

E  An alpha particle (the  nucleus of a  helium atom) has  a  mass  of  6.64 × 10 −27  kg  and  a  charge  of  +2e.  What  are  the  (a) magnitude and (b) direction of the electric field that will bal-  ance the gravitational force on the particle? 

44 

E  An  electron  on  the  axis  of  an  electric  dipole  is  25 nm  from  the  center  of  the  dipole. What  is  the  magnitude of  the  electrostatic  force  on  the  electron  if  the  dipole  moment  is  3.6  × 10 −29  C · m? Assume  that 25 nm  is  much  larger  than the  separation of the charged particles that form the dipole. 

45 

An electron is accelerated eastward at 1.80 × 10 9  m/s 2  by  an  electric  field.  Determine  the  field  (a)  magnitude  and  (b) direction.  47  E  SSM  Beams of  high-speed protons can  be produced in  “guns” using electric fields to accelerate  the protons. (a) What  acceleration would a proton experience if the gun’s electric field  were 2.00 × 10 4  N/C? (b) What speed would the proton attain if  the field accelerated the proton through a distance of 1.00 cm?  48  M  In Fig. 22.38, an electron (e) is to  e be released from rest on the central axis  of a uniformly charged disk of radius R.  The  surface charge density on the disk  is  +4.00 μC/m 2 .  What is  the magnitude  of the electron’s initial acceleration if it  is released at a distance (a) R, (b) R/100,  and  (c)  R/1000 from the  center of  the  Figure  22.38  disk?  (d)  Why  does  the  acceleration  Problem 48.  magnitude increase only slightly as  the  release point is moved closer to the disk?  −5  49  M  A 10.0 g block with a charge of +8.00 × 10  C  is placed  in  an  electric  field  E  =  (3000i ̂ − 600 ˆ  j)  N / C. What  are  the  (a)  magnitude and (b)  direction (relative to the positive direction  of the x axis) of the electrostatic force on the block? If the block  is released from rest at the origin at time t = 0, what are its (c) x  and (d) y coordinates at t = 3.00 s?  46  E 

693

surface. Assume also that a  spherical pollen grain  of diameter  40.0 μm is electrically held on the surface of the bee because the  bee’s charge induces a charge of −1.00 pC on the near side of the  grain  and  a  charge  of  +1.00  pC  on  the  far  side.  (a)  What  is  the magnitude of the net electrostatic force on the grain due to  the bee? Next, assume that the bee brings the grain to a distance  of 1.000 mm from the tip of a flower’s stigma and that the tip is a  particle of charge −45.0 pC. (b) What is the magnitude of the net  electrostatic force on the grain due to the stigma? (c)  Does the  grain remain on the bee or does it move to the stigma?  An electron enters a region of uniform electric field with  an initial velocity of 40 km/s in the same direction as the electric  field, which has magnitude E = 50 N/C. (a) What is the speed of  the electron 1.5 ns after entering this region? (b) How far does  the electron travel during the 1.5 ns interval?  52  M 

GO  Two  large  parallel  M  Negative copper  plates  are  5.0 cm  apart  Positive plate p plate and  have  a  uniform  electric  e field  between  them  as  depicted  in  Fig.  22.39.  An  electron  is  released  from the  negative plate  E at the same time that a proton is  released  from the  positive plate.  Neglect the force of the particles  Figure  22.39  Problem 53.  on each other and find their dis-  tance from the positive plate when they pass each other. (Does  it surprise you that you need not know the electric field to solve  this problem?)  53 

GO  In Fig. 22.40, an elec-  y Detecting E tron  is  shot  at  an  initial  speed  v0 screen of  v 0  = 2.00 × 10 6  m/s,  at  angle  θ0 x θ0  = 40.0°  from  an  x  axis.  It  moves  through a  uniform elec-  tric  field  E  =  (5.00  N / C) ˆ  j.  A  Figure  22.40  Problem 54.  screen  for detecting electrons is  positioned parallel to the y axis, at distance x = 3.00 m. In unit-  vector notation, what is the velocity of the electron when it hits  the screen?  54  M 

→

M  A  uniform electric  field exists  in a  region between two  oppositely charged plates. An electron is  released from rest  at  the surface of the negatively charged plate and strikes  the sur-  face of the opposite plate, 2.0 cm away, in a time 1.5 × 10 −8  s. (a)  What is the speed of the electron as it strikes the second plate?  (b) What is the magnitude of the electric field E ? 

55 

→

→

M  At  some  instant  the  velocity  components  of  an  elec-  tron  moving  between  two  charged  parallel  plates  are  v x  =  1.5  × 10 5  m/s  and v y  = 3.0 × 10 3  m/s.  Suppose the  electric  field  between the plates is uniform and given by E  = (120 N / C) ˆ  j. In  unit-vector notation, what are (a) the electron’s acceleration in  that field and (b)  the electron’s velocity when its  x coordinate  has changed by 2.0 cm? 

50 

→

BIO  FCP  Assume that a honeybee is a sphere of diameter  1.000  cm with a  charge of +45.0 pC uniformly spread  over  its 

51  M 

Module 22.7 

A Dipole in an Electric Field 

An electric dipole consists of charges +2e and −2e  sepa-  rated by 0.78 nm. It is in an electric field of strength 3.4 × 10 6  N/C.  Calculate the magnitude of the torque on the dipole when the  dipole moment is  (a)  parallel to, (b)  perpendicular to, and (c)  antiparallel to the electric field.  56  E 

SSM  An electric dipole consisting of charges of magnitude  1.50 nC  separated  by 6.20 μ m is  in an electric  field of strength  1100 N/C.  What  are  (a)  the  magnitude of  the  electric  dipole  moment and (b) the difference between the potential energies  for dipole orientations parallel and antiparallel to E ? 

57  E 

→

58  M  A  certain  electric  dipole  is  placed  in  a  uniform electric  field E  of  magnitude 20 N/C. Figure  22.41 gives  the  potential  →

/

694

C HAP T ER 22  EL EC T RIC   F IEL D S 

energy  U of the dipole versus  the  angle  between E  and the dipole  moment p . The vertical axis scale  is set by U s  = 100 × 10 −28 J. What is  the magnitude of p ?  →

)J 8 2 – 01( U

→

Determine the magnitude of  the electric field at  x = 4.0  m on  the x axis. 

Us

→

θ

0

How much work is required  –U to turn  an  electric  dipole 180°  in  a  uniform electric field of magni-  Figure  22.41  Problem 58.  tude  E = 46.0 N/C  if  the  dipole  moment has a magnitude of p = 3.02 × 10 −25  C ·  m and the initial  angle is 64°?  59  M 

s

)m • N 8 2 – 01( τ

A  certain  electric  dipole  is  τ placed in a uniform electric field E  of  magnitude 40 N/C. Figure 22.42 gives  the magnitude τ of the torque on the  dipole  versus  the  angle  θ between  θ 0 field E and the dipole moment p . The  vertical axis scale is set by τs  = 100 ×  Figure  22.42  Problem 60.  10 −28  N ⋅ m. What is the magnitude of  p ?  60 

M 

→

→

s

→

→

Find an expression for the oscillation frequency of an elec-  tric dipole of dipole moment p and rotational inertia I for small  amplitudes of oscillation about its equilibrium position in a uni-  form electric field of magnitude E.  61  M 

In  Fig.  22.44,  eight  particles  form a square in which distance d =  2.0 cm.  The  charges  are  q 1  = +3e,  q 2  = +e,  q 3  = −5e,  q 4  = −2e,  q 5  =  +3e, q 6  = +e, q 7  = −5e, and q 8  = +e.  In unit-vector notation, what is  the  net  electric  field  at  the  square’s  center?  68 

q1

q2

q3

d

d

d

d

y

q8

x

q4

d

d

d d Two  particles,  each  with  a  q6 q5 charge  of magnitude 12 nC,  are  at  q 7 two  of  the  vertices  of  an  equilat-  Figure  22.44  eral triangle with edge length 2.0 m.  Problem 68.  What is  the magnitude of the elec-  tric field at the third vertex if (a) both charges are positive and  (b) one charge is positive and the other is negative? 

69 

The  following table gives  the  charge  seen  by  Millikan at  different times  on  a  single  drop  in  his  experiment. From  the  data, calculate the elementary charge e.  70 

→

Additional Problems 

(a)  What is the magnitude of an electron’s acceleration in  a uniform electric field of magnitude 1.40 × 10 6  N/C? (b)  How  long would the electron take, starting from rest, to attain one-  tenth the speed of light? (c) How far would it travel in that time?  62 

A spherical water drop 1.20 μm in diameter is suspended in  calm air due to a downward-directed atmospheric electric field  of  magnitude E = 462 N/C.  (a)  What is  the  magnitude of  the  gravitational force on the drop? (b) How many excess electrons  does it have?  63 

Three particles, each with positive charge Q, form an equi-  lateral triangle, with each side of length d. What is the magnitude  of the electric field produced by the particles at the midpoint of  any side? 

6.563 × 10 −19  C  8.204 × 10 −19  C  11.50 × 10 −19  C 

In  Fig.  22.43a,  a  R particle  of  charge  +Q  +Q θ/2 +Q P produces  an  electric  field of magnitude E part  θ/2 P R at  point  P,  at  distance  R  from  the particle.  In  (a) (b ) Fig.  22.43b,  that  same  amount  of  charge  is  Figure  22.43  Problem 65.  spread  uniformly along  a  circular  arc  that  has  radius R and subtends an angle θ. The charge on the arc produces  an electric field of magnitude Earc    at its center of curvature P. For  what value of θ does E arc  = 0.500E part ? (Hint: You will probably  resort to a graphical solution.)  A proton and an electron form two corners of an equilateral  triangle of side length 2.0 × 10 −6  m. What is the magnitude of the  net electric field these two particles produce at the third corner?  66 

CALC  A charge (uniform linear density = 9.0 nC/m) lies on  a string that is stretched along an x axis from x = 0 to x = 3.0 m. 

67 

19.71 × 10 −19  C  22.89 × 10 −19  C  26.13 × 10 −19  C 

A charge of 20 nC is uniformly distributed along a straight  rod of length 4.0 m that is bent into a circular arc with a radius  of 2.0 m. What is the magnitude of the electric field at the center  of curvature of the arc?  71 

An electron is constrained to the central axis of the ring of  charge of radius R in Fig. 22.4.1, with z ⪡ R. Show that the elec-  trostatic force on the electron can cause it to oscillate through  the ring center with an angular frequency  72 

_________ 

64 

65 

13.13 × 10 −19  C  16.48 × 10 −19  C  18.08 × 10 −19  C 

eq  ω = √ _________  ,  4πε0 mR 3 

where q is the ring’s charge and m is the electron’s mass.  SSM  The  electric  field  in  an  xy  plane  produced  by  a  positively  charged  particle  is  7.2(4.0i ̂ + 3.0 ˆ  j)  N / C  at  the  point  ̂ (3.0, 3.0) cm and 100i  N  / C at the point (2.0, 0) cm. What are the  (a) x and (b) y coordinates of the particle? (c) What is the charge  of the particle? 

73 

(a) What total (excess) charge q must the disk in Fig. 22.5.1  have for the electric field on the surface of the disk at its center  to have magnitude 3.0 × 10 6  N/C, the E value at which air breaks  down  electrically,  producing  sparks?  Take  the  disk  radius  as  2.5 cm. (b)  Suppose  each surface  atom has  an  effective cross-  sectional area  of  0.015 nm 2 .  How  many atoms  are  needed  to  make up the disk  surface?  (c)  The  y charge calculated in (a) results from  3 some  of  the  surface  atoms  having  x a a one excess  electron. What fraction  of these atoms must be so charged?  74 

In  Fig.  22.45,  particle  1  (of  charge  +1.00 μ C),  particle  2  (of  charge +1.00 μC), and particle 3 (of  75 

1

2 a

Figure  22.45 

Problem 75. 

/

P ROBL EMS 

charge Q) form an equilateral triangle of edge length a. For what  value of Q (both sign and magnitude) does the net electric field  produced by the particles at the center of the triangle vanish?  In Fig. 22.46, an electric dipole swings  from an initial orientation i ( θi  = 20.0°) to  a  final orientation f  (θf  = 20.0°)  in  a  uni-  form external electric field E . The electric  dipole  moment  is  1.60 × 10 −27  C ·  m;  the  field  magnitude  is  3.00 × 10 6  N/C.  What  is  the  change  in  the  dipole’s  potential  energy?  76 

→

E

pf

θ θ

f

695

the space  between the plates with a  horizontal  speed of  3.9 ×  10 7  m/s, what is the vertical displacement of Δy at the end of the  plates?  Electron  shot  at  screen.  In  Fig.  y 22.48, an electron is shot at an initial  v0 speed of v 0  = 7.00 × 10 6  m/s, at angle  θ0 x θ0  = 30.0° from an x axis. It moves in  a  region  with  uniform electric  field  E = (8.50 N/C) ˆ  j. A screen for detect-  Figure  22.48  Problem 82.  ing  electrons  is  positioned  parallel  to  the y  axis,  at  distance x  = 2.50  m. (a)  In  unit-vector nota-  tion, what is the velocity of the electron when it hits the screen?  (b) When the electron reaches  the screen, is it still traveling in  the +y direction and what is its kinetic energy?  82 

→ i

pi

A particle of charge −q 1  is at the ori-  gin  of an  x axis.  (a)  At  what location on  Figure  22.46  the axis  should a  particle of  charge  −4q 1  Problem 76.  be  placed  so  that  the  net  electric  field  is  zero  at x = 2.0  mm on the axis? (b)  If, instead, a particle of  charge +4q 1 is placed at that location, what is the direction (rela-  tive to the positive direction of the x axis) of the net electric field  at x = 2.0 mm?  77 

Two particles, each of positive charge q, are fixed in place  on a y  axis, one at y = d and the other at y = −d. (a)  Write an  expression that gives the magnitude E of the net electric field at  points on the x axis  given by x = αd. (b)  Graph E  versus  α for  the range 0  q 2,   or  q 1   q 2 ʹ ,  or q 1 ʹ   V 2 , or V 1   C 2 ,  to a battery, first individually, then in series, and then in paral-  lel. Rank those arrangements according to the amount of charge  stored, greatest first.  11 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available  in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 25.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying Circus of Physics

Capacitance 

The  two  metal objects  in  Fig.  25.7  have  net  charges  of  +70 pC and –70 pC, which result in a 20 V potential difference  between them. (a)  What is  the capacitance  of the system? (b)  If the charges are  changed to +200 pC and –200 pC, what does  the capacitance become? (c) What does the potential difference  become?  1 

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

E 

Figure  25.7 

Problem 1. 

E  The  capacitor  in  Fig.  25.8  has  a  capacitance  of  25  μF  and  is  initially  uncharged.  The  battery  provides  a  potential 

2 

/

P ROBL EMS 

difference of 120 V. After switch  S is closed, how much charge will  pass through it?  Module 25.2 

Calculating the 

E  In Fig. 25.12, find the equivalent capacitance of the combi-  nation. Assume that C 1  = 10.0 μF, C 2 = 5.00 μF, and C 3 = 4.00 μF. 

S

11 

+ –

C C2

Capacitance 

A parallel-plate capaci-  Figure  25.8  Problem 2.  tor  has  circular  plates  of  8.20 cm  radius  and  1.30 mm separation.  (a)  Calculate the capacitance.  (b) Find the charge for a potential difference of 120 V.  3 

E 

783

SSM 

The plates of a spherical capacitor have radii 38.0 mm and  40.0 mm. (a)  Calculate the capacitance. (b)  What must be the  plate area of a parallel-plate capacitor with the same plate sepa-  ration and capacitance? 

C1

V

C3

4  E 

What is  the  capacitance of  a  drop  that results  when two  mercury spheres, each of radius R = 2.00 mm, merge?  5 

E 

You have two flat metal plates, each of area 1.00 m 2 , with  which to construct a parallel-plate capacitor. (a) If the capac-  itance of the device is to be 1.00 F, what must be the separa-  tion between the plates? (b) Could this capacitor actually be  constructed?  6  E 

E  If  an  uncharged  parallel-plate  d (pm) capacitor (capacitance C) is connected  to a battery, one plate becomes nega-  d tively  charged  as  electrons  move  to  the  plate  face (area  A).  In  Fig. 25.9,  the depth d from  which the electrons  come in the plate in a particular capac-  itor is plotted against a range of values  0 V for  the  potential difference  V  of  the  V (V) battery.  The  density  of  conduction  Figure  25.9  Problem 7.  electrons in the copper plates is 8.49 ×  10 28 electrons/m 3 . The vertical scale is set by d s = 1.00 pm, and the  horizontal scale is set by V s  = 20.0 V. What is the ratio C/A? 

7 

s

s

Module 25.3 

Capacitors in Parallel and in Series 

How many 1.00 μF capacitors must be connected in parallel  to store a charge of 1.00 C with a potential of 110 V across  the  capacitors?  8  E 

Each of the uncharged capaci-  tors in Fig. 25.10 has a capacitance  of 25.0 μF. A potential difference  of V = 4200 V is established when  the  switch  is  closed.  How  many  coulombs  of  charge  then  pass  through meter A?  9 E 

A C

C

Figure  25.12 

Two parallel-plate capacitors, 6.0 μF each, are connected  in  parallel  to  a  10 V  battery.  One  of  the  capacitors  is  then  squeezed so that its plate separation is 50.0% of its initial value.  Because  of  the  squeezing, (a)  how  much  additional charge  is  transferred to the capacitors  by the battery and (b) what is the  increase in the total charge stored on the capacitors?  12  M 

SSM  A 100 pF capacitor is charged to a potential differ-  ence  of  50 V,  and  the  charging  battery  is  disconnected. The  capacitor is  then connected in parallel with a  second  (initially  uncharged) capacitor. If the potential difference across  the first  capacitor drops to 35 V, what is  the capacitance of this second  capacitor? 

13  M 

M  GO  In  Fig.  25.13, the bat-  tery  has  a  potential difference  of  V = 10.0 V  and  the  five  capaci-  tors  each  have  a  capacitance  of  10.0 μ F. What is the charge on (a)  capacitor 1 and (b) capacitor 2? 

14 

C2 C1

+ –

V

M  GO  In  Fig. 25.14, a 20.0 V  battery  is  connected  across  Figure  25.13  Problem 14.  capacitors  of  capacitances  C 1  =  C 6  =  3.00 μ F  and  C 3  = C 5  = 2.00C 2  = 2.00C 4  = 4.00 μF.  What  are (a) the equivalent capacitance C eq  of the capacitors and (b)  the charge stored by C eq ? What are (c)  V 1  and (d) q 1  of capaci-  tor 1, (e)  V 2  and (f) q 2  of capacitor 2, and (g)  V 3  and (h)  q 3  of  capacitor 3? 

15 

C

V

C5

C2

C4 V

Figure  25.10  Problem 9.  In  Fig.  25.11,  find  the  equivalent  capacitance  of  the  combination. Assume that C 1  is  10.0 μF, C 2  is  5.00 μ F, and  C 3  is 4.00 μ F. 

10 

Problems 11, 17, and 38. 

+ –

C3

E 

C6 C1

Figure  25.14 

C3 C2

Figure  25.11 

Plot 1 in Fig. 25.15a gives the charge q that can be stored  on capacitor 1 versus  the electric potential V  set up across  it.  The  vertical  scale  is  set by  q s  =  16.0  μC,  and  the horizontal  scale  is set by V s  =  2.0 V. Plots 2  and 3  are  similar plots for  capacitors 2 and 3, respectively. Figure 25.15b shows a  circuit  with those three capacitors  and  a  6.0 V  battery. What  is  the  charge stored on capacitor 2 in that circuit?  16  M 

C1 V

Problem 15. 

Problems 10 and 34. 

/

784

C HAP T ER 25  C AP AC IT ANC E 

qs

1

)C μ ( q

2

C1 V

3

0

C2

C3

Vs V

(V)

(a )

(b )

Figure  25.15 

rotation. Consider a capacitor  of n = 8 plates  of alternating  polarity,  each  plate  having  area  A = 1.25 cm 2  and  sepa-  rated from adjacent plates by  distance d = 3.40 mm. What is  the maximum capacitance  of  the device? 

M  GO  In Fig. 25.12, a  potential difference of V = 100.0 V is  applied across  a  capacitor arrangement  with  capacitances  C 1  =  10.0 μF, C 2  = 5.00 μF, and C 3  = 4.00 μF. If capacitor 3 undergoes  electrical breakdown so that it becomes equivalent to conduct-  ing wire, what is the increase in (a) the charge on capacitor 1 and  (b) the potential difference across capacitor 1? 

17 

Figure 25.16 shows a circuit section of four air-filled capacitors  that is connected to a  larger  circuit. The  graph below the section  shows the electric potential V(x) as a function of position x along the  lower part of the section, through capacitor 4. Similarly, the graph  above the section shows the electric potential V(x) as a function of  position x along the upper part of the section, through capacitors  1, 2, and 3. Capacitor 3 has a capacitance of 0.80 μ F. What are  the capacitances of (a) capacitor 1 and (b) capacitor 2?  18  M 

d A

Figure  25.18  Problem 20.  In Fig. 25.19, the  capacitances  are  C 1  = 1.0 μF  and  a C 2  = 3.0 μF;  both  capacitors  are  S1 charged  to  a  potential  difference  ++ ++ –– –– C2 of  V  =  100 V  but  with  opposite  – – – – C 1 ++ ++ S2 polarity as shown. Switches S 1  and  b S 2  are now closed. (a) What is now  Figure  25.19  Problem 21.  the  potential  difference  between  points  a  and  b?  What  now is  the  charge on capacitor (b) 1 and (c) 2? 

21 

Problem 16. 

A

M  SSM 

M  In  Fig.  25.20,  V = 10 V,  C 1  = 10 μF,  and  C 2  = C 3  = 20 μF.  Switch S is first thrown to the left side  until capacitor 1 reaches equilibrium.  Then the switch is thrown to the right.  When  equilibrium is  again  reached,  how much charge is on capacitor 1? 

22 

S V

C1

Figure 25.20 

C2

C3

Problem 22. 

M  The  capacitors  in  Fig. 25.21  are initially uncharged. The capaci-  S a C2 tances are  C 1  = 4.0 μF, C 2  = 8.0 μF,  V C1 c C3 and  C 3   = 12 μ F,  and  the  battery’s  b potential  difference  is  V = 12 V.  d When switch S is closed, how many  Figure  25.21  Problem 23.  electrons travel through (a) point a,  (b) point b, (c) point c, and (d) point d? In the figure, do the elec-  trons travel up or down through (e) point b and (f ) point c? 

23 

V

2V

5V

x

1

2

3

GO  Figure 25.22 represents two  P air-filled  cylindrical  capacitors  con-  C1 nected in series  across  a battery with  V potential V = 10 V. Capacitor 1 has an  C2 inner plate radius of 5.0 mm, an outer  plate radius of 1.5 cm, and a length of  Figure  25.22  Problem 24.  5.0 cm. Capacitor 2 has an inner plate  radius of 2.5 mm, an outer plate radius of 1.0  cm, and a length of  9.0 cm. The outer plate of capacitor 2 is a conducting organic mem-  brane  that can  be stretched, and the capacitor  can  be inflated to  increase the plate separation. If the outer plate radius is increased to  2.5 cm by inflation, (a) how many electrons move through point P  and (b) do they move toward or away from the battery?  24  M 

4

) V(

12

V x

Figure  25.16 

Problem 18. 

GO  In Fig. 25.17, the battery has potential difference V =  9.0 V, C 2  = 3.0 μF, C 4  = 4.0 μF, and all the capacitors are initially  uncharged. When switch S is closed, a total charge of 12 μ C passes  through point a and a total charge of 8.0 μ C passes through point b.  What are (a) C 1  and (b) C 3 ?  19  M 

S

C1

V

Figure  25.17 

C2

a C3

b C4

Problem 19. 

Figure 25.18 shows a variable “air gap” capacitor for man-  ual tuning. Alternate plates are connected together; one group  of plates is  fixed in position, and the other group is  capable of  20  M 

GO  In  Fig.  25.23,  two  parallel-  M  plate  capacitors  (with  air  between  the  C1 C2 plates)  are  connected  to  a  battery.  2  Capacitor  1  has  a  plate area  of 1.5 cm  and an electric field (between its plates)  Figure  25.23  of magnitude 2000 V/m. Capacitor 2 has  Problem 25.  a  plate area  of 0.70 cm 2  and an electric  field of  magnitude 1500 V/m. What is  the total charge  on the  two capacitors?  25 

H  GO  Capacitor 3 in Fig. 25.24a is  a variable capacitor (its  capacitance  C 3  can be  varied). Figure 25.24b  gives the electric  potential V 1  across capacitor 1 versus C 3 . The horizontal scale is 

26 

/

P ROBL EMS 

set by C 3s  = 12.0 μF. Electric potential V 1  approaches an asymp-  tote of 10  V as  C 3  → ∞. What are  (a)  the electric potential V  across the battery, (b) C 1 , and (c) C 2 ?  10

V C2

C3

M  Assume that a  stationary  electron is  a  point of  charge.  What is  the  energy density u  of  its  electric field at  radial  dis-  tances  (a)  r = 1.00 mm,  (b)  r = 1.00 μm,  (c)  r = 1.00 nm,  and  (d) r = 1.00 pm? (e) What is u in the limit as r → 0? 

6 4

0 C3

( μF)

C 3s

(b ) Figure  25.24 

Problem 26. 

GO  Figure 25.25 shows  C1 C3 a  12.0 V  battery  and  four  uncharged  capacitors  of  capacitances  C 1  =  1.00  μF,  S2 C 2   =  2.00 μF,  C 3  =  3.00 μF,  and  C 4  =  4.00 μF.  If  only  switch  S 1  is  closed,  what  is  C2 C4 the charge on (a) capacitor 1,  S1 (b)  capacitor 2, (c)  capacitor  + – 3, and (d) capacitor 4? If both  B switches  are  closed,  what  is  Figure  25.25  Problem 27.  the charge on (e) capacitor 1,  (f ) capacitor 2, (g) capacitor 3, and (h) capacitor 4?  27  H 

H  GO  Figure 25.26 displays a  12.0 V  battery  and  3  uncharged  S capacitors  of  capacitances  C 1   =  C2 4.00  μ F, C 2  =  6.00  μF, and  C 3  =  + V0 – 3.00  μ F. The switch  is  thrown  to  C1 C3 the  left  side  until  capacitor  1  is  fully charged. Then  the switch  is  thrown  to  the right.  What  is  the  Figure  25.26  Problem 28.  final charge on (a) capacitor 1, (b)  capacitor 2, and (c) capacitor 3? 

28 

Module 25.4 

Energy  Stored in an Electric Field 

What capacitance is required to store an energy of 10 kW ·  h  at a potential difference of 1000 V?  29  E 

How much energy  is  stored in  1.00 m 3  of air  due to the  “fair weather” electric field of magnitude 150 V/m?  30 

E 

A 2.0 μF capacitor and a 4.0 μF capacitor are con-  nected in parallel across a 300 V potential difference. Calculate  the total energy stored in the capacitors.  31 

E 

SSM 

A  parallel-plate air-filled  capacitor  having  area  40 cm 2  and plate spacing 1.0 mm is charged to a potential difference of  600 V. Find (a) the capacitance, (b) the magnitude of the charge  on each plate, (c) the stored energy, (d) the electric field between  the plates, and (e) the energy density between the plates.  32 

E 

M  A  charged isolated metal sphere of diameter 10 cm  has  a potential of 8000 V relative to V = 0 at infinity. Calculate the  energy density in the electric field near the surface of the sphere. 

33 

M  In Fig. 25.11, a potential difference V = 100 V is applied  across a capacitor arrangement with capacitances C 1  = 10.0 μ F, 

34 

M  FCP  As  a  safety  engineer,  Venting port you must evaluate the practice of  storing flammable conducting liq-  – – – – + – uids in nonconducting containers.  –– ++ – –– –– –– + – – + + + + + + + ++ – h The company supplying a  certain  – – – – – – – liquid has been using a squat, cylin-  r drical  plastic  container  of  radius  Figure  25.27  Problem 36.  r  = 0.20 m and filling it to height  h  =  10 cm, which  is  not the  con-  tainer’s  full  interior  height  (Fig.  25.27).  Your  investigation  reveals  that during handling at the company, the exterior sur-  face of the container commonly acquires a negative charge den-  sity of magnitude 2.0 μC/m 2  (approximately uniform). Because  the liquid is  a conducting material, the charge on the container  induces  charge  separation  within  the  liquid.  (a)  How  much  negative charge  is  induced in the  center  of  the liquid’s bulk?  (b) Assume the capacitance of the central portion of the liquid  relative to ground is 35 pF. What is the potential energy associ-  ated with the negative charge in that effective capacitor? (c) If a  spark occurs between the ground and the central portion of the  liquid (through the venting port), the potential energy  can be  fed into the spark. The minimum spark energy needed to ignite  the liquid is 10 mJ. In this situation, can a spark ignite the liquid? 

36 

2

(a )

C 2  = 5.00 μ F,  and  C 3  = 4.00 μ F.  What  are  (a)  charge  q 3 ,  (b)  potential difference V 3 , and (c) stored energy U 3  for capacitor 3,  (d) q 1 , (e) V 1 , and (f) U 1  for capacitor 1, and (g) q 2 , (h) V 2 , and  (i) U 2  for capacitor 2?  35 

8 ) V( 1V

C1

785

SSM  The parallel plates in a capacitor, with a plate area  of 8.50 cm 2  and an air-filled separation of 3.00 mm, are charged  by a 6.00 V battery. They are  then disconnected from the bat-  tery  and  pulled  apart  (without  discharge)  to  a  separation  of  8.00 mm. Neglecting fringing, find (a)  the potential difference  between the plates, (b)  the  initial stored  energy,  (c)  the final  stored energy, and (d) the work required to separate the plates. 

37  M 

M  In Fig. 25.12, a  potential difference V = 100 V is  applied  across  a capacitor arrangement with capacitances C 1  = 10.0 μF,  C 2  = 5.00 μ F,  and  C 3  = 15.0 μ F.  What  are  (a)  charge  q 3 ,  (b)  potential difference V 3 , and (c) stored energy U 3  for capacitor 3,  (d) q 1 , (e) V 1 , and (f) U 1  for capacitor 1, and (g) q 2 , (h) V 2 , and  (i) U 2  for capacitor 2? 

38 

GO  In  Fig.  25.28,  M  A B C 1  = 10.0  μF,  C 2  = 20.0 μF,  C1 C2 C3 and C3    = 25.0 μF. If no capac-  Figure  25.28  Problem 39.  itor  can withstand a  poten-  tial difference of more than  100 V without failure, what are (a) the magnitude of the maximum  potential difference that can  exist  between points A  and B  and  (b) the maximum energy that can be stored in the three-capacitor  arrangement?  39 

Module 25.5 

Capacitor with a Dielectric 

An  air-filled parallel-plate  capacitor  has  a  capacitance  of 1.3  pF. The separation  of the plates  is  doubled, and wax  is  inserted between them. The new capacitance is 2.6 pF. Find the  dielectric constant of the wax.  40 

E 

/

786

C HAP T ER 25  C AP AC IT ANC E 

E  SSM  A coaxial cable used in a  transmission line has  an  inner radius  of 0.10 mm and an  outer radius  of 0.60 mm. Cal-  culate the capacitance per meter for the cable. Assume that the  space between the conductors is filled with polystyrene. 

41 

E  A  parallel-plate air-filled capacitor has  a  capacitance  of  50 pF. (a) If each of its plates has an area of 0.35 m 2 , what is the  separation?  (b)  If  the region  between the plates is  now  filled  with material having κ = 5.6, what is the capacitance? 

42 

Given a 7.4 pF air-filled capacitor, you are asked to convert it  to a capacitor that can store up to 7.4 μJ with a maximum potential  difference of 652 V. Which dielectric in Table 25.5.1 should you  use to fill the gap in the capacitor if you do not allow for a margin  of error?  43  E 

M  You are  asked to construct  a capacitor  having a  capaci-  tance near 1 nF and a breakdown potential in excess of 10 000 V.  You think of using the sides of a  tall Pyrex drinking glass as  a  dielectric, lining the inside and outside curved surfaces with alu-  minum foil to act as  the plates. The glass  is  15  cm tall with an  inner radius of 3.6 cm and an outer radius of 3.8 cm. What are the  (a) capacitance and (b) breakdown potential of this capacitor? 

44 

A certain parallel-plate capacitor is filled with a dielectric  for  which  κ = 5.5. The  area  of  each plate  is  0.034 m 2 ,  and the  plates are separated by 2.0 mm. The capacitor will fail (short out  and  burn  up)  if  the  electric  field between  the  plates  exceeds  200 kN/C. What is the maximum energy that can be stored in the  capacitor?  45  M 

M  In  Fig.  25.29,  how  much  charge  is  stored  on  the  parallel-  plate capacitors by the 12.0 V  bat-  tery?  One  is  filled  with  air,  and  the other is  filled with a  dielectric  for which  κ = 3.00; both capacitors  have a  plate area  of 5.00 × 10 –3  m 2  and a plate separation of 2.00 mm. 

46 

C1

V

Figure  25.29 

C2

Problem 46. 

GO  Figure  25.32  shows  a  M  parallel-plate  capacitor  of  plate  A/2 A /2 area  A = 10.5 cm 2  and  plate  sepa-  κ2 d ration 2d = 7.12 mm. The  left half  κ1 2d of the gap is filled with material of  κ3 d dielectric constant κ1  = 21.0; the top  of the right half is filled with mate-  rial of dielectric constant κ2  = 42.0;  the bottom of the right half is filled  Figure  25.32  Problem 50.  with material of dielectric constant  κ3 = 58.0. What is the capacitance?  50 

Module 25.6 

A parallel-plate capacitor has plates of area  0.12 m 2  and a  separation of 1.2 cm. A battery charges  the plates to a potential  difference of 120 V and is then disconnected. A dielectric slab of  thickness 4.0 mm and dielectric constant 4.8 is then placed sym-  metrically between the plates. (a) What is the capacitance before  the slab is inserted? (b) What is the capacitance with the slab in  place? What is the free charge q (c) before and (d) after the slab  is inserted? What is the magnitude of the electric field (e) in the  space between the plates and dielectric  and (f ) in the dielectric  itself? (g) With the slab in place, what is the potential difference  across  the plates?  (h)  How  much external  work  is  involved in  inserting the slab?  53  M 

2  M  Two  parallel plates of area 100 cm  are  given charges  of  equal magnitudes 8.9 × 10 –7  C  but opposite signs. The  electric  field within the dielectric material filling the space between the  plates is  1.4 × 10 6  V/m. (a)  Calculate the dielectric  constant of  the material. (b) Determine the magnitude of the charge induced  on each dielectric surface. 

Figure  25.30  shows  a  parallel-plate  capacitor  with  a  plate area A = 5.56 cm 2 and sepa-  ration d = 5.56 mm. The left half  of the gap is  filled with material  of  dielectric  constant  κ1  =  7.00;  the right half is filled with mate-  rial  of  dielectric  constant  κ2  =  12.0. What is the capacitance? 

55 

48 

SSM 

M 

A

/2

κ1

/2

κ2

Figure  25.30 

Figure 25.31 shows a parallel-plate  capacitor with a  plate area  A = 7.89 cm 2  and  plate  separation  d = 4.62 mm.  The  top  half  of  the  gap  is  filled  with  mate-  rial  of  dielectric  constant  κ1  = 11.0;  the  bottom  half  is  filled  with  material  of  dielectric  constant  κ2  = 12.0. What is  the  capacitance?  49 

A

d

Problem 48. 

SSM 

For the arrangement of Fig. 25.6.2, suppose that the battery  remains connected while the dielectric slab is being introduced.  Calculate (a)  the capacitance, (b)  the charge  on  the capacitor  plates, (c)  the electric field in the gap, and (d) the electric field  in the slab, after the slab is in place. 

54 

M 

E 

52  E 

A certain substance has a dielectric constant of 2.8  and a dielectric strength of 18 MV/m. If it is used as the dielec-  tric  material in a  parallel-plate capacitor,  what minimum area  should the plates of the capacitor have to obtain a capacitance of  7.0 × 10 –2  μF  and  to  ensure  that  the  capacitor  will  be  able  to  withstand a potential difference of 4.0 kV?  47 

Dielectrics and Gauss’ Law 

A  parallel-plate  capacitor  has  a  capacitance  of  100 pF, a  plate area  of 100 cm 2 , and a  mica dielectric ( κ = 5.4)  completely filling the space between the plates. At 50 V poten-  tial difference, calculate (a) the electric field magnitude E in the  mica, (b)  the magnitude of  the free  charge on  the plates, and  (c) the magnitude of the induced surface charge on the mica.  51 

M  The  space  between  two  concentric  conducting  spherical  shells of radii b = 1.70 cm and a = 1.20 cm is filled with a substance  of dielectric constant κ = 23.5. A potential  difference  V = 73.0 V  is  applied  across  the  inner  and  outer  shells.  Determine  (a) the capacitance of the device, (b) the  C1 free  charge q  on the inner  shell, and (c)  – + the charge q′ induced along the surface of  V the inner shell. 

Additional Problems 

M 

In  Fig. 25.33, the battery potential  difference  V  is  10.0 V  and  each  of  the  seven capacitors has capacitance 10.0 μF.  What is the charge on (a) capacitor 1 and  (b) capacitor 2?  56 

κ2 κ1 Figure  25.31 

Problem 49. 

d

C2

Figure  25.33 

Problem 56. 

SSM  In Fig. 25.34, V = 9.0 V, C  1  = C 2  = 30 μF, and C 3  = C 4  =  15 μF. What is the charge on capacitor 4? 

57 

/

P ROBL EMS 

787

Energy outside conducting sphere. An isolated conducting  sphere has radius R = 6.85 cm and charge q = 1.25 nC. (a) How  much potential energy is stored in the electric field? (b) What is  the energy density at the surface of the sphere? (c)  What is the  radius R 0  of an imaginary spherical surface such that one-half of  the stored potential energy lies within it?  65 

C1

C4 C3

V C2

Figure  25.34 

Problem 57. 

Shocking walk across  a carpet. On a day with low humidity,  you can become charged by walking over certain carpets  (there  is charge transfer between the carpet and your shoes). If a spark  jumps between your hand and a metal doorknob when the sepa-  ration is about 5.0 mm, you were probably at a potential of 15 kV  relative to the doorknob. To determine your accumulated charge  q, make the rough approximation your body can be represented  by a uniformly charged conducting sphere with radius R = 25 cm  in radius and isolated from its surroundings. What is q?  66 

(a) If C = 50 μF in Fig. 25.35,  what is the equivalent capacitance  between points  A  and  B?  (Hint:  First imagine that a battery is con-  nected between those two points.)  (b) Repeat for points A and D.  58 

In Fig. 25.36, V = 12 V, C 1 =    C 4  = 2.0 μF, C 2  = 4.0 μ F, and C 3  =  1.0  μ F.  What  is  the  charge  on  capacitor 4? 

C A

2C

4C

B

D

6C

59 

Figure  25.35 

Problem 58. 

C1 C2 FCP  The  chocolate  crumb  mys-  tery.  This  story  begins  with  Prob-  lem 60 in Chapter 23. As part of the  V investigation  of  the  biscuit  factory  C3 C4 explosion,  the  electric  potentials  of  the  workers  were  measured  as  they  emptied  sacks  of  chocolate  crumb  Figure  25.36  Problem 59.  powder  into the loading bin, stirring  up a  cloud of the  powder around  themselves. Each worker  had  an electric potential of about 7.0 kV relative to the ground, which  was  taken as  zero potential. (a)  Assuming that each worker  was  effectively a capacitor with a typical capacitance of 200 pF, find the  energy stored in that effective capacitor. If a single spark between  the  worker  and  any  conducting object connected to the  ground  neutralized the worker,  that energy  would be transferred  to the  spark.  According  to  measurements,  a  spark  that  could ignite  a  cloud of chocolate crumb powder, and thus set off an explosion,  had to have an energy of at least 150 mJ. (b) Could a spark from  a worker  have set off an explosion in the cloud of powder in the  loading bin? (The story continues with Problem 60 in Chapter 26.) 

60 

Figure  25.37  shows  capacitor  1  (C 1  = 8.00 μF),  P S C1 capacitor  2  (C 2  = 6.00 μF),  C2 C4 V and  capacitor  3  (C 3  =  8.00  C3 μF)  connected  to  a  12.0 V  battery.  When  switch  S  Figure  25.37  Problem 61.  is  closed  so  as  to  connect  uncharged capacitor 4 (C 4  = 6.00 μF), (a) how much charge passes  through point P from the battery and (b) how much charge shows  up on capacitor 4? (c) Explain the discrepancy in those two results.  61 

Two air-filled, parallel-plate capacitors are to be connected  to  a  10 V  battery, first  individually, then in  series,  and then  in  parallel. In those arrangements, the energy stored in the capaci-  tors turns out to be, listed least to greatest: 75 μJ, 100 μJ, 300 μJ,  and 400 μJ. Of the two capacitors, what is the (a) smaller and (b)  greater capacitance? 

Force  and  electrostatic  stress.  Module 8.3  relates  force  to  potential energy:  | F  |  = dU/dx. (a)  Apply that relationship to a  parallel-plate capacitor with charge  q, plate area  A, and plate  separation x to find an expression for the magnitude of the force  between the plates. (b) Evaluate the magnitude of that force for  q = 6.00 µC and A = 2.50 cm 2 . (c) Electrostatic stress  is the force  per  unit area  | F / A|   on either plate. Find an expression  for the  stress  in terms  of  ε 0  and the magnitude E  of  the electric field  between the plates. (d) Evaluate the stress for a potential differ-  ence of 110 V and a plate separation of x = 2.00 mm.  67 

CALC  Thermal expansion  of a  capacitor.  A capacitor  is  to  be designed to operate, with constant capacitance, in  an envi-  ronment of  fluctuating temperature.  As  shown  in  Fig.  25.38,  the capacitor is  a parallel-plate type with thin plastic “spacers”  to keep the plates aligned. (a)  Show that the rate of change of  capacitance C with temperature T is given by 

68 

dC  = C  __  1  ___  dA  − __  1 ___  dx  ,  ___  (  )  dT 

A  dT 

x dT 

where  A  is  the plate  area  and x  the  plate separation, both of  which vary with a temperature change. (b) If the plates are alu-  minum, what should be the coefficient of thermal expansion of  the spacers in order that the capacitance not vary with tempera-  ture? (Neglect the effect of the spacers on the capacitance.)  x

A

Spacers

62 

Coaxial cable. The  inner and outer cylindrical  conductors  of a long coaxial cable have diameters a = 0.15 mm and b = 2.1  mm. What is the capacitance per unit length?  63 

Earth’s  capacitance.  What  is  the  capacitance  of  Earth,  viewed as an isolated conducting sphere of radius 6370 km?  64 

Figure  25.38 

Problem 68. 

Capacitors  and  diodes.  An  ideal  diode  allows  negative  charge (electrons) to move through it only in the direction oppo-  site the schematic arrow in a circuit diagram. Figure 25.39 shows  a  circuit  with two  such  ideal diodes and  two identical capaci-  tors C. A 100 V battery is connected across the input terminals a  and b (the potential difference between them is 100 V). What is  the output voltage V out  if the battery’s positive terminal is con-  nected to (a) a and then (b) b?  69 

/

788

C HAP T ER 25  C AP AC IT ANC E 

C

Input

D

C

Output

b

Figure  25.39 

Movable center section. Figure 25.41 shows two capacitors  in series, with a rigid center section that can be moved vertically,  either upward or downward. (a) The plate area A is the same for  the capacitors. In terms of A, a, b, and ε0 , what is the equivalent  capacitance C?  (b)  Evaluate C  for  A  =  2.0  cm 2 ,  a  =  7.0 mm,  and b = 4.0 mm. (c)  If  the center section is  moved downward  (without touching the bottom plate), does C increase, decrease,  or stay the same?  71 

D a

Problem 69. 

BIO  The  ability of a  capacitor to  store  potential energy  is  the basis  of defibrillator devices, which are used by emergency  teams to stop the fibrillation of heart attack victims (Fig. 25.40).  In the portable version, a battery charges a capacitor to a high  potential difference,  storing  a  large  amount of  energy  in  less  than a  minute. The  battery maintains only a  modest potential  difference; an  electronic  circuit  repeatedly  uses  that potential  difference  to  greatly  increase  the  potential difference  of  the  capacitor. The power, or rate of energy transfer, during this pro-  cess is also modest. Conducting leads (“paddles”) are placed on  the victim’s chest. When a control switch is  closed, the capaci-  tor sends  a portion of its stored energy from paddle to paddle  through the victim. (a)  If a  70  µF capacitor in a  defibrillator is  charged to  5.0 kV, what is  the stored  potential energy?  (b)  If  23% of that energy is  sent through the chest in 2.0 ms, what is  the power of the pulse? 

70 

a

Figure  25.41 

b

Problem 71. 

Spark danger in airborne dust. A person walking through  airborne dust in, say, a cosmetic plant can possibly become dan-  gerously charged by contact with the floor and various objects  that are  touched. Safety engineers  often calculate the  danger  threshold for the electric potential on a person by modeling the  person as a spherical capacitor of radius R = 1.8 m. What elec-  tric potential corresponds to the threshold value U t  = 150 mJ of  stored energy at which a spark could ignite the dust and set off  an explosion?  72 

 FR 321/vonomiliF vokaI Figure  25.40 

Problem 70. 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

6

Current and Resistance 

26.1  ELECTRIC CURRENT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

26.1.1  Apply the definition  of current  as the rate at 

26.1.3  Identify a junction  in a circuit  and apply the fact 

which  charge moves through a point, including  solv- 

that (due to conservation of charge) the total current 

ing for the amount of charge  that passes the point in 

into a junction  must equal  the total current  out of the 

a given time interval.  26.1.2  Identify that current is normally due to the motion 

junction.  26.1.4  Explain  how current arrows are drawn in  a 

of conduction electrons that are driven by electric 

schematic diagram of a circuit,  and identify that the 

fields (such as those set up  in a wire  by a battery). 

arrows are not vectors. 

Key  Ideas  ●

An electric  current 

i  in a conductor is defined  by  dq  i = ___ ,  dt 

dq  is the amount of positive charge that passes  in time  dt .  where 

●

By convention, the direction of electric  current is 

taken as the direction in which  positive charge carriers  would move even though (normally) only conduction  electrons can move. 

What Is Physics? 

In  the  last  five  chapters  we discussed  electrostatics—the physics  of  stationary  charges. In this and the next chapter, we discuss the physics of electric currents—  that is, charges in motion.  Examples of electric currents abound and involve many professions. Mete-  orologists are concerned with lightning and with the less dramatic slow flow of  charge through the atmosphere. Biologists, physiologists, and engineers work-  ing in  medical technology are concerned with  the nerve currents that control  muscles and especially with how those currents can be reestablished after spi-  nal cord  injuries.  Electrical engineers are concerned with  countless electrical  systems, such as power systems, lightning protection systems, information stor-  age systems, and music systems. Space engineers monitor and study the flow of  charged particles from our Sun because that flow can wipe out telecommunica-  tion  systems in  orbit  and  even power  transmission systems on  the ground.  In  addition  to such scholarly work, almost every aspect of daily life now depends  on information carried by electric currents, from stock trades to ATM transfers  and from video entertainment to social networking.  In this chapter we discuss the basic physics of electric currents and why they  can be established in some materials but not in others. We begin with the mean-  ing of electric current. 

789 /

790

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

Electric Current 

Although an electric current is a stream of moving charges, not all moving charges  constitute an electric current. If there is to be an electric current through a given  surface, there must be a net flow  of charge through  that surface. Two examples  clarify our meaning. 

(a )

i

i i

Battery i

+

–

i

(b )

(a) A loop of copper  in electrostatic equilibrium. The  entire loop is at a single potential,  and the electric field is zero at all  points inside the copper. (b) Adding  a battery imposes an electric poten-  tial difference between the ends of  the loop that are connected to the  terminals of the battery. The battery  thus produces an electric field within  the loop, from terminal to terminal,  and the field causes charges to move  around the loop. This movement of  charges is a current i.  Figure  26.1.1 

1.  The free electrons (conduction electrons) in an isolated length of copper wire are  in  random  motion at  speeds of  the  order of  10 6 m/s. If you  pass a hypothetical  plane through such a wire, conduction  electrons pass through it in both directions  at the rate of many billions per second—but there is no net transport of charge and  thus no current through the wire. However, if you connect the ends of the wire to  a battery, you slightly bias the flow in one direction, with the result that there now  is a net transport of charge and thus an electric current through the wire.  2.  The flow of water through a garden hose represents the directed flow of positive  charge (the protons in the water molecules) at a rate of perhaps several million  coulombs  per  second. There is no  net transport  of  charge, however, because  there is a parallel flow of negative charge (the electrons in the water molecules)  of exactly the same amount moving in exactly the same direction.  In this chapter we restrict ourselves largely to  the study—within  the frame-  work  of  classical  physics—of  steady  currents  of  conduction  electrons  moving  through metallic conductors such as copper wires.  As  Fig.  26.1.1a  reminds  us,  any  isolated  conducting  loop—regardless  of  whether it has an excess charge—is all at the same potential. No electric field can  exist within  it or along its surface. Although conduction  electrons are available,  no net electric force acts on them and thus there is no current.  If, as in  Fig. 26.1.1b, we insert a battery in  the loop,  the conducting  loop  is  no  longer at a single potential. Electric fields  act inside  the material making up  the loop,  exerting forces on the conduction electrons, causing them to move and  thus  establishing a current. After a very short  time, the electron flow  reaches a  constant value and the current is in its steady state (it does not vary with time).  Figure  26.1.2 shows  a  section  of  a  conductor,  part  of  a  conducting  loop  in which current has been established. If charge dq passes through  a hypothetical  plane (such as aaʹ) in time dt, then the current i through that plane is defined as  dq  i = ___  dt 

(definition of current). 

(26.1.1) 

We  can  find  the  charge  that  passes  through  the  plane  in  a  time  interval  extending from 0 to t by integration:  t 

q =  dq =  i dt,  0 

The current is the same in any cross section. a

b c

i

i

c' a'

b'

The current i through  the conductor has the same value at  planes aaʹ, bbʹ, and ccʹ.  Figure  26.1.2 

(26.1.2) 

in which the current i may vary with time.  Under  steady-state conditions,  the  current is  the  same for  planes  aaʹ,  bbʹ,  and ccʹ and indeed  for all planes that pass completely through the conductor, no  matter what their location or orientation. This follows from the fact that charge  is conserved. Under the steady-state conditions  assumed here, an electron must  pass  through  plane  aaʹ  for  every electron that  passes through  plane  ccʹ.  In  the  same way, if we have a steady flow  of  water through  a garden hose, a drop  of  water must leave the nozzle for every drop that enters the hose at the other end.  The amount of water in the hose is a conserved quantity.  The SI unit for current is the coulomb per second, or the ampere (A), which  is an SI base unit:  1 ampere = 1 A = 1 coulomb per second = 1 C/s.  The formal definition  of the ampere is discussed in Chapter 29. 

/

791

26.1  EL EC T RIC   C U RRENT  

Current, as defined by Eq. 26.1.1, is a scalar because both  charge a nd time  in that equation are scalars. Yet, as in Fig. 26.1.1b, we often represent a current  with  an arrow to indicate that charge is moving. Such arrows are not  vectors,  however, and they do not require vector addition. Figure 26.1.3a shows a con-  ductor with current i 0  splitting at a junction into two branches. Because charge  is conserved, the magnitudes of the currents in the branches must add to yield  the magnitude of the current in the original conductor, so that  i 0  = i 1  + i 2  . 

The current into the junction must equal the current out (charge is conserved).

i1

i0 a

(26.1.3) 

i2

As  Fig. 26.1.3b  suggests, bending  or  reorienting the  wires in  space does  not  change  the  validity of  Eq.  26.1.3. Current  arrows  show  only  a  direction  (or  sense) of flow along a conductor, not a direction in space. 

(a )

i1

The  Directions  of Currents 

In Fig. 26.1.1b we drew the current arrows in the direction  in which positively  charged particles would be forced to move through the loop by the electric field.  Such  positive charge carriers, as they are often called, would  move away from  the  positive  battery terminal  and  toward the  negative terminal. Actually, the  charge carriers in the copper loop of Fig. 26.1.1b are electrons and thus are nega-  tively charged. The electric field forces them to move in the direction  opposite  the current arrows, from the negative terminal to the positive terminal. For his-  torical reasons, however, we use the following convention: 

i0 a i2

(b )

The relation i 0  = i 1  + i 2  is true at junction a no matter what  the orientation in space of the three  wires. Currents are scalars, not  vectors.  Figure  26.1.3 

A current arrow is drawn in the direction in which positive charge carriers  would move, even if the actual charge carriers  are negative and move in the  opposite direction. 

We can use this convention because in most situations, the assumed motion of  positive charge carriers in one direction has the same effect as the actual motion  of negative charge carriers in the opposite direction. (When the effect is not  the  same, we shall drop the convention and describe the actual motion.) 

Checkpoint 26.1.1 

The figure here shows a portion of a circuit.  What are the magnitude and direction of the  current i in the lower right-hand wire? 

1A 2A

2A

3A

2A 4A i

Sample Problem 26.1.1

Current is the rate  at which charge passes  a point 

Water flows through a garden hose at a volume flow rate  dV/dt of 450 cm 3 /s. What is the current of negative c harge? 

KEY IDEAS The current i of negative charge is due to the electrons in  the water m olecules moving through the hose. The current  is  the rate at which  that  negative charge passes  through  any plane that cuts completely across the hose. 

We can  write  the  current  in  terms of  the  number of  molecules  that pass through  such  a  plane per  second as  Calculations:

i =  or 

charge  per      electron 

(

electrons  per      molecule 

)(

molecules  per      second 

)(

)

dN .  i = (e)(10) ___  dt 

/

792

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

We substitute 10 electrons per molecule because a water  (H 2O) molecule contains 8 electrons in the single oxygen    atom and 1 electron in each of the two hydrogen atoms.  We can express the rate dN/dt  in  terms of  the given  volume flow rate dV/dt by first writing  molecules  molecules  moles  =    per unit  per  per    second      mole      mass   

(

) (

)(

)

volume  mass  ×   per unit    per   .          volume  second 

(

)(

)

“Molecules per mole” is Avogadro’s number N A . “Moles  per unit mass” is the inverse of the mass per mole, which is  the molar mass M of water. “Mass per unit volume” is the  (mass) density  mass of water. The volume per second is the  volume flow rate dV/dt. Thus, we have  dN  = N  ___  dt 

dV  ___ 

1  ___ 

( M )ρ  mass ( dt  ) = 

A 

N Aρ  mass  ___  dV .  ________  M 

dt 

Substituting this into the equation for i, we find  −1  ___ .  i = 10 e N AM  ρmass  dV    dt 

We know  that Avogadro’s number N A  is 6.02 × 10 23 mol-  ecules/mol, or 6.02 × 10 23 mol –1 , and from Table 14.1.1 we  know that the density of water  mass  under normal condi-  tions  is 1000 kg/m 3 . We can get the molar mass of water  from  the  molar  masses listed  in  Appendix  F  (in  grams  per mole): We add  the molar mass of oxygen (16 g/mol)  to  twice  the  molar  mass of  hydrogen  (1  g/mol), obtain-  ing  18 g/mol = 0.018 kg/mol. So,  the  current of  negative  charge due to the electrons in the water is  i = (10)(1.6 × 10 −19  C)(6.02 × 10 23 mol −1 )  × (0.018 kg/mol) −1 (1000 kg/m 3 )(450 × 10 −6  m 3 /s)  = 2.41 × 10 7 C /s = 2.41 × 10 7 A  = 24.1 MA. 

(Answer) 

This current of negative charge is exactly c ompensated by  a current of positive charge associated with  the nuclei of  the three atoms that make up  the water molecule. Thus,  there is no net flow of charge through the hose. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

26.2  CURRENT DENSITY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

26.2.1  Identify a current  density and a current  density 

J

sity magnitude  , and the area 

26.2.2  For current  through an area element on a cross  section through a conductor (such as a wire),  identify 

i A. 

relationship  between the current  , the current  den- 

vector. 

26.2.5  Identify streamlines.  26.2.6  Explain  the motion of conduction electrons in 

→

dA . 

the element’s area vector 

26.2.3  Find the current through  a cross section of a 

terms of their drift speed.  26.2.7  Distinguish the drift speeds of conduction elec- 

conductor by integrating the dot product of the cur- 

trons from their random-motion speeds, including 

→

rent density vector  →

J  and the element  area vector 

dA over the full cross section. 

26.2.4  For the case where  current  is uniformly  spread 

relative  magnitudes. 

n

26.2.8  Identify charge carrier  density  . 

J

26.2.9  Apply the relationship  between current density  , 

over a cross section in  a conductor, apply the 

n

charge carrier density  , and charge carrier drift 

v d . 

speed 

Key  Ideas  ●

Current  →

sity 

i (a scalar quantity) is related to current  den- 

J  (a vector quantity) by 

moving charges  if they are  positive and  the opposite  direction if  they are negative.  →

● →

→

i =  J  ⋅ dA ,  dA is a vector perpendicular  to a surface ele-  ment of area  dA  and the  integral is taken over any  →

J  has  the same direction as the velocity of the 

→

v d  in  the direction  of E .  The drift velocity v d is related to the  current density by 

drift speed  ●

→

→

J  = ( ne) v d , 

surface  cutting across the conductor. The current  density 

E is established in a conduc- 

tor, the charge carriers (assumed positive) acquire  a 

→

where 

When  an electric  field 

where 

→

ne is the carrier  charge density. 

/

26.2  C U RRENT  D ENSIT Y  

793

Current Density 

Sometimes we are interested in the current i in a particular conductor. At other  times we take a localized view and study the flow of charge through a cross sec-  tion  of the conductor  at a particular point.  To describe this flow, we can use the  current density  J , which  has  the  same direction  as  the  velocity of  the  moving  charges if  they are positive and the opposite  direction  if they are negative. For  each element of the cross section, the magnitude J is equal to the current per unit  area through that element. We can write the amount of current through the ele-  ment as  J  ⋅ dA , where dA is the area vector of the element, perpendicular to the  element. The total current through the surface is then 

i

→

→

→

→

Streamlines represent-  ing current density in the flow  of charge through a constricted  conductor.  Figure  26.2.1 

→

→

i =  J  ⋅ dA . 

(26.2.1)  →

→

If the current is uniform across the surface and parallel to dA , then  J  is also uni-  form and parallel to dA . Then Eq. 26.2.1 becomes  →

i = J dA = J dA = JA,  i  ,  J =  __  A 

so 

(26.2.2) 

where A is the total area of the surface. From Eq. 26.2.1 or 26.2.2 we see that the  SI unit for current density is the ampere per square meter (A/m 2 ).  In  Chapter 22 we saw  that  we can  represent an  electric field  with  electric  field  lines.  Figure  26.2.1 shows  how  current density can be  represented with  a  similar set of lines, which we can call streamlines. The current, which is toward the  right in Fig. 26.2.1, m akes a transition from the wider conductor at the left to the  narrower conductor at the right. Because charge is conserved during the transition,  the amount of charge and  thus the amount of current cannot  change. However,  the  current density  does  change—it is  greater in  the  narrower conductor.  The  spacing of the  streamlines suggests this  increase in  current density; streamlines  that are closer together imply greater current density.  Drift  Speed 

When  a conductor  does  not  have a current through  it, its  conduction  electrons  move randomly, with  no net motion  in any direction. When  the conductor does  have  a  current  through  it,  these  electrons  actually  still  move  randomly,  but  now  they tend  to drift  with a drift speed v d  in  the direction opposite that of  the  applied  electric field  that  causes the  current. The  drift  speed  is  tiny  compared  with the speeds in the random motion. For example, in the copper conductors of  household  wiring, electron drift speeds are perhaps 10 –5 or 10 –4 m/s, whereas the  random-motion speeds are around 10 6 m/s.  We can use Fig. 26.2.2 to relate the drift speed v d of the conduction  electrons  in a current through a wire to the magnitude J of the current density in the wire.  Positive charge  carriers  drift at speed v d in the  direction of the applied elec-  tric field E . By convention,  the direction of the current  density  J  and the sense of the  current arrow are drawn in  that same direction.  Figure  26.2.2 

Current is said to be due to positive charges that are propelled by the electric field.

→

→

i L

+

+

+

+

+

vd E

J

/

794

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

For convenience, Fig. 26.2.2 shows the equivalent drift of positive charge carriers  in  the direction  of the  applied electric field  E . Let us  assume that  these charge  carriers a ll move with the same drift speed v d and that the current density J is uni-  form across the wire’s cross-sectional area A.  The number of charge carriers in  a length L of the wire is nAL, where n is the number of carriers per unit  volume.  The total charge of the carriers in the length L, each with charge e, is then  →

q = (nAL)e.  Because the  carriers all  move  along  the  wire  with  speed  v d ,  this  total  charge  moves through any cross section of the wire in the time interval  L  t = ___  v  .  d 

Equation  26.1.1 tells us  that  the current i is  the time rate of  transfer of  charge  across a cross section, so here we have  q  nALe  i =  __ =  ______  = nAev d.    t  L/ v  d 

(26.2.3) 

Solving for v d  and recalling Eq. 26.2.2 ( J = i/A), we obtain  i  = ___  J  v d =  ____  nAe  ne  or, extended to vector form,  →

J  = (ne) v d . 

(26.2.4) 

→

Here the product ne, whose SI unit is the coulomb per cubic meter (C/m 3 ), is the  carrier charge density. For positive carriers, ne is positive and Eq. 26.2.4 predicts  that  J  and  v d have the same direction. For negative carriers, ne is negative a nd  J  and  v d  have opposite directions.  →

→

→

→

Checkpoint 26.2.1 

The figure shows conduction electrons moving  leftward in a wire. Are the following leftward or  rightward: (a) the current i, (b) the current density  J , (c) the electric field E in the wire? 

→

Sample Problem 26.2.1

→

Current density, uniform and  nonuniform 

(a)  The  current  density  in  a  cylindrical  wire  of  radius  R = 2.0 mm  is  uniform  across  a  cross  section  of  the  wire  and  is  J = 2.0 × 10 5 A/m 2 . What is  the current through  the  outer portion  of the wire between radial distances R/2 and R  (Fig. 26.2.3a)? 

the entire area), where 

KEY IDEA

So, we rewrite Eq. 26.2.2 a s 

Because the current density is uniform  across the cross  section, the current density J, the current i, and the cross-  sectional area A are related by Eq. 26.2.2 (J = i/A).  We  want  only  the  current  through  a  reduced cross-sectional area Aʹ of  the  wire (rather than  Calculations:

R  2 = π ____  3 R 2  A ′ =  πR 2 − π( __  (  4  )  2 )  

π(0.0020 m) 2 = 9.424 × 10 −6 m 2 .  =  3___  4  i = JAʹ  and then substitute the data to find  i = (2.0 × 10 5 A/m 2 )(9.424 × 10 −6  m 2 )  = 1.9 A. 

(Answer) 

/

26.2  C U RRENT  D ENSIT Y  

(b)  Suppose,  instead, that  the current density through  a  cross  section  varies with  radial  distance  r  as  J = ar 2 ,  in  which  a = 3.0 × 10 11  A/m 4  and  r is  in  meters. What now  is the current through the same outer portion of the wire? 

KEY IDEA Because  the  current  density  is  not  uniform  across  a  cross  section  of  the  wire,  we  must  resort  to  Eq.  26.2.1  (i  =  ∫ J  ⋅ dA ) and  integrate the current density over the  portion of the wire from r = R/2 to r = R.  →

→

We  need  to  replace  the  differential  area  dA  with  something  we  can  actually integrate between the  limits  r = R/2  and  r = R.  The  simplest  replacement  (because  J  is given as a function  of r)  is the  area 2 πr  dr of  a thin  ring of circumference 2πr and width dr (Fig. 26.2.3b). We  can  then  integrate with  r  as the  variable of  integration.  Equation 26.2.1 then gives us  →

→

i =   J ⋅ dA =  J dA  R 

R 

=   ar 2  2πr dr = 2 πa  r 3  dr  R/2 

→

The  current  density  vector  J  (along  the  wire’s  length)  and  the  differential  area vector  dA  (per-  pendicular  to a cross section of  the wire) have the same  direction. Thus,  Calculations:

→

→

→

J  ⋅ dA = J dA  cos  0 = J dA. 

795

R/2 

4  R 

r  πa  R 4 −  ___  R 4  = ___  15 πaR 4  ___  = 2πa [ __  =  4 ] R/2  2  [  16 ]  32  15 π(3.0 × 10 11  A/ m 4  4  =  ___    )(0.0020 m)  = 7.1 A.  32  (Answer) 

A  We want the current in the area between these two radii.

R

/2

If the current is nonuniform, we start with a ring that is so thin that we can approximate the current density as being uniform within it.

Its area is the product of the circumference and the width.

R dr

(a )

(b )

(c )

Our job is to sum the current in all rings from this smallest one ... (a) Cross section of a wire  of radius R. If the current density is  uniform, the current is just the product of  the current density and the area. (b)–(e)  If the current is nonuniform, we must  first find the current through a thin ring  and then sum (via integration) the cur-  rents in all such rings in the given area. 

The current within the ring is the product of the current density and the ring’s area. ... to this largest one.

Figure  26.2.3 

R

(d )

R

/2

(e )

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

796

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

Sample Problem 26.2.2

In a  current, the conduction electrons  move very slowly 

What  is  the  drift  speed  of  the  conduction  electrons  in  a copper wire with radius r = 900 μm when it has a uniform  current i = 17 mA? Assume that each copper atom contrib-  utes one  conduction  electron to  the  current and  that the  current density is uniform across the wire’s cross section. 

KEY IDEAS

Taking  copper’s  molar  mass  M  and  density  mass  from  Appendix F, we then have (with some conversions of units)  (6.02 × 10 23 mol −1 )(8.96 × 10 3 kg / m 3    )  n = __________________________________  −3  63.54 × 10  kg / m ol  = 8.49 × 10 28 electrons / m 3    n = 8.49 × 10 28 m –3 . 

or  →

1.  The  drift  speed v d  is  related to the  current density  J  and  the  number  n  of  conduction  electrons  per  unit  volume according to Eq. 26.2.4, which we can write as  J = nev d.    2.  Because  the  current  density  is  uniform,  its  magni-  tude J is  related to  the given current i and wire size  by Eq. 26.2.2 (J = i/A, where A is the cross-sectional  area of the wire).  3.  Because we assume one conduction electron per atom,  the number n of conduction  electrons per unit volume  is the same as the number of atoms per unit volume.  Let us start with the third idea by writing 

Calculations:

atoms  atoms  n =  per unit  =  per   mole   volume   

(

) (

)(

moles  per unit    mass 

)(

mass  per unit  .   volume   

)

The number of  atoms per mole is just  Avogadro’s num-  ber N A  (= 6.02 × 10 23  mol –1 ). Moles per unit  mass is the  inverse of  the  mass  per  mole,  which  here  is  the  molar  mass M of copper. The mass per unit volume is the (mass)  density  mass  of copper. Thus,  N A ρmass  1  ___  n = N A( = ________  .      )ρ M    mass  M 

Next let us combine the first two key ideas by writing  i  = nev .  __ 

d  A  2  Substituting for A with  πr  (= 2.54 × 10 –6 m 2 ) and solving  for v d, we then find    i  v d  =  _______  ne(πr 2 )  17 × 10 −3 A  =  ____________________________________________  28  −3  (8.49 × 10  m  )(1.6 × 10 −19  C)(2.54 × 10 −6 m 2 ) 

= 4.9 × 10 −7 m /s , 

(Answer) 

which is only 1.8 mm/h, slower than a sluggish snail.  You may well ask: “If the electrons drift  so slowly, why do the room lights turn on so quickly when  I throw the switch?” Confusion  on this point results from  not distinguishing between the drift speed of the electrons  and the speed  at which changes in  the electric field  con-  figuration  travel along  wires. This  latter speed  is  nearly  that of light; electrons everywhere in the wire begin drift-  ing almost at once, including into the lightbulbs. Similarly,  when  you  open  the  valve on  your  garden hose  with  the  hose full of water, a pressure wave travels along the hose  at the  speed of  sound  in  water. The  speed  at which  the  water itself moves through the  hose—measured perhaps  with a dye marker—is much slower.  Lights are fast:

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

26.3  RESISTANCE AND RESISTIVITY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

26.3.1  Apply the relationship between  the potential 

V applied  across an object, the object’s  resistance R, and the  resulting  current i  through the  difference 

object, between the application points.  26.3.2  Identify a resistor. 

E  set up at a point in a given material, 



the material’s resistivity  , and the resulting current 

J

E, the potential difference  V between  the  L. 

two ends, and the wire’s  length 

 and 

26.3.5  Apply the relationship between  resistivity 

σ

conductivity  .  26.3.6  Apply the relationship between  an object’s 

26.3.3  Apply the relationship between  the electric  field  magnitude 

magnitude 

density magnitude   at that point.  26.3.4  For a uniform  electric  field  set up in a wire,  apply the relationship between  the electric field 

R, the resistivity of its material  , its  L , and its cross-sectional area A. 

resistance  length 

26.3.7  Apply the equation that approximately gives a 

 as a function of temperature T.   versus tempera- 

conductor’s resistivity 

26.3.8  Sketch a graph of resistivity  ture 

T for a metal. 

/

26.3  RESIST ANC E  AND   RESIST IV IT Y  

797

Key  Ideas  ●

R of a conductor is defined  as  V ,  R = __  i 

The resistance 

V is the potential  difference  across the conduc-  tor and  i  is the current. 

●

R of a conducting wire  of length  L 

The resistance 

and uniform  cross section is 

L ,  R =  ρ __  A 

where 

●

 and conductivity σ of a material are 

related by 

E is the magnitude of the applied  electric  field  J is the magnitude of the current  density. 

The electric  field and current  density are related  to 

the resistivity by 

E  = ρ J . 

→

 for most materials changes with 

The resistivity 

relation  between 

where  and 

●

A is the cross-sectional area. 

temperature. For many materials, including  metals, the 

1  = __  E  ρ =  __  σ J , 

●

where 

The resistivity 

→

 and temperature T  is approximated 

by the equation 

 – 0  = 0 α (T – T 0 ).  Here  T 0   is a reference temperature,  0  is the resistivity  at  T 0, and  α is the temperature coefficient  of resistivity    for the material. 

Resistance and Resistivity 

If we apply the same potential difference between the ends of geometrically simi-  lar rods of copper  and of glass, very different currents result. The characteristic  of  the  conductor  that enters  here is  its electrical resistance. We determine the  resistance between any  two  points  of  a  conductor  by  applying a  potential  dif-  ference V  between those  points  and  measuring the  current i  that  results. The  resistance R is then  V  R = __  i 

(definition of R). 

(26.3.1) 

The SI  unit  for resistance that follows  from Eq. 26.3.1 is the  volt per ampere. This  combination  occurs so  often  that we  give it  a special name, the ohm  (symbol Ω);  that is,  1 ohm = 1 Ω = 1 volt per ampere  = 1 V/A. 

TopFoto 

An assortment of resis-  tors. The circular bands are color-  coding marks that identify the value  of the resistance.  Figure  26.3.1 

(26.3.2) 

A  conductor  whose  function  in  a  circuit  is  to  provide a  specified resistance is  called a resistor (see Fig. 26.3.1). In a circuit diagram, we represent a resistor and  a resistance with the symbol  . If we write Eq. 26.3.1 a s  V ,  i = __  R  we see that, for a given V, the greater the resistance, the smaller the current.  The resistance of a conductor  depends on the manner in which the potential  difference is  applied  to  it.  Figure  26.3.2, for  example, shows  a  given  potential  difference applied  in two  different ways to the  same conductor.  As the  current  density streamlines suggest, the  currents in the  two cases—hence the measured  resistances—will be different. Unless otherwise stated, we shall assume that any  given potential difference is applied as in Fig. 26.3.2b. 

(a )

(b )

Two ways of applying a potential difference to a conducting rod. The gray  connectors are assumed to have negligible resistance. When they are arranged as in  (a) in a small region at each rod end, the measured resistance is larger than when they  are arranged as in (b) to cover the entire rod end.  Figure  26.3.2 

/

798

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

As we have done several times in other connections, we often wish to take  a general view and deal not with  particular objects but  with materials. Here  we  do  so  by  focusing  not  on  the  potential  difference V  across  a particular  Temperature  Coefficient  resistor but on the electric field E at a point  in a resistive material. Instead of  of Resistivity,  dealing with the current i through the resistor, we deal with the current den-  sity J  at the point in question. Instead of the resistance R of an object, we deal  α (K –1 )  with the resistivity  of the material: 

Table 26.3.1  Resistivities  of Some 

°

Materials  at Room Temperature (20 C) 

→

Material 

Resistivity,  (Ω · m) 

Typical Metals  Silver  1.62 × 10 –8  Copper  1.69 × 10 –8  Gold  2.35 × 10 –8  Aluminum  2.75 × 10 –8  Manganin a  4.82 × 10 –8  Tungsten  5.25 × 10 –8  Iron  9.68 × 10 –8  Platinum  10.6 × 10 –8 

→

E  ρ = __  J 

4.1 × 10 –3  4.3 × 10 –3  4.0 × 10 –3  4.4 × 10 –3  0.002 × 10 –3  4.5 × 10 –3  6.5 × 10 –3  3.9 × 10 –3 

Typical Semiconductors  Silicon,  pure  2.5 × 10 3  Silicon,  n-type b  8.7 × 10 –4  Silicon,  p-type c  2.8 × 10 –3 

(definition of ). 

(26.3.3) 

(Compare this equation with Eq. 26.3.1.)  If we combine the SI units of E and J according to Eq. 26.3.3, we get, for  the unit of  , the ohm-meter (Ω · m):  unit (E)  _____  V  m = Ω ⋅ m.  ________  =  V / m   = __  unit ( J) 

–70 × 10 –3 

A / m 2   

A 

(Do  not  confuse  the ohm-meter, the  unit  of  resistivity, with  the  ohmmeter,  which  is an instrument that measures resistance.) Table 26.3.1 lists the resis-  tivities of some materials.  We can write Eq. 26.3.3 in vector form as  E = ρ J . 

→

Typical Insulators  Glass  10 10 –10 14  Fused  quartz  ∼10 16 

→

(26.3.4) 

Equations 26.3.3 a nd 26.3.4 hold only for isotropic materials—materials whose  electrical properties are the same in all directions.  We  often  speak  of  the  conductivity  σ of  a material. This  is  simply  the  reciprocal of its resistivity, so 

a 

An alloy specifically  designed to have a small  value of α.  b  Pure silicon doped with phosphorus impurities  to a charge carrier density of 10 23 m –3 .  c  Pure silicon doped with aluminum impurities to  a charge carrier density of 10 23 m –3 . 

1  σ = __  ρ

(definition of σ). 

(26.3.5) 

The  SI  unit  of  conductivity  is the  reciprocal ohm-meter, (Ω · m) –1 .  The unit  name mhos per meter is sometimes used (mho is ohm backwards). The defini-  tion of  σ allows us to write Eq. 26.3.4 in the alternative form  J  = σ E . 

→

→

(26.3.6) 

Calculating  Resistance  from Resistivity 

We have just made an important distinction:  Resistance is a property of an object. Resistivity is a property of a material. 

Current is driven by a potential difference. L i

i

A V

A potential difference  V is applied between the ends of a  wire of length L and cross  section A,  establishing a current i.  Figure  26.3.3 

If  we  know  the  resistivity  of  a  substance  such  as  copper,  we  can  calculate  the  resistance of  a length  of  wire made of  that  substance. Let A  be the  cross-  sectional  area of  the  wire, let  L be  its  length, and  let  a potential  difference V  exist between its  ends (Fig. 26.3.3). If the streamlines representing the current  density are uniform  throughout  the wire, the electric field and  the current den-  sity  will  be  constant  for  all  points  within  the  wire  and,  from  Eqs.  24.6.5 and  26.2.2, will have the values  E = V/L  and  J = i/A. 

(26.3.7) 

We can then combine Eqs. 26.3.3 a nd 26.3.7 to write  E =  ____  V/ L .  ρ = __  J  i / A 

(26.3.8) 

/

26.3  RESIST ANC E  AND   RESIST IV IT Y  

799

However, V/i is the resistance R, which allows us to recast Eq. 26.3.8 a s  L .  R = ρ __  A 

(26.3.9) 

Equation  26.3.9 can be  applied  only  to  a homogeneous  isotropic  conductor  of  uniform cross section, with the potential difference applied as in Fig. 26.3.2b.  The macroscopic quantities V, i, and R are of greatest interest when we are  making electrical measurements on specific conductors. They are the quantities  that we read directly on meters. We turn  to the microscopic quantities E, J, and   when we are interested in the fundamental electrical properties of materials.  Checkpoint 26.3.1 

The figure here shows three cylindrical copper conductors along with their face areas  and lengths. Rank them according to the current through them, greatest first, when  the same potential difference V is placed across their lengths.  L

A

_ 2

1.5 L

_ 2

A

(a )

L

/2

A

(b )

(c )

Variation  with Temperature 

The  values of  most physical properties vary with  temperature, and resistivity is  no exception. Figure 26.3.4, for example, shows the variation of this property for  copper  over a wide  temperature range. The relation between temperature and  resistivity for  copper—and  for  metals in  general—is fairly linear  over  a rather  broad  temperature range. For  such  linear  relations we  can  write  an  empirical  approximation that is good enough for most engineering purposes: 

 – 0 =  0 α(T –T 0).   

(26.3.10) 

Here T 0   is a selected reference temperature and   0  is the resistivity at that tem-  perature. Usually T 0  = 293 K (room temperature), for which 0 = 1.69 × 10 –8 Ω · m   for copper.  Because temperature enters Eq. 26.3.10 only as a difference, it does not mat-  ter whether you use the Celsius or Kelvin scale in that equation because the sizes  of degrees on  these scales are identical. The quantity α in Eq. 26.3.10, called the  temperature coefficient  of  resistivity, is  chosen  so  that  the  equation  gives good  agreement with experiment for temperatures in the chosen  range. Some values  of  α for metals are listed in Table 26.3.1.  )m. Ω 8–

01( ytivitsiseR

erutarepmet m o oR

10 8 6 4 2 0

(T0, 0

Resistivity can depend on temperature.

ρ0)

200 400 600 800 1000 1200 Temperature (K)

The resistivity of copper as a function of temperature. The dot on the  curve marks a convenient reference point at temperature T 0  = 293 K and resistivity  0 = 1.69 × 10 –8  Ω · m.  Figure  26.3.4 

/

800

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

Sample Problem 26.3.1

Danger  of ground  current in a lightning strike 

Figure 26.3.5a shows a person and a cow, each a radial dis-  tance D = 60.0 m  from the point where lightning of current  I = 100 kA strikes the ground. The current spreads through  the ground  uniformly over a hemisphere centered on the  strike point. The person’s feet are separated by radial dis-  tance ∆r per  = 0.50 m; the cow’s front and rear hooves are  separated by radial distance ∆r cow = 1.50 m . The resistivity  of the ground is ρgr  = 100 Ω ⋅ m. The resistance both across  the person, between left and right feet, and across the cow,  between front and rear hooves, is R = 4.00 kΩ. 

ΔV = − 

D+Δr 

D 

E dr. 

Substituting  our  expression  for  E  and  then  integrating  give us the potential difference:  ΔV = − 

ρ I  2 πr 

D+Δr 

D 

ρ

I 

D+Δr 

gr    gr  1  _ dr = − _   [ − _  r ]  2 

2π

D 

ρgr I  1   _  = _ (  _ −  1  2π D + Δr  D ) 

(a) What is the current i p  through the person? 

ρgr I _ Δr  = − _   .   2π D(D + Δr) 

KEY IDEAS (1)  The  lightning  strike  sets up  an  electric field  and  an  electric potential in the surrounding  ground. (2) Because  one  foot  is closer to  the strike point  than  the other foot,  a  potential  difference  ∆V  is  set  up  across  the  person.  (3) That ∆V drives a current i p  through the person.  Because the  lightning’s  current  I  spreads uniformly  over a hemisphere in  the ground,  the  current density at any given radius r from the strike point  is, from Eq. 26.2.2 (J = i/A),  Potential difference:

I  ,    J = _ 2 πr 2 

If one  of  the  person’s feet is  at radial distance  D from the strike point and the other foot is at radial dis-  tance D + ∆r, the potential  difference between the feet  is  given by  our  result  for  ∆V. That  potential  difference  drives a current i p  through  the  person. To find  that cur-  rent, we use Eq. 26.3.1 (R = V/i), in  which  V represents  the magnitude of ∆V. We can then write  Current:

ρgr I _ V  = _ 1    Δr  _    i = _  .  R  2π D(D + Δr) R  Substituting  known  values,  including  the  foot-to-foot  separation ∆r per  = 0.50 m, gives the current through  the  person: 

where  2πr 2  is  the  area of  the  curved surface of  a hemi-  sphere. From  Eq. 26.3.4 ( ρ = E/J), the magnitude of the  electric field is then 

ρgr I  E = ρgr J =  _2 .   2 πr  →

From  Eq.  24.2.4 (ΔV  =  −∫ E ⋅ d s ) ,  the  potential  differ-  ence ∆V between a point at radial distance D and a point  at radial distance D + ∆r is  →

Victim

Victim I

r

D

D

(a)

Δrper

 aicraG annA

Δrcow

(b)

(a) Current from a lightning strike spreads hemispherically through the ground and  reaches a cow and a person, each located distance D from the strike point. The danger to them  depends on the separation ∆r. (b) Marks left on turf by ground currents from a lightning strike.  Figure  26.3.5 

/

801

26.4  OHM’S  L AW 

(100 Ω ⋅ m)(100 kA)  i p = _________________  2π 0.50 m  1  _   × _______________________  (60.0 m)(60.0 m  + 0.50 m) 4.00 kΩ  = 0.0548 A = 54.8 mA. 

(Answer) 

This  amount  of  current  causes involuntary  muscle  con-  traction;  the  person  will  collapse  but  probably  soon  recover. Note that the person could reduce the current an  order of magnitude by standing with feet together so that  ∆r is only a few centimeters. 

(b) What is the current i c through the cow?  We again use our result for current i but now  ∆r is ∆r cow = 1.50 m . We now find that the current through  the cow is  Calculation:

i c = 0.162 A = 162 mA, 

(Answer) 

which is fatal. The cow is in more danger from the ground  current because of its greater value of ∆r. The cow is, of  course, unable  to  reduce its  danger  by standing  with  its  hooves together (which would be a bizarre sight). 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

26.4  OHM’S LAW  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

26.4.1  Distinguish between  an  object that obeys Ohm’s 

26.4.4  For the  conduction electrons in  a conductor, 

law  and one that does not. 

τ

explain  the relationship between  the mean free  time  , 

26.4.2  Distinguish between  a material that obeys  Ohm’s  law and one that does not. 

the effective speed, and the  thermal (random) motion. 



26.4.5  Apply the relationship  between resistivity  , 

n  of conduction electrons, and the 

26.4.3  Describe the general  motion of a conduction 

number  density 

electron  in a current. 

mean free time 

τ of the electrons. 

Key Ideas  ●

A giv en  dev ice (conductor, resistor, or any  other 

to an expression for the resistivity of a metal: 

m  .  ρ = _____  e 2 nτ

electrical  dev ice) obey s  Ohm’s   law if  its res is tance 

R (= V/i) is independent  of the  applied potential  difference  V. 

Here 

● A given material obeys Ohm’s law  if its resistivity 

and 

 (= E/J) is independent of the magnitude and direc-  →

tion of the applied  electric field  ●

E . 

The assumption that the conduction electrons in a 

metal are free to move like the molecules in a gas leads 

n  is the number  of free  electrons per unit  volume 

τ is the mean time between  the collisions of an 

electron with  the atoms of the metal.  ●

τ

Metals obey Ohm’s law because the mean free time 

is approximately independent of the magnitude 

E of 

any electric field applied to a metal. 

Ohm’s  Law 

As we just discussed, a resistor is a conductor  with  a specified resistance. It has  that same resistance no matter what the magnitude and direction ( polarity) of the  applied potential difference are. Other conducting devices, however, might have  resistances that change with the applied potential difference.  Figure 26.4.1a shows how to distinguish such devices. A potential difference  V is  applied across the  device being  tested, and  the resulting current i through  the device is measured as V is varied in both  magnitude and polarity. The polar-  ity of V is arbitrarily taken to be positive when the left terminal of the device is 

/

802

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

V

+

–

?

i

i

(a )

)Am( tnerruC

+2 0

–2 –4

–2 0 +2 +4 Potential difference (V) (b )

Ohm’s law is an assertion that the current through a device is always directly  proportional to the potential difference applied to the device. 

)Am( tnerruC

+4 +2 0

–2

at a higher potential  than the right terminal. The direction of  the resulting cur-  rent (from left to right) is arbitrarily assigned a plus sign. The reverse polarity of  V (with  the right  terminal at a higher  potential) is then  negative; the current it  causes is assigned a minus sign.  Figure 26.4.1b is a plot  of i versus V for one device. This plot  is a straight line  passing through  the origin, so  the ratio i/V (which  is the slope of  the straight line)  is the same for all values of V. This  means that the resistance R = V/i of the device  is independent of the magnitude and polarity of the applied potential difference V.  Figure 26.4.1c is  a plot  for  another conducting  device. Current can exist in  this device only  when the polarity of V is positive and the applied potential dif-  ference is more than about 1.5 V. When current does exist, the relation between  i and V is not linear; it depends on the value of the applied potential difference V.  We distinguish  between the  two  types  of  device by  saying  that  one  obeys  Ohm’s law and the other does not. 

–4

–2 0 +2 +4 Potential difference (V) (c )

(a) A potential differ-  ence V is applied to the terminals  of a device, establishing a current i.  (b) A plot of current i versus applied  potential difference V when the  device is a 1000 Ω resistor. (c) A plot  when the device is a semiconducting  pn junction diode.  Figure  26.4.1 

(This assertion is correct only in certain situations; still, for historical reasons, the  term “law” is used.) The device of Fig. 26.4.1b—which turns out  to be a 1000 Ω  resistor—obeys Ohm’s law. The device of Fig. 26.4.1c—which is called a pn junc-  tion diode—does  not.  A conducting device obeys Ohm’s law when the resistance of the device is  independent of the magnitude and polarity of the applied potential difference. 

It is often contended that V = iR is a statement of Ohm’s law. That is not true!  This equation is the defining equation for resistance, and it applies to all conducting  devices, whether they obey Ohm’s law or not. If we measure the potential difference  V across, and the current i through, any device, even a pn junction diode, we can find  its resistance at that value of V as R = V/i. The essence of Ohm’s law, however, is that  a plot of i versus V is linear; that is, R is independent of V. We can generalize this for  conducting materials by using Eq. 26.3.4 ( E =  ρ J ):  →

→

A conducting material obeys Ohm’s law when the resistivity of the material is  independent of the magnitude and direction of the applied electric field. 

All  homogeneous  materials, whether they are conductors  like  copper  or  semi-  conductors like pure silicon  or silicon  containing special impurities, obey Ohm’s  law  within  some range of  values of  the  electric field.  If  the  field  is  too  strong,  however, there are departures from Ohm’s law in all cases.  Checkpoint 26.4.1 

The following table gives the current i (in  amperes) through two devices for several  values of potential difference V (in volts).  From these data, determine which device  does not obey Ohm’s law. 

Device 1 

Device 2 

V 

i 

V 

i 

2.00  3.00  4.00 

4.50  6.75  9.00 

2.00  3.00  4.00 

1.50  2.20  2.80 

/

26.4  OHM’S  L AW 

803

A  Microscopic View  of Ohm’s  Law 

To  find  out  why  particular  materials obey  Ohm’s  law,  we  must  look  into  the  details  of  the  conduction  process at  the  atomic  level.  Here we  consider  only  conduction  in  metals, such as copper. We base our  analysis on the  free-electron  model, in which we assume that the conduction  electrons in the metal are free to  move throughout  the volume of a sample, like the molecules of a gas in a closed  container. We  also  assume that the  electrons collide  not  with  one  another but  only with atoms of the metal.  According to classical physics, the electrons should  have a Maxwellian speed  distribution  somewhat like that of the molecules in a gas (Module 19.6), a nd thus  the  average e lectron speed should  depend on  the temperature. The motions of  electrons are, however, governed not by the laws of classical physics but by those  of  quantum  physics. As  it  turns  out,  an  assumption  that  is  much  closer to  the  quantum reality is that conduction  electrons in a metal move with a single effec-  tive speed v eff , and this speed is essentially independent of the temperature. For  copper, v eff  ≈ 1.6 × 10 6  m/s.  When we apply an electric field to a metal sample, the electrons modify their  random  motions  slightly  and  drift  very slowly—in  a direction  opposite  that  of  the  field—with  an  average drift  speed  v d.   The  drift  speed  in  a  typical metallic  conductor  is  about  5 × 10 –7 m/s, less than the  effective speed  (1.6 × 10 6 m/s) by  many orders of magnitude. Figure 26.4.2 suggests the relation between these two  speeds. The gray lines show a possible random path for an electron in the absence  of an applied field; the electron proceeds from A to B, making six collisions along  the way. The green lines show how the same events might occur when an electric  field E is applied. We see that the electron drifts steadily to the right, ending at Bʹ  rather than at B. Figure 26.4.2 was drawn with the assumption that v d  ≈ 0.02v eff .  However, because the actual value is more like v d  ≈ (10 –13 )v eff , the drift displayed  in the figure is greatly e xaggerated.  The motion of conduction  electrons in an electric field E is thus a combina-  tion of the motion due to random collisions and that due to E .When we consider  all  the free electrons, their  random motions average to  zero and make no  con-  tribution  to the drift speed. Thus, the drift speed is due only to the effect of the  electric field on the electrons.  If an electron of mass m is placed in an electric field of magnitude E, the elec-  tron will experience an acceleration given by Newton’s second law:  F  eE  ___  (26.4.1)  a = __  m =  m .  After a typical collision, each electron will—so  to speak—completely lose its mem-  ory of its previous drift velocity, starting fresh and moving off in a random direction.  In the average time  τ between collisions,  the average electron will  acquire a drift  speed of v d = a τ. Moreover, if we measure the drift speeds of all the electrons at any  instant, we will find that their average drift speed is also a τ. Thus, at any instant, on  average, the electrons will have drift speed v d  = aτ. Then Eq. 26.4.1 gives us  eEτ .  (26.4.2)  v d  = a τ = ____  m  →

→

→

The gray lines show an electron mov-  ing from A to B, making six collisions en route. The  green lines show what the electron’s path might be  in the presence of an applied electric field E . Note  the steady drift in the direction of − E. (Actually, the    green lines should be slightly curved, to represent the  parabolic paths followed by the electrons between  collisions, under the influence of an electric field.)  Figure  26.4.2 

→

→

B

A

B'

E

/

804

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

→

Combining this result with Eq. 26.2.4 ( J  = ne v d ), in magnitude form, yields  →

J  ____  eEτ v d  =  ___  ne  =  m  , 

(26.4.3) 

m  E =  _____  ( e 2 n τ ) J. 

(26.4.4) 

which we can write as 

Comparing this with Eq. 26.3.4 ( E = ρ J ), in magnitude form, leads to  →

→

m  .  ρ = _____  e 2 n τ

(26.4.5) 

Equation 26.4.5 m ay be taken as a statement that metals obey Ohm’s law if we can  show that, for metals, their resistivity  is a constant, independent of the strength  of the applied electric field E . Let’s consider the quantities in Eq. 26.4.5. We can  reasonably assume that  n, the  number of  conduction  electrons per  volume,  is  independent  of the field, and m and e are constants. Thus, we only need to con-  vince ourselves that  τ , the  average time (or  mean free time) between collisions,  is a constant, independent  of the strength of the applied electric field. Indeed,  τ can be considered to be a constant because the drift speed v d  caused by the field  is so much smaller than the effective speed v eff that the electron speed—and thus  τ—is  hardly affected by  the field. Thus, because the right side of  Eq. 26.4.5 is  independent of the field magnitude, metals obey Ohm’s law.  →

Sample Problem 26.4.1

Mean  free  time and  mean free  distance 

(a) What is the mean free time τ between collisions for the  conduction  electrons in copper? 

KEY IDEAS The mean free time τ of copper is approximately constant,  and  in  particular does  not  depend  on  any  electric field  that might be applied to a sample of the copper. Thus, we  need not  consider any particular value of applied electric  field. However, because the resistivity  displayed by cop-  per under  an electric field  depends on  τ , we can find  the  mean free time τ from Eq. 26.4.5 ( = m/e 2 n τ).  Calculations:

That equation gives us  m  .  τ = _____  ne 2 ρ

(26.4.6) 

The  number  of  conduction  electrons  per unit  volume  in  copper  is  8.49 × 10 28 m –3 .  We  take  the  value  of   from  Table 26.3.1. The denominator then becomes  (8.49 × 10 28  m −3 )(1.6 × 10 −19  C) 2 (1.69 × 10 −8  Ω ⋅ m)  = 3.67 × 10 −17  C 2  ⋅ Ω/ m 2   = 3.67 × 10 −17  kg /s,  where we converted units as  2  2 

2  kg ⋅ m  /s  ___  kg  C  ⋅ Ω  = ______  C 2 ⋅ V =  ________  C 2  ⋅ J / C  = _________  ______  =  s  .  2  2  2  2  m  m  ⋅ A  m  ⋅ C /s  m  /s 

Using these results and substituting for the electron mass  m, we then have  9.1 × 10 −31 kg  τ = _______________  = 2.5 × 10 −14 s.  (Answer)  3.67 × 10 −17  kg /s  (b) The mean free path   of the conduction  electrons in  a conductor  is the average distance traveled by an elec-  tron between collisions. (This definition  parallels that in  Module  19.5 for  the mean free path  of  molecules  in  a  gas.) What is   for  the conduction  electrons in  copper,  assuming that their effective speed v e ff is 1.6 × 10 6 m/s? 

KEY IDEA The distance d any particle travels in a certain time t at a  constant speed v is d = vt.  Calculation:

For the electrons in copper, this gives us 

λ = v eff τ

(26.4.7)  6 

−14 

= (1.6 × 10  m/s)(2.5 × 10  = 4.0 × 10 −8  m = 40 nm. 

s)  (Answer) 

This  is  about  150 times  the  distance  between nearest-  neighbor atoms in a copper lattice. Thus,  on the average,  each c onduction electron passes m any c opper atoms before  finally hitting one. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

805

26.5  P OWER,  SEMIC OND U C T ORS,  SU P ERC OND U C T ORS 

26.5  POWER, SEMICONDUCTORS, SUPERCONDUCTORS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

26.5.1  Explain  how conduction electrons in a circuit 

26.5.4  For a battery, apply the relationship between 

lose energy in  a resistive device.  26.5.2  Identify that power is the rate at which  energy is 

power 

transferred from one type to another. 

with  a battery and a resistive device to relate the 

26.5.3  For a resistive device, apply the relationships  between power 

R. 

P , current  i, voltage V, and 

P, current i , and potential  difference  V. 

26.5.5  Apply the conservation of energy to a circuit 

energy transfers in the circuit.  26.5.6  Distinguish conductors, semiconductors, and 

resistance 

superconductors. 

Key  Ideas  ●

The power 

P, or rate of energy transfer,  in an electri-  V  is 

●

In a resistor, electric  potential energy is converted to 

cal device across which  a potential difference 

internal  thermal  energy via collisions between  charge 

maintained  is 

carriers and atoms.  ●

P = iV.  ●

Semiconductors are materials that have few  conduc- 

tion electrons but can become conductors when they are 

If the device is a resistor, the power can  also be 

written as 

doped with other atoms that contribute charge carriers.  ●

2 

V  .  P = i 2 R = ___  R 

Superconductors are materials that lose all electri- 

cal resistance. Most such materials require  very low  temperatures, but some become superconducting  at  temperatures as high as room temperature. 

Power  in Electric Circuits 

Figure  26.5.1 shows  a  circuit  consisting  of  a  battery  B  that  is  connected  by  wires, which we assume have negligible resistance, to an unspecified conducting  device. The  device might  be  a  resistor, a storage battery (a  rechargeable bat-  tery), a motor,  or  some other  electrical device. The battery maintains a poten-  tial difference of magnitude V across its own terminals and thus (because of the  wires) across the terminals of the unspecified device, with a greater potential at  terminal a of the device than at terminal b.  Because there is an external conducting path between the two terminals of the  battery, and because the potential differences set up by the battery are maintained,  a steady current i is produced in the circuit, directed from terminal a to terminal b.  The amount of charge dq that moves between those terminals in time interval dt is  equal to i dt. This charge dq moves through a decrease in potential of magnitude V,  and thus its electric potential energy decreases in magnitude by the amount  dU = dq V = i dt V. 

(26.5.1) 

The principle of conservation of energy tells us that the decrease in  electric  potential energy from a to b is accompanied by a transfer of energy to some other  form.  The  power  P  associated with  that  transfer is  the  rate of  transfer dU/dt,  which is given by Eq. 26.5.1 a s  P = iV 

(rate of electrical  energy transfer). 

The battery at the left supplies energy to the conduction electrons that form the current.

(26.5.2) 

Moreover, this  power P is also the  rate at which  energy is transferred from the  battery to the unspecified device. If that device is a motor connected to a mechan-  ical load,  the energy is transferred as work  done  on  the load.  If the device is a  storage battery that is being charged, the energy is transferred to stored chemical  energy in the storage battery. If the device is a resistor, the energy is transferred  to internal thermal energy, tending to increase the resistor’s temperature. 

i

i i a

+ B –

? b

i

i

i

A battery B sets up  a current i in a circuit containing  an unspecified conducting device.  Figure  26.5.1 

/

806

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

The unit  of  power  that follows  from Eq.  26.5.2 is  the volt-ampere (V · A).  We can write it as  J  C  J  __  __  _  1 V ⋅ A =  (1    C )(1    s ) = 1  s  = 1 W.  As an electron moves through a resistor at constant drift speed, its average  kinetic  energy remains constant and  its lost electric potential energy appears as  thermal energy in the resistor and the surroundings.  On a microscopic scale this  energy transfer is  due  to  collisions  between the  electron and  the  molecules of  the  resistor, which  leads  to  an  increase in  the  temperature of  the  resistor  lat-  tice. The mechanical e nergy thus transferred to thermal energy is dissipated (lost)  because the transfer cannot be reversed.  For  a  resistor  or  some  other  device  with  resistance R,  we  can  combine  Eqs. 26.3.1 (R = V/i) and 26.5.2 to obtain, for the rate of electrical energy dissipa-  tion due to a resistance, either  P = i 2 R  2 

___  P =  V  R 

or 

(resistive dissipation) 

(26.5.3) 

(resistive dissipation). 

(26.5.4) 

Caution: We must be careful to distinguish  these two equations from Eq. 26.5.2:  P  = iV  applies to  electrical energy transfers of  all kinds;  P = i 2 R and  P = V 2 /R  apply  only  to  the  transfer of  electric potential  energy  to  thermal energy in  a  device with resistance.  Checkpoint 26.5.1 

A potential difference V is connected across a device with resistance R, causing  current i through the device. Rank the following variations according to the change  in the rate at which electrical energy is converted to thermal energy due to the resis-  tance, greatest change first: (a) V is doubled with R unchanged, (b) i is doubled with  R unchanged, (c)  R is doubled with V unchanged, (d) R is doubled with i unchanged. 

Sample Problem 26.5.1

Rate  of energy dissipation  in a wire  carrying current 

(120 V) 2  V 2  = ________  P = ___  = 200 W.  R  72 Ω 

You  are given a length of uniform  heating wire made of  a nickel–chromium–iron  alloy  called  Nichrome; it  has a  resistance R of 72 Ω. At what rate is energy dissipated in  each of  the  following  situations?  (1)  A potential  differ-  ence of 120 V is applied across the full length of the wire.  (2) The wire is cut in  half, and a potential difference of  120 V is applied across the length of each half. 

In situation 2, the resistance of each half of the wire is  (72 Ω)/2, or 36 Ω. Thus, the dissipation rate for each half is 

KEY IDEA

and that for the two halves is 

Current  in  a  resistive  material produces  a  transfer  of  mechanical energy to thermal energy; the rate of transfer  (dissipation) is given by Eqs. 26.5.2 to 26.5.4.  Because we know the potential V and resis-  tance R, we use Eq. 26.5.4, which yields, for situation 1,  Calculations:

(Answer) 

(120 V) 2  P′ = ________ = 400 W,  36 Ω  P = 2Pʹ = 800 W. 

(Answer) 

This is four times the dissipation rate of the full length of  wire. Thus, you might conclude that you could buy a heat-  ing coil, cut it in half, and reconnect it to obtain four times  the heat output. Why is this unwise? (What would happen  to the amount of current in the coil?) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

26.5  P OWER,  SEMIC OND U C T ORS,  SU P ERC OND U C T ORS 

807

Semiconductors 

Semiconducting  devices are at the  heart of  the  microelectronic revolution  that  ushered in  the information  age. Table 26.5.1 compares the  properties of  silicon—  a  typical semiconductor—and  copper—a  typical  metallic conductor.  We  see that  silicon has many fewer charge carriers, a  much higher resistivity, and a temperature  coefficient of resistivity that is both large and negative. Thus, although the resistivity  of copper increases with increasing temperature, that of pure silicon decreases.  Pure silicon  has such a high  resistivity that it  is effectively an insulator and  thus  not  of  much  direct  use in  microelectronic circuits. However, its resistivity  can be greatly reduced in a controlled way by adding minute amounts of specific  “impurity” atoms in a process called doping. Table 26.3.1 g ives typical values of  resistivity for silicon before and after doping  with two different impurities.  We can roughly explain the differences in resistivity (and thus in conductivity)  between semiconductors, insulators, and metallic c onductors in terms of the ener-  gies of their electrons. (We need quantum physics to explain in  more detail.) In  a metallic conductor such as copper wire, most of the electrons are firmly locked  in  place within  the atoms; much energy would  be required to free them so they  could  move and participate in an electric current. However, there are also some  electrons that, roughly speaking, are only  loosely held  in place and  that require  only little energy to become free. Thermal energy can supply that energy, a s can  an electric field applied across the conductor. The field would not only free these  loosely held electrons but would  also propel  them along the wire; thus,  the field  would  drive a current through the conductor.  In an  insulator, significantly greater energy is  required to free electrons so  they can move through the material. Thermal energy cannot supply  enough en-  ergy, and neither can any reasonable electric field applied to the insulator. Thus,  no  electrons are available to move through  the insulator, and  hence no  current  occurs even with an applied electric field.  A semiconductor is like an insulator except that the energy required to  free  some electrons is not quite so great. More important, doping can supply electrons  or positive charge carriers that are very loosely held within  the material and thus  are easy to get moving. Moreover, by controlling the doping  of a semiconductor,  we  can  control  the  density  of  charge carriers that  can  participate in  a  current  and  thereby can control  some of  its  electrical properties. Most  semiconducting  devices, such  as transistors and  junction  diodes, are fabricated by the  selective  doping  of different regions of the silicon with impurity atoms of different kinds.  Let us now look again at Eq. 26.4.5 for the resistivity of a conductor:  m  ,  ρ = _____  e 2 n τ

(26.5.5) 

where n is the number of charge carriers per unit  volume and  τ is the mean time  between collisions  of the charge carriers. The equation also applies to  semicon-  ductors. Let’s consider how n and  τ change as the temperature is increased.  In a conductor, n  is large but  very nearly constant with  any change in tem-  perature. The increase of  resistivity with  temperature for  metals (Fig. 26.3.4) is  due to an increase in the collision  rate of the charge carriers, which shows  up in  Eq. 26.5.5 a s a decrease in τ , the mean time between collisions.  Table 26.5.1  Some Electrical Properties of  Copper and Silicon 

Property  Type of material  Charge carrier density, m –3  Resistivity, Ω · m  Temperature coefficient of resistivity, K –1 

Copper 

Silicon 

Metal  8.49 × 10 28  1.69 × 10 –8  +4.3 × 10 –3 

Semiconductor  1 × 10 16  2.5 × 10 3  –70 × 10 –3 

/

808

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

) Ω ( e cnatsiseR

In a semiconductor, n is small but increases very rapidly with temperature as  the increased thermal agitation makes more charge carriers a vailable. This causes  a decrease of  resistivity with  increasing temperature, as indicated  by  the nega-  tive temperature coefficient  of  resistivity for  silicon  in  Table  26.5.1. The  same  increase in collision rate that we noted for metals also occurs for semiconductors,  but its effect is swamped by the rapid increase in the number of charge carriers. 

0.16 0.08 0 0

2 4 6 Temperature (K)

The resistance of mer-  cury drops to zero at a temperature  of about 4 K.  Figure  26.5.2 

Courtesy of Shoji Tonaka/International Super-  conductivity Technology Center, Tokyo, Japan 

A disk-shaped magnet is levitated  above a superconducting material  that has been cooled by liquid  nitrogen. The goldfish is along for  the ride. 

Superconductors 

In 1911, D utch physicist Kamerlingh Onnes discovered that the resistivity of mer-  cury absolutely  disappears at temperatures below  about  4 K (Fig. 26.5.2). This  phenomenon  of superconductivity is of vast potential importance in  technology  because  it  means  that  charge  can  flow  through  a  superconducting  conductor  without losing its energy to thermal energy. Currents created in a superconduct-  ing ring, for example, have persisted for several years without loss; the electrons  making up the current require a force and a source of energy a t start-up time but  not thereafter.  Prior to 1986, the technological development of superconductivity was throt-  tled by the cost of producing the extremely low temperatures required to achieve  the effect. In 1986, however, new ceramic m aterials were discovered that become  superconducting at considerably higher (and thus cheaper to produce) tempera-  tures. Practical application of superconducting devices at room temperature may  eventually become commonplace.  Superconductivity  is  a  phenomenon  much  different  from  conductivity.  In  fact, the best of the normal conductors, such as silver and copper, cannot become  superconducting at any temperature, and the new ceramic superconductors  are  actually good  insulators when they are not  at low enough temperatures to be in  a superconducting state.  One explanation for superconductivity is that the electrons that make up the  current move in  coordinated  pairs.  One of  the  electrons in  a  pair  may electri-  cally distort the molecular structure of the superconducting material as it moves  through, creating nearby a short-lived concentration of positive charge. The other  electron in  the pair may then  be attracted toward  this  positive charge. Accord-  ing to the theory, such coordination between electrons would prevent them from  colliding  with the molecules of the material and thus  would  eliminate electrical  resistance. The  theory worked well  to explain the pre-1986, lower temperature  superconductors,  but  new  theories appear  to  be  needed  for  the  newer, higher  temperature superconductors. 

Review & Summary An electric current i in a conductor is defined by  dq  (26.1.1)  i =  ___ .  dt  Here dq is  the amount of (positive)  charge that passes  in time  dt through a hypothetical surface that cuts across the conductor.  By convention, the direction of electric current is  taken as  the  direction in which positive charge carriers  would move. The SI  unit of electric current is the ampere (A): 1 A = 1 C/s.  Current 

Current  (a  scalar)  is  related  to  current  density J  (a vector) by  Current  Density  →

i =   J  ⋅ dA ,  →

→

(26.2.1) 

where dA is a vector perpendicular to a surface element of area  dA and the integral is taken over any surface cutting across  the  conductor. J  has the same direction as the velocity of the mov-  ing charges if they are positive and the opposite direction if they  are negative.  →

→

When  an  elec-  tric  field  E  is  established  in  a  conductor,  the  charge  carriers  (assumed positive) acquire a drift speed v d  in the direction of E ;  the velocity v d is related to the current density by  Drift  Speed  of  the  Charge  Carriers  →

→

→

J  = (ne) v d , 

→

→

(26.2.4) 

where ne is the carrier charge density. 

/

809

QU EST IONS 

Resistance of  a  Conductor 

ductor is defined as 

The resistance  R  of a  con- 

V  (definition of R),  R = __  i 

(26.3.1) 

where V is the potential difference across the conductor and i is  the current. The SI unit of resistance is the ohm (Ω): 1 Ω = 1 V/A.  Similar equations define the resistivity   and conductivity σ of  a material:  E  __  ρ = __ 1  σ =  J 

(definitions of  and σ), 

(26.3.5, 26.3.3) 

where  E  is  the magnitude of the applied electric  field. The SI  unit of resistivity is the ohm-meter (Ω · m). Equation 26.3.3 cor-  responds to the vector equation  (26.3.4)  E  = ρ J .  The resistance  R of a conducting wire of length L and uni-  form cross section is  L ,  (26.3.9)  R = ρ __  A  where A is the cross-sectional area.  →

→

with  Temperature  The  resistivity   for  most materials changes with temperature. For many materials,  including metals, the relation between  and temperature T  is  approximated by the equation 

defined by  Eq.  26.3.3, is  independent  of  the  magnitude  and  direction of the applied electric field E .  →

By  assuming  that the  conduction  electrons in a metal are free to move like the molecules of a gas,  it is possible to derive an expression for the resistivity of a metal:  Resistivity  of  a  Metal 

m  .  ρ = _____  e 2 nτ

Here n  is  the number of free electrons  per unit volume and  τ is the mean time between the collisions of an electron with the  atoms of the metal. We can explain why metals obey Ohm’s law  by pointing out that τ is  essentially  independent of the magni-  tude E of any electric field applied to a metal.  The power P, or rate of energy transfer, in an electrical  device across  which a potential difference V is maintained is  Power 

P = iV  (rate of electrical energy transfer).  Resistive  Dissipation 

write Eq. 26.5.2 as 

Change  of  ρ

 – 0  = 0 α(T – T 0 ).  (26.3.10)  Here T 0  is a reference temperature, 0  is the resistivity at T 0 , and  α is the temperature coefficient of resistivity for the material. 

A given device (conductor, resistor, or any other  electrical  device) obeys  Ohm’s law if  its  resistance  R, defined  by Eq. 26.3.1 as V/i, is independent of the applied potential dif-  ference  V. A  given material obeys  Ohm’s law if  its  resistivity, 

(26.4.5) 

(26.5.2) 

If  the  device  is  a  resistor,  we  can 

2 

V  P = i 2 R = ___  R  (resistive dissipation). 

(26.5.3, 26.5.4) 

In  a  resistor,  electric potential energy is  converted to internal  thermal energy via collisions between charge carriers and atoms.  Semiconductors  are  materials  that  have  few conduction electrons but can become conductors when they  are doped with other atoms that contribute charge carriers.  Semiconductors 

Ohm’s Law 

Superconductors are materials that lose  all electrical resistance  at low temperatures. Some materials are  superconducting at surprisingly high temperatures.  Superconductors 

Questions Figure 26.1 shows cross  sections through three long conduc-  tors of the same length and material, with square cross  sections  of edge lengths as  shown. Conductor B fits snugly within con-  ductor A, and conductor C fits snugly within conductor B. Rank  the following according to their end-to-end resistances, greatest  first: the individual conductors and the combinations of A + B  (B  inside A),  B + C  (C  inside  B),  and  A + B + C  (B  inside  A  inside C). 

4

1 

√3

l

√2

l l

C B A

Figure  26.1 

Question 1. 

Figure  26.2  shows  cross  sections  through  three  wires  of  identical length and material; the sides are given in millimeters.  Rank the wires  according to their resistance  (measured  end to  end along each wire’s length), greatest first.  2 

4 (a )

6

5 (b )

2

Figure  26.2 

3 (c )

Question 2. 

Figure  26.3  shows  a  rectan-  3L gular  solid  conductor  of  edge  2L lengths L,  2L, and 3L.  A poten-  tial difference V  is  to  be applied  uniformly between pairs of oppo-  L site  faces  of  the  conductor  as  in  Fig.  26.3.2b.  (The  potential  dif-  Figure  26.3  Question 3.  ference  is  applied  between  the  entire  face on one side  and the entire  face on the other side.)  First V is applied between the left–right faces, then between the  top–bottom faces, and then between the front–back faces. Rank  those pairs, greatest first, according to the following (within the  conductor): (a) the magnitude of the electric field, (b) the current  density, (c) the current, and (d) the drift speed of the electrons.  3 

/

810

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

Figure  26.4 shows  plots of  the current  i  through a  certain  cross section of a wire over four different time periods. Rank the  periods according to the net charge that passes through the cross  section during the period, greatest first.  4 

i

The following table gives  the lengths of three copper rods,  their  diameters,  and  the  potential differences  between  their  ends. Rank the rods according to (a) the magnitude of the elec-  tric field within them, (b) the current density within them, and  (c) the drift speed of electrons through them, greatest first.  8 

a c

d

b

0

t

Figure  26.4 

Question 4. 

Figure 26.5 shows four situations in which positive and nega-  tive charges move horizontally and gives the rate at which each  charge  moves. Rank  the  situations  according  to  the  effective  current through the regions, greatest first.  5 

7 C/s

3 C/s

2 C/s

+ 4 C/s

(a )

5 C/s

(b ) Figure  26.5 

6 C/s

+ (c )

+

1 C/s (d )

Question 5. 

In Fig. 26.6, a wire that carries  a  current  consists  of  three  sec-  tions  with  different  radii.  Rank  2R 0 R0 1.5 R 0 the sections according  to the fol-  lowing  quantities,  greatest  first:  (a) current, (b) magnitude of cur-  A B C rent  density,  and  (c)  magnitude  Figure  26.6  Question 6.  of electric field.  6 

Figure  26.7  gives  the  electric  potential V(x)  versus  position x  along a copper wire carrying cur-  rent.  The  wire  consists  of  three  sections  that  differ  in  radius.  Rank  the  three  sections  accord-  ing  to  the  magnitude  of  the  (a)  electric field and (b) current den-  sity, greatest first.  7 

V

x A

B

Figure  26.7 

C

Question 7. 

Rod 

Length 

Diameter 

Potential Difference 

1 

L 

3d 

V 

2 

2L 

d 

2V 

3 

3L 

2d 

2V 

Figure  26.8  gives  the  drift  v speed v d  of  conduction electrons  in  a  copper  wire  versus  position  x  along  the  wire.  The  wire  con-  x sists  of  three  sections  that  differ  A B C in radius. Rank the three sections  Figure  26.8  Question 9.  according to the following quanti-  ties, greatest  first: (a)  radius, (b)  number of conduction electrons per cubic meter, (c) magnitude  of electric field, (d) conductivity.  9 

d

Three wires,  of the same diameter, are connected in  turn  between two  points maintained at  a  constant potential differ-  ence. Their  resistivities  and lengths are   and L  (wire  A),  1.2 and 1.2L  (wire  B),  and  0.9 and  L  (wire  C).  Rank  the wires  according to the rate at which energy is  transferred  to thermal  energy within them, greatest first.  10 

Figure 26.9  gives,  for  three  a wires  of  radius  R,  the  current  b density  J(r)  versus  radius  r,  as  J measured  from  the  center  of  a  c circular  cross  section  through  the wire. The wires  are  all made  r R from  the  same  material.  Rank  Figure  26.9  Question 11.  the wires  according  to  the  mag-  nitude of the electric field (a)  at  the center, (b)  halfway to  the  surface, and  (c)  at  the surface,  greatest first.  11 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 26.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying

Circus of Physics

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

Electric Current 

During the 4.0 min a 5.0 A current is set up in a wire, how  many (a) coulombs and (b) electrons pass through any cross sec-  tion across the wire’s width?  1  E 

An isolated conducting sphere has a 10 cm radius. One wire  carries a current of 1.000 002 0 A into it. Another wire carries a  current of 1.000 000 0 A out of it. How long would it take for the  sphere to increase in potential by 1000 V? 

M  A  charged belt, 50  cm wide, travels  at 30  m/s between a  source of charge and a  sphere. The belt carries  charge into the  sphere at a rate corresponding to 100 μ A. Compute the surface  charge density on the belt. 

3 

2  M 

Module 26.2 

Current  Density 

The  (United  States)  National Electric  Code, which  sets  maximum safe  currents  for  insulated copper  wires  of  various  4 

E 

/

P ROBL EMS 

diameters, is  given (in  part)  in the table. Plot the safe  current  density  as  a  function of  diameter. Which  wire  gauge  has  the  maximum safe current density? (“Gauge” is a way of identifying  wire diameters, and 1 mil = 10 –3  in.)  Gauge  Diameter, mils  Safe current, A 

10 

12 

14 

16 

18 

204  162  129  102 

4 

81 

64 

51 

40 

20 

15 

6 

3 

70 

6  50 

8  35 

25 

is 470 km/s. (a)  Find the current density of these protons. (b) If  Earth’s  magnetic field did not  deflect the protons, what  total  current would Earth receive?  GO  How long does it take electrons to get from a car bat-  tery to the starting motor? Assume the current is 300 A and the  electrons travel through a copper wire with cross-sectional area  0.21 cm 2  and length 0.85 m. The number of charge carriers  per  unit volume is 8.49 × 10 28  m –3 .  13  M 

A beam contains 2.0 × 10 8  doubly charged positive  ions per cubic centimeter, all of which are moving north with  a  speed  of  1.0 × 10 5  m/s.  What  are  the  (a)  magnitude  and  (b)  direction of the current density  J ?  (c)  What additional  quantity do you need  to calculate the total current  i  in this  ion beam? 

Module 26.3 

A  certain  cylindrical  i wire  carries  current.  We  draw  a  circle  of  radius  r  r around  its  central  axis  in  Fig.  26.10a  to  determine  2 0 r (a ) the  current  i  within  the  2 2 r (mm ) circle. Figure 26.10b shows  ( b) current  i  as  a  function of  Figure  26.10  Problem 6.  r 2 .  The  vertical  scale  is  set by i s  = 4.0 mA, and the  2  horizontal scale is set by r 2  s  = 4.0 mm  . (a) Is the current density  uniform? (b) If so, what is its magnitude? 

15  E 

5  E 

SSM 

→

6 

E 

)Am( i

s

s

A fuse in an electric circuit is a wire that is designed to melt,  and thereby open the circuit, if the current exceeds a predeter-  mined value. Suppose that the material to be used in a fuse melts  when the current density rises  to 440 A/cm 2 . What diameter of  cylindrical wire should be used to make a fuse that will limit the  current to 0.50 A?  7  E 

A small but measurable current of 1.2 × 10 –10  A exists in a  copper wire  whose diameter is  2.5 mm. The  number of charge  carriers  per  unit volume is  8.49 × 10 28  m –3 . Assuming  the  cur-  rent is uniform, calculate the (a) current density and (b) electron  drift speed.  8 

E 

CALC  The magnitude J(r) of the current density in a certain  cylindrical wire is given as a function of radial distance from the  center of the wire’s cross section as J(r) = Br, where r is in meters,  J  is  in  amperes  per  square  meter,  and  B = 2.00 × 10 5  A/m 3 .  This function applies out to the wire’s radius of 2.00 mm. How  much current is contained within the width of a thin ring concen-  tric with the wire if the ring has a radial width of 10.0 μm and is  at a radial distance of 1.20 mm? 

9  M 

CALC  The magnitude J of the current density in a certain  lab  wire  with a  circular  cross  section of radius  R = 2.00 mm is  given by J = (3.00 × 10 8 )r 2 , with J in amperes per square meter  and radial distance r in meters. What is the current through the  outer section bounded by r = 0.900R and r = R? 

10  M 

CALC  What is the current in a wire of radius R = 3.40 mm  if the magnitude of the current density is given by (a) J a  = J 0r  /R  and  (b)  J b  = J 0 (1 – r/R),  in  which  r  is  the  radial  distance  and  J 0  = 5.50 × 10 4  A/m 2 ? (c) Which function maximizes the current  density near the wire’s surface? 

11  M 

M  Near  Earth,  the  density  of  protons  in  the  solar  wind  (a stream of particles from the Sun) is 8.70 cm –3 , and their speed 

12 

811

Resistance and Resistivity 

A human being can be electrocuted if a current  as small as 50 mA passes near the heart. An electrician working  with sweaty hands makes good contact with the two conductors  he is holding, one in each hand. If his resistance is 2000 Ω, what  might the fatal voltage be?  14  E 

BIO  FCP 

SSM  A coil is formed by winding 250 turns of insulated  16-gauge  copper  wire  (diameter = 1.3 mm)  in  a  single  layer  on  a  cylindrical  form  of  radius  12 cm.  What is  the  resistance  of the coil? Neglect the thickness of the insulation. (Use  Table  26.3.1.)  E  Copper  and  aluminum  are  being  considered  for  a  high-voltage  transmission  line  that  must  carry  a  current  of  60.0 A. The resistance  per unit length is  to be 0.150 Ω/km. The  densities  of  copper  and  aluminum  are  8960  and  2600 kg/m 3 ,  respectively. Compute (a) the magnitude J of the current density  and (b)  the mass per unit length  for a copper cable and (c)  J  and (d)   for an aluminum cable. 

16 

A wire of Nichrome (a nickel–chromium–iron alloy com-  monly used in heating elements)  is  1.0 m long and 1.0  mm 2  in  cross-sectional area. It  carries  a current of 4.0 A when a  2.0 V  potential difference  is  applied between its ends. Calculate the  conductivity σ of Nichrome.  17  E 

A wire 4.00 m long and 6.00 mm in diameter has a  resis-  tance  of  15.0 mΩ.  A  potential difference  of  23.0 V  is  applied  between  the  ends.  (a)  What  is  the  current  in  the  wire?  (b)  What is the magnitude of the current density? (c) Calculate the  resistivity of the wire  material. (d)  Using Table 26.3.1, identify  the material.  18  E 

SSM  What is the resistivity of a wire of 1.0 mm diameter,  2.0 m length, and 50 mΩ resistance? 

19  E 

A certain wire has a resistance R. What is the resistance of  a second wire, made of the same material, that is half as long and  has half the diameter?  20  E 

A common flashlight bulb is rated at 0.30 A and 2.9 V (the  values of the current and voltage under operating conditions).  If the resistance  of the tungsten bulb filament at room temper-  ature (20°C)  is  1.1 Ω,  what is  the temperature of the filament  when the bulb is on?  21  M 

BIO  FCP  Kiting during a storm. The legend that Benjamin  Franklin flew a kite as a storm approached is only a legend—he  was neither stupid nor suicidal. Suppose a kite string of radius  2.00 mm extends directly upward by 0.800 km and is coated with  a  0.500  mm  layer  of  water  having resistivity  150  Ω · m. If  the  potential difference  between the two  ends of the string  is  160  MV, what is  the current through the water  layer? The  danger  is  not this current but the chance that the string  draws a  light-  ning strike, which can have a current as large as 500 000 A (way  beyond just being lethal). 

22  M 

/

812

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

When 115 V is applied across a wire that is 10 m long and  has  a  0.30 mm radius, the magnitude of the current  density is  1.4 × 10 8  A/m 2 . Find the resistivity of the wire.  23  M 

M  GO  Figure 26.11a gives the magnitude E(x)  of the elec-  tric  fields that have been set  up by  a  battery along a  resistive  rod of length 9.00 mm (Fig. 26.11b). The vertical scale  is set by  E s  = 4.00 ×  10 3   V/m. The rod  consists  of three sections  of the  same material but with different radii. (The schematic diagram  of Fig. 26.11b does not indicate the different radii.) The radius  of section 3 is 2.00 mm. What is the radius of (a)  section 1 and  (b) section 2? 

24 

Es

)m/ V 3 01(

1

0

2 3 x

3

=0

x

= 9 mm

(mm)

6

(b )

9

Figure  26.11 

M  An  electrical  cable consists  of 125  strands  of fine wire,  each having 2.65 μΩ  resistance.  The  same  potential difference  is  applied between the ends  of all  the strands and  results in  a  total current of 0.750 A. (a) What is the current in each strand?  (b)  What is  the applied potential difference?  (c)  What  is  the  resistance of the cable? 

31 

M  Earth’s lower  atmosphere contains negative  and positive  ions that are  produced by radioactive elements in  the  soil  and  cosmic rays from space. In a certain region, the atmospheric elec-  tric field strength is  120 V/m and the field is  directed vertically  down. This  field causes  singly charged positive ions, at a density  of 620 cm –3 , to drift downward and singly charged negative ions,  at a density of 550 cm –3 , to drift upward (Fig.  26.14). The mea-  sured conductivity of the air in that region is 2.70 × 10 –14  (Ω ·  m) –1 .  Calculate (a) the magnitude of the current density and (b) the ion  drift speed, assumed to be the same for positive and negative ions. 

32 

x

V

E

(a )

M  If  the  gauge  number  of  a  wire  is  increased  by  6,  the  diameter is  halved; if  a  gauge  number is  increased  by  1,  the  diameter decreases  by the factor 2 1/6  (see  the table in Problem  4).  Knowing  this,  and  knowing that  1000 ft  of  10-gauge  cop-  per wire has a resistance  of approximately 1.00 Ω, estimate the  resistance of 25 ft of 22-gauge copper wire. 

30 

Problem 24. 

M  SSM  A  wire  with  a  resistance  of  6.0  Ω  is  drawn  out  through a  die so  that its  new length is  three times its  original  length. Find the resistance of the longer wire, assuming that the  resistivity and density of the material are unchanged. 

25 

+ E

In Fig. 26.12a, a 9.00 V battery is connected to a resistive  strip that consists of three sections with the same cross-sectional  areas  but different conductivities. Figure 26.12b gives the elec-  tric potential V(x) versus position x along the strip. The horizon-  tal scale is set by x s  = 8.00 mm. Section 3 has conductivity 3.00 ×  10 7  (Ω · m) –1 . What is the conductivity of section (a) 1 and (b) 2?  26  M 

8 6 4

=0

V x

(a)

=

3

2

0 (b )

Figure  26.12 

x

(mm)

xs

Problem 26. 

SSM  Two conductors are made of the same material and  have the same length. Conductor A is  a solid wire of diameter  1.0 mm.  Conductor  B  is  a  hollow  tube  of  outside  diameter  2.0 mm and inside diameter 1.0 mm. What is the resistance ratio  R A/  R B ,  measured between their ends? 

Figure 26.13 gives the  electric  potential  V(x)  along  a  copper  wire  carrying  uniform  current,  from  a  point  of  higher  potential V s   =  12.0  μ V  at  x = 0  to  a  point  of  zero  potential at  x s  = 3.00 m. The wire has a radius  of 2.00 mm. What is  the current  in the wire?  GO 

Vs

)V μ ( V

0 x

(m)

xs

Figure  26.13  Problem 28.  A  potential difference  of  3.00 nV is set up across a 2.00 cm  length of copper wire that has a radius of 2.00 mm. How much  charge drifts through a cross section in 3.00 ms? 

29 

M 

+

+ +

Problem 32. 

M  A  block in  the shape  of a rectangular  solid has  a cross-  sectional area of 3.50 cm 2  across its width, a front-to-rear length  of 15.8 cm, and a resistance of 935 Ω. The block’s material con-  tains 5.33 × 10 22  conduction electrons/m 3 . A potential difference  of  35.8 V  is  maintained between its  front and  rear  faces.  (a)  What is  the current in  the block? (b)  If  the current  density is  uniform, what is its magnitude? What are (c) the drift velocity of  the conduction electrons and (d) the magnitude of the electric  field in the block? 

33 

27  M 

28  M 

+

Figure  26.14 

2

xs

+

1

) V( V

x

+

GO  Figure 26.15 shows wire  L section  1  of diameter  D 1  = 4.00R  D1 D2 and wire section 2 of diameter D 2 =  (2) 2.00R, connected by a tapered sec-  tion. The  wire  is  copper  and car-  (1) ries  a  current.  Assume  that  the  Figure  26.15  Problem 34.  current  is  uniformly  distributed  across any cross-sectional area through the wire’s width. The elec-  tric potential change V along the length L = 2.00 m shown in sec-  tion 2 is 10.0 μV. The number of charge carriers  per unit volume is  8.49 × 10 28  m –3 . What is the drift speed of the conduction electrons  in section 1?  34  H 

CALC  GO  In Fig. 26.16, current is set up through a trun-  cated  right  circular  cone  of  resistivity  731  Ω · m,  left  radius 

35  H 

/

P ROBL EMS 

a = 2.00 mm, right radius b = 2.30 mm, and length L = 1.94 cm.  Assume that the current density is uniform across any cross sec-  tion taken perpendicular to the length. What is the resistance of  the cone?  L

i

i a

b

Figure  26.16 

Problem 35. 

CALC  BIO  GO  FCP  Swim-  ming  during  a  storm.  Figure  26.17  shows  a  swimmer  at  dis-  tance  D = 35.0 m  from  a  light-  ning  strike  to  the  water,  with  Δr current I = 78 kA. The water has  resistivity  30  Ω · m,  the  width  of  the  swimmer  along a  radial  line  D from the strike is  0.70 m, and his  resistance  across  that  width  is  Figure  26.17  Problem 36.  4.00 kΩ. Assume that the current  spreads  through the  water over a  hemisphere centered on the  strike point. What is the current through the swimmer? 

36  H 

Module 26.4 

Ohm’s Law 

Show that, according to the free-electron model of electri-  cal conduction in metals and classical physics, the resistivity  of  _  metals should be proportional to √ T , where T is  the tempera-  ture in kelvins. (See Eq. 19.6.5.)  37  M 

Module 26.5 

Power,  Semiconductors, Superconductors 

In  Fig. 26.18a,  a 20  Ω  resistor  is  connected to a  battery.  Figure 26.18b shows  the increase  of thermal energy  E th  in the  resistor as a function of time t. The vertical scale is set by E th,s  =  2.50 mJ, and the horizontal scale is set by t s  = 4.0 s. What is the  electric potential across the battery?  38 

E 

E th, s

0 t

(a)

(s)

ts

(b ) Figure  26.18 

Problem 38. 

A  certain brand of hot-dog cooker works  by applying a  potential  difference  of  120 V  across  opposite  ends  of  a  hot  dog  and  allowing it  to  cook  by  means  of  the  thermal energy  produced.  The  current  is  10.0 A,  and  the  energy  required  to  cook one  hot dog  is  60.0 kJ. If  the  rate  at  which energy  is  supplied is  unchanged, how long will it  take to cook three hot  dogs simultaneously?  39 

E 

Thermal energy is produced in a resistor at a rate of 100 W  when the current is 3.00 A. What is the resistance?  40  E 

E  SSM  A 120 V  potential difference  is  applied to a  space  heater whose  resistance  is  14 Ω  when hot. (a)  At what rate is 

41 

electrical energy transferred to thermal energy? (b) What is the  cost for 5.0 h at US$0.05/kW ·  h?  E  In  Fig. 26.19,  a  battery  of  poten-  tial  difference  V = 12 V  is  connected  to  a  resistive  strip  of  resistance  R = 6.0  Ω.  V R When  an  electron  moves  through  the  strip  from  one  end  to  the  other,  (a)  in  which  direction  in  the  figure  does  the  Figure  26.19  electron  move,  (b)  how  much  work  is  Problem 42.  done on the electron by the electric field  in the strip, and (c)  how much energy is  transferred to the thermal energy of the strip by the electron? 

42 

An unknown resistor is  connected between the terminals  of a  3.00 V  battery. Energy  is  dissipated  in  the resistor  at  the  rate  of 0.540 W. The  same resistor  is  then connected between  the terminals of a  1.50 V  battery. At what rate  is  energy  now  dissipated?  43  E 

E  A  student kept his  9.0 V, 7.0 W  radio  turned on at  full  volume from  9:00 p.m.  until 2:00  a.m. How much charge  went  through it? 

44 

SSM  A 1250 W radiant heater is constructed to operate  at  115 V. (a)  What is  the current  in  the heater  when the unit  is  operating?  (b)  What  is  the  resistance  of  the  heating  coil?  (c) How much thermal energy is produced in 1.0 h? 

45  E 

GO  A copper wire of cross-sectional area 2.00 × 10 –6  m 2  and length 4.00 m has a current of 2.00 A uniformly distributed  across  that area. (a) What is  the magnitude of the electric field  along the wire? (b) How much electrical energy is transferred to  thermal energy in 30 min?  46  M 

M  A  heating element is  made by  maintaining a  potential  difference of 75.0 V across  the length of a  Nichrome wire that  has a 2.60 × 10 –6  m 2  cross  section. Nichrome has a resistivity  of  5.00 × 10 –7  Ω · m. (a) If the element dissipates 5000 W, what is its  length? (b) If 100 V is used to obtain the same dissipation rate,  what should the length be? 

47 

BIO  FCP  Exploding shoes. The rain-soaked shoes of a per-  son may explode if ground current from nearby lightning vapor-  izes the water. The sudden conversion of water to water vapor  causes a dramatic expansion that can rip apart shoes. Water has  density 1000 kg/m 3  and requires  2256 kJ/kg to be vaporized. If  horizontal current lasts 2.00 ms and encounters water with resis-  tivity 150 Ω · m, length 12.0 cm, and vertical cross-sectional area  15 ×  10 –5  m 2 , what average  current is  required to vaporize the  water? 

48  M 

)J m( ht E R

813

M  A  100 W  lightbulb  is  plugged  into  a  standard  120 V  outlet. (a)  How much does  it  cost  per  31-day month to  leave  the light turned on continuously? Assume electrical energy costs  US$0.06/kW ·  h. (b) What is the resistance of the bulb? (c) What  is the current in the bulb? 

49 

GO  The current through the battery and resistors  1 and  2  in  Fig. 26.20a  is  2.00 A. Energy  is  transferred  from the cur-  rent to thermal energy E th  in both resistors.  Curves  1 and 2  in  Fig.  26.20b give  that thermal energy  E th  for  resistors  1  and  2,  respectively, as a function of time t. The vertical scale is set by  E th,s  = 40.0 mJ, and the horizontal scale is set by t s  = 5.00 s. What  is the power of the battery?  50  M 

/

814

C HAP T ER 26  C U RRENT  AND   RESIST ANC E 

Calculate (a) the current, (b) the magnitude of the current den-  sity, (c)  the magnitude of the electric field within the wire, and  (d) the rate at which thermal energy will appear in the wire. 

E th, s R1

)J m( ht E

R2

(a )

1

An 18.0 W device has  9.00 V  across  it. How much charge  goes through the device in 4.00 h?  57 

2

An aluminum rod with a square cross section is 1.3 m long  and  5.2 mm  on  edge.  (a)  What  is  the  resistance  between  its  ends? (b) What must be the diameter of a cylindrical copper rod  of length 1.3 m if its resistance  is  to be the same as  that of the  aluminum rod?  58 

(b ) Figure  26.20 

0 t

ts

(s)

Problem 50. 

A  cylindrical  metal  rod  is  1.60  m  long  and  5.50  mm  in  diameter.  The  resistance  between  its  two  ends  (at  20°C)  is  1.09 × 10 –3  Ω. (a) What is the material? (b) A round disk, 2.00 cm  in diameter and 1.00 mm thick, is formed of the same material.  What is  the resistance  between the round faces, assuming that  each face is an equipotential surface?  59 

Wire C and wire  C D D are made from different mate-  rials  and have length L C  = L D  =  1.0 m. The  resistivity  and  diam-  L L eter of wire C are 2.0 × 10 –6  Ω · m  2 3 and 1.00 mm, and those of wire D  1 Figure  26.21  Problem 51.  –6  are 1.0 × 10  Ω · m and 0.50 mm.  The  wires  are  joined as  shown in  Fig. 26.21, and a  current  of  2.0 A is set up in them. What is the electric potential difference  between (a) points 1 and 2 and (b) points 2 and 3? What is the  rate at which energy is dissipated between (c) points 1 and 2 and  (d) points 2 and 3?  51  M 

GO 

SSM 

C

D

GO  The  current-density magnitude in  a  certain  M  CALC  circular wire is J = (2.75 × 10 10  A/m 4 )r 2 , where r is the radial dis-  tance out to the wire’s radius of 3.00 mm. The potential applied  to  the wire  (end  to end)  is  60.0 V.  How much  energy  is  con-  verted to thermal energy in 1.00 h?  52 

A 120 V potential difference is  applied to a space heater  that dissipates 500 W during operation. (a) What is its resistance  during operation? (b)  At what rate  do electrons flow through  any cross section of the heater element?  53  M 

GO  Figure  26.22a  (a ) H  CALC  x (m) 0 1.0 shows a rod of resistive material.  dx The  resistance  per  unit  length  (b ) of the rod increases  in the posi-  tive  direction of  the  x  axis.  At  any position x along the rod, the  (c ) V resistance  dR  of  a  narrow  (dif-  ferential)  section  of  width  dx  Figure  26.22  Problem 54.  is given by dR = 5.00x dx, where  dR  is  in  ohms and x  is  in meters. Figure  26.22b  shows  such  a  narrow section. You are to slice off a length of the rod between  x = 0  and some position x = L and then connect that length to  a battery with potential difference V = 5.0 V (Fig. 26.22c). You  want  the  current  in  the  length  to  transfer  energy  to  thermal  energy at the rate of 200 W. At what position x = L should you  cut the rod?  54 

Additional Problems  SSM  A Nichrome heater dissipates 500 W when the applied  potential difference is 110 V and the wire temperature is 800°C.  What would be the dissipation rate if the wire temperature were  held at 200°C by  immersing the wire  in  a  bath of cooling oil?  The  applied potential difference remains  the  same, and  α for  Nichrome at 800°C is 4.0 × 10 –4  K –1 . 

55 

A  potential  difference  of  1.20 V  will  be  applied  to  a  33.0 m  length of 18-gauge copper wire  (diameter = 0.0400  in.).  56 

FCP  The  chocolate crumb  mystery. This  story  begins  with  Problem  60  in  Chapter  23  and  continues  through  Chapters  24  and  25.  The  chocolate  crumb  powder  moved  to  the  silo  through a  pipe of  radius R  with uniform speed v  and uniform  charge density . (a) Find an expression for the current i (the rate  at which charge on the powder moved) through a perpendicular  cross section of the pipe. (b) Evaluate i for the conditions at the  factory: pipe  radius  R = 5.0 cm, speed  v = 2.0 m/s, and  charge  density  = 1.1 × 10 –3  C/m 3 .  If the powder were  to flow through a  change V in electric  potential, its energy could be transferred  to a spark at the rate  P = iV. (c)  Could there be such  a transfer within the pipe due  to  the  radial  potential difference  discussed  in  Problem 70  of  Chapter 24?  As the powder flowed from the pipe into the silo, the elec-  tric  potential of  the powder  changed. The  magnitude of  that  change  was  at  least  equal  to  the  radial  potential difference  within the  pipe  (as  evaluated  in  Problem 70  of  Chapter  24).  (d)  Assuming that value for the potential difference and using  the current  found in  (b)  above, find the rate  at  which energy  could have been transferred  from the powder to a spark as  the  powder exited the pipe. (e)  If a spark did occur at the exit and  lasted for 0.20 s  (a  reasonable expectation), how much energy  would have been transferred to the spark? Recall from Problem  60 in Chapter 23  that a  minimum energy transfer of 150 mJ  is  needed to cause an explosion. (f) Where did the powder explo-  sion most likely occur: in the powder cloud at the unloading bin  (Problem 60 of Chapter 25), within the pipe, or at the exit of the  pipe into the silo? 

60 

SSM  A  steady  beam  of  alpha  particles  (q = +2e)  travel-  ing  with  constant  kinetic  energy  20 MeV  carries  a  current  of 0.25  μA. (a)  If  the beam is  directed perpendicular to a  flat  surface, how  many  alpha particles  strike  the surface  in  3.0 s?  (b) At any instant, how many alpha particles are there in a given  20 cm  length of the  beam? (c)  Through  what potential differ-  ence is it necessary to accelerate each alpha particle from rest to  bring it to an energy of 20 MeV? 

61 

A  resistor  with  a  potential difference  of  200 V  across  it  transfers  electrical  energy  to  thermal  energy  at  the  rate  of  3000 W. What is the resistance of the resistor?  62 

A  2.0 kW  heater  element from  a  dryer  has  a  length of  80 cm. If a 10 cm section is removed, what power is used by the  now shortened element at 120 V?  63 

/

P ROBL EMS 

A cylindrical resistor of radius 5.0 mm and length 2.0 cm is  made of material that has a resistivity of 3.5 × 10 –5  Ω · m. What  are (a)  the magnitude of the current density and (b) the poten-  tial difference  when the energy dissipation rate  in the resistor  is 1.0 W?  64 

A  potential difference  V  is  applied  to  a  wire  of  cross-  sectional area A, length L, and resistivity  . You want to change  the applied potential difference and stretch the wire so that the  energy dissipation rate  is  multiplied by  30.0 and the current is  multiplied by 4.00. Assuming the wire’s density does not change,  what are (a) the ratio of the new length to L and (b) the ratio of  the new cross-sectional area to A?  65 

The headlights of a moving car require about 10 A from the  12 V alternator, which is driven by the engine. Assume the alter-  nator is 80% efficient (its  output electrical power is 80% of its  input  mechanical  power),  and  calculate  the  horsepower  the  engine must supply to run the lights.  66 

A 500 W heating unit is designed to operate with an applied  potential difference of 115 V. (a) By what percentage will its heat  output drop if the applied potential difference drops to 110 V?  Assume no change in resistance. (b) If you took the variation of  resistance with temperature into account, would the actual drop  in heat output be larger or smaller than that calculated in (a)?  67 

The copper windings of a motor have a resistance  of 50 Ω  at 20°C when the motor is idle. After the motor has run for sev-  eral hours, the resistance rises to 58 Ω. What is the temperature  of the windings now? Ignore changes in the dimensions of the  windings. (Use Table 26.3.1.)  68 

How  much  electrical  energy  is  transferred  to  thermal  energy  in 2.00 h by  an electrical  resistance  of 400 Ω  when the  potential applied across it is 90.0 V?  69 

A caterpillar of length 4.0 cm crawls in the direction of elec-  tron drift along a 5.2-mm-diameter bare copper wire that carries  a uniform current of 12 A. (a) What is  the potential difference  between the two ends of the caterpillar? (b) Is its tail positive or  negative relative to its head? (c)  How much time does the cat-  erpillar take to crawl 1.0 cm if it crawls at the drift speed of the  electrons in the wire?  (The number of charge carriers  per  unit  volume is 8.49 × 10 28  m –3 .)  70 

SSM  (a) At what temperature would the resistance of a cop-  per  conductor be double its  resistance  at 20.0°C? (Use  20.0°C 

71 

815

as the reference point in Eq. 26.3.10; compare your answer with  Fig. 26.3.4.) (b) Does this same “doubling temperature” hold for  all copper conductors, regardless  of shape or size?  A steel trolley-car rail has a cross-sectional area of 56.0 cm 2 .  What is  the resistance  of 10.0 km of rail?  The resistivity of the  steel is 3.00 × 10 –7  Ω · m.  72 

A coil of current-carrying Nichrome wire is immersed in a  liquid. (Nichrome  is  a  nickel–chromium–iron alloy commonly  used in heating elements.) When the potential difference across  the coil is 12 V and the current through the coil is 5.2 A, the liq-  uid evaporates at the steady rate of 21 mg/s. Calculate the heat  of vaporization of the liquid (see Module 18.4).  73 

GO  The current density in a wire is uniform and has magni-  tude 2.0 × 10 6  A/m 2 , the wire’s  length is  5.0 m, and the density  of  conduction  electrons  is  8.49 × 10 28  m –3 .  How  long  does  an  electron take (on the average) to travel the length of the wire?  74 

A certain x-ray tube operates at a current of 7.00 mA and a  potential difference of 80.0 kV. What is its power in watts?  75 

A  current  is  established  in  a  gas  discharge  tube when  a  sufficiently high potential difference  is  applied across  the two  electrodes in the tube. The gas  ionizes; electrons move toward  the  positive terminal and  singly  charged  positive ions  toward  the negative terminal. (a) What is the current in a hydrogen dis-  charge tube in which 3.1 × 10 18 electrons and 1.1 × 10 18 protons  move past a cross-sectional area of the tube each second? (b) Is  the direction of the current density  J  toward or away from the  negative terminal?  76 

→

Two drift speeds. One end of an aluminum wire with diam-  eter 2.5 mm is welded to one end of a copper wire with diameter  1.8 mm. The composite carries  a steady current i of 1.3 A. For  points that are not next to the junction, what is the current den-  sity in (a) the aluminum wire and (b) the copper wire? (c) What  is the magnitude of the electric field in the copper?  77 

Semiconductor. A  strip of silicon has width w  = 3.2 mm  and thickness t  = 250 µm and carries  current i = 5.2 mA. The  silicon  is  said  to be  an  n-type  semiconductor  because  it  has  been “doped” with a controlled phosphorus impurity. The pro-  cess greatly increased n, the number of charge carriers per unit  volume, to a value of 1.5 × 10 23  m −3 . What are (a) the current  density, (b) the drift speed, and (c) the electric field magnitude  in the strip?  78 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

7

Circuits 

27.1  SINGLE-LOOP CIRCUITS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

27.1.1  Identify the action of an emf source in terms of  the work it does.  27.1.2  For an ideal battery, apply the relationship  between  the emf, the current,  and the power (rate of  energy transfer).  27.1.3  Draw a schematic diagram for a single-loop  circuit  containing a battery and three resistors.  27.1.4  Apply the loop rule to write  a loop equation  that  relates the potential differences  of the circuit  ele-  ments around a (complete) loop.  27.1.5  Apply the resistance rule in crossing through a  resistor. 

27.1.10  Calculate the potential difference  between  any  two points in a circuit.  27.1.11  Distinguish a real battery from an ideal battery  and, in a circuit  diagram, replace a real battery with  an ideal battery and an explicitly shown resistance.  27.1.12  With a real  battery in a circuit,  calculate  the  potential difference  between  its terminals  for cur-  rent in the direction of the emf and in the opposite  direction.  27.1.13  Identify what  is meant by grounding a cir-  cuit, and draw  a schematic diagram for such a  connection. 

27.1.6  Apply the emf rule in crossing through an emf.  27.1.7  Identify that resistors in series have the same  current,  which  is the same value that their equivalent  resistor has. 

27.1.14  Identify that grounding a circuit  does not affect  the current in a circuit.  27.1.15  Calculate the dissipation rate of energy in a  real battery. 

27.1.8  Calculate the equivalent of series resistors.  27.1.9  Identify that a potential applied  to resistors  wired  in series is equal to the sum of the potentials 

27.1.16  Calculate the net rate of energy transfer  in a  real battery for current in  the direction  of the emf  and in the opposite direction. 

across the individual  resistors. 

Key Ideas 

â—An emf device does work on charges to maintain  a 

dW  is the work the device does to force positive charge  dq  potential difference  between its output terminals. If 

from the negative to the positive terminal,  then the emf  (work per unit  charge) of the device is 

dW  definition of â„).  â„° = ____  ° ( dq  â—An ideal emf device is one that lacks any internal 

â—The change  in potential in  traversing an ideal  emf  device in the direction  of the emf arrow is 

–℠(emf rule).  ° 

+â„; in the  °

opposite direction it is 

â—Conservation of energy leads to the loop rule:  Loop Rule.

The algebraic sum of the changes in poten-

tial encountered in a complete traversal of any loop of a circuit must be zero. 

Conservation of charge leads to the junction  rule  (Chapter 26): 

resistance. The potential difference  between its termi- 

Junction Rule.

nals is equal  to the emf. 

junction must be equal to the sum of the currents leav-

â—A real emf device has internal  resistance. The poten-  tial difference  between  its terminals  is equal to the emf  only if there is no current through the device. 

â—The change in potential  in traversing a resistance  R 

– iR ; in the opposite  +iR (resistance rule). 

in the direction  of the current is  direction  it is 

The sum of the currents entering any

ing that junction . 

and internal  resistance  â—When a real battery of emf  â„° 

r does work on the charge carriers in a current i  through the battery, the rate P  of energy transfer to the  charge carriers is 

P = iV, 

816 /

27.1  SINGL E- L OOP   C IRC U IT S 

where 

V is the potential  across the terminals  of the 

817

P emf  = i â„.° 

battery. 

â—The rate P r  at which  energy is dissipated as thermal  energy in the  battery is 

P r  = i 2 r.  â—The rate P emf  at which  the chemical  energy in the  battery changes  is 

â—When resistances are in series, they have the same  current.  The equivalent  resistance that can replace  a  series combination of resistances is 

n 

R eq  =  ∑ R j  j=1 

(n resistances in series ). 

What Is Physics? 

You  are surrounded  by  electric circuits. You  might  take  pride  in  the  number  of  electrical devices you  own  and  might even carry a mental list of  the  devices  you  wish  you  owned.  Every one  of  those  devices, as well  as the  electrical grid  that  powers your  home,  depends on  modern electrical engineering. We cannot  easily estimate the current financial worth of electrical engineering and its prod-  ucts, but  we can be certain that the financial worth  continues to  grow yearly as  more and  more tasks are handled  electrically. Radios  are now  tuned  electroni-  cally  instead of  manually. Messages are now  sent  by  email  instead of  through  the postal  system. Research journals  are now  read on  a computer instead of in  a library  building,  and  research papers  are now  copied  and  filed  electronically  instead of photocopied  and tucked into a filing cabinet. Indeed, you may be read-  ing an electronic version of this book.  The basic science of electrical e ngineering is physics. In this chapter we cover  the  physics  of  electric circuits that  are combinations  of  resistors  and  batteries  (and, in  Module 27.4, capacitors). We restrict our  discussion  to circuits through  which charge flows in one direction, which are called either direct-current circuits  or DC circuits. We begin with the question: How can you get charges to flow? 

“PumpingCharges  †  If you  want to make charge carriers flow  through a resistor, you must establish  a potential difference between the ends of  the device. One way to do  this  is to  connect each end of the resistor to one plate of a charged capacitor. The trouble  with this scheme is that the flow of charge acts to discharge the capacitor, quickly  bringing the plates to the same potential. When that happens, there is no longer  an electric field in the resistor, and thus the flow of charge stops.  To produce a steady flow of charge, you need a â€œcharge  pump,â€a device that   —  by doing  work  on  the charge carriers—maintains a potential  difference between  a pair of  terminals. We  call such  a device an  emf device, and  the device is  said  to provide  an emf â„,° which  means that it does work  on charge carriers. An emf  device is sometimes called a seat of emf. The term emf comes from the outdated  phrase electromotive force, which was adopted before scientists clearly understood  the function of an emf device.  In Chapter 26, we discussed the motion  of  charge carriers through  a circuit  in  terms of the  electric field set up  in the circuit—the field  produces forces that  move the charge carriers. In this chapter we take a different approach: We discuss  the motion  of the charge carriers in terms of the required energy—an  emf device  supplies the energy for the motion via the work it does.  A common emf device is the battery, used to power a wide variety of machines  from wristwatches to submarines. The emf device that most influences our daily  lives, however, is the electric generator, which, by means of electrical connections  (wires) from a generating plant, creates a potential difference in our  homes and  workplaces. The emf devices known  as solar cells, long  familiar as the wing-like  panels  on  spacecraft, also  dot  the  countryside  for  domestic applications.  Less 

/

818

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

familiar emf devices are the  fuel  cells  that  powered the  space shuttles and  the  thermopiles  that  provide onboard  electrical power  for  some  spacecraft and  for  remote stations in Antarctica and elsewhere. An emf device does not  have to be  an  instrument—living systems, ranging from  electric eels and  human  beings  to  plants, have physiological emf devices.  Although the  devices we have listed  differ  widely in  their modes  of opera-  tion,  they all perform the same basic function—they do  work on  charge carriers  and thus maintain a potential difference between their terminals. 

a

i

a'

+ i

R

–

i

A simple electric  circuit, in which a device of emf â„°  does work on the charge carriers  and maintains a steady current i in a  resistor of resistance  R.  Figure  27.1.1 

A

i

–+

A M

R

i

B –+ i

B

m

(a ) Work done by motor on mass m Chemical energy lost by B

Thermal energy produced by resistance R Chemical energy stored in A (b )

(a) In the circuit,  â„B  ° > â„A  ° ; so battery B determines  the direction of the current. (b) The  energy transfers in the circuit.  Figure  27.1.2 

Work, Energy, and Emf 

Figure 27.1.1 shows  an emf device (consider it to  be a battery) that is part  of a  simple  circuit containing  a single  resistance R  (the symbol  for  resistance and  a  resistor is  ). The emf device keeps one of  its terminals (called the positive  terminal and often labeled +) at a higher electric potential than the other termi-  nal (called the negative terminal and labeled â€“ ). We can represent the emf of the  device with an arrow that points  from the negative terminal toward the positive  terminal as in Fig. 27.1.1. A small circle on the tail of the emf arrow distinguishes  it from the arrows that indicate current direction.  When an emf device is not  connected to  a circuit, the internal chemistry of  the  device  does  not  cause  any net  flow  of  charge carriers within  it.  However,  when it  is connected to a circuit as in  Fig. 27.1.1, its internal chemistry causes a  net flow of positive charge carriers from the negative terminal to the positive ter-  minal, in the direction of the emf arrow. This flow is part of the current that is set  up around the circuit in that same direction (clockwise in Fig. 27.1.1).  Within  the emf device, positive  charge carriers move from  a region  of  low  electric potential and thus low electric potential energy (at the negative terminal)  to  a region  of  higher  electric potential  and  higher  electric potential  energy (at  the positive terminal). This motion  is just the opposite of what the electric field  between the terminals (which  is directed from the positive terminal toward  the  negative terminal) would cause the charge carriers to do.  Thus, there must be some source of energy within  the device, enabling it to  do  work on  the charges by forcing them to move as they do. The energy source  may be chemical, as in a battery or a fuel cell. It may involve mechanical forces,  as in an electric generator. Temperature differences may supply the energy, as in  a thermopile; or the Sun  may supply it, as in a solar cell.  Let us now  analyze the circuit  of Fig. 27.1.1 from the point  of  view of work  and energy transfers. In any time interval dt, a charge dq passes through any cross  section of this circuit, such as aaʹ . This same amount of charge must enter the emf  device at  its  low-potential  end  and  leave at its  high-potential  end.  The  device  must do an amount of work dW on the charge dq to force it to move in this way.  We define the emf of the emf device in terms of this work:  dW  definition of â„)° .  â„°  = ____  ( dq 

(27.1.1) 

In  words, the  emf of  an emf device is  the work  per unit  charge that the device  does  in  moving  charge  from  its  low-potential  terminal  to  its  high-potential  terminal. The SI unit for emf is the joule per coulomb; in Chapter 24 we defined  that unit as the volt.  An ideal emf device is one that lacks any internal resistance to the internal  movement of charge from terminal to terminal. The potential difference between  the terminals of an ideal emf device is equal to the emf of the device. For exam-  ple, an  ideal battery with  an emf of  12.0 V always has a potential difference of  12.0 V between its terminals. 

/

819

27.1  SINGL E- L OOP   C IRC U IT S 

A real  emf device, such  as any  real battery, has  internal  resistance to  the  internal movement of charge. When a real emf device is not connected to a circuit,  and  thus  does  not  have current through  it, the  potential difference between its  terminals is equal to its emf. However, when that device has current through  it,  the potential difference between its terminals differs from its emf. We shall dis-  cuss such real batteries near the end of this module.  When an emf device is connected  to a circuit, the device transfers energy to  the charge carriers passing through it. This energy can then be transferred from the  charge carriers to other devices in the circuit, for example, to light  a bulb. Figure  27.1.2a shows a circuit containing two ideal rechargeable (storage) batteries A and  B, a resistance R, and an electric motor M that can lift  an object  by using energy  it obtains  from charge carriers in the circuit. Note that the batteries are connected  so  that they tend  to  send charges around  the circuit  in  opposite  directions.  The  actual direction of the current in the circuit is determined by the battery with the  larger emf, which happens to be battery B, so the chemical energy within  battery  B is decreasing as energy is transferred to the charge carriers passing  through  it.  However, the chemical energy within battery A is increasing because the current in  it is directed from the positive terminal to the negative terminal. Thus, battery B is  charging battery A. Battery B is also providing energy to motor M and energy that  is being dissipated by resistance R. Figure 27.1.2b shows all three energy transfers  from battery B; each decreases that battery ’ chemical energy.  s 

Calculating the Current in a Single-Loop Circuit 

We discuss here two equivalent ways to calculate the current in the simple single-loop  circuit of  Fig. 27.1.3; one  method is  based on  energy conservation considerations,  and the other on  the concept of  potential. The circuit consists of an ideal battery B  with emf â„, a resistor of resistance R, and two connecting wires. (Unless otherwise  ° indicated, we assume that wires in circuits have negligible resistance. Their function,  then, is merely to provide pathways along which charge carriers can move.)  Energy  Method 

Equation  26.5.3 (P = i 2 R) tells us that in a time interval dt an amount of energy  given  by i 2 R dt  will  appear  in  the  resistor of  Fig. 27.1.3 as thermal energy. As  noted in Module 26.5, this energy is said to be dissipated. (Because we assume the  wires to have negligible resistance, no thermal energy will appear in them.) Dur-  ing the same interval, a charge dq = i dt will have moved through battery B, and  the work that the battery will have done on this charge, according to Eq. 27.1.1, is  dW = â„° dq =  â„i dt.  ° From the principle of conservation of  energy, the work done  by the (ideal) bat-  tery must equal the thermal energy that appears in the resistor:  â„i° dt = i 2 R dt. 

The battery drives current through the resistor, from high potential to low potential. i

This gives us  â„°  = iR. 

The emf â„°  is the energy per unit charge transferred to the moving charges by the  battery. The quantity iR is the energy per unit charge transferred from the mov-  ing charges to thermal energy within the resistor. Therefore, this equation means  that the energy per unit  charge transferred to the moving charges is equal to the  energy per unit charge transferred from them. Solving for i, we find  â„°  i = __  .  R 

(27.1.2) 

Higher potential

+ – B

R

a

i

i

Lower potential

A single-loop circuit  in which a resistance  R is connected  across  an ideal battery B with emf â„. ° The resulting current i is the same  throughout the circuit.  Figure  27.1.3 

/

820

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

Potential  Method 

Suppose we start at any point in the circuit of Fig. 27.1.3 and mentally proceed around  the circuit in either direction, adding algebraically the potential  differences that we  encounter. Then when we return to  our starting point,  we must also have returned  to  our starting potential. Before actually doing so, we shall formalize this idea in  a  statement that holds  not  only for  single-loop circuits such  as that of  Fig. 27.1.3 but  also for any complete loop in a multiloop  circuit, as we shall discuss in Module 27.2:  LOOP RULE:  The algebraic sum of the changes in potential encountered in a  complete traversal of any loop of a circuit must be zero. 

This is often referred to as Kirchhoff’ loop rule (or Kirchhoff s  ’ voltage law), after  s  German physicist Gustav Robert Kirchhoff. This rule is equivalent to saying that  each point on a mountain has only one elevation above sea level. If you start from  any point  and return to it after walking around  the mountain, the algebraic sum  of the changes in elevation that you encounter must be zero.  In Fig. 27.1.3, let us start at point a, whose potential is V a  , and mentally walk  clockwise around  the  circuit  until  we  are back  at a, keeping  track of  potential  changes as we move. O ur starting point is at the low-potential terminal of the bat-  tery. Because the battery is ideal, the potential difference between its terminals is  equal to  â„. When we pass through the battery to the high-potential terminal, the  ° change in potential is +â„. ° As we  walk  along  the  top  wire  to  the  top  end  of  the  resistor, there  is  no  potential  change  because  the  wire  has  negligible  resistance; it  is  at  the  same  potential  as the  high-potential  terminal of  the battery. So  too  is the top  end  of  the resistor. When  we pass through the resistor, however, the potential changes  according to Eq. 26.3.1 (which we can rewrite as V = iR). Moreover, the potential  must decrease because we are moving from the higher potential side of the resis-  tor. Thus, the change in potential is â€“ iR.  We return  to  point  a by moving along  the  bottom  wire. Because this  wire  also has negligible resistance, we again find no potential change. Back at point a,  the potential is again V a. Because we traversed a complete loop, our initial poten-    tial, as modified for potential changes along the way, must be equal to our final  potential; that is,  V a  + â„°  – iR = V    a.    The value of V a  cancels from this equation, which becomes  â„°  – iR = 0.   

Solving this equation for i gives us the same result, i =  â„/R, as the energy method  ° (Eq. 27.1.2).  If we apply  the  loop  rule  to  a complete counterclockwise  walk  around  the  circuit, the rule gives us  –℠+ iR = 0  °  and  we again find  that i = â„/R. Thus,  ° you  may mentally circle  a loop  in  either  direction to apply the loop  rule.  To prepare for circuits more complex than that of Fig. 27.1.3, let us set down  two rules for finding potential differences as we move around a loop:  RESISTANCE RULE:  For a move through a resistance in the direction of the  current, the change in potential is  – iR; in the opposite direction it is +iR. 

EMF RULE:  For a move through an ideal emf device in the direction of the  emf arrow, the change in potential is +â„; in the opposite direction it is  ° –℠.  °

/

27.1  SINGL E- L OOP   C IRC U IT S 

821

i

Checkpoint 27.1.1 

The figure shows the current i in a single-loop circuit  with a battery B and a resistance R (and wires of  negligible resistance). (a) Should the emf arrow at B  a b c R be drawn pointing leftward or rightward? At points  B a, b, and c, rank (b) the magnitude of the current, (c) the electric potential, and (d) the  electric potential energy of the charge carriers, greatest first. 

Other  Single-Loop Circuits 

Next we extend the simple circuit of Fig. 27.1.3 in two ways.  Internal Resistance 

Figure 27.1.4a shows a real battery, with internal resistance r , wired to an exter-  nal resistor of resistance R. The internal resistance of the battery is the electrical  resistance of the conducting materials of the battery a nd thus is an unremovable  feature of the battery. In Fig. 27.1.4a, however, the battery is drawn as if it could  be separated into an ideal battery with emf â„°  and a resistor of resistance r . The  order in which the symbols for these separated parts are drawn does not matter.  i i

r

R

i

a

i

) V( laitnetoP

b

a

+

–

Real battery

b

a

r

R Vb

ir

iR

Va

Emf device

Va

Resistor

i

(a )

(b )

(a) A single-loop circuit containing a real battery having internal resistance  r and emf â„. (b) The same circuit, now spread out in a line. The potentials encountered  ° in traversing the circuit clockwise from a are also shown. The potential V a  is arbitrarily  assigned a value of zero, and other potentials in the circuit are graphed relative to V a .  Figure  27.1.4 

If  we  apply  the  loop  rule  clockwise  beginning  at  point  a,  the  changes in  potential give us  â„°  – ir  â€“ iR = 0.   

(27.1.3) 

â„°  .  i = _____  R + r 

(27.1.4) 

Solving for the current, we find 

Note that this equation reduces to Eq. 27.1.2 if the battery is ideal—that is, if r = 0.  Figure 27.1.4b shows graphically the changes in electric potential around  the  circuit. (To better link  Fig. 27.1.4b with the closed circuit in Fig. 27.1.4a, imagine  curling  the  graph into  a cylinder with  point  a at the left overlapping point  a  at  the  right.) Note how  traversing the  circuit  is  like  walking around  a  (potential)  mountain back to your starting point—you return to the starting elevation.  In this  book,  when a battery is not  described as real or if no  internal resis-  tance is indicated, you can generally a ssume that it is ideal—but, of course, in the  real world batteries are always real and have internal resistance. 

/

822

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

i

Resistances  in Series 

b R1

+ –

i

R2

R3 a i

(a )

Series resistors and their equivalent have the same current (“ser-i†).

b

+ –

Figure  27.1.5a  shows  three  resistances connected  in  series to  an  ideal  battery  with emf â„. This description has little to do with how  ° the resistances are drawn.  Rather,  “in  seriesâ€means that the    resistances are wired one  after another and  that  a  potential  difference  V  is  applied  across  the  two  ends  of  the  series. In  Fig. 27.1.5a, the resistances a re connected one after a nother between a and b, and  a potential difference is maintained across a and b by the battery. The potential  differences that  then exist across the resistances in  the series produce  identical  currents i in them. In general,  When a potential difference V is applied across  resistances  connected in series,  the resistances have identical currents i. The sum of the potential differences  across the resistances is equal to the applied potential difference V. 

Note  that charge moving through  the  series resistances can move along  only  a  single route. If there are additional routes, so that the currents in different resis-  tances are different, the resistances are not connected in series.  R eq

i

Resistances connected in series  can be replaced with an equivalent resistance  R eq  that has the same current i and the same total potential difference V as the  actual resistances. 

a

(b)

(a) Three resistors are  connected in series  between points a  and b. (b) An equivalent circuit, with  the three resistors replaced with their  equivalent resistance R eq .  Figure  27.1.5 

You might remember that R eq  and all the actual series resistances have the same  current i  with  the  nonsense  word  “ser-i.Figure  †  27.1.5b  shows  the  equivalent  resistance R eq  that can replace the three resistances of Fig. 27.1.5a.  To  derive an  expression for  R eq  in  Fig. 27.1.5b, we apply  the loop  rule to  both circuits. For Fig. 27.1.5a, starting at a and going clockwise around the cir-  cuit, we find  â„°  – iR    1  â€“ iR    2   – iR    3   = 0,  or 

â„°  i = ___________  .  R 1  + R 2  + R 3  

(27.1.5) 

For Fig. 27.1.5b, with the three resistances replaced with a single equivalent resis-  tance R eq , we find  â„° â€“ iR    eq  = 0,  â„° .  i =  ____  R eq 

or 

(27.1.6) 

Comparison of Eqs. 27.1.5 a nd 27.1.6 shows that  R eq  = R 1  + R 2  + R 3.   The extension to n resistances is straightforward and is  n 

R eq  =  ∑ R j  j=1 

( n resistances in series ) . 

(27.1.7) 

Note  that  when  resistances are  in  series,  their  equivalent  resistance is  greater  than any of the individual resistances. 

Checkpoint 27.1.2 

In Fig. 27.1.5a, if R 1  > R 2  > R 3 , rank the three resistances according to (a) the current  through them and (b) the potential difference across them, greatest first. 

/

27.1  SINGL E- L OOP   C IRC U IT S 

Potential Difference Between  Two Points 

We often want to find  the potential difference between two points  in a circuit. For  example, in Fig. 27.1.6, what is the potential difference V b  – V a   between points  a and  b? To find out, let’ start at point a (at potential V  s  a ) and move through the battery to  point b (at potential V b ) while keeping track of the potential changes we encounter.  When we pass through the battery’ emf, the potential increases by  s  â„. When we pass  ° through the battery’ internal resistance  s  r, we move in the direction of the current and  thus the potential decreases by ir. We are then at the potential of point b and we have  or 

V b  – V  a  = â„°  – ir.   

(27.1.8) 

To  evaluate this  expression, we need  the current i. Note that  the  circuit  is  the  same as in Fig. 27.1.4a, for which Eq. 27.1.4 g ives the current as  â„°  .  i = _____  R + r 

The internal resistance reduces the potential difference between the terminals. b

+

i

r

= 2.0 Ω 

R

= 4.0 Ω 

= 12 V a

V a  + â„° â€“ ir = V    b , 

823

–

i

Points a and b, which  are at the terminals of a real battery,  differ in potential.  Figure  27.1.6 

(27.1.9) 

Substituting  this equation into Eq. 27.1.8 g ives us  V b  −V    a  = â„°  −_____    â„°   r  R + r  â„°   R.  = _____  R + r  Now substituting  the data given in Fig. 27.1.6, we have  12 V  V b  −V    a  = ___________   4.0 Î©=    8.0 V.  4.0 Î©+    2.0 Î© 

(27.1.10) 

(27.1.11) 

Suppose,  instead, we  move from  a to  b  counterclockwise, passing through  resistor R rather than through the battery. Because we move opposite the current,  the potential increases by iR. Thus,  V a  + iR = V b  or 

V b  – V  a   = iR. 

(27.1.12) 

Substituting  for i from Eq. 27.1.9, we again find  Eq. 27.1.10. H ence, substitution  of the data in Fig. 27.1.6 y ields the same result, V b  – V  a  = 8.0 V. In general,  To find the potential between any two points in a circuit, start at one point and  traverse the circuit to the other point, following any path, and add algebraically  the changes in potential you encounter.  Potential  Difference  Across  a Real Battery 

In  Fig. 27.1.6, points  a and  b  are located at the terminals of  the battery. Thus,  the potential difference V b  – V  a  is the terminal-to-terminal potential difference V  across the battery. From Eq. 27.1.8, we see that  V = â„° â€“ ir.   

(27.1.13) 

If the internal resistance r of the battery in Fig. 27.1.6 were zero, Eq. 27.1.13  tells us that V would  be equal to the emf â„° of the battery—namely,  12 V. How-  ever, because r = 2.0 Î©, Eq. 27.1.13 tells us that V is less than â„.° From Eq. 27.1.11,  we know  that  V is only  8.0 V. Note that  the result depends on  the  value of  the  current through the battery. If the same battery were in a different circuit and had  a different current through it, V would have some other value.  Grounding a Circuit 

Figure  27.1.7a shows  the  same circuit  as Fig.  27.1.6 except that  here point  a is  directly connected to ground, as indicated by the common symbol  . Grounding 

/

824

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

b

+

i

r

b

= 2.0 Ω 

R

+

= 12 V a

–

r

(a)

to ground. 

= 2.0 Ω 

R

= 4.0 Ω 

= 12 V

i a

Figure  27.1.7 

i

= 4.0 Ω 

–

Ground is taken to be zero potential.

i

(b )

(a) Point a is directly connected to ground. (b) Point b is directly connected 

a  circuit  usually  means connecting  the  circuit  to  a  conducting  path  to  Earth’s  surface (actually to the electrically c onducting moist dirt and rock below ground).  Here, such a connection means only that the potential is defined to be zero at the  grounding  point  in  the circuit. Thus  in  Fig. 27.1.7a, the potential  at a is defined  to be V a  = 0. Equation 27.1.11 then tells us that the potential at b is V b  = 8.0 V.  Figure  27.1.7b  is  the  same circuit  except that  point  b  is  now  directly con-  nected  to  ground.  Thus,  the  potential  there  is  defined  to  be  V b  = 0.  Equation  27.1.11 now tells us that the potential at a is V a  = â€“ 8.0 V.  Power,  Potential,  and Emf 

When a battery or some other type of emf device does work on the charge c arri-  ers to establish a current i, the device transfers energy from its source of energy  (such as the chemical source in a battery) to the charge carriers. Because a real  emf device has an internal resistance r, it also transfers energy to internal ther-  mal energy v ia resistive dissipation (Module 26.5). Let us relate these transfers.  The net rate P of energy transfer from the emf device to the charge carriers  is given by Eq. 26.5.2:  P = iV,  (27.1.14)  where V is the potential across the terminals of the emf device. From Eq. 27.1.13,  we can substitute V =  â„°  – ir into Eq. 27.1.14    to find  P = i(â„°  – ir) = i    â„°  – i 2  r. 

(27.1.15) 

From Eq. 26.5.3, we recognize the term i 2 r in Eq. 27.1.15 a s the rate P r  of energy  transfer to thermal energy within  the emf device:  P r  = i 2 r 

(internal dissipation rate). 

(27.1.16) 

Then  the term i â„° in  Eq.  27.1.15 must  be the rate P emf  at which  the emf device  transfers energy both to the charge carriers and to internal thermal energy. Thus,  P emf  = i â„°  (power of emf device). 

(27.1.17) 

If a battery is being recharged, with a â€œwrong  wayâ€current through it, the energy    transfer is then from the charge carriers to the battery—both to the battery’ chemical  s  energy and to the energy dissipated in the internal resistance r. The rate of change  of  the chemical energy is  given by  Eq.  27.1.17, the  rate of  dissipation  is  given by  Eq. 27.1.16, and the rate at which the carriers supply energy is given by Eq. 27.1.14.  Checkpoint 27.1.3 

A battery has an emf of 12 V and an internal resistance of 2 Î©. Is the terminal-to-  terminal potential difference greater than, less than, or equal to 12 V if the current in  the battery is (a) from the negative to the positive terminal, (b) from the positive to  the negative terminal, and (c)  zero? 

/

27.1  SINGL E- L OOP   C IRC U IT S 

Sample Problem 27.1.1

825

Single-loop  circuit with two real  batteries 

The emfs and resistances in the circuit of Fig. 27.1.8a have  the following values:  â„1 ° = 4.4 V,  â„2 ° = 2.1 V, 

r 1  = 2.3 Î©,  r 2  = 1.8 Î©,  R = 5.5 Î©.  (a) What is the current i in the circuit? 

KEY IDEA

the two batteries. Because â„1 ° is greater than  â„2 ° , battery  1 controls the direction of i, so the direction is clockwise.  Let  us  then  apply  the  loop  rule  by  going  counterclock-  wise—against  the current—and starting at point  a. (These  decisions about where to start and which  way you go are  arbitrary but,  once  made,  you  must  be  consistent  with  decisions about the plus and minus signs.) We find  –℠°  1  + iR + ir 2  + â„2 ° = 0.  1 + ir 

We  can get an expression involving the  current i in  this  single-loop  circuit by applying the loop  rule, in which  we  sum the potential changes around the full loop.  Although knowing the direction of i is not  necessary, we  can  easily  determine it  from  the  emfs  of  Calculations:

a i

1

Battery 1

2

r1

R

b

Battery 2

r2

i

= 0.2396 A â‰ 240 mA.  ˆ 

KEY IDEA i

r1

a

b

(Answer) 

(b)  What  is  the  potential  difference between the  termi-  nals of battery 1 in Fig. 27.1.8a? 

c

(a )

1

Check that this equation also results if we apply the loop  rule clockwise or start at some point  other than a. Also,  take the time to compare this equation term by term with  Fig. 27.1.8b, which  shows  the potential  changes graphi-  cally (with  the  potential  at  point  a  arbitrarily taken  to  be zero).  Solving  the above loop  equation  for the  current i,  we obtain  â„1 ° âˆ’â„   2 °  __________________  4.4 V âˆ’2.1 V    i = _________  =  R + r 1   + r 2   5.5 Î©+    2.3 Î©+    1.8 Î© 

R

c

2

r2

a

We need to sum the potential differences between points  a and b.  Let  us  start  at  point  b  (effectively the  negative  terminal  of  battery  1)  and  travel  clockwise  through battery 1 to point a (effectively the positive ter-  minal), keeping track of potential changes. We find that  Calculations:

0

Va

Va

–1

) V( laitnetoP

–2

2= 1=

4.4 V

ir 2

iR

Vb ir 1

Resistor

Battery 2

(b)

(a) A single-loop circuit containing two real bat-  teries and a resistor. The batteries oppose each other; that is,  they tend to send current in opposite directions through the  resistor. (b) A graph of the potentials, counterclockwise from  point a, with the potential at a arbitrarily taken to be zero. (To  better link the circuit with the graph, mentally cut the circuit  at a and then unfold the left side of the circuit toward the left  and the right side of the circuit toward the right.)  Figure  27.1.8 

which gives us  V a  âˆ’V    b  = âˆi’ r 1  + â„1  ° 

–5

Battery 1

V b  – ir  1  + â„1 ° = V a ,   

Vc

–3 –4

2.1 V

= âˆ(’0.2396 A) (2.3 Î©) + 4.4 V  = +3.84 V â‰ 3.8 V,  ˆ 

(Answer) 

which is less than the emf of the battery. You can verify this  result by starting at point  b  in Fig. 27.1.8a and traversing  the circuit counterclockwise to point a. We learn two points  here. (1) The potential difference between two points  in a  circuit is independent of the path we choose to go from one  to the other.  (2) When the current in the battery is in the  “properdirection, the terminal-to-terminal potential  †  dif-  ference is low,  that  is,  lower than  the  stated  emf for  the  battery that you might find printed on the battery. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

826

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

27.2  MULTILOOP CIRCUITS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

27.2.1  Apply the junction  rule. 

current  through the battery can be determined, 

27.2.2  Draw a schematic diagram for a battery and 

and then reverse the steps to find the currents and 

three parallel  resistors and distinguish it from a dia-  gram with a battery and three series resistors.  27.2.3  Identify that resistors in parallel  have the same 

potential differences  of the individual  resistors.  27.2.7  If a circuit cannot be simplified  by using equiva-  lent resistors, identify the several loops in the circuit, 

potential  difference,  which  is the same value that 

choose names and directions for the currents in 

their  equivalent resistor has. 

the branches, set up loop equations for the various 

27.2.4  Calculate the resistance of the equivalent resis-  tor of several resistors in parallel. 

loops, and solve these simultaneous equations for  the unknown  currents. 

27.2.5  Identify that the total current  through parallel  resistors is the sum of the currents through the indi-  vidual resistors. 

27.2.8  In a circuit  with  identical  real batteries in series,  replace  them with  a single ideal  battery and a single  resistor. 

27.2.6  For a circuit  with a battery and some resistors 

27.2.9  In a circuit  with  identical  real batteries in parallel, 

in parallel  and some in series, simplify  the circuit 

replace  them with  a single ideal  battery and a single 

in steps by finding  equivalent  resistors, until  the 

resistor. 

Key Idea 

â—When  resistances are in parallel,  they have the same potential difference.  The equivalent resistance that can replace a parallel  combination of resis-  tances is given by 

n 

1  =  ∑ __  1  (n resistances in parallel).  ____  R eq 

j=1  R j 

Multiloop Circuits 

The current into the junction must equal the current out (charge is conserved). 1

+ –

a

2

b

–+

c

Figure 27.2.1 shows  a circuit containing  more than  one  loop.  For  simplicity, we  assume the batteries are ideal. There are two junctions  in this circuit, at b and d,  and  there are three branches connecting these junctions.  The branches are the  left branch (bad), the right branch (bcd), and the central branch  (bd). What are  the currents in the three branches?  We arbitrarily label the currents, using a different subscript for each branch.  Current i 1   has the  same value everywhere in  branch  bad, i 2   has the same value  everywhere in branch bcd, and i 3  is the current through branch bd. The directions  of the currents are assumed arbitrarily.  Consider  junction  d  for  a  moment:  Charge comes  into  that  junction  via  incoming currents i 1   and i 3  , and it leaves via outgoing current i 2. Because there is    no variation in the charge at the junction,  the total incoming current must equal  the total outgoing current:  i 1  + i 3   = i 2 .   

i1

R1

i3

R3

R2

i2

(27.2.1) 

You  can easily check that applying this  condition  to junction  b  leads to exactly  the same equation. Equation 27.2.1 thus suggests a general principle: 

d

A multiloop circuit con-  sisting of three branches: left-hand  branch bad, right-hand branch bcd,  and central branch bd. The circuit  also consists of three loops: left-hand  loop badb, right-hand loop bcdb, and  big loop badcb.  Figure  27.2.1 

JUNCTION RULE:  The sum of the currents entering any junction must be  equal to the sum of the currents leaving that junction. 

This rule is often called Kirchhoff’ junction  s  rule (or Kirchhoff’ current law). It  s  is simply a statement of the conservation of charge for a steady flow of charge—  there is neither a buildup  nor a depletion of charge at a junction. Thus, our basic 

/

27.2  MU L T IL OOP   C IRC U IT S 

827

tools for solving complex circuits are the loop  rule (based on the conservation of  energy) and the junction  rule (based on the conservation of charge).  Equation 27.2.1 is a single equation involving three unknowns.  To solve the  circuit completely (that is, to find all three currents), we need two more equations  involving those same unknowns. We obtain them by applying the loop  rule twice.  In the circuit  of Fig. 27.2.1, we have three loops  from which to  choose: the left-  hand  loop  (badb), the right-hand loop  (bcdb), and the big loop  (badcb). Which  two  loops  we choose  does  not  matter—let’ choose  s  the  left-hand  loop  and  the  right-hand loop.  If we traverse the left-hand loop in a counterclockwise direction from point b,  the loop  rule gives us  â„1 ° â€“ i 1 R    1  + i 3R    3  = 0. 

(27.2.2) 

If we traverse the right-hand loop  in a counterclockwise direction from point  b,  the loop  rule gives us  – i 3  R 3   – i 2  R 2  â€“ â„ 2 ° = 0. 

(27.2.3) 

We  now  have  three  equations  (Eqs.  27.2.1,  27.2.2, and  27.2.3)  in  the  three  unknown  currents, and they can be solved by a variety of techniques.  If  we  had  applied  the  loop  rule  to  the  big  loop,  we  would  have obtained  (moving counterclockwise from b) the equation  â„1 ° â€“ i 1 R  i 2 R  â„ 2 ° = 0.    1  â€“   2  â€“

However, this is merely the sum of Eqs. 27.2.2 a nd 27.2.3.  Resistances  in Parallel 

Figure  27.2.2a shows  three resistances connected in  parallel to  an ideal battery  of  emf  â„.° The  term  “in  parallelâ€means that    the resistances are directly wired  together on  one  side  and  directly wired  together on  the  other  side, and  that  a  potential difference V is applied across the pair of connected sides. Thus, all three  resistances have the same potential difference V across them, producing a current  through each. In general,  When a potential difference V is applied across resistances  connected in parallel,  the resistances  all have that same potential difference V. 

In Fig. 27.2.2a, the applied potential difference V is maintained by the battery. In  Fig. 27.2.2b, the three parallel resistances have been replaced with an equivalent  resistance R eq . 

Parallel resistors and their equivalent have the same potential difference (“par-V†). i

+ –

i

a

R1

b

i2

i1

i2

+

i3

R2

+ i3 (a )

i

i2

R3

i3

a

+ –

i

R eq

i

b

(b )

(a) Three resistors  connected in parallel across points a and b. (b) An  equivalent circuit, with the three resistors  replaced with their equivalent resistance R eq .  Figure  27.2.2 

/

828

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

Resistances connected in parallel can be replaced with an equivalent resistance  R eq  that has the same potential difference V and the same total current i as the  actual resistances. 

You  might  remember that  R eq  and  all  the  actual  parallel resistances have  the  same potential difference V with the nonsense word â€œpar-V.†  To derive an expression for  R eq  in Fig. 27.2.2b, we first write the current in  each actual resistance in Fig. 27.2.2a as  V ,  i  = ___  V ,  and  i  =  ___  V ,  i 1  = ___  3  R 1   2   R 2   R 3   where V is the potential difference between a and b. If we apply the junction rule  at point a in Fig. 27.2.2a and then substitute these values, we find  1  ___  1  ___  1  i = i 1  + i 2  + i 3  = V  ___  ( R 1  +  R 2 +  R 3)   . 

(27.2.4) 

If we replaced the parallel combination with the equivalent resistance R eq  (Fig.  27.2.2b), we would have  V  .  i =  ____  (27.2.5)  R eq  Comparing Eqs. 27.2.4 a nd 27.2.5 leads to  1  = ___  1  +  ___  1  +  ___  1 .  ____  R eq 

R 1  

R 2  

(27.2.6) 

R 3  

Extending this result to the case of n resistances, we have  n 

1  =  ∑ __  1  (n resistances in parallel).  ____  R eq 

(27.2.7) 

j=1  R j 

For the case of two resistances, the equivalent resistance is their product divided  by their sum; that is,  R 1  R 2   R eq  = _______  .  R 1  + R 2  

(27.2.8) 

Note that when two or more resistances are connected in parallel, the equivalent  resistance is smaller than any of the combining resistances. Table 27.2.1 summarizes  the equivalence relations for resistors and capacitors in series and in parallel.  Table 27.2.1  Series and Parallel  Resistors  and Capacitors 

Series 

Parallel 

Series 

Resistors  n 

R eq =  ∑ R j  Eq. 27.1.7  j=1 

Same current through all  resistors 

Parallel  Capacitors 

n  1  1  = âˆ‘ ____  __  Eq. 27.2.7  R eq  j=1  R j  Same potential difference  across all resistors 

n  1  =  ∑ 1  Eq. 25.3.2  ____  __  C eq  j=1  C j  Same charge on all  capacitors 

n 

C eq  = âˆ‘ C j  Eq. 25.3.1  j=1 

Same potential difference  across all capacitors 

Checkpoint 27.2.1 

A battery, with potential V across it, is connected to a combination of two identical  resistors and then has current i through it. What are the potential difference across and  the current through either resistor if the resistors are (a) in series and (b) in parallel? 

/

27.2  MU L T IL OOP   C IRC U IT S 

Sample Problem 27.2.1

829

Resistors in parallel  and in series 

Figure  27.2.3a shows  a multiloop  circuit  containing  one  ideal  battery  and  four  resistances  with  the  following  values:  R 1   = 20 Î©,  R 2   = 20 Î©,  â„°  = 12 V,  R 3   = 30 Î©,  R 4   = 8.0 Î©.  (a) What is the current through the battery? 

KEY IDEA

We can now redraw the circuit as in Fig. 27.2.3c; note that  the  current through  R 23  must  be  i 1   because charge that  moves through  R 1   and  R 4   must  also  move through  R 23 .  For  this  simple  one-loop  circuit,  the  loop  rule  (applied  clockwise from point  a as in Fig. 27.2.3d) yields  +â„°  – i 1 R  i 1 R  i 1 R    1   –   2 3 â€“   4  = 0.  Substituting  the given data, we find  12 V â€“ i 1  (20 Î©) â€“ i 1 (12  Ω) â€“ i 1 (8.0  Ω) = 0,     

Noting  that  the  current  through  the  battery must  also  be the current through R 1, we see that we might find the    current by applying the loop  rule to a loop that includes  R 1   because the current would  be  included in  the poten-  tial difference across R 1 .    Either  the  left-hand loop  or the  big  loop  should  do. Noting that the emf arrow of the battery  points upward, so the current the battery supplies is clock-  wise, we might apply the loop  rule to the left-hand loop,  clockwise from point  a. With  i being the current through  the battery, we would  get  Incorrect method:

+â„°  – iR    1   – iR    2  â€“ iR    4  = 0 

(incorrect). 

However,  this  equation  is  incorrect  because  it  assumes that R 1 , R  R 4   all  have the  same current i.    2, and    Resistances R 1  and R  do have the same current, because    4  the current passing through R 4  must pass through the bat-  tery and then  through R 1   with  no change in value. How-  ever,  that  current  splits  at  junction  point  b â€”only part  passes through R 2 , the rest through R    3.    To  distinguish  the  several currents  in  the  circuit, we must  label them individually  as in  Fig.  27.2.3b. Then, circling clockwise from a, we can write the  loop  rule for the left-hand loop  as 

which gives us  _____ = 0.30 A.  i 1  =  12 V  40 Î© 

(b) What is the current i 2  through R 2?   

KEY IDEAS (1) We must now work backward from the equivalent cir-  cuit of Fig. 27.2.3d, where R 23  has replaced R 2   and R 3  . (2)  Because R2   and R 3  are in parallel, they both have the same  potential difference across them as R 23 .  We know  that the current through  R 23  is i 1  = 0.30 A. Thus, we can use Eq. 26.3.1 (R = V/i)  and Fig. 27.2.3e to find the potential difference V 23 across  R 23 . Setting R 23 = 12 Î©f rom (a), we write Eq. 26.3.1 a s  Working backward:

V 23  = i 1 R    2 3 = (0.30 A)(12 Î©) = 3.6 V.  The potential difference across R 2   is thus also 3.6 V (Fig.  27.2.3f ), so the current i 2   in R 2  must be, by Eq. 26.3.1 a nd  Fig. 27.2.3g,  V 2   _____  i 2  = ___  =  3.6 V = 0.18 A.  R 2   20 Î© 

Dead-end method:

+â„°  – i 1 R  i 2  R 2  â€“ i 1 R    1  â€“   4  = 0.  Unfortunately, this equation contains two unknowns, i 1  and  i 2; we would  need at least one more equation to find them.    A much easier option  is to simplify  the circuit of Fig. 27.2.3b by finding equivalent resistances.  Note  carefully that R 1   and  R 2   are not  in  series and  thus  cannot  be  replaced with  an  equivalent resistance. How-  ever,  R 2   and  R 3   are  in  parallel,  so  we  can  use  either  Eq. 27.2.7 or Eq. 27.2.8 to find their equivalent resistance  R 23 . From the latter,  Successful method:

R 2  R 3   (20 Î©)(30 Î©)  R 23  = _______  = ___________ = 12 Î©.  R 2  + R 3   50 Î© 

(Answer) 

(Answer) 

(c) What is the current i 3  through R 3?   

KEY IDEAS We  can  answer  by  using  either  of  two  techniques:  (1)  Apply Eq. 26.3.1 as we just did. (2) Use the junction  rule,  which tells us that at point  b in Fig. 27.2.3b, the incoming  current i 1  and the outgoing currents i 2  and i 3  are related by  i 1  = i 2   + i 3  .  Rearranging this junction-rule  result yields  the result displayed in Fig. 27.2.3g:  Calculation:

i 3  = i 1  â€“ i 2  = 0.30 A â€“ 0.18 A    = 0.12 A. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

830

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

A 

The equivalent of parallel resistors is smaller. i1

i3

b R1

R3

+ –

R

R c

R3

+ –

i1 R

R4

4

a

= 20 Ω 

R1

i2

R2

R4

b

1

+ –

R2

a

i1

b

c

a

c i1

(b )

(c )

Applying V = iR yields the potential difference.

Applying the loop rule yields the current. i1

= 0.30 A

i1

= 0.30 A

b R1

b

= 20 Ω 

R1

+ –

= 12 V

i1

= 0.30 A = 12 Ω 

R 23 R4

= 12 V

V 23

R4 c

i1

= 20 Ω 

+ –

= 8.0 Ω 

a

a i1

= 0.30 A (e )

= 0.30 A

Applying i = V/R yields the current.

i3

i1

= 0.30 A

i3

b

= 12 V

+ –

1 = 20

V

R

4 = 8.0

R3 i2

3.6 V

R

Ω 

V3

= 30 Ω  = 3.6 V

2 = 20

Ω 

R1

= 20 Ω 

R3 V

= 12 V

+ –

V

R4

2 = 3.6

i2

V

R2

= 0.30 A

(f )

= 30 Ω  3.6 V

3=

= 0.18 A = 20 Ω 

= 8.0 Ω 

c i1

= 0.12 A

b

Ω 

2=

= 0.30 A = 12 Ω 

R 23

c

= 0.30 A

Parallel resistors and their equivalent have the same V (“par-V†).

R

i1

= 3.6 V

= 8.0 Ω 

(d )

i1

Ω 

= 8.0 Ω 

i1

(a)

23 = 12

c i1

= 0.30 A

(g)

(a) A circuit with an ideal battery. (b) Label the currents. (c) Replacing the  parallel resistors with their equivalent. (d)–( g)  Working backward to find the currents  through the parallel resistors.  Figure  27.2.3 

/

27.2  MU L T IL OOP   C IRC U IT S 

Sample Problem 27.2.2

Many real  batteries  in series and  in parallel  in an electric  fish 

Electric fish can generate current with biological emf cells  called electroplaques. In the South  American eel they are  arranged in  140 rows,  each  row  stretching  horizontally  along  the  body  and  each  containing  5000 cells,  as  sug-  gested by Fig.  27.2.4a. Each electroplaque has an  emf â„°  of 0.15 V and an internal resistance r of 0.25 Î©. The water  surrounding  the eel completes a circuit between the two  ends  of  the  electroplaque array, one  end  at  the head  of  FCP  the animal and the other near the tail.  (a)  If the  surrounding  water has  resistance R w = 800 Î©,  how much current can the eel produce in the water? 

We  first  consider  a  single  row.  The  total  emf  â„row  °  along a  row of  5000 electroplaques  is the  sum  of the emfs:  Calculations:

â„row  °  = 5000â„°  = (5000)(0.15 V) = 750 V. 

The  total  resistance R row  along  a row  is  the  sum  of  the  internal resistances of the 5000 electroplaques:  R row  = 5000r = (5000)(0.25 Î©) = 1250 Î©.  We  can  now  represent  each  of  the  140  identical  rows  as having  a single  emf  â„row  °  and  a  single resistance R row  (Fig. 27.2.4b).  In  Fig. 27.2.4b, the emf between point  a and point  b  on  any  row is  â„row  °  = 750 V. Because the  rows are iden-  tical and  because they  are all  connected together at the  left  in  Fig.  27.2.4b, all  points  b  in  that  figure are at  the 

KEY IDEA We  can  simplify  the  circuit  of  Fig.  27.2.4a  by  replacing  combinations of emfs and internal resistances with equiv-  alent emfs and resistances. 

First, reduce each row to one emf and one resistance. Electroplaque

831

+ –

+ –

Points with the same potential can be taken as though connected.

+ –

r

5000 electroplaques per row

750 V row

+ –

+ –

R row

+ –

+ –

b

row

140 rows

R row

+ – b

a

+ –

+ –

c

row

+ –

R row

+ – b

Rw

(a )

Rw

(b ) R row

Emfs in parallel act as a single emf. row a

= 750 V + –

Replace the parallel resistances with their equivalent.

R row

a

row

i

+ – b

R eq

c

b

c

R row Rw Rw

(c )

(d )

i

(a) A model of the electric circuit of an eel in water. Along each of 140  rows extending from the head to the tail of the eel, there are 5000 electroplaques. The  surrounding water has resistance R w . (b) The emf â„row  °  and resistance R row of each row.  (c) The emf between points a and b is â„row  °  . Between points b and c are 140 parallel resis-  tances R row . (d) The simplified circuit.  Figure  27.2.4 

/

832

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

same electric potential. Thus, we can consider them to be  connected so that there is only a single point  b. The emf  between point a and this single point  b is â„row  °  = 750 V, so  we can draw the circuit as shown in Fig. 27.2.4c.  Between points  b and  c in Fig. 27.2.4c are 140 resis-  tances R row  = 1250 Î©, all in parallel. The equivalent resis-  tance R eq  of this combination is given by Eq. 27.2.7 a s 

or 

j=1  R j 

R row 

(Answer) 

If the  head  or tail  of  the  eel is near  a fish,  some of  this  current could  pass along a narrow path  through the fish,  stunning or killing it. 

KEY IDEA

R row  ______    R eq  = ____  =  1250 Î©= 8.93  Ω.  140  140 

Replacing the parallel combination with  R eq , we obtain  the simplified  circuit of  Fig. 27.2.4d. Applying the loop  rule  to  this  circuit  counterclockwise  from  point  b,  we  have  â„row  °  – iR    w  – iR    eq  = 0. 

Solving for i and substituting the known  data, we find 

Sample Problem 27.2.3

= 0.927 A â‰ 0.93 A.  ˆ 

(b)  How  much  current i row  travels through  each row  of  Fig. 27.2.4a? 

140 

1  =  ∑ __  1  = 140  ____  1  ,  ____  R eq 

â„row  °  750 V  i =  ________  =  _____________  R w  + R eq  800 Î©+    8.93 Î© 

Because the rows are identical, the current into and out of  the eel is evenly divided among them.  Calculation:

Thus, we write 

i  = _______  0.927 A = 6.6 Ã— i row  = ____  10   âˆ3 ’  A.  140  140 

(Answer) 

Thus,  the current through  each row  is  small, so  that the  eel need not stun or kill itself when it stuns or kills a fish. 

Multiloop circuit  and  simultaneous loop  equations 

Figure  27.2.5 shows  a  circuit  whose  elements have  the  following values: â„1 ° = 3.0 V,  â„2 ° = 6.0 V,  R 1   = 2.0 â„¦, R 2   =  4.0  Ω.  The  three  batteries are  ideal  batteries. Find  the  magnitude  and  direction  of  the  current  in  each  of  the  three branches. 

i1

R1

1

+ –

Using arbitrarily  chosen  directions  for  the  currents as shown in Fig. 27.2.5, we apply the junction rule at  point a by writing  i 3  = i 1  + i 2.   (27.2.9)  Junction rule:

An  application  of  the  junction  rule  at  junction  b  gives  only the same equation, so we next apply the loop rule to  any two of the three loops  of the circuit.  We first arbitrarily choose the left-hand  loop,  arbitrarily start at point  b, and  arbitrarily traverse  the loop  in the clockwise direction, obtaining  Left-hand loop:

– i 1  R 1  + â„1 ° â€“ i 1 R  (i  1  + i 2  )R 2  â€“ â„ 2 ° = 0,    1  â€“

where  we have used  (i 1  + i 2  )  instead of  i 3   in  the  middle  branch. Substituting  the given data and simplifying yield  (27.2.10) 

R

2

2

+ –

R1

It  is  not  worthwhile  to  try  to  simplify  this  circuit, because  no  two resistors are in  parallel, and the resistors that are in  series (those in the right branch or those in the left branch)  present no problem. So, our plan is to apply the junction and  loop rules. 

+ –

R1 i3

KEY IDEAS

i 1(8.0  Ω) + i 2  (4.0 Î©) = â€“ 3.0 V.   

i2 a

R1

2

b i1

i2

A multiloop circuit with three ideal batteries and  five resistances.  Figure  27.2.5 

For our second application of the loop  rule, we arbitrarily choose to traverse the right-hand loop  counterclockwise from point  b, finding  Right-hand loop:

– i 2  R 1  + â„2 ° â€“ i 2  R 1  â€“ (i  1  + i 2)R  â„ 2 ° = 0.    2  â€“

Substituting the given data and simplifying yield  i 1(4.0  Ω) + i 2 (8.0  Ω) = 0.     

(27.2.11) 

We  now  have  a  system  of  two  equations (Eqs. 27.2.10 a nd  27.2.11) in two unknowns  (i 1   and  i 2) to  solve  either  “by  handâ€(which    is easy enough    here) or with a â€œmath  package.â€(One solution technique    is Cramer’ rule, given in Appendix E.) We find  s  Combining equations:

i 1  = â€“ 0.50 A. 

(27.2.12) 

(The minus sign signals that our arbitrary choice of direc-  tion for i 1  in Fig. 27.2.5 is wrong, but we must wait to correct  it.)  Substituting  i 1  = â€“ 0.50 A  into  Eq.  27.2.11 and  solving  for i 2  then give us  i 2  = 0.25 A.  (Answer) 

/

27.4  RC C IRC U IT S 

With Eq. 27.2.9 we then find  that  i 3  = i 1  + i 2  = â€“ 0.50 A + 0.25 A  = â€“ 0.25 A.  The positive answer we obtained for i 2  signals that our choice  of  direction  for  that current is correct. However, the nega-  tive answers for i 1   and i 3   indicate that our  choices for those 

833

currents are wrong. Thus,  as a last step here, we correct the  answers by reversing the arrows for i 1  and i 3  in Fig. 27.2.5 and  then writing  i 1  = 0.50 A  and  i 3  = 0.25 A. 

(Answer) 

Always make  any  such  correction  as  the  last  step and not before calculating all the currents.  Caution:

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

27.3  THE AMMETER AND THE VOLTMETER  Learning  Objective  After reading this module, you should be able to . . .

27.3.1  Explain  the use of an ammeter and a voltmeter, including  the resis-  tance required  of each in order not to affect  the measured quantities. 

Key  Idea 

â—Here are three measurement instruments used with 

measures voltage (potential differences).  A multimeter 

circuits:  An ammeter measures current.  A voltmeter 

can be used to measure current,  voltage, or resistance. 

i

The Ammeter  and the Voltmeter 

An  instrument used  to measure currents is called  an ammeter. To  measure the  current in a wire, you usually have to break or cut the wire and insert the amme-  ter so that the current to be measured passes through  the meter. (In Fig. 27.3.1,  ammeter A is set up  to measure current i.) It is essential that the resistance R A  of the ammeter be very much smaller than other resistances in  the circuit. Oth-  erwise, the very presence of the meter will change the current to be measured.  A meter used to measure potential differences is called a voltmeter. To find  the potential difference between any two points  in the circuit, the voltmeter ter-  minals are connected between those points  without breaking or cutting the wire.  (In Fig. 27.3.1, v oltmeter V is set up to measure the voltage across R 1.) It is essen-    tial that the resistance R V  of a voltmeter be very much larger than the resistance  of  any circuit  element across which  the  voltmeter is  connected. Otherwise, the  meter alters the potential difference that is to be measured.  Often a single meter is packaged so that, by means of a switch, it can be made  to serve as either an ammeter or a voltmeter—and usually also as an ohmmeter,  designed to measure the resistance of any element connected between its termi-  nals. Such a versatile unit is called a multimeter. 

+ –

R2

r c a

A

V

R1 b

i d

A single-loop circuit,  showing how to connect an ammeter  (A) and a voltmeter (V).  Figure  27.3.1 

27.4  RC CIRCUITS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

27.4.1  Draw schematic diagrams of charging and dis- 

RC  circuits. 

charging 

27.4.2  Write the loop equation (a differential  equation)  for a charging 

RC circuit. 

/

834

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

27.4.3  Write the loop equation (a differential  equation)  for a discharging 

RC circuit. 

RC circuit,  find  the  ’ current and potential  s  difference  as func- 

27.4.6  In a charging  or discharging  resistor

RC 

27.4.4  For a capacitor in a charging or discharging 

tions of time. 

Ï„ RC  circuit and a discharging  RC  circuit,  determine the capacitor’ charge and poten-  s 

circuit,  apply the relationship giving the charge  as a 

27.4.7  Calculate  the capacitive time constant  . 

function  of time. 

27.4.8  For a charging 

27.4.5  From the function  giving the charge as a func- 

RC  circuit,  ’ potential difference  s  as a function 

tion of time in a charging  or discharging 

tial difference  at the start of the process and then a 

find  the capacitor

long time later. 

of time. 

Key Ideas 

â—When  an emf  â„°  is applied  to a resistance R  and 

â—When a capacitor discharges through a resistance R, 

capacitance 

the charge  on the capacitor decays according to 

C  in series, the charge on the capacitor 

increases according to 

– t/RC 

q = C â„(1  ° – e   in which 

) 

– t/RC  q = q 0e   

(charging a capacitor), 

C â„° = q 0  is the equilibrium  (final)  charge and 

â—During the discharging, the current  is 

RC =  Ï„is the capacitive time constant of the circuit.  â—During the charging, the current is 

dq  â„° e âˆt’/RC  i = ___ = ( __  dt  R )  

a

b

+ –

(discharging a capacitor). 

dq  q 0   âˆt/RC  i = ___ = âˆ( ’  ____  e  ’ RC )   dt 

(discharging a capacitor). 

(charging a capacitor). 

S

RC Circuits  R

C

In  preceding modules  we dealt only  with  circuits in  which  the  currents did  not  vary with time. Here we begin a discussion of time-varying currents.  Charging a Capacitor 

When switch S is closed  on a, the capacitor is charged through  the resistor. When the switch is  afterward closed on b, the capacitor  discharges  through the resistor.  Figure  27.4.1 

The capacitor of capacitance C in Fig. 27.4.1 is initially uncharged. To charge it,  we close switch S on point a. This completes an RC series circuit consisting of the  capacitor, an ideal battery of emf â„, and a resistance R.  ° From Module 25.1, we already know  that as soon  as the circuit is complete,  charge begins  to  flow  (current exists) between a capacitor plate  and  a battery  terminal on each side of the capacitor. This current increases the charge q on the  plates and  the  potential difference V C  (=  q/C)  across the capacitor. When  that  potential difference equals the potential difference across the battery (which here  is equal to the emf â„), the current is zero. From Eq. 25.1.1  ° (q = CV ), the equilib-  rium (final) charge on the then fully charged capacitor is equal to C â„.°  Here we  want  to  examine the  charging process. In  particular  we  want  to  know  how  the charge q(t) on  the capacitor plates, the potential difference V C(t)    across the capacitor, and  the current i(t) in the circuit vary with  time during  the  charging process. We begin by applying the loop  rule to the circuit, traversing it  clockwise from the negative terminal of the battery. We find  q  â„° âˆ’iR    −__    = 0.  C 

(27.4.1) 

The last term on the left side represents the potential difference across the capac-  itor. The term is negative because the capacitor’ top plate, which is connected to  s  the battery ’ positive terminal, is at a higher potential than the lower plate. Thus,  s  there is a drop in potential as we move down  through the capacitor.  We cannot  immediately solve Eq.  27.4.1 because it  contains  two  variables,  i and q. However, those variables are not independent but are related by  dq  i = ___ .  dt 

(27.4.2) 

/

835

27.4  RC C IRC U IT S 

Substituting  this for i in Eq. 27.4.1 a nd rearranging, we find  dq  q  R ___ + __ =  â„°  (charging equation).  dt  C 

(27.4.3) 

This  differential  equation  describes the  time  variation  of  the  charge q  on  the  capacitor in  Fig. 27.4.1. To solve it, we need  to find  the function  q(t) that satis-  fies  this  equation  and  also satisfies the condition  that  the  capacitor be  initially  uncharged; that is, q = 0 at t = 0.  We shall soon show that the solution to Eq. 27.4.3 is  q = C â„(1  ° – e â€“  t/RC ) 

(charging a capacitor). 

(27.4.4) 

(Here e is the exponential base, 2.718 . . . , and not the elementary charge.) Note  that Eq. 27.4.4 does indeed satisfy our required initial condition,  because at t = 0  t/RC  the  term e â€“ is  unity;  so  the equation  gives q = 0. Note  also that  as t goes to  t/RC  infinity  (that is, a long  time later), the term e â€“ goes to  zero; so the  equation  gives the proper value for the full (equilibrium) charge on the capacitor—namely,  q = C â„.° A plot of q(t) for the charging process is given in Fig. 27.4.2a.  The derivative of q(t) is the current i(t) charging the capacitor:  dq  â„° e âˆt/RC  ’ i =  ___ = ( __  dt  R )  

(charging a capacitor). 

(27.4.5) 

A plot of i(t) for the charging process is given in Fig. 27.4.2b. Note that the current  has the initial  value  â„/R and  ° that it decreases to zero as the capacitor becomes  fully charged. 

The capacitor’ charge s grows as the resistor’s current dies out.

A capacitor that is being charged initially acts like ordinary connecting wire  relative to the charging current. A long time later, it acts like a broken wire. 

q  ’ V C  = __ =  â„(1  ° −e    âˆt/RC  )  C 

(charging a capacitor). 

(27.4.6) 

This tells us that V C = 0 at t = 0 and that V C =  â„°  when the capacitor becomes fully  charged as t â†’â  ˆž. 

μ

By combining Eq. 25.1.1 (q = CV ) and Eq. 27.4.4, we find  that the potential  difference V C(t) across the capacitor during the charging process is   

)C ( q

12

C

8 4 0

2

6

4 6 8 Time (ms) (a )

10

)Am( i

/R

4

The  Time Constant 

The product RC that appears in Eqs. 27.4.4, 2 7.4.5, a nd 27.4.6 has the dimensions  of time (both because the argument of an exponential must be dimensionless and  because, in  fact, 1.0  Ωà  — 1.0 F = 1.0 s). The    product  RC  is called  the  capacitive  time constant of the circuit and is represented with the symbol  Ï„:  Ï„= RC  (time constant). 

(27.4.7) 

From  Eq.  27.4.4, we can now  see that  at time t =  Ï„(=  RC),  the charge on  the  initially uncharged capacitor of Fig. 27.4.1 has increased from zero to  q = C â„(°1 â€“ e â€“  1 ) = 0.63C â„.° 

(27.4.8) 

In  words,  during  the  first  time  constant  Ï„the  charge  has  increased from  zero  to  63% of  its final  value C â„.° In  Fig. 27.4.2, the  small triangles along  the time 

2 0

2

4 6 8 Time (ms) (b)

10

(a) A plot of Eq. 27.4.4,  which shows the buildup of charge  on the capacitor of Fig. 27.4.1. (b) A  plot of Eq. 27.4.5, which shows the  decline of the charging current in  the circuit of Fig. 27.4.1. The curves  are plotted for R = 2000 Î©, C = 1 Î¼ F,  and â„°  = 10 V; the small triangles  represent successive  intervals of one  time constant Ï„.   Figure  27.4.2 

/

836

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

axes mark successive intervals of  one  time constant during  the charging of  the  capacitor. The charging times for RC circuits are often stated in terms of  Ï„. For  example, a circuit with  Ï„= 1 Î¼ s charges quickly while one with  Ï„= 100 s charges  much more slowly.  Discharging  a Capacitor 

Assume now  that  the  capacitor of  Fig. 27.4.1 is  fully  charged to  a potential V 0   equal to the emf â„° of the battery. At a new time t = 0, switch S is thrown  from a  to b so that the capacitor can discharge through resistance R. How do the charge  q(t) on the capacitor and the current i(t) through the discharge loop  of capacitor  and resistance now vary with time?  The differential equation describing q(t) is like  Eq. 27.4.3 except that now,  with no battery in the discharge loop,  â„°  = 0. Thus,  dq  q  R  ___ +  __ = 0  dt  C 

(discharging equation). 

(27.4.9) 

The solution  to this differential equation is  t/RC  q = q 0  e â€“

(discharging a capacitor), 

(27.4.10) 

where q 0  (= CV 0) is the initial charge  on the capacitor. You can verify by substitu-    tion that Eq. 27.4.10 is indeed a solution  of Eq. 27.4.9.  Equation 27.4.10 tells us that q decreases exponentially with time, at a rate  that is set by the capacitive time constant  Ï„= RC. At time t = Ï„, the capacitor’s  – 1  charge has been reduced to q 0e    , or about  37% of the initial  value. Note that a  greater Ï„means a greater discharge time.  Differentiating Eq. 27.4.10 g ives us the current i(t):  dq  q 0   âˆt/RC  i = ___ = âˆ’(  ____  e  ’ dt  RC )  

(discharging a capacitor). 

(27.4.11) 

This  tells  us  that  the  current  also  decreases exponentially  with  time, at  a rate  set  by  Ï„.  The  initial  current i 0   is  equal  to  q 0 /RC. Note  that  you  can  find  i 0   by    simply  applying  the  loop  rule  to  the  circuit  at  t = 0;  just  then  the  capacitor’s  initial  potential  V 0   is connected across the resistance R, so  the current must  be  i 0  = V 0 /R = (q  The minus  sign  in  Eq.  27.4.11 can be  ignored; it    0 /C)/R = q    0 /RC.    merely means that the capacitor’ charge q is decreasing.  s  Derivation  of Eq. 27.4.4 

To solve Eq. 27.4.3, we first rewrite it as  dq  ____  q  __  ___  +  =  â„°  .  dt  RC  R 

(27.4.12) 

The general solution  to this differential equation is of the form  at  q = q p  + Ke â€“ , 

(27.4.13) 

where q p  is a particular solution  of  the differential equation,  K is a constant to  be  evaluated from the  initial  conditions,  and a = 1/RC is  the coefficient of q  in  Eq. 27.4.12. To find q p , we set dq/dt = 0 in Eq. 27.4.12 (corresponding to the final  condition  of no further charging), let q = q p, and solve, obtaining    q p  = C â„.° 

(27.4.14) 

To evaluate K, we first substitute this into Eq. 27.4.13 to get  at  q = C â„°  + Ke â€“ . 

/

837

27.4  RC C IRC U IT S 

Then substituting the initial conditions  q = 0 and t = 0 yields  0 = C â„°  + K,  or K = â€“ C â„. Finally, with the values of q  ° p , a, and K inserted, Eq. 27.4.13 becomes  t/RC  q = C â„°  – C  â„e  °â€“ , 

which, with a slight modification, is Eq. 27.4.4. 

Checkpoint 27.4.1 

The table gives four sets of values for the circuit elements in Fig. 27.4.1. Rank the  sets according to (a) the initial current (as the switch is closed on a) and (b) the time  required for the current to decrease to half its initial value, greatest first. 

â„°  (V)  R ( Ω)  C ( μ F) 

1 

2 

3 

4 

12  2  3 

12  3  2 

10  10  0.5 

10  5  2 

Sample Problem 27.4.1

Discharging an RC circuit to avoid a fire  in a race  car pit stop 

As a car rolls  along pavement, electrons move from the  pavement first onto  the tires and then onto the car body.  RU THRU E TH IVE DR DRIV The car stores this excess charge and the associated elec-  tric potential energy as if the car body  were one plate of    a capacitor and  the pavement were the  other plate (Fig.  27.4.3a).  When  the  car  stops,  it  discharges  its  excess  Tire resistance Effective charge and  energy through  the  tires, just  as a capacitor  capacitance ( a ) can  discharge through  a  resistor. If  a  conducting  object  comes within a few centimeters of the car before the car is  discharged, the remaining energy can be suddenly trans-  R tire R tire C R tire R tire C R ferred to a spark between the car and the object. Suppose  the  conducting  object  is a fuel  dispenser. The  spark  will  (b ) (c ) not  ignite the fuel  and cause a fire if the spark energy is  Figure  27.4.3  (a) A charged car and  less than the critical value U fire = 50 mJ.  U the pavement acts like a capacitor  When  the  car of  Fig.  27.4.3a stops  at time t = 0, the  that can discharge through the tires.  car–ground  potential  difference is  V 0  = 30 kV.  The  car–  (b) The effective circuit of the car–  100 GΩ  ground  capacitance is  C = 500 pF,  and  the  resistance of  pavement capacitor, with four tire  10 GΩ  each tire is R tire  = 100 G Ω. How much  time does  the car  resistances  R tire  connected in parallel.  Uï¬ re take to discharge through the tires to drop below the criti-  (c) The equivalent resistance  R of  0.94 9.4 FCP  cal value U fire ?  the tires. (d) The electric potential 

6

KEY IDEAS (1) At  any time  t, a  capacitor’ stored  s  electric potential  energy  U  is  related to  its  stored  charge q  according  to  Eq. 25.4.1 (U = q 2 /2C). (2) While a capacitor is discharg-  ing,  the  charge  decreases  with  time  according  to  Eq.  – t/RC  27.4.10 (q = q 0e  ).   

energy U in the car–pavement  (d ) capacitor decreases during discharge. 

t

(s)

We can treat the tires as resistors that are  connected to  one  another at their  tops  via the  car body  and  at  their  bottoms  via  the  pavement. Figure  27.4.3b  shows  how  the  four  resistors  are  connected  in  parallel  Calculations:

/

838

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

across the car’ capacitance, and  s  Fig. 27.4.3c shows  their  equivalent resistance R. From Eq. 27.2.7, R is given by 

Taking the natural logarithms of both sides, we obtain  2U  ,  âˆ____  ’ 2t  = ln  _____    2    RC  CV  0 

(

1  =  ____  1  + ____  1  + ____  1  +  ____  1  ,  __  R 

R tire 

R tire 

R tire 

R tire 

R tire  _________  10   9 Î©= 25    or  R =  ____  =  100 Ã— × 10   9 Î©.  (27.4.15)  4  4  When  the  car stops,  it  discharges its  excess charge and  energy through R. We now use our two key ideas to ana-  lyze the discharge. Substituting Eq. 27.4.10 into Eq. 25.4.1  gives  2 

âˆt’/ RC  2 

2U  .  t = âˆ____  ’RC    ln  _____    2  )  2  (CV  0 

or 

2  (CV 0)  CV 2    0   âˆ2’ t/RC  U =  _______  e âˆ2’ t/ RC  =  _____  e  ,  2C  2 

2U  .  e âˆ2’ t/ RC  =  ____  CV 2  0 

or 

(27.4.17) 

(27.4.18) 

Substituting  the given data, we find that the time the car  takes to discharge to the energy level U fire  = 50 mJ is  ’ (25 Ã— 10  9 Î©)(500 Ã— 10  âˆ12  F)  t = âˆ________________________  ’  2 

2(50 Ã— 10  âˆ3 ’  J)  × ln   _________________________  ’ 10   âˆ12   F)(30 Ã— 10   3  V) 2     (500 Ã—

q  ( q 0  e  )  U =  ___ = __________ 

2C  2C  2  q 0  âˆ2’ t/ RC  =  ___  e  .  (27.4.16)  2C  From Eq. 25.1.1 (q = CV ), we can relate the initial charge  q 0   on  the  car to  the given initial  potential difference V 0  :  q 0  = CV 0  . Substituting  this  equation into  Eq. 27.4.16 brings  us to 

)

(

)

= 9.4 s. 

(Answer) 

This car requires at least 9.4 s before fuel  can be brought  safely near it. A pit crew cannot wait that  long. So the tires include some type of conducting material  (such as carbon black) to lower the tire resistance a nd thus  increase the discharge rate. Figure 27.4.3d shows the stored  energy U versus time t for tire  resistances of  R = 100 G Ω  (our value) and R = 10 G Ω. Note how much more rapidly  a car discharges to level U fire with the lower R value.  Fire or no fire:

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

Review & Summary An  emf  device  does  work  on  charges  to  maintain  a  potential difference between its output terminals. If dW  is the  work the device does to force positive charge dq from the nega-  tive to the positive terminal, then the emf (work per unit charge)  of the device is  Emf 

dW  â„°  = ____  ° dq  (definition of â„). 

(27.1.1) 

Conservation of charge gives us the junction rule:  The  sum of the currents  entering any junc-  tion must be equal to the sum of the currents leaving that junction.  Junction Rule. 

The current  in a single-loop circuit  containing a single resistance  R  and an emf device with emf â„°  and internal resistance r is  Single-Loop  Circuits 

â„° ,  i =  _____  R + r 

The volt is the SI unit of emf as well as of potential difference.  An  ideal emf  device is  one that lacks  any internal resistance.  The  potential difference  between its  terminals is  equal to the  emf. A real emf device has internal resistance. The potential dif-  ference between its terminals is equal to the emf only if there is  no current through the device. 

which reduces to i = â„/R for an ideal emf device with r = 0.  °

The change in potential in traversing  a  resistance R in the direction of the current is â€“ iR; in the opposite  direction it is  +iR  (resistance  rule). The  change in potential in  traversing  an ideal emf device in the direction of the emf arrow  is +â„; in the opposite direction it is  ° –℠(emf rule). Conservation  °  of energy leads to the loop rule: 

where V is the potential across the terminals of the battery. The  rate  P r  at which  energy is  dissipated  as  thermal energy  in the  battery is 

Analyzing Circuits 

The  algebraic  sum  of  the  changes  in  potential  encountered in a complete traversal of any loop of a circuit must  be zero.  Loop Rule.

(27.1.4) 

When a real battery of emf â„°  and internal resistance  r does work on the charge carriers in a current i through the bat-  tery, the rate P of energy transfer to the charge carriers is  P = iV,  (27.1.14)  Power 

P r  = i 2 r. 

(27.1.16) 

The  rate  P emf  at  which  the  chemical  energy  in  the  battery  changes is  P emf  = i â„. °

(27.1.17) 

/

QU EST IONS 

When resistances are in series, they have  the  same  current.  The  equivalent  resistance  that  can  replace  a  series combination of resistances  is 

q = C â„(1  ° – e â€“  t/RC )  (charging a capacitor), 

Series Resistances 

n 

R eq  =  ∑ R j  (n resistances in series). 

(27.1.7) 

j=1 

When  resistances  are  in  parallel,  they  have the same  potential difference. The equivalent resis-  tance that can  replace  a parallel  combination of resistances  is  given by  n 

R eq 

(27.2.7) 

j=1  R j 

(27.4.4) 

in which C â„°  = q 0  is the equilibrium (final) charge and RC = Ï„is  the capacitive time constant of the circuit. During the charging,  the current is  dq  â„°  âˆt’/RC  i = ___  = (__  (charging a capacitor).  (27.4.5)   R )e    dt 

Parallel  Resistances 

1  =  ∑ __  1  (n resistances in parallel).  ____ 

839

When a capacitor discharges through a resistance R, the charge  on the capacitor decays according to  t/RC  q = q 0 e â€“ (discharging a capacitor). 

(27.4.10) 

During the discharging, the current is 

When an  emf  â„° is  applied to  a  resistance  R  and capacitance C in series, as in Fig. 27.4.1 with the switch at a,  the charge on the capacitor increases according to 

dq  q 0  âˆt’/RC  i = ___  = âˆ(’ ____  (discharging a capacitor).   RC )e    dt  (27.4.11) 

RC Circuits 

Questions (a)  In  Fig. 27.1a,  with R 1  >  R 2 ,  is  the  potential difference  across R 2  more than, less than, or equal to that across R 1?   (b) Is  the current through resistor R 2  more than, less than, or equal to  that through resistor R 1 ?  1 

For  each circuit in Fig. 27.3, are  the resistors  connected in  series, in parallel, or neither?  5 

– +

+ –

R1

+ –

– +

R3

R2

– +

R3

(a )

(a )

R1

R2

(b ) Figure  27.3 

(b )

(c )

Question 5. 

Res-monster  maze.  In  Fig.  27.4,  all  the  resistors  have  a  resistance  of  4.0  Ω and  all  the  (ideal)  batteries  have  an  emf  of  4.0 V.  What is  the current  through resistor  R?  (If  you can  find  the  proper  loop  through  this  maze,  you  can  answer  the  question with a few seconds of mental calculation.)  6 

R1

– +

R3 R1

(c )

+ –

R2 R

3

(d ) R2

Figure  27.1 

Questions 1 and 2. 

(a)  In Fig. 27.1a, are  resistors  R 1  and R 3  in series?  (b)  Are  resistors  R 1  and R 2  in parallel? (c)  Rank the equivalent resis-  tances of the four circuits shown in Fig. 27.1, greatest first.  2 

R

You are  to connect resistors  R 1  and R 2 , with R 1  > R 2 , to  a  battery, first  individually, then in  series,  and then  in  parallel.  Rank  those  arrangements  according  to  the amount of  current  through the battery, greatest first.  3 

In Fig. 27.2, a  circuit  consists  + – of  a  battery  and  two  uniform  R1 R2 resistors,  and  the  section  lying  x along an x axis is divided into five  a b c d e segments  of  equal  lengths.  (a)  Assume  that  R 1  = R 2  and  rank  Figure  27.2  Question 4.  the  segments  according  to  the  magnitude of the  average electric  field in  them, greatest first.  (b) Now assume that R 1  > R 2  and then again rank the segments.  (c)  What is the direction of the electric field along the x axis?  4 

Figure  27.4 

Question 6. 

A resistor R 1  is wired to a battery, then resistor  R 2  is added  in series. Are (a)  the potential difference across  R 1  and (b) the  current i 1  through R 1  now more than, less  than, or  the same as  previously?  (c)  Is  the equivalent  resistance  R 12  of  R 1  and  R 2  more than, less than, or equal to R 1 ?  7 

What is the equivalent resistance  of three resistors,  each  of resistance R, if they are connected to an ideal battery (a) in  8 

/

840

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

series with one another and (b) in parallel with one another?  (c)  Is  the potential difference across  the series  arrangement  greater  than, less  than, or  equal to  that across  the  parallel  arrangement?  Two  resistors  are  wired to a battery. (a)  In  which arrange-  ment, parallel or series, are the potential differences across each  resistor  and across  the  equivalent resistance  all  equal? (b)  In  which arrangement are  the currents through each resistor  and  through the equivalent resistance  all equal?  9 

Cap-monster  maze. In  Fig. 27.5, all the capacitors  have a  capacitance of 6.0 Î¼ F, and all the batteries have an emf of 10 V.  What is the charge on capacitor C? (If  you can find the proper  loop through this maze, you can answer the question with a few  seconds of mental calculation.)  10 

R 1 ?  (d)  Is  the total current through R 1  and R 2  together more  than, less than, or equal to the current through R 1  previously?  After  the  switch  in  Fig.  27.4.1 is  closed on point a, there  is current i through resistance  R.  Figure  27.6  gives  that  current  for  four sets  of  values  of  R  and  capacitance C: (1) R 0  and C 0 , (2)  2R 0  and C 0 ,  (3)  R 0  and  2C 0 ,  (4)  2R 0  and 2C 0 . Which set goes with  which curve?  12 

i

c

d

a b

t Figure 27.7 shows three sec-  Figure  27.6  Question 12.  tions of circuit that are to be con-  nected in turn to the same battery via a switch as in Fig. 27.4.1.  The resistors  are all identical, as are the capacitors. Rank the  sections according to (a) the final (equilibrium) charge on the  capacitor and (b) the time required for the capacitor to reach  50% of its final charge, greatest first. 

13 

C

(1)

Figure  27.5 

(2)

Question 10. 

Initially, a  single  resistor  R 1  is  wired  to  a  battery. Then  resistor  R 2  is  added  in  parallel.  Are  (a)  the  potential differ-  ence  across  R 1  and  (b)  the  current  i 1  through R 1  now  more  than, less than, or the same as previously? (c)  Is the equivalent  resistance  R 12  of  R 1  and R 2  more than, less  than, or  equal to  11 

(3) Figure  27.7 

Question 13. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor

’ discretion) in  s  WileyPLUS

Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 27.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Single-Loop Circuits 

SSM 

In  Fig.  27.9,  the  ideal  bat-  teries  have  emfs  â„1 ° = 150 V  and  â„2 ° = 50 V  and  the  resistances  are  R 1  = 3.0  Ω and  R 2  = 2.0  Ω.  If  the  potential at  P  is  100 V,  what  is  it  at Q?  2 

E 

R1

– +

A car  battery with a 12 V emf and an internal resistance  of  0.040 Î©i s  being charged with a  current of 50  A. What are  (a)  the potential difference V  across  the terminals, (b)  the rate  P r  of energy dissipation inside the battery, and (c) the rate P emf  of  energy conversion to chemical form? When the battery is used  to supply 50 A to the starter motor, what are (d) V and (e) P r ?  3  E 

In  Fig. 27.8, the ideal bat-  R1 teries have emfs â„1 ° = 12 V and  â„2 ° =  6.0  V.  What are  (a)  the  current, the  + R2 2 dissipation rate in (b) resistor 1 (4.0 Î©)  – 1 and  (c)  resistor  2  (8.0  Ω),  and  the  energy  transfer  rate  in  (d)  battery  1  –+ and  (e)  battery  2?  Is  energy  being  Figure  27.8  Problem 1.  supplied or absorbed by (f) battery 1  Q and (g) battery 2?  1  E 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

1

2

– +

R2 P

Figure  27.9 

Problem 2. 

GO  Figure 27.10 shows  a circuit  of four resistors  that are  connected to a larger circuit. The graph below the circuit shows  the electric potential V(x) as  a function of position x along the  lower  branch  of  the  circuit,  through resistor  4;  the  potential  V A  is  12.0 V.  The  graph  above  the  circuit  shows  the  electric  potential V(x)  versus  position x along the upper branch of the  circuit, through resistors  1,  2, and 3;  the potential differences  are Î”V B  = 2.00 V and Î”V C  = 5.00 V. Resistor 3 has a resistance  of 200  Ω. What is the resistance  of (a) resistor  1  and (b)  resis-  tor 2?  4  E 

/

841

P ROBL EMS 

V

ΔVB

copper wires. Each wire has  length 20.0 cm  and  radius  1.00 mm. In  dealing  with  such  circuits in this chapter, we generally neglect  the potential differences along the wires and  the  transfer  of  energy  to  thermal  energy  in them. Check the validity of this neglect for  the circuit of Fig.  27.13: What is  the  poten-  tial difference across (a) the resistor and (b)  each  of the  two sections  of  wire?  At  what  rate is  energy lost to  thermal energy in  (c)  the resistor and (d) each section of wire? 

ΔVC

0

x

1

2

3

4

Wire 1

R

Wire 2 Figure  27.13 

Problem 12. 

A 10-km-long underground  Conducting path cable  extends  east  to  west  and  West East consists of two parallel wires, each  of which has resistance  13  Ω/km.  An  electrical  short  develops  at  x distance  x  from  the  west  end  Figure  27.14  Problem 13.  when a  conducting path of  resis-  tance R  connects  the  wires (Fig. 27.14). The  resistance  of  the  wires and the short is then 100  Ωw   hen measured from the east  end and 200  Ωwhen measured from the west end. What are (a)    x and (b) R?  13  M 

Figure  27.10 

Problem 4. 

) V( V

VA

0

x

A  5.0 A  current  is  set  up  in  a  circuit  for  6.0 min  by  a  rechargeable  battery  with  a  6.0 V  emf. By  how  much  is  the  chemical energy of the battery reduced?  5 

E 

E  A standard flashlight battery can deliver about 2.0 W Â h of  ·  energy before it runs down. (a) If a battery costs US$0.80, what  is  the cost of operating a 100 W lamp for 8.0 h using batteries?  (b) What is the cost if energy is provided at the rate of US$0.06  per kilowatt-hour? 

6 

E  A  wire  of  resistance  5.0  Ω is  connected  to  a  battery  whose  emf  â„° is  2.0 V  and whose  internal  resistance  is  1.0  Ω.  In  2.0 min, how much energy  is  (a)  transferred  from chemical  form in the battery, (b) dissipated as thermal energy in the wire,  and (c) dissipated as thermal energy in the battery? 

7 

GO  In Fig. 27.15a, both batteries have emf â„°  = 1.20 V and  the external resistance R is a variable resistor. Figure 27.15b gives  the electric potentials V between the terminals of each battery as  functions of R: Curve 1 corresponds to battery 1, and curve 2 cor-  responds to battery 2. The horizontal scale is set by R s  = 0.20 Î©.  What is the internal resistance of (a) battery 1 and (b) battery 2?  14  M 

+ –

2

+ –

R

2

V

(a) In electron-volts, how much work does an ideal battery  with a 12.0 V emf do on an electron that passes through the bat-  tery from the positive to the negative terminal? (b) If 3.40 Ã— 10  18  electrons  pass  through each  second, what is  the power  of the  battery in watts? 

1

1

0.5 ) V(

A certain car battery with a 12.0 V emf has an initial charge  of  120 A Âh. Assuming  ·  that the  potential across  the  terminals  stays  constant  until  the  battery  is  completely  discharged,  for  how many hours can it deliver energy at the rate of 100 W?  8  E 

0 Rs

9  E 

(a)  In  Fig.  27.11,  what  value must R have if the current  in  the circuit  is  to  be  1.0 mA?  Take  â„1 ° = 2.0  V,  â„2 ° = 3.0 V,  and  r 1  = r 2  =  3.0  Ω.  (b)  What  is  the  rate  at  which  thermal  energy appears in R?  10 

R

(a)

(Ω)

(b )

Figure  27.15  Problem 14.  The current in a single-loop circuit with one resistance R is  5.0 A. When an additional resistance of 2.0 Î©is inserted in series    with R, the current drops to 4.0 A. What is R? 

15  M 

M 

1

+ –

+ –

r1

2

r2

R

Figure  27.11  Problem 10.  M  SSM  In  Fig. 27.12,  cir-  cuit section AB absorbs energy  i at  a  rate  of  50 W  when  cur-  rent  i = 1.0 A  through  it  is  in  X A B the  indicated  direction.  Resis-  R tance R = 2.0 Î©. (a) What is the  Figure  27.12  Problem 11.  potential  difference  between  A  and  B?  Emf  device  X  lacks  internal resistance. (b) What is its emf? (c) Is point B connected  to the positive terminal of X or to the negative terminal? 

11 

Figure 27.13 shows a resistor of resistance R = 6.00 Î©con-    nected to an ideal battery of emf â„°  = 12.0 V  by means of two  12  M 

–0.3

A solar cell generates a potential difference of 0.10 V when  a 500 Î©resistor is connected across it, and a potential difference of    0.15 V when a 1000 Î©resistor is substituted. What are the (a) inter-    nal resistance and (b) emf of the solar cell? (c) The area of the cell is  5.0 cm 2 , and the rate per unit area at which it receives energy from  light is 2.0 mW/cm 2 . What is the efficiency of the cell for converting  light energy to thermal energy in the 1000 Î©external resistor?    16  H 

H  SSM  In  Fig. 27.16, battery  1  has  emf  â„1  ° = 12.0 V  and  internal resistance  r 1  = 0.016 Î© and bat-  + tery  2  has  emf  â„2 ° = 12.0 V  and internal  r resistance  r 2  = 0.012 Î©.  The  batteries  1 –1 R are  connected in  series  with an external  + r2 resistance R. (a) What R value makes the  2 – terminal-to-terminal potential difference  Figure  27.16  of one of the  batteries zero?  (b)  Which  battery is that?  Problem 17. 

17 

/

842

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

Module 27.2 

Multiloop Circuits 

In  Fig.  27.2.1, what  is  the  potential difference  V d  – V  c  between points d and c if â„1 ° = 4.0 V, â„2 ° = 1.0 V, R 1  = R 2  = 10 Î©,  and R 3  = 5.0 Î©, and the batteries are ideal?  18 

E 

A total resistance  of 3.00 Î©i s to be produced by connect-  ing an unknown resistance to a 12.0 Î©r esistance. (a) What must  be  the  value of  the unknown  resistance,  and  (b)  should it  be  connected in series  or in parallel?  19  E 

When resistors 1 and 2 are connected in series, the equiva-  lent resistance  is  16.0  Ω. When they are  connected in  parallel,  the equivalent resistance is 3.0 Î©. What are (a) the smaller resis-  tance and (b) the larger resistance of these two resistors?  20  E 

E  Four 18.0  Ω resistors  are  connected in  parallel across  a  25.0 V ideal battery. What is the current through the battery? 

21 

Figure 27.17 shows five 5.00 Î©  resistors.  Find the equivalent resis-  tance between points (a)  F and H  and (b)  F  and G.  (Hint: For  each  pair  of points, imagine that a  bat-  tery is connected across the pair.)  22  E 

R F

H

R

E 

Nine  copper  wires  of  length  l  and  diameter  d  are  connected  in  parallel  to  form  a  single  composite  conductor  of  resistance  R.  What  must  be  the  diameter  D  of  a  single  copper  wire of length l if it is to have the  same resistance?  E 

2

3

Problem 23. 

R1

E

Problem 24. 

M  Figure 27.20 shows  a  bat-  R tery  connected across  a  uniform  Sliding resistor R 0 . A sliding contact can  x contact move  across  the  resistor  from  x = 0  at  the  left  to  x = 10 cm  at  R0 the  right.  Moving  the  contact  changes  how  much  resistance  is  to the left of the contact and how  + – much is to the right. Find the rate  at  which  energy  is  dissipated  in  Figure  27.20  Problem 26.  resistor R as a function of x. Plot  the function for â„°  = 50 V, R = 2000 Î©, and R 0  = 100 Î©. 

Side flash. Figure 27.21 indicates one reason  no one  should stand under a  tree  during a  lightning storm. If  lightning comes  down the side of the tree, a portion can jump  over to the person, especially if the current on the tree reaches  a dry region on the bark and thereafter must travel through air  M 

BIO 

FCP 

R2

2 3

(b )

0 i

is

(mA)

Problem 28.  29  M  In  Fig. 27.23, R 1  = 6.00 Î© ,  R 2  = 18.0 Î©, and the ideal battery  + – R1 has  emf  â„°  = 12.0 V.  What  are  the (a) size and (b) direction (left  R2 or  right)  of  current  i 1 ?  (c)  How  much energy is  dissipated  by all  R2 i1 four resistors in 1.00 min?  R2 30  M  GO  In Fig. 27.24, the ideal  batteries have  emfs  â„1 ° = 10.0 V  Figure  27.23  Problem 29.  and â„2 ° = 0.500â„1 ° , and the resis-  tances are  each  4.00  Ω.  What is  R1 R2 the current in (a) resistance 2 and  (b) resistance  3?  + + Figure  27.22 

26 

27 

R1

b

SSM 

R3

R3

(a )

R2

+ –

Figure  27.19 

Problem 27. 

1 + –

+ –

R2

Figure  27.21 

Problem 22. 

R1

D

h

Vs

1

Figure 27.18 

d

The ideal battery in Fig. 27.22a has emf â„°  = 6.0 V. Plot 1  in Fig. 27.22b gives the electric potential difference V that can  appear across resistor 1 versus the current i in that resistor when  the resistor  is individually tested by putting a variable potential  across  it. The scale of the V  axis is set  by V s  = 18.0 V, and the  scale of the i axis is set by i s  = 3.00 mA. Plots 2 and 3 are similar  plots for resistors 2 and 3, respectively, when they are individu-  ally tested by putting a variable potential across  them. What is  the current in resistor 2 in the circuit of Fig. 27.22a? 

+ –

a

I

28  M 

G

Figure  27.17 

Lightning current

) V( V

In Fig. 27.19, R1    = R 2  = 4.00 Î©  and R 3  = 2.50 Î©. Find the equiva-  lent  resistance  between  points  D  and  E.  (Hint: Imagine  that  a  battery is  connected across  those  points.)  24  E 

25 

R

R

In  Fig.  27.18,  R 1  = 100 Î©,  R 2  = 50 Î©,  and  the  ideal  batteries  have  emfs  â„1 ° = 6.0 V,  â„2 ° = 5.0 V,  and  â„3 ° = 4.0 V.  Find  (a)  the  current in resistor  1,  (b)  the cur-  rent  in  resistor  2,  and  (c)  the  potential  difference  between  points a and b.  23 

R

to  reach  the  ground.  In  the  fig-  ure,  part  of  the  lightning jumps  through distance d in air and then  travels  through the person  (who  has  negligible  resistance  relative  to that of air because of the highly  conducting salty fluids within the  body).  The  rest  of  the  current  travels through air  alongside the  tree,  for  a  distance  h.  If  d/h  =  0.400 and the total current is  I  =  5000 A, what is the current through  the person? 

R3 1 2 – In Fig. 27.25, the  – ideal  batteries  have  emfs  â„1 ° =  5.0 V  and  â„2 ° =  12  V,  the  resis-  tances  are  each  2.0  Ω,  and  the  Figure  27.24  Problems 30,  41, and 88.  potential is defined to be zero  at  the grounded point of the circuit.  What are potentials (a) V 1  and (b)  V 2  at the indicated points? 

31  M 

SSM 

GO 

Both batteries in Fig. 27.26a  are ideal. Emf â„1 ° of battery 1 has  a  fixed value, but  emf  â„2 ° of bat-  tery 2 can be varied between 1.0 V  and 10 V. The plots in Fig. 27.26b  give  the  currents  through  the  two batteries as  a  function of  â„2 ° .  32  M 

+ –

1

V2

Figure  27.25 

+ –

2

V1

Problem 31. 

/

843

P ROBL EMS 

The vertical scale is set  by i s  = 0.20 A. You must decide which  plot corresponds  to which battery, but for both plots, a  nega-  tive current occurs when the direction of the current through the  battery is opposite the direction of that battery’ emf. What are  s  (a) emf â„1 ° , (b) resistance  R 1 , and (c) resistance R 2 ? 

2

(a )

R1

+ –

)A( tnerruC

+ –

R2

1

0

5

(b )

2

Problem 32. 

10

(V)

GO  In Fig. 27.27, the current in resistance 6 is i 6  = 1.40 A  and  the  resistances  are  R 1  = R 2  = R 3  = 2.00 Î©,  R 4  = 16.0 Î©,  R 5  = 8.00 Î©,  and  R 6  = 4.00 Î©.  What  is  the  emf  of  the  ideal  battery?  33  M 

+ –

R1

R2

R5

R3

i6

R4

Figure  27.27 

R6

Problem 33. 

M 

S + –

R1

S + –

R2

R3 R1

(a )

GO 

R2

R3

+ –

Problem 37. 

Figure  27.31 

R2

Box

R1 A

B

R3

i

Figure  27.32 

CALC  GO  In Fig. 27.33, two batteries  with an emf â„°  = 12.0 V and an internal resis-  tance  r = 0.300  Ω are  connected  in  parallel  across a resistance R. (a) For what value of R  is  the dissipation rate in the resistor  a  maxi-  mum? (b) What is that maximum? 

Problem 38. 

Two  identical  batteries  of  emf  â„°  = 12.0 V and internal resistance r = 0.200 Î©  are to be connected to an external resistance  R, either in  parallel (Fig. 27.33) or  in  series  (Fig. 27.34). If R = 2.00r, what is  the current  i in the external resistance in the (a) parallel  and  (b)  series  arrangements?  (c)  For  which  arrangement is i greater? If R = r/2.00, what  is  i  in  the  external  resistance  in  the (d)  parallel arrangement and  + – (e)  series  arrangement?  (f)  For  r which  arrangement  is  i  greater  now?  M 

+ – r

+ –

GO 

r

R

Figure  27.33 

Problems 39  and 40. 

+ – r

R In  Fig. 27.24,  â„1 ° = 3.00 V,  â„2 °   =  1.00  V,  R 1  =  4.00  Ω,  R 2  =  2.00 Î©, R 3  = 5.00 Î©, and both bat-  Figure  27.34  Problem 40.  teries are ideal. What is the rate at  which energy is dissipated in (a)  R 1 , (b) R 2 , and (c) R 3 ? What is  the power of (d) battery 1 and (e) battery 2? 

A

GO 

In Fig. 27.30, â„1 ° = 6.00 V,  â„2 ° = 12.0 V, R 1 = 100 Î©, R2   = 200 Î©,  and  R 3  = 300  Ω. One  point of the  circuit  is  grounded  (V = 0).  What  are the (a) size and (b) direction (up  or  down)  of  the  current  through  resistance  1,  the  (c)  size  and  (d)  direction (left or  right)  of the  cur-  rent  through resistance  2, and  the  (e)  size  and  (f)  direction  of  the  36  M 

R1

39  M 

41 

Problem 34. 

In Fig. 27.29, â„°  = 12.0 V,  R 1  = 2000 Î©,  R 2  = 3000 Î©,  and  R 3  = 4000 Î©. What are  the poten-  tial  differences  (a)  V A  – V  B ,   (b)  V B  – V  C , (c)  V C  – V  D ,  and (d)  V A  – V  C ?  35  M 

R2

(b ) Figure  27.28 

M  Figure 27.32 shows  a  sec-  tion of a  circuit. The  resistances  are  R 1  = 2.0  Ω,  R 2  = 4.0  Ω,  and  R 3  = 6.0  Ω,  and  the  indicated  current  is  i = 6.0 A.  The  electric  potential  difference  between  points A  and B that connect the  section to the rest of the circuit is  V A  – V  B  = 78 V. (a)  Is  the device  represented  by  “Boxabsorbing  †  or providing energy to the circuit,  and (b) at what rate? 

40 

The  resistances  in  Figs. 27.28a and  b are  all 6.0  Ω, and  the  batteries  are  ideal  12 V  batteries.  (a)  When  switch  S  in  Fig.  27.28a  is  closed, what is  the change in  the electric poten-  tial V 1  across resistor 1, or does V 1  remain the same? (b) When  switch S in Fig. 27.28b is closed, what is the change in V 1  across  resistor 1, or does V 1  remain the same?  34 

GO  In  Fig.  27.31,  the  resis-  tances  are  R 1  = 2.00 Î©,  R 2  =  5.00 Î©,  and  the  battery  is  ideal.  What value of R 3  maximizes the  dissipation rate in resistance 3?  37 

38 

is

â€is“

Figure  27.26 

current through resistance 3? (g)  What is the electric potential at  point A? 

M 

M  In  Fig. 27.35,  an  array  of  n  parallel  resistors  is  connected  in  series to a resistor and an ideal bat-  tery. All the resistors have the same  resistance.  If  an  identical  resistor  were  added  in  parallel  to  the  par-  allel array,  the current  through the  battery  would  change  by  1.25%.  What is the value of n? 

42  R2

R1

C

+ –

B R3 R1

R2 D

Figure  27.29 

Problem 35. 

A

R

R

R

n resistors in parallel

Figure  27.35 

Problem 42. 

You are  given a  number of 10  Ωr  esistors,  each capable  of  dissipating  only  1.0 W  without  being  destroyed.  What  is  the minimum number of such resistors that you need to combine  in series  or in parallel to make a 10  Ωr esistance  that is capable  of dissipating at least 5.0 W?  43  M 

+ –

R2

1

R3 R1

2

+ –

M  GO  In  Fig. 27.36, R  ,  R 4  =  1  =  100  Ω, R 2  = R 3  =  50.0  Ω 75.0 Î©, and the ideal battery has emf â„°  = 6.00 V. (a) What is the 

44  Figure  27.30 

Problem 36. 

/

844

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

equivalent  resistance?  What  is  i  in (b)  resistance  1, (c)  resistance  R1 2, (d)  resistance  3, and  (e)  resis-  R4 + tance 4?  R2 R3 – 45  M  In Fig. 27.37, the resistances  are  R 1  = 1.0  Ω and  R 2  = 2.0  Ω,  Figure 27.36  and the ideal batteries have emfs  Problems 44 and 48.  â„1 ° = 2.0 V  and  â„2 ° = â„3 ° = 4.0 V.  What  are  the  (a)  size  and  (b)  R1 R1 direction  (up  or  down)  of  the  a current  in  battery  1,  the (c)  size  + and  (d)  direction  of  the  current  3 – R2 + in battery 2, and the (e)  size  and  – 1 (f) direction of the current in bat-  R1 + tery  3?  (g)  What is  the potential  R1 – 2 difference V a  – V b    ?  b

In Fig. 27.38a, resistor 3 is a  Figure  27.37  Problem 45.  variable resistor and the ideal bat-  tery has emf â„°  = 12 V. Figure 27.38b gives the current i through  the battery as  a  function of R 3 .  The  horizontal scale  is  set  by  R 3s   = 20  Ω. The curve has an asymptote of 2.0 mA as R 3   →  ∞.  What are (a) resistance R 1  and (b) resistance R 2 ?  46  M 

6 )Am( i

4

R1

+ –

R2

R3

2 0 R3

(a )

R 3s

(Ω)

(b ) Figure  27.38 

H  SSM  A copper wire  of radius a = 0.250 mm has  an alu-  minum jacket of outer radius b = 0.380 mm. There is a  current  i = 2.00 A in the composite wire. Using Table 26.3.1, calculate  the  current  in  (a)  the  copper  and  (b)  the aluminum. (c)  If  a  potential difference V = 12.0 V between the ends maintains the  current, what is the length of the composite wire? 

(a)  In Fig. 27.39, what cur-  rent  does  the  ammeter  read  if  â„°  = 5.0  V  (ideal  battery),  R 1  =  2.0 Î©, R 2  = 4.0 Î©, and R 3  = 6.0 Î©?  (b) The ammeter and battery are  now interchanged. Show that the  ammeter reading is unchanged.  M  In  Fig. 27.40, R  1  = 2.00R,  the  ammeter  resistance  is  zero,  and  the  battery  is  ideal.  What  multiple of â„/R gives the current  ° in the ammeter? 

50 

A

The Ammeter 

49  M 

M  In  Fig.  27.3.1,  assume  that  â„°  = 3.0 V,  r = 100  Ω,  R 1  = 250  Ω,  and  R 2  = 300  Ω.  If  the  voltmeter  resistance R V  is 5.0 kΩ, what percent  error does it introduce into the mea-  surement of the  potential difference  across R 1 ? Ignore the presence of the  ammeter. 

+ –

R2 R3 R1

Figure  27.39 

Problem 49. 

+ –

A R

Figure  27.40 

R

R

Problem 50. 

A

S Starting motor

S

M  When  the  lights  of  a  car  are  switched  on,  an  ammeter  in  series  with  them  reads  10.0 A  and  a  volt-  meter  connected  across  them  reads  12.0 V  (Fig.  27.43).  When  the  elec-  tric  starting  motor  is  turned  on,  the ammeter reading drops to 8.00 A  and the lights dim somewhat. If  the internal resistance of the bat-  tery  is  0.0500 Î© and that of  the  ammeter is  negligible, what are  (a) the emf of the battery and (b)  the current through the starting  motor when the lights are on? 

V

54 

M  In  Fig. 27.44, R  s  is  to  be  adjusted in value by moving the  sliding  contact  across  it  until  points a and b are brought to the  same  potential.  (One  tests  for  this  condition  by  momentarily  connecting a  sensitive  ammeter 

55  R1

Lights

–

+

GO  In Fig. 27.36, the resistors have the values R 1  = 7.00 Î©,  R 2  = 12.0 Î©,  and  R 3  = 4.00 Î©,  and  the  ideal  battery’ emf  s  is  â„°  = 24.0 V. For what value of R 4  will the rate at which the bat-  tery  transfers energy  to the resistors  equal (a)  60.0 W, (b)  the  maximum possible rate P max , and (c) the minimum possible rate  P min ? What are (d) P max  and (e) P min ?  48  H 

and the Voltmeter 

M  A  simple  ohmmeter  is  made  by  connecting  a  1.50 V  0–1.00 mA flashlight  battery  in  series  with  – a  resistance  R  and  an  ammeter  + that reads  from 0  to 1.00 mA, as  R shown  in  Fig.  27.42.  Resistance  R  is  adjusted  so  that  when  the  clip  leads  are  shorted  together,  Figure  27.42  Problem 52.  the meter deflects to its full-scale  value  of  1.00 mA.  What  external  resistance  across  the  leads  results in a deflection of (a) 10.0%, (b) 50.0%, and (c) 90.0% of  full scale? (d) If the ammeter has a resistance of 20.0 Î©a  nd the  internal resistance  of the battery is negligible, what is the value  of R? 

52 

53 

Problem 46. 

47 

Module 27.3 

M  In  Fig. 27.41,  a  voltmeter  A of  resistance  R V  =  300 Î© and  R an  ammeter  of  resistance  R A  =  3.00 Î©a  re being used to measure  V a resistance R in a circuit that also  R0 contains  a  resistance  R 0  = 100 Î©  and an ideal battery with  an emf  + – of  â„°  = 12.0 V.  Resistance  R  is  given by  R = V/i,  where  V  is  the  Figure  27.41  Problem 51.  potential  across  R  and  i  is  the  ammeter reading. The voltmeter reading  is  Vʹ ,  which  is  V  plus  the potential difference across  the ammeter. Thus,  the ratio  of  the two meter readings is  not R  but only an apparent resistance  Rʹ  = Vʹ /i. If R = 85.0 Î©, what are (a) the ammeter reading, (b) the  voltmeter reading, and (c) Rʹ ? (d) If R    A is decreased, does the dif-  ference between Rʹ and R increase, decrease, or remain the same?   

51 

r

Figure  27.43 

Problem 54.  a

R2

R1

Sliding contact

Rs

Rx

b R0

Figure  27.44 

+

–

Problem 55. 

/

845

P ROBL EMS 

between a  and b; if  these points are  at the same potential, the  ammeter will  not deflect.) Show that when  this adjustment is  made, the following relation holds: R x  = R s R 2 /R 1 . An unknown  resistance  (R x )  can  be  measured  in  terms  of  a  standard  (R s )  using this device, which is called a Wheatstone bridge.  In  Fig.  27.45,  a  voltmeter  A of  resistance  R V  = 300  Ω and  an  R ammeter of resistance  R A  = 3.00  Ω  are  being  used to  measure a  resis-  V tance  R  in  a  circuit  that also  con-  R0 tains  a  resistance  R 0  = 100  Ω and  an ideal battery of emf â„°  = 12.0 V.  + – Resistance  R  is  given  by  R = V/i,  where  V  is  the  voltmeter  reading  Figure  27.45  Problem 56.  and  i  is  the  current  in  resistance  R. However, the ammeter reading  is not i  but rather  iʹ , which  is  i  plus  the current  through the voltmeter. Thus, the  ratio of  the two meter readings is not R but only an apparent resistance  Rʹ= V/i   ʹ .  If  R = 85.0  Ω,  what  are  (a)  the  ammeter  reading,  (b)  the voltmeter reading, and (c)  Rʹ ?   (d)  If  R V  is  increased,  does  the  difference  between Rʹand    R  increase,  decrease,  or  remain the same?  56 

M 

capacitor discharges  completely through the lamp and the lamp  flashes briefly. For a lamp with breakdown voltage V L  = 72.0 V,  wired to a  95.0 V ideal battery and a  0.150 Î¼ F  capacitor, what  resistance R is needed for two flashes per second?  M  SSM  In  the circuit of Fig.  27.48,  â„°  = 1.2  kV,  C = 6.5 Î¼ F,  S R1 R 1  = R 2  = R 3  = 0.73 MΩ.  With  C  R3 completely  uncharged,  switch  S  + R2 – is  suddenly  closed  (at  t = 0).  At  C t = 0,  what  are  (a)  current  i 1  in  resistor  1,  (b)  current  i 2  in  resis-  tor 2, and (c) current i 3  in resistor  Figure  27.48  Problem 63.  3? At t = âˆž(that is, after many time constants), what are (d) i    1 ,  (e) i 2,   and (f) i 3?   What is the potential difference V 2  across resis-  tor 2 at (g)  t = 0 and (h)  t = âˆž? (i)  Sketch V 2  versus t  between  these two extreme times. 

63 

A capacitor with an initial potential difference of 100 V  is  discharged  through a  resistor  when a  switch  between them  is  closed  at  t = 0. At  t = 10.0 s,  the potential difference across  the  capacitor  is  1.00 V.  (a)  What  is  the  time constant  of  the  circuit? (b) What is the potential difference across the capacitor  at t = 17.0 s?  64  M 

GO  In  Fig.  27.49,  R 1  =  M  10.0 kΩ,  R 2  =  15.0 kΩ,  C  =  0.400  μ F,  and  the  ideal battery  has  emf  â„°  = 20.0  V.  First,  the  switch  is  closed a long time so that the steady  state is  reached. Then the switch is  opened at  time t  =  0.  What is  the  current in resistor 2 at t = 4.00 ms?  65 

Module 27.4 

RC Circuits 

Switch S in Fig. 27.46 is closed at  time t = 0, to begin charging an initially  uncharged  capacitor  of  capacitance  C = 15.0 Î¼ F through a resistor of resis-  tance R = 20.0  Ω.  At what time is  the  potential across  the capacitor equal to  that across the resistor?  57  E 

S R

+ –

C

Problems  57 and 96. 

Figure  27.46 

E  In  an  RC  series  circuit,  emf  â„°  = 12.0 V,  resistance  R = 1.40 MΩ,  and  capacitance  C = 1.80 Î¼ F.  (a)  Calculate  the  time constant. (b) Find the maximum charge that will appear on  the capacitor during charging. (c) How long does it take for the  charge to build up to 16.0 Î¼ C? 

58 

SSM  What multiple of the time constant  Ï„gives the time  taken by an initially uncharged capacitor in an RC series circuit  to be charged to 99.0% of its final charge? 

59  E 

A capacitor with initial charge q 0  is discharged through a  resistor. What multiple of the time constant Ï„gives the time the  capacitor takes to lose (a)  the first  one-third of its  charge and  (b) two-thirds of its charge?  60  E 

A 15.0 kΩr esistor and a capacitor are connected in series,  and then a 12.0 V potential difference is suddenly applied across  them.  The  potential  difference  across  the  capacitor  rises  to  5.00 V in 1.30 Î¼ s. (a)  Calculate the time constant of the circuit.  (b) Find the capacitance of the capacitor.  61  E 

Figure 27.47 shows the cir-  R cuit of a flashing lamp, like those  attached  to  barrels  at  highway  construction  sites.  The  fluores-  + C L cent lamp L (of negligible capaci-  – tance)  is  connected  in  parallel  across  the capacitor  C  of an  RC  circuit. There is a current through  Figure  27.47  Problem 62.  the lamp only when the potential  difference across it reaches the breakdown voltage V L ; then the  62  M 

+ –

C R2 R1

Figure  27.49 

Problem 65. 

M  Figure  27.50 displays  two  circuits  with a  charged capacitor  that is  to be  discharged  through  C 1 R1 C2 R2 a resistor when a switch is closed.  In  Fig. 27.50a,  R 1  =  20.0  Ω and  (a ) C 1  = 5.00 Î¼ F. In Fig. 27.50b, R 2  =  (b ) 10.0  Ω and  C 2  =  8.00  μ F.  The  Figure  27.50  Problem 66.  ratio of the  initial charges  on the  two  capacitors  is  q 02 /q 01  =  1.50. At time  t  =  0,  both switches  are closed. At what time t do the two capacitors have the same  charge? 

66 

M  The  potential difference  between the plates  of  a  leaky  (meaning that charge leaks from one plate to the other) 2.0 Î¼ F  capacitor drops to one-fourth its initial value in 2.0 s. What is the  equivalent resistance between the capacitor plates? 

67 

A 1.0 Î¼ F capacitor with an initial stored energy of 0.50 J  is discharged  through a 1.0 MΩr esistor.  (a)  What is  the initial  charge  on the  capacitor? (b)  What  is  the current  through the  resistor  when  the  discharge  starts?  Find  an  expression  that  gives,  as  a  function of  time t,  (c)  the  potential difference V C  across  the capacitor, (d)  the potential difference V R  across  the  resistor,  and (e)  the rate at which thermal energy is  produced  in the resistor.  68  M 

CALC  GO  A 3.00 MΩr  esistor and a 1.00 Î¼ F capacitor are  connected in series  with an ideal battery of emf â„°  = 4.00 V. At  1.00 s  after  the connection is  made, what is  the  rate  at  which  (a) the charge of the capacitor is increasing, (b) energy is being  stored in the capacitor,  (c)  thermal energy is  appearing  in the  resistor, and (d) energy is being delivered by the battery? 

69  H 

/

846

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

batteries are ideal and have an emf of 10 V? (Hint: This can be  answered using only mental calculation.) 

Additional Problems 

Each  of  the  six  real  batteries  in  Fig.  27.51  has  an  emf  of  20 V  and  a  resistance  of  4.0  Ω.  (a)  What  is  the  cur-  rent  through  the  (external)  resistance  R = 4.0 Î©? (b) What is the potential differ-  ence across  each battery? (c)  What is  the  power  of  each  battery? (d)  At  what  rate  does each battery transfer energy to inter-  nal thermal energy?  70 

GO 

R

Figure  27.51 

Problem 70. 

In  Fig.  27.52,  R 1  = 20.0  Ω,  R 2  = 10.0 Î©, and the ideal battery  a S1 S2 S3 has  emf  â„°  = 120 V.  What  is  the  current at point a  if we close  (a)  only switch S 1 , (b)  only switches  – R1 R1 R1 S 1  and  S 2 ,  and  (c)  all  three  + switches?  R1 R2 R2 72  In  Fig. 27.53, the  ideal bat-  tery has emf  â„°  = 30.0 V, and the  Figure  27.52  Problem 71.  resistances  are  R 1  = R 2  = 14  Ω,  R 3  = R 4  =  R 5  = 6.0 Î©, R 6  = 2.0 Î©, and R 7  =  1.5 Î©. What are cur-  rents (a) i 2 , (b) i 4 , (c) i 1 , (d) i 3 , and (e) i 5 ?  71 

i2

R1

i4

R2

R7

+ – i3

Figure  27.53 

R3

R4

BIO  FCP  Suppose  that, while  you  are  sitting  in  a  chair,  charge separation between your clothing and the chair puts you  at a potential of 200 V, with the capacitance between you and  the chair at 150 pF. When you stand up, the increased separation  between your body and the chair decreases  the capacitance  to  10 pF. (a) What then is the potential of your body? That poten-  tial is  reduced over  time, as  the charge  on you drains through  your body and shoes  (you are  a capacitor discharging through  a  resistance).  Assume  that  the  resistance  along  that  route  is  300 GΩ.  If  you  touch  an  electrical  component  while  your  potential is  greater than 100 V, you could ruin the component.  (b) How long must you wait until your potential reaches the safe  level of 100 V?  If  you  wear  a  conducting wrist  strap  (Fig.  27.55)  that  is  connected to ground, your potential does not increase as much  when you stand up; you also discharge more rapidly because the  resistance  through the grounding connection is  much less  than  through your body and shoes. (c) Suppose that when you stand  up, your potential is 1400 V and the chair-to-you capacitance is  10 pF. What resistance in that wrist-strap grounding connection  will allow you to discharge to 100 V in 0.30 s, which is less time  than you would need to reach for, say, your computer? 

75 

i1

i5

R5

R6

 otohP kcotS ymalA/llawnroC otohP

Problem 72.  SSM  Wires  A  and B,  having equal  lengths of  40.0 m  and  equal diameters of 2.60 mm, are connected in series. A potential  difference of 60.0 V is applied between the ends of the composite  wire. The  resistances  are  R A = 0.127  Ω and R B  = 0.729  Ω.  For  wire A, what are (a) magnitude J of the current density and (b)  potential difference V? (c) Of what type material is wire A made  (see Table 26.3.1)? For wire B, what are (d) J and (e)  V? (f) Of  what type material is B made?  74  What are  the  (a)  size  and  (b)  direction (up  or  down)  of  current  i  in  Fig. 27.54, where  all  resistances  are  4.0  Ωa  nd  all 

73 

Figure  27.55 

Problem 75. Wrist strap to discharge static  electric charge. 

GO  In Fig. 27.56, the ideal batteries have emfs  â„1 ° = 20.0 V,  â„2 ° = 10.0 V,  and  â„3 ° = 5.00 V,  and  the  resistances  are  each  2.00 Î©.  What  are  the  (a)  size  and  (b)  direction (left  or  right)  76 

–+ 1

+ –

i

+ –

3

2

i1

Figure  27.54 

Problem 74. 

Figure  27.56 

Problem 76. 

/

P ROBL EMS 

of current i 1 ? (c) Does battery 1 supply or absorb energy, and (d)  what is its power? (e) Does battery 2 supply or  absorb energy,  and (f)  what is  its power? (g)  Does battery 3 supply or  absorb  energy, and (h) what is its power?  SSM  A temperature-stable resistor  is  made by connecting  a resistor made of silicon in series with one made of iron. If the  required total resistance  is 1000 Î©i n a wide temperature range  around  20Ëš C,  what should  be  the resistance  of the  (a)  silicon  resistor and (b) iron resistor? (See Table 26.3.1.) 

77 

In Fig. 27.3.1, assume that â„°  = 5.0 V, r = 2.0 Î©, R 1  = 5.0 Î©,  and  R 2  = 4.0  Ω. If  the ammeter resistance  R A  is  0.10  Ω, what  percent error does it introduce into the measurement of the cur-  rent? Assume that the voltmeter is not present.  78 

An  initially  uncharged  capacitor  C  is  fully  charged by a device of constant emf â„°  connected in series with  a resistor R. (a) Show that the final energy stored in the capaci-  tor is half the energy supplied by the emf device. (b)  By direct  integration of i 2 R over the charging time, show that the thermal  energy dissipated by the resistor is also half the energy supplied  by the emf device.  79 

SSM 

CALC 

In Fig. 27.57, R 1  = 5.00 Î©, R 2  = 10.0 Î©, R 3 = 15.0 Î©, C 1 = 5.00 Î¼ F,  C 2  = 10.0 Î¼ F, and the ideal battery  has emf â„°  = 20.0 V. Assuming that  the  circuit  is  in  the  steady  state,  what is  the total energy stored  in  the two capacitors?  80 

In  Fig.  27.1.5a,  find  the  potential  difference  across  R 2  if  â„°  = 12 V,  R 1  = 3.0  Ω,  R 2  = 4.0  Ω,  and R 3  = 5.0 Î©.  81 

C1

R2

C2

R1

+ –

Figure  27.57 

Problem 80. 

In  Fig. 27.1.8a,  calculate the potential difference between  a and c by considering a path that contains R, r 1 , and â„1 ° .  82 

SSM  A  controller  on  an  electronic  arcade  game  consists  of a variable resistor  connected across  the plates of a 0.220 Î¼ F  capacitor. The capacitor is  charged  to 5.00 V, then discharged  through  the  resistor.  The  time  for  the  potential  difference  across  the plates to decrease to 0.800 V is measured by a clock  inside the game. If the range of discharge times that can be han-  dled effectively is  from 10.0 Î¼ s  to 6.00 ms, what should be the  (a)  lower value and (b) higher value of the resistance range of  the resistor? 

83 

An  automobile  gasoline  R indicator Indicator gauge  is  shown  schematically  in  Fig.  27.58.  The  indicator  (on  the  dashboard)  has  a  resistance  of  Tank + 10  Ω. The tank unit is a float con-  – 12 V unit nected to a variable resistor whose  resistance  varies  linearly  with  the  Connected R tank volume of gasoline. The resistance  through chassis is  140  Ω when  the  tank  is  empty  and  20  Ω when  the  tank  is  full.  Find the current in the circuit when  Figure  27.58  Problem 84.  the tank is (a) empty, (b) half-full, and (c) full. Treat the battery  as ideal.  84 

The  starting  motor  of  a  car  is  turning  too  slowly,  and the  mechanic has to decide whether to replace the motor,  the  cable, or  the battery. The car’ manual says  s  that the 12 V  85 

SSM 

battery should have no more  than 0.020  Ωi nternal resistance,  the  motor no  more than 0.200  Ω resistance,  and  the cable  no  more than 0.040 Î©r esistance. The mechanic turns on the motor  and measures 11.4 V across  the battery, 3.0 V across  the cable,  and a current of 50 A. Which part is defective?  Two resistors R 1  and R 2  may be connected either in series  or in parallel across  an ideal battery with emf â„. We desire the  ° rate of energy dissipation of the parallel combination to be five  times that of the series combination. If R 1  = 100 Î©, what are the  (a) smaller and (b) larger  of the two values of R 2  that result in  that dissipation rate?  86 

The  circuit  of  Fig.  27.59  shows  a  capacitor,  two  ideal  bat-  teries,  two resistors,  and  a  switch  S. Initially S  has  been  open for  a  long time. If  it is  then closed for a  long time, what is the change in the  charge  on  the capacitor?  Assume  C = 10 Î¼ F,  â„1 ° = 1.0 V,  â„2 ° = 3.0 V,  R 1  = 0.20 Î©, and R 2  = 0.40 Î©.  87 

S

– +

1

– +

2 C

R1

R2

Figure  27.59 

Problem 87. 

In  Fig.  27.24,  R 1  = 10.0 Î©,  R 2  = 20.0  Ω,  and  the  ideal  batteries have emfs â„1 ° = 20.0 V and â„2 ° = 50.0 V. What value of  R 3  results in no current through battery 1?  88 

In  Fig.  27.60,  R = 10  Ω.  What is  the equivalent resistance  between  points  A  and  B?  (Hint:  This  circuit  section  might  look  4.0 R simpler  if  you  first  assume  that  points A  and B  are  connected  to  a battery.) 

2.0 R

89 

R3

847

B

R

6.0 R 3.0 R

(a) In Fig. 27.1.4a, show  A that  the  rate  at  which  energy  is  Figure  27.60  Problem 89.  dissipated in R  as  thermal energy  is  a  maximum  when  R = r.  (b)  Show that this maximum power is P = â„2 ° /4r.  90 

CALC 

In  Fig.  27.61, the  ideal  bat-  teries have emfs â„1 ° = 12.0 V and  â„2 ° = 4.00 V,  and  the  resistances  are  each  4.00  Ω.  What  are  the  (a)  size  and (b)  direction  (up or  down) of  i 1  and the  (c)  size  and  (d)  direction of i 2 ? (e)  Does bat-  tery  1  supply  or  absorb  energy,  and (f) what is its energy transfer  rate?  (g)  Does  battery 2  supply  or  absorb  energy, and (h)  what  is its energy transfer rate?  91 

Figure 27.62 shows a portion  of a  circuit  through which  there  is a current I = 6.00 A. The resis-  tances  are  R 1  =  R 2  =  2.00R 3   =  2.00R 4  = 4.00 Î©. What is the cur-  rent i 1  through resistor 1? 

+ –

i2

1

i1

– +

Figure  27.61 

2

Problem 91.  I

92 

Thermal  energy  is  to  be  generated in a 0.10  Ωr esistor at  the  rate  of 10 W  by  connecting  the  resistor  to  a  battery  whose 

R3

i1

R1

R2

R4

93 

I

Figure  27.62 

Problem 92. 

/

848

C HAP T ER 27  C IRC U IT S 

emf is 1.5 V. (a) What potential difference must exist across the  resistor? (b) What must be the internal resistance of the battery?  Figure  27.63  shows  three  20.0 Î© resistors.  Find  the  equiva-  lent resistance between points (a) A  and  B,  (b)  A  and  C,  and  (c)  B  and  C. (Hint: Imagine  that a  bat-  tery  is connected between a given  pair of points.)  94 

R1

(gliomas)

i

C B

R2

A

Figure  27.63 

Problem 94. 

(white matter)

Figure  27.65 

Problem 98. 

Wire  for  electric  heater.  You  are  to  construct  a  heating  coil but will first test two wires, both of length L = 10 cm  and  diameter d = 2.5 mils (a  mil is a  common unit that is 1/1000 of  an  inch): Wire  1  consists  of copper  with resistivity  Ï 1  = 1.7 Ã—  10 âˆ8’    Ω⋅  m  and wire    2 consists  of Nichrome  (an  alloy of nickel  and chromium) with resistivity  Ï 2  = 1.1 Ã— 10  âˆ6 ’ Ω⋅  m. You will    put a potential difference of V = 110 V across four arrangements  of the wires. What power will be dissipated as heat for (a) wire 1  alone, (b) wire 2 alone, (c)  wires 1 and 2 in series, and (d) wires  1 and 2 in parallel?  99 

A 120 V power line is protected by a 15 A fuse. What is the  maximum number of 500 W lamps that can be  simultaneously  operated  in  parallel  on  this  line  without  “blowingthe  † fuse  because of an excess of current?  95 

Figure 27.46 shows an ideal battery of emf â„°  = 12 V, a resis-  tor of resistance R = 4.0 Î©, and an uncharged capacitor of capac-  itance  C = 4.0 Î¼ F. After switch  S is  closed,  what is  the current  through the resistor when the charge on the capacitor is 8.0 Î¼ C?  96 

Circuit cube. Figure 27.64 shows  a cube made of 12  resis-  tors,  each  of  resistance  R.  What  is  the  equivalent  resistance  R 12  that the combination would present to  a  battery attached  across  points 1 and 2? (Although this problem can be attacked  by â€œbrute  forceâ€methods using the loop and junction rules and    solving multiple simultaneous equations, the symmetry  of the  connections suggests that there must be a slicker method. Hint:  If two points in a circuit have the same potential, the currents in  the circuit do not change if you connect those points with a wire.  There will be no current in the wire because there is no potential  difference between its ends. So, you can replace those two ends  with a single point.)  97 

Leaping electric eel. Electric eels are known to leap at peo-  ple and animals to shock them. In a recent research experiment,  a juvenile electric eel was allowed to leap to a volunteer’ arm in  s  order to measure the current set up along the arm. Figure 27.66a  is  a  photo of  the eel  striking the  arm with  the clenched hand  immersed in the water. (The strikes always caused the volunteer  to withdraw the arm.) Figure 27.66b gives  a circuit diagram of  eel, arm, and water. The emf generated by the eel is 200 V. The  resistance  of the eel’ body is R  s  , the resistance  from  1  = 1000  Ω the front of the eel down along its body’ surface to the water is  s  100 

5 1 8

4

Input 2

 ainataC neK

6 7 3 Figure  27.64 

(a)

Problem 97. 

Brain  resistances.  An  active  area  of  research  involves  measuring  the resistivities  of brain  tissue and brain tumors, to  aid in certain types of surgeries  and in the placement of deep-  brain electrodes for treatment of epilepsy and Parkinson’ dis-  s  ease.  One concern  is  the  determination of  an  electric  current  through adjacent tumor and healthy tissue. Figure 27.65 shows  one research  group’ simple model of the electric pathway for  s  a current i through the resistance  R 1  = 160 Î©o  f gliomas (which  accounts  for  about  30%  of  all  brain  tumors)  and  resistance  R 2  = 372 Î©o  f healthy white matter. In a living brain, what per-  cent of the current is through (a) the gliomas and (b) the white  matter? If the same arrangement is in a cadaver in which form-  aldehyde increases  each resistance  by 2700  Ω, what percent of  the current is through (c) the gliomas and (d) the white matter?  The results reveal that studies on cadavers must be adjusted to  account for the electrical properties of a living brain.  98 

R3

R1

R4

i1

i

R2

(b )

Problem 100. (a)  An eel leaping up to a vol-  unteer’ arm in an experiment. (b) Circuit diagram for eel  s  shocking the arm. (After Kenneth C. Catania, Department of  Biological Sciences, Vanderbilt University)  Figure  27.66 

/

P ROBL EMS 

849

R 3  = 2.3 kΩ, the resistance  along the arm from the strike point  to the water is  R 4  = 2.2 kΩ, and the resistance  of the current’s  return path through the water is  R 2  = 400  Ω. Find (a)  the cur-  rent i generated by the eel and (b)  the current i 1  along the arm.  (c) How much power was delivered to the arm?  Gasoline  tanker  truck.  When  gasoline  is  loaded  onto  a  tanker truck or dispensed from it into an underground tank at a  gasoline station, great care  must be taken so that a spark from  electrostatic  charges  does  not ignite the vapor. That charge  is  produced by  the sloshing  of the  gasoline as  it moves  through  hoses  or  when  the  truck  travels  along  a  road.  For  gasoline  vapor, the critical value for the spark energy is U critical  = 24 mJ.  To avoid fire and explosion, the truck must be grounded before  gasoline is poured into it or poured out of it. The grounding is by  means of a conducting cable with a resistance  of 10 Î©, with one  end buried in the ground and the other clipped to the truck (Fig.  27.67). If a truck has a 600 pF capacitance and an initial poten-  tial energy of 2.25 J, how much time is required to discharge the  truck to the critical value of potential energy?  101 

 kcarefaS

Problem 101. A grounding cable runs from truck  into post and then down into the ground. 

Figure  27.67 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

8

Magnetic Fields  →

28.1  MAGNETIC FIELDS AND THE DEFINITION  OF B Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.1.1  Distinguish an electromagnet from a permanent 

(2) determining  what effect  the charge 

magnet. 

q  has on the 

direction. 

28.1.2  Identify that a magnetic field  is a vector quantity 

→

28.1.6  Find the magnetic force 

and thus has both magnitude and direction. 

F B  acting on a moving 

charged particle  by evaluating the cross product  →

q ( v  × B ) in unit-vector notation and  magnitude-  →

28.1.3  Explain  how a magnetic field can  be defined  in  terms of what happens  to a charged particle  moving 

angle notation.  →

F B  must 

through  the field. 

28.1.7  Identify  that the magnetic force vector 

28.1.4  For a charged particle mov ing through a 

always be perpendicular  to both the velocity vec-  →

v  and the magnetic field vector B . 

→

uniform  magnetic field,  apply  the relations hip 

tor 

F B, charge  q , s peed v ,    B, and the angle  ϕ between the  directions  of the v elocity  v ector v  and  the mag -  netic  field v ector B .  between  force magnitude 

28.1.8  Identify  the effect  of the magnetic force on the 

field  magnitude 

→

particle’s speed and kinetic  energy.  28.1.9  Identify  a magnet as being a magnetic dipole. 

→

28.1.10  Identify that opposite magnetic poles attract 

28.1.5  For a charged particle  sent through a uniform  magnetic field,  find the direction  of the magnetic 

each other and like magnetic poles repel each other.  28.1.11  Explain  magnetic field  lines,  including  where 

→

force 

F B by (1) applying the right-hand rule  to  v  × B and  →

they originate  and terminate and what  their spacing 

→

find  the direction of the cross product 

represents. 

Key Ideas  ●

When  a charged particle moves through a magnetic  →

field 

B , a magnetic force acts on the particle as 

●

The right-hand rule  for cross products gives the  →

v  × B . The sign of  q  then determines  whether  F B  is in the same direction  as  v  × B or in  the  →

direction of  →

given by 

→

→

opposite direction.  →

→

F B  = q ( v  × B ), 

where 

→

→

●

The magnitude of 

F B = | q| vB sin  ϕ, 

q  is the particle’s charge (sign included)  and  v 

is the particle’s velocity. 

F B  is given by 

→

where 

ϕ is the angle  between  v  and B .  →

→

What Is Physics? 

As we have discussed, one  major goal of physics is the study of  how  an electric  field  can produce an electric force on a charged object. A closely related goal is  the  study  of  how  a magnetic field  can produce  a magnetic force on  a (moving)  charged particle or on a magnetic object such as a magnet. Y ou may already have  a hint of what a magnetic field is if you have ever attached a note to a refrigerator  door  with  a small magnet or accidentally erased a credit card by moving it near  a magnet. The magnet acts on the door or credit card via its magnetic field.  The  applications  of  magnetic fields  and  magnetic forces are countless  and  changing  rapidly  every year.  Here are  just  a  few  examples. For  decades, the 

850 /

→

28.1  MAGNET IC   F IEL D S  AND  T HE  D EF INIT ION  OF   B

851

 segamI ytteG/etybkcotS

entertainment industry depended on the magnetic recording of music and images  on  audiotape  and  videotape. Although  digital  technology has  largely replaced  magnetic recording, the industry  still  depends on  the magnets that control  CD  and DVD players a nd computer hard drives; magnets a lso drive the speaker cones  in headphones, TVs, computers, and telephones. A modern car comes equipped  with dozens of magnets because they are required in the motors for engine igni-  tion,  automatic window control,  sunroof  control, and  windshield  wiper  control.  Most security alarm systems, doorbells, and automatic door latches employ mag-  nets. In short, you are surrounded  by magnets.  The science of magnetic fields is physics; the application of magnetic fields is  engineering. Both the science and the application begin with the question “What  produces a magnetic field?”  Using an electromagnet  to collect and transport scrap metal at  a steel mill.  Figure  28.1.1 

What Produces a  Magnetic Field?  →

Because an electric field E is produced by an electric charge, we might reasonably  expect that a magnetic field B  is produced by a magnetic charge. Although indi-  vidual  magnetic charges (called  magnetic monopoles)  are predicted  by  certain  theories, their existence has not  been confirmed. How then  are magnetic fields  produced? There are two ways.  One way is to use moving electrically charged particles, such as a current in  a  wire, to  make an  electromagnet. The  current produces  a magnetic field  that  can be used, for example, to control a computer hard drive or to sort scrap metal  (Fig. 28.1.1). In Chapter 29, we discuss the magnetic field due to a current.  The other  way to  produce a magnetic field  is  by means of  elementary par-  ticles  such  as electrons because these particles have an intrinsic  magnetic field  around  them. That is, the magnetic field  is a basic characteristic of each particle  just  as mass and  electric charge (or lack of charge) are basic characteristics. As  we discuss in Chapter 32, the magnetic fields of the electrons in certain materials  add together to give a net magnetic field around the material. Such addition is the  reason why a permanent magnet, the type used to hang refrigerator notes, has a  permanent magnetic field. In other materials, the magnetic fields of the electrons  cancel out, giving no net magnetic field surrounding  the material. Such cancella-  tion  is the reason you  do  not  have a permanent field  around  your  body,  which  is good because otherwise you might be slammed up  against a refrigerator door  every time you passed one.  Our first job  in  this  chapter is to  define  the magnetic field B . We do  so  by  using  the experimental fact that when a charged particle moves through  a mag-  netic field, a magnetic force F B acts on the particle.  →

→

→

→

The Definition of B →

We determined the electric field E at a point by putting a test particle of charge q  at rest at that point and measuring the electric force F E acting on the particle. We  then defined E as  →

→

→

F E  E = ___  q  . 

(28.1.1) 

→

→

If  a  magnetic monopole  were  available, we  could  define  B  in  a  similar  way.  Because such  particles have not  been found,  we must define B  in  another way,  in terms of the magnetic force F B  exerted on  a moving electrically charged test  particle.  Moving Charged Particle. In principle, we do  this by firing  a charged par-  ticle through the point  at which B  is to be defined, using  various directions and  speeds for the particle and determining the force F B  that acts on the particle at  →

→

→

→

/

852

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

that point.  After many such  trials we would  find  that when  the particle’s veloc-  ity  v  is along a particular axis through the  point,  force F B  is zero. For all other  directions of  v , the magnitude of F B is always proportional  to v sin  ϕ , where ϕ is  the angle between the zero-force  axis and  the direction  of  v . Furthermore, the  direction of F B  is always perpendicular to the direction of  v . (These results sug-  gest that a cross product is involved.)  The Field. We can then define a magnetic field B to be a vector quantity that  is directed along the zero-force axis. We can next measure the magnitude of F B  when  v  is directed perpendicular to  that axis and then  define the magnitude of  B in terms of that force magnitude:  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

F B  B = ____  ,  | q|v  where q is the charge of the particle.  We can summarize all these results with the following vector equation:  →

(28.1.2) 

→

F B = q v  × B ;  →

→

that is, the force F B on the particle is equal to the charge q times the cross product  of its velocity v  and the field B (all measured in the same reference frame). U sing  Eq. 3.3.5 for the cross product, we can write the magnitude of F B as  →

→

→

F B =  |q| vB sin  ϕ, 

(28.1.3) 

where ϕ is the angle between the directions of velocity v  and magnetic field B .  →

→

Finding  the  Magnetic  Force  on a Particle  →

Equation  28.1.3 tells  us that  the magnitude of  the force  F B  acting on  a particle  in  a  magnetic field  is proportional  to  the charge q  and  speed v of  the  particle.  Thus, the force is equal to zero if the charge is zero or if the particle is stationary.  Equation 28.1.3 a lso tells us that the magnitude of the force is zero if  v  and B are  either parallel (ϕ = 0°) or antiparallel (ϕ = 180°), a nd the force is at its maximum  when  v  and B are perpendicular to each other.  Directions. Equation  28.1.2 tells  us  all this  plus  the  direction  of  F B . From  Module 3.3, we know that the cross product  v  × B  in Eq. 28.1.2 is a vector that  is perpendicular  to  the two  vectors v  and  B . The  right-hand  rule (Figs. 28.1.2a  through c) tells us that the thumb of the right hand points in the direction of  v  × B  when the fingers sweep v  into B . If q is positive, then (by Eq. 28.1.2) the force F B  has the same sign  as  v  × B  and thus  must be  in the  same direction; that is, for  positive q, F B is directed along the thumb (Fig. 28.1.2d). If q is negative, then the  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Cross

v 

into B to get the new vector

v  × B

.

v  × B

v × B

v  B

v × B FB

B

(a )

Force on negative particle

Force on positive particle

B

(b )

B

B

(c )

(d )

FB

(e )

(a)–(c) The right-hand rule (in which v  is swept into B  through the smaller  angle ϕ between them) gives the direction of  v  × B as the direction of the thumb. (d) If  q is positive, then the direction of F B  = q v  × B  is in the direction of  v  × B . (e) If q is  negative, then the direction of F B  is opposite that of  v  × B .  →

→

Figure  28.1.2 

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

/

→

28.1  MAGNET IC   F IEL D S  AND  T HE  D EF INIT ION  OF   B

→

853

→

→

 ecruoS ecneicS/yrotarobaL yelekreB ecnerwaL

force F B and cross product  v × B have opposite signs and thus must be in opposite  directions. For negative q, F B is directed opposite the thumb (Fig. 28.1.2e). Heads  up: Neglect of this effect of negative q is a very common error on exams.  Regardless of the sign of the charge, however,  →

e 

The force F B  acting on a charged particle moving with velocity v  through a  magnetic field B  is always perpendicular to  v  and B .  →

→

→

e 

→

→

→

e 

→

Thus,  F B  never  has  a  component  parallel  to  v .  This  means  that  F B  cannot  change  the particle’s speed  v  (and  thus  it  cannot  change the  particle’s kinetic  energy). The force can change only  the direction of  v  (and thus the direction of  travel); only in this sense can F B accelerate the particle.  To develop a feeling for  Eq. 28.1.2, consider Fig. 28.1.3, which  shows  some  tracks left by  charged particles moving rapidly through  a bubble  chamber. The  chamber, which  is  filled  with  liquid  hydrogen, is immersed in  a strong uniform  magnetic field that is directed out of the plane of the figure. An incoming gamma  ray particle—which leaves no  track because it is uncharged—transforms into  an  electron (spiral track marked e – ) and a positron (track marked e + ) while it knocks  an electron out of a hydrogen atom (long track marked e – ). Check with Eq. 28.1.2  and Fig. 28.1.2 that the three tracks made by these two negative particles and one  positive particle curve in the proper directions.  Unit. The SI unit for B that follows from Eqs. 28.1.2 a nd 28.1.3 is the newton  per coulomb-meter per second. For convenience, this is called the tesla (T):  →

→

→

The tracks of two elec-  trons (e – ) and a positron (e + ) in a  bubble chamber that is immersed  in a uniform magnetic field that is  directed out of the plane of the page.  Figure  28.1.3 

→

newton  1 tesla = 1 T = 1 _______________________  .  (coulomb)(meter/second) 

Table 28.1.1  Some Approximate 

Magnetic Fields 

Recalling that a coulomb per second is an ampere, we have  newton  N  .  1 T = 1 _______________________  = 1 _____  (coulomb/second)(meter)  A ⋅ m 

(28.1.4) 

→

An earlier (non-SI) unit for B , still in common use, is the gauss (G), and  1 tesla = 10 4  gauss. 

(28.1.5) 

Table  28.1.1 lists  the  magnetic fields  that  occur  in  a  few  situations.  Note  that  Earth’s magnetic field near the planet’s surface is about 10 –4 T (= 100 μT or 1 G). 

At surface of neutron star  Near big electromagnet  Near small bar magnet  At Earth’s surface  In interstellar space  Smallest value in  magnetically  shielded room 

10 8  T  1.5 T  10 –2  T  10 –4  T  10 –10  T  10 –14  T 

Checkpoint 28.1.1 

The figure shows three  situations in which a  charged particle with  velocity v  travels  through a uniform mag-  netic field B . In each  situation, what is the  direction of the magnetic  force F B  on the particle? 

y

y

y B

B

→

v

+

x

x

x

→

→

z

z

v

z

v

B

(a)

(b )

(c )

Magnetic  Field  Lines 

We  can represent magnetic fields  with  field  lines,  as we did  for  electric fields.  Similar rules apply:  (1) The direction  of  the tangent to  a magnetic field  line  at  any point gives the direction  of B  at that point,  and (2) the spacing of the lines  →

/

854

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

→

N S

(a )

 uaedrariG epaC ,ytisrevinU  etatS  iruossiM tsaehtuoS  ,nonnaC  drahciR .rD  fo  ysetruoC

(b )

(a) The magnetic field  lines for a bar magnet. (b) A “cow  magnet”—a bar magnet that is  intended to be slipped down into  the rumen of a cow to prevent acci-  dentally ingested bits of scrap iron  from reaching the cow’s intestines.  The iron filings at its ends reveal the  magnetic field lines.  Figure  28.1.4 

represents the magnitude of B —the magnetic field is stronger where the lines are  closer together, and conversely.  Figure 28.1.4a shows how the magnetic field near a bar magnet (a permanent  magnet in  the  shape of  a bar)  can be  represented by  magnetic field  lines. The  lines all pass through the magnet, and they all form closed loops (even those that  are not shown closed in the figure). The external magnetic e ffects of a bar magnet  are strongest near its ends,  where the  field lines  are most closely spaced. Thus,  the magnetic field of the bar magnet in Fig. 28.1.4b collects the iron filings mainly  near the two ends of the magnet.  Two Poles. The (closed) field lines  enter one end  of a magnet and exit the  other  end. The end  of a magnet from which  the field  lines emerge is  called the  north  pole  of  the  magnet; the  other  end, where  field  lines enter  the magnet, is  called the south  pole. Because a magnet has two poles, it is said to be a magnetic  dipole. The magnets we use to  fix notes  on refrigerators are short  bar magnets.  Figure 28.1.5 shows two other common shapes for magnets: a horseshoe magnet  and  a magnet that  has been bent  around  into  the  shape of a  C  so that the  pole  faces are facing each other. (The magnetic field between the pole faces can then  be approximately uniform.) Regardless of the shape of the magnets, if we place  two of them near each other we find:  Opposite magnetic poles attract each other, and like magnetic poles repel  each other. 

When  you  hold  two  magnets near each  other  with  your  hands,  this  attraction  or repulsion  seems almost magical because there is no  contact between the two  to  visibly  justify  the  pulling  or  pushing.  As  we did  with  the electrostatic force  between two  charged particles, we explain  this  noncontact  force in  terms of  a  field that you cannot see, here the magnetic field.  Earth  has  a  magnetic field  that  is  produced  in  its  core  by  still  unknown  mechanisms. On Earth’s surface, we can detect this  magnetic field  with  a com-  pass, which  is essentially a slender bar magnet on  a low-friction  pivot.  This  bar  magnet, or this  needle, turns because its north-pole  end  is attracted toward the  Arctic region  of  Earth. Thus,  the  south  pole  of  Earth’s magnetic field  must  be  located toward the Arctic. Logically, we then  should  call the pole there a south  pole.  However, because we  call  that  direction  north,  we  are trapped  into  the  statement that Earth has a geomagnetic north  pole in that direction.  With more careful measurement we would  find  that in the Northern Hemi-  sphere, the  magnetic field  lines  of  Earth  generally point  down  into  Earth  and  toward  the Arctic. In the  Southern  Hemisphere, they generally point  up  out  of  Earth  and  away from  the  Antarctic—that is,  away  from  Earth’s  geomagnetic  south  pole. 

N N

S S

(a)

The field lines run from the north pole to the south pole.

(b )

(a) A horseshoe magnet and (b) a  C-shaped magnet. (Only some of the  external field lines are shown.)  Figure  28.1.5 

/

855

28.2  C ROSSED   F IEL D S:  D ISC OV ERY   OF  T HE  EL EC T RON 

Sample Problem 28.1.1

Magnetic  force  on a moving charged  particle 

→

A  uniform  magnetic  field  B ,  with  magnitude  1.2 mT,  is  directed  vertically  upward  throughout  the  volume  of  a  laboratory  chamber. A  proton  with  kinetic  energy  5.3 MeV  enters  the  chamber, moving horizontally  from  south  to  north.  What  magnetic deflecting  force  acts on  the proton  as it  enters the chamber? The proton  mass is  1.67 × 10 –27  kg. (Neglect Earth’s magnetic field.) 

→

→

→

→

→

→

→

→

→

To  find  the  magnitude  of  F B ,  we  can  use  Eq.  28.1.3 (F B  =  |q|vB  sin  ϕ )  provided  we first  find  the  proton’s  speed  v.  We  can  find  v  from  the  given kinetic  1  2  energy because K =  _  2 mv  . Solving for v, we obtain  Magnitude:

v =  √  m 

→

→

Because  the  proton  is  charged  and  moving  through  a  magnetic field, a magnetic force F B  can act on it. Because  the initial direction of the proton’s  velocity is not along a  magnetic field line, F B  is not simply zero. 

_______________________________ 

2K  =  ___ 

→

To  find  the  direction  of  F B ,  we use  the  fact  that  F B  has  the  direction  of  the  cross  product  q v  ×  B .  Because the charge q  is positive, F B  must have the same  direction  as  v  ×  B ,  which  can  be  determined with  the  right-hand rule for cross products (as in Fig. 28.1.2d). We  know  that  v  is directed horizontally from south  to north  and B is directed vertically up. The right-hand rule shows  us that the deflecting force F B  must be directed horizon-  tally from west to east, as Fig. 28.1.6 shows. (The array of  dots in the figure represents a magnetic field directed out  of the plane of the figure. An array of  Xs would  have rep-  resented a magnetic field directed into that plane.)  If the charge of the particle were negative, the mag-  netic  deflecting force would  be  directed in  the  opposite  direction—that  is, horizontally from east to  west. This  is  predicted  automatically by  Eq.  28.1.2 if  we  substitute  a  negative value for q.  Direction:

→

KEY IDEAS

___ 

F B  _____________  6.1 × 10 −15 N  12  2  a = ___  m  =  1.67 × 10 −27  kg = 3.7 × 10  m/s  . 

−13 

× 10  J/MeV)  √ (2)(5.3 MeV)(1.60  1.67 × 10  kg 

_______________________________ 

N 

−27 

v

= 3.2 × 10 7 m/s. 

Path of proton B

Equation 28.1.3 then yields 

W 

F B  = |q |vB sin ϕ

−19 

= (1.60 × 10 

7 

C)(3.2 × 10  m/s) 

FB

E 

S 

−3 

× (1.2 × 10  T)(sin 90°)  = 6.1 × 10 −15  N. 

+

An overhead view of a proton moving from  south to north with velocity v  in a chamber. A magnetic field  is directed vertically upward in the chamber, as represented  by the array of dots (which resemble the tips of arrows). The  proton is deflected toward the east.  Figure  28.1.6 

(Answer ) 

This may seem like a small force, but it acts on a particle  of small mass, producing a large acceleration; namely, 

→

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

28.2  CROSSED FIELDS: DISCOVERY OF THE ELECTRON  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.2.1  Describe the experiment of J. J. Thomson. 

28.2.3  In situations where  the magnetic force and elec- 

28.2.2  For a charged  particle moving through a mag- 

tric force on a particle  are in opposite directions, 

netic field  and an electric field,  determine the net 

determine the speeds at which  the forces cancel, 

force on the particle in  both magnitude-angle  nota- 

the magnetic force dominates, and the electric  force 

tion and unit-vector notation. 

dominates. 

Key  Ideas  ●

If a charged  particle moves through a region contain- 

●

If the fields  are perpendicular  to each  other, they are 

ing both an electric  field  and a magnetic field,  it can 

said to be  crossed

be affected by both an electric  force and a magnetic 

fields . 

●

force. 

speed will  result in no deflection of the particle. 

If the forces are in opposite directions, a particular 

/

856

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

Crossed Fields: Discovery of the  Electron  →

→

Both an electric field E and a magnetic field B can produce a force on a charged par-  ticle. When the two fields are perpendicular to each other, they are said to be crossed  fields. Here we shall examine what happens to charged particles—namely, electrons—  as they move through crossed fields. We use as our example the experiment that led  to the discovery of the electron in 1897 by J. J. Thomson at Cambridge University.  Two Forces. Figure 28.2.1 shows a modern, simplified version of Thomson’s  experimental apparatus—a cathode ray tube  (which is like the picture tube in an  old-type television set). Charged particles (which we now know as electrons) are  emitted by a hot filament at the rear of the evacuated tube and are accelerated by  an applied potential difference V. After they pass through a slit in screen C, they  form a narrow beam. They then pass through a region of crossed E and B fields,  headed toward  a fluorescent screen S, where they produce a spot  of light (on  a  television screen the spot  is part of the picture). The forces on  the charged par-  ticles in the crossed-fields region can deflect them from the center of the screen.  By controlling  the magnitudes and  directions of the fields, Thomson  could  thus  control where the spot of light appeared on the screen. Recall that the force on a  negatively charged particle due to an electric field is directed opposite  the field.  Thus,  for  the  arrangement of  Fig.  28.2.1, electrons are forced  up  the  page  by  electric field E  and down  the page by magnetic field  B ; that is, the forces are in  opposition.  Thomson’s procedure was equivalent to the following series of steps.  →

→

→

→

1.  Set E = 0 and  B = 0 and note  the position  of the spot on  screen S due to  the  undeflected beam.  →

2.  Turn on E and measure the resulting beam deflection.  3.  Maintaining E , now turn on  B and adjust its value until the beam returns to the  undeflected position. (With the forces in opposition,  they can be made to cancel.)  →

→

We discussed the deflection of a charged particle moving through an electric  field E between two plates (step 2 here) in Sample Problem 22.6.1. We found that  the deflection of the particle at the far end of the plates is  →

| q| EL 2  y =  _______  ,  2mv 2 

(28.2.1) 

where v is the particle’s speed, m its mass, and q its charge, and L is the length of  the plates. We can apply this same equation to the beam of electrons in Fig. 28.2.1;  if  need  be,  we  can calculate the  deflection  by  measuring the  deflection  of  the  beam on screen S and then working back to calculate the deflection y at the end  of  the  plates.  (Because the  direction  of  the  deflection  is  set by  the sign  of  the  particle’s charge, Thomson was able to show that the particles that were lighting  up his screen were negatively c harged.)  Canceling Forces. When the two fields in Fig. 28.2.1 a re adjusted so that the  two deflecting forces cancel (step 3), we have from Eqs. 28.1.1 a nd 28.1.3  |q| E = |q |vB sin (90° ) = | q| vB  A modern version of  J. J. Thomson’s apparatus for mea-  suring the ratio of mass to charge  for the electron. An electric field E  is established by connecting a bat-  tery across  the deflecting-plate ter-  minals. The magnetic field B  is set  up by means of a current in a system  of coils (not shown). The magnetic  field shown is into the plane of the  figure, as represented by the array  of Xs  (which resemble the feathered  ends of arrows).  Figure  28.2.1 

+

→

E

B

Spot of light

Filament Screen C

→

–

Screen S Glass envelope

V

To vacuum pump /

857

28.3  C ROSSED   F IEL D S:  T HE  HAL L   EF F EC T  

E  v = __  B 

or 

(28.2.2) 

(opposite forces canceling). 

Thus, the crossed fields allow us to measure the speed of the charged particles pass-  ing through them. Substituting Eq. 28.2.2 for v in Eq. 28.2.1 a nd rearranging y ield  2  2 

m  = _____  B  L  ,  ___  |q | 

(28.2.3) 

2yE 

in which all quantities on the right can be measured. Thus, the crossed fields allow us  to measure the ratio m/|q| of the particles moving through  Thomson’s apparatus.  (Caution: Equation  28.2.2 applies only when the electric and magnetic forces are  in opposite directions. You might see other situations in the homework problems.)  Thomson  claimed that these particles are found  in  all matter. He also claimed  that they are lighter than the lightest known atom (hydrogen) by a factor of more than  1000. (The exact ratio proved later to  be 1836.15.) His m/| q| measurement, coupled  with the boldness of his two claims, is considered to be the “discovery of the electron.” 

Checkpoint 28.2.1 

The figure shows four directions for the velocity  vector  v  of a positively charged particle moving  through a uniform electric field E  (directed out  of the page and represented with an encircled dot)  and a uniform magnetic field B . (a) Rank directions  1, 2, and 3 according to the magnitude of the net  force on the particle, greatest first. (b) Of all four  directions, which might result in a net force of zero? 

2

→

v

→

B

v

1

→

+

v

E

3

v

4

28.3  CROSSED FIELDS: THE HALL EFFECT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.3.1  Describe the Hall effect  for a metal strip carry- 

28.3.4  Apply the relationship between  charge-carrier 

n

B,  V. 

ing current,  explaining  how the electric  field is set up 

number  density  , magnetic field magnitude 

and what limits its magnitude. 

current  , and Hall-effect potential  difference 

28.3.2  For a conducting strip in  a Hall-effect  situation, 

i

28.3.5  Apply the Hall-effect results to a conducting 

draw the vectors for the magnetic field  and electric 

object moving through a uniform  magnetic field, 

field.  For the conduction electrons, draw the vectors 

identifying  the width  across which  a Hall-effect 

for the velocity, magnetic force, and electric  force. 

potential  difference 

V is set up and calculating  V. 

28.3.3  Apply the relationship between  the Hall potential  difference 

V, the electric  field  magnitude E, and the  d. 

width of the strip 

Key  Ideas  →

B is applied to a  conducting strip carrying  current i, with the field  per-  ●

When  a uniform  magnetic field 

pendicular  to the direction of the current,  a Hall-effect  potential  difference 

V is set up across the strip. 

→

where  ●

l is the thickness of the strip (parallel  to B ). 

When a conductor moves through a uniform magnetic  →

field 

B at speed v, the Hall-effect  potential difference  V 

across it is 

→

●

The electric  force 

F E  on the charge carriers is then  F B  on them. 

V = vBd, 

→

balanced by the magnetic force  ●

The number density 

be determined from 

n  of the charge carriers can  then  Bi ,  n = ____  Vle 

d is the width  perpendicular  to both velocity  v  and field  B .  →

where 

→

/

858

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

i

Crossed Fields: The Hall Effect 

i

d

+ × 

× 

× 

× 

× 

B

× 

× 

× 

× 

B

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

×  + × 

× 

× 

× 

vd

w oL

×  FB

× 

+

hgiH

× 

vd

E

+

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

FE

+

F

× 

× B × 

× 

× 

× 

As  we  just  discussed,  a  beam of  electrons in  a  vacuum can  be  deflected by  a  magnetic field.  Can  the  drifting  conduction  electrons in  a copper  wire  also  be  deflected by a magnetic field? In 1879, Edwin  H. Hall, then  a 24-year-old grad-  uate student at the  Johns  Hopkins  University, showed  that they can. This  Hall  effect allows us  to find  out  whether the charge carriers in  a conductor  are posi-  tively or negatively charged. Beyond that,  we can measure the  number of  such  carriers per unit volume of the conductor.  Figure 28.3.1a shows  a  copper  strip  of  width  d, carrying a current i  whose  conventional  direction  is from  the  top  of  the  figure to  the bottom.  The  charge  carriers are  electrons and,  as we  know,  they  drift  (with  drift  speed  v d)    in  the  opposite  direction, from bottom to top.  At the instant  shown  in  Fig. 28.3.1a, an  external magnetic field  B , pointing  into  the  plane  of  the  figure,  has  just  been  turned  on.  From Eq.  28.1.2 we see that  a magnetic deflecting force  F B  will  act  on each drifting electron, pushing it toward the right edge of the strip.  As time goes on,  electrons move to  the right,  mostly piling  up  on  the right  edge of the strip, leaving uncompensated positive charges in fixed positions at the  left edge. The separation of positive charges on the left edge and negative charges  on the right edge produces an electric field E within the strip, pointing from left to  right in Fig. 28.3.1b. This field exerts an electric force F E  on each electron, tend-  ing to push it to the left. Thus, this electric force on the electrons, which opposes  the magnetic force on them, begins to build  up.  Equilibrium. An  equilibrium  quickly  develops  in  which  the  electric force  on  each electron has increased enough to  match the magnetic force. When  this  happens, as Fig. 28.3.1b shows, the force due to  B and the force due  to E are in  balance. The drifting electrons then move along the strip  toward the top  of the  page at velocity v d  with no further collection of electrons on the right edge of the  strip and thus no further increase in the electric field E .  A Hall potential difference V is associated with the electric field across strip  width d. From Eq. 24.2.7, the magnitude of that potential difference is  →

→

i

i

(a )

(b )

→

i

→

E

+

× 

× 

B

× 

× 

×  ×  + ×  × 

× 

× 

× + × 

× 

FE

+

hgiH

w oL × 

+

FB

× 

×  ×  + ×  v ×  ×  d

→

→

→

V = Ed.  i

(c )

A strip of copper car-  rying a current i is immersed in a  magnetic field B . (a) The situation  immediately after the magnetic  field is turned on. The curved path  that will then be taken by an elec-  tron is shown. (b) The situation at  equilibrium, which quickly follows.  Note that negative charges pile up  on the right side of the strip, leav-  ing uncompensated positive charges  on the left. Thus, the left side is at a  higher potential than the right side.  (c) For the same current direction,  if the charge carriers  were positively  charged, they would pile up on the  right side, and the right side would  be at the higher potential.  Figure  28.3.1 

→

→

(28.3.1) 

By connecting  a voltmeter across  the width,  we can measure the  potential  dif-  ference between the two edges of the strip. Moreover, the voltmeter can tell us  which edge is at higher potential. For the situation of Fig. 28.3.1b, we would find  that the left edge is at higher potential, which  is consistent with  our assumption  that the charge carriers are negatively charged.  For a moment, let us make the opposite assumption, that the charge carriers in  current i are positively charged (Fig. 28.3.1c). Convince yourself that as these charge  carriers move from top to bottom in the strip, they are pushed to the right edge by F B  and thus that the right edge is at higher potential. Because that last statement is con-  tradicted by our voltmeter reading, the charge carriers must be negatively charged.  Number Density. Now for the quantitative part. When the electric and mag-  netic forces are in balance (Fig. 28.3.1b), Eqs. 28.1.1 a nd 28.1.3 g ive us  →

eE = ev d B. 

(28.3.2) 

From Eq. 26.2.4, the drift speed v d  is  J  = ____  i  ,  v d  = ___  ne  neA 

(28.3.3) 

in  which  J (= i/A) is  the current density in  the strip, A is the cross-sectional area of  the strip, and n is the number density of charge carriers (number per unit volume).  In Eq. 28.3.2, substituting  for E with  Eq. 28.3.1 and substituting  for  v d  with  Eq. 28.3.3, we obtain  Bi ,  n =  ____  Vle 

(28.3.4) 

/

28.3  C ROSSED   F IEL D S:  T HE  HAL L   EF F EC T  

859

in which  l (= A/d) is the thickness of the strip. With  this equation we can find n  from measurable quantities.  Drift Speed. It is also possible to use the Hall effect to measure directly the  drift speed v d of the charge  carriers, which you may recall is of the order of centi-    meters per hour. In this clever experiment, the metal strip is moved mechanically  through  the  magnetic field  in  a direction  opposite  that  of  the  drift  velocity of  the charge carriers. The speed of the moving strip is then adjusted until  the Hall  potential difference vanishes. At this condition,  with no  Hall effect, the velocity  of  the  charge carriers with  respect to  the  laboratory frame must  be zero, so  the  velocity of the strip must be equal in magnitude but opposite the direction of the  velocity of the negative charge carriers.  Moving Conductor. When  a conductor  begins to  move at speed  v through  a magnetic field, its conduction  electrons do also. They are then like the moving  conduction  electrons in  the  current in  Figs. 28.3.1a and  b, and  an  electric field  E  and potential difference V are quickly set up. As with the current, equilibrium  of the electric and magnetic forces is established, but we now write that condition  in terms of the conductor’s speed v instead of the drift speed v d  in a current as we  did in Eq. 28.3.2: 

→

eE = evB.  Substituting  for E with Eq. 28.3.1, we find that the potential difference is  V = vBd. 

(28.3.5) 

Such  a motion-caused  circuit  potential  difference can  be  of  serious concern in  some situations, such as when a conductor in an orbiting satellite moves through  Earth’s magnetic field.  However, if  a conducting  line  (said  to  be  an electrody-  namic  tether)  dangles from  the  satellite, the  potential  produced  along  the  line  might be used to maneuver the satellite.  Magnetohydrodynamic Drive 

The dead-quiet “caterpillar drive” for submarines in the movie The Hunt for Red  October is based on a magnetohydrodynamic (MHD) drive: As the ship  moves  forward,  seawater flows  through  multiple  channels  in  a  structure built  around  the rear of  the hull.  Figure 28.3.2 shows the essential features of a MHD chan-  nel. Magnets, positioned  along opposite sides of the channel with opposite poles  facing each other, create a horizontal magnetic field within the channel. The top  and bottom plates set up an electric field that drives a current down  through the  (conducting) water. The setup is then like the traditional Hall effect, and a mag-  netic force on the current propels the water toward the rear of the channel, thus  propelling  the ship  forward. A full-scale ship  using the MHD effect was built  in  the early 1 990s in Japan (Fig. 28.3.3). Plans to build small-scale ships are available  on the Web. 

 otohP kcotS ymalA/namriaF mloclaM

South pole

North pole North pole

South pole

Flow of seawater

The essential features of the  silent drive for ships and submarines.  Figure  28.3.2 

The Yamato-1 was a full-scale ship  driven by the magnetohydrodynamic effect.  Figure  28.3.3 

/

860

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

Checkpoint 28.3.1 

The figure shows a rectangular conducting block in a uniform magnetic field. For edge lengths,  we have L x  > L z  > L y . We can move the block at v = 4 cm/s along the x axis, the y axis, or the  z axis. Rank those direction choices according to the Hall potential that would be set up across  the block, greatest first. 

Sample Problem 28.3.1

z

x

Lz

Lx

When the cube first begins to move through  the  magnetic field,  its  electrons  do  also.  Because each  electron has charge q and  is moving through  a magnetic  field with velocity v , the magnetic force F B  acting on  the  electron is given by Eq. 28.1.2. Because q is negative, the  direction of F B is opposite the cross product  v  × B , which  is  in  the  positive  direction  of  the  x  axis  (Fig.  28.3.4b).  Thus,  F B  acts  in  the  negative  direction  of  the  x  axis,  toward the left face of the cube (Fig. 28.3.4c).  Most  of the electrons are fixed in place in the atoms  of the cube. However, because the cube is a metal, it con-  tains  conduction  electrons that  are free  to  move. Some  of those  conduction  electrons are deflected by F B  to  the  left cube  face, making that  face negatively charged and 

→

→

→

Because the cube is moving through a magnetic field B , a  magnetic force F B  acts on its charged particles, including  its conduction  electrons. 

This is the crossproduct result. y

v  d

This is the magnetic force on an electron. y

d d

(b )

(a )

–  –  – 

v  × B FB

x

This is the resulting electric field.

y

y

+  +  + 

x

x

FB

(e )

FE

(f )

x

x

(d )

More migration creates a greater electric field.

The forces now balance. No more electrons move to the left face.

y

E

+  +  + 

(c )

B

The weak electric field creates a weak electric force.

Electrons are forced to the left face, leaving the right face positive. y

v  × B

x

→

→

→

y

→

→

KEY IDEA

A 

→

→

(a) Which  cube  face is  at  a lower  electric potential  and  which is at a higher electric potential because of the motion  through the field? 

E

Ly

Reasoning:

→

–  –  – 

B

Potential  difference  set up across  a  moving conductor 

Figure  28.3.4a shows  a solid  metal cube,  of  edge  length  d = 1.5 cm, m oving in the positive y direction at a constant  velocity v  of magnitude 4.0 m/s. The cube moves through  a uniform  magnetic field  B  of  magnitude 0.050 T  in  the  positive z direction. 

z

y

–  –  –  –  – 

y

E

(g )

+  +  +  +  + 

x

FB

FE

x

(h )

(a) A solid metal cube moves at constant velocity through a uniform mag-  netic field. (b)–(d) In these front views, the magnetic force acting on an electron forces  the electron to the left face, making that face negative and leaving the opposite face  positive. (e)–( f ) The resulting weak electric field creates a weak electric force on the  next electron, but it too is forced to the left face. Now (g) the electric field is stronger  and (h) the electric force matches the magnetic force.  Figure  28.3.4 

/

28.4  A  C IRC U L AT ING C HARGED   P ART IC L E 

leaving the  right  face  positively  charged  (Fig.  28.3.4d).  This  charge  separation  produces  an  electric  field  E  directed from the positively charged right face to the neg-  atively charged left face (Fig. 28.3.4e). Thus,  the left face  is at a  lower electric potential,  and  the right  face is at a  higher electric potential.  →

(b) What is the potential difference between the faces of  higher and lower electric potential? 

KEY IDEAS →

1.  The electric field E  created by the charge separation  produces an electric force F E  =  qE  on  each electron  (Fig.  28.3.4f ).  Because  q  is  negative,  this  force  is  directed opposite the field E —that is, rightward. Thus  on each electron, F E acts toward the right and F B acts  toward the left.  →

→

→

→

→

2.  When  the  cube  had  just  begun  to  move  through  the  magnetic  field  and  the  charge  separation  had  just  begun,  the  magnitude  of  E  began  to  increase  from  zero.  Thus,  the  magnitude  of  F E  also  began  to  increase from zero and  was initially  smaller than  the magnitude of  F B . During this early stage, the net  force on  any  electron  was  dominated  by  F B ,  which  continuously  moved additional  electrons  to  the  left  cube face, increasing the charge separation between  the left and right cube faces (Fig. 28.3.4g).  →

→

→

→

861

3.  However, as the charge separation increased, eventu-  ally magnitude F E became e qual to magnitude F B (Fig.  28.3.4h).  Because the  forces  were in  opposite  direc-  tions, the net force on any electron was then zero, and  no  additional  electrons were moved  to  the left  cube  face.  Thus,  the  magnitude  of  F E  could  not  increase  further, and the electrons were then in equilibrium.  →

We seek the potential difference V between  the left and right cube faces after equilibrium was reached  (which occurred quickly). We can obtain V with Eq. 28.3.1  (V = Ed)  provided  we first  find  the  magnitude E  of  the  electric field at equilibrium.  We can do so with the equa-  tion for the balance of forces (F E  = F B).    For F E, we substitute |q|E, and then for F    B, we substi-    tute |q|vB sin ϕ from Eq. 28.1.3. From Fig. 28.3.4a, we see  that the angle ϕ between velocity vector v  and magnetic  field vector B is 90°; thus sin  ϕ = 1 and F E = F B yields  Calculations:

→

→

|q |E = | q| vB sin 90° = |q |vB. 

This gives us E = vB; so V = Ed becomes  V = vBd.  Substituting  known  values tells us that  the potential dif-  ference between the left and right cube faces is  V =  (4.0 m/s )(0.050 T )(0.015 m )  = 0.0030 V = 3.0 mV. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

28.4  A CIRCULATING CHARGED PARTICLE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.4.1  For a charged particle  moving through a uniform 

field,  sketch the path and indicate  the magnetic field 

magnetic field,  identify under  what conditions it will 

vector, the velocity vector, the result of the cross 

travel in a straight line,  in a circular  path, and in a 

product of the velocity and field  vectors, and the 

helical  path. 

magnetic force vector. 

28.4.2  For a charged particle  in uniform  circular  motion  due to a magnetic force, start with Newton’s second  law  and derive an expression for the orbital radius 

r 

B and the particle’s  mass m , charge magnitude  q , and speed v.  in terms of the field magnitude 

28.4.3  For a charged particle moving along a circular path  in a uniform  magnetic field,  calculate  and relate speed,  centripetal  force, centripetal acceleration,  radius,  period, frequency, and angular frequency, and identify  which  of the quantities do not depend on speed.  28.4.4  For a positive particle  and a negative particle  moving along a circular  path in a uniform  magnetic 

28.4.5  F o r a charg ed  particle  mo v ing  in  a helical  path in  a mag netic field,  s ketch the path and indi-  cate the  mag netic field,  the  pitch,  the radius  o f  curv ature, the v elo city  co mpo nent parallel  to  the  field,  and the v elo city  co mpo nent perpendicular  to  the field.  28.4.6  For helical  motion in a magnetic field,  apply the  relationship between  the radius of curvature and one  of the velocity components.  28.4.7  For helical  motion in a magnetic field,  iden-  tify pitch 

p and relate  it to one of the velocity 

components. 

/

862

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

Key Ideas 

m and charge mag-  |q|  moving with velocity  v  perpendicular  to a  uniform  magnetic field  B will  travel in  a circle.  ●

A charged particle  with mass 

nitude 

●

→

→

●

f

The frequency of revolution  , the angular frequency 

ω, and the period of the motion T are given by  | q| B  ω = __  1  = ____  f = ___  .  2 π T  2πm 

Applying Newton’s second law to the circular  motion 

yields 

2 

mv  ,  | q|vB = ____  r 

from which  we find  the radius 

●

r of the circle  to be 

mv .  r = ____ 

If the velocity of the particle has a component paral- 

lel to the magnetic field,  the particle moves in a helical  →

B . 

path about field  vector 

|q |B 

A  Circulating Charged Particle 

If a particle moves in a circle at constant speed, we can be sure that the net force  acting on  the particle is  constant in  magnitude and  points  toward the  center of  the circle, always perpendicular  to  the particle’s velocity. Think  of  a stone tied  to  a string and  whirled in a circle on  a smooth horizontal  surface, or of  a satel-  lite moving in  a circular orbit  around  Earth. In the first case, the tension in  the  string  provides  the  necessary force  and  centripetal acceleration. In  the  second  case, Earth’s gravitational attraction provides the force and acceleration.  Figure 28.4.1 shows another example: A beam of electrons is projected into  a  chamber by an  electron gun  G. The  electrons enter  in  the  plane  of  the  page  with speed v and then move in a region of uniform magnetic field B directed out  of  that plane.  As a result, a magnetic force  F B  =  q v  ×  B  continuously  deflects  the electrons, and because v  and B are always perpendicular to each other, this  →

→

→

→

→

→

v 

B F

B

 reklaW lraeJ ysetruoC

G

Electrons circulating in a chamber containing gas at low pressure (their  path is the glowing circle). A uniform magnetic field B , pointing directly out of the  plane of the page, fills the chamber. Note the radially directed magnetic force F B ; for  circular motion to occur, F B  must point toward the center of the circle. Use the right-  hand rule for cross  products to confirm that F B  = q v  × B gives F B  the proper direction.  (Don’t forget the sign of q.)  Figure  28.4.1 

→

→

→

→

→

→

→

/

28.4  A  C IRC U L AT ING C HARGED   P ART IC L E 

863

deflection causes the electrons to follow  a circular path. The path is visible in the  photo  because atoms of gas in the chamber emit light when some of the circulat-  ing electrons collide with them.  We  would  like  to  determine the parameters that characterize the circular  motion  of these electrons, or of  any particle of  charge magnitude |q| and mass  m moving  perpendicular to  a uniform  magnetic field  B  at speed v. From  Eq.  28.1.3, the force acting on the particle has a magnitude of |q|vB. From Newton’s  second law ( F  = m a ) applied to uniform circular motion  (Eq. 6.3.2),  →

→

we have 

→

v 2 ,  F = m __  r 

(28.4.1) 

2 

mv  .  | q | v B = ____  r 

(28.4.2) 

Solving for r, we find the radius of the circular path as  mv  r = ____  |q |B 

(radius). 

(28.4.3) 

The  period  T  (the  time  for  one  full  revolution)  is  equal  to  the  circumference  divided by the speed:  2πr =  ___  2 π ____  mv  = ____  2πm  T = ___  v  v  |q |B  |q| B 

(period). 

(28.4.4) 

The frequency f (the number of revolutions per unit  time) is  | q|B  1  =  ____  f = __  (frequency).  T  2 πm 

(28.4.5) 

The angular frequency ω of the motion is then  |q |B  ω = 2πf = ____  m  (angular frequency). 

(28.4.6) 

The quantities T, f, and  ω do  not depend on  the speed of the particle (provided  the speed is much less than  the speed of light). Fast particles move in  large cir-  cles and slow ones in small circles, but all particles with the same charge-to-mass  ratio |q|/m take the same time T (the period) to complete one round  trip.  Using  Eq. 28.1.2, y ou can show that if you are looking in the direction of B , the direction  of rotation for a positive particle is always counterclockwise, and the direction for  a negative particle is always clockwise.  →

Helical  Paths 

If the velocity of a charged particle has a component parallel to the (uniform) mag-  netic field, the particle will  move in a helical path about the direction of the field  vector. Figure 28.4.2a, for example, shows the velocity vector  v  of such a particle  resolved into two components, one parallel to B and one perpendicular to it:  →

→

v ∥ = v cos ϕ and  v ⊥  = v sin ϕ . 

(28.4.7) 

The parallel component determines the pitch  p of the helix—that is, the distance  between adjacent turns (Fig. 28.4.2b). The perpendicular component determines  the radius of the helix and is the quantity to be substituted for v in Eq. 28.4.3.  Figure  28.4.2c shows  a charged particle spiraling in  a nonuniform  magnetic  field. The more closely spaced field lines  at the left and right sides indicate that  the magnetic field is stronger there. When the field at an end is strong enough, the  particle “reflects” from that end.  Electrons  and  protons  are  trapped  in  this  way  in  Earth’s  magnetic field,  forming the Van Allen radiation belts, which loop well above Earth’s atmosphere  between Earth’s north and south geomagnetic poles. These particles bounce back  and forth, from one end of this magnetic bottle to the other, within a few seconds. 

/

864

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

The velocity component perpendicular to the field causes circling, which is stretched upward by the parallel component.

p

B

Particle

Spiral path

B

v

B

F

ϕ

B

v

ϕ v⊥ 

v ǀ ǀ 

FB

B

ϕ

v⊥ 

+

q

q

FB

v ǀ ǀ 

+

(a )

r

(c )

(b )

(a) A charged particle  moves in a uniform magnetic field B ,  the particle’s velocity v  making an  angle ϕ with the field direction. (b)  The particle follows a helical path of  radius r and pitch p. (c) A charged  particle spiraling in a nonuniform  magnetic field. (The particle can  become trapped in this magnetic bot-  tle, spiraling back and forth between  the strong field regions at either  end.) Note that the magnetic force  vectors at the left and right sides  have a component pointing toward  the center of the figure.  Figure  28.4.2 

→

→

When  a large solar flare shoots  additional  energetic electrons and  protons  into the radiation belts, an electric field is produced in the region where electrons  normally reflect. This field eliminates the reflection and instead drives electrons  down  into  the atmosphere, where they collide  with  atoms and  molecules of air,  causing the air to emit light. This light forms the aurora or northern lights, a cur-  tain of light that hangs down  to an altitude of about 100 km (Fig. 28.4.3). Green  light is emitted by oxygen atoms, and pink light is emitted by nitrogen molecules,  but  often the light is so dim that only  white light can be perceived. This curtain  of  light can be seen on  dark  nights in  the middle  to high  latitudes. It is not  just  local; it may be 200 km high and 4000 km long, stretching around Earth in an arc.  However, it is only  about  100 m thick  (north  to south)  because the paths  of the  electrons producing it converge as they spiral down the converging magnetic field  lines (Fig. 28.4.4). 

 yabaxiP/segam i51/09namatyalokin

An aurora is a curtain of light that is  produced by extraterrestrial electrons. 

Electron path

Converging magnetic field lines

Geomagnetic north pole

Auroral oval

Figure  28.4.3 

The auroral oval surrounding Earth’s geo-  magnetic north pole (which is currently located near  northwestern Greenland). Magnetic field lines converge  toward that pole. Electrons moving toward Earth are  “caught by” and spiral around these lines, entering the  atmosphere at middle to high latitudes and producing  auroras within the oval.  Figure  28.4.4 

/

865

28.4  A  C IRC U L AT ING C HARGED   P ART IC L E 

Checkpoint 28.4.1 

The figure here shows the circular paths of two particles that  travel at the same speed in a uniform magnetic field B , which  is directed into the page. One particle is a proton; the other is  an electron (which is less massive). (a) Which particle follows  the smaller circle, and (b) does that particle travel clockwise or  counterclockwise?  →

Sample Problem 28.4.1

B

Helical  motion of  a charged  particle  in a  magnetic  field 

An  electron  with  a  kinetic  energy  of  22.5 eV  moves  into  a region  of  uniform  magnetic field  B  of  magnitude  4.55 × 10 –4  T. The angle between the directions of B and  the electron’s velocity v  is 65.5°. What is the pitch  of the  helical path taken by the electron? 

Calculations:

→

2 πm .  p = v ∥T = (v cos  ϕ) ____    |q |B 

→

→

KEY IDEAS

(28.4.8) 

Calculating the electron’s speed v from its kinetic energy,  we find  that v = 2.81 × 10 6 m/s, and so Eq. 28.4.8 g ives us  p = (2.81 × 10 6 m/s)(cos 65.5° ) 

(1) The pitch p is the distance the electron travels parallel  to the magnetic field B during one period T of circulation.  (2)  The period  T is  given by  Eq. 28.4.4 for  any nonzero  angle between v  and B . 

2π(9.11 × 10 −31 kg)  × ___________________________  (1.60 × 10 −19  C)(4.55 × 10 −4 T)  = 9.16 cm.  (Answer) 

→

→

→

Using Eqs. 28.4.7 a nd 28.4.4, we find 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Sample Problem 28.4.2

Uniform circular  motion of  a charged  particle  in a  magnetic  field 

Figure  28.4.5 shows  the  essentials  of  a  mass  spectrom-  eter,  which  can be  used  to  measure the  mass of  an  ion;  an ion  of mass m (to  be measured) and charge q is pro-  duced  in  source S. The initially stationary ion  is acceler-  ated by the electric field  due to a potential difference V.  The ion leaves S and enters a separator chamber in which  a uniform  magnetic field  B  is perpendicular  to  the  path  of  the ion.  A wide detector lines  the  bottom wall of  the  chamber, and the B causes the ion to move in a semicircle  and thus strike the detector. Suppose that B = 80.000 m T,  V = 1000.0 V,  and  ions  of  charge  q = +1.6022 × 10 –19 C  strike  the  detector  at  a  point  that  lies  at  x = 1.6254 m .  What is the mass m of the individual  ions, in atomic mass  units (Eq. 1.3.1: 1 u = 1.6605 × 10 –27 kg)? 

B r

Detector

→

x

→

KEY IDEAS (1)  Because  the  (uniform)  magnetic  field  causes  the  (charged)  ion  to  follow  a  circular  path,  we  can  relate  the  ion’s  mass  m  to  the  path’s  radius  r  with  Eq.  28.4.3  (r = mv/|q|B).  From  Fig.  28.4.5 we  see  that  r = x/2  (the  radius is half the diameter). From the problem statement,  we know the magnitude B of the magnetic field. However,  we lack  the ion’s  speed v in  the  magnetic field  after the  ion has been accelerated due to the potential difference V. 

– V

+q

+ S

A positive ion is accelerated from its source S by  a potential difference V, enters a chamber of uniform magnetic  field B , travels through a semicircle of radius r, and strikes a  detector at a distance x.  Figure 28.4.5 

→

(2) To relate v  and V, we use the fact that mechanical e nergy  (E mec = K + U) is conserved during the acceleration.  When  the ion  emerges from the source,  its  kinetic  energy is  approximately zero.  At  the  end  of  1  the acceleration, its kinetic  energy is  _  mv 2 . Also,  during  2  the acceleration, the positive ion moves through a change  Finding speed:

/

866

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

____ 

in  potential  of  –V.  Thus,  because the  ion  has  positive  charge q, its potential energy changes by –qV. If we now  write the conservation of mechanical energy as 

_____ 

Solving this for m and substituting the given data yield 

1  _  mv 2 − qV = 0  2 

B 2 qx 2  m =  ______  8V  2  (0.080  0 00 T) 2 (1.6022 × 10 −19 C)(1.6254 m)  =  _______________________________________  8(1000.0 V) 

____ 

2qV  v = √ ____  m  . 

or  Finding

mass:

28.4.3 g ives us 

2  2mV  _____ .  x = 2r =  __  B √  q 

Thus, 

ΔK + ΔU = 0, 

we get 

_____ 

2qV  __  mv =  ___  m √ ____  2mV .  r = ___  =  1 √ _____  q  qB  qB  m  B 

(28.4.9) 

Substituting  this  value  for  v  into  Eq. 

=  3.3863 × 10 −25 kg = 203.93 u. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

28.5  CYCLOTRONS AND SYNCHROTRONS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.5.1  Describe how a cyclotron works, and in a sketch 

28.5.3  For a cyclotron, apply the relationship between 

indicate  a particle’s path and the regions where  the 

the particle’s mass and charge, the magnetic field, 

kinetic  energy is increased. 

and the frequency of circling. 

28.5.2  Identify the resonance condition. 

28.5.4  Distinguish between a cyclotron and a synchrotron. 

Key Ideas  ●

In a cyclotron, charged particles are accelerated by 

electric  forces as they circle  in a magnetic field. 

●

A synchrotron is needed for particles accelerated to 

nearly the speed of light. 

Cyclotrons and Synchrotrons 

Beams  of  high-energy  particles,  such  as  high-energy  electrons  and  protons,  have been enormously useful  in  probing  atoms and  nuclei  to  reveal the funda-  mental structure of matter. Such  beams were instrumental in the discovery that  atomic nuclei consist  of protons  and neutrons and in  the discovery that protons  and  neutrons  consist  of  quarks  and  gluons. Because electrons and  protons  are  charged, they can be accelerated to the required high energy if they move through  large potential differences. The required acceleration distance is reasonable for  electrons (low mass) but unreasonable for protons (greater m ass).  A clever solution  to  this  problem  is first  to  let  protons  and  other  massive  particles move through  a modest potential  difference (so that they gain a mod-  est  amount  of  energy) and  then  use  a  magnetic field  to  cause  them  to  circle  back and move through a modest potential difference again. If this procedure is  repeated thousands of times, the particles end up with a very large energy.  Here we discuss two accelerators that employ a magnetic field to repeatedly  bring  particles back  to  an accelerating region, where they gain more and  more  energy until they finally emerge a s a high-energy beam.  The Cyclotron 

Figure  28.5.1 is  a  top  view of  the  region  of  a cyclotron  in  which  the  particles  (protons,  say)  circulate. The  two  hollow  D-shaped  objects  (each  open  on  its 

/

28.5  C Y C L OT RONS  AND  SY NC HROT RONS 

straight edge) are made of sheet copper. These dees, as they are called, are part  of  an electrical oscillator that  alternates the  electric potential  difference across  the gap between the dees. The electrical signs of the dees are alternated so that  the electric field in the gap alternates in direction, first toward one dee and then  toward the other dee, back and forth. The dees are immersed in a large magnetic  field directed out of the plane of the page. The magnitude B of this field is set via  a control on the electromagnet producing the field.  Suppose  that  a proton,  injected by  source  S  at the  center of  the  cyclotron  in  Fig. 28.5.1, initially moves toward  a negatively charged dee. It will  accelerate  toward  this  dee and  enter it.  Once inside,  it  is  shielded  from electric fields  by  the copper walls of the dee; that is, the electric field does not  enter the dee. The  magnetic field, however, is not screened by the (nonmagnetic) copper dee, so the  proton moves in a circular path whose radius, which depends on its speed, is given  by Eq. 28.4.3 (r = mv/|q|B).  Let us assume that at the instant the proton emerges into the center gap from  the first dee, the potential difference between the dees is reversed. Thus, the pro-  ton  again faces a negatively charged dee and is again accelerated. This  process  continues, the circulating proton  always being in step with the oscillations of the  dee  potential, until  the  proton  has spiraled  out  to  the  edge of  the  dee system.  There a deflector plate sends it out through a portal.  Frequency. The key to the operation of the cyclotron is that the frequency  f at which the proton  circulates in the magnetic field (and that does not depend  on  its speed) must be equal to the fixed frequency f osc  of the electrical oscilla-  tor, or  f = f osc 

(resonance condition). 

867

The protons spiral outward in a cyclotron, picking up energy in the gap. Dee

Dee

S

Beam

Deflector plate Oscillator

The elements of a cyclo-  tron, showing the particle source S  and the dees. A uniform magnetic  field is directed up from the plane  of the page. Circulating protons spi-  ral outward within the hollow dees,  gaining energy every time they cross  the gap between the dees.  Figure  28.5.1 

(28.5.1) 

This  resonance condition  says that, if  the  energy of  the  circulating proton  is to  increase, energy must be fed to it at a frequency f osc  that is equal to  the natural  frequency f at which the proton circulates in the magnetic field.  Combining Eqs. 28.4.5 ( f = |q|B/2πm) and 28.5.1 a llows us to write the reso-  nance condition  as  | q|B = 2π mf osc . 

(28.5.2) 

The oscillator (we assume) is designed to work at a single fixed frequency f osc . We  then “tune” the cyclotron by varying B until Eq. 28.5.2 is satisfied, and then many  protons circulate through the magnetic field, to emerge a s a beam.  The  Proton Synchrotron 

At  proton  energies  above  50 MeV,  the  conventional  cyclotron  begins  to  fail  because  one  of  the  assumptions  of  its  design—that  the  frequency  of  revolu-  tion  of  a  charged particle circulating in  a  magnetic field  is  independent  of  the  particle’s speed—is  true  only  for  speeds  that  are much  less than  the  speed  of  light. At greater proton  speeds (above about 10% of the speed of light), we must  treat the problem relativistically. According to relativity theory, as the speed of  a circulating proton  approaches that of  light,  the proton’s  frequency of revolu-  tion  decreases steadily. Thus,  the  proton  gets  out  of  step  with  the  cyclotron’s  oscillator—whose frequency remains fixed at f osc —and  eventually the energy of  the still circulating proton  stops increasing.  There is another problem. For a 500 GeV proton in a magnetic field of 1.5 T,  the path radius is 1.1 km. The corresponding magnet for a conventional cyclotron  of the proper size would be impossibly expensive, the area of its pole faces being  about 4 × 10 6 m 2 .  The  proton  synchrotron  is  designed  to  meet  these  two  difficulties.  The  magnetic field B  and the oscillator  frequency f osc , instead of  having fixed val-  ues  as  in  the conventional  cyclotron,  are made to  vary with  time during  the 

/

868

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

accelerating cycle. When this is done properly, (1) the frequency of the circulat-  ing protons  remains in step with the oscillator at all times, and (2) the protons  follow  a circular—not a spiral—path. Thus, the magnet need extend only along  that circular path,  not  over some 4 × 10 6  m 2 .  The circular path,  however, still  must be large if high energies are to be achieved. 

Checkpoint 28.5.1 

A cyclotron is in operation with a certain magnetic field B and with three types of  particles continuously introduced by sources near the center. The particles have the  same charge but different masses: m 1  > m 2  > m 3 . (a) Rank the particle types accord-  ing to the oscillation frequency required for resonance, greatest first. (b) Now rank  the particle types according to their exit speeds when their particular resonance is  reached, greatest first. 

Sample Problem 28.5.1

Cyclotrons and  neutron beam  therapy 

One promising weapon in  the battle against certain can-  cers, such  as salivary gland  malignancies, is  fast-neutron  therapy in which a beam of high-energy (hence, fast) neu-  trons is directed into a cancerous region. The high-energy  neutrons  break  bonds  in  the  DNA  of  the  cancer cells,  causing the cells  to  die  and  thus  eliminating the  cancer.  However, neutrons are electrically neutral and thus  can-  not be accelerated by an electric field along a long path to  reach high speeds, and a medical center cannot house such  a long path. The answer is to use a cyclotron to accelerate  charged particles to high speeds and then arrange for the  exiting beam to crash into a beryllium target immediately  in  front  of  the cancerous region  (Fig. 28.5.2). The ener-  getic collisions produce fast neutrons.  The  technique  was  explored  soon  after  cyclotrons  were invented in  the 1930s but  did  not catch wide atten-  tion  until  1966  when  it  was  used  at  the  Hammersmith  Hospital  in  London.  There  deuterons  (hydrogen  ions  with  mass m =  3.34 × 10 −27  kg) crashed into  a beryllium  target after being  accelerated in  a  cyclotron with  radius  r = 76.0 cm and operating frequency f osc  = 8.20 MHz. The  neutrons had energies of about 6 MeV. 

2 πmf osc  (2 π)(3.34 × 10 −27 kg)(8.20 × 10 6 Hz)  B = _______  =  _________________________________  |q |  1.60 × 10 −19  C  = 1.0755 T ≈ 1.08 T. 

(Answer) 

(b) What is the resulting kinetic  energy of the deuterons  leaving the cyclotron? 

KEY IDEAS (1) The kinetic energy of a deuteron leaving the cyclotron  is the same as the energy it has just before leaving, when  it was traveling in  a circular path  with  a radius  approxi-  mately e qual to the radius r of the cyclotron dees.  (2) We can find the speed v of the deuteron in that circu-  lar path with Eq. 28.4.3 (r = mv/| q| B). 

 ecruoS ecneicS/balimreF

(a) What is  the magnitude of  the magnetic field  needed  for the deuterons to be accelerated in the cyclotron? 

KEY IDEA For  a  given oscillator  frequency f osc ,  the  magnetic field  magnitude B required to accelerate a charged particle in  a cyclotron depends on  the ratio m/| q|  of  mass to charge  for the particle, according to Eq. 28.5.2.  For  deuterons and the oscillator frequency  f osc  = 8.20 MHz, we find  Calculation:

Because it is invisible, a beam of neu-  trons from the portal at the right is aligned via laser  crosshairs,  seen superimposed on the patient.  Figure  28.5.2 

/

28.6  MAGNET IC   F ORC E  ON  A  C U RRENT - C ARRY ING  WIRE 

Solving that  equation for  v and  then sub-  stituting known  data, we find  Calculations:

This speed corresponds to a kinetic energy of  2 

1  K = _  mv  2 

−27  _  = 1  kg)(3.9155 × 10 7 m/s) 2  2 (3.34 × 10 

−19 

r | q |B  (0.760 m )(1.60 × 10  C)(1.0755 T)  v =  _____ =  _______________________________  m 

−12 

3.34 × 10 −27  kg 

7 

7 

= 3.9155 × 10  m/s ≈ 3.92 × 10  m/s. 

869

= 2.56 × 10 

J, 

(Answer) 

or about 16 MeV. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

28.6  MAGNETIC FORCE ON A CURRENT-CARRYING WIRE  Learning Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.6.1  For the situation where  a current  is perpen- 

28.6.3  Apply the right-hand rule  for cross products to 

dicular  to a magnetic field,  sketch the current,  the 

find the direction  of the magnetic force on a current 

direction of the magnetic field,  and the direction of  the magnetic force on the current  (or wire carrying 

in a magnetic field.  28.6.4  For a current  in a magnetic field,  calculate  →

F B  with a cross product of  the length vector L and the field  vector B , in 

the current). 

the magnetic force  →

28.6.2  For a current  in a magnetic field,  apply the rela-  tionship between  the magnetic force magnitude 

F B, the current  i, the length  of the wire L, and the    angle  ϕ between  the length  vector L and the field  vector B . 

→

magnitude-angle and unit-vector notations.  28.6.5  Describe the procedure for calculating  the force 

→

on a current-carrying wire  in a magnetic field if  the 

→

wire is not straight or if  the field  is not uniform. 

Key Ideas  ●

A straight wire carrying a current 

→

i in a uniform  mag- 

netic  field  experiences a sideways force  →

→

→

→

→

●

F B = i L × B .  →

●

→

d F B = i d L × B . 

i d L  in a mag- 

The direction  of the length vector 

i

→

L or d L is that of 

the current  . 

The force acting on a current  element 

netic  field  is 

Magnetic Force on a  Current-Carrying Wire 

We have already seen (in  connection with  the Hall effect) that a magnetic field  exerts a sideways force on  electrons moving in  a wire. This  force must then  be  transmitted to  the  wire  itself,  because the  conduction  electrons cannot  escape  sideways out of the wire.  In  Fig.  28.6.1a,  a  vertical wire,  carrying no  current  and  fixed  in  place  at  both  ends,  extends through  the  gap  between the  vertical pole  faces of  a  mag-  net. The magnetic field between the faces is directed outward from the page. In  Fig.  28.6.1b, a current is sent upward through  the wire; the wire deflects to  the  right. In Fig. 28.6.1c, we reverse the direction of the current and the wire deflects  to the left.  Figure 28.6.2 shows what happens inside the wire of Fig. 28.6.1b. We see one  of  the conduction  electrons, drifting downward with  an assumed drift speed  v d.    Equation 28.1.3, in which we must put ϕ = 90°, tells us that a force F B of magnitude  →

/

870

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

A force acts on a current through a B field.

i

B

i

i

B

B

=0

i

i

ev dB must act on each such electron. From Eq. 28.1.2  we see that this force must    be directed to the right. We expect then that the wire as a whole will experience  a force to the right, in agreement with Fig. 28.6.1b.  If, in  Fig. 28.6.2, we were to  reverse either the  direction of  the  magnetic field  or the direction of the current, the force on  the wire would  reverse, being directed  now  to  the  left.  Note  too  that  it  does  not  matter whether  we consider  negative  charges drifting downward in the wire (the actual case) or positive charges drift-  ing upward. The direction of the deflecting force on the wire is the same. We are  safe then in dealing with a current of positive charge, as we usually do in dealing  with circuits.  Find the Force. Consider a length L of the wire in Fig. 28.6.2. A ll the conduc-  tion electrons in this section of wire will drift past plane xx in Fig. 28.6.2 in a time  t = L/v d . Thus, in that time a charge given by  L  q = it = i ___  v d  will pass through that plane. Substituting  this into  Eq. 28.1.3 y ields  iL v  B sin 90°,  F B  = qv d B sin  ϕ =  ___  v  d  d 

(a )

(b )

(c )

A flexible wire passes  between the pole faces of a mag-  net (only the farther pole face is  shown). (a) Without current in the  wire, the wire is straight. (b) With  upward current, the wire is deflected  rightward. (c) With downward cur-  rent, the deflection is leftward. The  connections for getting the current  into the wire at one end and out of  it at the other end are not shown.  Figure  28.6.1 

or 

F B = iLB. 

(28.6.1) 

Note that this equation gives the magnetic force that acts on a length L of straight  wire carrying a current i and immersed in a uniform magnetic field B that is per-  pendicular to the wire.  If the  magnetic field  is not  perpendicular  to  the wire,  as in  Fig. 28.6.3, the  magnetic force is given by a generalization of Eq. 28.6.1:  →

→

→

→

F B  = i L × B 

(force on a current). 

(28.6.2) 

→

Here L  is  a length  vector that  has  magnitude L and  is  directed along  the  wire  segment in the direction of the (conventional) current. The force magnitude F B  is  F B = iLB sin ϕ , 

(28.6.3) 

where  ϕ is  the angle between the  directions of  L  and  B . The direction of  F B  is  that of the cross product L × B because we take current i to be a positive quan-  tity. Equation 28.6.2 tells us that F B  is always perpendicular to the plane defined  by vectors L and B , as indicated in Fig. 28.6.3.  Equation 28.6.2 is equivalent to Eq. 28.1.2 in that either can be taken as the  defining  equation  for  B . In  practice, we define  B  from Eq.  28.6.2 because it  is  much easier to measure the magnetic force acting on a wire than that on a single  moving charge.  Crooked Wire. If a wire is  not straight or the field is not  uniform, we can  imagine the wire broken  up  into  small straight segments and apply Eq. 28.6.2  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

A close-up view of a section of the wire of  Fig. 28.6.1b. The current direction is upward, which means that  electrons drift downward. A magnetic field that emerges from  the plane of the page causes the electrons and the wire to be  deflected to the right.  Figure  28.6.2 

B

L

FB

i

vd x

x

/

871

28.6  MAGNET IC   F ORC E  ON  A  C U RRENT - C ARRY ING  WIRE 

to  each segment. The force on  the wire as a whole  is then the vector sum of  all  the forces on  the segments that make it up.  In  the differential limit, we  can write  →

→

The force is perpendicular to both the field and the length. FB

(28.6.4) 

→

dF B  = i dL  × B , 

and  we can find  the resultant force on any given arrangement of  currents by  integrating Eq. 28.6.4 over that arrangement.  In using Eq. 28.6.4, bear in mind that there is no  such thing as an isolated  current-carrying wire segment of length dL. There must always be a way to intro-  duce the current into the segment at one end and take it out at the other end. 

ϕ

i

B

L

A wire carrying current  i makes an angle ϕ with magnetic  field B . The wire has length L in  the field and length vector L  (in the  direction of the current). A magnetic  force F B  = iL  × B  acts on the wire.  Figure  28.6.3 

→

→

y

Checkpoint 28.6.1 

The figure shows a current i through a wire in a  uniform magnetic field B , as well as the magnetic  force F B  acting on the wire. The field is oriented  so that the force is maximum. In what direction is  the field? 

→

→

→

→

i

→

Sample Problem 28.6.1

x

z

FB

Magnetic  force  on a  wire  carrying current 

A straight, horizontal length of copper wire has a current  i = 28 A through  it. What  are the  magnitude and  direc-  tion  of the minimum magnetic field B needed to suspend  the wire—that is, to balance the gravitational force on it?  The  linear  density  (mass per  unit  length) of  the  wire  is  46.6 g/m. 

FB

→

KEY IDEAS

L

A wire (shown in cross  section) carrying current out of the page.  Figure  28.6.4 

B

mg

→

(1) Because the wire carries a current, a magnetic force F B  can act on the wire if we place it in a magnetic field B . To  balance the downward  gravitational force F g  on the wire,  we want  F B  to  be  directed upward  (Fig. 28.6.4). (2)  The  direction  of  F B  is  related to  the  directions  of  B  and  the  wire’s length vector L by Eq. 28.6.2 ( F B  = iL × B ).  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Because  L  is  directed  horizontally  (and  the  current is  taken  to  be  positive),  Eq.  28.6.2 and  the  right-hand  rule  for  cross  products  tell  us  that  B  must  be  horizontal  and  rightward  (in  Fig.  28.6.4) to  give the  required upward F B .  The magnitude of F B  is F B  = iLB  sin  ϕ (Eq. 28.6.3).  Because we want F B to balance F g , we want  Calculations:

→

→

→

for F B  to balance F g . Thus,  we need to maximize sin  ϕ in  Eq.  28.6.5. To  do  so,  we set  ϕ =  90°, thereby arranging  for B to be perpendicular to the wire. We then have sin ϕ =  1, so Eq. 28.6.5 y ields  →

→

→

(m/L)g  mg  B = ________ = _______ .  i  iL sin  ϕ

(28.6.6) 

We write the  result this  way because we know  m/L, the  linear  density of  the  wire. Substituting  known  data then  gives us 

(28.6.5) 

(46.6 × 10 −3 kg/m)(9.8 m/s 2 )  B =  _________________________  28 A  −2  (Answer)  = 1.6 × 10  T. 

where  mg is  the  magnitude of  F g  and  m  is  the  mass  of  the  wire.  We  also  want  the  minimal  field  magnitude B 

This  is  about  160  times the  strength  of  Earth’s  magnetic  field. 

→

→

iLB sin  ϕ = mg,  →

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

872

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

28.7  TORQUE ON A CURRENT LOOP  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.7.1  Sketch a rectangular loop of current  in a mag- 

28.7.2  For a current-carrying coil in a magnetic field, 

netic  field,  indicating the magnetic forces on the four 

apply the relationship  between the torque magni- 

sides, the direction of the current,  the normal vec- 

tude  , the number  of turns 

tor 

n , and the direction  in which  a torque from the 

→

τ N, the area of each turn  A, the current  i, the magnetic field magnitude  B, and  the angle  θ between the normal vector  n  and the  magnetic field  vector B .  →

forces tends to rotate the loop. 

→

Key Ideas  ●

Various magnetic forces act on the sections of a 

current-carrying coil lying in  a uniform  external  mag- 

N  is the number of turns in the coil,  A is the area  i is the current,  B  is the field magnitude,  and  θ is the angle  between the magnetic field  B and  the normal  vector to the coil  n .  where 

of each  turn, 

→

netic field,  but the net force is zero. 

→

●

The net torque acting on the coil has a magnitude 

given by 

τ = NiAB sin θ , 

Torque on a  Current Loop 

Much of the world’s work is done by electric motors. The forces behind  this work  are the  magnetic forces  that  we  studied  in  the  preceding section—that  is,  the  forces that a magnetic field exerts on a wire that carries a current.  Figure 28.7.1 shows a simple motor, consisting of  a single current-carrying  loop  immersed in  a magnetic field  B . The two magnetic forces F  and −F  pro-  duce a torque on  the loop,  tending to  rotate it about its central axis. Although  many essential details have been omitted, the figure does suggest how the action  of  a  magnetic field  on  a current loop  produces  rotary motion.  Let us  analyze  that action.  Figure  28.7.2a  shows  a  rectangular  loop  of  sides  a  and  b,  carrying  current i through uniform magnetic field B . We place the loop  in the field so that  its long sides, labeled 1 and 3, are perpendicular to the field  direction (which is  into the page), but its short sides, labeled 2 and 4, are not. Wires to lead the cur-  rent into and out of the loop  are needed but, for simplicity, are not shown.  To  define  the  orientation  of  the  loop  in  the  magnetic field,  we  use a  nor-  mal vector n  that is perpendicular to the plane of the loop.  Figure 28.7.2b shows  a right-hand rule for finding the direction of  n . Point  or curl the fingers of your  right hand in the direction of the current at any point on the loop. Your extended  thumb then points in the direction of the normal vector n .  In Fig. 28.7.2c, the normal vector of the loop  is shown  at an arbitrary angle  θ to the direction of the magnetic field B . We wish to find  the net force and net  torque acting on the loop in this orientation.  Net Torque. The net force on the loop is the vector sum of the forces acting  on  its four  sides. For side 2 the vector L  in  Eq. 28.6.2 points  in  the direction of  the  current and  has  magnitude b.  The  angle between L  and  B  for  side  2  (see  Fig. 28.7.2c) is 90° – θ . Thus, the magnitude of the force acting on this side is  →

→

→

→

F

i

→

→

N

i

S B

–F

The elements of an  electric motor. A rectangular loop  of wire, carrying a current and  free to rotate about a fixed axis, is  placed in a magnetic field. Magnetic  forces on the wire produce a torque  that rotates it. A commutator (not  shown) reverses  the direction of the  current every half-revolution so that  the torque always acts in the same  direction.  Figure  28.7.1 

→

→

→

→

F 2   = ibB sin(90° – θ ) = ibB cos θ.  →

→

(28.7.1)  →

You  can show  that  the force F 4  acting on  side  4 has the same magnitude as F 2  but the opposite direction. Thus, F 2 and  F 4  cancel out exactly. Their net force is  →

→

/

28.7  T ORQU E  ON  A  C U RRENT  L OOP  

F1

Side 1

F1 i

i

n

F2

Side 4

θ

i

b

n

Side 1

Side 2

τ

F4

Side 1

Side 4

873

Side 2

Side 2

b

Side 3

Side 3

Rotation

B F3

(a )

B

(b )

a

(c )

F3

A rectangular loop, of  length a and width b and carrying  a current i, is located in a uniform  magnetic field. A torque τ acts to  align the normal vector n  with the  direction of the field. (a) The loop  as seen by looking in the direction of  the magnetic field. (b) A perspective  of the loop showing how the right-  hand rule gives the direction of  n ,  which is perpendicular to the plane  of the loop. (c) A side view of the  loop, from side 2. The loop rotates as  indicated.  Figure  28.7.2 

zero and, because their common line of action is through the center of the loop,  their net torque is also zero.  The situation is different for sides 1 and 3. For them, L  is perpendicular to  B , so the forces F 1  and F 3  have the common magnitude iaB. Because these two  forces have opposite directions, they do  not tend  to move the loop  up  or down.  However, as Fig. 28.7.2c shows,  these two forces do  not  share the same line of  action;  so they do  produce a net torque. The torque  tends to rotate the loop  so  as  to  align its normal  vector  n  with the  direction of  the magnetic field  B . That  torque has moment arm (b/2) sin  θ about the central axis of the loop. The magni-  tude  τʹ of the torque due to forces F 1 and F 3 is then (see Fig. 28.7.2c)  →

→

→

→

→

→

→

→

b  sin θ +  iaB b  __  τ′ = ( iaB __  )  (  2 sin  θ) = iabB sin θ .  2 

(28.7.2) 

→

→

Coil. Suppose we replace the single loop  of current with a coil of N loops, or  turns. Further, suppose that the turns are wound  tightly enough that they can be  approximated as all having the same dimensions  and lying in  a plane. Then  the  turns form a flat coil, and a torque  τʹ with the magnitude given in Eq. 28.7.2 a cts  on each of them. The total torque on the coil then has magnitude 

τ = Nτ ʹ = NiabB sin θ = (NiA)B sin  θ, 

(28.7.3) 

in which A (= ab) is the area enclosed by the coil. The quantities in parentheses  (NiA) are grouped together because they are all properties of the coil: its number  of turns, its area, a nd the current it carries. Equation 28.7.3 holds for all flat coils,  no matter what their shape, provided the magnetic field is uniform. For example,  for the common circular coil, with radius r, we have 

τ = (Ni πr 2 )B sin  θ. 

(28.7.4) 

Normal Vector. Instead of focusing  on the  motion  of  the coil, it  is simpler  to keep track of the vector  n , which is normal to the plane of the coil. Equation  28.7.3 tells us that a current-carrying flat coil placed in a magnetic field will tend  to rotate so that  n  has the same direction as the field. In a motor, the current in  the coil is reversed as n  begins to line up with the field direction, so that a torque  continues  to  rotate the  coil.  This  automatic reversal of  the  current is  done  via  a commutator that electrically connects the rotating coil with the stationary con-  tacts on the wires that supply the current from some source.  →

→

→

Checkpoint 28.7.1 

You are going to form a (single) loop with a wire that is 10 cm long. The loop will  have current i and will be in a uniform magnetic field B, with the normal vector  perpendicular to B . In order to maximize the magnitude τ of the torque on the loop,  which shape should the loop have: (a) square, (b) rectangle, 4 cm by 1 cm, (c) rect-  angle, 3 cm by 2 cm, (d) circle?  →

/

874

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

28.8  THE MAGNETIC DIPOLE MOMENT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

28.8.1  Identify that a current-carrying  coil is a magnetic 

μ

→

dipole with  a magnetic dipole moment  the direction  of the normal vector 

vector 

that has 

B , in 

→

and the external  magnetic field  vector 

magnitude-angle  notation and unit-vector notation. 

n , as given by a 

→

μ

→

28.8.7  For a magnetic dipole in an external  magnetic 

right-hand rule. 

field,  identify  the dipole orientations at which  the 

28.8.2  For a current-carrying coil,  apply the relationship  between  the magnitude 

torque magnitude is minimum  and maximum. 

μ of the magnetic dipole 

moment, the number  of turns 

i

28.8.8  For a magnetic dipole in an external  magnetic 

N, the area A of each 

field,  apply the relationship  between the orienta- 

U, the dipole  moment magnitude  μ, the  B, and the angle θ

turn,  and the current  . 

tion energy 

28.8.3  On a sketch of a current-carrying coil,  draw 

external  magnetic field  magnitude 

the direction  of the current,  and then use a right- 

between  the dipole moment vector 

hand  rule to determine the direction of the magnetic  dipole moment vector 

netic field  vector 

μ . 

→

B . 

28.8.9  Calculate  the orientation energy 

28.8.4  For a magnetic dipole  in an external magnetic 

τ

magnitude  , the dipole moment magnitude  the magnetic field  magnitude 

B . 

→

μ

→

U by taking a 

μ and the  B , in magnitude-angle  →

→

external  magnetic field  vector 

μ, 

and unit-vector notations. 

B, and the angle  θ

between  the dipole moment vector 

and the mag- 

dot product of the dipole moment vector 

field,  apply the relationship between  the torque 

netic  field  vector 

μ

→

→

28.8.10  Identify the orientations of a magnetic dipole 

and the mag- 

in an external  magnetic field  that give the minimum  and maximum orientation energies. 

28.8.5  Identify the convention of assigning a plus or 

28.8.11  For a magnetic dipole in a magnetic field, 

U to the work W a   done 

minus  sign to a torque according to the direction  of 

relate the orientation energy 

rotation. 

by an external torque as the dipole rotates in the 

28.8.6  Calculate the torque on a magnetic dipole by 

magnetic field. 

evaluating a cross product of the dipole moment 

Key Ideas  ●

A coil (of area 

A and  N turns, carrying current  i ) in  B will  experience a torque  τ →

●

→

a uniform  magnetic field 

The orientation energy of a magnetic dipole in a 

magnetic field  is 

U(θ) = − μ · B .  →

given by 

τ

→

Here 

μ

→

=  μ × B .  →

→

●

→

If an external  agent rotates a magnetic dipole from 

an initial  orientation 

θi  to some other orientation  θf  and 

the dipole  is stationary both initially  and finally,  the 

is the magnetic dipole moment of the coil, 

W a  done on the dipole by the agent is 

μ = NiA  and direction given by the 

work 

with  magnitude 

W a  = ΔU = U f  – U i.   

right-hand rule. 

The Magnetic Dipole Moment 

As we have just discussed, a torque  acts to rotate a current-carrying coil placed  in a magnetic field. In that sense, the coil behaves like a bar magnet placed in the  magnetic field. Thus, like a bar magnet, a  current-carrying coil is said to be a mag-  netic dipole. Moreover, to account for the torque on the coil due to the magnetic  field, we assign a magnetic dipole moment  μ to the coil. The direction of  μ is that  of the normal vector n  to the plane of the coil and thus is given by the same right-  hand rule shown in Fig. 28.7.2. That is, grasp the coil with the fingers of your right  hand in  the direction of current i; the outstretched thumb of that hand gives the  direction of  μ . The magnitude of  μ is given by  →

→

→

→

→

μ = NiA 

(magnetic moment), 

(28.8.1) 

/

875

28.8  T HE  MAGNET IC   D IP OL E MOMENT  

in  which  N is the  number of  turns  in  the  coil,  i is  the current through  the coil,  and A is the area enclosed by each turn of the coil. From this equation, with i in  amperes and A in square meters, we see that the unit of  μ is the ampere-square  meter (A · m 2    ).  Torque. Using  μ , we can rewrite Eq. 28.7.3 for the torque on the coil due to  a magnetic field a s  →

The magnetic moment vector attempts to align with the magnetic field.

→

τ = μB sin θ , 

τ

(28.8.3) 

→

which reminds us very much of the corresponding equation for the torque exerted  by an electric field on an electric dipole—namely, Eq. 22.7.3: 

τ

→

→

=  p  × E .  →

i

Highest energy

=  μ × B ,  →

μ

i

→

→

μ

(28.8.2) 

in which  θ is the angle between the vectors  μ and B .  We can generalize this to the vector relation  →

B

Lowest energy

The orientations of  highest and lowest energy of a  magnetic dipole (here a coil carry-  ing current) in an external magnetic  field B . The direction of the current  i gives the direction of the magnetic  dipole moment μ via the right-hand  rule shown for  n  in Fig. 28.7.2b.  Figure  28.8.1 

→

→

→

In  each case the  torque  due  to  the field—either  magnetic or  electric—is equal  to the vector product of the corresponding dipole  moment and the field vector.  Energy. A magnetic dipole  in an external magnetic field has an energy that  depends  on  the  dipole’s  orientation  in  the  field.  For  electric dipoles  we  have  shown  (Eq. 22.7.7) that  U(θ) = − p ⋅ E .  →

→

In strict analogy, we can write for the magnetic case  U (θ) = − μ ⋅ B .  →

(28.8.4) 

→

In each case the energy due to the field is equal to the negative of the scalar prod-  uct of the corresponding dipole moment and the field vector.  A magnetic dipole  has its lowest energy (= – μB cos 0 = – μB) when its dipole  moment  μ is lined up with the magnetic field (Fig. 28.8.1). It has its highest energy  (= −μB cos 180° = +μB) when  μ is directed opposite the field. From Eq. 28.8.4,  with U in joules and B in teslas, we see that the unit of  μ can be the joule per tesla  (J/T) instead of the ampere-square m eter as suggested by Eq. 28.8.1.  Work. If an applied torque (due to “an external agent”) rotates a magnetic  dipole  from  an  initial  orientation  θi  to  another orientation  θf , then  work  W a   is  done  on  the  dipole  by the  applied torque. If the dipole  is stationary before and  after the change in its orientation, then work W a  is  →

→

→

→

W a  = U f – U i , 

(28.8.5) 

where U f and U i  are calculated with Eq. 28.8.4.  So  far,  we  have  identified  only  a  current-carrying coil  and  a  permanent  magnet as  a  magnetic dipole.  However, a  rotating  sphere  of  charge  is  also  a  magnetic dipole,  as is Earth itself (approximately). Finally, most subatomic par-  ticles, including  the electron, the proton,  and the neutron, have magnetic dipole  moments. As you  will  see in  Chapter 32, all  these quantities  can  be viewed as  current loops. For comparison, some approximate magnetic dipole  moments are  shown  in Table 28.8.1.  Language. Some instructors refer to U in Eq. 28.8.4 a s a potential energy a nd  relate it  to work  done  by the magnetic field  when  the orientation  of the dipole  changes. Here we shall  avoid the debate and say that U is an energy associated  with the dipole orientation. 

Table  28.8.1  Some Magnetic 

Dipole Moments 

Small bar magnet  Earth  Proton  Electron 

5 J/T  8.0 × 10 22  J/T  1.4 × 10 –26  J/T  9.3 × 10 –24  J/T 

/

876

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

Checkpoint 28.8.1 

The figure shows four orientations, at angle θ, of a magnetic dipole moment μ in a  magnetic field. Rank the orientations according to (a) the magnitude of the torque on  the dipole and (b) the orientation energy of the dipole, greatest first.  →

1

4

Sample Problem 28.8.1

μ

μ

θ θ

θ θ

μ

μ

2 B

3

Rotating a magnetic  dipole  in a magnetic  field 

Figure 28.8.2 shows a circular coil  with 250 turns, an area  A of 2.52 × 10 –4 m 2 , and a current of 100 μA. The coil is at  rest in  a uniform magnetic field  of magnitude B = 0.85 T,  with its magnetic dipole moment μ initially aligned with B . 

its initial  orientation, so that  μ is perpendicular to  B and  the coil is again at rest? 

(a) In  Fig. 28.8.2, what  is the  direction  of  the current in  the coil? 

The work W a   done by the applied torque would  be equal  to  the  change in  the  coil’s  orientation  energy due  to  its  change in orientation. 

→

→

Imagine  cupping  the  coil  with  your  right hand so that your right thumb is outstretched in the  direction  of  μ . The  direction  in  which  your  fingers  curl  around  the coil is the direction of the current in the coil.  Thus,  in the wires on the near side of the coil—those  we  see in Fig. 28.8.2—the current is from top to bottom.  Right-hand rule:

→

(b)  How  much  work  would  the  torque  applied  by  an  external agent have to do on the coil to rotate it 90° from 

→

→

KEY IDEA

Calculations:

From Eq. 28.8.5 (W a  = U f  – U i), we find   

W a   = U(90°) − U(0°)  = − μB cos 90° − (− μB cos 0°) = 0 + μB  =  μB.  Substituting  for μ from Eq. 28.8.1 (μ = NiA), we find  that  W a   = (NiA) B 

μ

= (250)(100 × 10 −6 A)(2.52 × 10 −4  m 2 )(0.85 T) 

= 5.355 × 10 −6 J ≈ 5.4 μJ. 

B

A side view of a circular coil carrying a current  and oriented so that its magnetic dipole moment is aligned  with magnetic field B .  Figure  28.8.2 

→

(Answer) 

Similarly, we can show  that to change the orientation  by  another  90°,  so  that  the  dipole  moment is  opposite  the  field, another 5.4 μJ is required. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

Review & Summary A magnetic field B  is defined in terms  of the force  F B  acting on a  test particle with charge q  moving  through the field with velocity v : 

potential difference V across the strip. The polarities of the sides  indicate the sign of the charge carriers. 

(28.1.2) 

A  Charged  Particle  Circulating  in  a  Magnetic  Field 

→

→

Magnetic Field  B →

→

F B  = q v  × B . 

→

→

→

The SI unit for B is the tesla (T): 1 T = 1 N/(A · m) = 10 4  gauss.  →

When a conducting strip carrying a current  i is  placed in a  uniform magnetic field B , some charge carriers  (with charge e) build up on one side of the conductor, creating a  The Hall Effect 

→

A charged particle with mass m and charge magnitude |q| mov-  ing with velocity v  perpendicular to a uniform magnetic field B  will travel in a circle. Applying Newton’s second law to the cir-  cular motion yields  →

→

mv 2 

|q|vB = ____  r  , 

(28.4.2) 

/

QU EST IONS 

from which we find the radius r of the circle to be  mv .  r =  ____  |q|B 

→

(28.4.3) 

A straight  wire carrying a current i in a uniform magnetic field experiences a  sideways force  →

(28.6.2) 

→

F B  = iL  × B .  →

The force acting on a current element i d L  in a magnetic field is  →

→

τ =  μ × B . 

→

(28.8.3) 

→

→

Here  μ is  the magnetic dipole moment of the coil, with magni-  tude μ = NiA and direction given by the right-hand rule.  →

(28.4.6, 28.4.5, 28.4.4) 

Magnetic Force on a Current-Carrying Wire 

→

A  coil (of area  A  and N turns, carrying current i)  in a  uniform magnetic field B  will experience a torque  τ given by  Torque  on  a  Current-Carrying Coil 

The frequency of revolution f, the angular frequency ω, and the  period of the motion T are given by  |q|B  ω = __  1  = ____  f = ___  .  2π T  2πm 

877

→

(28.6.4) 

→

d FB    = i d L × B .  →

The orienta-  tion energy of a magnetic dipole in a magnetic field is  Orientation Energy of a Magnetic Dipole 

U(θ) = − μ ⋅ B .  →

(28.8.4) 

→

If  an  external agent  rotates a  magnetic dipole from  an  initial  orientation θi  to some other orientation θf  and the dipole is sta-  tionary both initially and finally, the work W a  done on the dipole  by the agent is 

→

The direction of the length vector L or d L is that of the current i. 

W a  = ΔU = U f  – U i . 

(28.8.5) 

Questions Figure  28.1  shows  three  situations  in  which  a  positively  charged  particle moves  at velocity  v  through a  uniform mag-  netic  field  B  and  experiences  a  magnetic  force  F B .  In  each  situation, determine whether the orientations of the vectors are  physically reasonable.  1 

→

→

→

v

v FB

B

FB

B

FB

(b ) Figure  28.1 

e

d

v B

(a )

Figure 28.4 shows the path of a particle through six regions  of uniform magnetic field, where the path is either a half-circle  or  a  quarter-circle.  Upon leaving  the  last  region, the  particle  travels  between two  charged,  parallel  plates  and  is  deflected  toward the plate of higher potential. What is the direction of the  magnetic field in each of the six regions?  4 

(c )

c

Question 1. 

a f

Figure  28.2  shows  a  wire  Wire that  carries  current  to  the  right  i through a uniform magnetic field.  1 3 It  also shows four choices for the  2 4 direction  of  that  field.  (a)  Rank  Choices for B the choices according to the mag-  Figure  28.2  Question 2.  nitude  of  the  electric  potential  difference  that would  be  set  up  across  the width  of the  wire,  greatest first. (b) For which choice is the top side of the wire at  higher potential than the bottom side of the wire?  2 

Figure  28.3  shows  a  metallic,  y rectangular solid that is to move at a  certain speed v through the uniform  B magnetic field B . The dimensions of  the solid are multiples of d, as shown.  2 d x d You  have  six  choices  for  the  direc-  3d tion of the velocity: parallel to  x, y,  z or z in either the positive or negative  Figure 28.3  Question 3.  direction.  (a)  Rank  the  six  choices  according  to  the  potential difference  set  up  across  the  solid,  greatest  first.  (b)  For  which  choice  is  the  front face  at  lower  potential?  3 

→

b

Figure  28.4 

Question 4. 

In  Module  28.2,  we  discussed  a  charged  particle  moving  through  crossed  fields  with  the  forces  F E  and  F B  in  opposi-  tion. We  found that the particle moves  in a  straight line (that  is, neither force  dominates the motion) if its speed is  given by  Eq. 28.2.2 (v = E/B). Which of the two forces  dominates if the  speed of the particle is (a) v  E/B?  5 

→

→

Figure  28.5  shows  crossed  uniform  electric  and  magnetic  fields E  and B  and, at a  certain instant, the velocity vectors of  6 

→

→

B

7

8

4

3

5 9 Figure  28.5 

1

2

E

6

10

Question 6. 

/

878

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

the 10 charged particles listed in Table 28.1. (The vectors are not  drawn to scale.) The speeds given in the table are either less than  or greater than E/B (see Question 5). Which particles will move  out of the page toward you after the instant shown in Fig. 28.5?  Table 28.1  Question 6 

Particle 

Charge 

Speed 

1 

+ 

Less 

6 

– 

Greater 

2 

+ 

Greater 

7 

+ 

Less 

3 

+ 

Less 

8 

+ 

Greater 

4 

+ 

Greater 

9 

– 

Less 

5 

– 

Less 

10 

– 

Greater 

the rest  are  half-circles.  Table  28.2 gives  the masses,  charges,  and speeds of 11 particles that take these paths through the field  in the directions shown. Which path in the figure corresponds  to which particle in  the table? (The  direction of the magnetic  field can  be determined  by means  of one  of the  paths, which  is unique.) 

Particle  Charge  Speed  Table 28.2  Question 10 

Figure  28.6  shows  the  path  of  B1 an  electron  that passes  through two  regions  containing uniform magnetic  fields  of  magnitudes  B 1  and  B 2 .  Its  B 2 path in each region is a half-circle. (a)  Which field  is  stronger?  (b)  What is  the direction of each field? (c)  Is  the  time spent by  the  electron in the  B 1  Figure 28.6  Question 7.  region greater  than, less  than, or  the  same as the time spent in the B 2  region?  7 

→

→

Figure  28.7  shows  the  path  of an electron in a region of uni-  form  magnetic  field.  The  path  consists  of  two  straight sections,  each  between  a  pair  of  uni-  formly  charged  plates,  and  two  half-circles. Which plate is at the  higher electric potential in (a) the  Figure  28.7  Question 8.  top pair of plates and (b) the bot-  tom pair? (c) What is the direction of the magnetic field? 

Particle 

Mass 

Charge  Speed 

1 

2m 

q 

2 

m 

2q 

v 

3 

m/2 

q 

2v 

v 

4 

3m 

3q 

3v 

5 

2m 

q 

2v 

6 

m 

–q 

2v 

7 

m 

–4q 

v 

8 

m 

–q 

v 

9 

2m 

–2q 

3v 

10 

m 

–2q 

8v 

11 

3m 

0 

3v 

8 

(a)  In Checkpoint 28.8.1, if the dipole moment  μ is  rotated  from orientation 2 to orientation 1 by an external agent, is  the  work  done  on  the  dipole by  the  agent  positive, negative, or  zero?  (b)  Rank the work done on the dipole by  the agent for  these three rotations, greatest first: 2 → 1, 2 → 4, 2 → 3.  →

9 

Particle  roundabout. Figure  28.8 shows  11  paths  through  a region of uniform magnetic field. One path is  a straight line;  10 

In  Fig. 28.9, a  charged  par-  ticle  enters  a  uniform  magnetic  B field  B  with  speed  v 0 ,  moves  through a  half-circle  in  time  T 0 ,  and  then leaves  the  field. (a)  Is  the charge  positive or  negative?  (b)  Is  the final speed of the par-  Figure  28.9  Question 11.  ticle  greater  than,  less  than,  or  equal to v 0 ?  (c)  If  the initial speed had been  0.5v 0 ,  would the  time spent in field B  have been greater than, less than, or equal  to T 0 ? (d) Would the path have been a half-circle, more than a  half-circle, or less than a half-circle?  11 

→

→

Figure 28.10 gives snapshots for three situations in which a  positively charged particle passes  through a uniform magnetic  field B . The velocities  v  of the particle differ in orientation in  the three snapshots  but not in  magnitude. Rank the situations  according to (a) the period, (b) the frequency, and (c) the pitch  of the particle’s motion, greatest first.  12 

→

e

k

h

f i

→

b

c

B

d

Figure  28.8 

Question 10. 

a

g

(1) Figure  28.10 

B

v 

v 

v  j

B

(2)

(3)

Question 12. 

/

P ROBL EMS 

879

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 28.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying Circus of Physics

→

Magnetic Fields and the Definition of B

V1

A proton traveling at 23.0° with respect to the direc-  tion of a magnetic field of strength 2.60 mT experiences a mag-  netic  force  of 6.50 × 10 –17  N. Calculate (a)  the  proton’s speed  and (b) its kinetic energy in electron-volts.  1  E 

An electron that has an instantaneous velocity of 

d

Figure  28.11 

V2

Problem 9. 

v  = (2.0 × 10 6  m/s) ˆ  i + (3.0 × 10 6  m/s) ˆ  j 

is  moving through the uniform magnetic field B  = (0.030 T) ˆ  i −  (0.15 T) ˆ  j. (a) Find the force on the electron due to the magnetic  field. (b)  Repeat your calculation for a proton having the same  velocity.  →

→

→

→

→

→

→

M  GO  An electron moves through a  uniform magnetic field  given by B  = B x ˆ  i + (3.0 Bx   ) ˆ  j. At a particular instant, the electron  has velocity v  = (2.0 ˆ  i + 4.0 ˆ  j) m/s and the magnetic force acting  on it is (6.4 × 10 −19  N)k ̂ . Find B x . 

5 

→

→

GO  A  proton moves  through a  uniform magnetic field  M  given  by B  = (10 ˆ  i − 20 ˆ  j + 30k ̂ )  mT. At time t 1 , the proton has  ˆ  ̂ a velocity given by  v  = v xˆ  i + v  and the magnetic    yj + (2.0 km/s)k    force on the proton is F B  = (4.0 × 10 −27  N) ˆ  i + (2.0 × 10 −27  N) ˆ  j.  At that instant, what are (a) v x  and (b) v y ?  6 

→

→

→

Module 28.2 

M  A proton travels through uniform magnetic and electric  fields. The magnetic field is B  = −2.50 ˆ  i mT. At one instant the  velocity of the proton is  v  = 2000 ˆ  j  m/s. At that instant and in  unit-vector notation, what is  the  net force  acting on  the  pro-  ton if  the electric  field is  (a)  4.00k ̂   V/m, (b)  −4.00k ̂  V/m, and  (c) 4.00 ˆ  i V/m? 

10 

→

Crossed Fields: Discovery of the Electron 

An electron has  an initial velocity of (12.0 ˆ  j + 15.0k ̂ )  km/s  and a constant acceleration of (2.00 × 10 12  m/s 2 ) ˆ  i in a region in  which uniform electric and magnetic fields are  present. If B  =  (400  μT) ˆ  i, find the electric field E .  E 

→

→

An electric field of 1.50 kV/m and a perpendicular magnetic  field of 0.400 T act on a moving electron to produce no net force.  What is the electron’s speed?  8  E 

E  In  Fig. 28.11, an  electron accelerated  from  rest  through  potential difference  V 1  = 1.00 kV  enters  the  gap between two  parallel plates having separation d = 20.0 mm and potential dif-  ference V 2  = 100 V. The lower  plate is  at the lower potential.  Neglect fringing and assume that the electron’s velocity vector  is  perpendicular to the electric field vector between the plates. 

GO  An  ion  source  is  producing  6 Li  ions,  which  have  M  charge +e and mass 9.99 × 10 –27  kg. The ions are accelerated by  a  potential  difference  of  10 kV  and  pass  horizontally  into  a  region in which there is a uniform vertical magnetic field of mag-  nitude B = 1.2 T. Calculate the strength of the electric field, to  be set  up over  the same  region, that will allow the  6 Li ions  to  pass through without any deflection.  11 

GO  At time t 1 , an electron  2 is  sent  along  the  positive  direc-  tion of an x axis, through both an  1 electric  field  E  and  a  magnetic  field  B ,  with  E  directed  parallel  0 0 v to  the  y  axis.  Figure  28.12 gives  the  y  component  F net,y  of  the  –1 net force  on  the electron due  to  the two fields, as a function of the  –2 electron’s speed v at time t 1 . The  v (m/s) scale of the velocity axis is  set by  Figure  28.12  Problem 12.  v s   = 100.0 m/s. The x  and z com-  ponents of  the net force  are  zero  at  t 1 .  Assuming  B x  = 0, find  (a) the magnitude E and (b) B  in unit-vector notation.  12  H 

)N 9 1 – 01( y,t enF

E  An  alpha  particle  travels  at  a  velocity  v  of  magnitude  550  m/s  through  a  uniform  magnetic  field  B  of  magnitude  0.045 T. (An alpha particle has a charge of +3.2 × 10 –19  C and a  mass of 6.6 × 10 –27  kg.) The angle between v  and B is 52°. What  is  the magnitude of (a)  the force F B  acting on the particle due  to the field and (b)  the acceleration of the particle due to F B ?  (c)  Does the speed of the particle increase, decrease, or remain  the same? 

4 

In unit-vector notation, what uniform magnetic field allows the  electron to travel in a straight line in the gap? 

→

→

9 

x

E 

3  E 

7 

y

SSM 

A particle of  mass  10 g  and charge  80 μC  moves through  a  uniform magnetic field, in a  region where the free-fall accel-  eration is  −9.8 ˆ  j  m/s 2 . The  velocity of the particle is  a  constant  ˆ  20 i  km/s, which  is  perpendicular  to the  magnetic field. What,  then, is the magnetic field?  2 

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

→

→

→

s

→

Module 28.3 

Crossed Fields: The Hall Effect 

A strip of copper 150 μm thick and 4.5 mm wide is placed in a  uniform magnetic field B  of magni-  tude 0.65 T, with B perpendicular to  v the strip. A current i = 23 A is then  sent  through  the  strip  such  that  a  Hall potential difference V appears  B x y across  the width of the strip. Calcu-  late V. (The number of charge  car-  riers  per  unit volume for  copper is  8.47 × 10 28  electrons/m 3 .)  13  E 

→

→

E  A  metal  strip  6.50 cm  long,  0.850 cm wide, and 0.760 mm thick  moves  with  constant  velocity  v 

14 

→

Figure  28.13 

Problem 14. 

/

880

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

through a uniform magnetic field B = 1.20 mT directed perpen-  dicular to the strip, as shown in Fig. 28.13. A potential difference  of 3.90 μV is measured between points x and y across  the strip.  Calculate the speed v.  y

→

dy

→

x dz dx z

Problems 15  and 16. 

Figure  28.14 

Figure 28.14 shows a metallic block, with its faces par-  allel to coordinate axes. The block is in a uniform magnetic field  of magnitude 0.020 T. One edge length of the block is 25 cm; the  block is not drawn to scale. The block is moved at 3.0 m/s paral-  lel  to each axis,  in turn, and the resulting potential difference  V  that appears across  the  block is  measured. With the motion  parallel to the y axis, V = 12 mV; with the motion parallel to the  z axis, V = 18 mV; with the motion parallel to the x axis, V = 0.  What are the block lengths (a) d x , (b) d y , and (c) d z ?  16  H 

GO 

Module 28.4 

A Circulating Charged Particle 

An alpha particle can be produced in certain radioactive  decays of nuclei and consists of two protons and two neutrons.  The particle has a charge of q = +2e and a mass of 4.00 u, where  u is the atomic mass unit, with 1 u = 1.661 × 10 –27 kg. Suppose an  alpha particle travels  in  a  circular  path of radius  4.50 cm  in a  uniform magnetic field with B = 1.20 T. Calculate (a)  its speed,  (b)  its  period of revolution, (c)  its  kinetic energy, and (d)  the  potential difference through which it would have to be acceler-  ated to achieve this energy.  17  E 

E  GO  In Fig. 28.15, a particle moves along  a circle in a region of uniform magnetic field of  magnitude B = 4.00 mT. The particle is either a  proton or an electron (you must decide which).  It  experiences a  magnetic force of  magnitude  3.20 × 10 –15  N.  What  are  (a)  the  particle’s  speed, (b)  the radius  of the circle,  and (c)  the  period of the motion? 

18 

rs

0

V V

1/2

Figure  28.17 

(V

1/2

1/2 s

)

Problem 20. 

E  SSM  An  electron  of kinetic  energy  1.20 keV  circles  in  a  plane  perpendicular  to a  uniform magnetic field. The  orbit  radius is 25.0 cm. Find (a) the electron’s speed, (b) the magnetic  field magnitude, (c)  the circling  frequency, and (d)  the period  of the motion. 

21 

E  In  a  nuclear  experiment  a  proton  with  kinetic  energy  1.0  MeV moves in a circular  path in a  uniform magnetic field.  What energy must (a) an alpha particle (q = +2e, m = 4.0 u) and  (b) a deuteron (q = +e, m = 2.0 u) have if they are to circulate in  the same circular path? 

22 

What uniform magnetic field, applied perpendicular to a  beam of electrons moving at 1.30 × 10 6  m/s, is required to make  the electrons travel in a circular arc of radius 0.350 m?  23  E 

E  An electron is accelerated from rest  by a  potential dif-  ference of 350 V. It  then enters  a  uniform magnetic field of  magnitude 200 mT with its velocity perpendicular to the field.  Calculate (a) the speed of the electron and (b) the radius of its  path in the magnetic field. 

24 

(a)  Find the frequency  of revolution of an electron with  an  energy of 100 eV in a  uniform magnetic field of magnitude  35.0 μT. (b) Calculate the radius of the path of this electron if its  velocity is perpendicular to the magnetic field.  25  E 

B

Figure  28.15 

Problem 18. 

M  In  Fig.  28.18,  a  charged  particle  moves  into  a  region  of  uniform  magnetic  field  B ,  goes  through  half  a  circle,  and  then  B exits  that region.  The  particle  is  either a proton or an electron (you  Figure  28.18  Problem 26.  must decide which). It spends 130  ns in the region. (a) What is the magnitude of B ? (b) If the par-  ticle is sent back through the magnetic field (along the same initial  path) but with 2.00 times its previous  kinetic energy, how much  time does it spend in the field during this trip? 

26 

→

A certain  particle is  sent  into a  uniform magnetic field,  with the particle’s velocity vector perpendicular to the direction  19 

E  An  electron  is  acceler-  ated  from  rest  through potential  difference  V  and  then  enters  a  region of uniform magnetic field,  where  it  undergoes  uniform  cir-  cular  motion. Figure  28.17  gives  the radius r of that motion versus  V 1/2 . The  vertical  axis  scale  is  set  by r s  = 3.0 mm, and the horizon-  tal axis scale  is  set  by V 1/2  s  =  40.0  V 1/2 . What is the magnitude of the  magnetic field? 

20 

)mm( r

GO  A conducting rectangu-  lar solid of dimensions d x = 5.00 m,  d y = 3.00 m, and d z  = 2.00 m moves  with  a  constant  velocity  v  =  (20.0  m/s) ˆ  i  through  a  uniform  magnetic  field  B  =  (30.0  mT) ˆ  j  (Fig. 28.14). What are  the result-  ing  (a)  electric  field  within  the  solid, in unit-vector notation, and  (b) potential difference across the  solid?  15  M 

of  the  field. Figure 28.16  gives  the  period  T  of  the  particle’s  motion versus the inverse of the field magnitude B. The vertical  axis scale is set by T s  = 40.0 ns, and the horizontal axis scale is set  −1  by B −1  s  = 5.0 T  . What is the ratio m/q of the particle’s mass to  the magnitude of its charge? 

E 

Ts

→

)sn( T

M  A  mass  spectrometer  (Fig.  28.4.5)  is  used  to  separate  uranium ions of mass  3.92 × 10 –25  kg and charge  3.20 × 10 –19  C  from related species. The ions are accelerated through a poten-  tial difference of 100 kV and then pass into a uniform magnetic  field, where  they  are  bent  in  a  path  of  radius  1.00 m.  After  traveling  through  180°  and  passing  through  a  slit  of  width  1.00 mm  and  height 1.00  cm,  they  are  collected  in  a  cup.  (a)  What is the magnitude of the (perpendicular) magnetic field in 

27 

–1

0 B

–1

Figure  28.16 

–1

(T )

Problem 19. 

Bs

/

P ROBL EMS 

the separator? If the machine is used to separate out 100 mg of  material per  hour, calculate (b) the current of the desired ions  in the machine and (c)  the thermal energy produced in the cup  in 1.00 h.  A  particle undergoes  uniform circular  motion of  radius  26.1 μm in a uniform magnetic field. The magnetic force on the  particle has  a  magnitude of 1.60 × 10 –17  N. What is  the kinetic  energy of the particle?  28 

An electron follows a helical path in a uniform magnetic  field of magnitude 0.300 T. The pitch of the path is 6.00 μm, and  the magnitude of the magnetic force on  the electron is  2.00 ×  10 –15  N. What is the electron’s speed?  GO  In  Fig.  28.19,  an  elec-  M  B1 tron  with  an  initial  kinetic  energy  of  4.0 keV  enters  region  1  at  time t = 0.  Region 1 That  region  contains  a  uniform mag-  netic field directed into the page, with  magnitude 0.010 T.  The  electron goes  Region 2 through  a  half-circle  and  then  exits  B2 region 1, headed toward region 2 across  a  gap of  25.0 cm. There  is  an  electric  Figure  28.19  potential  difference  ΔV  =  2000  V  Problem 30.  across the gap, with a polarity such that  the electron’s speed increases uniformly as it traverses  the gap.  Region 2 contains a uniform magnetic field directed out of the  page, with magnitude 0.020 T. The electron goes through a half-  circle and then leaves region 2. At what time t does it leave?  30 

M  A  particular  type  of  fundamental  particle  decays  by  transforming into an electron e –  and a positron e + . Suppose the  decaying particle is at rest in a uniform magnetic field B of mag-  nitude 3.53 mT  and the  e –  and e +  move away from  the decay  point in  paths  lying in a  plane perpendicular to  B .  How long  after the decay do the e –  and e +  collide? 

31 

→

→

7 

A source injects an electron of speed v = 1.5 × 10  m/s into  a  uniform  magnetic field  of  magnitude  B = 1.0 × 10 –3  T.  The  velocity of the electron makes an angle θ = 10° with the direc-  tion of the magnetic field. Find the distance d from the point of  injection at  which the  electron next crosses  the field line  that  passes through the injection point.  32  M 

SSM  A positron with kinetic energy 2.00 keV is projected  into a uniform magnetic field B  of magnitude 0.100 T, with its  velocity vector  making an  angle of  89.0° with B .  Find (a)  the  period, (b) the pitch p, and (c) the radius r of its helical path. 

33  M 

→

→

An electron follows a helical path in a uniform magnetic  field given by B = (20 ˆ  i − 50 ˆ  j − 30k ̂ ) mT. At time t = 0, the elec-  tron’s velocity is given by  v  = (20 ˆ  i − 30 ˆ  j + 50k ̂) m/s. (a) What is  the angle ϕ between v  and B ? The electron’s velocity changes  with time. Do (b) its speed and (c) the angle ϕ change with time?  (d) What is the radius of the helical path?  34  M 

→

→

→

Module 28.5 

→

Cyclotrons and Synchrotrons 

M  A  proton  circulates  in  a  cyclotron,  beginning  approxi-  mately at rest at the center. Whenever it passes through the gap  between dees, the electric potential difference between the dees  is 200 V. (a) By how much does its kinetic energy increase with  each passage through the gap? (b) What is its kinetic energy as  it completes 100 passes  through the gap? Let r 100  be the radius  of the proton’s circular path as it completes those 100 passes and 

35 

enters a dee, and let r 101  be its next radius, as it enters a dee the  next time. (c) By what percentage does the radius increase when  it changes from r 100  to r 101 ? That is, what is  r 101  − r 100  percentage increase = ________  100%?  r  100 

M 

29  M 

881

A cyclotron with dee radius 53.0 cm is operated at an oscil-  lator  frequency  of  12.0 MHz  to  accelerate  protons.  (a)  What  magnitude B of magnetic field is required to achieve resonance?  (b) At that field magnitude, what is the kinetic energy of a proton  emerging from the cyclotron? Suppose, instead, that B = 1.57 T.  (c)  What oscillator  frequency is  required to achieve resonance  now? (d)  At  that frequency, what  is  the  kinetic energy  of  an  emerging proton?  36  M 

Estimate the total path length traveled by a deuteron in a  cyclotron of radius 53 cm and operating frequency 12 MHz dur-  ing the (entire) acceleration process. Assume that the accelerat-  ing potential between the dees is 80 kV.  37  M 

In a certain cyclotron a proton moves in a circle of radius  0.500 m. The magnitude of the magnetic field is 1.20 T. (a) What  is the oscillator frequency? (b) What is the kinetic energy of the  proton, in electron-volts?  38  M 

Module 28.6 

Magnetic Force on a Current-Carrying  Wire 

A horizontal power line carries  a current of 5000 A  from south to north. Earth’s magnetic field (60.0 μ T) is directed  toward the north and inclined downward at  70.0° to the hori-  zontal. Find the (a) magnitude and (b) direction of the magnetic  force on 100 m of the line due to Earth’s field.  39  E 

SSM 

A wire 1.80 m long carries  a current of 13.0 A and makes  an  angle of 35.0° with a  uniform magnetic field of  magnitude  B = 1.50 T. Calculate the magnetic force on the wire.  40  E 

E  A  13.0 g  wire  of  length  L = 62.0 cm is suspended by a pair  of flexible leads in a uniform mag-  netic  field  of  magnitude 0.440 T  (Fig. 28.20). What are the (a) mag-  nitude  and  (b)  direction  (left  or  right)  of  the current  required  to  remove the tension in the support-  ing leads? 

41 

The bent wire shown in Fig.  28.21 lies  in  a  uniform magnetic  field.  Each  straight  section  is  2.0 m  long  and  makes  an  angle  of θ = 60° with the x axis, and the  wire  carries  a  current  of  2.0 A.  What is the net magnetic force on  the wire in unit-vector notation if  the magnetic field is  given by (a)  4.0k ̂ T and (b) 4.0 ˆ  i T?  42  E 

L

Figure  28.20 

Problem 41. 

y

θ

i

x

θ

i

Figure  28.21  Problem 42.  A single-turn current loop,  carrying a current of 4.00 A, is in  the shape of a right triangle with sides 50.0, 120, and 130 cm. The  loop is in a uniform magnetic field of magnitude 75.0 mT whose  direction is parallel to the current in the 130 cm side of the loop.  What is the magnitude of the magnetic force on (a) the 130 cm  side, (b)  the 50.0 cm side, and (c)  the 120 cm side? (d)  What is  the magnitude of the net force on the loop? 

43 

E 

/

882

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

M  CALC  Figure 28.22 shows  a  wire  ring  of  radius  a = 1.8 cm  i that is  perpendicular to the gen-  a eral  direction of  a  radially sym-  metric, diverging magnetic field.  B The  magnetic field at  the ring  is  θ everywhere  of  the  same  magni-  Figure  28.22  Problem 44.  tude B = 3.4 mT, and its direction  at  the ring  everywhere  makes  an  angle  θ = 20° with a  normal  to the plane of the ring. The twisted lead wires have no effect on  the problem. Find the magnitude of the force the field exerts on  the ring if the ring carries a current i = 4.6 mA. 

44 

A wire 50.0 cm long carries a 0.500 A current in the positive  direction of an x axis through a magnetic field B  = (3.00 mT) ˆ  j +  (10.0 mT)k ̂ . In unit-vector notation, what is the magnetic force  on the wire?  45  M 

→

In Fig. 28.23, a metal wire of mass m = 24.1 mg can slide  with negligible friction on two horizontal parallel rails separated  by  distance  d = 2.56 cm.  The  track  lies  in  a  vertical  uniform  magnetic field of magnitude 56.3 mT. At time t = 0, device G is  connected to the rails, producing a constant current i = 9.13 mA  in the wire  and rails  (even as  the wire  moves). At t = 61.1 ms,  what are the wire’s (a)  speed and (b)  direction of motion (left  or right)?  46  M 

i

B B

m

G

d i i

Figure  28.23 

Problem 46. 

GO  A  1.0 kg  copper  rod  rests  on  two  horizontal  rails  H  1.0 m apart and carries  a  current of 50 A from one rail  to the  other. The coefficient of static friction between rod and rails is  0.60. What are  the (a) magnitude and (b) angle (relative to the  vertical) of the smallest magnetic field that puts the rod on the  verge of sliding?  47 

CALC  GO  A long, rigid conductor, lying along an x axis,  carries a current of 5.0 A in the negative x direction. A magnetic  ˆ  field B  is  present, given by  B  = 3.0 ˆ  i +  8.0 x2    j, with x in  meters  and B  in milliteslas. Find, in unit-vector notation, the force on  the 2.0 m segment of the conductor that lies between x = 1.0 m  and x = 3.0 m. 

loop with a constant current equal to the ratio of the electron’s  charge magnitude to the period of the motion. If the circle lies in  a uniform magnetic field of magnitude B = 7.10 mT, what is the  maximum possible  magnitude of the  torque  produced on  the  loop by the field?  Figure 28.25 shows a wood  B cylinder  of  mass  m = 0.250  kg  and  length  L = 0.100 m,  with  N = 10.0  turns  of  wire  wrapped  L m around  it  longitudinally, so  that  i the plane of the wire coil contains  the long central axis of the cylin-  der. The cylinder is released on a  plane inclined at an angle θ to the  θ horizontal, with the plane of the  coil parallel to the incline plane.  Figure  28.25  Problem 51.  If there is a vertical uniform mag-  netic  field  of  magnitude  0.500 T,  what  is  the  least  current  i  through the coil that keeps the cylinder from rolling down the  plane?  51  M 

M  In  Fig.  28.26, a  rectangular  loop  carrying  current  lies  in  the  plane  of  a  uniform  magnetic  field  of  magnitude  0.040 T.  The  loop  consists  of  a  single  turn  of  flexible conducting  wire  that  is  wrapped  around  a  flexible mount such  x that  the  dimensions  of  the  rectangle  Figure  28.26  can be changed. (The total length of the  Problem 52.  wire  is  not  changed.)  As  edge  length  x  is  varied  from  approximately zero  to its  maximum value  of  approximately 4.0 cm, the magnitude τ of the torque on the loop  changes. The  maximum value of  τ is  4.80 × 10 –8  N · m. What is  the current in the loop? 

52 

Prove that the relation τ = NiAB sin  θ holds not only for  the rectangular  loop  of  Fig. 28.7.2 but  also  for  a  closed  loop  of any shape. (Hint: Replace the loop of arbitrary  shape  with  an assembly  of adjacent long, thin, approximately rectangular  loops that are nearly equivalent to the loop of arbitrary shape as  far as the distribution of current is concerned.)  53  M 

48  H 

→

→

→

Module 28.7 

Torque on a Current  Loop 

SSM  Figure 28.24 shows a  rectangular  20-turn coil  of  wire,  of dimensions 10 cm by 5.0 cm. It  carries  a current of 0.10 A and is  hinged along one  long side.  It  is  mounted in the xy plane, at angle  θ = 30° to the direction of a  uni-  form magnetic field of magnitude  0.50 T.  In  unit-vector  notation,  what is  the torque acting on  the  coil about the hinge line? 

49  E 

y

i

Hinge line

θ z

Figure  28.24 

x

B

Problem 49. 

An electron moves in a circle of radius r = 5.29 × 10 –11  m  with speed 2.19 × 10 6  m/s. Treat  the circular  path as  a  current  50  M 

Module 28.8 

The Magnetic Dipole Moment 

A  magnetic dipole with a  dipole moment of magnitude  0.020 J/T  is  released  from  rest  in  a  uniform magnetic field  of  magnitude 52 mT. The  rotation of the dipole due to the mag-  netic force on it is unimpeded. When the dipole rotates through  the  orientation  where  its  dipole  moment is  aligned  with  the  magnetic field, its  kinetic energy  is  0.80 mJ.  (a)  What  is  the  ini-  y tial  angle  between  the  dipole  moment and the magnetic field?  i (b)  What is  the  angle  when  the  i dipole  is  next  (momentarily)  at  r2 rest?  54 

E 

Two  concentric,  circular  wire  loops,  of  radii  r 1  = 20.0 cm and r 2  = 30.0 cm, are  located in an xy plane; each car-  ries a clockwise current of 7.00 A  (Fig.  28.27).  (a)  Find  the  mag-  nitude of the net magnetic dipole  55 

E 

x

SSM 

r1

Figure  28.27 

Problem 55. 

/

883

P ROBL EMS 

E  A  circular  wire  loop of  radius  15.0 cm  carries  a  current  of 2.60 A. It  is placed so that the normal to its plane makes an  angle of 41.0° with a uniform magnetic field of magnitude 12.0 T.  (a)  Calculate the magnitude of the magnetic dipole moment of  the loop. (b) What is the magnitude of the torque acting on the  loop? 

56 

The  magnetic dipole  moment of  Earth  has  magnitude  8.00 × 10 22  J/T. Assume that this is produced by charges flowing  in Earth’s molten outer core. If the radius of their circular path  is 3500 km, calculate the current they produce.  E 

A current loop, carrying a current of 5.0 A, is in the shape  of a right triangle with sides 30, 40, and 50 cm. The loop is in a  uniform magnetic field of magnitude 80 mT whose direction is  parallel to  the current  in the 50 cm  side  of the loop. Find the  magnitude of (a) the magnetic dipole moment of the loop and  (b) the torque on the loop.  59  E 

M  Figure 28.28  shows  a  current  loop  ABCDEFA  carrying  a  current  i = 5.00 A. The  sides of the loop are  parallel to the coordinate axes shown,  with  AB  = 20.0 cm,  BC = 30.0 cm,  and  FA  = 10.0 cm.  In  unit-vector  notation, what is the magnetic dipole  moment of  this  loop?  (Hint: Imag-  ine  equal and opposite currents  i  in  the line segment AD; then treat the  two  rectangular  loops  ABCDA  and  ADEFA.) 

60 

E

C

D

i

z

0

0

i 2s

– μ net,s

μ

2

1

i 2 (mA) (b )

(a )

57  E 

58 

s

t en

SSM  A circular coil of 160 turns has a radius of 1.90 cm.  (a)  Calculate  the  current  that  results  in  a  magnetic  dipole  moment of magnitude 2.30 A · m2   . (b) Find the maximum mag-  nitude of the torque that the coil, carrying this current, can expe-  rience in a uniform 35.0 mT magnetic field. 

μ net,

)2 m • A 5 – 01(

moment of the system. (b)  Repeat for  reversed  current in the  inner loop. 

Figure  28.30 

Problem 62. 

A circular loop of wire having a radius of 8.0 cm carries  a current of 0.20 A. A vector of unit length and parallel to the  dipole moment μ of the loop is given by 0.60 ˆ  i − 0.80 ˆ  j. (This unit  vector gives the orientation of the magnetic dipole moment vec-  tor.) If the loop is  located in a uniform magnetic field given by  B  = (0.25  T) ˆ  i  + (0.30  T)k ̂ , find (a)  the torque on  the loop (in  unit-vector notation) and (b) the orientation energy of the loop.  63  M 

→

→

GO  Figure  28.31  gives  the  orientation  energy  U  of  a  M  magnetic dipole in an  external magnetic field B ,  as  a function  of angle ϕ between the directions of B  and the dipole moment.  The  vertical axis  scale  is  set  by U s  = 2.0  ×  10 −4  J.  The  dipole  can be rotated about an axle with negligible friction in order to  change ϕ. Counterclockwise rotation from ϕ = 0 yields positive  values of ϕ, and clockwise rotations yield negative values. The  dipole is to be released at angle  ϕ = 0 with a rotational kinetic  energy  of  6.7 × 10 –4  J,  so  that  it  rotates  counterclockwise. To  what maximum  value of  ϕ will  it  rotate? (In  the  language of  Module 8.3, what value  ϕ is  the turning point in  the potential  well of Fig. 28.31?)  64 

→

→

F i B

U

A

x

Figure  28.28 

(10 –4 J)

y

Us

Problem 60. 

M  SSM  The coil in Fig. 28.29 carries  current i = 2.00 A in  the direction indicated, is parallel to an xz plane, has 3.00 turns  and  an  area  of  4.00 × 10 –3  m 2 ,  and lies  in  a  uniform magnetic  field B  = (2.00 ˆ  i − 3.00 ˆ  j − 4.00k ̂ ) mT. What are (a)  the orienta-  tion energy of the coil in the magnetic field and (b) the torque  (in unit-vector notation) on the coil due to the magnetic field? 

ϕ

–180 ° 

61 

–Us

→

Figure  28.31 

180 ° 

Problem 64. 

M  SSM  A  wire  of  length  25.0 cm  carrying  a  current  of  4.51 mA  is  to  be  formed  into a  circular  coil  and  placed  in  a  uniform magnetic field B  of magnitude 5.71 mT. If the torque  on the coil from the field is  maximized, what are (a)  the angle  between B  and the coil’s magnetic dipole moment and (b)  the  number of turns in the coil? (c)  What is the magnitude of that  maximum torque? 

65 

→

y

→

x i

z

Figure  28.29 

Problem 61. 

Additional Problems  CALC  A proton of charge +e and mass m enters a uniform  magnetic field B = B ˆ  i with an initial velocity v  = v 0x ˆ  i + v 0y ˆ  j. Find  an  expression  in  unit-vector notation for  its  velocity  v  at  any  later time t. 

66 

→

In Fig. 28.30a, two concentric coils, lying in the same  plane, carry  currents in opposite directions. The current in the  larger  coil 1  is  fixed. Current i 2  in coil  2 can  be varied. Figure  28.30b gives the net magnetic moment of the two-coil system as  a function of i 2 . The vertical axis scale is set by μnet,s  = 2.0 × 10 −5  A ⋅ m 2 , and the horizontal axis scale is set by i 2s  = 10.0 mA. If the  current in coil 2 is then reversed, what is  the magnitude of the  net magnetic moment of the two-coil system when i 2  = 7.0 mA?  62  M 

GO 

→

→

A stationary circular wall clock has a face with a radius of  15  cm. Six  turns  of wire  are  wound around its  perimeter;  the  wire  carries  a  current  of 2.0 A  in the clockwise direction. The  clock is located where there is a constant, uniform external mag-  netic field of magnitude 70 mT (but the clock still keeps perfect  time). At exactly 1:00 p.m., the hour hand of the clock points in  67 

/

884

C HAP T ER 28  MAGNET IC   F IEL D S 

the direction of the external magnetic field. (a) After how many  minutes will the minute hand point in the direction of the torque  on the winding due to the magnetic field? (b)  Find the torque  magnitude.  CALC  A wire lying along a y axis from y = 0 to y = 0.250 m  carries a current of 2.00 mA in the negative direction of the axis.  The wire fully lies in a nonuniform magnetic field that is given by  ˆ  B = (0.300 T/m) yˆ  i + (0.400 T/m)y    j. In unit-vector notation, what  is the magnetic force on the wire? 

68 

→

Atom 1 of mass 35 u and atom 2 of mass 37 u are both singly  ionized with a charge of +e. After being introduced into a mass  spectrometer (Fig. 28.4.5) and accelerated from rest through a  potential difference V = 7.3 kV, each ion follows a circular path  in  a  uniform magnetic field of  magnitude B = 0.50 T.  What is  the  distance Δx  between the points  where  the ions  strike  the  detector?  69 

An electron with kinetic energy 2.5 keV moving along the  positive direction of an x axis enters a region in which a uniform  electric field of magnitude 10 kV/m is in the negative direction  of the y axis. A uniform magnetic field B is to be set up to keep  the electron moving along the x axis, and the direction of B  is  to be chosen to minimize the required magnitude of B . In unit-  vector notation, what B should be set up?  70 

→

→

→

→

Physicist S. A. Goudsmit devised a method for measuring  the mass of heavy ions by timing their period of revolution in a  known magnetic  field. A  singly  charged  ion  of  iodine makes  7.00 rev  in  a  45.0 mT  field  in  1.29 ms.  Calculate  its  mass  in  atomic mass units.  71 

A  beam of  electrons  whose  kinetic energy is K emerges from  a thin-foil “window” at the end of  an accelerator tube. A metal plate  Foil Electron beam at distance d from this window is  window perpendicular  to the direction of  Plate the  emerging  beam  (Fig. 28.32).  Tube d (a) Show that we can prevent the  beam from hitting the plate if we  Figure  28.32  Problem 72.  apply  a  uniform  magnetic  field  such that  72 

_____ 

B ≥ 

√ e 2 d 2 

→

At time t = 0, an electron with kinetic energy 12 keV  moves through x = 0 in the positive direction of an x axis that is  parallel to the horizontal component of Earth’s magnetic field B .  The field’s vertical component is downward and has magnitude  55.0 μT. (a) What is the magnitude of the electron’s acceleration  due to  B ?  (b)  What is  the electron’s  distance from the x  axis  when the electron reaches coordinate x = 20 cm?  SSM 

→

→

A particle with charge 2.0 C  moves through a  uniform  magnetic  field. At  one  instant  the  velocity  of  the  particle  is  (2.0 ˆ  i + 4.0 ˆ  j + 6.0k ̂) m/s and the magnetic force on the particle is  ˆ  ˆ  (4.0 i − 20 j + 12k ̂ ) N. The x and y components of the magnetic  field are equal. What is B ?  74 

GO 

→

A proton, a deuteron (q = +e, m = 2.0 u), and an alpha par-  ticle  (q = +2e,  m = 4.0 u)  all  having  the  same  kinetic  energy  75 

→

Bainbridge’s mass spectrome-  S1 ter, shown in  Fig. 28.33, separates  S2 ions having the same velocity. The  ions, after entering through slits, S 1  + – and  S 2 ,  pass  through  a  velocity  B Plate selector  composed  of  an  electric  P P' field  produced  by  the  charged  r B' plates  P  and  Pʹ,  and  a  magnetic  field B  perpendicular  to  the elec-  tric field and the ion path. The ions  that then pass  undeviated through  Figure  28.33  Problem 76.  the  crossed  E  and  B  fields  enter  into a  region  where  a  second  magnetic field  B ′  exists,  where  they are made to follow circular paths. A photographic plate (or  a  modern  detector) registers  their  arrival.  Show that, for  the  ions, q/m = E/rBBʹ, where r is the radius of the circular orbit.  76 

→

→

→

→

SSM  In Fig. 28.34, an electron  y moves at speed v = 100 m/s along  B an x axis through uniform electric  v and magnetic fields. The magnetic  x field  B  is  directed  into  the  page  Figure  28.34  Problem 77.  and has magnitude 5.00 T. In unit-  vector notation, what is the electric field? 

77 

→

(a)  In  Fig. 28.3.1, show that the ratio  of the Hall electric  field  magnitude  E  to  the  magnitude  E C  of  the  electric  field  responsible for moving charge (the current) along the length of  the strip is  E  = ____  B  ,  ___  E C  neρ 78 

where ρ is the resistivity of the material and n is the number den-  sity of the charge  carriers.  (b)  Compute this ratio numerically  for Problem 13. (See Table 26.3.1.)  SSM  A proton, a deuteron (q = +e, m = 2.0 u), and an alpha  particle (q = +2e, m = 4.0 u) are  accelerated through the same  potential difference and then enter the same region  of uniform  magnetic field B , moving perpendicular to B . What is the ratio  of (a) the proton’s kinetic energy K p  to the alpha particle’s kinetic  energy K α and (b) the deuteron’s kinetic energy K d  to K α? If the  radius of the proton’s circular path is 10 cm, what is the radius of  (c) the deuteron’s path and (d) the alpha particle’s path? 

79 

→

2mK ,  _____ 

in  which m  and e  are  the electron mass  and charge.  (b)  How  should B  be oriented?  73 

→

enter a region of uniform magnetic field B , moving perpendicu-  lar to B . What is  the ratio of (a)  the radius  r d  of the deuteron  path to the radius r p  of the proton path and (b) the radius r α of  the alpha particle path to r p ? 

→

An electron is moving at 7.20 × 10 6  m/s in a magnetic field  of strength 83.0 mT. What are  the (a)  maximum and (b) mini-  mum magnitude of the force acting on the electron due to the  field? (c) At one point the electron has an acceleration of mag-  nitude 4.90 × 10 14  m/s 2 . What is the angle between the electron’s  velocity and the magnetic field?  80 

A 5.0 μC  particle moves through a  region  containing the  ˆ  mT and the uniform electric field  uniform magnetic field −20 i  300 ˆ  j  V/m.  At  a  certain  instant the  velocity  of  the  particle  is  (17 ˆ  i − 11 ˆ  j + 7.0k ̂ ) km/s. At that instant and in unit-vector nota-  tion, what is the net electromagnetic force (the sum of the elec-  tric and magnetic forces) on the particle?  81 

In a  Hall-effect experiment, a  current  of 3.0 A  sent length-  wise  through a  conductor  1.0 cm  wide, 4.0 cm  long, and  10 μm  82 

/

P ROBL EMS 

thick produces  a transverse  (across  the width) Hall potential dif-  ference of 10 μV when a magnetic field of 1.5 T is passed perpen-  dicularly through the thickness of the conductor. From these data,  find (a) the drift velocity of the charge carriers and (b) the number  density of charge  carriers.  (c)  Show on a diagram the polarity of  the Hall potential difference with assumed current and magnetic  field directions, assuming also that the charge carriers are electrons.  SSM  A particle of mass 6.0 g moves at 4.0 km/s in an xy plane,  in a  region with a  uniform magnetic field given by 5.0 i ˆ mT. At  one instant, when the particle’s velocity is directed 37° counter-  clockwise from the positive direction of the x axis, the magnetic  force on the particle is 0.48k ̂  N. What is the particle’s charge? 

83 

CALC  A wire lying along an x axis from x = 0 to x = 1.00 m  carries  a current of 3.00 A in the positive x direction. The wire  is immersed in a nonuniform magnetic field that is given by B =  2 ) x 2 ˆ    (4.00 T/m 2 ) x 2 ˆi − (0.600 T/m  j. In unit-vector notation, what is  the magnetic force on the wire?  ˆ  ˆ  ̂ 85  At one instant, v  = (− 2.00  i + 4.00  j − 6.00k  ) m/s is the veloc-  ity of a proton in a uniform magnetic field B  = (2.00 ˆ  i − 4.00 ˆ  j +  ̂ 8.00k )T .   At  that  instant, what  are  (a)  the  magnetic  force  F  acting on the  proton, in unit-vector notation, (b)  the angle  between v  and F , and (c) the angle between v  and B ?  86  An electron has velocity v  = (32 ˆ  i + 40 ˆ  j) km/s as it enters a  ˆ  uniform magnetic field B  = 60 i  μT. What are (a)  the radius of  the helical path taken by the electron and (b)  the pitch of that  path? (c) To an observer looking into the magnetic field region  from the entrance point of the electron, does the electron spiral  clockwise or counterclockwise as it moves? 

84 

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

CALC  Force on a curved wire.  Figure  28.35  shows  a  length  of  wire  with  a  central  semicircular  arc  of  radius  R, placed  in  a  uni-  form magnetic field B  that points  out of the plane of the figure. The 

87 

→

Wire R L

Figure  28.35 

L

Problem 87. 

885

current in the wire is  i. What is the resultant magnetic force F  on the wire?  →

First cyclotron. In 1930, E. O. Lawrence invented the cyclo-  tron at the University of California at Berkeley. Over the years  he built larger and larger ones, but his first one had a diameter  d of  only 5.0 in. and accelerated  protons to an energy  of K  =  80 keV. What were  (a)  the magnitude B  of the magnetic field  and (b) the speed of the protons?  88 

BIO  Artery  Hall  effect.  A  small  neodymium magnet  pro-  duces a magnetic field of magnitude B = 0.40 T across the coro-  nary artery of a patient. Electrodes  are positioned on opposite  sides  of the artery, which has a  diameter of d = 4.00 mm. The  Hall voltage is measured  as the charged ions in the blood flow  through the artery. What is the flow speed v when the voltage is  (a) 0.288 mV and (b) 0.656 mV? 

89 

Deuteron breakup. A deuteron in a cyclotron is moving in  a magnetic field with B  = 1.5 T  and an orbit radius r  = 50 cm.  Because of a grazing collision with a target, the deuteron breaks  up, with negligible loss  of kinetic energy, into a  neutron and a  proton. Assume that the deuteron energy is  shared equally by  the neutron and proton at breakup. After the breakup, what are  the speed and path description (straight line or radius of curva-  ture) of (a) the neutron and (b) the proton?  90 

Satellite thrusters. The satellites in the SpaceX Starlink con-  stellation use  Hall-effect thrusters  for  orientation adjustments.  The full mechanism of the thruster is complicated, but one main  feature involves ionizing krypton atoms and then accelerating  the freed electrons e −  and the positive krypton ions Kr +  before  they enter a magnetic field. If they enter a 0.020 T field perpen-  dicular to the field vector with speed 21 km/s, what is the radius  of curvature of (a) the electrons (strongly deflected) and (b) the  positive ions (barely  deflected)?  The  difference in  the deflec-  tions separates the electrons and Kr +  ions in the small confines  of a satellite. The Kr mass is 1.39 × 10 −25  kg.  91 

/

C

H

A

P

T

E

R

2

9

Magnetic Fields Due to Currents 

29.1  MAGNETIC FIELD DUE TO A CURRENT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

29.1.1  Sketch a current-length  element in a wire and  indicate  the direction  of the magnetic field  that it  sets up at a given point near the wire.  29.1.2  For a given point near a wire  and a given  current-length  element  in the wire, determine the  magnitude and direction  of the magnetic field  due to  that element. 

29.1.6  Identify  that around  a long straight wire  carrying  current,  the magnetic field  lines form circles.  29.1.7  For a point to one side of the end of a semi-  infinite  wire carrying  current, apply the relationship  between  the magnetic field  magnitude, the current,  and the distance to the point.  29.1.8  For the center of curvature of a circular  arc of 

29.1.3  Identify the magnitude of the magnetic field  set 

wire carrying  current, apply the relationship between 

up by a current-length element  at a point in line  with 

the magnetic field  magnitude, the current, the radius 

the direction  of that element. 

of curvature, and the angle subtended by the arc 

29.1.4  For a point to one side of a long straight wire  carrying current,  apply the relationship between  the 

(in radians).  29.1.9  For a point to one side of a short straight wire 

–Savart  law to find 

magnetic field  magnitude, the current,  and the dis- 

carrying current,  integrate the Biot

tance  to the point. 

the magnetic field  set up at the point by the current. 

29.1.5  For a point to one side of a long straight wire  carrying current,  use a right-hand rule  to determine  the direction  of the field  vector. 

Key Ideas 

â—The magnetic field  set up by a current-carrying  con-  ductor can be found  from the Biot

→

–Savart  law. This law 

d B  to the field  produced  → by a current-length  element  i d s  at a point  P located a  distance r from the current element  is  asserts that the contribution 

→× μ0  id s  r Ì‚  _______  d B = ___  (Biot–Savart  law).  4Ï€ r 2 

â—For a long straight wire  carrying a current  i, the Biot –  Savart law gives, for the magnitude of the magnetic  field at a perpendicular  distance 

μ 0 i  B = ____  2Ï€R 

→

‚ r Ìis a unit vector that points from the element  toward P. The quantity Î¼ 0 , called  the permeability con-  Here 

R from the wire, 

(long straight wire). 

â—The magnitude of the magnetic field at the center 

R and central  angle Ï• (in  i

of a circular  arc, of radius 

radians), carrying current  , is 

stant, has the value 

4 π× 10   âˆ7’  T Âm/A  ·  â‰1.26  ˆ  × 10   âˆ6 ’ T Âm/A.  · 

μ 0 i Ï• B = _____  4 Ï€R 

(at center of circular arc). 

What Is Physics? 

One basic  observation  of  physics is  that  a moving charged particle produces  a  magnetic field around itself. Thus a current of moving charged particles produces  a magnetic field  around  the current. This  feature of  electromagnetism, which  is  the  combined  study  of  electric and  magnetic effects, came as a surprise to  the  people  who  discovered it. Surprise or not,  this  feature has become enormously 

886 /

29.1  MAGNET IC   F IEL D  D U E T O  A  C U RRENT  

important in everyday life because it is the basis of countless electromagnetic  devices. For example, a magnetic field is produced in maglev trains and other  devices used to lift heavy loads.  Our first step in this chapter is to find the magnetic field due to the current  in  a very small section of  current-carrying wire. Then we shall  find  the mag-  netic field due to the entire wire for several different arrangements of the wire. 

887

This element of current creates a magnetic field at P, into the page. id s

î€ ds

Ë r†

(into page)

dB

r P

Calculating the Magnetic Field Due to a  Current 

Figure 29.1.1 shows a wire of arbitrary shape carrying a current i. We want to  → find the magnetic field B at a nearby point P. We first mentally divide the wire  i into differential elements ds and then define for each element a length vector  →that has length ds and whose direction is the direction of the current in ds. We  d s  → can then define a differential current-length element to be i d s  ; we wish to calcu-  → late the field d B produced at P by a typical current-length element. From experi-  ment we find that magnetic fields, like electric fields, can be superimposed to find  → a net field.  Thus, we can calculate the net field  B at P by summing, via integra-  → tion,  the  contributions  d B  from  all  the current-length  elements. However, this  summation  is  more challenging than  the  process associated with  electric fields  because of a complexity; whereas a charge element dq producing an electric field  → is a scalar, a current-length element i d s  producing a magnetic field  is a vector,  being the product of a scalar and a vector.  → Magnitude. The magnitude of the field d B produced at point P at distance r  → by a current-length element i d s  turns out to be  μ0  _________  i ds sin  θ,  dB = ___  r 2  4Ï€

Current distribution

A current-length ele-  →produces a differential  ment i d s  → magnetic field d B  at point P. The  green  × (the tail of an arrow) at the    → dot for point P indicates that d B is  directed into the page there.  Figure  29.1.1 

(29.1.1) 

→and r , a unit  Ì‚ where Î¸ is the angle between the directions of d s  vector that points  from  ds  toward  P.  Symbol  μ 0  is  a  constant,  called  the  permeability  constant,  whose value is defined to be exactly 

μ 10   âˆ7’  T Âm/A  ·  ≠1.26  ˆ  × 10  âˆ6 ’ T Âm /A.  ·  0 = 4π×

(29.1.2) 

→

Direction. The direction  of dB , shown as being into the page in Fig. 29.1.1, is 

→ Ì‚  that of the cross product d s  × r . We can therefore  write Eq. 29.1.1 in vector form as  → → μ 0  i d  s  × r Ì‚  (Biot–Savart  ________  dB = ___  law).  4Ï€ r 2 

(29.1.3) 

This  vector  equation  and  its  scalar form,  Eq.  29.1.1, are known  as  the  law  of  Biot  and Savart (rhymes with  “Leo  and bazaar†The law, which  ).  is experimen-  tally deduced, is an inverse-square law. We shall use this law to calculate the net  → magnetic field B produced at a point by various distributions  of current.  Here is one easy distribution:  If current in a wire is either directly toward or  directly away from a point  P of measurement, can you  see from Eq. 29.1.1 that  the magnetic field at P from the current is simply zero (the angle Î¸ is either 0 Âfor  °  toward or 180 Âfor away, and both  °  result in sin Î¸ = 0)?  Magnetic  Field  Due  to a Current in  a Long  Straight  Wire 

Shortly we shall use the law of Biot and Savart to prove that the magnitude of the  magnetic field  at a perpendicular  distance R from a long (infinite) straight wire  carrying a current i is given by  μ 0 i  B =  ____  2 Ï€R 

(long straight wire). 

(29.1.4) 

/

888

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

 retneC tnempoleveD noitacudE fo ysetruoC

The magnetic ï¬ eld vector at any point is tangent to a circle. Wire with current into the page

B

B

Iron filings that have been sprinkled onto cardboard collect in concentric  circles when current is sent through the central wire. The alignment, which is along  magnetic field lines, is caused by the magnetic field produced by the current.  Figure  29.1.3 

The magnetic field  lines produced by a current in a long  straight wire form concentric circles  around the wire. Here the current is  into the page, as indicated by the Ã— .  Figure  29.1.2 

The  field  magnitude  B in  Eq.  29.1.4 depends  only  on  the  current and  the  perpendicular distance R of the point from the wire. We shall show in our deriva-  → tion that the field lines of B form concentric circles around the wire, as Fig. 29.1.2  shows and as the iron filings in Fig. 29.1.3 suggest. The increase in the spacing of  the lines in Fig. 29.1.2 with  increasing distance from the wire represents the 1/R  → decrease in the magnitude of  B  predicted by Eq.  29.1.4. The lengths of the two  → vectors B in the figure also show the 1/R decrease.  Directions. Plugging values into Eq. 29.1.4 to find the field magnitude B at a  given radius is easy. What is difficult for many students is finding the direction of  → a field vector B at a given point. The field lines form circles around a long straight  wire, and the field  vector at any point  on  a circle must be tangent to the circle.  That means it must be perpendicular to a radial line extending to the point  from  the wire. But  there are two possible  directions for that perpendicular vector, as  shown  in  Fig. 29.1.4. One is correct for  current into  the  figure, and  the other  is  correct for current out of the figure. How can you tell which is which? Here is a  simple right-hand rule for telling which vector is correct: 

Curled–straight  right-hand rule: Grasp the element in your right hand with  your extended thumb pointing in the direction of the current. Your fingers will  then naturally curl around in the direction of the magnetic field lines due to  that element. 

B

r

The magnetic field vec-  → tor B is perpendicular to the radial  line extending from a long straight  wire with current, but which of the  two perpendicular vectors is it?  Figure  29.1.4 

The result of applying this right-hand rule to the current in the straight wire  of Fig. 29.1.2 is shown in a side view in Fig. 29.1.5a. To determine the direction of  → the magnetic field B set up at any particular point  by this current, mentally wrap  your right hand around  the wire with your thumb in the direction of the current.  Let your fingertips pass through the point;  their direction is then the direction of  → the magnetic field at that point. In the view of Fig. 29.1.2, B at any point is tangent  to a magnetic field line;  in the view of Fig. 29.1.5, it is perpendicular to  a dashed  radial line connecting the point  and the current.  Proof of Equation 29.1.4 

Figure  29.1.6, which  is  just  like  Fig.  29.1.1 except that  now  the wire  is  straight  → and  of infinite  length, illustrates the task at hand.  We seek the field  B  at point  P, a perpendicular distance R from the wire. The magnitude of  the differential 

/

29.1  MAGNET IC   F IEL D  D U E T O  A  C U RRENT  

i

B

B

i

(a )

889

The thumb is in the current’ direction. s The fingers reveal the field vector’s direction, which is tangent to a circle.

(b )

A right-hand rule gives the direction of the magnetic field due to a current  → in a wire. (a) The situation of Fig. 29.1.2, seen from the side. The magnetic field B at  any point to the left of the wire is perpendicular to the dashed radial line and directed  into the page, in the direction of the fingertips, as indicated by the Ã— . (b) If the current  → is reversed, B  at any point to the left is still perpendicular to the dashed radial line but  now is directed out of the page, as indicated by the dot.  Figure  29.1.5 

→ magnetic field produced  at P by the  current-length element i  d s  located a dis-  tance r from P is given by Eq. 29.1.1: 

μ0  _________  i ds sin  θ.  dB = ___  4Ï€ r 2  → → Ì ‚ ”namely,  The direction of d B  in Fig. 29.1.6 is that of the vector d s  × r â€ directly  into the page.  → Note  that  d B  at  point  P  has  this  same direction  for  all  the  current-length  elements into which the wire can be divided. Thus, we can find the magnitude of  the magnetic field produced at P by the current-length elements in the upper half  of the infinitely long wire by integrating dB in Eq. 29.1.1 from 0 to âˆž.  Now consider a current-length element in the lower half of the wire, one that  →is above P. By Eq. 29.1.3, the magnetic field produced at P  is as far below P as d s  by this current-length element has the same magnitude and direction as that from  → element i  d s  in  Fig. 29.1.6. Further,  the magnetic field  produced  by  the  lower  half of the wire is exactly the same as that produced by the upper half. To find the  → magnitude of the total magnetic field  B at P, we need only multiply the result of  our integration by 2. We get  ∞  ∞  μ 0 i  _______  sin Î¸ ds .  B = 2  dB = ___  (29.1.5)  2 Ï€ r 2  0  0  The  variables  θ,  s, and  r  in  this  equation  are  not  independent;  Fig.  29.1.6  shows that they are related by 

î€

î€

This element of current creates a magnetic field at P, into the page. ds

î€

ˆ r

r

s

dB R P i

Calculating the mag-  netic field produced by a current i in  → a long straight wire. The field d B  at  P associated with the current-length  →is directed into the  element i d s  page, as shown.  Figure  29.1.6 

_ 

r = âˆšs  2 + R 2  and 

R  .  _  sin  θ = sin( π−θ   ) = _________  √s  2 + R 2 

With these substitutions  and integral 19 in Appendix E, Eq. 29.1.5 becomes  ∞  μ 0 i  ___________  R ds  B =  ___  2 Ï€ 0  ( s 2 + R 2 ) 3/2 

î€

∞  μ μ 0 i  ___________  s  0 i  =  ____  =  ____  ,  2  2  1/2  2Ï€R [ ( s  + R  )  ] 0   2 Ï€R 

(29.1.6) 

as we wanted. Note that the magnetic field at P due to either the lower half or the  upper half of the infinite wire in Fig. 29.1.6 is half this value; that is,  μ 0 i  B = ____  4Ï€R 

(semi-infinite straight wire). 

(29.1.7) 

/

890

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

Magnetic  Field  Due  to a Current in  a Circular Arc  of Wire 

R C



i

ds

C

r

ˆ r (a )

(b )

i B C

(c )

The right-hand rule reveals the field’s direction at the center. (a) A wire in the shape  of a circular arc with center C car-  ries  current i. (b) For any element of  wire along the arc, the angle between  → ‚ the directions of d s  and r Ìis 90 °.  (c) Determining the direction of the  magnetic field at the center C due  to the current in the wire; the field  is out of the page, in the direction  of the fingertips, as indicated by the  colored dot at C.  Figure  29.1.7 

To find  the magnetic field produced at a point  by a current in a curved wire, we  would  again use  Eq.  29.1.1 to  write the  magnitude  of  the  field  produced  by  a  single current-length element, and we would  again integrate to find the net field  produced  by  all  the  current-length elements. That  integration can  be  difficult,  depending  on  the shape of  the wire; it  is fairly straightforward, however, when  the wire is a circular arc and the point is the center of curvature.  Figure 29.1.7a shows such an arc-shaped wire with central angle Ï•, radius R,  →of  the  and  center C, carrying current i. At C, each current-length element i d s  wire produces a magnetic field of magnitude dB given by Eq. 29.1.1. Moreover, as  Fig. 29.1.7b shows, no matter where the element is located on the wire, the angle Î¸ →and r Ìis 90 ‚ between the vectors d s  °;  also, r = R. Thus, by substituting R for r and  90 Âfor  °  θ in Eq. 29.1.1, we obtain  μ μ0  ____  0  __________  i ds sin 90 Â=  °  ___  i ds .  dB =  ___  4 Ï€ R 2  4 Ï€ R 2 

(29.1.8) 

The field at C due to each current-length element in the arc has this magnitude.  → Directions. How  about  the  direction  of  the  differential  field  dB  set up  by  an  element? From  above  we know  that  the vector  must be  perpendicular  to  a  radial line extending through point  C from the element, either into  the plane of  Fig. 29.1.7a or out of it. To tell which direction is correct, we use the right-hand  rule for any of the elements, as shown  in Fig. 29.1.7c. Grasping the wire with the  thumb in the direction of the current and bringing the fingers into the region near  → C, we see that the vector dB due to any of the differential elements is out of the  plane of the figure, not into  it.  Total Field. To find the total field at C due to all the elements on  the arc,  → we need to add  all the differential field  vectors d B . However, because the vec-  tors  are all in  the same direction,  we do  not  need to  find  components.  We just  sum the magnitudes dB as given by Eq. 29.1.8. Since we have a vast number of  those magnitudes, we sum via integration. We want the result to indicate how the  total field  depends on the angle Ï• of the arc (rather than  the arc length). So, in  Eq. 29.1.8 we switch from ds to dÏ• by using the identity ds = R d Ï•. The summa-  tion by integration then becomes  Ï•

μ iR d Ï•

μi 

Ï•

0  ______  ____  ___  =  0  î€ d Ï•.  î€ î€ 2  4Ï€R  0  0  4 Ï€ R 

B =  dB =  Integrating, we find that 

μ0 iÏ• B =  _____  4 Ï€R 

(at center of circular arc). 

(29.1.9) 

Heads Up. Note  that  this  equation  gives us the  magnetic field  only  at the  center of  curvature of  a circular arc of  current. When  you  insert  data  into  the  equation,  you  must be careful to  express  Ï• in  radians rather than  degrees. For  example, to find the magnitude of the magnetic field at the center of a full circle  of current, you would  substitute 2 Ï€rad for Ï• in Eq. 29.1.9, finding  μ μi  0 i(2Ï€)  ___  B = _______  =  0  4 Ï€R  2R 

(at center of full circle). 

(29.1.10) 

Checkpoint 29.1.1 

The figure shows three circuits consisting of concentric circular arcs (either  half- or quarter-circles of radii r, 2r, and 3r. The circuits carry the same current.  Rank them according to the magnitude of the magnetic field produced at the  center of curvature (the dot), greatest first. 

(a )

( b)

(c)

/

29.1  MAGNET IC   F IEL D  D U E T O  A  C U RRENT  

Sample Problem 29.1.1

Magnetic  field  due  to brain  activity 

Scientists,  medical researchers, and  physiologists  would  like  to  understand  how  the  human  brain  works.  For  example, when you read this sentence, what part of your  brain  is  activated? One  of  the  recent  research tools  is  magnetoencephalography (MEG), a procedure  in  which  magnetic fields  of a person’ brain  s  are monitored  as the  person performs a task such as reading (Fig. 29.1.8). The  task  activates part  of  the  brain  that  processes  reading,  causing weak electrical pulses  to be  sent along  conduct-  ing paths between brain cells. As with any other current,  each pulse produces a magnetic field. The magnetic fields  detected by MEG are probably produced by pulses along  the  walls of  the fissures (crevices) on  the  brain  surface.  Detecting the  fields  requires  extremely sensitive instru-  ments called  SQUIDs (superconducting  quantum  inter-  ference devices). In Fig. 29.1.9, what is the magnetic field  at point  P located a distance r = 2 cm from a pulse on  a  fissure wall, with the current i = 10 ÂA along a conducting  µ path of length ds = 1 mm that is perpendicular to r?   otohP kcotS ymalA/ecruoS egamI/nesukaR ytnoM

Figure  29.1.8 

MEG apparatus. 

Sample Problem 29.1.2

P r

A pulse along a fissure wall on the brain surface  produces a magnetic field at point P at distance r.  Figure  29.1.9 

KEY IDEA The  path  length  is  short  enough  that  we  can  apply  the  Biot–Savart  law directly to find the magnetic field.  Calculation:

We write the Biot–Savart  law (Eq. 29.1.1) a s 

μ0  _ i ds sin  θ   B = _  4Ï€ r 2 

(4π× 10   âˆ7 ’ T â‹… m/A)    _______________________  (10 Ã— 10  âˆ6 ’ A)(1 Ã— 10   âˆ3 ’ m) sin 90 °  =  ______________  âˆ2  ’ 4 Ï€ (2 Ã— 10    m) 2  3 pT.  ˆ  = 2.5 Ã— 10   âˆ1’ 2 T â‰

(Answer ) 

SQUIDs can measure fields of magnitude less than 1 pT,  but care must be taken to eliminate other sources of vary-  ing magnetic fields, such as an elevator in the building  or  even a truck in a nearby street. 

Magnetic  field  off to the side  of two long straight currents 

Figure  29.1.10a  shows  two  long  parallel  wires  carrying  currents  i 1    and  i 2   in  opposite  directions.  What  are  the  magnitude and direction of the net magnetic field at point  P? Assume the following values: i 1  = 15 A, i 2   = 32 A, and  d = 5.3 cm. 

KEY IDEAS →

891

(1) The net magnetic field  B at point  P is the vector sum  of the magnetic fields due to the currents in the two wires.  (2) We can find the magnetic field due to any current by  applying  the  Biot–Savart  law  to  the  current. For  points  near the current in a long  straight wire, that law leads to  Eq. 29.1.4. 

In Fig. 29.1.10a, point  P is distance  R  from  both  currents i 1   and  i 2.   Thus,  Eq.  29.1.4 tells  us  → that at point  P those currents produce magnetic fields B 1  → and B 2 with magnitudes  Finding the vectors:

μ0 i 1   μ 0 i 2  .  B 1  = ____  and  B 2  = ____  2 Ï€R  2 Ï€R 

In  the right  triangle of  Fig. 29.1.10a, note  that  the  base  angles (between sides R and d) are both  45 °.  This allows  us  to  write  cos  45 Â=  °  R/d  and  replace R with  d  cos 45 °.  Then the field magnitudes B 1  and B 2   become  μ μ0 i 2   0 i 1   .  B 1  =  ___________  and  B 2  = ___________  2 Ï€d cos 45 °  2 Ï€d cos 45 ° 

/

892

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

(Note  carefully the  perpendicular  symbol  between  vec-  → tor B 1 and the line connecting point  P and wire 1.)  Repeating this  analysis for the current in  wire 2, we  → find  that  B 2  is directed upward  to  the right  as drawn  in  Fig. 29.1.10b. 

y

P

B

R

R B2 d

i1

i2 B1

(a)

45°

The two currents create magnetic fields that must be added as vectors to get the net field.

→

45°

x

P

d i1

(b)

i2

(a) Two wires carry currents i 1  and i 2  in  opposite directions (out of and into the page). Note the  → → right angle at P. (b) The separate fields B 1  and B 2  are  → combined vectorially to yield the net field B .  Figure  29.1.10 

→

We  can  now  vectorially  add  B 1  → and B 2 to find  the net magnetic field B at point  P, either  by using  a vector-capable calculator or  by  resolving the  vectors into  components  and  then  combining  the  com-  → ponents of  B . However, in  Fig. 29.1.10b, there is  a third  → → method:  Because B 1  and  B 2  are perpendicular  to  each  → other, they form the legs of a right triangle, with B as the  hypotenuse. So,  Adding



the

vectors:

_  _  μ0  2  ____________    2  √i  2  B  = âˆšB  + i 2  1  + B 2   =  2 Ï€d(cos 45 °)  1   2   âˆ7  ’

________________  2 

2 

(4π× 10    T â‹… m/A)    √(15 A)  + (32 A)    =  ____________________________________  (2Ï€)(5.3 Ã— 10  âˆ’2  m)(cos  45 °) 

→

→

We  want  to  combine  B 1  and  B 2  to  find  their  vec-  → tor sum, which  is the net  field  B at P. To  find  the direc-  → → tions  of  B 1  and  B 2 ,  we  apply  the  right-hand  rule  of  Fig.  29.1.5 to  each  current in  Fig.  29.1.10a.  For  wire  1,  with  current out of  the page, we mentally grasp the wire  with  the  right  hand,  with  the  thumb  pointing  out  of  the  page. Then the curled fingers indicate that the field  lines  run counterclockwise. In particular, in the region of point  P,  they  are directed upward  to  the  left. Recall  that  the  magnetic field  at  a  point  near  a  long,  straight  current-  carrying wire must  be directed perpendicular  to a radial  → line  between the  point  and  the  current.  Thus,  B 1  must  be directed upward to the  left as drawn in  Fig. 29.1.10b. 

= 1.89 Ã— 10   âˆ4 ’  T â‰190  ˆ  μ T. 

(Answer )  →

→

The  angle  Ï• between  the  directions  of  B  and  B 2  in  Fig.  29.1.10b follows from  B 1   Ï• = tan âˆ1 ’ ___  ,  B 2   which, with B 1  and B 2  as given above, yields  i 1   15 A = 25°.  Ï• = tan âˆ1’  __  = tan âˆ1 ’ _____  i 2   32 A  →

The angle between B and the x axis shown in Fig. 29.1.10b  is then  Ï• + 45 Â= 25 °  Â+ 45 °  Â= 70 °  °. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

29.2  FORCE BETWEEN TWO PARALLEL CURRENTS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

29.2.1  Given two parallel  or antiparallel  currents,  find  the magnetic field  of the first current  at the location  of the second current  and then find  the force acting 

29.2.2  Identify  that parallel  currents  attract each other,  and antiparallel  currents repel  each other.  29.2.3  Describe how a rail gun works. 

on that second current. 

Key Idea 

â—Parallel  wires carrying currents in  the same direction  attract each  other, whereas parallel  wires  carrying cur-  rents in  opposite directions repel each other. The mag-  nitude  of the force on a length 

L  of either  wire is 

μ0 Li a i    b  F ba  = i b LB a  sin 90 Â=  °  _______  ,  2Ï€d  where d  is the wire  separation, and  i a   and  i b  are the  currents in the wires. 

/

893

29.2  F ORC E  BET WEEN  T WO  P ARAL L EL  C U RRENT S 

Force  Between Two Parallel Currents 

Two long parallel wires carrying currents exert forces on each other. Figure 29.2.1  shows  two such  wires, separated by a distance d  and carrying currents i a   and i b .  Let us analyze the forces on these wires due to each other.  We seek first the force on  wire b in  Fig. 29.2.1 due  to the current in wire a.  → That current produces a magnetic field B a , and it is this magnetic field that actu-  ally causes the force we seek. To find the force, then, we need the magnitude and  → → direction of the field B a  at the site of wire b. The magnitude of B a at every point  of wire b is, from Eq. 29.1.4,  μ 0 i a   B a  =  ____  (29.2.1)  .  2 Ï€d  → The  curled–straight  right-hand  rule tells us  that the direction of  B a  at wire b  is  down,  as Fig. 29.2.1 shows.  Now that we have the field, we can find  the force it  → produces on  wire b. Equation  28.6.2 tells us that  the force F ba  on a length L of  → wire b due to the external magnetic field B a is  →

→ →

F ba  = i b L Ã— B  a , 

→

The field due to a at the position of b creates a force on b.

a d

F ba

b

L

ia

ib

Ba

L

(due to ia )

Two parallel wires  car-  rying currents in the same direction  → attract each other. B a  is the magnetic  field at wire b produced by the cur-  → rent in wire a. F ba  is the resulting  force acting on wire b because it car-  → ries current in B a .  Figure  29.2.1 

(29.2.2)  →

→

where L is the length vector of the wire. In Fig. 29.2.1, v ectors L and B a  are per-  pendicular to each other, and so with Eq. 29.2.1, we can write 

→

μ 0 Li ai   b  F ba  = i bLB  °  _______  .    a  sin 90 Â=  2 Ï€d 

(29.2.3)  →

→

The  direction  of  F ba  is  the  direction  of  the  cross  product  L  × B  a .  Applying  → → → the right-hand rule for cross products to L  and B a in  Fig. 29.2.1, we see that F ba  is directly toward wire a, as shown.  The general procedure for finding the force on a current-carrying wire is this: 

Projectile Conducting fuse

To find the force on a current-carrying wire due to a second current-carrying  wire, first find the field due to the second wire at the site of the first wire. Then  find the force on the first wire due to that field. 

i

i

Conducting rail

We could  now use this procedure to compute the force on wire a due to the  current in wire b. We would  find  that the force is directly toward wire b; hence,  the two wires with parallel currents attract each other. Similarly, if the two  cur-  rents were antiparallel, we could show that the two wires repel each other. Thus, 

(a)

F

Parallel currents attract each other, and antiparallel currents repel each other. 

The force acting between currents in parallel wires is the basis for the defi-  nition  of  the  ampere, which  is  one  of  the  seven SI  base units.  The  definition,  adopted in 1946, is this: The ampere is that constant current which, if maintained  in two  straight, parallel conductors of infinite length, of negligible circular cross  section, and placed  1 m apart in  vacuum, would  produce on  each of these con-  ductors a force of magnitude 2 Ã— 10  âˆ7 ’ newton per meter of wire length. 

Conducting gas i i B

i

(b )

(a) A rail gun, as a  current i is set up in it. The current  rapidly causes the conducting fuse to  vaporize. (b) The current produces  → a magnetic field B  between the  → rails, and the field causes a force F  to act on the conducting gas, which  is part of the current path. The gas  propels the projectile along the rails,  launching it.  Figure  29.2.2 

Rail  Gun 

The basics of a rail gun are shown in Fig. 29.2.2a. A large current is sent out along  one of two parallel conducting rails, across a conducting â€œfuse(such as a narrow  †  piece  of  copper) between the  rails,  and  then  back  to  the current source  along  the second rail. The projectile to be fired lies on the far side of the fuse and fits  loosely between the rails. Immediately a fter the current begins, the fuse element  melts and  vaporizes, creating a conducting  gas between the rails where the fuse  had been. 

/

894

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

The  curled–straight  right-hand  rule  of  Fig.  29.1.5 reveals that  the  currents  in  the  rails of  Fig. 29.2.2a produce  magnetic fields  that  are directed downward  → → between the rails. The net magnetic field B exerts a force F  on the gas due to the  current i through the gas (Fig. 29.2.2b). With Eq. 29.2.2 and the right-hand rule  → for  cross products,  we find  that  F  points  outward along  the  rails. As the gas is  forced outward along the rails, it pushes the projectile, accelerating it by as much  as 5 Ã— 10  6 g, and then launches it with a speed of 10 km/s, all within 1 ms. Someday  rail guns may be used to launch  materials into  space from mining operations on  the Moon  or an asteroid. 

Checkpoint 29.2.1 

The figure here shows three long, straight, parallel, equally spaced wires with identical  currents either into or out of the page. Rank the wires according to the magnitude of  the force on each due to the currents in the other two wires, greatest first. 

a

b

c

29.3  AMPERE’ LAW  S  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

’ law to a loop that encircles  s  current.  ’ law,  s  use a right-hand  rule for 

29.3.1  Apply Ampere 29.3.2  With Ampere

determining  the algebraic sign of an encircled  current.  29.3.3  For more than one current within  an Amperian  loop, 

29.3.4  Apply Ampere

’ law  s  to a long straight wire  with 

current,  to find the magnetic field  magnitude inside  and outside the wire,  identifying  that only the current  encircled  by the Amperian loop matters. 

’ law.  s 

determine the net current to be used in Ampere

Key Idea 

â—Ampere’ law states that  s  →

B â‹… d â†’ s   = Î¼0 i enc  ∮

(Ampere’ law).  s 

The line integral  in this equation is evaluated around  a closed loop called an  Amperian loop. The current 

i  on the right side is the  net current  encircled 

by the loop. 

Ampere

’ Law  s 

We can find the net electric field due to any distribution of charges by first writing  → the differential electric field dE  due to  a charge element and then  summing the  → contributions  of dE from all the elements. However, if the distribution  is compli-  cated, we may have to use a computer. Recall, however, that if the distribution  has planar, cylindrical, or spherical symmetry, we can apply Gauss’ law to find the    net electric field with considerably less effort.  Similarly, we can find the net magnetic field due to any distribution  of currents  → by  first  writing  the  differential magnetic field  d B  (Eq.  29.1.3) due  to  a current-  → length element and then summing the contributions  of d B  from all the elements.  Again we may have to  use a computer for a complicated distribution.  However,  if the distribution  has some symmetry, we may be able to apply Ampere ’ law to  s  find the magnetic field with considerably less effort. This law, which can be derived  from the Biot–Savart  law, has traditionally been credited to André-Marie  Ampère 

/

29.3  AMP ERE ’ LS  AW 

895

(1775 –1836),  for whom the SI unit of current is named. However, the law actually  was advanced by English physicist James Clerk Maxwell. Ampere ’ law is  s  →

B â‹… d â†’ s   = Î¼ 0 i e nc  ∮

(29.3.1) 

(Ampere’ law).  s  →

→  is to be  The loop  on  the integral sign means that the scalar (dot)  product B â‹… d s  integrated around  a closed loop,  called an Amperian loop. The current i enc  is the  net current encircled by that closed loop.  → → To see the meaning of the scalar product  B â‹… d s   and its  integral, let us  first  apply Ampere ’ law to the general  s  situation of Fig. 29.3.1. The figure shows cross  sections of three long straight wires that carry currents i 1  , i 2, and i    3  either directly  into  or  directly out  of the page. An  arbitrary Amperian loop  lying in the plane  of the page encircles two of the currents but not the third. The counterclockwise  direction marked on the loop indicates the arbitrarily chosen direction of integra-  tion for Eq. 29.3.1.  To apply Ampere ’ law, we mentally divide the loop  s  into differential vector  → elements d s  that  are everywhere directed along the  tangent to  the loop  in  the  → direction  of  integration. Assume that at the  location  of  the element d s  shown  → in  Fig. 29.3.1, the net magnetic field  due to the three currents is B . Because the  →due  wires are perpendicular to the page, we know  that the magnetic field at d s  → → to each current is in the plane of Fig. 29.3.1; thus, their net magnetic field B at d s  → must also be in that plane. However, we do not know the orientation of B within  → → the plane. In Fig. 29.3.1, B is arbitrarily drawn at an angle Î¸to the direction of d s  .  → → The scalar product B â‹… d s  on the left side of Eq. 29.3.1 is equal to B cos Î¸ds. Thus,  Amperian Ampere ’ law can be written as  s 

Only the currents encircled by the loop are used in Ampere’ law.s

loop

→ →

B â‹… d s  = âˆ® B cos Î¸ ds = Î¼0 i enc .  ∮

(29.3.2) 

i1 i3

→

→ We can now interpret the scalar product B â‹… d s    as being the product of a length  ds  of the  Amperian loop  and the  field  component B cos  θ tangent to  the loop.  Then we can interpret the integration as being the summation of all such products  around  the entire loop.  Signs. When  we  can actually perform this  integration,  we do  not  need  to  → → know  the direction of  B  before integrating. Instead, we arbitrarily assume B  to  be  generally in  the direction  of integration  (as in  Fig. 29.3.1). Then  we use  the  following  curled–straight  right-hand  rule to assign a plus sign or a minus  sign to  each of the currents that make up the net encircled current i enc : 

Curl your right hand around the Amperian loop, with the fingers pointing in the  direction of integration. A current through the loop in the general direction of  your outstretched thumb is assigned a plus sign, and a current generally in the  opposite direction is assigned a minus sign. 

î€

B

ds i2

Direction of integration

Ampere’ law applied  s  to an arbitrary Amperian loop that  encircles two long straight wires  but excludes a third wire. Note the  directions of the currents.  Figure  29.3.1 

This is how to assign a sign to a current used in Ampere’ law.s +i1

→

Finally, we solve Eq. 29.3.2 for the magnitude of B . If B turns out positive, then  → the direction we assumed for B is correct. If it turns out negative, we neglect the  → minus sign and redraw B in the opposite direction.  Net Current. In  Fig. 29.3.2 we apply the curled–straight  right-hand rule for  Ampere ’ law to the situation of Fig. 29.3.1.  s  With the indicated counterclockwise  direction of integration, the net current encircled by the loop is  i enc = i 1  âˆ’i  2.  

Direction of integration

A right-hand rule for  Ampere’ law, to determine the  s  signs for currents encircled by an  Amperian loop. The situation is that  of Fig. 29.3.1.  Figure  29.3.2 

(Current i 3  is not encircled by the loop.) We can then rewrite Eq. 29.3.2 a s  B cos Î¸ ds = Î¼0 ( i 1  âˆ’i  2).    ∮

â €2“ i

(29.3.3) 

/

896

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

All of the current is encircled and thus all is used in Ampere’ law.s

Wire surface

Amperian loop

r

i B

( θ = 0) ds

Using Ampere’ law to  s  find the magnetic field that a current  i produces outside a long straight  wire of circular cross section. The  Amperian loop is a concentric circle  that lies outside the wire.  Figure  29.3.3 

You  might wonder  why,  since current i 3   contributes  to  the magnetic-field mag-  nitude B on the left side of Eq. 29.3.3, it is not needed on the right side. The answer  is that the contributions  of current i 3   to the magnetic field cancel out because the  integration in  Eq. 29.3.3 is made around  the full loop.  In  contrast, the contribu-  tions of an encircled current to the magnetic field do not cancel out.  We cannot solve Eq. 29.3.3 for the magnitude B of the magnetic field because  for the situation of Fig. 29.3.1 we do not have enough information to simplify and  solve the integral. However, we do know the outcome of the integration; it must  be equal to Î¼ 0 (i 1  âˆ’i  2), the value of which is set by the net current passing through    the loop.  We shall now apply Ampere ’ law to two situations in which symmetry  s  does  allow us to simplify and solve the integral, hence to find the magnetic field.  Magnetic  Field  Outside  a Long Straight  Wire  with  Current 

Figure 29.3.3 shows a long straight wire that carries current i directly out of  the  → page. Equation  29.1.4 tells  us  that  the  magnetic field  B  produced  by  the  cur-  rent has the same magnitude at all points  that are the same distance r from the  → wire; that  is, the field  B  has cylindrical symmetry about  the  wire. We can take  advantage of that symmetry to simplify the integral in Ampere ’ law (Eqs. 29.3.1  s  and  29.3.2) if we encircle the wire with  a concentric circular Amperian loop  of  radius  r, as in  Fig. 29.3.3. The magnetic field then  has the same magnitude B at  → every point  on the loop.  We shall integrate counterclockwise, so that d s  has the  direction shown  in Fig. 29.3.3.  → We can further simplify the quantity B cos  θ in Eq. 29.3.2 by noting  that B  → → → is tangent to the loop at every point  along the loop, as is d s . Thus,  B and d s  are  either parallel or  antiparallel at each point  of  the loop,  and we shall  arbitrarily  → → assume the former. Then  at every point  the angle Î¸ between d s  and B  is 0 °,  so  cos Î¸ = cos 0 Â= 1. The integral in Eq. 29.3.2  °  then becomes  →

→ B â‹… d s    =  ∮ B cos Î¸ ds = B âˆ® ds = B(2Ï€r).  ∮

Note  that  ∮ ds  is  the  summation of  all the  line  segment lengths ds  around  the  circular loop; that is, it simply gives the circumference 2Ï€r of the loop.  Our right-hand  rule  gives us  a plus  sign  for  the  current of  Fig. 29.3.3. The  right side of Ampere ’ law becomes + s  μ 0 i, and we then have 

Only the current encircled by the loop is used in Ampere’ law.s B

ds

Wire surface

r

B(2Ï€r) = Î¼ 0 i,  μ 0 i  or  B = ___  (29.3.4)  (outside straight wire).  2 Ï€r  With a slight change in notation, this is Eq. 29.1.4, which we derived earlier—with  considerably more effort—using the law of Biot and Savart. In addition, because  → the  magnitude B  turned  out  positive, we know  that the  correct direction  of  B  must be the one shown in Fig. 29.3.3. 

i

Magnetic  Field  Inside  a Long Straight  Wire  with  Current 

R

Amperian loop

Using Ampere’ law to  s  find the magnetic field that a current  i produces inside a long straight wire  of circular cross section. The current  is uniformly distributed over the  cross section of the wire and emerges  from the page. An Amperian loop is  drawn inside the wire.  Figure  29.3.4 

Figure 29.3.4 shows the cross section of a long straight wire of radius R that carries  a uniformly distributed current i directly out  of the page. Because the current is  → uniformly distributed  over a cross section of the wire, the magnetic field B  pro-  duced by the current must be cylindrically symmetrical. Thus, to find the magnetic  field at points inside  the wire, we can again use an Amperian loop  of radius r, as  → shown in Fig. 29.3.4, where now r  r. The circuits have the same current through  them and the same angle between the two radial lengths. Rank  the circuits according to the magnitude of the net magnetic field  at the center, greatest first.  1 

Figure 29.3 shows four arrangements in which long parallel  wires carry equal currents directly into or out of the page at the  corners  of identical squares. Rank the arrangements according  to the magnitude of the net magnetic field at the center of the  square, greatest first.  3 

(a) (a )

(b ) Figure  29.1 

(c )

Question 1. 

Figure 29.2 represents a snap-  i shot  of  the  velocity  vectors  of  four  electrons  near  a  wire  car-  rying  current  i.  The  four  veloci-  v1 v2 ties  have  the  same  magnitude;  velocity  → v 2  is  directed  into  the  page. Electrons 1 and 2 are at the  v 3 same  distance  from  the  wire,  as  v4 are  electrons  3  and  4.  Rank  the  Figure  29.2  Question 2.  electrons  according  to  the  mag-  nitudes of the magnetic forces on  them due to current i, greatest first.  2 

(b ) Figure  29.3 

(c )

(d )

Question 3. 

Figure  29.4  shows  cross  sec-  P i1 i2 tions  of  two  long  straight  wires;  Figure  29.4  Question 4.  the left-hand wire carries  current  i 1  directly out of the  page. If  the  net magnetic field due to the two currents is to be zero at point  P, (a) should the direction of current i 2  in the right-hand wire be  directly into or out of the page, and (b) should i 2  be greater than,  less than, or equal to i 1 ?  4 

Figure 29.5 shows three circuits consisting of straight radial  lengths  and  concentric  circular  arcs  (either  half-  or  quarter-  circles of radii r, 2r, and 3r). The circuits carry the same current.  Rank them according  to  the magnitude of  the  magnetic field  produced at the center of curvature (the dot), greatest first.  5 

/

906

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

Figure 29.9 shows four circu-  lar  Amperian  loops  (a,  b,  c,  d)  and,  in  cross  section,  four  long  c circular  conductors  (the  shaded  a regions),  all  of  which  are  con-  b d centric. Three  of the conductors  are hollow cylinders; the central  conductor is a solid cylinder. The  currents  in  the  conductors  are,  Figure  29.9  Question 9.  from  smallest  radius  to  largest  radius, 4  A out of the page, 9  A into the page, 5 A out of the  page, and 3 A into the page. Rank the Amperian loops accord-  → → ing to the magnitude of âˆ® B â‹… d s  around each, greatest first.  9 

(a )

(b ) Figure  29.5 

(c )

Question 5. 

Figure 29.6 gives, as a function of radial distance r, the mag-  nitude B of the magnetic field inside and outside four wires (a,  b, c,  and d),  each  of which carries  a  current  that is  uniformly  distributed across the wire’ cross section. Overlapping portions  s  of the plots (drawn slightly separated) are  indicated by double  labels. Rank the wires according to (a) radius, (b) the magnitude  of the magnetic field on the surface, and (c) the value of the cur-  rent, greatest first. (d) Is the magnitude of the current density in  wire a greater than, less than, or equal to that in wire c?  6 

Figure 29.10 shows four identical currents i and five Ampe-  rian paths (a through e) encircling them. Rank the paths accord-  → → ing to the value of âˆ® B â‹… d s   taken in the directions shown, most  positive first.  10 

i

i

i

a

(a ) b

B

,

a

,

c

a c

b

,

b

,

(b ) (c )

d

c d

(d ) r

Figure  29.6 

(e )

Question 6. 

Figure  29.7  shows  four  circular  Amperian loops (a, b, c, d) concentric  with a wire  whose current is directed  out  of  the  page.  The  current  is  uni-  form  across  the  wire’ circular  s  cross  section (the shaded region). Rank the  loops  according  to  the  magnitude of  → → ∮ B â‹… d s  around each, greatest first. 

i

7 

Figure  29.10  a

c

b

d

Figure 29.7 

Question 7. 

Figure 29.8 shows four arrangements in which long, parallel,  equally spaced wires carry  equal currents directly into or out of  the page. Rank the arrangements according to the magnitude of  the net force on the central wire due to the currents in the other  wires, greatest first.  8 

(a )

Question 10. 

Figure  29.11  shows  three  arrangements  of  three  long  straight wires carrying equal currents directly into or out of the  page. (a) Rank the arrangements according to the magnitude of  the net force on wire  A due to the currents in the other wires,  greatest first. (b) In arrangement 3, is the angle between the net  force on wire A and the dashed line equal to, less than, or more  than 45°?  11 

D d

d

A

D A

(1)

(2)

(b )

A D

(c )

d

(d )

(3) Figure  29.8 

Question 8. 

Figure  29.11 

Question 11. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor

’ discretion) in  s  WileyPLUS

Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 29.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying

Circus of Physics

Magnetic Field Due  to a Current 

A surveyor is using a magnetic compass 6.1 m below a power  line in which there is a  steady current  of 100  A. (a)  What is the  1  E 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

magnetic field at the site of the compass due to the power line? (b)  Will this field interfere seriously  with the  compass reading? The  horizontal component of Earth’ magnetic field at the site is 20  s  μ T. 

/

907

P ROBL EMS 

E  Figure 29.12a shows an ele-  ment of  length ds  =  1.00  μ m  in  a  very  long  straight  wire  carry-  ing  current.  The  current  in  that  element  sets  up  a  differential  → magnetic  field  dB  at  points  in  the  surrounding  space.  Figure  29.12b  gives  the  magnitude  dB  of  the  field  for  points  2.5  cm  from  the element, as  a  function  of angle Î¸ between the wire and  a  straight  line to the  point. The  vertical  scale  is  set  by  dB s  =  60.0  pT. What is  the magnitude  of  the  magnetic field  set  up  by  the entire  wire  at perpendicular  distance 2.5 cm from the wire? 

In Fig. 29.17, two semicircular  arcs  have radii  R 2  =  7.80  cm and  R 1  =  3.15  cm,  carry  current  i  =  0.281 A, and have the same center  of  curvature C.  What  are  the  (a)  magnitude and (b)  direction (into  or out of the page) of the net mag-  netic field at C? 

2 

8  E 

î€

Wire

ds

(a )

)Tp( Bd  /2 î€ (rad)



E 

(b )

SSM 

A straight conductor carrying  current i = 5.0 A splits into identi-  cal  semicircular  arcs  as  shown  in  Fig.  29.13. What  is  the  magnetic  field at the center C of the result-  ing circular loop?  4  E 

i

i C

Figure  29.13  Problem 4.  In Fig. 29.14, a current i = 10  A  is  set  up  in  a  long hairpin con-  ductor  formed  by  bending a  wire  R into  a  semicircle  of  radius  R  =  a b i 5.0 mm. Point b is midway between  the  straight  sections  and  so  dis-  Figure  29.14  Problem 5.  tant from the semicircle  that each  straight section can  be approximated as  being an infinite wire.  What are the (a) magnitude and (b) direction (into or out of the  → → page)  of B  at  a  and the (c)  magnitude and (d)  direction of  B  at b? 

5 

R1 C

Figure  29.17 

Problem 8. 

SSM  Two long straight wires are parallel and 8.0 cm apart.  They are to carry  equal currents such that the magnetic field at  a point halfway between them has magnitude 300 Î¼ T. (a) Should  the  currents  be  in  the  same  or  opposite directions?  (b)  How  much current is needed?  E  In  Fig. 29.18,  a  wire  forms  a  i i R semicircle  of radius R = 9.26 cm and  two (radial) straight segments each of  C L L length L = 13.1 cm. The wire carries  Figure  29.18  Problem 10.  current  i  =  34.8  mA. What  are  the  (a) magnitude and (b) direction (into or out of the page) of the  net magnetic field at the semicircle’ center of curvature C?  s 

10 

Figure  29.12  Problem 2.  At a  certain location  in the Philippines, Earth’ magnetic field of 39  s  μ T is horizontal  and  directed  due north. Suppose the  net  field is  zero  exactly  8.0 cm above a long, straight, horizontal wire that carries a con-  stant current. What are  the (a)  magnitude and (b) direction of  the current? 

3 

i

9  E 

dB s

0

R2

i

E 

In Fig. 29.15, point P is at perpendicular distance R = 2.00 cm  from a very long straight wire carrying a current. The magnetic  → field B set up at point P is due to contributions from all the iden-  → tical current-length elements i  d s  along the wire. What is  the  distance s to the element making (a) the greatest contribution to  → field B and (b) 10.0% of the greatest contribution?  6  E 

In Fig. 29.19, two long straight  wires are  perpendicular to the page  and separated by distance d 1  = 0.75  cm.  Wire  1  carries  6.5  A  into  the  page.  What  are  the  (a)  magnitude  and (b) direction (into or out of the  page) of the current in wire 2 if the  net  magnetic  field  due  to  the  two  currents is zero at point P located at  distance d 2  = 1.50 cm from wire 2? 

Wire 1

11  E 

In Fig. 29.20, two long straight  wires at separation d = 16.0 cm carry  currents i 1  = 3.61 mA and i 2  = 3.00i 1  out of the page. (a)  Where on the x  axis is the net magnetic field equal to  zero? (b) If the two currents are dou-  bled, is  the  zero-field  point  shifted  toward wire 1, shifted toward wire 2,  or unchanged? 

d1

Wire 2 d2

P

Figure  29.19 

12  E 

Problem 11. 

y

i1

i2

x

d

Figure  29.20 

Problem 12. 

CALC  In Fig. 29.21, point P  1  is at distance R = 13.1 cm on  the perpendicular bisector of a straight wire  of length L = 18.0  cm carrying current i = 58.2 mA. (Note that the wire is not long.)  What is the magnitude of the magnetic field at P 1  due to i? 

13  M 

P

1

R

P

P

2

R

i R

Figure  29.21  s

Figure  29.15 

Wire

Problem 6. 

E  GO  In  Fig. 29.16,  two  circular  arcs  have radii  a  = 13.5 cm  and b =  a 10.7  cm,  subtend  angle  θ =  74.0°,  carry  current i  = 0.411 A, and share  i i the same center of curvature P. What  î€ b are  the (a)  magnitude and (b)  direc-  tion (into or  out of the page) of  the  P net magnetic field at P?  Figure  29.16  Problem 7. 

7 

Problems 13 and 17. 

L

M  Equation 29.1.4 gives  the magnitude B  of  the magnetic  field set  up  by  a  current  in  an  infinitely long straight  wire,  at  a  point P  at perpendicular  distance R  from the wire.  Suppose  that point P  is  actually at  perpendicular  distance  R  from  the  midpoint of a wire with a finite length L. Using Eq. 29.1.4 to cal-  culate B then results in a certain percentage error. What value  must the ratio L/R  exceed if the percentage  error  is  to be  less  than 1.00%? That is, what L/R gives 

14 

(B from Eq. 29.1.4)  −(B actual)    _____________________________ (100%) = 1.00%?  (B actual) 

/

908

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

Figure 29.22 shows two cur-  î€ rent segments. The lower segment  i2 carries a current of i 1  = 0.40 A and  includes  a  semicircular  arc  with  P radius 5.0 cm, angle 180°,  and cen-  ter  point  P.  The  upper  segment  i1 carries current i 2 = 2i 1 and includes  a  circular  arc  with radius  4.0 cm,  Figure  29.22  Problem 15.  angle  120°,  and  the  same  center  point P. What are  the (a)  magnitude and  (b)  direction  of the  → net magnetic field B  at P  for the indicated current  directions?  → What  are  the  (c)  magnitude  and  (d)  direction  of  B  if  i 1  is  reversed?  15  M 

In  Fig. 29.21, point P 2  is  at  perpendicular  distance R = 25.1 cm from one end of a straight wire of length  L = 13.6 cm carrying current i = 0.693 A. (Note that the wire is  not long.) What is the magnitude of the magnetic field at P 2 ?  17 

M 

CALC 

A current is set up in a wire  loop consisting  of a semicircle  of  radius  4.00  cm,  a  smaller  con-  centric semicircle, and two radial  (a ) (b ) straight  lengths, all  in  the  same  plane. Figure  29.24a  shows  the  Figure  29.24  Problem 18.  arrangement but is  not drawn to  scale.  The  magnitude  of  the  magnetic  field  produced  at  the  center of curvature  is  47.25 Î¼ T. The  smaller semicircle  is  then  flipped over  (rotated)  until  the  loop  is  again  entirely  in  the  same  plane (Fig. 29.24b).  The  magnetic field produced at  the  (same) center of curvature now has magnitude 15.75 Î¼ T, and its  direction is reversed from the initial magnetic field. What is the  radius of the smaller semicircle?  M  One long wire lies  along an  x axis  and carries  a  current  of  30  A  in  the  positive  x  direction.  A  second  long  wire  is  perpendicular to the xy plane, passes through the point (0, 4.0 m,  0), and carries a current of 40 A in the positive z direction. What  is  the  magnitude  of  the  resulting  magnetic field  at  the  point  (0, 2.0 m, 0)? 

19 

M  In  Fig.  29.25,  part  of  a  y long insulated wire carrying cur-  rent  i =  5.78 mA is  bent into a  x i C circular  section  of  radius  R  =  i i 1.89 cm. In unit-vector notation,  P what is the magnetic field at the  Figure  29.25  Problem 20.  center of curvature C if the cir-  cular section (a)  lies in the plane of the page as  shown and (b)  is perpendicular to the plane of the page after being rotated 90°  counterclockwise as indicated? 

20 

P

d2

Figure  29.26 

Problem 21. 

GO  Figure 29.27a shows, in cross section, two long paral-  lel wires carrying current and separated by distance L. The ratio  i 1 /i 2  of their currents is 4.00; the directions of the currents are not  indicated. Figure 29.27b shows the y component B y  of their net  magnetic field along the x axis to the right of wire 2. The vertical  scale is set by B ys  = 4.0 nT, and the horizontal scale is set by x s  =  20.0 cm. (a)  At what value of x > 0 is  B y  maximum? (b)  If i 2  =  3 mA, what is the value of that maximum? What is the direction  (into or out of the page) of (c) i 1  and (d) i 2 ?  22  M 

y Bys

1

2 x

0

0

xs

â€B“ys

L

SSM 

18  M 

d1

)Tn( yB

M  GO  In  Fig.  29.23,  two  concentric  circular  loops of  wire  2 1 carrying  current  in  the  same  direction  lie  in  the  same  plane.  Loop  1  has  radius  1.50  cm  and  Figure  29.23  Problem 16.  carries  4.00  mA.  Loop  2  has  radius 2.50 cm and carries 6.00 mA. Loop 2 is to be rotated about  → a  diameter while  the net  magnetic field  B  set  up  by  the  two  loops at their common center is measured. Through what angle  must loop 2 be rotated so that the magnitude of that net field is  100 nT? 

16 

M  GO  Figure  29.26  shows  two very  long straight wires  (in  cross  section) that each  carry  a  current of 4.00 A directly out of  the  page. Distance d 1  =  6.00 m  and distance d 2  = 4.00 m. What  is the magnitude of the net mag-  netic field at point P, which lies  on  a  perpendicular  bisector  to  the wires? 

21 

x

(a )

(cm)

(b ) Figure  29.27 

Problem 22. 

Figure 29.28 shows  a snap-  shot of a  proton moving at veloc-  →=  âˆ2 ity v  ( ’ 00 m / s ) j Ì‚toward a long  straight wire  with current i  = 350  mA.  At  the  instant  shown,  the  proton’ distance from the wire is  s  d =  2.89 cm. In  unit-vector nota-  tion, what is the magnetic force on  the proton due to the current?  23  M 

y

v

d

x i

Figure  29.28 

Problem 23. 

y

Figure 29.29 shows, in  cross  section, four thin wires that  4 are  parallel,  straight,  and  very  d long.  They  carry  identical  cur-  d d rents  in  the  directions  indicated.  x 1 3 Initially all four  wires  are  at  dis-  d tance d = 15.0 cm from the origin  2 of  the  coordinate  system,  where  → they create a net magnetic field B .  (a)  To  what value  of x  must you  Figure  29.29  move  wire  1  along  the  x  axis  in  Problem 24.  → order  to  rotate  B  counterclock-  wise by 30°?  (b) With wire 1 in that new position, to what value  → of x  must you move wire 3 along the x axis to rotate B  by 30°  back to its initial orientation?  24  M 

GO 

SSM  A wire with current i =  3.00 A  is  shown  in  Fig. 29.30. Two  semi-infinite straight  sections,  both  tangent to the same circle, are  con-  nected by  a  circular  arc  that  has  a  central  angle  θ and  runs  along  the  circumference of the circle. The arc 

25  M 

i R

î€ i

Connecting arc Figure  29.30 

Problem 25. 

/

909

P ROBL EMS 

and the two straight sections all lie in the same plane. If B = 0 at  the circle’ center, what is  s  θ?  M  GO  In  Fig. 29.31a, wire  1  consists  of a  circular  arc  and  two radial lengths; it carries current i 1  = 0.50 A in the direction  indicated. Wire  2, shown in cross  section, is long, straight, and  perpendicular to the plane of the figure. Its  distance from the  center of the arc is equal to the radius R of the arc, and it carries  a  current  i 2  that can  be  varied. The  two currents  set  up a  net  → magnetic field B at the center of the arc. Figure 29.31b gives the  2  plotted versus  the square of  square of the field’ magnitude B  s  the current i 2  . The vertical scale  is set  by B 2  10  âˆ1’ 0 T 2 .  s  = 10.0  × 2  What angle is subtended by the arc? 

26 

2

Bs

â€

)2T01“ 01( 2 B

i1

i2 R

0

2

i2

(a )

1 (A 2)

2

(b ) Figure  29.31 

Problem 26. 

M  In  Fig.  29.32,  two  long  straight wires  (shown in cross  sec-  tion)  carry  the  currents  i 1  =  30.0  mA and i 2  = 40.0 mA directly out  of  the  page.  They  are  equal  dis-  tances from the origin, where they  → set up a magnetic field B . To what  value must current i 1 be changed in  → order to rotate B 20.0Âclockwise?  ° 

27 

1

Problems 29, 37, and 40. 

Figure  29.34 

y

î€1 i2

Figure  29.32 

Problem 27. 

(a ) Bxs

B ys

)T ( yB

)T (



xB

0  0 ° 

90°  î€1

0

â€B“ys 0° 

180 ° 

90 °  î€1

B i 2s

i2

(A)

(c )

H  In  Fig.  29.36,  length  a  is  4.7  cm  (short)  and  current  i  is  13 A. What are the (a)  magnitude  and  (b)  direction  (into  or  out of  the page)  of the magnetic field at  point P? 

(b )

Problem 28. 

The  current-carrying  wire  loop  in  Fig.  29.37a  lies  all  in one plane and consists of a semi-  circle  of radius  10.0 cm, a  smaller  semicircle  with  the  same  center,  and two radial lengths. The smaller  32 

H 

180 ° 

Problem 30. 

31 

M  SSM  In  Fig. 29.34, four long straight wires  are  perpen-  dicular  to the  page, and their  cross  sections  form a  square  of  edge length a = 20 cm. The currents are out of the page in wires 

29 

x

x

0

Figure  29.33 

Wire 1

i1

Figure  29.35 

(a )

x

GO  Two long straight thin wires  with current lie against  an equally long plastic cylinder, at radius R = 20.0 cm from the  cylinder’ central axis. Figure 29.35a shows, in cross section, the  s  cylinder and wire  1  but not wire 2. With wire 2  fixed in place,  wire 1 is moved around the cylinder, from angle Î¸1  = 0Âto angle  °  θ1  = 180°,  through the first and second quadrants of the xy coor-  → dinate system.  The  net  magnetic field  B  at  the  center  of  the  cylinder is measured as a function of Î¸1 . Figure 29.35b gives the x  component B x of that field as a function of Î¸1 (the vertical scale is  set by B xs  = 6.0 Î¼ T),  and Fig. 29.35c  gives the y  component B y  (the vertical scale is  set by B ys  = 4.0  μ T).  (a)  At what angle  θ2  is wire  2 located? What are  the (b)  size and (c)  direction (into  or out of the page) of the current in wire 1 and the (d) size and  (e) direction of the current in wire 2? 

(b )

R __ 2

3

a

30  H 

i1

i2

a

4

GO 

R

2

a

a



M 

y

y

Figure 29.33a shows two wires, each carrying a  cur-  rent. Wire 1 consists of a circular arc of radius R and two radial  lengths; it carries  current i 1  = 2.0 A in the direction indicated.  Wire  2  is  long and  straight; it  carries  a  current  i 2  that can  be  varied; and it is  at distance R/2 from the center of the arc. The  → net magnetic field B  due to the two currents is measured at the  center of curvature of the arc. Figure 29.33b is a plot of the com-  → ponent of  B  in  the  direction perpendicular  to the  figure  as  a  function of current i 2.   The horizontal scale is set by i 2s  = 1.00 A.  What is the angle subtended by the arc?  28 

1 and 4 and into the page in wires 2 and 3, and each wire carries  20 A. In  unit-vector notation, what is  the net magnetic field at  the square’ center?  s 

a

a P

i

2a

GO 

a

Figure  29.36 

Problem 31. 

/

910

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

semicircle is rotated out of that plane by angle Î¸,  until it is per-  pendicular  to  the  plane (Fig.  29.37b).  Figure  29.37c  gives  the  magnitude of the net magnetic field at  the center of  curvature  versus  angle Î¸.  The vertical scale is set by B a  = 10.0 Î¼ T and B b   =  12.0 Î¼ T. What is the radius of the smaller semicircle?  y

Bb x



)T (

z

Ba

(b )

0

x

 /4 î€(rad)

 /2

(c )

z

Figure  29.37 

Problem 32. 

Figure 29.39 shows, in  y cross  section,  two  long  straight  wires  held  against  a  plastic  cyl-  Wire 2 inder  of  radius  20.0  cm.  Wire  1  î€2 x carries  current i 1  = 60.0  mA out  of the page  and is  fixed in place  Wire 1 at  the  left  side  of  the  cylinder.  Wire  2  carries  current  i 2  =  40.0  mA out  of  the page  and  can  be  Figure  29.39  Problem 34.  moved  around  the  cylinder.  At  what (positive)  angle  θ2  should wire 2  be positioned such that,  at the origin, the net magnetic field due to the two currents has  magnitude 80.0 nT?  H 

Force Between Two Parallel Currents 

Figure  29.40  shows  y wire  1  in  cross  section; the  wire  is long and straight, carries  a cur-  1 d1 rent of 4.00 mA out of the page,  2 and  is  at  distance  d 1  =  2.40  cm  x from a  surface.  Wire  2, which  is  d2 parallel to  wire  1  and also  long,  Figure  29.40  Problem 35.  is at horizontal distance d 2  = 5.00  cm from wire 1 and carries  a current of 6.80 mA into the page.  What is  the x  component of the magnetic force per  unit length  on wire 2 due to wire 1?  35 

E 

SSM 

M  In Fig. 29.41, five long parallel wires  in  an xy plane are  separated by distance d = 8.00 cm, have lengths of 10.0 m, and  carry  identical currents  of  3.00 A  out  of the  page. Each  wire  experiences  a  magnetic force due  to the currents  in  the other 

36 

3

d

4

d

d

5

y

d

GO  Figure 29.42a  shows, in cross  section, three current-  carrying wires that are long, straight, and parallel to one another.  Wires 1 and 2 are fixed in place on an x axis, with separation d.  Wire 1 has a current of 0.750 A, but the direction of the current  is not given. Wire 3, with a current of 0.250 A out of the page,  can be moved along the x axis to the right of wire 2. As wire 3  → is moved, the magnitude of the net magnetic force F 2  on wire 2  due to the currents in wires 1 and 3 changes. The x component of  that force is F 2x  and the value per unit length of wire 2 is F 2x /L 2 .  Figure 29.42b gives  F 2x /L 2  versus  the position x  of wire 3. The  plot has an asymptote F 2x /L 2  = âˆ0’ .627 Î¼ N/m as x â†’â  ˆžThe hori-  .  zontal scale is set by x s  = 12.0 cm. What are the (a)  size and (b)  direction (into or out of the page) of the current in wire 2? 

1.0

y

1

2 d

GO 

Module 29.2 

2

GO  In Fig. 29.34, four long  Figure  29.41  Problems 36  straight  wires  are  perpendicular  and 39.  to  the page,  and their  cross  sec-  tions form a square of edge length a = 13.5 cm. Each wire carries  7.50 A, and the currents are out of the page in wires 1 and 4 and  into the page in wires  2 and 3. In unit-vector notation, what is  the net magnetic force per meter of wire length on wire 4? 

3

)m/N ( 2 L/x2F

H  CALC  SSM  Figure  29.38  y shows  a  cross  section  of  a  long  thin  ribbon  of  width  w  =  4.91  P x cm  that  is  carrying  a  uniformly  d w distributed total current  i =  4.61  μ A  into the page. In  unit-vector  Figure  29.38  Problem 33.  notation,  what  is  the  magnetic  → field B  at a point P  in the plane of the ribbon at a distance d =  2.16 cm from its edge? (Hint: Imagine the ribbon as being con-  structed from many long, thin, parallel wires.) 

33 

34 

1

38  M 

B

y

z

37  M 

μ

(a )

wires.  In  unit-vector  notation,  what is the net magnetic force on  (a)  wire  1, (b)  wire  2, (c)  wire 3,  (d) wire 4, and (e) wire 5? 

x

0.5 0

0

xs

–0.5 x

(a)

(cm)

(b ) Figure  29.42 

Problem 38. 

GO  In Fig. 29.41, five long parallel wires in an xy plane are  separated by distance d = 50.0 cm. The currents into the page  are i 1  = 2.00 A, i 3  = 0.250 A, i 4  = 4.00 A, and i 5  = 2.00 A; the cur-  rent out of the page is i 2  = 4.00 A. What is the magnitude of the  net force per  unit length acting on wire 3 due to the currents in  the other wires?  39  M 

In Fig. 29.34, four long straight wires are perpendicular to  the page, and their cross  sections form a square of edge length  a = 8.50 cm. Each wire carries  15.0 A, and all the currents  are  out of the page. In unit-vector notation, what is the net magnetic  force per meter of wire length on wire 1?  40  M 

In Fig. 29.43, a long straight  wire carries a current i 1  = 30.0 A  and  a  rectangular  loop  carries  current  i 2  =  20.0  A.  Take  the  dimensions to be a = 1.00 cm, b =  8.00 cm, and L = 30.0 cm. In unit-  vector  notation, what  is  the  net  force on the loop due to i 1?    41  H 

Ampere’ Law  s  In  a particular region there  is a uniform current density of 15  A/m 2  in the  positive z  direction. 

i1

a

y b

Module 29.3  42 

x

i2

E 

L

Figure  29.43 

Problem 41. 

/

911

P ROBL EMS 

→

→ when that line integral is calculated  What is the value of âˆ® B â‹… d s  along a closed path consisting of the three straight-line segments  from (x, y, z) coordinates (4d, 0, 0) to (4d, 3d,  0) to (0, 0, 0) to (4d, 0, 0), where d = 20 cm?  a E  Figure  29.44  shows  a  cross  section  r across  a diameter of a long cylindrical con-  ductor of radius  a =  2.00 cm carrying  uni-  form current 170 A. What is the magnitude  of the current’ magnetic field at radial dis-  s  tance (a) 0, (b) 1.00 cm, (c) 2.00 cm (wire’s  Figure  29.44  Problem 43.  surface), and (d) 4.00 cm? 

43 

Figure  29.45  shows  two  closed  paths  wrapped  around  two  conducting  loops  carrying  currents i 1  = 5.0 A and i 2  = 3.0 A.  What is the value of the integral  → → ∮ B â‹… d s    for  (a)  path  1  and  (b)  path 2?  44 

E 

i1

i2

1

Problem 44. 

SSM  Each of the eight conductors in Fig. 29.46 carries 2.0  A of current into or out of the page. Two paths are indicated for  → → the line integral âˆ® B  â‹… d s  . What is  the value of the integral for  (a) path 1 and (b) path 2? 

1

2

Problem 45. 

Eight wires cut the page per-  pendicularly  at the  points shown  in Fig. 29.47. A wire labeled with  the integer k (k = 1, 2, . . . , 8) car-  ries  the current ki, where i = 4.50  mA.  For  those  wires  with  odd  k, the current  is  out of the page;  for  those  with  even  k,  it  is  into  → → the page. Evaluate âˆ® B â‹… d s  along  the  closed  path  indicated  and  in the direction shown.  46  E 

4

6

7

1

M 

→

A Current-Carrying  Coil as a Magnetic 

Dipole  Figure  29.47 

Problem 46. 

CALC 

In Fig. 29.48, a long circular pipe  with outside radius  R  = 2.6 cm carries  a  (uniformly  distributed)  current  i  =  8.00 mA into the page. A wire runs par-  allel to the pipe at a  distance of 3.00R  from center to center. Find the (a) mag-  nitude and (b) direction (into or out of  the page) of the current in the wire such  that  the net  magnetic field at  point P  has the same magnitude as the net mag-  netic field at the center of the pipe but  is in the opposite direction.  48  M 

An electron is shot into one end of a solenoid. As it enters  the uniform magnetic field within the solenoid, its speed is 800  m/s and its velocity vector makes an angle of 30° with  the central  axis  of  the solenoid. The  solenoid carries  4.0 A  and has  8000  turns along its length. How many revolutions does the electron  make along its  helical path within the solenoid by the  time it  emerges from the solenoid’ opposite end? (In  s  a real solenoid,  where the field is  not uniform at the  two ends, the number of  revolutions would be slightly less than the answer here.)  54  M 

Module 29.5 

The  current  den-  sity  J  inside a long, solid, cylindrical wire of radius a = 3.1 mm is  in the direction of the central axis, and its magnitude varies lin-  early with radial distance r from the axis according to J = J 0 r/a,  where  J 0  =  310 A/m 2 . Find the magni-  tude of the magnetic field at (a)  r  = 0,  Wire (b) r = a/2, and (c) r = a.  47 

A long solenoid has 100 turns/cm and carries current i. An  electron moves within the solenoid in a circle of radius 2.30 cm  perpendicular to the solenoid axis. The speed of the electron is  0.0460c (c = speed of light). Find the current i in the solenoid.  53  M 

SSM  A long solenoid with 10.0 turns/cm and a radius of  7.00 cm carries a current of 20.0 mA. A current of 6.00 A exists  in a straight conductor located along the central axis of the sole-  noid. (a) At what radial distance from the axis will the direction  of the resulting magnetic field be at 45.0Âto the axial direction?  °  (b) What is the magnitude of the magnetic field there? 

8 5

E  A  200-turn  solenoid  having  a  length  of  25  cm  and  a  diameter of 10 cm carries a current of 0.29 A. Calculate the mag-  → nitude of the magnetic field B inside the solenoid. 

51 

55  M 

3 2

A solenoid that is 95.0 cm long has a radius of 2.00 cm and  a winding of 1200 turns; it carries  a current of 3.60 A. Calculate  the magnitude of the magnetic field inside the solenoid.  50  E 

E  A solenoid 1.30 m long and 2.60 cm  in diameter carries  a  current  of 18.0  A. The  magnetic field inside  the solenoid is  23.0 mT. Find the length of the wire forming the solenoid. 

45  E 

Figure  29.46 

Solenoids and Toroids 

A toroid having a square cross section, 5.00 cm on a side,  and an inner radius of 15.0 cm has 500 turns and carries  a cur-  rent of 0.800 A. (It is made up of a square solenoid—instead  of a  round one as in Fig. 29.4.1—bent  into a doughnut shape.) What  is the magnetic field inside the toroid at (a) the inner radius and  (b) the outer radius?  49  E 

52 

2 Figure  29.45 

Module 29.4 

R

P

R

R

Pipe Figure  29.48 

Problem 48. 

E  Figure  29.49  shows  an  arrangement  known  as  a  Helm-  holtz coil. It consists of two circu-  lar coaxial coils, each of 200 turns  and radius R = 25.0 cm, separated  by a distance s = R. The two coils  carry  equal currents i = 12.2 mA  in  the  same  direction.  Find  the  magnitude  of  the  net  magnetic  field  at  P,  midway  between  the  coils. 

56 

y i

i

x

P R

s

Figure  29.49 

Problems 56 and 87. 

E  SSM  A  student makes  a  short  electromagnet by wind-  ing 300 turns of wire around a wooden cylinder of diameter d =  5.0  cm. The  coil is  connected to a battery producing a current  of 4.0 A in the wire. (a) What is the magnitude of the magnetic  dipole moment of this device? (b) At what axial distance z  ⪢d    will the magnetic field have the magnitude 5.0 Î¼ T (approximately  one-tenth that of Earth’ magnetic field)?  s 

57 

Figure 29.50a shows  a length of wire  carrying a current i  and bent into a circular coil of one turn. In Fig. 29.50b the same  58  E 

/

912

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

length of wire has been bent to give  a  coil  of  two  turns,  each  of  half  the original radius. (a)  If B a  and B b  are the magnitudes of the magnetic  fields at the centers of the two coils,  what is the ratio B b /B a ? (b) What is  the ratio Î¼ b /μ a  of the dipole moment  magnitudes of the coils? 

length 10 cm. (a)  Taking the path to be a combination of three  square current loops (bcfgb, abgha, and cdefc), find the net mag-  netic moment of  the path in  unit-vector notation. (b)  What  is  the magnitude of the net magnetic field at the xyz coordinates  of (0, 5.0 m, 0)? 

i i

Additional Problems 

(a )

E  SSM  What is  the magnitude  Figure 29.50  Problem 58.  of the magnetic dipole moment â†’ μof  the solenoid described in Problem 51? 

59 

In  Fig.  29.51a,  two  circular  loops,  with  different  currents but the same radius of 4.0 cm, are centered on a y axis.  They are  initially separated  by distance L  = 3.0 cm, with loop  2  positioned at the origin of the  axis. The  currents in  the two  loops produce a net magnetic field at the origin, with y compo-  nent B y.   That component is to be measured  as loop 2 is gradu-  ally moved in the positive direction of the y axis. Figure 29.51b  gives  B y  as  a  function of  the  position y  of  loop 2.  The  curve  approaches an asymptote of B y = 7.20 Î¼ T as y â†’â ˆžThe horizon-  .  tal scale is set by y s  = 10.0 cm. What are (a) current i 1  in loop 1  and (b) current i 2  in loop 2?  60 

M 

GO 

y

20 μ

0 L

1

)T ( yB

2

0

0

ys

y

(a)

(cm)

(b )

M  In  Fig. 29.52, current i  =  56.2 mA is  set up in a loop hav-  Figure  29.52  Problem 62.  ing  two  radial  lengths  and  two  semicircles  of  radii  a  =  5.72  cm  y and b = 9.36 cm with a common  g center P.  What are  the (a)  mag-  nitude and (b)  direction (into or  f out of the page) of the magnetic  b field at P  and the (c)  magnitude  c and  (d)  direction  of  the  loop’s  magnetic dipole moment?  x h

62 

In  Fig. 29.53, a  conductor  carries  6.0  A  along  the  closed  path  abcdefgha  running  along  8  of the 12 edges of a cube of edge 

î€

Figure  29.54 

Problem 64. 

A cylindrical cable of radius 8.00 mm carries  a current of  25.0 A, uniformly spread over its cross-sectional  area. At what  distance from the center of the wire is  there a point within the  wire where the magnetic field magnitude is 0.100 mT?  65 

Two long wires lie in an xy plane, and each carries a current  in the positive direction of the x axis. Wire 1  is at y  = 10.0 cm  and carries 6.00 A; wire 2 is at y = 5.00 cm and carries 10.0 A. (a)  → In unit-vector notation, what is  the net magnetic field B  at the  → origin? (b) At what value of y does B  = 0? (c)  If the current in  → wire 1 is reversed, at what value of y does B = 0?  66 

e z

a d

Figure  29.53 

A long straight wire carries a current of 50 A. An electron,  traveling at 1.0 Ã— 10   7  m/s, is  5.0 cm from the wire. What is  the  magnitude of the magnetic force on the electron if the electron  velocity is  directed (a)  toward the wire, (b) parallel to the wire  in the direction of the current, and (c) perpendicular to the two  directions defined by (a) and (b)?  68 

Problem 60. 

A circular loop of radius 12 cm carries a current of 15 A.  A flat coil of radius  0.82 cm, having 50  turns and a  current of  1.3 A, is concentric with the loop. The plane of the loop is per-  pendicular  to  the  plane  of  the  coil.  Assume  the  loop’ mag-  s  i netic  field  is  uniform  across  the  coil.  What  is  the  magni-  tude  of  (a)  the  magnetic  field  b produced  by  the  loop  at  its  center and (b) the torque on the  P coil due to the loop?  a

M 

P

Two  wires,  both  of  length  L,  are  formed  into  a  circle  and a  square, and each carries  current i. Show that the square  produces a  greater  magnetic field at  its  center than the  circle  produces at its center. 

61  M 

63 

i

67 

–40

Figure  29.51 

In  Fig.  29.54,  a  closed  loop  carries  current  i  =  200  mA. The  loop consists of two radial straight  wires  and  two concentric  circular  arcs  of  radii  2.00  m  and  4.00  m.  The  angle  θ is  Ï€/4  rad.  What  are  the  (a)  magnitude and  (b)  direc-  tion (into or out of the page) of the  net magnetic field at the center of  curvature P?  64 

(b )

Problem 63. 

Three  long wires  are  paral-  a lel  to  a  z  axis,  and  each  carries  a  current  of  10  A  in  the  posi-  tive  z  direction.  Their  points  of  intersection  with  the  xy  plane  y form  an  equilateral  triangle  with sides  of 50  cm, as  shown in  x Fig. 29.55. A fourth wire (wire b)  b passes  through  the  midpoint  of  Figure  29.55  Problem 69.  the  base  of  the  triangle  and  is  parallel to the other three  wires.  If the net magnetic force on  wire a is zero, what are the (a) size and (b) direction (+z or âˆz)  ’ of the current in wire b?  69 

Figure  29.56  shows  a  closed  loop with current i  = 2.00 A. The  loop  consists  of  a  half-circle  of  radius  4.00 m, two  quarter-circles  each  of  radius  2.00  m,  and  three  radial  straight  wires.  What  is  the  magnitude  of  the  net  magnetic  field at the common center of the  circular sections?  70 

i

Figure  29.56 

Problem 70. 

/

P ROBL EMS 

A  10-gauge bare  copper  wire  (2.6  mm in  diameter)  can  carry  a  current of 50  A without overheating. For this current,  what is the magnitude of the magnetic field at the surface of the  wire?  71 

A  long vertical wire  carries  an unknown current. Coaxial  with the wire is  a long, thin, cylindrical conducting surface that  carries a current of 30 mA upward. The cylindrical surface has a  radius  of  3.0  mm.  If  the  magnitude of  the  magnetic  field  at  a point 5.0 mm from the wire is 1.0 Î¼ T, what are the (a) size and  (b) direction of the current in the wire?  72 

Figure  29.57 shows  a  cross  section  of  a  long cylindrical  conductor of  radius  a  =  4.00 cm containing a long cylindrical hole of  radius b = 1.50 cm. The central axes  of the  cylinder and  hole are  parallel and  are  dis-  tance d = 2.00 cm apart; current i = 5.25 A is  uniformly distributed over  the tinted area.  (a)  What is the magnitude of the magnetic  field at the center of the hole? (b)  Discuss  the two special cases b = 0 and d = 0.  73 

a b

Figure  29.57 

Problem 73. 

The  magnitude of  the  magnetic field  at  a  point 88.0  cm  from the central axis of a long straight wire is  7.30 Î¼ T. What is  the current in the wire?  SSM  Figure 29.58 shows a wire  z segment of length Î”s = 3.0 cm, cen-  tered at the origin, carrying current  i = 2.0 A in the positive y direction  Δs (as  part of some complete circuit).  y To  calculate the magnitude of the  → magnetic field B  produced by the  i segment at  a  point several  meters  x from  the  origin,  we  can  use  B  =  Figure  29.58  Problem 75.  2  ( μ 0 /4Ï€)i  Δs  (sin  θ)/r  as  the  Biot–  Savart law. This is because r and Î¸ are essentially constant over  → the segment. Calculate B (in unit-vector notation) at the (x, y, z)  coordinates (a) (0, 0, 5.0 m), (b) (0, 6.0 m, 0), (c) (7.0 m, 7.0 m,  0), and (d) (âˆ3’ .0 m, âˆ4’ .0 m, 0). 

75 

GO  Figure  29.59  shows,  in  P cross  section,  two  long  parallel  y wires  spaced by distance d = 10.0  x cm; each carries  100 A, out of the  page in wire 1. Point P is on a per-  2 pendicular bisector of the line con-  1 d necting  the  wires.  In  unit-vector  Figure  29.59  Problem 76.  notation, what is the net magnetic  field at P if the current in wire 2 is (a) out of the page and (b) into  the page?  76 

A  long  wire  carrying  100  A  is  perpendicular  to  the  magnetic  field  lines  of  a  uniform magnetic  field  of 

A  long, hollow, cylindrical  conductor  (with  inner  radius  2.0  mm  and  outer  radius  4.0  mm)  carries  a  current  of  24  A  distributed uniformly across  its  cross  section. A long thin wire  that is coaxial with the cylinder carries  a current of 24 A in the  opposite direction. What is the magnitude of the magnetic field  (a) 1.0 mm, (b) 3.0 mm, and (c) 5.0 mm from the central axis of  the wire and cylinder?  79 

A long wire is known to have a radius greater than 4.0 mm  and to carry a current that is uniformly distributed over its cross  section. The magnitude of the magnetic field due to that current  is 0.28 mT at a point 4.0 mm from the axis of the wire, and 0.20  mT at a point 10 mm from the axis of the wire. What is the radius  of the wire?  80 

CALC  SSM  Figure  29.61  B P shows  a  cross  section  of an  infi-  nite conducting  sheet carrying  a  x current per unit x-length of Î»; the  B P' current  emerges  perpendicularly  out of the page. (a) Use the Biot–  Figure  29.61  Problems 81  and 85.  Savart law and symmetry to show  that  for  all  points  P  above  the  → sheet and all points P′ below it, the magnetic field B    is parallel  to the  sheet and directed as  shown. (b)  Use  Ampere’ law  s  to  → 1  prove that B = _  μ λ at all points P and P ′ .  2  0 

Figure  29.62  shows,  in  cross  section, two long parallel wires that  are  separated  by  distance d  =  18.6  cm. Each carries  4.23 A, out  of the  page in wire 1  and into the page in  wire 2. In unit-vector notation, what  is  the net magnetic field at point P  at distance R  = 34.2 cm, due to the  two currents?  82 

y

1 _1_ 2d P

x

R

_1_ 2d

2

Transcranial  magnetic stimula-  Figure  29.62  Problem 82.  tion. Since 1985, research  has  been  conducted on treating chronic depression, Parkinson’ disease,  s  and  other  brain  malfunctions  by  applying  pulsed  magnetic  fields from coils near  the scalp  to force neurons several  centi-  meters deep to discharge (Fig. 29.63). Consider the simple situ-  ation of a flat coil with radius r  = 5.0 cm and number of turns  N = 14. What is the peak magnetic field magnitude at the target  distance z = 4.0 cm along the central axis when the peak current  is i = 4000 A?  83 

 otohP kcotS ymalA/cnI sserP AMUZ

77 

78 

magnitude 5.0 mT. At  what distance from the  wire  is  the  net  magnetic field equal to zero? 

81  d

74 

In  Fig. 29.60, two  infinitely long  wires  carry  equal  currents  i.  Each  follows a 90Âarc on the circumference  °  of  the same  circle  of  radius  R.  Show  → that the magnetic field B at the center  → of the circle is the same as the field B  a distance R below an infinite straight  wire carrying a current i to the left. 

913

i R i

Figure  29.60 

Problem 77.  Figure  29.63 

Problem 83. 

/

914

C HAP T ER 29  MAGNET IC   F IEL D S  D U E T O C U RRENT S 

CALC  Spinning charged disk. A thin plastic disk of radius R  has a charge Q uniformly spread over its surface. It is  spinning  with angular speed Ï‰about its central axis. (a) In terms of Î¼ 0  and  the given symbols, what is the magnitude of the magnetic field  at the center of the disk? (Hint: The rotating disk is equivalent  to an array of current loops around the center.) (b)  What is the  magnetic dipole moment of the disk? 

84 

Solenoid as  a  cylinder.  Treat  an  ideal  solenoid as  a  thin  cylindrical conductor, whose current per unit length, measured  parallel  to  the cylinder  axis,  is  λ.   By  doing so,  show  that the  magnitude of  the  magnetic field  inside  an  ideal  solenoid can  be written as B =  μ 0 Î». This is  the value of the change in B that  you encounter as you move from inside the solenoid to outside,  through the solenoid wall. Show that this same change occurs as  you move through an infinite plane current sheet such as that of  Fig. 29.61. Is this equality surprising?  85 

Collecting charged particles in a toroid. An interesting (and  frustrating) effect occurs when one attempts to confine a collec-  tion of electrons and positive ions  (a  plasma) in  the magnetic  field of a toroid. Particles whose motion is perpendicular to the  magnetic field will not execute circular  paths because the field  strength varies  with radial distance from the axis of the toroid.  This  effect, which is  shown (exaggerated)  in Fig. 29.64, causes  particles of opposite sign to drift in opposite directions parallel  to the axis of the toroid. (a) What is the sign of the charge on the  particle whose path is sketched in the figure? (b) If the particle  86 

path has a radius of curvature of 11.0 cm when its average radial  distance from the axis  of the toroid is  125 cm, what will be the  radius of curvature  when the particle is  an average  radial dis-  tance of 110 cm from the axis?  Helmholtz coils. Figure 29.49 shows two circular coax-  ial coils of N turns and radius R. They have equal currents i and  separation s. (a) Show that the first derivative of the magnitude  of the  net  magnetic field  of  the coils  (dB/dx)  vanishes  at  the  midpoint P regardless  of the value of s. Why would you expect  this result from symmetry? (b) Show that the second derivative  (d 2 B/dx 2 ) also vanishes at P if s  = R. This accounts for the uni-  formity of B near P in that special case.  87  CALC 

CALC  Figure  29.65  is  an  idealized  schematic  drawing  of  a  rail  gun. Projectile P  sits  between two  wide rails  of circular  cross section; a source of current sends current through the rails  and through the (conducting) projectile (a fuse is not used). (a)  Let w be the distance between the rails, R the radius of each rail,  and i the current. Show that the force on the projectile is directed  to the right along the rails and is given approximately by 

88 

i 2 Î¼ 0  w + R .  F = ____  ln ______  2Ï€ R  (b) If  the projectile  starts from the left end of the rails at rest,  find the speed v at which it is expelled at the right. Assume that  i = 450 kA, w = 12 mm, R = 6.7 cm, L = 4.0 m, and the projectile  mass is 10 g.  L

Particle path Magnetic field line

Magnetic field line

i R

Source

v

P i

i

w R

125 cm Figure  29.64 

Problem 86. 

Figure  29.65 

Problem 88. 

/

C

H

A

P

T

E

R

3

0

Induction  and Inductance 

30.1  FARADAY’S LAW AND LENZ’S LAW  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.1.1  Identify that the amount of magnetic field pierc- 

30.1.6  Identify that an induced  current in a conducting 

ing a surface  (not skimming along the surface)  is the  magnetic flux 

Φ B  through the surface. 

loop is driven  by an induced  emf.  30.1.7  Apply Faraday’s law,  which  is the relationship 

30.1.2  Identify that an area vector for a flat surface  is a 

between  an induced  emf in a conducting loop and 

vector that is perpendicular  to the surface  and that 

the rate at which  magnetic flux through the loop 

has a magnitude equal  to the area of the surface.  30.1.3  Identify that any surface can be divided into area 

changes.  30.1.8  Extend Faraday’s law from a loop to a coil with 

elements (patch elements) that are each small enough 

multiple  loops. 

→

dA  to be assigned 

and flat enough for an area vector 

30.1.9  Identify the three general ways in which  the 

to it, with the vector perpendicular  to the element and  having a magnitude equal to the area of the element.  30.1.4  Calculate  the magnetic flux 

magnetic flux through a coil can change.  30.1.10  Use a right-hand rule for Lenz’s law  to 

Φ B  through a 

determine the direction of induced  emf and induced 

surface by integrating the dot product of the mag-  →

current  in a conducting loop. 

→

B  and the area  vector dA (for patch 

netic field  vector 

30.1.11  Identify that when  a magnetic flux through  a 

elements) over the  surface, in  magnitude-angle nota- 

loop changes, the induced  current in  the loop sets 

tion and unit-vector notation. 

up a magnetic field  to oppose that change. 

30.1.5  Identify that a current  is induced  in  a conducting 

30.1.12  If an emf is induced  in a conducting loop 

loop while  the number of magnetic field  lines  inter- 

containing a battery, determine the net emf and 

cepted by the loop is changing. 

calculate  the corresponding current in the loop. 

Key  Ideas  ●

Φ B  through  an area A  in a mag-  B is defined  as 

The magnetic flux  →

netic  field 

→

and an emf  are produced in the loop; this process is  called  induction. The induced  emf is 

dΦ B  ℰ = − ____  dt 

→

Φ B  =  B ⋅ dA ,  where  the integral is taken over the area. The SI unit  of 

2 

1 Wb = 1 T ⋅ m  .  B is perpendicular  to the area and uniform  over it, 

magnetic flux is the weber,  where 

●

If the loop is replaced by a closely packed coil of 

If 

dΦ B  ℰ = − N ____  .  dt 

the flux  is 

Φ B = BA  ● If the magnetic flux 

→

→

( B ⊥ A,  B  uniform). 

Φ B  through an area bounded  by 

a closed conducting loop changes  with time, a current 

N 

turns, the induced  emf is 

→

●

(Faraday’s law). 

●

An induced  current has a direction  such that the mag- 

netic field  due

to the current

opposes the change in  the 

magnetic flux  that induces  the current.  The induced  emf  has the same direction as the induced  current. 

What Is Physics? 

In Chapter 29 we discussed the fact that a current produces a magnetic field. That  fact came as a surprise  to the scientists who  discovered the effect. Perhaps even  more  surprising  was  the  discovery  of  the  reverse effect:  A  magnetic field  can 

915 /

916

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

produce an electric field that can drive a current. This link between a magnetic field  and the electric field it produces (induces) is now called Faraday’s law of induction.  The observations by Michael Faraday and other scientists that led to this law  were at first just basic science. Today, however, applications of that basic science  are almost everywhere. For example, induction is the basis of the electric guitars  that  revolutionized  early rock  and still  drive  heavy metal and  punk  today. It  is  also the basis of the electric generators that power cities and transportation lines  and  of  the  huge  induction  furnaces that  are commonplace  in  foundries  where  large amounts of metal must be melted rapidly.  Before we get to applications  like the electric guitar, we must examine two  simple experiments about Faraday’s law of induction.  Two Experiments 

The magnet’s motion creates a current in the loop. S N

Let us examine two simple experiments to prepare for our discussion of Faraday’s  law of induction.  First Experiment. Figure 30.1.1 shows a conducting loop connected to a sensitive  ammeter. Because there is no  battery or  other source of  emf included,  there is no  current in the circuit. However, if we move a bar magnet toward the loop, a current  suddenly  appears in  the  circuit. The current disappears when  the magnet stops. If  we then move the magnet away, a current again suddenly  appears, but  now  in  the  opposite direction. If we experimented for a while, we would discover the following:  1.  A current appears only  if  there is relative motion  between the loop  and  the  magnet (one must move relative to the other); the current disappears when the  relative motion between them ceases. 

An ammeter registers  a current in the wire loop when the  magnet is moving with respect to the  loop.  Figure  30.1.1 

+ –

S

Closing the switch causes a current in the left-hand loop. An ammeter registers  a current in the left-hand wire loop  just as switch S is closed (to turn on  the current in the right-hand wire  loop) or opened (to turn off the  current in the right-hand loop). No  motion of the coils is involved.  Figure  30.1.2 

2.  Faster motion produces a greater c urrent.  3.  If  moving  the  magnet’s north  pole  toward  the  loop  causes, say,  clockwise  current, then  moving the north  pole  away causes counterclockwise  current.  Moving the south pole toward or away from the loop  also causes currents, but  in the reversed directions.  The current produced in the loop is called an induced current; the work done  per unit  charge to  produce that current (to move the  conduction  electrons that  constitute the current) is called an induced emf; and the process of producing the  current and emf is called induction.  Second Experiment. For this experiment we use the apparatus of Fig. 30.1.2,  with  the two conducting  loops  close to  each other but  not  touching. If we close  switch  S,  to  turn  on  a current in  the  right-hand  loop,  the  meter suddenly  and  briefly registers a current—an induced current—in the left-hand loop.  If we then  open  the  switch, another sudden  and  brief  induced  current appears in  the  left-  hand  loop,  but  in  the  opposite  direction. We  get an  induced  current (and  thus  an induced emf) only when the current in the right-hand loop  is changing (either  turning on or turning off) and not when it is constant (even if it is large).  The induced  emf and  induced  current in  these experiments are apparently  caused when something changes—but what is that “something”? Faraday knew.  Faraday’s Law of Induction 

Faraday realized that  an emf and  a current can be induced  in  a loop,  as in  our  two experiments, by changing the amount of magnetic field passing through  the  loop. He further realized that the “amount of magnetic field” can be visualized in  terms of the magnetic field lines passing through the loop. Faraday’s law of induc-  tion, stated in terms of our experiments, is this:  An emf is induced in the loop at the left in Figs. 30.1.1 and 30.1.2 when the num-  ber of magnetic field lines that pass through the loop is changing. 

/

30.1  F ARAD AY ’S  L AW AND  L ENZ’S  L AW 

917

The  actual number of  field  lines  passing through  the loop  does not  matter; the  values  of  the  induced  emf and  induced  current are determined  by  the  rate at  which that number changes.  In our first experiment (Fig. 30.1.1), the magnetic field lines spread out from  the north pole of the magnet. Thus, as we move the north pole closer to the loop,  the number of field lines passing through the loop increases. That increase appar-  ently causes conduction  electrons in the loop  to move (the induced current) and  provides energy (the induced emf) for their motion. When the magnet stops mov-  ing, the number of field lines through the loop no longer changes and the induced  current and induced emf disappear.  In  our  second experiment (Fig. 30.1.2), when the  switch is  open  (no  current),  there are no field lines. However, when we turn on the current in the right-hand loop,  the increasing current builds up a magnetic field around that loop and at the left-hand  loop. While the field builds, the number of magnetic field lines through the left-hand  loop increases. As in the first experiment, the increase in field lines through that loop  apparently induces a current and an emf there. When the current in the right-hand  loop reaches a  final, steady value, the number of field lines through the left-hand loop  no longer changes, and the induced current and induced emf disappear.  A Quantitative  Treatment 

To put Faraday’s law to work, we need a way to calculate the amount of magnetic  field that passes through a loop.  In Chapter 23, in a similar situation, we needed  to calculate the amount of electric field that passes through a surface. There we  defined an electric flux  Φ E  =  ∫ E ⋅ dA .  Here we define a magnetic flux: Suppose  a loop enclosing an area A is placed in a magnetic field B . Then the magnetic flux  through the loop is  →

→

→

→

→

Φ B  =  B ⋅ dA 

(magnetic flux through area A). 

(30.1.1) 

→

As  in  Chapter 23,  dA  is  a  vector of  magnitude  dA  that  is  perpendicular  to  a  differential area dA. As with  electric flux, we want  the component  of  the field  that pierces the surface (not skims along it). The dot product of the field and the  area vector automatically gives us that piercing component.  Special Case. As a special case of Eq.  30.1.1, suppose that  the loop  lies in  a  plane  and  that  the  magnetic field  is  perpendicular  to  the  plane  of  the  loop.  Then  we  can  write  the  dot  product  in  Eq.  30.1.1 as  B  dA  cos  0° = B  dA.  If  the  magnetic field  is  also  uniform,  then  B  can  be  brought  out  in  front  of  the  integral sign. The  remaining ∫dA  then  gives just  the  area A of  the  loop.  Thus,  Eq. 30.1.1 reduces to  Φ B  = BA 

( B  ⊥ area A, B  uniform).  →

→

(30.1.2) 

Unit. From Eqs. 30.1.1 a nd 30.1.2, we see that the SI unit for magnetic flux is  the tesla-square meter, which is called the weber (abbreviated Wb):  1 weber = 1 Wb = 1 T ⋅ m 2 . 

(30.1.3) 

Faraday’s Law. With  the  notion  of  magnetic flux,  we can state Faraday’s 

law in a more quantitative and useful way: 

The magnitude of the emf ℰ induced in a conducting loop is equal to the rate at  which the magnetic flux Φ B  through that loop changes with time. 

As you  will  see below,  the  induced  emf ℰ tends  to  oppose  the  flux  change, so  Faraday’s law is formally written as 

/

918

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

dΦ B  ℰ = − ____  dt 

(Faraday’s law), 

(30.1.4) 

with the minus sign indicating that opposition.  We often neglect the minus sign in  Eq. 30.1.4, seeking only the magnitude of the induced emf.  If we  change the  magnetic flux  through  a  coil  of  N  turns,  an  induced  emf  appears in  every turn  and  the total  emf induced  in the  coil  is the  sum of  these  individual  induced  emfs. If  the  coil  is  tightly  wound  (closely  packed),  so  that  the same magnetic flux Φ B  passes through all the turns, the total emf induced in  the coil is  dΦ B  ℰ = −N ____  (30.1.5)  (coil of N turns).  dt  Here  are  the  general  means  by  which  we  can  change  the  magnetic flux  through a coil:  1.  Change the magnitude B of the magnetic field within  the coil.  2.  Change either the  total  area of  the  coil  or  the portion  of  that  area that  lies  within  the magnetic field (for example, by expanding the coil or sliding it into  or out of the field).  →

3.  Change the angle between the direction of the magnetic field B and the plane  of the coil (for example, by rotating the coil so that field B is first perpendicu-  lar to the plane of the coil and then is along that plane).  →

Checkpoint 30.1.1 

The graph gives the magnitude B(t) of a uniform  magnetic field that exists throughout a conduct-  ing loop, with the direction of the field perpen-  dicular to the plane of the loop. Rank the five  regions of the graph according to the magnitude  of the emf induced in the loop, greatest first. 

Sample Problem 30.1.1

t a

b

c

d

e

Induced  emf in coil  due to a solenoid 

The long solenoid S shown (in cross section) in Fig. 30.1.3  has 220 turns/cm and carries a current i = 1.5 A; its diam-  eter D is 3.2 cm. At its center we place a 130-turn closely  packed coil C of diameter d = 2.1 cm. The current in the  solenoid is reduced to zero at a steady rate in 25 ms. What  is the magnitude of the emf that is induced in coil C while  the current in the solenoid is changing?  S

i

KEY IDEAS 1.  Because it is located in the interior of the solenoid, coil C  lies within the magnetic field produced by current i in the  solenoid; thus, there is a magnetic flux Φ B through coil C.  2.  Because current i decreases, flux Φ B  also decreases.  3.  As Φ B  decreases, e mf ℰ is induced in coil C.  4.  The flux through each turn of coil C depends on the area  A and orientation of that turn in the solenoid’s magnetic  field B . Because B is uniform and directed perpendicu-  lar to area A, the flux is given by Eq. 30.1.2 (Φ B = BA).  →

C

Axis

i

A coil C is located inside a solenoid S, which  carries current i.  Figure  30.1.3 

B

→

5.  The magnitude B of the magnetic field in the interior  of a solenoid depends on the solenoid’s  current i and  its  number  n  of  turns  per  unit  length,  according  to  Eq. 29.4.3 (B = μ0 in). 

/

30.1  F ARAD AY ’S  L AW AND  L ENZ’S  L AW 

Because coil  C consists of more than  one  turn,  we  apply  Faraday’s law  in  the  form  of  Eq.  30.1.5  (ℰ = –N dΦ B/dt), where the number of turns N is 130 and    dΦ B/dt is the rate at which the flux changes.    Because the  current  in  the  solenoid  decreases at  a  steady rate, flux  Φ B  also  decreases at a steady rate, and  so we can write dΦ B/dt as ΔΦ    B/Δt. Then, to evaluate ΔΦ    B,    we need  the  final  and  initial  flux  values.  The  final  flux  Φ B,f  is  zero  because the  final  current  in  the  solenoid  is  zero. To  find  the initial  flux  Φ B,i , we note  that  area A is  _  1 π d 2  (= 3.464 ×  10 −4  m 2 ) and  the number n  is  220 turns/  4  cm,  or  22 000 turns/m.  Substituting  Eq.  29.4.3 into  Eq.  30.1.2 then leads to  Calculations:

Φ B,i  = BA = (μ0 in)A 

= (4π × 10 −7  T ⋅ m / A ) (1.5 A )(22 000 turns / m )    × (3.464 × 10 −4 m 2 ) 

919

Now we can write  Φ  − Φ  dt  Δt  Δt  −5  (0 − 1.44 × 10   Wb)  =  ___________________  −3  25 × 10   s  =  −5.76 × 10 −4  Wb/s 

dΦ B  ΔΦ  B,f  B,i  B  _________  ____  =  ____  = 

= −5.76 × 10 −4  V.  We are interested only  in  magnitudes; so  we ignore  the  minus signs here and in Eq. 30.1.5, writing  dΦ B  ℰ = N ____  = (130 turns)(5.76 × 10 −4 V)  dt  = 7.5 × 10 −2  V  = 75 mV. 

(Answer) 

= 1.44 × 10 −5  Wb. 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

Lenz’s  Law 

Soon  after  Faraday  proposed  his  law  of  induction,  Heinrich  Friedrich  Lenz  devised a rule for determining the direction of an induced current in a loop:  An induced current has a direction such that the magnetic field due to the current  opposes the change in the magnetic flux that induces the current. 

Furthermore, the direction of an induced emf is that of the induced current. The  key word  in Lenz’s law is “opposition.”  Let’s apply the law to the motion  of the  north  pole toward the conducting loop in Fig. 30.1.4.  1.  Opposition to Pole Movement. The  approach of the magnet’s north  pole  in  Fig. 30.1.4 increases the magnetic flux  through the loop  and thereby induces  a  current in  the  loop.  From  Fig.  29.5.1, we  know  that  the  loop  then  acts as  a magnetic dipole  with  a south  pole  and  a north  pole,  and  that its  magnetic  dipole moment  μ is directed from south to north. To oppose the magnetic flux  increase being caused by the approaching magnet, the loop’s  north  pole (and  thus  μ ) must  face toward the  approaching  north  pole  so  as to  repel it  (Fig.  30.1.4). Then the curled–straight right-hand rule for  μ (Fig. 29.5.1) tells us that  the current induced in the loop must be counterclockwise in Fig. 30.1.4.  If  we next  pull  the  magnet away from  the  loop,  a current  will  again  be  induced  in  the  loop.  Now,  however, the  loop  will  have a  south  pole  facing  the retreating north pole of the magnet, so as to oppose  the retreat. Thus, the  induced current will be clockwise. 

S

The magnet’s motion creates a magnetic dipole that opposes the motion.

→

→

N N

μ

→

2.  Opposition to Flux Change. In Fig. 30.1.4, with the magnet initially distant, no  magnetic flux passes through the loop.  As the north  pole  of the magnet then  nears the loop  with  its magnetic field  B directed downward, the flux through  the loop increases. To oppose  this increase in flux, the induced current i must  set  up  its  own  field  B ind  directed  upward  inside  the  loop,  as shown  in  Fig.  30.1.5a; then  the upward  flux of  field  B ind  opposes  the increasing downward  flux of field  B . The curled–straight right-hand rule of Fig. 29.5.1 then tells us  that i must be counterclockwise in Fig. 30.1.5a.  →

→

→

→

i

S

Lenz’s law at work.  As the magnet is moved toward  the loop, a current is induced in the  loop. The current produces its own  magnetic field, with magnetic dipole  moment μ oriented so as to oppose  the motion of the magnet. Thus, the  induced current must be counter-  clockwise as shown.  Figure  30.1.4 

→

/

920

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Heads Up. The flux of B ind  always opposes the change in the flux of B , but  B ind  →

→

→

→

is not always opposite  B . For example, if we next pull the magnet away from the  loop  in  Fig. 30.1.4, the magnet’s flux Φ B  is still downward through  the loop,  but  it is now  decreasing. The flux of B ind  must now  be downward inside  the loop,  to  oppose  that decrease (Fig. 30.1.5b). Thus, B ind  and B are now in  the same direc-  tion. In Figs. 30.1.5c and d, the south pole of the magnet approaches and retreats  from the loop,  again with opposition  to change.  →

→

A 

→

Increasing the external Decreasing the external Increasing the external Decreasing the external field B induces a current field B induces a current field B induces a current field B induces a current with a field B ind that with a field Bind that with a field B ind that with a field Bind that opposes the change. opposes the change. opposes the change. opposes the change. B ind

B ind

The induced current creates this field, trying to offset the change.

B

B

i

i

B

The fingers are in the current’s direction; the thumb is in the induced field’s direction.

i B

i B ind

B ind

B ind

B ind

B

B

i

i

i B

B

i B ind

B ind

B

B ind

i

i

B

B

i B

(a )

B ind

i B ind

B ind

(b )

(c)

(d )

The direction of the current i induced in a loop is such that the current’s  magnetic field B ind opposes the change in the magnetic field B  inducing i. The field B ind  is always directed opposite an increasing field B  (a, c) and in the same direction as a  decreasing field B (b, d). The curled–straight right-hand rule gives the direction of the  induced current based on the direction of the induced field.  Figure  30.1.5 

→

→

→

→

→

Electric  Guitars 

Figure 30.1.6 shows a Fender ® Stratocaster ® , one type of electric guitar. Whereas  an acoustic guitar depends  for its sound  on  the acoustic resonance produced  in  the  hollow  body  of  the instrument  by the oscillations  of the  strings, an electric  guitar is a solid  instrument, so there is no  body  resonance. Instead, the oscilla-  tions of the metal strings are sensed by electric “pickups” that send signals to an  amplifier and a set of speakers. 

/

921

30.1  F ARAD AY ’S  L AW AND  L ENZ’S  L AW 

 FR 321/redluM njitraM

The basic construction of pickup  is shown in Fig. 30.1.7. Wire connecting the  instrument to the amplifier is coiled around a small magnet. The magnetic field of  the magnet produces a north and south pole in the section of the metal string just  above the magnet. That section of  string then has its own  magnetic field. When  the  string  is  plucked  and  thus  made to  oscillate, its motion  relative to  the  coil  changes the flux  of its magnetic field through the coil, inducing  a current in  the  coil. As the string oscillates toward and away from the coil, the induced  current  changes direction at the same frequency as the string’s oscillations, thus relaying  the frequency of oscillation to the amplifier and speaker.  On a Stratocaster, there are three groups of pickups, placed at the near end  of the strings (on  the wide part of the body). The group  closest to the near end  better  detects the  high-frequency  oscillations  of  the  strings; the  group  farthest  from  the near end  better detects the  low-frequency oscillations.  By throwing a  toggle switch on the guitar, the musician can select which group or which pair of  groups will send signals to the amplifier and speakers.  To  gain  further control  over his  music, the  legendary Jimi  Hendrix some-  times rewrapped the wire in the pickup  coils of his guitar to change the number of  turns. In this way, he altered the amount of emf induced in the coils and thus their  relative sensitivity to  string  oscillations.  Even  without  this  additional  measure,  you can see that the electric guitar offers far more control over the sound  that is  produced than can be obtained with an acoustic guitar. 

Figure  30.1.6 

guitar. 

A Fender ®  Stratocaster ® 

Metal guitar string N S

Checkpoint 30.1.2 

The figure shows three situations in which identical circular  conducting loops are in  uniform magnetic fields that are either increasing (Inc)  or decreasing (Dec) in mag-  nitude at identical rates. In each, the dashed line coincides with a diameter. Rank the  situations according to the magnitude of the current induced in the loops, greatest first. 

N Coil

Magnet To amplifier

S Inc

Inc

Dec

Inc

Dec

Inc

(a )

(b )

(c )

Sample Problem 30.1.2

A side view of an elec-  tric guitar pickup. When the metal  string (which acts like a magnet) is  made to oscillate, it causes a varia-  tion in magnetic flux that induces a  current in the coil.  Figure  30.1.7 

Induced emf and  current due to a changing  uniform B field 

Figure  30.1.8  shows  a  conducting  loop  consisting  of  a  half-circle of radius r = 0.20 m and three straight sections.  The  half-circle lies in  a uniform  magnetic field  B  that is  directed out  of the page; the field magnitude is given by  B = 4.0t 2 + 2.0t  +  3.0, with  B  in  teslas and  t  in  seconds.  An ideal battery with emf ℰ bat  = 2.0 V is connected to the  loop.  The resistance of the loop  is 2.0 Ω. 

2.  The  flux  through  the loop  depends  on  how  much of  the loop’s  area lies within the flux and how the area is  oriented in the magnetic field B . 

(a) What are the magnitude and direction of the emf ℰ ind  induced around the loop  by field B at t = 10 s? 

4.  The  induced  field  B ind  (due  to  the  induced  current)  must always oppose the change in the magnetic flux. 

→

→

KEY IDEAS 1.  According to Faraday’s law, the magnitude of ℰ ind  is  equal  to  the  rate dΦ B/dt  at  which  the  magnetic flux    through the loop changes. 

→

→

3.  Because B is uniform and is perpendicular to the plane  of the loop, the flux is given by Eq. 30.1.2 (Φ B  = BA).  (We  don’t  need  to  integrate B  over  the  area to  get  the flux.) 

Using Eq. 30.1.2 and realizing that only  the  field  magnitude B changes in  time (not  the area A), we  rewrite Faraday’s law, Eq. 30.1.4, a s  dΦ B  ______  d(BA)  dB .  ℰ ind  = ____  =  = A ___  dt  dt  dt  Magnitude:

/

922

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

To find the direction of ℰ ind , we first note that  in Fig. 30.1.8 the flux through the loop  is out  of the page  and increasing. Because the induced field B ind  (due to the  induced  current)  must  oppose  that  increase, it  must  be  into  the  page. Using  the  curled–straight right-hand  rule  (Fig. 30.1.5c), we find  that  the induced  current is  clock-  wise around the loop, and thus so is the induced emf ℰ ind .  Direction:

r

/2

r

– + bat

A battery is connected to a conducting loop that  includes a half-circle of radius r lying in a uniform magnetic  field. The field is directed out of the page; its magnitude is  changing.  Figure  30.1.8 

Because the flux penetrates the loop  only within  the half-  1 π r 2 . Substituting this  circle, the area A in this equation is _  2  and the given expression for B yields  dB  = ___  πr 2 __  d  (4.0t 2 + 2.0t + 3.0)  ℰ ind  = A ___  dt  2  dt  πr 2  (8.0t + 2.0).  = ___  2  At t = 10 s, then, 

π (0.20 m ) 2  ℰ ind  = __________ [8.0(10) + 2.0 ]  2  = 5.152 V ≈ 5.2 V.  (Answer) 

Sample Problem 30.1.3

(b) What is the current in the loop  at t = 10 s? 

KEY IDEA The  point  here  is  that  two  emfs  tend  to  move  charges  around the loop.  The induced  emf ℰ ind  tends  to drive a cur-  rent  clockwise  around  the  loop;  the  battery’s emf  ℰ bat  tends to drive a current counterclockwise. Because ℰ ind  is  greater than ℰ bat , the net emf ℰ net  is clockwise, and  thus  so is the current. To find the current at t = 10 s, we use Eq.  27.1.2 (i = ℰ/R):  Calculation:

ℰ net  _________  ℰ  − ℰ bat  i = ____  =  ind  R  R  5.152 V − 2.0 V = 1.58 A ≈ 1.6 A.  (Answer)  = ______________  2.0 Ω 

Induced emf  due to a changing  nonuniform B field 

Figure 30.1.9 shows a rectangular loop  of wire immersed  in a nonuniform  and varying magnetic field B that is per-  pendicular to and directed into the page. The field’s mag-  nitude  is given by B = 4t 2 x 2 , with B in teslas, t in seconds,  and x in meters. (Note that the function depends on both  time  and  position.)  The  loop  has  width  W = 3.0 m  and  height H = 2.0 m. What are the magnitude and  direction  of the induced emf ℰ around  the loop at t = 0.10 s?  →

If the field varies with position, we must integrate to get the flux through the loop. y

dA

H B

KEY IDEAS

dx

2.  The changing flux induces an emf ℰ in the loop accord-  ing to Faraday’s law, which we can write as ℰ = dΦ B/dt.    3.  To use that law, we need an expression for the flux Φ B  at any time t. However, because B is not  uniform over  the area enclosed by the loop, we cannot use Eq. 30.1.2  (Φ B = BA) to find that expression; instead we must use  Eq. 30.1.1 ( ΦB     = ∫ B ⋅ dA ).  →

→

→

In  Fig.  30.1.9,  B  is  perpendicular  to  the  plane  of  the  loop  (and  hence parallel to  the differential  Calculations:

x

W

→

1.  Because  the  magnitude  of  the  magnetic  field  B  is  changing with  time, the magnetic flux Φ B  through the  loop  is also changing. 

We start with a strip so thin that we can approximate the field as being uniform within it.

A closed conducting loop, of width W and height  H, lies in a nonuniform, varying magnetic field that points  directly into the page. To apply Faraday’s law, we use the ver-  tical strip of height H, width dx, and area dA.  Figure  30.1.9 

→

area vector dA );  so  the  dot  product  in  Eq.  30.1.1 gives  B dA. Because the magnetic field varies with  the coordi-  nate x but  not with the coordinate y, we can take the dif-  ferential area dA to be the area of a vertical strip of height  H and width dx (as shown in Fig. 30.1.9). Then dA = H dx,  and the flux through the loop is  Φ B  =  B ⋅ dA =  B dA =  BH dx =   4t 2 x 2 H dx.  →

→

/

30.2  IND U C T ION  AND   ENERGY   T RANSF ERS 

Treating t as a constant for  this integration and  inserting  the integration limits x = 0 and x = 3.0 m, we obtain  Φ B  = 4t 2 H 

3.0 

0 

3  3.0 

x  x 2 dx = 4 t 2 H [ __  = 72t 2 ,  3 ] 0 

where we have substituted H = 2.0 m and Φ B is in webers.  Now  we can use Faraday’s law to  find  the magnitude of  ℰ at any time t:  dΦ B  _______  d(72t 2 )  ℰ =  ____  =  = 144t,  dt  dt 

923

in which ℰ is in volts. At t = 0.10 s,  ℰ = (144 V/s)(0.10 s) ≈ 14 V. 

(Answer) 

→

The  flux  of  B  through  the  loop  is  into  the  page  in  Fig.  30.1.9 and  is  increasing in  magnitude  because B  is  increasing  in  magnitude  with  time.  By  Lenz’s  law,  the  field B ind  of the induced current opposes this increase a nd  so is  directed out  of the  page. The curled–straight right-  hand rule in Fig. 30.1.5a then tells us that the induced cur-  rent is  counterclockwise around  the  loop,  and  thus  so  is  the induced emf ℰ. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

30.2  INDUCTION AND ENERGY TRANSFERS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.2.1  For a conducting loop pulled  into or out of a  magnetic field,  calculate  the rate at which  energy is  transferred to thermal  energy. 

30.2.2  Apply the relationship between  an induced  cur-  rent and  the rate at which  it produces thermal  energy.  30.2.3  Describe eddy currents. 

Key  Idea  ●

The induction  of a current  by a changing flux  means that energy is being 

transferred to that current.  The energy can then be transferred to other forms,  such as thermal  energy. 

Induction and Energy Transfers 

By Lenz’s law, whether you  move the magnet toward or away from the loop  in  Fig. 30.1.1, a magnetic force  resists the  motion, requiring your  applied force to  do  positive work.  At the same time, thermal energy is produced  in the material  of  the  loop  because of  the material’s electrical resistance to  the current that  is  induced by the motion. The energy you transfer to the closed loop  + magnet sys-  tem via your applied force ends up in this thermal energy. (For now, we neglect  energy that is radiated away from the loop  as electromagnetic waves during  the  induction.) The faster you move the magnet, the more rapidly your applied force  does work and the greater the rate at which your energy is transferred to thermal  energy in the loop; that is, the power of the transfer is greater.  Regardless of how current is induced in a loop, energy is always transferred to  thermal energy during the process because of the electrical resistance of the loop  (unless the loop is superconducting). For example, in Fig. 30.1.2, when switch S is  closed and a current is briefly induced in the left-hand loop, energy is transferred  from the battery to thermal energy in that loop.  Figure 30.2.1 shows  another situation  involving  induced  current. A rectan-  gular loop  of wire of  width  L has one end  in  a uniform  external magnetic field  that is directed perpendicularly into the plane of the loop. This field may be pro-  duced,  for  example, by  a  large electromagnet. The  dashed  lines  in  Fig.  30.2.1 

/

924

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Decreasing the area decreases the flux, inducing a current.

x

F2

F1

You pull a closed con-  ducting loop out of a magnetic field  at constant velocity v . While the loop  is moving, a clockwise current i is  induced in the loop, and the loop seg-  ments still within the magnetic field  experience forces F 1 , F 2 , and F 3 . 

B i

L

Figure  30.2.1 

→

→

→

→

F3

v

b

show the assumed limits of the magnetic field; the fringing of the field at its edges  is neglected. You are to pull this loop  to the right at a constant velocity v .  Flux Change. The situation of Fig. 30.2.1 does not differ in any essential way  from that of Fig. 30.1.1. In each case a magnetic field and a conducting loop are in  relative motion; in each case the flux of the field through the loop is changing with  time. It is true that in Fig. 30.1.1 the flux is changing because B is changing and in  Fig. 30.2.1 the flux is changing because the area of  the loop  still in the magnetic  field  is changing, but  that  difference is not  important.  The important difference  between the two arrangements is that the arrangement of Fig. 30.2.1 m akes calcu-  lations easier. Let us now calculate the rate at which  you do  mechanical work as  you pull steadily on the loop in Fig. 30.2.1.  Rate of Work. As you will see, to pull the loop  at a constant velocity v , you  must apply a constant force F  to the loop because a magnetic force of equal mag-  nitude but opposite direction acts on the loop to oppose you. From Eq. 7.6.7, the  rate at which you do work—that is, the power—is then  →

→

→

→

P = Fv, 

(30.2.1) 

where F is the magnitude of your  force. We wish to  find  an expression for P in  terms of  the  magnitude  B  of  the  magnetic field  and  the  characteristics of  the  loop—namely, its resistance R to current and its dimension L.  As you move the loop to the right in Fig. 30.2.1, the portion of its area within  the magnetic field decreases. Thus, the flux through the loop also decreases a nd,  according to Faraday’s law, a current is produced in the loop. It is the presence of  this current that causes the force that opposes your pull.  Induced Emf. To  find  the current, we first apply  Faraday’s law. When  x is  the length of  the loop  still  in the magnetic field, the area of the loop  still in  the  field is Lx. Then from Eq. 30.1.2, the magnitude of the flux through the loop  is  Φ B = BA = BLx. 

As  x  decreases, the  flux  decreases. Faraday’s law  tells  us  that  with  this  flux  decrease, an emf is induced  in  the loop.  Dropping the  minus  sign in  Eq. 30.1.4  and using Eq. 30.2.2, we can write the magnitude of this emf as 

i

R

i

A circuit diagram for  the loop of Fig. 30.2.1 while the loop  is moving.  Figure  30.2.2 

(30.2.2) 

dΦ B  __  dx  = BLv,  (30.2.3)  ℰ = ____  =  d  BLx = BL ___  dt  dt  dt  in which we have replaced dx/dt with v, the speed at which the loop  moves.  Figure 30.2.2 shows  the loop  as a circuit: Induced  emf ℰ  is  represented on  the left,  and the  collective resistance R of  the  loop  is  represented on  the  right.  The  direction  of  the  induced  current i  is  obtained  with  a  right-hand  rule  as in  Fig. 30.1.5b for decreasing flux; applying the rule tells us that the current must be  clockwise, and ℰ must have the same direction. 

/

30.2  IND U C T ION  AND   ENERGY   T RANSF ERS 

925

Induced Current. To find  the magnitude of the induced current, we cannot  apply the loop rule for potential differences in a circuit because, as you will see in  Module  30.3, we cannot  define a potential difference for an induced  emf. How-  ever, we can apply the equation i = ℰ/R. With Eq. 30.2.3, this becomes  BLv .  i = _____  (30.2.4)  R  Because three segments of the loop in Fig. 30.2.1 carry this current through the  magnetic field, sideways deflecting forces act on those segments. From Eq. 28.6.2  we know that such a deflecting force is, in general notation,  →

→

(30.2.5) 

→

F d  = iL  × B . 

In  Fig. 30.2.1, the deflecting forces acting on  the three segments of  the loop  are  marked F 1 , F 2 , and F 3 . Note, however, that from the symmetry, forces F 2  and  F 3  are  equal in  magnitude  and  cancel. This  leaves only  force F 1 ,  which  is  directed  opposite your force F  on the loop and thus is the force opposing you. So, F  = − F 1 .  Using  Eq.  30.2.5 to  obtain  the  magnitude of  F 1  and  noting  that  the  angle  between B and the length vector L for the left segment is 90°, we write  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

F = F 1  = iLB sin 90° = iLB. 

(30.2.6) 

Substituting  Eq. 30.2.4 for i in Eq. 30.2.6 then gives us  2  2 

B  L  v .  (30.2.7)  F =  _______  R  Because B, L, and  R are constants, the  speed v at which  you  move the  loop  is  constant if the magnitude F of the force you apply to the loop  is also constant.  Rate of Work. By substituting Eq. 30.2.7 into  Eq. 30.2.1, we find the rate at  which you do work on the loop  as you pull  it from the magnetic field:  2  2  2 

B  L  v  (rate of doing work).  (30.2.8)  P = Fv = _______  R  Thermal Energy. To  complete  our  analysis, let  us  find  the  rate  at  which  thermal energy appears in  the  loop  as you  pull  it  along  at constant  speed. We  calculate it from Eq. 26.5.3,  P = i 2 R. 

(30.2.9) 

Substituting  for i from Eq. 30.2.4, we find  BLv  2 R = _______  B 2 L 2 v 2  (thermal energy rate),  (30.2.10)  P = ( _____  )   R  R  which  is  exactly equal  to  the  rate  at  which  you  are  doing  work  on  the  loop  (Eq. 30.2.8). Thus, the work that you do in pulling the loop  through the magnetic  field appears as thermal energy in the loop. 

Burns  During  MRI  Scans 

A patient undergoing  an MRI scan (Fig. 30.2.3) lies in  an apparatus containing  two  magnetic fields: a large constant field B con  and  a small sinusoidally  varying  field B (t). Normally the scan requires the patient to lie motionless for a long time.  Any patient unable to lie motionless, such as a child, say, is sedated. Because seda-  tion, especially a general a nesthetic, can be dangerous, a sedated patient must be  carefully monitored,  usually with  a pulse  oximeter, a  device that  measures the  oxygen level in the patient’s blood.  This device includes a probe attached to one  of the patient’s fingers and a cable running from the probe to a monitor located  outside the MRI apparatus.  MRI scans should be perfectly harmless to a patient. In a few cases, however,  disregard of Faraday’s law of induction  led to a sedated patient receiving severe  burns.  In those cases, the oximeter cable was allowed to touch  the patient’s arm  (Fig. 30.2.4). The cable and the lower part of the arm then formed a closed loop  →

→

/

926

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

 s e g amI ytteG  /noisiVl ati giD/d etimiL  snoitcudorP RE

Loop

(t )

Cable

To monitor

Attached probe

A probe attached to a finger of a  patient undergoing an MRI scan, in which a verti-  cal magnetic field B (t) varies sinusoidally. The  probe cable touches the patient’s skin along the  arm, and the cable and the lower part of the arm  form a closed loop.  Figure  30.2.4 

→

Figure  30.2.3 

apparatus. 

A patient about to enter an MRI 

Eddy current loop

B

(a ) Pivot

→

through which the varying magnetic field B (t) produced a varying flux. This flux  variation induced an emf around the loop. Although the cable insulation and the  skin  had high  electrical resistance, the induced emf was large enough to  drive a  significant current around  the loop.  As with  any other  circuit in  which  there is  resistance, the current transferred energy to thermal energy a t the points of resis-  tance. In this way, the finger and the skin where the cable touched the lower arm  were burned. MRI staff are now trained to keep any monitor cable from touching  a patient at more than one point.  Eddy Currents 

B

(b )

(a) As you pull a solid  conducting plate out of a magnetic  field, eddy currents are induced in  the plate. A typical loop of eddy cur-  rent is shown. (b) A conducting plate  is allowed to swing like a pendulum  about a pivot and into a region of  magnetic field. As it enters and  leaves the field, eddy currents are  induced in the plate.  Figure  30.2.5 

B

Suppose  we replace the conducting  loop  of Fig. 30.2.1 w ith  a solid  conducting  plate. If  we then move the plate out  of  the magnetic field as we  did the loop  (Fig. 30.2.5a), the relative motion of the field and the conductor again induces  a current  in  the conductor.  Thus,  we again  encounter an  opposing  force  and  must  do  work  because of  the induced  current.  With  the  plate, however, the  conduction  electrons making up the induced current do not follow one path as  they do  with  the loop.  Instead, the electrons swirl about within the plate as if  they were caught in  an eddy (whirlpool)  of  water. Such  a current is called an  eddy current and can be represented, as it  is in  Fig. 30.2.5a, as if it  followed a  single path.  As with the conducting loop of Fig. 30.2.1, the current induced in the plate  results in mechanical energy being dissipated as thermal energy. The dissipa-  tion  is  more apparent in the arrangement of Fig. 30.2.5b; a conducting plate,  free to rotate about a pivot, is allowed to swing down through a magnetic field  like  a  pendulum.  Each time  the  plate enters  and  leaves the  field,  a  portion  of  its  mechanical energy is  transferred  to  its  thermal energy. After several  swings, no  mechanical energy remains and  the  warmed-up  plate just  hangs  from its pivot.  Induction Furnaces 

Traditionally,  foundries  used  flame-heated furnaces to  melt  metals. However,  many modern foundries  avoid the  resulting air pollution  by  using  an induction  furnace (Fig. 30.2.6) in which the metal is heated by the current in insulated wires  wrapped around the crucible that holds the metal. H owever, the wires themselves  do not  get hot  enough to melt the metal (or they would  also melt). Indeed, they  are kept cool by a water bath.  Figure 30.2.7 shows  the basic design. Metal is held  within  a crucible around  which  the  insulated  wires are  wrapped. The  current in  the  wires  alternates in  direction  and  magnitude. Thus,  the  magnetic field  due  to  the  current continu-  ously  varies in  direction  and  magnitude. This  changing field  B (t) creates eddy  →

/

30.3  IND U C ED  EL EC T RIC   F IEL D S 

B

927

(t )

 segamI ytteG/arutluC/nesukaR ytnoM

Metal Wire

Basic design of  an induction furnace.  Figure  30.2.7 

Molten metal pouring from a tilted  induction furnace.  Figure  30.2.6 

currents within the metal, and electrical energy is dissipated as thermal energy at  the rate given by Eq. 30.2.9 (P = i 2 R). The dissipation  increases the temperature  of  the metal to  the melting point,  and  then the molten  metal can be poured  by  tilting the furnace. 

Checkpoint 30.2.1 

The figure shows four wire loops, with edge lengths of either L or 2L. All four loops  will move through a region of uniform magnetic field B  (directed out of the page) at  the same constant velocity. Rank the four loops according to the maximum magni-  tude of the emf induced as they move through the field, greatest first.  →

B

(a )

(b ) (c )

(d )

30.3  INDUCED ELECTRIC  FIELDS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.3.1  Identify that a changing magnetic field  induces 

conducting material  or not) to the rate of change 

dΦ/dt  of the magnetic flux  encircled  by the path. 

an electric field,  regardless of whether  there is a  conducting loop. 

30.3.3  Identify that an electric  potential  cannot be 

30.3.2  Apply Faraday’s law to relate the electric field 

associated with an induced  electric  field. 

→

E induced  along a closed path (whether  it has 

Key  Ideas  ●

An emf is induced  by a changing magnetic flux  even 

if the loop through  which  the flux is changing is not a 

●

Using the induced  electric  field,  we can write 

Faraday’s law  in its most general  form as 

physical  conductor but an imaginary line.  The changing  →

→

dΦ B   E  ⋅ d s  = − ____  dt  →

→

E at every point  of such a loop; the induced  emf is related to E  by  magnetic field induces  an electric  field 

∮

→

(Faraday’s law).  →

A changing magnetic field induces an electric field

E . 

ℰ =   E ⋅ d s .  →

∮

/

928

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Induced Electric Fields 

Let us place a copper ring of radius r in  a uniform external magnetic field, as in  Fig. 30.3.1a. The field—neglecting fringing—fills a cylindrical volume of radius R.  Suppose  that  we increase the strength of  this field  at a steady rate, perhaps by  increasing—in an appropriate way—the current in the windings of the electromag-  net that produces the field. The magnetic flux through the ring will then change at  a steady rate and—by Faraday’s law—an induced emf and thus an induced current  will appear in the ring. From Lenz’s law we can deduce that the direction of the  induced current is counterclockwise in Fig. 30.3.1a.  If there is a current in  the copper ring, an  electric field must be present along  the ring because an electric field is needed to do the work of moving the conduction  electrons. Moreover, the  electric field  must have been  produced  by  the  changing  magnetic flux. This induced electric field E is just as real as an electric field produced  by static charges; either field will exert a force q 0E    on a particle of charge q 0.    By this line of reasoning, we are led to a useful and informative restatement  of Faraday’s law of induction:  →

→

A changing magnetic field produces an electric field. 

The striking feature of this  statement is that the electric field is induced even if  there is no copper ring. Thus, the electric field would appear even if the changing  magnetic field were in a vacuum.  To fix these ideas, consider Fig. 30.3.1b, which is just like Fig. 30.3.1a except  the  copper  ring  has  been  replaced by  a  hypothetical  circular path  of  radius  r.  We assume, as previously, that the magnetic field  B  is increasing in  magnitude  at a constant rate dB/dt. The electric field induced at various points  around  the  →

Copper ring R

Circular path

E

R

r

r E

E B

(a )

B

i

(b )

E

Electric field lines

4

2

R R

1 B

(c )

B

(d )

3

(a) If the magnetic field increases at a steady rate, a constant induced  current appears, as shown, in the copper ring of radius r. (b) An induced electric field  exists even when the ring is removed; the electric field is shown at four points. (c) The  complete picture of the induced electric field, displayed as field lines. (d) Four similar  closed paths that enclose identical areas. Equal emfs are induced around paths 1 and 2,  which lie entirely within the region of changing magnetic field. A smaller emf is induced  around path 3, which only partially lies in that region. No net emf is induced around  path 4, which lies entirely outside the magnetic field.  Figure  30.3.1 

/

30.3  IND U C ED  EL EC T RIC   F IEL D S 

929

circular path must—from the symmetry—be tangent to  the circle, as Fig. 30.3.1b  shows.* Hence, the circular path is an electric field line. There is nothing special  about  the circle of radius  r, so the electric field lines  produced by the changing  magnetic field must be a set of concentric circles, as in Fig. 30.3.1c.  As long  as the  magnetic field  is increasing with  time, the electric field  rep-  resented by the circular field lines in Fig. 30.3.1c will be present. If the magnetic  field remains constant with  time, there will be no  induced electric field and thus  no  electric field lines. If the magnetic field is decreasing with time (at a constant  rate), the electric field lines  will  still be  concentric circles as in  Fig. 30.3.1c, but  they will now have the opposite direction. All this is what we have in mind when  we say “A changing magnetic field produces an electric field.”  A Reformulation  of Faraday’s Law 

Consider a particle of charge q 0  moving around  the circular path of Fig. 30.3.1b.  The work W done on it in one revolution by the induced electric field is W = ℰq 0,   where ℰ is the induced emf—that is, the work done per unit charge in moving the  test charge around the path. From another point  of view, the work is  W =  F  ⋅ d s  =  (q 0  E)(2 πr),  →

→

(30.3.1) 

where q 0E is the magnitude of the force acting on the test charge and 2 πr is the    distance over which that force acts. Setting these two expressions for W equal to  each other and canceling q 0, we find that    ℰ = 2πrE. 

(30.3.2) 

Next we rewrite Eq. 30.3.1 to  give a more general expression for  the work  done on a particle of charge q 0  moving along any closed path: 

W = 

 F  ⋅ d s  = q 0   E ⋅ d s .  →

→

→

∮

→

∮

(30.3.3) 

(The loop  on  each integral sign indicates that the integral is to be taken around  the closed path.) Substituting  ℰq 0  for W, we find that  →

ℰ =   E ⋅ d s .  →

∮

(30.3.4) 

This integral reduces at once to Eq. 30.3.2 if we evaluate it for the special case of  Fig. 30.3.1b.  Meaning of Emf. With Eq. 30.3.4, we can expand the meaning of induced emf.  Up to this point, induced emf has meant the work per unit charge done in maintain-  ing current due to a changing magnetic flux, or it has meant the work done per unit  charge on a charged particle that moves around a closed path in a changing magnetic  flux. However, with Fig. 30.3.1b and Eq. 30.3.4, an induced emf can exist without the  need of a current or particle: An induced emf is the sum—via integration—of quanti-  ties E ⋅ d s  around a closed path, where E is the electric field induced by a changing  magnetic flux and d s  is a differential length vector along the path.  If we combine Eq. 30.3.4 with Faraday’s law in Eq. 30.1.4 (ℰ = –dΦ B/dt), we    can rewrite Faraday’s law as  →

→

→

→

dΦ B  E  ⋅ d s  = − ____  dt 

→

∮

→

(Faraday’s law). 

(30.3.5) 

→

*Arguments of symmetry would also permit the lines of E around the circular path to be radial,  rather than tangential. However, such radial lines would imply that there are free charges, distributed  symmetrically about the axis of symmetry, on which the electric  field lines could begin or end; there  are no such charges. 

/

930

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

This equation says simply that a changing magnetic field induces an electric field.  The changing magnetic field appears on the right side of this equation, the elec-  tric field on the left.  Faraday’s law in the form of Eq. 30.3.5 can be applied to any closed path that  can be  drawn  in  a changing magnetic field.  Figure  30.3.1d, for  example, shows  four such paths, all having the same shape and area but located in different posi-  tions in the changing field. The induced emfs ℰ (=  ∮ E ⋅ d s ) for paths 1 and 2 are  equal  because these  paths  lie  entirely in  the  magnetic field  and  thus  have  the  same value of dΦ B /dt. This is true even though  the electric field vectors at points  along these paths are different, as indicated by the patterns of electric field lines  in the figure. For path 3 the induced emf is smaller because the enclosed flux Φ B  (hence dΦ B /dt) is smaller, and for path 4 the induced emf is zero even though  the  electric field is not zero at any point on the path.  →

→

A New  Look at Electric  Potential 

Induced electric fields are produced not by static charges but by a changing mag-  netic flux. Although electric fields produced in either way exert forces on charged  particles, there is an important difference between them. The simplest evidence  of this difference is that the field lines of induced electric fields form closed loops,  as in Fig. 30.3.1c. Field lines produced by static charges never do so but must start  on positive charges a nd end on negative charges. Thus, a field line from a charge  can never loop around  and back onto  itself as we see for each of the field lines in  Fig. 30.3.1c.  In a more formal sense, we can state the difference between electric fields  produced by induction and those produced by static charges in these words:  Electric potential has meaning only for electric fields that are produced by static  charges; it has no meaning for electric fields that are produced by induction. 

You  can  understand  this  statement qualitatively by  considering  what  happens  to  a  charged particle that  makes  a  single  journey  around  the  circular path  in  Fig. 30.3.1b. It starts at a certain point  and, on  its return to that same point,  has  experienced an emf ℰ of, let us say, 5 V; that is, work of 5 J/C has been done  on  the particle by the electric field, and  thus  the particle should  then be at a point  that is 5 V greater in potential. However, that is impossible because the particle is  back at the same point, which cannot have two different values of potential. Thus,  potential has no meaning for electric fields that are set up by changing magnetic  fields.  We can take a more formal  look  by recalling Eq. 24.2.4, which  defines the  potential difference between two points  i and  f in an electric field E  in terms of  an integration between those points:  →

f  →

V f − V i  = −  E ⋅ d s .  i 

→

(30.3.6) 

In Chapter 24 we had not yet encountered Faraday’s law of induction; so the elec-  tric fields involved in the derivation of Eq. 24.2.4 were those due to static charges.  If i and f in  Eq. 30.3.6 are the same point,  the path connecting them is a closed  loop, V i  and V f are identical, and Eq. 30.3.6 reduces to  →

∮

 E ⋅ d s  = 0.  →

(30.3.7) 

However, when  a changing magnetic flux is present, this  integral is not zero but  is –dΦ B/dt, as Eq. 30.3.5  a sserts. Thus, assigning electric potential to an induced    electric field leads us to a contradiction. We must conclude that electric potential  has no meaning for electric fields associated with induction. 

/

30.3  IND U C ED  EL EC T RIC   F IEL D S 

931

Checkpoint 30.3.1 

The figure shows five lettered regions in which a uniform magnetic field extends either  directly out of the page or into the page, with the direction indicated only for region  a. The field is increasing in magnitude at the same steady rate in all five regions; the  regions are identical in area. Also shown are four numbered paths along which ∮ E  ⋅ d s  has the magnitudes given below in terms of a quantity “mag.” Determine whether the  magnetic field is directed into or out of the page for regions b through e.  →

Path  ∮ E ⋅ d s  →

1  mag 

→

2  2(mag) 

1

3  3(mag) 

4  0 

4

c

a

→

3 e

b

d

2

Sample Problem 30.3.1

Induced electric  field  due  to changing  B field,  inside and outside 

In Fig. 30.3.1b, take R = 8.5 cm and dB/dt = 0.13 T/s.  (a) Find an expression for the magnitude E of the induced  electric field at points  within  the magnetic field, at radius  r  from  the  center  of  the  magnetic  field.  Evaluate  the  expression for r = 5.2 cm. 

KEY IDEA An  electric  field  is  induced  by  the  changing  magnetic  field, according to Faraday’s law.  To  calculate  the  field  magnitude  E,  we  apply  Faraday’s law in the  form of  Eq. 30.3.5. We use a  circular path of integration with radius r ≤ R because we  want  E for  points  within  the  magnetic field.  We assume  from  the  symmetry that  E  in  Fig.  30.3.1b  is  tangent  to  the circular path at all points.  The path vector d s  is also  always  tangent to  the  circular path;  so  the  dot  product  E  ⋅ d s  in Eq. 30.3.5 must have the magnitude E ds at all  points  on the path. We can also assume from the symme-  try that E has the same value at all points  along the circu-  lar path. Then the left side of Eq. 30.3.5 becomes  Calculations:

→

→

→

→

 E ⋅ d s  =   E ds = E   ds = E(2πr).  →

∮

→

∮

∮

(30.3.8) 

(The integral ∮ ds is the circumference 2πr of  the circular  path.)  Next, we need to evaluate the right side of Eq. 30.3.5.  Because B  is  uniform  over the  area A  encircled by  the  path  of  integration and is  directed perpendicular to  that  area, the magnetic flux is given by Eq. 30.1.2:  →

Φ B  = BA = B(πr 2 ). 

(30.3.9) 

Substituting  this and Eq. 30.3.8 into  Eq. 30.3.5 a nd drop-  ping the minus sign, we find that  dB  E(2πr) = ( πr 2 ) ___  dt  dB  r  or  E =  __  ___ .  (Answer)  (30.3.10)  2  dt  Equation 30.3.10 g ives the magnitude of the electric field  at any point  for which  r ≤ R (that is, within  the magnetic  field). Substituting  given values yields, for the magnitude  of E at r = 5.2 cm,  →

(5.2 × 10 −2 m)  E = _____________  (0.13 T / s)  2  = 0.0034 V/m = 3.4 m V/m. 

(Answer) 

(b) Find an expression for the magnitude E of the induced  electric field at points that are outside the magnetic field,  at radius r from the center of the magnetic field. Evaluate  the expression for r = 12.5 cm. 

KEY IDEAS Here again  an  electric field  is  induced  by  the  changing  magnetic  field,  according  to  Faraday’s  law,  except  that  now  we  use  a  circular  path  of  integration  with  radius  r ≥ R  because we want  to  evaluate E  for  points  outside  the magnetic field. Proceeding as in  (a), we again obtain  Eq.  30.3.8. However, we  do  not  then  obtain  Eq.  30.3.9  because the new path of integration is now outside the mag-  netic field,  and  so  the  magnetic flux  encircled by the  new  path is only that in the area πR 2 of the magnetic field region.  Calculations:

We can now write  Φ B  = BA = B(πR 2 ). 

(30.3.11) 

/

932

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Substituting  this  and  Eq. 30.3.8 into  Eq.  30.3.5 (without  the minus sign) and solving for E yield 

6 )m/ Vm( E

R 2   ___  dB .  (Answer)  (30.3.12)  E = ___  2r  dt  Because E is not zero here, we know that an electric field  is  induced  even at  points  that  are outside  the  changing  magnetic field, an important result that (as you will see in  Module 31.6) m akes transformers possible.  With the given data, Eq. 30.3.12 y ields the magnitude  of E at r = 12.5 cm: 

Equations 30.3.10 a nd 30.3.12 g ive the same result for  r = R. Figure  30.3.2 shows  a plot  of  E(r).  Note  that  the  inside and outside plots meet at r = R. 

4 2

→

2 

(8.5 × 10 −2  m)  E = ________________  (0.13 T/s)  (2)(12.5 × 10 −2  m)  = 3.8 × 10 −3  V/m = 3.8 mV/m. 

0

0

10 r

(Answer) 

Figure  30.3.2 

20 30 (cm)

40

A plot of the induced electric field E(r). 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

30.4  INDUCTORS AND INDUCTANCE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.4.1  Identify an inductor. 

30.4.3  For a solenoid, apply the relationship between 

30.4.2  For an inductor, apply the relationship between  inductance 

the inductance  per unit  length 

L, total flux  NΦ , and current i. 

L /l, the area A of 

each turn,  and the number  of turns per unit length 

n. 

Key Ideas  ●

An inductor is a device that can  be used to produce 

a known  magnetic field  in a specified  region. If a cur- 

i is established through each of the  N windings  of  Φ B  links those windings.  The inductance  L of the inductor  is  N Φ B  L = _____  (inductance defined).  i  rent 

an inductor,  a magnetic flux 

H ), where 

●

The SI unit  of inductance  is the henry (

●

The inductance  per unit length  near the middle of a 

1 henry  = 1 H = 1 T ⋅ m 2 /A. 

long solenoid of cross-sectional area 

A  and  n turns per 

unit length is 

L  = μ n 2 A  (solenoid).  __  0  l 

Inductors and Inductance 

We found in Chapter 25 that a capacitor can be used to produce a desired electric  field.  We considered  the parallel-plate arrangement as a basic type of capacitor.  Similarly, an inductor  (symbol  ) can be used to produce a desired  magnetic  field. We shall consider a long solenoid  (more specifically, a short length near the  middle of a long solenoid, to avoid any fringing effects) as our basic type of inductor.  If we establish a current i in the windings (turns) of the solenoid we are taking as  our inductor, the current produces a magnetic flux Φ B through the central region of  the inductor. The inductance of the inductor is then defined in terms of that flux as  N Φ B  L = _____  i 

(inductance defined), 

(30.4.1) 

in  which  N is the number of  turns.  The windings  of the inductor  are said to  be  linked by the shared flux, and the product NΦ B is called the magnetic flux linkage.  The inductance L is thus a measure of the flux linkage produced by the inductor  per unit of current. 

/

933

30.4  IND U C T ORS  AND  IND U C T ANC E 

1 henry = 1 H = 1 T ⋅ m 2 /A. 

 YN/yrarbiL  trA n am e gdirB/noitutitsnI layoR ehT

Because the  SI  unit  of  magnetic flux  is  the tesla-square meter, the  SI  unit  of  inductance is the tesla-square meter per ampere (T ⋅ m 2 /A). We call this  the  henry (H), after American physicist Joseph Henry, the codiscoverer of the law of  induction  and a contemporary of Faraday. Thus,  (30.4.2) 

Through  the rest of  this  chapter we  assume that all  inductors,  no  matter what  their  geometric arrangement, have no  magnetic materials such  as  iron  in  their  vicinity. Such materials would  distort the magnetic field of an inductor.  Inductance  of a Solenoid 

Consider a long solenoid of cross-sectional area A. What is the inductance per unit  length near its middle? To use the defining equation for inductance (Eq. 30.4.1),  we must calculate the flux linkage set up by a given current in the solenoid wind-  ings. Consider a length l near the middle of this solenoid. The flux linkage there is  NΦ B  = (nl)(BA),  in  which  n  is  the number of  turns  per unit  length  of  the  solenoid  and  B is  the  magnitude of the magnetic field within the solenoid.  The magnitude B is given by Eq. 29.4.3, 

The crude inductors with which  Michael Faraday discovered the law  of induction. In those days ameni-  ties such as  insulated wire were not  commercially available. It is said that  Faraday insulated his wires by wrap-  ping them with strips cut from one of  his wife’s petticoats. 

B =  μ0 in,  and so from Eq. 30.4.1, 

(nl)(BA)  ____________  (nl)( μ0 in)(A)  NΦ B  ________  L = _____  =  =  i  i  i  2  = μ0 n  lA. 

(30.4.3) 

Thus, the inductance per unit length near the center of a long solenoid is  L  = μ n 2 A  __  0  l 

(solenoid). 

(30.4.4) 

Inductance—like capacitance—depends only on  the geometry of the device. The  dependence on the square of the number of turns per unit length is to be expected.  If you, say, triple n, you not only triple the number of turns (N) but you also triple  the flux (Φ B  = BA = μ0 inA) through each turn, multiplying the flux linkage NΦ B  and thus the inductance L by a factor of 9.  If the solenoid  is very much longer than  its radius,  then Eq.  30.4.3 gives its  inductance to a good  approximation. This approximation neglects the spreading  of the magnetic field lines near the ends of the solenoid, just as the parallel-plate  capacitor formula (C = ε0 A/d) neglects the fringing of the electric field lines near  the edges of the capacitor plates.  From Eq. 30.4.3, a nd recalling that n is a number per unit  length, we can see  that an inductance can be written as a product of the permeability constant μ0 and  a quantity with the dimensions of a length. This means that  μ0  can be expressed  in the unit henry per meter: 

μ0  = 4π × 10 −7  T ⋅ m / A  = 4 π × 10 −7  H / m . 

(30.4.5) 

The latter is the more common unit for the permeability constant. 

Checkpoint 30.4.1 

We have three inductors in different circuits with the same length and the  following number of turns n, area A, and current i, each given as a mul-  tiple of a basic amount. Rank the inductors according to their inductance,  greatest first. 

Inductor 

n 

A 

i 

a  b 

2n 0 

4A 0 

16i 0 

n 0 

13A 0 

20i 0 

c 

3n 0 

A 0 

25i 0 

/

934

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

30.5  SELF-INDUCTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.5.1  Identify that an induced  emf appears in a coil 

30.5.3  When an emf is induced  in a coil because  the 

when  the current  through the coil is changing. 

current in the coil is changing,  determine the direc- 

30.5.2  Apply the relationship between  the induced  emf  in  a coil, the coil’s inductance 

tion of the emf by using Lenz’s  law  to show that 

L, and the rate di/dt  at 

the emf always opposes the change  in the current, 

which the  current is changing. 

attempting to maintain  the initial  current. 

Key Ideas  ●

If a current 

i in a coil changes with  time, an emf is 

induced  in the coil. This self-induced  emf is 

●

The direction of 

ℰ L is found from Lenz’s law:  The 

self-induced  emf acts to oppose the change  that  produces it. 

di .  ℰ L = −L  __  dt 

Self-Induction 

If two coils—which  we can now call inductors—are near each other, a current i in  one coil produces a magnetic flux Φ B through the second coil. We have seen that if  we change this flux by changing the current, an induced emf appears in the second  coil according to Faraday’s law. An induced emf appears in the first coil as well.  An induced emf ℰ L  appears in any coil in which the current is changing. 

This process (see Fig. 30.5.1) is called self-induction, and the emf that appears is  called a self-induced emf. It obeys Faraday’s law of induction just as other induced  emfs do.  For any inductor, Eq. 30.4.1 tells us that  NΦ B  = Li. 

(30.5.1) 

Faraday’s law tells us that 

d ( NΦ B)    ℰ L = − _______  .  dt  By combining Eqs. 30.5.1 a nd 30.5.2 we can write  di  ℰ L = −L __  dt  R i

+ –

L

i

If the current in a coil  is changed by varying the contact  position on a variable resistor, a self-  induced emf ℰ L  will appear in the  coil while the current is changing.  Figure  30.5.1 

(self-induced emf). 

(30.5.2) 

(30.5.3) 

Thus,  in any inductor  (such as a coil, a solenoid,  or a toroid) a self-induced emf  appears whenever the current changes with time. The magnitude of  the current  has no influence on the magnitude of the induced emf; only the rate of change of  the current counts.  Direction. You can find the direction of a self-induced emf from Lenz’s law.  The  minus  sign  in  Eq. 30.5.3 indicates that—as the  law states—the self-induced  emf ℰ L  has the orientation  such that it opposes the change in current i. We can  drop the minus sign when we want only the magnitude of ℰ L.    Suppose that you set up a current i in a coil and arrange to have the current  increase with  time at a rate di/dt. In the language of Lenz’s law, this  increase in  the current in the coil is the “change” that the self-induction  must oppose. Thus,  a self-induced emf must appear in the coil, pointing so as to oppose the increase  in the current, trying (but  failing) to  maintain the initial condition,  as shown in  Fig.  30.5.2a.  If,  instead,  the  current decreases with  time, the  self-induced  emf 

/

30.6  RL C IRC U IT S 

must  point  in  a direction  that  tends to  oppose  the  decrease (Fig.  30.5.2b),  again trying to maintain the initial condition.  Electric Potential. In Module 30.3 we saw that we cannot define an electric  potential  for an electric field (and thus for an emf) that is induced  by a chang-  ing magnetic flux. This means that when a self-induced emf is produced in the  inductor  of Fig. 30.5.1, we cannot define an electric potential  within  the induc-  tor itself, where the flux is changing. However, potentials can still be defined at  points  of the circuit that are not within  the inductor—points  where the electric  fields are due to charge distributions  and their associated electric potentials.  Moreover, we can define a self-induced potential difference V L  across an  inductor  (between its terminals, which we assume to be outside the region of  changing flux). For  an  ideal inductor  (its wire has negligible resistance), the  magnitude of V L  is equal to the magnitude of the self-induced emf ℰ L .  If, instead, the wire in the inductor has resistance r, we mentally separate  the  inductor  into  a  resistance r  (which  we  take to  be  outside  the  region  of  changing flux)  and an  ideal inductor  of self-induced  emf ℰ L. As with  a real    battery of emf ℰ and internal resistance r, the potential difference across the  terminals of a real inductor  then differs from the emf. Unless otherwise indi-  cated, we assume here that inductors are ideal. 

i

935

(increasing)

L

L

The changing current changes the flux, which creates an emf that opposes the change.

(a ) i

(decreasing)

L

L

(b )

(a) The current i is increasing,  and the self-induced emf ℰ L  appears along  the coil in a direction such that it opposes  the increase. The arrow representing ℰ L  can  be drawn along a turn of the coil or along-  side the coil. Both are shown.  (b) The current i is decreasing, and the  self-induced emf appears in a direction  such that it opposes the decrease.  Figure  30.5.2 

Checkpoint 30.5.1 

The figure shows an emf ℰ L  induced in a coil. Which  of the following can describe the current through  the coil: (a) constant and rightward, (b) constant and  leftward, (c) increasing and rightward, (d) decreasing  and rightward, (e) increasing and leftward, (f) decreasing and leftward?  L

30.6  RL

CIRCUITS 

Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.6.1  Sketch a schematic diagram of an 

RL circuit  in 

30.6.7  Write a loop equation  (a differential  equation) for 

RL circuit  in which  the current  is decaying.  RL circuit  in which  the current is decay-  ing, apply the equation  i(t ) for the current  as a func- 

which  the current  is rising. 

an 

30.6.2  Write a loop equation  (a differential  equation) for 

RL circuit  in which  the current  is rising.  RL  circuit in  which  the current is rising,  apply the equation  i(t ) for the current  as a function  of 

30.6.8  For an 

an 

30.6.3  For an 

tion of time. 

time. 

cuit, find  equations for the potential difference 

RL circuit in  which  the current is rising,  V across the  resistor, the rate di/dt  at which  the current changes, 

30.6.4  For an 

the resistor, the rate 

find  equations for the potential difference 

30.6.10  For an 

τL . 

the circuit begins to change  (the initial  condition) and 

RL circuit  in 

a long time later when  equilibrium  is reached  (the 

which  the current  is decaying. 

final  condition). 

Key Ideas 

ℰ  is introduced into a single-loop  R  and an inductance  L, the current  rises to an equilibrium  value of  ℰ/R  If a constant emf 

circuit  containing a resistance 

according to 

ℰ (1 − e −t/ τL )  i =  __  R 

RL circuit,  identify  the current through 

the inductor and the emf across it just as current  in 

30.6.5  Calculate  an inductive time constant 

●

di/dt  at which  current is changing, 

and the emf of the inductor, as functions of time. 

and the emf of the inductor, as functions of time. 

30.6.6  Sketch a schematic diagram of an 

τ L  (= L/R)  governs the rate of rise of the current 

Here 

and is called  the inductive  time constant of the circuit.  ●

When the source of constant emf is removed, the 

current decays from a value 

(rise of current). 

RL cir-  V across 

30.6.9  From an equation for decaying current  in an 

i = i 0  e −t/ τL 

i 0   according to 

(decay of current). 

/

936

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

a

+ –

RL Circuits 

S

b

R

L

An RL circuit. When  switch S is closed on a, the current rises  and approaches a limiting value ℰ/R.  Figure  30.6.1 

In Module 27.4 we saw that if we suddenly introduce an emf ℰ into a single-loop  circuit containing a resistor R and a capacitor C, the charge on the capacitor does  not build  up immediately to its final equilibrium value Cℰ but approaches it in an  exponential fashion:  (30.6.1)  q = Cℰ (1 − e −t/τC ).  The  rate  at  which  the  charge  builds  up  is  determined  by  the  capacitive time  constant τC , defined in Eq. 27.4.7 a s 

τC  = RC. 

(30.6.2) 

If we suddenly  remove the emf from  this same circuit,  the charge does  not  immediately fall to zero but approaches zero in an exponential fashion:  q = q 0  e −t/τC . 

(30.6.3) 

The time constant τC describes the fall of the charge as well as its rise.  An analogous slowing of  the rise (or fall) of the current occurs if we intro-  duce an emf ℰ into (or remove it from) a single-loop circuit containing a resis-  tor  R and  an  inductor  L. When  the switch  S  in  Fig. 30.6.1 is  closed  on  a,  for  example, the  current  in  the  resistor  starts  to  rise.  If  the  inductor  were not  present, the current would  rise rapidly to  a steady value ℰ/R.  Because of  the  inductor,  however, a  self-induced  emf ℰ L  appears in  the circuit; from  Lenz’s  law, this  emf opposes  the rise of  the current, which means that it  opposes the  battery emf  ℰ  in  polarity.  Thus,  the  current  in  the  resistor  responds  to  the  difference between two emfs, a constant  ℰ  due  to  the battery and  a variable  ℰ L  (= –L di/dt) due to self-induction. As long as this ℰ L  is present, the current  will be less than ℰ/R.  As time goes on, the rate at which  the current increases becomes less rapid  and  the  magnitude  of  the  self-induced  emf,  which  is  proportional  to  di/dt,  becomes smaller. Thus, the current in the circuit approaches ℰ/R asymptotically.  We can generalize these results as follows:  Initially, an inductor acts to oppose changes in the current through it. A long  time later, it acts like ordinary connecting wire. 

Now  let  us  analyze  the  situation  quantitatively.  With  the  switch  S  in  Fig. 30.6.1 thrown to a, the circuit is equivalent to that of Fig. 30.6.2. Let us apply  the loop  rule, starting at point  x in this  figure and  moving clockwise around  the  loop  along with current i.  1.  Resistor. Because we move through the resistor in the direction  of current i,  the electric potential decreases by iR. Thus, as we move from point x to point y,  we encounter a potential change of –iR.  i y

x R

+ –

L

L

z

The circuit of Fig. 30.6.1  with the switch closed on a. We  apply the loop rule for the circuit  clockwise, starting at x.  Figure  30.6.2 

2.  Inductor. Because current i is changing, there is a self-induced  emf ℰ L  in  the  inductor.  The magnitude of  ℰ L  is  given by  Eq. 30.5.3 as L  di/dt.  The  direc-  tion  of ℰ L  is upward in Fig. 30.6.2 because current i is downward through the  inductor  and  increasing. Thus,  as we move from point  y to  point  z, opposite  the direction of ℰ L , we encounter a potential change of –L di/dt.  3.  Battery. As we  move from  point  z back  to  starting point  x, we encounter  a  potential change of +ℰ due to the battery’s emf.  Thus, the loop rule gives us  di  + ℰ = 0,  −iR − L __  dt 

/

30.6  RL C IRC U IT S 

di  + Ri = ℰ  L __  dt 

or 

(RL circuit) . 

937

(30.6.4) 

Equation  30.6.4 is  a  differential  equation  involving  the  variable i  and  its  first  derivative di/dt. To solve it, we seek the function  i(t) such that when i(t) and  its  first derivative are substituted in Eq. 30.6.4, the equation is satisfied and the ini-  tial condition  i(0) = 0 is satisfied.  Equation 30.6.4 a nd its initial condition  are of exactly the form of Eq. 27.4.3  for an RC circuit, with i replacing q, L replacing R, and R replacing 1/C. The solu-  tion  of Eq. 30.6.4 must  then be of  exactly the form of  Eq. 27.4.4 with  the same  replacements. That solution  is  ℰ (1 − e −Rt/L ),  i = __  (30.6.5)  R  which we can rewrite as  ℰ (1 − e −t/τL )  i = __  R 

(rise of current). 

(30.6.6) 

Here τL , the inductive time constant, is given by  L  τL  = __  R 

(time constant). 

(30.6.7) 

Let’s  examine Eq.  30.6.6 for  just  after the  switch  is  closed  (at  time  t = 0)  and for a time long after the switch is closed (t → ∞). If we substitute t = 0 into  Eq. 30.6.6, the exponential becomes e −0 = 1. Thus, Eq. 30.6.6 tells us that the cur-  rent is initially i = 0, as we expected. Next, if we let t go to ∞, then the exponential  goes to  e −∞  = 0. Thus, Eq. 30.6.6 tells us that the current goes to its equilibrium  value of ℰ/R.  We can also  examine the potential  differences in  the  circuit.  For  example,  Fig.  30.6.3 shows  how  the  potential  differences V R  (=  iR)  across  the  resistor  and  V L  (=  L  di/dt) across  the  inductor  vary with  time for  particular values of  ℰ, L, and R. Compare this figure carefully with the corresponding  figure for an  RC circuit (Fig. 27.1.16). 

The resistor’s potential difference turns on. The inductor’s potential difference turns off. 10 8 6 4 2

0

) V( LV

) V( RV

10 8 6 4 2 2

4 t

6 (ms)

(a )

8

0

2

4 t

6 (ms)

8

(b )

The variation with time of (a) V R , the potential difference across the resis-  tor in the circuit of Fig. 30.6.2, and (b) V L , the potential difference across  the inductor in  that circuit. The small triangles represent successive  intervals of one inductive time con-  stant τL  = L/R. The figure is plotted for R = 2000 Ω, L = 4.0 H, and ℰ = 10 V.  Figure  30.6.3 

/

938

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

To show that the quantity  τL  (= L/R) has the dimension of time (as it must,  because the argument of the exponential function  in Eq. 30.6.6 must be dimen-  sionless), we convert from henries per ohm as follows:  H = 1 H  1 V ⋅ s  ______  1Ω ⋅ A  = 1 s.  __  _______  1 __  Ω  Ω ( 1 H ⋅ A )(  1 V  )  The first quantity in parentheses is a conversion factor based on  Eq. 30.5.3, a nd  the second one is a conversion factor based on the relation V = iR.  Time Constant. The physical significance of the time constant follows from  Eq. 30.6.6. If we put t =  τL = L/R in this equation, it reduces to  ℰ (1 − e −1 ) = 0.63 __  ℰ .  i = __  R  R 

(30.6.8) 

Thus,  the time constant τ L  is the time it takes the current in the circuit to reach  about  63%  of  its  final  equilibrium  value  ℰ/R.  Since  the  potential  difference  V R  across the resistor is proportional  to the current i, a graph of  the increasing  current versus time has the same shape as that of V R in Fig. 30.6.3a.  Current Decay. If the switch  S in Fig. 30.6.1 is closed on  a long enough for  the equilibrium  current ℰ/R to be established and then is thrown  to b, the effect  will be to remove the battery from the circuit. (The connection to b must actually  be made an instant  before the connection  to a is broken. A switch that does this  is called a make-before-break switch.) With the battery gone, the current through  the resistor will decrease. H owever, it cannot drop immediately to zero but must  decay to zero over time. The differential equation that governs the decay can be  found  by putting ℰ = 0 in Eq. 30.6.4:  di  + iR = 0.  L __  dt 

(30.6.9) 

By analogy with Eqs. 27.4.9 a nd 27.4.10, the solution of this differential equation  that satisfies the initial condition  i(0) = i 0  = ℰ/R is  ℰ e −t/ τL  = i  e −t/ τL  i = __  0  R 

(decay of current). 

(30.6.10) 

We see that both  current rise (Eq. 30.6.6) a nd current decay (Eq. 30.6.10) in  an  RL circuit are governed by the same inductive time constant, τL .  We have used i 0   in  Eq. 30.6.10 to represent the current at time t = 0. In our  case that happened to be ℰ/R, but it could be any other initial value. 

Checkpoint 30.6.1 

The figure shows three circuits with identical batteries, inductors, and resistors. Rank  the circuits according to the current through the battery (a) just after the switch is  closed and (b) a long time later, greatest first. (If you have trouble here, work through  the next sample problem and then try again.) 

(1)

(2)

(3)

/

939

30.6  RL C IRC U IT S 

Sample Problem 30.6.1

RL circuit,  immediately  after switching  and after  a long time 

Figure 30.6.4a shows a circuit that contains three identical  resistors with resistance R = 9.0 Ω, two identical inductors  with  inductance  L = 2.0 mH, and  an  ideal  battery  with  emf ℰ = 18 V.  (a) What is the current i through the battery just after the  switch is closed? 

+ –

R

L R

R

+ –

R

L

R

(a )

R

(b )

KEY IDEA

Initially, an inductor acts like broken wire.

Just after the switch is closed, the inductor acts to oppose  a change in the current through it.  Because the current through each inductor  is zero before the switch is closed, it will also be zero just  afterward. Thus,  immediately after  the  switch  is  closed,  the  inductors  act  as  broken  wires,  as  indicated  in  Fig.  30.6.4b. We then have a single-loop circuit for which  the  loop  rule gives us  Calculations:

ℰ – iR = 0. 

(Answer) 

(b) What is the current i through the battery long after the  switch has been closed? 

KEY IDEA Long after the switch has been closed, the currents in the  circuit  have  reached  their  equilibrium  values,  and  the  inductors  act as simple connecting  wires, as indicated  in  Fig. 30.6.4c. 

Sample Problem 30.6.2

+ –

R

R

/3

R

(c )

(d )

Long later, it acts like ordinary wire.

(a) A multiloop RL circuit with an open switch.  (b) The equivalent circuit just after the switch has been closed.  (c) The equivalent circuit a long time later. (d) The single-loop  circuit that is equivalent to circuit (c).  Figure  30.6.4 

Substituting  given data, we find that  ℰ  =  _____  18 V  = 2.0 A.  i = __  R  9.0 Ω 

R

+ –

We  now  have  a  circuit  with  three  identi-  cal resistors in  parallel; from Eq. 27.2.6, their equivalent  resistance is R eq  = R/3 = (9.0 Ω)/3 = 3.0 Ω. The equivalent  circuit shown in Fig. 30.6.4d then yields the loop equation  ℰ – iR eq  = 0, or  ℰ  =  _____  18 V  = 6.0 A.  i =  ___  (Answer)  R eq  3.0 Ω  Calculation:

RL circuit, current during the transition 

A solenoid  has an inductance of  53 mH and  a resistance  of  0.37 Ω. If the solenoid  is  connected to a battery, how  long  will  the  current take to  reach half  its  final  equilib-  rium value? (This is a real solenoid because we are consid-  ering its small, but nonzero, internal resistance.) 

According  to  that  solution,  current  i  increases exponentially from zero to its final equilibrium  value of  ℰ/R.  Let t 0   be  the  time  that  current i  takes to  reach half its equilibrium value. Then Eq. 30.6.6 g ives us  Calculations:

1 __  ℰ  =  __  ℰ (1 − e −t 0/  τL ).  __  2 R 

KEY IDEA We can mentally separate the solenoid into a resistance a nd  an inductance that are wired in series with a battery, as in  Fig.  30.6.2.  Then  application  of  the  loop  rule  leads  to  Eq. 30.6.4, which has the solution of Eq. 30.6.6 for the cur-  rent i in the circuit. 

R 

We solve for t 0   by canceling ℰ/R, isolating the exponen-  tial, and taking the natural logarithm of each side. We find  −3 

53 × 10  H ln 2  L  ln 2 = ___________  t 0  = τL ln 2 = __  R  0.37 Ω  = 0.10 s. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

940

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

30.7  ENERGY STORED IN  A MAGNETIC FIELD  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.7.1  Describe the derivation of the equation  for the  magnetic field  energy of an inductor in an 

RL  circuit 

with  a constant emf source. 

RL circuit,  apply the rela-  U, the  inductance  L, and the current  i. 

30.7.2  For an inductor  in an 

tionship between  the magnetic field  energy 

Key Idea  ●

L carries a current  i, the inductor’s magnetic field  stores an 

If an inductor 

energy given by 

1 L i 2  U B = __  2 

(magnetic energy). 

Energy Stored  in a  Magnetic Field 

When we pull  two charged particles of opposite signs away from each other, we  say that  the  resulting  electric potential  energy is  stored  in  the  electric field  of  the particles. We  get it  back from the  field  by letting  the particles move closer  together again. In the same way we say energy is stored  in a magnetic field, but  now we deal with current instead of electric charges.  To  derive a  quantitative  expression for  that  stored  energy, consider  again  Fig. 30.6.2, which shows a source of emf ℰ connected to a resistor R and an induc-  tor L. Equation 30.6.4, restated here for convenience,  di  + iR,  ℰ = L __  (30.7.1)  dt  is  the  differential equation  that  describes the  growth  of  current in  this  circuit.  Recall that  this  equation  follows  immediately from  the  loop  rule  and  that  the  loop  rule in turn  is an expression of the principle  of conservation of energy for  single-loop circuits. If we multiply each side of Eq. 30.7.1 by i, we obtain  di  + i 2 R,  ℰi = Li __  (30.7.2)  dt  which has the following physical interpretation in terms of the work done by the  battery and the resulting energy transfers:  1.  If a differential amount of  charge dq passes through the  battery of emf ℰ in  Fig.  30.6.2 in  time dt,  the battery does  work  on  it  in  the  amount ℰ  dq. The  rate at which the battery does work  is (ℰ dq)/dt, or ℰi. Thus, the left side of  Eq. 30.7.2 represents the rate at which  the emf device delivers energy to  the  rest of the circuit.  2.  The rightmost term in Eq. 30.7.2 represents the rate at which  energy appears  as thermal energy in the resistor.  3.  Energy that is delivered to the circuit but does  not appear as thermal energy  must,  by  the  conservation-of-energy  hypothesis,  be  stored  in  the  magnetic  field of the inductor. Because Eq. 30.7.2 represents the principle of conserva-  tion of energy for RL circuits, the middle term must represent the rate dU B /dt  at which magnetic potential energy U B is stored in the magnetic field.  Thus  dU B  di .  ____  = Li __  dt 

dt 

(30.7.3) 

/

30.7  ENERGY   ST ORED   IN  A  MAGNET IC   F IEL D  

941

We can write this as  dU B = Li di.  Integrating yields 

U B 



0 

1  U B = _  L i 2  2 

or 

i 

dU B  =  Li di  0 

(magnetic energy), 

(30.7.4) 

which  represents the  total  energy stored  by an inductor  L carrying a current i.  Note  the  similarity in  form between this  expression for  the  energy stored  in  a  magnetic field  and the expression for the energy stored in  an electric field by a  capacitor with capacitance C and charge q; namely,  q 2  (30.7.5)  U E  = ___ .  2C  (The variable i 2 corresponds to q 2 , and the constant L corresponds to 1/C.)  Checkpoint 30.7.1 

When we close a switch on an RL circuit, how does the magnetic field energy U B  depend on time:  2  (a) e −t/ τL , (b) 1 − e −t/ τL , (c) (1 − e −t/ τL )  , (d) (1 − e −t/ τL ) e −t/ τL ? 

Sample Problem 30.7.1

Energy stored in a  magnetic  field 

A coil has an inductance of 53 mH and a resistance of 0.35 Ω .  (a)  If  a  12 V  emf  is  applied  across  the  coil,  how  much  energy is stored in the magnetic field after the current has  built  up to its equilibrium value? 

KEY IDEA The  energy stored  in  the magnetic field  of  a coil  at  any  time depends on the current through the coil at that time,  1 Li 2 ).  according to Eq. 30.7.4 ( UB    = _  2  Thus,  to  find  the  energy  U B∞  stored  at  equilibrium,  we  must  first  find  the  equilibrium  current.  From Eq. 30.6.6, the equilibrium current is  ℰ  = ______  12 V  = 34.3 A.  i ∞  = __  (30.7.6)  R  0.35 Ω  Then substitution  yields  Calculations:

1  2  2  _  (53 × 10 −3  H)(34.3 A)  U B∞ =  _  Li  =  1  2  ∞  ( 2 )

= 31 J. 

(Answer) 

(b) After how  many time constants will half this equilib-  rium energy be stored in the magnetic field?  Now  we are being  asked: At  what  time t  will the relation  Calculations:

1  U B  = _  U  2  B∞ 

be satisfied? Using Eq. 30.7.4 twice allows  us  to rewrite  this energy condition  as  1  2  1  _  1  2  _  Li  = (_  Li  2  2 ) 2  ∞ 

1  i  .  i = (____  (30.7.7)  ∞   √ _  2 )  This  equation tells us that, as the current increases from  its initial  value of  0 to  its final  value of i ∞, the  magnetic    field will have half its final stored energy when the current  has increased to  this value. In general, we know  that i is  given by Eq. 30.6.6, a nd here i ∞ (see Eq. 30.7.6) is ℰ/R; so  Eq. 30.7.7 becomes  ℰ (1 − e −t/τL ) = _____  ℰ  __  _  .  R  √ 2 R  By canceling ℰ/R and rearranging, we can write this as  1 _  = 0.293,  e −t/τL  = 1 − ____  √ 2  or 

which yields  t  = −ln  0.293 = 1.23  __ 

τL 

or 

t ≈ 1.2τL . 

(Answer) 

Thus, the energy stored in the magnetic field of the coil by  the current will  reach half  its equilibrium  value 1.2 time  constants after the emf is applied. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

942

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

30.8  ENERGY DENSITY OF A MAGNETIC FIELD  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.8.1  Identify that energy is associated with any  magnetic field. 

u B  B. 

30.8.2  Apply the relationship between energy density 

of a magnetic field and the magnetic field magnitude 

Key Idea  ●

If 

B is the magnitude of a magnetic field  at any point (in  an inductor  or any- 

where  else), the density of stored magnetic energy at that point is 

2 

B  u B  = ___  2 μ0 

(magnetic energy density). 

Energy Density of a  Magnetic Field 

Consider a length l near the middle  of a long solenoid  of cross-sectional area A  carrying current i; the  volume associated with  this  length  is Al. The  energy U B  stored by the length l of the solenoid must lie entirely within this volume because  the  magnetic  field  outside  such  a  solenoid  is  approximately  zero.  Moreover,  the stored energy must be uniformly distributed  within the solenoid because the  magnetic field is (approximately) uniform everywhere inside.  Thus, the energy stored per unit volume of the field is  U B  u B =  ___  Al  or, since  1  2  U B  = _  Li  ,  2 

we have  2 

2 

Li  =  __  i  .  L ___  u B = ____  2Al  l  2A 

(30.8.1) 

Here L is the inductance of length l of the solenoid.  Substituting for L/l from Eq. 30.4.4, we find  1  u B  = _  μ n 2 i 2 ,  2  0 

(30.8.2) 

where n is the number of turns per unit length. From Eq. 29.4.3 (B = μ0 in) we can  write this energy density as  2 

B  u B =  ___  2 μ0 

(magnetic energy density). 

(30.8.3) 

This  equation gives the density of stored  energy at any point  where the magni-  tude  of  the magnetic field  is B. Even though  we derived it  by considering  the  special case of a solenoid, Eq. 30.8.3 holds for all magnetic fields, no matter how  they are generated. The equation is comparable to Eq. 25.4.5,  1  u E  = _  ε E 2 ,  2  0 

(30.8.4) 

which  gives the  energy density (in  a vacuum) at any point  in  an  electric field.  Note that both u B  and u E  are proportional  to the square of the appropriate field  magnitude, B or E. 

/

30.9  MU T U AL  IND U C T ION 

943

Checkpoint 30.8.1 

The table lists the number of turns per unit length, current, and cross-sectional area  for three solenoids. Rank the solenoids according to the magnetic energy density  within them, greatest first.  Solenoid 

Turns per  Unit Length 

Current 

Area 

a  b  c 

2n 1  n 1  n 1 

i 1  2i 1  i 1 

2A 1  A 1  6A 1 

30.9  MUTUAL INDUCTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

30.9.1  Describe the mutual induction  of two coils and  sketch the arrangement. 

30.9.3  Calculate the emf induced  in one coil by a sec-  ond coil in terms of the mutual  inductance  and the 

30.9.2  Calculate the mutual  inductance of one coil with 

rate of change  of the current  in the second coil. 

respect to a second coil (or some second current  that is changing). 

Key  Idea  ●

If coils 1 and 2 are near each other, a changing  current in  either coil can 

induce  an emf in the other. This mutual induction  is described by 

di 1   ℰ 2  = −M ___  dt  di 2   ℰ 1  = −M ___  ,  dt 

and  where 

M  (measured in henries)  is the mutual inductance. 

Mutual Induction 

In  this section we return  to the case of  two interacting coils,  which we first dis-  cussed in  Module 30.1, and  we treat it in a somewhat more formal manner. We  saw earlier that if two coils are close together as in Fig. 30.1.2, a steady current i  in one coil will set up a magnetic flux Φ through the other coil (linking the other  coil). If we change i with time, a n emf ℰ given by Faraday’s law appears in the sec-  ond  coil; we called this process induction.  We could  better have called it mutual  induction,  to suggest the mutual interaction of the two coils and to distinguish  it  from self-induction, in which only one coil is involved.  Let us look  a little  more quantitatively at mutual  induction.  Figure 30.9.1a  shows  two  circular close-packed  coils  near  each other  and  sharing a  common  central axis. With the variable resistor set at a particular resistance R, the battery  produces a steady current i 1   in coil 1. This current creates a  magnetic field repre-  sented by the lines of B 1 in the figure. Coil 2 is connected to a sensitive meter but  contains no  battery; a magnetic flux Φ 21  (the flux through coil 2 associated with  the current in coil 1) links the N 2  turns of coil 2.  →

/

944

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Mutual induction. (a) The  magnetic field B 1  produced by current  i 1  in coil 1 extends through coil 2. If i 1  is  varied (by varying resistance  R), an emf  is induced in coil 2 and current registers  on the meter connected to coil 2. (b) The  roles of the coils interchanged.  Figure  30.9.1 

→

N1

B1

N1 N2

Ф 1 2

Φ 2 1

B2

N2

B1

B2

i2

i1

R

0

0

Coil 2

Coil 1

+ – Coil 1

+ –

(a)

R

Coil 2 (b )

We define the mutual inductance M 21 of coil 2 with respect to coil 1 as  N 2  Φ 21  M 21 =  ______  ,  i 1 

(30.9.1) 

which has the same form as Eq. 30.4.1,  L = NΦ/i, 

(30.9.2) 

the definition of inductance. We can recast Eq. 30.9.1 a s  M 21 i 1  = N 2Φ    2 1 . 

(30.9.3) 

If we cause i 1   to vary with time by varying R, we have  di 1   d Φ 21  (30.9.4)  M 21 ___  = N 2  _____  .  dt  dt  The right side of this equation is, according to Faraday’s law, just the magnitude  of the emf ℰ 2  appearing in coil 2 due to the changing current in coil 1. Thus, with  a minus sign to indicate direction,  d i 1  (30.9.5)  ℰ 2   = −M 21 ___  ,  dt  which you should  compare with Eq. 30.5.3 for self-induction  (ℰ = –L di/dt).  Interchange. Let  us  now  interchange the  roles  of  coils  1  and  2,  as in  Fig.  30.9.1b; that is, we set up a current i 2  in coil 2 by means of a battery, and this pro-  duces a magnetic flux Φ 12 that links coil 1. If we change i 2  with time by varying R,  we then have, by the argument given above,  d i 2  (30.9.6)  ℰ 1  = −M 12 ___  .  dt  Thus, we see that the emf induced in either coil is proportional  to the rate of  change of  current in  the other  coil.  The proportionality  constants M 21  and  M 12  seem to be different. However, they turn out to be the same, a lthough we cannot  prove that fact here. Thus, we have  M 21  = M 12  = M, 

(30.9.7) 

and we can rewrite Eqs. 30.9.5 a nd 30.9.6 a s 

and 

di 1   ℰ 2  = −M ___  dt 

(30.9.8) 

di 2   ℰ 1  = −M ___  .  dt 

(30.9.9) 

/

REV IEW  &  SU MMARY  

945

Checkpoint 30.9.1 

In Fig. 30.9.1a, consider the following three currents  (in amperes and seconds) that  we can set up in coil 1: (a) i a  = 20.0; (b) i b = 20t; (c) i c  = 10t. Rank the currents accord-  ing to the magnitude of the induced emf in coil 2, greatest first. 

Review & Summary The magnetic flux Φ B  through an area A in a  magnetic field B  is defined as  Magnetic Flux  →

→

→

Φ B  =  B ⋅ dA , 

(30.1.1) 

where  the integral is  taken over the area. The  SI unit of mag-  netic flux is the weber, where 1 Wb = 1 T· m2   . If B is perpendicu-  lar to the area and uniform over it, Eq. 30.1.1 becomes  →

(30.1.2) 

Φ B  = BA  ( B  ⊥ A,  B  uniform).  →

→

If  the  magnetic  flux  Φ B  through an area bounded by a closed conducting loop changes  with time, a  current and an emf are  produced in the loop; this  process is called induction. The induced emf is  Faraday’s  Law  of  Induction 

d Φ B  ℰ = − ____  (Faraday’s law).  dt 

(30.1.4) 

If  the loop is  replaced by  a closely packed coil of N  turns, the  induced emf is  d ΦB    ℰ = −N ____  .  dt 

(30.1.5) 

An induced current  has  a  direction such  that  the magnetic field due to the current opposes the change in the  magnetic flux that induces the current. The induced emf has the  same direction as the induced current.  Lenz’s  Law 

An emf is induced  by a  changing magnetic flux even if the loop through which  the flux is changing is not a physical conductor but an imagi-  nary line. The changing magnetic field induces an electric field  E  at every  point of such  a  loop; the  induced emf is  related  to E by  Emf and the Induced Electric Field 

→

→

ℰ =  E  ⋅ d s ,  →

(30.3.4) 

→

∮

where the integration is taken around the loop. From Eq. 30.3.4  we can write Faraday’s law in its most general form,  →

(30.3.5) 

dt 

A changing magnetic field induces an electric field E .  →

An inductor is  a device that can be used to pro-  duce a known magnetic field in a specified region. If  a current  i is  established through each of the N windings of an inductor,  Inductors 

If a current i in a coil changes with time, an  emf is induced in the coil. This self-induced emf is  di .  ℰ L  = −L __  (30.5.3)  dt  The direction of ℰ L  is found from Lenz’s law: The self-induced  emf acts to oppose the change that produces it.  Self-Induction 

If  a constant emf ℰ is  introduced into  a single-loop circuit containing a resistance R and an inductance  L, the current rises to an equilibrium value of ℰ/R:  ℰ  (1 − e −t/ τL )  i = __  (30.6.6)  (rise of current).  R  Here τL  (= L/R) is the inductive time constant. When the source  of constant emf is removed, the current decays from a value i 0  according to  Series RL Circuits 

i = i 0 e −t/ τL  (decay of current). 

(30.6.10) 

If an inductor L  carries  a  current i, the  inductor’s magnetic field stores an energy given by  Magnetic Energy 

1  2  U B  = _  Li  (magnetic energy).  2 

(30.7.4) 

If  B  is  the  magnitude of a  magnetic field  at  any point (in  an  inductor  or  anywhere  else),  the  density  of  stored  magnetic  energy at that point is  B 2  (magnetic energy density).  u B  = ___  2 μ0 

(30.8.3) 

If  coils  1  and  2  are  near  each  other,  a changing current in either coil can induce an emf in the other.  This mutual induction is described by  di 1  (30.9.8)  ℰ 2  = −M ___  dt  di 2  and  (30.9.9)  ℰ 1  = −M ___  ,  dt  where M (measured in henries) is the mutual inductance.  Mutual  Induction 

d ΦB    E  ⋅ d s  = − ____  (Faraday’s law).  ∮ →

a  magnetic flux Φ B  links those windings. The  inductance L  of  the inductor is  N Φ B  (30.4.1)  L = _____  (inductance defined).  i  The SI unit of inductance is the henry (H), where 1 henry = 1 H =  1  T· m2    /A. The  inductance per  unit length near  the middle of  a  long solenoid of cross-sectional  area  A  and n  turns per  unit  length is  L  = μ n 2 A  (solenoid).  __  (30.4.4)  0  l 

/

946

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

Questions If  the circular  conductor in  Fig.  30.1  undergoes  thermal  expansion  while  it  is  in  a  uniform  magnetic  field,  a  current  is  induced  clock-  wise around it. Is  the magnetic field  directed into or out of the page? 

four concentric circular paths. Rank the paths according to the  magnitude of ∮ E  ⋅ d s  evaluated along them, greatest first. 

1 

→

→

c

a

Figure  30.1 

Question 1. 

The  wire  loop  in  Fig.  30.2a  is  subjected,  in  turn,  to  six  uniform magnetic fields,  each  directed  parallel  to  the  z  axis,  which  is  directed  out of  the plane  of the  figure. Figure 30.2b  gives the z components Bz    of the fields versus time t. (Plots 1 and  3 are parallel; so are plots 4 and 6. Plots 2 and 5 are parallel to  the time axis.) Rank the six plots according  to the emf induced  in the loop, greatest clockwise emf first, greatest counterclock-  wise emf last. 

b d

2 

Figure  30.5 

Question 5. 

In  Fig. 30.6, a  wire  loop has  been bent so  that it has three  segments: segment bc  (a  quarter-circle),  ac  (a  square  corner),  and ab  (straight).  Here  are  three  choices  for a  magnetic field  through the loop:  y (1)  B 1  = 3 ˆ  i + 7 ˆ  j − 5tk ̂ ,  6 

→

Bz

y

1

2

(2)  B 2  = 5t ˆ  i − 4 ˆ  j − 15 k̂ ,  (3)  B 3  = 2 ˆ  i − 5t ˆ  j − 12 k̂ , 

3

→

x

5 (a )

4

t

6

(b ) Figure  30.2 

c

→

Question 2. 

In Fig. 30.3, a long straight wire with current i passes (with-  out touching) three rectangular wire loops with edge lengths L,  1.5L, and 2L. The  loops are widely spaced (so as not to affect  one another). Loops 1 and 3 are symmetric about the long wire.  Rank the loops according to the size of the current induced in  them  if current  i  is  (a)  constant and  (b)  increasing,  greatest  first.  3 

b

→

x

where  B  is  in  milliteslas  and  t  is  in  a seconds.  Without  written  calcula-  z tion, rank  the  choices  according  to  (a) the work done per unit charge in  setting up  the  induced current  and  Figure  30.6  Question 6.  (b)  that  induced  current,  greatest  first. (c)  For  each choice, what is  the direction of the induced  current in the figure?  Figure 30.7 shows  a circuit with two identical resistors  and an  ideal inductor. Is the current through the central resistor more than,  less than, or the same as that through the other resistor (a) just after  the closing of switch S, (b) a long time after that, (c) just after S is  reopened a long time later, and (d) a long time after that?  7 

i

2

+ –

3

1 Figure  30.3 

Question 3. 

S

v

(1)

(2) Figure  30.4 

v

Question 4. 

Figure  30.5  shows  a  circular  region  in  which  a  decreasing  uniform magnetic field is  directed out of  the page, as  well  as  5 

Figure  30.7 

Question 7. 

The  switch  in  the  circuit  of  Fig.  30.6.1  has  been  closed  on  a  for  a  very  long  time  when  it  is  then thrown to b. The  result-  ing current through the inductor  is indicated in Fig. 30.8 for  four  sets  of values  for  the resistance  R and inductance L: (1)  R 0  and  L 0 ,  (2)  2R 0  and  L 0 ,  (3)  R 0  and  2L 0 , (4)  2R 0  and 2L 0 . Which set  goes with which curve?  8 

d

i

Figure 30.4 shows  two circuits  in which a conducting bar is  slid  at  the  same  speed  v  through the  same  uniform magnetic  field and along a U-shaped wire. The parallel lengths of the wire  are separated by 2L in circuit 1 and by L in circuit 2. The current  induced in circuit 1 is counterclockwise. (a) Is the magnetic field  into or  out of the page? (b)  Is  the current induced in circuit 2  clockwise or counterclockwise? (c) Is  the emf induced in circuit  1 larger than, smaller than, or the same as that in circuit 2?  4 

b c a

t

Figure  30.8 

Question 8. 

Figure 30.9  shows  three  cir-  cuits with identical batteries, inductors, and resistors.  Rank the  circuits, greatest first, according to the current through the resis-  tor labeled R  (a)  long  after the switch is  closed, (b)  just  after  9 

/

947

P ROBL EMS 

the switch is  reopened a long time later, and (c)  long after it is  reopened. 

a battery is part of the loop. In which situations are the induced  emf and the battery emf in the same direction along the loop?  + 

̶  B

+ –

+ –

R

+ –

B

R

R

̶  + 

=  0

B

increasing

B

(a )

(2) Figure  30.9 

(3)

decreasing

B

=  0

decreasing

(c )

Question 11. 

Figure 30.12 gives four situations in which we pull rectangular  wire loops out of identical magnetic fields (directed into the page)  at the same constant speed. The loops have edge lengths of either  L or 2L, as drawn. Rank the situations according to (a) the mag-  nitude of the force required of us and (b) the rate at which energy  is transferred from us to thermal energy of the loop, greatest first.  12 

Question 9. 

Figure 30.10 gives the varia-  tion  with  time  of  the  potential  difference V R  across  a resistor in  three  circuits  wired  as  shown  in  Fig.  30.6.2.  The  circuits  contain  the  same  resistance  R  and  emf  ℰ but differ in the inductance L.  Rank  the  circuits  according  to  the value of L, greatest first. 

B

(b ) Figure  30.11 

(1)

̶  + 

=  0

10 

a b R

V

c

B

B

B

B

t

Figure  30.10 

Question 10. 

Figure  30.11 shows  three  situations  in which  a  wire  loop  lies  partially in a  magnetic field. The magnitude of the field is  either increasing  or decreasing,  as indicated. In  each situation,  11 

(1)

(2)

(3)

Figure  30.12 

(4)

Question 12. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in  The

Flying Circus of Physics

Faraday’s Law and 

→

1  E 

→

θ

N

→

Loop

→

Figure  30.13 

Problem 1. 

A certain elastic conducting material is stretched into a cir-  cular loop of 12.0 cm radius. It is placed with its plane perpen-  dicular to a uniform 0.800 T magnetic field. When released, the  radius  of  the loop starts  to shrink  at  an  instantaneous rate  of  75.0 cm/s. What emf is induced in the loop at that instant?  2  E 

E  CALC  SSM  In  Fig. 30.14, a  Coil 120-turn coil of radius 1.8 cm and  resistance  5.3  Ω  is  coaxial  with  a  solenoid  of  220  turns/cm  and  diameter  3.2 cm.  The  solenoid  current  drops  from 1.5 A  to  zero  Solenoid in time interval Δt = 25 ms. What  Figure  30.14  Problem 3.  current is induced in the coil dur-  ing Δt? 

3 

E  CALC  A  wire  loop  of  radius  B 12 cm and resistance  8.5 Ω  is  located  in  a  uniform  magnetic  field  B  that  0 t changes in magnitude as given in Fig.  t (s) 30.15. The vertical axis scale is set by  Figure  30.15  Problem 4.  B s  =  0.50 T,  and the  horizontal axis  scale is set by t s  = 6.00 s. The loop’s plane is perpendicular to B .  What emf is  induced in the  loop during time intervals (a)  0  to  2.0 s, (b) 2.0 s to 4.0 s, and (c) 4.0 s to 6.0 s? 

4 

B

Lenz’s Law 

In Fig. 30.13, a circular loop of wire 10 cm  in diameter (seen  edge-on) is  placed with its  normal N  at an  angle θ = 30° with the direc-  tion  of  a  uniform magnetic field B  of  mag-  nitude 0.50 T.  The  loop is  then rotated such  that N rotates in a cone about the field direc-  tion at the rate  100  rev/min; angle  θ remains  unchanged  during  the  process.  What  is  the  emf induced in the loop? 

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

)T( B

Module 30.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

s

s

→

E  In  Fig.  30.16, a  wire  forms  a  closed  circular  loop, of  radius  R R = 2.0 m  and  resistance  4.0  Ω.  The  circle  is  centered  on  a  long  straight  wire;  at  time  t = 0,  the  current  in  the long  straight wire  Figure  30.16  Problem 5.  is  5.0 A  rightward.  Thereafter,  the  current  changes  according  to i = 5.0 A – (2.0 A/s 2 )t 2 .  (The  straight  wire  is  insulated;  so  there  is  no  electrical  contact  between it and the wire of the loop.) What is the magnitude of  the current induced in the loop at times t > 0? 

5 

CALC  Figure 30.17a shows a circuit consisting of an ideal  battery with emf ℰ = 6.00 μ V, a  resistance  R, and a small wire  loop of area 5.0 cm 2 . For the time interval t = 10 s to t = 20 s, an  external magnetic field is set up throughout the loop. The field is  uniform, its direction is into the page in Fig. 30.17a, and the field 

6  E 

/

948

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

magnitude is given by B = at, where B is in teslas, a is a constant,  and t is in seconds. Figure 30.17b gives the current i in the circuit  before, during, and after the external field is set up. The vertical  axis scale is set by i s  = 2.0 mA. Find the constant a in the equa-  tion for the field magnitude. 

when the loop is rotated at 60.0 rev/s in a uniform magnetic field  of 0.500 T?  Sliding contacts B

b

R

(a )

0

(b )

30 t

Figure  30.17 

Figure  30.20 

Problem 6. 

Problem 11. 

M  CALC  In  Fig.  30.21,  a  wire  loop  y of  lengths  L = 40.0 cm  and  W  =  25.0  cm  L lies  in  a  magnetic  field  B .  What  are  the  W (a)  magnitude  ℰ  and  (b)  direction  (clock-  wise  or  counterclockwise—or  “none”  if  ℰ  x = 0)  of the emf  induced in  the loop if B  =  Figure  30.21  (4.00 × 10 −2  T/m) yk ̂ ? What are (c) ℰ and (d)  Problem 12.  direction if B  = (6.00 ×  10 −2  T / s) tk ̂ ?  What  are (e) ℰ and (f) direction if B  = (8.00 × 10 −2  T / m ⋅ s) ytk ̂ ? What  are  (g)  ℰ  and  (h)  direction  if  B  =  (3.00  ×  10 −2  T / m  ⋅  s) xt ˆ  j?  What are (i) ℰ and (j) direction if B = (5.00 × 10 −2  T / m ⋅ s) yt ˆ  i? 

12 

E  CALC 

B

→

→

→

→

A  uniform  magnetic field  B  is  R perpendicular  to  the  plane  of  a  cir-  Figure  30.18  Problem 7.  cular loop of diameter 10 cm formed  from wire  of diameter 2.5 mm and resistivity  1.69 × 10 −8  Ω · m.  At what rate must the magnitude of B change to induce a 10 A  current in the loop?  8 

a

(s)

In Fig. 30.18, the magnetic  flux through the loop increases accord-  ing  to  the  relation  Φ B  = 6.0t 2  + 7.0t,  where  Φ B  is in milliwebers  and  t  is in  seconds.  (a)  What  is  the  magnitude  of the  emf  induced in  the  loop when  t = 2.0 s? (b) Is the direction of the cur-  rent through R to the right or left?  7 

R

)Am( i

is

→

E 

→

A small loop of area 6.8 mm 2  is placed inside a long solenoid  that has 854 turns/cm and carries a sinusoidally varying current  i of amplitude 1.28 A and angular frequency 212 rad/s. The cen-  tral axes of the loop and solenoid coincide. What is the ampli-  tude of the emf induced in the loop?  9  E 

CALC  Figure 30.19 shows a  Magnetic closed loop of wire that consists of  field a pair of equal semicircles, of radius  3.7 cm, lying in mutually perpendic-  ular  planes. The  loop was  formed  by folding a flat circular loop along  a  diameter  until  the  two  halves  became  perpendicular  to  each  other. A uniform magnetic field B  of  magnitude  76 mT  is  directed  perpendicular to the fold diameter  Figure  30.19  Problem 10.  and  makes  equal  angles  (of  45°)  with the planes of the semicircles. The magnetic field is reduced to  zero at a uniform rate during a time interval of 4.5 ms. During this  interval, what are the (a) magnitude and (b) direction (clockwise or  counterclockwise when viewed along the direction of B ) of the emf  induced in the loop? 

10  M 

→

→

M  One  hundred  turns  of  (insulated)  copper  wire  are  wrapped  around a  wooden  cylindrical  core  of  cross-sectional  area 1.20 × 10 −3  m 2 . The two ends of the wire are connected to a  resistor. The total resistance  in the circuit is 13.0 Ω. If an exter-  nally  applied uniform longitudinal magnetic field in  the  core  changes from 1.60 T  in one direction to 1.60 T  in the opposite  direction, how much charge flows through a point in the circuit  during the change? 

13 

→

In  Fig.  30.22a,  a  uniform magnetic field  B  increases  in  magnitude  with  time  t  as  given  by  Fig.  30.22b,  where the vertical axis scale is set by B s  = 9.0 mT and the hori-  zontal scale  is  set  by  t s   = 3.0  s.  A circular  conducting loop of  area  8.0 × 10 −4  m 2  lies  in  the  field,  in  the  plane  of  the  page.  The amount of charge q passing point A on the loop is given in  Fig. 30.22c as  a function of t, with the vertical axis  scale set by  q s  = 6.0 mC and the horizontal axis scale again set by t s  = 3.0 s.  What is the loop’s resistance?  14 

M 

CALC 

GO 

→

A rectangular  coil of N turns and of length a and  width b is rotated at frequency f in a uniform magnetic field B ,  as  indicated in Fig. 30.20. The  coil is  connected to co-rotating  cylinders, against which metal brushes slide to make contact. (a)  Show that the emf induced in the coil is  given (as a function of  time t) by  CALC 

→

ℰ = 2πfNabB sin(2 πft) = ℰ 0  sin(2 πft).  This is the principle of the commercial alternating-current gen-  erator.  (b)  What value  of  Nab gives  an  emf with  ℰ 0  = 150  V 

0 t

(a)

→

11  M 

)Cm( q

B A

qs

)Tm( B

Bs

0

ts

(s)

t

(b ) Figure  30.22 

ts

(s)

(c )

Problem 14. 

GO  A  square  wire  M  CALC  loop with 2.00 m sides  is  perpen-  dicular  to  a  uniform  magnetic  field,  with  half  the  area  of  the  loop in the field as  shown in Fig.  30.23. The  loop contains an ideal  battery  with  emf  ℰ = 20.0 V.  If  the  magnitude  of  the  field  varies  with  time  according  to  B = 0.0420 – 0.870t, with B in tes-  las and t in seconds, what are (a)  15 

B

bat Figure  30.23 

Problem 15. 

/

P ROBL EMS 

the net emf in the circuit and (b) the direction of the (net) cur-  rent around the loop?  GO  Figure 30.24a  shows  a  wire that forms a  rect-  M  CALC  angle (W = 20 cm, H = 30 cm) and has a resistance of 5.0 mΩ. Its  interior is split into three equal areas, with magnetic fields B 1 , B 2 ,  and  B 3 .The fields are uniform within each region and directly  out  of  or  into  the  page  as  indicated. Figure  30.24b  gives  the  change in the z  components B z  of the three fields with time t;  the vertical axis scale is set by B s  = 4.0 μ T and B b  = –2.5B s , and  the  horizontal axis  scale  is  set  by  t s  = 2.0  s.  What are  the  (a)  magnitude and (b) direction of the current induced in the wire?  16 

→

→

→

y

Bs

0

B1

B2

2 ts

)T( z B

H

1

3

B3 x W

–Bb t

(a )

(s)

(b ) Figure  30.24 

Problem 16. 

2  CALC  A small circular loop of area  2.00 cm  is placed in  the plane of, and concentric with, a large circular loop of radius  1.00 m. The current  in the large  loop is  changed at a  constant  rate from 200 A to –200 A (a  change in direction)  in a time of  1.00 s, starting at t = 0. What is the magnitude of the magnetic  field B  at the center of the small loop due to the current in the  large loop at (a) t = 0, (b) t = 0.500 s, and (c) t = 1.00 s? (d) From  t = 0 to t = 1.00 s, is B reversed? Because the inner loop is small,  assume B is uniform over its area. (e) What emf is induced in the  small loop at t = 0.500 s?  17  M 

→

→

→

M  CALC  In  Fig.  30.25,  two  straight  conducting  rails  form  v a  right  angle. A  conducting  bar  in  contact  with  the  rails  starts  at  the  vertex  at  time  t = 0  and  B moves with a constant velocity of  5.20 m/s along them. A magnetic  Figure  30.25  Problem 18.  field with B = 0.350 T is  directed  out  of  the  page.  Calculate  (a)  the  flux  through  the  triangle  formed by the rails and bar at t = 3.00 s and (b) the emf around  the triangle at that time. (c) If the emf is ℰ = at n , where a and n  are constants, what is the value of n? 

18 

M  CALC  An electric  generator contains a coil of 100 turns  of wire, each forming a rectangular loop 50.0 cm by 30.0 cm. The  coil is placed entirely in a uniform magnetic field with magnitude  B = 3.50 T and with B initially perpendicular to the coil’s plane.  What is the maximum value of the emf produced when the coil is  spun at 1000 rev/min about an axis perpendicular to B ? 

19 

→

→

At a certain place, Earth’s magnetic field has magnitude  B = 0.590 gauss  and is  inclined downward at  an angle of 70.0°  to the horizontal. A  flat horizontal circular  coil of wire  with a  radius of 10.0 cm has 1000 turns and a total resistance  of 85.0 Ω.  It  is  connected in  series  to a meter with 140 Ω  resistance.  The  coil  is  flipped through a  half-revolution about a  diameter, so  20  M 

949

that it is again horizontal. How much charge flows through the  meter during the flip?  M  CALC  In  Fig. 30.26, a stiff  wire  bent  into  a  semicircle  of  radius  a = 2.0 cm  is  rotated  at  constant angular speed 40 rev/s in  a  uniform 20 mT  magnetic field.  What  are  the  (a)  frequency  and  (b) amplitude of the emf induced  in the loop? 

21 

a

B

R

A rectangular loop (area =  Figure  30.26  Problem 21.  0.15 m 2 )  turns in a  uniform mag-  netic field, B = 0.20 T.  When the  angle between the field and  the normal to the plane of the loop is  π/2 rad and increasing  at  0.60 rad/s, what emf is induced in the loop?  22  M 

M  CALC  SSM  Figure  30.27  shows  two parallel  loops of  wire  r having  a  common  axis.  The  smaller  loop  (radius  r)  is  above  the  larger  loop  (radius  R)  by  a  x distance x ⪢ R. Consequently, the  magnetic field due to the counter-  R clockwise  current  i  in  the  larger  i loop is nearly uniform throughout  the smaller  loop. Suppose that x  Figure  30.27  Problem 23.  is  increasing  at the constant rate  dx/dt = v. (a)  Find an expression for the magnetic flux through  the area  of the smaller  loop as  a  function of x.  (Hint: See Eq.  29.5.3.)  In  the  smaller  loop,  find  (b)  an  expression  for  the  induced emf and (c) the direction of the induced current. 

23 

M  CALC  A  wire  is  bent into  three  circular  segments,  each  of  radius  r = 10 cm,  as  shown  in  Fig. 30.28. Each  segment is  a  quadrant of  a  circle,  ab  lying  in  the  xy  plane, bc  lying  in  the  yz  plane, and ca lying in the zx plane.  (a)  If a uniform magnetic field B  points in the positive x direction,  what is the magnitude of the emf  developed  in  the  wire  when  B  increases at the rate of 3.0 mT/s?  (b)  What  is  the  direction of  the  current in segment bc? 

24 

z

c

r r

→

b

y

r

a x

Figure  30.28 

Problem 24. 

GO  Two long, parallel copper wires  of diameter 2.5 mm  carry currents of 10 A in opposite directions. (a) Assuming that  their central axes  are 20 mm apart, calculate the magnetic flux  per  meter of wire that exists  in the space between those axes.  (b) What percentage of this flux lies inside the wires? (c) Repeat  part (a) for parallel currents.  25  H 

GO  For  the  wire  CALC  H  arrangement  in  Fig.  30.29,  a = 12.0 cm  and  b = 16.0 cm. The  current  in  the  long  straight  wire  is  i = 4.50t 2  – 10.0t,  where  i  is  in  amperes  and  t  is  in  seconds.  (a)  Find the emf in the square loop at  t = 3.00 s. (b) What is the direction  of the induced current in the loop?  26 

i b a

b

Figure  30.29 

Problem 26. 

/

950

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

As  seen  in  Fig.  30.30,  a  square  loop  of  wire  has  sides  of  length  2.0 cm.  A  mag-  netic  field  is  directed  out  of  the  page;  its  magnitude  is  given  by  B = 4.0t 2 y,  where  B  is  in  teslas,  t  is  in seconds,  and y  is  in meters.  At t = 2.5 s,  what are  the (a)  mag-  nitude and (b)  direction of the emf  induced in the loop?  27 

A  loop  antenna  of  area  2.00 cm 2  and  resistance  5.21 μ Ω is perpendicular to a uniform magnetic field of magnitude  17.0 μ T. The field magnitude drops to zero in 2.96 ms. How much  thermal energy is produced in the loop by the change in field? 

y

CALC 

H 

32 

H 

CALC 

Module 30.2 

x

GO 

E 

→

E  CALC  In Fig. 30.33a, a circular  loop of wire is  concentric  with a solenoid and lies in a plane perpendicular to the solenoid’s  central axis. The loop has radius 6.00 cm. The solenoid has radius  2.00 cm, consists of 8000 turns/m, and has a  current i sol  varying  with time t as  given in Fig. 30.33b, where  the vertical axis scale  is set by i s  = 1.00 A and the horizontal axis scale is set by t s  = 2.0  s. Figure 30.33c shows, as a function of time, the energy E th  that  is transferred to thermal energy of the loop; the vertical axis scale  is set by E s  = 100.0 nJ. What is the loop’s resistance? 

30 

)A( losi

)J n( ht E

is

0 t

(a )

(s)

ts

(b ) Figure  30.33 

Es

CALC  In Fig. 30.35, a  long  rectangular  conducting  loop,  of  width  L,  resistance  R,  and  mass  m, is hung in a horizontal, uniform  magnetic  field  B  that is  directed  into the page and that exists  only  above  line  aa.  The  loop  is  then  dropped; during its fall, it acceler-  ates until it reaches  a certain ter-  minal speed  v t . Ignoring  air  drag,  find an expression for v t . 

L

B

→

a

a

mg

The conducting rod shown  Figure  30.35  Problem 34.  in  Fig.  30.32  has  length  L  and  is being pulled along horizontal, frictionless  conducting rails  at a  constant velocity  v . The  rails  are  connected at one  end  with a  metal strip. A  uniform magnetic field B , directed  out  of the  page, fills the region in which the rod moves. Assume  that L = 10 cm, v = 5.0 m/s, and  B = 1.2 T.  What  are  the (a)  magnitude and (b) direction (up or down the page) of the emf  induced in the rod?  What  are  the (c)  size  and  (d)  direction  of the current in the conducting loop? Assume that the resis-  tance of the rod is 0.40 Ω  and  that the resistance  of the rails  and metal strip is negligibly small. (e) At what rate is thermal  energy being generated in the rod? (f) What external force on  the rod  is needed to maintain v ?  (g)  At what rate  does this  force do work on the rod?  35  M 

→

→

→

Module 30.3 

0 t

(s)

ts

(c )

Problem 30. 

E  CALC  SSM  If  50.0 cm  of  copper  wire  (diameter =  1.00 mm) is formed into a circular loop and placed perpendicu-  lar to a uniform magnetic field that is increasing at the constant  rate  of 10.0 mT/s,  at what rate  is  thermal energy generated  in  the loop? 

31 

GO  Figure  30.34  CALC  M  shows a rod of length L = 10.0 cm  i that  is  forced  to  move  at  con-  stant  speed  v = 5.00 m/s  along  horizontal  rails.  The  rod,  rails,  a and connecting strip  at  the right  form a  conducting loop. The rod  has resistance  0.400 Ω; the rest of  v L B the loop has negligible resistance.  A  current  i = 100 A  through the  long  straight  wire  at  distance  a = 10.0 mm  from  the  loop  sets  Figure  30.34  Problem 33.  up a (nonuniform) magnetic field  through the loop. Find the (a)  emf and (b)  current induced in  the loop. (c)  At what  rate  is  thermal energy generated  in  the  rod? (d) What is the magnitude of the force that must be applied  to the rod to make it move at constant speed? (e) At what rate  does this force do work on the rod?  34  M 

Induction and Energy  Transfers 

In  Fig. 30.32,  a  metal  rod  is  forced  to  move  with  constant  v velocity  v  along  two  parallel  L metal rails, connected with a strip  of metal at  one end. A magnetic  B field  of  magnitude  B = 0.350 T  Figure  30.32  points out of the page. (a)  If the  Problems 29 and 35.  rails are separated by L = 25.0 cm  and the speed of the rod is 55.0 cm/s, what emf is generated? (b)  If the rod has a resistance of 18.0 Ω and the rails and connector  have negligible resistance, what is the current in the rod? (c) At  what rate is energy being transferred to thermal energy?  29 

CALC 

33 

B

Figure  30.30  Problem 27.  In  Fig.  30.31,  a a  rectangular  loop  of  wire  with  length  a = 2.2 cm,  width  b v b = 0.80 cm,  and  resistance  R = 0.40 mΩ  is  placed  near  an  r infinitely long wire  carrying  cur-  i rent  i = 4.7 A.  The  loop  is  then  moved  away  from  the  wire  at  Figure  30.31  Problem 28.  constant  speed  v = 3.2 mm/s.  When the center of the loop is at distance r = 1.5b, what are (a)  the magnitude of the magnetic flux through the loop and (b) the  current induced in the loop? 

28 

E 

Induced 

Electric Fields  E  CALC  Figure  30.36  shows  two circular regions R 1 and R 2 with  radii r 1  = 20.0 cm and r 2  = 30.0 cm.  In R 1  there is a uniform magnetic  field  of  magnitude  B 1  = 50.0 mT  directed  into  the  page,  and  in  R 2  there  is  a  uniform  magnetic  field  of  magnitude  B 2  = 75.0 mT  directed out  of  the page  (ignore 

36 

Path 3

R1

R2

Path 1 Path 2 Figure  30.36 

Problem 36. 

/

P ROBL EMS 

fringing). Both fields are decreasing at the rate of 8.50 mT/s. Cal-  culate ∮ E ⋅ d s  for (a) path 1, (b) path 2, and (c) path 3.  →

→

E  CALC  SSM  A long solenoid has  a diameter of 12.0 cm.  When  a  current  i  exists  in  its  windings, a  uniform magnetic  field  of  magnitude  B = 30.0 mT  is  produced  in  its  interior.  By  decreasing  i,  the field is  caused  to decrease  at  the rate  of  6.50 mT/s. Calculate the magnitude of the induced electric field  (a) 2.20 cm and (b) 8.20 cm from the axis of the solenoid. 

37 

38  M 

CALC 

GO  A circular region 

Es

)C/Nμ ( E

s

M  CALC  The  magnetic field  of  a  cylindrical  magnet that  has  a  pole-face diameter of 3.3 cm  can  be  varied  sinusoidally  between 29.6 T  and 30.0 T  at a  frequency  of 15 Hz.  (The  cur-  rent  in  a  wire  wrapped around a  permanent magnet is  varied  to  give this  variation in the  net field.) At a  radial  distance of  1.6 cm, what is the amplitude of the electric field induced by the  variation? 

39 

Module 30.4 

Inductors and Inductance 

E  The  inductance of  a  closely  packed coil  of  400  turns  is  8.0 mH. Calculate the magnetic flux through the coil when the  current is 5.0 mA. 

40 

E  A circular  coil  has a  10.0 cm radius  and consists  of 30.0  closely wound turns of wire. An externally produced magnetic  field of  magnitude 2.60 mT is  perpendicular to the  coil. (a)  If  no  current  is  in  the  coil,  what  magnetic flux  links  its  turns?  (b)  When  the current  in  the coil  is  3.80 A  in  a  certain  direc-  tion, the net flux through the coil is found to vanish. What is the  inductance of the coil? 

41 

M  Figure 30.38 shows a  copper strip of  width  W = 16.0  cm  that  has  been  bent  to  form a shape that consists of a tube of radius  R = 1.8 cm plus two parallel flat extensions.  Current i = 35 mA is distributed uniformly  across  the  width so  that  the tube is  effec-  tively a one-turn solenoid. Assume that the  magnetic field outside the tube is negligible  and  the  field  inside  the  tube  is  uniform.  What are  (a) the magnetic field magnitude  inside  the  tube  and  (b)  the inductance  of  the tube (excluding the flat extensions)? 

42 

43  M 

CALC 

GO  Two identical long wires of 

Self-Induction 

A 12 H inductor carries  a current of 2.0 A. At what rate  must  the  current  be  changed  to  produce  a  60 V  emf  in  the  inductor?  44  E 

CALC  At a given instant  the  current  and  self-induced  i emf in an inductor are directed  as  indicated in  Fig.  30.39.  (a)  Figure  30.39  Problem 45.  Is  the  current  increasing  or  decreasing? (b) The induced emf is 17 V, and the rate of change  of the current is 25 kA/s; find the inductance. 

45  E 

L

M  CALC  The  current  i  i through  a  4.6 H  inductor  varies  with time t as shown by the graph  of  Fig. 30.40,  where  the  vertical  axis scale is  set by i s  = 8.0 A and  the horizontal axis scale is  set by  0 t t s  =  6.0  ms.  The  inductor has  a  t (ms) resistance of 12 Ω. Find the mag-  Figure  30.40  Problem 46.  nitude of the induced emf ℰ dur-  ing time intervals (a) 0 to 2 ms, (b) 2 ms to 5 ms, and (c) 5 ms to  6 ms. (Ignore the behavior at the ends of the intervals.) 

46 

s

)A( i

in  an  xy  plane is  penetrated by  a  uniform magnetic  field in  the  positive  direction  of  the  z  axis.  The  field’s magnitude B  (in  tes-  las)  increases with time t (in sec-  0 r onds) according to B = at, where  r (cm) a is a constant. The magnitude E  of the electric field set up by that  Figure  30.37  Problem 38.  increase  in the  magnetic field is  given by Fig. 30.37 versus radial distance r; the vertical axis scale  is  set by E s  = 300  μN/C, and the horizontal axis scale  is set  by  r s  = 4.00 cm. Find a. 

Module 30.5 

951

s

M  Inductors  in  series.  Two  inductors L  1  and  L 2  are  con-  nected in series and are separated by a large distance so that the  magnetic field of one cannot affect the other. (a) Show that the  equivalent inductance is given by 

47 

L eq  = L 1  + L 2 .  (Hint: Review the derivations for resistors in series  and capaci-  tors in series. Which is similar here?) (b) What is the generaliza-  tion of (a) for N inductors in series?  CALC  Inductors in parallel. Two inductors L  1  and L 2  are  connected in parallel and separated by a large distance so that  the magnetic field of one cannot affect the other. (a) Show that  the equivalent inductance is given by 

48  M 

1  = ___  1  + ___  1  .  ___ 

L eq  L 1  L 2  (Hint:  Review  the  derivations  for  resistors  in  parallel  and  capacitors  in parallel. Which is  similar  here?)  (b)  What is  the  generalization of (a) for N inductors in parallel?  The inductor arrangement  of Fig. 30.41, with L 1  = 30.0 mH,  L 2  = 50.0 mH, L 3  = 20.0 mH, and  L 4  = 15.0 mH, is  to be connected  to a varying current source. What  is  the  equivalent  inductance  of  the  arrangement?  (First  see  Problems 47 and 48.)  49  M 

i

i

R

W

i

Module 30.6 

L1 L2

L3

L4

Figure  30.41 

Problem 49. 

RL Circuits 

The current in an RL circuit builds up to one-third of its  steady-state value in 5.00 s. Find the inductive time constant.  50  E 

Figure  30.38 

Problem 42. 

radius  a = 1.53 mm  are  parallel  and  carry  identical currents in opposite directions. Their center-to-center  separation is  d = 14.2 cm. Neglect the flux within the wires but  consider the flux in the region between the wires.  What is  the  inductance per unit length of the wires? 

The current in an RL  circuit drops from 1.0 A to 10 mA  in  the first  second  following removal  of  the battery from  the  circuit. If L is 10 H, find the resistance  R in the circuit.  51  E 

The switch in Fig. 30.6.1 is closed on a at time t = 0. What is  the ratio ℰ L /ℰ of the inductor’s self-induced emf to the battery’s  52  E 

/

952

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

emf (a) just after t = 0 and (b) at t = 2.00τL ? (c) At what multiple  of τL  will ℰ L /ℰ = 0.500?  SSM  A solenoid having an inductance of 6.30 μH is con-  nected in series with a 1.20  kΩ resistor. (a) If a 14.0 V battery is  connected across  the pair, how long will it take for the current  through the resistor to reach 80.0% of its final value? (b) What  is the current through the resistor at time t = 1.0τL ? 

53  E 

In Fig. 30.42, ℰ  = 100 V, R 1  =  i1 10.0 Ω,  R 2  = 20.0 Ω, R 3  = 30.0 Ω,  S and  L = 2.00 H.  Immediately  R1 R3 after switch  S is  closed, what are  + i2 (a)  i 1  and  (b)  i 2 ?  (Let  currents  R2 L – in  the  indicated  directions  have  positive values and currents in the  opposite directions have negative  values.)  A  long  time  later,  what  Figure  30.42  Problem 54.  are (c) i 1 and (d) i 2 ? The switch is then reopened. Just then, what  are (e) i 1  and (f) i 2 ? A long time later, what are (g) i 1  and (h) i 2 ?  54  E 

SSM  A battery is connected to a series RL circuit at time  t = 0. At what multiple of τL  will the current be 0.100% less than  its equilibrium value? 

55  E 

In Fig. 30.43, the inductor has 25 turns and the ideal  battery has an emf of 16 V. Figure 30.44 gives the magnetic flux  Φ through each turn versus  the current i through the inductor.  The vertical axis scale is set by Φ s = 4.0 × 10 −4  T· m2    , and the hor-  izontal axis scale is set by i s  = 2.00 A. If switch S is closed at time  t = 0, at what rate di/dt will the current be changing at t = 1.5τL ?  56  E 

CALC 

R

L

Problems 56,  80, and 83. 

)2m • T 4 – 01( Φ

Φ s

S

0

is i

Figure  30.44 

(A)

Problem 56. 

GO 

In  Fig.  30.45,  Fuse R = 15  Ω,  L = 5.0 H,  the  ideal  battery has ℰ = 10 V, and the fuse  in  the  upper  branch  is  an  ideal  R 3.0 A fuse. It has  zero  resistance  + S as  long as  the current  through it  – L remains  less  than  3.0  A.  If  the  current  reaches  3.0 A,  the  fuse  Figure  30.45  Problem 57.  “blows”  and  thereafter  has  infi-  nite resistance.  Switch S is  closed at time t = 0. (a)  When does  the fuse blow? (Hint: Equation 30.6.6 does not apply. Rethink  Eq. 30.6.4.) (b) Sketch a graph of the current i through the induc-  tor as a function of time. Mark the time at which the fuse blows.  M 

CALC 

M  GO  Suppose the emf of the battery in the  circuit shown  in Fig. 30.6.2 varies  with time t  so  that the current  is  given by  i(t) = 3.0 + 5.0t, where i is in amperes and t is  in seconds. Take  R = 4.0 Ω and L = 6.0 H, and find an expression for the battery  emf as a function of t. (Hint: Apply the loop rule.) 

58 

In Fig. 30.46, after switch S is  closed at time t = 0,  the emf  of the  source  is  automatically adjusted to maintain a  59  H 

SSM 

S R

L

H  CALC  A  wooden toroidal  Figure  30.46  Problem 59.  core with a  square  cross  section  has an inner radius of 10 cm and  an outer radius of 12 cm. It is wound with one layer of wire (of  diameter 1.0 mm  and resistance  per meter 0.020 Ω/m). What  are (a) the inductance and (b) the inductive time constant of  the resulting toroid? Ignore the thickness of the insulation on  the wire. 

60 

Module 30.7 

Energy Stored in a Magnetic Field 

A coil is connected in series  with a 10.0 kΩ resistor.  An ideal 50.0 V  battery is  applied across  the two devices, and  the current  reaches  a value of 2.00 mA after 5.00 ms. (a)  Find  the inductance of the coil. (b) How much energy is stored in the  coil at this same moment?  61  E 

SSM 

E  CALC  A  coil  with  an  inductance of  2.0 H  and  a  resis-  tance of  10  Ω  is  suddenly connected  to  an  ideal battery  with  ℰ = 100 V. At 0.10 s  after the connection is  made, what is  the  rate at  which (a)  energy is  being stored  in the magnetic field,  (b) thermal energy is appearing in the resistance, and (c) energy  is being delivered by the battery? 

62 

CALC  At t = 0, a battery is connected to a series arrange-  ment of a resistor and an inductor. If the inductive time constant  is 37.0 ms, at what time is the rate at which energy is dissipated  in the resistor equal to the rate at which energy is stored in the  inductor’s magnetic field? 

63  E 

At t = 0, a battery is connected to a series arrangement of a  resistor and an inductor. At what multiple of the inductive time  constant will the energy stored in the inductor’s magnetic field  be 0.500 its steady-state value?  64  E 

Figure  30.43 

57 

constant current i  through S. (a)  Find  the  current  through  the  inductor  as  a  function  of  time.  Constant (b)  At  what  time  is  the  current  current through  the resistor  equal to the  source current through the inductor? 

M  CALC  GO  For  the  circuit  of  Fig.  30.6.2, assume  that  ℰ = 10.0 V,  R  = 6.70  Ω,  and  L = 5.50 H.  The  ideal  battery  is  connected at time t = 0. (a)  How much energy is  delivered by  the battery during the first 2.00 s? (b) How much of this energy  is stored in the magnetic field of the inductor? (c) How much of  this energy is dissipated in the resistor? 

65 

Module 30.8 

Energy Density of a Magnetic Field 

A circular loop of wire 50 mm in radius carries  a current  of 100 A. Find the (a)  magnetic field strength and  (b)  energy  density at the center of the loop.  66  E 

SSM  A solenoid that is 85.0 cm long has a cross-sectional  area of 17.0 cm 2 . There are 950 turns of wire carrying a current  of 6.60 A. (a) Calculate the energy density of the magnetic field  inside the solenoid. (b) Find the total energy stored in the mag-  netic field there (neglect end effects). 

67  E 

E  A  toroidal  inductor  with  an  inductance  of  90.0 mH  encloses a volume of 0.0200 m 3 . If the average energy density in  the toroid is 70.0 J/m 3 , what is the current through the inductor? 

68 

What must be the magnitude of a uniform electric field if it  is to have the same energy density as that possessed by a 0.50 T  magnetic field?  69  E 

/

P ROBL EMS 

GO  Figure 30.47a  shows,  M  y in  cross  section,  two  wires  that  are  straight,  parallel,  and  very  1 2 x long. The ratio i 1 /i 2  of the current  carried  by wire  1 to that carried  (a ) by  wire  2  is  1/3. Wire  1  is  fixed  2 in  place.  Wire  2  can  be  moved  along  the  positive  side  of  the  x  axis  so  as  to  change the  mag-  1 netic energy density u B  set up by  the  two  currents  at  the  origin.  Figure 30.47b gives u B  as a func-  0 x tion of  the position x  of  wire  2.  x (cm) The  curve  has  an  asymptote  of  (b ) u B  = 1.96 nJ/m 3  as  x  →  ∞,  and  Figure  30.47  Problem 70.  the horizontal axis scale is set by  x s  = 60.0 cm. What is the value of (a) i 1  and (b) i 2 ? 

(a) Show that this combination can be replaced by a single coil  of equivalent inductance given by 

70 

L eq  = L 1  + L 2  + 2M.  (b) How could the coils in Fig. 30.50 be reconnected to yield an  equivalent inductance of 

)3 m/Jn( Bu

L eq = L 1  + L 2  – 2M?  (This  problem is  an extension of Problem 47, but the require-  ment that the coils be far apart has been removed.)  L1 M

s

M  A  length of  copper  wire  carries  a  current  of  10 A  uni-  formly  distributed  through  its  cross  section.  Calculate  the  energy density of (a) the magnetic field and (b) the electric field  at the surface of the wire. The wire  diameter is 2.5 mm, and its  resistance  per unit length is 3.3 Ω/km. 

L2

N1

N2

71 

Module 30.9  E 

SSM  Two coils are at fixed locations. When coil 1 has no  current and the current in coil 2 increases  at the rate 15.0 A/s,  the emf in coil 1 is 25.0 mV. (a) What is their mutual inductance?  (b) When coil 2 has no current and coil 1 has a current of 3.60 A,  what is the flux linkage in coil 2? 

73  E 

Two solenoids are part of the spark coil of an automobile.  When  the current  in  one  solenoid falls  from 6.0 A  to zero  in  2.5 ms, an emf of 30 kV is induced in the other solenoid. What is  the mutual inductance M of the solenoids?  74  E 

M  CALC  A  rectangular  loop  of N closely packed turns is posi-  tioned near  a  long  straight  wire  as  shown  in  Fig.  30.48. What  is  the  mutual  inductance  M  for  the  loop–wire  combination  if  N  =  100,  a = 1.0 cm,  b = 8.0 cm,  and l = 30 cm? 

75 

a

i N

turns

b

l

M 

M  SSM  Two  coils connected as  shown in  Fig. 30.50 sepa-  rately have inductances L 1 and L 2 . Their mutual inductance is M. 

77 

Figure  30.50 

Problem 77. 

Additional Problems  CALC  At time t = 0, a 12.0 V potential difference is suddenly  applied to the leads of a coil of inductance 23.0 mH and a cer-  tain resistance  R. At time t = 0.150 ms, the current through the  inductor is changing at the rate of 280 A/s. Evaluate R.  SSM  In Fig. 30.51, the battery  S is ideal and ℰ  = 10 V, R 1  = 5.0 Ω,  R 2  = 10 Ω, and L = 5.0 H. Switch S  i2 L is  closed  at  time  t = 0.  Just  + i1 R1 afterwards, what are (a)  i 1 , (b) i 2 ,  – (c)  the  current  i S  through  the  R2 switch,  (d)  the  potential differ-  ence V 2  across  resistor  2, (e)  the  potential  difference  V L  across  i the inductor, and (f)  the  rate  of  Figure  30.51  Problem 79.  change di 2 /dt? A long time later,  what are (g) i 1 , (h) i 2 , (i) i S , (j) V 2 , (k) V L , and (l) di 2 /dt? 

79 

In Fig. 30.43, R = 4.0 kΩ, L = 8.0 μ H, and the ideal battery  has  ℰ = 20 V. How long after switch  S is  closed is  the current  2.0 mA?  80 

CALC  SSM  Figure  30.52a  1 2 shows a rectangular conducting  H loop of resistance  R = 0.020 Ω,  D height  H = 1.5 cm,  and  length  D = 2.5 cm being pulled at con-  (a) stant speed v = 40 cm/s through  i two  regions  of  uniform  mag-  netic field. Figure 30.52b  gives  the current i induced in the loop  x 0 as  a  function  of  the  position  x  of the right side  of the loop.  The vertical axis scale is  set by  (b ) i s  = 3.0 μ A. For example, a cur-  Figure  30.52  Problem 81.  rent equal to i s  is induced clock-  wise  as  the  loop enters region  1. What are  the (a)  magnitude  and (b) direction (into or out of the page) of the magnetic field  in region 1? What are the (c) magnitude and (d) direction of the  magnetic field in region 2? 

81 

s

)A ( i

Figure  30.48  Problem 75.  A  coil  C  of  N  turns  is  C placed around a  long solenoid S  S of radius  R  and n  turns per  unit  R length, as  in Fig. 30.49. (a) Show  that  the  mutual  inductance  for  the  coil–solenoid  combination  is  given  by  M = μ0 πR 2 nN.  (b)  Figure  30.49  Problem 76.  Explain why M does not depend  on the shape, size, or possible lack of close packing of the coil. 

76 

i i

78 

Mutual Induction 

Coil  1  has  L 1  = 25 mH  and  N 1  = 100  turns.  Coil  2  has  L 2   = 40 mH and  N 2  = 200  turns.  The  coils  are  fixed in  place;  their  mutual  inductance  M  is  3.0 mH.  A  6.0 mA  current  in  coil  1  is  changing  at  the  rate  of  4.0 A/s.  (a)  What  magnetic  flux Φ 12   links coil 1, and (b)  what self-induced emf appears in  that coil? (c)  What magnetic flux Φ 21  links coil 2, and (d) what  mutually induced emf appears in that coil?  72 

953

/

954

C HAP T ER 30  IND U C T ION  AND  IND U C T ANC E 

A uniform magnetic field B is perpendicular to the plane of  a circular wire loop of radius r. The magnitude of the field varies  with time according to B = B 0 e –t/τ, where B 0  and τ are constants.  Find an expression for the emf in the loop as a function of time.  →

82 

Switch  S  in  Fig.  30.43  is  closed  at  time  t = 0,  initiating  the buildup of current in the 15.0 mH inductor and the 20.0 Ω  resistor. At what time is the emf across the inductor equal to the  potential difference across the resistor?  83 

GO  Figure 30.53a shows  two concentric circular regions in  which  uniform  magnetic  fields  can change. Region 1, with radius  r 1  = 1.0 cm, has an outward mag-  netic  field  B 1  that  is  increas-  r1 ing  in  magnitude.  Region  2,  r2 with  radius  r 2 = 2.0 cm,  has  an  outward  magnetic  field  B 2  that  (a) may  also  be  changing.  Imagine  that a conducting ring  of radius  s R is centered on the two regions  and then the emf ℰ around  the  ring is determined. Figure 30.53b  gives emf ℰ as a function of the  square  R 2  of  the  ring’s  radius,  to  the  outer  edge  of  region  2.  The  vertical  axis  scale  is  set  0 2 4 2 2 by  ℰ s  = 20.0  nV.  What  are  the  (b ) R (cm ) rates  (a)  dB 1 /dt and  (b)  dB 2 /dt?  Figure  30.53  Problem 84.  (c)  Is  the  magnitude of  B 2  in-  creasing,  decreasing,  or  remain-  ing constant?  84  CALC 

→

→

) Vn(

→

Figure  30.54  shows  a  uniform  magnetic  field  B  confined to  a  cylindri-  cal  volume  of  radius  R.  The  magnitude  of  B  is  decreasing  at  a  constant  rate  of  10 mT/s.  In  unit-vector  notation,  what  is  the initial acceleration of  an  electron  released  at  (a)  point  a  (radial  distance  r = 5.0 cm),  (b) point b (r = 0), and (c) point  c (r = 5.0 cm)?  85 

CALC 

y

SSM 

→

R

r b

x

r B a

Figure  30.54 

SSM  In  the  circuit  of  Fig.  30.56,  R 1  = 20 kΩ,  R 2  = 20  Ω,  L L = 50  mH,  and  the  ideal  bat-  tery  has  ℰ = 40 V.  Switch  S  has  R1 R2 been open for  a  long  time when  it is closed at time t = 0. Just after  S the switch is  closed, what are  (a)  the  current  i bat  through the  bat-  Figure  30.56  Problem 91.  tery  and  (b)  the  rate  di bat /dt?  At t = 3.0 μs, what are (c) i bat  and (d) di bat /dt? A long time later,  what are (e) i bat  and (f) di bat /dt? 

91 

The flux linkage through a certain coil of 0.75 Ω resistance  would be 26 mWb if there were a current of 5.5 A in it. (a)  Cal-  culate the inductance of the coil. (b) If a 6.0 V ideal battery were  suddenly connected across  the coil, how long would it take for  the current to rise from 0 to 2.5 A?  CALC  Fringing in a  capacitor.  Prove that the electric  field  E  in a  charged parallel capacitor cannot drop abruptly to zero  as  is  suggested  at point a  in Fig. 30.57 as  we  move perpendic-  ular  to  the  field along  the horizontal  arrow  in  the  figure. To  do this, apply Faraday’s  law to the rectangular  path shown by  the dashed lines. In  actual capacitors  fringing of the field lines  always occurs, which means that the field approaches zero in a  continuous and gradual way. 

Problem 85. 

B

L2 R2

Problem 86. 

–q

Problem 93. 

CALC  Coaxial cable.  A  long coaxial  cable  consists  of  two  thin-walled concentric  conducting cylinders with radii a and b.  The inner cylinder A carries a steady current i, the outer cylin-  der B providing the return path. (a) Calculate the energy stored  in the magnetic field between the cylinders for  length l  of the 

94 

B

(b )

a

Figure  30.57 

L1 R1

+q

S

A

Figure  30.55 

How long would it take, following the removal of the bat-  tery, for  the  potential difference  across  the resistor  in  an  RL  circuit (with  L = 2.00 H, R = 3.00 Ω)  to decay  to 10.0%  of its  initial value?  90 

93 

GO  In Fig. 30.55a, switch S has been closed on A long enough  to  establish  a  steady  current  in  the  inductor  of  inductance  L 1  = 5.00 mH and the resistor of resistance R 1  = 25.0 Ω. Similarly,  in Fig. 30.55b, switch S has been closed on A long enough to estab-  lish a steady current in the inductor of inductance L 2  = 3.00 mH  and the resistor  of resistance  R 2  = 30.0 Ω. The  ratio  Φ 02 /Φ 01  of  the magnetic flux through a turn in inductor 2 to that in inductor  1 is 1.50. At time t = 0, the two switches are closed on B. At what  time t is the flux through a turn in the two inductors equal? 

(a )

A coil with an inductance of 2.0 H and a resistance of 10 Ω  is  suddenly connected  to an  ideal battery with ℰ = 100  V.  (a)  What is the equilibrium current? (b) How much energy is stored  in the magnetic field when this current exists in the coil?  89 

→

86 

S

A coil with 150  turns has  a  magnetic flux of  50.0 nT  ⋅ m 2  through each turn when the current is 2.00 mA. (a) What is the  inductance of the coil? What are the (b) inductance and (c) flux  through each  turn  when the  current is  increased  to 4.00 mA?  (d) What is the maximum emf ℰ across the coil when the current  through it is given by i = (3.00 mA) cos(377t), with t in seconds?  88 

92  c

→

A

SSM  A  square  wire  loop 20 cm on  a  side, with resistance  20 mΩ, has its plane normal to a uniform magnetic field of mag-  nitude B = 2.0 T. If you pull two opposite sides of the loop away  from each other, the other two sides automatically draw toward  each other, reducing the area enclosed by the loop. If the area  is reduced to zero in time Δt = 0.20 s, what are (a)  the average  emf and (b) the average current induced in the loop during Δt? 

87 

/

P ROBL EMS 

cable. (b) What is the stored energy per unit length of the cable  if a = 1.2 mm, b = 3.5 mm, and i = 2.7 A?  CALC  Ballistic galvanometer. Circuit 1 in Fig. 30.58 consists  of an ammeter in series with a battery and coil 1. Circuit 2 con-  sists  of coil 2 and a  ballistic galvanometer of resistance  R; the  galvanometer can measure the charge that moves through itself.  When switch S is closed, the equilibrium current reading on the  ammeter is  i f . The total charge sent through the galvanometer  while  the current  circuit  2  reaches  equilibrium is  Q. Find the  mutual inductance M between coils 1 and 2. 

95 

G

Coil 2

– +

Coil 1

Induction, large loop, small loop. A small circular loop  of area 2.00 cm 2  is  placed in the plane of, and concentric  with,  a large  circular loop of radius 1.00 m. The  current in the large  loop is  changed uniformly from 200 A to −200 A (a  change in  direction) in a time of 1.00 s, beginning at t = 0. (a) What is the  magnetic field at  the center  of  the  small circular  loop due  to  the current in the large loop at t = 0, t = 0.500 s, and t = 1.00 s?  (b) What is the magnitude of the emf induced in the small loop  at t = 0.500 s? Because the inner loop is small, assume the mag-  netic field due to the outer loop is uniform over the area of the  smaller loop.  97  CALC 

CALC  Currents first equal. Switch S in Fig. 30.60 is closed for  time t   XC:  The circuit is said to be more inductive than capacitive. Equation 31.4.11  tells us that  ϕ is positive for such a circuit, which  means that phasor  I rotates  behind  phasor  ℰ m  (Fig. 31.4.2a). A plot  of ℰ  and i versus time is like  that in  Fig. 31.4.2b. (Figures 31.4.1c and d were drawn assuming X L  > X C.)   

XC > XL:  The circuit is said to be more capacitive than inductive. Equation 31.4.11  tells us that  ϕ is negative for such a circuit, which means that phasor I rotates  ahead of phasor ℰ m  (Fig. 31.4.2c). A plot of ℰ and i versus time is like that in  Fig. 31.4.2d. 

XC = XL:  The  circuit  is  said  to  be  in  resonance,  a  state  that  is  discussed  next.  Equation  31.4.11 tells  us  that  ϕ = 0°  for  such  a  circuit,  which  means  that  phasors ℰ m  and I rotate together (Fig. 31.4.2e). A plot  of ℰ and  i versus time  is like that in Fig. 31.4.2f. 

As illustration, let us reconsider two extreme circuits: In the purely inductive  circuit  of  Fig. 31.3.7, where X L  is  nonzero  and  X C = R = 0, Eq. 31.4.11 tells us  that the circuit’s phase constant is  ϕ = +90° (the greatest value of  ϕ ), consistent 

/

978

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

Positive ϕ means that the current lags the emf (ELI ): The phasor is vertical later and the curve peaks later.

ℰ,

Positive ϕ

i i

I

ℰ

ℰ

m

m

ℰ

t

I

(a)

Negative ϕ means that the current leads the emf (ICE ): The phasor is vertical earlier and the curve peaks earlier. Phasor diagrams  and graphs of the alternating  emf ℰ and current i for the  driven RLC circuit of Fig. 31.3.2.  In the phasor diagram of (a) and  the graph of (b), the current i  lags the driving emf ℰ and the  current’s phase constant ϕ is  positive. In (c) and (d), the cur-  rent i leads the driving emf ℰ  and its phase constant ϕ is nega-  tive. In (e) and ( f ), the current  i is in phase with the driving  emf ℰ and its phase constant ϕ is zero. 

(b )

ℰ,

I

ℰ

I

ℰ

Negative ϕ

i i

m

ℰ

m

t

Figure  31.4.2 

(c )

Zero ϕ means that the current and emf are in phase: The phasors are vertical together and the curves peak together.

(d )

ℰ,

i

I

ℰ

m

ℰ

m

I

i

Zero

ϕ

ℰ t

(f )

(e )

with Fig. 31.3.8b. In the purely capacitive circuit of Fig. 31.3.5, where X C is nonzero  and X L  = R = 0, Eq. 31.4.11 tells us that the circuit’s phase constant is  ϕ = −90°  (the least value of ϕ ), consistent with Fig. 31.3.6b.  Resonance 

Equation  31.4.9 gives the  current amplitude  I  in  an  RLC  circuit  as a  function  of the driving angular frequency ωd  of the external alternating emf. For  a given  resistance R, that amplitude is a maximum when the quantity ωd L − 1/ω d C in the  denominator is zero—that is, when  1  ω d L =  ____  ω C  d 

or 

1  _  ω d  = ______  (maximum I).  √  LC 

(31.4.12) 

Because the  natural  angular frequency  ω of  the  RLC  circuit  is  also  equal  to  _  1/ √ LC ,  the  maximum value  of  I  occurs  when  the  driving  angular frequency  matches the natural angular frequency—that is, at resonance. Thus,  in  an  RLC  circuit, resonance and maximum current amplitude I occur when  1  _  ω d  = ω = ______  (resonance).  √  LC 

(31.4.13) 

Resonance Curves. Figure 31.4.3 shows three resonance curves for  sinusoi-  dally  driven  oscillations  in  three series  RLC  circuits differing  only  in  R.  Each 

/

979

31.4  T HE  SERIES  RL C C IRC U IT  

Resonance curves  for the  driven RLC circuit of Fig. 31.3.2 with  L = 100 μH, C = 100 pF, and three  values of R. The current amplitude  I of the alternating current depends  on how close the driving angular fre-  quency ωd  is to the natural angular  frequency  ω. The horizontal arrow on  each curve measures the curve’s half-  width, which is the width at the half-  maximum level and is a measure of  the sharpness  of the resonance. To the  left of ωd /ω = 1.00, the circuit is mainly  capacitive, with X C  > X L ; to the right, it  is mainly inductive, with X L  > X C .  Figure  31.4.3 

A 

Driving ω equal to natural ω • high current amplitude • circuit is in resonance • equally capacitive and inductive • X equals X • current and emf in phase • zero ϕ d

C

ℰ

m

I

L

I

edutilpma tnerruC

R

= 10 Ω 

R

= 30 Ω  R

0.90

0.95

1.00

= 100 Ω 

1.05

ω /ω

1.10

d

Low driving ω • low current amplitude • ICE side of the curve • more capacitive • X is greater • current leads emf • negative ϕ d

I

ℰ

m

C

High driving ω • low current amplitude • ELI side of the curve • more inductive • X is greater • current lags emf • positive ϕ d

ℰ

m

L

I

curve  peaks  at  its  maximum current  amplitude  I  when  the  ratio  ωd /ω is  1.00,  but  the  maximum value of  I  decreases with  increasing R.  (The  maximum I  is  always ℰ m/R; to see why, combine Eqs. 31.4.7  a nd 31.4.8.) In addition, the curves    increase in  width  (measured in Fig. 31.4.3 at half the maximum value of  I) with  increasing R.  To make physical sense of  Fig. 31.4.3, consider how  the reactances X L  and  X C  change as we increase the driving angular frequency ω d , starting with a value  much  less than the  natural frequency ω . For  small ω d , reactance X L (=  ω d L) is    small and reactance X C  (= 1/ωd C) is large. Thus,  the circuit is mainly capacitive  and the impedance is dominated by the large X C, which keeps the current low.    As we increase ωd , reactance X C remains dominant but decreases while reac-  tance X L  increases. The  decrease in  X C  decreases the impedance, allowing  the  current to increase, a s we see on the left side of any resonance curve in Fig. 31.4.3.  When the increasing X L and the decreasing X C  reach equal values, the current is  greatest and the circuit is in resonance, with  ωd  = ω .  As we  continue  to  increase ωd ,  the  increasing reactance X L  becomes pro-  gressively more  dominant  over  the  decreasing  reactance X C.    The  impedance  increases because of  X L  and  the  current decreases, as on  the right  side  of  any  resonance curve in Fig. 31.4.3. In summary, then: The low-angular-frequency side  of a resonance curve is dominated by the capacitor’s reactance, the high-angular-  frequency side is dominated by the inductor’s reactance, a nd resonance occurs in  the middle. 

/

980

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

Checkpoint 31.4.1 

Here are the capacitive reactance and inductive reactance, respectively, for three  sinusoidally driven series RLC circuits: (1) 50 Ω, 100 Ω; (2) 100 Ω, 50 Ω; (3)  50 Ω,  50 Ω. (a) For each, does the current lead or lag the applied emf, or are the two in  phase? (b) Which circuit is in resonance? 

Sample Problem 31.4.1

Resonance  Hill 

driving angular frequency ω d  is greater than the natu-  ral angular frequency ω of the circuit). 

This module is rich with information, and here is a graph-  ical way to organize it. The resonance curve of current I  versus the ratio ωd / ω has been transformed into  a hill on  which hunters hunt for flying “ducs” while adjusting their  caps.  Here are some of the features of Resonance Hill: 

4.  The ducs rise to the right, indicating that if the induc-  tance of a circuit is increased, the point on the curve that  represents the circuit moves to the right. Thus, with the  increase in L, the ratio  ω d / ω becomes greater because  _  ω (= 1/ √ LC ) is decreased while ω d  is unchanged. 

1.  Hunters,  with  way-cool  L.L.  Bean  caps  (for  capaci-  tance), are shown  on the left side of the hill.  They and  their caps indicate the side of a resonance curve where  circuits are more capacitive than inductive ( XC    > X L ).  The hunters are below the peak—that is, in the region  where ω d / ω is less than 1.0 (where the driving angular  frequency ω d is less than the natural angular frequency  ω of the circuit). 

5.  “Emf”  stalks  ℰ m  grow  directly  upward  everywhere  on  Resonance Hill  and  sprout  “eye thorns” I at vari-  ous angles. Their arrangements on the hill indicate the  arrangements of ℰ m  and I in phasor diagrams for vari-  ous driven series RLC circuits.  Beyond  (to  the  right  of)  the  peak,  the  eye  thorns  sprout to the right, indicating the I lags ℰ m  in a phasor  diagram for  a circuit  represented in  that  ELI region  where the circuit is mainly inductive. 

2.  The hunters rise to the right (the standing hunter is to  the  right  of  the  sitting  hunter  and  even has  a  higher  cap).  This  indicates  that  if  the  capacitance of  a  cir-  cuit  is increased, the point  representing the  circuit on  a resonance curve moves to  the right. Thus,  with  the  increase in C, the ratio  ω d / ω becomes greater because  _  ω (= 1 /√    LC ) is decreased while ω d  is unchanged. 

Below (to the left of) the peak, the eye thorns sprout to  the left, indicating the I leads ℰ m  in a phasor  diagram  for a circuit represented in that ICE region where the  circuit is mainly capacitive.  At  the  peak,  the  eye thorn  sprouts  directly  upward,  indicating that I is aligned with ℰ m in a phasor diagram  for a circuit at resonance. 

3.  “Ducs” (for  inductance)  are shown  on  the  right  side  of  the  hill  to  indicate  the  side  of  a  resonance  curve  for  which  circuits are more  inductive  than  capacitive  ( XL    >  X C ). The ducs  are beyond  the peak,  that is,  in  the region where ω d  > ω is greater than 1.0 (where the 

6.  The length  of  the eye thorns  I is greatest at the  peak  of  Resonance Hill  (which  is  why  the hunters  are not 

Ducs

I

Hunters

m

I m m

I

I

Re

m

ce an so n ll i H

m

I

I

Below Resonance

1.0

ω  /ω 

Beyond Resonance

d

Figure  31.4.4 

Memory devices to help sort out the series  RLC resonance  curve. 

/

31.4  T HE  SERIES  RL C C IRC U IT  

there) and progressively less at greater distances from  the peak. This indicates that the amplitude I of the cur-  rent in a driven series RLC circuit is greatest when the  circuit  is  at resonance, and  progressively less the  far-  ther the circuit is from the resonance peak. Also, from  I = ℰ m/    Z, we know  that Z = ℰ m/    I. Thus, impedance Z  is  least when  the  circuit is  at resonance, and  progres-  sively greater the farther the  circuit  is from  the reso-  nance peak, either left or right.  7.  The angle between an emf stalk ℰ m  and its eye thorn I  represents the  phase  constant  ϕ of  the  current. That  constant  is positive on  the right  (positive) side of  the  hill, negative on the left side of the hill, and zero at the  top of the hill. Also, the size of the phase constant ϕ is  progressively greater the  farther a  circuit  is from  the  resonance peak.  At great distances to  the  right  from  the  peak,  ϕ approaches +90º (but  cannot  exceed that  limiting  value—the  eye  thorns  cannot  grow  into  the  ground).  Similarly, at great distances to  the  left from  the peak, ϕ approaches −90° .  Let’s  put  Resonance Hill  to  work  for  a series  RLC cir-  cuit that is driven with an angular frequency ωd somewhat 

981

greater than its natural frequency ω . Can you see the fol-  lowing from the figure without any calculation?  1.  The circuit is represented by a point on the right side of  the resonance-curve peak.  2.  The circuit is more inductive than capacitive (X L > X C).    3.  The current amplitude I is less than  it would  be if the  circuit were at resonance, and the impedance Z of the  circuit is greater than it would  then be.  4.  The current in the circuit lags the driving emf. 

5.  The  phase  constant  ϕ for  the  current  is  positive and  less than +90°.  Can  you  also  see that  if  we  increase either  L  or  C  (or  both) in the circuit, the following occur?  1.  The circuit moves farther to the right on the resonance  curve and thus further from resonance.  2.  The current amplitude I decreases, and the impedance  Z increases.  3.  The phase constant ϕ for the current becomes more posi-  tive (but still is less than +90°), and the current in the cir-  cuit lags the driving emf even more than it did previously. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Sample Problem 31.4.2

Current amplitude,  impedance,  and  phase constant 

In Fig. 31.3.2, let R = 200 Ω, C = 15.0 μF, L = 230 mH, f d  =  60.0 Hz,  and  ℰ m  = 36.0 V.  (These  parameters are those  used in the earlier sample problems.) 

We then find  ℰ m  ______  I =  ___  = 36.0 V = 0.164 A.  Z  219 Ω 

(a) What is the current amplitude I? 

(Answer ) 

KEY IDEA

(b) What is the phase constant ϕ of the current in the cir-  cuit relative to the driving emf? 

The current amplitude I depends on the amplitude ℰ m  of  the  driving emf  and  on  the  impedance Z  of  the  circuit,  according to Eq. 31.4.8 (I = ℰ m /Z). 

KEY IDEA

So,  we need to  find  Z, which  depends on  resistance R, capacitive reactance X C, and inductive reac-    tance X L . The circuit’s  resistance is  the  given resistance  R. Its capacitive reactance is due to the given capacitance  and,  from  an  earlier  sample  problem,  X C  = 177  Ω.  Its  inductive  reactance is  due  to  the  given inductance  and,  from another sample problem, X L  = 86.7 Ω. Thus, the cir-  cuit’s impedance is  Calculations:

_______________ 

2  Z =  √ R 2  + ( X L − X C)   

________________________ 

=  √ (200 Ω) 2 + (86.7 Ω − 177 Ω) 2  = 219 Ω. 

The  phase constant depends  on  the inductive reactance,  the capacitive reactance, a nd the resistance of the circuit,  according to Eq. 31.4.11.  Calculation:

Solving Eq. 31.4.11 for ϕ leads to 

X L − X C  ____________  ϕ = tan −1 ________  = tan −1  86.7 Ω − 177 Ω  R  200 Ω  =  −24.3° = −0.424 rad. 

(Answer ) 

The negative phase constant is consistent with the fact that  the load is mainly capacitive; that is, X C > X L. In the com-    mon mnemonic for driven series RLC circuits, this circuit  is an ICE circuit—the current leads the driving emf. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

982

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

31.5  POWER IN ALTERNATING-CURRENT  CIRCUITS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

31.5.1  For the current,  voltage, and emf in an ac circuit, 

31.5.5  For a driven 

RLC circuit  in steady state, explain 

apply the relationship between  the rms values and 

what happens  to (a) the value of the average stored 

the amplitudes. 

energy with time and (b) the energy that the genera- 

31.5.2  For an alternating emf connected across 

tor puts into the circuit. 

a capacitor, an inductor,  or a resistor, sketch graphs 

31.5.6  Apply the relationship  between the power factor 

ϕ, the resistance R, and the impedance Z. 

of the sinusoidal variation  of the current  and voltage  and indicate  the peak and rms values. 

cos 

31.5.7  Apply the relationship  between the average 

31.5.3  Apply the relationship between  average power 

P avg , rms current  I rms , and resistance R .  31.5.4  In a driven RLC circuit,  calculate  the power of 

power 

P avg , the rms emf  ℰrms , the rms current I rms , 

ϕ. 

and the power factor cos 

31.5.8  Identify  what power factor is required  in order to 

each  element. 

maximize the rate at which  energy is supplied to a  resistive load. 

Key Ideas  ●

RLC  circuit,  the average power P avg  of 

In a series 

●

The abbreviation rms stands for root-mean-square; 

the generator is equal  to the production rate of thermal 

the rms quantities are related to the maximum quanti-  __  __  __ 

energy in the resistor: 

ties by 

I rms  = I/ √ 2 ,  V rms  = V/ √ 2 , and  ℰ rms  = ℰ m/   √ 2 . 

ϕ is called the power factor of the circuit. 

The term cos 

P avg = I 2  rms R = ℰ rms I rms  cos ϕ. 

Power  in Alternating-Current Circuits 

sin +1 0

In the RLC circuit of Fig. 31.3.2, the source of energy is the alternating-current  generator. Some  of  the  energy that  it  provides is  stored  in  the  electric field  in  the capacitor, some is  stored in  the  magnetic field  in  the inductor,  and  some is  dissipated as thermal energy in  the resistor. In steady-state operation, the aver-  age stored energy remains constant. The net transfer of  energy is thus  from the  generator to the resistor, where energy is dissipated.  The instantaneous  rate at which  energy is dissipated  in  the  resistor can  be  written, with the help of Eqs. 26.5.3 a nd 31.3.2, a s 

θ

0

P = i 2 R = [I sin( ωd t − ϕ )] 2 R = I 2 R sin 2 (ωd t − ϕ ). 

π

2π

3π

θ

–1 (a )

_ 

+ –12 0

0

π

2π

3π

θ

(b)

(a) A plot of sin  θ versus  θ. The average value over  one cycle is zero. (b) A plot of sin 2  θ versus  θ. The average value over one  __  cycle is  1  2 .  Figure  31.5.1 

The  average rate at  which  energy is  dissipated  in  the  resistor, however, is  the  average of  Eq.  31.5.1 over  time.  Over  one  complete cycle, the  average value  of  sin  θ, where  θ is  any variable, is  zero (Fig. 31.5.1a) but  the average value of  1  sin 2  θ is  __  (Fig. 31.5.1b). (Note  in  Fig. 31.5.1b  how  the  shaded  areas under  the  2  1  curve but above the horizontal line marked + __  2 exactly fill in the unshaded spaces  below that line.) Thus, we can write, from Eq. 31.5.1,  2 

sin 2 θ +1

(31.5.1) 

2 

I  R =  ____  I _  R.  P avg = ____  2  ( √ 2 ) 

(31.5.2) 

The quantity I/ √ 2 is called the root-mean-square, or rms, value of the current i:  I _  I rms  = ____  √ 2 

(rms current). 

(31.5.3) 

(average power). 

(31.5.4) 

We can now rewrite Eq. 31.5.2 a s  P avg = I 2  rms R 

/

31.5  P OWER  IN  AL T ERNAT ING- C U RRENT   C IRC U IT S 

983

Equation 31.5.4 has the same mathematical form as Eq. 26.5.3 (P = i 2 R); the mes-  sage here is  that if  we  switch  to  the  rms current, we  can compute the  average  rate of energy dissipation for alternating-current circuits just as for direct-current  circuits.  We can also define  rms values of voltages and emfs for alternating-current  circuits:  ℰ m  V _  and  ℰ  = ____  _  (rms voltage; rms emf ).  V rms  = ____  rms  √ 2  √ 2 

(31.5.5) 

Alternating-current instruments,  such  as ammeters and  voltmeters, are usually  calibrated to  read I rms , V rms ,  and  ℰ rms .  Thus,  if  you  plug  an alternating-current  voltmeter into  a household  electrical outlet  and  it  reads  120 V, that  is  an  rms  _  voltage. The  maximum value of  the potential  difference at  the  outlet  is  √ 2  ×  (120 V) or 170 V. Generally scientists and engineers report rms values instead of  maximum values.  _  Because the proportionality  factor 1/ √ 2 in Eqs. 31.5.3 a nd 31.5.5 is the same  for all three variables, we can write Eqs. 31.4.8 a nd 31.4.6 a s  ℰ rms  ________________  ℰ rms  I rms  = ____  =  ______________  ,  2  Z  √ R  + (X  − X  ) 2  L 

(31.5.6) 

C 

and, indeed, this is the form that we almost always use.  We  can  use  the  relationship  I rms  = ℰ rms /Z  to  recast Eq.  31.5.4 in  a  useful  equivalent way. We write  ℰ rms  R .  P avg = ____  I  R = ℰ rms I rms  __  Z  rms  Z 

(31.5.7) 

From Fig. 31.4.1d, Table 31.3.1, and Eq. 31.4.8, however, we see that R/Z is just  the cosine of the phase constant ϕ :  V R  ___  R .  cos ϕ =  ___  =  IR  = __  ℰ m  IZ  Z 

(31.5.8) 

Equation 31.5.7 then becomes  P avg = ℰ rms I rms  cos ϕ

(average power ), 

(31.5.9) 

in  which  the  term cos  ϕ is  called  the  power  factor. Because cos  ϕ = cos(− ϕ),  Eq. 31.5.9 is independent of the sign of the phase constant ϕ .  To  maximize the  rate at which  energy is  supplied  to  a resistive load  in  an  RLC circuit, we should  keep the power factor cos ϕ as close to unity as possible.  This is equivalent to keeping the phase constant ϕ in Eq. 31.3.2 a s close to zero as  possible. If, for example, the circuit is highly inductive, it can be made less so by  putting more capacitance in the circuit, connected in series. (Recall that putting  an additional  capacitance into  a series of  capacitances decreases the equivalent  capacitance C eq  of  the series.) Thus,  the resulting decrease in  C eq  in  the circuit  reduces the phase constant and increases the power factor in Eq.  31.5.9. Power  companies place series-connected capacitors throughout  their transmission sys-  tems to get these results. 

Checkpoint 31.5.1 

(a) If the current in a sinusoidally driven series RLC circuit leads the emf, would we  increase or decrease the capacitance to increase the rate at which energy is supplied  to the resistance? (b) Would this change bring the resonant angular frequency of the  circuit closer to the angular frequency of the emf or put it farther away? 

/

984

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

Sample Problem 31.5.1

Driven RLC circuit:  power factor  and average  power 

A  series RLC  circuit,  driven  with  ℰrms  =  120 V  at  fre-  quency f d  = 60.0 Hz, contains a resistance R = 200 Ω, an  inductance  with  inductive reactance X L  =  80.0 Ω,  and  a  capacitance with capacitive reactance XC     = 150 Ω.  (a) What are the power factor cos ϕ and phase constant ϕ of the circuit? 

KEY IDEA The power factor cos  ϕ can be found  from the resistance  R and impedance Z via Eq. 31.5.8 (cos ϕ = R/Z).  Calculations:

To calculate Z, we use Eq. 31.4.7: 

_______________  2 

2 

Z =  √ R  + ( X L − X C)   

________________________  2 

2 

=  √ (200 Ω)  + (80.0 Ω − 150 Ω)  = 211.90 Ω.  Equation 31.5.8 then gives us  R = ________  200 Ω  = 0.9438 ≈ 0.944.  (Answer )  cos ϕ = __  Z  211.90 Ω  Taking the inverse cosine then yields 

ϕ = cos −1 0.944 = ±19.3°.  The inverse cosine on a calculator gives only the positive  answer here, but both  +19.3° and −19.3° have a cosine of  0.944. To  determine which  sign  is correct, we must con-  sider  whether the  current leads or  lags the  driving emf.  Because X C  > X L , this  circuit  is  mainly  capacitive, with  the current leading the emf. Thus, ϕ must be negative: 

ϕ = −19.3°.  (Answer)  We could,  instead, have found  ϕ with Eq. 31.4.11. A cal-  culator  would  then  have  given  us  the  answer  with  the  minus sign.  (b)  What  is  the  average rate  P avg  at  which  energy  is  dissipated in the resistance? 

KEY IDEAS There are two ways and two ideas to use: (1) Because the  circuit is assumed to be in steady-state operation, the rate  at  which  energy is  dissipated  in  the  resistance is  equal  to  the  rate at which  energy is supplied  to  the  circuit,  as  given by Eq. 31.5.9 (P avg = ℰ rms I rms  cos ϕ). (2) The rate at  which  energy is dissipated  in  a resistance R  depends on  the square of the rms current I rms  through it, according to  Eq. 31.5.4 (P avg = I 2  rms  R).  We  are  given  the  rms  driving  emf  ℰ rms  and  we  already know  cos  ϕ from  part  (a).  The  rms  current  First way:

I rms  is determined by the rms value of the driving emf and  the circuit’s impedance Z (which we know), according to  Eq. 31.5.6:  ℰ rms  I rms  =  ____  .  Z  Substituting this into Eq. 31.5.9 then leads to  ℰ 2  rms  P avg = ℰ rms I rms  cos ϕ = ____  cos ϕ Z  (120 V) 2  =  ________ (0.9438) = 64.1 W.  (Answer)  211.90 Ω  Second way:

Instead, we can write 

ℰ 2  rms  _______  P avg  = I 2  R  rms R =  Z 2  (120 V) 2  =  __________  (200 Ω) = 64.1 W. (Answer)  (211.90 Ω) 2  (c) What new capacitance C new is needed to maximize P avg  if the other parameters of the circuit are not changed? 

KEY IDEAS (1)  The  average rate  P avg  at  which  energy  is  supplied  and dissipated is maximized if the circuit is brought into  resonance  with  the  driving  emf.  (2)  Resonance  occurs  when X C  = X L.   From  the  given  data,  we  have  X C  > X L .  Thus,  we  must  decrease X C  to  reach  resonance.  From  Eq. 31.3.12 (X C = 1/ωd C), we see that this means we must  increase C to the new value C new .  Using Eq. 31.3.12, we can write the resonance condi-  tion X C = X L  as  Calculations:

1  = X  .  ______  L 

ω d C new  Substituting  2πf d  for  ωd  (because we are given f d  and not  ωd ) and then solving for C new , we find  1  = __________________  1  C new  =  _______  2πf dX    L  (2π )(60 Hz)(80.0 Ω)  =  3.32 × 10 −5 F = 33.2 μF. 

(Answer) 

Following  the  procedure  of  part  (b), you  can  show  that  with  C new ,  the average power  of  energy dissipation  P avg  would then be at its maximum value of  P a vg, max =  72.0 W. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

31.6  T RANSF ORMERS 

985

31.6  TRANSFORMERS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

31.6.1  For power transmission lines, identify  why the 

31.6.7  Apply the relationship between  the current  and 

transmission should  be at low current  and high  voltage. 

number  of turns on the two sides of a transformer.  31.6.8  Apply the relationship between  the power into 

31.6.2  Identify the role of transformers at the two ends  of a transmission line. 

and out of an ideal  transformer.  31.6.9  Identify the equivalent resistance as seen from 

31.6.3  Calculate the energy dissipation in a transmis-  sion line. 

the primary side of a transformer.  31.6.10  Apply the relationship between  the equivalent 

31.6.4  Identify a transformer’s primary and secondary.  31.6.5  Apply the relationship between  the voltage and 

resistance and the actual  resistance.  31.6.11  Explain  the role of a transformer in impedance 

number of turns on the two sides of a transformer. 

matching. 

31.6.6  Distinguish between  a step-down transformer  and a step-up transformer. 

Key  Ideas  ●

N p  I s  = I p ___   N s 

A transformer (assumed to be ideal)  is an iron core 

N p  turns and 

on which  are wound  a primary coil of  a secondary coil of 

N s  turns. If the primary coil is con- 

nected across an alternating-current  generator, the  primary and secondary voltages are related by 

N s  V s  = V p ___    N p  ●

●

The equivalent resistance of the secondary circuit,  as 

seen by the generator, is 

N p  2  R eq  =  ___  R,  ( N s ) 

(transformation o f voltage).  where 

The currents through the coils are related  by 

(transformation of currents). 

R is the resistive load in the secondary circuit.  N p /N s  is called the transformer’s turns ratio. 

The ratio 

Transformers  Energy  Transmission Requirements 

When  an  ac circuit  has  only  a  resistive load,  the  power  factor  in  Eq.  31.5.9 is  cos 0° = 1 and the applied rms emf ℰ rms  is equal to the rms voltage V rms  across the  load. Thus, with an rms current I rms  in the load, energy is supplied and dissipated  at the average rate of  P avg = ℰI = IV. 

(31.6.1) 

(In  Eq. 31.6.1 and  the rest of this  module, we follow  conventional  practice and  drop  the  subscripts  identifying rms quantities.  Engineers and  scientists assume  that  all  time-varying currents and  voltages are  reported as  rms  values; that  is  what  the  meters  read.) Equation  31.6.1 tells  us  that,  to  satisfy a  given  power  requirement, we have a range of choices for I and V, provided only that the prod-  uct IV is as required.  In electrical power  distribution  systems it  is desirable for  reasons of  safety  and for efficient equipment design to deal with relatively low voltages at both the  generating end (the electrical power plant)  and  the receiving end (the home or  factory). Nobody wants an electric toaster to operate at, say, 10 kV. However, in  the transmission of electrical energy from the generating plant to the consumer,  we want the lowest practical current (hence the largest practical voltage) to mini-  mize I 2 R losses (often called ohmic losses) in the transmission line.  As an example, consider the 735 kV line  used  to transmit electrical energy  from the La Grande 2 hydroelectric plant in Quebec to Montreal, 1000 km away. 

/

986

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

Suppose  that  the  current is  500 A and  the  power  factor is  close to  unity.  Then  from Eq. 31.6.1, e nergy is supplied at the average rate  P avg = ℰI = (7.35 × 10 5 V)(500 A) = 368 MW.  The resistance of the transmission line is about 0.220 Ω/km; thus, there is a total  resistance of about 220 Ω for the 1000 km stretch. Energy is dissipated due to that  resistance at a rate of about  P avg = I 2 R = (500 A) 2 (220 Ω) = 55.0 MW,  which is nearly 15% of the supply rate.  Imagine what would  happen if we doubled  the current and  halved the volt-  age. Energy would  be supplied by the plant at the same average rate of 368 MW  as previously, but now energy would  be dissipated at the rate of about  P avg = I 2 R = (1000 A ) 2 (220 Ω) = 220 MW,  which  is  almost 60% of  the supply  rate. Hence the general energy transmission  rule: Transmit at the highest possible voltage and the lowest possible current.  The Ideal  Transformer 

The  transmission  rule  leads  to  a fundamental  mismatch between the  require-  ment  for  efficient high-voltage transmission  and  the  need  for  safe  low-voltage  generation  and  consumption.  We  need  a  device with  which  we can  raise (for  transmission) and  lower  (for use) the  ac voltage in  a circuit, keeping the prod-  uct  current × voltage essentially constant.  The transformer is  such  a device. It  has no moving parts, operates by Faraday’s law of induction,  and has no simple  direct-current counterpart.  The ideal transformer in Fig. 31.6.1 consists of two coils, with different num-  bers of turns, wound around an iron core. (The coils are insulated from the core.)  In use, the primary winding, of N p  turns,  is connected to an alternating-current  generator whose emf ℰ at any time t is given by  ℰ = ℰ m  sin ωt. 

Φ B

S

ℰ

Vp

Np

Vs

R

Ns

Primary

Secondary

An ideal transformer  (two coils wound on an iron core)  in a basic transformer circuit. An ac  generator produces current in the  coil at the left (the primary). The coil  at the right (the secondary) is con-  nected to the resistive load R when  switch S is closed.  Figure  31.6.1 

(31.6.2) 

The  secondary winding,  of  N s  turns,  is  connected to  load  resistance R,  but  its  circuit  is  an open  circuit  as long  as switch  S  is  open  (which  we assume for the  present). Thus, there can be no  current through  the secondary coil.  We assume  further for this ideal transformer that the resistances of the primary and second-  ary windings are negligible. Well-designed, high-capacity transformers can have  energy losses as low as 1%; so our assumptions are reasonable.  For  the  assumed  conditions,  the  primary winding  (or  primary)  is  a  pure  inductance and the primary circuit is like that in Fig. 31.3.7. Thus, the (very small)  primary current, also called the magnetizing current I mag , lags the primary voltage  V p  by 90°; the primary’s power factor (= cos ϕ in Eq. 31.5.9) is zero; so no power  is delivered from the generator to the transformer.  However,  the  small  sinusoidally  changing  primary  current  I mag  produces  a  sinusoidally  changing magnetic flux Φ B in the iron core. The core acts to strengthen  the flux and to bring it through  the secondary winding  (or secondary). Because Φ B  varies, it induces an emf ℰ turn  (= dΦ B/dt) in  each turn of the secondary. In fact, this    emf per turn ℰ turn  is the same in the primary and the secondary. Across the primary,  the voltage V p is the product of ℰ turn  and the number of turns N p; that is, V    p = ℰ turn N p.    Similarly, across the secondary the voltage is V s  = ℰ turn N s. Thus, we can write    V p  V s  ℰ trun  =  ___ =  ___  ,  N p  N s  or 

N s  V s  = V p  ___    N p 

(transformation o f voltage). 

(31.6.3) 

/

31.6  T RANSF ORMERS 

987

If N s  > N p, the device  is a step-up transformer because it steps the primary’s voltage    V p  up to a higher voltage V s. Similarly, if N    s   0  will  (a)  plate  A  again  have  2  E 

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

maximum positive charge, (b) the other plate of the capacitor have  maximum positive charge,  and  (c)  the  inductor  have  maximum  magnetic field?  E  In a certain oscillating LC circuit, the total energy is  con-  verted from electrical energy in the capacitor to magnetic energy  in  the inductor in  1.50 μs.  What  are  (a)  the  period of  oscilla-  tion and  (b)  the frequency  of  oscillation? (c)  How long  after  the magnetic energy is a maximum will it be a maximum again? 

3 

/

992

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

E  What is the capacitance of an oscillating LC  circuit if the  maximum  charge  on  the  capacitor  is  1.60 μC  and  the  total  energy is 140 μJ? 

4 

In an oscillating LC circuit, L = 1.10 mH and C = 4.00 μF.  The maximum charge on the capacitor is 3.00 μC. Find the maxi-  mum current.  5 

E 

E  A  0.50 kg  body  oscillates  in  SHM  on  a  spring  that,  when  extended 2.0 mm  from  its  equilibrium  position, has  an  8.0 N  restoring  force.  What  are  (a)  the  angular  frequency  of  oscillation, (b) the period of oscillation, and (c)  the capacitance  of an LC circuit with the same period if L is 5.0 H? 

6 

E  SSM  The energy in an oscillating LC circuit containing a  1.25 H inductor is 5.70 μJ. The maximum charge on the capac-  itor is  175 μ C. For a  mechanical system with the same  period,  find the (a)  mass,  (b)  spring  constant, (c)  maximum displace-  ment, and (d) maximum speed. 

7 

A single loop consists of inductors (L 1 , L 2 , . . .), capacitors  (C 1 ,  C 2 ,  . . .), and resistors  (R 1 ,  R 2 ,  . . .) connected  in series  as  shown, for  example, in Fig. 31.9a.  Show that regardless  of the  sequence of these circuit elements in the loop, the behavior of  this circuit is identical to that of the simple LC circuit shown in  Fig. 31.9b. (Hint: Consider the loop rule and see Problem 47 in  Chapter 30.)  8  E 

L1

C1

L2

R1

C2

R2

(a) Figure  31.9 

L

C

R

(b )

Problem 8. 

In an oscillating LC circuit with L = 50 mH and C = 4.0 μF,  the current is initially a maximum. How long will it take before  the capacitor is fully charged for the first time?  9  E 

LC oscillators have been used in circuits connected to loud-  speakers to create some of the sounds of electronic music. What  inductance must be used  with a  6.7 μ F capacitor to produce a  frequency  of 10 kHz, which is  near  the middle of the  audible  range of frequencies?  10  E 

SSM  A variable capacitor with a range from 10 to 365 pF  is  used  with a  coil to  form a  variable-frequency LC  circuit  to  tune the input to a radio. (a) What is the ratio of maximum fre-  quency to minimum frequency that can be obtained with such a  capacitor? If this circuit is to obtain frequencies from 0.54 MHz  to 1.60 MHz, the ratio computed in (a)  is too large. By adding  a capacitor in parallel to the variable capacitor, this range can  be  adjusted. To  obtain the desired  frequency range, (b)  what  capacitance should  be  added and (c)  what inductance should  the coil have? 

11  M 

M  In  an  oscillating  LC  circuit,  when  75.0%  of  the  total  energy is stored in the inductor’s magnetic field, (a) what mul-  tiple of the maximum charge is  on the capacitor and (b)  what  multiple of the maximum current is in the inductor? 

12 

In an oscillating LC circuit, L = 3.00 mH and C = 2.70 μF.  At t = 0  the charge  on  the capacitor  is  zero  and the current  is  2.00 A. (a) What is the maximum charge that will appear on the  capacitor?  (b)  At what earliest  time t > 0  is  the  rate at  which  13  M 

energy is  stored in  the capacitor greatest, and (c)  what is  that  greatest rate?  M  To  construct an  oscillating  LC  system, you  can  choose  from a 10 mH inductor, a 5.0 μF capacitor, and a 2.0 μF capaci-  tor. What are  the (a)  smallest, (b)  second smallest, (c)  second  largest, and (d) largest oscillation frequency that can be set up  by these elements in various combinations? 

14 

An oscillating LC circuit consisting of a 1.0 nF capacitor  and a 3.0 mH coil has a maximum voltage of 3.0 V. What are (a)  the maximum charge on the capacitor, (b) the maximum current  through the circuit, and (c)  the maximum energy stored in the  magnetic field of the coil?  15  M 

M  An  inductor  is  connected  across  a  capacitor  whose  capacitance can be varied by turning a knob. We wish to make  the frequency of oscillation of this LC circuit vary linearly with  the angle of rotation of the knob, going from 2 × 10 5 to 4 × 10 5  Hz  as the knob turns through 180°. If L = 1.0 mH, plot the required  capacitance C as a function of the angle of rotation of the knob. 

16 

GO  In  Fig. 31.10, R = 14.0  Ω, C = 6.20 μ F, and L = 54.0 mH,  and  the  ideal  battery  has  emf  ℰ = 34.0 V. The  switch is  kept at  a for a long time and then thrown  to position b. What are the (a) fre-  quency and (b) current amplitude  of the resulting oscillations?  17  M 

R

ℰ a b C L

Figure  31.10  Problem 17.  An oscillating LC cir-  cuit has a current amplitude of 7.50 mA, a  potential amplitude  of 250 mV, and a capacitance of 220 nF. What are (a) the period  of oscillation, (b) the maximum energy stored in the capacitor,  (c)  the maximum energy stored  in the inductor, (d)  the maxi-  mum rate at which the current changes, and (e)  the maximum  rate at which the inductor gains energy? 

18  M 

CALC 

CALC  Using the loop rule, derive the differential equation  for an LC circuit (Eq. 31.1.11). 

19  M 

GO  In  an oscillating  LC  circuit  in which C = 4.00 μ F,  M  the maximum  potential difference  across  the  capacitor  during  the oscillations is  1.50 V and the maximum current through the  inductor is  50.0 mA. What are (a) the inductance L and (b) the  frequency  of  the  oscillations?  (c)  How  much  time  is  required  for the charge on the capacitor to rise from zero to its maximum  value?  20 

In an oscillating LC circuit with C = 64.0 μF, the current  is given by i = (1.60) sin(2500t + 0.680), where t is  in seconds, i  in amperes, and the phase constant in radians. (a) How soon after  t = 0 will the current reach its maximum value? What are (b) the  inductance L and (c) the total energy?  21  M 

A series circuit containing inductance L 1  and capacitance  C 1   oscillates  at  angular  frequency  ω.  A  second  series  circuit,  containing inductance  L 2  and  capacitance C 2 ,  oscillates  at  the  same angular frequency. In terms of ω, what is the angular fre-  quency of  oscillation  of  a  series  circuit  containing all  four  of  these elements? Neglect resistance. (Hint: Use the formulas for  equivalent capacitance and equivalent inductance; see Module  25.3 and Problem 47 in Chapter 30.)  22  M 

GO  In  an  oscillating  LC  circuit,  L = 25.0 mH  and  M  C = 7.80 μ F. At time t = 0 the current is 9.20 mA, the charge on  23 

/

P ROBL EMS 

the capacitor is 3.80 μ C, and the capacitor is charging. What are  (a)  the total energy in the circuit, (b)  the maximum charge on  the capacitor, and (c)  the maximum current? (d) If  the charge  on the capacitor is given by q = Q cos(ωt + ϕ), what is the phase  angle  ϕ?  (e)  Suppose the  data  are  the  same,  except  that the  capacitor is discharging at t = 0. What then is  ϕ?  Module 31.2 

Damped Oscillations i n an  RLC Circuit 

A single-loop circuit consists  of a 7.20 Ω  resistor, a  12.0 H inductor, and a 3.20 μF capacitor. Initially the capacitor  has  a  charge  of 6.20 μC  and the current  is  zero.  Calculate the  charge on the capacitor N complete cycles later for (a) N = 5, (b)  N = 10, and (c)  N = 100.  24 

M 

GO 

What resistance  R should be connected in series  with an  inductance  L = 220 mH  and  capacitance  C = 12.0 μF  for  the  maximum charge on the capacitor to decay to 99.0% of its initial  value in 50.0 cycles? (Assume ω′ ≈ ω.)  25  M 

GO  In  an  oscillating  series  RLC  circuit, find  the  time  M  required for the maximum energy present in the capacitor dur-  ing an oscillation to fall to half its initial value. Assume q = Q  at t = 0.  26 

GO  An  ac  generator  with  emf ℰ = ℰ m  sin  ωd t,  where  M  ℰ m  = 25.0 V and ωd  = 377 rad/s, is connected to a 4.15 μF capac-  itor. (a) What is the maximum value of the current? (b)  When  the current  is  a  maximum, what is  the emf  of the  generator?  (c) When the emf of the generator is −12.5 V and increasing  in  magnitude, what is the current?  34 

Module 31.4 

E  An  alternating  source  with  a  variable  frequency,  a  capacitor with capacitance  C, and  a  resistor  with resistance  R  are connected in series. Figure 31.11 gives the impedance Z  of  the circuit  versus  the driving  angular frequency  ωd ;  the curve  reaches an asymptote of 500 Ω, and the horizontal scale is set by  ωds  = 300 rad/s. The figure also gives the reactance X C  for the  capacitor versus  ωd . What are (a) R and (b) C? 

36 

800

SSM 

Z

)Ω( CX , Z

Module 31.3 

400 XC

Forced Oscillations o f Three Simple Circuits 

A 1.50 μF capacitor is connected as in Fig. 31.3.5 to an ac  generator with ℰ m  = 30.0 V. What is the amplitude of the result-  ing alternating current if the frequency of the emf is (a) 1.00 kHz  and (b) 8.00 kHz?  28  E 

A 50.0 mH inductor is connected as in Fig. 31.3.7 to an ac  generator with ℰ m  = 30.0 V. What is the amplitude of the result-  ing alternating current if the frequency of the emf is (a) 1.00 kHz  and (b) 8.00 kHz?  29  E 

GO  An  ac  generator  has  emf  ℰ = ℰ m  sin  ωd t,  with  M  ℰ m  = 25.0 V  and  ωd  =  377 rad/s.  It  is  connected  to  a  12.7 H  inductor. (a)  What  is  the  maximum value of  the current?  (b)  When the current is a maximum, what is the emf of the genera-  tor? (c) When the emf of the generator is −12.5 V and increasing  in magnitude, what is the current?  32 

M  SSM  An  ac  generator  has  emf  ℰ = ℰ  m  sin(ωd t − π/4),  where ℰ m  = 30.0 V and ωd  = 350 rad/s. The current produced in  a connected circuit is i(t) = I sin(ωd t − 3π/4), where I = 620 mA.  At what time after t = 0 does (a) the generator emf first reach a  maximum and (b)  the current  first reach a maximum? (c)  The  circuit  contains  a  single  element other  than  the generator.  Is  it  a  capacitor,  an  inductor, or  a  resistor?  Justify your  answer.  (d)  What is  the  value of the capacitance, inductance, or  resis-  tance, as the case may be? 

ω

d

Figure  31.11 

ω

ds

(rad/s)

Problem 36. 

An electric motor has an effective resistance of 32.0 Ω and  an inductive reactance of 45.0 Ω when working under load. The  voltage amplitude across the alternating source is 420 V. Calcu-  late the current amplitude.  37  E 

The current amplitude I ver-  sus  driving  angular  frequency  ωd  for  a  driven  RLC  circuit  is  given  in  Fig.  31.12,  where  the  vertical  axis scale is set by I s  = 4.00 A. The  inductance is 200 μH, and the emf  amplitude is 8.0 V. What are (a)  C  and (b) R?  38  E 

Is

I

E  (a)  At  what frequency  would a  6.0 mH  inductor and  a  10  μ F capacitor have the same reactance?  (b)  What would the  reactance be? (c) Show that this frequency would be the natural  frequency of an oscillating circuit with the same L and C. 

31 

0

)A(

A 50.0 Ω resistor is connected as in Fig. 31.3.3 to an ac gen-  erator with ℰ m  = 30.0 V. What is the amplitude of the resulting  alternating current if  the frequency of the emf is  (a)  1.00 kHz  and (b) 8.00 kHz?  30  E 

33 

The Series RLC Circuit 

A coil of inductance 88 mH and unknown resistance and a  0.94 μ F capacitor are connected in series with an alternating emf  of frequency 930 Hz. If the phase constant between the applied  voltage and the current is 75°, what is the resistance  of the coil?  35  E 

In an oscillating series RLC circuit, show that ΔU/U,  the fraction of the energy lost per cycle of oscillation, is given to  a  close approximation by 2πR/ωL. The quantity ωL/R is  often  called the Q of the circuit (for quality). A high-Q circuit has low  resistance  and a low fractional energy loss (= 2π/Q) per cycle.  27  H 

993

0 10

ω

d

30 50 (1000 rad/s)

Remove the inductor from  Figure  31.12  Problem 38.  the  circuit  in  Fig.  31.3.2 and  set  R = 200 Ω, C = 15.0 μF, f d  = 60.0 Hz, and ℰ m  = 36.0 V. What are  (a) Z, (b) ϕ, and (c) I? (d) Draw a phasor diagram.  39  E 

An alternating source drives a series RLC circuit with an  emf amplitude of 6.00 V, at a phase angle of +30.0°. When the  potential difference  across  the  capacitor reaches  its maximum  positive value of +5.00 V, what is the potential difference across  the inductor (sign included)?  40  E 

SSM  In Fig. 31.3.2, set R = 200 Ω, C = 70.0 μF, L = 230 mH,  f d  = 60.0 Hz, and ℰ m  = 36.0 V. What are (a) Z, (b)  ϕ, and (c)  I?  (d) Draw a phasor diagram. 

41  E 

E  An  alternating  source  with  a  variable  frequency,  an  inductor with inductance L, and a resistor with resistance R are 

42 

/

994

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

120 )Ω( LX , Z

connected in series.  Figure 31.13  gives the impedance Z of the cir-  cuit  versus  the  driving  angular  frequency ωd , with the horizontal  axis scale set by  ωds  = 1600 rad/s.  The  figure  also  gives  the  reac-  tance X L  for  the inductor versus  ωd . What are (a) R and (b) L? 

80

Z

XL

40 0

ω

d

(rad/s)

ω

ds

Remove the capacitor from  Figure  31.13  Problem 42.  the  circuit  in  Fig. 31.3.2  and set  R = 200  Ω,  L = 230 mH,  f d  = 60.0 Hz,  and  ℰ m  = 36.0 V.  What  are (a) Z, (b)  ϕ, and (c) I? (d) Draw a phasor diagram.  43  E 

An ac generator with emf amplitude ℰ m  = 220 V and  operating at  frequency  400  Hz  causes  oscillations  in  a  series  RLC  circuit  having  R = 220  Ω,  L = 150 mH, and C = 24.0 μF.  Find (a)  the capacitive reactance X C , (b) the impedance Z, and  (c)  the  current  amplitude  I.  A  second  capacitor  of  the  same  capacitance is  then connected in  series  with the other compo-  nents. Determine whether the values of (d) X C , (e) Z, and (f) I  increase, decrease, or remain the same.  44  M 

GO 

GO  (a) In an RLC circuit, can the amplitude of the volt-  age  across  an  inductor  be  greater  than  the  amplitude  of  the  generator  emf? (b)  Consider  an RLC  circuit with  emf ampli-  tude ℰ m  = 10 V, resistance R = 10 Ω, inductance L = 1.0 H, and  capacitance C = 1.0 μ F. Find the amplitude of the voltage across  the inductor at resonance.  45  M 

An alternating emf source with a variable frequency  f d  is  connected  in  series  with  a  50.0  Ω  resistor  and  a  20.0 μ F  capacitor.  The  emf  amplitude  is  12.0 V.  (a)  Draw  a  phasor  diagram for  phasor  V R  (the potential across  the  resistor)  and  phasor V C  (the potential across the capacitor). (b) At what driv-  ing frequency f d  do the two phasors  have the same length? At  that driving frequency, what are (c)  the phase angle in degrees,  (d)  the angular speed at which the phasors  rotate, and (e)  the  current amplitude?  46  M 

GO 

M  CALC  SSM  An RLC circuit  such as  that of Fig. 31.3.2  has  R = 5.00 Ω, C = 20.0 μF, L = 1.00 H, and  ℰm  = 30.0 V. (a)  At what angular frequency  ωd  will the current amplitude have  its  maximum value, as  in  the resonance  curves  of Fig. 31.4.3?  (b)  What  is  this  maximum value?  At what  (c)  lower  angular  frequency  ωd1  and  (d)  higher  angular  frequency  ωd2  will  the  current amplitude be half this maximum value? (e) For the res-  onance curve  for  this circuit,  what is  the fractional  half-width  (ωd1  − ωd2 )/ω? 

47 

GO  Figure 31.14 shows a driven RLC circuit that contains  two identical capacitors and two switches. The emf amplitude is  set at 12.0 V, and the driving frequency is  set at 60.0 Hz. With  both switches  open, the  current  leads  the emf  by  30.9°. With  switch S 1  closed and switch S 2  still open, the emf leads the cur-  rent by 15.0°. With both switches closed, the current amplitude  is 447 mA. What are (a) R, (b) C, and (c)  L?  48  M 

L

S1

C

Figure  31.14 

C R

Problem 48. 

GO  In  Fig.  31.15,  a  M  generator  with  an  adjustable  L1 R frequency of oscillation is con-  G C1 C2 C3 nected to resistance  R = 100 Ω  L2 inductances L 1  = 1.70 mH and  L 2  =  2.30  mH,  and  capaci-  tances  C 1  =  4.00  μF,  C 2  =  Figure  31.15  Problem 49.  2.50 μF, and C 3  = 3.50 μF. (a)  What is the resonant frequency of the circuit?  (Hint: See  Prob-  lem 47 in Chapter 30.) What happens to the resonant frequency if  (b) R is increased, (c) L 1  is increased, and (d) C 3  is removed from  the circuit?  49 

S2

M  An alternating emf  source  with a  variable frequency  f  d  is  connected  in  series  with  an  80.0 Ω  resistor  and  a  40.0 mH  inductor. The emf amplitude is  6.00 V. (a)  Draw a  phasor dia-  gram for phasor V R  (the potential across the resistor) and phasor  V L  (the potential across  the inductor). (b)  At what driving fre-  quency f d  do  the  two  phasors  have  the same  length? At  that  driving frequency, what are (c)  the phase angle in degrees, (d)  the angular speed at which the phasors rotate, and (e)  the cur-  rent amplitude? 

50 

SSM  The fractional half-width Δω d of a resonance curve,  such as the ones in Fig. 31.4.3, is  the width of the curve at half  the maximum value of I. Show that Δωd /ω = R(3C/L) 1/2 , where  ω is  the  angular  frequency  at  resonance.  Note  that the  ratio  Δωd /ω increases with R, as Fig. 31.4.3 shows. 

51  M 

Module 31.5 

Power in Alternating-Current  Circuits 

An ac voltmeter with large impedance is connected in turn  across  the inductor, the  capacitor, and  the resistor  in  a  series  circuit having an alternating emf of 100 V (rms); the meter gives  the same reading in volts in each case. What is this reading?  52  E 

E  SSM  An  air  conditioner  connected  to  a  120 V  rms  ac  line is  equivalent to a 12.0 Ω resistance  and a  1.30 Ω  inductive  reactance in series. Calculate (a)  the impedance of the air con-  ditioner and (b) the average rate at which energy is supplied to  the appliance. 

53 

What is the maximum value of an ac voltage whose rms  value is 100 V?  54  E 

What direct current will produce the same amount of ther-  mal energy, in a particular resistor, as an alternating current that  has a maximum value of 2.60 A?  55  E 

A typical light dimmer used  B L to dim the stage lights in a theater  consists  of a  variable inductor L  To energy (whose  inductance  is  adjustable  supply between  zero  and  L max )  con-  nected in  series  with  a  lightbulb  Figure  31.16  Problem 56.  B,  as  shown  in  Fig.  31.16.  The  electrical supply is 120 V (rms) at 60.0 Hz; the lightbulb is rated  at 120 V, 1000 W. (a) What L max is required if the rate of energy  dissipation in the lightbulb is to be varied by a factor of 5 from  its  upper  limit of  1000 W?  Assume  that the  resistance  of  the  lightbulb is independent of its temperature. (b)  Could one use  a variable resistor  (adjustable between zero and R max )  instead  of an  inductor? (c)  If so, what R max  is  required?  (d)  Why isn’t  this done?  56  M 

In an RLC circuit such as  that of Fig. 31.3.2 assume that  R = 5.00  Ω,  L = 60.0 mH,  f d   = 60.0 Hz,  and  ℰ m  = 30.0 V.  For  57  M 

/

P ROBL EMS 

what values of the capacitance would the average rate at which  energy  is  dissipated  in  the  resistance  be  (a)  a  maximum and  (b) a minimum? What are (c) the maximum dissipation rate and  the corresponding (d) phase angle and (e)  power factor? What  are  (f)  the  minimum  dissipation  rate  and  the  corresponding  (g) phase angle and (h) power factor?  CALC  For Fig. 31.17, show  that  the  average  rate  at  which  energy is  dissipated in resistance  R is a maximum when R is equal  to the internal resistance  r of the  ac  generator.  (In  the  text  dis-  cussion  we  tacitly  assumed  that  r = 0.) 

58  M 

r R

ℰ

Figure  31.17  Problems 58  In Fig. 31.3.2, R = 15.0  and 66.  Ω, C = 4.70 μF, and L = 25.0 mH.  The  generator  provides  an  emf  with  rms  voltage  75.0 V  and  frequency 550 Hz. (a) What is the rms current? What is the rms  voltage across (b) R, (c)  C, (d) L, (e) C and L together, and (f)  R, C, and L together? At what average rate is energy dissipated  by (g) R, (h) C, and (i) L? 

59  M 

GO 

CALC  GO  In a series oscillating RLC circuit, R = 16.0 Ω,  C = 31.2 μ F, L = 9.20 mH, and ℰ m  = ℰm  sin ωd t with ℰm  = 45.0 V  and  ℰm  = 3000 rad/s. For time t = 0.442 ms find (a)  the rate P g  at which energy is being supplied by the generator, (b) the rate  P C  at which the energy in the capacitor is changing, (c)  the rate  P L  at which the energy in the inductor is  changing, and (d) the  rate P R  at which energy is being dissipated in the resistor. (e) Is  the sum of P C,   P L,   and P R  greater than, less than, or equal to P g?   

60  M 

M  SSM  Figure  31.18  shows  i( t) an  ac  generator  connected  to  a  “black box” through a pair of ter-  ℰ( t) ? minals. The box contains an RLC  circuit, possibly even a  multiloop  circuit, whose  elements and  con-  Figure  31.18  Problem 61.  nections  we  do  not  know.  Mea-  surements outside the box reveal that 

61 

ℰ(t) = (75.0 V) sin  ωd t 

i(t) = (1.20 A) sin(ωd t + 42.0°). 

and 

(a)  What is  the power factor? (b)  Does the current  lead or  lag  the emf? (c)  Is the circuit in the box largely inductive or largely  capacitive? (d)  Is  the circuit in the box in resonance? (e)  Must  there be  a  capacitor in  the box? (f)  An inductor? (g)  A  resis-  tor? (h) At what average rate is energy delivered to the box by  the generator? (i) Why don’t you need to know ωd  to answer all  these questions?  Module 31.6 

Transformers 

A  generator  supplies  100 V  to a  transformer’s  primary  coil, which has 50 turns. If the secondary coil has 500 turns, what  is the secondary voltage?  62 

E 

A  transformer  has  500  primary  turns  and 10  sec-  ondary turns. (a)  If V p  is 120 V (rms), what is V s  with an open  circuit? If the secondary now has a resistive load of 15 Ω, what is  the current in the (b) primary and (c)  secondary?  63 

E 

SSM 

E  Figure  31.19 shows  an  “autotransformer.”  It  consists  of  a  single  coil  (with  an  iron  core).  Three  taps  T i  are  provided. 

64 

Between  taps  T 1  and  T 2  there  are  200  turns, and between taps T 2  and T 3  there  are 800 turns. Any two taps can be chosen  as the primary terminals, and any two taps  can be chosen as the secondary terminals.  For  choices  producing  a  step-up  trans-  former, what are the (a) smallest, (b) sec-  ond smallest, and (c) largest  values of the  ratio V s /V p ? For a step-down transformer,  what  are  the  (d)  smallest,  (e)  second  smallest, and (f) largest values of V s /V p ? 

995 T3

T2

T1

Figure  31.19 

Problem 64.  65  M  An  ac  generator  provides  emf  to  a  resistive  load  in  a  remote  factory over  a  two-cable transmission line. At the fac-  tory a step-down transformer reduces the voltage from its (rms)  transmission value V t  to a much lower value that is safe and con-  venient for use in the factory. The transmission  line resistance  is  0.30  Ω/cable, and the  power of  the generator  is  250  kW. If  V t  = 80 kV,  what  are  (a)  the  voltage  decrease  ΔV  along  the  transmission  line and (b)  the rate  P d  at which  energy is  dissi-  pated in the line as thermal energy? If V t  = 8.0 kV, what are (c)  ΔV and (d) P d ? If V t  = 0.80 kV, what are (e) ΔV and (f) P d ?  Additional Problems 

In Fig. 31.17, let the rectangular box on the left represent  the (high-impedance) output of an audio amplifier, with r = 1000 Ω.  Let R = 10 Ω represent the (low-impedance) coil of a loudspeaker.  For maximum transfer of energy to the load R we must have R = r,  and that is not true in this case.  However, a transformer  can  be  used to “transform” resistances, making them behave electrically  as if they were larger or smaller than they actually are. (a) Sketch  the  primary  and  secondary  coils  of  a  transformer  that  can  be  introduced between the amplifier and the speaker in Fig. 31.17 to  match the impedances. (b) What must be the turns ratio?  66  CALC 

GO  An  ac  generator  produces  emf ℰ = ℰ m  sin(ωd t − π/4),  where  ℰ m  = 30.0 V  and  ωd  = 350 rad/s.  The  current in  the cir-  cuit  attached to  the  generator  is  i(t) = I  sin(ωd t + π/4),  where  I = 620 mA. (a) At what time after t = 0 does the generator emf  first  reach a  maximum? (b)  At what time after t  = 0 does  the  current first reach a maximum? (c)  The circuit contains a single  element other than the generator. Is  it a capacitor, an inductor,  or a resistor?  Justify your answer. (d) What is the value of the  capacitance, inductance, or resistance, as the case may be?  67 

A series RLC circuit is driven by a generator at a frequency  of  2000 Hz and  an emf amplitude of 170 V. The  inductance is  60.0 mH, the capacitance is 0.400 μ F, and the resistance is 200 Ω.  (a)  What is the phase constant in radians? (b)  What is the cur-  rent amplitude?  68 

A generator of frequency 3000 Hz drives a series  RLC cir-  cuit with an emf amplitude of 120 V. The resistance is 40.0 Ω , the  capacitance is 1.60 μF, and the inductance is 850 μH. What are  (a) the phase constant in radians and (b) the current amplitude?  (c) Is the circuit capacitive, inductive, or in resonance?  69 

A 45.0 mH inductor has a  reactance of 1.30 kΩ. (a)  What  is  its  operating  frequency?  (b)  What  is  the  capacitance  of  a  capacitor with the same reactance at that frequency? If the fre-  quency is doubled, what is the new reactance of (c) the inductor  and (d) the capacitor?  70 

An  RLC  circuit  is  driven  by  a  generator  with  an  emf  amplitude of  80.0 V  and  a  current  amplitude of  1.25 A.  The  71 

/

996

C HAP T ER 31  EL EC T ROMAGNET IC   OSC IL L AT IONS  AND   AL T ERNAT ING  C U RRENT  

current leads the emf by 0.650 rad. What are the (a) impedance  and  (b)  resistance  of  the  circuit?  (c)  Is  the  circuit  inductive,  capacitive, or in resonance?  A series  RLC circuit is driven in such a way that the maxi-  mum  voltage across  the  inductor is  1.50  times  the  maximum  voltage across  the capacitor and 2.00 times the maximum volt-  age across  the resistor.  (a)  What is  ϕ for the circuit? (b)  Is  the  circuit inductive, capacitive, or  in resonance? The  resistance  is  49.9 Ω, and  the current  amplitude is  200 mA. (c)  What is  the  amplitude of the driving emf?  72 

A capacitor of capacitance 158 μF and an inductor form an  LC circuit that oscillates at 8.15 kHz, with a current amplitude  of 4.21 mA. What are (a) the inductance, (b) the total energy in  the circuit, and (c)  the maximum charge on the capacitor?  73 

An oscillating LC circuit has an inductance of 3.00 mH and  a  capacitance  of  10.0 μF.  Calculate the  (a)  angular  frequency  and (b) period of the oscillation. (c)  At time t = 0, the capacitor  is charged to 200 μC and the current is zero. Roughly sketch the  charge on the capacitor as a function of time.  74 

For a certain driven series RLC circuit, the maximum gen-  erator emf is 125 V  and the maximum current is  3.20 A. If the  current leads the generator  emf by 0.982 rad, what are  the (a)  impedance and  (b)  resistance  of  the circuit?  (c)  Is  the  circuit  predominantly capacitive or inductive?  75 

A  1.50 μF  capacitor has  a  capacitive  reactance of 12.0 Ω.  (a) What must be its operating frequency? (b) What will be the  capacitive reactance if the frequency is doubled?  76 

SSM  In  Fig.  31.20,  a  three-  1 phase  generator  G  produces  G 2 electrical  power that is  transmit-  3 ted by means of three wires. The  electric  potentials (each  relative  Three - wire transmission line to a common reference level) are  Figure  31.20  Problem 77.  V 1  = A sin  ωd t for wire  1, V 2  = A  sin(ωd t − 120°)  for wire  2, and V 3  = A sin(ωd t − 240°) for  wire  3.  Some types  of  industrial  equipment (for  example, motors)  have three terminals and are  designed to be connected directly  to these three wires. To use a more conventional two-terminal  device  (for  example, a  lightbulb), one  connects it  to  any  two  of the three wires.  Show that the potential difference between  any two of the wires (a) oscillates sinusoidally with angular fre-  _  quency ωd and (b) has an amplitude of A √ 3. 

77 

An electric motor connected to a 120 V, 60.0 Hz ac outlet  does  mechanical work  at  the  rate  of 0.100 hp (1 hp = 746 W).  (a)  If  the motor draws  an  rms  current  of 0.650 A, what  is  its  effective resistance,  relative to  power transfer?  (b)  Is  this  the  same as the resistance of the motor’s coils, as measured with an  ohmmeter with the motor disconnected from the outlet?  78 

SSM  (a)  In an oscillating LC  circuit, in terms of the maxi-  mum charge Q on the capacitor, what is the charge there when  the energy in the electric field is  50.0% of that in the magnetic  field? (b)  What fraction of a  period must elapse  following the  time the capacitor is fully charged for this condition to occur? 

79 

A  series  RLC  circuit  is  driven  by  an  alternating  source  at a frequency of 400 Hz and an emf amplitude of 90.0 V. The  resistance  is  20.0 Ω, the  capacitance is  12.1 μF, and the induc-  tance  is  24.2 mH. What is  the  rms  potential difference across  80 

(a) the resistor, (b) the capacitor, and (c) the inductor? (d) What  is the average rate at which energy is dissipated?  SSM  In  a  certain  series  RLC  circuit  being  driven  at  a  frequency  of 60.0 Hz, the maximum voltage across  the induc-  tor is  2.00  times the maximum voltage across  the resistor  and  2.00 times  the  maximum voltage across  the  capacitor.  (a)  By  what angle does the current  lag the  generator  emf? (b)  If  the  maximum generator emf is 30.0 V, what should be the resistance  of the circuit to obtain a maximum current of 300 mA? 

81 

A  1.50 mH  inductor in  an  oscillating  LC  circuit  stores  a  maximum energy of 10.0 μJ. What is the maximum current?  82 

A generator with an adjustable frequency of oscillation is  wired in series to an inductor of L = 2.50 mH and a capacitor of  C = 3.00 μ F. At what frequency does the generator produce the  largest possible current amplitude in the circuit?  83 

A series RLC circuit has a resonant frequency of 6.00 kHz.  When it  is  driven at 8.00 kHz, it has  an  impedance of 1.00 kΩ  and a phase constant of 45°. What are (a) R, (b) L, and (c) C for  this circuit?  84 

SSM  An  LC  circuit  oscillates  at  a  frequency  of  10.4 kHz.  (a)  If  the capacitance  is  340 μF, what is  the inductance? (b)  If  the maximum current is 7.20 mA, what is the total energy in the  circuit? (c) What is the maximum charge on the capacitor? 

85 

When under load and operating at an rms voltage of 220 V,  a certain electric motor draws  an rms  current of 3.00 A. It  has  a resistance  of 24.0 Ω  and no capacitive reactance. What is  its  inductive reactance?  86 

The  ac  generator  in  L Fig.  31.21  supplies  120 V  at  C C 60.0 Hz. With the switch open  1 as  in  the  diagram,  the  cur-  S 2 rent  leads  the  generator  emf  R by  20.0°.  With  the  switch  in  position 1, the current lags the  generator emf by 10.0°. When  Figure  31.21  Problem 87.  the switch is  in position 2, the  current amplitude is 2.00 A. What are (a) R, (b) L, and (c) C?  87 

In an oscillating LC circuit, L = 8.00 mH and C = 1.40 μF.  At time t = 0, the current is maximum at 12.0 mA. (a) What  is  the maximum charge  on the capacitor during the oscillations?  (b)  At what earliest time t > 0  is  the rate of change of energy  in the capacitor maximum? (c)  What is  that maximum rate  of  change?  88 

SSM  For a sinusoidally driven series  RLC circuit, show that  over one complete cycle with period T (a) the energy stored in the  capacitor does not change; (b) the energy stored in the inductor  does  not  change;  (c)  the  driving  emf  device  supplies  energy  1  2  __  ( __ 1  2 T)ℰ m I  cos  ϕ;  and (d)  the  resistor  dissipates  energy  ( 2 T) RI  .  (e) Show that the quantities found in (c)  and (d) are equal. 

89 

What  capacitance  would  you  connect  across  a  1.30 mH  inductor to make the resulting oscillator resonate at 3.50 kHz?  90 

A series  circuit with resistor–inductor–capacitor  combina-  tion R 1 , L 1 , C 1  has the same resonant frequency as a second cir-  cuit with a different combination R 2 , L 2 , C 2 . You now connect  the two combinations in series.  Show that this new  circuit has  the same resonant frequency as the separate circuits.  91 

/

P ROBL EMS 

Consider  the  circuit  shown  in  Fig. 31.22.  With  switch  S 1  closed and the other two switches open, the circuit has a time con-  stant  τC . With switch S 2  closed and the other two switches  open,  the circuit has a time constant τL . With switch S 3  closed and the  other  two switches  open, the circuit  oscillates  with a  period  T.  _  Show that T = 2π√ τC τL .  92 

S1

S2

997

if the skin resistance  on each hand is (a)  R dry  = 100 kΩ for dry  hands and (b) R wet  = 1.0 kΩ for skin wet with sweat?  R skin

R body

Vrms

R skin

S3

Figure  31.23 

Problem 93. 

The let-go current. Here is one common danger of electric-  ity in the home and workplace: If a person grabs a live (ener-  gized) wire (or some other conducting object), the person may  not be able to let go because of involuntary contractions of the  hand muscles.  Suppose that the pathway of the ac current  is  then through the bare hand, the body, and the shoes, to a con-  ducting floor. According to experiments, most people can let  go of a wire for a rms current of 6 mA but not for a rms current  of 22  mA, dubbed the  “let-go” level. Consider  the common  rms voltage V rms  = 120 V. Assume the hand’s skin resistance is  R dry  = 100 kΩ for dry skin and R wet  = 1.0 kΩ for skin wet with  sweat. Take R body = 300 Ω for the conducting pathway through  the body, R boots = 2000 Ω  for common electrician work boots,  and R shoes = 200 Ω  for common leather shoes. (a) What is the  rms current I rms  through the person for dry skin when wearing  the boots, and  is it above the let-go level? (b)  What  are  the  results if the person has wet skin and is wearing the boots? (c)  What are the results if the person has wet skin and is wearing  the leather shoes? Even if the current is only somewhat above  the let-go  level, the  involuntary contractions  can  produce  a  tighter grip with a greater contact area and sweat production,  and the resistances can decrease with time.  94 

L

C

Figure  31.22 

R

Problem 92. 

Hand-to-hand current.  Here  are  the  physiological effects  when an ac  current is established across  a person, say, hand to  hand:  93 

1 mA, perception threshold  10−20 mA, onset of involuntary muscle contractions  100−300 mA, heart fibrillation, eventually fatal  1 A, heart ceases to beat, internal burns produced  Anyone  skilled  in  working  with  live  (energized)  ac  circuits  knows to  put one hand behind the back to avoid having both  hands  in contact with the circuit. Indeed, some  people tuck a  hand in a back pocket. Figure 31.23 shows  a live circuit that a  person touches with both hands. The rms voltage is V rms  = 120 V  and the resistance  of the conducting pathway through the body  is R body = 300 Ω. What is the rms current I rms  through the body 

/

C

H

A

P

T

E

R

3

2

Maxwell’s Equations;  Magnetism of Matter 

32.1  GAUSS’ LAW FOR MAGNETIC FIELDS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.1.1  Identify that the simplest magnetic structure is a  magnetic dipole. 

→

→

B  and the area vector d A (for patch elements) 

vector 

over the surface. 

32.1.2  Calculate the magnetic flux 

Φ through  a surface 

by integrating the dot product of the magnetic field 

32.1.3  Identify  that the net magnetic flux  through a  Gaussian surface (which  is a closed surface)  is zero. 

Key Idea  ●

The simplest magnetic structures are magnetic 

states that the net magnetic flux through any (closed) 

dipoles. Magnetic monopoles do not exist (as far as we 

Gaussian surface is zero. It implies  that magnetic 

know). Gauss’ law  for magnetic fields, 

monopoles do not exist. 

→

→

Φ B  =   B ⋅ d A = 0,  ∮

What Is Physics? 

 s e g amI  ytt eG/ ew ertS r e vilO

This  chapter reveals some of  the breadth of  physics because it ranges from  the  basic science of electric and magnetic fields to the applied science and engineer-  ing of magnetic materials. First, we conclude our basic discussion of electric and  magnetic fields, finding that most of the physics principles in the last 11 chapters  can be summarized in only four equations, known  as Maxwell’s equations.  Second, we examine the science and engineering of magnetic materials. The  careers of many scientists and engineers are focused on understanding why some  materials a re magnetic a nd others are not and on how existing magnetic materials  can be improved. These researchers wonder why Earth has a magnetic field but  you do not.  They find  countless applications  for inexpensive magnetic materials  in cars, kitchens, offices, and hospitals, and magnetic materials often  show up in  unexpected ways. For  example, if  you  have a tattoo  (Fig. 32.1.1) and  undergo  an MRI (magnetic resonance imaging) scan, the large magnetic field used in the  scan may noticeably tug on your tattooed skin because some tattoo inks contain  magnetic particles. In another example, some breakfast cereals a re advertised as  being  “iron  fortified” because they contain small bits  of  iron  for you  to  ingest.  Because these iron  bits are magnetic, you can collect them by passing a magnet  over a slurry of water and cereal.  FCP  Our first step here is to revisit Gauss’ law, but this time for magnetic fields.  Figure  32.1.1 

Some of the inks used for tattoos contain magnetic particles. 

998 /

999

-- -1  GAU SS’  L AW F OR  MAGNET IC   F IEL D S 

Gauss’ Law for Magnetic Fields 

The simplest magnetic structure that can exist is a magnetic dipole. Magnetic  monopoles do not exist (as far as we know). 

Gauss’ law for magnetic fields is a formal way of saying that magnetic mono-  poles  do  not  exist. The  law  asserts that  the  net  magnetic flux  Φ B  through  any  closed Gaussian surface is zero:  →

→

Φ B =   B ⋅ d A = 0  ∮

(Gauss’ law for magnetic  fields). 

 shpargotohP latnemadnuF/angeM drahciR

Figure  32.1.2 shows  iron  powder  that  has  been  sprinkled  onto  a  transparent  sheet placed above a bar magnet. The powder grains, trying to align themselves  with the magnet’s m agnetic field, have fallen into a pattern that reveals the field.  One end  of  the magnet is  a source of  the field  (the field lines diverge from it)  and  the other end  is a sink  of the  field (the field lines converge toward it). By  convention,  we  call  the  source  the  north  pole  of  the  magnet and  the  sink  the  south  pole, and  we say that  the magnet, with  its  two  poles, is  an example of  a  magnetic dipole.  Suppose  we break  a bar magnet into  pieces the way we can  break a piece  of  chalk  (Fig. 32.1.3). We should,  it  seems, be able to  isolate a single  magnetic  pole, called a magnetic monopole. However, we cannot—not even if we break the  magnet down  to  its individual  atoms and  then to  its electrons and nuclei.  Each  fragment has a north pole and a south pole. Thus: 

A bar magnet is a  magnetic dipole. The iron filings  suggest the magnetic field lines.  (Colored light fills the background.)  Figure  32.1.2 

(32.1.1) 

Contrast this with Gauss’ law for electric fields,  q enc  Φ E =   E ⋅ d A = ____  ɛ →

∮

→

0 

(Gauss’ law for electric  fields). 

In  both  equations,  the  integral  is  taken  over  a  N closed  Gaussian  surface.  Gauss’  law  for  elec-  tric  fields  says that this  integral (the net electric  S N flux  through  the  surface) is  proportional  to  the  net  electric charge q enc  enclosed  by  the surface.  Gauss’  law  for  magnetic  fields  says  that  there  N can be no  net magnetic flux through  the surface  S because there can be  no  net “magnetic charge”  (individual  magnetic poles)  enclosed by the sur-  face.  The  simplest  magnetic structure  that  can  S N exist and thus be enclosed by a Gaussian surface  is a dipole,  which consists of both a source and a  S sink for the field lines. Thus, there must always be  as much magnetic flux into the surface as out  of  Figure  32.1.3  If you break a  it, and the net magnetic flux must always be zero.  magnet, each fragment becomes  Gauss’  law  for  magnetic  fields  holds  for  a separate magnet, with its own  north and south poles.  structures  more  complicated  than  a  magnetic  dipole,  and it holds even if the Gaussian surface  does not enclose the entire structure. Gaussian surface II near the bar magnet of  Fig. 32.1.4 encloses no  poles,  and we can easily conclude  that the net  magnetic  flux through it is zero. Gaussian surface I is more difficult. It may seem to enclose  only  the north  pole  of  the magnet because it  encloses the  label  N and  not  the  label  S. However, a south  pole  must  be associated with  the  lower boundary  of 

B

Surface II

N

Surface I

S

The field lines for  the magnetic field B  of a short bar  magnet. The red curves represent  cross  sections of closed, three-  dimensional Gaussian surfaces.  Figure  32.1.4 

→

/

1000

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

the  surface because magnetic field  lines enter the  surface there. (The enclosed  section is like one piece of the broken  bar magnet in Fig. 32.1.3.) Thus, Gaussian  surface I encloses a magnetic dipole, and the net flux through the surface is zero. 

Checkpoint 32.1.1 

The figure here shows four closed surfaces with flat top and bottom faces and curved  sides. The table gives the areas A of the faces and the magnitudes B of the uniform  and perpendicular magnetic fields through those faces; the units of A and B are arbi-  trary but consistent. Rank the surfaces according to the magnitudes of the magnetic  flux through their curved sides, greatest first.  Surface 

A top 

B top 

A bot 

B bot 

a 

2 

6, outward 

4 

3, inward 

b 

2 

1, inward 

4 

2, inward 

c 

2 

6, inward 

2 

8, outward 

d 

2 

3, outward 

3 

2, outward 

(a )

(b )

(c )

(d )

32.2  INDUCED  MAGNETIC FIELDS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.2.1  Identify that a changing electric  flux induces  a 

that are being charged,  indicating the orientations 

magnetic field. 

of the vectors for the electric  field  and the magnetic 

32.2.2  Apply Maxwell’s law  of induction  to relate the 

field. 

magnetic field  induced  around a closed loop to the 

32.2.4  For the general  situation in which  magnetic 

rate of change  of electric flux  encircled  by the loop. 

fields can  be induced,  apply the Ampere–Maxwell 

32.2.3  Draw the field  lines  for an induced  magnetic 

(combined) law. 

field  inside  a capacitor with  parallel  circular  plates 

Key Ideas  ●

A changing electric  flux induces  a magnetic field 

B ⋅ d s  = μ 0 i enc , gives the magnetic  field generated by a current  i e nc  encircled  by a closed 

→

B . 

●

Maxwell’s law, 

dΦ E   B ⋅ d s  =  μ0 ε 0 _____  ∮ dt  →

→

Ampere’s law,  ∮

→

loop. Maxwell’s law  and Ampere’s law  can be written 

(Maxwell’s law of induction), 

as the single  equation 

dΦ E   B ⋅ d s  = μ0 ε0 _____  +  μ0 i enc  dt  →

relates the magnetic field  induced  along a closed loop  to the changing electric flux 

→

→

∮

Φ E  through the loop. 

(Ampere–Maxwell law). 

Induced Magnetic Fields 

In Chapter 30 you saw that a changing magnetic flux induces an electric field, and  we ended up with Faraday’s law of induction  in the form  dΦ B   E ⋅ d s  = − _____  dt  →

∮

→

(Faraday’s law of induction). 

(32.2.1) 

/

-- --  IND U C ED  MAGNET IC   F IEL D S 

1001

→

Here E is the electric field induced along a closed loop  by the changing magnetic  flux Φ B encircled by that loop. Because symmetry is often so powerful in physics,  we should  be tempted to ask whether induction  can occur in the opposite sense;  that is, can a changing electric flux induce a magnetic field?  The answer is that it can; furthermore, the equation governing the induction of  a magnetic field is almost symmetric with Eq. 32.2.1. We often call it Maxwell’s law  of induction  after James Clerk Maxwell, and we write it as  dΦ E   B ⋅ d s  = μ 0 ε0 _____  dt  →

∮

→

(32.2.2) 

(Maxwell’s law of induction). 

→

Here B is the magnetic field induced along a closed loop  by the changing electric  flux Φ E  in the region encircled by that loop.  Charging a Capacitor. As  an  example of  this  sort  of  induction,  we  con-  sider  the  charging of  a parallel-plate  capacitor with  circular plates.  (Although  we  shall  focus  on  this  arrangement, a changing electric flux  will  always  induce  a magnetic field  whenever it occurs.) We assume that the charge  2 on our capacitor (Fig. 32.2.1a) is being increased at a steady rate by a con-  E + – stant current i in  the connecting wires. Then the electric field  magnitude  + – between the plates must also be increasing at a steady rate.  1 Figure  32.2.1b  is a  view of  the right-hand  plate of  Fig.  32.2.1a from  + – between the plates. The electric field is directed into the page. Let us con-  + – i i sider a circular loop  through point  1 in  Figs. 32.2.1a and b, a loop  that is  + – concentric with  the capacitor plates and has a radius smaller than that of  the plates. Because the electric field through the loop is changing, the elec-  + – tric flux through the loop  must also be changing. According to Eq. 32.2.2,  + – this changing electric flux induces a magnetic field around the loop.  + – Experiment proves that a magnetic field  B  is indeed  induced around  The changing of the such  a loop, directed as shown.  This  magnetic field has the  same magni-  electric field between (a ) tude at every point around  the loop and thus has circular symmetry a bout  the plates creates a the central axis of the capacitor plates (the axis extending from one plate  magnetic field. 2 center to the other).  If we now consider a larger loop—say, through point 2 outside the plates  in Figs. 32.2.1a and b —we find that a magnetic field  is induced  around that  B E loop  as well. Thus, while the electric field  is changing, magnetic fields are  1 induced between the plates, both inside and outside the gap. When the elec-  r tric field stops changing, these induced magnetic fields disappear.  B Although  Eq. 32.2.2 is similar to  Eq. 32.2.1, the equations  differ in  two ways. First, Eq. 32.2.2 has the two extra symbols μ0  and ε0 , but they  B appear  only  because we employ  SI  units.  Second,  Eq. 32.2.2 lacks  the  R minus  sign of  Eq. 32.2.1, meaning  that the induced  electric field E  and  the  induced  magnetic field  B  have opposite  directions  when  they  are  B produced  in  otherwise similar situations.  To  see this  opposition,  exam-  ine  Fig.  32.2.2, in  which  an  increasing  magnetic field  B ,  directed  into  (b ) the page, induces an electric field E . The induced field E is counterclock-  Figure  32.2.1  (a) A circular parallel-plate  wise, opposite the induced magnetic field B  in Fig. 32.2.1b.  capacitor, shown in side view, is being  →

→

→

→

→

→

→

Ampere–Maxwell  Law 

→

Now  recall that  the  left side  of  Eq.  32.2.2, the  integral of  the  dot  prod-  uct  B ⋅ d s  around  a  closed  loop,  appears in  another  equation—namely,  Ampere’s law:  →

→

 B ⋅ d s  = μ0 i enc  →

∮

charged by a constant current i. (b) A view  from within the capacitor, looking toward the  plate at the right in (a). The electric field E  is  uniform, is directed into the page (toward the  plate), and grows in magnitude as the charge  on the capacitor increases.  The magnetic  field B  induced by this changing electric field  is shown at four points on a circle with a  radius r less than the plate radius R. 

→

(Ampere’s law), 

(32.2.3) 

→

/

1002

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

E

A uniform magnetic  field B  in a circular region. The field,  directed into the page, is increasing  in magnitude. The electric field E  induced by the changing magnetic  field is shown at four points on a  circle concentric with the circular  region. Compare this situation with  that of Fig. 32.2.1b. 

The induced E direction here is opposite the induced B direction in the preceding figure.

B

Figure  32.2.2  →

R

r

E

→

E

B

E

where i enc  is the  current encircled by  the closed  loop.  Thus,  our  two  equations  that specify the magnetic field B produced by means other than a magnetic mate-  rial (that is, by a current and by a changing electric field) give the field in exactly  the same form. We can combine the two equations into the single equation  →

dΦ E   B ⋅ d s  = μ 0 ε0 _____  + μ 0 i enc  dt  →

→

∮

(32.2.4) 

(Ampere–Maxwell law). 

When there is a current but no change in electric flux (such as with a wire carrying  a constant current), the first term on  the right side of  Eq. 32.2.4 is zero, and so  Eq. 32.2.4 reduces to Eq. 32.2.3, A mpere’s law. When there is a change in electric  flux but no current (such as inside or outside the gap of a charging capacitor), the  second  term on the right side of  Eq. 32.2.4 is zero, and so Eq.  32.2.4 reduces to  Eq. 32.2.2, Maxwell’s law of induction. 

Checkpoint 32.2.1 

Sample Problem 32.2.1

d

E

The figure shows graphs of the electric field magnitude  E versus time t for four uniform electric fields, all con-  tained within identical circular  regions as in Fig. 32.2.1b.  Rank the fields according to the magnitudes of the  magnetic fields they induce at the edge of the region,  greatest first. 

c

a

b t

Magnetic  field  induced by  changing electric  field 

A parallel-plate capacitor with circular plates of radius R  is being charged as in Fig. 32.2.1a.  (a) Derive an expression for the magnetic field at radius r  for the case r ≤ R. 

KEY IDEAS

We shall separately evaluate the left and right sides of this  equation.  We choose a circular Amperian  loop  with a radius  r ≤ R as shown  in Fig. 32.2.1b because  we  want  to  evaluate  the  magnetic  field  for  r ≤ R —that  is, inside  the capacitor. The magnetic field  B  at all points  along the  loop  is tangent  to  the  loop,  as is  the  path  ele-  ment d s . Thus, B and d s  are either parallel or antiparallel  at each point  of the loop. For  simplicity, assume they are  parallel (the choice does not alter our outcome here). Then  Left side of Eq. 32.2.5:

→

A magnetic field can be set up by a current and by induc-  tion  due  to  a  changing  electric  flux;  both  effects  are  included  in  Eq.  32.2.4. There  is  no  current between the  capacitor plates of Fig. 32.2.1, but the electric flux there is  changing. Thus, Eq. 32.2.4 reduces to  dΦ E   B ⋅ d s  = μ0 ε0 ____  .  ∮ dt  →

→

(32.2.5) 

→

→

→

∮

→

 B ⋅ d s  =   B ds cos 0° =   B ds.  →

∮

∮

Due to  the circular symmetry of  the  plates, we can also  assume that  B  has  the  same magnitude  at  every point  →

/

--- -  D ISP L AC EMENT   C U RRENT  

around  the loop.  Thus,  B can be taken  outside the  inte-  gral on the right side of the above equation. The integral  that remains is ∮ ds, which simply gives the circumference  2 πr of the loop. The left side of Eq. 32.2.5 is then (B)(2πr).  side of Eq. 32.2.5: We  assume  that  the  elec-  tric  field  E  is  uniform between the  capacitor plates  and  directed  perpendicular  to  the  plates.  Then  the  electric  flux Φ E through the Amperian loop  is EA, where A is the  area encircled by the loop  within  the electric field. Thus,  the right side of Eq. 32.2.5 is μ0 ε0  d(EA)/dt.  Right

→

Substituting  our  results  for  the left  and right sides into Eq. 32.2.5, we get  d(EA)  (B)(2πr) = μ0 ε0 ______ .  dt  Combining results:

(c) Derive an  expression for  the induced  magnetic field  for the case r ≥ R.  Our procedure is the same as in (a) except  we  now  use  an  Amperian loop  with  a  radius  r  that  is  greater than  the  plate  radius  R,  to  evaluate B  outside  the  capacitor.  Evaluating  the  left  and  right  sides  of  Eq. 32.2.5 again leads to  Eq.  32.2.6. However, we then  need  this  subtle  point:  The  electric  field  exists  only  between the plates, not outside the plates. Thus, the area  A that is encircled by the Amperian loop  in the electric  field is not the full area πr 2 of the loop. Rather, A is only  the plate area πR 2 .  Substituting  πR 2  for  A in  Eq.  32.2.6 and  solving the  result for B give us, for r ≥ R,  Calculation:

μ0 ε0 R 2 dE  ___ .  (Answer)  (32.2.8)  B = _______  2r  dt 

Because A is a constant, we write d(EA) as A dE; so we have  dE .  (B)(2πr) = μ 0 ε0 A ___  (32.2.6)  dt  The area A that is encircled by the Amperian loop  within  the electric field is the full area πr 2 of the loop because the  loop’s  radius r is less than (or equal to) the plate radius R.  Substituting  πr 2 for A in Eq. 32.2.6 leads to, for r ≤ R, 

μ0 ε0 r ___  dE .  (Answer)  (32.2.7)  B = _____  2  dt  This equation tells us that, inside the capacitor, B increases  linearly with increased radial distance r, from 0 at the cen-  tral axis to a maximum value at plate radius R.  (b) Evaluate the field magnitude B for r = R/5 = 11.0 mm  and dE/dt = 1.50 × 10 12 V/m · s.  From the answer to (a), we have  1  dE  B = _  μ ε r ___  2  0  0  dt  1  = _  (4π × 10 −7  T ⋅ m/A)(8.85 × 10 −12  C 2 /N ⋅ m 2 )  2 

Calculation:

1003

This  equation  tells  us  that,  outside  the  capacitor,  B  de-  creases with increased radial distance r, from a maximum  value  at  the  plate  edges (where  r = R).  By  substituting  r = R  into  Eqs.  32.2.7  and  32.2.8,  you  can  show  that  these equations are consistent; that is, they give the same  maximum value of B at the plate radius.  The magnitude of the induced magnetic field calcu-  lated in  (b) is  so small that it can scarcely be measured  with  simple  apparatus.  This  is  in  sharp  contrast  to  the  magnitudes  of  induced  electric fields  (Faraday’s  law),  which  can  be  measured  easily. This  experimental  dif-  ference exists partly because induced emfs can easily be  multiplied  by using  a coil  of  many turns.  No  technique  of  comparable simplicity exists for  multiplying induced  magnetic fields.  In  any case, the experiment suggested  by  this  sample  problem  has  been  done,  and  the  pres-  ence  of  the  induced  magnetic fields  has  been  verified  quantitatively. 

× (11.0 × 10 −3 m)(1.50 × 10 12 V/m ⋅ s)  = 9.18 × 10 −8  T. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

32.3  DISPLACEMENT CURRENT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.3.1  Identify that in the  Ampere–Maxwell law,  the con-  tribution to the induced  magnetic field  by the  chang-  ing electric flux  can  be attributed to a fictitious current  (“displacement current”) to simplify the expression.  32.3.2  Identify that in a capacitor that is being  charged 

spread uniformly  over the plate area,  from one plate  to the other.  32.3.3  Apply the relationship between  the rate of  change  of an electric  flux  and the associated dis-  placement current. 

or discharged, a displacement current is said to be 

/

1004

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

32.3.4  For a charging  or discharging capacitor, relate 

32.3.6  Apply the Ampere–Maxwell law  to calculate  the 

the amount of displacement current to the amount 

magnetic field  of a real current and a displacement 

of actual current  and identify  that the displacement 

current. 

current  exists only when  the electric  field  within  the 

32.3.7  For a charging  or discharging capacitor with 

capacitor is changing. 

parallel  circular  plates, draw the magnetic field  lines 

32.3.5  Mimic the equations for the magnetic field  inside  and outside a wire  with real  current to write (and 

due to the displacement current.  32.3.8  List Maxwell’s equations and  the purpose of each. 

apply) the equations for the magnetic field  inside  and outside a region of displacement current. 

Key Ideas  ●

We define  the fictitious  displacement current  due to a 

changing electric  field  as 

tor. However, displacement current  is not a transfer of  charge. 

The Ampere–Maxwell law then  becomes 

 B ⋅ d s  = μ 0 i d,enc  + μ 0 i enc  →

→

∮

where 

The idea of a displacement current allows us to retain 

the notion of continuity of current through a capaci- 

dΦ E  i d  = ε0 ____  .  dt  ●

●

●

Maxwell’s equations, displayed in Table 32.3.1, 

summarize electromagnetism and form its foundation, 

(Ampere–Maxwell law), 

including  optics. 

i d,enc  is the displacement current  encircled  by the 

integration loop. 

Displacement Current 

If you compare the two terms on the right side of Eq. 32.2.4, y ou will see that the  product ε0 (dΦ E /dt) must have the dimension of a current. In fact, that product has  been treated as being a fictitious current called the displacement current i d :  dΦ E  i d  = ε0 ____  dt 

(displacement current). 

(32.3.1) 

“Displacement” is  poorly  chosen  in  that nothing  is being  displaced, but  we are  stuck with the word. Nevertheless, we can now rewrite Eq. 32.2.4 a s   B ⋅ d s  = μ0 i d,enc  + μ0 i enc  →

∮

→

(Ampere–Maxwell law), 

(32.3.2) 

in which i d,enc is the displacement current that is encircled by the integration loop.  Let  us  again focus  on  a  charging capacitor with  circular  plates,  as  in  Fig.  32.3.1a. The real current i that is charging the plates changes the electric field E  between the  plates. The fictitious  displacement current i d  between the plates  is  associated with that changing field E . Let us relate these two currents.  The charge q  on the plates at any time is related to  the magnitude E of  the  field between the plates at that time and the plate area A by Eq. 25.2.2:  →

→

q = ε0 AE. 

(32.3.3) 

To get the real current i, we differentiate Eq. 32.3.3 with respect to time, finding  dq  dE .  ___  = i = ε0 A ___ 

(32.3.4)  dt  dt  To get the displacement current i d, we can use Eq. 32.3.1.  A ssuming that the elec-    tric field E  between the two plates is uniform (we neglect any fringing), we can  replace the electric flux Φ E in that equation with EA. Then Eq. 32.3.1 becomes  →

dΦ E  d(EA)  dE .  i d =  ε0 ____  =  ε0 ______ = ε0 A ___  dt  dt  dt 

(32.3.5) 

/

--- -  D ISP L AC EMENT   C U RRENT  

During charging, magnetic field is created by both the real and fictional currents.

Before charging, there is no magnetic field.

(b )

(a )

i

+

B

During charging, the right-hand rule works for both the real and fictional currents.

(a) Before and  (d) after the plates are  charged, there is no magnetic  field. (b) During the charging,  magnetic field is created by  both the real current and  the (fictional) displacement  current. (c) The same right-  hand rule works for both  currents to give the direction  of the magnetic field. 

i

(c )

–

B

B

After charging, there is no magnetic field.

i

+

B

A 

id

i

Figure  32.3.1 

1005

(d )

–

B

+

–

B

Same Value. Comparing Eqs. 32.3.4 a nd 32.3.5, we see that the real current i  charging  the  capacitor  and  the  fictitious  displacement  current  i d  between  the  plates have the same value:  i d  = i 

(displacement current in a capacitor). 

(32.3.6) 

Thus,  we can consider the fictitious  displacement current i d  to  be simply  a con-  tinuation of the real current i from one plate, a cross the capacitor gap, to the other  plate. Because the electric field is uniformly spread over the plates, the same is  true of this  fictitious displacement current i d , as suggested by the spread of  cur-  rent  arrows in  Fig. 32.3.1b. Although  no  charge actually moves across the  gap  between the plates, the idea of the fictitious current i d can help us to quickly find  the direction and magnitude of an induced magnetic field, as follows.  Finding  the  Induced Magnetic  Field 

In  Chapter 29 we found  the direction  of  the magnetic field  produced  by  a real  current i by using the right-hand rule of Fig. 29.1.5. We can apply the same rule to  find  the direction of an induced magnetic field produced by a fictitious displace-  ment current i d, as is shown  in the center of Fig. 32.3.1c for a capacitor.    We can also  use i d  to  find  the  magnitude of  the magnetic field  induced  by  a charging capacitor with parallel circular plates of radius R. We simply consider  the space between the plates to be an imaginary circular wire of radius R carrying  the imaginary current i d. Then, from Eq.  29.3.7, the magnitude of  the magnetic    field at a point inside the capacitor at radius r from the center is 

μ0 i d  B = (_____   2πR 2)r   

(inside a circular capacitor). 

(32.3.7) 

/

1006

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Similarly, from Eq. 29.3.4, the magnitude of the magnetic field at a point outside  the capacitor at radius r is 

μ 0 i d  B = ____  2 πr 

(32.3.8) 

(outside a circular capacitor). 

Checkpoint 32.3.1 

The figure is a view of one plate of a parallel-plate  capacitor from within the capacitor. The dashed lines  show four integration paths (path b follows the edge of  the plate). Rank the paths according to the magnitude  of ∮ B ⋅ d s  along the paths during the discharging of  the capacitor, greatest first.  →

Sample Problem 32.3.1

→

A magnetic field can be set up by a current and by induc-  tion due to a changing electric flux (Eq. 32.2.4). Between  the  plates  in  Fig.  32.2.1, the  current is  zero and  we can  account for the changing electric flux with a fictitious dis-  placement current i d.    Then  integral  ∮ B ⋅ d s  is  given  by  Eq. 32.3.2, but because there is no real current i between  the capacitor plates, the equation reduces to  →

→

 B ⋅ d s  = μ 0 i d,enc . 

(32.3.9) 

→

∮

→

Because we want to evaluate ∮ B ⋅ d s  at radius  r = R/5 (within the capacitor), the integration loop encircles  only a portion  i d,enc of the total displacement current i d. Let’s    assume that  i d  is  uniformly spread  over the full  plate area.  Then  the portion  of  the  displacement current encircled by  the loop is proportional to the area encircled by the loop:  Calculations:

→

encircled displacement 

(_______________________    )  _________________  current i d,enc  encircled area πr 2  = 

.  full plate area πR 2 

(R/ 5 ) 2  ___  μ i   B ⋅ d s  = μ 0 i d ______  =  0  .  ∮ R 2  25 

πr  .  i d,enc  = i d  ____  2  πR 

Substituting  this into Eq. 32.3.9, we obtain 

πr  .   B ⋅ d s  = μ0 i d  ____  πR 2  →

→

2 

→

→

(32.3.10) 

(Answer) 

(b)  In  terms  of  the  maximum  induced  magnetic field,  what  is  the  magnitude  of  the  magnetic field  induced  at  r = R/5, inside the capacitor? 

KEY IDEA Because the capacitor has parallel circular plates, we can  treat the space between the plates as an imaginary wire of  radius R  carrying the imaginary current i d . Then  we can  use Eq. 32.3.7 to  find  the induced  magnetic field  magni-  tude B at any point  inside the capacitor.  Calculations:

At r = R/5, Eq. 32.3.7 y ields 

μ 0 i d  μ0 i d (R/ 5) =  _____  μ 0 i d  .  _________  B = (_____   2πR 2)r =    2πR 2  10πR 

(32.3.11) 

From Eq. 32.3.7, the maximum field magnitude B max within  the capacitor occurs at r = R. It is 

μ0 i d  μ0 i d  ____  B max  = (_____   2πR 2) R =  2πR . 

(32.3.12) 

Dividing Eq. 32.3.11 by Eq.  32.3.12 and  rearranging the  result, we find that the field magnitude at r = R/5 is  1  B = _  B  .  5  max 

2 

∮

d

Now substituting  i d  = i (from Eq. 32.3.6) and r = R/5 into  Eq. 32.3.10 leads to 

→

KEY IDEA

This gives us 

a

Treating  a  changing  electric  field  as a  displacement  current 

(a) Between the plates, what is the magnitude of  ∮ B ⋅ d s ,  in terms of μ0 and i, at a radius r = R/5 from their center? 

total displacement  (  current i d  ) 

b

→

A circular parallel-plate capacitor with  plate  radius  R is  being charged with a current i. 

→

c

(Answer) 

We  should  be  able  to  obtain  this  result  with  a  little  reasoning  and  less  work.  Equation  32.3.7  tells  us  that  inside the capacitor, B increases linearly with r. Therefore,  _  a point  1  5  the distance out to the full radius R of the plates,  where B max occurs, should  have a field B that is _ 1  5 B max . 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

- --4  MAGNET S 

1007

a 

Table 32.3.1  Maxwell’s Equations 

Name  Gauss’ law for electricity  Gauss’ law for magnetism  Faraday’s law  Ampere–Maxwell law 

Equation   E ⋅ d A = q enc / ε 0 

Relates net electric flux to net enclosed electric charge 

 B ⋅ d A = 0 

Relates net magnetic flux to net enclosed magnetic charge 

dΦ B   E ⋅ d s  = − _______  dt 

Relates induced electric field to changing magnetic flux 

dΦ E   B ⋅ d s  = μ 0 ε0 _______  + μ 0 i enc  dt 

Relates induced magnetic field to changing electric flux and to current 

→

→

∮

→

→

∮

→

→

∮

→

→

∮

a 

Written on the assumption that no dielectric or magnetic materials are present. 

Maxwell’s Equations 

Equation  32.2.4 is the  last of  the four  fundamental equations  of  electromagne-  tism, called Maxwell’s equations and displayed in Table 32.3.1. These four  equa-  tions  explain a diverse range of  phenomena, from why a compass needle points  north to why a car starts when you turn the ignition key. They are the basis for the  functioning  of such  electromagnetic devices as electric motors, television trans-  mitters and receivers, telephones, scanners, radar, and microwave ovens.  Maxwell’s equations  are  the  basis  from  which  many  of  the  equations  you  have seen since Chapter 21 can be derived. They are also the basis of many of the  equations you will see in Chapters 33 through 36 concerning optics. 

32.4  MAGNETS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.4.1  Identify lodestones. 

in which  hemisphere the north geomagnetic pole is 

32.4.2  In Earth’s magnetic field,  identify  that the field  is approximately that of a dipole  and also identify 

located.  32.4.3  Identify field  declination and field  inclination. 

Key  Ideas  ●

Earth is approximately a magnetic dipole  with a 

●

The local  field  direction is given by the field  declination 

dipole axis somewhat off the rotation axis and with the 

(the angle left or right from geographic north) and the field 

south pole in the  Northern Hemisphere. 

inclination  (the angle up or down from the horizontal). 

Magnets 

The first known magnets were lodestones, which are stones that have been magne-  tized (made magnetic) naturally. When the ancient Greeks and ancient Chinese  discovered these rare stones,  they were amused by the stones’  ability to  attract  metal over a short distance, as if by magic. O nly much later did  they learn to use  lodestones (and artificially magnetized pieces of iron) in compasses to determine  FCP  direction.  Today, magnets a nd magnetic m aterials are ubiquitous. Their magnetic prop-  erties can be traced to their atoms and electrons. In fact, the inexpensive magnet 

/

1008

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

For Earth, the south pole of the dipole is actually in the north. R M

Geographic north pole

Geomagnetic north pole

B

S N

you might use to hold a note on the refrigerator door is a direct result of the quan-  tum physics taking place in the atomic and subatomic material within the magnet.  Before we explore some of this physics, let’s briefly discuss the largest m agnet we  commonly use—namely, Earth itself.  The Magnetism  of Earth 

Earth is a huge magnet; for points  near Earth’s surface, its magnetic field can be  approximated as the field  of a huge bar magnet—a magnetic dipole—that  strad-  dles the center of the planet. Figure 32.4.1 is an idealized symmetric depiction of  the dipole  field, without the distortion caused by passing charged particles from  the Sun.  Because Earth’s magnetic field is that of a magnetic dipole, a magnetic dipole  moment  μ is associated with the field.  For the  idealized field of  Fig. 32.4.1, the  magnitude of  μ is 8.0 × 10 22 J/T and  the direction of  μ makes an angle of 11.5°  with  the  rotation  axis (RR)  of  Earth.  The  dipole  axis  (MM  in  Fig.  32.4.1) lies  along  μ and  intersects Earth’s surface at  the  geomagnetic north  pole  near  the  northwest coast of Greenland and the geomagnetic south  pole in Antarctica. The  lines of the magnetic field  B  generally emerge in the Southern Hemisphere and  reenter Earth  in  the  Northern  Hemisphere. Thus,  the  magnetic pole  that  is  in  Earth’s Northern Hemisphere and known  as a “north magnetic pole” is really the  south  pole of Earth’s magnetic dipole.  The direction of the magnetic field at any location on Earth’s surface is com-  monly specified in terms of two angles. The field declination is the angle (left or  right) between geographic north (which is toward 90° latitude) and the horizontal  component of the field. The field inclination is the angle (up or down) between a  horizontal plane and the field’s direction.  Measurement. Magnetometers measure these angles and determine the field  with  much precision. However, you can do reasonably well with  just a compass  and  a dip  meter. A compass is simply a needle-shaped magnet that  is mounted  so it can rotate freely about  a vertical axis. When it is held in a horizontal plane,  the north-pole end of the needle points, generally, toward the geomagnetic north  pole  (really a south  magnetic pole,  remember). The  angle between the  needle  and geographic north is the field declination. A dip meter is a similar magnet that  can rotate  freely about  a horizontal  axis. When  its vertical plane  of  rotation  is  aligned with the direction of the compass, the angle between the meter’s needle  and the horizontal is the field inclination.  At  any  point  on  Earth’s  surface, the  measured magnetic field  may differ  appreciably, in both  magnitude and direction, from the idealized dipole  field of  Fig. 32.4.1. In fact, the point  where the field  is actually perpendicular to Earth’s  surface and inward is not located at the geomagnetic north pole off Greenland as  we would expect; instead, this so-called dip north pole is located in the Canadian  Arctic, far from the geomagnetic north  pole.  Both  poles are shifting away from  Canada and toward Siberia. The motion requires periodic updates to the World  Magnetic Model, which underlies magnetic navigation and the Google maps dis-  played on smartphones.  In addition, the field observed at any location on the surface of Earth varies  with time, by measurable a mounts over a period of a few years a nd by substantial  amounts over, say, 100 years. For example, between 1580 and 1820 the direction  indicated by compass needles in London  changed by 35°.  In spite of these local variations, the average dipole  field changes only slowly  over  such  relatively short  time periods.  Variations  over  longer  periods  can  be  studied by measuring the weak magnetism of the ocean floor  on either side of the  Mid-Atlantic  Ridge (Fig.  32.4.2). This  floor  has been formed by  molten magma  that  oozed up  through  the ridge from Earth’s  interior, solidified,  and  was pulled  away from the ridge (by the drift of tectonic plates) at the rate of a few centimeters  per year. As the magma solidified, it became weakly magnetized with its magnetic  →

→

→

→

R

M

Earth’s magnetic field  represented as a dipole field. The  dipole axis MM makes an angle of  11.5° with Earth’s rotational axis  RR. The south pole of the dipole is  in Earth’s Northern Hemisphere.  Figure  32.4.1 

→

/

---5  MAGNET ISM  AND   EL EC T RONS 

1009

Mid-Atlantic Ridge

Age (million years)

3.0

2.0

0.7

0.7

2.0

3.0

N N N

Lateral spread

N

Magma

A magnetic profile of the seafloor on either side of the Mid-Atlantic Ridge.  The seafloor, extruded through the ridge and spreading out as part of the tectonic drift  system, displays a record of the past magnetic history of Earth’s core. The direction of  the magnetic field produced by the core reverses  about every million years.  Figure  32.4.2 

field in the direction of Earth’s magnetic field at the time of solidification. Study of  this solidified  magma across the ocean floor reveals that Earth’s field has reversed  its polarity (directions of the north pole and south pole) about every million years.  Theories explaining the reversals are still in preliminary stages. In fact, the mecha-  nism that produces Earth’s magnetic field is only vaguely understood. 

Checkpoint 32.4.1 

We can measure the horizontal component B h  of Earth’s magnetic field by slightly  jarring the needle in a horizontal compass and then timing the oscillations of the  needle around its initial equilibrium position. If we move the compass to a region  with a greater B h , does T increase or decrease? 

32.5  MAGNETISM AND ELECTRONS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . . →

32.5.1  Identify that a spin angular  momentum 

S  (usu- 

ally simply called  spin) and a spin magnetic dipole 

μs  are intrinsic  properties of electrons (and 

→

moment 

also protons and neutrons). 

→

32.5.2  Apply the relationship between the spin vector 

μs . 

S 

→

and the spin magnetic dipole moment vector 

S  and  μs  cannot be observed 

→

32.5.3  Identify that 

→

(measured); only their components on an  axis of mea- 

z axis) can  be observed.  32.5.4  Identify that the observed components S z  and  surement (usually  called the 

μs,z  are quantized and explain  what that means. 

32.5.5  Apply the relationship between  the component 

S z   and the spin magnetic quantum number  m s ,  specifying the allowed  values of m s .  32.5.6  Distinguish spin up from spin down for the spin  orientation of an electron.  32.5.7  Determine the 

z components μs,z of the spin 

32.5.8  If an electron  is in an external  magnetic field,  determine the orientation energy 

μs . 

U of its spin mag- 

→

netic  dipole moment 

32.5.9  Identify that an electron  in an atom has an  →

L orb  and an orbital mag- 

orbital angular  momentum 

μ orb . 

→

netic  dipole moment 

32.5.10  Apply the relationship  between the orbital angu-  →

L orb  and the orbital magnetic dipole 

lar  momentum 

μ orb . 

→

moment 

L orb  and  μorb  cannot be observed  but their components L orb , z  and  μorb , z   on a  z (measurement) axis can.  →

32.5.11  Identity that 

→

32.5.12  Apply the relationship between  the compo- 

L orb ,z  of the orbital angular  momentum and the  m ℓ , specifying the  allowed  values of m ℓ .  32.5.13  Determine the z components μorb,z  of the  nent 

orbital magnetic quantum number 

magnetic dipole moment, both as a value and in 

orbital magnetic dipole moment, both as a value  and 

terms of the Bohr magneton 

in terms of the Bohr magneton 

μB . 

μB . 

/

1010

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

32.5.14  If an atom is in an external  magnetic field, 

32.5.16  Explain  the classical loop model for an orbiting 

U of the orbital 

determine the orientation energy 

μorb . 

electron and the forces on such a loop in a nonuni- 

→

magnetic dipole moment 

form magnetic field. 

32.5.15  Calculate the magnitude of the magnetic 

32.5.17  Distinguish diamagnetism, paramagnetism, 

moment of a charged particle  moving in a circle or a 

and ferromagnetism. 

ring of uniform  charge rotating like a merry-go-round  at a constant angular  speed around a central axis. 

Key Ideas  ●

An electron has an intrinsic angular momentum called 

●

→

spin angular momentum

sic spin

(or spin) 

magnetic dipole moment

momentum called its orbital angular  momentum 

μs  is associated: 

→

●

associated: 

→

e  L  .  μ orb  = − ___  2m  orb 

z axis, the component S z  

For a measurement along a 

●

h  ,  for m  = ± _  1  S z  = m s  ___  ,  s  2 

h ,  L orb,z = m ℓ ___  2π for m ℓ  = 0, ±1, ±2, … , ± (limit). 

h (= 6.63 × 10 –34  J · s) is the Planck  constant. 

Similarly, 

eh  = ± μ ,  μs,z = ± ____  B  4 πm 

where 

●

Orbital angular  momentum is quantized and can 

have only measured values given by 

2π

●

●

The associated magnetic dipole moment is given by 

eh  = −m  μ .  μorb,z = −m ℓ  4____  ℓ  B  πm 

μB  is the Bohr magneton:  eh  = 9.27 × 10 −24 J / T.  μ B =  ____  4 πm 

●

The energy 

U associated with  the orientation of the 

orbital magnetic dipole moment in an external mag- 

U associated with the orientation of the 

The energy 

→

netic field 

spin magnetic dipole moment in an external  magnetic  field 

→

B ext is 

B ext is  U = − μ orb ⋅ B ext = − μ orb,z B ext .  →

U = − μs ⋅ B ext = − μs,z B ext .  →

→

→

can have only the values given by 

where 

L orb , 

μorb  is 

→

with which  an orbital magnetic dipole moment 

e  μs  = − __  m S . 

→

An electron  in an atom has an additional angular  →

S , with which  an intrin- 

→

→

Magnetism and Electrons 

Magnetic materials, from lodestones  to tattoos, are magnetic because of the elec-  trons within  them. We have already seen one way in which electrons can generate  a magnetic field: Send them through a wire as an electric current, and their motion  produces a magnetic field around the wire. There are two more ways, each involv-  ing a magnetic dipole  moment that produces a magnetic field  in the surrounding  space. However, their  explanation  requires  quantum  physics  that  is  beyond  the  physics presented in this book, and so here we shall only outline  the results.  Spin  Magnetic  Dipole  Moment 

An electron has an intrinsic  angular momentum called its spin  angular momen-  tum  (or  just  spin)  S ;  associated  with  this  spin  is  an  intrinsic  spin  magnetic  dipole moment  μ s . (By intrinsic, we mean that  S  and  μs  are basic characteristics  of an electron, like its mass and electric charge.) Vectors S  and  μs  are related by  →

→

→

→

→

→

e  μs  = − __  m S , 

→

→

(32.5.1) 

in  which  e  is  the  elementary charge  (1.60 × 10 –19 C)  and  m  is  the  mass  of  an  electron (9.11 × 10 –31  kg). The  minus  sign  means that  μs  and  S  are oppositely  directed.  →

→

/

---5  MAGNET ISM  AND   EL EC T RONS 

1011

→

Spin  S  is different from the angular momenta of Chapter 11 in two respects:  →

1.  Spin  S  itself cannot be measured. However, its component along any axis can  be measured.  →

2.  A measured component of  S  is quantized, which is a general term that means  it  is restricted to certain values. A measured component  of  S  can have only  two values, which differ only in sign.  →

→

Let us  assume that the  component  of  spin  S  is  measured along  the  z axis of  a  coordinate  system. Then  the  measured component  S z   can  have  only  the  two  values given by  h  ,  S z  = m s  ___  2π

_ ,  for m s  = ± 1  2 

(32.5.2) 

where m s  is called the spin  magnetic quantum number and  h (= 6.63 × 10 –34  J · s)  is  the  Planck  constant,  the  ubiquitous  constant of  quantum  physics. The  signs  given in Eq. 32.5.2 have to do  with the direction of S z   along the z axis. When S z   1 and the electron is said to be spin  up. When S  is  is parallel to the z axis, m s  is + _  z  2  _  antiparallel to the z axis, m s  is − 1  2  and the electron is said to be spin down.  The spin magnetic dipole moment  μs of an electron also cannot be measured;  only  its component along  any axis can be measured, and that component  too  is  quantized,  with  two  possible  values of  the same magnitude but  different signs.  We  can  relate  the  component  μs,z  measured on  the  z  axis  to  S z   by  rewriting  Eq. 32.5.1 in component form for the z axis as  →

e  μs,z = − __  m S z  .  Substituting  for S z  from Eq. 32.5.2 then gives us  eh  ,  μs,z = ± ____  4 πm 

(32.5.3) 

where the plus and minus signs correspond to  μs,z  being parallel and antiparallel  to the z axis, respectively. The quantity on the right is the Bohr magneton μB :  eh  = 9.27 × 10 −24  J/ T  μB  = ____  4 πm 

(Bohr magneton). 

(32.5.4) 

Spin  magnetic dipole  moments of  electrons and other  elementary particles can  be expressed in  terms of  μ B . For  an electron, the magnitude of the  measured z  component of  μ s  is  →

μ

μ

|  s,z|  = 1 B . 

(32.5.5) 

(The quantum physics of the electron, called quantum electrodynamics, or QED,  reveals that μs,z is actually slightly greater than 1 μB , but we shall neglect that fact.)  Energy. When  an  electron is  placed  in  an external magnetic field  B ext ,  an  energy U can be associated with  the orientation of  the electron’s spin  magnetic  dipole  moment  μ s  just as an energy can be associated with the orientation of the  magnetic dipole moment  μ of a current loop placed in B ext . From Eq. 28.8.4, the  orientation energy for the electron is  →

For an electron, the spin is opposite the magnetic dipole moment. B

→

S

→

→

U = − μ s  ⋅ B ext = − μs,z B ext ,  →

(32.5.6) 

→

→

where the z axis is taken to be in the direction of B ext .  If we imagine an electron to  be a microscopic sphere (which it is  not), we can  represent the spin  S , the spin magnetic dipole moment  μ s , and the associated mag-  netic dipole field as in Fig. 32.5.1. Although we use the word “spin” here, electrons  do  not  spin  like tops. How, then, can something have angular momentum without  actually rotating? Again, we would need quantum physics to provide the answer.  →

→

μ

s

→

The spin S , spin  magnetic dipole moment μ s , and  magnetic dipole field B  of an electron  represented as a microscopic sphere.  Figure  32.5.1 

→

→

/

1012

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Protons and neutrons also have an intrinsic angular momentum called spin and  an associated intrinsic spin magnetic dipole moment. For a proton those two vectors  have the same direction, and for a neutron they have opposite directions. We shall  not  examine the contributions  of  these dipole  moments to  the  magnetic fields of  atoms because they are about a thousand times smaller than that due to an electron. 

Checkpoint 32.5.1 

Bext

The figure here shows the spin orientations of two particles  in an external magnetic field B ext . (a) If the particles are  electrons, which spin orientation is at lower energy? (b) If,  instead, the particles are protons, which spin orientation is at  lower energy?  →

Sz

(1)

Sz

(2)

Orbital  Magnetic  Dipole  Moment 

When  it is in  an atom, an electron has an additional  angular momentum called  its orbital  angular momentum L orb . Associated with  L orb  is an orbital  magnetic  dipole  moment  μ orb ; the two are related by  →

→

→

e  L  .  ___  μorb  = − 2m  orb  →

→

(32.5.7) 

The minus sign means that  μ orb  and L orb  have opposite directions.  Orbital angular momentum  L orb  cannot  be  measured; only  its  component  along any axis can be measured, and that component  is quantized. The compo-  nent along, say, a z axis can have only the values given by  →

→

→

h ,  L orb,z = m ℓ  ___  for m ℓ = 0, ±1, ±2, … , ± (limit),  (32.5.8)  2π in which  m ℓ  is called the orbital  magnetic quantum number and “limit” refers to  some largest a llowed integer value for m ℓ. The signs in Eq. 32.5.8  have to do with    the direction of L orb,z along the z axis.  The  orbital  magnetic dipole  moment  μ orb  of  an  electron also  cannot  itself  be measured; only its component along an axis can be measured, and that com-  ponent  is  quantized.  By  writing  Eq.  32.5.7  for  a  component  along  the  same  z axis as above and then substituting for L orb,z  from Eq. 32.5.8, we can write the  z component μorb,z of the orbital magnetic dipole  moment as  →

z

eh  μ orb,z  = −m ℓ  ____  4 πm 

Lorb

A

r

and, in terms of the Bohr magneton, as 

μ orb,z = −m ℓμ  B . 

i

–e

μ orb

v

An electron moving  at constant speed v in a circular  path of radius r that encloses an  area A. The electron has an orbital  angular momentum L orb and an  associated orbital magnetic dipole  moment μ orb . A clockwise current i  (of positive charge) is equivalent to  the counterclockwise circulation of  the negatively charged electron. 

(32.5.9) 

(32.5.10)  →

When an atom is placed in an external magnetic field B ext , an energy U can  be associated with the orientation of the orbital magnetic dipole moment of each  electron in the atom. Its value is 

Figure  32.5.2 

U = − μ orb  ⋅ B ext = − μ orb,z B ext ,  →

→

(32.5.11) 

→

→

→

where the z axis is taken in the direction of B ext .  Although we have used the  words  “orbit” and  “orbital” here, electrons do  not orbit  the nucleus of an atom like planets orbiting the Sun. How can an elec-  tron  have an orbital angular momentum without orbiting in the common mean-  ing of the term? Once again, this can be explained only with quantum physics. 

/

1013

---5  MAGNET ISM  AND   EL EC T RONS 

Loop Model  for Electron Orbits 

We can obtain  Eq. 32.5.7 with the nonquantum  derivation that follows, in which  we  assume that  an  electron moves  along  a  circular path  with  a  radius  that  is  much  larger than  an  atomic radius  (hence  the  name “loop  model”). However,  the derivation does not  apply to an electron within  an atom (for which  we need  quantum physics).  We  imagine an  electron moving at  constant  speed v  in  a  circular path  of  radius  r, counterclockwise as shown  in Fig. 32.5.2. The motion  of the negative  charge of the electron is equivalent to a conventional current i (of positive charge)  that  is  clockwise,  as  also  shown  in  Fig.  32.5.2. The  magnitude  of  the  orbital  magnetic dipole  moment of  such  a  current  loop  is  obtained  from  Eq.  28.8.1  with N = 1: 

μorb  = iA, 

Bext

(32.5.12) 

where A is the area enclosed by the loop.  The direction of this magnetic dipole  moment is, from the right-hand rule of Fig. 29.4.5, downward in Fig. 32.5.2.  To evaluate Eq. 32.5.12, we need the current i. Current is, generally, the rate  at which charge passes some point  in  a circuit. Here, the charge of magnitude e  takes a time T = 2 πr/v to circle from any point back through that point,  so 

(a ) B ext

charge  e  .  (32.5.13)  i =  ______ = _____  time  2 πr / v   Substituting  this and the area A =  πr 2 of the loop into  Eq. 32.5.12 g ives us  e  πr 2 =  ___  evr .  μ orb  =  _____  2 πr / v   2 

Bext

Bext

μorb –e

i

(32.5.14) 

(b )

→

To  find  the  electron’s orbital  angular momentum  L orb ,  we  use  Eq.  11.5.1,  ℓ  = m ( r  × v ). Because r  and  v  are perpendicular, L orb  has the magnitude  → 

→

→

→

→

→

L orb  = mrv sin 90° = mrv. 

B ext

(32.5.15) 

→

The  vector  L orb  is  directed upward  in  Fig.  32.5.2 (see Fig.  11.5.1). Combining  Eqs. 32.5.14 a nd 32.5.15, g eneralizing to a vector formulation, and indicating the  opposite directions of the vectors with a minus sign yield 

dF

Bext

μorb

which is Eq. 32.5.7. Thus, by “classical” (nonquantum) analysis we have obtained  the same result, in both magnitude and direction, given by quantum physics. You  might wonder, seeing as this  derivation gives the correct result for  an electron  within an atom, why the derivation is invalid for that situation. The answer is that  this line of reasoning yields other results that are contradicted by experiments. 

–e

(d )

i

Bext

Bext

Loop Model  in a Nonuniform Field 

We  continue  to  consider  an  electron orbit  as a current loop,  as we  did  in  Fig.  32.5.2. Now, however, we draw the loop  in a nonuniform  magnetic field  B ext  as  shown  in Fig. 32.5.3a. (This field could  be the diverging field near the north pole  of the magnet in Fig. 32.1.4.) We make this change to prepare for the next several  modules, in which we shall discuss the forces that act on magnetic materials when  the materials are placed in  a nonuniform  magnetic field. We shall discuss  these  forces by assuming that the electron orbits in the materials are tiny current loops  like that in Fig. 32.5.3a.  Here we assume that the magnetic field vectors all around the electron’s cir-  cular path have the same magnitude and  form the same angle with  the vertical,  as shown in Figs. 32.5.3b and d. We also assume that all the electrons in an atom  move either counterclockwise (Fig. 32.5.3b) or clockwise (Fig. 32.5.3d). The asso-  ciated conventional  current i around  the current loop  and  the orbital  magnetic  dipole  moment  μorb  produced by i are shown for each direction of motion.  →

→

dL

B ext

Bext

→

dF

(c )

dL

e  L  ,  μ orb  = − ___  2m  orb 

→

Bext

dL

(e )

dL

dF

dF

(a) A loop model for an  electron orbiting in an atom while in  a nonuniform magnetic field B ext .  (b) Charge −e moves counterclockwise;  the associated conventional current i  is clockwise. (c) The magnetic forces  dF  on the left and right sides of the  loop, as seen from the plane of the  loop. The net force on the loop is  upward. (d) Charge −e now moves  clockwise. (e)  The net force on the  loop is now downward.  Figure  32.5.3 

→

→

/

1014

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Figures 32.5.3c and e show diametrically opposite views of a length element  d L  of  the  loop  that  has  the same direction  as i, as  seen from  the plane  of  the  orbit.  Also shown  are the field B ext  and the resulting magnetic force d F  on  d L .  Recall that a current along an element d L in a magnetic field B ext experiences a  magnetic force d F  as given by Eq. 28.6.4:  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

d F  = i d L × B ext . 

(32.5.16)  →

On the left side of Fig. 32.5.3c, Eq. 32.5.16 tells us  that the force d F  is directed  upward  and  rightward.  On  the  right  side,  the  force  d F  is  just  as large  and  is  directed upward and leftward. Because their angles are the same, the horizontal  components  of  these  two  forces  cancel and  the  vertical components  add.  The  same is true at any other two symmetric points  on  the loop.  Thus, the net force  on the current loop of Fig. 32.5.3b must be upward. The same reasoning leads to  a downward net force on the loop  in Fig. 32.5.3d. We shall use these two results  shortly when we examine the behavior of magnetic m aterials in nonuniform  mag-  netic fields.  →

Magnetic Materials 

Each  electron  in  an  atom  has  an  orbital  magnetic dipole  moment  and  a  spin  magnetic dipole  moment that  combine  vectorially. The  resultant  of  these  two  vector quantities combines vectorially with  similar resultants for all  other elec-  trons  in  the  atom, and  the  resultant for  each atom combines  with  those  for  all  the other  atoms in a sample of a material. If the combination  of  all these mag-  netic dipole  moments produces a magnetic field,  then the material is magnetic.  There are three general types of magnetism: diamagnetism, paramagnetism, a nd  ferromagnetism.  1.  Diamagnetism is exhibited by all common materials but  is so feeble that it is  masked if the material a lso exhibits magnetism of either of the other two types.  In diamagnetism, weak magnetic dipole  moments are produced  in the atoms  of the material when the material is placed in an external magnetic field B ext ;  the combination  of all those  induced dipole  moments gives the material as a  whole only a feeble net magnetic field. The dipole moments and thus their net  field  disappear when  B ext  is removed. The term diamagnetic material usually  refers to materials that exhibit only diamagnetism.  →

→

2.  Paramagnetism is exhibited by materials containing transition elements, rare  earth elements, a nd actinide elements (see Appendix G). Each atom of such a  material has a permanent resultant magnetic dipole moment, but the moments  are  randomly oriented  in  the  material and  the  material as  a  whole  lacks  a  net  magnetic field.  However, an  external magnetic field  B ext  can  partially  align the atomic magnetic dipole moments to give the material a net magnetic  field.  The  alignment and  thus  its field  disappear when  B ext  is  removed. The  term paramagnetic material usually refers to  materials that  exhibit  primarily  paramagnetism.  →

→

3.  Ferromagnetism is a property of iron, nickel, and certain other elements (and  of  compounds  and alloys  of these elements). Some of  the  electrons in  these  materials have their  resultant magnetic dipole  moments aligned, which  pro-  duces  regions  with  strong  magnetic dipole  moments. An  external field  B ext  can then align the magnetic m oments of such regions, producing a strong mag-  netic field for a sample of the material; the field partially persists when B ext  is  removed. We usually use the terms ferromagnetic material and magnetic mate-  rial to refer to materials that exhibit primarily ferromagnetism.  →

→

The next three modules explore these three types of magnetism. 

/

---6  D IAMAGNET ISM 

1015

32.6  DIAMAGNETISM  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.6.1  For a diamagnetic  sample placed  in an  external 

32.6.2  For a diamagnetic sample in a nonuniform  mag- 

magnetic field,  identify that the field  produces a mag- 

netic  field,  describe the force  on the sample and the 

netic dipole moment in the sample, and  identify the 

resulting  motion. 

relative orientations of that moment and  the field. 

Key  Ideas  ●

Diamagnetic materials exhibit  magnetism only when 

placed  in an external magnetic field;  there they form 

●

In a nonuniform  field,  diamagnetic materials are 

repelled  from the region of greater magnetic field. 

magnetic dipoles directed  opposite the external  field. 

Diamagnetism 

We cannot yet discuss the quantum physical explanation of diamagnetism, but  we can provide a classical explanation with  the loop  model of  Figs. 32.5.2 and  32.5.3. To  begin,  we  assume  that  in  an  atom  of  a  diamagnetic material each  electron can orbit  only  clockwise as  in  Fig.  32.5.3d  or  counterclockwise  as in  Fig. 32.5.3b. To account for the lack of magnetism in the absence of an external  magnetic field B ext , we assume the atom lacks a net magnetic dipole  moment.  This implies that before B ext is applied, the number of electrons orbiting in one  direction  is the same as that orbiting  in  the opposite direction,  with the result  that the net upward magnetic dipole moment of the atom equals the net down-  ward magnetic dipole  moment.  Now let’s turn  on  the nonuniform  field  B ext  of  Fig. 32.5.3a, in which  B ext  is  directed  upward  but  is  diverging (the  magnetic field  lines  are  diverging). We  could  do this  by increasing the current through  an electromagnet or  by moving  the  north  pole  of a bar  magnet closer to,  and  below,  the orbits.  As the magni-  tude of B ext increases from zero to its final maximum, steady-state value, a clock-  wise  electric field  is  induced  around  each  electron’s  orbital  loop  according to  Faraday’s law and Lenz’s  law. Let us  see how  this  induced electric field  affects  the orbiting electrons in Figs. 32.5.3b and d.  In Fig. 32.5.3b, the counterclockwise electron is accelerated by the clockwise  electric field.  Thus,  as the  magnetic field  B ext  increases to  its  maximum value,  the electron speed increases to a maximum v alue. This means that the associated  conventional current i and the downward magnetic dipole moment  μ due to i also  increase.  In Fig. 32.5.3d, the clockwise electron is decelerated by the clockwise electric  field.  Thus,  here, the  electron speed,  the  associated current i,  and  the  upward  magnetic dipole moment  μ due to i all decrease. By turning on field B ext , we have  given the atom a net magnetic dipole moment that is downward. This would  also  be so if the magnetic field were uniform.  Force. The  nonuniformity  of  field  B ext  also  affects  the  atom.  Because  the current i  in  Fig. 32.5.3b  increases, the upward  magnetic forces d F  in  Fig.  32.5.3c also increase, as does the net upward force on the current loop. Because  current  i in  Fig. 32.5.3d  decreases, the downward  magnetic forces d F  in  Fig.  32.5.3e  also  decrease, as  does  the  net  downward  force  on  the  current  loop.  Thus,  by  turning  on  the nonuniform  field  B ext , we have produced a net force  on  the atom; moreover, that force is directed away from the region of greater  magnetic field.  →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

/

1016

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

We have argued with  fictitious electron orbits  (current loops),  but  we have  ended  up  with  exactly what  happens  to  a  diamagnetic  material: If  we  apply  the  magnetic field  of  Fig.  32.5.3, the  material develops  a  downward  magnetic  dipole  moment and  experiences an  upward  force.  When  the  field  is  removed,  both  the dipole  moment and the force disappear. The external field need not  be  positioned  as shown  in Fig. 32.5.3; similar arguments can be made for other ori-  entations of B ext . In general,  →

A diamagnetic material placed in an external magnetic field B ext  develops a  magnetic dipole moment directed opposite B ext . If the field is nonuniform, the  diamagnetic material is repelled from a region of greater magnetic field toward  a region of lesser field.  →

→

 KU ,retsehcnaM fo ytisrevinU ,mieG .K.A fo ysetruoC

The frog in Fig. 32.6.1 is diamagnetic (as is any other animal). When the frog  was placed in the diverging magnetic field near the top end of a vertical current-  carrying solenoid,  every atom  in  the  frog was repelled upward, away from  the  region  of  stronger magnetic field  at that  end  of  the solenoid.  The  frog  moved  upward into weaker and weaker magnetic field until  the upward magnetic force  balanced the gravitational force on it, and there it hung in midair. The frog is not  in discomfort because every a tom is subject to the same forces and thus there is no  force variation within  the frog. The sensation is similar to the “weightless” situ-  ation of floating in water, which  frogs like very much. If we went to the expense  of building a much larger solenoid, we could similarly levitate a person in midair  FCP  due to the person’s diamagnetism. 

An overhead view of  a frog that is being levitated in a  magnetic field produced by current  in a vertical solenoid below the frog.  Figure  32.6.1 

Checkpoint 32.6.1 

The figure shows two diamagnetic spheres located  S N near the south pole of a bar magnet. Are (a) the  (1) (2) magnetic forces on the spheres and (b) the  magnetic dipole moments of the spheres directed toward or away from the bar magnet?  (c) Is the magnetic force on sphere 1 greater than, less than, or equal to that on sphere 2? 

32.7  PARAMAGNETISM  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.7.1  For a paramagnetic sample placed in an 

32.7.4  Apply Curie’s law to relate a sample’s magneti- 

M  to its temperature T, its Curie constant C,  B  of the external  field. 

external  magnetic field,  identify  the relative orienta- 

zation 

tions of the field  and the sample’s magnetic dipole 

and the magnitude 

moment. 

32.7.5  Given  a magnetization  curve for a paramagnetic 

32.7.2  For a paramagnetic sample in a nonuniform  magnetic field,  describe the force on the sample and  the resulting  motion.  32.7.3  Apply the relationship between  a sample’s mag-  netization 

M , its measured magnetic moment, and 

its volume. 

sample, relate the extent of the magnetization for a  given magnetic field  and temperature.  32.7.6  For a paramagnetic sample at a given tem-  perature and in  a given magnetic field,  compare the  energy associated with  the dipole orientations and  the thermal motion. 

/

---7  P ARAMAGNET ISM 

1017

Key  Ideas  ●

Paramagnetic materials have atoms with a perma- 

●

B ext /T,  B  e xt  M = C ____  (Curie’s law),  T 

At low values of the ratio 

nent magnetic dipole moment but the moments are  randomly oriented,  with no net moment, unless the  material  is in an external  magnetic field 

→

B ext , where  the 

dipoles tend to align with  that field.  ●

T is the temperature (in kelvins) and  C is a 

material’s Curie  constant. 

V is mea-  M, given by  measured magnetic moment  M = _________________________  .  V 

The extent of alignment within  a volume 

sured as the magnetization 

●

where 

●

In a nonuniform  external field,  a paramagnetic 

material is attracted to the region of greater magnetic  field. 

N dipoles in  M max = Nμ/V. 

Complete alignment (saturation) of all 

the volume gives a maximum value 

Paramagnetism 

In  paramagnetic materials, the  spin  and  orbital  magnetic dipole  moments of  the  electrons in each atom do not cancel but add vectorially to give the atom a net (and  permanent) magnetic dipole  moment  μ . In  the  absence of  an  external magnetic  field,  these atomic dipole  moments are randomly oriented, and  the net  magnetic  dipole moment of the material is zero. However, if a sample of the material is placed  in an external magnetic field B ext , the magnetic dipole moments tend to line up with  the field, which gives the sample a net magnetic dipole moment. This alignment with  the external field is the opposite of what we saw with diamagnetic materials.  →

→

A paramagnetic material placed in an external magnetic field B ext  develops a  magnetic dipole moment in the direction of B ext . If the field is nonuniform, the  paramagnetic material is attracted toward a region of greater magnetic field  from a region of lesser field.  →

→

→

measured magnetic moment  M = _________________________  .  V 

(32.7.1) 

 shpargotohP latnemadnuF/angeM drahciR

A paramagnetic sample with N atoms would have a  magnetic dipole moment of  magnitude Nμ if alignment of its atomic dipoles  were complete. However, random  collisions  of atoms due to their thermal agitation transfer energy among the atoms,  disrupting their alignment and thus reducing the sample’s magnetic dipole moment.  Thermal Agitation. The  importance  of  thermal  agitation  may be  mea-  sured by comparing two energies. One, given by Eq. 19.4.2, is the mean trans-  3 kT) of  an  atom at temperature T, where k  is the  lational  kinetic energy K(=  _  2  Boltzmann constant (1.38 × 10 –23 J/K) and T is in kelvins (not Celsius degrees).  The other, derived from Eq. 28.8.4, is the difference in energy ΔU B  (= 2 μB e xt )  between parallel alignment and antiparallel alignment of  the magnetic dipole  moment of  an  atom and  the external field.  (The lower  energy state is  – μB e xt  and the higher energy state is + μB e xt .) As we shall show below, K ⪢ ΔU B, even    for ordinary temperatures and field magnitudes. Thus, energy transfers during  collisions  among atoms can significantly disrupt  the alignment of  the  atomic  dipole  moments, keeping the magnetic dipole  moment of  a sample much less  than Nμ.  Magnetization. We  can express the  extent to  which  a given paramagnetic  sample is  magnetized by  finding  the ratio  of its  magnetic dipole  moment to  its  volume V. This vector quantity, the magnetic dipole  moment per unit  volume, is  the magnetization M  of the sample, and its magnitude is 

Liquid oxygen is suspended between  the two pole faces of a magnet  because the liquid is paramagnetic  and is magnetically attracted to the  magnet. 

/

1018

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

1.0

A magnetization curve  for potassium chromium sulfate,  a paramagnetic salt. The ratio of  magnetization M of the salt to the  maximum possible magnetization  M max  is plotted versus the ratio of  the applied magnetic field magnitude  B ext  to the temperature T. Curie’s  law fits the data at the left; quantum  theory fits all the data. Based on  measurements by W. E. Henry.  Figure  32.7.1 

Curie’s law

xa m M/M

0.75

Quantum theory

Greater Bext at same T gives greater dipole alignment.

0.50 0.25

1.30 K 2.00 K 3.00 K 4.21 K

Approximately linear

0

1.0

2.0

3.0 /T (T/K)

4.0

Bext

→

The unit of M is the ampere–square m eter per cubic meter, or ampere per meter  (A/m). Complete alignment of  the atomic dipole  moments, called saturation of  the sample, corresponds to the maximum value M max  = Nμ/V.  In 1895 Pierre Curie discovered experimentally that the magnetization of a  paramagnetic sample is  directly proportional  to  the  magnitude of  the external  magnetic field B ext and inversely proportional  to the temperature T in kelvins:  →

B ext  M = C ____  .  (32.7.2)  T  Equation 32.7.2 is known as Curie’s law, and C is called the Curie constant. Curie’s  law is reasonable in that increasing B ext tends to align the atomic dipole moments  in  a  sample and  thus  to  increase M, whereas increasing T  tends  to  disrupt  the  alignment via thermal agitation and thus to decrease M . However, the law is actu-  ally an approximation that is valid only when the ratio B ext /T is not too large.  Figure  32.7.1 shows  the  ratio  M/M max  as  a function  of  B ext /T  for  a sample  of  the  salt  potassium chromium  sulfate, in  which  chromium  ions  are the  para-  magnetic substance. The  plot  is  called  a magnetization curve. The  straight line  for  Curie’s  law  fits  the  experimental data  at  the  left,  for  B ext /T  below  about  0.5 T/K. The curve that fits all the data points  is based on quantum physics. The  data on  the right side, near saturation, are very difficult  to obtain  because they  require very strong  magnetic fields  (about  100 000 times Earth’s field),  even at  very low temperatures. 

Checkpoint 32.7.1 

The figure here shows two paramagnetic spheres  S N located near the south pole of a bar magnet. Are  (1) (2) (a) the magnetic forces on the spheres and (b) the  magnetic dipole moments of the spheres directed toward or away from the bar magnet?  (c) Is the magnetic force on sphere 1 greater than, less than, or equal to that on sphere 2? 

Sample Problem 32.7.1

Orientation energy of  a paramagnetic  gas in a magnetic  field 

A paramagnetic g as at room  temperature (T = 300 K) is  placed  in  an  external uniform  magnetic field  of  magni-  tude B = 1.5 T; the atoms of the gas have magnetic dipole  moment  μ = 1.0μB .  Calculate  the  mean  translational  kinetic energy K of an atom of the gas and the energy dif-  ference ΔU B  between parallel alignment and antiparallel  alignment of the atom’s magnetic dipole moment with the  external field. 

KEY IDEAS (1) The  mean translational  kinetic  energy K of  an  atom  in  a gas depends on  the  temperature of the  gas. (2) The  energy U B of a magnetic dipole  μ in an external magnetic  field  B  depends  on  the  angle  θ between  the  directions  of  μ and B .  →

→

→

→

/

---8  F ERROMAGNET ISM 

Calculations:

From Eq. 19.4.2, we have 

3  3  K =  _  kT = _  (1.38 × 10 −23 J/ K)(300 K)  2  2  −21 

= 6.2 × 10 

J = 0.039 eV. 

(Answer) 

From  Eq.  28.8.4 ( U B  =  − μ ⋅ B ), we  can write  the differ-  ence ΔU B  between parallel alignment (θ = 0°) and  anti-  parallel alignment (θ = 180°) as  →

→

ΔU B  = − μB cos 180° − (− μB cos 0°) = 2μ B  = 2 μ B B = 2(9.27 × 10 −24  J/ T)(1.5 T)  = 2.8 × 10 −23  J = 0.000 17 eV. 

(Answer) 

1019

Here  K  is  about  230 times  ΔU B;    so  energy exchanges  among the atoms during their collisions with one another  can  easily  reorient  any  magnetic dipole  moments  that  might be  aligned with the external magnetic field.  That  is,  as  soon  as  a  magnetic  dipole  moment  happens  to  become  aligned with  the external field,  in  the  dipole’s  low energy state, chances are very good that a neighbor-  ing  atom will  hit  the atom, transferring enough  energy  to put the dipole in a higher energy state. Thus, the mag-  netic dipole  moment exhibited by the paramagnetic gas  must be due to fleeting partial alignments of the atomic  dipole  moments. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

32.8  FERROMAGNETISM  Learning Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

32.8.1  Identify that ferromagnetism is due  to a quantum  mechanical  interaction called  exchange coupling.  32.8.2  Explain  why ferromagnetism disappears when 

32.8.5  Describe and sketch a Rowland  ring.  32.8.6  Identify magnetic domains.  32.8.7  For a ferromagnetic sample placed in  an exter- 

the temperature exceeds the material’s Curie 

nal magnetic field,  identify  the relative orientations of 

temperature.  32.8.3  Apply the relationship between  the magnetiza- 

the field  and the magnetic dipole moment.  32.8.8  Identify the motion of a ferromagnetic  sample in 

tion of a ferromagnetic  sample and the magnetic  moment of its atoms. 

a nonuniform  field.  32.8.9  For a ferromagnetic object placed in a uniform 

32.8.4  For a ferromagnetic sample at a given tem- 

magnetic field,  calculate  the torque and orientation 

perature  and in  a given magnetic field,  compare the 

energy. 

energy associated with  the dipole  orientations and 

32.8.10  Explain  hysteresis and a hysteresis loop. 

the thermal motion. 

32.8.11  Identify  the origin  of lodestones. 

Key Ideas  ●

The magnetic dipole moments in a ferromagnetic 

material can  be aligned  by an external magnetic field  and then, after the external  field  is removed, remain  partially aligned  in regions (domains). 

●

Alignment is eliminated  at temperatures above a 

material’s Curie temperature.  ●

In a nonuniform  external  field,  a ferromagnetic mate- 

rial is attracted to the region of greater magnetic field. 

Ferromagnetism 

When  we speak of  magnetism in  everyday conversation, we almost always have a  mental picture of a bar magnet or a disk magnet (probably clinging to a refrigerator  door). That is, we picture a ferromagnetic material having strong, permanent mag-  netism,  and  not  a diamagnetic or  paramagnetic material having  weak, temporary  magnetism.  Iron,  cobalt, nickel,  gadolinium, dysprosium, and  alloys containing these  ele-  ments exhibit ferromagnetism because of a quantum physical effect called exchange  coupling in which the electron spins of one atom interact with those of neighboring  atoms. The result is alignment of the magnetic dipole moments of the atoms, in spite 

/

1020

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Iron core

iP iP

P

B

S iS

iS

A Rowland ring. A  primary coil P has a core made of the  ferromagnetic material to be studied  (here iron). The core is magnetized  by a current i P  sent through coil P.  (The turns of the coil are represented  by dots.) The extent to which the  core is magnetized determines the  total magnetic field B  within coil P.  Field B  can be measured by means of  a secondary coil S.  Figure  32.8.1 

→

→

of the randomizing tendency of atomic collisions  due to thermal agitation. This per-  sistent alignment is what gives ferromagnetic materials their permanent magnetism.  Thermal Agitation. If the temperature of a ferromagnetic m aterial is raised  above a certain critical value, called the Curie temperature, the exchange coupling  ceases to  be effective. Most  such  materials then  become simply  paramagnetic;  that is, the dipoles still tend to align with an external field but much more weakly,  and thermal agitation can now more easily disrupt the alignment. The Curie tem-  perature for iron is 1043 K (= 770°C).  Measurement. The magnetization of a ferromagnetic material such as iron can  be studied with an arrangement called a Rowland ring (Fig. 32.8.1). The material is  formed into a thin toroidal core of circular cross section. A primary coil P having n  turns per unit length is wrapped around the core and carries current i P. (The coil is    essentially a long solenoid bent into a circle.) If the iron core were not present, the  magnitude of the magnetic field inside the coil would be, from Eq. 29.4.3,  B 0   = μ0 i Pn.   

(32.8.1)  →

However, with the iron core present, the magnetic field B inside the coil is greater  than B 0 , usually by a large amount. We can write the magnitude of this field as  →

B = B 0  + B M,   

(32.8.2) 

where B M  is the  magnitude of  the  magnetic field  contributed  by the  iron  core.  This  contribution  results  from  the  alignment  of  the  atomic  dipole  moments  within  the iron,  due  to exchange coupling and  to the applied magnetic field  B 0,   and  is  proportional  to  the  magnetization M  of  the  iron.  That  is,  the  contribu-  tion  B M  is proportional  to  the magnetic dipole  moment per unit  volume of  the  iron. To determine B M  we use a secondary coil S to measure B, compute B 0  with  Eq. 32.8.1, a nd subtract as suggested by Eq. 32.8.2.  Figure 32.8.2 shows  a magnetization curve for  a ferromagnetic material in  a  Rowland  ring:  The  ratio  B M /B M,max ,  where  B M,max  is  the  maximum possible  value of  B M , corresponding  to saturation, is plotted versus B 0  . The curve is like  Fig.  32.7.1, the  magnetization curve for  a paramagnetic substance: Both  curves  show  the extent to which  an applied magnetic field  can align the atomic dipole  moments of a material.  For the ferromagnetic core yielding Fig. 32.8.2, the alignment of the dipole  moments is about 70% complete for B 0  ≈ 1 × 10 –3 T. If B 0  were increased to 1 T,  the alignment would be almost complete (but B 0  = 1 T, and thus almost complete  saturation, is quite difficult to obtain).  Magnetic  Domains 

1.0 xa m, MB/MB

0.8 0.6 0.4 0.2 0

2

4

6 B0

8 10 (10 –4 T)

12 14

A magnetization curve  for a ferromagnetic core material  in the Rowland ring of Fig. 32.8.1.  On the vertical axis, 1.0 corresponds  to complete alignment (saturation)  of the atomic dipoles within the  material.  Figure  32.8.2 

Exchange coupling produces strong alignment of adjacent atomic dipoles in a fer-  romagnetic material at a temperature below  the Curie temperature. Why, then,  isn’t the material naturally at saturation even when there is no applied magnetic  field B 0? Why isn’t every  piece of iron a naturally strong magnet?    To understand  this,  consider a specimen of  a ferromagnetic material such  as  iron that is in the form of a single crystal; that is, the arrangement of the atoms that  make it  up—its  crystal lattice—extends with  unbroken  regularity throughout  the  volume of  the specimen. Such  a crystal will, in  its  normal state, be  made up  of  a  number of magnetic domains. These are regions of the crystal throughout which the  alignment of the atomic dipoles is essentially perfect. The domains, however, are not  all aligned. For the crystal as a whole, the domains are so oriented that they largely  cancel with one another as far as their external magnetic effects are concerned.  Figure 32.8.3 is a magnified photograph of such an assembly of domains in a  single crystal of nickel. It was made by sprinkling a colloidal suspension of finely  powdered iron oxide on the surface of the crystal. The domain boundaries, which  are thin  regions in which  the alignment of the elementary dipoles changes from 

/

---8  F ERROMAGNET ISM 

1021

 siolBeD .W hplaR fo ysetruoC

a certain orientation in  one of the domains forming the boundary  to a different  orientation in the other domain, are the sites of intense, but highly localized and  nonuniform,  magnetic fields. The  suspended colloidal  particles are attracted to  these boundaries  and show  up  as the white  lines  (not  all  the domain  boundar-  ies are apparent in Fig. 32.8.3). A lthough the atomic dipoles in each domain are  completely aligned as shown by the arrows, the crystal as a whole may have only  a very small resultant magnetic moment.  Actually, a piece of iron  as we ordinarily find it is not  a single crystal but  an  assembly of  many  tiny  crystals, randomly  arranged; we call  it a  polycrystalline  solid. Each tiny crystal, however, has its array of variously oriented domains, just  as  in  Fig.  32.8.3. If  we magnetize such  a  specimen by  placing it  in  an  external  magnetic field of gradually increasing strength, we produce two effects; together  they produce a magnetization curve of the shape shown in Fig. 32.8.2. O ne effect  is a growth in size of the domains that are oriented along the external field at the  expense of those that are not. The second effect is a shift of the orientation of the  dipoles within a domain, as a unit, to become closer to the field direction.  Exchange coupling and domain shifting give us the following result:  A photograph of  domain patterns within a single  crystal of nickel; white lines reveal  the boundaries of the domains. The  white arrows superimposed on the  photograph show the orientations  of the magnetic dipoles within the  domains and thus the orientations  of the net magnetic dipoles of the  domains. The crystal as a whole is  unmagnetized if the net magnetic  field (the vector sum over all the  domains) is zero.  Figure  32.8.3  →

A ferromagnetic material placed in an external magnetic field B ext  develops  a strong magnetic dipole moment in the direction of B ext . If the field is non-  uniform, the ferromagnetic material is attracted toward a region of greater  magnetic field from a region of lesser field.  →

Mural  Paintings  Record  Earth’s Magnetic  Field 

Because Earth’s magnetic field gradually but continuously  changes, the direction of  north  indicated by a compass also changes. For many reasons, researchers want to  know the direction of north at specific times in the past, but finding historic records  of  compass readings  is  rare. However, certain paintings  can  help.  For  example,  the  murals in  the hall  of  the  Vatican (Bibliotheca  Apostolica Vaticana) shown  in  Fig. 32.8.4 faithfully recorded the direction of north when they were painted in 1740.  The red pigments used in the paintings contain grains of the iron oxide hema-  tite. Each grain consists of a single domain having a particular magnetic dipole  moment. Artists’ pigments are a suspension  of various solids  in  a liquid  carrier.  When a pigment is applied to a wall as a mural is being created, e ach grain rotates 

 ecruoseR trA/alacS

The red pigments in the murals in the Vatican have been used  to determine the direction of north when the murals were painted in 1740.  Figure  32.8.4 

/

1022

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Ntoday

N1740

Wall

Overhead view of a  cross  section of a thin layer of paint  lifted from a mural with sticky tape.  The magnetic moments of hematite  grains in the red pigments are  aligned in the direction of Earth’s  magnetic field when the mural was  painted. Geomagnetic north (as  indicated by a horizontal compass) is  shown for today and for 1740.  Figure  32.8.5 

BM b c

a

B0

e d

A magnetization  curve (ab)  for a ferromagnetic  specimen and an associated  hysteresis  loop (bcdeb).  Figure  32.8.6 

in the liquid  until its dipole moment aligns with Earth’s magnetic field. When the  paint  dries, the moments are locked  into  place and  thus  record the direction of  Earth’s magnetic field at the time of the painting. Figure 32.8.5 suggests the align-  ment of the moments in a mural painted in 1740, when geomagnetic north  was in  the direction indicated by N 1740 .  A researcher can determine Earth’s field direction at the time a mural was  painted  by  determining the  orientation  of  the  magnetic moments in  the  paint.  A short  section of sticky tape is carefully applied to a portion  of the mural, and  the  orientation  of  the tape is  carefully measured relative to the  horizontal  and  to  today’s geomagnetic north  (N today ). When  the  tape  is peeled  off  the  wall, it  carries a thin  layer of the paint.  In a laboratory, the tape section is mounted in  an apparatus to determine the orientation of the dipole moments in that layer of  paint. Evidence from mural paintings and many other sources reveals the shifting  direction of geomagnetic north over recorded history.  Hysteresis 

Magnetization curves for  ferromagnetic materials are not  retraced as we increase  and then decrease the external magnetic field B 0. Figure 32.8.6  is a plot of B M versus    B 0  during  the following operations with a Rowland ring: (1) Starting with the iron  unmagnetized (point a), increase the current in the toroid until  B 0 (=  μ0 in) has the    value corresponding  to  point  b; (2) reduce the current in  the  toroid  winding  (and  thus  B 0) back  to  zero  (point  c);  (3) reverse the  toroid  current  and  increase it  in    magnitude until B 0  has the value corresponding to point d; (4) reduce the current to  zero again (point e); (5) reverse the current once more until point b is reached again.  The lack  of  retraceability shown  in  Fig. 32.8.6 is  called hysteresis, and  the  curve bcdeb  is called a hysteresis loop.  Note that at points  c and  e the iron  core  is magnetized, even though  there is no current in the toroid  windings; this is the  familiar phenomenon of permanent magnetism.  Hysteresis can  be  understood  through  the  concept  of  magnetic domains.  Evidently the  motions  of  the domain  boundaries  and  the  reorientations  of  the  domain  directions  are not  totally  reversible. When  the  applied  magnetic field  B 0   is increased and then  decreased back to  its initial  value, the domains do  not  return  completely to  their original  configuration  but  retain  some “memory” of  their  alignment after the  initial  increase. This  memory of  magnetic materials is  essential for the magnetic storage of information.  This memory of the alignment of domains can also occur naturally. When light-  ning sends currents along multiple  tortuous  paths through the ground, the currents  produce  intense  magnetic  fields  that  can  suddenly  magnetize any  ferromagnetic  material in  nearby rock. Because of  hysteresis, such  rock material retains some of  that magnetization after the lightning strike (after the currents disappear). Pieces of  the rock—later exposed, broken, and loosened by weathering—are then lodestones. 

Checkpoint 32.8.1 

A sample of ferromagnetic material is thin enough to be con-  sidered planar; it is small enough to have only domains. The  initially unmagnetized sample is made magnetic by an applied  field B 0  that is gradually increased in magnitude. The dipoles  of the domains, directed either up or down, are represented in  this figure for three stages in the magnetizing process. (a) Is the  direction of the applied field up or down? (b) Rank the stages  according to the magnitude of the applied field, greatest first. 

(1)

(2)

(3)

/

REV IEW  &  SU MMARY  

Sample Problem 32.8.1

1023

Magnetic  dipole  moment of a  compass  needle 

A compass needle made of pure iron (density 7900 kg/m 3 )  has a length L of 3.0 cm, a width  of 1.0 mm, and a thick-  ness of  0.50 mm. The magnitude of  the magnetic dipole  moment  of  an  iron  atom  is  μFe = 2.1 × 10 –23 J/T.  If  the  magnetization of the needle is equivalent to the alignment  of 10% of the atoms in the needle, what is the magnitude  of the needle’s magnetic dipole moment  μ ?  →

KEY IDEAS

Next, we can rewrite Eq. 32.8.4 in  terms of  the  needle’s  mass m, the molar mass M, and Avogadro’s number N A :  mN A  N = _____  .  M 

(32.8.6) 

The needle’s mass m is the product of  its density and  its  volume. The volume works out to be 1.5 × 10 –8 m 3 , so  needle’s mass m = (needle’s density)(needle’s volume) 

(1)  Alignment of  all  N  atoms in  the  needle  would  give  a  magnitude  of  NμFe  for  the  needle’s  magnetic  dipole  moment  μ . However, the needle has only 10% alignment  (the random orientation of the rest does not give any net  contribution  to  μ ). Thus, 

= (7900 kg / m3    )(1.5 × 10 −8 m 3 )  = 1.185 × 10 −4 kg. 

→

→

μ = 0.10NμFe . 

(32.8.3) 

Substituting into Eq. 32.8.6 with this value for m, and also  55.847 g /mol  (= 0.055 847 kg/mol)  for  M  and  6.02 × 10 23  for N A , we find  (1.185 × 10 −4  kg)(6.02 × 10 23 )  N =  __________________________  0.055 847 kg  / m ol 

(2) We can find the number of atoms N in the needle from  the needle’s mass:  needle’s mass  .  N = _________________  iron’s atomic mass 

(32.8.4) 

Iron’s atomic mass is not listed in Appendix F,  but its molar mass M is. Thus, we write  Finding N:

= 1.2774 × 10 21 .  Finding μ:

Substituting  our  value of N and  the  value of 

μFe into Eq. 32.8.3 then yields 

μ = (0.10)(1.2774 × 10 21 )(2.1 × 10 −23  J / T)  = 2.682 × 10 −3  J / T ≈ 2.7 × 10 −3  J / T. 

iron’s molar mass M  .  iron’s atomic mass = _____________________  (32.8.5)  Avogadro’s number N A 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Review & Summary The simplest magnetic  structures  are  magnetic  dipoles. Magnetic  monopoles  do  not  exist (as far as we know). Gauss’ law for magnetic fields,  Gauss’  Law for Magnetic Fields 

→

→

Φ B  =  B ⋅ dA = 0,  ∮

(32.1.1) 

states that the net magnetic flux through any (closed) Gaussian  surface is zero. It implies that magnetic monopoles do not exist.  A  changing  electric flux induces a magnetic field B . Maxwell’s law,  Maxwell’s  Extension  of  Ampere’s  Law  →

dΦ E  B ⋅ d s  = μ 0 ε0 _____  dt  (Maxwell’s law of induction), 

→

∮

→

(32.2.2) 

relates  the magnetic field induced along  a  closed  loop to  the  changing  electric  flux  Φ E  through  the  loop.  Ampere’s  law,  ∮ B ⋅ d s  = μ 0 i  enc  (Eq. 32.2.3), gives the magnetic field generated  by a current i enc  encircled by a closed loop. Maxwell’s  law and  Ampere’s law can be written as the single equation  →

dΦ E  B  ⋅ d s  =  μ0 ε 0 _____  +  μ0 i enc 

→

∮

→

→

dt 

(Ampere–Maxwell law).  (32.2.4) 

We  define the fictitious displace-  ment current due to a changing electric field as  Displacement Current 

dΦ E  i d  = ε 0 ____  .  dt  Equation 32.2.4 then becomes 

B ⋅ d s  = μ 0 i d,enc +  μ0 i enc  (Ampere–Maxwell law),  (32.3.2) 

→

∮

(32.3.1) 

→

where i d,enc is the displacement current encircled by the integra-  tion loop. The idea of a displacement current allows us to retain  the notion of continuity of current  through a  capacitor. How-  ever, displacement current is not a transfer of charge.  Maxwell’s  equations,  displayed  in  Table  32.3.1, summarize  electromagnetism and form  its  foun-  dation, including optics.  Maxwell’s  Equations 

Earth’s  magnetic  field  can  be  approximated as being that of a magnetic dipole whose dipole  moment makes an angle of 11.5° with Earth’s rotation axis, and  Earth’s  Magnetic  Field 

/

1024

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

with the south pole of the dipole in the Northern Hemisphere.  The direction of the local magnetic field at any point on Earth’s  surface is  given by the field declination (the angle left or  right  from geographic north) and the field inclination (the angle up or  down from the horizontal).  An  electron  has  an  intrinsic angular momentum called spin angular momentum (or  spin)  S , with which an intrinsic spin magnetic dipole moment  μ s  is associated: 

The associated magnetic dipole moment is given by  eh  = −m  μ .  μorb,z  = −m ℓ ____  ℓ  B  4πm 

The energy U associated with the orientation of the orbital mag-  netic dipole moment in an external magnetic field B ext  is  →

U = − μ orb ⋅ B ext  = −μ orb,z B ext . 

Spin  Magnetic  Dipole  Moment  →

(32.5.9, 32.5.10) 

→

(32.5.11) 

→

→

μ s 

→

e → = − __  S . 

(32.5.1) 

m 

For a measurement along a z axis, the component S z  can have  only the values given by  h ,  for  m  = ± _  1  S z  = m s ___  s  2 ,  2π

(32.5.2) 

where h (= 6.63 × 10 –34  J· s) is the Planck constant. Similarly,  eh  = ±μ ,  μs,z  = ± ____  B  4πm 

(32.5.3, 32.5.5) 

where μB  is the Bohr magneton: 

μB 

eh  = 9.27 × 10 −24  J / T.  = ____ 

The energy U associated  with the orientation of the  spin mag-  netic dipole moment in an external magnetic field B ext  is  →

→

→

An  electron  in  an  atom  has  an  additional  angular  momentum called  its  orbital  angular momentum L orb , with which an orbital magnetic dipole  moment μ orb is associated:  →

→

e  L  .  μorb  = − ___  2m  orb  →

(32.5.7) 

Orbital angular momentum is quantized and can have only mea-  sured values given by  h ,  L orb,z  = m ℓ  ___  2π for  m ℓ  = 0, ±1, ±2, …  , ± (limit). 

→

measured magnetic moment  M =  _________________________ .  V 

(32.5.8) 

(32.7.1) 

Complete alignment (saturation) of all N dipoles in the volume  gives a maximum value M max  = Nμ/V. At low values of the ratio  B ext /T, 

(32.5.6) 

Orbital  Magnetic  Dipole  Moment 

→

Paramagnetic materials have atoms with a  permanent magnetic dipole moment but the moments are ran-  domly oriented unless  the material is  in  an external  magnetic  field B ext , where the dipoles tend to align with the external field.  The extent of alignment within a volume V is  measured as  the  magnetization M, given by  Paramagnetism 

(32.5.4) 

4πm 

U = − μ s ⋅ B ext  = −μs,z B ext . 

Diamagnetic  materials  exhibit  magnetism  only  when  placed  in  an  external  magnetic  field;  there  they  form magnetic dipoles directed opposite the external field. In  a nonuniform field, they are repelled from the region of greater  magnetic field.  Diamagnetism 

B ext  M = C  ____  (Curie’s law),  T 

(32.7.2) 

where T is the temperature (kelvins) and C is a material’s Curie  constant.  In a nonuniform external field, a paramagnetic material is  attracted to the region of greater magnetic field.  The magnetic dipole moments in a ferro-  magnetic material can be aligned by an external magnetic field  and then, after the  external field is  removed, remain partially  aligned in regions  (domains). Alignment is  eliminated at tem-  peratures above a material’s Curie temperature. In a nonuniform  external field, a ferromagnetic material is attracted to the region  of greater magnetic field.  Ferromagnetism 

Questions Figure 32.1a  shows  a capacitor, with circular  plates, that is  being charged. Point a (near  one of the connecting wires)  and  point  b  (inside  the  capacitor  gap)  are  equidistant  from  the  central axis,  as  are  point c  (not  so  near the  wire)  and point d  (between  the  plates  but  outside  the  gap).  In  Fig.  32.1b,  one  curve gives the variation with distance r of the magnitude of the  magnetic field inside and outside the wire. The other curve gives  the variation with distance r  of the magnitude of the magnetic  field inside and outside the gap. The two curves partially over-  lap. Which of the three points on the curves correspond to which  of the four points of Fig. 32.1a?  1 

1

b a B

c

2 3

d

0

r

(b )

(a ) Figure  32.1 

Question 1. 

/

QU EST IONS 

Figure 32.2 shows  a  parallel-plate  P capacitor and the current  in the con-  i i necting  wires  that  is  discharging  the  capacitor.  Are  the  directions  of  (a)  electric  field  E  and  (b)  displace-  ment current i d  leftward or rightward  Figure  32.2  Question 2.  between  the  plates?  (c)  Is  the  mag-  netic field at point P into or out of the page?  2 

→

1025

Figure 32.6 shows three  loop models of an electron orbiting  counterclockwise within a magnetic field. The fields are nonuni-  form for models 1 and 2 and uniform for model 3. For each model,  are (a) the magnetic dipole moment of the loop and (b) the mag-  netic force on the loop directed up, directed down, or zero?  8 

B

Figure 32.3 shows, in two situations, an electric field vector  E  and an induced magnetic field line. In each, is the magnitude  of E  increasing or decreasing? 

B

B

(2)

(3)

3  →

→

(1) Figure  32.6 

E

Questions 8, 9, and 10. 

Replace the current loops of Question 8 and Fig. 32.6 with  diamagnetic spheres. For each field, are (a) the magnetic dipole  moment of the sphere and (b) the magnetic force on the sphere  directed up, directed down, or zero?  9 

B

E B

(a) Figure  32.3 

(b )

Figure 32.4a  shows  a pair  of opposite spin orientations for  an electron in an external magnetic field B ext . Figure 32.4b gives  three choices for the graph of the energies associated with those  orientations  as  a  function of  the  magnitude  of  B ext .  Choices  b  and c  consist  of intersecting  lines, choice a  of parallel lines.  Which is the correct choice?  4 

→

→

b a

B ext

c U

B

Sz

Bext

c

Sz

a b

(a )

(b ) Figure  32.4 

Replace  the  current  loops  of  Question  8  and  Fig.  32.6  with paramagnetic spheres. For each field, are (a) the magnetic  dipole moment of the sphere and (b) the magnetic force on the  sphere directed up, directed down, or zero?  10 

Question 3. 

Figure 32.7 represents three rectangular samples of a ferro-  magnetic material in which the magnetic dipoles of the domains  have  been  directed  out  of  the page  (encircled  dot)  by  a  very  strong applied field B 0 . In each sample, an island domain still has  its magnetic field directed into the page (encircled ×). Sample 1 is  one (pure) crystal. The other samples contain impurities collected  along lines; domains cannot easily spread across such lines.  The applied field is  now to be reversed  and its  magnitude  kept  moderate. The change causes  the island domain to grow.  (a)  Rank  the  three  samples  according  to  the  success  of  that  growth, greatest growth first. Ferromagnetic materials in which  the  magnetic dipoles  are  easily  changed  are  said  to  be  mag-  netically soft;  when the  changes  are  difficult, requiring  strong  applied fields, the materials are said to be magnetically hard. (b)  Of the three samples, which is the most magnetically hard?  11 

Question 4. 

Impurity line

An  electron  in  an  external  magnetic  field  B ext  has  its  spin  angular momentum S z  antiparallel to B ext . If  the electron  undergoes  a spin-flip so  that S z  is then parallel with B ext , must  energy be supplied to or lost by the electron?  →

5 

→

→

Does the magnitude of the net force on the current  loop of  Figs. 32.5.3a and  b increase, decrease, or  remain the same if we  increase (a) the magnitude of B ext  and (b) the divergence of B ext ? 

(1)

6 

→

→

Figure  32.5 shows a  face-on view of one of the two square  plates of a parallel-plate capacitor, as well as four loops that are  located between the plates. The capacitor is being discharged. (a)  Neglecting fringing of the magnetic field, rank the loops accord-  ing to  the magnitude of  ∮ B ⋅ d s  along  them,  greatest  first.  (b)  Along�� which  loop, if  any, is  the  a angle between the directions of B  and  d s  constant  (so  that  their  d dot product  can  easily  be  evalu-  b ated)?  (c)  Along  which  loop,  if  c any, is  B constant (so that B  can  be brought in front of the integral  sign in Eq. 32.2.2)?  Figure  32.5  Question 7.  7 

→

(2) Figure  32.7 

→

(3)

Question 11. 

Figure  32.8  shows  four  steel  bars;  three  are  permanent  magnets. One of the poles is indicated. Through experiment we  find that ends a and d attract each other, ends c and f repel, ends  e  and  h attract, and ends  a  and  h  attract. (a)  Which ends  are  north poles? (b) Which bar is not a magnet?  12 

a

c

e

g

f

h

→

→

S b

d

Figure  32.8 

Question 12. 

/

1026

C HAP T ER - -  MAXWEL L ’S  EQU AT IONS;  MAGNET ISM  OF   MAT T ER 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 32.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Gauss’ Law for Magnetic Fields 

E  The  magnetic  flux  through  each  of  five  faces  of  a  die  (singular of “dice”) is given by Φ B  = ±N Wb, where N (= 1 to 5)  is the number of spots on the face. The flux is positive (outward)  for N  even and negative (inward)  for  N odd. What is  the flux  through the sixth face of the die? 

1 

Figure 32.9 shows a  closed surface. Along  the flat top face, which has  a radius  of 2.0 cm,  a perpendicular  magnetic field B  of magnitude  0.30 T is directed outward. Along the flat bottom  face,  a  magnetic flux  of  0.70 mWb  is  directed  outward. What are  the (a)  magnitude and  (b)  direction (inward  or  outward)  of the magnetic  flux through the curved part of the surface?  2 

E 

B

→

SSM 

GO  Two  wires,  H  CALC  y parallel to a z axis and a dis-  tance  4r  apart,  carry  equal  Wire 1 Wire 2 currents  i  in  opposite direc-  x r tions, as shown in Fig. 32.10.  –2r –r 2r A circular cylinder of radius  r and length L has its axis on  the z  axis,  midway between  Figure  32.10  Problem 4.  the wires. Use Gauss’ law for  magnetism to derive an expression for the net outward magnetic  flux through the half of the cylindrical surface above the x axis.  (Hint: Find the flux through the portion of the xz plane that lies  within the cylinder.)  4 

Module 32.2 

SSM 

→

E  A  capacitor  with  square  plates  of  edge length L is being discharged by a cur-  rent  of  0.75 A. Figure  32.11 is  a  head-on  view  of one  of the  plates from inside  the  capacitor.  A  dashed  rectangular  path  is  shown. If L = 12 cm, W = 4.0 cm, and H =  2.0 cm, what is the value of ∮ B ⋅ d s  around  the dashed path? 

6 

→

L

M  CALC 

GO 

GO  Nonuniform  electric  flux.  Fig-  M  Figure  32.12  ure  32.12 shows  a  circular  region of  radius  Problems 7 to 10  R  = 3.00 cm  in  which  an  electric  flux  is  and 19 to 22.  directed out of  the plane of  the page. The  flux  encircled  by  a  concentric  circle  of  radius  r  is  given  by  Φ E,enc = (0.600 V· m/s)(r/R)t,  where  r ≤ R  and  t  is  in  seconds.  What is  the  magnitude of the induced magnetic field at radial  distances (a) 2.00 cm and (b) 5.00 cm?  8 

M  GO  Uniform electric  field. In  Fig. 32.12, a  uniform elec-  tric  field is  directed out of the page within a  circular region of  radius R = 3.00 cm. The field magnitude is given by E = (4.50 ×  10 –3  V/m ·  s)t, where  t  is  in seconds.  What is  the  magnitude of  the  induced magnetic field at  radial distances (a)  2.00 cm and  (b) 5.00 cm?  CALC  GO  Nonuniform electric field. In Fig. 32.12, an elec-  tric  field is  directed out of the page within a  circular region of  radius  R = 3.00 cm. The  field magnitude is  E  = (0.500 V/m ·  s)  (1 – r/R)t,  where  t  is  in  seconds  and  r  is  the  radial  distance  (r ≤ R). What is the magnitude of the induced magnetic field at  radial distances (a) 2.00 cm and (b) 5.00 cm? 

10  M 

CALC  Suppose that a parallel-plate capacitor has circular  plates with radius R = 30 mm and a plate separation of 5.0 mm.  Suppose also that a sinusoidal potential difference with a maxi-  mum value of 150 V and a frequency of 60 Hz is applied across  the plates; that is, 

11  M 

V = (150 V) sin[2π(60 Hz)t].  (a)  Find B max (R), the maximum value of the induced magnetic  field that occurs at r = R. (b) Plot B max (r) for 0 

Axis

I

n1

r p

i

A real point image I of  a point object O is formed by refrac-  tion at a spherical convex surface  between two media.  Figure  34.6.2 

(34.6.2) 

where the overhead symbol means â€œarc.Only the equation for  †  β is exact, because  â œ the center of curvature of  ac is at C. However, the equations for Î±and Î³are approxi-  mately correct if these angles are small enough (that is, for rays close to the central  axis). Substituting Eqs. 34.6.2 into Eq. 34.6.1, using Eq. 34.2.1 to replace r with 2f, and  â œ canceling ac lead exactly to Eq. 34.2.2, the relation that we set out to prove. 

a



(34.6.1) 

The Refracting  Surface  Formula (Eq.  34.3.1) 

The incident ray from point object O in Fig. 34.6.2 that falls on point a of a spheri-  cal refracting surface is refracted there according to Eq. 33.5.2,  n 1  sin Î¸1 = n 2  sin Î¸2 .  If  α is  small,  θ1  and  θ2  will  also be  small and  we can replace the sines  of  these  angles with the angles themselves. Thus, the equation above becomes  n 1θ n ˆ 2θ   1 â‰   2 . 

(34.6.3) 

/

1099

34.6  T HREE  P ROOF S 

We again use the fact that an exterior angle of a triangle is equal to the sum of  the two opposite interior angles. Applying this to triangles COa and ICa yields  θ1 = Î±+ Î² and  β =  θ2 + Î³. 

(34.6.4) 

If we use Eqs. 34.6.4 to eliminate Î¸1 and  θ2 from Eq. 34.6.3, we find  n 1α n 1 )  β.    + n 2 γ   = (n 2  â€“

(34.6.5) 

In radian measure the angles Î±, Î², and Î³ are  â œ â œ â œ ac  ac ;    ac  _   β = _   γ ≠_ α≠ˆ  ;    ˆ    .  p  r  i 

(34.6.6) 

Only  the second  of  these equations  is  exact. The  other  two  are approximate  â œ because I and O are not the centers of circles of which  ac is a part. However, for  αsmall enough (for rays close to the axis), the inaccuracies in Eqs. 34.6.6 are small.  Substituting  Eqs. 34.6.6 into Eq. 34.6.5 leads directly to Eq. 34.3.1, as we wanted.  The  Thin-Lens Formulas (Eqs. 34.4.1 and 34.4.2) 

Our plan is to consider each lens surface as a separate refracting surface, and to  use the image formed by the first surface as the object for the second.  We start with the thick glass â€œlensof length L in Fig. 34.6.3a whose left and  †  right refracting surfaces are ground  to radii r′ and r    ″ . A point  object O′ is placed    near  the  left  surface as  shown.  A  ray leaving O ′ along    the  central  axis  is  not  deflected on entering or leaving the lens.  A second  ray leaving O′ at   an angle  αwith  the central axis intersects the  left  surface at point a ′ , is refracted, and intersects the second (right) surface at point a ″ .  The ray is again refracted and crosses the axis at I″ , which, being the intersection of  two rays from O′ , is the image of point O ′ , formed after refraction at two surfaces.  Figure 34.6.3b shows that the first (left) surface also forms a virtual image of  O ′ at I   ′ . To locate I′ , we use Eq. 34.3.1,  n  ___  n 2   _ n 2  _ – n  1      _ p  +  i  =  r  . 

1  ___ 

a" a'

a'

Axis

  O' c'

C'

Glass

Air

 

I' c"

C"

I"

O'

n

n1

c'

= 1.0

C'

p' p'

r'

r"

i"

Glass

Air

n2

=

n

r'

i'

L

(b )

(a )

a" n2

(a) Two rays from point object  O′ form a real image I    ″ after refracting    through two spherical surfaces of a lens. The  object faces a convex surface at the left side  of the lens and a concave surface at the right  side. The ray traveling through points a′ and    a″ is actually close to the central axis through    the lens. (b)  The left side and (c)  the right  side of the lens in (a), shown separately. 

= 1.0

Figure  34.6.3 

O"

c'

c"

C" n1

=n

I"

Glass Air r"

i"

p" i'

L

(c )

/

1100

C HAP T ER 34  IMAGES 

Putting  n 1   =  1  for  air  and  n 2   =  n  for  lens  glass and  bearing in  mind  that  the  (virtual) image distance is negative (that is, i = â€“ i′ in Fig. 34.6.3b), we obtain    n   = _____  n âˆ’1    .  1  – _  ___ 

(34.6.7) 

p ′ i′  r′ 

(Because the minus sign is explicit, i′ will be a positive number.)    Figure 34.6.3c shows  the second  surface again. Unless an observer at point  a ″  were aware of the existence of the first surface, the observer would  think  that  the  light  striking  that  point  originated  at  point  I′ in    Fig.  34.6.3b  and  that  the  region to the left of the surface was filled with glass as indicated. Thus, the (vir-  tual) image I′ formed by the first surface serves    a s a real object O ″ for the second    surface. The distance of this object from the second surface is  p″ = i   ′ + L.   

(34.6.8) 

To apply Eq. 34.3.1 to the second surface, we must insert n 1   = n and  n 2   = 1  because the  object  now  is  effectively imbedded  in  glass. If  we  substitute  with  Eq. 34.6.8, then Eq. 34.3.1 becomes  n    1  = _ 1 âˆ’n    .   _ + _  i ′ + L   

(34.6.9) 

i″  r″ 

Let us now assume that the thickness L of the â€œlensin Fig. 34.6.3a is so small  †  that we can neglect it in comparison with our other linear quantities (such as p ′ , i ′ ,  p ″ , i ″ , r′ , and r â€³ ). In all that follows we make this thin-lens approximation. Putting  L = 0 in Eq. 34.6.9 a nd rearranging the right side lead to  n  1  = âˆ_ n  _ + _  ’  − 1 .   i ′  i″  r″ 

(34.6.10) 

Adding Eqs. 34.6.7 a nd 34.6.10 leads to  1  + _  1  = (n  −1  1  −_  _    )(  1 ).      _  p ′  i″  r′  r″   Finally, calling the original object distance simply p and the final image distance  simply i leads to  1  + _  1  = (n âˆ’1  1  −_  _    ) ( _   1 ),   p 

i 

(34.6.11) 

r′  r″ 

which, with a small change in notation, is Eqs. 34.4.1 a nd 34.4.2. 

Review & Summary An image is  a  reproduction of  an object via light. If the image can form on a surface, it is a real  image and can exist even if no observer is present. If the image  requires the visual system of an observer, it is a virtual image.  Real  and  Virtual  Images 

Spherical mirrors, spherical refracting sur-  faces,  and thin lenses  can form  images of a  source  of light—the  object—by redirecting rays emerging from the source. The image  occurs where the redirected rays cross  (forming a real image) or  where backward extensions of those rays cross  (forming a virtual  image). If the rays are sufficiently close to the central axis through  the spherical mirror, refracting surface, or thin lens, we have the  following relations between the object distance p (which is  posi-  tive)  and the image distance i (which  is positive for real  images  and negative for virtual images):  Image Formation 

1.  Spherical Mirror:  1  + _  1  = _  1  = _  2 ,  _  p 

i 

f 

r 

(34.2.2, 34.2.1) 

where f is the mirror’ focal length and r is its radius of curvature.  s  A plane mirror is a special case for which r  â†’â  ˆž, so that p =  – i.  Real images form  on the side  of  a  mirror  where  the object is  located, and virtual images form on the opposite side.  2.  Spherical Refracting Surface:  n 1  _  n  n 2  −n    1  _  +  2  =  _  (single surface ),  p 

i 

r 

(34.3.1) 

where  n 1  is  the  index of  refraction  of  the material where  the  object is located, n 2  is the index of refraction of the material on 

/

QU EST IONS 

the other side of the refracting surface, and r is the radius of cur-  vature of the surface. When the object faces a convex refracting  surface, the radius r is positive. When it faces a concave surface,  r is negative. Real images form on the side of a refracting surface  that is opposite the object, and virtual images form on the same  side as the object.  3.  Thin Lens:  1  + _  1  = _  1  = ( n âˆ’1  1  −_  _    )  _   1  ,  p 

i 

( r 1 

f 

r 2 ) 

where h and h′ are    the heights (measured perpendicular to the  central axis) of the object and image, respectively.  Optical Instruments 

human vision are: 

25 cm ,  m Î¸ = _  f 

(34.5.1) 

where f  is  the focal length of the magnifying lens. The  dis-  tance of  25  cm  is  a  traditionally chosen value  that is  a  bit  more than the typical near point for someone 20 years old.  2.  The compound microscope, which produces an overall mag-  nification M given by  25 cm ,  M = mm Î¸ =  âˆ_  ’s    _  f ob  f ey 

(34.5.3) 

where  m  is  the  lateral  magnification  produced  by  the  objective, m Î¸ is  the angular magnification produced by  the  eyepiece, s  is  the tube length, and  f ob  and f ey  are  the focal  lengths of the objective and eyepiece, respectively. 

The  lateral  magnification  m  pro-  duced by a spherical mirror or a thin lens is  Lateral  Magnification 

m =  âˆ_  ’i   .  p 

Three optical instruments that extend 

1.  The simple magnifying lens, which produces an angular mag-  nification m Î¸ given by 

(34.4.1, 34.4.2) 

where f is the lens’ focal length,  s  n is the index of refraction of the  lens material, and r 1  and r 2  are the radii of curvature of the two  sides of the lens, which are spherical surfaces. A convex lens sur-  face  that faces  the object  has  a  positive radius  of curvature;  a  concave lens surface  that faces the object has  a negative radius  of curvature. Real images form on the side of a lens that is oppo-  site the object, and virtual images form on the same side as the  object. 

1101

(34.2.4) 

3.  The refracting telescope, which produces an angular magnifi-  cation m Î¸ given by 

The magnitude of m is given by  h′ |m| =  _  ,    h 

f ob  m Î¸ = âˆ_  ’  .  f ey 

(34.2.3) 

(34.5.4) 

Questions Figure 34.1  shows  a  fish  and  a  fish  stalker  in  water. (a)  Does  the stalker see the fish in the gen-  eral region of point a or point b?  (b)  Does  the  fish  see  the (wild)  eyes of the stalker in the general  region of point c or point d?  1 

c

d

a

b

In  Fig.  34.2,  stick  figure  O  Figure  34.1  Question 1.  stands  in  front  of  a  spherical  mirror  that  is  mounted  within  the  boxed  region;  the  cen-  I1 I3 tral  axis  through  the  mirror  is  O shown.  The  four  stick  figures  I 1  to  I 4  suggest  general  loca-  I2 I4 tions  and  orientations  for  the  images  that might be  produced  Figure  34.2  Questions 2 and 10.  by  the  mirror.  (The  figures  are  only  sketched  in;  neither  their  heights nor  their  distances from  the mirror  are  drawn  to  scale.)  (a)  Which  of the  stick  figures  could  not possibly  represent  images? Of the possible  images, (b)  which  would  be due to a concave mirror, (c)  which would be due to a con-  vex mirror, (d) which would be virtual, and (e) which would  involve negative magnification?  2 

Figure  34.3  is  an  c overhead view of a mir-  ror maze based on floor  sections  that  are  equi-  x lateral  triangles.  Every  wall  within  the  maze is  a mirrored. If you stand at  entrance x, (a) which of  the maze monsters a, b,  b and c hiding in the maze  Figure  34.3  Question 3.  can  you  see  along  the  virtual hallways  extend-  ing from entrance x; (b) how many times does each visible monster  appear in a hallway; and (c) what is at the far end of a hallway?  3 

A  penguin  waddles  along  the  central  axis  of  a  concave  mirror, from the focal point to an effectively infinite distance.  (a) How does its image move? (b) Does the height of its image  increase continuously, decrease continuously, or change in some  more complicated manner? 

4 

When a  T.  rex  pursues  a  jeep in  the  movie Jurassic  Park,  we see a reflected image of the T. rex via a side-view mirror, on  which is printed the (then darkly humorous) warning: â€œObjects  in mirror are closer than they appear.â€Is the mirror flat, convex,    or concave?  5 

/

1102

C HAP T ER 34  IMAGES 

An object is placed against the  center  of  a  concave  mirror  and  then moved along the central axis  until it is  5.0 m  from  the mirror.  During the motion, the distance |i|  between the mirror and the image  it produces is measured. The pro-  cedure  is  then  repeated  with  a  convex  mirror  and  a  plane  mir-  ror.  Figure  34.4 gives  the results  versus  object  distance  p.  Which  curve  corresponds  to which  mir-  ror? (Curve 1 has two segments.)  6 

An object is  placed against the center of a  converging lens  and then moved along the central axis until it is 5.0 m from the  lens. During the motion, the distance | i| between the lens and the  image it produces is measured. The procedure is then repeated  with a diverging lens. Which of the curves in Fig. 34.4 best gives  |i| versus the object distance p for these lenses? (Curve 1 consists  of two segments. Curve 3 is straight.)  8 

| i|

1

1

2 3

p

Questions  6 and 8. 

Figure  34.4 

The  table  details  six  varia-  Lens 1 Lens 2 tions  of the  basic  arrangement  of  two  thin lenses  represented  F1 F2 F2 in Fig. 34.5. (The points labeled  F1 F 1  and  F 2  are  the  focal  points  Figure  34.5  Question 7.  of lenses  1  and 2.) An object is  distance p 1  to the left of lens 1,  as in Fig. 34.4.5. (a) For which variations can we tell, without  calculation,  whether the  final  image  (that  due  to  lens  2)  is  to the left or right of lens 2 and whether it has the same ori-  entation as  the object? (b)  For those  “easyvariations, give  †  the image location as â€œleftor  â€â€œ   rightand the orientation as  †  “sameor  â€â€œ   inverted. †  7 

Variation 

Lens 1 

Lens 2 

1 

Converging 

Converging 

p 1   |f 1 | 

3 

Diverging 

Converging 

p 1   |f 1 | 

5 

Diverging 

Diverging 

p 1   |f 1 | 

Figure  34.6  shows  four  thin  lenses,  all  of  the  same  material,  with  sides  that  either  are  flat or  have  a  radius  of  curvature  of  magnitude  10  cm.  Without  writ-  (a) (b ) (c ) (d ) ten  calculation,  rank  the  lenses  Figure  34.6  Question 9.  according to the magnitude of the  focal length, greatest first.  9 

In Fig. 34.2, stick figure O stands in front of a thin, symmetric  lens that is  mounted within the  boxed region;  the central  axis  through the lens is shown. The four stick  figures I 1  to I 4  suggest  general locations and orientations for the images that might be  produced by the lens. (The figures are only sketched in; neither  their height nor their distance from the lens is drawn  to  scale.)  (a)  Which  of  the  stick  figures  could  not  possibly  represent  images? Of  the possible  images, (b)  which  would  be  due to  a  converging lens, (c)  which would be due to  a  diverging  lens,  (d)  which  would  be  vir-  tual, and (e)  which  would involve negative  magnification?  10 

Figure 34.7 shows a coordinate system  in front of a flat mirror, with the x axis per-  pendicular to  the mirror.  Draw  the image  of the system in the mirror. (a)  Which axis  is  reversed  by  the  reflection?  (b)  If  you  face a  mirror,  is  your  image inverted (top  for bottom)? (c) Is it reversed left and right  (as  commonly believed)? (d)  What then is  reversed? 

y

11 

x

z

Figure  34.7 

Question 11. 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor

’ discretion) in  s  WileyPLUS

Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in The

Module 34.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying Circus of Physics

Images and Plane Mirrors 

You look through a camera toward an image of a humming-  bird in a plane mirror. The camera is 4.30 m in front of the mir-  ror. The bird is at camera level, 5.00 m to your right and 3.30 m  from the mirror. What is  the distance between  A the  camera  and  the  apparent  position  of  the  M bird’ image in the mirror?  s  1  E 

A moth at about eye level is 10 cm in front  of  a  plane  mirror;  you  are  behind  the  moth,  30  cm  from  the  mirror.  What  is  the  distance  between your eyes and the apparent position of  the moth’ image in the mirror?  s  2  E 

In  Fig.  34.8,  an  isotropic  point  source  of  light S  is  positioned at  distance  d  from a  3 

M 

S

d

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

P

d

Figure  34.8 

Problem 3. 

viewing screen  A  and  the light intensity I P  at point P  (level  with S ) is measured. Then a plane mirror M  is placed behind  S at distance d. By  how much  is  I P  multiplied by the presence of  the mirror?  d d Figure 34.9 shows an overhead  view  of  a  corridor  with  a  plane  mirror M mounted at one end. A  burglar B  sneaks along the corri-  dor directly toward the center of  the mirror. If  d = 3.0 m, how far  from the mirror will she be when  the security  guard S can first  see  her in the mirror?  4 M 

M d

S

B

Figure  34.9 

Problem 4. 

/

P ROBL EMS 

SSM  Figure  34.10  shows  a  small lightbulb suspended at dis-  tance d 1  = 250 cm above the sur-  d1 face of the water in a swimming  pool  where  the  water  depth  is  d 2  =  200  cm.  The  bottom  of  the pool is  a  large  mirror. How  d2 far  below  the  mirror  surface  is  Mirror the  image  of  the  bulb?  (Hint:  Assume that the rays are close to  Figure  34.10  Problem 5.  a  vertical axis through the bulb,  and use the small-angle approximation in which sin Î¸â‰ tan  ˆ  θ≠θ.ˆ  ) 

5  H 

Module 34.2 

Spherical Mirrors 

whether the image is (d) real (R) or virtual (V), (e) inverted (I)  from object O or noninverted (NI), and (f ) on the same side of  the mirror as O or on the opposite side.  GO  22  SSM  23, 29 More mirrors. Object O  stands on the central axis of a spherical or plane mirror. For this  situation, each problem in Table 34.2 refers  to  (a)  the type of  mirror, (b) the focal distance f, (c)  the radius of curvature r, (d)  the object distance p, (e) the image distance i, and (f ) the lateral  magnification m. (All distances are in centimeters.) It also refers  to whether (g) the image is real (R) or virtual (V), (h) inverted  (I)  or noninverted (NI)  from O, and (i)  on the same side of the  mirror  as  object O or  on the opposite side. Fill in  the missing  information. Where only a sign is missing, answer with the sign.  17  through  29  M 

GO  Figure  34.13  gives  M  the  lateral  magnification  m  of  an  object  versus  the  object  dis-  tance  p  from  a  spherical  mir-  ror  as  the  object  is  moved  along  the  mirror’ central  s  axis  through a  range of  values for p.  The  horizontal  scale  is  set  by  p s   =  10.0 cm.  What is  the  mag-  nification of the object when the  object is 21 cm from the mirror?  30 

4

m

2

0

pa

pb

A concave shaving mirror has  p (cm) a radius of curvature of 35.0 cm. It  Figure  34.11  Problem 6.  is positioned so that the (upright)  image of a man’ face is 2.50 times the size of the face. How far is  s  the mirror from the face?  7  E 

E  An object is  placed against the center of a  spherical mir-  ror  and then moved 70 cm from  400 it  along  the  central  axis  as  the  image  distance  i  is  measured.  Figure 34.12 gives i versus object  0 0 p distance  p  out  to  p s  =  40  cm.  What is i for p = 70 cm? 

8 

)m c( i

s

–400 GO  12  SSM  9,  p (cm) 11, 13  Spherical mirrors. Object  Figure  34.12  Problem 8.  O stands on the central axis of a  spherical  mirror.  For  this  situa-  tion, each problem in Table 34.1 gives object distance p s  (centi-  meters), the type of mirror, and then the distance (centimeters,  without proper  sign)  between the focal  point and the  mirror.  Find (a) the radius of curvature r (including sign), (b) the image  distance i, and (c) the lateral magnification m. Also, determine  9 through 16  M 

1

m

An object is moved along the  central  axis  of a  spherical mirror  while  the  lateral  magnification  m of it is measured. Figure 34.11  gives  m  versus  object distance  p  for the range p a  = 2.0 cm to p b   =  8.0 cm. What is m for p = 14.0 cm?  6  E 

1103

0.5

0 p

Figure  34.13 

(cm)

ps

Problem 30. 

CALC  (a) A luminous point is moving at speed v  O  toward  a spherical mirror  with radius of curvature r, along the central  axis of the mirror. Show that the image of this point is  moving  at speed  r  2  v I  = âˆ’ ______  v  ,  ( 2p  −r  )  O  where p is the distance of the luminous point from the mirror at  any given time. Now assume the mirror is concave, with r = 15 cm,  and let v O  = 5.0 cm/s. Find v I  when (b)  p = 30 cm (far outside  the focal point), (c) p = 8.0 cm ( just outside the focal point), and  (d) p = 10 mm (very near the mirror). 

31  M 

Module 34.3 

Spherical Refracting Surfaces 

M  GO  37, 38  SSM  33, 35 Spherical refracting  surfaces. An object O stands on the central axis of a spherical  refracting  surface.  For this  situation, each  problem in Table  34.3 refers  to  the index of refraction  n 1  where  the object  is  located, (a) the index of refraction n 2  on the other side of the 

32  through  38 

Table 34.1  Problems  9 through  16: Spherical Mirrors.  See the setup for these problems. 

p  9 

Mirror 

+18 

Concave, 12 

10 

+15 

Concave, 10 

11 

+8.0 

Convex, 10 

12 

+24 

Concave, 36 

13 

+12 

Concave, 18 

14 

+22 

Convex, 35 

15 

+10 

Convex, 8.0 

16 

+17 

Convex, 14 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

r 

i 

m 

R/V 

I/NI 

Side 

/

1104

C HAP T ER 34  IMAGES 

Table 34.2  Problems  17 through  29: More  Mirrors.  See the setup for these problems. 

17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

(g) 

(h) 

(i) 

Type 

f 

r 

p 

i 

m 

R/V 

I/NI 

Side 

Concave 

20 

+10  +24 

0.50 

– 40 

+40  +30 

+20  20  30 

– 0.70 

+0.10  +0.20  – 0.50  0.40 

+60  +30  +60 

20  – 30 

Same  +1.0 

40 

4.0 

refracting surface, (b)  the object distance p, (c)  the radius  of  curvature  r  of the surface, and  (d)  the image distance i. (All  distances are  in centimeters.) Fill in the missing information,  including whether the image is (e)  real (R) or virtual (V) and  (f) on the same side of the surface as object O or on the oppo-  site side.  M 

A glass sphere has radius  R = 5.0 cm and index of refrac-  tion 1.6. A  paperweight is  con-  structed  by  slicing  through the  sphere  along  a  plane  that  is  2.0  cm  from  the  center  of  the  sphere,  leaving  height  h  =  3.0  cm.  The  paperweight  is  placed  40  M 

d

on a  table and  viewed from  directly  above by  an observer  who is  distance  d  =  8.0  cm  from  the  tabletop (Fig. 34.15).  When viewed through the paperweight, how far  away  does  the tabletop appear to be to the observer?  Module 34.4 

Thin Lenses 

A lens is made of glass having an index of refraction of  1.5. One side of the lens is flat, and the other is convex with  a  radius of curvature  of 20  cm. (a)  Find the focal length of  the lens. (b) If an object is placed 40 cm in front of the lens,  where is the image?  42  E  Figure 34.16 gives  the lat-  1 eral magnification m of an object  versus the object distance p from  a  lens  as  the  object  is  moved  0.5 along the central axis of the lens  through a  range  of  values  for  p  out to p s  = 20.0 cm. What is  the  magnification of the object when  0 p the object is 35 cm from the lens?  p (cm) Figure  34.16  Problem 42.  43  E  A  movie  camera  with  a  (single) lens of focal length 75  mm takes a  picture of a person  standing 27  m  away. If  the person  is  180  cm  tall, what  is  the  height of the image on the film?  41 

E 

m

In  Fig.  34.14, a  beam  of  parallel light rays  from a laser  is  incident  on  a  solid  transparent  sphere  of  index of  refraction  n.  (a)  If a  point image is  produced  at the  back of  the sphere,  what  Figure  34.14  Problem 39.  is  the index of refraction  of the  sphere?  (b)  What  index  of refraction, if any, will  produce a  point image at the center of the  sphere?  Observer 39 

I 

– 15 

+10  Convex 

I 

– 10 

s

h

R

Figure  34.15 

Problem 40. 

Table 34.3  Problems  32 through  38: Spherical Refracting Surfaces. See the setup for 

these problems. 

n 1  32  33  34  35  36  37  38 

1.0  1.0  1.5  1.5  1.5  1.5  1.0 

(a)  n 2 

(b)  p 

(c)  r 

1.5  1.5 

+10  +10  +100  +70 

+30 

1.0  1.0  1.0  1.5 

– 30  +30  – 30 

+10  +30 

(d)  i 

(e)  R/V 

(f)  Side 

– 13  +600  – 7.5  – 6.0  +600 

/

P ROBL EMS 

An object is placed against  the center of a thin lens and then  moved  away  from  it  along  the  central axis as the image distance  i  is  measured. Figure  34.17 gives  i  versus  object  distance p  out to  p s  = 60 cm. What is the image dis-  tance when p = 100 cm? 

400

44  E 

)m c( i

0

1105

M  GO  55, 57  SSM  53  Thin  lenses.  Object O  stands on the central axis of a thin symmetric lens. For this situ-  ation, each problem in Table 34.4 gives object distance p (cen-  timeters), the type of lens (C  stands  for converging and D for  diverging), and then the distance (centimeters, without proper  sign) between a focal point and the lens. Find (a) the image dis-  tance i and (b) the lateral magnification m of the object, includ-  ing signs. Also, determine whether the image is (c)  real (R)  or  virtual (V), (d) inverted (I) from object O or noninverted (NI),  and (e) on the same side of the lens as object O or on the oppo-  site side. 

50  through  57 

0

ps

–400 p

Figure  34.17 

(cm)

Problem 44. 

E  You produce an  image of  the Sun on a screen, using a thin lens whose focal length is 20.0  cm. What is  the diameter of the image? (See Appendix C  for  needed data on the Sun.)  46  E  An object is placed against  p (cm) 0 the center of a thin lens and then  p moved  70  cm  from  it  along  the  central axis as the image distance i  –10 is  measured.  Figure 34.18 gives  i  versus  object  distance  p  out  to  –20 p s  = 40 cm. What is the image dis-  Figure  34.18  Problem 46.  tance when p = 70 cm? 

45 

)m c( i

s

SSM  A double-convex lens is to be made of glass with an  index of refraction of 1.5. One surface is to have twice the radius  of curvature of the other and the focal length is  to be  60 mm.  What is the (a) smaller and (b) larger radius?  48  E  An object is  moved along the central axis  of a thin lens  while the lateral magnification m is measured. Figure 34.19 gives  m versus object distance p out to p s  = 8.0 cm. What is the mag-  nification of the object when the object is 14.0 cm from the lens? 

47  E 

6 4

M  GO  61  SSM  59  Lenses  with  given radii.  Object O  stands in  front of a  thin lens, on the central axis.  For  this  situation, each  problem  in Table  34.5  gives  object  distance p, index of refraction n of the lens, radius r 1  of the  nearer lens surface, and radius r 2  of the farther lens surface.  (All  distances  are  in  centimeters.) Find  (a)  the  image  dis-  tance  i  and  (b)  the  lateral  magnification  m  of  the  object,  including signs.  Also,  determine  whether  the  image  is  (c)  real (R) or virtual (V), (d) inverted (I) from object O or non-  inverted (NI),  and (e)  on the same  side of the lens  as object  O or on the opposite side. 

58  through  67 

In Fig. 34.20, a real inverted  O image I of an object O is formed by  Lens a particular lens (not shown); the  here Axis object–image  separation  is  d  =  I 40.0 cm, measured along the cen-  d tral  axis  of  the  lens.  The  image  is  just half the size  of the object.  Figure  34.20  Problem 68.  (a)  What  kind  of  lens  must  be  used to produce this image? (b)  How far from the object must  the lens be placed? (c) What is the focal length of the lens?  68  M 

m

GO  76, 78  SSM  75, 77  More lenses. Object O  stands  on  the  central  axis  of  a  thin  symmetric  lens.  For  this  situation, each problem in Table 34.6 refers to (a) the lens type,  converging (C) or diverging (D), (b) the focal distance f, (c) the  object distance p, (d)  the image distance i, and (e)  the lateral  magnification m. (All distances are in centimeters.) It also refers  to whether (f) the image is real (R) or virtual (V), (g) inverted  (I) or noninverted (NI) from O, and (h) on the same side of the  lens as O or on the opposite side. Fill in the missing information,  including the value of m when only an inequality is given. Where  only a sign is missing, answer with the sign.  69  through 79  M 

2 0

ps p

Figure  34.19 

(cm)

Problem 48. 

E  SSM  An  illuminated slide  is  held 44  cm  from  a  screen.  How  far  from  the  slide  must a  lens  of  focal length 11  cm  be  placed (between the slide and the screen)  to form an image of  the slide’ picture on the screen?  s 

49 

Tab l e 34. 4  Problems  50 through  57: Thin  Lenses.  See the setup for  these 

problems. 

p  50  51  52  53  54  55  56  57 

+16  +12  +25  +8.0  +10  +22  +12  +45 

Lens 

(a)  i 

(b)  m 

(c)  R/V 

(d)  I/NI 

(e)  Side 

C, 4.0  C, 16  C, 35  D, 12  D, 6.0  D, 14  D, 31  C, 20 

/

1106

C HAP T ER 34  IMAGES 

Table 34.5  Problems  58 through  67: Lenses  with Given Radii. See the setup for these 

problems. 

58  59  60  61  62  63  64  65  66  67 

p 

n 

r 1 

r 2 

+29  +75  +6.0  +24  +10  +35  +10  +10  +18  +60 

1.65  1.55  1.70  1.50  1.50  1.70  1.50  1.50  1.60  1.50 

+35  +30  +10  – 15  +30  +42  – 30  – 30  – 27  +35 

∞  – 42  – 12  – 25  – 30  +33 

(a)  i 

(b)  m 

(c)  R/V 

(d)  I/NI 

(e)  Side 

– 60  +30 

+24  – 35 

Table 34.6  Problems  69 through  79: More  Lenses. See the setup for these problems. 

(a)  Type  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 

C 

(b)  f 

(c)  p 

+10  20 

+5.0  +8.0  +16  +16  +10  +20  +5.0  +5.0  +16  +10  +8.0 

10  10  10 

20 

GO  80, 87  SSM  83 Two-lens systems. In Fig.  34.21, stick figure O (the object) stands on the common central  axis  of  two  thin, symmetric  lenses,  which  are  mounted in  the  boxed regions. Lens 1 is mounted within the boxed region closer  to O, which is at object distance p 1 . Lens 2 is mounted within the  farther boxed region, at distance d. Each problem in Table 34.7  refers  to a different combination of lenses and different values  for distances, which are given in centimeters. The type of lens is  indicated by C for converging and D for diverging; the number  after C or D is the distance between a lens and either of its focal  points (the proper sign of the focal distance is not indicated).  80  through 87  M 

O

1

2

(d)  i 

(e)  m  1.0 

(f)  R/V 

(g)  I/NI 

(h)  Side 

NI 

Same 

NI 

Find  (a)  the  image  distance  i 2  for  the  image  produced  by lens  2  (the  final image produced by  the system)  and  (b)  the overall  lateral magnification M  for  the system,  including  signs. Also, determine whether the final image is (c)  real (R)  or virtual (V),  (d) inverted (I)  from object O  or noninverted  (NI), and (e) on the same  side of lens 2 as object O or on the  opposite side.  Module 34.5 

Optical Instruments 

If the angular magnification of an astronomical telescope is  36 and the diameter of the objective is 75 mm, what is the mini-  mum diameter of the eyepiece  required  to collect  all the light  entering the objective from a  distant point source  on the tele-  scope axis?  88  E 

E  SSM  In  a  microscope of the type shown in Fig. 34.5.2,  the focal length of the objective is 4.00 cm, and that of the eye-  piece is 8.00 cm. The distance between the lenses is 25.0 cm. (a)  What is the tube length s? (b) If image I in Fig. 34.5.2 is to be 

89  d

Figure  34.21 

Problems 80 through 87. 

/

P ROBL EMS 

1107

Table 34.7  Problems 80 through 87: Two-Lens  Systems. See the setup for 

these problems. 

p 1 

Lens 1 

d 

Lens 2 

80 

+10 

C, 15 

10 

C, 8.0 

81 

+12 

C, 8.0 

32 

C, 6.0 

82 

+8.0 

D, 6.0 

12 

C, 6.0 

83 

+20 

C, 9.0 

8.0 

C, 5.0 

84 

+15 

C, 12 

67 

C, 10 

85 

+4.0 

C, 6.0 

8.0 

D, 6.0 

86 

+12 

C, 8.0 

30 

D, 8.0 

87 

+20 

D, 12 

10 

D, 8.0 

just inside focal point F 1  ′ , how far from the objective should the    object be?  What  then are  (c)  the lateral  magnification m  of  the objective, (d) the angular magnification m Î¸ of the eyepiece,  and (e) the overall magnification M of the microscope?  Figure 34.22a shows the basic structure of an old film cam-  era. A lens can be moved forward or back to produce an image  on  film at  the back of the camera. For a  certain camera, with  the distance i  between the lens and the film set at  f = 5.0 cm,  parallel light rays  from a  very  distant object O converge  to a  point image on the film, as shown. The object is now brought  closer, to a distance of p = 100 cm, and the lens–film  distance  is adjusted so that an inverted real image forms on the film (Fig.  34.22b). (a)  What is  the lens–film  distance i  now? (b)  By how  much was distance i changed? 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

i 2 

M 

R/V 

I/NI 

Side 

clearly? (b) Must the eye muscles increase or decrease the radii  of curvature of the eye lens to give focal length f â?  €² Lens Retina

90  M 

Muscle Cornea Light from distant object O

Retina

Effective lens

I

I f

(b )

(a) O

I

p

O

i

(c ) I

I

Film f

p

(a)

i

(b ) Figure  34.22 

Problem 90. 

Figure  34.23 

Problem 91. 

M  An  object  is  10.0 mm  from the objective of a  certain  compound microscope. The lenses are 300 mm apart, and the  intermediate image is 50.0 mm from the eyepiece. What over-  all magnification is produced by the instrument? 

92 

BIO  Someone with a near point P  n  of 25 cm views a thim-  ble through a  simple magnifying lens  of focal length 10 cm by  placing the lens near his eye. What is the angular magnification  of the thimble if it is positioned so that its image appears at (a)  P n  and (b) infinity? 

93  M 

Additional Problems 

An  object  is  placed  against  the  center  of  a  spherical  mir-  ror  and  then moved 70  cm  from  it  along  the  central  axis  as  the  image distance i is measured. Fig-  ure 34.24 gives i versus object dis-  tance p  out to p s  =  40 cm. What  is  the  image  distance  when  the  object is 70 cm from the mirror?  94 

0

p

(cm) ps

)m c( i

M  BIO  SSM  Figure  34.23a  shows  the  basic  structure  of  a  human eye. Light refracts into the eye through the cornea and is  then further redirected by a lens whose shape (and thus ability  to focus the light) is controlled by muscles. We can treat the cor-  nea and eye lens as  a single effective thin lens (Fig. 34.23b). A  “normaleye can focus parallel light rays from a distant object  †  O  to a  point on  the retina at the  back of the eye, where  pro-  cessing of the visual information begins. As an object is brought  close  to the eye, however, the muscles must change the shape  of the lens so that rays form an inverted real image on the ret-  ina (Fig. 34.23c). (a)  Suppose that for the parallel rays  of Figs.  34.23a and b, the focal length f of the effective thin lens of the  eye is 2.50 cm. For an object at distance p = 40.0 cm, what focal  length f âof the effective lens is required for the object to be seen  €² 

91 

–10

–20 Figure  34.24 

Problem 94. 

/

1108

C HAP T ER 34  IMAGES 

GO  95,  96,  99  Three-lens  systems.  In  Fig.  34.25, stick figure O (the object) stands on  the common cen-  tral axis of three thin, symmetric lenses, which are mounted in  the boxed regions. Lens 1 is mounted within the boxed region  closest to O, which is at object distance p 1 . Lens 2 is mounted  within the middle boxed region, at distance  d 12  from lens  1.  Lens 3 is mounted in the farthest boxed region, at distance d 23  from lens  2. Each problem in Table 34.8 refers  to a  different  combination of lenses and different values for distances, which  are given in centimeters. The type of lens is indicated by C for  converging and  D  for diverging; the number  after C  or  D  is  the distance between a lens and either of the focal points (the  proper sign of the focal distance is not indicated).  Find (a)  the  image  distance  1 2 3 i 3  for the (final)  image produced  by  lens  3  (the  final  image  pro-  O duced by the system)  and (b)  the  d 12 d 23 overall  lateral  magnification  M  for  the  system,  including  signs.  Figure  34.25  Problems 95  Also, determine whether the final  through 100.  image  is  (c)  real  (R)  or  virtual  (V), (d) inverted (I) from object O or noninverted (NI), and (e)  on the same side of lens 3 as object O or on the opposite side.  95  through  100 

SSM  The  formula 1/p  +  1/i  =  1/f  is  called  the  Gaussian  form  of the  thin-lens formula. Another form  of this  formula,  the Newtonian form, is  obtained by considering  the distance x  from the object to the first focal point and the distance x′ from    the second focal point to the image. Show that xx′ = f    2  is  the  Newtonian form of the thin-lens formula. 

101 

Figure 34.26a is an overhead view of two vertical plane mir-  rors with an object O placed between them. If you look into the  mirrors, you see multiple images of O. You can find them by draw-  ing the reflection in each mirror of the angular region between the  mirrors, as is done in Fig. 34.26b for the left-hand mirror. Then  draw  the reflection of the reflection. Continue this on the left  and on the right until the reflections meet or overlap at the rear  of the mirrors. Then you can count the number of images of O.  How many images of O would you see if Î¸is (a) 90°,  (b) 45°,  and  (c)  60°?  If  θ =  120°,  determine  the (d)  smallest  and  (e)  larg-  est  number  of  images  that  can  be  seen,  depending  on  your  102 

perspective and the location of O. (f) In each situation, draw the  image locations and orientations as in Fig. 34.26b. 

θ θ

θ

O

O

(a)

(b)

Figure  34.26 

Problem 102. 

SSM  Two thin lenses of focal lengths f  1  and f 2  are  in con-  tact and share the same central axis. Show that, in image forma-  tion, they are equivalent to a single thin lens for which the focal  length is f = f 1 f 2 /( f 1  + f 2 ). 

103 

Two  plane mirrors  are placed parallel to each other and  40 cm apart. An object is placed 10 cm from one mirror. Deter-  mine  the  (a)  smallest,  (b)  second  smallest,  (c)  third  smallest  (occurs  twice),  and  (d)  fourth smallest  distance  between  the  object and image of the object.  104 

In Fig. 34.27, a box is some-  where  at  the  left, on  the  central  I axis  of  the  thin  converging  lens.  The image I m  of the box produced  by  the  plane  mirror  is  4.00  cm  “insidethe  †  mirror.  The  lens–  Figure  34.27  Problem 105.  mirror separation is 10.0 cm, and  the focal length of the lens is 2.00 cm. (a)  What is  the distance  between the  box and  the  lens?  Light  reflected  by  the  mirror  travels back through the lens, which produces a  final image of  the box. (b) What is the distance between the lens and that final  image?  105 

m

In  Fig. 34.28, an  object is  placed  in  front of a  converg-  ing lens  at a  distance equal to  twice the focal length f 1  of  the  lens. On the other side of the lens is  a concave mirror of focal  length f 2  separated from the lens by a distance 2( f 1  + f 2 ). Light  from the object passes rightward through the lens, reflects from  106 

Table 34.8  Problems 95 through 100: Three-Lens Systems.  See the setup 

for  these problems. 

95  96  97  98  99  100 

p 1 

Lens 1 

d 12 

Lens 2 

d 23 

Lens 3 

+12  +4.0  +18  +2.0  +8.0  +4.0 

C, 8.0  D, 6.0  C, 6.0  C, 6.0  D, 8.0  C, 6.0 

28  9.6  15  15  8.0  8.0 

C, 6.0  C, 6.0  C, 3.0  C, 6.0  D, 16  D, 4.0 

8.0  14  11  19  5.1  5.7 

C, 6.0  C, 4.0  C, 3.0  C, 5.0  C, 8.0  D, 12 

(a)  i 3 

(b)  M 

(c)  R/V 

(d)  (e)  I/NI  Side 

/

P ROBL EMS 

the mirror, passes  leftward through the lens, and forms a  final  image of the object. What are (a)  the distance between the lens  and that final image and (b) the overall lateral magnification M  of the object? Is  the image (c)  real  or virtual (if it is  virtual, it  requires someone looking through the lens toward the mirror),  (d)  to the  left or  right of  the lens, and  (e)  inverted or  nonin-  verted relative to the object? 

f1

f2

1109

A goldfish in  a spherical  fish  bowl of radius  R  is  at  the  level of the center C of the bowl and at distance R/2 from the glass  (Fig. 34.31). What magnification of the fish is produced by the  water in the bowl for a viewer looking along a line that includes  the  fish  and the  center,  with the  fish  on  the near  side  of  the  center? The index of refraction of the water is 1.33. Neglect the  glass  wall of the bowl. Assume the viewer  looks with one eye.  (Hint: Equation 34.2.3 holds, but Eq. 34.2.4 does not. You need  to work with a ray diagram of the situation and assume that the  rays are  close to the observer’ line of sight s  —that is, they devi-  ate from that line by only small angles.)  110 

O

2f 1 Figure  34.28 

2( f 1 + f 2) C

Problem 106. 

SSM  A fruit fly of height H sits in front of lens 1 on the cen-  tral axis through the lens. The lens forms an image of the fly at a  distance d = 20 cm from the fly; the image has the fly’ orienta-  s  tion and height H I = 2.0H. What are (a) the focal length f 1  of the  lens and (b) the object distance p 1  of the fly? The fly then leaves  lens 1 and sits in front of lens 2, which also forms an image at d =  20  cm that has  the  same  orientation as  the fly, but now  H I  =  0.50H. What are (c)  f 2  and (d) p 2 ? 

R __ 2

107 

You grind the lenses shown  in  Fig. 34.29 from  flat  glass  disks  (n  =  1.5)  using  a  machine  that  can grind a  radius of curvature of  either  40  cm  or  60  cm.  In  a  lens  (1) (2) (3) where either radius is appropriate,  you select  the 40 cm radius. Then  you hold each  lens  in sunshine to  form  an  image  of  the  Sun.  What  are  the  (a)  focal length f  and  (b)  image type (real or virtual) for (bi-  (4) (5) (6) convex) lens 1, (c)  f and (d) image  Figure  34.29  type for (plane-convex)  lens 2, (e)  Problem 108.  f and (f) image type for (meniscus  convex) lens 3, (g)  f and (h) image type for (bi-concave)  lens 4,  (i) f and ( j) image type for (plane-concave) lens 5, and (k) f and  (l) image type for (meniscus concave) lens 6?  108 

In Fig. 34.30, a fish watcher  d2 d1 d3 at point P  watches a  fish through  a  glass  wall  of  a  fish  tank.  The  watcher  is  level with the fish; the  P index of refraction  of the glass  is  Watcher 8/5,  and  that  of  the  water  is  4/3.  The  distances  are  d 1  =  8.0  cm,  Wall d 2  = 3.0 cm, and d 3  =  6.8 cm. (a)  Figure  34.30  To the fish, how far away does the  Problem 109.  watcher appear to be? (Hint: The  watcher  is  the object. Light  from  that object passes  through the wall’ outside surface, which acts  s  as a refracting surface. Find the image produced by that surface.  Then treat that image as an object whose light passes through the  wall’ inside  s  surface,  which  acts  as  another  refracting  surface.)  (b) To the watcher, how far away does the fish appear to be?  109 

R

Figure  34.31 

Problem 110. 

Figure 34.32 shows  a beam  d expander  made with  two coaxial  2 1 converging lenses of focal lengths  f 1  and f 2  and separation d  = f 1  +  W W f 2.   The device can expand a laser  beam while keeping the light rays  in  the  beam parallel  to  the  cen-  Figure  34.32  Problem 111.  tral axis through the lenses. Sup-  pose a uniform laser  beam of width W i  = 2.5 mm and intensity  I i  = 9.0 kW/m 2  enters a  beam expander for which f 1  = 12.5 cm  and f 2  = 30.0 cm. What are  (a)  W f  and (b) I f  of the beam leav-  ing the expander?  (c)  What value of d is needed for  the beam  expander if lens 1 is replaced with a diverging lens of focal length  f 1  = â€“ 26.0 cm?  112  You  look  down  at  a  coin  that lies  at the bottom of a  pool  of liquid of depth d  and index of  To left To right refraction n  (Fig. 34.33). Because  eye eye you  view  with  two  eyes,  which  Air intercept  different  rays  of  light  n from  the  coin,  you  perceive  the  da coin  to  be  where  extensions  of  the intercepted rays cross, at depth  d a  instead of d. Assuming that the  d intercepted rays  in Fig. 34.33 are  close to a vertical axis through the  coin,  show  that  d a  =  d/n.  (Hint:  Use  the  small-angle  approxima-  Figure  34.33  Problem 112.  tion sin Î¸ ≠tan  ˆ  θ ≠θ.)  ˆ  111 

i

f

A  pinhole camera  has  the  hole  a  distance  12  cm  from  the film plane, which is a rectangle of height 8.0 cm and width  6.0 cm. How far from a painting of dimensions 50 cm by 50 cm  should the camera  be placed so as  to get  the largest  complete  image possible on the film plane?  114  Light  travels  from  point A  to  point B  via  reflection  at  point O on the surface of a mirror. Without using calculus, show  113 

/

1110

C HAP T ER 34  IMAGES 

that length AOB is a minimum when the angle of incidence Î¸ is  equal to the angle of reflection Ï•. (Hint: Consider the image of  A in the mirror.)  115  A point object is 10 cm away from a plane mirror, and the  eye of an observer (with pupil diameter 5.0 mm) is 20 cm away.  Assuming the eye and the object to be on the same line perpen-  dicular to the mirror surface, find the area of the mirror used in  observing the reflection of the point. (Hint: Adapt Fig. 34.1.4.)  Show  that  the  distance  between  an  object  and  its  real  image formed by a thin converging lens is always greater than or  equal to four times the focal length of the lens.  116 

CALC  A  luminous object  and  a  screen  are  a  fixed  dis-  tance D apart. (a)  Show that a  converging lens of focal length  f, placed between object and screen,  will form a real  image on  the screen for two lens positions that are separated by a distance  __________  d = âˆšD(D  – 4f  ) . (b) Show that    D â€“ d   2  ______  ( D + d )  gives the ratio of the two image sizes  for these two positions  of the lens. 

117 

An eraser of height 1.0 cm is placed 10.0 cm in front of a  two-lens system. Lens 1 (nearer the eraser) has focal length f 1  =  – 15 cm, lens 2 has f 2  = 12 cm, and the lens separation is d = 12  118 

cm. For the image produced by  lens 2, what are  (a)  the image  distance i 2  (including sign), (b) the image height, (c)  the image  type (real  or  virtual), and (d)  the image orientation (inverted  relative to the eraser or not inverted)?  A peanut is placed 40 cm in front of a two-lens system:  lens 1 (nearer the peanut) has focal length f 1  = +20 cm, lens 2  has f 2  =  – 15 cm, and the lens separation is d = 10 cm. For the  image produced by lens 2, what are (a)  the image distance i 2  (including sign),  (b)  the image orientation (inverted  relative  to the peanut or not inverted), and (c) the image type (real or  virtual)? (d) What is the net lateral magnification?  119 

A coin is placed 20 cm in front of a two-lens system. Lens  1 (nearer  the coin) has focal length f 1  = +10 cm, lens 2 has f 2  =  +12.5 cm, and the lens  separation is d  = 30 cm. For the image  produced by lens 2, what are (a) the image distance i 2  (including  sign), (b)  the overall lateral magnification, (c)  the image type  (real or virtual), and (d) the image orientation (inverted relative  to the coin or not inverted)?  120 

An  object  is  20  cm  to  the  left  of  a  thin diverging  lens  that has a 30 cm focal length. (a)  What is the image distance i?  (b) Draw a ray diagram showing the image position.  121 

Mirror  length. If  a  basketball  player is  206 cm  tall, how  tall must the mirror be if the player is to see that entire length?  122 

/

C

H

A

P

T

E

R

3

5

Interference 

35.1  LIGHT AS A WAVE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

35.1.1  Using a sketch, explain  Huygens’ principle. 

35.1.8  For light  in a certain  length of a material,  calcu- 

35.1.2  With a few simple sketches, explain  refraction in 

late the number of internal  wavelengths that fit into 

terms of the gradual change  in the speed of a wave-  front as it passes through an interface  at an angle  to 

the length.  35.1.9  If two light waves travel through different  materials 

the normal. 

with  different  indexes of refraction  and then reach 

35.1.3  Apply the relationship between  the speed of 

c

a common point, determine their phase difference 

v

light in vacuum  , the speed of light in a material  , 

n . 

and interpret the resulting interference  in terms of 

and the index  of refraction of the material 

maximum brightness, intermediate brightness, and 

L  in 

35.1.4  Apply the relationship  between a distance 

a material,  the speed of light  in that material,  and 

darkness.  35.1.10  Apply the learning  objectives of Module 17.3 

the time required for a pulse of the light  to travel 

(sound waves there,  light waves here) to find  the 

L. 

through 

phase difference  and interference  of two waves 

35.1.5  Apply Snell’s  law of refraction. 

that reach a common point after traveling paths of 

35.1.6  When  light refracts through an interface, identify  that the frequency does not change  but the wave- 

different  lengths.  35.1.11  Given the initial  phase difference  between two 

length and effective  speed do. 

waves with the same wavelength,  determine their 

35.1.7  Apply the relationship between the wavelength in 

λ

phase difference  after they travel through different  path 

λn  in a material (the inter- 

vacuum  , the wavelength 

nal wavelength), and the index of refraction 

n  of the 

lengths and through different  indexes of refraction.  35.1.12  Identify that rainbows are examples of optical 

material. 

interference. 

Key  Ideas  ●

The three-dimensional transmission of waves, includ- 

ing light,  may often be predicted by Huygens’ principle, 

●

The wavelength 

λn  of light in  a medium depends on 

the index of refraction 

point sources of spherical  secondary wavelets. After a 

t

time  , the new  position of the wavefront will  be that of  a surface tangent to these secondary wavelets.  ●

The law of refraction can be derived from Huygens’ 

principle  by assuming that the index of refraction of 

n = c/v , in which  v is the speed of light  in the medium  and  c is the speed of light in vacuum.  any medium is 

n of the medium: 

λ ,  __  λ n  = n 

which  states that all points on a wavefront serve as 

in  which  ●

λ is the wavelength in  vacuum. 

Because of this dependency, the  phase difference 

between two waves can change  if  they pass through  different  materials with different  indexes of refraction. 

What Is Physics? 

One  of  the  major  goals  of  physics  is  to  understand  the  nature  of  light.  This  goal has been difficult  to achieve (and has not  yet fully been achieved) because  light  is  complicated.  However, this  complication  means that  light  offers  many  opportunities  for applications, and some of the richest opportunities  involve the  interference of light waves—optical interference. 

1111 /

1112

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

 segamI ytteG/ibmoloC eppilihP

Nature has long used optical interference for coloring. For exam-  ple, the wings of a Morpho  butterfly are a dull, uninspiring  brown,  as  can be seen on the bottom wing surface, but the brown is hidden on the  top surface by an arresting blue due to the interference of light reflecting  from that surface (Fig. 35.1.1). Moreover, the top surface is color-shifting;  if you change your perspective or if the wing moves, the tint of the color  changes. Similar color shifting is used in the inks  on  many currencies to  thwart  counterfeiters, whose  copy  machines can  duplicate  color  from  only  one  perspective and  therefore cannot  duplicate any  shift  in  color  FCP  caused by a change in perspective.  To  understand  the basic physics of optical  interference, we must  largely  abandon  the  simplicity  of  geometrical  optics  (in  which  we  describe light as rays) and return to the wave nature of light. 

The blue of the top  surface of a Morpho butterfly wing is  due to optical interference and shifts  in color as your viewing perspective  changes.  Figure  35.1.1 

b

d

c

Light as a  Wave 

The first convincing wave theory for light was in 1678 by Dutch physicist Christian  Huygens. Mathematically simpler than the electromagnetic theory of Maxwell, it  nicely  explained reflection and  refraction in  terms of  waves and  gave physical  meaning to the index of refraction.  Huygens’ wave theory is based on a geometrical construction  that allows us  to  tell where a given wavefront will  be at any time in  the future  if we know  its  present position. Huygens’ principle is:  All points on a wavefront serve as point sources of spherical secondary wavelets.  After a time t, the new position of the wavefront will be that of a surface tangent  to these secondary wavelets. 

Δt

Wavefront at t= 0

New position of wavefront at time t = Δt a

e

The propagation of a  plane wave in vacuum, as portrayed  by Huygens’ principle.  Figure  35.1.2 

Refraction occurs at the surface, giving a new direction of travel.

Here is a simple example. At the left in Fig. 35.1.2, the present location of a wavefront  of a plane wave traveling to the right in vacuum is represented by plane ab, perpen-  dicular to  the  page. Where will  the wavefront be  at time Δt later?  We let several  points  on plane ab (the dots) serve as sources of spherical secondary wavelets that  are emitted at t = 0. At time Δt, the radius of all these spherical wavelets will have  grown to c Δt, where c is the speed of light in vacuum. We draw plane de tangent to  these wavelets at time Δt. This plane represents the wavefront of the plane wave at  time Δt ; it is parallel to plane ab and a perpendicular distance c Δt from it.  The Law of Refraction 

We now use Huygens’ principle to derive the law of refraction, Eq. 33.5.2 (Snell’s  law). Figure 35.1.3 shows three stages in the refraction of  several wavefronts at  a  flat  interface between air  (medium 1)  and  glass (medium 2).  We  arbitrarily 

λ1

e

λ1

Incident wave

θ1

v1

h

θ1 λ2

θ2

g

Air Glass

(a )

(b )

c

Refracted wave

λ2

v2

(c )

The refraction of a plane wave at an air–glass interface, as portrayed by  Huygens’ principle. The wavelength in glass is smaller than that in air. For simplicity, the  reflected wave is not shown. Parts (a) through (c) represent three successive  stages of  the refraction.  Figure  35.1.3 

/

35.1  L IGHT   AS  A  WAV E 

1113

choose  the  wavefronts  in  the  incident  light  beam  to  be  separated  by  λ1 ,  the  wavelength in medium 1. Let the speed of light in air be v 1  and that in glass be v 2.   We assume that v 2   n 1, we obtain    L n 2   ____  L n 1   __  N 2  − N 1  = ____  −  =  L  (n 2  − n 1  ). 

λ

λ

λ

(35.1.9) 

Suppose  Eq.  35.1.9 tells  us  that the  waves now  have a phase  difference of  45.6  wavelengths. That  is  equivalent to  taking  the  initially in-phase  waves and  shifting one of them by 45.6 wavelengths. However, a shift of an integer number  of wavelengths (such as 45) would  put  the waves back in phase; so it is only  the  decimal fraction (here, 0.6) that is  important. A phase  difference of 45.6 wave-  lengths is equivalent to an effective phase difference of 0.6 wavelength.  A phase difference of  0.5 wavelength puts  two waves exactly out  of  phase.  If the waves had equal amplitudes and  were to reach some common point,  they  would  then  undergo  fully  destructive interference, producing  darkness  at  that  point.  With  a  phase  difference  of  0.0 or  1.0  wavelength, they  would,  instead,  undergo  fully  constructive interference, resulting  in  brightness  at the  common  point.  Our  phase  difference of  0.6 wavelength is an  intermediate situation  but  closer  to  fully  destructive interference, and  the  waves would  produce  a  dimly  illuminated common point.  We can also express phase difference in terms of radians and degrees, as we  have done already. A phase difference of one wavelength is equivalent to phase  differences of 2 π rad and 360°.  Path Length Difference. As  we  discussed  with  sound  waves in  Module  17.3, two waves that begin  with  some initial  phase  difference can  end  up  with  a  different phase  difference if  they  travel through  paths  with  different lengths  before coming back together. The key for the waves (whatever their type might  be) is the path length difference ΔL, or more to the point,  how ΔL compares to  the  wavelength λ of  the waves. From  Eqs.  17.3.5 and  17.3.6, we know  that, for  light waves, fully constructive interference (maximum brightness) occurs when  ΔL = 0,  1,  2,   .   .  .  (fully constructive interference),  ___ 

λ

(35.1.10) 

and that fully destructive interference (darkness) occurs when  ΔL  ___ = 0.5,  1.5,  2.5,   .   .  . 

λ

(fully destructive interference). 

(35.1.11) 

Intermediate  values  correspond  to  intermediate  interference  and  thus  also  illumination.  Rainbows and Optical Interference 

In  Module  33.5, we discussed  how  the colors  of  sunlight  are separated into  a  rainbow when sunlight  travels through  falling raindrops.  We dealt with a sim-  plified  situation  in  which  a single ray of  white  light entered a drop.  Actually,  light  waves pass into  a drop  along the entire side that faces the Sun.  Here we  cannot discuss the details of how these waves travel through the drop and then  emerge, but we can see that different parts of an incoming wave will travel dif-  ferent paths within the drop. That means waves will emerge from the drop with  different phases. Thus,  we can see that at some angles the emerging light  will  be in phase and give constructive interference. The rainbow is the result of such  constructive interference. For example, the red of the rainbow appears because  waves of red light emerge in phase from each raindrop in the direction in which  you see that part of  the rainbow.  The light waves that emerge in  other  direc-  tions  from each raindrop  have a  range of  different  phases because they  take 

/

1116

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

Primary rainbow Supernumeraries

A primary rainbow and  the faint supernumeraries below it  are due to optical interference.  Figure  35.1.5 

a range of  different paths  through  each drop.  This  light  is  neither bright  nor  colorful, and so you do not notice it.  If you are lucky and look carefully below a primary rainbow, you can see dimmer  colored arcs called supernumeraries (Fig. 35.1.5). Like the main arcs of the rainbow,  the supernumeraries are due  to waves that emerge from each drop  approximately  in  phase with  one  another to  give constructive interference. If  you  are very lucky  and look  very carefully above a secondary rainbow, you might see even more (but  even dimmer) supernumeraries. Keep in mind that both types of rainbows and both  sets of supernumeraries are naturally occurring examples of optical interference and  FCP  naturally occurring evidence that light consists of waves.  Checkpoint 35.1.2 

The light waves of the rays in Fig. 35.1.4 have the same wavelength and amplitude and  are initially in phase. (a) If 7.60 wavelengths fit within the length of the top material and  5.50 wavelengths fit within that of the bottom material, which material has the greater  index of refraction? (b) If the rays are angled slightly so that they meet at the same point  on a distant screen, will the interference there result in the brightest possible illumination,  bright intermediate illumination, dark intermediate illumination, or darkness? 

Sample Problem 35.1.1

Phase difference  of  two waves due to difference  in refractive  indexes 

In Fig. 35.1.4, the two light  waves that are represented by  the rays have wavelength 550.0 nm before entering media  1 and 2. They also have equal amplitudes and are in phase.  Medium 1 is now  just  air, and medium 2 is a transparent  plastic  layer  of  index  of  refraction  1.600  and  thickness  2.600 μm.  (a) What is the phase difference of the emerging waves in  wavelengths, radians, and degrees? What is their effective  phase difference (in wavelengths)? 

KEY IDEA The phase difference of two light waves can change if they  travel through  different  media, with  different  indexes  of  refraction. The reason is that their wavelengths are differ-  ent in the different media. We can calculate the change in  phase difference by counting  the number of  wavelengths  that  fits  into  each  medium  and  then  subtracting  those  numbers.  When  the  path  lengths  of  the  waves  in  the  two  media  are identical,  Eq.  35.1.9 gives  the  result  of the subtraction. Here we have n 1   = 1.000 (for the air),  n 2  = 1.600, L  =  2.600 μm,  and  λ =  550.0 nm.  Thus,  Eq.  35.1.9 y ields  Calculations:

__ (n  − n  )  N 2   − N 1  =  L  2  1 

λ

−6 

2.600 × 10   m (1.600 − 1.000 )  =  _____________  5.500 × 10 −7  m  = 2.84. 

(Answer) 

Thus,  the  phase difference  of  the  emerging waves is  2.84  wavelengths. Because  1.0  wavelength  is  equivalent  to  2π rad  and  360°, you  can  show  that  this  phase  difference  is  equivalent to  phase difference = 17.8 rad ≈ 1020°. 

(Answer) 

The effective phase difference is the decimal part of  the  actual  phase  difference  expressed  in  wavelengths.  Thus, we have  effective phase difference = 0.84 wavelength.  (Answer)  You can show that this is equivalent to 5.3 rad and about  300°. Caution:  We do  not  find  the effective phase differ-  ence by taking  the  decimal part of  the  actual phase  dif-  ference as expressed in  radians or degrees. For example,  we do  not  take 0.8 rad from  the  actual phase  difference  of 17.8 rad.  (b)  If  the  waves  reached  the  same  point  on  a  distant  screen, what type of interference would  they produce?  We  need  to  compare  the  effective  phase  difference of  the  waves with  the  phase  differences that  give the extreme types of interference. Here the effective  phase difference of 0.84 wavelength is between 0.5 wave-  length  (for  fully  destructive interference, or  the  darkest  possible result) and 1.0 wavelength (for fully constructive  interference, or  the  brightest possible  result), but  closer  to 1.0 wavelength. Thus,  the waves would  produce inter-  mediate interference that  is  closer  to  fully  constructive  interference—they would produce a relatively bright spot.  Reasoning:

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

/

35.2  Y OU NG’S  INT ERF ERENC E  EXP ERIMENT  

1117

35.2  YOUNG’S INTERFERENCE  EXPERIMENT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

35.2.1  Describe the diffraction of light by a narrow  slit 

and the angles 

and the effect  of narrowing the slit.  35.2.2  With sketches, describe the production of the 

pattern. 

interference  pattern in a double-slit interference 

35.2.7  Sketch the double-slit interference  pattern, 

experiment using monochromatic light. 

identifying  what lies at the center and what the 

35.2.3  Identify that the phase difference  between two 

various bright and dark fringes are called  (such as 

waves can change  if the waves travel along paths of 

“first side maximum” and “third order”). 

different lengths, as in the case of Young’s experiment.  35.2.4  In a double-slit experiment, apply the relationship  between the path length  difference 

λ

θ to the minima  (dark fringes)  and 

to the maxima (bright fringes) in the interference 

ΔL and the 

35.2.8  Apply the relationship between  the distance 

the angle 

θ to a point in the interference  pattern, 

y to that point from the pattern’s 

wavelength  , and then  interpret the result in terms 

and the distance 

of interference  (maximum brightness, intermediate 

center. 

brightness, and darkness). 

35.2.9  For a double-slit interference  pattern,  identify 

35.2.5  For a given point in a double-slit interference  pattern, express the path length  difference 

the effects of changing 

ΔL of the 

rays reaching  that point in terms of the slit separa- 

d  and the angle θ

tion 

D 

between  a double-slit screen and a viewing  screen, 

d  or λ and also identify  what 

determines the angular  limit  to the pattern.  35.2.10  For a transparent material placed  over one slit 

to that point. 

in a Young’s experiment, determine the thickness or 

35.2.6  In a Young’s experiment, apply the relationships 

λ

d

between the slit separation  , the light  wavelength  , 

index  of refraction required  to shift a given fringe  to  the center of the interference  pattern. 

Key  Ideas  ●

In Young’s interference  experiment, light  passing through a single slit falls 

on two slits in a screen. The light leaving these slits flares out (by diffraction),  and interference  occurs in the region beyond the screen. A fringe pattern,  due  to the interference,  forms on a viewing  screen.  ●

The conditions for maximum and minimum  intensity are 

d sin  θ = m λ, 

1  d sin  θ = (m + _  )λ,  2 

and 

where 

for m = 0, 1, 2, . . . 

(maxima—bright fringes), 

for m = 0, 1 , 2, … 

(minima—dark fringes), 

θ is the angle the light path makes with a central  axis and d  is the slit 

separation. 

Diffraction 

 shpargotohP latnemadnuF/hcseR egroeG

In  this  module  we  shall  discuss  the  experiment  that  first  proved  that  light  is  a wave. To prepare for that discussion,  we must introduce  the idea of diffraction  of  waves, a  phenomenon  that  we  explore  much  more  fully  in  Chapter  36. Its  essence is this:  If a wave encounters a barrier that has an opening of  dimensions  similar  to the wavelength, the  part of the wave that passes through  the opening  will  flare  (spread)  out—will  diffract —into  the  region  beyond  the  barrier.  The  flaring  is  consistent  with  the spreading  of  wavelets in  the Huygens construction  of  Fig.  35.1.2. Diffraction  occurs  for  waves of  all  types,  not  just  light  waves;  Fig. 35.2.1 shows the diffraction of water waves traveling across the surface of water  in a shallow tank. Similar diffraction of ocean waves through openings in a barrier  can actually increase the erosion of a beach the barrier is intended to protect.  Waves produced by an oscillating paddle at the left flare out through  an opening in a barrier along the water surface.  Figure  35.2.1 

/

1118

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

A wave passing through a slit f lares (diffracts). Incident wave

Diffracted wave

λ

a

(6.0 λ )

(a )

Figure 35.2.2a shows  the situation schematically for an incident  plane wave  of wavelength λ encountering a slit that has width  a = 6.0λ and extends into  and  out of the page. The part of the wave that passes through the slit flares out on the  far side. Figures 35.2.2b (with a = 3.0λ) and 35.2.2c (a = 1.5λ) illustrate the main  feature of diffraction: the narrower the slit, the greater the diffraction.  Diffraction limits  geometrical optics,  in which  we represent an electromag-  netic wave with  a ray. If we actually try to form  a ray by sending light  through  a narrow slit, or through a series of narrow slits, diffraction will always defeat our  effort because it always causes the light to spread. Indeed, the narrower we make  the slits (in  the hope of  producing  a narrower beam), the greater the spreading  is. Thus, geometrical optics holds only when slits or other apertures that might be  located in the path of light do not have dimensions comparable to or smaller than  the wavelength of the light. 

Screen Young’s Interference  Experiment 

λ a

(3.0 λ )

(b )

In 1801, Thomas Young experimentally proved  that light is a wave, contrary to  what most  other  scientists then  thought.  He did  so  by demonstrating  that light  undergoes interference, as do  water waves, sound  waves, and waves of all other  types. In addition,  he was able to  measure the  average wavelength of  sunlight;  his value, 570 nm, is impressively close to the modern accepted value of 555 nm.  We shall here examine Young’s experiment as an example of the interference of  light waves.  Figure 35.2.3 g ives the basic arrangement of Young’s experiment. Light from  a  distant  monochromatic source  illuminates  slit  S 0   in  screen  A. The  emerging  light then spreads via diffraction to illuminate two slits S 1  and S 2  in screen B. Dif-  fraction of  the light by these two slits sends overlapping circular waves into  the 

λ Max a

Max

(1.5 λ )

(c )

Diffraction represented  schematically. For a given wavelength  λ, the diffraction is more pronounced  the smaller the slit width a. The  figures show the cases for (a)  slit  width a = 6.0λ, (b) slit width a = 3.0λ,  and (c)  slit width a = 1.5λ. In all  three cases, the screen and the length  of the slit extend well into and out of  the page, perpendicular to it. 

Max

Incident wave

S

Max

2

The waves emerging from the two slits overlap and form an interference pattern.

Max

Figure  35.2.2 

Max S

Max

0

Max Max S1

Max Max Max Max

A

B

C

In Young’s interference experiment, incident monochromatic light is  diffracted by slit S 0 , which then acts as a point source of light that emits semicircular  wavefronts. As that light reaches screen B, it is diffracted by slits S 1  and S 2 , which then  act as two point sources of light. The light waves traveling from slits S 1  and S 2  overlap  and undergo interference, forming an interference pattern of maxima and minima on  viewing screen C. This figure is a cross  section; the screens, slits, and interference pattern  extend into and out of the page. Between screens B and C, the semicircular wavefronts  centered on S 2  depict the waves that would be there if only S 2  were open. Similarly, those  centered on S 1  depict waves that would be there if only S 1  were open.  Figure  35.2.3 

/

35.2  Y OU NG’S  INT ERF ERENC E  EXP ERIMENT  

1119

 reklaW lraeJ fo ysetruoC

region beyond screen B, where the waves from one slit interfere with the waves  from the other slit.  The  “snapshot”  of  Fig.  35.2.3 depicts  the  interference of  the  overlapping  waves. However, we  cannot  see evidence for  the  interference except  where a  viewing screen C  intercepts the  light.  Where  it  does  so,  points  of  interference  maxima form visible bright  rows—called bright  bands, bright  fringes, or (loosely  speaking)  maxima  —that  extend  across the  screen  (into  and  out  of  the  page in  Fig.  35.2.3). Dark  regions—called dark  bands,  dark  fringes, or  (loosely  speak-  ing)  minima —result  from fully  destructive interference and  are visible  between  adjacent pairs of bright fringes. (Maxima and minima more properly refer to the  center of a band.) The pattern of bright and dark fringes on the screen is called  an interference pattern. Figure 35.2.4 is a photograph of part of the interference  pattern that would  be seen by an observer standing to the left of screen C in the  arrangement of Fig. 35.2.3.  Locating  the  Fringes 

Light waves produce fringes in a Young’s double-slit  interference experiment, as it is  called, but what exactly determines the locations of the fringes? To answer, we shall  use the arrangement in  Fig. 35.2.5a. There, a plane wave of monochromatic light is  incident  on  two slits  S 1   and S 2  in  screen B; the  light diffracts through  the slits and  produces an interference pattern on screen C. We draw a central axis from the point  halfway between the slits to screen C as a reference. We then pick, for discussion, an  arbitrary point  P on  the screen, at angle θ to the central axis. This  point  intercepts  the wave of ray r 1  from the bottom slit and the wave of ray r 2  from the top slit.  Path Length Difference. These waves are in phase when they pass through  the  two  slits  because there  they  are just  portions  of  the  same incident  wave.  However, once  they have passed  the  slits, the  two  waves must  travel different  distances to reach P. We saw a similar situation in Module 17.3 with sound waves  and concluded that 

A photograph of the  interference pattern produced by the  arrangement shown in Fig. 35.2.3,  but with short slits. (The photograph  is a front view of part of screen  C.) The alternating maxima and  minima are called interference  fringes  (because they resemble the decora-  tive fringe sometimes used on cloth-  ing and rugs).  Figure  35.2.4 

The phase difference between two waves can change if the waves travel paths of  different lengths. 

The change in phase difference is due to the path length difference ΔL in the paths  taken by the waves. Consider two waves initially exactly in phase, traveling along  paths with a path length difference ΔL, and then passing through some common  point.  When ΔL is zero or an integer number of wavelengths, the waves a rrive at  the common point  exactly in phase and they interfere fully constructively there.  If that is true for the waves of rays r 1  and r 2  in Fig. 35.2.5, then point  P is part of  D

Incident wave

r2

P r2

S2 S1

b

θ

r1

y

d

d

S1

(b )

(a )

B

C

θ

S2

θ

r1

θb

The ΔL shifts one wave from the other, which determines the interference.

Path length difference ΔL

(a)  Waves from slits S 1  and S 2  (which extend into and out of  the page) combine at P, an arbitrary  point on screen C at distance y from  the central axis. The angle θ serves  as a convenient locator for P. (b) For  D ⪢ d, we can approximate rays r 1  and r 2  as being parallel, at angle θ to  the central axis.  Figure  35.2.5 

/

1120

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

a bright  fringe. When,  instead, ΔL is an odd  multiple  of half  a wavelength, the  waves arrive at the common point  exactly out  of  phase and they interfere fully  destructively there. If that is true for the waves of rays r 1   and r 2, then  point  P is    part  of  a  dark  fringe.  (And,  of  course, we can  have intermediate situations  of  interference and thus intermediate illumination at P.) Thus,  What appears at each point on the viewing screen in a Young’s double-slit  interference experiment is  determined by the path length difference ΔL of the  rays reaching that point. 

Angle. We  can  specify  where  each  bright  fringe  and  each  dark  fringe  is  located on the viewing screen by giving the angle θ from the central axis to that  fringe. To find  θ, we must relate it to ΔL. We start with  Fig. 35.2.5a by finding a  point  b along ray r 1  such that the path length from b to P equals the path length  from  S 2   to  P. Then  the path  length  difference ΔL between the two  rays is  the  distance from S 1 to b.    The  relation  between  this  S 1-to-b  distance  and  θ is  complicated,  but  we    can  simplify  it  considerably  if  we  arrange for  the  distance  D from  the  slits  to  the  viewing screen to  be much  greater than  the slit  separation d.  Then  we can  approximate rays r 1   and  r 2   as being  parallel to each other and  at angle  θ to  the  central axis (Fig. 35.2.5b). We can also approximate the triangle formed by S 1  , S 2,   and b as being a right triangle, and approximate the angle inside that triangle at  S 2  as being θ . Then, for that triangle, sin θ = ΔL / d and thus  ΔL = d sin  θ

(path length difference). 

(35.2.1) 

For a bright fringe, we saw that ΔL must be either zero or an integer number of  wavelengths. Using Eq. 35.2.1, we can write this requirement as  ΔL = d sin θ = (integer)(λ), 

(35.2.2) 

or as  d sin  θ = m λ, 

for m = 0, 1, 2, . . . 

(maxima—bright fringes). 

(35.2.3) 

For a dark fringe, ΔL must be an odd  multiple of half a wavelength. Again using  Eq. 35.2.1, we can write this requirement as  1  ΔL = d sin  θ = (odd number )( _  2 λ), 

(35.2.4) 

or as  1  d sin θ = (m + _  2 ) λ, 

for m = 0, 1 , 2, … 

(minima—dark fringes). 

(35.2.5) 

With  Eqs. 35.2.3 and  35.2.5, we can find  the angle  θ to any fringe and  thus  locate that  fringe; further, we can  use the  values of  m to  label  the fringes. For  the value and label m = 0, Eq. 35.2.3 tells us that a bright fringe is at θ = 0 and thus  on the central axis. This central maximum is the point at which waves arriving from  the two slits have a path length difference ΔL = 0, hence zero phase difference.  For, say, m = 2, Eq. 35.2.3 tells us that bright fringes are at the angle  2λ θ = sin −1 (___   d )  above and  below  the central axis. Waves from the  two  slits arrive at these two  fringes  with  ΔL = 2 λ and  with  a  phase  difference of  two  wavelengths. These  fringes  are  said  to  be  the  second-order  bright  fringes  (meaning m = 2)  or  the  second  side maxima (the  second  maxima to  the  side  of  the  central maximum), 

/

35.2  Y OU NG’S  INT ERF ERENC E  EXP ERIMENT  

1121

or  they  are  described  as  being  the  second  bright  fringes  from  the  central  maximum.  For m = 1, Eq. 35.2.5 tells us that dark fringes are at the angle 

λ ____  θ = sin −1 (1.5   d  )  above  and  below  the  central axis. Waves from the  two  slits arrive  at these two  fringes with ΔL = 1.5λ and with a phase difference, in wavelengths, of 1.5. These  fringes are called the second-order dark fringes or second minima because they are  the second dark fringes to the side of the central axis. (The first dark fringes, or first  minima, are at locations for which m = 0 in Eq. 35.2.5.)  Nearby Screen. We derived Eqs.  35.2.3 and  35.2.5 for  the situation  D ⪢  d.  However, they also apply if we place a converging lens between the slits and the  viewing screen and then move the viewing screen closer to the slits, to the focal  point  of the lens. (The screen is then said to be in the focal plane of the lens; that  is, it is in the plane perpendicular to the central axis at the focal point.) One prop-  erty of a converging lens is that it focuses all rays that are parallel to one another  to the same point on its focal plane. Thus, the rays that now arrive at any point on  the screen (in the focal plane) were exactly parallel (rather than approximately)  when they left the slits. They are like the initially parallel rays in Fig. 34.4.1a that  are directed to a point (the focal point)  by a lens.  Checkpoint 35.2.1 

In Fig. 35.2.5a, what are ΔL (as a multiple of the wavelength) and the phase  difference (in wavelengths) for the two rays if point P is (a) a third side  maximum and (b) a third minimum? 

Sample Problem 35.2.1

Double-slit  interference  pattern 

What is the distance on  screen C in  Fig. 35.2.5a between  adjacent maxima near the center of  the interference pat-  tern? The wavelength λ of the light is 546 nm, the slit sep-  aration d  is  0.12 mm, and  the slit–screen separation  D is  55 cm. Assume that θ in Fig. 35.2.5 is small enough to per-  mit use of the approximations sin θ ≈ tan θ ≈ θ, in which  θ is expressed in radian measure. 

Calculations:

If we equate our two expressions for angle 

θ and then solve for y m, we find    m λD .  y m  = _____  d 

For  the  next maximum as we move away from  the pat-  tern’s center, we have  (m + 1 )λD  y m+1 = __________  .  d 

KEY IDEAS (1) First, let us pick a maximum with a low value of m to  ensure  that  it  is  near  the  center  of  the  pattern.  Then,  from the geometry of Fig. 35.2.5a, the maximum’s vertical  distance y m  from the center of the pattern is related to its  angle θ from the central axis by  y m  tan  θ ≈ θ =  ___  .  D  (2) From Eq. 35.2.3, this angle θ for the mth maximum is  given by 

λ .  ___  sin  θ ≈ θ =  m d 

(35.2.6) 

(35.2.7) 

We find  the distance between these adjacent maxima by  subtracting Eq. 35.2.6 from Eq. 35.2.7: 

λD  Δy = y m+1  − y m = ___  d  (546 × 10 −9  m)(55 × 10 −2  m)  = __________________________  0.12 × 10 −3  m  = 2.50 × 10 −3  m ≈ 2.5 mm. 

(Answer) 

As long as d and θ in Fig. 35.2.5a are small, the separation  of the interference fringes is independent of m; that is, the  fringes are evenly spaced. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

1122

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

35.3  INTERFERENCE  AND DOUBLE-SLIT INTENSITY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

35.3.1  Distinguish between  coherent  and incoherent 

difference  to the angle 

light. 

θ locating that point in the 

pattern. 

35.3.2  For two light waves arriving at a common point, 

35.3.5  Use a phasor diagram to find  the resultant wave 

write  expressions for their electric  field components 

(amplitude and phase constant) of two or more light 

as functions  of time and a phase constant. 

waves arriving at a common point and use that 

35.3.3  Identify that the phase difference  between  two  waves determines their interference. 

result to determine the intensity.  35.3.6  Apply the relationship  between a light wave’s 

35.3.4  For a point in a double-slit interference  pattern, 

angular  frequency 

calculate  the intensity  in terms of the phase differ- 

ω and the angular  speed ω of the 

phasor representing the wave. 

ence  of the arriving waves and relate that phase 

Key Ideas  ●

If two light waves that meet at a point are to interfere 

●

In Young’s interference  experiment, two waves, each 

I 0 , yield a resultant  wave of intensity I  at   

perceptibly, the phase difference  between  them must 

with intensity 

remain  constant with  time; that is, the waves must be 

the viewing  screen, with 

coherent. When two coherent waves meet, the result-  ing intensity may be found by using phasors. 

2 _  I = 4I 0 cos   1  ϕ,    2 

2 πd sin  θ.  where ϕ = ____ 

λ

Coherence 

For  the  interference pattern to  appear  on  viewing screen C  in  Fig.  35.2.3, the  light waves reaching any point  P on the screen must have a phase difference that  does  not  vary in time. That is the  case in Fig. 35.2.3 because the waves passing  through  slits S 1   and S 2   are portions  of the single light  wave that illuminates the  slits. Because the phase difference remains constant, the light from slits S 1  and S 2   is said to be completely coherent.  Sunlight and Fingernails. Direct  sunlight  is  partially  coherent;  that  is,  sunlight waves intercepted at two points have a constant phase difference only  if  the  points  are very close.  If  you  look  closely  at  your  fingernail  in  bright  sunlight,  you  can  see  a  faint  interference pattern  called speckle  that  causes  the nail to appear to be covered with specks. You see this effect because light  waves scattering from  very close  points  on  the  nail  are sufficiently  coherent  to  interfere with  one  another  at  your  eye. The  slits  in  a  double-slit  experi-  ment, however, are not close enough, and in direct sunlight, the light at the slits  would be incoherent. To get coherent light, we would have to send the sunlight  through  a single slit as in  Fig. 35.2.3; because that single slit is small, light that  passes through  it  is  coherent. In  addition,  the smallness of  the slit causes the  coherent light to spread via diffraction to illuminate both slits in the double-slit  FCP  experiment.  Incoherent Sources. If we replace the double  slits with two similar but inde-  pendent  monochromatic light  sources, such  as two  fine incandescent  wires, the  phase  difference between  the  waves emitted  by  the  sources varies rapidly  and  randomly. (This occurs because the light is emitted by vast numbers of atoms in  the wires, acting randomly and  independently  for extremely short  times—of the  order of nanoseconds.) As a result, at any given point on  the viewing screen, the  interference between the waves from the two sources varies rapidly and randomly  between  fully  constructive  and  fully  destructive.  The  eye (and  most  common  optical detectors) cannot follow such changes, and no interference pattern can be  seen. The fringes disappear, and the screen is seen as being uniformly illuminated. 

/

35.3  INT ERF ERENC E  AND  D OU BL E- SL IT  INT ENSIT Y  

1123

Coherent Source. A  laser  differs  from  common  light  sources  in  that  its  atoms emit light  in  a cooperative manner, thereby making the light coherent.  Moreover, the light  is  almost  monochromatic, is  emitted in  a  thin  beam with  little  spreading, and can be focused to  a width  that almost matches the wave-  length of the light. 

Intensity in Double-Slit Interference 

Equations  35.2.3 and  35.2.5 tell  us  how  to  locate  the  maxima and  minima of  the double-slit interference pattern on screen C of Fig. 35.2.5 a s a function of the  angle θ in that figure. Here we wish to derive an expression for the intensity I of  the fringes as a function of θ .  The light leaving the slits is in phase. However, let us assume that the light  waves from the two slits are not in phase when they arrive at point  P. Instead,  the electric field  components  of  those  waves at  point  P  are not  in  phase and  vary with time as  and 

E 1  = E 0  sin ω t 

(35.3.1) 

E 2   = E 0  sin( ωt + ϕ ), 

(35.3.2) 

where  ω is  the angular frequency of  the  waves and  ϕ is  the  phase  constant of  wave E 2. Note that the two waves  have the same amplitude E 0  and a phase differ-    ence of  ϕ . Because that phase difference does not  vary, the waves are coherent.  We shall show that these two waves will combine at P to produce an intensity I  given by  2  _  I = 4 I 0 cos   1  ϕ,    2 

(35.3.3) 

and that  2 πd  sin θ.  ϕ =  ____  λ

(35.3.4) 

In  Eq. 35.3.3, I 0   is the intensity of  the light that  arrives on  the screen from one  slit  when  the  other  slit  is temporarily covered. We assume that the  slits  are so  narrow in comparison to the wavelength that this single-slit intensity is essentially  uniform over the region of the screen in which we wish to examine the fringes.  Equations 35.3.3 a nd 35.3.4, which together tell us how  the intensity I of the  fringe pattern varies with the angle θ in Fig. 35.2.5, necessarily contain informa-  tion  about  the location of  the maxima and  minima. Let us see if we can extract  that information to find equations about those locations.  Maxima. Study  of Eq. 35.3.3 shows that intensity maxima will occur when  1  _  ϕ = mπ, 

for m = 0,  1,  2, . . . . 

2 

(35.3.5) 

If we put this result into Eq. 35.3.4, we find  2 πd  sin θ ,  2m π = ____  for m = 0,  1,  2, . . .  or 

λ

d sin  θ = m λ, 

for m = 0, 1, 2, . . . 

(maxima), 

(35.3.6) 

which is exactly Eq. 35.2.3, the expression that we derived earlier for the locations  of the maxima.  Minima. The minima in the fringe pattern occur when  1  1  _  _  2 ϕ = (m +  2 ) π, 

for m = 0,  1,  2, . . . . 

(35.3.7) 

If we combine this relation with Eq. 35.3.4, we are led at once to  _  d sin θ = (m +  1  2 ) λ, 

for m = 0,  1,  2, . . . 

(minima), 

(35.3.8) 

/

1124

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

Intensity at screen

4 I 0 (two coherent sources) 2 I0 (two incoherent sources) I 0 (one source)

5π 2 2.5

4π 2 2

3π 1 1.5

2π 1 1

π 0 0.5

0 0 0

π 0 0.5

2π 1 1

3π 1 1.5

4π 2 2

5π

ϕ m

2 2.5

, for maxima , for minima

m

ΔL/λ

A plot of Eq. 35.3.3, showing the intensity of a double-slit interference  pattern as a function of the phase difference between the waves when they arrive from  the two slits. I 0  is the (uniform) intensity that would appear on the screen if one slit were  covered. The average intensity of the fringe pattern is 2I 0 , and the maximum intensity  (for coherent light) is 4I 0.    Figure  35.3.1 

E2

ω

E0 E1

which is just Eq. 35.2.5, the expression we derived earlier for the locations of the  fringe minima.  Figure 35.3.1, which  is a plot of Eq. 35.3.3, shows the intensity of double-slit  interference patterns as a function  of the phase difference ϕ between the waves  at the screen. The horizontal solid line is I 0  , the (uniform) intensity on the screen  when  one  of  the slits  is  covered up.  Note in  Eq.  35.3.3 and  the  graph  that  the  intensity I varies from zero at the fringe minima to 4I 0  at the fringe maxima.  If the waves from the two  sources (slits) were incoherent, so that no  endur-  ing phase  relation existed between them, there would  be no  fringe pattern and  the intensity would  have the  uniform value 2I 0   for all points  on  the screen; the  horizontal dashed line in Fig. 35.3.1 shows this uniform value.  Interference cannot  create or destroy energy but  merely redistributes it  over the screen. Thus, the average intensity on the screen must be the same  2I 0   regardless of  whether the  sources are coherent.  This  follows  at once  _  from Eq. 35.3.3; if we substitute  1  2 , the average value of the cosine-squared  function, this equation reduces to I avg = 2I 0  . 

ϕ ωt

E0

Proof  of Eqs. 35.3.3 and 35.3.4 

(a )

Phasors that represent waves can be added to f ind the net wave.

ω E2

β ϕ

E

E1

β

E0

E0

ωt

(b )

(a) Phasors representing, at  time t, the electric field components given  by Eqs. 35.3.1 and 35.3.2. Both phasors have  magnitude E 0  and rotate with angular speed  ω. Their phase difference is  ϕ. (b) Vector  addition of the two phasors gives the pha-  sor representing the resultant wave, with  amplitude E and phase constant β.  Figure  35.3.2 

We shall combine the electric field components E 1  and E 2, given by Eqs. 35.3.1    and  35.3.2, respectively, by  the method  of  phasors  as is  discussed in  Module  16.6. In Fig. 35.3.2a, the waves with components E 1  and E 2  are represented by  phasors of magnitude E 0  that rotate around the origin at angular speed ω. The  values of E 1  and E 2   at any time are the projections of the corresponding pha-  sors on the vertical axis. Figure 35.3.2a shows the phasors and their projections  at an arbitrary time t. Consistent with Eqs. 35.3.1 and 35.3.2, the phasor for E 1   has a rotation angle ωt and the phasor for E 2   has a rotation angle ω t + ϕ (it is  phase-shifted ahead of E 1). As each phasor rotates, its projection on the vertical    axis varies with time in the same way that the sinusoidal functions of Eqs. 35.3.1  and 35.3.2 vary with time.  To combine the field components E 1   and E 2  at any point  P in  Fig. 35.2.5,  we add their phasors vectorially, as shown in Fig. 35.3.2b. The magnitude of the  vector sum is the amplitude E of the resultant wave at point P, and that wave  has a certain phase constant β. To find the amplitude E in Fig. 35.3.2b, we first  note that the two angles marked β are equal because they are opposite  equal-  length sides  of  a  triangle. From  the  theorem  (for  triangles) that  an  exterior  angle (here ϕ, as shown in Fig. 35.3.2b) is equal to the sum of the two opposite  1  interior angles (here that sum is  β + β), we see that β = _  ϕ. T hus, we have  2  E = 2 (E 0   cos  β) 

1  = 2E 0  cos  _  ϕ.  2 

(35.3.9) 

/

35.3  INT ERF ERENC E  AND  D OU BL E- SL IT  INT ENSIT Y  

1125

If we square each side of this relation, we obtain  2 1  _  E 2 = 4 E 2  0   cos  2 ϕ. 

(35.3.10) 

Intensity. Now,  from Eq.  35.3.5, we know  that  the intensity of  an electro-  magnetic wave  is  proportional  to  the  square  of  its  amplitude.  Therefore,  the  waves we are combining  in  Fig. 35.3.2b, whose  amplitudes are E 0  , each has an  intensity I 0   that is proportional  to E 2  0, and the resultant wave, with amplitude E,    has an intensity I that is proportional  to E 2 . Thus,  2 

I  = ___  E  .  __  E 2  0 

I 0  

Substituting  Eq. 35.3.10 into this equation and rearranging then yield  1  I = 4I 0   cos 2  _  ϕ,  2 

which is Eq. 35.3.3, which we set out to prove.  We still must prove Eq. 35.3.4, which relates the phase difference ϕ between  the waves arriving at any point  P on the screen of Fig. 35.2.5 to the angle θ that  serves as a locator of that point.  The phase difference ϕ in Eq. 35.3.2 is associated with the path length differ-  1  _  ence S 1b in Fig. 35.2.5b. If S  λ, then ϕ is 2π, and so on.    1b is      2 λ, then  ϕ is π ; if S 1b is  This suggests  phase  2π path length  ___  (difference    ) =  λ ( difference ).  

(35.3.11) 

The path length difference S 1b in Fig. 35.2.5b is d sin  θ (a leg of the right triangle);    so Eq. 35.3.11 for the phase difference between the two waves arriving at point  P  on the screen becomes  2πd  sin  θ,  ϕ = ____ 

λ

which is Eq. 35.3.4, the other equation that we set out to prove to relate ϕ to the  angle θ that locates P.  Combining More  Than Two Waves 

In  a more  general case, we might  want to  find  the  resultant of  more than  two  sinusoidally  varying waves  at  a  point.  Whatever the  number  of  waves  is,  our  general procedure is this:  1.  Construct  a series of  phasors representing the waves to  be combined.  Draw  them  end  to  end,  maintaining the  proper  phase  relations  between adjacent  phasors.  2.  Construct  the  vector  sum  of  this  array. The  length  of  this  vector sum  gives  the  amplitude  of  the  resultant  phasor.  The  angle  between  the  vector  sum  and the first phasor is the phase of the resultant with respect to this first pha-  sor. The projection of this vector-sum phasor on the vertical a xis gives the time  variation of the resultant wave. 

Checkpoint 35.3.1 

Each of four pairs of light waves arrives at a certain point on a screen. The waves  have the same wavelength. At the arrival point, their amplitudes and phase differ-  ences are (a) 2E 0 , 6E 0 , and π rad; (b) 3E 0 , 5E 0 , and π rad; (c) 9E 0 , 7E 0 , and 3π rad;  (d) 2E 0 , 2E 0 , and 0 rad. Rank the four pairs according to the intensity of the light at  the arrival point, greatest first. (Hint: Draw phasors.) 

/

1126

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

Sample Problem 35.3.1

Combining  three light waves by using phasors 

Three light waves combine at a certain point  where their  electric field components are  E 1  = E 0 sin  ωt,   

(ωt + 60° ),  E 2  = E 0 sin   

(ω t − 30° ).  E 3  = E 0 sin   

Find their resultant component E(t) at that point. 

____________________ 

2  2  E R  = √ (2.37 E 0)    + (0.366 E 0)    = 2.4 E 0,   

and  a  phase  angle  β relative to  the  phasor  representing  E 1  of  0.366 E 0   β = tan −1 ( ________  = 8.8° .  2.37 E 0   )  We can now write, for the resultant wave E(t),  E = E R  sin (ω t + β) 

KEY IDEA

(ω t + 8.8° ).  = 2.4 E 0 sin   

The resultant wave is  E(t) = E 1(t) + E    2(t) + E    3  (t).  We can use the method of phasors to  find  this  sum, and  we are free to evaluate the phasors at any time t. 

Be careful to interpret the angle β correctly in Fig. 35.3.3: It  is the constant angle between ER    and the phasor represent-  ing E 1  as the four phasors rotate as a single unit around the  origin.  The  angle between E R  and the  horizontal  axis in  Fig. 35.3.3 does not remain equal to β. 

Phasors that represent waves can be added to f ind the net wave.

To  simplify the  solution,  we choose  t = 0,  for  which  the  phasors  representing the  three  waves are  shown  in  Fig.  35.3.3. We  can  add  these  three  phasors  either directly on a vector-capable calculator or by com-  ponents. For the component approach, we first write the  sum of their horizontal components as  Calculations:

E0

∑ E h  = E 0  cos 0 + E 0  cos 60° + E 0  cos(–30°) = 2.37E 0.   The sum of their vertical components, which is the value  of E at t = 0, is  ∑ E v  = E 0  sin 0 + E 0  sin 60° + E 0   sin(–30°) = 0.366E 0.   The resultant wave E(t) thus has an amplitude E R of 

(Answer) 

E

β

60 ° 

30°  E0

ER

E0

Three phasors, representing waves with equal  amplitudes E 0  and with phase constants 0°, 60°, and –30°,  shown at time t = 0. The phasors combine to give a resultant  phasor with magnitude E R , at angle β.  Figure  35.3.3 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

35.4  INTERFERENCE  FROM THIN FILMS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

35.4.1  Sketch the setup for thin-film  interference,  show- 

out of phase, or the  transmitted waves are in phase 

ing the incident  ray and reflected rays (perpendicular 

or out of phase) to determine and then apply the 

to the film but drawn  slightly slanted for clarity) and 

necessary equation relating the thickness 

identifying the thickness and the three indexes of 

wavelength 

refraction.  35.4.2  Identify  the condition in which  a reflection can  result in a phase shift, and give the value of that  phase shift.  35.4.3  Identify  the three factors that determine the 

L, the 

refraction 

λ (measured in air), and the index of 

n of the film. 

35.4.5  For a very thin film  in air (with  thickness much  less than the  wavelength of visible light), explain  why  the film  is always dark.  35.4.6  At each end of a thin  film in the form of a 

interference  of the reflected  waves: reflection shifts, 

wedge,  determine and then  apply the necessary 

path length difference,  and internal  wavelength (set 

equation  relating  the thickness 

by the film’s index of refraction). 

(measured in air), and the index of refraction 

35.4.4  For a thin film,  use the reflection  shifts and the  desired result (the reflected waves are in  phase or 

L, the wavelength  λ n  of the 

film,  and then  count the number  of bright bands and  dark bands across the film. 

/

1127

35.4  INT ERF ERENC E  F ROM  T HIN  F IL MS 

Key  Ideas  ●

When light  is incident  on a thin transparent film,  the 

light  waves reflected from the front and back surfaces  interfere.  For near-normal  incidence, the wavelength  conditions for maximum and minimum  intensity of the  light  reflected from a film

in air

λ ,  _ )  ___  2L = (m +  1  2  n  2 

are 

for m = 0,  1,  2, . . . 

(maxima—bright film in air),  and 

λ 2L = m  ___  n  ,  2 

for m = 0,  1,  2, . . . 

(minima—dark film in air), 

where 

n 2  is the index  of refraction of the film, L  is its 

thickness, and  ●

λ is the wavelength  of the light in air. 

If a film is sandwiched  between media other than air, 

these equations for bright and dark films may be inter-  changed, depending on the relative indexes of refraction.  ●

If the light incident  at an interface  between  media with 

different  indexes of refraction is in  the medium with  the  smaller index of refraction,  the reflection  causes a phase 

π

change of   rad, or half  a wavelength,  in the reflected  wave. Otherwise,  there is no phase change due  to the  reflection.  Refraction causes no phase shift. 

Interference  from Thin Films 

The interference depends on the ref lections and the path lengths.

The  colors  on  a sunlit  soap  bubble  or  an  oil  slick  are caused  by  the  interference of light waves reflected from the front  and back  surfaces  of a thin  transparent film. The thickness of the soap or oil film is typi-  cally of the order of magnitude of the wavelength of the (visible) light  involved. (Greater thicknesses spoil  the coherence of the light needed  to produce the colors due to interference.)  Figure 35.4.1 shows a thin  transparent film of uniform thickness L  and index  of refraction n 2 , illuminated by bright light  of wavelength λ   from a distant  point  source. For  now, we assume that air lies on both  sides  of  the  film  and  thus  that  n 1  = n 3   in  Fig.  35.4.1. For  simplicity,  we also assume that the  light rays are almost perpendicular  to the  film (θ ≈ 0).  We are interested in whether the film is bright  or dark to an observer viewing it  almost perpendicularly. (Since the film is brightly illuminated, how  could it pos-  sibly be dark? You will see.)  The  incident  light,  represented by  ray i,  intercepts the  front  (left) surface  of  the  film  at  point  a and  undergoes  both  reflection and  refraction there.  The  reflected ray r 1   is intercepted by the observer’s eye. The refracted light crosses  the film to point  b on  the back surface, where it  undergoes both  reflection and  refraction. The light reflected at b crosses back through the film to point c, where  it undergoes both  reflection and refraction. The light refracted at c, represented  by ray r 2 , is intercepted by the observer’s eye.    If the light waves of rays r 1  and r 2  are exactly in phase at the eye, they produce  an interference maximum and  region ac on  the film is bright  to the observer. If  they are exactly out of phase, they produce an interference minimum and region ac  is dark to the observer, even though it is illuminated. If there is some intermediate  phase difference, there are intermediate interference and brightness.  The Key. Thus,  the  key to  what  the  observer sees is  the  phase  difference  between the waves of  rays r 1   and  r 2. Both  rays are derived from the same ray i,    but the path involved in producing r 2  involves light traveling twice across the film  (a to  b, and then b  to c), whereas the path involved in producing  r 1   involves no  travel through the film. Because θ is about  zero, we approximate the path length  difference between the waves of r 1   and r 2   as 2L. However, to find the phase dif-  ference between the waves, we cannot just find the number of wavelengths λ that  is equivalent to a path length difference of 2L. This simple approach is impossible  for two reasons: (1) the path length difference occurs in a medium other than air,  and (2) reflections are involved, which can change the phase. 

n1

n

2

n3

r2 c r1

θ θ

b

a

i L

Light waves, repre-  sented with ray i, are incident on a  thin film of thickness L and index  of refraction n 2 . Rays r 1  and r 2  rep-  resent light waves that have been  reflected by the front and back  surfaces of the film, respectively.  (All three rays are actually nearly  perpendicular to the film.) The inter-  ference of the waves of r 1  and r 2  with  each other depends on their phase  difference. The index of refraction n 1  of the medium at the left can differ  from the index of refraction n 3  of the  medium at the right, but for now we  assume that both media are air, with  n 1  = n 3  = 1.0, which is less than n 2 .  Figure  35.4.1 

The phase difference between two waves  can change if one or both are reflected. 

Let’s next discuss changes in phase that are caused by reflections. 

/

1128

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

Interface

Before After (a ) Before After (b )

Phase changes when  a pulse is reflected at the interface  between two stretched strings of  different linear densities. The wave  speed is greater in the lighter string.  (a) The incident pulse is in the  denser string. (b) The incident pulse  is in the lighter string. Only here is  there a phase change, and only in the  reflected wave.  Figure  35.4.2 

Reflection  Phase  Shifts 

Refraction at  an  interface never causes a  phase change—but  reflection  can,  depending  on  the  indexes  of  refraction  on  the  two  sides  of  the  interface.  Figure 35.4.2 s hows what happens when reflection causes a phase change, using  as an example pulses on  a denser string (along which pulse travel is relatively  slow) and a lighter string (along which pulse travel is relatively fast).  When a pulse traveling relatively slowly along the denser string in Fig. 35.4.2a  reaches the  interface with  the  lighter  string,  the  pulse  is  partially  transmitted  and  partially  reflected, with  no  change  in  orientation.  For  light,  this  situation  corresponds  to  the  incident  wave traveling in  the  medium of  greater index  of  refraction n  (recall that  greater n  means slower  speed). In that  case, the wave  that is reflected at the interface does not  undergo a change in phase; that is, its  reflection phase shift is zero.  When  a pulse  traveling more quickly along the lighter string in  Fig. 35.4.2b  reaches the interface with the denser string, the pulse is again partially transmit-  ted and partially reflected. The transmitted pulse again has the same orientation  as the  incident  pulse,  but  now  the  reflected pulse  is  inverted. For  a sinusoidal  wave, such an inversion involves a phase change of  π rad, or half  a wavelength.  For light, this situation corresponds to the incident wave traveling in the medium  of lesser index of  refraction (with  greater speed). In that  case, the wave that is  reflected at the interface undergoes a phase shift of π rad, or half a wavelength.  We can summarize these results for light in terms of the index of refraction of  the medium off which (or from which) the light reflects: 

Reflection 

Reflection phase shift 

Off lower index  Off higher index 

0  0.5 wavelength 

This might be remembered as “higher means half .”  Equations for Thin-Film  Interference 

In  this  chapter  we  have  now  seen  three  ways  in  which  the  phase  difference  between two waves can change:  1.  by reflection  2.  by the waves traveling along paths of different lengths  3.  by the waves traveling through media of different indexes of refraction. 

Air

n2

Air

r2

r1 i

L

Figure  35.4.3 

film in air. 

Reflections from a thin 

When light reflects from a thin film, producing the waves of rays r 1  and r 2  shown  in Fig. 35.4.1, a ll three ways are involved. Let us consider them one by one.  Reflection Shift. We  first  reexamine the  two  reflections in  Fig.  35.4.1. At  point a on the front interface, the incident wave (in air) reflects from the medium  having the higher of  the two indexes of  refraction; so the wave of  reflected ray  r 1   has its phase shifted  by 0.5 wavelength. At point  b on  the back interface, the  incident wave reflects from the medium (air) having the lower of the two indexes  of refraction; so the wave reflected there is not shifted in phase by the reflection,  and thus  neither is the portion of it that exits the film as ray r 2. We can organize    this information with the first line in Table 35.4.1, which  refers to the simplified  drawing in  Fig. 35.4.3 for  a thin  film  in  air. So  far, as a result  of  the reflection  phase shifts, the waves of r 1 and r    2  have a phase difference of 0.5 wavelength and  thus are exactly out of phase.  Path Length Difference. Now we must consider the path  length difference  2L that occurs because the wave of ray r 2   crosses the film twice. (This difference 

/

35.4  INT ERF ERENC E  F ROM  T HIN  F IL MS 

2L  is  shown  on  the  second  line  in  Table  35.4.1.) If  the  waves of  r 1   and  r 2   are  to  be  exactly in  phase so  that  they produce  fully  constructive interference, the  path  length  2L  must  cause  an  additional  phase  difference  of  0.5,  1.5, 2.5, . . .  wavelengths. Only  then  will  the  net phase  difference be  an  integer number of  wavelengths. Thus, for a bright film, we must have  odd number × wavelength  2L = ___________  2 

(in-phase w aves). 

(35.4.1) 

The  wavelength we need here is the  wavelength λn2  of the  light in  the  medium  containing  path  length  2L —that  is,  in  the  medium with  index  of  refraction n 2.   Thus, we can rewrite Eq. 35.4.1 a s  odd number × λ 2L = ___________  n2  2 

(in-phase waves). 

(35.4.2) 

If,  instead, the  waves are to  be  exactly out  of  phase  so  that  there  is  fully  destructive  interference,  the  path  length  2L  must  cause  either  no  additional  phase difference or a phase difference of 1, 2, 3, . . . wavelengths. Only then will  the net phase difference be an odd number of half-wavelengths. For a dark film,  we must have  2L = integer × wavelength 

(out-of-phase w aves) 

(35.4.3) 

where, again, the wavelength is the wavelength λn2 in the medium containing 2L.  Thus, this time we have  2L = integer × λn2 

(out-of-phase w aves). 

1129

Table 35.4.1  An  Organizing Table 

for Thin-Film  Interference in  Air 

a 

(Fig. 35.4.3) 

Reflection  phase  shifts  Path length  difference  Index in  which  path  length  difference  occurs 

r 1 

r 2 

0.5  wavelength 

0 

2L 

n 2 

In phase a : 

odd number × ___  λ 2L = ___________  2  n 2 

Out of  phase a : 

λ 2L = integer × ___  n 

2 

a 

Valid for n 2  > n 1   and n 2   > n 3.  

(35.4.4) 

Now we can use Eq. 35.1.6 (λn =  λ/n) to write the wavelength of the wave of ray  r 2  inside the film as 

λ λ n2 = ___  n 2 ,   

(35.4.5) 

where λ is the wavelength of the incident light in vacuum (and approximately a lso  in air). Substituting Eq. 35.4.5 into Eq. 35.4.2 a nd replacing “odd number/2” with  (m +  1 2 _ ) give us  1  ___  2L = (m + _  )  λ ,  2  n 

for m = 0,  1,  2,   .   .  . 

2 

(maxima—bright film  in air). 

(35.4.6) 

Similarly, with m replacing “integer,” Eq. 35.4.4 y ields 

λ 2L = m  ___  n  ,  2 

for m = 0,  1,  2,   .  .  . 

(minima—dark film in air). 

(35.4.7) 

For a given film thickness L, Eqs. 35.4.6 a nd 35.4.7 tell us the wavelengths of  light for which the film appears bright and dark, respectively, one wavelength for  each value of m. Intermediate wavelengths give intermediate brightnesses. For a  given wavelength λ, Eqs. 35.4.6 a nd 35.4.7 tell us the thicknesses of the films that  appear bright  and  dark  in  that light,  respectively, one  thickness  for  each value  of m. Intermediate thicknesses give intermediate brightnesses.  Heads Up. (1) For a thin  film surrounded  by air, Eq. 35.4.6 corresponds to  bright reflections and Eq. 35.4.7 c orresponds to no reflections. For transmissions,  the roles of the equations are reversed (after all, if the light is brightly reflected,  then it is not  transmitted, and vice versa). (2) If we have a different set of values  of the indexes of refraction, the roles of the equations may be reversed. For any  given set of indexes, you must go through the thought process behind Table 35.4.1  and, in particular, determine the reflection shifts to see which equation applies to  bright reflections and which applies to no reflections. (3) The index of refraction  in the equations is that of the thin  film, where the path length difference occurs. 

/

1130

C HAP T ER 35  INT ERF ERENC E 

Film  Thickness  Much  Less  Than λ

 shpargotohP latnemadnuF/angeM drahciR

The reflection of light  from a soapy water film spanning a  vertical loop. The top portion is so  thin (due to gravitational slumping)  that the light reflected there undergoes  destructive interference, making that  portion dark. Colored interference  fringes, or bands, decorate the rest  of the film but are marred by circula-  tion of liquid within the film as the  liquid is gradually pulled downward by  gravitation.  Figure  35.4.4 

Wing surface

Reflecting structure  extending up from a Morpho but-  terfly wing. Reflections from the top  surfaces of the transparent “terraces”  give an interference color to the  wing.  Figure  35.4.5 

A special situation  arises when  a film  is so thin  that  L is much less than  λ, say,  L   λ and then narrow  the slit  while holding  the  wavelength constant, we increase the angle at  which  the  first dark  fringes appear; that  is, the extent of the diffraction  (the extent of the flaring and the width of the pattern) is greater for a nar-  rower slit. When we have reduced the slit width to the wavelength (that is,  a = λ), the angle of the first dark fringes is 90°. Since the first dark fringes  mark the two  edges of the central bright  fringe, that  bright  fringe must  then cover the entire viewing screen.  Second Minimum. We find the second dark fringes above and below  the  central axis  as we found  the first  dark  fringes, except that  we now  divide the slit into four zones of equal widths a/4, as shown in Fig. 36.1.6a.  We then extend rays r 1, r    2  , r 3, and r    4   from the top  points  of the zones to  point  P 2, the  location  of  the second  dark  fringe  above the  central axis.    To produce that fringe, the path length difference between r 1   and r 2, that    between r 2  and r 3, and that between r    3  and r 4   must all be equal to λ/2.  For  D ⪢  a, we can  approximate these  four  rays as  being  parallel, at  angle  θ to  the central axis. To  display their path length differences, we  extend a perpendicular line through each adjacent pair of rays, as shown  in Fig. 36.1.6b, to form a series of right triangles, each of which has a path  length difference as one side. We see from the top triangle that the path  length difference between r 1  and r 2  is (a/4) sin  θ. Similarly, from the bot-  tom triangle, the path length difference between r 3  and r 4  is also (a/4) sin θ.  In fact, the path length difference for any two rays that originate at cor-  responding points  in two adjacent zones is (a/4) sin θ . Since in each such  case the path length difference is equal to  λ/2, we have 

which gives us 

a  λ ,  __ sin  θ = __  4  2  a sin θ = 2 λ

(second minimum). 

P1

r2 r3

a

a sin θ = λ

P2

r4

/4

θ

a

/4

a

P0

These rays cancel at P2.

/4

a

B

Incident wave

C

(a )

To see the cancellation, group the rays into pairs.

r1

a

/4

θ

r2

Path length difference between r1 and r2 r3

a

/4

θ r4

a

/4

θ θ

Path length difference between r3 and r4

(b )

(a) Waves from the top points of  four zones of width a/4 undergo fully destruc-  tive interference at point P 2 . (b) For D ⪢ a, we  can approximate rays r 1,   r 2,   r 3, and r    4  as being  parallel, at angle θ to the central axis.  Figure  36.1.6 

(36.1.2) 

/

1152

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

All Minima. We could now continue to locate dark fringes in the diffraction  pattern by splitting up the slit into more zones of equal width.  We would  always  choose  an  even number of  zones  so  that the  zones  (and  their waves) could  be  paired  as we have been  doing.  We would  find  that the  dark  fringes above and  below the central axis can be located with the general equation  a sin θ = m λ, 

for m = 1, 2, 3, . . . 

(minima—dark fringes). 

(36.1.3) 

You can remember this result in the following way. Draw a triangle like the  one in Fig. 36.1.5, but for the full slit width a, and note that the path length differ-  ence between the top and bottom rays equals a sin θ. Thus, Eq. 36.1.3 says: 

In a single-slit diffraction experiment, dark fringes are produced where the  path length differences (a sin θ) between the top and bottom rays are equal  to λ , 2λ, 3λ, . . . . 

This may seem to be wrong because the waves of those two particular rays will be  exactly in  phase with each other  when their path  length difference is an integer  number of wavelengths. However, they each will still  be part of a pair of waves  that are exactly out of phase with each other; thus, each wave will be canceled by  some other wave, resulting in darkness. (Two light waves that are exactly out of  phase will always cancel each other, giving a net wave of zero, even if they happen  to be exactly in phase with other light waves.)  Using a Lens. Equations  36.1.1, 36.1.2, and  36.1.3 are derived  for  the case of  D ⪢ a. However, they also apply if we place a converging lens between the slit and the  viewing screen and then move the screen in so that it coincides with the focal plane of  the lens. The lens ensures that rays which now reach any point on the screen are exactly  parallel (rather than approximately) back at the slit. They are like the initially parallel  rays of Fig. 34.4.1a that are directed to the focal point by a converging lens. 

Checkpoint 36.1.1 

We produce a diffraction pattern on a viewing screen by means of a long narrow  slit illuminated by blue light. Does the pattern expand away from the bright center  (the maxima and minima shift away from the center) or contract toward it if we  (a) switch to yellow light or (b) decrease the slit width? 

Sample Problem 36.1.1

Single-slit diffraction  pattern with white light 

A slit of width  a is illuminated by white light.  (a) For what value of a will the first minimum for red light  of wavelength λ = 650 nm appear at θ = 15°? 

KEY IDEA Diffraction occurs separately for each wavelength in  the  range  of  wavelengths passing  through  the  slit,  with  the  locations  of  the  minima  for  each  wavelength given  by  Eq. 36.1.3 (a sin θ = mλ). 

When we set m = 1 (for the first minimum)  and substitute the given values of θ and λ, Eq. 36.1.3 y ields  Calculation:

(1)(650 nm)  m λ = ___________  a = _____  sin θ sin 15°  = 2511 nm ≈ 2.5 μm. 

(Answer) 

For the  incident  light  to flare out  that  much (±15° to the  first minima) the slit has to be very fine indeed—in this case,  a mere four  times the  wavelength. For  comparison,  note  that a fine human hair may be about 100 μm in diameter. 

/

36.2  INT ENSIT Y   IN  SINGL E-  S L IT   D IF F RAC T ION 

(b) What is the wavelength λʹ of the light whose first side  diffraction  maximum is  at  15°, thus  coinciding  with  the  first minimum for the red light? 

Solving for λʹ and substituting known  data yield  2511 nm )(sin 15°)  a sin θ =  (_________________  λ′ = _______  1.5  1.5  = 430 nm. 

KEY IDEA The first side maximum for any wavelength is about halfway  between the first and second minima for that wavelength.  Those first and second minima can be located  with  Eq.  36.1.3 by  setting  m = 1  and  m = 2,  respectively.  Thus, the first side maximum can be located approximately  by setting m = 1.5. Then Eq. 36.1.3 becomes  Calculations:

a sin θ = 1.5λʹ. 

1153

(Answer) 

Light of this wavelength is violet (far blue, near the short-  wavelength limit of the human range of visible light). From  the two equations  we used, can you see that the first side  maximum for light of wavelength 430 nm will always coin-  cide with the first minimum for light of wavelength 650 nm,  no matter what the slit width is? However, the angle θ at  which this overlap occurs does depend on slit width. If the  slit is relatively narrow, the angle will  be relatively large,  and conversely. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

36.2  INTENSITY IN SINGLE-SLIT DIFFRACTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.2.1  Divide a thin  slit into multiple  zones of equal  width and write  an expression for the phase differ-  ence of the wavelets from adjacent  zones in terms  of the angle 

θ to a point on the viewing  screen. 

36.2.2  For single-slit diffraction,  draw phasor diagrams  for the central  maximum and several of the minima 

36.2.3  Describe a diffraction  pattern in  terms of the net  electric  field  at points in  the pattern. 

α θ to a point in a diffraction pattern and the 

36.2.4  Evaluate  , the convenient connection between  angle 

I at that point. 

intensity 

36.2.5  For a given point in  a diffraction  pattern, at a 

I in terms of the  I m  at the center  of the pattern. 

and maxima off to one side, indicating the phase dif- 

given angle,  calculate  the intensity 

ference  between  adjacent phasors, explaining how 

intensity 

the net electric  field  is calculated,  and identifying the  corresponding part of the diffraction pattern. 

Key  Idea  ●

The intensity of the diffraction  pattern at any given 

angle 

θ is 

where 

I m  is the intensity at the center of the pat- 

tern and 

sin  α 2  _____  I(θ ) = I m(     α ) , 

πa sin  θ.  α = ___  λ

Intensity in Single-Slit  Diffraction, Qualitatively 

In Module 36.1 we saw how to find the positions of the minima and the maxima in  a single-slit diffraction pattern. Now we turn to a more general problem: Find  an  expression for the intensity I of the pattern as a function of θ , the angular position  of a point  on a viewing screen.  To do  this, we divide the slit  of Fig. 36.1.4 into  N zones  of equal widths  Δx  small enough that we can assume each zone acts as a source of Huygens wavelets.  We wish to superimpose the wavelets a rriving at an arbitrary point P on the view-  ing screen, a t angle θ to the central axis, so that we can determine the amplitude E θ

/

1154

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

of the electric component of the resultant wave at P. The intensity of the light at  P is then proportional  to the square of that amplitude.  To find E θ, we need the phase relationships among the arriving wavelets. The  point here is that in general they have different phases because they travel different  distances to reach P. The phase difference between wavelets from adjacent zones  is given by  phase  2 π path length  ___  (difference    ) =  (  λ ) ( difference ) .  For  point  P at angle θ, the path  length difference between wavelets from adjacent  zones is Δx sin θ. Thus, we can write the phase difference Δϕ between wavelets from  adjacent zones as  2π Δϕ = (___    λ ) (Δ x sin  θ). 

(36.2.1) 

We assume that the wavelets a rriving at P all have the same a mplitude ΔE. To  find  the amplitude E θ of the resultant wave at P, we add the amplitudes ΔE via  phasors. To  do this, we construct a diagram of N phasors, one corresponding to  the wavelet from each zone in the slit.  Central Maximum. For point  P 0  at  θ = 0 on  the central axis of  Fig. 36.1.4,  Eq. 36.2.1 tells us that the phase difference Δϕ between the wavelets is zero; that  is, the wavelets a ll arrive in phase. Figure 36.2.1a is the corresponding phasor dia-  gram; a djacent phasors represent wavelets from adjacent zones and are arranged  head to tail. Because there is zero phase difference between the wavelets, there  is zero angle between each pair of adjacent phasors. The amplitude E θ of the net  wave at P 0   is the vector sum of these phasors. This  arrangement of  the phasors  turns out to be the one that gives the greatest v alue for the amplitude E θ. We call  this value E m ; that is, E m is the value of E θ for  θ = 0.  We next consider a point P that is at a small angle θ to the central axis. Equa-  tion  36.2.1 now  tells  us  that  the  phase  difference Δϕ between  wavelets from  adjacent zones is no longer zero. Figure 36.2.1b shows the corresponding phasor  diagram; as before, the phasors  are arranged head  to  tail, but  now  there  is  an  angle Δϕ between adjacent phasors. The amplitude E θ at this new point is still the  vector sum of the phasors, but it is smaller than that in Fig. 36.2.1a, which means  that the intensity of the light is less at this new point P than at P 0.   First Minimum. If  we continue  to  increase θ, the  angle Δϕ between adjacent  phasors  increases, and  eventually the chain  of  phasors  curls completely around  so  that the head of the last phasor just reaches the tail of the first phasor (Fig. 36.2.1c).  The amplitude E θ is now zero, which means that the intensity of the light is also zero.  We have reached the first minimum, or  dark fringe, in  the diffraction  pattern. The  first and last phasors  now  have a phase difference of  2π rad, which  means that the  path length difference between the top  and bottom rays through  the slit equals one  wavelength. Recall that this is the condition  we determined for the first diffraction  minimum.  First Side Maximum. As we continue to  increase θ, the angle Δϕ between  adjacent phasors continues to increase, the chain of phasors begins to wrap back  on  itself,  and  the  resulting  coil  begins  to  shrink.  Amplitude  E θ now  increases  until  it reaches a maximum value in the arrangement shown in Fig. 36.2.1d. This  arrangement corresponds to the first side maximum in the diffraction pattern.  Second Minimum. If we  increase θ a  bit  more, the  resulting  shrinkage of  the  coil decreases E θ, which  means that the intensity also  decreases. When  θ is  increased enough,  the  head  of  the  last  phasor  again meets the  tail  of  the  first  phasor. We have then reached the second minimum.  We could  continue  this qualitative method of  determining the  maxima and  minima of the diffraction pattern but, instead, we shall now turn to a quantitative  method. 

/

36.2  INT ENSIT Y   IN  SINGL E-  S L IT   D IF F RAC T ION 

θ E

Here, with an even larger phase difference, they add to give a small amplitude and thus a small intensity.

θ

1155

A 

(d )

The last phasor is out of phase with the f irst phasor by 2π rad (full circle).

E

Here, with a larger phase difference, the phasors add to give zero amplitude and thus a minimum in the pattern.

θ =0

(c )

E

I

θ

Here the phasors have a small phase difference and add to give a smaller amplitude and thus less intensity in the pattern.

(b )

E

Phasor diagrams for  N = 18 phasors, corresponding to the  division of a single slit into 18 zones.  Resultant amplitudes E θ are shown  for (a) the central maximum at θ = 0,  (b) a point on the screen lying at a  small angle θ to the central axis, (c)  the first minimum, and (d) the first  side maximum.  Figure  36.2.1 

θ (=

ΔE

Phasor for top ray

)

Em

(a )

Phasor for bottom ray

The phasors from the 18 zones in the slit are in phase and add to give a maximum amplitude and thus the central maximum in the diffraction pattern.

Checkpoint 36.2.1 

The figures represent, in smoother form (with more pha-  sors) than Fig. 36.2.1, the phasor diagrams for two points of  a diffraction pattern that are on opposite sides of a certain  diffraction maximum. (a) Which maximum is it? (b) What is  the approximate value of m (in Eq. 36.1.3) that corresponds  to this maximum? 

(a )

(b)

Intensity in Single-Slit  Diffraction, Quantitatively 

Equation 36.1.3 tells us how to locate the minima of the single-slit diffraction pat-  tern on screen C of Fig. 36.1.4 a s a function of the angle θ in that figure. Here we  wish to derive an expression for the intensity I(θ) of the pattern as a function of θ.  We state, and shall prove below, that the intensity is given by 

/

1156

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

Relative intensity 1.0 0.8 0.6 a

0.4

=λ

where 

0.2 20

15

10

5

0

5

θ (degrees)

10

15

a

= 5λ

20

(a )

Relative intensity 1.0 0.8 0.6

15

10

5

0 5 θ (degrees) (b )

10

a

0.8

15

20

= 10 λ

0.6 0.4 0.2 15

10

5

0

(36.2.3) 

for m = 1, 2, 3, . . . . 

(36.2.4) 

If we put this result into Eq. 36.2.3, we find 

Relative intensity 1.0

20

πa sin θ .  α = _ 1 2 ϕ = ___  λ

The  symbol  α is  just  a convenient connection  between the  angle  θ that  locates  a point on the viewing screen and the light intensity I(θ ) at that point.  The inten-  sity  I m  is  the  greatest value  of  the  intensities I(θ ) in  the  pattern and  occurs  at  the  central maximum (where  θ = 0), and  ϕ is  the phase  difference (in  radians)  between the top and bottom rays from the slit of width  a.  Study of Eq. 36.2.2 shows that intensity minima will occur where 

πa sin θ ,  mπ = ___ 

0.2 20

(36.2.2) 

α = mπ, 

Δθ

0.4

α 2  _____  I(θ) = I m (sin    α ) , 

5

θ (degrees)

10

15

20

(c )

The relative intensity  in single-slit diffraction for three  values of the ratio a/λ. The wider  the slit is, the narrower is the central  diffraction maximum. 

or 

a sin  θ = m λ, 

λ

for m = 1, 2, 3 , . . . , 

for m = 1, 2, 3, . . . 

(minima—dark fringes), 

(36.2.5) 

which is exactly Eq. 36.1.3, the expression that we derived earlier for the location  of the minima.  Plots. Figure 36.2.2 shows plots of the intensity of a single-slit diffraction pattern,  calculated with Eqs. 36.2.2 and 36.2.3 for three slit widths: a = λ, a = 5λ, and a = 10λ.  Note that as the slit width increases (relative to the wavelength), the width of the cen-  tral diffraction  maximum (the central hill-like  region of  the graphs) decreases; that  is, the light undergoes less flaring by the slit. The secondary maxima also decrease  in  width (and become weaker). In  the limit of slit width a being much greater than  wavelength λ, the  secondary maxima due  to  the  slit disappear; we then  no  longer  have single-slit diffraction (but we still have diffraction due to the edges of the wide  slit, like that produced by the edges of the razor blade in Fig. 36.1.2). 

Figure  36.2.2 

  ϕ R

R

E

θ

Em

ϕ

Em

A construction used to  calculate the intensity in single-slit  diffraction. The situation shown cor-  responds to that of Fig. 36.2.1b.  Figure  36.2.3 

Proof  of Eqs. 36.2.2 and 36.2.3 

To  find  an expression  for the  intensity  at a point  in  the diffraction  pattern, we  need  to  divide  the  slit  into  many zones  and  then  add  the  phasors  corresponding  to  those zones, as we did  in  Fig. 36.2.1. The arc of  phasors in  Fig. 36.2.3 represents  the  wavelets that  reach an  arbitrary point  P  on  the  viewing screen of  Fig. 36.1.4,  corresponding to a particular small angle θ. The amplitude E θ of the resultant wave  at P is the vector sum of these phasors. If we divide the slit of Fig. 36.1.4 into infini-  tesimal zones of  width  Δ x, the arc of  phasors  in  Fig. 36.2.3 approaches the  arc of  a circle; we call its radius R as indicated in that figure. The length of the arc must be  E m , the amplitude at the center of the diffraction pattern, because if we straightened  out the arc we would have the phasor arrangement of Fig. 36.2.1a (shown lightly in  Fig. 36.2.3).  The angle ϕ in the lower part of Fig. 36.2.3 is the difference in phase between  the infinitesimal vectors at the left and right ends of arc E m . From the geometry,  ϕ is also the angle between the two radii marked R in Fig. 36.2.3. The dashed line  in  that  figure, which  bisects  ϕ , then  forms  two  congruent right  triangles. From  either triangle we can write  E θ 1  sin _  ϕ = ___  .  2  2R 

(36.2.6) 

In radian measure, ϕ is (with E m  considered to be a circular arc)  E m  ϕ = ___  .  R 

/

36.2  INT ENSIT Y   IN  SINGL E-  S L IT   D IF F RAC T ION 

Solving this equation for R and substituting in Eq. 36.2.6 lead to  E m  _  E θ =  ___  sin  1  ϕ.  _  1  2 

ϕ

2 

1157

(36.2.7) 

Intensity. In  Module  33.2 we saw  that the  intensity  of  an  electromagnetic  wave is proportional to the square of the amplitude of its electric field. Here, this  means that  the  maximum intensity I m  (at  the center  of  the pattern) is  propor-  2  tional to E 2  m and the intensity I(θ ) at angle θ is proportional  to E θ. Thus,  I(θ)  ___  E 2  ____  =  θ .  I m 

(36.2.8) 

E 2  m 

1 ϕ , we are led to Eq.  Substituting  for E θ with Eq. 36.2.7 a nd then substituting  α = _  2  36.2.2 for the intensity as a function of  θ: 

sin α 2 .  I(θ) = I m (_____    α ) 

The second equation we wish to prove relates α to θ. The phase difference ϕ between the rays from  the top  and  bottom of  the  entire slit  may be related to  a path length difference with Eq. 36.2.1; it tells us that  2π ϕ = (___    λ )(  a sin  θ),  where a is the sum of the widths Δx of the infinitesimal zones. However, ϕ = 2 α,  so this equation reduces to Eq. 36.2.3. 

Checkpoint 36.2.2 

Two wavelengths, 650 and 430 nm,  I are used separately in a single-  slit diffraction experiment. The  figure shows the results as graphs  of intensity I versus angle θ for  the two diffraction patterns. If  both wavelengths are then used  simultaneously, what color will be  seen in the combined diffraction  0 pattern at (a) angle A and  (b) angle B? 

Sample Problem 36.2.1

A

B

θ

Intensities of the maxima in a  single-slit interference  pattern 

Find the intensities of the first three secondary maxima (side  maxima) in  the single-slit  diffraction  pattern of  Fig. 36.1.1,  measured  as  a  percentage of  the  intensity  of  the  central  maximum. 

KEY IDEAS

with  α in radian measure. We can relate the intensity I at  any point in the diffraction  pattern to the intensity I m  of  the central maximum via Eq. 36.2.2.  Substituting  the  approximate values  of  α for  the  secondary maxima into  Eq.  36.2.2 to  obtain  the  relative intensities at those maxima, we get  Calculations:

The secondary maxima lie approximately halfway between  the  minima,  whose  angular  locations  are  given  by  Eq.  36.2.4 (α = m π).  The locations  of  the  secondary maxima  are then given (approximately) by 

π, 

1  a = (m + _  2 )

2 

sin  m + 2  π α =  __________  I  =  sin  ___  _____  ,  for m = 1, 2, 3, . . . .  (  )  1  I m 

α

2 

(

1 ) _ 

(  (m + 2 _ )π ) 

for m = 1, 2, 3, . . . , 

/

1158

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

The first of the secondary maxima occurs for m = 1, and  its relative intensity is 

For m = 2 and m = 3 we find that  I 3   I 2   ___  = 1.6%  and  ___  = 0.83%.  I m 

2 

_  sin(1 + 1  I 1   π 2  2 ) π ___  _______  =  __________  = ( sin 1.5 1  _  (   )   I m  (1 + 2 ) π 1.5π ) 

= 4.50 × 10 −2  ≈ 4.5% . 

(Answer) 

I m 

(Answer) 

As you  can see from  these results, successive secondary  maxima decrease rapidly in  intensity.  Figure  36.1.1 was  deliberately overexposed to reveal them. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

36.3  DIFFRACTION BY A CIRCULAR APERTURE  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.3.1  Describe and sketch the diffraction  pattern from  a small circular  aperture or obstacle.  36.3.2  For diffraction by a small circular  aperture or  obstacle, apply the relationships between  the angle 

θ to the first minimum,  the wavelength λ of the light,  d  of the aperture,  the distance D to  y between  the 

36.3.4  Identify  that Rayleigh’s criterion  for resolvability  gives the (approximate) angle at which  two point  objects are just barely resolvable. 

θR  in  λ of the light, the 

36.3.5  Apply the relationships between the angle  Rayleigh’s criterion,  the wavelength 

d of the aperture (for example, the diameter 

the diameter 

diameter 

a viewing  screen, and the distance 

of the pupil  of an eye), the angle 

minimum  and the center  of the diffraction  pattern. 

distant point objects, and the distance 

36.3.3  By discussing the diffraction  patterns of point 

θ subtended by two  L to those 

objects. 

objects, explain  how diffraction  limits visual resolu-  tion of objects. 

Key Ideas  ●

Diffraction  by a circular  aperture or a lens with  diam- 

eter 

d  produces a central  maximum and concentric 

maximum of one is at the first minimum  of the other.  Their angular  separation can then be no less than 

maxima and minima,  with the first minimum at an angle 

θ given by  λ sin θ = 1.22 __  d  ●

λ θ R = 1.22 __  d 

(first minimum—circular aperture).  in which 

Rayleigh’s criterion suggests that two objects are 

(Rayleigh’s criterion ), 

d  is the diameter of the aperture through 

which  the light passes. 

on the verge of resolvability if the central diffraction 

Diffraction by a Circular Aperture 

Here we consider diffraction  by a circular aperture—that is, a circular opening,  such  as  a  circular lens,  through  which  light  can  pass.  Figure  36.3.1 shows  the  image formed by light from a laser that was directed onto a circular aperture with  a very small diameter. This image is not a point, as geometrical optics would  sug-  gest, but  a circular disk  surrounded  by several progressively fainter  secondary  rings.  Comparison  with  Fig. 36.1.1 leaves little  doubt  that  we are dealing with  a diffraction phenomenon.  Here, however, the aperture is a circle of diameter d  rather than a rectangular slit.  The (complex) analysis of such patterns shows that the first minimum for the  diffraction pattern of a circular aperture of diameter d is located by 

/

36.3  D IF F RAC T ION  BY  A  C IRC U L AR  AP ERT U RE 

λ sin  θ = 1.22 __  d 

(first minimum—circular aperture). 

1159

(36.3.1) 

λ sin θ = __  a 

(first minimum—single slit), 

 reklaW lraeJ fo ysetruoC

The angle θ here is the angle from the central axis to any point  on that (circu-  lar) minimum. Compare this with Eq. 36.1.1,  (36.3.2) 

which  locates the first minimum for  a long  narrow slit  of width  a. The  main  difference is the factor 1.22, which enters because of the circular shape of the  aperture. 

The diffraction pattern  of a circular aperture. Note the central  Resolvability  maximum and the circular secondary  The fact that lens images are diffraction patterns is important when we wish to  maxima. The figure has been overexposed  resolve (distinguish) two distant point objects whose angular separation is small.  to bring out these secondary maxima, which  are much less intense than the central  Figure 36.3.2 shows, in  three different cases, the  visual appearance and  corre-  maximum.  Figure  36.3.1 

sponding  intensity pattern for  two  distant point  objects (stars, say) with  small  angular separation. In Figure 36.3.2a, the  objects  are not  resolved because of  diffraction; that is, their diffraction patterns (mainly their central maxima) overlap  so much that the two objects cannot be distinguished from a single point  object. In  Fig. 36.3.2b the objects are barely resolved, and in Fig. 36.3.2c they are fully resolved.  In Fig. 36.3.2b the angular separation of the two point  sources is such that the  central maximum of the diffraction pattern of one source is centered on the first  minimum  of  the  diffraction  pattern of  the  other,  a condition  called Rayleigh’s  criterion for resolvability. From Eq. 36.3.3, two objects that are barely resolvable  by this criterion must have an angular separation θR  of 

λ .  _____  θ R = sin −1  1.22 d 

Since the angles are small, we can replace sin  θR with  θR expressed in radians: 

λ θ R = 1.22 __  d 

(Rayleigh’s criterion). 

(36.3.3) 

Human Vision. Applying Rayleigh’s criterion for resolvability to human vision  is  only  an  approximation  because visual  resolvability  depends  on  many factors,  such as the relative brightness of the sources and their surroundings, turbulence in  the air between the sources and the observer, and the functioning of the observer’s  visual system. Experimental results show that the least angular separation that can   reklaW lraeJ fo ysetruoC

At the top, the  images of two point sources  formed by a converging lens.  At the bottom, representations  of the image intensities. In  (a) the angular separation of  the sources is too small for  them to be distinguished, in  (b) they can be marginally  distinguished, and in (c) they  are clearly distinguished.  Rayleigh’s criterion is satis-  fied in (b), with the central  maximum of one diffraction  pattern coinciding with the first  minimum of the other.  Figure 36.3.2 

(a)

(b )

(c )

/

1160

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

The pointillistic painting  The Seine at Herblay by Maximilien  Luce consists of thousands of colored  dots. With the viewer very close to  the canvas, the dots and their true  colors are visible. At normal viewing  distances, the dots are irresolvable  and thus blend.  Figure  36.3.3 

Maximilien Luce, The Seine at Herblay, 1890. Musée d’Orsay, Paris, France. Photo by Erich Lessing/Art Resource 

actually be resolved by a person is generally somewhat greater than the value given  by Eq. 36.3.3. However, for calculations here, we shall  take Eq. 36.3.3 as being a  precise criterion: If the angular separation  θ between the sources is greater than  θR , we can visually resolve the sources; if it is less, we cannot.  When we wish to use a lens instead of our visual system to resolve objects of  small angular separation, it is desirable to make the diffraction  pattern as small  as possible. According to Eq. 36.3.3, this can be done either by increasing the lens  diameter or by using light of a shorter wavelength. For this reason ultraviolet light  is  often  used  with  microscopes because its  wavelength is shorter than  a visible  light wavelength.  Pointillism. Rayleigh’s  criterion  can  explain  the  arresting  illusions  of  color  in the style of  painting  known as pointillism  (Fig. 36.3.3). In  this style, a  painting is made not with brushstrokes in the usual sense but rather with a myr-  iad of  small colored  dots.  One fascinating  aspect of  a  pointillistic  painting  is  that when  you change your distance from it, the colors shift  in  subtle, almost  subconscious  ways. This color  shifting has to do  with whether you can resolve  the  colored  dots.  When  you  stand  close  enough  to  the  painting,  the angular  separations  θ of  adjacent dots  are  greater than  θ R  and  thus  the  dots  can be  seen  individually.  Their  colors  are the  true  colors  of  the  paints  used.  How-  ever, when you stand far enough from the painting, the angular separations θ are less than  θR  and the dots cannot be seen individually.  The resulting blend  of  colors  coming into  your  eye from  any group  of  dots  can  then  cause your  brain to  “make up” a color for that group—a  color that may not actually exist  in the group. In this way, a pointillistic painter uses your visual system to create  the colors of the art.  FCP 

Checkpoint 36.3.1 

Suppose that you can barely resolve two red dots because of diffraction by the  pupil of your eye. If we increase the general illumination around you so that the  pupil decreases in diameter, does the resolvability of the dots improve or diminish?  Consider only diffraction. (You might experiment to check your answer.) 

/

1161

36.3  D IF F RAC T ION  BY  A  C IRC U L AR  AP ERT U RE 

Sample Problem 36.3.1

Pointillistic paintings use the diffraction  of your eye 

Figure 36.3.4a is a representation of  the  colored dots  on  a pointillistic  painting. Assume that the average center-to-  center separation of the dots is D = 2.0 mm. Also assume  that the diameter of  the pupil  of your eye is d =  1.5 mm  and that the least angular separation between dots you can  resolve is set only by Rayleigh’s criterion. What is the least  viewing distance  from  which  you  cannot  distinguish  any  dots on the painting?  FCP 

KEY IDEA Consider  any two  adjacent dots  that you  can distinguish  when  you  are close to  the painting.  As you  move away,  you  continue  to  distinguish  the  dots  until  their  angular 

separation  θ (in  your  view)  has  decreased to  the  angle  given by Rayleigh’s criterion: 

λ .  θR = 1.22 __  d 

(36.3.4) 

Figure  36.3.4b  shows,  from  the side, the  angular separation  θ of  the dots,  their  center-to-center  separation D, and your distance L  from them. Because  D/L is small, angle θ is also small and we can make the  approximation  Calculations:

__ .  θ =  D  L 

(36.3.5) 

Setting  θ of Eq.  36.3.5 equal  to  θ R  of  Eq. 36.3.4 and  solving for L, we then have  Dd  .  L = _____  1.22λ

Observer

Dot

D

L

θ

D

(b ) (a)

(a) Representation of some dots on a pointillistic  painting, showing an average center-to-center separation D.  (b) The arrangement of separation D between two dots, their  angular separation θ, and the viewing distance L.  Figure  36.3.4 

(36.3.6) 

Equation 36.3.6 tells us that L is larger for smaller λ. Thus,  as you  move away from  the painting,  adjacent red  dots  (long wavelengths) become indistinguishable before adja-  cent blue dots do. To find the least distance L at which no  colored dots are distinguishable, we substitute λ = 400 nm  (blue or violet light) into  Eq. 36.3.6:  (2.0 × 10 −3 m)(1.5 × 10 −3 m)  L =  _________________________  = 6.1 m.  (Answer)  (1.22)(400 × 10 −9 m)  At this or a greater distance, the color you perceive a t  any given spot on the painting is a blended color that may  not actually exist there. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Sample Problem 36.3.2

Rayleigh’s criterion for  resolving two distant objects 

A  circular converging  lens,  with  diameter d  =  32 mm  and  focal length f = 24 cm, forms images of distant point  objects  in the focal plane of the lens. The wavelength is λ = 550 nm.  (a)  Considering  diffraction  by  the  lens,  what  angular  separation must two distant  point  objects have to  satisfy  Rayleigh’s criterion? 

KEY IDEA Figure  36.3.5 shows  two  distant  point  objects P 1   and  P 2 ,    the  lens,  and  a viewing screen in  the  focal  plane  of  the  lens.  It  also  shows,  on  the  right,  plots  of  light  intensity  I  versus  position  on  the  screen  for  the  central  maxima  of  the images formed by the lens. Note  that the angular 

θ__ o

P1

P2

2

θo __ 2

Focal-plane screen

θi __ 2

Δ x

θi __ 2 f

I

Light from two distant point objects P 1  and P 2  passes through a converging lens and forms images on a view-  ing screen in the focal plane of the lens. Only one representa-  tive ray from each object is shown. The images are not points  but diffraction patterns, with intensities approximately as  plotted at the right.  Figure  36.3.5 

/

1162

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

separation θo of the objects equals the angular separation θi  of the images. Thus, if the images a re to satisfy Rayleigh’s  criterion, these  separations must  be  given by  Eq.  36.3.3  (for small angles).  Calculations:

From Eq. 36.3.3, we obtain 

λ θ o  = θ i  = θ R = 1.22 __  d 

(1.22)(550 × 10 −9 m)  =  __________________  = 2.1 × 10 −5  rad.  (Answer)  32 × 10 −3 m 

Each central maximum in the two intensity curves of Fig.  36.3.5 is centered on the first minimum of the other curve. 

(b) What is the separation Δx of the centers of the images  in the focal plane? (That is, what is the separation of the  central peaks in the two intensity-versus-position curves?)  From either triangle between the lens and  the screen in Fig. 36.3.5, we see that tan  θi /2 = Δx/2f. Re-  arranging  this  equation  and  making  the  approximation  tan θ ≈  θ, we find  Calculations:

Δx = fθi , 

(36.3.7) 

where θ i is in radian measure. We then find  Δx = (0.24 m)(2.1 × 10 –5 rad) = 5.0 μm. 

(Answer) 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

36.4  DIFFRACTION BY A DOUBLE SLIT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.4.1  In a sketch of a double-slit experiment, explain  how the diffraction  through each slit modifies the  two-slit interference  pattern, and identify  the diffrac- 

the interference  between  the two slits and what part  corresponds to the diffraction  by each  slit.  36.4.4  For double-slit diffraction,  apply the relationship 

d/a and the locations of the dif- 

tion envelope, the central  peak, and the side peaks 

between  the ratio 

of that envelope. 

fraction  minima  in the single-slit diffraction pattern, 

36.4.2  For a given point in a double-slit diffraction pat- 

I in terms of the intensity 

and then count the number  of two-slit maxima that 

tern, calculate  the intensity 

are contained in the  central peak and in the side 

I m  at the center  of the pattern. 

peaks of the diffraction envelope. 

36.4.3  In the intensity equation  for a double-slit dif-  fraction  pattern, identify  what part corresponds to 

Key Ideas  ●

Waves passing through two slits produce a combina- 

where 

I m  is the intensity at the center of the pattern, 

tion of double-slit interference  and diffraction  by each slit.  ●

For identical  slits with  width 

πd  β = (___    λ ) sin  θ, 

a and center-to-center 

d , the intensity in the pattern varies with  the 

separation  angle 

θ from the central  axis as  2  sin α 2  I(θ )  = I m(cos  β) (_____      α ) 

and  (double slit), 

πa  sin θ.  α = ( ___  λ ) 

Diffraction by a Double Slit 

In the double-slit experiments of Chapter 35, we implicitly assumed that the slits  were much narrower than  the wavelength of  the light illuminating  them; that is,  a ⪡  λ. For  such  narrow  slits, the  central maximum of  the  diffraction  pattern of  either  slit covers the  entire viewing screen. Moreover, the interference of  light  from the two slits produces bright  fringes with approximately the same intensity  (Fig. 35.3.1). 

/

36.4  D IF F RAC T ION BY   A  D OU BL E  SL IT  

1163

In  practice  with  visible  light,  however,  the  condition  a  ⪡  λ is  often  not  met. For relatively wide slits, the interference of  light from two slits  produces  bright fringes that do  not all have the same intensity. That is, the intensities of  the  fringes produced  by  double-slit  interference (as  discussed  in  Chapter 35)  are modified by  diffraction of the light passing through  each slit (as discussed  in this chapter).  Plots. As an example, the intensity plot of Fig. 36.4.1a suggests the double-  slit interference pattern that would  occur if the slits were infinitely narrow (and  thus  a  ⪡  λ);  all  the  bright  interference fringes  would  have the  same intensity.  The intensity plot  of Fig. 36.4.1b is that for diffraction by a single actual slit; the  diffraction pattern has a broad central maximum and weaker secondary maxima  at ±17°. The plot  of Fig. 36.4.1c suggests the interference pattern for two actual  slits. That plot was constructed by using the curve of Fig. 36.4.1b as an envelope  on the intensity plot in Fig. 36.4.1a. The positions of the fringes are not changed;  only the intensities are affected.  Photos. Figure 36.4.2a  shows  an  actual pattern in  which  both  double-slit  interference and  diffraction  are evident. If  one  slit  is  covered, the  single-slit  diffraction  pattern of  Fig.  36.4.2b  results.  Note  the correspondence  between  Figs. 36.4.2a and 36.4.1c, and between Figs. 36.4.2b and 36.4.1b. In comparing  these figures, bear in  mind  that Fig. 36.4.2 has been deliberately overexposed  to  bring  out  the  faint  secondary maxima and  that  several secondary maxima  (rather than one) are shown. 

Relative intensity

20

15

10

5

0

θ (degrees)

5

10

15

20

(a ) Relative intensity

20

15

10

5

0

θ (degrees)

5

10

(b )

15

10

5

0

θ (degrees) (c )

5

20

This diffraction minimum eliminates some of the double-slit bright fringes.

Relative intensity

20

15

10

15

20

(a) The intensity plot to be expected in  a double-slit interference experiment with vanish-  ingly narrow slits. (b) The intensity plot for dif-  fraction by a typical slit of width a (not vanishingly  narrow). (c) The intensity plot to be expected for  two slits of width a. The curve of (b) acts as an enve-  lope, limiting the intensity of the double-slit fringes  in (a). Note that the first minima of the diffraction  pattern of (b) eliminate the double-slit fringes that  would occur near 12° in (c).  Figure  36.4.1 

/

1164

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

(a )

(a) Interference  fringes for an actual double-  slit system; compare with  Fig. 36.4.1c. (b) The diffraction  pattern of a single slit; compare  with Fig. 36.4.1b.  Figure  36.4.2 

(b )

Courtesy of Jearl Walker 

Intensity. With diffraction effects taken into account, the intensity of a double-  slit interference pattern is given by  sin  α 2  I(θ) = I m (cos 2  β) (_____    α ) 

(double slit), 

(36.4.1) 

in which 

πd sin  θ β = ___  λ

(36.4.2) 

and 

πa sin  θ.  α = ___  λ

(36.4.3) 

Here d is  the distance between the centers of  the slits and  a is the slit width. Note  carefully that the right side of Eq. 36.4.1 is the product of I m and two factors. (1) The  interference factor cos 2 β is due to the interference between two slits with slit separa-  tion d (as given by Eqs. 35.3.3 and 35.3.4). (2) The diffraction factor [(sin α)/α] 2 is due  to diffraction by a single slit of width a (as given by Eqs. 36.2.2 and 36.2.3).  Let us  check these factors. If we let  a → 0 in  Eq.  36.4.3, for  example, then  α  → 0 and (sin α )/α → 1. Equation 36.4.1 then reduces, as it must, to an equation  describing the interference pattern for a pair of vanishingly narrow slits with slit  separation d. Similarly, putting d = 0 in Eq. 36.4.2 is equivalent physically to caus-  ing the two slits to merge into a single slit of width a. Then Eq. 36.4.2 y ields β = 0  and cos 2 β = 1. In this case Eq. 36.4.1 reduces, as it must, to an equation describ-  ing the diffraction pattern for a single slit of width a.  Language. The  double-slit  pattern described  by  Eq.  36.4.1 and  displayed in  Fig.  36.4.2a combines  interference and  diffraction  in  an  intimate way.  Both  are  superposition  effects, in that they result from the combining of waves with different  phases at a given point.  If the  combining waves originate from a small number of  elementary coherent sources—as in a double-slit experiment with a ⪡ λ—we call the  process interference. If the combining waves originate in a single wavefront—as in  a single-slit experiment—we call the process diffraction. This distinction  between  interference and diffraction (which is somewhat arbitrary and not always adhered  to) is a convenient one, but we should not forget that both are superposition effects  and usually both are present simultaneously (as in Fig. 36.4.2a). 

/

36.4  D IF F RAC T ION BY   A  D OU BL E  SL IT  

1165

Checkpoint 36.4.1 

The first diffraction minima on the two sides of a double-slit diffraction pattern happen  to coincide with the fourth side bright fringes at a certain angle θ. (a) How many bright  fringes are in the central diffraction envelope? (b) To shift the coincidence to the fifth side  bright fringe, how should the slit separation be changed? (c) To make the shift by chang-  ing the slit widths instead of the slit separation, how should the widths be changed? 

Sample Problem 36.4.1

Double-slit experiment  with diffraction  of  each  slit included 

6 ytisnetnI

(a) How many bright  interference fringes are within  the  central peak of the diffraction envelope? 

Diffraction envelope m2 = 0 m2 = 7 1

Diffraction envelope 8

I

In a double-slit experiment, the wavelength λ of the light  source is 405 nm, the slit separation d is 19.44 μm, and the  slit width  a is 4.050 μm. Consider the interference of the  light from the two slits and also the diffraction of the light  through each slit. 

2

KEY IDEAS

5

9

0.1

0.2

3

We  first  analyze the  two  basic  mechanisms responsible  for the optical pattern produced in the experiment:  1.  Single-slit  diffraction:  The  limits  of  the  central  peak  are  set by  the  first  minima in  the  diffraction  pattern  due  to  either  slit  individually.  (See  Fig.  36.4.1.) The  angular  locations  of  those  minima  are  given  by  Eq.  36.1.3 (a sin  θ = m λ). Here let us rewrite this equation  as a sin  θ = m 1λ  , with  the subscript  1 referring to  the  one-slit diffraction. For the first minima in the diffrac-  tion pattern, we substitute m 1  = 1, obtaining  a sin θ = λ. 

(36.4.4) 

2.  Double-slit  interference: The  angular locations  of  the  bright  fringes  of  the  double-slit  interference pattern  are given by Eq. 35.2.3, which we can write as  d sin  θ = m 2λ  , 

for m 2  = 0, 1, 2, . . . . 

(36.4.5) 

Here the subscript 2 refers to the double-slit interference.  We  can  locate  the  first  diffraction  mini-  mum  within  the  double-slit  fringe  pattern  by  dividing  Eq.  36.4.5 by Eq.  36.4.4 and solving for  m 2. By doing  so    and then substituting the given data, we obtain 

4 0

This tells us that the bright interference fringe for m 2  = 4  fits  into  the  central peak  of  the  one-slit  diffraction  pat-  tern,  but  the  fringe  for  m 2  = 5  does  not  fit.  Within  the  central diffraction peak we have the central bright fringe  (m 2  = 0), and  four  bright  fringes  (up  to  m 2  = 4) on  each  side of it. Thus, a total of nine bright fringes of the double-  slit interference pattern are within  the central peak of the 

7

8

θ (rad)

0.2

0.3

One side of the intensity plot for a two-slit interfer-  ence experiment. The inset shows  (vertically expanded) the plot  within the first and second side peaks of the diffraction envelope.  Figure  36.4.3 

diffraction envelope. The bright fringes to one side of the  central bright fringe are shown in Fig. 36.4.3.  (b) How many bright fringes are within either of the first  side peaks of the diffraction envelope? 

KEY IDEA The outer limits of the first side diffraction peaks are the  second diffraction minima, each of which is at the angle θ given by a sin θ = m 1  λ with m 1 = 2:    a sin  θ = 2 λ. 

Calculations:

d  19.44 μm  m 2  =  __ =  ________ = 4.8.  a  4.050 μm 

0.1

6

0.3

The m5 double-slit fringe is almost eliminated by the diffraction minimum.

Calculation:

(36.4.6) 

Dividing Eq. 36.4.5 by Eq. 36.4.6, we find  2d  (2)(19.44 μm)  m 2  = ___ =  _____________ = 9.6.  a  4.050 μm 

This  tells us that the second  diffraction minimum occurs  just  before  the  bright  interference  fringe  for  m 2  = 10 in  Eq. 36.4.5. Within either first side diffraction peak we have  the fringes from m 2  = 5 to m 2  = 9, for a total of five bright  fringes of  the  double-slit  interference pattern (shown  in  the  inset  of  Fig.  36.4.3). However, if  the  m 2   = 5  bright  fringe, which is almost eliminated by the first diffraction  minimum, is considered too dim to count,  then only four  bright fringes are in the first side diffraction peak. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

/

1166

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

36.5  DIFFRACTION GRATINGS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.5.1  Describe a diffraction  grating and sketch the 

order number 

interference  pattern it produces in monochromatic  light. 

m of that fringe,  and the wavelength  λ

of the light.  36.5.6  Identify  the reason why there is a maximum 

36.5.2  Distinguish the interference  patterns of a diffrac-  tion grating and a double-slit arrangement. 

order number  for a given diffraction  grating.  36.5.7  Explain  the derivation of the equation for a line’s 

36.5.3  Identify the terms line  and order number.  36.5.4  For a diffraction  grating, relate order number 

half-width  in a diffraction-grating pattern. 

m 

36.5.8  Calculate  the half-width  of a line  at a given angle 

to the path length difference  of rays that give a bright  fringe. 

in a diffraction-grating pattern.  36.5.9  Explain  the advantage of increasing the number 

36.5.5  For a diffraction  grating, relate the slit separation 

d , the angle θ

to a bright fringe  in the pattern, the 

of slits in a diffraction  grating.  36.5.10  Explain  how a grating spectroscope works. 

Key Ideas  ●

A diffraction  grating is a series of “slits” used to sep- 

●

A line’s  half-width  is the angle from its center to the 

arate an incident  wave into its component wavelengths 

point where  it disappears into the  darkness and is 

by separating and displaying their  diffraction maxima. 

given by 

N (multiple) slits results in maxima (lines) 

Diffraction by 

θ such that  d sin  θ = m λ,  for m = 0, 1, 2, . . . 

at angles 

P

d

λ

C

An idealized diffrac-  tion grating, consisting of only five  rulings, that produces an interfer-  ence pattern on a distant viewing  screen C.  Figure  36.5.1 

(maxima). 

λ Δ θ hw  = _________  (half-width).  Nd cos θ

Diffraction Gratings 

One of  the  most useful  tools  in  the  study  of  light  and  of objects that  emit and  absorb  light  is the diffraction  grating. This  device is somewhat like  the double-  slit  arrangement of  Fig. 36.3.1 but  has a much  greater number N of slits,  often  called rulings, perhaps as many as several thousand per millimeter. An idealized  grating consisting of only five slits is represented in Fig. 36.5.1. When monochro-  matic light is sent through the slits, it forms narrow interference fringes that can  be analyzed to determine the  wavelength of  the light. (Diffraction gratings can  also  be opaque  surfaces with  narrow  parallel grooves arranged like  the slits  in  Fig. 36.5.1. Light then scatters back from the grooves to form interference fringes  rather than being transmitted through open slits.)  Pattern. With  monochromatic  light  incident  on  a diffraction  grating,  if  we  gradually increase the number of slits from two to a large number N, the intensity  plot changes from the typical double-slit  plot of Fig. 36.4.1c to a much more com-  plicated one and then eventually to a simple graph like that shown in Fig. 36.5.2a.  Intensity 3

(a) The intensity plot produced by  a diffraction grating with a great many rulings  consists of narrow peaks, here labeled with their  order numbers m. (b) The corresponding bright  fringes seen on the screen are called lines and  are here also labeled with order numbers m. 

2

1

m

=0

1

2

3

θ

0 (a )

Figure 36.5.2 

3

2

1

=0 (b )

m

1

2

3

/

36.5  D IF F RAC T ION  GRAT INGS 

The pattern you would see on a viewing screen using monochromatic  red light from, say, a helium–neon laser is shown  in Fig. 36.5.2b. The  maxima are now very narrow (and so are called lines); they are sepa-  rated by relatively wide dark regions.  Equation. We use a familiar procedure to find the locations of the  bright  lines  on the viewing screen. We first  assume that the screen is  far enough from the grating so that the rays reaching a particular point  P on the screen are approximately parallel when they leave the grat-  ing (Fig. 36.5.3). Then  we apply  to each pair of  adjacent rulings  the  same reasoning we used for double-slit  interference. The separation  d  between rulings  is called the grating spacing. (If N rulings  occupy  a total width  w, then  d = w/N.) The  path length  difference between  adjacent rays is again d sin θ (Fig. 36.5.3), where θ is the angle from the  central axis of the grating (and of the diffraction pattern) to point  P.  A line will be located at P if the path length difference between adja-  cent rays is an integer number of wavelengths :  d sin θ = m λ,  for m = 0, 1, 2, . . . 

(maxima—lines), 

(36.5.1) 

To point P on viewing screen

θ θ

This path length difference between adjacent rays determines the interference.

θ

d

θ

θ

Path length difference between adjacent rays

The rays from the rulings in a diffrac-  tion grating to a distant point P are approximately  parallel. The path length difference between each  two adjacent rays is d sin θ, where  θ is measured as  shown. (The rulings extend into and out of the page.)  Figure  36.5.3 

where λ is the wavelength of the light. Each integer m represents a different line;  hence these integers can be used to label the lines, as in Fig. 36.5.2. The integers  are then called the order numbers, and the lines are called the zeroth-order line  (the central line, with m = 0), the first-order line (m = 1), the second-order line  (m = 2), and so on.  Determining Wavelength. If  we rewrite Eq. 36.5.1 as  θ = sin –1 (m λ /d), we  see that, for a given diffraction  grating, the angle from the central axis to  any  line  (say, the third-order  line)  depends  on  the wavelength of  the light  being  used. Thus, when light of an unknown  wavelength is sent through a diffraction  grating, measurements of  the angles to  the higher-order lines  can be  used  in  Eq. 36.5.1 to determine the wavelength. Even light of several unknown  wave-  lengths can be distinguished and identified in this way. We cannot do that with  the double-slit  arrangement of  Module  35.2, even though  the same equation  and wavelength dependence apply there. In double-slit  interference, the bright  fringes due to different wavelengths overlap too much to be distinguished.  Width  of the  Lines 

A grating’s ability  to  resolve (separate) lines  of  different wavelengths depends  on  the width  of  the lines. We shall here derive an expression for  the half-width  of the central line (the line for which m = 0) and then state an expression for the  half-widths of the higher-order lines. We define the half-width of the central line  as being  the  angle Δθ hw  from  the center  of  the line  at  θ = 0 outward  to  where  the line  effectively ends and  darkness effectively begins with the first minimum  (Fig. 36.5.4). A t such a minimum, the N rays from the N slits of the grating cancel  one another. (The actual width of the central line is, of course, 2(Δθhw ), but line  widths are usually compared via half-widths.)  In  Module  36.1  we  were  also  concerned  with  the  cancellation  of  a  great  many rays, there due to diffraction through a single slit. We obtained Eq. 36.1.3,  which, because of the similarity of the two situations, we can use to find the first  minimum here. It tells  us that  the  first minimum occurs  where the path  length  difference  between  the  top  and  bottom  rays  equals  λ.  For  single-slit  diffrac-  tion,  this  difference is  a sin  θ.  For  a grating of  N rulings, each  separated from  the  next by  distance d, the  distance between the top  and  bottom  rulings  is Nd  (Fig. 36.5.5), and so the path length difference between the top and bottom rays  here is Nd sin Δθhw . Thus, the first minimum occurs where  Nd sin Δθhw  = λ. 

1167

(36.5.2) 

Intensity Δθ hw

θ

0 ° 

The half-width Δθhw  of  the central line is measured from the  center of that line to the adjacent  minimum on a plot of I versus  θ like  Fig. 36.5.2a.  Figure  36.5.4 

Top ray

Δθ hw

To first minimum

Bottom ray

Nd

Δθhw

Path length difference

The top and bottom  rulings of a diffraction grating of N  rulings are separated by Nd. The  top and bottom rays passing through  these rulings have a path length dif-  ference of Nd sin Δθhw , where Δθhw  is the angle to the first minimum.  (The angle is here greatly exagger-  ated for clarity.)  Figure  36.5.5 

/

1168

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

F'

Because Δθhw  is small, sin Δθ hw  = Δθ hw  (in radian  measure). Substituting  this in  Eq. 36.5.2 g ives the half-width of the central line as  E

λ (half-width of central line).  Δ θ hw  = ___  (36.5.3)  Nd  We state without proof that the half-width of any other line depends on its loca-  tion relative to the central axis and is 

F T

θ

θ

λ Δ θ hw  = ________  Nd cos θ

L3

(half-width of line at θ). 

(36.5.4) 

Note that for  light of  a given wavelength λ and  a given ruling  separation d, the  widths  of  the lines decrease with  an increase in  the number N of  rulings. Thus,  of two diffraction gratings, the grating with the larger value of N is better able to  distinguish between wavelengths because its diffraction lines are narrower and so  produce less overlap. 

G

L2

Grating Spectroscope 

C

Diffraction gratings are widely used to determine the wavelengths that are emitted  by sources of light  ranging from lamps to stars. Figure 36.5.6 shows a simple grat-  ing spectroscope in which a grating is used for this purpose. Light from source S is  focused by lens L 1  on a vertical slit S 1  placed in the focal plane of lens L 2. The light    emerging from tube C (called a collimator) is a plane wave and is incident perpen-  dicularly  on  grating  G,  where it  is  diffracted into  a diffraction  pattern,  with  the  m = 0 order diffracted at angle θ = 0 along the central axis of the grating.  We can view the diffraction pattern that would appear on a viewing screen at  any angle θ simply by orienting telescope T in Fig. 36.5.6 to that angle. Lens L 3  of  the telescope then focuses the light diffracted at angle  θ (and at slightly smaller  and  larger angles) onto  a  focal  plane  FF ʹ  within  the  telescope. When  we look  through eyepiece E, we see a magnified view of this focused image.  By changing the angle  θ of the telescope, we can examine the entire diffrac-  tion  pattern. For any order number other than m = 0, the original  light  is spread  out according to wavelength (or color)  so that we can determine, with Eq. 36.5.1,  just what wavelengths are being emitted by the source. If the source emits discrete  wavelengths, what we see as we rotate the telescope horizontally through the angles  corresponding to an order m is a vertical line of color for each wavelength, with the  shorter-wavelength line at a smaller angle θ than the longer-wavelength line.  Hydrogen. For example, the light  emitted by a hydrogen lamp, which  con-  tains hydrogen gas, has four discrete wavelengths in the visible range. If our eyes  intercept this light directly, it appears to be white. If, instead, we view it through  a grating spectroscope, we can distinguish, in several orders, the lines of the four  colors corresponding to these visible wavelengths. (Such lines are called emission  lines.) Four  orders  are represented in  Fig. 36.5.7. In  the central  order  (m = 0),  the lines corresponding to all four wavelengths are superimposed, giving a single  white line at θ = 0. The colors are separated in the higher orders. 

S1

L1

S

A simple type of grat-  ing spectroscope used to analyze  the wavelengths of light emitted by  source S.  Figure  36.5.6 

The higher orders are spread out more in angle.

This is the center of the pattern. m

m

=0

0° 

10° 

=1

m

20° 

30 ° 

=2

m

40 ° 

50 ° 

60° 

=4

70° 

80 ° 

The zeroth, first, second, and fourth orders of the visible emission lines  from hydrogen. Note that the lines are farther apart at greater angles. (They are also  dimmer and wider, although that is not shown here.)  Figure  36.5.7 

/

36.5  D IF F RAC T ION  GRAT INGS 

1169

The visible  emission lines of cadmium,  as seen through a grating  spectroscope.  Figure  36.5.8 

Department of Physics, Imperial College/Science Photo Library/  Science Source 

The  third  order  is  not  shown  in  Fig. 36.5.7 for  the  sake of  clarity;  it  actu-  ally overlaps the second  and fourth  orders. The fourth-order  red line  is missing  because it is  not  formed by the  grating used  here. That is, when  we attempt to  solve Eq. 36.5.1 for the angle θ for the red wavelength when m = 4, we find  that  sin  θ is  greater than  unity,  which  is  not  possible.  The  fourth  order  is then  said  to  be  incomplete for  this  grating; it  might not  be incomplete for  a grating with  greater spacing d, which will spread the lines less than in Fig. 36.5.7. Figure 36.5.8  is a photograph of the visible emission lines produced by cadmium.  Optically  Variable Graphics 

Holograms are made by having laser light  scatter from an object  onto  an emul-  sion.  Once the hologram is developed, an image of the object can be created by  illuminating the hologram with the same type of laser light. The image is arrest-  ing because, unlike common photographs, it has depth, and you can change your  perspective of the object by changing the angle at which you view the hologram.  Holograms were thought  to be an ideal anticounterfeiting measure for credit  cards and other types of personal cards. H owever, they have several disadvantages.  (1) A holographic  image can be sharp when viewed in laser light, which is coher-  ent and incident  from a single direction.  However, the image is murky (“milky”)  when viewed in  the normal light  of a store. (Such  diffuse  light  is  incoherent  and  incident from many directions.) Thus, a store clerk is unlikely to examine a display  on  a credit card closely enough  to see whether it is a legitimate hologram. (2) A  hologram can be easily counterfeited because it is a photograph of an actual object.  A counterfeiter merely m akes a model of that object, then makes a hologram of it,  and then attaches the hologram to a counterfeit credit card.  Most credit cards and many identification  cards now carry optically variable  graphics (OVG), which  produce  an image via the diffraction  of diffuse  light  by  gratings embedded in the device (Fig. 36.5.9). The gratings send out hundreds or  even thousands  of  different orders. Someone viewing the card intercepts some  of  these  orders, and  the combined  light  creates a virtual  image that  is  part of,  say, a credit-card logo. For example, in Fig. 36.5.10a, gratings at point  a produce  a certain image when the viewer is at orientation A, and in Fig. 36.5.10b, gratings  A

a

(a ) B

 otohP kcotS ymalA/94uts Figure  36.5.9 

b

(b )

(a)  Gratings at point a on the surface of an  OVG device send light to a viewer at orientation A, creating  a certain virtual image. (b) Gratings at point b send light to  the viewer at orientation B, creating a different virtual image.  Figure  36.5.10 

A card with OVG. 

/

1170

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

at point  b produce  a different image when  the viewer is at orientation B. These  images a re bright and sharp because the gratings have been designed to be viewed  in diffuse light.  An  OVG  is  very difficult  to  design  because optical  engineers must  work  backwards from  a graphic, such  as a given logo.  The engineers must determine  the grating properties across the OVG if a certain image is to be seen from one  set  of  viewing angles and  a  different image is  to  be  seen from  a different  set  of  viewing angles.  Such  work  requires  sophisticated  programming on  comput-  ers. Once designed, the OVG structure is so complicated that counterfeiting it is  extremely difficult. 

Checkpoint 36.5.1 

The figure shows lines of different orders produced  by a diffraction grating in monochromatic red light.  (a) Is the center of the pattern to the left or right?  (b) In monochromatic green light, are the half-widths of the lines produced in the  same orders greater than, less than, or the same as the half-widths of the lines shown? 

36.6  GRATINGS: DISPERSION AND RESOLVING POWER  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.6.1  Identify dispersion as the spreading apart 

36.6.4  Identify  that for us to resolve lines,  a diffraction 

of the diffraction lines  associated with  different  wavelengths. 

grating must make them distinguishable.  36.6.5  Apply the relationship  between resolving 

D ,  Δλ, angular  separation Δθ, slit  separation d , order number  m, and the angle  θ cor- 

36.6.2  Apply the relationships between dispersion  wavelength difference 

responding to the order number.  36.6.3  Identify the effect  on the dispersion of a diffrac- 

R, wavelength difference  Δλ, average  λavg , number of rulings N, and order  number  m.  36.6.6  Identify  the effect  on the resolving power R if the  number  of slits N is increased.  power 

wavelength 

tion grating if the slit separation is varied. 

Key Ideas 

D of a diffraction grating is a measure  Δθ of the lines  it produces for  two wavelengths differing  by Δλ. For order number m ,  ●

The dispersion 

of the angular separation 

θ

at angle  , the dispersion is given by 

Δθ = _______  m  D = ___  Δ λ d cos  θ

(dispersion). 

●

The resolving power 

R of a diffraction  grating is a 

measure of its ability  to make the emission lines of  two close wavelengths distinguishable.  For two wave- 

Δ λ and with  an average value of  λavg , the resolving power is given by  λavg  R =  ____ = Nm  (resolving power).  Δ λ lengths differing  by 

Gratings: Dispersion and Resolving Power  Dispersion 

To  be  useful  in  distinguishing  wavelengths that  are close  to  each  other  (as  in  a grating spectroscope), a grating must spread apart the diffraction lines  associ-  ated with the various wavelengths. This spreading, called dispersion, is defined as  Δθ D = ___  Δ λ

(dispersion d efined). 

(36.6.1) 

/

36.6  GRAT INGS:  D ISP ERSION  AND  RESOL V ING  P OWER 

1171

m  D =  _______  d cos θ

(dispersion o f a grating). 

(36.6.2) 

Thus, to achieve higher dispersion we must use a grating of smaller grating spac-  ing d and work in a higher-order m. Note that the dispersion does not depend on  the number of rulings N in the grating. The SI unit for D is the degree per meter  or the radian per meter.  Resolving  Power 

To resolve lines whose wavelengths are close together (that is, to make the lines  distinguishable), the line should  also be as narrow as possible. Expressed other-  wise, the grating should  have a high resolving power R, defined as 

λavg 

R = ____  Δλ

(resolving power defined). 

 shpargotohP  latnemadnuF/nnamhcorB netsirK

Here Δθ is the angular separation of two  lines whose wavelengths differ by Δλ.  The greater D is, the greater is the distance between two emission lines  whose  wavelengths differ  by  Δλ.  We  show  below  that  the  dispersion  of  a  grating at  angle θ is given by 

The fine rulings, each 0.5 μm wide, on  a compact disc function as a diffraction  grating. When a small source of white  light illuminates  a  disc,  the diffracted  light forms colored “lanes” that are the  composite  of  the  diffraction  patterns  from the rulings.  FCP 

(36.6.3) 

Here λavg is the mean wavelength of two emission lines that can barely be recog-  nized as separate, and Δλ is the wavelength difference between them. The greater  R is,  the  closer two  emission  lines  can be  and  still  be  resolved. We shall  show  below that the resolving power of a grating is given by the simple expression  R = Nm 

(resolving power of a grating). 

(36.6.4) 

To achieve high resolving power, we must use many rulings (large N).  Proof of Eq.  36.6.2 

Let us start with Eq. 36.5.1, the expression for the locations of the lines in the dif-  fraction pattern of a grating:  d sin  θ = m λ.  Let us regard θ and λ as variables and take differentials of this equation. We find  d(cos θ) d θ = m dλ.  For  small  enough  angles, we can  write  these differentials  as small  differences,  obtaining  d(cos θ ) Δθ = m Δ λ (36.6.5)  or 

Δ θ =  _______  m  .  ___  Δλ

d cos θ

The ratio on the left is simply D (see Eq. 36.6.1), a nd so we have indeed derived  Eq. 36.6.2.  Proof of Eq.  36.6.4 

We start with  Eq. 36.6.5, which was derived from Eq. 36.5.1, the expression for  the locations of the lines in the diffraction pattern formed by a grating. Here Δλ is the small wavelength difference between two waves that are diffracted by the  grating, and Δθ is the angular separation between them in the diffraction pattern.  If Δθ is to  be the smallest angle that  will permit the two  lines to be resolved, it  must (by  Rayleigh’s criterion) be  equal to  the  half-width  of  each line,  which  is  given by Eq. 36.5.4: 

λ .  Δ θhw  = _________  Nd cos θ

/

1172

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

a

Table 36.6.1  Three Gratings 

N 

d (nm) 

θ

D (°/μ m) 

R 

A 

10 000 

2540 

13.4° 

23.2 

10 000 

B 

20 000 

2540 

13.4° 

23.2 

20 000 

C 

10 000 

1360 

25.5° 

46.3 

10 000 

Grating 

Data are for λ = 589 nm and m = 1. 

a 

ytisnetnI 0

λ = m Δλ,  __ 

A

13.4 ° 

from which it readily follows that 

θ (degrees)

This is Eq. 36.6.4, which we set out to derive. 

B

13.4 ° 

Dispersion  and Resolving  Power Compared 

θ (degrees) Grating

ytisnetnI 0

N 

λ = Nm.  R = ___  Δλ

Grating

ytisnetnI 0

If we substitute Δθhw  as given here for Δθ in Eq. 36.6.5, we find  that 

Grating

C

25.5 ° 

θ (degrees)

The intensity patterns  for light of two wavelengths sent  through the gratings of Table 36.6.1.  Grating B has the highest resolving  power, and grating C the highest  dispersion.  Figure  36.6.1 

The  resolving  power  of  a  grating  must  not  be  confused  with  its  dispersion.  Table 36.6.1 shows the characteristics of three gratings, all illuminated with light  of wavelength λ = 589 nm, whose diffracted light is viewed in the first order (m = 1  in Eq. 36.5.1). Y ou should  verify that the values of D and R as given in the table  can be  calculated with  Eqs.  36.6.2 and  36.6.4, respectively. (In  the  calculations  for D, you will need to convert radians per meter to degrees per micrometer.)  For  the  conditions  noted  in  Table  36.6.1, gratings A and  B  have the  same  dispersion D and A and C have the same resolving power R.  Figure 36.6.1 shows the intensity patterns (also called line shapes) that would  be produced by these g ratings for two lines of wavelengths λ1 and λ2 , in the vicinity  of  λ = 589 nm. Grating B, with  the  higher  resolving power,  produces narrower  lines and thus  is capable of distinguishing  lines that are much  closer together in  wavelength than those  in the figure. Grating C, with the higher dispersion,  pro-  duces the greater a ngular separation between the lines. 

Checkpoint 36.6.1 

If we cover half a grating with opaque tape, what happens to resolving power R of the  grating? 

Sample Problem 36.6.1

Dispersion  and  resolving power  of a diffraction  grating 

A diffraction grating has 1.26 × 10 4 rulings uniformly spaced  over width  w = 25.4 mm. It is  illuminated  at normal inci-  dence by yellow light from a sodium vapor lamp. This light  contains  two closely  spaced emission  lines  (known  as the  sodium doublet) of wavelengths 589.00 nm and 589.59 nm.  (a)  At  what  angle  does  the  first-order  maximum occur  (on either side of the center of the diffraction pattern) for  the wavelength of 589.00 nm? 

KEY IDEA The  maxima produced  by  the  diffraction  grating can  be  determined with Eq. 36.5.1 (d sin θ = mλ). 

Calculations:

The grating spacing d is  −3 

w  =  25.4 × 10  m  ____________  d = __  N  1.26 × 10 4  = 2.016 × 10 −6 m = 2016 nm.  The first-order maximum corresponds to m = 1. Substitut-  ing these values for d and m into Eq. 36.5.1 leads to  (1)(589.00 nm)  m λ = sin −1  ______________  θ = sin −1  ___  d  2016 nm  = 16.99° ≈ 17.0°. 

(Answer) 

(b) Using the dispersion of the grating, calculate the angu-  lar separation between the two lines in the first order. 

/

36.7  X- RAY   D IF F RAC T ION 

KEY IDEAS (1) The  angular separation Δθ between the  two  lines in  the  first  order  depends  on  their  wavelength difference  Δλ and  the  dispersion  D  of  the  grating,  according  to  Eq. 36.6.1 (D = Δ θ/Δλ). (2) The dispersion D depends on  the angle θ at which it is to be evaluated.  We can assume that, in the first order, the  two sodium lines occur close enough to each other for us  to evaluate D  at the angle θ = 16.99° we found in part (a)  for  one  of  those lines. Then Eq. 36.6.2 gives the disper-  sion  as  m  =  ____________________  1  D =  _______  d cos θ (2016 nm )(cos 16.99° )  Calculations:

= 5.187 × 10 −4 rad / nm. 

From Eq. 36.6.1 a nd with Δλ in nanometers, we then have  Δθ = D Δλ = (5.187 × 10 −4 rad / nm) (589.59 − 589.00 )  = 3.06 × 10 −4 rad = 0.0175°. 

1173

(c) What is the least number of rulings a grating can have  and still be able to resolve the sodium doublet in the first  order? 

KEY IDEAS (1) The  resolving power  of  a  grating in  any order  m  is  physically set by the  number of  rulings  N  in  the grating  according to Eq. 36.6.4 (R = Nm). (2) The smallest wave-  length difference Δλ that can be resolved depends on the  average wavelength involved and on  the resolving power  R of the grating, according to Eq. 36.6.3 (R = λavg /Δλ).  For the sodium doublet to be barely resolved,  Δλ must be  their wavelength separation  of  0.59  nm, and  λavg must be their average wavelength of 589.30 nm. Thus,  we find that the smallest number of rulings for a grating to  resolve the sodium doublet is  Calculation:

R  λ avg  N = __ = _____  m  m Δλ

(Answer) 

589.30 nm  = 999 rulings.  = ____________  (1)(0.59 nm) 

You can show that this result depends on the grating spacing  d but not on the number of rulings there are in the grating. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

36.7  X-RAY DIFFRACTION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

36.7.1  Identify approximately where  x rays are located 

36.7.5  For the intensity maxima in  x-ray scattering by 

in the electromagnetic spectrum. 

a crystal, apply the relationship between  the inter- 

d θ of scattering, the order  m , and the wavelength  λ of the x rays. 

36.7.2  Define  a unit  cell. 

planar  spacing  , the angle 

36.7.3  Define  reflecting planes (or crystal planes) and 

number 

interplanar spacing. 

36.7.6  Given a drawing of a unit  cell,  demonstrate how 

36.7.4  Sketch two rays that scatter from adjacent 

an interplanar  spacing can be determined. 

planes, showing the angle  that is used in  calculations. 

Key  Ideas  ●

If x rays are directed toward a crystal structure, they 

●

For x rays of wavelength 

d

λ scattering from crystal  θ at which  the 

undergo Bragg scattering, which  is easiest to visualize 

planes with  separation  , the angles 

if the crystal atoms are considered to be in parallel 

scattered intensity  is maximum are given by 

planes. 

2d sin  θ = m λ, 

for 

m = 1, 2, 3, . . . 

(Bragg’s law). 

X-Ray Diffraction 

X rays are electromagnetic radiation whose wavelengths are of the order of 1 Å  (=  10 –10  m). Compare this  with  a wavelength of  550 nm (=  5.5 × 10 –7 m) at the 

/

1174

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

C

T

F

X rays

W

center of the visible spectrum. Figure 36.7.1 shows that x rays are produced when  electrons escaping from a heated filament F are accelerated by a potential differ-  ence V and strike a metal target T.  A standard optical diffraction grating c annot be used to discriminate between  different  wavelengths in  the  x-ray wavelength range.  For  λ = 1 Å  (=  0.1  nm)  and  d = 3000 nm,  for  example, Eq.  36.5.1 shows  that  the  first-order  maximum  occurs at  m λ = sin −1  (1)(0.1 nm)  ___________ = 0.0019° .  θ = sin −1 ___  d  3000 nm 

V

X rays  are generated  when electrons leaving heated fila-  ment F are accelerated through a  potential difference V and strike a  metal target T. The “window” W in  the evacuated chamber C is transpar-  ent to x rays.  Figure  36.7.1 

This  is too  close to the central maximum to be practical. A grating with  d ≈ λ is  desirable, but,  because x-ray wavelengths are about  equal to  atomic diameters,  such gratings cannot be constructed mechanically.  In  1912, it  occurred to  German physicist  Max von  Laue that  a crystalline  solid,  which  consists  of  a regular array of  atoms, might  form a natural three-  dimensional “diffraction grating” for  x rays. The idea is that, in  a crystal such  as sodium  chloride (NaCl), a basic unit  of  atoms (called the unit  cell) repeats  itself throughout the array. Figure 36.7.2a represents a section through a crystal  of  NaCl and identifies  this  basic unit.  The unit  cell is  a cube measuring a 0   on  each side.  When an x-ray beam enters a crystal such as NaCl, x rays are scattered —that  is,  redirected—in  all directions  by  the  crystal structure. In  some  directions  the  scattered waves undergo destructive interference, resulting in  intensity minima;  in other directions the interference is constructive, resulting in intensity maxima.  This process of scattering and interference is a form of diffraction.  Fictional Planes. Although  the  process of  diffraction  of  x rays by  a  crys-  tal is complicated, the maxima turn  out  to be in directions  as if the x rays were  3 Incident x rays

Cl –

Na+

2

1

θ

θ

d

θ

θ

d

θ

θ

a0

a0

(a)

(b )

Ray 2

Ray 1

θ d

d

θ

sin θ

d

θ (c )

θ θ

sin

d

θ

d

θ

The extra distance of ray 2 determines the interference.

d

θ

θ θ

θ θ

θ

(d )

(a) The cubic structure of NaCl, showing the sodium and chlorine ions and  a unit cell (shaded). (b) Incident x rays undergo diffraction by the structure of (a). The  x rays are diffracted as if they were reflected by a family of parallel planes, with angles  measured relative to the planes (not relative to a normal as in optics). (c) The path  length difference between waves effectively reflected by two adjacent planes is 2d sin  θ.  (d) A different orientation of the incident x rays relative to the structure. A different  family of parallel planes now effectively reflects the x rays.  Figure  36.7.2 

/

1175

36.7  X- RAY   D IF F RAC T ION 

reflected by a family of  parallel reflecting planes (or crystal planes) that extend  through the atoms within the crystal and that contain regular arrays of the atoms.  (The x rays are not  actually reflected; we use these fictional planes only  to sim-  plify the analysis of the actual diffraction process.)  Figure 36.7.2b shows three reflecting planes (part of a family containing many  parallel planes) with  interplanar spacing d, from  which  the incident rays shown  are said to reflect. Rays 1, 2, and 3 reflect from the first, second, and third planes,  respectively. At each reflection the angle of incidence and the angle of reflection  are represented with  θ. Contrary to the custom in optics, these angles are defined  relative to the surface of the reflecting plane rather than a normal to that surface.  For  the situation of Fig. 36.7.2b, the interplanar spacing happens to be equal to  the unit cell dimension a 0  .  Figure 36.7.2c shows an edge-on view of reflection from an adjacent pair of  planes. The waves of  rays 1 and  2 arrive at the crystal in  phase. After they are  reflected, they must again be in phase because the reflections and the reflecting  planes have been defined solely to explain the intensity maxima in the diffraction  of x rays by a crystal. U nlike light rays, the x rays do not refract upon entering the  crystal; moreover, we do not define an index of refraction for this situation. Thus,  the relative phase between the waves of rays 1 and 2 as they leave the crystal is  set solely by their path length difference. For these rays to be in phase, the path  length difference must be equal to an integer multiple of the wavelength λ of the  x rays.  Diffraction Equation. By drawing the dashed perpendiculars in Fig. 36.7.2c,  we find that the path length difference is 2d sin  θ. In fact, this is true for any pair  of  adjacent planes in  the family of  planes represented in  Fig. 36.7.2b. Thus,  we  have, as the criterion for intensity maxima for x-ray diffraction,  2d sin  θ = m λ, 

for m = 1, 2, 3, . . . 

(Bragg’s law), 

(36.7.1) 

where m is the order number of an intensity maximum. Equation 36.7.1 is called  Bragg’s law after British physicist W. L. Bragg, who  first derived it. (He and his  father shared the 1915 Nobel Prize in physics for their use of x rays to study the  structures of crystals.) The angle of incidence and reflection in Eq. 36.7.1 is called  a Bragg a ngle.  Regardless of the angle at which x rays enter a crystal, there is always a fam-  ily of planes from which they can be said to reflect so that we can apply Bragg’s  law. In Fig. 36.7.2d, notice that the crystal structure has the same orientation as it  does in Fig. 36.7.2a, but the angle at which the beam enters the structure differs  from that shown in Fig. 36.7.2b. This new angle requires a new family of reflecting  planes, with a different interplanar spacing d and different Bragg a ngle θ , in order  to explain the x-ray diffraction via Bragg’s law.  Determining a Unit Cell. Figure 36.7.3 shows  how  the interplanar spacing  d can be related to the unit cell dimension a 0  . For the particular family of planes  shown  there, the Pythagorean theorem gives  ____ 

–1– a 0 2

5  2  5d = √ _  a  ,  4  0  

or 

a 0   _ = 0.2236  d =  _____  a 0.   √ 20 

a0

d

5d

(36.7.2) 

Figure 36.7.3 suggests how the dimensions of the unit  cell can be found  once the  interplanar spacing has been measured by means of x-ray diffraction.  X-ray  diffraction  is  a  powerful  tool  for  studying  both  x-ray  spectra  and  the  arrangement of  atoms in  crystals. To  study  spectra, a particular set of  crys-  tal planes, having a known  spacing d, is chosen. These planes effectively reflect  different  wavelengths at different  angles. A detector  that  can discriminate one  angle from another  can then  be used  to  determine the wavelength of  radiation 

A family of planes  through the structure of Fig. 36.7.2a,  and a way to relate the edge length  a 0  of a unit cell to the interplanar  spacing d.  Figure  36.7.3 

/

1176

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

reaching it. The crystal itself can be studied with a monochromatic x-ray beam, to  determine not only the spacing of various crystal planes but also the structure of  the unit cell. 

Checkpoint 36.7.1 

The figure gives the  a intensity versus diffraction  b I angle for the diffraction  c of a monochromatic x-ray  beam by a particular fam-  17º 35º 59º ily of reflecting planes in  a crystal. Rank the three  intensity peaks according to the associated path length differences of the x rays,  greatest first. 

90º

Review & Summary When waves encounter an edge, an obstacle, or  an aperture the size of which is comparable to the wavelength of  the waves, those waves spread out as they travel and, as a result,  undergo interference. This is called diffraction.  Diffraction 

Waves passing through a long nar-  row  slit  of  width a  produce, on  a  viewing screen,  a  single-slit  diffraction pattern that includes a  central maximum and other  maxima, separated by minima located at angles  θ to the central  axis that satisfy  Single-Slit Diffraction 

a sin  θ = mλ, 

for m = 1, 2, 3, . . .  (minima).  (36.1.3) 

The intensity of the diffraction pattern at any given angle θ is  sin  α ,  where α = ___  πa sin θ I( θ) = I m  ( _____  α )  2 

λ

(36.2.2, 36.2.3) 

Waves passing  through two slits,  each of width a, whose  centers are  a distance d  apart, display  diffraction patterns whose intensity I at angle θ is  Double-Slit  Diffraction 

α 2  _____  I( θ) = I m (cos 2  β)  ( sin  α )  (double slit),  with β = ( πd /λ ) sin  θ and α as for single-slit diffraction. 

A  diffraction  grating  is  a  series  of  “slits”  used  to  separate  an  incident wave  into  its  component  wavelengths by separating and displaying their diffraction max-  ima. Diffraction by N (multiple) slits results in maxima (lines) at  angles θ such that  Diffraction  Gratings 

d sin  θ = mλ , 

λ Δ θhw  = _________  Nd cos θ (half-widths). 

Diffraction  by  a  circular  aperture or a lens with diameter d produces a central maximum  and concentric  maxima and minima, with the first minimum at  an angle θ given by 

λ (first minimum—circular aperture).  sin θ = 1.22  __  d 

Rayleigh’s criterion suggests that two  objects are  on the verge  of  resolvability if  the central  diffrac-  tion maximum of one is at the first minimum of the other. Their  angular separation can then be no less than  (Rayleigh’s criterion), 

(36.3.3) 

in  which d  is  the  diameter of the aperture  through which the  light passes. 

(36.5.1) 

(36.5.4) 

The dispersion D and resolving power R are given by 

and 

Δθ = ______  m  D = ___  Δ λ d cos θ

λavg 

R = ____  = Nm.  Δ λ

(36.3.1) 

Rayleigh’s Criterion 

λ θR  = 1.22  __  d 

for m = 0, 1, 2, . . .  (maxima), 

with the half-widths of the lines given by 

and I m  is the intensity at the center of the pattern.  Circular-Aperture  Diffraction 

(36.4.1) 

(36.6.1, 36.6.2)  (36.6.3, 36.6.4) 

The regular array  of atoms in a  crystal  is  a three-dimensional diffraction grating for  short-wavelength  waves such  as  x  rays.  For analysis purposes, the atoms can be  visualized  as  being  arranged  in  planes  with  characteristic  interplanar spacing d. Diffraction maxima (due to constructive  interference) occur  if the incident direction of the wave, mea-  sured from the surfaces of these planes, and the wavelength λ of  the radiation satisfy Bragg’s law:  X-Ray  Diffraction 

2d sin θ = mλ,  for m = 1, 2, 3, . . .  (Bragg’s law). 

(36.7.1) 

/

QU EST IONS 

1177

Questions You  are  conducting  a  single-slit  diffraction  experiment  with light of wavelength λ. What appears, on a distant viewing  screen,  at a  point at which the top and bottom rays  through  the  slit  have  a  path  length  difference  equal  to  (a)  5λ and  (b) 4.5λ ?  1 

In  a  single-slit  diffraction experiment, the top and  bottom  rays  through  the slit  arrive  at  a  certain  point on  the  viewing  screen  with  a  path  length difference  of  4.0 wavelengths.  In  a  phasor representation like those in Fig. 36.2.1, how many over-  lapping circles does the chain of phasors make?  2 

For  three  experiments,  Fig.  36.1  β gives  the  parameter  β of  Eq.  36.4.2  A versus angle θ for two-slit interference  B using light of wavelength 500 nm. The  slit  separations  in  the  three  experi-  C ments  differ.  Rank  the  experiments  according  to  (a)  the  slit  separations  π/2 and  (b)  the  total number of  two-slit  0 θ (rad) interference  maxima  in  the  pattern,  Figure  36.1  Question 3.  greatest first.  3 

For  three  experiments,  Fig.  36.2  gives α versus angle θ in one-slit diffrac-  tion  using light of  wavelength 500 nm.  Rank the experiments according to (a)  the slit widths and (b) the total number  of  diffraction  minima  in  the  pattern,  greatest first.  4 

 A B

C

π/2 Figure 36.3 shows four choices for  0 θ (rad) the  rectangular  opening  of  a  source  of either  sound  waves  or  light waves.  Figure  36.2  Question 4.  The  sides have lengths of either L  or 2L, with L being 3.0 times  the wavelength of the waves. Rank the openings according to the  extent of (a) left–right spreading and (b) up–down spreading of the  waves due to diffraction, greatest first.  5 

(a)  For  a  given  diffraction  grating, does  the  smallest  dif-  ference  Δλ in  two  wavelengths  that can  be  resolved  increase,  decrease,  or  remain  the  same  as  the  wavelength  increases?  (b)  For a given wavelength region (say, around 500 nm), is  Δλ greater in the first order or in the third order?  8 

Figure 36.4 shows a red line and  a green line of the same order in the  pattern  produced  by  a  diffraction  Figure  36.4  Questions 9  grating. If we increased the number  and 10.  of  rulings  in  the  grating—say,  by  removing tape  that had covered  the outer  half of the rulings—  would (a) the half-widths of the lines and (b) the separation of the  lines increase, decrease, or remain the same? (c) Would the lines  shift to the right, shift to the left, or remain in place?  9 

For the  situation of Question 9  and  Fig. 36.4, if  instead  we  increased the grating spacing, would (a) the half-widths of the lines  and (b)  the separation  of the lines  increase, decrease,  or  remain  the same? (c)  Would the lines shift to the right, shift to the left, or  remain in place?  10 

(a)  Figure  36.5a  shows  the  lines  produced  by  diffraction  gratings A and B using light of the same wavelength; the lines are  of the same order and appear at the same angles θ. Which grating  has the greater number of rulings? (b) Figure 36.5b shows lines of  two orders produced by a single diffraction grating using light of  two wavelengths, both in the red region of the spectrum. Which  lines, the left pair or right pair, are in the order with greater m?  Is the center of the diffraction pattern located to the left or to the  right in (c) Fig. 36.5a and (d) Fig. 36.5b?  11 

A

B

(a )

(b )

Figure  36.5 

Question 11. 

Figure  36.6 shows  the  bright fringes that lie within  A the central diffraction enve-  lope in two double-slit dif-  B fraction experiments  using  the same wavelength of light.  Figure  36.6  Question 12.  Are (a) the slit width a, (b)  the slit separation d, and (c) the ratio d/a in experiment B greater  than, less than, or the same as those quantities in experiment A?  12 

(1)

(2) Figure  36.3 

(3)

(4)

Question 5. 

Light  of  frequency  f  illuminating a  long  narrow  slit  pro-  duces a diffraction pattern. (a) If we switch to light of frequency  1.3f, does the pattern expand away from the center or  contract  toward the center? (b) Does the pattern expand or contract if,  instead, we submerge the equipment in clear corn syrup?  6 

At  night many  people see  rings  (called  entoptic  halos)  sur-  rounding bright outdoor lamps  in otherwise dark  surroundings.  The  rings are the first of the side maxima in diffraction patterns  produced by structures  that are thought to be within the cornea  (or possibly the lens) of the observer’s  eye. (The central maxima  of such  patterns  overlap the lamp.) (a)  Would a  particular  ring  become smaller or larger if the lamp were switched from blue to  red light? (b) If a lamp emits white light, is blue or red on the out-  side edge of the ring?  7 

In  three arrangements  you view two closely spaced  small  objects that are  the same  large  distance from you. The  angles  that the objects occupy in your field of view and their distances  from you are the following: (1) 2ϕ and R; (2) 2ϕ and 2R; (3)  ϕ/2  and R/2. (a) Rank the arrangements according to the separation  between the objects, greatest first. If you can just barely resolve  the  two  objects  in  arrangement  2,  can  you  resolve  them  in  (b) arrangement 1 and (c)  arrangement 3?  13 

For a certain diffraction grating, the ratio λ/a of wavelength  to ruling spacing is 1/3.5. Without written calculation or  use of  a calculator, determine which of the orders  beyond the zeroth  order appear in the diffraction pattern.  14 

/

1178

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 36.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Single-Slit Diffraction 

The  distance  between  the  first  and  fifth minima  of  a single-slit diffraction pattern is 0.35 mm with the screen  40 cm  away  from  the  slit, when  light of  wavelength  550 nm is  used.  (a)  Find the  slit  width.  (b)  Calculate  the  angle  θ of  the  first  diffraction minimum.  1 

E 

GO 

What must be the ratio of the slit width to the wavelength  for a single slit to have the first diffraction minimum at θ = 45.0°?  2  E 

E  A  plane wave  of wavelength  590 nm is  incident on a  slit  with  a  width of  a = 0.40 mm. A  thin converging  lens  of  focal  length +70 cm is  placed between the slit  and a viewing screen  and focuses  the light on the screen.  (a)  How far  is  the screen  from the lens? (b) What is the distance on the screen  from the  center of the diffraction pattern to the first minimum? 

3 

In conventional television, signals are broadcast from tow-  ers to home receivers. Even when a receiver is not in direct view  of a  tower because of a  hill or  building, it can  still intercept a  signal if the signal diffracts enough around the obstacle, into the  obstacle’s “shadow region.” Previously, television signals had a  wavelength of about 50 cm, but digital television signals that are  transmitted from towers  have a  wavelength of about 10 mm.  (a) Did this change in wavelength increase or decrease the dif-  fraction of the signals  into the shadow regions  of obstacles?  Assume that a signal passes through an opening of 5.0 m width  between two adjacent buildings. What is the angular spread of  the central diffraction  maximum (out to the first minima) for  wavelengths of (b) 50 cm and (c) 10 mm?  4  E 

A single slit is illuminated by light of wavelengths λa  and λb ,  chosen so that the first diffraction minimum of the λa  component  coincides with  the second  minimum of  the  λb  component. (a)  If  λ b  = 350 nm, what is  λa ? For what order number m b  (if any)  does  a minimum of the  λb  component coincide with the mini-  mum of the λa  component in the order  number (b)  m a  = 2 and  (c) m a  = 3? 

Along that wall, how far from the central axis will a listener be at  the first diffraction minimum and thus have difficulty hearing the  sound? (Neglect reflections.)  SSM  A slit 1.00 mm wide is illuminated by light of wave-  length 589 nm. We see a diffraction pattern on a screen  3.00 m  away.  What  is  the  distance  between the  first  two  diffraction  minima on the same side of the central diffraction maximum? 

9  M 

M  GO  Manufacturers  of wire (and other objects of small  dimension) sometimes use a  laser  to continually monitor the  thickness of the product. The  wire intercepts the laser  beam,  producing  a  diffraction  pattern  like  that  of  a  single  slit  of  the same  width as  the wire  diameter (Fig.  36.8). Suppose  a  helium–neon laser, of wavelength 632.8 nm, illuminates a wire,  and  the  diffraction  pattern  appears  on  a  screen  at  distance  L = 2.60 m. If the desired wire diameter is 1.37 mm, what is the  observed distance between the two  tenth-order minima (one  on each side of the central maximum)? 

10 

Monochromatic light of wavelength 441 nm is  incident on  a  narrow  slit. On  a  screen  2.00 m away, the  distance between  the  second  diffraction minimum  and  the central  maximum is  1.50 cm. (a)  Calculate the angle of diffraction  θ of the second  minimum. (b) Find the width of the slit.  6  E 

Light of wavelength 633 nm is incident on a narrow slit. The  angle between the first diffraction minimum on one side of the  central  maximum and  the first  minimum on  the  other  side  is  1.20°. What is the width of the slit?  7  E 

Sound waves  with frequency  3000 Hz  and  speed  343  m/s  dif-  fract  through  the  rectangular  opening of a  speaker  cabinet and  into  a  large  auditorium of  length  d = 100 m.  The  opening,  which  has  a  horizontal width of 30.0 cm,  faces a wall 100 m away (Fig. 36.7). 

Speaker cabinet

Central axis

d

Figure  36.7 

Problem 8. 

Wire-making machine

L

Wire

5  E 

8  M 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

He-Ne laser Figure  36.8 

Module 36.2 

Problem 10. 

Intensity in Single-Slit Diffraction 

A 0.10-mm-wide slit is illuminated by light of wavelength  589  nm. Consider a  point P  on a viewing screen  on which the  diffraction pattern of the slit is viewed; the point is at 30° from  the central axis of the slit. What is the phase difference between  the Huygens wavelets arriving at point P from the top and mid-  point of the slit? (Hint: See Eq. 36.2.1.)  11  E 

E  Figure  36.9  gives  α ver-   (rad) sus  the  sine  of  the  angle  θ in  a   single-slit diffraction experiment  using light of wavelength 610 nm.  The  vertical  axis  scale  is  set  by  αs = 12  rad. What are (a)  the slit  sin θ width,  (b)  the  total  number  of  0 0.5 1 diffraction minima in the pattern  Figure  36.9  Problem 12.  (count them on both sides of the  center of the diffraction pattern), (c)  the least angle for a mini-  mum, and (d) the greatest angle for a minimum? 

12 

s

/

P ROBL EMS 

Monochromatic light with wavelength 538 nm is incident on  a slit with width 0.025 mm. The  distance from the slit to a screen  is  3.5 m. Consider  a point on the screen  1.1 cm from the  central  maximum. Calculate (a)  θ for that point, (b)  α, and (c) the ratio of  the intensity at that point to the intensity at the central maximum.  13  E 

In the single-slit diffraction experiment of Fig. 36.1.4, let the  wavelength of the light be 500 nm, the slit width be 6.00 μm, and  the viewing screen  be at distance D = 3.00 m. Let a y axis extend  upward  along the viewing screen, with its  origin at the center of  the diffraction pattern. Also let I P represent the intensity of the dif-  fracted light at point P at y = 15.0 cm. (a) What is the ratio of I P to  the intensity I m  at the center of the pattern? (b) Determine where  point P  is  in the  diffraction pattern by giving the maximum and  minimum between which it lies, or the two minima between which  it lies.  14  E 

SSM  The full width at half-maximum (FWHM) of a central  diffraction maximum is defined as the angle between the two points  in the pattern where  the intensity is one-half that at the center of  the pattern. (See Fig. 36.2.2b.) (a) Show that the intensity drops to  one-half the  maximum value when  sin 2  α = α2 /2.  (b)  Verify  that  α = 1.39 rad  (about 80°) is  a solution to the transcendental equa-  tion of  (a).  (c)  Show that the  FWHM is  Δθ  = 2  sin –1 (0.442λ/a),  where a is the slit width. Calculate the FWHM of the central maxi-  mum for slit width (d) 1.00λ, (e) 5.00λ, and (f) 10.0λ. 

15  M 

Screen P

x

diameter of the observer’s  eye  to be 4.0 mm, and  the wave-  length of the room light to be 550 nm?  BIO  (a) How far from grains of red sand must you be to  position yourself just at the limit of resolving the grains if your  pupil diameter is  1.5 mm, the  grains  are  spherical  with radius  50 μm,  and the  light from the  grains  has  wavelength 650 nm?  (b)  If the grains were  blue and the light from them had wave-  length 400 nm, would the answer to (a) be larger or smaller? 

19  E 

The radar system of a navy cruiser transmits at a wavelength  of 1.6 cm, from a  circular antenna with a  diameter of 2.3 m. At  a range  of 6.2 km, what is the smallest distance that two speed-  boats can be from each other and still be resolved as two separate  objects by the radar system?  20  E 

E  BIO  SSM  Estimate the linear separation  of  two objects  on Mars  that can just be resolved under ideal conditions by an  observer on Earth (a) using the naked eye and (b) using the 200 in.  (=  5.1 m)  Mount  Palomar telescope.  Use  the  following data:  distance  to  Mars = 8.0 × 10 7  km,  diameter  of  pupil = 5.0 mm,  wavelength of light = 550 nm. 

21 

BIO  Assume that Rayleigh’s criterion gives the limit of reso-  lution of an astronaut’s eye looking down on Earth’s surface from  a typical space  shuttle altitude of 400 km. (a)  Under that  ideal-  ized assumption, estimate  the smallest  linear  width  on Earth’s  surface that the astronaut can resolve. Take the astronaut’s pupil  diameter  to be 5 mm and the wavelength of visible  light to  be  550  nm. (b)  Can the astronaut resolve  the Great Wall of China  (Fig. 36.11), which  is  more  than  3000 km long, 5  to 10 m  thick  at its base, 4 m thick at its top, and 8 m in height? (c)  Would the  astronaut be able to resolve any unmistakable sign of intelligent  life on Earth’s surface? 

22  E 

(a ) x

A

B

(b )

Figure  36.10  Problem 16.  (a) Show that the values of α at which intensity maxima for  single-slit diffraction occur can be found exactly by differentiat-  ing Eq. 36.2.2 with respect to  α and equating the result to zero,  obtaining the condition tan α = α. To find values of α satisfying  this relation, plot the curve y = tan α and the straight line y = α and then find their intersections, or use a  calculator to find  an  1  π,  appropriate value of α by trial and error. Next, from α = (m + _  2 ) determine  the values  of m  associated  with  the maxima in the  single-slit  pattern.  (These  m  values  are  not  integers  because  secondary maxima do not lie exactly halfway between minima.)  What are the (b) smallest α and (c)  associated m, the (d) second  smallest α and (e) associated m, and the (f) third smallest α and  (g) associated m? 

 sotohP dlroW ediW/PA©

M  Babinet’s  principle.  A  monochromatic  beam  of  parallel  light  is  incident  on  a  “collimating” hole of diam-  eter  x ⪢  λ . Point P  lies in  the  geometrical shadow region on  a  distant  screen  (Fig.  36.10a).  Two diffracting objects, shown  in  Fig.  36.10b,  are  placed  in  turn over the collimating hole.  Object A  is  an  opaque circle  with a hole in it, and B  is the  “photographic negative” of A.  Using superposition concepts,  show that the intensity at P is  identical for  the two diffract-  ing objects A and B. 

16 

1179

17  M 

Module 36.3 

Diffraction by a Circular  Aperture 

The  wall of a  large  room is  covered with acoustic  tile in which small holes are drilled 5.0 mm from center to cen-  ter. How far can a  person be from such a  tile and still distin-  guish the individual holes, assuming ideal conditions, the pupil  18  E 

BIO 

Figure  36.11 

Problem 22. The Great Wall of China. 

E  BIO  SSM  The  two  headlights  of  an  approaching  auto-  mobile  are  1.4 m  apart.  At  what  (a)  angular  separation  and  (b) maximum distance will the eye resolve them? Assume that  the pupil diameter is  5.0 mm, and use  a wavelength of 550 nm  for the light. Also assume that diffraction effects alone limit the  resolution so that Rayleigh’s criterion can be applied. 

23 

BIO  FCP  Entoptic halos. If someone looks at a bright out-  door lamp in otherwise dark  surroundings,  the lamp appears  to  be  surrounded  by  bright and  dark  rings  (hence  halos)  that are 

24  E 

/

1180

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

actually a circular diffraction pattern as in Fig. 36.3.1, with the cen-  tral maximum overlapping the direct light from the lamp. The dif-  fraction is produced by structures within the cornea or lens of the  eye (hence entoptic). If the lamp is monochromatic at wavelength  550 nm and the first dark ring  subtends angular diameter 2.5° in  the observer’s  view, what is the (linear) diameter of the structure  producing the diffraction?  Find the separation of two points on the Moon’s surface  that can just be  resolved by  the 200 in. (=  5.1 m)  telescope at  Mount  Palomar, assuming  that  this  separation  is  determined  by diffraction effects. The  distance from Earth to the Moon is  3.8 × 10 5  km. Assume a wavelength of 550 nm for the light.  25  E 

The telescopes on some commercial surveillance satellites  can resolve objects on the ground as small as 85 cm across  (see  Google Earth), and the telescopes on military surveillance  sat-  ellites reportedly  can resolve  objects as  small as  10 cm across.  Assume  first  that object  resolution  is  determined  entirely  by  Rayleigh’s  criterion  and is  not degraded by  turbulence in  the  atmosphere.  Also  assume  that  the  satellites  are  at  a  typical  altitude of  400 km  and that  the  wavelength  of visible  light  is  550 nm. What would be the required diameter of the telescope  aperture for (a) 85 cm resolution and (b) 10 cm resolution? (c)  Now, considering that turbulence is certain to degrade resolution  and that the aperture diameter of the Hubble Space Telescope  is  2.4 m, what can you say  about the answer  to (b)  and about  how the military surveillance resolutions are accomplished?  26  E 

BIO  If Superman really had x-ray vision at 0.10 nm wave-  length and a 4.0 mm pupil diameter, at what maximum altitude  could he distinguish villains from heroes, assuming that he needs  to resolve points separated by 5.0 cm to do this? 

27  E 

BIO  GO  FCP  The wings of tiger beetles (Fig. 36.12) are  colored by interference due to thin cuticle-like layers. In addition,  these layers  are  arranged  in patches  that are  60 μm across  and  produce different colors. The color you see is a pointillistic mix-  ture of thin-film interference colors that varies with perspective.  Approximately what viewing distance from a wing puts you at 

the limit of resolving the different colored patches according to  Rayleigh’s criterion? Use 550 nm as the wavelength of light and  3.00 mm as the diameter of your pupil.  M  (a)  What is  the angular separation  of  two stars  if their  images are barely resolved by the Thaw refracting telescope at  the Allegheny Observatory in Pittsburgh? The lens diameter is  76 cm and its focal length is 14 m. Assume λ = 550 nm. (b) Find  the distance between these barely resolved stars if each of them  is 10 light-years distant from Earth. (c) For the image of a single  star in this telescope, find the diameter of the first dark ring in  the  diffraction pattern, as  measured  on  a  photographic plate  placed at the focal plane of the telescope lens. Assume that the  structure of the  image is associated  entirely with diffraction at  the lens aperture and not with lens “errors.” 

29 

BIO  GO  FCP  Floaters. The floaters you see when view-  ing a  bright, featureless  background  are  diffraction patterns  of defects in the vitreous  humor  that fills  most of your eye.  Sighting through a  pinhole sharpens  the  diffraction pattern.  If you also view a small circular dot, you can approximate the  defect’s size. Assume that the defect diffracts light as a circular  aperture does. Adjust the  dot’s distance L  from  your eye  (or  eye lens) until the dot and the circle of the first minimum in the  diffraction pattern appear  to have the same size  in your  view.  That is, until they have the same diameter Dʹ  on the retina at  distance Lʹ = 2.0 cm from the front of the eye, as  suggested in  Fig. 36.13a, where the angles on the two sides of the eye lens are  equal. Assume that the wavelength of visible light is λ  = 550 nm.  If the dot has diameter D = 2.0 mm and is distance L = 45.0 cm  from the eye and the defect is x = 6.0 mm in front of the retina  (Fig. 36.13b), what is the diameter of the defect? 

30  M 

28  M 

Eye Retina lens

Circular dot D

1 __ 2 D' 1 __ 2 D'

x

L'

(a ) Figure  36.13 

 .dtL sgnidloH tohsotohP/.cnI ,nameloC ecurB/devdnaS .B llejK

Problem 28. Tiger beetles are colored by pointil-  listic mixtures of thin-film interference colors. 

θ

D'

L

Figure  36.12 

Retina

Defect

Problem 30. 

(b )

SSM  Millimeter-wave radar  generates a narrower  beam  than conventional microwave  radar,  making it  less  vulnerable  to antiradar missiles than conventional radar. (a)  Calculate the  angular width 2θ of the central maximum, from first minimum  to first minimum, produced by a  220 GHz radar  beam emitted  by a 55.0-cm-diameter circular antenna. (The frequency is cho-  sen to coincide with a low-absorption atmospheric “window.”)  (b) What is 2θ for a more conventional circular antenna that has  a diameter of 2.3 m and emits at wavelength 1.6 cm? 

31  M 

(a) A circular diaphragm 60 cm in diameter oscillates at a  frequency of 25 kHz as an underwater source of sound used for  submarine  detection. Far  from  the source,  the  sound  intensity  is distributed as  the diffraction pattern of a circular  hole whose  diameter equals that of the diaphragm. Take the speed of sound  in water  to be 1450 m /s and find the angle between the normal  to  the  diaphragm  and  a  line  from  the  diaphragm  to  the  first  minimum. (b)  Is  there such  a  minimum for  a source  having an  (audible) frequency of 1.0 kHz?  32  M 

/

P ROBL EMS 

1181

GO  Nuclear-pumped  x-ray  lasers  are  seen  as  a  pos-  M  sible  weapon  to  destroy  ICBM  booster  rockets  at  ranges  up  to  2000  km. One  limitation on  such  a  device is  the spreading  of the beam due to diffraction, with resulting dilution of beam  intensity.  Consider  such  a  laser  operating at  a  wavelength  of  1.40 nm. The element that emits light is the end of a wire with  diameter 0.200 mm. (a)  Calculate the  diameter of the  central  beam at a target 2000 km away from the beam source. (b) What  is the ratio of the beam intensity at the target to that at the end  of the wire? (The laser is fired from space, so neglect any atmo-  spheric absorption.) 

How many bright fringes lie between the first and second min-  ima of the diffraction envelope? 

A  circular obstacle produces the same diffrac-  tion pattern as a circular hole of the same diameter (except very  near  θ = 0). Airborne water drops are examples of such obsta-  cles. When you see  the Moon through suspended water drops,  such as in a fog, you intercept the diffraction pattern from many  drops. The composite of the central diffraction maxima of those  drops  forms a white region that surrounds  the Moon and may  obscure  it. Figure 36.14 is  a  photograph in which the Moon is  obscured. There  are two faint, colored rings  around the Moon  (the larger one may be too faint to be seen in your copy of the  photograph). The smaller ring is on the outer edge of the central  maxima from the drops; the somewhat larger ring is on the outer  edge of  the smallest of the secondary  maxima from the drops  (see Fig. 36.3.1). The color is visible because the rings are adja-  cent to the diffraction minima (dark rings) in the patterns. (Col-  ors in other parts of the pattern overlap too much to be visible.)  (a)  What  is  the color  of these  rings  on  the outer edges  of  the diffraction maxima? (b) The colored ring  around the central  maxima in Fig. 36.14 has an angular  diameter that is  1.35 times  the angular diameter of the Moon, which is 0.50°. Assume that the  drops  all have about the same  diameter. Approximately what is  that diameter? 

38  E 

33 

34 

H 

GO 

FCP 

A beam of light of a single wavelength is incident perpen-  dicularly on a double-slit arrangement, as in Fig. 35.2.5. The slit  widths are each 46 μ m and the slit separation is 0.30 mm. How  many  complete  bright  fringes  appear  between  the  two  first-  order minima of the diffraction pattern?  36  E 

E  In  a  double-slit experiment, the slit  separation  d  is  2.00  times the slit width w. How many bright interference fringes are  in the central diffraction envelope? 

37 

In a certain two-slit interference pattern, 10 bright fringes  lie within the second side peak of the diffraction envelope and  diffraction minima coincide with two-slit interference maxima.  What is the ratio of the slit separation to the slit width?  Light of wavelength 440 nm passes  through a double slit,  yielding a diffraction pattern whose graph of intensity I versus  angular position θ is  shown in Fig. 36.15. Calculate (a)  the slit  width and (b) the slit separation. (c) Verify the displayed inten-  sities of the m = 1 and m = 2 interference fringes.  39  M 

7 )2 m c/Wm( ytisnetnI

6 5 4 3 2 1 0

5

θ (degrees)

Figure  36.15 

Problem 39. 

M  GO  Figure 36.16 gives the  β (rad) parameter  β of  Eq.  36.4.2  ver-  β sus  the  sine  of  the  angle  θ in  a  two-slit  interference  experiment  using light of wavelength 435 nm.  The  vertical  axis  scale  is  set  by  sin θ βs = 80.0 rad. What are (a) the slit  0 0.5 1 separation, (b)  the  total number  Figure  36.16  Problem 40.  of  interference  maxima  (count  them on both sides of the pattern’s center), (c) the smallest angle  for a maxima, and (d) the greatest angle for a minimum? Assume  that none of the interference maxima are completely eliminated  by a diffraction minimum. 

40 

s

 ecruoS ecneicS/nenaivraP akkeP

Problem 34. The corona around the Moon is a  composite of the diffraction patterns of airborne water drops.  Figure  36.14 

Module 36.4 

Diffraction by a Double Slit 

Suppose that the central diffraction envelope of a double-  slit diffraction pattern contains 11 bright fringes and the first dif-  fraction minima eliminate (are  coincident with) bright fringes.  35  E 

GO  In the two-slit interference experiment of Fig. 35.2.5,  the slit widths are each 12.0 μ m, their separation is 24.0 μm, the  wavelength is 600 nm, and the viewing screen is at a distance of  4.00 m. Let I P  represent the intensity at point P on the screen,  at height y = 70.0 cm. (a)  What is the ratio of I P  to the intensity  I m  at the center of the pattern? (b) Determine where P is in the  two-slit interference  pattern by  giving the  maximum or  mini-  mum on which it lies  or  the maximum and minimum between  which it lies. (c) In the same way, for the diffraction that occurs,  determine where point P is in the diffraction pattern.  41  M 

/

1182

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

GO  (a) In a double-slit experiment, what largest ratio of d  to a causes diffraction to eliminate the fourth bright side fringe?  (b) What other bright fringes are also eliminated? (c) How many  other ratios of d to a cause the diffraction to (exactly) eliminate  that bright fringe? 

GO  A  beam  of light  consisting  of wavelengths  from  M  460.0  nm to 640.0 nm is directed  perpendicularly onto a  dif-  fraction grating with 160 lines/mm. (a) What is the lowest order  that is  overlapped  by  another order?  (b)  What  is  the  highest  order for which the complete wavelength range of the beam is  present? In  that highest order, at what angle does  the light at  wavelength  (c)  460.0 nm  and  (d)  640.0 nm  appear?  (e)  What  is the greatest angle at which the light at wavelength 460.0 nm  appears? 

42  M 

52 

M  SSM  (a)  How  many bright fringes  appear between the  first  diffraction-envelope minima to  either side  of  the  central  maximum in a double-slit pattern if  λ = 550 nm, d = 0.150 mm,  and a = 30.0 μm?  (b)  What is  the  ratio of  the intensity of the  third bright fringe to the intensity of the central fringe? 

53 

43 

Module 36.5 

Diffraction Gratings 

Perhaps  to confuse a  predator, some tropical  gyrinid beetles (whirligig  beetles) are  colored by optical inter-  ference that is due to scales whose alignment forms a diffraction  grating (which  scatters  light instead of  transmitting it). When  the  incident  light  rays  are  perpendicular  to  the  grating,  the  angle between the first-order maxima (on opposite sides of the  zeroth-order maximum) is about 26° in light with a wavelength  of 550 nm. What is the grating spacing of the beetle?  44 

E 

BIO 

FCP 

A diffraction grating 20.0 mm wide has 6000 rulings. Light  of wavelength 589 nm is incident perpendicularly on the grating.  What are the (a) largest, (b) second largest, and (c) third largest  values of θ at which maxima appear on a distant viewing screen?  45  E 

Visible light is incident perpendicularly on a grating with  315 rulings/mm. What is the longest wavelength that can be seen  in the fifth-order diffraction?  46  E 

SSM  A grating has 400 lines/mm. How many orders of the  entire visible spectrum (400–700 nm) can it produce in a diffrac-  tion experiment, in addition to the m = 0 order? 

47  E 

A diffraction grating is made up of slits of width 300 nm  with  separation  900 nm.  The  grating  is  illuminated by  mono-  chromatic  plane  waves  of  wavelength  λ = 600 nm  at  normal  incidence. (a)  How many maxima are  there in the full diffrac-  tion pattern? (b)  What is  the angular  width of  a  spectral  line  observed in the first order if the grating has 1000 slits?  48  M 

M  SSM  Light of wavelength 600 nm is  incident normally on  a diffraction grating. Two adjacent maxima occur at angles given  by sin θ = 0.2 and sin  θ = 0.3. The fourth-order maxima are miss-  ing. (a)  What is the separation between adjacent slits? (b) What  is the smallest slit width this grating can have? For that slit width,  what are the (c)  largest, (d) second largest, and (e)  third largest  values  of the order  number  m of the maxima  produced by the  grating? 

49 

M  With light from  a  gaseous  discharge  tube incident nor-  mally on a grating with slit separation 1.73 μm, sharp maxima of  green light are experimentally found at angles θ = ±17.6°, 37.3°,  –37.1°, 65.2°, and –65.0°. Compute the wavelength of the green  light that best fits these data. 

50 

GO  A  diffraction grating  having  180  lines/mm is  illu-  M  minated with  a  light signal  containing only  two  wavelengths,  λ1  = 400  nm  and  λ2  = 500 nm.  The  signal  is  incident perpen-  dicularly  on  the  grating.  (a)  What  is  the  angular  separation  between the second-order  maxima of these  two wavelengths?  (b)  What  is  the  smallest  angle  at  which  two  of  the  resulting  maxima are  superimposed? (c)  What is  the  highest order  for  which maxima for both wavelengths are  present in the diffrac-  tion pattern?  51 

M  GO  A  grating has  350  rulings/mm and is illuminated at  normal incidence  by  white  light. A  spectrum  is  formed  on  a  screen  30.0 cm  from  the  grating. If  a  hole  10.0 mm  square  is  cut in the screen, its inner edge being 50.0 mm from the central  maximum  and  parallel  to  it,  what  are  the  (a)  shortest  and  (b) longest wavelengths of the light that passes through the hole? 

Derive this expression for the intensity pattern for a three-  slit “grating”:  54  M 

1  2  I = _  9 I m (1 + 4  cos  ϕ + 4 cos  ϕ), 

where ϕ = (2πd sin θ)/λ and a ⪡ λ .  Module 36.6 

Gratings: Dispersion and Resolving Power 

A source containing a mixture of hydrogen and deu-  terium atoms emits red light at two wavelengths whose mean is  656.3 nm and whose separation is 0.180 nm. Find the minimum  number of lines needed in a diffraction grating that can resolve  these lines in the first order.  55  E 

SSM 

(a) How many rulings must a 4.00-cm-wide diffraction grating  have to resolve the wavelengths 415.496 and 415.487 nm in the sec-  ond order? (b) At what angle are the second-order maxima found?  56 E 

Light at wavelength 589 nm from a sodium lamp is incident  perpendicularly on a grating with 40 000 rulings over width 76 mm.  What are the first-order (a)  dispersion D and (b) resolving power  R, the second-order (c) D and (d) R, and the third-order (e) D and  (f) R?  57  E 

A grating has 600 rulings/mm and is 5.0 mm wide. (a) What  is  the  smallest  wavelength  interval it  can  resolve  in  the  third  order at  λ = 500 nm? (b)  How many higher orders  of maxima  can be seen?  58  E 

E  A  diffraction  grating  with  a  width  of  2.0 cm  contains  1000  lines/cm across  that width. For an incident wavelength of  600 nm, what is  the smallest wavelength difference this grating  can resolve in the second order? 

59 

E  The  D line in  the spectrum of sodium is  a  doublet with  wavelengths 589.0 and 589.6 nm. Calculate the minimum num-  ber of lines needed in a grating that will resolve this doublet in  the second-order spectrum. 

60 

With a particular  grating the sodium doublet (589.00 nm  and 589.59 nm) is viewed in the third order at 10° to the normal  and is barely resolved. Find (a)  the grating spacing and (b)  the  total width of the rulings.  61  E 

A diffraction grating illuminated by monochromatic light  normal to the grating produces a certain line at angle θ. (a) What  is the product of that line’s half-width and the grating’s resolving  power? (b) Evaluate that product for the first order of a grating  of slit separation 900 nm in light of wavelength 600 nm.  62  M 

/

P ROBL EMS 

M  Assume  that the limits  of the visible  spectrum are  arbi-  trarily  chosen  as 430 and 680 nm. Calculate the number of rul-  ings  per millimeter of a  grating that will spread  the first-order  spectrum through an angle of 20.0°. 

63 

Module 36.7 

X-Ray Diffraction 

What is the smallest Bragg angle for x rays of wavelength  30 pm to reflect from reflecting planes spaced 0.30 nm apart in  a calcite crystal?  64  E 

An x-ray beam of wavelength A undergoes first-order reflec-  tion (Bragg  law  diffraction) from a crystal  when its angle of inci-  dence  to a  crystal  face  is  23°, and  an x-ray  beam of wavelength  97 pm undergoes third-order reflection when its angle of incidence  to that face is 60°. Assuming that the two beams reflect  from the  same family of reflecting planes, find (a) the interplanar spacing and  (b) the wavelength A.  65  E 

An x-ray beam of a certain  wavelength is  incident on an  NaCl crystal, at 30.0° to a certain family of reflecting planes of  spacing 39.8 pm. If the reflection from those planes is of the first  order, what is the wavelength of the x rays?  66 

E 

67  E 

Figure 36.17 is a graph of intensity versus angular position 

θ for the diffraction of an x-ray beam by a crystal. The horizontal  scale is set by θs  = 2.00°. The beam consists of two wavelengths,  and the spacing between the reflecting planes is 0.94 nm. What  are the (a) shorter and (b) longer wavelengths in the beam? 

through angle  ϕ around  an  axis  perpendicular to the plane of the  page until these reflecting planes  give diffraction maxima. What are  the (a) smaller and (b) larger value  of ϕ if the crystal is turned clock-  wise  and the (c)  smaller  and (d)  larger  value  of  ϕ if  it  is  turned  counterclockwise? 

Incident beam

1183

θ d d

Problems 71  and 72. 

Figure  36.19 

In Fig. 36.19, an x-ray beam  of wavelengths from 95.0 to 140 pm is incident at  θ = 45.0° to a  family of reflecting planes with spacing d = 275 pm. What are the  (a) longest wavelength λ and (b) associated order number m and  the (c) shortest  λ and (d) associated m of the intensity maxima in  the diffraction of the beam?  72  M 

M  Consider a two-dimensional square crystal  structure, such  as one side of the structure shown in Fig. 36.7.2a. The largest inter-  planar spacing of reflecting planes is  the unit cell  size  a 0 . Calcu-  late and sketch the (a) second largest, (b) third largest, (c) fourth  largest, (d) fifth largest, and (e) sixth largest interplanar spacing.  (f) Show that your results in (a) through (e) are consistent with the  general formula 

73 

a 0  _  d = _________  ,  2  √ h  + k 2  where h and k are relatively prime integers (they have no com-  mon factor other than unity).  Additional Problems 

ytisnetnI

BIO  An astronaut in a space shuttle claims she can just barely  resolve  two  point  sources  on  Earth’s  surface,  160 km  below.  Calculate their (a)  angular  and (b)  linear separation, assuming  ideal conditions. Take λ = 540 nm and the pupil diameter of the  astronaut’s eye to be 5.0 mm. 

0

74 

θ (degrees) Figure  36.17 

θ

SSM  Visible  light  is  incident  perpendicularly  on  a  dif-  fraction grating  of  200  rulings/mm. What  are  the (a)  longest,  (b) second longest, and (c) third longest wavelengths that can be  associated with an intensity maximum at θ = 30.0°? 

75 

s

Problem 67. 

E  If  first-order reflection occurs  in a  crystal at Bragg angle  3.4°, at  what  Bragg  angle  does  second-order  reflection  occur  from the same family of reflecting planes? 

68 

E  X  rays  of  wavelength  0.12 nm  are  found  to  undergo  second-order  reflection at a  Bragg angle of 28° from a  lithium  fluoride crystal. What is the interplanar spacing of the reflecting  planes in the crystal? 

69 

GO  In Fig. 36.18, first-order  reflection  from  the  reflection  planes shown occurs when an x-ray  beam  of  wavelength  0.260  nm  makes  an angle  θ = 63.8° with the  top face of the crystal. What is the  unit cell size a 0 ?  70  M 

θ

X rays

a0 a0

M  In  Fig.  36.19,  let  a  beam  of x rays of wavelength 0.125 nm  Figure  36.18  Problem 70.  be  incident  on  an  NaCl  crystal  at angle θ = 45.0° to the top face  of the crystal  and a  family of reflecting planes. Let the reflect-  ing planes have separation  d = 0.252 nm. The  crystal  is  turned 

71 

A  beam of  light consists  of two  wavelengths, 590.159 nm  and 590.220 nm, that are to be resolved with a  diffraction grat-  ing. If the grating has lines across  a width of 3.80 cm, what is the  minimum number of lines required for the two wavelengths to be  resolved in the second order?  76 

SSM  In  a single-slit diffraction experiment, there is  a mini-  mum of intensity for orange light (λ = 600 nm) and a minimum  of intensity for blue-green light (λ = 500 nm) at the same angle  of 1.00 mrad. For what minimum slit width is this possible? 

77 

GO  A double-slit system with individual slit widths of 0.030 mm  and a slit separation of 0.18 mm is illuminated with 500 nm light  directed perpendicular to the plane of the slits. What is the total  number of complete  bright fringes  appearing  between the two  first-order minima of the diffraction pattern? (Do not count the  fringes that coincide with the minima of the diffraction pattern.)  78 

SSM  Consider a diffraction grating that has resolving power  R = λavg /Δλ = Nm.  (a)  Show that the  corresponding frequency  range Δf that can just be resolved is given by Δf = c/Nmλ . (b) From  Fig. 36.5.5, show that the times required for light to travel along  the ray at the bottom of the figure and the ray at the top differ 

79 

/

1184

C HAP T ER 36  D IF F RAC T ION 

by  Δt = (Nd/c)  sin  θ. (c)  Show  that (Δf )(Δt) = 1,  this relation  being independent of the various grating parameters.  Assume  N ⪢ 1.  BIO  The pupil of a person’s eye has a diameter of 5.00 mm.  According to Rayleigh’s criterion, what distance apart must two  small  objects be if  their images  are  just  barely resolved  when  they are  250 mm from  the eye?  Assume  they  are  illuminated  with light of wavelength 500 nm. 

80 

Light  is  incident  on  a  grating  at  an  angle  ψ as  shown  in  Fig.  36.20. Show that bright fringes  occur at angles  θ that satisfy  the equation  81 

d(sin  ψ + sin θ) = mλ,  for m = 0, 1, 2, . . . .  (Compare this equation with Eq. 36.5.1.) Only the special case  ψ = 0 has been treated in this chapter.  ev

ffiD

aw

car ev a

et wd

θ

d

Grating Figure  36.20 

Problem 81. 

A grating with d = 1.50 μm is illuminated at various angles  of incidence by light of wavelength 600 nm. Plot, as  a function  of the angle of incidence (0 to 90°), the angular deviation of the  first-order  maximum  from  the  incident direction.  (See  Prob-  lem 81.)  82 

SSM  In  two-slit interference, if the slit separation is  14 μ m  and  the  slit  widths  are  each  2.0 μm,  (a)  how  many  two-slit  maxima are  in the central peak of the diffraction envelope and  (b) how many are in either of the first side peak of the diffrac-  tion envelope? 

83 

GO  In a two-slit interference pattern, what is the ratio of slit  separation to slit width if there are  17 bright fringes within the  central diffraction envelope and the diffraction minima coincide  with two-slit interference maxima?  84 

A beam of light with a narrow wavelength range centered  on 450 nm is  incident perpendicularly on a  diffraction grating  with a width of 1.80 cm and a line density of 1400 lines/cm across  that width. For this light, what is the smallest wavelength differ-  ence this grating can resolve in the third order?  85 

BIO  If  you look at something 40 m  from you, what is  the  smallest length (perpendicular to your line of sight) that you can  resolve,  according  to  Rayleigh’s  criterion?  Assume  the  pupil  of your eye has  a diameter of 4.00 mm, and use 500 nm as  the  wavelength of the light reaching you. 

86 

Two  yellow flowers are  separated  by 60 cm  along a  line perpendicular to your line of sight to the flowers. How far  are  you from the flowers when  they are at the limit of reso-  lution according  to the Rayleigh criterion?  Assume  the light  from the flowers has  a  single wavelength of 550 nm and  that  your pupil has a diameter of 5.5 mm.  87 

BIO 

A  diffraction  grating  3.00 cm  wide  produces  the  second  order at 33.0° with light of wavelength 600 nm. What is the total  number of lines on the grating?  89 

A single-slit  diffraction experiment is  set  up with light of  wavelength 420 nm, incident perpendicularly on a slit of width  5.10  μm. The  viewing screen  is  3.20 m distant. On  the screen,  what is the distance between the center of the diffraction pattern  and the second diffraction minimum?  90 

A diffraction grating has  8900 slits across  1.20 cm. If light  with a wavelength of 500 nm is sent through it, how many orders  (maxima) lie to one side of the central maximum?  91 

In an experiment to monitor the Moon’s surface with a light  beam, pulsed radiation from a ruby laser (λ = 0.69 μm) was directed  to the Moon through a reflecting telescope with a mirror radius of  1.3 m. A reflector on the Moon behaved like a circular flat mirror  with radius 10 cm, reflecting the light directly back toward the tele-  scope on Earth. The reflected light was  then detected after being  brought to a focus by this telescope. Approximately what fraction  of the original light energy was picked up by the detector? Assume  that for each direction of travel all the energy is in the central dif-  fraction peak.  92 

tn e di cn I

ψ

In  a  single-slit  diffraction experiment, what  must  be  the  ratio of the slit width to the wavelength if the second diffraction  minima are to occur at an angle of 37.0° from the center of the  diffraction pattern on a viewing screen?  88 

In June 1985, a laser beam was  sent out from the Air Force  Optical Station  on  Maui, Hawaii,  and  reflected back  from  the  shuttle Discovery  as  it sped  by 354 km overhead. The  diameter  of the central  maximum of the beam at the shuttle position was  said to be 9.1 m, and the beam wavelength was  500 nm. What is  the effective diameter of the laser  aperture at the Maui ground  station? (Hint: A laser  beam spreads  only because of diffraction;  assume a circular exit aperture.)  93 

A diffraction grating 1.00 cm wide has 10 000 parallel slits.  Monochromatic  light  that  is  incident  normally  is  diffracted  through 30° in the first order. What is the wavelength of the light?  94 

SSM  If  you  double the  width of a  single  slit, the  intensity  of the central maximum of the diffraction pattern increases by  a  factor of 4,  even though the energy  passing  through the slit  only doubles. Explain this quantitatively. 

95 

When  monochromatic light  is  incident on  a  slit  22.0 μm  wide, the first diffraction minimum lies at 1.80° from the direc-  tion of the incident light. What is the wavelength?  96 

A spy  satellite orbiting at 160 km above  Earth’s surface has  a lens with a focal length of 3.6 m and can  resolve objects on the  ground as small as 30 cm. For example, it can easily measure the  size of an aircraft’s air intake port. What is the effective diameter of  the lens as determined by diffraction consideration alone? Assume  λ = 550 nm.  97 

Epidural with fiber Bragg grating. A fiber Bragg grating is  an optical fiber that has had its core treated with ultraviolet light  so that it has a periodic variation in its index of refraction, with  a certain spacing d. Along a few millimeters, there are “lines”  with a greater index than the rest of the core (Fig. 36.21a). When  light over a  broad wavelength range is  sent into the fiber, one  wavelength, called  the  Bragg  wavelength  λ B ,  is  reflected  and  98 

/

P ROBL EMS 

Core

Clading

Transmitted light

 B  Greater n

d

Clading

Input light Ref lected light

(a )  )mn(  B ∆

0

‒10

0

F (N) 

13

(b ) 12

)N( F

the rest is transmitted. The value of λ B  depends on d. If a force  F  decreases  the  length  of  the  grating,  decreasing  d,  then  λ B  decreases. Thus, the grating acts as a strain gauge. Figure 36.21b  gives  the  change Δ λ B  in the  Bragg  wavelength versus  applied  force F.  Recent  research  suggests  that  a  fiber  Bragg  grating  could  be used in robotic assisted surgery  in an epidural procedure  in  which a needle is inserted into the epidural space of the spinal  column to release an anesthetic fluid. The surgeon first inserts  the needle into the back and then manually monitors the force  magnitude required to  advance the needle. This  tricky proce-  dure  requires  much  practice so  that the surgeon  knows when  the needle has reached the epidural space and not overshot it,  an error that could result in serious complications. Figure 36.21c  is a graph of the force magnitude F versus displacement x of the  needle tip in a  typical epidural procedure. (The  line segments  have  been straightened somewhat from the original data.) (1)  As  x  increases  from 0,  the skin  resists  the  needle, but  at  x  =  8.0 mm the force is  finally great enough to pierce the skin, and  then the required force decreases.  (2)  Next, the needle finally  pierces the interspinous ligament at x = 18 mm and (3) the rela-  tively tough ligamentum flavum at x = 30 mm. (4) As the needle  then enters the epidural space, the force drops sharply. A new  surgeon must learn this pattern of force magnitude versus  dis-  placement to recognize when to stop pushing on the needle.  If a fiber Bragg grating could be incorporated into an epidural  needle, an automated system  could monitor Δ λ B  to determine  when the needle is properly placed. For the plot of Fig. 36.21b,  what is Δ λ B  for the peak force at (a) x = 8.0 mm, (b) x = 18 mm,  and (c) x = 30 mm? 

1185

6

0

10

20 x

Figure  36.21 

30

(mm) (c )

Problem 98. 

/

C

H

A

P

T

E

R

3

7

Relativity 

37.1  SIMULTANEITY AND TIME DILATION  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

37.1.1  Identify the two postulates of (special) relativity 

37.1.6  Explain  what  is meant by the entanglement of 

and the type of frames to which  they apply. 

the spatial and temporal separations between  two 

37.1.2  Identify the speed of light as the ultimate speed  and give its approximate value. 

events.  37.1.7  Identify  the conditions in which  a temporal sep- 

37.1.3  Explain how the space and time coordinates of an  event can be measured with a three-dimensional array 

aration of two events is a proper time.  37.1.8  Identify  that if the temporal separation of two 

of clocks and measuring rods and how that eliminates 

events is a proper time as measured in  one frame, 

the need of a signal’s travel time to an observer. 

that separation is greater (dilated) as measured in 

37.1.4  Identify that the relativity of space and time  has to do with transferring measurements between

another frame. 

two inertial  frames with relative  motion but we still 

dilated time 

use classical kinematics and Newtonian mechanics  within  a frame. 

Δt 0,   Δt, and the relative speed v between 

37.1.9  Apply the relationship  between proper time 

two frames.  37.1.10  Apply the relationships between  the relative 

β

v

37.1.5  Identify that for reference  frames with relative 

speed  , the speed parameter  , and the Lorentz 

γ

motion, simultaneous events in one of the frames 

factor  . 

will  generally  not be simultaneous in the other frame. 

Key Ideas  ●

Einstein’s special theory of relativity is based on two 

●

If  two successive events occur at the same place 

Δt 0  

postulates: (1) The laws of physics are the same for 

in an inertial  reference  frame, the time interval 

observers in all inertial  reference  frames. (2) The speed 

between them, measured on a single clock where they 

of light  in vacuum has the same value 

c in all directions 

and in all inertial  reference frames.  ●

occur, is the proper time between them. Observers in  frames moving relative to that frame will always mea- 

Three  s pace coordinates  and one time coordinate 

s pecify  an ev ent. One tas k of  s pecial relativity is  to relate thes e coordinates  as as s igned by two 

Δt  for the time interval, an effect 

sure a larger value 

known as time dilation.  ●

Δt 0   Δt 0   _________  ______  Δt = ___________  = ________  = γ  Δt 0,   2  √ 1 − (v/ c)  √ 1 − β2 

each other.  ●

v

If  the relative speed between the two frames is  , then 

obs erv ers  who are  in uniform  motion with  res pect to 

If two observers are  in relative motion, they gen- 

______ 

  β2  β = v/c is the speed parameter and  γ = 1/ √1 − 

erally will  not agree as to whether  two events are 

where 

simultaneous. 

is the Lorentz factor. 

What Is Physics? 

One  principal  subject  of  physics is  relativity, the  field  of  study  that  measures  events (things  that  happen):  where  and  when  they  happen,  and  by how  much  any two events are separated in  space and in  time. In addition,  relativity has to  do with transforming such measurements (and also measurements of energy and 

1186 /

37.1  SIMU L T ANEIT Y   AND  T IME  D IL AT ION 

 segamI ytteG aiv sibroC/SIBROC

momentum) between reference frames that move relative to each other. (Hence  the name relativity.)  Transformations and moving reference frames, such as those we discussed in  Modules 4.6 and 4.7, were well understood and quite routine to physicists in 1905.  Then Albert Einstein (Fig. 37.1.1) published  his special theory of relativity. The  adjective special means that the theory deals only with inertial reference frames,  which  are frames in  which  Newton’s  laws are  valid.  (Einstein’s  general theory  of  relativity treats the more challenging situation  in which  reference frames can  undergo gravitational acceleration; in this chapter the term relativity implies only  inertial reference frames.)  Starting with  two deceivingly simple postulates, Einstein stunned the scien-  tific world by showing that the old ideas about relativity were wrong, even though  everyone was  so  accustomed  to  them  that  they  seemed to  be  unquestionable  common sense. This  supposed  common sense, however, was derived only  from  experience with things that move rather slowly. Einstein’s relativity, which turns  out  to  be correct for  all physically possible speeds, predicted many effects that  were, at first study, bizarre because no one had ever experienced them.  Entangled. In  particular,  Einstein  demonstrated  that  space  and  time  are  entangled; that  is, the time between two  events depends on  how  far apart they  occur, and vice versa. A lso, the entanglement is different for observers who move  relative to each other. One result is that time does not pass at a fixed rate, as if it  were ticked off with mechanical regularity on some master g randfather clock that  controls the universe. Rather, that rate is adjustable: Relative motion can change  the rate at which time passes. Prior to 1905, no one but a few daydreamers would  have thought that. Now, engineers and scientists take it for granted because their  experience with special relativity has reshaped their common sense. For example,  any  engineer involved  with  the  Global  Positioning  System of  the  NAVSTAR  satellites must routinely use relativity (both special relativity and general relativ-  ity) to determine the rate at which time passes on the satellites because that rate  differs from the rate on  Earth’s surface. If the engineers failed to take relativity  into account, GPS would  become almost useless in less than one day.  Special relativity has the reputation of being difficult. It is not difficult math-  ematically, at least not here. However, it is difficult in that we must be very care-  ful  about  who measures what about  an event and just  how that measurement is  made—and it can be difficult because it can contradict routine experience. 

1187

Einstein posing for  a photograph as fame began to  accumulate.  Figure  37.1.1 

The Postulates 

We  now  examine the  two  postulates  of  relativity, on  which  Einstein’s  theory  is based:  1.  The Relativity Postulate: The laws of physics are the same for observers in all  inertial reference frames. No one frame is preferred over any other. 

Galileo assumed that the laws of mechanics were the same in all inertial reference  frames. Einstein extended that idea to  include all the laws of  physics, especially  those of electromagnetism and optics. This  postulate does not  say that the mea-  sured values of all physical quantities are the same for all inertial observers; most  are not the same. It is the laws of physics, which relate these measurements to one  another, that are the same.  2.  The Speed of Light Postulate: The speed of light in vacuum has the same  value c in all directions and in all inertial reference frames. 

/

1188

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

6 ) Ve M( ygrene citeniK

deeps etamitlU

4

2

0

1

2 3 Speed (10 8 m/s)

The dots show  measured values of the kinetic  energy of an electron plotted against  its measured speed. No matter how  much energy is given to an electron  (or to any other particle having  mass), its speed can never equal or  exceed the ultimate limiting speed c.  (The plotted curve through the dots  shows the predictions of Einstein’s  special theory of relativity.)  Figure  37.1.2 

We can also phrase this postulate to say that there is in nature an ultimate speed c,  the same in  all directions  and in  all inertial reference frames. Light  happens to  travel at  this  ultimate speed.  However, no  entity  that  carries energy or  infor-  mation  can  exceed this  limit.  Moreover, no  particle that has  mass can actually  reach speed c, no  matter how  much or for how  long that particle is accelerated.  (Alas, the faster-than-light warp drive used in many science fiction stories appears  to be impossible.)  Both postulates have been exhaustively tested, and no  exceptions have ever  been found.  The Ultimate  Speed 

The  existence of  a limit  to  the  speed  of  accelerated electrons  was shown  in  a  1964 experiment by W. Bertozzi, who accelerated electrons to various measured  speeds  and—by  an  independent  method—measured  their  kinetic  energies. He  found  that  as the force on  a very fast electron is increased, the electron’s mea-  sured  kinetic  energy increases toward  very large values but  its  speed  does  not  increase appreciably (Fig. 37.1.2). Electrons have been accelerated in  laborato-  ries to at least 0.999 999 999 95 times the speed of light but—close though  it may  be—that speed is still less than the ultimate speed c.  This ultimate speed has been defined to be exactly  c = 299 792 458 m /s. 

(37.1.1) 

Caution: So far in this book  we have (appropriately) approximated c as 3.0 × 10 8  m /s, but  in  this  chapter we shall  often  use the  exact value. You  might  want to  store the exact value in your calculator’s memory (if it is not there already), to be  called up when needed.  Testing  the Speed  of Light  Postulate 

If the speed  of light  is the same in  all inertial reference frames, then the  speed  of  light emitted by a source moving relative to, say, a laboratory should  be  the  same as the speed  of light  that  is emitted by a source at rest in  the laboratory.  This claim has been tested directly, in an experiment of high precision. The “light  source” was the  neutral  pion  (symbol  π0 ), an  unstable, short-lived  particle that  can be produced by collisions in a particle accelerator. It decays (transforms) into  two gamma rays by the process 

π0 → γ + γ . 

(37.1.2) 

Gamma rays are part of the electromagnetic spectrum (at very high frequencies)  and so obey the speed of light postulate, just as visible light does. (In this chapter  we shall use the term light for any type of electromagnetic wave, v isible or not.)  In 1964, physicists at CERN, the European particle-physics laboratory near  Geneva, generated a beam of pions  moving at a speed of 0.999 7 5c with respect  to the laboratory. The experimenters then measured the speed of the gamma rays  emitted from these very rapidly moving sources. They found that the speed of the  light emitted by the pions was the same as it would  be if the pions  were at rest in  the laboratory, namely c. 

Measuring an Event 

An  event  is  something  that  happens,  and  every event  can  be  assigned  three  space  coordinates  and  one  time  coordinate.  Among  many  possible  events  are (1) the turning on or off of a tiny lightbulb,  (2) the collision of two particles,  (3) the passage of a pulse of light through a specified point, (4) an explosion, and  (5) the  sweeping of  the  hand  of  a clock  past a marker on  the  rim of  the clock.  A certain observer, fixed in a certain inertial reference frame, m ight, for example, 

/

37.1  SIMU L T ANEIT Y   AND  T IME  D IL AT ION 

assign  to  an event A the  coordinates  given in  Table 37.1.1. Because space and  time are entangled with  each other  in  relativity, we can  describe these coordi-  nates collectively as spacetime coordinates. The coordinate system itself is part of  the reference frame of the observer.  A given event may be recorded by any number of observers, each in a dif-  ferent inertial reference frame. In  general, different  observers will assign  dif-  ferent  spacetime coordinates  to  the  same event. Note  that  an  event  does  not  “belong” to any particular inertial reference frame. An event is just  something  that happens, and anyone in any reference frame may detect it and assign space-  time coordinates to it.  Travel Times. Making such an assignment can be complicated by a practi-  cal problem. For example, suppose a balloon bursts 1 km to your right while a  firecracker pops 2 km to your left, both at 9:00 a.m. However, you do not detect  either event precisely at 9:00 a.m. because at that instant light from the events  has not yet reached you. Because light from the firecracker pop  has farther to  go, it arrives at your eyes later than does light from the balloon  burst, and thus  the pop  will seem to have occurred later than the burst. To sort out the actual  times and to  assign 9:00 a.m. as the happening  time for  both  events, you must  calculate the travel times of  the light  and  then  subtract these times from the  arrival times.  This procedure can be very m essy in more challenging situations, and we need  an easier procedure that  automatically eliminates any concern about  the  travel  time  from an  event to  an observer. To  set up  such  a procedure,  we shall  con-  struct an imaginary array of measuring rods and clocks throughout the observer’s  inertial frame (the array moves rigidly with the observer). This construction may  seem contrived, but it spares us much confusion and calculation and allows us to  find the coordinates, as follows. 

1189

Table  37.1.1  Record of  Event A

Coordinate 

Value 

x  y  z  t 

3.58 m  1.29 m  0 m  34.5 s 

1.  The  Space Coordinates. We imagine the observer’s coordinate system fitted  with  a  close-packed, three-dimensional  array of  measuring rods,  one  set of  rods parallel to each of the three coordinate axes. These rods provide a way to  determine coordinates along the axes. Thus, if the event is, say, the turning on  of a small lightbulb, the observer, in order to locate the position  of the event,  need only read the three space coordinates at the bulb’s  location.  2.  The  Time Coordinate. For  the time coordinate, we imagine that every point  of intersection in the array of measuring rods includes a tiny clock, which the  observer can read because the clock  is illuminated by the light  generated by  the event. Figure 37.1.3 suggests one plane in the “jungle gym” of clocks and  measuring rods we have described.  The array of  clocks  must  be  synchronized  properly. It is  not  enough to  assemble a set of identical clocks, set them all to the same time, a nd then move  them to their assigned positions. We do not know, for example, whether mov-  ing the clocks will change their rates. (Actually, it will.) We must put the clocks  in place and then synchronize them.  If we had a method of transmitting signals at infinite speed, synchroniza-  tion  would  be a simple matter. However, no  known  signal has this property.  We therefore choose light (any part of the electromagnetic spectrum) to send  out  our synchronizing signals because, in vacuum, light travels at the greatest  possible speed, the limiting speed c.  Here is one of many ways in which an observer might synchronize an array  of  clocks using  light  signals: The  observer enlists  the help of  a great number  of temporary helpers, one for each clock. The observer then stands at a point  selected as the origin and sends out a pulse of light when the origin clock reads  t = 0. When the light pulse reaches the location of a helper, that helper sets the  clock there to read t = r/c, where r is the distance between the helper and the  origin. The clocks are then synchronized. 

We use this array to assign spacetime coordinates. y

A

x z

One section of a three-  dimensional array of clocks and mea-  suring rods by which an observer can  assign spacetime coordinates to an  event, such as a flash of light at point  A. The event’s space coordinates are  approximately x = 3.6 rod lengths,  y = 1.3 rod lengths, and z = 0. The  time coordinate is whatever time  appears on the clock closest to A at  the instant of the flash.  Figure  37.1.3 

/

1190

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

3.  The Spacetime Coordinates. The observer can now  assign spacetime coordi-  nates to an event by simply recording the time on the clock nearest the event  and the position  as measured on the nearest measuring rods. If there are two  events, the observer computes their separation in time as the difference in the  times on clocks near each and their separation in space from the differences in  coordinates on rods near each. We thus avoid the practical problem of calcu-  lating the travel times of the signals to the observer from the events. 

The Relativity of Simultaneity 

Suppose that one observer (Sam) notes that two independent events (event Red  and  event Blue) occur  at  the  same time. Suppose  also  that  another  observer  (Sally), who  is moving at  a constant velocity  v  with respect to  Sam, also  records  these same two events. Will Sally also find that they occur at the same time?  The answer is that in general she will not:  →

v B'

Sally

B

Sam

Event Blue (a)

R'

R

Event Red

v

B

R

Sam detects both events (b )

Waves from the two events reach Sam simultaneously but ... Sally detects event Red

v

B

(c )

R

... Sally receives the wave from event Red first. Sally detects event Blue v

B

If two observers are in relative motion, they will not, in general, agree as to  whether two events are simultaneous. If one observer finds them to be simulta-  neous, the other generally will not. 

We cannot say that one observer is right and the other wrong. Their observations  are equally valid, and there is no reason to favor one over the other.  The  realization  that  two  contradictory  statements  about  the  same  natu-  ral  events can  be  correct  is  a  seemingly strange  outcome  of  Einstein’s  theory.  However, in Chapter 17 we saw another way in which motion can affect measure-  ment without  balking  at the contradictory results: In the Doppler effect, the fre-  quency an observer measures for a sound wave depends on the relative motion of  observer and source. Thus, two observers moving relative to each other can mea-  sure different frequencies for the same wave, and both measurements a re correct.  We conclude the following:  Simultaneity is not an absolute concept but rather a relative one, depending on  the motion of the observer. 

If the relative speed of the observers is very much less than the speed of light, then  measured departures from simultaneity are so small that they are not noticeable.  Such is the case for all our experiences of daily living; that is why the relativity of  simultaneity is unfamiliar.  A Closer  Look at Simultaneity 

R

(d )

The spaceships of Sally  and Sam and the occurrences  of  events from Sam’s view. Sally’s ship  moves rightward with velocity v .  (a) Event Red occurs at positions RRʹ  and event Blue occurs at positions  BBʹ; each event sends out a wave of  light. (b) Sam simultaneously detects  the waves from event Red and event  Blue. (c) Sally detects the wave from  event Red. (d) Sally detects the wave  from event Blue.  Figure  37.1.4 

→

Let us clarify the relativity of simultaneity with an example based on  the postu-  lates of  relativity, no  clocks  or  measuring rods  being  directly involved.  Figure  37.1.4 shows two long spaceships (the SS  Sally and the SS Sam), which can serve  as inertial reference frames for observers Sally and Sam. The two observers are  stationed at the midpoints  of  their ships.  The ships  are separating along  a com-  mon  x axis, the  relative velocity of  Sally  with  respect to  Sam  being  v .  Figure  37.1.4a shows the ships with the two observer stations momentarily aligned oppo-  site each other.  Two large meteorites strike the ships, one setting off a red flare (event Red)  and  the  other  a  blue  flare  (event  Blue),  not  necessarily simultaneously. Each  event leaves a permanent mark on each ship, at positions  RRʹ and BBʹ.  Let us  suppose that  the expanding wavefronts from  the two events happen  to reach Sam at the same time, as Fig. 37.1.4b shows. Let us further suppose that,  →

/

37.1  SIMU L T ANEIT Y   AND  T IME  D IL AT ION 

1191

after the episode, Sam finds,  by  measuring the marks on  his  spaceship, that  he  was indeed stationed exactly halfway between the markers B and R on his  ship  when the two events occurred. He will say:  Light from event Red and light from event Blue reached me at the same time.  From the marks on my spaceship, I find that I was standing halfway between the  two sources. Therefore, event Red and event Blue were simultaneous events. 

Sam 

As study of Fig. 37.1.4 shows, Sally and the expanding wavefront from event Red  are moving toward each other, while she and the expanding wavefront from event  Blue are moving in the same direction. Thus, the wavefront from event Red will  reach Sally before the wavefront from event Blue does. She will say:  Light from event Red reached me before light from event Blue did. From  the marks on my spaceship, I found  that I too was standing halfway between  the  two  sources. Therefore, the  events  were  not  simultaneous;  event  Red  occurred first, followed by event Blue. 

Sally 

These reports do not agree. Nevertheless, both observers are correct.  Note carefully that  there is only  one  wavefront expanding from  the site of  each event and that this wavefront travels with the same speed c in both reference  frames, exactly as the speed of light postulate requires.  It might have happened that the meteorites struck the ships in such a way that  the two hits appeared to Sally to be simultaneous. If that had been the case, then  Sam would  have declared them not to be simultaneous. 

The Relativity of Time 

If observers who  move relative to each other measure the time interval (or tem-  poral  separation) between two  events, they generally will  find  different results.  Why? Because the spatial separation of the events can affect the  time intervals  measured by the observers.  The time interval between two events depends on how far apart they occur  in both space and time; that is, their spatial and temporal separations are  entangled. 

In this module we discuss this entanglement by means of an example; however,  the  example is  restricted  in  a  crucial way: To  one  of  two  observers,  the  two  events occur  at the  same location.  We  shall not  get to  more general examples  until Module  37.3.  Figure  37.1.5a shows  the  basics of  an  experiment Sally  conducts  while  she  and her equipment—a light source, a mirror, and a clock—ride in a train moving  with  constant  velocity  v  relative to  a station.  A pulse  of  light  leaves the  light  source B (event 1), travels vertically upward, is reflected vertically downward by  the mirror, and  then  is detected back  at the  source (event 2). Sally measures a  certain time interval Δt 0   between the two events, related to the distance D from  source to mirror by  →

___  Δt 0  =  2D  c 

(Sally). 

(37.1.3) 

The  two  events occur  at the  same location  in  Sally’s  reference frame, and  she  needs only  one clock C at that location to measure the time interval. Clock C is  shown twice in Fig. 37.1.5a, at the beginning and end of the interval.  Consider now how these same two events a re measured by Sam, who is stand-  ing  on  the station  platform  as the  train  passes. Because the  equipment  moves 

/

1192

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

Mirror M

The measure of that time interval on Sally’s clock differs from that on Sam’s clock due to the relative motion.

Event 1 is the emission of light. Event 2 is the return of the light. We want the time between them.

D

Mirror Event 1

Event 2 MOTION

B

(a)  Sally, on the  train, measures the time inter-  val Δt 0  between events 1 and  2 using a single clock C on the  train. That clock is shown twice:  first for event 1 and then for  event 2. (b) Sam, watching from  the station as the events occur,  requires two synchronized  clocks, C 1  at event 1 and C 2  at  event 2, to measure the time  interval between the two events;  his measured time interval is Δt. 

L

Figure  37.1.5 

D

L

Event 1

Event 2

C B

B

v Δ t

Δt 0

Δt

C1

C

C2

Sally

Sam

(a )

(b )

with the train during the travel time of the light, Sam sees the path of the light as  shown in Fig. 37.1.5b. For him, the two events occur at different places in his ref-  erence frame, and so to measure the time interval between events, Sam must use  two  synchronized clocks, C 1   and C 2, one at each event. According to Einstein’s    speed of light postulate, the light travels at the same speed c for Sam as for Sally.  Now,  however, the light  travels distance 2L  between events 1 and  2. The  time  interval measured by Sam between the two events is  2L  Δt = ___  c  in which 

(Sam),  ______________ 

_ v Δt) 2 + D 2 .  L = √ ( 1  2 

(37.1.4)  (37.1.5) 

From Eq. 37.1.3, we can write this as  ___________________ 

1  1  2  L =  √ ( _  v Δt) 2 + ( _  c Δt 0)    .  2  2 

(37.1.6) 

If we eliminate L between Eqs. 37.1.4 a nd 37.1.6 a nd solve for Δt, we find  Δt 0   _________  Δt = ___________  .  √ 1 − (v/ c) 2 

(37.1.7) 

Equation  37.1.7 tells  us  how  Sam’s measured interval Δt  between the events  compares with Sally’s interval Δt 0. Because  v  must be less than c, the denominator in    Eq. 37.1.7 must be less than unity. Thus, Δt must be greater than Δt 0  : Sam measures  a greater time interval between the two events than does Sally. Sam and Sally have  measured the time interval between the same two  events, but  the relative motion  between Sam and Sally made their measurements different. We conclude that rela-  tive motion can change the rate at which time passes between two events; the key to  this effect is the fact that the speed of light is the same for both observers.  We distinguish between the measurements of Sam and Sally in this way:  When two events occur at the same location in an inertial reference frame, the  time interval between them, measured in that frame, is called the proper time  interval or the proper time. Measurements of the same time interval from any  other inertial reference frame are always greater. 

/

37.1  SIMU L T ANEIT Y   AND  T IME  D IL AT ION 

Thus,  Sally  measures a proper  time  interval, and  Sam  measures a greater  time interval. (The term proper is unfortunate in that it implies that any other  measurement is  improper  or  nonreal. That  is  just  not  so.)  The  amount  by  which a measured time interval is greater than the corresponding proper time  interval is called time dilation. (To dilate is to expand or stretch; here the time  interval is expanded or stretched.)  Often the dimensionless ratio v/c in  Eq. 37.1.7 is replaced with  β, called  the speed parameter, and the dimensionless inverse square root in Eq. 37.1.7  is often replaced with γ , called the Lorentz factor :  1  1  ______  _________  γ = ________  = ___________  .  2  √ 1 − (v/ c) 2  √ 1 − β

As the speed parameter goes to 1.0 (as the speed approaches c), the Lorentz factor approaches inf inity. 10 8

γ

(time dilation). 

6 4 2

(37.1.8) 

With these replacements, we can rewrite Eq. 37.1.7 a s  Δt =  γ Δt 0  

1193

0

0.2

0.4

0.6

β

0.8

1.0

A plot of the Lorentz  factor γ as a function of the speed  parameter  β (= v/c).  Figure  37.1.6 

(37.1.9) 

The speed parameter β is always less than unity, and, provided v is not zero, γ is  always greater than  unity.  However, the  difference between γ and  1 is  not  sig-  nificant unless v > 0.1c. Thus,  in general, “old  relativity” works  well enough for  v  f 0  for  the emitted light. (a) Is the detector  moving toward the left or the right? (b) Is the speed of the detector as measured from  reference frame S more than c/4, less than c/4, or equal to c/4? 

Transverse Doppler  Effect 

So  far, we have discussed  the Doppler  effect, here and  in  Chapter 17, only  for  situations  in  which  the  source  and  the  detector move either directly toward  or  directly away from each other.  Figure 37.5.1 shows  a different  arrangement, in  which a source S moves past a detector D. When S reaches point  P, the velocity  of S is perpendicular to the line joining  P and D, and at that instant S is moving  neither  toward  nor  away from  D.  If the  source is  emitting sound  waves of  fre-  quency f 0 , D detects that frequency (with no Doppler effect) when it intercepts the    waves that were emitted at point P. However, if the source is emitting light waves,  there is still  a Doppler effect, called the transverse Doppler  effect. In this  situa-  tion, the detected frequency of the light emitted when the source is at point P is  ______ 

f = f 0  √ 1 − β 2 

(transverse Doppler effect). 

(37.5.7) 

For low speeds (β ⪡ 1), Eq. 37.5.7 can be expanded in a power series in  β and  approximated as  1  2  _  f = f 0(1 −    2 β ) 

(low speeds). 

(37.5.8) 

Here the first term is what we would expect for sound waves, and again the relativis-  tic effect for low-speed light sources and detectors appears with the β2 term.  In principle, a police radar unit can determine the speed of a car even when  the path  of the radar beam is perpendicular (transverse) to  the path of  the car.  However, Eq. 37.5.8 tells us that because β is small even for a fast car, the relativ-  istic term β 2 /2 in the transverse D oppler effect is extremely small. Thus, f ≈ f 0  and  the radar unit computes a speed of zero.  The transverse Doppler effect is  really another test of  time dilation.  If we  rewrite Eq. 37.5.7 in terms of the period T of oscillation of the emitted light wave  instead of the frequency, we have, because T = 1/f,  T 0   ______  T = ________  = γ T 0,   √ 1 − β2 

(37.5.9) 

in  which  T 0   (= 1/f 0  )  is  the  proper  period  of  the  source.  As  comparison  with  Eq. 37.1.9 shows, Eq. 37.5.9 is simply the time dilation formula. 

/

37.6  MOMENT U M  AND  ENERGY  

1209

37.6  MOMENTUM AND ENERGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

37.6.1  Identify that the classical expressions for momen- 

37.6.5  Sketch a graph of kinetic  energy versus the ratio 

v/c (of speed to light speed) for both classical  and 

tum and  kinetic energy are approximately correct for  slow speeds whereas  the relativistic expressions are  correct for any physically possible speed. 

relativistic expressions of kinetic  energy.  37.6.6  Apply the work–kinetic energy theorem to relate 

37.6.2  Apply the relationship between  momentum, 

work by an applied force and the resulting  change in 

mass, and relative  speed. 

kinetic  energy. 

37.6.3  Identify that an object has a mass energy (or 

37.6.7  For a reaction,  apply the relationship between 

rest energy) associated with  its mass. 

the 

37.6.4  Apply the relationships between  total energy, 

Q value and the change in  the mass energy. 

37.6.8  For a reaction,  identify the correlation between 

Q and whether  energy is 

rest energy, kinetic  energy, momentum, mass, 

the algebraic  sign of 

speed, the speed parameter, and the Lorentz  factor. 

released or absorbed by the reaction. 

Key Ideas  ●

p ,  K, and total energy E for a particle  of  →

The following  definitions  of linear  momentum 

●

These equations lead to the relationships 

( pc) 2  = K 2 + 2Kmc 2 

kinetic  energy 

m are valid at any physically possible speed: 

mass 

p  = γm v 

→

→

E = mc 2  + K = γ mc 2  K = mc 2 (γ − 1)  Here  and 

(momentum), 

E 2  = ( pc) 2  + ( mc 2 ) 2 . 

and  ●

When a system of particles undergoes a chemical  or 

Q of the reaction is the negative 

(total energy), 

nuclear  reaction,  the 

(kinetic energy). 

of the change  in the system’s total mass energy: 

Q = M i c 2 − M f c 2  = −ΔM c 2 , 

γ is the Lorentz  factor for the particle’s motion, 

mc 2  is the  mass energy, or rest energy,  associated 

with  the mass of the particle. 

M i  is the system’s total mass before the reaction  M f  is its total mass after the reaction. 

where  and 

A  New Look at Momentum 

Suppose that a number of observers, each in a different inertial reference frame,  watch an isolated collision between two particles. In classical mechanics, we have  seen  that—even though  the  observers measure different  velocities for  the  col-  liding  particles—they all  find  that  the law of  conservation of  momentum holds.  That  is, they  find  that  the total  momentum of  the system of  particles after the  collision is the same as it was before the collision.  How is  this  situation  affected by relativity? We  find  that  if we continue  to  define the momentum p of a particle as m v  , the product of its mass and its veloc-  ity, total momentum is not conserved for the observers in different inertial frames.  So, we need to redefine momentum in order to save that conservation law.  Consider a particle moving with constant speed v in the positive direction of  an x axis. Classically, its momentum has magnitude  Δ x   p = mv = m ___  (37.6.1)  (classical momentum),  Δ t  in  which Δx is the distance it travels in  time Δt. To find  a relativistic expression  for momentum, we start with the new definition  →

→

Δ x  .  p = m ___  Δ t 0  

/

1210

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

Here, as before, Δx is the  distance traveled by  a moving particle as viewed by  an observer watching that  particle. However, Δt 0   is the  time required to  travel  that distance, measured not by the observer watching the moving particle but by  an observer moving with the particle. The particle is at rest with respect to this  second observer; thus that measured time is a proper time.  Using the time dilation formula, Δt = γ Δt 0  (Eq. 37.1.9), we can then write  Δ x   = m Δ  x   ___  Δ t  = m ___  Δ x   γ.  ___  p = m ___  Δ t 0   Δ t  Δ t 0   Δ t  However, since Δx/Δt is just the particle velocity v, we have  p =  γmv 

(momentum). 

(37.6.2) 

Note that this differs from the classical definition of Eq. 37.6.1 only by the Lorentz  factor γ. However, that difference is important: Unlike classical momentum, rela-  tivistic momentum approaches an infinite value as v approaches c.  We can generalize the definition of Eq. 37.6.2 to vector form as  p  = γ m v  

→

→

(momentum). 

(37.6.3) 

This  equation  gives the  correct definition  of  momentum for  all  physically pos-  sible speeds. For a speed much less than c, it reduces to the classical definition of  momentum ( p = m v ).  →

→

A  New Look at Energy  Mass  Energy 

The  science of  chemistry was  initially  developed  with  the  assumption  that  in  chemical reactions, energy and mass are conserved separately. In 1905, Einstein  showed that as a consequence of his theory of special relativity, m ass can be con-  sidered to be another form of energy. Thus, the law of conservation of energy is  really the law of conservation of mass–energy.  In a chemical reaction (a process in which  atoms or molecules interact), the  amount of mass that  is transferred into  other forms of  energy (or vice versa) is  such  a tiny  fraction of  the total  mass involved that there is no  hope  of measur-  ing  the  mass change with  even the  best  laboratory balances. Mass and  energy  truly seem to be separately conserved. However, in  a nuclear reaction (in  which  nuclei or fundamental particles interact), the energy released is often about a mil-  lion  times greater than in a chemical reaction, and the change in mass can easily  be measured.  An object’s mass m and the equivalent energy E 0  are related by  E 0   = mc 2 , 

(37.6.4) 

which,  without  the  subscript  0, is  the  best-known  science equation  of  all  time.  This energy that is associated with the mass of an object is called mass energy or  rest energy. The second  name suggests that E 0   is an energy that  the object  has  even when it is at rest, simply because it has mass. (If you continue your study of  physics beyond this  book,  you  will  see more refined discussions  of  the relation  between mass and energy. You might even encounter disagreements about  just  what that relation is and means.)  Table 37.6.1 shows  the (approximate) mass energy, or rest energy, of  a few  objects.  The  mass  energy  of,  say,  a  U.S.  penny  is  enormous;  the  equivalent  amount of electrical energy would  cost well over a million dollars. On the other  hand, the entire annual  U.S. electrical energy production  corresponds to a mass  of only a few hundred kilograms of matter (stones, burritos, or anything else). 

/

37.6  MOMENT U M  AND  ENERGY  

1211

Table 37.6.1  The Energy Equivalents of  a Few Objects 

Object 

Mass (kg) 

Electron  Proton  Uranium atom  Dust particle  U.S. penny 

Energy Equivalent 

≈ 9.11 × 10 −31  ≈ 1.67 × 10 −27  ≈ 3.95 × 10 −25  ≈ 1 × 10 −13  ≈ 3.1 × 10 −3 

≈ 8.19 × 10 −14  J  ≈ 1.50 × 10 −10  J  ≈ 3.55 × 10 −8  J  ≈ 1 × 10 4  J  ≈ 2.8 × 10 14  J 

(≈ 511 keV)  (≈ 938 MeV)  (≈ 225 GeV)  (≈ 2 kcal)  (≈ 78 GW · h) 

In practice, SI units are rarely used with Eq. 37.6.4 because they are too large  to be convenient. Masses are usually measured in atomic mass units, where  1 u = 1.660 5 38 86 × 10 −27  kg, 

(37.6.5) 

and energies are usually measured in electron-volts or multiples of it, where  1 eV = 1.602 1 76 462 × 10 −19  J. 

(37.6.6)  2 

In the units of Eqs. 37.6.5 a nd 37.6.6, the multiplying constant c  has the values  c 2 = 9.314 940 13 × 10 8  eV/u = 9.314 940 13 × 10 5  keV/u  = 931.494 013 MeV  / u. 

(37.6.7) 

Total Energy 

Equation  37.6.4 g ives, for any object, the mass energy E 0   that is associated with  the object’s mass m, regardless of whether the object is at rest or moving. If the  object  is moving, it has additional energy in the form of kinetic  energy K. If we  assume that the object’s potential energy is zero, then its total energy E is the sum  of its mass energy and its kinetic energy:  E = E 0  + K = mc 2 + K. 

(37.6.8) 

Although we shall not prove it, the total energy E can also be written as  E = γmc 2 , 

(37.6.9) 

where γ is the Lorentz factor for the object’s motion.  Since Chapter 7, we have discussed many examples involving changes in the  total  energy of a particle or a system of particles. However, we did  not  include  mass energy in  the discussions  because the changes in mass energy were either  zero  or small  enough to  be  neglected. The law  of  conservation of  total  energy  still applies when changes in mass energy a re significant. Thus, regardless of what  happens to the mass energy, the following statement from Module 8.5 is still true:  The total energy E of an isolated system cannot change. 

For  example, if the total mass energy of  two interacting particles in an isolated  system decreases, some other type of energy in the system m ust increase because  the total energy c annot change.  Q Value .  In a system undergoing a chemical or nuclear reaction, a change in  the total mass energy of the system due to the reaction is often given as a Q value.  The Q value for a reaction is obtained from the relation  system’s initial 

system’s final 

( total mass energy )  = (total mass energy    ) + Q,  or 

E 0i  = E 0 f  + Q. 

(37.6.10) 

/

1212

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

Using Eq. 37.6.4 (E 0  = mc 2 ), we can rewrite this in terms of the initial total mass  M i and the final total mass M f as  M i c 2 = M f c 2 + Q,  Q = M i c 2 − M f c 2 = −ΔM c 2 , 

or 

(37.6.11) 

where the change in mass due to the reaction is ΔM = M f − M i.    If a reaction results in the transfer of energy from mass energy to, say, kinetic  energy of  the  reaction  products,  the  system’s total  mass  energy E 0   (and  total  mass M ) decreases and Q is positive. If, instead, a reaction requires that energy  be  transferred to  mass energy, the system’s total  mass energy E 0   (and  its total  mass M ) increases and Q is negative.  For example, suppose two hydrogen nuclei undergo a fusion reaction in which  they join together to form a single nucleus and release two particles:  H + 1 H  →  2 H + e + + v, 

1  2 

where  H is another type of hydrogen nucleus (with a neutron in addition to the  proton),  e +  is  a positron,  and  v is  a neutrino.  The  total mass energy (and  total  mass) of  the resultant single nucleus  and two  released particles is less than  the  total mass energy (and total mass) of the initial hydrogen nuclei. Thus,  the Q of  the fusion  reaction is positive, and energy is said to be released (transferred from  mass energy) by the reaction. This release is important to you because the fusion  of hydrogen nuclei in the Sun is one part of the process that results in sunshine on  Earth and makes life here possible.  Kinetic  Energy 

In Chapter 7 we defined the kinetic energy K of an object of mass m moving at  speed v well below c to be  1  2  K = _  2 mv  . 

As v/c approaches 1.0, the actual kinetic energy approaches inf inity.

However, this  classical equation  is  only  an  approximation  that is  good  enough  when the speed is well below the speed of light.  Let us now find  an expression for kinetic energy that is correct for all physi-  cally possible  speeds, including  speeds close  to  c. Solving  Eq. 37.6.8 for  K and  then substituting for E from Eq. 37.6.9 lead to 

1.5

1.0 ) Ve M( K

K

= mc 2

(37.6.12) 

K = E − mc 2 = γmc 2 − mc 2  = mc 2 (γ − 1) 

1 –1 1 – (v /c)2

(kinetic energy), 

(37.6.13) 

_________ 

0.5

0

K

0

0.2

0.4

v/ c

0.6

= 1–2 mv 2

0.8

1.0

The relativistic (Eq.  37.6.13) and classical (Eq. 37.6.12)  equations for the kinetic energy of  an electron, plotted as a function of  v/c, where v is the speed of the elec-  tron and c is the speed of light. Note  that the two curves blend together  at low speeds and diverge widely  at high speeds. Experimental data  (at the × marks) show that at high  speeds the relativistic curve agrees  with experiment but the classical  curve does not.  Figure  37.6.1 

2    where γ (= 1/ √1 − (v/c)  ) is the Lorentz factor for the object’s motion.  Figure 37.6.1 shows  plots  of the  kinetic  energy of an  electron as calculated  with  the  correct definition  (Eq.  37.6.13) and  the  classical approximation  (Eq.  37.6.12), both  as functions of v/c. Note that on  the left side of the graph the two  plots coincide; this is the part of the graph—at lower speeds—where we have cal-  culated kinetic energies so far in this book. This part of the graph tells us that we  have been justified  in calculating kinetic  energy with  the classical expression of  Eq. 37.6.12. However, on  the right side  of the graph—at speeds near c —the two  plots differ significantly. As v/c approaches 1.0, the plot for the classical definition  of kinetic energy increases only moderately while the plot  for the correct defini-  tion of kinetic energy increases dramatically, approaching an infinite value as v/c  approaches 1.0. Thus, when an object’s speed v is near c, we must use Eq. 37.6.13  to calculate its kinetic energy.  Work. Figure 37.6.1 also tells us  something about  the work  we must do  on  an object  to increase its speed by, say, 1%. The required work  W is equal to the  resulting change ΔK in the object’s kinetic energy. If the change is to occur on the  low-speed, left side of Fig. 37.6.1, the required work might be modest. However,  if the change is to occur on the high-speed, right side of Fig. 37.6.1, the required  work could be enormous because the kinetic energy K increases so rapidly there 

/

37.6  MOMENT U M  AND  ENERGY  

with an increase in speed v. To increase an object’s speed to c would  require, in  principle, an infinite amount of energy; thus, doing so is impossible.  The  kinetic  energies of  electrons,  protons,  and  other  particles  are  often  stated  with  the  unit  electron-volt  or  one  of  its  multiples  used  as an  adjective.  For example, an electron with a kinetic energy of 20 MeV may be described as a  20 MeV electron. 

This might help you to remember the relations. K E

2

m

c

pc

θ

Momentum and Kinetic  Energy 

In classical mechanics, the momentum p of a particle is mv and its kinetic energy  _ mv 2 . If we eliminate v between these two expressions, we find a direct rela-  K is 1  2  tion between momentum and kinetic energy:  p 2 = 2Km 

(classical). 

(37.6.14) 

We  can  find  a  similar  connection  in  relativity  by  eliminating  v  between  the  relativistic definition  of momentum (Eq. 37.6.2) a nd the relativistic definition of  kinetic energy (Eq. 37.6.13). D oing so leads, after some algebra, to  ( pc) 2 = K 2 + 2Kmc 2 . 

1213

mc

2

A useful memory dia-  gram for the relativistic relations  among the total energy E, the rest  energy or mass energy mc 2 , the  kinetic energy K, and the momentum  magnitude p.  Figure  37.6.2 

(37.6.15) 

With  the aid of Eq. 37.6.8, we can transform Eq. 37.6.15 into  a relation between  the momentum p and the total energy E of a particle:  E 2 = ( pc) 2  + (mc 2 ) 2 . 

(37.6.16) 

The right triangle of Fig. 37.6.2 can help you keep these useful relations in mind.  You can also show that, in that triangle,  sin  θ = β

and  cos θ = 1/γ. 

(37.6.17) 

With Eq. 37.6.16 we can see that the product  pc must have the same unit as  energy E; thus, we can express the unit of momentum p as an energy unit divided  by c, usually as MeV/c or GeV/c in fundamental particle physics.  Checkpoint 37.6.1 

Are (a) the kinetic energy and (b) the total energy of a 1 GeV electron more than,  less than, or equal to those of a 1 GeV proton? 

Sample Problem 37.6.1

Energy and momentum of  a relativistic  electron 

(a) What is the total energy E of a 2.53 MeV electron? 

KEY IDEA From Eq. 37.6.8, the total energy E is the sum of the elec-  tron’s  mass energy  (or  rest  energy) mc 2  and  its  kinetic  energy:  E = mc 2  + K. 

(37.6.18) 

The  adjective  “2.53 MeV”  in  the  problem  statement  means  that  the  electron’s  kinetic  energy  is  2.53 MeV. To evaluate the electron’s mass energy mc 2 , we  substitute the electron’s mass m  from Appendix B, obtaining  Calculations:

mc 2  = (9.109 × 10 −31  kg)(299 792 458 m  / s) 2  = 8.187 × 10 −14  J.  Then  dividing this  result by 1.602 × 10 −13  J/MeV gives us  0.511 MeV as the electron’s mass energy (confirming the  value in Table 37.6.1). Equation 37.6.18 then yields 

E = 0.511 MeV + 2.53 MeV = 3.04 MeV.  (Answer)  (b)  What  is  the  magnitude  p  of  the  electron’s  momen-  tum, in the unit MeV/c? (Note that c is the symbol for the  speed of light and not itself a unit.) 

KEY IDEA We can find p from the total energy E and the mass energy  mc 2  via Eq. 37.6.16,  E 2 = ( pc) 2 + (mc 2 ) 2 .  Calculations:

Solving for pc gives us 

_____________ 

pc =  √ E 2 − ( m c 2 ) 2 

_________________________ 

=  √ (3.04 MeV) 2 − (0.511 MeV) 2  = 3.00 MeV.  Finally, dividing both sides by c we find  p = 3.00 MeV/c. 

(Answer)  /

1214

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

Sample Problem 37.6.2

Energy and  an astounding discrepancy  in travel time 

The  most  energetic  proton  ever detected  in  the  cosmic  rays coming to Earth from space had an astounding kinetic  energy of  3.0 × 10 20 eV  (enough  energy  to  warm  a  tea-  spoon of water by a few degrees).  (a)  What were the proton’s  Lorentz factor  γ and speed v  (both relative to the ground-based detector)? 

KEY IDEAS (1) The proton’s  Lorentz factor γ relates its total energy E  to its mass energy mc 2  via Eq. 37.6.9 (E =  γmc 2 ). (2) The  proton’s  total  energy is  the  sum  of  its  mass energy mc 2  and its (given) kinetic energy K.  Calculations:

Putting these ideas together we have 

E  = ________  mc 2 + K = 1 + ____  K  .   γ = ____  2  mc  mc 2  mc 2 

(37.6.19) 

From  Table  37.6.1,  the  proton’s  mass  energy  mc 2  is  938 MeV. Substituting  this  and  the given  kinetic  energy  into Eq. 37.6.19, we obtain  20 

3.0 × 10   eV  γ = 1 + ____________  6 

938 × 10  eV  = 3.198 × 10 11 ≈ 3.2 × 10 11 . 

(Answer) 

This computed value for  γ is so large that we cannot  use the definition  of  γ (Eq. 37.1.8) to find  v. Try it; your  calculator will tell you that  β is effectively equal to 1 and  thus that v is effectively e qual to c. Actually, v is almost c,  but we want a more accurate a nswer, which we can obtain  by first solving Eq. 37.1.8 for 1 − β. To begin we write  1  1  1  ______  _____________  ________  γ = ________  =  _______________  ≈ __________  , 

√ 1 − β2 

√ (1 −  β)(1 + β) 

√ 2(1 − β) 

where we have used the fact that β is so close to unity that  1 +  β is very close to 2. (We can round  off the sum of two  very close numbers but not their difference.) The velocity  we seek is contained  in the 1 − β term. Solving for  1 − β then yields  1  = __________________  1  1 − β =  ___  2 γ 2  (2)(3.198 × 10 11 ) 2  = 4.9 × 10 −24  ≈ 5 × 10 −24 . 

β = 1 − 5 × 10 −24 

Thus,  and, since v = βc, 

v ≈ 0.999 9 99 999 999 999 999 999 995c.  (Answer) 

(b) Suppose  that  the proton  travels along  a diameter of  the Milky Way Galaxy (9.8 × 10 4 ly). Approximately how  long does the proton  take to travel that diameter as mea-  sured from the common reference frame of Earth and the  Galaxy?  We just saw that this ultrarelativistic proton  is traveling at a speed barely less than c. By the definition  of  light-year, light  takes 1 y  to  travel a distance of  1  ly,  and so light should  take 9.8 × 10 4 y to  travel 9.8 × 10 4 ly,  and this proton  should  take almost the same time. Thus,  from our Earth–Milky Way reference frame, the proton’s  trip takes  Reasoning:

Δt = 9.8 × 10 4 y. 

(Answer) 

(c) How long does the trip take as measured in the refer-  ence frame of the proton? 

KEY IDEAS 1.  This  problem involves measurements made from two  (inertial)  reference  frames: one  is  the  Earth–Milky  Way frame and the other is attached to the proton.  2.  This problem also involves two events: The first is when  the  proton  passes  one  end  of  the  diameter along  the  Galaxy, and the second is when it passes the opposite end.  3.  The  time interval between those  two  events as mea-  sured  in  the  proton’s  reference frame is  the  proper  time interval Δt 0  because the events occur at the same  location in that frame—namely, a t the proton itself.  4.  We can find the proper time interval Δt 0  from the time  interval Δt  measured in  the  Earth–Milky Way  frame  by using Eq. 37.1.9 (Δt = γ Δt 0) for time dilation. (Note    that we can use that equation because one of the time  measures is a proper time. However, we get the same  relation if we use a Lorentz transformation.)  Solving Eq. 37.1.9 for Δt 0   and substituting  γ from (a) and Δt from (b), we find  Calculation:

9.8 × 10 4  y  Δt  = ___________  Δ t 0   =  __  γ 3.198 × 10 11  = 3.06 × 10 −7  y = 9.7 s. 

(Answer) 

In our frame, the trip takes 98 000 y. In the proton’s frame,  it takes 9.7 s! As promised at the start of this chapter, rela-  tive motion can alter the rate at which time passes, a nd we  have here an extreme e xample. 

Additional examples, video, and practice available at  WileyPLUS

/

REV IEW  &  SU MMARY  

1215

Review & Summary The Postulates 

Einstein’s special theory of relativity is based 

on two postulates:  1.  The laws of physics are the same for observers in all inertial  reference frames. No one frame is preferred over any other.  2.  The  speed  of  light in  vacuum  has  the  same  value c  in  all  directions and in all inertial reference frames.  The speed of light c in vacuum is an ultimate speed that cannot  be exceeded by any entity carrying energy or information.  Three  space  coordinates  and  one time coordinate specify an event. One task of special rela-  tivity is to relate these coordinates as assigned by two observers  who are in uniform motion with respect to each other.  Coordinates  of  an  Event 

If  two  observers  are  in  relative  motion, they will not, in general, agree as to whether two events  are simultaneous. 

When a  particle  is  moving with  speed uʹ in the positive xʹ direction in an inertial reference frame  Sʹ that itself is moving with speed v parallel to the x direction of  a second inertial frame S, the speed u of the particle as measured  in S is  Relativity  of  Velocities 

u ′ + v  u =  _________  (relativistic velocity).  1 + u ′v/ c 2 

When a light source and a light  detector move directly relative to each other, the wavelength of  the light as measured in the rest frame of the source is the proper  wavelength λ0 . The detected wavelength λ is either longer (a red  shift) or shorter (a blue shift) depending on whether the source–  detector separation is increasing or decreasing. When the sepa-  ration is increasing, the wavelengths are related by  Relativistic Doppler Effect 

Simultaneous  Events 

If  two  successive  events occur  at  the  same  place  in  an  inertial  reference  frame,  the  time  interval  Δt 0  between them, measured on a single clock where they occur, is  the proper time between the events. Observers in frames moving  relative to that frame will measure a larger value for this interval.  For an observer moving with relative speed v, the measured time  interval is  Time  Dilation 

Δ t0    Δ t0    _________  ______  Δt = ___________  = ________  √ 1 − (v/ c) 2  √ 1 −  β2  = γ Δ t0        (time dilation). 

_______ 

1 + β λ = λ 0  √ _____  1 −  β

(source and detector separating),  (37.5.2) 

where β = v/c and v is the relative radial speed (along a line con-  necting the  source  and detector). If  the separation  is  decreas-  ing, the signs in front of the β symbols are reversed. For speeds  much less than c, the magnitude of the Doppler wavelength shift  (Δλ = λ − λ 0 ) is approximately related to v by  |Δ λ|  v = ____  λ  c  ( v ⪡ c).  0 

(37.5.6) 

If the relative motion of the  light source  is  perpendicular  to  a  line  joining the  source  and  detector, the detected frequency f  is related to the proper fre-  quency f 0  by  Transverse Doppler  Effect 

(37.1.7 to 37.1.9)  ______ 

  −  β 2  is  the  Here  β = v/c is  the speed parameter  and  γ = 1 /√   1  Lorentz factor. An important result of time dilation is that mov-  ing clocks run slow as measured by an observer at rest.  The length L 0  of an object measured  by an observer in an inertial reference frame in which the object  is at rest is called its proper length. Observers  in frames moving  relative  to that frame  and parallel to that  length will  measure a  shorter length. For an observer moving with relative speed v, the  measured length is  Length  Contraction 

______  L  0  L = L 0 √ 1 −  β 2  = ___  γ (length contraction). 

(37.2.1) 

The  Lorentz  transforma-  tion equations relate the spacetime coordinates of a single event  as  seen  by observers  in two inertial frames, S and Sʹ,  where Sʹ  is  moving relative to S with velocity v  in the positive x  and xʹ  direction. The four coordinates are related by 

______ 

f = f 0 √ 1 − β2 . 

(37.3.2) 

(37.5.7) 

The following definitions of lin-  ear  momentum  p ,  kinetic energy  K, and  total energy  E  for  a  particle of mass m are valid at any physically possible speed:  Momentum and Energy  →

p =  γm v 

→

→

γ

E = mc 2  + K =  K = mc 2 (γ − 1) 

mc 2 

(momentum), 

(37.6.3) 

(total energy), 

(37.6.8, 37.6.9) 

(kinetic energy). 

(37.6.13) 

Here γ is the Lorentz factor for the particle’s motion, and mc 2  is  the mass energy, or rest energy, associated with the mass  of the  particle. These equations lead to the relationships 

The  Lorentz  Transformation 

x′ =  γ(x − vt),  y′ = y,  z′ = z,  t′ = γ(t − vx/ c 2 ). 

(37.4.1) 

and 

( pc) 2  = K 2  + 2Kmc 2 

(37.6.15) 

E 2  = ( pc) 2  + (mc 2 ) 2 . 

(37.6.16) 

When a system of particles undergoes a chemical or nuclear  reaction, the Q of the reaction is the negative of the change in  the system’s total mass energy:  Q = M i c 2  − M f c 2  = −ΔM c 2 , 

(37.6.11) 

where M i is the system’s total mass before the reaction and M f  is  its total mass after the reaction. 

/

1216

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

Questions A  rod  is  to move at  constant  speed v along the x axis  of refer-  ence frame S, with the rod’s length  parallel to that axis. An observer  in frame S is to measure the length  L of the rod. Which of the curves  in  Fig.  37.1  best  gives  length  L  (vertical axis of the graph)  versus  speed parameter β?  1 

The plane of clocks  and mea-  y C suring rods in Fig. 37.5 is like that  B in Fig. 37.1.3. The clocks along the  x axis are separated (center to cen-  ter)  by  1  light-second, as  are  the  clocks along the y axis, and all the  clocks  are  synchronized  via  the  x procedure  described  in  Module  A z 37.1. When the initial synchroniz-  Figure  37.5  Question 7.  ing signal  of t = 0 from the origin  reaches  (a)  clock  A,  (b)  clock  B,  and (c) clock C, what initial time is then set on those clocks? An  event occurs at clock A when it reads 10 s. (d) How long does the  signal of that event take to travel to an observer stationed at the  origin? (e) What time does that observer assign to the event?  7 

a

b

c d

e

Figure  37.2  shows  a  ship  0 0.2 0.4 0.6 0.8 β (attached to  reference  frame  Sʹ)  passing us  (standing in reference  Figure  37.1  frame  S).  A  proton  is  fired  at  Questions 1 and 3.  nearly the speed of light along the  length of the ship, from the front to the rear. (a)  Is  the spatial  separation  Δxʹ  between the point at which  the proton is  fired  and the point at which it hits the ship’s rear  wall a  positive or  negative quantity? (b)  Is  the temporal separation Δtʹ  between  those events a positive or negative quantity?  2 

y' y

The  rest  energy and  total energy,  respectively, of three  particles, expressed  in terms  of  a  basic  amount A are (1) A, 2A; (2) A, 3A; (3) 3A,  4A.  Without  written  calculation,  rank  1 the particles according  to their (a)  mass,  (b) kinetic energy, (c) Lorentz factor, and  (d) speed, greatest first.  8 

Figure  37.6  shows  the  triangle  of  Fig 37.6.2 for six particles; the slanted lines  2 and 4 have the same length. Rank the par-  ticles according to (a) mass, (b) momentum  magnitude, and (c) Lorentz factor, greatest  first. (d) Identify which two particles have  the same total energy. (e)  Rank the three  lowest-mass particles  according to kinetic  energy, greatest first.  9 

S' S

Proton

v

x

Figure  37.2 

x'

Question 2 and Problem 68. 

Reference frame Sʹ is to pass reference frame S at speed v along  the common direction of the xʹ  and x axes, as  in Fig. 37.3.1. An  observer  who rides along with frame Sʹ is to count off 25 s on his  wristwatch. The corresponding time interval Δt is to be measured  by an observer  in frame S. Which of the curves  in Fig. 37.1 best  gives Δt (vertical axis of the graph) versus speed parameter β?  3 

Figure 37.3 shows  two clocks  in  stationary  frame  Sʹ  (they  are  syn-  chronized  in  that  frame)  and  one  clock in moving frame S. Clocks C 1  and  C 1  ′  read  zero  when  they  pass  each other. When clocks C 1  and C ′ 2  pass each other, (a) which clock has  the  smaller  reading  and  (b)  which  clock measures a proper time?  4 

S'

v S

C' 1

C' 2

C1

Figure  37.3 

Figure 37.4 shows two clocks in sta-  tionary frame S (they are synchronized  in  that frame)  and one  clock in  mov-  ing  frame  Sʹ.  Clocks  C 1  and  C 1  ′  read  zero when they pass each other. When  clocks  C 1′   and  C 2  pass  each  other,  (a) which clock has the smaller reading  and (b) which clock measures a proper  time? 

Question 4. 

S'

5 

v S C' 1

C1

C2

Figure  37.4 

2

3 4 5

6

Figure  37.6 

Question 9. 

While on board a starship, you intercept signals from four  shuttle craft that are moving either directly toward or  directly  away from you. The signals have the same proper frequency f 0 .  The  speed  and direction (both  relative to  you)  of  the shuttle  craft  are  (a)  0.3c  toward, (b)  0.6c  toward, (c)  0.3c  away,  and  (d) 0.6c away. Rank the shuttle craft according to the frequency  you receive, greatest first.  10 

Figure 37.7 shows one of four star cruisers  that are in a race.  As each cruiser passes  the starting line, a shuttle craft leaves the  cruiser and races toward the finish line. You, judging the race, are  stationary relative to the starting and finish lines. The speeds v c  of  the cruisers  relative to you and the speeds  v s  of the shuttle craft  relative to their respective starships  are, in that order, (1)  0.70c,  0.40c; (2) 0.40c, 0.70c; (3) 0.20c, 0.90c; (4)  0.50c, 0.60c. (a) Rank  the shuttle craft according to their speeds relative to you, greatest  first. (b)  Rank the shuttle craft according  to the distances  their  pilots measure from  the starting line to the finish line, greatest  first. (c) Each starship sends a signal to its shuttle craft at a certain  frequency f 0  as measured on board the starship. Rank the shuttle  craft according to the frequencies they detect, greatest first.  11 

Question 5. 

Sam leaves Venus in a spaceship headed to Mars and passes  Sally, who is  on Earth, with a  relative speed of 0.5c. (a)  Each  measures the Venus–Mars voyage time. Who measures a proper  time: Sam, Sally, or neither? (b) On the way, Sam sends a pulse  of  light to  Mars.  Each  measures  the  travel  time of  the pulse.  Who measures a proper time: Sam, Sally, or neither?  6 

vc

vs

Starting line

Finish line Figure  37.7 

Question 11.  /

P ROBL EMS 

1217

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 37.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Simultaneity and Time Dilation 

The mean lifetime of stationary muons is  measured  to be  2.2000 μs. The mean lifetime of high-speed muons in a burst of  cosmic rays  observed from Earth is  measured  to be  16.000 μs.  To  five  significant  figures,  what  is  the  speed  parameter  β of  these cosmic-ray muons relative to Earth?  1 

E 

To eight significant figures, what is speed parameter β if the  Lorentz factor γ is (a) 1.010 000 0, (b) 10.000 000, (c) 100.000 00,  and (d) 1000.000 0?  2  E 

M  You  wish to make  a  round trip from Earth  in a  space-  ship, traveling at constant speed in a  straight line for exactly  6 months (as you measure the time interval) and then returning  at the same constant speed. You wish further, on your return,  to find Earth as it will be exactly 1000 years in the future. (a)  To  eight significant figures, at what speed parameter  β must  you travel? (b) Does it matter whether you travel in a straight  line on your journey? 

3 

(Come)  back to the future. Suppose that a father is  20.00 y  older than his daughter. He wants to travel outward from Earth  for 2.000 y  and then back  for another 2.000 y (both intervals  as  he measures  them) such  that he is then 20.00 y younger than his  daughter. What constant speed parameter β (relative to Earth) is  required?  4 

M 

M  An  unstable high-energy  particle  enters  a  detector  and  leaves a track of length 1.05 mm before it decays. Its speed rela-  tive to the detector was 0.992c. What is its proper lifetime? That  is, how long would the particle have lasted before decay had it  been at rest with respect to the detector? 

5 

a

)s( tΔ

Module 37.2 

The Relativity of Length 

An  electron of  β = 0.999 987  moves along  the axis  of  an  evacuated  tube that has  a  length of  3.00 m  as  measured  by  a  8 

E 

SSM  A spaceship of rest length 130 m races  past a  timing  station at a speed of 0.740c. (a)  What is the length of the space-  ship as measured  by the timing station? (b) What time interval  will the station clock record  between the passage  of the front  and back ends of the ship? 

9  E 

A meter stick in frame Sʹ makes an angle of 30° with the  xʹ axis. If that frame moves parallel to the x axis of frame S with  speed 0.90c relative to frame S, what is the length of the stick as  measured from S?  10  E 

A rod lies parallel to the x axis of reference frame S, mov-  ing along this axis at a speed of 0.630c. Its rest length is 1.70 m.  What will be its measured length in frame S?  11  E 

The length of a spaceship is measured to be exactly half  its rest length. (a) To three significant figures, what is the speed  parameter β of the spaceship relative to the observer’s frame?  (b) By what factor do the spaceship’s clocks run slow relative  to clocks in the observer’s frame?  12  M 

GO  A space traveler takes off from Earth and moves at  speed 0.9900c  toward the  star  Vega, which  is  26.00 ly  distant.  How much time will have elapsed by Earth clocks (a) when the  traveler  reaches  Vega  and  (b)  when  Earth  observers  receive  word  from  the  traveler  that  she  has  arrived?  (c)  How  much  older will Earth observers calculate the traveler to be (measured  from her frame) when she reaches Vega than she was when she  started the trip?  13  M 

GO  A  rod  is  to move  at  M  constant  speed  v  along  the  x  axis  of  reference  frame  S,  with  the rod’s  length parallel  to that  axis. An observer in frame S is to  measure the length L  of the rod.  Figure 37.9 gives length L versus  speed  parameter  β for  a  range  of values for  β. The  vertical axis  scale is set by L a  = 1.00 m. What  is L if v = 0.95c?  14 

La

L

The premise of the Planet of the Apes movies and book is  that hibernating astronauts  travel far  into Earth’s  future, to a  time when human civilization has been replaced by an ape civi-  lization. Considering only special relativity, determine how far  into Earth’s future the astronauts would travel if they slept for  120 y while traveling relative to Earth with a speed of 0.9990c,  first outward from Earth and then back again.  7  M 

laboratory observer  S at rest relative to the tube. An observer Sʹ  who is at rest relative to the electron, however, would see this tube  moving with speed v (= βc). What length would observer  Sʹ mea-  sure for the tube? 

)m(

GO  Reference  frame  Sʹ  M  Δt is  to  pass  reference  frame  S  at  speed v along the common direc-  tion of the xʹ and x axes, as in Fig.  37.3.1.  An  observer  who  rides  along  with  frame  Sʹ  is  to  count  off a  certain time interval on his  wristwatch.  The  corresponding  0 0.4 0.8 time  interval  Δt  is  to  be  mea-  β sured by an observer in frame S.  Figure  37.8  Problem 6.  Figure 37.8 gives Δt versus speed  parameter β for a range of values  for β. The vertical axis scale is set by Δt a  = 14.0 s. What is inter-  val Δt if v = 0.98c?  6 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

0 Figure  37.9 

0.4

β

0.8

Problem 14. 

GO  The  center  of  our  Milky  Way  Galaxy  is  about  M  23 000 ly away. (a) To eight significant figures, at what constant  speed  parameter  would  you  need  to  travel  exactly  23  000 ly  (measured  in  the  Galaxy frame)  in  exactly 30 y  (measured  in  your  frame)?  (b)  Measured  in  your  frame  and in  light-years,  what length of the Galaxy would pass by you during the trip?  15 

Module 37.3 

The Lorentz  Transformation 

Observer  S reports  that an event occurred on the x  axis  of  his  reference  frame  at  x = 3.00 × 10 8  m  at  time  t = 2.50 s.  Observer Sʹ and her frame are  moving in the positive direction  of the x axis at a speed of 0.400c. Further, x = xʹ = 0 at t = tʹ = 0.  What are  the  (a)  spatial  and  (b)  temporal coordinate  of  the  16  E 

/

1218

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

event according  to Sʹ ? If  Sʹ  were, instead, moving  in the nega-  tive  direction of  the x  axis,  what would be  the (c)  spatial  and  (d) temporal coordinate of the event according to Sʹ ? 

same as ours and (f) the reverse of ours? (g) Can event A cause  event B, or vice versa? Explain. 

SSM  In Fig. 37.3.1, the origins of the two frames coincide  at t = t′ = 0 and the relative speed is 0.950c. Two micrometeorites  collide at coordinates x = 100 km and t = 200 μs according to an  observer  in frame S. What are the (a)  spatial and (b) temporal  coordinate of the collision according to an observer in frame Sʹ ? 

17  E 

Inertial frame Sʹ moves at a speed of 0.60c with respect to  frame S (Fig. 37.3.1). Further, x = xʹ = 0 at t = tʹ = 0. Two events  are recorded. In frame S, event 1 occurs at the origin at t = 0 and  event 2 occurs on the x axis at x = 3.0 km at t = 4.0 μs. According  to observer Sʹ, what is the time of (a)  event 1 and (b) event 2?  (c) Do the two observers see the same sequence or the reverse?  18 

E 

M  GO  As  in Fig. 37.3.1, ref-  Δt erence  frame Sʹ  passes  reference  frame  S  with  a  certain  veloc-  ity.  Events  1  and  2  are  to  have  a  certain  temporal  separation  Δtʹ  according  to the  Sʹ  observer.  However, their spatial separation  Δxʹ  according  to  that  observer  has not been set yet. Figure 37.10  0 200 400 gives  their  temporal  separation  Δx' (m) Δt according to the S observer as  a  function of  Δxʹ  for  a  range  of  Figure  37.10  Problem 20.  Δxʹ values. The vertical axis scale  is set by Δt a  = 6.00 μs. What is Δtʹ ? 

20 

a

)sμ ( tΔ

Relativistic reversal  of events. Figures 37.11a and b  show  the (usual) situation in which a primed reference frame passes  an unprimed reference frame, in the common positive direction  of the x and xʹ axes, at a constant relative velocity of magnitude  v. We are at rest  in the unprimed frame; Bullwinkle, an astute  student of relativity in spite of his cartoon upbringing, is at rest  in the primed frame. The figures also  indicate events A and B  that occur at the following spacetime coordinates as  measured  in our unprimed frame and in Bullwinkle’s primed frame:  21  M 

Event  A  B 

Unprimed  (x A , t A )  (x B , t B ) 

Primed  ( x′ , t    ′ )  A  A  ( x ′ , t  B  ′ )  B 

In  our  frame,  event  A  occurs  before  event  B,  with  temporal  separation  Δt = t B  − t A  = 1.00 μ s  and  spatial  separation  Δx =  x B  − x A  = 400 m.  Let  Δtʹ  be  the  temporal  separation  of  the  events according  to Bullwinkle. (a)  Find an  expression  for  Δtʹ  in terms  of the speed parameter  β (=  v/c)  and the given data.  Graph Δtʹ versus  β for the following two ranges of β:  (b)  0 to 0.01  (c)  0.1 to 1 

(v is low, from 0 to 0.01c)  (v is high, from 0.1c to the limit c ) 

(d) At what  value  of  β is  Δtʹ = 0?  For  what  range  of  β is  the  sequence  of  events  A  and  B  according  to  Bullwinkle  (e)  the 

x' A

x' A

x' B x'

x' A

E 

An  experimenter  arranges  to  trigger  two  flashbulbs  simultaneously, producing a big flash located at the origin of his  reference frame and a small flash at x = 30.0 km. An observer  moving at  a speed  of 0.250c  in the positive direction of x also  views  the flashes. (a)  What is  the time interval between them  according to her? (b) Which flash does she say occurs first?  19 

v

v

x

xA

(a) Event

A

Figure  37.11 

B xA

x

xB

(b ) Event

B

Problems 21, 22, 60, and 61. 

M  CALC  For  the  passing  reference  frames  in  Fig. 37.11,  events A  and B  occur  at the following spacetime  coordinates:  according to the unprimed frame, (x A , t A )  and (x B , t B ); accord-  ing to the primed frame, ( xA  ′ , t    A  ′ )  and ( x B  ′ , t B  ′ ). In the unprimed  frame, Δt = t B  − t A  = 1.00 μs and Δx = x B  − x A  = 400 m. (a) Find  an expression for Δx′ in terms of the speed parameter β and the  given data. Graph Δx′ versus  β for two ranges of β: (b) 0 to 0.01  and (c)  0.1 to  1. (d)  At what value  of  β is  Δxʹ  minimum, and  (e) what is that minimum? 

22 

A clock moves along an x axis  at a  speed of 0.600c  and  reads zero  as  it passes  the origin of the axis. (a)  Calculate the  clock’s Lorentz factor. (b)  What time does the clock read as it  passes x = 180 m?  23  M 

Bullwinkle in reference frame Sʹ passes you in reference  frame S along the common direction of the xʹ and x axes, as in  Fig. 37.3.1. He carries three meter sticks: meter stick 1 is parallel  to the xʹ axis, meter stick 2  is parallel to the yʹ axis, and meter  stick  3  is  parallel  to  the  zʹ  axis.  On  his  wristwatch  he  counts  off  15.0 s,  which  takes  30.0 s  according  to  you.  Two  events  occur  during his passage.  According to  you, event 1  occurs  at  x 1  = 33.0 m  and t 1  = 22.0 ns, and  event 2  occurs  at  x 2  = 53.0 m  and t 2  = 62.0 ns. According to  your measurements, what is  the  length of (a) meter stick 1, (b) meter stick 2, and (c)  meter stick  3? According to Bullwinkle, what are (d) the spatial separation  and (e)  the temporal separation between events  1  and 2,  and  (f) which event occurs first?  24  M 

In Fig. 37.3.1, observer S detects two flashes of light. A big  flash occurs at x 1  = 1200 m and, 5.00 μ s later, a small flash occurs  at x2    = 480 m. As detected by observer Sʹ, the two flashes occur at  a single coordinate xʹ. (a) What is the speed parameter of Sʹ, and  (b) is Sʹ moving in the positive or negative direction of the x axis?  To Sʹ, (c) which flash occurs first and (d) what is the time interval  between the flashes?  25  M 

M  In  Fig.  37.3.1, observer  S  detects  two  flashes  of  light.  A big flash occurs at x 1  = 1200 m and, slightly later, a small flash  occurs  at  x 2  = 480 m. The time interval between the flashes  is  Δt = t 2  − t 1 . What is the smallest value of Δt for which observer  Sʹ  will  determine  that  the  two  flashes  occur  at  the  same  xʹ  coordinate? 

26 

Module 37.4 

The Relativity of Velocities 

A  particle  moves  along  the  xʹ  axis  of  frame  Sʹ  with velocity 0.40c.  Frame Sʹ moves  with velocity 0.60c  with  respect to frame S.  What is  the velocity of the particle with  respect to frame S?  27 

E 

SSM 

/

P ROBL EMS 

E  In  Fig. 37.4.1, frame  Sʹ  moves  relative  to frame  S  with  velocity 0.62c ˆ  i while a particle moves parallel to the common x  and xʹ axes. An observer attached to frame Sʹ measures the par-  ticle’s velocity to be 0.47c ˆ  i. In terms of c, what is  the particle’s  velocity as measured by an observer attached to frame S accord-  ing to the (a)  relativistic  and (b)  classical  velocity transforma-  tion?  Suppose,  instead, that  the  Sʹ  measure  of  the  particle’s  velocity is  −0.47c ˆ  i. What velocity does  the observer  in S  now  measure according to the (c) relativistic and (d) classical veloc-  ity transformation? 

28 

Galaxy A is reported to be receding from us with a speed  of 0.35c. Galaxy B, located in precisely the opposite direction,  is  also found to be receding from us  at this same speed. What  multiple of c gives the recessional  speed an observer on Galaxy  A would find for (a) our galaxy and (b) Galaxy B?  29  E 

Stellar system Q 1  moves away from us at a speed of 0.800c.  Stellar system Q 2 , which lies in the same direction in space but is  closer to us, moves away from us at speed 0.400c. What multiple  of  c  gives  the speed of  Q 2  as  measured  by  an  observer  in the  reference frame of Q 1 ?  30  E 

SSM  A spaceship whose rest length is 350 m has a speed  of 0.82c with respect to a certain reference frame. A micromete-  orite, also with a speed of 0.82c in this frame, passes  the space-  ship on an antiparallel track. How long does it take this object to  pass the ship as measured on the ship? 

31  M 

1219

light by a detector fixed at the center of the circle. What is the  wavelength shift λ − λ 0 ?  SSM  A spaceship, moving away from Earth at a speed of  0.900c, reports  back by transmitting at  a frequency  (measured  in the spaceship  frame) of 100 MHz. To what frequency  must  Earth receivers be tuned to receive the report? 

35  E 

Certain wavelengths in the light from a galaxy in the con-  stellation Virgo are observed to be 0.4% longer than the corre-  sponding light from Earth sources. (a)  What is the radial speed  of this galaxy with respect to Earth? (b) Is  the galaxy approach-  ing or receding from Earth?  36  E 

Assuming that Eq. 37.5.6 holds, find how fast you would  have to go through a red light to have it appear green. Take 620 nm  as the wavelength of red light and 540 nm as the wavelength of  green light.  37  E 

Figure 37.13 is a graph of intensity versus wavelength for  light  reaching  Earth  from  galaxy  NGC 7319,  which  is  about  3 × 10 8  ly  away. The  most intense light is  emitted by  the oxy-  gen in NGC 7319. In a laboratory that emission is at wavelength  λ = 513 nm, but in the light from NGC 7319 it has been shifted  to  525 nm  due  to  the  Doppler effect  (all  the  emissions  from  NGC 7319 have been shifted). (a)  What is  the radial speed of  NGC 7319 relative to Earth? (b)  Is the relative motion toward  or away from our planet?  38  E 

M  GO  In  Fig. 37.12a, particle P  is  to  move parallel to the  x and xʹ  axes of reference frames S and Sʹ, at a certain velocity  relative to  frame S.  Frame Sʹ  is  to move parallel to  the x axis  of frame S  at velocity v. Figure 37.12b gives  the velocity uʹ  of  the particle relative to frame Sʹ for a range of values for v. The  vertical axis scale is set by uʹ a  = 0.800c. What value will uʹ have if  (a) v = 0.90c and (b) v → c? 

32 

800

ytisnetnI

400

Δ λ = +12 nm

NGC 7319

Laboratory wavelength

200 y

y'

0 400

ua' S

S' 'u

P x

450

500

550 600 650 Wavelength (nm)

Figure  37.13 

x'

700

750

Problem 38. 

M  SSM  A spaceship  is  moving away from Earth  at  speed  0.20c. A source on the rear of the ship emits light at wavelength  450 nm according to someone on the ship. What (a) wavelength  and (b) color (blue, green, yellow, or red) are detected by some-  one on Earth watching the ship? 

39 

(a )

0

0.2 c

0.4 c v

(b ) Figure  37.12 

Problem 32. 

Module 37.6 

GO  An armada of spaceships  that is 1.00 ly long (as mea-  sured  in  its  rest  frame)  moves  with speed 0.800c  relative to a  ground station in frame S. A messenger travels from the rear of  the armada to the front with a speed of 0.950c relative to S. How  long does the trip take as measured (a)  in the rest frame of the  messenger,  (b)  in  the rest  frame of the armada, and (c)  by an  observer in the ground frame S?  33  M 

Module 37.5 

Doppler Effect for Light 

A  sodium light source  moves  in a  horizontal  circle  at  a  constant speed of 0.100c while emitting light at the proper wave-  length  of  λ0  = 589.00 nm.  Wavelength  λ is  measured  for  that  34 

E 

Momentum and Energy 

How much work  must be done to increase  the speed  of  an electron from rest to (a) 0.500c, (b) 0.990c, and (c) 0.9990c?  40 

E 

The mass  of an electron is  9.109 381 88 ×  10 −31  kg.  To six significant figures, find (a)  γ and (b) β for an electron with  kinetic energy K = 100.000 MeV.  41  E 

SSM 

E  What  is  the minimum energy  that is  required  to  break  a  nucleus of 12 C (of mass  11.996 71 u)  into three nuclei of  4 He  (of mass 4.001 51 u each)? 

42 

E  How much work  must be done to increase  the speed  of  an electron (a) from 0.18c to 0.19c and (b) from 0.98c to 0.99c?  Note that the speed increase is 0.01c in both cases. 

43 

/

1220 44  E 

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

In the reaction p + 19 F → α + 16 O, the masses are  m(p) =  1.007825 u,  m(F) = 18.998405 u, 

m( α) =  4.002603 u,  m(O) = 15.994915 u. 

Calculate the Q of the reaction from these data.  M  In  a high-energy collision between a cosmic-ray  particle  and a particle near the top of Earth’s atmosphere, 120 km above  sea  level, a  pion is  created. The  pion  has  a  total energy  E  of  1.35 × 10 5  MeV  and  is  traveling  vertically  downward.  In  the  pion’s rest  frame, the pion decays 35.0 ns after its creation. At  what altitude above sea  level, as  measured from Earth’s refer-  ence frame, does the decay occur? The rest energy of a pion is  139.6 MeV. 

45 

(a) If m is a particle’s mass, p is its momentum magnitude,  and K is its kinetic energy, show that  46  M 

( pc) − K 2  m = _________  .  2Kc 2  (b) For low particle speeds, show that the right side of the equa-  tion reduces to m. (c)  If a particle has K = 55.0 MeV when p =  121 MeV/c, what  is  the  ratio m/m e  of  its  mass  to  the electron  mass?  SSM  A 5.00-grain aspirin tablet has a mass of 320 mg. For  how many kilometers would the energy equivalent of this mass  power an automobile? Assume 12.75 km/L and a heat of com-  bustion of 3.65 × 10 7  J/L for the gasoline used in the automobile. 

47  M 

GO  The mass of a muon is 207 times the electron mass; the  average lifetime of muons at rest is 2.20 μs. In a certain experi-  ment, muons moving through a laboratory are measured to have  an average lifetime of 6.90 μ s. For the moving muons, what are  (a)  β, (b) K, and (c) p (in MeV/c)?  48  M 

GO  As you read this page (on paper or monitor screen),  a cosmic ray proton passes along the left–right width of the page  with relative speed v and a total energy of 14.24 nJ. According  to your measurements, that left–right width is 21.0 cm. (a) What  is  the width according  to  the proton’s  reference  frame? How  much time did the passage take according to (b) your frame and  (c) the proton’s frame?  49  M 

M  To  four  significant figures, find the following when the  kinetic energy is 10.00 MeV: (a)  γ and (b)  β for an electron (E 0  =  0.510 998 MeV), (c)  γ and (d) β for a proton (E 0  = 938.272 MeV),  and (e)  γ and (f) β for an α particle (E 0  = 3727.40 MeV). 

50 

What must be the momentum of a particle with mass m so  that the total energy of the particle is 3.00 times its rest energy?  51  M 

M  Apply the binomial theorem (Appendix E)  to the last  part of Eq. 37.6.13 for the kinetic energy of a particle. (a) Retain  the first two terms of the expansion to show the kinetic energy  in the form 

52 

K = (first term) + (second term).  The first term is the classical expression for kinetic energy. The  second term is the first-order correction to the classical expres-  sion. Assume the particle is  an electron. If  its speed  v  is  c/20,  what  is  the  value  of  (b)  the  classical  expression  and  (c)  the  first-order  correction?  If  the electron’s  speed  is  0.80c,  what is  the value of (d)  the classical expression  and (e)  the first-order  correction? (f) At what speed parameter  β does the first-order  correction become 10% or greater of the classical expression? 

In Module 28.4, we showed that a particle of charge q and  mass m will move in a circle of radius r = mv/|q|B when its veloc-  ity  v  is  perpendicular to a  uniform magnetic field B .  We also  found that the period T of the motion is  independent of speed  v. These two results are approximately correct if v ⪡ c. For rela-  tivistic speeds, we must use the correct equation for the radius:  53  M 

→

→

p  γmv  r = ____ = ____ .  |q|B  |q|B 

(a) Using this equation and the definition of period (T = 2πr/v),  find the correct expression for the period. (b) Is  T independent  of v?  If a 10.0 MeV electron moves in a circular  path in a uni-  form magnetic field of magnitude 2.20 T, what are (c) the radius  according to Chapter 28, (d)  the correct  radius, (e)  the period  according to Chapter 28, and (f) the correct period?  GO  What  is  β for  a  particle  with  (a)  K = 2.00E 0  and  M  (b) E = 2.00E 0?    54 

A certain particle of mass m has momentum of magnitude  mc. What are (a)  β, (b)  γ, and (c) the ratio K/E 0 ?  55  M 

M  (a)  The  energy released in  the explosion of 1.00 mol of  TNT is 3.40 MJ. The molar mass of TNT is 0.227 kg/mol. What  weight  of  TNT  is  needed  for  an  explosive  release  of  1.80  ×  10 14  J? (b) Can you carry that weight in a backpack, or is a truck  or train required?  (c)  Suppose that in an explosion of a fission  bomb, 0.080% of the fissionable mass is  converted to released  energy. What  weight of  fissionable  material  is  needed for  an  explosive release of 1.80 × 10 14  J? (d) Can you carry that weight  in a backpack, or is a truck or train required? 

56 

CALC  Quasars are thought to be the nuclei of active gal-  axies  in  the  early  stages  of  their  formation. A  typical quasar  radiates energy at the rate of 10 41  W. At what rate is the mass of  this quasar being reduced to supply this energy? Express  your  answer in solar mass  units per year, where one solar  mass unit  (1 smu = 2.0 × 10 30  kg) is the mass of our Sun. 

57  M 

The mass of an electron is 9.109 381 88 × 10 −31  kg. To eight  significant  figures,  find  the  following  for  the  given  electron  kinetic energy: (a)  γ and  (b)  β for  K = 1.000 000  0 keV, (c)  γ and (d)  β for K = 1.000 000 0 MeV, and then (e)  γ and (f)  β for  K = 1.000 000 0 GeV.  58  M 

GO  An alpha particle with kinetic energy 7.70 MeV col-  lides with an 14 N nucleus at rest, and the two transform into an  17  O  nucleus and a  proton. The proton is  emitted at  90° to the  direction of the incident alpha particle and has a kinetic energy  of 4.44 MeV. The masses of the various particles are alpha par-  ticle,  4.00260 u;  14 N,  14.00307 u;  proton, 1.007825 u;  and  17 O,  16.99914 u. In MeV, what are (a) the kinetic energy of the oxy-  gen nucleus and (b) the Q of the reaction? (Hint: The speeds of  the particles are much less than c.)  59  H 

Additional Problems 

Temporal separation  between two events.  Events A and B  occur  with  the  following spacetime  coordinates  in  the  refer-  ence  frames  of  Fig.  37.11: according  to  the  unprimed  frame,  (x A , t A ) and (x B , t B ); according to the primed frame, ( x A  ′ , t A  ′ ) and  ( x B  ′ , t B  ′ ). In the unprimed frame, Δt = t B  − t A  = 1.00 μs  and Δx =  x B  − x A  = 240 m. (a)  Find an  expression  for Δtʹ in  terms of the  speed parameter β and the given data. Graph Δtʹ versus  β for the  following two ranges of  β: (b)  0 to 0.01 and (c) 0.1 to 1. (d)  At  what value of β is  Δtʹ minimum and (e) what is that minimum?  (f) Can one of these events cause the other? Explain.  60 

/

P ROBL EMS 

Spatial  separation  between  two  events.  For  the  passing  reference  frames of Fig. 37.11, events A and B  occur with the  following  spacetime  coordinates:  according  to  the  unprimed  frame,  (x A ,  t A )  and  (x B ,  t B );  according  to  the  primed  frame,  ( xA  ′ , t    A  ′ ) and ( x B  ′ , t B  ′ ). In the unprimed frame, Δt = t B  − t A = 1.00 μs  and  Δ x  =  x B  − x A  = 240 m.  (a)  Find an  expression  for  Δxʹ  in  terms of the speed parameter  β and the given data. Graph Δxʹ  versus  β for two ranges of β: (b) 0 to 0.01 and (c) 0.1 to 1. (d) At  what value of β is Δxʹ = 0?  61 

y

v

y'

0 S

0.2 c

0.4 c

S' P 'u

x

x'

(a ) ua '

(b ) Figure  37.14 

they were photographed on the same  piece of film, first  when  light from burst 1 arrived on Earth and then later when light from  burst 2 arrived. The apparent distance D app traveled by the knot  between the two bursts is the distance across  an Earth-observ-  er’s  view  of  the knot’s path. The  apparent time T app  between  the bursts is the difference in the arrival times of the light from  them. The apparent speed of the knot is then V app = D app /T app .   In terms of v, t, and θ, what are (a) D app and (b) T app ? (c) Evalu-  ate V app for v = 0.980c and θ = 30.0°. When superluminal (faster  than light) jets were first observed, they seemed to defy special  relativity—at least until the correct geometry (Fig. 37.15a)  was  understood.  GO  Reference frame Sʹ  passes  reference  frame  S  with  a  certain  velocity  as  in  Fig.  37.3.1.  Events  1  and  2  are to have  a  certain  spa-  tial  separation  Δxʹ  according  to  the  Sʹ  observer.  However,  their  temporal  separation  Δtʹ  accord-  ing  to that  observer  has  not  been  set  yet.  Figure  37.16  gives  their  spatial  separation  Δx  according  to the S  observer  as  a  function of  Δtʹ  for  a  range  of  Δtʹ  values.  The  vertical  axis  scale  is  set  by  Δx a  =  10.0 m. What is Δxʹ?  64 

0

4 Δt' (ns)

Figure  37.16 

8

Problem 64. 

Another approach to velocity transformations. In Fig. 37.17,  reference frames B and C move past reference frame A in the  common direction of their x axes. Represent the x components  of the  velocities  of one  frame relative  to another with a  two-  letter  subscript.  For  example, v AB  is  the  x  component of  the  velocity of A relative to B. Similarly, represent the correspond-  ing speed  parameters  with two-letter subscripts.  For example,  βAB  (=  v AB /c)  is  the  speed  parameter  corresponding  to  v AB.  (a) Show that  65 

Problem 62. 

GO  Superluminal jets. Figure 37.15a shows the path taken by  a knot in a jet of ionized gas that has been expelled from a gal-  axy. The knot travels at constant velocity v  at angle θ from the  direction of Earth. The knot occasionally emits a burst of light,  which is eventually detected on Earth. Two bursts are indicated  in Fig.  37.15a,  separated by  time t as  measured  in a  stationary  frame near the bursts. The bursts are shown in Fig. 37.15b as if  63 

→

βAB   + βBC .  __________  βAC  = 1 +  β β

Path of knot of ionized gas

AB  BC 

Let  M AB  represent  the  ratio (1 − βAB )/(1 + βAB ),  and let  M BC  and M AC  represent similar ratios. (b) Show that the relation 

Burst 1

θ

Δxa

)m( xΔ

GO  In Fig. 37.14a, particle P is to move parallel to the x and  xʹ axes of reference frames S and Sʹ, at a certain velocity relative  to frame S. Frame Sʹ is  to move parallel to the x axis  of  frame  S at velocity v. Figure 37.14b gives the velocity uʹ of  the  parti-  cle  relative to  frame Sʹ  for a  range of  values for  v. The  verti-  cal  axis scale  is set  by uʹ a  = −0.800c. What value will uʹ have if  (a) v = 0.80c and (b) v → c?  62 

1221

M AC  = M AB M BC 

v

is true by deriving the equation of part (a) from it.  Burst 2

D app

A

Light rays headed to Earth

B

x

Figure  37.17 

(a )

C

x

x

Problems 65, 66, and 67. 

Continuation of Problem 65. Use the result of part (b)  in  Problem 65 for the motion along a single axis  in the following  situation. Frame A  in  Fig. 37.17  is  attached to a  particle that  moves  with velocity +0.500c  past  frame  B,  which  moves  past  frame C with a velocity of +0.500c. What are (a)  M AC , (b)  βAC ,  and (c)  the velocity of the particle relative to frame C?  66 

D app

Continuation  of  Problem  65.  Let  reference  frame  C  in  Fig. 37.17 move past reference frame D (not shown). (a)  Show  that  67 

Burst 1

Burst 2 (b )

Figure  37.15 

Problem 63. 

M AD  = M AB M BC M CD .  

/

1222

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

(b)  Now put this general result to work: Three particles move  parallel to a single axis  on which an observer is  stationed. Let  plus and minus signs indicate the directions of motion along that  axis. Particle A moves past particle B  at  βAB  =  +0.20. Particle  B  moves past  particle C  at  βBC  = −0.40. Particle C  moves past  observer D at βCD  = +0.60. What is the velocity of particle A rela-  tive to observer  D?  (The solution technique here  is much faster  than using Eq. 37.4.1.)  Figure  37.2 shows  a  ship  (attached to  reference  frame  Sʹ)  passing  us  (standing  in  reference  frame  S)  with  velocity  v  =  0.950c ˆ  i. A proton is fired at speed 0.980c relative to the ship from  the front of the ship to the rear.  The proper length of the ship is  760 m. What is the temporal separation between the time the pro-  ton is fired and the time it hits the rear wall of the ship according  to (a)  a passenger  in the ship and (b) us? Suppose that, instead,  the proton is  fired from  the rear  to the front. What then  is the  temporal separation between the time it is  fired and the time it  hits the front wall according to (c) the passenger and (d) us?  68 

→

The car-in-the-garage problem. Carman has just purchased  the world’s  longest stretch  limo, which has  a  proper length of  L c  = 30.5 m.  In  Fig.  37.18a,  it  is  shown  parked  in  front  of  a  garage  with a  proper  length of  L g  = 6.00 m. The  garage  has  a  front door (shown open) and a back door (shown closed). The  limo is obviously longer than the garage. Still, Garageman, who  owns the garage and knows something about relativistic length  contraction, makes a bet with Carman that the limo can fit in the  garage with both doors closed. Carman, who dropped his phys-  ics  course  before reaching special relativity, says  such a  thing,  even in principle, is impossible.  To analyze Garageman’s  scheme, an x c  axis  is  attached to  the limo, with x c  = 0 at the rear bumper, and an x g axis is attached  to the garage,  with x g  = 0  at the (now  open) front door. Then  Carman  is  to drive  the limo directly  toward  the front door  at  a  velocity of 0.9980c  (which  is, of course,  both technically and  financially impossible). Carman is stationary in the x c  reference  frame; Garageman is stationary in the x g  reference frame.  There  are  two  events  to  consider.  Event  1:  When  the  rear  bumper  clears  the  front  door,  the  front  door  is  closed.  Let the time of this event be zero to both Carman and Garage-  man: t g1  = t c1  = 0. The event occurs at x c  = x g  = 0. Figure 37.18b  shows  event  1  according  to  the  x g  reference  frame. Event  2:  When the front bumper reaches the back door, that door opens.  Figure 37.18c shows event 2 according to the x g  reference frame.  69 

According to Garageman, (a) what is the length of the limo,  and what  are  the  spacetime  coordinates  (b)  x g2  and (c)  t g2  of  event 2?  (d)  For  how  long is  the limo  temporarily “trapped”  inside the garage with both doors shut? Now consider the situ-  ation from the x c  reference frame, in which the  garage comes  racing  past  the  limo at  a  velocity  of  −0.9980c.  According  to  Carman, (e)  what is the length of the passing garage, what are  the spacetime coordinates  (f )  x c2  and (g)  t c2  of  event 2, (h)  is  the limo ever in the garage with both doors shut, and (i)  which  event occurs first? ( j) Sketch events 1 and 2 as seen by Carman.  (k)  Are  the events  causally related; that is,  does one  of them  cause the other? (l) Finally, who wins the bet?  An airplane has  rest length 40.0 m and speed 630 m/s. To  a ground observer, (a)  by what fraction is  its length contracted  and (b) how long is needed for its clocks to be 1.00 μs slow?  70 

SSM  To  circle  Earth  in  low  orbit, a  satellite must  have  a  speed of about 2.7 × 10 4  km/h. Suppose that two such satellites  orbit  Earth  in  opposite  directions.  (a)  What  is  their  relative  speed  as  they  pass,  according  to  the  classical  Galilean veloc-  ity transformation equation? (b)  What fractional error  do you  make in (a) by not using the (correct) relativistic transformation  equation? 

71 

Find the speed parameter of a particle that takes 2.0 y lon-  ger than light to travel a distance of 6.0 ly.  72 

SSM  How much work is needed to accelerate a proton from  a speed of 0.9850c to a speed of 0.9860c? 

73 

A pion is  created in  the higher  reaches  of  Earth’s  atmo-  sphere  when  an  incoming  high-energy  cosmic-ray  particle  collides  with  an  atomic nucleus.  A  pion so  formed descends  toward Earth with a speed of 0.99c. In a reference frame in which  they are  at rest, pions decay  with an average  life of 26  ns. As  measured in a frame fixed with respect to Earth, how far (on the  average) will such a pion move through the atmosphere before  it decays?  74 

SSM  If  we  intercept  an  electron  having  total  energy  1533 MeV that came from Vega, which is 26 ly from us, how far  in light-years was the trip in the rest frame of the electron? 

75 

The  total  energy  of  a  proton  passing  through  a  labora-  tory apparatus is 10.611 nJ. What is its speed parameter β? Use  the proton mass given in Appendix B under “Best Value,” not  the commonly remembered rounded number.  76 

A spaceship at rest in a certain reference frame S is  given  a speed increment of 0.50c. Relative to its new rest frame, it is  then given a further 0.50c increment. This process  is continued  until its speed with respect to its original frame S exceeds 0.999c.  How many increments does this process require?  77 

Lg

Lc

xc

0

In the red shift of radiation from a distant galaxy, a certain  radiation, known to have a wavelength of 434 nm when observed  in the laboratory, has a wavelength of 462 nm. (a)  What is  the  radial speed of  the galaxy relative to Earth? (b)  Is  the  galaxy  approaching or receding from Earth?  78 

xg

0 (a )

SSM  What is the momentum in MeV/c of an electron with a  kinetic energy of 2.00 MeV? 

79 

xg

0 (b )

xg

0 (c )

Figure  37.18 

Problem 69. 

The radius of Earth is 6370 km, and its orbital speed about  the Sun is  30 km/s. Suppose Earth  moves  past an  observer  at  this speed. To the observer, by how much does Earth’s diameter  contract along the direction of motion?  80 

/

P ROBL EMS 

A  particle  with mass  m  has  speed  c/2  relative  to  inertial  frame S. The particle collides with an identical particle at rest  relative to frame S. Relative to S, what is  the speed of a frame  Sʹ in which the total momentum of these particles is  zero? This  frame is called the center of momentum frame.  81 

An  elementary  particle produced in  a  laboratory  experi-  ment travels  0.230 mm  through the  lab  at  a  relative speed  of  0.960c before it decays (becomes another particle). (a) What is  the proper lifetime of the particle? (b) What is the distance the  particle travels as measured from its rest frame?  82 

1223

scout ship, the speed of the decoy is 0.980c and the speed of the  Foron cruiser is 0.900c. What is the speed of the decoy relative  to the cruiser?  In Fig. 37.21, three spaceships are in a chase. Relative to an  x axis in an inertial frame (say, Earth frame), their velocities are  v A  = 0.900c, v B , and v C  = 0.800c. (a) What value of v B  is required  such that ships  A and C approach ship B with the same speed  relative to ship B, and (b) what is that relative speed?  89 

vA

vB

vC

What  are  (a)  K,  (b)  E,  and  (c)  p  (in  GeV/c)  for  a  pro-  ton moving at  speed 0.990c?  What are  (d)  K,  (e)  E, and  (f)  p  (in MeV/c) for an electron moving at speed 0.990c?  83 

A  radar  trans-  S S' mitter  T  is  fixed  to  v T a  reference  frame  Sʹ  R that  is  moving  to  the  right  with  speed  v  τ0 relative  to  reference  A frame  S  (Fig.  37.19).  A  mechanical  timer  Figure  37.19  Problem 84.  (essentially  a  clock) in  frame Sʹ, having a period τ0  (measured in Sʹ), causes transmitter  T  to emit timed radar  pulses, which travel at the speed of light  and  are  received  by  R,  a  receiver  fixed in  frame  S. (a)  What  is  the period  τ of the timer as  detected by observer  A, who is  fixed in frame S? (b)  Show that at receiver R the time interval  between pulses arriving from T is not τ or  τ0 , but 

x

84 

Figure  37.21 

Problem 89. 

Space cruisers  A and B are moving parallel to the positive  direction of an x axis. Cruiser A is  faster, with a relative speed  of v = 0.900c, and has a proper length of L = 200 m. According  to the pilot of A,  at the instant (t  = 0)  the tails of the cruisers  are aligned, the noses are also. According to the pilot of B, how  much later are the noses aligned?  90 

In Fig. 37.22, two cruisers  fly toward a space station. Rela-  tive to the station, cruiser  A has  speed 0.800c.  Relative to the  station, what speed  is  required of cruiser  B  such  that its  pilot  sees A and the station approach B at the same speed?  91 

vA

vB

_____ 

c + v .  τR  = τ 0 √ _____  c − v  (c) Explain why receiver R and observer A, who are in the same  reference frame, measure a different period for the transmitter.  (Hint: A clock and a radar pulse are not the same thing.)  One cosmic-ray particle approaches  0.80 c Earth along Earth’s north–south axis with  a  speed  of 0.80c  toward  the geographic  north pole, and another approaches with  Geographic a  speed  of 0.60c  toward  the geographic  north pole south  pole  (Fig.  37.20).  What  is  the  relative speed of approach of one particle  with respect to the other? 

x

Station Figure  37.22 

85 

(a)  How  much  energy  is  released  in  the explosion of  a fission  bomb con-  taining  3.0 kg  of  fissionable  material?  Geographic south pole Assume  that 0.10% of  the mass  is  con-  verted to released energy. (b) What mass  0.60 c of  TNT  would have  to  explode to  pro-  vide  the  same  energy  release?  Assume  Figure  37.20  that each mole of TNT  liberates 3.4 MJ  Problem 85.  of  energy  on  exploding. The  molecular  mass of TNT is 0.227 kg/mol. (c) For the same mass of explosive,  what is the ratio of the energy released in a nuclear explosion to  that released in a TNT explosion?  86 

(a) What potential difference would accelerate an electron  to speed c according to classical physics? (b) With this potential  difference, what speed would the electron actually attain?  87 

A  Foron  cruiser  moving  directly  toward  a  Reptulian  scout ship  fires a  decoy toward the scout  ship. Relative to the  88 

Problem 91. 

A  relativistic  train of  proper  length 200  m  approaches  a  tunnel of the same proper length, at a relative speed of 0.900c.  A paint bomb in the engine room is set  to explode (and cover  everyone  with blue  paint)  when  the  front  of  the  train  passes  the far  end of the tunnel (event FF). However, when the rear  car  passes  the near  end of the  tunnel (event RN), a  device  in  that car is set to send a signal to the engine room to deactivate  the bomb. Train view: (a) What is the tunnel length? (b) Which  event  occurs  first,  FF  or  RN?  (c)  What  is  the  time  between  those events? (d)  Does the paint bomb explode? Tunnel view:  (e)  What is  the train length? (f)  Which event occurs  first? (g)  What  is  the  time  between  those  events?  (h)  Does  the  paint  bomb explode? If your answers to (d) and (h) differ, you need  to explain the paradox, because either the engine room is  cov-  ered with blue paint or not; you cannot have it both ways. If your  answers are the same, you need to explain why.  92 

Police radar. A police car equipped with a radar unit waits  alongside a  highway. The  radar  emits  a  beam  of  microwaves  down the highway at  frequency f 0  =  24.125 GHz (in  the com-  mon K band used by police nationwide). When a vehicle travels  toward the radar  unit and through the beam, the  microwaves  reflect from the metal of the vehicle back to the radar unit. The  unit can then determine the vehicle’s speed from the beat fre-  quency (see Module 17.6) between that incoming frequency and  93 

/

1224

C HAP T ER 37  REL AT IV IT Y  

the emitted frequency. If the beat frequency is 5000 Hz, what is  the vehicle’s speed?  Time is  short. You command a starship capable of travel-  ing at nearly the speed of light. Beginning at Home Port in Fig.  37.23, you need to  pick the  route to  Far  Base  that minimizes  the travel time. The map gives the allowed routes as negotiated  with the alien government governing the region, and each route  between junction points is labeled with the Lorentz factor γ that  must  be  used  along  the  route. In  the  rest  frame  of  the junc-  tions, successive  junctions are  separated  by distance L  or  2L.  Do not consider the time required for acceleration as γ changes.  (a)  First, what length do you measure for a  map distance of L  when you travel with Lorentz factor  γ?  (b)  What is  your mea-  sure  of the time required for that travel? (Hint: For any of the  given Lorentz factors, the distance passes you at approximately  the speed of light.) For the next questions, calculate travel times  as  multiples of  L/c  to  four  significant  figures.  (c)  Starting  at  junction U, what should the next three junctions be to minimize  the travel  time, and how  much is  that time? (d)  What should  the next two junctions be to minimize the travel time, and how  94 

much is that time? (e) What next five junctions should you pass  through to minimize the time and land on E (Far Base), and how  much is that time? (f) What is the total travel time?  A

50

B

60

40

10 G 30

60

D

40

F 20

10

L

50

20

30

10

Q

R

40

N

20

50

10

90 V 40 Figure  37.23 

J

20

O

20

50

U

60

20

10

M 50

P

I

Far Base

E

20

10 H

60

K 50

Home Port

C

S 10

W 30

X 20

T 10 Y

Problem 94. 

/

C

H

A

P

T

E

R

3

8

Photons and Matter Waves 

38.1  THE PHOTON, THE QUANTUM OF LIGHT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

38.1.1  Explain  the absorption and emission of light in 

38.1.2  For photon absorption and emission, apply the 

terms of quantized energy and photons. 

relationships between  energy, power, intensity, rate  of photons, the Planck constant, the associated  frequency,  and the associated wavelength. 

Key  Ideas  ●

An electromagnetic wave (light) is quantized (allowed 

only in certain  quantities), and the quanta  are called 

●

For light of frequency 

f  and wavelength  λ, the photon 

energy is 

photons. 

E = hf,  where 

h is the Planck  constant. 

What Is Physics? 

One primary focus of  physics is  Einstein’s theory of  relativity, which took  us into a  world far beyond that of ordinary experience—the world of objects moving at speeds  close to the speed of light. Among other surprises, Einstein’s theory predicts that the  rate at which  a clock runs depends  on  how  fast the clock is  moving relative to  the  observer: the faster the motion, the slower the clock rate. This and other predictions  of the theory have passed every experimental test devised thus far, and relativity the-  ory has led us to a deeper and more satisfying view of the nature of space and time.  Now  you  are  about  to  explore  a  second  world  that  is  outside  ordinary  experience—the subatomic world. You will encounter a new set of surprises that,  though  they  may sometimes seem bizarre, have  led  physicists  step  by  step  to  a deeper view of reality.  Quantum physics, as  our  new  subject  is  called, answers such  questions  as:  Why do the stars shine? Why do the elements exhibit the order that is so appar-  ent in  the periodic table? How do transistors and other microelectronic devices  work? Why does copper conduct electricity but glass does not? In fact, scientists  and engineers have applied quantum physics in almost every aspect of everyday  life,  from  medical instrumentation  to  transportation  systems to  entertainment  industries. Indeed, because quantum physics accounts for all of chemistry, includ-  ing biochemistry, we need to understand it if we are to understand life itself.  Some of the predictions of quantum physics seem strange even to the physicists  and philosophers  who study its foundations.  Still, experiment after experiment has  proved the  theory correct, and  many have exposed even stranger aspects of  the  theory. The quantum world is an amusement park full of wonderful rides that are  guaranteed to  shake up  the  commonsense worldview  you  have developed  since  childhood.  We begin our exploration of that quantum park with the photon. 

1225 /

1226

C HAP T ER 38  P HOT ONS  AND  MAT T ER  WAV ES 

The Photon, the Quantum of Light 

Quantum  physics  (which  is  also  known  as  quantum  mechanics and  quantum  theory) is largely the study of the microscopic world. In that world, many quanti-  ties are found only in certain minimum (elementary) amounts, or integer multiples  of those elementary a mounts; these quantities are then said to be quantized. The  elementary amount that is associated with such a quantity is called the quantum  of that quantity (quanta is the plural).  In a loose sense, U .S. currency is quantized because the coin of least value is the  penny, or $0.01 coin, and the values of all other coins and bills are restricted to inte-  ger multiples of that least amount. In other words, the currency quantum is $0.01,  and  all greater amounts  of currency are of  the form n($0.01), where n is always  a positive integer. For example, you cannot hand someone $0.755 = 75.5($0.01).  In 1905, Einstein proposed  that electromagnetic radiation (or simply light) is  quantized  and exists in  elementary amounts (quanta)  that we now  call  photons.  This proposal should seem strange to you because we have just spent several chap-  ters discussing the classical idea that light is a sinusoidal wave, with a wavelength λ,  a frequency f, and a speed c such that  c .  f = _ 

λ

(38.1.1) 

Furthermore,  in  Chapter 33  we  discussed  the  classical light  wave as  being  an  interdependent  combination  of  electric and  magnetic fields,  each oscillating  at  frequency  f.  How  can  this  wave of  oscillating  fields  consist  of  an  elementary  amount of something—the light quantum? What is a photon?  The concept of a light quantum, or a photon, turns out to be far more subtle  and mysterious than Einstein imagined. Indeed, it is still very poorly understood.  In this book, we shall discuss only some of the basic aspects of the photon concept,  somewhat along the lines of Einstein’s proposal. According to that proposal, the  quantum of a light wave of frequency f has the energy  E = hf 

(photon energy). 

(38.1.2) 

Here h is the Planck constant, the constant we first met in Eq. 32.5.2, a nd which  has the value  h = 6.63 × 10 −34  J · s = 4.14 × 10 −15  eV ⋅ s. 

(38.1.3) 

The  smallest amount of  energy a light  wave of  frequency f  can have is  hf ,  the  energy of a single photon.  If the wave has more energy, its total energy must be  an integer multiple of hf. The light cannot have an energy of, say, 0.6hf or 75.5hf.  Einstein further proposed that when light is absorbed or emitted by an object  (matter), the absorption  or emission event occurs in the atoms of the object. When  light  of frequency f is absorbed by an atom, the energy hf of one photon  is trans-  ferred from the light to the atom. In this absorption event, the photon vanishes and  the atom is said to absorb it. When light of frequency f is emitted by an atom, an  amount of  energy hf  is  transferred from the  atom to  the light.  In  this  emission  event, a photon suddenly appears and the atom is said to emit it. Thus, we can have  photon  absorption and photon  emission by atoms in an object.  For an object consisting of  many atoms, there can be many photon  absorp-  tions  (such  as with  sunglasses) or  photon  emissions (such  as with  lamps). How-  ever, e ach absorption or emission event still involves the transfer of an amount of  energy equal to that of a single photon  of the light.  When we discussed the absorption  or emission of light in previous chapters,  our  examples involved so  much light  that we had  no  need of  quantum physics,  and  we got  by  with  classical physics. However, in  the  late  20th  century, tech-  nology  became advanced enough that  single-photon  experiments could  be con-  ducted and put  to practical use. Since then quantum physics has become part of  standard engineering practice, especially in optical engineering. 

/

38.2  T HE  P HOT OEL EC T RIC   EF F EC T  

1227

Checkpoint 38.1.1 

Rank the following radiations according to their associated photon energies, great-  est first: (a) yellow light from a sodium vapor lamp, (b) a gamma ray emitted by a  radioactive nucleus, (c) a radio wave emitted by the antenna of a commercial radio  station, (d) a microwave beam emitted by airport traffic control radar. 

Sample Problem 38.1.1

Emission and  absorption  of light as photons 

A  sodium  vapor  lamp is  placed  at  the  center of  a large  sphere  that  absorbs all  the light  reaching it. The  rate at  which  the  lamp emits  energy is  100 W; assume that  the  emission is  entirely at a wavelength of  590 nm. At what  rate are photons  absorbed by the sphere? 

KEY IDEAS The light is emitted and absorbed as photons. We assume  that all the light emitted by the lamp reaches (and thus is  absorbed by) the sphere. So, the rate R at which photons  are absorbed  by  the sphere  is  equal  to  the  rate R emit  at  which photons are emitted by the lamp. 

Next, into this we can substitute from Eq. 38.1.2 (E = hf ),  Einstein’s proposal about  the energy E of  each quantum  of light (which we here call a photon in modern language).  We can then write the absorption rate as  P emit   R = R emit = _ .  hf  Using  Eq.  38.1.1 ( f  =  c/λ)  to  substitute  for  f  and  then  entering known  data, we obtain  P emit λ   R = _ hc  (100 W)(590 × 10 −9  m)  =  ______________________________  (6.63 × 10 −34  J ⋅ s)(2.998 × 10 8  m/s) 

That rate is  rate of energy emission  P emit   R emit =  _________________  =  _ .  energy per emitted photon  E 

Calculations:

= 2.97 × 10 20  photons/s. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

38.2  THE PHOTOELECTRIC EFFECT  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

38.2.1  Make a simple and basic sketch of a photoelec- 

38.2.4  For a photoelectric setup, apply the relation- 

tric experiment, showing  the incident  light, the metal 

ships between the frequency and wavelength of the 

plate, the emitted electrons (photoelectrons), and 

incident  light, the maximum kinetic  energy 

the collector cup. 

the photoelectrons, the work function 

38.2.2  Explain  the problems physicists had  with  the  photoelectric effect  prior to Einstein and  the historical 

stopping potential 

V stop . 

K max  of  Ф , and the 

38.2.5  For a photoelectric setup, sketch a graph of the 

V stop  versus the frequency  of the  f 0  and relating  the slope to the Planck constant h  and the elemen-  tary charge e . 

importance of Einstein’s  explanation of the effect. 

stopping potential 

V stop  and relate it  to the maximum kinetic energy K max  of escaping 

38.2.3  Identify a stopping potential 

light,  identifying the cutoff frequency 

photoelectrons. 

Key  Ideas  ●

When  light of high enough frequency  illuminates a 

where 

hf  is the energy of the absorbed photon, K max is 

metal surface,  electrons can gain enough  energy to 

the kinetic energy of the most energetic of the escap- 

escape the metal by absorbing photons in the illumina- 

ing electrons, and 

tion, in what  is called  the photoelectric effect. 

least energy required  by an electron to escape the 

●

The conservation of energy in such an absorption 

and escape is written  as 

hf = K max  + Ф, 

Ф (called  the work function)  is the 

electric  forces holding  electrons in the metal.  ●

If 

hf = Ф, electrons barely escape but have no kinetic 

energy and the frequency is called  the cutoff  frequency  ●

f 0.  

hf  Φ), the  electron can  escape  the target. If the energy transferred does not  exceed the work  function  (that is,  if hf  10 20 s/m 3 . 

(43.6.4) 

This  condition,  known  as  Lawson’s  criterion,  tells  us  that  we  have  a  choice  between confining a lot of particles for a short time or fewer particles for a longer  time. A lso, the plasma temperature must be high enough.  Two approaches to controlled nuclear power generation are currently under  study. Although neither approach has yet been successful, both are being pursued  because of their promise and  because of the potential  importance of controlled  fusion  to solving the world’s energy problems.  Magnetic  Confinement 

One avenue to controlled fusion  is to contain the fusing material in a very strong  magnetic field—hence  the  name  magnetic confinement.  In  one  version of  this  approach, a suitably shaped magnetic field is used to confine the hot plasma in an  evacuated doughnut-shaped chamber called a tokamak (the name is an abbrevia-  tion consisting of parts of three Russian words). The magnetic forces acting on the 

/

C HAP T ER 43  ENERGY   F ROM  T HE NU C L EU S 

 ocixeM weN ,yrotarobaL lanoitaN somalA soL fo ysetruoC

1404

The small spheres  on the  quarter are deuterium–tritium fuel  pellets, designed to be used in a laser  fusion chamber.  Figure  43.6.1 

charged particles that make up the hot plasma keep the plasma from touching the  walls of the chamber.  The plasma is heated by inducing  a current in  it and by bombarding it with  an externally accelerated beam of  particles. The first  goal of  this  approach is to  achieve breakeven, which  occurs when the Lawson criterion is met or exceeded.  The  ultimate goal is ignition,  which  corresponds to  a self-sustaining thermonu-  clear reaction and a net generation of energy.  Inertial  Confinement 

A second  approach, called inertial confinement, involves “zapping” a solid  fuel  pellet  from  all sides  with  intense laser beams, evaporating some material from  the surface of the pellet. This boiled-off material causes an inward-moving shock  wave that compresses the core of  the pellet, increasing both  its particle density  and  its  temperature. The  process  is called  inertial confinement  because (a) the  fuel is confined to the pellet and (b) the particles do  not escape from the heated  pellet during  the very short zapping interval because of their inertia (their mass).  Laser fusion, using  the inertial confinement approach, is  being investigated in  many laboratories in the United States and elsewhere. At the Lawrence Livermore  Laboratory, for  example, deuterium–tritium fuel  pellets, each smaller than  a grain  of  sand  (Fig. 43.6.1), are to  be zapped by 10 synchronized high-power laser pulses  symmetrically arranged around the pellet. The laser pulses are designed to  deliver,  in  total, some 200 kJ of energy to each fuel pellet in  less than a nanosecond. This is  a delivered power of about  2 × 10 14 W during the pulse, which is roughly 100 times  the total installed (sustained) electrical power generating capacity of the world! 

Sample Problem 43.6.1

Laser fusion: number of particles  and  Lawson’s criterion 

Suppose  a fuel pellet in  a laser fusion  device contains equal  numbers of deuterium and tritium atoms (and no other mate-  rial). The density d = 200 kg/m 3  of the pellet is increased by  a factor of 10 3 by the action of the laser pulses.  (a)  How many particles per unit  volume (both deuterons  and tritons) does the pellet contain in its compressed state?  The molar m ass M d of deuterium atoms is 2.0 × 10 –3 kg/mol,  and the molar mass M t of tritium atoms is 3.0 × 10 –3 kg/mol. 

KEY IDEA For  a system consisting  of  only  one  type of  particle, we  can write the (mass) density (the mass per  unit  volume) 

of the system in terms of the particle masses and number  density (the number of particles per unit  volume):  density, 

= 

particle mass,  ) (  ).   kg 

number density, 

( kg/m  )  (  3 

m −3 

(43.6.5)  Let  n  be  the  total  number  of  particles per  unit  volume  in  the  compressed  pellet.  Then,  because we  know  that  the  device  contains  equal  numbers  of  deuterium  and  tritium  atoms, the  number  of  deuterium  atoms per  unit  volume is n/2, and  the number of  tritium atoms per unit  volume is also n/2. 

/

QU EST IONS 

We can extend Eq. 43.6.5 to the system con-  sisting of  the  two  types of  particles by  writing the  density  d* of  the  compressed  pellet  as  the  sum  of  the  individual  densities:  Calculations:

n m  + __  n  m ,  d * = __  (43.6.6)  2  d  2  t  where m d  and m t are the masses of a deuterium atom and  a tritium atom, respectively. We can replace those masses  with the given molar masses by substituting  M d  M t  m d  = ___  and  m t  = ___  ,  N A  N A  where  N A  is  Avogadro’s  number.  After  making  those  replacements and  substituting  1000d for the compressed  density  d*, we  solve  Eq.  43.6.6 for  the  particle  number  density n to obtain  2000dN A  n = _________  ,  M d  + M t 

1405

which gives us  (2000)(200 kg/m 3 )(6.02 × 10 23 mol −1 )  n =  _________________________________  −3  2.0 × 10 −3 kg/mol + 3.0 × 10  kg/mol  =  4.8 × 10 31  m −3 .  (Answer)  (b)  According to  Lawson’s  criterion, how  long  must  the  pellet  maintain this  particle density if  breakeven opera-  tion is to take place at a suitably high temperature? 

KEY IDEA If  breakeven  operation  is  to  occur,  the  compressed  density must  be maintained for  a time period  τ given by  Eq. 43.6.4 (nτ > 10 20 s/m 3 ).  Calculation:

We can now write  20 

3 

10  s/m  ≈ 10 −12  s.  τ > _____________  31  −3  4.8 × 10  m 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

Review & Summary Nuclear  processes  are  about  a million times more effective, per unit mass, than chemical pro-  cesses in transforming mass into other forms of energy.  Energy  from  the  Nucleus 

Equation 43.1.1  shows  a  fission  of  236 U  induced by thermal neutrons bombarding 235 U. Equations 43.1.2  and 43.1.3 show the beta-decay chains of the primary fragments.  The energy released in such a fission event is Q ≈ 200 MeV.  Fission can be understood in terms of the collective model,  in which a nucleus is likened to a charged liquid drop carrying a  certain excitation energy. A potential barrier must be tunneled  through if fission is to occur. The ability of a nucleus to undergo  fission depends on the relationship between the barrier  height  E b  and the excitation energy E n .  The neutrons released during fission make possible a fission  chain reaction. Figure 43.2.1 shows the neutron balance for one  cycle of a typical reactor. Figure 43.2.2 suggests the layout of a  complete nuclear power plant.  Nuclear  Fission 

The release  of energy by the fusion of two  light nuclei is inhibited by their mutual Coulomb barrier (due to  Nuclear Fusion 

the electric repulsion  between the two collections of protons).  Fusion can occur in bulk matter only if the temperature is high  enough (that is, if the particle energy is high enough) for appre-  ciable barrier tunneling to occur.  The  Sun’s  energy  arises  mainly  from  the  thermonuclear  burning of hydrogen to form helium by the proton–proton cycle  outlined in Fig. 43.5.1. Elements up to A ≈ 56 (the peak of the  binding energy curve) can be built up by other fusion processes  once  the  hydrogen  fuel  supply  of  a  star  has  been  exhausted.  Fusion of  more massive  elements requires  an input of  energy  and thus cannot be the source of a star’s energy output.  Controlled  thermonuclear  fusion  for  energy  generation has  not yet been achieved. The  d-d and d-t  reactions  are  the  most  promising  mechanisms.  A  successful  fusion reactor must satisfy Lawson’s criterion,  Controlled  Fusion 

nτ > 10 20  s/m 3 , 

(43.6.4) 

and must have a suitably high plasma temperature T.  In a tokamak the plasma is confined by a magnetic field. In  laser fusion inertial confinement is used. 

Questions 1 

In the fission process  235 U  +  n 

→ 

132 Sn  +  ◻ ◻  ◻ 

+  3n, 

what number goes in (a) the elevated box (the superscript)  and  (b) the descended box (the value of Z)?  If a fusion process requires an absorption of energy, does the  average binding energy per nucleon increase or decrease?  2 

Suppose  a  238 U  nucleus  “swallows”  a  neutron  and  then  decays not by fission but by beta-minus decay, in which it emits  an  electron  and  a  neutrino. Which  nuclide remains  after  this  decay: 239 Pu, 238 Np, 239 Np, or 238 Pa?  3 

Do the initial fragments formed by fission have more protons  than neutrons, more neutrons than protons, or  about the same  number of each?  4 

/

1406 5 

C HAP T ER 43  ENERGY   F ROM  T HE NU C L EU S 

For the fission reaction 

Lawson’s  criterion  for  the  d-t  reaction  (Eq.  43.6.4)  is  nτ > 10 20  s/m 3 . For the d-d reaction, do you expect the number  on the right-hand side to be the same, smaller, or larger?  9 

235 

U + n → X + Y + 2n, 

rank  the following possibilities  for  X (or  Y), most likely first:  152  Nd, 140 I, 128 In, 115 Pd, 105 Mo. (Hint: See Fig. 43.1.1.)  To  make the  newly discovered, very  large  elements of  the  periodic  table,  researchers  shoot  a  medium-size  nucleus  at  a  large  nucleus. Sometimes  a  projectile  nucleus  and  a  target  nucleus fuse to form one of the very  large elements. In  such a  fusion, is  the mass  of the product greater  than or  less  than the  sum of the masses of the projectile and target nuclei?  6 

If  we split a nucleus into two smaller nuclei, with a release  of energy, has the average binding energy per nucleon increased  or decreased?  7 

Which  of these  elements  is  not  “cooked  up” by  thermo-  nuclear  fusion  processes  in  stellar  interiors:  carbon, silicon,  chromium, bromine?  8 

About 2%  of the energy  generated  in the Sun’s core  by  the p-p reaction is carried  out of the Sun by neutrinos. Is the  energy associated with this neutrino flux equal to, greater than,  or less than the energy radiated from the Sun’s surface as elec-  tromagnetic radiation?  10 

A nuclear reactor is operating at a certain power level, with  its multiplication factor k adjusted to unity. If the control rods  are used to reduce the power output of the reactor to 25% of its  former value, is the multiplication factor now a little less than  unity, substantially less than unity, or still equal to unity?  11 

Pick  the  most  likely  member  of  each  pair  to  be  one  of  the initial fragments formed by a fission event: (a)  93 Sr or 93 Ru,  (b) 140 Gd or 140 I, (c)  155 Nd or 155 Lu. (Hint: See Fig. 42.2.1 and the  periodic table, and consider the neutron abundance.)  12 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available  (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out solution  available in  Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

BIO 

FCP  Additional  information  available in The

Module 43.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard  Flying

Circus of Physics

Nuclear  Fission 

X 

The isotope 235 U decays by alpha emission with a half-life of  7.0 × 10 8  y. It  also decays (rarely)  by spontaneous fission, and if  the alpha decay did not occur, its half-life due to spontaneous fis-  sion alone would be 3.0 × 10 17  y. (a) At what rate do spontaneous  fission decays occur in 1.0 g of 235 U? (b) How many  235 U alpha-  decay events are there for every spontaneous fission event?  1  E 

The nuclide  238 Np requires  4.2 MeV for fission. To  remove  a  neutron  from  this nuclide  requires  an  energy  expenditure of  5.0 MeV. Is  237 Np fissionable by thermal neutrons?  2 

GO  A  thermal  neutron (with  approximately  zero  kinetic  E  energy) is absorbed by a 238 U nucleus. How much energy is trans-  ferred from mass energy to the resulting oscillation of the nucleus?  Here are some atomic masses and the neutron mass.  237 

U  237.048 723 u  239 U  239.054 287 u  n  1.008 664 u 

238 

U  238.050 782 u  240.056 585 u 

240 U 

The  fission  properties  of the plutonium isotope  239 Pu are  very  similar to  those of  235 U. The  average  energy  released  per  fission is 180 MeV. How much energy, in MeV, is released  if all  the atoms in 1.00 kg of pure 239 Pu undergo fission?  E 

During  the  Cold War,  the  Premier  of  the  Soviet  Union  threatened the United States with 2.0 megaton 239 Pu warheads.  (Each would have yielded the equivalent of an explosion of 2.0  megatons of TNT, where 1 megaton of TNT releases  2.6 × 10 28  MeV  of  energy.)  If  the  plutonium that actually  fissioned had  been 8.00% of the total mass  of the plutonium in  such a  war-  head, what was that total mass?  5 

Xe 

139 I 

(c)  141 Cs 

b 

(a)  (b) 

1  2 

100 

Zr 

2  (d) 

92 Rb 

At what rate must  235 U nuclei undergo fission by  neutron  bombardment to generate energy  at the rate of 1.0 W? Assume  that Q = 200 MeV.  7 

E 

(a)  Calculate the disintegration energy Q for the fission of  the molybdenum isotope 98 Mo into two equal parts. The masses  you will need are  97.905 41 u for  98 Mo and 48.950 02 u for  49 Sc.  (b) If  Q turns out  to be positive, discuss  why this process  does  not occur spontaneously.  8  E 

(a)  How many atoms are contained in 1.0 kg of pure 235 U?  (b)  How  much  energy,  in  joules, is  released  by  the  complete  fissioning of 1.0 kg of 235 U? Assume Q = 200 MeV. (c)  For how  long would this energy light a 100 W lamp?  9  E 

10  E 

GO 

Calculate the energy released in the fission reaction  235 

U + n → 141 Cs + 93 Rb + 2n. 

E 

E  (a)–(d)  Complete the following table, which refers  to the  generalized fission reaction 235 U + n → X + Y + bn. 

6 

140 

Y 

E 

3 

4 

Biomedical  application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

Here are some atomic and particle masses.  235 

U  235.043 92 u  141 Cs  140.919 63 u 

93 

Rb  92.921 57 u  n  1.008 66 u 

GO  Calculate the disintegration energy  Q for the fission  of 52 Cr into two equal fragments. The masses you will need are  11  E 

52 Cr 

51.940 51 u 

26 Mg 

25.982 59 u. 

/

P ROBL EMS 

Consider the fission of  238 U by fast neutrons. In one  fission event, no neutrons  are emitted and the final stable end  products, after the beta decay of the primary fission fragments,  are 140 Ce and 99 Ru. (a) What is the total of the beta-decay events  in  the two  beta-decay chains? (b)  Calculate Q  for this  fission  process. The relevant atomic and particle masses are  12 

M 

GO 

238 

U  238.050 79 u  n  1.008 66 u 

140 

Ce  139.905 43 u  Ru  98.905 94 u 

99 

236  M  GO  Assume  that immediately after  the  fission  of  U  according  to Eq. 43.1.1, the  resulting  140 Xe  and  94 Sr  nuclei are  just  touching at  their  surfaces.  (a)  Assuming  the nuclei  to  be  spherical, calculate the electric potential energy associated with  the repulsion between the two fragments. (Hint: Use Eq. 42.2.3  to calculate the radii of the fragments.) (b) Compare this energy  with the energy released in a typical fission event.  13 

236 U  nucleus  undergoes  fission  and  breaks  into two  M  A  middle-mass fragments, 140 Xe and 96 Sr. (a)  By what percentage  does the surface area of the fission products differ from that of  the original 236 U nucleus? (b) By what percentage does the vol-  ume change? (c)  By  what percentage  does  the electric poten-  tial energy change? The electric potential energy of a uniformly  charged sphere of radius r and charge Q is given by  14 

Q 2  __  _____  U = 3  .  5 (4  πε0 r )  235  15  M  SSM  A 66 kiloton atomic bomb is fueled with pure  U  (Fig. 43.1), 4.0% of which actually undergoes fission. (a) What is  the mass of the uranium in the bomb? (It is not 66 kilotons—that  is the amount of released energy specified in terms of the mass  of TNT  required  to  produce the  same  amount of energy.)  (b)  How  many primary  fission fragments  are  produced?  (c)  How  many  fission  neutrons  generated  are  released  to  the environ-  ment? (On average, each fission produces 2.5 neutrons.)   ygrenE fo  tnemtrapeD .S.U/smetsyS ygrenE atteiraM nitraM fo ysetruoC

Problem 15. A “button” of 235 U ready to be recast  and machined for a warhead.  Figure  43.1 

M  In  an atomic bomb, energy  release  is  due to the uncon-  trolled fission of plutonium 239 Pu (or  235 U). The bomb’s rating is  the magnitude of the released  energy, specified in terms  of  the  mass  of TNT required to produce the same  energy release. One  megaton of TNT releases  2.6 × 10 28  MeV of energy. (a) Calculate 

16 

1407

the rating, in tons of TNT, of an atomic bomb containing 95.0 kg of  239  Pu, of which 2.5 kg actually undergoes fission. (See Problem 4.)  (b) Why is the other 92.5 kg of 239 Pu needed if it does not fission?  In a particular fission event in which 235 U is fissioned  by slow neutrons, no neutron is emitted and one of the primary  fission fragments is  83 Ge. (a)  What is  the other fragment? The  disintegration energy is Q = 170 MeV. How much of this energy  goes to (b)  the 83 Ge fragment and (c)  the other fragment? Just  after the fission, what is the speed of (d) the 83 Ge fragment and  (e) the other fragment?  17  M 

SSM 

Module 43.2 

The Nuclear  Reactor 

A 200 MW fission reactor consumes half its fuel in 3.00 y.  How  much  235 U  did  it  contain  initially? Assume  that  all  the  energy  generated arises  from the  fission of  235 U  and  that this  nuclide is consumed only by the fission process.  19  M  The neutron generation t ime t gen in a reactor is the average  time needed for a  fast neutron emitted in one fission event to  be slowed to thermal energies  by the moderator and then initi-  ate another fission event. Suppose the power output of a reactor  at time t = 0 is P 0 . Show that the power output a time t later is  P(t), where P(t) = P 0 k t/tgen  and k is the multiplication factor. For  constant power output, k = 1.  18  E 

M  A  reactor  operates  at  400 MW  with  a  neutron  genera-  tion time (see Problem 19) of 30.0 ms. If its power increases for  5.00 min with a multiplication factor of 1.0003, what is the power  output at the end of the 5.00 min?  21  M  The thermal energy generated when radiation from radio-  nuclides is absorbed in matter can serve as the basis for a small  power source for use  in satellites, remote weather stations, and  other isolated  locations. Such  radionuclides  are  manufactured  in abundance in nuclear reactors  and may be separated chemi-  cally  from  the  spent  fuel. One  suitable  radionuclide  is  238 Pu  (T 1/2  = 87.7 y), which is an alpha emitter with Q = 5.50 MeV. At  what rate is thermal energy generated in 1.00 kg of this material?  22  M  The neutron generation time t  gen (see Problem 19) in a par-  ticular reactor  is  1.0 ms. If  the reactor  is  operating at  a  power  level of 500 MW, about how many free neutrons are present  in  the reactor at any moment? 

20 

SSM  The neutron generation time (see Problem 19) of a  particular reactor  is 1.3 ms. The  reactor  is  generating energy  at  the rate of 1200.0 MW. To  perform certain maintenance checks,  the power level must temporarily be reduced to 350.00 MW. It  is  desired  that  the transition  to  the reduced  power level  take  2.6000 s. To  what (constant) value should the multiplication fac-  tor be set to effect the transition in the desired time? 

23  M 

M  (See Problem 21.) Among the many fission products that  may be extracted chemically from the spent fuel of a nuclear reac-  tor is  90 Sr (T 1/2  = 29 y). This isotope is  produced in  typical large  reactors  at the rate  of about 18 kg/y. By its radioactivity, the iso-  tope generates thermal energy at the rate of 0.93 W/g. (a) Calcu-  late the effective disintegration energy  Q eff  associated  with  the  decay of a  90 Sr nucleus. (This energy Q eff  includes contributions  from the decay of the 90 Sr daughter products in its decay chain but  not from neutrinos, which escape totally from the sample.) (b) It  is desired to construct a power source generating 150 W (electric  power) to use in operating electronic equipment in an underwa-  ter acoustic beacon. If the power source  is based on the thermal  energy  generated  by  90 Sr  and if  the efficiency of  the thermal–  electric conversion process is 5.0%, how much 90 Sr is needed? 

24 

/

1408

C HAP T ER 43  ENERGY   F ROM  T HE NU C L EU S 

SSM  (a) A neutron of mass m  n  and kinetic energy K makes  a head-on elastic collision with a stationary atom of mass m. Show  that the fractional kinetic energy loss of the neutron is given by  ΔK  _________  4m n m  ___  =  .  K  (m + m n ) 2 

25  M 

Find  ΔK/ K  for  each  of  the  following acting  as  the stationary  atom: (b) hydrogen, (c) deuterium, (d) carbon, and (e) lead. (f ) If  K = 1.00 MeV initially, how many such head-on collisions would  it take to reduce the neutron’s kinetic energy to a thermal value  (0.025 eV) if the stationary atoms it collides with are deuterium,  a commonly used moderator? (In actual moderators, most colli-  sions are not head-on.)  Module 43.3 

E  The  natural  fission reactor  discussed  in Module  43.3 is  estimated to have generated  15 gigawatt-years of energy dur-  ing its lifetime. (a) If the reactor  lasted for 200 000 y, at what  average  power level did it operate? (b)  How many kilograms  of 235 U did it consume during its lifetime? 

27 

M  Some  uranium  samples  from  the  natural  reactor  site  described in Module 43.3 were found to be slightly enriched  in  235 U, rather than depleted. Account for this in terms of neutron  absorption  by  the  abundant isotope  238 U  and  the  subsequent  beta and alpha decay of its products. 

28 

The uranium ore mined today contains only 0.72% of  fissionable  U, too little to make reactor fuel for thermal-neutron  fission. For  this  reason, the  mined  ore  must  be  enriched  with  235 U.  Both  235 U  (T  = 7.0 × 10 8  y)  and  238 U  (T  = 4.5 × 10 9  y)  1/2  1/2  are radioactive. How far back in time would natural uranium ore  have been a practical reactor fuel, with a 235 U/ 238 U ratio of 3.0%?  SSM 

235 

Module 43.4  30  E 

2 H + 2 H →  3 He + n 

(Q = +3.27 MeV) 

could keep a 100 W lamp burning for 2.5 × 10 4  y.  Calculate the height of the Coulomb barrier for the  head-on collision of two deuterons, with effective radius 2.1 fm.  31  E 

E  Assume  that the  protons  in  a  hot  ball  of  protons  each  have a  kinetic energy  equal to  kT, where  k  is  the Boltzmann  constant and T  is  the absolute temperature. If  T  =  1  ×  10 7  K,  what (approximately)  is  the  least  separation  any  two  protons  can have? 

35 

36  E 

SSM 

M  For overcoming the Coulomb barrier for fusion, methods  other than heating the fusible material have been suggested. For  example, if you were to use two particle accelerators to accelerate  two beams of deuterons directly toward each other so as to col-  lide head-on, (a) what voltage would each accelerator require in  order for the colliding deuterons to overcome the Coulomb bar-  rier? (b) Why do you suppose this method is not presently used? 

Calculate the Coulomb barrier height for two  7 Li nuclei  that are fired at each other with the same initial kinetic energy K.  (Hint: Use Eq. 42.2.3 to calculate the radii of the nuclei.)  M 

In Fig. 43.4.1, the equation for n(K), the number density  per unit energy for particles, is  34  M 

What is the Q of the following fusion process? 

H 1  + 1 H 1  → 3 He 2  + photon  Here are some atomic masses.  2 H  1  3  He 2 

2.014 102 u 

1.007 825 u 

3.016 029 u 

The Sun has mass 2.0 × 10 30  kg and radiates energy at the  rate 3.9 × 10 26 W. (a) At what rate is its mass changing? (b) What  fraction of its original mass has it lost in this way since it began  to burn hydrogen, about 4.5 × 10 9  y ago?  We  have seen that Q for the overall proton–proton fusion  cycle  is  26.7 MeV.  How can  you  relate  this  number to  the  Q  values for the reactions that make up this cycle, as  displayed in  Fig. 43.5.1?  38  E 

GO  Show that the energy released  when three alpha par-  ticles fuse  to form  12 C  is  7.27 MeV. The  atomic mass  of  4 He  is  4.0026 u, and that of 12 C is 12.0000 u.  39  E 

M  Calculate  and  compare  the  energy  released  by  (a)  the  fusion of 1.0 kg of hydrogen deep within the Sun and (b) the fis-  sion of 1.0 kg of 235 U in a fission reactor. 

40 

GO  A star converts all its hydrogen to helium, achieving  a 100% helium composition. Next it converts the helium to car-  bon via the triple-alpha process,  41  M 

4 

He + 4 He + 4 He → 12 C + 7.27 MeV. 

The mass of the star is  4.6 × 10 32  kg, and it generates  energy at  the rate of 5.3 × 10 30 W. How long will it take to convert all the  helium to carbon at this rate?  Verify the three Q values reported for the reactions given  in Fig. 43.5.1. The needed atomic and particle masses are  42  M 

1 

H  1.007 825 u  2 H  2.014 102 u  3 He  3.016 029 u 

4 

He  e ± 

4.002 603 u  0.000 548 6 u 

(Hint: Distinguish carefully between atomic and nuclear masses,  and take the positrons properly into account.)  Figure 43.2 shows an early proposal for a hydrogen bomb.  The  fusion  fuel  is  deuterium,  2 H.  The  high  temperature  and  particle  density  needed  for  fusion  are  provided  by  an  atomic  bomb “trigger” that involves a 235 U or 239 Pu fission fuel arranged  43  M 

235U or 239Pu

1/2 

K  e −K/kT ,  n(K) = 1.13n ______  (kT) 3/2  where n is the total particle number density. At the center of the  Sun, the temperature is 1.50 × 10 7  K and the average proton energy  K avg  is  1.94 keV. Find the ratio of the proton number density  at  5.00 keV to the number density at the average proton energy. 

1 H  1 

37  E 

32 

33 

GO 

2 

Thermonuclear  Fusion: The Basic Process 

Verify that the fusion of 1.0 kg of deuterium by the reaction 

Thermonuclear Fusion in the Sun 

and Other Stars 

A Natural  Nuclear  Reactor 

How long ago was the ratio 235 U/ 238 U in natural uranium  deposits equal to 0.15?  26  E 

29  M 

Module 43.5 

2H

Figure  43.2 

Problem 43. 

/

P ROBL EMS 

to impress an imploding, compressive shock wave on the deute-  rium. The fusion reaction is  5  2 H → 3 He + 4 He + 1 H + 2n.  (a)  Calculate  Q  for  the  fusion  reaction.  For  needed  atomic  masses,  see  Problem  42.  (b)  Calculate  the  rating  (see  Prob-  lem 16) of the fusion part of the bomb if it contains 500 kg of  deuterium, 30.0% of which undergoes fusion.  Assume that the core of the Sun has one-eighth of the Sun’s  mass  and is  compressed  within a  sphere  whose  radius  is  one-  fourth of the solar radius. Assume further that the composition  of the core is 35% hydrogen by mass and that essentially all the  Sun’s  energy  is  generated  there. If  the  Sun  continues to  burn  hydrogen at the current  rate of 6.2 × 10 11  kg/s, how long will it  be before the hydrogen is entirely consumed? The Sun’s mass is  2.0 × 10 30  kg.  44  M 

(a) Calculate the rate at which the Sun generates neutrinos.  Assume that energy production is entirely by the proton–proton  fusion cycle. (b) At what rate do solar neutrinos reach Earth?  45  M 

In certain stars the carbon cycle is more effective than the  proton–proton cycle in generating energy. This carbon cycle is  46  M 

C + 1 H → 13 N + γ, 

12 

Q 1  = 1.95 MeV, 

ν, 

13 N → 13 C + e +  + 

γ,  γ, 

Q 2  = 1.19, 

13 C + 1 H → 14 N + 

Q 3  = 7.55, 

14 N + 1 H → 15 O + 

Q 4  = 7.30, 

ν, 

15 O → 15 N + e +  + 

Q 5  = 1.73, 

N + 1 H → 12 C + 4 He, 

Q 6  = 4.97. 

15 

(a) Show that this cycle is exactly equivalent in its overall effects  to the proton–proton cycle of Fig. 43.5.1. (b) Verify that the two  cycles, as expected, have the same Q value.  SSM  Coal burns according to the reaction C + O  2  → CO 2 .  The  heat  of  combustion  is  3.3 × 10 7  J/kg  of  atomic  carbon  consumed.  (a)  Express  this  in  terms  of  energy  per  carbon  atom.  (b)  Express  it  in  terms  of  energy  per  kilogram  of  the  initial  reactants, carbon  and  oxygen. (c)  Suppose that the  Sun  (mass = 2.0 × 10 30  kg) were  made of carbon and oxygen in com-  bustible proportions and that it continued to radiate energy at its  present rate of 3.9 × 10 26 W. How long would the Sun last? 

47  M 

Module 43.6 

consumed. (b) The power of the Sun is 3.9 × 10 26 W. If its energy  derives  from  the proton–proton  cycle, at  what  rate  is  it  losing  hydrogen? (c) At what rate is it losing mass? (d) Account for the  difference in the results for (b) and (c). (e) The mass of the Sun is  2.0 × 10 30 kg. If it loses mass at the constant rate calculated in (c),  how long will it take to lose 0.10% of its mass?  Many fear that nuclear power reactor technology will increase  the likelihood of nuclear war because reactors can be used not only  to produce electrical energy but also, as a by-product through neu-  tron capture with inexpensive 238 U, to make 239 Pu, which is a “fuel”  for nuclear bombs. What simple series  of reactions involving neu-  tron capture and beta decay would yield this plutonium isotope?  51 

In the deuteron–triton fusion reaction of Eq. 43.6.3, what is  the kinetic energy of (a) the alpha particle and (b) the neutron?  Neglect the relatively small kinetic energies of the two combining  particles.  52 

Verify  that, as  stated in Module 43.1, neutrons  in equilib-  rium with matter at room temperature, 300 K, have an average  kinetic energy of about 0.04 eV.  53 

Verify that, as reported in Table 43.1.1, fissioning of the 235 U  in 1.0 kg of UO 2  (enriched so that 235 U is 3.0% of the total ura-  nium) could keep a 100 W lamp burning for 690 y.  54 

At the center of the Sun, the density of the gas is 1.5 × 10 5  kg/m 3  and the composition is  essentially 35%  hydrogen by mass  and  65% helium by mass. (a) What is the number density of protons  there? (b) What is the ratio of that proton density to the density  of particles in  an ideal gas  at  standard temperature (0°C)  and  pressure (1.01 × 10 5  Pa)?  55 

Expressions  for  the  Maxwell  speed  distribution for  mol-  ecules in a gas are given in Chapter 19. (a) Show that the most  probable energy is given by  56 

1 K p  = _  kT. 2

Verify this result with the energy distribution curve of Fig. 43.4.1,  for which T = 1.5 × 10 7 K. (b) Show that the most probable speed  is given by  ____ 

2kT .  v p  = √ ____  m  Find its  value for protons  at T = 1.5 × 10 7  K. (c)  Show that the  energy  corresponding to the most probable  speed (which is  not  the same as the most probable energy) is 

Controlled Thermonuclear Fusion 

Verify  the  Q  values  reported  in  Eqs.  43.6.1, 43.6.2, and  43.6.3. The needed masses are  48 

E 

1 H 

4 He 

2 H 

n 

1.007 825 u  2.014 102 u  3 H  3.016 049 u 

4.002 603 u  1.008 665 u 

Roughly 0.0150% of the mass of ordinary water is due to  “heavy water,” in which one  of the two  hydrogens in  an  H 2 O  molecule is  replaced  with  deuterium, 2 H. How  much average  fusion power could be obtained if we “burned” all the 2 H in 1.00  liter of water in 1.00 day by somehow causing the deuterium to  fuse via the reaction 2 H + 2 H → 3 He + n?  49  M 

1409

K v, p  = kT.  Locate this quantity on the curve of Fig. 43.4.1.  The  uncompressed  radius  of  the  fuel  pellet  of  Sample  Problem 43.6.1 is 20  μm. Suppose that the compressed fuel pel-  let “burns” with an efficiency of 10%—that is, only 10% of the  deuterons and 10% of the tritons participate in the fusion reac-  tion of Eq. 43.6.3. (a) How much energy is released in each such  microexplosion of a pellet? (b) To  how much TNT  is each such  pellet equivalent? The heat of combustion of TNT is 4.6 MJ/kg.  (c) If a fusion reactor is constructed on the basis of 100 microex-  plosions per second, what power would be generated? (Part of  this power would be used to operate the lasers.)  57 

Assume that a plasma temperature of 1 × 10 8  K is reached  in a laser-fusion device. (a) What is the most probable speed of  a deuteron at that temperature? (b) How far would such a deu-  teron move in a confinement time of 1 × 10 –12  s?  58 

Additional Problems 

The effective Q for the proton–proton cycle of Fig. 43.5.1 is  26.2 MeV. (a)  Express  this  as  energy  per  kilogram of hydrogen  50 

/

C

H

A

P

T

E

R

4

4

Quarks, Leptons, and the Big Bang 

44.1  GENERAL PROPERTIES OF ELEMENTARY PARTICLES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

44.1.1  Identify that a great many different  elementary 

44.1.5  Distinguish leptons and hadrons,  and then 

particles  exist or can be created and that nearly all  of them are unstable. 

identify  the two types of hadrons.  44.1.6  Distinguish particle from antiparticle,  and identify 

44.1.2  For the decay of an unstable  particle, apply the 

that if  they meet, they undergo annihilation  and are 

same decay equations as used for the radioactive 

transformed into photons or into other elementary 

decay of nuclei. 

particles. 

44.1.3  Identify spin as the intrinsic  angular  momentum  of a particle. 

44.1.7  Distinguish the strong force and the weak force.  44.1.8  To see if  a given process for elementary particles 

44.1.4  Distinguish fermions from bosons, and  iden- 

is physically possible, apply the conservation laws 

tify which  are required to obey the Pauli  exclusion 

for charge, linear  momentum, spin angular momen- 

principle. 

tum, and energy (including  mass energy). 

Key Ideas  ●

The term fundamental  particles refers to the basic 

antineutrons), but  for most of the  rarely detected 

building  blocks of matter. We can divide the particles 

particles, the distinction between particles and  anti- 

into several broad categories. 

particles is made largely to be consistent with experi- 

●

The terms particles and  antiparticles originally 

mental results. 

referred to common particles (such as the electrons, 

●

protons, and neutrons in  your body) and their anti- 

the Pauli exclusion principle;  bosons do not. 

Fermions (such as the particles in  your body) obey 

particle counterparts (the positrons, antiprotons, and 

What Is Physics? 

Physicists  often  refer  to  the  theories  of  relativity  and  quantum  physics  as  “modern physics,” to distinguish them from the theories of Newtonian mechanics  and  Maxwellian  electromagnetism, which  are  lumped  together  as  “classical  physics.” As the years go by, the word “modern” seems less and less appropriate  for theories whose foundations  were laid down  in the opening years of the 20th  century. After all, Einstein published  his  paper on  the photoelectric effect and  his first paper on special relativity in 1905, Bohr published his quantum model of  the hydrogen atom in 1913, a nd Schrödinger published his matter wave equation  in 1926. Nevertheless, the label of “modern physics” hangs on.  In this  closing  chapter we consider two  lines of  investigation that  are truly  “modern”  but  at  the  same  time  have  the  most  ancient  of  roots.  They  center  around two deceptively simple questions:  What is the universe made of?  How did the universe come to be the way it is? 

1410

Progress in answering these questions has been rapid in the last few decades.  Many new insights are based on  experiments carried out  with large particle  accelerators. However, as  they  bang  particles  together  at  higher  and  higher  /

44.1  GENERAL   P ROP ERT IES  OF   EL EMENT ARY   P ART IC L ES 

1411

energies using larger and larger accelerators, physicists come to realize that  no  conceivable Earth-bound  accelerator can generate particles with  energies great  enough to test the ultimate theories of physics. There has been only one  source  of  particles with  these energies, and that  was the universe itself  within  the  first  millisecond of its existence.  In this chapter you will encounter a host of new terms and a veritable flood  of  particles with  names that you should  not try to  remember. If you are tem-  porarily  bewildered, you are sharing the bewilderment of  the physicists who  lived through these developments and who at times saw nothing but increasing  complexity with little hope of understanding. If you stick with it, however, you  will come to share the excitement physicists felt as marvelous new accelerators  poured out new results, as the theorists put forth  ideas each more daring than  the last, and as clarity finally sprang from obscurity. The main message of this  book  is  that,  although  we  know  a  lot  about  the  physics  of  the world,  grand  mysteries remain. 

Particles, Particles, Particles 

In  the 1930s, there were many scientists who  thought  that the problem  of the  ultimate  structure of  matter was well  on  the  way to  being  solved.  The atom  could  be  understood  in  terms of  only  three  particles—the  electron,  the  pro-  ton, and the neutron. Quantum physics accounted well for the structure of the  atom and for radioactive alpha decay. The neutrino  had been postulated  and,  although not yet observed, had been incorporated by Enrico  Fermi into a suc-  cessful theory of  beta decay. There was hope  that quantum  theory applied to  protons and neutrons would soon account for the structure of the nucleus. What  else was there?  The  euphoria  did  not  last.  The  end  of  that  same decade  saw  the  begin-  ning  of  a period  of  discovery of  new particles that  continues  to  this  day. The  new particles have names and symbols such as muon  ( μ), pion  (π), kaon  (K),  and  sigma (Σ).  All the new particles are unstable; that  is, they spontaneously  transform into  other types of  particles according to the same functions  of time  that apply to unstable nuclei. Thus, if N 0   particles of  any one type are present  in a sample at time t = 0, the number N of those particles present at some later  time t is given by Eq. 42.3.5,  N = N  e –λt ,  (44.1.1)  0 

the rate of decay R, from an initial value of R 0  , is given by Eq. 42.3.6,  –λt  R = R 0 e  ,   

(44.1.2) 

and the half-life T 1/2 , decay constant λ, and mean life τ are related by Eq. 42.3.8,  ____ =  τ ln  2.  T 1/2  = ln  2 

λ

(44.1.3) 

The  half-lives of  the  new  particles range from  about  10 –6  s to  10 –23  s. Indeed,  some of the particles last so briefly that they cannot be detected directly but can  only be inferred from indirect evidence.  These new particles have been commonly produced  in  head-on collisions  between  protons  or  electrons accelerated to  high  energies in  accelerators at  places  like  Brookhaven  National  Laboratory  (on  Long  Island,  New  York),  Fermilab  (near  Chicago),  CERN  (near  Geneva,  Switzerland),  SLAC  (at  Stanford University in California), and DESY (near Hamburg, Germany). They  have been discovered with particle detectors that have grown in sophistication  until  they  rival  the  size and  complexity of  entire  accelerators of  only  a  few  decades ago (Fig. 44.1.1). 

/

1412

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

 aveneG NREC

One of the detectors at the Large Hadron Collider at CERN, where the  Standard Model of the elementary particles is being put to the test. Note the person  crouched in the foreground.  Figure  44.1.1 

Today there are several hundred known particles. Naming them has strained  the  resources of  the Greek alphabet, and most  are known  only  by an  assigned  number in a periodically issued compilation. To make sense of this array of par-  ticles, we look  for simple physical criteria by which we can place the particles in  categories. The  result  is  known  as  the  Standard  Model  of  particles. Although  this model is continuously  challenged by theorists, it remains our best scheme of  understanding all the particles discovered to date.  To  explore  the  Standard  Model,  we  make  the  following  three  rough  cuts  among  the  known  particles:  fermion  or  boson,  hadron  or  lepton,  particle  or  antiparticle? Let’s now look at the categories one by one.  Fermion or Boson? 

All particles have an intrinsic angular momentum called spin, as we discussed for  electrons, protons,  and  neutrons  in  Module  32.5. Generalizing the  notation  of  that section, we can write the component of spin  S  in any direction (assume the  component to be along a z axis) as  →

S z  = m s ℏ  for  m s  = s, s −1, . . . , − s, 

(44.1.4) 

in  which  ℏ  is  h/2π,  m s  is  the  spin  magnetic quantum  number, and  s  is  the  spin  1 , 3  _  quantum number. This  last can have either positive half-integer values ( _  2  2 , . . . )  or nonnegative integer values (0, 1, 2, . . .). For example, a n electron has the value  1 . Hence the spin  of an electron (measured along any direction, such as the  s =  _  2  z direction) can have the values  1  S z  = _  ℏ  2  1  S z  = − _  ℏ  2 

or 

(spin up)  (spin down). 

Confusingly, the term spin is used in two ways: It properly means a particle’s  intrinsic angular momentum S , but it is often used loosely to mean the particle’s  spin  quantum number s. In the latter case, for example, an electron is said to be  1  particle.  a spin- _  2  Particles with half-integer spin quantum numbers (like electrons) are called  fermions, after Fermi, who  (simultaneously with Paul Dirac) discovered the sta-  tistical laws that govern their behavior. Like electrons, protons and neutrons also  1  and are fermions.  have s = _  2  →

/

44.1  GENERAL   P ROP ERT IES  OF   EL EMENT ARY   P ART IC L ES 

1413

Particles  with  zero  or  integer  spin  quantum  numbers  are  called  bosons,  after  Indian  physicist  Satyendra Nath  Bose,  who  (simultaneously  with  Albert  Einstein)  discovered the governing statistical laws for  those  particles. Photons,  which have s = 1, are bosons; you will soon  meet other particles in this class.  This may seem a trivial way to classify particles, but  it is very important for  this reason:  Fermions obey the Pauli exclusion principle, which asserts that only a single  particle can be assigned to a given quantum state. Bosons do not obey this  principle. Any number of bosons can occupy a given quantum state. 

We saw how  important the Pauli  exclusion principle  is when  we “built  up”  the  1 )  electrons to  individual  quantum  states. Using  that  atoms  by  assigning (spin- _  2  principle  led  to  a  full  accounting  of  the  structure  and  properties  of  atoms  of  different types and of solids such as metals and semiconductors.  Because bosons  do  not obey the Pauli  principle, those particles tend to pile  up in the quantum state of lowest energy. In 1995 a group in Boulder, Colorado,  succeeded in producing a condensate of about 2000 rubidium-87 atoms—they are  bosons—in  a single quantum state of approximately zero energy.  For this to happen, the rubidium has to be a vapor with a temperature so low  and a density so great that the de Broglie wavelengths of the individual atoms are  greater than the average separation between the atoms. When  this  condition  is  met, the wave functions of the individual atoms overlap and the entire assembly  becomes a single  quantum  system (one  big  atom) called  a Bose–Einstein  con-  densate. Figure  44.1.2 shows  that,  as the  temperature of  the rubidium  vapor  is  lowered  to  about  1.70 × 10 –7 K,  the  atoms  do  indeed  “collapse” into  a  single  sharply defined state corresponding to approximately zero speed. 

Courtesy of Michael Mathews 

(a )

(b )

(c )

Three plots of the particle speed distribution in a vapor of rubidium-87  atoms. The temperature of the vapor is successively  reduced from plot (a) to plot (c).  Plot (c) shows a sharp peak centered around zero speed; that is, all the atoms are in  the same quantum state. The achievement of such a Bose–Einstein condensate, often  called the Holy Grail of atomic physics, was finally recorded in 1995.  Figure  44.1.2 

/

1414

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

Hadron or Lepton? 

We  can also  classify particles in  terms of  the  four  fundamental  forces  that  act  on  them. The  gravitational force acts on  all particles, but  its effects at the  level  of subatomic particles are so weak that we need not  consider that force (at least  not in today’s research). The electromagnetic force acts on all electrically charged  particles; its effects are well known, and we can take them into account when we  need to; we largely ignore this force in this chapter.  We  are  left  with  the  strong  force,  which  is  the  force  that  binds  nucleons  together,  and  the  weak  force,  which  is  involved  in  beta  decay  and  similar  processes. The weak force acts on all particles, the strong force only on some.  We can, then,  roughly  classify particles on  the basis  of  whether the strong  force acts on  them. Particles on  which  the  strong force acts are called hadrons.  Particles  on  which  the  strong  force  does  not  act,  leaving the  weak  force  and  the  electromagnetic force  as the  dominant  forces,  are called  leptons.  Protons,  neutrons, and pions  are hadrons; electrons and neutrinos are leptons.  We can make a further distinction among the hadrons because some of them  are bosons  (we call them mesons); the pion  is an example. The other hadrons are  fermions (we call them baryons); the proton  is an example.  Particle  or Antiparticle? 

In  1928 Dirac predicted  that  the  electron  e –  should  have  a  positively  charged  counterpart of the same mass and spin. The counterpart, the positron  e + , was dis-  covered in  cosmic radiation in  1932 by Carl Anderson. Physicists then gradually  realized that every particle has a corresponding antiparticle. The members of such  pairs have the same mass and spin but opposite signs of electric charge (if they are  charged) and opposite signs of quantum numbers that we have not yet discussed.  At first, particle was used to refer to the common particles such as electrons,  protons,  and neutrons,  and antiparticle referred to  their rarely detected coun-  terparts. Later, for  the  less common particles, the assignment of  particle and  antiparticle was made so as to be consistent with certain conservation laws that  we shall discuss later in this chapter. (Confusingly,  both particles and antipar-  ticles are sometimes called particles when no  distinction is needed.) We often,  but  not always, represent an  antiparticle by putting  a bar over the symbol for  the particle. Thus, p is the symbol for  the proton, and  ¯  p (pronounced  “p bar”)  is the symbol for the antiproton.  Annihilation. When a particle meets its antiparticle, the two can annihilate  each other.  That  is, the  particle and  antiparticle disappear and  their  combined  energies reappear in  other forms.  For  an electron annihilating  with  a positron,  this energy reappears as two gamma-ray photons:  e – + e + → γ + γ . 

(44.1.5) 

If  the  electron  and  positron  are  stationary  when  they  annihilate,  their  total  energy is their total  mass energy, and that energy is then  shared equally by the  two photons. To conserve momentum and because photons cannot be stationary,  the photons  fly off in opposite directions.  Antihydrogen atoms (each with an antiproton  and positron instead of a pro-  ton and electron in a hydrogen atom) are now being manufactured and studied at  CERN. The Standard  Model  predicts that a transition  in  an antihydrogen atom  (say, between the first excited state and the ground state) is identical to the same  transition in a hydrogen atom. Thus, any difference in the transitions would clearly  signal that the Standard Model is erroneous; no difference has yet been spotted.  An assembly of  antiparticles, such  as an antihydrogen atom, is often  called  antimatter to distinguish  it from an assembly of common particles (matter). (The  terms can easily be confusing  when  the word  “matter” is  used to  describe any-  thing  that has mass.) We can speculate that future scientists and  engineers may  construct  objects of  antimatter. However, no  evidence suggests that  nature has 

/

44.1  GENERAL   P ROP ERT IES  OF   EL EMENT ARY   P ART IC L ES 

1415

already done this on  an astronomical scale because all stars and galaxies appear  to consist  largely of matter and  not antimatter. This  is a perplexing observation  because it  means that  when  the  universe began,  some  feature biased  the  con-  ditions  toward  matter and  away from  antimatter. (For  example, electrons  are  common but positrons are not.) This bias is still not well understood.  An  Interlude 

Before  pressing  on  with  the  task  of  classifying the  particles, let  us  step  aside  for a moment and  capture some of the spirit  of particle research by analyzing a  typical particle event—namely, that shown in the bubble-chamber photograph of  Fig. 44.1.3a.  The tracks in this figure consist of bubbles formed along the paths of electri-  cally charged particles as they move through a chamber filled with liquid hydro-  gen. We can identify the particle that makes a particular track by—among other  means—measuring the relative spacing between the bubbles. The chamber lies  in a uniform magnetic field that deflects the tracks of positively charged particles 

A  (a )

The moving antiproton collides with a stationary proton. The annihilation produces all the other particles. p



–

–

1

The positive pion decays, producing a positive muon and an (unseen) neutrino.

Here, clockwise curvature means negative charge and …  –

+

p

+ –

1

– 

+

2

+

+ The positive muon decays, producing an electron, a neutrino, and an antineutrino, all unseen.



–  (b )

+

– +

–

2

+

+ … counterclockwise curvature means positive charge.



+

(c )

Part (a) : Courtesy of Lawrence Berkeley Laboratory 

(a)  A bubble-chamber photograph of a series  of events initiated by  an antiproton that enters the chamber from the left. (b) The tracks redrawn and  labeled for clarity. (c) The tracks are curved because a magnetic field present in  the chamber exerts a deflecting force on each moving charged particle.  Figure  44.1.3 

/

1416

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

Table 44.1.1  The Particles  or Antiparticles Involved in  the Event of  Fig.  44.1.3 

Particle  Neutrino  Electron  Muon  Pion  Proton 

Charge q 

Mass  (MeV/c 2 ) 

ν

0 

≈ 1 × 10 –7 

e 

–1  –1 

Symbol  – 

μ –  π+  p 

+1  +1 

0.511  105.7  139.6  938.3 

Spin Quantum  Number s 

Identity 

Mean Life  (s) 

_  1  2  _  1  2  1  _  2 

Lepton 

Stable 

¯  ν 

Lepton  Lepton 

Stable  2.2 × 10 –6 

e + 

0 

Meson  Baryon 

–8 

1  _  2 

2.6 × 10  Stable 

Antiparticle 

μ+  π–  p  ˉ 

counterclockwise and the tracks of  negatively charged particles clockwise. By  measuring the radius  of curvature of  a track, we can calculate the momentum  of the particle that made it. Table 44.1.1 shows some properties of the particles  and antiparticles that participated in  the event of  Fig. 44.1.3a, including  those  that did not make tracks. Following common practice, we express the masses of  the particles listed in Table 44.1.1—and in all other tables in this chapter—in the  unit MeV/c 2 . The reason for this notation is that the rest energy of a particle is  needed more often than its mass. Thus, the mass of a proton  is shown  in Table  44.1.1 to be 938.3 MeV/c 2 . To  find the proton’s  rest energy, multiply this mass  by c 2 to obtain 938.3 MeV.  The  general tools  used  for the analysis of  photographs  like  Fig. 44.1.3a are  the laws of  conservation of  energy, linear momentum, angular momentum, and  electric charge, a long with other conservation laws that we have not yet discussed.  Figure 44.1.3a is actually one of a stereo pair of photographs  so that, in practice,  these analyses are carried out in three dimensions.  The  event  of  Fig.  44.1.3a is  triggered by  an  energetic antiproton  (p  ¯)  that,  generated in  an  accelerator at  the  Lawrence Berkeley Laboratory, enters  the  chamber from the left. There are three separate subevents; one occurs at point  1  in Fig. 44.1.3b, the second occurs at point 2, and the third occurs out of the frame  of the figure. Let’s examine each:  1.  Proton–Antiproton  Annihilation.  At point  1 in  Fig. 44.1.3b, the initiating  antiproton  (blue  track)  slams into  a  proton  of  the  liquid  hydrogen  in  the  chamber, and the result is mutual annihilation.  We can tell that annihilation  occurred  while  the  incoming  antiproton  was in  flight  because most of  the  particles generated in  the encounter move in  the forward direction—that is,  toward the right in  Fig. 44.1.3. From the principle  of conservation of  linear  momentum, the incoming antiproton  must have had a forward momentum  when it  underwent annihilation.  Further, because the particles are charged  and  moving  through  a  magnetic field,  the  curvature  of  the  paths  reveals  whether the particles are negatively charged (like  the incident  antiproton)  or positively charged (Fig. 44.1.3c).  The  total  energy  involved  in  the  collision  of  the  antiproton  and  the  proton  is  the sum of the antiproton’s  kinetic energy and the two (identical)  rest energies of those two particles (2 × 938.3 MeV, or 1876.6 MeV). This is  enough energy to create a number of lighter particles and give them kinetic  energy. In this case, the annihilation produces four positive pions (red tracks  in  Fig. 44.1.3b)  and four  negative pions  (green tracks). (For  simplicity, we  assume that no  gamma-ray photons,  which  would  leave no  tracks because  they lack electric charge, a re produced.) Thus we conclude that the annihila-  tion process is  ˉ → 4π+ + 4π− .  p + p 

(44.1.6) 

We see from Table 44.1.1 that the positive pions  (π+ ) are particles and the  negative pions  (π– )  are antiparticles.  The reaction  of  Eq.  44.1.6 is  a strong 

/

44.1  GENERAL   P ROP ERT IES  OF   EL EMENT ARY   P ART IC L ES 

1417

interaction  (it  involves the  strong  force)  because all  the  particles involved  are hadrons.  Let us check whether electric charge is conserved in the reaction. To  do  so, we can write the electric charge of  a particle as qe, in  which  q is a charge  quantum  number. Then  determining whether electric charge is conserved in  a  process amounts  to  determining  whether  the  initial  net  charge quantum  number  is equal  to  the  final  net  charge quantum  number. In  the  process of  Eq.  44.1.6, the  initial  net  charge number  is  1 + (–1), or  0, and  the  final  net  charge number is 4(1) + 4(–1), or 0. Thus, charge is conserved.  For  the energy balance, note  from above that the energy available from  the p-p  ˉ  annihilation process is at least the sum of the proton and antiproton rest  energies, 1876.6 MeV. The  rest energy of  a pion  is 139.6 MeV, which means  the rest energies of the eight pions amount to 8 × 139.6 MeV, or 1116.8 MeV.  This  leaves at  least  about  760 MeV  to  distribute  among  the  eight pions  as  kinetic energy. Thus, the requirement of energy conservation is easily met.  2.  Pion  Decay.  Pions  are unstable particles and decay with  a mean lifetime of  2.6 × 10 –8 s. At point  2 in Fig. 44.1.3b, one of the positive pions  comes to rest  in the chamber and decays spontaneously into  an antimuon  μ+  (purple track)  and a neutrino ν: 

π+ → μ+ +  ν. 

(44.1.7) 

The neutrino,  being uncharged, leaves no  track. Both  the  antimuon and  the neutrino  are leptons; that is, they are particles on  which  the strong force  does  not  act.  Thus,  the  decay  process  of  Eq.  44.1.7, which  is  governed  by  the weak force, is described as a weak interaction.  Let’s consider the energies in the decay. From Table 44.1.1, the rest energy  of  an  antimuon  is  105.7 MeV  and  the  rest  energy of  a neutrino  is  approxi-  mately 0. Because the pion  is at rest when  it decays, its energy is just its rest  energy, 139.6 MeV. Thus, an energy of 139.6 MeV – 105.7 MeV, or 33.9 MeV,  is available to share between the antimuon and the neutrino as kinetic energy.  Let us check whether spin angular momentum is conserved in the process of  Eq. 44.1.7. This amounts to determining whether the net component S z   of spin  angular momentum along some arbitrary z  axis can be conserved by the process.  The spin quantum numbers s of the particles in the process are 0 for the pion  π+  1 for both the antimuon  μ+ and the neutrino  ν. Thus, for  π+ , the component  and _  2  1 ℏ or − 1  _  S z  must be 0ℏ, and for μ+ and ν, it can be either + _  2  2 ℏ.  The net component S z  is conserved by the process of Eq. 44.1.7 if there is any  way in which the initial S z  (= 0ℏ) can be equal to the final net S z. We see that if    1 ℏ and the other has S  = − _  1  _  one of the products, either μ+ or  ν, has S z  = + 2  z  2 ℏ, then  their final net value is 0ℏ. Thus, because S z   can be conserved, the decay process  of Eq. 44.1.7 can occur.  From Eq. 44.1.7, we also see that the net charge is conserved by the pro-  cess: Before the process the net charge quantum number is +1, and after the  process it is +1 + 0 = +1. 

3.  Muon  Decay.  Muons  (whether  μ–  or  μ+ )  are  also  unstable,  decaying with  a  mean  life  of  2.2 × 10 –6  s.  Although  the  decay  products  are  not  shown  in  Fig. 44.1.3, the antimuon produced in the reaction of Eq. 44.1.7 comes to rest  and decays spontaneously according to  _  (44.1.8)  μ + → e + + ν + ν .  The rest energy of the antimuon is 105.7 MeV, and that of the positron is only  0.511 MeV, leaving 105.2 MeV to be shared as kinetic energy a mong the three  particles produced in the decay process of Eq. 44.1.8.  You may wonder: Why two neutrinos in Eq. 44.1.8? Why not just one, as in  the pion decay in  Eq. 44.1.7? One answer is  that the spin quantum  numbers of 

/

1418

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

_  the antimuon, the positron, and the neutrino are each 1  2 ; with only one neutrino,  the net component S z   of spin angular momentum could  not be conserved in the  antimuon decay of Eq. 44.1.8. In Module 44.2 we shall discuss another reason. 

Sample Problem 44.1.1

Momentum and kinetic energy in a  pion decay 

A stationary positive pion  can decay according to  π+  → μ+ + ν.  What  is the  kinetic  energy of  the antimuon  μ+ ? What  is  the kinetic energy of the neutrino? 

KEY IDEA The pion  decay process must conserve both  total energy  and total linear momentum.  Let us first write the conservation  of total energy (rest energy m c 2 plus kinetic energy K ) for  the decay process as  Energy conservation:

2  m π c 2 + K π = m μc 2 + K μ + m νc    + K ν.   

Because the  pion  was stationary, its kinetic  energy K π is  zero. Then, using the masses listed  for m π , m μ, and m ν in  Table 44.1.1, we find  K μ + K ν  = m π c 2  − m π c 2 − m ν c 2  = 139.6 MeV − 105.7 MeV − 0  = 33.9 MeV, 

(44.1.9) 

which, with p π = 0, gives us  p μ = −p ν. 

We want  to  relate these momenta p μ and  −p ν to  the kinetic  energies K μ and  K ν so  that we can  solve for the  kinetic energies. Because we have no  reason  to  believe that classical physics can be applied, we use Eq.  37.6.15, the  momentum–kinetic energy relation from  spe-  cial relativity:  Relating p and K:

( pc) 2 = K 2 + 2Kmc 2 . 

( p μc) 2 = ( p νc) 2 .  (44.1.12)  Substituting from Eq. 44.1.11 for each side of Eq. 44.1.12  yields  2  2  2  K 2  μ + 2K μm μc  = K ν + 2K νm ν c  .  Approximating the neutrino mass to be m ν = 0, substitut-  ing K ν = 33.9 MeV – K μ from Eq. 44.1.9, a nd then solving  for K μ, we find  (33.9 MeV ) 2  K μ =  ____________________  (2 )(33.9 MeV +  m μc 2 ) 

(33.9 MeV ) 2  = _________________________  (2 )(33.9  MeV + 105.7 MeV  ) 

Momentum conservation:

p π = p μ + p ν,   

Sample Problem 44.1.2

π−  + p → K − + Σ + . 

The rest energies of these particles are  139.6 MeV 

p 

938.3 MeV 

= 4.12 MeV. 

(Answer) 

The kinetic energy of the neutrino is then, from Eq. 44.1.9,  K ν = 33.9 MeV − K μ = 33.9 MeV − 4.12 MeV  = 29.8 MeV. 

(Answer) 

We see that, although the magnitudes of the momenta of  the two recoiling particles are the same, the neutrino gets  the larger share (88%) of the kinetic energy. 

Q in a proton–pion reaction 

The  protons  in  the  material filling  a  bubble  chamber  are bombarded with a beam of high-energy antiparticles  known  as  negative pions.  At  collision  points,  a  proton  and a pion transform into a negative kaon and a positive  sigma in this reaction: 

π− 

(44.1.11) 

From Eq. 44.1.10, we know that 

where we have approximated m ν as zero.  We cannot solve Eq. 44.1.9 for  either K μ or K ν separately, and so let us next apply the prin-  ciple  of  conservation  of  linear  momentum  to  the  decay  process. Because the pion  is stationary when it decays, that  principle requires that the muon and neutrino move in oppo-  site directions after the decay. Assume that their motion  is  along an axis. Then, for components along that axis, we can  write the conservation of linear momentum for the decay as 

(44.1.10) 

K −  493.7 MeV  + 

Σ 

What is the Q of the reaction? 

1189.4 MeV 

KEY IDEA The Q of a reaction is  initial total  final total  Q =  ( mass energy) − ( mass energy) .  Calculation:

For the given reaction, we find 

2  2  2  Q = ( mπ  c 2  + m pc    ) − ( m  Kc    + m Σc    ) 

= (139.6 MeV + 938.3 MeV )  − (493.7 MeV + 1189.4 MeV )  = −605 MeV. 

(Answer) 

/

44.2  L EP T ONS,  HAD RONS,  AND  ST RANGENESS 

The  minus  sign  means  that  the  reaction  is  endothermic;  that is, the incoming pion  (π– ) must have a kinetic energy  greater than  a  certain  threshold  value if  the  reaction  is  to  occur.  The  threshold  energy is  actually  greater than  605 MeV because linear momentum  must be  conserved. 

1419

(The incoming pion has momentum.) This means that the  kaon  (K – )  and  the  sigma ( Σ + )  not  only  must be  created  but also must be given some kinetic energy. A relativistic  calculation whose details are beyond our scope shows that  the threshold energy for the reaction is 907 MeV. 

Additional examples,  video, and practice available at  WileyPLUS

44.2  LEPTONS, HADRONS, AND STRANGENESS  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

44.2.1  Identify that there are six leptons (with an anti- 

44.2.4  To see if a given process for elementary par- 

particle each)  in three families,  with  a different  type 

ticles is physically possible, determine whether  the 

of neutrino  in each  family. 

process conserves baryon number. 

44.2.2  To see if a given process for elementary par- 

44.2.5  Identify that there is a quantum  number  called 

ticles is physically possible, determine whether  it 

strangeness associated with  some of the baryons 

conserves lepton number and whether  it conserves  the individual  family  lepton numbers. 

and mesons.  44.2.6  Identify that strangeness must be conserved in 

44.2.3  Identify that there is a quantum  number 

an  interaction involving the strong force, but this con- 

called baryon number associated with the  baryons. 

servation law  can  be broken for other interactions.  44.2.7  Describe the eightfold  way patterns. 

Key  Ideas  ●

We can classify particles and their antiparticles into 

●

Baryons, including  protons and  neutrons, are 

two main types: leptons and hadrons. The latter con- 

hadrons with  half-integer  spin quantum  numbers and 

sists of mesons and baryons. 

thus are also fermions. 

●

Three of the leptons (the electron,  muon, and tau) 

−1e. There are also three 

●

Mesons are hadrons with integer  spin quantum 

have electric  charge equal  to 

numbers and thus are bosons, which  do not obey the 

uncharged  neutrinos (also leptons), one corresponding 

Pauli  exclusion principle. 

to each of the charged leptons. The antiparticles for  the charged leptons have positive charge.  ●

To explain  the possible and impossible reactions 

of these particles, each is assigned a lepton quantum  number,  which  must be conserved in a reaction.  ●

The leptons have half-integer spin quantum  numbers 

●

To explain  the possible and impossible reactions  of 

these particles, baryons are assigned a baryon quan-  tum number,  which  must be conserved in a reaction.  ●

Baryons are also assigned a strangeness quantum 

number, but it is conserved only in reactions involving  the strong force. 

and  are thus fermions, which  obey the Pauli  exclusion  principle. 

The Leptons 

In this module, we discuss some of the particles of one of our classification schemes:  lepton  or hadron. We begin with the leptons, those particles on which the strong  force  does  not  act. So  far, we  have encountered  the  familiar electron and  the  neutrino that accompanies it in beta decay. The muon, whose decay is described  in Eq. 44.1.8, is another member of this family. Physicists gradually learned that  the neutrino that appears in Eq. 44.1.7, a ssociated with the production of a muon,  is not  the same particle as the neutrino  produced  in beta decay, associated with  the appearance of an electron. We call the former the muon neutrino (symbol νμ)  and the latter the electron neutrino (symbol νe ) when it is necessary to distinguish  between them. 

/

1420

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

a 

Table 44.2.1  The Leptons 

Family 

Particle 

Symbol 

Electron 

Electron  Electron neutrino b 

e – 

Muon 

Muon  Muon neutrino b 

Tau 

Tau  Tau neutrino b 

a 

νe  μ–  νμ τ–  ντ

Mass  (MeV/c 2 ) 

Charge q 

Antiparticle 

0.511  ≈ 1 × 10 –7 

–1  0 

e +  ¯  ν e 

105.7  ≈ 1 × 10 –7 

–1  0 

μ+ 

1777  ≈ 1 × 10 –7 

–1  0 

¯  ν μ

τ+ 

¯  ν τ

_ 

All leptons have spin quantum numbers of 1  2 and are thus fermions.  The neutrino masses have not been well determined. Also, because of neutrino oscillations, we  might not be able to associate a particular mass with a particular neutrino.  b 

These two types of neutrino  are known  to be different particles because, if  a beam of muon neutrinos  (produced  from pion  decay as in  Eq. 44.1.7) strikes  a  solid  target, only  muons —and  never electrons—are produced.  On  the  other  hand,  if  electron  neutrinos  (produced  by  the  beta  decay  of  fission  products  in  a  nuclear reactor) strike  a solid  target, only  electrons —and  never muons—are  produced.  Another  lepton,  the  tau,  was  discovered  at  SLAC  in  1975; its  discoverer,  Martin  Perl, shared the 1995 Nobel Prize in physics. The tau has its own  associ-  ated neutrino, different still from the other two. Table 44.2.1 lists all the leptons  1 .  (both  particles and antiparticles); all have a spin quantum number s of  _  2  There are reasons for dividing the leptons into three families, each consist-  ing of  a particle (electron, muon, or  tau), its  associated neutrino,  and the cor-  responding  antiparticles. Furthermore, there are reasons to  believe that there  are only the three families of  leptons shown  in  Table 44.2.1. Leptons  have no  internal structure and no measurable dimensions; they are believed to be truly  pointlike  fundamental particles when they interact with other particles or with  electromagnetic waves.  The  Conservation of Lepton  Number 

According to experiment, particle interactions involving leptons obey a conser-  vation law for a quantum number called the lepton number L. Each (normal) par-  ticle in Table 44.2.1 is assigned L = +1, and each antiparticle is assigned L = –1.  All other particles, which  are not  leptons, are assigned L = 0. Also according to  experiment,  In all particle interactions, the net lepton number is conserved. 

This experimental fact is called the law of conservation of lepton  number. We do  not know  why the law must be obeyed; we only know  that this conservation law  is part of the way our universe works.  There are actually three types of lepton number, one for each lepton family:  the electron lepton  number L e, the muon  lepton  number L μ, and the tau lepton    number L τ .  In  nearly  all  observed interactions,  these three  quantum  numbers  are separately conserved. An  important  exception involves  the  neutrinos.  For  reasons  that  we  cannot  explore  here,  the  fact  that  neutrinos  are  not  mass-  less means that they can “oscillate” between different types as they travel long  distances. Such  oscillations were proposed  to  explain why only  about  a third  of the expected number of electron neutrinos  arrive at Earth from the proton–  proton  fusion  mechanism in the  Sun  (Fig.  43.5.1). The rest change on  the way. 

/

44.2  L EP T ONS,  HAD RONS,  AND  ST RANGENESS 

1421

The  oscillations,  then,  mean that the  individual  family lepton  numbers are not  conserved for  neutrinos. In  this  book  we shall  not  consider such  violations and  shall always conserve the individual family lepton numbers.  Let’s  illustrate  such  conservation  by  reconsidering  the  antimuon  decay  process shown  in Eq. 44.1.8, which we now write more fully as  μ + → e + +  νe + ν¯ μ.  (44.2.1) 

Consider this first in terms of the muon family of leptons. The μ+ is an antiparticle  (see Table 44.2.1) a nd thus has the muon lepton number L μ = –1. The two particles  e + and νe do not belong to the muon family and thus have L μ = 0. This leaves ¯ν  μ on  the right which, being an antiparticle, also has the muon lepton number L μ = –1.  Thus,  both  sides of  Eq. 44.2.1 have the same net muon  lepton number—namely,  L μ = –1; if they did not, the μ+ would not decay by this process.  No members of the electron family appear on the left in Eq. 44.2.1; so there  the net electron lepton  number must be L e  = 0. On the right side of  Eq. 44.2.1,  the positron, being an antiparticle (again see Table 44.2.1), has the electron lep-  ton  number L e  = –1. The electron neutrino  νe , being  a particle, has the electron  number L e = +1. Thus, the net electron lepton number for these two particles on    the right in Eq. 44.2.1 is also zero; the electron lepton  number is also conserved  in the process.  Because no members of the tau family appear on  either side of Eq. 44.2.1,  we must have L τ = 0 on  each side. Thus, each of the lepton  quantum numbers  L μ, L e , and L    τ remains unchanged during the decay process of Eq. 44.2.1, their  constant values being –1, 0, and 0, respectively.  Checkpoint 44.2.1 

(a) The  π+  meson decays by the process π+ → μ + + ν. To  what lepton family does the  neutrino ν belong? (b) Is this neutrino a particle or an antiparticle? (c) What is its  lepton number? 

The Hadrons 

We  are now  ready to  consider  hadrons  (baryons  and  mesons), those  particles  whose interactions are governed by the strong force. We start by adding another  conservation law to our list: conservation of baryon number.  To develop this conservation law, let us consider the proton decay process  p → e + +  νe . 

(44.2.2) 

This process never happens. We should  be glad that it does not because otherwise  all protons in the universe would gradually change into positrons, with disastrous  consequences  for  us.  Yet  this  decay process does  not  violate  the  conservation  laws involving energy, linear momentum, or lepton number.  We account for the apparent stability of the proton—and  for the absence of  many other processes that might otherwise occur—by introducing a new quantum  number, the baryon number B, and a new conservation law, the conservation of  baryon number:  To every baryon we assign B = +1. To every antibaryon we assign B = –1. To  all particles of other types we assign B = 0. A particle process cannot occur if it  changes the net baryon number. 

In the process of Eq. 44.2.2, the proton  has a baryon number of B = +1 and  the positron and neutrino both have a baryon number of B = 0. Thus, the process  does not conserve baryon number and cannot occur. 

/

1422

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

Checkpoint 44.2.2 

This mode of decay for a neutron is not observed:  n → p + e − .  Which of the following conservation laws does this process violate: (a) energy, (b) angular  momentum, (c) linear momentum, (d) charge, (e) lepton number, (f) baryon number? The  masses are m n = 939.6 MeV/c 2 , m p  = 938.3 MeV/c 2 , and m e = 0.511 MeV/c 2 . 

Still Another Conservation Law 

Particles have intrinsic  properties in  addition  to  the  ones we have listed  so far:  mass, charge, spin, lepton  number, and baryon  number. The first of these addi-  tional properties was discovered when researchers observed that certain new par-  ticles, such as the kaon  (K) and the sigma ( Σ ), always seemed to be produced in  pairs. It seemed impossible to produce only one of them at a time. Thus, if a beam  of energetic pions  interacts with the protons in a bubble  chamber, the reaction  (44.2.3)  π + + p → K + +  Σ+ often occurs. The reaction 

π + + p → π + + Σ +, 

(44.2.4) 

which  violates no  conservation law known  in  the early days of particle physics,  never occurs.  It  was  eventually proposed  (by  Murray  Gell-Mann  in  the  United  States  and  independently  by  K.  Nishijima  in  Japan)  that  certain particles  possess a  new property, called strangeness, with its own quantum number S  and its own  conservation law. (Be careful not to confuse the symbol S here with the symbol  for  spin.) The name strangeness arises from the fact that, before the identities  of  these particles were pinned  down,  they were known  as “strange particles,”  and the label stuck.  The proton,  neutron,  and pion  have S = 0; that is, they are not  “strange.”  It was proposed, however, that the K + particle has strangeness S = +1 and that  Σ +  has S = –1. In the reaction of Eq. 44.2.3, the net strangeness is initially zero  and  finally  zero;  thus,  the  reaction  conserves  strangeness.  However, in  the  reaction shown in  Eq. 44.2.4, the final net strangeness is –1; thus, that reaction  does  not  conserve strangeness and  cannot  occur.  Apparently, then,  we  must  add one more conservation law to our list—the conservation of strangeness: 

Strangeness is conserved  in interactions involving the strong force. 

Strange particles  are produced  only  (rapidly)  by strong  interactions  and only  in  pairs with a net strangeness of zero. They then decay (slowly) through  weak inter-  actions without  conserving strangeness.  It may seem heavy-handed to invent a new property of particles just to account  for a little puzzle like that posed by Eqs. 44.2.3 a nd 44.2.4. H owever, strangeness  soon  solved many other puzzles. Still,  do  not be misled by the whimsical name.  Strangeness is no more mysterious a property of particles than is charge. Both are  properties that particles may (or may not)  have; each is described by an appro-  priate  quantum  number. Each obeys  a  conservation law.  Still  other  properties  of  particles have been  discovered and  given  even more  whimsical names, such  as charm and bottomness, but all are perfectly legitimate properties. Let us see, as  an example, how the new property of strangeness “earns its keep” by leading us  to uncover important regularities in the properties of the particles. 

/

1423

44.2  L EP T ONS,  HAD RONS,  AND  ST RANGENESS 

_  Baryons  1  2 

a 

Table 44.2.2  Eight Spin- 

Particle 

Symbol 

Mass  (MeV/c 2 ) 

Proton  Neutron  Lambda  Sigma  Sigma  Sigma  Xi  Xi 

p  n  Λ 0  Σ +  Σ 0  Σ –  Ξ 0  Ξ – 

938.3  939.6  1115.6  1189.4  1192.5  1197.3  1314.9  1321.3 

Table 44.2.3  Nine Spin-Zero Mesons 

Quantum Numbers  Charge q 

Strangeness S 

Particle 

Symbol 

+1  0  0  +1  0  –1  0  –1 

0  0  –1  –1  –1  –1  –2  –2 

Pion  Pion  Pion  Kaon  Kaon  Kaon  Kaon  Eta  Eta prime 

π0  π+  π– 

Quantum Numbers 

Mass  (MeV/c 2 ) 

Charge q 

Strangeness S 

135.0  139.6  139.6  493.7  493.7  497.7  497.7  547.5  957.8 

0  +1  –1  +1  –1  0  0  0  0 

0  0  0  +1  –1  +1  –1  0  0 

K +  K –  K 0  ¯  K 0 

η ηʹ 

a 

All mesons are bosons, having spins of 0, 1, 2, . . . . The ones listed here all  have a spin of 0.  The Eightfold Way 

There  are eight  baryons—the  neutron  and  the  proton  among  them—that  have  1 . Table 44.2.2 shows some of their other properties.  a spin quantum number of  _  2  Figure 44.2.1a shows the fascinating pattern that emerges if we plot  the strange-  ness of these baryons against their charge quantum number, using a sloping axis  for  the charge quantum  numbers. Six of  the eight form a hexagon with the two  remaining baryons at its center.  Let us turn now from the hadrons called baryons to the hadrons called mesons.  Nine  with  a spin  of  zero are listed  in  Table  44.2.3. If  we  plot  them on  a sloping  strangeness–charge  diagram,  as  in  Fig.  44.2.1b,  the  same  fascinating  pattern  emerges! These and related plots, called the eightfold way patterns,* were proposed  independently in 1961 by Murray Gell-Mann at the California Institute of Technol-  ogy and by Yuval Ne’eman at Imperial College, London.  The two patterns of  Fig.  44.2.1 are representative of a larger number of symmetrical patterns in which groups  of baryons and mesons can be displayed.  3  baryons (not shown  The symmetry of the eightfold way pattern for the spin- _  2  here) calls for ten particles arranged in a pattern like that of the tenpins in a bowl-  ing alley. However, when the pattern was first proposed,  only nine such particles  were known; the “headpin” was missing. In 1962, guided by theory and the sym-  metry of the pattern, Gell-Mann made a prediction in which he essentially said:  3  baryon with a charge of –1, a strangeness  of –3, and a rest  There exists a spin- _  2  energy of about 1680 MeV. If you look for this omega minus particle (as I propose  to call it), I think you will find it. 

A  team of  physicists  headed by  Nicholas  Samios  of  the  Brookhaven  National  Laboratory took  up  the challenge and found  the  “missing” particle, confirming  all its predicted properties. Nothing beats prompt experimental confirmation for  building confidence in a theory!  The eightfold  way patterns bear the same relationship  to  particle physics  that  the  periodic  table  does  to  chemistry. In  each  case, there  is  a  pattern of  organization  in  which  vacancies (missing particles or  missing elements) stick  out like sore thumbs, guiding experimenters in their searches. In the case of the  periodic table, its very existence strongly suggests that the atoms of the elements  are not fundamental particles but  have an underlying  structure. Similarly, the  eightfold  way patterns strongly suggest that the mesons and the baryons must 

p

n

Σ –

Λ 0 Σ 0

Ξ – q

Σ +

Ξ 0

= –1

q

=0

q

S

=0

S

= –1

S

= –2

= +1

(a)

K0

K+



–

0

+

' K– q

K0

= –1

q

=0

q

S

= +1

S

=0

S

= –1

= +1

(b )

(a) The eightfold way  1  baryons  pattern for the eight spin- _  2  listed in Table 44.2.2. The particles are  represented as disks on a strangeness –  charge plot, using a sloping axis for  the charge quantum number. (b) A  similar pattern for the nine spin-zero  mesons listed in Table 44.2.3.  Figure  44.2.1 

*The name is a borrowing from Eastern mysticism. The “eight” refers to the eight quantum numbers  (only a few of which we have defined here) that are involved in the symmetry-based theory that  predicts the existence of the patterns. 

/

1424

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

have an underlying  structure, in  terms of  which their properties can be under-  stood.  That structure can be explained in  terms of  the quark  model, which  we  next discuss. 

Sample Problem 44.2.1

Proton decay:  conservation of quantum numbers, energy,  and momentum 

Determine whether a stationary proton  can decay a ccord-  ing to the scheme 

energies and kinetic energies of the pions.  To answer, we  evaluate the Q of the decay: 

p → π0 +  π+ . 

initial total  −  final total  Q = ( mass energy )  ( mass energy) 

Properties  of  the  proton  and  the  π pion  are listed  in  Table 44.1.1. The π0 pion has zero charge, zero spin, and  a mass energy of 135.0 MeV.  + 

2  2  2  = m pc    − ( m  0c    + m +c    ) 

= 938.3 MeV − (135.0 MeV + 139.6 MeV )  = 663.7 MeV. 

KEY IDEA We need to see whether the proposed decay violates any of  the conservation laws we have discussed.  We  see  that  the  net  charge  quantum  number  is  initially  +1  and  finally  0 + 1,  or  +1.  Thus,  charge is conserved by the decay. Lepton number is also  conserved, because none of the three particles is a lepton  and thus each lepton number is zero.  Electric charge:

momentum: Because  the  proton  is  stationary,  with  zero linear  momentum, the two  pions  must merely  move in opposite directions with equal magnitudes of lin-  ear momentum  (so  that  their  total  linear  momentum is  also zero) to conserve linear momentum. The fact that lin-  ear momentum can be conserved means that the process  does not violate the conservation of linear momentum.  Linear

Is there energy for the decay? Because the pro-  ton is stationary, that question amounts to asking whether  the proton’s mass energy is sufficient to produce the mass  Energy:

Sample Problem 44.2.2

The  fact that Q is positive indicates that  the initial mass  energy exceeds the  final mass energy. Thus, the  proton  does have enough mass energy to create the pair of pions.  Is spin angular momentum conserved by the decay?  This amounts to determining whether the net component  S z  of spin angular momentum along some arbitrary z axis  can be  conserved by  the decay. The  spin  quantum  num-  1  for the  proton  bers s of the particles in the  process are _  2  and 0 for both  pions. Thus, for the proton the component  1  _  _  S z  can be either + 1  2 ℏ or − 2 ℏ and for each pion it is 0ℏ. We  see that there is no way that S z   can be conserved. Hence,  spin  angular  momentum  is  not  conserved,  and  the  pro-  posed decay of the proton  cannot occur.  Spin:

The decay also violates the conservation  of  baryon  number:  The  proton  has  a baryon  number  of  B = +1,  and  both  pions  have  a baryon  number  of  B = 0.  Thus, nonconservation of baryon number is another reason  the proposed decay cannot occur.  Baryon number:

Xi-minus decay:  conservation of quantum numbers 

A  particle  called  xi-minus  and  having  the  symbol  Ξ –  decays as follows:  Ξ −  → Λ 0 +  π− . 

The Λ 0  particle (called lambda-zero) and the  π− particle  are both unstable. The following decay processes occur in  cascade until only relatively stable products remain:  Λ 0 → p + π−  π− → μ− +  ν¯ μ μ − → e −  + νμ + ν¯ e . 

hadron.  (2) To  answer the second question  we need to  determine the baryon number of  the Ξ –  particle. If it is  +1 or –1, then the Ξ – is a baryon. If, instead, it is 0, then  the Ξ –  is a meson.  To  see, let  us  write  the  overall  decay  scheme, from  the initial  Ξ –  to  the  final  relatively stable  products, as  Ξ − → p + 2 ( e − + ν¯ e )  + 2( νμ + ν¯  μ).  (44.2.5)  Baryon number:

KEY IDEAS

On the right side, the proton  has a baryon number of +1  and each electron and neutrino has a baryon number of 0.  Thus, the net baryon number of the right side is +1. That  must then be the baryon number of the lone Ξ – particle on  the left side. We conclude that the Ξ – particle is a baryon. 

(1) Only  three  families  of  leptons  exist  (Table  44.2.1)  and none include the Ξ – particle. Thus, the Ξ – must be a 

(b) Does the decay process conserve the three lepton  numbers? 

(a)  Is the Ξ – particle a lepton or a hadron? If the latter, is  it a baryon or a meson? 

/

44.3  QU ARKS  AND  MESSENGER  P ART IC L ES 

1425

KEY IDEA

KEY IDEA

Any  process  must  separately  conserve  the  net  lepton  number for each lepton  family of Table 44.2.1. 

The overall decay scheme of Eq. 44.2.5 m ust conserve the  net spin component S z.  

Let us first consider  the electron lepton  number  L e,   which  is  +1  for  the  electron  e – ,  –1  for  the  anti-electron neutrino  ¯  ν e, and  0 for the other  particles in    the overall decay of Eq. 44.2.5. We see that the net L e  is 0  before the decay and 2[+1 + (–1)] + 2(0 + 0) = 0 after the  decay. Thus, the net electron lepton number is conserved.  You can similarly show that the net muon lepton number  and the net tau lepton number are also conserved.  Lepton number:

(c) What can you say about the spin of the Ξ –  particle? 

We can determine the spin component S z   of the Ξ –  particle on  the  left side  of Eq.  44.2.5 by  considering  the  S z   components of the nine particles on the right side. All  1  particles and  thus  can  nine  of  those  particles are spin- _  2  1 ℏ or − _  1 ℏ . No matter how  we choose  have S z   of either + _  2  2  between those  two  possible  values  of  S z,   the  net  S z   for  those nine particles must be a half-integer times ℏ. Thus,  the  Ξ –  particle  must  have  S z   of  a  half-integer  times  ℏ,  and that means that its spin quantum number s must be a  _  half-integer. (It is 1  2 .)  Spin:

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

44.3  QUARKS AND MESSENGER PARTICLES  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

44.3.1  Identify that there are six quarks (with an anti-  particle for each). 

44.3.4  Identify virtual particles.  44.3.5  Apply the relationship between  the violation 

44.3.2  Identify that baryons contain  three quarks (or 

of energy by a virtual particle  and the time interval 

antiquarks) and mesons contain  a quark and an anti- 

allowed  for that violation (an uncertainty principle 

quark, and that many of these hadrons are excited  states of the basic quark combinations. 

written  in terms of energy).  44.3.6  Identify the messenger particles for electromag- 

44.3.3  For a given hadron,  identify the quarks it con- 

netic  interactions, weak interactions, and strong 

tains, and vice versa. 

interactions. 

Key  Ideas  ●

The six quarks (up, down, strange, charm, bottom, 

and  top, in order  of increasing  mass) each have  baryon 

1  and charge equal  to either + _  2  or − 1  _  + _  3  3  3 . The  strange quark has strangeness −1, whereas the others  all  have strangeness 0 . These four algebraic  signs are  number 

●

●

particles as messengers.  ●

Leptons do not contain quarks and have no internal 

quantum  numbers of the quarks and antiquarks are  assigned to be consistent with  the quantum numbers  of 

Quarks primarily  interact with  each other through  the 

color force,  via gluons. 

structure. Mesons contain  one quark and one antiquark.  Baryons contain three quarks or three antiquarks. The 

Leptons can also interact with  each other and with 

quarks through the weak  force, via massive W and Z 

reversed for the antiquarks.  ●

Particles with electric  charge interact  through the 

electromagnetic force by exchanging virtual photons. 

●

The electromagnetic and weak forces are  different 

manifestations of the  same force,  called the electro-  weak force. 

the mesons and  baryons. 

The Quark Model 

In 1964 Gell-Mann and George Zweig independently pointed out that the eight-  fold  way patterns can be understood  in a simple way if the mesons and the bary-  ons are built  up out of subunits that Gell-Mann called quarks. We deal first with  three of them, called the up quark  (symbol u), the down  quark (symbol d), and  the strange quark (symbol s). The names of the quarks, along with those assigned  to  three other  quarks  that we  shall meet later, have no  meaning other  than  as 

/

1426

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

a 

Table 44.3.1  The Quarks 

Quantum Numbers  Particle  Symbol 

Mass  (MeV/c 2 ) 

Charge  q 

Strangeness  S 

Baryon  Number B 

Antiparticle 

Up 

u 

5 

2  + _  3 

0 

1  + _  3 

Down 

d 

10 

1  − _  3 

0 

1  + _  3 

¯  u  ¯  d 

Charm 

c 

1500 

2  + _  3 

0 

1  + _  3 

¯  c 

–1 

1  + _  3 

¯  s  ¯  t 

Strange 

s 

200 

1  − _  3 

Top 

t 

175 000 

2  + _  3 

0 

1  + _  3 

Bottom 

b 

4300 

1  − _  3 

0 

1  + _  3 

a 

¯  b 

_ 

All  quarks (including antiquarks) h ave spin 1  2  and thus are fermions. The quantum numbers q, S,  and B for each antiquark are the negatives of those for the corresponding q uark.   yrotarobaL lanoitaN nevahkoorB fo ysetruoC

The violent head-on col-  lision of two 30 GeV beams of gold  atoms in the RHIC accelerator at the  Brookhaven National Laboratory. In  the moment of collision, a gas of indi-  vidual quarks and gluons was created.  Figure  44.3.1 

uu d

dd u

dd s ss d

uu s

q

ss u

= –1

q

=0

Quarks and Baryons 

S

= –1

Each  baryon  is  a  combination  of  three  quarks; some  of  the  combinations  are  given in Fig. 44.3.2a. With regard to baryon number, we see that any three quarks  _  (each with B = + 1  3 ) yield a proper baryon (with B = +1).  Charges also work out, as we can see from three examples. The proton  has a  quark composition of uud, and so its charge quantum number is 

S

= –2

S

ud ud s s

=0

q

convenient  labels.  Collectively, these  names  are  called  the  quark  flavors. We  could just as well call them vanilla, chocolate, and strawberry instead of up, down,  and strange. Some properties of the quarks are displayed in Table 44.3.1.  The  fractional  charge quantum  numbers  of  the  quarks  may jar  you  a  little.  However,  withhold  judgment  until  you  see  how  neatly  these  fractional  charges  account for the observed integer charges of the mesons and the baryons. In all normal  situations,  whether here on  Earth or in  an astronomical process, quarks are always  bound up together in twos or threes (and perhaps more) for reasons that are still not  well understood. Such requirements are our normal rule for quark combinations.  An  exciting  exception  to  the  normal  rule  occurred  in  experiments at  the  RHIC particle collider at the Brookhaven National Laboratory. At the spot where  two high-energy beams of gold nuclei collided head-on, the kinetic energy of the  particles was so large that it matched the kinetic energy of particles that were pres-  ent soon  after the beginning  of the universe (as we discuss in Module  44.4). The  protons  and neutrons of the gold nuclei were ripped  apart to form a momentary  gas of individual quarks (Fig. 44.3.1). (The gas also contained gluons, the particles  that normally hold quarks together.) These experiments at RHIC may be the first  time that quarks have been set free of one another since the universe began. 

= +1

(a )

2  _  1  q (uud )  = _  +  2 + (− _  ) = +1.  3  3  3 

The neutron has a quark  composition of udd, and its charge quantum number is  therefore  2  1  _ ) + (− _  q(uud )  = _  + (− 1  ) = 0.  3  3  3 

ds

us

dd

du

S

uu

ud

S

= +1

The  Σ− (sigma-minus) particle has  a quark  composition  of  dds,  and  its  charge  quantum number is therefore  1  1  1  q (dds )  = − _  + (− _  ) + (− _  ) = −1.  3  3  3 

=0

ss

_  (a) The quark compositions of the eight spin- 1  2 baryons plotted in Fig. 44.2.1a.  (Although the two central baryons share the same quark structure, they are different  particles. The sigma is an excited state of the lambda, decaying into the lambda by emission  of a gamma-ray photon.) (b) The quark compositions of the nine spin-zero mesons plotted  in Fig. 44.2.1b.  Figure  44.3.2 

su q

sd

= –1

q

(b )

S

=0

q

= –1

= +1

/

44.3  QU ARKS  AND  MESSENGER  P ART IC L ES 

1427

The  strangeness quantum  numbers  work  out  as  well.  You  can  check  this  by  using  Table  44.2.2 for  the  Σ − strangeness number  and  Table  44.3.1 for  the  strangeness numbers of the dds quarks.  Note, however, that the mass of a proton,  neutron, Σ−, or  any other baryon is  not  the sum of the masses of the constituent quarks. For example, the total mass of  the three quarks in a proton  is only 20 MeV/c 2 , woefully less than the proton’s mass  of  938.3 MeV/c 2 . Nearly all of  the proton’s  mass is  due  to the  internal energies of  (1) the quark  motion and  (2) the fields that bind  the quarks together. (Recall that  mass is related to  energy via Einstein’s equation, which we can write as m = E/c 2 .)  Thus, because most of  your mass is due to  the protons and neutrons in  your body,  your mass (and therefore your weight on a bathroom scale) is primarily a measure of  the energies of the quark motion and the quark-binding  fields within you.  Quarks  and Mesons 

Mesons  are  quark–antiquark  pairs;  some  of  their  compositions  are  given  in  Fig. 44.3.2b. The quark–antiquark  model is consistent with the fact that mesons  are not baryons; that is, mesons have a baryon number B = 0. The baryon num-  1  _  _  ber for a quark is + 1  3  and for an antiquark is − 3 ; thus, the combination  of baryon  numbers in a meson is zero.  Consider  the  meson  π+ , which  consists of  an up  quark  u  and  an  antidown  _  quark  d. We see from  Table 44.3.1 that the  charge quantum  number of the  up  2 and that of the antidown quark is + _  1 (the sign is opposite that of the down  quark is + _  3  3  quark). This adds nicely to a charge quantum number of +1 for the  π+ meson; that is,  _  2  _  q(u d) =  _  +  1  = +1.  3  3  All the charge and strangeness quantum numbers of Fig. 44.3.2b agree with  those  of  Table  44.2.3 and  Fig.  44.2.1b.  Convince yourself  that  all  possible  up,  down, and strange quark–antiquark combinations are used. Everything fits.  Checkpoint 44.3.1 

_  Is a combination of a down quark (d) and an antiup quark ( u) called (a) a  π0  meson,  (b) a proton, (c) a π–  meson, (d) a  π+ meson, or (e) a neutron?  A New  Look at Beta  Decay 

Let us see how beta decay appears from the quark point of view. In Eq. 42.5.1, we  presented a typical example of this process:  32 

P → 32 S + e –  + ν . 

After the neutron  was discovered and Fermi had  worked out  his theory of beta  decay, physicists came to view the fundamental beta-decay process as the chang-  ing of a neutron into a proton  inside the nucleus, according to the scheme  n → p + e − + ¯  ν e  ,  in  which the neutrino  is identified  more completely. Today we look  deeper and  see that  a  neutron  (udd)  can  change  into  a proton  (uud)  by  changing a  down  quark into an up quark. We now view the fundamental beta-decay process as  d → u + e − + ¯  ν e  .  Thus, as we come to know more and more about the fundamental nature of mat-  ter, we can examine familiar processes at deeper and deeper levels. We see too  that  the quark  model not  only helps  us  to understand  the structure of  particles  but also clarifies their interactions.  Still  More  Quarks 

There  are  other  particles  and  other  eightfold  way  patterns  that  we  have  not  discussed. To account for them, it turns out that we need to postulate three more  quarks, the charm quark c, the top quark t, and the bottom quark b. Thus, a total  of six quarks exist, as listed in Table 44.3.1.  /

1428

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

Note that three quarks are exceptionally massive, the most massive of them  (top)  being almost 190 times more massive than  a proton.  To generate particles  that contain such quarks, with such large mass energies, we must go to higher and  higher energies, which is the reason that these three quarks were not  discovered  earlier.  The  first  particle  containing  a  charm  quark  to  be  observed  was  the  J/ψ ¯  meson, whose quark structure is c c. It was discovered simultaneously and  inde-  pendently in 1974 by groups headed by Samuel Ting at the Brookhaven National  Laboratory and Burton Richter at Stanford University.  The top quark defied all efforts to generate it in the laboratory until 1995, when  its existence was finally demonstrated in the Tevatron, a large particle accelerator  at Fermilab. In this  accelerator, protons  and antiprotons,  each with an energy of  0.9 TeV (= 9 × 10 11  eV), were made to collide at the centers of two large particle  _  detectors. In a very few cases, the colliding  particles generated a top–antitop  (t t)  quark pair, which very quickly decays into particles that can be detected and thus  can be used to infer the existence of the top–antitop pair.  Look back for a moment at Table 44.3.1 (the quark family) and Table 44.2.1  (the  lepton  family) and  notice  the  neat symmetry of  these  two  “six-packs” of  particles, each dividing naturally into  three corresponding  two-particle families.  In  terms of  what  we know  today, the  quarks  and  the leptons  seem to  be truly  fundamental particles having no internal structure. 

Sample Problem 44.3.1

Quark composition of  a xi-minus particle 

The Ξ –  (xi-minus) particle is a baryon  with  a spin  quan-  _  tum  number  s  of  1  2 ,  a  charge quantum  number  q  of  –1,  and a strangeness quantum number S of –2. Also, it does  not contain a bottom quark. What combination of quarks  makes up Ξ – ?  Because the Ξ – is a baryon, it must consist of  three quarks (not two as for a meson).  Let  us  next consider  the  strangeness S = –2 of  the Ξ – .  Only the strange quark  s and  the antistrange quark s  ¯ have  nonzero  values of  strangeness (see Table 44.3.1). Further,  because  only  the  strange  quark  s  has  a  negative value  of  strangeness, Ξ –  must  contain  that  quark.  In  fact, for  Ξ –  to  have a strangeness of –2, it must contain two strange quarks.  To determine the third quark, call it x, we can consider  the  other  known  properties  of  Ξ – .  Its  charge  quantum  Reasoning:

number q is –1, and the charge quantum number q of each  1 . Thus,  the third  quark x must have a  strange quark  is − _  3  1 , so that we can have  charge quantum number of − _  3  q ( Ξ − ) = q(ssx ) 

1  1  1  = − _  + (− _  ) + (− _  ) = −1.  3  3  3 

1 are  Besides the strange quark, the only quarks with q = − _  3  the down quark d and bottom quark b. Because the prob-  lem statement ruled out  a bottom quark, the third quark  must be a down  quark. This  conclusion  is also consistent  with the baryon quantum numbers: 

B(Ξ − ) = B(ssd )  1  _  1  = _  +  1 +  _  = +1.  3  3  3 

Thus, the quark composition of the Ξ – particle is ssd. 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

The Basic Forces and Messenger Particles 

We turn now from cataloging the particles to considering the forces between them.  The Electromagnetic  Force 

At the  atomic level, we say that  two  electrons exert electromagnetic forces on  each  other  according  to  Coulomb’s  law.  At  a  deeper  level, this  interaction  is  described by a highly successful theory called quantum electrodynamics (QED).  From this point of view, we say that each electron senses the presence of the other  by exchanging photons  with it. 

/

44.3  QU ARKS  AND  MESSENGER  P ART IC L ES 

1429

We cannot detect these photons because they are emitted by one electron and  absorbed by the other a very short time later. Because of their undetectable exis-  tence, we call them virtual photons.  Because they communicate between the two  interacting charged particles, we sometimes call these photons messenger particles.  If a stationary electron emits a photon  and remains itself unchanged, energy  is not conserved. The principle of conservation of energy is saved, however, by an  uncertainty principle written in the form  ΔE · Δt ≈ ℏ. 

(44.3.1) 

Here we interpret this relation to mean that you can “overdraw” an amount of  energy ΔE, violating conservation of energy, provided you “return” it within  an  interval Δt  given by  ℏ/ΔE so  that the violation  cannot  be detected. The  virtual  photons  do just that. When, say, electron A emits a virtual photon, the overdraw  in  energy is quickly set right  when that electron receives a virtual photon  from  electron B, and the violation is hidden  by the inherent uncertainty.  The  Weak Force 

A theory of the weak force, which acts on all particles, was developed by analogy  with the theory of the electromagnetic force. The messenger particles that trans-  mit the  weak force between particles, however, are not  (massless) photons  but  massive particles, identified by the symbols W and Z. The theory was so successful  that it revealed the electromagnetic force and the weak force as being different  aspects of a single electroweak force. This accomplishment is a logical extension  of the work  of Maxwell, who  revealed the electric and magnetic forces as being  different aspects of a single electromagnetic force.  The electroweak theory was specific in predicting the properties of the messen-  ger particles. In addition to  the massless photon,  the messenger of  the electromag-  netic interactions, the theory gives us three messengers for the weak interactions:  Particle 

Charge 

Mass 

W  Z 

±e  0 

80.4 GeV/c 2  91.2 GeV/c 2 

Recall that the proton mass is only 0.938 G eV/c 2 ; these are massive particles! The  1979 Nobel Prize in physics was awarded to Sheldon Glashow, Steven Weinberg,  and Abdus Salam for their electroweak theory. The theory was confirmed in 1983  by  Carlo Rubbia  and his  group  at CERN, and  the  1984 Nobel  Prize in  physics  went to Rubbia and Simon  van der Meer for this brilliant experimental work.  Some notion  of  the complexity of  particle physics in  this day and age can  be  found  by  looking  at an  earlier particle physics  experiment that led  to  the  Nobel  Prize in  physics—the  discovery of the  neutron.  This  vitally important  dis-  covery  was  a  “tabletop”  experiment,  employing  particles  emitted  by  naturally  occurring radioactive m aterials as projectiles; it was reported in 1932 under the title  “Possible Existence of a Neutron,” the single author being James Chadwick.  The discovery of the W and Z messenger particles in 1983, by contrast, was car-  ried out  at a large particle accelerator, about 7 km in circumference and operating  in the range of several hundred billion electron-volts. The principal particle detector  alone  weighed 20 MN.  The  experiment employed more than  130 physicists  from  12 institutions in 8 countries, along with a large support staff.  The  Strong  Force 

A theory of the strong force—that is, the force that acts between quarks to bind  hadrons together—has also been developed. The messenger particles in this case 

/

1430

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

are called gluons and, like the photon, they are predicted to be massless. The the-  ory assumes that each “flavor” of quark comes in three varieties that, for conve-  nience, have been labeled red, yellow, and blue. Thus, there are three up quarks,  one of each color, and so on. The antiquarks also come in three colors, which we  call antired, antiyellow, and antiblue. You must not think  that quarks are actually  colored, like tiny jelly beans. The names are labels of convenience, but (for once)  they do have a certain formal justification, as you will see.  The force acting between quarks  is called a color  force and the  underlying  theory,  by  analogy with  quantum  electrodynamics (QED), is  called  quantum  chromodynamics (QCD). A pparently, quarks can be assembled only in combina-  tions  that are color-neutral.  There are two  ways to  bring  about  color  neutrality.  In the  theory of  actual  colors,  red +  yellow +  blue yields  white,  which  is color-neutral,  and  we use the  same scheme in dealing with quarks. Thus we can assemble three quarks to form  a baryon,  provided  one is  a yellow quark,  one is a red quark,  and one  is a blue  quark. Antired + antiyellow + antiblue is also white, so that we can assemble three  antiquarks (of the proper anticolors) to form an antibaryon. Finally, red + antired,  or yellow + antiyellow, or blue + antiblue also yields white. Thus, we can assemble  a quark–antiquark combination  to form a meson. The color-neutral rule does not  permit any other combination of quarks, and none are observed.  The color force not only acts to bind together quarks as baryons and mesons,  but it also acts between such particles, in which case it has traditionally been called  the strong force. Hence, not only does the color force bind together quarks to form  protons  and neutrons, but it also binds together the protons  and neutrons  to form  nuclei.  The  Higgs  Field  and Particle 

The  Standard Model  of the fundamental particles consists of  the theory for the  electroweak interactions and  the  theory for  the strong  interactions. A key suc-  cess in the model  has been to  demonstrate the existence of the  four  messenger  particles in the electroweak interactions: the photon,  and the Z and W particles.  However, a  key puzzle  has  involved  the  masses of  those  particles. Why  is  the  photon  massless while the Z and W particles are extremely m assive?  In  the  1960s,  Peter Higgs  and,  independently,  Robert  Brout  and  François  Englert suggested that the mass discrepancy is due to a field (now called the Higgs  field) that permeates all of space and thus is a property of the vacuum. Without this  field,  the four  messenger particles would  be massless and indistinguishable—they  would be symmetric. The Brout–Englert–Higgs theory demonstrates how the field  breaks that symmetry, producing the electroweak m essengers with one being mass-  less. It also explains why all other particles, except for the gluon,  have mass. The  quantum of that field is the Higgs boson. Because of its pivotal role for all particles  and because the theory behind its existence is compelling (even beautiful), intense  searches  for  the  Higgs boson  were conducted  on  the  Tevatron at  Brookhaven  and the Large H adron Collider at CERN. In 2012, experimental e vidence was  announced for the Higgs boson, at a mass of 125 GeV/c 2 .  Einstein’s  Dream 

The unification of the fundamental forces of nature into a single force—which occu-  pied Einstein’s attention for much of his later life—is very much a current focus of  research. We have seen that the weak force has been successfully combined with  electromagnetism so that they may be jointly viewed as aspects of a single electro-  weak force. Theories that attempt to add the strong force to this combination—  called  grand  unification  theories  (GUTs)—are being pursued  actively. Theories  that  seek to  complete the  job  by  adding  gravity—sometimes called  theories  of  everything (TOE)—are at a speculative stage at this time. String theory (in which  particles are tiny oscillating loops) is one approach. 

/

44.4  C OSMOL OGY  

1431

44.4  COSMOLOGY  Learning  Objectives  After reading this module, you should be able to . . .

44.4.1  Identify that the universe (all of spacetime) 

44.4.6  Identify the cosmic background radiation  and 

began with the big bang and has been expanding  ever since. 

explain  the importance of its detection.  44.4.7  Explain  the evidence  for the dark matter that 

44.4.2  Identify that all distant galaxies (and thus their  stars, black holes, etc.), in  all directions, are reced- 

surrounds every galaxy.  44.4.8  Discuss the various stages of the universe from 

ing from us because of the expansion. 

very soon after the big bang until  atoms began to 

44.4.3  Apply Hubble’s law  to relate the recession 

v of a distant galaxy, its distance r from us,  and the Hubble constant H .  speed 

form.  44.4.9  Identify  that the  expans ion of the  univ ers e  is being  accelerated by s ome unknown  property  

44.4.4  Apply the Doppler equation for the  red shift of  light to relate  the wavelength shift 

v

Δλ, the reces- 

sion speed  , and  the proper wavelength 

λ0 of  the 

dubbed dark energy .  44.4.10  Identify that the total energy of baryonic mat-  ter (protons and neutrons) is only a small part of the 

emission. 

total energy of the universe. 

44.4.5  Approximate the age of the universe  using the  Hubble constant. 

Key  Ideas  ●

distant galaxy.  ●

where 

v at which  a distance  to a distant galaxy 

The rate 

is increasing (the galaxy appears to be moving at 

v

speed  ) is given by the Hubble  law: 

where 

v = Hr, 

r is the current  distance to the galaxy and  H is 

the Hubble constant, which  we take to be 

H = 71.0 km / s ⋅ Mpc = 21.8 mm / s ⋅ ly.  The expansion causes a red shift in  the light we  receive 

from distant galaxies. We can assume that the wave- 

Δλ is given (approximately) by the Doppler 

λ

0 

0  is the proper wavelength as measured in the 

frame of the light  source (the galaxy).  ●

The expansion described by Hubble’s law  and the 

presence of ubiquitous background microwave radia-  tion reveal that the universe began in a “big bang”  13.7  billion  years ago.  ●

The rate of expansion is increasing due to a mysteri- 

ous property of the vacuum  called dark energy.  ●

●

|Δλ|  v = ____  λ c, 

The universe is expanding, which  means that empty 

space is continuously appearing between us and any 

Much  of the energy of the universe is hidden  in  dark 

matter that apparently interacts with  normal (baryonic)  matter through the gravitational force. 

length  shift 

shift  equation for light discussed in Module 37.5: 

A  Pause  for Reflection 

Let us put what you have just learned in perspective. If all we are interested in is  the structure of  the world  around  us, we can get along  nicely with  the electron,  the neutrino, the neutron, and the proton. As someone has said, we can operate  “Spaceship Earth” quite  well with  just  these particles. We can see a few of  the  more exotic particles by looking for them in the cosmic rays; however, to see most  of them, we must build  massive a ccelerators a nd look for them at great effort and  expense.  The reason we must go to such effort is that—measured in energy terms—we  live in a world of very low temperatures. Even at the center of the Sun, the value  of  kT  is only  about  1 keV. To produce  the exotic particles, we must be able to  accelerate protons or electrons to energies in the GeV and TeV range and higher.  Once upon  a time the temperature everywhere was high enough to provide  such energies. That time of extremely high temperatures occurred in the big bang  beginning  of  the  universe, when  the universe (and  both  space and  time) came 

/

1432

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

into  existence. Thus,  one  reason scientists study  particles at high  energies is to  understand what the universe was like just after it began.  As we shall discuss  shortly, all of space within the universe was initially tiny  in  extent, and  the temperature of  the particles within  that  space was incredibly  high. With  time, however, the universe expanded and cooled  to lower tempera-  tures, eventually to the size and temperature we see today.  Actually, the phrase “we see today” is complicated: When we look  out into  space, we are actually looking  back in time because the light  from the stars and  galaxies has taken a long time to reach us. The most distant  objects that we can  detect  are quasars (quasi stellar objects), which  are the  extremely bright  cores  of  galaxies that are as much  as 13 × 10 9 ly  from us.  Each  such  core  contains a  gigantic black  hole;  as material (gas and even stars) is  pulled  into  one  of those  black  holes,  the  material heats  up  and  radiates a tremendous  amount of  light,  enough for us to detect in spite of the huge distance. We therefore “see” a  quasar  not  as it looks  today but  rather as it once was, when that light began its journey  to us billions of years a go.  The Universe Is Expanding 

As  we  saw  in  Module  37.5,  it  is  possible  to  measure the  relative speeds  at  which galaxies are approaching us or receding from us by measuring the shifts  in  the  wavelength of  the light  they emit. If  we  look  only  at distant  galaxies,  beyond  our  immediate galactic neighbors,  we  find  an  astonishing  fact: They  are all moving away (receding) from us! In  1929 Edwin  P. Hubble connected  the recession speed v of a galaxy and its distance r from us—they  are directly  proportional:  v = Hr 

(Hubble’s law) , 

(44.4.1) 

in which  H is called the Hubble constant. The value of H is usually measured in  the unit  kilometers per second-megaparsec (km/s · Mpc), where the megaparsec  is a length unit commonly used in astrophysics and astronomy:  1 Mpc = 3.084 × 10 19  km = 3.260 × 10 6 ly. 

(44.4.2) 

The  Hubble  constant  H  has  not  had  the  same value since  the  universe  began.  Determining  its  current  value  is  extremely difficult  because  doing  so  involves  measurements of very distant galaxies. H ere we take its value to be  H = 71.0 km/s · Mpc = 21.8 mm/s · ly. 

(44.4.3) 

We interpret the recession of the galaxies to mean that the universe is expanding,  much as the raisins in what is to  be a loaf of raisin  bread grow farther apart as the  dough expands. Observers on all other galaxies would find that distant galaxies were  rushing away from them also, in accordance with Hubble’s law. In keeping with our  analogy, we can say that no raisin (galaxy) has a unique or preferred view.  Hubble’s law is consistent with  the hypothesis that the universe began with  the  big bang  and  has been  expanding ever since. If we assume that the  rate of  expansion has been constant (that is, the value of H has been constant), then we  can estimate the age T of the universe by using Eq. 44.4.1. Let us also assume that  since the big bang, any given part of the universe (say, a galaxy) has been reced-  ing from our location at a speed v given by Eq. 44.4.1. Then the time required for  the given part to recede a distance r is  r  = ___  r  __  1  T = __  v Hr =  H 

(estimated age of universe). 

(44.4.4) 

For  the  value  of  H in  Eq.  44.4.3, T  works  out  to  be  13.8 × 10 9 y.  Much  more  sophisticated studies of the expansion of the universe put T at (13.799 ± 0.021) ×  10 9 y. 

/

1433

44.4  C OSMOL OGY  

Sample Problem 44.4.1

Using Hubble’s  law  to relate  distance  and  recessional  speed 

The wavelength shift in  the  light from  a particular quasar  indicates  that  the  quasar  has  a recessional speed  of  2.8 ×  10 8 m /s (which is 93% of the speed of light). Approximately  how far from us is the quasar? 

KEY IDEA We  assume  that  the  distance  and  speed  are  related  by  Hubble’s law. 

Sample Problem 44.4.2

From Eqs. 44.4.1 a nd 44.4.3, we find  v = ____________  2.8 × 10 8  m / s  (1000 mm / m  )  r = __  H  21.8 mm / s ⋅ ly  = 12.8 × 10 9  ly.  (Answer) 

Calculation:

This is only an approximation because the quasar has not  always been receding from our location at the same speed  v; that is, H has not had its current value throughout  the  time during which the universe has been expanding. 

Using Hubble’s  law to relate  distance  and Doppler  shift 

A  particular  emission  line  detected in  the  light  from  a  galaxy has a  detected wavelength  λdet = 1.1λ, where  λ is  the  proper  wavelength of  the  line.  What  is  the  galaxy’s  distance from us? 

KEY IDEAS

which leads us to 

c | Δλ|  r =  _____ .  Hλ

(44.4.6) 

In this equation,  Δλ = λdet  – λ = 1.1λ – λ = 0.1λ. 

(1) We  assume that  Hubble’s  law  (v = Hr) applies  to  the  recession of the galaxy. (2) We also assume that the astro-  nomical Doppler shift of Eq. 37.5.6 (v = c |Δλ| / λ, for v ⪡ c)  applies to the shift in wavelength due to the recession.  We can then set the right side of these two  equations equal to each other to write  c | Δλ|  (44.4.5)  Hr = _____ ,  Calculations:

λ

Substituting this into Eq. 44.4.6 then gives us  c(0.1λ)  0.1c  r = _______ = ____  Hλ H  (0.1 )( 3.0 × 10 8  m / s)  =  __________________  (1000 mm / m)    21.8 mm / s ⋅ ly 

= 1.4 × 10 9  ly. 

(Answer) 

Additional examples,  video, and practice available  at  WileyPLUS

The Cosmic Background Radiation 

In 1965 Arno Penzias and Robert Wilson, of what was then the Bell Telephone  Laboratories,  were  testing  a  sensitive  microwave  receiver  used  for  commu-  nications  research. They  discovered  a  faint  background  “hiss”  that  remained  unchanged in intensity no matter where their antenna was pointed. It soon became  clear that  Penzias and  Wilson  were observing a  cosmic background  radiation,  generated in the early universe and filling  all space almost uniformly. Currently  this  radiation  has  a  maximum intensity  at  a wavelength of  1.1 mm, which  lies  in  the  microwave region of  electromagnetic radiation  (or  light,  for short).  The  wavelength distribution  of this radiation matches the wavelength distribution  of  light that would  be emitted by a laboratory enclosure with walls at a temperature  of 2.7 K. Thus, for the cosmic background radiation, we say that the enclosure is  the entire universe and that the universe is at an (average) temperature of 2.7 K.  For their discovery of the cosmic background radiation, Penzias and Wilson were  awarded the 1978 Nobel Prize in physics.  The cosmic background radiation is now known  to be light that has been in  flight  across the universe since shortly after the universe began billions  of years  ago. When the universe was even younger, light could scarcely g o any significant  distance without being scattered by all the individual, high-speed particles along  its path. If a light ray started from, say, point  A, it would be scattered in so many  directions that if you could  have intercepted part of it, you would  have not  been 

/

1434

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

200

)s/mk( deeps lanoitatoR

150

100

able to  tell  that  it originated  at point  A. However, after the  particles began to  form  atoms, the scattering of  light  greatly decreased. A light  ray from  point  A  might  then  be  able to  travel for  billions  of  years without  being  scattered. This  light is the cosmic background radiation.  As soon as the nature of the radiation was recognized, researchers wondered,  “Can we use this  incoming radiation  to  distinguish  the  points  at which  it origi-  nated, so  that  we then  can produce an  image of  the early universe, back  when  atoms first formed and  light scattering largely ceased?” The answer is yes, and  that image is coming up in a moment. 

50 Dark Matter 

0 30 60 90 Distance from galactic center (10 3 ly)

The rotational speed of  stars in a typical galaxy as a function  of their distance from the galactic  center. The theoretical solid curve  shows that if a galaxy contained only  the mass that is visible, the observed  rotational speed would drop off with  distance at large distances. The dots  are the experimental data, which  show that the rotational speed is  approximately constant at large  distances.  Figure  44.4.1 

At the Kitt Peak National Observatory in Arizona, Vera Rubin and her co-worker  Kent Ford  measured the rotational  rates of  a number of  distant  galaxies. They  did  so by measuring the Doppler shifts  of bright  clusters of  stars located within  each galaxy at various distances from the  galactic center. As Fig.  44.4.1 shows,  their results were surprising: The orbital speed of stars at the outer visible edge of  the galaxy is about the same as that of stars close to the galactic center.  As the solid  curve in  Fig. 44.4.1 attests, that is not what we would  expect to  find if all the mass of the galaxy were represented by visible light. Nor is the pat-  tern found  by Rubin  and  Ford  what we find  in  the Solar  System. For  example,  the orbital speed of Pluto  (the “planet” most distant from the Sun)  is only about  one-tenth that of Mercury (the planet closest to the Sun).  The only  explanation  for  the  findings  of  Rubin  and  Ford  that  is consistent  with  Newtonian  mechanics is  that a  typical galaxy contains  much  more matter  than what we can actually see. In fact, the visible portion  of a galaxy represents  only about 5 to 10% of the total mass of the galaxy. In addition to these studies of  galactic rotation, many other observations lead to the conclusion that the universe  abounds  in matter that we cannot  see. This unseen matter is called dark matter  because either it does not emit light or its light emission is too dim for us to detect.  Normal matter (such  as stars, planets, dust,  and  molecules) is often  called  baryonic  matter  because its  mass  is  primarily  due  to  the  combined  mass  of  the protons  and  neutrons (baryons) it contains. (The much  smaller mass of  the  electrons is neglected.) Some of the normal matter, such as burned-out  stars and  dim interstellar gas, is part of the dark matter in a galaxy.  However, according to various calculations, this dark normal matter is only  a small part of the total dark matter. The rest is called nonbaryonic  dark matter  because it does not contain protons and neutrons. We know of only one member  of  this  type of  dark  matter—the neutrinos.  Although  the  mass of  a neutrino  is  very small relative to the mass of  a proton  or  neutron, the number of neutrinos  in a galaxy is huge and thus the total mass of the neutrinos is large. Nevertheless,  calculations indicate that not  even the  total mass of the  neutrinos  is enough to  account  for  the  total  mass of  the  nonbaryonic  dark  matter. In  spite  of  over  a  hundred  years in  which  elementary particles have  been  detected and  studied,  the particles that make up the rest of this type of dark matter are undetected and  their nature  is unknown.  Because we have no  experience with  them, they must  interact only gravitationally with the common particles.  The Big Bang 

In 1985, a physicist remarked at a scientific meeting:  It is as certain that the universe started with a big bang about 15 billion years  ago as  it is that the Earth goes around the Sun. 

This  strong  statement suggests the  level  of  confidence  in  which  the  big  bang  theory, first advanced by Belgian physicist Georges Lemaître, is held  by those 

/

44.4  C OSMOL OGY  

1435

who  study these matters. However, you must not imagine that the big bang was  like the explosion of some gigantic firecracker and that, in principle at least, you  could  have stood  to one side and watched. There was no  “one side” because the  big bang represents the beginning of spacetime itself. From the point  of view of  our present universe, there is no position in space to which you can point and say,  “The big bang happened there.” It happened everywhere.  Moreover, there was no “before the big bang,” because time began with that  event. In  this  context, the  word  “before” loses  its  meaning. We  can, however,  conjecture about  what went on  during  succeeding intervals of time after the big  bang (Fig. 44.4.2). 

t ≈ 10 –43  s.  This  is  the  earliest time  at  which  we  can  say anything  meaningful 

about the development of the universe. It is at this moment that the concepts  of space and time come to have their present meanings and the laws of phys-  ics as we know  them become applicable. At this instant, the entire universe  (that is, the entire spatial extent of the universe) is much smaller than a pro-  ton and its temperature is about 10 32 K. Quantum fluctuations in the fabric of  spacetime a re the seeds that will eventually lead to the formation of galaxies,  clusters of galaxies, a nd superclusters of galaxies. 

t ≈ 10 –34  s. By  this  moment the  universe has  undergone  a tremendously  rapid 

inflation, increasing in size by a factor of about 10 30 , causing the formation of  matter in a distribution  set by the initial quantum fluctuations. The universe  has become a hot  soup  of photons,  quarks, and leptons at a temperature of  about 10 27  K, which is too hot for protons and neutrons to form. 

t ≈ 10 –4  s.  Quarks can now  combine  to  form  protons  and  neutrons  and  their  antiparticles. The universe has now  cooled  to  such  an extent by  continued  (but much slower) expansion that photons  lack the energy needed to break  up these new particles. Particles of matter and antimatter collide and annihi-  late each other. There is a slight excess of matter, which, failing to find anni-  hilation partners, survives to form the world of matter that we know today. 

t ≈ 1 min. The universe has now cooled enough so that protons and neutrons, in 

colliding, can stick  together to  form the low-mass nuclei  2 H, 3 He, 4 He, and  7  Li.  The  predicted  relative abundances  of  these  nuclides  are just  what  we 

An illustration of the  universe from the initial quantum  fluctuations just after t = 0 (at the  left) to the current accelerated  expansion, 13.7 × 10 9  y later (at the  right). Don’t take the illustration  literally—there is no such “external  view” of the universe because there  is no exterior to the universe.  Figure  44.4.2 

 ASAN fo ysetruoC

/

1436

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

observe in  the  universe today.  Also, there is  plenty  of radiation  present at  t ≈ 1 min,  but  this  light  cannot  travel far before  it interacts with  a nucleus.  Thus the universe is opaque. 

t ≈ 379 000 y. The temperature has now fallen to 2970 K, and electrons can stick to 

bare nuclei when the two collide, forming atoms. Because light does not interact  appreciably with (uncharged) particles, such as neutral  atoms, the light is  now  free to travel great distances. This radiation forms the cosmic background radia-  tion  that we discussed earlier. Atoms of hydrogen and helium, under the influ-  ence of  gravity, begin to  clump  together, eventually starting the  formation  of  galaxies and stars, but until then, the universe is relatively dark (Fig. 44.4.2). 

Early measurements suggested that the cosmic background radiation is uniform in  all directions, implying that 379 000 y after the big bang all matter in the universe  was uniformly  distributed.  This finding  was most puzzling  because matter in  the  present universe is not uniformly  distributed,  but  instead  is collected in galaxies,  clusters of galaxies, a nd superclusters of galactic clusters. There are also vast voids  in which there is relatively little matter, a nd there are regions so crowded with mat-  ter that they are called walls. If the big bang theory of the beginning of the universe  is even approximately correct, the seeds for this nonuniform distribution  of matter  must have been in  place before the universe was 379 000 y old  and  now  should  show up as a nonuniform distribution  of the microwave background radiation.  In  1992, measurements made by  NASA’s Cosmic  Background  Explorer  (COBE) satellite revealed that the background radiation is, in fact, not perfectly  uniform. In 2003, measurements by NASA’s Wilkinson  Microwave Anisotropy  Probe  (WMAP)  greatly  increased  our  resolution  of  this  nonuniformity.  The  resulting image (Fig. 44.4.3) is  effectively a color-coded  photograph  of  the uni-  verse when  it was only  379 000 y  old.  As you can see from the variations in the  colors,  large-scale collecting  of  matter  had  already begun.  Thus,  the  big  bang  theory and the theory of inflation at t ≈ 10 –34 s are on the right track.  The Accelerated  Expansion of the  Universe 

Recall  from  Module  13.8  the  statement  that  mass  causes  curvature  of  space.  Now  that  we  have seen  that  mass is  a form  of  energy, as given  by  Einstein’s  This  color-coded image is  effectively a photograph  of the universe when  it was only 379 000 y  old, which was about  13.7 × 10 9  y ago. This  is what you would  have seen then as you  looked away in all  directions (the view  has been condensed to  this oval). Patches of  light from collections  of atoms stretch across  the “sky,” but galaxies,  stars, and planets have  not yet formed.  Figure  44.4.3 

 ASAN/maeT ecneicS PAMW fo ysetruoC

Courtesy WMAP Science Team/NASA 

/

44.4  C OSMOL OGY  

equation E = mc 2 , we can generalize the statement: Energy can cause curvature of  space. This certainly happens to the space around the energy packed into a black  hole and, more weakly, to the space around any other astronomical body, but  is  the space of the universe as a whole curved by the energy the universe contains?  The  question  was  answered first  by  the  1992 COBE  measurements of  the  cosmic background radiation. It was then answered more definitively by the 2003  WMAP  measurements that produced  the image in  Fig. 44.4.3. The spots we see  in  that image are the  original  sources  of  the cosmic  background  radiation,  and  the angular distribution  of the spots reveals the curvature of the universe through  which the light has to travel to reach us. If adjacent spots subtend either more than  1° (Fig. 44.4.4a) or less than 1° (Fig. 44.4.4b) in  the detector’s view (or our view)  into the universe, then the universe is curved. Analysis of the spot  distribution  in  the  WMAP  image shows  that  the  spots  subtend  about  1°  (Fig.  44.4.4c),  which  means that the universe is flat (having no  curvature). Thus,  the initial curvature  the universe presumably had when it began must have been flattened out by the  rapid inflation the universe underwent at t ≈ 10 –34 s.  This flatness poses a very difficult problem for physicists because it requires  that the universe contain a certain amount of energy (as mass or otherwise). The  trouble  is that all  estimations of  the amount of  energy in  the universe (both  in  known  forms and in the form of the unknown  type of dark matter) fall dramati-  cally short of the required amount.  One theory proposed  about  this  missing energy gave it the  gothic  name of  dark energy and predicted that it has the strange property of causing the expan-  sion of the universe to accelerate. U ntil 1998, determining whether the expansion  is, in fact, accelerating was very difficult because it requires measuring distances  to very distant astronomical bodies where the acceleration might show up.  In 1998, however, advances in  astronomical technology  allowed astronomers  to detect a certain type of supernovae at very great distances. More important, the  astronomers could measure the duration of the burst of light from such a supernova.  The  duration  reveals  the  brightness  of  the  supernova  that  would  be  seen  by  an observer near the supernova. By measuring the brightness of the supernova as  seen from Earth, astronomers could then determine the distance to the supernova.  From the red shift of the light from the galaxy containing  the supernova, astrono-  mers could also determine how fast the galaxy is receding from us. Combining all  this information, they could then calculate the expansion rate of the universe. The  conclusion is that the expansion is indeed accelerating as predicted by the theory of  dark energy (Fig. 44.4.2). H owever, we have no clue as to what this dark energy is.  Figure 44.4.5 gives our  current state of  knowledge  about  the energy in  the  universe. About  5%  is  associated with  baryonic matter, which  we understand  fairly well. About  27% is associated with nonbaryonic  dark matter, about which  we have a few clues that might be fruitful. The rest, a whopping  68%, is associ-  ated with dark energy, a bout which we are clueless. There have been times in the  history  of physics, even in the 1990s, when pontiffs  proclaimed that physics was  nearly complete, that only details were left. In fact, we are nowhere near the end. 

Spot Spot

Us (a )

(b )

(c )

Light rays from two  adjacent spots in our view of the  cosmic background radiation would  reach us at an angle (a) greater than  1° or (b) less than 1° if the space  along the light-ray paths through the  universe were curved. (c) An angle  of 1° means that the space is not  curved.  Figure  44.4.4 

Nonbaryonic dark matter (a few clues)

27% A  Summing  Up 

In  this  closing  paragraph, let’s  consider  where we are headed as we accumulate  knowledge about the universe more and more rapidly. What we have found is mar-  velous and profound,  but it is also humbling in that each new step seems to reveal  more clearly our own relative insignificance in the grand scheme of things. Thus, in  roughly chronological order, we humans have come to realize that  Our Earth is not the center of the Solar System.  Our Sun  is but one star among many in our Galaxy.  Our Galaxy is but one of many, and our Sun is an insignificant star in it. 

1437

68%

5%

Baryonic matter

Dark energy (no clues)

The distribution of  energy (including mass) in the  universe.  Figure  44.4.5 

/

1438

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

Our Earth has existed for perhaps only a third of the age of the universe and will  surely disappear when our Sun burns  up its fuel and becomes a red giant.  Our species has inhabited Earth for less than  a million years—a blink  in cosmo-  logical time.  Although our position  in the universe may be insignificant, the laws of physics that  we have discovered (uncovered?) seem to hold throughout the universe and—as far  as we know—have held since the universe began and will  continue  to hold  for all  future time. At least, there is no evidence that other laws hold in other parts of the  universe. Thus, until someone complains, we are entitled to stamp the laws of phys-  ics “Discovered on Earth.” Much remains to be discovered. In the words of writer  Eden Phillpotts, “The universe is full of magical things, patiently waiting for our wits  to grow sharper.” That declaration allows us to answer one last time the question  “What is physics?” that we have explored repeatedly in  this  book.  Physics is the  gateway to those magical things. 

Review & Summary Current research  supports the view  that all  matter is  made of six  kinds of  leptons (Table  44.2.1),  six kinds of quarks (Table 44.3.1), and 12 antiparticles, one cor-  responding to  each lepton and each  quark. All these  particles  1  and are  thus fermions  have spin  quantum numbers  equal to  _  2  (particles with half-integer spin quantum numbers).  Leptons  and Quarks 

Interactions  Particles  with  electric  charge  interact  through the electromagnetic force  by exchanging virtual photons.  Leptons can also interact with each other and with quarks through  the weak force, via massive W and Z  particles as  messengers. In  addition, quarks interact with each other through the color  force.  The electromagnetic and weak forces are  different manifestations  of the same force, called the electroweak force.  The 

Three of the leptons (the electron, muon, and tau)  have electric charge equal to –1e. There are also three uncharged  neutrinos  (also  leptons),  one  corresponding  to  each  of  the  charged leptons. The antiparticles for the charged  leptons have  positive charge.  Leptons 

The  six  quarks (up, down, strange, charm, bottom,  and top, in order of increasing mass) each have baryon number  1  and charge equal to either + _  2 e or − 1  _  + _  3  3  3 e .  The strange quark has  Quarks 

strangeness –1, whereas the others all have strangeness 0. These  four algebraic signs are reversed for the antiquarks.  Quarks  combine  into  strongly  interacting  particles  called  hadrons.  Baryons  are  had-  1  or  _  3  . Mesons  rons  with  half-integer spin  quantum numbers  ( _  2  2 ) are hadrons with integer spin quantum numbers (0 or 1) and thus  are bosons. Baryons are fermions. Mesons have baryon number  equal  to zero;  baryons have  baryon number equal to +1  or  –1.  Quantum chromodynamics predicts  that the possible  combina-  tions of quarks are either a quark with an antiquark, three quarks,  or three antiquarks (this prediction is consistent with experiment).  Hadrons:  Baryons  and  Mesons 

Astronomical  observations  indicate that the universe is expanding, with the distant galaxies  moving away from us at a rate v given by Hubble’s law:  Expansion  of  the  Universe 

v = Hr  (Hubble’s law). 

(44.4.1) 

Here we take H, the Hubble constant, to have the value  H = 71.0 km/s · Mpc = 21.8 mm/s · ly. 

(44.4.3) 

The  expansion described by  Hubble’s law  and the presence of  ubiquitous background microwave radiation reveal that the uni-  verse began in a “big bang” 13.7 billion years ago. 

Questions An  electron  cannot  decay  into  two  neutrinos.  Which  of  the  following  conservation  laws  would  be  violated  if  it  did:  (a) energy, (b) angular momentum, (c) charge, (d) lepton num-  ber, (e) linear momentum, (f) baryon number? 

A proton has enough mass energy to decay into a shower  made  up  of  electrons,  neutrinos,  and  their  antiparticles.  Which  of  the  following conservation  laws  would  necessar-  ily  be  violated if  it  did:  electron  lepton number  or  baryon  number? 

1 

4 

Which of the eight pions in Fig. 44.1.3b  has the least kinetic energy? 

5 

2 

Figure 44.1 shows the paths of two par-  ticles circling in a uniform magnetic field.  The particles have the same magnitude of  charge but opposite signs. (a) Which path  corresponds to the more massive particle?  (b)  If  the  magnetic field is  directed into  the plane of the page, is the more massive  particle positively or negatively charged? 

A  proton  cannot  decay  into  a  neutron  and  a  neutrino.  Which of the following conservation laws  would be violated if  it did: (a) energy (assume the proton is stationary), (b) angular  momentum, (c)  charge, (d)  lepton number, (e)  linear momen-  tum, (f) baryon number? 

3 

Does the proposed decay Λ 0  → p + K –  conserve (a)  electric  charge, (b) spin angular momentum, and (c)  strangeness? (d) If  the original particle is stationary, is there enough energy to cre-  ate the decay products?  6 

Figure  44.1 

Question 3. 

/

P ROBL EMS 

Not only particles  such as  electrons and  protons but also  entire atoms can be classified as fermions or bosons, depend-  ing  on  whether  their  overall  spin  quantum  numbers  are,  respectively,  half-integral  or  integral.  Consider  the  helium  isotopes  3 He  and  4 He. Which  of the following statements is  correct?  (a)  Both are fermions. (b)  Both are bosons. (c)  4 He  is  a  fermion,  and  3 He  is  a  boson.  (d)  3 He  is  a  fermion,  and  4 He  v is  a  boson.  (The  two  helium  elec-  1 trons form a closed shell and play no  2 role in this determination.)  7 

Three  cosmologists  have  each  plotted  a  line  on  the  Hubble-like  graph of Fig. 44.2. If we calculate the  corresponding  age  of  the  universe 

3

8 

r

Figure  44.2 

Question 8. 

1439

from the three plots, rank the plots according to that age, great-  est first.  A Σ +  particle has these quantum numbers: strangeness  S = –1,  1 . Which of the following quark combi-  charge q = +1, and spin s = _  2  _  _  nations produces it: (a) dds, (b) s s, (c) uus, (d) ssu, or (e) uu s?  9 

As we have seen, the π–  meson has the quark structure du  ˉ.  Which of the following conservation laws would be violated if  a  π–  were  formed, instead, from a  d  quark and a  u  quark: (a)  energy, (b) angular momentum, (c)  charge, (d)  lepton number,  (e) linear momentum, (f) baryon number?  _  11  Consider  the  neutrino  whose  symbol  is  ν τ.  (a)  Is  it  a  quark, a  lepton, a  meson, or a  baryon? (b) Is  it a particle  or  an antiparticle? (c)  Is it a boson or a fermion? (d) Is it stable  against spontaneous decay?  10 

Problems GO  SSM 

Tutoring  problem available (at instructor’s discretion) in WileyPLUS Worked-out  solution  available in Student  Solutions  Manual 

E  Easy 

M  Medium 

FCP  Additional  information  available in  The

Module 44.1 

CALC  Requires calculus 

H  Hard 

BIO  Flying Circus of Physics

General Properties of Elementary Particles 

A positively charged pion decays by Eq. 44.1.7: π → μ + ν.  What must be the decay scheme of the negatively charged pion?  (Hint: The π−  is the antiparticle of the π+ .)  1  E 

+ 

+ 

E  Certain  theories  predict that the  proton is  unstable, with  a  half-life of about 10 32 years. Assuming that this is true, calculate the  number of proton decays you would expect to occur in one year in  the water of an Olympic-sized swimming pool holding 4.32 × 10 5  L  of water. 

2 

E  GO  An electron and a positron undergo pair annihilation  (Eq.  44.1.5).  If  they  had  approximately  zero  kinetic  energy  before the annihilation, what is  the wavelength of each  γ pro-  duced by the annihilation? 

3 

A neutral pion initially at rest decays into two gamma rays:  γ + γ. Calculate the wavelength of the gamma rays. Why  must they have the same wavelength?  4  E 

π0 

→

An electron and a positron are separated by distance r. Find  the ratio of the gravitational force to the electric force between  them. From the result, what can  you conclude concerning the  forces  acting between particles detected in a  bubble chamber?  (Should gravitational interactions be considered?)  5  E 

(a)  A stationary  particle 1  decays  into particles  2  and 3,  which  move off  with equal but  oppositely directed momenta.  Show that the kinetic energy K 2  of particle 2 is given by  1  [( E  − E  ) 2  − E 2 ],  K 2  = ____  2  3  2E 1  1  6 

M 

where E 1 , E 2 , and E 3  are the rest energies of the particles. (b) A  stationary positive pion π+  (rest energy 139.6 MeV) can decay to  an antimuon μ+  (rest energy 105.7 MeV) and a neutrino ν (rest  energy approximately 0). What is the resulting kinetic energy of  the antimuon?  M  The  rest  energy  of  many short-lived  particles  cannot be  measured  directly  but  must  be  inferred  from  the  measured  momenta  and  known  rest  energies  of  the  decay  products. 

7 

Biomedical application 

and at  flyingcircusofphysics.com 

Consider the ρ0 meson, which decays by the reaction ρ0 → π+ + π− .  Calculate the  rest  energy  of the  ρ0  meson  given  that the  oppo-  sitely directed momenta of the created pions each have magnitude  358.3 MeV/c. See Table 44.2.3 for the rest energies of the pions.  +  8  M  GO  A positive tau (τ , rest energy = 1777 MeV) is moving  with 2200 MeV of kinetic energy in a circular path perpendicular  to a uniform 1.20 T magnetic field. (a) Calculate the momentum  of  the  tau  in  kilogram-meters per  second.  Relativistic  effects  must be considered. (b) Find the radius of the circular path.  M  GO  Observations of neutrinos emitted by  the supernova  SN1987a (Fig. 43.5.2b) place an upper limit of 20 eV on the rest  energy of the electron neutrino. If the rest energy of the electron  neutrino were, in fact, 20 eV, what would be the speed differ-  ence between light and a 1.5 MeV electron neutrino?  10  M  GO  A neutral pion has  a rest  energy of 135 MeV and a  mean life of 8.3 × 10 −17  If it is  produced with an initial kinetic  energy of 80 MeV and decays  after one mean lifetime, what is  the longest possible track this particle could leave in a  bubble  chamber? Use relativistic time dilation. 

9 

Module 44.2 

Leptons, Hadrons, and Strangeness 

SSM  Which conservation law is violated in each of these  proposed decays? Assume that the initial particle is  stationary  and the decay products have zero  orbital angular momentum.  (a)  μ–  → e –  + νμ; (b) μ –  → e +  + νe  + ν¯ ;  (c)  μ+  → π+  + νμ.  +  12  E  The  A  particle and  its products  decay  according  to the  2  scheme 

11  E 

0  +  A +  2  → ρ + π , 

ρ0 → π+ + π− ,  π+ → μ+ + ν, 

_ μ+ → e + + ν + ν,  π− → μ− + _ν,  _ μ− → e − + ν + ν. 

(a) What are the final stable decay products? From the evidence,  (b) is the A +  2  particle a fermion or a boson and (c) is it a meson  or a baryon? (d) What is its baryon number? 

/

1440

C HAP T ER 44  QU ARKS, L EP T ONS,  AND  T HE  BIG  BANG 

E  Show  that  if,  instead  of  plotting strangeness  S  versus  1  baryons in Fig. 44.2.1a and for the spin-  charge q for the spin- _  2  zero  mesons in  Fig. 44.2.1b,  we  plot the  quantity Y  =  B  +  S  1  B + S , we get the hexagonal pat-  versus the quantity T z  = q − _  ) 2 ( terns without using sloping axes. (The quantity Y is called hyper-  charge, and T z  is related to a quantity called isospin.)  14  E  Calculate  the  disintegration  energy  of  the  reactions  (a)  π+  + p → Σ +  + K +  and (b) K –  + p → Λ 0  + π0 .  15  E  Which conservation law is violated in each of these proposed  reactions and decays? (Assume that the products have zero orbital  angular momentum.) (a) Λ 0  → p + K – ; (b) Ω –  → Σ –  +  π0  (S = –3,  –  –  0  +  _  q = –1, m = 1672 MeV/c 2 , and m s  = 3  2 for Ω  ); (c) K  + p → Λ  + π . 

13 

16  E 

Does the proposed reaction  _  p + p → Λ 0  + Σ +  + e – 

Does the proposed decay process  Ξ –  → π–  + n + K –  + p  conserve  (a)  charge,  (b)  baryon  number,  (c)  spin  angular  momentum, and (d) strangeness?  17  E 

By examining strangeness,  determine which of the fol-  lowing decays or reactions proceed via the strong interaction:  (a)  K 0  →  π+  +  π– ; (b)  Λ 0  +  p  →  Σ +  +  n;  (c)  Λ 0  →  p  +  π – ;  (d) K –  + p → Λ 0  + π 0 .  +  19  E  The reaction  π + p → p + p + n  ˉ proceeds  via the strong  interaction.  By  applying  the  conservation  laws,  deduce  the  (a) charge quantum number, (b) baryon number, and (c) strange-  ness of the antineutron.  18  E 

3  _  E  There  are  10  baryons  with  spin  .  Their  symbols  and  2  quantum numbers for charge q and strangeness S are as follows:  20 

Δ –  Δ 0  Δ +  Δ ++  Σ* – 

S 

–1  0  +1  +2  –1 

0  0  0  0  –1 

Σ* 0  Σ* +  Ξ* –  Ξ* 0  Ω – 

q 

S 

0  +1  –1  0  –1 

–1  –1  –2  –2  –3 

Make  a  charge–strangeness  plot  for  these  baryons,  using  the  sloping coordinate system of Fig. 44.2.1. Compare your plot with  this figure.  M  Use  the conservation laws  and Tables  44.2.2 and 44.2.3  to identify particle x  in each  of the following reactions,  which  proceed by  means  of the strong  interaction: (a)  p  +  p  →  p  +  Λ 0  + x ;  (b) p + p  ˉ → n + x ;  (c)  π–  + p → Ξ 0  + K 0  + x.  –  –  –  22  M  GO  A 220 MeV Σ  particle decays: Σ  →  π + n. Calculate  the total kinetic energy of the decay products. 

21 

E 

E  From Tables 44.2.2 and 44.3.1, determine the identity of  the baryon  formed from  quarks (a)  ddu, (b)  uus, and  (c)  ssd.  Check  your  answers  against  the  baryon  octet  shown  in  Fig.  44.2.1a.  _  0  27  E  What is the quark makeup of K  ? 

26 

28  E 

What quark combination is needed to form (a) Λ 0 and (b) Ξ 0 ? 

Which hadron in Tables 44.2.2 and 44.2.3 corresponds  to  the quark bundles (a) ssu and (b) dds?  29  E 

E  SSM  Using the up, down, and strange quarks only, con-  struct,  if  possible,  a  baryon  (a)  with  q = +1  and  strangeness  S = –2 and (b) with q = +2 and strangeness  S = 0. 

GO  Consider the decay Λ 0  → p +  π–  with the Λ 0  at rest.  (a)  Calculate  the  disintegration  energy.  What  is  the  kinetic  energy of (b) the proton and (c) the pion? (Hint: See Problem 6.) 

Module 44.4 

M 

3  Σ *0  baryon (see  table  in  Problem 20)  has  a  The  spin- _  2 

rest energy of 1385 MeV (with an intrinsic uncertainty ignored  _  0  here);  the  spin- 1  2   Σ  baryon has  a  rest  energy  of  1192.5 MeV.  If  each  of  these  particles  has  a  kinetic  energy  of  1000 MeV,  (a) which is moving faster and (b) by how much? 

Cosmology 

In the  laboratory,  one of the lines  of sodium is  emit-  ted at a wavelength of 590.0 nm. In the light from a particular  galaxy, however, this line is seen at a wavelength of 602.0 nm.  Calculate the distance to the galaxy, assuming  that Hubble’s  law holds and that the Doppler shift of Eq. 37.5.6 applies.  31 

E 

E  Because  of the cosmological expansion, a particular  emis-  sion from a distant galaxy has a wavelength that is 2.00 times the  wavelength that emission would have in a laboratory. Assuming  that Hubble’s law holds and that we can apply Doppler-shift cal-  culations, what was the distance (ly) to that galaxy when the light  was emitted? 

32 

E  What is the observed wavelength of the 656.3 nm (first  Balmer) line of hydrogen emitted by a galaxy at a distance of  2.40 × 10 8  ly? Assume that the Doppler shift of Eq. 37.5.6 and  Hubble’s law apply. 

33 

An  object is  1.5  ×  10 4  from  us  and  does  not  have  any  motion relative to us except for the motion due to the expansion  of the universe. If the space between us and it expands accord-  ing to Hubble’s law, with H = 21.8 mm/s · ly, (a) how much extra  distance (meters) will be between us and the object by this time  next year and (b) what is the speed of the object away from us?  34 

E 

If Hubble’s law can be extrapolated to very large distances,  at what distance would the apparent recessional  speed become  equal to the speed of light?  35  E 

What would the mass of the Sun have to be if Pluto (the  outermost  “planet” most  of the  time) were  to  have the  same  orbital  speed  that  Mercury  (the  innermost  planet)  has  now?  Use data from Appendix C, express your answer in terms of the  Sun’s current mass M S , and assume circular orbits.  36  E 

E  The wavelength at which a thermal radiator at temperature  T radiates electromagnetic waves most intensely is given by Wien’s  law: λmax  = (2898 μm ·  K)/T. (a) Show that the energy E of a photon  corresponding to that wavelength can be computed from 

37 

E = (4.28 × 10 –10  MeV/K)T. 

23  M 

24 

Quarks  and Messenger Particles 

The quark makeups of the proton and neutron are  uud  and udd, respectively. What are the quark makeups of (a)  the  antiproton and (b) the antineutron?  25 

30 

conserve  (a)  charge,  (b)  baryon  number,  (c)  electron  lepton  number,  (d)  spin  angular  momentum,  (e)  strangeness,  and  (f) muon lepton number? 

q 

Module 44.3 

(b)  At what minimum temperature can  this  photon create  an  electron–positron pair (as discussed in Module 21.3)?  Use Wien’s law (see Problem 37) to answer the following  questions: (a) The cosmic background radiation peaks in inten-  sity  at a  wavelength of 1.1 mm. To what  temperature does  this  correspond? (b) About 379 000 y after the big bang, the universe  38  E 

/

1441

P ROBL EMS 

became transparent to electromagnetic radiation. Its temperature  then was  2970 K. What  was the wavelength at which the back-  ground radiation was then most intense? 

and therefore that the star’s period T of revolution is  _______ 

T = 2π √ R 3 /GM ,  

independent of r. Ignore any resistive forces. (b)  Next suppose  Will the universe continue to expand forever? To attack this  that the galaxy’s mass is  concentrated near the galactic center,  question, assume that the theory of dark energy is in error and that  within a sphere of radius less than r. What expression then gives  the recessional speed v of a galaxy a distance r from us is determined  the star’s orbital period?  only by the gravitational interaction of the matter that lies  inside  a  sphere  of radius  r  centered  on us. If  the total mass  inside  this    Additional Problems  _ sphere is M, the escape speed v e  from the sphere is  ve  = √ 2GM/ r  45  SSM  There is no known meson with charge quantum num-  (Eq.  13.5.8). (a)  Show  that to prevent  unlimited expansion, the  ber  q = +1  and strangeness  S = –1  or  with q = –1  and S = +1.  average density ρ inside the sphere must be at least equal to  Explain why in terms of the quark model.  2  3H  ____  46  Figure 44.3 is  a  hypothetical plot of the recessional  speeds  ρ = 8πG .  v of galaxies against their distance r  from us;  the best-fit straight  line through the data points is  shown. From this  plot determine  (b)  Evaluate this  “critical  density”  numerically;  express  your  the age of the universe, assuming that Hubble’s law holds and that  answer  in  terms  of  hydrogen  atoms  per  cubic  meter.  Mea-  Hubble’s constant has always had the same value.  surements of the actual density are difficult and are complicated  by the presence of dark matter.  39  M 

M  Because the apparent recessional  speeds of galaxies and  quasars  at  great  distances  are  close  to the  speed  of  light, the  relativistic Doppler shift formula (Eq. 37.5.1) must be used. The  shift is reported as  fractional red shift z = Δλ/λ0 . (a) Show that,  in terms of z, the recessional speed parameter β = v/c is given by  z 2  + 2z  β = __________  .  2  z  + 2z + 2  (b)  A quasar detected in 1987 has z = 4.43. Calculate its speed  parameter.  (c)  Find the distance to  the quasar, assuming  that  Hubble’s law is valid to these distances. 

40 

v deepS

M  GO  An electron jumps from n = 3 to n = 2 in a hydrogen  atom in a distant galaxy, emitting light. If we detect that light at  a  wavelength of 3.00 mm, by what multiplication factor has  the  wavelength, and thus the universe, expanded since the light was  emitted? 

0.40 c

Figure  44.3 

Problem 46. 

Distance r (10 9 ly)

5.3

41 

M  Due  to  the  presence  everywhere  of  the  cosmic  back-  ground radiation, the minimum possible temperature of a  gas  in  interstellar  or  intergalactic  space  is  not 0 K  but 2.7 K. This  implies that a significant fraction of the molecules in space that  can be in a low-level excited state may, in fact, be so. Subsequent  de-excitation would lead to the emission of radiation that could  be  detected. Consider a  (hypothetical) molecule with just one  possible  excited  state.  (a)  What  would the  excitation  energy  have to be for 25% of the molecules to be in the excited state?  (Hint: See Eq. 40.7.2.) (b) What would be  the wavelength of  the photon emitted in a transition back to the ground state? 

42 

SSM  Suppose that the radius of the Sun were increased to  5.90 × 10 12  m (the average radius of the orbit of Pluto), that the  density of this expanded Sun were uniform, and that the plan-  ets  revolved within this  tenuous object. (a)  Calculate Earth’s  orbital speed in this new configuration. (b) What is the ratio of  the orbital speed  calculated in (a)  to Earth’s  present orbital  speed  of 29.8 km/s? Assume that the radius  of Earth’s  orbit  remains unchanged. (c) What would be Earth’s new period of  revolution? (The Sun’s mass remains unchanged.) 

SSM  How much energy  would  be  released  if  Earth  were  annihilated by collision with an anti-Earth? 

47 

A particle game. Figure 44.4 is a sketch of the tracks made by  particles in a fictional cloud chamber experiment (with a uniform  magnetic field directed perpendicular to the page), and Table 44.1  gives fictional quantum numbers associated with the particles mak-  ing  the tracks.  Particle A  entered the chamber at the lower  left,  leaving track 1 and decaying into three particles. Then the particle  creating track 6 decayed into three other particles, and the particle  creating  track  4  decayed  into two  other  particles, one  of  which  48 

8

43  M 

Suppose that the matter (stars, gas, dust) of a particular  galaxy, of total mass  M,  is  distributed uniformly throughout a  sphere of radius R. A star of mass m is revolving about the cen-  ter of the galaxy in a circular orbit of radius r