Gesammelte Abhandlungen / Collected Papers: Volume 1+2 [Reprint 2013 ed.] 9783110801026, 9783110127713

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Krull · Gesammelte Abhandlungen/Collected Papers

1749

I

1999

?

© Belling, Bonn

Wolfgang Krull

Gesammelte Abhandlungen Collected Papers Edited by Paulo Ribenboim

Volume 1

W DE Walter de Gruyter · Berlin · New York 1999

Editor Paulo Ribenboim Department of Mathematics and Statistics Queen's University Kingston, Ontario Canada K7L 3 N 6

© Printed on acid-free paper which falls within the guidelines of the ANSI to ensure permanence and durability. Library of Congress — Cataloging-in-Publication

Data

Krull, Wolfgang, 1899 — Wolfgang Krull : gesammelte Abhandlungen = collected papers / edited by Paulo Ribenboim. p. cm. Includes bibliographical references ISBN 3-11-012771-7 (alk. paper) 1. Algebra. I. Ribenboim, Paulo. II. Title. QA3.K916 1999 512-dc21 99-36380 CIP

Die Deutsche Bibliothek — Cataloging-in-Publication

Data

Krull, Wolfgang: Gesammelte Abhandlungen = Collected Papers / Wolfgang Krull. Ed. by Paulo Ribenboim. - Berlin ; New York : de Gruyter ISBN 3-11-012771-7 Vol. 1 (1999)

© Copyright 1999 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, D-10785 Berlin. All rights reserved, including those of translation into foreign languages. No part of this book may be reproduced in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopy, recording, or any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher. Printed in Germany Printing: Ratzlow-Druck, Berlin. Binding: Liidentz & Bauer GmbH, Berlin.

Preface It was a happy day for me when I convinced—without difficulty—Walter de Gruyter Verlag to publish the collected papers of Krull. Of course, I had only an indefinite idea of the work to come, but much optimism. There is absolutely no need to explain why the works of Krull should be in the library shelves, side by side with the Great in Mathematics. But why had P. R. been chosen to be the editor? The throne was vacant and like the first Emperor of Brazil, I put the crown on my head, before anyone else did it. This was a crown I would rather not relinquish. Indeed, I had the privilege of working in Bonn, at Krull's arm length, from 1953 to 1956. This Preface is a good place to record personal contacts with Krull and my own impressions. I heard about valuations for the first time in lectures by Dieudonné in Nancy, 1951, on algebraic number theory. There I have also learned about Dedekind domains and I became deeply interested on ideal theory. After a one year stay in Brazil, I received a fellowship and chose to continue my research work with Krull, with whom I had already been corresponding. Upon my arrival in Bonn, ignorant also of the German language, I was met by Krull, who personally arranged for me a room in the student house called most appropriately Diogenes—the room was like an egg, with stretched arms I could reach opposite walls. But it was not far from Poppelsdorfer Allee where the Institute was located in 1953. The same day, I got my first task, to study the beautiful papers of Jaffard on rings of Dedekind type and to examine the occurrence of interesting examples of such rings. I received from Krull the guidance I was looking for. Despite his great knowledge, he listened to my questions and remarks and advised me in a gentle manner, calling my attention to the important points. My own ideas on the topology of the set of ideals of rings of algebraic integers of a number field of infinite degree or in similar rings without finiteness conditions, became clear reading what Krull had done. A first turning point in my work came as I studied Krull's paper "Allgemeine Bewertungstheorie", where I found the problems which I eventually solved and submitted as my Ph.D. thesis upon my return to Sâo Paulo. Krull's paper is so rich in results and methods that even today I come back to it, and borrow its ideas, to deal with similar questions in other areas. A transfiguration which mathematicians relish. In an earlier paper, Krull had conjectured that every primary completely integrally closed domain might be a valuation domain of height one. A counter-example was written by Nagata, with a proof which Krull could not follow in all the details. To me the task was assigned to ascertain if it was correct. I found—and so did Nagata, with whom I corresponded—that his proof was not quite correct but a counter-example could still be constructed. I even suceeded in getting a sharper example and these investigations definitely interested Krull, to the point of him writing another paper on the subject.

vi

Preface

During my years at the Institute in Bonn, I have participated in several of Krull's seminars, where sometimes he lectured. The Proseminar on the arithmetic of quaternions, based on a booklet by Hurwitz, had the flavour of a light but tasty banquet, easy to digest by the students. In the Oberseminar we heard Hämisch, Endler, Schöneborn, Lorenzen and the occasional visitors, like Krull's friend F. K. Schmidt. When Krull learned that I had secret texts from Bourbaki—to be eventually, but actually never published—about local and global class fields, he invited me to expose this material, written by an anonymous member of the Bourbaki group (Chevalley?). Krull's interventions during these lectures were frequent, illuminating and showed clearly that, even though he was mostly and justly famous for his work in ideal and valuation theory, nevertheless, he was a solid algebraic number theorist. On the other hand, perhaps due to my ignorance of Algebraic Geometry at that time, this subject was not one which came into our conversations. Nor could I hear discussions about Algebraic Geometry with other colleagues, except under the guise of algebraic function theory, and then almost only the arithmetical aspects. I don't know what to conclude on this matter. On my return to Brazil, I maintained mathematical contact with Krull. We met again in 1968 and I am grateful to him that, in answer to my request, he proposed his very gifted and young assistant Jürgen Neukirch to be a visiting professor at Queen's University in Kingston. It is safe to say that the classy approach of Krull to mathematics was inherited by Neukirch and spread subsequently to a cohort of most brilliant mathematicians of a newer generation. I was also present at the meeting on the occasion of Krull's retirement, a gala occasion where his friends and students gathered for a well-deserved hommage. It was shocking news when I learned of his sudden death in 1971. The years went by. When, in the shelf of the Great I had to jump from Kronecker to Kummer. I realized that these volumes had to exist. Here they are, for your delight. Paulo Ribenboim

Acknowledgements The editor and publisher wish to thank all those who lent their support in the preparation of these volumes. In particular they thank Keith Dennis, Peter Roquette and Gerhard Schiffels for their help. They are grateful to Jürgen Neukirch, who unfortunately will not see these volumes published, for contributing his personal recollections. H.-J. Nastold kindly permitted to include his 1980 survey on Krull's papers on commutuative algebra and their significance for algebraic geometry. For providing reprints of Krull's papers, special thanks go to Lieselotte Bauer (University of Freiburg) and Marlene Schwarz (Ruhr-University of Bochum), who searched through the archives for this purpose. The photograph of Wolfgang Krull reproduced in Volume 2 was kindly lent by his daughter Eva Krull. Finally thanks go to the following for granting their permission to reprint the papers as listed below: Academia Brasileira de Ciencias, Rio de Janeiro, Brasil (105) Academia de Ciencias de Zaragoza, Zaragoza, Spain (115) Akademie Verlag GmbH, Berlin, Germany (65,66,100) Bayerische Akademie der Wissenschaften, München, Germany (27) Birkhäuser Verlag AG, Basel, Switzerland (67,69b, 75,76, 86,94,101,111,114) Centre Belge de Recherches Mathématiques (92) Circolo Matematico di Paermo, Palermo, Italy (79,95) Consejo Superior de Investigaciones Científicas, Madrid, Spain (88) Department of Mathematics, Hiroshima University, Hiroshima, Japan (93) Deutsche Statistische Gesellschaft, FU Berlin, Berlin, Germany (70,71) Ediciones Universidad de Salamanca, Salamanca, Spain (87) Édition du Centre National de la Recherche Scientifique, Paris, France (108) Institut Henri Poincaré, Paris, France (117,118) Mathematical Institute, Tôhoku University, Sendai, Japan (39) Mathemat. Seminar Glessen, Glessen, Germany (119) Physikalisch-Medizinische Sozietät, Erlangen, Germany (5,46,47) Real Academia de Ciencias, Madrid, Spain (81) Society of Mathematical Sciences, Dehli, India (107) Springer-Verlag, Heidelberg, Germany (3, 4, 6, 7, 10, 14, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 33, 38, 43, 44, 49, 50, 52, 53, 54, 56, 62, 64, 68, 69a, 73, 83, 84, 85, 89, 90,91,98, 102,103, 112, 113, 116, 120) B. G. Teubner GmbH, Stuttgart, Germany (pp. 21-46 in this volume, 45) Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, Germany (96,106)

Contents of Volume 1 (Numbers in brackets refer to the bibliography on pp. 815-822) Preface

ν

Acknowledgements

vii

P. Ribenboim Wolfgang Krull - Life, Work and Influence

1

H. Schöneborn In Memoriam Wolfgang Krull

21

H.-J. Nastold Wolfgang Knills Arbeiten zur kommutativen Algebra und ihre Bedeutung für die algebraische Geometrie

33

J. Neukirch Erinnerungen an Wolfgang Krull

47

Über Begleitmatrizen und Elementarteilertheorie [1]

55

Algebraische Theorie der Ringe. I [3]

96

Ein neuer Beweis für die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie [4]

139

Axiomatische Begründung der allgemeinen Idealtheorie [5]

149

Algebraische Theorie der Ringe. II [6]

166

Algebraische Theorie der zerlegbaren Ringe (Algebraische Theorie der Ringe. III) [7]

212

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe [8]

243

Über Multiplikationsringe (Beiträge zur Algebra 3) [9]

257

Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen [10]

263

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen [12] . . .

299

Idealtheorie der Potenzreihen einer Variabein mit ganzen algebraischen Zahlkoeffizienten (Beiträge zur Algebra 9) [13]

329

Algebraische Erweiterungen kommutativer hyperkomplexer Systeme [14] . . . 337 Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen [17]

354

Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe [18]

366

Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen [19]

386

Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern [20]

398

Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen [21] Über einen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie (Beiträge zur Algebra 12) [22]

. . 411 434

χ

Contents

Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung [23]

440

Über den Aufbau des Nullideals in ganz abgeschlossenen Ringen mit Teilerkettensatz [24]

456

Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern. II [25]

463

Ein Satz über primäre Integritätsbereiche [26]

494

Galoissche Theorie bewerteter Körper [27]

510

Ein Hauptsatz über umkehrbare Ideale [28]

524

Eine Bemerkung über rationalzahlige Potenzreihen [31]

525

Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten [32]

529

Über die Zerlegung der Hauptideale in allgemeinen Ringen [33]

540

Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen im Bereich der ganzen algebraischen Zahlen (Beiträge zur Algebra 19) [34]

554

Allgemeine Bewertungstheorie [35]

580

Bemerkungen zur algebraischen Geometrie [36]

617

Hauptidealzerlegung in Polynomringen [38]

625

Über allgemeine Multiplikationsringe [39]

630

Linearformenmoduln und lineare Gleichungssysteme in unendlich vielen Variabein über einem diskret bewerteten, perfekten Körper [40]

637

Linearformenmoduln und lineare Gleichungssysteme in unendlich vielen Variabein über einem diskret bewerteten, perfekten Körper. II [41]

651

Linearformenmoduln und lineare Gleichungssysteme in unendlich vielen Variabein über einem diskret bewerteten, perfekten Körper. III [42]

653

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. I. Multiplikationsringe, ausgezeichnete Idealsysteme und Kroneckersche Funktionalringe [43]

658

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. II. υ-Ideale und vollständig ganz abgeschlossene Integritätsbereiche [44] . 691 Über die Entwicklung der Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche [45] . 706 Galoissche Theorie der ganz abgeschlossenen Stellenringe [46]

725

Dimensionstheorie in Stellenringen [47]

730

Über einen Irreduzibilitätssatz von Bertini [48]

735

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. ΙΠ. Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie [49]

746

Contents

xi

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. IV. Unendliche algebraische Erweiterungen endlicher diskreter Hauptordnungen [50]

768

Dimensionstheorie in Stellenringen [51]

775

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. ma. Eine Ergänzung von Beitrag ΙΠ [52]

798

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. V. Potenzreihenringe [53]

799

Bibliography

815

Contents of Volume 2 Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen [54]

823

Funktionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehreren Unbestimmten [55]

842

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VII. Inseparable Grundkörpererweiterung. Bemerkungen zur Körpertheorie [56]

858

Über separable, abgeschlossene Abelsche Gruppen [58]

874

Über separable, insbesondere kompakte separable Gruppen. Mit einer Anwendung auf die Galoissche Theorie [61]

881

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. Eine Bemerkung zu den Beiträgen VI und VII [62]

911

Funktionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehreren Unbestimmten. II [63]

913

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VIII. Multiplikativ abgeschlossene Systeme von endlichen Idealen [64] . . 936 Bemerkungen zur Differenzengleichung g(x + 1) — g(x) = φ(χ) [65]

956

Bemerkungen zur Differenzengleichung g (χ + 1) — g (χ) = φ(χ). II [66] . . . 968 Parameterspezialisierung in Polynomringen [67a]

980

Parameterspezialisierung in Polynomringen. II. Das Grundpolynom [67b] . . . 989

xii

Contents

Subdirekte Summendarstellungen von Integritätsbereichen [68] Die Verzweigungsgruppen in der Galoisschen Theorie beliebiger arithmetischer Körper [69a]

998 1015

Die Verzweigungsgruppe in der Galoisschen Theorie der arithmetischen Körper [69b]

1036

Zur Korrelationstheorie zweidimensionaler Merkmale [70]

1041

Korrelationstheorie mehrdimensionaler Merkmale [71]

1056

Zur Arithmetik der endlichen diskreten Hauptordnungen [72]

1072

Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie [73]. . . 1083 Bemerkungen zur Theorie des Hilbertschen Raumes [75]

1117

Halbgeordnete Gruppen und asymptotische Größenordnung [76]

1128

Über geschlossene Bewertungssysteme [78]

1135

Über unendliche algebraische Erweiterungen bewerteter Körper [79]

1153

Zur Theorie der kommutativen Integritätsbereiche [80]

1159

Galoissche Theorie und Eliminationstheorie [81]

1182

Über eine Verallgemeinerung des Normalkörperbegriffs [82]

1208

Über gewisse Homomorphismen von Polynomgruppen [83]

1218

Zur Galoisschen Theorie der arithmetischen Körper [84]

1222

Über Polynomzerlegung mit endlich vielen Schritten [85a]

1236

Über Polynomzerlegung mit endlich vielen Schritten. II [85b]

1240

Über Polynomzerlegung mit endlich vielen Schritten. III [85c]

1243

Zur Variationsrechnung [86]

1246

Über die Hauptreihen gewisser endlicher Gruppen [87]

1257

Charakterentopologie, Isomorphismentopologie und Bewertungstopologie [88]

1266

Über geordnete Gruppen von reellen Funktionen [89]

1343

Eine Bemerkung über primäre Integritätsbereiche [90]

1374

Über reelle Radikalkörper [91]

1379

Zur Theorie der Bewertungen mit nichtarchimedisch geordneter Wertgruppe und der nichtarchimedisch geordneten Körper [92]

1394

Zur Idealtheorie der unendlichen algebraischen Zahlkörper [93]

1427

Über eine Verallgemeinerung der Hadamardschen Ungleichung [94]

1437

Contents

xiii

Über Laskersche Ringe [95]

1441

Über einen Existenzsatz der Bewertungstheorie [96]

1453

Über die Endomorphismen von total geordneten Archimedischen Abelschen Gruppen [98]

1460

Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe [100]

1470

Über die ρ-Untergruppen endlicher Gruppen [101]

1490

Ordnungsfunktionen und Bewertungen von Körpern [102]

1496

Automorphismen und Spiegelungen eudoxischer Halbgruppen [103]

1510

Eine Bemerkung zur Bewertungstheorie [105]

1526

Zur Theorie der Gruppen mit Untergruppentopologie [106]

1533

Über p-Sylowkomplemente [107]

1581

Über gewisse unendliche algebraische Zahlkörper [108]

1585

Endomorphismenringe in der Galoisschen Theorie [111]

1597

Arten und Gattungen von Abbildungsgruppen. Ein elementares Beispiel aus der Galoisschen Theorie [112]

1602

Über den Galoisring [113] Die (p[,...,

p^)-Sylowgruppen der symmetrischen Gruppe 6

1616 (n

' [114] . . . . 1629

Über gewisse Kategorien von Gruppen mit Untergruppentopologie [115] . . . 1635 Die Struktur der absoluten Galoisgruppe über dem Körper R(/) (with Jürgen Neukirch) [116]

1646

Sur quelques extensions algébriques infinies [117]

1659

Dualitätstheorie in den Moduln über einem Dedekindschen Ring [118]

1680

Zahlen und Größen-Dedekind und Eudoxos [119]

1684

Endlichkeitsbedingungen bei Verbänden, Moduln, Gruppen [120] Bibliography

1703 1723

Wolfgang Krull—Life, Work and Influence Paulo Ribenboim

The purpose of this Introduction is to acquaint the reader, in its first part, with Krull's professional life. Thus, his initial steps and the highlights of his career will be evoked. My main object is to guide the reader through the work of Krull. Despite unavoidable overlappings, I found it expedient to divide his papers into several categories and then proceed giving very short indications of their contents. It is not my intention, nor is it possible to give an accurate description of the papers in such a short space. Rather, I only intend to invite the readers to examine any paper which has thus caught their attention. The third part which is concerned with Krull's influence, is treated in a deliberate summary manner. Indeed, a full study of how his ideas spread out, were transfigured by later mathematicians, would be interesting, but go far beyond the scope of this Introduction.

I. The Life Krull's life was orderly and rather uneventful, except in what concerns his career, brilliant and with intense creativity. Born in Baden-Baden, on August 26,1899, as the son of a dentist, little is known of his young years. He entered university in 1919, first in Freiburg and Rostock; in 1920 and 1921 he was in Göttingen. There, he met Felix Klein, already retired, but mainly Emmy Noether, who influenced strongly his development. Krull's dissertation was written in 1921 in Freiburg, under the supervision of Alfred Loewy. Already in 1922, he became Privatdozent and not long afterwards, in 1926, an Außerordentlicher Professor in Freiburg. At age 29, he received a full professorship at Erlangen, where he stayed for the next ten years—a most productive period. He transferred to Bonn in 1938 and remained there until his retirement in 1969. During part of the war, Krull served in the Marine's meteorological services and he was eventually made a prisoner. He returned to Bonn in 1946 and resumed his teaching, which continued without interruption, except for short trips to Yugoslavia, India, Spain, France, Brazil, among others. Krull's stature as an important mathematician was formally recognized by a Honorary Doctor Degree granted to him in 1962, by the University of Erlangen.

2

Paulo Ribenboim

Not long after retirement, Krull died, unexpectedly from circulationaiy problems on April 12, 1971. He left his wife and two daughters. And an oeuvre of the highest quality, which I shall describe. The text In Memoriam Wolfgang Krull, Jber. d. Dt. Math. Verein. 82 (1980), 51-62 (see pp. 21-32 of this volume), by H. Schöneborn, is a good source for personal recollections, written by his former student and assistant for many years.

Π. The Work The critical analysis and detailed description of Krull's papers and books is very desirable. However, as I stated before, this interesting but overwhelming task goes far beyond the aim of this Introduction. So, I shall be contented to give only succinct indications. Krull's first paper, his dissertation, was written under the supervision of Loewy in 1921. It remained in manuscript form. The study of the work of Loewy, Schur, Fraenkel led Krull to his works on general rings, groups with operators and modules. Very early in his career, Krull came under the spell of Emmy Noether. The quest for an appropriate axiomatic setting for Noether's theorems, led Krull little by little— sometimes very fast—to the building of the theory of ideals, a domain in which he became the uncontested master. His beginnings were at the exciting times of the Modern Algebra revolutionary approach to old problems. Under Artin, van der Waerden, the working grounds were greatly widened and clearly defined, making room for embracing investigations. Hilbert's "Zahlbericht" was a source of inspiration for Krull, both in ideal theory and in Galois theory. The paper [17], where Krull introduced the Galois theory of infinite algebraic extensions, led eventually to profinite groups and many interesting types of domains, including non-discrete valuation domains. The ideas of Prüfer and Hensel led to completions and henselizations. The so-called Krull valuations were recognized to be imperative in the study of integrally closed domains. A series of remarkable papers and the fundamental book "Idealtheorie" give an aperçu of Krull's deep and relentless explorations of ideal theory. The master is now at his best, and his influence is considerable, in particular on Algebraic Geometry, where his theories, like that of local rings, have direct applications. With the aim of a more orderly discussion of Krull's papers, I have classified them under various headings. Due to overlapping of methods and ideas, this is only done as a convenience device. The topics are as follows: 1. 2. 3.

Ideal theory Valuations Infinite algebraic extensions

2

Wolfgang Krull — Life, Work and Influence 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

3

Power series Algebraic geometry Galois theory Polynomials: effective results Elimination theory General commutative rings Non-commutative rings Infinite groups and modules Finite groups Ordered groups Miscellaneous Books, reports

Let it be said, in his paper Wolfgang Krulls Arbeiten zur kommutativen Algebra und ihre Bedeutung für die Algebraische Geometrie, Jber. d. Dt. Math.-Verein. 82 (1980), 63-76 (see pp. 33-46 of this volume), H. J. Nastold has written a critical analysis of Krull's work and its impact to Algebraic Geometry.

1. Ideal Theory This is an area in which Krull excelled. It may be safely said that, even neglecting all that Krull wrote in other directions—which would be totally unjustified—his papers in ideal theory alone guarantee his place as one of the leaders of Algebra in the first half of this century. His work stands as a high and beautiful monument in the Algebra landscape of the period. At the beginning of his career, besides the guidance of Loewy, his thesis director, there were the striking papers of Emmy Noether and the influence of the Modern Algebra school of Artin. In particular, Krull felt especially stimulated by Noether's axiomatic approach to the study of rings of algebraic integers. Krull's work in ideal theory unfolded naturally as he dealt from the axiomatic point of view with the classes of rings whose ideals did satisfy various conditions, present in important examples existing in nature, so to say. Krull's first papers in ideal theory are [4] and [5]. He gave a new simpler proof of Noether's theorem about the decomposition of ideals into primary ideals. Krull's setting was a commutative multiplicative partially ordered monoid 1, with first element equal to the unit element; 1 is a complete inf-lattice, a sup-lattice, every strictly decreasing chain of elements of 1 is finite and some axioms link the multiplication with the sup and the inf. Krull defined prime and primary elements and was able to prove Noether's theorem. In [8], Krull proved that any principal ideal ring may be written in a unique way as the cartesian product of finitely many principal ideals which are either domains or of the type studied by Fraenkel, in which every element is either a unit or a zero-divisor.

3

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Paulo Ribenboim

In [9], Knill extended his previous theorem on the structure of principal ideal rings to the wider class of multiplication rings. These are, in a unique way, the cartesian product of Dedekind domains (called regular multiplication rings) and principal ideal rings of the type studied by Fraenkel. The paper [19] is about noetherian rings. Krull examined properties of chains of prime ideals known to be true for rings of polynomials K[Xn,..., X„], where Κ is a field; these properties concern the length of chains below a given ideal I (height of /), above I (= depth of /), between two prime ideals Ρ c P ' (catenary property). In the paper, already as early as 1928, Krull proved the important principal ideal theorem and the prime ideal theorem for noetherian rings, which are two of the fundamental theorems. He used these results to obtain new proofs for the ideals of rings of polynomials. The aim of the paper [22] is to give the following necessary and sufficient condition for a ring R to have all its ideals equal to the intersection of finitely many primary ideals, each with a finite exponent. Krull proved that this happens if and only if the following two conditions are satisfied: a)

If h ç i2 ç . •. is a chain of ideals, each of the form /,+i = /,· : J¡ (for i > 1, with ideals /,·), then there exists η > 1 such that l n = I n +i = · ••.

b)

For every ideal and multiplicatively closed subsets 5,· of R, if ISI 2 / J 2 2 · · ·> there exists η > 1 such that ISn = ISn+l = · · ·.

The paper [23] is a great step forward. Using transfinite induction, Krull proved the famous lemma that for every ideal I and multiplicatively closed subset S of any ring, such that I and S are disjoint, there exists an ideal P, maximal among the ideals, containing I and disjoint from 5; moreover Ρ is a prime ideal. This lemma, rather easy to prove, opened the way to study non-noetherian rings. Thus, Krull was able to show the existence of minimal prime ideals Ρ containing any proper ideal / ; the ideals Iρ are called the principal components of I and their intersection is equal to / , this being the globalization theorem. The paper continues along the same lines with a look at rings in which every prime ideal is maximal and at the decomposition of ideals into primary ideals. The paper [26] is important both for its methods and the main theorem, which has found numerous applications in Algebraic Geometry: Let R be a noetherian domain which is primary, that is, it has only one non-zero prime ideal (in modern terminology, R is a local domain of height 1); then the integral closure of R is a principal ideal domain and also a finitely generated R-module. [28] is a very short paper, it contains the proof that every invertible ideal must be finitely generated. In [38], Krull considered a multiplication ring (= Prüfer domain) M and the ring of polynomials M[X\,..., Xn]. He proved various results, known for Z[X¡,..., X„], about the contents, the decomposition of quasi-principal ideals uniquely as a product of a principal ideal of M and finitely many quasi-principal ideals, which are also prime

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Wolfgang Krull — Life, Work and Influence

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ideals. The paper also contains the analogue results for υ-ideals in υ-multiplication rings introduced by Artin and van der Waerden. In [39] a multiplication is defined in a ring R with the property that if /, J are ideals of R and / ç then there exists an ideal J' such that I = J.J'. Every noetherian multiplication ring is the cartesian product of finitely many Dedekind domains or primary decomposable rings (these have only one prime ideal P , which is principal, and there exists r > 1 such that Pr = Pr+i = · · · ) · The paper is concerned with the extension of this theorem, without the assumption that the ring is noetherian. The series of papers Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche was written to give detailed proofs and new developments of statements indicated by Krull in his book "Idealtheorie". The first paper of the series [43] is devoted to the introduction of systems of ideals of a domain R and their associated Kronecker functional ring. Among the systems of ideals, there are the fc-ideals (intersection of their extensions to each valuation ring containing R), the α-ideals (or integrally closed ideals, in the sense of Prüfer), the υ-ideals (as introduced by Artin and van der Waerden, nowadays called reflexive ideals); there are the systems of ideals defined by some abstract arithmetically usable ( = arithmetisch brauchbar) operation. The study of such systems allows a deeper understanding of the ideal theory of integrally closed domains. In [44], Krull proved that the set of υ-ideals of a domain R forms a group under the υ-multiplication if and only if R is completely integrally closed. He has also stated the following conjecture: A domain R is the intersection of valuation rings of height 1 if and only if R is completely integrally closed. Even though Krull proved special cases, for example, when R is noetherian, the conjecture was disproved in 1942 by Nakayama. The article [45] is mainly a survey of his own research on ideal theory. In [46], Krull considered integrally closed local (noetherian) domains R and he studied the integral closure of R in a field which is a finite Galois extension of the field of quotients of R. Special attention was given to the decomposition and inertia groups, but no attempt was made to define ramification groups. The paper [49] contains the definition of dimension ( = depth) and dimensiondefect (= height) of a prime ideal. Krull proved the important lying-over, going-up and going-down theorems which relates the prime ideals of domains R and S, when S is integral over R. These results are applied in the theory of dimension for rings of algebraic functions and formal analytical functions in several variables over a field. The paper [52] contains an improvement of a result of [49]. In [47], Krull announced some results of the dimension theory of local rings. These, and many others, appeared with their proofs in [51]. Included are the proof that the powers of the maximal ideal have intersection equal to the zero ideal, results on the initial form and leading ideal of an ideal, which play a fundamental role. The dimension of an ideal is shown to be equal to the dimension of its leading ideal in the associated ring of polynomials over the residue field. (Krull worked essentially in the associated graded ring of the local ring, a notion which was formally introduced in 1947

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in topology by Leray, Cartan, Koszul and in algebra by Samuel.) The special types of local rings, so-called "p-Reihenringen" (now: regular local ring) are considered and possess excellent properties. Krull introduced the completion of a local ring and described in some cases their structure. This is again an all important paper of Krull on ideal theory, which has had a lasting influence. The considerations in the paper [64] are directly related to those of [43]. Krull introduced another operation in the set of ideals, the Λ-operation, defined with multiplicatively closed families of finitely generated ideals. He was able to obtain better and more complete results than previously. The paper [72] deals with Krull domains (= endliche diskrete Hauptordnungen). Ideal classes, primitive ideals and primitive polynomials are discussed; the paper continues with a discussion of divisors, when they form a group, also the nature of the localizations with respect to a minimal prime ideal, respectively, a non-minimal prime ideal. Here is another important paper [73], which is concerned in last analysis with Hilbert's theorem of zeroes in a more abstract formulation. The Jacobson rings (called now Hilbert rings) are defined by the property that every prime ideal is the intersection of the maximal ideals containing it. The paper contains a theorem of zeroes for rings of polynomials with countably many indeterminates and many results about the dimension theory of ideals. The main results of this paper are stated, without proof, in the communication [74] at the 1950 International Congress of Mathematicians. In the paper [80], Krull announced and investigated the conjecture that every regular local ring is a unique factorization domain. He was able to prove this conjecture, under various additional assumptions; the general assertion has now been proved by Auslander and Buchsbaum, with homological methods. The paper also contains fine examples, to show how certain hypotheses on the local rings studied were necessary. It concludes with results involving operations with systems of ideals. The paper [90] deals with primary, completely integrally closed domains R. Krull had proved that such domains R are intersections of valuation domains of height one. He had conjectured that every such domain R is in fact a valuation domain of height one. Counter-examples were given by Nagata and by Ribenboim. The present paper had for object to find additional conditions on a primary completely integrally closed domain to insure that it is a valuation domain of height one. In [95], Krull returned to questions he had treated much earlier. He called a ring R Laskerian if every ideal of R is the intersection of finitely many primary ideals. He had previously found necessary and sufficient conditions for R to be Laskerian, in terms of chain conditions on isolated component ideals Is ( / an ideal, S a multiplicative subset of R). In this paper, Krull gave examples to show that his theorem was the best possible. He gave also numerous properties of Laskerian and generalized Laskerian rings. In paper [100], R is a domain and Κ a field containing R. Grell showed that all domains S, R ç S ç Κ are obtained as a ring of fractions of some overring R' integral over R, when R is assumed to be a noetherian ring of a special type. Krull generalized

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Grell's result for all overlings S which are related to R as follows: the intersection with R of a minimal prime ideal of S is a minimal prime ideal of R. The hypotheses on R were weaker than in Grell's paper: 1) every principal ideal is the intersection of its isolated primary comnonents; 2) R is almost noetherian; that is: (a) every principal ideal has only finitely many isolated primary components and these belong to minimal prime ideals; (b) every increasing chain of primary ideals, belonging to any minimal prime ideal, is finite.

2. Valuations Krull's name is indissolubly linked to the development of valuation theory, especially the generalized valuations, now called Krull valuations. The motivation for studying such general valuations was the theorem that a domain is integrally closed if and only if it is the intersection of Krull valuation domains. In his numerous papers, Krull developed thoroughly the foundations of the theory and applied valuations as a powerful tool to deal with questions about commutative rings. The first paper [27] still deals with valuations of height 1, but not necessarily discrete. Krull developed the theory of decomposition, inertia and first ramification, as the valuation extends from a ground field to a finite Galois extension; the higher ramification theory was not dealt with in the paper. Allgemeine Bewertungstheorie [35] is one of the most remarkable of Krull's papers. It is very rich in its contents, beginning with the introduction of the concept of generalized valuations, then using it to the characterization of all integrally closed domains; it follows a description of the ideal theory, the step-complete and the maximal valued fields, the generalized Hensel's lemma and results on the structure of maximal valued fields, in terms of Hahn's generalized power series. The paper also includes a theory of decomposition, inertia and first ramification as well as relations with ordered fields. And still much more. It is a seminal paper, both for its results and methods. The object of the paper [40] is to study systems of countably many linear equations, in countably many indeterminates, with coefficients in a complete discrete valued field K: 00

α,Ό + Y^aikXk = 0

(¿ = 1 , 2 , . . . ) ,

k=l

under the assumption that lim anc = 0

k-too

(for every i) in K. Thus, the paper deals with matrices having countably many rows and columns and such that the rows are sequences converging to 0. The theory is worked out in detail, following the classical method for systems of finitely many linear equations. In [41], it is indicated how to generalize the theory for families of linear forms, which are not necessarily countable.

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In [42], Krull gave an example to show that the results of [40] do not hold if the valuation is not assumed to be discrete. In [69], Krull studied in detail what happens with a prime ideal of an integrally closed domain R, as it extends to the integral closure R in a field K, a finite Galois extension of the field of quotients Κ of R. The decomposition and the inertia groups are defined in the usual way. For the first ramification group, Krull considered pairs of ideals I D I' of R, invariants by the inertia group, such that I is finitely generated and V is maximal properly contained in I and each such pair defines a representation of finite degree of the inertia group over the residue field; the ramification group consists of all the automorphisms in the kernel of all these representations. The paper [78] still deals with valuations, or better, with systems of valuations which would be appropriate to describe the arithmetic in certain rings. For the arithmetic of number fields and algebraic function fields in one variable, the systems of valuations are required to verify the finiteness condition, the semi-local approximation theorem, the almost-global approximation theorem, as well as the fundamental relation involving values and degrees. Krull introduced and studied in this paper the so-called closed systems of valuations, which would be useful for the study of algebraic functions in more than one variable. In [84], Krull continued his research published in [69]. Here the emphasis is on the decomposition and inertia fields. Moreover, Krull pointed out difficulties to develop the theory of higher ramification, even for discrete valuations, when the residue field is not perfect. The paper [88] contains the notes, duly completed, of Krull's 1952 lectures in Madrid. Krull's aim was to consider, from an abstract point of view, the relations between ideal theory and topology. The paper exhudes in ideas and builds a convenient framework to treat additive problems—the ideal topologies as well as multiplicative questions—with the valuation topologies. The paper [92] is in two parts. First, Krull considered a finite set of valuations of arbitrary rank in a field Κ and he described the tree of valuations of K, coarser than some of the given valuations. He studied also the partially ordered group of values of each element of the field; the ultimate result in this context is the approximation theorem, proved around the same time, by Ribenboim. Krull transplanted these ideas to the situation of totally ordered groups endowed with links and he also looked at the repercussions for lattices. Hasse had proved in 1925 the following existence theorem for number fields: given any prime ideals P\,..., Pn of the ring of algebraic integers of a number field K, there exists an extension Κ of K, where each one of the prime ideals P,· extends in prescribed numbers g¡, with given ramification indices e¡j and residue field extensions K¡j | AT, of degrees fij (for j = 1 , . . . , g,·; i = I , . . . , n) provided the sums J2f= i e i j f i j = w are independent of i. Krull extended in [96] this result for finite sets of discrete valuations for a field, under the hypothesis that the residue class extensions be simple and an additional hypothesis, like the existence of still another discrete valuation on K, or

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that one of the given valuations will have only one extension. The paper contains also an extension of the irreducibility criterion of Eisenstein-Schönemann. The paper [102], dedicated to his friend F. K. Schmidt, develops in more generality an idea of Schmidt, who treated simultaneously absolute values and valuations with real values. Krull introduced order functions, which are homomorphisms of the multiplicative group of the field into some totally ordered abelian group. Under a natural equivalence, each class of order functions satisfying an additional archimedean property is called a valuation in wider sense; these include absolute values, valuations and the maps obtained by composition of a valuation and an absolute value of its residue field. In the interesting short paper [105], Krull answered a question of Ribenboim, by giving a method to construct fields—even number fields of infinite degree—having only finitely many discrete valuations.

3. Infinite Algebraic Extensions The series of papers of Krull on infinite algebraic extensions, their Galois groups and ideal theory, stand as some of his most important and original contributions. As early as 1928, Krull introduced an appropriate and natural topology on the group of all automorphisms of a field extension and showed how the closed subgroups correspond bijectively to subfields—when the given extension is normal and separable; this is the fundamental theorem of infinite Galois theory. The topology is the inverse or projective limit of the discrete topologies on the Galois groups of the finite degree Galois sub-extensions. The topological Galois group is a Hausdorff, compact and totally disconnected space. These ideas appeared—if not in the same form—for the first time in the paper [17] and, together with the dual concept of direct limit, also used later by Krull, have since played a very important role in the theory of infinite algebraic number fields and many other areas. The first results about profinite groups, namely the structure of cyclic profinite groups, appear already in [17]. In [20], Krull considered the ideal theory of subrings R of fields Κ of infinite degree over Q. The study is made possible by expressing Κ as the union of a tower of number fields of finite degree and correspondingly, R as the union of a tower of subrings. In particular, the discussion is applied to the ring of all algebraic integers of the field Κ. Krull used ideas of Stiemke, from a paper which dealt with special fields of infinite degree, to associate Ρ-values to ideals (for every prime ideal P), which are real numbers. The paper [25], which follows the developments in [20], contains a description of ideals of the ring of all algebraic integers of a number field Κ of infinite degree. This classification associates to each ideal I a function Θ¡ from the set V of all valuations of the field, with real values; Krull gave a full characterization of the allowable functions and established a perfect classification. For this purpose, he introduced a topology on

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the set V, which is the inverse limit of the discrete topology on the sets of valuations of the finite sub-extensions of K. In [50], Krull extended the above results to the more abstract situation of a tower of Krull domains (= endliche diskrete Hauptordnungen). In his papers [27], [35], [69], Krull considered the Galois theory of valued fields, for finite Galois extensions. His own results were extended in [79], for infinite Galois extensions and valuations of arbitrary ranks. In [93], Krull discussed a paper of Nakano about the ideal theory of rings of algebraic integers of certain number fields of infinite degree. Krull showed that the fields satisfying Nakano's hypothesis are precisely the Stiemke fields, that is, the number fields in which every ideal is contained in only finitely many prime ideals. In [108], Krull applied a theorem of Neukirch, which states: If A is the field of all algebraic numbers, M the maximal solvable extension of Q, ρ any prime, ν any valuation of A extending the p-adic valuation, then its ramification field in the extension A|M is equal to A. With this result, Krull proved that for any Galois extension N\K of number fields and a valuation of N, the absolute Galois groups of the fields of decomposition, inertia and ramification are solvable. The paper [116], in collaboration with Neukirch, is an important contribution. If C denotes the field of complex numbers, t a transcendental element, C(t) the algebraic closure of C(r), in other words, the field of all algebraic functions in one variable, the Galois group of C(i) over C(i) is called the absolute Galois group ofC(/). Embodying classical theorems of the theory of Riemann surfaces, it has been shown that the absolute Galois group of C(f) is the free profinite group generated by C U {oo} (the Riemann sphere). The paper [116] contains, in analogy, a complete description, by generators and relations, of the absolute Galois group of M(r), where R denotes the field of real numbers. In May 1963, Krull gave two lectures in Paris [117]. He discussed the subfields Κ of A (field of all algebraic numbers) such that the Galois group of Α|ϋΓ is solvable. He pointed out that some of these fields are obtained as decomposition fields of valuations of some subfield L, Q ç L c A, while others are related to p-Sylow subgroups of the Galois group of A|L. The case when L is the maximal solvable extension is particularly interesting and considered in more detail; curious examples of sequences of fields with surprising properties are also provided.

4. Power Series In the paper [13], Krull used ideal theoretic methods to study the ring of power series Λ[[ί]], where t is an indeterminate and R the ring of algebraic integers of a number field of finite degree. In this manner, he proved anew the results of Schur. Still around the same paper of Schur, Krull published the long paper [32], where he studied in more detail the ideal theory of /?[[f]], by the local-global method. He reduced the questions on ¿?[[í]] to similar questions in the ring /?/>[[*]], where Rp denotes the completed

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local ring obtained by localization of R at the prime ideal P. Among the tools used is a normalization theorem which is a form of Weierstrass's preparation theorem. For the ring Q[[X, Y]] of power series in two indeterminates, with coefficients in Q, Krull gave in [31] examples of power series in Q[[X, 7]] which cannot be written in the form of a quotient of power series in Z[[X, 7]]. The fifth paper of the series "Beiträge . . . " [53] is devoted to rings of formal power series. Krull investigated the following problem: if R is a unique factorization domain, must 7?[[i]] have the same property? He indicated that this question offered "unsurpassable difficulties" and he could only prove that the question has a positive answer when R is the ring of a complete discrete valuation with infinite residue field. Similar methods gave a positive answer when R is a principal ideal domain. But the impetus came when Auslander and Buchsbaum proved, using homological methods, that a regular local ring is a unique factorization domain. Since /?[[f]] is also a regular local ring, it followed that it enjoys unique factorization. Standard local-global techniques sufficed to show then, that if R is a regular unique factorization domain, then so is /?[[/]]. But in 1961, Samuel found a two-dimensional unique factorization domain R such that Λ[[ί]] is no more a unique factorization domain. The paper [53] also contains the proof that if R is a Krull domain, so is /?[[*]]. 5. Algebraic Geometry Even though Krull introduced and thoroughly studied in his papers so many concepts which turned out to be of major importance in Algebraic Geometry, he wrote only the papers [36], [48] dealing with this latter topic. One may legitimately ask if Krull was inspired by Geometry, as he followed his brilliant, inventive path while creating the rich theory of ideals of commutative rings. This is not apparent from his various papers, nor did it transpire in personal conversations. Yet, it is quite conceivable that Algebraic Geometry was his hidden and deeper motivation. A short paper [36] of 1933 contains some comments on the work of Schmeidler, about the resolution of singularities of curves. The paper [48] is about Bertini 's theorem, an important result in Algebraic Geometry. Two algebraic proofs are given by Krull, one following ideas of Stickelberger, another by an induction method. But the paper contains also a simple proof of a theorem of E. Noether, showing that there is an algorithm to decide if an arbitrary polynomial q(X\,..., X„) with coefficients in an algebraically closed field, is irreducible.

6. Galois Theory Barbilian proved the following theorem: Let L be a field, Κ a subfield, G the group of all .fif-automorphisms of L. There is a bijection between the set of fields M, between Κ and L, and the subgroups of G (by taking the subfields of elements fixed by the corresponding subgroup) if and only if L\K is a finite, algebraic, normal and separable

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extension. In the proof, Barbilian required the notion of a normal (but not algebraic) extension. In the paper [82], Krull studied in detail normal extensions in the wider sense. In [91], Krull considered real radical fields. The following theorem was known for these fields: if the degree [AT : Q] of a real radical field AT is a prime p, then every proper conjugate of Κ is not a real field. Krull succeeded in extending this theorem for real radical fields Κ of arbitrary degree, provided Κ i s a maximal real field in some normal extension; moreover, the number of automorphisms of such fields is a power of 2. The paper [111] turns around Artin's theorem on the independence of automorphisms of a field and deals with problems which arised from a question by Neukirch. The motivation for the paper [112] came from the embedding problem of Galois theory. Krull introduced abstractly what he called a Galois situation, in defining groups acting on sets, and he defined the concepts of type and species of groups by certain equivalence relations. Krull investigated these notions in specific cases of Galois extensions with quaternion groups and dihedral group of order 8. In the paper [113], Krull had a closer look at the group-ring over a field N , generated by a group of automorphisms of the field N . He considered also the associated module structures over Ν and over the ring of endomorphisms of the additive group of Ν and gave a direct constructive proof of Artin's theorem on the linear independence of automorphisms. The bulk of the paper is devoted to the study of the ring and module structures of the group-ring.

7. Polynomials: Effective Results In 1926, Hermann found algorithms to perform various operations with polynomial ideals. In [67], Krull used the results of Hermann to show that relations about sums, products, intersections and quotients between any finite set of ideals of a polynomial ring in finitely many indeterminates over a field K(u) (purely transcendental extension of AT) remain valid for all but finitely many specializations u ι-> a (a e Κ). For example, unmixed m-dimensional ideals of Κ ( w ) [ X i , . . . , X„] remain so in K[X\,..., Xn] for all but finitely many specializations. The paper [85], divided into three small parts, is a commentary on results of Kneser. Krull considered also the question of effective bounds for the number of operations required to decompose an arbitrary polynomial of K[X\,..., Xn] into irreducible factors for fields Κ which are finitely generated over the prime field: such bounds exist. Another interesting result obtained in this paper was the construction of infinite sequences of number fields K\, K2, K3, . . . of finite degree over Q, with the following property: for every irreducible polynomial ρ e Q[X] there exists an effectively computable number i'o(p) > 1 such that ρ remains irreducible in K, [X], for every i > ¿o(ρ).

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8. Elimination Theory One of the aims in the paper [54] is to prove a general criterion for a prime ideal to be unramified. The situation is the following: Ρ is a prime ideal of an integrally closed domain R, S is the integral closure of R in a finite field extension of the field of fractions of R. After defining when Ρ is unramified, Krull proved an extension of an earlier criterion of E. Noether for Dedekind domains; his result involves the degree of the extension and the reduced residue degrees of the various prime ideals of S lying over P. In [55], Krull proved a modified form of the discriminant theorem concerning the existence of multiple solutions for systems of polynomial equations in several indeterminates over an algebraically closed field. His result is phrased in terms of the minimal prime ideal and an associated primary ideal, containing the ideal generated by the given polynomials. Previously in paper [54], Krull had considered the following situation: R is an integrally closed domain, Κ a subfield, L\K an algebraic separable field extension, 5 = RL the composite ring extension. The behaviour of the ideals of R, when extended to S, was described. In the paper [56], Krull considered a class of rings which show similar behaviour and he illustrated the pathology when L\K is not separable. In [62], Krull clarified some steps of a proof in [54] and [56]. In [63], Krull extended the theorem of the functional determinant in [57] for the case when the ground field is not assumed to be perfect. In [81], Krull is led to a combination of Galois theory, ideal theory and elimination theory, when studying the structure of the relations between the roots of a polynomial with coefficients in the field R, knowing that the relations have coefficients in a subfield Κ of R and that R is a function field over Κ with finitely many indeterminates.

9. General Commutative Rings The three long papers [3], [6] and [7] contain Krull's Habilitation Thesis, submitted in 1922 to the Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät der Universität Freiburg. In [3], Krull considered commutative rings in which every element is either a unit or a zero-divisor and there exists a fixed integer η > 1 such that the product of any η zero-divisors is equal to 0. Examples are commutative algebras finitely generated over a field. The theory of such rings is obtained by lifting from the residue field, thus, it is question of algebraic extensions, algebraically closed rings and the like. In [6], Krull deals with rings which are finite cartesian products of the rings considered in the first part. There is also a discussion about mutual implications between various axioms on ideals, in the sprit fostered by Emmy Noether's work. Furthermore in [6] is introduced a finite "Grundring", which since 1994 is much used in Algebraic Coding Theory, under the name of Galois-Ring.

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In [7], the aim is to classify perfect rings which are decomposable, in the sense of Fraenkel (0 is in unique way, equal to a product of powers of prime elements); such rings are cartesian products of similar rings of special types, which are further investigated, in particular their regular algebraic extensions. In [14], the subject is the theory of algebraic extensions of commutative algebras of finite dimension over a field (= hypercomplex systems). Given a prime ideal Ρ of a hypercomplex system R and a finite algebraic extension 5, in analogy with the case of rings of algebraic integers, Krull developed a theory of decomposition and of inertia, when the residue field is perfect. The paper [18] is about hypercomplex systems and number rings (= Zahlringe), that is, hypercomplex systems which are domains. They are characterized first by the properties that every quotient chain of ideals I\ ç = ( / j : 7j) ç / 3 = (¡2 : J2) · Β ist Β — Π B m . der Lokalisierun1 gen nach seinen maximalen Idealen m¡. Die henselschen Ringe sind die Fasern der Strukturgarbe in der Etaletopologie. Für einen beliebigen lokalen Ring A und seine Komplettierung A -*• Â hat man für jede lokale Etale-Erweiterung A -*• Bx mit k = K(x) genau einen injektiven Ringhomomorphismus i

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Dies gilt übrigens für jeden injektiven lokalen Ringhomomorphismus A*-* A in einen henselschen Ring A anstelle von A. Man erhält so in Â: A0-* A: = lim Β* = U Βχ°->·Â A -> B x lokal étale,

k = K(x)

mit A die Henselisierung von A. A -»· A ist eindeutig durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert, es ist die „kleinste" henselsche lokale Ringerweiterung von Α. A ist gefilterter Limes von über A im wesentlichen endlich erzeugten B x . Es ist ~ ~ Λ A- * ~ ~ A,m lokal und Α ^ Α. A -»• A ist treuflach und A noethersch, wenn A noethersch ist. Für den Aufstieg A·-»· A hat man alle gewünschten Permanenzeigenschaften, Λ ohne weitere Voraussetzungen über A bzw. A -*• Α. In der am Ende von Abschn. 6 beschriebenen Situation erhält man A = C[X] ( x ) C A C C { X } C C | I X 1 = Â = A = C { X } und Ä ist gerade der algebraische Abschlußvon Ain C [ X ] oder in C{X}. Vgl. dazu auch M. R a y n a u d [33].

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Der Approximationssatz von M. Artin (vgl. [3] und die dort zitierten Originalarbeiten)

Es sei A lokal und im wesentlichen endlich erzeugt über einem Körper k oder einem exzellenten Dedekindring k, also A = k [ x i , . . . , x n ] p , ρ G Spec k [ x i , . . . , x n ], oder A eine lokale analytische.Algebra und A Q A C A. Ein Gleichungssystem (*)

f¡(X) = 0, i = 1,. . . , m, f¡ e A [ X 1 ; . . . , X r ] habe eine Lösung

χ eÂ:

f,(x) = 0, i = 1,. . . , m. Dann existiert zu jedem s ein x ' e A mit fi(x') = 0, i = l , . . . , m , und

x'^x(ms).

Vgl. dazu die Aussage in Abschn. 6 über das dort lineare Gleichungssystem (*). Wegen A = lim B x in den ersten beiden Fällen folgt dort sogar: Es existiert eine solche Lösung x' von (*) in einem B x , das im wesentlichen endlich erzeugt über A ist. Als Folgerungen daraus erhält man (vgl. M. A r t i η [3], [4]): 1. isolierte irreduzible Singularitäten sind algebraisierbar; 2. globale Existenzsätze in der algebraischen Geometrie; 3. eine algebraische Struktur auf kompakten komplexen Räumen X, sofern der Transzendenzgrad über C der Körper K¡ der meromorphen Funktionen auf den irreduziblen Komponenten X, von X = dim X, ; 4. ein neues Konstruktionsverfahren von M. H ö c h s t e r [23] in der kommutativen Algebra: Es wird die Existenz von „großen" Cohen-MacaulayModuln zunächst im Falle der Char ρ > 0 im kompletten Fall, worauf man sich beschränken kann, i.w. mit Hilfe des Frobeniushomomorphismus gezeigt. Danach wird die Existenz für den Fall von lokalen Ringen A, die einen Körper der Char 0

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enthalten, via K o m p l e t t i e r u n g , A p p r o x i m a t i o n nach M. Artin u n d R e d u k t i o n m o d u l o ρ reduziert auf den Fall der Char ρ > 0. Mit diesem Ausblick auf einige neuere E n t w i c k l u n g e n in der k o m m u t a t i v e n Algebra u n d algebraischen G e o m e t r i e , z u denen die A r b e i t e n v o n W. Krull in wesentlichen P u n k t e n die Grundlagen g e s c h a f f e n haben, w o l l e n wir u n s hier begnügen. Zur Historie findet man Q u e l l e n zur k o m m u t a t i v e n Algebra im A n h a n g A 2, Ν a g a t a [ 2 9 ] , in N. B o u r b a k i s Historical N o t e s [ 7 ] u n d bei Kaplansky [ 2 3 a], zur algebraischen G e o m e t r i e in J. D i e u d ο η η é [ 1 3 ] u n d v a n d e r W a e r d e η [ 4 4 ] , insbesondere im A n h a n g , u n d n i c h t z u l e t z t in Knills Idealbericht [ 1 0 9 ] ,

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H.-J. Nastold

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(Eingegangen: 6. 9. 1978)

Erinnerungen an Wolfgang Krall Jürgen Neukirch

Meine Begegnung mit Wolfgang Krull liegt nun schon ein Vierteljahrhundert zurück. Es waren seine letzten zehn Jahre, die ich mit ihm am Mathematischen Institut der Universität Bonn zusammen sein konnte, und ich kann nur schildern, wie ich ihn in seinem Alter erlebt habe. Viel ist meiner Erinnerung verloren gegangen, aber was mir das Gedächtnis ungefähr gelassen hat, will ich ungefähr erzählen. Seine äußere Erscheinung war die eines klassischen Professors, so wie er uns in alten Filmen entgegentritt. Seine kleine Gestalt war von wohlgeformter maßvoller Beleibtheit und war stets in einen makellosen dunkelgrauen Anzug gehüllt, zu dem blinkende Schuhe, dunkle Weste, blütenweißes Hemd und Silberkrawatte ihren Beitrag zum Bild einer ansehnlichen und vornehmen Persönlichkeit leisteten. Über dem weißgesteiften Kragen schaute keck ein Oktaederkopf in die Welt mit weißem feinem Haar, wasserblauen Augen und einer kleinen, das Höhere suchenden Nase. Noch immer steht mir das geradezu komische Bild vor Augen, wenn er mit seinem Schüler Otto Endler sprach. Endler maß wohl Zweimeterzehn in der Höhe, aber weniger als Einsdurchzweimeterzehn in Breite und Tiefe und geriet dadurch in seelische Not. Denn die ganze lange Gestalt war ausgefüllt mit Ehrfurcht vor dem Meister, der, vor ihm stehend, sich etwas zurückbeugen mußte, um ihn anzusehen, und so eine herausfordernd aussehende Haltung einnahm. Neben der Ehrfurcht bewirkte dies bei Endler um so mehr das schmerzliche Bedürfnis, sich klein zu machen - mit traurigem Erfolg. Er ließ die Schultern hängen, bog Rücken und Nacken, so daß er nun fast senkrecht auf Krull herabblickte und das Bild von Pat und Patachon vollendete. Der körperliche Gegensatz setzte sich übrigens im Mathematischen fort. Als er Krull sein erstes Buch Bewertungstheorie übergab, sagte dieser: „Herr Endler, dieses Buch haben Sie gegen mich geschrieben!" Endler brachte es nicht über sich, auch nur eine Identifizierung vorzunehmen; alle Isomorphismen und Einbettungen wurden mit Buchstaben versehen, die sich rasch harmonika-artig zusammenschoben. Krull hingegen identifizierte alles, was ihm vor die mathematische Flinte kam. Ich erinnere mich eines zornigen Ausbruchs gegen einen gescheiten Studenten, der bei einem direkten System abelscher Gruppen mit injektiven Homomorphismen A,· — A j wohl dem Krullschen Befehl folgen wollte, A, mit seinem Bild in Aj zu identifizieren, sich aber mit Recht weigerte, UAi zu schreiben. Krull zieh ihn spitzfindiger Nörgelei und warf ihn einfach raus. Mein Kommilitone kannte den direkten Limes nicht und ich habe den Verdacht, Krull auch nicht - was sehr eigenartig war, da er aufgrund seiner unendlichen Galoistheorie doch ein Virtuose des projektiven Limes war.

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Mein eigenes Verhältnis zu Krull ist mit zwei Worten zu beschreiben: Bewunderung und Verehrung. Ein Professor war damals überhaupt für uns ein höheres, vergeistigtes Wesen, vor dem wir ach so kleinen studentischen Erdenbürger uns mit dem größten Respekt verneigten. Bei ihm kam viel mehr dazu, und es war mir neben ihm, als ginge ich mit der wandelnden Kultur spazieren. Dabei war er als Dozent durchaus schwierig zu verstehen, weil er seine in langer Zeit gebildete Gedanken- und Erfahrungswelt bei seinen Schülern unbewußt als präsent voraussetzte und vieles ihm selbst, aber nicht uns Vertraute unterschlug. Mir ging es in seinen Vorlesungen gar nicht gut, denn er hatte die Eigenart, einen Studenten zu fixieren und auf diesen einzureden. Dieser arme Student war meistens ich. Ich geriet dadurch jedesmal in einen schlimmen Konflikt, denn ich war gezwungen, zu seinen Erläuterungen ununterbrochen zu nicken. Unterließ ich dies, kam sofort die Frage „Haben Sie das verstanden?", und wenn ich stotternd antwortete „N-nein, nicht so ganz", so sagte er, „Nun, dann erkläre ich es Ihnen noch einmal", und das arge Spiel ging von neuem los. Nicht alles an ihm fand meinen Beifall, doch konnte ich das Bedenkliche seinem Alter zurechnen, so daß es meiner Verehrung keinen Abbruch tat. Krull forderte von seinen Assistenten Anwesenheit, wenn er im Institut war. Zu eingehenderem Gespräch war für mich der Dienstag und Donnerstag von 10.00-12.00 Uhr vorgesehen. Die Konferenzen fanden gehend, besser, wandelnd statt. Das Institut in der Wegeierstraße hatte einen langen Korridor, dessen eines Ende ein großes lichtes Fenster bildete, während das andere dunkel von einer schweren Schwingtür gesetzt war. Hier ging es nun jeden Dienstag und Donnerstag auf und ab. Jedesmal, wenn wir an die Schwingtür kamen, mußte ich beide Flügel mit Kraft aufstoßen, mit ihm hindurchgehen, an der nur fünf Meter entfernten Wand umkehren, die Schwingtür wiederum aufstoßen, um den Gang bis zum Fenster fortzusetzen, wo sich das ganze wiederholte - zwei geschlagene Stunden oft. Nie sind mir diese Gänge mühselig oder langweilig gewesen, ich freute mich drauf und fühlte mich durch die Aufmerksamkeit geehrt und erhoben. Das Gespräch ließ kein Thema aus, es ging von der Mathematik über Erbsensuppe, Kirchengeschichte, Fußball, Musik bis zu Fragen über Verlobung und Ehe. Ich will meine Erinnerungen ordnen und zunächst vom mathematischen Teil berichten. Krull beeindruckte seine Schüler nicht nur durch seine vielen Ergebnisse, seine „Allgemeine Bewertungstheorie", seine „Unendliche Galoistheorie", seine „Theorie der Stellenringe", sondern auch durch seine umfassenden Kenntnisse, die uns unerschöpflich schienen. Dieser Eindruck muß jedoch zum Teil auch dem Umstand zugeschrieben werden, daß unser eigenes Wissen armselig war. Seinem Alter, aber auch der Eigentümlichkeit seiner mathematischen Arbeitsmethode zufolge, kümmerte er sich seit langem nicht mehr um die Literatur und die internationale Entwicklung der Mathematik. Er arbeitete im Café (nannte sich selbst einen Kaffeehaus-Mathematiker) und beim Spazierengehen in der Stadt oder in den Endenicher Kohlfeldern, wo man ihn oft weltvergessen antraf - seine Tochter erzählt, er sei einmal mit dem Gruß „Guten Tag, Ideal" an ihr vorübergegangen. Seine Gedanken hielt er in winziger Schrift in einem Notzibuch fest, zwischen Einkaufslisten, Geburtstagsdaten u. a. Aus die-

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sem Notizbuch wurden wir mathematisch gefüttert. Ich erhielt auf diese Weise viele interessante Anregungen von ihm, verblieb aber andererseits lange in dem Glauben, daß die Bewertungstheorie im Zentrum moderner Forschung stehe, und wurde erst spät etwa auf die grandiose Entwicklung der algebraischen Geometrie unter der Führung Grothendiecks aufmerksam. Krull verschaffte sich aber doch einen Kontakt mit den aktuellen mathematischen Geschehnissen auf eine für mich anstrengende, aber äußerst lehrreiche Weise: Ich mußte sie ihm auf unseren Korridor-Wanderungen erzählen. Das ging aufgrund seiner großen Erfahrung und tiefen Einsicht überraschend gut, doch mußte ich mir sorgfältig überlegen, wie ich es ohne Bleistift und Kreide sagte. Wenn er nicht verstand, wurde ich zum Schuldigen erklärt: „Das haben Sie sich nicht ordentlich überlegt, Herr Neukirch, das können Sie mir besser erläutern. Überdenken Sie es und erzählen Sie es mir am Donnerstag noch einmal!" Harte Arbeit, etwa die ihm, aber auch mir kaum bekannte Kohomologietheorie und ihre Beziehung zur Klassenkörpertheorie auf das ihm Vertraute zurückzuführen und auf die Spaziermethode zu erläutern. Aber eine vorzügliche Schule, die mir viel gebracht hat. Eine bemerkenswerte Überraschung erlebte ich, als ich ihm den Begriff und die Bedeutung des Schemas erklärte. Dies verstand er sofort und erzählte mir zu meiner Verblüffung, daß er in Paris schon vor dem Krieg einen Vortrag gehalten habe, in dem er vorschlug, bei einer algebraischen Varietät nicht nur die maximalen Ideale der Koordinatenringe als Punkte zuzulassen, sondern alle Primideale, also alle irreduziblen Untervarietäten, und dieses Konzept auf beliebige Ringe auszudehnen. Das Experten-Auditorium habe aber darauf mit Gelächter reagiert, und so habe er es gelassen. Was er vorschlug, war die Definition des Schemas. Was er unterließ, war die Vorverlegung der modernen algebraischen Geometrie um Jahrzehnte. Knills Äußerungen bildeten eine schöne Mischung von Fragen und Sagen. Das Erste hatte sogar einen leichten Vorzug vor dem Zweiten, doch erzählte er freimütig auch von eigenen Erlebnissen. Er hatte in Göttingen noch zu Füßen Felix Kleins gesessen - in dessen Privatgemächern - und schilderte den alten Felix Klein als imponierende Persönlichkeit, als einen von historischer Aura umgebenen Herrscher, der sich vom Regiment zurückgezogen hatte und nun der lauschenden Jugend seine Visionen darbot, die er mit Anekdoten über frühere Freunde und Gegner schmückte. Von seinem ersten Lehrer Alfred Loewy sprach er mit Hochachtung. Ein sowohl mathematisch als auch freundschaftlich enges Verhältnis ergab sich in Göttingen mit der zehn Jahre älteren Emmy Noether. Sie hat ihn mit ihrer modernen, konzeptionellen Denkweise, mit ihren Ideen zur Modul-, Ideal- und Ringtheorie entscheidend beeinflußt. Der Austausch muß sehr rege gewesen sein. Er erzählte ζ. B. von einer Szene in einer bayerischen Kirche, wo er und Emmy weltvergessen diskutierend einander im Kreise nachliefen und sich ein grollendes „Sie, ham's denn goar koan Anstand nit?" zuzogen. Dasselbe Karussell soll sich nach einem Bericht seines Freundes F. K. Schmidt um einen Tisch in einem Café zum Gaudium der Gäste gedreht haben. Ich habe leider zu viele von seinen Geschichten vergessen und habe es damals versäumt, durch eigene Fragen ein genaueres Bild von seinen Begegnungen mit den Mathematikern seiner Zeit zu gewinnen.

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Krull war eine überaus lebensfrohe Natur mit einem eigenartigen Humor, besser gesagt, mit einer naiven Freude am Schabernack. Mit sichtlichem Vergnügen erzählte er ζ. B., daß er Emmy Noether mitten in der Nacht anrief, nur um ihr zu empfehlen:„Schlafen Sie ruhig so weiter!" In unserem Institut gab es eine schöne adelige Sekretärin, das Fräulein von Viereck, die „göttliche Doro". Wenn er sie sah, rief er über den Flur: „Ach, Fräulein von Vierkant, bringen Sie mir doch mal dies rüber" oder „Ach, Fräulein von Vierseit, sagen Sie doch dem Kollegen . . . " oder „Schreiben Sie mir bitte diesen Brief, Fräulein von Dreieck". Er ließ aber stets im Ungewissen, ob solches professoraler Vergeßlichkeit zuzuschreiben oder beabsichtigter Schabernack war. Sein Assistent Manfred Breuer erzählte mir - so ungefähr habe ich es in Erinnerung - , daß Krull an der Rheinpromenade an ihm und seiner Freundin geistesabwesend und grußlos vorübergegangen war, um ihm am nächsten Tag im Institut vorzuhalten: „Ach Herr Breuer, haben Sie nun eine neue Freundin, und tragen Sie die rote Krawatte nur ihr zuliebe, die Sie heute für mich nicht angelegt haben?" Von mir wußte er, daß ich ein leidenschaftlicher Fußballspieler und Anhänger Borussia Dortmunds war. Dies nahm er zum Anlaß von Diskussionen folgender Art: „Also Herr Neukirch, der Kwiatkowski ist wohl eine richtige Flasche?" „Er ist der Nationaltorhüter, Herr Professor!" „Aber am letzten Sonntag hat er gegen Schalcke 04 zwei Tore zugelassen!" „Aber nicht mehr, Herr Professor, so daß Borussia 3:2 gewann!" „Nun ja, aber Schanko war gar nicht in Form, was ist mit ihm los?" „Ich habe das nicht bemerkt?" „Jedenfalls hat er von den drei Toren keines geschossen!" „Er ist Mittelläufer, Herr Professor, und dafür nicht zuständig." „Soso, na dann ist alles klar." Seine Fußballkenntnisse besorgte er sich mir zuliebe von seiner Frau. Er setzte sie sonntags vors Radio, ließ sich von ihr die Ergebnisse und Kommentare berichten und meinte, mit diesem Wissen vor mir bestehen zu können. Vielleicht machte er sich aber auch nur heimlich einen Spaß mit mir, so wie mit vielen anderen. Seinen Töchtern drohte er z. B. bei Unartigkeit mit der „Kleistschen Lasterschule". Diese Lehre macht sich die Neigung der Kinder zunutze, das Gegenteil von dem zu tun, was ihnen von Eltern und Schule angezeigt wird, so daß man sie mit der Unterrichtung in allen möglichen Lastern durch ihren Widerspruchsgeist zum Guten erziehen kann. In jüngeren Jahren unternahm er mit Kollegen verschiedenster Fakultäten, seinem „Rennclub", ausgedehnte Wanderungen durch das Siebengebirge, die alle im Gasthaus endeten. Dort wurde fleißig gezecht und über die Zecherei eine „Rauschtabelle" geführt, in der verzeichnet wurde, wieviele Räusche ein jeder der Herren Professoren schon hinter sich hatte. Ich komme zurück zum ernsthaften Wolfgang Krull. Meine Bewunderung blieb auf diesen Mathematiker nicht beschränkt. Als der junge und vitale Hirzebruch kam, zog für mich eine neue mathematische Welt ein, und seine „Arbeitstagungen" machten mich mit den Namen Grothendieck, Serre, Tate, Shafarevic, Iwasawa bekannt, die mich mathematisch von nun an gefangen nahmen. Aber doch verblieb ich in der angenehmen Nähe Krulls, der mich durch seine umfassende Bildung anzog, und durch die kulturelle, geistige Atmosphäre, die er dadurch um sich wob. Ein Kollege der Philosophie behauptete, er sei überhaupt der gebildetste Mann an der ganzen Universität.

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Man konnte und mußte mit ihm über alles reden. Wenn ζ. B. der Student Niemeyer im Nebenfach seine Prüfung in Kirchengeschichte ablegen mußte, so wurde er von Krull ins Zimmer gezogen und schon mal vorgeprüft. Überhaupt war Geschichte ein Steckenpferd von ihm. Sein besonderes Interesse galt der antiken Geschichte und der griechischen Literatur. Oft sprach er von der Schönheit der Homerischen Dichtung, die er auf griechisch las. Aber auch die chinesische und japanische Kultur studierte er mit Eifer und ergötzte mich mit vielen absonderlichen Geschichten aus diesem Bereich. Er kannte den Faust auswendig und wußte manche Ballade von Schiller ohne Stocken herzusagen. Seine Lieblingsdichter waren Dickens, Dostojewski und Goethe. Im Bett gefiel es ihm hingegen, englische Krimis zu lesen, namentlich Raymond Chandler. Bei dieser Belesenheit war ich hoffnungslos unterlegen, beschränkte aber gerne meinen Teil aufs Zuhören. Wenn es um Musik ging, gestand er mir eine Kompetenz zu und zeigte lebhaftes Interesse an meinen Ansichten über Schubert, Schumann, Brahms etc. und über den Jazz, den ich in der Jugendzeit aktiv betrieben habe. Sein Frau spielte Cello und mit den Töchtern erklang zuhause manches Trio. Ihm selbst mußte die passive Teilnahme an der Musik durch Radio und Schallplatte genügen. Krull nahm immer einen starken persönlichen Anteil am Leben und Befinden seiner Schüler und sah im Umgang mit ihnen seine Welt. Seine Frau erzählte mir nach seinem Tode, daß er von den täglichen Begegnungen mit uns zu Hause immer ausführlich berichtete. Er habe es stets bedauert, kein Söhne zu haben, und so sähe er uns als seine Söhne an. Er half uns wirklich mit Rat und Tat. Seinen Assistenten M. Reufei entließ er nach Kabul in Afghanistan - nach meiner Meinung in die Wüste - und plante mit Landkarten und Kursbuch den genauen Ablauf seiner Reise. Für zwei Dinge interessierte er sich gar nicht, für Geld und Politik, auch nicht für Institutspolitik. Aber einmal setzte er sich doch mächtig in der letzteren durch, was mir so erzählt wurde: In der Fakultätssitzung - deren Ende er gewöhnlich gelangweilt abwartete ging es um eine Assistentenstelle, die Hirzebruch gehörte, die aber ein anderer Kollege für sich beanspruchte. Nachdem er dem Gezerre eine Weile zugehört hatte, unterbrach er den Streit, indem er aufstand und in entschiedenem Tone bestimmte, daß die Stelle ihm zukomme. Er habe da einen begabten Studenten und sei im übrigen schon so alt, daß ein Widerspruch unangemessen sei. Seine Autorität war so groß, daß man in der Tat die Waffen streckte. Der „begabte Student" war ich, und so erhielt ich zum ersten Mal in meinem Leben einen finanziellen Boden unter die Füße. Er scheute sich nicht, in unser Privatleben hinein dirigieren zu wollen. Als ich ihm von meiner Heirat erzählte, belehrte er mich, wie die Einrichtung der Wohnung zu vollziehen sei. Vor allem wichtig sei ein Herd. Als ich ihm erzählte, wir hätten bisher als einziges Möbel ein Klavier gekauft, war er erschrocken, beschwor mich, sofort einen Herd hinzuzukaufen, und ließ mit seiner Frage, ob schon ein Herd da sei, nicht ab, bis wir seiner Mahnung gefolgt waren. Am Ende des Semesters versammelte er seine Schüler alle im „Café Stockamp", wo er uns bei ausschließlich privatem Plausch üppig bewirten ließ. Nach unseren Korridor-Gängen verließ er um zwölf das Institut und ging zu Fuß nach Hause in die Meckenheimerstraße, eine halbe Stunde Wegs. Ich fragte ihn dann artig „Darf ich Sie nach Hause bringen, Herr Professor, und geben Sie mir Ihre Ak-

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tentasche?" Er nahm dies immer dankbar an, und ich vergab mir nichts, das schwere lederne Ungetüm, das vielleicht nur drei leichte Blätter besorgte, zu tragen. Nicht aus devoter Liebedienerei oder um als Günstling mir einen Vorteil zu verschaffen begleitete ich ihn - ein Günstling war ich längst. Es war mir ein Bedürfnis, ihm eine kleine Gefälligkeit zu erweisen, zu der es sonst keine Gelegenheit gab. An der Gartentür wurde ich stets verabschiedet und hätte doch gern einmal einen Blick in seine Wohnung getan. Dies blieb mir über Jahre versagt, bis er mich eines Tages doch einmal heraufbat. Es wurde für mich eine Peinlichkeit daraus. Er sagte, daß es für ihn ein tägliches Bedürfnis sei, ein Glas Portwein zu trinken, wenn er nach Hause kam. Portwein liebe er besonders, ob ich auch ein Glas möchte. Recht gern, sagte ich. Er lupfte den Korken und begann mit meinem Glas. Es wurde gerade so eben voll, dann war die Flasche leer. Es half mir nichts, zu beteuern, daß mir an Portwein gar nichts läge, ich mußte das volle Glas austrinken, ihn vor einem leeren sitzen sehend - das war ein bitterer Tropfen Weines. Wolfgang Krull fiel eines Tages auf sonnenbeschienener Straße um und war tot. Seine Witwe, die ich später aufsuchte, traf es genau, als sie sagte. „So glücklich, wie er gelebt hat, so glücklich ist er gestorben." Die Beerdigung fand im engsten Familienkreise statt, und ich fand es nicht recht, daß er mich ausgeschlossen hatte. So kaufte ich einen Blumenstrauß, und schlich mich, als ich das Zeremoniell vorüber wähnte, zum Friedhof. Ich fand ein einsames, ausgehobenes Grabloch mit einem Sarg darin und daneben aufgehäufte Erde - keine Blume, kein Kranz. In die Erde steckte ich traurig meine Blumen, verharrte eine Weile im dankenden Abschiedsgruß und ging meiner Wege. Heute liest man auf einfachem rötlichem Grabstein: Wolfgang Krull *26.8.1899 112.4.1971

Mathematiker

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Research Papers

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First page of Wolfgang Krull's PhD Thesis submitted in this form to the Naturwissenschaftlich-Mathematische Fakultät at the University of Freiburg

Über Begleitmatrizen und Elementarteiler [1] Inauguraldissertation zur Erlangung der Doktorwürde vorgelegt der hohen naturwissenschaftlich-mathematischen Fakultät der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg i. Br. von Wolfgang Krall aus Baden-Baden. Dekan: Geheimrat Professor Dr. Heffter. Referent: Professor Dr. Loewy.

Die vorliegende Arbeit soll auf Anregung von Herrn Professor Alfred Loewy einen neuen, rationalen Zugang zur Elementarteilertheorie eröffnen. Gegenstand der Untersuchung sind Matrizen η-ten Grades A= ||α,·&|| (i, k = 1 , 2 , . . . , η) oder die ihnen „zugeordneten" linearen homogenen Substitutionen z¡ = Σ * = ι aikyk (k = 1 , 2 , . . . , « ) , die sich auch als Matrizengleichung (ζ) = A · (y) schreiben lassen. Dabei bedeutet (z) (entsprechend (y)) hier, wie immer im folgenden, eine Matrix von der besonderen Gestalt zi 0 . . . 0 Z2 0 . . . 0 Zn 0 . . . 0 Die Zi und ebenso die y¡ (í = 1 , 2 , . . . , η) sind zwei Systeme von je η Variabein. Man nennt zwei Systeme (ζ) = A • (y) und (ζ') = Β · (y') dann und nur dann ähnlich, wenn eine Matrix Ρ mit nichtverschwindender Determinante existiert, so dass durch die kogredienten Substitutionen (ζ) = P-(z')und(yi = Ρ-(y') das zu A gehörige System in das zu Β gehörige übergeht. Aus (ζ) = Ρ • (ζ') und (ζ) = Α·Ρ- [y') folgt (ζ') = Ρ~λΑΡ • ( / ) . Weil die y¡ Unbestimmte bedeuten, folgt daraus: Β = P ~ X A P . Besteht eine solche Beziehung, so heissen die Matrizen A und Β ähnlich. Aus der Ähnlichkeit zweier Substitutionensysteme folgt also die Ähnlichkeit der zugeordneten Matrizen und umgekehrt. Jedem Theorem über ähnliche Substitutionensysteme entspricht ein solches über ähnliche Matrizen und umgekehrt.

Für die Untersuchungen unsrer Arbeit ist ein für allemal ein abstrakter Körper (Rationalitätsbereich) zugrunde gelegt, dem alle auftretenden Konstanten, über die wir sonst keinerlei Voraussetzungen machen, angehören sollen. In §1 wird eine beliebige Matrix A durch Ähnlichkeitstransformationen in die „Kette ihrer aufeinanderfolgenden grössten Begleitmatrizen" übergeführt. Aus der

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gewonnenen Normalform folgt das erste Ähnlichkeitskriterium. Der Begriff der Begleitmatrix wurde dabei den Arbeiten von Herrn Loewy : „Über einen Fundamentalsatz für Matrizen und lineare homogene Differentialsysteme", Sitz. Ber. d. Heidelberger Akademie d Wissensch (1918), und: „Über Begleitmatrizen und lineare homogene Differentialausdrücke", Math. Zeitschrift 7 (1920), entnommen. §2 beschäftigt sich mit Transformationen von Begleitmatrizen. Es wird ein Teil der Ergebnisse der zuletzt zitierten Arbeit von Herrn Loewy für Matrizen mit konstanten Elementen spezialisiert. §3 führt nach Definition der Zerlegbarkeit, Reduzibilität, vollständigen Reduzibilität einer Matrix den Begriff der „zu einer Matrix gehörigen unzerlegbaren Begleitmatrizen" ein und leitet daraus ein neues Ähnlichkeitskriterium ab. In §4 werden die Ergebnisse der Loewyschen Arbeit: „Über Matrizen- und Differentialkomplexe", Math. Annal. 78 (1916), für den Fall einer einzigen Matrix mit konstanten Koeffizienten selbstständig abgeleitet. Mit Hilfe dieser Ergebnisse ist es möglich, ein weiteres Ähnlichkeitskriterium aufzustellen, und die Ergebnisse der Dissertation von Herrn Joseph Wirth: „Über die Elementarteiler einer linearen homogenen Substitution", Freiburg 1906, ohne Benützung der Elementarteilertheorie für eine Einzelmatrix herzuleiten, während sie bei Herrn Wirth nur für Gruppen von Matrizen bzw. Substitutionen ausgesprochen waren. §5 enthält Sätze über den Rang einer beliebigen rationalen Funktion einer Matrix. Es werden dabei die Ergebnisse der Arbeiten: „ Z u r Theorie der bilinearen Formen", Monatsber. f. Math. u. Physik 1 (1890), von E. Weyr und: „Über den Rang einer Matrix", Sitz. Ber. d. Berliner Akad. d. Wissenschaften (1911) von Frobenius1 zum erstenmal auf rationalem Wege bewiesen und zum Teil schärfer formuliert. Es ergibt sich das vierte Ähnlichkeitskriterium. In §6 werden die gewonnenen Resultate auf den bisher ausgeschlossenen Fall eines endlichen Körpers übertragen. In §7 werden sämtliche mit einer gegebenen Matrix vertauschbaren Matrizen ermittelt, und dadurch schon früher bewiesene Ergebnisse2 neu abgeleitet. §8 bringt die Anwendung der Matrizentransformationen auf die Elementarteilertheorie. Den grössten aufeinanderfolgenden Begleitmatrizen einer Matrix entsprechen die „ i-ten zusammengesetzten Elementarteiler" einer Formenschar, den unzerlegbaren Begleitmatrizen die „einfachen Elementarteilei". Aus diesem Zusammenhang ergeben sich die Hauptresultate der Elementarteilertheorie, die auf irrationalem Vgl. auch die Arbeit: „Zur Theorie der Körper von Matrizen", J. f. Math. 127 (1904) p. 116-166 von Herrn Hensel. vgl. hierzu die Anmerkung 3 3 .

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Wege zuerst von Weierstrass3, Kronecker4, Weyr5, auf rationalem Wege zuerst von Frobenius6 und Landsberg7abgeleitet wurden.

§1. Die zu einer Matrix gehörigen aufeinanderfolgenden grössten Begleitmatrizen. Ist A eine beliebige Matrix, so versteht man unter der „charakteristischen Funktion von A" die Determinante \r-E — A\ = φ(r), unter der „reduzierten charakteristischen Funktion", \jr(r) die Gleichung niedrigsten Grades, der A genügt. Über t/r(r) werden in der vorliegenden Arbeit folgende, einfach beweisbare Sätze benutzt: a) Ψ(γ) ist gleich