Geometrie

Table of contents :
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Tabelle, Liste
C. Algebraische Geometrie. (Fortsetzung.)
10. Spezielle algebraische Flächen.
a) Flächen dritter Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im September 1928.)
I. Historische Entwicklung der Haupteigenschaften der Fläche.
1. Erstes Auftreten der allgemeinen F3 bei Plücker und Magnus
2. Erste Grundlegung der Theorie. Die Bestimmung der 27 Geraden und 45 Ebenen nach Salmon und Cayley
3. Sylvesters Pentaeder und Steiners Kernfläche
4. Singularitäten. Klasse der Fläche. Einteilung in Arten nach Schläfli und Cayley
5. Fortsetzung. Einfluß der Singularitäten auf die 27 Geraden und 45 Ebenen
6. Realitätsverhältnisse bei den 27 Geraden und 45 Ebenen. Die fünf Schläflischen Typen singularitätenfreier Flächen
7. Graßmanns Erzeugungen der Fläche
8. Steiners Erzeugungen der Fläche. Konjugierte Trieder
9. Erzeugungen der Fläche nach August, Sturm und Schroeter. Konjugierte Tetraeder. Weitere Erzeugungen
10. Schläflis Diskussion der 27 Geraden und 45 Ebenen. Sechsen und Doppelsechsen. Fünfen
11. Clebschs Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Geometrie auf der Fläche. Schiefe Projektion. Sekantenprojektion und Sekantenabbildung
12. Formentheoretische Behandlung der Fläche
13. Eeziprokalflächen. Die Steinersche Fläche 8 als Reziproke einer F3 mit vier Knoten und ihre Abbildung auf die Ebene
14. Regelflächen 3. Ordnung und ihre Abbildung. Die Cayleysche Fläche
II. Systematischer Ausbau der Theorie.
15. Cremonas und Sturms Preisarbeiten. Kurven auf der Fläche
16. Geisers Projektion der Fläche von einem ihrer Punkte aus. Segres Projektion vom S4 aus
17. Gestaltliche Verhältnisse der Fläche. Modelle. F. Kleins Auflösung von Knotenpunkten. Juels topologische Flächen 3. Ordnung
18. Zusammenhang zwischen den 27 Geraden und dem Pentaeder nach Cremona und Beltrami
19. Fortsetzung. Binäre Beziehungen der Fläche auf kubische Raumkurven nach W. Fr. Meyer. Ergänzungen von Waelsch
20. Das Gebüsch der ersten Polaren der Fläche
21. Lineare Konstruktionen der Fläche. Allgemeinere Gesichtspunkte bei v. Escherich
22. Gruppentheoretische Behandlung der Fläche, besonders ihrer 27 Geraden, nach Klein und Burkhardt, sowie von Coble
23. Spezielles
24. Das Zylindroid
10. Spezielle algebraische Flächen.
b) Flächen vierter und höherer Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im August 1930.)
I. Einleitung und Übersicht. Reziproke Erzeugung der F4, JP5, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4. Kanonisierun
1. Einleitung und Übersicht
2. Reziproke Erzeugung der F4, F5, ... durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich
3. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4
4. Die Kanonisierung der F4 und Reyes Dekaeder. Sonderfälle
5. Formen theoretisches. Übertragungsprinzipien
II. Kummers Untersuchung der F4 mit Scharen von Kegelschnitten.
6. Einleitung. Hilfssätze
7. Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T0. Die F4 mit einer Doppelgeraden .... Die Dupinsche Zyklide. Die F4 mit zwei Selbstberührungspunkten
8. Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus T1. Die Steinersche Fläche S
9. Dritter Hauptfall (III): Die H sind vom Typus T2. Die F4 mit Doppelkegelschnitt C2. Die fünf Kummerschen Kegel
III. Die F4 mit Doppelkegelschnitt.
10. Die Abbildung der F4 auf eine Ebene nach Clebsch. Die 16 Geraden auf der F4
11. Die Vieren und Doppelvieren
12. Die Kegelschnitte auf der F4
13. Die Kurven 3. Ordnung Cs auf der F4
14. Die rationalen Kurven 4. Ordnung R4 auf der F4 und ihre Beziehung zu den Vieren zweiter Art
15. Fall eines Knotenpunktes D2 auf der F4
16. Die zur Bestimmung der 16 Geraden g dienende Gleichung 5. Ordnung
17. Erzeugung der F4 durch zwei projektive F2-Büschel. Die synthetischen Untersuchungen von Juel und Bobek
18. Die vier Kuspidalpunkte der F4. F4 mit Kuspidalkegelschnitt
19. Die Zeuthensche Tangentenprojektion der F4 von einem Punkte des Doppelkegelschnitts aus. Die Projektion der F4 von der Spitze eines Kummerschen Kegels aus. Erzeugung der F4
20. Die Segresche Projektion vom S4 aus. Die Veronesesche Konstruktion
IV. Die Zykliden.
21. Die Zykliden als F4 mit dem Kugelkreis als Doppelkegelschnitt
22. Die Untersuchung von Casey
23. Einführung der pentasphärischen Koordinaten nach Darboux
24. Konfokale Zykliden
25. Zykliden und Fokalflächen
26. Transzendente Darstellung der Zykliden nach Domsch
27. Die Dupinsche Zyklide
28. Fokalkurven und Abstandsrelationen
29. Die Krümmungslinien auf den Zykliden Z
V. F4 mit einer Doppelgeraden g.
30. Einleitung
31. Vorstufen zu einer F4 mit g
32. Die 16 Geraden auf der Fläche
33. Abbildung der Fläche auf eine Ebene
34. Die Kegelschnitte auf der Fläche
35. Die vier Kuspidalpunkte der F4 mit .... Die F4 mit einer Kuspidalgeraden
36. Spezielle F4 mit einer Doppelgeraden
VI. F4 mit dreifachem Punkt und solche mit einer dreifachen Geraden.
37. F4 mit dreifachem Punkt und ihre Abbildung auf die Ebene
38. Erzeugung der Fläche durch zwei projektive F2-Büschel
39. Die Untersuchung von Rohn_
40. F4 mit dreifacher Geraden ... und ihre Abbildung
41. Die F4 mit ... als Achsenfläche einer kubischen Raumkurve
VII. Die Steinersche Fläche.
42. Einleitung
43. Abbildung der Fläche auf eine Ebene
44. Normaldarstellungen der Fläche
45. Weiteres zur Abbildung der Fläche
46. Die Haupttangentenkurven der Fläche
47. Der Satz von Lie
48. Die Sätze von Darboux, Picard und Castelnuovo
49. Verallgemeinerungen der Weierstraßschen Darstellung der Fläche
50. Metrische Beziehungen
51. Die Krümmungslinien auf der Fläche S
VIII. Rationale Flächen vierter und höherer Ordnung.
52. Einleitung
53. Die Typen rationaler F4
IX. Flächen vierter und höherer Ordnung mit endlichvielen Geraden.
54. Flächen vierter und höherer Ordnung ohne Singul aritäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden
55. Flächen vierter und höherer Ordnung mit Singularitäten und einer endlichen Anzahl von Geraden
X. Flächen 4. Ordnung mit weniger als 16 Doppelpunkten.
56. Einleitung
57. Die Untersuchungen von Cayley
58. F4 mit zwei Selbstberührungspunkten. F4 mit vier uniplanaren Doppelpunkten
59. F4 mit vier beliebigen Doppelpunkten
60. Die Weddlesche Fläche 4. Ordnung
61. F4 mit acht assoziierten Doppelpunkten
62. Das Cayleysche Symmetroid. Die desmische Fläche 4. Ordnung
63. Die Untersuchung von Rohn über F4 mit 9 bis 15 Doppelpunkten
XI. Die Weddlesche und die Kummersche Fläche. Das Tetraedroid und die Wellenfläche.
64. Das allgemeine F2-Gebüsch. Die Kegelspitzenfläche und ihre Bildfläche
65. Das F2-Gebüsch mit sechs Grundpunkten
66. Die Weddlesche Fläche und die Kummersche Fläche als ihre Bildfläche. Invariante Darstellung beider Flächen
67. Die Kummersche Fläche als Projektion vom S4 aus
68. Die 16 D2 und 16 ..., syzygetische und azygetisehe Tetraeder der Kummerschen Fläche. Normaldarstellungen. Die lineare Konstruktion von H. Weber. Die Kummersche Konfiguration
69. Liniengeometrische Behandlung der Kummerschen Fläche. Die Kummer-sche Fläche als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes und als Brennfläche einer quadratischen Kongruenz
70. Die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche
71. Transzendente Behandlung der Kummerschen Fläche
72. Konfigurationen, die der Kummerschen Fläche zugleich ein- und umbeschrieben sind
73. Das Cayleysche Tetraedroid und die Wellenfläche
74. Die Haupttangentenkurven und die Krümmungslinien auf der Wellenfläche
XII. Regelflächen vierter und höherer Ordnung.
75. Einleitung über Regelflächen 4. Ordnung R-F4
76. Die abwickelbare R-F4
77. Die R-F4 mit dreifacher Geraden .... Unterarten
78. R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve
79. Die Mohrmannsche Untersuchung der R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve
80. Die R-F4 mit reduzibler kubischer Doppelkurve
81. Die R-F4 vom Geschlecht i mit zwei windschiefen Doppelgeraden
82. Die Polaren-Methode von Wong
83. Die Regelflächen 5. Ordnung
84. Die Regelflächen sechster und höherer Ordnung
XIII. Metrisch bemerkenswerte Flächen vierter und höherer Ordnung.
85. Aus Flächen 2. Ordnung abgeleitete Flächen vierter und höherer Ordnung
86. Andere bemerkenswerte metrische Flächen vierter und höherer Ordnung
87. Algebraische Minimalflächen
11. Algebraische Transformationen und Korrespondenzen. Von L. BERZOLARI in Pavia. (Abgeschlossen im Dezember 1932.)
I. Einleitende Definitionen und Eigenschaften.
1. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Mannigfaltigkeiten
2. Beziehungen zwischen invarianten Charakteren zweier algebraischer Kurven oder Flächen in algebraischer Korrespondenz
II. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien in linearen und nichtlinearen Gebieten.
3. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Elementen zweier Grundggebilde erster Stufe (oder zwischen den Punkten zweier rationaler Kurven)
4. Fortsetzung: Algebraische (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe
5. Algebraische, insbesondere plurilineare Korrespondenzen zwischen mehreren Grundgebilden erster oder höherer Stufe
6. Korrespondenzprinzip auf der Geraden (oder auf rationalen Kurven)
7. Korrespondenzprinzipien in der Ebene und in linearen Räumen dreier oder mehrerer Dimensionen
8. Korrespondenzprinzipien in nichtlinearen Mannigfaltigkeiten
III. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien für algebraische Kurven beliebigen Geschlechts.
9. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven
10. Das Korrespondenzprinzip von Cayley-Brill
11. Systeme mehrerer Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve und Anwendungen auf Fragen abzählender Art über lineare Scharen
12. Die allgemeine Korrespondenztheorie von A. Hurwitz
13. Geometrische Behandlung der allgemeinen Korrespondenztheorie nach F. Severi
14. Fortsetzung: Die algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten einer in einem linearen System veränderlichen Kurve auf einer algebraischen Fläche
15. Wertigkeit einer Korrespondenz nach H. Burkhardt und H. G. Zeuthen
16. Die algebraischen Korrespondenzen zwischen algebraischen Kurven unter dem Gesichtspunkt der Analysis situs
17. Multiplizität eines Koinzideuzpunktes in der Gruppe der Koinzidenzpunkte einer algebraischen Korrespondenz auf einer algebraischen Kurve; Regel von H. G. Zeuthen
18. Grad und Geschlecht einer algebraischen Korrespondenz zwischen zwei algebraischen Kurven
19. Symmetrische und halbsymmetrische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer algebraischen Kurve
20. Geometrische Darstellungen und Erweiterungen. Untersuchungen von C. Rosati und G. Scorza; vorläufige Bemerkungen
21. Geometrische Deutung der Beziehungen von A. Hurwitz.Reduzible Abelsche Integrale 1. Gattung und "speziale" Korrespondenzen
22. Fortsetzung: Netze von spezialen Korrespondenzen, die einem regulären System reduzibler Integrale 1. Gattung beigeordnet sind Immersionskoeffizient eines solchen regulären Systems
23. Minimalgleichung einer Korrespondenz
24. Ausdehnung des Wertigkeitsbegriffs einer Korrespondenz; einfache und mehrfache Wertigkeiten einer Korrespondenz
25. Hermitesche Korrespondenzen. Verbindung der Korrespondenztheorie mit dem Begriff der Ordnung von Zahlkörpern (nach R. Dedekind)
26. Fortsetzung: Vertauschbare Korrespondenzen
27. Pseudoachsen einer Riemannschen Matrix. Multiplikabilitätsgruppe der Matrix und ihre Struktur
28. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve vom Geschlecht p = 2
29. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei voneinander verschiedenen algebraischen Kurven
30. (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven; Gruppen solcher Korrespondenzen auf einer algebraischen Kurve
31. Involutionen beliebiger Ordnung und Dimension auf einer algebraischen Kurve
32. Verallgemeinerung: Algebraische Scharen von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve
33. Algebraische Kurven, die irrationale Involutionen 2. Ordnung enthalten
34. Formel von H. Schubert für algebraische ...-Scharen. Arithmetisches Äquivalenzkriterium von G. Castelnuovo. Verallgemeinerungen und Anwendungen. Arithmetisches Kriterium von F. Severi für die Wertigkeitsko
35. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp einer Kurve vom Geschlecht p > 0 und die eineindeutigen Korrespondenzen zwischen Gruppen von p Punkten der Kurve
36. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp in Verbindung mit den algebraischen ...- Scharen von Punktgruppen auf der Kurve und mit der Theorie der algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten dieser Kurve
37. Fortsetzung: Arithmetische Invarianten einer algebraischen ...-Schar von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve
38. Transzendente Bedingungen für die birationale Identität zweier algebraischer Kurven. Birationale Korrespondenzen der Jacobischen Mannigfaltigkeit Vp in sich
39. Die Kurven, auf denen die aus der Gesamtheit der algebraischen Korre-spondenzen bestehende Gruppe besonderen Permutabilitätsbedingungen genügt
40. (p, p)-Korrespondenzen auf einer Kurve vom Geschlecht p mit allgemeinen Moduln
41. Automorphe birationale Transformationen einer irreduziblen Kurve
42. Der hyperelliptische Fall
43. Der elliptische Fall
44. Erweiterung des Satzes von H. A. Schwarz (Nr. 41) nach G. Castelnuovo
45. Arithmetische Irrationalitäten, von denen die Transformationen algebraischer Kurven abhängen. Die Arithmetik auf den algebraischen Kurven
IV. Birationale (oder Cremona-) Transformationen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen.
46. Einleitung
47. Birationale Transformationen zwischen zwei Ebenen
48. Hauptpunkte und -kurven
49. Grundlegende Beziehungen zwischen den Zahlen, die sich auf ein homaloides Netz beziehen
50. Eigenschaften der Hauptpunkte und -kurven
51. Bestimmung der ebenen Cremonaschen Transformationen gegebener Ordnung
52. Fortsetzung: Untersuchungen von D. Montesano
53. Bestimmung der konjugierten Lösung zu einer gegebenen Lösung der Gleichungen von L. Cremona
54. Entsprechende Kurven in einer birationalen ebenen Korrespondenz
55. Lineare Transformation mit ganzen Koeffizienten in Zuordnung zu einer ebenen Cremonaschen Transformation
56. Cremonasche Äquivalenz zweier algebraischer ebener Kurven
57. Zerlegung einer ebenen birationalen Transformation in Faktoren
58. Birationale Transformationen zwischen zwei vereinigt liegenden Ebenen
59. Ebene birationale Reziprozitäten; Nullreziprozitäten
60. Periodische, insbesondere involutorische birationale ebene Transformationen
61. Reduktion der involutorischen birationalen ebenen Transformationen auf Typen mittels birationaler Transformationen
62. Analoge Reduktion auf Typen für die involutorischen antibirationalen ebenen Transformationen
63. Typen endlicher diskontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen. Beispiele unendlicher diskontinuierlicher Gruppen
64. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen
65. Gruppen ebener birationaler Berührungstransformationen
66. Ebene quadratische Transformationen; geschichtliche Bemerkungen
67. Eigenschaften und Konstruktionen der ebenen quadratischen Transformationen
68. Ebene quadratische singuläre Transformationen
69. Ebene quadratische involutorische Transformationen
70. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien
71. Kreisverwandtschaft
72. Andere besondere Transformationen und Gruppen Cremonascher Transformationen zwischen zwei Ebenen
73. Birationale Transformationen zwischen zwei Räumen von drei Dimensionen
74. Hauptelemente
75. Fortsetzung: Grundlegende Formeln
76. Bestimmung der birationalen Transformationen zwischen zwei Räumen
77. Transformationen 2. Ordnung
78. Quadratische involutorische Transformationen
79. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien
80. Transformationen 3. Ordnung
81. Fortsetzung: Birationale Transformationen der Ordnungen (3, 3) und ihre besonderen Fälle
82. Nichtinvolutorische oder involutorische monoidale Transformationen
83. Nichtinvolutorische oder involutorische birationale Transformationen, die durch irgendwelche Eigenschaften des Systems der Verbindungsgeraden der homologen Punkte gekennzeichnet sind
84. Andere besondere birationale involutorische oder nichtinvolutorische Transformationen
85. Birationale Raumreziprozitäten; Nullreziprozitäten
86. Produkte von birationalen Raumtransformationen. Endliche und unendliche diskontinuierliche Gruppen solcher Transformationen
87. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von birationalen Raumtransformationen
88. Birationale Transformationen zwischen zwei linearen r-dimensionalen Räumen
89. Quadratische Transformationen
90. Andere besondere birationale Transformationen und Gruppen solcher Transformationen
91. Fortsetzung: Reguläre Gruppen Cremonascher Transformationen. Untersuchungen von A. B. Coble
V. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen.
92. Rationale Transformationen zwischen zwei Ebenen
93. Sonderfälle
94. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Ebenen
95. Sonderfälle
96. Rationale Transformationen zwischen zwei dreidimensionalen Räumen
97. Sonderfälle
98. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Räumen
99. Höhere Nullverwandtschaften
100. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Oberräumen
101. Ebene und räumliche, ein- und mehrdeutige Transformationen, die mit Fragen der Kinematik verknüpft sind
102. Allgemeine Involutionen in den linearen Räumen zweier oder mehrerer Dimensionen; Rationalitätsfragen
VI. Anwendungen
103. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen Grundgebilden hervorgehen
104. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen nichtlinearen Gebilden hervorgehen
106. Reduktion der Singularitäten der ebenen und nichtebenen algebraischen Kurven
106. Reduktion der Singularitäten der algebraischen Flächen
107. Reduktion linearer Systeme algebraischer Kurven und Flächen auf Typen mittels Cremonascher Transformationen
108. Andere einzelne Anwendungen
VII. Ebene Abbildung von rationalen Flächen.
109. Allgemeines
110. Irrationalitäten, von denen die ebene Abbildung einer rationalen Fläche abhängig gemacht werden kann
111. Vorläufige Eigenschaften der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche
112. Hauptpunkte und -kurven der ebenen Abbildung
113. Fortsetzung: Kurven, die sich auf der Ebene und der Fläche entsprechen
114. Besondere Fälle
115. Ebene Abbildung einer rationalen Fläche des dreidimensionalen Raumes
116. Fortsetzung: Fragen abzählender Art, die mit der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche verknüpft sind
117. Reelle Mäntel der reellen rationalen Flächen und deren Zusammenhangseigenschaften in bezug auf die ebene Abbildung der Fläche. Untersuchungen von A. Comessatti
118. Abbildung auf mehrfache Ebenen; Rationalitätsfragen
VIII. Andere besondere Abbildungen und algebraische Korrespondenzen.
119. Verschiedene rationale Mannigfaltigkeiten dreier Dimensionen
120. Andere besondere Abbildungen und rationale Mannigfaltigkeiten
121. Konnexe
Berichtigungen
Register zu Band III, 2. Teil
Berichtigungen
Namenverzeichnis zu Band III, 1. u. 2. Teil