Geometrie diferențială

Citation preview

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI JNYĂŢĂMTNTULUI

Prof. univ. dr. DAN f. PAPUC

Qe0metrtie difertentiala

Q

EDITURA DIDACTICA ŞI PEDAGOGICA BUCUREŞTI - 1982

Manualul a fost ~1>robnt de ConsiUul catedrei de geometrie a Facultăţii de matematică din Timişoara şi de Consiliul profesoral al Universitdtii din Timişoa~.

Redactor : GABRIELA ILIESCU Tehnoredactor: ELENA PETRICĂ Grafician: NICOLAE StRBU

'

CUPRINS

Introducere ...•••.•••..•••..•••.••••.•••.••••.••.••••.....•..•.•.......•••..• •. Cap. O. nn şi aplicaJII dlferenJlablle de la R" la nm ........... • .. • .. • .. •. • • •. • • Cap. I. VarletAJl dlferenJlablle • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1ntroducere. • • • • • . • . . . • . • .• • . • . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . • . . . . . . . § 1.1. Varietă/i dlferenfiablle • . • . . • • • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . • . . 1°. Definiţia varietăţilor dlferenţlflbile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2°. Exemple de varietdţi diferenţiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3°. Varietate dlfercnţlabtlă produs de varietăţi diferenţiabilc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4°. Topologia lndusA pe spaţiul geometric. Ipoteze fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . E:iercl/ii • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • . . • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . Notă .... :.............................................................. § I.2. Aplit:a/ii diferen/iabile . • • • • • . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 1°. Definiţia aplicaţiilor dlferenţiahlle. Proprietăţi. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 2°. Categoria Manr (a varletilţllor dfferenţiabilr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3°. Rangul unei aplicaţii difercnţiabfle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4°. Jmersii, submersu, scufundări . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5°. Subvarietdţi ale unei varleti\ţi date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6°. Difeomorfisme. Difeomorfisme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7°. Varietăţi difercnţiabile difeomorfe. Consideraţii Rsupra topologici cliferenţinJe . . ExP.rci /li • . . . . . . . . . . . . • . • • . . . . • • . . • . . • . • . . . . . • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § J.3. Algebre defunc/ii reale. Parli(ii ale unităţii . . . . • • • .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .. 1°. Algebre de funcţii reale . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2°. Germeni de funrţii, jeturi de funcţff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3°. Partiţii ale unităţii .......••........................... .-. . . . . . . . . . . . . . Exerciţii • • • • • . • • • . . • • . • • • • • • . . • • • . . • • . • . • . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . • . . § 1.4. Vectori tungen/1 la o varietale difeien/iabilă, fntr-u11 punci dai al ei . . . . . . . . . . . • . . 1°. Spaţiul liniar tnngeut la ,,~ într-un punct dat xE v~ ...•...• : • . . . . . • • • • . 2°. Altă definiţie a vectorilor tangenţi la o vnriet&te diferenţiRJ:iJă de clasă Co:, . . . . 3°. Fibratul vectorilor tangenţi la o varietate diferenţfnbilă v~.

I"';a:2 • • • • • • • • • • • • •

7

11 14 14 15 15 18 21 21 23 23 24 24 25 26 26

27 29 31 32 34 34 36 37 40 41 41 43 46

4°. Fibratul principal al reperelor liniare tangente la o variet~te difercnţiobih'i v~.

r;;a:2 . • •• • • • • • • • • . • •• • • . . • • • • . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 48 E:s:erci/ii • • . • • • • • . . • • • . • . . • . • • • • • • • . • . . • • • • • • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . 49 f I.5. Cîmpuri de vectori tangenţi la o vari,tate dlferen/lubilă . . . . . . . . . . . . . . . • . • •.• . • . . . 50 1°. Definiţia clmpurilor de vectori. ProprieUiţi • • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2°. Operaţii cu cîmpuri de vectori tangenţi la o varietate dilerentiabilă . . . . . . . . . 52 3°. Algebra Lie a clmpurilor de '\-ectori tangenţi ln o varietate dilerenţinbilă de , clasă COO • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 55 . 4°. Comportarea cîmpurllor de vectori la nplicaţit diferenţinbile . . . . . • . . . . . . . . . 57 E:s:erdf(i • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • . . . • • • • • • • • • • • . . . . . • • . • • • • • • • . . • • • • • • 59

3

f 1.6.

Tens

matricei \I

ari li calculată ax"

în punc-

tul (~). C

Propoziţia 2. Considerăm date aplicaţiile f: D c Rn-+ nm, g: D 1 c nm-+ RP, diferenţiabile de clasă respectiv C'1 , r, r1 ~ 1. Presupunem (D) D1~0 şi construim aplicaţia gof: D r-1 (D1) C R"-+ RP. Vom

cr,

n

n

f avea:

. ~ (x~) ED

n r-1 (D1) I rang (g O f)(x~)

~ min ((rang f)(:r~)' (rang g) f (xb)).

Demonstra/ie =

exerciţiu. Indicaţie: Se va folosi teorema din algebră conavem două matrice reale X, Y, al căror produs poate fi efectuat, atunci rang_ (X· Y) ~rang X, rang (X· Y) ~rang Y. ■

form

căreia dacă

a)

Propoziţia 3. ln aceleaşi ipoteze ca dacă n=m şi (rang f)< '> =n atunci

X-o

în propoziţia 2 (rang (gof)) 1) =(rangg)f( r ;

=(rang f) ,). o

t *

înseamnă că aplicaţia

„ I (rang (Xbox; 1))xa

(1) este diferenţiabilă · (r ia una din vaio"."

(x)=n

15-

Pentru a

reţine definiţia

(3) putem utiliza figura 1.

Figura 1. Aplicaţia

scrisă

(1) va fi

sub forma

y'=y' (x1 •.• , xn),

(2)

i=l, ... , Îl,

fiind numită transformare de coordonate de la harta ha la harta hb. Un atlas diferenţiabil de clasă C va fi notat cu ol (fără nici un indice superior). 00

Definiţia 4. Fie dat un atlas dl'= {ha (ua, 1..a) I a e J}, r~ 1, al perechii şi o hartă locală h (U, X) a acestei perechi. Vom spune că harta h este compatibilă cu atlasul dlr, relaţie notată cu h ~ol', dacă V a e;;. pentru care U a U#:0, la (U U a) este o mulţime deschisă din R" far ·aplicaţia

(S, R")

n

'Xo'X-!: la (U

n

n

Ua)

C

R"-+ X (U

n u b)

C

nn este regulată

de clasă

cr.*

Folosind teorema funcţiilor implicite (cap. O) o hartă locală h a perechii · (S, R") este compatibilă cu atlasul dlr, (r~ 1, dacă şi numai dacă atlasul {h} U u ol' este diferenţiabil de clasă cr (adică axiomele A 1 , A 2 sînt satisfăcute pentru acest atlas). Definiţia

5. Fie dată perechea ( S, R") şi două atlase ale ei, diferende clasă C', olf, d 2, (r~ 1). Vom spune că atlasele df, d 2 sînt echivalente dacă orice hartă a primului atlas este compatibilă cu cel de-al doilea atlas. Vom nota di ~d2-* ţiabile

Pentru o pereche (S, Rn) pentru care mulţimea atlaselor diferenţiabile de clasă C', (r~ 1), nu este vidă, relaţia de echivalenţă între atlase dată prin definiţia 5 este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Ea permite descompunerea acestei mulţimi în clase O}. Asociem perechii ( S, R)" atlasul d={h1 (U1, X1), h_1 (U~i, X_1)} unde U"={(x, a) e U} U V şi X"·-: (x, b)e e Ua~ x e It, (b e {O, a}). Fig. 3 face intuitivă întreaga construct.ie. X1 , 'X2 z1 sînt proiecţii paralele cu axa ordonateJor. Se verifică că h1 , h_ 1 sînt hărţi locale şi că atlasul d este diferenţiabil de clasă C0 • Pent:ni (J varietatea diferenţiabilă definită de · ( S, R, - - - - - -.. (0,1) V x' d) spaţiul geometric S, considerat ca spaţiul topologic, nu este Hausdorff (punctele (O,O) (O, 1), (O, -1) nu pot fi separate prin mul.;. __,,.....IJ......,_.,.(f? •I) ţ.imi deschise). I11oteze fţmdamcntn1e. ln cele ce urmează Figura 3. vom considera acele varietăţi diferenţiabile pentru care spaţiul geometric S cu topologia indusă este Hausclorff (separat} şi paracompact. Exemplul 10. 1n cazul varietăţilor f'R., ~k (vezi exemplele 1 şi 3 de la punctul .2 din acest paragraf), topologia indusă pc spaţiul geometric car~ este U, este topologia intervalelor. · Exemplul. 11. 1n cazul varietă\ii diferenţiabile rl)j (vezi exemplul 4 de la punctul 2, acest paragraf) topologia indusă pe Il2 , este diferită de topologia naturală (a pătratelor). Mai precis, topologia indusă de structura diferenţiabilă a lui (l)ipe R 2 este mai fină decît topologia naturală. în" această topologie orice ~nterval d~sch.is de pc dreapta y=kx+a este o mulOrne deschisă. ln acc:astă topologie -spaţiul ll2 nu este conex. O problemă ce se pune în mod natural esle următoarea...: Dacă S este un spaţiu iopologic, fiecare punct avind o vecinătate deschisă homeomorfă cu o mulţime deschisă din nn, există pentru perechea (S, R") un atlas diferenţiabil de clasă C', r~ 1 care să inducă ·pe S .topologia dată? Răspunsul este negativ. S-au

12.

construit exemple de,perechi (S, :R"), s· fiind spaţiu topologic cu proprietateâ:, care nu admite nici un atlas diferenţiabil de clasă C", r ~ 1 care să inducă pe ·$ topologia dată. dată;

t. ·Se poate·construi o hartă locali\ pentru o pereche (S. R) unde

S este o mulţime numă­

rabilă?·'

2. Fle datA·o varietate dlferenţiabilă v'n (S, B'', JJtr). .Să se arate că dacă spaţiul geometric ;S . eshnomj>acUtî topologia fndusii de structura diferenUabilă [.9'!'), aceastâ varietate diferenţi~­ bilă nu poate un atlas admisibil constituit dintr-o singură hartâ. - 3 Se ştie 'clt ·există o ·bijecţie n 1 R ~ R1• Folosindu-se hijecţiile 1t. 1t-1 să se construiască varietăţi tlifereitţtabile de dasă· cm, vf (R, R1, .$2(); vf (R1!, R, .9l 1). · · ·. ·

avea

. : 4. Fle s· muii.lmea polinoamelor reâle de qrad n. SA se stn1cturalizeze această mulţime ca o varietate diferetaUabilă de clasă -C(I). t'U · n+ 1 dimensiuni. 1xl= 1}. (vezi exemplul ·5 5. So consideră perechea (S, R") unde S= {(a:')l(x') e nn+t, § I.1) şi punctele .rN= (O, •.• , Cl, 1), :z: 8 = (O, ••• , O, -1) aparţintnd lnf S. Se asociază perechii (S1.. 8 11 ) atlasul d {ha (U11,. XN), h8 ( U s, X8 ) urade UN= S-{:rN }, 'u s= =S-{xs} iar XN, Xs sfnt proiecţlile stereografice din ~. ·respectiv x 8 pe pJanul :z:"+I= O (vezi riEt. 4). Să se verifice că h,., h8 slnt hărţi locale ale perc~hii (S, R"),:c:1 .$2( este uir atlas diferenţiabil de clasil c al ac~tel pererhi, c~ -~ este echivalent. _cu aUasul perţJiiif ·cs, _R ~) con'~truit tn exemplul

a,,x

=

5,

Ş

I.t. 6. ConsiderAm spaţiu liniar cucii-

Figura 4. dian R". Notăm cu L„ un subspa\iu liniar de ditrÎcnşiune k al lui R" ~i r.u Lf, complcmcntnrul lui J.k în ll'". ortogonal pe L1:. Aso• r.iem perechii (S, nk Cn-1:) unde S= {L,JL1 C R"} aUasnl .stl.= {'' 1 o cp : v~ -+ v~•1 este diferenţiabilă de clasă -cmin(P, P,) •

24

Demonstraţie.

Expresia locală a aplicaţiei cp1 o cp în două hărţi locale admisiprin- compunerea expresiilor locale a aplicaţiilor cp, cp1 în hărţile· ha, hal, respectiv ha 1 , ha,, ha 1 fiind o hartă admisibilă a lui u~1 convenabil aleasă. ■ bile ha, ha, se

obţine

Ex~mplul 1. Oricare ar fi v~rietăţile_diferenţiabile v~ (S, Rn, dr), u'fn (S1, dÎ), aplicaţ!a _ls : S-+ S (aplicaţia identică) notată cu lv~ şi aplicaţia Ci,: x e S-+ x0 e S1 (aplicaţia constantă) sînt diferenţiabile de clasă cr, res-

nm,

pectiv de

clasă cmin .

L

Exemplul 2. Considerăm -varietăţile analitice. (/(,, fJ2Z (~ezi exemplele 3,. §1,1). Aplicaţia ide~tică 1n: R-+ R. ,considerată ca aplicaţie de Ia (J2 la fJ2t este oiferenţiabilă de clasă C© (analitică) şi considerată ca aplicaţie de la (J2k la (/(, este diferenţiabilă de clasă C:0 (este doar continuă). Exemplul 3. Considerăm sfera l:n (S, nn, of.©) (vezi exemplul 5, § I, 1) şi spaţiul proiectiv real t'/)n (S', R", ot.T) pentru S' fiind -dată bijecţia 1t: S'-+ N" (ve.d e~emplul 6. § I, 1). Aplicaţia cp : (x') e S-+ 1t-1 ((pxf)) e S' este diferenţ~abilă de clasă Cw. (Observăm că co,ntraimaginea unui punct generic din S' în

apli~aţia

cp este

constituită

din

do.uă

puncte diametral_ opuse de pe S).

·Exemplul 4. Pentru grupul GL (n, R) .(vezi· ·exemplul 7, § I, 1)

aplicaţiile

i h (li a1· li, li bj• li) e GL (n, Il) X· G.L (n, Il)-+ li a11bJ li e GL (n, Il) şi I li a111 e

slnt

diferenţiabile

renţiabilă

~i

i ~lt

l

GL (n, R)-+ li a1 li e GL (n, R) unde aha1=fJ1,

de

clasă

C©. (GL (n, R) X GL (n, R) este varietate dife-

produs). 2°. CATEGORIA MAN' (a· varietnţllor

dllcrenţinbile)

Considerînd varietăţile diferenţiabile de clasă C„ şi aplicaţiile diferenţiabile de clasă cr (r ~ 1), putem constitui o categorie, ale cărei obiecte vor fi varietăţile diferenţiabile de clasă cr, morfisme vor fi aplicaţiile diferenţiabile de clasă cr, compunerea morfismelor- este compunerea aplicaţiilor diferenţiabile iar morfismul unitate este aplicaţia identică a oricărui spaţiu geometric pe el însuşi. Exerciţiul 1. Să se verifice că elementele indicate mai sus satisfac axiomele unei categorii. Categoria obţinută, denumită categoria .varietălilor diferentiabile, este notati cu Manr (varietate= manifold,. în limba engleză). 1n cazul r= oo se va scrie Man. Izomorfismele categoriei Man„ vor fi. numite difeomorfisme. Propoziţia 2. Dacă ./),

j~ •j!g def i! (/ •g). Exerciţiul 3. Fie dată o vadetate diferenţiabilă v~ ( S, nn, ol,') arbitrară. Să se structuralizeze ca o varietate diferenţiabilă de clasă cr-P mulţimea {i: (/) I Vx e S, Vf e r;~}. p

n+

t

K;:'

Indicaţiei -Se ·consideră perechea (S1, R ni=O ) unde S1 {j~ (f) I Vx e S, V/ e '7~} iar K;:1 este numărul combinărilor cu repetiţie a n obiecte luate cite

m. Unei-hărţi locale admisibile a lui v~, h (U, X) i se asociază harta locală h1 (U1, X1) unde U1 = LJ~ f I Vxe U, Vfe '7n iar X1 :j: f e U1 ~ ((x,).F(x), (8,F)~, ... , ,

(0, 1, • 36

••••

. n+

;~'F)z) e

R

:Ep Kzim m=O

,

F fiind expresia locală a lui

f în harta

h. Se ·va arăta

p

J; K;!1 că h1 este efectiv o hartă locală asociată perechii ( S1 , Rm=o

) iar mulţimea

ot.1 = {h111 ( Uia, X1 a) I a e J }, (harta /z14 fiind definită de harta ha a atlasului otr = {ha I a e J}) este efectiv un atlas diferenţiabil de clasă cr-P. Pentru uşurinţa calculelor se poate considera doar ca.ml p=2, _ S!. PARTIŢII ALE UNITĂŢII

ln construcţia ce urmează proprietatea ca spaţiul geometric dotat cu topologia indusă să fie paracompact va juca rol esenţial. Definiţia 3. Fie dată varietatea diferenţiabilă v~ (S, nn, dl'), 1 ~ r ~

şi o acoperire deschisă, local finită "m hwarţ1•1e ha,, h'bi• Rea 1 1 1 •• . , ym) r·· i i ( y, (X1i = xi (x n) , Y1=Y1 un d t rans f ormari·1e d e coor d ona t e d e ~

C/

(

w

;L-, • • • ,

la ha la ha, şi de la h~ la h~ 1). într-adevăr avem

Y'1· -

.

J

I

.

, l

i

ocpf X'1- 8cpl ax1 XA = ayf ayk a. Vom proceda astfel: lntrucît cp_ este submersie, pentru fiecare punct Xo E Sexistă o vecinătate deschisă· Vcp(:ro) c S' astfel ca Vcp(Xo) c tp (S). Cu ajuLemă.

i

g:

g:

cm,n

57

torul teoremei funcţiilor implicite definim o iµiersie_ cp1 :: V cp -+- S, diferenţiabilă de clasă C', care este inversa lui cp I

1 (V

. Rezultă c~ g este diferenţi~ilă de această clasă. ■ · Demonstraţia propoziţiei 12. Considerăm două puncte arbitrare ·x, y e U pentru care cp (x)=cp (y). Punctele x, y pot aparţine la zona geometrică a unei hărţi ha ( Ua, X.a) sau nu. In cel de al doilea caz ne alegem două hărţi ha şi hb astfel ca x e ua, ye ub şi ua ub = 0- Considerăm apoi o hartă locală adm isibilă 1z; cu;, x;) a varietăţii '11 pentru care cp (x)=cp (y)=Z E u;. Considerăm mulţimea deschisă V=(U n Ua n cp-1 (U;)) U (Un Ub n cp-1 (U;)). (Dacă x, y e Ua atunci V=U U11 q,-1 (Um. Pe mulţhnea V consider funcţiile

.

-

.

n

n

reale g

11

n

= âcp(I X' (a = 1, ... , m). lntrucît clmpul cp' X există prin ipoteză, âx'

U:

funcţiile ga satisfac condiţiilor lemei şi deci ele definesc· pe cp (V) c func.ţia ga=za, diferenţiabile de clasă 01110 (p. s>. Funcţiile :I" sînt coordonatele locale

în harta locală h; restrînsâ la cp (V) ale cîmpului cp'X. Acelaşi raţionament îl facem pentru cîmpul Y, obţinînd funcţiile !fi=Z~ definită pc cp (V). Întrucît cîmpurile cp'X, cp'Y, definite pe mulţimea deschisă q, ( U) sînt diferenţiabile de clasă cel puţin 1 (aşa sînt coordonatele lor locale za, Zi în harta 1,:) rezultă că croşetul [cp' X, cp' Y] există. Vom demonstra acum existenţa cîmpului cp' ([X, Y]) şi vom stabili totodată şi relaţia cp' [X, Y]=[cp'X, 'Y.

8. lnlr-o hartă locală a unei varietăţi diferenţi~bile u~, sînt date cintpurlle Yectoriale

Să

se calculeze:

[-X, Y]. ·

croşetul

O. Dacă două perechi de clmpuri vectoriale tangente· la aceeaşi varietate diferenţiabilă,

d'.fcrcn\iabile d~ i;-1 croşetele

clasă

cel

puţin

lor coincid pi!

1, coincid

două

cfte

două

pe o

mulţime

închisu

dată,

nu obligator

această mulţime.

Contra exemplu: Considerăm varietatea '"R. 2 şi cimpurile vectoriale date in harta canonică pri11

relaţ'ile

Aceste clmpuri coincid pe mulţimea croşetele lor nu coindd pe M. 10. Se

J.lf

= {(x1,

I

x2 ) x1= x 2 } (prima bisectoare). Să se arate că

consideră aplicaţia difercnţiabilă

cxp: le 12 ~(cost, sin t) e I si clmpurile vectoriale tangente la ]l, X, Y date tn baza

prin

rtlaţi iJc

X=-= -

d

ill

, Y

=l -

d

• Să se verifice

cu

~

1

naturală definită

de

hartă canonică

X are cimp corcspondcn_l în cxp iar Y nu are .

un nstrel de dmp. 11.

Considerăm

o imcrsic (vr) ustrel ca Vx e cp (vr) I X VP (x)) e cp~ (T:r (vr)). Să se demonstreze n

că există

12. Fie mulţimea

o

dată

o submersie cp: v,.~,

clmpurilor vectoriale

subalgebră

60

n

un cîmp unic Y, definit pe v~ asUcl Incit X

n

să

diferenţiabilă

diferenţiabile

a algebrei cîmpurllor vectoriale,

de

clasă

fie q> - corespondent. de

clasă

Ca,, ce au

diferenţiabile

de

C'P, 2~p~q. corespunzător

clasă

Să

se verifice

că

1n q>, constituie

c.co, definite pe Vn•

§ 1.6. TENSORI ŞI CDIPURI DE TENSORI TANGENŢI LA O VABIETATE DIFEH&"IVŢIADJLĂ. ELEMENTJt: DE ALGEBRĂ TENSORIALĂ. 1°. TENSORI DE TIP (p, q) T_ANGENŢI LA v~. (r;?::1) ÎN x. Cll\lPURI DE TENSOR I

o varietate diferen ţi abilă u~, r ;?:= 1 şi toate ternele posibile (x, ha, (t{:::::: {;)) unde h11 (U a, 1.. 4 ) este o hartă locală admisibilă, x e U a şi (t{;::::: {;) e nnP+q. · Introducem în mulţimea acestor terne relaţia de echiConsiderăm

valenţă

(x , ha, (/Îi• • • ', iii\) ,.., (y , h. b, (t'!li,•• , ' ••· ·', ipia)) X=Y 11, •••• l'J}}

(1)

şi

1 x' Jq 1 ax11'J} ax' 11/1, • • • • • /1 i'-1• • •• t f:1 o:c' ' 1. C,, ,,•••••• 111= ha, .... hp âx'i1, ... , ox'i'I' ox'k, I ... , oxkq '

(2)

unde x''=x'' (x1, ••• , x"), i=1, ... , n este transformarea de coordonate de la harta ha la h 6 • Clasa de echivale~ţă definită de terna (x, ha, of::::·.: {;)) va fi notată cu [(x, ha, (t{;;:::: /~))] uneori numai cu (t/.'; : :: : 1!) sau doar cu iv

Definit in 1. Se numeşte tensor de p ori covariant şi de q ori contra vari ani (de tip (p, q)) tangent la u~ în x o clasă .de echivalenţă [(x, ha, (t'1',•::: ·, {;))]. Numerele (d::: :: :f!) se numesc coordonatele tensorului in harta ha. Relaţia (2) se numeşte legea de transformare a coordonatelor tensorului (a coordonatelor tensoriale) la o schimbare- de

hartă locală.*

Exemple de tensori. Tensorii de tipul (0,1) sînt vectorii tangenţi la vrn în x. Ei se mai numesc vectori contravarianfi. Tensorii de tipul (1,. O) se numesc t'eclori covarianfi sau covectori. Ei vor fi notaţi cu eu, w', eu 4 , • • • etc. Propozitia 1. Mulţ.imea tensorilor de ţip (p, q) tangcnt.i la ,,~ în x, constitu.ie ~n spaţiu liniar peste corpul realelor, notat cu T :i: ('J) (eventual cu T:i:l (v~)), operaţiile fiind definite prin relaţiile [(X,

1

1la,

(t11I,,•••• • • •'; ip1")))+[(x, ha, (t1111,••••••·', Ip'"))] = [(t, ha, 1

2

(t!1 I

11/+l1 • ···•la))]

1 • • • • • 1, • • • , i'J}

11 ,

2

.

(V). e R)). • [(x, /,,

••• ,

111

•

(3)

(d:::::: /;))]=f(x, h, (At{;::::: f;>)].

Demonslrafie. Se verifică direct că aceste două operaţii sînt bine definite (sînt independente de harta locală ha cu ajutorul căreia au fost definite) şi că axiomele unu.i spaţiu liniar sînt satisfăcute. Tensorul nul de tip (p, q) este clasa de echivalenţă [(x, /1 4 , (O))], (O e nni>+i), iar opusul tensorului [(x, ha, (I/:.~:::;~))] este tensorul [(x, ha, (-tl~ :: :; 41/))]. ■ Propozitia 2. T~nsorii de tip (p, q) b1, •••, b11 [( h (~1; Ea,, •••, ao = X, a, . oa,

~/n.b, ~b"))] • • • oa 8 01, • • • 0111

(4)

constituie o bază. a spaţiului -Ta:(~. ·Rezultă că_ acest spaţiu are dimensiu-

nea n11 +1. 81

Demonstraţie= exerciţiu.

Tensorii

E!:: :::: ~

în număr ·de nP+a constituie baza naturală a spaţiului

T. defini/11 de harta

locală h••

ln cazul T. Q> avem E., = (

a!,),; ln cazul

T :r: (~) baza naturală definită de harta ha este Eb1• Vom utiliza notaţia Eb1 = dr'• şi Ts (f)=T;. Pentru orice covector c.>, harta h" fiind fixată, avem relaţia

c.>=X, dx'. 0

3. Orice tensor de tip (p, q) tangent în x la v! defineşte o aplicaţie poliliniară a produsului cartezian T :r X ... X Ti,, X T; X ••• X T; în R şi reciproc. ~ ;; - -; Propoziţia

Demonstraţie. Fie dat tensorul ix= [(x, ha, (t/:.•:: :: /:))]. El va defini aplicaţia poliliniară

l:r:(Xi, ••• ,Xp, CA>1, ••• ~ooq)eT:r:X ••• XT:,:XT;x ••• XT; ~ p ~ t :r:

(X1,

• • •,

X P'

1

00 ' • • • , c.>

=

") def

,1, ;,,..•....•,ipJqxi,I

(5)

q

xq . R /1 • • • /q E •

XÎpxl

•••

;

Un calcul direct ne arată că aplicaţia (5) rtu depinde de harta h" în care sînt date coordonatele tensorului ix, ale vectorilor Xa şi ale covectorilor c.> 11• Evident acl'astă aplicaţie este liniară în fiecare din argumentele X" sau c.> 11 • Reciproca. Considerăm o aplicaţie poliliniară ix a produsului cartezian 1':r:, X •.. X T :r: X T;, X • • • X T; în R. Dacă bazele naturale ale lui T şi T~ defi-

____..

p

q

nite de o hartă locală

.

/z" sînt (~), (dx1)

ax'

.:•,~ll

notăm l:r: ( ~ , a~.

••• , ~ , dxJ., •.. , dril)=

.

a~~

::.:•,!llm.

şi construim tensorul [(x, ha, (t{:: Un calcul direct ne arată acest tensor nu depinde de harta h" cu ajutorul căreia l-am definit. Tenşorul [(x, Ila, (t{,•::: :: {!))] defineşte prin (5) aplicaţia poliliniară l:r. ■ Prop.rietatea 3 ne oferă un ,,criteriu de tensorialitate" sub următoarea reformulare: Un „obiect matematic" asociat unui punct x al unei varietăţi diferenţiabile vr, care este determinat într-o. hartă locală admisibilă a lui vr, h (U, X), (x e U) n n

=i{.

1 :::

că

cu ajutorul a nP+(I numere (tf::: :::,~') defineşte un tensor de tip (p, q) dacă şi numai dacă putem demonstra că aplicaţia poliliniară (X~, . . . , X:r:, c.>!, ••• , ooÎ)e

e T z X ••. X T s X T :r• -p

x

• • •

x

r· ~ ,i1.. ;··· ipjq xu :r

1• • • • •

--.--

J

I

q

independentă de harta locală h. (Xi şi

I •

•

•

x 1 ;"

p

c,11 sînt coordonatele veclorului X:r:

şi

A

k

covectorului c.>! în harta locală h). Să reţinem că în virtutea propoziţiei 3, T;= T z (f) poate fi identificat cu spaţiul aplicaţiilor liniare ale lui T :r: în R. Dată o hartă locală ha, bazele

naturale definite deh. ln Ts

şir;

(~,

şi

dx') slnt duale. lntr-adevlir din

(5)

avem

(8) 81

· r

Propoziţia 4. Fie dată aplicaţia diferenţiabilă de clasă 1. Această aplicaţie defineşte aplicaţiile liniare

>

r r C', q>: Vn-+ Vm,

q>~: T~ (8} (u~)-+ Tcp~) (u~) q>;: Tcp(:,;)(:)(~)-+ T:1:(~ (~)

respectiv prin

relaţiile

cp~([(x, ha,

(I•· .. ·•'"))]=(cp (x), ht, (l's• ••• , 1")),

cp!([cp (x), hL, (1111 , •• ,,i,)])=[x, ho., (t1.. ••. ,iJ,))),

unde

J f'/1, • • ,, /1_/u • • •• lq âx' • •

-

.

ox'Jg I

olf• ' ... , o:if" '

I'

Ja, •• •,J,s,= iu,••• 111

ox'ia ox'lp • oxla ' ••. , oxh,

(x''=x'' (x1, ••• ,x"), i=l, ... ,m este reprezentarea locală a aplicaţiei q> în hărţile ho.,, h,,). Demonstraţie= exerciţiu. Mulţimea

tensorilor de tip (p, q) tangenţi la v~ poate fi structuralizată ca o varietate diferenţiabilă de clasă cr-1, de dimensiune n+nP+!l notată cu (v~1 ). Construcţia fiind cu totul asemănătoare aceleia făcute pentru mulţimea vectorilor tangenţi la ~' nu o mai dăm. Numim cîmp de tensori de tip (p, q) tangenJi la v~, definit pe mulţimea 1\-1 o aplicaţie

r;

(7) Dacă nO'+P

n

hartă locală h" (Ua, Xa) avem Ua M #: 0 atunci putem defini 111 1 1 funcţii X E ua M-+ ,,,,,..... ' ,n (x) sînt coordonatele .. • • •' ,JJ (x) ERO (t,'1•' •••• . • , 11 lui t (x) în ha, numite coordonate locale ale ctmpului t în harta ha, Dacă mulţimea M este deschisă şi dacă pentru un sistem de hărţ.i locale, ale căror zone geo-

pentru o

n

metrice acoperă mulţimea M, coordonatele locale ale cîmpului t în aceste hărţi sînt funcţii diferenţiabile de clasă C", atunci cîmpul t se spune că .este diferenţiabil de clasă CP. 2°. OPERAŢII CU TENSORI ŞI CJMPURI DE TENSORI

Considerăm o varietate diferenţiabilă ~~ (r > 1) şi un punct al ei x ev!, 'Pentru 2 tensori de acelaşi tip Iz ('J), t~ (Z) am definit operaţia de adunare, lz (1)+l~(p prin relaţia (3). Tot în (3) am definit produsul unui tensor cu un scalar. Vom defini acum produsul a 2 tensori arbitrari, tangenţi la_ v~ în x. Definitia 2. Considerăm o hartă locală admisibilă ha ( U4 , Xo.) pentru • • • • 1t\)] is,•.• •. •, •11Jp))] • N U• care X E U a ŞI. t ensoru„ I z= [(X, h"' (t//111, ••.•I~ J , t':i:= [(X, h11 , (t'i,. mim produs al acestor doi tensori, notîndu-1 cu lz•t~, tensorul de tip (p+p', q+q') definit prin relaţia

'• •t:r:a((~ h., l şi o mulţime·deschisăt L". Conve-

nind să considerăm funcţiile real~, diferenţiabile de clasă C1', definite pe V , drept forme de grad O, diferenţiabile de clasă C11, ţinînd seama şi de propoziţia

5, vom construi suma

directă

n

f/J1'( U) · EB tDf ( U). Un element al acestei k=O

.

sume se numeşte agregat de forine diferenţiale exterioare,· definit pe V'. difcrenţiabil de clasă cr. Cu ajutorul operaţiilor definite pentru k-forme arbitrare (adunarea a două forme diferenţiabile exterioare de acelaşi grad, inmnlţirea unei k-forme cu un număr real, produsul exterior a două forme-difei:'enţiate e:derioare), mulţimea f/)' (U) devine o algebră asociativă peste corpul realelor. 3°, RESTRICŢIA UNElk-FORME DIFERENŢIALE EXTERIOARE. CONTIGUITATE Dacă

V este o mulţime deschisă inclusă în deschisa, U, oricărei k-forme CA>k pe, U i se poate ~cia o k-formă definită Pel V, · notată cu entru

ţinînd /\

(10)

(condiţia

definiţia 1) este evident satisfăcută de aplicaţia dx'. Avem apoi Cu ajutorul produsului exterior, produs, definim k-formele dxi1 /\~- ••

'7ua

~x' (

1) din

:x,)=a}.

seama de asociativitatea acestui

dx'", esenţiale în 1:1umăr de C~.

valorile k-formelor dxi1 /\ ••• /\ dxf1:

avem

relaţia

'tJ X1, • • • , xk E

!litra I (dx'

1

/\

X ,11

• • •

/\

•••••

dx 11:) (X1, • • • , Xk)=

x'1:1

1

(11) X /1k • • • • • xit k

unde utilizînd harta 74

locală

ha (U", X) ~m notat X 1=X}

a!i .

Demonsţra/ie. Vom raţiona prin inducţie după valorile lui k. Pentru k=l, din (10) rezultă dx' (X)=X (x')=X'. Pentru k=2, utilizînd definiţia produsului

,exterior avem dx'1 A dx'• (X1 , X 2) =

= 211 (X~

1

\ 2

~

sgn

relaţia

X~-x;, X{1). Presupunem

A ... A ~•-•) /\ dx'•

• •• ,

sgn 7t

ţ

sgn "' (dx'•

A ...

Xn (k-1)) • dxi.t (Xn Ck)) =

Xn,, (I)

= kÎ ~

adevărată pentru k-1 şi A ... A dx1J:) (X1, ••• , X1:) =

(Xi, ...• X,)= /1

. . . A dx1.t-t) (Xn (1), 1

dxi1 (Xn co) dx1• (Xn c2>) =

(11)

o vom demonstra pentru k. Avem: (dxi',

=(dx'•

1t

xi.t• • • • •

n (1)

.

Xi.t-,

1 (k -1) I

x'J(k)= i1

X :rt (k-1)

• • • •

n

(k-1)

Xi

1

xi.t-i

1 =-(-l)k+l kl

+ ... + (-1)2.t

i.t 1 X k=k !

X isk-l

•••

x'1:-1 k-1

■ X ki1

Xi"k

· ••

Propozitia 14. k-formele dx' A ... A dxi1 , 1 ~ i 1 < i 2 < ... < i1c ~ n constituie o hază a modulului (2)~ (U a) peste inelul f7:b' p