Fundamentos De Matematicas

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Fundamentos de Matemáticas Matemáticas I Ana María Díaz Hernández Luis Manuel Ruiz Virumbrales Luis Tejero Escribano Daniel Franco Leis

j Xl = X2 =

x n ) de [Rn es combinación lineal de los vec-

00 '

°

00 0

'

O) +

000

+ X n (0, 0,

00 0 '

1)

= (0, 0,

000'

O) =>

=> B es libreo .:. B es generador y libre, es decir, es base de [Rno B

= {O, 0,

000'

O), (0, 1,

0

0

0 '

O),

0

00 '

(O, 0, ooo, 1)} es la base más sencilla de todas

las de [Rn , recibe el nombre de base canónicao

1.5. 10.

Ejemplo

Si f.J2 es el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor que 30 ¿Es base de dicho espacio vectorial {x 2, x 2 + X, X + 1}? o .:. Cualquier base B del conjunto f.J 2 = {ax 2 + bx + e : a, b, e E [R} debe ser un sistema libre de vectores de f.J2, tal que, todo polinomio de grado menor que tres, se pueda escribir como combinación lineal de los vectores de Bo 2 Vamos a comprobar si {x , x 2 + x, X + 1} cumple estas dos condiciones:

.:. {x 2 , x 2 + x,

X

+ 1} es un sistema libre:

°

°

ai + f3 (i + x) + 8 (x + 1) = (a + f3) X2 + (f3 + 8) X + 8 = oi + Ox + => =>a=O, f3=0 , 8=0

=>

{x

2

, X2

+ x, X + 1} es un sistema libre en f.J2 o

41

1.

Espacios vectoriales

2 .:. {X , X2

+ X, X + 1} es un sistema generador de S02: 2 Cualquier elemento de f.J2 es de la formaax + bx+ c. Para que {i, i +x, x + 1} 2 2 sea generador la ecuación ax + bx + c = ax + f3 (x 2 + x) + 8 (x + 1) debe tener soluciones reales para a, f3, 8. En efecto: 8=C

ro + f3 (x +x)+8 (x+ 1) = (a+ f3)x +({3+8)x+8 = ax +bx+c ~ {3 = b-c 2

2

2

2

{

a=a-b+c

a, {3, 8 son reales para cualquier polinomio de f.J2 porque existen y son reales a, b, c. ~{i, i +x, x+ 1} es generador de S0 2. 2

•:. {x , X2 + x, X + 1} libre y generador de

f.J 2, es base de f.J 2. En 1.5.7. se vio que "cualquier vector se puede expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de una base del espacio vectorial", dichos coeficientes son las coordenadas del vector respecto a la base elegida.

1.5. 11.

Definición de coordenadas de un vector

1.5.12.

Ejemplo

Cuando decimos que las coordenadas de un vector de 1R2 respecto a la base canónica B = {(1, O), (0, 1)} son (2, 3), estamos expresando que: .:. (2,3) = 2 (1, O) + 3 (O, 1) . •:. Si se tomara B' = {(2, O), (O, 1)} como base de IKf, el mismo vector se expresaría como 1 (2, O) + 3 (0, 1), Y diríamos que sus coordenadas respecto a B ' son (1, 3).

42

1.5.

1.5.13.

Transformaciones en un sistema de generadores

Ejemplo

Calcúlense las coordenadas de 5X2 + 3x + 1 respecto a la base {x2, X2 + X, X + 1} de f.J2 del ejemplo de 1.5.10. (Las coordenadas se expresan respecto a la base canónica si no se dice lo contrario) . •:. Las coordenadas de 5X2 + 3x + 1 respecto a la base canónica {x 2, x, l} son: a= 5, 13= 3, y= l. .:. Utilizando la relación obtenida en 1.5.10 entre los coeficientes en ambas bases, se deduce 2 a = 5 - 3 + 1 = 3, 13 = 3 -1 = 2, Y = 1 ~ 5X2 + 3x + 1 = 3X 2 + 2(x + x) + l(x + 1). 2 ~ Las coordenadas de 5X2 + 3x + 1 respecto a la base {x , X2 + x, X + l} son (3, 2, 1) .

•:. También se podría resolver de forma directa: 2 2 2 5X2 + 3x + 1 = ax + f3(x + x) +8(x + 1) = (a + f3)x + (13 +8)x +8 ~ ~

a {

{a

+ 13 = 5 =3 13+8=3 ~ 13=2 8=1

8=1

Estamos suponiendo que en cualquier espacio vectorial que tenga elementos diferentes al neutro hay bases. Se puede demostrar que la suposición es correcta y se incluye junto a otros teoremas que expresan las relaciones que existen entre las distintas bases de un espacio vectorial bajo el nombre genérico de teoremas de la base.

1.5. 14.

Teorema de existencia de la base

Todas las bases de un espacio tienen el mismo número de elementos, que recibe el nombre de dimensión del espacio.

43

1.

Espacios vectoriales

1.5.15.

Definición de dimensión de un espacio vectorial

El espacio

v"*

un es una singularidad, porque su único elemento, el vector

e, no puede formar parte de ninguna base. Por convenio se toma Dim {e} =

o.

El hecho de que el número de elementos de una base es independiente de la base elegida (ese número es la dimensión del espacio V) se conoce como:

1.5.16.

Teorema de la dimensión

1.5.17.

Ejemplo La base canónica de 1R 3 es

{(1, 0, O), (0, 1, O), (0, 0, 1)} , tiene tres elemen-

tos, los vectores (1, 0, O), (0, 1, O), (0, 0, 1), por tanto, cualquier base de 1R 3 tiene tres elementos y tres es la dimensión del espacio vectoriallR 3 . Sabiendo que el número de vectores de un subconjunto del espacio vectorial es la dimensión del espacio, para saber que dicho subconjunto es base sólo hay que comprobar que es libre, pero no es necesario comprobar que es generador.

1.5.18.

44

Teorema

1.5.

Transformaciones en un sistema de generadores

Sabiendo que el número de vectores de un subconjunto S del espacio vectorial es la dimensión del espacio V, si S es un sistema generador de V, no es necesario comprobar que es libre para saber que es base.

1.5. 19.

Teorema

En 1.5.18 Y 1.5.19 se sustituye la condición "conocer la dimensión del espacio" por una de las dos condiciones "ser libre o ser generador de dicho espacio, para que un subconjunto del espacio dado sea base

1.5.20.

Teorema de la base incompleta

1.5.21.

Ejemplo

El conjunto de vectores linealmente independientes {x 2, X2 + x, X + l} no es base del espacio vectorial real, f.h de los polinomios de grado menor o igual que 3 porque tiene 3 elementos y hacen falta 4, que son los que tiene la base canónica {x 3 , x 2 , x, 1}, pero se puede completar con 4-3 vectores hasta convertirse en base.

45

1.

Espacios vectoriales

.:. {i, X2 + x, X + l} es un sistema libre, pero no es generador de th porque ninguna de sus combinaciones lineales permite obtener polinomios de grado 3 . •:. Para que {x 2, X2 + x, X + l} sea base de tJ 3, falta añadir x 3; el conjunto 3 2 {x , x , X 2 + x, X + l} genera tJ 3, y los vectores que lo forman son un conjunto de vectores linealmente independientes . •:. Aunque se ha añadido x 3 hay otras muchas posibilidades, como por . 1o, x 3 - x 2,x3 - x 2 + x, x 3 + 1, ... eJemp

Recordemos que: ·:. Para poder utilizar cada una de las propiedades y teoremas expuestos es necesario demostrar que son ciertos . •:. Un espacio vectorial finito puede tener infinitos elementos, pero sólo es necesario que tenga un sistema generador finito . •:. El ejemplo más sencillo de base en IR n es la base canónica B = {(1, O, ... , O), (O, 1, ... , O), ... , (O, O, ... , 1)} .

•:. Las coordenadas de un vector dependen de la base elegida cuando se ha fijado un orden entre sus elementos . •:. Las coordenadas de un vector están expresadas respecto a la base canónica mientras no se diga_lo contrario . •:. Para el espacio es V = {O}, por convenio se toma Dim V = O. •:. Si la dimensión de un espacio es n, entonces, no puede haber en V más de n vectores linealmente independientes. Ejercicios recomendados: Capítulo 1.4 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

1.6.

Dimensión de los subespacios de un espacio vectorial finito Los subespacios vectoriales son a su vez espacios vectoriales, y como tales tienen dimensión. En esta sección se va a estudiar cómo están relacionadas las dimensiones de distintos subespacios de un espacio vectorial V de dimensión n.

46

1.6.

Dimensión de los subespacios de un espacio ...

Si elegimos un subconjunto S de V, hay muchos subespacios de V que lo

(S) porque cualquier subespacio que contenga S contiene todas las combinaciones lineales de sus elementos, es decir, contiene (S).

contienen, pero el menor es

1.6. 1.

Ejemplo El subconjunto S = {(O, O, 1)} de [R3 genera el subespacio

(S),

que está

contenido en cualquier subespacio de [R3 que contenga S.

+

(S) está fonnado por los vcctores

HAm, =

es la rccta

t:: ~

.:. (0,0, 1) está en muchos subespacios de [R3, en todos ellos está contenida la recta XI = O, X2 = 0, que resulta ser el subespacio más pequeño que contine S = {(O, 0,

1)} .

Lo que ocurre en el ejemplo anterior se puede expresar de forma general:

1.6.2.

Teorema

Cada uno de subespacios de la intersección de subespacios verifica la condición necesaria y suficiente para ser subespacio, por tanto, la intersección también la verifica.

1.6.3.

Teorema

47

1.

Espacios vectoriales

1.6.4.

Ejemplo

La intersección de los subespacios XI = O (conjunto de vectores de 1R 3 , tales que su primera coordenada es O) y X2 = O (conjunto de vectores de 1R 3, tales que su segunda coordenada es O) es el subespacio X I = O, X2 = O (conjunto de vecto3 res de 1R , tales que su primera y segunda coordenada son O).

1.6.5.

Ejemplo UI

:XI

n U2

es un subespacio vectorial de 1R4 si UI Y

= X2 = X 3 = X 4 }

U2 ={(X"

= { (x" x 2 ' x 3' xJ E 1R4:

X2,X3,X4)EIR4:XI =X 3 ,X 2 =X 4 }

son sub-

espacios vectoriales de 1R4 . •:. Los vectores de U I n U2 pertenecen a U I y a U2, por tanto, deben verificar las ecuaciones de ambos . •:. Cualquier vector que cumpla las condiciones

{~: ::: , x3

-

también cumple

x4

=x 3, es decir, las condiciones de los vectores de U I son un caso particular de x x4

X {

I _ 2 -

las condiciones de

.:.

Son

XI = a X =a 2

48

V 2,

ecuaciones

1

XI ~

o lo que es lo mismo, VI e U2, y por tanto, U I n U2 = U I .

x2

=a

1

X 3 =a

x3

1

x4 = a

x4

1

cartesianas

de

UII:::::, x3

-

x4

y

paramétricas

1.6.

Dimensión de los subespacios de un espacio ...

•:. Una base de VI ~

Dim VI

1.6.6.

Teorema

1.6.7.

Ejemplo

n V 2 = VI

está formada por el vector (1, 1, 1, 1).

n V 2 =Dim V I = 1.

VI U V 2 no es subespacio de lI~f , siendo VI

= eje de las X l. y V 2 = eje de las X, .

•:. VI U V 2 está formado por todos los vectores que pertenecen a VI o a V 2 , como (0, 1) E VI Y (l , O) E V 2 , (O, 1) Y (1, O) son vectores de VI U V 2 . •:. Si VI U V 2 fuera espacio vectorial, A(0, 1) + J1 (l, O) = CA, J1) pertenecería a VI U V 2 porque (0, 1), 0, O) pertenecen a VI U V 2,y A y J1 son números reales . •:. Pero (A, J1) no está en ningún eje si A :FY J1 :F- 0, es decir, (A, J1) É V, U V 2 ~ VI U V 2 no es subespacio de [R2 .

°

Aunque V, U V 2 es el conjunto más pequeño que contiene VI y V 2, es interesante utilizar, no el conjunto mínimo, sino el subespacio mínimo de V que contiene VI y V 2, ese subespacio se llama subespacio suma y está formado por todos los vectores que son suma de vectores de VI U V 2 •

1.6.8.

Definición

49

1.

Espacios vectoriales

1.6.9.

Ejemplo

° =° =°

Los planos X 3 =

y XI = Osan subespacios de [R3 cuya suma es [R3.

•:. X 3 YXI son ecuaciones cartesianas de los subespacios dados . •:. Dichos subespacios se pueden definir también mediante ecuaciones paramétricas :

VI = {( Xl' x~, O)}

x" a(3 ~

XI = =

[Xl~ Xl

=

[11[01

a O + (3 1

{

X, =

O

X3

O

°

Dim VI = 2

.:. Los vectores de V I + V 2 son de la forma (a, f3 + A, J.1), con a, (3, A, J.1 E [R, es decir, son todos los vectores de [R3, por tanto, Dim (VI + V 2 ) = 3 . •:. VI U V 2 está formado por los vectores que están en VI o en V 2 , es decir, en los planos X3 = Ó XI = O, pero, en general, la suma de dos de ellos no pertenece a la unión, como ocurre con los vectores (4, -2, O) del plano X3 = Y (0,3, 1) del plano XI = O, cuya suma (4, 1, 1) no está en VI U V 2 , porque no está en VI (su tercera coordenada no es O) ni en V 2 (su primera coordenada no es O) . •:. Los vectores de la intersección deben cumplir las ecuaciones de VI y de V 2 , es decir, VI n V 2 = {(O, x 2 ' O)} para que la primera y la tercera coordenada sean O.

°

°

+ Unas ecuaciones pMmnémcas dc U, n U, son .:. El vector (0, 1, O) es una base de VI

50

[::

J= A[~ l·

n V 2 , por tanto,

Dim VI

n V2 =

l.

1.6.

1.6.10.

Dimensión de los subespacios de un espacio ...

Ejemplo (continuación de 1.6.5)

Determinación del subespacio suma 1.6.5 .

•:. {(1, 1, 1, 1)} es una base de U .:. Los vectores de U2 cumplen

Xl

=8

- = /3

Xo X3

X2

=8

x3

/3

X4

X 4--

.:. El sistema

+ V 2 de los subespacios UI y U2 de

(encontrada en 1.6.5).

I

=x

X {

1 _

x2

-

3 ,

es decir,

x4

1

Xl ~

VI

=8

° ° ° ° 1

+/3

1

1

{(1, 0, 1, O), (O, 1, 0, 1)} genera U2 y es libre, por tanto, es una

base de U2 • •:. Cualquier v de U I + V 2 es suma de un vector VI de VI y un vector de V2 de U2 . VI está generado por los vectores de una base de U I , y V2 por los vectores de

una base de U2 , es decir, es de la forma: v=

XI

1

x2

1

x3 x4

=cx

1 1

1

+8

° ° ° ° 1

+/3

1

1

.:. Sólo dos de tres vectores generadores de UI + U2 son linealmente independientesporque(l, 1, 1, 1)=(1,0, 1,0)+(0, 1,0, l),portanto,(1, 1, 1, l)se puede eliminar del sistema de generadores sin que varíe el subespacio generado U I + U2 , que es U2, como ya sabíamos porque U I e U2• ~ Dim (U I + U 2) = Dim U 2 = 2. La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de dos subespacios dados con las dimensiones de los subespacios suma e intersección de ambos.

51

1.

Espacios vectoriales

1.6.11.

Fórmula de GRASSMANN o de la dimensión

1.6.12.

Ejemplo (continuación de 1.6.5 y 1.6.10)

En 1.6.5 encontramos que Dim (U I n U2) = Dim U I = 1, Y en 1.6.10 que Dim (U I + U2 ) = Dim U I = 2, que verifican la fórmula de Grassman: 2 + 1 = 2 + 1.

1.6. 13.

Ejemplo (continuación de 1.6.9) En 1.6.9 hemos visto que si U I 3

= {(Xl' xl' O)}

Y U2

= {(O, x2 ' x 3 ) } , enton-

ces U I + U2 = 1R Y U I n U2 = {(O, x 2 ' O) }, y sus dimensiones son: Dim U I

= 2,

Dim U2 = 2, Dim (U I + U2) = 3 Y Dim U I n U2 = 1, que verifican la fórmula de Grassman: 3 + 1 = 2 + 2. La descomposición de cualquier vector de 1R 3 en suma de uno del plano X 3 = O Y otro del plano XI = O no es única: (2, 5, 3) = (2, O, O)

+ (O, 5, 3) = (2, 2, O) + (O, 3, 3) = (2, 1, O) + (0,4, 3) =

...

Si la descomposición de un vector en suma de vectores de otros subespacios es única, la suma de dichos subespacios se llama suma directa, y se simboliza con "Ef)".

1.6.14.

52

Definición

1.6.

1.6.15.

Dimensión de los subespacios de un espacio ...

Ejemplo

La suma de los subespacios de 1R es directa .

3 :

VI = {( Xl' x 2 ' O)} Y V 2 = {(O, 0, x 3 )}

•:. Ecuaciones paramétricas de los subespacios:

.:. VI

=

{(XI' X2 , 0)} Y V 2

=

{(O, 0, x 3 )} sólo tienen común (O, 0, O) ~

n V 2 = {O} . 3 •:. Los vectores de VI + VI son de la forma (a, /3, A) ~ VI + V 2 = 1R . 3 •:. La descomposición de un vector de 1R en suma de uno de VI y otro de V 2 es única. La única descomposición posible de (XI, X2, X 3) en un vector que cumpla X3 = y otro que cumpla X I = X 2 = es (XI, X 2, X 3) = (XI , X2, O) + (0, 0, X 3). Una forma de ver que una suma ~e dos subespacios es directa es comprobar que la intersección de ambos es {O}. ~

VI

°

1.6.16.

°

Caracterización de la suma directa

53

1.

Espacios vectoriales

1.6.17.

Ejemplo (continuación de 1.6.15) La suma de

VI

1.6.18.

VI

= {( XI' X2 ' O)}

Y

v = {(O, 0, x 2

3 )}

es directa porque

n V 2 = {O}. Ejemplo (continuación de 1.6.5 y 1.6.10)

En 1.6.5 encontramos Dim (VI n V 2 ) = 1, como consecuencia VI n V 2 no es {O} , y VI + V 2 no es suma directa. Si la suma directa de dos subespacios de Ves V, los subespacios son suplementarios.

1.6. 19.

Definición

1.6.20.

Ejemplo (continuación de 1.6.17) El suplementario de VI = {( XI' x 2 ' O)} es V 2

= {(O, 0, x

3 )} ,

porque su su-

ma es directa y es todo el espacio 1R 3 , del que son subespacios V I y V 2 . Consecuencia inmediata de las definiciones de base y suma directa podemos afirmar que un espacio vectorial es suma directa de los subespacios generados por los vectores de cualquiera de sus bases.

54 . !

1.6.

1.6.21.

Dimensión de los subespacios de un espacio ...

Teorema

Recordemos que:

°

.:. La intersección de subespacios no es vacía porque pertenece a todos ellos . •:. Para comprobar que una afirmación es cierta, no es suficiente verificarla en un caso particular o ejemplo, hay que hacer una demostración, es decir, ver que la afirmación es cierta para todos casos . •:. Para ver que una afirmación no es correcta, es suficiente que no lo sea, al menos, en un caso, y por tanto, es suficiente encontrar un ejemplo que no verifique la afirmación. Dicho ejemplo se llama contraejemplo . •:. Es evidente que si VI y V 2 son suplementarios, sus dimensiones están relacionadas por la expresión: Dim VI + Dim V 2 = Dim V Como Dim (VI n V 2) = 0, el resultado es consecuencia directa de 1.6.11.

Ejercicios recomendados: Capítulo 1.4 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

55

2 APLICACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

Aplicaciones lineales y matrices

2.1.

En el capítulo 1 se estudiaron los espacios vectoriales, en éste se estudiarán las aplicaciones que los relacionan conservando las operaciones que los definen.

2. 1. 1.

Ejemplo f: (M, +, IR)

-7

4

(1R , +, IR), tal que,

(a

ll

(/ 21

(/1 2 J

O

-7

(al! +a I 2 , (/1 2

es una aplicación que conserva la estructura de espacio vectorial.

57

- ( / 11 ' (/2 1 '

O)

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

En este ejemplo intervienen: .:. Estructura algebraica original (M, +, IR): Espacio vectorial de las matri-

a ll ces de la forma ( a

a!2 J O , entre las que hay definida la operación de suma es-

2l

tándar y la operación estándar de multiplicar una matriz por un escalar. •:. Estructura algebraica final (1R 4 , +, IR): Espacio vectorial de los vectores de 1R4 , entre los que hay definida la operación de suma estándar y la operación de multiplicar por un escalar estándar.

•:. f

es una aplicación que transforma cada matriz

(al! a

2!

vector de (a¡¡ + a1 2, al 2 - a¡¡, a2!. O) de 1R4 . •:. Es evidente que f es aplicación, porque para cada original la imagen es única . •:. La aplicaciónf conserva la suma: f (u + V) =f (U) + f (V)

.:. La aplicación f conserva el producto por escalares: f (AU) +Af (U)

58

A

2. 1.

Aplicaciones lineales y matrices

?if( ~: a~, J= A( a" + a", a" =>

- a" ,a,,, O)

fH~: a~,)J= ?if(~: a~,)

.:. ftransforma la imagen de una suma de matrices en la suma de las imágenes de dichas matrices y la imagen del producto de una matriz por un escalar es el escalar por la imagen de la matriz. Las aplicaciones que, como ésta, conservan la estructura de espacio vectorial, es decir, la imagen de una suma de vectores es la suma de las imágenes de dichos vectores y la imagen del producto de un vector por un escalar es el escalar por la imagen del vector, reciben el nombre de aplicaciones lineales o transformaciones lineales.

2. 1.2.

Definición de aplicación lineal

f:V ~W

Como ya sabemos, la expresiónf(Ait + J-lV) = Jif(ti) + J-lf(V) es equivalente a f(u + aV) =f(ti) + f4(V) .

2. 1.3.

Ejemplo

La aplicaciónf: IR -t IR, tal que,f(x) = k, donde k es un valor real constante, no nulo, no es una aplicación lineal. .:. No verifica la condiciónf(x + Ay) =f(x) + Jif(y): Primer miembro:

I

f(x+ Ay) = k

Segundo miembro: f(X) + Jif(y)

= k+ Ak

59

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

2. 1.4.

Ejemplo 3

3

La aplicac ión!1 : 1R ---¿ 1R , tal que,J1 (X Io X 2, X3) = (XI , X 2, O), que proyecta cada vector de 1R 3 sobre el plano X 3 = O es una aplicación lineal. .:. Verifica la condición! 1 (x + Ay) =! I (x) + V I (y ). Primer miembro:

. ~ ( x!' x 2 ' x 3) + A(Y I, Y2' Y3») =

Segundo miembro : .~(X!, Xl ' X3 ) + VI(Y!'

)12'

y, ) ==

=.~ (X I + Ay!, Xl + AY 2 , X3 + AY3) =

= (XI ' Xl' O) + A(YI' )12' O) ==

= (XI + AYI , X2 + AY2' O)

== (X, + AYI ' X2 + AY2' O)

La imagen de un vector cualquiera (XI, X 2, X 3) de 1R 3 es su proyección o sombra sobre el plano X 3 = O, así!1 (2, 3, 7) = (2, 3, O). 3 3 La proyección sobre el plano X 2 = O es h : 1R ---¿ 1R , tal que,

!2(XI , Xz, X 3) = (XI, O, X 3) . 2. 1.5.

Propiedades de las aplicaciones lineales

La primera de las propiedades de 2.1.5 se demuestra muy fácilmente utilizando la definición de dependenci a lineal, para demostrar la segunda veamos un ejemplo.

60

2. 1.

2. 1.6.

Aplicaciones lineales y matrices

Ejemplo La imagen del sistema libre S = {(2, 1), (1, 3)} de ~2, mediante la aplica-

ción linealf: [R2 ~ IR, tal que,f (XI,

X2) = XI

es un sistema ligado en IR.

.:. S = {(2, 1), (1, 3)} es un sistema libre de [R2, la aplicación lineal transforma en

{.r (2, 1), f

(1, 3)}

= {2, 1} , ya que,f (2,

1)

f lo

= 2;f (1, 3) = 1.

.:. {2, 1} es un sistema ligado en [R porque 2 = 2.1.

Determinar una aplicaciónf: V ~ Wes dar un procedimiento que permita calcular las imágenes de todos los elementos de V. El procedimiento no es único: .:. Si el conjunto tiene un número finito de elementos (no es lo mismo que de dimensión finita) , se pueden dar las imágenes de todos y cada uno de ellos . •:. Se puede dar una ley que permita asignar a cada elemento de V un elemento de W. .:. Si la aplicación es lineal, no es necesario dar esa ley de formación ni las imágenes de todos los elementos, es suficiente dar las imágenes de los vectores de una base, porque con ello quedan determinadas las imágenes de todos los vectores de V. fuT

2. 1.7.

Teorema

61

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

Ejemplo

2. 1.8.

Sif: 1R2 ~ 1R 3 , tal que,f (1 , O) = (1 , 2, 1);f(0, 1) = (1,1, O) es una aplica-

ción lineal, el teorema anterior permite determinar unas ecuaciones de dicha aplicación . •:. B = {(1, O), (O, l)} es una base de 1R2 .

•:. {(1,2, 1), (1, 1, O)}

es un subconjunto de 1R 3 pero no es base.

+:.

Por ser B base de 1R 2, cualquier vector (XI , X2) •:. Por ser f lineal:

= XI

(1, O) + X2 (0, 1) .

3

.:. f(xI. X2) es un vector de 1R , que llamaremos (Yl, Y2, Y3).

y¡

.:.

~

{

=

x¡ +x2

Y2: 2x¡ + x2son unas ecuaciones de la aplicación lineal dada, que Y3

-Xl

permiten calcular la imagen (yl, Y2, Y3) de cualquier elemento (XI. X2) de 1R2.

Ejemplo

2. 1.9.

¿Existe alguna aplicación lineal f: 1R2 ~ [R2, tal que, f (2, 3) f(-2, -3) = (1, O)?

= (0,

1);

.:. No puede haber una aplicación lineal que cumpla las condiciones dadas, ya que, si fuera lineal debería cumplirse: =

f (-2, - 3) = f [-(-2, - 3)] =

-[f (2, 3)] = -(0,1), mientras que, en el enunciado aparecef(-2, -3) = (1, O).

Si f: V ~ Wes una aplicación lineal, B = {el , e2, oo., em } una base de V, S = {UI, U2, oo., un} una base de W, entoncesfdetermina una matriz única.

62

2. 1.

.2. 1.10.

Aplicaciones lineales y matrices

Definición de matriz asociada a una aplicación lineal

Aesla

Los aij están ordenados en una tabla rectangular de n filas y m columnas, que son las coordenadas de los vectores de j (e¡),j (e2) , ... ,1 (em ) respecto a la base S de W.

.2.1.11.

Ejemplo (continuación de 2.1.8) En la aplicación lineal j: [R2 ~ [R3, tal que, j(1, O) = (1, 2, 1);j(0, 1) = (1, 1, O),

las imágenes de la base B

= {(1, O), (O, 1)}

de [R2, referidas a la base canónica

de [R3 determinan la matriz asociada af .:. Como cualquier base de [R2 tiene dos elementos, el número de columnas de la matriz asociada a j es dos, y como las imágenes de los vectores de la base son de [R3 cada columna tiene tres coordenadas. La matriz asociada a j es

A=l~ J

Sij(x¡, X2, ... , x m) = (y¡, Y2, ... , Yn) y A es la matriz asociada a la aplicación, es evidente que la aplicación se puede determinar mediante su expresión ana-

lítica:

63

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

a ll

YI Y2 Yn

2.1.12.

=

a2 1

ale a22

an l

a"2

a1m

Xl

Q 2m

X2

Qnm

Xm

~Y=AX .

Ejemplo Escríbanse las ecuaciones matriciales de la aplicación dada en 2.1.8.

.:. Las ecuaciones son

YI]

[

Y2 Y3

[1 1](;~ J. ~ {YI~2 =: XI = 2

2x I + x 2

1

1 O

2

+x

Y3 -

XI

Recordemos que: .:. •:. .:. •:.

Las aplicaciones identidad y nula son lineales . Cualqui er aplicación constante, no nula, no es aplicación lineal _ _ Toda aplicación linealf: V ~ W verifica quef(-V) = - f(V) yfeO) = o. Una aplicación lineal lleva asociada siempre una matriz única, cuando se ha fijado una base en el espacio origen y otra en el espacio imagen . •:. Toda matriz determina una aplicación lineal que depende de las bases elegidas.

Ejercicios recomendados: Capítulos 2.1 Y 2.2 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

64

2.2.

2.2.

Los espacios vectoriales de las aplicaciones...

Los espacios vectoriales de las aplicaciones lineales y de las matrices

En la sección anterior vimos aplicaciones lineales entre los espacios vectoriales reales V de dimensión m y W de dimensión n, y las matrices asociadas cuando fijamos una base en V y otra en W. Fijadas dichas bases se pueden establecer distintas aplicaciones lineales entre V y W, cada una de las cuales lleva asociada una matriz de orden n x m. Llamaremos L (V, W) al conjunto de todas las aplicaciones así establecidas y M nx m al conjunto de todas las matrices de orden n x m. La correspondencia establecida entre L (V, W) y M n x m es biyectiva, porque cada aplicación lleva asociada una matriz única y cada matriz determina una aplicación única. Aunque en cursos anteriores el lector haya hecho sumas de aplicaciones y de matrices, ahora vamos a definir ambas operaciones con precisión:

2.2.1.

Definición de suma de aplicaciones de (L (V, W), +)

2.2.2.

Definición de suma de matrices de M n x m

Basta ver la definición de suma de aplicaciones para establecer que = (aij + bij) Y la expresión analítica de f + g es Y = (A + B) X.

A +B

65

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

2.2.3.

Ejemplo . { YI = l x l +2x 2 -3x3 +4x 4 {YI = 3x I -5x 2 +6x 3 - lx 4 1 Y son as ecuaS1 Y2 =Ox l -5x2 +lx3 -lx4 Yz =2x I +Ox 2 -2x3 - 3x 4

ciones de las aplicaciones lineales f: 1R4 ~ 1R2 Yg : 1R4 ~ 1R 2, respectivamente, la matriz asociada a f + g es ( 4 -3 3 . 2 -5 -}

3) .

-4

·:. En efecto: Ecuaciones de la aplicación

= =

f

f: YI l x l +2x 2 - 3x3 +4x 4 l Y2 OX I - 5x 2 + l x 3 - lx4

Expresión matricial de fy g

(~J=(~

2

-5

-3

1

~1)

Matriz asociada

XI x2

(~

x3

2

-3

-5

1

-5

6

~1)

x4 \

g:

{y,

=

3x, -5x, +6x, -Ix,

Y2 =2x I +Ox2 -2x 3 -3x 4

(;J=G

-5

6

O

-2

-1) -3

XI x2 x3

G

O

-1)

-2 -3

x4

f +g:

{y, Y2

=

4x, - 3x, + 3x, + 3x,

=2xI - 5x -lx 2

3 -

4x4

(~J=(~

-3 -5

3

-1

~)

XI x2 x3

(~

-3 -5

3

-1

~)

x4

Al utilizar matrices asociadas a aplicaciones lineales, si no se especifica otra cosa, están referidas a las bases canónicas. También se han utilizado en cursos anteriores las operaciones de multiplicar escalares por aplicaciones y por matrices, cuyas definiciones son:

66

2.2.

2.2.4.

2.2.5.

Los espacios vectoriales de las aplicaciones...

Definición de producto del escalar A, E IR por la aplicación lineal fE L (\~ W)

Definición de producto del escalar A, E IR por la matriz A EMnxm

La definición de escalar por aplicación permite decir que M expresión analítica de Jif es y = (M) X.

2.2.6.

= (Aa¡J

Y la

Ejemplo

Si

{

YI

= IX I + 2x2 - 3x3 + 4x4

Y2

-

_O _5 Xl

X2

+

1 -1 X3

X4

es la ecuación de la aplicación linea11 de 1R4

en 1R 2, la matriz asociada a 21 es (20

4

-10

-6 2

8) -2'

.:. En efecto:

67

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

Ecuaciones de la aplicación

Expresión matricial defy 2g

Matriz asociada

XI

f{Y' : Ix, Y2

-

~2X, -

Ox¡

3x, : 4x,

5x 2 + lx 3

lx 4

[~}[~

2

-5

1 ~1)

-3

-5

1 ~1)

X2

4

-6

8\

x3

-10

2

-2" /

X2

x3

[~

2

-3

x 4 .1 XI

2f{ y, ~ 2x, ~ 4x, - 6x, Y2

-

Ox¡

lOx 2 + 2x 3

~8X. 2x 4

(~}[~

4

-6

-10

2

~2) [~ x4

Por existir una biyección entre L (V, W) Y la herramienta utilizada para su estudio, M n x m, ambos conjuntos tienen la misma estructura algebraica, que analizamos simultáneamente en los cuadros siguientes.

68

.' .

~

= -f(V) , Vjj E V

Conmutativa: f + g = g + f fy g son aplicaciones lineales cualesquiera de Ven W

(-1) (V)

Para cada aplicación linealf de Ven W hay una aplicación lineal opuesta -f, que verificaf + (-1) = (-j) + f= O .:. La aplicación opuesta de f se define como

~-

- - - - - - - - - - - - _._--

----

-

------- '

(L(V, W},+) es GRUPO CONMUTATIVO

S4

S3

= O,

Existe un elemento neutro, "la función nula =f,

S2

O", en L (V, W) que verificaf + O = O + f para toda aplicación lineal de Ven W .:. La función nula se define como O (V) VjjEV

Asociativa: (j + g) + h =f + (g + h) f, g y h son aplicaciones lineales cualesquiera de V en W

S1

Propiedades que tiene la operación de sumar aplicaciones lineales de Ven W

,

S4

S3

S2

S1

= (-aij)

M nxm es GRUPO CONMUTATIVO

.

Conmutativa: A + B = B + A A y B son matrices cualesquiera de n filas y m columnas

-A

Para cada matriz de n filas y m columnas A hay una matriz de n filas y m columnas opuesta -A , que verifica A + (-A) = (-A) + A = O .:. (-A), matriz opuesta de A = (a¡) es

Existe un elemento neutro, "matriz nula O", en M n x m que verifica A + O = O + A = A, para toda matriz A de n filas y m columnas .:. La matriz nula es tal que todos sus elementos son O

Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) A, B Y C son matrices cualesquiera de n fiJas y m columnas

Propiedades que tiene la operación de sumar matrices de n filas y m columnas

I

I

i

~

::l

O

C')

.....

Q)

C')

.....

~

-

el)

Q)

~

~

:::t. Q)

g

~

el)

O

C')

.....

Q)

~

~

r-

~ ~

~

,

,

Distributiva de aplicaciones respecto a la suma de escalares: (A + J1) f = }.f + J1J, siendo A, J1 escalares cualesquiera y funa aplicación lineal cualquiera de Ven W

Asociativa de escalares con aplicaciones: (AJ1) f = A (J1j), siendo A, J1 escalares cualesquiera y f una aplicación lineal cualquiera de Ven W

Existe un escalar unidad "1" en IR, que verifica lf = f, siendo f una aplicación lineal cualquiera de Ven W

E2

E3

E4

(L(V, W), +, IR) es.up espacio vectorial sobre IR

Como consecuencia podemos decir que:

Distributiva de los escalares respecto a la suma de aplicaciones: A (j + g) =}.f + Ag, siendo A un escalar cualquiera y f y g aplicaciones lineales de Ven W

El

¡,

,Propiedades que t!.e ne la pp~rat;ión d~ multiplicar escalare~. ~... aplicaciones lineales ~ " . de 'v en 'w· ,.

" ~

'.

,

Il::

.~

'1,

+ IR) es un espacio vectorial sobre IR

Existe un escalar unidad " 1" en IR, que verifica lA = A, siendo A una matriz cualquiera de orden n x m

nXm

Asociativa de escalares con matrices: (AJ1) A = A (j1A), siendo A, J1 escalares cualesquiera y A una matriz cualquiera de orden

Distributiva de matrices respecto a la suma de escalares: (A + J1) A = AA + j1A , siendo A, J1 escalares cualesquiera y A una matriz cualquiera de orden n x m

Distributiva de los escalares respecto a la suma de matrices: A (A + B) = AA + AB, siendo A un escalar cualquiera y A Y B matrices de orden n x m

,:

Propieda4es de lá ()peración de multiplicar escalares por matrices ' de n filas y m columnas

(M~x'm,

E4

E3

E2

El

"',

"'i-'.

(ti en

a, ::1

ªs'

(ti

g.

"
la suma de los índices que indican las columnas que contiene la submatriz B en la matriz A. Una submatriz B, formada por un solo elemento es un caso particular y las definiciones de menor, menor complementario y adjunto no varían.

2.5. 10.

Ejemplo 2 -1 La submatriz formada por el elemento a 21

= 1 de

A=

3

3

1 -1 O 1 1

2

4 2

1

1

1 O

EM 4X4

verifica: .:. El menor es el determinante del mismo elemento

la21 1= 1.

101

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

.:. El menor complementario a2!

=

-1 3 3 2 4 2 1

.:. El adjunto

~! =

= 2.

1 O

(_1)1+2a l2 = -2.

Ejemplo

2.5.11.

~J

B~C 2 -1

A=

3

formada por los elementos que están en negrita y cursiva en 3

1 -1 O 1 1

2

1

1 1 O

.:. B =

4 2

verifica:

(~ ~Jes intersección de las filas 2 y 3 Ylas columnas 1 y 4 de A .

•:. El menor correspondiente es

lB 1= ~ ~ =1. 1

1

.:. El menor complementario de B es a B = -1 1 1

31 1 = -4.

Nuestro propósito es reducir el cálculo de un determinante al cálculo de determinantes de orden inferior al dado.

102

2.5.

2.5. 12.

Determinante de una matriz cuadrada

Ejemplo

El valor de un determinante de orden tres se puede obtener a través de los adjuntos de una línea, que son determinantes de orden dos. Si después de escribir la definición de determinante se sacan factores comunes los elementos de la primera fila, lo que queda dentro de cada paréntesis es el menor complementario del factor común; el menor complementario afectado del signo correspondiente es el adjunto de dicho factor común, habremos reducido el cálculo de un determinante de orden tres al cálculo de determinantes de orden dos:

a ll

a l2

a 13

Al= ~I

a 22

~3 = all~2a33 -

G,I

G,2

G,3

alla23a32 - al ZaZla33 + al ZaZ3 a31 + a13 ~la32 -

a13~2 a31 =

= a 11 ( a 22 G,3 - a23 a 32 ) - a l2(~1 G,3 - a 23 G,1 ) + aJ3 (a zl G,2 - ~2 a3 1) = a ll a 11 - a lZa l2 = allA lI

+ aJ3 a J3

=

+ a l2A lz + aJ3 AJ3

No ofrece ninguna dificultad de concepto reproducir para el determinante de orden n el proceso seguido en el caso de orden tres y obtener el siguiente teorema.

2.5.13.

Teorema

Una generalización de este teorema permite el desarrollo del determinante por los elementos de varias filas , se llama regla de Laplace:

103

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

2.5.14.

Regla de Laplace

2.5.15.

Ejemplo

13

2

4

1 2

IAI= 1 1 O 3 -1

O 1

se puede calcular por los adjuntos de la segunda y

2

O

tercera filas . •:. Hay seis menores de orden 2 de la segunda y tercera fila:

L1 1

L1 4

.:.

12 =11 1=-1 2 1

L1 2

14 =1 O =-4

L1 5

=11 ~1=3 2

=1 :1=-4

11 =1 2 =1 4

L1 6

=1 O

~1=8

Sus menores complementarios son:

~I=o a =1 1 ~I=o a

I

3 -1 =1

=1 3 ~I= o 3 2 =1 1 -1 =-5 1

a

2

2

4

104

L1 3

a5

a

3

1 3 =1 -131=_10

1 ~1=5

2

a6 =1

2.6.

Cálculo de la matriz inversa

.:. Los adjuntos correspondientes son: Al = (-l)Ij+~> al = (_1)(2+3)+(1+2)al = (_1)8 al = O

Az = (_1)2+3+1+3a 2 = O

A3 = (_1)2+3+1+4 a 3 =-10

A4 = (_1)2+3+2+3a 4 = O

As

= (_li+ 3+2+4 as = 5

A6

= (_li+ 3+3+4 a6 = 5

.:. Aplicando la Regla de Laplace se obtiene el valor del determinante: 6

IAI= L~ jAj =-1 · 0+ (-4)0+ 1 (-10)+ (-4)0+3· 5+ 8·5 = 45 . i=l

Recordemos que: .:. La forma de algunas matrices permite el cálculo sencillo de sus determinantes mediante la utilización directa de la definición . •:. El determinante de una matriz triangular o de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal. .:. El determinante de la matriz unidad es 1: 111 = 1.

Ejercicios recomendados: Capítulos 3.1 Y 3.2 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

2.6.

Cálculo de la matriz inversa En esta sección vamos a ver algunos usos de los determinantes y sus propiedades, independientemente de su origen, como herramienta que facilita muchas de las tareas cuyo estudio hasta ahora ha sido poco ágil, como son el

105

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

cálculo de la matriz inversa, la dependencia e independencia lineal, el rango de una matriz, etc. Conocemos las operaciones definidas en el conjunto de matrices cuadradas, y sabemos que en dicho conjunto existe elemento identidad 1, que es la unidad para la multiplicación, pero que no siempre existe el elemento inverso de una matriz dada A, si existe, la matriz inversa de A es la matriz A -1 que verificaM- 1 =A- 1 A = I. La matrices que tienen elemento inverso se llaman invertibles o regulares.

2.6. 1.

Definición de matriz inversa

2.6.2.

Definición de matriz regular

2.6.3.

Definición de matriz singular

.:. El conjunto de matrices invertibles tiene las propiedades que un anillo cuyos elementos tienen inverso y esto nos permite precisar algunas consecuenCIas, como: .:. Si una matriz A es regular, su inversa A -1 también lo es, y verifica

(Kit =A.

106

2.6.

Cálculo de la matriz inversa

+:+ Si A es una matriz cuadrada con inversa A - 1, ésta es única. +:+ Si A Y B son matrices regulares, también lo son sus productos AB y BA, Y se verifica (AB)-I = B- I A - l. Para encontrar la matriz inversa se pueden utilizar diversos métodos, que se ilustran en los ejemplos siguientes.

2.6.4.

Ejemplo. Utilizando la definición

Determínese la matriz inversa de 1 - A en función de las potencias de A, sa3 biendo que A es una matriz regular, tal que, A = O.

(l- A)2(l- A) (l- Ar l = (l- A)2 (l-A)3 = 1 -3A+3A 2 _A 3 = 1 -3A+3A 2 (l- 3A +3A 2)(l - Ar l

[1 -3A (l-A)] (l-Ar = 1(l-Ar l

(l- Arl

2.6.5.

= (I -

A)2 + 3A

=1 -

l

= (l- A)2

-3A (l-A) (l-Ar l

2A + A 2 + 3A

= (l-A)2

=A2 + A +1

Ejemplo. Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

Delennfnese la inversa de A

~ ( ~ ~ J utilizando un sistema de ecuaciones. Xl! = Xu

(O1 2J3 (Xl!

X 21

I2

X X 22

J=(1O 0J1 =>

+2x21

3x21 = O Xl 2

=1 =>

+ 2X22 = O

1

X 21

=0

X

=-12

2 3

107

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

Si realizamos el producto de las dos matrices e igualamos los valores de los elementos que ocupan la misma posición en ambos miembros, obtenemos un Z sistema lineal de n ecuaciones lineales con n Z incógnitas, que es laborioso de resolver, aunque no tiene ninguna dificultad técnica. Para comprobar que ambas son inversas basta hacer los siguientes productos:

Es conveniente repasar la sección cuatro de este capítulo antes de estudiar el ejemplo siguiente, porque vamos a utilizar los resultados que obtuvimos allí. Si A tiene inversa, mediante transformaciones elementales de filas en A se obtiene la matriz unidad 1, si aplicamos esas mismas transformaciones en 1, se obtiene una matriz M, de manera que AM = 1, es decir M = A - l.

2.6.6.

Ejemplo. Utilizando operaciones elementales

Cálculo de la inversa de

(AII)=(~

O 2

-1 3 1 1

A=(~ 1 O O

O

-1 1

n

1 ° 0J ( ~ ~f~

2

-1 -1 1 -1

Fz -¿ Fz -2F¡ F3 -¿F3 -F1

108

O

1 O -2 1 -1 O

~Jf

F2 H F3

2.6.

~r~

o

Cálculo de la matriz inversa

-1

oo

0J [1o o

-2

1

o

2

1

1 -1 -1 -1

1

~

2

1

1 -1

-1

o o

-3

1

o o

-2

F3

F3~F3+F2

o

2

1

o 1 o o

-1

-1 3 2

1 ~

1

o o

o

1 1 1 -2 2

F¡

~

:J~

o o o 1 o o o

1

1 2

~--F

3

-2 1 1 1 1 1 -2 2 2 1 1 3 -- -2 2 2

~F¡-2F3

F2 ~F2+F3

-2 1 .:. La matriz inversa es A -¡ = 2 3 2

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

, como prueban los pro-

duetos:

[~ ~J O -1 1

-2 1 2 3 2

1 1 1 -2 2 1 1 -2 2

-2 1 2 3 2

1 1 -2 1 2

1 1 2 1 2

[~ ~H~ ~J~l O -1

O 1

1

O

También se puede encontrar la matriz inversa mediante determinantes, pero es preciso introducir algunos conceptos más.

109

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

2.6.7.

Definición de matriz adjunta

2.6.8.

Ejemplo

1 2 Cálculo de la matriz adjunta A de A = -2 O [ 1 1 .:. Los adjuntos de los distintos elementos son:

~ =-3;

A12

11= 2''

A23

3 A 33

=

1 2 -2 O

=- -~ ~1=9; 1 =_1 1 121=1''

A13

A31

=-~ ~ =-2; 2 =1 O 311=6''

A

21

=_1 21

1 =-5' 3 '

- - -21 311 -- 5', ~2 -

1

= 4.

_ [-3 9 -2J

A

=

-5

2

6 -5

1.

4

El producto de una matriz cuadrada A por la traspuesta de su adjunta es el valor de su determinante por la matriz unidad.

110

2.6.

2.6.9.

2.6. 10.

Cálculo de la matriz inversa

Teorema

Teorema

El teorema anterior nos proporciona otra forma de calcular la inversa de una matriz cuando existe, es decir, de una matriz regular.

2.6.11.

Cálculo de la matriz inversa de la matriz A

2.6.12.

Ejemplo. Utilizando determinantes

[-~

Detennínese la matriz inversa K' de la matriz A =

;

!J

del ejem-

plo anterior. (. Matriz adjunta A =

[=! _;

-2J ~ . (Calculada en 2.6.8)

111

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

.:.

Matriz traspuesta de la adjunta (AY

1 2

.:.

Determinante

O 3

1

1 3

•:. Podemos comprobar que

9

2

-2

1

1

-;J

lr~ ~ ~J (-~ -~ -~J = (~ ~ ~J . II l-2 lo 1 3

2.6. 13.

-;J

= 13

~[-~ -~ 13 -2

-5

1

IAI = -2

.:. Matriz inversa A -1 =

=

[ -3

1

4

O 1

Consecuencias

En la sección 1.4 vimos la definición de vectores linealmente independientes y su caracterización, así podíamos seleccionar los vectores que dependían de otros, o saber que el sistema de vectores dado es libre. Más adelante utilizamos las matrices escalonadas para conseguir el mismo

112

2.6.

Cálculo de la matriz inversa

fin, y después de estudiar los determinantes disponemos de una herramienta poderosa que facilita otros criterios para hacer lo mismo. El teorema siguiente contiene una condición de independencia lineal de vectores.

2.6.14.

Teorema

2.6.15.

Ejemplo El sistema de vectores F

= {(1, -1, 3), (2, 1, 1), (1, O, O)} e

1R 3 es libre.

1 2

.:. Para comprobarlo es suficiente ver que -1 3

1 O = -4 -:1= O. 1 O

Una de las características más importantes de una matriz es su rango. Si la matriz A, formada por un conjunto de vectores columna (o fila), es la asociada a una aplicación linealj, se habla indistintamente de "rango de la matriz", "rango de la aplicación lineal asociada" y "rango del sistema de vectores columna (o fila)" que forman dicha matriz.

2.6.16.

Definición de rango de una matriz

113

. J

2.

Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

2.6.17.

Teorema

2.6.18.

Ejemplo En la aplicación de 2.1.8, la dimensión del subespacio imagen es 2.

l~}

+m J+x,

es oocir

mliJ y

generan la imagen;

ade~s,

como son linealmente independientes, son base de la imagen de J, y su dimensión es 2. Los determinantes son herramienta muy útil en el cálculo de rangos de matrices.

2.6.19.

Teorema

Este teorema se puede utilizar para calcular el rango de una matriz. Aunque el procedimiento es un poco largo, se puede agilizar si se hace de una forma ordenada y se tienen presentes las propiedades de los determinantes. El algoritmo a seguir es el siguiente: 1) Detectar si hay líneas iguales o alguna es combinación lineal de otras, en cuyo caso se eliminan, porque el rango de la matriz resultante tras la eliminación es el mismo que el de la matriz primitiva. 2) Buscar una submatriz cuyo determinante sea distinto de cero.

114

2.6.

Cálculo de la matriz inversa

3) Ampliar dicha submatriz con una fila y una columna de la matriz de todas las formas posibles. Si los determinantes de todas las ampliaciones son cero, el rango de la matriz es el orden de la submatriz inicial. Si alguno es distinto de cero, estamos en el paso 2, y desde él se continúa el algoritmo hasta que todos los menores ampliados sean cero.

2.6.20.

Ejemplo

5 -1 3 -2 4J [

Cálculo del rango de A = 17 -2

5

1 7.

19 -1

1

8 2

.:. Comenzamos por detectar mediante una simple observación que la 5" columna es la 3" menos la 2" ==> Se puede eliminar cualquiera de las tres, porque es combinación de las otras dos. La matriz que se obtiene es del mismo rango. 5 rg(A) = rg [1 7 19

=~ ~ -~ ~J [1~ =~ ~ -~J. = rg

-1

1

8 2

19

-1

8

Si en este paso no se detecta nada se pasa al siguiente: .:. El menor 5

-11 = 7

17 -2

"#

O ==> El rango es, al menos, 2.

.:. Las posibles submatrices ampliadas de

(5

17

115

2. Aplicaciones lineales, matrices y determinantes

5

.:.

-1 3

Sus determinantes son: 17 -2

.:. Como ninguno es ::l- °

19 -1

5 =0,

1

-1 - 2 1 =0. 17 -2 19 -1 8 5

~ rg(A) = 2.

Recordemos que: .:. Los determinantes son una herramienta aplicable al cálculo de la matriz inversa, la dependencia e independencia lineal, el rango de una matriz, ... •:. En el conjunto de matrices cuadradas existe elemento identidad 1, que es la unidad para la multiplicación, pero no siempre existe el elemento inverso de una matriz A . •:. Hay distintos procedimientos para calcular la matriz inversa de una matriz dada . •:. Si un sistema de vectores es libre, el determinante de la matriz, cuyas filas o columnas son dichos vectores, es no nulo . •:. El rango de una matriz es menor o igual que el número de sus filas y que el número de sus columnas.

Ejercicios recomendados: Capítulo 3 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

116

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES. FORMAS DE JORDAN

3.1.

Matrices semejantes

Sabemos que un endomorfismo tiene asociada una matriz y una expresión matricial para cada base del espacio vectorial dado. Todas las matrices que representan el mismo endomorfismo son equivalentes, es decir, están relacionadas por una relación de equivalencia. En este capítulo vamos a considerar las matrices asociadas a un endomorfismo dado ya analizar cómo varían en función de la base elegida en el espacio vectorial.

117

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

3. 1. 1.

Definición de relación de equivalencia

Todos los elementos que están relacionados entre sí mediante una relación de equivalencia forman una clase de equivalencia. En M n x n (matrices cuadradas) podemos definir diferentes relaciones de equivalencia, pero dos de ellas serán las que fijarán nuestra atención en este capítulo: la relación de semejanza y la relación de congruencia.

3. 1.2.

Definición de matrices equivalentes

Es fácil ver que la relación "ser equivalentes", así definida en M m x n es de equivalencia.

3. 1.3.

Propiedades de las matrices equivalentes

118

$--

3. 1.

Matrices semejantes

La primera expresa que "al multiplicar una matriz regular C por una matriz dada B, el rango de B no varía".

3. 1.4.

Ejemplo

Si

e=

G-~)

y B =(

~ ~ ~) se verifica

.:. C es una matriz regular porque

I~ - ~ l:;lo O.

•:. B es una matriz de rango 2 porque el menor de orden dos tinto de O.

.

+.+

I~ ~I es dis-

(3 54 67) .

A == CE == 2

tIene el mismo rango que B.

.:. A es equivalente a B, es decir, existen M y N regulares, tales que, A == MBN.

Podemos tomar como M la matriz (

~ - ~)

y como N la matriz

La relación "ser equivalentes" definida entre matrices cuadradas, de forma que M es la transpuesta de N, es un caso particular de la relación A == MBN que recibe el nombre de relación de congruencia.

119

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

3. 1.5.

Definición de matrices congruentes

3.1.6.

Ejemplo B=

-57 -2310 -40 20J [ 8 -28 - 32

O

H 3 -1

~J

es congruente con

porque

.:. A y B son matrices cuadradas.

.:.

p = [1 -1 O 3 2 4 J es regular porque

O -1 O

.:. B

= p iAP =

O 2 -1

3 4 #0. O -1 O

í~ -~ -~J í~ -~ -~ Jí-; ~ ~ J

=

l2

4

O l2

O

1 l O -1 O

í-~ -~~ -:~J.

=

l8 -28 -32 La relación "ser equivalentes" definida entre matrices cuadradas, de forma que M es la inversa de N, es otro caso particular de la relación A = MBN que recibe el nombre de relación de semejanza.

120

Matrices semejantes

3. 1.

3. 1. Z

Definición de matrices semejantes

3.1.8.

Ejemplo

A~[: iJ

[-'

1

2

semejante

es

a

B= -~

1

p~[ ~ -]

.:.

-1

O

:J

5 -2

~2J

mediante

porque

1 -1

A=P-1BP=[

~ ~ ~J[=~ ~ -~J[ ~ -~ ;J=[~

-1

con p -l

4

1 -1

2

-2

2

-1

-1

21

2;J,

1

=[ ~ ~ ~J. -1

1 -1

.:. La expresión A = p-I BP es equivalente a A = QBQ-I, donde P = Q-I y Q =p-I . Las matrices semejantes tienen propiedades que facilitan su manipulación, como la demostrada a continuación.

121

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

3. 1.9.

Ejemplo · . d o h cual ' nu/ ¿ E S Cierto que SI. A = P- 1BP , entonces A" = p - IB"p , SIen qUler

mero natural ?

.:. Sí, porque A"

= AA ... A = (P-'BP )( P-'BP) ... (p-' BP ) = p-' B (PP -' ) BP ... P-' B (Pp-' )BP = P-' B"P

Dado un endomorti smo f de un espacio vectorial V con la matIiz asociada A E MI/ X,,, queremos encontrar, si existe, la matriz más sencill a posible semejante a A, es decir, buscar una base en V respecto a la cualftenga una matriz asociada muy sencilla. Por su sencillez la matriz buscada es una matriz diagonal.

3. 1. 10.

Definición de matriz diagonalizable

Decir que "A es semejante a una matri z diagonal" es lo mi smo que decir que "existe una matriz regular, P , de paso, tal que, A = p-I AP, siendo A una matriz diagonal" .

3.1.11.

Definición de diagonalización

Como conclusión, diremos que la tarea que nos planteamos es buscar condiciones necesarias y suficientes para que un a matri z sea diagonalizable.

122

3.2.

Valores y vectores propios

Recordemos que: .:. Un endomorfismo de un espacio vectorial tiene asociada una matriz cuadrada para cada base . •:. Dichas matrices conforman las diversas represen taciones analíticas de un mismo endomorfismofde un espacio vectorial. .:. Todas las matrices asociadas a una aplicación lineal son equivalentes . •:. Todas las matrices asociadas a un endomorfismo son semejantes . •:. Las matrices semej antes a una matriz cuadrada de orden n constituyen una clase de equivalencia en el conjunto de las matrices cuadradas . •:. La semejanza de matrices es un caso particular de una relación "ser equivalentes", definida en M I/ XI" por tanto, si A y B son semejantes, también son equivalentes y tienen el mismo rango . •:. La congruencia de matrices es un caso particular de una relación "ser equivalentes", definida en Ml/xl/, por tanto, si A y B son congruentes, también son equivalentes y tienen el mismo rango.

Ej ercicios recomendados: Capítulo 6.1 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

3.2.

Valores y vectores propios

En esta sección vamos a buscar las condici ones que se deben dar para poder diagonal izar una matriz, y cuando esto sea posib le, el procedimiento para hacerlo y para calcular la base del espacio vectorial a que está asociada la matriz diagonal. Para ello utilizaremos unos vectores con características especiales a los que llamaremos vectores propios o autovectores. Con la misma notación que hemos venido utilizando, A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n, asociada a un endomorfismof de un espacio vectorial

123

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

V en base B, y, X es la matriz columna de las coordenadas de un vector

x2

X de Ven la misma base B: X =

Algunos vectores de V son tales que su imagen mediante f es el producto de un escalar determinado por el vector, es decir, " el resultado de multiplicar la matriz por el vector es igual que el de multiplicar dicho vector por un escalar", en este caso son vectores especiales, que se llaman vectores propios. En IR, 1R2 y 1R3 serían los vectores cuya imagen por f se obtiene haciéndolos más pequeños o más grandes, siempre que el escalar sea distinto de cero.

3.2. 1.

Definición de vector propio de un endomorfismo o de la matriz asociada

3.2.2.

Ejemplo

Si Ves el espacio vectorial formado por las funciones reales que admiten derivadas de todos los órdenes, y f es un endomorfismo de V, que asigna a cada función su derivada . •:. eX es un vector propio de dicho endomorfismo.

f:V--'tV (eX) --'t (ex)' = 1eX

.:. Sin embargo, sen (x) f(sen(x))

= cos(x),

do valor de x.

124

E

V no es un vector propio de f, porque

y no hay ningún AE IR, tal que, cos (x)

= Asen (x) para to-

3.2.

3.2.3.

Valores y vectores propios

Definición de valor propio asociado a un vector propio

Áes

3.2.4.

Ejemplo (continuación de 3.2.2) El único valor propio posible para el vector propio eX de f es l .

•:. Porque f (eX) = (ex)' = 1eX. Lo que caracteriza a un vector propio x es "AX = AX", que también se puede escribir AX = }.IX, siendo l la matriz identidad de orden n, y por tanto, (A - Al) X = O. Esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, que admite solución distinta de la trivial

sIIA-}.II=o. El desarrollo de esta ecuación tiene la forma

3.2.5.

a ll -A

a 12

al n

a2 1

a22 - A

a2rt

an 1

a ll2

a lln -Á

= 0.

Definición de ecuación característica de! y de su matriz asociada A

125

3.

Oiagonalización de matrices. Formas de Jordan

3.2.6.

Definición de raíces características def y de su matriz asociada A

3.2.l

Definición de polinomio característico de f y de su matriz asociada A

3.2.8.

Ejemplo Para calcular los valores propios y los vectores propios correspondientes

í~l ~1 ~II l j

de la matriz A =

O

-1

debemos proceder del siguiente modo :

3

.:. La ecuación característica es

IA-MI=

3-,1,

- 1

O

-1 O

2-,1,

-1

-1

3-,1,

=(3-A)(X -5A+4)=O.

.:. Las soluciones de la ecuación son los valores propios Al ,1,:\ =4 .

= 1, íL:z = 3 Y

•:. Cálculo de los vectores propios correspondientes a los valores propios obtenidos. En la ecuación matricial (A - Al) X = Ose verifica: Para Al = 1

126

3.2.

Valores y vectores propios

Hay muchas formas de caracterizar el subespacio propio asociado a Al == 1, cualquiera de las siguientes es válida:

l.

Ecuaciones cartesianas

2.

2X¡ {

-x, _ x~

Ecuaciones paramétri cas {

== _

°

+2x, -0

Xl

== 8

x~

== 28.

X,

== 8

3. Su bespacio generado por (1 , 2, 1), ya que,

4.

l;}0m

LI={C8,28,8),V'8E lR }.

Para ~ == 3:

Una form a de caracterizar el conjunto de los vectores propios correspondientes a este valor propio Csubespacio propio asociado a ~ == 3) es L 2 ==

{Cj3, 0, - /3), V'j3 E lR}.

127

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

Para A3 = 4:

-1-1 --12 -1°J[Xlx2J [OJ° ===> {XlXl ++ 2xX22+ X} =: °O===> {XIX2=: ex-ex ===> ( XXl2J ex(IJ -1 , [° -1 -1 x ° +x ° ex x 1 =

=

Xl

3

3 -

X} -

y su conj unto de vectores propios es el subespacio L3 =

3

{(ex, - ex, ex), Vex E IR}.

Las raíces características pueden ser múltiples, como ocurre en el ejemplo siguiente.

3.2.9.

Ejemplo

La

ecuación

característica

de

la

matriz

A

=

(-~ ~J 4

l-2

1

es

2

lA- AlI = -(.?i. - 2)3 = °, que sólo tiene el valor propio A = 2 con multiplicidad algebraica tres. En 3.2.8 hemos escrito los conjuntos de vectores propios asociados a cada uno de los valores propios y observado que son subespacios vectoriales, este hecho se puede enunciar de forma general:

3.2. 10.

Propiedad de los vectores propios

Sabemos que la matriz asociada a un endomorfismo varía con la base elegida y todas ellas son semejantes, esto no ocurre con el polinomio característico, que se puede demostrar que es invariante frente a los cambios de base.

128

3.2.

3.2.11.

Valores y vectores propios

Propiedad del polinomio característico

El

Como consecuencia, si A y A / son matrices semejantes tienen la misma ecuación característica y la misma traza (suma de los elementos de la diagonal principal). Sin embargo, no ocurre la recíproca, ya que, aunque dos matrices tengan la misma ecuación característica pueden no ser semejantes.

3.2.12.

Ejemplo

A~[l nl~[~ O

Las matrices:

o

1

O

n

que tienen la misma ecua-

O

ción característica, no son semejantes .

•:. Tienen el mismo polinomio característico (1 - ítf .:. Tienen la misma traza: 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 . •:. A e 1 no son semejantes, pues si lo fueran, sería A = p - J¡P ~ A evidentemente, es falso.

= 1, que,

Para alcanzar el objetivo propuesto al principio de la sección de encontrar una base de V lo más sencilla posible, utilizaremos el teorema siguiente:

3.2.13.

Teorema

129

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

y como consecuencia, "si la matriz A tiene n valores propios distintos, el conjunto de vectores propios asociados a los n valores propios es una base del espacio vectorial V".

3.2.14.

Teorema

3.2.15.

Ejemplo (continuación de 3.2.8)

Los espacios vectoriales, obtenidos en 3.2.8, asociados a los valores propios A¡ tienen dimensión uno, como es fácil comprobar al observar la expresión deL¡: .:. Los vectores de Lt = {(8, 28, 8), V 8 8~DimLI

E

IR} dependen sólo un parámetro

= 1.

.:. Los vectores de Lz = {([3, 0, - [3), V[3 E IR} dependen sólo un parámetro

[3 ~ Dim L 2 = 1. .:. Los vectores de L3 = {(a, - a, a), Va E IR} dependen sólo un parámetro a~Dim~=

3.2.16.

1.

Ejemplo (continuación de 3.2.9) -2

En 3.2.9 se obtuvo (A - Al) = -4 [ -2 decir, al

130

= 3.

12 0J° 1

°

cuando A = 2 (raíz triple), es

3.3.

Oiagonalización de matrices

.:. La expresión del subespacio vectorial L, asociado a dicho valor propio es:

-2 1 0J(Xl] (0] [=~ ~ ~ :: ~ ~ =

~ (X¡

2

-2x + X =

L = {ex (1,2, O) + f3 (O, O, 1), \:;j ex, f3

.:. Verifica 2 = di

¡Xl =a

,

E

°~ ::: ~a ~

(Xl] :: =

(1] (0]

al ~ + J3l ~

[R} tiene dimensión 2 di = 2

= 3.

Recordemos que: .:. La imagen de un vector propio se puede obtener multiplicándolo por un escalar determinado . •:. Cada vector propio está asociado a un único valor propio . •:. Cada valor propio tiene asociado un subespacio de vectores propios . •:. Un endomorfismo tiene asociadas matrices diferentes cuando se eligen bases diferentes . •:. Todas las matrices asociadas a un endomorfismo dado son semejantes . •:. Si la ecuación característica es de grado n, tiene n raíces, algunas de las cuales pueden estar repetidas o no ser reales . •:. El polinomio característico de un endomorfismo no varía aunque se cambie la base . •:. Dos matrices semejantes tienen la misma traza. Ejercicios recomendados: Capítulo 6.2 del libro "Ejercicios resueltos de Álgebra Lineal Básica".

3.3.

Diagonalización de matrices

Recordemos que el objetivo perseguido en este capítulo es encontrar, si existe, la matriz más sencilla posible que pertenezca a la misma clase de equi-

131

s

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

valencia que otra matriz A E MI/x n, mediante la relación de semejanza dada. La matriz buscada es una matriz diagonal que representaremos mediante la letra griega delta "A". No siempre es posible encontrar la matriz buscada, pero sí es posible establecer un criterio que permita saber si existe la matriz A diagonal semejante, es decir, si A es diagonalizable.

3.3. 1.

Condición suficiente de diagonalización

En 3.2.13 de este capítulo vimos que conjunto de los n vectores propios XI , Al, ~, ... , An, respectivamente, consti-

X2, ... , X,,, correspondientes a los valores tuye una base de V.

Las columnas de la matriz A asociada a f en esa base, están formadas por las coordenadas de las imágenes de los vectores que forman la base:

O

O

O ~

O

O

AII

Al f(x l

)

= Al XI ,f(x2) = ~X2' ... , f(x n ) = AI/ Xn =::} A =

O

, que

es diagonal. En la sección 2.4 utilizamos el diagrama que aparecerá a continuación a la izquierda para estudiar los cambios producidos y las matrices que los acompañan al cambiar las bases en los dos espacios vectoriales entre los que está definida una aplicación lineal. En el diagrama de la derecha vamos a aplicar los mismos cambios cuando hay dos bases en V, la B (en ella la matriz asociada af es A) y la B ', formada por vectores propios de f, donde la matriz asociada af es A.

132

_

J

3.3.

(V,B)

~

iº

Diagonalización de matrices

(V , B) ~ (V, B)

(W , S) p- I

J, i P

p- I

(V , B') ~ (W , S')

J, i

P

p-

I

J, i

P

(V , B') ~ (V, B')

Recordemos que, para poder afirmar que p-1 AP = A, hay que "seguir la pista" a un vector cualquiera, x de V, expresado en base B', es decir a XB ', y comprobar que se llega al mismo resultado componiendo las aplicaciones que por el camino de la aplicación compuesta. Las transformaciones que sufre el vector x son: Xs E(V , B)

1.

Expresarlo en base B, es decir,

i

P

, donde XB

= fiB'.

i s , E (V, B') 2.

Hallar la imagen de X B mediante la aplicación cuya matriz asociada es A, y expresarla en base B, es decir, Xs

donde YB = Ais 3.

E

(V, B)~ys E (V , B),

= APiB,

Expresar en base B' la Imagen obtenida en base B, es decir, Ys E(V , B) pi

J,

,donde Ys' = p-Iys = p-1Axs = P-1APxs"

Ys' E (V, B')

xB'

Hemos obtenido lo mismo que si hubiéramos seguido el camino directo E(V , B')~ys' E(V,B') donde yl{ =AXs"

O O A2

Al 1

Como consecuencia, podemos decir que P- AP =

O O

=A.

O O Otra forma de expresar esta condición es:

133

3.

Diagonalización de matrices. Formas de Jordan

Si Al. ~, ... , A" , son las n raíces distintas de la ecuación característica de la matriz A, entonces, existe una matriz A diagonal semejante, tal que,

Al A=

3.3.2.

°

°

°

A2

°

°°

An

Ejemplo

Si seguimos con la matriz del ejemplo 3.2.8 de ese capítulo, recordaremos que la matriz A tiene tres valores propios de multiplicidad uno: Al = 1, ~ = 3, A3 =4. El conjunto B' = {(l, 2,1), (1, 0, - 1), (1, - 1, l)}, que se ha formado eligiendo una base en cada uno de los subespacios vectoriales asociados L I , Lz y L 3, es una base de V. El hecho de que el orden de A es tres y los tres valores propios son distintos, es suficiente para afirmar que A es diagonalizable . •:. Para expresar la imagen de los vectores de (V, B') en (V, B') mediante el endomorfismo j, la matriz A, asociada a la aplicación, es p-I AP, donde P es la matriz del cambio de base B' a B en V. •:. P es la matriz del cambio que permite expresar respecto a la base

B = {(1, 0, O), (O, 1, O), (0,0, 1)} un vector que está expresado respecto a la

base B'.

+ Cada columna de P es un vector de B' expresado en B:

134

P

l _-J

~~ ~

3.3.

Diagonalización de matrices

.:. La matriz inversa [TI es la matriz del cambio que permite expresar respecto a la base B' las coordenadas de un vector que está expresado respecto a la base B: 1 1 1 6 3 6 p -l =

~ 2 -1 3

1. La constante r a partir de la cual se define la serie se conoce como

razón de la serie geométrica. En estos primeros ejemplos el cálculo del término general de la sucesión de sumas parciales es posible. Sin embargo, esto no siempre ocurre así. Es por ello que buscaremos condiciones suficientes y necesarias para que una serie sea convergente en función de su término general.

5.3.6.

Propiedad

~

O dicho de otro modo, si lím a "* 0, entonces n-:, oo

n

LG 11.=1

n

es divergente.

La Propiedad 5.3.6 se suele utilizar para probar que una serie no es convergente.

5.3.l

Ejemplo ~_n_ y L.,¿ ~ (-1)" son convergentes. Estudiemos si las series L.,¿ n=ln+l

Por un lado lím _n_ = 1"* n ---7~ n+ 1

n=l

°

y la serie no puede converger. Por otro lado,

lím (-1)" no existe y la serie tampoco converge.

n~ oo

Sin embargo, el que la sucesión {a n } de la serie converja a cero no es una condición suficiente para que la serie sea sumable.

237

5.

Funciones reales de una variable real

5.3.8.

Ejemplo , ~ L a sene L. -1 ven'f'lca l'1m -1 = O pero no es sumable, n=1 n

11 ---7~ 11

Para entender la razón por la cual no es sumable estudiamos la sucesión de sumas parciales {sn}, Observamos que

SI

= 1,

1

S2

1

= 1+ 2" 1

1

1

1

I

=1+-+-+- > 1+-+-+-=2 4234244 ' 11111 1 1 s =s +-+-+-+-+- >2 +5-=2+10 5 6 7 8 9 10 10 2' S

y como siempre ocurre 1 1 1 1 1 1 -+--+'''+->-+n->n n +1 2n n 2n 2 '

tenemos que {s,, } no es acotada y por lo tanto no es convergente,

5.3.9.

Propiedad

Los siguientes tres resultados son relativos a series de términos no negati~

vos, esto es, series de la forma

Io" con 11 = 1

238

a" ~ O para todo n,

5.3.

5.3.10.

Series

Criterio de comparación

Para utilizar el Criterio de comparación es necesario conocer series convergentes y divergentes. A las presentadas hasta ahora añadimos una muy impor1 ¡r 2 I tan te: La serie - 2 es sumable y su suma es . Además - y es conn= 1 n 6 11 = 1 n vergente si y sólo si y> l.

L 00

5.3.11.

L 00

Criterio del cociente

239

5.

Funciones reales de una variable real

5.3.12.

Criterio de la raíz

Ahora presentaremos unos ejemplos de aplicación de los tres criterios pero antes debemos volver a recordar que solamente se pueden aplicar a series de términos no negativos. Además, el primero de ellos es el más general (en realidad los otros dos se deducen de él), pero no resulta cómodo de utilizar. La elección del Criterio de la raíz o del cociente para estudiar una serie vendrá dada por la forma de la serie pero es bueno saber que: Si el Criterio del cociente decide el de la raíz también.

5.3.13.

Ejemplo •

Estudiemos

•

SI

•

la sene

00

n= \

Sabemos que

2

I. - -n es convergente COS

7

•

2"

f (!)" es convergente por tratarse de una serie geométrica 2

n=l

de razón en valor absoluto menor que 1. Además para n 2

1 cos n - n- < 2 - 2" 7

A esto en ocasiones se le llama estudiar el carácter de la serie.

240

~

1 se tiene

5.3.

•

•

• /

•

El Cnteno de comparaclOn garantIza que

L 00

n=l

5.3.14.

COS

2

n

- - n-

Series

converge.

2

Ejemplo n

L -;- es convergente. 00

Estudiemos si la serie

n= 13

Aplicaremos el Criterio del cociente, n+l 3n+1 n+l 1 lím - - = lím --=- a

Tanto la función f(x) vertical.

252

= ±oo

=..!..x

Y/ o

como f(x)

= a sea una

lím f( x ) = ±oo.

x --,> (/+

=~ oC

tienen a x

=O como asíntota

5.4.

Límites de funciones

Así pues las asíntotas verticales y horizontales de una función son rectas (verticales u horizontales) a las que se acerca la función tanto como queramos. Pero en el plano no sólo existen rectas horizontales y verticales, también las hay oblicuas. A la fuerza, si una función tiene una asíntota oblicua habrá de verificarse lím f(x) =

x~oo

±oo

y/o

Iím f(x) =

X-7-00

Pero esto no es suficiente, ya que por ejemplof(x) x~ -oo

La recta y = mx + b con m

=1:-

= elxl no tiene asíntotas y

oo.

verifica lím f(x) = Iím f(x) = X~oo

±oo.

O es una asíntota oblicua si y sólo si

límf( x) - mx = b

X----t OO

y/o

lím f(x)-mx=b.

x - ) -oo

El cálculo de estas últimas asíntotas es el que probablemente despierta más desasosiego puesto que todavía no hemos presentado ningún ejemplo. Pero eso tiene fácil solución .

5.4. 15.

Ejemplo Estudiemos las asíntotas de {(x) = x ' + X 2 + l. X2 + 1

.

No existen asíntotas verticales porque para cualquier número a se tiene

Por otro lado,

lím X ---7

00

x 3 + x" + 1 2

X

+1

=

00

y

1ím X---7 -

00

x 3 +x 2 + 1 ') -00, x- + l

por lo tanto tampoco existen asíntotas horizontales y se verifica la condición necesaria para la existencia de asíntotas oblicuas.

253

5.

Funciones reales de una variable real

Para estudiar la existencia de asíntotas oblicuas discutiremos en primer lu-

.

x3 + X2 + 1 . 2 - mx es fimto. X~ ~ x +1

,

,.,

gar SI para algun valor m ellulllte bm

x 3 + X2 + 1 x 3 + X2 + 1- mx 3 2 - mx = lím 2 x~~ X +1 X~~ x +1

mx

-

lím

= lím X~ ~

Por lo tanto,

(1- m)x + + 3

X2 -

X2

mx + 1 =

1

{1

00

si

=

m= 1,

si m -F 1.

x3 + X2 + 1 ? (x + 1) = O Y en consecuenCIa la recta X~~ x- + 1 lím

Y = x + 1 es una asíntota oblicua para la función. El estudio de la existencia de asíntota oblicua al acercarnos a - 0 0 es similar al que acabamos de realizar y arroja como resultado que también en ese caso y =x + 1 es una asíntota oblicua. Se recomienda al lector que confirme este hecho. y

y =x+ 1

4

f(x)

=

2

,,

,,

, ,,

,

, ,,

2

-4

254

,,"

,,

,

, ,,

4

,

x

5.5.

Funciones continuas

Utilizando técnicas similares a las empleadas en límites de sucesiones es posible calcular muchos límites de funciones. Sin embargo, en la última sección de este capítulo presentaremos una herramienta que en muchas ocasiones simplifica los cálculos. Se trata de la Regla de L'Hópital. Es por ello que dejamos hasta entonces el profundizar más en el cálculo de límites.

Recordemos que:

.:. Un límite negativo obliga a la función a ser negativa en cierto conjunto . •:. Para utilizar la propiedad del emparedado hay que conocer el comportamiento de las funciones que emparedan . •:. La gráfica de una función es una representación en el plano .xy de los puntos de la forma (x, f(x» . •:. Las funciones continuas pueden entrar y salir dentro del límite . •:. Hay tres tipos de asíntotas y todas ellas están relacionadas con un límite determinado.

5.5.

5.5. 1.

Funciones continuas

Definición

De la Propiedad 5.4.8 se deduce inmediatamente la siguiente.

5.5.2.

Propiedad

255

5.

Funciones reales de una variable real

Ahora veremos cómo se comporta la continuidad ante la composición de funciones. Recordemos que si tenemos dos funciones f : D C IR ~ IR Y g: E Cf(D) ~ IR podemos definir una función que recibe el nombre defcompuesta con g y que se denota por g o f dada por g o f: D e IR ~ IR, donde (g o j)(a)

5.5.3.

= g(f(a)).

Propiedad

Las funciones que son continuas en todos los puntos de un intervalo cerrado tienen propiedades interesantes que estudiaremos en breve pero antes necesitamos establecer una definición.

5.5.4.

Definición

En caso de no especificar el conjunto A en el que una función es continua se entenderá que lo es en su dominio de definición.

5.5.5.

Teorema de Bolzano

Utilizando la propiedad anterior puede ser probado de forma sencilla el siguiente resultado que además la contiene como caso particular.

256

5.5.

5.5.6.

Funciones continuas

Teorema de los valores intermedios

En otras palabras: Si una función continua en un intervalo toma dos valores, entonces toma todos los valores comprendidos entre ellos.

5.5.7.

Ejemplo Dada una determinada ecuación el Teorema de Bolzano es muy útil para garantizar la existencia de soluciones y estimar su localización. Por ejemplo, la ecuación eX+ x = O tiene al menos una solución en el intervalo [-1, O] puesto que sif(x) = eX+ 1 se tiene 1

f(-I)O.

Aplicando el Teorema de Bolzano existe al menos un e

f(e)

E

[-1, O] tal que

= O.

Se debe notar que la propiedad garantiza la existencia de al menos una solución pero la ecuación puede tener más. En ocasiones se pueden localizar más soluciones utilizando nuevamente la propiedad. En este caso no hay más soluciones porque la función eX+ 1 es estrictamente creciente. El Teorema de Bolzano, y como consecuencia el Teorema de los valores intermedios, sigue siendo válido si consideramos una funciónf definida en un intervaEn tal caso se debe exigir lo genérico finito o infinito: (a, b), (a, b] , [a, 00), oo •

lím f( x) < O < lím f(x),

x->a+

x -> b-

•

Iím f( x) < O < f(b) ,

x-> a+

fea) < O < Iím f(x) ,

oo .

X ~OCl

257

5.

Funciones reales de una variable real

5.5.8.

Propiedad

Esto es, una función continua en un intervalo cerrado y acotado es acotada y además alcanza en dicho intervalo los valores máximo y mínimo. El resultado anterior no sólo se apoya en la continuidad de la función sino que las propiedades del intervalo cerrado y acotado [a, b] son imprescindibles. Por ejemplo,f(x) =x- I es continua en (0, 1) pero no acotada. Los intervalos cerrados y acotados son un ejemplo de conjunto compacto. Un conjunto A es compacto si es acotado y toda sucesión con imagen contenida en él posee una subsucesión convergente en A. Una función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en el sentido de la siguiente definición que se utilizará en el capítulo dedicado a la integración.

5.5.9.

Definición

Recordemos que:

.:. Las operaciones habituales se comportan bien con la continuidad . •:. Las funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado son acotadas y uniformemente continuas . . •:. Las funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado alcanzan su valor máximo y mínimo . •:. La composición de funciones continuas es continua.

258

5.6.

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

Derivada de una función. Propiedades

Supongamos que la función f(x) indica para cada instante x la posición de una hormiga que se mueve en la recta real. La cantidad f(b) - fea) b-a

coincide con la velocidad media entre los instantes x = a y x = b. Pero nuestra hormiga es muy curiosa y no sólo le gusta conocer la velocidad media entre dos instantes cualesquiera sino que quiere saber exactamente a qué velocidad se desplaza en el instante x = e. Esa velocidad instantánea parece natural definirla como límite de velocidades medias, esto es

, f(x)-f(e) 11m

x---> c

x-e

,

y hemos llegado al concepto de derivada.

5.6.1.

Definición

Otra notación para la derivada de f en a que se puede encontrar en muchos libros es df (a). dx La derivada de una función tiene una clara interpretación geométrica. Para cada valor h el cociente

259

....

5.

Funciones reales de una variable real

f(a+h)-f(a)

(5.2)

h

coincide con el valor de la pendiente del segmento que une los puntos Ca, fea)) y (a + h,f(a + h)). El valor de la derivada es el límite al hacer tender h a cero en (5.2). Por lo tanto, la derivada es el límite de las pendientes de los segmentos entre (a, fCa)) y (a + h, fea + h)) cuando h tiene a cero. Tal pendiente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).'o

y

(a + h,f(a + h))

x

5.6.2.

Ejemplo

Es inmediato comprobar que una función constante tiene derivada en todo punto y ésta es O. Seaf(x) = X2. Aplicando la definición se tiene lím x-'>a

2

a x-a

X2 -

= lím (x x -'> a

a)(x +a) x -a

= 2a = F(a) .

Recoráemos que para una recta de la forma y = mx + b, m es el valor de la pendiente. Y la pendiente e- a del segmento que une (a, b) con (e, d) es - - suponiendo b"# d. la

d-b

260

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

La siguiente propiedad de las funciones con derivada en un punto muestra su estrecha relación con las funciones continuas y aporta una condición necesaria para la derivabilidad y una suficiente para la continuidad.

5.6.3.

Propiedad

5.6.4.

Ejemplo Seaf: IR

~

l, x> 0, IR dada por f(x) = { < Esta función se llama función 0, x _O.

escalón o función de Heaviside y es discontinua en 0, por lo tanto no necesitamos estudiar ellímÍte (5.1) para afirmar que no es derivable en O. y Función de Heaviside

-4

5.6.5.

-2

2

x

Ejemplo 2 2 3 .Sea f(x) = x sen ~ ' {

0,

x =F 0, Recordando que seno es una función acotax =O.

da tenemos

261

5.

Funciones reales de una variable real

3 h2 sen 2 - {'(O) = lím h . h~ O h y 0,8

o

= lím h sen 2 ~ = O. h

h~O

{,

f (x ) = x sen":;: , x ;t O O, x=O I

I

\ /

\ \

I I

0,4

- 0,8

-0,4

0,8

0,4

lO

Pero mucho cuidado, f( x ) = x cos x ' { O,

x

x ;t O, es continua en IR y sin emx = O,

bargo no es derivable en O, ya que el límite 10

10 , hcosn - O l' 11m = 1m cos h~ O h h~ O h no existe.

,,

y

,,

5

,,

ID

f (x) =

X {

x / / /

,,

I I I I

,/ I

262

-5

,,

,,

O,

cos -; , x;tO

x =o

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

La mayoría de las veces no necesitaremos recurrir a la definición para el cálculo de derivadas gracias a los siguientes resultados.

5.6.6.

Propiedad

5.6.Z

Regla de la cadena

Utilizando la definición y las propiedades anteriores es sencillo demostrar la siguiente tabla de derivadas para las funciones más usuales:

263

5.

Funciones reales de una variable real

en donde e E IR Ya E (0,00) = IR+. Por supuesto, existen tablas más completas. Pero creemos que el uso correcto de esta tabla y de las propiedades anteriores es suficiente para generar rápidamente todas las derivadas que suelen aparecer en esas tablas sin esfuerzo. En otras palabras, creemos que aquí es bueno el dicho "No me regales pessen x cado y enséñame a pescar" . Por ejemplo, teniendo en cuenta que tg x = - cos x y utilizando la regla de derivación para un cociente se llega a er( ))' = cos (t o x

2

2

X

+? sen x = _1_ , •

cos- x

cos- x

Otras derivadas que suelen aparecer en las tablas son las relativas a las funciones inversas de las trigonométricas. Por ejemplo arc sen x. Puesto que sen x y arc sen x son inversas 11 se verifica arc sen(sen x) = x. Derivando ambos miembros de la igualdad y utilizando la Regla de la cadena en el primero de ellos se tiene arc sen'(sen x) cos x

11

=

1 ==>

arc sen'(sen x) =

1

--,

cosx

RecordeIJlOS que la función sen x no tiene inversa global en todo IR pero sí, por ejemplo, en el intervalo

[~, 3; J. 264

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

2

utilizando la igualdad cos 2 x + sen x = 1 arc sen'(sen x) =

1

-J 1- sen x 2

'

luego si denotamos y = sen x obtenemos la fórmula

, arc sen (y )=

1

~.

III- y-

El lector tiene toda la información necesaria para pescar un montón de derivadas pero como a cualquier pescador le hará falta práctica, y sobre todo, mojarse en el río. La aplicación de la Regla de la cadena a la tabla anterior genera la siguiente tabla.

en donde c E IR Y a E (0,00)

5.6.8.

= IR+.

Ejemplo

Las derivadas de las funcionesf(x) mente f'(x)

= sen(ln X2) y g(x) = ex4 son respectiva-

= (cos(ln X2»). ~ . 2x = 3..cos(ln X2) xx

4

3

'\

.4

Y g'(x) = ex ·(4x )=4x' e'.

265

5.

Funciones reales de una variable real

Como hemos visto la derivada de una función en un punto es un límite. Si consideramos límites laterales llegamos al concepto de derivada por la derecha y por la izquierda.

5.6.9.

Definición

Por supuesto si la derivada por la derecha y por la izquierda existen y coinciden, entonces la derivada existe y su valor coinciden con el de las derivadas laterales. Terminamos esta sección con una definición. Como hemos visto el concepto de derivada es local. Sin embargo, las funciones que tienen derivada en todos los puntos de su dominio tienen propiedades interesantes.

5.6. 10.

Definición

A partir de una función f dada podemos definir otra que llamaremos función derivada o función derivada primera de f que tendrá como dominio el conjunto A en que f es derivable y que denotaremos por l'

266

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

l' : A ----¿ IR. Como se verá muy pronto la siguiente propiedad descubierta por John Bernoulli resulta de gran utilidad para el cálculo de límites.

5.6.11.

Regla de L'Hópital

La Regla de L' Hopital también es válida para límites en el infinito o límites laterales, es decir podemos reemplazar a por 00, - 0 0 , a+ o a-o La Regla de L'Hopital indica que si aparece una indeterminación del tipo

O "O o

00 00

considerando el límite de un cociente de funciones tal vez nos intere-

se saber que tal límite coincide con el del cociente de sus derivadas. En principio puede parecer poco útil puesto que debemos conocer el límite del cociente de las derivadas, y para hacerlo, pasar antes el trabajo de derivar. El siguiente ejemplo nos sacará de dudas sobre la utilidad del resultado.

267

5.

Funciones reales de una variable real

5.6.12.

Ejemplo , l+sen x Calculemos el valor del límite 11m - - X---> O

X

Se trata de una indeterminación del tipo

o.o Se verifican las condiciones de

la Regla de L'Hópital puesto que las funciones seno e identidad son derivables y g'(x) = x' = 1 =f:. O para todo x. Por lo tanto lím l+senx = lím cosx = 1. X X--->O 1

X--->O

Una de las razones que hace muy versátil a la Regla de L'Hópital es que se puede aplicar de forma reiterada.

5.6.13.

Ejemplo , 1+e,2 Calculemos el valor del límite 11m-3 x-->=

x

00

Se trata de una indeterminación del tipo - . Es sencillo comprobar que se 00

verifican las condiciones de la Regla de L' Hópital. Luego l ' 2xe ,2 l' 2e,2 , 1+e,2 11m--= 1m--= 1m-X--->= Xl x--->= 3X 2 x-->= 3x 00

Pero el último límite sigue llevándonos a la indeterminación - . Vol ve00

mos a aplicar L'Hópital (fijémonos en que seguimos en condiciones de hacerlo) x2

, 2ex2 l' 4xe 11m - - = 1m - - =

X--->=

268

3x

x--->=

3

oo .

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

Por lo tanto el valor buscado era oo. La Regla de L'Hópital no sólo es útil cuando nos enfrentamos a límites de

O O

00

cocientes con indeterminaciones del tipo - y - , ya que a veces es posible 00

transformar límites con otras indeterminaciones en las anteriores. Indeterminaciones del tipo 00 - 00 pueden desaparecer o transformarse en 00

una del tipo

5.6.14.

00

o

O

O si realizamos la "resta" .

Ejemplo Calculemos

lím(~X __ 1_). sen x

X -7 0

Se trata de una indeterminación del tipo

00

-

00 •

Operado se tiene

1 },l m sen x -- x ' (1 }1m ---)= -X sen x X -70 X sen x

X-70

que nos lleva a una indeterminación del tipo

O

O a la

que se puede aplicar

L'Hópital ya que las funciones son derivables y la derivada del denominador no se anula cerca de O , sen x - x 11m X-70 X sen x

cos x-l

= l'1m - - - - - X-70 sen x + x cos x

que mantiene la indeterminación del tipo

O

O. Volviendo a aplicar L'Hópital ob-

tenemos el valor buscado Iím X-70

-sen x = O. cos X + cos x - x sen x

269

5.

Funciones reales de una variable real

Las indeterminaciones del tipo O . 00 no aparecen citadas en la Regla de L'Hopital. Pero recordando lo siguiente podremos atacarlas lím f(x)· g(x) = lím f(x) . x---'ta

x---'ta

1

g(x)

5.6.15.

Ejemplo Calculemos el valor de lím

x---'t~2

(x -n)t g x. 2

Se trata de una indeterminación del tipo O . oo. Pero

n

x- -

lím __2_ x---'t~1 2 tgx tiene la indeterminación

O O y está en las condiciones de L' Hopital. Luego

n

n

x-x-, n , 2 ' 2 11m x-- tgx= 11m - - = 11m - x---'t~- ( ) 2 x---'t~1 x ---'t~- cos X 2 2 -2-tg X sen x

' - -1= - l . l1m

x---'t ~2 -

-1

Si nos encontramos con una indeterminación del tipo 0= o utilizar logaritmos primero.

5.6.16.

Ejemplo 1

Calculemos lím x x . x ---'t oo

270

- -

sen 2 x 00°

deberemos

5.6.

Derivada de una función. Propiedades

Se trata de una indeterminación del tipo 00°. Si suponemos que 1

límx x =l, X~~

tomando logaritmos se tiene 1

In lím

XX

1

= In 1

lím In x X = 1n l

~

X ~~

~

lím !..ln x = In l .

x~oo

X~ ~

x

Ahora estamos en condiciones de emplear la Regla de L'Hopital y se tiene 1

, In x l'1m-= ~ O. 11m--= X X --t oo 1

x~oo

Por lo tanto, In 1= OY l = 1 es el valor buscado.

5.6.1Z

12

Ejemplo I

Calculemos lím x x . x~o+

Se trata de una indeterminación del tipo 0=. Al igual que en el ejemplo anterior, si suponemos que 1

lím

XX

lím In

XX

x~o+

= 1,

tomando logaritmos se tiene 1

I

In lím x X = In l x~o+

~

x ~ o+

= In l

~

lím !..ln x = In l.

x ~o+

x

Empleando la Regla de L' Hopital se tiene 1

, In-x= l'1m -=00. ~ 11m X x~o+ 1

x~o+

: Ojo. un error típico es olvidar que aplicamos logaritmos y dar como valor del límite O en lugar de 1.

271

5.

Funciones reales de una variable real

Por lo tanto, In l

=

00

yl

=

00

es el valor buscado.

También las indeterminaciones del tipo 100 pueden estudiarse utilizando logaritmos que nos llevan a una indeterminación del tipo O . oo. Sin embargo, es muy útil el siguiente resultado.

5.6. 18.

Propiedad

5.6.19.

Ejemplo Calculemos el límite Iím (1

.1--->=

+~) x-

2.1 2

Recordando las propiedades de las potencias se tiene lím (1 +

k-->=

~)2X2 = x--->= lím [(1 + ~)X2 J2 = [lím (1 + ~)X2 .J2= xX--->= x-

e2.

X

Seguro que a algún lector le sonará el ejemplo anterior y si retrocedemos a la sección dedicada a las sucesiones encontraremos que el ejemplo que acabamos de presentar coincide con uno de esa sección con la única modificación de haber cambiado n por x. Esto nos lleva a plantearnos la relación entre sucesiones y funciones. Así, para terminar este capítulo volvemos a considerar límites de sucesiones. Hemos visto que la Regla de L'Hópital es muy útil en el cálculo de límites de funciones. ¿Qué ocurre con los límites de sucesiones que estudiamos en la segunda sección del capítulo? Utilizando la siguiente propiedad podremos utilizar las técnicas de límites de funciones para límites de sucesiones.

272

5.6.

5.6.20.

Propiedad

5.6.21.

Ejemplo

ealculemos

Derivada de una función. Propiedades

' In n l1m - . 11-'>=

n

Antes hemos visto que lím In x x-,> oo

]'1m -In n . d ad antenor 11-,> 00

n

x

= xlím ~ = O. -,>oo 1

Luego, aplicando la propie-

= O.

En algunas ocasiones, para el cálculo de límites de sucesiones es más adecuado utilizar el siguiente criterio que también está relacionado con la Regla de L' HópitaJ.

5.6.22.

Criterio de Stolz

273

5.

Funciones reales de una variable real

5.6.23.

Ejemplo , 1 + 3 + ... + (2n + 1) Calculemos 11m . n~= 2+4+ ... +(2n+2)

Definamos {aJ={1+3+ .. ·+(2n+l)} y {b n }={2+4+ .. ·+(2n+2)} . Es sencillo comprobar que {2 + 4 + ... + (2n + 2)} es una sucesión monótona que tiende a oo. Por otro lado, a -a 1+' .. +(2(n+l)+1)-(I+ ... +(2n+l)) lím "+1 n = lím _ _ _+-_ _ _-;-----;-_ _ _ _ _-'-,n~= bn +1 - bn n~= 2 + ... + (2(n + 1) + 2) - (2 + ... + (2n + 2))

= lím

1+3+ .. ·+(2n+3)-1-3- .. ·-(2n+l)) IH=2+ 4+···+(2n +4) -2 - 4-·· ·-(2n +2))

= lím 2n + 3 = l. n~=2n+4

Desde luego, si contamos el número de veces que ha aparecido el apellido L'Hopital está claro que éste acertó en la apropiación del resultado que le llevaría a la posteridad.

Recordemos que: .:. Una función continua puede no ser derivable . •:. Si una función es derivable es continua . •:. Muchas de las derivadas incluidas en tablas se pueden deducir sin grandes dificultades . •:. Al aplicar la Regla de la cadena no debemos olvidar multiplicar por u'(x) .

•:. Si las derivadas laterales coinciden la función es derivable . •:. La Regla de L'Hopital y el Criterio de Stolz no se pueden usar siempre . •:. Hay una relación importante entre los límites en el infinito de funciones y los límites de sucesiones.

274

EL TEOREMA DE TAYLOR. APLICACIONES

6.1.

Teoremas de Rolle y del valor medio

6. 1. 1.

Teorema de Rolle

6.1.2.

Ejemplo

La funciónf(x) = rema ya que

X2

en el intervalo [-1 , 1] verifica las condiciones del teof(-l)

= (_1)2 = 1 = 12 =f(1)

y f es derivable en (- 1, 1) Y continua en [-1, 1].

275

6.

El teorema de Taylor. Aplicaciones

La función sen x verifica las condiciones del Teorema de Rolle en cualquier intervalo de la forma [a, a + 2nn], n E N, ya que se trata de una función continua y derivable en todo IR y sen a = sen (a + 2nn) . Comprobemos que si falla alguna de las condiciones del Teorema de Rolle éste deja de verificarse. En primer lugar consideremos la función f: [O, 1] ~ IR dada por f(x) = x + l . Es evidente que f es continua en [O, 1] y derivable en (O, 1), pero

feO) = 1 :;t 2 = f(1). La derivada defesf'(x) = 1 que no se anula en (O, 1) Y por lo tanto la tesis del teorema no se verifica debido a que la hipótesisf(O) =f(1) falla . Sea ahoraf: [-1, 1] ~ IR dada por f(x) = Ixl. La función valor absoluto es continua en IR y en particular en [-1, 1]. Por otro lado,f(-I) = f(1) ya que f( -1) = 1-11 = 1 = 111 =f(1). Sin embargo,f no es derivable en O aunque sí en el

1, resto de los puntos del intervalo (-1, 1). Además, f'(x) = { -1,

x> O,

x_ O, Se trata de una 1,

x-O.

función derivable en (O, 1) YfeO) = 1 =f(1). Pero f no es continua en O aunque sí en el resto de los puntos en los que está definida. Evidentemente su derivada f'(x) = 1 no se anula en (O, 1). Pero mucho cuidado, no debemos malinterpretar los contraejemplos anteriores. Es sencillo encontrar funciones definidas en un cierto intervalo [a, b] que no verifican las hipótesis del Teorema de Rolle en [a, b] y sin embargo su derivada sí se anula en algún punto de (a, b). Por ejemplo,f(x) = x 3 en el intervalo [-1, 1], no verificaf(-I) =fO) pero

f'(x ) = 3 X2 y por lo tanto 1'(0) = O. El Teorema de Rolle nos permitirá demostrar el siguiente resultado que además lo generaliza.

276

Teoremas de Rolle y del valor medio

6. 1.

6. 1.3.

Teorema del valor medio

Demostración: Para demostrarlo aplicaremos Rolle a la función h(x) = f(x) - fea) -

f(b~ -

fea) (x - a).

-a

La función h es continua en [a, b] puesto que f es continua y la función x - a también (recuérdese que a, b,f(a) y f(b) son números) . Derivando se tiene h'(x) = r(x) _ f(h) - fea) . h-a

Ahora bien, la derivabilidad de f en (a, b) garantiza que la expresión anterior tiene sentido en todo (a, b) y h es derivable en tal intervalo. Finalmente h(a) = fea) - fea) - f(b) - fea) (a - a) = O b-a

y h(b)

= f(b) -

f(a)-

f(b~= ~'(a) (b- a) = f(b) -

fea) - f(b)+f(a)

= O.

Luego h(a) = h(b) = O Y gracias al Teorema de Rolle podemos afirmar que existe al menos un e E (a, b) tal que

h'Ce) = f'(e) - f(b) - fea) = O. b-a

277

6.

El teorema de Taylor. Aplicaciones

Con lo cual ('(e) = f(b) - f(a) . . b-a El Teorema del valor medio tiene una clara interpretación geométrica que describimos a continuación. El segmento que une los puntos (a,f(a» y (b,f(b» .

.

{ (b) - {(a)

.

tIene pendIente .

. . Por lo tanto, el Teorema del valor medIo afirma b-a que para toda función continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) existe un punto perteneciente al intervalo abierto en el que la recta tangente a la gráfica de la función es paralela al segmento que une los puntos (a,f(a» y (b,f(b».

l'

(a,f (a»

'" "

"

" '"

"

" ""

'"

'" '" '"

"

""

"

(b,f(b»

En la figura anterior se aprecia que la recta tangente en (e, f(c» y el segmento que une (a,f(a» y (b,f(b» son paralelos. El Teorema de Rolle también tiene una interpretación geométrica puesto que sif'(c) = O entonces la recta tangente es paralela al eje x. Por lo tanto el teorema garantiza la existencia de un punto en el que la recta tangente a la función es horizontal. Ya sabemos que una función constante tiene derivada nula. Pero, ¿son las únicas con esta característica? El siguiente resultado, sencillo de demostrar a partir del Teorema del valor medio, nos sacará de dudas. I Para poner de manifiesto el final de una demostración en ocasiones se escribe el acrónimo c.q.d.: como queríamos demostrar, q.e. d.: quod erat demonstrandum (o quit endless discussiol1 ;-)) o se sitúa el símbolo O al final.

278

6. 1.

6. 1.4.

Teoremas de Rolle y del valor medio

Caracterización de las funciones constantes

Las funcionesf(x) =x y g(x) = x + 1t tienen la misma derivada y difieren en una constante. Esto no es una casualidad. Si f'(x) = g '(x) en (a, b) Y definimos h(x) = f(x) - g(x) se tiene que h'(x) = O. Luego aplicando la caracterización 6.1.4 la función h es una función constante en (a, b), esto es, para cierto e E IR fijo , h(x)

=f(x) -

g(x)

= c.

Como consecuencia del Teorema del valor medio también obtendremos condiciones suficientes para la monotonía de una función.

6. 1.5.

Definición

Como ocurrió con las sucesiones, en ocasiones nos referiremos a estas funciones eliminando el término monótona, es decir, función creciente, decreciente, estrictamente creciente, estrictamente decreciente.

279

6.

EJ teorema de TayJor. Aplicaciones

6. 1.6.

Propiedad

Efectivamente, para cualesquiera a, b E 1 con a < b el Teorema del valor medio garantiza la existencia de e E (a, b) tal que

(,Ce) = f(b) - f(a). .

b-a

Sif'(x) > O en !, tenemos en particular que f'(c) > O Y f(b) - fea)

=f'(c)(b -

a) > O.

Por tanto,f(a) O.

La función es continua puesto que para x =t:. O viene dada por funciones continuas y los límites laterales en O coinciden lím f( x) = lím

X--70-

X--70-

X2

lím {(x) = lím x 3 = O.

= O,

X--70+'

X--70+

Para x =t:. O podemos derivar la función sin problemas y se tiene f'(x) x < O Yf'(x) = 3x2 si x > O. Calculemos las derivadas laterales en x = O .f'(0- ) = lím feO + h) - feO) = lím !{ = O, h--7 0h h--70- h f'(0 +) = lím f(O +h)-f(O) = lím !{=O. .

284

h--7 0+

h

h--7 0+

h

= 2x si

6.2.

Derivadas sucesivas

Puesto que ambas coinciden podemos garantizar que 1'(0) = O. Así, 2X'

f'(x)= O, { 2 3x ,

x < O, x =O, x> O.

Calculemos ahora la derivada segunda de f Derivando l' fuera de x = O obtenemos j"(x) = 2 si x < O Yj"(x) = 6x si x > O. Pero las derivadas por la izquierda y por la derecha en O de l' no coinciden ,f"(O-)= Hm f'(O+h)-f'(O) = lím 2h =2, h-tOh h-tO- h 2

jl/(O+) = lím f'(0 + h) - f'(0) = lím 3h = O. x -tO+ h h.-tO+ h

Por lo tanto, la derivada segunda de j no está definida en x = O. En la siguiente gráfica aparecen representadas las funciones j y j'. Obsérvese el pico en x = Oen el caso de l' que indica la imposibilidad de derivar.

y

y

9

-1

-3

285

6.

EJ teorema de TayJor. Aplicaciones

Consideremos el conjunto formado por todas las funciones continuas en un intervalo (a, b). Tal conjunto cumple todas las condiciones de espacio vectorial y se denota por e(a, b). También las funciones definidas en (a, b) y con derivada primera (segunda, tercera,... ) continua en (a, b) forman un espacio vectorial que se denota por el(a, b) (e 2(a, b), e 3(a, b), ... ). Tales espacios son muy importantes en diversas ramas de la matemática.

Recordemos que: .:. El dominio de las funciones derivadas sucesivas puede ser menor que el de la función de partida . •:. Las derivadas sucesivas de f(x) = O, \;f X E IR están definidas en todo IR.

6.3.

El teorema de Taylor

Dedicaremos esta sección a la aproximación una función dada, por ejemplo sen x, mediante polinomios. ¿Por qué polinomios? Porque es muy sencillo evaluarlos: Si querernos calcular el valor del polinomio

en el punto x = 3 sólo necesitamos realizar multiplicaciones y sumas, esto es, = 3 . 3 + 1 = 10. Así, si conseguimos encontrar un polinomio que aproxime a sen x podremos calcular fácilmente los valores de sen x de forma aproxi4 mada. Ya que los polinomios desempeñarán un papel protagonista en esta sección, comencemos estudiando alguna de sus propiedades. En particular, busquemos alguna relación entre el valor de sus derivadas en O y sus coeficientes. Un ejemplo nos dará alguna pista.

p(3)

Éste es el método que utilizan las calculadoras científi cas para calcular, por ejemplo, el valor aproximado de sen l.

4

286

6.3.

6.3.1.

El teorema de Taylor

Ejemplo Dado p(x) = 1 + 2x - x 2 , calculemos el valor de p(O), p'CO), p"(O) . Evaluando se tiene p(O)

Derivando y evaluando en x p'(X) p"(x)

= l.

= O se tiene

=2 -

2x,

= -2,

4 4

p'CO) = 2, p"(O) =-2.

Por lo tanto, p se puede expresar P"(0) 2 p(x) = p(O) + p'(0)x+_- x •

2

Lo que ha ocurrido en este ejemplo no es una casualidad.

6.3.2.

Propiedad

Recordemos que n! es el factorial del número natural n y coincide con el producto de todos los naturales menores o iguales que n, es decir, n! = n . (n - 1) ... 2 . 1. Por convenio se establece O! = 1. Si adoptamos la notación p(Ü(x) = p(x) podemos dar una formulación más compacta para (6.1)

287

6.

EJ teorema de TayJor. Aplicaciones

(X) P

= 'f

p(i (O) Xi.

~

.,

i=O

l.

La propiedad anterior establece que un polinomio p de orden n viene determinado por los valores de p(O), p'(O), ... , p(Il(O). Esto es, si conocemos tales valores conocemos la expresión del polinomio.

6.3.3.

Ejemplo

Sabiendo que p es un polinomio de orden 3 tal que p(O) p"(O) = 6 Yp"'(O) = -6 calculemos su expresión. Utilizando la fórmula (6.1)

= 1,

p'(O)

= O,

p(x) = p(O) + p'(O)x + p"(O) X 2 + plll(O) x 3 2! 3!

6 2 6 3 2 3 =1+0x+-x - - X = 1+3x -X .

2!

3!

Por lo tanto, el polinomio buscado es p(x)

= 1+ 3X2 -

x 3•

Supongamos ahora que de una función f conocemos los valores feO), 1'(0) , f"(O) y f"'(O), y queremos encontrar un polinomio p de orden 3 tal que p(O)

=feO),

p'(O) =1'(0),

p"(O)

=f"(O),

p'''(O) =1'''(0).

La propiedad anterior establece que existe un único polinomio con esas características y es p(x) = feO) + f'(O)x +

f "(O) 2!

X2

flll (O) + -'-3-!_x 3 •

Acabamos de definir un polinomio a partir de los valores de las derivadas de f Además, por la forma en la que lo hemos definido, las derivadas de este polinomio coinciden con las de fhasta el orden tres. En la siguiente definición daremos un nombre concreto a este polinomio.

288

6.3.

6.3.4.

Definición

6.3.5.

Ejemplo

EJ teorema de TayJor

Calculemos los polinomios de Taylor de f(x) en el origen de orden 5. Derivando y evaluando en O se tiene x

f(x) = e x f'(x) = e x /,,(x ) = e

~ ~ ~

= eX y g(x) = sen x centrados x

feO) = 1, f'(0) = 1, /,,(0) = 1,

f' ''(x) = e /4(X) = eX /5(X) = eX

~ ~

~

/,,'(0) = 1, / \0) = 1, l5(0) = l.

Por lo tanto, X2 X' x4 p(x) = 1+ x+-+ -+ - . 2! 3! 4!

De forma similar, para g(x) g(x) = sen x g '(x) = cos x g"(x) = - sen x

~ ~ ~

= sen x se tiene

g(O) = O, g'(O) = 1, g"(O) = O,

g' ''(x) = -cos x g(\x) = sen x g(5(X) = cos X

~ ~ ~

g'''(O) = - 1, g(4(0) = O, g(\ O) = 1.

Por lo tanto, p(x)

x

3

x

5

= X--+-. 3!

5!

Además es sencillo ver que in(O) = eO = 1 para todo n y por lo tanto el polinomio de Taylor centrado en el origen de orden n resulta

289

¡¿

6.

El teorema de Taylor. Aplicaciones

n Xi

p,, (x)=

¿l'

i = O l.

También se tiene que g(I1(O) = O si n es par. Si n es impar se puede expresar de la forma n = 2k + 1 con k E N, se tiene que g(2k + 1(0) = (_1)k por lo que los polinomios de Taylor de órdenes 2n + 1 Y 2n + 2 centrados en el origen son ( )" x 2n+1 X3 x 5 ( X) -x--+-+···+ -1 P2n+l ( X) -P 2n+2 3! 5! (2n +1)!

El polinomio de Taylor centrado en el origen se puede utilizar para aproximar los valores de una función cerca del origen.

6.3.6.

Ejemplo

Calculemos el valor de ln(1, 1) a partir de los polinomios de Taylor de f(x) = ln(x + 1) centrados en el origen de ordenes 2, 3 Y 4. Derivando y sustituyendo se tiene f(x)= ln( x +l)

~

f(O)=O,

("'( 2 . x)= (X+1)3

1 .f' (x)=x+l

~

.f'(0) = 1,

f

(" -1 . (x) = (x+lf

~

f"(O)

- 2·3 (x)= (x +lt

(4 .

~

flll(O) = 2,

~

.r(0)=-3!

= 1.

Por lo tanto, los polinomios de ordenes 2, 3 Y 4 son respectivamente

1 2 X2 P2(X)=X-2"x = x -T' P3 (x)

1

= x--x 2

2

2 3 +-x 3!

X2

x3 3 '

= x--+2

y

' . 4 1 223 '34 X2 X3 X P (x)=x--x +-x - - x = x - - + - - - . 4 2 3! 4! 2 3 4

290

6.3.

Si evaluamos estos polinomios en x maciones de feo,1) = ln(l, 1),

El teorema de Taylor

=0, 1 obtenemos las siguientes aproxi-

(0,1)2 ln(l,l) "'" p, (O, 1) = 0,1 - - - = 0,1- 0,005 = 0,095.

-

2

ln(1,I) "'" p3(0,1) = 0,1- (0,1)2 + (0,1)3 = 0,095+0,000333 = 0,09533. 2 3 ln(11)""'p (O 1)=0 1- (0, 1)2 + (0,1)3 _ (0,1)4 ,

4'

,

2

A

=

3

4

A

0,095333 - O, 000025 = 0,095308333.

Utilizando una calculadora se tiene ln(1, 1) "'" 0,095310179804324860043952123280765. Observamos que las aproximaciones obtenidas mejoran al aumentar el orden del polinomio de Taylor empleado. A la vista del ejemplo anterior nos planteamos dos cuestiones importantes. La primera es ¿cómo de bien estamos aproximando? o lo que es lo mismo ¿puedo estimar el error cometido? La segunda es ¿ocurre en general que a mayor orden del polinomio es menor el error cometido?

6.3.l

Propiedad

291

;,. -

6.

El teorema de Taylor. Aplicaciones

o dicho de otro modo, se verifica f( " (O) f l"+l( ) f "(O) x 2 + ... +' - - x" +' e X"+l f, (x) = "f(O)+f'(O)x+-' _ 2! n! (n+l)!

para cierto e entre O y x,

6.3.8.

Definición

Existen otras expresiones de este mismo resto con nombre propio pero no las consideraremos aquí.

6.3.9.

Ejemplo 1

Calculemos sen "2 con un error en valor absoluto menor que 0,001 , Utilizaremos el polinomio de Taylor centrado en cero de la función

¡(x) = sen x que ya calculamos con anterioridad x'

x'

x2n+l

P211 +1 (x)=O+x--+-+(-I)"-3! 5! (2n + 1)! 1

1

Estimemos el error que cometemos si aproximamos sen "2 por PI/( "2 ). Utilizando la Propiedad 6.3,7 sabemos que este error en valor absoluto es igual a

R(~) " 2

292

=

l"+I(C)(~)"+l (n+l)! 2

6.3.

para cierto e

E

El teorema de Taylor

+). Además, las derivas superiores de f son senos y cosenos

(O,

que en valor absoluto oscilan entre

R (~) n

°

y l. Por lo tanto

f(n+1(c) (~) n+1

=

(n+l)!

2

2

S (I )"+I .

(6.2)

(n+l)!

Luego llega con buscar el valor de n más pequeño que garantice

(+)"+1 -

(n + 1)!

< 0,001.

Utilizando (6.2), para n = O se tiene IRo( ¡

+)1 S 0,5. Para n = 1,

¡

1

¡

R¡("2) so, 125. Para n = 2, IR 2("2)1 S 0,020. Para n = 3, IR 3( "2)1 S 0,0026. Pa-

1

ra n = 4, IR4(

I)I S 0,00026.

Por lo tanto, es suficiente tomar el valor de P4(

P4

1

(

1

+), que resulta ser

¡ 3

(2)

A

A

=---=0,5-0,020833=0,479166. 2 2 3!

-

)

Utilizando una calculadora científica sen ~ = 0,47942553860420300027328793521557. 2

6.3. 10.

Ejemplo Veamos que ocurriría si consideramos sen 3 en vez de sen

I

en el ejemplo

anterior.

293

6.

El teorema de Taylor. Aplicaciones

Debemos buscar el valor de n más pequeño que garantice

IR (3)1~ n

(3)"+1 existe un 8 tal que para una partición p en que la an-

°

e

chura de sus subintervalos sea menor que 8, tenemos M - m < - - o b- a ¡

¡

Por tanto:

es decir, cumple la definición.

329

l

La integral de Riemann

Por tanto, las funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado son integrables. C.q.d.

Z 1.8.

Teorema

Eximimos al lector de la demostración de esta proposición. A cambio, invitamos al lector a la reflexión. Las proposiciones que hemos enunciado dan condiciones suficientes, lo cual quiere decir que hay funciones que son integrables en un intervalo [a, b J, aunque no satisfagan ninguna de las hipótesis anteriores. De estos teoremas que establecen condiciones necesarias para la integrabilidad se deduce, por ejemplo, que los polinomios de cualquier grado son integrables en un intervalo finito; las funciones radicales son integrables en intervalos finitos que no contengan ningún cero del denominador; el seno y el coseno son integrables en un intervalo finito; las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son integrables en un intervalo finito que no contenga discontinuidades infinitas de la función; funciones del tipo E(x) , a veces se simboliza [[xJ] , que son acotadas y continuas excepto en un número finito de puntos de [a, b J también son integrables, etc.

7.1.9.

Teorema

Recordemos que:

.:. No toda función es integrable . •:. Toda función continua en un intervalo [a, bJ es integrable en él.

330

7.2.

7.2.

Propiedades de la integral

Propiedades de la integral Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado. Denotamos R [a, b] al conjunto de las funciones integrables en [a, b].

7.2. 1.

Teorema sobre las propiedades de la integral Riemann

Demostración: 1. Para particiones p de [a, b] elegimos una colección de puntos Pi en los respectivos subintervalos, las sumas de Riemann resultantes verifican: R(f + g, p)

Por hipótesis, para

E

= R(f, p) + R( g, p)

> O existe 8 tal que

Ilpl < 8

y cumple las desigualda-

des siguientes:

331

7.

La integral de Riemann

Por tanto, para

Ilpl < 8 tenemos:

con lo que queda demostrado. 2. Es también evidente que escogiendo los mismos puntos J.li para formar las dos sumas de Riemann se cumple: R(q{, p)

= aR(f, p)

Si a = O es obvio. Suponemos a -:f. O Y escogemos para lO> O un 8 tal que

Ilpl < 8 con lo que:

Entonces:

cuando 3.

Ilpl < 8

y queda demostrado.

Aplicando 1 y 2, g -

f

E

R [a, b]. Pero, por hipótesis, toda suma de

Riemann para g - f es ~ O. Por tanto,

f ~ (R - .f) ~ O.

Aplicando otra vez las propiedades 1 y 2 queda demostrado. 4.

Al ser

Ifl

E

R[a, b],

If(x)1 y aplicando la propiedad 3, -flfl ~ ff(x) ~ flfl que se puede expresar: -lf(x)1 ~ f(x) ~

332

Propiedades de la integral

l2.

l5:f(X)1 ~ 5:lfl

en la desigualdad triangular,

If(x)I-lf(y)1 ~ If(x) - f(y)l,

tomamos

sup

con y fijado en [ti_l, t¡], tenemos así:

t¡_1 ~ x O existe un no tal que:

If n(x) - f( x )1 < ~ sup{l t (x) - f(x)l} XES

para todo n 2: no por tanto:

~ ES: < E /2

para todo n 2: no

lo que quiere decir que: lím

sup{I .t:, (x) - f(x)l} = O

1'1 -; 00

XES

(1)

c.q .d.

Razone el lector recíprocamente, y demuestre que si se cumple (1) la convergencia es uniforme. Veamos a continuación un ejemplo de aplicación de esta importante proposición:

389

8.

Sucesiones y series de funciones

8.2.5.

Ejemplo Sea la sucesión de funciones:

Estudiamos la convergencia puntual: x

lím arc tg - = lím arc tg O= lím O= O para todo x n~oo n n. ~oo n ~ oo

E

IR

luego la función límite esf(x) = O. pasamos a estudiar si la convergencia puntual es también uniforme. Construimos:

El lector debe averiguar para qué valor de x la expresión anterior alcanza su valor supremo y determinar ese valor supremo. A veces, será sencillo el cálculo del supremo; otras, deberá el lector recurrir a sus conocimientos sobre cálculo de extremos, etc. En este caso es sencillo comprobar que: larc tg

~I ~ sup arc tg (~) = ~

y como n;

n;

2

2

lím -=-:;t:0 n---+ =

no hay convergencia uniforme.

390

8.2.

8.2.6.

Convergencia uniforme. Condición de Cauchy

Ejemplo Veamos todavía otro ejemplo: Sea

f n (x) =

X

1

l+n 4 x-

estudiemos la convergencia de {.!;,(x)} en [0, 00)0

Primeramente, abordaremos la convergencia puntual.

x

Tenemos: si x 7:- 0, lím f n(x) = lím n ~oo

Si x

.¡

1

1+ n x-

11 ---'>00

°

=

°

= 0,//1 (O) = para todo no Luego lím .1;,(O) =

Es decir, lím 11---'> 00

Luego

f n (x) =

{In (x)}

11----7 =

°

°

\Ix E [0, 00)

converge puntualmente a la funciónf(x)

=

°

en [0,00)0

Estudiemos la convergencia uniforme: Construimos:

lo!;,(x) -

f(x)1 =

lo!;,(x) -

01 = 11 +11x x- 1 4

1

Calculemos el máximo en [0, 00)0 La función cuyo extremo queremos obtener es R(X) =

x 4

1+11 x

2 '

por tanto:

4 4 2 1 -n 4x2 , 1+nx -X 2 nx R(x) = o = 1 =0 con x = 4 (1+n x- ) (l+n 4 x-) /12 o

Luego el máximo de g(x) es en x = -

1

/1 2

391

8.

Sucesiones y series de funciones

sup{!.f,,(x) - f(x) !} =

2~2

y

lím sup{!f,(x)-f(x)!} = lím 2\ =0

71---,> 00

fl---'>OO

n

Luego {f,(x)} converge uniformemente a la funciónf(x) =

°

en [0,00)

Veamos otra interesante proposición:

8.2.l

Proposición de Cauchy

Veamos un ejemplo de aplicación de esta proposición.

8.2.8.

Ejemplo Sea la sucesión de funciones

{.f" (x)} = x n definida en [0, 1].

Recordará el lector que converge puntualmente a la funciónf(x) siguiente: {(x) = .

{O1

°

si ~x 111

f ' () -, f'() ,,,,X ,, X=111X m-I -nx ,,-1 = O 1/

Xm-I[111 - nx,,-m ] = O resulta x = O, X""'

=

111)/ ("-"')

( --;;,

Como ,f" (O) - ,f, (O) = ,f n(1) - ,f , (1) = O resulta

l/y,

111) / (1/-11) )

max Ix"' -xl/ l= f ,Jxmn )- ,f/xlI!l/ )= ( -

n

XES

IY,'

(

111 ) , (n-m)

- -

n

>0

Si se cumpliera la proposición de Cauchy, cuando m y n tiendan a infinito,

Ix m- x " I tendería a cero para cualquier valor de x E S, Vemos que, por ejemplo para n = 2m, resulta:

_xn l=~_(~)2 = 1

max Ixm XES

2

2

4

Luego no se cumple la proposición de Cauchy y la convergencia no es uniforme, Ya hemos visto cómo la convergencia uniforme conservaba la continuidad de las funciones que conformaban la sucesión funcional. A continuación enunciaremos proposiciones que relacionan la convergencia uniforme con la transmisión de dos importantes propiedades de las funcione s como son la integrabilidad y la derivabilidad.

393

8.

Sucesiones y series de funciones

8.2.9.

Proposición sobre convergencia uniforme e integrabilidad

A continuación veremos un ejemplo de aplicación de esta proposición.

8.2. 10.

Ejemplo .

Sea la suceSIón de funciones

In(x) =

2n cos x +sen 2 nx en el intervalo n

[0, n], piden estudiar la convergencia puntual y uniforme, así como calcular:

Estudiemos la convergencia puntual: 2

, .f.n (X ) = lím 2ncos x +sen nx = lím . 11m

n---7 ~

como resulta O::;

n

n ---7 ~

sen 2 nx

n

n ---7~

(2 cos x +sen- --nxJ 2

n

1 ::; - , por tanto:

n

lím

In(x) =2 cos X

n ---7~

Luego

394

{In(x)}

converge puntualmente a la funciónI(x)

= 2 cos x en [0, n].

8.2.

Convergencia uniforme. Condición de Cauchy

Para el estudio de la convergencia uniforme, construimos: 2

2

n

n

. . I I sen nx -2cosx= sen nx I.fn(x)-.f(x)=2cosx+ Es decir, \:.Ix

E

s-1 n

[O, n] y \:.In 2 no con 1 < E 1 Ifn(x)-f(x)IS- O existe un no E N (ahora sólo depende del valor E) tal que:

IF(x) - Fn(x)1< E para todo x E S Ypara todo n :? no Es evidente, al igual que ocurría en las sucesiones de funciones, que si la serie de funciones converge uniformemente en S e IR también converge puntualmente en dicho conjunto S. Veamos a continuación varias proposiciones que nos permiten caracterizar los diversos tipos de convergencia de las series de funciones y que son de gran utilidad práctica.

8.3.3.

Proposición de Cauchy sobre la convergencia puntual

399

8.

Sucesiones y series de funciones

8.3.4.

Proposición de Cauchy sobre la convergencia uniforme

Observe el lector que en esta convergencia el valor no depende sólo de no de x.

lO

y

Recordemos que:

.:. En la convergencia puntual el valor de no depende del lO prefijado y de x . •:. En la convergencia uniforme el valor de no depende sólo de lO y no de x.

8.4. 8.4. 1.

400

Continuidad, integración y derivación Proposición sobre convergencia uniforme y continuidad

8.4.

Continuidad, integración y derivación

8.4.2.

Proposición sobre convergencia uniforme e integrabilidad

8.4.3.

Proposición sobre convergencia uniforme y derivabilidad

Veamos a continuación el criterio de Weierstrass.

401

8.

Sucesiones y series de funciones

8.4.4.

Criterio de la mayorante (Weierstrass)

A continuación veremos un ejercicio sencillo en el que estudiaremos una serie funcional.

8.4.5.

Ejemplo Dada la sucesión de funciones

{In(x)}

eX-1

In(x) = -,,,e

(n

siendo

= 0,1,2, ... )

se pide: 00

1)

Estudiar la naturaleza de las series numéricas

n=O

2)

y

n=O

en caso de ser convergentes obtener su suma. Estudiar la convergencia puntual en [0, 1] de la serie de funciones 00

L In(x) n=O

402

00

L In(O), L In(1)

así como la convergencia uniforme.

8.4.

3)

Continuidad, integración y derivación

Estudiar la naturaleza de la serie numérica

,%0((2 fn

(x)

dX)

y en ca-

so de ser convergente obtener su suma. 1)

Tenemos: O

fL.,¡ .f.¡(O) -_ fL.,¡ e n=O

n=O

ff

n

(1) =

11=0

2)

f 11 =0

-o

1 -_

e

fL.,¡ _O -_ O 11=0

1uego es convergente

Surna O

luego es convergente

Suma e

1

e ~ 1 = e -1 = e e 1- 1.e

Haremos el estudio para x = O Yx

E

(O, 1]

~

Conx= O

resulta

I

.f.¡(O) = O

11 =0

Con x

E

(O, 1]

1 < 1 Y por tanto: eX

resulta una serie geométrica de razón ~ eX -1 , I fn(x)=--=e'

11 =0

1- ~

eX

Luego la serie converge puntualmente en el conjunto [O, 1] a la función si x = O si x E (O, 1] eX-1

Como todas y cada una de las funciones

f n (x) = -

e

/1.-, -

son continuas en

[O, 1] Y la función a la que convergen en [O, 1] g(x) no 10 es, por tanto la convergencia no es uniforme.

403

8.

Sucesiones y series de funciones

3)

Tenemos que en el intervalo

luego

n

-7

00

[Ji, 1] resulta (e }; J~ (e x)" \ix [Ji, 1] eX-11 e - l ,que al hacer E

-

I

resulta

eX-1 -

e

,-Lt -

~

e

,-",-

~

ni

eh

O Y aplicando el criterio de Weiestrass queda ~

demostrado que la serie I .f~ (x) es uniformemente convergente en n=O

[Ji, 1] Ypor tanto:

Recordemos que: .:. La convergencia uniforme conserva la continuidad y la integrabilidad.

8.5. 8.5. 1.

404

Series de potencias. Radio de convergencia Definición

8.5.

Series de potencias. Radio de convergencia

Estudiaremos en este apartado las series centradas en O, es decir, las series 00

de potencias del tipo

¿ a"x". 11 =0

Una familia especialmente importante son las series de la forma:

¿ .¡ (") (O) x " 00

n!

11 =0

siendo funa función que tiene derivadas de todos los órdenes en O; estas series reciben el nombre de "serie de Taylor de f en el origen". Pero no toda función es susceptible de ser desarrollable en serie de potencias. Estudiaremos pues las series de potencias, lo que nos permitirá establecer condiciones para el desarrollo en serie de funciones, así como inferir propiedades de las funciones definidas como una serie de potencias . 00

Dada la serie de potencias

¿ a (x - x o )" n

la seri e de potencias anterior

11=0

quedará definida cuando se conozca all y problema al estudio de la serie:

Xo;

un cambio de variable reduce el

00

¿a x ll

n

17 =0

es decir, una serie de potencias centrada en O.

8.5.2.

Proposición de convergencia

405

8.

Sucesiones y series de funciones

Basándonos en esta proposición, las series de potencias centradas en O se pueden clasificar en: 1) 2)

Series de potencias que convergen sólo para el valor O de x. No es de aplicación la proposición anterior. Series de potencias que convergen en intervalos del tipo (-y, y) [-y, y), (-y, y], [-y, y] con yE IR Y positivo, y cuyo término general no tiende a cero para los valores de x tales que

3)

Ixl> y . Estas series son absoluta y

uniformemente convergentes en cualquier intervalo [-k, k] con k < Y pero la convergencia en los puntos -yo y, si tiene lugar, puede ser absoluta o no. Series de potencias que convergen para todo valor real de x; son absolutamente convergentes en todo punto de IR y uniformemente convergentes en cualquier intervalo de IR.

Las series del tipo 2) tienen radio de convergencia yE IR+, también se denomina intervalo de convergencia. Las series del tipo 1) se llaman series de radio de convergencia nulo. Las series del tipo 3) son series de radio de convergencia infinito. En resumen, una serie de potencias es absolutamente convergente en todo punto interior a su conjunto de convergencia, y su término general no puede estar acotado (ni tender a cero) en el exterior de ese conjunto de convergencia; en los puntos frontera del mismo, si existen, puede ocurrir que haya convergencia absoluta, no absoluta o divergencia. En todo intervalo incluido en el anterior conjunto de convergencia, la convergencia es uniforme. Lo aplicaremos a casos sencillos :

8.5.3.

Ejemplo .:. La serie

mos lím n! x; = n---7 00

406

L n! xn converge únicamente en x 00

p

= O ya que si xp '" O tene-

luego el término general no tiende a cero. Es del tipo 1).

8.5.

Series de potencias. Radio de convergencia

00

.:. La serie

L. x " para cada valor de x da lugar a una serie geométrica de 11 =0 00

razón igual a x; si si

Ix I< 1 , la serie 11=0 L. x; es convergente y su suma es p

l- x p

,

Ix I> 1 resulta una serie cuyo término general no tiende a cero, es una serie p

del tipo 2) con radio de convergencia igual a 1, el intervalo de convergencia es el (-1, 1) ya que en el punto -1 es una serie claramente oscilante y en elles divergente. 00

.:. La serie

L.

n

~ es convergente para cualquier valor xp de x (aplicando

17 =0 n

criterio raíz); luego es una serie del tipo 3) que es absolutamente convergente en todo punto de IR y uniformemente convergente en cualquier intervalo de IR. • L a sene . "-' ~ (-1)" · 1o (11]"\" ••• - x " es convergente en el mterva - , . veamos1o: n=O

n

Primero demostraremos que el radio de convergencia es 1 (es decir que la serie es absolutamente convergente para

~ 1(-1)" x"I-- ~ "-'

Construimos la serie "-'

11 =0

ciente, hacemos b"

=.! n

n

11=0

Ixl" y tenemos

_1

n

Ixl< 1 y divergente para Ixl >1. Ixl" y aplicamos el criterio del co-

b"+1 b"

n

n+l

Luego por el criterio del cociente esta serie converge para para

Ixl < 1 Ydiverge

Ixl> l .

407

8.

Sucesiones y series de funciones

(-1)" L -x" 00

De ello se deduce que la serie original

11 =0

convergente para

es absolutamente

n

Ixl < 1 Y divergente para Ixl > 1 . Luego el radio de conver-

gencia es 1. Veamos ahora qué ocurre en los extremos del intervalo x = -1 Yx = 1. (-1)" (-1)" 1 .11=0 L -x n se transforma en L -- (-1)" = L - resulta n 17=0 n 17 =0 n 00

En x = -1 ,

00

00

ser la serie armónica, que, como sabemos, es divergente. (-1)" L -x 11=0 n 00

En x = 1,

n

(-1)" L -es una serie alternada 11 =0 n 00

se transforma en

convergente. (-1)" L -x" 00

Luego la serie

11 =0

es absolutamente convergente para

n

Ixl < 1 ,

divergente en -1 y convergente en l . Luego el intervalo de convergencia es (-1, 1]. Antes de pasar a enunciar criterios que serán de gran utilidad para el cálculo del radio de convergencia de series de potencias, conviene que el lector ten00

ga en cuenta que las series

L al/x"

son un caso particular de series de funcio-

11 =0

nes y que a x n es una sucesión de funciones continuas en IR, luego resulta que "la función suma de una serie de potencias es siempre continua en el interior del conjunto de convergencia" . l1

408

8.5.

8.5.4.

Series de potencias. Radio de convergencia

Criterio de la raíz

Demostración: Sin perder generalidad, suponemos que al1

~

O para todo n.

1 Suponemos primero que S:I; O Y O::; y::;S Entonces Sy< 1 Los números

¡¡fa;. y

se aproximan a Syy por tanto existen E> O tales que

¡¡fa; y < 1- E

para n suficientemente grande.

00

Por tanto, las series

I

a"y " convergen por comparación con las series

n=O

geométricas. Por otra parte, haciendo y >

Ys entonces ¡¡fa; .y Entonces Sy> 1, Y por

tanto tenemos

¡¡fa; .y ~ 1 + E

para n suficientemente grande.

409

8.

Sucesiones y series de funciones

00

Por tanto, aplicando el criterio de comparación, las series

L any n divern=Q

gen. C.q.d. Dejamos para el lector los casos de S = O YS = oo.

8.5.5.

Ejemplo Obtener el conjunto y radio de convergencia de la serie de potencias:

Aplicando el criterio de la raíz

PI-

, . l'1m 11m . \flan1- n --)oo

n~ oo

I

13"+1 x n 1- l'1m

n --)oo

Ixl

-3

1 1 luego S = - luego el radio de convergencia es y = - = 3 Y el intervalo de 3 S convergencia será el conjunto de puntos tales que

410

Ixl < 3.

8.5.

8.5.6.

Series de potencias. Radio de convergencia

Criterio del cociente

Baste para demostrar este criterio que si existe el límite de la sucesión cociente, éste debe coincidir con la sucesión raíz n-ésima del criterio anterior. En el siguiente apartado abordaremos las relaciones entre una serie y la serie formada por sus derivadas o integrales y la transmisión de la convergencia. Recordemos que:

.:. La elección del criterio de convergencia más adecuado depende de la naturaleza del término general a n de la serie en estudio.

411

8.

Sucesiones y series de funciones

8.6.

Diferenciación e integración de series de potencias

8.6.1.

Proposición

8.6.2.

Proposición sobre diferenciabilidad de series de potencias

Generalizando, llegamos al importante teorema de la diferenciabilidad.

8.6.3.

412

Teorema de diferenciabilidad

Diferenciación e integración de series de potencias

8.6.

Veamos algunos ejemplos: Conoce ya el lector los desarrollos en serie de sen x y cos x

x x X x9 sen x=x- - + - - - + - - ... 3! 5! 7! 9! 4 X2 x x6 x8 cos x = 1--+---+-- ... 2! 4! 6! 8!

d

y que - (sen x) = cos x dx

d

- (cos x) = - sen x dx

Vamos a comprobarlo diferenciando las series término a término:

d 3x" 5x 4 7x 6 9x 8 - (senx)= 1 - - + - - - + - - ... = dx 3! 5! 7! 9! X 2 x 4 x6 x8 = 1 - - + - - - + - - ... = cosx 2! 4! 6! 8! Análogamente:

d 2x 4x 3 6x 5 8x 7 -(cos x) = - - + - - - + - - ... = dx 2! 4! 6! 8! 7 x x x =-x +---+-- ... = 3! 5! 7!

8.6.4.

Proposición sobre integración de series de potencias

413

8.

Sucesiones y series de funciones

Veamos un ejercicio de aplicación:

8.6.5.

Ejemplo Sabemos que:

~ L.,.(-1 ) "X" =-l+ x2 -x 3 +x 4 - .. . = n=O

1

1 =-1 - (-x) 1+ x

en (-1, 1)

ya que se trata de una serie geométrica de razón (-x). Integrando término a término, obtenemos:

L,, (l +x) =

(1) f1 f L (-1)" x"dx = L _-_x 00

n=O

(

00

n=O

)

n +[

+e para todo x

E

(-1, 1)

n +1

En x = O, L (1 + O) = O = O + e, luego e = O Y resulta: I1

~ (-Ir " +l X2 x x d L,, (l+x)= L.,.--x =x--+---+ ... parato o xE(-I,I) n=O n+ 1 2 3 4 3

4

Por último, conviene que el lector vuelva a recordar las propiedades de las series de Taylor y relacione éstas con las series de potencias en general. Entre otras conclusiones llegará a concluir que:

Para comprobar esto basta con diferenciar:

¡(x) = ao + a[x + a2 x 2 + ... + a"x" + ... término a término. Al hacerlo se comprueba que i " (O)

= n!a

Los a son los coeficientes de Taylor de f ll

414

fl

,

luego

Diferenciación e integración de series de potencias

8.6.

8.6.6.

Ejemplo Desarrollar X 2 cos x 3 en potencias de x. X

2

Sabemos que cos x = 1 - 2!

2

3

2

X

8

X

~

x6

+- - - +... 4!

6!

14

X

X

20

por tanto x cos x = x - - + - - - + . .. desarrollo válido para todo x. 2! 4! 6! De otra manera: 1 3 Resulta que x-J cos x 3 -_ dd sen x ) luego podemos obtener el

("3

x

desarrollo de X2 cos x 3 desarrollando

1

sen x 3 y luego diferenciando término a

3

término. En efecto: 3

3

1 sen x 3 =.!.[x 3 _ (X ) 3 + (X ) 5 3 3 3! 5! 1 3 sen x

d

(1

dx 3

sen x

3

)

J

3 1[ 3

= x- -

="3 X

8

x

x

9

X

_

15

X 21

(x

3

f

+ (X

7!

x

3 )9 _ . .. ]

9!

2 ?

]

-T!+S"!-T!+T!- ...

X 14

X

20

X

26

• .

- + - - - + - - ... desarrollo vahdo para todo x. 2! 4! 6! 8!

Recordemos que: .:. Las proposiciones sobre diferenciabilidad e integrabilidad de series de potencias son de gran utilidad en la obtención de desarrollos en serie de funciones.

415

D

A

Adjunto, 101 Anillo, 84 Aplicación bilineal, 162 Aplicación composición, 75 Aplicación lineal, 59

Dependencia lineal, 27 Determinante, 98 Determinante de un endomorfismo, 99 Determinante de una matriz, 99 Determinante de vectores, 99 Diagonalización, 122 Dimensión de un espacio vectorial, 44

B

Base, 39

E

e Cambio de variable, 347 Combinación lineal, 27 Convergencia puntual, 382 Convergencia uniforme, 385 Coordenadas de un vector, 42 Criterio de Sylvester, 183 Criterio del cociente, 411 Criterio de la mayorante, 402 Criterio de la raíz, 409 Cuerpo, 8 Cuerpo conmutativo, 8

Ecuación característica, 125 Endomorfismo, 81 Espacio vectorial, 12 Espacio vectorial finito, 39 Estructura algebraica, 6

F

Finura de una partición, 327 Forma bilineal, 164 Forma bilineal antisimétrica, 170 Forma bilineal simétrica, 169 Forma canónica de Jordan, 148

417

índice analítico

Forma cuadrática, 174 Forma cuadrática canónica, 178 Forma cuadrática definida negativa, 180 Forma cuadrática definida positiva, 180, Forma cuadrática semidefinida negativa, 180 Forma cuadrática semidefinida positiva, 180 Fórmula de Grassmann, 52 Función integrable, 325

G Grupo, 7 Grupo conmutativo, 7

1 Integración por partes, 353 Integral definida, 341 Integral inferior, 325 Integral superior, 325 Integrales inmediadas, 343 Invariantes, 184 Inversión, 97 Isomorfismo, 71

L

Lugar geométrico, 187

M

Matrices congruentes, 120 Matrices equivalentes, 118 Matrices semejantes, 121

418

Matriz adjunta, 110 Matriz asociada a una aplicación lineal, 63 Matriz asociada a una forma bilineal, 165 Matriz del cambio de base, 86 Matriz diagonalizable, 122 Matriz escalonada, 92 Matriz inversa, 106 Matriz ortogonal, 143 Matriz regular, 106 Matriz singular, 106 Menor, 100 Menor complementario, 101 Método de Hermite, 371

N

N úmeros enteros, 2 Números irracionales, 2 Números naturales, l N úmeros racionales, 2 N úmeros reales, 3

p

Partición, 323 Permutación, 97 Polinomio característico, 126 Primer teorema fundamental del cálculo, 337 Producto de escalar por aplicación lineal,67 Producto de escalar por matriz, 67 Producto de matrices, 75 Proposición de Cauchy, 392 Proposición del supremo, 389

índice analítico

R

Radio de convergencia, 406 Raíces características, 126 Rango de una forma cuadrática, 176 Rango de una matriz, 113 Regla de Laplace, 104 Relación de equivalencia, 118

Sistema ortonormal de vectores, 146 Subespacio vectorial, 19 Sucesión de funcione s, 382 Suma de aplicaciones, 65 Suma de matrices, 65 Suma de subespacios, 49 Suma directa de subespacios, 52 Suma inferior, 324 Suma superior, 324

s Segundo teorema fundamental del cálculo, 339 Serie de funciones, 398 Serie de potencias, 404 Signatura, 179 Sistema de generadores, 28 Sistema linealmente dependiente, 30

v Valor propio, 125 Vector fijo, 10 Vector propio, 124 Vectores linealmente dependientes, 31 Vectores linealmente independientes, 31

419

84-96094-56-1

I

788496 094567