Fortschritte der Physik / Progress of Physics: Band 24, Heft 4 1976 [Reprint 2021 ed.] 9783112520420, 9783112520413

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FORTSCHRITTE DER PHYSIK H E R A U S G E G E B E N IM AUFTRAGE D E R P H Y S I K A L I S C H E N GESELLSCHAFT DER DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN

REPUBLIK

VON F. KASCHLUHN, A. LÖSCHE, R. RITSCHL UND R. ROMPE

H E F T 4 • 1 9 7 6 • B A N D 24

A K A D E M I E - V E R L A G EVP 1 0 , - M 31728

•

B E R L I N

B E Z Ü G S M Ö G L I C H K E I T EIN Bestellungen sind zu richtcn — in der DDR an eine B u c h h a n d l u n g oder an den Akademie-Vorlag, D D R - 1 0 8 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 — im sozialistischen Ausland an eine Buchhandlung für fremdsprachige Literatur oder an de« zuständigen Postzeitungsvertrieb — in der BRD und Westberlin au eine Buchhandlung oder an die Auslieferungsstelle K U N S T U N D WISSEN, Erich Bieber, 7 Stuttgart 1, Wilhelmstraße 4—6 — in Osterreich an den Globus-Buch vertrieb, 1201 Wien, Höchstädtplatz 3 — im übrigen Ausland an den Internationalen Buch- und Zeitscliriilenhandel: den Bueliexporl Volkseigener Außenhandelsbetrieb der Deutschen Demokratischen Republik, D D R - 7 0 1 Leipzig, Postfach 160, oder an den Akademie-Verlag. D D R - 1 0 8 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4

Zeitschrift „Forlschritte der P h y s i k " Herausgeber: Prof. I)r. Frank Kanclüukn, Prof. Dr. Artur Lüsche, Prof. Dr. Rudolf Ritsehl, Prof. D r . Robert R a m p e , iia Auftrag der Physikalischen Gesellschaft der Deutschen Demokratischen Republik. Verlag: Akademie-Verlag, D D R - 1 0 8 Berlin, Leipziger Straße 3—4; Fernruf: 2 2 0 0 1 4 1 ; Telex-Nr. 114420; Postscheckkonto: Berlin 35021; B a n k : Staatsbank der D D R , Berlin, Konto-Nr.: 6836-26-20712. Chefredakteur: Dr. Lutz Rothkirch. Anschrift der Redaktion: Sektion Physik der Humboldt-Universität zu Berlin, D D R - 1 0 4 Berlin, Hessische Straße 2. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1324 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", D D R - 7 4 Altenburg, Carl-von-Ossietzky-Straße 30/31. Erscheinungsweise: Die Zeitschrift „Fortschritte der P h y s i k " erscheint monatlich. Die 12 H e f t e eines Jahres bilden einen Bond. Bezugspreis je B a n d : 180,— M zuzüglich Versandspesen (Preis f ü r die D D R : 120,— M). Preis j e H e f t 15,— M (Preis f ü r die D D R : 1 0 , - M). Bestellnummer dieses H e f t e s : 1027/24/4. © 1976 by Akademie-Verlag Berlin. Printed in the German Democratio Repuhlic.

Fortschritte der Physik 24, 2 1 1 - 2 3 6 (1976)

Galilei-Invarianz*) H . STEINWEDEL

Physikalisches Institut der Universität Würzburg, BRD Die Entwicklung der Quantenfeldtheorie und der Theorie der Elementarteilchen der letzten 30 Jahre läßt die hervorragende Rolle deutlich werden, die die Lorentzinvarianz und damit die Theorie der Lorentzgruppe bei der Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten sowie bei ihrer begrifflichen Klärung spielen kann. Es lag daher nahe, nach diesem Vorbild — aber natürlich post festum — auch die Rolle der Galilei-Invarianz bzw. der Galilei-Gruppe in der nichtrelativistischen Physik zu untersuchen, wobei man mit Sicherheit eine Reihe neuer Einsichten erwarten durfte. So sind in den letzten Jahren eine Reihe interessanter Arbeiten zur Galilei-Invarianz sowie zur Galilei-Gruppe erschienen, die diese Erwartung bestätigen. Dabei hat sich gezeigt, daß der Übergang von der relativistischen zur nichtrelativistischen Physik, m. a. W. der Übergang von der Lorentz- zur Galilei-Invarianz nicht immer so einfach ist, wie es manchmal den Anschein hatte — dies resultiert nicht zuletzt aus der unterschiedlichen Struktur der beiden Gruppen: Lorentz- und Galilei-Gruppe sind beide nicht kompakt, aber die Galilei-Gruppe ist nicht einmal mehr halbeinfach. Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit; die wichtigsten Aspekte der Galilei-Invarianz nochmals zu diskutieren sowie einige physikalisch wichtige Darstellungen der (homogenen und inhomogenen) Galilei-Gruppe zusammenzustellen. Es zeigt sich dabei, daß es in der Regel ohne weiteres möglich ist. Galilei-kovariante Beziehungen durch geeignete Grenzübergänge aus den analogen Lorentz-kovarianten zu erhalten. Allerdings ergeben sich einige Besonderheiten für die Galilei-Invarianz: Die Entartung des metrischen Tensors verhindert die übliche Umrechnung von ko- in kontravariante Größen, die physikalisch wichtigen Darstellungen der inhomogenen Galilei-Gruppe sind wesentlich projektiv, und die physikalisch wichtigen endlichdimensionalen Darstellungen der homogenen Galilei-Gruppe sind nicht mehr vollreduzibel (zerlegbar). Aus diesen Besonderheiten ergeben sich einige deutliche Unterschiede zur relativistischen Physik. 1. Die Galilei-Transformation als Grenzfall der Lorentztransformation

Für den Übergang von einem Inertialsystem 3 (Koordinaten = x, %% = y• — z, xi = ct) zu einem anderen Inertialsystem S' (Koordinaten entsprechend x / , ..., x4') erhält man bekanntlich 1 ) x; = A;x, mit

x

A/A?g*

=

+ g

(1.1) i

(

1

.

2

)

*) Herrn Professor Friedrich Hund zum 80. Geburtstag gewidmet. ) Als metrischen Tensor wählen wir g11 = g22 = g33 = 1, gil = — 1. Wir verabreden ferner die Einsteinsche Summationskonvention, und für das folgende wollen wir /144 > 0 voraussetzen.

l

16

Zeitschrift „Fortschritte der P h y s i k " , Heit 4

212

H . STEINWEDEL

Die Beziehungen (1.1) stellen eine inhomogene Lorentztransformation (ILTR) dar; mit dp = 0 (ft = 1 ... 4) erhält man die homogene Lorentztransformation (HLTR) x;=Ajxv.

(1.3)

Größen, die sich bei einer HLTR wie die Koordinaten transformieren, nennt man Vierervektoren ( = Vierertensoren 1. Stufe 2 ), kontravariante (x1*) Komponenten ergeben sich aus den kovarianten (xM) gemäß X" =

gf'x,.

Aus (1.2) folgt, daß z. B. die Größe x^x"

=

x ^ g i "

invariant gegenüber der HLTR ist. Nun ist nicht ohne weiteres evident, was unter dem „nichtrelativistischen Grenzfall" zu verstehen ist. Für eine spezielle HLTR (v = Relativgeschwindigkeit in »-Richtung) erhält man z. B. (ß 2 = v/c) Xi

, _ —

X1

]/l

+ -

_ ,_

ßXj —, ß2

X'4

—

ßx1

+

]/l -

xt ~ , ß2

, _ X% — X2,

Xs

, _ — X3.

l-1-'^)

Im nichtrelativistischen Grenzfall gilt v/c = ß 1, so daß man zunächst versucht sein könnte, in (1.4) ß neben 1 zu vernachlässigen, also ]/l — ß2 = 1 zu setzen, und im übrigen alle in ß linearen Terme zu behalten. Damit ergäbe sich • x

—

\ +

ßxt,

x¿

=

ßxt

+

x

i y

(1.5)

mathematisch sicher eine konsequente Näherung. Setzen wir in (1.5) statt der Koordinaten Xp z. B. den Vierervektor der elektrischen Strom- und Ladungsdichte s^ = \ou, qc}3) ein, so erhalten wir neben s / = q{ux v) jedoch auch q = q + s^vjc1, wobei der letzte Term üblicherweise als relativistischer Effekt 4 ) aufgefaßt wird. In den Feldstärken 5 ) formuliert, ist also in B' = B + v/c2 X E der letzte Term evident als Beitrag der (konvektiven) Stromdichte ov zum Magnetfeld, während in E' = E — v X B der letzte Term, obwohl in der Unipolarinduktion durchaus nicht klein, als relativistischer Effekt 6 ) gilt. Wie man sich im übrigen leicht überzeugt, bilden die Transformationen (1.5) auch keine Gruppe. Als nichtrelativistischen Grenzfall7) der LTR (1.4) definieren wir somit ==

Xi

1 -J—

ßx^

,

£4

j

2

) Entsprechend definiert man Tensoren höherer Stufe. ) g = Ladungsdichte, u = Strömungsgeschwindigkeit. In = (s, «} bedeutet s mit den kartesischen Komponenten sv s2, s3 den räumlichen, s = s 4 den zeitlichen Anteil des Vierervektors s^. 4 ) Er folgt bekanntlich aus der Relativität der Gleichzeitigkeit. 5 ) Wir benutzen das MKSA-Maßsystem, ferner ist v = vx, wobei sc der Einheitsvektor in Richtung der x1 -Achse ist. 6 ) Demnach wäre die Lorentzkraft ein relativistischer Effekt, vgl. jedoch Fußnote 19 sowie Abschnitt 4. N B das negative Vorzeichen von v xB rührt vom Vorzeichen von ß in (1.5) her: Ein in S ruhendes Elektron bewegt sich in S in Richtung der negativen a^-Achse. 7 ) Den Grenzübergang LTR - » GTR charakterisiert man formal auch durch c 00. Diese Formulierung ist jedoch nicht eindeutig, da man die Faktoren c jeweils an verschiedenen Stellen einführen kann: Setzt man z 4 = t, g11 = g22 = g:a = 1/c 2 , so erhält man aus (1.2) und (1.3) statt (1.4) 3

v

,

a.1 + vt

— £1 er

+

t

und für x 00 tatsächlich das richtige Resultat (vgl. auch Abschnitt 2). Auf die Mehrdeutigkeit des „nichtrelativistischen Grenzfalls" hat insbesondere LEVY-LEBLOXD [20] hingewiesen.

213

Galilei-Invarianz

oder

x' = x -\- vt,

t' = t.

Allgemein erhalten wir so aus (1.1) die inhomogene (IGTR) r' = Rr + vt + a

(1.6)

t' = t + b, und aus (1.2) die homogene (HGTR) Galileitransformation 8 ) r' = Rr + vt t' = t

(1.7)

für kovariante Galilei-(G-)Vierervektoren, wobei R die Matrix einer orthogonalen Transformation (Drehung oder Drehspiegelung) bedeutet. Die Transformationen (1.6) bzw. (1.7) bilden selbstverständlich eine Gruppe 9 ). Aus der ¿-Invarianten aye/c 2 = r 2 /c 2 — t% wird in der Grenze die G-lnVariante i a (oder t), wie man auch (1.7) direkt entnimmt: Die Metrik entartet, so daß die Definition kontravarianter Vektoren mit Hilfe des metrischen Tensors nicht mehr möglich ist. Aus der Relativitätstheorie wissen wir jedoch, daß sich = 8/dx^ wie ein kontravarianter Vektor transformiert. Mit (1.4) ergibt sich ]/l — ßz' \dxi

dxy 8 oder

_

1

/

fa* ~~ j/l - ß* \

8x^ 8

8 '

8xj

8xt

8 _ 1 18 8x' i/i _ ß2 \8x 8_ _ 8F ~

1

/

j/f^P \ V

v 8\ c2 8t) 8 + 8x

a\

mithin in der Grenze c -> oo gerade die Transformation aus Fußnote 9 8 __ 8 8x' 8x'

8 _ 8 8t' 8t

8 8x

oder allgemein

für kontravariante

G-Vierervektoren10).

8 9

) Zur Abkürzung steht generell 0 für „Galilei" und L für „Lorentz". ) Nicht nur die Transformation (1.7), sondern auch

r' = Rr, t' = t - (xv • Rr (1.7*) ( oo (vgl. (4.1)) identisch ist. Die so geänderten Maxwell-Gleichungen sind zwar G-kovariant, aber physikalisch uninteressant, so daß man für eine brauchbare 22 ) und zugleich formal O-kovariante Formulierung der Elektrodynamik ein Inertialsystem (Äther!) auszeichnen muß — die Feldgleichungen erhalten dann explizit die Relativgeschwindigkeit zum Äther 23 ). Jedenfalls sieht man, daß kein physikalisch sinnvolles ö-invariantes Analogon zum d'Alembert-Operator • = A — 1/c2 X ö2/d£2 existiert 24 ). Dennoch existieren auch ß-kovariante Felder mit Wellenausbreitung, pj j~ / ) Wegen x' = x + mvx ist — = — = usw. 8x' dx 21

31/ — + 8£

d i1 1 — \— mv2 + mv • r l, somit px' — px 4- mvx 8x (2 J

) Vgl. dazu jedoch auch [13]. „Brauchbar" heißt natürlich nicht „richtig"! Wir wählen hier die Feldstärken wie oben in Abschnitt 3 als kontravarianten antisymmetrischen Tensor (und die Potentiale somit als kontravarianten Vierervektor), um eine nichttriviale Wechselwirkung Teilchen-Feld zu erhalten.: Würden wir die Potentiale kovariant wählen, so könnten wir als Wechselwirkung (vgl. Abschnitt 3) zwar ex^g^A, nehmen; dies wäre jedoch identisch mit dem skalaren Fall: exhgt"Av = eAi = U\ 23 ) Daß man im Prinzip alle Gleichungen f o r m a l kovariant schreiben kann, ist wohlbekannt (vgl. z. B. [2]), nur ist eine solche formale Kovarianz physikalisch ohne tiefere Bedeutung. 24 ) Mit der Cf-invarianten Eichung V • A = g^dfA" = 0 erhält man A

•

,

'

(4.2) ist zwar keineswegs kovariant, aber eine einfache Rechnung zeigt, daß (4.2) forminvariant ist, wenn man

V>'{r', t') =

t)

(4.3)

mit

f(r, t) = setzt (vgl. dazu auch

HAMERMESH

¿t

mv2t + mv • r

[O]).

5. Eichinvarianz Es ist natürlich kein Zufall, daß die Funktionen f(r, t) aus (3.1) und (4.3) übereinstimmen. Betrachtet man die Lagrangefunktion (3.2) für die Bewegung eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld, so ändert sie sich bei einer Eichtransformation A»

um

-> A? + ö M (5.1)

d ex di'A = — eA. dt *

Die Änderung AL = T' — T = L' — L (Vgl. (3.1)) der Lagrangefunktion L infolge einer GTR kann man somit auch als Eichtransformation auffassen. Bei einer Eichtransformation (5.1) wird die Schrödingersche Wellenfunktion jedoch gemäß

eieAlhip

ip

(5_2)

transformiert; mit eA(r, t) = j{r, t) ergibt sich so die Beziehung (4.3). Insoweit besteht ein direkter Zusammenhang zwischen Galilei- und Eichtransformationen, auf den u. a. W O N G [27] hingewiesen hat. Wenden wir die Transformation (4.3) auf eine ebene Welle an, so erhalten wir mit

y>(r, t) -- e*(fc-''-°'i>,

y>'(r', t') = ¿W

durch Identifizieren der Exponenten 1 7YI

Tfb

k' -r' — w't' (= k' • (r + vt) — co't) = — — vH + — v • r + k • r 2

und

damit

mv fc = fc -1——, n

h

u

— coi

, . 1m . a> = (ß + k • v - f - - r . 2

n

Wir erhalten so das zunächst überraschende Resultat, daß neben der Frequenz auch die Wellenlänge einer ebenen Schrödingerwelle nicht ©-invariant ist. Dieses Resultat wird indessen verständlich, wenn man sich erinnert (vgl. auch (5.2)), daß die Wellenlänge einer ebenen Schrödingerwelle keine eichinvariante Größe ist. 25

) Der Grund dafür folgt aus der Darstellungstheorie der inhomogenen Galileigruppe, vgl. Abschnitt 10.

(5.3)

219

Galilei-Invarianz

6. Endlichdimensionale Darstellungen der homogenen Galileigruppe Z26)

Die definierende Darstellung der homogepen Galileigruppe (HGG) ist (vgl. (1.7)) r' = Rr + vt

Wenn wir das allgemeine Element der Gruppe mit \R, v] bezeichnen, so gilt das Kompositionsgesetz {R', v'} {R, v\ = {R'R, v' +

sowie Wir stellen fest:

(£, v) = {1,

{R, 0}

R'v]

(0 = Nullvektor)

a) Die HGG ist nicht kompakt. b) Die HGG ist nicht halbeinfach, denn sie hat als invariante Untergrupoe die (abelsche) Gruppe der reinen Galileitransformationen j l , ®). c) Die HGG hat als weitere Untergruppe u. a. die Gruppe der räumlichen Drehungen. d) Die HGG ist (wegen t = t') isomorph der Euklidischen Gruppe, d. h. der Gruppe der Bewegungen eines starren Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum (Drehungen und Translationen). Aus a und b folgt, daß die endlichdimensionalen Darstellungen der HGG nicht unitär (oder unitär-äquivalent) sind, und daß sie möglicherweise reduzibel, aber nicht zerlegbar ( = nicht vollreduzibel) sind. Wenn wir die Umgebung des neutralen Elements E — {1,0} betrachten, können wir in üblicher Weise die infinitesimalen Erzeugenden J, K durch (1 + «, ß\ = E -

(6.2)

ici. J + iß-K

definieren, dabei bedeutet a eine (infinitesimale) Drehung27) mit der Drehachse a = «/[«] und dem Winkel |«|, und ß eine (infinitesimale) Geschwindigkeit. Für die Komponenten von J und K ergeben sich die Kommutatoren 28 ) [Jk, Ji] = iskimJm,

[Jk, Kt] = isUmKm,

[Kk, Kt) = 0 .

(6.3)

Die Relationen (6.3) definieren gleichzeitig die (abstrakte) Lie-Algebra der HGG. Es ist zweckmäßig, durch J

±

= J

1

± i J

2

,

K

±

= K

1

± i K

2

eine neue Basis zu definieren: für diese erhält man die Kommutatoren [^s, J±] = ± J ± , [J+,

J_] = 2 J S , [K3,K±]

26)

[ J „ K±]

= [K3, J±]

[J+> K_] = [K+, = [K+>K.]

=

±K±,

/_] = 2K,,

(6.4)

= 0.

V g l . d a z u i n s b e s o n d e r e GEORGE u n d L E V Y - N A H A S [ 4 ] , f e r n e r L E V Y - L E B L O N D [ 2 0 ] ,

Der Zusammenhang zwischen der (infinitesimalen) Matrix oc (Element: und dem Drehvektor a (Komponenten: 10, D 0 - 1 : Wählen wir für Dx die definierende Darstellung der Drehgruppe, so ist {Jk)lm = —ietlm,

{ß ' J)lmWm = i(ß XW),.

(7.4)

Wir erhalten damit (wegen K = ±i/c J ) für eine infinitesimale Lorentztransformation eines Vektors w im dreidimensionalen Raum: w' = w

— c

ß x w ,

wobei das obere Vorzeichen für D1,0, das untere für D0-1 gilt. Wie w transformieren sich z. B. die elektromagnetischen Felder F±=B±—

c

E.

4. -D1'0 © D 0 ' 1 : Bei Einschluß der Raumspiegelungen muß man wieder die Darstellungen D1'0 und D 0 ' 1 zusammenfassen und somit die Dimension (von 3 auf 6) verdoppeln. Bezeichnen wir die Matrizen der dreidimensionalen Darstellung der Drehgruppe mit J , so haben wir also

'-cy-

30 )

H1)-

(7.5)

Zur Vereinfachung werden die Elemente der Lie-Algebra und die sie darstellenden Matrizen jeweils mit den gleichen Symbolen bezeichnet.

222

H . STEINWEDEL

5. Z)1,2'1'2: Diese vierdimensionale Darstellung ist äquivalent der definierenden Darstellung : Gegenüber räumlichen Drehungen zerfällt die Darstellung in Z)1/2 0 D1/2 = D0 -j- Du d. h., die transformierten Größen transformieren sich wie ein Skalar (Zeitkoordinate) und ein dreidimensionaler Vektor (Raumkoordinaten). Die Umrechnung der Darstellungsmatrizen bereitet keine Schwierigkeit. 8. Kontraktion

Wie oben gezeigt wurde, existiert ein Grenzübergang von der LTR zur GTR (vgl. Abschnitt 1), und die Lie-Algebra der HGG folgt in der Grenze c oo aus der Lie-Algebra der HLG (vgl. Abschnitt 7). Man kann daher vermuten, daß man durch einen geeigneten Grenzübergang auch Darstellungen der HGG aus Darstellungen der HLG gewinnen kann. Die Frage, wann und wie man durch einen geeigneten Grenzübergang, durch sog. „Kontraktion", aus einer vorgegebenen Gruppe oder Lie-Algebra eine andere gewinnen kann, wurde vor längerer Zeit bereits von I N Ö N Ü und W I G N E R \10] diskutiert. In einer daran anknüpfenden Arbeit verallgemeinert S A L E T A N [22] den Begriff der Kontraktion und untersuchte insbesondere die Kontraktion von Darstellungen (vgl. dazu auch H E R M A N N [5]). Für unsere Zwecke sind folgende Resultate wichtig: a) Endlichdimensionale Darstellungen, die man durch „naive" Kontraktion gewinnt sind in der Regel nicht treu. Es gelingt aber häufig, durch Kontraktion treue Darstellungen zu erhalten, wenn man an der ursprünglichen Darstellung (d. h. an sämtlichen Matrizen) zunächst eine geeignete Ähnlichkeitstransformation vornimmt und dann erst den Grenzübergang vollzieht. Eine Darstellung, die auch nach Kontraktion noch treu ist, nennt man „bewahrt" („saved"). b) Auch wenn die Ausgangsgruppe halbeinfach ist, ist es die kontrahierte nicht mehr, d. h. sie besitzt eine invariante abelsche Untergruppe31). c) Die durch Kontraktion gewonnene bewahrte Darstellung ist reduzibel (aber nicht unbedingt zerlegbar). In den irreduziblen Teilen der kontrahierten Darstellungsmatrizen (d. h. in den invarianten Unterräumen) werden die infinitesimalen Erzeugenden der invarianten abelschen Untergruppe durch die Nullmatrix dargestellt32); durch Wahl einer geeigneten Basis läßt sich ferner erreichen, daß die von Null verschiedenen Matrixelemente dieser Erzeugenden sämtlich entweder über oder unter der Hauptdiagonalen liegen. Daraus folgt für die Kontraktion HLG

HGG:

Die Darstellungen Da-° bzw. D°-b können bei Kontraktion nicht bewahrt werden. Sie enthalten nämlich die irreduziblen Darstellungen Da bzw. Db der SU(2), also die räumlichen Drehungen, und diese werden durch die Kontraktion nicht geändert. Somit ist auch die kontrahierte Darstellung irreduzibel und kann daher nicht treu sein (vgl. c). Treue Darstellungen der HGG kann man hingegen durch Kontraktion der Darstellungen £>1/2,1/2, £>1/2,0 0 £>0,1/2, £>i,o 0 £>o,i ¿er HLG gewinnen: Für £)i/2,i/2 ist dies evident, da sie der definierenden Darstellung äquivalent ist und diese durch Grenzübergang c ->• oo (vgl. Fußnote 7) in die definierende Darstellung der HGG übergeht; damit ist gleichzeitig die zur Bewahrung der Darstellung erforderliche Ähnlichkeitstransformation33) gegeben. Für die Kontraktion der Darstellung Z>i/2,o 0 £>0,1/2 31 )

Für die Galileigruppe wurde dies bereits im'Abschnitt 6 bestätigt. Das heißt die Elemente der Untergruppe selbst durch die Einheitsmatrix. Die Darstellung im jeweiligen Unterraum ist somit nicht treu. 3:l ) Genaugenommen handelt es sich um 2 verschiedene Ähnlichkeitstransformationen, die entweder zur Darstellung (2.1) oder (2.2) führen. 32 )

Galilei-Invarianz

223

wählt man die Ähnlichkeitstransformation34) jj,

(8.1)

Für die transformierten Matrizen erhält man damit35) J = SJ8-1 = J,

P = SPS-1 — /

K = SKS-i=±l° \qO

^

n

J°\.

(8.2)

0y

Dies liefert für q = ijc im Grenzfall c -»- oo die kontrahierten Matrizen

Entsprechend verfährt man für die Darstellung Z)1,0 © Z>0,1 und erhält (in der Schreibweise von (7.5))36)

MS

0

9. Endlichdimensionale Darstellungen der homogenen Galileigruppe II

Die endlichdimensionalen Darstellungen der HGG sind von GEORGE und LEVY-NAHAS [4] näher untersucht und klassifiziert worden. Die im Vergleich zur HLG kompliziertere Struktur der HGG hat jedoch zur Folge, daß auch die Klassifizierung der Darstellungen erheblich komplizierter als bei der HLG ist. Deshalb soll hier auf die Wiedergabe verzichtet werden, zumal (wie bei der HLG) nur wenige Darstellungen von unmittelbarem physikalischem Interesse sind. Nur diese sollen hier diskutiert werden, und aus naheliegenden Gründen ist zu erwarten, daß sich diese Darstellungen aus den entsprechenden Darstellungen der HLG ergeben. Dazu einige Vorbemerkungen: a) In den Darstellungen der HGG sind natürlich jeweils auch Darstellungen der Untergruppe der räumlichen Drehungen, also der SU(2), enthalten. Diese Darstellungen sind bekanntlich vollreduzibel (zerlegbar). Wir wollen im folgenden eine Basis im Darstellungsraum voraussetzen, die die Darstellung der SU(2) jeweils in ausreduzierter Form liefert. b) Aus Abschnitt 7 folgt .dann, daß die Darstellungsmatrizen für die K t nur außerhalb der Untermatrizen der ausreduzierten Darstellungen der SU(2) von Null verschiedene Elemente haben können, und zwar bei geeigneter Wahl der Basis entweder nur oberhalb oder nur unterhalb der Hauptdiagonalen. 34

) In der Schreibweise von (7.3)! ) Die infinitesimalen Drehungen sollen sich bei der Kontraktion selbstverständlich nicht ändern! 36 ) Analog kann man bei allen Darstellungen @ D0-» verfahren. 35

224

H . STEINWEDEL

c) Falls die Matrizen der Kx in einer bestimmten Darstellung die Beziehung Kf — 0 (l = 1, 2, 3) erfüllen, gilt für die Darstellungsmatrix einer endlichen reinen GTR37) ZE-K;

(9.1)

K? = 0 ist für alle Darstellungen Di-0 © erfüllt (vgl. Abschnitt 8). Damit ist es nicht schwer, einige mittels Kontraktion erreichbare Darstellungen der HGG anzugeben: 1. Aus Di>° oder

ergeben sich die nichttreuen irreduziblen Darstellungen38) [R,v)^Dj(R).

(9.2)

2. Aus Z)1'2'1'2 ergibt sich (wie bereits in Abschnitt 8 vermerkt) die definierende Darstellung der HGG (vgl. (2.1) und (2.2)) R

0

- v R

1

3. Ans D1'2'0 © D0-1'2 ergibt sich F

M

J

w

( 9 3 )

\0

Dm(B)

)

4. Aus D1'0 © D0-1 ergibt sich

und wenn wir für DX(R) statt der Standard- die definierende Darstellung wählen39): ^

.

«

H

o

^

n

Nach der letzteren Darstellung transformiert sich z. B. das Feldstärkenpaar (E, B) 40 ): E' = RE

-

DXRB,

B'

— RB.

(9.6)

5. Von P I N S K I \21\ wurde eine fünfdimensionale Darstellung der HGG angegeben (vgl. dazu den Anhang), nach der sich u. a. der „Fünfer"vektor Pß = (p, T, m) eines Teilchens mit dem Impuls p, der kinetischen Energie T und der Masse m transformiert: p ;

37

R

0

vR

1

0

0

V (9.7)

1

) E s gilt generell {1, r } eiv'K. Setzt m a n f ü r die Exponentialfunktion die Reihenentwicklung ein, so folgt mit Ki2 = 0 sofort die Behauptung. I s t zwar Kf =j= Ö, aber Kp = 0, so wird {1, v\ - » 1 + iv • K - {v • K f f i (vgl. unten (9.9.)). 3e ) Mit Dj(R) werde die Darstellungsmatrix der Drehung R in der Darstellung D j bezeichnet. 39 ) (DX) bedeutet dabei die 3 X 3-Matrix, die einen Vektor ainvxa transformiert, also die Matrix 0 —v3 va v3 0 —i «a 0/ 40 ) Vgl. (3.4); wegen des negativen Vorzeichens vgl. F u ß n o t e 6. Die Transformationsformeln (9.6) folgen natürlich aus der kontrahierten Darstellung D 1 - 0 © B 0 - 1 (vgl. Abschnitt 7, Ziff. 3 u n d 4), wenn m a n mit der Ähnlichkeitstransformation gleichzeitig die Felder JF± transformiert.

225

Galilei-Invarianz

d. h., es ist p' = Rp + vm + T + i- v2m

T' = v-Rp m! = m. •

Definieren wir (durch Permutation der Komponenten) den Fünfervektor P^ jedoch zu = (T, p, m), so erhält 0 die von 1. bis 4. geläufige Dreiecksform iß;)

=

1 vti 0 R 0 0

(9.8)

V 1

Somit ist z. B.

Kx =

-i

0 100 Ol 1 0 0 0 , 0 0 0 0

0 0 0 IT V\ 5 "

K f = 0,

(9.9)

und daraus ergibt sich unter Beachtung von Fußnote 37 wieder die Form (9.8) der Darstellungsmatrix G. Abschließend wollen wir noch die Invarianten J • K u n d K2 (vgl. Abschnitt 6) für die hier aufgeführten Darstellungen berechnen. Für irreduzible Darstellungen sind die Invarianten Vielfache der Einheitsmatrix; für reduzible Darstellungen gilt das Schursche Lemma jedoch nicht mehr generell, sondern es müssen lediglich die Eigenwerte der (i. a. nichtdiagonalen) Invarianten alle gleich sein. Man errechnet leicht die folgenden Resultate: Für die Darstellungen nach 1. und 2. gilt J K = 0,

K2 = 0.

Für die Darstellungen Di-0 @ D°-i erhält man J.K

= j(j+

1) (J

und für die Darstellung nach 5: J • K = 0,

0,

30

K% 0

0 0 0

3 0 0

10. Unitäre Darstellungen der inhomogenen Galileigruppe

Aus der Quantenfeldtheorie wissen wir, daß der Zustandsraum eines freien (Elementar-) Teilchens den Darstellungsraum einer irreduziblen unitären Darstellung der inhomogenen Lorentzgruppe (ILG) bildet 41 ). Fordern wir nicht mehr L-Invarianz, sondern G-Invarianz, so erwarten wir, daß wir dementsprechend eine irreduzible unitäre Darstellung 41

) Zur Darstellungstheorie der ILG vgl. insbesondere den zusammenfassenden Artikel von Joos [i2]; die für das folgende wichtigen Beziehungen finden sich auch bei W E I N B E R G [ 2 5 ] . Im folgenden wird überall h — 1 gesetzt.

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H . STEINWEDEL

der inhomogenen Galileigruppe (IGG) erhalten. Dies ist im Prinzip richtig, jedoch mit einem signifikanten Unterschied zur ILG: Die korrespondierende Darstellung der IGG ist keine Vektordarstellung mehr, sondern eine sog. p r o j e k t i v e (oder Strahl-)Darstellung. Da die Diskussion der IGG im wesentlichen der Vorbereitung auf die nichtrelativistische Quantenfeldtheorie dienen soll, sollen im folgenden nur diese projektiven Darstellungen besprochen werden (vgl. dazu u. a. B A R G M A N N [ 2 ] , H A M E R M E S H [ 6 ] , I N Ö N Ü und W I G N E R [ 9 ] , L E V Y - L E B L O N D [19], V O I S I N [24]). Projektive Darstellungen können im übrigen als Vektordarstellungen einer erweiterten Gruppe aufgefaßt werden; wir wollen uns hier jedoch direkt an die Physik halten und die Darstellungen aus den bekannten Transformationseigenschaften der Zustände nichtrelativistischer Teilchen entwickeln. Die definierende Darstellung der IGG ist (vgl. (1.6.)) r'=Rr

+ vt+a,

(10.1)

t' = t + b. Wenn wir ein Element dieser Gruppe mit [R, v, a, b) bezeichnen, so gilt das Kompositionsgesetz \R', v', a', V1 [R, v, a, b) = [R'R, v' + R'v, a' + R'a + v'b, b' +b\.

(10.2)

Es ist ferner (vgl. 10.1) [R, v, a, b] = (1, 0, a, b} {1, v, 0, 0} [R, 0, 0, 0}

und

{R, v, a, b}-1 = {R-1, —Rrh), -Rr\a

(10.3)

- bv), - 6 } .

Eine unitäre Darstellung erhalten wir, indem wir jedem Element {R, v, a, b\ der IGG einen unitären Operator TJ[R, v, a, 6] zuordnen, der im Raum der Zustände eines freien Teilchen wirkt 42 ), Dabei läßt sich das Verfahren von W E I N B E R G [25] zur Konstruktion der analogen unitären Darstellungen der ILG direkt auf die IGG übertragen, sofern wir die Projektivität der Darstellungen berücksichtigen: Bezeichnen wir mit \a) den Zustandsvektor eines Teilchens mit dem Impuls p = 0 und der Spinkomponente a in «-Richtung, so ist U[R, 0, 0, 0] |*> = £ |(7') D^RU (10.4) a' wobei wir mit Dj(R)„-a das cr'ff-Element der Darstellungsmatrix der Drehung R in der Darstellung Dj der SU(2) bezeichnen; j ist somit die Spinquantenzahl des Teilchens. Der analoge Zustandsvektor zum Impuls p ist dann definiert durch (m = Masse des Teilchens) |p, ^ = ü 1, TO 0, 0 k>,

(10.5)

wobei wir ¡er) auch |0, a) schreiben können. Definieren wir die infinitesimalen Erzeugenden (oc, ß wie bisher; s, r = infinitesimale räumliche bzw. zeitliche Translation) durch U[l + «, (i,e, r] = 1 - ia • J + iß • K - ie P + ixH, so ist bekanntlich C7[l, 0, a, 0] = E/[1,0, 0, i2

e~iaP

b] = eibH,

(10.6)

(10.7)

) Wir haben hier (vgl. (10.5)) eine kontinuierliche Basis, deshalb spricht man besser von Operatoren statt von Matrizen.

Galilei-Invarianz

227

und die physikalische Bedeutung der Erzeugenden J, P bzw. H ist (gesamter) Drehimpuls, Impuls bzw. (kinet.) Energie. Somit gilt für die Zustände |p, a): P\p,

H\p,

mit

) = p\p,

ff

er) =

er)

(10.8)

co(p) |p, a)

®(P> =

dO-9)

Daraus folgt mit (10.7) U[l, 0, a, b] \p,a) = Analog zu (10.7) ist

a).

(10.10)

U[l,v, 0, 0] = eiv'K

(10.11)

U[\, v', 0, 0] f/[l, v, 0, 0] = ü[ 1, v' + v, 0, 0].

(10.12)

und somit wegen [Kh Km] = 0

Ferner gilt in Erweiterung von (10.4) Ü[R, 0, 0, 0] |p, o) = Z |Ep, er') D,(B)a.c.

(10.13)

Mit (10.3) und (10.10) erhalten wir U[l, v, a, b] | p,«;) =

U[ 1, 0, a, 6] U[ 1, v, 0, 0] |p, a)

_ eHa(P+mv)-bw(P+mv)

N>

mv>

ff

(10.14)

und U[l, v, 0, 0] U[l, 0, a — bv, b] \p,ff)= e * K « - & « < » > } | p

oder

m V y a)

= e'mv'l»U[R'R, v' + R'v, a' + R'a + v'b, b' + b],

(10.16)

auf dessen Basis wir die Konstruktion nach WEINBERG fortsetzen können. Für infinitesimale Transformationen erhält man daraus die Lie-Algebra der infinitesimalen Erzeugenden44) : (a) [Jk,./,]

= ieklmJm,

(c) [ * * * , ] = «) d3p, 1/271 J

(11.6)

man erhält sie einfach durch Fouriertransformation aus den a(p, ff). Ihr Transformationsverhalten errechnet sich aus (11.4) zu48) ü[r]

Wa{r,

t) U-\r\ = e - ™ ! » - £ a'

wA^r

+ vt,t),

die Phase f(r, t) ist somit die gleiche wie in (4.3). 48)

Man substituiere im Fourier-Integral (11.6) p' = Bp + mv,

Aus

d. h.

p = R-^p' — mv).

R-^p' — mv) • r — u>{R~x(p' — mv)} t = (p' — mv) • Rr

— \p'2 — 2p' • mv —TO2w2}t 2m

= p'(Rr + mv) — w(p') t — m ^v • Rr folgt dann unmittelbar (11.7). 17*

v2tj

(11.7)

230

H . STEINWEDEL

Die Darstellung der HGG ist hier offensichtlich nicht treu, aber unitär, da die eigentlichen GTR durch die Einheitsmatrix dargestellt werden und somit nur eine treue unitäre Darstellung der Untergruppe der räumlichen Drehungen (also der SU(2)) übrigbleibt, wobei j wieder die Spinquantenzahl des Teilchens ist. Für (räumliche und zeitliche) Translationen ergibt sich einfach ü[ 1, 0, a, b] Ve (r, t) I7-H1,0, a , b] = v.(r + a,t

+ b).

(11.8)

Es ist hier nicht möglich, wie im relativistischen Fall die Vernichtungsoperatoren der Teilchen und die Erzeugungsoperatoren der Antiteilchen zu einem einzigen Feldoperator y>a(r,t) mit den Transformationseigenschaften (11.7) zusammenzufassen 49 ), da die Erzeugungsoperatoren den konjugiert-komplexen Phasenfaktor bekommen. Der Phasenfaktor hat im übrigen zur Folge, daß f ü r ö-invariante Wechselwirkungen die Gesamtmasse eine Erhaltungsgröße ist 50 ); Teilchenumwandlungen können unter dieser Voraussetzung ohne weiteres beschrieben werden. Wegen (10.9) genügen die Feidoperatoren ip„{r, t) natürlich der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung 1

1 8w

Da die Fouriertransformation (11.6) von den Operatoren a auf die Operatoren ip unitär ist, sind im Gegensatz zum relativistischen Fall die Operatoren f und yi+ einer direkten physikalischen Interpretation zugänglich: Die y>„+{r, 0) z. B. können als Erzeugungsoperatoren eines Teilchens am Orte r mit der z-Komponente a des Spins aufgefaßt werden (vgl. dazu Fußnote 45): 0) |0> = |r, (r'} a' \r,a)

= d0„-t5(r — r').

Für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gelten die bekannten Vertauschungsregeln [a(p', er'), a+(p, ff)]± = öca'ö(p — p'), ^ [y>„ir', t), y+{r, i)]± = d„„-d{r -

r'),

je nachdem es sich um Fermi- oder Boseteilchen handelt. Im Unterschied zur relativistischen Theorie ist der Zusammenhang zwischen Spin und Teilchensorte hier nicht festgelegt, er muß (nach der Erfahrung) postuliert werden. Auf dieser Basis kann die nichtrelativistische Quantenfeldtheorie unschwer vervollständigt werden; Wechselwirkungen wird man zweckmäßigerweise auf der Grundlage des Wechselwirkungsgebildes behandeln (vgl. W E I N B E R G [26]). Trotz der komplizierten Struktur der Galilei-Gruppe ist die nicht-relativistische Quantenfeldtheorie jedenfalls bei weitem einfacher als die relativistische — und daher auch weniger interessant. 12. Nichtrelativistische Spin 1/2-Teilchen (nichtrelativistischer Grenzfall der Diracgleichung)

Die Definition des Feldoperators (11.6), die zum Transformationsverhalten (11.7) führt, ist natürlich nicht zwingend. In der relativistischen Theorie wäre zwar die analoge Darstellung der HLG (Dh° oder D°Ar> t)

=

]/2 7l3

ß{p,

a) ¿(p-r-'^p»)

(Pp;

wegen ß(p, o1) = a(p, a) ist ipa mit dem Feldoperator (11.6) identisch. Es ist (vgl. (12.1)) (12.4) 51

) Dies erleichtert u. a. die Formulierung einer paritätserhaltenden Wechselwirkung. ) Die Spinorindizes