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German Pages 64 [65] Year 1977
HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAGE DER PHYSIKALISCHEN GESELLSCHAFT DER DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN REPUBLIK VON F. KASCHLUHN, A. LÖSCHE, R. RITSCHL UND R. ROMPE
H E F T 3 • l a wird durch den „Projektionstensor" l - 6 x l + M p = (71) 1 + 62 vermittelt, den man aus (60) ablesen kann. 2.4. Auflösung der Mo-Papas-Gleichung nach der 4-Beschleumgung im Laborsystem 8 Wir wollen jetzt die im momentanen Ruhsystem S' geltende Formel (60) für das Laborsystem S verallgemeinern. Eine Möglichkeit ist, die Verallgemeinerung durch Anwendung der Lorentztransformation auf (60) herzuleiten, die vom System S' auf das System S
Bewegung einer Punktladung
431
transformiert. Einfacher jedoch erhält man die vierdimensionale Verallgemeinerung der Formel (60), indem man die darin vorkommenden 3-Vektoren durch 4-Vektoren ersetzt, deren Raumkomponenten beim Übergang von 8 zu S' in die entsprechenden 3-Vektoren übergehen und deren Zeitkoordinaten in 8' verschwinden. Zunächst schreiben wir (60) in Koordinatendarstellung:
a
'
e, + slxi exbi + exbxb, TTP
=
=
dlx 4- eixxbx + bfix e TTP "
.
(/2)
(Die griechischen Indizes sollen stets die Zahlen 1, 2, 3, durchlaufen, über doppelt auftretende Indizes ist zu summieren.) Die vierdimensionale Verallgemeinerung dieser Beziehung erhalten wir einfach, indem wir die griechischen Indizes durch lateinische ersetzen, die von 1 bis 4 laufen sollen: =
(73a)
^ i om
Die 4-Vektoren ap b.p e ; und den vollständig antisymmetrischen Permutationstensor ejk[ definieren wir so, daß sie in 8' für u7 = (0, 0, 0, i) die gewünschten Werte annehmen: a,j := T0üj,
e, := ejkuk,
bj := bjkuk,
ejkl : = — Sjktmum i
(73b)
mit eik := Ejk/B0,
b1k : = BjkIB0,
(73c)
E ß gemäß (2) und . B
:=
'* l
0
-E3
E3
0 E, iß2
-E2 iB1
E2 — -Ei -iBA 0 -iE, I iB3 0 /
=
1 Ti e '
t l A t
-
(73d)
Wir nennen den reduzierten 4-Beschleunigungsvektor, e, den reduzierten elektrischen 4-Feldstärkevektor, bj den reduzierten magnetischen 4-Feldstärkevektor, ejkl den 4-Permutationstensor dritter Stufe, ejk den reduzierten elektromagnetischen Feldstärketensor und bjk den reduzierten dualen elektromagnetischen (magnetoelektrischen) Feldstärketensor. Die reduzierten Größen sind die Zahlenwerte der entsprechenden Größen, wenn letztere in der entsprechenden „Makroeinheit" gemessen werden. Die „Makroeinheit" der Beschleunigung ist to - 1 = öttsqm/q2 ( = 4,79 • 1031 m s - 2 für Elektronen), die Makroeinheit der (elektrischen und magnetischen) Feldstärke ist Ba (55). Die 4-Vektoren bzw. -Tensoren (73 b) haben wir so definiert, daß sie beim Übergang 8 -> 8' in die entsprechenden Größen in S' übergehen, die im vorhergehenden Abschnitt eingeführt wurden: Für 8^8'
geht u,
e, -> (e, 0) = E
tki
E
jkU = e.ia
öHi,
{E, 0), fur
a} -s- (a, 0), b, -> (&, 0) =
(B, 0),
j = «» k = y,, l = X, sonst = 0.
(74)
Da die Zuordnungen umkehrbar eindeutig sind, stellen die Tensoren die entsprechenden Größen bezüglich 8 dar.
432
H E L M U T STÖCKEL
Die im momentanen Ruhsystem S' gültige Mo-Papas-Gleichung (59) lautet in Koordinatenschreibweise a, = e, + ex, ai = bi = ei = 0. (75) Der Übergang S' x, —> k, A l:
S erfolgt einfach wie oben mit Hilfe der Substitutionen = e,- + emakbi.
i -> j, (76)
Es erübrigt sich zu zeigen, daß diese Form der Mo-Papas-Gleichung mit der reduzierten Darstellung von (12),
=
+ (ejk - ufk) ak,
(77)
übereinstimmt, denn beide 4-Vektorgleichungen stimmen in 8' überein, müssen also auch in S übereinstimmen. Entsprechend erübrigt es sich zu zeigen, daß die nach a?- aufgelöste „explizite Darstellung" (73a) die Bewegungsgleichung (76) erfüllt, denn dies ist ebenfalls bereits im Anhang 9.1. für das System S' gezeigt worden. Nur zur Kontrolle haben wir in den Anhängen 9.2. und 9.3. die Beweise in 4-Schreibweise nachgetragen.
Für Anwendungen ist es nützlich, die Formel (73 a) noch durch 3-Vektoren auszudrücken. Dazu stellen wir alle darin vorkommenden 4-Vektoren aj, ep bj und £jkiekbl durch 3-Vek'toren dar: Uj=
dz-
ij = {u, iy) = y{v, i),
(78a)
a, = t0üj = r0(«, iy) =: (a, ia0), e,- = ejkuk = {yE + u Xß,
(78 b)
iu • E) =: (e, ie0)
(78c)
mit den reduzierten Feldstärken E = EjB0,
B = B/B0,
bj = bjkuk — (B — uxE,
(78d)
iu • B)—: (b, ib0),
(78e)
eßiekbi = — Bjkimekbium
i
= {(e X b) y + (w X e) b0 -f (b x u) e 0 , i(e X &) • u]
= {{yE + M X ß ) X (yß — uxE)y i[{yE + uxB)X{yB
+ u X {yE +u X ß ) u-B + {yB — uxE)
Xuu • E,
— u xE)] • u)
= {{yE + UXB) X ß + EE u - u[{yE + uxB)2
- {E • u f ] ,
i[yE2 + I . ( u x ß ) - {yE + u X ß ) 2 + (« • E)2]> = {ejk -
Ujek)
ek.
(78f)
Die in (73 a) vorkommenden Skalarprodukte ekbk und bm2 lassen sich mit (78 c, e) wie folgt durch 3-Vektoren ausdrücken: ekbk = E-B, 2
2
2
(78g) 2
2
bm = y B — 2 yE • (B X « ) + u E - (u • Ef - {u • B f .
(78h)
B e w e g u n g einer P u n k t l a d u n g
433
Indem wir diese Ausdrücke in (73a) einsetzen, erhalten wir die Raum- und Zeitkomponente der reduzierten 4-Beschleunigung im Laborsystem 8: a = r 0 u = (1 + bj)-1
[e + (e x b) y + (u x e) b0 + (& x u) e0 + 6(6 • e -
= (1 + &rnV [}'E +UXB
+ (yE• + uxB)xB
- u[(yE + uxB)2 «0 = r0y =
+ EE
Vo)]
-u
- ( E u)2) + (yB — uxE)
E • B),
(79a)
tt ' 1H = (1 + bm*Yl [e0 + (e x 6) • u + &„(& • e - 6ce0)] y
= (1 + 6m2)"1 [u-E
+ yE2 + E- (uxB)
- (yE + u xBf
+ (u • JE)2 + u • BB • E], (79b)
Beim Übergang zum momentanen Ruhsystem S' (u -> 0, y 1, e ->• E, 6 -s- B ) geht a in (60) über, a 0 -»• 0. Im allgemeinen sind die Beträge der reduzierten Feldstärken klein gegen eins, |e|, |&|, |E|, | ß | < l .
(80)
Wenn wir höhere Potenzen als 2. Grades in den reduzierten Feldstärken vernachlässigen, erhalten wir gemäß (73 a) und (A2) ejklekbi + 0(e%) = e, + (ejk — u,-ek) ek -f 0(e%)
=
(81)
oder gemäß (79a, b) a = t0m = e + (e X 6) y + (u x e) b0 + (6 X u) e0 = yE + uxB-±-(yE
+ u XB) X & + EE - u — u[(yE + uxB)2
-
(E -u)2],
(82a)
«o = r0y = e0 + (e Xb) • u = u- E + yE2 + E • (u xB)
-
(yE + UXB)2
+ (u • E f .
(82b)
Die Lorentz-Dirac-Gleichung liefert statt (81) aiLD
mit
= ai + Totßuk + 0( T03)
(83 a)
dzi = ejki(u, dXi x,=2, dx
(83b)
(vgl. (66) und [4a], Gl. (76,3) und S. 234). 2.5. Leistungsbilanz Indem wir (48) durch y dividieren, erhalten wir mit u y 32
ü y
du dx dx dt
Zeitschrift, .Fortschritte der Physik", Heft 8
du dt
u
ü y2
v y
dy dt
434
H E L M U T STÖCKEL
die Leistungsbilanzgleichung ^ ^ • S E
+ . - P . g j f + l x B l - M
Eine etwas andere Form der Leistungsbilanz dividieren
erhalten wir, wenn wir (46 b) durch y • E + P = 0.
m ^ - v • qE - qr, ^ Mit der
(85)
(86)
Teilchenenergie W = my,
der potentiellen
(87 a)
Energie z(t)
V =
- J
dz - qE,
(87b)
z(-oo)
der zusätzlichen, r0 proportionalen potentiellen
Energie t
V und der
n
= - r
q j d t ^ . E
(87c)
— oo
Strahlungsleistung
lautet die
0
P=mr0Mi;2
Leistungsbilanz
Änderung der Teilchenenergie Zeitdifferential
(87 d)
Änderung der potentiellen Energie Zeitdifferential
Änderung der zusätzlichen, r 0 proportionalen pot. Energie Zeitdifferential + Strahlungsleistung = 0. t Die Zeitintegration jdt... — oo
liefert die
Energiebilanz t
AW + AV + AFU + f Pdt = 0, — oo
(88)
Änderung der Teilchenenergie + Änderung der potentiellen Energie + Änderung der zusätzlichen, r 0 proportionalen potentiellen Energie + Strahlungsenergie = 0. Diese Energiebilanz ist physikalisch plausibler als die entsprechende Bilanz für die Lorentz-Dirac-Gleichung (s. z. B. [13], S. 771). Eine dort ad hoc eingeführte „elektromagnetische Energie" des geladenen Teilchens, —yq^j^ns^, tritt nicht mehr auf.
435
Bewegung einer Punktladung
3. Spezialfälle 3.1. Geradlinige Bewegung Als einfachsten Spezialfall der Mo-Papas-Gleichung betrachten wir die geradlinige Bewegung, für die u\\ü || E\\B (89) gilt. In diesem Fall können wir skalar rechnen, indem wir u = ui, ü = üi, ... setzen. Damit vereinfacht sich die Mo-Papas-Gleichung (46 a) zu mit = qyE + qr0yE — rm:0ük2u.
(90)
Mit der aus /
= 1+
folgenden Identität
(91)
W2
wu y = — y
(45 c) ->• (92)
läßt sich das Quadrat der 4-Beschleunigung umformen:
womit sich die Bewegungsgleichung (90) vereinfacht zu {qyE -
tom)
+ r0
= 0.
(94)
Das heißt, für die geradlinige Bewegung (89) geht die Mo-Papas-Gleichung dämpfungsfreie Bewegungsgleichung ü=
(46a) in die
— yE TO
(95)
über. Die zusätzliche Feldkraft qr0(yly)E und die Strahlungsdämpfungskraft kompensieren sich bei der geradlinigen Bewegung gerade, yZ qz0yE — Pu — 0 , P —TOTQ—.
—Pu/y (96)
Diese verblüffend einfachen Zusammenhänge wurden von Mo und P A P A S offenbar nicht bemerkt, obwohl sie ihre Bewegungsgleichung (46a) für drei Spezialfälle der geradlinigen Bewegung (89) gelöst haben [16a], S. 3568, [19], vgl. auch (61b) und Abschnitt 8. 3.2. Nichtrelativistische Bewegungsgleichung Als weiteren Spezialfall der Mo-Papas-Gleichung (46a) betrachten wir den nichtrelativistischen Grenzfall v 1. Wenn wir alle in v nichtlinearen Summanden vernachlässigen, erhalten wir mit dt
,1 1/2 1 — = y = (1 — v 2 )- 1 ' 2 ~> 1, u = yv -^v, dx dt} V = w2 - y 2 -»• ( ^ I für 32*
• dv u -s- —, dt (97)
436
HELMUT STÖCKEL
d i e nichtrelativistische
m
Die
dv - =
q
Mo-Papas-Gleichung
(
E + v x B )
Leistungsbilanz
„ +
r
q
(103b)
W3 =
W0T0( —MiM2 + M2%) w3>
(103 c)
tt4 =
ft)0r0(—+
m2«i)
(103d)
Aus der dritten Gleichung folgt: Wenn die Anfangsgeschwindigkeit u(0) senkrecht auf der Magnetfeldstärke B steht, liegt die Teilchenbahn z{x) in der Ebene durch den Anfangspunkt z(0) senkrecht zu B, denn w3(0) = 0=^> m3(0) = 0=4" w3(0) = 0, ..., w3(r) = 0. Wir wollen uns zunächst auf die Behandlung dieser ebenen Bewegung beschränken. 4.1.1. Teilchenenergie und Strahlungsleistung für u 3 = 0 Zur weiteren Integration des restlichen Gleichungssystems multiplizieren wir (103a) mit u2, (103b) mit —Mi, addieren beide Gleichungen und erhalten unter Berücksichtigung von J2 + u 22 = - V — 1 = y 2 — 1 :
M
Ml«2 — «iM2 = Ü)0(l + w42 + t0m4w4). Einsetzen in (103 d) liefert Mit « 4 == iy wird daraus
ü4 = a>02r0(l + w42 + t0m4'ì4) ut.
(104a) (104b) (105)
(106)
Für tarlai
ist
y « -ft) 0 2 T 0 y(y 2 - 1)
(107 a) (107b)
eine gute Näherung. Um die Gültigkeitsgrenzen der Ungleichung (107 a) abzuschätzen, betrachten wir ein Zahlenbeispiel. Für Elektronen ist q/m = —1,76 • 1011 As/kg. Für eine Magnetfeldstärke £ = 1 1 = 1 Vs/m 2 ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit co0 = -q/m B = 1,76 • 1 0 u s" 1 , und mit r 0 = 0,627 • 10" 2 3 s (9) erhalten wir o>0t0 = 1,102 • 10 - 1 2 . Für y : = Elektronenenergie/Ruhenergie = 1011 ist demnach (co0r0y)2 ss 0,01 immer noch klein gegen 1.
Die Differentialgleichung (107b) für y geht mit y = (1 — v2)-112 in die Differentialgleichung v = — (Ü02T0V
(108)
v = i^e-™«'"'
(109)
mit der Lösung
über. Während der charakteristischen 1
Eigenzeit
/ m \ 2 ßne^m _ 6jrs0m3
Helmut Stöckel
438
nimmt die Geschwindigkeit demnach exponentiell auf 1/e des Anfangswertes i>0 ab (Bild 5). Für Elektronen ist t, = 5,16 s.
*'v0e-v/t>
_L
0 Bild 5. Geschwindigkeit
t,
v(r) einer
Punktladung
g im
t
homogenen Magnetfeld
B = —mm„lq
Aus (109) folgt weiterhin der Zusammenhang zwischen der Laborzeit t und der Eigenzeit x
t
=
j
(i
-
v2)-1'2
va2e-2'hl)-112
d T =
dz = r + ^ In
1 + (1 - w02e-2l/ri)1/2 1 +
(1 -
V)
1
'
2
(lila) mit den asymptotischen Darstellungen (Bild 6) t ^ y0r t = t 4- t1 In
2 y„
1
+7o
für
r
für t > t 1 ;
(111b)
Tj,
y0:=(l-«„V/2.
(111c)
Bild 6. Laborzeit t als Funktion der Eigenzeit r für y0 < (cu0t0)-" gemäß ( l i l a ) . Die gestrichelten Geraden sind die Tangente bzw. die Asymptote für t (111b) bzw. r > zl (111c). Beispiel y„ = 1^2
Für die Strahlungsleistung ergibt sich gemäß (86) und (106) y my' - 1 dy P = —m ^ = —m — = — 7 ^ y r, 1 + ey2 dt
mit
e : = co02r02 =
—. Ti
(112)
439
Bewegung einer Punktladung
(Vgl. [20b]; die dortigen Formeln (3), (10), (13), (14) und (17) sind fehlerhaft) Für "/ ^ (cooTo)_1 strebt die Strahlungsleistung P —> m/r 0 , siehe Bild 7.
iu0lt0 Bild 7. Strahlungsleistung P (112) als Funktion der (ruhenergiebezogenen) Teilchenenergie y für die ebene Spiralbewegung einer Punktladung im homogenen Magnetfeld B — -mio^lq
Die Differentialgleichung (112) läßt sich leicht integrieren: = _
J
/
1
+ y2-
£ 2
r
dy = : f(y)
-
f(y0)
(113a)
i
mit f(y) : =
1" 8 In — i - i — sy = (1 -+- s) Arcoth y — sy.
(113b)
Für
liefert (113a)
sy2 = (co0To7)2 < 1
(107a)
— = Arcoth y — Arcoth y0 Tl
(114a)
y = coth
(114b)
oder + Arcoth y 0 j .
y nimmt mit wachsender Zeit t monoton ab (Bild 8). Die Formel (114b) stimmt mit der in [46], S. 235, angegebenen Näherungsformel überein. Die Strahlungsleistung D
P =
dy —m — dt
(115) Tj sh 2
-f- Arcoth y 0 j
nimmt vom Anfangswert m
Po
=
t , sh 2 Arcoth y0 ~ t ,
(y 2
°
mit wachsender Zeit monoton auf den Wert P -> 0 für t
-
Tl
oo ab.
440
Helmut Stöckel 4.1.2. Ebene Spiralbahn
Zur weiteren Integration des Systems (103a, b) führen wir die
digkeit"
„komplexe Eigengeschwin (116a)
U := ux + iu2
-r, Arcoth y0 Bild 8. y( 0 werde mit der Anfangseigengeschwindigkeit w0 = ±(0) durch ein homogenes elektrisches Feld E = Ej J_ u0 der Ausdehnung l geschossen (Bild 13). Gesucht ist der Ablenkungswinkel « der Teilchenbahn. G U P T A [22] hat für die Bewegung einer Punktladung in einem homogenen elektrischen
Teilchenladung q und -masse m und der Länge l des Feldes
Feld eine Parameterdarstellung der exakten Lösung der Mo-Papas-Gleichung hergeleitet. Da die Parameterdarstellung für unser Problem zu unhandlich ist, wollen wir den Ablenkungswinkel « mit Hilfe eines Iterationsverfahrens herleiten. Dazu gehen wir von dem Differentialgleichungssystem (44 a—d) aus. In dem betrachteten Beispiel ist nur die Feldstärkekoordinate E2 = : E =j= 0, alle anderen Feldstärkekoordinaten Ej, Bj verschwinden. Mit 4 = iy>
m
qE/rn =: Q
(155)
lauten die Bewegungsgleichungen (44 b, d) w2 — ßy = r 0 Q[y + (u2y — ü2y) u2],
(156a)
y — üu2 = tqQ[ü2 + (u2y — ü2y) y].
(156b)
Auf die anderen beiden Bewegungsgleichungen (44 a und c) können wir verzichten, denn (44 c) wird durch u3 — 0 trivial erfüllt, und % erhält man einfacher aus «! = ( / _ 1 - M22) 1/2
(157)
als durch Integration von (44 a). Die gesuchte Lösung setzen wir als Potenzreihe in T0 an:
y = y(0> + y(1> +
•••,
(158)
448
Helmut Stockei,
wobei u2[n) und y{n> proportional x0n seien. Wegen der Kleinheit von r 0 beschränken wir uns auf die hingeschriebene lineare Näherung in r 0 . Die Anfangsbedingungen «2(0) = 0,
(1 + V ) 1 / 2 = : 7o
y(0) =
(159)
übertragen sich auf die zu r 0 n proportionalen Lösungsanteile u2in> und y'n>: «2 s» j,
y & const,
Q
E =
r min /cos cp,
r°,
= cos