Fisica. Cinematica, dinamica, meccanica dei fluidi (Vol. 1) 8879595830, 9788879595834

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Questo testo è rivolto a tutti coloro che, dovendo superare un esame di qualsiasi ordine di studi, hanno la necessità di apprendere o rivedere i concetti basilari della meccanica. Non è stato pensato come un testo sostitutivo di quelli standard propri di un determinato corso di studi, ma piuttosto come una lettura supplementare che possa facilitare il processo di approfondimento attraverso una scrittura chiara, logica e sintetica.

È stato volutamente evitato l'uso dell'analisi matematica nella convinzione che i concetti fisici possano essere compresi con maggiore difficoltà se gli studenti devono cimentarsi contemporaneamente con l'infrastruttura matematica. Tale procedura, comunque, nulla toglie ad una rigorosa trattazione degli argomenti. Alla fine di ogni capitolo sono stati inseriti problemi e quesiti con lo scopo di verificare il grado di preparazione del lettore. Ringrazio la Dott.ssa Tiziana Piva per la revisione concettuale e le osservazioni critiche, le Dott.sse Gabriella Amore e Silvia Abussi per l'accuratezza nella composizione del testo e per la qualità dei grafici che tanto hanno contribuito a rendere meno astratta la materia. Sono molto grato ai mi ei familiari che mi hanno incoraggiato e sostenuto durante l'intero lavoro. Desidero in oltre ring ra zi:tn.; l:l accordata m i.

C 1s:1

Edit-ri ce FdiSFS per la fiducia

Nel presente testo il simbolo Il (delta) rappresenta la variazione di valore di una grandezza. Ad esempio la notazione lly (delta y) rappresenta una variazione della grandezza y, IlJ

=Yfi nale -

Yinizial c

Fissato Yini zia le' il valore di lly dipende da quello di Yr.na le ' come viene evidenziato in figura per due valori diversi di Yr.n aJe· C.y

( (

1 Yinizi:1 l~

A C.y'

A

\

ì

1

J'~nalc

~

y

1 y""""

In questo caso /::;.y rappresenta un va lore determinato . Spesso è necessario far tendere indefinitamente il valore di Yr.nal e a quello iniziale (J; 1J, per cui lly diminuisce sempre più, tendendo a zero. Si dice allora che lly diventa infinitesimo. 11 ; ,.;,

Con abuso di scrittura, in entrambi i casi si adopera il simbolo lly, essendo evidente dal contesto della dimostrazione a quale delle due situazioni ci si riferisce. La somma di un determinato numero di addendi a 1, a 2, a 3 ,

• ••

a;,

... a,, ... , ognuno dei quali è distinto da un indice, si indica con il simbolo:

VI

Premessa

che si legge "sommatoria rispetto ad i dei termini a; il cui indice è compreso tra m ed n, con m < n". La lettera L (sigma) viene chiamata simbolo di sommatoria, mentre con a 1 si indica il termine generico di un addendo. L'indice i può essere sostituito da una qualunque altra lettera (j, k, ecc.) diversa da n. La somma dei quadrati dei primi quattro numeri naturali (m

= l,

n = 4) si indica nel modo seguente: 4

L; iz = l z + 22 + 3z + 4 2 l

Analogamente, il reciproco dei numeri naturali compresi tra tre e cinque (m = 3, n = 5) si indica nel modo seguente: 5

l i

l

l

3 4

l

5

L-= - + - + 3l

Per sommare infiniti addendi si usa infine il simbolo: 00

L ; a; = a1 + a 2 + a3 + ... + a, + ... l

1. Grandezze fisiche e loro misura l. l. Definizione operativa delle grandezze fisiche

1.2. Misura di una grandezza fisica fondamentale e derivata 1.3. Fattori di conversione, dimensioni ed equazioni dimensionali 1.4. Errore in una misura 1.5. Cifre significative- Approssimazioni 1.6. Notazione scientifica. Ordine di grandezza Esercizi Test di verifica Soluzioni

2. Vettori 2 .l. Grandezze scalari e vettori ali

2.2. Cenni di goniometria e trigonometria 2 .3. Calcolo vettori al e mediante il metodo grafico e proprietà dei vettori 2.4. Rappresentazione analitica di un vettore 2.5. Vettori componenti. Versori 2.6. Rappresentazione analitica delle operazioni sui vettori Esercizi Test di verifica Soluzioni

3. Cinematica 3.l. Generalità

3.2. Traiettoria. Legge oraria 3.3. Moto in una dimensione. Posizione e spostamento 3.4. Velocità media e istantanea di un moto rettilineo vario. Moto rettilineo uniforme 3.5. Accelerazione media ed istantanea di un moto rettilineo vario. Moto uniformemente vario

l l 5 IO 12 15 16 18 2O

23 27 35 40 44 46 49 53 55

59 62 64 65 74

VIli

Sommario

3.6. Interpretazione geometrica e calcolo dello spostamento nel moto vario e uniformemente vario noto v(t) Esercizi Test di verifica Soluzioni

4.

Moto in due dimensioni

4.1. Moto circolare uniforme 4.2. Vettore velocità e vettore accelerazione 4.3 . Moto armonico 4.4. Moto del proiettile Esercizi Test di verifica Soluzioni

5. Principi della dinamica 5.l. Concetto di forza

5.2. 5.3. 5.4. 5.5 . 5.6. 5.7. 5.8.

La prima legge di Newton Massa La seconda legge di Newton La terza legge di Newton La legge della gravitazione universale di Newton. Peso La forza di attrito Seconda legge di Newton applicata ad una pa rtice lla in moto circolare uniforme Esercizi Test di verifica Soluzioni

6.

81 85 91 94

99 102 108 112 116 121 123

12 5 126 127 127 130 132 136 140 142 149 15 2

Lavoro ed energia

6.1. Prodotto sca lare di due vcnori 6.2. Lavoro compiuto da un;l for~.: 1 6.3 . La potenza

157 158 169

Sommario

6.4. 6.5 . 6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

Teorema dell'energia cinetica Cenni sui campi di forze conservativi Energia potenziale Lavoro svolto da una molla: forza elastica Lavoro di forze non conservative Conservazione dell'energia meccanica totale di una particella 6.1 O. Forze non conservative 6.11. Il teorema dell'impulso 6.12 . Conservazione della quantità di moto 6.13. Centro di massa e centro di gravità (baricentro) Esercizi Test di verifica Soluzioni

7.

IX

172 17 5 176 179 186 187 189 191 195 197 202 207 21 O

Fluidi

7.1. Pressione 7.2. Legge di Stevino 7.3 . Applicazioni della legge di Stevino 7.4. Legge di Pasca! 7.5. Principio di Archimede 7.6. Dinamica dei fluidi ideali. Teorema di Bernoulli 7.7. Applicazioni della legge di Bernoulli Esercizi Test di verifica Soluzioni

213 215 218 222 225 227 232 234 238 241

Appendici

Elenco simboli utilizzati nel testo Alcune costanti fondamentali Grandezze e unità fondamentali dèl Sistema Internazionale Simboli matematici usati nel testo e loro significato Alcuni prefissi per le potenze di dieci

245 247 249 250 250

1. Grandezze fisiche e loro misura :;,... :;,... :;,... :;,...

1.1.

Definizione e misura delle grandezze fisiche Errore in una misura Cifre significative Approssimazioni

Definizione operativa delle grandezze fisiche

L'osservazione dei fenomeni fisici e il tentativo di interpretarli conduce ad individuare determinati enti: lunghezza, tempo, superficie, volume, temperatura, velocità, ecc. Si definisce grandezza fisica ogni ente utile per la descrizione di un fenomeno fisico e suscettibile di definizione operativa, cioè di misurazione. Secondo la moderna concezione operativistica una grandezza fisica è definita quando per essa vengono fissati: • criterio del confronto: date due grandezze della stessa specie si può sempre stabilire se una di esse è maggiore, uguale o minore dell'altra e che si presenti sempre uno solo di questi tre casi; • criterio di somma: date due grandezze della stessa specie si può definire la loro somma; • campione unitario (unità di misura) in modo arbitrario. Concludendo, una grandezza fisica è completamente definita quando sono note le operazioni che conducono alla sua misura, espressa come rapporto di essa rispetto ad una grandezza fisica della stessa specie assunta come w1ità di misura.

1.2.

Misura di una grandezza fisica fondamentale e derivata

La misura di una grandezza fisica , una volta trovato il metodo operativo di misura, è rappresentata da un numero (valore) e da una wlÌtà di misura. Ad esempio: la lunghezza di un segmento è 2 metri . Fornire la

2

Grandezze fisiche e loro misura

misura di una grandezza solo attraverso una cifra numerica, senza cioè specificare l'unità di misura, è un'operazione priva di significato. Dal momento che esistono vari multipli o sottomultipli di una grandezza e molte altre unità di misura (ad esempio per la lunghezza, oltre al metro esiste il pollice, il piede, il miglio, ecc.), il solo valore numerico (ad esempio 2) non esprime la misura della lunghezza. Le grandezze fisiche sono molte e ·per ciascuna di esse si potrebbe fissare la procedura operativa di mjsura e l'unità di misura arbitraria. Ciò comporterebbe l'inconveniente che le leggi fisiche verrebbero ad essere affette da numerose ed ingombranti costanti di proporzionalità. Questo inconveniente può essere ovviato considerando che tra le varie grandezze fisiche esistono relazioni, dette equazioni-base, stabilite dalle loro definizioni oppure dalle leggi fisiche che le collegano. Si chiarisce questo aspetto con degli esempi. l. La velocità media di un corpo è definita come rapporto tra lunghezza percorsa ed intervallo di tempo impiegato (equazione-base della velocità). Appare allora evidente che la procedura operativa per la misura della velocità può essere ricondotta a quelle per la misura delle lunghezze e dei tempi (se queste sono state stabilite). 2. La forza che agisce su un corpo è uguale al p_rodotto della massa per l'accelerazione (equazione-base della forza). E questa una legge fisica (II principio della dinamica) che stabilisce un legame fra le tre grandezze. Per misurare ·una forza si può allora far riferimento alle procedure di misura di massa ed accelerazione, se queste sono note. In conclusione, noto un numero limitato di grandezze (grandezze fondamentali), da esse si possono esprimere le altre (grandezze derivate). Si dimostra che, se si considerano tutti i settori della fisica, per descrivere i fenomeni noti sono sufficienti sette grandezze fondamentali. Nella 14' Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure dell971 sono state selezionate 7 grandezze fondamentali del Sistema Internazionale di Unità (SI), e precisamente: lunghezza, massa, tempo, temperatura, intensità di corrente, intensità luminosa e quantità di materia. Nella tabella l sono riportate le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (SI) c due complementari, i rispettivi campioni e simboli.

M isura di una grandezza fis ica fondamenta le e derivata

3

Tabella 1-1 Grandezze fondamentali ed unità di misura del sistema internazionale (SI) Grandezze fondamentali

Simbolo dimensionale

Unità di misura

Simbolo della unità di misura

Definizione della unità di misura

Lunghezza

[L]

metro

m

Tratto percorso dal la luce nel vuoto nell'intervallo di tempo di 1/299792458 s

Massa

[M]

ki logrammo

kg

Massa del prototipo internazionale conservato a Parigi

Interva llo di tempo

[T]

secondo

s

Intervallo di tempo che contiene 9192631770 periodi di una particolare radiazione dell'atomo di cesio 133 (133Cs)

Temperatura

[0]

kelvin

K

Frazione 1/2 73,16 de ll a tem peratura termodinamica del pu nto triplo dell'acqua

A

t;Orrente cne, passanao 1n aue conduttori retti linei, pa ralleli, di sezione trascurabile, lunghezza infinita e posti nel vuoto a distanza di 1 m , produce una forza di 2·10-' N per ogni metro di lunghezza

Intensità di corrente elettrica

Intensità luminosa

[ l]

[J]

ampere

cande la

cd

Intensità, in una data direzione, di una sorgente che emette radiazione monocromatica di 540·10 12 Hz e la cui intensità d'energia per angolo solido è

l

w

683

ST

---

Quantità di sostanza

[N ]

mole

mol

Quantità di sostanza di un sistema che contiene tante unità elementari (atomi, moleco le, ioni, elettroni, ... ) quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12( 12 C)

Grandezze fisiche e loro misura

4

Grandezze complementari

angolo piano

angolo solido

Unità di misura

radiante

steradiante

Simbolo della unità di misura

Definizione della unità di misura

rad

angolo piano al centro che su una circonferenza intercetta un arco di lunghezza uguale a quella del raggio

sr

angolo solido al centro che su una sfera intercetta una calotta di area uguale a quella di un quadrato di lato pari alla lunghezza del raggio

Le norme di scrittura del SI raccomandate dal CIPM sono le seguenti: • Se il nome di una unità di misura viene scritto per esteso deve essere scritto in carattere minuscolo, senza accenti e deve considerarsi indeclinabile (ad esempio, si scrive ampere sia al singolare che al plurale non ampères o Ampère). • I simboli delle unità devono essere scritti con l'iniziale maiuscola se derivati da nomi propri, {ninuscola in tutti gli altri casi. Per esempio si scrive W per Watt, J per Joule, N per Newton, cd per candela. • I simboli delle unità di misura non vanno mai seguiti dal punto (m, non m.) e vanno scritti dopo il valore numerico (3m, non m3). • L'unità di misura va indicata col relativo simbolo oppure scritta per esteso a seconda che il numero che esprime la misura sia scritto in cifre oppure in lettere e deve essere sempre scritta per esteso quando non è accompagnata dal valore numerico. Per esempio si scrive tre Volt, non tre V, oppure 5m e non 5 metri; si scrive inoltre "il kilogrammo è l'unità di massa del SI". • Le unità composte si scrivono senza trattini (per esempio si scrive JWb =IV · s, non JWb =lV -s). \

I multipli e i sottomultipli delle w1ità si indicano premettendo al simbolo dell'unità il simbolo del prefisso come indicato nella Tabella 1-2.

Fattori di conversione, dimensioni ed equazioni dimensiona li

5

Tabella 1-2 MULTIPLI

SOTIOMULTIPLI

Simbolo Fattore di del moltiplicazione prefisso

Nome del prefisso

Nome del prefisso

Simbolo del Fattore di prefisso moltiplicazione

tera

T

10 12

deci

d

10-1

giga

G

109

centi

c

10-2

mega

M

106

milli

m

10-3

chilo

k

103

micro

Jl

10-6

etto

h

102

nano

n

10-9

deca

da

10

pico

p

10-12

Ad esempio, il megasecondo (Ms) è 10\ il microsecondo (Jls) è l0-6s, il kilometro (km) è 10 3m, il millimetro (mm) è w-3m. Nel caso del metro vengono usati anche multipli diversi da quelli deducibili dalla tabella: • anno luce (a.l.): spazio percorso dalla luce in un a1mo a.!.= 9,46055 · 10 15 m o

o

• angstrom (A) :lA=

w-

IO

m

1.3. Fattori di conversione, dimensioni ed equazioni dimensionali Data la misura di una grandezza rispetto ad una certa unità di misura si può sempre esprimere la misura della stessa grandezza rispetto ad un'altra unità di misura purché sia noto il relativo fattore di conversione (o di ragguaglio), ossia il numero che esprime il rapporto fra le due unità. Gli esempi che seguono illustrano l'uso dei fattori di conversione. Esempio La lunghezza tra due punti è di 200 m . Si esprima tale lunghezza in:

6

Grandezze fisiche e loro misura

a. angstrom

I)

A

l~= W

IO

lA l rn l cm

= W2

b. centimetri

II)

c. kilometri

l rn III) ·l krn

d. anni luce

IV) lrn =(9,46055 · W 1; ( l a.l.

e. pollici

V)

=w-l

~=(0 0254f 1 l pollice

'

Soluzione Dalla I) si ricava l m= W 10 A per cui:

200 m= 200 ·l m = 200 -W 10 A = 2 -W 12 A D alla II) si ricava l m

= W2cm per cui:

200 rn = 200 ·1 m = 200 ·10 2 cm = 2 -W\m D alla III) si ricava l m= w-3 knz per cui: 200 m = 200 ·l m = 200 -W- 3 knz =O, 2 knz Dalla IV) si ricava l m= (9,46055 ·W 1; ( a.l . per cui: 200 1n = 200·1 rn = 200 · ( 9,46055 ·l O·11 ) - l a.l. = 1,892·10- p·a.l. Dalla V) si ricava l m = (0,0254t pollici per cui : 200 rn = 200 ·l m= 200 · ( 0,0254

t

pollici= 7,874 -W- 3 pollici

Fattori di conversione, dimensioni ed equazioni dimensionali

7

Si è visto che la misura di ogni grandezza è espressa da un numero (valore) e da una unità di misura. Sebbene nel SI l'unità della lunghezza sia il metro è tuttavia sempre possibile, noti i fattori di conversione, esprimere la misura con altre unità quali il centimetro, il kilometro, il pollice, gli anni luce, ecc. Si conviene allora di chiamare dimensione della lunghezza una qualunque di queste unità e di indicarla con il simbolo [L]. Si dice allora che [L] rappresenta la dimensione della lunghezza, intendendo con ciò una qualsiasi unità di misura con cui può essere espressa. In maniera analoga l'intervallo di tempo ha varie unità (secondo, minuto, ora, giorno, ecc.) e la sua dimensione si indica con [T]. Le dimensioni delle sette grandezze fondamentali del SI sono espresse con i simboli [L], [T], [M], [8], [I], [J], e [N] come riportato in tabella 1-1. Si consideri adesso una qualsiasi grandezza derivata, quale ad esempio la velocità che, per definizione (equazione base), è il rapporto tra una lunghezza ed un intervallo di tempo. Potendo esprimere sia la lunghezza che l'intervallo di tempo con varie unità, la misura della velocità può allora essere espressa da un numero (valore) e da una unità qualsiasi quale metro al secondo (

7),

kilometri all'ora (

7),

pollice al

. (pollice) ., . . mmuto min , ecc. Tutte queste umta hanno m comune che 1l num_eratore è una qualsiasi unità di misura della lunghezza ed il denominatore una qualsiasi unità di misura dell'intervailo di tempo. Tale situazione si esprime dicendo che le dimensioni della velocità M sono date dal rapporto fra le dimensioni deila lunghezza e quelle dell'intervallo di tempo: 1-1

[v]JXt[L]·[Tt =[rT-1 ] equazione dimensionale della velocità

In maniera analoga, poiché l'accelerazione (a) (cfr cap. 3 .5) è il rapporto tra la variazione di velocità ed un intervallo di tempo (equazione-

Grandezze fisiche e loro misura

8

Questo procedimento può essere esteso a tutte le grandezze fisiche derivate; si può quindi concludere dicendo che le dimensioni di una qualsiasi grandezza derivata G sono esprimibili con un monomio costituito dal prodotto delle dimensioni delle grandezze di base elevate ad opportuni esponenti (equazione dimensionale), ossia: 1-3

[G] =[ LaytJ AfY8" I' l'' N~']

Agli esponenti a (alfa), ~ (beta), Y (gamma), 8 (delta), E (epsilon), À. (lambda), J.l (mi), si dà il nome di dimensioni della grandezza G. Quando uno degli esponenti è z;ero significa che le dimensioni. della grandezza G non contengono la dimensione della grandezza fondamentale corrispondente. Grandezze fisiche diverse hanno in generale dimensioni differenti e si dicono eterogenee. Può tuttavia capitare che a grandezze diverse corrispondono le stesse dimensioni, come risulta dagli esempi seguenti in cui si ricavano le equazioni dimensionali della forza, del lavoro e dell'energia cinetica. Le equazioni-base della forza F, del lavoro meccanico L e dell'energia cinetica K,;" sono date rispettivamente da : 1-4

1-5

1-6

F

=

m . a (m

=

71UJSsa, a = accelerazione)

L = F . s (s = lunghezza dello spostamento)

K.

cm

l = -ntV 2

Z t;

1v =

1 • \l vewatà/

Fattori di conversione, dimensioni ed equazioni dimensionali

9

Le equazioni corrispondenti sono: 1-4'

1-5'

1-6'

[F] =[M] . [a]= [M] .[rr-2 ] =[rr-2M]

[L J= [F) ·[L] = [ L2r-2M J [ Kci" J =[M) ·[V 2 ]

= (M)·[L2T-2 ] =[L2r-2M]

Le dimensioni della forza sono quindi quelle di una massa per una lunghezza e per un tempo alla meno due; in maniera analoga per lavoro ed energia cinetica (si noti come tali grandezze siano omogenee poiché hanno le stesse dimensioni). Esistono tuttavia grandezze fisiche che, pur avendo le stesse dimensioni, non hanno un significato fisico analogo (come ad esempio lavoro e momento di una forza, capacità termica ed entropia). Grandezze di questo tipo si chiamano omonime. Esistono infine grandezze che, essendo definite dal rapporto di due grandezze aventi le stesse dimensioni, risultano prive di dimensioni (adimensionali) quali l'angolo piano e solido, il rendimento delle macchine, l'indice di rifrazione, il peso atomico, ecc. In questo caso il valore delle grandezze non dipende dall'unità di misura scelta per le grandezze a numeratore e a Figura 1-1 denominatore. Ad esempio, la misura di '----'-----------' un angolo a. si esprime con un numero reale definito come rapporto fra la lunghezza di un qualunque arco di circonferenza tagliato dai lati dell'angolo avente vertice V coincidente con il centro delle circonferenze concentriche in O e il raggio della rispettiva circonferenza:

10

Grandezze fisiche e loro misura (")

1-7

(")

[a] = lunghezza CB = lunghezza C'E' lunghezzaOB

lunghezzaOB'

L'angolo così definito è una grandezza adimensionale in quanto ha dimensioni: 1-8

[a] = [L] = [LoJ

[L]

L'unità di misura si chiama 1'adiante (ratf) e corrisponde all'angolo i cui lati tagliano su una circonferenza di raggio qualsiasi, con centro nel vertice, un arco lungo quanto il raggio. Si noti infine che sono adimensionali anche le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente essendo, per definizione, il rapporto fra due lunghezze. Dal concetto di dimensione di una grandezza deriva che due grandezze fisiche possono essere sommate o sottratte se e solo se sono omogenee. Si può affermare quindi che condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché una relazione tra grandezze fisiche sia valida è che le dimensioni dei due membri siano le stesse. La non sufficienza della condizione può essere dovuta alla presenza di coefficienti numerici errati.

1.4. Errore in una misura Errore assoluto Si supponga di misurare una lunghezza usando, per esempio, una rotella metrica. Se si eseguono varie misurazioni della stessa lunghezza, ponendo ogni volta la massima attenzione affinché la misura risulti quanto più possibile esatta, non si otterranno in generale valori sempre esattamente uguali. Le misure successivamente ottenute siano, per esempw: 20,12 m 20,15 m 20,20 m 20,17 m. 20,16 m

Errore in una misura

11

La differenza tra due valori risultanti da misurazioni eseguite con la stessa cura può essere dovuta a varie cause: nastro metrico più o meno teso, errore nella determinazione degli estremi del tratto da misurare, imperfezioni della suddivisione del campione. Poiché non esiste alcun motivo per preferire uno dei valori trovati ad un altro, si assume come valore più probabile la media aritmetica dei valori ottenuti 1-9

e= 20,16+ 20,12+ 20,15 + 20,20+ 20,17 = 20 16m 5 ,

L'errore assoluto E (o incertezza) della misura è la semidifferenza tra il valore massimo e quello minimo 0

1-10

- 20,20-20,12- o 04 e-,m n 2

Poiché la lunghezza misurata è compresa tra 20,16- 0,04 e 20,16 + 0,04 = 20,20 m si scrive: 1-11

e=(20,16 ± 0,04)

= 20,12 m

m

l • • 1 Ogni misura è sempre affetta da errore, ma l'esiI stenza dell'errore non è indice di scarsa precisione nella misurazione.

Errore relativo L'errore relativo E,. è il rapporto tra l'errore assoluto e la misura della grandezza 1-12

il€

lò = r

e

Una misura risulta tanto più accurata quanto minore è l'errore relativo.

12

Grandezze fisiche e loro misura

Con riferimento all'esempio precedente l'errore di 4 cm è relativo ad una lunghezza di circa 20m

= t:. e = 0,04 =O 002

E

e

20 , per cui la misura può essere considerata sufficientemente accurata. Se lo stesso errore di 4 cm fosse iqvece relativo ad una lunghezza di 8 cm la misura non potrebbe considerarsi accurata r

e

'

= t:. e = o,o4 = 0 5 e o,o8 '

Errore percentuale

È l'errore relativo moltiplicato per 100, ossia l'errore massimo per ogni cento unità di misura. Nell'esempio considerato 1-13

t:%=

Er

t:. e

·100 = f

______

·100 = 0,002 ·100 = 0,2%

_,

Per ogni 100m l'errore massimo è 2 dm. Se E, = 0,5 allora e%= 50%.

1.5. Cifre significative -Approssimazioni Spesso non è tanto importante conoscere il valore dell'errore ma piuttosto il suo ordine di grandezza rispetto alla misura che ne è affetta. Salvo nei casi in cui non si è esplicitamente indicato l'errore si è stabilita la convenzione di scrivere una misura fermandosi alla prima cifra incerta (ossia l'ultima) e considerare un errore implicito pari a cinque unità della cifra immediatamente inferiore a quella incerta. Per esempio i valori a) 26, b) 24,7 hanno come cifra incerta rispettivamente a) 6 (unità), b) 7 (decimi). Poiché le unità immediatamente inferiori a "6" e a "7" sono rispettivamente i decimi ed i centesimi, ne segue che gli errori impliciti sono a) ±0,5, b) ±0,05. Si ha quindi a) 26 ± 0,5, b) 24,7 ± 0,05 per cui i valori veri sono compresi tra a) 25,5 - 26,5; b) 24,65-24,75.

Cifre significative- Approssimazioni

13

L'insieme delle cifre certe e di quella incerta (l'ultima) costituiscono le cifre significative. Per determinare di quante cifre significative è composto un numero occorre tener presente che tutte le cifre di un numero, tranne gli eventuali zeri iniziali, si dicono cifre significative. Ad esempio, i numeri 45 - 0,25 - 0,040 - 0,0032 hanno tutti due cifre significative. Gli zeri iniziali non sono significativi, nel senso che hanno il solo scopo di precisare la posizione decimale delle cifre successive, ossia stabilire se queste rappresentano decimi, centesimi, millesimi o altro. Se ad esempio nella misura di lunghezza 0,0503 nz l'unità di misura dovesse diventare il decimetro o il centimetro, anziché il metro, allora il numero 0,0503 diventerebbe rispettivamente 0,503 oppure 5,03. Come si può osservare, le cifre significative in questo caso resterebbero tre. Quando nei dati di un problema l'incertezza non è indicata in modo esplicito, di solito è sottinteso che l'ultima cifra del numero definisce, con la sua posizione decimale, il grado di approssimazione. Esempi l) Nel numero 3,2 è sottinteso che l'approssimazione è nei decimi e, quindi, l'errore che si può commettere dovrebbe essere inferiore al decimo, per cui il numero esatto dovrebbe porsi tra 3,15 e 3,2 5.

2) Nel numero 64,0 l'approssimazione è ancora nei decimi ma, poiché la cifra che contiene l'approssimazione è zero, allora anche quella che precede risulta conseguentemente dubbia. Il valore esatto potrebbe essere un qualsiasi numero compreso tra 63,95 e 64,05. 3) Nel numero 64,00 l'incertezza è nei centesimi e le cifre dubbie sono tre. Il valore vero dovrebbe trovarsi tra 63,995 e 64,005. 4) Nel numero 64 (l'ultima cifra è quella delle unità) è sottinteso che l'approssimazione è nelle unità e, quindi, l'errore che si può commettere dovrebbe essere inferiore ad uno, per cui il numero esatto dovrebbe porsi tra 63,5 e 64,5. 5) Nel numero 240 l'approssimazione è ancora sull'unità ma, poiché

14

Grandezze fisiche e loro misura

l'ultima cifra è zero, allora anche quella che precede è affetta da incertezza, per cui il valore del numero dovrebbe porsi tra 239,5 e 240,5. Di seguito si riportano le regole che permettono di stabilire il numero di cifre significative con cui si devono esprimere i risultati dei calcoli. • Moltiplicazione e divisione di due misure: il numero di cifre significative del risultato deve essere pari al fattore che ne contiene di meno. Esempio: essendo il risultato dell'operazione 3,1 · 4,34 = 13,454 e poiché il primo fattore contiene due cifre significative, allora in fisica il risultato deve essere scritto con due cifre significative: 3,1 . 4,34 = 13. • Somma e sottrazione di due misure: le cifre decimali del risultato sono pari a quelle dell'addendo che ne contiene di meno. Esempio: nella somma 13,1 + 4,10 + 0,214 = 17,4141'incertezza deve essere nei decimi, come nel primo addendo; il risultato corretto è pertanto 17,4. • Moltiplicazione e divisione di una misura per un numero: il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative della misura. Esempio: 4,73 : 4 = 1,18 (anziché 4,73 : 4 = 1,1825 risultante dai calcoli) 4,73 · 4 =18,9 (anziché 4,73 · 4 = 18,92 risultante dai calcoli) Spesso occorre quindi eliminare uno o più decimali a partire dall'ultimo a destra. Regola pratica Approssimazione per eccesso. Se nel gruppo di cifre che vengono eliminate la prima a sinistra è 5, o un numero maggiore di 5, allora la cifra che la precede viene aumentata di l (se invece è 9 diventa zero, mentre quella che la precede viene aumentata di 1). Approssimazione per difetto. Se invece nel gruppo delle cifre che vengono eliminate la prima è 4, o un numero minore di 4, allora la cifra che la precede viene lasciata invariata.

15

Notazione scientifica . Ordine di grandezza

Esempi l) Dato il numero 3,418 se si vuole eliminare l'ultimo decimale si scrive 3,42 (approssimazione per eccesso) mentre, se si vogliono eliminare gli ultimi due decimali , si scrive 3,4 (approssimazione per difetto).

2) Se si vuole eliminare l'ultimo decimale nel numero 4,297 si scrive 4,30 mentre nel numero 4,997 si scrive 5,00. 3) Se si vuole eliminare l'ultimo decimale nel numero 3,41 si scrive 3,4.

1.6.

Notazione scientifica. Ordine di grandezza

Nella notazione scientifica i numeri vengono scritti nella seguente forma: una cifra compresa tra l e 9 (inclusi), poi una virgola seguita da un opportuno numero di cifre significative e infine un'opportuna potenza di 10. Alcuni esempi evidenziano la necessità o il vantaggio dell'utilizzo della notazione scientifica.

e

Esempi l) Se si vuole trasformare la lunghezza = 4,531 km in cm non si può scrivere = 453100 cm, poiché si esprimerebbe con sei cifre significative e non con le quattro cifre significative iniziali. Come si può osservare, la lunghezza = 4,531 km stabilisce che l'incertezza risiede nei millesimi di km, ossia nei metri, mentre = 4 53100 cm esprime che l'incertezza risiede nei cm. Questa ambiguità viene eliminata scrivendo la lunghezza e=4,531 km nella forma e= 4,531 . 10 5 cm in cui si evidenzia che il numero l è incerto e il grado di incertezza corrisponde alla posizione decimale di l' ossia a 10-3 . 10 5 cm = l 02 cm e, quindi, nei metri.

e

e

e

e

2) Eseguendo il prodotto 4321 · 0,52 con una calcolatrice si ottiene il numero 2246,92 che viola la regola delle cifre significative. Si scrive allora nella forma 2,2 · 10 3 con due sole cifre significative. Un ulteriore vantaggio della notazione scientifica è quello di scrivere in modo compatto i numeri molto inferiori a l.

Grandezze fisiche e loro misura

16

3) Il numero 0,000000000150 si può scrivere nella forma 1,50 · W 10 • Si supponga di dover sommare algebricamente due numeri scritti con notazione scientifica; se la potenza di W è la stessa per entrambi può essere messa a fattore comune:

In caso contrario, occorre scrivere i due numeri in modo che la potenza di W sia la stessa: 4,5 ·

w-) - 2,5 · w-4 = 45 · w-4 -

2,5 ·

w·4 = (45- 2,5) w-4 =

= 42,5 · w-4 = 4,25 · w-)

Talvolta un numero viene arrotondato alla potenza di 10 più vicina e in tal modo si dice che si è fornito l'ordine di grandezza del numero . Ad esempio l'ordine di grandezza del numero 2.347 è 1.000, l'ordine di grandezza di 73.4W è 10.000.

Esercizi L Stabilire se la legge fisica

T = 2n

ff

dove T è un tempo,

eè

una lunghezza, g è una accelerazione, è dimensionalmente corretta.

~

[T]=[T]

La legge è dimensionalmente corretta. 2. Stabilire se la legge v= s 0 + at dove v è la velocità, s. una lunghezza, a una accelerazione, è dimensionalmente corretta. Si ha:

Esercizi

17

[s0 ]=[L] [at] = [Lr2 J·[T] = [ LT-2T] = [Lr'J La legge non è dimensionalmente corretta poiché non è lecito sommare grandezze dimensionalmente diverse quali s, e at. 3. Un angolo a varia col tempo t secondo la relazione a = St. Il numero 5 può rappresentare un coefficiente numerico? Poiché a è un angolo (adimensionale) anche il secondo membro deve essere adimensionale per cui [5] = [1 1]. Il numero 5 non rappresenta quindi un coefficiente numerico. 4. Data la legge del moto armonico x = A cos ( rot + tp0 ) dove tutte le grandezze sono unità del SI, determinare le dimensioni e le unità di misura di A, ro, tp0 essendo x una lunghezza. Il secondo membro della legge deve avere le dimensioni del primo, ossia di una lunghezza. Essendo la funzione cosf(x) priva di dimensioni, ne segue che A ha le dimensioni di una lunghezza (unità il metro). L'argomento della funzione cos( wt + tp0 ) deve quindi avere le dimensioni di un angolo (adimensionale, unità il rad), w le dimensioni di un angolo fratto rad un tempo (unità - ) e 'Po quelle di un angolo (unità rad) . s 5. Data la legge F

= TJS ~ dove F è una forza, S una superficie,

v

x una velocità e x una lunghezza, determinare le dimensioni di TJ.

Esplicitando TJ si ha F

Fx

s~ x

Sv

1]=-=-

Gra ndezze fisiche e loro misura - Test di verifica

18

Test di verifica l. Un virus è lungo circa I0-8 m. Tale lunghezza può esprimersi come: a)

IO an

b) 10 71Z11t c)

IO nm

d) 1 A

4. Nei tessuti di alcuni pesci sono state trovate tracce di mercurio nelle proporzioni 5 parti/milione. In l kg di pesce sono presenti: a) 5 mg b) 10 JLg c) 5 ng d) 5 g

2. Nel sistema SI la misura della . km velocità v = 36 risulta: h 7/l

a)

15-

b)

20~

c)

I O-

d)

36~

11l

5. Per l'operazione 5312 · 0,27 la calcolatrice fornisce il valore 1434,24. Stabilire in quale dei seguenti modi deve essere scritto il risultato: a) b) c) d)

1434,24 1,43 . 102 1,4 · 103 14,3 · 102

6.

3. Le dimensioni dei coefficienti a e b della formula e=at + bt' , dove e è una lunghezza e t un tempo, sono rispettivamente: a) [VT] e [VT] b) [L1 1] e [L12] c) [L- 11 1] e [L- 11 2] d) [L0 1 1] e [L- 1 r ]

La massa dell'elettrone è 9,1093897 · 10-31 kg. L'ordine di grandezza della massa m , espressa in kilogrammi risulta:

m, =

a) b) c) d)

10·3 1

10·lO 10"32 10·39

7. Le cifre sicure del numero 0,999 sono: a)

la prima

Grandezze fi siche e lo ro misura - Test di v erifi ca

b) le prime due c) le prime tre d) nessun a 8. Misurando quattro volte uno spigolo si ottengono i seguenti valori espressi in metri: x 1 = 1,34; x 2 = 1,32; x 3 = 1,32; x 4 = 1,33. La misura dello spigolo risulta: a) 1,3275 m b) 1,32 m c) 1,33 m d) 1,327 m 9. Utilizzando i dati del test n. 8 si può affennare che l'errore relativo risulta: a) 8 w-l b) 5 · w-z c) 9 · w-1 d) 8 . w-z o

19

10. Un corpo si muove con velocità v ([V] = [LT-']) espressa dalla seguente relazione: v = Ka"' · s", dove s rappresenta Io spazio ([s] [L]), a l'accelerazione ([a] = [LT -2 ]), K è una costante adimensionale. Mediante l'uso del l'analisi dimensionale le costanti m e n sono rispettivamente: a)

l l

2'3 b)

c)

l l

4 ,5 l l 2' 2

d) 1,2

20

Grandezze fisiche e loro misura - Soluzioni

Soluzioni

1) c. Si ha infatti

w-" m

w-'

=--9 mn =lO nm 10-

2) c. Essendo l km = 103 m e l h= 3,6 · 10 3 s si ha

!nn 36-l0 3 m nz v=36-= =103 h 3,6 ·W s s 3) b. Al primo membro dell 'equa zione compare una lunghezza per cui al secondo membro i due monomi (ate bt!) devono avere entrambi le dimensioni di una lunghezza. Poiché il coefficiente "a" moltiplica un tempo, allora le sue

dimensioni devono essere

Analogamente [b] =[

~2 ]

(a]=[~]

affinché si abbia (at] =[

affinché

(at' l =[

~ JT]= [L) .

~1 ]C T' ] =[L) . Ne segue che

[a]= [L1 1] e [h]= [L12] . 4) a. Poiché si richiede la quantità di mercurio presente in un kg di pesce, si esprimono le parti e il milione di parti in ki logrammi . Dalla proporzione: se 5 kg di mercurio sono presenti in W 6 kg di pesce, allora x (kg) sono presenti in l kg si ha:

5 kg: 106 kg = x: l kg ~ x = 5. 10-6 kg = 5. 10-6 . 103 g = 5.

w-) g = 5 mg

5) c. Il numero deve essere scritto con due cifre significative come il numero

0,27. Si scrive prima il numero con notazione scientifica 1,43424 · W 3, si eliminano poi le cifre successive al 4. Poiché la prima di queste è minore di 5 (la cifra successiva a 4 è 3), allora 4 resta invariato.

6) b. Poiché la potenza di W più vicino al 9 è 10, si ha W · 7) c. Il valore esatto è infatti compreso tra 0,9985 e 0,9995. 8) c. Eseguendo la media si ottiene

w-31 kg = 10·30 kg.

Grandezze fisiche e loro misura - Soluzioni

0

f-=

(1,34+1,32+1,32+1,33)m

4

21

=13275nz

'

Essendo i vari addendi composti da tre cifre significative e poiché il divisore è un numero, allora il risultato deve contenere tre cifre significative. Poiché inoltre la prima cifra eliminata è maggiore di 5, allora la cifra precedente deve essere aumentata di l , per cui 1,33

e=

9) a. Si calcola l'errore assoluto ,

quindi l errore relativo: Inoltre E, o/o =

E,

E

E,

x -x,,;, (1,34-1,32)m _, = --"'"'""'----"""- = = lO · m e 2 2

E 10-' m = ~ = - - - = 8-10-3 (si arrotonda per eccesso). 1,33 m

' e

·100 = 8 -10-3 ·100 = 8 -10-' = 0,8%.

10) c. Deve essere verificata la relazione:

[ Lr' J= [ Lr' J [L]" [ Lr' J= [ r "r '"' J. [DJ [ Lr' J= [ r "·" .r ''" J da cui

[L] = [ r "•" J~ l = m + n [ r' J= [ r '"' J~ -l = -2m

Risolvendo il sistema si ha:

{

l= m+ n

- l = -2m

{

l= m+ n 1=2m

lm=~ l n--

2. Vettori

,... Rappresentazione analitica di un vettore

2.1.

Grandezze scalari e vettoriali

Nel capitolo primo si è visto che la grandezza fisica è caratterizzata dalla sua misura, ossia da un numero e dalla relativa unità di misura. In fisica esistono tuttavia delle grandezze che, per essere definite, necessitano di ulteriori informazioni. Tipico esempio è la grandezza "spostamento di un corpo", inteso come cambiamento di posizione rispetto ad un punto fisso oppure rispetto ad un sistema di riferimento. Se, partendo da un punto A, si compie uno spostamento rettilineo d, si è solo specificato di quanto ci si è allontanati da A ma non si può determinare dove si arriva. Tutti i punti di una superficie sferica di centro A e raggio d sono infatti possibili punti di arrivo. Se si precisa la retta (direzione) r dello spostamento, si può ancora arrivare in due punti diametralmente Figura 2-1 opposti sulla superficie sferica. Solo se si indica il verso di percorrenza lungo r (evidenziato con la punta della freccia) il risultato è univoco. Per definire completamente lo spostamento occorre allora dare, oltre alla misura (l m), anche la direzione e il verso in cui deve avvenire. In fisica esistono, oltre allo spostamento, molte altre grandezze di

Vettori

24

questo tipo (velocità, accelerazione, forza, ecc.) chiamate grandezze vettoriali. La geometria tratta enti matematici chiamati vettori per i quali stabilisce regole di somma, differenza, prodotto, ecc. (algebra vettoriale) . Poiché le grandezze fisiche vettoriali si comportano come i vettori in geometria, allora per rappresentare e utilizzare le grandezze vettoriali la fisica si serve di questi enti geometrici. In geometria un vettore è un segmento di retta orientato ossia un segmento in ,' r cui gli estremi sono considerati in un certo ordine. Il segmento avente come primo estremo A e secondo estremo B è detto orientato da A a Be viene indicato geometricamente con un segmento avente la punta della freccia nel secondo estremo. Dato un segmento AB ed una unità di misura lineare u si dice misura (lunghezFigura 2-2 za) del segmento AB rispetto alla prefissata unità di misura u il numero reale positivo che rappresenta il rapporto dei segmenti AB e u. Esempio:

A

--

B

u

AB= Su

Figura 2-3

Ogni segmento orientato A' B' che abbia la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza del segmento orientato AB si dice equipollente ad AB. Dalla definizione di vettori equipollenti segue che in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo vettore equipollente ad un dato vettore.

Grandezze scalari e vettoriali

25

/s /s·

''

Figura 2-4

Si può indicare un vettore con una lettera scritta in carattere grassetto v, con una lettera sormontata da una freccia v, con gli estremi del segmento sormontati da una freccia AB o, infine, con B-A. Concludendo un vettore è caratterizzato da tre proprietà: a) modulo o intensità (misura della lunghezza del segmento) b) direzione (retta a cui appartiene) c) verso (indicato dalla freccia in uno dei due estremi). Il modulo di un vettore è indicato con la stessa lettera con la quale viene indicato il vettore, ma scritta in carattere normale v , oppure con lvi, con IABI oppure IB- Al. Il modulo di un vettore è una grandezza scalare positiva la cui dimensione, come si è detto, è una lunghezza. Quando tuttavia il vettore rappresenta una grandezza fisica vettoriale il suo modulo ha le dimensioni della grandezza . Se ad esempio un vettore rappresenta una velocità il suo modulo ha le dimensioni della velocità. Dalla definizione (tranne situazioni particolari da specificare) segue che un vettore non cambia (vettore libero) se viene spostato nello spazio parallelamente a se stesso (traslato). Qualora fosse importante il punto di applicazione del primo estremo del vettore, il vettore si chiama vettore applicato. In questo caso il vettore non può essere traslato ma solo spostato lungo la retta d'azione.

A

B

A Figura 2-5

B

Prima di iniziare lo studio del calcolo vettoriale è necessario definire l'angolo tra due vettori.

1111

26

Vettori

l) Se due vettori hanno in comune il primo estremo (caso a) o il secondo (caso b), a è il minore dei due angoli di cui nel piano definito dai due vettori dovrebbe ruotare uno dei due per assumere direzione e verso dell'altro.

L~ w

w

Caso a)

Caso b) Figura 2-6

2) Se i vettori sono disposti in modo tale che l'origine di uno coincide con l'estremo dell'altro, o viceversa, allora o. è il supplementare dell'angolo~ formato dai due vettori .

-~ - - -- - --

a= 180° - ~

v

~

Figura 2-7

Per convincersi è sufficiente portare i due vettori ad avere il primo estremo in comune per trovarsi nel caso a).

Figura 2-8

27

Cenni di goniometria e trigonometria

2.2.

Cenni di goniometria e trigonometria

In questo paragrafo sono riportati i principali risultati della trigonometria usati in fisica . a) Misura di un angolo a.1) Grado ( 0 )

Il grado (l 0 ) viene definito come l'angolo la cui ampiezza è pari alla 360-esima parte dell'angolo giro: l o = 60 primi (60'); l'= 60 secondi (60"). a.2) Radiante

Due o più circonferenze concentriche, con raggio arbitrario e centro nel vertice di un angolo, vengono tagliate dai lati in

Figura 2·9

due punti determinando archi /iB;r}jì di lunghezza diversa . Si dimostra che, comunque si scelga l'angolo e indipendentemente dal raggio della circonferenza, il rapporto tra la lunghezza dell'arco rettificato e il raggio espresso nella stessa unità ~

~

. AB A'-B'. Il va lore d1. m1sura e, costante: =1""

di

que~

1,.'

rapporto viene preso come misura in radianti dell'angolo

AB

a rad = . 1" Definizione L'angolo di ampiezza l rad è l'angolo che intercetta, su una qualsiasi circonferenza con centro nel vertice, un arco che rettificato è lungo quanto il raggio. Per un arco lungo quanto l'intera circonferenza (2nr) a cui corrisponde un angolo giro, si ha: 2nr a rac1 = - = 2n ,. 1

28

Vettori Valori di angoli particolari Tipo di angolo Misura in gradi

Misura in radianti

Angolo giro

360°

2rr

Angolo piatto

180°

1t

Angolo retto

go o

rr/ 2

Passaggio da gradi a radianti e viceversa Gradi

Radianti a o1t

180° : 1t =

Per

a=

a

0

:

x

x =--

180° : rr =x :a""

1800

1t

Per a

30°

180° : 1t = 30° : x=>

7r: .~

= -

6 180° .

30°7t

1t x= - - = -

180°

180° · a ,.,

x= - - -

6

180° : 7r: =x :!!._=> x= -

6

7r

6 --

= 30°

7r:

b) Circonferenza goniometrica Definizione Circonferenza di raggio unitario avente il centro coincidente con l'origine O di un sistema di assi cartesiani ortogonali. y rr/2

B

C(-1,0)

3rr/2 D Figura 2-10

Il punto A (1,0) è l'origine degli archi, i quali sono considerati positivi se percorsi in senso antiorario, negativi se .. . percorsi m senso orano. Il pun19-...P rappresenta l'estremo dell'arco AP a cui corrisponde l'angolo a che ha il vertice in O, il primo lato coincidente con il semiasse positivo x e l'altro lato passante per P. Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio

29

Cenni di goniometria e trigonometria

unitario, la lunghezza dell'arco e l'ampiezza dell'angolo in radianti hanno misure espresse dallo stesso numero. Poiché AP = f

= a,..c~ ·1' allora, per r = l, si ha: AP=

f= a,..c~

Si può parlare quindi indifferentemente di angolo o di arco sotteso da un certo angolo al centro di una circonferenza goniometrica. c) Funzioni goniometriche Funzioni che associano alla misura di un angolo un numero reale. c. l) Seno e coseno di un angolo

Si consideri un punto P su una circonferenza goniometrica e sia al'ampiezza in radianti dell'angolo AOP uguale alla lunghezza AP. Si defi nisce seno di a, e si indica con sena, il rapporto HP sena =OP . Si definisce coseno di a, e si indica

y B

x

o ~rn~

00

'-------------1

con cosa, il rapporto cosa= OP .

OH e cosa= - 1- =X p · Poiché le coordinate di P sono comprese tra -l ed l, si ha: Per OP = l si ha: sena

HP

= - 1- = JP

-l::; sena::; l

-l::; cosa::; l

Poiché inoltre gli archi a e a+ 2k;rr (k

E

Z) hanno sulla circonferenza

lo stesso estremo, allora sen (CH2k;rr) = sena e cos( a+2k;rr) =cosa con kEZ.

30

Vettori

Ad esempio per k = l gli angoli a e a+2n hanno lo stesso estremo P e, quindi, lo stesso seno e coseno. Si dice che seno e coseno sono funz ioni periodiche di periodo 2n.

y B

c x

D Figura 2-12

c.2) Tangente di un angolo

Si consideri la retta t tangente alla circonferenza in A e sia T il punto di intersezione di tale retta con il lato OP. Si definisce tangente di a (tga) il

y B rt/2

c 1t

x

rapporto tga

AT

= OP .

Per OP = l si ha tga D 3rr/2

Figura 2-13

AT

= - 1- = Yr

Si osservi che, per costruzione, tga . n 3n non es1ste per a= 2 , per a= 2 o, più in generale, per a = !!._ + kn con 2

k E Z, essendo in tali casi t!IOP, mentre per a*-!!._+ kn può assumere

un qualsiasi valore reale.

2

Cenni di goniometria e trigonom etria

31

c.3) Rappresentazione grafica delle funzioni sena, cosa e tga in funzione di a sen a

- l

Figura 2-14

cos a

-l Figura 2-15

tg a

720° 47t

Figura 2-16

a gradi a radianti

32

Vettori

d) Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo y B

x

Figura 2-17 L,__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___.

OM =cosa

Si consideri un triangolo rettangolo OAB e si assuma come origine di un riferimento cartesiano il vertice O di uno degli angoli acuti a, come asse delle ascisse la retta OA e come asse delle ordinate la retta perpendicolare in O alla retta OA, così come indicato in Figura 2-1 7. Si costruisce poi la circonferenza goniometrica di centro O e raggio unitario OP. Essendo per definizione: e

PM = sena

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OAB e OMP si deducono le due proporzioni:

AB:PM=OB:OP

e

OA:OM=OB:OP

AB : sena = OB : l

e

OA: cosa= OB: l

e quindi:

e infine: AB = OBsena

e

OA=OBcosa

Dividendo membro a membro le due uguaglianze, si ottiene:

AB == tga OA ossia: AB = OA tga

e

OA ==cotga AB OA= ABcotga

Cenni di goniometria e trigonometria

33

Teoremi sui triangoli rettangoli

·~ b

Figura 2-18

TEOREMA

1

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto a= csena TEOREMA

2

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto a= ccosf3 TEOREMA

3

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto a=htga TEOREMA

4

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto a = bcotg/3

34

Vettori

Teorema dei seni

Il rapporto tra un lato (qualsiasi) e il seno dell'angolo opposto è costante e uguale al diametro del cerchio circoscritto:

c

·_ a_ = _b_ =_c_= 2R

sena

sen[J

seny

Figura 2-19

Teorema delle proiezioni

c

.~

A~B

Un lato è uguale alla somma dei prodotti di ciascuno degli altri due moltiplicato per il coseno dell'angolo che esso forma con il lato cercato.

c

c= AH+ BH = bcosa + acos[J

Figura 2-20

Teorema di Carnot (o del coseno) A

c

B Figura 2-21

Il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita (algebricamente) del doppio prodotto di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso.

• per a< 90° ~cosa> O quindi il segno è negativo . • per a > 90° ~ cosa < O quindi il segno è positivo.

Calcolo vetto riale mediante il metodo grafico e proprietà dei vettori

35

2.3. Calcolo vettoriale mediante il metodo grafico e proprietà dei vettori In questo paragrafo vengono fornite alcune tecniche di calcolo vettoriale utili in fisica. a) Prodotto di uno scalare per un vettore In geometria si definisce prodotto di un numero a (positivo o negati-

vo, intero o frazionario) per un vettore stessa direzione di

v, modulo

v=

v un nuovo vettore V avente la 1

lalve verso concorde o discorde con

v a seconda che a sia rispettivamente positivo (caso I) o negativo (caso II). Si scrive VI = av. Esempio

v =2v v =-3v v =-lv=-v

A' ------i~ 8'

8 ''-' ' t - - - - - --

8'"-

A"

A '"

Se a = O si ottiene il vettore nullo III) ossia il vettore

1

I)

1

II)

1

III)

v =O . Se a= -l si ha v =-v (caso 1

1

v con il verso invertito (vettore opposto).

In fisica v può essere una grandezza vettoriale ed a un coefficiente numerico (adimensionale) oppure una grandezza scalare (dimensionata). Nel primo caso il modulo nel secondo caso

lv

11

lv ha le stesse dimensioni di lvimentre 11

ha le stesse dimensioni di a moltiplicate per le

dimensioni di v. Ad esempio, il prodotto della massa m (dimensioni [M]) per una velocità v (dimensioni [L1 1]) è un vettore v1 il cui modulo ha dimensioni

lv =m lvi= [MJ{LT- ]= [MLT11

1

1 ].

1 111

36

Vettori

b) Somma e differenza di vettori b. l) Regola del triangolo

Si definisce somma (risultante) di due vet-

D

wil vettore u ottenuto traslando il vettore. win modo che il primo esu·emo C tori ii e

w coincida con il secondo estremo B di ii e congiungendo il primo estremo A di ii

di

c

A

B

con l'estremo D di

w.

Figura 2-22

D

Tenendo presente la definizione di vettore equipollente, per costruire la poligonale è sufficiente tracciare in B il vettore equipollente ad w.

A

v Figura 2-23

b.2) Regola del parallelogramma

La costruzione del vettore somma ottenuto col metodo b. l) è equivalente a quello ottenuto con la regola del parallelogramma che consiste nel portare i vettori ad avere il loro primo estremo in comune. Si completa poi il parallelogramma tracciando la diagonale passante per l'estremo comune. Se a è l'angolo tra i due vettori, il modulo di u è dato dal teorema di Carnot

u = .Jv 2 +o/- 2vwcosa

e D

A == C

v

E ' '

B

Figura 2-24

Calco lo vettoriale mediante il metodo grafico e proprietà dei vettori

37

È facile rendersi conto che il vettore somma così definito è indipendente dall'ordine con cui si sommano i vettori. Per sommare più vettori paralleli si sceglie arbitrariamente un verso positivo. Il vettore risultante ha per direzione quello dei vettori e per modulo la somma algebrica dei moduli, considerati positivi o negativi a seconda che i rispettivi vettori siano concordi o meno con il verso positivo. Al vettore risultante viene assegnato il verso prefissato o quello opposto a seconda che la somma algebrica risulti positiva o negativa. Esempio

Sommare i vettori ii,, ii 2 , ii3 e ii4 indicati di seguito: u ..........

v,

v1=4u

v2 v, v4

v2=8u v3=10u v4=9u

Si sceglie arbitrariamente positivo il verso - e, in base a tale scelta, si ha v, = v 1 - v 2 +v3 - v4 = +4u- Su+ lOu - 9u = -3u Il vettore risultante ha quindi modulo pari a 3u, direzione parallela ai vettori e verso discorde con quello scelto arbitrariamente, risultando la somma algebrica dei moduli negativa.

iiJ nell'ordine si ottiene sommando al primo vettore ii l'opposto del secondo (-iiJ) applicando una delle due La differenza di due vettori ii e

regole:

d= ii+ (-iiJ) (in Figura 2-25 si è usata la regola del triangolo). 1 111

Vettori

38

v

A

B= C

A

Figura 2-25

La definizione di somma si estende immediatamente al caso di più addendi. In tal caso è più comodo applicare la Tegola della poligonale disponendo i vettori uno dopo l'altro, come già visto con la regola del triangolo applicata a due vettori. Si ottiene una poligonale aperta i cui lati sono costituiti dai singoli vettori addendi traslati apportunamente. Il vettore somma s coincide con il vettore che unisce il primo estremo del vettore con il secondo estremo dell'ultimo vettore

v

D

1 i

c

c

E

A

D= A

8

B= E

v

s

i

..,

\

F

s=w+ v+ii

F

Figura 2-26

c) Scomposizione di un vettore e sue componenti Si consideri un vettore qualsiasi v = AB e si conducano dal suo primo estremo A due qualsiasi rette (direzioni) T ed s complanari con il vettore stesso.

Calcolo vettori a le mediante il metodo grafico e proprietà dei vettori

39

Successivamente, dal secondo estremo B si tracciano due rette parallele alle direzioni scelte in precedenza r' l h· e s' 1/s. Si ottengono due punti N ed M intersezioni rispettivamente fra s' e r, e fra r' e s che individuano due vettori iiJ = AN e

A

ii=AM.

È facile constatare, attraverso la regola del parallelogramma, che i vettori iiJ e ii hanno per somma il vettore v. Poiché le direzioni possono essere scelte arbitrariamente, allora ogni vettore può essere scomposto in infiniti modi. I vettori iiJ e ii sono chiamati vettori componenti del vettore v. Figura 2-27

Proprietà dei vettori

Dati i vettori v, ii, iiJ e i numeri reali a e b si ha: l) Proprietà commutativa

v+ii=ii +v 2) Proprietà associativa

(v+ii)+w=v+(ii+w) 3) Proprietà distributiva rispetto all 'addizione nell'insieme 9\

(a+b) v =av+bV 4) Proprietà associativa mista

(a·b)·v=a(bV) 5) Proprietà distributiva rispetto all'addizione nell'insieme dei vettori

a(v+ii)=av+aii 1 1 Si faccia attenzione al diverso significato assunto dal segno "+" che compare nei due membri della 3). n primo membro infatti indica la somma di due numeri reali mentre il secondo la somma di due vettori .

40

2.4.

Vettori

Rappresentazione analitica di un vettore

In un riferimento cartesiano xy si consideri un vettore v di estremi A(xA,JA) e B(x 8 ,y8 ) . y

Y8 ----- - -- ~ ------ 8

YA --~~ o

'

'

xA

X8

X

Figura 2-28

Si chiamano componenti cartesiane di v i numeri reali che si ottengono eseguendo la differenza delle ascisse e delle ordinate dei punti proiezione degli estremi A e B. 2-1

v" = x 8 - xA

2-2

Le componenti di seconda che

v = AB

risultano positive, negative o nulle a

2-3

2-4

Si può dimostrare che vettori equipollenti hanno uguali componenti. Talvolta per semplificare i calcoli è utile traslare il vettore v parallelamente a se stesso in modo da avere il suo primo estremo A coincidente con l'origine o, in modo equivalente, sostituire a v il suo vettore equipollente in O.

Rappresentazione analitica di un vettore

41

~8

y A

Figura 2-29

In tal caso le componenti del vettore possono essere espresse solo dalle coordinate del secondo estremo B 2-5

Vx =x0 -xA =x8 -0=xB

2-6

VY

= Yn- Y11 = Yn- O= Yn

Occorre inoltre tener presente che su uno stesso sistema di riferimento è possibile rappresentare contemporaneamente più vettori ciascuno individuato dalle rispettive componenti. Le componenti di vettori diversi che si riferiscono ad uno stesso asse cartesiano vengono chiamate componenti omologhe. Le componenti cartesiane di un vettore v possono essere calcolate conoscendo il suo modulo v e l'angolo a che esso forma con l'asse x. Si conviene di chiamare angolo a, tra l'asse x e il vettore v, l'angolo di cui deve ruotare nel verso antiorario il semiasse positivo x perché si sovrapponga al vettore v. Questo angolo indicato con vari casi delle figure seguenti.

Xù è mostrato nei

1 111

42

Vettori

y

y

b)

a)

y

y

d)

c)

Figura 2-30

Qualora l'angolo a fosse maggiore di 1t allora per l~•l'iì*ì'l·fA[•J:I• semplicità può essere misurato in senso orario e considerato negativo.

In tal modo per gli angoli a 3 e a 4 si avrebbe y

y

a , a= arctg v:

V1

_____.

Se un vettore v= AB è situato nello spazio lo si può traslare in modo che il suo primo estremo A coincida con l'origine di una tema di assi cartesiani xyz. In tal caso, per individuare il vettore è necessario dare tre componenti cartesiane (v,., v1 , v) che·sono le proiezioni (con segno) del vettore sugli assi e che corrispondono alle coordinate del secondo estremo B (x8,JB, Z 8). z

'',, 8 ' '

••

y

a "',

X IJ

x

l

;

-- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _.._.. ..!.,'

8'

Figura 2-33

2.5.

Vettori componenti. Versori

Nel paragrafo precedente si è visto che un vettore può essere scomposto secondo due direzioni qualsiasi. Il caso più utile e semplice si ha comunque quando queste direzioni coincidono con una coppia di assi cartesiani ortogonali. Si consideri nel piano un vettore v =AB che abbia per semplicità il primo estremo coincidente con l'origine O di un sistema di assi cartestam .ry.

Vettori componenti. Versori

y

45

È possibile scomporre il vettore v lungo le

direzioni degli assi ortogonali tracciando semplicemente le proiezioni di B sugli assi stessi. Il vettore risulta così scomposto in due vettori perpendicolari e giacenti sugli v ' y : assi cartesiani che si indicano con v_,- e v1 e O=A : tali che la loro somma vettoriale sia il vetx o v-' tore v, ossia v =ii_,- + ii1 . Figura 2-34 I vettori proiezione ii_,- e ii1 prendono il nome di vettori componenti cartesiani, da non confondere con le componenti cartesiane v< e v1 che, come si è visto, sono quantità scalari. È tuttavia possibile esprimere i vettori componenti in funzione delle componenti cartesiane servendosi dei versori (vettori di modulo uno) che possono assumersi per rappresentare una direy zione orientata. Si fissi nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xy e si indichi: L) con l il versore che ha la stessa --: L ------ --~: Vy = VY J__ \} direzione e lo stesso verso dell'asse j : x· -· x O -~ 2) c~n ] il versore che ha la stessa i vx = v.,. i direzione e lo stesso verso dell'asse Figura 2-35 Y·

-7 ------~-------/

-

Tenendo presente la definizione di prodotto di uno scalare per un vettore e quella delle componenti cartesiane di un vettore si ha:

vx=v) e v, =v). Si dice, quindi, che ogni vettore componente è uguale al prodotto del versore dell'asse per la corrispondente componente cartesiana. Quando la componente cartesiana è positiva il vettore componente è concorde col semiasse positivo, se invece è negativa allora il vettore componente è diretto nel verso del semiasse negativo. In definitiva si può scrivere

1 111

Vettori

46

2-11

Se si considera un vettore nello spazio, esso può essere scomposto secondo tre vettori componenti

/ z

8'

Figura 2-36

e si può scrivere dell'asse z .

2.6.

v= v,.+vr + vz = v,.l +v) +vzk essendo k il

versare

Rappresentazione analitica delle operazioni sui vettori

Le operazioni tra vettori, quando questi sono rappresentati in un piano cartesiano e sono individuati dalle componenti cartesiane di ciascuno di essi, si riducono a semplici operazioni algebriche fra le componenti omologhe. a) Somma di vettori Dati i vettori individuati dalle rispettive componenti cartesiane ii =OA =(x AYA) e v =OB = (X 8Jn) si costruisce il vettore somma iiJ = OC mediante la regola del parallelogramma. Per calcolare le coor-

dinate del punto C, ossia le componenti del vettore OC, occorre tener

Rapprese ntazione analitica delle operazioni sui vettori

47

presente quanto detto nel paragrafo precedente. Poiché infatti

w=OC=OA+OB ed essendo OA= ii= x) + YAl e OB= v = xBi + YBl si ha : w=OC= x) + YA} + xuf + hl = =x) + xlii + YAl + Yel da cui, applicando la proprietà 3) del paragrafo 2.3, si ottiene:

w= OC =(x A+ x 8 )i +(y A + JB)] Ne segue che la somma di due vettori ii e v è analiticamente il vettore che ha come componenti la somma dell e componenti omologhe dei vettori v e ii .

w

y

Figura 2-37

b) Prodotto di un numero reale per un vettore Dato un vettore v = OA =(x A>YA), si consideri il vettore OB = kOA con k numero reale che in questo caso, per semplicità, si suppone positivo. Come si è visto w= OB ha la stessa direzione di OA e, in questo caso, anche lo stesso verso.

1 111

48

Vettori

y

8 YA

xA

x.

x

Figura 2-38

Essendo OA = x) + YAl si ha w= OB = kOA = k(x 11 t + J 13) e, per la proprietà 5) del paragrafo 2.3, si ottiene:

W =0B = (kx A)l +(!ryA)l Ne segue che dato un vettore v ed un numero reale k, il prodotto k ·v è il vettore wche ha per componenti:

W= (kx A,!ryA) Per k =-l si ottiene il vettore opposto avente per componenti

- lv= -v= (-x A,-y 8 ) c) Differenza di due vettori Siano dati i vettori individuati dalle rispettive componenti cartesiane v = (x A , y A) e ii = (x 8 , y 8 ). Si è visto che, per definizione, la differenza di due vettori è data dalla somma del primo vettore con l'opposto del secondo. Tenendo presente la relazione tra le componenti di un vettore e quelle del suo opposto, si ha :

w= v -ii= v +(-ii)=( xA-xe)l +(yA- Yn)J Ne segue che la differenza di due vettori v e ii è, analiticamente, il vettore che ha per componenti la differenza delle componenti omologhe di v e ii.

w

Esercizi

49

Esercizi

l. Determinare le componenti del vettore ii =AB nei seguenti casi: a) A(-2, -l) e B (0, 3) b) A (3, -2) e B (-l, l)

a) v, = x 8 - x A=[0-(-2)]u =2u vy = y 11

-

YA = [3-(-l)]u = [3+ l)u = 4u

.....

y

l/

x

b) v, = x 8 - x A =[-l-3)u=-4u vY

= y 11 - y A = [l - (-2) Ju = [l + 2) u = 3u y

B~ Ya x/J o

YA

'

xA

-~} ~ v

vx

v,. x

50

Vettori

2. Determinare le componenti di un vettore ii sapendo che ha modulo v = 4u e che forma un angolo a

=

i

(ossia 60°) con

l'asse x. y

x

Dalle relazioni 2-7 v,. = v cosa vy =vsena

si ha

n

l

3

2

v,. = 4ucos- = 4u ·- = 2u v y

= 4usen !!._3 = 4u · J3 = 2/3u 2

Tenendo presente i versori degli assi, si può scrivere

ii = 21 + 2/3] 3. Un vettore è individuato in un piano cartesiano dalle seguenti componenti ii = 4i - 3]. Rappresentare il vettore e calcolare il modulo e l'angolo che esso forma con l'asse x.

Essendo vx = 4 u e vy = -3 u, si ha

Esercizi

-

51

y

u

o~

v,x

Tenendo presente le relazioni

2-1o

v vx

-3u 4u

_x. = tga ~- = tga

4. Un uccello, partendo da un punto O, vola per 2 km da ovest a est e per 2 km da nord a sud. Calcolare: a) lo spostamento risultante b) lo spazio totale percorso.

-

l km

Nord

5, O vest

A

o~ Sud

Est

s, B

52

Vettori

a) Si indicano con 51 e 52 i due spostamenti (cfr. figura) . Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB si ricava il modulo dello spostamento risultante 53

s 3 =Js~ + s; =~(21mz) 2 +(2km) 2 =2J2 km b) Il percorso effettivo compiuto dall'uccello è la somma numerica dei due spostamenti s1e s2 ossia S 10 1

= s1 + s2 = 2/mz + 2 km = 4 km

5. Un motociclista partendo da un punto O percorre 25 krn da ovest a est, poi 10 krn verso sud-est ed infine 25 krn da est a ovest. Calcolare: a) lo spostamento risultante b) lo spazio effettivamente percorso.

-

Nord

JOkm

:s, Ovest

O

l" -!

A

s,

c

:s,

Est

"-:s, B

Sud

Si indicano con

s" 52 , 53 gli spostamenti compiuti (cfr. figura).

Dalla geometria si apprende che un quadrilatero avente due lati opposti uguali e paralleli costituisce un parallelogramma. Poiché in un parallelogramrna tutti i lati opposti sono uguali e paralleli, allora /s2 / = 4 / e 52 è parallelo a 54 • Ne segue che: a) lo spostamento risultante è s4 = lO km, b) lo spazio totale percorso risulta

/s

S 10,

=s, +s 2 +s3 =25 km+lO lmz+251mz=60 lmz

Vettori - Test di verifica

53

Test di verifica l. Un vettore v = 3m è definito come quel vettore: a) ortogonale a m con modul o v = 3w b) ortogonale a m con modulo l v =-w

3 c) parallelo ed equiverso a w con modul o v= 3w d) parallelo, con ve rso opposto a we con modul o v = 3w

v m

2. Se due vettori e verificano la relazione v + m= v - m, allora si può affermare che: a) w= O b) sono paralleli ed equiversi c) v e w sono ortogonali d) v= o 3. Due vettori v e m, tale che v m, possono avere risultante nulla: a) quando sono paralleli ed equiversi b) mai c) quando sono paralleli ed hanno verso opposto d) quando sono perpendi colari

*

4. Se tre vettori v, m, u sono tali da verificare le seguenti relazioni:

l) v + m= u 2) v ' + w' = u ' allora: a) ciascun vettore è ortogonale agli altri due b) i tre vettori si dispongono secondo i lati di un tri angolo rettangolo c) sono tutti e tre para lleli ed equiversi d) ii è ortogonale sia a v che a w

5. Condizione necessaria affinché tre vettori v, m, u abbiano risultante nulla è che si verifichi una delle seguenti proprietà: a) i tre vettori siano paralleli b) i tre vettori non siano complanari c) i tre vettori sian o compl anari d) i tre vettori abbiano lo stesso modulo 6. Se i tre vettori v, m, u sono tali da verificare le seguenti relazioni l) v+m =u 2) v + (l}= u allora si ha: a) v e w sono ortogonali b) v, w e ii si dispongono secondo i lati di un tri angolo equil atero c) v, e ii sono paralleli ed equi versi d) v, w e ii hanno stesso modulo

w

54

Vettori - Test di verifica

7. Affinché quattro vetton v, iiJ,

ii, i

complanari abbiano risultante nulla è necessario che: a) siano paralleli ed equiversi b) si dispongano secondo i lati di un qu adrilatero c) si dispongano secondo i lati di un rombo d) si dispongano secondo i lati di un rettangol o

9. Quale relazione lega i vettori della figura?

u

a) b) c)

d)

8. Il vettore v =-3iiJ è tale che: a) v è perpendicolare a w con v= 3w b) v è disco rde con w con v= -3w c) v è discorde con w con v = 3w d) v è parallelo a wcon v = 3w

u+w= v u- v= w u+v=w v+w=ii

10. Se v= 2iiJ + 4ii e dedurre che: a)

v=3ii

b)

v= 4iiJ

c)

v= -w

d)

3v= --w

2

ii=§!._ 2

si può

Vettori - Soluzioni

55

Soluzioni 1) c. Il prodotto dello scalare 3 per un vettore w è un vettore v che ha: - come modulo il prodotto del modulo dello scalare per il modulo del vettore

v=l3lw

w

-come direzione quella del vettore -verso concorde con wessendo lo scalare 3 positivo. 2) a. Dalla relazione

v +w= v- w si ha v +w- v+ w= O, 2w =O, w = O.

3) b. Poiché i moduli dei due vettori sono diversi, allora anche se uno dei due fosse nullo L'altro deve essere diverso da zero e, in tal caso, la somma dei due vettori è sicuramente un vettore con modulo diverso da zero. Se entrambi i moduli sono diversi da zero, sia che i vettori siano paralleli e concordi, paralleli e discordi, comunque disposti nel piano, il vettore risultante ii avrebbe modulo u diverso da zero, come si può verificare graficamente oppure

utilizzando la formula di Carnot u =~v' +w' - 2vwcos8 dove l'angolo tra i due vettori aventi l'origine in comune.

8 rappresenta

4) b. Se i vettori sono disposti lungo i lati di un triangolo rettangolo, come in figura , entrambe le relazioni l) e Il) sono verificate.

w,

5) c. Tre vettori v, ii hanno la risultante nulla se la poligonale formata con essi è chiusa. Tale condizione si può verificare se i tre vettori sono complanari (appartengono ad uno stesso piano).

56

Vettori - Soluzioni

6) c. Se i vettori v e iiJ sono paralleli ed equi versi, allora il vettore ii è parallelo ed equiverso ai vettori componenti v e iiJ ed ha come modul o u la somma dei loro moduli v + w.

ii ------l~

w -------~

!1 - - - - - - - - - - - - -

l

7) b. I qu attro vettori compl anari v, iiJ, ii, f hanno risultante null a se la poligonale formata con essi è chiusa. T al e poligonale, essendo formata da quattro lati, è un quadril atero generico. Le risposte c) e d) presuppo ngono delle condizioni che non sono ril eva bili dal test.

v

8) c. Il prodotto dello scalare "-3 " per iiJ è un vettore c h e ha come modul o v= l-3l ro, direzione quella di iiJ e verso discorde con iiJ esse ndo "-3" negativo.

Vettori - Soluzioni 9) a. Dalla regola della poligonale si ricava che il vettore risultante di ii e proprio il vettore v. Q)

10) b. Sostituendo ii= - in v = 2 -v = 24w 2 2Q)+ = Q)+ Q)= 4 w. 2

2w + 4u si ottiene

57

wè

3. Cinematica :;... :;... :;... :;...

3.1.

Traiettoria e legge oraria Moto rettilineo Velocità e accelerazione Moto uniforme e uniformemente vario

Generalità

La cinematica studia il moto dei corpi a prescindere dalle cause (forze) che lo determinano. In questo capitolo si studia il moto di una particella materiale, cioè di un corpo dotato di massa , che si assume privo di dimensioni. La sua posizione nello spazio può essere descritta in ogni istante mediante la posizione di un punto. Questo concetto è un'utile idealizzazione poiché tutti i corpi reali, comprese le particelle subatomiche, hanno dimensioni finite. Tuttavia, anche oggetti estesi, come per esempio una palla da tennis, un aereo, un pianeta, ecc. possono essere trattati come una particella se ci si limita soltanto al loro moto traslatorio 1 o comunque se le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla zona di spazio in cui si muovono. Quando un corpo muta nel tempo la sua posizione rispetto ad un altro corpo scelto come riferimento (sistema di riferimento), si dice che esso è in moto, altrimenti si dice che è in quiete. Dall'esperienza di ogni giorno è noto che lo stato di moto o di quiete è relativo al corpo che si assume come riferimento; un viaggiatore seduto su un treno in corsa è fermo rispetto al treno e si muove rispetto al binario ferroviario . Si chiama traiettoria di un elemento materiale il luogo delle posizioni occupate successivamente dal punto stesso

1Per moto traslatorio si intende il moto di un sistema rigido che manti ene in va ri ata la sua ori entazione rispe tto al sistema di riferimento, tutti i punti che costituiscono il siste ma descri vono

quindi trai ettorie uguali e parallele con la stessa legge temporale.

60

Cinematica

durante il moto. È evidente che la forma della traiettoria dipende dalla scelta del sistema di riferimento. In un sistema di riferimento solidale con la bicicletta la valvola percorre una traiettoria circolare, in un sistema di riferimento solidale con la strada essa percorre invece una traiettoria molto più complessa, detta cicloide (Fig. 3-1).

Figura 3-1

Per studiare il moto di un elemento materiale occorre stabilire la sua posizione, rispetto al sistema di riferimento, in funzione del tempo . Un sistema di riferimento viene schematizzato con una tema di assi cartesiani aventi origine e direzioni ben definite e invariabili nel tempo rispetto all'osservatore che studia il moto e che permette di determinare le coordinate del corpo in fun zione del tempo. Il tempo viene misurato da un orologio e si deve stabilire l'istante a partire dal quale si computano i tempi. La posizione della particella P nello spazio è individuata dal valore delle sue coordinate X p, Yr e Zp. Altre volte è conveniente ricorrere all'uso del formalismo vettoriale e considerare la posizione di p individuata da un vettore r detto mggio vettore o vettore posizione, avente primo estremo coincidente con l'origine del sistema di coordinate e secondo estremo in P. Questi due metodi di descrivere la posizione di un punto conducono allo stesso risultato. Le componenti di r sono infatti proprio le coordinate X p, Yr e Zp del punto P (cfr. Fig. 3.2).

61

Generalità

Per descrivere il moto del punto

P è allora sufficiente conoscere in ogni istante il raggio vettore r r=r(t)

3-1

funz ione vettoriale del tempo ,,'' y" y

x

o il valore delle coordinate x, y e z relative alla successione delle posizioni di P

'\•,'

p

-- - -- -- -----·

Figura 3-2

x=x(t)

3-2

y=y(t)

z=z(t)

Lo studio di un qualsiasi moto nello spazio si può pertanto ridurre allo studio di tre moti unidimensionali. Ad esempio, nel piano riferito ad un sistema di assi cartesiani, le posizioni di due punti P e Q sono individuate dalle loro coordinate:

y

x

p (3, 4)

Q (-S, -2)

oppure dai vettori posizione:

r" = 3i +4] r0 =-Si -2]

Figura 3-3

In modo analogo sono individuate le posizioni di due punti P e Q sopra un asse, ad esempio l'asse x . Q -3

o

p

o7

5

Figura 3-4

P(S); Q(-3) x

r" =si 'fo = -3i

62

Cinematica

3.2.

Traiettoria. Legge oraria

Si consideri ad esempio un punto P che si muove nel piano. Per descriverne il moto si può scegliere una successione di istanti e a ciascuno di essi associare i corrispondenti valori di x e y. y(cm)

6 5

d

4 3 t= 2 p l

t

o

t=4

l 2 3

3

l

4 2 3 4

5

x

y

l 2 3

2

3

4 5

4,5 6,5

2,5

x(cm)

Figura 3-5

In figura 3-5 sono riportate le posi zioni di un punto mobile P negli istanti t= O, l, 2 , 3, 4 secondi. Nella tabella riportata compaiono soltanto alcune posizioni occupate da P durante il suo moto. L'intuizione suggerisce che se due istanti ti e t 2 sono sufficientemente vicini, allora anche le posizioni relative a tempi compresi tra ti e t 2 differiscono di poco dalle posizioni assunte nei tempi ti e t 2 • Ciò significa che le posizioni di P devono formare una curva continua, ossia senza interruzioni , come quella indicata in figura 3-5 chiamata traiettoria. Se la traiettoria è nota, si possono riferire ad essa le posizioni del punto mobile P senza dover ricorrere ad alcun sistema di assi. Si fissa a piacere un punto O della traiettoria, detta origine, e un verso di percorrenza indicato con una freccia . La posizione del punto P verrà indicata da un numero s uguale, in valore assoluto, alla lunghezza del tratto di traiettoria che va da O a P. Il valore di s risulterà positivo o negativo a seconda che, s=s(t) rispetto al verso prefissato, P segua O oppure Figura 3-6 lo preceda come evidenziato in Figura 3-6.

Tra iettoria . Legge oraria

63

In questo modo, la posizione di P viene espressa attraverso un solo numero (anziché due, tre, come accade con le coordinate cartesiane). Ne segue che per descrivere il moto di un punto che si muove su una traiettoria nota, è sufficiente associare ad ogni istante di tempo t il numero s che esprime la sua posizione sulla traiettoria in quell'istante. La legge oraria associa ad ogni istante t il corrispondente valore di s. Può essere rappresentata per mezzo di una tabella in cui compaiono i valori di t e i corrispondenti valori di s (rappresentazione tabulare). Se la successione dei valori di s risulta abbastanza regolare, si può cercare di esprimere la legge oraria attraverso una equazione contenente se t (rappnsentazione analitica). La legge oraria spesso viene rappresentata mediante un grafico, di solito in coordinate cartesiane, con i valori di t riportati sull'asse orizzontale e quelli di s riportati sull'asse verticale. Tale grafico prende il nome di diag;ranznza orario. Se per esempio la rappresentazione tabulare risultasse la seguente: tempo (s)

o l

2 3

4 5 6

7

spazio (m) l 5

7 8 7,5 5,5

4 2

allora il diagramma orario risulterebbe: Dall'indagine grafica si evidenzia che x( m) la particella si muove dall'istante t= O 8 a t = 3s nel verso positivo prefissato 7 6 sulla traiettoria; ali 'istante t= 3s inver5 te il moto e torna verso l'origine. 4 3 2 l o L...f-+-+-+-t--1~--+-..,...-,.

2 3 4 5 6 7

Figura 3-7

t(s)

1 1 Attenzione a non confondere il diagramma orario con la traiettoria descritta dalla particella.

64

Cinematica

3.3.

Moto in una dimensione. Posizione e spostamento

In questo capitolo ci si occupa del moto lungo una retta (moto rettilineo). Per individuare la posizione di un punto non è necessario utilizzare tre assi cartesiani ma ne è sufficiente uno solo che, per semplicità, si fa coincidere con la traiettoria rettilinea del moto. Se si fa coincidere la traiettoria con l'asse x, come si è visto nel paragrafo 3 .l, la posizione di un punto P è individuata dal vettore posizione xl' =xl'l. Quando un punto si muove la sua posizione cambia nel tempo. Se la particell a si muove e passa dalla posizione individuata dal vettore posizione x1 = x1 a quella individuata dal vettore posizione x1 =x}, allora si definisce spostamento ~x la differenza tra la posizione finale x1 e quella iniziale x1

z

3-3

dove il simbolo ~ (si legge delta) ha il significato di differenza o variazione. Se ~ è positivo, allora il vettore spostamento ~x è concorde con il verso dell 'asse, altrimenti è discorde. Esempio ili

.t', =

x o ---~--~-----.---.x -· + l

a)

x,

I

x2

o I tll

b)

xl

x

37

.X'z = 87

I1X = 87- 37 = (8- 3)7 = si Il segno positivo indica che il vettore t.x ha verso concorde con quello dell'asse x

x = 31 x2 =-51 1

/';X=-51-31 =(-5-3)1 =-87 Il segno negativo indica che il vettore t..t' ha verso discorde con quello dell'asse x

È importante sottolineare che la distanza percorsa da un punto non va confusa con lo spostamento.

Velocità media e istantanea di un moto rettilineo vario

65

La distanza rappresenta la lunghezza del percorso che generalmente è maggiore del modulo del vettore spostamento. Se ad esempio un punto, muovendosi su una retta, passa da A a Be poi torna in A , allora lo spostamento del punto è nullo, mentre la distanza percorsa è pari a due volte la distanza AB. In genere la lunghezza della distanza percorsa coincide con il modulo dello spostamento solo quando il moto avviene su una traiettoria rettilinea e sempre nello stesso verso. Nel caso del moto rettilineo poiché la direzione è fissata, ossia è quella dell'asse su cui avviene il moto, per indicare il vettore spostamento si può omettere la notazione vettoriale in quanto il verso di /',.x viene indicato dal segno "positivo" o dal segno "negativo" associato a Llx.

3.4. Velocità media e istantanea di un moto rettilineo vario. Moto rettilineo uniforme Il moto di una particella è determinato in modo completo quando è nota in ogni istante la sua posizione su· wu retta . Si supponga di conoscere la legge oraria secondo la quale è possibile individuare in ogni istante la posizione della particella e, quindi, tracciare il diagramma orario come riportato in figura 3-8. x (m )

x,-

-r-- ______

x l

p l

t,

1

' P,-

'

: :

' t,

t (s)

Figura 3-8

Se una particella cambia posiZione, allora in fisica è importante conoscere con quale rapidità avviene tale variazione. Si definisce velocità media v della particella il rapporto tra lo sposta-

Cinematica

66

mento ~ = x 2 - x 1 e l'intervallo di tempo l'1t avviene lo spostamento: -

~

= t2 -

t 1 durante il quale

Xz-XI

v =-=--!lt t 2 -t 1

3-4

La velocità media non dipende dal percorso seguito tra il punto iniziale e quello finale , poiché è proporzionale allo spostamento ~ che dipende solo dalle coordinate iniziali e finali della particella. La velocità media può essere positiva o negativa a seconda del segno dello spostamento. Essendo l'1t sempre positivo, se x 2 > x 1 allora~ è positivo e quindi v è positiva, mentre se x 2 O

~----------------~

Sostituendo i valori ~m m m m -40-+10-·t >O::::} 10-·t > 40__:_::::} t>--' 2 2 s s s s lO El_,.

= 4s

La velocità ha verso concorde con x per valori t> 4s.

3) Un corpo è lanciato verticalmente verso l'alto alla velocità iniziale

v0 = 98 m. Calcolare l'istante in cui il corpo ha velocità zero. s Soluzione Per risolvere il problema occorre tener presente che in prossimit:l della Terra i corpi sono sottoposti ad un'accelerazione g diretta in basso verso il centro della Terra. Il modulo di g è approssimativamente m g=9,8--,. s-

Interpretazione geometrica e calco lo dello spostamento nel moto vario

81

Si consideri un asse, ad esempio y, orientato verso l'alto e parallelo al vettore v0 • Per semplicità si supponga che il corpo all'istante t= O si trovi nell'origine O dell'asse. Si traccino i vettori v0 e g e si determinino le loro componenti relative all'asse y che sono rispettivamente:

y

vo -- 9811Z s

e

11Z

g=-9,8...., r

Dalla (3-15) si ha v(t)= v0 +at e supponendo che all'istante t il corpo si fermi, ossia ponendo v(t) =O, si ottiene:

o= 98 11Z s

9 8 11Z t

' r'

da cui 98 !1L

t=--'-= lOs 9,8 ;-

3.6. Interpretazione geometrica e calcolo dello spostamento nel moto vario e uniformemente vario noto v{ t) v( t)

v = costante

o

t,

La Figura 3-23 mostra il grafico velocitàtempo di una particella che si muove a velocità costante. Nell'intervallo di tempo compreso tra gli istanti t 1 e t 2 la particella compie uno spostamento dato dalla 3-7:

t,

Figura 3-23

Ne segue che D.x è uguale all'area del rettangolo compreso sotto il grafico velocità-tempo tra gli istanti considerati (prodotto tra la base M e l'altezza v). Se il moto è vario il diagramma velocità-tempo può avere un andamento qualunque come ad esempio quello riportato in Figura 3-24.

82

Cinematica

L'intervallo di tempo totale del moto viene suddiviso in intervalli di ampiezza /':,.t in modo da poter considerare la velocità quasi costante durante ciascuno di essi. Se si indica con vi la velocità durante l'intervallo t1t;, allora lo spostamento Dx; della particella durante !1t, risulta: Dx; = v;M ; (geometricamente uguale ali 'area del rettangolo tratteggiato). Lo spostamento totale della particella è dato approssimativamente dalla somma degli spostamenti relativi a ciascun intervallo:

v( t)

'·t L\t l tJ.t!

t,

Figura 3-24

D.x ~"' L..Ji D.x

3-16

="' v L..,i

l

l

/':,.t l.

(somma delle aree di tutti i rettangoli che approssimano l'm·ea sottostante la curva tra t 1 e tJ

Quando /':,.t tende a zero l'approssimazione si avvicina sempre di più allo spostamento totale effettivo fino a coincidere con esso, per cui si ha : 3-17

D.x

= "' .L..Ji D.x = "' .4.-Ji v /':,.t l

l

l

per

/':,.t l

~O

ossia la somma dell'area di tutti i rettangoli diventa uguale all'area sotto la curva tra gli istanti t 1 e t 2 • L'analisi matematica consente di determinare il valore della somma toria quando !1t tende a zero. Analogamente, nel moto uniformemente vario lo spostamento di una particella è uguale all'area sotto la curva del grafico velocità-tempo. Poiché nel moto uniformemente vario la velocità è funzione lineare del tempo (v= v0 + at, equazione eli una retta), allora l'area sotto la curva tra t = O e t è la somma dell'area del rettangolo ABEO e del triangolo ABD (Fig. 3-25).

Interpretazione geometrica e calcolo dello spostamento nel moto vario

83

v( t)

vo -------'-

:s

A

E;

o

3 Figura 3-25

3-18

l ( l l ) l Llx'=v0 (t-0)+-(v-v 0 )(t-0)= v0 +-v--v0 t=-(v 0 +v)t

2

2

2

2

Per la 3-4 calcolata per t 1 =O e x 1 = x(t 1 =O)= x 0 , t 2 =t e x 2 =x si ha: 3-19

_ x- x 0 Llx' v=--=t -0 t

3-20

Llx'=v·t

Sostituendo la (3-20) nella (3-18) si ha:

v· t=!( v0 +v )t 2 3-21

-

l

v= -(v0 +v) 2

espressione valida solo per a = costante. La 3-21 indica che la velocità media per l'intervallo di tempo (t- t0 ) è la media aritmetica della velocità iniziale v 0 e della velocità v all'istante t. Dall'uguaglianza 3-19 e 3-21 si ottiene la posizione della particella in

84

Cinematica

funzione del tempo:

x- x 0

3-22

l = -( v0 +v)· t

2

per a costante

.

Si può ottenere un'altra utile espressione per la posizione sostituendo la 3-14 nella 3-22: x - x0

l

= -( v0 + v 0 + at) · t

::::}

2

l x = x 0 +-(2v0 + at)t

2

da cui: 3-23

x(l)

x =x +v t+ ..!..ar2 0 0 2

Pendenza = v( t')

Figura 3-26

v

da cui: 3-24

= v 0 + at

La curva che rappresenta l'equazione 3-23 è una parabola e la pendenza della retta tangente per ogni istante t' è uguale alla velocità in quell'istante, ossia v (t') (Fig. 3-26). Si può infine ottenere un'espressione che non contiene il tempo sostituendo il valore di t ricavato dalla 3-14 nella 3-22 : ::::}

t

v-v

= - -0 a

Esercizi

85

Concludendo, per il moto rettilineo si hanno le seguenti equazioni cinematiche: moto uniforme (v costante) moto uniformemente vario (a costante)

(3·8)

x(t) = x 0 +v0 t x( t)= x 0 + v0 t +! a · t'

(3·23)

v(t ) = v0 +a· t

(3·15)

v' = v~ + 2a(x - x 0 )

(3-24)

2

Esercizi l. Un corpo è lasciato cadere (velocità iniziale v 0 = O) da una altezza h = 490 m. Calcolare:

a) il tempo che il corpo impiega a raggiungere il suolo b) la velocità con cui raggiunge il suolo.

y

~g

a) Si consideri l'asse y verticale (parallelo al moto), orientato verso l'alto e avente l'origine coincidente col suolo. Sia inoltre y 0 = h la posizione iniziale del corpo rispetto all'origine (posizione del corpo all'istante t= 0). Si applica la relazione 3-23

o

y

l · t "' = y 0 + v0 t +-a

2

tenendo presente che: • quando il corpo raggiunge il suolo, la sua posizione y rispetto all 'origine è zero; • la velocità iniziale v0 = O;

86

Cinematica

• per la scelta dell'asse y risulta g = -9,8 1~ r Si ha

l

l( m) ,

O= h +Ot+-gt 2 =}O= 490 m+- -9,8 2 2 2 s _ 49 m 2 490 m, -, · t

r

~t

2

490ni

=---

~

·r

t=±

4 9m ' s2

Escludendo il tempo negativo, la risposta è t= 10 s. b) Dalla 3-15 si ricava: m

m

r

s

v= v0 + at ~ v(lOs) =O- 9,8 7 ·lOs = -98Il segno negativo indica che, nell'istante in cui il corpo arriva al suolo, la sua velocità ha verso opposto a quello dell'asse y.

2. Un corpo è lanciato verticalmente verso l'alto con velocità iniziale v 0 = 24,5 m. Calcolare il tempo impiegato dal corpo per s ritornare nel punto di lancio (tempo di volo).

y

p

Si consideri l'asse y verticale, orientato verso l'alto e avente l'origine coincidente con la posizione di lancio. Si applica la 3-23. l

J

y = y 0 + v0 t +-a· t2 tenendo presente che: • quando il corpo ritorna nel punto di lancio, la posi zione y del corpo rispetto ad O è zero; • avendo scelto l'origine coincidente con la posizion e di lancio allora y 0 = O;

Esercizi

87

• per la scelta dell'asse y risulta g = -9,8 11:

.

s-

Si ha:

m

l( m) ,

0=0+245- ·t +- -98' s 2 ' s2 Si pone t in evidenza e si ottiene:

m

11t

,

-r-~ 0=245-·t-49-·r '

s

' /

t(24,5m -4,9 11: ·t)= o s sTenendo presente che un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo, si ottiene:

ti= o 11Z

11t

' s

' s2

17t

11Z

245--49-·t=0~49- · t=245-~t '

s2

'

s

2

24,5 !!L =-' =5s 4, 9 ~ ,-

La prima soluzione indica, come è ovvio, che all'istante iniziale t 1 = O il corpo si trova nella posizione di lancio, la seconda il tempo intercorso perché vi ritorni. 3. Una particella si muove di moto rettilineo secondo una legge oraria x = x(t) il cui grafico è rappresentato in figura. Utilizzando il grafico si determini: a) con quale moto si muove la particella b) qual è la sua velocità.

x( t)

a) Il diagramma orario è una retta la cui pendenza, come si è visto, è costante. Ne segue che la velocità della particella, che coincide con la pendenza della retta, è a sua volta costante, per cui il moto è rettilineo uniforme.

Cinematica

88

b) Per calcolare la velocità si scelgono due punti qualsiasi, per esempio l'origine e il punto A, e si ha: x A-x0 120m-Om 120m 4 m pendenza=v= - - - = =--= t A-to 30s-Os 30s s 4. Due particelle partono contemporaneamente da due punti A e B distanti d = 200 m e si muovono l'uno verso l'altro con velocità costanti rispettivamente v A= 4,5 m e v 8 = 5,5 m. Calcolas s re: a) l'istante in cui si incontrano b) la distanza da A del punto d'incontro.

a) Si sceglie l'asse x come riferimento e si fa coincidere la sua origine con A. Si applica la 3-8 tenendo presente che per la scelta fatta: m l) x 0 A =O, v 0 A = 4,5s

2) x 011 =d= 200m, v 011

1n

= -5,5s

Si ha: v A~ 0 -- - - - - - + d

11Z

Il. x 8 ( t ) =x08 + v 08 t =200m-5,5- ·t s

Poiché nell'istante t in cui le particelle si incontrano le posizioni di entrambe rispetto all'origine sono uguali , si ottiene: m m 4,5- ·t= 200m- 5,5- ·t s

s

da cui

lO m· t= 200m s

==?

t= 200 m 10 7

= 20 s

89

Esercizi

b) Per determinare la distanza del punto d'incontro è sufficiente sostituire in una delle due leggi orarie (la più semplice, ossia la I) il tempo ricavato: 11t

xA(2 0s) = 4,5-· 20s = 90 m s

5. Un corpo posto in P scivola su un piano inclinato liscio che forma un angolo a.= 30° con l'orizzontale. Se la distanza misurata lungo il piano inclinato tra P e la base è d= 12,3 m e se il corpo ha velocità iniziale nulla, calcolare: a) il tempo che il corpo impiega per raggiungere la base del piano b) la velocità finale. Poiché il corpo è costretto a muoversi lungo il piano inclinato, occorre conoscere la componente di g lungo il piano. A tal fine si scompone il vettore secondo la normale (perpendicolare) al piano e lungo il piano inclinato. Si sceglie come asse di riferimento l'asse x diretto verso il basso e si fa coincidere la sua origine con P (posizione iniziale del corpo).

Dal triangolo rettangolo PTM si osserva che s~angolo PMT =a., allora l'angolo TPM = 90°- a. Essendo inoltre PR perpendicolare a PM allora l'angolo RPS = 90° - (90°- a)= 90° -90° +a= a. Nel triangolo rettangolo PQS essendo SPQ = 90° - a allora l'angolo PSQ = 90° - ( 90° - a) = a. Dalla trigonometria si apprende che PQ

= PSsena dove PS =g.

90

Cinematica

m N e segue c he g.,. = gsena = 9,8 2m sen30° = 9,8 2m · -l = 4, 92 2 s s s a) Si applica la 3-23 tenendo presente che, per come si è scelto l'asse, risulta x 0 =O, v 0 =O, a= g.,. = 4,9 11:, x = 12,3 m s Siha · l l m , 2 x () t =x0 + v 0 t + 2g,r =}l2,3m=0+0t+ 2-4,9;r=} ==}

t = ± 2 · 12, 3m = ±2 25 4 9 '4 '

'

,-

da cui, scartando la soluzione negativa, t= 2,2 s. b) dalla 3-15 si ottiene

m m v () t =v0 +at=}v ( 2,2s ) =0+4,9-,·2,2s=lls· s

Cinematica - Test di verifica

91

Test di verifica l.

Una particella materiale si km muove alla velocità v= 216-. h Quale delle seguenti risposte è esatta? 1IZ

v= 300 s m b) v = 60 s m v = 50c) s m d) v= 80s a)

2. Un corpo si muove alla velocità v 1 per un tempo t 1 e successivamente alla velocità v 2 per un tempo t 2 • La velocità media del corpo risulta: _

a)

2

Vl , -t,+ t, _ v, t, + v,t , v= -2

-

b) v= c) d)

V 1 + V)

v=----

_

v iti +

V1+ V ,

v=---t , + t,

e 30 secondi. La sua velocità media risulta: m

v=4,9s m b) v= l 5s km c) v = 4 94 a)

'

d)

v = 19,88 -

s

4. tà

h

m

Un corpo, lanciato con veloci111

V0

= 3- nella direzione positiva s

dell'asse x, inverte il suo moto ripassando per il punto di partenza con velocità v 1

111

=- 6s

nell'inter-

vallo di tempo M = 10 s. La sua accelerazione media risulta: a)

11l

7i = - 9----,

s

11l

b) a=9----, s 11Z

c) a = 5----, s 11t

d) a= - 0,9----,

s

3. Una particella percorre una distanza s 1 = 3,5 km in 10 minuti e una distanza s2 = 800 m in 4 minuti

5. Si lascia cadere un sasso (velo cità iniziale nulla) in un pozzo pro-

92

Cinematica - Test di verifica

fondo 100 m. Il tempo di caduta risulta: a) t = 3,4s b) t=9,8s t = 4,5 s d) t = 98 s

c)

km

50 -

b /.."in

d) 45-

b

c)

6.

L'accelerazione di gravità sulla

Luna è circa

.!. di quella sulla Ter6

ra. Due corpi, partendo da fermi e dalla stessa altezza, raggiungerebbero il suolo della Luna e della Terra con velocità tali che: a)

v,_ = 3vT

b)

VL = -VT

l

6

c)

Un corpo è lanciato con velom Cità v 11 = 10 - lungo un percorso s rettilineo. Dopo 10 s un altro corpo B viene lanciato dallo stesso punto e nello stesso verso alla velocità 8.

l

11l

v 8 = 15-. La posizione del punto s d'incontro risulta: a) 200m b) 300m c) 400 m d) 100m

VL = .J6 VT

d) VL = .J6vT

9. Un corpo si sta muovendo lungo un percorso rettilineo alla 11l

7.

Un veicolo percorre la distanza s 1 80 km alla velocità km v = 40- e successivamente la l h distanza s2 = 40 km alla velocità km v,= 60-. La sua velocità media h risulta: /..'11t

a)

225, h

b)

o /..'11t 1 oh

velocità iniziale v 0 = 20-. Quale s accelerazione occorre applicare al corpo pe1· fermarlo in 10m? 17Z

a)

--40, s

11l

b) 15 , s c)

m lO' s

m

d) -20 2 s

Cinematica - Test di verifica

10. Due corpi A e B vengono lanciati verso l'alto nello stesso istante e dallo stesso punto con velocità v 0A e v 08 • Se l'altezza raggiunta da A è doppia rispetto a quella raggiunta da B, allora:

93

a)

VOA

=

2 VOB

b)

V 011

=

J2v

011

Cinematica - Soluzioni

94

Soluzioni 1) b. Trasfo rm ando i kil ometri in metri e le ore in secondi , si ha km l OOOm m v = 216- = 216· - = 60 b 3600s s 2) b. Per defini zione la velocità medi a è il rapporto tra lo spostamento effet-

ma to dal corpo e il tempo impiegato, ossia v= & . Ne i tempi t , e t, gli spostaD.t menti del corpo risultano rispettiva mente s 1 = v 1t 1 e s2 = v 2t 2• Indicato con & = s, + s2 si ha _

&

v =-

D.t

s, + s,

v,t, + v,t,

= - -- =

....!....!.....---'....:.

t, + t ,

t, + t ,

& 3) a. T enendo presente la defini zione di velocità media v = - occorre ri ca-

vare sia & che M . Per & si ha: & ché

un

minuto

è

= s1 + s2 =

equival ente

a

D.t 3,5 · 1000 m + 800 m = 4300 111. Poi60 secondi , per D.t si n cava

4300 m m M = 10 · 60 s +4 ·60 s + 30 s = 870 s. Ne segue che v= - - - = 4,9 -. 870 s s 4)

d. D alla defini zione di accelerazione media di un moto rettilineo

v - v

7i = - '- -0 e per la scelta dell 'asse si ha: M

m

a =

m

-6 - - 3s s= -09 m lO s ' s'

95

Cinemati ca - Soluzioni

x

5)

c. y

F

Yo

Si sceglie l'asse y verti cal e, ori entato verso l'alto e si pone l'origine O coincidente con la base del pozzo. Applicando la 3-23 e tenendo presente che, qu ando il sasso raggiunge la base del pozzo, la posizione y del sasso rispetto ad O è zero e che all 'istante t = O la sua posizione èy0 =100 m si ha:

y (t ) = Yo + vot + ! gt' 2

l( m) ,

o

0=l00 m+ 0t +2 -9, 8 s' t"

t=

2· 100 m - - - =4,5s 111. 9,8 ---, s

6) c.

y

Per entrambi i corpi si sceglie l'asse verticale y, ori entato verso l'alto con l'origine O coincidente con il suolo. Si appli ca la 3-24 tenendo presente che:

~gL

l''

l

per la Luna: v0 ,_ =O, gL = 6gr Yt (t =O) = Jo L posizione del corpo all'istante t = O

o

o

Luna Terra

per la Terra: v0 -r =O, Y-r (t= O)= Yo-r

Cinematica - Soluzioni

96

e che, quando i corpi raggiungono il suolo, per entrambi la loro posiZione y 1,,1, =O si ha: perla Luna:

v~ = v!L + 2aL(y- YoJ ~ v~ =O+ 2( -~ g

1

}o-

YoJ da cui

• L v~ = - grYoL 3 per la Terra: v: = v!r + 2a,. (y- Yor ) ~ v.:. =O + 2( -g1

)(-

Yor ) da cui

• Il. v:. = 2grYor Dividendo membro a membro la l) e la Il) si ottiene

3

v~ gr YoL v~ l l=---=}----;-=-=} vr 2gTYor v.;. 6

l

VL

=

l 6

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ha v L

7) d. Essendo

fu

v =-

M

l

- VT

l

= .J6 v 1

e poiché lo spostamento total e è fornito dal testo del

problema, occorre calcola re l'intervallo di tempo M. Per il primo tratto s 1 il vei. . s, 80/.'17/, . colo unp1 ega un tempo t, = - = - - = 2h, mentre per il tratto s2 imp1 ega un V1

tempo t , .

s,

40k'l1l

2

v,

60 "f

3

=~=--=-h .

v=

L

40 ~

l ., d. , . d. a ve oc1ta me 1a e qum 1:

80 1.'1n + 40 km

2h+~h 3

12Okm km =--=45~h h

3

Cinematica - Soluzioni

97

8) b. Si indica con t l'istante in cui il corpo B raggiunge il corpo A. Si prende come sistema di riferim ento l'asse orizzontale x avente l'origine coincidente con la posizione di partenza, per cui x 0 A= x 01J= O. Si applica la 3-8 tenendo presente che, quando B raggiunge A, per A è trascorso un tempo di moto t mentre per B un tempo di moto t-10s. Si ha quindi :

m x ( t ) = 15?lt ( x ,, ( t ) =10-t, t- lOs ) = 15-m t- 150m 11 s s s

Al punto di incontro x 11

= xiJ

per cui: m

m

10-t = 15- t -150 11t s m 150 m 5-t =150m==> t =--= 30 s s 5~

Per calcolare la posizione del punto d'incontro si sostituisce il tempo trovato in xA

m o in Xn· Si ottiene quindi x 11 ( 30 s ) = 10- · 30 s =300m. s

9) d. Si consideri l'asse x avente lo stesso verso di v0 ed origine O coincidente con il punto in cui il corpo inizia a decelerare, come è indicato in figura.

l

~ -

vo

~·-0-------~ ~ -

Affinché il corpo possa ferm arsi è necessa rio imprimere al corpo una acce lerazione avente verso contrario a v0 • Applicando la 3-24 e tenendo presente che v = O, x 0 =O si otti ene:

98

Cin ematica - Soluzioni

10) b. P er entrambi i corpi si considera l'asse y verti cale e ori entato verso l'alto. Applicando la 3-24, v' = v~ + 2a( y - Yo) e tenendo presente che YoA = y 011 =O, vA = v8 = O,yA = 2y8 si ha:

• per 8

O= v~" + 2(- g )(y - O) ::::} v~" = 2gy

• per A Dividendo membro a membro, si ottiene:

v,~"

= 2gy

v~_,,

4 gy

Estraendo la ra di ce quadra ta di ambo i membri si ha v 0 "

= .J2v0 1r

4. Moto in due dimensioni

:J»:J»:J»:J»-

Moto in due dimensioni Vettori velocità e accelerazione Moto armonico Moto di un proiettile

4. 1. Moto circolare uniforme Il moto circolare uniforme è il moto di un punto P che percorre una circonferenza con velocità scalare costante ossia percorre archi di circonferenza uguali in tempi uguali. Ne segue che la velocità scalare media

v= As e la velocità scalare istantanea v coincidono in ogni istan!:l.t

te. Il tempo che impiega il punto P a compiere w1 giro completo si chiama periodo (simbolo T). Nel SI il periodo si misura in secondi (simbolo s). Il numero di giri compiuti da P in un secondo si chiama frequenz a (simbolo f). L'unità internazionale per la frequenza è il reciproco di un secondo, o secondo reciproco (simbolo s- 1), spesso denominato hertz (simbolo Hz). La posizione del punto P in un dato istante può essere definita: • sia mediante la distanza lineare s di P da una posizione di riferimento P0 , ossia la lunghezza dell'arco s compreso tra P e P0 ; • sia mediante la distanza angolare di P da P0 , indicando con el'ampiezza dell'angolo al centro compreso tra i raggi passanti per le posizioni P0 e P (cfr. Figura 4-1).

100

Moto in due dimensioni

Figura 4-1

Poiché la misura in radianti (simbolo 1'ad) dell'angolo

e si

ottiene,

come è noto, facendo il rapporto tra la lunghezza dell'arco P0 P e la lunghezza del raggio 1' , espresse entrambe nella stessa unità 4-1

e=!.. r

allora la relazione tra la distanza lineare se quella angolare

erisulta

4-2

Nel moto circolare uniforme si chiama velocità angolare costante il rapporto tra una distanza angolare qualsiasi e(rad) e il tempo t impiegato a percorrerla

e

4-3

(0=-

4-4

e=m·t

t

Se all'istante iniziale t= O il punto P non coincide con P0 ma occupa una posizione P~ avente distanza angolare e0 da P0 (Fig. 4-2), allora la 4-4 diventa: 4-4'

Moto circolare uniforme

101

Figura 4-2

Nel moto circolare uniforme la velocità lineare del punto mobile può essere espressa come rapporto tra la lunghezza di un arco qualsiasi e il corrispondente tempo di percorrenza. Se si prende come caso particolare l'intera circonferenza ( s = 2nr) e il periodo T si ha: 4-5

2nr

v = - = 2nif

T

Analogamente la velocità angolare si può esprimere come rapporto tra l'ampiezza angolare dell'intera circonferenza (angolo giro e= 2n) e il tempo di percorrenza: 4-6

2n T

m=-= 2nf

Sostituendo nella (4-5) la (4-6) si ottiene: 4-7

2n T

v=-·r=mr

ossia la relazione tra velocità lineare e quella angolare. 1 1 Si è visto che la misura dell'angolo in radianti, essendo data dal rapporto fra due lunghezze, è un numero adimensionale. Il SI considera il radiante come un'unità particolare che può

Moto in due dimensioni

102

essere inserita o eliminata nelle formule al fine di mantenere l'uguaglianza dimensionale. Dalla formula v = (1)1~ , ad esempio, segue

· lem- =md · · · l,uguag1·1anza d'1menswna - · m ch e e' vera so lo se VIene e1lmls

s

nato il simbolo di radiante (anche se nei calcoli l'angolo continua ad essere misurato in radianti).

4.2.

Vettore velocità e vettore accelerazione

Nel capitolo terzo si è visto che il moto di una particella lungo una retta è determinato in maniera completa nota la sua posizione in funzione del tempo; non è quindi necessario il simbolismo vettorialc. Nei moti curvilinei invece i vettori velocità e accelerazione cambiano direzione e verso per cui devono essere definiti vettorialmente. Si consideri una particella che si muove lungo una curva in due dimensioni, come indicato in Figura 4-3. In un certo istante t 1 la particella si trova in P 1 e in un istante successivo t 2 si trova in P 2 • Le posizioni p l e p2sono individuate dai raggi vettori o vettori posizione rl e r 2.

y

Figura 4-3

Dalla figura si osserva che il vettore spostamento /).r è la differenza fra i due vettori posizione ~ e r2.

Vettore velocità e vettore accelerazione

103

4-8

Si chiama velocità vettoriale media il rapporto fra il vettore spostamento !:l.r e l'intervallo di tempo !:l.t = t 2 - t 1 in cui si verifica questo spostamento: -

!:l.r

v =111 !:l.t

4-9

La velocità vettoriale media, essendo il prodotto di un vettore !:l.r per uno scalare __!__, è un vettore parallelo a !:l.r come è indicato in !:l.t

Figura 4-3. Dalla figura si osserva inoltre che il modulo del vettore spostamento lt:J.rl non coincide con la distanza !:l.s misurata lungo la curva percorsa dalla particella. Se si considerano però intervalli di tempo che tendono a zero per cui P2 ---7 ~'allora il modulo dello spostamento lt:J.rl tende a diventare numericamente uguale alla distanza !:l.s percorsa dalla particella lungo la curva e la direzione del vettore spostamento !:l.r tende alla direzione della tangente T alla curva nel punto

P1

(l!:l.;l---7 !:l.s

per !:l.t ---7 O).

y

,·T Retta tangente in P,

x Figura 4-4

104

Moto in due dimensioni

La velocità vettoriale istantanea

v in P

1

è il limite a cui tende la velo-

cità vettoriale media v, quando l'intervallo di tempo tende a zero. Essendo v, parallelo a 11r allora per M -7 O il vettore velocità v è tangente alla traiettoria nel punto P1 nel verso del moto ed ha per modulo il valore della velocità scalare istantanea della particella mobile in P1

(l v i=~

per M

-7

O}

Se nel vettore velocità cambia almeno una delle sue caratteristiche (modulo, direzione o verso) allora si ha accelerazione vettoriale nella particella. Nel moto circolare uniforme, ad esempio (la particella percorre archi uguali in tempi uguali), il vettore velocità rimane costante in modulo ma cambia continuamente direzione, per cui la particella che percorre la circonferenza è sottoposta ad accelerazione. L'accelerazione vettoriale media è il rapporto tra la variazione dei vettori velocità istantanea v1 e v2 agli istanti t 1 e t 2 e l'intervallo di tempo in cui tale variazione avviene:

_

a

4-10

,.

L'accelerazione istantanea

v2 - v1 11v

=---=t 2 -tl /':,.t a è il valore limite a cui tende il rapporto

. -11v quan do ot ten de a zero ossia: A

M 4-11

- =11va M

per

A

ot-7

o

In questo paragrafo ci si limita a calcolare il modulo, la direzione e il verso del vettore accelerazione istantanea di una particella che si muove di moto uniforme su una circonferenza. Si considerino due istanti di tempo successivi t 1 e t 2 e le rispettive velocità VI e v2. La differenza fra due vettori /':,.v = v2- VI si può costruire traslando il vettore v1 nel punto P2 e congiungendo poi il secondo estremo A di v1 con il secondo estremo B di v2•

Vettore velocità e vettore accelerazione

105

Figura 4-Sa

A

[', ' ..........- Vt

:Llv

In Figura 4-5b si dimostra che il metodo applicato in Figura 4-5a e quello della poligonale conducono allo stesso risultato. Se si applica infatti al secondo estremo B del vettore v2 l'opposto del vettore v,(-v1) e si unisce l'origine P 2 di v2 con il

secondo estremo D di "-v 1", si ottiene ancora 8.v. l '~~o,J Si dimostra inoltre (Fig. 4-5a) che D Figura 4-Sb l'angolo a. tra i raggi vetton 1j e Ti e uguale all'angolo tra i vettori v1 e v2 in P2 • Si consideri la retta a cui appartiene il vettore v1 traslato in P2 • Essa

-v

.....

' ''

incontra il vet~r1 in T secondo un~olo retto (v 1 .l r,). Ne segue che l'angolo OP2T = y = (n/2)- a= APzC essendo angoli opposti al vertice. Inoltre, poiché OC è perpendicolare a P2B (v 2 .l rz) allora l'angolo APzB = (n/2)- [(n/2)- a]= a. I triangoli OP,P2 e PzAB sono isosceli, essendo lr,l=lr21=1' e lv,l=lv2l= v. In geometria si dimostra che due triangoli isosceli che hanno gli angoli al vertice (quelli compresi tra i lati uguali) uguali, sono simili, per cui si può scrivere la proporzione:

Moto in due dimensioni

106

11v : v

= P2 ~

11v

P2 ~

v

1'

:

r

P, ~

11v= v ·---

r

Dividendo ambo i membri per M si ha: 11v =~· P2 ~ M 11t r

4-12

Quando M ~ O allora la lunghezza della corda P2 ~ tende a coincidere con la lunghezza dell'arco l'!.s per cui si ha: P2 ~ ~ 1'!.s

pp

-

2 -1

M

~

l'!.s -

M

~

v per 11t ~ O

Contemporaneamente il primo membro della 4-12 tende al modul o dell'accelerazione istantanea a

(~~~a

per

M~ OJ per cui la 4-1 2

si può scrivere: 4-13

l

v2 per r

a=v · v·-=-

r

11t~O

È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a n e che in un triangolo isoscele gli angoli alla base (quelli compresi tra la base e i lati uguali) sono uguali. Se si indicano con f3 gli angoli di entrambi i triangoli isosceli la relazione tra gli angoli alla base e l'angolo al vertice risulta: f3 + f3 +a = n => 2[3 +a = n 4-14

n-a

[3=2

107

Vettore velocità e vettore accelerazione

7r

a

/3=--2 2

4-14 '

Quando M tende a zero allora anche a tende a zero per cui ~ tende a !!_ e, quindi, !lv tende a 2 disporsi perpendicolarmente a v 2 e vi. Tenendo presente che il vettore !lv e il vettore accelerazione media ii

"'

= !lv sono paralleli in ogni

llt istante, allora per !l --7 O anche il vettore ii, Figura 4-6 tende a disporsi perpendicolarmente ai vettori v 2 e vi che si sovrappongono e diventa accelerazione istantanea ii . Concludendo, per !lt --7 Oil vettore ii(ti) risulta perpendicolare al vettore v i ossia diretto secondo il raggio e verso il centro. Per tale motivo viene chiamata accelerazione centripeta e spesso indicata con ii, (Fig. 4-6). Se la particella si muove lungo un percorso curvo qualsiasi e la velocità varia sia in direzione sia in modulo, allora la velocità è sempre tangente alla traiettoria, mentre l'accelerazione ii forma un angolo con la tangente alla traiettoria come evidenziato in Fig. 4-7. Traiettoria della particella

Figura 4-7

'' '

108

Moto in due dimensioni

In ciascuno dei tre punti A, Be C sono state disegnate delle circonferenze tratteggiate (circonfe1'enze osculat1'ia) che localmente si sovrappongono alla traiettoria. Il raggio dei cerchi tratteggiati è uguale al raggio di curvatura della traiettoria nei punti A, B e C. Quando la particella si muove lungo il percorso curvo, il vettore avaria da punto a punto e può essere scomposto in un vettore componente radiale a, lungo il raggio della circonferenza osculatrice e in un vettore componente tangenziale a, perpendicolare al raggio. Si ha: 4-15

L'accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità della particella e il suo modulo è dato da:

D..v D..t

a=-

4-16

,

mentre l'accelerazione radiale è dovuta alla variazione del vettore velocità ed ha modulo:

vz a=-

4-17

'

r

dove r è il raggio della circonferenza osculatrice nel punto della traiettoria in esame. All'aumentare di 1' il valore di a, diminuisce per cui, per una retta il cui raggio di curvatura è infinito, ne segue che a, = O. Nel moto circolare uniforme, poiché D..v =O, allora a,= O e l'accelerazione è solo radiale. Essendo inoltre v = WT, la 4-17 si può scrivere: (

a

4-18

4.3.

'

wr )

2

,

= - - = w·r r

Moto armonico

Esiste una semplice relazione tra il moto circolare, con velocità angolare costante, e il moto armonico semplice. Si consideri un punto

109

Moto armonico

P che percorre, di moto uniforme e con velocità angolare w, una circonferenza di raggio R e centro C. Si proietta ortogonalmente il punto P su una qualsiasi retta 7' orientata, posta nel piano della circonferenza. M

y

--- ----- -- - A

N

Figura 4-8

Retta di proiezione

In Figura 4-8 si è scelta come retta orientata l'asse y . Si supponga che il punto P all'istante iniziale si trovi in O e ini zia a muoversi in senso antiorario compiendo lo spostamento O'P'. Contemporaneamente la sua proiezione P' ini zia a muoversi da O' verso A. Quando P, muovendosi lungo l'arco OM, raggiunge M allora P', muovendosi lungo il segmento O'A (da O' ad A), raggiunge A che distaR da 0'. Successivamente quando P, muovendosi lungo l'arco /ViS, raggiunge S, il punto P', invertendo il moto e muovendosi lungo il segmento

AO', ritorna in 0'. Analogamente quando P, muovendosi lw1go l'arco -SN raggiunge N, il punto P', muovendosi lungo il segmento O'B (da O' a B), raggiunge B simmetrico di A rispetto ad O'. Quando infine P, ~

muovendosi lungo l'arco NO raggiunge O, il punto P' invertendo il moto e muovendosi lungo il segmento BO' ritorna in O'. Come si può osservare, la proiezione P' di P impiega, per compiere una oscillazione completa, lo stesso tempo T

= Zn che è necessario a P per compiere un (ù

giro completo. Questo tipo di moto oscillatorio si chiama moto armo-

Moto in due dimensioni

110

nico e si ripete identicamente ogni T

= br

unità di tempo e, quindi,

(ù

con frequenza

l

(ù

f =- =- .

T 2n Con riferimento al moto oscillatorio co viene denominato pulsazione, R ampiezza di oscillazione e la distanza di P' da O' elongazione. Per individuare all'istante t la posizione di P' rispetto ad O' (elongazione) è sufficiente calcolare la distanza PQ al tempo t di P rispetto al diametro SO perpendicolare all'asse y . Dalla goniometria si apprende -che nel triangolo CPQ la misura di PQ = O'P' risulta:

O'P' = PQ = Rsen8

4-19

Se si indica O'P' cony(t) e si sostituisce a 81a (4-4) si ha:

y(t) = Rsenwt

4-20

che rappresenta la legge oraria del moto armonico, ossia la legge che permette di determinare in ogni istante la posizione, nel caso in esame, di P'. Questa legge è stata ricavata, come si è detto, nel caso particolare in cui al tempo t = O P coincide con (} e, quindi, il punto P' si trova in O'. La rappresentazione grafica nel piano (t, y) della legge oraria ricavata è una sinusoide, come evidenziato in Figura 4-9. y

Figura 4-9

Qualora all'istante iniziale t= O, P non coincidesse con O (e quindi P'

Moto armonico

111

non coincidesse con 0'), ma occupasse una posizione P1 avente distanza angolare eoda o, allora la 4-20 diventerebbe, tramite la 4-4': 4-20'

dove ( wt + e0 ) rappresenta la fase del moto armonico semplice al tempo te

eo la costante di fase (cioè la fase iniziale al tempo t= 0). Dal punto P si consideri, sempre all'istante t, il vettore velocità istan~

-

tanea v e lo si proietti sull'asse y. Essendo CPQ = (n/2)- e= FPH, angoli opposti al vertice, e poiché EP è perpendicolare a CH allora

ifPF = JfPii- FPii =(n/2) - [(n/2)- e]

=e (Fig. 4-1 0).

Ne consegue che la componente del vettore vy diventa vy = vcos e, per cui la legge che esprime la dipendenza della velocità dal tempo per il moto armonico in esame risulta: 4-21

8

N

Figura 4-10

vY = vcoswt = wRcoswt

Si consideri, infine, sempre all'istante t il vettore accelerazione centripeta a, orientata verso il centro. La sua componente sull'asse y risulta:

ay =-a, cos[(n/2)- e] Essendo cos[(n/2)- e]= sene si ha

v2 (wR) 2 a =-a sene = --sene = - - -sene Y ' R R da cui

112

Moto in due dimensioni

a1

4-22

y

= -oi Rsenwt Il segno meno dipende dal fatto che il vettore accelerazione ayha , istante per istante, verso contrario allo ~postamento (a;· discorde con O' P'). Tenendo presente la 4-20 e la 4-22 si può scrivere:

La relazione 4-23 esprime che l'accelerazione è direttamente proN porzionale allo spostamento dal Figura 4-11 centro dell'oscillazione e diretta in senso contrario ad essa (legge fondamentale del moto armonico semplice). Tutte le volte che l'accelerazione godrà di questa proprietà, allora si potrà concludere che il moto in esame è armonico semplice.

4.4. Moto del proiettile

Il moto del proiettile può essere studiato in modo più semplice tenendo presente la caratteristica, ben nota dall'esperienza, dell'indipendenza del moto orizzontale da quello verticale. Questa circostanza consente di scindere un problema di moto in due dimensioni , in due distinti problemi unidimensionali più semplici, e precisamente uno di moto orizzontale e l'altro di moto verticale. Nel moto di un proiettile, con l'asse x orizzontale e l'asse y vertical e e orientato verso l'alto, le componenti dell'accelerazione di gravità g· sono rispettivamente:

g_,. =0

g =9811Z ' r'

--------------------~M ~ ot~o~d~e~ I L pr~o~ie~tt~il~ e--_________________ 113

Ne segue che la componente orizzontale della velocità rimane invariata (a,. = O) durante tutto il moto, mentre la componente verticale della velocità viene modificata istante per istante (a1 =P O) e il moto risulta uniformemente vario. Dalle equazioni cinematiche 3-8 e 3-23 si ricavano le equazioni del moto riferite agli assi x e y:

y

o

x Figura 4-12

4-24

x(t)=x0 +v0J

4-25

y(t)=yo+Vo/+~g/

Dali' equazione 3-15 si ricavano le componenti della velocità vx e v1 in funzione del tempo:

{

4-26

a) b)

mentre dall'equazione 3-24 si ricavano le componenti della velocità v,. e

vy in funzione dello spostamento: 4-27

{

a) b)

2

2

Vx = Vo x v~ =v~Y +2gy (y- y 0)

Per studiare le caratteristiche del moto di un proiettile si consideri un corpo lanciato secondo un angolo qualsiasi e. Si supponga che l'asse x formi un angolo e con il vettore v0 e che all'istante iniziale il proiettile si trovi nell'origine. Poiché, come si è detto, non c'è accelerazione lungo l'asse x (gx = O) mentre c'è accelerazione lungo l'asse y, allora la componente della velocità lungo l'asse x (v) è costante, mentre la componente secondo l'asse y (v) varia nel tempo, come risulta dalla Figura 4-13.

114

Moto in due dimensioni

x

Figura 4-13

Avendo indicato con e l'angolo che il vettore velocità iniziale forma con l'asse x, le componenti di v0 secondo gli assi risultano: 4-28

a) V 0 x = v0 coslJ b) v 01 = v0 sm8

Per ricavare l'equazione della traiettoria si ricava t dalla 4-24 (dove si è posto x 0 = O) e si sostituisce nella 4-2 5 (dove si è posto y 0 = 0), e si ha: x

t=-

4-29

Vo x

4-30

4-31

Vo y l x2 y=-x+-g · vO:r 2 Y vO2.t"

Essendo nel sistema scelto

g negativo (g J

Y

= -9,8 77s-: ) , la 4-31 rap-

presenta l'equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il

Moto del proiettile

115

basso e passante per l'origine (avendo la forma y

= Ax- Bx 2). Per cal-

colare la gittata X c , ossia la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale, occorre tener presente che quando il proiettile raggiw1ge il suolo la sua posizione lungo l'asse y è nulla. Posto y = O nella 4-2 5, si ricava l'istante in cui il corpo raggiunge il suolo: l ' O= v0 ·t+ -gr

2

.Y

.Y

Mettendo in evidenza t si ha:

Tenendo presente che un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo, si ottengono le soluzioni: t=O

1 v0 Y 2v0 J, vOJ• + -g 2 .l't= O=> t = -l- - = - - -g gy

>

O essendo g_r < O

2 )'

Sostituendo il valore di t nell'equazione oraria 4-24, che fornisce la posizione orizzontale del proiettile istante per istante, si ottiene la gittata X c: Xc

=Vo_,.[- 2Voy l=_ 2VoxVOy =_2v cose· V sene =_2v~ · sene · cose 0

gy

gy

0

gy

Essendo 2senecose = sen28, si ha: 4-32

v~ · sen2e > 0 d essen o gY t = s·

Sostituendo il valore trovato nella 4-24 (moto orizzontale) si trova la distanza:

x = v0.J = v0 cos 0°t = v0 t

= 15-m · 4,5s = 68 m s

Moto in du e dimensioni - Test di ~o~erifica

121

Test di verifica l. Due corpi percorrono d i moto uniforme e con uguale periodo due circonferenze di raggio r 1 e r 2 con

r;

r = -2. .

Le velocità periferiche sono

2 tali che: a) v 1 = 2v2 b) v, =v, c) v, < v 1 d) v, >v,

2. Due particelle percorrono di moto uniforme e con uguale periodo due circonferenze di raggio r 1 e r 2 con r 2 = 2r1• L'accelerazione centripeta dei rispettivi moti circolari è t ale che: a) ad = 2acl b) ad = acl

c)

ari

< a r2

d) ad> a,2

3. Una particella si muove di moto armonico semplice su un segmento con periodo T = 5 s. L'accelerazione della particella nella posizione x =- 5 cm risulta: m a) a,. = -5,6-;s· m b) a.r = 56, s!.

c)

a,. = 15 m s'

d) a, = 7,89 -10-2 ~: 4. Un corpo descrive un moto armonico con legge oraria

x = Asen ( OJt ) . Dopo mezzo periodo dall'inizio del moto il corpo si trova nella posizione: a) x = O

A 2 c) x = A d) x = - A

b) x = -

5. Due corpi si muovono di moto circolare uniforme descrivendo due circonferenze di uguale raggio, con velocità angolare ro, = 2m2 • Il rapporto tra le rispettive accelerazioni centripete ~ risu lta: a, a)

b)

2 l

4 c) 4 d)

Moto in du e di me nsi o ni - Test di verifica

122

6. In un moto armonico con frequenza!= 2Hz, il tempo che intercorre fra due passaggi consecutivi dalla posizione di equilibrio risulta: a) 0,5 s b) l s c) 2 s d) 0,25 s 7. Un oggetto è lanciato verso l'alto con una certa inclinazione rispetto all'orizzontale. Al culmine della sua traiettoria la velocità ii risulta: a) nulla b) mass1ma c) minima e diversa da zero d) parallela a g 8. Una particella che si muove su una circonferenza di raggio r = 3 m, descrive un angolo () = 0,5 rad in 0,2 s. Quale delle seguenti risposte è esatta? a)

md w = 9s 17Z

b) v =7,5-

s

c)

m a( =1 675 -J 2 ,

d) T =l ,l s 9. Tre particelle percorrono tre circonferenze di uguale raggio r con velocità tali che v3 = 2v2 e v 2 = 2v 1• I rispettivi periodi sono: a) T, = 2T2; T, = 2T3 b) T, = 5T2 ; T 2 = 4T3 c) T 1 > T2 > T 3 d) T, = T 2 = T 3

10. Una particella si muove alla velocità v su una circonferenza di raggio r. La frequenza risulta: v a)

r b)

v 2m~

c)

v'

v

Moto in due dimensioni - Soluzioni

123

Soluzioni 2m·

27w

1) c. Essendo v, = --' e v = - -' ed essendo

T

'

T

1·

'

= b, si ha· ' .

2n · b, 2n · 1,· v, =~=2·~=2v,, quindi v, O, l'accelerazione è orientata nel verso positi vo dell 'asse x ossia a destra. 10) c. Essendo

F,

~

~

=m- se il raggio raddoppia si ha: F' =m __.!._. Dovendo ~ ' ~ 2

2

v1 v2 essere F, = F,' si otti ene: m-= mr, b;' Esn·aendo la rad ice si ha :

R =R

2v~ = v~ .

==} v, = Jlv, .

6. Lavoro ed energia ,. Lavoro l> Lavoro di una forza conservativa ,. Potenza l> Energia cinetica e potenziale ,. Conservazione dell'energia meccanica e della quantità di moto

6.1. Prodotto scalare di due vettori Il prodotto scalare di due vettori A e B è una grandezza scalare pari al prodotto del modulo dei due vettori per il coseno dell'angolo compreso (Fig. 6-1) 6-1


r .

160

Lavoro ed energia

Dalla definizione di lavoro si deduce che FcosfJ = F' rappresenta b componente (positiva, negativa o nulla, a seconda dei casi) della forz A), per cui

6-18

Ne segue che il lavoro totale fatto dalle forze del campo, allorché i:J particella percorre l'intera traiettoria chiusa, è nullo.

6.6. Energia potenziale Per un campo di forza conservativo, dunque, la sommatoria 6-'1 dipende solo dalle posizioni iniziale A e finale B. In analisi matematic:1 si dimostra che quando si verifica una tale situazione si può determim re una grandezza U funzione solo delle coordinate dello spazio x,y,:. tale che per due punti qualsiasi A e B si ha: N

6-19

L A-->8

=L,) H) = -mg( z 8 - z 11 )·= mg(z 11 - z 8 )

= mgb

dove b è la differenza di quota tra i pw1ti A e B. Il lavoro totale lungo il percorso l risulta quindi:

L1108 = L110 + LDJJ =O+ mg(z 11

-

zJJ )

• Per il pe7'cor·so 2 (AB) si ha:

P(O,-Pz) ~r, (~y, ,L\.z;) per cui il lavoro risulta: N

L(II->B)l

N

N

l

l

=L}· ~r; =L ;(o· ~y, - P"L\.z' ) =L ;(-P, L\.z,) = l

N

= -PL ,L\.z, = -P( z 11 - z 11 ) = l

= -mg(z 8

-

z 11 ) = mg(z 11

-

zJJ ) = mgb = L11 D8

Ne segue che, quando il corpo si sposta da A a B, viene prodotto un lavoro che non dipende dalla traiettoria seguita, ma soltanto dalla differenza di quota tra i due punti, per cui il campo di forza è conservativo. Si dice allora che il corpo, quando occupa la posizione A , possiede un'energia potenziale gravitazionale rngb rispetto alla posizione B, dove b rappresenta la differenza di quota tra A e B. Ciò indica che, se il corpo viene sollevato dal punto B al punto A, il lavoro eseguito contro le forze del campo lo si ritrova sotto forma di energia potenziale gravitazionale che il corpo restituisce se lo si lascia libero di tornare indietro nella posizione iniziale. Naturalmente, se al posto di B (Fig. 6-12) si sceglie un altro punto B' come punto di arrivo, allora alla posizione A corrisponde un valore diverso di energia potenziale gravitazionale. Poiché la forza peso è conservativa, si può determinare una grandezza U(z) funzione della posizione z tale che quando l'elemento materia-

Lavoro svolto da una molla: forza elastica

179

le passa dalla posizione A di ordinata zA a quella B di ordinata z 8 , si nbbia:

______,

L(A-->B) = mg(zA- z 8 ) = mgzA- mgz 8 = U(A)- U(B)

6-20

Se si sceglie come punto di riferimento un qualsiasi punto B appartenente all:asse y (e quindi l'asse y) e se si pone U(B) = O, allora per un corpo che occupa il punto A a quota generica z si ha: U(A)-U(B) = mgz- O= mgz ~ U(A) = mgz

6-21

___

__.

La funzione U viene chiamata energia potenziale gravitazionale spettante al corpo per la posizione che occupa nel sistema di riferimento. Se cambia il sistema di riferimento cambia U ma t.U resta invariato come evidenziato in Fig. 6-13. Nel sistema zOy

z' A

U(A)- U(B) = mgzA

A

' ' '

'

essendo

U(B) = O. Nel sistema z 'O'y'

' '' Z

A

U(A)-U(B) =

o

z 'A ;

'

Bo

= mgz~ - mgz;1 = mgzA essendo

y

: z'u

O'

l'energia potenziale di B rispetto al sistema z 'O'y' pari a mgz;,.

y'

Figura 6-13

6. 7. Lavoro svolto da una molla: forza elastica Si consideri un blocco collegato ad una molla sopra una superficie liscia (Fig. 6-14). Se la molla è allungata o compressa di un tratto dalla sua posizione di equilibrio x = O, essa esercita sul blocco una forza di modulo: 6-22

F = - kx 71/.

Lavoro ed energia

180

dove k è una costante positiva detta costante elastica della molla . Questa formula esprime la legge di Hooke, secondo cui l'allung;l mento subito da una molla è direttamente proporzionale alla for1.;1 applicata e alla costante elastica della molla. Il segno negativo nell'equazione 6-22 indica che la forza esercit~Ll dalla molla è sempre diretta nel verso opposto a quello dell'allungamen t() o della compressione, ossia tende a riportare la molla nella posizione di equilibrio x = O. F, è negativa

!- x è positiva x

• Per x > O (molla allungata) si ha F," = -kx < O ossia la fo rt.;l ha verso opposto a quello del l'asse x (Fig. 6-14a); • Per x < O (molla compressa) si ha F," = -kx > O ossia la fort.;l ha il verso dell'asse x (Fi g. 6-14c); • Per x = O (posizione di equil ibrio) F," =O (Fig. 6-14b).

{c)

r-x~ x =O

Essendo la forza della mol LI sempre diretta verso la posi zione di equilibrio, essa è talvolt;l chiamata j01'Za di 1'ichiamo.

Figura 6-14

Per trovare il lavoro fatto dalla molla occorre prima di tutto disegnare la retta F," = - kx in funzione di x e poi tener presente che il lavoro compiuto dalla forza F, quando il suo estremo libero si sposta tra due posizioni è numericamente pari all'area sottesa alla retta tra due posi zioru.

Lavoro svolto da una molla: forza elastica

181

Se il corpo viene spostato dalla posizione A(xA,o) a o(o,o) il lavocompiuto dalla molla è numericamente uguale all'area del triangolo rettangolo AOB evidenziato in Fig. 6-15: t'O

F,/1

B

x

Figura 6-15

6-23

e ad esso viene attribuito il segno positivo essendo F, e x paralleli cd equiversi. Se il corpo viene invece spostato da O ad A il lavoro L,, è numericamente uguale all'area del triang2_lo re!!angolo ma ad esso viene attribuito il segno negativo essendo Fm e x paralleli e non equiversi.

Figura 6-16

182

Lavoro ed energia

Se il corpo viene spostato da C( xc ,O) a 0(0,0) il lavoro compiuto dalla molla è numericamente uguale all'area del triangolo rettangolo OCD eviden_?:iato i_!l Fig. 6-1 6 e ad esso viene attribuito il segno posi tivo essendo F , e x pa~alleli ed equiversi: 6-24

Analogamente se il corpo viene spostato da O a C il lavoro L, è numericamente uguale all'area del triangolo r~tangQlo OCD ma ad esso viene attribuito il segno negativo essendo F ," e x paralleli e non equi versi .

x

Figura 6-17

Se il corpo viene spostato dalla posizione T a G (Fig. 6-1 7) il lavoro è uguale alla somma algebrica dei lavori compiuti dalla molla affinché il corpo si muova da T a O e successivamente da O a G. • Se lxr l < lxc l all ora essendo LT_,o >O ed L0 _,c < Osi ha: LT->G < O • Se lxr l = lxcl allora Lr_,c =O • Se lx TI> lx cl allora essendo LT_,o >O ed L0 _,c O Per due posizioni generiche lavoro della molla risulta : 6-25

X;

ed xi tra le quali si muove il corpo, il

Lavoro svolto da una molla: forza elastica

A (xA,Q)

183

O (0,0)

Figura 6-18

Si consideri adesso il lavoro compiuto da un agente esterno su un corpo qualora si faccia allungare lentamente (a velocità costante) una molla da A(xA,0) a 0(0,0) come mostrato in Figura 6-18. Si può calcolare facilmente il lavoro considerando che la forza applicata Fnpp è uguale ed opposta alla forza della molla F;, per qualsiasi valore dello spostamento, per cui F npp = -( -kx) = kx . Il lavoro svolto da questa forza applicata (l'agente esterno) sul blocco risulta: 6-26

È da notare che tale lavoro è uguale ma contrario a quello svolto dalla forza della molla sul blocco nel medesimo spostamento (6-23). Il lavoro è infati negativo poiché (cfr. Figura 6-18) l'agente esterno deve applicare sul corpo una forza opposta allo spostarnneto da A ad O affinché la molla si allunghi a velocità costante. Fl1pf1

A

x

-kx Figura 6-19

Lavoro ed energia

184

Il lavoro compiuto dalla forza applicata sulla molla, quando l'estremo libero passa dalla posizione X; a Xr, risulta quindi:

6-27

Si verifica adesso che anche il lavoro di una forza elastica non dipende dal percorso ma solo dagli estremi ed è quindi conservativo. Si supponga che un corpo di massa m collegato ad una molla di costante elastica k venga spostato dal punto A al punto B seguendo due diversi percorsi evidenziati nelle Figure 6-20a e 6-20b.

-

Fm

o

A

In Figura 6-20a il lavoro risulta:

B

x

LA->B =

l ' l ' ixÀ2kxjJ

In figura 6-20b il lavoro com plessivo è la somma algebrica di due lavori LA-+C e Lc-+ 8 :

(a) F,,,

o

A

LA_,c

l ' l ' =ix;, -ixc

Lc_, 8

=2kxc - 2kx8

B

(b)

Figura 6-20

l

l

l

l

da cui:

Poiché la forza elastica è conservativa allora si può determinare una grandezza UJx) funzione solo della posizione dell'estremo libero della molla tale che, quando esso passa dalla posizione x A a x 8 , il lavoro com-

185

Lavoro svolto da una molla: forza elastica

piuto dalla molla risulti: 6-28

Tale funzione si chiama energia potenziale elastica. Si tenga presente che con la 6-28 si definisce la differenza di energia potenziale tra i punti A e B per mezzo della misura del lavoro. Spesso però occorre conoscere l'energia potenziale in un punto. Per ottenere questo si sceglie un punto A a cui si assegna arbitrariamente il valore zero di energia potenziale. Nel caso della forza elastica si attribuisce il valore zero all'energia potenziale elastica nella posizione x= O (molla a riposo). Ne segue che per un punto x generico, si ha: 6-29

u" (o) -U" (x)= o- ~kx 2

Esempio Calcolare il lavoro compiuto da una forza esterna F;,PP quando

l'estremità libera di una molla di costante elastica k da: a) x A = O a x 8 = 4 cm b) xB = 4 cm a Xc =7cm

= 80 N

si sposta

m

Soluzione

a) si disegna il grafico della forza applicata richiesta per allungare la molla. Si applica la 6-27:

F= kx

x( cm)

Lavoro ed energia

186

Da un punto di vista geometrico tale valore è pari all'area sottostante la curva tra i punti x A = O e x 8 = 4 cm. b) In modo analogo:

L

npp

2 - !kx 2 =! · 80 N (7 -10-2 m) 2 -! · 80 N (4 -10-2 m) 2 =O l3J = !kx 2 C 2 8 2 11l . 2 11l '

Da un punto di vista geometrico il risultato è pari al valore dell'are:1 del trapezio x;BCxc-

6.8. Lavoro di forze non conservative Si è visto che il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo un:1 traiettoria chiusa è nullo. Si verifica ora che la forza di attrito non è conservativa.

D B

~--------------~~

s

(b)

D A

s

~

F,,

Figura 6-21

Si consideri un piano orizzontale scabro sul quale si muove un corpo di massa m da A aB e poi da BadA. Sia pdil coefficiente di attrito dina mico tra corpo e superficie e s la distanza tra A e B.

Conservazione dell'energia meccanica tota le di una particella

187

Essendo F" = J..LJV = J..L"P = J..ldmg, si ha:

= F" · s = F"s cos180° = -F,1s L 8 _,A = F" · s = F"s cos180o = -F"s

a) per il percorso da A aB L 1,_, 8 b) per il percorso da BadA Il lavoro complessivo risulta:

Lr01 =LA. . . n+ L8 _, 11 =- F,,s- F,1s = -2F,1s i' O Si è così verificato che la forza di attrito è non conservativa poiché il corpo ritorna nella posizione iniziale ma il lavoro complessivo è diverso da zero.

6.9. Conservazione dell'energia meccanica totale di una particella Quando un corpo è soggetto soltanto all'azione di una forza conservativa sono valide sia la 6-17 che la 6-19 e quindi si ha: 6-30

da cui 6 -31

La quantità K + U viene chiamata energia meccanica totale del corpo e viene indicata con la lettera E. Poiché i punti A e B sono due posizioni qualsiasi, la 6-30 afferma che: quando le forze agenti su di un c01po sono conservative l'ene1·gia meccanica totale del co1'po rimane costante. Per ogni posizione del corpo si può quindi scrivere: 6-32

E

= K + U = costante

Durante il moto del corpo la sua energia cinetica aumenta o diminuisce a spese dell'energia potenziale cosicché la loro somma, che misura l'energia meccanica totale E del corpo, rimane costante. È questa la ragione dell'aggettivo conservativo che si attribuisce a una forza, per cui vale la 6-17.

Lavoro ed energia

188

Esempi l) Calcolare la velocità v 8 con cui arriva al suolo un corpo di massa m lasciato cadere liberamente (velocità iniziale nulla), da un pun to a quota h sopra il suolo. Soluzione

Il corpo è soggetto alla forza di gravita conservativa mg per cui si può scrivere la 6-31 per le posizioni A e B:

Essendo v 11 =O e hl! =O si ha: /7//7/7/7//7/7//7/7/7//7/7 8

2) Un corpo di massa m

=

VIi =

~2gh11

4 kg inizialmente in quiete è lasciato libero da

N un'altezza h= 3 m sopra una molla di costante elastica k = 500- . Calcolare la massima compressione x subita dalla molla . Soluzione Si consideri come piano di riferimento delle altezze quello passante per B (pw1to di massima compressione della molla)

Durante il moto il corpo è sempre soggetto a forze conservative ossia alla forza di gravità mg e, limitatamente al periodo di tempo in cui è a contatto con la molla, alla forza elastica F, = -kx (dove x è la compressione della molla) per cui si conserva l'energia meccanica totale. Quando il corpo m cade liberamente per il tratto h la sua energia potenziale diminuisce a van-

Forze non conservative

189

taggio della sua energia cinetica. Nel successivo tratto x diminuiscono sia l'energia potenziale gravitazionale che quella cinetica a vantaggio dell'energia potenziale elastica. La massima compressione della molla si ha quando l'energia cinetica si annulla. Indicando conA e B le posizioni iniziali e finali del corpo e osservando che l'energia cinetica iniziale e finale sono uguali a zero, dalla 6-31 si ha: KA+Ug(A)+U" (A) = K 8 +U/ B)+U" (B)=> O+mg(b+ x )+O =

0+0+~kx 2

ossia l'energia potenziale gravitazionale iniziale si trasforma totalmente in energia potenziale elastica. Risolvendo l'equazione rispetto a x si ottiene: x 2 _ 2mg x _ 2mgh k k

=0

da cui, applicando la formula risolutiva di una equazione di secondo grado ridotta, si ha: x

= mg ± k

( mg ) 2 + 2mgb. k

k

Sostituendo i valori si ottiene: x=

4kg·9 8-"l(4kg·9 8-"l- J 2 4kg·9 8-"l- ·3m ~ ,. + ~ ,. +2 ' ~ =(0,0784±0,69)m 500 -;n 500 -;n 500 -;n

Scartando la soluzione negativa si ha x

= O, 77 m .

6.10. Forze non conservative Nella maggior parte dei fenomeni intervengono forze non conservative, come ad esempio la forza di attrito. Tale forza, come si è visto, ha direzione sempre contraria a quella del moto e, quindi, esegue sempre un lavoro resistente diverso da zero. In generale una particella può essere soggetta all'azione simultanea

190

Lavoro ed energia

di forze conservative e non conservative. In questo caso continua natu ralmente a valere il teorema dell'energia cinetica. Se si indica con Ul'energia potenziale corrispondente alle forze con servative e con L,, il lavoro delle forze non conservative si può scrivere:

L,, + [U(A)- U(B)J = K 8 - K A oppure: 6-33

6-34

L," = E(B)-E(A)

La variazione dell'energia meccanica totale del sistema è uguale al lavoro delle forze non conservative. Nel caso più frequente in cui le forze non conservative siano forze di attrito il lavoro di queste è negativo per cui l'energia totale del sistema diminuisce . Esempio Un carrello delle montagne russe di massa m

= 600 kg passa

con velocità v1 =l m su una vetta alta h 1 = 40 m. Calcolare il lavoro s della forza d'attrito se il carrello raggiunge la vetta successiva alta h2 = 30m alla velocità v 2 =lO m . s

Soluzione

Sul carrello agisce sia la forza di gravità conservativa mg , sia la forza di reazione N del vincolo, sempre perpendicolare al profilo del vincolo stesso (binario delle montagne russe) ed infine la forza di attrito Fd sempre tangente alla traiettoria.

Il teorema dell'impulso

191

Si noti che il lavoro della forza N è nullo essendo sempre () = 90° l'angolo formato da N con lo spostamento. Per la 6-33 si ha:

L,, = LF,1 = ( ~mvi + mgh2)- ( ~mv~ + mgh1 ) Sostituendo i valori si ha: L FJ

=~m( vi -

vn+mg(h2- hl)=

= ~600kg[ (10·7f - (l "7f J+ 600kg · 9,8 7 (30nz- 40m) = -29100J

6.11. Il teorema dell'impulso Si chiama impulso di una forza di modulo e direzione costante il prodotto della forza stessa per il tempo in cui essa agisce: 6-35

e si misura in newton · secondi. Si chiama quantità di moto di un corpo il prodotto della massa del corpo per la sua velocità:

p=mV

6·36

e si misura in kg ·m= kg · 11: · s =N · s, ossia nelle stesse unità in cui s

s

si misura l'impulso di una forza. Si consideri ora un corpo di massa m, con velocità iniziale ii0 , sul quale agisce dall'istante t = O una forza F costante in modulo e direzione . Per il secondo principio si ha:

F=m:O. da cm moltiplicando per t (misurato all'inizio del moto) ambo

Lavo ro ed e nerg ia

192

membri si ha: ftt =mat

6-37

a =v- vo ,

Essendo t dove ii rappresenta la velocità del corpo all a fine del tempo t, la 6-37 si può scrivere: 6-38

Ft = mii- mii0

-----

teorema dell'impulso

La 6-3 8 continua a valere anche se la forza è variabile nel tempo purché al primo membro l'impulso della forza sia calcolato nel seguente modo. A

,-----Tratto r,_, 0, i-esimo

B

Figura 6-22

Sia AB la traiettoria descritta dal corpo, sotto l'azione della forza F, c si suddivida la stessa in tanti tratti tali che in ciascuno di essi la forza f.' si possa considerare costante in modulo e direzione e sia F; il valore (medio) della forza nel tratto i-esimo. Applicando la 6-38 a tale tratto si ha: 6-39

dove t ; è l'intervallo di tempo che il corpo impiega a percorrere il tratto i-esimo, ii;_1 è la velocità all 'inizio del tratto i-esimo e ii; la velocità alla fine di tale tratto. Scrivendo la 6-39 per tutti i tratti in cui è sta-

193

Il teorema dell'impulso

ta suddivisa la traiettoria e sommando membro a membro le equazioni così ottenute si ha:

"F;t 1 + F2t 2 + ..... + F;,t

= = (mvl- mvo)+ (mv2- mvl) + ... + (mv/1- mv,_J) = mv/1 -mvo 11

dove vn rappresenta la velocità alla fine dell'ultimo tratto ossia Indicato con l l'impulso della forza agente si ha in generale:

v.

6-40

ossia l'impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo cui essa è applicata. Esempi

l) Un corpo di massa m= 2-1 0 3 kg, inizialmente fermo, deve

essere portato alla velocità vf =lO m nel tempo t = 5 s. Calcolare il s modulo della forza costante da applicare parallela al moto. Soluzione Poiché forza e velocità sono vettori paralleli, l'equazione vettoriale 6-38 proiettata su un asse parallelo ed equiverso ad esse si può scrivere nella forma:

F ·t = mvf

D Essendo V;

=

F

-

mv;

.

Osi ottiene:

mv 2-10 3 kg · lO m_ 1 = F·t=mv 1 ~F=-' =4 · 10 3 N t

Ss

Lavoro ed energia

194

2) Un corpo viene lasciato cadere (da fermo) per t= 5 s lungo la verticale. Calcolare la velocità del corpo alla fine dei cinque secondi . Soluzione

Durante il moto verticale il corpo è sottoposto alla for z:1 peso costante, parallela ed equiversa alla velocità di cadu ta, per cui l'equazione vettoriale 6-38 proiettata su un asse verticale, si può scrivere:

Pt = mv1 -mv; Essendo y

mg;t

V; =

Osì ha:

= mv1

~ g;t

m

= v 1. ~ v 1 = 9, 8-'s·4 · 5s = 49S

3) U na palla di massa m= 150 g viene lanciata perpendicolarmente contro un muro con velocità V; = 9 7. Dopo l'urto la palla rimbalza

indietro nella stessa direzione e con la stessa velocità. Calcolare la forza esercitata dal muro sulla palla e dalla palla sul muro, se la durata dell'urto è l1t = l, 8 . l o-2 s. -

x

Soluzione Si consideri l'asse x riportato in figura e si proietti su di esso l'equazione vettoriale 6-38 tenendo presente che:

195

Conservazione della quantità di moto

a) i segni delle componenti dei vettori noti ii1 e ii; sono posltlvi o negativi a seconda che i vettori corrispondenti siano concordi o discordi col verso dell'asse; b) il segno della componente del vettore incognito (F) viene determinato dai calcoli; c) nel calcolo della 6-38 non bisogna confondere il segno "-" dell'equazione con quello delle componenti. Se F è la forza esercitata dal muro sulla palla si ha: FM = mii f - mii;. Essendo (vf }.,. =vi ' (V;).,. =-v;, la proiezione sull'asse x dell'equazione vettoriale conduce all'equazione scalare dalla quale si ricava F:

F · /';.t = mvf

-m (-v;)

m

_

m)

F ·1,8·10 _2 s=150·10 _3 kg·9-:;:-- 150 ·10 3kg ( -9-:;:150·10-3kg(97 +9 1; ) F=

1,8 ·10-2 s

=+150N

La forza che il muro esercita sulla palla è F = 150 N ed è diretta verso destra, essendo positiva. La forza esercitata dalla palla sul muro, per il terzo principio della dinamica, è:

F= -150N 6.12. Conservazione della quantità di moto La legge di conservazione della quantità di moto vale soltanto per sistemi isolati di particelle, ossia per particelle soggette soltanto alle loro mutue interazioni. Definizione In assenza di interazioni esterne la quantità di moto totale di un sistema rimane costante.

Lavoro ed energia

196

La quantità di moto totale di un sistema è il vettore somma dell e quantità di !!loto di tutte le particelle costituenti il sistema stesso. Se si indica con P la quantità di moto totale di un sistema di n particelle, questa legge si esprime in forma matematica nel modo seguente: 1/

6-41

P= L J1i = P1 + P2 + p3 + ...... + p" = costante l

dove con pi si indica la quantità di moto dell'i-esima particella. Per il caso particolare di un sistema costituito da due particelle la 6-41 si riduce a p1 + p2 = costante, ossia: 6-42

dove pl'p; e p2 ,p; indicano le quantità di moto della particella l e 2 in due istanti qualsiasi di tempo t e t'. L'equazione 6-42 si può riscrivere: 6-43

Indicando con b.p = p'- p la variazione di quantità di moto tra gli istanti t e t', la 6-4 3 diventa: 6-44

Questo risultato indica che per due particelle interagenti la variazione di quantità di moto di una particella in un dato intervallo di tempo è uguale e opposta alla variazione di quantità di moto dell'altra particella nello stesso intervallo di tempo. Esempio Un cannone di massa M= 10 3 kg spara un proiettile di mas-

sa nz = 20 kg con velocità iniziale v = 80 nz . Calcolare la velocità V del s cannone.

Centro di massa e ce ntro di gravità (baricentro)

197

Soluzione

Il sistema costituito dal cannone e dal proiettile è isolato poiché è soggetto alle forze esterne di attrazione gravitazionale della Terra P e di reazione del x suolo N le quali, essendo ~----------------------~ uguali ed opposte, hanno risultante nulla. Le forze che invece provocano l'esplosione sono forze interne al sistema cannone-proiettile e, quindi, non possono variare la sua quantità Ji moto . Dalla 6-42 si ha: mv

P1 + P2= p; + p; Poiché inizialmente sia il cannone che il proiettile sono fermi, si ottiene: O= p; + p;

ossia

O = mv + MV

Proiettando sull'asse x si ha

O= mv+MV =::}V= _!!!... v = - 20kg ·80m =-16m M 10 3 kg s ' s Il segno meno indica che il cannone indietreggia nel verso opposto a quello del moto del proiettile.

6.13. Centro di massa e centro di gravità (baricentro) Per fissare le idee si dà la definizione di centro di massa partendo da un caso semplice. Siano P1 e P2 due particelle materiali di massa m 1 e m2 disposte sopra l'asse x e aventi ascisse x 1 e x 2 •

o

x P,(x,)

CM

Figura 6-23

P,(x 2)

Lavoro ed energia

198

Si definisce centro del sistema, costituito dai due punti, il punto CM situato sulla retta che unisce le due masse la cui ascissa è espressa dalla relazione: 6-45

Se le particelle che formano il sistema sono disposte nel piano o nello spazio, allora bisogna specificare non solo la coordinata x di CM ma anche le coordinate y e z fornite da relazioni analoghe alla 6-45: YoH

=

nzlyl nzl

- nzlzl Z cM -

nzl

+ 11Z2Y2 + nz 2 + nz2z 2 + nz2

In particolare, per nz 1 = nz 2, CM è il punto medio del segmento di estremi P1 (x 1) e P2 (x2). Se si considera un corpo esteso dotato di centro di simmetria, allora il centro di massa coincide con il centro di simmetria. Ad esempio, il centro di massa di una sfera omogenea coincide con il centro della sfera. Si supponga ora che le particelle nz 1 e m 2 si muovono, per semplificare i calcoli, lungo l'asse x. Il centro di massa è ancora individuato dalla 6-45. Siano e le distanze delle due particelle da O dopo un intervallo di tempo M, per cui la nuova posizione di CM risulta:

x; x;

6-45 '

Lo spazio percorso dal punto CM è:

,

/ix;CM =Xc M - X cM

=

(m 1x;+m2x;} (m 1x1 +m 2xJ _,__.:.......;:...____::........:.!..

nzl

+m2

nz 1 (x; -x1 )+m2 (x; - xJ mi +ml

nzl

+m2

Centro di massa e centro di gravità (baricentro)

199

6-46

Dividendo ambo i membri della 6-46 per M si ottiene:

m t.x

m,t.x,

!!t

!!t

-1 -1 + - ·- -·

.

da cm essendo VcM

t.x,

t.x,

t,xCM

= ---;::;-

v 1 = - - e v , = - -- si ha : M M

6-47

La 6-47 si può scrivere anche nella forma: 6-48

ossia: il p1'odotto della velocità del centTo di massa per· la massa totale è ug;ttale alla quantità di moto totale del sistema. _ _ Se ci sono forze esterne (come ad esempio F,, 1 ed F,,2 della Fig. 6-24) che agiscono sulle particelle e che per semplicità si suppongono dirette lungo l'asse x, allora queste subiscono un'accelerazione durante il breve intervallo di tempo M.

v; v;

-

F"

m m

Siano e le velocità di 1 e 2 dopo un intervallo di tempo M. Con un ragionamento simile a quello precedente, si ha:

o x

Figura 6-24

Dividendo per !!t si ottiene: t1vcM _ ( mi +mz ) · ---

M

!!vi

t1vz

M

M

m~ -- +m z --

200

Lavoro ed energia

6-49

e per la seconda legge di Newton

(m, +m2 )·acM

=m 1a1 +m 2a2

= IF. . . + IF2x

Si tenga presente che:

• I F. . . è la risultante di tutte le forze agenti sulla particella m

1,

• IF è la risultante di tutte le forze agenti sulla particella m • IF. . . + IF è la risultante di tutte le forze che agiscono sul siste2_,.

2

2_,.

ma. In base al terzo principio di Newton, per ciascuna forza esercitata da m 1 su m 2 c'è una forza uguale e contraria esercitata da m 2 su m 1

(F2 1 =- ft; 2 ). Ne segue che quando si sommano le forze che agiscono sul sistema costituito da due particelle, allora le forze interne si elidono per cui la forza risultante + 2_,. agente sul sistema si riduce alla risultante delle forze esterne. L'equazione 6-49 può essere quindi scritta nella forma :

IF. . . IF

6-50

F.,, + F..2= MacM

ossia il centro di massa si muove come una particella di massa M= m 1 + m 2 sotto l'influenza della risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema. È facile generalizzare dal caso particolare di due particelle in una dimensione a molte particelle in tre dimensioni. Se la risultante delle forze esterne è nulla, la 6.50 si scrive:

11vcM m 1 (v;- v,)+m 2 (v; - v 2 ) MacM = O::::} a 0 w = O::::} - - = ( ) =O 11t 11t m 1 +m 2

Centro di massa e centro di gravità (baricentro)

201

da cui 6-51

ossia

Pt + P2 = p; + P~

6-52

Questo importante risultato (principio di conservazione della quantità di moto) è stato già enunciato nel§ 6.12 . Un concetto simile al cenu·o di massa è il centro di gravità (CG), detto anche bm'icentro, ossia il punto in cui si può considerare che agisca la forza di gravità.

Figura 6-25

In realtà la forza di gravità agisce in tutte le diverse parti o particelle che costituiscono il corpo e formano un insieme di forze parallele ed equiverse (Fig. 6-25). Sostituendo nella 6-45 le masse con i loro pesi, si ottiene la formula che definisce le coordinate del centro di gravità o baricentro:

6-53

Se g è costante in tutti i punti del sistema, il che si verifica in corpi non eccessivamente estesi, allora può essere messo in evidenza e semplificato:

202

Lavoro ed energia

6-54

Ne segue che il baricentro coincide con il centro di massa.

e

Spesso è più facile determinare il CM o CG di un corpo· sperimentalmente piuttosto che analiticamente. Se l'oggetto è bidimensionale è sufficiente appenderlo per due punti diversi e tracciare per ciascuno la rispettiva linea verticale. Il centro di gravità si troverà all'intersezione delle due linee (Fig. 6.26).

A

8

Centro di

massa

D Figura 6-26

Esercizi l. Un corpo è lanciato verticalmente verso l'alto alla velocità

m 30- . Calcolare la massima altezza raggiunta trascurans do la resistenza dell'aria. V0 =

Il corpo è sottoposto solo alla forza peso, che è una forza conservativa, per cui si può applicare il principio di conservazione dell'energia. Si supponga che il moto inizi nell'origine dell'asse y verticale e orientato verso l'alto. Si ha:

y Yma.r

8

U(O)+K 0 =U(Ymax )+K 8 • Poiché l'energia

vo o

potenziale in O e l'energia cinetica nel punto più alto B sono nulli

(v8 =O), si ha:

203

Esercizi

l

J

O+ 2.mv0 = mgy""' +O

!v !(3om) 2

y

-2 0 _2

m ax _g_

s

98m

2

450m 2 2 = - -5 -=46 m 98m

' s2

, s2

2. Un corpo di massa m= 0,1 kg si muove alla velocità v ; = 2m su s un piano orizzontale liscio verso una molla di costante elastica

k = 50 N. Calcolare la massima compressione della molla. m

Si fa coincidere la posizione di equilibrio occupata dall 'estremo libero della molla con l'origine O dell'asse x e sia A la posizione in cui il corpo si ferma. m

P+

•• O

A

Nel sistema, che si considera isolato, le energie presenti sono quella cinetica del corpo e quella elastica della molla la cui somma è l'energia totale E che rimane costante. Prima dell'urto l'energia è tutta cinetica: E; = K;; durante la fase di compressione tale energia viene progressivamente trasformata in energia potenziale elastica finché il corpo non si ferma e l'energia si trasforma completamente in energia elastica Ef = (U" )f . Essendo

204

Lavoro ed energia

essendo

3. Un proiettile di massa m= 10 g si muove orizzontalmente alla velocità v

= 200m e

colpisce un blocco di piombo di massa s M= 50 kg, appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito. Dopo l'urto il proiettile resta all'intemo del blocco. Calcolare la velocità V del sistema blocco-proiettile dopo l'urto.

!~ \. x

Il sistema costituito dal blocco di piombo e dal proiettile è isolato nella direzione del moto cP ed N perpendicolari alla direzione del moto) per cui si conserva la quantità di moto P;=p1 . Tenendo presente che inizialmente il blocco di piombo è

fermo si ha: mv = (m+M)V e proiettando sull'asse x si ottiene: mv=(m+M)V dacui V = __!!!__ v = O,Olkg · 200m= O 04 m m+M (0,01+50)kg s ' s Essendo V> O allora il sistema blocco-proiettile si muove nel verso positivo dell'asse x .

Esercizi

=l

4. Un corpo di massa m

205

kg viene lanciato verso l'alto con

velocità v A =20m da una posizione A. Ad una quota h= 5m al s di sopra di A si trova l'estremo libero di una molla di costante elastica k = 10 4 N ancorata al soffitto (cfr. figura). Calcolare m la compressione massima subita dalla molla. y

Si fa coincidere la posizione iniziale A del corpo con l'origine O dell'asse y verticale e orientato verso l'alto. Si indicano con U/! e U" le energie potenziali, rispettivamente gravitazionale ed elastJca. Poiché si è in presenza solo di forze conservative (peso e forza elastica), si conserva l'energia meccanica. 2 +!mvA 2 =!mvA 2 E=(U) +(U,) . +K. =m:g·O+!k0 g i ' 2 2 2 l

l

l

E1 =(U) +(U , )1 +K1. =m:g(h+x g f

'

= mg(h + xm:u: )+ ~kx:..

mox

2 2 = )+!kx 2 "= +!m0 2

206

Lavoro ed energia

per cm

2

l ( 20m ) =lkg-98m ( 5m+x -lkg·

2

s

' sl

max

) +-·10 l 4 -N x 2 2 m

lll:J...\:

nz 2 m2 nz N , 200kg~ = 49kg~ + 9,8kg--zxmax + 5 ·10l -x~,ax

s s s nz 2 l N 2 m m 5·10 -X 111 ~, +9,8kg--zxm""- 15lkg2 =0 m s s

da cui semplificando si ottiene l ' 5·10 l -x~"L'

+9,8xonax -15lm=O

11Z

xmax

-9,8 ± .J96 + 302 ·10 4 = -9,8 ± 1737,8 m= 0 17 m 104 104 ' m

5. Una pompa solleva una massa d'acqua m all'altezza h= 20m a velocità costante, impiegando una potenza~= 1,5 kW per 20 minuti. Calcolare la massa d'acqua sollevata. La pompa fornisce una potenza:

ç}

= !:... Il lavoro compiuto dall a

t pompa per sollevare la massa d'acqua all'altezza h è uguale e contra rio a quello compiuto dalla forza peso. Questo lavoro corrisponde all'aumento dell'energia potenziale dell'acqua sollevata: L = mgb, avendo supposto che l'acqua si trovi inizialmente a quota h= O. Ne segue che:

"" - mgb -u--

t

_ çp., _1,5·10l W·20·60s _ 9 2 ·lOlk -, g gh 9,8 ; · 20m

~m--

N-nz W·s - - - s essendo - - = ___,s'---="_ m m2 - ·m 2 s 7

m kg· 2 ·nz s2 =kg m s2

Lavoro ed energia - Test di verifica

207

Test di verifica l. Una forza si dice conservativa quando: a) ha sempre la stessa direzione e verso opposto allo spostamento b) non compie alcun lavoro per qualsiasi spostamento c) il lavoro dipende solo da l punto di partenza e da quello di arri vo, non dal percorso d) il lavoro è proporz.ionale alla lunghezza de lla tra iettoria descri tta

2. Un uomo di massa m = 70 kg sale lungo una fune verticale lunga i = 10m in 5 s. La potenza media sviluppata durante la salita risulta: a) 1372 W b) 1000 w c) 1,3 kW d) 0,5 kW 3) Un corpo di massa m= 1,0 kg viene lanciato verso l'alto con velo-

m s

cità v, = 20- e raggiunge l' altez-

n

za h = 10m. lavoro compiuto dalla resistenza dell'aria risulta: a) -50 J b) -98 J c) - 102 J d) -1 00 J

4. Quali sono le proprietà che caratterizzano le forze conservative? a) Non producono van azwne di energia potenziale b) Non producono variazione di energia cinetica c) Il lavoro è sempre null o, qu alsiasi sia la tra iettoria d) Il lavoro compiuto è nullo quando il corpo ri torna al punto di partenza

5. Una forza

F opera per un tratto

rettilineo AB su un corpo inizialmente fermo, conferendo ad esso una energia cinetica Kr- Una forza 2 F che opera su un tratto 2 A B conferisce allo stesso corpo inizialmente fermo l'energia cinetica pari a: a) 4KF b) 2 K F c) 3 KF d) 5 KF

6. Un corpo A possiede una velocità quadrupla di un corpo B. Se le loro energie cinetiche sono uguali, determinare il rapporto delle corri-

Lavoro ed energia - Test di verifica

208

spondenti

quantità

di

moto:

b) 300 J c) 250 J

d) 200 J a)

8. Un c01-po A ha una massa m A doppia e un'energia cinetica K.~ quadrupla del corpo B. Il rapporto

2 l

b)

4

VA

-:;;---- risulta: 8

l c)

8 a)

d)

3

7. Nel grafico riportato in figura è rappresentato l'andamento dell'intensità di una forza F in funzione dello spostamento agente su un corpo che si sposta tra due punti O e B distanti tra loro d = 20 m. F

c

20N ___ ___

b)

fj

c)

J2 fj

d)

2

9. Un atleta sviluppa in un minuto la potenza @l = 80 W. Il lavoro prodotto risulta: a)

4,8-103 J

b) 5·10 3 1 c)

6·103 J

d) 1,5·103 J B 20m

n

x

lavoro compiuto dalla forza variabile risulta: a) 150 J

10. Una molla possiede energia potenziale elastica U,r Stabilire con quale formula si può calcolare l'allungamento della molla.

Lavoro ed energia - Test di verifica

a)

b)

)k~"

Ri

c)

~ l

d)

P~"

209

1) c. Per definizione, una forza è conservativa se il lavoro che compie per passare da una posizione iniziale A a una finale B non dipende da lla forma dell a tra iettoria, ma solo dalle posizioni estrem~. 2. a. Dalla definizione di potenza, si ha:

- L q; = - . Si consideri l'asse vertica le y t

orientato verso l'alto. Affinché l'uomo possa salire lungo la corda deve esercitare su di essa una forza in modulo almeno pari al modulo della forza peso che agisce sul suo corpo. Poiché l'uomo compie un lavoro L = mgh si ha:

9 8 ~ ·1 0m l 70kcr ç'p- mg1o ' ,-

=

1372 W

Ss

t

3) c. Il lavoro della forza non conservativa F, (resistenza dell'aria) è uguale alla diminuzione di energia meccanica:

L 1~ y

o

=

E1 -E; ::::} L,~ = (u 1 +K1 )-(u; +KJ

Supponendo che il lancio avvenga nell'origine dell 'asse y verticale orientato verso l'alto e tenendo presente che la ve locità nel punto più alto è null a, si ha:

(mgh +1mv~ )-(mgh;+1mv: ) = (nzgh +O)- (O+ 1mv: )= mgh -1nzv:

L F. =

1

L F.

1

1

1 =l ' Okcr - 9' 8~ -10m -~ l ' Okcr(20-"'-) = -1021 b b s 2 1•

4) d. È una conseguenza dell'indipendenza del lavoro di una forza conservativa dalla traiettoria (cfr. § 6.5).

211

Lavoro ed energia - Soluzioni

5) a. Per il teorema dell'energia cineòca, relaòvamente alla forza

- -

l 2

'

L,. = F · AB= FABcos0° = FAB = -mvr· .

l 2

' '

- mv ~

F si ha:

= Kr - K'

ed essendo V; = O si otòene: FAB = K,... Per la forza 2F nel tratto 2AB si ha:

Lu. =2F·2AB=4(F·AB)=4K,.. 6) b. Valgono contemporanea mente le rela zioni: l~ :z . 2 ??l AVA 2.

V 11

2

__

-

,

2 _

.1

21/l BV/J ~m _., V ; / -11t/JVIJ

= 4v/J

Dividendo ambo i membri della prima relazione per m 8 v~, si ha:

Inserend o nell 'ulòma espressione la 2. si otòene:

v~, Essendo inoltre

( 4v" )'

16v!

16

!!..1. = 4 si ha VIJ 11Z AVA

11lA . V A

m 11 v"

m8

v8

l ·4=16 4

7) d. Tenendo presente che il lavoro compiuto da una forza variabile che sposta una paròcelia tra due punò è uguale all'area sottostante il grafico della forza F e le ordinate tra i due punò, si ha:

212

Lavoro ed energia - Soluzioni

8) c. Dal testo risulta

m 11 = 2m 11 l 2

'

-m A v~

l ' = 4-m 8 v~ 2

,

'

da cuj: nt 11 V~ = 4m 8 v~

Dividendo ambo i membri per m uv:1 si ha:

e sostituendo 2m/J a

9) a. Essendo CfP

=!::__~L= CfP · 8.1 =

80W ·60s= 4,8 · 101 J

M

l , 10) d. Essendo U , = -kx· , 2

~ x =

~2Ud -k

7. Fluidi :>;> :>;> :>;> :>;>

7.1.

Pressione in un fluido Legge di Stevlno e di Pascal Principio di Archimede Teorema di Bernoulli

Pressione

Nel caso dei fluidi (liquidi e gas) il concetto di forza applicata in un punto non ha significato poiché per agire su un fluido è sempre necessario esercitare una f~rza mediante una superficie. Ad esempio, si può esercitare una forza F sul pistone a tenuta di un cilindro contenente fluido e tale forza è distribuita sull'intera superficie del pistone. Poiché la stessa forza, a seconda della superficie e del modo in cui agisce, genera effetti diversi, per descriverli viene definita la grandezza pressione. In questo capitolo verranno trattati solo liquidi ideali, ossia liquidi incompressibili (densità costante) e privi di attrito interno. Si consideri un punto Q all'interno di un liquido e una superficie passante per Q e comunque orientata. Si può, per esempio, pensare di materializzare questa superficie mediante il pistone L\S di un cilindro in cui è stato fatto il vuoto e collegato alla base da una molla (Fig. 7-1). Quando lo strumento viene immerso nel liquido, il fluido spinge il pistone L\S verso l'interno e comprime la molla finché Figura 7-1 la forza verso l'interno applicata dal fluido viene equilibrata dalla forza verso l'esterno esercitata dalla molla. La forza esercitata sul pistone dal fluido si può misurare direttamente, se la molla è stata preventivamente tarata, in modulo e direzione.

Fluidi

214

Se F è il valore della forza esercitata dal fluido sul pistone ed A è l'area del pistone L1S, allora la pressione nel punto Q del fluido è definita dal rapporto tra forza e area:

F P=-

7-1

A

Dando successivamente al cilindro diverse orientazioni si può verifi care che la pressione esercitata dal liquido è, in modulo, indipendente dall'orientazione del cilindro ossia dall'orientazione di L1S intorno a Q ed è sempre perpendicolare a tale superficie. È dunque lecito parlare di un valore della pressione del fluido nel punto Q senza ulteriori specifi cazioni sottintendendo che tale pressione si esercita sempre in direzione normale (perpendicolare) ad una qualsiasi superficie passante per Q.

!'J.S,

Figura 7-2

La pressione ha quindi le dimensioni di una forza diviso un'area. L'unità internazionale è il pasca/ (simbolo Pa) che corrisponde ad un newton a metro quadrato ( ; ) . Altre unità sono: bar: l bar = 10 5Pa mbar (millibar): lmbar = 102Pa f.Lbar (microbar): lf.Lbar = IQ· 'Pa atmosfera: pressione media esercitata a livello del mare a t = 0°C

Legge di Stevino

215

l mmHg (millimetro di mercurio): lmmHg = 760 atm

= 1,32-10-

l

atm

Il millimetro di mercurio è chiamato anche torr in onore di Torricelli.

7.2.

Legge di Stevino

Per descrivere il comportamento di un fluido è necessario conoscere il concetto di densità (assoluta) di un corpo omogeneo. Definizione

La densità è il rapporto tra la massa m del corpo e il volume V da esso occupato: m p=-

7-2

v

e si misura in kg . ml Si consideri un fluido in equilibrio di densità p contenuto in un recipiente. Sia y l'asse verticale orientato verso l'alto con l'origine O coincidente con la superficie libera del liquido (Fig. 7-3). y Acqua

f', A

Y, - - , --.- t--..,

y2

j

Campione.../ A

f',

Livello l, p 1

Livello 2, p 2 mg i

Figura 7-3

Fluidi

216

Si consideri un campione d'acqua contenuto in un ipotetico cilindro retto con sezione di base A, e siano y 1 e y 2 (quantità entrambe negative) le quote, rispetto al riferimento considerato, della faccia superiore e inferiore del cilindro immerso. Le forze che agiscono sulla porzione di fluido sono: • le forze che agiscono sulla superfìcie laterale del cilindro: poiché la porzione di fluido non si muove orizzontalmente allora la loro risultante è nulla; • le forze che agiscono sulla faccia superiore e su quella inferiore: F 1 = - P 1A, F2 = P2 A; • il peso della porzione di fluido considerato. m Essendo P = V => m

= pV

e poiché il volume del cilindro è

V= A(y 1 - y 2) allora il peso del volume del liquido risulta: P= - mg = -pA(yl - Yz)g. Poiché il fluido è in quiete, allora la risultante delle forze che agiscono sulla porzione di fluido considerato nella direzione verticale deve essere nulla: -P1A + P2 A - pA(y 1 - y 2)g = O

legge di

7-3

dove pg(y 1- y 2) rappresenta la pressione esercitata sulla base inferiore del cilindro dal peso del fluido in esso contenuto. Infatti

mg

A

= pA(y1 - yz)g = pg(y1 - yz). Dalla 7-3 si deduce che in un fluido A

in equilibrio la variazione di pressione P2 ,- P1 è proporzionale alla variazione di quota (y 1 - y2) e alla densità del fluido p.

Legge di Stevino

P,

Acqua

217

t

-h

p-t_ ____

Livello 2

Figura 7-4

Si supponga ora che, come è indicato in Figura 7-4, la porzione di fluido scelta in precedenza abbia la base superiore a livello della superficie libera dell'acqua (y 1 = O) e quella inferiore a quota h (y2 = - h) e si supponga che sulla superficie libera del fluido agisca una pressione esterna P,. Si ha: P 1 =P,, P 2 = P(h), per cui la 7-3 diventa: P( h)= P, + pg[ 0- (-h)] 7-4

P( h)= P,+ pgh

Nel caso di un recipiente aperto P, coincide con la pressione atmosferica P0 ossia il peso per unità di superficie della colonna d'aria sovrastante la superficie libera del fluido. Partendo dalla 7-4 è possibile dimostrare che la pressione non dipende dalla forma del contenitore. Qualsiasi contenitore può essere infatti idealmente diviso in tanti cilindri paralleli e di altezza infmitesima tJh di sezione variabile (Fig. 7-5).

Figura 7-5

Fluidi

218

Sulla faccia superiore del cilindro n. l agisce la pressione esterna, mentre alla base di esso, per l'equazione 7-4, si genera una pressione P1 =P, + pg1'1h che non dipende dalla sezione del cilindro preso in esame e che agisce da pressione esterna sulla base superiore del cilindro n. 2. Alla base inferiore del cilindro n. 2 si genera una pressione P2 = P1 + pg1'1h = P, + pg!:J.h + pg1'1h =P, + 2pg1'1h

Si supponga di aver diviso l'altezza h del contenitore in n cilindri di altezza t:.h. Per trovare la pressione alla profondità h occorre sommare i contributi di tutti gli n cilindri e, indipendentemente dalle sezioni di ciascuno di essi, si ottiene: P( h)= P,+ pgn1'1h =P,+ pgh

7-5

Esempio

Calcolare la pressione del mare alla profondità h

essendo la densità media dell'acqua p= 1025

k~

m

= 4000

111

e la pressione esterna

coincidente con la pressione atmosferica, P,= P0 = 1,013 ·10 5Pa. Soluzione Applicando la relazione 7-4 si ha:

P(h) = P0 + pgh = 1,013 ·105 Pa+ 1025 k~ · 9,8 m

n:· 4000m = 4,1·10 Pa s 7

kg m kg m N essendo - · - ·m=- ·-=-=Pa m J sz mz / mz

7.3.

Applicazioni della legge di Stevino

In un fluido in equilibrio la pressione esercitata su una sua sezione, comunque orientata, deve essere uguale da entrambi i lati, altrimenti il fluido non sarebbe in equilibrio (Fig. 7-6).

Applicazioni della legge di Stevino

219

Figura 7-6

L'equazione 7-4 ricavata tra due punti posti sulla stessa verticale continua a valere anche per due punti qualsiasi, tra i quali esiste una differenza di quota h, purché i due punti possano essere collegati da un percorso che giace all'interno del fluido. Vasi comunicanti Se si versano due liquidi non miscibili e di densità diversa (per esempio acqua e mercurio) in due vasi comunicanti si osserva che essi si dispongono ad altezze diverse (Fig. 7-7). p"

-

"'u ::l

O'

t sono i volumi delle due regioni ABB'A' e CDD' C' che, come si è detto, se il liquido è in compressibile devono essere uguali ed essendo costante la densità p del liquido si può scrivere: 7-24

avendo indicato con nz la massa di liquido contenuta nella regione A BB'A' e quindi anche in CDD'C'. Sostituendo la 7-24 nella 7-23 si ottiene: 7-25

Il lavoro Le della forza di gravità si può esprimere tramite la variazione di energia potenziale gravitazionale del liquido tra le due configurazioni ABDC e A' B' D'C'. Poiché l'energia potenziale gravitazionale del liquido compreso tra A' B' e CD è la stessa nelle due configurazioni, la sua variazione è solo quella delle due masse nz contenute in ABB'A' e CDD'C'. Indicando allora con h1 e h2 le quote dei baricentri delle suddette masse, si può scrivere: 7-26

Analogamente la variazione di energia cinetica del liquido è solo quella delle due masse nz contenute inABB'A' e CDD'C', ossia:

Dinamica dei fluidi id eali . Teorema di Bernoulli

231

7-27

Sostituendo la 7-25, 7-26 e 7-27 nella 7-22 si ottiene:

.!_nz (v~

7-28

- vn = nzg( h - hz)+ nz (P

1 -

1

P2 )

-=------....1

f!. Dividendo per nzg e raggruppando in modo diverso i vari termini la 7-28 diventa: 2

2

2

v2 Pz h vl P, h -+-+ 2g pg ,- =-+-+l 2g p~g_ _ _ _ _ _ _....

7-29

e poiché gli indici l e 2 si riferiscono a due posizioni qualsiasi lungo il condotto, si può scrivere: v2

p

- + - + h = costante 2g pg

7-30

Si osservi che i tre termini della 7-30 hanno le dimensioni di una lun2

ghezza: il termine ~ viene chiamato altezza di arresto perché è l'al-

2g

tezza a cui arriva un corpo che viene lanciato verticalmente verso l'alto con velocità iniziale v . p

Il termine -

pg

è chiamato altezza piezometrica perché rappresenta

l'altezza che dovrebbe avere una colonna di fluido in un piezometro (tubo verticale aperto) per esercitare sulla base una pressione P. Spesso l'equazione di Bernoulli viene scritta nella forma: 7-31

Fluidi

232

7. 7. Applicazioni della legge di Bernoulli • Fluido in equilibrio. Quando un fluido è fermo v 1 = v 2 l'equazione 7- 31 diventa: pt

+ pghi = Pz + pgh2 => PI

P1

-

P2

=

O per cui

Pz = pgh2 - pghi = pg( h2- hJ => Pf- P2 = pg!J.h -

che rappresenta la legge di Stevino. • Legge di Torricelli. Un serbatoio aperto contenente un fluido di densità p presenta una apertura di area AI> su di un lato a distanza y 1 dal fondo del serbatoio stesso (Fig. 7-16). Il foro è a contatto con l'atmosfera e il suo diametro è molto piccolo rispetto a quello del serbatoio (A 1 « A 2) . Si applica l'equazione di Bernoulli tra Figura 7-16 i punti l e 2 tenendo presente che, essendo A 1 « A 2 , la velocità con cui la superficie libera del liquido scende è approssimativamente nulla, v 2 = O, e la pressione su A 2 e su A 1 è quella atmosferica P 0 si ha: l 2 Po +2_pv1 + pgyi

l

2

= Po +2_pv2+ pgy2

l 2 2l pvl2 + pgyl = pgy2::::} 2_VI = g)'2- g)'

I

In altre parole, per un serbatoio aperto la velocità del liquido in uscita da un foro a distanza h sotto la superficie è uguale a quella acquistata da un oggetto in caduta libera lungo una distanza verticale h.

App licazioni de ll a legge di Bernou ll i

233

• Aneurismi e stenosi. v2 P 1

~

l

:s,

2:

s,

~

Si consideri il vaso sanguigno orizzontale (hl = hz = O) e si applichi il teorema di Bernoulli.

a) Aneuri sma

b) Stenosi Figura 7·17

per cui

a) Aneurisma: s 2 >SI allora p2 > PL e l'aneurisma tende ad allargarsi ulteriormente. b) Stenosi: essendo S2 < S1 allora P2 < P1 e la stenosi tende a restringersi ulteriormente.

Fluidi

234

Esercizi

k~ pesa 0,5 N m in aria e 0,4 N quando è completamente immerso in un liquido. Calcolare la densità del liquido.

l. Un cilindro di piombo di densità {Jpb = 11,3 ·10 3

p Dalla relazione 7-19 p _ P' rispettivamente O,SN O,SN -0,4N

il

peso

11,3 ·10

3

:; ) •

reale

kg

3

- 3 7/Z'. ""'

- --

P

2. Un cubetto di ghiaccio

(P = 10

P;

= p dove

(

=> 5 =

e

quello

11,3 ·10

3

apparente,

si

ha:

kg

k m =>p= 2 26 ·10 3 ____:[_

-3

'

P

3

Pgh

P e P' rappresentano

m3

kg) galleggia in acqua

=O, 92 ·10 m3

Calcolare la frazione del volume del cubetto

immerso.

,

.

v;

P gh

.

v o 92·10 i -

Dali equaziOne 7-16 V = - si ha: V -

p Essendo

v;

v

'

10

3

3 kg

k~

"''

- O 92 -

'

"'

·100 = 92% si può affermare che il 92 % del volume

totale del cubetto è immerso nell'acqua mentre il restante 8% emerge.

3. Una sfera di piombo

(PPb = 11,3 · 10

3 :;)

intemamente cava

pesa 6 N in aria e 4 N quando è completamente immersa in acqua. Calcolare il volume della cavità.

235

Esercizi

Dai dati del problema si ricava la spinta di Archimede:

A= P- P'= 6N- 4N = 2N Poiché il volume di acqua spostata coincide con il volume della sfera V =Vsf(.'J'll , dall'equazione di Archimede si ricava: l

A

= p~g = pVsfemg

da cui

Il volume trovato è la somma del volume del piombo e del volume della cavità:

Poiché la sfera pesa 6 N, allora il volume di piombo corrispondente deve essere:

P= mPbg = PPbVPbg da cui P 6N V ---Pb - 11 3 10 3 kg 9 8 PPb g ' . -::1 . ' ?

4. Un corpo di massa m fondo del mare

= 5,4 -10-5 m 3

= 70 kg e volume V

=

3 -10-2 m 3 giace sul

(P,,,,= 1,025 ·10 ~ JCalcolare la forza F 3

minima per sollevare il corpo. La spinta di Archimede a cui è sottoposto il corpo risulta: 3

kg

A=p,.,,V,g=1,025·10 -

11Z

3

2

3

11Z

z

·3 ·10- m ·9,8 2 =3·10 N s

236

Fluidi

Poiché il peso del corpo è P= mg = 70kg · 9,8

n: = 6, 9 ·10 N 2

s-

allora la forza F concorde con A per sollevarlo risulta: F +A= P==> F =P- A= 6, 9 ·10 2 N- 3 ·10 2 N= 3, 9 ·10 2 N

5. Nel tubo riportato in figura scorre un fluido la cui densità è p=0,82·10 3

k~·

m

Nella sezione S 1 di raggio r 1 =1,5·10-2 m la

pressione e la velocità sono rispettivamente P1

= 2 ·10 5 Pa e

v 1 = 0,4 m. Determinare la pressione P2 del fluido nella sezios ne S 2 di raggio r 2 = 0,5 ·10-2 m posta ad una altezza h= 3m rispetto a quella della sezione S 1 . Dall'equazione

di

continuità

Q= S1v 1 = S2v 2 si ha:

Tenendo presente che h1 = O, dall'equazione di Bernoulli si ricava p2.

237

Eserciz i

l

5

3

kg m3

(

2 '

2

'

J kg m s - 0,82·10 - 3 ·9,8 2 ·3m=l,7·10 Pa

m

s

)'

(

m - l m 3 kg --0 82·10 - · 3 6s 2 ' m3 s '

P = 2·10 Pa+-0 82· 10 - · O 4-

)2+

Flui di - Test di verifica

Test di verifica l. In un torchio idraulico i raggi dei pistoni sono r 1 = l m e r 2 = IO-' m . Il rapporto tra le inten-

sità delle forze

F;

risulta:

Fz a)

50

rispetto a quella dell'acqua (

~)

risulta: ·a) 0,75

b) 0,15

c) 0,80 d) 0,25

b) 100 c) 25 d)

2. In due vasi comunicanti sono contenuti due liquidi non miscibili. Se il rapporto delle loro densità

!i = 2, p,

4. Attraverso la sezione di un condotto passano 12m3 di acqua in 2 h. La portata del condotto risulta: a)

11lll1

allora il rapporto tra le b)

. . aI tezze -h, nsu . I ta: nspettl.ve h,

L 100 - . L 400 - .

mm 3

c)

12·10-J ~ , s

d)

3·10-J ~ s

5.

In un condotto il rapporto tra i

a)

l

b)

4

c)

2 d) 4

3. Un corpo galleggia in acqua con un quarto del suo volume immerso. La densità del corpo

diametri di due sezioni è

d _l_ =

d,

4 . Il

rapporto delle velocità !!.!_ risulta: v, a)

l

4

239

Fl uidi - Test di verifica

8. La pressione esercitata da una colonna di mercurio

b) 16

(PHg

c) 2

6. Un 'corpo immerso totalmente in un fluido ha peso apparente P' pari ad un quarto del peso reale P. La densità p del fluido rispetto a quella del corpo Pc risulta:

5 a) p =- p

3 b) p = 4p,

c) 20m 3 d) 4·10-3 L

In un condotto scorre acqua

IO' :, ) in regime stazionario.

= 5 ·I0 5 Pa.

La massima altezza h,"'. raggiunta dall'acqua, essendo la =;

40 N

IO' :, )pesa

P'= 30,2N. Il volume del corpo risulta: b) 500 L

c) 20 cm

~

Un corpo in aria pesa P

1· 10-

108 cm

b) 50 cm

Nel punto di partenza la velocità è nulla (v1 = O) e la pressione

4 '

a)

a)

(p=

l d) p= - p

3m l

la glicerina risulta:

9.

l p=2p,

mentre in acqua (p=

(Pg1 = 1,26 ·IO':,} L'altezza del-

d) 118 cm

4 '

7.

·IO':,) alta IOO mm è

uguale a quella esercitata da una colonna di glicerina

d)

c)

= 13,6

pressione a tale quota P2 = P0 , risulta:

- -------- -- __ l h max

240

a)

Fluidi - Test di verifica

10 11Z

aumenta di Ili'= 15 kPa rispetto al valore sulla superficie. La distanza di Q dalla superficie è:

b) 50 11Z c)

41nz

d)

100 11Z

a)

lO) In un punto Q al di sotto della superficie libera del mare

(P,,"~ = l , 03 · 10 :~ 3

)

la pressione

4 nz

b)

10m

c~

2m

d) 1,5

11Z

241

Fluidi - Soluzioni

Soluzioni 1. b. Dall'equazione 7-12 si ha: }i = F, A, A,

~ F; F,

=_:i = A,

nr,' nr,'

=

(lm)'

=

~ = lOO

(w-'m)' 10-' m'

. 7- 7 SI. ha: _p, = _h, . Essen do _P, = 2 a11 ora ~ p, = _1 per 2) c . .Da11,equazwne P,

3) d. Dall 'equ azione 7-1 6

-l v

.1__ = P, per cui P, v p p

h,

V, = P,

v

P,

ed essendo

P,

V

'

p

=.!..v

2

s1 ottiene:

4

= 0 25 '

4) a. Esprimendo i metri cubi in litri (12 m 3

= 12 · lO' L) e il tempo in minuti

V 12·10 3 L L (2h = 2 · 60 min ) siha: Q = - = = 100t 2 · 60 min min 5) b. D all'equa zione di continuità v,A, = v,A, si ha:

n('t )'

v, A, d; v, = A, = n(~ )' = =

:: =

(± )' l~

d:

(d,)' d: .

Essendo

d,

d,

l

.. .

d, = 4 ~ d: = 4' per cm s1 otti ene:

Fluidi - Soluzioni

242

6) b. Essendo P'

l

= -P 4

mg- pV.g

=

e poiché P - A

l

= P' si ha P - A = -P da cui: 4

l

l

l

-mg =} nz- pV =-m=} p V- pV =-p V 4 4 ' 4 '

7) a. Essendo nota la spinta di Archimede, P- P', si ricava il volume del corpo:

P - P'=A=pV:g=}40N - 30,2N=l0 3

k~

V:·9,8

nz

~

s-

m N

kg·2

essendo -k- - = -k s = m 3 g m g m m3

m3

. /

·;

8) a. Uguagliando le pressioni idrostatiche si ha P H.~ =

Pg1, per cui:

Pllgghlfg = Pg,ghg, l

kg kg ·100 l0-3 m = 1,26 10 3 - h m m ' gl

13,6 ·lO l

l

kg

l

13,6 ·10 ---;- · 100·10- m hgl

=

m l 26·10 3 kg ' ml

= l, 08 m = 108 cm

243

Fluidi - Soluzioni

9) c. Quando l'acqua raggiunge l'altezza massima la velocità è nulla (v2 = 0). Si

app lica l'equazione di Bernoulli ~ +

2l pv,' + pgb, = P, + 2l pv: + pgb, tenendo

presente che

v, =O, b, =O

e P0 = 1,013 ·10 5 Pa

si ha

5 ·10 ' Pa = 1,013 · lO ' Pa+ 10 ' 3kg -9,8 2m ·h,"' m s

10) d. Dalla legge di Stevino si ha: PQ = P0 + pgb PQ - P0

= pgb

Essendo PQ = P0 + M si ottiene: Po +M- Po = pgb M= pgb

~

M 15· 10 3 Pa b = - = - - --o-- - - = l 5 m pg 1,03 10 3 -kg _ _9 8m '

nz 3

'

s2

Appendici

ELENCO SIMBOLI UTILIZZATI NEL TESTO a

vettore accelerazione

a

accelerazione media

a,

accelerazione centripeta

A

spinta di Archimede

CM CG

centro di massa centro di gravità energia meccanica totale frequenza

E

f p

vettore forza

F;, F;,

forze di attrito statico e dinamico

g G

accelerazione di gravità costante gravitazionale universale hertz

Hz I J

impulso joule

K

energia cinetica media

L

"' LA~ H

lavoro di forza non conservativa lavoro di una forza da A a B

1n, M N

massa di un corpo newton

N

p

forza normale quantità di moto

p

pressione

[l'

potenza

Pa

pasca!

p

densità

r

vettore posizione

s, t.r

vettore spostamento

245

246

Appendici

T

periodo

T

tensione esercitata da una corda

u, ug

energia potenziale gravitazionale

u"

energia potenziale elastica

v

volume

v"'

vettore velocità media

v

vettore velocità scalare media

v

vettore ve locità

-

())

pulsazione, velocità angolare

w

watt

a· b

prodotto scalare tra i vettori a e b

T,],k

versori fondamentali

J.l,,J.l,,

coefficienti di attrito statico e dinamico

Il

simbolo di parallelismo

l_

si mbolo di perpendicolarità

Appendici

247

Alcune costanti fondamentali Simbolo

Valore'

Costante dei gas

R

8,3 14472 (15)]/mol ·K

Costante di Boltzmann

kB= -

1,380 650 3 (24) x

Costante di Coulomb

k = - 1' 4nt:0

8,987 551 788

Costante di Planck

h

6,626 068 76 (52) x

li = }}_ 2n

1,054571596(82) x

RH

1,097 373 15 6 854 9 (83) x 10 7 m- 1

Grandezza '

1,602 176 462 (63) x

Cari ca elementare

Costante di Rydberg

R NA

l

X

w - 19

c

w- 23 JIK

109 N ·m2/C 2 (esatto) w - J4 J

·s

w - 34 J· s

Eo= - ,

8,854 187 817 x 10- 12 CZ!N · m 2 (esatto)

Costante gravitazionale

G

6,673 (lO) x 10- 11 N · m2/kg2

Elettronvolt

eV

1,602 176 462 (63) x 10- 19 J

Lunghezza d'onda Compton

A. -_l!_ c - ntl/

2,426 310 215 (18) x

Magnetone di Bohr

J.L 8 - -

9,274

Magnetone nucleare

eli f.L, = 2m p

5,050 783 17 (20) x

Massa del deutone

""d

3,343 583 09 (26) x 10- 27 kg 2,013 553 212 71 (35) u

Massa del neutro ne

'11l71

Massa del protone

11Zp

1,672 62 1 58 (13) x 10- 27 kg 1,007 276 466 88 (13) u 938,271998 (38)MeV!c 2

Massa dell'elettrone

nz,

9,109 38 1 88 (72) x 10-l l kg 5,485 799 110 (12) x 10- 4 u 0,51 O 998 902 (21) MeV!c 2

Costante dielettrica del vuoto

f.l oc-

-

eli 2m,

oos 99 (3 7)

x

w-Il m w - 24

JIT

w-n ] !T

1,674 927 16 (13) x 10- 27 kg 1,008 664 915 78 (55) u 939,565 330 (38) MeV/c2

248

Appendic i

6,022 141 99 (4 7) X 1023 particelle/mal

Numero di Avogadro Permeabilità magnetica del vuoto

Ilo

Quanto di flusso magnetico

-}!_ 0

2,067 833 636 (81) x 10- 15 T· m 2

2e

4,835 978 98 (19) x 10 14 HzN

4n X 10- 7 T·m/A(esatto) -

2e

Raggio di Bohr Rapporto tensione-frequenza di Josephson Unità di massa atomica Velocità della luce nel vuoto

h li

1,660 538 73 (13) x 10- 27 kg 931,494013 (37)MeV/c 2 2,997 924 58 X 10 8 m/s (esatto)

Nota: Queste costanti sono i valori raccomandati nel1998 da CODAT A, ottenuti applicando il metodo dei minimi quadrati a di verse misure. Per un elenco più completo, vedi P.J. Mohr e B.N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998". Rev. Mod. Phys. 72:351 , 2000. a

l numeri in parentesi per i valori riportati rappresentano le incertezze nelle ultime due cifre.

249

Appendici

GRANDEZZE E UNITÀ FONDAMENTALI DEL SISTEMA INTERNAZIONALE GRANDEZZA

UNITÀ

SIMBOLO

lunghezza

metro

m

massa

kilogrammo

kg

intervallo di tempo

secondo

s

intensità di corrente elettrica

ampere

A

temperatura

kelvin

K

intensità luminosa

candela

quantità di sostanza

mole

cd

m o/

GRANDEZZE SUPPLEMENTARI GRANDEZZA

UNITÀ

SIMBOLO

angolo piano

radiante

rad

angolo solido

steradiante

sr

250

Appendici

SIMBOLI MATEMATICI USATI NEL TESTO E LORO SIGNIFICATO

Simbolo

Significato eguale a diverso da maggiore di minore di molto maggiore (minore) di circa eguale a variazione di x

"#

> < » (« )

somma di

lxi

X;

da i = l a i = N

valore assoluto di x (quantità sempre positiva) 11x tendente a zero

LÌx~O

11x

variazione di x rispetto a t

M

ALCUNI PREFISSI PER LE POTENZE DI DIECI

Prefisso

Abbt·eviazione

Potenza

Prefisso

Abbreviazione

yotto zepto

y z

10 1 lO'

deca etto

atto femto

a

103

chilo mega

p n

w -3

pico nano mJcro mi Ili

da h k M G

w-' w-'

centi deci

Potenza

w-24

10 _, , 10 - ,s

w-" w-" w-9 w-6

106

}J-

m c d

109 10 12 10 15 IO '" 10 21 1024

giga t era p eta exa zetta yotta

T p

E

z y

Letteratura italiana 1 • Dalle origini al Cinquecento Letteratura italiana 2 • Dal Barocco al Romanticismo l,etteratura italiana 3 • Dal Verismo all a Neoavanguardia Letteratura greca 2 • Da ll'età ellenistica all'età imperiale Letteratura latina 2 • Dall 'età imperiale alle soglie del Medioevo English Literature 1 • From Early Britain to the Augustan Age English Literature 2 • From the Early Romantics to the Modern Times Littérature Française 1 • Des origines au Siècle cles Lumières Littérature Française 2 • Du Romantisme à nos jours Grammatica italiana Grammatica inglese Grammatica francese Filosofia 1 • Da Ta lete all a Scolastica Filosofia 2 • Dal Rinascimento a Kant Filosofia 3 • Dall'Idea lismo all'Esistenzialismo Storia 1 • Da lle origini del mondo alla fme dell'Impero romano Storia 2 • Dai regni romano-barbarici ai moti del 1848 Storia 3 • Dall'unità d'Ita lia ai giorni nostri Storia dell'arte 1 • Dalla Preistoria al Medioevo Storia dell'arte 2 • Dal Rinascimento al Rococò Storia dell'arte 3 • Dal Neoclassicismo al Postmoderno Sociologia Psicologia Storia della pedagogia Diritto civile Diritto commerciale Diritto pubblico Economia politica