Feynman Fizik Dersleri - Alıştırmalar

Citation preview

FEYNMAN FİZİK DERSLERİ X + + + + + + + + +

>

+ + + + + + + + +

>

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

>

FeynmanLeightonSands A L FA

BİLİM

m -


z m N

O

m

co r~ m 30 > •C O

—I 2 > > 7}

ALFA

3159 | ALFA | BİLİM | 131

Feynman Fizik Dersleri Alıştırmalar

RICHARD FEYNMAN 1918’de N e w Y o rk ’ta doğan R ic h a rd P. Feynm an doktorasını 1942’de P rin c e to n ’dan aldı. G en ç olm asına karşın, ik in c i D ü n y a Savaşı süresince Los A lam os’ta M anhattan Projesinde ön em li b ir rol oynadı. D aha sonra, C ornell ve C alifornia T ek n o lo ji E nstitüsünde ders verdi. 1965’te S in-Itiro T o m o n a g a ve Julian S chw inger’le birlikte, k u an tu m elektrodinam iğindeki çalışmaları nedeniyle N o b e l Fizik Ö d ü lü n ü kazandı. D r. F eynm an N o b e l Ö d ü lü n ü kazanm asını sağlayan k u an tu m elektrodinam iği kuram ının p ro blem lerini başarıyla çözm esinin yanı sıra, sıvı helyum da ü stün akışkanlık olayını açıklayan b ir m atem atiksel kuram da yarattı. D aha sonra M urray G ell-M ann ile birlikte beta b o zu n u ­ m u gibi zayıf etkileşm eler alanında tem el çalışmalar yaptı. Sonraki yıllarda F eynm an, yüksek en eıjili p ro to n çarpışm a süreçlerinde kendi p arton m odelini ileri sürerek, kuark kuram ının gelişm esinde ö n em li b ir rol oynadı. B u başarıların ötesinde, D r. F eynm an fiziğe yeni tem el hesaplam a yöntem leri ve gösterim leri getirdi: en önem lisi, h e r zam an h e r yerde kullanılan Feynm an diyagram larıydı; söz konusu diyagram lar fiziksel süreçlerin kavramsal hale getirilip hesaplanm a yo lu n u yakın bilim tari­ h in d e diğer h e r form alizm den daha fazla değiştirm iştir. Feynm an dikkate değer derecede etkin bir eğitim ciydi. Sayısız ödülleri arasından, özellikle 1972’de kazandığı Ö ğ retim İçin O ersted M adalyasıyla ö v ü n ü rd ü . Ö zg ü n olarak 1963’te ba­ sılmış olan Feynman F izik Dersleri, Scientific American’da bir eleştirm en tarafından “ Ç e tin , fa­ kat besleyici ve lezzet dolu. 25 yıldır, öğretm enler ve başlangıç seviyesindeki ö ğrenciler için en iyi yol göstericidir,” şeklinde betim lenm işti. B ununla birlikte D r. Feynm an m eslek dışı kişilerin fizik anlayışlarını artırm aları için F izik Yasaları Üzerine ve Q E D : Işık ve Maddenin Acayip Kuramı kitaplarını yazdı. Ç o k sayıda ileri yayının sahibiydi; tü m bunlar araştırm acılar ve ö ğrenciler için klasik kaynaklar ve ders kitaplan haline gelm iş durum dadır. R ic h a rd Feynm an yapıcı bir halk adam ıydı. C hallenger kom isyonundaki çalışması çok iyi bilinm ektedir, özellikle o n u n o m eşhur soğutulm uş O -c o n ta la n n ın kırılganlığı gösterisi, bir bardak buzlu su ve bir C -kıskacından başka hiçbir şey g erektirm eyen o şık deney. D aha az bilinense, D r. F eynm an’ın 1960’ta C alifornia D ev let E ğitim P rogram ı K om itesine karşı har­ cadığı çabadır; orada ders kitaplarının bayağılığını protesto etm işti. R ic h a rd F eynm an’ın sayısız bilim sel ve eğitim sel başarısının öyküsü, o n u n insan yanım y ete­ rin ce anlatamaz. O n u n canlı ve ço k -y ö n lü kişiliği tü m çalışmalarında parlar. B ir fizikçi ol­ m asının yanı sıra değişik zam anlarda bir radyo tam ircisi, bir kasa açıcı, b ir artist, b ir dansçı, b o n g o virtüözü ve hatta M aya hiyerogliflerinin çözücüsüydü. Sürekli olarak yaşadığı dünya­ yı m erak ederdi, ö rn ek gösterilen bir deneyim ciydi. R ic h a rd Feynm an 15 Şubat 1988’de Los A ngeles’ta öldü.

ROBERT LEIGHTON 1919’da D e tro it’te doğan R o b e rt B. L eighton katı hal fiziğinde, kozm ik ışın fiziğinde, m o ­ d e m parçacık fiziğinin başlangıç anlarında, güneş fiziğinde, gezegen fotoğrafçılığında, m ili­ m etre ve m ilim etre-altı dalga astronom isinde hayatı boyunca çığır açan çalışmalar yapm ıştır. B u n u n yanı sıra bilim sel araçların yenilikçi tasarım lan konusunda yaptığı katkılar hçrkesçe bilinir. L eighton, Feynman F izik Dersleri’ni geliştiren takım a katılm adan ö n ce yazdığı, o lduk­ ça etkili b ir kitap olan Modem Fiziğin İlkeleri’yle de tanınır. 1950’lerin başlannda L eighton m ü -m e z o n u n iki n ö trin o ve bir elektrona b o zu n u m u n u n gösterilm esinde önem li bir rol oynam ış ve çıkan elek tro n u n eneıji tayfim n ilk ö lçü m ü n ü o yapm ıştı. Acayip parçacıkların ilk keşfinden sonra onların bozunum larını ilk gözleyen yine oydu ve yeni acayip parçacıkların b irçok özelliğini açığa kavuşturm uştu. L eighton 1950’lerin ortasında D oppler-kaym ası ve Z eem an-olayı güneş kam eralarını tasarla­ mıştı. Ö ğrencileriyle birlikte Z eem an kam erasıyla güneşin m anyetik alanını m ü k em m el bir çözünürlükle haritalam ış, böylece yerel güneş yüzeyi hızlarında beş-dakikalık bir titreşim in ve “ aşın -tan elen m e” ö rü n tü sü n ü n keşfedilm elerine yol açm ıştı; bu da yeni b ir alanın -g ü n eş sism olojisinin- doğm asını sağlamıştı. L eighton gezegenlerin daha tem iz görü n tü lerin i almak için düzenek tasarlayıp inşa etm iş ve bir başka yeni alan daha açm ıştı: uyarlam alı optik. 1960’larda başlayan sondalarla uzay araştırm aları çağına kadar gezegenlerin en iyi görüntüleri onunkilerdi. 1960’lann başlannda, L eighton yeni b ir ucuz kızılaltı teleskobu geliştirm iş ve g ö k y üzünün ilk kez 2,2 m ikronda haritalam asını ü reterek, insan gözüyle g örm ek için aşın soğuk olan gö­ kadam ızda um ulm ayacak kadar çok sayıda gökcism ini açığa çıkarm ıştı. 1960’ın ortalannda M ariner 4, 6 ve 7 M a n görevlerinde Je t P ropulsion L aboratory (T epkiyle İtm e L aboratuan) JP L ’de G ö rü n tü Bilim i Araştırmaları için ekip lideriydi. JP L ’nin ilk derin-uzay sayısal tele­ vizyon sistem inin geliştirilm esinde önem li b ir rol üstlenm iş, gö rü n tü işlem e ve iyileştirm e y ö n tem lerinde ilk uğraşılara katkıda bulunm uştur. 1970’lerde L eig h to n ’ın ilgisi, m ilim etrik-dalga girişim -m etride ve m ilim etre-altı astronom i­ d e kullanılabilecek bü y ü k , u cuz çanak antenlerin geliştirilm esine kaym ıştı. B ir kez daha, o n u n dikkate şayan deneysel becerileri bilim de yeni bir alan açmıştı ve bu alan, C alifornia’daki O w en s Vadisi R a d y o G özlem evinde ve Ş ili’deki Atacam a B üyük M ilim etre/M ilim etre-altı D izilim (ALM A) R a d y o T eleskobunda güçlü bir şekilde gelişmesini sürdürm ektedir. R o b e rt L eighton 9 M art 1997’de Pasadena, C alifornia’da öldü.

MATTHEW SANDS 1919’da O x fo rd , M assachusetts’te doğan M a tth ew Sands 1940’ta C lark Ü niversitesinden li­ sansını ve 1941’de R ic e Ü niversitesinden lisansüstü derecesini aldı. II. D ü n y a Savaşı esnasın­ da Los A lam os’ta M anhattan P rojesinde elektronik ve aletler konusunda hizm et verdi. Savaş­ tan sonra Sands, n ükleer silahların daha fazla kullanılm asına karşı lobi faaliyeti y ü rü ten Los Alam os A tom Bilim İnsanlan Federasyonunda gönüllü olarak çalıştı. B u sürede M IT ’de B ru n o R ossi’nin gözetim inde kozm ik ışınları araştırarak d oktora derecesini aldı. Sands 1950’de C altech tarafından 1,5 G eV ’lik elektron sin k ro tro n u n u k urm ak ve işletm ek üzere işe alındı. E lektron hızlandırıcılannda k uantum etkilerinin ö n em in i, kuram sal ve de­ neysel olarak, ilk gösteren oydu. 1960’tan 1966’ya kadar Kolej Fiziği K om isyonunda hizm et veren Sands, Feynman F izik Dersleri’ni yaratan C altech lisans fizik program ındaki yenileştirm elere ö n cü lü k etti. B u esnada Başkanın B ilim D anışm a K urulu, S ilahlann D enetlenm esi ve Silahsızlanma Ajansı ile Savun­ m a Bakanlığında n ükleer silahlar ve silahsızlanma danışmanı olarak da çalıştı. Sands 1963’te Stanford D oğrusal H ızlandıncısm ın (SLAC) kuruluşu ve işletilişinde Y önetici Y ardım cısı olm uş, orada aynca 3 G eV ’lik hızlaııdıncı Stanford P ozitron E lektron A sim etrik H alkalannda (SPE A R ) da çalışmıştı. 1969'dan 1985’e kadar C alifornia Ü niversitesi, Santa C ru z ’da fizik profesörüydü ve 1969’dan 1972’ye kadar oranın Bilimsel R e k tö r Y ardım cısı görevinde de b u lu n d u . 1972’de A m erikan Fizik Ö ğ retm en leri D ern eğ in d en Ü stün H izm et Ö d ü lü aldı. E m ekli P rofesör ola­ rak, 1994’e kadar parçacık hızlandırıcısı araştırm alannda etkin olm ayı sürdürm üştü. 1998'de A m erikan Fizik D em eğ i Sands’e “hızlandıncı fiziğine ve elek tro n -p o zitro n ve p ro to n çarpıştın cılanm n geliştirilm esine yaptığı pek çok katkı n edeniyle” R o b e rt R . W ilson Ö d ü lü n ü lâyık gördü. Sands em ekliliğinde Santa C ru z ’da ilk ve orta öğretim öğretm enlerine, öğrencileri için bilgi­ sayar ve laboratuar etkinlikleri kurm alarına yardım ederek onlara akıl hocalığı yaptı. Feyn­ man’m F izik Tüyoları adlı problem çözüm ü kitabının baskıya hazırlanm asını da denetlem iş, aynca buna Feynman F izik Derslerinin ortaya çıkanlm asım betim leyen b ir anı yazısı da koy­ m uştu. M atthew Sands 13 Eylül 2 0 1 4 ’te C alifo m ia’da Santa C ru z ’da öldü.

Çeviri: Serhat Atay

Yayma Hazırlayan: Doç Dr. Kerem Cankoçak

Editörler Kurulu Prof. Dr. Durmuş Ali Demir (İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Fizik Bölümü) Prof. Dr. İsmail Hakkı Duru (Emeritus Prof., 1YTE) Prof. Dr. Zekeriya Aydın (Emeritus Prof., Ankara Üniversitesi, Fizik Bölümü) Prof. Dr. Ömer Faruk Dayı (İstanbul Teknik Üniversitesi, Fizik Mühendisliği Bölümü) Prof. Dr. Cenap Özben (İstanbul Teknik Üniversitesi, Fizik Mühendisliği Bölümü) Prof. Dr. Erhan Pesen (Celal Bayar Üniversitesi, Fizik Bölümü) Prof. Dr. Nuri Ünal (Akdeniz Üniversitesi, Fizik Bölümü) Prof. Dr. Ali Ulvi Yılmazer (Ankara Üniversitesi, Fizik Mühendisliği Bölümü) Doç. Dr. Altan Çakır (İstanbul Teknik Üniversitesi, Fizik Mühendisliği Bölümü)

F eyn m atı F iz ik D ersleri A lış tır m a la r © 2 0 1 5 , A L FA B asım Y ay ım D a ğ ıtım San. v e T ic . L td. Şti.

Exercises F or T he F eyn m an n Lectures O ti P h ysics © 2 0 1 4 , C a lifo rn ia In stitu te o f T e c h n o lo g y , M ic h a e l G o ttlie b & R u d o l f PfeifFer

İlk baskısı P erseus B o o k s G ro u p ’u n tescilli m arkası Basic B o o k s tarafından basılm ıştır. K ita b ın T ü rk ç e y ay ın h a k la n N u r c ih a n K esim A jans aracılığıyla Alfa B asım Y a y ım D ağ ıtım San. v e T ic . L td. Ş ti.'n e aittir. T a n ıtım am acıyla, kay n ak g ö ste rm e k şartıyla y apılacak kısa a lın ­ tıla r d ışında h iç b ir y ö n te m le çoğaltılam az.

Y ayıncı ve G enel Y ayın Y ö n etm en i M . F aru k B ayrak G enel M üdür V e d a t B ayrak Y ayın Y ö n etm en i M ustafa K ü p ü şo ğ lu D izi Editörü K e re m C a n k o ç a k R edaksiyon M e h m e t A ta A rslan, Y u n u s C a n k o ç a k Kapak T asarım ı F ü su n T u rc a n E lm asoğlu Sayfa Tasarım ı Z e lih a G ü le r IS B N 9 7 8 - 6 0 5 -1 7 1 - 4 8 9 -9 1. B asım : N isa n 2 0 1 7

B askı v e C ilt

M elisa M atbaacılık Ç ifte h a v u z la r Y o lu A car S anayi Sitesi N o : 8 B ayram paşa - İstan b u l T e l: 0(212) 6 7 4 97 23 Faks: 0 (212) 67 4 97 29 S ertifik a n o: 12088

Alfa B asım Y ayım D ağıtım San. ve T ic. Ltd. Şti. A le m d a r M ahallesi T ic a re th a n e S o k ak N o : 15 3 4 1 1 0 C a ğ a lo ğ lu - İ s ta n b u l T e l: 0 (212) 511 53 03 Faks: 0 (212) 519 33 00 w w w .a lfa k ita p .c o m - in fo @ a lfak itap .co m S ertifik a n o: 10905

FEYNMAN FİZİK DERSLERİ X

Feynman-Leighton-Sands

Yeni

İÇİNDEKİLER

1 . 1CİLT İÇİN ALIŞTIRMALAR

27

K u an tu m D a v ra n ışla rı: D al­

1

A to m ların H a rek eti

g a la r, P a rç a c ık la r ve F o to n ­

2

E n e rjin in K orunum u, S ta tik

la r

3

K epler Y a sa la rı ve K ütleçe-

28

G a zların K inetik K uram ı

kim

29

İ s ta tis tik s e l M ek an iğ in

4

K in em atik

5

N ew to n Y a sa ları

6

M o m en tu m u n K orunum u

7

V ek tö rler

8

Üç B o y u tta G öreli o lm ay an

9

İlk eleri 30

ları: E şb ö lü şü m 31

İk i-C isim Ç a rp ışm a la rı

32

T erm o d in a m ik

K u v v etler

33

T erm o d in a m iğ in

B irim ler ve B o y u tla r

12 G öreli K inem atik ve D in a­

U y g u lam ala rı 34

D alga D enklem i, Ses

35

D o ğ ru sal D alga S istem leri: V u ru lar, K ipler

m ik, K ütle ve D u rg u n E nerji D enkliği 13

36

D a lg a la rın F o u rie r A nalizi

G öreli E n erji ve M om entum

14 İki B o y u tta D önm e H a rek e­ 15

K inetik K u ram ın U y g u lam a­ ları: A k tarım O lay ları

10 P o ta n siy e l ve A lan lar 11

K inetik K u ram ın U y g u lam a­

2. CİLT İÇİN ALIŞTIRMALAR

ti, K ütle M erkezi

37

E le k tro m a n y e tiz m a

A çısal M om entum , E ylem ­

38

V ektör A la n la rın ın D ife ra n ­

sizlik M om enti

siyel A nalizi

16

Üç B o y u tta D önm e H a rek eti

39

V ektör in te g ra l A nalizi

17

H a rm o n ik S alınıcı, D o ğ ru ­

40

E le k tro s ta tik

s a l D ife ran siy el D enklem ler

41

G au ss Y a sa sın ın

18

C ebir

19

S ö n ü m lü S a lın ım la r

U y g u lam ala rı 42

20 G eo m etrik O ptik 21

E le k tro m a n y e tik Işın ım :

23 24 25 26

U y g u la­

m a la rı 43

G irişim

22 E le k tro m a n y e tik Işın ım : Kı­

E lek trik A lan ın ın E lek trik A lan ın ın

U y g u la­

m a la rı (devam ı) 44

E le k tro s ta tik E nerji

rın ım

45

D ielek trik ler

E le k tro m a n y e tik Işın ım : Kı­

46

D ielektrik U y g u lam ala rı

rılm a, D ağınım ve S oğrulm a

47

E le k tro s ta tik ö rn e k le ri

E le k tro m a n y e tik Işın ım :

48

M a n y e to sta tik

Işın ım S önüm ü, S açılm a

49

M anyetik Alan U ygulam aları

E le k tro m a n y e tik Işın ım :

50

V ektör P o ta n siy e l

K u tu p la n m a

51

İn d ü k siy o n Y a sa la rı

E le k tro m a n y e tik Işın ım :

52

Boş U zayda M axw ell D enk­

G öreli E tk ile r

le m le rin in Ç özüm leri

53

Akım ve Yük A ltın d a

3. CÎLT İÇİN ALIŞTIRMALAR

M axw ell D en k lem lerin in

70

O lasılık G enlikleri

Ç özüm leri

71

ö z d e ş P a rç a c ık la r

72

Spin-1

54 A lte rn a tif Akım D evreleri 55

K ovuk Ç m la tıc ıla rı

73

S pin-1/2

56

D alga K ılav u zları

74

G enliğin Z am ana B ağlılığı

57

G öreli E lek tro d in a m ik

75

H a m ilto n M a trisi

58 A la n la rın L orentz D ö n ü şü ­ mü 59

76 A m onyum M azeri 77

ri

A lan E n e ıjisi ve A lan Mom en tu m u

60

E le k tro m a n y e tik K ütle

61

E lek trik ve M an y e tik A lan­

D iğer tk ili-D u ru m S iste m le­

78

D aha F a z la Ik ili-D u ru m S is­ te m le ri

79

H id ro jen in A şırı İn ce Y a rıl­ m ası

la rd a Y ü k lerin H a rek eti Y oğun M alzem elerin K ırıl­

80

K rista l ö rg ü d e ilerlem e

m a in d is le ri

81

Y a rıile tk e n le r

63

Y üzeylerden Y an sım a

82

S e rb e st P arç a c ık Y aklaşım ı

64

M a d d e n in M an y e tiz m a sı

83

G enliğin K onum a B ağ ım lılı­

65

P a ra m a n y e tiz m a ve M an y e­

ğı 84 A çısal M om entum

62

tik R ezo n an s

66 F e rro m a n y e tiz m a 67

85

H id ro jen A tom u ve P eriy o ­ dik T ab lo

E sn ek lik

68 K uru Su Akımı 69

Isla k Su Akımı

EKLER A

B irim le r ve B o y u tla r

B

F izik sel B ü y ü k lü k le r ve (yu­ v a rla tılm ış) D eğerleri

C

C ev ap la r

ÖNSÖZ F e y n m a n F izik D ersleri a lış tır m a la rın ın ta m a m ın ı içeren b u s e t üç k a y n a k ta n d e rle n m iştir: L eig h to n ve V o g t'u n Giriş F iziği A lıştırm a la rı (Addison-VVesley, 1969) ve C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n ü n F e y n m a n F izik D ersleri için A lış tır m a la r (Addison-VVesley 1964-65) k ita b ın ın 2. ve 3. C iltleri. O rijin al a lış tır m a la r y en id e n d ü zen len d i: A lış tırm a la r d ü z ­ g ü n ce y e n ile n m iş şe k ille rle LATEX'de y en id e n y az ılm ış, m o d e m b irim ­ lerle g ü n ce lle n m iş, d a h a a n la ş ılır h a le g e tirilm iş ve h a ta la r d ü z e ltil­ m iş tir. 2. ve 3. C iltteki a lış tır m a la rd a d a h a önceki y a y ım la rd a eksik o la n y en i a lış tır m a la r ve c e v a p la rı/ç ö z ü m le ri e k le n m iştir. F e y n m a n Fi­ z ik D ersleri k ita b ın ın tü m c iltle rin in a lış tır m a la rı ilk kez tek b ir cilt o la ra k y a y ım la n m ış tır ve b u a lış tırm a la r, (neredeyse) ta m b ir c e v a p la r se tiy le b irlik te ilk kez y a y ım la n m ıştır. T üm b u a lış tırm a la r, y a R ic h a rd F e y n m a n 'm d e rs le rin d e y a d a F ey n ­ m a n F izik D ersleri k ita b ın ın d e rs k ita b ı o la ra k k u lla n ıld ığ ı d a h a s o n ra ­ ki 20 y ıllık sü re ç te , C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n ü n iki y ıllık z o ru n lu tem el fizik d e rs le ri k a p s a m ın d a b ir z a m a n la r ö ğ re n cilere ödev ya d a te s t s o m la rı o la ra k v e rilm iş tir. İs im le rin i h e r cild in a lış tır m a la rın ın Gi­ riş k ıs m ın d a b u la b ile c e ğ in iz pek çok k işi b u a lış tır m a la ra k atk ı s a ğ la ­ m ış tır. B u n la ra ek o la ra k a ş a ğ ıd a k i k işi y a d a k u ru m /k u ru lu ş la ra te ş e k ­ k ü rü b ir b o rç b iliriz: Bu k ita b ı y a y ım la m a m ız a ve F e y n m a n F izik D ersleri Y en i M ileny u m S erisin e eklem em ize izin v erd iğ i için C a lifo m ia T eknoloji E n s ­ titü s ü Fizik, M a te m a tik ve A stro n o m i B ölüm üne te ş e k k ü r ederiz. C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n d e y ılla rc a v e rd iğ i tem el fizik d e rs ­ le rin d e o lu ş tu rd u ğ u n o t d e fte riy le y a p tığ ı k a tk ıd a n dolayı R ochus V o g t'a te ş e k k ü r ederiz. 2. ve 3. C ilttek i a lış tır m a la rın c e v a p la rın a y a p tığ ı k a tk ıd a n dolayı E u g en e Covvan'a te şe k k ü r ederiz. C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n e eklenm iş yeni m a te ry a lle ri t a r a ­ y a n A aron Z im m e rm an 'a te ş e k k ü r ederiz. B asic B o o k s'la k ita b ın b a s ım a n la ş m a sı a d ın a y a p tığ ı sık ı p a z a rlık için A dam C o c h ra n 'a te şe k k ü r ederiz. M ich ael A. G o ttlieb & R u d o lf P feiffer E d itö rle r, F e y n m a n F izik D ersleri Y en i M ile n y u m Serisi A ralık 2013

1. CİLT İÇİN ALIŞTIRMALAR

GİRİŞ Bu a lış tırm a la r, C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n d e k i b irin c i s ın ıf f i­ ziği d e rs le rin d e F e y n m a n F izik D ersleri 1. C ildiyle b e ra b e r k u lla n m a k için y a z a rla r ta r a fın d a n d e rle n m iş tir ve F e y n m a n D ersleri'yle aynı s ı ­ r a d a o laca k şek ild e d ü z e n le n m iştir. H er b a şlık ve b ö lü m d e a lış tır m a la r g en e llik y a d a zo rlu k d erece sin e g ö re a lt k a te g o rile re a y rılm ıştır. B elirli b ir b ö lü m d e g ö rü le n s ıra la m a d a b u k a te g o rile r şö y led ir: is p a tla r y a d a g en ellem eler, k o lay a lış tırm a la r, o rta z o rlu k ta a lış tırm a la r, d a h a k a r ­ m a şık y a d a ü s t d üzey a lış tırm a la r. G enellikle is p a tla r ve g en e lle m e le r F e y n m a n D ersleri'n d e k i ta r tış m a la r ı d e ste k le r ve s o n u ç la r ö ğrenci t a ­ ra fın d a n k o lay a n la ş ıla b ilir ve k u lla n ıla b ilird ir. O rta la m a b ir öğrenci, k o lay a lış tır m a la rı çözm ekte çok fa z la so ru n y a ş a m a m a lıd ır ve o rta d ü ­ zey a lış tır m a la rın pek ço ğ u n u m a k u l s ü re le r iç in d e - h e r b iri için 10-20 d a k ik a d a - çö z eb ilm e lid ir. D aha k a rm a ş ık a lış tır m a la r genellikle d a h a d e rin fizik a n la y ışı y a d a g en iş ç a p lı b ir d ü şü n m e g e re k tirir ve tem el o la ra k d a h a iyi ö ğ re n c in in ilg isin i çekecektir. H er b ir a lış tırm a , p ek çok k işin in k a tk ısı ve çö zü m lem esiy le o lu ş tu ­ ru ld u . Ö nem li b ir m ik ta rı o rijin a l F ey n m an D e rsleri s e ris in in b a ğ la n tı­ sıy la R. B. L eig h ton ta r a fın d a n o rta y a çık arıld ı; b a z ıla rı izin alm ak kayd ıy la F o s te r S tro n g ta r a fın d a n d e rle n e n k a p s a m lı se rid e n y a r a r la n ıla ­ ra k y en id en ü re tild i; p ek çoğu R. E. V o g t'u n g iriş d e rsle ri s ın a v la rın d a s o rd u ğ u s o ru la rd a n o lu ş tu ru ld u . Y a zarla r, ad ı b ilin e n y a d a b ilin m ey e n em eği g eçen h e rk e se iç te n te şe k k ü rle rin i s u n m a k ta d ırla r. Y a z a rla r şu an k i ç a lışm a y ı ta m o lm a k ta n çok u z a k ta g ö rm ek te d irle r. K e n d ilerin in y a d a C a lifo m ia T eknoloji E n s titü s ü n d e k i d iğ er b ilim in ­ s a n la r ın ın v ereceğ i d e rs le rin , şu an k i ç a lışm a y ı d a h a d a g eliştirece ğ i ve k u lla n ım a la n ım şu an k i k ıs ıtlı a la n ın ın ö te sin e ta ş ıy a ra k so n u n d a k e n ­ di k en d in e ç a lışm a y la ö ğ re n ile b ilec ek b ir ç a lış m a k ita b ın a d ö n ü ş tü re n y en i a lış tır m a la r ve a ç ık la m a la r ekleyebileceği u m u lm a k ta d ır. R o b e rt B. L eig hton & R o ch u s E. Vogt

ATOMLARIN HAREKETİ

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 1. ve 3. Bölüm lere karşılık gelm ektedir. Sıradaki a lıştırm a la rı gözerken bu bölüm lerde dikkat çekilen fikirleri, te c ­ rü b elerin iz ve hayal gücünüzle b irleştirerek kullanın. Pek çok durum da tam sonuç b eklen m em ektedir.

1.1 Isı sadece m oleküler b ir hareketse, sıcak ve sa b it beysbol topuyla soğuk ve çok hızlı h arek et eden beysbol topu arasın d ak i fark nedir? 1.2 Tüm nesn elerin atom ları sürekli hareket halindeyse, fosiller gibi kalıcı n esn eler n asıl v ar olabiliyor? 1.3 H areket eden b ir m akinede sü rtü n m en in neden ve n asıl ısı ü rettiğ in i n i­ tel o larak açıklayınız. Ayrıca (yapabiliyorsanız) tersin e süreçte ısın ın neden harek et o lu ştu rm ad ığ ını açıklayınız. 1.4 K im yacılar lastik m oleküllerinin çapraz atom zincirlerinden oluştuğunu buld u lar. L astiğin gerildiği zam an neden ısındığını açıklayınız. 1.5 Belirli b ir ağırlığı taşıy an lastik ısıtıld ığ ın d a ne olur? (Cevabı deneyerek bulun.) 1.6 N eden düzgün beşgen şeklinde k ristal örgü olm adığını açıklayabilir m i­ siniz? (K ristallerde üçgen, dörtgen ve altıgen y ap ılara d ah a sık rastlanır.) 1.7 E linizde çok say ıd a d çaplı çelik to p la r ve V hacm ine sahip b ir kutu ol­ duğunu varsayın. K utunun tüm boyutları to p ların çap ın d an çok d ah a b ü ­ yüktür. K utuya yerleştirilebilecek to p ların m aksim um sayısı, N, kaçtır? 1.8 Bir gazın b asın cı P, birim hacim deki atom ların sayısı n ve b ir atom un o rtalam a hızı (v) ile n asıl değişir? (P b asıncı, n ve/veya (v) ile oran tılı m ı­ dır, ya da doğrusal bağlılığa göre d ah a hızlı mı yoksa d ah a yavaş mı deği­ şir?) 1.9 Soluduğum uz h ava gazı yaklaşık 0,001 g cm -3 yoğunluğa, sıvı hali de 1,0 g cm -3 yoğunluğa sah iptir. (a) Hava m olekülü sayısını hava gazı (nG) ve sıvı hava (ns) için cm 3 b a ş ı­ n a tah m in edin. (b) Bir h av a m olekülünün kütlesi m 'yi tah m in ediniz. (c) Bir h av a m olekülünün norm al sıcaklık ve b a sın ç ta (normal ş a rtla r al­ tın d a, 20°C, 1 atm) çarp ışm aları arasın d ak i o rtalam a m esafe Z'yi ta h ­ m in ediniz. Bu m esafeye o rtalam a serbest yol denir. (d) O rtalam a serb est yolun 1 m etre olm ası için norm al atm osfer altın d a vakum sistem in in b asın cı P 'nin ne olacağını tah m in ediniz. 1.10 P aralel ve h izalan m ış potasyum atom u dem etinin yoğunluğu 6,0 x İO^1 mmHg b a sın ç ta 1,0 m m kalınlığındaki argon gazı tab ak a sıy la %3 oranında azaltılıyor. Argon atom u b aşın a düşen efektif hedef alan ı A 'y ı hesaplayınız.

1.11 X-ışını kırınımı çalışm aları NaCİ kristalinin en yakın komşu molekülleriyle 2,820 Â boşluğu olan kübik bir kristal yapıya sahip olduğunu göstermektedir. NaCİ molekülünün yoğunluğu ve moleküler. ağırlığını kullanarak Avogadro sa­ yısı NA'yı hesaplayınız. (Bu yöntem, NA'yı hesaplam ada kullanılan en kesin de­ neysel yöntemlerden biridir.) 1.12 Boltwood ve Rutherford, bozunduğu m addelerle dengede olan radyum ato­ munun saniyede radyum atomu başına 13,6 x İO10 helyum atomu ürettiğini bul­ m uşlardır. Ayrıca 192 mg radyum atom unun standart basınç ve sıcaklıkta (SŞA [Standart Şartlar Altında], 0°C, 1 atm) bir günde 0,0824 mm 3 helyum ürettiğini ölçtüler. Bu ölçümleri kullanarak aşağıdaki nicelikleri hesaplayınız: (a) SŞA'daki 1 cm 3 gazdaki helyum atomu sayısı NH (b) Avogadro sayısı NA K aynak: Boltwood ve Rutherford, Phil. Mag. 22, 586, (1911). 1.13 Rayleigh, su yüzeyindeki 0,81 mg zeytinyağının 84 cm çapında tek mole­ küllü bir tabaka oluşturduğunu bulm uştur. 0,8 g cm -3 yoğunluklu doğrusal zin­ cire sahip H(BH2)i8 COOH bileşiğiyle benzer yapıda olduğunu varsayarak Avo­ gadro sayısı NA yı hesaplayınız. K aynak: Rayleigh, Proc. Roy. Soc. 47, 364 (1890). 1.14 1860'larda Maxwell bir gazın viskozitesini aşağıdaki denklemle vermiştir:

77 = A pvl Burada p yoğunluk, v ortalam a moleküler hız ve l ortalam a serbest yoldur. Da­ ha önce elde ettiği l = 1/V27T Nga2) şeklinde verilir. Burada a molekülün çapını ifade etmektedir. Loschmidt (1865) SŞA'da bir gazın 1 cm3'teki molekül sayısı Ng'yi hesaplam ak için Joule'ün hesapladığı v ile birlikte 77, p(gaz) ve p(katı) ni­ celiklerinin ölçülmüş değerlerini kullandı. Molekülleri bir katida sıkıştırılm ış sert küreler olarak düşündü. SŞA'da hava için 77 = 2,0 x 10“4 gcm- 1s-1, p(sıvı) * 1,0 gem-3, p(gaz) = 1,0 x 10"3 gem -3 ve v » 500 m s "1 değerlerini kullanarak Ng yi hesaplayınız. 1.15 Bir bardak dolusu su, Califom ia'da ortalam a b ir pencere pervazında bıra­ kılmıştır. (a) Suyun tamam en buharlaşm ası için gereken süre T ne kadar olmalıdır? (b) Bardaktan saniye başına cm2'lik alandan buharlaşacak molekül sayısı J kaç olmalıdır? (c) Dünyaya yağan ortalam a yağm urla (a) kısm ına verdiğiniz cevap arasın­ daki (varsa) bağlantıyı kısaca tartışınız. 1.16 öğleden sona yağan gök gürültülü sağanak yağmurda b ir yağmur tanesi Paleozik bir çamurun üzerine düşm üş ve daha sonra terlemiş ve susam ış bir je­ oloji öğrencisi tarafından fosil şeklinde bulunm ak üzere iz bırakm ıştır. Öğren­ cinin suyu bittiği için içtiği antik yağm ur dam lasındaki su molekülü sayısı ATyi merak etmektedir. Sadece elinizdeki verileri kullanarak i\Tyi tahm in edin. (Bil­ mediğiniz gerekli bilgiler için makul varsayım larda bulununuz.)

ENERJİNİN KORUNUMU, STATİK

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 4. Bölüme k arşılık gelm ektedir. 2.1 Şekil 2-1'de g österilen eş uzunluklu olm ayan terazin in denklem ini elde etm ek için san al iş ilkesini kullanınız. Wı Z] = W2 l2. (Kolların ağırlığını ih ­ m al ediniz.) 2.2 A lıştırm a 2.1'de elde ettiğiniz denklem i destek n o k tasın a göre farklı m e­ safelerde asılm ış ağırlıkları içerecek şekilde genişleterek aşağıdaki eşitliği elde ediniz:

X

Wi h = 0

i (Terazinin destek n o k tasın ın b ir tara fın d ak i m esafeleri pozitif, diğer ta r a ­ fındaki m esafeleri n eg atif kabul ediniz.) 2.3 Bir kütleye n ad et kuvvet etki etm ektedir ve sta tik dengededir. A şağıda­ kileri ifadeleri isp atlam ak için sanal iş kuram ını kullanınız: (a) n = 1 ise kuvvetin büyüklüğü 0 olm alıdır. (Anlamsız b ir durum.) (b) n = 2 ise iki kuvvetin büyüklükleri b irb irin e eşit, aynı doğrultuda ve zıt yönde olm alıdır. (c) n = 3 ise kuvvetler aynı düzlem de olm alıdır ve eylem d o ğ ru ltu ları tek b ir nok tad a birleşm elidir. (d) H erhangi sayıdaki (rı sayıda) kuvvet için Fi kuvvetinin büyüklüğüyle kuvvetle sa b it herh angi b ir d o ğrultunun arasın d ak i açı olan Aj'nin k o sin ü sü n ü n ça rp ım ların ın toplam ı sıfırdır:

71 ^ Ft cos A i=1

0

2.4 S ürtünm enin olm adığı sta tik denge problem leri S a n a l îş Ukesi k u llan ı­ larak sa lt geom etri problem lerine dönüştürülebilir: B ir nokta küçük m esafe içinde y erd eğ iştirirse diğer b ir nokta nereye doğru yerdeğiştirir? Bu soru pek çok d u ru m d a (Şekil 2-2'deki gibi) b ir üçgenin özellikleri kullanılarak kolayca çözülebilir. (a) d \ ve d 2 k en arları sa b it kalm ak üzere a açısı Aa k ad a r küçük m ik ta r­ da değişirse, k arşı L uzunluğundaki değişim aşağıdaki form ülle veri­ lir:

.T

dıd? . . sın a Aa L

AL - ■

(b) Bir dik üçgenin a, b, c ken arları Aa, Ab, Ac k a d a r küçük m ik tard a de­ ğişirse aşağıdaki form ülü sağlar: a Aa + b Ab = c Ac Bu form ülleri ispatlayınız.

(c kenarı, hipotenüstür.)

.A

w7

Şekil 2-5

Şekil 2-3

2.5 1,5 m u zunluğunda ve 3 kg ağırlığındaki düzgün kalas b ir kenarınd an tu ttu ru lm u ştu r. Kalas Şekil 2-3'te gösterildiği gibi b ir ağırlık ve m akara sistem iyle y atay dengede tu tu lm ak ta d ır. Kalası dengede tu ta c a k W ağ ırlığ ı­ nı bulunuz. Sürtünm eyi ihm al ediniz. 2.6 3 cm y arıçap ın d a ve 1 kg ağırlığındaki b ir top, Şekil 2-4'de gösterildiği gibi y atay d a a açısı y apan b ir düzlem le düşey b ir düzlem ara sın d a sık ıştı­ rılm ıştır. İki yüzey de ihm al edilebilir b ir sürtünm eye sah ip tir. T opun d u ­ v a ra uyguladığı kuvvet FD ve yüzeye uyguladığı kuvvet iV y i hesaplayınız. Şekil 2-6

2.7 B irleştirilm iş AA'BB' p aralelkenarı, Şekil 2-5'te gösterildiği gibi P ve P' n o k taların d a n sabitlenm iştir. A, A ', B, B', P ve P' nok taların d ak i ihm al edi­ leb ilir sü rtü n m e v ardır. AA'CD ve BB'GH p arçaları katı ve özdeştirler. AP = A'P' = \ PB = \ P'B'. Sistem, W\ ve W2 yükleri yokken wc yükü say e sin ­ de dengededir. 0,50 kg ağırlığındaki" W\ yükü D n o k tasın d an a sılırsa sis te ­ m in dengede olabilm esi için H n o k tasın d an asılacak W2 yükü ne k a d a r ol­ m alıdır? 2.8 Şekil 2-6'da gösterilen sistem sta tik dengededir. A ve B ağırlığını b u l­ m ak için san al iş ilkesini kullanınız. İp lerin ağırlığım ve m ak araların s ü r­ tünm esini ihm al ediniz.

Şekil 2-7

2.9 W = 50 lb ağırlığındaki yük, Şekil 2-7'de gösterildiği gibi ACB ipinin o r­ ta n o k tasın d an asılm ıştır. AC = CB = 5 ft. AB = 5-y/2 ft. İplerdeki T \ v e T 2 ge­ rilm elerini bulunuz. 2.10 Bir askı Şekil 2-8'de gösterildiği gibi h afif alüm inyum larla h er u cu n ­ dan desteklenm iştir. C n o k tasın d a düzgün düzlem üzerinde kayan b ir m a­ k ara vardır. Bir işçi, AB p arçasın ı kaynak şalom asıyla ısıttığ ın d a u zu n lu ­ ğun x m ik tarı k ad a r uzadığı ve dolayısıyla W yükünün de y atay d a y m iktarı k ad a r harek et ettiği gözlenm iştir. (a) W yükünün hareketi aşağı doğru m u yoksa yukarı doğru m udur?

\W

(b) AB p arçası üzerindeki kuvvet (gerilme ya da sıkışm a da dahil olm ak üzere) F nedir? 2.11 Şekil 2-9'da gösterilen R y arıçap lı W ağırlıklı tekerleği h yüksekliğin­ deki eşiğin ü stü n e çıkarm ak için gereken (dönme m iline uygulanan) y atay kuvvet F ne olm alıdır?

Feynm an alışılagelm işin aksine, ağırlık birim i olarak kg kullanıyor. Bu k ita b ın okurlarının çok iyi bildiği gibi Nevvton’m ikinci y a sa sın d a n (F=m a ) hareketle ağırlık b irim i Newton olup, kg k ü tlenin birim idir. Ama Feynm an h e r seferinde g ivm esiyle çarpm ak yerine, a ğ ırlı­ ğı kütle olarak k ullanm ayı terc ih etm iş -yn.

2.12 D y arıçap lı y atay b ir döner levha sü rtü n m esi ihm al edilebilen b ir ru l­ m anla tu ttu ru lm u ştu r. Yüzey üzerindeki e şit büyüklükte b irb irlerin e p a ra ­ lel fak at zıt yöndeki iki y atay F kuvveti, Şekil 2-10'da gösterildiği gibi dö­ n er levhanın iki uzak u çların a etki etm ektedir. (a) R ulm ana etkiyen kuvvet Fr nedir? (b) M erkez O no k tasındaki düşey eksene göre tork ro (bu iki kuvvetin m omenti) nedir? (c) Aynı düzlem deki herhangi b ir P noktasındaki düşey eksene göre m o­ m ent t p nedir? (d) Şu ifade doğru m udur, y anlış m ıdır? Açıklayınız. "Bir cisim üzerine etkiyen iki kuvvet aynı etkiye sahip tek b ir n et kuvvet olarak b irle ş ti­ rilebilir." Cevabınızı verirken b irb irin e zıt yönde fa k at büyüklükleri eşit olm ayan iki kuvvetin olduğu durum u düşününüz. 2.13 C ıvanın üzerinde yüzen ken arları 0,100 m uzunluğunda olan kare şek­ lindeki düz çelik b ir düzlem e Şekil 2-11'de gösterildiği gibi 3 farklı kuvvet etkim ektedir. Düzlemi dengede tu taca k dördüncü F kuvvetini belirleyiniz. AB doğrusu boyunca etki noktasını, büyüklüğünü ve yönünü belirtiniz. 2.14 S ürtünm esiz o rtam da h areketsiz haldeyken D k a d a r m esafe k at eden Şekil 2-12'de g ö sterilen W\ ve W2 yüklerinin hızı ne olacaktır? (Wx > W2) 2.15 Şekil 2.13'te ağ ırlık lar eşit ve sürtünm e ihm al edilebilir seviyededir. Sistem serb est b ırak ıld ık tan sonra D k ad a r m esafe k at ettiğinde ağ ırlık la­ rın hızı ne olacaktır? 2.16 Mı ağırlıklı yük Şekil 2-14'te gösterildiği gibi H yüksekliğinden yatayla 45° açıya sah ip düzlem üzerinde kaym aktadır. Şekilde gösterildiği gibi k ü t­ lesi ihm al edilebilecek seviyedeki esnek b ir iple küçük b ir m akara (kütlesini ihm al ediniz) ü zerinden y atay d a sallan an M 2 kütlesine bağlıdır. İpin u zu n ­ luğu iki kütleyi de H/2 yükseklikte tutabilecek uzunluktadır. K ütlelerin ve m ak aran ın b o y u tları H yüksekliğine ihm al edilebilecek seviyededir. Kütle­ lerin serb est b ırakıldığı t = 0 anında; (a) t > 0 için k ü tlesin in ivm esi a 'y ı hesaplayınız. (b) H angi kütle aşağı doğru harek et edecektir? (c) H angi t an ın d a (b) şıkkındaki kütle yere değecektir?

Şekil 2-18

(d)

(b) şıkkm daki kütle yere değdiğinde diğer kütle harek et ediyorsa d ra n a k a d a r m akaraya değer mi?

2.17 L uzunluklu ve w ağırlıklı düzgün b ir çubuk Şekil 2-15'te gösterildiği gibi alt ucu n d an tu ttu ru la ra k b ir vinç o lu ştu ru lm u ştu r. Alt no k tad an x k a ­ d a r uzaklıktan düşeyle 9 açısı yapacak şekilde düşey düzlem den desteklen ­ m iştir ve ü s t ucu n d an W ağırlıklı yük asılm ıştır. Y atay kablodaki T geril­ m esini belirleyiniz. 2.18 10 ft uzunluğunda ü st ucunda tekerlek olan düzgün b ir çubuk Şekil 216'da gösterildiği gibi düz düşey d u v ara dayalı durum dadır. Çubuk 30 lb ağırlığm dadır. W = 60 lb ağırlığındaki b ir yük ü st u çtan 2,5 ft uzaklığa a s ıl­ m ıştır. A şağıdaki ifadeleri bulunuz. (a) Tekerleğin duvara uyguladığı kuvvet FT. (b) Çubuğun yere uyguladığı y atay ve düşey kuvvetler Fy ve F^. 2.19 W ağırlıklı V3R uzunluklu b ir ta h ta Şekil 2-17'de gösterildiği gibi R yarıçap lı düzgün daire içinde d urm aktadır. T ah tan ın b ir ucunda W/ 2 ağ ır­ lıklı b ir cisim v ardır. T ahtayı dengede tu taca k 9 açısını hesaplayınız.

Şekil 2-20

2.20 l uzunluklu ve W ağırlıklı b ir düzgün çubuk Şekil 2-18'de gösterildiği gibi eğim li iki düzlem arasın d a d urm aktadır. Çubuğun dengede duracağı a açısını sanal iş ilkesiyle elde ediniz. (Sürtünm eyi ihm al ediniz.) 2.21 W ağırlıklı ve 4,5 cm yarıçaplı küçük k atı küre, Şekil 2-19'da g ö steril­ diği gibi 49 cm yarıçaplı b ir yarım kürenin ucu n d an içeride kalacak şekilde b ir iple asılm ıştır, tp in 40 cm 'den kısa olm ası d u rum unda kopacağı b ilin d i­ ğine göre ipi koparacak gerilm e kuvveti F yi bulm ak için san al iş ilkesini kullanınız. 2.22 Bir Dünya F uarındaki bahçe sü sü h er b iri 2^6 ton ağırlığındaki özdeş, sü rtü n m esiz 4 m etal küreden o luşm aktadır. K üreler Şekil 2-20'de g ö steril­ diği gibi y atay düzlem üzerinde 3 adedi b irb irin e değecek ve ü stü n d e de 4. küre olacak şekilde y erleştirilm iştir. A lttaki 3 küre değme n o k taların d an b irb irlerin e kaynaklanm ıştır. Güvenlik fak tö rü n ü 3 kabul ederek kaynak ne k a d a r T gerilm esine k arşı koym alıdır? 2.23 Katı b ir üçgen çerçevesi dik üçgen şeklinde Şekil 2-21'deki gibi ters şe­ kilde y erleştirilm iştir. Boncuk şeklindeki m ı = 100 g ve m 2 = 300 g olan iki kütle sü rtü n m esiz b ir şekilde üçgenin tellerinde kaym aktadır ve iki kütle b irb irin e iple bağlıdır. Sistem sta tik dengeye u laştığ ın d a ipteki T gerilm esi ve ilk telle y ap ılan a açısı kaç olur?

2.24 S ürtünm eli d u ru m d a Şekil 2-22'de gösterilen tekerlekli arabayı denge­ de tu tacak T gerilm esini bulunuz. (a) Gerilm eyi san al iş ilkesini k u llan arak bulunuz. (b) Gerilmeyi kuvvet b ileşenlerini k ullanarak bulunuz. G

2.25 M = 3 kg ağırlığındaki m akara r = 5 cm y arıçap ın d a m erkezi b ir silin ­ d ir ve R = 6 cm y arıçap ın d a iki dış silin d ird en oluşm aktadır. M akara, Şekil 2-23'te gösterildiği gibi kaym adan dönebileceği b ir eğik düzlem e konm uş­ tu r ve m = 4,5 kg ağırlığındaki b ir kütle asılm ıştır. Sistem in dengede oldu­ ğu gözlenm iştir. Eğik düzlem in açısı 0'yı bulunuz. 2.26 Toplam W ağırlığındaki esnek zincir halkası, Şekil 2-24'te gösterilen r yarıçap lı ve h yüksekliğine ters düzgün koninin üzerinde serbestçe d u r­ m aktadır. Zincir koni üzerinde ekseni düşey olacak şekilde halka olarak d urm aktadır. Zincirdeki T gerilm esini bulunuz. Sürtünm eyi ihm al ediniz. 2.27 Eğik düzlem üzerindeki tekerlekli b ir araba, Şekil 2-25'te gösterildiği gibi w ağırlığıyla dengededir. Tüm p arçalard ak i sü rtü n m e ihm al edilebilir seviyededir. A rabanın ağırlığı t'Tyi bulunuz. 2.28 Bir asm a köprü Şekil 2-26'daki gibi in şa edilm iştir. Tüm eklem ler sürtünm esiz destek n o k taları olarak ve tüm p a rç a la r k atı, kütlesiz ve eşit uzunlu k ta olarak kabul edilebilir. Fx ve F2 tepki kuvvetlerini ve DF p arçası üzerindeki Fjjp kuvvetini bulunuz. 2.29 Şekil 2-27'deki askıda, tüm çapraz p a rç a la r 5 birim uzunluğunda ve yatay p a rç a la r 6 birim u zunluğundadır. Tüm eklem ler serbestçe h areket edebilen m enteşeyle b irle ştirilm iştir ve askının ağırlığı ihm al edilebilir se­ viyededir.

2m

P~

\F2

(a) Şekilde gösterilen yükün konum u için hangi p a rç a la r esnek tellerle değiştirilm elidir? (b) BD ve DE p arçaların d a k i kuvvetleri bulunuz. 2.30 Şekil 2-28'de gösterilen sistem de w ağırlığındaki sarkaç to p u b aşla n ­ gıçta A ipiyle dengededir. A ipi yandığında sistem serb est kalarak sarkaç topu sola doğru ancak m aksim um n o k tasın a k ad a r salınır. W ağırlığını b u ­ lunuz. (Sürtünm eyi, m akaranın sü rtü n m esin i ve ağırlıkların bo y u tlarım ih ­ m al ediniz.) 2.31 2 ad et m kütlesi, eşit uzunluklu ince iplerle 2m kütlesiyle b ağ lıd ır ve ipler Şekil 2-29'da gösterildiği gibi b irb irin d en 100 cm uzaklıktaki sürtünm esiz iki küçük m akaranın üzerinden sarkm aktadır. 2m kütlesi başlangıçta m ak aralarla aynı yükseklikte o rta n o k tad a dengedeyken serb est b ırak ıl­ m aktadır. 50 cm aşağıya d ü ştü k ten sonra b ir m asay a çarpm aktadır. M asa­ ya çarp tığ ı andaki hızı v nedir? 2.32 A kesitine sahip b ir tan k p yoğunluklu b ir sıvı içerm ektedir. Şekil 230'da gösterildiği gibi yüzeyden H k ad a r aşağıdaki a alan ın a sahip küçük b ir delikten serbestçe fışkırm aktadır. Sıvının iç sü rtü n m esi (viskozite) ol­ m adığına göre hangi v hızıyla boşalır? 2.33 Düzgün, özdeş kütükler b ir tıra yüklenm iştir. T ır otoyolda çok sallan ­ m ış ve Şekil 2-31'de gösterildiği gibi yatay la 0 açısı yapacak şekilde boylu boyunca yan gelm iştir. Tır b o şaltılırk e n kesikli çizgilerle gösterilen kü tü ­ ğün ind irilm esi geri kalan üç kütüğü neredeyse kayacakları durum a getirir. Yani 0 açısının daha küçük olm ası d u rum unda kütükler düşecektir. 0 açısı­ nı hesaplayınız. 2.34 w ağırlığındaki r v e R y arıçap ların a sahip b ir m akara, küçük yarıçapına dolanm ış iki iple sab it b ir noktaya asılm ıştır. W ağırlığı, büyük y arıçaplarına dolanm ış iki iple Şekil 2-32'de gösterildiği gibi m akaraya asılm ıştır. W ağırlı­ ğı m akarayı dengede tutacak şekilde seçilm iştir. W ağırlığını bulunuz. 2.35 54 m uzunluğundaki b ir çukuru k apatm ak için asm a b ir köprü yap ıla­ caktır. P latform , Şekil 2-33'te gösterildiği gibi 9,0 m aralık la rla altı düşey kabloyla desteklenm iş çelik b ir tel içerecektir. H er kablo 4,80 x 104 kg yük taşım ak için ta sa rla n m ıştır. M erkeze en yakın olan iki kablo 2,0 m uzu n lu ­ ğunda olacaktır. Geriye kalan düşey A ve B kabloları için uygun olan uzun ­ lukları belirleyiniz. Çelik telin iki u cunun yatay la y ap tık ları açı 45° ise iki teldeki m aksim um gerilm eyi (rmaks) bulunuz.

2.36 Şekil 2-34'te yalıtk an b ir Tandem Van de G raaff'm y apısı gösterilm ek­ tedir: L uzunluğunda, h yüksekliğinde, W ağırlığında düzgün iki yapı, pivot n o k taların d an (A ve B) düşey duvara sabitlenm iş ve m erkezde F kuvvetiyle b irb irin d en ay rılm ıştır. Y apıların m alzem esi herh an g i b ir gerilm eye d ay a­ nıklı olm adıkları için F kuvveti ü sttek i pivot n o k taların a sıfır net kuvvet uygulayacak şekilde ay arlanm ıştır. (a) Gerekli F kuvveti ne olm alıdır? (b) A lttaki p iv o tlard an (A noktası) birindeki toplam kuvvet Fa (büyüklük ve yön) nedir?

KEPLER YASALARI VE KÜTLE ÇEKİM

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 7. Bölüme k arşılık gelm ektedir. 3.1 E lip sin bazı özellikleri. Bir elipsin boyutu ve şekli aşağıdaki niceliklerin h erhangi iki adedine değerler verilerek belirlenir. (Şekil 3-1'de gösterildiği gibi): a:

y arı-büyük eksen

b:

y an -k ü çü k eksen

c:

m erkezden odağa olan uzaklık

e:

dışm erkezlilik

rp :

günberi uzaklığı (bir odaktan elipse olan en kısa mesafe)

ra\

günöte uzaklığı (bir odaktan elipse olan en uzak mesafe)

Bu nicelikler arasın d ak i ilişkiler şöyledir: a 2 = b2 + c2, e = c/a (fe'nin tanım ı) rp = a - c = a (l - e), ra = a + c = a(l + e). E lipsin alan ın ın A = nab olduğunu gösteriniz. 3.2 Ayın dün y an ın m erkezine olan uzaklığı günberide 363.000 km 'den günötede 405.500 km 'ye k ad a r değişm ektedir ve periyodu 27,322 gündür. Yapay b ir uydu, dün y an ın yüzeyine olan günberi uzaklığı 225 km ve günöte u zak­ lığı 710 km olacak şekilde dünyanın etrafın d a dönm ektedir. D ünyanın o rta ­ lam a çapı 12.756 km 'dir. Bu uydunun periyodu rn e d ir ? 3.3 D ünyanın y örüngesinin dışm erkezliliği 0,0167'dir. En yüksek hızının en düşük hızın a o ran ı vmaks/vmjn değerini hesaplayınız. 3.4 D ünyanın ve ayın y arıç ap ları sırasıy la 6378 km ve 1738 km 'dir. D ünya­ nın k ü tlesin in ayın kütlesine oranı 81,3'tür. Ayın yüzeyindeki kütleçekim ivm esi g ay'ı hesaplayınız, (gdünya = 9-81 m s '2.) 3.5 H alley'in kuyrukluyıldızının 1456 yılındaki in sa n la rın kiliseye giderek "şeytandan, T ürklerden ve kuyrukluyıldızdan kurtulm ak için" dua edecek seviyede k o rk tukları g ü n berisinden bu yana güneş etra fın d a yedinci tu ru ­ nu 1986'da tam am lam ıştır. Bir önceki günberisi 19 N isan 1910'dur ve güne­ şin 0,60 AU yak ın ın d an geçm iştir. (a) Y örüngesinin en uzak noktasındayken güneşten uzaklığı olan ra ne olur? (b) En yüksek yörünge hızının en d ü şük yörünge hızına oranı ^maks^min ne olur? 3.6 D ünyanın yüzeyine yakın dairesel yörüngedeki b ir uydunun periyodu 100 dakikadır. 24 saatlik periyod için yörüngesinin yarıçapı r (dünyanın yarıçap ı r ^ n y a cinsinden) ne olm alıdır?

3.7 Biri k u tu p sal yörüngede, diğeri ekvatoral düzlem deki b ir yörüngede b u ­ lu n an aynı yörünge y arıçap ın a sahip iki dünya uy d u su olduğunu v arsay ı­ nız. H angi uydu d ah a büyük itici rokete ihtiyaç duym uştur? Sebebini açık­ layınız. 3.8 Gerçek b ir "Syncom" uy d u su dünyanın etrafın d a eşzam anlı olarak dön­ m ektedir. Uydu, dünya yüzeyindeki herhangi b ir P n o k tasın a göre h er za­ m an sa b it b ir noktada kalm aktadır. (a) D ünyanın m erkeziyle uyduyu b irb irin e bağlayan düz b ir çizgi oldu­ ğunu varsayınız. P noktası, bu çizginin dünya yüzeyiyle kesişm e nok­ ta sı üzerinde yer alıyorsa, P noktası herhangi b ir yüksekliğe sahip o lab ilir mi ya da başka hangi k ısıtlam a la r vardır? Açıklayınız. (b) Dünya m erkezinden m kütleli Syncom uy d u su n a olan rs uzaklığı n e­ dir? rs'yi dünya-ay arasın d ak i m esafe ^ d ü n y a -a y cinsinden ifade edi­ niz. Not: D ünyanın düzgün b ir küre olduğunu varsayınız. Aym periyodunu Tay = 27 gün kabul edebilirsiniz. 3.9 (a) D ünyanın güneş etrafın d ak i yörüngesel h arek etin i tanım layan veriy­ le ayın dünyanın etrafın d a dönm esini tan ım lay an veriyi k a rşıla ştıra ra k g ü ­ neşin kütlesi JTigüneş’i dünyanın kütlesi m^ünya cinsinden belirleyiniz. (b) J ü p ite r'in b ir ayı olan Io, 1769 gün yörüngesel dönm e periyoduna ve 421.800 km yörüngesel yarıçap a sah ip tir. Jü p ite r'in kütlesi wijüpiter'i d ü n ­ yanın kütlesi cinsinden hesaplayınız. 3.10 a ve b b irb irlerin e uyguladıkları o rtak kütlçekim etkileriyle b irb irleri etra fın d a dönen iki yıldız olsun. Bağıl yörüngelerinin yarı-büyük ekseni, astronom ik birim (AU) cinsinden R olarak ve dönm e periyodu T yıl olarak ölçülm üştür. K ütleler toplam ı m a + mb için güneşin kütlesi m güneş cin sin ­ den b ir ifade türetiniz. 3.11 Çok büyük m erkezi M küresiyle etrafın d ak i b ir yörüngede bu lu n an m uydusu arasın d ak i çekici kütleçekim sel kuvvet, (R araların d ak i radyal vek­ tö r olm ak üzere) gerçekten F = -GM mR/R^3+a) denklem ine uyuyorsa Kepler'in ikinci ve üçüncü y asa sın d a hangi değişiklikler yapılm alıdır? (Üçüncü yasayı ta rtışırk e n dairesel yörünge olduğunu varsayınız.) 3.12 D ünyanın kütleçekim ivm esi g 'yi lab o ra tu v ard a ölçerken, ayın kütleçekim etkisinden kaynaklı günlük Ag dalgalanm alarını te sp it etm ek için ne k ad a r h a ssa s ölçüm yapılm ası gerekir? Kolaylık için lab o ra tu v arm ızın ayın en yüksek ve en alçak n o k tad an geçtiği yerde olduğunu varsayınız. Ayrıca yerkabuğu gelgiti etkilerini ihm al ediniz. 3.13 Ö rten ikili yıldız sistem i, yörünge düzlem inin b ir yıldızın diğer yıldızı periyodik olarak örtecek şekilde gözlem h a ttın a sahip olduğu b ir yıldız sis­ tem idir. İki bileşen in bağıl yörüngesel hızı ta y f çizgilerindeki D oppler etki­ siyle ölçülebilir. T periyodu gün olarak ve V yörünge hızları km s -1 olarak ölçülm üşse yıldızların k ütleleri toplam ı M nedir? Not: D ünyayla güneş arasın d ak i o rtalam a uzaklık 1,50 x 108 km 'dir. 3.14 Bir kuyrukluyıldız, rp = 1,00 x 10® km günberi uzaklığıyla güneşin e t­ ra fın d a dönm ektedir. Bu noktadaki hızı v = 500,0 km s_1'dir.

(a) Y örüngenin günberi noktasındaki eğrilik y arıçap ı R c (km cinsinden) nedir? (b) a y arı-büyük eksenli, b yarı-küçük eksenli b ir elips için günberideki eğrilik y arıçap ı R c = b2/a form ülüyle h esaplanır. R c ve rp'yi b iliy o r­ sanız sadece bu nicelikleri ve a 'y ı içeren b ir denklem yazabiliyor ol­ m alısınız. Denklemi tü retin iz ve a 'y ı bulunuz. (c) Y ukarıdaki bilgilerden a'y ı hesaplayabildiyseniz kuyrukluyıldızın periyodu Tc 'yi h esaplayabiliyor olm alısınız. Periyodu hesaplayınız. 3.15 K arşılıklı kütleçekim le etkileşen iki nesnenin b irb irin e "düşeceği" ve böylece (kütle m erkezleri olan) sa b it o rtak b ir nokta etrafın d a dönecekleri fikrini k u llan arak sab it m esafede kaldıkları yörüngenin periyodunun sad e­ ce kütlelerin in toplam ı olan M + m 'ye bağlı olduğunu ve kütleleri oranına h içb ir şekilde bağlı olm adığını gösteriniz. Bu durum ayrıca eliptik y ö rü n ­ geler için de doğrudur. N esnelerin döndükleri elipslerin yarı-büyük eksen­ lerinin R v e r olduğunu v arsay ara k yörüngelerinin periyodu !Tyi bulunuz. 3.16 Ayın k ütlesi n asıl b u lunabilir? 3.17 S iriu s'u n trigonom etrik ıraklık açısı (örneğin dünyanın yörüngesinin yarıçapıyla S iriu s'ta o lu ştu ru lm u ş açı) 0,378 yay derecedir. Bu bilgiyi ve Şekil 3-2'deki verileri k u llan arak Sirius sistem inin kütlesi M'yi, güneş sis ­ tem inin k ütlesi cinsinden aşağıdaki k o şu llar için türetiniz; (a) yörünge düzlem inin gözlem h a ttın a dik olduğunu v arsay ara k ve; (b) yörüngenin gerçek eğim ini de h esab a katarak (b) şıkkm daki cevabınız b ir ü st veya alt sın ırd an büyük m ü (ya da ikisi b ir­ den mi)?

270'

90‘

>"

i" ÖLÇEK

l"

10"

KİNEMATİK

Feynm arı Fizik Dersleri 1. Cilt, 8 . Bölüme karşılık gelm ektedir. 4.1 (a) Bir cisim sab it b ir ivmeyle düz b ir çizgi üzerinde ilerlem ektedir. t = O anındayken x = xo konum unda ve vx = vxo hızındadır. Belirli b ir t an ın d a konum ve hızının aşağıdaki denklem lerle verildiğini gösteriniz. x ( t )

=

x q

+

v x (t)

-

v x0

v x q

+

t

+

A

a t 2,

a t ,

(b) Y ukarıdaki denklem lerde t'yi yok ediniz ve herhangi b ir aşağıdaki denklem i sağlayınız.

t

anında

vx = vxo + 2a(x - xo). 4.2 Bir önceki sorudaki denklem leri üç boyuttaki sa b it ivme bileşenleri a x, %» o-z yi k u llan arak üç bo yuta genelleyiniz. Aşağıdaki denklem leri elde edi­ niz. (a)

*0)

= *0

+ v x0 t

+ i

axt2,

y(t) = yo + vy0t + i ayt2, z(t) = z 0 + vz0t + 1 a ¿t2, vx(t) - vxo + a xt, V y (t )

— VyO + ayt,

V z (t )

=

V Z0

+ az t,

(b) v2 = v \ +

+ v \ - v\ + 2 [ax(x - x0) + ay(y - y 0) + az (z - z0)],

b u ra d a v\ = vx0 + v^0 + u| 0 olarak verilm iştir. 4.3 Bir açı, b ir çem berin m erkezinin gördüğü açıya karşılık gelen yayın uzunluğuyla ölçülebilir. Şekil 4-1'de gösterildiği gibi s yay uzunluğu ve R çem berin y arıçap ıy sa olu şan açı d rad y an em sinden

\

9 = s/R olarak verilir. (a) R adyan cin sinden 6 « 1 iken sin 0 w 9 ve cos 0 « 1 olduğunu g ö steri­ niz. (b) Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının açı toplam ları denklem leriyle ve yukarıdaki sonuçla birlikte tem el form ülü k u llan arak sin x ve cos x fonksiyonlarının tü revini bulunuz. d y _ lim y(x + Ax) - y(x) dx Ax->0 Ax

/

/

4.4 Bir nesne, Şekil 4-2'de gösterildiği gibi sab it V hızıyla R y a n ç a p lı çem­ berin s a a t yönünün te rsi yöne doğru hareket etm ektedir. Çem berin m erkezi (x, y) Kartezyen koordinatının o rijinindedir ve parçacık t = 0 an ın d a {R, 0) noktasındadır. A şağıdakileri eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz. (a) sr

R

cos

(o t ,

y

=

R

sin

(o t ,

VX

=

- V sin

Vy

=

V cos

X

-

ax

a-y

(o t , (o t ,

V2 COS

*

(Ot,

H. ■ - V2 sın

=

*

(o t ,

R

V2

n it

R

ö II X

3 +

CM

X

'

y + (o2y = 0 , b u ra d a açısal frekans oı = V/R olarak verilm ektedir. 4.5 Bir balon, bilim sel b ir görev için dakikada 1000 ft yükselm ektedir. 30.000 ft yüksekliğinde balo n p a tla r ve balonun p atlad ığ ı yük aşağı doğru serbestçe düşm eye başlar. (Böyle k az alar gerçekten olm aktadır.) (a) Ne k ad a r süre sonra balo n u n taşıd ığ ı yük yeryüzüne çarpar? (b) Yeryüzüne çarpm a anındaki hızı v ne olur? Hava sürüklenm esini ihm al ediniz. 4.6 Bir tren in 20 cm s -2 ivm eyle hızlandığını ve 100 cm s -2 ivm eyle y av aşla­ dığını varsayınız. T renin b irb irlerin d en 2 km uzaklıktaki iki istasy o n a ra sı­ nı katedebileceği en kısa t sü re sin i bulunuz. 4.7 Küçük b ir topu, sü rtü n m e etkisi olan gerçek h avada dik b ir şekilde yu­ karı doğru fırlatırsa n ız yukarı çıkıp aynı noktaya geri gelm esi daha mı uzun sürer? 4.8 Dünya yüzeyi üzerinde ekvatorda b ir noktayı ele alınız: (a) D ünyanın m erkezine göre hızı v nedir? (b) Açısal frekansı (o nedir? (c) Açısal hareketinden kaynaklı çizgisel ivm esi a 'n m kütleçekim ivm esi g 'ye oranı nedir? 4.9 Düşey olarak fırlatılm ış b ir roketin, yakıtının tam am en b ittiğ i ilk 50 s a ­ niye boyunca yukarı doğru 2g büyüklüğünde sab it b ir ivm esi olduğu an la­ şılm ıştır. H ava direncini ve g 'n in yükseklikle değiştiğini ihm al ederek (a) R oketin tüm uçuş süresi için v - t grafiğini çiziniz. (b) U laşacağı m aksim um yükseklik -Hmaks'1 hesaplayınız.

(c) R oketin fırlatılm asın d an dünyaya geri dönüşüne k ad a r geçen toplam süre r'y i hesaplayınız. 4.10 Ders esn asın d ak i küçük b ir deneyde küçük çelik b ir top çelik ta b a k a ­ nın üzerinde zıplıyor. H er zıplayışında topun aşağı doğru olan tabakaya çarpm a hızı e k atsay ısı k a d a r azalm aktadır, örneğin vyukan = e başağıTop t = 0 an ın d a 50 cm yukarıdan b ırakılıyorsa ve 30 saniye içinde t a ­ bak a üzerindeki zıp lam aların sona erdiği b ir m ikrofon ta ra fın d a n ölçülen sesle tey it ediliyorsa e değeri ne olm alıdır? 4.11 Bir arazi üzerinde y atay la 6 açısı yapacak şekilde v0 hızıyla b ir ku rşu n ateşleniyor. (Hava direncini ihm al ediniz.) (a) U laşabileceği m aksim um yükseklik Hmaks ve m esafe R 'yi bulunuz. (b) Gidebileceği m esafenin m aksim um olm ası için k u rşu n hangi açıyla ateşlenm elidir? 4.12 Şam piyon b ir okçu, L m esafesi uzaklığındaki b ir duvarda yayının h k a­ d ar y u k arısın a y erleştirilen b ir hedefi tam o rtasın d an vurm aktadır. Okun yayı terk ettiği hız V, okun yatayla yaptığı başlangıç açısı 6, yükseklik ve hedefe olan uzaklık ara sın d a (okçunun cevabını biliyor olduğu) b ir ilişki tü ­ retiniz. Not: Okçu, h av a sü rtü n m esin i ihm al etm edi, fak at siz ihm al edebilirsiniz. 4.13 Bir çocuk y atay la 70° açı yapacak şekilde yukarı doğru b ir top fırla tı­ yor ve top om uzlarından 32 ft yükseklikteki açık b ir pencereden yatay o la­ rak geçerek içeri giriyor. (a) T opun fırlatıld ığ ı andaki hızı v nedir? (b) Tam pencereden geçerken izlediği yolun eğrilik yarıçapı R nedir? H erhangi b ir t anı için izlediği yolun eğrilik yarıçapı h esa p la n ab ilir mi? 4.14 Küçük b ir çakıl ta şı R yarıçaplı b ir lastiğ in d işlerine saplanm ıştır. L astik V hızıyla y atay düzlem de kaym adan yuvarlanıyor ve t = 0 anında ye­ re değiyorsa aşağıdaki bileşenleri zam anın fonksiyonu olarak bulunuz. (i = 0 an ın d a çakıl taşın ın k o o rd in atların ı x = 0 ve y = 0 olarak kabul ed i­ niz.) (a) Çakıl ta şın ın konum u, (b) Hızı v, (c) ivm esi o. 4.15 A raba k u llan m ak ta olan sürücü, takip ettiği tırm arkadaki iki tekerleği a rasın a ta ş sap lan d ığ ın ı fark ediyor. Güvenliğe önem veren b ir sürücü (ay­ nı zam anda b ir fizikçi) gibi ta ş serb est kaldığında ta ş ın arab ay a çarpm a­ m ası için takip m esafesini 22,5 m 'ye çıkartıyor. T ır hangi v hızıyla gitm ek­ tedir? (Taşm yere ç a rp tık ta n sonra zıplam ayacağım varsayınız.) 4.16 Sirkte gösteri y ap an b irisi yeni b ir gösteri gerçekleştiriyordu. Ip cam ­ bazlığıyla in san lı h avanı birleştirm ek istiyordu. K endisini V başlangıç h ı­ zıyla fırla ta n b ir h avanı vardı. K endisini, Şekil 4-3'te gösterilen ipi (r = 2 m) yakalayacak k ad a r yukarı fırlatm ak ve ipi yakalayarak yerden h = 20 m yuk arıdaki p latfo rm a ulaşm ayı planlıyordu. (Ip gevşek olm am alıdır, örneğin r ve Tı'deki düşey h ızları sıfır olm alıdır.)

Şek>*4-3

(a) H avan hangi 6 derecesine ayarlanm alıdır? (b) P latform la havan arasın d ak i m esafe x ne olm alıdır? (c) Kendisini hangi V hızıyla fırlatm ah d ır? 4.17 H avan to p u n u n Şekil 4-4'te gösterildiği gibi 27.000 ft uzaktaki eşikten 350 ft d ah a aşağı düşeceği şekilde b ir havan yerleştiriliyor. E şikten sonraki zem inde yer alan nesneleri bom balam ak istendiğine göre hav an 1000 ft s -1 hızla fırlatıld ığ ın d a en kısa d m esafesi ne olur? 4.18 Banliyödeki polis m em urlarını tanım ayan C alifornia Teknoloji E n sti­ tü sü birinci sın ıf öğrencisi hızlı a ra b a sürm ekten trafik cezası alm ıştır. Bu­ nun üzerine otoyolda kendi "hız testini" yapm aya k a ra r verir. "0 " n o k tasın ­ dan başlay ıp arab asın ı sab it ivm ede tu ta ra k 0,1 m il tab ela sın ı 16 saniyede ve d ah a sonra 0,2 m il tab ela sın ı 8 saniyede geçer. (a) 0,2 mil tab ela sın d a n geçerken hızölçeri hangi v değerini gösterir? (b) İvm esi a nedir? 4.19 E dw ards AFB'deki uzun y atay te st yolunda roket ve je t m otorları te st edilebilir. Belirli b ir günde b ir roket m otoru sab it konum dayken yakıtı b i­ tene k ad a r sab it ivmeyle h ızlan m ıştır ve yakıtı b ittik ten sonra sa b it hızla yoluna devam etm iştir. Yakıtın k at ettiği te s t m esafesinin tam o rtasın d ay ­ ken b ittiğ i gözlenm iştir. D aha so n ra je t m otoru, roketin k at ettiği te s t m e­ safesini sab it ivmeyle geçm iştir. Hem roket hem de je t m otorunun te st m e­ safesini tam olarak aynı sürede tam am ladıkları gözlenm iştir. J e t m otoru­ nun ivm esi a /n in , roketin ivm esi a R'ye oranı nedir?

NEWTON YASALARI

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 9. Bölüme karşılık gelm ektedir. 5.1-5.13 arasın d ak i alıştırm a la r an alitik yöntem lerle, 5.14-5.17 arasın d ak i a lış tır­ m alar say ısal yöntem lerle çözülm elidir. 5.1 Y atay düzlem de b irb irlerin e bağlı m ı = 1 kg ve m 2 = 2 kg kütleli iki blok, Şekil 5-1'de g ö sterildiği gibi m akara üzerinden sallan a n mz = 2 kg

/ / / / / / / / / / V / "/ / / / m3

kütleli bloğa b ir iple bağlıdır. Sürtünm eyi, ip ve m ak aran ın kütlelerini ih ­ m al ediniz.

Şekil 5-1

(a) Tüm k ü tleler için üzerlerine etkiyen kuvvetleri göstererek serb est ci­ sim diyagram ını çiziniz. (b) K ütlelerin ivm esi a 'y ı bulunuz. (c) İplerdeki T\ ve T2 gerilm elerini bulunuz. 5.2 Kilogram cin sin d en b ir m kütlesi 0,1 g ivm esiyle aşağı doğru hareket eden b ir asan sö rd ek i ipe asılm ıştır. İpteki T gerilm esi N ew ton cinsinden nedir? 5.3 B irbirlerine L = 2 m u zunluğundaki gergin iple m = 1 kg kütleli iki blok, Şekil 5-2'de g ö sterildiği gibi kütleçekim in olm adığı b ir o rtam d a iki kütlenin m erkezi olan C nok tası etra fın d a V = 5 m s -1 sab it hızıyla dairesel olarak dönm ektedir. İpteki T gerilm esi N ewton cinsinden nedir? 5.4 Şekil 5-3: M\ ve M 2 k ü tlelerin in M kütlesine göre harek etsiz kalm ası için daim i o larak u ygulanm ası gereken y atay F kuvveti ne olm alıdır? S ürtünm e­ yi ihm al ediniz.

Mı

Q M

M2

5.5 Şekil 5-4: m ı = 5 kg k ü tlesin in m 2 = 4 kg kütlesine göre h areketsiz olm a­

IG / / / J / / / / " / / / /

sı için M - 21 kg kü tlesin e daim i olarak uygulanm ası gereken y atay F kuv­ veti ne olm alıdır? Sürtünm eyi ihm al ediniz.

Şekil 5-3

5.6 Şekil 5-5'te g ö sterilen sistem de Mt kütlesi eğik düzlem de sürtünm esiz b ir şekilde kaym aktadır. 9 = 30°, Mı = 400 g, M 2 = 200 g. M 2 k ü tlesin in iv­ m esi o 'y ı ve ipteki gerilm e T yi bulunuz.

mı

5.7 B asit b ir vinç iki p arçad an oluşm aktadır: M a kütleli, D uzunluklu, H yüksekliğine sahip ve r y arıçap lı tekerlerinin m erkezleri arasın d ak i m esafe D/2 olan “A" parçası, Mg kütleli L uzunluklu düzgün b ir çubuk olan “B" p a r­ çası. Şekil 5-6'da gösterilen vincin p a rç a la rın ın b ağ lan tı noktası, A p a rç a sı­ nın ü s t yüzeyinin orta noktası olan P noktasıdır. A 'm n kütleçekim m erkezi tekerlerin arasın d ak i m esafenin o rta noktasıdır. (a) Y atayla 6 açısı yapacak şekilde ay arlan an B çubuğuyla vincin devrilm e­ den taşıyabileceği m aksim um kütle Mmaks ne kadardır? I— D / 2 - - I Şekil 5-6

(b) İpin diğer ucunda M ' = (4/5)Mmaks kütlesi v a rsa M ' kütlesini yerden (L sin 6) yüksekliğine kaldırm ak için gereken m inim um t zam anı nedir? (0 açı­ sı sab it k alm ak tad ır ve ipin kütlesi ihm al edilebilir.) 5.8 Kütleçekim ivm esini ölçmek için kullanılan ilk düzeneklerden b iri olan At-wood m akinesi Şekil 5-7'de gösterilm iştir. P m akarası ve C ipi ihm al edi­ lebilir kütle ve sürtünm eye sah ip tir. Sistem iki ta ra fın a da M kütlesi (kesik­ siz çizgiyle) bağ lan arak dengededir. Daha sonra b ir ta ra fa m k ü tlesi eklen­ m ektedir. B irleşik kütle belirli b ir h m esafesi k ad a r aşağı doğru ivm eli b ir şekilde d ü ştü k ten sonra m kütlesi b ir halka ta ra fın d a n d u rd u ru lu r. Daha sonra iki eşit kütle sa b it v hızıyla aşağı doğru hareket etm eye devam eder. Kütleçekim ivm esi g'y'\ ölçülen M, m , h v e v cinsinden belirleyiniz. 5.9 Şekil 5-8'de M 2 kütleli b ir asa n sö rü n tav an ın d a n M\ kütlesi asılm ış d u ­ rum dadır. A sansör sa b it F kuvvetiyle yukarı doğru ivm elenm ektedir. (F > (Mı + Mz)g.) kütlesi b aşlan g ıç ta asa n sö rü n zem ininde s m esafesi kad ar yukarıdadır. (a) A sansörün ivm esi a 0'ı bulunuz.

Şekil 5-7

(b) Mı kütlesini asansöre b ağlayan ipteki gerilm e T nedir? (c) İp koptuktan hem en so n ra a sa n sö rü n ivm esi a ve Mı k ü tlesin in iv­ m esi a' nedir? (d) Mı k ütlesinin asa n sö rü n zem inine çarpm ası için geçen süre t nedir? 5.10 Şekil 5-9'da gösterilen sistem de tüm yüzeylerdeki sü rtü n m eleri ihm al ediniz. M = 1650 g kütlesinin zem ininden d = 1 m yükseklikte asılı olan m = 150 g kütlesi serb est b ırak ılırsa, m k ütlesinin M kütlesin in zem inine ç a rp a ­ n a k ad a r geçen süre At nedir? 5.11 M ars kanalı R im ini'deki gondollardan hiç biri, ayrı b o tlard a gitmeyi kabul etm eyen iki sevim li keseli hayvan olan Paolo ve F rancesca'yı b erab er

taşıy acak k ad a r güçlü değildir. Gondol işletm ecisi G uiseppe, kütlesiz ip ve hem kütlesiz hem sü rtü n m esiz m ak aralar kullanm ak kaydıyla Şekil 5-10'da gösterildiği gibi Paolo ve F rancesca'yı gondol direğine bağ lay arak b iletle ri­ ni keser. Guiseppe, ikisinden b iri ne güverteye ne de direğe çarp m ad an k a r­ şıya geçirir. P aolo'nun k ü tlesin in 90 kg ve F ran cesca'n m kütlesin in 60 kg olduğunu v arsay ılırsa Guiseppe ne k ad a r b ir W yükü k u rtarm ıştır.

/ / / / / / / / / m

İpucu: Kütlesiz ve sü rtü n m esiz b ir m ak arad an geçen kütlesiz b ir ipteki ge­ rilm enin m ak aran ın h er iki ta ra fın d a da aynı olduğunu hatırlayınız. 5.12 Asm a iskelede çalışan b ir boyacı, Şekil 5-11'de gösterildiği gibi uzun b ir b in an ın k en arın d a asılıdır. 180 lb kütleli boyacı, d ah a hızlı hareket e t­ m ek için iskeleye 100 lb baskı uygulayacak şekilde ipi asılm ak tad ır. İskele­ n in kendisi 30 lb 'd u r. (a) Boyacı ve iskelenin ivm esi a nedir? (b) M akaranın taşıd ığ ı toplam kuvvet F ne kadardır? 5.13 Bir uzay yolcusu, yaylı b ir terazi ve 1,0 kg değerindeki b ir A kütlesiyle aya gitm ek üzeredir. A k ütlesi yaylı teraziyle ölçüldüğünde dünyada 9,8 N gelm ektedir. Kütleçekim inin tam olarak bilinm ediği fa k a t dünyanınkinin yaklaşık altıd a b iri olan aya u laşır. Yaylı terazid e 9,8 N gelen b ir B ta şı alır. Şekil 5-12'de gösterildiği A v e B kütlelerini b ir m akara üzerinden geçirerek b irb irin e b a ğ la r ve B ta şın ın 1,2 m s -2 ivm esiyle aşağı d ü ştü ğ ü n ü ölçer. B ta şın ın kü tlesi m g nedir?

Şekil 5-11

/ / / / / / / / / / / / .

B undan sonraki s o ru la n çözmek için sayısal yöntem leri kullanınız. 5.14 Bir kütle b ir yaya h areketsiz b ir şekilde a sılm ıştır ve d ah a sonra b a ş ­ langıçta birim h ızda h arek et edecek k a d a r yukarı doğru k a ld ın lm ıştır. H a­ reket denklem i x = - x olacak şekilde kütle ve yay sab itse h arek et denklem i­ n in say ısal in teg ral alm a işlem iyle elde edilen m aksim um yükseklik xmaks'ı bulunuz. 5.15 m kütleli b ir p arçacık düz b ir çizgi boyunca ilerlem ektedir. Hızıyla o ran tılı F = - k v kuvvetiyle b ir dirence m aruz kalm aktadır, t = 0 anında ve x = 0 konum undayken v = v0 hızıyla h areketine b aşlam ıştır. (a) Sayısal in teg ral alm a yöntem iyle x'ı, t'n in fonksiyonu olarak b elirle­ yiniz. (b) Hızı y a n y a düşene k a d a r geçen süre yi ve gidebileceği m aksim um m esafe ^maks’1 belirleyiniz. Notlar: (a) H areket denklem inin b a s it k a tsay ılara sah ip olm ası için x ve t'n in öl­ çeğinde ay arlam a yapınız. (b) Görece k ab a b ir At zam an aralığıyla kesinlik artırm a k için b ir şem a o lu ştu ru n . (c) tj ve Zmaks'ın v0, k ve m 'ye n asıl bağlığını çıkarm ak için boyut a n a li­ zini kullanınız ve h arek et denklem ini tek b ir uygun v0 değeri için çö­ zünüz, örneğin (x ve t'n in birim leri ay arlad ık tan sonra) v0 = 1, 00.

Şekil 5-12

5.16 Belirli b ir yüklü parçacık aşağıdaki denklem lere göre elektrik ve m an­ yetik alan içinde hareket etm ektedir:

dVv

-= -2 v v dt ~

dvv * = ı + 2vxdt Parçacık t = O anında x = O ve y = O konum undan vx = 1,00 ve vy = O hızıyla h areketine başlam ak tad ır. Sayısal integral alm a yöntem iyle hareketin do­ ğasını belirleyiniz. 5.17 Bir havan, yatayla 45° yapacak şekilde v = 1000 ft s -1 hızıyla ateşlenm iştir. H areket, hızının kübüyle oran tılı b ir kuvvetle dirence m aruz kal­ m ak tad ır (F = - k v 3). k k atsayısı, direnç kuvvetinin v = 1000 ft s -1 hızm dayken havan topunu n ağırlığının iki k atm a e şit olacak şekildedir. Sayısal in ­ tegral alm a yöntem i k u llan arak çıkabileceği m aksim um yükseklik tomaks'ı ve y atay uzaklık R 'yi bulunuz ve direncin olm am ası d urum da beklenen de­ ğerleriyle k arşılaştırın ız.

MOMENTUMUN KORUNUMU

F eyn m a n F izik Dersleri 1. Cilt, 10. Bölüme k arşılık gelm ektedir.

6.1 İki cisim b ir doğru üzerinde hareket ederken m o m en tu m lan n m b irb ir­ lerine zıt yönde ve eşit büyüklükte oldukları özel b ir koo rd in at sistem i v a r­ dır. Yani toplam m om entum ları sıfır olur. Bu referan s çerçevesine kütle m erkezi sistem i (kısaca KM) denir, m ı ve m 2 kütleli iki cism in h ızları v x ve ı?2 ise KM sistem in in h areket hızının VKM = -

m ıVı + m 2v2 m ı + m2

olduğunu gösteriniz.

6.2 6. 1 'deki alıştırm ay ı h erhangi b ir sayıda kütlenin düz b ir çizgi üzerinde harek et ettiği sistem e genelleyin, ö rn eğ in toplam m om entum un sıfır oldu­ ğu koo rd in at sistem in in hareketinin llm m VK M = --------------

ifadesiyle verildiğini gösteriniz. 6.3 6.1'deki alıştırm ad ak i iki kütlenin kinetik enerjileri toplam ı T ve KM sistem indeki enerjileri toplam ı 7km ise aşağıdaki ifadenin doğru olduğunu gösteriniz.

6.4 6.3'teki alıştırm ay ı herhangi b ir sayıdaki kütle için genelleştiriniz. Aşa­ ğıdaki ifadenin doğru olduğunu gösteriniz.

rr.

rr,

T= r KM + —ğ—

,

6.5 m ı ve m 2 kütleli iki p lan ö r havada y atay olarak serbestçe harek et ede­ bilm ektedir. 77i2 kütleli p lan ö r d u rg u n d u r ve m ı kütleli planör, diğer p lan ö ­ re tam b ir esnek çarp ışm a yapacak şekilde çarpm aktadır. Ç arpışm adan sonra zıt yönde ve eşit büyüklükte h ızlarla b irb irlerin d e n uzaklaşm aktadır. m 2/m ı o ranı nedir?

6.6 E kinetik enerjisine sahip b ir nötron, durgun b ir C 12 çekirdeğiyle ç a rp ış­ m aktadır. Tam esnek b ir ça rp ışm ad an sonra geldiği yönde geri sekm ekte­ dir. Ç arpışm a sonrasın d aki eneıjisi E' nedir? 6.7 m = 10 kg kütleli b ir gülle, vt = 500 m s -1 b aşlangıç hızıyla dünya yüze­ yine dik olarak yukarı fırlatılm ıştır.

(a) Dünya yüzeyine çarpm a hızı vjj'yi hesaplayınız. (b) Gülle, dünya yüzeyinden ayrıldığı an d a dünyanın kinetik enerjisi T o'nin güllenin enerjisi Tg'ye o ranını hesaplayınız. (c) G üllenin hızının ve kinetik enerjisinin dünyanınkilere k a rşı grafiğini n itel olarak çiziniz. Hava direncini ve dünyanın yörüngesel hareketini ihm al ediniz.

6.8 V - 10 m s -1 hızıyla harek et etm ekte olan m = 1,0 kg k ütleli b ir cisim, M = 4,0 kg kütleli durgun ve se rb e st haldeki cism e ç a rp arak Vs hızıyla gel­ diği yönde geri sekm ektedir. Ç arpışm a esn asın d a h = 20 J m ik tarın d a b ir ısı oluşuyorsa Vs nedir? (Kullanacağınız tüm nicelik ve d u ru m ların hangi fiziksel y asa la rd an geldiğini açık b ir şekilde gösteriniz.)

/ / / / / / / / ✓

6.9 Y atay düzlem de serbestçe harek et edebilen 5 m uzunluğundaki 10.000 kg k ütleli b ir platfo rm u n kuzey ucuna yerleştirilm iş b ir m akineli tüfek, p latfo rm u n güney ucuna yerleştirilm iş kalın b ir hedefe ateş etm ektedir. Tüfek 500 m s -1 hızıyla h er b iri 100 g olan k u rşu n la rd a n saniyede 10 adet atm ak tad ır. P latform hareket eder mi? E derse hangi yönde ve hangi v h ı­ zında harek et eder?

6.10 m ı kütlesi, b ir m akara üzerinden geçen b ir kabloyla başlangrç kütlesi m 2 0 anı için hareket ı i t )'yi bulunuz. 7.6 Üç ad et vektör aşağıdaki gibi verilm ektedir. a = 3i + 2j - k, b = 2i - j + k, c —i + 3j A şağıdaki ifad eleri bulunuz. (a) a + b (b) a - b (c) a x (d) a ■i (e) a ■b (f) (c • c)b - (a ■bjc

7.7 H areket halindeki 1 kg kütleli b ir parçacığın konum u aşağıdaki vektörle verilm ektedir.

(a) î = O ve t = 1 s a n la n için konum , hız v[t), ivme a(t) ve kinetik enerji r(t)'yi bulunuz. (b) Bu hareketi gerçekleştiren kuvvet 2*U)'yi bulunuz. (c) t = 1 s an ın d a parçacığın h arek etin in eğrilik y a n ç a p ı JR(i)'yi bulunuz. 7.8 100 knot hızıyla uçan b ir p ilo t kuzeye gitm ek istem ektedir. Uçuş yük­ sekliğinde b a tıd a n doğuya doğru 25 knot şiddetinde b ir rü z g âr olacağını hav aalan ı m eteoroloğuyla yaptığı konuşm adan bilm ektedir. (a) Uçağını hangi yöne doğru kullanm alıdır? (b) Gideceği y er 100 m il uzaklıktaysa uçuş sü resi T ne olacaktır? (İniş ve kalkış sü resin i ihm al ediniz ve 1 knot = 1,15 m il s a a t -1 olarak alınız.) 7.9 Bir b isik let sü rü cü sü 10 m il s a a t -1 hızla kuzeye doğru gitm ektedir ve kuzeyle doğu arasın d ak i b ir yönden 6 m il s a a t -1 hızla esen rüzgâr, b isik le t­ çiye göre kuzeyin 15° doğusundan esm ektedir. (a) R üzgârın gerçek yönünü bulunuz. (b) B isikletçi aynı hızla geri dönerken rüzgâr, bisikletçiye göre hangi yönden eser? 7.10 1 m il uzunluğundaki b ir n eh rin kenarındaki b an k ta o tu ran b ir kişi neh rin tam k arşısın d ak i b an k ta oturm ak istem ektedir. B unu iki şekilde y a ­ pabilir. (a) A kıntının te rsi yönünde yü zer ve böylece bağıl h arek etin in yönü d i­ rek n eh rin k a rşısıd ır ve b an k a u laşır. (b) Diğer banka doğru yüzer ve karşıy a çıktığında n eh rin akıntı yönünde götürdüğü m esafeyi geri yürüyerek b an k a ulaşır. 2,5 m il s -1 hızıyla yüzebiliyor ve 4 m il s -1 hızıyla yürüyebiliyorsa ve nehrin ak ın tısı 2 m il s -1 ise hangi yol d ah a h ızlıd ır ve karşıya geçm esi ne kad ar sürer? 7.11 Suya göre V sab it hızına sah ip b ir deniz m otoru, suyun düzgün b ir şe­ kilde R hızıyla aktığı düz b ir k an a ld a ilerlem ektedir. M otor, dem irlediği no k tad an suyun akıntı yönünde d uzaklığındaki b ir noktaya gidip gelm ek­ tedir. D aha sonra kanalın tam k a rşısın d a d uzaklığındaki b ir noktaya gidip gelm ektedir. Kolaylık için m otorun tü m y o llar boyunca en yüksek h ızda g it­ tiğini ve geri dönüşte vakit kaybı yaşam adığını varsayınız. M otorun akıntı yönünden d uzaklığındaki noktaya yaptığı gidiş-dönüş yolculuğunun sü re ­ si ty, kanalın tam k arşısın d a d uzaklığındaki noktaya yaptığı gidiş-dönüş yolculuğun sü resi ve m otorun b ir gölde 2d m esafesi katetm esi için gere­ ken süre ti'd ir. (a) ty /tjı oranı nedir? (b) t ^ / t ı oranı nedir?

7.12 Dünya üzerinde enlem leri ve boylam ları Uı, 0ı) ve U2, 0 2) olan iki nok­ ta arasın d ak i en büyük çem berin m esafesini bulm ak için vektörleri kullanı­ nız. Not: Bir ekseni dünya ekseni doğru ltu su n d a, İkincisi X = 0, (/>= 0 doğ ru ltu ­ su n d a ve ü çü n cü sü de X = 0, - 90° d o ğ ru ltu su n d a olan ve m erkezi dünya­ nın m erkeziyle çakışık olan koo rd in at sistem ini kullanınız. Boylamı 0°'den 360°'ye k a d a r alınız. 7.13 Ayın aşağıdaki hallerdeyken ayın ivm esi a 'n ın büyüklüğü ve yönü n e­ dir? (a) Yeniay? (b) Hilal? (c) Dolunay? Not: ^dünya-güneş ^dünya-ay

“

lf5 0 X 108

= 3,85

X

km

105 km

M,güneş = 3,33 x 105 Mdüunya 7.14 Yüzeyi 45° eğim li ve düzgün olan iliı =

= 8 kg kütleli aynı iki takoz,

Şekil 7-1'de g ö sterildiği gibi M = 384 kg kütleli takozu harek et ettirm ekte­ dir. İki takoz da y atay düzlem de düzgün b ir şekilde sü rtü n m esiz h areket etm ektedir. T akozlardan biri düşey duvara y aslanm ış durum da, diğerine yatay olarak F = 592 kg k a d a r b ir kuvvet uygulanm ıştır. (a) H areketli M\ tak o zunun ivm esi « ı'in büyüklüğü ve yönü nedir? (b) Büyük M tak o zunun ivm esi a 'n ın büyüklüğü ve yönü nedir? (c) S abit M 2 tak o zu n u n M takozuna uyguladığı F2 kuvveti nedir? Sürtünm eyi ihm al ediniz. 7.15 m k ü tlesi herh an g i b ir uzunluktaki ipin ucundan sü rtü n m esiz b ir şe­ kilde b ir p ivot n o k tasın a a sılm ıştır ve Şekil 7-2'de gösterildiği gibi pivot n o k tasın d an uzaklığı H olan yatay dairesel b ir yolda dönm ektedir. K ütlenin yörüngesindeki dönm e h arek etin in periyodu T'yi bulunuz. 7.16 K ütleleri 1 gram olan küçük, y apışkan ve m acun kıvam ındaki iki a v e b to p la n , -9 ,8 k m s -2 ivm esine sah ip kütleçekim altın d a harek et etm ektedir, i = 0 an ın d ak i başlan g ıç k o şu lla n aşağıdaki gibi verilm iştir. r a(0) = 71 + 4,9 k, ua (0) = 7 i + 3j, rj,(0) = 49i + 4,9fc, rç,(0) = -7 i + 3i, t > 0 anı için ra(t) ve r^fil'yi bulunuz. 7.17 Doğuya doğru 15 knot hızıyla sa b it b ir şekilde harek et eden b ir gem i­ desiniz. S abit b ir ro ta d a ilerleyen ve hızı 26 knot olduğu bilinen b aşk a b ir

gemi size göre 6 m il güneydedir. Daha sonra bu gem inin tam arkanızdan 3 mil yakından geçtiği gözlenm iştir. (a) Diğer gem inin ro tası nedir?

*>•

(b) Size göre güneydeki konum uyla tam sizin arkanızdan geçtiği konum u arasın d a geçen süre T nedir?

ÜÇ BOYUTTA GÖRELİ OLMAYAN İKİ-CİSİM ÇARPIŞMALARI

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 10. ve 11. Bölümlere karşılık gelm ektedir. İki-cisim ça rp ışm aların ın analizi, genellikle KM sistem in in kullanım ıyla basite indirgenebilir. Bir la b o ra tu v ar sistem inde göreli olm ayan iki-cisim çarp ışm asın ın genel du ru m unu ele alınız. v 1 ve v 2 h ızların a sahip m ı ve m 2 kütleleri çarp ışır. Ç arpışm aları sıra sın d a kütle alışverişi y ap arak Şekil 8l'd e gösterildiği gibi v 3 ve v 4 h ızların a sahip m 3 ve m 4 kütleleri oluşur. Enerji ve m om entum korunum y asa la rı aşağıdakileri ilişkilerle verilir:

mı

V3 - ÇARPIŞM A-

r ^ ' rri2

v2

1/4 SONRA

ÖNCE Şekil 8-1

| m jvf + 1 m 2v\ + Q = \ rn3vl + A m4v\ rriıVı + m 2v 2 = m3v 3 + m4v4. Ç'nün değeri çarp ışm an ın esneksizliğini belirler. L ab o ratu v ar sistem indeki böyle b ir analiz yöntem i genellikle çok zahm etlidir ve m uhtem el sistem a­ tiklere ya da b a s it ilişkilere kolay b ir şekilde ulaşılm az. Pek çok durum da çarp ışm aların doğrusal olduğu KM sistem i tercih edilir. (i) KM hızını belirleyiniz: Ç arpışm a öncesi:

UKM=

m

+ m 2v 2

m\ + m 2

Ç arpışm a sonrası: m 3v 3 + m 4,V4 m 3 + m4

*KM =

Tüm göreli olm ayan çarp ışm alard a vkm =

VKM'

olm ası için m \ + rrı2 = m 3 + m 4 ilişk isin in geçerli olduğuna dikkat ediniz. Bir sonraki alıştırm a d a aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğu özel bir d u ­ ru m u inceleyelim . mı = m 3

m 2 = m4 (ii) m ı ve m 2 kütlelerin in KM sistem indeki h ızların ın Şekil 8-2'de göste­ rildiği gibi aşağıdaki ilişkilerle verildiğini gösteriniz: “ 1=

V 1 -

V KM-

u 2 = v 2 - v KM. KM sistem inde iki k ütlenin m om entum u b irb irlerin e zıt ve eşittir.

mıUı = -77X21*2 yani çarp ışan cisim ler n o k tasal kütle olarak kabul edilirse U\ ve «2 ayn ı d o ğ ru ltu d a d ır. Ayrıca l«ıl

77lı

l«2İ

m2

(iii) Ç arpışm adan sonra, KM sistem indeki m om entum lar tekrar e şit ve zıt yönlü olm alıdır. Örneğin, m 3u 3 = - 7714U4 l«3 İ

77Î4

l“ 4İ

m3

KM sistem inde iki kütlenin bağıl hareket çizgisinin, Şekil 8-3'te gösterildiği gibi çarp ışm an ın etkisiyle yeni b ir doğrultuya kayabile­ ceğine dikkat ediniz. Yeni doğrultu, enerji ve m om entum un k o ru n u ­ m u y asa la rıy la değil, etkileşm e kuvvetinin geom etrisi ve b aşlan g ıç­ taki bağıl hareket ta ra fın d a n tanım lanır. Ç arpışm adan so n ra u 3 ve 114 h ızların ın büyüklükleri, çarp ışm ad a enerji açığa çıkm ası, enerji soğrulm ası ya da enerjinin değişm em esine bağlı olarak başlangıç

«1 ve m2 h ızların d a n daha küçük, daha büyük ya da b u h ızlara eşit olabilirler. Geom etrik gösterim de u 3 ve u 4 hız vektörleri aynı doğ­ ru ltu d a olm alı ve uç n o k talarıy sa y arıçap ları oranı l«3 İ

7714

l«4 İ

m3

olan eşm erkezli küresel k ab u k lara (2 boyutlu ç a rp ışm a lard a çem ­ berlere) denk gelm elidir. u 3 ve u 4 hızların ın büyüklükleri enerji ko­ runum y asa sın a uyar. 7.4 alıştırm a sın d a iki kütlenin toplam kinetik enerjisinin aşağıdaki ifadeyle verildiği gösterilm iştir:

T = 2km + | (mı + 7n2) I v ^ l 2 B urada,

+ 2o mıluH2+ \ m2\u2\2

“

11

2

olarak verilm iştir. M om entum un korunum undan

77î1 |uı | = m 2\u2\=P, olduğunu, dolayısıyla Î ’K M

= ( ^ + İ ) JT

olduğunu biliyoruz. m \ ve m 2 k ütlesinin indirgenm iş kütlesi 77ir'n in

I a I +I TTlr 77lı 7712 olarak tanım ladığın dikkat ediniz. Bu gösterim de

?KM olur.

P2

Ç arpışm adan önce:

T - î ’km + | (m ı + wı2) I^kmI2 Ç arpışm adan sonra: T = T + Q = T'KM + i (m3 + m 4)I v ^ l 2 Göreli olm ayan çarpışm alarda:

m \ + m 2 = rri2 + m 4 V KM =

V K M '

dolayısıyla

^KM - r KM + Q= ^KM

(1+£)

Ayrıca T'km = \ m 3\u3\2 + \ m 4|u 4|2 ve m 3|u 3| = m 4|u4| = P' olduğu için T' _ O . \ \ P ' 2 _ P'2 KM 1,7713 m4J 2 2m'r (mı = 7712, m 3 = ^ 4) özel du ru m u n d a m r = m'r durum u geçerlidir, do­ lay ısıyla T'KU = Tkm(1 + Q/Tkm) ifadesi

ifadesine dönüşür. Bu ifade, çarpışm a so n rası KM sistem indeki h ız­ ların büyüklüğünü verir. (1) E snek çarpışm a Q = 0: çarp ışm a esn asın d a kinetik enerji değişm ez ve

pn _ P2 D olayısıyla l«3 İ = l » ı l

l« 4 İ = l«2 İ

(2) E snek olm ayan çarpışm a Q > 0: çarp ışm a esn a sın d a kinetik enerji açığa çıkar, Q < 0: çarp ışm a esn a sın d a kinetik enerji so ğ ru lu r ve

j”

Dolayısıyla

- ( i +£ î )İ

l« ıl

l«4 İ = ( ı +

' l«2 İ

(iv) Ç arpışm adan sonra lab o ra tu v ar sistem indeki hızlar, Şekil 8-4'te gösterildiği gibi u 3 ve u 4 h ızların a KM'nin hızı v ' ^ eklenerek b a s it­ çe elde edilebilir.

ÖNCE

v3 =

+ u3

v4 =

+ u4

Genellikle yukarıdaki saçılm a kinem atiğinin geom etrik ifadesinden yola çıkarak iki-cisim çarp ışm aların d ak i genel ve özel durum lara doğrudan ulaşılabilir. 8.1 Y ukarıdaki ta rtışm ay a b enzer şekilde m ı, m 2 * m 3, m 4 durum u için gö­ reli olm ayan çarpışm anın (mı + m 2 = m 3 + m 4) üç b oyuttaki genel sonuçla­ rını türetiniz; örneğin p \ ve p 2 m om entum una sahip iki cism in çarp ışm a­ sın d a son m om entum ların aşağıdaki ilişkilerle verildiğini gösteriniz: p 3 = P3 + m 3v KM

Şekil 8-4

p 4 = P4 + m 4v KM B urada pj = m(Vi, m; k ü tlesin in la b o ra tu v ar sistem indeki m om entum u, Pi = P i~ m{t>km, m i k ü tlesin in KM sistem indeki m om entum udur ve aşa ğ ıd a­ ki ifadeler geçerlidir: \P\\ = \P2\ = V2m rTKM |P 3| = |P4| = V 2 < T ^ 8.2 H areket eden b ir parçacık, serb est şekilde d u rm akta olan aynı kütleli başk a b ir parçacıkla tam esnek olarak çarpışm aktadır. Ç arpışm adan sonra araların d ak i açı, dik açı olacak şekilde hareket edeceğini gösteriniz. 8.3 M kütleli hareket halindeki b ir parçacık m < M kütlesine sahip durgun haldeki b ir parçacıkla tam esnek olarak çarpışıyor. Ç arpan parçacığın o lu ş­ tu rac ağ ı m aksim um açı 0maks’ı belirleyiniz. 8.4 K ütlesi m \ ve hızı Vı olan b ir parçacık, b aşlan g ıç ta serb est olan (v2 = 0) m 2 = 3m ı kütleli parçacıkla tam esnek olarak çarpışıyor. Ç arpışm adan so n ­ ra m 2 kütleli parçacık Şekil 8-5'te gösterildiği gibi m \ kütleli parçacığın ilk yönüne göre 45° açıyla h arek et ediyor. m \ k ütlesinin son açısı 0 ı'i ve son h ız la r v\, ı^'yi bulunuz. 8.5 K ütleleri m olan iki parçacık b irb irlerin e göre dik açıyla aynı h ızlarla çarpışıyorlar. Ç arpışm adan so n ra Şekil 8- 6'd a gösterildiği gibi b ir p arçacı­ ğın, başlangıçtaki do ğ ru ltu su n a göre diğer p arçacığ ın h arek eti yönünde 60° saçıldığı gözlenm iştir. Ç arpışm a esnekse, p arçacık lar ayrıldığı an d a ikinci parçacığın birin cin in hareketi yönündeki saçılm a açısı a ’yı bulunuz.

8.6 Aynı kütleli iki parçacık b irb irlerin e dik olan ro ta la rd a sırasıy la v\ = 8 m s -1 ve v 2 = 6 m s -1 h ızlarıyla hareket etm ektedir. Esnek b ir şekilde ça rp ı­

şırlar. Ç arpışm adan so n ra m ı kütlesi çarp ışm ad an önceki yönüyle 6 = ta n -1 (1/2) açısı y ap arak Şekil 8-7'deki gibi saçılıyor. (a) Kütle m erkezinin vektör hızı vKM nedir? K artezyen k o o rd in atlard a ifade ediniz. (b) KM sistem in d e son h ız la r U\ ve U2'n in büyüklükleri nedir? (c) 1 . p arçacığın lab o ra tu v ar sistem indeki hızı v[ nedir? 8.7 vo = 1,00 x 107 m s -1 ilk hızıyla x ekseninde harek et eden b ir proton, durgu n haldeki b aşk a b ir pro to n la esnek olarak çarpışıyor. Ç arpışm adan so n ra b ir pro to n x y düzlem i üzerinde x ekseniyle 30° açı y ap arak h arek eti­ ne devam ediyor. Ç arpışm adan sonra, iki p ro to n u n da h ızları v \ ve v^'yi Şekil 8-6

(hız ve yön) bulunuz.

8.8 vo = 1,00 x 107 m s -1 ilk hızıyla x ekseninde harek et eden b ir proton, d u rgu n haldeki berilyum (Be) çekirdeğiyle esnek olarak çarpışıyor. Ç arpış­ m ad an so n ra Be çekirdeği x y düzlem i üzerinde x ekseniyle 30° açı yaparak h arek etin e devam ediyor. A şağıdaki ifadeleri bulunuz: (a) Be çekirdeğinin lab o ra tu v a r sistem indeki hızı v2'yi bulunuz. (b) P rotonun lab o ra tu v ar sistem indeki son hızı v'ı'yi bulunuz.

ÖNCE

SONRA Şekil 8-7

(c) P rotonun KM sistem indeki son hızı u \'y i bulunuz. Not: Be çekirdeğinin p ro to n u n kütlesine bağıl kütlesini 9:1 olarak alınız. 8.9 Kütlesi 100 g ve y arıçapı 2,00 cm olan b ir hokey to p u b aşlan g ıçta y atay m asa üzerinde 150 cm s -1 hızıyla hareket ederken k ü tlesi 200 g ve yarıçapı 3,00 cm olan b aşk a b ir hokey topuyla çarpışıyor. Ç arpışm a anında, iki to ­ p u n m erkezlerinden geçen çizgi, kütlesi 100 g olan to p u n başlan g ıçtak i h a ­ reket çizgisiyle 60° açı y apm aktadır. M asa ve to p la r arasın d a sürtünm e yoksa ça rp ışm ad an so n ra iki to p u n da h ızları V\ ve V2'yi ayrı ayrı bulunuz. 8.10 L ab o ratu v ar sistem inde doğrusal v hızıyla ilerleyen m ı kütleli b ir n e s­ ne, lab o ra tu v ard a serb est halde b u lu n an m 2 kütleli b aşk a b ir nesneyle ç a r­ pışıyor. Ç arpışm adan so n ra KM sistem indeki kinetik enerji, |A r /r |KM = 1- a 2 o ran ın d a kayboluyor. L aboratuvar siste m in d e kaybolan |A77T|ıaı, nedir?

enerji oranı

8.11 (a) m kütleli b ir p arçacık M > m k ütleli d u rgun haldeki başka b ir p a r­ çacıkla tam esnekolarak çarpışıyor. Ç arpan parçacık 90° açıyla saçıl­ m ak tad ır. D aha yüksek kütleli parçacık, m k ütleli parçacığın ilk doğ­ ru ltu su y la h angi 6 açısıyla saçılır? (b) Ç arpışm ada KM enerjisi (1 - a 2) oran ın d a kaybolm uşsa b aşlan g ıçta d urg u n p arçacık saçılm a açısı nedir? 8.12 1 MeV kinetik enerjili b ir proton, durgun haldeki b ir çekirdekle esnek b ir şekilde çarp ışıy o r ve 90° açıyla saçılıyor. P rotonun şim diki enerjisi 0,80 MeV o larak ölçüldüyse çekirdeğin kütlesi M, p ro to n u n kütlesi mp cinsinden nedir? 8.13 Kuzey yönüne doğru vı = 6 m s -1 hızıyla harek et eden 1 kg kütleli b ir top, k ü tlesi 2 kg olan du rgun b ir topla çarpışıyor. Ç arpışm adan sonra 1 kg

kütleli top, ilk yönüne göre 45° kuzeydoğu yönünde v\ = 2a/2 m s -1 hızıyla h areket etm ektedir. (a) Ç arpışm adan sonra 2 kg kütleli to p u n hızı v'2 nedir? (b) KM sistem inde kaybolan kinetik enerji oram a nedir? (c) KM sistem inde 1 kg k ütleli top hangi 9 açısıyla saçılır? 8.14 v \ = (3i + 2j - k ) m s -1 hızıyla harek et eden m \ = 2 kg k ütleli b ir "parça­ cık," v 2 = (-2i + 2j + 4fc)m s -1 hızıyla harek et eden m 2 = 3 kg kütleli ikinci b ir p arçacık la esnek olm ayan b ir şekilde çarpışıyor. (a) O luşan parçacığın hızı v'yi bulunuz. (b) KM sistem inde p arçacık ların çarpışm a öncesi toplam kinetik enerjisi r KM'yi bulunuz.

KUVVETLER

F eyn m a n Fizik Dersleri 1. Cilt, 12. Bölüme k arşılık gelm ektedir. 9.1 Bir sab u n köpüğünün içindeki P + AP b asıncı, yüzey gerilm esi yüzünden d ışarıd ak i P b asın cın d an yüksektir. R y an ç a p lı küresel b ir sab u n köpüğü­ nün yüzey gerilm esinin b asın ç farkı cinsinden aşağıdaki ifadeyle verildiği­ ni gösteriniz.

a = Ş-AP 4

9.2 K ütlesi 3 kg olan b ir nesne, x = 612 - 2i 3 (x m etre, t saniye cinsinden) şeklinde ifade edilen b ir harek et halindedir. Nesne üzerine t = 4 saniye anın d a etkiyen kuvvet F (Newton cinsinden) nedir?

m2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 (

9.3 Kütleleri m ı = 4 kg ve 7713 = 2 kg olan iki cisim , ağırlığı ihm al edilebile­ cek iplerle sü rtü n m esiz m akara üzerinden Şekil 9-1'de gösterildiği gibi m 2 = 2 kg kütlesiyle b ağ lan m ıştır. m 2 kütlesi uzun m asa üzerinde n = 1/2 sürtü n m e k atsay ısıy la harek et etm ektedir. Sistem serb est bırak ıld ık tan sonra m \ k ü tlesin in ivm esi a nedir?

m3

□

□ Şekil 9-1

9.4 Y arıçapları eşit olan iki sab u n köpüğünün iç yüzeyleri, Şekil 9-2'de gös­ terildiği gibi ince b ir tü ple b irb irin e bağlam ıştır. Gerçek durum da neler olacağını ta rif ediniz. 9.5 Raylı sistem üzerinde harek et eden roketli ve yüksek hızlı b ir kızak, Şe­ kil 9-3'te g ö sterildiği gibi kızak ve ray arasındaki pivot ayakkabılarına o turm ak tad ır. H er ayakkabı topuk ve b u ru n kısm ında d eğ iştirileb ilir s ü r­ tünm e keçesine sah ip tir. Sürtünm e keçesi ve ray arasın d ak i sü rtü n m e k a t­ sayısı //'dür. Sürtünm e k atsay ısı, roketli kızağın hareketi sıra sın d a ku llan ı­ lan sü rtü n m e keçesine bağlı olarak sü rtü n m e keçesine etkiyen sürtünm e kuvvetiyle o ran tılıd ır. Ayakkabı pivot no k tası ray yüzeyinden h k a d a r yük­ sekteyse iki sü rtü n m e keçesinin aynı oranda etkilem esi için P pivot noktası, düşey m erkez n o ktasıyla iki sü rtü n m e keçesi arasın d a hangi y atay x m esa­ fesine yerleştirilm elidir? W : diyagram da ay ak kabılar ta ra fın d a n ta şm a n roketli kızağın ağırlığı H : ayakkabı pivot n o k tasın d an uygulanan yatay kuvvet bileşeni l : iki sü rtü n m e keçesinin m erkez n o k ta la n arasın d ak i toplam m esafe 9.6 Düşey b ir direk etrafın d a yüksekliği a y a rlan ab ilir b ir m asan ın pek çok kullanım alan ı v ard ır. Böyle b ir m asa Şekil 9-4'teki ölçülerle verilm ektedir.

w hareket yönü

É1

Şekil 9-3

KM 15 cm

L

2 cm

1

^».sürdünme --sürdünme keçeleri-'-''^ keçeleri-'

r

ray

—

10 cm

Şekil 9-2

m1

Direk ve m asa arasındaki sta tik sürtünm e 0,30 ise X uzaklığına m asad a n 50 k at d ah a ağır b ir yük yerleştirilm esi halinde m asan ın kaym adan kalab ile­ ceği en düşük X m esafesi nedir? 9.7 M kütleli b ir küp, Şekil 9-5’te gösterildiği gibi b ir d u v ara dayanm ış d u ­ rum dadır. D uvarla küp a ra sın d a sürtünm e yoktur, fa k at küple zem in a ra ­ sındaki sürtünm e küpün kaym adan kalabileceği kad ard ır. Açı 0 < 0 < 45° iken en düşük sütünm e k atsay ısı /zmin değerini 0'nın fonksiyonu olarak b u ­ lunuz. Cevabınızı, 0 = 0 ve 0 = 45° durum unda //'nün değerleri ve /¿'nün l'e eşit olduğu 0 açısını bu larak kontrol ediniz. 9.8 (a) D üşük v hızıyla hareket eden b ir kablo, Şekil 9-6'da gösterildiği gibi y uvarlak b ir direğe değer ve düz çizgisinden radyan olarak A0 « 1 m ik­ ta rın d a bükülür. Direğin b ir tara fın d ak i gerilm e T + AT, diğer tarafın d a T ise sürtünm e ta ra fın d a n oluşan fark AT nedir? (b) önceki adım da bulduğunuz denklem inin, kablonun direk etrafın d a sonlu b ir a açısı k ad a r dolandığını ve kaym ası için ipin çekildiği d u ­ ru m d a oluşan iki uç arasın d ak i T2/T\ gerilm e oranını bulm ak için integralini alınız. 9.9 5 g kütleli b ir ku rşu n y atay b ir düzlem üzerinde d u rm akta olan 3 kg kütleli ağaç b ir bloğa yatay olarak ateşleniyor. Ağaç blok ve yüzey a ra sın ­ daki sü rtü n m e k atsay ısı 0,2'dir. Bloğun 25 cm kaydığı çarpm a esnasın d a k u rşu n ağaç bloğa sap lan m ak tad ır. K urşunun hızı v0 nedir? 9.10 Polis b ir a rab a kazasında yaptığı olay yeri incelem ede A arab asın ın B a rab asın a çarpm adan önce 45,72 m boyunca lastik izi bırak tığ ın ı görm üş­ tür. Yol ve la stik arasın d ak i sü rtü n m e k atsay ısın ın 0,6'dan küçük olm adığı bilinm ektedir. A arab asın ın çarp ışm ad an hem en önceki hızı v'yi bulunuz ve hız lim iti 45 m il/sa a t'i geçm esi gerektiğini gösteriniz. Not: 60 m il/sa a t = 88 ft s -1 ve kütleçekim ivm esi 32 ft s_2'dir. 9.11 Bir nesne 20° eğime sahip 1 m uzunluğundaki sürtünm esiz b ir p la tfo r­ m un ta b a n ın d a durm aktadır. Eğik düzlem m asa üzerinde a = 4,00 m s -2 iv­ m esiyle hareket e ttirilirse n esnenin eğik düzlem in tepe n o k tasın a ulaşm ası için gereken süre t nedir? 9.12 Kütlesi m olan b ir blok, y atay la 0 açısı yapm ış eğik düzlem üzerinde kaym aktadır. K aym adan kaynaklı sürtünm e n < ta n 0'dır. m = 1 kg, /i = 0,20 ve 0 = 30° olsun. Blok, 3,00 m s -1 ilk hızıyla yukarı doğru yönlendirilm işse: (a) yüzey üzerinde gidebileceği d m esafesi nedir? (b) gidebileceği en yüksek noktaya u laşıp başladığı noktaya geri gelm esi a ra sın d a geçen süre t nedir? (c) bu süreçte ısıya dönüşen enerji m iktarı AE nedir? 9.13 Şekil 9-7'de gösterilen b ir sistem de, eğik düzlem 130 cm uzunluğunda ve yüksek ucu alçak ucundan 50 cm yukarıdadır. m 2 = 60 g kütleli b ir blok düzlem üzerinde durm aktadır. Diğer blok m \ = 200 g kütlelidir. İki kütle arasın d ak i sta tik sürtünm e k atsay ısı 0,50'dir. Yüzeyle alttak i blok a ra sın ­ daki sü rtü n m e k atsay ısı 0,33'tür. A lttaki kütleye düzlem e p aralel ve yukarı doğru b ir F kuvveti uygulanm aktadır.

(a) Ü stteki blok kaym aya başlad ığ ı an d a alttak i bloğun ivm esi a nedir? (b) Bu kaym a gerçekleşm eden önceki F kuvveti nedir? 9.14 Kütlesi m olan b ir buz topu, Şekil 9-8'de gösterildiği gibi vo (cm s-1) h ı­ zıyla sü rtü n m esiz olarak kaym aktadır. Daha sonra sü rtü n m e kuvvetinin h ı­ za bağlı o larak F = - k v olduğu L (cm) uzunluğunda b ir buz şeridine denk geliyor. Hız ı/y i, konum x'in fonksiyonu olarak bulunuz ve grafiği tam am ­ layınız. 9.15 Şekil 9-9'da gösterilen sab u n köpüğünün yarıçapındaki küçük AR a rtı­ şında y ap ılan iş, yüzey enerjisinde AE m ik tarın d a a rtışa sebebiyet vererek yüzey gerilm esi