Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren (Springer-Lehrbuch) (German Edition) 354021870X, 9783540218708

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springer-Lehrbuch

Reinhard Lerch

Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestiitzte Verfahren 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 564 Abbildungen und CD-ROM

Sprin ger

Professor Dr.~Ing. Reinhard Lerch Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Niirnberg Lehrstuhl fiir Sensorik Paul"Gordan-Str. 3/5 91052 Erlangen reinhard, lerch@lse. eel uni-erlangen. de

Extras im Web unter www.springer.com/de/3~540~34055~6

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ISBN" 10 3-540-34055-6 3. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN" 13 978-3-540-34055-3 3. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-21870-X 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist nicht Urheber der Daten und Programme. Weder Springer noch der Autor ubernehmen die Haftung fur die CD-ROM und das Buch, einschliefilich ihrer Qualitat, Handels- und Anwendungseignung. In keinem Fall ubernehmen Springer oder der Autor Haftung fiir direkte, indirekte, zufallige oder Folgeschaden, die sich aus der Nutzung der CD-ROM oder des Buches ergeben. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science-hBusiness Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2005 und 2006 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dafi solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. SoUte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fur die Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat ubernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fiir die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuziehen. Satz: Digitale Druckvorlage des Autors Herstellung: LE-TEK Jelonek, Schmidt & Vockler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: '^WMX'^Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf saurefreiem Papier

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Vorwort zur dritten Auflage

Dank der recht groBen Beliebtheit dieses Buches ist es moglich, bereits zwei Jahre nach Erscheinen der letzten Auflage nunmehr die 3. Auflage dieses Werkes vorstellen zu konnen. Gegeniiber der 2. Auflage wurden vor allem die Kapitel zur Rechnergestiitzten MeBdatenerfassung dem allerneuesten Stand der Technik angepaBt. So wird der jiingst eingefiihrte LXI-Standard zur Vernetzung von MeBgeraten ebenso behandelt wie die neuesten Entwicklungen auf dem Gebiet der Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS), der Digitaloszilloskope, der USBMeBmodule sowie moderne Source Measuring Units. Damit ist dieser Block auf nunmehr 200 Seiten bzw. ein Drittel des Gesamtwerkes angewachsen. Das Kapitel „Elektromeclianisclie MeBgerate" (Kapitel 6.1) wurde beibehalten trotz der Tatsache, daB es sich dabei um eine in ihrer Bedeutung zuriickgehende MeBgerateklasse handelt. Dennoch halte ich diesen Abschnitt fiir auBerst wertvoll fiir Studierende des Faches Sensorik bzw. fiir das gesamte Gebiet der Mechatronik, da man anhand der Funktionsprinzipien fiir elektromechanische MeBgerate sehr schon die Interaktionen zwischen mechanischen und elektromagnetischen Feldern lernen kann. Demzufolge sind die hier behandelten elektromechanischen Grundprinzipien und GesetzmaBigkeiten (z. B. die Lorentzkraft oder die Wirbelstromdampfung) insbesondere fiir das Verstandnis von modernen elektromechanischen Sensoren und Aktoren wichtig. An dieser Stelle gilt es auch, zunachst einmal all denjenigen herzlich zu danken, die mich in den beiden letzten Jahren auf Fehler bzw. unklare Darstellungen in der 2. Auflage aufmerksam gemacht haben. Meistens handelte es sich dabei um Studierende der Technischen Fakultat der Friedrich-AlexanderUniversitat Erlangen-Niirnberg oder auch um Studierende anderer Universitaten und Fachhochschulen, die sich auf Priifungen in ingenieurwissenschaftlichen Fachern vorbereitet haben. Alle berechtigten Einwande und Hinweise wurden in der vorliegenden Auflage beriicksichtigt. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls fiir Sensorik der Universitat Erlangen-Niirnberg wiederum mit groBem

VI Einsatz unterstiitzt. In allererster Linie bin ich unserem akadem. Rat, Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor, ebenso wie Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler, Herrn Dipl.-Ing. Erich Leder sowie dem Leiter unserer Elektronikwerkstatt, Herrn Michael Giinther, fiir ihre Beitrage zu diesem Werk zu groBem Dank verpflichtet. Fiir ihren unermiidlichen Einsatz bei der elektronischen Fertigstellung des kamerafertigen Manuskriptes samt aller darin enthaltenen, teilweise difhzilen Grafiken gilt mein besonders herzlicher Dank wiederum Frau Cornelia SalleySippel und Frau Bettina Melberg. Bedanken mochte ich mich auch bei den beiden verantwortlichen Mitarbeiterinnen des Springer-Verlages, Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, fiir die hervorragende Unterstiitzung und exzellente Zusammenarbeit. Diesem Buch liegt eine CD-ROM mit Ubungsaufgaben zur Rechnergestiitzten MeBdatenerfassung in NI La b V I E W ® sowie r\ zur Programmierung von Speicherprogrammierbaren Steuerun^"^^ ,, gen (SPS) mit CoDeSys® bei. Dabei gibt es Programmieraufgaben, deren Losung via Internet auf eine am Lehrstuhl fiir Sensorik (FriedrichAlexander-Universitat Erlangen-Niirnberg) aufgebaute Speicherprogrammierbare Steuerung heruntergeladen werden konnen. Anhand helligkeitsgesteuerter Lampen und LEDs laBt sich mittels einer W e b C a m die erfolgreiche Programmierung dieser SPS beobachten. Das oben gezeigte Icon weist an entsprechenden Stellen des Buches auf thematisch passende Ubungsaufgaben auf der CD-ROM hin. Weitere Ubungsbeispiele und Hinweise findet m a n unter www.Ise.e-technik.uni-erlangen.de/elektrische_messtechnik

email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2006

Reinhard Lerch

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Aufiage tragt insbesondere den aktuellen Entwicklungen im Bereich Computerunterstiltzte Mefidatenerfassung Rechnung. Daher sind die entsprechenden Kapitel in der zweiten Aufiage stark angewachsen und nehmen nunmehr liber ein Drittel des Gesamtumfanges ein. Infolgedessen konnen alle wesentlichen Hard- und Software-Komponenten der modernen rechnergestiitzten Mei3datenerfassung behandelt werden. So werden beispielsweise die weltweite Vernetzung von MeBdaten- und ProzeBrechnern wie auch die Mei3datenerfassung unter Zuhilfenahme von Virtual Private Networks besprochen. Die zweite Aufiage wurde ebenfalls erweitert auf dem Gebiet der Ausgleictisvorgange in elektrisctien Netzwerken, was der detaillierten Erlauterung der dynamisclien Mei3fetiler und itirer Korrekturmogliclikeiten zugute kommt. Aucti die Analyse und Messung von nictitlinearen Bauelementen wurde in den Stoff aufgenommen. Bei der Erweiterung des Bucties liaben micli die Mitarbeiter des Lelirstutils fiir Sensorik der Universitat Erlangen-Niirnberg mit groi3eni Engagement unterstiitzt. In allererster Linie bin icti Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor und Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler fiir ihre fachlichen Beitrage zu diesem Werk zu groBem Dank verpflichtet. Fiir ihren unermiidlichen Einsatz bei der Erstellung des Manuskriptes und der Grafiken gilt Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg mein besonderer Dank. An der Korrekturlesung des Werkes waren alle Mitarbeiter des Lehrstuhls sowie Herr Dr.-Ing. Giinter Pretzl vom Lehrstuhl fiir Technische Elektronik und meine Ehefrau Elke beteiligt. Auch ihnen sei an dieser Stelle dafiir herzlich gedankt. Dank gilt auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages fiir die hervorragende Kooperation, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2004

Reinhard Lerch

Vorwort zur ersten Auflage

Die in der zweiten Halfte unseres Jahrhunderts erfolgten innovativen Entwicklungen auf dem Gebiet der Elektrotechnik haben fiir die Elektrische MeBtechnik eine Vielzahl neuer Verfahren und MeBschaltungen mit sich gebracht. So basiert die Messung elektrischer und nicht-elektrischer GroBen heute vorwiegend auf Schaltungen, die erst durch in jiingster Vergangenheit entwickelte elektronische Halbleiterbauelemente und integrierte Schaltkreise, wie beispielsweise Operationsverstarker, digit ale Grundschaltungen und AnalogDigital- bzw. Digital-Analog-Umsetzer, ermoglicht wurden. Die Nutzung dieser modernen Elektronik und die enormen Fortschritte auf dem Gebiet der Digitalrechner haben zu einer sehr engen Verflechtung von Elektrischer MeBtechnik und Computertechnik bzw. Informatik gefiihrt. Dies zeigt sich unter anderem in der Tatsache, daB die heutige MeBdatenerfassung und MeBsignalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner oder digitale Signalprozessoren verlagert werden und zum Teil in Software implementiert sind. Nachdem in den letzten Jahren eine Vielzahl von leistungsfahigen Sensoren zur Detektion nicht-elektrischer MeBgroBen entwickelt wurde, verstarkt sich der Trend, daB viele nicht-elektrotechnische Wissenschaftszweige, wie z. B. der Maschinenbau und die Verfahrenstechnik, ihre meBtechnischen Probleme mit rein elektrotechnischen bzw. informationstechnischen Mitteln losen. Es wurde versucht, dieser Entwicklung mit der Struktur des vorliegenden Werkes Rechnung zu tragen, ohne die klassischen Grundlagen zu vernachlassigen. So werden nach einem einfiihrenden Kapitel iiber Mefifehler, die konventionellen elektromechanischen Mefiwerke besprochen, welche zwar zunehmend von digitalen MeBgeraten abgelost werden, deren grundlegende Wandlungsmechanismen aber fiir das Gebiet der elektromechanischen MeBwertaufnehmer (Sensoren) von groBer Bedeutung sind. Nach den Abschnitten zur Messung von elektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischer Impedanz folgen als thematische Schwerpunkte die Methoden und Verfahren sowie die daraus resultierenden elektronischen Schaltungen der modernen Elektrischen MeBtechnik. Diese werden in den Kapiteln Operationsverstarker, Darstellung elektrischer Signale, Digitale Mefitechnik, Messung von Frequenz

X

und Zeit sowie Mefisignalverarbeitung und Rechnergestiltzte Mefidatenerfassung behandelt. Die in diesem Buch angesprochenen Themen und Fragestellungen decken den Stoff einer einfiihrenden Vorlesung Elektrische Mefltechnik ab. Dariiberhinaus ist die Thematik einer weiterfiihrenden Vorlesung Rechnergestiltzte Mefldatenverarbeitung und Mefisignalverarbeitung enthalten, die als Wahlvorlesung fiir Studenten hoherer Semester Bestandteil des an der Johannes Kepler Universitat Linz im Jahre 1990 eingerichteten Diplomingenieurstudienganges Mechatronik ist. Das Buch wendet sich jedoch nicht nur an Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Mechatronik, Maschinenbau, Informationstechnik, Physik und Chemie sondern auch an die bereits auf dem Gebiet der MeBtechnik praktisch tatigen Ingenieure und Naturwissenschaftler, die ihr Wissen liber MeBtechnik auffrischen bzw. vertiefen wollen. Mit dem vorliegenden Werk sollen sowohl Kenntnisse liber die bei der Messung elektrischer GroBen eingesetzten Standardverfahren vermittelt als auch der neueste Stand der zur modernen Elektrischen MeBtechnik zahlenden computergestlitzten MeBdatenerfassung und MeBsignalverarbeitung beschrieben werden. Das Buch ist in Verbindung mit dem Begleitwerk „Ubungen zur Elektrischen MeBtechnik" (R. Lerch; M. Kaltenbacher; F. Lindinger: Ubungen zur Elektrischen Mefitechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996) zum Selbststudium geeignet. In diesem Ubungsbuch werden neben kurzen Repetitorien zahlreiche praktische Aufgaben und weiterflihrende Beispiele zu dem gesamten im Lehrbuch behandelten Stoff angeboten. Flir das Verstandnis des in den beiden genannten Werken dargebotenen Stoffes werden lediglich Grundkenntnisse auf den Gebieten Elektrotechnik, Mathematik sowie Schaltungstechnik erwartet. Bei der Ausarbeitung des Manuskriptes habe ich viele Anregungen und wesentliche Unterstlitzung von alien am Institut flir Elektrische MeBtechnik der Universitat Linz tatigen Mitarbeitern erfahren. In allererster Linie bin ich Herrn Dipl.-Ing. Manfred Kaltenbacher und Herrn Dipl.-Ing. Franz Lindinger flir ihre wesentlichen fachlichen Beitrage zu diesem Werk sowie ihren unermlidlichen Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung des Manuskriptes zu groBtem Dank verpflichtet. Die wahrlich nicht immer einfachen Aufgaben des computergerechten Textschreibens sowie der Anfertigung von Abbildungen lagen in den Handen von Frau Waltraud Kratzer, die die immer wieder anstehenden Texterweiterungen und Anderungen der Abbildungen mit groBem Engagement und Sachverstand vorgenommen hat. Ihr geblihrt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau Sylvia PreBl, die ebenfalls viele der Grafiken angefertigt hat, wie auch Frau Ingrid Hagelmliller, die flir die Texteingabe sowie die Erstellung der Abbildungen der ersten Manuskriptversion ver ant wort lich war. All denjenigen, die an der Korrekturlesung dieses Werkes beteiligt waren und Verbesserungsvorschlage eingebracht haben, d. h. meinen Kollegen, meinen Assistenten, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Todor Sheljaskov und Dipl.Ing. Roland Exler, den Linzer Mechatronik-Studenten sowie meiner Ehefrau

XI Elke, mochte ich ebenfalls meinen herzlichen Dank fiir ihren groBen Einsatz aussprechen. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas fiir ihre Unterstiitzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen eben genannten Personen mochte ich auch danken fiir ihr Verstandnis und ihre Geduld bei der mehrmals verzogerten Abgabe des Manuskriptes. Da es erwartungsgemaB auch bei noch so sorgfaltiger Bearbeitung des Textes nicht moglich sein diirfte, die Erstauflage eines solchen Buches fehlerfrei zu halten, mochte ich mich schon vorab bei alien Lesern fiir diese Fehler entschuldigen und sie ermutigen, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut fiir Elektrische MeBtechnik Johannes Kepler Universitat Linz Altenberger StraBe 69 A-4040 Linz email: [email protected]

Linz, im J a n u a r 1996

Reinhard Lerch

Inhaltsverzeichnis

1

U m f a n g und B e d e u t u n g der Elektrischen MeBtechnik 1.1 Zur Historie und Bedeutung der MeBtechnik 1.2 Der Begriff des Messens 1.3 Begriffsdefinitionen in der MeBtechnik 1.3.1 Allgemeine Begriffe 1.3.2 MeBgerat und MeBeinrichtung 1.3.3 MeBkette (Struktur einer elektrischen MeBeinrichtung) 1.4 Vorschriften und Normen 1.5 Klassifizierung von MeBmethoden 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode 1.5.2 Analog - Digital 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich 1.5.4 Direkt - Indirekt 1.6 Die Informationstrager im MeBsignal

2

Die Grundlagen des Messens 2.1 MaBsysteme, Einheiten, Naturkonstanten 2.1.1 MaBsysteme 2.1.2 Naturkonstanten 2.1.3 Abgeleitete Einheiten 2.2 GroBen- und Zahlenwertgleichungen

3

Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Vierpol-Ubertragungsverhalten 3.1 Fourier-Transformation 3.2 Ausgleichsvorgange in linearen Netzwerken 3.3 Die Laplace-Transformation 3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen 3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

1 1 3 4 4 5 5 6 6 6 7 9 9 9 11 11 11 12 13 13

17 17 21 24 27

30

XIV

Inhaltsverzeichnis

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

3.5.1 Uberlagerung 3.5.2 Integration 3.5.3 Differentiation 3.5.4 P r o d u k t zweier Laplace-Funktionen - Faltung 3.5.5 Multiplikationssatz 3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) 3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung 3.5.9 Anfangswert-Theorem 3.5.10 Endwert-Theorem Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation. Die Riicktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Berechnung von Einschwingvorgangen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen Riicktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich . . Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Bode-Diagramme 3.13.1 Regeln fiir Bode-Diagramme

4

Nichtlineare Bauelemente, Schaltungen und Systeme 4.1 Nichtlineare Bauelemente 4.1.1 Nichtlinearer Widerstand 4.1.2 Nichtlineare Induktivitat 4.1.3 Messung von Hysteresekurven 4.1.4 Nichtlineare Kapazitat 4.1.5 Gesteuerte Quellen 4.2 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

5

MefSfehler 5.1 Systematische MeBfehler 5.2 Zufallige MeBfehler 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung . . . 5.2.2 Vertrauensbereich fiir den Schatzwert 5.2.3 Fortpflanzung zufalliger Fehler 5.3 Genauigkeitsklassen bei MeBgeraten 5.4 Dynamische MeBfehler 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von MeBsystemen 5.4.2 Definition des dynamischen MeBfehlers 5.4.3 Bestimmung des dynamischen MeBfehlers

30 30 31 31 33 33 34 34 34 35 35 36 37 40 51 54 58 59 61 71 71 71 74 79 80 82 83 89 90 91 91 94 98 99 100 100 105 105

Inhaltsverzeichnis 5.4.4 6

XV

MeBsystem mit TiefpaBverhalten

106

A n a l o g e s M e s s e n e l e k t r i s c h e r GrofSen

Ill

6.1

Ill 112 117 120 123 124 126 127 130 130 130 133 136 137 137 139 140 142 143 145

6.2

6.3

Elektromechanische MeBgerate 6.1.1 DrehspulmeBwerk 6.1.2 Galvanometer 6.1.3 Elektrodynamisches MeBwerk 6.1.4 DreheisenmeBwerk 6.1.5 DrehspulquotientenmeBwerk (KreuzspulmeBwerk) . . . . 6.1.6 DrehmagnetmeBwerk 6.1.7 Elektrostatisches MeBwerk 6.1.8 Schaltzeichen fiir MeBgerate Messung von Gleichstrom und Gleichspannung 6.2.1 Messung von Gleichstromen 6.2.2 Messung von Gleichspannungen 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1 Begriffsdefinitionen 6.3.2 Gleichrichtung 6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value). 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes 6.3.5 Messung des Effektivwertes 6.3.6 MeBwandler

7

MefSverstarker 7.1 Operationsverstarker 7.1.1 Idealer Operationsverstarker 7.1.2 Realer Operationsverstarker 7.1.3 Definitionen von Operationsverstarker-KenngroBen . . 7.1.4 Operationsverstarker-Grundschaltungen 7.2 Spezielle MeBverstarker 7.2.1 Differenzverstarker 7.2.2 Instrumentenverstarker (Instrumentierungsverstarker) 7.2.3 Zerhacker-Verstarker 7.2.4 Ladungsverstarker 7.3 Rauschen von MeBverstarkern

8

M e s s u n g der elektrischen Leistung 8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis 8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1 Begriffsdefinitionen 8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen 8.3 Messung der elektrischen Arbeit

153 154 154 155 . 158 165 178 178 . 178 180 181 182 195 195 197 197 197 199 207

XVI

Inhaltsverzeichnis

9

Messung von elektrischen Impedanzen 9.1 Messung von ohmschen Widerstanden 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung 9.1.2 Vergleich mit einem Re ferenz wider stand 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes 9.2 Kompensationsschaltungen 9.2.1 Gleichspannungskompensation 9.2.2 Gleichstromkompensation 9.3 Gleichstrom-MeBbriicken 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbriicken 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbriicken 9.4 Messung von Schein- und Blindwiderstanden 9.5 Wechselstrom-MeBbriicken 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbriicken 9.5.2 Einfliisse von Erd- und Streukapazitaten 9.5.3 Halbautomatischer Briickenabgleich 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbriicken

211 211 211 212 214 215 216 216 217 218 218 221 221 225 225 229 230 233

10

Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale 10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-Rohre . . . . 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops 10.1.4 Sampling-Oszilloskop 10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen 10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeffizienten) 10.3.2 Linearitatsfehler 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops 10.4 Digital-Speicheroszilloskop 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes 10.4.3 Betriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern 10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope 10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop 10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen

237 237 237 241 244 247 250 251 251 253 254 261 261 263 265 266 266 266 268

Digitale MeBtechnik 11.1 Duales Zahlensystem und Binarcodes 11.1.1 Dualzahlendarstellung 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur

271 271 271 272 272

11

Inhaltsverzeichnis

XVII

11.2 Binare Signale und ihre Verkniipfung 273 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkniipfung 273 11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) 274 11.2.3 Digitale Addierer 278 11.3 Bistabile Kippschaltungen 279 11.3.1 RS-Flip-Flop 280 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop 281 11.3.3 Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop 281 11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) 282 11.3.5 Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop 283 11.3.6 Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop 285 11.3.7 Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop 286 11.4 Monostabile Kippstufe 287 11.5 Zahler-Schaltungen 289 11.5.1 Dualzahler 289 11.5.2 BCD-Zahler 291 11.6 Digital-Analog-Umsetzung 293 11.6.1 Grundlagen und KenngroBen 293 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen 295 11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung 300 11.7 Analog-Digital-Umsetzung 302 11.7.1 A b t a s t u n g (Sampling) 303 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen 306 11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer 308 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator 314 11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (ImpulsbreitenMultiplizierer, Sagezahn-Multiplizierer) 323 11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz . . . . 325 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien 332 11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung 333 11.8 Digital-Multimeter (DMM) 338 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit 338 11.8.2 Beispiel eines 4 y2-stelligen Digital-Multimeters 339 11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil 340 11.8.4 Totaler Fehler infolge Scheitelfaktor 341 11.9 Strom-/Spannungsquellen mit RiickmeBfunktion (Source Measure Units) 342 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen . 342 11.9.2 Messung kleiner Strome bzw. Spannungen mit SMUs . 344

XVIII

Inhaltsverzeichnis

12

Die 12.1 12.2 12.3

M e s s u n g v o n F r e q u e n z u n d Zeit Mechanische Frequenzmessung Digitale Frequenzmessung Digitale Zeitmessung 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung) 12.3.2 Periodendauermessung 12.4 Digitale Phasenwinkelmessung 12.5 Rechnender Zahler 12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) 12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) 12.8 Oszillatoren 12.8.1 Grundlagen 12.8.2 Harmonische Oszillatoren 12.8.3 LC-Oszillator 12.8.4 Relaxationsoszillatoren 12.8.5 Quarzoszillator 12.8.6 Operationsverstarker-Schaltung eines Quarzoszillators 12.8.7 Fehler von Schwingquarzen 12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung . 12.10 Zeitzeichensender und Funknavigation 12.10.1 DCF-77 Zeitzeichensender 12.10.2 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation 12.10.3 Galileo-Satellitennavigation

347 348 349 350 350 354 355 355 356 357 359 359 360 361 363 365 . 370 370 . 372 376 376 377 380

13

MefSsignalverarbeitung 13.1 Aufgaben und Bedeutung 13.2 Signalarten und Analyseformen 13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren 13.4 E r m i t t l u n g des Effektivwertes 13.5 Bestimmung von Mittelungswerten 13.6 KenngroBen nicht-sinusformiger periodischer Signale 13.7 Messung von Signaleigenschaften mitt els Korrelationsfunktion 13.8 AuBere Storeinwirkungen

383 383 385 386 389 391 393 396 403

14

Grundlagen der Rechnergestiitzten MeBdatenerfassung . . . . 14.1 G r u n d s t r u k t u r e n von rechnergestiitzten MeBsystemen 14.2 Basis-Hardware zur MeBdatenerfassung 14.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten 14.2.2 Multiplexer 14.2.3 Storungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen . . . . 14.2.4 Serielle Schnittstellen 14.2.5 Parallelbussysteme 14.2.6 Datenlogger 14.3 G r u n d t y p e n des Datentransfers

407 407 414 416 419 419 422 423 423 423

Inhaltsverzeichnis 15

MefSdatenerfassung im Labor 15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) 15.1.1 Ubertragungsmedien 15.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle 15.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung 15.1.4 Logikdefinition fiir Datenleitungen 15.1.5 Logikdefinition fiir Steuer- und Meldeleitungen 15.1.6 Synchronisierung 15.1.7 Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) 15.1.8 Software-Handshaking 15.1.9 Hardware-Handshaking 15.1.10 Hardware-Reahsierung von seriehen Schnittstellen . . . . 15.2 Kenngroi3en der seriehen Dateniibertragung 15.3 Die RS485-Schnittstene 15.3.1 1 Twisted-Pair-Leitung 15.3.2 2 Twisted-Pair-Leitungen 15.4 Die 20 mA-Stromschleife 15.5 Die USB-Schnittstehe 15.6 Der lEC-Bus 15.6.1 Historie des lEC-Bus 15.6.2 Bezeichnungen des lEC-Bus 15.6.3 lEC-Bus-Komponenten 15.6.4 Gerategrundfunktionen 15.6.5 lEC-Bus-Leitungen 15.6.6 Bus-Logik 15.6.7 Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) 15.6.8 Nachrichtenarten 15.6.9 SchluBzeichen 15.6.10 Statusabfrage 15.6.11 lEC-Bus-Hardware 15.7 V X L B u s , P X L B u s und M X L B u s 15.7.1 V X L B u s 15.7.2 Resource Manager (System Manager) 15.7.3 Commander 15.7.4 Servant 15.7.5 Busghederung/Teilbusse 15.7.6 V X L und lEC-Bus 15.7.7 P X L B u s 15.7.8 P C L E x p r e s s 15.7.9 M X L B u s 15.7.10 Historie der bisher diskutierten Bus-Standards

XIX 425 427 427 428 431 431 431 432 433 433 435 435 438 439 440 440 441 441 443 443 443 444 444 445 447 448 451 455 456 457 458 460 461 461 461 462 462 462 464 465 466

XX 16

17

Inhaltsverzeichnis M e f S d a t e n e r f a s s u n g i m Feld 16.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) 16.1.1 Aufbau einer SPS 16.1.2 P r o g r a m m s t r u k t u r 16.1.3 Permanent-zyklischer Betrieb 16.1.4 Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb 16.1.5 Besonderheiten der Programmierung 16.1.6 Programmiersprachen fiir SPS nach l E C 61131-3 16.1.7 Beispiele fiir die lEC-genormten SPSProgrammiersprachen 16.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) 16.2.1 Vernetzung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen 16.2.2 Visualisierung von SPS-Daten und -Prozessen 16.3 Hierarchie industrieller Bussysteme 16.4 Vorschrift fiir eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell 16.5 Netzwerktopologien 16.6 Bus-Zugriffsverfahren 16.6.1 Klassifizierung der Bus-Zugriffsverfahren 16.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung 16.7.1 Alternierende Puis Modulation (APM) 16.7.2 Fehlererkennung und Datensicherung 16.7.3 Bitcodierung 16.8 Schnittstellenkonverter 16.9 Der Feldbus (FAN) 16.9.1 ASI-Bus 16.9.2 CAN 16.9.3 P R O F I B U S - D P 16.9.4 F I P - B u s 16.9.5 INTERBUS-S 16.9.6 B I T B U S 16.9.7 EIB (European Installation Bus) 16.9.8 LON (Local Operating Network) 16.9.9 DIN-MeBbus 16.10 Primare Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) Vernetzung von MefSdatenrechnern (Industrie-LAN, W A N ) 17.1 IP-Adressen 17.2 Subnetzmasken 17.3 Internet-Protokoll (IP) 17.4 Transmission Control Protocol ( T C P ) 17.5 Echtzeitfahigkeit des Ethernet 17.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen

467 467 467 467 468 469 469 470 472 478 478 482 486 487 489 490 491 492 492 492 494 495 496 498 500 502 505 506 508 510 512 513 514 519 520 521 522 522 522 523

Inhaltsverzeichnis

XXI

17.7 17.8 17.9 17.10

Physikalische Ethernet-Ubertragung 523 Ethernet-Telegrammstruktur 524 Verbindung mehrerer lokaler Netze 524 Standortiibergreifende Vernetzung 526 17.10.1 Breitband-ISDN 526 17.10.2 Datex-P 527 17.10.3 GSM 527 17.10.4 Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, P L C ) 528 17.10.5 Satellitenkommunikation 529 17.10.6 Metropolitan Area Network (MAN) 530 17.10.7 Wide Area Network (WAN) 530 17.10.8 Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz F D D I 530 17.11 Rechnernetze zur MeBdateniibertragung 531 17.11.1 Spezielle Bussysteme zur MeBdatenerfassung 531 17.11.2 Vernetzung von MeBdatenerfassungssystemen mittels Ethernet 532 17.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-MeBmodulen536 17.12.1 Funktionsprinzip 536 17.12.2 Beispiele fiir USB-MeBgerate 537 17.13 Ethernet-Nutzung zur MeBdatenerfassung 541 17.13.1 LXI - Ein neuer Standard fiir die MeBtechnik 541 17.13.2 Die technische Basis von LXI 541 17.13.3 Die 3 Gerateklassen A, B und C des L X L S t a n d a r d s . . . 542 17.13.4 Triggermoglichkeiten von LXI-Geraten 543 17.13.5 Triggerung gemaB IEEE-1588 545 17.13.6 Die Situation des LXI-Geratemarktes 546 17.14 V P N - Virtual Private Network 547 18

Programmierung von MefSdatenerfassungssystemen 18.1 Allgemeine Bemerkungen 18.2 l E C - und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard 18.2.1 Syntax der SCPI-Sprache 18.2.2 SCPLDatenformate 18.3 Einsatz kommerzieller Software 18.4 Kategorien von Softwarelosungen 18.4.1 Dialoggefiihrte Komplettpakete (Fertiglosungen) 18.4.2 Modul-Bibliotheken 18.4.3 Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) 18.4.4 Systeme mit speziellen Kommandosprachen 18.5 Lab V I E W 18.6 Lab Windows 18.7 MATLAB

551 551 552 554 557 558 558 558 559 559 560 561 565 567

XXII 19

Inhaltsverzeichnis Gebaudeautomatisierung (Smart Home) 19.1 Struktur des Gesamtsystems 19.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle 19.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle 19.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle 19.5 Lokale und weltweite Vernetzung 19.5.1 LAN - lokales Netzwerk 19.5.2 Standortiibergreifende Vernetzung 19.5.3 Weltweite Vernetzung 19.6 Software

571 572 573 575 576 579 579 580 581 581

Literaturverzeichnis

585

Index

591

Umfang und Bedeutung der Elektrischen Mefitechnik

1.1 Zur Historie und B e d e u t u n g der Mefitechnik Die meBtechnische Erfassung von physikalisch-technischen Gegenstanden und Prozessen stellt zusammen mit der logischen Denkfahigkeit des Menschen, also insbesondere auch der Fahigkeit, diese Objekte und Vorgange mathematisch zu beschreiben, eine wesentliche Grundlage aller Natur- und Ingenieurwissenschaften dar. Schon der griechische Philosoph P l a t o n (427-347 v. Chr.) hat auf die groBe Bedeutung der MeBtechnik hingewiesen, als er im X. Buch seines Werkes „Der S t a a t " schrieb [93]: „ ^Dieselben Gegenstdnde erscheinen uns krumm oder gerade, je nachdem wir sie in oder aufler Wasser erblicken, ebenso hohl oder erhaben infolge der Tduschung unseres Gesichtssinnes durch die Farben; und all dies deutet auf eine Verwirrung in der Seele hin. ^ (...) ^Messen, Zdhlen und Wdgen zeigen sich dagegen als die willkommensten Heifer, so dafi in uns nicht das scheinbar Grofiere oder Kleinere oder Zahlreichere oder Schwerere von Ausschlag ist, sondern das Rechnende, Messende, Wdgende.' ^Wie auch nicht! ^ ^Das ist die Aufgabe des verniinftigen Teiles in unserer Seele. ^(...) ^Der Teil, der auf Mafi und Berechnung vertraut, ist wohl der beste Teil der Seele?' 'Natilrlich!' 'Sein Gegenteil gehort zu dem Schwachen in uns?' 'Notwendigerweise!''^ Zwischen der MeBtechnik, deren grundlegende Aufgabe die experimentelle Bestimmung physikalischer GroBen ist, und der Entwicklung der Industrielandschaft aber auch der kulturehen Entwicklung bestehen seit jeher groBe Abhangigkeiten. Die MeBtechnik spielte schon in der Antike eine zentrale Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit MeBgroBen, die Bestandteil des taglichen Leben sind, wie z. B. Entfernungen oder das Gewicht von Waren. Die entsprechenden MaBeinheiten lieferte oft der menschliche Korper, wie u.a.

2

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen MeBtechnik

die in friiheren Zeiten gebrauchlichen Einheiten „FuB", „ S p a n n e " o d e r „Klafter" zeigen. Wie die Funde von Wagesteinen belegen, war das fiir die Entwicklung der Ware-Geld-Beziehung notwendige, auf Gewichtseinheiten basierende Wiegen bereits Jahrtausende vor Christus eingefiihrt. Eines der altesten, aus Babylon stammenden MaBsysteme enthielt auch schon Einheiten fiir die GroBen „Lange" (babylonische Elle), „Flache", „Volumen" und „Gewicht". Um dem im Laufe der J a h r h u n d e r t e entstandenen Wildwuchs an MaBeinheiten Einhalt zu gebieten, war es eine Forderung der Franzosischen Revolution, daB einheitliche MaBe vereinbart werden sollten. SchlieBlich wurde im Jahre 1799 die Langeneinheit „Meter" als der vierzigmillionste Teil des Erdmeridians zunachst in Frankreich, spater auch in PreuBen und Sachsen, festgeschrieben, wahrend von der industriellen Entwicklung Englands die bekannten angelsachsischen LangenmaBeinheiten ausgingen. Bis ins 19. J a h r h u n d e r t hinein beschrankte m a n sich auf die Messung geometrischer, mechanischer und thermischer GroBen. Fiir die quantitative Erfassung weiterer wichtiger MeBgroBen, wie z. B. die lonendosis oder die Energiedosis von radioaktiver Strahlung, standen bis dahin keine entsprechenden MeBgerate zur Verfiigung; es bestand jedoch schon die Moglichkeit ihres qualitativen Nachweises. Die MeBtechnik hat auch ganz wesentlich zur Weiterentwicklung aller Natur- und Ingenieurwissenschaften beigetragen. So verhalf beispielsweise die ZeitmeBtechnik zu Aussagen iiber UnregelmaBigkeiten bei der Erdrotation. Heute ist die MeBtechnik als ein zentrales Element der modernen Technologieund Industrielandschaft etabliert. Sie dient dort neben dem Warenaustausch vor allem der Forschung und Entwicklung, der Fertigung sowie der Qualitatssicherung von P r o d u k t e n . Eine Vielzahl technischer Funktionsablaufe muB standig meBtechnisch kontrolliert werden, u m beispielsweise die gewiinschte Qualitat in der Fertigung zu erreichen oder auch u m die notwendige Sicherheit und Umweltvertraglichkeit von Prozessen zu gewahrleisten. Ein Beispiel aus dem Bereich des Umweltschutzes zeigt auch, daB sich manche der dort anstehenden Aufgaben erst mit der Entwicklung und Bereitstellung eines hochwertigen MeBverfahrens losen lassen. So wurde a m Institut fiir Hochfrequenztechnik der Universitat Erlangen ein Empfanger fiir elektromagnetische Submillimeterwellen (Frequenzen im Terahertzbereich) entwickelt, welcher in Flugzeugen, die in groBer Hohe fliegen, eingesetzt werden kann, u m dort Schadstoffkonzentrationen zuverlassig zu messen. Diese Messungen basieren im wesentlichen auf der Detektion elektromagnetischer Strahlung, die bei einer Frequenz von 2,5 Terahertz von sog. Hydroxyl-Ionen emittiert wird. Diese Hydroxyl-Ionen werden neben den Fluorkohlenwasserstoffen ( F C K W ) als eine Substanz angesehen, die zum Abbau der Ozonschicht fiihrt. Viele technische Fortschritte spiegeln sich in der Entwicklung von MeBverfahren und dazugehorigen MeBgeraten wider, die ihrerseits wiederum zu einer Verbesserung des Kenntnisstandes auf dem Gebiet der Elektrotechnik beitragen. Eines der jiingsten Beispiele dafiir ist der Quanten-Halleffekt, fiir dessen Entdeckung im J a h r e 1985 der Nobelpreis an Prof, von Klitzing vergeben wurde. Der Effekt konnte nur durch Bereitstellung und Nutzung einer sehr

1.2 Der Begriff des Messens

3

hochwertigen MeBtechnik entdeckt werden. Andererseits kann der QuantenHalleffekt wiederum zur hochgenauen Definition der Einheit des ohmschen Widerstandes genutzt werden, womit er zu einer groi3eren Prazision in der Elektrischen MeBtechnik beitragt. In nahezu alien Disziplinen der Technik geht die entsprechende MeBtechnik zunehmend in eine rein elektrische MeBwertverarbeitung liber. Der allgemeine Trend besteht darin, fiir die verschiedenen MeBaufgaben MeBwertaufnehmer zu entwickeln, welche die unterschiedlichsten nicht-elektrischen MeBgroBen detektieren und in entsprechende elektrische Signale umsetzen. Die weitere Verarbeitung dieser nunmehr elektrischen Signale (MeBwerte) ist dann weitgehend standardisiert und mittlerweile ein fester Bestandteil der Elektrischen MeBtechnik geworden. Der groBe Vorzug der Elektrischen MeBtechnik liegt dabei vor allem in der groBen Prazision, mit der sich elektrische Signale, etwa im Gegensatz zu mechanischen GroBen, bei relativ geringem Aufwand verarbeiten und speichern lassen. Auch die Tatsache, daB sich die beiden GroBen „Frequenz" und „Zeit" mit Hilfe der Methoden der Elektrischen MeBtechnik mit groBer Genauigkeit bestimmen lassen, bildet eine weitere Basis ihres Erfolges. So beruht beispielsweise das Prinzip des heute weltweit angewendeten Navigationssystems G P S (Global Positioning System) auf einer prazisen Messung von Zeiten, in diesem Fall von Laufzeiten, die ein elektromagnetisches Signal von einem in bekannter Position befindlichen Satelliten bis zu einem Empfangsort benotigt. An diesem Empfangsort befindet sich ein portabler Empfanger, dessen geometrische Breiten-, Langen- und Hohenkoordinaten aus diesen Zeitmessungen mit hoher Genauigkeit bestimmt werden konnen.

1.2 Der BegrifF des Messens Unter Messen versteht m a n das quantitative Erfassen einer GroBe, der sog. Mefigrofie. Praziser formuliert heiBt Messen, eine zu messende GroBe als Vielfaches einer allgemein anerkannten EinheitsgroBe derselben physikalischen Dimension zu bestimmen, und zwar durch experimentellen Vergleich mit einer MaBverkorperung dieser Einheit. Dabei bedienen wir uns sog. Mefigerdte. MeBgerate konnen insbesondere auch den Teil der N a t u r erschlieBen helfen, fiir den unsere Sinne keine Empfindungen haben, wie z.B. der Schall im Ultraschallbereich oder alle Arten von ionisierender Strahlung. Zur Durchfiihrung von Messungen miissen die folgenden drei Voraussetzungen erfiillt sein: • • •

Existenz eines Zahlensystems Definition einer MeBgroBe Festlegung der Einheit.

Die Elektrische MeBtechnik behandelt zunachst die Messung rein elektrischer GroBen, wie Spannung, Strom, elektrische Leistung und Impedanz (Widerstand, Induktivitat, K a p a z i t a t ) . Nach der eigentlichen Gewinnung {Detektion) des MeBsignals wird dieses verarbeitet, d. h. es wird u. a. kompensiert,

4

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen MeBtechnik

verstdrkt, ilhertragen, (Mefiwert) entweder • • •

linearisiert

oder digitalisiert,

bevor das MeBergebnis

auf einer Anzeige (analog oder digital) ausgegeben, mittels Schreiber oder Drucker dokumentiert oder zur Regelung eines Prozesses benutzt wird.

Ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Elektrischen MeBtechnik beschaftigt sich mit der Messung nicht-elektrischer Grofien. Dazu bedient m a n sich sog. Sensoren {Aufnehmer, Mefifiihler, Detektoren), welche die jeweilige physikalische GroBe in ein elektrisches Signal umwandeln, das dann leicht mit bewahrten Methoden der Elektrischen MeBtechnik weiterverarbeitet werden kann. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daB sich die Elektrische MeBtechnik mit den folgenden Teilaufgaben beschaftigt: •

• •

Gewinnung des MeBsignals, d. h. Detektion der (elektrischen oder nichtelektrischen) MeBgroBe und Umwandlung in ein fiir die weitere Verarbeit u n g geeignetes elektrisches Signal Verarbeitung und Ubertragung des elektrischen MeBsignals Darstellung, Dokumentation und Speicherung der MeBwerte.

Die Verarbeitung elektrischer MeBsignale zeichnet sich gegeniiber den MeBverfahren anderer Wissenschaftszweige durch folgende Vorziige aus: • • • •

leistungsarmes und damit riickwirkungsarmes Erfassen von MeBgroBen groBer MeBbereichsumfang (hohe Dynamik) einfache Verarbeitbarkeit der MeBsignale mit Hilfe elektronischer Schaltungen leichte Ubertragbarkeit und Speicherung der MeBsignale mit Standardverfahren der Nachrichtentechnik.

1.3 BegrifFsdefinitionen in der MeBtechnik 1.3.1 A l l g e m e i n e BegrifFe Im folgenden werden die wichtigsten Begriffsdefinitionen der MeBtechnik nach DIN 1319 (Grundbegriffe der MeBtechnik), V D I / V D E 2600 (Metrologie, MeBtechnik) sowie DIN V D E 0410 (Bestimmungen fiir elektrische MeBgerate) zusammengefaBt: Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen GroBe als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird (DIN 1319). Die Mefigrofie ist die physikalische GroBe, deren Wert durch eine Messung ermittelt werden soil ( V D I / V D E 2600). Der Mefiwert ist der gemessene spezielle Wert einer MeBgroBe, er wird als P r o d u k t aus Zahlenwert und Einheit angegeben (DIN 1319).

1.3 Begriffsdefinitionen in der MeBtechnik

5

Das Mefiergebnis ist ein aus mehreren MeBwerten einer physikalischen GroBe oder aus MeBwerten fiir verschiedene GroBen nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werteverlauf. Ein einzelner MeBwert kann aber auch bereits das MeBergebnis darstellen ( V D I / V D E 2600). Mefiprinzip heiBt die charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung benutzt wird (DIN 1319). Mefiverfahren nennt m a n die spezielle Art der Anwendung eines MeBprinzips ( V D I / V D E 2600). Man unterscheidet dabei im wesentlichen zwischen dem Ausschlagverfahren, bei dem der Ausschlag oder die Anzeige eines MeBwertes ein MaB fiir die MeBgroBe ist (idealerweise proportional), und dem Nullabgleichverfahren, bei dem die in Kap. 1.5.1 beschriebene Kompensationsmethode eingesetzt wird. 1.3.2 MefSgerat u n d M e B e i n r i c h t u n g Ein Mefigerdt liefert oder verkorpert MeBwerte, auch die Verkniipfung mehrerer voneinander unabhangiger MeBwerte, z . B . das Verhaltnis von MeBwerten (DIN 1319). Eine Mefieinrichtung besteht aus einem MeBgerat oder mehreren zusammenhangenden MeBgeraten mit zusatzlichen Einrichtungen, die ein Ganzes bilden (DIN 1319). Als Hilfsgerdte werden die Komponenten bezeichnet, die nicht unmittelbar der Aufnahme, der Umformung oder der Ausgabe von MeBwerten dienen. Mefisignale stellen MeBgroBen im SignalfiuBweg einer MeBeinrichtung durch zugeordnete physikalische GroBen gleicher oder anderer Art dar ( V D I / V D E 2600). 1.3.3 MefSkette ( S t r u k t u r e i n e r e l e k t r i s c h e n M e B e i n r i c h t u n g ) Eine komplette Mefikette besteht aus den in Abb. 1.1 gezeigten Komponenten. Grundsatzlich besteht eine MeBeinrichtung zur elektrischen Messung elektrischer bzw. nicht-elektrischer GroBen aus den MeBgeraten (MeBgliedern), die im einzelnen folgende Aufgaben erfiillen: • • •

Aufnehmen der MeBgroBe Weitergeben, Anpassen und Verarbeiten des MeBsignals Ausgeben des MeBwertes.

Nach dem Gerateplan (Abb. 1.1) sind die hierfiir notwendigen MeBglieder in einer MeBkette zusammengeschaltet ( V D I / V D E 2600, Bl. 3). Der Aufnehmer wandelt die MeBgroBe entweder direkt oder iiber andere physikalische GroBen in ein elektrisches MeBsignal yi um. Die Anpasser enthalten MeBgerate, die zwischen Aufnehmer und Ausgeber in der MeBkette liegen. Dazu gehoren vor allem Mefiverstarker und elektronische Rechengerdte. Der Ausgeber gibt die MeBwerte z analog oder digital entweder direkt (d. h. sofort sichtbar und verstandlich) iiber eine Anzeige, Schreiber bzw. Zahler oder aber indirekt.

.6

1 ! Umfang " und # "   Bedeutung "  der $     Elektrischen % &  MeBtechnik

  d. h. 

nicht  ohne )%!   Spezialvorrichtung  lesbar,  zur   weiteren .(   ! Informationsverarbei   0 \~l a der Bedingung nach Gl. (3.41). Wenn also der Wert a in Abhangigkeit von f{t) nur „genugend groB" gewahlt wird, so existiert die Laplace-Transformierte F{s). Das entsprechende Integral (Gl. (3.39)) konvergiert absolut und gleichmaBig fiir alle s mit 0 zu f{t)e-^'

-at

1 + oo 1 r r+ ^ = 7^ F{cT^ juj) ' e^^'duj 27r ^^ J-oo

(3.44)

bzw. -J

fit)

pljJ = -\-00

=— /

F{a + JUJ) . e^^^^-^'duj

.

(3.45)

Unter Verwendung der komplexen Frequenz s = a -\- jw und der Beziehung ds = jduj laBt sich die Laplace-Riicktransformation in der Form fit)

=- - /

F(s)e^'ds

(3.46)

darstellen. Das Riicktransformations-Integral nach Gl. (3.46) existiert nur, wenn F{s) an den Enden des Integrationspfades verschwindet. Der Integrationspfad verlauft in der komplexen s-Ebene (Abb. 3.6) parallel zur imaginaren Achse in einem Bereich, wo a > Gmin gilt. Fiir a > Gmin ist F{s) eine holomorphe Funktion. Es sei erganzt, daB das Integral einer holomorphen Funktion nur von den E n d p u n k t e n des Integrationspfades, nicht aber von dessen Wegfiihrung selbst, abhangt. Symbolische Darstellungen Laplace-Transformation: F{s) = C{fm

.

(3.47)

f(i)=C-^{F{s)}.

(3.48)

Riicktransformation: Die Zuordnung wird auch durch folgendes Symbolzeichen dargestellt fit)

c ^ Fis)

,

(3.49)

wobei wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung (Eineindeutigkeit) aller im Bereich t > 0 stetiger Funktionen diese Zuordnung in beiden Richtungen der Transformation gilt.

26

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

W a h r e n d die Fourier-Transformation auf die rein imaginare Achse juu und damit auf SinusgroBen mit konstanter Amplitude beschrankt bleibt, kann mit einer komplexen Frequenz auch eine exponentiell anwachsende oder exponentiell abklingende SinusgroBe dargestellt werden (s. A b b . 3.6) Laplace-Ebene (s-Ebene) J-03

harmonische Schwingungen mit konstanter Amplitude exponentiell anwachsende

exponentiell abklingende Schwingungen

Schwingungen o = Re{s}

A b b . 3.6: Laplace-Ebene (s-Ebene)

u{t) = t/ . e^* cos{ujt + (^) = - (f/e(^+^'^)* + [/*e^^-^'^)*)

(3.50)

mit U= U • e^"^

(3.51) (3.52)

Die aquivalente Darstellung in s bzw. s* lautet 1

u{t) = ^ (f/e^* + t/*e^*0

(3.53)

mit s

= a — juj.

(3.54)

Der Wert von a stellt dabei das DampfungsmaB dar (a < 0) und uo die Kreisfrequenz (cj > 0). Es sei noch erganzt, daB die rein reelle Achse {uo = 0) reine Exponentialfunktionen mit reellen Exponenten verkorpert.

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

27

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Ziel dieses Abschnittes ist die Aufstellung einer Zuordnungstabelle, die elementare Zeitfunktionen und ihre entsprechenden einseitigen Laplace-Transformierten enthalt. Bei der einseitigen Laplace-Transformation wird vorausgesetzt, daB die zu transformierende Zeitfunktion fiir Zeiten t < 0 stets identisch Null ist. Dies wird fiir jede Zeitfunktion durch Multiplikation mit der im folgenden definierten Sprungfunktion e{t) erreicht. Aufgrund der eindeutigen Umkehrbarkeit der Transformation kann diese sowohl beim Ubergang vom Zeit- in den Laplace-Bereich als auch in umgekehrter Richtung verwendet werden. Sprungfunktion Die Sprungfunktion^ e{t) beschreibt ein zum Zeitnullpunkt eingeschaltetes zeitlich konstantes Signal

Die Laplace-Transformierte lautet oo

F{s)= I

e-'*dt = --e-'^

Jo

(3.56) 0

Fiir Realteile cr > 0 konvergiert das Integral in Gl. (3.56) und m a n erhalt F{s) = \ .

(3.57)

Rampenfunktion Fiir die ab dem Zeitnullpunkt linear ansteigende Rampenfunktion

•^^^) = {omn 0 kommend bis hin zum Grenzwert fiir t ^ 0 verfolgt. Wenn alle Ableitungen von f(t) bis zur nten sowie die entsprechenden Laplace-Transformierten existieren, kann analog abgeleitet werden ^

^

c ^ s"F(s) - s"-V(0+) - s"-V'(0+)

/ti+t2 V

r-n/

I

U

T

i—^ t'2 t'l

t'i+ t2

A b b . 3.8: Zur Veranschaulichung des Faltungsintegrals

3.5 Laplace-Transfer mat ion einfacher mathematischer Operationen 3.5.5

33

Multiplikationssatz

Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39) F{s) = / f{t)e f{t)e-''dt '{s) = Jo

(3.93)

erhalt m a n durch Differenzieren nach s dF ds

/

f{t){-t)-e-''dt

= C{-t-f{t)}.

(3.94)

JO

Die n-malige Ableitung ergibt unmittelbar den M u l t i p l i k a t i o n s s a t z ^

= (-ir£{r./(i)}

(3.95)

i " - / W — ( - 1 ) " ^ .

(3.96)

bzw.

3.5.6 V e r s c h i e b u n g i m Z e i t b e r e i c h ( O b e r b e r e i c h ) Es soil eine Funktion f(t) im Zeitbereich u m eine Zeit to > 0 verschoben werden. Fiir die daraus resultierende Funktion (Abb. 3.9)

h{i)^[^^^~^'lfl\'^\l

bzw. f,{t)^e{t-t,)-f{t-t,)

(3.97)

folgt deren Laplace-Transformierte /»oo

Fi(s)= /

f{t-to)e-''dt.

(3.98)

Jto

Durch die Variablensubstitution r = t — to wird

und es folgt /»oo

Fi{s) = e-"*° / f{T)e-'^dr = e-'^'F{s) . (3.100) Jo Die Verschiebung im Zeitbereich u m eine Zeit to entspricht also der Multiplikation im Frequenzbereich mit e~^*°.

34

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

f(t)l

f (0 ^

0

t

0^

to

t

A b b . 3.9: Verschiebung im Zeitbereich um die Zeit to 3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) Wenn wir hingegen eine Verschiebung im Laplace-Bereich gemaB Fi{s) = F{s + so)

(3.101)

vornehmen, folgt Fi{s)=

f{t)e-''^e-'^dt.

(3.102)

Jo Dies bedeutet, daB F{s -\- SQ) der mit e~^°* multiplizierten Zeitfunktion / ( t ) entspricht e - ^ ° V ( t ) c ^ ^ F ( s + 5o). (3.103) Die Anwendung dieses Satzes auf Gl. (3.62) ergibt schheBlich

t' .e-"°*c^-»-

1

^

-.

(3.104)

Demnach laBt sich zu einer beliebigen rationalen Funktion in s die zugehorige Zeitfunktion direkt ermitteln. Dazu wird die Funktion in Partialbriiche zerlegt und anschheBend riicktransformiert. Fiir den Fall, daB die gebrochen rationale Funktion denselben Zahler- und Nennergrad aufweist, muB vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchgefiihrt werden. 3.5.8 D e h n u n g b z w . S t a u c h u n g Eine multiplikative reelle Konstante c, die auch als zeitlicher Dehnungsbzw. Stauchungsfaktor interpretiert werden kann, wirkt sich wie folgt auf die Laplace-Transformation aus

fict) 3.5.9

( c > 0) .

-^(-)

c Anfangswert-Theorem

(3.105)

\cJ

Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F{s) direkt der Anfangswert / ( O ^ ) der zugehorigen Zeitfunktion / ( t ) bestimmt werden, ohne die Zeitfunktion selbst zu ermitteln [31] lim/(0 = /(0+)=

lim

sF{s).

(3.106)

3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mitt els Laplace-Transformation 3.5.10

35

Endwert-Theorem

Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F{s) direkt der Grenzwert f{t^ oo) der zugehorigen Zeitfunktion f{t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [31] lim f{t) = \im sF{s).

(3.107)

3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Mit Hilfe der Laplace-Transformation laBt sich beispielsweise der bereits in Kapitel 3.2 behandelte Einschwingvorgang einer RC-TiefpaBschaltung (Abb. 3.4) wesentlich eleganter berechnen als im Zeitbereich. Wir gehen dazu von der DGL (Gl. (3.28)) aus, welche die Spannung Uc am Kondensator beschreibt RC^^^

+ uc{t) = u{t) .

(3.108)

Die Anwendung der Laplace-Transformation fiihrt mit Einfiihrung der Zeitkonstanten r = RC zu folgender linearer Gleichung T[SUC{S)

- ix,(0+)] + Uc{s) = U{s) ,

(3.109)

wobei gilt Uc{s) = jC{uc{t)}

und

U{s) = jC{u{t)} .

(3.110)

Diese Gleichung kann leicht nach Uc{s) aufgelost werden Uc{s) = Y^[Uis)

+ TU,iQ+)]

(3.111)

1 -\- ST

bzw. Ucis) =

—

-U(s)+u,(0+)

(3.112)

T

Wenn wir voraussetzen, daB der Kondensator zu Beginn des Einschaltvorganges ungeladen ist 7ic(0+) = 0 (3.113) und zum Zeitnullpunkt eine Gleichspannung UQ eingeschaltet wird, erhalten wir mit der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion e{t) o^ U{s)

=

s

(3.114)

^

(3.115)

36

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

und Gleichung (3.111) S[i + ST) AbschlieBend erfolgt nun die Riicktransformation von Gl. (3.116) in den Zeitbereich, was im folgenden Kapitel behandelt wird.

3.7 Die Riicktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Zur Riicktransformation einer Laplace-Funktion in den Zeitbereich ist prinzipiell das Umkehrintegral oder Riicktransformationsintegral (Gl. (3.46)) zu losen m

= :r- / ^^J

F(s)e^'ds

.

(3.117)

Js=a-joo

Dieses Integral existiert, wenn F{s) fiir LU -^ zbco gegen Null strebt. Fiir die Riicktransformation aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich existieren die bereits in Kapitel 3.3 eingefiihrten Nomenklaturen f{t)^C-'{F{s)}

(3.118)

bzw. fit)

c^F(s) .

(3.119)

Genauso wie bei der Fourier-Transformation ist die Zuordnung zwischen f{t) und F{s) fiir alle im Bereich t > 0 stetigen Funktionen umkehrbar eindeutig. Dies bedeutet, daB das Symbol o-m in beiden Richtungen gelesen werden kann. Diese Tatsache gibt AnlaB zu folgender Strategic fiir die Riicktransformation: Man zerlegt die riickzutransformierende Laplace-Funktion F{s) in eine Summe von Teilfunktionen F{s) = Fi{s) + F2{s) + . . . Fr,{s),

(3.120)

deren jeweilige Riicktransformation aus Tabelle 3.1 bekannt ist. Insbesondere laBt sich in Verbindung mit der Beziehung s{t) . - e-^°* c ^ -

- —

(3.121)

zu jeder rationalen Funktion in s die dazugehorige Zeitfunktion unmittelbar angeben, nachdem m a n die Funktion in Partialbriiche zerlegt hat. Da andererseits die Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koefhzienten im Laplace-Bereich auf rationale Funktionen fiihrt, lassen sich diese DGLn, die j a lineare elektrische Netzwerke mit konzentrierten Elementen beschreiben, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders leicht losen.

3.8 Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

37

Tabelle 3.1: Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen

f(t)

F{s)

6(t)

1

e{t)

lis

e{t) • r / n ! e{t)

{n = 0,1, •••)

•Te-^V n\

(n = 0,1,-

l/(s-+i)

..)i/(s+ar+^

e{t) • cos I3t

sl^s^^P')

e{t) • sin pt

N{s'+P')

e{t) • e-^* cospt

{s + a)/[{s

e{t) • e-^* sinpt

p/[{s + af+P^]

e{t) • tcos pt

{s^-p^)/{s^+py

e{t) • cos^ pt

{s^+2p^)/[s{s^+Ap^)\

e{t) • sin^ pt

2p^/ [s{s^ + Ap^)]

e{t) • cosh pt

s/(s'-P')

e{t) • sinh pt

P/{s'-p')

e(t)

sin. (3t t

+

af+P^]

arctan s

e{t) •1/V^t

1/v^

e(t) ^2^JtpK

l/(s^s)

3.8 Losung von linearen Differentialgleichungen mit k o n s t a n t e n Koeffizienten Zwecks leichterer Uberpriifbarkeit der Losung wenden wir uns nochmals dem Beispiel aus Kapitel 3.2 zu. Die Differentialgleichung, die den Einschwingvorgang der RC-Schaltung aus A b b . 3.4 beschreibt, lautet (GL (3.28) bzw. GL (3.108))

RC^^+u,{t)

= u{t).

(3.122)

38

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Die Anwendung der Laplace-Transformation fiihrt mit r = RC zu T [sUc{s) - 7ic(0+)] + Uc{s) = U{s) .

(3.123)

Diese algebraische Gleichung laBt sich leicht nach der gesuchten GroBe Uc{s) auflosen (vgl. Gl. (3.112)) Uc{s)

1

(3.124)

/7(s)+7ie(0+)

s +

Fiir den Fall, daB u{t) eine im Zeitnullpunkt t = 0 eingeschaltete Gleichspannung Uo ist, d.h. U{s) = ^ , (3.125) s und der Kondensator zu diesem Zeitpunkt ungeladen ist {uc{0~^) = 0), folgt Ucis) =

(3.126)

rs(s+i)

Diese rationale Funktion wird nun in Partialbriiche zerlegt, d. h. also in rationale Grundfunktionen, die in Tabelle 3.1 enthalten sind Uo

Ue{s)

Ts(s+i)

c.

Ci s^ a

Uo

(3.127)

s -\-13

Durch Koeffizientenvergleich erhalt m a n die Werte der Konstanten 1 a = —;

/3 = 0

und

C2

-Ci = 1 .

(3.128)

T

Daraus folgt (3.129)

Uc{s) = Uo .5+^

s.

GemaB Superpositionsregel und Tabelle 3.1 ergibt sich folgende Zeitfunktion Uc{t) = \Uo - Uoe-'^A

= Uo{l - e-'l^)

.

(3.130)

Der zeitliche Spannungsverlauf der Kondensatorspannung u^ii) wurde bereits in Abb. 3.5 gezeigt. Das Ergebnis (Gl. (3.130)) entspricht selbstverstandlich der auf anderem Wege ermittelten Losung der linearen Differentialgleichung im Zeitbereich (Gl. (3.34)).

3.8 Losung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

39

L o s u n g fiir e i n g e s c h a l t e t e S i n u s s p a n n u n g Wenn die RC-TiefpaBschaltung gemaB Abb. 3.4 nun mit einer bei t = 0 eingeschalteten harmonischen Wechselspannung beaufschlagt wird, so laBt sich das Ergebnis analog ermitteln. Dazu wird zunachst die Eingangsspannung u{t) u(t) = e{t) • UQ sinujot

(3.131)

gemaB der Tabelle 3.1 in den Laplace-Bereich transformiert U{s) = Uo

UJQ

(3.132)

s'+iu^

Durch Einsetzen in Gleichung (3.124) erhalt m a n die Kondensatorspannung Uc im Laplace-Bereich Uo ojo

(3.133)

+ Uc(0+)

Eine Partialbruchzerlegung fiihrt zu 1

1

Uoujo

Tiof{ + ^

Vs+r

(3.134)

s+h

s'+uji

Die Zuordnungstabelle (Tab. 3.1) liefert •—e

s

e{t)

1

sinuJot

(3.135) (3.136)

•—e £(t) ' COSUJot

Das Ergebnis im Zeitbereich lautet also Uc{t) = £{t)

1

Uoioo

T UJ^

—

( 1 . -t/T sincjo^ — cos 6^0^ + ^ SI Vrcjo

3 ( 0 + ) . < -t/r

(3.137) Abbildung 3.10 zeigt den Spannungsverlauf fiir einen anfanglich ungeladenen Kondensator Uc{^'^) = 0. Nach dem Ausgleichsvorgang (e^^/'^-Term), der mit der Zeitkonstanten r abklingt, bleiben nur noch die beiden sin — / cos — Wechselanteile iibrig, die zu einer einzigen Sinusfunktion zusammengefaBt werden konnen — sincjo^ — (^0 coscjo^ = v ^^o "^—9 sin(a;o^ — ^ ) T

V

(3.138)

T^

mit if = arctan(c 0, also fiir k o m p l e x w e r t i g e P o l e , die Laplace-Zuordnungen ^^ (s + d)2+c^2

^e{t)'e-'^^

cos ujdt

(3.171)

^ - ^ | | ^ ^ . ( t ) . e - s i n . . t .

(3.172)

Unter Zuhilfenahme dieser Zuordnungen kann die zu F{s) gehorige Zeitfunktion f{t) angegeben werden f{t)=£{t)'e~'^^

yAcosujdt^^

sincj^tj .

(3.173)

Sollten jedoch die P o l e i m R e e l l e n liegen, so wird a n s t a t t uod die HilfsgroBe ujl = d^-ujl

(3.174)

verwendet. Dies fiihrt schlieBlich mit den Korrespondenzen

(s + dy - uj'^ und

e{t) • e-"^^ coshujrt

(3.175)

48

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten ^ m^ sit) ' e"^* smhujrt (s + dy - uj^

(3.176)

zu der entsprechenden Zeitfunktion /(t) =£(t)-e"^* M c o s h c c ; ^ t + ^

sinhcj^tj .

(3.177)

Die Losungen fiir komplexwertige Pole (Gl. (3.173)) und fiir reellwertige Pole (Gl. (3.177)) lassen sich mit der Beziehung Lol = -wl

(3.178)

bzw. UJd = ±jUJr

(3.179)

ineinander iiberfiihren. Es ist noch der sog. a p e r i o d i s c h e G r e n z f a l l zu behandeln, bei dem die beiden Polstellen zusammenfalien, d. h. es gilt si = S2

(3.180)

uol = d?

(3.181)

und cj^ = cj^ = 0 .

(3.182)

Die physikalische Deutung von Gl. (3.182) besagt, daB sich gerade keine Schwingung mehr einstellt. Zur Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion f{t) ist ein Grenziibergang von Gl. (3.173) bzw. Gl. (3.177) notwendig. Gleichung (3.173) beispielsweise fiihrt mit lim ^ ^ ^ ^ = t

(3.183)

ZU

f(t)

= e{t) . e-'^'lA + ( B - Ad)t\ .

(3.184)

A n w e n d u n g auf den Serienschwingkreis Wenn m a n nun die eben abgeleiteten Transformationen auf die LaplaceGleichung anwendet, die den Strom im Serienschwingkreis beschreibt (Gl. (3.162)), so folgt mit d = UJI

=

R 2L 1

^ = 0

(3.185) (3.186) (3.187)

3.9 Einschwingvorgange in Netzwerken mit konzentrierten linearen Bauelementen B

2dUo R

Uo L

(3.188)

und 2

2

^ f^

^ ^

(3.189)

der Strom im Serienschwingkreis beim Anlegen eines Gleichspannungssprunges (3.190) wenn die Pole komplexwertig sind, bzw.

R

=

(jjf

e(i)——e-*(e"-«-e-"'-*) R Uo

(e-*/-i-e-*/-^)

=

'^'^-2^L''^"^-'

Uo

-e{t).^—U

{'

{d — (jOr)t

- - - - e ^—{d-\-(jOr)t

(3.191)

-uj^=uj;>^.

(3.192)

fiir reellwertige Pole, d. h. wenn d^

aperiodischer Grenzfall (d = ODQ)

CD^L

Abb. 3.18: Der Stromverlauf des Serienschwingkreises fiir verschiedene Dampfungswerte sowie fiir den aperiodischen Grenzfall. Die Polstellen sind konjugiert-komplex.

49

50

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Gleichung (3.190) beschreibt eine gedampfte Sinusschwingung mit der Abklingkonstanten d und der Kreisfrequenz

UJd=UJo\ll-

(3.193)

[ —

Fiir verschwindende Dampfung {d = 0) handelt es sich dabei u m eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz UJQ = /LC Abbildung 3.18 zeigt den Stromverlauf fiir solche Dampfungswerte, bei denen die Pole konjugiert komplex sind, so daB eine abklingende Schwingung entsteht. Liegen jedoch die Pole im Reellen, so daB i{t) durch Gl. (3.191)

aperiodischer Grenzfall (d = ODQ)

Abb. 3.19: Vergleich des Stromverlaufs im aperiodischen Grenzfall mit dem Stromverlauf bei starkerer Dampfung. Die Pole liegen im Reellen. Es bilden sich keine harmonischen Schwingungen mehr aus.

beschrieben wird, ergibt sich ein Zeitverlauf gemaB Abb. 3.19. Der zeitliche Funktionsverlauf errechnet sich aus der Differenz zweier Exponentialfunktionen mit negativen Exponenten. Der aperiodische Grenzfall UJQ = d^ fiihrt zu

.Uo

i(t) = e{t) • 2-^ d t e""* = s{t) R

Uo -te

-dt

(3.194)

In den Abbildungen 3.18 und 3.19 ist dieser Stromverlauf zum Vergleich ebenfalls eingezeichnet.

3.10 Riicktransformation mittels Residuenmethode - Heavisidescher Entwicklungssatz

3.10 Rucktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz 1st die Laplace-Transformierte F{s) als Quotient zweier Polynome gegeben Z(s)

(3.195)

^(^) - Nis) ' und hat F{s) nur e i n f a c h e P o l e bei si • • • Sn Z{s)

F{s) {S - Si){s

- S2) " ' {S -

(3.196) Sn)

so laBt sich die zu F{s) gehorende Zeitfunktion / ( t ) nach der sog. R e s i d u e n m e t h o d e (auch als H e a v i s i d e s c h e r E n t w i c k l u n g s s a t z bezeichnet) berechnen [18] (3.197) Dabei stellt N'{sjy) die Ableitung von N{s) nach s an der Stelle Sjj dar. Fiir den Fall, daB N{s) Mehrfachpolstellen enthalt, ist die Auswertung nach der Residuenmethode etwas aufwendiger. Daher soil an dieser Stelle nur auf die entsprechende Literatur verwiesen werden [31], [18]. B e i s p i e l fiir d i e A n w e n d u n g d e s H e a v i s i d e s c h e n E n t w i c k l u n g s s a t z e s Wir betrachten einen Vierpol (Abb. 3.20) mit folgendem Ubertragungsverhalten GAP{S)

U2{S) Ui{s)

i(s)|

AllpaB

2ds §2 + 2ds + uj'^

(3.198)

\ U2(S)

Abb. 3.20: Vierpol mit AllpaBcharakter

Ein solcher Vierpol wird auch als A l l p a B bezeichnet, well er alle Frequenzen beziiglich ihren Amplituden gleichermaBen behandelt. Das heiBt, fiir jede beliebige harmonische Anregung mit juj ergibt sich ein konstanter Betrag der Ubertragungsfunktion von

51

52

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten j-03^

i

j • M'- d'

^x -d fvl [2SJ

11

-^

oq,

+d

fvl

f?^ [t^

iZSJ

1 1

f?^i [UJ

^ ^

CT = Re{s}

s, X

\

°^2 - j • Vccb^- d ^

Abb. 3.21: Pol-/Nullstellen-Verteilung eines Allpasses. x: Polstellen, o: Nullstellen, n:d^

>UJI (S. G L (3.198))

\GAP{JUJ)\

=

1^2 (J^) I = 1 .

(3.199)

\Ui{j^)\ Nur die Phase bzw. die Laufzeit der Signale wird durch den AllpaB beeinfiuBt. Dies kann auch anhand der vollkommen symmetrischen Anordnung der Pole und Nullstellen eines Allpasses in der s-Ebene veranschaulicht werden (Abb. 3.21). Die eingerahmten Pole bzw. Nullstellen entsprechen dem Fall besitzt (P > UJQ] die konjugiert-komplexen Paare dem Fall (P < LUQ. GAP{S) Pole bei ' -d^Jd?

si,2 =

^ .

(3.200)

Es sind wiederum die drei Standardfalle

d^ >

UJI

(3.201)

d^ < uol

(3.202)

und (3.203)

d'

zu unterscheiden. Die zu GAP{S) gehorende Zeitfunktion gAp{t) wird als Impulsantwort des Vierpols bezeichnet (s. auch K a p . 3.11). Sie laBt sich nach der Residuenmethode erst berechnen, wenn wir eine Polynomdivision vornehmen. Damit wird sichergestellt, daB der Grad des Zahlerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms GAP{S)

=

s^ - 2ds • s2 + 2ds •

= 1 • ^ n

Ms • 2ds -\- uj?{

(3.204)

3.10 Riicktransformation mittels Residuenmethode - Heavisidescher Entwicklungssatz GAP{S)

Wir wollen nun GAP{S) bereich transformieren

= 1^G\P{S).

(3.205)

mit Hilfe der Residuenmethode zuriick in den Zeit-

9Ap{t) = S{t) + g\p(t)

= 5{t) + n • e^^* + r2 • e^^* .

Fiir die beiden Residuen von G\p{s) r, = lipl N'{si)

(3.206)

ergibt sich = Z^

si+d

(3.207)

und Z(s2) _ -2dS2 -2ds2 Z{S2) ^2 = T 7 ^ = — ^ • N'{S2) ~ S2+d

(3.208)

ds/W^ ., = M ^ - V ^ ^ " ^ )

(3.209)

Mit Gl. (3.200) folgt

bzw.

d+ y .. = -^djd^^y^) .

(3.210)

cUr = \I(P - UJI

(3.211)

Mit der HilfsgroBe

und Gl. (3.197) erhalt m a n g\p{t)

= n e - ^ ^ e ^ - * + r2e-^*e-^-* .

(3.212)

SchlieBlich ergibt sich mit GL (3.205) die Impulsantwort 9Ap{t) = S{t) + e-'^*(rie-^* + rse""-*) .

(3.213)

Nun sind wiederum die drei bekannten Fahunterscheidungen zu treffen: 1. £ > LUI. Es ergeben sich reelle Werte fiir r i , r2 und ujr2. d^ < uj^. Es ergeben sich konjugiert-komplexe Werte r i und r2 sowie ein rein imaginarer Wert uur- Mit der Beziehung cuj = -uj^ (GL (3.178)) folgt

-_m^±2^_^U^.^\

(3,214)

53

54

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

-2di

-dt

1 + J — I ej^dt

-j^dt ^d

^d J^dt -2d e-^* [e^-"^ +I e ^-jUJdt\ ^-"^) + j —

{e^^^^ - e~^^^^)

^d

gAp{t) = ^(^) — 4c^e

cos ujdt V

sincj^^t

(3.215)

^d

3. c^^ = CJQ (aperiodischer Grenzfall): Mit Anwendung der Regel von L'Hospital folgt

gAp{t) =

S{t)-Ade-^\l-dt)

(3.216)

Abbildung 3.22 zeigt die Impulsantworten des betrachteten Allpasses fiir verschiedene Werte von d beziiglich UJQ.

,2 2 d 0 beschreibt. Aus diesem Grund liegen die Nullstellen der Polynome Z{s) und N{s) bei reellen, bei paarweise entgegengesetzt gleichen imaginaren oder bei paarweise konjugiert komplexen Werten. Die Pole Sy von (7(s), d. h. also die Nullstellen des Nennerpolynoms N{s)^ werden auch als E i g e n w e r t e d e s N e t z w e r k e s bezeichnet. Liegen diese Pole in der linken Laplace-Halbebene {CFJ, < 0), dann gilt das Netzwerk als stabil, well keine aufklingenden Schwingungen auftreten konnen. Dies liegt daran, daB die Pole bzw. Eigenwerte s^^ die Exponenten der in der Impulsantwort auftretenden Schwingungen in der Form e^'^* festlegen. Bei Netzwerken, die nur aus passiven Elementen bestehen, liegen die Pole immer in der abgeschlossenen linken Halbebene. Die Nullstellen qjj, des Zahlerpolynoms hingegen sind bzgl. ihrer Lage nicht auf die linke s-Halbebene beschrankt. Zur anschaulichen Darstellung von Ubertragungsfunktionen verwendet m a n des ofteren sog. P o l - N u l l s t e l l e n - D i a g r a m m e . Abbildung 3.25 zeigt die Pol-Nullstellenverteilung einer Ubertragungsfunktion vom Grad n = 3, d. h. sie weist 3 Pole auf, . {s - qi){s - q2) . . ^/ N G(s) = const. • 7 ^—--———--— . (3.223) [s - si)[s - S2)[s - ss) Die Pole sind im Diagramm mit Kreuzen (x) und die Nullstellen mit Ringen (o) gekennzeichnet. Das Pol-Nullstellen-Diagramm laBt das Ubertragungsverhalten des Vierpols, das ja durch G{s) mathematisch beschrieben wird, fiir beliebige s, insbesondere auch fiir s = jcj, d.h. also fiir ungedampfte harmonische Schwingungen, unmittelbar erkennen. Wenn namlich das lineare Netzwerk eine rein harmonische Anregung der Form x{t) = Re{l(cj)e^'^*} = Re{l(cj)e^>-(^)e^'^*}

(3.224)

erfahrt, fiihrt dies im eingeschwungenen Zustand bei einem linearen Vierpol stets zu einem Antwortsignal y{t) mit derselben Frequenz aber veranderter Amplitude und Phasenlage y{t) = Re{f(cj)e^'^*} = Re{f(cj)e^>-(^)e^'^*} ,

(3.225)

3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

57

J-03

-^fo = Re{s}

X A b b . 3.25: Pol-Nullstellen-Diagramm einer Ubertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

wobei \X_\ = X und \Y_\ = Y gilt. Die Ubertragungsfunktion G(cc;) des linearen Systems ist dann folgendermaBen definiert

G{u;)

Ji^y-^^) X_{uj)

|G(cj)|e^''^(^)

(3.226)

X{uj)'

Die komplexe Ubertragungsfunktion G_{uj) laBt sich aufspalten in den B e t r a g s g a n g |S(cc;)| und den dazugehorigen P h a s e n g a n g arg{G(cj)} = (p{uj). Fiir den Sonderfall s = juj beschreibt also diese Ubertragungsfunktion das Netzwerkverhalten fiir den stationaren harmonischen Betrieb bei der Kreisfrequenz LU. Der Funktionsverlauf G(jcj) wird als F r e q u e n z g a n g bezeichnet. Er ist komplexwertig und wird daher oft in den A m p l i t u d e n g a n g und den P h a s e n g a n g aufgespalten. A m p l i t u d e n g a n g : \G_{juj)\ Phasengang: ct'f^giQ.iJ^)}

Wir wollen zunachst den Amplitudengang betrachten \G_{j(ju)\ = I const.

\juj - qiWjuj - q2\ \juj - siWjuj - S2\\juj - ss\

(3.227)

Die einzelnen Betragskomponenten in dieser Gleichung entsprechen den Distanzen des beliebig variierbaren Aufpunktes juj zu den einzelnen Pol- und Nullstellen s^y bzw. g^. Das Verhaltnis dieser Betrage charakterisiert den Amplitudengang. Es laBt sich direkt aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ermitteln

58

3 Ausgleichsvorgange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

(Abb. 3.26). Es verdeutlicht auch, wie sich \G{juj)\ bei Annaherung an eine Polstelle vergroBert und bei Annaherung an eine Nullstelle verkleinert. Der Phasenwinkel von G{juo) laBt sich ebenfalls aus dem Diagramm bestimmen i QiJUj) = (PNI + ^N2 - ^Pl - ^P2 - ^ P 3 .

(3.228)

Ahgemein kann m a n feststehen, daB in der hnken Halbebene hegende Pole sowie die in der rechten Halbebene liegende Nullstellen mit wachsendem uj den Phasenwinkel verringern, wahrend ihn die Nullstellen in der linken Halbebene erhohen. Nullstellen auf der imaginaren Achse liefern einen Winkel von ±7r/2, der beim Uberschreiten einer Nullstelle u m TT springt. Der kleinstmogliche Winkelbeitrag ergibt sich, wenn alle Nullstellen von G{s) in der linken Halbebene liegen. Ubertragungsnetzwerke mit dieser Eigenschaft bezeichnet m a n als M i n i m a l p h a s e n s y s t e m e . Sobald Nullstellen in der rechten Halbebene auftreten, enthalt das Ubertragungsnetzwerk einen AllpaBanteil (s. auch Kap. 3.10).

o = Re{s}

: VS^^+TS^TTDP"

%2

Abb. 3.26: Bestimmung von Betrag und Phase einer Ubertragungsfunktion anhand der Einzelbeitrage aller Nullstellen und Pole

3.12 Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Die Antwort y{t) eines vom Ruhezustand aus mit der Sprungfunktion £{t)

3.13 Bode-Diagramme

59

angeregten Netzwerkes wird Sprungantwort h(t) oder auch Ubergangsfunktion genannt (Abb. 3.27). Sie charakterisiert das Netzwerk ebenso vollstandig wie Sprunganregung x(t). i

Sprungantwort x(t)

Lineares Netzwerk

y(t)

• •

y(t)i

IfV^-

t=0 t

—^t

A b b . 3.27: Anregung eines linearen Netzwerkes durch einen Sprung

die Impulsantwort g{t). Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h{t) und Impulsantwort g{t) laBt sich leicht herleiten

h{t) = I g{T)dr .

(3.230)

3.13 Bode-Diagramme Wir betrachten die Ubertragungsfunktion G{s) eines zeitinvarianten linearen Netzwerkes. Diese laBt sich gemaB Gl. (3.223) durch eine gebrochen rationale Funktion der Form

G(S) = (^- 200 ineinander iiber. Fiir A^ = 50 MeBwerte beispielsweise bedeutet dies, daB der gefundene Mittelwert ( = Schatzwert x) mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 % u m vom unbekannten wahren Wert Xw abweicht. Der Wert hochstens ± 3 , Isx/V^ von t = 3,1 kann Tab. 5.2 entnommen werden. Aus Tab. 5.2 ist auch abzulesen, daB der Vertrauensfaktor fiir die Normalverteilung {N -^ co) mit dem

5.2 Zufallige MeBfehler

97

fiir die Student-Verteilung (TV < oo) ab einer LosgroBe von N > 200 identisch ist. Die bei einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % bestehende Unsicherheit wird als der m i t t l e r e F e h l e r Ax des Schatzwertes bezeichnet Ax

(5.29) N

Die zufalligen Fehler konnen im Gegensatz zu den systematischen Fehlern grundsatzlich nicht korrigiert werden. Zufallige Fehler konnen allerdings durch eine hinreichend groBe Anzahl von Einzelmessungen beliebig klein gehalten werden.

Tabelle 5.2: Abhangigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P P = 68,3% = 1,,Ocr P = 95% = l,96cr P = 99% = 2, 58cr P = 99, 73% = 3, OCT iV

t

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00 1,00

t/y/N 1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 ^ ^ 0

t

t/VN

t

t/y/N

t

12,71 4,30 3,20 2,60 2,30 2,10 2,00 1,97 1,96 1,96

8,99 2,48 1,60 1,06 0,73 0,47 0,28 0,20 0,14 ^ ^ 0

63,66 9,9 5,8 4,0 3,2 2,9 2,7 2,6 2,58 2,58

45,01 5,70 2,90 1,63 1,01 0,65 0,38 0,26 0,18 2 f « 0

235,8 19,2 9,2 5,5 4,1 3,4 3,1 3,04 3,0 3,0

t/y/N 166,7 11,10 4,60 2,25 1,30 0,76 0,44 0,30 0,21 2^«0

B e i s p i e l — MefSreihe m i t z u ^ l l i g e n F e h l e r n Im R a h m e n einer MeBreihe wurden folgende 10 Werte gemessen: i l x^ 85,0

2 85,6

3 4 5 6 7 8 9 10 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4

Der Schatzwert x betragt nach Gl. (5.22) 10

^ = — ^ X i = 85,16 .

(5.30)

i=l

Die Schwankung s (empirische Standardabweichung) berechnet sich nach (Gl. (5.23)) zu

5 MeBfehler

Der zufdllige Fehler F^i der Einzelmessung beziffert sich bei einer (frei gewahlten) statistischen Sicherheit von 95 % nach Tabelle 5.2 auf Fxi (95 %) = ±ts = ± 2 , 3 - 0,381 = ± 0 , 875 . Der zufdllige Fehler des Schdtzwertes Sicherheit von 95 % zu

(5.32)

F^t ergibt sich bei derselben statistischen

F~ (95 %) = ± 4 = = ^0' ^^^ '

(^-33)

Damit kann die vollstandige Angabe des MeBergebnisses in folgender Form geschehen x = 85,16 ± 0 , 2 7 7 , (5.34) wobei sich die Angabe der absoluten Toleranzgrenzen von ± 0 , 277 auf eine gewahlte statistische Sicherheit von 9 5 % bezieht.

Tip: Eine LabVIEW-Aufgabe zum T h e m a "Schwankung des Schatzwertes in Abhangigkeit von der Probenlange" findet sich auf der CD-ROM (Aufgabe 2.2b).

^^ \ ^

5.2.3 F o r t p f l a n z u n g zufalliger F e h l e r Wenn die gesuchte MeBgroBe y eine Funktion mehrerer mit voneinander unabhangigen zufahigen Fehlern behafteter EinzelmeBgroBen Xi{i = l , . . . , n ) ist y = /(xi,...,Xn) , (5.35) laBt sich der Mittelwert /Xy, der dem wahren Wert y^ entspricht, wie folgt berechnen 2/w = My = / ( M 1 , • • • , Mn) , (5.36) wobei fii die Mittelwerte der EinzelmeBgroBen Xi bezeichnen (Anzahl der jeweils aufgenommenen MeBwerte N -^ oo). Unter der Voraussetzung kleiner Einzelstandardabweichungen cr^ laBt sich die Standardabweichung ay des Mittelwertes /Xy nach dem Gauflschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (GL (5.37)) ermitteln

(5.37) (Ml,M2v,Mn)

1st beispielsweise das Aufgabengesetz vom Typ

5.3 Genauigkeitsklassen bei MeBgeraten y = kx\'xl^ ,

99 (5.38)

so ergibt sich der mittlere relative Fehler /y (Wahrscheinlichkeit von 68,3 %) zu

(5.39) Dabei wurde beriicksichtigt, daB der absolute zufallige mittlere Fehler Fy, d. h. der Fehler fiir eine Wahrscheinlichkeit von 68,3 %, gerade der Standardabweichung ciy entspricht. Da im praktischen Fall die Anzahl der aufgenommenen MeBwerte endlich bleibt {N < oo), handelt es sich bei dem errechneten Mittelwert nur u m einen Schatzwert y des wahren Wertes y^- Wenn Xi den Schatzwert der EinzelmeBgroBe Xi bezeichnet, gilt y^f(x,,...,x^). (5.40) Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und fiir kleine Schwankungen {si -(^)e^'^*}

(5.48)

bei linearen Systemen im eingeschwungenen Zustand stets zu einem Antwortsignal y{t) mit derselben Frequenz aber veranderter Amplitude und Phasenlage fiihren y{t) = R e { f (cj)e^'^*} = R e { f (cj)e^>^(^)e^'^*}

(5.49)

102

5 MeBfehler

wobei \X_\ = X und | y | = Y gilt. Die Ubertragungsfunktion G(cc;) des linearen Systems ist dann folgendermaBen definiert G{iu) = = ^

= ^ M e i ( ^ y - ^ x ) = |0^)|e^'^(-) .

(5.50)

Die komplexe Ubertragungsfunktion G_{uj) laBt sich aufspalten in den Betragsgang |^(cc;)| und den dazugehorigen Phasengang arg{G(a;)} = (f{uj). Daraus lassen sich die Dampfung a{uj) und deren Phase b{uj) wie folgt errechnen a{uj) = -20\g\G{uj)\[dB]

(5.51)

b{cu) = -Siig{G{uj))

(5.52)

.

Die Ubertragungsfunktion gibt also Auskunft dariiber, wie das MeBsystem die Amplitude und die Phasenlage einer harmonischen Anregung verandert. Fiir beliebige (nicht-periodische) Zeitsignale berechnet sich die Ubertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der FourierTransformierten (Tabelle 5.3) T{y{t)} und T{x{t)} vom Ausgangs- und Eingangssignal y{t) bzw. x{t)

Mit diesen Zusammenhangen und der Eigenschaft, daB eine Faltung zweier Signale im Zeitbereich einer Multiplikation der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, erhalt m a n aus Gl. (5.44) Y{uj)=2L{oo)G{uj)

.

(5.54)

Daraus folgt auch, daB die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion der Ubertragungsfunktion entspricht. GiLo) = T{g{t)}

.

(5.55)

Beschrankt m a n sich auf kausale Zeitsignale {x{t) = 0 fiir t < 0), so ist es zweckmaBig, a n s t a t t der Fourier-Transformation die Laplace-Transformation (Tabelle 5.3) zu verwenden. Die Laplace-Ubertragungsfunktion G{s) eines linearen Systems ist folgendermaBen definiert

Dabei sind jC{x{t)} und jC{y{t)} die Laplace-Transformierten (Tabelle 5.3) der Zeitfunktionen x{t) und y(t), wobei s = a-\-juj die Laplace-Variable darstellt. Die Faltungsoperation (Gl. (5.45)) vereinfacht sich fiir kausale Zeitsignale im Laplacebereich ebenfalls zu einer Multiplikation der entsprechenden LaplaceTransformierten (Kap. 3.5.4)

5.4 Dynamische MeBfehler

103

Tabelle 5.3: Definitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3) Fourier-Transformation J^{x(t)} = X(cj)

Fourier-Riicktransformation x(t) = J^"^{X(cj)}

= / _ + - x ( t ) e - - dt Laplace-Transformation C{x(t)} = X{s)

= ^ r -

X(c.)e-^ du

Laplace-Riicktransformation x{t) = C-^{X{s)}

= J- x{t)e-^^ dt

= ^

/ : _ ^ - X ( s ) e - ds

Y{s) = G{s)X{s)

.

(5.57)

Die Ubertragungsfunktion G{s) ist demnach auch die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g{t) Gis) = C{g{t)} . (5.58) Entsprechend dem Integrationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.2) ^ { ^

/(T)dr| = iF(s),

(5.59)

wobei Cifit)}

= F(s) ,

(5.60)

folgt aus Gl. (5.47) der Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G{s) und der Sprungantwort h{t)

•m^

h{t) = JC-' { -^-^

} .

(5.61)

Zusammengesetzte Systeme Die Gesamtiibertragungsfunktionen der in Abb. 5.6 gezeigten zusammengesetzten Systeme ergeben sich wie folgt: S e r i e n s c h a l t u n g (Abb. 5.6a) G{s) = ^^=G,{s)G,{s) X{s)

(5.62)

P a r a l l e l s c h a l t u n g (Abb. 5.6b) G{s) = ^^=G,{s)

+ G,{s)

R i i c k k o p p e l s c h a l t u n g ( K r e i s s c h a l t u n g ) (Abb. 5.6c)

(5.63)

104

5 MeBfehler

A b b . 5.6: Zusammengesetzte Ubertragungssysteme: a) Serienschaltung (Hintereinanderschaltung), b) Parallelschaltung, c) Riickkoppelschaltung (Kreisschaltung)

Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch DifFerentialgleichungen Fiir lineare Systeme kann der mathematische Zusammenhang zwischen dem Anregungssignal x{t) und dem Ausgangssignal y{t) in Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden (^=d/dt) aox + aix' + . . . + anx^^) = boy + hy' + . . . + bmy^"^^ •

(5.65)

GemaB dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.3) £{/(»)(t)} =

s"F(s)-s"-VWIt=o

-...s/(i)("-2)|,=o-/(i)("-^)k=o,

(5.66)

wobei /^^^ die n-te Ableitung der Funktion / nach der Zeit t ist, kann Gl. (5.65) fiir den vereinfachten Faff, daB affe Anfangswerte f{t = 0) bis /(t)^^~^^|t=o Nuff sind, folgendermaBen im Laplacebereich dargestellt werden aoX{s)

+ aisX{s)

+ . . . + a^s^'Xis)

= boY{s) + bisY{s)

+ ... +

b^s'^Yis). (5.67) Damit ergibt sich folgender fester Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G{s) im Laplacebereich und den Koeffizienten der Differentialgleichung ao + ciis + a2S^ + . . . + ans"" Gis) = — , (5.68) wobei stets n < m gilt. Der Quotient E E = ^ wird auch als E m p f i n d l i c h k e i t d e s M e B s y s t e m s bezeichnet.

(5.69)

5.4 Dynamische MeBfehler

105

Bei Kenntnis der Laplace-Ubertragungsfunktion G{s) bzw. der Fourier-Ubertragungsfunktion G_{uj)^ der Impulsantwort g{t) bzw. der Sprungantwort h{t) oder auch der Koeffizienten a^ und bj der Differentialgleichung lassen sich die dynamischen MeBfehler eines MeBsystems beschreiben. Die Definition des dynamischen MeBfehlers und seine Bestimmung anhand dieser Kennwerte wird in den beiden folgenden Abschnitten beschrieben. 5.4.2 D e f i n i t i o n d e s d y n a m i s c h e n M e B f e h l e r s Beim Erfassen zeitlich veranderlicher MeBgroBen entstehen aufgrund der oben beschriebenen (nicht-idealen) Ubertragungseigenschaften unweigerlich dynamische MeBfehler. Da sich im Falle linearer MeBsysteme die dynamischen Fehler von den statischen separieren lassen, konnen wir uns im folgenden ohne Einschrankung der Allgemeinheit auf dynamische MeBfehler konzentrieren und die statischen ausschlieBen. Der m o m e n t a n e d y n a m i s c h e M e B f e h l e r Fdyn ist definiert als i^dyn=x(t)-Xw(t), (5.70) wobei x{t) und Xw(t) die zeitlichen Verlaufe des MeBwertes bzw. des wahren Wertes darstellen. Praktischer als die Angabe der Momentanverlaufe von Fehlern ist die Angabe ihrer Mittelwerte. Wenn wir einen stationaren Verlauf der MeBgroBe voraussetzen (stationar heiBt, daB die sich durch zeitliche Mittelung ergebenden KenngroBen, wie z. B. der quadratische Mittelwert des Signals (Kap. 6.3.1), konstant bleiben), laBt sich als wichtige KenngroBe der m i t t l e r e q u a d r a t i s c h e d y n a m i s c h e F e h l e r angeben

^'^y^ = ^ T J l ^^-(^)'^^-

^'-''^

Wenn der MeBgroBenverlauf periodisch ist, darf die Integrationszeit T auf die Periodendauer begrenzt werden. Da F^ einen absoluten Fehler beziffert, ist es zweckmaBig, diesen auf den quadratischen Mittelwert x^ des MeBsignals zu normieren (Kap. 6.3.1)

1 r^ Tj,

x^{t)dt.

Es ergibt sich somit der bezogene quadratische Fehlers / | y ^

(5.72) Mittelwert

des

dynamischen

5.4.3 B e s t i m m u n g d e s d y n a m i s c h e n M e B f e h l e r s Im folgenden wird angenommen, daB der dynamische Fehler durch das (nichtideale) Ubertragungsverhalten des MeBsystems, das sich durch die Ubertra-

106

5 MeBfehler

gungsfunktion G{s) beschreiben laBt (Abb. 5.7), verursacht wird. Bei deterministischen Anregungssignalen laBt sich der dynamische MeBfehler mit der bekannten Ubertragungsfunktion des MeBsystems G{s) ermitteln Fdyn(s) = X{S) -

X^{S)

= X^{s)[G{s) =

- 1] 1

X{s)

(5.74)

Gis)

Fiir den Fall, dafi das Eingangssignal (wahrer Wert) des MeBsystems bekannt

MeBsystem

gemessener Wert (MeBwert)

wahre MeBgroBe G(s)

X (s)

Xw(t)

X(s)

x(t)

A b b . 5.7: Dynamischer MeBfehler aufgrund des (nicht-idealen) Ubertragungsverhaltens des MeBsystems. G{s) ist die Ubertragungsfunktion im LaplaceBereich.

ist ( V o r w a r t s a n a l y s e ) , erhalt m a n den Momentanverlauf des absoluten MeBfehlers F^ynit) durch folgende Laplace-Riicktransformation F^y^{t) =

jC-'{X^{s)[G{s)-l]}.

Im umgekehrten Fall ( R i i c k w a r t s a n a l y s e ) ist der MeBwert x{t) und m a n erhalt Fdyn(^) als Fdyn(i) = C-'

'{•

X(s) 1

1 G{s)

}•

(5.75) bekannt,

(5.76)

5.4.4 M e f S s y s t e m m i t T i e f p a B v e r h a l t e n In aller Regel zeigen MeBsysteme ein mehr oder weniger ausgepragtes TiefpaBverhalten. Im folgenden soil daher zunachst der aus einem TiefpaB 1. Ordnung resultierende dynamische Fehler berechnet werden (Abb. 5.8), wenn der wahre Wert zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert XQ springt. Vorwartsanalyse Wenn der wahre Wert bekannt ist, laBt sich gemaB Gl. (5.75) der absolute dynamische MeBfehler wie folgt berechnen Fdyuit)

= £-'

{X^{S)[GM{S)

-

1]} = / : - M F ( S ) } .

(5.77)

5.4 Dynamische MeBfehler

X(s)

107

x(t)

Abb. 5.8: MeBsystem (TiefpaB 1. Ordnung) Mit

X^{s) = folgt

^w=f

X.

(5.78)

1

XQTM

1 + STM Der zeitliche Verlauf des dynamischen MeBfehlers lautet _ 1 + STM

(5.79)

(5.80) Der mittlere quadratische dynamische Fehler betragt (Gl. (5.71)) ^y^

T^oo T Jo _

-^0-M

,._

lim -1e - 2 * / ^ ^

T^ooT

0 -2T/TM

2

T^ooT

= 0

(5.81)

Riickwartsanalyse Hier ist nur der gemessene Wert bekannt. Aus Gl. (5.76) folgt der dynamische Fehler F,,„(.) = £ - { x ( . ) [ l - ^ ] } .

(5.82)

Die Auswertung fiihrt selbstverstandlich zum selben Ergebnis wie die Vorwartsanalyse

F,,4t) = £-1 I f ^ l

= -Xo • e-*/-- .

(5.83)

1 1 + STM J

Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk Der vom MeBsystem herriihrende dynamische Fehler kann durch ein nachgeschaltetes Korrekturnetzwerk zum Teil kompensiert werden. Dies soil anhand eines Beispiels demonstriert werden. Das Ausgangssignal des MeBsystems (TiefpaB 1. Ordnung) wird aus diesem Grund mittels eines OszilloskopTastkopfes abgegriffen (s. auch Kap. 10.2). Die gesamte MeBkette wird in Abb. 5.9 gezeigt.

108

5 MeCfehler MeBsystem 1 1

1'astkopf Jvx

1 1

1

|x(t)

Xw(t)

1

D--

CT„

II

= CE

j X^(t) T

1 + ST^ M

^T=

1 + ST M

^

l+Vj^+S(Vj^T£+T^)

A b b . 5.9: MeBsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf). Die Zeitkonstanten sind folgendermaBen definiert: TT = RTCT]

TE =

RECE-

Mit RT

VR

(5.84)

RE

lautet die Ubertragungsfunktion der gesamten MeBkette (MeBsystem und Tastkopf) ^

XT{S) ^gesV-^j —

Xw{s)

1

•

1 + STM

1 + STT + VR{1 + STE)

STT

(5.85)

Dabei wird vorausgesetzt, daB die Ein- bzw. Ausgangsimpedanzen vom MeBsystem und dem Tastkopf so gewahlt wurden, daB die beiden Netzwerke auch nach der Zusammenschaltung ihr urspriingliches Ubertragungsverhalten beibehalten. U m die Auswirkung des Korrekturnetzwerkes auf das Ausgangssignal zu demonstrieren, werten wir wiederum das Ausgangssignal XT{t) (bzw. zunachst XT{S)) fiir eine Sprunganregung aus 1 1 + STM

Xo S

XT{S)

1 1 + VR

1 + STT l + 5^2^t^

(5.86)

Mit TT +

r

=

VRTE

(5.87)

1 + VR

erhalt m a n XT '

1 + VR

1

Xn

s

1 + STM

1 + STT 1 + sr*

(5.88)

c

(5.89)

Eine Partialbruchzerlegung Xrr

I^VR Xo

liefert

A

B 1 + STM

+

1 + sr*

5.4 Dynamische MeBfehler A=

1

(5.90) TM{TT

-

TM)

(5.91)

TM - T*

C =

109

-re

(5.92)

TM - T*

Mit Xn

1 s

XT{S)

T^ TM

1 s + I/TM

rc T*

1/T*J

(5.93)

ergibt sich die entsprechende Zeitfunktion zu

x{t)

X. I^VR

£(t) + — -e -t/TM ^'•'- _ T^ .-e^ - t / r *

(5.94)

Abbildung 5.10 verdeutlicht die Verbesserung des dynamischen Verhaltens der MeBeinrichtung durch das nachgeschaltete Korrekturnetzwerk. Es wurden folgende Werte verwendet: X Q = 101/; TM = 100/xs; VR = 9; r ^ = 0 (Weglassen von RE)' Die Zeitkonstante TT wird variiert.

''T«i

TT^ l

M

0,5V

t(ias)

A b b . 5.10: Den schnellsten Einschwingvorgang ohne Uberschwingen erhalt man, wenn die Nullstelle des Tastkopfes genau auf dem Pol des Tiefpasses liegt. Der Wert TT = 0 liefert den prinzipiellen Zeitverlauf der Sprungantwort des MeBsystems ohne Korrekturnetzwerk.

6 Analoges Messen elektrischer Grofien

Die Grundfunktionen eines MeBgerates gliedern sich in die Detektion der Mefigrofie^ die Verarbeitung des Mefisignals und in die Ausgahe des Mefiwertes (Abb. 6.1). Bei den MeBgeraten zur Messung von elektrischem Strom bzw.

A b b . 6.1: Grundfunktionen eines MeBgerates

elektrischer Spannung unterscheidet m a n zwischen den klassischen elektromechanischen Instrumenten mit analogen Zeigerskalen und den moderneren elektronischen, auf digitaler Basis arbeitenden Geraten mit interner AnalogDigital-Umsetzung und Ziffern- oder Bildschirmausgabe. Obwohl die klassischen Zeigergerate in den letzten Jahren an Bedeutung verloren haben, sollen diese im K a p . 6.1 ausfiihrlich beschrieben werden, da die in diesen Geraten genutzten Wandlungsprinzipien von grundlegender Bedeutung fiir die Elektrische MeBtechnik sind, insbesondere fiir die Sensortechnik bei der Messung mechanischer GroBen. Auf die auf digitaler Basis arbeitenden MeBgerate wird in Kap. 11 naher eingegangen.

6.1 Elektromechanische Mefigerate Elektromechanische MeBgerate beruhen auf dem Prinzip, einer zu messenden elektrischen GroBe (i. allg. Strom oder Spannung) mit Hilfe eines geeigneten

112

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

physikalischen Effektes eine Kraftwirkung zuzuordnen. Diese Kraft wird auf einen Zeiger iibertragen, der durch eine im allgemeinen von einer Feder erzeugten Gegenkraft in einer Stellung verharrt, so daB der Zeigerausschlag ein MaB fiir die MeBgroBe darstellt, wenn moglich ihr proportional ist. 6.1.1

DrehspulmeBwerk

Kraft a u f e i n e n s t r o m d u r c h f l o s s e n e n L e i t e r i m M a g n e t f e l d Einer der im Bereich der Elektromechanik vielfach genutzten Effekte ist die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld. Wenn sich ein gerader linienformiger Leiter der Lange /, der einen Strom / fiihrt, in einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B befindet (Abb. 6.2), wirkt auf ihn die mechanische Kraft F [18] F = / ( f x B) .

(6.1)

Dabei zeigt / in die positive Stromrichtung des Leiters.

Abb. 6.2: Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Aufbau und Prinzip Das DrehspulmeBwerk ist ein StandardmeBwerk, bei dem der eben beschriebene physikalische Effekt genutzt wird, gemaB dem auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine mechanische Kraft ausgeiibt wird. Das DrehspulmeBwerk besteht aus einem mit Polschuhen versehenen, feststehenden Dauermagneten, der in Verbindung mit einem zylindrischen Weicheisenkern in einem begrenzten Winkelabschnitt des Luftspaltes ein radiales B-Fe\d erzeugt (Abb. 6.3). Der Weicheisenkern wird von einer drehbar gelagerten Spule mit rechteckigem Spulenrahmen und Windungszahl N umschlossen. Die Hohe des Spulenrahmens betragt /, seine Breite 2r. Wird die Spule von einem Strom / durchflossen, ergibt sich die Kraftwirkung auf einen einzelnen

6.1 Elektromechanische MeBgerate

113

A b b . 6.3: DrehspulmeBwerk: a ) Prinzipieller Aufbau, b) Schnitt durch den Spulenrahmen, c) Symbol

Leiter nach Gl. (6.1). Das auf die aus N Leiterwindungen bestehende Spule wirkende Drehmoment MQI berechnet sich somit zu Mel = 27Vf X F = 2Nfx [I{txB)] = 2NrIlBe^ ,

(6.2)

wobei der Einheitsvektor Cg, in Richtung der Drehachse zeigt. Durch eine an der Spule angebrachte Spiralfeder (Federkonstante D) wird das Riickstellmoment Mmech erzeugt Mmech = -Dae^ . (6.3) Aus der Gleichgewichtsbedingung Mgi + ^mech = 0 folgt der Winkel a , bei dem sich Gleichgewicht einstellt bzw. bei dem der Zeiger verharrt

,. = 2 ^ , = 5,/^

,6.4)

Dabei bezeichnet S{ die Stromempfindlichkeit des DrehspulmeBwerkes. In technischen Ausfiihrungen wird a n s t a t t der Spiralfeder oft ein Spannband benutzt, das neben der Erzeugung des Riickstellmomentes sowohl der Stromzufiihrung als auch der reibungsarmen Lagerung der Drehspule dient. D y n a m i s c h e s Verhalten eines DrehspulmefSwerkes Fiir eine winkelgeschwindigkeitsproportionale Dampfung mit DdmpfungsmoOa (das Tragheitsmoment der ment r]d und dem Beschleunigungsmoment Drehspule wird mit O bezeichnet) ergibt sich die den Winkelausschlag a beschreibende Differentialgleichung zu ea^r]a^Da

= M^x{t) ,

(6.5)

114

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

wobei ein P u n k t liber dem Formelzeichen die zeitlictie Ableitung der entsprechenden FormelgroBe nach der Zeit und zwei P u n k t e die zweifache zeitliche Ableitung bedeuten. Mit den Substitutionen fiir die Eigenkreisfrequenz UJQ des ungedampften Systems ujo = y—

(6.6)

und mit dem normierten Dampfungshoeffizient

fj

fj = - ^ = 2VOD ergibt sich die folgende Differentialgleichung -^a

(6.7) ^ ^

+ —a + a = —Mei(t) .

(6.8)

Von den Losungen dieser Differentialgleichung interessiert im allgemeinen die Antwort auf eine zeitlich sprunghaft ansteigende EingangsgroBe (Sprungantwort). In Abhangigkeit des (normierten) Dampfungskoeffizienten fj erhalt m a n die normierte Sprungantwort a / a o , wobei ao den Ausschlag fiir t ^ 00 bezeichnet (Abb. 6.4): •

keine Dampfung (77 = 0)

•

= 1 — cosujot ao periodische (schwingende) Einstellung fj < 1 — =

(6.9)

1-—e-^^°*cos(cjt-^)

(6.10)

mit UJ =

UJQ

VT^

(6.11)

^

(6.12)

und (f = arctan •

aperiodischer Grenzfall (77 = 1) ^

•

KV^^J (6.13)

= l - e - " ° ^ ( l + c^ot)

aperiodische (kriechende) Einstellung (77 > 1)

^ =1+ ^Kaper) odei kriecheud {RK < ^Kaper) seine Endstellung erreicht. Die Einstellung der Dampfung von Galvanometern laBt sich gemaB Gl. (6.22) bei entsprechenden Bauformen auch durch Verandern der magnetischen Induktion B in Form eines veranderlichen magnetischen Nebenschlusses erreichen. Es ist allerdings zu beachten, daB durch diese MaBnahmen auch die Empfindlichkeit des Galvanometers verandert wird. Kriechgalvanometer Mit Hilfe eines kriechend gedampften Galvanometers {RK gilt RMIM

— Rpip

— Rp{I

— IM) '

Damit kann die Dimensionierung von Rp fiir einen geforderten endwert /end = Viluend nach folgender Formel erfolgen /tp — RM-

RM

/Mend -'end

^Mend

1

(6.76) Mefibereichs-

(6.77)

In Gl. (6.77) bezeichnet /Mend den Strom durch das MeBwerk bei Vollausschlag und 'L'i den Faktor, u m den der StrommeBbereich erweitert wird. Abbildung 6.19 zeigt die Schaltung eines VielfachmeBgerates fiir Strom mit den MeBbereichsendwerten 1 m A , 10 m A und 0,1 A. Durch die gezeigte Schaltung (Abb. 6.19) wird vermieden, daB der Kontaktwiderstand des Schalters das Verhaltnis Ru/Rp beeinfluBt.

6.2.2 M e s s u n g v o n G l e i c h s p a n n u n g e n MeBwerke, die der Strommessung dienen, konnen prinzipiell auch zur Spannungsmessung eingesetzt werden, indem der bei Anlegen einer Spannung U an das MeBwerk flieBende Strom mit dem Innenwiderstand RM multipliziert und als Spannung ausgegeben wird. Abbildung 6.20 zeigt die entsprechende MeBschaltung. Fiir eine nicht vorhandene Last (/^L ^ oo) kann folgende Maschengleichung angegeben werden IMRQ

+ IMRM

— UQ — 0

(6.78)

134

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

A b b . 6.19: VielfachmeBgerat zur Strommessung (/Mend=0,l mA; /end = 1mA bis 0,1 A) Daraus folgt ^M^M

= UM = UQ — IMRQ

•

(6.79)

Der relative MeBfehler / u (Belastungsfehler) betragt somit

Fiir den Fall eines endlichen Lastwiderstandes Ri, verringert sich der relative MeBfehler / u , da a n s t a t t RQ in Gl. (6.80) jetzt der geringere Wert der Parallelschaltung von RQ und Ri, einzusetzen ist •^u =

1 I i?M

I i?M ^

-1 , p

RQTBZ

'

(6.81)

Abbildung 6.21 zeigt den Betrag des relativen MeBfehlers bei der Spannungsmessung. Aus den Gin. (6.80) und (6.81) und der entsprechenden graphischen Darstellung kann die Regel abgeleitet werden, daB bei der Spannungsmessung der Innenwiderstand des MeBgerates moglichst groB sein sollte.

Abb. 6.20: Spannungsmessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

M e f S b e r e i c h s e r w e i t e r u n g fiir d i e S p a n n u n g s m e s s u n g Durch Vorschalten eines Prazisionswiderstandes Rs kann eine Erweiterung des SpannungsmeBbereiches erfolgen (Abb. 6.22). Fiir einen geforderten MeBbereichsendwert von Ue^d = ^uf^Mend folgt fiir die Dimensionierung von Rs

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

135

A b b . 6.21: Betrag des relativen Fehlers / u bei der Spannungsmessung als Funktion von RM/RQ- RM MeBgerateinnenwiderstand; RQ Innenwiderstand der Quelle, deren Leerlaufspannung gemessen wird.

Rs = ^^^^-^RM

.

(6.82)

Fiir den Fall, daB keine StrommeBbereichserweiterung {v^ = 1 bzw. Rp -^ co) vorgenommen wird, gilt Rs = (^u - l)i^M = ^ ^

- i^M .

(6.83)

^Mend

Durch Vorschalten von Widerstanden kann das in (Abb. 6.19) gezeigte StrommeBgerat zu einem Universal-VielfachmeBgerat aufgeriistet werden (Abb. 6.23). Es ist anzumerken, daB der Innenwiderstand von SpannungsmeBgeraten

A b b . 6.22: MeBbereichserweiterung fiir die Spannungsmessung

meistens auf den MeBbereichsendwert bezogen wird. Die Angabe lOOkr^/V beispielsweise bedeutet, daB im MeBbereich mit dem Endwert 10 V der Innenwiderstand des Gerates 1 Mi? betragt.

136

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

Abb. 6.23: Universal-VielfachmeBgerat fiir Spannung und Strom

6.2.3 G l e i c h z e i t i g e s M e s s e n v o n S t r o m u n d S p a n n u n g Bei der gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung ergeben sich zusatzliche Fehler. Es gibt zwei Moglichkeiten der Schaltungsanordnung. Bei der Variante nach Abb. 6.24a wird die Generatorspannung UM sowie der Laststrom / L pseudokorrekt angezeigt, bei der Variante nach Abb. 6.24b hingegen wird die Lastspannung [/L sowie der Generatorstrom / Q pseudorichtig gemessen. Der Begriff „pseudokorrekt" bzw. „pseudorichtig" soh aussagen, daB die entsprechenden MeBwerke zwar die aktuehe MeBgroBe richtig messen, daB jedoch durch das Vorhandensein eines realen (nicht-idealen) MeBwerkes die urspriinghche MeBgroBe infolge des oben besprochenen Belastungsfehlers verfalscht wird.

A b b . 6.24: Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung: a) Messung pseudokorrekt fiir Generatorspannung UM und Laststrom / L , b) Messung pseudokorrekt fiir Lastspannung Uh und Generatorstrom / Q

Bei den nicht „pseudokorrekt" gemessenen GroBen hingegen wird noch nicht einmal die aktuehe GroBe richtig angezeigt. So wird beispielsweise bei der Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a die aktuehe Lastspannung [/L vom Spannungsmesser nicht erfaBt. Fiir die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a ergibt sich folgender relativer MeBfehler / I L bei der Bestimmung des Laststromes / L r

RQRL RMJJRQ

+ ^Ml(^MU + ^ Q )

+ (^MI

+ ^L)(^MU +

(f\M) ^Q)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

137

Fiir die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24b hingegen errechnet sich der relative Fehler bei der Strommessung zu r

RQRL

+ RMIJRMU

+ -^L)

/ ^ ^p,x

Bei den relativen MeBfehlern nach Gin. (6.84) und (6.85) ist als wahrer Wert stets derjenige Laststrom angenommen, welcher bei nicht vorhandenen bzw. idealen MeBgeraten flieBen wiirde.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1

BegrifFsdefinitionen

Es sei vorausgeschickt, daB die folgenden Definitionen gleichermaBen fiir eine elektrische Spannung u{t) und fiir einen elektrischen Strom i{t) gelten. Eine Wechselspannung u{t) mit sinusformigem Zeitverlauf wird durch Gl. (6.86) beschrieben, wobei U den Scheitelwert der Wechselspannung, uj = 27r/ ihre Kreisfrequenz (Einheit (s~^)), / die Frequenz der Wechselspannung (Einheit (Hz)) und (f den Phasenwinkel (Einheit (rad)) bezeichnen u{t) = Usm{ujt + (p) .

(6.86)

In der MeBtechnik sind folgende GroBen von Bedeutung: •

Arithmetischer Mittelwert

1 f T- / u{t)dt ^ Jo •

Gleichrichtwert 1

•

(6.87)

'•^

EfFektivwert ( q u a d r a t i s c h e r M i t t e l w e r t )

^eff = A 7^ /

u^{t)dt.

(6.89)

Eine Gleichspannung mit U- = t/eff setzt in einem Verbraucher (ohmscher Widerstand) die gleiche Leistung u m wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert t/eff. In den Gin. (6.87-6.89) versteht m a n unter T = 1 / / die Periodendauer der Wechselspannung (Einheit (s)). Es sei ausdriicklich darauf hingewiesen, daB obige Definitionsgleichungen auch auf nicht-sinusformige Zeitverlaufe angewendet werden diirfen. Sie gelten beispielsweise auch fiir Wechselspannungen mit iiberlagertem Gleichanteil. Weiterhin sind definiert:

138 •

6 Analoges Messen elektrischer GroBen Scheitelfaktor M 1 . ir 1 / r \ r^ Scheltelweit U Scneiteliaktor (crest factor) = C = _ ^ , = ^ ^ Effektivwert Ueff Formfaktor

.^ ^^. (6.90) ^ ^

T? fw T? Effektivwert Ueff .„„^. Formfaktor = F = ^^ . ^ . ^ = ^ ^ . (6.91) Gleicnricntwert hi I Fiir rein sinusformige GroBen betragt der Scheitelfaktor C = \/2 und der Formfaktor F = 7r/(2\/2) = 1,11. Setzt sich eine Spannung UgQs{t) aus einer Uberlagerung von n Teilspannungen Ui{t) (Gleichspannungen oder Wechselspannungen mit sinusformigem Zeitverlauf und Frequenzen, die in einem ganzzahligen Verhaltnis stehen) zusammen n

%es(t)=^^.(t),

(6.92)

i=l

SO ergibt sich deren Effektivwert t/effges aus der quadratischen Uberfagerung der Effektivwerte der Teifspannungen

^effges —

Dies gift insbesondere fiir eine aus einem Gfeich- (u-) und einem (reinen) Wechsefanteif (ix^) zusammengesetzte MischgroBe der Form u{t) = u.^Ur.{t)

.

(6.94)

Der Effektivwert des Wechsefanteifs t/^eff ergibt sich gemaB Definitionsgfeichung (6.89) zu t/^eff = l / |

/

ul{t)dt.

(6.95)

Der Effektivwert der Mischspannung f/geseff laBt sich schfieBiich anhand von Gf. (6.93) berechnen t/effges = ^Ju.^

+ Ul^^

.

(6.96)

In diesem Zusammenhang soffen auch die foigenden GroBen definiert werden: •

Schwingungsgehalt s s= ^

(6.97)

^effges

•

Welligkeit w w = ^ ^

.

(6.98)

U-

Es sei nochmais darauf hingewiesen, daB affe obigen Definitionen in anaioger Weise fiir einen Wechsefstrom i{t) geften.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.2

139

Gleichrichtung

Zur Messung von WechselgroBen mit Hilfe der in der elektrischen MeBtechnik vorzugsweise eingesetzten MeBwerke benotigt m a n Schaltungen zur Gleichrichtung des MeBstromes bzw. der MeBspannung. In diesen Schaltungen verwendet m a n heute im allgemeinen Halbleiterdioden, die der Einweg- bzw. der Zweiweg-Gleichrichtung der elektrischen WechselgroBen dienen. Einweg-Gleichrichtung Wenn bei der Messung einer Wechselspannung eine Halbwelle unterdriickt werden soil, so ist die Gleichrichtung mit einer einfachen Diode zu bewerkstelligen. Die Anordnung nach Abb. 6.25 miBt den halben Gleichrichtwert der angelegten Spannung bzw. des Stromes. Genaugenommen ist noch das nicht-ideale Diodenverhalten in Form des Diodeninnenwiderstandes sowie der Schwellspannung von 0,7 V (bei Siliziumdioden) zu beriicksichtigen, die im DurchlaBbetrieb stets an der Diode abfallt. Aus dem nicht-idealen Diodenverhalten resultiert das in Abb. 6.26 gezeigte Ersatzschaltbild einer Halbleiterdi-

A b b . 6.25: Messung des halben Gleichrichtwertes einer Wechselspannung mit Hilfe eines DrehspulmeBgerates ode, das aus einer Serienschaltung von idealer Diode, Diodeninnenwiderstand und einer Spannungsquelle, welche die Schwellspannung reprasentiert, besteht. Die parasitare Parallelkapazitat ( = Sperrschichtkapazitdt) Cg wirkt sich bei hoheren Frequenzen (typischerweise oberhalb 10 kHz) aus, indem sie die Diode fiir hochfrequente Strome iiberbriickt und damit zum Teil ihre Gleichrichterwirkung aufhebt.

A b b . 6.26: Ersatzschaltbild einer Siliziumdiode mit idealisierter und realer Kennlinie

140

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

Zweiweg-Gleichrichtung

(Vollweg-Gleichrichtung)

Die Graetz-Schaltung (Abb. 6.27) ermoglicht die vollstandige Gleichrichtung beider Halbwellen, womit der vollstandige Gleichrichtwert mit Hilfe eines DrehspulmeBgerates gemessen wird. Bei dieser Schaltung sind stets zwei der vier Dioden in DurchlaBrichtung geschaltet, so daB die am MeBgerat anliegende Spannung UM im Vergleich zur Eingangsspannung Ur^ u m den doppelten Wert der Diodenschwellspannung reduziert wird (Abb. 6.27b). Bei Anliegen der positiven Halbwelle sind die Dioden Di und D4 leitend, wahrend hingegen bei der negativen Halbwelle die Dioden D2 und D3 leiten.

A b b . 6.27: a) Graetz-Schaltung zur Erfassung beider Halbwellen bei der Gleichrichtung, b) Spannungsverlauf

6.3.3 M e s s u n g d e s S c h e i t e l w e r t e s ( S p i t z e n w e r t , P e a k V a l u e ) Der Scheitelwert Us {Spitzenwert^ Peak Value) ist der innerhalb eines definierten Zeitraumes betragsmaBig groBte Wert des Signals. Bei unsymmetrischem Kurvenverlauf gilt Us = U = max{[/+, U_} , (6.99) wobei f/+ und U- die im positiven bzw. negativen Amplitudenbereich liegenden Spitzenwerte sind (^+ > 0 und U- > 0). Zur Messung des positiven Spannungs-Scheitelwertes (t/+) dient die Schaltung nach Abb. 6.28. Es wird hierbei der Ladekondensator auf den Spitzenwert der angelegten Spannung

A b b . 6.28: Schaltung zur Messung des Spannungs-Spitzenwertes (bei symmetrischem Spannungsverlauf)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

141

aufgeladen und vom MeBgerat gemessen. Zur Messung des negativen Spitzenwertes U- muB lediglich die Diode in der MeBschaltung (Abb. 6.28) umgepolt werden. Die durch das MeBgerat verursachten Ladungsverluste werden durch kurzzeitige Ladestrome, die je Periode einmal auftreten, ausgeglichen (Abb. 6.29). Zur exakten Messung des Spitzenwertes werden daher vorwiegend Gerate mit elektronischem Eingangsverstarker eingesetzt, welche sehr hohe Eingangsimpedanzen aufweisen.

Abb. 6.29: Spannungsverlauf bei der Spitzenwertgleichrichtung nach Abb. 6.28

Zur Messung des Spitzenwertes von Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf eignet sich die sog. Villard-Schaltung (Abb. 6.30), die auch als ein- stufige Kaskadenschaltung bezeichnet wird. Die beiden Dioden laden den Kondensator C2 auf die Summe der Betrage von positivem und negativem Spitzenwert auf. Es handelt sich also u m die Messung des Spitze-SpitzeWertes {Peak to Peak Value) Uss /7ss = f>+ + t>- .

(6.100)

A b b . 6.30: Villard-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes Uss (Peak to Peak Value) bei Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf

142

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

Die Schaltung funktioniert so, daB wahrend der negativen Halbwelle nur die Diode Di leitet und den Kondensator Ci auf den negativen Spitzenwert aufladt uci = U- . (6.101) W a h r e n d der positiven Halbwelle leitet D2 und ladt die Kapazitat C2 am Ausgang auf die Spannung up^ = uci + U^ = U_^U^

(6.102)

auf. In praktischen Schaltungen sind allerdings noch die Diodenschwellspannungen und die Entladung durch den Innenwiderstand des angeschlossenen SpannungsmeBwerkes zu beriicksichtigen. Die Villard-Schaltung kann also bei

A b b . 6.31: Delon-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes Uss

gewohnlicher symmetrischer Eingangsspannung zur Spannungsverdopplung eingesetzt werden. Sie laBt sich aber auch in Form einer mehrstufigen Kaskadenschaltung aufbauen, so daB in jeder Stufe die Spannung verdoppelt wird. Allerdings treten dabei relativ hohe Innenwiderstande auf. Die in Abb. 6.31 gezeigte Delon-Schaltung eignet sich ebenfalls zur Messung des Spitze-SpitzeWertes f/ssW a h r e n d der positiven Halbwelle wird Ci iiber Di auf t/+ aufgeladen, wahrend in der negativen Halbwelle die Spannung am Kondensator C2 auf f/_ ansteigt, so daB sich als Ausgangsspannung UA wiederum der nach Gl. (6.100) definierte Spitze-Spitze-Wert Uss ergibt. Die Delon-Schaltung wird auch als Greinacher-Schaltung oder als doppelte Einweg-Gleichrichterschaltung bezeichnet. 6.3.4 M e s s u n g d e s G l e i c h r i c h t w e r t e s Prinzipiell laBt sich die Bestimmung des Gleichrichtwertes von WechselgroBen mit Hilfe eines Doppelweggleichrichters durchfiihren. Nachteilig wirkt sich allerdings die Nichtlinearitat der Dioden aus. Es besteht auBerdem das Problem, daB die Diodenschwellspannung zweifach vorhanden ist. Aus diesen Griinden ist die Schaltungsvariante nach Abb. 6.33a giinstiger, bei der in Reihe mit

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

143

dem MeBgerat jeweils eine Diode und ein Vorwiderstand Ry liegen. Der Vorwiderstand dient der in Abb. 6.32 erlauterten Linearisierung der Kennlinie. Da jedoch ein Teil des Stromes am MeBwerk vorbeifiieBt, werden fiir WechselgroBen sowohl die Empfindlichkeit des MeBgerates als auch sein Innenwiderstand geringer. Dies belegt das Beispiel eines Standard-MeBgerates, dessen Innenwiderstand mit Ru = 33kr^/V fiir Gleichstrom und Ru = lOkl^/V fiir Wechselstrom angegeben wird. Bei Verwendung eines MeBwandlers (Trans-

A b b . 6.32: Linearisierung einer Diodenkennlinie durch eine Serienschaltung mit einem hochohmigen Widerstand

format or mit Mittelanzapfung) (Abb. 6.33b) kann der Nachteil der Schaltungsvariante mit Vorwiderstanden (Abb. 6.33a) vermieden werden. Die bessere Linearitat erreicht m a n bei dieser Schaltung durch Hochtransformieren der Spannung, wodurch die Kennhnienkriimmung der Diode einen geringeren EinfiuB hat. Dies geht aherdings wiederum auf Kosten des Innenwiderstandes, denn der Transformator setzt diesen im Verhaltnis 1 : iP herab {il: Ubersetzungsverhaltnis des Transformators). AuBerdem lassen sich MeBwandler nur zur Messung reiner Wechselspannungen (ohne Gleichanteil) einsetzen. 6.3.5 M e s s u n g d e s EfFektivwertes Bei Verwendung eines DrehspulmeBwerkes in Verbindung mit den oben gezeigten Vohweg-Gleichrichterschaltungen miBt m a n den Gleichrichtwert \u\ einer Spannung (bzw. eines Stromes \i\). Fiir einen bekannten Zeitverlauf kann die-

144

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

ser Gleichrichtwert in einen Effektivwert umgerechnet werden. Bei entsprechender Kalibrierung zeigt das Gerat dann den im allgemeinen interessierenden Effektivwert an. Meistens erfolgt diese Kalibrierung fiir rein sinusformige Zeitverlaufe (Formfaktor F = 1,11). Fiir nicht sinusformige MeBgroBen wird somit ein falscher MeBwert angezeigt. Das Dreheiseninstrument hingegen laBt sich unmittelbar zur Effektivwertmessung einsetzen. Es handelt sich hierbei u m einen echten Effektivwertmesser^ da das MeBwerk die Operationen Quadrieren und Mitteln bis zu Frequenzen in der GroBenordnung von 1 kHz ohne weitere Beschaltung durchfiihrt. Bei Dreheiseninstrumenten ist allerdings zu beachten, daB ihr Innenwiderstand nicht rein ohmsch ist, sondern auch merkhche induktive Anteile enthalt. Dies kann aber durch Zuschalten von Kapazitaten fiir einen bestimmten Frequenzbereich wieder kompensiert werden. Auch das elektrodynamische MeBwerk kann zur Effektivwertmessung eingesetzt werden. Zur Messung des Stromeffektivwertes werden beide Spulen des MeBwerkes in der Regel parallel- oder auch in Reihe geschaltet. Aufgrund der mechanischen Tragheit bildet das MeBwerk den Mittelwert des Stromquadrates, d. h. der Ausschlagwinkel a seines Zeigers ergibt sich wie folgt a = k^.

(6.103)

Somit entsteht eine Anzeige, die dem quadratischen Mittelwert des Stromes und damit dem Q u a d r a t des Effektivwert es proportional ist. Dabei ist allerdings darauf zu achten, daB die Innenwiderstande beider Pfade (feststehende Spule und Drehspule) klein gegeniiber dem Widerstand des MeBkreises sein sollten, u m die systematischen Belastungsfehler so gering wie moglich zu halten. Verhalten von Standard-ZeigermefSwerken bei Wechselstrom In Tabelle 6.2 wird das Verhalten der Standard-ZeigermeBgerate im Wechselstromfall zusammengefaBt.

A b b . 6.33: Schaltungen zur Messung des Gleichrichtwertes von Spannungen: a) Briickenschaltung mit Dioden und Widerstanden, b) Transformatorbriicke

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

145

Tabelle 6.2: Das Verhalten von Standard-ZeigermeBgeraten bei der Messung von WechselgroBen Typ

Anzeige

Verwendung

DrehspulmeBwerk

a r^ i(t) = i

Universelles MeBwerk (hohe Empfindlichkeit)

DrehspulmeBwerk mit Gleichrichter

a ~ \i{t)\ ~ |^|- Formfaktor

i. allg. werden die Gerate mit einem Formfaktor F = 1,11 fiir rein sinusformige WechselgroBen kalibriert

elektrodynamisches MeBwerk

a ~

ii{t)i2{t)

Leistungsmessung (Effektivwertmesser)

DreheisenmeBwerk

a ^ i{t)'^ = I^

robustes BetriebsmeBgerat (Effektivwertmesser)

Drehspulquotienten- a = arctan ( const. ( -=^Y\- ) ) Widerstandsmessung meBwerk = Kreuzspulinstrument DrehmagnetmeBwerk a = arctan(const.2(t))

robustes BetriebsmeBgerat

6.3.6 MefSwandler MeBwandler haben die primare Aufgabe, hohe Strome bzw. Spannungen auf einfach meBbare Werte zu transformieren. Weiterhin werden sie aus Sicherheitsgriinden eingesetzt, wenn das MeBgerat galvanisch von den spannungsfiihrenden Leitern getrennt werden soil, wie z. B. bei Messungen an Hochspannungsanlagen. Sie sind aber auch in der Lage, infolge ihrer Ubertragungseigenschaften beziiglich hoher (KurzschluB-) Strome Schutzfunktionen auszuiiben. MeBwandler sind von ihrem Aufbau her Ubertrager bzw. Transformatoren, die aus einer auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelten Primarspule mit Windungszahl Ni und einer Sekundarspule mit Windungszahl N2 bestehen (Abb. 6.34). Das entsprechende, aus diskreten Schaltelementen bestehende allgemeine Ersatzschaltbild eines Transformators wird in Abb. 6.35 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild stellen die Widerstande Ri bzw. R2 die ohmschen Widerstande von Primar- bzw. Sekundarwicklung dar, wahrend RIE die Verluste im Eisenkern beschreibt. Die Induktivitaten Xi^- bzw. X2a reprasentieren die Streuverluste auf der Primar- bzw. Sekundarseite. Xih ist die Primarinduktivitat, die den Magnetisierungsstrom tragt. Eiir einen idealen Transformator gilt R^ =

R^=0

(6.104) (6.105)

146

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

Abb. 6.34: Transformator

Xih -^ oo

(6.106)

i^iE ^ oo .

(6.107)

Das Ersatzschaltbild beschrankt sich damit auf den idealen Ubertrager mit dem Ubersetzungsverhaltnis il. Die sekundarseitig angeschlossene Lastimpedanz (Rh^Xi^) wird Bilrde genannt. In Abb. 6.36 wird ein zu dem Ersatzschaltbild von Abb. 6.35 aquivalentes Netzwerk gezeigt. Es wurden hier jedoch alle sekundarseitig auftretenden GroBen (Strome und Spannungen) und Elemente auf die Primarseite umgerechnet; auBerdem wurde die infolge des Ubertragers stets vorhandene Potentialtrennung zwischen Primar- und Sekundarseite nicht beriicksichtigt. Prinzipiell ware auch ein weiteres Ersatzschaltbild denkbar, bei dem alle primarseitigen GroBen und Netzwerkelemente auf die Sekundarseite transformiert werden. Stromwandler Beim Stromwandler wird der zu messende (Wechsel-) Strom durch die Primarwicklung des Transformators geschickt, wahrend die Sekundarwicklung im Idealfall von einem StrommeBwerk kurzgeschlossen wird (Abb. 6.37). Fiir einen idealen Stromwandler (Ubertrager) ergibt sich das Verhaltnis von Primarzu Sekundarstrom aus dem Ubersetzungsverhaltnis ii, dessen Kehrwert im Zusammenhang mit MeBwandlern meistens mit k^ bezeichnet wird

A b b . 6.35: Ersatzschaltbild eines Transformators. Der im Ersatzschaltbild enthaltene Ubertrager (Ubersetzungsverhaltnis il: 1) weist ideale Eigenschaften auf.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

147

A b b . 6.36: Transformator-Ersatzschaltbild, bei dem alle sekundarseitig auftretenden GroBen und Elemente auf die Primarseite umgerechnet wurden.

^

= ^

= i = A.,.

(6.108)

Der Stromwandler ist also ein sekundarseitig kurzgeschlossener bzw. niederohmig abgeschlossener Transfer m a t or, der nur aus wenigen Primarwindungen besteht. Der Transformator ist i. allg. so ausgelegt, daB bei primarem Nennstrom / i = /Nenn der Sekundarstrom I2 = b A bzw. I2 = I A betragt. Bei hohen P r i m a r s t r o m e n / i > 500 A geniigt primarseitig meist eine Windung.

Ii K ^ ^ _ L —*-—0—^—0 k ^ ^ ^ J^ I2'

-r?\-

A b b . 6.37: Stromwandlerschaltung mit standardmaBiger Bezeichnung der AnschluBklemmen. K, L: PrimaranschluBklemmen; k, I: SekundaranschluBklemmen.

Der Kern eines Stromwandlers ist lediglich fiir den relativ geringen DifferenzfluB bemessen, da der vom P r i m a r s t r o m erzeugte FluB im Falle des niederohmigen sekundarseitigen Abschlusses bzw. Kurzschlusses von dem vom Sekundarstrom herriihrenden GegenfiuB kompensiert wird. Eine Auftrennung des Sekundarkreises h a t t e zur Folge, daB der gesamte PrimarfluB plotzlich vom Kern aufgenommen werden miiBte, was leicht zu thermischer Uberlastung fiihren kann. Gleichzeitig wiirde eine sich aus dem Ubersetzungsverhaltnis ergebende hohe Spannung an den Sekundarklemmen anliegen. U m Spannungsiiberschlage bzw. unter Umstanden lebensgefahrlich hohe Spannungen zu vermeiden, diirfen Stromwandler daher sekundarseitig nicht im Leerlauf betrieben werden. Oft werden aus diesem Grund Uberspannungsableiter an Stromwandlern angebracht.

148

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

Tabelle 6.3: Fehlerklassen und Winkelfehler fiir MeBwandler bei 25 bis 100 % Nennbiirde Stromwandler Winkelfehler (in ') Spannungswandler Winkelfehler (in ') Fehlerklasse bei 1 . . . 1, 2/nenn Fehlerklasse 0,1/nenn bei 0, 8 . . . 1, 2[/nenn 0,1 0,2 0,5 1

5 10 30 60

5 10 20 40

0,1 0,2 0,5 1

Fehler des Stromwandlers Der Fehler des Stromwandlers ist bei gegebenem P r i m a r s t r o m / i die Abweichung des mit der Nenniibersetzung /CNI multiplizierten Sekundarstromes I2 vom Primarstrom. Der relative Fehler betragt

^2soll

^leff

Neben diesem in Gl. (6.109) angegebenen Betragsfehler gibt es noch einen Winkelfehler. Der entsprechende Fehlwinkel 5[ ist die Voreilung des Sekundarstromes gegeniiber dem Primarstrom. Beide Fehler (Betragsfehler und Winkelfehler) lassen sich dem Zeigerdiagramm entnehmen, welches in Abb. 6.38 gezeigt ist. Man kann diesem Diagramm auch entnehmen, daB der Fehler des Stromwandlers mit dem magnetischen FluB bzw. dem Magnetisierungsstrom / zunimmt. Der Magnetisierungsstrom / ergibt sich als vektorielle Uberlagerung aus dem eigentlichen Magnetisierungsstrom I^^^i ^ ^ ^ ^ ^ ^ entsprechenden

A b b . 6.38: Zeigerdiagramm eines Stromwandlers. / ^ entspricht dem Magnetisierungsstrom (= Primarstrom bei sekundarseitigem Leerlauf).

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

149

Verluststrom /^^^ (Abb. 6.35 und 6.36). Durch geeignete Dimensionierung und Materialauswahl wird daher versucht, den Magnetisierungsstrom klein zu halten. Die fiir Stromwandler standardisierten Fehlerklassen sind in Tabelle 6.3 notiert. Die jeweilige Fehlerklasse beziffert den maximalen relativen Betragsfehler nach Gl. (6.109) in Prozent, wahrend der zulassige Winkelfehler von der aktuellen Belastung durch die Biirde abhangt. Mit Hilfe der Operationsverstarkerschaltung nach Abb. 6.39 kann der mit dem Magnetisierungsstrom gekoppelte FluB annahernd zu Nuh abgeghchen werden, so daB die Stromwandlerfehler sehr klein werden, wenn es gehngt, die Streuverluste sowie die Windungsverluste ebenfalls klein zu halten [117].

A b b . 6.39: Fehlerkompensierende Stromwandlerschaltung; Pr\ Primarwicklung; Se\ Sekundarwicklung; Fil'. Fiihlerwicklung; R\ winkelfehlerfreier Widerstand.

Spannungswandler Beim Spannungswandler wird die zu messende Wechselspannung an die Primarwicklung des Transformators gelegt, wahrend an die Sekundarwicklung ein Spannungsmesser mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen wird (Abb. 6.40). Fiir einen idealen Spannungswandler (idealer Ubertrager) ergibt sich

A b b . 6.40: Spannungswandlerschaltung mit standardmaBiger Bezeichnung der AnschluBklemmen. [/, V: PrimaranschluBklemmen; u^ v. SekundaranschluBklemmen. das Verhaltnis von Primar- zu Sekundarspannung wiederum aus dem Ubersetzungsverhaltnis i2, das bei Spannungswandlern meistens mit k^ bezeichnet

150

6 Analoges Messen elektrischer GroBen

wird

Spannungswandler sind also sekundarseitig im Leerlauf betriebene bzw. sehr hochohmig abgeschlossene Transformatoren. Die Sekundarspannung betragt bei primarseitig angelegter Nennspannung im Falle standardmaBiger Auslegung U2 = 100 V. Fehler des Spannungswandlers Der Spannungsfehler eines Spannungswandlers ist bei gegebener Primarspannung Ui die Abweichung der m i t der Nenniibersetzung k^^ multiplizierten Sekundarspannung U2 von der Primarspannung. Der entsprechende relative Fehler / ^ betragt j^^ ^

t/2ist-t/2son^QQy^ ^ U2so\\

t/2efffcNu-t/leff^QQy^

_

^^^^^^

f^leff

Sowohl dieser Betragsfehler als auch der ihm zugeordnete Winkelfehler (Winkel zwischen dem Spannungszeiger U_i (Primarspannung) u n d dem Span-

A b b . 6.41: Zeigerdiagramm eines Spannungswandlers

nungszeiger U_2 (Sekundarspannung)) sind dem Zeigerdiagramm des Spannungswandlers (Abb. 6.41) zu entnehmen. Dieses Zeigerdiagramm lehrt, daB der Fehler des Spannungswandlers sowohl vom Wandler selbst als auch von der Biirde abhangt. Denn mit Verandern der Biirde andert sich der Stromzeiger 1^2 ^ ^ ^ somit das Teilzeigerdiagramm, bestehend aus den Zeigern ^£^2 5 '^^2^25 jul_2^2a ^ud U_ih^ ^ ^ ^ damit letztlich auch der Fehler. Die Genauigkeitsklassen beziffern wiederum den zulassigen relativen Spannungsfehler / u nach Gl. (6.111) in Prozent. Der entsprechende Spannunsfehlwinkel d^ ist in Tabelle 6.3 notiert. Fiir MeBspannungen oberhalb 200 kV verwendet m a n kapazitive Spannungsteiler, welche die Hochspannung auf etwa 10 % ihres urspriinglichen Wertes herabsetzen (Abb. 6.42). Die nachgeschaltete Drossel wird so bemessen, daB bei Nennfrequenz im MeBkreis Resonanz herrscht [108]. Die zu messende Spannung U_-^ und die am SpannungsmeBgerat anliegende Spannung U_2 haben in diesem Fall dieselbe Phasenlage.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

151

oSpannungswandler

A b b . 6.42: Grundschaltung des Spannungswandlers mit kapazitiver Teilung zur Messung sehr hoher Spannungen. Ci,C2'- Hochspannungs-Kondensatoren.

Mefiverstarker

Um mit MeBgeraten auch Spannungen und Strome messen zu konnen, die unterhalb der Ansprechempfindlichkeit des MeBwerkes liegen, werden Mefiverstdrker eingesetzt. Sie wandeln die zu messende Spannung bzw. den zu messenden Strom in ein proportionales Signal hoherer Amplitude um. Dabei werden folgende Eigenschaften der MeBverstarker gefordert: • • • • •

geringe Riickwirkung auf die MeBgroBe Signaltreue (Linearitat) hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei groBen Amplituden) ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muB dem Eingangssignal zeitlich folgen konnen) eingepragtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom).

Wahrend man in der klassischen MeBtechnik versucht hat, die Riickwirkungsfreiheit einer Messung durch Kompensationsverfahren zu erreichen, bedient sich die elektronische MeBtechnik dazu eines MeBverstarkers mit geeigneter Eingangs- bzw. Ausgangsimpedanz. So kann beispielsweise die bei der Spannungsmessung stets vorhandene Belastung eines MeBkreises infolge der endlichen Innenimpedanz des MeBgerates und der daraus resultierende MeBfehler durch die Verwendung eines MeBverstarkers mit sehr hohem Eingangswiderstand i. allg. soweit reduziert werden, daB sie nicht mehr stort. Elektronische Verstarkerschaltungen werden weiterhin eingesetzt, um die in Form elektrischer Signale vorliegenden MeBwerte in analoger Form weiterzuverarbeiten. So werden beispielsweise Verstarker verwendet, um MeBwerte zu addieren, subtrahieren, multiplizieren, logarithmieren, integrieren oder zu differenzieren. Bei der Realisierung elektronischer MeBverstarker werden, abgesehen von Anwendungen im Bereich sehr hoher Frequenzen (> 150 MHz) oder hoher Spannungen (> 150 V), heute vorwiegend integrierte Operations verstarkerschaltungen eingesetzt. Diese Operationsverstarker {Operational Amplifier, OpAmp) dienen dabei nicht nur als reine MeBverstarker sondern

154

7 MeBverstarker

ingang 1 ^ ^ Ein:

>

Aus^ Ausgang Eingang

Ausgang

a)

UE

H>-

UA

UE

^

^

:

^

UA

UE

^

-

^

UA

b) A b b . 7.1: Schaltsymbole fiir elektronische MeBverstarker: a) allgemeine Symbole, b) massebezogene Darstellungen (allgemein, nicht-invertierend, invertierend)

auch als universelle Grundbausteine der gesamten analogen Signalverarbeitung. Abbildung 7.1 zeigt die standardmaBig verwendeten Schaltsymbole fiir elektronische MeBverstarker.

7.1 Operationsverstarker 7.1.1 I d e a l e r O p e r a t i o n s v e r s t a r k e r Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines (idealen) Operationsverstarkers. Er besitzt stets einen invertierenden mit ' N ' bzw. '—' gekennzeichneten und einen mit ' P ' bzw. '-{-' gekennzeichneten nicht-invertierenden Eingang sowie einen Ausgang. Sowohl die beiden Eingangsklemmen als auch die Ausgangsklemme bilden mit der Masseleitung jeweils ein elektrisches Tor. Das wichtigste Kennzeichen eines (idealen) Operationsverstarkers ist, daB die Eigenschaften des mit ihm realisierten Verstarkers nur durch die auBere Beschaltung des Operationsverstarkerbausteins festgelegt werden, welche i. allg. auf rein passiven Bauelementen basiert. Ein idealer Operationsverstarker ist aquivalent einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit der Leerlaufspannungsverstarkung VQ ^ co. Fiir die Ausgangsspannung UA gilt allgemein (Abb. 7.2) UA = VQUB = Vo{up -

U^)

(7.1)

aus der fiir Vb ^ co notwendigerweise UB = 0 folgt. Die Eingangsstrome i^ bzw ip des idealen Operationsverstarkers sind Null i^ = ip = 0 .

(7.2)

Infolgedessen muB fiir den Eingangswiderstand TE, der bei einem realen Operationsverstarker zwischen P- und 7V-Eingang liegt (Abb. 7.3), TE

^

OO

(7.3)

7.1 Operationsverstarker

155

Abb. 7.2: Ersatzschaltbild eines (idealen) Operationsverstarkers

gelten. Der Ausgangswiderstand TA (Widerstand in Serie zur spannungsgesteuerten Spannungsquelle, s. Abb. 7.3) betragt wie bei einer idealen Spannungsquelle TA = 0 . (7.4) Weiterhin sind beim idealen Operationsverstarker alle Eigenschaften frequenzund temperaturunabhangig. 7.1.2 R e a l e r O p e r a t i o n s v e r s t a r k e r In Abb. 7.3 wird das Schaltbild und in Abb. 7.4 die Kennlinie der Leerlaufverstarkung eines realen Operationsverstarkers gezeigt. Genauer gesagt handelt es sich dabei u m einen dahingehend idealisierten Operationsverstarker, daB er innerhalb seiner Aussteuerungsgrenzen (i^Amin < ^A < '^Amax) lineare Uhertragungseigenschaften aufweist (s. Kennlinie der Leerlaufspannungsverstarkung in Abb. 7.4). Die maximale und die minimale Ausgangsspannung ^Amax bzw. i^Amin Hegen bei Standard-Operationsverstarkern betragsmaBig etwa u m 1 bis 3 V unter der Betriebsspannung zbt/s des Operationsverstarkers.

Abb. 7.3: Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverstarkers

156

7 MeBverstarker

+UB UAmax'

^ UDO

UD

UAmin -UB

A b b . 7.4: Kennlinie der Leerlaufverstarkung eines Operationsverstarkers (gestrichelt: mit Offsetspannung) Die wesentlichen Unterschiede zum idealen Operationsverstarker sind: a) Der Eingangs- und der Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an: TE ~ I M i ? bis l T i 7 ; TA ~ 2i7 bis lOOi?, b) der reale Verstarkungsgrad liegt zwischen 10^ < VQ < 10''. Fiir den realen Operationsverstarker sind die im Kap. 7.1.3 enthaltenen wichtigen KenngroBen definiert. Zum Verstandnis dieser KenngroBen ist die Erlauterung der Funktionsweise einer Rilckkopplungsschaltung^ und im speziellen Fall die Funktion einer Gegenkopplungsschaltung, gemaB Abb. 7.5 notwendig. Eine solche Gegenkopplungsschaltung enthalt einen Verstarker mit der Leerlaufverstarkung Vb, ein Riickkoppelnetzwerk mit der Ubertragungsfunktion V^, welche im allgemeinen Fall frequenzabhangig sein kann, und einen Subtrahierer. Die Ausgangsspannung UA laBt sich anhand von Abb. 7.5 wie folgt angeben UA = VQUB

= VO{UE

-

UAVg)

(7.5)

.

Daraus folgt fiir die Gesamtverstarkung V

v =^ = ^*E

1

(7.6)

1^ + ^g

Im Falle eines idealen Verstarkers (Vb ^ co) ergibt sich die Gesamtverstarkung der Gegenkopplungsschaltung zu lim V = Vo^oo

lim

(7.7)

^ = —

Vo^oo Vg + ^

Vg

Vo UD i

,-

o UA

> ''

uckkopT)el-Netzwerk^

Vg

A b b . 7.5: Gegenkopplungsschaltung

7.1 Operationsverstarker

157

Die Gegenkopplungsschaltung aus Abb. 7.5 laBt sich fiir den Fall einer sehr hoVerstdrker hen Verstarkung (VQ ^ oo) (Gl. (7.7)) durch einen invertierenden nach Abb. 7.6 realisieren, wenn die Leerlaufverstarkung des dort verwendeten Operationsverstarkers ebenfalls gegen einen unendlich hohen Wert strebt. Da bei einem Operationsverstarker die Eingangsstrome idealerweise verschwinden (ip = i ^ = 0), ergibt sich aus der Schaltung nach Abb. 7.6

(7i

n +^2 = 0 .

Zwei im Schaltbild (Abb. 7.6) vorgenommene Maschenumlaufe ergeben weiterhin UE = Riii

(7.9)

- UB

(7.10)

UA = R2i2 - UB = VQUB .

Aus den Gin. (7.8 - 7.10) folgt die Gesamtverstarkung V _R2 Ri

(7.11)

l + VoTk(l+t)

UE

Fiir einen idealen Operationsverstarker (Vb ^ co) folgt fiir die Gesamt verstarkung V schlieBlich y _ ^ _ ^2 (7.12) lim VoUE ~ Ri' Ein KoefRzientenvergleich zwischen den Gin. (7.7) und (7.12) liefert die Beziehung zwischen der Ubertragungsfunktion Vg des Riickkoppelnetzwerkes (Abb. 7.5) und den Werten Ri und i?2 der ohmschen Widerstande der Operationsverstarkerschaltung nach Abb. 7.6 Ri

K

(7.13)

'R2

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daB die in Gl. (7.13) angefiihrte Verstarkung Vg des Riickkoppelnetzwerkes nur dann mit der aus Gl. (7.6) bzw. Gl. (7.7) identisch ist, wenn VQ einen sehr hohen Wert annimmt.

l2 IN

Uof V UE

\up

A b b . 7.6: Invertierende Verstarkerschaltung

158

7 MeBverstarker

7.1.3 D e f i n i t i o n e n v o n O p e r a t i o n s v e r s t a r k e r - K e n n g r o B e n Im folgenden werden die wichtigsten KenngroBen von Operationsverstarkern bzw. Operationsverstarkerschaltungen beschrieben. Die verwendeten GroBenbezeichnungen beziehen sich auf die in Abb. 7.2 und Abb. 7.3 gezeigten Ersatzschaltbilder von idealem und realem Operationsverstarker sowie die in Abb. 7.5 gezeigte Gegenkopplungsschaltung. •

L e e r l a u f s p a n n u n g s v e r s t a r k u n g ( o p e n l o o p v o l t a g e g a i n ) VQ Es handelt sich hierbei u m die Differenzverstarkung der offenen Schleife, d. h. des nicht-riickgekoppelten, unbeschalteten Operationsverstarkers. V.^p^

•

(7.14)

- ideal: VQ ^ co - real: 10"^ < Vb < lO'^ L e e r l a u f s p a n n u n g s v e r s t a r k u n g s m a f S Vb[(i^] Vo [dB] = 201gl^o = 20 Ig ( ^ )

•

- ideal: Vb ^ co - real: 80 dB < Vb < 140 dB G l e i c h t a k t s p a n n u n g ( c o m m o n m o d e v o l t a g e ) Ug\ Die Gleichtaktspannung entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Eingangsspannungen u-^ und up %i =

•

^

•

(7.16)

G l e i c h t a k t s p a n n u n g s v e r s t a r k u n g ( c o m m o n m o d e v o l t a g e g a i n ) V^i Bei einem realen Operationsverstarker erscheint die u m den Faktor V^i verstarkte Gleichtaktspannung Ug\ am Ausgang

".-IS•

(7.15)

10 MHz 20pA/VH^ > 10 MHz ± 100 mA ± 8V

ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei

Rail to Rail Preis ca.

LM324 TL 081 THS3201 TI TI Philips Universal PET Low Cost Universal High Slew-Rate

100 dB 85 dB 0,3V///s IMHz 40nV/VHi IkHz

L

^ Rail to Rail heiBt, daB der jeweilige Operationsverstarker beziiglich Eingangsspannung (IN) bzw. Ausgangsspannung (OUT) bis an die Grenzen der Betriebsspannung betrieben werden kann [123].

164

7 MeBverstarker

Bezeichnung CLC425 Hersteller National OPV-Typ Wideband Uuo IB I BO rgi TE VA

Vo

CMRR SR /T

ts

u-Rauschen bei

i-Rauschen bei J-out max

Rail to Rail Preis ca.

± 0,1 mV ± 12 M ± 0,2 M 2Mi7 6ki7 5 mi? 96 dB 100 dB 350V///S 1,9 GHz 22 ns InV/VH^ 1 - 100 MHz l,6pA/yHS 1 - 100 MHz 80 mA ± 7V 32,50 USD

AD8551 AD797 Analog Devices Analog Devices Precision Ultralow Noise

6V

25//V 250 nA 100 nA 100 Mi? 7,5 ki? 3 mi? 146 dB 130 dB 20V///S 110 MHz 800 ns 0,9nV/VH^ IkHz 2PA/VHS IkHz 50 mA ± 15V

> lO^^i? > lO^^i? 650 i? programmierbar 89 dB 0,8V///s 800 kHz 22//s 28nV/VH^ IkHz 0,lfA/VHS IkHz ± 5 mA ± 18V

IN + OUT 1,08 USD

4,31 USD

4,00 USD

MAX4464 Maxim Low Power 1,8 V 750 nA

LTC 2053 Linear Technology 1 Chip lustrum. Amp.

0,5 mV 200 pA 13 pA

10//V 10 nA 4nA

100 dB 95 dB 20V/ms 40 kHz

116 dB 0,2V///s 0,2 MHz

i^v

10 pA 20 pA

145 dB 130 dB 0,4V/MS

1,5 MHz 42nV/VH^ IkHz 2fA/VHS 10 Hz 10 mA

PA89A Bezeichnung PA50 Apex Hersteller Apex OPV-Typ High Output] High Output Current Voltage UBO IB I BO rgi

INA116 Burr Brown Ultralow Bias

5mV

250 nV

10 pA 10 pA 100 Gi7

3pA 3pA

0,5 mV 3fA IfA

100 Gi7

TE

h

2,5 i7 102 dB 100 dB 50V///S 3 MHz

120 dB 110 dB 16V///S 10 MHz

ts

1 /IS

2 jis

u-Rauschen

10//RMS 4//VRMS 100 kHz BW 10 kHz BW

150nV/VH^ IkHz

2,5fiVpp 10 Hz

40 A 100 V

75 mA ± 600 V

11mA 5,5V

InA IIV

OUT

370 USD

640 USD

0,65 EUR

IN + OUT 3,20 USD

VA

Vo

CMRR SR

bei

i-Rauschen bei J-out max

Rail to Rail Preis ca.

7.1 Operationsverstarker 7.1.4

165

Operationsverstarker-Grundschaltungen

Ein Operationsverstarker kann durch entsprechende auBere Beschaltung in sehr vielfaltiger Weise fiir MeBaufgaben eingesetzt werden. Im folgenden werden verschiedene Standard-Operationsverstarkerschaltungen vorgestellt, wobei jeweils das Verhaltnis von AusgangsgroBe (i. allg. die Ausgangsspannung UA) ZU EingangsgroBe (i. allg. die Eingangsspannung UE) angegeben wird. Die Beziehung zwischen Ausgangs- und EingangsgroBe laBt sich leicht ableiten, wenn m a n den Operationsverstarker in der folgenden Weise idealisiert: Differenzeingangsspannung TX^ = 0, Eingangswiderstand TE ^ oo, Eingangsstrome ZN = 0 bzw. ip = 0, Leerlaufverstarkung VQ ^ co. Die Auswertung der aus dem jeweiligen Schaltbild result ierenden Knot en- und Maschengleichungen liefert dann unmittelbar den gesuchten mathematischen Zusammenhang zwischen Ausgangs- und EingangsgroBe. Invertierender Verstarker Der invertierende Verstarker wurde bereits in K a p . 7.1.2 besprochen (s. Abb. 7.6). Fiir einen idealen Operationsverstarker ergibt sich das Verhaltnis von Ausgangsspannung UA zur Eingangsspannung UE ZU (S. G 1 . (7.12))

UE

Rl

^

^

Invertierer Der reine Invertierer (Abb. 7.9) hat die Aufgabe, die Polaritat der Eingangsspannung am Ausgang umzukehren ^^A = -^^E ,

(7.37)

was dadurch erreicht wird, daB beim invertierenden Verstarker (Abb. 7.6) die Widerstande Ri und R2 identisch gewahlt werden.

A b b . 7.9: Grundschaltung des Invertierers

166

7 MeBverstarker

Nicht-invertierender Spannungsverstarker Der nicht-invertierende Spannungsverstarker (Abb. 7.10) behalt die Polaritat der Eingangsspannung bei und erlaubt die Einstellung des Verstarkungsfaktors liber die Widerstandskombination Ri und R2 ^ UE

= 1+ ^ . ill

(7.38)

Abb. 7.10: Nicht-invertierender Spannungsverstarker

Addierender Verstarker Der addierende Verstarker (Abb. 7.11) addiert die Eingangsspannungen und dreht die Polaritat nach der Summenbildung um. Mit Hilfe der Widerstandswerte Ri und R2 lassen sich die Eingangsspannungen ui und U2 mit Gewichtsfaktoren versehen ^A = icRs

= -{ii

+ i2)R3 = - ( ^

+ ^ )

^3 .

(T.39)

Im allgemeinen wahlt m a n Ri = R2 = Rs^ so daB eine ungewichtete Summenbildung erzielt wird UA = -{ui^U2) . (7.40)

Subtrahierender Verstarker Der subtrahierende Verstarker (Abb. 7.12) erlaubt die Differenzbildung der beiden Eingangsspannungen ui und U2. Fiir beliebige Widerstandswerte lassen sich wiederum Gewichtsfaktoren einstellen R^iRi^Rs) iil(^ii2 + K4J

R3 ill

f^ A^\

7.1 Operationsverstarker

167

A b b . 7.11: Addierender Verstarker

Fiir den Fall Ri/R^ = R2/R4 ergibt sich die gewiinschte Subtraktion der Eingangsspannungen mit zusatzlicher Verstarkung u m den Faktor R^/Ri UA = ^{u2-ui).

(7.42)

Hi

Fiir den reinen Subtrahierer wahlt m a n Ri = R2 = R^ = R4, so daB ungewichtet subtrahiert wird UA = U2 - ui . (7.43)

A b b . 7.12: Subtrahierender Verstarker

Impedanzwandler Mit Hilfe des Impedanzwandlers (Abb. 7.13), der auch als Spannungsfolger bezeichnet wird, werden Quellen mit hohem Innenwiderstand an Schaltungen mit niedrigem Widerstand angepaBt. So kann beispielsweise an hochohmigen Schaltungen mit weniger hochohmigen MeBwerken riickwirkungsfrei gemessen werden. Die Eingangsspannung erscheint dabei unverandert am Ausgang UA = UE .

(7.44)

168

7 MeBverstarker

f^ UET

V^

UA

JL Abb. 7.13: Impedanzwandler

Integrierender Verstarker In der analogen Signalverarbeitung ist der auf einem Operationsverstarker basierende Integrierer (Integrator) eines der zentralen Elemente. Der integrierende Verstarker (Abb. 7.14) bildet das zeitliche Integral einer Eingangsspannung. Fiir den Fall, daB der Anfangswert der Ausgangsspannung u^ zu Beginn der Integration den Wert Null annimmt, folgt ux = -

iQdt = - -

i^dt

= - —

UEdt.

(7.45)

A b b . 7.14: Integrierende Operationsverstarkerschaltung

DifFerenzierender V e r s t a r k e r ( P r i n z i p ) Der differenzierende Verstarker (Abb. 7.15) hat die Aufgabe, die Eingangsspannung UE zeitlich zu differenzieren UA = icR -•

-i^R

••

-EC

"df

(7.46)

DifFerenzierender V e r s t a r k e r ( p r a k t i s c h e R e a l i s i e r u n g ) Die Schwingneigung der Prinzipschaltung nach Abb. 7.15 kann vermieden werden, wenn die modifizierte Differenzierer-Schaltung nach Abb. 7.16 verwendet

7.1 Operationsverstarker

169

A b b . 7.15: Prinzip einer differenzierenden Operationsverstarkerschaltung

wird. Die reine Differenzierung der Eingangsspannung erreicht m a n durch die Wahl entsprechender Zeitkonstanten RiCi und R2C2' Denn wahlt m a n diese so klein, daB die hochste in der Eingangsspannung enthaltene Signalfrequenz uu klein ist gegeniiber den Kehrwerten der beiden Zeitkonstanten UJ

uo

1

(7.47)

RiCi 1

(7.48)

R2C2 J-t2'^2

folgt wiederum

at

(7.49)

Eine modifizierte Operationsverstarkerschaltung eines Differenzierers wird in [65] behandelt.

A b b . 7.16: Differenzierende Operationsverstarkerschaltung (technisch verwendbar)

Logarithmierender Verstarker mit D i o d e Eine die Eingangsspannung logarithmierende Operationsverstarkerschaltung enthalt eine Diode im Riickkoppelzweig (Abb. 7.17). Mit der fiir den DurchlaBbereich vereinfachten (Diodensperrstrom /§ ^ Diodenstrom i^) Diodenkennlinie i o = / ( ' ^ D )

ij3 = / g e ^

(7.50)

170

7 MeBverstarker

folgt unter Beriicksichtigung der Knotengleichung i o = ^E die Ausgangsspannung iXA als logarithmierte Eingangsspannung UE UA = —mUT In — = —mUT In I —— I

fiir

u^ > 0 .

(J-^^)

Dabei bezeichnen Is den temperaturabhangigen Sperrstrom der Diode, m = 1...2 den stromabhangigen Korrekturfaktor und UT die Temperaturspannung der Diode kT t/T = — , (7.52) eo die bei einer Temperatur T = 25°C einen Wert von UT = 25, 7 m V aufweist. In Gl. (7.52) wurden folgende Bezeichnungen verwendet: die Boltzmann-Konstante k = 1,38 - 10"^^ W s / K , die absolute Temperatur T (K) und die Elementarladung eo = 1,6- 10~^^ As.

A b b . 7.17: Logarithmierende Operationsverstarkerschaltung mit Diode

Logarithmierender Verstarker mit Transistor Der EinfiuB des stromabhangigen Korrekturfaktors m (Gl. (7.51)) laBt sich umgehen, wenn m a n s t a t t der Diode einen Transistor gemaB Abb. 7.18 einsetzt. Fiir den Kollektorstrom ic gilt bei kleinem Kollektorsperrstrom IQS (^cs < ^c)

A b b . 7.18: Prinzipschaltung eines Logarithmierers mit Operationsverstarker und einem Transistor im Riickkoppelzweig

7.1 Operationsverstarker

171

"BE

ic = ^cs e ^T ,

(7.53)

wobei UBE die Basis-Emitter-Spannung und UT die Temperaturspannung bezeichnen. Fiir die Ausgangsspannung UA des Logarithmierers folgt daraus fiir i^E > 0 UA = -UT\n(^^]

\RIcsJ

.

(7.54)

e-Funktionsgenerator Wenn m a n in der logarithmierenden Operationsverstarkerschaltung (Abb. 7.19) Widerstand und Transistor vertauscht, invertiert m a n die mathematische Operation des Logarithmierens, d.h. der natiirliche Logarithmus aus Gl. (7.54) geht liber in eine Exponentialfunktion. Fiir UE < 0 kann die Ausgangsspannung wie folgt angegeben werden UA = Ric = i ^ / c s e " " ^ / ' ' ^ .

(7.55)

A b b . 7.19: Einfacher e-Funktionsgenerator

Komparator ohne Hysterese Ein unbeschalteter Operationsverstarker, wie er in Abb. 7.20 gezeigt wird, stellt einen K o m p a r a t o r ohne Hysterese dar. Seine Ausgangsspannung lauft fiir positive Eingangsspannungen TXD > 0, d. h. ui < U2, auf ihren positiven Grenzwert iXAmax '^A = +'^Amaxfur

Ui < U2 .

(7.56)

Umgekehrt wird fiir eine negative Differenzeingangsspannung TXD < 0, d. h. ui > 1X2, der negative Grenzwert erreicht, der dem positiven mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht '^A = -'^Amaxfiir

Ui > U2 .

(7-57)

172

7 MeBverstarker

A b b . 7.20: Komparator ohne Hysterese

Invertierender Komparator mit Hysterese (Invertierender Schmitt-Trigger) SchmittBei einem K o m p a r a t o r m i t Hysterese, der auch als invertierender Trigger bezeichnet wird, gibt es im Gegensatz zu einem Komparator ohne Hysterese zwei Schaltschwellen, die im folgenden mit iXEauf u^d i^Eab bezeichnet werden. Dieses Schaltverhalten wird iiber eine Mitkopplung des Komparators erreicht (Abb. 7.21a), d. h. ein Teil der Ausgangsspannung UA wird mit Hilfe des aus Ri u n d R2 bestehenden Spannungsteilers auf den nichtinvertierenden Eingang des Operationsverstarkers zuriickgekoppelt. Bei ver-

A b b . 7.21: Invertierender Schmitt-Trigger: a ) Operationsverstarkerschaltung, b ) Kennhnien des invertierenden Schmitt-Triggers

nachlassigbarer Differenzeingangsspannung hegt die Eingangsspannung UE am Widerstand Ri des Spannungsteilers an, so daB unter Beriicksichtigung der Tatsache, daB die Ausgangsspannung infolge der Mitkopplung nur die Werte +'^Amax bzw. —i^Amax auuehmeu kann, die Schaltschwellen i^Eauf bzw. i^Eab (Abb. 7.21b) wie folgt hergeleitet werden konnen '^Eauf = - ^ A m a x ^ —^ , ill + ii2

(7.58)

D

^Eab = +^Amax^^ —^ • Hi -\- 1X2

(7.59)

Es sei darauf hingewiesen, daB der einzige Unterschied zwischen der Schalt u n g eines Schmitt-Triggers (Abb. 7.21) und einem nicht-invertierenden Spannungsverstarker (Abb. 7.10) die Form der Riickkopplung ist. W a h r e n d der

7.1 Operationsverstarker

173

nicht-invertierende Spannungsverstarker gegengekoppelt ist (Riickkopplung des Spannungsteilers auf den invertierenden Eingang des Operationsverstarkers) und damit absolut stabil arbeitet, ist die Riickkopplung beim Schmitt-Trigger eine Mitkopplung (Riickkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstarkers), so daB sich das gezeigte bistabile Verhalten einstellt, d. h. die Ausgangsspannung lauft entweder auf ihren positiven oder ihren negativen Endwert. Multivibrator Wenn die Ausgangsspannung eines invertierenden Schmitt-Triggers zeitlich verzogert auf den Eingang zuriickgefiihrt wird, entsteht ein sog. Multivibrator. Dies ist ein Oszillator, der eine Rechteckschwingung liefert. Anhand des Schaltbildes nach Abb. 7.22 laBt sich die Differentialgleichung fiir uc{t) ableiten, indem m a n die Knotenregel fiir den Verbindungsknoten zwischen R und C anwendet due

-df

i ^ A m a x - UQ

=

RC

.^

•

^^.

('-^'^

A b b . 7.22: a) Multivibrator mit Komparator, b) Spannungsverlaufe in der Multivibrator-Schaltung

Mit der Anfangsbedingung uc{t = 0) = iXEauf ergibt sich die Losung dieser Differentialgleichung zu Ucit)

= Z^An^ax ( l " ^ ^ e " ' / ' " ' )

"

(7-61)

Die Periodendauer T der Rechteckschwingung betragt somit T = 2RClnfl^^^

.

(7.62)

Fiir Ri = R2 folgt T = 2RC In 3 p^ 2, 2RC .

(7.63)

174

7 MeBverstarker

Voltmeterschaltung Die Voltmeterschaltung (Abb. 7.23) ermoglicht eine hochohmige Spannungsmessung mit einem StrommeBgerat. Es handelt sich dabei u m einen Spannungsverstarker mit Stromausgang. Bei Vernachlassigung der Differenzeingangsspannung fallt die Eingangsspannung UE direkt am Wider stand R ab, so daB iM = ^ (7.64) gilt, woraus unmittelbar die gewiinschte Proportionalitat zwischen UE und iu folgt ^M ~ '^E • (7.65)

Abb. 7.23: Voltmeterschaltung

Stromgesteuerte Spannungsquelle Abbildung 7.24 zeigt die Schaltung einer mit Hilfe eines Operationsverstarkers realisierten stromgesteuerten Spannungsquelle. Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle ist die Ausgangsspannung UA proportional dem Eingangsstrom ZE- Wenn m a n den Operationsverstarkereingangsstrom i^ vernachlassigt, folgt unmittelbar der Zusammenhang zwischen Eingangsstrom i^ und der Ausgangsspannung UA UA = —i^R • (7.66) Prinzipiell konnte diese Schaltung auch der Strommessung mit niedrigem Innenwiderstand dienen. Der Nachteil, daB eine Eingangsklemme auf Massepotential liegt, wird allerdings erst durch die folgende Amperemeterschaltung vermieden. Amperemeterschaltung Die Amperemeterschaltung (Abb. 7.25) erlaubt die niederohmige Strommessung mit einem SpannungsmeBgerat, wobei an den MeBkontakten keine Spannung abfallt, d.h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines MeBgerates bedingten systematischen Fehler gemessen. Bei

7.1 Operationsverstarker

175

A b b . 7.24: Stromgesteuerte Spannungsquelle

Vernachlassigung der Eingangsdifferenzspannungen der Operationsverstarker verschwindet die Eingangsspannung u^ UE = 0 .

(7.67)

Weiterhin liegen die mit u' gekennzeichneten P u n k t e auf gleichem Potential. Die Potentialdifferenz gegen Masse soil u' betragen. Damit kann m a n beziiglich der Operationsverstarker 1 und 2 die beiden folgenden Spannungsumlaufe angeben -u' + iERi + 1^2 = 0 (7.68) und -u'

- i^Ri

+ ui=0

.

(7.69)

Die Subtraktion der Gl. (7.69) von Gl. (7.68) liefert 2iEi^i = -{u2-ui)

.

(7.70)

Die Differenzbildung (1x2 ~ui) der beiden Teilspannungen wird von dem nachfolgenden subtrahierenden Verstarker vorgenommen (siehe auch Abb. 7.12

A b b . 7.25: Erdfreie Amperemeterschaltung

176

7 MeBverstarker

bzw. Gl. (7.43)), so daB, wie bei der Strommessung gefordert, die Ausgangsspannung u^ proportional dem Eingangsstrom i^ ist UA = ui — U2 = -{u2 - ui) = 2Rii^

.

(7.71)

Stromverstarker Beim Stromverstarker (Abb. 7.26) ist der Strom ZM, welcher durch das am Ausgang des Operationsverstarkers liegende MeBwerk flieBt, proportional zum Eingangsstrom i^. Wenn m a n wiederum die Differenzeingangsspannung des

A b b . 7.26: Stromverstarker

Operationsverstarkers vernachlassigt, fallt an den Widerstanden Ri und R^ dieselbe Spannung u ab i^Ri

= —u

(^E + ^ M ) ^ 2 = U .

(7.72) (7.73)

Aus den Gin. (7.72) und (7.73) folgt Ri -\- R2 ^M

-^E

(7.74)

bzw. die gewiinschte Proportionalitat zwischen dem Eingangsstrom i^ und dem Strom iyi durch das MeBgerat ^M ~ ^E .

(7.75)

Aktiver Vollweg-Gleichrichter Mit Hilfe von Operationsverstarkern lassen sich auch mit realen Dioden nahezu ideale Gleichrichter in Form sog. aktiver Gleichrichterschaltungen realisieren. Der Hauptnachteil von nicht-aktiven Gleichrichterschaltungen, also

7.1 Operationsverstarker

177

A b b . 7.27: Aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung

Schaltungen, die nur auf Dioden basieren, beruht auf der endlichen Diodenschwellspannung (0,7 V bei Siliziumdioden (Kap. 6.3.2)). Abbildung 7.27 zeigt eine aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung, deren Ausgangsspannung ux dem Betrag der Eingangsspannung u^ entspricht

ux = I'^EI .

(7.76)

Der linke Abschnitt der Schaltung stellt einen aktiven Einweg-Gleichrichter dar. Es gilt TiAi = —'^E fur i^E ^ 0 (7.77) bzw. TiAi = 0 fiir

TiE < 0 .

(7.78)

Die rechte Teilschaltung ist ein addierender Verstarker (Abb. 7.11 bzw. Gl. (7.39)), der in Verbindung mit dem Einweg-Gleichrichter insgesamt zu einem Vollweg-Gleichrichter fiihrt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung ux fiir negative Eingangsspannungswerte zu ux = —u^

fiir

iXE < 0 .

(7.79)

Fiir positive Eingangsspannungen u^ folgt aus der fiir den Addierer geltenden Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung (Gl. (7.39))

^A = - H I + ^

\R = U^

fiir

iXE > 0 .

(7.80)

Die Auswirkungen von nicht vernachlassigbaren Diodenschwellspannungen bei endlicher Verstarkung der Operationsverstarker wird in [65] behandelt. Es sei darauf hingewiesen, daB aus Offsetspannungen und Eingangsstromen des Operationsverstarkers weitere Fehler resultieren konnen.

178

7 MeBverstarker

7.2 Spezielle MeBverstarker 7.2.1

DifFerenzverstarker

Ein Differenzverstarker ist notwendig, u m die Signale von Quellen mit floatendem Eingang (nicht massebezogenem Eingang) zu verstarken. Dabei handelt es sich u m Quellen, deren Potentiale gegeniiber Masse schwanken. Dies ist z. B. bei Strommessungen mittels Shunt oft der Fall. Auch bei massebezogenen Signalquellen bietet der Differenzverstarker den Vorteil hoher Gleichtakt-

UEI

Abb. 7.28: Differenzverstarker

unterdriickung ( > 100 dB). Abbildung 7.28 zeigt den Schaltungsaufbau. Der Verstarkungsgrad dieser Schaltung kann leicht nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden UA

V

- UEI

UE2

R2

(7.81)

Um die Eigenschaften des Differenzverstarkers zu verbessern, insbesondere im Hinblick auf eine Erhohung der Eingangsimpedanz werden sog. InstrumentenVerstdrker eingesetzt^ die auch als Instrumentierungsverstdrkerhezeichnetwerden (s. Kap. 7.2.2). Diese besitzen eine sehr hohe Eingangsimpedanz. Dabei ist zu bedenken, daB der Innenwiderstand Ri einer an den Differenzeingang des Verstarkers nach Abbildung 7.28 angeschlossenen Spannungsquelle den Verstarkungsgrad verandert V

7.2.2 I n s t r u m e n t e n v e r s t a r k e r

^V

R^

(7.82)

R2 + R^

(Instrumentierungsverstarker)

In der Elektrischen MeBtechnik werden haufig prazise arbeitende MeBverstarker benotigt, die in der Lage sind, einen hohen Gleichtaktstoranteil moglichst vollstandig zu unterdriicken und nur den Differenzanteil, der in diesem Fall dem Nutzsignal entspricht, zu verstarken. Zur Erfiillung dieser Anforderungen

7.2 Spezielle MeBverstarker

179

scheiden somit alle Verstarkertypen aus, bei denen einer der Eingange auf Bezugspotential liegt. Mit dem in Abb. 7.29 gezeigten Instrumentenverstarker^ der von einem Subtrahierverstarker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverstarkern gebildet wird, werden die gestellten Anforderungen erfiillt. Neben der hohen Gleichtaktunterdriickung zeichnet sich der Instrumentenverstarker vor allem durch gute Linearitatseigenschaften, hohen Eingangswiderstand sowie eine geringe Beeinfiussung durch EingangsstorgroBen aus. Die beiden Operations verstarker 1 und 2 hefern die Spannung ui Ul = UEl + i^l

= I ^ + "B" ) '^El - -B"'^E2

(7.83)

bzw. die Spannung U2 U2 = UE2 - R2

^

= I 1 + "B" ) '^E2 - -B"'^Ei .

(7.84)

Fiir eine reine Gleichtakteingangsspannung UEI = I^E2 = %i ergibt sich demnach fiir beide Stufen (1 und 2) eine Gleichtaktverstarkung vom Wert 1 ^

= ^

= 1.

(7.85)

Der nachgeschaltete Subtrahiererverstarker ( O p A m p 3) hefert fiir die folgendermaBen dimensionierten Widerstande

die Ausgangsspannung UA ( G L (7.41))

A b b . 7.29: Schaltung eines Instrumentenverstarkers

180

7 MeBverstarker UA = -^{U2

-ui)

.

(7.87)

Mit den Gin. (7.83) und (7.84) ergibt sich die Differenzverstarkung zu

UY.2

- ^El

^3 V

^

Wenn m a n die Schaltung vollkommen symmetrisch aufbaut {R\ = R2 = R' und R^ = R4^ = R^ = RQ)^ folgt "" UE2

-

=1 + ? .

(7.89)

R

UEI

Die Gleichtaktverstarkung der Gesamtschaltung ist dann aus Symmetriegriinden (Gl. (7.85)) gleich Null. Die Differenzverstarkung laBt sich liber R einstellen, ohne daB in die (abgeglichene) Stufe 3 eingegriffen werden muB. Instrument enver starker sind komplett integriert als 1-Chip-Bausteine kommerziell erhaltlich (z.B. LTC 2053 von Linear Technology (s. Tab. 7.1)). 7.2.3

Zerhacker-Verstarker

Mit Hilfe von Zerhacker-Verstdrkern^ die auch unter dem Begriff ChopperVer5MrA;er bekannt sind, werden Gleichspannungen verstarkt, ohne daB groBere Fehler durch Offsetspannungen auftreten. Sie stellen hochwertige Gleichspannungsverstarker mit geringen Spannungsdriften ( 5 . . . 25 n V / K ) dar, allerdings weisen sie hohere Rauschpegel als Verstarker ohne Chopper auf. Das Prinzip des Zerhacker-Verstarkers beruht auf der Umwandlung (Zerhacken) einer Gleichspannung in eine Wechselspannung, der Verstarkung dieser Wechselspannung mit einem Wechselspannungsverstarker und einer anschlieBenden Synchron-Gleichrichtung. Abbildung 7.30 zeigt das Prinzip eines Eintakt-Zerhacker-Verstarkers. Der RC-TiefpaB am Eingang stellt sicher, daB eventuell im Eingangssignal UE enthaltene hoher frequente Spektralanteile weggefiltert werden; denn zum einwandfreien Funktionieren des ZerhackerVerstarkers ist es notwendig, daB die Zerhackerfrequenz wesentlich groBer ist als die hochste zu verstarkende Signalfrequenz. Die HochpaBfilternetzwerke C2R2 und CsRs befreien Verstarkereingangs- und -ausgangssignal jeweils vom Gleichspannungsanteil. Fiir den Fall eines idealen Wechselspannungsverstarkers (frequenzunabhangige Verstarkung und keine Frequenzabhangigkeit der Phasenverschiebung) sorgt das synchrone Umschalten der beiden Schalter Si und S2 fiir eine am AusgangstiefpaB R4C4 anliegende Signalspannung, die im wesentlichen wieder eine Gleichspannung ist. Die Schalter Si und S2 arbeiten dabei als Synchrongleichrichter. Wenn fiir die Zerhackerkreisfrequenz die Relation ^takt > ^ ^ T 1x4(^4

(7.90)

7.2 Spezielle MeBverstarker

181

eingehalten wird, ergibt sich die Ausgangsspannung ux zu [59] UK = VUE .

(7.91)

Als nachteilig kann sich bei Zerhacker-Verstarkern die geringe Signalbandbreite auswirken, welche auf die am Eingang notwendige TiefpaBfilterung zuriickzufiihren ist. In der Praxis lassen sich nur Signalbandbreiten von etwa 0,1 • /takt bis 0, 3 • /takt reahsieren. 7.2.4 L a d u n g s v e r s t a r k e r Die elektrische Ladung kann mit Hilfe eines bahistischen Galvanometers gemessen werden. Das bahistische Galvanometer ist eine spezielle Ausfiihrungsform des DrehspulmeBgerates, dessen Wirkung darauf beruht, daB der ballistische Zeigerausschlag des Instrumentes unter bestimmten Bedingungen der ihm zugefiihrten elektrischen Ladung proportional ist (siehe K a p . 6.1.2). Mit

A b b . 7.30: Prinzipschaltung eines Zerhacker-Verstarkers. Der Verstarker V muB keine Gleichspannungsiibertragungseigenschaften aufweisen, da er als reiner Wechselspannungsverstarker arbeitet. Die Signalverlaufe gelten fiir einen Verstarker, der einen Verstarkungsfaktor von 2 aufweist.

182

7 MeBverstarker

A b b . 7.31: Ladungsverstarker

ballistischen Galvanometern sind Ladungsmessungen ab Q = 1 nC moglich, wenn die Integrationszeit (jene Zeit, in der dem DrehspulmeBwerk die Ladung durch einen Strom zugefiihrt wird) nicht groBer ist als 10 % der Periodendauer der mechanischen Eigenschwingung des Galvanometers. In der modernen (elektronischen) MeBtechnik bedient m a n sich bei der Ladungsmessung elektronischer Verstarkerschaltungen, die als Ladungsverstarker bezeichnet werden. Mit Hilfe von Ladungsverstarkern lassen sich auch Ladungsmengen messen, die wesentlich kleiner sind als die oben angegebene Grenze von Q = I nC. Beim Ladungsverstarker (Abb. 7.31) wird eine verlustarme Kapazitat C verwendet, u m die von einem Strom i{t) in einem definierten Zeitintervall [0,t] gelieferte Ladung zu integrieren. Es gilt Q{t) = [ i{t)dt'

= Cu{t) .

(7.92)

Bei Vernachlassigung der Eingangsdifferenzspannung {ux = —u(t)) folgt UK{t) = - ^ g ( i ) .

(7.93)

Die Ausgangsspannung up^{t) ist also proportional der vom Strom i{t) gelieferten Ladung q{t). Der effektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverstarkers betragt R^ = 0. Problematisch sind bei Ladungs- und Integrations verstar kern die NullpunktfehlergroBen, die auch bei nicht vorhandenem Eingangssignal eine Hochintegration der Ausgangsspannung bis zur Begrenzung durch eine der beiden Speisespannungen bewirken. Im Dauerbetrieb ist entweder eine zyklische Riicksetzung der Spannung an der Integrationskapazitat notwendig, oder es muB mit einem hochohmigen Parallel wider stand zur Kapazitat dafiir gesorgt werden, daB die durch Nullpunktfehler bedingte langsame Aufladung der Kapazitat durch einen ebenso groBen Entladestrom kompensiert wird.

7.3 Rauschen von Mefiverstarkern Unter Rauschen versteht m a n die statistische Abweichung eines Signals von seinem Sollwert. Bei elektronischen Bauteilen und damit auch bei elektroni-

7.3 Rauschen von MeBverstarkern spektrale Rauschleistungsdichte

183

PopcornRauschen 1/f - Rauschen (Funkelrauschen) Thermisches Rauschen, Schrotrauschen

Abb. 7.32: Spektrale Zuordnung verschiedener Rauscharten

schen MeBverstarkern unterscheidet m a n die folgenden, auf unterschiedlichen physikalischen Ursachen beruhenden Arten von Rauschen, welche verschiedenen Spektralbereichen zugeordnet werden konnen (Abb. 7.32). •

Thermisches Rauschen (Johnson-noise) Das thermische Rauschen, das auch Widerstandsrauschen genannt wird, findet m a n in alien elektrischen Bauteilen mit Verlustwiderstanden. Es ist auf willkiirliche Ladungstragerbewegungen (Warmebewegung der freien Elektronen (Valenzelektronen)) zuriickzufiihren, die mit der Temperatur an Intensitat zunehmen. Ein ohmscher Widerstand kann beziiglich seines Rauschver halt ens durch eines der in Abb. 7.33 gezeigten Ersatzschaltbilder dargestellt werden [13]. Die Effektivwerte der dort gezeigten RauschErsatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle lassen sich anhand der sog. NYQ UIST-Formel eTmitteln: -

NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle U^^^^ = u'^{t) =

(7.94)

4kTRB

NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle (Abb. 7.33c)

bzw.

a)

6

G=.

b)

A b b . 7.33: Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle

184

7 MeBverstarker I rauschfrei

rauschend 1 rschrot *

A b b . 7.34: Ersatzschaltung eines rauschenden ^^n-Uberganges in bezug auf sein Schrotrauschen

I? reff

zUt)

AkT-B R

.

(7.95)

Dabei bezeichnen k = 1,38 • 10~^^ ( W s / K ) die Boltzmann-Konstante, T (K) die absolute Temperatur, B (Hz) die Beobachtungsbandbreite, R (i?) den Wert des ohmschen Widerstandes, t/reff die effektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und /reff den effektiven KurzschluBstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Das thermische Rauschen ist ein sog. Weifies Rauschen^ d. h. es zeigt im interessierenden Frequenzbereich keinerlei spektrale Abhangigkeit. Schrotrauschen (Schottky-Rauschen) Das Schrotrauschen^ das auch als Stromrauschen bzw. Schottky-Rauschen bezeichnet wird, entsteht in Halbleitern, wenn Ladungstrager eine Sperrschicht passieren. Abbildung 7.34 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung eines rauschenden pn-Uberganges. Es handelt sich hierbei ebenfalls u m weiBes Rauschen. Bei Operationsverstarkern wird das Schrotrauschen vom Eingangsruhestrom verursacht. Der entsprechende Effektivwert des Rauschstroms /rschrot Grgibt sich aus dem Eingangsruhestrom / B , der Elektronenladung e sowie der Beobachtungsbandbreite B rschrot

2\e\lBB

.

(7.96)

1/f-Rauschen (Funkelrauschen) Das 1/f-Rauschen^ das auch als Funkelrauschen {Flicker Noise) bezeichnet wird, erzeugt ein Rauschsignal mit einer Spektralverteilung, die mit 1/f zu hoheren Frequenzen hin abfallt. Bei Halbleiterbauelementen werden Oberflacheneigenschaften dafiir ver ant wort lich gemacht, genau genommen handelt es sich dabei u m fluktuierende Umladungen von Oberflachenzustanden [13]. Das Funkelrauschen ist von seiner spektralen Verteilung her gesehen ein Rosa Rauschen, d. h. ein Rauschen, dessen charakteristisches Merkmal eine konstante Rauschleistung pro Frequenzdekade ist. Rekombinationsrauschen (r-g-noise) (Quantenrauschen) Das Rekombinationsrauschen ist auf das willkiirliche Einfangen (Trapping) und Freigeben von Ladungstragern in Halbleitern zuriickzufiihren, d. h. es

7.3 Rauschen von MeBverstarkern

185

wird durch die zufallige Generation bzw. Rekombination von Ladungstragern hervorgerufen. •

Popcorn-Rauschen Das Popcorn-Rauschen, das auch als Burst-Rauschen bezeichnet wird, ist auf metallische Verunreinigungen im Halbleiter zuriickzufiihren und auBert sich in Form zufallig auftretender Anderungen der Gleichstrom-Parameter. Es erscheint in der spektralen Rauschleistungsverteilung in Form eines diracformigen Gleichanteils bei der Frequenz / = 0 (Abb. 7.32) [44].

Die Beschreibung des Verstarkerrauschens Das Verstarkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verstarkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verhaltnisses zwischen Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerhaltnisses legt m a n bei Vierpolen und somit auch bei Verstarkern die in Abb. 7.35 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Dabei wird das eigentliche Verstarkerrauschen durch die Angabe einer eingangsbezogenen Rauschspannungsquelle und einer Rauschstromquelle beschrieben. Diese RauscherRausch spannungsquelle

UA

f

^

Rauschstromquelle

UE

f

V/'A

Vierpol mit Rauschquellen

rauschender Verstarker

rauschfreier Verstarker

A b b . 7.35: Ersatzschaltung eines rauschenden Verstarkers

satzquellen sind dabei im allgemeinen durch die spektralen Werte der Rauschspannungsdichte f/fr(/) [nV/>/Hz] bzw. der Rauschstromdichte /fr(/) [pA/U^Eges am v H z ] gekennzeichnet. Die dquivalente Rauscheingangsspannung Verstarkereingang erhalt m a n durch quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verstarkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen RauschdichtegroBen liber das Frequenzintervall [/min, /max], in dem gemessen wird. Die Effektivwerte der Rauschspannung f/reff sowie des Rauschstromes /reff berechnen sich demnach wie folgt

^reff —

ulif) df

(7.97)

186

7 MeBverstarker Rausch-ErsatzSpannungsquelle

Rausch-ErsatzStromquelle A b b . 7.36: Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles /"/max

^reff

=/

4 (/)

(7.98)

df .

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 7.36) ergibt sich die quadratische Uberlagerung der Effektivwerte zu

f/,rEges

^\ u.reff

RE RE

+ Rr

RERQ ^reff

RE

+

(7.99) RQ

Die Spannung t/rEges ist der Effektivwert der auf den Verstarkereingang bezogenen Rauschspannung, welche das gesamte Verstarkerrauschen im Frequenzintervall [/min,/max] reprasentiert, d. h. der in Abb. 7.36 gezeigte eigentliche Verstarker ist frei von Rauschquellen. In obiger Ableitung wurde die Korrelation zwischen den beiden Rauschquellen vernachlassigt, was in vielen praktischen Fallen in erster Naherung erlaubt ist. Fiir den Fall nicht vernachlassigbarer Korrelation findet sich die entsprechende Herleitung in der Literatur, z. B. in [73]. Das Rauschen von Operationsverstarkern Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Verstarkern ist beim Operationsverstarker zu beachten, daB es sich hier nicht u m ein Zweitor handelt. Der Eingang des Operationsverstarkers besteht strenggenommen aus drei Klemmen (invertierender Eingang, nichtinvertierender Eingang und Masse). Daher sind fiir die Beschreibung des Rauschens von Operationsverstarkern drei voneinander unabhangige Rauschquellen erforderlich. Abbildung 7.37 zeigt einen Operationsverstarker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die gangigste Darstellung, wenn auch prinzipiell andere Darstellungsformen moglich sind. Fiir die Stromquellen gilt aus Symmetriegriinden, daB die Rauschleistungsdichten gleich sind tl, = i l . . (7.100)

7.3 Rauschen von MeBverstarkern

187

Ur

-o-

A b b . 7.37: Rauschersatzschaltung eines Operationsverstarkers

Die Stromquellen sind dennoch als unkorreliert zu betrachten. Beispiele zum Rauschen von Operationsverstarkern finden sich in [65]. Signal/Rausch-Verhaltnis Das Signal/Rausch-Verhaltnis (Signal-to-Noise-Ratio) S/N an einem elektrischen Tor ist definiert als das Verhaltnis von Signalspannung zu Rauschspannung an diesem Tor. So ergibt sich das Signal/Rausch-Verhaltnis am Ausgangstor des Verstarkers zu '^

r i-r>i

r\r\A

I

^Arauschfrei

- [ d B ] = 2Qlg^

(7.101)

^.^

wobei t/Arauschfrei d^s Nutzsigual am Verstarkerausgang (Effektivwert) und UrA die Rauschspannung am Verstarkerausgang (Effektivwert) bezeichnen. Das Signal/Rausch-Verhaltnis laBt sich aber auch auf den Verstarkereingang beziehen. Fiir die in Abb. 7.36 gezeigte Beschaltung des Verstarkers gilt

N

[dB] = 201g

t/iErauschfrei

RE

20 Ig

RQ^RE

u,rEges

Uosignal

U,E^ges

(7.102)

wobei f/Erauschfrei das Nutzsigual am Verstarkereingang (Effektivwert) und t/rEges die Rauschspannung am Verstarkereingang (Effektivwert) bezeichnen. Bei obiger Berechnung wurde die Signalquelle (Abb. 7.36) zunachst als rauschfrei angenommen. Soil das Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Signalquelle beriicksichtigt werden, muB f/rEges in Gl. (7.102) durch f/^Eges ersetzt werden TJ' "^ rEges

i^E 'f^rEges + ^ ^ ^ ^ Q ^ / - - - - ^ - ' " )

^O + R^

(7.103)

wobei f/rEges die bereits in Gl. (7.99) berechnete, von den internen Rauschquellen des Verstarkers hervorgerufene Rauschspannung bezeichnet.

188

7 MeBverstarker

Rauschzahl Die Rauschzahl F eines rauschenden (Verstarker-) Vierpols ist definiert als das Verhaltnis von Signal/Rausch-Verhaltnis am Eingangstor zum Signal/RauschVerhaltnis am Ausgangstor

^ = #

= T ^

•

(7-104)

Dabei bezeichnen PgE die Signalleistung am Eingang, PgA die Signalleistung am Ausgang, P ^ E die Rauschleistung am Eingang (die von der Signalquelle oder von externen Storquellen eingespeiste Rauschleistung) und PJ-A die Rauschleistung am Ausgang. Die Rauschzahl wird oft auch in logarithmischer Form angegeben F (dB) = l O l g P . (7.105) Unter Einbeziehung der Leistungsverstdrkung

Vp des Vierpols

V p ^ ^

(7.106)

erhalt m a n F = -

^

.

(7.107)

Wenn m a n voraussetzt, daB der Verstarker fiir das Signal und das Rauschen dieselbe Leistungsverstarkung aufweist, folgt fiir die Rauschleistung PJ-A am Ausgang ^ r A = ^ r E ^ p + ^rAamp = ^ r E ^ p + ^ r E a m p ^ p = ^ r E t o t ^ p 5

(7.108)

wenn PrEamp die auf den Verstarkereingang bezogene und PrAamp die auf den Ausgang bezogene Rauschleistung des Verstarkers darstellen. Aus den Gin. (7.107) und (7.108) folgt fiir die Rauschzahl F 7--,

-^rEtot ^rE

-J

-'rAamp

-.

-'rEamp

^rE^p

^rE

Der Term F^ bezeichnet die sog. Zusatzrauschzahl^ welche im Falle eines nichtrauschenden Verstarkers identisch Null ist, d. h. F = 1. Da die Leistungen ^rEtot und PrE am selben Widerstand, namlich dem Eingangswiderstand R^ des Verstarkers, wirken, folgt mit den oben gewahlten Bezeichnungen und der Rauschspannung t/rEges aus Gl. (7.99) F ^ l + ^

^

^

l

+ F,.

(7.110)

^rQuelle

In Gl. (7.110) bezeichnet t^rOueiie die effektive Rauschspannung der Quelle, die mit dem Teilerverhaltnis des Eingangsspannungsteilers gewichtet am Verstarkereingang wirksam wird

7.3 Rauschen von MeBverstarkern ^rQuelle = ^rQuelle D

^

HE

, D

*

189 C^'IH)

-r UQ

Wenn das Rauschen der Quelle durch das thermische Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Quelle beschrieben werden kann, folgt fiir die entsprechende Rauschspannung t/rQueiie C^rQuelle = 4 f c T i ? Q ( / ^ a x " /min) •

(7.112)

Im weiteren wollen wir annehmen, daB der Eingangswiderstand RE des Verstarkers wesentlich groBer ist als der Innenwiderstand der Signalquelle {RE > RQ). Unter dieser A n n a h m e folgt mit Gl. (7.99) und den Gin. (7.110)(7.112) ^ = ^ + 4 F § 7 7 ^ ^ ^

= ^+ ^ -

(7.113)

4A:Ti^Q(/max - Jmin)

Im allgemeinen definiert m a n noch den sog. dquivalenten Rauschwiderstand RY und den dquivalenten Rauschleitwert G^ des Vierpols, indem m a n den in Gl. (7.113) vorkommenden Rauschleistungen diese Werte wie folgt zuordnet Ulf, = 4kT{f^,^

- /^i„)i?r

4 f f = 4/eT(/^ax - /min)G, .

(7.114) (7.115)

Damit laBt sich GL (7.113) in folgender Form schreiben F = l+

'

"^ .

(7.116)

Die durch Gl. (7.116) beschriebene Funktion F durchlauft in Abhangigkeit von RQ ein charakteristisches Minimum (Abb. 7.38). Man spricht von RauschanlogFA

RQopt

logRq

Abb. 7.38: Abhangigkeit der Rauschzahl vom Quellenwiderstand RQ

passung, wenn der Minimalwert Fmin der Rauschzahl erreicht wird. Der dazu notwendige optimale Innenwiderstand i^Qopt der Signalquelle ergibt sich durch Ableitung von Gl. (7.116) nach RQ und anschlieBendem Nullsetzen zu

190

7 MeBverstarker 'JrQuelle L'rEgesl

Abb. 7.39: Rauschen von Vierpol-Kettenschaltungen

(7.117)

R Qopt

Damit laBt sich auch die bestenfalls erreichbare minimale Rauschzahl F^in angeben

i + 2Vi^ra = i + Rauschen von Kettenschaltungen Um die resultierende Rauschzahl einer Verstarker-Kettenschaltung (Abb. 7.39) zu ermitteln, wird zunachst jedem Vierpol eine Ersatzrauschspannungsquehe (mit der effektiven Rauschspannung t/rEgesi) zugeordnet, welche die internen Rauschquehen des Vierpoles aquivalent ersetzt. Wenn m a n alle Spannungen auf den Eingang der ersten Vierpolstufe bezieht, folgt fiir den Signal/RauschVerhaltnis (7.119)

^OSignal

20 Ig ^rOuelle '

^rEgesl

||^ +

•

•

•

/

wobei Uj-Egesi die Ersatzrauschspannung des i-ten Vierpols und V^i die Spannungsverstarkung des i-ten Vierpols bezeichnen. Friis hat in einer grundlegenden Arbeit [41] die Gesamtrauschzahl Fges einer Vierpol-Kettenschaltung abgeleitet (siehe auch [13]) -^ges — ^1

1+^3 Ki

1

^pl^p2

1

+ ..

K^ p1l K 2 . . . Kp ( n - l ) »/p2

(7.120)

In Gl. (7.120) bezeichnen Fi die Rauschzahl des i-ten Vierpoles und Vpi seine Leistungsverstarkung. Fiir mehrstufige Verstarkerschaltungen kann bei genii-

7.3 Rauschen von MeBverstarkern

191

gend hoher Leistungsverstarkung der einzelnen Stufen folgende Naherung angenommen werden Fi

>

1 i»^^ > ^pl ^pl^p2

1

... >

(7.121)

^pl^p2...^p(n-l)

Dies bedeutet, daB das Rauschverhalten der Kettenschaltung im wesentlichen vom Rauschen der Eingangsstufe bestimmt wird. Rauschmessung Ein ohmscher Widerstand gibt bei der absoluten Temperatur T gemaB den Gin. (7.94) und (7.95) im Frequenzintervall B = /max — /min bei Leistungsanpassung die Rauschleistung PrR ab (7.122)

PrR = kTB .

Leistungsanpassung heiBt, daB der rauschende Widerstand seine Leistung an einen Zweipol abgibt, dessen Innenwiderstandswert mit dem des Rauschwiderstandes iibereinstimmt, so daB am Zweipol nur die Halfte der urspriinglichen Rauschspannung (Gl. (7.94)) anliegt. Die auf diese Weise von einem ohmschen Widerstand abgegebene Rauschleistung hangt nicht vom Widerstandswert ab, sondern wird nur von der Temperatur des Widerstandes und der Beobachtungsbandbreite B bestimmt. GemaB einer zweiten Rauschzahl-Definition gibt die Rauschzahl F auch an, u m welchen Faktor ein Vierpol mit der Leistungsverstarkung Vp bei der Referenztemperatur TQ = 290 K die thermische Rauschleistung P^R des Innenwiderstandes der Signalquelle durch sein Eigenrauschen vergroBert [73]. Die Umrechnung in die urspriingliche Definition (Gl. (7.104)) laBt sich wie folgt durchfiihren

F=^ ^ ^ = ^ ^ P.APr A^rE

VpPrR

= J^^^

Vr^kToB

.

(7.123)

PrAO bzW. PrAl

PrEo^kToB// \PrEi=kTiB

Verstarker V p, Pramp

R(To)

LeistungsmeBgerat

R(Ti)

A b b . 7.40: Prinzipschaltung zur Messung der Rauschzahl. Der Widerstand R gibt im Frequenzintervall B die temperaturabhangige Rauschleistung PrE = PrR = kTB ab. Es wird Leistungsanpassung zwischen R und dem Verstarkereingang vorausgesetzt.

192

7 MeBverstarker

Gleichung (7.122) findet Anwendung, u m die Rauscheigenschaften von Vierpolen durch Angabe einer fiktiven Rauschtemperatur T R ZU beschreiben. Dazu wird der Rauschleistung PrE mit Hilfe von Gl. (7.122) die Temperatur TQ und der Rauschleistung PrEamp die Temperatur T R zugeordnet. Mit Gl. (7.109) ergibt sich dann die fiktive Rauschtemperatur T R ZU TR = ( F - 1 ) T O .

(7.124)

Die Rauschmessung kann nun mit Hilfe der Prinzipschaltung nach Abb. 7.40 erfolgen. Dabei wird die Rauschleistung a m Ausgang eines Verstarkers fiir zwei unterschiedliche (aber bekannte) Eingangsrauschleistungen mit Hilfe eines LeistungsmeBgerates gemessen. Bei linearem Verhalten des Verstarkervierpoles gilt fiir die Gesamtrauschleistung PJ-A an seinem Ausgang in Abhangigkeit der a m Eingang eingespeisten Rauschleistung PrE = kTB (Abb. 7.41) PrAo = kToBVp + Pramp = kT^BV^F

(7.125)

bzw. P r A l = kT^BV^

+ Pramp ,

(7.126)

wobei Pramp die Gesamtrauschleistung der internen Rauschquellen des Verstarkers bezeichnet. Infolge des linearen Verhaltens (Abb. 7.41) gilt weiterhin

^ - 1 /^ — ^ 0

PrAl % ' ^ -_ Ii

(7.127)

PrAO

bzw. fPrAl F (dB) = 10 Ig ( ^ — j - 10 Ig ( ^ - ^ - I j , \PvAO

ig(f)-ioig|

(7.128)

wobei AT = Ti —TQ die Rauschtemperaturdifferenz beschreibt. In der Praxis werden keine rauschenden Widerstande sondern Rauschgeneratoren verwendet, die in der Lage sind, definierte einstellbare Rauschleistungen abzugeben. Rauschleistungserhohung Im allgemeinen wird d a n n auch die in dB gemessene E N R {Excess Noise Ratio) a n s t a t t der Rauschtemperaturdifferenz AT angegeben. Der Quotient PrAi/^rAo wird oft auch als F-PaHor bezeichnet. Daraus folgt (7.129) F (dB) = E N R - 10 \g(Y - 1) . Bei vorgegebenem Y-Faktor kann mit Hilfe eines geeigneten Leistungsmessers der Wert von E N R gemessen und damit die Rauschzahl anhand von Gl. (7.129) bestimmt werden.

7.3 Rauschen von MeBverstarkern

193

kTBVp

PrE

PrE

PrE=kTB

A b b . 7.41: Rauschleistung am Vierpolausgang als Funktion der Temperatur des Quellwiderstandes bzw. als Funktion der Eingangsrauschleistung

8 Messung der elektrischen Leistung

8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis Die elektrische Leistung P a n einem elektrischen Tor ergibt sich aus dem P r o d u k t von Spannung U und Strom / P = UI .

(8.1)

Diese Leistung kann mit Hilfe eines elektrodynamischen MeBwerkes gemessen werden. Dazu schickt m a n den Strom / durch die Feldspule (Widerstand RWA) und legt die Spannung U an die Drehspule (Widerstand Rwv) an. Abbildung 8.1 zeigt die entsprechende Schaltung mit dem elektrodynamischen MeBwerk. Falls der Strom I2 durch die Drehspule gegeniiber dem Verbraucherstrom ly vernachlassigt werden darf, ist der Zeigerausschlag a proportional zur Leistung Py des Verbrauchers a = khh = k{h + lY)h ^ klyh = ^ ^ V ^ ^ = kUyly = kPy .

(8.2)

Die Feldspule sollte wegen der Strommessung niederohmig und die Drehspule wegen der Spannungsmessung hochohmig sein.

A b b . 8.1: Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen MeBwerk. Der Punkt kennzeichnet die Polaritat des Spannungspfades.

196

8 Messung der elektrischen Leistung

Die von der Quelle gelieferte Leistung PQ teilt sich in die vom Verbraucher umgesetzte Leistung Py und die vom MeBgerat benotigte Leistung PM PQ = PV + PM-

(8.3)

Wie anhand von Abb. 8.2 deutlich wird, kann ein elektrodynamisches MeBwerk stromrichtig oder spannungsrichtig angeschlossen werden. Die Begriffe Strom- und spannungsrichtig beziehen sich dabei entweder auf die Quellenseite (Quellentor) oder die Verbraucherseite (Verbrauchertor) des MeBgerates. Spannungsrichtig in bezug auf die Verbraucherseite heiBt, daB die am Verbraucher wider stand Ry anliegende Spannung Uy gemessen wird, wahrend der Strom, der durch die Stromspule des MeBgerates flieBt, dem Quellstrom, d. h. also der Summe aus Verbraucherstrom ly und Drehspulenstrom /2, entspricht (Abb. 8.2a). Bei der in bezug auf die Verbraucherseite stromrichtigen Messung ist es umgekehrt, hier wird der richtige Wert des Verbraucherstroms gemessen, wahrend am Spannungseingang die Summe aus Verbraucherspannung und Feldspulenspannung anliegt. Eine korrekte Messung der Verbraucherleistung

A b b . 8.2: Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen MeBwerk: a) Es werden der Quellstrom und die Verbraucherspannung richtig gemessen. b) Es werden die Quellspannung und der Verbraucherstrom richtig gemessen.

Py bzw. der Quelleistung P Q ist erst moglich, wenn das elektrodynamische MeBwerk u m eine Korrekturspule erweitert wird, welche dieselbe Windungszahl aufweist wie die Stromspule (Abb. 8.3). Durch diese Korrekturspule flieBt der Strom, den auch die Drehspule fiihrt (h)- Bei der Stromrichtung nach Abb. 8.3a addiert sich die Wirkung dieses Korrekturspulenstroms zu der des Feldspulenstroms / i , so daB die Leistung quellrichtig gemessen wird. Bei Stromumkehr nach Abb. 8.3b kann die Leistung verbraucherrichtig gemessen wer-

A b b . 8.3: Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen MeBwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Es wird die Quelleistung richtig gemessen. b) Es wird die Verbraucherleistung richtig gemessen.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

197

den. Es sollte jedoch erwahnt werden, daB generell bei alien Messungen durch das Einbringen des elektrodynamischen MeBwerkes systematische MeBfehler auftreten. So wird bei einer verbraucherrichtigen Messung beispielsweise zwar die aktuelle Verbraucherleistung korrekt erfaBt, die Verbraucherleistung jedoch, die bei nicht vorhandenem MeBwerk im Verbraucher umgesetzt wiirde, erhalt m a n erst nach einer Fehlerkorrektur der systematischen MeBfehler.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1

BegrifFsdefinitionen

Nachdem sich mit Hilfe der Fourieranalyse jeder beliebige periodische Zeitverlauf einer Spannung bzw. eines Stromes in seine rein sinusformigen Spektralkomponenten zerlegen und in Form einer Fourierreihe darstellen laBt, konnen wir uns im folgenden ohne Einschrankung der Allgemeinheit auf rein sinusformige Zeitverlaufe beschranken u{t) = U sm{ujt ^ (f^) i(t) = I sm{ujt-\-(fi)

(8.4) .

(8.5)

Die entsprechenden Effektivwertbetrage erhalt m a n mit der Definition aus Kap. 6.3.1 f/eff = ^ /e. = ^

(8.6) .

(8.7)

Die WechselgroBen aus Gin. (8.4) und (8.5) lassen sich alternativ in komplexer Schreibweise als ZeigergroBen

u_= I=

Ue''f

-u*=

C/e"^^"

/e^Vi L* -= /e--'>' ,

(8.9)

angeben Ues--

= u. 'Se^'^"

Ls--= 4 ifre^>'

.

(8.10) (8.11)

8.2.2 L e i s t u n g s m e s s u n g i m E i n p h a s e n n e t z In (einphasigen) Wechselstromkreisen sind die folgenden Leistungsgrofien definiert:

198

8 Messung der elektrischen Leistung

Komplexe Leistung P Die komplexe Leistung P ist folgendermaBen definiert P = Uef,i:S

= f/eff/effe^^-^^

P = Re(P) + j l m ( P ) = Pw + J P B • Wirkleistung

(8.12)

(8.13)

Pw

Die Wirkleistung P w ist der Teil der komplexen elektrischen Leistung, der in der Impedanz Z in eine andere (nicht-elektrische) Energieform, wie z. B. in mechanische Energie oder in Warmeenergie umgesetzt wird. Sie entspricht dem P r o d u k t von Spannungs- und Stromeffektivwert, multipliziert mit dem Cosinus der Phasenwinkeldifferenz zwischen Strom und Spannung (Einheit W a t t (W)) (8.14) Pw = MP) = f^eff/eff COS (^,i . Die Messung der Wirkleistung kann direkt mit Hilfe eines elektrodynamischen MeBwerkes erfolgen, da bei diesem der Zeigerausschlag dem P r o d u k t ^ieff^2eff cosip proportioual ist (Gl. (6.47)). Es gelten ansonsten die bereits fiir den Gleichstromkreis aufgestellten Regeln (Kap. 8.1). Blindleistung P B Die Blindleistung P B wird durch das Speicherverhalten einer komplexen Impedanz verursacht. Dieser Teil der Leistung pendelt periodisch zwischen der Quelle und dem Verbraucher mit der Impedanz Z hin und her (Einheit VoltAmpere-reaktiv (VAR)) P B = I m ( P ) = t/eff/eff s i n ^ , i .

(8.15)

Die Blindleistung wird ebenfalls mit Hilfe eines elektrodynamischen MeBwerkes bestimmt. Allerdings muB ein 90°-Phasenschieber verwendet werden, der den Strom des Spannungspfades gegeniiber der Spannung t / y u m —90° dreht

A b b . 8.4: Messung der Blindleistung in einem Wechselstromkreis mit Hilfe eines elektrodynamischen MeBwerkes und einem 90°-Phasenschieber.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

199

(Abb. 8.4). Fiir den Zeigerausschlag a gilt dann a = ^/ieff/2eff COS (f ^ klyef^Uyef^

COs{(p - 9 0 ° ) = /c/veff f^^eff s i n (f .

(8.16)

Da die 90°-Phasenverschiebung frequenzabhangig ist, sind die Gerate zur Blindleistungsmessung iiblicherweise fiir eine Frequenz von 50 Hz bzw. 60 Hz konzipiert. Fiir stark oberwellenhaltige Signale ergeben sich daher fehlerhafte Mei3werte. Die Blindleistung wird bei induktiven Lasten positiv und bei kapazitiven Lasten negativ angezeigt. Scheinleistung Ps Die Scheinleistung ist die in einer komplexen Impedanz Z umgesetzte Leistung. Sie entspricht dem P r o d u k t der Effektivwerte von Strom und Spannung an der Impedanz Z (Einheit Volt-Ampere (VA)) Ps = \P\ = U,ffl,s

= V ^ w + Pi •

(8-17)

MeBtechnisch laBt sich die Scheinleistung am einfachsten durch separate Strom- und Spannungsmessungen der Effektivwerte Jeff und t/eff und die anschlieBende Produktbildung gemaB Gl. (8.17) ermitteln. 8.2.3 L e i s t u n g s m e s s u n g in D r e h s t r o m s y s t e m e n P r i n z i p i e l l e S c h a l t u n g s v a r i a n t e n in D r e h s t r o m s y s t e m e n Bei Drehstromsystemen unterscheidet m a n zwischen dem 3-Leiter-System und dem A-Leiter-System^ je nachdem, ob ein Neutralleiter vorhanden ist oder nicht. Abbildung 8.5 zeigt beide Varianten. Die komplexen Verbraucher Z^^,

A b b . 8.5: a) 4-Leiter-Drehstromsystem mit Sternschaltung der Verbraucher (N: Neutralleiter), b) 3-Leiter-Drehstromsystem mit Dreieckschaltung der Verbraucher

200

8 Messung der elektrischen Leistung

Z_2 und Z3 konnen in Form einer Sternschaltung (Abb. 8.5a) oder einer Dreieckschaltung (Abb. 8.5b) zusammengeschaltet werden. Beim 4-Leiter-System hat m a n zwischen den Leiterspannungen {verkettete Spannung) U_i2^ IL23 ^ ^ ^ U_i^^ U_^i (Spannungen zwischen zwei AuBenleitern) und den Sternspannungen U_2^ und f/3^ (Spannungen zwischen AuBenleiter und Neutralleiter) zu unterscheiden (Abb. 8.5). Der Neutralleiter wird auch als Sternpunkt bezeichnet. Im Falle eines 3-Leiter-Systems kann m a n sich zu meBtechnischen Zwecken (Abb. 8.9) einen kunstlichen Sternpunkt N' schaffen, indem m a n die drei Leiter L i , L2 und L3 jeweils mit einem hochohmigen Widerstand R zu dem kunstlichen Sternpunkt N' verbindet. Im folgenden wollen wir zunachst eine symmetrische Belastung voraussetzen, d. h. die drei Lastimpedanzen sind identisch Z^^ — ZL2 — ZLZ- I ^ Zeigerdiagramm (Abb. 8.6) erkennt man, daB sowohl die Leiterspannungen als auch die Sternspannungen u m jeweils 120° gegeneinander phasenverschoben sind. In Drehstromnetzen gilt generell C/l2 = f / l N - i ^ 2 N

(8.18)

C^23 = f i 2 N - i ^ N

(8.19)

f^i=t/3N-I^iN-

(8.20)

Dabei sollte erwahnt werden, daB sich in 3-Leiter-Systemen die Bezeichnung

A b b . 8.6: Zeigerdiagramm eines symmetrisch belasteten Drehstromsystems. Leiterspannungen: 1/125 1^235 -t^^si? Sternspannungen: f/iN? I^2N5 i^sN

TV auf den kunstlichen Sternpunkt N' bezieht. Im speziellen gilt bei symmetrischer Belastung f/iN = ]l

(8-21)

f/3N=Iie+^'''°

(8.23)

und IC/31I = V I C ^ I N P + \U.m? - 2|t/iNlli^Nl c o s l 2 0 ° = \]L^^\^

• (8.24)

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

201

Die Leiterspannungen sind betragsmaBig stets gleich

\Uu I = \U231 = I C^i I = I C/| v ^ = C/v^

(8.25)

und ihre (Zeiger)-Summe ergibt Null C/l2+I^23 + f ^ 3 1 = 0 .

(8.26)

Die Strome des 4-Leiter-Systems geniigen folgender Bedingung Li+h+h^lN-

(8.27)

Fiir den Fall symmetrischer Belastung (gleiche Lastimpedanzen ZL\ — ZL2 — Z3) verschwindet der Strom im Neutralleiter des 4-Leiter-Systems. Weiterhin gilt fiir die Leiterstrome

Ii = I

(8.28)

/2 = /e-^'i20°

(8.29)

Aus Abb. 8.7 folgt der Zusammenhang zwischen Leiterstromen und Strang-

A b b . 8.7: Zeigerdiagramm von Leiterstromen /^ und Strangstromen /• bei der Dreieckschaltung. Die Form des gleichseitigen Dreiecks erhalt man nur fiir symmetrische (gleiche) Fasten Z_;^.

stromen bei einer Dreieckschaltung 1 |Il2l = |l23l = 1X311 = ^ 1 1 1 -

(8.31)

Im 3-Leiter-System ist die Summe der drei Leiterstrome infolge des nicht vorhandenen Neutralleiters stets Null I i + l 2 + i 3 = 0-

(8.32)

202

8 Messung der elektrischen Leistung

M e s s u n g d e r W i r k l e i s t u n g in D r e h s t r o m s y s t e m e n Fiir den Fall symmetrischer Belastung geniigt ein Leistungsmesser, i.allg. wiederum ein elektrodynamisches MeBwerk. Die umgesetzte Gesamtleistung ergibt sich dabei als die dreifache Einzelleistung, welche gerade von dem einen Leistungsmesser angezeigt wird. Fiir den allgemeinen Fall unsymmetrischer Belastung jedoch werden beim 4-Leiter-System drei und beim 3-Leiter-System zwei Leistungsmesser benotigt. Es gilt die generelle Regel, daB n — 1 Leistungsmesser eingesetzt werden miissen, wenn n Leitungen zu einem Verbraucher fiihren, da eine der Leitungen stets als Riickleitung angesehen werden kann. 4-Leiter-System Zur Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-System werden drei elektrodynamische MeBwerke gemaB Abb. 8.8 zusammengeschaltet. Die Gesamtwirk-

A b b . 8.8: Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem

leistung Pwges ergibt sich als Summe der einzelnen Leistungen P w i A v g e s = A v i + AV2 +

Pw3

= f^lNeff^leff COS (fi + t/2Neff^2eff COS (p2 + f/sNeff^Seff COS (fs . ( 8 . 3 3 )

Dabei bezeichnet (fi den Phasenwinkel zwischen dem Strom /^ und der Spannung f/iN. 3-Leiter-System Oft werden auch bei 3-Leiter-Systemen drei Leistungsmesser eingesetzt, u m die einzelnen Leistungen getrennt beobachten zu konnen. Das MeBergebnis ist damit auBerdem genauer, insbesondere bei kleinen Leistungen und groBen

B.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

203

Abb. 8.9: Wirkleistungsmessung im 3-Leiter-System

Phasenwinkeln. D a das 3-Leiter-System keinen Mittelpunktleiter aufweist, miissen die drei Spannungspfade zu einem kiinstlichen Sternpunkt N' verbunden werden. Dies entspricht der Schaltung nach Abb. 8.9. Dabei miissen die Widerstande bzw. Impedanzen der Spannungspfade aus Symmetriegriinden gleich sein. Die Gesamtwirkleistung laBt sich dann wiederum nach Gl. (8.33) ermitteln. Im 3-Leiter-System geniigen allerdings auch zwei Leistungsmesser, wenn m a n sie in Form der sog. Aaronschaltung (Abb. 8.10) zusammenschaltet. Die

Abb. 8.10: Zwei-Watt meter-Verfahren (Aaronschaltung)

beiden MeBwerke zeigen die von ihnen gemessenen Wirkleistungen P w i u n d Pw2 an, die sich in der Summe wie folgt darstellen A v i + A V 2 = f/l3eff^leff COS^^H^^, l^) + f/23eff/2eff C O s ( ^ t / 2 3 , I s ) '

(8-34)

Die gesamte in einem Drehstromsystem umgesetzte komplexe Leistung P andererseits betragt definitionsgemaB P = t / m l l + C ^ 2 N I ; + USNLI

•

(8.35)

204

8 Messung der elektrischen Leistung

Im Falle eines 3-Leiter-Systems stellen die Werte von Ui^ die Spannungen dar, die zwischen dem jeweiligen Leiter Li und dem kiinstlichen Sternpunkt liegen. Aus dem Spannungszeigerdiagramm (Abb. 8.6) lassen sich die folgenden Zusammenhange ablesen f/lN = f^l3 + C^N

(8.36)

C^2N = C ^ 2 3 + i ^ N -

(8.37)

Da auBerdem die Summe der drei Leiterstrome Null ergibt 0 = / i + /2 + / 3 ,

(8-38)

folgt aus Gl. (8.35) die gesamte komplexe Leistung P P = U,al

+ U23L2 + LLSNUI

+LI+LI)

P = UI3LI+U,,L;.

(8.39) (8.40)

Der Realteil von P entspricht also der im Drehstromsystem umgesetzten Wirkleistung P w Pw

= R e ( P ) = /7i3eff/leff C 0 s ( < ^ f / i 3 , / i ) + /723eff/2eff COs( = l,2,...7V

(10.25)

nfs = n / a + n ^ n = 1, 2 , . . . TV ,

(10.26)

bzw.

welche besagt, daB die n-te Spektrallinie des Originalspektrums identisch ist mit der n-ten Spektrallinie des abgetasteten Spektrums, das bei der n-fachen Abtastfrequenz entsteht.

10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen Spannungsteiler kommen in Elektronenstrahl-Oszilloskopen als Eingangsteiler oder als T a s t k o p f (s. auch Abb. 10.13) vor. Zur Erzielung eines guten dynamischen Verhaltens ist es notwendig, diese Spannungsteiler frequenzkompensiert auszufiihren. Die daraus resultierende Schaltung besteht aus einem Spannungsteiler, dessen Impedanzen jeweils aus einer Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazitat bestehen (Abb. 10.12). Das Tei-

Abb. 10.12: Eingangsspannungsteiler eines Oszilloskops

lerverhaltnis l^rp, also das Verhaltnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung, ergibt sich zu

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

251

Wenn m a n die Zeitkonstanten TI u n d T2 der beiden Impedanzen identisch wahlt TT = RTCT

= RECE

= TE ,

(10.28)

ergibt sich das frequenzunabhangige Teilerverhaltnis VTR

= ^TR = 1 + 1 ^ .

(10.29)

Die Eingangsimpedanz Z_Eges ^^^ Teilers ist aber auch in diesem Fall sehr wohl frequenzabhangig. Sie betragt bei Frequenzkompensation, d. h. fiir den Fall TT = rE = r ,

_

RT + RE

_RT

+ RE

.

.

Die entsprechende Eingangsadmittanz Y_-^ ergibt sich dementsprechend zu rEges = ^ + J ^ ^ E g e s ,

(10.31)

wobei sich i^Eges u n d C^ges mit dem reellen Teilerverhaltnis VTR aus Gl. (10.29) wie folgt berechnen ^Eges = VTR^^E

(10.32)

CEges = ^

(10.33)

•

Der Abgleich von (7T kann gemaB Abb. 10.13 auf sehr einfache Weise durch Anlegen einer Rechteckspannung iiberpriift bzw. eingestellt werden.

10.3 Fehler der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie 1 0 . 3 . 1 S t a t i s c h e F e h l e r (Fehler d e r A b l e n k k o e f f i z i e n t e n ) Die einzelnen in Serie geschalteten MeBglieder des x- u n d des y-Kanals sind mit Empfindlichkeitsfehlern behaftet, die sich infolge der Multiplikation der Empfindlichkeiten der einzelnen Stufen im jeweiligen Kanal zum Gesamtempfindlichkeitsfehler summieren. Typische Werte der Fehlergrenzen von Ablenkkoeffizienten liegen sowohl fiir die Vertikal- als auch fiir die HorizontalAblenkung bei etwa 1 - 3 % . Die Fehlerangaben konnen mit der absoluten GroBe des Ablenkkoeffizienten variieren, wobei i. allg. die kleineren Ablenkkoeffizienten groBere Fehler aufweisen. Bei diesen Fehlern handelt es sich vorwiegend u m systematische Fehler, die iiber den gesamten Anzeigebereich konstant bleiben. Sie lassen sich also quantitativ ermitteln u n d korrigieren.

252

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

A b b . 10.13: Frequenzkompensation des Eingangsteilers: a) Ersatzschaltung eines Tastteilers am Verstarkereingang, b) Unterkompensation (VTC > VTR), Kompensation (VTC = VTR) und Uberkompensation (VTC < VTR) Beispiel — Fehler bei der Anstiegszeit Es sollen die maximalen Fehlergrenzen bei der Messung der Anstiegsgeschwindigkeit einer R a m p e n s p a n n u n g ermittelt werden, wenn die relativen Fehler /y und /x der Vertikal- bzw. der Horizontal-Ablenkeinheiten bekannt sind. Der relative Gesamtfehler /an bei der E r m i t t l u n g der Anstiegsgeschwindigkeit ergibt sich zu Z\?7Mess _

/an =

^U^

^ ^ M e s ^ At^

^

(IQ 34)

wobei Z\t/Mess/^^Mess die mit dem Oszilloskop gemessene und AU^j^/At^ die wahre Anstiegsgeschwindigkeit ist. Aus Gl. (10.34) folgt mit den Definitionsgleichungen fiir die relativen Fehler /y und /x von Vertikal- und HorizontalAblenkeinheit ^

^

= 1 ± /y

(10.35)

^

^

= l±/x

(10.36)

und

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

253

der relative Gesamtfehler /an

Fiir kleine Fehler (|/y| 50ns)

evtl. Offsetspannungen und Gleichtaktstorungen, evtl. zu geringe Schaltspannung

Relais (2-polig)

galvan. Trennung

langsam, evtl. Erdschleifen (Dauer eines Schaltzyklus > 5ms)

Relais (3-polig)

galvan. Trennung auch vom SchirmanschluB

langsam, hohere Kosten

zusatzliche galvan. Trennung der Sensor-Stromversorgung

hohe Kosten

Relais (5-polig)

2-polige Relaisschaltung

Kanal n Sensor

an

OH5?

digitale Masse System-Masse

geschirmte Signalleitung Gefahr von Erdschleifenbildung Kanal n+1

Die Schirmanschlusse von alien n Kanalen haben dauernde elektrische Verbindung.

3-polige Relaisschaltung

Kanal n

Kanal n+1

Infolge der 3-poligen Relaisschaltung wird nur der Schirm des aktuellen MeBkanals durchgeschaltet.

A b b . 14.14: Relais dienen der vollstandigen galvanischen Trennung von Sensor und MeBschaltung. Im Falle der 3-poligen Relais kann der Schirm fiir jeden MeBkanal getrennt werden, so daB nur der Schirm des aktuellen MeBkanals durchgeschaltet wird.

14.2 Basis-Hardware zur MeBdatenerfassung

421

u n d / o d e r induktive Kopplung, die anhand eines Beispiels erlautert werden soil. Eine Quelle Q und ein Empfanger E sind liber eine Zweidrahtleitung verbunden (Abb. 14.15). Beide Gerate sind separat mit der Schutzerde P E verbunden. Eine Storspannung UESI kann nun entweder durch galvanische Kopplung liber die gemeinsame Koppelimpedanz {RSL und LSL) oder durch induktive Einkopplung in die Schleife, die sich zwischen einem Leiter und der Erdverbindung bildet, entstehen. •

•

galvanische Kopplung Der Strom IpEi-2 im Schutzleiter fiihrt zu einer Spannung zwischen den P u n k t e n 1 und 2 und wegen der Impedanzen Z_Q und Z ^ zu unterschiedlichen Storstromen in den beiden Leitern. Dies hat eine Storspannung UESI im Signalkreis zur Folge. induktive Kopplung Infolge magnetisch-induktiver Kopplung kann es zur Induktion von weiteren Storspannungen (Abb. 14.15) kommen. Leitungswiderstande und Leitungsinduktivitaten der Zweidrahtieitung

Quelle

Empfanger

Schutzerdung der Quelle

kopp Kupp

Koppel-mipedanz der Schutzerdung Abb.

Schutzerdung ^^^ Empfanger s ^ ^

14.15: Erdschleife infolge Mehrfacherdung

So wird in der Erdschleife, die sich zwischen den P u n k t e n PEl, 1,2 und PE2 aufspannt, eine Storspannnung Usund induziert, wenn die zeitliche Anderung des magnetischen Flusses ^ ^ ungleich Null ist. Selbst bei geoffneter Erdschleife kann infolge ^ ^ ^ 0 eine weitere Storspannung zwischen den Signalleitungen (1 — 2) und ( 1 ' — 2') induziert werden. Die ist eine Gegentaktstorung.

422

14 Grundlagen der Rechnergestiitzten MeBdatenerfassung

Zur Unterscheidung von Gleich- und Gegentaktstorungen ist anzumerken: •

•

Gleichtaktstorungen ( c o m m o n m o d e noise voltage) Es handelt sich dabei u m Storspannungen zwischen den Signalleitungen und Masse (zur mathematischen Definition siehe Gl. (7.16)). G e g e n t a k t s t o r u n g e n (differential m o d e n o i s e v o l t a g e ) Diese Storspannungen treten zwischen den Signalleitungen auf.

G e g e n m a B n a h m e n gegen Erdschleifen •

•

•

Auftrennen der Erdschleife, d. h. nur einseitige Erdung. Vorsicht: Dies widerspricht oft den giiltigen Sicherheitsbestimmungen, die in jedem Fall einzuhalten sind! Trenntransformator in die Signalleitung einbauen. Beide eben genannten MaBnahmen verlieren bei hohen Frequenzen wegen der stets vorhandenen Streukapazitaten, die dann zunehmend als KurzschluB wirken, an Wirkung. Potentialtrennung durch Optokoppler. Diese wirkungsvolle MaBnahme wird sehr oft bei speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) eingesetzt.

GegenmaBnahmen gegen magnetisch-induktive Gegentaktstorungen Gegen induktiv-magnetische Einkopplungen zwischen den Signalleitungen (^2 in Abb. 14.15) helfen verdrillte Signalleitungen (Twisted-Pair-Leitungen). GegenmaBnahmen gegen Gleichtaktstorungen Die Verwendung von Differenzverstarkern, insbesondere von Instrumentenverstarkern (Kap. 7.2.2), unterdriickt Gleichtaktstorungen weitgehend. Voraussetzung ist allerdings, daB Signaleingange beim Empfanger erd- bzw. massefrei angelegt werden konnen. Weiterhin muB die Eingangsimpedanz des Differ enzver starker s groB gegeniiber der Innenimpedanz der Quelle sein. 1 4 . 2 . 4 Serielle S c h n i t t s t e l l e n Serielle Schnittstellen, wie z . B . die Standardschnittstellen RS232 bzw. RS422 gehoren zur Standardhardware-Ausstattung eines jeden Rechners. Sie erlauben den einfachen AnschluB von Peripheriegeraten an diesen Rechner. Uber die serielle Schnittstelle konnen sowohl Befehle zur Geratesteuerung abgesetzt werden als auch Daten vom MeBgerat in den Rechner transferiert werden. Infolge der seriellen Dateniibertragung ist die Dateniibertragungsrate jedoch relativ niedrig. Die Verwendung serieller Schnittstellen in der MeBdatenerfassung wird in K a p . 15.1 bis 15.5 beschrieben.

14.3 Grundtypen des Datentransfers 14.2.5

423

Parallelbussysteme

Ein Bussystem ist ein aus parallelen Leitungen bestehender elektrischer Verbindungsweg fiir digitale bzw. auch analoge Daten mit fest vereinbarten Hardware-Komponenten, Signalpegeln und Ubertragungsprotokollen. Im Vergleich zu seriellen Schnittstellen sind Parallelbussysteme aufgrund der parallelen Dateniibertragung wesentlich leistungsfahiger, speziell in bezug auf die Datentransferrate. Sie erfordern jedoch den Einbau einer dedizierten Schnittstellenkarte, auf der ein entsprechender Schnittstellen-Controller arbeitet. Der lEC-Bus ist ein solches Bussystem, das mittlerweile auf dem Gebiet der rechnergesteuerten MeBdatenerfassung zum Industriestandard avanciert ist. Nachdem inzwischen auch viele autonom arbeitende MeBgerate, wie z. B. DigitalMultimeter und Spektrumanalysatoren, mit diesem Standard-Interface ausges t a t t e t werden, lassen sich solche Gerate mittels eines Rechners auf elegante Weise steuern bzw. zu kompletten MeBsystemen zusammenschalten. Dabei kann die gesamte Bedienung der MeBgerate vom Rechner aus erfolgen (s. Kap. 15.6). 14.2.6 Datenlogger Eine weitere Moglichkeit der Anbindung von Prozessen an Rechner sind sog. Datenlogger. Diese nehmen vor Ort ProzeBdaten auf und speichern diese, u m sie nach anschlieBendem Transport des Gerates via serieller oder paralleler Schnittstelle (z.B. lEC-Bus) offline dem Rechner zu iibergeben. Dieser Datentransport kann auch mit Hilfe eines Modems iiber das offentliche Telefonnetz oder via Internet geschehen.

14.3 Grundtypen des Datentransfers Der Datentransfer zwischen den peripheren MeBgeraten und dem Rechner kann auf folgende Art en erfolgen: 1. A b f r a g e ( P o l l i n g ) Bei dieser Kommunikationsmethode startet der Rechner die Datenerfassung in einem Peripheriegerat und wartet anschlieBend auf dessen Fertigmeldung. Danach konnen die Daten vom Rechner iibernommen werden. Vorteil: - einfach zu implementieren Nachteil: - Rechner ist bis zur Fertigmeldung blockiert 2. I n t e r r u p t - M e t h o d e Der Rechner arbeitet nach dem Starten des Peripheriegerates im gerade aktuellen P r o g r a m m weiter, bis das Gerat als Fertigmeldung ein InterruptSignal liefert. Das Interrupt-Signal bewirkt die von der Interrupt-ServiceRoutine gesteuerte Dateniibernahme. Danach erfolgt ein Riicksprung an

424

14 Grundlagen der Rechnergestiitzten MeBdatenerfassung das unterbrochene P r o g r a m m . Ublicherweise werden fiir verschiedene Interrupts gestufte Prioritatsebenen festgelegt. Vorteile: - unverziigliche Reaktion auf Triggerereignisse - im Gegensatz zum Polling keine Blockierung des Steuerrechners zwischen den Einlesephasen Nachteil: - Betriebssystem muB echtzeitfahig sein bzw. zumindest die einwandfreie Interruptverarbeitung gestatten

3. D i r e c t M e m o r y A c c e s s ( D M A ) Bei dieser Methode wird der Datentransfer von einem sog. DMA-Controller ohne Beteiligung der C P U (abgesehen von der Initialisierung des Transfers) gesteuert. Die Daten gelangen dabei direkt in den Arbeitsspeicher des Rechners. Vorteil:

- schneller Datentransfer

Nachteile: - keine zwischenzeitliche Uberpriifung der Daten - groBerer Hardwareaufwand (z. B. Speicher im Peripheriegerat). - direkte Verbindung zum Rechnerbus erforderlich

15

Mefidatenerfassung im Labor

Bei der computergesteuerten MeBdatenerfassung nutzt m a n im wesentlichen zwei Moglichkeiten, digitale Signale zu iibertragen, namlich iiber P u n k t - z u P u n k t - V e r b i n d u n g e n oder iiber B u s s y s t e m e . Bei den P u n k t - z u - P u n k t Verbindungen sind zwei Teilnehmer, beispielsweise ein MeBgerat und ein Steuerrechner, iiber eine bidirektionale Datenleitung verbunden. An Bussysteme hingegen lassen sich stets mehrere Teilnehmer gleichzeitig anschlieBen. Bei den Bussystemen wird je nach Form der Ubertragung, die bitseriell oder bitparallel erfolgen kann, zwischen dem seriellen Bus und dem Parallelbus unterschieden. Tabelle 15.1 soil einen Uberblick iiber die wichtigsten im R a h m e n der computerunterstiitzten MeBdatenerfassung und MeBwertverarbeitung genutzten Standardschnittstellen geben. Auf die in der MeBtechnik am haufigsten verwendeten Schnittstellen, z.B. die serielle RS232-Schnittstelle oder die parallele lEC-Bus-Schnittstelle, wird in den folgenden Abschnitten naher eingegangen. Weiterhin wird der derzeitige Stand der Feldbussysteme besprochen. Tabelle 15.1: Computer-Schnittstellen in der MeBdatenerfassung RS232

Punkt-zu-Punkt-Verbindung, serielle Dateniibertragung mit 19200 Bit/s bei max. 20 m, d. h. max. ca. 2000 Zeichen/s (in der Praxis jedoch wird die RS232C-Schnittstelle abweichend von der Norm auch mit hoherer Ubertragungsrate (38400 Bit/s) bzw. fiir langere Ubertragungswege genutzt), Paritatspriifung moglich, Synchronisation von Sender und Empfanger mittels Soft- oder Hardware-Handshake.

RS422 (RS485)

Serielle Schnittstelle, differentielle Signaliibertragung und damit hohere Storsicherheit, max. Ubertragungsdistanz: 1200 m, bis 10 (32 bei RS485) Teilnehmer moglich, Dateniibertragungsrate bis zu 12 MBit/s (siehe auch Tab. 15.6).

USB

(Universal Serial Bus) serielle Busverbindung, Dateniibertragung mit bis zu 480 MBit/s bei einer maximalen Distanz von 5 m, die durch Einfiigen von Repeatern auf bis zu 30 m erweitert werden kann; max. 127 Teilnehmer.

426

15 MeBdatenerfassung im Labor

lEC-Bus

(auch IEEE488, HP-IB bzw. GPIB) Bussystem mit einem Controller (im Normalfall der Steuerrechner), Talkern und Listenern, max. 15 Gerate anschlieBbar (29 bei Verwendung eines BusExpanders), Ubertragungsdistanzen: von Gerat zu Gerat max. 2 m, total max. 20 m, Dateniibertragungsrate: typ. 500 kByte/s, max. 1 MByte/s.

VME-Bus

(VERSA Module Europe) Mikrorechner-Bus fiir Datenwortbreiten bis zu 32 Bit, der auf iiblichen Europakarten-Steckverbindern basiert, Dateniibertragungsrate: max. 24 MByte/s.

VXI-Bus

(VME Bus Extensions for Instrumentation) Um den Steckverbinder P3 erweiterter VME-Bus mit Versorgungsleitungen, Taktleitungen (bis 100 MHz), Trigger-Leitungen und Leitungen fiir lokale Teilbusse. Die Steuerungs- und Kommandostruktur orientiert sich am lEC-Bus-Standard, d. h. eine Mischung von VME-, VXI- und lEC-Bus-Modulen in einem MeBsystem ist moglich, Dateniibertragungsrate: max. 40 MByte/s.

PXI-Bus

(PCI Extension for Instrumentation) auf dem PCI-Bus (PCI=Peripheral Component Interconnect) basierendes Bussystem mit bis zu 64 Bit Datenbreite, Datentransferrate bis zu 528 MByte/s, max. 31 Gerate anschlieBbar, Triggerleitungen und Leitungen fiir lokalen Bus analog zum VXI-Bus vorhanden.

CAMAC

Computer Application for Measurement and Control (Euratom 1969). Ein Bussystem, welches zunachst fiir die Belange der europaischen Kernforschungseinrichtungen entwickelt wurde, jedoch auch fiir andere ProzeBautomatisierungsaufgaben eingesetzt wird.

Fire Wire Standard-PC-Schnittstelle; Ubertragungsraten bis zu 400 MBit/s; (i.Link, max. 63 Teilnehmer; bidirektionaler DatenfluB; max. Entfernung IEEE 1394) zwischen 2 Teilnehmern: 4, 5 m; max. Gesamtlange: 72 m; paketorientierte Dateniibertragung; flexibles 6-adriges Kabel, davon 4 Datenleitungen und 2 fiir Stromversorgung. Der neue Standard IEEE 1394b wird Ubertragungsraten von bis zu 3, 2 GBit/s erlauben. Alle diese Digital-Schnittstellen bestehen aus normgemaB abgestimmten Verdrahtungs- und Logiksystemen, die den Ablauf der Datenverbindungen steuern. Diese miissen in jedem einzelnen Gerat, welches an die jeweilige Schnittstelle angeschlossen ist, implementiert sein. Ein wesentliches Ziel ist es dabei, die Gerate verschiedener Hersteller mittels solcher Schnittstellen storungsfrei zu verbinden. Mit Hilfe von sog. Schnittstellenwandlern lassen sich Standardschnittstellen ineinander konvertieren. So gibt es beispielsweise standardisierte Schnittstellenwandler, die serielle RS232-Schnittstellensignale in lEC-BusSchnittstellensignale umsetzen.

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

427

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) Fiir die serielle Dateniibermittlung stehen mehrere Standardschnittstellen zur Verfiigung, deren Normung von zwei Behorden, namlich dem C C I T T = Comite Consultatif International Telegraphique et Telephonique (Internationales Standardisierungsgremium im Fernmeldebereich) sowie der EIA = Electronic Industry Association (Nationales Normungsinstitut der USA), vorgenommen wurde. Die im R a h m e n der MeBdatenerfassung interessanten seriellen Schnittstellen sind: • • • •

CCITT-Empfehlung V.24 entspricht der US-Norm EIA RS232C CCITT-Empfehlung V . l l entspricht der US-Norm EIA RS422A CCITT-Empfehlung V.IO entspricht der US-Norm EIA RS423A Strom-Schnittstelle; auch als Linienstrom-, 20 mA-, Current-Loopoder TTY-Schnittstelle bezeichnet.

Die maximale Leitungslange betragt 1000 m und die hochste Ubertragungsrate 9,6 k B i t / s . Die ebenfalls genormte RS485-Schnittstelle entspricht der RS422ASchnittstelle mit dem Unterschied, daB 32 a n s t a t t 10 Teilnehmer angeschlossen werden konnen. Die Unterschiede beziiglich der beiden wichtigsten Schnittstellen, der RS232C und der RS422A, sind in Tab. 15.6 dargestellt. Urspriinglich wurde die RS232C-Schnittstelle fiir Dateniibertragungseinrichtungen, den Modems {Modulator/Demodulator], zur Dateniibermittlung auf Telefonleitungen vorgesehen. Heute dient sie vorwiegend der Kopplung von Digitalrechnern mit Peripheriegeraten. Die US-Norm RS232C (Recommended Standard Number 232, Revision C) beschreibt sowohl die elektrischen als auch die funktionellen Eigenschaften der Schnittstelle. Die Nutzung der RS232CSchnittstelle im R a h m e n von MeBdatenerfassungsaufgaben bietet vor allem einen Kostenvorteil, da diese Schnittstelle in den verwendeten Digitalrechnern in der Regel vorhanden ist. Als Nachteil muB die geringe Dateniibertragungsrate angefiihrt werden, die sich insbesondere beim Transfer groBerer Datenmengen, z. B. den oft umfangreichen Datensatzen von DigitalspeicherOszilloskopen, negativ bemerkbar macht. 15.1.1

Ubertragungsmedien

Zum Aufbau von seriellen Dateniibertragungsstrecken verwendet m a n vorwiegend verdrillte Leitungspaare (Twisted-Pair-Leitungen), Koaxialkabel oder auch Lichtwellenleiter. W a h r e n d die kostenintensiven Lichtwellenleiter in bezug auf Bandbreite und iiberbriickbare Distanz ausgezeichnete Ubertragungsmoglichkeiten bieten, beschranken sich die verdrillten Leitungen auf maBige Bandbreite und Entfernung. Sie sind dafiir aber wesentlich preisgiinstiger. Die Koaxialkabel stellen bei der Nutzung der Ubertragung im Basisband eine KompromiBlosung dar (Tab. 15.2).

428

15 MeBdatenerfassung im Labor

Tabelle 15.2: Ubertragungsmedien in der MeBdatenerfassung Ubertragungs- iiberbriickbare Storanfalligkeit Kosten bandbreite Distanz Koaxialkabel (Basisband) 10 MBit/s < 200 m verdrillte Leitungspaare (Twisted-Pair-Leitungen) Lichtwellenleiter

(LWL)

+

+

±^

+

1 GBit/s + 40 GBit/s

< 20 m — km-Bereich

~/+

+ + +

+ + +

++

+ + +

15.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle Abbildung 15.1b zeigt die Belegung des im allgemeinen verwendeten 25poligen Subminiatur-Steckers vom Typ Cannon 7529 mit den wichtigsten Signalen. In der Praxis werden RS232C-Schnittstellen fiir Rechnerverbindungen in der in Abb. 15.1a gezeigten Konfiguration verwendet, die auch von den meisten seriellen Interface-Bausteinen unterstiitzt wird. Zu dieser Konfiguration gehoren die in Tab. 15.3 angefiihrten Signalleitungen. Die RS232C-Schnittstellenleitungen lassen sich nach ihrer Funktion in die folgenden Gruppen untergliedern, deren wichtigste Vertreter im folgenden kurz erlautert werden: •

•

Betriebserde und Riickleiter - P G ( P r o t e c t i v e G r o u n d ) Schutzerde (Stift 1): Die Schutzerde wird mit dem Gehause und dem Schutzleiter der beiden gekoppelten Ubertragungseinrichtungen verbunden. Betriebserde und Schutzerde miissen voneinander isohert sein. - S G ( S i g n a l G r o u n d ) Betriebserde (Stift 7): Die Betriebs- oder Signalerde liegt auf einem Spannungspegel von 0 V. Datenleitungen

Tabelle 15.3: Leitungen der RS232C-Schnittstelle Leitungstyp

Bedeutung und Leitungsnummer

Masse und Riickleiter Datenleitungen Steuerleitungen Meldeleitungen

Schutzerde (PG): 1; Signalerde (SG): 7 Sendedaten (TxD): 2; Empfangsdaten (RxD): 3 Sendeteil einschalten (RTS): 4; DEE betriebsbereit (DTR): 20 Sendebereitschaft (GTS): 5; Betriebsbereitschaft (DSR): 6; Rufanzeige (RI): 22; Empfangssignalpegel (DGD): 8 Sendeschrittakt von DUE (DCE): 15; Sendeschrittakt zur DUE (DTE): 24; Empfangsschrittakt von DUE (DCE): 17

Taktleitungen

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

429

(1) Schutzerde, Protective Ground (PG) (2) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) (3) Empfangsdaten, Received Data (RxD) (4) Sendeteil einschalten, Request To Send (RTS) (5) Sendebereitschaft, Clear To Send (GTS) (6) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Rechner (DEE =DTE)

(7) Betriebserde, Signal-GND (SG) (8) Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) (20) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR)

Peripheriegerat (DUE =DCE) z. B. Modem

(15) Sendeschrittakt von DUE (17) Empfangsschrittakt von DUE (22) Rufanzeige, Ring Indicator (RI) (24) Sendeschrittakt zur DUE

a) Sendeschrittakt zur DUE Rufanzeige, Ring Indicator (RI) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR) Empfangsschrittakt von DUE Sendeschrittakt von DUE

Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) Betriebserde, Signal-GND (SG) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Sendebereitschaft. Clear To Send (CTS) Sendeteil einschalten. Request To Send (RTS) Empfangsdaten, Received Data (RxD) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) Schutzerde, Protective Ground (PG)

b) A b b . 15.1: a) Leitungsbelegung bei der RS232C-Schnittstelle (die Zahlen beziehen sich auf den entsprechenden Stiff des 25-poligen Steckers (DEE = Datenendeinrichtung (= DTE: Data Terminal Equipment), DUE = Dateniibertragungseinrichtung (= DCE: Data Communication Equipment)), b) 25-poliger Standard-RS232-Stecker vom Typ Cannon 7529

430

15 MeBdatenerfassung im Labor -

•

•

T x D ( T r a n s m i t D a t a ) Sendedaten (Stift 2): Uber diese Leitung werden der Empfangsstation die zu iibertragenden digitalen D a t e n als serieller Bitstrom zugefiihrt. Die Dateniibertragung ist aber nur dann moglich, wenn sich die Steuerleitungen RTS und D T R (Stifte 4 und 20) sowie die beiden Meldeleitungen CTS und DSR (Stifte 5 und 6) im EIN-Zustand befinden. In den Sendepausen (idle state = Ruhezustand) befindet sich die TxD-Leitung im Zustand log. 'V. - R x D ( R e c e i v e D a t a ) Empfangsdaten (Stift 3): Uber diese Leitung empfangt die D E E den ihr zugefiihrten seriellen Bitstrom. Steuerleitungen - R T S ( R e q u e s t t o S e n d ) Sendeteil einschalten (Stift 4): Durch Setzen des RTS-Signals zeigt die Datenendeinrichtung (DEE), daB sie D a t e n iibertragen will und die Dateniibertragungseinrichtung (DUE) diese iibernehmen soil. Bei Verwendung eines Modems dient die RTS-Leitung der Steuerung des Modem-Sendeteils. Befindet sich die Leitung im EIN-Zustand, schaltet das Modem in den Sendezustand und verbleibt dort solange, bis die Leitung wieder in den AUS-Zustand wechselt. Die RTS-Leitung kann auch, z . B . bei einer direkten RechnerRechner-Kopplung, zusammen mit der CTS-Leitung als HandshakeLeitung (Abb. 15.7) benutzt werden (RTS/CTS-HardwareProtokoh). - D T R ( D a t a T e r m i n a l R e a d y ) D E E betriebsbereit (Stift 20): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung signalisiert dem Modem, daB die D E E eingeschaltet und betriebsbereit ist. Geht die DTR-Leitung in den AUS-Zustand liber, wird das Modem vom Ubertragungskanal abgeschaltet. Meldeleitungen - C T S ( C l e a r t o S e n d ) Sendebereitschaft (Stift 5): Uber diese Leitung zeigt das Modem der D E E seine Bereitschaft (EINZustand) an, Daten von der D E E zu iibernehmen und liber den Ubertragungskanal zu senden. - D S R ( D a t a S e t R e a d y ) Betriebsbereitschaft (Stift 6): Auf dieser Leitung signalisiert das Modem der D E E durch den EINZustand, daB es mit dem Ubertragungskanal verbunden und betriebsbereit ist. - D C D ( D a t a Carrier D e t e c t ) Empfangssignalpegel (Stift 8): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung zeigt der D E E an, daB der E m p fangssignalpegel des Ubertragungskanals innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen liegt. Wird die Kopplung zweier Gerate durch eine direkte Kabelverbindung (ohne Zwischenschalten eines Modems und eines Ubertragungskanals) vorgenommen, zeigt die DCD-Leitung nach Aktivierung der beiden Schnittstellen an, ob die Kabelverbindung hergestellt ist oder nicht.

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) •

431

Taktleitungen Fiir die synchrone Dateniibertragung stehen folgende Taktleitungen zur Verfiigung: - Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt von der D U E (Stift 15): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die D E E , mit dem die von der D E E kommenden Sendedaten (TxD) getaktet werden. - Receiver Signal Element Timing, Empfangsschrittakt von der D U E (Stift 17): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die D E E , mit dem die vom Modem empfangenen Daten in Richtung D E E iiber die Leitung R x D getaktet werden. - Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt zur D U E (Stift 24): Es handelt sich hierbei u m das Taktsignal, mit dem die Sendedaten (TxD) aus der D E E in Richtung Modem getaktet werden.

15.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung Alle Signale der RS232C-Schnittstelle sind bipolare Spannungen, die iiblicherweise im Bereich von -15 V . . . + 1 5 V liegen. Der Bereich von -3 V . . . + 3 V ist der Ubergangsbereich, in dem der Signalzustand nicht definiert ist. 1 5 . 1 . 4 L o g i k d e f i n i t i o n fiir D a t e n l e i t u n g e n Ist die Spannung eines Signals auf einer Datenleitung (RxD, TxD) gegeniiber der Signalerde (SG) betragsmaBig groBer als 3 V und • •

negativ, so herrscht der Signalzustand log. ' 1 ' , auch als M A R K (marking condition) oder Ruhezustand (idle state) bezeichnet. positiv^ so herrscht der Signalzustand log. ' 0 ^ auch als SPACE (spacing condition) bezeichnet (Abb. 15.2).

1 5 . 1 . 5 L o g i k d e f i n i t i o n fiir S t e u e r - u n d M e l d e l e i t u n g e n Ist die Spannung eines Signals auf einer Steuer- bzw. Meldeleitung gegeniiber der Signalerde (SG) im Betrag groBer als 3 V und • •

negativ, so herrscht der AUS-Zustand. positiv^ so herrscht der EIN-Zustand.

432

15 MeBdatenerfassung im Labor

+u A + 15V 1(^. '0' (SPACE) EIN-Zustand

Potential von SG

+ 3V 0 -3V \Gg. ' 1 ' (MARK) AUS-Zustand Ruhezustand = idle state 15V

A b b . 15.2: Pegeldefinition bei der RS232C-Schnittstelle

15.1.6

Synchronisierung

Die Synchronisierung zwischen Sender und Empfanger sorgt bei der seriellen Dateniibertragung dafiir, daB die Taktgeschwindigkeiten auf der Sende- und Empfangsseite iibereinstimmen und auch der Anfang und das Ende des in Form eines seriellen Bitstromes iibertragenen Datenwortes vom Empfanger richtig erkannt werden. Dabei unterscheidet m a n zwischen synchroner und asynchroner Ubertragung: Asynchrone Ubertragung (Start-/Stop-Verfahren) Da bei der asynchronen Dateniibertragung die Synchroninformation jedem iibertragenen Zeichen beigefiigt wird, benotigt m a n keine zusatzlichen Steueroder Taktleitungen. Der entsprechende asynchrone Zeichenrahmen setzt sich aus der in Abb. 15.3 gezeigten Bitfolge zusammen. Zwecks Fehlererkennung kann zusatzlich zu den eigentlichen Datenbits sowie dem Start- und dem Stopbit ein Paritdtshit iibertragen werden. Dazu wird die im Zeichenrahmen beZeichenrahmen Pause

zo z\ zi zs Z4 Z5 Z6

Pause

n r

HTsk

I

I

I

I

ASCII-Zeichen Q Startbit

Paritatsbit

'1,1,5 oder 2 Stopbits

A b b . 15.3: Asynchroner Zeichenrahmen, bestehend aus: 1 Startbit, 5 ... 8 Datenbits (das LSB wird zuerst gesendet), evtl. 1 Paritatsbit, 1, 1.5 oder 2 Stopbits

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

433

findliche Anzahl der logischen 'V auf eine gerade {even parity) bzw. eine ungerade Anzahl {odd parity) aufgefiillt. Dem Zeichenrahmen wird in der D U E und D E E durch Festlegen der gemeinsamen B a u d r a t e das gleiche Zeitraster zugeordnet. Bei der A b t a s t u n g der Bits wird als A b t a s t r a t e ein Vielfaches der Ubertragungsgeschwindigkeit gewahlt (Faktor 16, 32 oder 64). Fiir den asynchronen Betrieb benotigt m a n hochstens 9 Leitungen (Pins 1-8 und 20), da die Taktleitungen (15, 17 und 24) entfallen. Synchrone Ubertragung Bei der synchronen Dateniibertragung werden mehrere Datenworter zu einem Datenblock zusammengefaBt und fiankiert von Synchronzeichen iibertragen (Abb. 15.4). Dabei wird in der Regel das Zeichen 'SYN' = 16 H (synchronous idle) zweimal zu Beginn eines jeden Blockes gesendet, wahrend das Zeichen ' E T B ' = 17 H (end of transmission block) das Ende eines Blockes markiert. Am Ende einer Sendung steht das Zeichen ' E O T ' = 4 H (end of transmission). Zur Taktsynchronisierung wird das Taktsignal des Senders (Pin 24) genutzt.

SYN SYN

1

^ Daten

1

«

1ETB

Pause SYN SYN

1

Abb. 15.4: Synchroner Zeichenrahmen

15.1.7 Handshake-Verfahren

(Quittierungsverfahren)

Zur Kontrolle der Dateniibertragung, z. B. u m die Empfangsbereitschaft des Empfangers zu signalisieren, verwendet m a n die im folgenden erlauterten Handshake-Verfahren^ die sowohl in Software als auch in Hardware implementiert sein konnen. Dies wird anhand einer DTE-DTE-Strecke, d. h. einer Rechner-Rechner-Verbindung, erlautert. Die beiden D T E s werden mit einem sog. Nullmodemkabel verbunden. Nullmodemkabel sind dadurch gekennzeichnet, daB die Leitungspaare (2,3), (4,5) und (6,20) gekreuzt sind. Fiir den Fall einer DTE-DCE-Strecke, d. h. einer Rechner-Modem-Verbindung, wird ein sog. Modemkabel verwendet, das nur direkt durchverbundene (keine gekreuzten) Leitungen aufweist [140]. 15.1.8

Software-Handshaking

Beim Software-Handshaking werden bestimmte Steuerzeichen in den seriellen Bitstrom integriert. Die beiden gebrauchlichsten Formen des SoftwareHandshakings sind:

434

15 MeBdatenerfassung im Labor

DTE DTE 2 TxD TxD 2 RxD ^3 ^>— DTR DTR 8 sL, DCD DCD 7 SG SG 7

^ttc —

1

Abb. 15.5: Leitungskonfiguration fiir das XON/XOFF-Protokoll

XON/XOFF-Protokoll Zu Beginn der Empfangsbereitschaft sendet der Empfanger ein XON-Zeichen (i. allg. ' D C l ' = 11 H). Daraufhin iibermittelt der Sender Daten, bis er vom Empfanger durch ein XOFF-Zeichen (i. allg. ' D C 3 ' = 13 H) aufgefordert wird, den Datenstrom anzuhalten. Danach wartet der Sender auf das nachste XONZeichen des Empfangers, bevor er wieder Daten sendet. Die entsprechende Verdrahtung der Leitungen, die in Abb. 15.5 gezeigt wird, ist beziiglich der benotigten Leitungen minimal (es werden nur drei Leitungen benotigt). ETX/ACK-Protokoll Bei diesem Protokoll werden Datenpakete definierter Lange iibertragen, wobei ein Uberlauf des Empfangerspeichers prinzipiell vermieden werden muB. Bei Empfangsbereitschaft wird die DTR-Leitung vom Empfanger auf log. ''I'-Pegel gesetzt. Gleichzeitig wird vom Empfanger das Steuerzeichen ' A C K ' = 06 H gesendet, woraufhin der Sender das Datenpaket an den Empfanger schickt und mit ' E T X ' = 03 H abschlieBt. Nachdem der Empfanger die Daten verarbeitet hat, zeigt er seine erneute Empfangsbereitschaft mit ' A C K ' = 06 H an. Die Leitungskonfiguration, die diesem Protokoll zugrunde liegt, wird in Abb. 15.6 gezeigt. DTE

DTE

_J1 TxD TxD i RxD ^3 ..--"v^ J RxD

^ttc

RTS CTS DSR DTR 20

X

RTS CTS DSR 20 DTR

DCD -J 8 8L-- DCD 7 SG SG 7 A b b . 15.6: Leitungskonfiguration fiir das ETX/ACK-Protokoll

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

435

DTE DTE 2 TxD TxD 2 RxD ^3 ^>— DTR DCD ^ 8 8L, DCD 7 SG SG 7 1

Abb. 15.7: Leitungskonfiguration fiir Hardware-Handshake

15.1.9

Hardware-Handshaking

Beim Hardware-Handshaking wird die Kontrolle der Dateniibertragung von der Schnittstellenhardware iibernommen, die dafiir das Leitungspaar R T S / C T S zur Verfiigung stellt. Beim Mehrdraht-Handshake mit RTS/CTS-Protokoll (Abb. 15.7) zeigt der empfangsbereite P a r t n e r seine Empfangsbereitschaft an, indem er seine RTS-Leitung in den EIN-Zustand versetzt. Die Leitung wird wieder in den AUS-Zustand zuriickversetzt, wenn er keine Daten mehr aufnehmen kann, etwa weil der Empfangspuffer iiberzulaufen droht. Der jeweihge Sender erkennt dies anhand des Zustandes (EIN/AUS) seiner CTSLeitung. Man beachte die gekreuzten Leitungspaare des in Abb. 15.7 verwendeten Nullmodemkabels. 15.1.10 Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen Die hardwaremaBige Reahsierung von seriellen Schnittstellen erfolgt i. a. mit Hilfe von Standardschnittstellenbausteinen. Ein solcher Schnittstellenbaustein hat zunachst die wichtige Aufgabe, ankommende serielle Datenstrome in parallele Datenworter zu wandeln und an den Parallelbus des Rechners zu iibergeben bzw. umgekehrt von dort kommende parallele Datenworter in serielle Datenstrome zu wandeln und an den seriellen Ausgang der Schnittstelle zu senden. Das Prinzipschaltbild eines solchen Schnittstellenbausteins, der auch als UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) bezeichnet wird, ist in Abb. 15.8 zu sehen. Daneben gibt es auch Bausteinvarianten, die zusatzlich die synchrone Dateniibertragung erlauben. Es handelt sich dabei u m sog. USARTs (Universal Synchronous and Asynchronous Receiver Transmitter). Als Beispiel fiir einen in der Praxis oft eingesetzten USART soil hier der Chip 8251 der F i r m a Intel besprochen werden. Dieser in NMOS-Technologie gefertigte Peripheriebaustein wird als Parallel-Seriell-Schnittstellenwandler u. a. auf Boards der 8086-Mikroprozessor-Familie verwendet. Seine Ein- und Ausgange sind TTL-kompatibel. Das Blockschaltbild des 8251 sowie die Pin-

436

15 MeBdatenerfassung im Labor

belegung seines 28-Pin-Standardgehauses werden in Abb. 15.9 gezeigt. Dieser Baustein ermoglicht die folgenden Betriebsarten: •

•

• •

Asynchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortlange, Baudratenfaktor (1, 16, 64), programmierbar 1, 1.5 oder 2 Stop-Bits. Die Synchronisierung erfolgt durch die fallende Flanke des Startbits. Synchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortlange, interne oder externe Zeichensynchronisierung, automatisches Einfiigen von SYN-Zeichen zur Markierung des Datenstrombeginns B a u d r a t e bis 9,6 k B i t / s Fehlererkennung durch Par it at s- und Uberlaufpriifung.

In Tab. 15.4 ist die Bedeutung der im Blockschaltbild (Abb. 15.9a) bzw. bei der Pinbelegung (Abb. 15.9b) gezeigten Leitungen stichwortartig erlautert. Weitere Details zur Hardware sowie zur Programmierung dieses Bausteins linden sich in der weiterfiihrenden Literatur, z . B . in [95]. Parallel-Bus (interner Rechner-Bus)

Daten

Transmitter

Serieller Ausgang (TxD)

Serieller Eingang (RxD) Empfangstakt gemeinsame Taktleitung Steuersignale

ZustandskontroUe

Taktsignal

A b b . 1 5 . 8 : Prinzipschaltbild eines Universal Asynchronous Receiver T r a n s m i t t e r s (UART)

15.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) Tabelle 15.4: Signale des Bausteins USART 8251 Bezeichnung Bedeutung/Aufgaben der Signalleitung ProzessorSchnittstelle: DO ... D7 'RD

WB_ C/D Reset CLK 'CS

bidirektionaler Datenbus; es werden auch Statusinformationen, Steuer- und Kommandoworter libertragen Lesesignal Schreibsignal Auswahl des Steuerregisters (Control/Data): C/D = 0 : Daten; C/D = 1 : Kommando, Status Riicksetzeingang TTL-Takteingang Bausteinauswahl-Eingang (Chip Select)

Serielle DatenSchnittstelle: RxD

Empfangsdaten Sendedaten

Modemsteuerung: RTS CTS DTR 'DSR

Sendeaufforderung (Request to Send) Sendebereitschaft (Clear to Send) Datenstation bereit (Data Terminal Ready) DUE bereit (Data Set Ready)

Sendesteuerung: TxRDY T^C

Sender bereit (Transmitter Ready) Sendepuffer leer (Transmitter Empty) Sendetakt (Transmitter Clock)

Empfangssteuerung: RxRDY RyiC

Syndet

Empfanger bereit (Receiver Ready) Empfangstakt (Receiver Clock) Synchronisationserkennung (SYNC Detect) fiir Synchronbetrieb

437

438

15 MeBdatenerfassung im Labor

DatenbusD 7 . . . D 0 C d puffer

Reset CLK C/DRD WR-

DTR RTS

TxD

LeseSchreibSteuerlogik

Sendesteuemng

TxRDY TxE TxC

Modemsteuerung

Empfangspuffer

RxD

Empfangssteuerung

RxRDY RxC Syndet

CS DSRCTS

intemer Datenbus

a)

D2 D3 RxD Gnd D4 D5 D6 D7_ TxC WR CS_

c/p

b)

Sendepuffer

RD RxRDY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8251

28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

• • • • h • • • • • • • • R

Dl DO Vc^ RxC DTR RTS DSR Reset CLK TxD TxEmpty CTS Syndet TxRDY

A b b . 15.9: Universal Synchronous Asynchronous Receiver Transmitter US ART 8251: a) Blockschaltbild, b) Pinbelegung

15.2 Kenngrofien der seriellen Dateniibertragung Im folgenden sollen die wichtigsten KenngroBen der seriellen Dateniibertragung erlautert werden. Diese sind: • • • •

Schrittgeschwindigkeit (Baudrate) Ubertragungsgeschwindigkeit (Ubertragungsrate) Zeichengeschwindigkeit Wirkungsgrad (Datendurchsatz).

15.3 Die RS485-Schnittstelle

439

Die S c h r i t t g e s c h w i n d i g k e i t v s (Baud = B i t / s ) gibt die Anzahl der Kennzustandswechsel pro Sekunde an und entspricht dem Reziprokwert der Bitzeit Ts, die oft mit der Schrittdauer identisch ist ^'s = ^

.

(15.1)

Die Z e i c h e n g e s c h w i n d i g k e i t v z (Zeichen/s) gibt die effektive Leistung einer Dateniibertragungseinrichtung an, d. h. die Anzahl der pro Sekunde iibertragenen Zeichen

Dabei bezeichnet Z die Anzahl der Einheitsschritte in einem und Tz die Dauer eines Zeichenrahmens. Die U b e r t r a g u n g s g e s c h w i n d i g k e i t v ^ (Bit/s) gibt die Sekunde iibertragenen Bits an. Im Falle binarer Codierung zustande) entspricht sie der Schrittgeschwindigkeit, wahrend gende Definitionsgleichung zu beachten ist Vjj = v^ldn

Zeichenrahmen Anzahl der pro (n = 2 Kennfiir n > 2 fol-

= Zvz^