Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren [6 ed.] 978-3-642-22608-3, 978-3-642-22609-0

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Springer-Lehrbuch

Reinhard Lerch

Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren 6., neu bearbeitete Auflage Mit 552 Abbildungen und 65 Tabellen sowie DVD

Professor Dr.-Ing. Reinhard Lerch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für Sensorik Paul-Gordan-Str. 3/5 D-91052 Erlangen [email protected]

Extras im Web unter www.springer.com/978-3-642-22608-3 ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-22608-3 DOI 10.1007/978-3-642-22609-0

ISBN 978-3-642-22609-0 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2005, 2006, 2007, 2010, 2012 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-vieweg.de

Vorwort zur sechsten Auflage

Dank der regen Nachfrage kann bereits knapp zwei Jahre nach dem Erscheinen der letzten Auflage nunmehr die 6. Auflage dieses Werkes erscheinen. Neben allf¨ alligen Korrekturen kleiner Fehler und Aktualisierungen auf dem Gebiet Computerunterst¨ utzte Messdatenerfassung wurde bei der Neuaufbereitung ein umfangreicher Abschnitt zum Thema Energiemeter hinzugenommen. In diesem Abschnitt (Kap. 11.10) werden die technischen Aspekte der modernen Leistungs- bzw. Energiemessung ausf¨ uhrlich diskutiert. Einen wesentlichen Teil nimmt dabei die Besprechung von integrierten Schaltkreisen ein, die der Messung elektrischer Leistung und Energie im elektrischen Energieversorgungsnetz dienen. Diese integrierten Schaltkreise bilden ja auch das Herzst¨ uck von neuartigen Energiemetern, den sog. Smart Metern, also elektronischen Energiez¨ahlern, die leicht in moderne IT-Infrastrukturen eingebunden werden k¨ onnen. Somit sind sie auch im Hinblick auf Energieeinsparung sowie die Kanalisierung und Steuerung von Energiefl¨ ussen im Zuge der dezentralen elektrischen Energieversorgung unersetzlich geworden. Die Smart Meters sind notwendig, um die derzeit in Diskussion bzw. Planung befindliche SmartGrid-Technologie des elektrischen Energieversorgungsnetzes zu realisieren. Dar¨ uberhinaus werden auch die Verfahren vorgestellt, mit denen Leistungen bzw. Energien von Mikrowellenkomponenten gemessen werden, wie z. B. Leistungssensoren f¨ ur den GHz-Bereich. In diesem Zusammenhang werden die Hochfrequenz-Leistungsmessungen unter Verwendung von thermoelektrischen Umformern und Bolometern besprochen. Desweiteren werden Leistungsmeßk¨ opfe auf der Basis von kaskadierten logarithmischen Verst¨arkern behandelt sowie solche, die mit Diodengleichrichtern arbeiten. Bei all diesen Arbeiten konnte ich wieder auf das bew¨ahrte Team meines Lehrstuhls vertrauen. Mein besonderer Dank gilt Frau Bettina Melberg und Frau Cornelia Salley-Sippel f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des Layouts sowie den Herren Dipl.-Ing. Thorsten Albach, Dipl.-Ing. Dominik Gedeon, Dr. techn. Stefan J. Rupitsch, Dr.-Ing. Alexander Sutor und Michael G¨ unther f¨ ur Ihre tatkr¨ aftige Mithilfe bei der inhaltlichen Gestaltung des Manuskriptes. F¨ ur die Unterst¨ utzung bei der technischen Erstellung des Werkes

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sowie beim Marketing geb¨ uhrt Frau Hestermann-Beyerle und Frau KollmarThoni vom Springer-Verlag Heidelberg mein Dank. Abschließend darf ich mich bei allen Lesern bedanken, die dieses Werk erwerben, und darf Ihnen große Freude beim Lesen w¨ unschen. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2012

Reinhard Lerch

Vorwort zur fu ¨ nften Auflage

F¨ ur die 5. Auflage dieses Buches sind wichtige inhaltliche Erweiterungen vorgenommen worden. So wurde beispielsweise im Kapitel Messverst¨arker ein Abschnitt u arker mit differentiellem Ausgang hinzugef¨ ugt ¨ber Operationsverst¨ und im Kapitel Analoges Messen elektrischer Gr¨oßen ein Abschnitt u ¨ber Strommeßzangen neu aufgenommen. Außerdem wurden dort die Operationsverst¨ arker-Datentabellen aktualisiert. Da insbesondere die Hard- und Software zur Messdatenerfassung und Laborautomation kontinuierlicher Innovation unterliegen, wurden die entsprechenden Kapitel auf den neuesten Stand der Technik gebracht, so zum Beispiel auch der Abschnitt u ¨ber PXI-Systeme, welche in letzter Zeit immer mehr an Bedeutung gewinnen. Auch der Abschnitt u ¨ber Analog-Digital-Umsetzer wurde aktualisiert. Das Angebot an Software, ¨ Rechenbeispielen und sonstigen Ubungsaufgaben, die sich auf der beiliegenden DVD befinden, wurde erg¨ anzt und ebenfalls auf den neuesten Stand gebracht. Weiterhin wurden alle Kapitel im Hinblick auf Inkompabilit¨aten in der Schreibweise von Formeln und Formelzeichen u uft und bestehende ¨berpr¨ Abweichungen korrigiert. Bei all diesen Arbeiten konnte ich wieder auf das bew¨ahrte Team meines Lehrstuhls vertrauen. Mein besonderer Dank gilt Frau B. Melberg und Frau C. Salley-Sippel sowie den Herren Dipl.-Ing. Th. Albach, Dr. techn. S. J. Rupitsch, Dr.-Ing. A. Sutor und M. G¨ unther f¨ ur Ihre tatkr¨aftige Mithilfe. F¨ ur die Unterst¨ utzung bei der technischen Erstellung des Werkes sowie beim Marketing geb¨ uhrt Frau Hestermann-Beyerle und Frau Kollmar-Thoni vom Springer-Verlag Heidelberg mein Dank. Abschließend darf ich mich bei allen Lesern bedanken, die dieses Werk kaufen, und darf Ihnen große Freude beim Lesen w¨ unschen. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2010

Reinhard Lerch

Vorwort zur vierten Auflage

Zun¨ achst einmal gilt mein besonders herzlicher Dank all denjenigen Lesern, die im letzten Jahr dieses Buch k¨ auflich erworben haben. Denn dank ihnen ist es m¨ oglich geworden, schon ein Jahr nach Erscheinen der letzten Auflage die nunmehr 4. Edition dieses Werkes herauszugeben. Dadurch ist es in relativ kurzer Frist gelungen, neben anstehenden kleineren Korrekturen wesentliche Erweiterungen bzw. Verbesserungen am Text und der beiliegenden DVD vorzunehmen. Viele der Vorschl¨ age dazu stammen von Fachkollegen an Universit¨ aten und Fachhochschulen. In diesem Zusammenhang geb¨ uhrt meinen Kollegen aus dem Kreise des AHMT (Arbeitskreis der Hochschullehrer Meßtechnik; www.ahmt.de) mein besonderer Dank. Denn vor allem von ihnen kamen konstruktive Vorschl¨ age, das vorliegende Werk in Richtung Meßsignalverarbeitung, Korrelationsmeßtechnik, Regressions- und Test-Verfahren auszubauen. F¨ ur diese sehr wertvollen Hinweise und Anmerkungen bei der Evaluierung der letzten Auflage m¨ ochte ich an dieser Stelle nochmals meinen besonderen Dank aussprechen. ¨ Desweiteren sind die Ubungsund Demonstrationsbeispiele auf beiliegender DVD in großem Umfang, insbesondere f¨ ur die eben genannten Kapitel, ausgebaut worden. Diese basieren im wesentlichen auf dem Programm LabVIEW (National Instruments), das auch bei dieser Auflage auf der DVD in seiner neuesten Version (Studentenversion) vorliegt. Mit Hilfe der auf der ¨ DVD enthaltenen Ubungen, Programmier- und Demonstrationsbeispielen ist es m¨ oglich, daß der Leser sein mit dem Studium des Werkes erworbenes Wissen unmittelbar auf praktische ingenieurm¨ aßige Problemstellungen anwendet. Das ¨ ¨ dieses Lehrbuch begleitende Ubungsbuch “Elektrische Messtechnik - Ubungs¨ buch” rundet die Ubungsm¨ oglichkeiten in den Bereichen ab, f¨ ur die Computer¨ ubungen weniger geeignet sind als Rechnungen mit Papier und Bleistift. F¨ ur die entsprechende Unterst¨ utzung beim Erstellen der DVD und die gewinnbringende Kooperation mit der Firma National Instruments m¨ochte ich mich vor allem bei den Herren Marc Backmeyer und Dipl.-Ing. Rahman Jamal bedanken.

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Mein vorrangiger Dank gilt aber vor allem meinem Team des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik, das durch seinen unerm¨ udlichen Einsatz in der letzen Zeit die schnelle Erstellung dieser 4. Auflage erm¨ oglicht hat. Hier sind vor allem zu nennen: Herr Dipl.-Ing. Thorsten Albach, Frau Bettina Melberg, Frau Cornelia SalleySippel, Herr Dr.-Ing. Alexander Sutor. Nicht zuletzt darf ich auch die wiederum exzellente Zusammenarbeit mit dem herausgebenden Verlag und seinen Mitarbeitern, vor allem Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, hervorheben.

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Erlangen, im Sommer 2007

Reinhard Lerch

Vorwort zur dritten Auflage

Dank der recht großen Beliebtheit dieses Buches ist es m¨oglich, bereits zwei Jahre nach Erscheinen der letzten Auflage nunmehr die 3. Auflage dieses Werkes vorstellen zu k¨ onnen. Gegen¨ uber der 2. Auflage wurden vor allem die Kapitel zur Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung dem allerneuesten Stand der Technik angepaßt. So wird der j¨ ungst eingef¨ uhrte LXI-Standard zur Vernetzung von Meßger¨aten ebenso behandelt wie die neuesten Entwicklungen auf dem Gebiet der Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS), der Digitaloszilloskope, der USBMeßmodule sowie moderne Source Measuring Units. Damit ist dieser Block auf nunmehr 200 Seiten bzw. ein Drittel des Gesamtwerkes angewachsen. Das Kapitel Elektromechanische Meßger¨ate“(Kapitel 6.1) wurde beibe” halten trotz der Tatsache, daß es sich dabei um eine in ihrer Bedeutung zur¨ uckgehende Meßger¨ ateklasse handelt. Dennoch halte ich diesen Abschnitt f¨ ur ¨ außerst wertvoll f¨ ur Studierende des Faches Sensorik bzw. f¨ ur das gesamte Gebiet der Mechatronik, da man anhand der Funktionsprinzipien f¨ ur elektromechanische Meßger¨ ate sehr sch¨ on die Interaktionen zwischen mechanischen und elektromagnetischen Feldern lernen kann. Demzufolge sind die hier behandelten elektromechanischen Grundprinzipien und Gesetzm¨aßigkeiten (z. B. die Lorentzkraft oder die Wirbelstromd¨ampfung) insbesondere f¨ ur das Verst¨ andnis von modernen elektromechanischen Sensoren und Aktoren wichtig. An dieser Stelle gilt es auch, zun¨ achst einmal all denjenigen herzlich zu danken, die mich in den beiden letzten Jahren auf Fehler bzw. unklare Darstellungen in der 2. Auflage aufmerksam gemacht haben. Meistens handelte es sich dabei um Studierende der Technischen Fakult¨at der Friedrich-AlexanderUniversit¨ at Erlangen-N¨ urnberg oder auch um Studierende anderer Universit¨ aten und Fachhochschulen, die sich auf Pr¨ ufungen in ingenieurwissenschaftlichen F¨ achern vorbereitet haben. Alle berechtigten Einw¨ande und Hinweise wurden in der vorliegenden Auflage ber¨ ucksichtigt. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg wiederum mit großem

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Einsatz unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich unserem akadem. Rat, Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor, ebenso wie Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler, Herrn Dipl.-Ing. Erich Leder sowie dem Leiter unserer Elektronikwerkstatt, Herrn Michael G¨ unther, f¨ ur ihre Beitr¨ age zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der elektronischen Fertigstellung des kamerafertigen Manuskriptes samt aller darin enthaltenen, teilweise diffizilen Grafiken gilt mein besonders herzlicher Dank wiederum Frau Cornelia SalleySippel und Frau Bettina Melberg. Bedanken m¨ ochte ich mich auch bei den beiden verantwortlichen Mitarbeiterinnen des Springer-Verlages, Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, f¨ ur die hervorragende Unterst¨ utzung und exzellente Zusammenarbeit. ¨ Diesem Buch liegt eine CD-ROM mit Ubungsaufgaben zur R Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung in NI LabVIEW sowie zur Programmierung von Speicherprogrammierbaren SteuerunR gen (SPS) mit CoDeSys bei. Dabei gibt es Programmieraufgaben, deren L¨ osung via Internet auf eine am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik (FriedrichAlexander-Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg) aufgebaute Speicherprogrammierbare Steuerung heruntergeladen werden k¨ onnen. Anhand helligkeitsgesteuerter Lampen und LEDs l¨ aßt sich mittels einer WebCam die erfolgreiche Programmierung dieser SPS beobachten. Das oben gezeigte Icon weist an entsprechenden Stellen des Buches auf ¨ ¨ thematisch passende Ubungsaufgaben auf der CD-ROM hin. Weitere Ubungsbeispiele und Hinweise findet man unter www.lse.e-technik.uni-erlangen.de/elektrische_messtechnik

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Erlangen, im Sommer 2006

Reinhard Lerch

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Auflage tr¨ agt insbesondere den aktuellen Entwicklungen im Bereich Computerunterst¨ utzte Meßdatenerfassung Rechnung. Daher sind die entsprechenden Kapitel in der zweiten Auflage stark angewachsen und nehmen nunmehr u ¨ber ein Drittel des Gesamtumfanges ein. Infolgedessen k¨onnen alle wesentlichen Hard- und Software-Komponenten der modernen rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung behandelt werden. So werden beispielsweise die weltweite Vernetzung von Meßdaten- und Prozeßrechnern wie auch die Meßdatenerfassung unter Zuhilfenahme von Virtual Private Networks besprochen. Die zweite Auflage wurde ebenfalls erweitert auf dem Gebiet der Ausgleichsvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken, was der detaillierten Erl¨auterung der dynamischen Meßfehler und ihrer Korrekturm¨oglichkeiten zugute kommt. Auch die Analyse und Messung von nichtlinearen Bauelementen wurde in den Stoff aufgenommen. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg mit großem Engagement unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor und Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler f¨ ur ihre fachlichen Beitr¨age zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der Erstellung des Manuskriptes und der Grafiken gilt Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg mein besonderer Dank. An der Korrekturlesung des Werkes waren alle Mitarbeiter des Lehrstuhls sowie Herr Dr.-Ing. G¨ unter Pretzl vom Lehrstuhl f¨ ur Technische Elektronik und meine Ehefrau Elke beteiligt. Auch ihnen sei an dieser Stelle daf¨ ur herzlich gedankt. Dank gilt auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die hervorragende Kooperation, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2004

Reinhard Lerch

Vorwort zur ersten Auflage

Die in der zweiten H¨ alfte unseres Jahrhunderts erfolgten innovativen Entwicklungen auf dem Gebiet der Elektrotechnik haben f¨ ur die Elektrische Meßtechnik eine Vielzahl neuer Verfahren und Meßschaltungen mit sich gebracht. So basiert die Messung elektrischer und nicht-elektrischer Gr¨oßen heute vorwiegend auf Schaltungen, die erst durch in j¨ ungster Vergangenheit entwickelte elektronische Halbleiterbauelemente und integrierte Schaltkreise, wie beispielsweise Operationsverst¨ arker, digitale Grundschaltungen und AnalogDigital- bzw. Digital-Analog-Umsetzer, erm¨ oglicht wurden. Die Nutzung dieser modernen Elektronik und die enormen Fortschritte auf dem Gebiet der Digitalrechner haben zu einer sehr engen Verflechtung von Elektrischer Meßtechnik und Computertechnik bzw. Informatik gef¨ uhrt. Dies zeigt sich unter anderem in der Tatsache, daß die heutige Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner oder digitale Signalprozessoren verlagert werden und zum Teil in Software implementiert sind. Nachdem in den letzten Jahren eine Vielzahl von leistungsf¨ahigen Sensoren zur Detektion nicht-elektrischer Meßgr¨ oßen entwickelt wurde, verst¨arkt sich der Trend, daß viele nicht-elektrotechnische Wissenschaftszweige, wie z. B. der Maschinenbau und die Verfahrenstechnik, ihre meßtechnischen Probleme mit rein elektrotechnischen bzw. informationstechnischen Mitteln l¨osen. Es wurde versucht, dieser Entwicklung mit der Struktur des vorliegenden Werkes Rechnung zu tragen, ohne die klassischen Grundlagen zu vernachl¨ assigen. So werden nach einem einf¨ uhrenden Kapitel u ¨ber Meßfehler, die konventionellen elektromechanischen Meßwerke besprochen, welche zwar zunehmend von digitalen Meßger¨ aten abgel¨ ost werden, deren grundlegende Wandlungsmechanismen aber f¨ ur das Gebiet der elektromechanischen Meßwertaufnehmer (Sensoren) von großer Bedeutung sind. Nach den Abschnitten zur Messung von elektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischer Impedanz folgen als thematische Schwerpunkte die Methoden und Verfahren sowie die daraus resultierenden elektronischen Schaltungen der modernen Elektrischen Meßtechnik. Diese werden in den Kapiteln Operationsverst¨arker, Darstellung elektrischer Signale, Digitale Meßtechnik, Messung von Frequenz

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und Zeit sowie Meßsignalverarbeitung und Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung behandelt. Die in diesem Buch angesprochenen Themen und Fragestellungen decken den Stoff einer einf¨ uhrenden Vorlesung Elektrische Meßtechnik ab. Dar¨ uberhinaus ist die Thematik einer weiterf¨ uhrenden Vorlesung Rechnergest¨ utzte Meßdatenverarbeitung und Meßsignalverarbeitung enthalten, die als Wahlvorlesung f¨ ur Studenten h¨ oherer Semester Bestandteil des an der Johannes Kepler Universit¨ at Linz im Jahre 1990 eingerichteten Diplomingenieurstudienganges Mechatronik ist. Das Buch wendet sich jedoch nicht nur an Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Mechatronik, Maschinenbau, Informationstechnik, Physik und Chemie sondern auch an die bereits auf dem Gebiet der Meßtechnik praktisch t¨ atigen Ingenieure und Naturwissenschaftler, die ihr Wissen u ¨ber Meßtechnik auffrischen bzw. vertiefen wollen. Mit dem vorliegenden Werk sollen sowohl Kenntnisse u ¨ber die bei der Messung elektrischer Gr¨ oßen eingesetzten Standardverfahren vermittelt als auch der neueste Stand der zur modernen Elektrischen Meßtechnik z¨ahlenden computergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung beschrieben werden. ¨ Das Buch ist in Verbindung mit dem Begleitwerk Ubungen zur Elek” ¨ trischen Meßtechnik“ (R. Lerch; M. Kaltenbacher; F. Lindinger: Ubungen zur Elektrischen Meßtechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996) zum ¨ Selbststudium geeignet. In diesem Ubungsbuch werden neben kurzen Repetitorien zahlreiche praktische Aufgaben und weiterf¨ uhrende Beispiele zu dem gesamten im Lehrbuch behandelten Stoff angeboten. F¨ ur das Verst¨andnis des in den beiden genannten Werken dargebotenen Stoffes werden lediglich Grundkenntnisse auf den Gebieten Elektrotechnik, Mathematik sowie Schaltungstechnik erwartet. Bei der Ausarbeitung des Manuskriptes habe ich viele Anregungen und wesentliche Unterst¨ utzung von allen am Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik der Universit¨ at Linz t¨ atigen Mitarbeitern erfahren. In allererster Linie bin ich Herrn Dipl.-Ing. Manfred Kaltenbacher und Herrn Dipl.-Ing. Franz Lindinger f¨ ur ihre wesentlichen fachlichen Beitr¨ age zu diesem Werk sowie ihren unerm¨ udlichen Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung des Manuskriptes zu gr¨oßtem Dank verpflichtet. Die wahrlich nicht immer einfachen Aufgaben des computergerechten Textschreibens sowie der Anfertigung von Abbildungen lagen in den H¨ anden von Frau Waltraud Kratzer, die die immer wieder an¨ stehenden Texterweiterungen und Anderungen der Abbildungen mit großem Engagement und Sachverstand vorgenommen hat. Ihr geb¨ uhrt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau Sylvia Preßl, die ebenfalls viele der Grafiken angefertigt hat, wie auch Frau Ingrid Hagelm¨ uller, die f¨ ur die Texteingabe sowie die Erstellung der Abbildungen der ersten Manuskriptversion verantwortlich war. All denjenigen, die an der Korrekturlesung dieses Werkes beteiligt waren und Verbesserungsvorschl¨ age eingebracht haben, d. h. meinen Kollegen, meinen Assistenten, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Todor Sheljaskov und Dipl.Ing. Roland Exler, den Linzer Mechatronik-Studenten sowie meiner Ehefrau

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Elke, m¨ ochte ich ebenfalls meinen herzlichen Dank f¨ ur ihren großen Einsatz aussprechen. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen eben genannten Personen m¨ ochte ich auch danken f¨ ur ihr Verst¨andnis und ihre Geduld bei der mehrmals verz¨ ogerten Abgabe des Manuskriptes. Da es erwartungsgem¨ aß auch bei noch so sorgf¨altiger Bearbeitung des Textes nicht m¨ oglich sein d¨ urfte, die Erstauflage eines solchen Buches fehlerfrei zu halten, m¨ ochte ich mich schon vorab bei allen Lesern f¨ ur diese Fehler entschuldigen und sie ermutigen, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik Johannes Kepler Universit¨ at Linz Altenberger Straße 69 A-4040 Linz email: [email protected]

Linz, im Januar 1996

Reinhard Lerch

Inhaltsverzeichnis

1

Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik . . . . . . 1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Der Begriff des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Allgemeine Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) 1.4 Vorschriften und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Klassifizierung von Meßmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode . . . . . . . . . 1.5.2 Analog - Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Direkt - Indirekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9

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Die Grundlagen des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abgeleitete Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 13 13 13

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Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und ¨ Vierpol-Ubertragungsverhalten ............................ 3.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen . . . . . . 3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 21 24 27

30

XX

Inhaltsverzeichnis

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

4

5

¨ 3.5.1 Uberlagerung .................................... 3.5.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung . . . . . . . 3.5.5 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) . . . . . . . . . . 3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) . . . . . . 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Anfangswert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.10 Endwert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation . Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich . . Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.2 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren

Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Nichtlineare Induktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 31 31 33 34 34 35 35 35 35 36 37 39 42 52 56 60 61 65 68 73 73 73 74 79 85 89 90

Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1 Systematische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 Zuf¨ allige Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung . . . 98 5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Sch¨atzwert . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Inhaltsverzeichnis

5.4

XXI

Dynamische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen . . . . . . . . 107 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . 112 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6

Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1.1 Drehspulmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.2 Galvanometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.4 Dreheisenmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) . . . . 130 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.2 Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung . . . . . . 142 6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . 143 6.3.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.2 Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) . 146 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Messung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.7 Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) . . . . . . . . . . . 164 6.3.9 Strommeßzange f¨ ur Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7

Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1 Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3 Definitionen von Operationsverst¨arker-Kenngr¨oßen . . . 176 7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 183 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang . . . . . 196 7.2 Spezielle Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.1 Differenzverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨arker) . 201 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2.4 Ladungsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XXII

Inhaltsverzeichnis

8

Messung der elektrischen Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen . . . . . . . . . . . . 223 8.3 Messung der elektrischen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9

Messung von elektrischen Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand . . . . . . . . . . . . . 236 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle . . . . . . . . . . . . . 238 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes . . . . . . . . . . . . 239 9.2 Kompensationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.1 Gleichspannungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.2 Gleichstromkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.2 Einfl¨ usse von Erd- und Streukapazit¨aten . . . . . . . . . . . . 252 9.5.3 Halbautomatischer Br¨ uckenabgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale . . . . . . . . . . 263 10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-R¨ohre . . . . 263 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops . . . . . . . . . 270 10.1.4 Sampling-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . 276 10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie . . . . . . . 278 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeffizienten) . . . . . 278 10.3.2 Linearit¨ atsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.4 Digital-Speicheroszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes . . . . . . . . . . . . . . 289 10.4.3 Betriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops . . . . . . . . 291 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Inhaltsverzeichnis XXIII

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11 Digitale Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.1 Dualzahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code . . . . . . . . . . . . . . . . 298 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . 299 11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) . . . . . . 300 11.2.3 Digitale Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 11.3 Bistabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.3.1 RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.3.3 Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) . . . . 308 11.3.5 Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.3.6 Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.3.7 Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.4 Monostabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.5 Z¨ ahler-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 11.5.1 Dualz¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.5.2 BCD-Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.6 Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.1 Grundlagen und Kenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 325 11.7 Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.7.1 Abtastung (Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . 334 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator 342 11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (ImpulsbreitenMultiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) . . . . . . . . . . . . . 350 11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz . . . . 352 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 361 11.8 Digital-Multimeter (DMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.2 Beispiel eines 4 1/2 -stelligen Digital-Multimeters . . . . . . 366 11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.8.4 Gesamtfehler infolge Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

XXIV Inhaltsverzeichnis

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen . 369 11.9.2 Messung kleiner Str¨ ome bzw. Spannungen mit SMUs . 371 11.10 Elektronische Leistungsmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 11.10.1 Leistungsmessung mit Hallelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 11.10.2 Integrierte Schaltkreise zur Leistungsmessung . . . . . . . . 374 11.10.3 Leistungsmessungs-IC f¨ ur HF-Anwendungen . . . . . . . . . 384 11.10.4 HF-Leistungsmessung mit kaskadiertem logarithmischem Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 11.10.5 HF-Leistungsmessung mittels thermoelektrischem Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 11.10.6 Thermoelement (Seebeck-Effekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 11.10.7 Bolometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 11.10.8 HF-Leistungsmessung mit Diodengleichrichter . . . . . . . . 393 12 Die 12.1 12.2 12.3

Messung von Frequenz und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Mechanische Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Digitale Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Digitale Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung) . . . . . . . . . . 398 12.3.2 Periodendauermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 12.4 Digitale Phasenwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.5 Rechnender Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . 405 12.8 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.8.2 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12.8.3 LC-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 12.8.4 Relaxationsoszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 12.8.5 Quarzoszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators . 417 12.8.7 Fehler von Schwingquarzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung . . 420 12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation . . . . . . . . . . 423 12.10.1 Atomuhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 12.10.2 DCF-77 Zeitzeichensender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 12.10.3 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . 426 12.10.4 Galileo-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 12.10.5 St¨ orfaktoren bei der Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . 433

Inhaltsverzeichnis

XXV

13 Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13.1 Aufgaben und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13.2 Signalarten und Analyseformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren . . . . . . . . . . . 438 13.4 Ermittlung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 13.4.1 Messung des Effektivwertes f¨ ur beliebige Signalverl¨aufe 443 13.5 Bestimmung von Mittelungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale . . . . . . . . . 446 13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion 449 ¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 ¨ 13.9.1 Ubertragungsfunktion eines Optimalfilters . . . . . . . . . . . 463 13.9.2 Beispiel f¨ ur ein Optimalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 14 Regression, lineare Korrelation und HypothesenTestverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.1 Regressionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.1.1 Ausgleichsgerade (lineare Regression) . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.1.2 G¨ ute der Anpassung bei der linearen Regression (Varianz, Kovarianz, Restvarianz und Korrelationskoeffizient) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 14.1.3 Ausgleichspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.1.4 Mehrfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.2 Lineare Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.3.1 Testen von Hypothesen, Entscheidungen . . . . . . . . . . . . . 487 14.3.2 Beispiele f¨ ur Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 15 Grundlagen der Rechnergestu ¨ tzten Meßdatenerfassung . . . . 497 15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen . . . . . . . 497 15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 15.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 15.2.2 Multiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 15.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen . . . . 510 15.2.4 Serielle Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.2.5 Parallelbussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 15.2.6 Datenlogger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 15.3 Grundtypen des Datentransfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 16 Meßdatenerfassung im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) . . . . . . . . 517 ¨ 16.1.1 Ubertragungsmedien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 16.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 16.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung . . . . . . . . 521

XXVI Inhaltsverzeichnis

16.2 16.3

16.4 16.5 16.6

16.7

16.1.4 Logikdefinition f¨ ur Datenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 16.1.5 Logikdefinition f¨ ur Steuer- und Meldeleitungen . . . . . . . 522 16.1.6 Synchronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 16.1.7 Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) . . . . . . . . 523 16.1.8 Software-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 16.1.9 Hardware-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 16.1.10 Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen . . . . 525 Kenngr¨ oßen der seriellen Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . 528 Die RS485-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.3.1 Eine Twisted-Pair-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 16.3.2 Zwei Twisted-Pair-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 Die 20 mA-Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Die USB-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Der IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 16.6.1 Historie des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.6.2 Bezeichnungen des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.6.3 IEC-Bus-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.6.4 Ger¨ ategrundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 16.6.5 IEC-Bus-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 16.6.6 Bus-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 16.6.7 Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) . . . . . . . . 537 16.6.8 Nachrichtenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 16.6.9 Schlußzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 16.6.10 Statusabfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 16.6.11 IEC-Bus-Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 16.7.1 VXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 16.7.2 Resource Manager (System Manager) . . . . . . . . . . . . . . . 550 16.7.3 Commander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 16.7.4 Servant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 16.7.5 Busgliederung/Teilbusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 16.7.6 VXI- und IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 16.7.7 PXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 16.7.8 PCI-Express . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 16.7.9 PXI-Express (PXIe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 16.7.10 MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 16.7.11 PXI MultiComputing (PXImc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 16.7.12 Historie der bisher diskutierten Bus-Standards . . . . . . . 559

17 Meßdatenerfassung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) . . . . . . . . . . . . . . 561 17.1.1 Aufbau einer SPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 17.1.2 Programmstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 17.1.3 Permanent-zyklischer Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 17.1.4 Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb . . . . . . . 564

Inhaltsverzeichnis XXVII

17.1.5 Besonderheiten der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . 564 17.1.6 Programmiersprachen f¨ ur SPS nach IEC 61131-3 . . . . . 564 17.1.7 Beispiele f¨ ur die IEC-genormten SPSProgrammiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 17.2.1 Vernetzung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 17.2.2 Visualisierung von SPS-Daten und -Prozessen . . . . . . . . 575 17.3 Hierarchie industrieller Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 17.4 Vorschrift f¨ ur eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 17.5 Netzwerktopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 17.6 Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 17.6.1 Klassifizierung der Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . 585 17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 17.7.1 Alternierende Puls Modulation (APM) . . . . . . . . . . . . . . 585 17.7.2 Fehlererkennung und Datensicherung . . . . . . . . . . . . . . . 587 17.7.3 Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 17.8 Schnittstellenkonverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 17.9 Der Feldbus (FAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 17.9.1 ASI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 17.9.2 CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 17.9.3 PROFIBUS-DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 17.9.4 FIP-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 17.9.5 INTERBUS-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 17.9.6 BITBUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 17.9.7 EIB (European Installation Bus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 17.9.8 LON (Local Operating Network) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 17.9.9 DIN-Meßbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 17.10 Prim¨ are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) . . . . . . . . . . . . 608 18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN) 611 18.1 IP-Adressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 18.2 Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 18.3 Internet-Protokoll (IP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 18.4 Transmission Control Protocol (TCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 18.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 ¨ 18.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 ¨ 18.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 18.8 Ethernet-Telegrammstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 18.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 18.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 18.10.1 Breitband-ISDN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 18.10.2 Datex-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

XXVIIIInhaltsverzeichnis

18.10.3 GSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 18.10.4 Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, PLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 18.10.5 Satellitenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 18.10.6 Metropolitan Area Network (MAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 18.10.7 Wide Area Network (WAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 18.10.8 Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz FDDI . . . . . . . . . . . 622 18.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 18.11.1 Spezielle Bussysteme zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . 623 18.11.2 Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen mittels Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen627 18.12.1 Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 18.12.2 Beispiele f¨ ur USB-Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 18.13.1 LXI - Ein neuer Standard f¨ ur die Meßtechnik . . . . . . . . 632 18.13.2 Die technische Basis von LXI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 18.13.3 Die 3 Ger¨ ateklassen A, B und C des LXI-Standards . . . 634 18.13.4 Triggerm¨ oglichkeiten von LXI-Ger¨aten . . . . . . . . . . . . . . 636 18.13.5 Triggerung gem¨ aß IEEE-1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 18.13.6 Die Situation des LXI-Ger¨ atemarktes . . . . . . . . . . . . . . . 638 18.14 VPN - Virtual Private Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen . . . . . . . . 641 19.1 Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard . . . . . . . . . 642 19.2.1 Syntax der SCPI-Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 19.2.2 SCPI-Datenformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 19.3 Einsatz kommerzieller Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 19.4 Kategorien von Softwarel¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 19.4.1 Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertigl¨osungen) . . . . . 648 19.4.2 Modul-Bibliotheken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 19.4.3 Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 19.4.4 Systeme mit speziellen Kommandosprachen . . . . . . . . . . 650 19.5 LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 19.6 LabWindows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 19.7 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 20.1 Struktur des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 20.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle . . . . . . . . . . . 663 20.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 20.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle 666 20.5 Lokale und weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

Inhaltsverzeichnis XXIX

20.5.1 LAN - lokales Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 20.5.2 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 20.5.3 Weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 20.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik Die meßtechnische Erfassung von physikalisch-technischen Gegenst¨anden und Prozessen stellt zusammen mit der logischen Denkf¨ahigkeit des Menschen, also insbesondere auch der F¨ ahigkeit, diese Objekte und Vorg¨ange mathematisch zu beschreiben, eine wesentliche Grundlage aller Natur- und Ingenieurwissenschaften dar. Schon der griechische Philosoph Platon (427-347 v. Chr.) hat auf die große Bedeutung der Meßtechnik hingewiesen, als er im X. Buch seines Werkes Der Staat“ schrieb [129]: ” ’Dieselben Gegenst¨ande erscheinen uns krumm oder gerade, je nachdem ” wir sie in oder außer Wasser erblicken, ebenso hohl oder erhaben infolge der T¨auschung unseres Gesichtssinnes durch die Farben; und all dies deutet auf eine Verwirrung in der Seele hin.’ (...) ’Messen, Z¨ahlen und W¨agen zeigen sich dagegen als die willkommensten Helfer, so daß in uns nicht das scheinbar Gr¨oßere oder Kleinere oder Zahlreichere oder Schwerere von Ausschlag ist, sondern das Rechnende, Messende, W¨agende.’ ’Wie auch nicht!’ ’Das ist die Aufgabe des vern¨ unftigen Teiles in unserer Seele.’(...) ’Der Teil, der auf Maß und Berechnung vertraut, ist wohl der beste Teil der Seele?’ ’Nat¨ urlich!’ ’Sein Gegenteil geh¨ort zu dem Schwachen in uns?’ ’Notwendigerweise!’“ Zwischen der Meßtechnik, deren grundlegende Aufgabe die experimentelle Bestimmung physikalischer Gr¨ oßen ist, und der Entwicklung der Industrielandschaft aber auch der kulturellen Entwicklung bestehen seit jeher große Abh¨ angigkeiten. Die Meßtechnik spielte schon in der Antike eine zentrale Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit Meßgr¨oßen, die Bestandteil des t¨ aglichen Leben sind, wie z. B. Entfernungen oder das Gewicht von Waren. Die entsprechenden Maßeinheiten lieferte oft der menschliche K¨orper, wie u.a. R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

die in fr¨ uheren Zeiten gebr¨ auchlichen Einheiten Fuß“, Spanne“ oder Klaf” ” ” ter“ zeigen. Wie die Funde von W¨ agesteinen belegen, war das f¨ ur die Entwicklung der Ware-Geld-Beziehung notwendige, auf Gewichtseinheiten basierende Wiegen bereits Jahrtausende vor Christus eingef¨ uhrt. Eines der ¨altesten, aus Babylon stammenden Maßsysteme enthielt auch schon Einheiten f¨ ur die Gr¨ oßen L¨ ange“ (babylonische Elle), Fl¨ ache“, Volumen“ und Gewicht“. ” ” ” ” Um dem im Laufe der Jahrhunderte entstandenen Wildwuchs an Maßeinheiten Einhalt zu gebieten, war es eine Forderung der Franz¨osischen Revolution, daß einheitliche Maße vereinbart werden sollten. Schließlich wurde im Jahre 1799 die L¨ angeneinheit Meter“ als der vierzigmillionste Teil des Erdmeri” dians zun¨ achst in Frankreich, sp¨ ater auch in Preußen und Sachsen, festgeschrieben, w¨ ahrend von der industriellen Entwicklung Englands die bekannten angels¨ achsischen L¨ angenmaßeinheiten ausgingen. Bis ins 19. Jahrhundert hinein beschr¨ ankte man sich auf die Messung geometrischer, mechanischer und thermischer Gr¨ oßen. F¨ ur die quantitative Erfassung weiterer wichtiger Meßgr¨ oßen, wie z. B. die Ionendosis oder die Energiedosis von radioaktiver Strahlung, standen bis dahin keine entsprechenden Meßger¨ate zur Verf¨ ugung; es bestand jedoch schon die M¨ oglichkeit ihres qualitativen Nachweises. Die Meßtechnik hat auch ganz wesentlich zur Weiterentwicklung aller Natur- und Ingenieurwissenschaften beigetragen. So verhalf beispielsweise die Zeitmeßtechnik zu Aussagen u aßigkeiten bei der Erdrotation. ¨ber Unregelm¨ Heute ist die Meßtechnik als ein zentrales Element der modernen Technologieund Industrielandschaft etabliert. Sie dient dort neben dem Warenaustausch vor allem der Forschung und Entwicklung, der Fertigung sowie der Qualit¨atssicherung von Produkten. Eine Vielzahl technischer Funktionsabl¨aufe muß unschte st¨ andig meßtechnisch kontrolliert werden, um beispielsweise die gew¨ Qualit¨ at in der Fertigung zu erreichen oder auch um die notwendige Sicherheit und Umweltvertr¨ aglichkeit von Prozessen zu gew¨ahrleisten. Ein Beispiel aus dem Bereich des Umweltschutzes zeigt auch, daß sich manche der dort anstehenden Aufgaben erst mit der Entwicklung und Bereitstellung eines hochwertigen Meßverfahrens l¨ osen lassen. So wurde am Institut f¨ ur Hochfrequenztechnik der Universit¨ at Erlangen ein Empf¨anger f¨ ur elektromagnetische Submillimeterwellen (Frequenzen im Terahertzbereich) entwickelt, welcher in Flugzeugen, die in großer H¨ ohe fliegen, eingesetzt werden kann, um dort Schadstoffkonzentrationen zuverl¨ assig zu messen. Diese Messungen basieren im wesentlichen auf der Detektion elektromagnetischer Strahlung, die bei einer Frequenz von 2,5 Terahertz von sog. Hydroxyl-Ionen emittiert wird. Diese Hydroxyl-Ionen werden neben den Fluorkohlenwasserstoffen (FCKW) als eine Substanz angesehen, die zum Abbau der Ozonschicht f¨ uhrt. Viele technische Fortschritte spiegeln sich in der Entwicklung von Meßverfahren und dazugeh¨ origen Meßger¨ aten wider, die ihrerseits wiederum zu einer Verbesserung des Kenntnisstandes auf dem Gebiet der Elektrotechnik beitragen. Eines der j¨ ungsten Beispiele daf¨ ur ist der Quanten-Halleffekt, f¨ ur dessen Entdeckung im Jahre 1985 der Nobelpreis an Prof. von Klitzing vergeben wurde. Der Effekt konnte nur durch Bereitstellung und Nutzung einer sehr

1.2 Der Begriff des Messens

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hochwertigen Meßtechnik entdeckt werden. Andererseits kann der QuantenHalleffekt wiederum zur hochgenauen Definition der Einheit des ohmschen Widerstandes genutzt werden, womit er zu einer gr¨oßeren Pr¨azision in der Elektrischen Meßtechnik beitr¨ agt. In nahezu allen Disziplinen der Technik geht die entsprechende Meßtechnik zunehmend in eine rein elektrische Meßwertverarbeitung u ¨ber. Der allgemeine Trend besteht darin, f¨ ur die verschiedenen Meßaufgaben Meßwertaufnehmer zu entwickeln, welche die unterschiedlichsten nicht-elektrischen Meßgr¨oßen detektieren und in entsprechende elektrische Signale umsetzen. Die weitere Verarbeitung dieser nunmehr elektrischen Signale (Meßwerte) ist dann weitgehend standardisiert und mittlerweile ein fester Bestandteil der Elektrischen Meßtechnik geworden. Der große Vorzug der Elektrischen Meßtechnik liegt dabei vor allem in der großen Pr¨ azision, mit der sich elektrische Signale, etwa im Gegensatz zu mechanischen Gr¨ oßen, bei relativ geringem Aufwand verarbeiten und speichern lassen. Auch die Tatsache, daß sich die beiden Gr¨oßen Frequenz“ und Zeit“ ” ” mit Hilfe der Methoden der Elektrischen Meßtechnik mit großer Genauigkeit bestimmen lassen, bildet eine weitere Basis ihres Erfolges. So beruht beispielsweise das Prinzip des heute weltweit angewendeten Navigationssystems GPS (Global Positioning System) auf einer pr¨ azisen Messung von Zeiten, in diesem Fall von Laufzeiten, die ein elektromagnetisches Signal von einem in bekannter Position befindlichen Satelliten bis zu einem Empfangsort ben¨otigt. An diesem Empfangsort befindet sich ein portabler Empf¨anger, dessen geometrische Breiten-, L¨ angen- und H¨ ohenkoordinaten aus diesen Zeitmessungen mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨ onnen.

1.2 Der Begriff des Messens Unter Messen versteht man das quantitative Erfassen einer Gr¨oße, der sog. Meßgr¨oße. Pr¨ aziser formuliert heißt Messen, eine zu messende Gr¨oße als Vielfaches einer allgemein anerkannten Einheitsgr¨ oße derselben physikalischen Dimension zu bestimmen, und zwar durch experimentellen Vergleich mit einer Maßverk¨ orperung dieser Einheit. Dabei bedienen wir uns sog. Meßger¨ate. Meßger¨ ate k¨ onnen insbesondere auch den Teil der Natur erschließen helfen, f¨ ur den unsere Sinne keine Empfindungen haben, wie z.B. der Schall im Ultraschallbereich oder alle Arten von ionisierender Strahlung. Zur Durchf¨ uhrung von Messungen m¨ ussen die folgenden drei Voraussetzungen erf¨ ullt sein: • Existenz eines Zahlensystems • Definition einer Meßgr¨ oße • Festlegung der Einheit.

Die Elektrische Meßtechnik behandelt zun¨ achst die Messung rein elektrischer Gr¨ oßen, wie Spannung, Strom, elektrische Leistung und Impedanz (Widerstand, Induktivit¨ at, Kapazit¨ at). Nach der eigentlichen Gewinnung (Detektion) des Meßsignals wird dieses verarbeitet, d. h. es wird u. a. kompensiert,

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

verst¨arkt, u ¨bertragen, linearisiert oder digitalisiert, bevor das Meßergebnis (Meßwert) entweder • auf einer Anzeige (analog oder digital) ausgegeben, • mittels Schreiber oder Drucker dokumentiert oder • zur Regelung eines Prozesses benutzt wird. Ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Elektrischen Meßtechnik besch¨aftigt sich mit der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen. Dazu bedient man sich sog. Sensoren (Aufnehmer, Meßf¨ uhler, Detektoren), welche die jeweilige physikalische Gr¨oße in ein elektrisches Signal umwandeln, das dann leicht mit bew¨ahrten Methoden der Elektrischen Meßtechnik weiterverarbeitet werden kann. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß sich die Elektrische Meßtechnik mit den folgenden Teilaufgaben besch¨ aftigt: • Gewinnung des Meßsignals, d. h. Detektion der (elektrischen oder nichtelektrischen) Meßgr¨ oße und Umwandlung in ein f¨ ur die weitere Verarbeitung geeignetes elektrisches Signal ¨ • Verarbeitung und Ubertragung des elektrischen Meßsignals • Darstellung, Dokumentation und Speicherung der Meßwerte. Die Verarbeitung elektrischer Meßsignale zeichnet sich gegen¨ uber den Meßverfahren anderer Wissenschaftszweige durch folgende Vorz¨ uge aus: • leistungsarmes und damit r¨ uckwirkungsarmes Erfassen von Meßgr¨oßen • großer Meßbereichsumfang (hohe Dynamik) • einfache Verarbeitbarkeit der Meßsignale mit Hilfe elektronischer Schaltungen ¨ • leichte Ubertragbarkeit und Speicherung der Meßsignale mit Standardverfahren der Nachrichtentechnik.

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik 1.3.1 Allgemeine Begriffe Im folgenden werden die wichtigsten Begriffsdefinitionen der Meßtechnik nach DIN 1319 (Grundbegriffe der Meßtechnik), VDI/VDE 2600 (Metrologie, Meßtechnik) sowie DIN VDE 0410 (Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ate) zusammengefaßt: Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Gr¨ oße als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird (DIN 1319). Die Meßgr¨oße ist die physikalische Gr¨ oße, deren Wert durch eine Messung ermittelt werden soll (VDI/VDE 2600). Der Meßwert ist der gemessene spezielle Wert einer Meßgr¨oße, er wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben (DIN 1319).

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik

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Das Meßergebnis ist ein aus mehreren Meßwerten einer physikalischen Gr¨oße oder aus Meßwerten f¨ ur verschiedene Gr¨ oßen nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werteverlauf. Ein einzelner Meßwert kann aber auch bereits das Meßergebnis darstellen (VDI/VDE 2600). Meßprinzip heißt die charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung benutzt wird (DIN 1319). Meßverfahren nennt man die spezielle Art der Anwendung eines Meßprinzips (VDI/VDE 2600). Man unterscheidet dabei im wesentlichen zwischen dem Ausschlagverfahren, bei dem der Ausschlag oder die Anzeige eines Meßwertes ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße ist (idealerweise proportional), und dem Nullabgleichverfahren, bei dem die in Kap. 1.5.1 beschriebene Kompensationsmethode eingesetzt wird. 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung Ein Meßger¨at liefert oder verk¨ orpert Meßwerte, auch die Verkn¨ upfung mehrerer voneinander unabh¨ angiger Meßwerte, z. B. das Verh¨altnis von Meßwerten (DIN 1319). Eine Meßeinrichtung besteht aus einem Meßger¨at oder mehreren zusammenh¨ angenden Meßger¨ aten mit zus¨ atzlichen Einrichtungen, die ein Ganzes bilden (DIN 1319). Als Hilfsger¨ate werden die Komponenten bezeichnet, die nicht unmittelbar der Aufnahme, der Umformung oder der Ausgabe von Meßwerten dienen. Meßsignale stellen Meßgr¨ oßen im Signalflußweg einer Meßeinrichtung durch zugeordnete physikalische Gr¨ oßen gleicher oder anderer Art dar (VDI/VDE 2600). 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) Eine komplette Meßkette besteht aus den in Abb. 1.1 gezeigten Komponenten. Grunds¨ atzlich besteht eine Meßeinrichtung zur elektrischen Messung elektrischer bzw. nicht-elektrischer Gr¨ oßen aus den Meßger¨aten (Meßgliedern), die im einzelnen folgende Aufgaben erf¨ ullen: • Aufnehmen der Meßgr¨ oße • Weitergeben, Anpassen und Verarbeiten des Meßsignals • Ausgeben des Meßwertes.

Nach dem Ger¨ ateplan (Abb. 1.1) sind die hierf¨ ur notwendigen Meßglieder in einer Meßkette zusammengeschaltet (VDI/VDE 2600, Bl. 3). Der Aufnehmer oße entweder direkt oder u wandelt die Meßgr¨ ¨ber andere physikalische Gr¨oßen in ein elektrisches Meßsignal y1 um. Die Anpasser enthalten Meßger¨ate, die zwischen Aufnehmer und Ausgeber in der Meßkette liegen. Dazu geh¨oren vor allem Meßverst¨arker und elektronische Rechenger¨ate. Der Ausgeber gibt die Meßwerte z analog oder digital entweder direkt (d. h. sofort sichtbar und verst¨ andlich) u ¨ber eine Anzeige, Schreiber bzw. Z¨ahler oder aber indirekt, d. h. nicht ohne Spezialvorrichtung lesbar, zur weiteren Informationsverarbeitung aus. Die Hauptaufgabe des Hilfsger¨ ates ist es, die von den Meßger¨aten eventuell ben¨ otigte Hilfsenergie zu liefern.

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

Abb. 1.1. Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung nach VDI/VDE 2600

1.4 Vorschriften und Normen In Tabelle 1.1 werden die wichtigsten nationalen und internationalen Institutionen angef¨ uhrt, die zur Normbildung und zur Definition von Vorschriften im Bereich der Elektrischen Meßtechnik beitragen. In Tabelle 1.2 sind die wichtigsten in der Elektrischen Meßtechnik zu beachtenden Vorschriften und Normen in tabellarischer Form zusammengefaßt. Tabelle 1.1. Normbildende Institutionen und Standardisierungsgremien ANSI CCITT

American National Standards Institute, New York; USA/national Comit´e Consultatif International T´el´egraphique et T´el´ephonique, Genf; international CEE Commission Internationale de R´eglementation en vue de l’approbation de l’Equipment Electrique; Europa CENELEC Comit´e Europ´een de Coordination des Normes Electriques; Europa DIN Deutsches Institut f¨ ur Normung e. V., Berlin; national EIA Electronic Industry Association; USA/national IEC International Electrotechnical Commission; international IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York; national/international ISO International Standards Organisation, Genf; international ¨ ¨ OVE Osterreichischer Verband f¨ ur Elektrotechnik, Wien; national VDE Verband Deutscher Elektrotechniker e. V., Frankfurt; national VDI Verband Deutscher Ingenieure e. V., D¨ usseldorf; national DKE Deutsche Elektrotechnische Kommission im DIN und VDE; national

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden

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Tabelle 1.2. VDE-Vorschriften und DIN-Normen (Auswahl) Norm

Inhalt

VDE 0410 VDE 0411 VDE 0414 VDE 0418 VDE 2600 DIN 1301 DIN 1304 DIN 1313 DIN 1319 DIN 1333 DIN 40108 DIN 40110 DIN 43710 DIN 43780 DIN 43802 DIN 43808 DIN 43821 DIN 43830 DIN 43850 DIN 5478 DIN 5483

Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ ate Bestimmungen f¨ ur elektronische Meßger¨ ate und Regler Bestimmungen f¨ ur Meßwandler Bestimmungen f¨ ur Elektrizit¨ atsz¨ ahler Metrologie (Meßtechnik) Einheiten Formelzeichen Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen Grundbegriffe der Meßtechnik Zahlenangaben Gleich- und Wechselstromsysteme Wechselstromgr¨ oßen Thermospannungen und Werkstoffe der Thermopaare Genauigkeitsklassen von Meßger¨ aten Skalen und Zeiger f¨ ur elektrische Meßinstrumente Zungenfrequenzmesser Widerstandsferngeber Schreibende Meßger¨ ate Elektrizit¨ atsz¨ ahler Maßst¨ abe in graphischen Darstellungen Zeitabh¨ angige Gr¨ oßen

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden Eine Klassifizierung von Meßmethoden kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen. Die wichtigsten Klassifizierungsmethoden werden in den folgenden vier Abschnitten kurz beschrieben. 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode Bei der Ausschlagmethode wird die Meßgr¨ oße direkt oder u ¨ber Zwischengr¨oßen in einen m¨ oglichst proportionalen Ausschlag umgewandelt, z. B. die Winkelstellung eines Meßger¨ atezeigers. Als Sonderfall kann dieser Ausschlag auch in reiner Zahlendarstellung mit theoretisch unendlich vielen Nachkommastellen erfolgen. Ein charakteristisches Kennzeichen dieser Meßmethode ist der Entzug von Energie aus dem Meßobjekt, was eine R¨ uckwirkung auf die zu messende Gr¨ oße zur Folge hat. Bei der Kompensationsmethode hingegen (Abb. 1.2) wird von der Meßgr¨oße xE bzw. der daraus abgeleiteten Abbildungsgr¨oße xB eine mittels einer Hilfsquelle erzeugte gleichartige und gleichgroße Kompensationsgr¨oße xK (Vergleichsgr¨ oße) subtrahiert, so daß die Differenz von Meßgr¨oße bzw. Abbildungsgr¨ oße und Kompensationsgr¨ oße gerade Null ergibt. Die Meßgr¨oße wird

8

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

dabei zun¨ achst mit Hilfe eines Aufnehmers in eine proportionale Abbildungsgr¨oße xB umgewandelt. Die Kompensationsgr¨ oße muß sowohl einstellbar als auch meßbar sein. Da hierbei die zur Messung notwendige Energie aus der Hilfsquelle und nicht aus dem Meßobjekt stammt, ist diese Meßmethode r¨ uckwirkungsfrei, d. h. die Meßgr¨ oße wird nicht durch Energieentzug w¨ahrend des Meßvorganges ver¨ andert. Dem Nachteil des gr¨oßeren ger¨atetechnischen Aufwandes stehen bei dieser Methode aber weitere Vorteile gegen¨ uber, wie z. B. die Reduzierung des St¨ orgr¨ oßeneinflusses beim Erzeugen der Kompensationsgr¨oße in einer zweiten gleichartigen Meßstrecke oder die leichte Realisierung großer Meßbereiche [70].

Abb. 1.2. Signalfluß bei der Kompensationsmethode

1.5.2 Analog - Digital Bei den analogen Meßmethoden wird die Meßgr¨oße durch eine eindeutige und stetige Anzeigegr¨ oße (Meßwert) dargestellt. H¨aufig hat der Ausgeber einer analog arbeitenden Meßeinrichtung eine Skalenanzeige. Im Gegensatz dazu wird bei den digitalen Meßmethoden die Meßgr¨oße in Form einer in festgelegten Schritten quantisierten Anzeigegr¨oße dargestellt. Der Ausgeber wird hier im allgemeinen in Form einer Ziffernanzeige oder einer Bildschirmausgabe realisiert. 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich Von kontinuierlichen Meßvorg¨angen spricht man, wenn die Meßgr¨oße ohne zeitliche Unterbrechung erfaßt und auch dargestellt wird. Von einer diskontinuierlichen Messung ist die Rede, wenn die Meßgr¨oße nur zu bestimmten (diskreten) Zeitpunkten erfaßt (abgetastet) wird.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal

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1.5.4 Direkt - Indirekt Bei den direkten Meßmethoden wird die Meßgr¨oße unmittelbar mit einer Maßverk¨ orperung derselben physikalischen Dimension verglichen. Bei den indirekten Methoden wird die Meßgr¨ oße zun¨ achst in eine proportionale Zwischengr¨oße umgewandelt und erst diese wird schließlich mit der Maßverk¨orperung verglichen. Die Bestimmung des Volumens eines Zylinders u ¨ber die Messung seines Durchmessers und seiner L¨ ange ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine indirekte Messung.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal Der Tr¨ ager der Information in der Meßtechnik ist das Meßsignal, d. h. eine physikalische Gr¨ oße mit einem informationstragenden Parameter, der eine Information u oße aufnehmen kann. In der Elektrischen Meßtech¨ber eine Meßgr¨ nik werden typischerweise elektrische Spannungen bzw. elektrische Str¨ome als Informationstr¨ ager benutzt. Dabei werden von einem Signal folgende Eigenschaften verlangt: • Das Signal ist eine physikalische Gr¨ oße (Signaltr¨ager, Informationstr¨ager), die sich zeitlich ver¨ andern l¨ aßt. • Der Signaltr¨ ager besitzt einen wahrnehmbaren Parameter (Informationsparameter), der die Werte der Meßgr¨ oße eindeutig und reproduzierbar wiedergeben kann, d. h. die Meßgr¨ oße wird auf den Informationsparameter in mathematisch eineindeutiger Weise abgebildet. Da in der Elektrischen Meßtechnik die Meßsignale im allgemeinen in Form elektrischer Spannungen bzw. elektrischer Str¨ome verarbeitet werden, bieten sich alle Standardformen des Informationsparameters an, die aus der elektrischen Nachrichtentechnik bekannt sind. Die den Meßwert beschreibenden Informationen werden dabei auf eine der folgenden Arten codiert:

Abb. 1.3. a) Amplitudenmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanamplitude.), b)Frequenzmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanfrequenz.)

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

• Amplitudenanaloges Signal (Amplitudenmodulation - AM) Meßwert ∼ Amplitude (Abb. 1.3a) • Frequenzanaloges Signal (Frequenzmodulation - FM) Meßwert ∼ Frequenz eines zeitkontinuierlichen Signals oder einer Impulsfolge (Abb. 1.3b) • Zeitanaloges Signal (Pulsdauermodulation - PDM) Meßwert ∼ Pulsdauer (Abb. 1.4a) • Digitales Signal (Pulscodemodulation - PCM) Der Meßwert wird digital codiert (Abb. 1.4b).

Abb. 1.4. a) Pulsdauermoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Pulsdauer tX .), b) Pulscodemodulation (Der Meßwert ist in Form einer Dualzahl codiert.)

2 Die Grundlagen des Messens

2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten 2.1.1 Maßsysteme Die Messung einer physikalischen Gr¨ oße besteht im Vergleich mit einer Maßeinheit, d. h. die physikalische Gr¨ oße ergibt sich stets als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Maßeinheit: Physikalische Gr¨ oße = Zahlenwert · Einheit

Man ist bestrebt, die Einheiten durch unverg¨angliche atomare Gr¨oßen zu definieren, die an jedem Ort und zu jeder Zeit mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨ onnen. Die Generalkonferenz f¨ ur Maße und Gewichte hat daher im Jahre 1960 das inzwischen weltweit eingef¨ uhrte Syst`eme International ” d’Unit´es“ (SI-System) vorgeschlagen, dessen Anwendung auch im deutschen Sprachraum gesetzlich vorgeschrieben ist. Das System definiert zun¨achst die Basisgr¨oßen und die dazugeh¨ origen Basiseinheiten, welche beide in Tabelle 2.1 zusammengefaßt werden. Tabelle 2.1. SI-Basisgr¨ oßen und SI-Basiseinheiten Basisgr¨ oße

Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen

L¨ ange Masse Zeit Stromst¨ arke Temperatur Lichtst¨ arke Stoffmenge

l m t I T Iv n

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol

m kg s A K cd mol

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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2 Die Grundlagen des Messens

Die Basiseinheiten der sieben Basisgr¨ oßen sind im SI-System exakt festgelegt worden. Die entsprechenden Definitionen werden in der folgenden Aufstellung beschrieben: • Mechanik – 1 Meter (L¨ ange) L¨ ange der Strecke, die Licht im Vakuum w¨ahrend des Zeitintervalls von (1/299 792 458) Sekunden durchl¨ auft (1983). – 1 Kilogramm (Masse) Masse des internationalen Kilogrammprototyps (1889). – 1 Sekunde (Zeit) ¨ Die 9 192 631 770fache Periodendauer der dem Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung (1967). • Elektrotechnik – 1 Ampere (Stromst¨ arke) St¨ arke eines zeitlich unver¨ anderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachl¨assigbar kleinem, kreisf¨ ormigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro 1 m urde Leiterl¨ ange elektrodynamisch die Kraft 0, 2 · 10−6 N hervorrufen w¨ (1948). • Thermodynamik – 1 Kelvin (Temperatur) ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers (1967). • Optik – 1 Candela (Lichtst¨ arke) ist die Lichtst¨ arke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlst¨ arke in dieser Richtung (1/683) Watt je Steradiant betr¨ agt (1979). • Chemie – 1 Mol (Stoffmenge) ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12 C enthalten sind (1971).

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

13

2.1.2 Naturkonstanten Zahlenwerte und Einheiten von Naturkonstanten werden durch das Maßsystem, i. allg. das SI-System, festgelegt (Tab. 2.2). So ergibt sich beispielsweise aus der Definition der Einheit der elektrischen Stromst¨arke die magnetische Feldkonstante zu μ0 = 4π · 10−7 Vs/Am = 1, 2566 · 10−6 Vs/Am [147]. Tabelle 2.2. Wichtige Naturkonstanten Naturkonstante Elektrische Elementarladung Elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Magnetische Feldkonstante Masse des Elektrons Plancksches Wirkungsquantum

Zeichen e0 ε0 c0 μ0 m0 h

Zahlenwert −19

1, 6022 · 10 8, 8542 · 10−12 299 792 458 1, 2566 · 10−6 9, 1095 · 10−31 6, 6262 · 10−34

Einheit As AsV−1 m−1 ms−1 VsA−1 m−1 kg Js

2.1.3 Abgeleitete Einheiten Durch Multiplikation oder Divison der Basiseinheiten werden die f¨ ur die anderen physikalischen Gr¨ oßen ben¨ otigten Einheiten abgeleitet. Tritt bei dieser Ableitung nur der Zahlenfaktor ′ 1′ auf, so bezeichnet man die Einheiten als koh¨arent. Einige abgeleitete Einheiten haben eigenst¨andige Namen (Tab. 2.3), wie z. B. der Druck p gemessen in der Einheit Pascal (Pa), andere wiederum werden nur in Form ihrer Basiseinheiten ausgedr¨ uckt, wie beispielsweise die magnetische Feldst¨ arke H mit der Einheit Ampere/Meter (A/m). Daneben gibt es noch abgeleitete Einheiten, die mit Hilfe von Einheiten ausgedr¨ uckt werden, die einen besonderen Namen haben, wie z. B. die Einheit der elektrischen Feldst¨ arke Volt/Meter (V/m = kg m s−3 A−1 ) oder die der Permittivit¨ at Farad/Meter (F/m = A2 s4 kg−1 m−3 ). Durch dezimale Vors¨ atze entstehen neue vergr¨ oßerte bzw. verkleinerte Einheiten (Tab. 2.4), z. B. die Einheit Megapascal (MPa), die 106 Pascal entspricht.

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen Die mathematische Beziehung zwischen physikalischen Gr¨oßen wird durch Gleichungen beschrieben. Man spricht von Gr¨oßengleichungen, wenn sie ausschließlich den Zahlenfaktor ′ 1′ enthalten. Die elektrische Energie beispielsweise ist gegeben durch die Gr¨ oßengleichung (2.1). Darin bezeichnen U die Gleichspannung, gemessen in Volt (V), I den Gleichstrom, gemessen in Ampere (A), und t die Zeit, gemessen in Sekunden (s)

14

2 Die Grundlagen des Messens Tabelle 2.3. Abgeleitete SI-Einheiten mit eigenst¨ andigen Namen Gr¨ oße

Formel- Abgeleitete zeichen SI-Einheit

Beziehung zu SI-Einheiten

ebener Winkel r¨ aumlicher Winkel Frequenz Kraft Druck

α Ω f, ν F p

Radiant Steradiant Hertz Newton Pascal

rad sr Hz N Pa

1 rad 1 sr 1 Hz 1N 1 Pa

Energie, Arbeit, W¨ armeenergie Leistung, Energiestrom Ladung Spannung Widerstand Leitwert Kapazit¨ at

E

Joule

J

1J

P

Watt

W 1W

Q U R G C

Coulomb Volt Ohm Siemens Farad

C V Ω S F

magn. Fluß

Φ

Weber

Wb 1 Wb

magn. Flußdichte

B

Tesla

T

1T

Induktivit¨ at

L

Henry

H

1H

Lichtstrom Beleuchtungsst¨ arke

Φ Ev

Lumen Lux

lm 1 lm lx 1 lx

Aktivit¨ at einer radio- A aktiven Substanz Energiedosis D

1C 1V 1Ω 1S 1F

Becquerel Bq 1 Bq Gray

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 m m−1 1 m2 m−2 1 s−1 1 kg m s−2 1 N m−2 1 kg m−1 s−2 1 Nm 1 kg m2 s−2 1 Nm s−1 1 kg m2 s−3 1 As 1 kg m2 s−3 A−1 1 kg m2 s−3 A−2 1 s3 A2 kg−1 m−2 1 As V−1 1 A2 s4 kg−1 m−2 1 Vs 1 kg m2 s−2 A−1 1 V s m−2 1 kg s−2 A−1 1 Wb A−1 1 Vs A−1 1 kg m2 s−2 A−2 1 cd sr 1 lm m−2 1 cd sr m−2 1 s −1

Gy 1 Gy = 1 J kg −1 = 1 m2 s−2

E = U It .

(2.1)

Bei Verwendung koh¨ arenter Einheiten gelten f¨ ur die Einheiten die gleichen Formeln. Gleichung (2.1) resultiert also in folgender Einheitengleichung 1 Ws = 1 VAs = 1 Nm .

(2.2)

In Zahlenwertgleichungen hingegen werden nicht-koh¨arente Einheiten verkn¨ upft, wie z. B. bei der Berechnung der elektrischen Energie in der Einheit Kilowattstunde (kWh) E (kWh) = 0, 278 · 10−6 U (V) I (A) t (s) = 0, 278 · 10−6 E (Ws) .

(2.3)

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

15

Tabelle 2.4. Vors¨ atze zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten Vorsatz Zeichen Zahlenwert Vorsatz Zeichen Zahlenwert Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi

a f p n μ m c d

10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

da h k M G T P E

10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18

Bei Zahlenwertgleichungen m¨ ussen die Einheiten mit angegeben werden. Verschiedene Einheiten werden in einer Einheitengleichung verkn¨ upft 1 kWh = 1000 VA 3600 s =

1 VAs . 0, 278 · 10−6

(2.4)

3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation ¨ und Vierpol-Ubertragungsverhalten

3.1 Fourier-Transformation Fourierreihen periodischer Funktionen Wir beginnen mit der Beschreibung periodischer Funktionen mit Hilfe von Fourier-Reihenentwicklungen und leiten daraus die Beschreibung auch nichtperiodischer Funktionen mittels der Fourier-Transformation ab. Die periodische Funktion f (t) = f (t + T ) l¨aßt sich bekanntlich in Form einer trigonometrischen Reihe angeben [42] ∞

a0  + (aν cos(νω0 t) + bν sin(νω0 t)) , 2 ν=1

f (t) =

(3.1)

wobei sich die Fourierkoeffizienten aν und bν mit aν =

2 T

2 bν = T

 

+T /2

f (t) cos (νω0 t) dt

ν = 0, 1, 2, · · ·

(3.2)

f (t) sin (νω0 t) dt

ν = 1, 2, · · ·

(3.3)

−T /2

+T /2

−T /2

berechnen lassen und T die Periodendauer darstellt. Eine alternative Darstellung kann in Form einer Cosinus-Reihe mit den Koeffizienten cν und Phasenwinkeln ϕν erfolgen f (t) =

∞ 

cν cos(νω0 t + ϕν )

mit

ϕ0 = 0 .

(3.4)

ν=0

Mit der bekannten Beziehung cos x =

1 jx (e + e−jx ) 2

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

(3.5)

18

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

l¨ aßt sich daraus eine ¨ aquivalente Exponentialreihe ableiten ∞ 

f (t) =

dν ejνω0 t

(3.6)

ν=−∞

mit und

1 cν ejϕν ; 2 d0 = c 0 .

d−ν = d∗ν =

dν =

1 cν e−jϕν 2

(3.7) (3.8)

Um die komplexwertigen Koeffizienten dν aus der Funktion f (t) zu erhalten, l¨ osen wir Gl. (3.6) nach dν auf. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit e−jμω0 t (μ ∈ Z) und integrieren u ¨ber eine Periode (Periodendauer T = 2π/ω0 ) 

T

f (t)e−jμω0 t dt = 0



0

T

∞ 

dν e−j(μ−ν)ω0 t dt .

(3.9)

ν=−∞

Auf der rechten Seite lassen sich Integral und Summe vertauschen und dν kann vor das Integral gezogen werden. F¨ ur das Integral gilt dann   T 2π 0 f¨ ur ν = μ . (3.10) e−j(μ−ν)ω0 t dt = , wenn ω0 = T f¨ ur ν = μ T 0 Daraus folgt unmittelbar 

T 0

f (t)e−jμω0 t dt = T dμ .

(3.11)

Jetzt ersetzen wir noch μ durch ν, so daß sich die Koeffizienten folgendermaßen berechnen lassen  1 T dν = f (t)e−jνω0 t dt. (3.12) T 0 ¨ Ubergang zur Fourier-Transformation Wir betrachten noch einmal die Exponentialentwicklung (Gl. (3.6)) und f¨ ugen einige g¨ unstige Erweiterungen ein (s. auch [171], [172]) f (t) =

∞ 1  2πdν jνω0 t e ω0 . 2π ν=−∞ ω0

(3.13)

In Gl. (3.12) verschieben wir die Integrationsgrenzen um eine halbe Periode 1 dν = T



T /2

f (t)e−jνω0 t dt −T /2

mit

T =

2π . ω0

(3.14)

Die Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen erreicht man, indem man die Periodendauer T → ∞ gehen l¨ aßt. Die diskreten Frequenzen νω0

3.1 Fourier-Transformation

19

werden ersetzt durch die kontinuierliche Frequenz ω und die endlichen Frequenzschritte ω0 durch das Differential dω. Wenn man in Gl. (3.14) den Ausdruck T = 2π/ω0 auf die linke Seite bringt, erh¨ alt man die Fourier-Transformierte F (jω) der Zeitfunktion f (t)  ∞ 2πdν (3.15) f (t)e−jωt dt = F (jω). = ω0 −∞ Zur R¨ ucktransformation wird in Gl. (3.13) die Summe u ¨ber die diskreten ν ersetzt durch ein Integral u ber ω. Wir setzen dementsprechend die Fourier¨ Transformierte F (jω) nach Gl. (3.15) ein und erhalten die Fourier-Ru ¨ cktransformation (inverse Fourier-Transformation)  ∞ 1 f (t) = (3.16) F (jω)ejωt dω . 2π −∞ Es sei noch angemerkt, daß die Fourier-Transformation bzw. die Fourier-R¨ ucktransformation symbolisch folgendermaßen geschrieben wird F (jω) = F {f (t)} f (t) = F −1 {F (jω)} .

(3.17) (3.18)

Die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) setzt ihre absolute Integrierbarkeit voraus  ∞

|f (t)|dt < ∞ .

0

(3.19)

Beispiele zur Fourier-Transformation Gegeben sei folgende Funktion f1 (t) = pT (t) =



1 0

f¨ ur −T ≤ t ≤ T , sonst

(3.20)

welche einen Rechteckimpuls beschreibt. Die Fourier-Transformierte dieser Funktion l¨ aßt sich mit Gl. (3.15) leicht berechnen F 1 (jω) =



T

e−jωt dt = −T

2 sin(T ω) . ω

(3.21)

Die Anwendung des Satzes von L’Hospital liefert an der Stelle ω = 0 den Grenzwert 2T . Abbildung 3.1 zeigt die Darstellung dieser Funktion im Zeitund Frequenzbereich. Weiterhin sei ein zeitlich unendlich andauerndes Sinus-Signal gegeben f2 (t) = sin ω0 t.

(3.22)

20

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

p (t) T

1

T

-T

Re {F1(jω)}

t

Im {F1(jω)} = 0 2T

−π/T

π/T

2π/T

ω

Abb. 3.1. Der Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Die Fourier-Transformierte dieses Signals lautet F 2 (jω) = jπ [δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )] =

π [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] , j

(3.23)

wobei δ dem Dirac-Stoß (s. Kap. 3.4) entspricht. Das Spektrum dieses Signals ist in Abb. 3.2 dargestellt. Es enth¨ alt logischerweise nur einen Anteil bei der Frequenz ω0 bzw. −ω0 . Im {F2 (jω)}

Re {F2 (jω)} = 0 ω0 −ω0

ω

Abb. 3.2. Das Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

21

Nun wollen wir durch Multiplikation der beiden Signale einen Teil des Sinussignals ausschneiden f3 (t) = f1 (t) · f2 (t) = pT (t) sin ω0 t.

(3.24)

Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich mit dem Vorfaktor 1/2π (s. Kap. 3.5.4), wodurch man leicht die FourierTransformierte F 3 (jω) erh¨ alt (∗: Faltungssymbol) π 1 2 sin T ω ∗ [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] 2π ω j  ∞ sin T Ω 1 [δ(ω − Ω − ω0 ) − δ(ω − Ω + ω0 )]dΩ = j −∞ Ω   1 sin T (ω − ω0 ) sin T (ω + ω0 ) = − . j ω − ω0 ω + ω0

F 3 (jω) =

(3.25)

In Abb. 3.3 ist der erste Term der Gl. (3.25) dargestellt. Bildlich gesprochen wird durch das Ausschneiden der unendlich scharfe Dirac-Stoß u ¨ber einen Frequenzbereich um ω0 verschmiert“, wobei der Impuls umso unsch¨arfer ist, ” je k¨ urzer der Ausschnitt ist. F¨ ur ein unendlich langes Zeitfenster ergibt sich wiederum der Dirac-Stoß aus Abb. 3.2. j . F3(jω) Re {F3 (jω)} = 0 T ω0 −π/Τ

ω0

ω0 +π/Τ ω

Abb. 3.3. Das ausgeschnittene Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken Es sollen die zeitlichen Verl¨ aufe von Spannung und Strom in einem elektrischen Netzwerk ermittelt werden, wenn die Anregung einen beliebigen zeitlichen Verlauf zeigt. Schwerpunktm¨ aßig betrachtete Spezialf¨alle sind dabei eine zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltete periodische Anregung oder eine nach dem Einschaltzeitpunkt konstante Anregung. Nach diesem (Ein-) Schaltzeitpunkt l¨ auft in dem Netzwerk ein sog. Einschwingvorgang ab, der sich nach mehr oder weniger langer Zeit dem station¨aren oder eingeschwun¨ genen Zustand ann¨ ahert. Eine neuerliche Anderung der Anregung, z. B. das Abschalten der Anregung, ruft einen weiteren Ausgleichsvorgang hervor.

22

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Wenn wir uns auf ein elektrisches Netzwerk mit konzentrierten linearen und zeitinvarianten Elementen beschr¨ anken, so erfolgt die mathematische Beschreibung dieser Ausgleichsvorg¨ ange anhand einer linearen Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten. Als Beispiel wollen wir den Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung betrachten, auf deren Eingangsklemmen zum Zeitpunkt t = 0 die Gleichspannung U0 aufgeschaltet wird (Abb. 3.4). t=0

R

i=C C

Uo

du c dt uc

Abb. 3.4. RC-Tiefpaßschaltung, die zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Gleichspannung beaufschlagt wird.

F¨ ur Zeiten t > 0 kann die Maschengleichung −U0 + R · i + uc = 0

(3.26)

unter Verwendung der Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur den Kondensator i=C

duc dt

(3.27)

zu einer Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden duc + uc = U 0 . (3.28) RC dt ¨ Die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung ergibt sich aus der Uberlagerung der L¨ osung der homogenen Differentialgleichung RC

duch + uch = 0 dt

(3.29)

und einer partikul¨ aren L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung. Eine aßt sich leicht angeben, wenn man bedenkt, daß solche spezielle L¨ osung ucp l¨ f¨ ur t → ∞ der Ausgleichsvorgang abgeschlossen sein muß. Dann ist der Kondensator auf die Spannung U0 aufgeladen und es fließt kein Strom mehr. Somit ist diese partikul¨are L¨ osung (3.30) ucp = U0 . Die allgemeine L¨ osung der homogenen DGL (Gl. (3.29)) lautet mit der Zeitkonstanten τ = RC uch = ke−t/τ , (3.31)

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

23

wobei k eine noch festzulegende Konstante ist. Die Gesamtl¨osung lautet also uc = uch + ucp = ke−t/τ + U0 .

(3.32)

Aus dem Anfangswert der Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t = 0 aßt sich die Konstante k bestimmen (uc (0) = 0) l¨ k = −U0 .

(3.33)

uc = U0 (1 − e−t/τ ) .

(3.34)

Die Gesamtl¨ osung lautet somit

Abbildung 3.5 zeigt den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung uc . uC(t) U0 U0 (1-e -t/τ )

τ = RC

t

Abb. 3.5. Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung des RC-Tiefpasses

Auch bei komplizierteren Netzwerken ist die Vorgehensweise analog, d.h. unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze und den Strom-Spannungs-Beziehungen von Widerstand, Spule und Kondensator wird ein System von linearen ¨ Differentialgleichungen aufgestellt. Dessen L¨ osung ergibt sich aus der Uberlagerung der allgemeinen L¨ osung des homogenen Systems und einer partikul¨ aren L¨ osung des inhomogenen Systems. Wenn sich in einem Netzwerk nun n Energiespeicher (Kondensatoren und/oder Spulen) befinden, so enth¨alt die L¨ osung n Konstanten, die so bestimmt werden m¨ ussen, daß die n Anfangswerte (Spannung bei Kondensatoren und Strom bei Spulen) der Energiespeicher erf¨ ullt werden, d. h. es muß ein lineares Differentialgleichungssystem mit n Unbekannten gel¨ ost werden. In aller Regel wendet man aber zur Berechnung von Einschwingvorg¨angen eine elegantere Methode an, die uns das Aufl¨ osen dieses linearen Differentialgleichungssystems erspart. Diese basiert auf der sog. Laplace-Transformation, die eine spezielle Spektralzerlegung der Zeitfunktionen durchf¨ uhrt. Dies f¨ uhrt schließlich zu einem Rechengang, der die bekannten Methoden der komplexen Wechselstromrechnung [4], [145] benutzt.

24

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.3 Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. F¨ ur die Berechnung von Einschwingvorg¨angen gen¨ ugt die Beschr¨ ankung auf Zeitfunktionen, die f¨ ur Zeiten t < 0 verschwinden. Man spricht dann von einseitiger Laplace-Transformation. Bei dieser wird nur u ¨ber positive t integriert. Ausgangspunkt ist die einseitige FourierTransformation  ∞ f (t)e−jωt dt (3.35) F (jω) = 0

bzw. die inverse Fourier-Transformation  ∞ 1 f (t) = F (jω)ejωt dω . 2π −∞

(3.36)

¨ Beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird nun die in Gl. (3.35) noch rein imagin¨ are Frequenz jω durch die komplexe Frequenz s = σ + jω

(3.37)

ersetzt. Aus Gl. (3.35) wird dadurch die Basisgleichung der einseitigen Laplace-Transformation (Laplace-Transformationsgleichung)  ∞ F (σ + jω) = f (t)e−σt e−jωt dt (3.38) 0

bzw. F (s) =



∞

f (t)e−st dt .

(3.39)

0

Die Bedingung f¨ ur die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) (Gl. (3.19))  +∞ |f (t)| dt < ∞ , (3.40) −∞

d. h. die Forderung, daß f (t) absolut integrierbar sein muß, wird nunmehr entsch¨ arft, da Gl. (3.40) in  ∞ |f (t)| e−σt dt < ∞ (3.41) 0

u ugen beispielsweise auch die Funktionen ¨bergeht. So gen¨  1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = 0 f¨ ur t < 0 f¨ ur σ > 0 und

(3.42)

3.3 Die Laplace-Transformation

f (t) =



eα t 0

t≥0 t α der Bedingung nach Gl. (3.41). Wenn also der Wert σ in Abh¨ angigkeit von f (t) nur gen¨ ugend groß“ ” gew¨ ahlt wird, so existiert die Laplace-Transformierte F (s). Das entsprechende Integral (Gl. (3.39)) konvergiert absolut und gleichm¨aßig f¨ ur alle s mit σ > σmin , wobei der Wert σmin die von der jeweiligen Funktion f (t) abh¨angende Konvergenzabszisse beschreibt. Die der Fourier-R¨ ucktransformation entsprechende Laplace-Ru ¨ cktransformation ergibt sich unter Verwendung der Gln. (3.35) bis (3.38) f¨ ur t > 0 zu  ω=+∞ 1 F (σ + jω) · ejωt dω (3.44) f (t)e−σt = 2π ω=−∞ bzw. f (t) =

1 2π



ω=+∞

ω=−∞

F (σ + jω) · e(σ+jω)t dω .

(3.45)

Unter Verwendung der komplexen Frequenz s = σ + jω und der Beziehung ds = jdω l¨ aßt sich die Laplace-R¨ ucktransformation in der Form  s=σ+j∞ 1 f (t) = F (s)est ds (3.46) 2πj s=σ−j∞ darstellen. Das R¨ ucktransformations-Integral nach Gl. (3.46) existiert nur, wenn F (s) an den Enden des Integrationspfades verschwindet. Der Integrationspfad verl¨ auft in der komplexen s-Ebene (Abb. 3.6) parallel zur imagin¨aren Achse ur σ > σmin ist F (s) eine holomorphe in einem Bereich, wo σ > σmin gilt. F¨ Funktion. Es sei erg¨ anzt, daß das Integral einer holomorphen Funktion nur von den Endpunkten des Integrationspfades, nicht aber von dessen Wegf¨ uhrung selbst, abh¨ angt. Symbolische Darstellungen Laplace-Transformation: F (s) = L{f (t)} .

(3.47)

f (t) = L−1 {F (s)} .

(3.48)

R¨ ucktransformation: Die Zuordnung wird auch durch folgendes Symbolzeichen dargestellt f (t) ◦−−• F (s) ,

(3.49)

wobei wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung (Eineindeutigkeit) aller im Bereich t > 0 stetiger Funktionen diese Zuordnung in beiden Richtungen der Transformation gilt.

26

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Laplace-Ebene (s-Ebene) j. ω harmonische Schwingungen mit konstanter Amplitude exponentiell anwachsende Schwingungen

exponentiell abklingende Schwingungen

σ = Re {s}

Abb. 3.6. Laplace-Ebene (s-Ebene)

W¨ ahrend die Fourier-Transformation auf die rein imagin¨are Achse jω und damit auf Sinusgr¨ oßen mit konstanter Amplitude beschr¨ankt bleibt, kann mit einer komplexen Frequenz auch eine exponentiell anwachsende oder exponentiell abklingende Sinusgr¨ oße dargestellt werden (s. Abb. 3.6) ˆ · eσt cos(ωt + ϕ) = u(t) = U

1 (U e(σ+jω)t + U ∗ e(σ−jω)t ) 2

(3.50)

ˆ · ejϕ U ˆ · e−jϕ . U

(3.51) (3.52)

mit U= ∗ U =

Die ¨ aquivalente Darstellung in s bzw. s∗ lautet u(t) =

∗ 1 (U est + U ∗ es t ) 2

(3.53)

mit s∗ = σ − jω.

(3.54)

Der Wert von σ stellt dabei das D¨ ampfungsmaß dar (σ < 0) und ω die Kreisfrequenz (ω > 0). Es sei noch erg¨ anzt, daß die rein reelle Achse (ω = 0) reine Exponentialfunktionen mit reellen Exponenten verk¨orpert.

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

27

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Ziel dieses Abschnittes ist die Aufstellung einer Zuordnungstabelle, die elementare Zeitfunktionen und ihre entsprechenden einseitigen Laplace-Transformierten enth¨ alt. Bei der einseitigen Laplace-Transformation wird vorausgesetzt, daß die zu transformierende Zeitfunktion f¨ ur Zeiten t < 0 stets identisch Null ist. Dies wird f¨ ur jede Zeitfunktion durch Multiplikation mit der im folgenden definierten Sprungfunktion ε(t) erreicht. Aufgrund der eindeutigen Umkehr¨ barkeit der Transformation kann diese sowohl beim Ubergang vom Zeit- in den Laplace-Bereich als auch in umgekehrter Richtung verwendet werden. Sprungfunktion Die Sprungfunktion1 ε(t) beschreibt ein zum Zeitnullpunkt eingeschaltetes zeitlich konstantes Signal  1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = ε(t) = . (3.55) 0 f¨ ur t < 0 Die Laplace-Transformierte lautet ∞  ∞  1 F (s) = e−st dt = − e−st  . s 0 0

(3.56)

F¨ ur Realteile σ > 0 konvergiert das Integral in Gl. (3.56) und man erh¨alt F (s) =

1 . s

(3.57)

Rampenfunktion F¨ ur die ab dem Zeitnullpunkt linear ansteigende Rampenfunktion  t f¨ ur t ≥ 0 oder f (t) = ε(t) · t f (t) = 0 f¨ ur t < 0

(3.58)

erh¨ alt man die Laplace-Transformierte nach einmaliger partieller Integration ∞  ∞  t −st  1 ∞ −st −st F (s) = te dt = − e  + e dt . (3.59) s s 0 0 0

Auch hier konvergiert das Integral nur f¨ ur komplexe Frequenzen s, deren Realteil positiv ist (σ > 0). Man erh¨ alt schließlich F (s) = 1

1 . s2

Die Sprungfunktion wird im folgenden stets mit ε(t) bezeichnet.

(3.60)

28

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Parabelfunktionen Die Laplace-Transformierte einer Parabel n-ten Grades (n = 1, 2, 3, ...) ergibt sich durch n-malige partielle Integration  n t f¨ ur t ≥ 0 oder f (t) = ε(t) · tn (3.61) f (t) = 0 f¨ ur t < 0 entsprechend zu F (s) =

n! . sn+1

(3.62)

Exponentialfunktion Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion  st e0 f¨ ur t ≥ 0 oder f (t) = ε(t) · es0 t f (t) = 0 f¨ ur t < 0

(3.63)

ergibt sich zu F (s) =



∞

e

(s0 −s)t

0

∞  1 (s0 −s)t  e dt =  . s0 − s 0

(3.64)

F¨ ur σ > Re{s0 } erh¨ alt man Konvergenz und es folgt F (s) =

1 . s − s0

(3.65)

Hyperbelfunktionen Da sich die Hyperbelfunktionen aus der Superposition von Exponentialfunktionen ergeben 1  s0 t e + e−s0 t 2 1  s0 t sinh(s0 t) = e − e−s0 t , 2

(3.66)

cosh(s0 t) =

(3.67)

lassen sich ihre Laplace-Transformierten aufgrund ihrer linearen Transformationseigenschaften leicht angeben 

1 1 1 s L{ε(t) · cosh(s0 t)} = (3.68) + = 2 2 s − s0 s + s0 s − s20 bzw. L{ε(t) · sinh(s0 t)} =

1 2



1 1 − s − s0 s + s0



=

s0 . s2 − s20

(3.69)

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

29

sin- und cos-Funktionen Der Spezialfall s0 = jω0 liefert mit den Gln. (3.66), (3.67) und cosh jω0 t = cos ω0 t sinh jω0 t = j sin ω0 t

(3.70) (3.71)

die Laplace-Transformierte harmonischer Signale s + ω02 ω0 . L{ε(t) · sin ω0 t} = 2 s + ω02

L{ε(t) · cos ω0 t} =

(3.72)

s2

(3.73)

Delta-Impuls δ(t) Der Delta-Impuls (auch Dirac-Impuls bzw. Dirac-Stoß genannt), der bei der Analyse elektrischer Netzwerke große Bedeutung hat, ist keine Funktion im herk¨ ommlichen Sinne, sondern mathematisch gesehen eine sog. Distribution. Die Distribution l¨ aßt sich durch einen Grenz¨ ubergang definieren. Dazu betrachten wir Abb. 3.7. Der dort gezeigte Signalverlauf l¨aßt sich folgendermaßen beschreiben 1 f¨ ur 0 < t < T . (3.74) δT = T 0 sonst F¨ ur T → 0 erh¨ alt man daraus den Delta-Impuls. +∞ F¨ ur den Dirac-Impuls gilt die Nebenbedingung −∞ δ(t)dt = 1. Die Laplace-Transformierte des Zeitsignals nach Gl. (3.74) ergibt   T 1 −st 1 − e−sT 1 T −st e dt = . (3.75) FT (s) = e dt = T 0 sT 0 T δ

δT 1 T

1

δ (t)

T a)

t

t b)

Abb. 3.7. Delta-Impuls: a) Zeitfunktion, welche durch den Grenz¨ ubergang T → 0 den Delta-Puls definiert, b) Symbolische Darstellung: der Zahlenwert an der Spitze +∞ des Pfeiles repr¨ asentiert den Fl¨ acheninhalt des Integrals −∞ δ(t)dt.

30

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Die Laplace-Transformierte des Delta-Impulses erh¨alt man schließlich durch den Grenz¨ ubergang T → 0 1 − e−sT =1. T →0 sT

lim FT (s) = Fδ (s) = lim

T →0

(3.76)

3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen Bei der Anwendung der Laplace-Transformation ist es allgemein von Interesse, wie sich die Transformation auf einfache mathematische Operationen auswirkt. Bei der L¨ osung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation ist es beispielsweise wichtig zu wissen, wie sich die Operationen Differentiation oder Integration transformieren. ¨ 3.5.1 Uberlagerung Wenn die Laplace-Transformierten zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) existieren f1 (t) ◦−−• F1 (s)

f2 (t) ◦−−• F2 (s) ,

(3.77) (3.78)

¨ so gilt f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 der Uberlagerungssatz c1 f1 (t) + c2 f2 (t) ◦−−• c1 F1 (s) + c2 F2 (s) .

(3.79)

Seine G¨ ultigkeit folgt unmittelbar aus der Linearit¨at der Transformationsintegrale. 3.5.2 Integration Die Laplace-Transformierte des Integrals  t f (τ )dτ

(3.80)

0

ergibt sich durch Einsetzen in die Transformationsformel (Gl. (3.39)) und partielle Integration zu  t 1 (3.81) f (τ ) dτ ◦−−• F (s) , s 0 wobei F (s) die Laplace-Transformierte der Funktion f (t) ist.

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

31

3.5.3 Differentiation Unter der Voraussetzung, daß die Funktion f (t) differenzierbar ist und ihre Laplace-Transformierte F (s) existiert, erh¨ alt man nach einmaliger partieller Integration f¨ ur die Laplace-Transformierte der Ableitung  ∞ df (t) −st ˜ e dt (3.82) F (s) = dt 0 die Zuordnung df (t) ◦−−• s F (s) − f (0+ ) . (3.83) dt Der rechtsseitige Grenzwert f (0+ ) ist der Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, wenn man den Funktionsverlauf von f (t) von Zeiten t > 0 kommend bis hin zum Grenzwert f¨ ur t → 0 verfolgt. Wenn alle Ableitungen von f (t) bis zur nten sowie die entsprechenden Laplace-Transformierten existieren, kann analog abgeleitet werden dn f (t) ◦−−• sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ) . (3.84) dtn Nachdem sich die Operationen Integration und Differentiation im LaplaceBereich in eine Multiplikation mit 1s bzw. s u uhren lassen, gehen linea¨berf¨ re Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, wie sie auch bei der Analyse elektrischer Netzwerke auftreten, in lineare algebraische Gleichungen u ¨ber. Damit lassen sich insbesondere Einschwingvorg¨ange in linearen mechanischen und elektrischen Netzwerken einfach berechnen (s. auch Kap. 5.4). 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung Die f¨ ur die Netzwerkanalyse wichtigste Eigenschaft ist die Transformation des zeitlichen Faltungsintegrals, das die Berechnung einer Systemantwort bei bekannter Erregung und gegebener Impulsantwort des Systems erlaubt (s. auch Kap. 3.11). Das Produkt zweier Laplace-Funktionen F1 (s) · F2 (s)  ∞ F1 (s) = f1 (τ )e−sτ dτ (3.85) 0  ∞ f2 (ϑ)e−sϑ dϑ (3.86) F2 (s) = 0

l¨ aßt sich (gleichm¨ aßige Konvergenz vorausgesetzt) als Doppelintegral formulieren  ∞ ∞ f1 (τ )f2 (ϑ)e−s(τ +ϑ) dτ dϑ . (3.87) F1 (s) · F2 (s) = 0

0

Die Variablensubstitution t = τ + ϑ f¨ uhrt mit ϑ = t − τ und dϑ = dt zu

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

32

F1 (s) · F2 (s) =



t=∞

t=0



τ =t

τ =0

 f1 (τ )f2 (t − τ )dτ e−st dt .

(3.88)

Die obere Grenze des inneren Integrals darf auf τ = t gesetzt werden, weil f2 (t − τ ) bei kausalen Netzwerken f¨ ur negative Zeiten verschwindet. Das innere Integral ist gem¨ aß der Laplace-Transformationsgleichung die zu F1 (s) · F2 (s) geh¨ orende Zeitfunktion. Daher ist die Integraloperation  t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ (3.89) 0

das Zeitbereichsergebnis der Multiplikation F1 (s)·F2 (s). Man bezeichnet diese Operation als Faltung und k¨ urzt sie mit dem Symbol ∗ ab, um sie von der gew¨ ohnlichen Multiplikation zu unterscheiden  t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ . (3.90) f1 (t) ∗ f2 (t) = 0

Es gilt also die Zuordnung f1 (t) ∗ f2 (t) ◦−−•F1 (s) · F2 (s) .

(3.91)

Das Faltungsprodukt ist kommutativ, d. h. es gilt f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 .

(3.92)

Es sei erg¨ anzt, daß sich die Faltung nach Gl. (3.90) auch ausf¨ uhren l¨aßt, wenn f1 (t) und f2 (t) nur in rein graphischer oder numerischer Form gegeben sind. Abbildung 3.8 soll die Faltungsoperation verdeutlichen. f1 (t)

f2 (t) f2 (-t)

t1

f 1, 2 f1 (τ) t=0

-t 2

f 2 (t)

t2

t

: f 2 (t - τ)

t

f 1 (t) * f2 (t) Faltungsergebnis

t > t1 + t 2

t > t2

t1

τ

t2

t1

t1+ t2

Abb. 3.8. Zur Veranschaulichung des Faltungsintegrals

t

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

33

Aufgrund des Vorfaktors 1/πj in der R¨ ucktransformationsformel Gl. (3.46) erscheint dieser auch bei der Umkehrung von Gl. (3.90) bzw. (3.91) wie folgt f1 (t) · f2 (t) ◦−−•

1 F1 (s) ∗ F2 (s) . 2πj

(3.93)

Dies bedeutet, dass einer Multiplikation im Zeitbereich das mit dem Vorfaktor 1/2π versehene Faltungsprodukt der beiden entsprechenden LaplaceTransformierten entspricht. F¨ ur die Fourier-Transformation gelten diese Regeln analog. Der Vorfaktor betr¨ agt hier 1/2π f1 (t) · f2 (t) ◦−−•

1 F (jω) ∗ F 2 (jw) . 2π 1

(3.94)

Analog zu Gl. (3.91) gilt f1 (t) ∗ f2 (t) ◦−−•F 1 (jω) · F 2 (jw) .

(3.95)

3.5.5 Multiplikationssatz Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39)  ∞ F (s) = f (t)e−st dt

(3.96)

0

erh¨ alt man durch Differenzieren nach s  ∞ dF = f (t)(−t) · e−st dt = L{−t · f (t)} . ds 0

(3.97)

Die n-malige Ableitung ergibt unmittelbar den Multiplikationssatz dn F = (−1)n L{tn · f (t)} dsn

(3.98)

dn F . dsn

(3.99)

bzw. tn · f (t) ◦−−• (−1)n

34

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) Es soll eine Funktion f (t) im Zeitbereich um eine Zeit t0 > 0 verschoben werden. F¨ ur die daraus resultierende Funktion (Abb. 3.9) f1 (t)

f (t)

0

0

t

t0

t

Abb. 3.9. Verschiebung im Zeitbereich um die Zeit to

f1 (t) =



f (t − t0 ) 0

f¨ ur t ≥ t0 f¨ ur t < t0

bzw. f1 (t) = ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) (3.100)

folgt deren Laplace-Transformierte  ∞ f (t − t0 )e−st dt . F1 (s) =

(3.101)

t0

Durch die Variablensubstitution τ = t − t0 wird e−st = e−st0 · e−sτ und es folgt F1 (s) = e−st0



∞

f (τ )e−sτ dτ = e−st0 F (s) .

(3.102)

(3.103)

0

Die Verschiebung im Zeitbereich um eine Zeit t0 entspricht also der Multiplikation im Frequenzbereich mit e−st0 ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) ◦−−• e−st0 F (s) .

(3.104)

3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) Wenn wir hingegen eine Verschiebung im Laplace-Bereich gem¨aß F1 (s) = F (s + s0 ) vornehmen, folgt F1 (s) =



∞

f (t)e−s0 t e−st dt .

(3.105)

(3.106)

0

Dies bedeutet, daß F (s + s0 ) der mit e−s0 t multiplizierten Zeitfunktion f (t) entspricht

3.5 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation

e−s0 t f (t) ◦−−•F (s + s0 ) .

35

(3.107)

Die Anwendung dieses Satzes auf Gl. (3.62) ergibt schließlich tn −s0 t 1 e . ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.108)

Demnach l¨ aßt sich zu einer beliebigen rationalen Funktion in s die zugeh¨orige Zeitfunktion direkt ermitteln. Dazu wird die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt und anschließend r¨ ucktransformiert. F¨ ur den Fall, daß die gebrochen rationale Funktion denselben Z¨ ahler- und Nennergrad aufweist, muß vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchgef¨ uhrt werden. 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung Eine multiplikative reelle Konstante c, die auch als zeitlicher Dehnungsbzw. Stauchungsfaktor interpretiert werden kann, wirkt sich wie folgt auf die Laplace-Transformation aus 1 s f (ct) ◦−−• F c c

(c > 0) .

(3.109)

3.5.9 Anfangswert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Anfangswert f (0+ ) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) bestimmt werden, ohne die Zeitfunktion selbst zu ermitteln [42] lim f (t) = f (0+ ) = t↓0

lim

Re(s)→∞

sF (s) .

(3.110)

3.5.10 Endwert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Grenzwert f (t → ∞) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [42] lim f (t) = lim sF (s).

t→∞

s→0

(3.111)

3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen In Tabelle 3.1 sind nochmals die in den vorhergehenden Abschnitten diskutierten mathematischen Operationen bei der Laplace-Transformation zusammengestellt.

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

36

Tabelle 3.1. Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen f (t)

F (s)

Bezeichnung

c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

c1 F1 (s) + c2 F2 (s)

¨ (Uberlagerung)

t

1 s

(Integration)

0

f (τ ) dτ

F (s)

df (t) dt

s F (s) − f (0+ )

dn f (t) dtn

sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − ... ... − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · · · · − f (n−1) (0+ )

f1 (t) ∗ f2 (t)

F1 (s) · F2 (s)

Produkt im Laplace-Ber.

f1 (t) · f2 (t)

1 F (s) 2πj 1

Produkt im Frequenz-Ber.

tn · f (t)

(−1)n

ε(t − t0 ) · f (t − t0 )

e−st0 F (s)

Zeitverschiebung

e−s0 t f (t)

F (s + s0 )

Frequenzverschiebung

f (ct)

1 F c

lim f (t) = f (0+ )

=

lim f (t)

=

t↓0

t→∞

∗ F2 (s)

dn F dsn

s

lim

Re(s)→∞

sF (s)

lim sF (s)

s→0

Multiplikationssatz

(c > 0)

c

(Differentiation)

Dehnung/Stauchung

(Anfangswert-Theorem) (Endwert-Theorem)

3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Mit Hilfe der Laplace-Transformation l¨ aßt sich beispielsweise der bereits in Kapitel 3.2 behandelte Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung (Abb. 3.4) wesentlich eleganter berechnen als im Zeitbereich. Wir gehen dazu von der DGL (Gl. (3.28)) aus, welche die Spannung uc (t) am Kondensator beschreibt RC

duc (t) + uc (t) = u(t) . dt

(3.112)

3.7 Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich

37

Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit Einf¨ uhrung der Zeitkonstanten τ = RC zu folgender linearer Gleichung τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) ,

(3.113)

wobei gilt Uc (s) = L{uc (t)}

und

U (s) = L{u(t)} .

(3.114)

Diese Gleichung kann leicht nach Uc (s) aufgel¨ ost werden Uc (s) = bzw.

1 [U (s) + τ uc (0+ )] 1 + sτ

1 Uc (s) = s+

1 τ



 1 + U (s) + uc (0 ) . τ

(3.115)

(3.116)

Wenn wir voraussetzen, daß der Kondensator zu Beginn des Einschaltvorganges ungeladen ist uc (0+ ) = 0 (3.117) und zum Zeitnullpunkt eine Gleichspannung U0 eingeschaltet wird, erhalten wir mit der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion 1 s

(3.118)

U0 s

(3.119)

U0 . s(1 + sτ )

(3.120)

ε(t) ◦−−• U (s) = und Gleichung (3.115) Uc (s) =

Abschließend erfolgt nun die R¨ ucktransformation von Gl. (3.120) in den Zeitbereich, was im folgenden Kapitel behandelt wird.

3.7 Die Ru ¨ cktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Zur R¨ ucktransformation einer Laplace-Funktion in den Zeitbereich ist prinzipiell das Umkehrintegral oder R¨ ucktransformations-Integral (Gl. (3.46)) zu l¨ osen  s=σ+j∞ 1 F (s)est ds . (3.121) f (t) = 2πj s=σ−j∞ Dieses Integral existiert, wenn F (s) f¨ ur ω → ±∞ gegen Null strebt. F¨ ur die R¨ ucktransformation aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich existieren die bereits in Kapitel 3.3 eingef¨ uhrten Nomenklaturen

38

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen f (t)

F (s)

δ(t)

1

ε(t)

1/s

ε(t) · tn /n!

(n = 0, 1, · · ·)

ε(t) · tn e−αt /n!

1/(sn+1 )

(n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1

ε(t) · cos βt

s/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin βt

β/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin(βt + ϕ)

(s · sin ϕ + β · cos ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · cos(βt + ϕ)

(s · cos ϕ − β sin ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · e−αt sin(βt + ϕ)

[(s + α) sin ϕ + β · cos ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]

ε(t) · e−αt cos(βt + ϕ)

[(s + α) cos ϕ − β · sin ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]   (s + α)/ (s + α)2 + β 2   β/ (s + α)2 + β 2

ε(t) · e−αt cos βt ε(t) · e−αt sin βt ε(t) · t cos βt

(s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t sin βt

2βs/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t2 sin βt

2β(3s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )3

ε(t) · t2 cos βt

2(s3 − 3β 2 s)/(s2 + β 2 )3   (s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 )   2β 2 / s(s2 + 4β 2 )

ε(t) · cos2 βt ε(t) · sin2 βt ε(t) · cosh βt ε(t) · sinh βt ε(t) ·

t 2β

ε(t) ·

sin βt t

sinh(βt)

√ ε(t) · 1/ πt  ε(t) · 2 t/π

s/(s2 − β 2 )

β/(s2 − β 2 ) s/(s2 − β 2 )2 arctan βs √ 1/ s √ 1/(s s)

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

39

f (t) = L−1 {F (s)}

(3.122)

f (t) ◦−−•F (s) .

(3.123)

bzw. Genauso wie bei der Fourier-Transformation ist die Zuordnung zwischen f (t) und F (s) f¨ ur alle im Bereich t > 0 stetigen Funktionen umkehrbar eindeutig. Dies bedeutet, daß das Symbol ◦−−• in beiden Richtungen gelesen werden kann. Diese Tatsache gibt Anlaß zu folgender Strategie f¨ ur die R¨ ucktransformation: Man zerlegt die r¨ uckzutransformierende Laplace-Funktion F (s) in eine Summe von Teilfunktionen F (s) = F1 (s) + F2 (s) + · · · Fn (s) ,

(3.124)

deren jeweilige R¨ ucktransformation aus Tab. 3.2 bekannt ist. Insbesondere l¨ aßt sich in Verbindung mit der Beziehung ε(t) ·

tn −s0 t 1 e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.125)

zu jeder rationalen Funktion in s die dazugeh¨orige Zeitfunktion unmittelbar angeben, nachdem man die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt hat. Da andererseits die L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Laplace-Bereich auf rationale Funktionen f¨ uhrt, lassen sich diese DGLn, die ja lineare elektrische Netzwerke mit konzentrierten Elementen beschreiben, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders leicht l¨ osen.

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ¨ Zwecks leichterer Uberpr¨ ufbarkeit der L¨ osung wenden wir uns nochmals dem Beispiel aus Kapitel 3.2 zu. Die Differentialgleichung, die den Einschwingvorgang der RC-Schaltung aus Abb. 3.4 beschreibt, lautet (Gl. (3.28) bzw. Gl. (3.112)) duc (t) + uc (t) = u(t) . RC (3.126) dt Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit τ = RC zu τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) .

(3.127)

Diese algebraische Gleichung l¨ aßt sich leicht nach der gesuchten Gr¨oße Uc (s) aufl¨ osen (vgl. Gl. (3.116))   1 1 + U (s) + u Uc (s) = (0 ) . (3.128) c s + τ1 τ

40

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

F¨ ur den Fall, daß u(t) eine im Zeitnullpunkt t = 0 eingeschaltete Gleichspannung U0 ist, d. h. U0 U (s) = , (3.129) s und der Kondensator zu diesem Zeitpunkt ungeladen ist (uc (0+ ) = 0), folgt Uc (s) =

U0 . τ s(s + τ1 )

(3.130)

Diese rationale Funktion wird nun in Partialbr¨ uche zerlegt, d. h. also in rationale Grundfunktionen, die in Tab. 3.2 enthalten sind   C1 C2 U0 + Uc (s) = = U0 . (3.131) s+α s+β τ s(s + τ1 ) Durch Koeffizientenvergleich erh¨ alt man die Werte der Konstanten α=

1 ; τ

β = 0 und

Daraus folgt Uc (s) = U0



C2 = −C1 = 1 .

−1 1 + s s + τ1



.

(3.132)

(3.133)

Gem¨ aß Superpositionsregel und Tab. 3.2 ergibt sich folgende Zeitfunktion   (3.134) uc (t) = U0 − U0 e−t/τ = U0 (1 − e−t/τ ) .

Der zeitliche Spannungsverlauf der Kondensatorspannung uc (t) wurde bereits in Abb. 3.5 gezeigt. Das Ergebnis (Gl. (3.134)) entspricht der auf anderem Wege ermittelten L¨ osung der linearen Differentialgleichung im Zeitbereich (Gl. (3.34)). L¨ osung fu ¨ r eingeschaltete Sinusspannung

Wenn die RC-Tiefpaßschaltung gem¨ aß Abb. 3.4 nun mit einer bei t = 0 eingeschalteten harmonischen Wechselspannung beaufschlagt wird, so l¨aßt sich das Ergebnis analog ermitteln. Dazu wird zun¨ achst die Eingangsspannung u(t) u(t) = ε(t) · U0 sin ω0 t

(3.135)

gem¨ aß der Tab. 3.2 in den Laplace-Bereich transformiert U (s) = U0

s2

ω0 . + ω02

(3.136)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.128) erh¨ alt man die Kondensatorspannung Uc im Laplace-Bereich

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Uc (s) =

1 s+

1 τ





1 U 0 ω0 + uc (0+ ) . · τ s2 + ω02

41

(3.137)

Eine Partialbruchzerlegung f¨ uhrt zu

 1 1 1 U0 ω0 uc (0+ ) τ −s Uc (s) = + . + 1 1 2 τ ω02 + τ 2 s + τ s2 + ω0 s + τ1

(3.138)

Die Zuordnungstabelle (Tab. 3.2) liefert 1 τ

s2 + ω02

− •−◦ ε(t) ·

1 sin ω0 t τ ω0

(3.139)

s − •−◦ ε(t) · cos ω0 t . s2 + ω02

(3.140)

Das Ergebnis im Zeitbereich lautet also  

 1 1 U0 ω0 + −t/τ −t/τ sin ω0 t − cos ω0 t + e uc (t) = ε(t) · . + uc (0 ) · e τ ω02 + τ12 τ ω0 (3.141) Abbildung 3.10 zeigt den Spannungsverlauf f¨ ur einen anf¨anglich ungeladenen Kondensator uc (0+ ) = 0. Nach dem Ausgleichsvorgang (e−t/τ -Term), der mit der Zeitkonstanten τ abklingt, bleiben nur noch die beiden sin −/ cos −Wechselanteile u ¨brig, die zu einer einzigen Sinusfunktion zusammengefaßt werden k¨ onnen  1 1 sin ω0 t − ω0 cos ω0 t = ω02 + 2 sin(ω0 t − ϕ) (3.142) τ τ mit (3.143) ϕ = arctan(ω0 τ ) . Dieser Teil der L¨ osung beschreibt den eingeschwungenen Zustand, wie ihn auch die einfache Wechselstromrechnung liefert. F¨ ur einen anf¨anglich ungeladenen Kondensator (uc (0+ ) = 0) folgt also uC(t)

U0 1/τ (1/τ)2+ω02

ϕ

t= ω 0

sin(ω0 t-ϕ)

t

Abb. 3.10. Einschwingverhalten des RC-Netzwerkes nach dem Einschalten der Sinus-Spannung. Der station¨ are Anteil ist gestrichelt gezeichnet.

42

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

uc (t) = ε(t) ·

⎡

1 U0 ⎣  τ 2 ω + 0

sin(ω0 t − ϕ) +

1 τ2

⎤

ω0 e−t/τ ⎦ . ω02 + τ12

(3.144)

3.9 Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen In diesem Abschnitt soll das der linearen Netzwerkanalyse zugrundeliegende Schema erarbeitet werden, das die Berechnung von Ausgleichsvorg¨angen mittels Laplace-Transformation behandelt. Neben der bereits im vorhergehenden Abschnitt besprochenen Methode, bei welcher die lineare Differentialgleichung des gegebenen Netzwerkes auf¨ gestellt und mit Hilfe der Laplace-Transformation (Uberf¨ uhrung der DGL in eine algebraische Gleichung) gel¨ ost wird, gibt es n¨amlich auch die M¨oglichkeit, das zu analysierende Netzwerk direkt im Laplace-Bereich (Frequenzbereich) zu beschreiben. Dazu m¨ ussen die einzelnen Elemente (Widerstand, Kondensator oder Spule) mit Anfangswertgeneratoren versehen werden. Im folgenden wird gezeigt, wie man daraus unmittelbar eine lineare algebraische Gleichung in der Laplace-Variablen s gewinnen kann, welche nach Aufl¨osen nach der gesuchten Gr¨ oße U (s) bzw. I(s) durch eine Laplace-R¨ ucktransformation den gesuchten Spannungs- und Stromverlauf u(t) bzw. i(t) liefert (Abb. 3.11) [24].

lineare Differential-

gleichungen + Anfangsbedingungen

LaplaceTransformation

lineare algebraische Gleichungen in s

gesuchte Größen In (s), Un (s) im Laplace-Bereich

im Zeitbereich in(t), un(t)

KirchhoffGleichungen Auflösen nach den

Netzwerk mit Anfangsgesuchten Spannungen und wertgeneratoren Strömen im Frequenzbereich

LaplaceRücktransformation

Abb. 3.11. Prinzipielles Vorgehen bei der Berechnung von linearen Netzwerken mit Hilfe der Laplace-Transformation

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

43

Zwecks Gewinnung eines Ersatzschaltbildes im Laplace-Bereich m¨ ussen sowohl die Kirchhoffschen Gleichungen  uν (t) = 0 (Maschengleichung) und (3.145)  iν (t) = 0 (Knotengleichung) als auch die die Netzwerkelemente beschreibenden Spannungs-Strom-Beziehungen uR = RiR diL uL = L dt duC iC = C dt

(ohmscher Widerstand)

(3.146)

(Spule) (Kondensator)

in den Laplace-Bereich transformiert werden. Transformation der Kirchhoffschen Gleichungen Wenden wir uns zun¨ achst den Kirchhoffschen Gleichungen zu. Da die LaplaceTransformation eine lineare Operation ist, gelten die Kirchhoffschen Gleichungen f¨ ur die Spannungen und Str¨ ome in derselben Form wie im Zeitbereich  Uν (s) = 0 (Maschengleichung) und (3.147)  Iν (s) = 0 (Knotengleichung) . Transformation der Netzwerkelementgleichungen

1. Widerstandsgleichung Da ein idealer ohmscher Widerstand keinerlei Zeitverhalten zeigt, bleibt die Widerstandsgleichung bei der Laplace-Transformation unver¨andert (Abb. 3.12) UR (s) = RIR (s) . (3.148)

iR(t) R

u R(t)

I R(s) R

UR(s)

Abb. 3.12. Transformation eines ohmschen Widerstandes in den Laplace-Bereich

44

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

2. Kondensatorgleichung Bei der Transformation der Kondensatorgleichung m¨ ussen die Anfangswerte der Kondensatorspannung ber¨ ucksichtigt werden. Dazu betrachten wir den allgemeinen Fall, daß ein urspr¨ unglich auf eine Spannung uC (0− ) aufgeladener Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen (Innenwiderstand Ri = 0) Spannungsquelle verbunden wird (Abb. 3.13). Dabei springt die Kondensatorspannung2 von uC (0− ) auf uC (0+ ) = U0 . i (t) t=0 U0

uc (0-)

Abb. 3.13. Kondensator, der zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen Spannungsquelle verbunden wird.

Dies geht einher mit einer ebenso sprunghaft stattfindenden Ladungs¨anderung, die von einem diracf¨ ormigenStrom begleitet wird [24] i(t = 0) = C[uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) .

(3.149)

Damit kann die allgemeine Spannungs-Strom-Beziehung des Kondensators abgeleitet werden   duC + [uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) . iC (t) = C (3.150) dt Mit der Laplace-Transformation geht Gl. (3.150) u ¨ber in 2

Anmerkung: Es sei an dieser Stelle ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß die Kondensatorspannung und der Spulenstrom im Schaltzeitpunkt (hier t = 0) nur im theoretischen Grenzfall bei idealen Netzwerkelementen, d. h. nicht verlustbhafteten Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨ aten, und idealen Quellen (ohne Innenwiderstand) springen k¨ onnen. In der Praxis kommen diese F¨ alle jedoch nicht vor, so daß hierbei nicht zwischen einem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert unterschieden werden muß. Es gilt hier stets uC (0− ) = uC (0+ ) bzw. iL (0− ) = iL (0+ ). Das Einschließen des o. g. theoretischen Grenzfalles und die daraus resultierende Unterscheidung zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert wird jedoch hier in Anlehnung an die Lehre von Bosse [24] beibehalten, weil sie aus Sicht des Au¨ tors das Ubertragen des Netzwerkes vom Zeit- in den Laplace-Bereich von der Vorstellung her erleichtert. Schließlich verbindet man mit den Anfangswerten zum Zeitpunkt t = 0− gedanklich stets den Zustand der Elemente (Kapazit¨ at bzw. Induktivit¨ at) unmittelbar vor dem Schalten. Man muß bei der Ana¨ lyse des Netzwerkes keine Uberlegungen mehr anstellen, was im Schaltzeitpunkt geschieht.

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

  IC (s) = C sUC (s) − uC (0+ ) + uC (0+ ) − uC (0− )   uC (0− ) IC (s) = sC UC (s) − . s

45

(3.151) (3.152)

Ein Kondensator im Zeitbereich l¨ aßt sich also gem¨aß Abb. 3.14 in den Laplace-Bereich transformieren. Die Spannungsquelle im Ersatzschaltbild repr¨ asentiert die Kondensatorspannung zum Zeitnullpunkt. Es handelt sich dabei um die Kondensatorspannung unmittelbar vor einem eventuell zum Zeitnullpunkt stattfindenden Spannungssprung.

I C (s) iC (t) C

u C (t)

uc (0-) s sC

UC (s)

Abb. 3.14. Transformation eines Kondensators in den Laplace-Bereich [24]

3. Spulengleichung Die Strom-Spannungs-Beziehung einer Induktivit¨at uL = L

diL dt

(3.153)

besagt, daß die Spannung uL einen δ-Impuls erf¨ahrt, wenn der Spulenstrom iL und damit der magnetische Fluß in der Spule springt. Wenn man nun zul¨ aßt, daß der Strom zum Zeitnullpunkt t = 0 von iL (0− ) + auf iL (0 ) springt, so ergibt sich die Spannungs-Strom-Beziehung in folgender ausf¨ uhrlicher Form [24]   diL + [iL (0+ ) − iL (0− )]δ(t) . (3.154) uL = L dt Die Laplace-Transformation dieser Gleichung liefert mit Gl. (3.83)   UL (s) = L s · IL (s) − iL (0+ ) + iL (0+ ) − iL (0− ) (3.155)

 iL (0− ) UL (s) = sL IL (s) − . (3.156) s Die entsprechende Ersatzschaltung wird in Abb. 3.15 gezeigt. Der Spule mit der Impedanz sL ist eine Gleichstromquelle parallelgeschaltet, die den im Zeitnullpunkt durch die Spule fließenden Strom repr¨asentiert und zwar ¨ den Strom unmittelbar vor der eventuellen sprunghaften Anderung.

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

46

iL (t) L

u L(t)

I L(s) i L(0-) s

sL

UL(s)

Abb. 3.15. Transformation einer Induktivit¨ at in den Laplace-Bereich [24]

Die eben hergeleiteten Ersatzschaltungen f¨ ur Induktivit¨aten, Kapazit¨aten und ohmsche Widerst¨ ande reduzieren sich auf die vereinfachte Form aus der Wechselstromrechnung, wenn die Elemente vor dem Schaltzeitpunkt (hier stets als Zeitnullpunkt angenommen) energiefrei sind, d. h. die Kapazit¨aten sind spannungs- und damit ladungsfrei und die Induktivit¨aten sind strom- bzw. flußfrei. Zusammenfassung der Regeln fu ¨ r die Netzwerkanalyse im Laplace-Bereich • Alle Zeitgr¨ oßen werden f¨ ur t > 0 durch ihre Laplace-Transformierten ersetzt • F¨ ur die Impedanz im Laplace-Bereich Z(s) =

U (s) I(s)

(3.157)

gilt – ohmscher Widerstand ZR (s) = R

(3.158)

ZL (s) = sL

(3.159)

– Induktivit¨ at – Kapazit¨ at

1 . (3.160) sC • Die Anfangswerte der Kondensatorspannungen und Spulenstr¨ome (Werte zum Zeitpunkt t = 0− , also unmittelbar vor dem Schalt-Zeitpunkt t = 0) werden durch zus¨ atzliche Quellen (in Serienschaltung beim Kondensator bzw. in Parallelschaltung bei der Spule) mit der Quellspannung uC (0− )/s bzw. dem Quellstrom iL (0− )/s erfaßt. • Die Spannungen und Str¨ ome lassen sich mit den Methoden der Wechselstromrechnung und der linearen Netzwerkanalyse berechnen: ¨ – beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird der Frequenzterm jω durch die komplexe Frequenz s ersetzt ZC (s) =

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

47

– die transformierten Spannungen U (s) bzw. Str¨ome I(s) entsprechen den komplexen Amplituden der Wechselstromrechnung; allerdings tragen die Laplace-Transformierten die Dimension einer Amplitudendichte (Einheit V/Hz“ bzw. A/Hz“). ” ” • Nach dem L¨ osen der Netzwerkgleichungen im Frequenzbereich werden die gesuchten Spannungen bzw. Str¨ ome in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert. Beispiel — Analyse eines Serienschwingkreises F¨ ur den in Abb. 3.16 gezeigten Serienschwingkreis (Reihenschwingkreis) ist der Strom i(t) f¨ ur t ≥ 0 zu berechnen. Dabei sind sowohl die Spannung u(t) als auch die Anfangswerte des Spulenstromes iL (0− ) und der Kondensatorspannung uC (0− ) bekannt. R

C

L

i(t) u(t) Abb. 3.16. Serienschwingkreis im Zeitbereich

Zur Berechnung wird zun¨ achst das Zeitbereichsersatzschaltbild (Abb. 3.16) in den Laplace-Bereich transformiert (Abb. 3.17). Aus dem Ersatzschaltbild des Serienschwingkreises im Laplace-Bereich kann die Spannung U (s) abgeleitet werden

 iL (0− ) I(s) uc (0− ) + . (3.161) U (s) = RI(s) + sL I(s) − + s sC s Diese Gleichung wird schließlich nach der gesuchten Gr¨oße I(s) aufgel¨ost I(s) =

U (s) + LiL (0− ) − uc (0− )/s . 1 R + sL + sC

(3.162)

Wir gehen davon aus, daß die beiden Energiespeicher zum Zeitnullpunkt leer sind und zu diesem Zeitpunkt eine Gleichspannung mit dem Wert U0 aufgeschaltet wird (3.163) u(t) = ε(t) · U0 iL (0− ) = 0

Daraus folgt I(s) =

und

uc (0− ) = 0 .

U0 s(R + sL +

1 sC )

(3.164) (3.165)

48

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

sL sC

R

I(s)

uC(0-) s

i L (0-) s U(s)

Abb. 3.17. Serienschwingkreis im Laplace-Bereich

bzw. I(s) =

U0 1 · 2 L s + sR L +

1 LC

.

(3.166)

Laplace-Ru ¨ cktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades Die Aufgabe, den Strom I(s) nach Gl. (3.166) in den Zeitbereich zur¨ uckzutransformieren, soll m¨ oglichst allgemein formuliert werden. Deshalb wird die R¨ ucktransformierte folgender rationaler Funktion 2. Grades gesucht F (s) =

s2

A s+B . + 2 d s + ω02

Diese Funktion hat die beiden Pole s1 und s2  s1 = −d + d2 − ω02  s2 = −d − d2 − ω02 .

(3.167)

(3.168) (3.169)

ur ω02 > d2 bei komplexwertigen F¨ ur ω02 ≤ d2 liegen die Pole bei reellen und f¨ Frequenzen. Das mit einer Partialbruchzerlegung eventuell einhergehende Rechnen mit komplexwertigen Gr¨ oßen l¨ aßt sich umgehen, indem man den Nenner von Gl. (3.166) in eine Summe von Quadraten zerlegt s2 + 2 d s + ω02 = (s + d)2 + (ω02 − d2 ) .

(3.170)

Mit der Hilfsgr¨ oße ωd (sie entspricht der Kreisfrequenz, die sich im ged¨ampften Schwingkreis einstellt) (3.171) ωd2 = ω02 − d2 l¨ aßt sich F (s) wie folgt angeben F (s) =

A(s + d) + B − Ad . (s + d)2 + ωd2

(3.172)

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

49

Die Anwendung des Verschiebungssatzes (Gl. (3.105)) auf die Beziehungen ε(t) · cos ω0 t ◦−−•

s s2 + ω02

(3.173)

ε(t) · sin ω0 t ◦−−•

ω0 s2 + ω02

(3.174)

und

liefert f¨ ur ωd2 > 0, also f¨ ur komplexwertige Pole, die Laplace-Zuordnungen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cos ωd t (s + d)2 + ωd2

(3.175)

ωd − •−◦ ε(t) · e−dt sin ωd t . (s + d)2 + ωd2

(3.176)

Unter Zuhilfenahme dieser Zuordnungen kann die zu F (s) geh¨orige Zeitfunktion f (t) angegeben werden 

B − Ad f (t) = ε(t) · e−dt A cos ωd t + sin ωd t . (3.177) ωd Sollten jedoch die Pole im Reellen liegen, so wird anstatt ωd die Hilfsgr¨oße ωr2 = d2 − ω02

(3.178)

verwendet. Dies f¨ uhrt schließlich mit den Korrespondenzen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cosh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.179)

ωr − •−◦ ε(t) · e−dt sinh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.180)

und

zu der entsprechenden Zeitfunktion 

B − Ad −dt sinh ωr t . f (t) = ε(t) · e A cosh ωr t + ωr

(3.181)

Die L¨ osungen f¨ ur komplexwertige Pole (Gl. (3.177)) und f¨ ur reellwertige Pole (Gl. (3.181)) lassen sich mit der Beziehung ωd2 = −ωr2

(3.182)

ωd = ±jωr

(3.183)

bzw. ineinander u uhren. ¨berf¨

50

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Es ist noch der sog. aperiodische Grenzfall zu behandeln, bei dem die beiden Polstellen zusammenfallen, d. h. es gilt s1 = s2 ω02 = d2

(3.184) (3.185)

und ωd = ωr = 0 .

(3.186)

Die physikalische Deutung von Gl. (3.186) besagt, daß sich gerade keine Schwingung mehr einstellt. Zur Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion f (t) ist ein Grenz¨ ubergang von Gl. (3.177) bzw. Gl. (3.181) notwendig. Gleichung (3.177) beispielsweise f¨ uhrt mit lim

ωd →0

sin ωd t =t ωd

(3.187)

zu f (t) = ε(t) · e−dt [A + (B − Ad)t] .

(3.188)

Anwendung auf den Serienschwingkreis Wenn man nun die eben abgeleiteten Transformationen auf die LaplaceGleichung anwendet, die den Strom im Serienschwingkreis beschreibt (Gl. (3.166)), so folgt mit R 2L 1 ω02 = LC d=

(3.189) (3.190)

A=0 B=

(3.191)

U0 2dU0 = R L

und ωd2

=

−ωr2

1 = LC

(3.192)

R2 C 1− 4L



(3.193)

der Strom im Serienschwingkreis beim Anlegen eines Gleichspannungssprunges U0 −dt 2d e i(t) = ε(t) · sin ωd t , (3.194) R ωd wenn die Pole komplexwertig sind, bzw.

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

U0 −dt 2d e sinh ωr t R ωr U0 d −dt ωr t = ε(t) · e (e − e−ωr t ) R ωr  U0 −t/τ1 = ε(t) · − e−t/τ2 e 2ωr L  U0 −(d−ωr )t − e−(d+ωr )t = ε(t) · e 2ωr L

51

i(t) = ε(t) ·

(3.195)

f¨ ur reellwertige Pole, d. h. wenn d2 − ω02 = ωr2 > 0 .

(3.196)

Gleichung (3.194) beschreibt eine ged¨ ampfte Sinusschwingung mit der Abklingkonstanten d und der Kreisfrequenz 

2 d . (3.197) ωd = ω0 1 − ω0 F¨ ur verschwindende D¨ ampfung (d = 0) handelt es sich dabei um eine harmo1 nische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω0 = √LC . Abbildung 3.18 zeigt den Stromverlauf f¨ ur solche D¨ampfungswerte, bei denen die Pole konjugiert komplex sind, so daß eine abklingende Schwingung entsteht. Liegen jedoch die Pole im Reellen, so daß i(t) durch Gl. (3.195)

i(t) U0 ωd L

Hüllkurve U0 - d t e ωd L

d= d=

ω0 4 ω0 2

aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

t

-

U0

ωd L

Abb. 3.18. Der Stromverlauf des Serienschwingkreises f¨ ur verschiedene D¨ ampfungswerte sowie f¨ ur den aperiodischen Grenzfall. Die Polstellen sind konjugiert-komplex.

52

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

beschrieben wird, ergibt sich ein Zeitverlauf gem¨aß Abb. 3.19. Der zeitliche Funktionsverlauf errechnet sich aus der Differenz zweier Exponentialfunktiouhrt zu nen mit negativen Exponenten. Der aperiodische Grenzfall ω02 = d2 f¨ i(t) = ε(t) · 2

U0 Uo −dt d t e−dt = ε(t) · te . R L

(3.198)

In den Abbildungen 3.18 und 3.19 ist dieser Stromverlauf zum Vergleich ebenfalls eingezeichnet. i(t) U0 2ωr L

U0 . - t / τ 1 e 2ωr L

3 ω 2 0 aperiodischer Grenzfall (d = ω0 ) d=

1

τ2 = d+ ωr

1

τ1 = d-ω r

-

U0 2ωr L

t

U0 . - t / τ 2 e 2ωr L

Abb. 3.19. Vergleich des Stromverlaufs im aperiodischen Grenzfall mit dem Stromverlauf bei st¨ arkerer D¨ ampfung. Die Pole liegen im Reellen. Es bilden sich keine harmonischen Schwingungen mehr aus.

3.10 Ru ¨ cktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz Ist die Laplace-Transformierte F (s) als Quotient zweier Polynome gegeben F (s) =

Z(s) , N (s)

(3.199)

und hat F (s) nur einfache Pole bei s1 · · · sn F (s) =

Z(s) , (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sn )

(3.200)

so l¨ aßt sich die zu F (s) geh¨ orende Zeitfunktion f (t) nach der sog. Residuenmethode (auch als Heavisidescher Entwicklungssatz bezeichnet) berechnen [24]

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

f (t) =

n n  Z(sν ) sν t  e = rν esν t . ′ (s ) N ν ν=1 ν=1

53

(3.201)

ur Dabei stellt N ′ (sν ) die Ableitung von N (s) nach s an der Stelle sν dar. F¨ den Fall, daß N (s) Mehrfachpolstellen enth¨ alt, ist die Auswertung nach der Residuenmethode etwas aufwendiger. Daher soll an dieser Stelle nur auf die entsprechende Literatur verwiesen werden [24], [42]. Beispiel fu ¨ r die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes ¨ Wir betrachten einen Vierpol (Abb. 3.20) mit folgendem Ubertragungsverhalten GAP (s) =

U2 (s) s2 − 2ds + ω02 = 2 . U1 (s) s + 2ds + ω02

(3.202)

Ein solcher Vierpol wird auch als Allpaß bezeichnet, weil er alle Frequenzen bez¨ uglich ihren Amplituden gleichermaßen behandelt. Das heißt, f¨ ur jede beliebige harmonische Anregung mit jω ergibt sich ein konstanter Betrag der ¨ Ubertragungsfunktion von |GAP (jω)| =

U 1 (s)

|U 2 (jω)| =1. |U 1 (jω)|

GAP Allpaß

(3.203)

U 2 (s)

Abb. 3.20. Vierpol mit Allpaßcharakter

Nur die Phase bzw. die Laufzeit der Signale wird durch den Allpaß beeinflußt. Dies kann auch anhand der vollkommen symmetrischen Anordnung der Pole und Nullstellen eines Allpasses in der s-Ebene veranschaulicht werden (Abb. 3.21). Die eingerahmten Pole bzw. Nullstellen entsprechen dem Fall d2 > ω02 ; die konjugiert-komplexen Paare dem Fall d2 < ω02 . GAP (s) besitzt Pole bei  s1,2 = −d± d2 − ω02 . (3.204) Es sind wiederum die drei Standardf¨ alle

d2 > ω02

(3.205)

d2 < ω02

(3.206)

54

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

j. ω j . √ω02 - d 2 q1

s1

-d

+d σ = Re {s}

s2

q2 - j . √ω 2 - d 2 0

Abb. 3.21. Pol-Nullstellen-Diagramm (s. S. 58) eines Allpasses. x: Polstellen, o: Nullstellen, ✷ : d2 > ωo2 (s. Gl. (3.202))

und d2 = ω02

(3.207)

zu unterscheiden. Die zu GAP (s) geh¨ orende Zeitfunktion gAP (t) wird als Impulsantwort des Vierpols bezeichnet (s. auch Kap. 3.11). Sie l¨ aßt sich nach der Residuenmethode erst berechnen, wenn wir eine Polynomdivision vornehmen. Damit wird sichergestellt, daß der Grad des Z¨ ahlerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms GAP (s) =

s2 − 2ds + ω02 4ds =1− 2 s2 + 2ds + ω02 s + 2ds + ω02

GAP (s) = 1 + G∗AP (s) .

(3.208) (3.209)

Wir wollen nun GAP (s) mit Hilfe der Residuenmethode zur¨ uck in den Zeitbereich transformieren ∗ gAP (t) = δ(t) + gAP (t) = δ(t) + r1 · es1 t + r2 · es2 t .

(3.210)

F¨ ur die beiden Residuen von G∗AP (s) ergibt sich r1 =

−2ds1 Z(s1 ) = ′ N (s1 ) s1 + d

(3.211)

r2 =

−2ds2 Z(s2 ) = . N ′ (s2 ) s2 + d

(3.212)

und

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

Mit Gl. (3.204) folgt

bzw.

Mit der Hilfsgr¨ oße

 2d(d − d2 − ω02 )  r1 = d2 − ω02

 −2d(d + d2 − ω02 )  r2 = . d2 − ω02 ωr =

und Gl. (3.201) erh¨ alt man

 d2 − ω02

∗ gAP (t) = r1 e−dt eωr t + r2 e−dt e−ωr t .

55

(3.213)

(3.214)

(3.215)

(3.216)

Schließlich ergibt sich mit Gl. (3.209) die Impulsantwort gAP (t) = δ(t) + e−dt (r1 eωr t + r2 e−ωr t ) .

(3.217)

Nun sind wiederum die drei bekannten Fallunterscheidungen zu treffen: 1. d2 > ω02 : Es ergeben sich reelle Werte f¨ ur r1 , r2 und ωr . 2. d2 < ω02 : Es ergeben sich konjugiert-komplexe Werte r1 und r2 sowie ein rein imagin¨ arer Wert ωr . Mit der Beziehung ωd2 = −ωr2 (Gl. (3.182)) folgt

 −2d(−d ± jωd ) d r1,2 = (3.218) = −2d 1 ± j ±jωd ωd ∗ (t) = r1 es1 t + r2 es2 t gAP

   

d d = −2d e−dt 1 + j ejωd t + 1 − j e−jωd t ωd ωd    d  jωd t e = −2d e−dt ejωd t + e−jωd t + j − e−jωd t ωd 

d sin ωd t . (3.219) gAP (t) = δ(t) − 4de−dt cos ωd t − ωd

3. d2 = ω02 (aperiodischer Grenzfall): Mit Anwendung der Regel von L’Hospital folgt gAP (t) = δ(t) − 4de−dt (1 − d t) .

(3.220)

Abbildung 3.22 zeigt die Impulsantworten des betrachteten Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d bez¨ uglich ω0 .

56

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

g (t) AP

2

2

d = ω2

2

0

d ω2 0

-4d Abb. 3.22. Impulsantwort des Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich Wir gehen von einem Vierpol (Abb. 3.23) aus, der aus passiven linearen konzentrierten Netzwerkelementen aufgebaut ist. Der Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(t) und der zeitabh¨angigen Eingangsgr¨ oße x(t) wird u ¨ber das Faltungsintegral hergestellt  +∞  +∞ x(t − τ )g(τ )dτ . (3.221) x(τ )g(t − τ )dτ = y(t) = x(t) ∗ g(t) = −∞

−∞

Da wir kausale Systeme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet, und auch die Anregungsfunktion f¨ ur t < 0 zu Null angenommen werden darf, kann die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch 0“ ” und die obere Grenze (+∞) durch t“ ersetzt werden ”  t  t y(t) = x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.222) 0

0

Dabei bezeichnet g(t) die sog. Impulsantwort oder Gewichtsfunktion. Man erh¨ alt sie als Ausgangssignal f¨ ur den Fall, daß die Erregung am Ein-

x (t)

g (t)

y (t)

Abb. 3.23. Ein Vierpol kann durch seine Impulsantwort g(t) charakterisiert werden

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

57

gang ein Dirac-Impuls δ(t) ist, d. h. (Abb. 3.24) y(t) = g(t)

f¨ ur

x(t) = δ(t) .

(3.223)

Im Laplace-Bereich vereinfacht sich das Faltungsintegral gem¨aß Kap. 3.5.4 zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten der an der Faltung beteiligten Funktionen, d. h. y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1 {G(s) · X(s)} .

(3.224)

¨ Dabei wird G(s) als Laplace-Ubertragungsfunktion (auch Netzwerku ¨ bertragungsfunktion) des Systems bzw. Vierpols bezeichnet. Im folgenden ¨ sollen die Eigenschaften und die Darstellungsm¨oglichkeiten dieser Ubertragungsfunktion G(s) und der dazugeh¨ origen Zeitfunktion g(t) (Impulsantwort) n¨aher betrachtet werden. Dirac-Stoß x(t)

x(t)

δ (t)

t=0

lineares Netzwerk Impulsantwort g(t)

Impulsantwort y(t)

t

y(t) g(t) t

Abb. 3.24. Anregung eines linearen Systems durch einen Dirac-Stoß

Es kann gezeigt werden, daß G(s) f¨ ur ein lineares passives Netzwerk aus konzentrierten Elementen als Quotient zweier Polynome darstellbar ist G(s) =

Z(s) . N (s)

(3.225)

Da G(s) gleichermaßen auch als Quotient von Laplace-Ausgangsfunktion Y (s) zu Laplace-Eingangsfunktion X(s) dargestellt werden kann G(s) =

Y (s) , X(s)

(3.226)

sind die Koeffizienten der Polynome Z(s) und N (s) reell und identisch mit den Koeffizienten der Differentialgleichung (Gl. (5.69)), die den Zusammenhang zwischen y(t) und x(t) f¨ ur t > 0 beschreibt. Aus diesem Grund liegen die Nullstellen der Polynome Z(s) und N (s) bei reellen, bei paarweise entgegengesetzt gleichen imagin¨ aren oder bei paarweise konjugiert komplexen Werten. Die Pole sν von G(s), d. h. also die Nullstellen des Nennerpolynoms N (s), werden auch als Eigenwerte des Netzwerkes bezeichnet. Liegen diese Pole in der linken Laplace-Halbebene (σν < 0), dann gilt das Netzwerk als stabil, weil keine aufklingenden Schwingungen auftreten k¨onnen. Dies liegt daran, daß die Pole bzw. Eigenwerte sν die Exponenten der in der Impulsantwort

58

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

auftretenden Schwingungen in der Form esν t festlegen. Bei Netzwerken, die nur aus passiven Elementen bestehen, liegen die Pole immer in der abgeschlossenen linken Halbebene. Die Nullstellen qμ des Z¨ahlerpolynoms Z(s) hingegen sind bzgl. ihrer Lage nicht auf die linke s-Halbebene beschr¨ankt. ¨ Zur anschaulichen Darstellung von Ubertragungsfunktionen verwendet man des ¨ ofteren sog. Pol-Nullstellen-Diagramme. Abbildung 3.25 zeigt ¨ die Pol-Nullstellenverteilung einer Ubertragungsfunktion vom Grad n = 3, d. h. sie weist drei Pole auf, G(s) = const. ·

(s − q1 )(s − q2 ) . (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 )

(3.227)

Die Pole sind im Diagramm mit Kreuzen (x) und die Nullstellen mit Rin¨ gen (o) gekennzeichnet. Das Pol-Nullstellen-Diagramm l¨aßt das Ubertragungsverhalten des Vierpols, das ja durch G(s) mathematisch beschrieben wird, f¨ ur beliebige s, insbesondere auch f¨ ur s = jω, d. h. also f¨ ur unged¨ampfte harmonische Schwingungen, unmittelbar erkennen. Wenn n¨amlich das lineare Netzwerk eine rein harmonische Anregung der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(3.228)

erf¨ ahrt, f¨ uhrt dies im eingeschwungenen Zustand bei einem linearen Vierpol stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨anderter Amplitude und Phasenlage y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } ,

(3.229)

ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ˆ =X ¨ G(jω) des linearen wobei |X| Systems ist dann folgendermaßen definiert j. ω

s1

s3

q1

q2

σ = Re {s}

s2 ¨ Abb. 3.25. Pol-Nullstellen-Diagramm einer Ubertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

G(jω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) = |G(jω)|ejϕ(ω) . = e ˆ ˆ X(ω) X(ω)

59

(3.230)

¨ aßt sich aufspalten in den BeDie komplexe Ubertragungsfunktion G(jω) l¨ origen Phasengang arg{G(jω)} = ϕ(ω). tragsgang |G(jω)| und den dazugeh¨ ¨ F¨ ur den Sonderfall s = jω beschreibt also diese Ubertragungsfunktion das Netzwerkverhalten f¨ ur den station¨ aren harmonischen Betrieb bei der Kreisfrequenz ω. Der Funktionsverlauf G(jω) wird als Frequenzgang bezeichnet. Er ist komplexwertig und wird daher oft in den Amplitudengang und den Phasengang aufgespalten. Amplitudengang: |G(jω)| Phasengang: arg{G(jω)} Wir wollen zun¨ achst den Amplitudengang betrachten |G(jω)| = |const.| ·

|jω − q1 ||jω − q2 | . |jω − s1 ||jω − s2 ||jω − s3 |

(3.231)

Die einzelnen Betragskomponenten in dieser Gleichung entsprechen den Distanzen des beliebig variierbaren Aufpunktes jω zu den einzelnen Pol- und Nullstellen sν bzw. qμ . Das Verh¨ altnis dieser Betr¨age charakterisiert den Amplitudengang. Es l¨ aßt sich direkt aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ermitteln (Abb. 3.26). Es verdeutlicht auch, wie sich |G(jω)| bei Ann¨aherung an eine Polstelle vergr¨ oßert und bei Ann¨ aherung an eine Nullstelle verkleinert. Der aßt sich ebenfalls aus dem Diagramm bestimmen Phasenwinkel von G(jω) l¨ j. ω s1 ϕP1

jω − s 3

s = jω

frei variierbares ω jω − q = √ω 2 + q 2

jω − q1 ϕP3

jω − s 1

2

ϕN1

q1

s3

2

ϕN2

q2

σ = Re {s}

jω − s2 =

√s 2+ 2R

(s + ω ) 2 2I

ϕ

P2

s2 ¨ Abb. 3.26. Bestimmung von Betrag und Phase einer Ubertragungsfunktion anhand der Einzelbeitr¨ age aller Nullstellen und Pole

60

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

< ) G(jω) = ϕN1 + ϕN2 − ϕP1 − ϕP2 − ϕP3 .

(3.232)

Allgemein kann man feststellen, daß in der linken Halbebene liegende Pole sowie die in der rechten Halbebene liegende Nullstellen mit wachsendem ω den Phasenwinkel verringern, w¨ ahrend ihn die Nullstellen in der linken Halbebene erh¨ ohen. Nullstellen auf der imagin¨ aren Achse liefern einen Winkel von ±π/2, ¨ der beim Uberschreiten einer Nullstelle um π springt. Der kleinstm¨ ogliche Winkelbeitrag ergibt sich, wenn alle Nullstellen von ¨ G(s) in der linken Halbebene liegen. Ubertragungsnetzwerke mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als Minimalphasensysteme. Sobald Nullstellen ¨ in der rechten Halbebene auftreten, enth¨ alt das Ubertragungsnetzwerk einen Allpaßanteil (s. auch Kap. 3.10).

3.12 Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Die Antwort y(t) eines vom Ruhezustand aus mit der Sprungfunktion ε(t)  0 f¨ ur t < 0 ε(t) = (3.233) 1 f¨ ur t ≥ 0 ¨ angeregten Netzwerkes wird Sprungantwort h(t) oder auch Ubergangsfunktion genannt (Abb. 3.27). Sie charakterisiert das Netzwerk ebenso vollst¨andig wie die Impulsantwort g(t). Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) l¨ aßt sich leicht herleiten h(t) =



t

g(τ )dτ .

(3.234)

0

Sprunganregung x(t)

x(t) t=0 t

Lineares Netzwerk

y(t)

Sprungantwort y(t) h(t) t

Abb. 3.27. Anregung eines linearen Netzwerkes durch einen Sprung

3.13 Bode-Diagramme

61

3.13 Bode-Diagramme ¨ Wir betrachten die Ubertragungsfunktion G(s) eines zeitinvarianten linearen Netzwerkes. Diese l¨ aßt sich gem¨ aß Gl. (3.227) durch eine gebrochen rationale Funktion der Form G(s) =

(s − q1 )(s − q2 ) · · · (s − qn ) (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sm )

(3.235)

¨ darstellen. F¨ ur den Spezialfall s = jω folgt die Ubertragungsfunktion G(jω) G(jω) =

(jω − q1 )(jω − q2 ) · · · (jω − qn ) . (jω − s1 )(jω − s2 ) · · · (jω − sm )

(3.236)

¨ Als erstes Beispiel wollen wir die einfache Ubertragungsfunktion G(jω) =

10 jω + 10

(3.237)

betrachten. Abbildung 3.283 zeigt den im linearen Maßstab gezeichneten Amplitudengang. G(jω) 1

G (s) =

100

10 s + 10

200

300

¨ Abb. 3.28. Amplitudengang der Ubertragungsfunktion G(s) = Darstellung

ω

10 s+10

in linearer

In der Praxis ist es jedoch u ¨blich, solche Amplitudeng¨ange in doppelt logarithmischer Form aufzutragen. Dazu wird |G(jω)| logarithmiert4 , mit 20 multipliziert und in der Einheit Dezibel dB dargestellt (Abb. 3.29) 3

4

Die Einheitenbezeichnung der Frequenzachse wird hier wie in den folgenden Diagrammen weggelassen, da es sich hierbei um abstrakte Beispiele ohne konkreten Bezug zu realen Systemen handelt. Der hier verwendete Logarithmus mit der Basis 10 (Zehnerlogarithmus) wird in diesem Buch stets mit lg“ bezeichnet. ”

62

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

G(jω) 0 dB -10

G (s) =

10 s + 10

-20 -30

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.29. Amplitudengang in doppelt logarithmischer Darstellung (sowohl die Abszisse als auch die Ordinate ist logarithmisch unterteilt)

|G(jω)| = 20 · lg |G(jω)| dB .

(3.238)

Die graphische Darstellung des Phasenganges (3.239)

ϕ(jω) = arg{G(jω)}

erfolgt in aller Regel einfachlogarithmisch, d. h. man tr¨agt ϕ linear und ω logarithmisch auf. Abbildung 3.30 zeigt den Phasengang der oben betrachteten ¨ Ubertragungsfunktion (Gl. (3.237)). Man bezeichnet diese Darstellungen als Bode-Diagramm. ¨ Solange die Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion im Pol-Nullstellen-Diagramm auf der negativen reellen Achse liegen, k¨onnen die Asymptoten arg{G(jω)} 0° G (s) =

10 s + 10

-45°

-90° 0,1

1

10

100

Abb. 3.30. Phasengang von G(s) =

1000

10 s+10

ω

3.13 Bode-Diagramme

63

der Diagrammverl¨ aufe nach einem einfachen Schema festgelegt werden. Dazu betrachten wir wiederum beispielhaft die Funktion G(s) =

10 , s + 10

(3.240)

die einen Pol bei s1 = −10 hat. Eine einfache Analyse der Situation f¨ uhrt zu Tab. 3.3 und dem in den Abbn. 3.31 und 3.32 dargestellten asymptotischen Verhalten. ¨ Tabelle 3.3. Analyse der Ubertragungsfunktion G(s) = ω

G(jω)

ω=0

1

0 dB

0o

ω < 0, 1|s1 |

1

0 dB

≈ 0o

ω < |s1 |

≈1

0 dB

ω = |s1 |

10 js1 +10

- 3 dB

ω > |s1 |

≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

ω > 10|s1 | ≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

10 s+10

20 · lg |G(jω)| dB Phase

G(jω)

−45o

≈ −90o

approximierter exakter Verlauf

0 -3 -10 dB -20

G (s) =

10 s + 10

-30

0,1

Abb. 3.31. 10 G(s) = s+10

1

10

100

1000

ω

Mit Hilfe von Asymptoten bestimmter Amplitudengang von

64

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

arg{G(jω)} 0° -6° exakter Verlauf -45°

G (s) =

10 s + 10

-84° -90°

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.32. Mit Hilfslinien angen¨ aherter Phasengang von G(s) =

10 s+10

¨ Hat die Ubertragungsfunktion statt des Pols eine entsprechende Nullstelle bei s = q1 , kehrt sich das Diagramm um (Abbn. 3.33 und 3.34). G(jω) 50 dB 40

G (s) = s + 10

30

exakter Verlauf

23 20

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.33. Mit Asymptoten angen¨ aherter Amplitudengang von G(s) = s + 10

3.13 Bode-Diagramme

65

arg{G(jω)} +90° +84° G (s) = s + 10 +45°

exakter Verlauf

+6° 0°

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.34. Vergleich des exakt berechneten sowie des mit Hilfslinien angen¨ aherten ¨ Phasenganges der Ubertragungsfunktion G(s) = s + 10

3.13.1 Regeln fu ¨ r Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) ¨ F¨ ur den Fall, daß die Ubertragungsfunktion mehrere reelle Pole und Null¨ stellen enth¨ alt, geht man folgendermaßen vor: Man zerlegt die Ubertragungsfunktion multiplikativ in Systeme 1. Ordnung und addiert dann den logarithmisch dargestellten Amplitudengang sowie die linear dargestellte Phase. Unter der Bedingung, daß sich alle Pole und Nullstellen auf der negativen reellen Achse des Pol-Nullstellen-Diagramms befinden und der gegenseitige Abstand gen¨ ugend groß ist, lassen sich Regeln definieren, die das Absch¨atzen der Amplituden- und Phasenverl¨ aufe erleichtern [60], [136]: Amplitudengang 1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen 2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 3. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Steigung 0 dB/Dekade b) pro Pol bei s = 0: Steigung -20 dB/Dekade c) pro Nullstelle bei s = 0: Steigung +20 dB/Dekade 4. Gerade Linie bis zur n¨ achsten Eckfrequenz 5. F¨ ur jeden Pol Steigung um 20 dB/Dekade verringern, f¨ ur jede Nullstelle Steigung um 20 dB/Dekade erh¨ ohen. Punkte 4 und 5 so lange wiederholen, bis alle Eckfrequenzen abgearbeitet sind 6. Beschriftung der vertikalen Achse durch Ausrechnen von |G(jω)| in einem waagrechten Bereich des Bode-Diagrammes. 7. Ecken um 3 dB pro Pol bzw. Nullstelle abrunden

66

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Phasengang 1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 2. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Phase 0◦ b) pro Pol bei s = 0: Phase −90◦ c) pro Nullstelle bei s = 0: Phase +90◦ 3. Gerade Linie bis 0, 1× n¨ achste Eckfrequenz 4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede Nullstelle addiert 90◦ u ¨ber einen Bereich von 0, 1× Eckfrequenz bis 10× Eckfrequenz verteilt. Auf diese Art alle Eckfrequenzen abarbeiten 5. Phasenskizze gl¨ atten, so daß arctan-Verl¨ aufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1× Eckfrequenz und 10× Eckfrequenz

Beispiel: Bode-Diagramm mit reeller Pol-Nullstellenverteilung ¨ Betrachten wir folgende Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) =

s + 1000 . (s + 10)2

(3.241)

Es befinden sich weder Pole noch Nullstellen bei s = 0, daher ergibt sich bei ω → 0 f¨ ur den Amplitudengang |G(jω)| = 20 dB und eine Steigung von 0 dB sowie f¨ ur den Phasengang arg{G(jω)} = 0. Bei s = −10 befindet sich ein doppelter Pol, daher f¨ allt der Amplitudengang ab ω = 10 mit −40 dB/Dekade ab und die Phase verringert sich auf −180◦ u ¨ber einen Bereich von ω = 1 bis ω = 100 verteilt. Die Nullstelle bei s = −1000 f¨ uhrt dazu, daß die Steigung des Amplitudenganges sich ab ω = 1000 auf −20 dB/Dekade erh¨oht und die Phase auf −90◦ ansteigt. Die Abbildung 3.35 zeigt die approximierten sowie die exakten Verl¨ aufe.

3.13 Bode-Diagramme

67

G(jω) 20 17 14 10

G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

dB 0,1

1

10

100

1000

ω

10000

-20

-40 exakter Verlauf -60

arg{G(jω)} 0° 0,1

-45°

1

10

100

1000

ω

10000

exakter Verlauf G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

-90°

-135°

-180° Abb. 3.35. Approximierter und exakt berechneter Amplituden- und Phasengang

68

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.13.2 Regeln fu ¨ r Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren ¨ Wenn die Ubertragungsfunktion ein komplexes Polpaar aufweist, bedeutet dies, daß ein schwingungsf¨ ahiges System beschrieben wird, z. B. ein Resonanzkreis. Man hat zwei F¨ alle zu unterscheiden (Abb. 3.36): j. ω schwach gedämpft

σ = Re {s}

stark gedämpft

Abb. 3.36. Konjugiert-komplexe Polstellen f¨ ur schwach ged¨ ampftes sowie stark ged¨ ampftes System

schwach ged¨ ampftes System Ob eine schwache oder eine starke D¨ ampfung vorliegt, l¨aßt sich an der Lage der Doppelpolstelle ablesen. Gilt f¨ ur den Betrag des Imagin¨arteils |Im(si )| ≫ |Re(si )|, so herrscht schwache D¨ ampfung vor, was dazu f¨ uhrt, daß es im Amplitudengang zu einer deutlichen Resonanz¨ uberh¨ohung kommt. F¨ ur Frequenzen weit oberhalb der Eckfrequenz f¨allt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade aufgrund des doppelten Pols. Ferner findet die Resonanz¨ uberh¨ ohung bei ω ≈ |Im (si )| statt, d.h. in der N¨ahe des Imagin¨arteils des Pols. Diese ist umso ausgepr¨ agter, je n¨ aher der Pol an der imagin¨aren Achse liegt. N¨ aher“ heißt, daß der Winkel zwischen der Verbindungsgeraden (Pol ” - Nullpunkt) und der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Die Phase f¨allt an dieser Stelle wegen des doppelten Pols nahezu sprunghaft um 180◦ ab. Die N¨ahe der Pole zur imagin¨ aren Achse ist ein Maß f¨ ur die Steilheit dieses Phasensprungs.

3.13 Bode-Diagramme

69

stark ged¨ ampftes System Bei stark ged¨ ampften Systemen ist der Realteil der konjugiert-komplexen Polstelle wesentlich gr¨ oßer als der Imagin¨ arteil. Es gilt |Im(si )| ≪ |Re(si )|. Auch hier f¨ allt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade f¨ ur Frequenzen oberhalb der ¨ Eckfrequenz ab. Die Uberh¨ ohung im Amplitudengang infolge Resonanz geht allerdings immer mehr zur¨ uck und verschwindet f¨ ur den Grenzfall, daß die konjugiert-komplexe Polstelle in einen Doppelpol u ¨bergeht. In diesem Grenzfall zeigt der Amplitudengang den bereits oben diskutierten 6 dB-Abfall bei der Eckfrequenz ω ≈ |Re(si )|. Systeme mit mittlerer D¨ ampfung F¨ ur F¨ alle, die zwischen den o. g. Extrema (|Im(si )| ≫ |Re(si )| und |Im(si )| ≪ |Re(si )|) liegen, gelten folgende Regeln: ¨ 1. Ein Uberschwingen tritt auf, sobald der Imagin¨arteil der Polstelle gr¨oßer wird als der Realteil, d. h. f¨ ur |Re(si )| < |Im(si )|. 2. Die Eckfrequenz ω ergibt sich aus dem Betrag der Polstelle  ω = Re(si )2 + Im(si )2 . (3.242)

¨ 3. Das Maximum der Uberschwingungsamplitude liegt zwischen der Frequenz ω = 0 und der Eckfrequenz aus Pkt. 2.

Beispiele: Bode-Diagramme fu ¨ r komplexe Polpaare Im folgenden wollen wir zwei Beispiele diskutieren. Zun¨achst betrachten wir ¨ die Ubertragungsfunktion G(s) =

1 . s2 + 0, 4s + 1, 04

(3.243)

Sie besitzt lediglich ein komplexes Polpaar bei s1,2 = −0, 2 ± j. Daraus folgt, daß f¨ ur kleine ω die Phase gleich Null ist. Außerdem erh¨alt man f¨ ur ω → 0 einen waagrechten Amplitudenverlauf mit |G(jω)| ≈ 0 dB. Das Polpaar f¨ uhrt zu einer deutlichen Resonanz¨ uberh¨ohung an der Stelle ω ≈ 1; f¨ ur h¨ ohere Frequenzen l¨ aßt sich der Amplitudenverlauf durch eine Gerade mit −40 dB/Dekade Steigung ann¨ ahern. Die Phase f¨allt bei ω ≈ 1 um −180◦ ab ¨ (Abb. 3.37). Um den Einfluß der Pol-Nullstellenkonfiguration auf das Ubertra¨ gungsverhalten eines Netzwerkes zu verdeutlichen, betrachten wir die Ubertragungsfunktion G(s) =

s(s + 100)2 (s + 104 ) . (3.244) (s + 0, 2 + j)(s + 0, 2 − j)(s + 20 + 1000j)(s + 20 − 1000j)

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

70

G(jω) 20 17 10 dB 0,01

0,1

1

10

100

-20 G (s) =

1000

ω

1 s2 + 0,4s + 1,04

-40

-60

arg{G(jω)} 0° 0,01

0,1

1

10

100

1000

ω

-45° G (s) =

1 s2 + 0,4s + 1,04

-90°

-135°

-180° Abb. 3.37. Amplituden- und Phasengang mit einer Resonanz¨ uberh¨ ohung bei ω ≈ 1

3.13 Bode-Diagramme

71

j. ω s5

s2 s1 s7

s4

σ = Re {s}

s3

s6 Abb. 3.38. Gl. (3.244)

¨ Pol(x)-Nullstellen(o)-Diagramm der Ubertragungsfunktion nach

Diese Darstellung l¨ aßt die Lage der Pole und Nullstellen sofort erkennen uhrt dazu, daß die Amplitude f¨ ur kleine (Abb. 3.38). Die Nullstelle bei s1 = 0 f¨ ω mit 20 dB/Dekade ansteigt (Abb. 3.39). Die erste Resonanz¨ uberh¨ohung wird durch das komplexe Polpaar s2,3 = −0, 2 ± j verursacht und befindet sich bei ω ≈ 1. Hier ¨ andert sich die Steigung um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Als n¨ achstes folgt eine doppelte Nullstelle auf der reellen Achse bei s4 = −100. Daher ¨ andert sich die Steigung bei ω = 100 um +40 dB/Dekade auf +20 dB/Dekade. Wegen des komplexen Polpaares s5,6 = −20±1000j kommt es bei ω ≈ 1000 abermals zu einer Resonanz¨ uberh¨ohung. Die Steigung des Amplitudenganges ¨ andert sich um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Schließlich gilt es noch die Nullstelle s7 = −104 zu beachten, welche dazu f¨ uhrt, daß sich die Steigung bei ω = 104 um +20 dB/Dekade auf 0 dB/Dekade erh¨oht. Beim Vergleich des approximierten Amplitudenganges (Abb. 3.39) mit der exakten L¨ osung f¨ allt auf, daß die zweite Resonanz wesentlich st¨arker ausgepr¨agt ist als die erste. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß das Polpaar s5,6 n¨aher an der imagin¨ aren Achse liegt als das Polpaar s2,3 . N¨aher“ heißt, daß der Win” kel der Pole mit der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Abschließend muß noch die vertikale Achse beschriftet werden. Hierzu benutzt man die Tatsache, daß der Amplitudenverlauf f¨ ur ω → ∞ waagrecht ist und daß die Amplitude dort 0 dB betr¨ agt (limω→∞ |G(jω)| = 1). F¨ ur die Phase bei kleinen Frequenzen erh¨alt man wegen der Nullstelle bei s1 = 0 den Wert +90◦ . Beim ersten komplexen Polpaar ¨ andert sich die Phase um −180◦ auf −90◦ . Die doppelte Nullstelle bei uhrt zu einem Anstieg um 180◦ auf (ungef¨ahr) zwei Dekaden vers4 = −100 f¨ teilt. Das zweite komplexe Polpaar verursacht wiederum eine Phasen¨anderung um −180◦ . Schließlich bleibt noch die Nullstelle s7 = −104 wodurch die Phase

72

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

G(jω)

s (s + 100)2 (s + 104 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

G (s) =

60 dB 40

exakter

20

Verlauf approximierter

0 0,1

1

arg{G(jω)} +90°

100

10

1000

10000

ω

4

G (s) =

s (s + 100)2 (s + 10 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

exakter Verlauf approximierter

+45°

0° 0,1

1

10

100

1000

10000

ω

-45°

-90° Abb. 3.39. Amplituden- und Phasengang mit zwei Resonanz¨ uberh¨ ohungen bei ω ≈ 1 und ω ≈ 1000

auf 0◦ zur¨ uckgeht. Betrachtet man den exakten Phasenverlauf in Abb. 3.39, so erkennt man, daß sich hier die st¨ arkere zweite Resonanz in einem deutlich steileren Phasen¨ ubergang auswirkt.

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Im Gegensatz zu den vereinfachenden Annahmen, daß die in den betrachteten elektrischen Netzwerken enthaltenen Bauelemente zeitinvariant, d.h. keine Funktion der Zeit darstellen, und linear sind, d. h. keine Abh¨angigkeiten der Widerstands-, Kapazit¨ ats- und Induktivit¨ atswerte von den angelegten Spannungen bzw. den durch sie fließenden Str¨ omen vorhanden sind, wollen wir in diesem Kapitel gerade diese Abh¨ angigkeiten zulassen. Wir sprechen in diesem Fall allgemein von zeitvarianten R, L, C = f (t)

(4.1)

R, L, C = f (u, i)

(4.2)

bzw. nichtlinearen Bauelementen und Netzwerken. Sie stellen eine Verallgemeinerung der linearen Bauelemente und Netzwerke dar.

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) 4.1.1 Vorbemerkungen Nichtlineare Bauelemente werden im allgemeinen durch ihre Kennlinien beschrieben. Kennlinien k¨ onnen als geschlossene analytische Ausdr¨ ucke, in Form von Tabellen oder als gemessene Kurven vorliegen. Bei einem Widerstand spricht man von einer Strom-Spannungs-Kennlinie, bei einer Induktivit¨at von einer Fluß-Strom-Kennlinie und bei einer Kapazit¨at von einer LadungsSpannungs-Kennlinie. Ist der Kennliniengraph punktsymmetrisch zum Ursprung, so bezeichnet man diesen als bilaterale Kennlinie. Kennlinien, die bei sehr langsam ver¨ anderlichen oder zeitlich konstanten anregenden Gr¨oßen aufgenommen werden, heißen statische Kennlinien. Bei linearen Elementen und sinusf¨ ormiger Anregung kann eine Kennlinie, welche die Momentanwerte von Strom und Spannung beschreibt, durch ein√ fache Skalierung mit dem Faktor 2 auf beiden Achsen gem¨aß R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

74

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

ˆ U Ueff = √ 2

und

Iˆ Ieff = √ 2

(4.3)

in eine Kennlinie zur Beschreibung der Effektivwerte umgewandelt werden, ˆ und Iˆ die Scheitelwerte von Spannung bzw. Strom bezeichnen. wobei U Bei Bauelementen mit nichtlinearer Kennlinie besteht nat¨ urlich keine lineare Beziehung mehr zwischen Strom und Spannung. Bei Anlegen einer sinusf¨ ormigen Wechselspannung an ein nichtlineares Element ist der Strom nicht mehr sinusf¨ ormig. Er enth¨ alt neben der Grundfrequenz noch h¨ohere Harmonische. Der Effektivwert bestimmt sich dann zu   1 T 2 Ieff = i (t) dt . (4.4) T 0 Aus diesem Grunde gehen Momentanwert- und Effektivwertkennlinie nicht mehr einfach durch Maßstabs¨ anderung auseinander hervor. Der Unterschied zwischen beiden Kurven ist aber im allgemeinen gering, da sich bei der Bildung des Effektivwertes die Oberwellen quadratisch zur Grundwelle addieren und deren Amplituden (im Vergleich zur Grundwelle) mit der Ordnungszahl der Harmonischen abnehmen. 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand Das Schaltsymbol f¨ ur einen nichtlinearen Widerstand ist in Abb. 4.1 gezeigt. Man unterscheidet zwischen stromgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form u = R(i) i (4.5) und spannungsgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form i = G(u) u

(4.6)

dargestellt werden. Im zeitvarianten Fall tritt zu der jeweiligen Abh¨angigkeit noch die der Zeit t hinzu. i u Abb. 4.1. Schaltsymbol f¨ ur nichtlinearen Widerstand

In Abb. 4.2 ist exemplarisch eine Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen (stromgesteuerten) Widerstandes gezeigt. An dieser Kennlinie sind nun allgemein zwei verschiedene Gr¨ oßen zur Beschreibung des Bauteils definiert. Betrachtet man einen speziellen Arbeitspunkt (u0 , i0 ), so wird die Steigung der Ursprungsgeraden durch diesen Punkt als statischer Widerstand

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

R s (i 0)

75

R(i 0)

u u0

a)

i0

i

R

R s (i) b)

R(i) i

Abb. 4.2. a) Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen ohmschen Widerstandes mit Ursprungsgerade und Tangente im Arbeitspunkt (u0 , i0 ), b) statischer RS und differentieller Widerstand R

Rs (i0 ) =

u0 i0

(4.7)

bezeichnet (Abb. 4.2). Er ist eine Funktion des Arbeitspunktes. Die Steigung der Tangente an die Kurve im Arbeitspunkt (i0 ) hingegen entspricht dem differentiellen Widerstand  du  R(i0 ) = . (4.8) di i=i0

Neben der Betrachtung der (statischen) Kennlinie des nichtlinearen Bauelements ist auch dessen Zeitverhalten von grundlegender Wichtigkeit. So reagiert ein reales nichtlineares Bauelement, je nach zugrundeliegendem physikalischem Mechanismus, der f¨ ur die Nichtlinearit¨at verantwortlich ist, nicht so¨ fort auf eine Anderung der ¨ außeren elektrischen Gr¨oßen. Innere physikalische Vorg¨ ange, die zur Nichtlinearit¨ at f¨ uhren, k¨ onnen z. B. einem Exponentialgesetz mit einer bestimmten Zeitkonstante τ gehorchen. Ist die Nichtlinearit¨at des Bauteils temperaturbedingt, so kann die entsprechende Erw¨armungszeitkonstante im Bereich von Sekunden oder Minuten liegen. Bauelemente mit einer im Vergleich zur Periodendauer der anregenden Gr¨oße T großen Zeitkonstanten τ bezeichnet man als tr¨ age Bauelemente. Man hat drei F¨alle zu unterscheiden [126]:

76

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

1. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr groß im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≫ τ ): Hier verh¨ alt sich das Bauelement tr¨ agheitslos. Ein nichtlinearer Widerstand verh¨ alt sich hier wie sein differentieller Widerstand im jeweiligen Arbeitspunkt. 2. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr klein im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≪ τ ): Das Bauelement ist tr¨ age, d. h. es ¨ andert seinen Widerstandswert fast nicht. Somit verh¨ alt es sich bei dieser Anregung wie ein lineares Bauelement mit konstantem Widerstandswert, der seinem statischen Widerstand entspricht. Die Kennlinie geht u ¨ber in eine Ursprungsgerade mit dem Anstieg des statischen Widerstandes. 3. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße liegt in der Gr¨oßenordnung der Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≈ τ ): Der Widerstandswert ¨ andert sich verz¨ ogert, d. h. die Kennlinie erh¨alt die Form einer geschlossenen Kurve, die den Arbeitspunkt umfaßt. Es tritt also eine Hysterese auf und Strom sowie Spannung am Widerstand werden gegeneinander in der Phase verschoben, so daß zus¨atzlich zum ohmschen Widerstand kapazitive und induktive Anteile hinzutreten.

i

u

Abb. 4.3. Kennlinie eines bilateralen Widerstandes

Passive Widerst¨ ande sind Widerst¨ ande, die weder Quellen enthalten noch Halbleitereigenschaften aufweisen. Sie zeigen eine bzgl. des Koordinatenursprunges im u − i−Kennlinienfeld punktsymmetrische Kennlinie (Abb. 4.3). Man bezeichnet diese Widerst¨ ande bzw. ihre entsprechende Kennlinie auch als bilateral. Die Klemmen dieses Widerstandes sind beliebig vertauschbar. Diese Punktsymmetrie geht verloren, wenn die Bauelemente Halbleiter mit ¨ pn−Uberg¨ angen enthalten, wie z. B. Dioden. Abbildung 4.4 zeigt die typische i − u−Kennlinie einer Diode

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

77

i i

u

IS

u

Abb. 4.4. Typische Diodenkennlinie mit Schaltzeichen

i = Is (eu/UT − 1),

(4.9)

wobei UT die Temperaturspannung bezeichnet UT =

k·T e

(4.10)

mit k: Boltzmannkonstante k = 1, 38 · 10−23 Ws K e: Elektronenladung e = 1, 6 · 10−19 As T : absolute Temperatur. Eine besondere Eigenschaft weisen die sog. Tunneldioden auf; sie zeigen n¨ amlich in ihrer i − u−Kennlinie Bereiche mit negativer Steigung (Abb. 4.5). Dies bedeutet, daß sich die Tunneldiode dort wie ein negativer differentieller Widerstand verh¨ alt. Bez¨ uglich eines vorgegebenen Stromwertes i kann es i i di UVB uE < − UVB

UB V

.

(4.38)

UB entspricht in der Praxis der um ca. 1 Volt reduzierten Versorgungsspannung des Operationsverst¨ arkers. Kollektor

uBE

Basis iB

iC

u CE

Emitter

Abb. 4.21. Schaltzeichen eines Bipolartransistors

Auch Transistoren lassen sich in Form von gesteuerten Quellen darstellen. Bei Bipolartransistoren (Abb. 4.21) ist der Basisstrom iB die steuernde Gr¨oße und der Kollektorstrom die gesteuerte Gr¨ oße (Abb. 4.22). iB iC u CE

iB

u BE a)

u CE b)

Abb. 4.22. Transistorkennlinien: a) Eingangskennlinienfeld eines Bipolartransistors und b) Ausgangskennlinienfeld

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke Die Analyse von elektrischen Netzwerken, die nichtlineare Bauelemente enthalten, ist in aller Regel bedeutend aufwendiger als die Analyse vergleichbarer linearer Netzwerke. Dies beginnt damit, daß das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist. Selbst einfache Netzwerke mit nur einem oder zwei nichtlinearen Elementen erfordern oft numerische L¨osungen. Bei einfacheren Netzwerken ist die graphische Bestimmung der (des) Arbeitspunkte(s) oft eine

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

91

i Ri

Uo

u

RL

Abb. 4.23. Zu analysierendes Netzwerk

Alternative mit Anschauungscharakter. Wir beginnen daher mit der graphischen Bestimmung des Arbeitspunktes des in Abb. 4.23 gezeigten linearen Widerstandsnetzwerkes, das von einer Quelle gespeist wird. Bei der graphischen L¨ osung werden die beiden Geraden, welche einerseits den ohmschen Lastwiderstand RL und andererseits die Quelle mit dem Innenwiderstand Ri beschreiben, in das i−u-Kennlinienfeld eingetragen (Abb. 4.24). Der Schnittpunkt, der auch als Arbeitspunkt bezeichnet wird, liefert die L¨osung f¨ ur den Strom iAP , der durch den Zweig des Netzwerkes fließt, sowie die Spannung uAP am eingezeichneten Klemmenpaar U0 , Ri + RL RL . = U0 Ri + RL

iAP =

(4.39)

uAP

(4.40)

Im Falle eines nichtlinearen Lastwiderstandes kann es keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele L¨ osungen, sprich Arbeitspunkte, geben (Abb. 4.25 und 4.26). Formelm¨ aßig l¨ aßt sich die Situation der mit einem nichtlinearen Widerstand belasteten Quelle folgendermaßen beschreiben. Die unabh¨angige Quelle mit Innenwiderstand Ri wird durch u

Arbeitspunkt

u = RL i

U0 u

u = U0 - R i i

AP

i

AP

U0 Ri

i

Abb. 4.24. Graphische Arbeitspunktbestimmung der Schaltung aus Abb. 4.23

92

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

u = U0 − Ri i

(4.41)

charakterisiert. Wenn sich der Lastwiderstand RL durch eine analytische Funktion der Form FRL (i, u) = 0 (4.42) darstellen l¨ aßt, so f¨ uhrt die Tatsache, daß der Strom durch die Quelle mit dem durch den Lastwiderstand in Betrag und Richtung identisch ist, zu der Gleichung FRL (i, U0 − Ri i) = 0 . (4.43)

u U0 Kennlinie der Quelle Kennlinie des nichtlinearen Lastwiderstandes

i

Abb. 4.25. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes – Beispiel f¨ ur nichtexistente L¨ osung

Dies ist im allgemeinen Fall eine nichtlineare transzendente Gleichung, die mit Hilfe eines geeigneten numerischen Verfahrens, z.B. mit der Newton-RaphsonMethode, gel¨ ost werden kann. Prinzipiell ist also eine Gleichung der Form f (x) = 0

(4.44)

iterativ zu l¨ osen, bis ein gew¨ unschtes Abbruchkriterium unterschritten wird. Dabei muß die L¨ osung, wie Abb. 4.26 zeigt, nicht eindeutig sein, sondern sie angen. Die L¨ osung erh¨alt man durch fortlaukann vom Startpunkt x(0) abh¨ fende Iterationen u ¨ber n x(n+1) = x(n) −

f (x(n) ) . f ′ (x(n) )

(4.45)

Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit des Verfahrens ist die stetige Differenzierbarkeit der Funktion f (x).

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

93

u

Kennlinie der Quelle

U0 uAP Kennlinien zweier beispielhafter nichtlinearer Lastwiderstände

i

iAP

Abb. 4.26. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes der Schaltung aus Abb. 4.23. Die durchgezogene Kennlinie liefert einen Arbeitspunkt, auf der gestrichelten sind zwei Arbeitspunkte m¨ oglich.

Beispiel — Lineare Spannungsquelle mit Diode Es soll die in Abb. 4.27 gezeigte Schaltung analysiert werden. Die Diode l¨aßt sich durch u i = Is (e UT − 1) (4.46) beschreiben. Im konkreten Fall betragen die Werte f¨ ur den S¨attigungssperrstrom der verwendeten Siliziumdiode IS = 10 pA

(4.47)

und f¨ ur die Temperaturspannung bei Raumtemperatur UT = 26 mV .

(4.48)

F¨ ur die Leerlaufspannung der Quelle gilt U0 = 3 V und f¨ ur ihren Innenwiderstand Ri = 1 kΩ. Da in diesem Fall zu erwarten ist, daß i ≫ IS ist, vereinfacht sich die Diodengleichung zu u i = IS e U T . (4.49)

Ri Uo

i u

Abb. 4.27. Zu analysierende Schaltung

94

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Wenn man jetzt die Quelle mit der Gleichung u = U0 − Ri i

(4.50)

ber¨ ucksichtigt, erh¨ alt man folgende transzendente Gleichung zur Beschreibung der Schaltung u (4.51) f (u) = u − U0 + Ri IS e UT = 0 . Die Ableitung nach u ergibt f′ =

Ri IS Uu df =1+ e T. du UT

(4.52)

Da wir wissen, daß die Durchlaßspannung von Siliziumdioden bei etwa 0, 6 V liegt, nehmen wir diesen Wert als Startwert u(0) f¨ ur das Iterationsverfahren. Es ergeben sich die Iterationen von Spalte 1 der Tab. 4.1. Auch f¨ ur kleinere Startwerte konvergiert der Algorithmus (Spalte 2). Je schlechter der Startwert gew¨ ahlt wird, umso mehr Iterationen werden ben¨otigt (Spalte 3). Weitere Verfahren zur Analyse von nichtlinearen Netzwerken finden sich in [172]. Tabelle 4.1. Iterative L¨ osung von Gl. (4.51) f¨ ur verschiedene Startwerte u(0) Spalte 1 u

(0)

u

(1)

u

(2)

u

(3)

u(4) u(5) u

(6)

u

(7)

u

(8)

Spalte 2

Spalte 3

0.6000 V u

(0)

0.5746 V u

(1)

0.5503 V u

(2)

=

0.5284 V u

(3)

=

0.5621 V u

=

0.5121 V u(4)

=

0.5388 V u(4)

=

0.5042 V u(5)

=

0.5193 V

=

0.5028 V u

(6)

=

0.5070 V u(58)

=

0.5110 V

0.5027 V u

(7)

=

0.5031 V u

(59)

=

0.5039 V

0.5027 V u

(8)

0.5027 V u

(60)

=

0.5028 V

u

(61)

=

0.5027 V

= = =

= =

= = =

=

0.4500 V u

(0)

=

2.0000 V

0.6127 V u

(1)

=

1.9740 V

0.5871 V u

(2)

=

1.9481 V

(3)

=

1.9221 V

= .. .

1.8961 V

5 Meßfehler

Messungen sind in der Regel fehlerbehaftet, auch wenn sie noch so pr¨azise durchgef¨ uhrt werden. Die Ermittlung und Angabe der entsprechenden Meßfehler sollte zu jeder zuverl¨ assigen Messung geh¨oren, damit die aus dem Meßergebnis abgeleiteten Schl¨ usse bzw. Entscheidungen auf einer sicheren Grundlage basieren. So besteht bei vielen Arten von Messungen die Gefahr, daß sich die zu messenden Gr¨ oßen durch das Einbringen der Meßger¨ate ver¨andern. Beispielsweise kann ein Spannungsmesser die zu messende Spannung ver¨andern, weil er infolge seiner nicht idealen (d.h. nicht unendlich hohen) Innenimpedanz die Spannungsquelle belastet. Generell ist darauf zu achten, daß solche R¨ uckwirkungen der Meßeinrichtung auf die Quelle, der die Meßgr¨oße entstammt, so gering wie m¨ oglich gehalten werden. Eine weitere typische Fehlerquelle besteht in der unsachgem¨ aßen Anwendung der Ger¨ate, wie z. B. dem Betrieb in einem nicht spezifizierten Frequenz- oder Temperaturbereich. Aber selbst bei bestimmungsgerechter und r¨ uckwirkungsfreier Anwendung von Meßger¨aten gibt es Meßfehler, die zuf¨ alliger Natur sind, wie z. B. die Ablesefehler. Die Charakterisierung eines Meßfehlers erfolgt durch Angabe des absoluten oder des relativen Meßfehlers. Der absolute Meßfehler F ist definiert als Differenz aus dem Meßwert A (Anzeigewert) und dem wahren Wert W F =A−W .

(5.1)

Der relative Fehler f entspricht dem absoluten Fehler, bezogen auf den wahren Wert F 100% . (5.2) f= W Bei nicht bekanntem wahren Wert W und kleinem Meßfehler (|F/A| ≪ 1) darf folgende N¨ aherung angewendet werden f≈

F 100% . A

(5.3)

Zur Charakterisierung von Meßger¨ aten bezieht man den absoluten Meßfehler des Ger¨ ates h¨ aufig auf den Meßbereichsumfang, die sog. Meßspanne Msp, welR. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

96

5 Meßfehler

che der Differenz zwischen Meßbereichsendwert und Meßbereichsanfangswert entspricht F f˜ = 100% . (5.4) Msp Die Gr¨ oße f˜ wird als normierter bzw. zum Teil auch als reduzierter Fehler bezeichnet. In der Meßtechnik unterscheidet man prinzipiell zwischen systematischen Meßfehlern und zuf¨alligen Meßfehlern. Der wesentliche Unterschied zwischen diesen Fehlerarten liegt in der Vorhersagbarkeit und damit der Korrigierbarkeit der systematischen Fehler, welche bei den zuf¨alligen nicht gegeben ist. Die zuf¨ alligen Fehler lassen sich nur noch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten beziffern. Der Fehler beim Ablesen einer Meßger¨ateskala ist ein typischer zuf¨ alliger Fehler. Eine weitere Klassifizierung unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Fehlern. W¨ ahrend sich die statischen Fehler nur auf die statischen Eigenschaften der Meßeinrichtung beziehen und damit nur f¨ ur rein statische Meßgr¨ oßen bzw. f¨ ur den statischen Anteil von dynamischen Meßgr¨ oßen relevant sind, beschreiben die dynamischen Meßfehler das Verhalten bei zeitlich variablen Meßgr¨ oßen. Dynamische Meßfehler sind die aus ¨ den nicht idealen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems resultierenden Abweichungen vom wahren zeitlichen Verlauf der Meßgr¨oße.

5.1 Systematische Meßfehler Bei den systematischen Fehlern sind die Ursachen bekannt. Es gibt systematische Abweichungen, die w¨ ahrend einer Messung einen konstanten Betrag und ein bestimmtes Vorzeichen haben (statische Meßfehler) und solche, die eine zeitliche Ver¨ anderung des Meßwertes w¨ ahrend einer Meßreihe bewirken (dynamische Meßfehler). Wenn die systematischen Fehler bekannt sind, kann nach Gl. (5.1) der wahre Wert berechnet werden. Da systematische Fehler also prinzipiell korrigierbar sind, sollten sie nach M¨oglichkeit im ersten Schritt der Meßwertverarbeitung berichtigt werden. Fortpflanzung systematischer Fehler Ist das Meßergebnis y eine Funktion mehrerer Meßgr¨oßen xi (i = 1 ... n), so muß die gesuchte Gr¨ oße y durch Auswertung des sog. Aufgabengesetzes y = Fkt.(x1 , ..., xn )

(5.5)

ermittelt werden. Mit dem wahren Wert yw ergibt sich schließlich der absolute Meßfehler Δy zu Δy = y − yw = f (x1 + Δx1 , ..., xn + Δxn ) − f (x1 , ..., xn ) .

(5.6)

5.1 Systematische Meßfehler

97

Wenn der absolute Einzelmeßfehler Δxi klein ist gegen¨ uber der entsprechenden Einzelmeßgr¨ oße xi (|Δxi | ≪ |xi |), l¨ aßt sich Δy aus den partiellen Ablei¨ tungen und den kleinen Anderungen Δxi auf der Basis der nach den linearen Gliedern abgebrochenen Taylorreihe der Funktion y entwickeln Δy =

n  ∂y Δxi . ∂xi i=1

(5.7)

Aus Gl. (5.7) lassen sich die folgenden Regeln f¨ ur die Fortpflanzung systematischer Fehler herleiten: • • • •

Bei der Addition von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler subtrahiert.

Besteht das Aufgabengesetz beispielsweise aus einer Multiplikation von Meßgr¨ oßen mit gleichzeitiger Potenzierung y = kxr11 xr22 · · · xrnn ,

(5.8)

so ergibt sich der absolute Fehler Δy durch Auswertung von Gl. (5.7) Δy = y

n  i=1

ri

Δxi . xi

(5.9)

Daraus kann der gesamte relative Fehler Δy/y als Summe der mit den Exponenten ri gewichteten relativen Einzelfehler fi errechnet werden n

n

 Δy  Δxi = = ri f i . ri y xi i=1 i=1

(5.10)

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß die oben beschriebene vorzeichenbehaftete Behandlung von Fehlern nur Sinn macht, wenn man die Vorzeichen der Fehler explizit kennt. In vielen F¨ allen allerdings sind die Richtungsabweichungen der Fehler und damit ihre Vorzeichen unbekannt. Deshalb macht man von Gl. (5.7) in abgewandelter Form Gebrauch Δy =

 n    ∂y    Δx i ,  ∂xi

(5.11)

i=1

d. h. man geht vom “worst case” aus, daß alle Fehler in die selbe Richtung weisen. Die Abweichung Δy entspricht also dann dem maximalen (Absolut-) Fehler, der auftreten kann.

98

5 Meßfehler

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobe Zuf¨ allige Fehler sind nicht unmittelbar erfaßbare Abweichungen vom wahren Wert. Sie k¨ onnen nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. Typischerweise liefern die Wiederholungen eines Meßvorganges unterschiedliche, streuende Meßwerte xi . Zur Beurteilung zuf¨alliger Fehler ist es daher notwendig, mehrere bzw. soviele Messungen wie m¨oglich durchzuf¨ uhren. Aus der Annahme, daß unendlich viele voneinander unabh¨angige, gleichverteilte (rein zuf¨ allige) Einflußgr¨ oßen wirksam sind und gen¨ ugend (theoretisch unendlich) viele Einzelmessungen durchgef¨ uhrt wurden, liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) der Meßwerte vor. Dies geht aus dem Normalverteilungsgesetz f¨ ur zuf¨allige Fehler hervor. Die Abweichungen sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert: positive und negative Abweichungen treten gleich h¨ aufig auf und mit zunehmender Gr¨oße der Abweichung nimmt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ihr Auftreten ab. Die H¨aufigkeit ihres Auftretens wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) beschrieben. Sie entspricht einer Gauß- bzw. Normalverteilung (Abb. 5.1) p(x) =

1 x−μ 2 1 √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

(5.12)

Der arithmetische Mittelwert μ aller Meßwerte xi , der auch als Erwartungswert bezeichnet wird, ergibt schließlich den gesuchten wahren Wert xw N 1  xi . N →∞ N i=1

xw = μ = lim

Abb. 5.1. Gaußsche Verteilungsfunktion p(x)

(5.13)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

99

Ein Maß f¨ ur die Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert μ ist die mittlere quadratische Abweichung, die man als Standardabweichung σ und deren Quadrat als Varianz σ 2 bezeichnet  N 1  σ = ! lim (xi − μ)2 . (5.14) N →∞ N i=1 Die statistische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) P f¨ ur das Auftreten eines einzelnen Meßwertes in einem Intervall x1 ≤ x ≤ x2 errechnet sich wie folgt  x2  x2 2 2 1 P = p(x) dx = √ e−(x−μ) /2σ dx σ 2π x1 x1  x2  x1 2 2 2 2 1 1 = √ e−(x−μ) /2σ dx − √ e−(x−μ) /2σ dx . (5.15) σ 2π 0 σ 2π 0 2 Da das Integral ekx dx keine analytische L¨osung besitzt, wurde die sog. Errorfunction erf(x) eingef¨ uhrt  w 2 2 erf(w) = √ (5.16) e−c dc , π 0

welche in Tafelwerken, z. B. in [1], tabelliert ist. Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen der Variablen c der Errorfunction und der Variablen x der Wahrscheinlichkeitsdichte c=

x−μ √ . σ 2

(5.17)

Aus Gl. (5.15) folgt unter Zuhilfenahme der Errorfunction die statistische Sicherheit P 

 

x1 − μ 1 x2 − μ √ √ P = erf − erf . (5.18) 2 σ 2 σ 2 Aufgrund des schiefsymmetrischen Verhaltens der Errorfunction erf(w) = −erf(−w)

(5.19)

errechnet sich die statistische Sicherheit P f¨ ur das Auftreten eines Meßwertes xi im Bereich −δ ≤ x − μ ≤ δ zu

 δ √ P (δ) = erf . (5.20) σ 2 In Tab. 5.1 sind charakteristische Werte von P (δ) notiert (s. auch Abb. 5.1). Wenn im Rahmen einer Meßreihe die Standardabweichung σ ermittelt wurde, l¨ aßt sich mit Hilfe von Tab. 5.1 der zu einer bestimmten statistischen Sicherheit P geh¨orende Vertrauensfaktor t bestimmen

100

5 Meßfehler

Tabelle 5.1. Fehlerwahrscheinlichkeit P (statistische Sicherheit) bei symmetrischem Intervall −δ ≤ x − μ ≤ +δ δ 0,5 σ 0,67 σ 1 σ 1,65 σ 1,96 σ 2,58 σ 3,0 σ 3,3 σ P [%] 38,3 50 68,3 90 95 99 99,73 99,9

δ = tσ .

(5.21)

Der zuf¨allige Fehler Fxi eines Einzelmeßwertes xi liegt dann mit einer statistischen Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) von P innerhalb des Intervalls ±tσ Fxi = ±tσ .

(5.22)

Bei der hier zun¨ achst angenommenen unendlich hohen Anzahl von Messungen h¨ angt der Vertrauensfaktor t in der nach Tab. 5.1 bezifferten Weise nur von der frei gew¨ ahlten statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) ab. Wenn beispielsweise eine statistische Sicherheit von 95 % gefordert wird, betr¨agt der Vertrauensfaktor t nach Tab. 5.1 t = 1,96. Dies bedeutet, daß die Abweichung des Einzelmeßwertes vom wahren Wert μ = xw bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht gr¨ oßer ist als ± 1,96 σ. Wird die Messung einer Meßgr¨ oße mit denselben Mitteln und unter gleichen Bedingungen N-mal wiederholt, bezeichnet man dies als Stichprobe aus der Grundgesamtheit der theoretisch unendlich vielen Messungen. F¨ ur den praktischen Fall einer nur endlichen Anzahl von Messungen (N < ∞) kann aus den einzelnen Meßwerten xi (i = 1...N ) der Mittelwert μ (wahrer Wert xw ) nicht mehr nach Gl. (5.13) gebildet werden, sondern nur noch ein Sch¨atzwert x ˜ angegeben werden N 1  x ˜= xi . (5.23) N i=1 F¨ ur eine endliche Anzahl N von Meßwerten definiert man anstelle der Standardabweichung σ die Schwankung s (empirische Standardabweichung) bzw. die Streuung s2  s=!

N

1  (xi − x ˜ )2 . N − 1 i=1

(5.24)

Der Wert von s wird auch als mittlerer quadratischer Fehler (vom Sch¨atzwert) der Meßwerte xi bezeichnet. Tip: ¨ Diese Thematik kann man anhand der LabVIEW Ubungsaufgabe 2.2a auf der CD-ROM vertiefen.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

101

5.2.2 Vertrauensbereich fu atzwert ¨ r den Sch¨ Im Zusammenhang mit Meßfehlerabsch¨ atzungen stellt sich im allgemeinen auch die Frage nach der G¨ ute des im Rahmen einer Meßserie ermittelten Sch¨ atzwertes x ˜. Die Antwort auf diese Frage kann ebenfalls nur in Form einer statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) gegeben werden. Um die G¨ ute des Sch¨ atzwertes x ˜ anzugeben, muß festgestellt werden, wie nahe dieser Sch¨ atzwert x ˜ (Mittelwert aus N Messungen) dem wahren Wert xw (Mittelwert f¨ ur N → ∞) liegt. Dazu nehmen wir zun¨ achst an, daß eine unendlich hohe Anzahl von Einzelmessungen xi vorliegt. Die Standardabweichung dieser sog. Grundgesamtheit wird mit σ bezeichnet. Wenn wir dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe mit N Einzelmeßwerten entnehmen, k¨onnen wir deren Sch¨atzwert x ˜ errechnen (Abb. 5.2). Werden mehrere solcher Stichproben genommen, so gelangt man zu einer Verteilung von Sch¨ atzwerten. Die Schwankung sx˜ dieser Sch¨ atzwerteverteilung liefert schließlich den gesuchten Vertrauensbereich des Sch¨ atzwertes x ˜. In der Praxis jedoch wird man nicht mehrere Stichproben entnehmen, sondern sich auf eine beschr¨ anken. Dies f¨ uhrt letztendlich zum selben Ergebnis, da wir davon ausgehen, daß alle in der Grundgesamtheit vorkommenden Meßwerte xi voneinander unabh¨angig sind. Aus diesem Grund l¨ aßt sich die Schwankung sx˜ berechnen, indem man das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (Kap. 5.2.3) auf die in Abb. 5.2 gezeigte Stichprobe selbst aßt sich demnach wie folgt ermitteln anwendet. Die Schwankung sx˜ l¨

Grundgesamtheit

N, ~ x, s Stichprobe

s: Standardabweichung der Grundgesamtheit x w : wahrer Wert = Schätzwert der Grundgesamtheit

Abb. 5.2. Grundgesamtheit von Meßwerten mit einer Stichprobe zu N Einzelmeßwerten. Die Stichprobe hat den Sch¨ atzwert x ˜ und die Schwankung s.

102

Mit

5 Meßfehler

 2 N

 ∂˜ x ! sx˜ = σ2 . ∂x i i=1 ∂ ∂˜ x = ∂xi ∂xi

"

N 1  xi N i=1

#

=

(5.25)

1 N

folgt aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.25))   N  1 1 1 2 ! sx˜ = σ = N σ2 = √ σ . 2 2 N N N i=1

(5.26)

(5.27)

Die Schwankung der atzwerte x ˜ ist also gem¨aß Gl. (5.27) √ Verteilung der Sch¨ um den Faktor 1/ N kleiner als die der Einzelwerte xi (s. auch Gl. (5.24)). In der Praxis kann man den exakten Wert von σ nicht ermitteln, da unendlich viele Messungen vorausgesetzt werden. Daher wird man anstatt σ die Schwankung s aus der aktuellen Stichprobenverteilung (Abb. 5.2) verwenden. Die vollst¨ andige Angabe eines Meßergebnisses x erfolgt durch Bezifferung des Sch¨ atzwertes x ˜ und seiner Vertrauensgrenzen V in der Form ts x=x ˜±V =x ˜± √ . N

(5.28)

Der zuf¨ allige Fehler Fx˜ des Sch¨ atzwertes betr¨ agt demnach ts Fx˜ = ± √ . N

(5.29)

Der Vertrauensfaktor t ist bei einer endlichen Anzahl von Meßwerten neben der gew¨ ahlten statistischen Sicherheit P auch von der Anzahl N der Einzelmessungen abh¨ angig. Die Funktion der entsprechenden Fehlerverteilung ist die sog. Student-Verteilung (Abb. 5.3), die auch als t-Verteilung bezeichnet wird. Die Student-Verteilung ist also die Verteilung der Stichprobe (N < ∞), welche verst¨ andlicherweise breiter ist als die Normalverteilung, weil die Vertrauensgrenzen bei gleicher statistischer Sicherheit P aufgrund der Tatsache, daß man u oßer sind als bei der f¨ ur N → ∞ ¨ber weniger Meßwerte mittelt, gr¨ geltenden Normalverteilung (Tab. 5.2). Mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit gehen Student- und Normalverteilung ab N > 200 ineinander u ¨ber. Tip: Auf der CDROM befindet sich das LabVIEW-Programm student_density.vi, mit dem die Studentverteilung graphisch dargestellt werden kann. Der Wertebereich kann frei gew¨ ahlt und Werte f¨ ur N k¨ onnen definiert werden.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

103

p(x) pN pt

μ−σ

μ

μ+σ

x

Abb. 5.3. Vergleich von Normalverteilung pN und Student-Verteilung (t-Verteilung) ur N = 5 pt f¨

F¨ ur N = 50 Meßwerte beispielsweise bedeutet dies, daß der gefundene Mittelwert (= Sch¨ ˜) mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 % um h¨ochstens √atzwert x ±3, 16 sx˜ / 50 vom unbekannten wahren Wert xw abweicht. Der Wert von t = 3, 16 kann Tab. 5.2 entnommen werden. Aus Tab. 5.2 ist auch abzulesen, daß der Vertrauensfaktor f¨ ur die Normalverteilung (N → ∞) mit dem f¨ ur die Student-Verteilung (N < ∞) ab einer Losgr¨ oße von N > 200 nahezu identisch ist. Die bei einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % bestehende Unsicherheit wird als der mittlere Fehler Δx des Sch¨ atzwertes bezeichnet s ˜| = √ . Δx = |xw − x N

(5.30)

Die zuf¨ alligen Fehler k¨ onnen im Gegensatz zu den systematischen Fehlern Tabelle 5.2. Abh¨ angigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P

N

P = 68, 3% = ˆ 1, 0σ P = 95% = ˆ 1, 96σ P = 99% = ˆ 2, 58σ P = 99, 73% = ˆ 3, 0σ √ √ √ √ t t/ N t t/ N t t/ N t t/ N

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,01 1,00 1,00

1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 1,00 √ N

≈0

12,7 4,30 3,18 2,57 2,26 2,09 2,01 1,98 1,97 1,96

8,98 2,48 1,59 1,05 0,72 0,47 0,28 0,20 0,14 1,96 √ N

≈0

63,7 9,92 5,84 4,03 3,25 2,86 2,68 2,63 2,60 2,58

45,0 5,73 2,92 1,65 1,03 0,64 0,38 0,26 0,18 2,58 √ N

≈0

236 19,2 9,22 5,51 4,09 3,45 3,16 3,08 3,04 3,0

167 11,1 4,61 2,25 1,29 0,77 0,45 0,31 0,22 3,00 √ N

≈0

104

5 Meßfehler

grunds¨ atzlich nicht korrigiert werden. Zuf¨ allige Fehler k¨onnen allerdings durch eine hinreichend große Anzahl von Einzelmessungen beliebig klein gehalten werden. Tip: Mit dem LabVIEW-Programm student_table.vi kann die Tab. 5.2 berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeiten sowie die Werte f¨ ur N k¨ onnen eingestellt werden.

Beispiel — Meßreihe mit zuf¨ alligen Fehlern Im Rahmen einer Meßreihe wurden folgende 10 Werte gemessen: i xi

1 85,0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 85,6 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4

Der Sch¨ atzwert x ˜ betr¨ agt nach Gl. (5.23) 10

x ˜=

1  xi = 85, 16 . 10 i=1

(5.31)

Die Schwankung s (empirische Standardabweichung) berechnet sich nach (Gl. (5.24)) zu  s=!

10

1  (xi − x ˜)2 = 0, 381 . 10 − 1 i=1

(5.32)

Der zuf¨allige Fehler Fxi der Einzelmessung beziffert sich bei einer (frei gew¨ahlten) statistischen Sicherheit von 95 % nach Tab. 5.2 auf Fxi (95 %) = ±ts = ±2, 26 · 0, 381 = ±0, 861 .

(5.33)

Der zuf¨allige Fehler des Sch¨atzwertes Fx˜ ergibt sich bei derselben statistischen Sicherheit von 95 % zu ts Fx˜ (95 %) = ± √ = ±0, 272 . N

(5.34)

Damit kann die vollst¨ andige Angabe des Meßergebnisses in folgender Form geschehen x = 85, 16 ± 0, 272 , (5.35) wobei sich die Angabe der absoluten Toleranzgrenzen von ±0, 272 auf eine gew¨ ahlte statistische Sicherheit von 95 % bezieht.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

105

Tip: Eine LabVIEW-Aufgabe zum Thema “Schwankung des Sch¨ atzwertes in Abh¨ angigkeit von der Probenl¨ange” findet sich auf der CD-ROM (Aufgabe 2.2b).

5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler Wenn die gesuchte Meßgr¨ oße y eine Funktion mehrerer mit voneinander unabh¨ angigen zuf¨ alligen Fehlern behafteter Einzelmeßgr¨oßen xi (i = 1, . . . , n) ist y = Fkt.(x1 , . . . , xn ) , (5.36) l¨ aßt sich der Mittelwert μy , der dem wahren Wert yw entspricht, wie folgt berechnen yw = μy = Fkt.(μ1 , . . . , μn ) , (5.37) oßen xi bezeichnen (Anzahl der jewobei μi die Mittelwerte der Einzelmeßgr¨ weils aufgenommenen Meßwerte N → ∞). Unter der Voraussetzung kleiner Einzelstandardabweichungen σi l¨ aßt sich die Standardabweichung σy des Mittelwertes μy nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.38)) ermitteln  2  n

  ∂y !  σy = σi2 . (5.38)  ∂xi i=1

(μ1 ,μ2 ,...,μn )

Ist beispielsweise das Aufgabengesetz vom Typ y = kxr11 xr22 ,

(5.39)

so ergibt sich der mittlere relative Fehler fy (Wahrscheinlichkeit von 68,3 %) zu σy Fy = y y  

2 2 r2 r1 2 = σ1 + σ22 . x1 x2

fy =

(5.40)

Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß der absolute zuf¨allige mittlere Fehler Fy , d.h. der Fehler f¨ ur eine Wahrscheinlichkeit von 68,3 %, gerade der Standardabweichung σy entspricht. Da im praktischen Fall die Anzahl der aufgenommenen Meßwerte endlich bleibt (N < ∞), handelt es sich bei dem errechneten Mittelwert nur um einen ˜i den Sch¨atzwert der EinzelmeßSch¨ atzwert y˜ des wahren Wertes yw . Wenn x gr¨ oße xi bezeichnet, gilt y˜ = Fkt.(˜ x1 , . . . , x ˜n ) .

(5.41)

106

5 Meßfehler

Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und f¨ ur kleine Schwankungen (si ≪ |xi |) berechnet sich die Schwankung sy˜ des Sch¨atzwertes y˜ wiederum nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz aus den Schwankungen si der Einzelmeßgr¨ oßen  2  n

  ∂y !  sy˜ = s2i . (5.42)  ∂xi i=1

(˜ x1 ,˜ x2 ,...,˜ xn )

5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten F¨ ur standardm¨ aßige elektrische Meßger¨ ate wird vom Hersteller eine Genauigkeitsklasse, d. h. eine garantierte obere Fehlergrenze angegeben, die i. allg. mit G oder Gk bezeichnet wird. Sie gibt den Betrag der auf den Meßbereichsendwert bezogenen maximal m¨ oglichen Abweichung Δx vom wahren Wert in Prozent an    Δx  |Fehlangabe|  100% =  100% . (5.43) G= xend  |Meßbereichsendwert| Es gibt folgende genormte Genauigkeitsklassen nach VDE 0410: • Betriebsmeßger¨ate: 1; 1,5; 2,5; 5,0 • Feinmeßger¨ate: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5. Der entsprechende maximale relative Fehler betr¨agt demnach Δx xend G =± . x x 100%

(5.44)

Er nimmt also stark zu, wenn der Meßbereich nur im unteren Teil genutzt wird. Der durch die Genauigkeitsklasse beschriebene Maximalfehler gilt selbstverst¨ andlich nur bei Einhaltung der ansonsten vom Hersteller spezifizierten Randbedingungen, wie der Einhaltung von Temperaturgrenzen, Frequenzbereich, Fremdfeldeinfluß, Lage etc.. Bei Instrumenten, deren Meßbereichsanfangswert nicht mit dem Nullpunkt identisch ist, wird die Fehlangabe statt auf den Meßbereichsendwert auf den Meßbereichsumfang bezogen, die auch als Meßspanne Msp bezeichnet wird (Gl. (5.4)).

5.4 Dynamische Meßfehler Bei der Messung zeitlich variabler Gr¨ oßen treten infolge der nicht-idealen ¨ Ubertragungseigenschaften der Meßsysteme stets dynamische Meßfehler auf. Diese sind im wesentlichen auf Tr¨ agheiten der Meßeinrichtungen (Tiefpaßverhalten) zur¨ uckzuf¨ uhren, welche sich infolge ihrer Speichereigenschaften bez¨ uglich mechanischer, thermischer oder elektromagnetischer Energie nicht

5.4 Dynamische Meßfehler

107

vermeiden lassen. Da das Verst¨ andnis von dynamischen Meßfehlern grundlegende Kenntnisse auf dem Gebiet der systemtheoretischen Beschreibung von Meßsystemen verlangt, folgt zun¨ achst ein Abschnitt, der die entsprechende Systemtheorie kurz wiederholen soll (s. Kap. 3). ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen ¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Impulsantwort bzw. Sprungantwort Ein lineares Meßsystem liefert an seinem Ausgang die Impulsantwort g(t) (Gewichtsfunktion), wenn die Eingangsgr¨ oße ein Dirac-Impuls δ(t) ist (Abb. 5.4) (Kap. 3.11). x(t)

x(t)

δ(t)

y(t)

Lineares Meßsystem

g(t) t0

t

t0

y(t) t

Abb. 5.4. Impulsantwort g(t) eines linearen Meßsystems

F¨ ur eine beliebige Anregungsfunktion x(t) ergibt sich das Ausgangssignal y(t) durch Faltung mit der Impulsantwort (Kap. 3.11) y(t) =



+∞ −∞

x(τ )g(t − τ ) dτ =



+∞ −∞

x(t − τ )g(τ )dτ = x(t) ⋆ g(t) .

(5.45)

Da wir kausale Meßsysteme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet und auch die Anregungsfunktion x(t) f¨ ur t < 0 zu Null annehmen, kann man die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch ′ 0′ und die obere Grenze (+∞) durch ′ t′ ersetzen (Gl. (3.222)) y(t) =



t 0

x(τ )g(t − τ ) dτ =



t 0

x(t − τ )g(τ ) dτ .

(5.46)

Anstatt ein Meßsystem durch seine Impulsantwort zu beschreiben, ist es in der Meßtechnik auch gebr¨ auchlich, seine Sprungantwort h(t) anzugeben. Diese erh¨ alt man als Ausgangssignal, wenn man als Anregungssignal x(t) eine Sprungfunktion verwendet (Abb. 5.5), wobei die Sprungfunktion folgendermaßen definiert ist ⎧ ¨r t ≥ 0 ⎨ 1 fu ε(t) = (5.47) ⎩ 0 fu ¨r t < 0 . Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) wurde bereits in Kapitel 3.12 hergeleitet (Gl. (3.234))

108

5 Meßfehler

h(t) =



t

g(τ ) dτ .

(5.48)

0

Der Wert, der sich nach einer Sprunganregung als stabiler Wert einstellt, wird als Beharrungswert bezeichnet. x(t)

x(t) t0

Lineares Meßsystem

y(t)

y(t)

t

h(t) t0

t

Abb. 5.5. Sprungantwort h(t) eines linearen Meßsystems

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch ¨ Ubertragungsfunktionen Aus der linearen Systemtheorie weiß man (Kap. 3.11), daß harmonische Anregungen der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(5.49)

bei linearen Systemen im eingeschwungenen Zustand stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨ anderter Amplitude und Phasenlage f¨ uhren (5.50) y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } , ˆ ˆ ˆ ˆ ¨ wobei |X| = X und |Y | = Y gilt. Die Ubertragungsfunktion G(ω) des linearen Systems ist dann folgendermaßen definiert G(ω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) e = |G(ω)|ejϕ(ω) . = ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(5.51)

¨ aßt sich aufspalten in den BetragsDie komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) l¨ origen Phasengang arg{G(ω)} = ϕ(ω). Daraus gang |G(ω)| und den dazugeh¨ lassen sich die D¨ ampfung a(ω) und deren Phase b(ω) wie folgt errechnen a(ω) = −20 lg |G(ω)| [dB] b(ω) = −arg(G(ω)) .

(5.52) (5.53)

¨ Die Ubertragungsfunktion gibt also Auskunft dar¨ uber, wie das Meßsystem die Amplitude und die Phasenlage einer harmonischen Anregung ver¨andert. ¨ F¨ ur beliebige (nicht-periodische) Zeitsignale berechnet sich die Ubertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der FourierTransformierten (Tab. 5.3) F {y(t)} und F {x(t)} vom Ausgangs- und Eingangssignal y(t) bzw. x(t) G(ω) =

F {y(t)} . F {x(t)}

(5.54)

5.4 Dynamische Meßfehler

109

Tabelle 5.3. Definitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3) Fourier-Transformation Fourier-R¨ ucktransformation x(t) = F −1 {X (ω)} F {x(t)} = X(ω)  +∞  +∞ 1 X(ω)ejωt dω = −∞ x(t)e−jωt dt = 2π −∞

Laplace-Transformation L{x(t)} = X(s) ∞ = 0 x(t)e−st dt

Laplace-R¨ ucktransformation x(t) = L−1 {X (s)}  σ+j∞ 1 X(s)est ds = 2πj σ−j∞

Mit diesen Zusammenh¨ angen und der Eigenschaft, daß eine Faltung zweier Signale im Zeitbereich einer Multiplikation der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, erh¨ alt man aus Gl. (5.45) Y (ω) = X(ω) G(ω) .

(5.55)

Daraus folgt auch, daß die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion der ¨ Ubertragungsfunktion entspricht. G(ω) = F {g(t)} .

(5.56)

Beschr¨ ankt man sich auf kausale Zeitsignale (x(t) = 0 f¨ ur t < 0), so ist es zweckm¨ aßig, anstatt der Fourier-Transformation die Laplace-Transformation ¨ (Tab. 5.3) zu verwenden. Die Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) eines linearen Systems ist folgendermaßen definiert G(s) =

Y (s) L{y(t)} = . L{x(t)} X(s)

(5.57)

Dabei sind L{x(t)} und L{y(t)} die Laplace-Transformierten (Tab. 5.3) der Zeitfunktionen x(t) und y(t), wobei s = σ + jω die Laplace-Variable darstellt. Die Faltungsoperation (Gl. (5.46)) vereinfacht sich f¨ ur kausale Zeitsignale und Systeme im Laplace-Bereich ebenfalls zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten (Kap. 3.5.4) Y (s) = G(s)X(s) .

(5.58)

¨ Die Ubertragungsfunktion G(s) ist demnach auch die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) G(s) = L{g(t)} . (5.59) Entsprechend dem Integrationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.2)  t $ 1 L (5.60) f (τ ) dτ = F (s) , s 0

110

5 Meßfehler

wobei L{f (t)} = F (s) ,

(5.61)

¨ folgt aus Gl. (5.48) der Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) und der Sprungantwort h(t)  $ G(s) h(t) = L−1 . (5.62) s Zusammengesetzte Systeme Die Gesamt¨ ubertragungsfunktionen der in Abb. 5.6 gezeigten zusammengesetzten Systeme ergeben sich wie folgt: Serienschaltung (Abb. 5.6a) Y (s) = G1 (s)G2 (s) X(s)

(5.63)

Y (s) = G1 (s) + G2 (s) X(s)

(5.64)

G(s) = Parallelschaltung (Abb. 5.6b) G(s) =

Ru ¨ ckkoppelschaltung (Kreisschaltung) (Abb. 5.6c) G(s) =

G1 (s) Y (s) = . X(s) 1 + G1 (s)G2 (s)

(5.65)

¨ Abb. 5.6. Zusammengesetzte Ubertragungssysteme: a) Serienschaltung (Hintereinanderschaltung), b) Parallelschaltung, c) R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung)

5.4 Dynamische Meßfehler

111

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Differentialgleichungen F¨ ur lineare Systeme kann der mathematische Zusammenhang zwischen dem Anregungssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) in Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden (′ =d/dt) ˆ a0 x + a1 x′ + . . . + an x(n) = b0 y + b1 y ′ + . . . + bm y (m) .

(5.66)

Gem¨ aß dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.3) L{f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (t)|t=0 − . . . sf (t)(n−2) |t=0 − f (t)(n−1) |t=0 ,

(5.67)

wobei f (n) die n-te Ableitung der Funktion f nach der Zeit t ist, kann Gl. (5.66) f¨ ur den vereinfachten Fall, daß alle Anfangswerte f (t = 0) bis f (t)(n−1) |t=0 Null sind, folgendermaßen im Laplace-Bereich dargestellt werden a0 X(s) + a1 sX(s) + . . . + an sn X(s) = b0 Y (s) + b1 sY (s) + . . . + bm sm Y (s) . (5.68) ¨ Damit ergibt sich folgender fester Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) im Laplace-Bereich und den Koeffizienten der Differentialgleichung a0 + a 1 s + a2 s2 + . . . + a n sn , (5.69) G(s) = b0 + b1 s + b2 s2 + . . . + bm sm wobei stets n ≤ m gilt. Der Quotient E E=

a0 b0

(5.70)

wird auch als Empfindlichkeit des Meßsystems bezeichnet. ¨ Bei Kenntnis der Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) bzw. der Fourier¨ Ubertragungsfunktion G(ω), der Impulsantwort g(t) bzw. der Sprungantwort h(t) oder auch der Koeffizienten ai und bj der Differentialgleichung lassen sich die dynamischen Meßfehler eines Meßsystems beschreiben. Die Definition des dynamischen Meßfehlers und seine Bestimmung anhand dieser Kennwerte wird in den beiden folgenden Abschnitten beschrieben. 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers Beim Erfassen zeitlich ver¨ anderlicher Meßgr¨ oßen entstehen aufgrund der oben ¨ beschriebenen (nicht-idealen) Ubertragungseigenschaften unweigerlich dynamische Meßfehler. Da sich im Falle linearer Meßsysteme die dynamischen Fehler von den statischen separieren lassen, k¨ onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf dynamische Meßfehler konzentrieren und die statischen ausschließen. Der momentane dynamische Meßfehler Fdyn ist definiert als

112

5 Meßfehler

Fdyn = x(t) − xw (t) ,

(5.71)

wobei x(t) und xw (t) die zeitlichen Verl¨ aufe des Meßwertes bzw. des wahren Wertes darstellen. Praktischer als die Angabe der Momentanverl¨aufe von Fehlern ist die Angabe ihrer Mittelwerte. Wenn wir einen station¨ aren Verlauf der Meßgr¨oße voraussetzen (station¨ ar heißt, daß die sich durch zeitliche Mittelung ergebenden Kenngr¨ oßen, wie z. B. der quadratische Mittelwert des Signals (Kap. 6.3.1), konstant bleiben), l¨ aßt sich als wichtige Kenngr¨oße der mittlere quadratische dynamische Fehler angeben 1 T →∞ T

2 Fdyn = lim



T 0

2 (t) dt . Fdyn

(5.72)

Wenn der Meßgr¨oßenverlauf periodisch ist, darf die Integrationszeit T auf die 2 Periodendauer begrenzt werden. Da Fdyn einen absoluten Fehler beziffert, ist es zweckm¨ aßig, diesen auf den quadratischen Mittelwert x2 des Meßsignals zu normieren (Kap. 6.3.1)  1 T 2 x2 = x (t) dt . (5.73) T 0

Es ergibt sich somit der bezogene quadratische Mittelwert des dynamischen 2 Fehlers fdyn 2 fdyn =

2 Fdyn

x2

.

(5.74)

5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers Im folgenden wird angenommen, daß der dynamische Fehler durch das (nicht¨ ¨ ideale) Ubertragungsverhalten des Meßsystems, das sich durch die Ubertragungsfunktion G(s) beschreiben l¨ aßt (Abb. 5.7), verursacht wird. Bei deterministischen Anregungssignalen l¨ aßt sich der dynamische Meßfehler mit der ¨ bekannten Ubertragungsfunktion des Meßsystems G(s) ermitteln

wahre Meßgröße x w (t)

Xw (s)

Meßsystem G(s)

gemessener Wert (Meßwert) X (s)

x(t)

¨ Abb. 5.7. Dynamischer Meßfehler aufgrund des (nicht-idealen) Ubertra¨ gungsverhaltens des Meßsystems. G(s) ist die Ubertragungsfunktion im LaplaceBereich.

5.4 Dynamische Meßfehler

Fdyn (s) = X(s) − Xw (s) = Xw (s)[G(s) − 1]   1 = X(s) 1 − . G(s)

113

(5.75)

F¨ ur den Fall, daß das Eingangssignal (wahrer Wert) des Meßsystems bekannt ist (Vorw¨ artsanalyse), erh¨ alt man den Momentanverlauf des absoluten Meßucktransformation fehlers Fdyn (t) durch folgende Laplace-R¨ Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[G(s) − 1]} .

(5.76)

Im umgekehrten Fall (Ru artsanalyse) ist der Meßwert x(t) bekannt, ¨ ckw¨ und man erh¨ alt Fdyn (t) als   $ 1 −1 Fdyn (t) = L X(s) 1 − . (5.77) G(s) 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten In aller Regel zeigen Meßsysteme ein mehr oder weniger ausgepr¨agtes Tiefpaßverhalten. Im folgenden soll daher zun¨ achst der aus einem Tiefpaß 1. Ordnung resultierende dynamische Fehler berechnet werden (Abb. 5.8), wenn der wahre Wert zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert X0 springt.

xw (t)

Xw (s)

GM(s) =

1 1+sτ

X (s)

x (t)

M

Abb. 5.8. Meßsystem (Tiefpaß 1. Ordnung)

Vorw¨ artsanalyse Wenn der wahre Wert bekannt ist, l¨ aßt sich gem¨aß Gl. (5.76) der absolute dynamische Meßfehler wie folgt berechnen Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[GM (s) − 1]} = L−1 {F (s)} . Mit

X0 s

(5.79)

  1 X0 X0 τM −1 =− . s 1 + sτM 1 + sτM

(5.80)

Xw (s) = folgt F (s) =

(5.78)

114

5 Meßfehler

Der zeitliche Verlauf des dynamischen Meßfehlers lautet Fdyn (t) = −X0 · e−t/τM .

(5.81)

Der mittlere quadratische dynamische Fehler betr¨agt (Gl. (5.72)) 2 Fdyn

1 = lim T →∞ T



T 0

X02 e−2t/τM dt

T 1 −2t/τM  −X02 τM lim e =  T →∞ T 2 0  1  −2T /τM −X02 τM lim = −1 =0. e T →∞ T 2

(5.82)

Ru artsanalyse ¨ ckw¨ Hier ist nur der gemessene Wert bekannt. Aus Gl. (5.77) folgt der dynamische Fehler   $ 1 Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − . (5.83) GM (s) Die Auswertung f¨ uhrt zum selben Ergebnis wie die Vorw¨artsanalyse  $ −X0 τM −1 Fdyn (t) = L = −X0 · e−t/τM . 1 + sτM

(5.84)

Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk Der vom Meßsystem herr¨ uhrende dynamische Fehler kann durch ein nachgeschaltetes Korrekturnetzwerk zum Teil kompensiert werden. Dies soll anhand eines Beispiels demonstriert werden. Das Ausgangssignal des Meßsystems (Tiefpaß 1. Ordnung) wird aus diesem Grund mittels eines OszilloskopTastkopfes abgegriffen (s. auch Kap. 10.2). Die gesamte Meßkette wird in Abb. 5.9 gezeigt. Mit RT . (5.85) VR = RE ¨ lautet die Ubertragungsfunktion der gesamten Meßkette (Meßsystem und Tastkopf) Gges (s) =

1 1 + sτT XT (s) = . · XW (s) 1 + sτM 1 + sτT + VR (1 + sτE )

(5.86)

Dabei wird vorausgesetzt, daß die Ein- bzw. Ausgangsimpedanzen vom Meßsystem und dem Tastkopf so gew¨ ahlt wurden, daß die beiden Netzwerke auch ¨ nach der Zusammenschaltung ihr urspr¨ ungliches Ubertragungsverhalten beibehalten.

5.4 Dynamische Meßfehler

Meßsystem

115

Tastkopf RT x (t)

xW(t)

GM =

1 1+sτ

GT =

M

RE

CT

CE

xT (t)

1+ sτT 1 + VR+ s (VR τ E + τ T )

Abb. 5.9. Meßsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf). Die Zeitkonstanten sind folgendermaßen definiert: τT = RT CT ; τE = RE CE .

Um die Auswirkung des Korrekturnetzwerkes auf das Ausgangssignal zu demonstrieren, werten wir wiederum das Ausgangssignal xT (t) (bzw. zun¨achst XT (s)) f¨ ur eine Sprunganregung aus XT (s) =

1 1 1 + sτT X0 · . · · +VR τE s 1 + sτM 1 + VR 1 + s τT1+V R

Mit τ∗ =

τT + VR τE 1 + VR

(5.87)

(5.88)

erh¨ alt man

1 1 1 + sτT 1 + VR = · · . X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗ Eine Partialbruchzerlegung XT ·

XT ·

B 1 + VR A C = + + X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗

(5.89)

(5.90)

liefert A=1 τM (τT − τM ) τM − τ ∗ τ ∗ (τT − τ ∗ ) C = −τC = − . τM − τ ∗

B = τB =

(5.91) (5.92) (5.93)

Mit   1 τB X0 1 1 τC + XT (s) = · − ∗ · 1 + VR s τM s + 1/τM τ s + 1/τ ∗ ergibt sich die entsprechende Zeitfunktion zu   τB −t/τM τC −t/τ ∗ X0 − ∗ ·e ·e ε(t) + . x(t) = 1 + VR τM τ

(5.94)

(5.95)

116

5 Meßfehler

Abbildung 5.10 verdeutlicht die Verbesserung des dynamischen Verhaltens der Meßeinrichtung durch das nachgeschaltete Korrekturnetzwerk. Es wurden folgende Werte verwendet: X0 = 10 V; τM = 100 μs; VR = 9; τE = 0 (Weglassen von RE ). Die Zeitkonstante τT wird variiert. x (t) T

τ T = 1,17 τ

M

1V τ = 1,00 τ T

0,5V

τ T = 0,81 τ

M M

τ =0 T

100

500

t (μs)

¨ Abb. 5.10. Den schnellsten Einschwingvorgang ohne Uberschwingen erh¨ alt man, wenn die Nullstelle des Tastkopfes genau auf dem Pol des Tiefpasses liegt. Der Wert τT = 0 liefert den prinzipiellen Zeitverlauf der Sprungantwort des Meßsystems ohne Korrekturnetzwerk.

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die Grundfunktionen eines Meßger¨ ates gliedern sich in die Aufnahme der Meßgr¨oße, die Verarbeitung des Meßsignals und in die Ausgabe des Meßwertes (Abb. 6.1). Bei den Meßger¨ aten zur Messung von elektrischem Strom bzw. elektrischer Spannung unterscheidet man zwischen den klassischen elektromechanischen Instrumenten mit analogen Zeigerskalen und den moderneren elektronischen, auf digitaler Basis arbeitenden Ger¨aten mit interner AnalogDigital-Umsetzung und Ziffern- oder Bildschirmausgabe. Obwohl die klassischen Zeigerger¨ ate in den letzten Jahren an Bedeutung verloren haben, sollen diese im Kap. 6.1 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, da die in diesen Ger¨aten genutzten Wandlungsprinzipien von grundlegender Bedeutung f¨ ur die Elektrische Meßtechnik sind, insbesondere f¨ ur die Sensortechnik bei der Messung mechanischer Gr¨ oßen. Auf die auf digitaler Basis arbeitenden Meßger¨ate wird in Kap. 11 n¨ aher eingegangen. Meßgröße Aufnahme der Meßgröße Verarbeitung des Meßsignals Ausgabe des Meßwertes Meßwert Abb. 6.1. Grundfunktionen eines Meßger¨ ates

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate Elektromechanische Meßger¨ ate beruhen auf dem Prinzip, einer zu messenden elektrischen Gr¨ oße (i. allg. Strom oder Spannung) mit Hilfe eines geeigneten physikalischen Effektes eine Kraftwirkung zuzuordnen. Diese Kraft wird auf R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

118

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

einen Zeiger u ¨bertragen, der durch eine im allgemeinen von einer Feder erzeugten Gegenkraft in einer Stellung verharrt, so daß der Zeigerausschlag ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße darstellt, wenn m¨ oglich ihr proportional ist. 6.1.1 Drehspulmeßwerk Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Einer der im Bereich der Elektromechanik vielfach genutzten Effekte ist die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld. Wenn sich ein gerader linienf¨ ormiger Leiter der L¨ ange l, der einen Strom I f¨ uhrt, in  befindet einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B (Abb. 6.2), wirkt auf ihn die mechanische Kraft F [24]  . F = I(l × B)

(6.1)

Dabei zeigt l in die positive Stromrichtung des Leiters.

Abb. 6.2. Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Aufbau und Prinzip Das Drehspulmeßwerk ist ein Standardmeßwerk, bei dem der eben beschriebene physikalische Effekt genutzt wird, gem¨ aß dem auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine mechanische Kraft ausge¨ ubt wird. Das Drehspulmeßwerk besteht aus einem mit Polschuhen versehenen, feststehenden Dauermagneten, der in Verbindung mit einem zylindrischen Weicheisenkern in einem begrenzten Winkelabschnitt des Luftspaltes ein radial homogenes B-Feld erzeugt (Abb. 6.3). Der Weicheisenkern wird von einer drehbar gelagerten Spule mit rechteckigem Spulenrahmen und Windungszahl N umschlossen. Die H¨ ohe des Spulenrahmens betr¨agt l, seine Breite 2r. Wird die Spule von einem Strom I durchflossen, ergibt sich die Kraftwirkung auf einen einzelnen Leiter nach Gl. (6.1). Das auf die aus N Leiterwindungen  el berechnet sich somit zu bestehende Spule wirkende Drehmoment M

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

119

Abb. 6.3. Drehspulmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schnitt durch den Spulenrahmen, c) Symbol

 el = 2Nr × F M  = 2Nr × [I(l × B)] = 2N rIlBea ,

(6.2)

wobei der Einheitsvektor ea in Richtung der Drehachse zeigt. Durch eine an der Spule angebrachte Spiralfeder (Federkonstante D) wird das R¨ uckstellmo ment Mmech erzeugt  mech = −Dαea . M (6.3)

 el + M  mech = 0 folgt der Winkel α, bei Aus der Gleichgewichtsbedingung M dem sich Gleichgewicht einstellt bzw. bei dem der Zeiger verharrt α=

2N lBr I = Si I . D

(6.4)

Dabei bezeichnet Si die Stromempfindlichkeit des Drehspulmeßwerkes. In technischen Ausf¨ uhrungen wird anstatt der Spiralfeder oft ein Spannband benutzt, das neben der Erzeugung des R¨ uckstellmomentes sowohl der Stromzuf¨ uhrung als auch der reibungsarmen Lagerung der Drehspule dient. Dynamisches Verhalten eines Drehspulmeßwerkes F¨ ur eine winkelgeschwindigkeitsproportionale D¨ampfung mit dem D¨ampfungsmoment η α˙ und dem Beschleunigungsmoment Θα ¨ (das Tr¨agheitsmoment der Drehspule wird mit Θ bezeichnet) ergibt sich die den Winkelausschlag α beschreibende Differentialgleichung zu Θα ¨ + η α˙ + Dα = Mel (t) ,

(6.5)

wobei ein Punkt u ¨ber dem Formelzeichen die zeitliche Ableitung der entsprechenden Formelgr¨ oße nach der Zeit und zwei Punkte die zweifache zeitliche Ableitung bedeuten. Mit den Substitutionen f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ω0 des unged¨ ampften Systems

120

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen



D Θ und mit dem normierten D¨ampfungskoeffizient η˜ ω0 =

η η˜ = √ 2 ΘD

(6.6)

(6.7)

ergibt sich die folgende Differentialgleichung 1 2˜ η 1 α ¨+ α˙ + α = Mel (t) . 2 ω0 ω0 D

(6.8)

Von den L¨ osungen dieser Differentialgleichung interessiert im allgemeinen die Antwort auf eine zeitlich sprunghaft ansteigende Eingangsgr¨oße (Sprungantwort). In Abh¨ angigkeit des (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜ erh¨alt man ur t → ∞ bedie normierte Sprungantwort α/α0 , wobei α0 den Ausschlag f¨ zeichnet (Abb. 6.4): • keine D¨ ampfung (˜ η = 0) α = 1 − cos ω0 t α0

(6.9)

• periodische (schwingende) Einstellung η˜ < 1 α ω0 −˜ηω0 t e =1− cos(ωt − ϕ) α0 ω mit ω = ω0

 1 − η˜2

(6.10)

(6.11)

Abb. 6.4. Auf den Endausschlag α0 bezogene Sprungantwort eines Drehspulinstrumentes bei verschiedenen (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

und

"

121

#

(6.12)

α = 1 − e−ω0 t (1 + ω0 t) α0

(6.13)

ϕ = arctan • aperiodischer Grenzfall (˜ η = 1)

η˜

 1 − η˜2

• aperiodische (kriechende) Einstellung (˜ η > 1)   α 1 1 1 √ =1+ − e−t/τ1 + e−t/τ2 α0 τ2 τ1 2ω0 η˜ − 1 mit τ1 = und τ2 =

1  ω0 (˜ η − η˜2 − 1) ω0 (˜ η+

D¨ ampfung beim Drehspulmeßwerk

1  . η˜2 − 1)

(6.14)

(6.15)

(6.16)

Ein D¨ ampfungsmoment entsteht, wenn die durch die Drehspulenbewegung im Magnetfeld induzierte Spannung u uhrt. ¨ber einen Widerstand zu einem Strom f¨ Nach der Lenzschen Regel wirkt dieser Ausgleichstrom dem Meßstrom entgegen und d¨ ampft damit die Ausschlagbewegung des Zeigers. Bei einer Spule mit Rahmenh¨ ohe l und Windungszahl N betr¨ agt die induzierte Spannung uind  d dφ  dA  B = −N uind = −N dt dt % ' &  ∂B  − (v × B)  ds =N dA A ∂t & = −N ωrB ds = −2N lrB

dα . dt

(6.17)

  d ist Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß ∂ B/∂t = 0. Das D¨ampfungsmoment M dem resultierenden Strom iind proportional   d = 2Nr × F = 2Nr × [iind (l × B)] M Md = 2N rlBiind .

(6.18) (6.19)

Wenn die induzierte Spannung uind den Strom iind in einem Kreis mit Widerampfungsmoment stand RK hervorruft, ergibt sich das D¨

122

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Md = (2N rlB)2

1 dα . RK dt

(6.20)

Mit Md = η α˙

(6.21)

folgt f¨ ur den (nicht-normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η aus Gl. (6.5) η=

(2N rlB)2 . RK

(6.22)

Dabei setzt sich der Gesamtwiderstand des Meßkreises RK , der sog. Schließungswiderstand, aus dem Widerstand der Meßspule RSP , einem eventuell vorhandenen Abgleichwiderstand RT und dem Widerstand des ¨außeren Kreises RA zusammen (6.23) RK = RSP + RT + RA . Wenn ein Abgleichwiderstand RT vorhanden ist, kann dieser bei konstantem RA genutzt werden, um beispielsweise eine aperiodische D¨ampfung zu erzielen. Die k¨ urzeste Einstellzeit wird allerdings f¨ ur einen D¨ampfungsgrad ¨ η˜ < 1, also nach leichtem Uberschwingen erreicht. Abbildung 6.5 zeigt die auf die Periodendauer T0 der Grundschwingung bezogene Einstellzeit TE , die das Meßwerk nach einer Sprunganregung ben¨ otigt, um innerhalb einer Schwankungsbreite von ± 1,5 % des Endausschlages zu bleiben. Die f¨ ur den Wert ± 1,5 % ermittelte Zeit wird auch als Beruhigungszeit bezeichnet. Nachteilig an dem eben beschriebenen D¨ ampfungsmechanismus ist allerdings, daß die Gr¨ oße der D¨ ampfung u ¨ber den Schließungswiderstand RK vom jeweiligen außeren Kreises abh¨ angt. Widerstand RA des ¨

Abb. 6.5. Bezogene Einstellzeit TE /T0 als Funktion des normierten D¨ ampfungskoeffizienten η˜ bei einem zul¨ assigen Toleranzbereich von ± 1,5 % um den Endausschlag

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

123

Um diese Abh¨ angigkeit zu vermeiden, setzt man vorzugsweise die sog. Rahmend¨ampfung ein, bei der die Spule auf einen elektrisch leitenden Aluminiumrahmen aufgebracht wird. In dem Aluminiumrahmen werden infolge der Drehbewegung elektrische Spannungen induziert, die im geschlossenen Rahmen Wirbelstr¨ ome zur Folge haben. In Verbindung mit dem Magnetfeld des Permanentmagneten bilden sich infolge dieser Str¨ome Kr¨afte (Gegenkr¨afte) aus, die gem¨ aß der Lenzschen Regel so gerichtet sind, daß sie die Bewegung bremsen und damit d¨ ampfen. Im allgemeinen werden Drehspulinstrumente so ausgelegt, daß die Rahmend¨ ampfung u ¨berwiegt, um die D¨ampfungswerte von den oben beschriebenen Einfl¨ ussen des jeweiligen Meßkreises (Gln. (6.22) und (6.23)) unbeeinflußt zu lassen. 6.1.2 Galvanometer Spezielle Bauformen des Drehspulinstrumentes, die darauf abzielen, eine besonders hohe Stromempfindlichkeit zu erreichen, werden als Galvanometer bezeichnet. Da sie im allgemeinen zum Feststellen der Stromlosigkeit in Meßbr¨ ucken oder Kompensatoren eingesetzt werden, ben¨otigen Galvanometer keine in Strom- bzw. Spannungswerten kalibrierte Skala. Wenn der mechanische Zeiger durch einen Lichtzeiger ersetzt wird, f¨ uhrt dies zu besonders hoher Empfindlichkeit. Dieser Lichtzeiger besteht aus einem am Spannband befestigten Spiegel, dessen Winkelstellung mit Hilfe eines auf ihn auftreffenden und aus seiner Ruhelage ausgelenkten Lichtstrahles detektiert wird (Abb. 6.6). Typische Werte f¨ ur die Stromempfindlichkeit von solchen DrehspulSpiegelgalvanometern liegen zwischen Si = 10 mm/pA und Si = 105 mm/pA f¨ ur 1 m Lichtzeigerl¨ ange. Die hohe Stromempfindlichkeit Si wird durch Verwenden einer Feder mit kleiner Drehfederkonstante D erreicht (Gl. (6.4)). Damit andererseits die Eigenfrequenz ω0 nicht zu klein und damit die Einschwingdauer nicht zu groß werden, muß auch das Tr¨agheitsmoment Θ gem¨aß Gl. (6.6) gering gehalten werden, was durch eine Spule mit geringem Rahmendurchmesser erreicht wird. Das dynamische Verhalten von Galvanometern wird durch die d¨ampfende Wirkung des im Meßkreis induzierten Stromes gesteuert. F¨ ur die aperiodische D¨ ampfung η˜ = 1 fordern die Gln. (6.7) und (6.22) einen Schließungswiderstand RKaper , der sich wie folgt ergibt

Abb. 6.6. Spiegelgalvanometer

124

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

RKaper = √

2 (N rlB)2 . ΘD

(6.24)

Durch eine geeignete Wahl des Abgleichwiderstandes RT kann nach Gl. (6.23) das Galvanometer so eingestellt werden, daß sein Zeiger entweder schwingend (RK > RKaper ) oder kriechend (RK < RKaper ) seine Endstellung erreicht. Die Einstellung der D¨ ampfung von Galvanometern l¨aßt sich gem¨aß Gl. (6.22) bei entsprechenden Bauformen auch durch Ver¨ andern der magnetischen Induktion  in Form eines ver¨ B anderlichen magnetischen Nebenschlusses erreichen. Es ist allerdings zu beachten, daß durch diese Maßnahmen auch die Empfindlichkeit des Galvanometers ver¨ andert wird. Kriechgalvanometer Mit Hilfe eines kriechend ged¨ ampften Galvanometers (RK ≪ RKaper ), einem sog. Kriechgalvanometer, bei dem außerdem das Richtmoment vernachl¨assigbar klein ist (D → 0), kann ein  Spannungsstoß = u dt (6.25) unmittelbar gemessen werden. Da wegen der kriechenden Einstellung (RK ist sehr klein) außerdem das Beschleunigungsmoment Θα ¨ vernachl¨assigt werden darf, ist in diesem Fall nur das D¨ ampfungsmoment relevant. Aus den Gln. (6.2) und (6.5) folgt f¨ ur D = 0 Θα ¨ + η α˙ = Mel (t) = 2N rlBi(t) .

(6.26)

Wegen der dominierenden Spulend¨ ampfung ergibt sich mit Gl. (6.20) aus Θα ¨+

2N rlBu(t) (2N rlB)2 α˙ = RK RK

(6.27)

unter Vernachl¨ assigung des Beschleunigungsmoments die Spannung zu u(t) = 2N lrB bzw. der Spannungsstoß 

dα dα = cf dt dt

(6.28)

t2

t1

u(t) dt = cf [α(t2 ) − α(t1 )] = cf [α2 − α1 ] .

(6.29)

Bei bekannter Flußmeterkonstante cf kann die Gr¨oße des Spannungsstoßes unmittelbar aus der Differenz der Winkelstellungen (α2 − α1 ) des Zeigers zu den Zeiten t2 und t1 ermittelt werden. Eine solche Anordnung kann aufgrund des Zusammenhanges φ = u dt zur Messung des magnetischen Flusses φ bzw. der magnetischen Induktion unter Verwendung von Pr¨ ufspulen eingesetzt werden.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

125

Ballistisches Galvanometer Das ballistische Galvanometer dient dem Zweck, die von einem Stromstoß gelieferte Ladungsmenge zu messen. Dies wird dadurch erreicht, daß beim ballistischen Galvanometer ein im Vergleich zur Periodendauer der Meßwerkgrundschwingung zeitlich sehr kurzer Stromstoß einen Drehimpuls erzeugt. Mit Hilfe von Gl. (6.2) l¨ aßt sich der Drehimpuls M (t) dt, welcher der Drehspule durch den Stromstroß verliehen wird, wie folgt angeben 

T

M (t) dt = 2N rlB 0



T

i(t) dt = 2N rlBQ0 .

(6.30)

0

Q0 ist die mit dem Stromstoß zugef¨ uhrte Ladungsmenge. Die Integrationszeit T in Gl. (6.30) wird so gew¨ ahlt, daß der Strompuls bei t = T bereits wieder abgeklungen ist. Aus diesem Drehimpuls resultiert eine Schwingbewegung der Drehspule, die nach Gl. (6.5) beschrieben werden kann. Bei der L¨ osung dieser Differentialgleichung gehen wir davon aus, daß der Drehimpuls der Drehspule eine Anfangswinkelgeschwindigkeit α(t ˙ = 0) verleiht, aber bereits zu Beginn der eigentlichen Schwingung die Anregung durch das Moment  wieder abgeklungen ist. Damit kann man sich auf die L¨osung der homogeM nen Differentialgleichung beschr¨ anken Θα ¨ + η α˙ + Dα = 0 .

(6.31)

Mit den geltenden Anfangsbedingungen α(0) = 0

(6.32)

und  1 T α(0) ˙ = ω(0) ≈ ω(T ) = M (t)dt Θ 0 1 Si DQ0 = Si ω02 Q0 = 2N rlBQ0 = Θ Θ

(6.33)

folgt als L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur den aperiodischen Grenzfall α(t) = ω(0)te−ω0 t ,

(6.34)

wobei ω0 die Kreisfrequenz der Grundschwingung der an der Drehfeder (Federkonstante D) aufgeh¨ angten Drehspule mit dem Tr¨agheitsmoment Θ bezeichnet  D . (6.35) ω0 = Θ Es sei erw¨ ahnt, daß der Standardbetriebsfall f¨ ur das ballistische Galvanometer der aperiodische Grenzfall (˜ η = 1) (Gl. (6.7)) ist.

126

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Beim ballistischen Galvanometer interessiert von der Drehbewegung im wesentlichen nur der sog. ballistische Ausschlag αball , welcher der ersten Schwingungsamplitude entspricht. Dieses Schwingungsmaximum erh¨alt man durch Nullsetzen der Funktion α(t) ˙ α(t) ˙ = ω(0)e−ω0 t (1 − ω0 t) = 0 .

(6.36)

Daraus folgt, daß sich der als ballistische Ausschlag bezeichnete Maximalausschlag αmax zu einem Zeitpunkt t = 1/ω0 einstellt. Der dazugeh¨orige Winkel αball ergibt sich zu αball = αmax =

ω(0) Si ω0 Q0 . = eω0 e

(6.37)

Der ballistische Ausschlag ist somit proportional zur zugef¨ uhrten Ladungsatskonstante zwischen dem ballistischen Ausmenge Q0 . Die Proportionalit¨ schlag αball und der Ladungsmenge Q0 wird als sog. ballistische Konstante cball bezeichnet e eT0 cball = = , (6.38) Si ω0 2πSi wobei cball folgendermaßen definiert ist Q0 =

T

i(t)dt = cball αball .

(6.39)

0

In Gl. (6.38) bezeichnen e die Eulersche Zahl (e = 2, 71828) und T0 die Periodendauer der unged¨ ampften Meßwerkgrundschwingung. 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk Das elektrodynamische Meßwerk besitzt, ¨ ahnlich dem Drehspulmeßwerk, eine bewegliche, von einem Meßstrom durchflossene Drehspule, die an einer Drehfeder aufgeh¨ angt ist. Der Unterschied zum Drehspulmeßwerk besteht darin, daß das zur Erzeugung der mechanischen Auslenkkraft notwendige Magnetfeld von einer zweiten, feststehenden Spule, der sog. Feldspule geliefert wird. Wenn diese Feldspule einen Eisenkern besitzt, spricht man von der sog. eisengeschlossenen Form des elektrodynamischen Meßwerkes (Abb. 6.7). Die feststehende Spule mit der Windungszahl N1 wird vom Strom I1 , die bewegliche mit Windungszahl N2 vom Strom I2 durchflossen. Mit dem auf die Feldspule angewendeten Durchflutungsgesetz [24] &  · ds = N I H (6.40) folgt

 L + lFe · H  Fe = N1 I1 , 2bL · H

(6.41)

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

127

I1 N1 N2

b) feststehende Spule

B bL a) Weicheisenkern

I2

hochpermeabler Drehspule Weicheisenkern

c)

Abb. 6.7. Elektrodynamisches Meßwerk (eisengeschlossen): a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltzeichen, c) Symbol f¨ ur die eisengeschlossene Form

wobei bL den radialen Abstand zwischen Weicheisenzylinder und Polschuh,  Fe die magnetische lFe die Wegl¨ ange des magnetischen Feldes im Eisen, H  Feldst¨ arke im Eisen und HL die magnetische Feldst¨arke im Luftspalt bezeich = μH  ergibt sich unter der Voraussetzung einer sehr großen Pernen. Mit B meabilit¨ at des Eisenkerns (μFe ≫ μ0 ) die im Luftspalt erzeugte magnetische L Induktion B  L | = B L = μ0 N 1 I 1 . |B (6.42) 2bL  el auf die vom Strom I2 durchflossene Drehspule mit der Das Drehmoment M Spulenquerschnittsfl¨ ache 2rl und der Windungszahl N2 betr¨agt mit Gl. (6.2) (ea : Einheitsvektor in Richtung der Drehachse)    el = 2N2r × F = 2N2r × I2 (l × B  L) M = 2N2 rI2 lBLea =

μ0 rlN1 N2 I1 I2ea . bL

(6.43)

Analog zum Drehspulmeßwerk resultiert daraus f¨ ur das mit einer R¨ uckstellfeder der Federkonstanten D ausgestattete elektrodynamische Meßwerk ein Zeigerausschlag um den Winkel α α=

μ0 rlN1 N2 I1 I2 = kI1 I2 . bL D

(6.44)

Das elektrodynamische Meßwerk ist also ein multiplizierendes Instrument, welches das Produkt zweier Str¨ ome anzeigt. Wenn man das elektrodynamische Meßwerk mit sinusf¨ ormigen Str¨ omen i1 (t) und i2 (t) (Kap. 6.3) derselben Frequenz speist

128

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

i1 (t) = Iˆ1 sin ωt i2 (t) = Iˆ2 sin(ωt + ϕ) ,

(6.45) (6.46)

dann ist die Anzeige zu dem Produkt der Effektivwerte und dem Cosinus des Phasenwinkels ϕ zwischen den Str¨ omen proportional α = ki1 (t)i2 (t) = k =k

1 T



T

0  T

1 T



T

i1 (t)i2 (t) dt

0

Iˆ1 Iˆ2 sin ωt sin(ωt + ϕ) dt

Iˆ1 Iˆ2 k cos ϕ Iˆ1 Iˆ2 [cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)] dt = k 2T 0 2 = kI1eff I2eff cos ϕ .

=

(6.47)

Bei der Auswertung von Gl. (6.47) wurde angenommen, daß die Tr¨agheit des Instrumentes so groß ist, daß es in bezug auf die Wechselgr¨oßen eine zeitliche T Mittelung vornimmt, d. h. der Term 0 cos(2ωt + ϕ) leistet keinen Beitrag zum Zeigerausschlag α. Das Haupteinsatzgebiet von elektrodynamischen Meßwerken liegt demzufolge auf dem Gebiet der Leistungsmessung. Man unterscheidet beim elektrodynamischen Meßwerk zwei Bauformen: Das eisengeschlossene elektrodynamische Meßwerk besitzt einen hochpermeablen Eisenkern, der oft aus geschichteten und isolierten Blechen aufgebaut ist, um die Wirbelstromverluste gering zu halten. Dabei wird auch auf geringe Hystereseverluste geachtet. Die eisengeschlossene Form erm¨ oglicht geometrisch kleine Bauausf¨ uhrungen, bei  L innerhalb des Luftspaltes stets in radialer der die magnetische Induktion B ¨ Richtung verl¨ auft, so daß der Ubergang vom Vektorprodukt zum Skalarprodukt in Gl. (6.43) analog zum Drehspulmeßwerk erlaubt ist. Außerdem bleibt der Fremdfeldeinfluß bei dieser Bauform gering. Beim eisenlosen elektrodynamischen Meßwerk nach Abb. 6.8 l¨aßt sich

Abb. 6.8. Elektrodynamisches Meßwerk (eisenlos): a) Prinzip, b) Symbol

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

129

durch geeignete Bauformen der Spulen erreichen, daß die am Spulenrahmen in tangentialer Richtung angreifende und f¨ ur die Drehbewegung maßgebende Kraftkomponente (in Abb. 6.8 eingezeichnet) in einem Drehwinkelbereich von α = ±45◦ bei konstanten Str¨ omen I1 und I2 praktisch einen konstanten Betrag hat. Denn durch spezielle Spulenformen wird gerade ein solches Magnetfeld aufgebaut, daß die sich gem¨ aß Gl. (6.43) ergebende Kraft eine auf den Spulenrahmen bezogene konstante und nicht von der Winkelstellung abh¨ angige Tangentialkomponente aufweist. Damit ist das mechanische Antriebsmoment und in Folge auch der Ausschlag α wiederum proportional zum Produkt I1 I2 aus Feld- und Drehspulenstrom. Nachdem die magnetische Induktion der Feldspulen typischerweise in der Gr¨ oßenordnung B = 0, 01 T liegt, ist auf Meßfehler durch Fremdfelder zu achten, z. B. auch auf die Ausrichtung im Erdmagnetfeld (B = 10−4 T). Bei eisenlosen Meßwerken entfallen die Fehlereinfl¨ usse infolge von Wirbelstromund Hystereseverlusten, so daß sie als Pr¨ azisionsleistungsmesser eingesetzt werden k¨ onnen. 6.1.4 Dreheisenmeßwerk Als physikalischen Effekt nutzt das Dreheisenmeßwerk die Kraft zwischen zwei Magnetpolen, wobei das ben¨ otigte Magnetfeld von dem zu messenden Strom erzeugt wird. Man verwendet eine feststehende Spule, in deren Feld zwei Eisenpl¨ attchen gleichsinnig magnetisiert werden und sich infolgedessen abstoßen (Abb. 6.9). Die mechanische Kraft (Kraft zwischen zwei Magnetpolen) ist proportional dem Quadrat der von der Spule erzeugten magnetischen Induktion, welche wiederum proportional dem durch die Spule fließenden Strom I ist. Die in der Spule mit der Selbstinduktivit¨ at L des Dreheisenmeßwerks aufgrund des Meßstromes I gespeicherte magnetische Energie Emagn betr¨agt

Abb. 6.9. Dreheisenmeßwerk: a) Prinzip, b) Aufbau, c) Symbol

130

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Emagn =

1 2 LI . 2

(6.48)

Wenn das Meßger¨ at als verlustfrei angenommen wird, entspricht die Reduzierung der magnetischen Feldenergie bei einer Zeigerdrehung exakt der Zunahme der in der Drehfeder gespeicherten potentiellen Energie (dEmech =  el aus der Anderung ¨ −dEmagn ). Damit l¨ aßt sich das erzeugte Drehmoment M der magnetischen Feldenergie errechnen  el = dEmagn ea = 1 dL I 2ea . M dα 2 dα

(6.49)

Dabei bezeichnet ea den Einheitsvektor in Richtung der Drehachse. Da der Term dL/dα von der Winkelstellung abh¨ angt, ergibt sich ein bauformabh¨angiger, im allgemeinen nichtlinearer Verlauf des Drehmoments als Funktion des Winkels α. Mit dem durch eine Drehfeder (Drehfederkonstante D) erzeugten  mech Gegendrehmoment M  mech = −Dαea M

(6.50)

l¨ aßt sich der Winkel α des Zeigerausschlages f¨ ur den Gleichgewichtszustand  el + M  mech = 0) angeben (M α=

1 dL 2 I = k(α)I 2 . 2D dα

(6.51)

Durch entsprechende geometrische Formgebung der Pl¨attchen, d. h. eine Beeinflussung des Terms dL/dα bzw. k(α), kann eine ann¨ahernd lineare Abh¨ angigkeit des Ausschlags α vom Strom I erreicht werden. Bei Wechselstrom schwankt das Drehmoment infolge der quadratischen Abh¨angigkeit vom Strom mit der doppelten Frequenz. Infolge der mechanischen Tr¨agheit des Meßwerkes wird damit der quadratische Mittelwert, also der Effektivwert, angezeigt. Dies kann analog zum elektrodynamischen Meßwerk abgeleitet werden (Gl. (6.47)). Der Energieverbrauch des Dreheiseninstrumentes und damit auch seine R¨ uckwirkung auf den Meßvorgang sind gr¨ oßer als beim Drehspulinstrument. Es wird als robustes und preiswertes Betriebsinstrument vorwiegend in der elektrischen Energietechnik eingesetzt. Bei h¨ oheren Frequenzen wird der Fehler vor allem von Wirbelstromverlusten in den Blechteilen des Meßwerkes bestimmt. 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) Beim Drehspulquotientenmeßwerk, das auch als Kreuzspulmeßwerk bezeichnet wird, sind zwei Spulen mit rechteckigem Spulenquerschnitt und demselben Rahmendurchmesser (Windungszahlen: N1 bzw. N2 ; Spulenstr¨ome: I1 bzw. I2 ) starr miteinander verbunden, so daß ihre Querschnittsebenen einen Winkel

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

F1

Kreuzspule

F2 I2

I1 α

N

131

Permanentmagnet S

B a)

F2

β=90°

F1 r

b)

Abb. 6.10. Drehspulquotientenmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Symbol

von β = 90◦ bilden (Abb. 6.10) . Das Magnetfeld sei homogen zwischen den Polen N und S, was bedeutet, daß es im Gegensatz zum Drehspulmeßwerk radial inhomogen ist. Die von den Meßstr¨ omen I1 und I2 hervorgerufenen mechanischen Kr¨ afte F1 und F2 ergeben sich zu  F1 = N1 I1 (l × B) F1 = N1 I1 lB  F2 = N2 I2 (l × B) F2 = N2 I2 lB .

(6.52) (6.53) (6.54) (6.55)

Wenn ea den in Richtung der Drehachse der Spule zeigenden Einheitsvektor  = 2r × F die und r den Radius der Spulenrahmen bezeichnen, folgen mit M   Einzeldrehmomente M1 und M2  1 = 2rF1 sin α ea M  2 = −2rF2 cos α ea . M

(6.56) (6.57)

Nachdem Kreuzspulinstrumente keine Drehfedern zur Erzeugung der mechanischen R¨ uckstellkraft enthalten, lautet die Gleichgewichtsbedingung 1 + M 2 = 0 . M

(6.58)

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen den Str¨omen I1 und I2 sowie dem Winkel α des Zeigerausschlages tan α = bzw.

F2 N 2 I2 = F1 N 1 I1

I2 α = arctan k I1



.

(6.59)

(6.60)

132

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Es ist anzumerken, daß Drehspulquotientenmeßwerke nach Gl. (6.60) unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden k¨onnen, da ihr Ausschlag vom Quotient zweier Str¨ ome bestimmt wird (Kap. 9.1.4). F¨ ur Ausf¨ uhrungsformen, bei denen die Winkelstellung zwischen den beiden Spulen nicht 90◦ sondern β betr¨ agt, gilt # "I N 2 2 I1 N1 + cos β α = arctan . (6.61) sin β 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk Das Drehmagnetmeßwerk besteht aus einer feststehenden, vom Meßstrom I durchflossenen Feldspule der L¨ ange l und Windungszahl N (Abb. 6.11). Bei Vernachl¨ assigung der Streuverluste erzeugt der Strom in ihrem Inneren ein  I , die sich aus dem DurchflutungsMagnetfeld der magnetischen Feldst¨ arke H gesetz berechnet &  s = NI Hd (6.62) HI =

N I. l

(6.63)

Abb. 6.11. Drehmagnetmeßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

In diesem Magnetfeld dreht sich ein Permanentmagnet. Die notwendige R¨ uck R eines zus¨ stellkraft wird durch das Feld H atzlichen permanenten Richtma I ∼ I) und des Richtgneten gebildet. Die magnetischen Felder der Spule (H  magneten (HR = const.) u ¨berlagern sich vektoriell (Abb. 6.12) und der bewegliche Magnet zeigt in Richtung des resultierenden Feldes, dessen Richtung (und St¨ arke) vom Strom I abh¨ angt. Der Proportionalit¨atsfaktor k ist wiederum eine Funktion des Ausschlagwinkels α, so daß die Skala nichtlinear geteilt ist. F¨ ur obige Anordnung gilt nach Abb. 6.12

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

133

¨ Abb. 6.12. Vektorielle Uberlagerung der magnetischen Felder im Drehmagnetmeßwerk

tan α =

HI N = I. HR lHR

(6.64)

Mit der Stromrichtung ¨ andert sich also auch das Vorzeichen des Drehwinkels, der infolge der mechanischen Tr¨ agheit des Meßwerkes letztlich ein Maß f¨ ur den zeitlichen Mittelwert (Gleichstromwert) des Spulenstromes ist. Die Vorz¨ uge des Drehmagnetmeßwerkes liegen in seiner einfachen Konstruktion; so ist beispielsweise keine Stromzuf¨ uhrung zu den beweglichen Teilen notwendig, wie dies beim Drehspulmeßwerk der Fall ist. Nachteilig wirkt sich jedoch der hohe Eigenverbrauch und seine im Vergleich zum Drehspulmeßwerk geringere Empfindlichkeit aus. 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk Die nach dem elektrostatischen Prinzip arbeitenden Meßwerke beruhen auf der Coulombschen Anziehungskraft zwischen elektrischen Ladungen. Die elektrostatischen Meßwerke dienen der Messung elektrischer Spannungen bzw. Ladungen. Im allgemeinen wird eine feststehende Elektrode mit dem spannungsm¨ aßig hohen Meßpotential verbunden und eine mechanisch bewegliche, meist drehbar gelagerte Elektrode auf Massepotential gelegt (Abb. 6.13). Das aus der Coulombschen Anziehungskraft resultierende Drehmoment  el l¨ M aßt sich auf der Basis des Energieerhaltungssatzes berechnen, demzufolge sich die Zunahme der mechanischen Energie Emech aus der Abnahme der elektrischen Energie Eel ergibt bewegliche Platte α

a)

feststehende Platte (Stator)

Δx

U b)

Abb. 6.13. Elektrostatisches Meßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

134

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

dEmech = −dEel .

(6.65)

Die elektrische Energie Eel entspricht der Energie, die im Kondensator gespeichert ist, w¨ ahrend sich die mechanische aus dem Produkt von Drehmoment  el und Drehwinkel α errechnet. Mit Gl. (6.65) folgt M Mel dα =

1 2 u dC , 2

(6.66)

wobei u die am Meßwerk anliegende Spannung und C die Kapazit¨at zwischen den Elektroden bezeichnen. Infolge des mit Federkraft erzeugten R¨ uckstellmomentes (6.67) Mmech = Dα ergibt sich der Ausschlagwinkel α aus der Gleichgewichtsbedingung (Mmech + Mel = 0) 1 dC 2 α= u = k(α)u2 . (6.68) 2D dα Bei angelegter Wechselspannung zeigt das Ger¨at den quadrierten Effektivwert der Spannung an, falls das Meßwerk als mechanisch tr¨age gegen¨ uber der Wechselspannungsfrequenz bezeichnet werden kann. Diese Tatsache kann wiederum analog zu Gl. (6.47) abgeleitet werden. Durch spezielle Plattengeometrien kann der Zusammenhang zwischen dem Ausschlagwinkel α und der angelegten Spannung u linearisiert werden. Absolute elektrostatische Hochspannungsmesser beruhen auf der Messung der Anziehungskraft zwischen parallelen Kondensatorplatten. Dabei werden Meßgenauigkeiten im Bereich von 0,01 % erreicht [146]. Der ohmsche Innenwiderstand elektrostatischer Meßwerke liegt in der Gr¨ oßenordnung 1012 bis 1014 Ω. Die Hochfrequenztauglichkeit wird allerdings durch den mit der Frequenz zunehmenden Blindstrom sowie den ebenfalls

Abb. 6.14. Aufbau eines elektrostatischen Meßwerkes, das auf der Influenz von Ladungen basiert.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

135

parasit¨ aren Einfluß der Zuleitungsinduktivit¨aten begrenzt. Eine besondere Bauform eines elektrostatischen Hochspannungsmeßwerkes wird in Abb. 6.14 gezeigt. Es beruht auf der Influenz von Ladung auf der beweglichen Rotorelektrode, die u ¨ber die Drehfeder geerdet ist. Die D¨ampfung des Meßwerkes wird bei dieser Bauform durch Luftkammerd¨ampfung erzielt, also eine durch die Bewegung der Rotorplatte hervorgerufene Str¨omungsd¨ampfung. 6.1.8 Schaltzeichen fu ate ¨ r Meßger¨ In Tabelle 6.1 sind die f¨ ur den Bereich der elektromechanischen Meßger¨ate wichtigsten Schaltzeichen und Symbole zusammengefaßt. Tabelle 6.1. Symbole f¨ ur Meßger¨ ate nach VDE 0410 und DIN 43802

136

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung In diesem Abschnitt wird die direkte Messung von Gleichstrom und Gleichspannung mit Hilfe von Strom- und Spannungs-Meßwerken beschrieben. 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen Die Messung des Gleichstromes in einem Zweig eines beliebigen, aus ohmschen Widerst¨ anden, Gleichspannungs- und Gleichstromquellen zusammengesetzten linearen Netzwerkes kann nach dem in Abb. 6.15 gezeigten Prinzip der Ersatzspannungsquelle ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf das in Abb. 6.16 dargestellte Problem reduziert werden. Wenn der Meßzweig aus dem Widerstand RL besteht und das restliche Netzwerk durch die Spannungsquelle (mit Leerlaufspannung UQ und Innenwiderstand RQ ) ersetzt wird, l¨aßt sich der zu messende Strom IL mit einem idealen, d. h. widerstandslosen (RM = 0) Strommesser exakt bestimmen IL =

UQ . RQ + RL

(6.69)

Bei einem realen Meßger¨ at fließt infolge des endlichen Innenwiderstandes RM des Meßger¨ ates nicht mehr der urspr¨ unglich zu messende Strom IL (wahrer

¨ Abb. 6.15. Aquivalenz von einem Tor eines linearen Netzwerkes und einer Ersatzspannungsquelle bzw. einer Ersatzstromquelle

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

137

Abb. 6.16. Strommessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

Wert), sondern der geringere Strom IL′ IL′ =

UQ . RQ + RL + RM

(6.70)

Nur f¨ ur RM ≪ (RQ + RL ) wird n¨ aherungsweise der wahre Wert gemessen (IL′ ≈ IL ), ansonsten f¨ uhrt der endliche Innenwiderstand des Meßger¨ates bei der Strommessung zu einem Belastungsfehler. Dies ist ein systematischer Meßfehler, der sich wie folgt ermitteln l¨ aßt. F¨ ur den vereinfachten Fall RL = 0 (Kurzschluß) berechnen sich der wahre Wert IL und der tats¨achlich gemessene Wert IL′ zu IL =

UQ RQ

(6.71)

IL′ =

UQ . RQ + RM

(6.72)

Der relative Meßfehler fI betr¨ agt in diesem Fall also fI =

−1 IL′ − IL = . RQ IL 1 + RM

(6.73)

Bei unbekanntem Innenwiderstand der Quelle RQ , muß dieser vor einer Fehlerermittlung bzw. -korrektur nach Gl. (6.73) ebenfalls gemessen werden. Dies kann im (theoretisch vereinfachten) Fall durch Messung von Leerlaufspannung UQ und Kurzschlußstrom IK der Ersatzspannungsquelle geschehen. Der Innenwiderstand RQ ergibt sich bei Messungen von UQ und IK mit idealen Meßwerken zu UQ . (6.74) RQ = IK F¨ ur den allgemeinen Fall RL = 0 ist RQ durch (RQ + RL ) zu ersetzen. Das negative Vorzeichen in Gl. (6.73) bedeutet, daß infolge des systematischen Fehlers bei der Strommessung stets ein zu niedriger Wert gemessen wird. Man kann aus Gl. (6.73) bzw. der entsprechenden graphischen Darstellung (Abb. 6.17) als Regel ableiten, daß bei der Strommessung der Innenwiderstand des

138

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.17. Betrag des relativen Fehlers fI bei der Strommessung als Funktion von RQ /RM . RM : Meßger¨ ateinnenwiderstand, RQ : Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle

Meßger¨ ates m¨ oglichst klein sein sollte. Bei bekannten Innenwiderst¨anden RMU bzw. RMI von Spannungs- bzw. Strommeßwerk kann RQ aus der mit systema′ ′ (UQ ist der Meßwert, den ein an die tischen Fehlern behafteten Spannung UQ Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Spannungsmeßwerk mit ′ ′ (IK ist der Meßwert, den Innenwiderstand RMU anzeigt) und dem Strom IK ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Strommeßwerk mit Innenwiderstand RMI anzeigt) ermittelt werden. Die entsprechende Fehlerkorrektur liefert den exakten Wert von RQ

 U′ RMU RMI − I ′Q K . (6.75) RQ = ′ UQ − R MU I′ K

Meßbereichserweiterung fu ¨ r die Strommessung Zur Messung von Str¨ omen, welche den Meßbereich des unbeschalteten Meßwerkes u ¨bersteigen, sind entsprechende Maßnahmen zur Meßbereichserweiterung zu treffen. Drehspulmeßwerke beispielsweise haben, je nach Auslegung, Endbereichswerte von nur IMend = 10 μA...100 mA bei einem Spannungsabfall von UMend = 2 mV...200 mV. Praktische Meßger¨ate hingegen weisen mehrere umschaltbare Meßbereiche auf, so daß auch wesentlich h¨ohere Str¨ome mit einund demselben Instrument gemessen werden k¨ onnen. Um einen Strommesser f¨ ur einen h¨ oheren Meßbereich vorzubereiten, wird dem Meßwerk ein Widerstand RP , ein sogenannter Shunt, parallel geschaltet (Abb. 6.18). Wegen der Parallelschaltung der Widerst¨ ande RM und RP gilt RM IM = RP IP = RP (I − IM ) .

(6.76)

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

IM

139

RM

IP I

RP

Abb. 6.18. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung

Damit kann die Dimensionierung von RP f¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert Iend = vi IMend nach folgender Formel erfolgen RP = RM

IMend RM . = Iend − IMend vi − 1

(6.77)

In Gl. (6.77) bezeichnet IMend den Strom durch das Meßwerk bei Vollausschlag und vi den Faktor, um den der Strommeßbereich erweitert wird. Abbildung 6.19 zeigt die Schaltung eines Vielfachmeßger¨ ates f¨ ur Strom mit den Meßbereichsendwerten 1 mA, 10 mA und 0,1 A. Durch die gezeigte Schaltung (Abb. 6.19) wird vermieden, daß der Kontaktwiderstand des Schalters das Verh¨altnis RM /RP beeinflußt.

Abb. 6.19. Vielfachmeßger¨ at zur Strommessung (IMend =0,1 mA; Iend = 1 mA bis 0,1 A)

6.2.2 Messung von Gleichspannungen Meßwerke, die der Strommessung dienen, k¨ onnen prinzipiell auch zur Spannungsmessung eingesetzt werden, indem der bei Anlegen einer Spannung U an das Meßwerk fließende Strom mit dem Innenwiderstand RM multipliziert und als Spannung ausgegeben wird. Abbildung 6.20 zeigt die entsprechende Meßschaltung. F¨ ur eine nicht vorhandene Last (RL → ∞) kann folgende Maschengleichung angegeben werden IM RQ + IM RM − UQ = 0 . Daraus folgt

(6.78)

140

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.20. Spannungsmessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

IM RM = UM = UQ − IM RQ .

(6.79)

UM − UQ −1 . = M UQ 1+ R RQ

(6.80)

Der relative Meßfehler fU (Belastungsfehler) betr¨agt somit fU =

F¨ ur den Fall eines endlichen Lastwiderstandes RL verringert sich der relative Meßfehler fU , da anstatt RQ in Gl. (6.80) jetzt der geringere Wert der Parallelschaltung von RQ und RL einzusetzen ist fU =

1+

−1 +

RM RQ

RM RL

=

−1

1 + RM

RQ +RL RQ RL

.

(6.81)

Abbildung 6.21 zeigt den Betrag des relativen Meßfehlers bei der Spannungsmessung. Aus den Gln. (6.80) und (6.81) und der entsprechenden graphischen Darstellung kann die Regel abgeleitet werden, daß bei der Spannungsmessung der Innenwiderstand des Meßger¨ ates m¨ oglichst groß sein sollte.

Abb. 6.21. Betrag des relativen Fehlers fU bei der Spannungsmessung als Funktion von RM /RQ . RM Meßger¨ ateinnenwiderstand; RQ Innenwiderstand der Quelle, deren Leerlaufspannung gemessen wird.

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

141

Meßbereichserweiterung fu ¨ r die Spannungsmessung Durch Vorschalten eines Pr¨ azisionswiderstandes RS kann eine Erweiterung des Spannungsmeßbereiches erfolgen (Abb. 6.22). F¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert von Uend = vu UMend folgt f¨ ur die Dimensionierung von RS RS =

vu − 1 RM . vi

(6.82)

Abb. 6.22. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung

F¨ ur den Fall, daß keine Strommeßbereichserweiterung (vi = 1 bzw. RP → ∞) vorgenommen wird, gilt RS = (vu − 1)RM =

Uend − RM . IMend

(6.83)

Durch Vorschalten von Widerst¨ anden kann das in (Abb. 6.19) gezeigte Strommeßger¨ at zu einem Universal-Vielfachmeßger¨at aufger¨ ustet werden (Abb. 6.23). Es ist anzumerken, daß der Innenwiderstand von Spannungsmeßger¨aten meistens auf den Meßbereichsendwert bezogen wird. Die Angabe 100 kΩ/V beispielsweise bedeutet, daß im Meßbereich mit dem Endwert 10 V der Innenwiderstand des Ger¨ ates 1 MΩ betr¨ agt.

Abb. 6.23. Universal-Vielfachmeßger¨ at f¨ ur Spannung und Strom

142

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung Bei der gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung ergeben sich zus¨atzliche Fehler. Es gibt zwei M¨ oglichkeiten der Schaltungsanordnung. Bei der Variante nach Abb. 6.24a wird die Generatorspannung UM sowie der Laststrom IL pseudokorrekt angezeigt, bei der Variante nach Abb. 6.24b hingegen wird die Lastspannung UL sowie der Generatorstrom IQ pseudorichtig gemessen. Der Begriff pseudokorrekt“ bzw. pseudorichtig“ soll aussagen, ” ” daß die entsprechenden Meßwerke zwar die aktuelle Meßgr¨oße richtig messen, daß jedoch durch das Vorhandensein eines realen (nicht-idealen) Meßwerkes die urspr¨ ungliche Meßgr¨ oße infolge des oben besprochenen Belastungsfehlers verf¨ alscht wird.

Abb. 6.24. Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung: a) Messung pseudokorrekt f¨ ur Generatorspannung UM und Laststrom IL , b) Messung pseudokorrekt f¨ ur Lastspannung UL und Generatorstrom IQ

Bei den nicht pseudokorrekt“ gemessenen Gr¨ oßen hingegen wird noch nicht ” einmal die aktuelle Gr¨ oße richtig angezeigt. So wird beispielsweise bei der Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a die aktuelle Lastspannung UL vom Spannungsmesser nicht erfaßt. F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a ergibt sich folgender relativer Meßfehler fIL bei der Bestimmung des Laststromes IL fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RQ ) . RMU RQ + (RMI + RL )(RMU + RQ )

(6.84)

F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24b hingegen errechnet sich der relative Fehler bei der Strommessung zu fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RL ) . RMU RL + (RMI + RQ )(RMU + RL )

(6.85)

Bei den relativen Meßfehlern nach den Gln. (6.84) und (6.85) ist als wahrer Wert stets derjenige Laststrom angenommen, welcher bei nicht vorhandenen bzw. idealen Meßger¨ aten fließen w¨ urde.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

143

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1 Begriffsdefinitionen Es sei vorausgeschickt, daß die folgenden Definitionen gleichermaßen f¨ ur eine elektrische Spannung u(t) und f¨ ur einen elektrischen Strom i(t) gelten. Eine Wechselspannung u(t) mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf wird durch Gl. (6.86) ( den Scheitelwert der Wechselspannung, ω = 2πf ihre beschrieben, wobei U Kreisfrequenz (Einheit (s−1 )), f die Frequenz der Wechselspannung (Einheit (Hz)) und ϕ den Phasenwinkel (Einheit (rad)) bezeichnen ( sin(ωt + ϕ) . u(t) = U

(6.86)

In der Meßtechnik sind folgende Gr¨ oßen von Bedeutung: • Arithmetischer Mittelwert

• Gleichrichtwert

1 u= T



1 |u| = T



T

u(t) dt

(6.87)

|u(t)| dt

(6.88)

0

0

T

• Effektivwert (quadratischer Mittelwert)   1 T 2 Ueff = u (t) dt . T 0

(6.89)

Eine Gleichspannung mit U = Ueff setzt in einem Verbraucher (ohmscher Widerstand) die gleiche Leistung um wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueff . In den Gln. (6.87 - 6.89) versteht man unter T = 1/f die Periodendauer der Wechselspannung (Einheit (s)). Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß obige Definitionsgleichungen auch auf nicht-sinusf¨ormige Zeitverl¨ aufe angewendet werden d¨ urfen, solange das Signal periodisch ist. Sie gelten beispielsweise auch f¨ ur Wechselspannungen mit u ¨berlagertem Gleichanteil. Wie man den Effektivwert von Signalen ermittelt, die nicht periodisch sind, wird in Kap. 13.4.1 behandelt. Weiterhin sind definiert: • Scheitelfaktor Scheitelfaktor (crest factor) = C = • Formfaktor Formfaktor = F =

( U Scheitelwert = Effektivwert Ueff

Ueff Effektivwert = . Gleichrichtwert |u|

(6.90)

(6.91)

144

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

√ F¨ ur rein sinusf¨ ormige √ Gr¨ oßen betr¨ agt der Scheitelfaktor C = 2 und der Formfaktor F = π/(2 2) = 1, 11. Setzt sich eine Spannung uges (t) aus ei¨ ner Uberlagerung von n Teilspannungen ui (t) (Gleichspannungen oder Wechselspannungen mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf und Frequenzen, die in einem ganzzahligen Verh¨ altnis stehen) zusammen uges (t) =

n 

ui (t) ,

(6.92)

i=1

¨ so ergibt sich deren Effektivwert Ueffges aus der quadratischen Uberlagerung der Effektivwerte der Teilspannungen  n  2 . Ueffges = ! Uieff (6.93) i=1

Dies gilt insbesondere f¨ ur eine aus einem Gleich- (u ) und einem (reinen) oße der Form Wechselanteil (u∼ ) zusammengesetzte Mischgr¨ u(t) = u + u∼ (t) .

(6.94)

Der Effektivwert des Wechselanteils U∼eff ergibt sich gem¨aß Definitionsgleichung (6.89) zu   1 T 2 (6.95) u (t) dt . U∼eff = T 0 ∼

aßt sich schließlich anhand von Der Effektivwert der Mischspannung Ugeseff l¨ Gl. (6.93) berechnen  2 Ueffges = u 2 + U∼eff . (6.96) In diesem Zusammenhang sollen auch die folgenden Gr¨oßen definiert werden: • Schwingungsgehalt s • Welligkeit w

s=

U∼eff Ueffges

(6.97)

U∼eff . (6.98) u Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß alle obigen Definitionen in analoger Weise f¨ ur einen Wechselstrom i(t) gelten. w=

6.3.2 Gleichrichtung Zur Messung von Wechselgr¨ oßen mit Hilfe der in der elektrischen Meßtechnik vorzugsweise eingesetzten Meßwerke ben¨ otigt man Schaltungen zur Gleichrichtung des Meßstromes bzw. der Meßspannung. In diesen Schaltungen verwendet man heute im allgemeinen Halbleiterdioden, die der Einweg- bzw. der Zweiweg-Gleichrichtung der elektrischen Wechselgr¨oßen dienen.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

145

Einweg-Gleichrichtung Wenn bei der Messung einer Wechselspannung eine Halbwelle unterdr¨ uckt werden soll, so ist die Gleichrichtung mit einer einfachen Diode zu bewerkstelligen. Die Anordnung nach Abb. 6.25 mißt den halben Gleichrichtwert der angelegten Spannung bzw. des Stromes. Genaugenommen ist noch das nicht-ideale Diodenverhalten in Form des Diodeninnenwiderstandes sowie der Schwellenspannung von 0,7 V (bei Siliziumdioden) zu ber¨ ucksichtigen, die im

Abb. 6.25. Messung des halben Gleichrichtwertes einer Wechselspannung mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ ates

Durchlaßbetrieb stets an der Diode abf¨ allt. Aus dem nicht-idealen Diodenverhalten (s. dazu die Kennlinien (ideal, idealisiert und real) einer Siliziumdiode in Abb. 6.26) resultiert das in Abb. 6.27 gezeigte Ersatzschaltbild einer Halbleiterdiode, das aus einer Serienschaltung von idealer Diode, Diodeninnenwiderstand und einer Spannungsquelle, welche die Schwellenspannung1 repr¨asentiert, besteht. Die Schwellenspannung von typischen Siliziumdioden betr¨agt ca. 0,7 V. Die Schwellenspannung von Germanium- und auch Schottky-Dioden [166] liegen bei 0,3 V. Die parasit¨ are Parallelkapazit¨at (= Sperrschichtkapaoheren Frequenzen (typischerweise oberhalb 10 kHz) zit¨at) Cg wirkt sich bei h¨ aus, indem sie die Diode f¨ ur hochfrequente Str¨ ome u uckt und damit zum ¨berbr¨ Teil ihre Gleichrichterwirkung aufhebt. iD

iD reale Kennlinie

ideale Diode uD

idealisierte Kennlinie 0,7 V

uD

Abb. 6.26. Kennlinie einer Siliziumdiode (ideal, idealisiert und real)

1

Die Schwellenspannung wird auch als Durchlaßspannung, Schleusenspannung oder Kniespannung bezeichnet.

146

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

0,7 V iD

Cg

uD

Abb. 6.27. Ersatzschaltbild einer Siliziumdiode

Zweiweg-Gleichrichtung (Vollweg-Gleichrichtung) Die Graetz-Schaltung (Abb. 6.28) erm¨ oglicht die vollst¨andige Gleichrichtung beider Halbwellen, womit der vollst¨ andige Gleichrichtwert mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ ates gemessen wird. Bei dieser Schaltung sind stets zwei der vier Dioden in Durchlaßrichtung geschaltet, so daß die am Meßger¨at anliegende Spannung uM im Vergleich zur Eingangsspannung u∼ um den doppelten Wert der Diodenschwellenspannung reduziert wird (Abb. 6.28b). Bei Anliegen der positiven Halbwelle sind die Dioden D1 und D4 leitend, w¨ahrend hingegen bei der negativen Halbwelle die Dioden D2 und D3 leiten.

Abb. 6.28. a) Graetz-Schaltung zur Erfassung beider Halbwellen bei der Gleichrichtung, b) Spannungsverlauf

6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) Der Scheitelwert US (Spitzenwert, Peak Value) ist der innerhalb eines definierten Zeitraumes betragsm¨ aßig gr¨ oßte Wert des Signals. Bei unsymmetrischem Kurvenverlauf gilt ˆ = max{U ˆ+ , U ˆ− } , (6.99) US = U ˆ+ und U ˆ− die im positiven bzw. negativen Amplitudenbereich liegenwobei U ˆ+ ≥ 0 und U ˆ− ≥ 0). Zur Messung des positiven den Spitzenwerte sind (U ˆ Spannungs-Scheitelwertes (U+ ) dient die Schaltung nach Abb. 6.29. Es wird hierbei der Ladekondensator auf den Spitzenwert der angelegten Spannung

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

147

Abb. 6.29. Schaltung zur Messung des Spannungs-Spitzenwertes (bei symmetrischem Spannungsverlauf)

aufgeladen und vom Meßger¨ at gemessen. Zur Messung des negativen Spitzenˆ− muß lediglich die Diode in der Meßschaltung (Abb. 6.29) umgewertes U polt werden. Die durch das Meßger¨ at verursachten Ladungsverluste werden durch kurzzeitige Ladestr¨ ome, die je Periode einmal auftreten, ausgeglichen (Abb. 6.30). Zur exakten Messung des Spitzenwertes werden daher vorwiegend Ger¨ ate mit elektronischem Eingangsverst¨arker eingesetzt, welche sehr hohe Eingangsimpedanzen aufweisen.

Abb. 6.30. Spannungsverlauf bei der Spitzenwertgleichrichtung nach Abb. 6.29

Zur Messung des Spitzenwertes von Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf eignet sich die sog. Villard-Schaltung (Abb. 6.31), die auch als ein-stufige Kaskadenschaltung bezeichnet wird. Die beiden Dioden laden den age von positivem und negativem Kondensator C2 auf die Summe der Betr¨ Spitzenwert auf. Es handelt sich also um die Messung des Spitze-Spitze-Wertes (Peak to Peak Value) USS ˆ+ + U ˆ− . USS = U

(6.100)

Die Schaltung funktioniert so, daß w¨ ahrend der negativen Halbwelle nur die Diode D1 leitet und den Kondensator C1 auf den negativen Spitzenwert aufl¨ adt

148

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.31. Villard-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS (Peak to Peak Value) bei Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf

ˆ− . uC1 = U

(6.101)

W¨ahrend der positiven Halbwelle leitet D2 und l¨adt die Kapazit¨at C2 am Ausgang auf die Spannung ˆ+ = U ˆ− + U ˆ+ uA = uC1 + U

(6.102)

auf. In praktischen Schaltungen sind allerdings noch die Diodenschwellenspannungen und die Entladung durch den Innenwiderstand des angeschlossenen Spannungsmeßwerkes zu ber¨ ucksichtigen. Die Villard-Schaltung kann also bei gew¨ ohnlicher symmetrischer Eingangsspannung zur Spannungsverdopplung eingesetzt werden. Sie l¨ aßt sich aber auch in Form einer mehrstufigen Kaskadenschaltung aufbauen, so daß in jeder Stufe die Spannung verdoppelt wird. Allerdings treten dabei relativ hohe Innenwiderst¨ande auf. Die in Abb. 6.32 gezeigte Delon-Schaltung eignet sich ebenfalls zur Mesahrend der positiven Halbwelle wird C1 sung des Spitze-Spitze-Wertes USS . W¨ ˆ+ aufgeladen, w¨ u ahrend in der negativen Halbwelle die Span¨ber D1 auf U ˆ− ansteigt, so daß sich als Ausgangsspannung nung am Kondensator C2 auf U uA wiederum der nach Gl. (6.100) definierte Spitze-Spitze-Wert USS ergibt. Die Delon-Schaltung wird auch als Greinacher-Schaltung oder als doppelte Einweg-Gleichrichterschaltung bezeichnet.

Abb. 6.32. Delon-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

149

6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes Prinzipiell l¨ aßt sich die Bestimmung des Gleichrichtwertes von Wechselgr¨oßen mit Hilfe eines Doppelweggleichrichters durchf¨ uhren. Nachteilig wirkt sich allerdings die Nichtlinearit¨ at der Dioden aus. Es besteht außerdem das Problem, daß die Diodenschwellenspannung zweifach vorhanden ist. Aus diesen Gr¨ unden ist die Schaltungsvariante nach Abb. 6.34a g¨ unstiger, bei der in Reihe mit dem Meßger¨ at jeweils eine Diode und ein Vorwiderstand RV liegen. Der Vorwiderstand dient der in Abb. 6.33 erl¨ auterten Linearisierung der Kennlinie. Da jedoch ein Teil des Stromes am Meßwerk vorbeifließt, werden f¨ ur Wechselgr¨ oßen sowohl die Empfindlichkeit des Meßger¨ates als auch sein Innenwiderstand geringer. Dies belegt das Beispiel eines Standard-Meßger¨ates, dessen ur Gleichstrom und RM = 10 kΩ/V f¨ ur Innenwiderstand mit RM = 33 kΩ/V f¨ Wechselstrom angegeben wird.

Abb. 6.33. Linearisierung einer Diodenkennlinie durch eine Serienschaltung mit einem hochohmigen Widerstand

Bei Verwendung eines Meßwandlers (Transformator mit Mittelanzapfung) (Abb. 6.34b) kann der Nachteil der Schaltungsvariante mit Vorwiderst¨anden (Abb. 6.34a) vermieden werden. Die bessere Linearit¨at erreicht man bei dieser Schaltung durch Hochtransformieren der Spannung (¨ u < 1), wodurch die Kennlinienkr¨ ummung der Diode einen geringeren Einfluß hat. Dies geht allerdings wiederum auf Kosten des Innenwiderstandes, denn der Transformator ¨ ¨2 ; u ¨: Ubersetzungssetzt diesen um den Faktor u ¨2 herab (Zprim¨ar = Zsekund¨ar · u verh¨ altnis des Transformators; u ¨ < 1, s. Abb. 6.34b). Außerdem lassen sich

150

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

u

iM

ü:1

RM u Z primär

a)

iM

RM

Z sekundär

b)

Abb. 6.34. Schaltungen zur Messung des Gleichrichtwertes von Spannungen: a) Br¨ uckenschaltung mit Dioden und Widerst¨ anden, b) Transformatorbr¨ ucke

Meßwandler nur zur Messung reiner Wechselspannungen (ohne Gleichanteil) einsetzen. 6.3.5 Messung des Effektivwertes Bei Verwendung eines Drehspulmeßwerkes in Verbindung mit den oben gezeigten Vollweg-Gleichrichterschaltungen mißt man den Gleichrichtwert |u| einer Spannung (bzw. eines Stromes |i|). F¨ ur einen bekannten Zeitverlauf kann dieser Gleichrichtwert in einen Effektivwert umgerechnet werden. Bei entsprechender Kalibrierung zeigt das Ger¨ at dann den im allgemeinen interessierenden Effektivwert an. Meistens erfolgt diese Kalibrierung f¨ ur rein sinusf¨ormige Zeitverl¨ aufe (Formfaktor F = 1,11). F¨ ur nicht sinusf¨ormige Meßgr¨oßen wird somit ein falscher Meßwert angezeigt. Das Dreheiseninstrument hingegen l¨ aßt sich unmittelbar zur Effektivwertmessung einsetzen. Es handelt sich hierbei um einen echten Effektivwertmesser, da das Meßwerk die Operationen Quadrieren und Mitteln bis zu Frequenzen in der Gr¨ oßenordnung von 1 kHz ohne weitere Beschaltung durchf¨ uhrt. Bei Dreheiseninstrumenten ist allerdings zu beachten, daß ihr Innenwiderstand nicht rein ohmsch ist, sondern auch merkliche induktive Anteile enth¨alt. Dies kann aber durch Zuschalten von Kapazit¨ aten f¨ ur einen bestimmten Frequenzbereich wieder kompensiert werden. Auch das elektrodynamische Meßwerk kann zur Effektivwertmessung eingesetzt werden. Zur Messung des Stromeffektivwertes werden beide Spulen des Meßwerkes in der Regel parallel- oder auch in Reihe geschaltet. Aufgrund der mechanischen Tr¨ agheit bildet das Meßwerk den Mittelwert des Stromquadrates, d. h. der Ausschlagwinkel α seines Zeigers ergibt sich wie folgt α = ki2 .

(6.103)

Somit entsteht eine Anzeige, die dem quadratischen Mittelwert des Stromes und damit dem Quadrat des Effektivwertes proportional ist. Dabei ist allerdings darauf zu achten, daß die Innenwiderst¨ ande beider Pfade (feststehende Spule und Drehspule) klein gegen¨ uber dem Widerstand des Meßkreises sein

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

151

sollten, um die systematischen Belastungsfehler so gering wie m¨oglich zu halten. Verhalten von Standard-Zeigermeßwerken bei Wechselstrom In Tabelle 6.2 wird das Verhalten der Standard-Zeigermeßger¨ate im Wechselstromfall zusammengefaßt. Tabelle 6.2. Das Verhalten von Standard-Zeigermeßger¨ aten bei der Messung von Wechselgr¨ oßen Typ

Anzeige

Verwendung

Drehspulmeßwerk

α ∼ i(t) = ¯i

Universelles Meßwerk (hohe Empfindlichkeit)

Drehspulmeßwerk mit Gleichrichter

α ∼ |i(t)| ∼ |i|· Formfaktor i. allg. werden die Ger¨ ate mit einem Formfaktor F = 1, 11 f¨ ur rein sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oßen kalibriert

elektrodynamisches Meßwerk

α ∼ i1 (t)i2 (t)

Leistungsmessung (Effektivwertmesser)

Dreheisenmeßwerk

2 α ∼ i(t)2 = Ieff

robustes Betriebsmeßger¨ at (Effektivwertmesser)

  Drehspulquotienten- α = arctan const. meßwerk = Kreuzspulinstrument

i2 (t) i1 (t)

Drehmagnetmeßwerk α = arctan(const. i(t))



Widerstandsmessung

robustes Betriebsmeßger¨ at

6.3.6 Meßwandler Meßwandler haben die prim¨ are Aufgabe, hohe Str¨ome bzw. Spannungen auf einfach meßbare Werte zu transformieren. Weiterhin werden sie aus Sicherheitsgr¨ unden eingesetzt, wenn das Meßger¨at galvanisch von den spannungsf¨ uhrenden Leitern getrennt werden soll, wie z. B. bei Messungen an ¨ Hochspannungsanlagen. Sie sind aber auch in der Lage, infolge ihrer Ubertragungseigenschaften bez¨ uglich hoher (Kurzschluß-) Str¨ome Schutzfunktionen auszu¨ uben. ¨ Meßwandler sind von ihrem Aufbau her Ubertrager bzw. Transformatoren, die aus einer auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelten Prim¨arspule mit arspule mit Windungszahl N2 bestehen Windungszahl N1 und einer Sekund¨

152

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.35. Transformator

(Abb. 6.35). Das entsprechende, aus diskreten Schaltelementen bestehende allgemeine Ersatzschaltbild eines Transformators wird in Abb. 6.36 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild stellen die Widerst¨ ande R1 bzw. R2 die ohmschen Widerst¨ ande von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklung dar, w¨ahrend R1E die Verluste im Eisenkern beschreibt. Die Induktivit¨ aten X1σ bzw. X2σ repr¨asentieren die Streuverluste auf der Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arseite. X1h ist die Prim¨arinduktivit¨ at, die den Magnetisierungsstrom tr¨ agt. F¨ ur einen idealen Transformator gilt R1 = R2 = 0 X1σ = X2σ = 0

(6.104) (6.105)

X1h → ∞ R1E → ∞ .

(6.106) (6.107)

¨ Das Ersatzschaltbild beschr¨ ankt sich damit auf den idealen Ubertrager mit ¨ dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨. Die sekund¨ arseitig angeschlossene Lastimpedanz (RL , XL ) wird B¨ urde genannt. In Abb. 6.37 wird ein zu dem Ersatzschaltbild von Abb. 6.36 ¨ aquivalentes Netzwerk gezeigt. Es wurden hier jedoch alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨ oßen (Str¨ ome und Spannungen) und Elemente ¨ auf die Prim¨ arseite umgerechnet; außerdem wurde die infolge des Ubertragers stets vorhandene Potentialtrennung zwischen Prim¨ar- und Sekund¨arseite nicht ber¨ ucksichtigt. Prinzipiell w¨ are auch ein weiteres Ersatzschaltbild denkbar, bei dem alle prim¨ arseitigen Gr¨ oßen und Netzwerkelemente auf die Sekund¨arseite transformiert werden.

Abb. 6.36. Ersatzschaltbild eines Transformators. Der im Ersatzschaltbild enthal¨ ¨ tene Ubertrager (Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨: 1) weist ideale Eigenschaften auf.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

153

Abb. 6.37. Transformator-Ersatzschaltbild, bei dem alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨ oßen und Elemente auf die Prim¨ arseite umgerechnet wurden.

Stromwandler Beim Stromwandler wird der zu messende (Wechsel-) Strom durch die Prim¨arwicklung des Transformators geschickt, w¨ ahrend die Sekund¨arwicklung im Idealfall von einem Strommeßwerk kurzgeschlossen wird (Abb. 6.38). F¨ ur ¨ einen idealen Stromwandler (Ubertrager) ergibt sich das Verh¨altnis von Prim¨ar¨ zu Sekund¨ arstrom aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, dessen Kehrwert im Zusammenhang mit Meßwandlern meistens mit ki bezeichnet wird N2 1 I1eff = = = ki . I2eff N1 u ¨

(6.108)

Der Stromwandler ist also ein sekund¨ arseitig kurzgeschlossener bzw. niederohmig abgeschlossener Transformator, der nur aus wenigen Prim¨arwindungen besteht. Der Transformator ist i. allg. so ausgelegt, daß bei prim¨arem Nennstrom I1 = INenn der Sekund¨ arstrom I2 = 5 A bzw. I2 = 1 A betr¨agt. Bei ugt prim¨ arseitig meist eine Windung. hohen Prim¨ arstr¨ omen I1 > 500 A gen¨ Der Kern eines Stromwandlers ist lediglich f¨ ur den relativ geringen Differenzfluß bemessen, da der vom Prim¨ arstrom erzeugte magnetische Fluß im Falle des niederohmigen sekund¨ arseitigen Abschlusses bzw. Kurzschlusses von dem vom Sekund¨ arstrom herr¨ uhrenden Gegenfluß kompensiert wird. Eine Auftrennung des Sekund¨ arkreises h¨ atte zur Folge, daß der gesamte Prim¨arfluß pl¨ otzlich vom Kern aufgenommen werden m¨ ußte, was leicht zu thermischer ¨ ¨ Uberlastung f¨ uhren kann. Gleichzeitig w¨ urde eine sich aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis ergebende hohe Spannung an den Sekund¨arklemmen anliegen.

Abb. 6.38. Stromwandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. K, L: Prim¨ aranschlußklemmen; k, l: Sekund¨ aranschlußklemmen.

154

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

¨ Um Spannungs¨ uberschl¨ age und Uberhitzung zu vermeiden, d¨ urfen Stromwandler daher sekund¨ arseitig nicht im Leerlauf betrieben werden. Oft werden ¨ aus diesem Grund Uberspannungsableiter an Stromwandlern angebracht. Abbildung 6.39 zeigt einen handels¨ ublichen Durchsteck-Stromwandler. Bei dieser Ausf¨ uhrungsform wird der den Meßstrom tragende Leiter durch den Meßumformer gesteckt. Dabei wird der Leiter von einem Sondenkern, auf den eine Sondenspule gewickelt ist, umschlossen. Dieses Funktionsprinzip ist prinzipiell identisch mit dem einer Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom (s. Kap. 6.3.7).

Abb. 6.39. Durchsteck-Stromwandler f¨ ur Schienenmontage mit ki = 8 (s. Gl. (6.108)) und prim¨ arseitigen Nennstrom von I1eff =40 A.

Fehler des Stromwandlers Der Fehler des Stromwandlers ist bei gegebenem Prim¨arstrom I1 die Abweichung des mit der Nenn¨ ubersetzung kNi multiplizierten Sekund¨arstromes I2 vom Prim¨ arstrom. Der relative Fehler betr¨ agt fi =

I2ist − I2soll I2eff kNi − I1eff 100% = 100% . I2soll I1eff

(6.109)

Neben diesem in Gl. (6.109) angegebenen Betragsfehler gibt es noch einen Winkelfehler. Der entsprechende Fehlwinkel δi ist die Voreilung des Sekund¨arstromes gegen¨ uber dem Prim¨ arstrom. Beide Fehler (Betragsfehler und Winkelfehler) lassen sich dem Zeigerdiagramm entnehmen, welches in Abb. 6.40

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

155

I1R1 j . I1X1σ

U1

U1h ü.I2R2 ü .U2

ü. j.I2 X2 σ I2 ü δi

Iμ

I1h

Iμ

I1

I1E φ

Abb. 6.40. Zeigerdiagramm eines Stromwandlers. I μ entspricht dem Magnetisierungsstrom (= Prim¨ arstrom bei sekund¨ arseitigem Leerlauf).

gezeigt ist. Man kann diesem Diagramm auch entnehmen, daß der Fehler des Stromwandlers mit dem magnetischen Fluß bzw. dem Magnetisierungsstrom I μ zunimmt. ¨ aus Der Magnetisierungsstrom I μ ergibt sich als vektorielle Uberlagerung dem eigentlichen Magnetisierungsstrom I 1h und dem entsprechenden Verluststrom I 1E (Abb. 6.36 und 6.37). Durch geeignete Dimensionierung und Materialauswahl wird daher versucht, den Magnetisierungsstrom klein zu halten. Die f¨ ur Stromwandler standardisierten Fehlerklassen sind in Tab. 6.3 notiert. Die jeweilige Fehlerklasse beziffert den maximalen relativen Betragsfehler nach Gl. (6.109) in Prozent, w¨ ahrend der zul¨ assige Winkelfehler von der aktuellen Belastung durch die B¨ urde abh¨ angt. Mit Hilfe der Operationsverst¨arkerschaltung nach Abb. 6.41 kann der mit dem Magnetisierungsstrom gekoppelte Fluß ann¨ ahernd zu Null abgeglichen werden, so daß die Stromwandlerfehler sehr klein werden, wenn es gelingt, die Streuverluste sowie die Windungsverluste Tabelle 6.3. Fehlerklassen und Winkelfehler f¨ ur Meßwandler bei 25 bis 100 % Nennb¨ urde Stromwandler Winkelfehler Spannungswandler Winkelfehler in Bogenminuten in Bogenminuten Fehlerklasse bei 1 . . . 1, 2Inenn Fehlerklasse 0, 1Inenn bei 0, 8 . . . 1, 2Unenn 0,1 0,2 0,5 1

5 10 30 60

0,1 0,2 0,5 1

5 10 20 40

156

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.41. Fehlerkompensierende Stromwandlerschaltung; P r: Prim¨ arwicklung; Se: Sekund¨ arwicklung; F u ¨: F¨ uhlerwicklung; R: (rein) ohmscher Widerstand.

ebenfalls klein zu halten [158]. Der in der Schaltung verwendete ohmsche Widerstand sollte eine m¨ oglichst geringe parasit¨ are Kapazit¨at bzw. Induktivit¨at aufweisen, weil eventuelle Blindanteile einen entsprechenden Winkelfehler verursachen. Spannungswandler Beim Spannungswandler wird die zu messende Wechselspannung an die Prim¨ arwicklung des Transformators gelegt, w¨ ahrend an die Sekund¨arwicklung ein Spannungsmesser mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen wird (Abb. ¨ 6.42). F¨ ur einen idealen Spannungswandler (idealer Ubertrager) ergibt sich ¨ das Verh¨ altnis von Prim¨ ar- zu Sekund¨ arspannung wiederum aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, das bei Spannungswandlern meistens mit ku bezeichnet wird U1eff N1 = =u ¨ = ku . (6.110) U2eff N2 Spannungswandler sind also sekund¨ arseitig im Leerlauf betriebene bzw. sehr hochohmig abgeschlossene Transformatoren. Die Sekund¨arspannung betr¨agt bei prim¨ arseitig angelegter Nennspannung im Falle standardm¨aßiger Auslegung U2 = 100 V.

Abb. 6.42. Spannungswandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. U , V : Prim¨ aranschlußklemmen; u, v: Sekund¨ aranschlußklemmen.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

157

Fehler des Spannungswandlers Der Spannungsfehler eines Spannungswandlers ist bei gegebener Prim¨arspanubersetzung kNu multiplizierten nung U1 die Abweichung der mit der Nenn¨ Sekund¨ arspannung U2 von der Prim¨ arspannung. Der entsprechende relative Fehler fu betr¨ agt fu =

U2ist − U2soll U2eff kNu − U1eff 100% = 100% . U2soll U1eff

(6.111)

Abb. 6.43. Zeigerdiagramm eines Spannungswandlers

Sowohl dieser Betragsfehler als auch der ihm zugeordnete Winkelfehler (Winkel zwischen dem Spannungszeiger U 1 (Prim¨arspannung) und dem Spannungszeiger U 2 (Sekund¨ arspannung)) sind dem Zeigerdiagramm des Spannungswandlers (Abb. 6.43) zu entnehmen. Aus dem Zeigerdiagramm ist ersichtlich, daß der Fehler des Spannungswandlers sowohl vom Wandler selbst als auch von der B¨ urde abh¨ angt. Denn mit Ver¨andern der B¨ urde ¨andert sich der Stromzeiger I 2 und somit das Teilzeigerdiagramm, bestehend aus den ¨I 2 R2 , j¨ uI 2 X2σ und U 1h , und damit letztlich auch der Fehler. Zeigern u ¨U 2 , u Die Genauigkeitsklassen beziffern wiederum den zul¨assigen relativen Spannungsfehler fu nach Gl. (6.111) in Prozent. Der entsprechende Spannunsfehlwinkel δu ist in Tab. 6.3 notiert. F¨ ur Meßspannungen oberhalb 200 kV verwendet man kapazitive Spannungsteiler, welche die Hochspannung auf etwa 10 % ihres urspr¨ unglichen Wertes herabsetzen (Abb. 6.44). Die nachgeschaltete Drossel wird so bemessen,

Spannungswandler C1 Drossel

U1 C2

U2

Abb. 6.44. Grundschaltung des Spannungswandlers mit kapazitiver Teilung zur Messung sehr hoher Spannungen. C1 , C2 : Hochspannungs-Kondensatoren.

158

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

daß bei Nennfrequenz im Meßkreis Resonanz herrscht [150]. Die zu messende Spannung U 1 und die am Spannungsmeßger¨ at anliegende Spannung U 2 haben in diesem Fall dieselbe Phasenlage. 6.3.7 Strommeßzange fu ¨ r Wechselstrom Strommeßzangen sind potentialfrei arbeitende Strommesser, die nach dem Induktionsprinzip arbeiten. Es handelt sich dabei um Meßsonden, die den Meßstrom f¨ uhrenden Leiter zangenf¨ ormig umschließen, ohne dass dabei irgendein elektrisch leitender Kontakt zwischen dem Leiter und der Meßeinrichtung besteht (Abb. 6.45). Sie werden daher auch als Zangenamperemeter bezeichnet. Man setzt sie heute sowohl im Bereich der Energie- als auch der Nachrichtentechnik ein. W¨ ahrend in der Energietechnik typischerweise hohe Str¨ome (bis einige kA) niedriger Frequenz (bis 10 kHz) gemessen werden, handelt es sich bei den nachrichtentechnischen Anwendungen eher um den umgekehrten Fall niedriger Stromwerte (ab μA) bei h¨ oheren Frequenzen (bis 1 GHz). Die

Abb. 6.45. Strommeßzange

heutigen Zangenamperemeter sind im allgemeinen in der Lage, sowohl Wechselstrom als auch Gleichstrom zu messen. Das Funktionsprinzip ist allerdings bei Gleichstrom ein g¨ anzlich anderes. W¨ ahrend Wechselstromzangen nach dem Induktionsprinzip arbeiten, basieren gleichstromgeeignete Zangen auf einem Hallsensor, der das Magnetfeld in einem hochpermeablen Kern mißt, welcher den stromf¨ uhrenden Leiter wie im Wechselstromfall umschließt. Dieser gewichtige Unterschied f¨ uhrt zu der hier gew¨ ahlten Gliederung. Wir werden

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

159

im direkten Anschluß die Wechselstrommeßzangen behandeln. Danach folgt zun¨ achst eine allgemeine Einf¨ uhrung in den galvanomagnetischen Effekt sowie den Aufbau von Hallelementen, bevor abschließend die Gleichstrommeßzangen besprochen werden. Funktionsprinzip und Ersatzschaltbilder Strommeßzangen koppeln das den Wechselstrom f¨ uhrenden Leiter stets umgebende Magnetfeld rein induktiv in die Sondenspule der Strommeßzange. Abbildung 6.46 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Wechselstrommeßzange und Abb. 6.48 das entsprechende Ersatzschaltbild. Die an der Sondenspule abgreifbare elektrische Wechselspannung ist proportional zum Strom durch den Meßleiter. Diese Proportionalit¨ at folgt unmittelbar aus dem Induktionsgesetz, das hier Anwendung findet. Es handelt sich bei der Anordnung aus ¨ Meßleiter und Sondenspule n¨ amlich um einen Ubertrager oder Transformator, dessen Grundgleichungen (Gln. (6.112) und (6.113)) und Ersatzschaltbilder (Abb. 6.47) hier gelten [4] U 1 = jωL1 I 1 − jωM I 2

(6.112)

U 2 = jωM I 1 − jωL2 I 2 .

(6.113) I mess

Kern

Sondenwicklung I mess ZL

a) I mess

rm

b)

Kernquerschnittsfläche A K

Abb. 6.46. Strommeßzange: a) prinzipielle Anordnung [32]; b) Querschnittsgeometrie.

160

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

I1

L2 - M

L1 - M

1

2 I2

U1

U2

M

1'

2'

Abb. 6.47. Ersatzschaltbild eines Transformators. L1 und L2 sind die EigenInduktivit¨ aten von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklungen. M bezeichnet die Koppelinduktivit¨ at zwischen Prim¨ ar- und Sekund¨ arseite.

Die Prim¨ arseite des Transformators (Eigeninduktivit¨at L1 ) wird vom Meßleiter und seine Sekund¨ arseite (Eigeninduktivit¨at L2 ) von der Sondenspule gebildet (s. Abb. 6.48). Die Koppelinduktivit¨at M sorgt f¨ ur die Kopplung von Prim¨ ar- und Sekund¨ arseite. Der Kern der Sondenspule, der gleichzeitig den Meßleiter umschließt, muß hochpermeabel sein, damit das Magnetfeld, das der Meßleiter generiert, sich vollst¨ andig im Kern konzentriert. Dadurch werden zu Meßfehlern f¨ uhrende Streufelder vermieden. Der Strom durch den Meßleiter erzeugt in der Umgebung des Leiters ein  bzw. H-Feldlinien  Magnetfeld, dessen Bden Leiter konzentrisch umschließen.  in radialer Entfernung r l¨aßt sich aus dem Die magnetische Feldst¨ arke H Maxwellschen Durchflutungsgesetz berechnen  |H(r)| =

I . 2πr

(6.114)

Aufgrund seiner hohen Permeabilit¨ at konzentriert sich das Magnetfeld auf den Kern der Sondenwicklung. In dieser wird nach dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert, die dem Meßstrom proportional ist. Wenn die SondenI mess L2 - M

L1 - M ZE

M

UL

ZL

Meßleiter I mess Abb. 6.48. Ersatzschaltbild einer Strommeßzange, das aus konzentrierten Elemenat des stromf¨ uhrenden Meßleiters, M die ten besteht. L1 ist die Eigeninduktivit¨ Koppelinduktivit¨ at und L2 die Eigeninduktivit¨ at der Stromzangenwicklung. Z E die Lastimpedanz am Meßort der Zange und Z L ist die Lastimpedanz des an die Sondenwicklung angeschlossenen Spannungsmeßger¨ ates.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

161

spule (Kernquerschnittsfl¨ ache AK ) N Windungen aufweist, wird die Spannung u0 (t) =



 ds = −N ∂Φ = −N E ∂t L



μ0 μrK AK

 ∂H  dA ∂t

(6.115)

 die induzierte elektrische Feldst¨arke, L die Gesamtl¨ange induziert, wobei E der Spulenwindungen, Φ den magnetischen Fluß, AK die Querschnittsfl¨ache und μ0 μrK die Permeabilit¨ at des Sondenkerns bezeichnen. Infolge der Annahme sinusf¨ ormiger Zeitabh¨angigkeit l¨aßt es sich die zeitliche Ableitung durch eine Multiplikation mit jω im Komplexen ersetzen ∂ = ( jω . ∂t

(6.116)

Daraus folgt f¨ ur die komplexe Amplitude U 0 der induzierten (Leerlauf-) Spannung (s. auch Abb. 6.49) Z i = jωL 2 UL

U0= jωΜΙ mess

ZL

Abb. 6.49. (Sekund¨ arseitiges) Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z i = jωL2 wird auch als Schleifenimpedanz der Strommeßzange bezeichnet. Z L stellt die Lastimpedanz dar.

U0 = −



AK

 A  ≈ −jωN μ0 μrK H AK = −jωM I jωN μ0 μrK Hd m mess . (6.117)

Dabei approximiert man das Integral in Gl. (6.117) durch die mittlere Induktion B m bzw. die mittlere magnetische Feldst¨arke H m (s. auch Abb. 6.46b) B m = μ0 μrK H m =

μ0 μrK I . 2πrm mess

(6.118)

Die Koppelinduktivit¨ at M ergibt sich demnach wie folgt M =N

μ0 μrK AK . 2πrm

(6.119)

Die Meßspannung U L l¨ aßt sich anhand von Abbildung 6.49 angeben. Sie betr¨ agt ZL (6.120) jωM I mess . UL = Z L + jωL2

162

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Um die Lastimpedanz Z E am Meßort der Zange zu ermitteln, verwenden wir die Ersatzschaltbilder aus Abbildung 6.48 bzw. 6.50. Die Impedanz ergibt sich demnach zu ω2M 2 . (6.121) Z E = jωL1 + Z L + jωL2 Dabei ist L1 die prim¨ arseitige Eigeninduktivit¨at, d.h. die Eigeninduktivit¨at des Meßleiters, wenn sich die Zange am Meßort befindet. I mess 1

2

ZE

UL

ZL

I mess 1'

2'

Abb. 6.50. Transformatoren-Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z E bezeichnet die Lastimpedanz der Strommeßzange am Meßort.

¨ Ubertragungsfaktor der Strommeßzange (Transferimpedanz) ¨ Der Ubertragungsfaktor einer Strommeßzange ist das Verh¨altnis aus der an der Sondenspule induzierten Spannung und dem Meßstrom Z Tr =

UL . I mess

(6.122)

¨ Da dieser Ubertragungsfaktor die Einheit einer Impedanz tr¨agt, wird er auch als Transferimpedanz Z Tr bezeichnet. Infolge der Spannungsteilung an Z L und jωL2 (s. Abb. 6.49) ergibt sich die Transferimpedanz zu (s. auch Gl. (6.120)) jωM Z L UL = . (6.123) Z Tr = I mess Z L + jωL2 In Abh¨ angigkeit der Lastimpedanz Z L (s. Abb. 6.49) unterscheidet man folgende F¨ alle: • 1. hochohmige Last Z L : Die Transferimpedanz hat (zeitlich gesehen) differenzierenden Charakter (Anstieg von 20 dB/Dek. im Bodediagramm, s. Kap. 3.13) |Z L | ≫ ωL2 → Z Tr = jωM .

(6.124)

• 2. niederohmige Last Z L : Die Transferimpedanz ist frequenzunabh¨ angig (ebener Verlauf ohne Steigung im Bodediagramm)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

|Z L | ≪ ωL2 → Z Tr =

M Z . L2 L

163

(6.125)

Insgesamt ergibt sich der typische Hochpaßcharakter (Abb. 6.51) mit einer 3 dB-Eckfrequenz fg von 1 |Z L | , (6.126) fg = 2π L2 d. h., wenn |Z L | kleiner wird, verringert sich auch fg . Dies bedeutet, daß bei h¨ oherer Belastung (d.h. Z L wird kleiner) die Eckfrequenz sinkt. Der von Stromzangen prinzipiell nutzbare Frequenzbereich geht von der Rauschgrenze, die stets im differenzierenden Bereich liegt, bis zu dem Resonanzbereich, der an den konstanten Frequenzgang oberhalb der Eckfrequenz anschließt. Diese Resonanzen lassen sich nicht mehr anhand des Ersatzschaltbildes (Abb. 6.48) beschreiben. Zur Erkl¨ arung dieses Ph¨anomens sei auf weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen [106]. Abbildung 6.51 zeigt die Transferimpedanz einer typischen Strommeßzange. Im allgemeinen wird man bestrebt sein, den frequenzunabh¨ angigen mittleren Teil oberhalb der Grenzfrequenz fg f¨ ur die Strommessung zu nutzen. Z Tr 1000 Ω

100 10 1 0,1 1

10

100

MHz

1000 Frequenz

Abb. 6.51. Transferimpedanz einer Strommeßzange [45]

Einfu ¨ geimpedanz einer Strommeßzange Die Strommeßzange hat infolge der induktiven Kopplung zwischen ihrer Sondenspule und dem Meßleiter eine R¨ uckwirkung auf die Strombelegung des Leiters. Die St¨ arke dieser R¨ uckwirkung l¨ aßt sich an der Gr¨oße der sog. Einf¨ ugeimpedanz ablesen. Die Einfu ¨ geimpedanz Z ins der Strommeßzange entspricht der Impedanz Z E der Zange am Meßort minus der Eigenimpedanz des Meßleiters Z 10 = jωL10

164

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Z ins = Z E − Z 10 = jωL1 +

ω2 M 2 − jωL10 Z L + jωL2

(6.127)

mit (s. Gl. (6.119)) M =N

μ0 μrK AK . 2πrm

(6.128)

Abbildung 6.52 zeigt die Einf¨ ugeimpedanz einer typischen Strommeßzange. Z ins 10 Ω

1 0,1 0,01 0,001

100

1k

10 k 100 k 1 M 10 M

Hz

1G Frequenz

Abb. 6.52. Einf¨ ugeimpedanz einer Strommeßzange [90]

6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) Der Halleffekt (galvanomagnetischer Effekt) wurde vom amerikanischen Physiker Edwin Herbert Hall im Jahre 1879 entdeckt und ist eine Folge der Lorentzkraft. Bewegt sich n¨ amlich ein geladenes Teilchen mit der Ladung q und  der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld der magnetischen Flußdichte B, so wirkt auf dieses die mechanische Kraft (Lorentzkraft)  FL = Fmag = q(v × B).

(6.129)

Diese Kraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungstr¨ager und f¨ uhrt in einem Hallelement (Abb. 6.53) zu einer Ansammlung von Ladungstr¨agern bzw. einer  H normal Aufladung der Hilfselektroden, was wiederum ein elektrisches Feld E zum Geschwindigkeitsvektor v zur Folge hat. Dieses elektrische Feld u ¨bt nun seinerseits wiederum die Kraft H Fel = q E

(6.130)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

äußeres Magnetfeld

165

b d

B J

+

Sensorelektrode

EH

_

ez

UH

ey ex

I Abb. 6.53. Hallelement (Hallsensor)

auf die Ladungstr¨ ager aus. Der Gleichgewichtszustand stellt sich f¨ ur Fmag + Fel = 0

(6.131)

ein. Mit dem in Abb. 6.53 eingef¨ uhrten Koordinatensystem und der Festlegung von Elektronen als Ladungstr¨ ager (q = −e0 ; mit der Elementarladung e0 ) gilt Fmag = −e0 vB(−ey × ez ) = e0 vBex H . Fel = −e0 E

(6.132) (6.133)

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung (Gl. (6.131))  H + e0 vBex 0 = −e0 E

(6.134)

H berechnet sich das im Hallelement einstellende maximale elektrische Feld E zu  H = vBex . E (6.135) Nun kennt man noch den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v der Ladungstr¨ ager und der elektrischen Stromdichte J J = −e0 nv = e0 nvey ,

(6.136)

wobei n die Ladungstr¨ agerdichte bezeichnet, d. h. die Anzahl der freien Ladungstr¨ ager pro Volumeneinheit. Dr¨ uckt man den Betrag der elektrischen  durch den Strom I aus Stromdichte |J|  = |J|

I , bd

(6.137)

so erh¨ alt man unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (6.135) den folgenden Ausdruck H f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E  H = 1 I Bex . E ne0 bd

(6.138)

166

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die an den (Sensor-)Elektroden meßbare Hallspannung betr¨agt somit UH =

2 1

 H ds = 1 1 IB = RH 1 IB . E ne0 d d

(6.139)

Dabei bezeichnet man den materialabh¨ angigen Wert 1/(ne0 ) als Hallkonstante RH = +

1 . ne0

(6.140)

Man erkennt, daß f¨ ur eine große Hallkonstante und somit eine hohe Empfindlichkeit die Anzahl der Ladungstr¨ ager gering sein muß. Damit kommen f¨ ur diesen Effekt nicht Metalle, sondern in erster Linie Halbleiter in Frage, wie die folgende Gegen¨ uberstellung zeigt: Kupfer : n = 8, 7 · 1022 1/cm3 Silizium : n = 1, 5 · 1010 1/cm3 . Ein Hallsensor liefert gem¨ aß Gl. (6.139) eine Ausgangsspannung UH , die direkt proportional der magnetischen Induktion B ist, welche ihn in senkrechter Richtung durchsetzt. Allerdings h¨ angt diese Hallspannung auch von der Umgebungstemperatur ab. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß wiederum die Ladungstr¨ agerbeweglichkeit und damit die Hallkonstante RH z. T. stark von der Temperatur abh¨ angig ist. In Tab. 6.4 findet man die Kennwerte von typischen Hallelementen. Tabelle 6.4. Kennwerte von typischen Hallelementen

Type

KSY10 SV200 Erkl¨ arung

Material KH in V/AT IN in mA UH in mV bei B=0,5 T R1 in kΩ R2 in kΩ α in %/K

GaAs 170-230 5 25 1 1 -0,05

InAs > 10 20 > 100 60 60 -0,1

Leerlaufempfindlichkeit (=UH /(BI)) Nennstrom Hallspannung Bahnwiderstand im Strompfad Bahnwiderstand im Spannungspfad Temperaturkoeffizient

Abbildung 6.54 zeigt schematisch die Feldverteilung in einem Hallelement. Bei nicht vorhandenem Magnetfeld (Bz = 0) handelt es sich um den Standardfall, daß die Strombahnen auf k¨ urzestem Wege von der Elektrode 1 zur ¨ Elektrode 2 verlaufen. Die Aquipotentiallinien verlaufen in vertikaler Richtung (y-Richtung). Bei eingeschaltetem Magnetfeld (Bz = 0) hingegen wirkt ¨ die Lorentzkraft und es kommt zu Feldverzerrungen. Die Aquipotentiallinien verlaufen schr¨ ag, so daß an direkt gegen¨ uberliegenden Punkten (dort, wo die

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

167

Ua

UH Äquipotentialflächen ohne / mit Magnetfeld

ΘH

1 +

+

+

+

+

+

+

+

+

Elektrode

+

E ax Fläche A _

Elektrode

jn _ _

_

_

_ 2

_

_

_

I

_

ΘH

Potentialdifferenz der Äquipotentiallinien = Hallspannung

E

EH

Beispiel: n-Halbleiter y

B

x

¨ Abb. 6.54. Verlauf der Aquipotentiallinien mit und ohne ¨ außeres Magnetfeld. ΘH ist der Hallwinkel.

Sensorelektroden angebracht sind) eine Hallspannung anliegt. Da die beiden stromzuf¨ uhrenden Elektroden 1 und 2 aufgrund ihrer (idealen) Leitereigen¨ schaften Aquipotentialfl¨ achen darstellen, kommt es in ihrer N¨ahe zu einer weiteren Feldverzerrung. Der in Abb. 6.54 eingezeichnete Hallwinkel l¨aßt sich wie folgt berechnen  H| |E . (6.141) ΘH = arctan  ax | |E

 in einem Hallelement ergibt sich aus der Uberlagerung ¨ Die Feldst¨ arke E der  uhrenden Elektroden angelegte Feldst¨ arke Eax , die durch die an die stromzuf¨ außere Spannung entsteht, mit der Feldst¨ arke aufgrund des Halleffektes, der ¨  H , die Gesamtfeldst¨ Hallfeldst¨ arke E arke n  =E  ax + E z , H = E  ax − vdr E ·B

(6.142)

n wobei vdr die Driftgeschwindigkeit der (negativen) Ladungstr¨ager darstellt. Der sog. Hallwinkel ΘH ist der Winkel zwischen dem resultierenden elektri und dem von außen angelegten Feld E  ax . schen Feld E Eine typische Anwendung von Hallelementen ist die Messung von Gleichstr¨ omen mit Hilfe von Strommeßzangen.

168

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.3.9 Strommeßzange fu ¨ r Gleichstrom Da das Induktionsprinzip wegen der fehlenden Zeitabh¨angigkeit nicht genutzt werden kann, erfordert das Messen von Gleichstr¨omen mittels Zangenamperemeter einen Sensor, der in der Lage ist, das vom Meßleiter erzeug te statische B-Feld in eine proportionale Meßspannung umzuwandeln. Standardm¨ aßig geschieht dies mit Hilfe der im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Hallelemente, die sehr wohl in der Lage sind, auch zeitlich konstante Magnetfelder zu bestimmen. Dazu wird das Hallelement in den bei einem bestimmten Umfangswinkel in radialer Richtung geschlitzten Sondenkern eingebracht (s. Abb. 6.55). Aufgrund der im Vergleich zur Luftumgebung sehr hohen Permeabilit¨ at des Kerns konzentriert sich auch hier (wie schon beim nicht geschlitzten Sondenkern der Wechselstromsonde) das vom Strom im Meßleiter erzeugte Magnetfeld im Kern. Die Feldlinien der magnetischen Induktion  verlaufen wie schon bei der Wechselstromsonde (s. Kap. 6.3.7) im SondenB kern prinzipiell in Umfangsrichtung. Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen von Magnetfeldern an permeablen Grenzschichten gehen die in normaler Richtung   aus der Sondenfl¨ ache austretenden B-Linien kontinuierlich in die B-Linien des Luftspaltfeldes bzw. in das das Hallelement durchdringende Magnetfeld u ¨ber. Der in den Sondenkern eingebrachte Schlitz nimmt das Hallelement so auf, daß  ¨ das B-Feld das Hallpl¨ attchen in senkrechter Richtung durchsetzt. Die Offnung im Kern sollte m¨ oglichst klein gehalten werden, damit keine nennenswerten Streufelder seitlich austreten k¨ onnen. Geht man wie schon beim Wechselstromzangenamperemeter von einer  |=B mittleren magnetischen Induktion |B m m Feldlinien der magnetischen Induktion B

IS

Wicklungen zur Erzeugung des Kompensationsflusses

Hallelement

IH

I mess

stromführender Leiter

RM UM

IS

Abb. 6.55. Prinzip einer Gleichstrommeßzange mit Kompensationsprinzip nach [142]. Die Meßspannung UM ist proportional zum Meßstrom Imess .

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

B m = μ0 μrK H m =

μ0 μrK I 2πrm mess

169

(6.143)

aus, so l¨ aßt sich die Hallspannung nach Gl. (6.139) ermitteln UH =

RH RH μ0 I mess IH B m = IH . d d 2πrm

(6.144)

Damit ist die Hallspannung proportional zum Meßstrom. Bei der Messung k¨ onnen aber verschiedene Fehler auftreten. Neben dem Erdmagnetfeld, das die Genauigkeit im allgemeinen negativ beeinflussen wird, verf¨alscht auch die Temperaturempfindlichkeit des Hallelementes die Messung. Eine M¨oglichkeit, die Meßgenauigkeit zu erh¨ ohen, besteht in der Anwendung des Kompensationsprinzips (s. auch Kap. 9.2). Dazu wird im Sondenkern ein dem Magnetfeld des Meßstromes entgegengesetztes Magnetfeld erzeugt. Die St¨arke des Gegenfeldes entspricht genau der des prim¨ aren Feldes, so daß das Magnetfeld im Sondenkern zu Null abgeglichen wird. Da somit die Hallspannung stets Null ist, geht beispielsweise auch der (temperaturempfindliche) Hallwiderstand RH nicht mehr in die Meßgenauigkeit ein. Um das Gegenfeld im Sondenkern zu erzeugen, wird eine Kompensationsspule auf den Kern gewickelt (s. Abb. 6.55), die von einem geregelten Strom beschickt wird. Die Kompensationsschaltung besteht aus dem Hallelement, dessen Hallspannung auf Null abgeglichen wird, und einem Operationsverst¨ arker, dessen Differenzeingangsspannung im eingeregelten Zustand ebenfalls Null ist. Der Ausgangsstrom IS des Operationsverst¨ arkers wird durch die Kompensationswicklung geschickt und erzeugt das Gegenfeld. Dieser Strom ist proportional zum Meßstrom. Er wird mit Hilfe des Shunt-Widerstandes in eine Meßspannung UM umgesetzt. Diese ist die Ausgangsgr¨ oße der Gesamtanordnung und ein originalgetreues Abbild der Meßgr¨ oße, d. h. UM ∼ Imess .

7 Meßverst¨ arker

Um mit Meßger¨aten auch Spannungen und Str¨ome messen zu k¨onnen, die unterhalb der Ansprechempfindlichkeit des Meßwerkes liegen, werden Meßverst¨arker eingesetzt. Sie wandeln die zu messende Spannung bzw. den zu messenden Strom in ein proportionales Signal h¨oherer Amplitude um. Dabei werden folgende Eigenschaften der Meßverst¨ arker gefordert: • geringe R¨ uckwirkung auf die Meßgr¨ oße • Signaltreue (Linearit¨ at) • hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei großen Amplituden) • ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muß dem Eingangssignal zeitlich folgen k¨onnen) • eingepr¨ agtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom). W¨ ahrend man in der klassischen Meßtechnik versucht hat, die R¨ uckwirkungsfreiheit einer Messung durch Kompensationsverfahren zu erreichen, bedient sich die elektronische Meßtechnik dazu eines Meßverst¨arkers mit geeigneter Eingangs- bzw. Ausgangsimpedanz. So kann beispielsweise die bei der Spannungsmessung stets vorhandene Belastung eines Meßkreises infolge der endlichen Innenimpedanz des Meßger¨ ates und der daraus resultierende Meßfehler durch die Verwendung eines Meßverst¨ arkers mit sehr hohem Eingangswiderstand i. allg. soweit reduziert werden, daß sie nicht mehr st¨ort. Elektronische Verst¨ arkerschaltungen werden weiterhin eingesetzt, um die in Form elektrischer Signale vorliegenden Meßwerte in analoger Form weiterzuverarbeiten. So werden beispielsweise Verst¨ arker verwendet, um Meßwerte zu addieren, subtrahieren, multiplizieren, logarithmieren, integrieren oder zu differenzieren. Bei der Realisierung elektronischer Meßverst¨arker werden, abgesehen von Anwendungen im Bereich sehr hoher Frequenzen (> 150 MHz) oder hoher Spannungen (> 150 V), heute vorwiegend integrierte Operationsverst¨ arkerschaltungen eingesetzt. Diese Operationsverst¨arker (Operational Amplifier, OpAmp) dienen dabei nicht nur als reine Meßverst¨arker sondern

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

172

7 Meßverst¨ arker

auch als universelle Grundbausteine der gesamten analogen Signalverarbeitung. Abbildung 7.1 zeigt die standardm¨ aßig verwendeten Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker.

Eingang

Ausgang

Ausgang Eingang

a)

uE

uA

uA uE

uE

uA

b) Abb. 7.1. Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker: a) allgemeine Symbole, b) massebezogene Darstellungen (allgemein, nicht-invertierend, invertierend)

7.1 Operationsverst¨ arker 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines (idealen) Operationsverst¨arkers. Er besitzt stets einen invertierenden mit ′ N′ bzw. ′ −′ gekennzeichneten und einen mit ′ P′ bzw. ′ +′ gekennzeichneten nicht-invertierenden Eingang sowie einen Ausgang. Sowohl die beiden Eingangsklemmen als auch die Ausgangsklemme bilden mit der Masseleitung jeweils ein elektrisches Tor. Das wichtigste Kennzeichen eines (idealen) Operationsverst¨ arkers ist, daß die Eigenschaften des mit ihm realisierten Verst¨ arkers nur durch die ¨außere Beschaltung des Operationsverst¨ arkerbausteins festgelegt werden, welche i. allg. auf rein passiven Bauelementen basiert. Ein idealer Operationsverst¨arker ist ¨aquivalent einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit der Leerlaufspannungs-

N

iN iA

uD uN

P

iP

u DV0 uA

uP

Abb. 7.2. Ersatzschaltbild eines (idealen) Operationsverst¨ arkers

7.1 Operationsverst¨ arker

173

verst¨ arkung V0 → ∞. F¨ ur die Ausgangsspannung uA gilt allgemein (Abb. 7.2) uA = V0 uD = V0 (uP − uN ) ,

(7.1)

aus der f¨ ur V0 → ∞ notwendigerweise uD = 0 folgt. Die Eingangsstr¨ome iN bzw iP des idealen Operationsverst¨ arkers sind Null iN = iP = 0 .

(7.2)

Infolgedessen muß f¨ ur den Eingangswiderstand rE , der bei einem realen Operationsverst¨ arker zwischen P - und N -Eingang liegt (Abb. 7.3), rE → ∞

(7.3)

gelten. Der Ausgangswiderstand rA (Widerstand in Serie zur spannungsgesteuerten Spannungsquelle, s. Abb. 7.3) betr¨ agt wie bei einer idealen Spannungsquelle (7.4) rA = 0 . Weiterhin sind beim idealen Operationsverst¨ arker alle Eigenschaften frequenzund temperaturunabh¨ angig. +UB iN

u gl Vgl

u'D

rE

UD0

uD

u DV0

rA

iA

iP

uN

r gl

uP I N0

r gl

-UB

uA

I P0

Abb. 7.3. Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverst¨ arkers

7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker In Abb. 7.3 wird das Schaltbild und in Abb. 7.4 die Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines realen Operationsverst¨ arkers gezeigt. Genauer gesagt handelt es sich dabei um einen dahingehend idealisierten Operationsverst¨arker, daß er innerhalb seiner Aussteuerungsgrenzen (uAmin ≤ uA ≤ uAmax ) linea¨ re Ubertragungseigenschaften aufweist (s. Kennlinie der Leerlaufspannungsverst¨ arkung in Abb. 7.4). Die maximale und die minimale Ausgangsspannung

174

7 Meßverst¨ arker

uA +UB u Amax UD0

uD

u Amin -UB Abb. 7.4. Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines Operationsverst¨ arkers (gestrichelt: mit Offsetspannung)

uAmax bzw. uAmin liegen bei Standard-Operationsverst¨arkern betragsm¨aßig etwa um 1 bis 3 V unter der Betriebsspannung ±UB des Operationsverst¨arkers. Die wesentlichen Unterschiede zum idealen Operationsverst¨arker sind: a) Der Eingangs- und der Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an: rE ≈ 1 MΩ bis 1 TΩ; rA ≈ 2 Ω bis 100 Ω, b) der reale Verst¨arkungsgrad ur den realen Operationsverst¨arker sind die liegt zwischen 104 ≤ V0 ≤ 107 . F¨ im Kap. 7.1.3 enthaltenen wichtigen Kenngr¨ oßen definiert. Zum Verst¨andnis dieser Kenngr¨ oßen ist die Erl¨ auterung der Funktionsweise einer R¨ uckkopplungsschaltung, und im speziellen Fall die Funktion einer Gegenkopplungsschaltung, gem¨ aß Abb. 7.5 notwendig. Eine solche Gegenkopplungsschaltung uckkoppelenth¨ alt einen Verst¨ arker mit der Leerlaufverst¨arkung V0 , ein R¨ ¨ Netzwerk mit der Ubertragungsfunktion Vg , welche im allgemeinen Fall frequenzabh¨ angig sein kann, und einen Subtrahierer. Die Ausgangsspannung uA l¨ aßt sich anhand von Abb. 7.5 wie folgt angeben uA = V0 uD = V0 (uE − uA Vg ) .

(7.5)

Daraus folgt f¨ ur die Gesamtverst¨ arkung V V =

uA = uE

1 V0

1 . + Vg

(7.6)

Im Falle eines idealen Verst¨ arkers (V0 → ∞) ergibt sich die Gesamtverst¨arkung der Gegenkopplungsschaltung zu V0 uE

uD

Rückkoppel-Netzwerk

uA Vg

Abb. 7.5. Gegenkopplungsschaltung

7.1 Operationsverst¨ arker

lim V = lim

V0 →∞

V0 →∞

1 Vg +

=

1 V0

1 . Vg

175

(7.7)

Die Gegenkopplungsschaltung aus Abb. 7.5 l¨ aßt sich f¨ ur den Fall einer sehr hohen Verst¨ arkung (V0 → ∞) (Gl. (7.7)) durch einen invertierenden Verst¨arker nach Abb. 7.6 realisieren, wenn die Leerlaufverst¨arkung des dort verwendeten Operationsverst¨ arkers ebenfalls gegen einen unendlich hohen Wert strebt. Da bei einem Operationsverst¨ arker die Eingangsstr¨ome idealerweise verschwinden (iP = iN = 0), ergibt sich aus der Schaltung nach Abb. 7.6 i1 + i2 = 0 .

(7.8)

Zwei im Schaltbild (Abb. 7.6) vorgenommene Maschenuml¨aufe ergeben weiterhin uE = R1 i1 − uD uA = R2 i2 − uD = V0 uD .

R2 i1

R1

i2

iN uD

uE

(7.9) (7.10)

V0 uA

Abb. 7.6. Invertierende Verst¨ arkerschaltung

Aus den Gln. (7.8 - 7.10) folgt die Gesamtverst¨arkung V V =

2 −R uA R1 = uE 1 + V10 (1 +

R2 R1 )

.

(7.11)

F¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker (V0 → ∞) folgt f¨ ur die Gesamtverst¨arkung V schließlich R2 uA =− . (7.12) lim V = V0 →∞ uE R1 Ein Koeffizientenvergleich zwischen den Gln. (7.7) und (7.12) liefert die Be¨ ziehung zwischen der Ubertragungsfunktion Vg des R¨ uckkoppel-Netzwerkes (Abb. 7.5) und den Werten R1 und R2 der ohmschen Widerst¨ande der Operationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 7.6 Vg = −

R1 . R2

(7.13)

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die in Gl. (7.13) angef¨ uhrte Verst¨aruckkoppel-Netzwerkes nur dann mit der aus Gl. (7.6) bzw. kung Vg des R¨ Gl. (7.7) identisch ist, wenn V0 einen sehr hohen Wert annimmt.

176

7 Meßverst¨ arker

7.1.3 Definitionen von Operationsverst¨ arker-Kenngr¨ oßen Im folgenden werden die wichtigsten Kenngr¨ oßen von Operationsverst¨arkern bzw. Operationsverst¨ arkerschaltungen beschrieben. Die verwendeten Gr¨oßenbezeichnungen beziehen sich auf die in Abb. 7.2 und Abb. 7.3 gezeigten Ersatzschaltbilder von idealem und realem Operationsverst¨arker sowie die in Abb. 7.5 gezeigte Gegenkopplungsschaltung. • Leerlaufspannungsverst¨ arkung (open loop voltage gain) V0 Es handelt sich hierbei um die Differenzverst¨arkung der offenen Schleife, d. h. des nicht-r¨ uckgekoppelten, unbeschalteten Operationsverst¨arkers. V0 =

∂uA ∂uD

- ideal: V0 → ∞ - real: 104 ≤ V0 ≤ 107 • Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß V0 [dB]

 ∂uA V0 [dB] = 20 lg V0 = 20 lg ∂uD

(7.14)

(7.15)

- ideal: V0 → ∞ - real: 80 dB ≤ V0 ≤ 140 dB • Gleichtaktspannung (common mode voltage) ugl Die Gleichtaktspannung entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Eingangsspannungen uN und uP ugl =

uP + uN . 2

(7.16)

• Gleichtaktspannungsverst¨ arkung (common mode voltage gain) Vgl Bei einem realen Operationsverst¨ arker erscheint die um den Faktor Vgl verst¨ arkte Gleichtaktspannung Ugl am Ausgang Vgl =

∂uA . ∂ugl

(7.17)

- ideal: Vgl = 0 - real: Vgl ≈ 1 • Gleichtaktunterdru ¨ ckung (common mode rejection ratio) CMRR

 V0 CMRR [dB] = 20 lg (7.18) Vgl - ideal: CMRR → ∞ - real: CMRR ≈ 100 dB

7.1 Operationsverst¨ arker

177

¨ • Ubertragungsfunktion (frequency response) G(ω) ¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) von Operationsverst¨arkerschal¨ tungen, die auch als Ubertragungsfaktor bezeichnet wird, entspricht der komplexen Verst¨ arkung, d. h. dem Verh¨ altnis der in Zeigerform dargestellten Ausgangsspannung U A zur Differenzeingangsspannung U D . Die¨ se Ubertragungsfunktion l¨ aßt sich f¨ ur reale Operationsverst¨arker nach Gl. (7.19) approximieren G(ω) =

V U A (ω)  0 . = ω U D (ω) 1 + j ω1 1 + j ωω2

(7.19)

¨ eines Tiefpasses mit den G(ω) entspricht also der Ubertragungsfunktion beiden Eckfrequenzen ω1 und ω2 (ω2 > ω1 ) [149]. Dies bedeutet, daß ¨ der Betrag der Ubertragungsfunktion ab der Frequenz ω1 = 2πf1 mit 20 dB/Dekade (= ( 6 dB/Oktave) und ab der Frequenz ω2 = 2πf2 mit 40 dB/Dekade (= ( 12 dB/Oktave) f¨ allt. Der Wert V0 stellt die Gleichspannungsverst¨ arkung dar. Bei unbeschalteten Operationsverst¨arkern liegt f1 typischerweise im Bereich einiger Hertz, w¨ahrend f2 der oberen Grenzfrequenz des unbeschalteten Operationsverst¨ arkers entspricht. Abbildung 7.7 zeigt den Frequenzgang der Leerlaufverst¨ arkung des Universal-Operationsverst¨ arkers vom Typ μA 741 nach Betrag und Phase (Tiefpaß-Eckfrequenzen: f1 ≈ 10 Hz und f2 ≈ 5 MHz). |G(w)| [dB]

j (°)

120

0

80

-45 -90

40 0 -20

-135 100 102

104

106 f (Hz)

a)

-180

100 102

104

106 f (Hz)

b)

Abb. 7.7. Frequenzgang der Leerlaufspannungsverst¨ arkung des Operationsverst¨ arkers μA 741 (UB = ±15 V) bei einer Temperatur von 25◦ C: a) Betrag, b) Phase

• Verst¨ arkung der geschlossenen Schleife (closed loop voltage gain), Gesamtverst¨ arkung V Es handelt sich hierbei um die Gesamtverst¨arkung V des r¨ uckgekoppel¨ ten Verst¨ arkers nach Abb. 7.5 (die Ubertragungsfunktion des R¨ uckkoppelNetzwerkes wird mit Vg bezeichnet) V =

∂uA ∂uE

(7.20)

178

7 Meßverst¨ arker

- ideal (V0 → ∞):

1 Vg

(7.21)

V0 1 + Vg V0

(7.22)

V =

- real (Gl. (7.6)): V =

• Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance) Der Gleichtakteingangswiderstand rgl wird wie folgt berechnet rgl =

∂ugl + iN )

1 2 ∂(iP

(7.23)

- ideal: rgl = ∞ - real: rgl = 1 GΩ . . . 100 TΩ • Differenzeingangswiderstand (differential input resistance) rE Da im allgemeinen der Gleichtaktwiderstand rgl groß ist gegen¨ uber dem Differenzeingangswiderstand rE (rgl ≫ rE ), gilt folgende Definitionsgleichung f¨ ur den Differenzeingangswiderstand rE =

∂uD − iN )

1 2 ∂(iP

- ideal: rE = ∞ - real: rE = 1 MΩ . . . 1 TΩ • Ausgangswiderstand (output resistance) rA  ∂uA  rA = − ∂iA uD =const.

(7.24)

(7.25)

- ideal: rA = 0 - real: rA = 2 Ω . . . 100 Ω • Eingangsfehlspannung (input offset voltage), Offsetspannung UD0 Durch nicht-identische Eingangstransistoren des bei Operationsverst¨arkern stets vorhandenen Differenzeingangsverst¨ arkers [165] wird auch f¨ ur uN = uP = 0 beim realen Operationsverst¨ arker eine Ausgangsspannung uA = 0 erzeugt. Jene Spannungsdifferenz UD0 , welche am Eingang angelegt werden muß, um die Ausgangspannung auf Null abzugleichen, wird als Eingangsfehlspannung oder als Eingangs-Offsetspannung UD0 bezeichnet. Sie erscheint im Schaltbild des realen Operationsverst¨arkers als Spannungsquelle am Eingang (Abb. 7.3). - ideal: UD0 = 0 - real: UD0 = 0, 5 μV . . . 5 mV • Gesamtausgangsspannung (output voltage) uA ¨ Die Gesamtausgangsspannung uA ergibt sich als Uberlagerung aus der verst¨ arkten Leerlauf-Differenzeingangsspannung uD , die um die Offsetspannung UD0 vermindert wird, und der mit der Gleichtaktverst¨arkung multiplizierten Gleichtaktspannung

7.1 Operationsverst¨ arker

u′D = uP − uN uA = V0 uD + Vgl ugl = V0 (u′D − UD0 ) + Vgl ugl = V0 (uP − uN − UD0 ) + Vgl ugl

179

(7.26) (7.27) (7.28)

• Versorgungsspannungsunterdru ¨ ckung (power supply rejection ratio) PSRR Die Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung ist ein Maß daf¨ ur, welchen Einfluß eine Spannungsschwankung der Versorgung auf die Ausgangsspannung hat

 ∂uA (7.29) PSRR [dB] = −20 lg ∂uB - ideal: PSRR → ∞ - real: PSRR ≈ 100 dB • Grenzfrequenz (cutoff frequency) fg , Bandbreite (bandwidth) Die 3-dB-Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Verst¨arkung gegen¨ uber √ ihrem Gleichspannungswert um 3 dB (entspricht einem Faktor von 1/ 2) gesunken ist. Diese obere Grenzfrequenz, die im allgemeinen der Bandbreite des Verst¨ arkers entspricht, ist von der ¨außeren Beschaltung des Operationsverst¨ arkers abh¨ angig. F¨ ur unbeschaltete Operationsverst¨arker liegt sie bei einigen Hertz (Abb. 7.7). • Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) SR Die Anstiegsgeschwindigkeit (Einheit V/μs) entspricht der zeitlichen Ableitung der Ausgangsspannung im Großsignalbetrieb bei Anlegen eines Spannungssprunges am Eingang 

∂uA (7.30) SR = ∂t max - ideal: SR → ∞ V V - real: SR = 0, 5 μs . . . 10.000 μs • Eingangsruhestrom (input bias current) IB Die Eingangstransistoren eines Operationsverst¨arkers weisen grunds¨atzlich Basis- bzw. Gatestr¨ ome auf. Selbst bei Operationsverst¨arkerschaltungen mit einer sog. inneren Bias-Stromversorgung sind die Str¨ome IN und IP noch ungleich Null und m¨ ussen durch die ¨ außere Beschaltung aufgebracht werden. Trotz des m¨ oglichst symmetrischen Aufbaus der meisten Differenzeingangsstufen ist dar¨ uber hinaus IN = IP . In Datenbl¨attern sind stets die Mittelwerte von IN und IP sowie der Betrag ihrer Abweichungen voneinander angegeben. F¨ ur den mittleren Eingangsruhestrom (Biasstrom, Input Bias Current) IB gilt dabei folgende Definition IB =

IN0 + IP0 2

(7.31)

- ideal: IB = 0 - real: IB = 3 fA(FET) . . . 1 μA (bipolar, in Sonderf¨allen bis 25 μA)

180

7 Meßverst¨ arker

• Eingangsfehlstrom (input offset current), Offsetstrom ID0 Der Offsetstrom ID0 eines Operationsverst¨arkers entspricht der Differenz der Eingangsruhestr¨ ome IN0 und IP0 ID0 = IN0 − IP0

(7.32)

- ideal: ID0 = 0 - real: ID0 = 1 fA ... 20 nA • Offsetspannungsdrift (offset voltage drift) Die Offsetspannungsdrift beschreibt die Abh¨angigkeit der Offsetspannung UD0 von der Temperatur ϑ ∂UD0 (7.33) ∂ϑ - ideal: 0 - real: 0, 01 μV/◦ C . . . 15 μV/◦ C • Eingangsstromdrift Die Eingangsstromdrift beschreibt die Temperaturabh¨angigkeit des Eingangsstromes  ∂(iP , iN )  (7.34) ∂ϑ uN =const.,uP =const.

- ideal: 0 - real: 10 fA/◦ C . . . 1 μA/◦ C • Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt (gain bandwidth product) V fg Wichtiger noch als der reine Verst¨arkungsfaktor ist das sogenannte Verst¨arkungs-Bandbreite-Produkt fg0 V0 , welches bei Universaltypen bei etwa V0 fg0 = 106 Hz liegt und bei auf hohe Bandbreite ausgerichteten Operationsverst¨ arkern bis zu 3 · 109 Hz reicht. Durch eine Gegenkopplungsschaltung gem¨ aß Abb. 7.5 wird der effektive Verst¨arkungsfaktor V und die effektive Grenzfrequenz fg der Meßschaltung eingestellt. Das Produkt aus Verst¨ arkungsfaktor V und Bandbreite bzw. Grenzfrequenz fg ist f¨ ur Grenzfrequenzen oberhalb von fg0 (fg > fg0 ) bei einem bestimmten Operationsverst¨ arkertyp stets ein konstanter Wert (Abb. 7.8) V V0 1 0,1 f g0

0,01 0,01

0,1

1

fg 10

100

f f g0

Abb. 7.8. Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz und Verst¨ arkungsfaktor eines Operationsverst¨ arkers (Konstanz des Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produktes V fg )

7.1 Operationsverst¨ arker

V fg = V0 fg0 .

181

(7.35)

• Transitfrequenz (unity gain bandwidth) fT Die Transitfrequenz fT ist jene Frequenz, bei der die Leerlaufspannungsverst¨ arkung auf 0 dB abgesunken ist. In Tabelle 7.1 sind die Leistungsdaten einiger kommerziell erh¨altlicher Operationsverst¨ arker zusammengefaßt. Diese Zusammenstellung enth¨alt neben den beiden Universaltypen (μA 741, TL 081) Operationsverst¨arker, die im Hinblick auf bestimmte Leistungsdaten optimiert wurden, wie z. B. hohe Transitfrequenz (THS3201), hohe Slew-Rate (THS3201), geringes Rauschen (AD797) oder hohe Ausgangsspannung (PA89). Tabelle 7.1: Leistungsdaten kommerziell erh¨ altlicher Operationsverst¨ arker

1

Bezeichnung μA 741 Hersteller Philips OPV-Typ Urvater

TL 081 TI Universal J-FET

LM324 Philips Low Cost Universal

THS3201 TI High Slew-Rate

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

± 1 mV 80 nA 20 nA 2 MΩ 200 V/mV 90 dB 0,5 V/μs 1 MHz ∼ 1 μs

3 mV 30 pA 5 pA 1012 Ω 200 V/mV 86 dB 16 V/μs 4 MHz ∼ 300√ ns 15 nV Hz 1 kHz

± 2 mV 45 nA ± 5 nA

± 0,7 mV ± 13 μA

100 V/mV 70 dB 0,3 V/μs 1 MHz ∼ 2, 5 μs √ 40 nV/ Hz 1 kHz

∼ 10 mA ± 18 V

∼ 20 mA ± 18 V

± 10 mA ± 16 V

10500 V/μs 1,8 GHz 20 ns √ 1,7 nV/ Hz > 10 MHz √ 20 pA/ Hz > 10 MHz ± 100 mA ± 8V

0,17 EUR

0,24 EUR

0,16 EUR

2,10 USD

1

780 kΩ

Rail to Rail heißt, daß der jeweilige Operationsverst¨ arker bez¨ uglich Eingangsspannung (IN) bzw. Ausgangsspannung (OUT) bis an die Grenzen der Betriebsspannung betrieben werden kann [165].

182

7 Meßverst¨ arker

Bezeichnung LMH6629 Hersteller National OPV-Typ Wideband

AD8551 AD797 INA116 Analog Devices Analog Devices Burr Brown Zero Drift Ultralow Noise Instrum.verst¨ arker

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

1 μV 10 pA 20 pA

± 0,15 mV - 15 μA ± 0,1 μA 450 kΩ 78 dB 87 dB 1600 V/μs 0,9 GHz 42 ns √ 0,7 nV/ Hz > 1 MHz √ 2,6 pA/ Hz > 1 MHz 250 mA ± 5,5 V 3,86 USD

140 dB 140 dB 0,4 V/μs 1,5 MHz √ 42 nV/ Hz 1 kHz√ 2 fA/ Hz 10 Hz ± 10 mA +6 V IN + OUT 1,47 USD

25 μV 250 nA 100 nA 7,5 kΩ 20 V/μV 130 dB 20 V/μs 110 MHz 800 ns √ 0,9 nV/ Hz 1 kHz √ 2 pA/ Hz 1 kHz 50 mA ± 18 V

0,5 mV 3 fA 1 fA ≥ 1015 Ω programmierbar 89 dB 0,8 V/μs 800 kHz 22 μs √ 28 nV/ Hz 1 kHz √ 0,1 fA/ Hz 1 kHz ± 5 mA ± 18 V

5,29 USD

4,20 USD

Bezeichnung PA50 Hersteller Apex OPV-Typ High Output Current

PA89A Apex High Output Voltage

MAX4464 Maxim Low Power 1,8 V 750 nA

LT6350 Linear Technology ADC-Treiber

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout

2 mV 10 pA 10 pA 100 GΩ 102 dB 100 dB > 50 V/μs 3 MHz 1 μs 10 μV RMS 100 kHz BW

250 μV 3 pA 3 pA 100 GΩ 120 dB 110 dB 16 V/μs 10 MHz 2 μs 4 μV RMS 10 kHz BW

± 500 μV ± 200 pA ± 13 pA

± 0,1 mV - 3 μA ± 0,1 μA 4 MΩ

100 dB 95 dB 20 V/ms 40 kHz ∼ 1 ms √ 150 nV/ Hz 1 kHz

118 dB 41 V/μs 85 MHz 200 ns √ 1,9 nV/ Hz

100 A f¨ ur 1 ms ± 50 V

75 mA

11 mA

± 45 mA

± 600 V

716 USD

950 USD

+6 V OUT 0,65 EUR

12,6 V IN + OUT 3,19 USD

Ub max Rail to Rail Preis ca.

√ 1,1 pA/ Hz

7.1 Operationsverst¨ arker

Bezeichnung LMC6041 Hersteller National OPV-Typ

Ultralow Bias

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

1 mV 2 fA 1 fA > 10 TΩ 136 dB 75 dB 0,02 V/μs 75 kHz 200 μs √ 83 nV/ Hz 1 kHz √ 0,2 fA/ Hz 1 kHz 22 mA 15,5 V OUT 0,91 EUR

AS1710 austriamicrosystems mit shut down

LM13700 National

ISO124 TI

Transconductans

Isolationsverst¨ arker

0,6 mV 50 pA 50 pA 1 GΩ 100 dB 70 dB 10 V/μs 10 MHz ∼ 1 μs √ 15 nV/ Hz 1 kHz

0,4 mV 1 μA 0,6 μA

± 20 mV

50 mA 7V IN + OUT 0,23 EUR

9,6 mA/V 110 dB 50 V/μs 2 MHz

183

200 kΩ 1 V/V 2 V/μs 50 kHz 50 μs √ 4 nV/ Hz

√ 600 pA/ Hz 10 kHz 1 mA ± 18 V

± 15 mA ± 18 V

1,35 EUR

15,06 EUR

7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen Ein Operationsverst¨ arker kann durch entsprechende ¨außere Beschaltung in sehr vielf¨ altiger Weise f¨ ur Meßaufgaben eingesetzt werden. Im folgenden werden verschiedene Standard-Operationsverst¨ arkerschaltungen vorgestellt, wobei jeweils das Verh¨ altnis von Ausgangsgr¨ oße (i. allg. die Ausgangsspannung oße (i. allg. die Eingangsspannung uE ) angegeben wird. uA ) zu Eingangsgr¨ Die Beziehung zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨oße l¨aßt sich leicht ableiten, wenn man den Operationsverst¨ arker in der folgenden Weise idealisiert: Differenzeingangsspannung uD = 0, Eingangswiderstand rE → ∞, Eingangsstr¨ ome iN = 0 bzw. iP = 0, Leerlaufverst¨ arkung V0 → ∞. Die Auswertung der aus dem jeweiligen Schaltbild resultierenden Knoten- und Maschengleichungen liefert dann unmittelbar den gesuchten mathematischen Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨ oße. Invertierender Verst¨ arker Der invertierende Verst¨ arker wurde bereits in Kap. 7.1.2 besprochen (s. Abb. 7.6). F¨ ur einen idealen Operationsverst¨arker ergibt sich das Verh¨altnis von Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung uE zu (s. Gl. (7.12))

184

7 Meßverst¨ arker

uA R2 =− . uE R1

(7.36)

Invertierer Der reine Invertierer (Abb. 7.9) hat die Aufgabe, die Polarit¨at der Eingangsspannung am Ausgang umzukehren uA = −uE ,

(7.37)

was dadurch erreicht wird, daß beim invertierenden Verst¨arker (Abb. 7.6) die Widerst¨ ande R1 und R2 identisch gew¨ ahlt werden.

Abb. 7.9. Grundschaltung des Invertierers

Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker Der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker (Abb. 7.10) beh¨alt die Polarit¨at der Eingangsspannung bei und erlaubt die Einstellung des Verst¨arkungsfaktors u ¨ber die Widerstandskombination R1 und R2 uA R2 =1+ . uE R1

Abb. 7.10. Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker

(7.38)

7.1 Operationsverst¨ arker

185

Addierender Verst¨ arker Der addierende Verst¨ arker (Abb. 7.11) addiert die Eingangsspannungen und dreht die Polarit¨ at nach der Summenbildung um. Mit Hilfe der Widerstandswerte R1 und R2 lassen sich die Eingangsspannungen u1 und u2 mit Gewichtsfaktoren versehen

 u1 u2 uA = iG R3 = −(i1 + i2 )R3 = − (7.39) + R3 . R1 R2 Im allgemeinen w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 , so daß eine ungewichtete Summenbildung erzielt wird (7.40) uA = −(u1 + u2 ) .

Abb. 7.11. Addierender Verst¨ arker

Subtrahierender Verst¨ arker Der subtrahierende Verst¨ arker (Abb. 7.12) erlaubt die Differenzbildung der beiden Eingangsspannungen u1 und u2 . F¨ ur beliebige Widerstandswerte lassen sich wiederum Gewichtsfaktoren einstellen u A = u2

R4 (R1 + R3 ) R3 − u1 . R1 (R2 + R4 ) R1

(7.41)

F¨ ur den Fall R1 /R3 = R2 /R4 ergibt sich die gew¨ unschte Subtraktion der Eingangsspannungen mit zus¨ atzlicher Verst¨ arkung um den Faktor R3 /R1 uA =

R3 (u2 − u1 ) . R1

(7.42)

F¨ ur den reinen Subtrahierer w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 = R4 , so daß ungewichtet subtrahiert wird (7.43) uA = u2 − u 1 .

186

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.12. Subtrahierender Verst¨ arker

Impedanzwandler Mit Hilfe des Impedanzwandlers (Abb. 7.13), der auch als Spannungsfolger bezeichnet wird, werden Quellen mit hohem Innenwiderstand an Schaltungen mit niedrigem Widerstand angepaßt. So kann beispielsweise an hochohmigen Schaltungen mit weniger hochohmigen Meßwerken r¨ uckwirkungsfrei gemessen werden. Die Eingangsspannung erscheint dabei unver¨andert am Ausgang uA = uE .

(7.44)

Abb. 7.13. Impedanzwandler

Integrierender Verst¨ arker In der analogen Signalverarbeitung ist der auf einem Operationsverst¨arker basierende Integrierer (Integrator) eines der zentralen Elemente. Der integrierende Verst¨ arker (Abb. 7.14) bildet das zeitliche Integral einer Eingangsspannung. F¨ ur den Fall, daß der Anfangswert der Ausgangsspannung uA zu Beginn der Integration den Wert Null annimmt, folgt    t 1 t 1 t 1 uA = iG dt = − iE dt = − uE dt . (7.45) C 0 C 0 RC 0

7.1 Operationsverst¨ arker

187

Abb. 7.14. Integrierende Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (Prinzip) Der differenzierende Verst¨ arker (Abb. 7.15) hat die Aufgabe, die Eingangsspannung uE zeitlich zu differenzieren uA = iG R = −iE R = −RC

duE . dt

(7.46)

Abb. 7.15. Prinzip einer differenzierenden Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (praktische Realisierung) Die Schwingneigung der Prinzipschaltung nach Abb. 7.15 kann vermieden werden, wenn die modifizierte Differenzierer-Schaltung nach Abb. 7.16 verwendet wird. Die reine Differenzierung der Eingangsspannung erreicht man durch die Wahl entsprechender Zeitkonstanten R1 C1 und R2 C2 . Denn w¨ahlt man diese so klein, daß die h¨ ochste in der Eingangsspannung enthaltene Signalfrequenz ω klein ist gegen¨ uber den Kehrwerten der beiden Zeitkonstanten 1 R1 C1 1 , ω≪ R2 C2 ω≪

folgt wiederum

(7.47) (7.48)

duE . (7.49) dt Eine modifizierte Operationsverst¨ arkerschaltung eines Differenzierers wird in [92] behandelt. uA = −R2 C1

188

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.16. Differenzierende Operationsverst¨ arkerschaltung (technisch verwendbar)

Logarithmierender Verst¨ arker mit Diode Eine die Eingangsspannung logarithmierende Operationsverst¨arkerschaltung enth¨ alt eine Diode im R¨ uckkoppelzweig (Abb. 7.17). Mit der f¨ ur den Durchlaßbereich vereinfachten (Diodensperrstrom IS ≪ Diodenstrom iD ) Diodenkennlinie iD = f (uD ) uD iD = IS e mUT (7.50) folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Knotengleichung iD = iE die Ausgangsspannung uA als logarithmierte Eingangsspannung uE

 uE iE (7.51) = −mUT ln uA = −mUT ln f¨ ur uE > 0 . IS IS R angigen Sperrstrom der Diode, m = Dabei bezeichnen IS den temperaturabh¨ 1...2 den stromabh¨ angigen Korrekturfaktor und UT die Temperaturspannung der Diode kT , (7.52) UT = e0 die bei einer Temperatur T = 25◦ C einen Wert von UT = 25, 7 mV aufweist. In Gl. (7.52) wurden folgende Bezeichnungen verwendet: die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K, die absolute Temperatur T (K) und die Elementarladung e0 = 1, 6 · 10−19 As.

Abb. 7.17. Logarithmierende Operationsverst¨ arkerschaltung mit Diode

7.1 Operationsverst¨ arker

189

Logarithmierender Verst¨ arker mit Transistor Der Einfluß des stromabh¨ angigen Korrekturfaktors m (Gl. (7.51)) l¨aßt sich umgehen, wenn man statt der Diode einen Transistor gem¨aß Abb. 7.18 einsetzt. F¨ ur den Kollektorstrom iC gilt bei kleinem Kollektorsperrstrom ICS (ICS ≪ iC ) uBE iC = ICS e UT , (7.53) wobei uBE die Basis-Emitter-Spannung und UT die Temperaturspannung bezeichnen. F¨ ur die Ausgangsspannung uA des Logarithmierers folgt daraus f¨ ur uE > 0

 uE uA = −UT ln . (7.54) RICS

Abb. 7.18. Prinzipschaltung eines Logarithmierers mit Operationsverst¨ arker und einem Transistor im R¨ uckkoppelzweig

e-Funktionsgenerator Wenn man in der logarithmierenden Operationsverst¨arkerschaltung (Abb. 7.19) Widerstand und Transistor vertauscht, invertiert man die mathematische Operation des Logarithmierens, d. h. der nat¨ urliche Logarithmus aus Gl. (7.54) geht u ur uE < 0 kann die Aus¨ber in eine Exponentialfunktion. F¨ gangsspannung wie folgt angegeben werden uA = RiC = RICS e−uE /UT .

Abb. 7.19. Einfacher e-Funktionsgenerator

(7.55)

190

7 Meßverst¨ arker

Komparator ohne Hysterese Ein unbeschalteter Operationsverst¨ arker, wie er in Abb. 7.20 gezeigt wird, stellt einen Komparator ohne Hysterese dar. Seine Ausgangsspannung l¨auft f¨ ur positive Eingangsspannungen uD > 0, d. h. u1 < u2 , auf ihren positiven Grenzwert uAmax uA = +uAmax f¨ ur u1 < u2 . (7.56) Umgekehrt wird f¨ ur eine negative Differenzeingangsspannung uD < 0, d. h. u1 > u2 , der negative Grenzwert erreicht, der dem positiven mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht uA = −uAmax

f¨ ur

u 1 > u2 .

(7.57)

Abb. 7.20. Komparator ohne Hysterese

Invertierender Komparator mit Hysterese (Invertierender Schmitt-Trigger) Bei einem Komparator mit Hysterese, der auch als invertierender SchmittTrigger bezeichnet wird, gibt es im Gegensatz zu einem Komparator ohne Hysterese zwei Schaltschwellen, die im folgenden mit uEauf und uEab bezeichnet werden. Dieses Schaltverhalten wird u ¨ber eine Mitkopplung des Komparators erreicht (Abb. 7.21a), d. h. ein Teil der Ausgangsspannung uA wird mit Hilfe des aus R1 und R2 bestehenden Spannungsteilers auf den nichtinvertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers zur¨ uckgekoppelt. Bei vernachl¨ assigbarer Differenzeingangsspannung liegt die Eingangsspannung uE am Widerstand R1 des Spannungsteilers an, so daß unter Ber¨ ucksichtigung der Tatsache, daß die Ausgangsspannung infolge der Mitkopplung nur die Werte +uAmax bzw. −uAmax annehmen kann, die Schaltschwellen uEauf bzw. uEab (Abb. 7.21b) wie folgt hergeleitet werden k¨ onnen R1 , R1 + R2 R1 = +uAmax . R1 + R2

uEauf = −uAmax uEab

(7.58) (7.59)

7.1 Operationsverst¨ arker

191

Es sei darauf hingewiesen, daß der einzige Unterschied zwischen der Schaltung eines Schmitt-Triggers (Abb. 7.21) und einem nicht-invertierenden Spannungsverst¨ arker (Abb. 7.10) die Form der R¨ uckkopplung ist. W¨ahrend der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker gegengekoppelt ist (R¨ uckkopplung des Spannungsteilers auf den invertierenden Eingang des Operationsverst¨arkers) und damit absolut stabil arbeitet, ist die R¨ uckkopplung beim SchmittTrigger eine Mitkopplung (R¨ uckkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers), so daß sich das gezeigte bistabile Verhalten einstellt, d. h. die Ausgangsspannung l¨ auft entweder auf ihren positiven oder ihren negativen Endwert.

Abb. 7.21. Invertierender Schmitt-Trigger: a) Operationsverst¨ arkerschaltung, b) Kennlinien des invertierenden Schmitt-Triggers

Multivibrator Wenn die Ausgangsspannung eines invertierenden Schmitt-Triggers zeitlich verz¨ ogert auf den Eingang zur¨ uckgef¨ uhrt wird, entsteht ein sog. Multivibrator. Dies ist ein Oszillator, der eine Rechteckschwingung liefert. Anhand des Schaltbildes nach Abb. 7.22 l¨ aßt sich die Differentialgleichung f¨ ur uC (t) ableiten, indem man die Knotenregel f¨ ur den Verbindungsknoten zwischen R und C anwendet ±uAmax − uC duC = . (7.60) dt RC Mit der Anfangsbedingung uC (t = 0) = uEauf ergibt sich die L¨osung dieser Differentialgleichung zu 

2R1 + R2 −t/RC e . (7.61) uC (t) = uAmax 1 − R1 + R2 Die Periodendauer T der Rechteckschwingung betr¨agt somit 

2R1 . T = 2RC ln 1 + R2

(7.62)

F¨ ur R1 = R2 folgt

T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(7.63)

192

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.22. a) Multivibrator mit Komparator, b) Spannungsverl¨ aufe in der Multivibrator-Schaltung

Voltmeterschaltung Die Voltmeterschaltung (Abb. 7.23) erm¨ oglicht eine hochohmige Spannungsmessung mit einem Strommeßger¨ at. Es handelt sich dabei um einen Spannungsverst¨ arker mit Stromausgang. Bei Vernachl¨assigung der Differenzeingangsspannung f¨allt die Eingangsspannung uE direkt am Widerstand R ab, so daß uE (7.64) iM = R gilt, woraus unmittelbar die gew¨ unschte Proportionalit¨at zwischen uE und iM folgt (7.65) iM ∼ uE .

Abb. 7.23. Voltmeterschaltung

Stromgesteuerte Spannungsquelle Abbildung 7.24 zeigt die Schaltung einer mit Hilfe eines Operationsverst¨arkers realisierten stromgesteuerten Spannungsquelle. Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle ist die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE . Wenn man den Operationsverst¨ arkereingangsstrom iN vernachl¨assigt,

7.1 Operationsverst¨ arker

193

folgt unmittelbar der Zusammenhang zwischen Eingangsstrom iE und der Ausgangsspannung uA uA = −iE R . (7.66) Prinzipiell k¨ onnte diese Schaltung auch der Strommessung mit niedrigem Innenwiderstand dienen. Der Nachteil, daß eine Eingangsklemme auf Massepotential liegt, wird allerdings erst durch die folgende Amperemeterschaltung vermieden.

Abb. 7.24. Stromgesteuerte Spannungsquelle

Amperemeterschaltung Die Amperemeterschaltung (Abb. 7.25) erlaubt die niederohmige Strommessung mit einem Spannungsmeßger¨ at, wobei an den Meßkontakten keine Spannung abf¨ allt, d. h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines Meßger¨ ates bedingten systematischen Fehler gemessen. Bei Vernachl¨ assigung der Eingangsdifferenzspannungen der Operationsverst¨arker verschwindet die Eingangsspannung uE uE = 0 .

Abb. 7.25. Erdfreie Amperemeterschaltung

(7.67)

194

7 Meßverst¨ arker

Weiterhin liegen die mit u′ gekennzeichneten Punkte auf gleichem Potential. Die Potentialdifferenz gegen Masse betr¨ agt u′ . Damit kann man bez¨ uglich der Operationsverst¨ arker 1 und 2 die beiden folgenden Spannungsuml¨aufe angeben −u′ + iE R1 + u2 = 0 (7.68) und −u′ − iE R1 + u1 = 0 .

(7.69)

Die Subtraktion der Gl. (7.69) von Gl. (7.68) liefert 2iE R1 = −(u2 − u1 ) .

(7.70)

Die Differenzbildung (u2 −u1 ) der beiden Teilspannungen wird von dem nachfolgenden subtrahierenden Verst¨ arker vorgenommen (siehe auch Abb. 7.12 bzw. Gl. (7.43)), so daß, wie bei der Strommessung gefordert, die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE ist uA = u1 − u2 = −(u2 − u1 ) = 2R1 iE .

(7.71)

Stromverst¨ arker Beim Stromverst¨ arker (Abb. 7.26) ist der Strom iM , welcher durch das am Ausgang des Operationsverst¨ arkers liegende Meßwerk fließt, proportional zum Eingangsstrom iE . Wenn man wiederum die Differenzeingangsspannung des Operationsverst¨ arkers vernachl¨ assigt, f¨ allt an den Widerst¨anden R1 und R2 dieselbe Spannung u ab iE R1 = −u (iE + iM )R2 = u .

(7.72) (7.73)

Aus den Gln. (7.72) und (7.73) folgt iM = −

R1 + R2 iE R2

(7.74)

u R1 iE

iM iE + iM R2

u

Abb. 7.26. Stromverst¨ arker

7.1 Operationsverst¨ arker

195

bzw. die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen dem Eingangsstrom iE und dem Strom iM durch das Meßger¨ at iM ∼ iE .

(7.75)

Aktiver Vollweg-Gleichrichter Mit Hilfe von Operationsverst¨ arkern lassen sich auch mit realen Dioden nahezu ideale Gleichrichter in Form sog. aktiver Gleichrichterschaltungen realisieren. Der Hauptnachteil von nicht-aktiven Gleichrichterschaltungen, also Schaltungen, die nur auf Dioden basieren, beruht auf der endlichen Diodenschwellenspannung (0,7 V bei Siliziumdioden (Kap. 6.3.2)). Abbildung 7.27 zeigt eine aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung, deren Ausgangsspannung uA dem Betrag der Eingangsspannung uE entspricht uA = |uE | .

(7.76)

Der linke Abschnitt der Schaltung stellt einen aktiven Einweg-Gleichrichter dar. Es gilt ur uE ≥ 0 (7.77) uA1 = −uE f¨

bzw.

uA1 = 0 f¨ ur uE < 0 .

(7.78)

Die rechte Teilschaltung ist ein addierender Verst¨arker (Abb. 7.11 bzw. Gl. (7.39)), der in Verbindung mit dem Einweg-Gleichrichter insgesamt zu einem Vollweg-Gleichrichter f¨ uhrt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung uA f¨ ur negative Eingangsspannungswerte zu ur uE < 0 . uA = −uE f¨

(7.79)

ur den Addierer geltenden F¨ ur positive Eingangsspannungen uE folgt aus der f¨ Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung (Gl. (7.39)) " # uE −uE uA = − + R R = uE f¨ ur uE > 0 . (7.80) R 2

Abb. 7.27. Aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung

196

7 Meßverst¨ arker

Die Auswirkungen von nicht vernachl¨ assigbaren Diodenschwellenspannungen bei endlicher Verst¨ arkung der Operationsverst¨ arker wird in [92] behandelt. Es sei darauf hingewiesen, daß aus Offsetspannungen und Eingangsstr¨omen des Operationsverst¨ arkers weitere Fehler resultieren k¨onnen. 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang W¨ahrend die bisher behandelten Standard-Operationsverst¨arker einen massebezogenen Ausgang (Single-ended Output) haben, finden seit einiger Zeit auch spezielle Operationsverst¨ arker mit einem differentiellen Ausgang (Abb. 7.28a) h¨aufiger Anwendung. Statt des einen Ausgangs gibt es hierbei zwei Ausgangsleitungen, eine positive und eine negative. Die negative Ausgangsleitung ist am Invertierungszeichen zu erkennen. Die Ausg¨ange sind hier wie die Eing¨ ange differentiell geschaltet. Dies bedeutet, dass die beiden Ausg¨ange

+

uA

uN uD

_

uP

uA

a) +U B interner Operationsverstärker zur Regelung der Gleichtaktspannung u glA

uN rA

+

uA

uDV0 uD

interne Rückkopplung uDV0 rA

_

uA

uP

b)

u glA -UB

Abb. 7.28. Differentieller Operationsverst¨ arker: a) vereinfachte Darstellung; b) Darstellung mit Eingang zur Regelung der Ausgangsgleichtaktspannung

7.1 Operationsverst¨ arker

197

gegen¨ uber Masse betragsm¨ aßig dieselbe Spannung aufweisen, sie haben nur umgekehrte Vorzeichen. Im Gegensatz zu den bisher behandelten Schaltungen mit Single-ended Ausgang sind nunmehr zwei R¨ uckkopplungschleifen notwendig (Abbn. 7.29 - 7.31), welche identisch aufgebaut sein m¨ ussen. Um einen stabilen Betrieb zu erm¨ oglichen, m¨ ussen die Ausg¨ange auf den Eingang mit jeweilig umgekehrter Polarit¨ at (Vorzeichen) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Ein weiterer Unterschied zum klassischen Operationsverst¨arker ist die zus¨ atzliche Eingangsklemme uglA (Abb. 7.28b). Sie hat die Aufgabe, eventuell auf beiden Eing¨ angen (uP und uN ) gleichsinnig lastende St¨orspannungen, d. h. also Gleichtaktspannungen, am Ausgang zu kompensieren. Dies bedeutet, dass der Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang in der Lage ist, Gleichtaktst¨ orungen zu unterdr¨ ucken. F¨ ur den Fall, dass kein Signal an den uglA -Eingang angelegt wird, erscheint die halbe Betriebsspannung als Gleichtaktsignal am Ausgang. Ansonsten erh¨ alt man das angelegte uglA -Signal als Offset im Ausgangssignal. Definitionen fu arker ¨ r differentielle Operationsverst¨ • Differentielle Ausgangsspannung uDA − uDA = u+ A − uA

(7.81)

• Gleichtakt-Ausgangsspannung uglA uglA =

− u+ a + uA 2

(7.82)

• (Gesamt-)Spannungsverst¨ arkung VDA VDA =

− u+ uDA A − uA = = 2 V0 uP − u N uD

(7.83)

Abbildung 7.29 zeigt eine Verst¨ arkerstufe mit differentiellem Ausgang. Es gibt nunnmehr zwei R¨ uckkopplungsschleifen, welche identische R¨ uckkopplungswiderst¨ ande (R1 ) enthalten. Die (differentielle) Spannungsverst¨arkung ergibt sich wie im Fall des Operationsverst¨ arkers mit nicht-differentiellem Ausgang zu R1 _

uE

R2

+

uA _

+

uE

uA

R2 R1

Abb. 7.29. Differentielle Verst¨ arkerstufe

198

7 Meßverst¨ arker

V =

− u+ R1 A − uA , + − = R2 uE − uE

(7.84)

d. h. wie gewohnt aus dem Verh¨ altnis der Widerst¨ande von R¨ uckkopplungsund Eingangszweig. Es sei nochmals betont, dass im Gegensatz zum klassischen Operationsverst¨ arker hier beide R¨ uckkopplungsschleifen geschlossen werden m¨ ussen, um ein einwandfreies Arbeiten der Schaltung zu gew¨ahrleisten. Im Falle von nicht identischen R¨ uckkopplungszweigen kommt es zu Gleichtaktfehlern im Ausgangssignal. So f¨ uhrt beispielsweise eine Abweichung von 0,1 % in den Widerst¨ anden zu einem CMRR (s. Gl. (7.18)) von 60 dB. In der Praxis ist oft die Konvertierung eines massebezogenen Signals in ein nicht-massebezogenes differentielles Signal gefragt. Abbildung 7.30 zeigt die beiden Schaltungsvarianten, die diese Aufgabe erf¨ ullen. Sie arbeiten beide gleichermaßen, auch wenn einmal das Eingangssignal auf den invertierenden und das andere Mal auf den nicht-invertierenden Eingang gelegt wird. R1

R1

R2

_ uA

uE R 2'

R2

+

uA

+

uA _

uA

uE

R1

R2'

R1

Abb. 7.30. Schaltungen zur Konvertierung von massebezogenen Eingangssignalen (single-ended input) in differentielle Ausgangssignale

Die Verst¨ arkung V ergibt sich in beiden F¨ allen wiederum aus dem Verh¨altnis der Widerst¨ ande von R¨ uckkopplungs- und Eingangszweig V =

− u+ R1 A − uA = . uE R2

(7.85)

Hierbei ist zu beachten, dass der Innenwiderstand RiQ der am Eingang ange′ ′ schlossenen Quelle (z. B. RiQ = 50 Ω) in die Berechnung von R2 eingeht. R2 ist also um diesen Wert (50 Ω) zu vergr¨ oßern. Eine der Hauptanwendungen von differentiellen Operationsverst¨arkern ist die Ansteuerung von Analog-Digital-Umsetzern (s. Kap. 11.6). Moderne Analog-Digital-Umsetzer (ADU bzw. ADC) besitzen in der Regel einen diffe− rentiellen Eingang mit zwei Eingangssignalen u+ IN und uIN (s. Abb. 7.31). Das auf diesen differentiellen Eingang bezogene Nullsignal entspricht der Gleich− taktspannung an seinem Eingang. Diese betr¨ agt 1/2 (u+ IN +uIN ). Das maximale − + Eingangssignal uIN − uIN darf die Versorgungsspannung nicht u ¨berschreiten; sie liegt meist bei wenigen Volt (3 V - 5 V). Die Bezugspotentiale des differentiellen Eingangs entsprechen dabei einerseits dem Massepotential der Schaltung

7.1 Operationsverst¨ arker

199

C1 R3 _ uE

R2

R1

+ UB

u+IN

u Esignal

R3

+

uE

C2

R2

u glA R1

_

C2

u IN

ADU u refADU

_U

B

C1 Abb. 7.31. Schaltung mit differentiellem Operationsverst¨ arker zur Ansteuerung eines Analog-Digital-Umsetzers

und andererseits dem Wert der Versorgungsspannung. In der potentialm¨aßigen Mitte liegt das Nullsignal des ADU-Eingangs, welches, wie bereits oben erw¨ ahnt, identisch ist mit der Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs. Die klassische Schaltungstechnik zur Ansteuerung von ADUs besteht in der Verwendung von zwei Operationsverst¨ arkern, die als Differenzverst¨arker arbeiten. Zus¨ atzlich ist ein dritter Operationsverst¨arker notwendig, um den Differenzverst¨ arker mit der vom ADU ben¨ otigten Gleichtaktspannung vorzuspannen. Die Alternativl¨ osung verwendet einen Transformator zur Signal¨ ubertragung am Eingang des ADU. Die letztgenannte L¨osung schließt allerdings die Analog-Digital-Umsetzung von Gleichsignalen aus. Hier bieten differentielle Operationsverst¨ arker nunmehr die M¨oglichkeit, mit nur einem aktiven Bauteil und auch weniger passiven Bauelementen auszukommen [120]. Um ein massebezogenes Eingangssignal in der oben beschriebenen Weise auf das Eingangsspannungsintervall abzubilden, muss also die Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs (entspricht dem Wert des Nullsignals am Eingang) von der differentiellen Ausgangsstufe des Operationsverst¨ arkers bereitgestellt werden. Da die Ausgangsgleichtaktspannung am Eingang uglA vorgegeben werden kann, nutzt man die M¨oglichkeit von modernen ADUs, genau diesen Spannungswert bereitzustellen. Die Treiberstufe f¨ ur den ADU auf Basis eines differentiellen Operationverst¨arkers funktioniert also, wenn man dieses Ausgangssignal des ADU auf den uglA -Eingang des Operationsverst¨ arkers gibt. Diese Schaltung hat den Vorteil einer im Idealfall nahezu vollst¨andigen Unterdr¨ uckung von Gleichtaktst¨ orsignalen am Eingang. Zudem werden infolge der differentiellen Ausf¨ uhrung die geradzahligen Vielfachen der Grundwelle und damit die harmonischen Verzerrungen (s. a. Kap. 13.6 Klirrfaktor“) re” duziert [120].

200

7 Meßverst¨ arker

Es sei noch erw¨ ahnt, dass der durch die Bauelemente R1 und C1 gebildete Tiefpaß ein Anti-Aliasing-Filter (s. Kap. 11.7.1) darstellt. Es hat ein 3 dBGrenzfrequenz von 1 fg = . (7.86) 2πR1 C1 Der Widerstand R3 entkoppelt den Ausgang des Operationsverst¨arkers von C2 , dessen Aufgabe das schnelle Laden der Eingangskapazit¨at des Wandlers (s. Kap. 11.7.2) ist. Typisch sind Werte R3 =10 bis 30 Ω und C2 = 0,1 bis 2 nF. Tabelle 7.2 enth¨ alt typische Vertreter von kommerziell erh¨altlichen Operationsverst¨ arkern mit differentiellem Ausgang. Weitere Informationen zu differentiellen Operationsverst¨ arkern findet der interessierte Leser in [79], [80]. Tabelle 7.2. Leistungsdaten differentieller Operationsverst¨ arker (Stand: Juni 2010) Bezeichnung

ADA4960-1

CA3112

LMH6554

LTC6412

THS4509

Hersteller

Analog Devices

Intersil

National

Linear Technology

TI

Auswahlkriterium

∗1

∗2

∗3

∗4

∗5

300 mW

≪ 300 mW

260 mW

330 mW

180 mW

max. Leistung SR fT u-Rauschen Ubmax Preis ca.

8,7 kV/μs

6,2 kV/μs

6,6 kV/μs

5 GHz 1,35 GHz 2,8 GHz 800 MHz 3 GHz √ √ √ √ 0,9 nV/ Hz 2,7 nV/ Hz 2,3 nV/ Hz 1,6 nV/ Hz 5,35 V

24 V

7,65 USD

4,94 USD

± 5,5 V

5,90 EUR

3,8 V

5,5 V

7,45 USD

4,95 USD

∗1 Die Verst¨ arkung des ADA4960-1 kann mittels eines Widerstandes eingestellt werden. ∗2 Beim CA3112 handelt es sich um 6 Transistoren, die die typische Ver schaltung zweier Differenzverst¨ arker aufweisen. ∗3 Der LMH6554 hat einen Abschalteingang, um die Leistungsaufnahme zu reduzieren. ∗4 Die Verst¨ arkung des LTC6412 ist mittels einer analogen Steuerspannung beeinflußbar (AGC). ∗5 Die moderate Stromaufnahme zeichnet den THS4509 aus.

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker 7.2.1 Differenzverst¨ arker Ein Differenzverst¨ arker ist notwendig, um die Signale von Quellen mit floatendem Eingang (nicht massebezogenem Eingang) zu verst¨arken. Dabei handelt es sich um Quellen, deren Potentiale gegen¨ uber Masse schwanken. Dies ist

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

201

z. B. bei Strommessungen mittels Shunt oft der Fall. Auch bei massebezogenen Signalquellen bietet der Differenzverst¨ arker den Vorteil hoher Gleichtaktunterdr¨ uckung (> 100 dB). Abbildung 7.32 zeigt den Schaltungsaufbau. Der Verst¨ arkungsgrad dieser Schaltung kann leicht nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden V =

uA R1 = . uE2 − uE1 R2

(7.87)

Um die Eigenschaften des Differenzverst¨ arkers zu verbessern, insbesondere im Hinblick auf eine Erh¨ ohung der Eingangsimpedanz werden sog. Instrumentenverst¨arker eingesetzt, die auch als Instrumentierungsverst¨arker bezeichnetwerden (s. Kap. 7.2.2). Diese besitzen eine sehr hohe Eingangsimpedanz. Dabei ist zu bedenken, daß der Innenwiderstand Ri einer an den Differenzeingang des Verst¨ arkers nach Abbildung 7.32 angeschlossenen Spannungsquelle den Verst¨ arkungsgrad ver¨ andert V →V =

R1 . R2 + Ri

(7.88)

R1 R2

u E1

u E2

uA

R2 R1

Abb. 7.32. Differenzverst¨ arker

7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨ arker) In der Elektrischen Meßtechnik werden h¨ aufig pr¨azise arbeitende Meßverst¨arker ben¨ otigt, die in der Lage sind, einen hohen Gleichtaktst¨oranteil m¨oglichst vollst¨ andig zu unterdr¨ ucken und nur den Differenzanteil, der in diesem Fall dem Nutzsignal entspricht, zu verst¨ arken. Zur Erf¨ ullung dieser Anforderungen scheiden somit alle Verst¨ arkertypen aus, bei denen einer der Eing¨ange auf Bezugspotential liegt. Mit dem in Abb. 7.33 gezeigten Instrumentenverst¨arker, der von einem Subtrahierverst¨ arker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverst¨ arkern gebildet wird, werden die gestellten Anforderungen erf¨ ullt. Neben der hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung zeichnet sich der Instrumentenverst¨arker vor allem durch gute Linearit¨ atseigenschaften, hohen Eingangswiderstand sowie eine geringe Beeinflussung durch Eingangsst¨orgr¨oßen aus. Die beiden Operationsverst¨ arker 1 und 2 liefern die Spannung u1

202

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.33. Schaltung eines Instrumentenverst¨ arkers

u1 = uE1 + R1

uE1 − uE2 = R

 R1 R1 1+ uE2 uE1 − R R

(7.89)

bzw. die Spannung u2 uE1 − uE2 = u2 = uE2 − R2 R



R2 1+ R



uE2 −

R2 uE1 . R

(7.90)

F¨ ur eine reine Gleichtakteingangsspannung uE1 = uE2 = ugl ergibt sich demnach f¨ ur beide Stufen (1 und 2) eine Gleichtaktverst¨arkung vom Wert 1 u1 u2 = =1. ugl ugl

(7.91)

Der nachgeschaltete Subtrahiererverst¨ arker (OpAmp 3) liefert f¨ ur die folgendermaßen dimensionierten Widerst¨ ande R4 R6 = R3 R5

(7.92)

die Ausgangsspannung uA (Gl. (7.41)) uA =

R4 (u2 − u1 ) . R3

(7.93)

Mit den Gln. (7.89) und (7.90) ergibt sich die Differenzverst¨arkung zu

 uA R4 R1 + R2 = 1+ . (7.94) uE2 − uE1 R3 R Wenn man die Schaltung vollkommen symmetrisch aufbaut (R1 = R2 = R′ und R3 = R4 = R5 = R6 ), folgt

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

uA 2R′ . =1+ uE2 − uE1 R

203

(7.95)

Die Gleichtaktverst¨ arkung der Gesamtschaltung ist dann aus Symmetriegr¨ unden (Gl. (7.91)) gleich Null. Die Differenzverst¨arkung l¨aßt sich u ¨ber R einstellen, ohne daß in die (abgeglichene) Stufe 3 eingegriffen werden muß. Instrumentenverst¨ arker sind komplett integriert als 1-Chip-Bausteine kommerziell erh¨ altlich (z. B. LTC 2053 von Linear Technology (s. Tab. 7.1)). 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker Mit Hilfe von Zerhacker-Verst¨arkern, die auch unter dem Begriff ChopperVerst¨arker bekannt sind, werden Gleichspannungen verst¨arkt, ohne daß gr¨oßere Fehler durch Offsetspannungen auftreten. Sie stellen hochwertige Gleichspannungsverst¨ arker mit geringen Spannungsdriften (5. . . 25 nV/K) dar, allerdings weisen sie h¨ ohere Rauschpegel als Verst¨arker ohne Chopper auf. Das Prinzip des Zerhacker-Verst¨ arkers beruht auf der Umwandlung (Zerhacken) einer Gleichspannung in eine Wechselspannung, der Verst¨arkung dieser Wechselspannung mit einem Wechselspannungsverst¨arker und einer anschließenden Synchron-Gleichrichtung. Abbildung 7.34 zeigt das Prinzip eines Eintakt-Zerhacker-Verst¨ arkers. Der RC-Tiefpaß am Eingang stellt sicher, daß eventuell im Eingangssignal uE enthaltene h¨oher frequente Spektralanteile weggefiltert werden; denn zum einwandfreien Funktionieren des ZerhackerVerst¨ arkers ist es notwendig, daß die Zerhackerfrequenz wesentlich gr¨oßer ist als die h¨ ochste zu verst¨ arkende Signalfrequenz. Die Hochpaßfilternetzwerarkereingangs- und -ausgangssignal jeweils ke C2 R2 und C3 R3 befreien Verst¨ vom Gleichspannungsanteil. F¨ ur den Fall eines idealen Wechselspannungsverst¨ arkers (frequenzunabh¨ angige Verst¨ arkung und keine Frequenzabh¨angigkeit der Phasenverschiebung) sorgt das synchrone Umschalten der beiden ur eine am Ausgangstiefpaß R4 C4 anliegende SignalSchalter S1 und S2 f¨ spannung, die im wesentlichen wieder eine Gleichspannung ist. Die Schalter S1 und S2 arbeiten dabei als Synchrongleichrichter. Wenn f¨ ur die Zerhackerkreisfrequenz die Relation 1 ωtakt ≫ (7.96) R4 C4 eingehalten wird, ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu [84] uA = V u E .

(7.97)

Als nachteilig kann sich bei Zerhacker-Verst¨arkern die geringe Signalbandbreite auswirken, welche auf die am Eingang notwendige Tiefpaßfilterung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. In der Praxis lassen sich nur Signalbandbreiten von etwa 0, 1 · ftakt bis 0, 3 · ftakt realisieren.

204

7 Meßverst¨ arker

synchrones Schalten R1

S1

S2

R4

2V

C3

C2 uE

u1 R 2

C1

u2

u3 R 3

u4

C4

uA

u E(t) 0 u 1 (t)

t

0 u 2 (t)

t

0 t

u 3 (t) 0 t u 4 (t), u A(t)

u4

uA

0

t

Abb. 7.34. Prinzipschaltung eines Zerhacker-Verst¨ arkers. Der Verst¨ arker V muß keine Gleichspannungs¨ ubertragungseigenschaften aufweisen, da er als reiner Wechselspannungsverst¨ arker arbeitet. Die Signalverl¨ aufe gelten f¨ ur einen Verst¨ arker, der einen Gesamt-Verst¨ arkungsfaktor (uA /uE ) von V = 2 aufweist.

7.2.4 Ladungsverst¨ arker Die elektrische Ladung kann mit Hilfe eines ballistischen Galvanometers gemessen werden. Das ballistische Galvanometer ist eine spezielle Ausf¨ uhrungsform des Drehspulmeßger¨ ates, dessen Wirkung darauf beruht, daß der ballistische Zeigerausschlag des Instrumentes unter bestimmten Bedingungen der ihm zugef¨ uhrten elektrischen Ladung proportional ist (siehe Kap. 6.1.2). Mit ballistischen Galvanometern sind Ladungsmessungen ab Q = 1 nC m¨oglich, wenn die Integrationszeit (jene Zeit, in der dem Drehspulmeßwerk die Ladung durch einen Strom zugef¨ uhrt wird) nicht gr¨ oßer ist als 10 % der Periodendauer der mechanischen Eigenschwingung des Galvanometers. In der modernen (elektronischen) Meßtechnik bedient man sich bei der Ladungsmessung elektronischer Verst¨ arkerschaltungen, die als Ladungsverst¨arker bezeichnet werden. Mit Hilfe von Ladungsverst¨ arkern lassen sich auch Ladungsmengen messen, die wesentlich kleiner sind als die oben angegebene Grenze von Q = 1 nC.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

205

Abb. 7.35. Ladungsverst¨ arker

Beim Ladungsverst¨ arker (Abb. 7.35) wird eine verlustarme Kapazit¨at C verwendet, um die von einem Strom i(t) in einem definierten Zeitintervall [0,t] gelieferte Ladung zu integrieren. Es gilt  t q(t) = i(t′ ) dt′ = Cu(t) . (7.98) 0

Bei Vernachl¨ assigung der Eingangsdifferenzspannung (uA = −u(t)) folgt uA (t) = −

1 q(t) . C

(7.99)

Die Ausgangsspannung uA (t) ist also proportional der vom Strom i(t) gelieferten Ladung q(t). Der effektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverst¨ arkers betr¨ agt RE = 0. Problematisch sind bei Ladungs- und Integrationsverst¨ arkern die Nullpunktfehlergr¨ oßen, die auch bei nicht vorhandenem Eingangssignal eine Hochintegration der Ausgangsspannung bis zur Begrenzung durch eine der beiden Speisespannungen bewirken. Im Dauerbetrieb ist entweder eine zyklische R¨ ucksetzung der Spannung an der Integrationskapazit¨ at notwendig, oder es muß mit einem hochohmigen Parallelwiderstand zur Kapazit¨ at daf¨ ur gesorgt werden, daß die durch Nullpunktfehler bedingte langsame Aufladung der Kapazit¨ at durch einen ebenso großen Entladestrom kompensiert wird.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern Unter Rauschen versteht man die statistische Abweichung eines Signals von seinem Sollwert. Bei elektronischen Bauteilen und damit auch bei elektronischen Meßverst¨ arkern unterscheidet man die folgenden, auf unterschiedlichen physikalischen Ursachen beruhenden Arten von Rauschen, welche verschiedenen Spektralbereichen zugeordnet werden k¨ onnen (Abb. 7.36). • Thermisches Rauschen (Johnson-noise) Das thermische Rauschen, das auch Widerstandsrauschen genannt wird, findet man in allen elektrischen Bauteilen mit Verlustwiderst¨anden. Es ist auf willk¨ urliche Ladungstr¨ agerbewegungen (W¨armebewegung der freien

206

7 Meßverst¨ arker

spektrale Rauschleistungsdichte

PopcornRauschen 1/f - Rauschen (Funkelrauschen) Thermisches Rauschen, Schrotrauschen

f Abb. 7.36. Spektrale Zuordnung verschiedener Rauscharten

Elektronen (Valenzelektronen)) zur¨ uckzuf¨ uhren, die mit der Temperatur an Intensit¨ at zunehmen. Ein ohmscher Widerstand kann bez¨ uglich seines Rauschverhaltens durch eines der in Abb. 7.37 gezeigten Ersatzschaltbilder dargestellt werden [19]. Die Effektivwerte der dort gezeigten RauschErsatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle lassen sich anhand der sog. NYQUIST-Formel ermitteln: – NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle 2 = u2r (t) = 4kT RB Ureff

(7.100)

– NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle (Abb. 7.37c) 2 Ireff = i2r (t) = 4kT

1 B. R

(7.101)

Dabei bezeichnen k = 1, 38 · 10−23 Ws/K die Boltzmann-Konstante, T (K) die absolute Temperatur, B (Hz) die Beobachtungsbandbreite, R (Ω) den Wert des ohmschen Widerstandes, Ureff die effektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und Ireff den effektiven Kurzschlußstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Das thermische Rauschen ist ein sog. Weißes Rauschen, d. h. es zeigt im interessierenden Frequenzbereich keinerlei spektrale Abh¨ angigkeit.

R R ur a)

G = 1R

bzw.

b)

ir c)

Abb. 7.37. Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

207

• Schrotrauschen (Schottky-Rauschen) Das Schrotrauschen, das auch als Stromrauschen bzw. Schottky-Rauschen bezeichnet wird, entsteht in Halbleitern, wenn Ladungstr¨ager eine Sperrschicht passieren. Abbildung 7.38 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung eines ¨ rauschenden pn-Uberganges. Es handelt sich hierbei ebenfalls um weißes Rauschen. Bei Operationsverst¨ arkern wird das Schrotrauschen vom Eingangsruhestrom verursacht. Der entsprechende Effektivwert des Rauschstroms Irschrot ergibt sich aus dem Eingangsruhestrom IB , der Elektronenladung e0 sowie der Beobachtungsbandbreite B 2 Irschrot = 2|e0 |IB B .

I

(7.102)

I rauschend

rauschfrei i rschrot

¨ Abb. 7.38. Ersatzschaltung eines rauschenden pn-Uberganges in bezug auf sein Schrotrauschen

• 1/f-Rauschen (Funkelrauschen) Das 1/f-Rauschen, das auch als Funkelrauschen (Flicker Noise) bezeichnet wird, erzeugt ein Rauschsignal mit einer Spektralverteilung, die mit 1/f zu h¨ oheren Frequenzen hin abf¨ allt. Bei Halbleiterbauelementen werden Oberfl¨ acheneigenschaften daf¨ ur verantwortlich gemacht, genau genommen handelt es sich dabei um fluktuierende Umladungen von Oberfl¨achenzust¨anden [19]. Das Funkelrauschen ist von seiner spektralen Verteilung her gesehen ein Rosa Rauschen, d. h. ein Rauschen, dessen charakteristisches Merkmal eine konstante Rauschleistung pro Frequenzdekade ist. • Rekombinationsrauschen (r-g-noise) (Quantenrauschen) Das Rekombinationsrauschen ist auf das willk¨ urliche Einfangen (Trapping) und Freigeben von Ladungstr¨ agern in Halbleitern zur¨ uckzuf¨ uhren, d. h. es wird durch die zuf¨ allige Generation bzw. Rekombination von Ladungstr¨ agern hervorgerufen. • Popcorn-Rauschen Das Popcorn-Rauschen, das auch als Burst-Rauschen bezeichnet wird, ist auf metallische Verunreinigungen im Halbleiter zur¨ uckzuf¨ uhren und ¨außert ¨ sich in Form zuf¨ allig auftretender Anderungen der Gleichstrom-Parameter. Es erscheint in der spektralen Rauschleistungsverteilung in Form eines diracf¨ ormigen Gleichanteils bei der Frequenz f = 0 (Abb. 7.36) [58].

208

7 Meßverst¨ arker

Die Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens Das Verst¨ arkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verst¨ arkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verh¨altnisses zwischen Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerh¨ altnisses legt man bei Vierpolen und somit auch bei Verst¨arkern die in Abb. 7.39 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Dabei wird das eigentliche Verst¨ arkerrauschen durch die Angabe einer Rauschspannungsquelle und einer Rauschstromquelle beschrieben. Beide Rauschquellen sind auf den Verst¨ arkereingang bezogen. Diese Rauschersatzquellen sind dabei im allgemei√ nen durch die spektralen Werte der Rauschspannungsdichte Ufr (f ) [nV/ Hz] √ bzw. der Rauschstromdichte Ifr (f ) [pA/ Hz] gekennzeichnet. Die ¨ aquivalente Rauscheingangsspannung UrEges am Verst¨ arkereingang erh¨alt man durch Rauschspannungsquelle

ur

Rauschstromquelle ir

uE

uA

uE

uA RE

RE Vierpol mit Rauschquellen

rauschender Verstärker

rauschfreier Verstärker

Abb. 7.39. Ersatzschaltung eines rauschenden Verst¨ arkers

¨ quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verst¨arkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen Rauschdichtegr¨ oßen u ¨ber das Frequenzintervall [fmin , fmax ], in dem gemessen wird. Die Effektivwerte der Rauschspannung Ureff sowie des Rauschstromes Ireff berechnen sich demnach wie folgt 2 Ureff = 2 = Ireff



fmax

fmin  fmax fmin

Ufr2 (f ) df

(7.103)

Ifr2 (f ) df .

(7.104)

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 7.40) ergibt sich die quadrati¨ sche Uberlagerung der Effektivwerte zu UrEges =



2 Ureff



RE RE + RQ

2

2 + Ireff



RE RQ RE + RQ

2

.

(7.105)

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

209

Rausch-ErsatzSpannungsquelle RQ

ir uE

ur

uA RE

U0Signal Rausch-ErsatzStromquelle

Abb. 7.40. Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles

Die Spannung UrEges ist der Effektivwert der auf den Verst¨arkereingang bezogenen Rauschspannung, welche das gesamte Verst¨arkerrauschen im Frequenzasentiert, d. h. der in Abb. 7.40 gezeigte eigentliche intervall [fmin , fmax ] repr¨ Verst¨ arker ist frei von Rauschquellen. In obiger Ableitung wurde die Korrelation zwischen den beiden Rauschquellen vernachl¨assigt, was in vielen praktischen F¨ allen in erster N¨ aherung erlaubt ist. F¨ ur den Fall nicht vernachl¨assigbarer Korrelation findet sich die entsprechende Herleitung in der Literatur, z. B. in [101]. Das Rauschen von Operationsverst¨ arkern Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Verst¨arkern ist beim Operationsverst¨ arker zu beachten, daß es sich hier nicht um ein Zweitor handelt. Der Eingang des Operationsverst¨ arkers besteht strenggenommen aus drei Klemmen (invertierender Eingang, nichtinvertierender Eingang und Masse). Daher sind f¨ ur die Beschreibung des Rauschens von Operationsverst¨arkern drei voneinander unabh¨ angige Rauschquellen erforderlich. Abbildung 7.41 zeigt einen Operationsverst¨ arker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die g¨angigste Darstellung, wenn auch prinzipiell andere Darstellungsformen m¨oglich sind. F¨ ur die Stromquellen gilt aus Symmetriegr¨ unden, daß die Rauschleistungsdichten ur uD

uA

uD

uA

i r,1

i r,2

Abb. 7.41. Rauschersatzschaltung eines Operationsverst¨ arkers

210

7 Meßverst¨ arker

gleich sind i2r,1 = i2r,2 .

(7.106)

Die Stromquellen sind dennoch als unkorreliert zu betrachten. Beispiele zum Rauschen von Operationsverst¨ arkern finden sich in [92]. Signal/Rausch-Verh¨ altnis Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis (Signal-to-Noise-Ratio) S/N an einem elektrischen Tor ist definiert als das Verh¨ altnis von Signalspannung zu Rauschspannung an diesem Tor. So ergibt sich das Signal/Rausch-Verh¨altnis am Ausgangstor des Verst¨ arkers zu

 UArauschfrei S [dB] = 20 lg , (7.107) N UrA arkerausgang (Effektivwert) und wobei UArauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ UrA die Rauschspannung am Verst¨ arkerausgang (Effektivwert) bezeichnen. Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis l¨ aßt sich aber auch auf den Verst¨arkereingang beziehen. F¨ ur die in Abb. 7.40 gezeigte Beschaltung des Verst¨arkers gilt # " RE

 UErauschfrei S RQ +RE U0Signal [dB] = 20 lg = 20 lg , (7.108) N UrEges UrEges wobei UErauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ arkereingang (Effektivwert) und arkereingang (Effektivwert) bezeichnen. UrEges die Rauschspannung am Verst¨ Bei obiger Berechnung wurde die Signalquelle (Abb. 7.40) zun¨achst als rauschfrei angenommen. Soll das Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Signal′ quelle ber¨ ucksichtigt werden, muß UrEges in Gl. (7.108) durch UrEges ersetzt werden 

2 RE ′ 2 UrEges = UrEges + 4kT RQ (fmax − fmin ) , (7.109) RQ + RE wobei UrEges die bereits in Gl. (7.105) berechnete, von den internen Rauschquellen des Verst¨ arkers hervorgerufene Rauschspannung bezeichnet. Rauschzahl Die Rauschzahl F eines rauschenden (Verst¨ arker-)Vierpols ist definiert als das Verh¨ altnis von Signal/Rausch-Verh¨ altnis am Eingangstor zum Signal/RauschVerh¨ altnis am Ausgangstor F =

PsE PrE PsA PrA

=

PsE PrA . PsA PrE

(7.110)

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

211

Dabei bezeichnen PsE die Signalleistung am Eingang, PsA die Signalleistung am Ausgang, PrE die Rauschleistung am Eingang (die von der Signalquelle oder von externen St¨ orquellen eingespeiste Rauschleistung) und PrA die Rauschleistung am Ausgang. Die Rauschzahl wird oft auch in logarithmischer Form angegeben F˜ (dB) = 10 lg F . (7.111) Unter Einbeziehung der Leistungsverst¨arkung Vp des Vierpols PsA PsE

(7.112)

PrA . Vp PrE

(7.113)

Vp = erh¨ alt man F =

Wenn man voraussetzt, daß der Verst¨ arker f¨ ur das Signal und das Rauschen dieselbe Leistungsverst¨ arkung aufweist, folgt f¨ ur die Rauschleistung PrA am Ausgang PrA = PrE Vp + PrAamp = PrE Vp + PrEamp Vp = PrEtot Vp ,

(7.114)

wenn PrEamp die auf den Verst¨ arkereingang bezogene und PrAamp die auf den Ausgang bezogene Rauschleistung des Verst¨arkers darstellen. Aus den Gln. (7.113) und (7.114) folgt f¨ ur die Rauschzahl F F =

PrAamp PrEamp PrEtot =1+ =1+ = 1 + Fz . PrE PrE Vp PrE

(7.115)

Der Term Fz bezeichnet die sog. Zusatzrauschzahl, welche im Falle eines nichtrauschenden Verst¨ arkers identisch Null ist, d. h. F = 1. Da die Leistungen amlich dem Eingangswiderstand RE PrEtot und PrE am selben Widerstand, n¨ des Verst¨ arkers, wirken, folgt mit den oben gew¨ahlten Bezeichnungen und der Rauschspannung UrEges aus Gl. (7.105) F =1+

2 UrEges = 1 + Fz . ′2 UrQuelle

(7.116)

′ In Gl. (7.116) bezeichnet UrQuelle die effektive Rauschspannung der Quelle, die mit dem Teilerverh¨ altnis des Eingangsspannungsteilers gewichtet am Verst¨ arkereingang wirksam wird ′ = UrQuelle UrQuelle

RE . RE + RQ

(7.117)

Wenn das Rauschen der Quelle durch das thermische Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Quelle beschrieben werden kann, folgt f¨ ur die entsprechende Rauschspannung UrQuelle

212

7 Meßverst¨ arker 2 = 4kT RQ (fmax − fmin ) . UrQuelle

(7.118)

Im weiteren wollen wir annehmen, daß der Eingangswiderstand RE des Verst¨ arkers wesentlich gr¨ oßer ist als der Innenwiderstand der Signalquelle (RE ≫ RQ ). Unter dieser Annahme folgt mit Gl. (7.105) und den Gln. (7.116)(7.118) 2 2 2 Ureff + Ireff RQ = 1 + Fz . F =1+ (7.119) 4kT RQ (fmax − fmin )

Im allgemeinen definiert man noch den sog. ¨ aquivalenten Rauschwiderstand Rr und den ¨ aquivalenten Rauschleitwert Gr des Vierpols, indem man den in Gl. (7.119) vorkommenden Rauschleistungen diese Werte wie folgt zuordnet 2 Ureff = 4kT (fmax − fmin )Rr 2 Ireff = 4kT (fmax − fmin )Gr .

(7.120) (7.121)

Damit l¨ aßt sich Gl. (7.119) in folgender Form schreiben F =1+

2 Rr + Gr RQ . RQ

(7.122)

Die durch Gl. (7.122) beschriebene Funktion F durchl¨auft in Abh¨angigkeit von RQ ein charakteristisches Minimum (Abb. 7.42). Man spricht von Rauschanpassung, wenn der Minimalwert Fmin der Rauschzahl erreicht wird. Der dazu notwendige optimale Innenwiderstand RQopt der Signalquelle ergibt sich durch Ableitung von Gl. (7.122) nach RQ und anschließendem Nullsetzen zu  Rr RQopt = . (7.123) Gr Damit l¨ aßt sich auch die bestenfalls erreichbare minimale Rauschzahl Fmin angeben  Ureff Ireff . (7.124) Fmin = 1 + 2 Rr Gr = 1 + 2kT (fmax − fmin ) log F

F min R Q opt

log R Q

Abb. 7.42. Abh¨ angigkeit der Rauschzahl vom Quellenwiderstand RQ

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

213

Rauschen von Kettenschaltungen Um die resultierende Rauschzahl einer Verst¨ arker-Kettenschaltung (Abb. 7.43) zu ermitteln, wird zun¨ achst jedem Vierpol eine Ersatzrauschspannungsquelle (mit der effektiven Rauschspannung UrEgesi ) zugeordnet, welche die internen Rauschquellen des Vierpoles ¨ aquivalent ersetzt. Wenn man alle Spannungen auf den Eingang der ersten Vierpolstufe bezieht, folgt f¨ ur den Signal/RauschVerh¨ altnis " # S U0Signal = 20 lg (7.125) ′ N UrEges ⎞ ⎛ ⎜ U0Signal = 20 lg ⎜ ⎝ U2 2 2 UrQuelle + UrEges1 + rEges2 + V2 u1

2 UrEges3 2 V2 Vu1 u2

+ ...

⎟ ⎟ , ⎠

wobei UrEgesi die Ersatzrauschspannung des i-ten Vierpols und Vui die Spannungsverst¨ arkung des i-ten Vierpols bezeichnen. UrQuelle UrEges1

UrEgesn

UrEges2 .....

RQ U0Signal

Vierpol 1

Vierpol 2

Vierpol n

VU1

VU2

VUn .....

Abb. 7.43. Rauschen von Vierpol-Kettenschaltungen

Friis hat in einer grundlegenden Arbeit [54] die Gesamtrauschzahl Fges einer Vierpol-Kettenschaltung abgeleitet (siehe auch [19]) Fges = F1 +

F3 − 1 Fn − 1 F2 − 1 + + ... + . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.126)

In Gl. (7.126) bezeichnen Fi die Rauschzahl des i-ten Vierpoles und Vpi seine Leistungsverst¨ arkung. F¨ ur mehrstufige Verst¨ arkerschaltungen kann bei gen¨ ugend hoher Leistungsverst¨ arkung der einzelnen Stufen folgende N¨aherung angenommen werden F1 ≫

F2 − 1 F3 − 1 Fn − 1 ≫ ≫ ... ≫ . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.127)

Dies bedeutet, daß das Rauschverhalten der Kettenschaltung im wesentlichen vom Rauschen der Eingangsstufe bestimmt wird.

214

7 Meßverst¨ arker

Rauschmessung: Bestimmung der Rauschzahl Ein ohmscher Widerstand gibt bei der absoluten Temperatur T gem¨aß den Gln. (7.100) und (7.101) im Frequenzintervall B = fmax − fmin bei Leistungsanpassung die Rauschleistung PrR ab PrR = kT B ,

(7.128)

wobei k die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K bezeichnet. Leistungsanpassung heißt, daß der rauschende Widerstand seine Leistung an einen Zweipol bzw. das Eingangstor eines Vierpols abgibt, dessen Innenwiderstandswert mit dem des Rauschwiderstandes u ¨bereinstimmt, so daß am Zweipol nur die H¨ alfte der urspr¨ unglichen Rauschspannung (Gl. (7.100)) anliegt. Die auf diese Weise von einem ohmschen Widerstand abgegebene Rauschleistung h¨ angt nicht vom Widerstandswert ab, sondern wird nur von der Temperatur des Widerstandes und der Beobachtungsbandbreite B bestimmt. Gem¨ aß einer zweiten Rauschzahl-Definition gibt die Rauschzahl F auch an, um welchen Faktor ein Vierpol mit der Leistungsverst¨arkung Vp bei der Referenztemperatur T0 = 290 K die thermische Rauschleistung PrR des Innenwiderstandes der Signalquelle durch sein Eigenrauschen vergr¨oßert [101]. Die Umrechnung in die urspr¨ ungliche Definition (Gl. (7.110)) l¨aßt sich wie folgt durchf¨ uhren F =

PsE PrA PrA PrA . = = PsA PrE Vp PrR Vp kT0 B

(7.129)

Gleichung (7.128) findet Anwendung, um die Rauscheigenschaften von Vierpolen durch Angabe einer fiktiven Rauschtemperatur TR zu beschreiben. Dazu wird der Rauschleistung PrE mit Hilfe von Gl. (7.128) die Temperatur T0 und der Rauschleistung PrEamp die Temperatur TR zugeordnet (s. auch Abb. 7.44).

PrA0 bzw. PrA1 PrE0 = k T 0 B

PrE1 = k T 1 B

Verstärker VP , Pramp

Leistungsmeßgerät

DUT R (T0 )

R (T1 )

Abb. 7.44. Prinzipschaltung zur Messung der Rauschzahl eines Verst¨ arkers (=DUT (Device Under Test)). Der Widerstand R gibt im Frequenzintervall B die temperaturabh¨ angige Rauschleistung PrE = PrR = kT B ab. Es wird Leistungsanpassung zwischen dem als Rauschgenerator dienenden ohmschen Widerstand R und dem Verst¨ arkereingang vorausgesetzt.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

215

Mit Gl. (7.115) ergibt sich dann die fiktive Rauschtemperatur TR zu TR = (F − 1)T0 .

(7.130)

Die Rauschmessung kann mit Hilfe der Prinzipschaltung nach Abb. 7.44 erfolgen. Dabei wird die Rauschleistung am Ausgang eines Verst¨arkers, dessen Rauschzahl gemessen werden soll, f¨ ur zwei unterschiedliche (aber bekannte) Eingangsrauschleistungen mit Hilfe eines Leistungsmeßger¨ates gemessen. Bei linearem Verhalten des Verst¨ arkervierpols gilt f¨ ur die Gesamtrauschleiangigkeit der am Eingang eingespeisten stung PrA an seinem Ausgang in Abh¨ Rauschleistung PrE = kT B (Abb. 7.45) PrA0 = kT0 BVp + Pramp = kT0 BVp F

(7.131)

PrA1 = kT1 BVp + Pramp ,

(7.132)

bzw. wobei Pramp die Gesamtrauschleistung der internen Rauschquellen des Verst¨ arkers bezeichnet. Infolge des linearen Verhaltens (Abb. 7.45) gilt weiterhin

bzw. F˜ (dB) = 10 lg

F =

T1 T0 − 1 PrA1 PrA0 − 1





ΔT T0

− 10 lg

(7.133)

 PrA1 −1 , PrA0

(7.134)

wobei ΔT = T1 − T0 die Rauschtemperaturdifferenz beschreibt. In der Praxis werden keine rauschenden Widerst¨ ande sondern Rauschgeneratoren verwendet, die in der Lage sind, definiert einstellbare Rauschleistungen abzugeben. PrA PrA1 kTBVP

PrA0 = kT 0 BVP F Pramp

-T R = -

Pramp kBVP

0

T0

T1

T

P rE0

PrE1

PrE =kTB

Abb. 7.45. Rauschleistung am Vierpolausgang als Funktion der Temperatur des Quellwiderstandes bzw. als Funktion der Eingangsrauschleistung. Die Steigung beider Geraden betr¨ agt kBVp

216

7 Meßverst¨ arker

Im allgemeinen wird dann auch die in dB gemessene Rauschleistungserh¨ohung ENR (Excess Noise Ratio)

 ΔT EN R = 10 lg (7.135) T0 anstatt der Rauschtemperaturdifferenz ΔT angegeben. Der Quotient PrA1 /PrA0 wird oft auch als Y-Faktor bezeichnet Y = Daraus folgt

PrA1 . PrA0

(7.136)

F˜ (dB) = EN R − 10 lg(Y − 1) .

(7.137)

Bei vorgegebenem Wert von ENR kann mit Hilfe eines geeigneten Leistungsmessers der Y-Faktor gemessen und damit die Rauschzahl anhand von Gl. (7.137) bestimmt werden. Diese Art der Rauschmessung wird oft auch als Y-Faktor-Methode bezeichnet. Als Rauschgenerator (Noise Source) kann man eine der handels¨ ublichen Rauschquellen verwenden. Einer der meist gebr¨ auchlichen Rauschgeneratoren ist die Rauschquelle No. 346 in Ausf¨ uhrungsform A, B bzw. C (Abb. 7.46). Diese Quelle ist in der Lage, Rauschsignale im Frequenzbereich 10 MHz bis 26,5 GHz zu liefern. Ihr Excess Noise Ratio betr¨ agt 15 dB, entsprechend einer Rauschtemperatur von etwa 10.000 K (s. Gl. (7.135)). Die Kalibrierung des ENR-Wertes hat aufgrund der hohen Bandbreite, die das Ger¨ at abdeckt, f¨ ur spezifische Frequenzb¨ander separat zu erfolgen. Abbildung 7.46b zeigt einen weiteren handels¨ ublichen Rauschgenerator, der bis 50 GHz spezifiziert ist. Als eigentliche Rauschquellen werden in diesen Rauschgeneratoren Siliziumdioden mit niedriger Kapazit¨at genutzt, die mit Hilfe einer Konstantstromquelle im Bereich ihres Zenerdurchbruchs betrieben werden. Die Dioden liefern in diesem Betriebszustand bis zu Frequenzen von ca. 50 GHz ein nahezu konstantes Rauschspektrum [3], [67], [68].

a)

b)

Abb. 7.46. Standard-Rauschquellen: a) Rauschgenerator 346B; b) Rauschgenerator 4001A

Die Rauschzahl kann schließlich mit Hilfe eines Rauschzahlmeßger¨ates (NFA (Noise Figure Analyzer)) (Abb. 7.47) oder auch eines Spektrumanalysators gemessen werden. Das Herz eines Noise-Figure-Analysators besteht aus einem

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

217

Abb. 7.47. Rauschzahlmeßger¨ at (Noise Figure Analyzer (NFA))

hochgenauen Leistungsmesser (Power Detector), der in Kombination mit einem Rauschgenerator die Rauschzahl nach der oben beschriebenen Y-FaktorMethode bestimmt. Da Spektrumanalysatoren in der Lage sind, spektrale Leistungsdichteverteilungen zu messen, l¨ aßt sich mit ihrer Hilfe ebenfalls die Rauschzahl in Abh¨ angigkeit der Frequenz bestimmen. Gegen¨ uber einem reinen Rauschzahlmeßger¨ at besitzen sie den Vorteil einer universellen Verwendbarkeit. Rauschzahlmessung in geschirmter Umgebung Die Messung von Rauschzahlen erweist sich in normaler Laborumgebung aufgrund der dort im allgemeinen vorhandenen St¨oreinfl¨ usse oft als nicht durchf¨ uhrbar. Dies gilt insbesondere dann, wenn eine niedrige Rauschzahl (F < 3 dB) gemessen oder wenn eine hohe Meßgenauigkeit gefordert wird. Solche Messungen erfordern dann entweder einen speziellen EMV-Meßraum oder zumindest eine Meßbox, die f¨ ur die notwendige Abschirmung gegen ¨außere elektromagnetische Felder und auch Leitungsst¨orungen sorgt. Kommerziell erh¨ altlich gibt es verschiedene Ausf¨ uhrungsformen solcher Meßboxen. Eine davon wird von dem Meßger¨ ate-Hersteller Rohde & Schwarz (R & S) angeboten [175]. Ihre ¨ außeren Abmessungen (B×H×T) betragen ca. 700 mm × 300 mm × 500 mm. Der Pr¨ ufling (DUT (Device Under Test)) wird zur Messung in das geschirmte Innere der Meßbox gegeben. Die Box weist in ihrer H¨ ulle eine elektromagnetische Schirmung auf, die f¨ ur eine obere Frequenz von 3 GHz und ein (frequenzabh¨ angiges) Schirmmaß von 40 bis 75 dB spezifiziert ist. In Verbindung mit einem Rauschgenerator und einem Vorverst¨arker, die sich ebenfalls beide in der Meßbox befinden, sowie einem außerhalb der Box befindlichen Spektrumanalysator wird das Meßsystem zur Rauschzahlmes-

218

7 Meßverst¨ arker

sung komplettiert (Abb. 7.48). Die Rauschmessung kann dabei automatisch per Softwaresteuerung von statten gehen. Dazu wird eine spezielle Meßsoftware (FS-3K) zur Verf¨ ugung gestellt, die seitens des Spektrumanalysators, beispielsweise ein FSPx (x=3/7/13/30 steht f¨ ur die obere Grenzfrequenz des Analysators in GHz) von R & S, eine 28 V Gleichspannung bereitstellt. Mittels dieser Spannung wird der Rauschgenerator gezielt ein- und ausschaltet. Im ausgeschalteten Zustand betr¨ agt seine Rauschtemperatur T0 =290 K (s. Abb. 7.45), w¨ ahrend sich im eingeschalteten Zustand die Rauschtemperatur um ΔT auf T1 erh¨ oht. Der Wert von ΔT l¨ aßt sich aus Gl. (7.135) aus dem von Hersteller angegebenen ENR-Wert ermitteln. Das vor der Rauschquelle angeordnete Filter dient der Eliminierung von St¨orungen, die sich eventuell auf der 28V-Leitung befinden. Das Meßsignal gelangt nach der (eventuellen) Vorverst¨ arkung auf den Eingang des Spektrumanalysators. Der Spektrumanalysator mißt die frequenzabh¨ angigen Signalleistungen (Y-Faktor) in Abh¨angigkeit des vom Rauschgenerator vorgegebenen ENR-Wertes. Der Vorverst¨arker wird aus Entst¨ orgr¨ unden von einem in der Meßbox befindlichen Akkumulator gespeist. F¨ ur den Fall, daß das Testobjekt einen Anschluß nach außen ben¨ otigt, sind weitere Anschl¨ usse in Form entst¨orter Leitungsdurchf¨ uhrungen vorhanden. 28 VDC

Spektrumanalysator FSPx

elektromagnetisch geschirmte Meßbox Device under Test

Vorverstärker Akku

optionale Anschlußleitungen für DUT

DUT

Rauschgenerator

Filter

Abb. 7.48. Rausch-Meßplatz mit elektromagnetisch geschirmter Meßbox der Firma Rohde & Schwarz [175]

8 Messung der elektrischen Leistung

8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis Die elektrische Leistung P an einem elektrischen Tor ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I P = UI .

(8.1)

Diese Leistung kann mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes gemessen werden. Dazu schickt man den Strom I durch die Feldspule (Widerstand RWA ) und legt die Spannung U an die Drehspule (Widerstand RWV ) an. Abbildung 8.1 zeigt die entsprechende Schaltung mit dem elektrodynamischen Meßwerk. Falls der Strom I2 durch die Drehspule gegen¨ uber dem Verbraucherstrom IV vernachl¨ assigt werden darf, ist der Zeigerausschlag α proportional zur Leistung PV des Verbrauchers ˜ 2 + IV )I2 ≈ kI ˜ V I2 ˜ 1 I2 = k(I α = kI ˜ V UV = kUV IV = kPV . = kI RWV

(8.2)

Die Feldspule sollte wegen der Strommessung niederohmig und die Drehspule wegen der Spannungsmessung hochohmig sein.

Abb. 8.1. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk. Der Punkt kennzeichnet die Polarit¨ at des Spannungspfades. R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

220

8 Messung der elektrischen Leistung

Abb. 8.2. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk: a) Es werden der Quellstrom und die Verbraucherspannung richtig gemessen. b) Es werden die Quellspannung und der Verbraucherstrom richtig gemessen.

Die von der Quelle gelieferte Leistung PQ teilt sich in die vom Verbraucher umgesetzte Leistung PV und die vom Meßger¨ at ben¨otigte Leistung PM PQ = PV + PM .

(8.3)

Wie anhand von Abb. 8.2 deutlich wird, kann ein elektrodynamisches Meßwerk stromrichtig oder spannungsrichtig angeschlossen werden. Die Begriffe strom- und spannungsrichtig beziehen sich dabei entweder auf die Quellenseite (Quellentor) oder die Verbraucherseite (Verbrauchertor) des Meßger¨ates. Spannungsrichtig in bezug auf die Verbraucherseite heißt, daß die am Verbraucherwiderstand RV anliegende Spannung UV gemessen wird, w¨ahrend der Strom, der durch die Stromspule des Meßger¨ ates fließt, dem Quellstrom, d. h. also der Summe aus Verbraucherstrom IV und Drehspulenstrom I2 , entspricht (Abb. 8.2a). Bei der in bezug auf die Verbraucherseite stromrichtigen Messung ist es umgekehrt, hier wird der richtige Wert des Verbraucherstroms gemessen, w¨ ahrend am Spannungseingang die Summe aus Verbraucherspannung und Feldspulenspannung anliegt. Eine korrekte Messung der Verbraucherleistung oglich, wenn das elektrodynamische PV bzw. der Quelleistung PQ ist erst m¨ Meßwerk um eine Korrekturspule erweitert wird, welche dieselbe Windungszahl aufweist wie die Stromspule (Abb. 8.3). Durch diese Korrekturspule fließt der Strom, den auch die Drehspule f¨ uhrt (I2 ). Bei der Stromrichtung nach Abb. 8.3a addiert sich die Wirkung dieses Korrekturspulenstroms zu der des Feldspulenstroms I1 , so daß die Leistung quellrichtig gemessen wird. Bei Stromumkehr nach Abb. 8.3b kann die Leistung verbraucherrichtig gemessen werden. Es sollte jedoch erw¨ ahnt werden, daß generell bei allen Messungen durch das Einbringen des elektrodynamischen Meßwerkes systematische Meßfehler

Abb. 8.3. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Es wird die Quelleistung richtig gemessen. b) Es wird die Verbraucherleistung richtig gemessen.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

221

auftreten. So wird bei einer verbraucherrichtigen Messung beispielsweise zwar die aktuelle Verbraucherleistung korrekt erfaßt, die Verbraucherleistung jedoch, die bei nicht vorhandenem Meßwerk im Verbraucher umgesetzt w¨ urde, erh¨ alt man erst nach einer Fehlerkorrektur der systematischen Meßfehler.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1 Begriffsdefinitionen Nachdem sich mit Hilfe der Fourieranalyse jeder beliebige periodische Zeitverlauf einer Spannung bzw. eines Stromes in seine rein sinusf¨ormigen Spektralkomponenten zerlegen und in Form einer Fourierreihe darstellen l¨aßt, k¨onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf rein sinusf¨ ormige Zeitverl¨ aufe beschr¨ anken ˆ sin(ωt + ϕu ) u(t) = U i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) .

(8.4) (8.5)

Die entsprechenden Effektivwertbetr¨ age erh¨ alt man mit der Definition aus Kap. 6.3.1 ˆ U Ueff = √ 2 ˆ I Ieff = √ . 2

(8.6) (8.7)

Die Wechselgr¨ oßen aus Gln. (8.4) und (8.5) lassen sich alternativ in komplexer Schreibweise als Zeigergr¨ oßen ˆ ejϕu U ∗ = U ˆ e−jϕu U =U ˆ −jϕi , ˆ jϕi I ∗ = Ie I = Ie

(8.8) (8.9)

oder als Effektivwertzeiger angeben U eff = Ueff ejϕu I eff = Ieff ejϕi .

(8.10) (8.11)

8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz In (einphasigen) Wechselstromkreisen sind die folgenden Leistungsgr¨oßen definiert:

222

8 Messung der elektrischen Leistung

Komplexe Leistung P Die komplexe Leistung P ist folgendermaßen definiert P = U eff I ∗eff = Ueff Ieff ejϕu −ϕi = Ueff Ieff ejϕui

(8.12)

P = Re(P ) + jIm(P ) = PW + jPB .

(8.13)

Wirkleistung PW Die Wirkleistung PW ist der Teil der komplexen elektrischen Leistung, der in der Impedanz Z in eine andere (nicht-elektrische) Energieform, wie z. B. in mechanische Energie oder in W¨ armeenergie umgesetzt wird. Sie entspricht dem Produkt von Spannungs- und Stromeffektivwert, multipliziert mit dem Cosinus der Phasenwinkeldifferenz zwischen Strom und Spannung (Einheit Watt (W)) (8.14) PW = Re(P ) = Ueff Ieff cos ϕui . Die Messung der Wirkleistung kann direkt mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes erfolgen, da bei diesem der Zeigerausschlag dem Produkt I1eff I2eff cos ϕ proportional ist (Gl. (6.47)). Es gelten ansonsten die bereits f¨ ur den Gleichstromkreis aufgestellten Regeln (Kap. 8.1). Blindleistung PB Die Blindleistung PB wird durch das Speicherverhalten einer komplexen Impedanz verursacht. Dieser Teil der Leistung pendelt periodisch zwischen der Quelle und dem Verbraucher mit der Impedanz Z hin und her (Einheit VoltAmpere-reaktiv (VAR bzw. VAr)) PB = Im(P ) = Ueff Ieff sin ϕui .

(8.15)

Die Blindleistung wird ebenfalls mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes bestimmt. Allerdings muß ein 90◦ -Phasenschieber verwendet werden, der den Strom des Spannungspfades gegen¨ uber der Spannung U V um −90◦ dreht

Abb. 8.4. Messung der Blindleistung in einem Wechselstromkreis mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes und einem 90◦ -Phasenschieber.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

223

(Abb. 8.4). F¨ ur den Zeigerausschlag α gilt dann ˜ 1eff I2eff cos ϕ ≈ kIVeff UVeff cos(ϕ − 90◦ ) = kIVeff UVeff sin ϕ . α = kI

(8.16)

Da die 90◦ -Phasenverschiebung frequenzabh¨ angig ist, sind die Ger¨ate zur Blindleistungsmessung u ur eine Frequenz von 50 Hz bzw. 60 Hz ¨blicherweise f¨ konzipiert. F¨ ur stark oberwellenhaltige Signale ergeben sich daher fehlerhafte Meßwerte. Die Blindleistung wird bei induktiven Lasten positiv und bei kapazitiven Lasten negativ angezeigt. Scheinleistung PS Die Scheinleistung ist die in einer komplexen Impedanz Z umgesetzte Leistung. Sie entspricht dem Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung an der Impedanz Z (Einheit Volt-Ampere (VA))  2 + P2 . PS = |P | = Ueff Ieff = PW (8.17) B Meßtechnisch l¨ aßt sich die Scheinleistung am einfachsten durch separate Strom- und Spannungsmessungen der Effektivwerte Ieff und Ueff und die anschließende Produktbildung gem¨ aß Gl. (8.17) ermitteln. 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen Prinzipielle Schaltungsvarianten in Drehstromsystemen Bei Drehstromsystemen unterscheidet man zwischen dem 3-Leiter-System und dem 4-Leiter-System, je nachdem, ob ein Neutralleiter vorhanden ist oder nicht. Abbildung 8.5 zeigt beide Varianten. Die komplexen Verbraucher Z 1 ,

Abb. 8.5. a) 4-Leiter-Drehstromsystem mit Sternschaltung der Verbraucher (N: Neutralleiter), b) 3-Leiter-Drehstromsystem mit Dreieckschaltung der Verbraucher

224

8 Messung der elektrischen Leistung

Z 2 und Z 3 k¨ onnen in Form einer Sternschaltung (Abb. 8.5a) oder einer Dreieckschaltung (Abb. 8.5b) zusammengeschaltet werden. Beim 4-Leiter-System hat man zwischen den Leiterspannungen (verkettete Spannung) U 12 , U 23 und U 31 (Spannungen zwischen zwei Außenleitern) und den Sternspannungen U 1N , U 2N und U 3N (Spannungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter) zu unterscheiden (Abb. 8.5). Der Neutralleiter wird auch als Sternpunkt bezeichnet. Im Falle eines 3-Leiter-Systems kann man sich zu meßtechnischen Zwecken (Abb. 8.9) einen k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ schaffen, indem man die drei Leiter L1 , L2 und L3 jeweils mit einem hochohmigen Widerstand R zu dem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbindet. Im folgenden wollen wir zun¨ achst eine symmetrische Belastung voraussetzen, d. h. die drei Lastimpedanzen sind identisch Z 1 = Z 2 = Z 3 . Im Zeigerdiagramm (Abb. 8.6) erkennt man, daß sowohl die Leiterspannungen als auch die Sternspannungen um jeweils 120◦ gegeneinander phasenverschoben sind. In Drehstromnetzen gilt generell U 12 = U 1N − U 2N U 23 = U 2N − U 3N U 31 = U 3N − U 1N .

(8.18) (8.19) (8.20)

Dabei sollte erw¨ ahnt werden, daß sich in 3-Leiter-Systemen die Bezeichnung N auf den k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ bezieht. Im speziellen gilt bei symmetrischer Belastung U 1N = U

(8.21)

U 2N = U e

−j120◦

(8.22)

U 3N = U e

+j120◦

(8.23)

und |U 31 | =

 √ |U 1N |2 + |U 3N |2 − 2|U 1N ||U 3N | cos 120◦ = |U 1N | 3 . (8.24)

Die Leiterspannungen sind betragsm¨ aßig stets gleich

Abb. 8.6. Zeigerdiagramm eines symmetrisch belasteten Drehstromsystems. Leiterspannungen: U 12 , U 23 , U 31 ; Sternspannungen: U 1N , U 2N , U 3N

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

√ √ |U 12 | = |U 23 | = |U 31 | = |U | 3 = U 3

225

(8.25)

und ihre (Zeiger)-Summe ergibt Null U 12 + U 23 + U 31 = 0 .

(8.26)

Die Str¨ ome des 4-Leiter-Systems gen¨ ugen folgender Bedingung I1 + I2 + I3 = IN .

(8.27)

F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung (gleiche Lastimpedanzen Z 1 = Z 2 = Z 3 ) verschwindet der Strom im Neutralleiter des 4-Leiter-Systems. Weiterhin gilt f¨ ur die Leiterstr¨ ome I1 = I

(8.28)

I2 = I e

−j120◦

I3 = I e

+j120◦

(8.29) .

(8.30)

Aus Abb. 8.7 folgt der Zusammenhang zwischen Leiterstr¨omen und Strangstr¨ omen bei einer Dreieckschaltung 1 |I 12 | = |I 23 | = |I 31 | = √ |I| . 3

(8.31)

Im 3-Leiter-System ist die Summe der drei Leiterstr¨ome infolge des nicht vorhandenen Neutralleiters stets Null I1 + I2 + I3 = 0 .

(8.32)

omen I ij bei der Abb. 8.7. Zeigerdiagramm von Leiterstr¨ omen I i und Strangstr¨ Dreieckschaltung. Die Form des gleichseitigen Dreiecks erh¨ alt man nur f¨ ur symmetrische (gleiche) Lasten Z i .

226

8 Messung der elektrischen Leistung

Messung der Wirkleistung in Drehstromsystemen F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung gen¨ ugt ein Leistungsmesser, i.allg. wiederum ein elektrodynamisches Meßwerk. Die umgesetzte Gesamtleistung ergibt sich dabei als die dreifache Einzelleistung, welche gerade von dem einen Leistungsmesser angezeigt wird. F¨ ur den allgemeinen Fall unsymmetrischer Belastung jedoch werden beim 4-Leiter-System drei und beim 3-Leiter-System zwei Leistungsmesser ben¨ otigt. Es gilt die generelle Regel, daß n−1 Leistungsmesser eingesetzt werden m¨ ussen, wenn n Leitungen zu einem Verbraucher f¨ uhren, da eine der Leitungen stets als R¨ uckleitung angesehen werden kann. 4-Leiter-System Zur Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-System werden drei elektrodynamische Meßwerke gem¨ aß Abb. 8.8 zusammengeschaltet. Die Gesamtwirkleistung PWges ergibt sich als Summe der einzelnen Leistungen PWi PWges = PW1 + PW2 + PW3 = U1Neff I1eff cos ϕ1 + U2Neff I2eff cos ϕ2 + U3Neff I3eff cos ϕ3 . (8.33) Dabei bezeichnet ϕi den Phasenwinkel zwischen dem Strom Ii und der Spannung UiN .

Abb. 8.8. Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem

3-Leiter-System Oft werden auch bei 3-Leiter-Systemen drei Leistungsmesser eingesetzt, um die einzelnen Leistungen getrennt beobachten zu k¨onnen. Das Meßergebnis ist damit außerdem genauer, insbesondere bei kleinen Leistungen und großen Phasenwinkeln. Da das 3-Leiter-System keinen Mittelpunktleiter aufweist,

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

227

Abb. 8.9. Wirkleistungsmessung im 3-Leiter-System

m¨ ussen die drei Spannungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbunden werden. Dies entspricht der Schaltung nach Abb. 8.9. Dabei m¨ ussen die Widerst¨ ande bzw. Impedanzen der Spannungspfade aus Symmetriegr¨ unden gleich sein. Die Gesamtwirkleistung l¨ aßt sich dann wiederum nach Gl. (8.33) ermitteln. Im 3-Leiter-System gen¨ ugen allerdings auch zwei Leistungsmesser, wenn man sie in Form der sog. Aaronschaltung (Abb. 8.10) zusammenschaltet. Die beiden Meßwerke zeigen die von ihnen gemessenen Wirkleistungen PW1 und PW2 an, die sich in der Summe wie folgt darstellen PW1 + PW2 = U13eff I1eff cos( 2fsmax .

(11.90)

Die maximal m¨ ogliche Abtastfrequenz famax errechnet sich dabei als Reziprokwert der Summe aller am Umsetzungsprozeß beteiligten Zeiten 1 1 . = Tamin ApertureTime + SettlingTime + ConversionTime (11.91) Schwankungen der Aperture Time, die auch als Apertur Jitter bzw. AperturUnsicherheit bezeichnet werden, bedeuten Schwankungen der Abtastzeitpunkte, was zu einem dynamischen Fehler f¨ uhrt. Dieser Fehler ist um so gr¨oßer, ¨ je gr¨ oßer die zeitliche Anderung der Eingangsspannung (duE /dt) ist. Diese zeitlichen Schwankungen der Abtastzeitpunkte machen sich in Form von Amplitudenunsicherheiten bemerkbar, welche um so gr¨oßer werden, je steiler der zeitliche Anstieg der Eingangsspannung ist. Im allgemeinen fordert man, daß der daraus resultierende Betrag des absoluten Fehlers |ΔU | kleiner als 1 /2 ULSB bleiben soll, da ansonsten das niedrigstwertige Bit (Least Significant Bit (LSB)) wertlos w¨ are 1 |ΔU | ≤ ULSB . (11.92) 2 famax =

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

365

Um die aus dieser Vorgabe (Gl. (11.92)) resultierende Forderung bez¨ uglich der zeitlichen Schwankungen ΔTjitter der Abtastzeitpunkte herzuleiten, wollen wir annehmen, daß die Eingangsspannung uE einen sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweist ˆ sin ωt . uE (t) = U (11.93) Mit der Beziehung ΔU =



duE (t) dt



Δt

(11.94)

max

folgt aus den Gln. (11.92) und (11.93) die entsprechende Forderung bez¨ uglich des zeitlichen Jitters ΔTjitter ΔTjitter ≤

1 ULSB . ˆω 2 U

(11.95)

ˆ = UAmax ) l¨aßt sich daraus die Grenze f¨ Bei Vollaussteuerung des ADC (2U ur den absoluten Jitterfehler angeben ΔTjitter ≤

1 1 ULSB = N ≈ N . UAmax ω (2 − 1)ω 2 ω

(11.96)

Soll beispielsweise mit Hilfe eines 8-Bit ADC ein 50-MHz-Signal umgesetzt werden, leitet sich daraus die Forderung ab, daß die zeitliche Apertur-Unsicherheit ΔTjitter ≤ 12, 5 ps sein muß.

11.8 Digital-Multimeter (DMM) 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit Digital-Multimeter (DMM) sind universelle Meßger¨ate zur standardm¨aßigen Messung von Spannung, Strom und ohmschen Widerst¨anden. Sie bestehen neben einem Netzwerk von Messwiderst¨ anden und einer Stromquelle zur Widerstandsmessung (s. Abb. 11.75) aus einem Effektivbaustein (s. Abschn. 11.8.2), einem Analog-Digital-Converter (ADC) und einer Digitalanzeige. Als ADCs

Abb. 11.75. Blockschaltbild eines Digital-Multimeters

366

11 Digitale Meßtechnik

verwenden sie meist Dual-Slope-Umsetzer, da diese bei ausreichender Meßgeschwindigkeit hohe Meßgenauigkeiten bei geringem Hardware-Aufwand garantieren. Digital-Multimeter arbeiten mit drei bis zehn (in Sonderf¨allen bis zu einigen hundert) Wandlungen in der Sekunde. Je nach Genauigkeitsanforderungen liegt die Anzahl der angezeigten Stellen zwischen 3 1/2 und 8 1/2 (Tab. 11.14). Dabei bezeichnet die erste Ziffer die Zahl der angezeigten Nachkommastellen. Die f¨ uhrende eins wird als halbes Digit angegeben. Tabelle 11.14. Daten von Digital-Multimetern Anzahl der Stellen

AnzeigeUmfang

Au߬ osung

typische Genauigkeit (Gleichspannung)

3 1/2 4 1/2 5 1/2 7 1/2

± ± ± ±

5·10−4 5·10−5 5 ·10−6 5·10−8

0,25 % 0,05 % 0,01 % 0,001 %

1,999 1,9999 1,99999 1,9999999

Es ist eine gewisse Diskrepanz zwischen der Aufl¨osung und der Genauigkeit festzustellen. Der grunds¨ atzliche Fehler von Digital-Multimetern betr¨agt ±1 Digit, wobei 1 Digit der letzten angezeigten Nachkommastelle entspricht. Ein typisches Ger¨ atebeispiel soll dies verdeutlichen. So betr¨ agt die (relative) Aufl¨ osung eines 3 1/2 -stelligen DMM 1/(2000) = 0, 0005. Die Genauigkeit wird jedoch mit 0, 25% angegeben, was 5 Digits entspricht (5/2000 = 0, 25%). Da sich die Verh¨ altnisse bei Digital-Multimetern mit noch mehr Stellen eher verschlechtern, muß in der Praxis meist die letzte angezeigte Stelle wegen ihrer großen Unsicherheit bei den Genauigkeitsbetrachtungen gestrichen werden. 11.8.2 Beispiel eines 4 1/2 -stelligen Digital-Multimeters In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen den angezeigten Stellen des Digital-Multimeters und der Aufl¨ osung seines Analog-Digital-Converters (ADC) ermittelt werden. Nimmt man beispielsweise ein 4 1/2 -stelliges DMM, so betr¨ agt seine relative Aufl¨ osung 5 · 10−5 . Die entsprechende absolute Aufl¨ osung ergibt sich zu 2 V · 5 · 10−5 = 10−4 V. Dieser Wert entspricht gleichzeitig dem absoluten Spannungspegel des Least Significant Bit (ULSB ) des Analog-Digital-Converters. Mit dem Zusammenhang Umax = (2N − 1) · ULSB folgt 2 V = (2N − 1) · 10−4 V 2N − 1 = 2 · 104

(11.97)

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

367

2N ≈ 2 · 104 lg(2 · 104 ) N= lg(2) lg(2 · 104 ) = 14, 3 → N = 15 . lg(2)

(11.98)

Die entsprechenden Aufl¨ osungen f¨ ur Digital-Multimeter mit anderer Stellenanzahl k¨ onnen Tab. 11.14 entnommen werden. Im allgemeinen bestimmt der Widerstand eines Eingangsspannungsteilers den Eingangswiderstand des Digital-Multimeters (meistens in der Gr¨oßenordnung 10 MΩ), w¨ ahrend die eigentliche Meßschaltung Innenwiderst¨ande von ahige Digital-Multimeter (Abb. 11.77) > 108 Ω aufweist. Moderne leistungsf¨ verf¨ ugen im allgemeinen u ¨ber Standard-Rechnerschnittstellen, wie RS 232, IEC-Bus, USB bzw. Ethernet (Kap. 16.6). F¨ ur den Aufbau von Digital-Multimetern sind integrierte Schaltungen erh¨ altlich, die bereits wesentliche Funktionen, wie Verst¨arkung, Vorzeichendetektion mit Invertierung, Tiefpaß-Filterung, A/D-Umsetzung und Ausgangsregister aufweisen. Digital-Multimeter enthalten zur Wechselspannungs- bzw. Wechselstrom-Messung entweder Gleichrichter-Schaltungen zur Bildung des Gleichrichtmittelwertes oder eine Schaltung zur Bildung des echten Effektivwertes nach Gl. (6.89). Die letztgenannten beruhen auf einem integrierenden Operationsverst¨ arker sowie einem als Quadrierer und einem als Radizierer geschalteten Multiplizierermodul (Abb. 11.76). Die Operationsverst¨ arker-Schaltung realisiert einen Tiefpaß 1. Ordnung mit der Eckfrequenz fg = 1/(2πRC). Solche Schaltungen weisen Fehler im Bereich von 0,5 % auf. Schaltungen zur Gleichricht-Mittelwert-Bildung arbeiten mit kleineren Fehlern (0,1 %). Allerdings f¨ uhrt die Messung nicht-sinusf¨ormiger Gr¨oßen zu entsprechenden Fehlern.

Abb. 11.76. Prinzipschaltung eines Effektivwertbausteines

368

11 Digitale Meßtechnik

11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil In den Schalterstellungen “AC-Voltage” (Wechselspannung) bzw. “AC-Current” (Wechselstrom) wird der Gleichanteil (DC-Anteil) bei der Messung unterdr¨ uckt. Das f¨ uhrt dazu, daß auch mit echter Effektivwertmessung ausgestattete Digital-Multimeter (DMM mit true RMS-Messung) nicht mehr den echten Effektivwert messen, wenn das Meßsignal einen Gleichanteil enth¨alt. Hier hilft nur folgende Vorgehensweise: Man muß zwei seperate Messungen durchf¨ uhren, und zwar wird einmal in Schalterstellung “AC” der Effektivwert des reinen Wechselanteils (mit abgetrenntem Gleichanteil) gemessen und in einer zweiten Messung in Schalterstellung “DC” der reine Gleichanteil. Der Wechselanteil wird dabei automatisch “herausintegriert”. Der echte Effektivwert des Gesamtsignals wird schließlich ¨ durch effektivwertm¨ aßige, d. h. quadratische, Uberlagerung gem¨aß  (11.99) xrms(AC+DC) = x2rmsAC + x2rmsDC

bestimmt. Bei der Messung des DC-Anteils sollte u ¨ber mindestens 10 Perioden der Energieversorgungsnetzfrequenz (50 Hz in Europa bzw. 60 Hz in USA) gemittelt werden. Intelligente Multimeter, wie z.B. das Agilent 34411A (Abb. 11.77) messen unmittelbar nach ihrer Inbetriebnahme die Netzfrequenz und stellen die Integrationszeit des verwendeten Dual-Slope-ADC (Kap. 11.7.6) auf optimale Mittelung ein. So garantiert dieses Ger¨ at im langsamen Meßmodus f¨ ur uckung des Netzsignals um 70 dB. 6 1/2 Stellen (Digits) eine Unterdr¨ ¨ Bei Uberlegungen zur Meßgenauigkeit von Digital-Multimetern bei ACMessungen muß desweiteren der Scheitelfaktor (Crest Factor) (s. Gl. (6.90)) ins Kalk¨ ul gezogen werden. Denn je gr¨ oßer der Scheitelfaktor, um so gr¨oßer sind die Signalanteile bei (im Vergleich zur Grundwelle) h¨oheren Frequenzen (h¨ oheren Harmonischen), so daß mit zunehmendem Scheitelfaktor auch die Meßfehler bei der echten Effektivwertmessung steigen (s. Kap. 11.8.4). 11.8.4 Gesamtfehler infolge Scheitelfaktor

Als Beispiel wird hier eine Absch¨ atzung der Fa. Agilent u ur ¨bernommen, die f¨ das 6 1/2 stellige DMM Modell 34411A (Abb. 11.77) gilt. Der Gesamtfehler infolge Crest Factor (Scheitelfaktor) setzt sich wie folgt zusammen Gesamtfehler = Fehler (Sinus) + Fehler (Crest Factor) + Fehler (Bandbreite) (11.100) Der Fehler (Bandbreite) ist der infolge der h¨ oheren Harmonischen. Er wird wie folgt abgesch¨ atzt Fehler (Bandbreite) =

(C.F.)2 · F , 4π · BW

(11.101)

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units)

369

Abb. 11.77. 6 1/2 stelliges Digital-Multimeter, Typ 34411A, der Fa. Agilent [2]

wobei C.F. der Crest Factor, F die Grundfrequenz des Meßsignals und BW die - 3 dB -Bandbreite (Bandwidth) des Meßger¨ates ist (hier 1000 kHz). F¨ ur einen beispielhaften C.F. = 3 und eine Fundamentalfrequenz F = 20 kHz ergibt sich ein Fehler (Bandbreite) von 1, 4 %. Mit den Fehlerspezifikationen f¨ ur das o. g. Ger¨ at summiert sich der Gesamtfehler zu Gesamtfehler = 0, 08% + 0, 15% + 1, 4% = 1, 6% .

(11.102)

Dies bedeutet, daß der Bandbreitefehler infolge Scheitelfaktor den Gesamtfehler dominiert.

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit Ru ¨ ckmeßfunktion (Source Measure Units) 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion, auch als Source Measure Units bezeichnet, bieten folgende vier Grundfunktionen bei der Messung elektrischer Gr¨ oßen: • • • •

Spannungsquelle Spannungsmesser Stromquelle Strommesser

So kann beispielsweise im Zuge der Pr¨ ufung elektrischer bzw. elektronischer Bauelemente dem Pr¨ ufling (Device under Test = D. u. T. bzw. DUT) ein Konstantstrom eingepr¨ agt und gleichzeitig die Spannung an seinen Klemmen gemessen werden. Umgekehrt kann das Ger¨at die Stromaufnahme des

370

11 Digitale Meßtechnik

Pr¨ uflings messen, w¨ ahrend er mit einer Konstantspannung beaufschlagt wird. Da diese Source Measure Units (SMUs) in aller Regel einen vollst¨andigen 4Quadrantenbetrieb erlauben, kann das gesamte Kennlinienfeld des Pr¨ uflings aufgenommen werden, indem Spannung bzw. Strom in systematischen Schritten ver¨ andert werden. Zwecks komfortabler Bedienung bzw. f¨ ur automatisierte Testabl¨ aufe in der Produktion beispielsweise sind alle Funktionen der SMUs programmierbar. Hauptanwendungsgebiete sind die vollautomatisierte Charakterisierung von Halbleiterbauelementen, Leckstrommessungen an MOSFETs oder Untersuchungen zur Elektromigration. SMUs sind standardm¨ aßig mit IEC-Bus-Interfaces ausgestattet. Die neueren Generationen enthalten auch USB- und Ethernet-Schnittstellen. Um die Testabl¨ aufe zu beschleunigen und die zentralen Steuerrechner zu entlasten, besitzen die SMUs leistungsf¨ ahige Controller, so daß komplette Testreihen eigenst¨ andig ablaufen k¨ onnen. So werden bei den meisten Fertigungsendpr¨ ufungen von elektronischen Bauteilen und Komponenten sich st¨andig wiederholende Testfolgen gefordert, bei denen eine Spannung oder ein Strom eingespeist bzw. gemessen wird. Dabei wird festgestellt, ob das Bauteil innerhalb der spezifizierten Grenzwerte liegt. F¨ ur die Fertigungskontrolle werden immer h¨aufi-

GPIB

Beladeroboter Digital I/O 2602 SourceMeter

Test-Leitungen

TSP-Link 2602 SourceMeter

mechanische Verbindung DUT

Test-Leitungen

TSP-Link 2602 SourceMeter

Test-Leitungen

TSP-Link Series 2600 SourceMeter

Test-Leitungen

Digital I/O (Trigger Signale) weitere Instrumente Abb. 11.78. TSP-basierendes Testsystem mit mehreren Source Measure Units, die u ¨ber TSP-Link vernetzt sind [82] (TSP = Test Script Processor)

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units)

371

ger Testzeiten von unter 10 ms pro Bauteilpr¨ ufung verlangt, was zu erh¨ohten Anforderungen bez¨ uglich der Einschwingzeiten f¨ uhrt. Des¨ofteren sind Chips mit h¨ oheren Pinzahlen zu pr¨ ufen. Um die entsprechenden Pr¨ ufungen zahlreicher Zweitore zeitsynchron durchf¨ uhren zu k¨onnen, werden mehrere SMUs zu einem Testsystem zusammengeschaltet (Abb. 11.78). Die SMUs der 2600Familie der Fa. Keithley beispielsweise enthalten dazu einen sog. Test Script Processor (TSP) und einen Hochgeschwindigkeitsbus (in Abb. 11.78 mit TSPLink bezeichnet) zur Vernetzung mehrerer SMUs im Master-Slave-Modus mit entsprechenden Triggerfunktionen. Auf diese Weise ist ein echter Parallelbetrieb der angeschlossenen SMUs m¨ oglich [13]. 11.9.2 Messung kleiner Str¨ ome bzw. Spannungen mit SMUs Bei den im vorigen Abschnitt besprochenen automatisierten Testabl¨aufen besteht eine weitere Problematik in der genauen Messung geringer Spannungen und Str¨ ome, welche pr¨ azise Quellen- und Meßfunktionen mit geringem St¨orpegel obligatorisch machen. So sind Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion kommerziell erh¨ altlich, die Str¨ ome im Sub-Femtoampere-Bereich messen k¨ onnen. Abbildung 11.79 zeigt ein solches Sub-Femtoampere-Meter der Fa. Keithley, einem der f¨ uhrenden Hersteller auf diesem Gebiet.

Abb. 11.79. Source Measuring Unit (Typ 6430) der Fa. Keithley f¨ ur Messungen im Sub-Femtoampere-Bereich. Spezifikationen: Rauschgrenze: 0, 4 fA (peak-to-peak) (= 4 · 10−16 A); 6 1/2 stelliges Digital-Multimeter; 2000 Messungen pro Sekunde [82].

Das Ger¨ at arbeitet mit einem Remote-Vorverst¨arker, der u ¨ber ein 2 m langes Kabel an die eigentliche SMU angeschlossen ist. Dieser hochwertige Meßverst¨ arker ist mit einem extrem hohen Eingangswiderstand ausgestattet und mit einer sog. schwimmenden Masse (Guard) versehen. Er wird u ¨ber ein Triax-Kabel angeschlossen. Bei den Triax-Kabeln befindet sich zwischen

372

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.80. Aufbau eines Triax-Kabels

dem zentralen Innenleiter und dem Außenleiter (Schirmgeflecht wie beim Koaxkabel) ein weiterer geflochtener metallischer Leiter (= Schutzschirm = Guard) zwecks Schirmung (Abb. 11.80). Abbildung 11.81 zeigt das Anschlußprinzip unter Verwendung von Triax-Kabeln. Die gezeigte Schaltung dient der Unterdr¨ uckung von Leckstr¨ omen infolge des endlichen Kabelisolationswiderstandes. Die entsprechende Technik wird auch als Guard- oder Schutzschirmtechnik bezeichnet. Dabei wird der innere Leiter von dem Schutzschirm (Guard) umh¨ ullt. Mit Hilfe des Operationsverst¨arkers wird nun die Potentialdifferenz zwischen Innenleiter und Schutzschirm auf ann¨ahernd Null gebracht, so daß keine Ausgleichsstr¨ ome durch den Isolationswiderstand RL fließen k¨ onnen. Ein weiterer Vorteil dieser Schaltung ist, daß auch eine parallel zu RL liegende Streu- bzw. Kabelkapazit¨ at wirkungslos gemacht wird. Damit ¨ wird das Ubertragungsverhalten f¨ ur h¨ oherfrequente Signale verbessert. Leitung mit Guard-Ring (Triax-Kabel)

Quelle

Guard

Ri

hochohmiger Spannungsmesser

innerer Leiter

uD ≈ 0

RL

Spannungsmesser

äußerer Leiter Abb. 11.81. Prinzip der Triax-Kabel-Verbindung einer Spannungsquelle mit einem hochohmigen Voltmeter

11.10 Elektronische Leistungsmesser

373

11.10 Elektronische Leistungsmesser Elektronische Leistungsmesser haben in j¨ ungster Zeit stark an Bedeutung gewonnen, insbesondere auch im h¨ auslichen Bereich, wo sie in Haussteuerungen den Energieverbrauch von privaten und ¨offentlichen Geb¨auden messen. In Kap. 11.7.5 wurde in Form des Time-Division-Multiplizierers ein bereits seit l¨ angerer Zeit eingef¨ uhrter elektronischer Leistungsmesser vorgestellt. In diesem Abschnitt sollen neben der klassischen Leistungsmessung mit einem Hallelement, die im wesentlichen im Analogen stattfindet, vor allem auf digitaler Signalverarbeitung basierende ICs behandelt werden, die in modernen Leistungs- und Energiemeßger¨ aten zum Einsatz kommen. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Str¨ ome und Spannungen aus dem elektrischen Energieversorgungsnetz stammen, also bei einer Frequenz von 50 Hz harmonisch sind und der Oberwellenanteil gering bleibt. In Abschnitt 11.10.3 wird ein Leistungsmessungs-IC behandelt, der f¨ ur Hochfrequenz-Anwendungen bis 6 GHz geeignet ist. Solch hohe Frequenzen erfordern allerdings wieder eine analoge Signalverarbeitung. 11.10.1 Leistungsmessung mit Hallelement Das in Kap. 6.3.8 behandelte Hallelement kann in idealer Weise zur Messung der in einem Gleichstromkreis verbrauchten elektrischen Leistung eingesetzt werden. Dazu muß der Strom IL dieses Kreises mit Hilfe eines als Spulenwicklung ausgef¨ uhrten Shunts (Strommeßwiderstand) in ein magnetisches Feld  dem Strom umgesetzt werden (Abb. 11.82), dessen magnetische Induktion B  IL proportional ist. Dieses B-Feld durchsetzt das Hallpl¨attchen in DickenRichtung (s. Abb. 6.53). Die Hallspannung UH ist daher gem¨aß Gl. (6.139)  und damit auch proportional IL proportional |B| U H ∼ IL .

(11.103)

Hallelement I H UL UH UL. I L = P Lastimpedanz

UL

B

IL B

Φ

IL

als Wicklung ausgeführter Shunt

Abb. 11.82. Leistungsmessung im Gleichstromkreis mit Hallelement. Es wird die in der Lastimpedanz umgesetzte Leistung P gemessen.

374

11 Digitale Meßtechnik

Die leistungsbestimmende Spannung UL liegt an der Lastimpedanz an und wird zum Erzeugen des Hallstromes herangezogen. Der durch das Hallelement fließende Hallstrom IH ist somit proportional der Lastspannung UL IH ∼ U L .

(11.104)

Da gem¨ aß Gl. (6.139) die Hallspannung UH auch proportional dem Hallstrom IH ist, folgt schließlich die Proportionalit¨ at zwischen der Hallspannung und der in der Last umgesetzten Gleichstrom-Leistung P P = U L · IL ∼ U H .

(11.105)

ur die verbrauchte elekSomit liefert die Hallspannung UH ein lineares Maß f¨ trische Leistung P . Das Hallelement u ¨bernimmt dabei die Aufgabe des (Analog-)Multiplizierers, der Strom und Spannung multipliziert. Es wird daher oft auch als Hall” Multiplizierer“ bezeichnet. F¨ ur eine genaue Leistungsbestimmung muß darauf geachtet werden, daß das Hallelement im linearen Bereich betrieben wird. F¨ ur typische Hallelemente sollte die magnetische Induktion betragsm¨ aßig unter 100 mT bleiben, da f¨ ur gr¨oßere Induktionswerte starke Nichtlinearit¨ aten infolge S¨attigung auftreten. Ein weiterer Punkt, den es zu beachten gilt, ist die Temperaturempfindlichkeit von Halbleiter-Hallelementen, die in aller Regel eine Temperaturkompensation erforderlich macht. Dies kann eleganterweise durch eine Anordnung in Form einer Halbbr¨ uckenschaltung (s. Kap. 9.5.4) oder auch einer Vollbr¨ uckenschaltung geschehen. 11.10.2 Integrierte Schaltkreise zur Leistungsmessung Die Messung der elektrischen Momentanleistung P (t) besteht stets aus der Produktbildung der durch Einzelmessung gewonnenen Gr¨oßen Strom iL (t) und Spannung uL (t) (11.106) P (t) = uL (t) · iL (t) .

Werden Spannung und Strom zun¨ achst ohne Beachtung ihres Phasenbezugs zu Effektivwerten verarbeitet und dann multipliziert, so erh¨alt man die Scheinleistung. Wenn die Spannung und der Strom in Phase sind, ergibt sich daraus unmittelbar die Wirkleistung; sind sie hingegen um 90◦ phasenverschoben, handelt es sich dabei um eine Blindleistung. Diese Zusammenh¨ange werden in Kap. 8 dieses Buches ausf¨ uhrlich beschrieben. Bei den in diesem Abschnitt behandelten elektronischen Leistungsmessern handelt es sich in allererster Linie um Wirkleistungsmesser, da f¨ ur die finanzielle Abrechnung der Lieferung elektrischer Energie durch einen Energieversorger die Wirkleistung bzw. Wirkenergie herangezogen wird. Ein integrierter Schaltkreis zur Ermittlung der elektrischen Leistung besteht eingangsseitig aus zwei Kan¨ alen, einem Strom- und einem Spannungsmeßkanal. Die Spannung wird dabei entweder u ¨ber einen transformatorischen

11.10 Elektronische Leistungsmesser

375

Spannungswandler (s. Kap. 6.3.6) oder einen ohmschen Spannungsteiler abgegriffen. Der Strom wird i. allg. mit Hilfe eines Meßshunts in eine proportionale Spannung umgewandelt. Eine weitere M¨oglichkeit, den Strom in eine Spannung umzusetzen, besteht in der Verwendung einer sog. Rogowski-Spule (Abb. 11.83). Hierbei wird der Leiter, der den zu messenden Laststrom f¨ uhrt, durch eine konzentrisch gewickelte Spule hindurchgef¨ uhrt. Man ben¨otigt einen ∂i Wechselstrom, da erst durch die zeitliche Ver¨anderung ( ∂t = 0 bzw. ∂Φ ∂t = 0; Φ: magnetischer Fluß) eine Spannung in der Spule induziert wird. Gem¨aß dem Induktionsgesetz ist diese Spannung der zeitlichen Ableitung des Laststromes proportional di(t) . (11.107) u∼ dt

stromführender Leiter

i (t)

u(t)

di(t) dt

u(t)

Abb. 11.83. Prinzip einer Rogowski-Spule. Die in der Spule induzierte Spannung ∼ u(t) bzw. di(t) ∼ u(t). u(t) ist gem¨ aß dem Induktionsgesetz proportional dΦ(t) dt dt

In Abb. 11.84 ist die Struktur eines typischen Leistungsmessungs-ICs dargestellt. Die Ansteuerschaltung besteht aus einem Transformator-Wandler, der den Laststrom iL in eine proportionale Spannung u1 wandelt. Diese steht am Eingang des Strommeßkanals zur Verf¨ ugung. Die Lastspannung uL wird mit Hilfe eines ohmschen Spannungsteilers in eine proportionale Spannung u2 umgesetzt. Die Eingangsspannungen u1 und u2 werden mit Hilfe je eines Verst¨ arkers, dessen Verst¨ arkungsgrad programmiert werden kann, in ein f¨ ur den jeweiligen Analog-Digital-Converter (ADC) normiertes Eingangssignal konvertiert. Typischerweise werden hier 16-Bit-Umsetzer eingesetzt, die nach dem Delta-Sigma-Verfahren arbeiten (s. Kap. 11.7.4). Nach der Digitalisierung durch die ADCs werden die beiden in Form von Digitalwerten vorliegenden Spannungen in einem Digital-Multiplizierer multipliziert. Um anschließend die korrekte Wirkleistung zu erhalten, muß unter Umst¨anden noch eine Phasenkorrektur zwischen Strom- und Spannungskanal durchgef¨ uhrt werden. Dabei wird eine eventuell zwischen Strom- und Spannungsmeßkanal vorhandene parasit¨ are Phasenverschiebung (Phasenoffset) wieder korrigiert. Dies kann im

u 2 (t) u L(t)

R1 u1 (t) i L(t)

ADC

PGA

ϕ

Digitaler Multiplizierer TP

Digital-zuFrequenzKonverter

DFC

Wirkleistung P(t)

akkumuliert die Pulse

Zähler

Pulsfolgefrequenz ist proportional der Wirkleistung P(t)

Tiefpaß (digital)

P(t)

Korrektur eines parasitären Phasenoffset zwischen Strom- und Spannungsmeßkanal

ADC

Spannungsmeßkanal

PGA

Strommeßkanal

Verstärker mit programmierbarem Verstärkungsgrad

Wirkleistung Pwirk in kW

verbrauchte (Wirk-) Energie E wirk in kWh

Abb. 11.84. Vereinfachtes Blockschaltbild eines typischen ICs zur Leistungs- bzw. Energiemessung mit digitaler Signalverarbeitung

Energieversorgungs-Netz 230 V, 50 Hz

Ohmscher Spannungsteiler

uL

iL

Lastimpedanz ( = Verbraucher)

376 11 Digitale Meßtechnik

11.10 Elektronische Leistungsmesser

377

Zuge der Kalibrierung erfolgen. Diese Phasenkorrektur entspricht einer zeitlichen Verschiebung der Abtastwerte, welche mit Hilfe eines Schieberegisters vorgenommen wird (s. Abb. 11.84). Nach dem digitalen Multiplizierer, der ausgangsseitig die Momentanleistung P (t) in Form von digitalen Abtastwerten liefert, folgt ein digitales Tiefpaßfilter, an dessen Ausgang die zeitlich gemittelte Leistung P (t) vorliegt. Die Periodendauer der Mittelung ist so gew¨ ahlt, daß Schwankungen in der Leistung noch sinnvoll dargestellt werden. Die Wirkleistung entspricht bei rein sinusf¨ ormigen Gr¨ oßen dem Gleichanteil des Signals, da sich die Leistung wie folgt errechnet (s. Abb. 11.85) ˆL · sin ωt uL = u ˆ iL = iL · sin(ωt + < ) {uL , iL })

(11.108) (11.109)

P (t) = uL (t) · iL (t) u ˆLˆiL u ˆLˆiL · cos(< ) {uL , iL }) − · cos(2ωt+ < ) {uL , iL }) = 2 2 u ˆLˆiL · cos(< ) {uL , iL }) P (t) = Pwirk = 2 ) {uL , iL }) . = uLeff · iLeff · cos(
0 Die Amplitude der Ausgangsspannung nimmt exponentiell mit der Zeit ab, d. h. die Schwingung ist ged¨ ampft.

12.8 Oszillatoren

411

2. V = 1, d. h. α = 0 Dies ist der bereits oben behandelte Fall einer Sinusschwingung mit konur α bzw. V stanter Amplitude und der Frequenz f0 . Mit diesem Wert f¨ ist die Schwingbedingung exakt erf¨ ullt. 3. V > 1, d. h. α < 0 Bei Verst¨ arkungsgraden V > 1 steigt die Amplitude der Ausgangsspannung exponentiell an. Dieser Zustand ist lediglich in der Einschaltphase (Anschwingphase) erw¨ unscht. Der exponentielle Anstieg wird automa¨ tisch durch die daraus resultierende Ubersteuerung des Verst¨arkers beendet, woraufhin sich stets automatisch der gew¨ unschte stabile Zustand (Verst¨ arkungsgrad V = 1) einstellt. 12.8.4 Relaxationsoszillatoren Relaxationsoszillatoren sind auch unter den Namen Multivibratoren bzw. astabile Kippstufen bekannt. Sie sind in der Lage, eine Folge von Dreieck- oder Rechteckpulsen zu liefern. Die frequenzbestimmenden Komponenten sind Widerst¨ ande, Kapazit¨ aten oder auch Spannungen. Daher werden Relaxationsoszillatoren oft auch zur Messung dieser Gr¨ oßen eingesetzt, insbesondere in der Sensortechnik bei der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen. Abbildung 12.16 zeigt zwei prinzipielle Schaltungsvarianten von Funktionsgeneratoren zur gleichzeitigen Erzeugung von Dreieck- und Rechtecksignalen. Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a wird je nach Schalterstellung ein Kondensator mit dem Konstantstrom +Iref bzw. −Iref aufgeladen. Die am Kondensator anliegende Spannung uC (t) kann am Ausgang des nachgeschalteten Impedanzwandlers abgegriffen werden. F¨ ur das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ T /4 folgt  1 t 1 uC (t) = (12.42) Iref dt′ = Iref t . C 0 C ˆA1 des Komparators zur Zeit t = T /4 Nach Erreichen der Schaltschwelle +U (Abb. 12.16c) wird die Polarit¨ at des Ladestromes gewechselt und der KonˆA1 entladen. Der Komdensator wird bis auf den negativen Schwellwert −U paratorausgang liefert infolge dieser st¨ andigen Polarit¨atswechsel eine Rechteckspannung uA2 mit der Frequenz f , welche mit der der Dreieckspannung identisch ist Iref f= . (12.43) ˆA1 4C U

Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16b sind die zwei Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzt worden, die alternierend an den Eingang eines integrierenden Verst¨ arkers angeschlossen werden. Dadurch ergibt sich das gleiche Verhalten wie das der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a. Ein einfacher Multivibrator l¨ aßt sich bereits mit Hilfe eines mit einem RCGlied r¨ uckgekoppelten Operationsverst¨ arkers realisieren (Abb. 12.17). Wenn wir annehmen, daß zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung am Kondensator

412

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.16. Prinzipieller Aufbau von Multivibratoren (Generatoren zur Erzeugung von Dreieck- und Rechteckspannungen): a) Schaltung mit Konstantstromladung eines Kondensators, b) Schaltung mit Integrator, c) Ausgangssignalverl¨ aufe

uC = UK2 und die Ausgangsspannung uA = +UB sind, l¨adt sich der Kondensator C u ¨ber den Widerstand R auf. Zum Zeitpunkt t = T /2 wird die Umschaltschwelle UK1 erreicht UK1 = UB

R2 . R1 + R2

(12.44)

Dabei kippt der Operationsverst¨ arkerausgang infolge der Mitkopplung auf uA = −UB , woraufhin der Kondensator entladen wird. Zum Zeitpunkt t = T

Abb. 12.17. Multivibrator mit Operationsverst¨ arker: a) Schaltbild, b) Spannungsverl¨ aufe

12.8 Oszillatoren

413

wird die negative Schwellenspannung UK2 = −UK1 erreicht und die Komparatorausgangsspannung springt wieder auf uA = +UB . Auf diese Weise entsteht ein Rechtecksignal mit den Amplituden ±UB . Die Periodendauer T dieser Rechteckspannung l¨ aßt sich anhand des Zeitverlaufes der Kondensatorspannung uC (t) errechnen, welche sich f¨ ur den Aufladevorgang wie folgt ergibt (Abb. 12.17)

 R1 + 2R2 − t uC (t) = UB 1 − e RC . (12.45) R1 + R2 Weiterhin gilt

 T = UK1 uC 2



 T R2 R1 + 2R2 −T /2RC e . uC = UB = UB 1 − 2 R1 + R2 R1 + R2

(12.46) (12.47)

Da die beiden Schwellenspannungen UK1 und UK2 betragsm¨aßig gleich sind, kann aus Gl. (12.47) die Periodendauer T abgeleitet werden

 2R2 . (12.48) T = 2RC ln 1 + R1 F¨ ur R2 = R1 vereinfacht sich Gl. (12.48) zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.49)

Eine alternative Realisierung eines Multivibrators basiert auf zwei Digitalinvertern und einem RC-Glied. Die entsprechende Schaltung mit Signalverl¨aufen ist in Abb. 12.18 dargestellt. In dieser Schaltung repr¨asentieren die Spannungen u2 und uA Digitalsignale, wobei die Ausgangsspannung uA stets dem

u2

1 R

uA

1

u1 3 2 U0 U0 USW = 2 - U0 2

C

t

u2

u1

t

uA

a)

b)

Τ/2

Τ/2

t

Abb. 12.18. Multivibrator mit Invertern: a) Schaltbild, b) Signalverl¨ aufe (USW bezeichnet die Schaltschwelle des Komparators (ohne Hysterese) am Eingang.)

414

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

logisch negierten Wert von u2 entspricht (Abb. 12.18b). Demzufolge wird der Kondensator u ¨ber den Widerstand abwechselnd geladen und entladen. Wenn die Schaltschwelle USW des Komparators genau in der Mitte zwischen den beiden Ausgangspegeln liegt, ergibt sich die Schwingungsdauer wiederum zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.50)

12.8.5 Quarzoszillator Die Genauigkeit bei der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung h¨angt neben dem Quantisierungsfehler im wesentlichen von der Genauigkeit der verwendeten Referenzfrequenz bzw. Referenzzeit ab. Der bei einer Messung erhaltene Z¨ ahlerstand N = f T ist sowohl proportional der Meßzeit T als auch proportional der Meßfrequenz f . Bei der digitalen Zeitmessung muß also die Referenzfrequenz fref und bei der digitalen Frequenzmessung die Referenzzeit Tref konstant gehalten werden. Im Rahmen praktischer Schaltungen wird dies in beiden F¨allen im allgemeinen durch einen Quarzoszillator gew¨ahrleistet, an dessen Frequenzkonstanz demzufolge hohe Anforderungen gestellt werden. Daf¨ ur geeignete piezoelektrische Resonatoren bestehen u ¨blicherweise aus nat¨ urlichen Quarzkristallen (SiO2 ) mit bestimmter Kristallorientierungsrichtung und definierten geometrischen Abmessungen.

z (optische Achse)

z

Q

AT

Q BT

j y

x

=

y (mechanische Achse)

x (elektrische Achse)

>

Abb. 12.19. Quarzkristallschnitte: a) Quarzkristall (SiO2 ) mit seinen Achsen und Darstellung der Orientierung des AT- sowie des BT-Schnittes, b) Schnittwinkel θ und ϕ zwischen Schwingquarz und optischer (z) Achse bzw. elektrischer (x) Achse

12.8 Oszillatoren

415

Schwingquarze sind d¨ unne Pl¨ attchen, die mit bestimmter Orientierungsrichtung aus einem einkristallinen piezoelektrischen Quarzmaterial herausgeschnitten und mit Elektroden versehen werden (Abb. 12.19). Die Winkel, unter denen die Quarzpl¨ attchen in bezug auf die optische, mechanische und elektrische Achse aus dem nat¨ urlichen Quarzkristall herausgeschnitten werden, legt die f¨ ur eine Anwendung als frequenzbestimmendes Element relevanten Eigenschaften des Quarzschwingers fest. Solche Quarzschwinger sind spezielle piezoelektrische Wandler, die im interessierenden Frequenzbereich eine scharfe Resonanzstelle aufweisen, bei welcher der Schwinger in mechanische Resonanz ger¨ at. Genauer gesagt, handelt es sich dabei infolge des piezoelektrischen Effektes (und der daraus resultierenden Verkopplung von mechanischer und elektrischer Energie) um ein Resonanzstellenpaar, welches aus einer sog. Parallelresonanz (mit fp bezeichnet) und einer sog. Serienresonanz (mit fs bezeichnet) besteht. In der Serienresonanz schwingt das Quarzpl¨attchen, wenn seine Elektroden elektrisch kurzgeschlossen werden, w¨ahrend es in Parallelresonanz angeregt wird, wenn die beiden elektrischen Kontakte unbeschaltet bleiben bzw. sehr hochohmig abgeschlossen werden, d. h. wenn der Schwinger im elektrischen Leerlauf betrieben wird. Man kennt verschiedene Standard-Quarzschwingertypen, die sich in Kristallrichtung sowie geometrischer Gestalt und damit auch in bezug auf ihre charakteristische Schwingungsform und Schwingfrequenz unterscheiden. So setzt man beispielsweise Biegeschwinger (NT-Schnitt) im Frequenzbereich zwischen 1 und 80 kHz ein, w¨ ahrend die Fl¨achenscherschwinger (CT- oder DT-Schnitt) den daran anschließenden Frequenzbereich von 100 kHz bis knapp unterhalb 1 MHz abdecken (Abb. 12.20b). Die L¨angsschwinger (GT-Schnitt) arbeiten, in dem diese Frequenzbereiche u ¨berlappenden Intervall von etwa 50 - 200 kHz. Der am h¨ aufigsten verwendete Quarzschwinger ist der Dickenscherschwinger (AT-Schnitt), dessen Grundmode-Schwingungsform in Abb. 12.20a gezeigt (n) wird. Er f¨ uhrt Dickenscherschwingungen aus, deren Resonanzfrequenzen fp (Parallelresonanz) n¨ aherungsweise durch

Abb. 12.20. Schwingungsformen von Standard-Quarzschnitten: a) AT-Schnitt (Dickenscherschwinger, b) CT-Schnitt und DT-Schnitt (Fl¨ achenscherschwinger)

416

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

fp(n)

n nc = = 2d 2d



cD 66 ̺

n = 1, 2, 3, . . .

(12.51)

gegeben ist. Dabei bezeichnen d die Dicke des Quarzpl¨attchens, ̺ seine Dichte, cD 66 den maßgebenden elastischen Schermodul und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Scherwelle und n die Ordnung der Harmonischen. Das (1) Produkt aus Grundwellenresonanzfrequenz fp und Schwingerdicke d ist eine Konstante, die sog. Frequenzkonstante N , deren Wert sich aus den Materialdaten des verwendeten Schwingquarzes ergibt ⎧ ur AT-Schnitt ⎨ 1, 67 MHz mm f¨ fp(1) d = N = . (12.52) ⎩ 2, 50 MHz mm f¨ ur BT-Schnitt

Der typischerweise genutzte Frequenzbereich von Dickenscherschwingern reicht von einigen hundert Kilohertz bis zu etwa 25 MHz in der Grund- und etwa 200 MHz in der 9. Oberwelle. Detaillierte Beschreibungen des mechanischen und elektrischen Verhaltens von Schwingquarzen findet man in der einschl¨agigen Literatur [29], [174], [97], [98], [99], [162]. Das vereinfachte elektrische Ersatzschaltbild eines Quarzschwingers sowie der Verlauf der elektrischen Impedanz Z Q (ω) = R(ω) + jX(ω) werden in Abb. 12.21 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild, welches das Verhalten des Schwingquarzes in der Umgebung der Grundschwingung (Grundwellenreso(1) nanz) fp = fp approximativ beschreibt, bedeuten C0 die statische Parallelkapazit¨ at (Kapazit¨ at, wenn der Quarz nicht schwingt), C1 die dynamische Kapazit¨ at, L1 die dynamische Induktivit¨ at und R1 den dynamischen Verlustwiderstand. Die komplexe Eingangsadmittanz Y Q (ω) zwischen den Eingangsklemmen ergibt sich aus dem Schaltbild

Abb. 12.21. Schwingquarz: a) Schaltzeichen, b) Elektrisches Ersatzschaltbild (Typische Werte f¨ ur einen 1-MHz-Schwingquarz sind: C0 = 60 pF, C1 = 0, 016 pF, L1 = 1, 5 H, R1 = 60 Ω), c) Wirk- und Blindanteil der Eingangsimpedanz eines Schwingquarzes mit den unter b) angegebenen Werten der Ersatzschaltbildelemente C0 , C1 und L1 . Der Widerstandswert R1 wurde, um die Details des Impedanzdiagrammes besser aufl¨ osen zu k¨ onnen, mit R1 = 600 Ω angenommen, was zu einer um den Faktor 10 reduzierten G¨ ute f¨ uhrt.

12.8 Oszillatoren

Y Q (ω) = G(ω) + jB(ω) Y Q (ω) =

R1

R12 + ωL1 −

1 ωC1

⎛

⎜ 2 + j ⎝ωC0 −

417

(12.53) ⎞

1 ωL1 − ωC ⎟ 1

2 ⎠ . 1 R12 + ωL1 − ωC 1

(12.54)

Der Verlustwiderstand R1 kann bei Schwingquarzen aufgrund ihrer hohen G¨ ute i. allg. vernachl¨ assigt werden, so daß sich die Eingangsimpedanz des Quarzes Z Q wie folgt vereinfacht Z Q ≈ jX =

ω 2 L1 C1 − 1 j . ω C0 + C1 − ω 2 L1 C1 C0

(12.55)

Bei der Parallelresonanzfrequenz fp des Quarzes strebt der Reaktanzanteil der Eingangsimpedanz gegen unendlich (X → ∞). Damit l¨aßt sich fp aus der Polstelle der Funktion Z Q (Gl. (12.55)) ermitteln 1 √ fp = 2π L1 C1



1+

C1 . C0

(12.56)

Bei der Serienresonanzfrequenz fs des Quarzes verschwindet hingegen der Reaktanzanteil (X = 0) (Abb. 12.21c). Dementsprechend ergibt sich fs aus der Nullstelle des Z¨ ahlers von Gl. (12.55) fs =

1 1 √ . 2π L1 C1

(12.57)

Der relative Frequenzabstand zwischen Parallel- und Serienresonanz ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der in der Praxis gegebenen Kapazit¨atsverh¨altnisse (C1 ≪ C0 ) zu fp − fs 1 C1 ≈ . (12.58) fs 2 C0 Die G¨ ute Q, die dem Reziprokwert des tan δs = R/X entspricht, l¨aßt sich ebenfalls aus den Elementen des elektrischen Ersatzschaltbildes bestimmen.  L1 1 1 = . (12.59) Q= tan δs R1 C1 Sie liegt bei Schwingquarzen typischerweise zwischen 5 · 103 und 5 · 105 . 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators Abbildung 12.22 zeigt die Schaltung eines Quarzoszillators, bei welcher der Quarz im Mitkopplungszweig eines Operationsverst¨arkers liegt. Nur bei der Serienresonanzfrequenz des Schwingquarzes ist die Schwingbedingung erf¨ ullt

418

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

und die Impedanz Z Q des Quarzzweipols betragsm¨aßig so gering, daß bei dieser Frequenz eine unged¨ ampfte harmonische Schwingung zustandekommt. F¨ ur alle anderen Frequenzen stellt der Quarz aufgrund seiner hohen Impedanzwerte ein Sperrfilter dar. Der LC-Schwingkreis am Eingang dient dabei lediglich dem sicheren Anschwingen der Oszillatorschaltung auf der Grundwelle bzw. auf der gew¨ unschten Oberwelle.

Abb. 12.22. Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators

12.8.7 Fehler von Schwingquarzen Als wesentlicher Fehler von Schwingquarzen macht sich deren Temperaturabh¨ angigkeit bemerkbar, insbesondere bei Oszillatoranwendungen mit hohen Forderungen an die Frequenzstabilit¨ at. Die Temperaturabh¨angigkeit der Resonanzfrequenz l¨aßt sich bei Quarzen wie folgt approximieren f (ϑ) = f (0◦ C)(1 + αϑ + βϑ2 + γϑ3 ) .

(12.60)

F¨ ur bestimmte Schnittwinkel, so z.B. auch den meist verwendeten AT-Schnitt, verschwindet der lineare Temperaturkoeffizient α. Da außerdem der kubische Temperaturkoeffizient γ i. allg. bereits um einige Zehnerpotenzen unter dem linearen und quadratischen liegt, f¨ allt dann nur der quadratische Temperaturkoeffizient β ins Gewicht. Abbildung 12.23 zeigt die Abh¨angigkeit des linearen Temperaturkoeffizienten α vom Schnittwinkel sowie die relative Frequenz¨ anderung eines AT-Schnitt-Dickenscherschwingers als Funktion der Temperatur ϑ. Der Temperatureinfluß ist insbesondere bei den AT-Schnitten sehr gering. Er l¨ aßt sich um weitere ca. drei Zehnerpotenzen reduzieren, wenn die Quarze in einem temperaturstabilisierten Geh¨ause betrieben werden. Neben dem parasit¨ aren Temperatureinfluß sind Schwingquarze einem Alterungsprozeß unterworfen, welcher sich in Form eines relativen Frequenzfehlers bemerkbar macht, der mit der Zeit einem asymptotischen Endwert zustrebt. Dieser Endwert liegt bei etwa Δf /f = 10−9 /Tag und wird bereits nach einigen Wochen erreicht (Tab. 12.1). Schwingquarze lassen sich auch als sehr pr¨azise

12.8 Oszillatoren

419

a (K-1) 10-4 1 HT DT

0

-10

BT

AT

CT

2

-4

-90° -60° -30° 0° 30° 60° 90° Schnittwinkel Q

a)

Df f 2·10-5 J0

0 -2·10-5 b)

-20 0

20 40 60 80 100 J (°C)

Abb. 12.23. Temperaturabh¨ angigkeit von Schwingquarzen [12, 52]: a) Linearer Temperaturkoeffizient α als Funktion des Schnittwinkels; 1: Dickenscherschwinger; 2: Fl¨ achenscherschwinger, b) Relative Frequenzabweichung eines AT-SchnittDickenscherschwingers als Funktion der Schwingquarztemperatur

arbeitende frequenzanaloge Temperatursensoren einsetzen. F¨ ur diese Anwendung wird der sogenannte HT-Kristallschnitt verwendet, der recht große Temperaturkoeffizienten aufweist α = 90 · 10−6 (K −1 ), β = 60 · 10−9 (K −2 ) und γ = 30·10−12 (K −3 ) (Gl. (12.60)). Die relativen Frequenz¨anderungen sind zwar sehr gering, aber aufgrund der pr¨ azisen Fertigungstechnik und der Stabilit¨at des Quarzmaterials der Meßgr¨ oße sehr exakt zuzuordnen bzw. andererseits auch wiederum mittels elektronischer Z¨ ahlerschaltungen sehr genau meßbar. Wesentlich bessere Genauigkeiten erh¨ alt man mit atomaren Frequenz-StanTabelle 12.1. Typische Werte f¨ ur Kurzzeitkonstanz, Temperaturdrift und Alterungsrate von Schwingquarzen ohne Temperaturregelung Kurzzeitkonstanz < 3 · 10−9 (1 Sekunde) Temperaturdrift < 10−5 (0◦ C - 50◦ C) Alterungsrate < 10−8 /Tag

mit Temperaturregelung < 10−11 < 10−8 < 10−9 /Tag

420

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

dardelementen, bei denen die Atomresonanz zur Frequenzstabilisierung genutzt wird. So weisen beispielsweise Rubidium-Normalelemente relative Abweichungen von nur 10−11 im Kurzzeitbereich (Sekundenbereich) auf. Die Alterungsraten liegen bei 10−11 /Monat. Bei C¨asium-Elementen sind keine Alterungseinfl¨ usse meßbar. Aufgrund ihres hohen Anschaffungspreises und ihres hohen Gewichtes werden sie jedoch nur in Labors f¨ ur Pr¨ azisionsmeßtechnik sowie als Frequenznormal f¨ ur Zeitzeichensender eingesetzt. Die Gesamtunsicherheit der beiden C¨asiumNormaluhren CS1 und CS2 der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig wird mit 3 · 10−14 bzw. 1, 5 · 10−14 angegeben [17]. So wurde ein mittlerer Gangunterschied der beiden Uhren von 0,76 μs pro Jahr, entsprechend einem relativen Fehler von 2, 5 · 10−14 , ermittelt. Wenn auch die Kurzzeitkonstanz der Normalfrequenzaussendung des bekannten Zeitzeichensenders DCF-77 (s. Kap. 12.10.2) die eines sorgf¨altig aufgebauten temperaturgeregelten Quarzoszillators (OCXO) nicht wesentlich u ¨bersteigt, so ist doch die Langzeitstabilit¨ at des DCF-77 um Gr¨oßenordnungen besser. Es bietet sich also an, temperaturgeregelte Quarzoszillatoren einzusetzen und deren Langzeitstabilit¨ at mit Hilfe einer DCF-77-Synchronisation zu erh¨ohen. Ein entsprechendes hard- und softwarem¨ aßiges Realisierungskonzept wird in [91] vorgestellt. Detaillierte Angaben u ber die Genauigkeit von Zeit- und Frequenz¨ normalen finden sich in [17].

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung Fehler bei der Messung eines Zeitintervalls Der absolute Fehler ΔTX bei der Messung eines Zeitintervalls TX ergibt sich aus der Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.2) zu ΔTX =

∂TX ∂TX Δfref + ΔNX . ∂fref ∂NX

(12.61)

Daraus l¨ aßt sich leicht der entsprechende maximale relative Fehler ableiten        ΔTX   Δfref   ΔNX  = +   (12.62)  TX   fref   NX  .

In Gl. (12.62) beziffert der Term ΔNX /NX den bereits in Kap. 12.3.1 angesprochenen Quantisierungsfehler (Z¨ahlfehler), der sich wie folgt angeben l¨aßt      ΔNX   ±1  1 1  =  (12.63)  NX   NX  = NX = fref TX . Der Term Δfref /fref in Gl. (12.62) hingegen beschreibt den Fehler der Zeitbasis, d. h. die relative Frequenzabweichung des Quarzoszillators. Dieser Fehler

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung

421

liegt bei praktischen Z¨ ahlern in der Gr¨ oßenordnung 10−7 ≤ Δfref /fref ≤ 10−5 . Abbildung 12.24 (TX -Achse) zeigt den gesamten relativen Fehler bei der Zeitmessung f¨ ur den beispielhaften Fall, daß die Frequenz des Referenzsignals fref = 1 MHz und der relative Fehler der Zeitbasis 10−6 betragen. Fehler bei der Frequenzmessung Der maximale relative Fehler bei der Frequenzmessung ergibt sich analog zu Gl. (12.61)            ΔfX   ΔTref   ΔNX   ΔTref     = + =  + 1 =  ΔTref  + 1  fX   Tref   NX   Tref  NX  Tref  Tref fX . (12.64)

Der Ausdruck ΔTref /Tref entspricht dabei wiederum dem relativen Fehler der Zeitbasis. Damit ergibt sich im Prinzip wieder derselbe relative Meßfehler wie bei der Zeitintervallmessung Gl. (12.62). Er kann aus Abb. 12.24 abgelesen ur die Berechnung des relativen werden, wenn die fX -Achse verwendet wird. F¨ Fehlers bei der Frequenzmessung wurden eine Torzeit von Tref = 1 s sowie ein Zeitbasisfehler von ΔTref /Tref = 10−6 angenommen. Fehler bei der Periodendauermessung Die großen Meßfehler bei der Messung tiefer Frequenzen (Abb. 12.24) lassen sich umgehen, wenn man eine Reziprokmessung durchf¨ uhrt, d. h. anstatt der Frequenz die Periodendauer mißt und den Kehrwert bildet.

Abb. 12.24. Relativer Fehler bei der Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung. TX Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Messung eines Zeitintervalles TX . Es wurde fref = 1 MHz und ein Zeitbasisfehler Δfref /fref von 10−6 angenommen. fX -Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Frequenzmessung. Es wurde eine Torzeit von Tref = 1 s und ein Zeitbasisfehler ΔTref /Tref von 10−6 angenommen.

422

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Wenn man den Fehler der Zeitbasis zun¨ achst vernachl¨assigt, ergibt sich durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.11) der relative Meßfehler bei der Periodendauermessung zu ΔTX 1 1 fX = = = . TX NX fref TX fref

(12.65)

Der relative Fehler h¨ angt also lediglich vom Verh¨altnis Meßfrequenz fX zu Referenzfrequenz fref ab. Wenn man beispielsweise fref = 1 MHz annimmt, so wird der Fehler einer Standardquarzzeitbasis von 10−6 erst bei einer Frequenz von 1 Hz erreicht. F¨ ur h¨ ohere Frequenzen dominiert der Quantisierungsfehler. Von praktischer Bedeutung ist noch die Meßfrequenz fXeq , bei der die Periodendauermessung (Reziprokmessung) und die direkte Frequenzmessung auf den gleichen relativen Fehler f¨ uhren. Das Gleichsetzen der relativen Fehler f¨ uhrt unter Vernachl¨ assigung der Zeitbasisfehler zu 2 = fXeq

fref , Tref

(12.66)

wobei fref die Taktfrequenz bei der Periodendauermessung und Tref die Torzeit bei der Frequenzmessung bedeuten. Wenn beispielsweise diese Taktfrequenz zu fref = 1 MHz und die Torzeit zu Tref = 1 s gew¨ahlt werden, ergibt sich f¨ ur beide Meßprinzipien der gleiche Fehler bei fXeq = 1 kHz. Unterhalb dieser Frequenz f¨ uhrt die Periodendauermessung (reziproke Frequenzmessung) zu geringeren Meßfehlern, w¨ ahrend sich im Frequenzbereich oberhalb fXeq die direkte Frequenzmessung als g¨ unstiger erweist (Abb. 12.25).

Abb. 12.25. Relativer Meßfehler bei der digitalen Frequenzmessung (direkte Mesur die Perisung und Reziprokmessung). Es wurde eine Taktfrequenz fref = 1 MHz f¨ odendauermessung sowie eine Torzeit Tref = 1 s f¨ ur die Frequenzmessung angenommen. Der relative Fehler der Zeitbasis liegt bei 10−6 .

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

423

Meßfehler durch u ¨ berlagertes Rauschen Dem Meßsignal u orspannungen f¨ uhren zu Fehlern bei der Zeit¨berlagerte St¨ und Frequenzmessung, die zum Teil erheblich sein k¨onnen. Diese Fehler werden durch zu fr¨ uhe bzw. zu sp¨ ate Triggerausl¨osung verursacht. Der so entstandene Triggerfehler addiert sich zu den oben bereits diskutierten Fehlern (Quantisierungsfehler und Zeitbasisfehler). Zur Absch¨atzung des Triggerfehlers wollen wir annehmen, daß das Meßsignal um (t) sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweist ˆm sin(ωt) . um (t) = U (12.67) Die maximale zeitliche Steigung dum /dt der Spannung wird im Nulldurchgang erreicht und betr¨ agt

 dum ˆm ω . =U (12.68) dt max ˆr kann den Zeitpunkt des NulldurchEine St¨ orspannung mit der Amplitude U ganges, der gleichzeitig Triggerzeitpunkt ist, um die Zeit ΔTtrigg verschieben ˆr U ΔTtrigg = ΔT =  dum dt

max

=

ˆr ˆr U U = . ˆm ω ˆm 2πfX U U

(12.69)

Diese zeitliche Verschiebung des Triggerzeitpunktes wird als der absolute Triggerfehler bezeichnet. Der entsprechende relative Triggerfehler ergibt sich bei der einfachen Periodendauermessung (Messung einer einzelnen Periode TX ) zu ˆr ˆr U 1 U 1 ΔTtrigg = . (12.70) = ˆm ˆm TX 2πfX TX U 2π U Um diesen Fehler zu reduzieren, geht man zur sog. Mehrfachperiodendauermessung u ¨ber, bei der anstatt der Dauer einer einzigen Periode nunmehr die Dauer von m Perioden bestimmt wird. Bei diesem integrierenden Meßverfahren reduziert sich sowohl der Triggerfehler als auch der Quantisierungsfehler um den Faktor m. Wie bei der Frequenzmessung ist auch hier eine gr¨oßere Genauigkeit nur auf Kosten der Meßzeit zu erzielen.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation 12.10.1 Atomuhren Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) [123] in Braunschweig hat die Aufgabe u ur die Bundesrepublik Deutschland die absolute ¨bernommen, f¨ (amtliche) Zeit festzulegen. Dies geschieht mit Hilfe einer sog. Atomuhr, welche im konkreten Fall eine C¨ asium-Normaluhr ist. Das Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) in Paris wiederum legt aus den Werten von solchen u ¨ber 260 weltweit verteilten Atomuhren die sog. Internationale Atomzeit (TAI) als Referenzzeit fest.

424

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Eine Atomuhr ist eine Uhr, deren Zeittakt aus atomaren Schwingungszust¨anden abgeleitet wird. F¨ ur die genauesten Uhren verwendet man das nicht-radioaktive ¨ Isotop 133 des Elements C¨ asium. Die Resonanzfrequenz beim Ubergang (sog. ¨ Hyperfeinstruktur-Ubergang) zwischen zwei ausgew¨ahlten Energiezust¨anden dieses C¨ asium-Atoms ist temperaturunabh¨ angig, sehr langzeitstabil und betr¨ agt 9 192 631 770 Hz. Im Jahre 1967 wurde die SI-Einheit ’Sekunde’ u ¨ber diesen Wert festgelegt (sog. SI-Sekunde). ¨ Um die Resonanzfrequenz des Hyperfeinstruktur-Ubergangs messen zu k¨onnen, muß zun¨ achst einer der beiden besagten Energiezust¨ande selektiert werden, was entweder durch optisches Pumpen mit Laserlicht bewerkstelligt werden kann oder indem man den Atomstrahl durch ein starkes inhomoge¨ nes Magnetfeld schickt. Die Hyperfeinstruktur-Uberg¨ ange und die Messung der o. g. Resonanzfrequenz finden schließlich in einem speziellen Mikrowellenresonator statt. N¨ aheres zu dieser Technik findet der interessierte Leser beispielsweise in folgenden Referenzen: [123], [113]. Auf dieser Basis arbeiten derzeit die vier C¨ asium-Atomuhren CS1 bis CS4 bei der PTB. Es handelt sich hierbei um Zeitnormale, die weltweit zu den genauesten Uhren z¨ahlen. So weicht die von der in Braunschweig installierten Atomuhr CS2 bestimmte Sekunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% um nicht mehr als ±1, 2·10−14 von der idealen SI-Sekunde ab. Dies entspricht einer Abweichung von einer Sekunde in 2,5 Millionen Jahren. Als 5. Zeitnormal betreibt die PTB eine noch genauere Uhr, eine sog. C¨asium-Font¨ane. Bei ihr werden die C¨ asium-Atome auf eine Temperatur sehr nahe dem absoluten Nullpunkt abgek¨ uhlt. Dadurch werden die Atome in ihrer Fortbewegungsgeschwindigkeit sehr stark verlangsamt, was im weiteren zu einer l¨ angeren Beobachtungszeit (ca. 1 Sekunde) bei der Frequenzmessung genutzt werden kann. Somit sind exaktere Messungen der o. g. Resonanzfrequenz m¨ oglich. Die Gangunsicherheit der C¨ asium-Font¨ane ist um den Faktor 10 geringer als der einer (Standard-)C¨ asium-Uhr. Auch das amerikanische Pendant zur Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, das National Institute of Standards (NIST) in Boulder, Colorado, entwickelt und betreibt Atomuhren mit hoher Ganggenauigkeit. So wurde auch dort eine C¨ asium-Font¨ ane mit dem Namen NIST-F1 entwickelt. Sie arbeitet mit 6 Infrarot-Lasern, welche die C¨ asium-Atome in Form eines kleinen lokalen Clusters (Ball) zusammendr¨ angen, was zu der bereits oben erw¨ahnten Abk¨ uhlung in den Bereich des absoluten Nullpunktes und infolgedessen zu einer Verlangsamung der Atombewegungen f¨ uhrt. Infolge kontinuierlicher technischer Verbesserungen konnte die Ungenauigkeit der NIST-F1 im Sommer 2005 auf ±5 · 10−16 abgesenkt werden, was einer Abweichung von 1 Sekunde in 60 Millionen Jahren gleichkommt. Weitere Einzelheiten und neuere Entwicklungen findet der interessierte Leser auf der Homepage der PTB [123] unter der Rubrik Zeitnormale - Arbeitsgruppe 4.41 sowie auf der Homepage des National Institute of Standards [113]. Von der letztgenannten Homepage aus l¨ aßt sich auch eine Videoanimation zur Arbeitsweise einer C¨ asium-Font¨ ane starten.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

425

Der Nachteil der oben beschrieben C¨ asium-Atomuhren ist, daß sie technisch sehr aufwendig sind und daher nur in einem speziellen Labor installiert werden k¨ onnen. So sind sie nicht geeignet, in einem Satelliten betrieben zu werden. Hierf¨ ur verwendet man aber ebenfalls Atomuhren. Anstatt des Elementes C¨ asium nutzt man Resonanzen von Rubidium. Diese Rubidium-Uhren sind wesentlich kleiner, leichter und preiswerter als C¨asium-Uhren. Moderne Rubidium-Uhren erreichen bei einem Volumen von 40 cm3 und einem Leistungsbedarf von 1 Watt eine Gangunsicherheit von nur ±3 · 10−12 , was einer Abweichung von 1 Sekunde in 10.000 Jahren entspricht. Damit sind sie immer ommliche Quarzuhren. Aufgrund dienoch um den Faktor 105 genauer als herk¨ ser Eigenschaften eignen sie sich in hervorragender Weise f¨ ur den Einsatz in mobilen Systemen, wie beispielsweise Satelliten. 12.10.2 DCF-77 Zeitzeichensender Um die amtliche Normalzeit landesweit verf¨ ugbar zu machen, benutzt man einen L¨ angstwellensender mit einer Tr¨ agerfrequenz unterhalb des vom ¨offentlichen Rundfunk genutzten Langwellenbereiches. Dieser Frequenzbereich erlaubt in aller Regel das problemlose Eindringen der elektromagnetischen Wellen in Geb¨ aude. Die von der PTB mit Hilfe der Uhrennormale bestimmte Normalzeit (MEZ (=UTC + 1h) bzw. MESZ (=UTC + 2 h)) wird nach dem BCD-Code codiert und u ¨ber den Zeitzeichensender DCF-77 in Mainflingen bei Frankfurt/Main ausgestrahlt. Seine Reichweite betr¨agt, je nach Empfangssituation, bis zu 2000 km. Der Tr¨ ager von DCF-77 wird dazu auf zwei Arten moduliert, n¨amlich zum einen mit einer Amplitudenmodulation und zum anderen in Form einer pseudozuf¨ alligen Umtastung der Tr¨ agerphase. Bei der im Jahre 1970 eingef¨ uhrten Amplitudenmodulation wird die Amplitude der 77,5-kHz-Tr¨agerschwingung ur zu Beginn einer jeden Sekunde bei einer zu u ¨bertragenden digitalen ′ 0′ f¨ ′ ′ ur 0,2 s auf 25 % des normalen Wertes abge0,1 s und bei einer digitalen 1 f¨ senkt (Abb. 12.26). Die pseudozuf¨ allige Umtastung der Tr¨agerphase (Binary Phase Shift Keying BPSK) wurde erst im Jahre 1988 eingef¨ uhrt [73].

Abb. 12.26. Modulation einer log. ′ 0′ bzw. einer log. ′ 1′ beim Zeitzeichensender DCF-77

426

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Mit Hilfe beider Modulationsformen werden einmal pro Minute die Zahlen u ur Minute, Stunde, Tag, Wochen¨bertragen, welche die aktuellen Werte f¨ tag, Monat und Jahr repr¨ asentieren, und zwar bei der Amplitudenmodulation durch Impulsdauermodulation der Sekundenmarken und bei der BPSK durch Invertieren einer Pseudozufallsfolge. Abbildung 12.27 zeigt das Kodierschema und die Zuordnung zwischen u ¨bertragener Information und den einzelnen Sekundenmarken. Die Sekunden innerhalb einer Minute sind u ¨ber diese Amplituden¨ anderungen inkremental zu z¨ ahlen. Das Fehlen der 59. Sekunde weist auf den Beginn der folgenden Minute hin. Dabei werden Pr¨ ufbits zur St¨orerkennung verwendet [73].

Abb. 12.27. Minutenprotokoll beim Zeitzeichensender DCF-77. Bits 17 und 18: Zeitzonenbits (MEZ: 0, MESZ:1); Bit 20: Startbit f¨ ur Zeitinformation (stets 1); Bit 28: erg¨ anzt Bits 21-27 auf gerade Parit¨ at; Bit 35: dto. f¨ ur Bits 29-34; Bit 58: dto. f¨ ur Bits 36-57.

12.10.3 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation Bereits in den sechziger Jahren war erkennbar, daß die herk¨ommliche Funknavigation den k¨ unftigen Anforderungen nicht mehr gen¨ ugen w¨ urde. Zu diesen Anforderungen geh¨ ort die weltweite dreidimensionale und hochpr¨azise Positionsbestimmung in Echtzeit, wobei das System wetterunabh¨angig 24 Stunden am Tag zur Verf¨ ugung stehen muß. Dar¨ uber hinaus sollen die Empf¨anger leicht zu handhaben sein. Unter Federf¨ uhrung der US Air Force entwickelten die amerikanischen Streitkr¨ afte ab 1973 das NAVigation Satellite Timing ” And Ranging/Global Positioning System (NAVSTAR/GPS)“, welches auch f¨ ur die zivile Nutzung freigegeben ist. Systemaufbau Das Gesamtsystem besteht aus drei Segmenten: 24 von der Firma Rockwell entwickelte Satelliten, welche verteilt auf sechs Kreisbahnen in circa 20 000 Ki-

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

427

lometern H¨ ohe die Erde in ungef¨ ahr 12 Stunden je einmal umlaufen, bilden das Raumsegment. Auf der Erdoberfl¨ ache befindet sich das Kontrollsegment, bestehend aus f¨ unf weltweit verteilten Monitorstationen zur Satellitenbeobachtung und einer Master Control Station, um die Bahndaten der Satelliten vorauszuberechnen und das Verhalten der Satellitenuhren zu extrapolieren, sowie Bodenantennen, um die ermittelten Werte an die Satelliten zu senden. Das Benutzersegment wird von allen milit¨ arisch und zivil genutzten GPSEmpf¨ angern gebildet (Abb. 12.28). Jeder Satellit strahlt permanent ein kodiertes Signal ab (Frequenzen 1575,42 bzw. 1227,60 MHz), welches unter anderem die genaue interne Satellitenzeit und die aktuellen Bahndaten des Satelliten, insbesondere seine aktuelle Position, enth¨ alt. Zu diesem Zweck sind die Satelliten mit jeweils vier hochgenauen Atomuhren ausgestattet. Die absolute Genauigkeit der in den GPS-Satelliten im Einsatz befindlichen RubidiumUhren wird mit 3 · 10−9 Sekunden angegeben. Ein Benutzer empf¨angt die Signale und mißt die Laufzeit zwischen dem Zeitpunkt des Sendens am Satelliten und dem Empfangszeitpunkt. Wird nun die gemessene Laufzeit mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen multipliziert, so erh¨ alt man die Entfernung zwischen dem Empf¨anger und dem Satelliten, dessen Signal empfangen wurde. Im Idealfall l¨ aßt sich mit einer Messung eine Kugelstandfl¨ache ermitteln, das heißt, der Empf¨anger befindet sich auf einer Kugeloberfl¨ ache mit dem angepeilten Satelliten im Mittelpunkt. Aus diesem Grund werden die genauen Positionsdaten des Satelliten mitgesendet. Mißt man gleichzeitig die Signale zweier Satelliten, so befindet man sich auf der Schnittlinie der beiden zugeh¨ origen Kugelstandfl¨achen, also einer Kreisstandlinie. Bei einer dritten Messung erh¨ alt man den genau definierten Standort des Empf¨ angers. Da jedoch die Empf¨ anger aus Kostengr¨ unden anstatt mit

Abb. 12.28. Funktionsprinzip des Global-Positioning-Systems (GPS)

428

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Atomuhren nur mit Quarzuhren ausger¨ ustet sind, entsteht ein Meßfehler, so daß das Signal eines vierten bzw. auch die Signale von weiteren NAVSTARSatelliten herangezogen werden m¨ ussen, um eine entsprechende Fehlerkorrektur durchf¨ uhren zu k¨ onnen. Minimale Zeitfehler entstehen zwangsl¨aufig auch aufgrund der sich zeitlich ¨ andernden Wellenausbreitung in Iono- und Stratosph¨ are. Es gibt zwar Modelle, die diesen Einfluß zu beschreiben versuchen, ihre Anwendung kann aber die existierenden Fehler nicht vollst¨andig eliminieren. Jeder Satellit sendet seine Signale auf zwei Frequenzen im L-Band, wobei f¨ ur den zivilen Nutzer nur das L1-Signal (1575,42 MHz) wichtig ist. Dazu wird diesem Signal zun¨ achst der C/A-Code (Clear/Access-Code)“ in Form ” einer Pseudo-Random-Noise-Sequenz aufmoduliert. Dabei handelt es sich um eine scheinbar zuf¨ allige Sequenz, die sich jedoch im Intervall von einer Millisekunde st¨ andig wiederholt. Benutzt wird die Methode der Phasenmodulation mit einem Modulationstakt von 1,023 MHz. Zus¨atzlich wird dem Signal - ebenfalls durch Phasenmodulation - mit einem Takt von 50 Bit/s die Navigationsnachricht aufmoduliert, welche die Satellitenzeit und die Bahndaten des sendenden Satelliten enth¨ alt. Die f¨ ur die zivile Navigation wichtigen Daten sind in Bl¨ ocken von 150 Bit enthalten, die sich st¨andig wiederholen. Die Navigationsnachricht wird innerhalb von 30 Sekunden empfangen. Am Empf¨ anger wird mit einem Signalprozessor die Laufzeit des Signals gemessen, indem zun¨ achst intern pseudo-gleichzeitig“ ein ebenfalls mit dem ” C/A-Code versehenes Vergleichssignal erzeugt wird. Dann wird durch Kreuz¨ korrelation eine Ubereinstimmung der Bitmuster des empfangenen und des intern erzeugten Signals herbeigef¨ uhrt. Die eigentliche Meßgr¨oße ist also die ¨ Phasenverschiebung, die notwendig ist, um eine Ubereinstimmung der Signale zu erzeugen und die proportional zur Laufzeit der Signale zwischen Satellit und Empf¨ anger ist. Diese Information wird an einen Navigationscomputer weitergegeben, der aus mindestens vier Laufzeiten unter Zuhilfenahme der demodulierten Navigationsnachrichten ein System aus (mindestens) vier Gleichungen l¨ ost. Ber¨ ucksichtigt man die Tatsache, daß sich der C/A-Code jede Millisekunde wiederholt, so erh¨ alt man alle 300 Kilometer eine Mehrdeutigkeit, welche jedoch in der Praxis durch weitere Informationen eindeutig zu kl¨aren ist. Der milit¨ arische P-Code (Protected-Code) benutzt eine PRN-Sequenz von 266 Tagen Dauer, wobei mit einem Modulationstakt von 10,23 MHz gearbeitet wird. Daraus resultiert nicht nur eine zehnmal so große Genauigkeit sondern auch eine erheblich kompliziertere Entschl¨ usselbarkeit. Die Betreiber des GPS sind auch in der Lage, die den zivilen Nutzern zug¨anglichen Signale und Daten bestimmter Satelliten k¨ unstlich zu verschlechtern. Dazu wird der Lauf der Satellitenuhren moduliert bzw. kleinere Fehler in die Bahndaten eingearbeitet. Eine Eliminierung dieser Fehler ist nur mittels geheimer Verfahren m¨ oglich. Diese mit Selective Availability bezeichnete Einschr¨ankung der Genauigkeit wurde im Jahr 2000 von den Vereinigten Staaten aufgehoben, so daß fortan f¨ ur die zivile Nutzung Genauigkeiten in der Positionsbestimmung von weniger als ± 10 Metern zur Verf¨ ugung stehen. Vor der Aufhebung der Beschr¨ ankung betrug die Genauigkeit lediglich ± 100 Meter. Es ist dem Ver-

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

429

teidigungsministerium der Vereinigten Staaten jedoch weiterhin m¨oglich, die f¨ ur zivile Nutzer zug¨ anglichen Daten und Signale beispielsweise in Kriegsgebieten gezielt zu verf¨ alschen bzw. abzuschalten, was dann mit dem Begriff Selective Deniability bezeichnet wird. Differential GPS - DGPS Um die Genauigkeit des GPS-Satellitennavigationssystem weiter zu verbessern, wurde das Differential Global Positioning System (DGPS) entwickelt. Dabei wird an einem Ort, dessen exakte geographische Lage bekannt ist, die Position mittels GPS bestimmt. Aus der Differenz zwischen der dabei errechneten Position und der bekannten tats¨ achlichen geographischen Lage ergibt sich der lokale Fehler des GPS-Systems. Es ist m¨oglich, den Fehler jedes in Reichweite befindlichen Satelliten zu errechnen und diesen Fehler an ¨ DGPS-Empf¨ anger zu u der Fehler an geeignete ¨bermitteln. Zur Ubertragung Empf¨ anger werden FM-Frequenzen sowie Satelliten benutzt. Da der Fehler der einzelnen GPS-Satelliten in der jeweiligen Region nun bekannt ist, ist eine genauere Berechnung der aktuellen Position m¨oglich. DGPS-Empf¨anger k¨ onnen die Position metergenau bestimmen, typischerweise werden Genauigkeiten von unter ± 5 Metern erreicht. SBAS - Satellite Based Augmentation Systems Bei den SBA-Systemen handelt es sich um ein satellitengest¨ utztes Differential GPS (DGPS). Die Korrekturdaten werden hier im Gegensatz zum StandardDGPS von geostation¨ aren Satelliten ausgesandt, was den Vorteil mit sich bringt, daß weder weitere terrestrische Sendestationen noch ein separater (Korrektursignal-)Empf¨ anger beim Nutzer ben¨otigt werden. Es gibt hier vier, f¨ ur unterschiedliche Regionen entwickelte Systeme, die untereinander weitestgehend kompatibel sind. Das sog. Wide Area Augmentation System (WAAS) (Erweiterungssystem f¨ ur einen großen Bereich), ist in USA und Kanada verf¨ ugbar und wird speziell in der Luftfahrt verwendet. Dabei kontrollieren 25 Bodenstationen das GPS-Signal und schicken entsprechende Korrekturdaten an zwei geostation¨ are WAAS-Satelliten, die ihrerseits wiederum die entsprechenden Empf¨ anger versorgen. Das MSAS (Multi-Functional Satellite Augmentation System) wurde in Japan entwickelt und deckt ein Teil des asiatischen Raums ab. Das GAGAN-System (GPS Aided Geo Augmentation Navigation) wurde in Indien entwickelt und befindet sich in einer Experimentierphase. In Europa wird derzeit ebenfalls ein solches System unter dem Namen EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) aufgebaut. Es sind 34 u ¨ber ganz Europa verteilte Bodenmeßstellen, sog. RIMS (Ranging and Integrity Monitoring Station = Entfernungsmeß- und Integrit¨ atsbeobachtungs-Stationen), und 3 geostation¨are Satelliten geplant. Bei

430

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

den Satelliten handelt es sich um sog. Inmarsat-Satelliten (International Maritime Satellite), die infolge geschickter ¨ ortlicher Anordnung u ¨ber dem Atlantik, Zentralafrika und ¨ ostlich von Afrika den gesamten europ¨aischen Raum abdecken. Zu Problemen kann es allenfalls im nordeurop¨aischen Raum kommen, da hier die geostation¨ aren Satelliten unter einem Winkel von nur 20 Grad zu sehen sind, was leicht zu Abschattungen und damit zu entsprechenden Empfangsproblemen f¨ uhrt. Die jeweilige Position der RIM-Stationen ist exakt bekannt (wenige Zentimeter Abweichung). Sie sind mit GPS-Empf¨ angern und Auswerterechnern ausgestattet, die beim Empfang bzw. der Auswertung des GPS-Signals die Abweichung bestimmen. Außerdem kann aufgrund der Tatsache, daß die Stationen sowohl das L1- als auch das L2-Band empfangen, die Laufzeitverz¨ogerungen durch die Ionossph¨ are f¨ ur jeden einzelnen Satelliten ermittelt werden. Da beim Empfang von mehr als vier Satelliten die Auswertung des GPS-Signales u ¨berbestimmt ist, kann man auch auf Fehler (Uhrenfehler bzw. Positionsfehler) der einzelnen Satelliten schließen. Diese Informationen werden an ein sog. Central Processing Centre weitergeleitet, wo sie zur GesamtKorrektur weiterverarbeitet werden. Die Hauptfehlerquelle von Ein-FrequenzEmpf¨ angern, so wie sie von privaten Nutzern verwendet werden, liegt bei der in der Ionossphare stattfindenden Signalverz¨ ogerung. Hier hilft das von den SBA-Systemen errechnete aktuelle Korrekturgitter (IONO-Korrekturgitter) weiter, das gr¨ oßte positive Auswirkung auf die Korrektur der GPS-Signale hat. So kann die maximale Abweichung von EGNOS bei der horizontalen Ortsbestimmung auf etwa 2 Meter heruntergedr¨ uckt werden. Damit ist es beispielsweise hervorragend geeignet, dem Luftverkehr eine Exaktheit bei der Positionsbestimmung zu gew¨ ahrleisten, die prinzipiell ausreichen w¨ urde, ein Flugzeug ohne Landestrahl zu landen. Allerdings wird das EGNOS nicht in der Lage sein, die h¨ ochste Stufe (CAT III, d. h. Minimum-Sichtweite bei Nebel ca. 100 m) des derzeit im Luftverkehr verwendeten ILS (Instrumentenlandesystem) zu ersetzen. Dennoch wird es in hervorragender Weise die Navigation im Luft- und Schiffsverkehr erg¨ anzen und bestehende erdgebundene Navigationsysteme abl¨ osen [117]. Voraussichtlich wird EGNOS bereits Anfang des Jahres 2011 zur Verf¨ ugung stehen. Finanziert wird das Projekt von der EU. Die europ¨ aische Raumfahrtagentur ESA hat die Koordination u ¨bernommen. 12.10.4 Galileo-Satellitennavigation Aufgrund fehlender Alternativen zu dem US-amerikanischen GPS oder dem russischen GLONASS Satellitennavigationssystem beschloß die Europ¨aische Union (EU) in den 90er Jahren ein unabh¨ angiges Satellitennavigationssystem zu entwickeln. Dies wurde notwendig, da keines der bestehenden Systeme aus milit¨ arischen Gr¨ unden eine uneingeschr¨ ankte Funktions- bzw. Verf¨ ugbarkeitsahrt. Außerdem ist so bei einem technischen Ausfall eines Sygarantie gew¨ stems noch ein weiteres vorhanden, was einen wesentlichen Sicherheitsaspekt darstellt.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

431

Systemaufbau Das derzeit im Aufbau befindliche Navigationssystem soll im endg¨ ultigen Ausbaustadium 30 Satelliten umfassen, von denen 27 dem Betrieb des Systems dienen und drei weitere sich als Ersatzsatelliten im Orbit befinden. Die Satelliten werden in ca. 24.000 km H¨ ohe auf drei verschiedenen Kreisbahnen fliegen und ben¨ otigen f¨ ur eine Erdumrundung etwa 14 Stunden. Sie bilden das Raumsegment“ , das in Abb. 12.29 dargestellt ist. Dabei werden jeweils ” 10 Satelliten auf einer Bahn gleichm¨ aßig verteilt. Davon fungiert jeweils ein Satellit, also insgesamt drei, als Reserve f¨ ur eventuell ausfallende Satelliten. ¨ Auf der Erde werden weltweit vernetzte Bodenstationen die Uberwachung ¨ der Satelliten u von Diagnose- und ¨bernehmen und Echtzeit-Ubertragungen Fehlermeldungen steuern. Es wird zwei gleichberechtigte Haupkontrollzentren (GCC = Galileo Control Center) geben, eines in Deutschland (Oberpfaffenhofen) und eines in Italien (Fucino). Ein weiteres Kontrollzentrum, welches das Safety-of-Life-Signal (s. u.) u ¨berwacht und Redundanzzwecken dient, wird in Spanien errichtet. Daneben werden die von den Galileo-Satelliten ausgesendeten Signale von 30 Signalkontroll-Empfangsstationen (GSS Galileo Sensor Station) u unf Satelliten-Kontrollstationen (TTC Telemetry, ¨berwacht. F¨ Tracking and Command) u ¨bernehmen die Bahnverfolgung und -steuerung der Satelliten. Es soll 9 Uplink-Stationen (ULS = Up-Link Stations) geben, von welchen aus die im Betrieb notwendigen Korrektur-, Kontroll- und Steuerdaten im C-Band (5 GHz) zu den einzelnen Satelliten gesendet werden k¨onnen. Das Bodensegment wird komplettiert durch ein sog. Performance-Center, das

Abb. 12.29. Satellitennavigationssystem Galileo [44]

432

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

permanent die Qualit¨ at der zur Erde gesendeten Satellitensignale auswertet. Die u ¨bergeordneten, administrativen Aufgaben des Galileo-Systems werden einer zivilen Galileo-Betreibergesellschaft (Galileo Operating Company) u ¨bertragen, deren Sitz auf Frankreich (Toulouse) und England (London) aufgeteilt wurde. Insgesamt stellt das System 11 Navigationssignale zur Verf¨ ugung, wobei eines davon ausschließlich dem Search and Rescue Service“ zugeteilt ist. Es ” werden insgesamt drei Frequenzb¨ ander f¨ ur die Signal¨ ubertragung verwendet: 1164 − 1215 MHz, 1260 − 1300 MHz und 1559 − 1593 MHz. Das Galileo-Navigationssystem befindet sich derzeit noch immer in der Entwicklungsphase, obgleich mit den Planungen f¨ ur Galileo schon im Jahre 1994 begonnen wurde. Am 28. Dezember 2005 wurde ein erster Test-Satellit (Name: GIOVE-A1; Masse: 600 kg; Abmessungen: 1,3 m × 1,8 m × 1,65 m; Leistung: 700 W) mit einer Sojus-Tr¨ agerrakete in den Orbit transportiert, ein zweiter folgte am 26. April 2008 (Name: GIOVE-B; Masse: 520 kg; Abmessungen: 1 m × 1 m × 2,4 m; Leistung: 950 W). Er verf¨ ugt u ¨ber eine WasserstoffMaser-Atomuhr und ist somit in der Lage, hochgenaue Navigationssignale zu senden. Zum Probetrieb des Galileo-Systems sind 4 Satelliten notwendig, die allerdings nicht vor dem Jahr 2012 im All sein werden. Nach dem erfolgreichen Abschluß der Testphase werden weitere 28 Satelliten folgen. Die EU-Kommission hat im Januar 2010 die erste Tranche von Auftr¨agen zur Fertigung der Satelliten sowie f¨ ur die Systemunterst¨ utzung und die Startdienstleistungen vergeben. Die ersten 14 Satelliten werden vom deutschen Raumfahrtkonzern OHB System GmbH f¨ ur ca. 600 Mio. Euro geliefert. Ein weiterer Anbieter f¨ ur die Satellitentechnik ist EADS-Astrium. Der Auftrag f¨ ur die Systemunterst¨ utzung wurde an die italienische ThalesAleniaSpace vergeben. Die franz¨ osische Arianespace wird die Satelliten mit Sojus-Tr¨agerraketen ins All bef¨ ordern (Kosten: 400 Mio Euro). Am 21. Oktober 2011 wurden die ersten beiden IOV-Satelliten (IOV = In Orbit Validation) von einer Sojus-Tr¨ agerrakete in ihre Umlaufbahn (in 23.222 km H¨ ohe) gebracht. Die n¨ achsten beiden Satelliten sollen im August 2012 folgen. Das europ¨ aische Navigationssystem Galileo wird nach dem heutigen Kenntnisstand den zivilen und milit¨ arischen Nutzern in vollem Umfang (30 Satelliten) nicht vor dem Jahr 2020 zur Verf¨ ugung stehen. Die gesch¨atzten Kosten f¨ ur das Gesamtprojekt liegen derzeit bei ca. 5 Mrd. Euro, die j¨ahrlichen Betriebskosten sollen sich auf ca. 800 Millionen Euro belaufen [50].

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

433

Dienstleistungen Das von der EU geplante Navigationssystem soll vor allem der zivilen Nutzung zu Gute kommen. Es sind f¨ unf Ortungs-Dienstleistungen geplant: • Open Service: frei verf¨ ugbar Zielapplikation: Konsumerger¨ ate • Safety of Life“ Service: sehr genaue Ortsaufl¨osung, hohe Datenper” formance, hohe Sicherheit Zielapplikation: Navigation f¨ ur Flugzeuge, Schiffe und Z¨ uge • Commercial Service: geb¨ uhrenpflichtig, Ortsaufl¨osung lokal angeblich bis zu 10 cm [44], verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Daten-, Zeit- und Hochpr¨ azisionsdienstleistungen • Public Regulated Service: garantierte Verf¨ ugbarkeit unter schwersten Bedingungen; verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Dienste f¨ ur ¨ offentliche Organe, beispielsweise Polizei • Search and Rescue Service: Echtzeit¨ ubertragung von Notsignalen, genaue Ortsaufl¨ osung von wenigen Metern Zielapplikation: humanit¨ are Hilfs- und Rettungsdienstleistungen internationaler Vereinigungen. Kompatibilit¨ at zu GPS In einem Vertrag zwischen der EU und USA wurde im Jahre 2004 vereinbart, daß Galileo zu GPS kompatibel sein wird. Die Frequenzb¨ander L1 bei 1575, 42 MHz und L5 bei 1176, 45 MHz werden von beiden Systemen gemeinsam benutzt. Das L2-Band (1227, 6 MHz) ist f¨ ur GPS reserviert, w¨ahrend Galileo das Band E6 (1278, 75 MHz) allein nutzt. Wenn das Galileo-System vollst¨ andig ausgebaut ist, werden sich also 60 zur Navigation nutzbare Satelliten im All befinden. Die im Durchschnitt erreichbare Genauigkeit der Ortsbestimmung l¨ aßt sich mit einer solche hohen Anzahl an Satelliten prinzipiell erh¨ ohen, da im Mittel mehr Satellitensignale an einem Ort gleichzeitig empfangen werden k¨ onnen. 12.10.5 St¨ orfaktoren bei der Satellitennavigation Um eine Postionsbestimmung zu erm¨ oglichen, ist der gleichzeitige Empfang von mindestens 4 Satelliten erforderlich. F¨ ur eine Fehlerkorrektur jedoch ist ¨ man auf die Uberbestimmung des mit vier Unbekannten (L¨ange, Breite, H¨ohe, Zeit) versehenen Gleichungssystems angewiesen, die mindestens den Empfang eines 5. Satelliten notwendig macht. Dies bringt Probleme bei der Navigation in St¨ adten mit hohen Geb¨ auden mit sich, wo sich diese Forderung nicht immer erf¨ ullen l¨aßt. In den meisten F¨ allen ist auch eine Satellitennavigation im Inneren massiver, z. B. in Stahlbetonbauweise errichteter Bauwerke so gut wie ausgeschlossen.

434

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Folgende, aus physikalischen Gr¨ unden unabwendbare Einfl¨ usse f¨ uhren in der Regel zu Fehlern bei der Positionsbestimmung: ¨ • Witterungsbedingte Anderungen bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen, z. B. Ionosph¨ areneinfl¨ usse: Fehler bis ca. 0,5 Meter • Gangungenauigkeit der verwendeten Uhren: Fehler bis ca. 2 Meter • Fehler durch Mehrwegeausbreitung der elektromagnetischen Wellen: Fehler bis ca. 0,5 Meter • Abweichung von der geplanten Satellitenbahn infolge Graviation: Fehler bis ca. 2,5 Meter Gezielte Beeinflussung durch St¨ orsender Leider gibt es die M¨ oglichkeit, gezielt St¨ orsender gegen Satellitennavigationssysteme, wie GPS oder Galileo, einzusetzen. Die Frequenzen dieser St¨orsender sind mit denen der Satelliten identisch. Sie arbeiten außerdem mit den gleichen Codefolgen, die allerdings in aller Regel unsinnige Nutzdaten u ¨bermitteln. Solche St¨ orsender werden als GPS-Jammer bezeichnet, solange sie nicht gezielt falsche Postionsdaten vort¨ auschen. In dieser Funktionalit¨at jedoch werden sie als GPS-Faker bezeichnet. GPS-Faker erfordern allerdings eine entsprechend genaue Zeitbasis (Atomuhr), was deren Realisierung aufwendig macht. Es ist geplant, f¨ ur das Galileo-System eine Authentifizierung zur Erkennung gef¨ alschter Positionsdaten anzubieten.

13 Meßsignalverarbeitung

13.1 Aufgaben und Bedeutung Die wesentlichen Aufgaben der Meßsignalverarbeitung bestehen in der Meßwert-Vorverarbeitung sowie der Analyse der aufgenommenen Meßsignale mit Hilfe von Filtern, Funktionaltransformationen, Korrelationsverfahren, Mittelwertbildern, Effektivwertbausteinen, Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken, etc. (Abb. 13.1). Dabei sollen die in den gewonnenen Meßwerten enthaltenen und f¨ ur ihre weitere Verwendung (z. B. Regelung, Steuerung, etc.) relevanten Informationen extrahiert werden. Oft wird die im Rahmen einer Messung interessierende Zielgr¨ oße erst durch entsprechende Signalverarbeitungsmaßnahmen gewonnen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ein stark verrauschtes Meßsignal erst durch geeignete Filtermaßnahmen vom St¨orsignal getrennt werden muß. Zu den wichtigsten Signalverarbeitungsmaßnahmen z¨ahlen:

Abb. 13.1. Meßwerterfassung sowie analoge und digitale Meßwertverarbeitung in einem Meßsystem

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch DOI 10.1007/978-3-642-22609-0_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

436

13 Meßsignalverarbeitung

• • • • • • •

Kennlinien-Korrektur Filterung Mittelwertbildung Korrelationsbildung Bildung von Verteilungsfunktionen Ermittlung von speziellen Kenngr¨ oßen, wie z. B. dem Klirrfaktor Ausf¨ uhren mathematischer Operationen, wie z. B. Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren, etc. • Effektivwertermittlung. Grunds¨ atzlich ist zwischen analoger und digitaler Meßsignalverarbeitung zu unterscheiden. Als Vorteile der Analogtechnik sind unter anderem das hohe Aufl¨ osungsverm¨ ogen und die hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit zu nennen. Außerdem entfallen die bei digitalen Systemen stets ben¨otigten Module zur Abtastung und Analog-Digital-Umsetzung. Im Zuge der in den letzten Jahrzehnten zu beobachtenden Qualit¨atsverbesserungen elektronischer Digital-Bausteine (insbesondere in bezug auf Geschwindigkeit und Aufl¨ osung) bei gleichzeitig stark reduziertem finanziellen Aufwand werden die Systeme zur analogen Signalverarbeitung zunehmend von digitalen abgel¨ ost. So lassen sich mit Hilfe universeller digitaler Systeme, wie z. B. digitaler Signalprozessoren (DSP), komplexe Aufgaben wie Funktionaltransformationen relativ leicht in Form von Computerprogrammen implementieren, die bei Analogl¨ osungen einen entsprechenden Aufwand an Hardware notwendig machen. Der Beitrag der analogen Meßsignalverarbeitung hingegen wird sich k¨ unftig vor allem auf Spezialprobleme bzw. Aufgaben mit h¨ochsten Geschwindigkeitsanforderungen konzentrieren. Mit den M¨oglichkeiten der modernen digitalen Signalverarbeitung lassen sich nun auch anspruchsvolle meßtechnische Aufgabenstellungen bew¨ altigen, die in der Vergangenheit oft aus Mangel an geeigneter Hardware oder auch aus Kostengr¨ unden nicht angegangen wurden. Die M¨ oglichkeit, komplexe Signalverarbeitungsaufgaben auf dem PC bzw. auf einem daran angeschlossenen digitalen Signalprozessor zu bearbeiten, erlaubt auch dem Meßtechniker, auf preiswertem Wege die Methoden der modernen digitalen Signalverarbeitung zu nutzen. W¨ ahrend die analoge Technik meist teure (Spezial-) Hardware in Form von Einzweckger¨ aten voraussetzt, l¨ aßt sich die digitale Signalverarbeitung - von Problemen mit sehr hohen Geschwindigkeitsanforderungen einmal abgesehen - auf einem General-Purpose-Rechner, wie z. B. einem PC oder einer Workstation, bzw. auf einem universellen digitalen Signalprozessor relativ einfach softwarem¨ aßig implementieren. Einzige Voraussetzung ist die korrekte zeitliche Abtastung des Signals sowie die anschließende Analog-Digital-Umsetzung (Kap. 11.6) der in der Regel in analoger Form vorliegenden Meßsignale. Der große Vorteil des digitalen Konzeptes besteht in der hohen Flexibilit¨at der entsprechenden softwaretechnischen Implementierungen.

13.2 Signalarten und Analyseformen

437

13.2 Signalarten und Analyseformen Die in der Meßsignalverarbeitung angewendeten Analyseformen h¨angen sehr stark von der Art des zu analysierenden Signales ab. Daher sollte man sich zun¨ achst einmal mit der prinzipiellen Art der vorliegenden Meßsignale auseinandersetzen, d. h. man sollte sie klassifizieren. Abbildung 13.2 gibt einen ¨ Uberblick u oglichen Signalklassen. ¨ber die prinzipiell m¨

nichtdeterministische Signale Rauschen

analoge Signale

nicht-stationäre Signale kein konstanter Mittelwert stationäre Signale konstanter Mittelwert

transiente Signale Pulse

nicht-periodische Signale quasi-periodische Signale deterministische Signale vorhersagbar allg. periodische Signale periodische Signale harmonische Signale Sinus Abb. 13.2. Klassifizierung von Signalen

Am einfachsten lassen sich die periodischen Signale analysieren. Sie z¨ahlen zu den deterministischen Signalen, die bei Kenntnis nur einer einzigen Periode f¨ ur jede Zeit vorhersagbar sind. Bei den nicht-periodischen deterministischen Signalen muß auf eventuelle Abbruchfehler geachtet werden, die entstehen, wenn man anstatt der bei periodischen Signalen u ¨blichen festen Periodendauer eine beliebige Zeitspanne w¨ ahlt. Insbesondere bei der Anwendung der Schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transformation FFT) werden oft nicht periodische Signale in das der FFT zugrundeliegende Korsett der Periodizit¨ at gezw¨ angt, woraus entsprechende Fehler entstehen.

438

13 Meßsignalverarbeitung

Bei den nicht-deterministischen Signalen, den stochastischen Rauschsignalen also, kann man die Signalanalyse in aller Regel auf die Ermittlung von Mittelwerten beschr¨ anken. Man muß dabei beachten, daß diese Mittelwerte nur bei den station¨ aren Signalen zeitlich konstant sind. Wenn die zeitliche Schwankung der Mittelwerte infolge von Instationarit¨aten groß wird, wird die Signalanalyse dementsprechend schwierig bzw. liefert wenig aussagekr¨aftige Resultate.

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren Die im Zuge der analogen Meßsignalverarbeitung standardm¨aßig ben¨otigten mathematischen Operationen Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren und Radizieren lassen sich mit Hilfe von Schaltungen implementieren, die einen Analog-Multiplizierer enthalten. Das Schaltsymbol eines Analog-Multiplizierers wird in Abb. 13.3 gezeigt. Wenn man sich die Eingangsvariablen uE1 und

Abb. 13.3. Analog-Multiplizierer: a) altes Schaltsymbol. E ist ein Bezugsspannungswert von typ. 10 V, b) neues Schaltsymbol mit Angabe eines Bewertungsfaktors (hier: ′ − 2′ ).

uE2 in einem kartesischen Koordinatensystem aufgetragen denkt, kann man entsprechend ihrer Position, welche die verarbeitbare Polarit¨at der Eingangsspannungen beschreiben soll, nach Ein-, Zwei- oder Vier-Quadranten-Multiplizierern unterscheiden (Tab. 13.1). Tabelle 13.1. Grundtypen von Analog-Multiplizierern Bezeichnung

Polarit¨ at der Eingangsspannungen

Ein-Quadranten-Multiplizierer Zwei-Quadranten-Multiplizierer Vier-Quadranten-Multiplizierer

uE1 ≥ 0, uE2 ≥ 0 uE1 ≥ 0, uE2 beliebig uE1 und uE2 beliebig

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren

439

Schaltungen zur hardwarem¨ aßigen Realisierung dieser Multiplizierer finden sich unter anderem in [165]. Solche Schaltungen sind kommerziell in Form von integrierten Bausteinen erh¨ altlich. Dividierer Ein Analog-Dividierer l¨ aßt sich mit der in Abb. 13.4 gezeigten Operationsverst¨ arkerschaltung realisieren. Wenn man die Eingangsdifferenzspannung uD idealerweise zu Null annimmt, kann man aus Gleichung uD = uE2 −

uE1 uA =0 E

(13.1)

ableiten, daß sich die Ausgangsspannung uA durch Division der beiden Eingangsspannungen ergibt uE2 uA = E . (13.2) uE1

Abb. 13.4. Dividierer-Schaltung

Radizierer Wenn man hingegen beide Eing¨ ange des Multiplizierers mit dem Operationsverst¨ arkerausgang verbindet (Abb. 13.5), entsteht aufgrund der Beziehung uD = uE1 −

u2A =0 E

(13.3)

ein Radizierer, solange die Eingangsspannung positiv bleibt (uE1 ≥ 0). Daraus folgt  (13.4) uA = EuE1 .

440

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.5. Radizierer-Schaltung

Frequenzverdoppler Mit Hilfe des in Abb. 13.6 gezeigten Quadriererbausteins und dem nachgeschalteten Hochpaßfilter l¨ aßt sich ein Frequenzverdoppler realisieren. Wenn man n¨ amlich die Sinusspannung ˆ sin ωt uE = U

(13.5)

an den Eingang dieser Schaltung legt, entsteht am Eingang des Hochpasses die Spannung ˆ2 ˆ2 U 1U sin2 ωt = (1 − cos 2ωt) . (13.6) E 2 E Wenn man weiterhin annimmt, daß die Kreisfrequenz ω weit oberhalb der Eckfrequenz des Hochpasses liegt, folgt f¨ ur die Ausgangsspannung uA =

ˆ2 1U cos 2ωt . 2 E

(13.7)

Das heißt, man erh¨ alt am Ausgang ein Signal mit sinusf¨ormigem Zeitverlauf, das in bezug auf das Eingangssignal die doppelte Frequenz und eine mit dem ˆ /(2E) multiplizierte Amplitude aufweist. Faktor U

Abb. 13.6. Frequenzverdoppler-Schaltung

13.4 Ermittlung des Effektivwertes

441

13.4 Ermittlung des Effektivwertes Der Effektivwert xeff eines Signals, welcher auch als Root Mean Square Value xRMS bezeichnet wird, entspricht der Wurzel des quadratischen Mittelwertes   xeff = xRMS = μ2x + Δx2 = μ2x + σx2 . (13.8) Dabei wurde angenommen, daß sich das station¨are Zeitsignal x(t) aus einem Gleich- μx und einem Wechselanteil Δx(t) zusammensetzt x(t) = μx + Δx(t) .

(13.9)

Die Varianz σx2 (Standardabweichung σx ) entspricht also dem Effektivwertquadrat des Wechselanteils. Der Effektivwert l¨ aßt sich neben der in Kap. 6.3.5 erw¨ahnten indirekten, aber kurvenformabh¨ angigen Methode (Messung des Gleichrichtwertes und Umrechnung in den Effektivwert) auch direkt mit Hilfe von echten Effektivwertmessern, z. B. mittels eines Dreheiseninstruments oder durch thermische Verfahren (Hitzdrahtinstrument), erfassen. Neben diesen klassischen Effektivwertmessern bietet die moderne Meßtechnik integrierte Bausteine an, die auf elegante Weise die Bestimmung des kurvenformunabh¨angigen Effektivwertes erlauben (siehe auch Kap. 11.8). Schaltung eines analogen Effektivwertbausteins Eine Schaltung zur Bestimmung des echten (nicht kurvenformabh¨angigen) Effektivwertes eines Meßsignals besteht aus der Hintereinanderschaltung eines Quadrierers, eines Tiefpasses und eines Radizierers (Abb. 13.7). Die Einachst quadriert und tiefpaßgefiltert, sodaß sich die gangsspannung uE wird zun¨ Spannung u ¯1 am Eingang des Radizierers als der quadrierte Effektivwert der Eingangsspannung ergibt u ¯1 =

1 T



0

T

u2E (t) dt . E

(13.10)

Abb. 13.7. Prinzipschaltung zur Bestimmung des kurvenformunabh¨ angigen Effektivwertes

442

13 Meßsignalverarbeitung

Die Ausgangsspannung uA entspricht schließlich dem (kurvenformunabh¨angigen) Effektivwert   1 T u2E (t) dt = uEeff . uA = E (13.11) T 0 E Ein nicht unwesentlicher Nachteil der in Abb. 13.7 gezeigten Schaltung besteht in der Einschr¨ ankung ihres Dynamikbereiches, was letztlich auf die Quadrierung des Eingangssignals zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Wenn die Schaltung aufgrund ihrer hohen Bandbreite dennoch eingesetzt wird, muß im allgemeinen die Eingangsdynamik auf etwa 20 dB, d. h. also ein Verh¨altnis von 1:10 zwischen kleinster und gr¨ oßter Eingangsspannung, begrenzt werden, um den Gesamtfehler gering (typischerweise ca. 0,1 %) zu halten. Die Schaltungsvariante nach Abb. 13.8 hingegen deckt einen wesentlich gr¨ oßeren Dynamikbereich ab, da die Quadrierung am Eingang mit einer gleichzeitigen Division verbunden ist. Diese Division ersetzt die ansonsten notwendige Radizierung am Ausgang. Infolge dieser Schaltungstechnik variiert die Signalamplitude innerhalb der gesamten Schaltung nur linear mit der Eingangsamplitude, womit eine entsprechende Dynamikerweiterung verbunden ist. Die Ausgangsspannung des kombinierten Quadrierer-Dividierer-Bausteins betr¨ agt u2 (13.12) u1 = E . uA Der nachgeschaltete Tiefpaß f¨ uhrt die zeitliche Mittelwertbildung durch u1 =



u2E uA



=

1 T



T 0

u2E (t) dt . uA (t)

(13.13)

Mit verschwindender Eingangsdifferenzspannung des Operationsverst¨arkers folgt  1 T u2E (t) dt = u1 . uA = (13.14) T 0 uA (t)

Im station¨ aren Zustand ist die Ausgangsspannung uA konstant und damit gleich dem Effektivwert der Eingangsspannung

Abb. 13.8. Schaltung zur Messung des kurvenformunabh¨ angigen Effektivwertes

13.4 Ermittlung des Effektivwertes

uA =



1 T



443

T 0

u2E (t) dt = uEeff .

(13.15)

Weitere Variante eines analogen Effektivwertbausteins Eine weitere M¨ oglichkeit, den kurvenformunabh¨angigen Effektivwert zu ermitteln, bietet sich unter Zuhilfenahme der mathematischen Operation des Logarithmierens an. Abbildung 13.9 zeigt das Prinzip der entsprechenden Schaltung. Die Ausgangsspannung uA entspricht dem echten“ kurvenformu” nabh¨ angigen Effektivwert uA =

(e[ln(|uE (t)|2 )−ln(uA )] )

 uA = u2E (t) = uEeff .

=



u2E (t) uA



=

u2E (t) uA

(13.16) (13.17)

Abb. 13.9. Schaltung zur echten“ (kurvenformunabh¨ angigen) Effektivwertmes” sung auf der Basis eines Logarithmierers

13.4.1 Messung des Effektivwertes fu aufe ¨ r beliebige Signalverl¨ Der Effektivwert wurde anhand von Gl. (6.89) f¨ ur einen periodischen Spannungsverlauf definiert. Dabei wird u ¨ber eine Zeitdauer T integriert, die der Periodendauer entspricht. Es stellt sich nun aber noch die Frage, wie der Effektivwert f¨ ur nicht-periodische Signalverl¨ aufe ermittelt werden kann. Wir wollen dazu von einem allgemeinen Zeitsignal ausgehen, dessen Effektivwert auch keineswegs zeitlich konstant sein muß, d. h. es existiert ein Effektivwert ueff (t), der zeitlich variieren kann. Dieser allgemeine Fall einer zeitlich beliebig verlaufenden Spannung u(t) wird von den Effektivwert-Meßschaltungen nach Abb. 13.7 und 13.8 ebenfalls abgedeckt. Man erh¨ alt am Ausgang eine Spannung uA , die dem Kurzzeitefentspricht fektivwert uT eff (13.18) uA = u T eff (τ ) .

444

13 Meßsignalverarbeitung

Dabei h¨ angt der von der Schaltung ausgegebene Wert von der Integrationsdauer T ab, die hier im Gegensatz zu periodischen Signalen nicht mehr der Periodendauer, sondern einer frei w¨ ahlbaren Integrationszeit entspricht   1 τ (τ ) = u2 (t) dt . (13.19) uT eff T τ −T E Man erh¨ alt so einen zeitlich sich ver¨ andernden Effektivwert, welcher der Energie des Signales im Integrationszeitraum entspricht. In der Praxis muß sich diese Integrationsdauer T an der Geschwindigkeit orientieren, mit der sich der Effektivwert ¨ andert bzw. auch daran, welche Information man dem Effektivwert gerade entnehmen m¨ ochte. So kann man bei der Effektivwertmessung von Audiosignalen mit den typischerweise verwendeten Schallpegelmessern bei der Intgerationszeit zwischen Impulsauswertung, schnell und langsam w¨ahlen, je nachdem, mit welcher Geschwindigkeit man das Signal gerade verfolgen m¨ ochte. Tip: Auf der DVD-ROM befindet sich das LabVIEW-Programm kurzzeiteffektivwert.vi, welches die Ermittelung des Kurzzeiteffektivwertes demonstriert. Der Anwender kann dort auf dem Frontpanel eine einzulesende wav-Datei ausw¨ahlen und die Integrationsdauer T f¨ ur die Effektivwertberechnung einstellen. Nach dem Start des Programms wird im Signalverlaufsgraph das Zeitsignal sowie der Verlauf des Kurzzeiteffektivwertes dargestellt.

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten In der Meßtechnik muß sehr oft auf Mittelungswerte (Mittelwerte) zur¨ uckgegriffen werden, weil diese aussagekr¨ aftiger sind als die direkte Zeitgr¨oße. Dies gilt insbesondere f¨ ur stochastische Gr¨ oßen, wie Rauschsignale, bei denen der Momentanwert nahezu ohne Aussage bleibt. Arithmetischer Mittelwert Der einfachste Mittelungswert ist der arithmetische Mittelwert μx einer Folge aus Abtastwerten x(tn ) bzw. eines kontinuierlichen Signals x(t) (s. auch Gl. (6.87)), der wie folgt definiert werden kann +N  1 x(tn ) N →∞ 2N + 1

μx = lim

n=−N

bzw.

(13.20)

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten

1 T →∞ 2T

μx = lim



445

+T

x(t) dt .

(13.21)

−T

Da die Mittelungen aus ger¨ atetechnischen Gr¨ unden nur u ¨ber endliche Zeitintervalle durchgef¨ uhrt werden k¨ onnen, beschr¨ ankt man sich auf sog. Kurzzeitmittelwerte, welche lediglich Sch¨ atzwerte der obigen theoretischen Mittelwerte sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Signalverlauf x(t) station¨ar ist, damit der Mittelwert in der endlichen Beobachtungsdauer T repr¨asentativ f¨ ur den ganzen Signalverlauf ist. Diese Voraussetzung ist bei periodischen Signalen exakt erf¨ ullt, wenn die Beobachtungsdauer T gerade gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer gew¨ ahlt wird. F¨ ur periodische Signale mit der Periodendauer N bzw. T vereinfachen sich die Gln. (13.20) und (13.21) daher zu N 1  x(tn ) (13.22) μx = N n=1 bzw.

 1 T x(t) dt . (13.23) T 0 Der arithmetische Mittelwert entspricht bei station¨aren Signalen dem Gleichanteil eines Signals. Er wird auch als Moment 1. Ordnung bezeichnet. Bei der zeitlichen Mittelung wird also der Gleichanteil xDC eines Signals von seinem Wechselanteil xAC getrennt μx =

x(t) = μx + Δx(t) = xDC + xAC (t) .

(13.24)

Laufende Mittelung Wenn man die Entstehung des Mittelwertes ab dem Vorliegen der ersten (beiden) Meßwerte beobachten m¨ ochte, bietet sich die sog. laufende Mittelung an, die wie folgt anhand des aktuellen Abtastwertes xn und des nach (n − 1) Schritten berechneten Mittelwertes μn−1 durchgef¨ uhrt werden kann μn = μn−1 +

xn − μn−1 . n

(13.25)

Die Richtigkeit dieser Formel l¨ aßt sich durch folgende Umformung beweisen nμn−1 − μn−1 + xn n (n − 1)μn−1 + xn = n   n−1  1 (n − 1) (n−1) xi + xn i=1 = n n 1 xi . = n i=1

μn =

(13.26)

446

13 Meßsignalverarbeitung

Ein Sonderfall der laufenden Mittelung ist die exponentielle Mittelung, bei der altere Meßwerte stets geringer gewichtet werden als neuere. Diese Art der Mit¨ telung l¨ aßt sich durch ein Tiefpaßfilter 1. Ordnung realisieren, wobei bez¨ uglich der Grenzfrequenz dieses Tiefpasses ein Kompromiß zwischen schnellem Einschwingen des Mittelwertes (hohe Grenzfrequenz w¨ unschenswert) und dem Eliminieren des von sehr tiefen Frequenzanteilen hervorgerufenen station¨aren Fehlers (tiefe Grenzfrequenz g¨ unstig) geschlossen werden muß. Gleitende Mittelung Bei der gleitenden Mittelung (moving averaging) wird ein arithmetischer Mittelwert u ¨ber die letzten N Meßwerte wie folgt gebildet μn = μn−1 +

xn − xn−N . N

(13.27)

F¨ ur den Fall, daß die letzten N Samplewerte nicht mehr verf¨ ugbar sind, l¨aßt sich Gl. (13.27) durch folgendes Bildungsgesetz approximieren μn ≈ μn−1 +

xn − μn−N . N

(13.28)

Dabei wurde der Samplewert xn−N durch den Mittelwert μn−N ersetzt.

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale Man hat generell zwischen Signalen mit periodischem Zeitverlauf und solchen mit nicht-periodischem Zeitverlauf zu unterscheiden (Abb. 13.10). Die folgenden Betrachtungen beschr¨ anken sich ausschließlich auf periodische Signale, die im allgemeinen Fall einen nicht-sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweisen. Ein nicht-sinusf¨ ormiges Signal wird dann als periodisch bezeichnet, wenn die in ihm enthaltenen Sinusfrequenzen im Verh¨ altnis rationaler Zahlen zueinander stehen. Man kann sich ein beliebiges, nicht-sinusf¨ormiges Signal x(t) als Summe von (im allgemeinen Fall unendlich) vielen Sinusschwingungen

Abb. 13.10. Signalarten: a) Nicht-periodischer Signalverlauf, b) periodischer Signalverlauf

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale

447

unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage in Form einer Fourierreihe zusammengesetzt denken. Bei einer periodischen Schwingung stehen die Frequenzen dieser Sinusschwingungen in einem ganzzahligen Verh¨altnis. Die Folgefrequenz eines periodischen Signals entspricht der Zahl der Perioden pro Sekunde. Mit Hilfe einer Fourieranalyse (Kap. 3) kann das Signal in seine Sinus-Komponenten (Fourier-Komponenten) zerlegt werden [149]. Die Amplituden der einzelnen Sinusschwingungen werden im sog. Amplitudenspektrum dargestellt. Abbildung 13.11 zeigt als Beispiel das Amplitudenspektrum eines periodischen Rechtecksignals. Auch ein urspr¨ unglich rein ¨ monofrequentes Sinussignal kann auf seinem Ubertragungsweg nichtlinearen (Schaltungs-)Einfl¨ ussen ausgesetzt sein, woraufhin Oberwellen des Originalsignals (d. h. der Grundwelle) entstehen. Diese Nichtlinearit¨aten kommen beispielsweise in Verst¨ arkern vor, wenn die Signalamplituden in den Bereich der Aussteuerungsgrenzen vorstoßen. In Audioanlagen sind die dabei entstehenden nichtlinearen Verzerrungen manchmal sogar akustisch wahrnehmbar. Diese Verzerrungen, die anhand des sog. Klirrfaktors bemessen werden, sind ungewollt und man ist bestrebt, sie zu unterdr¨ ucken.

Abb. 13.11. Amplituden-Spektrum einer unendlichen Folge von Rechteckpulsen mit der Periodendauer T1 = 1/f1

Klirrfaktor Durch Nichtlinearit¨ aten in elektrischen (oder mechanischen) Schaltkreisen entstehen Oberschwingungen mit den Amplituden u ˆ2 , u ˆ3 , ... eines urspr¨ unglich ur diese sinusf¨ ormigen Signals mit der (Grundwellen-)Amplitude u ˆ1 . Als Maß f¨ Oberschwingungen wird der Klirrfaktor k angegeben, welcher das Verh¨altnis des Effektivwertes aller Oberwellen zum Effektivwert des Gesamtsignals angibt  2 2 2 + ... U2eff + U3eff + U4eff k= 2 2 2 2 + ... 100% U1eff + U2eff + U3eff + U4eff k=



u ˆ21

u ˆ22 + u ˆ23 + u ˆ24 + ... 100% . 2 2 +u ˆ2 + u ˆ3 + u ˆ24 + ...

(13.29)

448

13 Meßsignalverarbeitung

Dabei bezeichnen u ˆ1 : U1eff : u ˆ2 , u ˆ3 , ...: U2eff , U3eff , ...

Amplitude der Grundwelle Effektivwert der Grundwelle Amplituden der Oberwellen : Effektivwerte der Oberwellen.

Zur Messung des Klirrfaktors werden Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken eingesetzt, welche obige Formel mit Hilfe von Filterschaltungen auswerten (Abb. 13.12).

Abb. 13.12. Schaltung zur Ermittlung des Klirrfaktors

Dazu wird das zu analysierende Signal, je nachdem, ob es sich um ein hochoder niederfrequentes Signal handelt, auf den entsprechenden Eingang gegeben und zun¨ achst direkt einem Effektivwertmesser zugef¨ uhrt, der den kurvenformunabh¨ angigen ( echten“) Effektivwert des Gesamtsignals mißt und ” anzeigt bzw. speichert. Danach wird das Eingangssignal in einer zweiten Messung u uhrt. Dies ist eine steilflankige Bandsperre, ¨ber ein sog. Notchfilter gef¨ die eine bestimmte (einstellbare) Spektralkomponente unterdr¨ uckt und das restliche Signal durchl¨ aßt. Wenn man mit Hilfe des Notchfilters die Grundwelle ausfiltert, den dabei gemessenen Effektivwert ins Verh¨altnis zum gemessenen Effektivwert des Gesamtsignals setzt und den Quotienten in Prozent ausdr¨ uckt, erh¨ alt man schließlich als Ergebnis den aktuellen Wert des Klirrfaktors des Eingangssignals. Abschließend soll noch erw¨ahnt werden, daß aus der Angabe des Klirrfaktors keine R¨ uckschl¨ usse auf den Zeitverlauf des Signals gezogen werden k¨ onnen, da aus dem Wert des Klirrfaktors weder die Phasenbeziehungen der Harmonischen zueinander noch die Werte ihrer Einzelamplituden hervorgehen.

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

449

Spektralanalyse Die spektrale Zusammensetzung eines periodischen Signals l¨aßt sich mit Hilfe eines abstimmbaren steilflankigen Bandpaßfilters und eines Effektivwert- oder Amplitudenmeßger¨ ates auf analoger Basis messen. Dazu wird das Filter, das durch seine Mittenfrequenz fm und seine Bandbreite Δf gekennzeichnet ist, nacheinander auf die einzelnen Spektrallinien des periodischen Signals x(t) abgestimmt. Die jeweiligen Ausgangsspannungen des Filters werden mit Hilfe eines Effektivwertspannungsmessers ermittelt. Bei einer automatischen Messung wird die Mittenfrequenz des Bandpaßfilters zwischen einer unteren fu und einer oberen Grenzfrequenz f0 variiert und die jeweils gemessene Ausgangsspannung u ¨ber der Frequenz aufgetragen. Wenn ein reines Linienspektrum (d. h. man hat ein periodisches Eingangssignal) gemessen wird, entsteht aufgrund der Faltung der einzelnen Spektralli¨ nien mit der Ubertragungsfunktion des Bandpasses ein resultierendes Spektrum, das an den Stellen der Spektrallinien das Spektrum des Bandpasses zeigt. Aus diesen Gr¨ unden ist es einleuchtend, daß die Bandpaߨ ubertragungsfunktion so schmalbandig wie m¨ oglich sein sollte. Dies geht allerdings zu Lasten der Einschwingzeit, die proportional mit 1/Δf ansteigt.

13.7 Messung von Signaleigenschaften durch Bestimmung der Korrelationsfunktionen

Abb. 13.13. Direkte Meßmethode

Neben der bereits in den vorangegangenen Kapiteln behandelten, standardm¨aßig eingesetzten direkten Meßmethode (Abb. 13.13) sowie der in den Kapiteln 9.2 - 9.5 behandelten indirekten Meßmethode auf der Basis von Kompensationsschaltungen (Abb. 13.14) gibt es noch eine dritte grundlegende Meßmethode, n¨ amlich die Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal. Bei diesem in Abb. 13.15 gezeigten Verfahren wird die Meßgr¨oße nach einer Signalumformung mit einem Modellsignal, das wiederum auch das Meßsignal selbst sein kann, mit Hilfe eines Korrelators verglichen. Aus dieser Vergleichsmessung lassen sich wesentliche Signaleigenschaften der Meßgr¨oße ableiten. Um die dabei ablaufenden Vorg¨ ange besser zu verstehen, sollen zun¨achst die Korrelationsfunktionen definiert und anschließend gezeigt werden, welche Signaleigenschaften sich aus ihren Funktionsverl¨aufen ablesen lassen.

450

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.14. Indirekte Messung durch Kompensation

Korrelationsfunktionen: Kreuzkorrelationsfunktion, Autokorrelationsfunktion Es sind zwei Arten von Korrelationsfunktionen definiert, n¨amlich die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy 1 Rxy (τ ) = lim T →∞ 2T



+T

y(t)x(t + τ ) dt

(13.30)

−T

sowie die Autokorrelationsfunktion Rxx  +T 1 Rxx (τ ) = lim x(t)x(t + τ ) dt , T →∞ 2T −T

(13.31)

wobei x(t) und y(t) beliebige zeitkontinuierliche Funktionen sind. Die Korrelationsfunktionen bilden die Grundlage der Korrelationsmeßtechnik, in der ¨ die Ahnlichkeit von Signalverl¨ aufen ermittelt wird. Praktische Auswertung von Korrelationsfunktionen In der praktischen Meßtechnik allerdings muß man bei der Anwendung der obigen Definitionsgleichungen (Gln. (13.30) und (13.31)) vorsichtig sein, da sich der Grenz¨ ubergang f¨ ur T → ∞ in der Regel nicht mehr sinnvoll gestalten l¨ aßt.

Abb. 13.15. Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

451

F¨ ur periodische Signale kann man den Grenzwert T → ∞ ohne Probleme durch T = T0 ersetzen, wenn T0 die Periodendauer ist. F¨ ur nicht-periodische Signale hingegen greift diese Vereinfachung nicht. Man muß dabei sehr wohl nach der Art des zu korrelierenden Signals unterscheiden. Aus diesem Grund sollen die im folgenden bei der Korrelation behandelten Signale zun¨ achst einmal definiert werden. Man unterscheidet dabei 4 Arten von Signalen: 1. Energiesignale Ein Signal x(t) wird als Energiesignal bezeichnet, wenn folgende Relation erf¨ ullt ist  +∞  +∞ |x(t)|2 dt < ∞ . (13.32) x(t) · x(t + τ )dt = −∞

−∞

2. Leistungssignale Wenn das Integral nach Gl. (13.32) divergiert, aber der Grenzwert 1 T →∞ T lim



+T −T

1 T →∞ T

x(t) · x(t + τ )dt = lim



+T −T

|x(t)|2 dt < ∞

(13.33)

existiert, spricht man von Leistungssignal 3. Station¨ are Signale Ein stochastisches Signal (in diesem Zusammenhang oft auch als Prozeß bezeichnet) wird als station¨ar bezeichnet, wenn seine statistischen Eigenschaften zeitinvariant sind. So ist beispielsweise f¨ ur station¨are Signale neben der Existenz von Mittelwerten auch deren zeitliche Konstanz gew¨ahrleistet. 4. Ergodische Signale Zur Ermittlung eines bestimmten Mittelwertes eines station¨aren Signales muß man aber immer noch u ¨ber eine theoretisch unendliche Zeitdauer mitteln, bzw. man muß einen “Supermittelwert” aus vielen Mittelwerten bilden, die u ¨ber ein endliches Zeitintervall zu verschiedenen Zeitpunkten t1 , t2 , ..., tn aufgenommen wurden. Da aber zur korrekten Mittelwertbildung diese Messungen immer noch an der gesamten Schar der Zufallssignale vorgenommen werden m¨ ussen, stellt sich die Frage, ob es f¨ ur bestimmte station¨are Prozesse nicht gen¨ ugt, diese Messungen repr¨ asentativ an einer einzigen Musterfunktion vorzunehmen. Solche Signale (Prozesse), f¨ ur die alle Zeitmittelwerte gleich den entsprechenden Scharmittelwerten sind, nennt man ergodische Signale. F¨ ur ein sog. schwachergodisches Signal (Prozeß) wird diese Identit¨at nur f¨ ur den linearen Mittelwert und die Autokorrelationsfunktion gefordert [95]. Die

452

13 Meßsignalverarbeitung

Bedeutung dieser als Ergodentheorem bezeichneten Aussage ist sehr weitreichend, da sie besagt, daß die statistischen Aussagen eines solchen Zufallsprozesses aus einer einzigen Musterfunktion bestimmt werden k¨onnen. F¨ ur die ¨ Praxis ist sie allerdings in der Regel nur von geringem Wert, da sich die Aquivalenz von Scharmittelwert und Zeitmittelwert h¨ochstens in Ausnahmef¨allen beweisen l¨ aßt. Die Ergodizit¨ at spielt daher vielfach die Rolle einer n¨ utzlichen Annahme, welche die experimentelle Analyse und mathematische Beschreibung eines realen stochastischen Signals u ¨berhaupt erst erm¨oglicht [180]. Autokorrelation nicht-periodischer Signale Ergodische (stochastische) Signale Aufgrund der Definition ergodischer Signale (siehe oben) ist die Ermittlung von deren Autokorrelierten m¨ oglich, indem u ¨ber ein beliebiges (endliches) Zeitintervall gemittelt wird. Energiesignale F¨ ur Energiesignale, d. h. Signale mit endlicher Energie (s. obige Definition), ist die Autokorrelationsfunktion nach der Definitionsgleichung (Gl. (13.31)) infolge der Grenzwertbildung mit T → ∞ stets Rxx (τ ) ≡ 0. Um der Korrelationsbildung in solchen F¨ allen wieder eine Sinnhaftigkeit E u zu geben, geht man vielfach zur sog. Impulskorrelationsfunktion Rxx ¨ber. Diese entspricht der Korrelationsfunktion bis auf die zeitliche Normierung auf 1/2T , die einfach weggelassen wird E Rxx (τ )

= lim

T →∞



+T

x(t)x(t + τ ) dt .

(13.34)

−T

Man darf allerdings nicht u ¨bersehen, daß die Korrelationsfunktionen mit ihren entsprechenden Impulskorrelationsfunktionen bez¨ uglich der Einheit nicht mehr u ¨bereinstimmen. Bei Spannungssignalen beispielsweise ergeben sich die Einheiten wie folgt Rxx (τ ) [V 2 ] E Rxx (τ ) [V 2 s] .

(13.35) (13.36)

Dies bedeutet insbesondere auch, daß sich der Effektivwert (bzw. dessen QuaE drat) nicht mehr aus Rxx (τ = 0) ergibt. Wer diese Nachteile umgehen m¨ ochte, dem bleibt der Weg, stattdessen Kurzzeitkorrelationsfunktionen zu ermitteln. Diese entsprechen den Definitionsgleichungen (Gln. (13.30) und (13.31)) mit dem Unterschied, daß nicht der Grenzwert T → ∞ gebildet wird, sondern sich die zeitliche Mittelung auf ein endliches Zeitintervall T bezieht. Das heißt, daß anstatt der exakten

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

453

Auto- bzw. Kreuzkorrelationsfunktion (approximative) Sch¨atzwerte ermittelt werden  1 T T ˆ Rxx (τ ) = x(t + τ ) · x(t) dt (13.37) T 0 bzw.

1 T ˆ xy R (τ ) = T



T

x(t + τ ) · y(t) dt .

0

(13.38)

Die Unterschiede zwischen Impulskorrelationsfunktion und Kurzzeitkorrelationsfunktion soll anhand eines Beispiels erl¨ autert werden. Beispiel fu ¨ r Impuls- und Kurzzeitskorrelationsfunktion Wenn man eine Sprungfunktion ε(t) auf einen RC-Hochpaß mit der Zeitkonstanten 1/α = RC gibt, so erh¨ alt man die (Sprung-)Antwort  A · e−αt f¨ ur t ≥ 0 h(t) = . (13.39) 0 f¨ ur t < 0 Die entsprechende Impulskorrelationsfunktion ergibt sich aus E Rhh (τ ) = lim

T →∞

= lim

T →∞

E (τ ) = Rhh



+T

−T  T 0

h(t) · h(t + τ ) dt h(t) · h(t + τ ) dt

A2 −ατ ·e . 2α

(13.40) (13.41)

Alternativ kann man die Kurzzeitkorrelationsfunktion gem¨aß 1 T ˆ hh R (τ ) = T



0

T

h(t) · h(t + τ ) dt

(13.42)

ermitteln. Dies resultiert in 2 ˆ T (τ ) = A · e−ατ (1 − e−2αT ) R hh 2αT

(13.43)

und bedeutet, daß die Kurzzeitkorrelationsfunktion (in entscheidendem Maße) von der gew¨ ahlten Mittelungsdauer T abh¨ angt. W¨ahlt man nun T so, daß die zu analysierende Funktion h(t) fast nahezu abgeklungen ist, beispielsweise T = 3/α (e−3 ≈ 0, 05), so ergibt sich A2 −ατ A2 −ατ T ˆ hh ·e ·e (1 − e−6 ) ≈ . (τ ) = R 6 6 Das Quadrat des entsprechenden Effektivwertes l¨aßt sich gem¨aß

(13.44)

454

13 Meßsignalverarbeitung

A2 T ˆ hh (τ = 0) = h2 (t) = h2eff = R 6

(13.45)

bestimmen. Die f¨ ur die Mittelungsdauer T ermittelte Kurzzeitkorrelationsfunktion entspricht im u ur eine sich ¨brigen der exakten Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) f¨ periodisch wiederholende Pulsfunktion h(t) mit der Periodendauer T . Tip: Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß das auf beiliegender CD verwendete Programm LabVIEW in vielen F¨ allen ebenfalls diese Kurzzeitkorrelationsfunktionen berechnet bzw. (gleichbedeutend) die exakte Korrelationsfunktion der entsprechenden mit T periodischen Funktion. Durch Festlegen der Abtastrate bzw. der Abtastdauer (Dauer zwischen zwei Abtastzeitpunkten △t) und der Anzahl N an Abtastungen wird automatisch die Zeit T = N · △t festgelegt. Man kann sie als Mittelungsdauer T bei der Berechnung des Kurzzeitkorrelationswertes interpretieren oder alternativ als Periodendauer T , nach der sich das abgetastete bzw. eingegebene Signal wiederholt. Betrachten Sie dazu das Programm demo_kurzzeitkorrelationsfunktion.vi auf der CDROM.

Bestimmung von Signaleigenschaften durch Messung der Korrelationsfunktionen ¨ Die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) stellt ein Maß fu ¨ r die Ahnlichkeit zwischen den beiden Signalen x(t) und y(t) dar. Wenn die aus den Signalen x(t) und y(t) gebildete Kreuzkorrelationsfunktion f¨ ur alle Zeitverschiebungswerte τ den Wert Null annimmt, heißt das, daß sich die beiden Signale in keiner Weise ¨ ahnlich sind. Man bezeichnet sie dann als statistisch unabh¨angig bzw. als unkorreliert. andigDie Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) beschreibt die Best¨ keit eines Signals in Abh¨ angigkeit einer Zeitverschiebung τ . Ist ahnlich x(t) f¨ ur diesen speziellen Wert Rxx (τ ) groß, so muß x(t + τ ) sehr ¨ von τ sein. F¨ ur den Fall, daß die Autokorrelationsfunktion verschwindet (Rxx (τ ) = 0), sind x(t) und x(t + τ ) orthogonal zueinander. Die Autokorrelationsfunktion hat folgende grunds¨ atzliche Eigenschaften: • Ihr Wert f¨ ur τ = 0 entspricht dem zeitlichen Mittelwert des quadrierten Zeitsignals. Dieser ist wiederum mit dem Quadrat des Effektivwertes identisch (13.46) Rxx (0) = x2 . • Die Autokorrelationsfunktion erreicht f¨ ur τ = 0 stets ihren Maximalwert Rxx (τ ) ≤ Rxx (0) .

(13.47)

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

455

• Die Autokorrelationsfunktion ist immer eine gerade Funktion bez¨ uglich der Zeitverschiebungsvariablen τ Rxx (τ ) = Rxx (−τ ) .

(13.48)

• Ihr Wert f¨ ur τ → ∞ entspricht dem Quadrat des zeitlichen Mittelwertes x ¯ Rxx (∞) = x2 .

(13.49)

• Bei periodischen Signalen (Periodendauer T) ist auch deren Autokorrelierte mit der selben Periodendauer periodisch Rxx (τ ) = Rxx (τ + T ) .

(13.50)

Die sog. bezogenen Korrelationsfunktionen rxx bzw. rxy liefern aufgrund der in den Gln. (13.51) und (13.52) beschriebenen Normierungen nur Werte im Zahlen-Intervall [−1, +1] Rxx (τ ) Rxx (0) Rxy (τ ) =  . Rxx (0)Ryy (0)

rxx =

(13.51)

rxy

(13.52)

Die Art und Weise, wie die Autokorrelationsfunktion vom Wert Rxx als Funktion der Verschiebungszeitspanne τ abf¨ allt, ist f¨ ur die Erhaltungstendenz (innere Koh¨arenz) des Signals x(t) charakteristisch. Diese innere Koh¨arenz eines Signals l¨ aßt sich aus der sog. Koh¨arenzzeit τ0 ablesen, welche aus der Subtangente der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) an der Stelle τ = 0 wie folgt ermittelt werden kann τ0 =

−Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0+

=

Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0−

.

(13.53)

Große Koh¨ arenzzeitwerte deuten auf eine hohe Erhaltungstendenz des Signals hin. Mit Hilfe des Korrelationsverfahrens l¨ aßt sich u ufen, ob das zu unter¨berpr¨ suchende Signal bestimmte vorgegebene Eigenschaften besitzt. H¨aufig gen¨ ugt es bereits, den zeitlichen Produktmittelwert von Meßsignal x(t) und einem zu definierenden Modellsignal y(t) zu bilden. Dieser entspricht n¨amlich dem Anfangswert der Korrelationsfunktion [132] Rxy (0) = x(t)y(t) .

(13.54)

Aus der Gr¨ oße des Produktmittelwertes bzw. dem Verlauf der Korrelationsfunktion kann man beispielsweise feststellen, ob ein unregelm¨aßiges Signal eine verdeckte Periodizit¨ at besitzt. Außerdem l¨ aßt sich aus ihrem Verlauf gegebenenfalls die Periodendauer dieser Periodizit¨ at ablesen (Abb. 13.16).

456

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.16. Ermittlung von Periodizit¨ aten mit Hilfe der Autokorrelationsfunktion: a) mit Rauschen u ¨ berdecktes harmonisches Signal, b) harmonisches Signal

Die Kreuzkorrelation zweier gleichfrequenter harmonischer Signale u(t) = u ˆ sin(ωt + ϕ)

(13.55)

uM (t) = u ˆM sin(ωt + ϕM )

(13.56)

und beispielsweise ergibt sich nach Auswertung von Gl. (13.30) zu RuuM (τ ) =

u ˆu ˆM cos(ωτ + ϕM − ϕ) . 2

(13.57)

Sie verl¨ auft also ebenfalls sinusf¨ ormig mit der Variablen τ und der Kreisfrequenz ω. In Abbildung 13.17 werden die Autokorrelationsfunktionen von normalverteiltem und bandbegrenztem Rauschen verglichen. Anwendungen der Korrelationstechnik bei der Distanzmessung Die Korrelationstechnik kann genutzt werden, um auf einfache Weise unter Zuhilfenahme von in Wellenform ausbreitungsf¨ ahigen, stochastischen Signalen Distanzmessungen durchzuf¨ uhren.

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

457

Abb. 13.17. Beispiele von Autokorrelationsfunktionen: a) Normalverteiltes Rauschen, b) Bandbegrenztes Rauschen

Tip: Diese Methode der Distanzmessung kann man anhand der ¨ LabVIEW-Ubungsaufgabe 2.4 auf der CD-ROM in einem simulierten Experiment testen. In der Akustik regt man dazu einen Lautsprecher mit einem (bandbegrenzten) Rauschsignal an (Abb. 13.18), das im folgenden als Sendesignal x(t) (Abb. 13.19a) bezeichnet wird. Um die Strecke Lx zwischen dem Lautsprecher und einem Mikrophon zu messen, gen¨ ugt es, das vom Mikrophon gelieferte Emp-

Abb. 13.18. Prinzip der Distanzmessung mit Hilfe akustischer Rauschsignale und der Korrelationstechnik

458

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.19. Akustische Distanzmessung: a) Sendesignal, b) Empfangssignal

fangssignal y(t) (Abb. 13.19b) mit dem Sendesignal einer Kreuzkorrelation zu unterwerfen. Die entsprechende Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) zeigt eine Spitze bei der Zeit τ1 , die der Laufzeit des akustischen Signals zwischen Lautsprecher und Mikrophon entspricht (Abb. 13.20). Bei bekannter Schallausbreitungsgeschwindigkeit c kann daraus die Distanz Lx in einfacher Weise anhand folgender Gleichung bestimmt werden Lx = cτ1 .

(13.58)

Abb. 13.20. Kreuzkorrelationsfunktion, die aus Sendesignal x(t) und Empfangssignal y(t) gebildet wird

Spektrale Leistungsdichte Neben der bekannten Fourier-Transformierten X(ω) eines Zeitsignals x(t) (Abb. 13.21) ist auch die Fourier-Transformierte der entsprechenden Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) definiert. Der daraus resultierende Funktionsverlauf Sxx (ω) wird spektrale Leistungsdichtefunktion genannt

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

459

Abb. 13.21. Fourier-Transformation eines Zeitsignals x(t), seiner Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) und seiner spektralen Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) nach [135]

Sxx (ω) =



=2

+∞

Rxx (τ )e−jωτ dτ −∞  +∞

Rxx (τ ) cos(ωτ ) dτ .

(13.59)

0

Die inverse Fourier-Transformation f¨ uhrt wiederum zu der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ )  +∞ 1 Sxx (ω)ejωτ dω Rxx (τ ) = 2π −∞  1 +∞ = Sxx (ω) cos(ωτ ) dω . (13.60) π 0 Die Gln. (13.59 - 13.60) werden Wiener-Khintchine-Beziehungen genannt (s. auch Abb. 13.21). Parcevalsches Theorem Das Parcevalsche Theorem besagt, daß die mittlere totale Signalleistung im Zeitbereich gleich derjenigen im Frequenzbereich ist. Das Integral u ¨ber die

460

13 Meßsignalverarbeitung

spektrale Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) von ω = −∞ bis ω = +∞ entspricht der mittleren totalen Leistung des Signals  +∞  1 1 ∞ x2 = Rxx (0) = Sxx (ω) dω = Sxx (ω) dω . (13.61) 2π −∞ π 0 Der Autokorrelationskoeffizient Rxx (0) gibt also die in dem Signal enthaltene mittlere Gesamtleistung an und Sxx (ω) beschreibt die spektrale Leistungsverteilung des Signals. Dies bedeutet aber auch, daß sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals und insbesondere auch das eines stochastischen (station¨ aren) Signals durch Bandpaßfilterung meßtechnisch ermitteln l¨aßt. Ein steilflankiges Bandpaßfilter mit der Mittenfrequenz f0 und der Bandbreite Δf liefert das Zeitsignal x′ (t) und damit die Leistungsdichte bei der Frequenz f0 1 ′2 Sxx (f0 ) = x , (13.62) Δf wobei die Bandbreite Δf klein werden muß, um die Mittelungsfehler gering zu halten.

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen Stochastische Fehler Zu den system-inh¨ arenten Fehlern (Verf¨ alschungen) der Meßsignale infolge der ¨ deterministischen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems treten zuf¨allige dynamische St¨ oreinwirkungen d(t) hinzu (Abb. 13.22), wie beispielsweise addi˜ tiv u des am Ausgang ¨berlagertes Rauschen. Die Laplace-Transformierte D(s) des Meßsystems wirksamen St¨ orsignals ergibt sich nach den bekannten Gesetzm¨ aßigkeiten der Systemtheorie auch im Falle eines stochastischen St¨orsignals d(t) prinzipiell aus dem Produkt der Laplace-Transformierten D(s) und ¨ der wirksamen Ubertragungsfunktion G2 (s) des Meßsystems ˜ D(s) = G2 (s)D(s) .

(13.63)

Da jedoch f¨ ur stochastische Signale bez¨ uglich ihrer Signalverl¨aufe nur statistische Aussagen sinnvoll sind, muß eine geeignete mathematische Beschreibungsform gefunden werden.

¨ Abb. 13.22. Meßsystem mit deterministischen (inneren) Ubertragungsfehlern (cha¨ rakterisiert durch die Ubertragungsfunktionen G1 (s) und G2 (s)) und additiv u ¨berlagerten, ¨ außeren St¨ oreinwirkungen d(t) mit stochastischem Charakter

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen

461

¨ Ubertragung stochastischer Signale ¨ Die Ubertragungsfunktion von rein stochastischen bzw. gemischt stochastisch¨ deterministischen Signalen u mit der Im¨ber ein kausales Ubertragungssystem pulsantwort g(t) (z.B. Filter-Vierpol) wird entsprechend Abbildung 13.23 dargestellt.

¨ Abb. 13.23. Ubertragung von stochastischen Signalen u ¨ber ein lineares Netzwerk, ¨ das durch die Ubertragungsfunktion G(ω) beschrieben wird

Anstatt der Laplace-Transformierten X(s) und Y (s) werden bei der Ermitt¨ lung des Ubertragungsverhaltens bzw. des resultierenden Ausgangssignals die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sxx (ω) und Syy (ω) verwendet (Abbildung 13.24).

¨ Abb. 13.24. Beschreibung des Ubertragungsverhaltens mit Hilfe von Leistungsdichtefunktionen

Dabei geht allerdings die Phaseninformation des Signals verloren. Es gilt nach [121] (13.64) Syy (ω) = Sxy (ω)G(ω) , wobei Sxy (ω) die spektrale Kreuzleistungsdichtefunktion zwischen den Signalen x(t) (Eingangssignal) und y(t) (Ausgangssignal) ist Sxy (ω) =

∞

Rxy (τ )e−jωτ dτ .

(13.65)

−∞

Diese auch als spektrale Kreuzleistungsdichte bezeichnete Funktion Sxy (ω) ist also die Fourier-Transformierte der Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ). Mit der ¨ konjugiert-komplexen Ubertragungsfunktion G∗ (ω) folgt der Zusammenhang [121] Sxy (ω) = Sxx (ω)G∗ (ω) (13.66) und unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (13.64) Syy (ω) = |G(ω)|2 Sxx (ω) .

(13.67)

462

13 Meßsignalverarbeitung

Bezogen auf Abb. 13.22 bedeutet dies, daß anstelle von Gl. (13.63) der folgende Zusammenhang verwendet wird, der die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sdd (ω) und Sd˜d˜ (ω) der Signale d und d˜ nutzt Sd˜d˜ (ω) = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 .

(13.68)

Dabei berechnet sich Sdd nach Gl. (13.59) aus der entsprechenden Autokorrelationsfunktion Rdd  +∞ Rdd (τ )e−jωτ dτ (13.69) Sdd (ω) = −∞

mit Gl. (13.31) 1 T →∞ 2T

Rdd (τ ) = lim



+T

d(t)d(t + τ ) dt .

(13.70)

−T

Die folgende R¨ ucktransformation (Gl. (13.60)) der spektralen Leistungsdichtefunktion Sdd (ω) in den Zeitbereich ergibt wiederum die Autokorrelationsfunktion Rdd  +∞ 1 Sdd (ω)ejωτ dω . (13.71) Rdd (τ ) = 2π −∞

Nach dem Parcevalschen Theorem (Gl. (13.61)) kann der h¨aufig interessierende quadratische Mittelwert d˜2 des St¨ orsignals aus der spektralen Leistungs¨ dichtefunktion des St¨ orsignals und der Ubertragungsfunktion des Meßsystems wie folgt berechnet werden   1 ∞ 1 ∞ d˜2 = Sd˜d˜ (ω) dω = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 dω . (13.72) π 0 π 0 ¨ Die Filterwirkung des Meßsystems infolge der Ubertragungsfunktion G2 (ω) ¨ kann sich sehr positiv auswirken, wenn sich der f¨ ur die Ubertragung relevante Spektralbereich des Meßsystems und der Spektralbereich, in dem sich das St¨ orsignal befindet, nicht u ¨berlappen (Abb. 13.25).

Abb. 13.25. Filterwirkung eines Meßsystems gegen¨ uber St¨ orsignalen. G(ω) ist die ¨ Ubertragungsfunktion des Meßsystems und Sdd (ω) die spektrale Leistungsdichtefunktion des stochastischen St¨ orsignals.

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

463

Maßnahmen gegen dynamische St¨ orwirkungen Es bieten sich mehrere M¨ oglichkeiten der St¨ orunterdr¨ uckung an: • • • •

Abschirmung der St¨ orquellen Dynamische Kompensation der St¨ orwirkung St¨ orungsunterdr¨ uckung durch F¨ uhrungsregelung St¨ orungsunterdr¨ uckung durch Filterung (Abb. 13.26).

Der Nutzen der direkten Filterwirkung durch das Meßsystem selbst (Abb. 13.25) tritt nur dann ein, wenn die Grenzfrequenz des Meßsystems unterhalb des f¨ ur das St¨ orsignal relevanten Spektrums liegt. Nachdem aber hochwertige Meßsysteme recht hohe Grenzfrequenzen aufweisen, wird i. allg. auch das St¨ orsignal mit erfaßt. In diesen F¨ allen sind zus¨atzliche Filtermaßnahmen erforderlich.

Abb. 13.26. Dynamische St¨ oreinwirkungen in Meßsystemen und ihre Unterdr¨ uckung durch Filterung

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter) ¨ 13.9.1 Ubertragungsfunktion eines Optimalfilters Eine besondere Form der St¨ orungsunterdr¨ uckung l¨aßt sich durch ein sog. Optimalfilter erreichen, das nach seinem Erfinder, Prof. Norbert Wiener, auch als Wiener-Filter [178] bezeichnet wird. Bei diesem Filtertyp handelt es sich um ein sog. Sch¨atzfilter gem¨ aß Abb. 13.27. W¨ ahrend man beim klassischen Filterentwurf davon ausgeht, daß sich Nutz- und St¨orsignal frequenzm¨aßig trennen lassen (siehe Abb. 13.25), da sie unterschiedliche Frequenzbereiche dominieren, wird dies bei der Optimalfiltertechnik nicht vorausgesetzt, d. h. Nutzund St¨ orsignal d¨ urfen im selben Frequenzbereich liegen. Damit l¨aßt sich keine frequenzm¨ aßige Trennung durch Unterteilung in Durchlaß- und Sperrbereich durchf¨ uhren. Das Unterscheidungskriterium, welches hier genutzt wird, basiert vielmehr auf den unterschiedlichen statistischen Eigenschaften von Nutzund St¨ orsignal. Das von Wiener vorgeschlagene Optimalfilter gestattet es also, das Nutzsignal anhand statistischer Eigenschaften von additiven St¨orungen zu trennen. Ziel der Optimalfiltertechnik ist die bestm¨ ogliche Ann¨aherung des Ausgangssignals x ˆ(t) an das urspr¨ ungliche Meßsignal x(t), d.h. das in Abb. 13.27 gezeigte Sch¨ atzfilter hat die Aufgabe, die bestm¨ ogliche Approximation des Meßsignals

464

13 Meßsignalverarbeitung

Meßsignal x(t)

Störsignal n(t) Meßgerät G(ω)

y(t)

z(t)

^ x(t)

Schätzfilter H(ω) -

! e 2(t) = Minimum

Ausgang des (Optimal-)Filters

e(t) = ^ x(t) - x(t)

Optimalfilter ( H(ω) = H opt (ω) )

Abb. 13.27. Prinzip eines Optimalfilters (Wiener-Filter)

am Ausgang in Form von x ˆ(t) zu bewirken. Als Optimierungskriterium wird wiederum (s. Kap. 14.1) die mittlere quadratische Abweichung zwischen Meßsignal x(t) und Sch¨ atzsignal x ˆ(t) verwendet ! e2 = [ˆ x(t) − x(t)]2 = min. .

(13.73)

Infolge des stochastischen Charakters des St¨ orsignals n(t) handelt es sich auch bei dem Differenzsignal e(t) zwangsl¨ aufig um ein Zufallssignal (Zufallsgr¨oße, Zufallsprozeß) im mathematischen Sinne. Wenn wir auf Gl. (13.73) das Parcevalsche Theorem (Gl. (13.61)) anwenden, erhalten wir  +∞ 1 See (ω) dω . (13.74) e2 = Ree (0) = 2π −∞ Dies bedeutet, daß die mittlere Leistung des Fehlersignals e2 = E{e2 (t)} 1 mit Hilfe des Leistungsdichtespektrums See (ω) ermittelt werden kann. Dieses ¨ Leistungsdichtespektrum entsteht durch die additive Uberlagerung der beiden Signale (Zufallsgr¨ oßen) x ˆ(t) und x(t) (Abb. 13.28). Das entsprechende Leistungsdichtespektrum ergibt sich wie folgt [83] See (ω) = Sxˆxˆ (ω) − Sxˆx (ω) − Sxˆx (ω) + Sxx (ω) .

(13.75)

Gem¨ aß den Gleichungen (13.64), (13.66) und (13.67) l¨aßt sich See (ω) auch als ¨ Funktion der Ubertragungsfunktion H(ω) des Sch¨atzfilters ausdr¨ ucken See (ω) = Szz (ω)|H(ω)|2 − Szx (ω) H(ω) − Sxz (ω) H ∗ (ω) + Sxx (ω) . (13.76) Das Optimalfilter (entspricht dem Sch¨ atzfilter mit der Bedingung e2 = min.) erh¨ alt man durch Ableiten nach H(ω), was getrennt nach Betrag und Phase zu erfolgen hat. Dies f¨ uhrt schließlich zu dem gesuchten Optimalfilter [83] 1

Aufgrund des stochastischen Signalcharakters spricht man hier von einem sog. Erwartungswert E des Signals (siehe auch Kap. 14.1.2, Definition: Erwartungswert).

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

465

^ x(t)

e(t)

- x(t) ¨ Abb. 13.28. Das Fehlersignal e(t) entsteht aus der additiven Uberlagerung des Zufallssignales x ˆ(t) mit dem Meßsignal x(t)

H(ω) = Hopt (ω) =

∗ Sxz (ω) (ω) Szx = . Szz (ω) Szz (ω)

(13.77)

Im folgenden wollen wir voraussetzen, daß das Meßger¨at aus Abb. 13.27 durch ein lineares zeitinvariantes System beschrieben werden kann und das Rauschsignal n(t) nicht mit der Meßgr¨ oße x(t) korreliert ist (d. h. Sxn = 0 und Snx = 0 bzw. Syn = 0 und Sny = 0). Demzufolge lassen sich die spektralen ¨ Leistungsdichten Szz und Sxz (ω) in Abh¨ angigkeit der Ubertragungsfunktion G(ω) bzw. G∗ (ω), die das Meßger¨ at beschreibt, ausdr¨ ucken Szz (ω) = Syy (ω) + Snn (ω) = Sxx (ω)|G(ω)|2 + Snn (ω)

(13.78)

bzw. Sxz (ω) = Sxx (ω) · G∗ (ω) + Sxn (ω) ,

(13.79)

wobei die Kreuzleistungsdichte Sxn (ω) verschwindet, da Meß- und St¨orsignal nicht korreliert sind. Mit den Gln. (13.77) bis (13.79) und Sxn = 0 erh¨alt man schließlich die ¨ Ubertragungsfunktion des Optimalfilters Hopt (ω) =

Sxx (ω) · G∗ (ω) . Sxx |G(ω)|2 + Snn (ω)

(13.80)

Gleichung (13.80) ist insofern angenehmer als Gl. (13.77), als sie nur noch Gr¨ oßen enth¨ alt, die sich leicht ermitteln lassen. In den meisten F¨allen wird ¨ das Ubertragungsverhalten des Meßger¨ ates bekannt sein, so daß nur noch die Leistungsdichtespektren Sxx (ω) und Snn (ω) des Meßsignals bzw. des St¨orsignals ermittelt werden m¨ ussen. F¨ ur den Fall, daß das Meßger¨ at keine nennenswerten Deformationen am Meßsignal vornimmt (G(ω) = 1), besteht die Aufgabe des Optimalfilters darin, das Meßsignal m¨ oglichst gut von seinen u ¨berlagerten Rauschanteilen zu ¨ befreien (Abb. 13.29). Die Ubertragungsfunktion des Wienerschen Optimalfilters vereinfacht sich dann mit G(ω) = G∗ (ω) = 1 zu Hopt (ω) =

Sxx (ω) . Sxx (ω) + Snn (ω)

(13.81)

466

13 Meßsignalverarbeitung

Meßsignal x(t)

Störsignal n(t) Optimalfilter Hopt (ω)

! ^ x(t) ≈ x(t)

Abb. 13.29. Optimalfilter zur Rauschunterdr¨ uckung

Das Optimalfilter zur Rauschbefreiung stellt also einen frequenzabh¨angigen Teiler im Verh¨ altnis der mittleren Signalleistung zur Summe aus mittlerer Signalleistung und St¨ orleistung dar. Eine wesentliche Eigenschaft von solchen Optimalfiltern ist ihre NichtKausalit¨ at, d. h. es hat eine Impulsantwort, die in den Zeitbereich t < 0 hineinreicht. Prinzipiell sind auch solche nicht-kausalen Filter einsetzbar, wenn man die Signale nicht in Echtzeit, d. h. zeitgleich mit ihrem Vorliegen, filtern muß. Man kann n¨amlich ein nicht-kausales Filter zu einem quasi-kausalen machen, indem man die Signale in ihrer vollst¨ andigen zeitlichen L¨ange aufzeichnet, d.h. originalgetreu speichert, und erst danach dem Filter zur Verarbeitung anbietet. Dies kommt einer zeitlichen Verschiebung der Impulsantwort gleich, die dazu f¨ uhrt, daß die Impulsantwort nunmehr vollst¨andig im Bereich von Zeiten t ≥ 0 zu liegen kommt. Dies k¨ onnen wir durch eine reine Phasenverucksichtigen schiebung in der Optimalfilter¨ ubertragungsfunktion Hopt (ω) ber¨

Abb. 13.30. Impulsantworten eines kausalen und eines nicht-kausalen Optimalfilters. Diese Graphik sowie alle folgenden wurden mit Hilfe des Programmes LabVIEW berechnet und gezeichnet.

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

Hopt (ω) =

Sxx (ω) · e−jωT0 . Sxx (ω) + Snn (ω)

467

(13.82)

Gleichung (13.82) sagt aus, daß wir vor das urspr¨ ungliche Optimalfilter (Gl. (13.81)) einen Allpaß in Serie schalten. Solche Allp¨asse (Kap. 3.10) stellen Zweitore dar, die zu keinerlei Amplitudendeformationen f¨ uhren, sondern ein beliebiges Eingangssignal am Ausgang nur zeitverz¨ogert ausgeben. Gem¨aß Gl. (13.82) betr¨ agt diese Zeitverz¨ ogerung hier T0 . Um Kausalit¨at zu erreichen, muß T0 positiv sein und so groß gew¨ahlt werden, daß die Impulsantwort oder zumindest der wesentliche, d. h. der energiem¨ aßig relevante, Teil im positiven Zeitbereich zu liegen kommt. Ist T0 dagegen negativ, so wird vom Filter eine Pr¨ adiktion gefordert, d. h. es bleibt damit nicht-kausal (Abb. 13.30). 13.9.2 Beispiel fu ¨ r ein Optimalfilter Das Meßsignal x(t) sei die Impulsantwort eines Tiefpaßfilters, die sich mit der Periodendauer T periodisch wiederholt √ 2T S1 − t e τ ∗ δ(t − i · T ) mit i ∈ Z . x(t) = ε(t) (13.83) τ Dieses sei von weißem Rauschen n(t) (Kap. 7.3) additiv u ¨berlagert (Abb. 13.31). Die beiden Signale sind unkorreliert und ihre spektralen Leistungsdichten sind S1 (13.84) Sxx (ω) = 1 + τ 2 ω2 bzw.

Abb. 13.31. Meßsignal mit u ¨berlagertem weißen Rauschen

468

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.32. Leistungsdichtespektren von Meßsignal und St¨ orung (oben) sowie Be¨ trag der Ubertragungsfunktion des Optimalfilters (unten).

Snn (ω) = S0 .

(13.85)

¨ Daraus l¨ aßt sich unter Zuhilfenahme von Gl. (13.82) die Ubertragungsfunktion des Optimalfilters wie folgt errechnen Hopt (ω) =

S1 · e−jωT0 . S1 + S0 + τ 2 S0 ω 2

(13.86)

Abbildung 13.32 zeigt die Leistungsdichtespektren von Meßsignal und St¨orung ¨ sowie den Betrag der Ubertragungsfunktion des Optimalfilters. Abbildung 13.33 vergleicht die entsprechenden Spektren am Ausgang des Filters mit dem

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

469

Abb. 13.33. Vergleich des gefilterten und des ungefilterten Spektrums mit dem ungest¨ orten Spektrum

ungest¨ orten Signal. Um die Impulsantwort hopt (ω) des Filters zu berechnen, ¨ zerlegt man die Ubertragungsfunktion des Optimalfilters Hopt (ω) wie folgt [65]   α α 2αβ −jωT0 Hopt (ω) = 2 + (13.87) = ·e e−jωT0 β + ω2 β − jω β + jω mit 1 α= 2τ



und 1 β= τ

S1 S1 · S0 S0 + S1



1+

S1 . S0

(13.88)

(13.89)

Mittels einer Fourier-R¨ ucktransformation erh¨alt man schließlich die gesuchte Impulsantwort hopt (t) des Optimalfilters  α · eβt t < 0 hopt (t + T0 ) = . (13.90) α · e−βt t ≥ 0 Diese l¨ aßt sich auch als hopt = αe−β|t−T0 |

(13.91)

ausdr¨ ucken. Die Impulsantwort ist also symmetrisch zu t = T0 (Abb. 13.34). Mit wachsender St¨ orung geht α gegen null und die Zeitkonstante 1/β strebt gegen τ . Im umgekehrten Fall, d. h. bei abnehmender St¨orung, w¨achst α an und die Zeitkonstante 1/β geht gegen Null. F¨ ur den Fall, daß die St¨orung

470

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.34. Impulsantwort des Optimalfilters f¨ ur eine zeitliche Verz¨ ogerung von T0 = 1s bei der Filterung f¨ ur verschiedene starke St¨ orer S0i

verschwindet (S0 = 0), erh¨ alt man als Impulsantwort des Optimalfilters trivialerweise den Dirac-Puls an der Stelle t = T0 hopt (t) = δ(t − T0 ) ,

(13.92)

was gleichbedeutend ist mit einem idealen Allpaß der Verz¨ogerungszeit T0 . Es l¨ aßt sich nun auch der mittlere quadratische Sch¨atzfehler e2min des Optimalfilters errechnen e2min (t) = E{(x(t) − x ˆ(t))2 } . (13.93) Nach H¨ ansler [65] kann dieser f¨ ur das obige Beispiel folgendermaßen ermittelt werden  S0 S1 2 emin = . (13.94) 2τ S0 + S1 Damit kann man auch den auf die Signalleistung normierten minimalen quadratischen Fehler angeben  e2min S0 = . (13.95) Sxx (0) S0 + S1 Kausales Optimalfilter Ein kausales Optimalfilter bringt den Vorteil, daß es in Echtzeit das Meßsignal filtern kann, d. h. es wird keine Zeitverz¨ ogerung T0 im Sinne einer vorherigen Speicherung mehr ben¨ otigt, um das Filter praktisch einsetzen zu k¨onnen. Die

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

471

Abb. 13.35. Impulsantwort des kausalen Optimalfilters

¨ Ubertragungsfunktion des kausalen Optimalfilters l¨aßt sich aus den Ergebnissen des obigen Beispiels ableiten. Dazu setzt man in der Impulsantwort hopt (t) des nicht-kausalen Optimalfilters die Zeit T0 = 0 und blendet den im negativen Zeitbereich liegenden Teil der Impulsantwort aus (Abb. 13.35). Man erh¨ alt somit  α · e−βt t ≥ 0 . (13.96) hopt kaus (t) = 0 t