El Teorema de Categoría de Baire 3846575909, 9783846575901

Citation preview

El Teorema de Categoría de Baire y Aplicaciones

Wilman Brito

Prólogo

En su tesis doctoral “Sur les fonctions des variables réelles” [14], escrita en 1899, René Baire, después de introducir los conceptos de primera y segunda categoría al final del capítulo 2 escribe: el continuum constituye un conjunto de segunda categoría, resultado que más tarde se conocerá como el Teorema de Categoría de Baire y por el cual Baire es famoso en la comunidad matemática. Poco tiempo antes, George Cantor había demostrado que ningún conjunto numerable podía llenar totalmente un intervalo abierto; es decir, la totalidad de los puntos de cualquier intervalo abierto es no numerable. Baire extiende este principio al demostrar que ningún conjunto de primera categoría en R (de los cuales, los conjuntos numerables de R son un caso especial) puede cubrir totalmente un intervalo abierto. El objetivo fundamental en la tesis de Baire era caracterizar aquellas funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero que podían ser o no continuas simultáneamente en ambas variables. Cauchy había afirmado en su famoso libro “Cours d’Analyse” (una afirmación falsa) que “si una función de dos variables es continua respecto a cada una de ellas, entonces dicha función es continua como función de ambas variables”. Casi al final de las primeras 27 páginas de su tesis, Baire había demostrado que esas funciones (las funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero no continuas simultáneamente en ambas variables) eran puntualmente discontinuas sobre cada conjunto perfecto. (Una función f es puntualmente discontinua con respecto a un conjunto cerrado F, si el conjunto de puntos de continuidad de f |F es denso en F). De hecho, Baire mostró que dichas funciones se pueden representar como límites puntuales de sucesiones convergentes de funciones continuas. Tales funciones serán conocidas posteriormente como funciones de la primera clase de Baire, término acuñado por Ch. J. de la Vallée Poussin (1866-1962) y denotadas por B1 . Seguidamente Baire prueba que el conjunto de puntos de discontinuidad de cualquier función f ∈ B1 es de primera categoría y extiende dicho resultado mostrando que las familias de las funciones derivadas, las semicontinuas y las de variación acotada están contenidas en B1 . De esta manera, para todas esas clases de funciones, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es “pequeño”. Una elegante y agradable exposición histórica del trabajo de R. Baire la desarrolla Gilles Godefroy en [106]. Existen varias maneras de describir o determinar el tamaño de los conjuntos infinitos. Por ejemplo, en la Teoría de Conjuntos, ellos se miden en términos de su cardinalidad, y por consiguiente, los conjuntos numerables son considerados pequeños mientras que los conjuntos no numerables son grandes. Similarmente, en la Teoría de Medida e Integración, se usa la noción de longitud o medida para describir el tamaño de los conjuntos. Los conjuntos de medida cero se piensan como conjuntos pequeños, mientras

II

que los de medida positiva se consideran grandes. La noción de categoría de Baire ofrece otra perspectiva de medición de conjuntos pero desde el punto de vista topológico. En este ambiente, los conjuntos nunca densos son considerados conjuntos pequeños. Cualquier conjunto que es unión numerable de estos conjuntos pequeños es llamado un conjunto de primera categoría o magro y, en consecuencia, también se le considera pequeño. Un conjunto que no es de primera categoría se le suele llamar de segunda categoría o no-magro. Intuitivamente, los conjuntos de segunda categoría son conjuntos grandes o muy abundantes. El Teorema de Categoría de Baire es, en consecuencia, un resultado acerca del tamaño de los subconjuntos de R sustentado, como ya hemos mencionado, sobre la noción de densidad. Existen otras variedades de conjuntos pequeños como, por ejemplo, los conjuntos σ-porosos o los conjuntos Gamma-nulos, también están los conjuntos de Gauss nulo y los Haar nulo, que son de especial interés, particularmente, en la Teoría de Probabilidades. El Teorema de Categoría de Baire constituye, sin lugar a dudas, una herramienta poderosa. Körner [165] lo califica como una “trivialidad profunda”. Dicho teorema ofrece un método no constructivo para demostrar la existencia de ciertos objetos. Algunas veces será usado para proveer, de manera contundente, una prueba de la existencia de funciones o conjuntos con alguna propiedad especial y, en otros casos, probar la abundancia de algunos objetos matemáticos con cierta particularidad pero cuyo proceso de construcción es, en muchos casos, extremadamente difícil. En general, el objetivo principal de estas notas consistirá en estudiar algunas aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire en el ámbito de los espacios métricos completos, fundamentalmente, en espacios de Banach. Una formulación equivalente de dicho teorema en tales espacios es la siguiente: Un espacio X satisface el Teorema de Categoría de Baire si cualquier colección numerable de subconjuntos abiertos densos en X posee intersección densa. Lo fundamental es, por supuesto, cuando se desee aplicar este resultado, saber elegir adecuadamente tanto del espacio métrico completo con el que se va a trabajar, así como la colección numerable de los conjuntos abiertos y densos en dicho espacio. Valer decir, supongamos que queremos demostrar la existencia de un objeto matemático x satisfaciendo alguna propiedad P(x). El método de categoría consiste, esencialmente, en encontrar un espacio métrico completo adecuado X (o algún otro espacio de Baire “suficientemente bueno”) y mostrar que el conjunto {x ∈ X : P(x)} es abundante en X ; o de modo equivalente, que el conjunto {x ∈ X : P(x) no se cumple} es de primera categoría en X . Esto no sólamente muestra que existe un x tal que P(x), sino que en el espacio X “casi todos” los elementos x tienen, desde el punto de vista topológico, la propiedad P(x). Antes de abordar la organización de estas notas, tenemos que advertir que ellas no están indicadas para ningún especialista en estos temas, pues él o ella no encontrará aquí nada nuevo, y que nuestro único interés es invitar al estudiante que se inicia en la búsqueda de conocimientos matemáticos a conocer algunas técnicas del método de categoría de Baire que permiten entender ciertos aspectos interesantes de una parte de las matemáticas que podemos pensar, por supuesto, como muy minúscula. Ciertos requisitos son necesarios para disfrutar algunas de las ideas contenidas en estas notas. Un poco de teoría de conjuntos, así como ciertas nociones de espacios de Banach y una gran dosis de entusiasmo. Ahora explicaremos como hemos organizado la presentación de estas notas. En el capítulo 1 se introducen las nociones de conjuntos de primera y segunda categoría y se prueban algunos resultados relacionados con esas nociones. El capítulo 2 es el más interesante. En él se presenta el Teorema de Categoría de Baire y algunas de sus aplicaciones. Estas, las aplicaciones, abarcan dos aspectos: el primero tiene que ver con ciertas equivalencias del Teorema de Categoría de Baire, mientras que el otro aspecto usa dicho teorema como un puente para demostrar, fundamentalmente, algunos resultados del Análisis Real y Complejo así como en la Teoría de los Espacios de Banach. Por ejemplo, en el transcurso de estas notas tratamos de mostrar cómo el Teorema de Categoría de Baire aparece como una herramienta impor-

III

tante en la demostración de resultados vinculados con: Principios Variacionales, Análisis Diferencial en Espacios de Banach, Dentabilidad, Fragmentabilidad, Juegos Topológicos, Funciones Analíticas, Series Trigonométricas y de Fourier, etc. El último capítulo es una breve incursión en el hermoso, sutil y delicado resultado conocido con el nombre de Teorema Grande de Baire. En dicho capítulo se tratan ciertos aspectos de las funciones de la primera clase de Baire, la caracterización clásica de tales funciones, así como algunas (muy pocas) aplicaciones en el ámbito de los espacios de Banach. Tangencialmente nos involucramos con ciertos índices y sus relaciones con las funciones de la primera clase de Baire. Finalmente queremos hacer notar, en primer lugar, que lo extenso de estas notas se deben fundamentalmente a que hemos tratado de demostrar gran parte de los resultados enunciados y utilizados, aunque en algunos casos, muy pocos, se provee sólo un bosquejo de la demostración e intentando, a su vez, que dicha exposición sea lo más autocontenida posible. Las excepciones, que siempre las hay, son las dos últimas subsecciones de la Sección 2.1 del Capítulo 2 y la Sección 3.3 del Capítulo 3: las marcadas con dos asteriscos no presentan ninguna demostración, sólo intentamos informar al lector sobre ciertos resultados actuales sobre el tópico tratado, dando las referencias donde se puede leer la demostración de tales hechos. En segundo lugar, muchos otros aspectos que tienen que ver, directa o indirectamente, con el Teorema de Categoría de Baire no han sido incluidos por diversas razones. Por ejemplo, aspectos relacionados con el Axioma de Elección y su vinculación con el Teorema de Categoría de Baire, así como lo concerniente a la noción de porosidad en la Teoría de los Espacios Métricos, su relación con varias aspectos de la Teoría de la Medida e Integración y otros campos del quehacer matemático no aparecen en estas notas. Los libros de John C. Oxtoby [211] y A. B. Kharazishvili [150], la tesis de Sara H. Jones [141], el artículo de Haworth-Mccoy [119], y muchos otros que no mencionamos, tratan temas que no hemos incluidos en estas notas. Lo último que aspiramos es que algún lector pueda disfrutar la trivialidad del Teorema de Categoría de Baire paseándose por sus simples, hermosas y poderosas aplicaciones. Quiero expresar mis más sentidas gracias al profesor Diómedes Bárcenas por leer completamente estas notas y hacerme llegar sus observaciones. Esto no significa que no puedan seguir existiendo posibles errores u omisiones. Agradecido estaría de quien me lo haga saber para, en un futuro (si tal cosa es posible), mejorar las mismas. Gracias por adelantado.

W.B. E-mail: [email protected]

IV

ÍNDICE GENERAL

1. El Teorema de Categoría de Baire 1.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Conjuntos de primera y segunda categoría . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Consecuencias generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 1.3. Espacios completamente metrizables y Cech-completos . . . . . . . . 1.4. Puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. k ◮ El Teorema de Baire-Kuratowski . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. k ◮ Funciones que son continuas sobre un conjunto Gδ -denso

. . . . . . .

2. Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire 2.1. Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes . . . . . . . . . 2.1.1. k ◮ Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . 2.1.2. k ◮ Funciones continuas nunca Lipschitz . . . . . . . . . . . . 2.1.3. k ◮ Funciones continuas nunca monótonas . . . . . . . . . . . 2.1.4. k ◮ Funciones diferenciables nunca monótonas . . . . . . . . . 2.1.5. k ◮ Funciones nunca monótonas de la 2a especie . . . . . . . . 2.1.6. k ◮ Funciones cuyos puntos de discontinuidad son c-densos . . 2.1.7. k ◮ Funciones nunca analíticas de clase C ∞ . . . . . . . . . . . 2.1.8. k ◮ Funciones analíticas nunca prolongables . . . . . . . . . . 2.1.9. k ◮ Orbitas y operadores hipercíclicos . . . . . . . . . . . . . . 2.1.10. k ◮ Series de Fourier divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.11. k ◮ Series de Dirichlet siempre divergentes . . . . . . . . . . . 2.1.12. k ◮ Series universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.13. k ◮ Medidas no-atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.14. k ◮ Conjuntos de Luzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.15. k ◮ Espacios vectoriales en conjuntos excepcionalmente raros ∗∗ 2.1.16. k ◮ Conjuntos predominantes ∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Otras aplicaciones en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. k ◮ Algunas aplicaciones clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. k ◮ Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

1 1 1 14 20 38 42 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 49 57 58 60 65 69 71 73 75 85 93 95 105 115 118 126 129 129 146

ÍNDICE GENERAL

VI

2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.2.7. 2.2.8. 2.2.9. 2.2.10. 2.2.11. 2.2.12. 2.2.13. 2.2.14. 2.2.15. 2.2.16. 2.2.17. 2.2.18.

k ◮ Norma LUR, compacidad débil y puntos más lejanos . . . . . . . . . . . . . k ◮ Dentabilidad, la PRN y densidad de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Dentabilidad y compacidad débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Fragmentabilidad y espacios de Asplund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Fragmentabilidad y compacidad débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Fragmentabilidad y cuasi-continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Fragmentabilidad y principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Juego de Banach-Mazur y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Juego de Kenderov-Moors y fragmentabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Juego de Banach-Mazur y problemas de optimización . . . . . . . . . . . . k ◮ El Teorema Grande de Namioka. Las propiedades de Namioka y co-Namioka k ◮ Juego de Christensen-Saint Raymond y la propiedad de Namioka . . . . . . k ◮ Juego de Banach-Mazur y aplicaciones cuasi-continuas . . . . . . . . . . . k ◮ Series trigonométricas y conjuntos de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Números de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k ◮ Operadores diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. El Teorema Grande de Baire 3.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. El Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . 3.2. Funciones que pertenecen a B1 (X ) . . . . . . . 3.3. Otras caracterizaciones de f ∈ B1 (X ) ∗∗ . . . . 3.4. Aplicaciones del Teorema Grande de Baire . . 3.5. Indices de Szlenk, de Bourgain y de oscilación . 3.5.1. k ◮ Indice de Szlenk . . . . . . . . . . 3.5.2. k ◮ Indice de Bourgain . . . . . . . . . 3.5.3. k ◮ Indice de oscilación . . . . . . . . 3.6. Semi-encajes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

159 161 172 174 191 193 195 204 217 223 231 247 253 260 267 270 273 273 273 288 297 299 311 312 314 315 316

CAPÍTULO 1 El Teorema de Categoría de Baire

Introducción El Teorema de Categoría de Baire es uno de los tantos resultados importantes en matemáticas. Aunque su demostración es simple su amplio abanico de aplicaciones es inmenso. Tal vez por esa razón, Körner [165] lo califica como una trivialidad profunda. Por ejemplo, su poder se hace sentir en el análisis clásico, la topología, las ecuaciones diferenciales, la teoría de números, en el análisis convexo, el análisis funcional, en probabilidades, en análisis armónico, etc. Constituye, de hecho, un método poderoso para probar, no sólo la existencia de ciertos objetos cuyas construcciones son tremendamente difíciles, sino la abundancia de tales objetos. Ocasiones tendremos de exhibir algunos ejemplos tales como la existencia de funciones continuas que no son diferenciables en ningún punto de su dominio, así como funciones diferenciables que siempre oscilan en cualquier subintervalo de su dominio, etc.

1.1. Conjuntos de primera y segunda categoría ¿Cuán grande es el conjunto de los puntos de discontinuidad de una función a valores reales definida sobre un espacio métrico?. Pensemos, por un momento, sobre la función característica de los números racionales. Medir el tamaño de estos conjuntos nos conduce a la noción, definida por Baire, conocida como conjunto de primera categoría. La pequeñez de estos conjuntos quedará evidenciada al demostrase, hecho conocido como el Teorema de Categoría de Baire, que ningún espacio métrico completo puede ser cubierto con uniones numerables de conjuntos de primera categoría. Nos conviene precisar ciertas nociones que usaremos en estas notas. Si (X , d) es un espacio métrico, los conjuntos U (x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}

y

S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}.

denotarán, respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro x y radio r > 0. Si x ∈ X y A ⊆ X , la distancia entre x y A se define como dist(x, A) := ´ınf {d(x, y) : y ∈ A},

2

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

mientras que el diámetro de A es d − diam(A) := sup {d(a, b) : a, b ∈ A}. Cuando X es un espacio de Banach con norma k·k y d(x, y) = k x − yk, para todo x, y ∈ X , entonces el diámetro de A ⊆ X será denotado por k·k − diam(A) o norma-diam(A). Cuando no exista peligro de confusión escribiremos simplemente diam(A) para denotar el diámetro de A. También, si A es un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff (X , τ), el interior de A lo denotaremos por τ− int (A), τ intτ (A) o int (A) si el contexto es claro, mientras que su clausura será denotada por A o clauτ (A). Similarmente, X r A, o bien Ac , denotará el complemento de A en X . Sea (X , τ) un espacio topológico Hausdorff y sea B un subconjunto de X . Recordemos que B es denso en X si B = X . En general, si A y B son subconjuntos de X con A ⊆ B, se dice A denso en B si B ⊆ A. Una condición equivalente a la definición de densidad y que usaremos frecuentemente es la siguiente: k◮ Sean (X , τ) un espacio topológico Hausdorff y B un subconjunto de X . Entonces, B es denso en X si, y sólo si, para cada subconjunto abierto no vacío U de X , U ∩ B 6= ∅. Prueba. Supongamos en primer lugar que B es denso en X y sea U un subconjunto abierto no vacío de X . Si fuera U ∩ B = ∅, tendríamos que B ⊆ U c y entonces B ⊆ U c . Observemos que esto contradice la densidad de B, ya que U c 6= X . Recíprocamente, si U ∩ B 6= ∅ para cualquier subconjunto abierto no vacío U de X , entonces la observación trivial de que B ∩ (B)c = ∅ implica que (B)c = ∅, lo que conduce a que B = X .  Definición 1.1.1. Sean (X , τ) un espacio topológico Hausdorff y E un subconjunto de X . Diremos que E es nunca denso en X si int (E ) = ∅. Notemos que E es nunca denso en X si, y sólo si, E es nunca denso en X . La siguiente simple observación permitirá deducir algunas de las formas equivalentes que posee la noción de conjunto nunca denso. k◮ Para cualquier subconjunto B de X se cumple que X r int (B ) = X r B.

(1.1.1)

En particular, int (B ) = ∅

si, y sólo si,

X r B es denso en X.

Prueba. En efecto, como int (B ) ⊆ B, entonces X r B ⊆ X r int (B ) y ya que X r int (B ) es cerrado en X , se concluye que X r B ⊆ X r int (B ). Por otro lado, supongamos que x ∈ X pero x∈ / X r B. Entonces existe una bola abierta U (x, r) en X con centro x y radio r > 0 tal que U (x, r) ∩ (X r B) = ∅. Esto significa que x ∈ U (x, r) ⊆ B, lo cual quiere decir que x ∈ int (B ) y, en consecuencia, x ∈ / X r int (B ). Esto nos dice que X r int (B ) ⊆ X r B y termina la prueba.  Observemos que, como consecuencia de la observación anterior, tenemos la siguiente caracterización de los conjuntos nunca densos.

Sec. 1.1 Conjuntos de primera y segunda categoría

3

Teorema 1.1.1. Sea (X , τ) un espacio topológico Hausdorff y sea B un subconjunto de X . Son equivalentes las siguientes condiciones: (a ) B es nunca denso en X . (b ) X r B es denso en X 

Prueba. Esto es consecuencia inmediata de (1.1.1). Conviene, en este punto, reforzar el resultado anterior con algunas observaciones importantes.

Observación 1.1.1. 1) En relación al apartado (b) del Teorema 1.1.1, debemos hacer notar que si un subconjunto de X , digamos A, es denso en X , entonces no es necesariamente cierto que su complemento, X r A, es un subconjunto nunca denso de X . En efecto, basta tomar X = R y A = Q para probar nuestra aseveración. Sin embargo, tenemos que Si A es denso y, además, abierto en X , entonces X r A es nunca denso en X . Prueba. Supongamos que A es abierto y denso en X . Por el Teorema 1.1.1, basta probar que X r (X r A) es denso en X . Por ser A abierto tenemos que X r A = X r A y así, de la igualdad X r (X r A) = X r (X r A) = A se obtiene el resultado gracias a la densidad de A en X .



2) Observemos que la intersección de dos conjuntos densos en un espacio topológico Hausdorff no es necesariamente denso. En efecto, consideremos, por ejemplo, A1 = Q y A2 = I = R r Q como subconjuntos de R, para darnos cuenta de ello. Sin embargo, si además de densos nuestros conjuntos son abiertos, entonces su intersección es densa. De hecho tenemos: Si G1 , G2 , . . . , Gn es una colección finita de subconjuntos no vacíos, abiertos y densos de X , entonces n \

Gi

i=1

es, además de abierto, denso en X . Prueba. La prueba es suficiente hacerla para dos conjuntos. Supongamos entonces que G1 y G2 son abiertos y densos en X . Sea U un abierto no vacío de X . Como G1 es denso en X , entonces U ∩ G1 6= ∅. Ahora bien, puesto que G1 es abierto, entonces U ∩ G1 también lo es y, en consecuencia, (U ∩ G1 ) ∩ G2 = U ∩ (G1 ∩ G2 ) 6= ∅, ya que G2 es denso en X . Esto prueba que G1 ∩ G2 es denso y, por supuesto, abierto en X .  Uno de los resultados importantes en análisis y cuyo estudio es el objetivo principal de estas notas, es el Teorema de Categoría de Baire, el cual establece que en ciertos espacios topológicos la intersección de cualquier colección numerable de subconjuntos abiertos densos de dicho espacio también es densa.

4

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire 3) Toda unión finita de conjuntos nunca densos es nunca denso. En efecto, si A1 , . . . , An es una colección finita de conjuntos nunca densos en X , entonces por el Teorema 1.1.1, X r Ak es denso (y abierto) en X para k = 1, . . . , n. Por el resultado anterior se sigue que n \

(X r Ak )

k=1

es denso en X y, en consecuencia, como n \

(X r Ak ) = X r

k=1

n [

Ak = X r

k=1

se concluye, usando de nuevo el Teorema 1.1.1, que

n [

Ak

k=1

Sn

k=1 Ak

es nunca denso en X .

4) Si bien es cierto que la unión finita de conjuntos
nunca densos es nunca denso, ella no se ∞ preserva por uniones numerables, es decir, si An n=1 es una sucesión infinita de subconS juntos nunca densos de X , entonces no es necesariamente cierto que su unión, ∞ n=1 An , sea nunca denso en X . Basta considerar a R con la métrica usual como nuestro espacio ambiente y elegir una enumeración cualquiera de los racionales, digamos (rn )∞ n=1 . Cada conjunto An = {rn } es nunca denso en R, pero su unión es Q el cual es denso en R. Así, S int( ∞ n=1 An ) = int(Q) = int(R) = R. Aunque la noción de conjunto nunca denso se transmite por inclusión, dicho concepto sigue siendo muy restrictivo debido esencialmente a su incapacidad para preservarse por uniones numerables. Sin embargo, la definición de conjunto de primera categoría subsana esa deficiencia. En el Capítulo 2 de su tesis, Baire introduce los conceptos de primera y segunda categoría, mientras que Denjoy es el responsable del término conjunto residual o genérico. Definición 1.1.2. Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff y M un subconjunto de X . Diremos que
∞ a) M es de primera categoría en X si existe una sucesión An n=1 de subconjuntos de X , cada uno de los cuales es nunca denso en X tal que M=

∞ [

An .

n=1

b) M es de segunda categoría en X si no es de primera categoría en X . Si X es de segunda categoría en sí mismo, entonces diremos que X es un espacio de segunda categoría. A los conjuntos de primera categoría también se les conoce con el nombre de conjuntos magros o diseminados y a los conjuntos de segunda categoría como conjuntos no magros. Es claro que los conjuntos de primera categoría se conservan por uniones numerables. Si estos conjuntos vivieran, por ejemplo, en un espacio métrico completo, esa condición nos indicaría que ellos son conjuntos topológicamente pequeños, aunque no necesariamente muy pequeños, fundamentalmente por el hecho de que ni ellos ni ninguna unión numerable de ellos agotan la totalidad de los puntos del espacio métrico completo. Esto es, en esencia, lo que probó Baire y que hoy en día se conoce como el Teorema de Categoría de Baire. Por otro lado, los conjuntos de segunda categoría son, desde el punto de vista

Sec. 1.1 Conjuntos de primera y segunda categoría

5

topológico y por ser opuestos a los conjuntos de primera categoría, conjuntos grandes siempre que ellos se encuentren en ciertos espacios apropiados, como por ejemplo, en espacios métricos completos. Antes de continuar recordaremos algunos conceptos y resultados conocidos que serán fundamentales en nuestro estudio. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff y sea F un subconjunto no vacío de X . Decimos que F es un Fσ si existe una sucesión (Fn )∞ n=1 de subconjuntos cerrados en X tal que F=

∞ [

Fn .

n=1

Un conjunto G en X se llama un Gδ si X r G es un Fσ ; es decir, si existe una sucesión (Gn )∞ n=1 de subconjuntos abiertos en X tal que G=

∞ \

Gn .

n=1

Un conjunto que es simultáneamente tanto un Fσ como un Gδ es llamado ambiguo. Ejemplo 1.1.1. 1) Q es un Fσ , mientras que el conjunto de los números irracionales R r Q es un Gδ denso. Por otro lado, cualquier subintervalo de R de la forma [a, b) o (a, b] es ambiguo. Por ejemplo, [a, b) =

∞ [

[a, b − 1/n] =

n=1

∞ \

(a − 1/n, b).

n=1

Más adelante veremos, como consecuencia del Teorema de Categoría de Baire, que a Q le está negada esa posibilidad; es decir, a Q no se le puede expresar como un Gδ . 2) Si (X , d) es un espacio métrico y F ⊆ X es cerrado, entonces F es un Gδ . Prueba. Para cada n ∈ N, sea [ Gn = U (x, 1/n) x∈F

donde, como siempre, U (x, 1/n) es la bola abierta con centro x y radio 1/n. Como cada Gn es abierto y teniendo en cuenta que F ⊆ Gn para todo n, resulta que F⊆ T

∞ \

Gn .

n=1

Para probar la otra inclusión, tomemos y ∈ ∞ n=1 Gn . Entonces y ∈ Gn para todo n ∈ N. Fijado un n, existe un x ∈ F tal que y ∈ U (x, 1/n) lo cual dice que y ∈ F y como F es cerrado, entonces y ∈ F = F. Esto prueba que ∞ \

n=1

Gn ⊆ F.

y termina la demostración de 2).



3) Cualquier conjunto abierto G en un espacio métrico (X , d) es un Fσ . La siguiente definición de espacio de Baire es, entre las muchas formas equivalentes que existen y, en la practica, una de la más útil y conveniente para demostrar que un determinado espacio topológico es un espacio de Baire.

6

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

Definición 1.1.3. Un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) se llama espacio de Baire si, para cualquier sucesión (Gn )∞ n=1 de subconjuntos abiertos densos de X , su intersección ∞ \

Gn

n=1

es denso en X . Otra de las definiciones importantes que usaremos con mucha frecuencia en estas notas es la siguiente: Definición 1.1.4. Sea X un espacio topológico de Hausdorff. Un subconjunto M de X se llama residual, abundante o genérico en X si existe un subconjunto de primera categoría A de X tal que M = X r A. Una propiedad P sobre X se dice que se cumple genéricamente, abundantemente o cuasi siempre si el conjunto {x ∈ X : P(x) se cumple} es residual en X . Notemos que si M es un subconjunto residual de X , entonces dicho conjunto contiene la intersección de una familia numerable de subconjuntos abiertos densos en X . En efecto, puesto que M es resiS∞ dual existe una sucesión (An )∞ n=1 de subconjuntos nunca densos de X tal que M = X \ n=1 An . Por el Teorema 1.1.1, cada conjunto X \ An es denso (y abierto) en X y, en consecuencia, M=X\

∞ [

An =

n=1

∞ \

n=1

(X \ An ) ⊇

∞ \

n=1


X \ An .

Históricamente, los espacios métricos completos fueron los primeros espacios (como generalizaciones de la recta real R) en donde se demostró que ellos satisfacen las condiciones equivalentes dadas en el próximo teorema y, por consiguiente, se llamó a dicho resultado el Teorema de Categoría de Baire. En estas notas, seguiremos llamando al siguiente resultado, el Teorema de Categoría de Baire. Teorema 1.1.2 (Teorema de Categoría de Baire). Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X es un espacio de Baire. (b) Si (En )∞ n=1 es una colección numerable de subconjuntos cerrados y nunca densos de X , su unión ∞ [

En

n=1

tiene interior vacío. (c) Cada subconjunto abierto no vacío G de X es de segunda categoría en X . (d) Si E es de primera categoría en X , entonces X r E es denso en X ; es decir, todo conjunto residual en X es denso en X . Prueba. (b) ⇒ (a). Sea (Gn ) una sucesión de subconjuntos abiertos densos de X . Entonces, por la Observación 1.1.1 (2), cada X r Gn es un subconjunto cerrado y nunca denso de X . Por (b), ∞ [

n=1

(X r Gn ) = X r

∞ \

n=1

Gn

Sec. 1.1 Conjuntos de primera y segunda categoría

7

tiene interior vacío y así, gracias a (1.1.1), Xr Xr

∞ \

Gn

n=1

!

=

∞ \

Gn

n=1

es denso en X . (a) ⇒ (c). Sea G un subconjunto no vacío y abierto de X y supongamos que G es de primera categoría en X . Entonces existe una sucesión (En ) de subconjuntos nunca densos de X tal que G=

∞ [

n=1

En ⊆

∞ [

E n.

n=1

De aquí se sigue que ∞ \

(X r E n ) ⊆ X r G

(1.1.2)

n=1

y como cada En es nunca denso en X , entonces por el Teorema 1.1.1 cada subconjunto X r E n es abierto y denso en X . De (b) obtenemos que ∞ \

(X r E n )

n=1

es denso en X . En particular, por (1.4.1), X r G es denso en X . Por otro lado, puesto que X r G es cerrado, entonces X r G = X y, por consiguiente, G = ∅. Esta contradicción establece que G es de segunda categoría en X . (c) ⇒ (d). Sea E un subconjunto que es de primera categoría en X . Entonces int (E ) también es de primera categoría en X . Por (c), int (E ) = ∅ y por (1.1.1) concluimos que X r E es denso en X . (d) ⇒ (b). Sea (En ) una sucesión de subconjuntos cerrados y nunca densos de X y sea E=

∞ [

En .

n=1

Puesto que E es de primera categoría en X , se sigue de (d) que X r E es denso en X y gracias a (1.1.1), se concluye que int (E ) = ∅.  Estamos interesados en conocer qué tipos particulares de espacios topológicos satisfacen las condiciones equivalentes dadas en el Teorema 1.1.2. En estas notas vamos a demostrar que los espacios métricos completos así como los espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos la satisfacen. En ˇ general, todo espacio Cech-completo así como todo espacio Oxtoby-completo (más generales que los ˇCech-completos) son espacios de Baire. Antes de enunciar y probar el Teorema de Categoría de Baire para los espacios métricos completos, es preciso recordar el siguiente hecho.

8

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire Teorema de Encaje de Cantor. Sea (X , d) un espacio métrico completo. Si (Fn )∞ n=1 es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de X tal que l´ım diam(Fn ) = 0, enn→∞ tonces ∞ \

n=1

Fn = {x0 }

para algún x0 ∈ X .

Prueba. Para cada n ∈ N, escojamos xn ∈ Fn . Afirmamos que la sucesión (xn )∞ n=1 es de Cauchy en X . En efecto, sea ε > 0 y elijamos N > 0 tal que diam (FN ) < ε. Como la sucesión (Fn )∞ n=1 es decreciente, para todo n ≥ N, Fn ⊆ FN y por lo tanto diam (Fn ) < ε. De aquí se sigue que si m, n ≥ N, entonces d(xn , xm ) < ε. Por esto (xn )∞ n=1 es de Cauchy y, gracias a la completitud de X , ella converge a un x0 ∈ X . Es claro que x0 ∈

∞ \

Fn .

n=1



La otra inclusión es inmediata.

Estamos ahora en posición de formular y probar el Teorema de Categoría de Baire para los espacios métricos completos y los espacios de Hausdorff localmente compactos. Teorema 1.1.3 (Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos). Si (X , d) es un espacio métrico completo, entonces X es un espacio de Baire. Prueba. Sea {Gn }∞ n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos y densos de X y sea U un subconjunto abierto no vacío de X . Nuestra tarea es demostrar que U∩

∞ \

n=1

Gn 6= ∅.

Como G1 es denso en X , entonces U ∩ G1 6= ∅. Sea x ∈ U ∩ G1 y determinemos una bola abierta U1 con centro en x y radio < 1 contenida en U ∩ G1 tal que U 1 ⊆ U ∩ G1 . Como U1 es un abierto no vacío de X y G2 es denso en X , entonces U1 ∩ G2 6= ∅. De nuevo, existe una bola abierta U2 de radio < 1/2 contenida en U1 ∩ G2 tal que U 2 ⊆ U1 ∩ G2 . Notemos una vez más que U2 ∩ G3 6= ∅ por la densidad de G3 . Podemos, sin duda alguna, continuar con este proceso para obtener una sucesión de bolas abiertas (Un )∞ n=1 satisfaciendo: 1. U 1 ⊇ U 2 ⊇ · · · ⊇ U n ⊇ · · · y 2. l´ım diam(U n ) = 0. n→∞

Invocando al Teorema de Encaje de Cantor, concluimos que ∞ \

n=1

U n 6= ∅.

Sec. 1.1 Conjuntos de primera y segunda categoría

9

Observemos ahora que si definimos U0 = U , obtenemos ∅ 6=

∞ \

n=1

Un ⊆

∞  \

n=1

∞  \ Un−1 ∩ Gn ⊆ U ∩ Gn n=1



que era lo que queríamos demostrar.

Observación 1.1.2. El teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos posee, en principio, dos limitaciones importantes que debemos explicar. 1) La primera tiene que ver con la completitud del espacio métrico X . En efecto, en ausencia de una métrica completa la conclusión del Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos puede fallar. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Sea X = R[t] el espacio vectorial de dimensión infinita de todos los polinomios con coeficientes reales. Para cada p ∈ X , donde p(t) = an t n + · · · + a1 t + a0 , definimos su norma por k pk = |an | + · · · + |a1 | + |a0 |. Esta norma da origen a una métrica d para la cual (X , d) no es un espacio completo. En efecto, la sucesión (pn ) definida por pn (t) = 1 +

t t2 tn + + ···+ 1! 2! n!

es de Cauchy en X , pero converge a f (t) = et 6∈ X . Veamos ahora que X es de primera categoría (en sí mismo). En primer lugar observemos que X=

∞ [

Fn ,

n=1

donde, para cada n ∈ N, Fn es el subespacio vectorial de X formado por todos los polinomios de grado menor o igual a n. Puesto que la dimensión de cada Fn es finita, entonces Fn es cerrado en X y, en consecuencia, tiene interior vacío. Esto prueba que X es de primera categoría en sí mismo. Finalmente, por el Teorema 1.1.1, cada uno de los conjuntos Gn = X r Fn es abierto y denso en X , pero claramente su intersección no es densa, pues ∞ \

Gn = ∅.

n=1

2) La segunda observación es la exigencia de la numerabilidad en la colección de los conjuntos abiertos que son densos en el espacio X . Si tomáramos una colección no numerable es posible que la conclusión del Teorema de Categoría de Baire no se cumpla. Por ejemplo, trabajando con X = R y si, para cada x ∈ R, definimos Gx = R r {x}, resulta que cada Gx es abierto y denso en X , pero sin embargo, su intersección es vacía: \

x∈R

Gx = ∅.

10

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire 3) Ser un espacio de Baire es una propiedad topológica; es decir, se preserva bajo homeomorfismos, por lo tanto, todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo es un espacio de Baire.

Otra clase importante de espacios topológicos que pertenecen a la familia de los espacios de Baire son los espacios Hausdorff localmente compactos. Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) es localmente compacto si cada x ∈ X posee, al menos, un entorno abierto Ux cuya clausura es compacta. Observemos que Si (X , τ) es un espacio de Hausdorff localmente compacto y si G ⊆ X es un conjunto abierto no vacío, entonces existe un abierto no vacío O en X tal que O es compacto y O ⊆ O ⊆ G. Definición 1.1.5. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Una familia de subconjuntos (Kα )α∈Γ de X se dice que tiene la propiedad de intersección finita (PIF) si, para cada subconjunto finito F ⊆ Γ, T α∈F Kα 6= ∅. Una de las tantas caracterizaciones hermosas que poseen los espacios compactos de Hausdorff es la siguiente: Teorema 1.1.4. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. X es compacto si, y sólo si, para cualquier familia (Kα )α∈Γ de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita, se cumple que \ Kα 6= ∅. α∈Γ

Prueba. Supongamos que X es compacto y sea (Kα )α∈Γ una familia de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita. Si ocurriera que \

Kα = ∅,

α∈Γ

entonces, haciendo Uα = X r Kα para cada α ∈ Γ, resultaría que de la familia (Uα )α∈Γ , que es un cubrimiento abierto de X , se podría extraer, por la compacidad de X , un subcubrimiento finito, digamos T Uα1 , . . . ,Uαn . De esto se seguiría que nk=1 Kαk = ∅ lo cual es una contradicción. La otra implicación es más sencilla de probar.  Con estas herramientas a nuestra disposición, la demostración del próximo resultado es muy similar a la del Teorema 1.1.3. Teorema 1.1.5 (Teorema de Categoría de Baire para espacios localmente compactos). Sea (X , τ) un espacio de Hausdorff localmente compacto. Entonces X es un espacio de Baire. T

Prueba. Sea (Gn )∞ que ∞ n=1 Gn n=1 es una sucesión de subconjuntos abiertos densos de X . Para demostrar T∞ es denso en X , sea G un subconjunto abierto no vacío de X y veamos que G intersecta a n=1 Gn . Puesto que G1 es denso en X , tenemos que G ∩ G1 6= ∅ y así, por la compacidad local de X , existe un abierto no vacío O1 ⊆ X tal que O1 es compacto y O1 ⊆ O1 ⊆ G ∩ G1 . De nuevo, ya que G2 es denso en X , el conjunto abierto O1 ∩ G2 es no vacío, y por lo tanto, existe un abierto no vacío O2 en X tal que O2 es compacto y O2 ⊆ O2 ⊆ O1 ∩ G2 . Continuando con este proceso podemos encontrar una sucesión de

Sec. 1.1 Conjuntos de primera y segunda categoría

11

conjuntos abiertos no vacíos (On )∞ n=1 en X tal que On es compacto y On ⊆ On ⊆ On−1 ∩ Gn . Puesto que, para cada n ∈ N, n \

Ok = On

k=1

resulta que la sucesión (On )∞ n=1 tiene la propiedad de intersección finita y así, por el Teorema 1.1.4, ∅ 6=

∞ \

n=1

On ⊆ G ∩

∞ \

Gn .

n=1



Esto termina la prueba. Teorema 1.1.6. Todo subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire es un espacio de Baire.

Prueba. Sea O un subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire (X , τ) y sea (Gn )∞ n=1 una sucesión de conjuntos abiertos densos en O. Entonces cada Gn es abierto en X y, en consecuencia, los conjuntos Hn = Gn ∪ (X r O), n = 1, 2, . . . son abiertos y densos en X . En efecto, cada Hn es abierto por ser unión de dos conjuntos abiertos mientras que la densidad es consecuencia de las siguientes dos observaciones:   primero, siendo Gn es denso en O, resulta entonces que O ⊆ Gn , y segundo, H n = Gn ∪ X r O ⊇ O ∪ (X r O) = X . Por el Teorema de Categoría de Baire ∞ \

Hn =

n=1

es denso en X . De esto se sigue que

T∞

n=1 Gn

∞ \

n=1

Gn ∪ (X r O) 

es denso en O.

Observación 1.1.3. (1) En contraste con el resultado anterior, Teorema 1.1.6, no todo subconjunto cerrado de un espacio de Baire es un espacio de Baire. En efecto, consideremos el espacio X = R2 r {(x, 0) : x ∈ R r Q}. Entonces el subconjunto cerrado {(x, 0) : x ∈ Q} es claramente de primera categoría en X . Por otro lado, como todo espacio de Hausdorff compacto así como todo espacio métrico completo son espacios de Baire, resulta que, en este caso, todo subespacio cerrado de un espacio de Hausdorff compacto o de un espacio métrico completo es un espacio de Baire. (2) No todo espacio de segunda categoría es un espacio de Baire. Aunque el Teorema de Categoría de Baire nos dice, en particular, que todo espacio métrico completo es de segunda categoría en sí mismo, existen espacios de segunda categoría que no son espacios de Baire Por ejemplo, si A = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}

y

B = {(0, y) ∈ R2 : y ∈ Q, y 6= 0},

entonces el espacio X = A ∪ B, con la topología inducida por R2 , es de segunda categoría, pero no es un espacio de Baire, ya que B es un conjunto abierto de X que es unión numerable de conjuntos nunca densos. Sin embargo, la patología anterior desaparece si X es un espacio vectorial topológico.: Un espacio vectorial topológico es de Baire si, y sólo si, es de segunda categoría. En efecto, si X es un espacio vectorial topológico de segunda categoría, S entonces todo entorno abierto V de 0 es de segunda categoría, pues X = ∞ n=1 nV . Por la invariancia de las traslaciones, cualquier entorno de cualquier punto es de segunda categoría y, en consecuencia, todo abierto es de segunda categoría.

12

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire (3) No todo espacio normado es un espacio de Baire. En efecto, sea X = C([0, 1]) el espacio normado formado por todas las funciones continuas f : [0, 1] → R provisto de la norma k·k1 definida por k fk =

Z 1

f (x) dx

0

para toda f ∈ C([0, 1]). Es un hecho ya establecido que (X , k·k1 ) es un espacio normado no completo. Consideremos el conjunto B = { f ∈ X : k f k∞ ≤ 1}, donde la norma k·k∞ viene dada por k f k∞ = sup{| f (x)| : x ∈ [0, 1]}, para cada f ∈ X . Como B es equilibrado, convexo y absorbente, resulta que X=

∞ [

nB.

n=1

Nos proponemos demostrar que B es un conjunto k·k1 -cerrado en X con interior vacío. Veamos esto. Si B tuviera interior no vacío, entonces B − B = B + B = 2B sería un entorno del cero en X y, en consecuencia, las normas k·k1 y k·k∞ serían equivalentes, lo cual es imposible. Para ver que B es k·k1 -cerrado en X , tomemos una sucesión ( fn )∞ n=1 en B tal que k fn − f k1 → 0 para alguna f ∈ X . Veamos que f ∈ B. Supongamos que ello no es cierto. Entonces k f k∞ > 1 y, por consiguiente, existen un intervalo J ⊆ [0, 1] y un δ > 0 tal que | f (x)| > 1 + δ para todo x ∈ J. Pero entonces k fn − f k1 =

Z 1 0

| fn (x) − f (x)| dx ≥

Z

J

| fn (x) − f (x)| dx > δ long(J)

para todo n ∈ N, contradiciendo de esta forma el hecho de que k fn − f k1 → 0. Esto prueba entonces que B es nunca-denso en (X , k·k1 ) y, por lo tanto, que X es de primera categoría en sí mismo. (4) La recta de Sorgenfrey es un espacio de Baire. Recordemos que la recta de Sorgenfrey, S, no es otra cosa que R con la topología cuya base es la familia B = {[a, b) : a, b ∈ R, a < b}. Prueba de que S es de Baire. Sea (Gn )∞ una sucesión de subconjuntos abiertos y densos T n=1 en S. Vamos a demostrar que G = n≥1 Gn es denso en S. Para ello será suficiente tomar cualquier elemento en B, digamos [a, b) ∈ B, y demostrar que [a, b) ∩ G 6= ∅. En efecto, como G1 es denso en S, resulta que S r G1 es nunca denso en S y, por lo tanto, existen números reales a1 , b1 ∈ S tal que a
On+1

y

On ∩

n [

Fk = ∅

k=1

para cada n ∈ N. Puesto que int(Fn ) = ∅, entonces G * F1 , y así, G ∩ (X r F1 ) es un subconjunto abierto no vacío de G que no intersecta a F1 . Por (b), existe un subconjunto abierto O1 tal que O1 < G ∩ (X r F1 ). Por (c), O1 < G, lo cual finaliza la construcción de O1 ya que O1 ∩ F1 = ∅. Para construir O2 , notemos de nuevo que la condición int(F1 ∪ F2 ) = ∅, garantiza que U1 * (F1 ∪F2 ) y, como antes, esto determina que el conjunto U1 ∩(X r(F1 ∪F2 )) sea un abierto que no intersecta a F1 ∪ F2 . La condición (b) nos provee de la existencia de un conjunto abierto no vacío O2 tal que O2 < U1 ∩ (X r (F1 ∪ F2 )). Un llamado a (c) nos dice que O2 < O1 y O2 ∩ (F1 ∪ F2 ) = ∅. Continuando de este modo obtenemos la sucesión buscada (On )∞ n=1 . Una ∞ vez en posesión de la sucesión (On )n=1 , tenemos que ∞ \

n=1

y, así, ∅=

∞ \

n=1

∞  [  On ∩ Fn = ∅ n=1

∞ ∞ ∞  [  \  \ On ∩ Fn = On ∩ G = On , n=1

n=1

n=1

14

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire mientras que por (d),

∞ \

n=1

On 6= ∅. 

Esta contradicción establece que X es un espacio de Baire.

Por ejemplo, si (X , τ) es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces uno define la relación < sobre τ∗ , la familia de todos los subconjuntos abiertos no vacíos de X , del modo siguiente: A < B si A es relativamente compacto y A ⊆ B para todo A, B ∈ τ∗ . No es difícil ver que ésta relación cumple con las condiciones establecidas en el teorema anterior y, por consiguiente, X es un espacio de Baire. Similarmente, si (X , d) es un espacio métrico completo, entonces podemos definir la relación 0. Ahora bien, como g([a, b]) es convexo y contiene una bola abierta, resulta que si eliminamos de g([a, b]) el centro de esa bola abierta, entonces lo que queda es conexo; es decir, g([a, b]) r {x} es conexo.
Pero entonces, la continuidad de g−1 : g([a, b]) → [a, b] implicaría que el conjunto g−1 g([a, b]) r {x} sería un conexo en [a, b], lo cual es imposible pues al ser x un punto interior de g([a, b]), resulta que c = g−1 (x) es un punto interior de [a, b] y, por lo tanto,
g−1 g([a, b]) r {x} = [a, b] r {c} sería conexo. Esta contradicción establece que g([a, b]) es nunca denso en R2 . Supongamos ahora que f : R → R2 es biyectiva y continua. Escribamos a R como R=

∞ [

[−n, n].

n=1

Como f es biyectiva tenemos que R2 = f (R) =

∞ [

f ([−n, n]).

n=1

Por lo probado anteriormente, resulta que cada conjunto cerrado f ([−n, n]) tiene interior vacío y, así, gracias al Teorema de Categoría de Baire, ∞ [

f ([−n, n]) = R2

n=1

tiene interior vacío. Esta contradicción prueba que f no puede ser una biyección continua.



ˇ 1.3. Espacios completamente metrizables y Cech-completos La familia Ba, formada por todos los espacios de Baire, constituye, sin duda alguna, una de las clases más importantes de espacios topológicos con amplias e importantes aplicaciones. En esta sección mostraremos algunas subclases de Ba que poseen propiedades especiales que no son compartidas, en general, por cualquier espacio de Baire. Por ejemplo, la familia de los espacios métricos completos forman una subclase de Ba que, además de ser numerablemente productiva (el producto de cualquier familia numerable de espacios métricos completos es completo), sus subespacios cerrados heredan la completitud de la métrica. Propiedades similares la tiene la subfamilia de Ba formada por los espacios localmente compactos.

ˇ Sec. 1.3 Espacios completamente metrizables y Cech-completos

21

k ◮ Espacios completamente metrizables.

Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) se llama completamente metrizable si existe una métrica completa d sobre X tal que la topología generada por d coincide con τ. En este caso también se dice que la topología generada por d es compatible con τ. El hecho de que (X , τ) sea completamente metrizable es equivalente a la existencia de un espacio métrico completo (Y, ρ) y un homeomorfismo de (X , τ) sobre (Y, ρ). Fijemos ahora un espacio métrico completo (X , d). Sabemos que los únicos subespacios d-completos de X son los subespacios cerrados. Sin embargo, si nos preguntáramos por los subespacios de X que son completamente metrizables, entonces la respuesta es muy diferente; por ejemplo, el conjunto de los números irracionales en [0, 1] no es un subespacio cerrado, pero es un subespacio completamente metrizable. La familia de los espacios métricos completamente metrizables es una subclase de Ba. Teorema 1.3.1. Si (X , d) es un espacio métrico completamente metrizable, entonces X es un espacio de Baire. Prueba. Sea ρ una métrica con respecto a la cual X es completo. Vamos a demostrar que si A es un subconjunto de primera categoría de X , entonces X r A es denso en X e invocar el Teorema de Categoría de Baire, Teorema 1.1.2, para concluir que X es un espacio de Baire. Supongamos entonces que A es un subconjunto de primera categoría de X y sea U un subconjunto abierto no vacío de X . Escojamos una sucesión de subconjuntos cerrados nunca densos (Fn )∞ n=1 en X S tal que A = ∞ F y notemos que para cada n ∈ N, el conjunto U r F = 6 ∅, donde U es cualquier n−1 n n n=1 n conjunto ρ-abierto en X . Pongamos U0 := U y seleccionemos cualquier sucesión encajada (Un )∞ n=0 de bolas ρ-abiertas en X con centro en xn ∈ Un−1 r Fn y de radio < 1/2n tal que U n ⊆ Un−1 r Fn

n = 1, 2, . . .

Afirmamos que la sucesión (xn )∞ n=1 es ρ-Cauchy. En efecto, para todo i, j ≥ n ρ(xi , x j ) ≤ ρ(xi , xn ) + ρ(xn , x j )
n, tenemos que d(xn , xm ) ≤ d(z, xn ) + d(z, xm )
n y, entonces, la sucesión (yn )∞ n=1 definida por yn = f (xn ) para todo n ∈ N es de Cauchy en el espacio métrico completo (Y, ρ). Así, existe un y ∈ Y tal que yn → y. Pongamos x = f −1 (y). Entonces x ∈ G y por la continuidad de f −1 resulta que xn → x, pero como T también xn → z concluimos que z = x. Por esto z ∈ G, con lo cual hemos demostrado que G = ∞ n=1 Gn . Esto prueba que G es un Gδ en X .  Notemos que el conjunto de los números irracionales, I = R r Q, con la métrica heredada de R no es un espacio métrico completo, sin embargo, como dicho conjunto es un Gδ , el resultado anterior nos dice que él es completamente metrizable. Por otro lado, Q no es completamente metrizable. ˇ k ◮ Espacios Cech-completos. Existen familias interesantes de espacios topológicos de Hausdorff que incluyen a todos los espacios que son localmente compactos así como a todos los espacios métricos completos y donde, además, cada miembro de la familia es un espacio de Baire. Por ejemplo, la familia formada por todos los espacios ˇ numerablemente Cech-completos es una de ellas. Antes de describir tales espacios será conveniente recordar la definición de algunas nociones de espacios topológicos que usaremos en estas notas. Definición 1.3.1. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. (a) X se llama regular si para cada x ∈ X y cada subconjunto cerrado F de X con x 6∈ F, existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x ∈ U y F ⊆ V . (b) X se llama normal si para cada par F y G de conjuntos cerrados y disjuntos de X , existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que F ⊆ U y G ⊆ V . (c) X se llama completamente regular si si para cada x ∈ X y cada subconjunto cerrado F de X con x 6∈ F, existe una función continua f : X → [0, 1] tal que f (x0 ) = 1 y f (F) = 0. Uno de los teoremas profundos en análisis es el famoso e irrenunciable Lema de Urysohn el cual garantiza la existencia de funciones continuas a valores reales definidas sobre un espacio normal. A través de él se pueden probar otros resultados importantes como son: el Teorema de Metrización de Urysohn y el Teorema de Extensión de Tietze (véase, por ejemplo, [83]). Teorema 1.3.4 (Lema de Urysohn). Sea X un espacio normal y sean F y G subconjuntos cerrados disjuntos de X . Entonces existe una función continua f : X → [0, 1] tal que f (F) = 1 y f (G) = 0. Es claro, por el Lema de Urysohn, que todo espacio normal es completamente regular y que todo espacio completamente regular es regular. Una de las ventajas de los espacios completamente regulares es que ellos se comportan muy bien con respecto a subespacios y productos, es decir, cualquier subespacio de un espacio completamente regular es completamente regular. Similarmente, un producto de espacios completamente regulares es completamente regular. Notemos que:

24

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire k◮ Si X es un espacio regular y si U es un subconjunto abierto no vacío de X , entonces existe un abierto no vacío V de X tal que V ⊆ U .

Prueba. En efecto, sea x ∈ U y definamos F = X r U . Entonces F es un conjunto cerrado de X que no contiene a x. Como X es regular, existen conjuntos abiertos disjuntos V y W que contienen a x y a F respectivamente. Observemos ahora que V es disjunto de F, ya que si y ∈ F ∩V , el conjunto W sería un entorno de y intersectando a V . Esta contradicción establece  que V ⊆ U , como era requerido.

Definición 1.3.2. Un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) se llama cuasi-regular si para cada conjunto abierto no vacío U de X , existe un conjunto abierto no vacío V de X tal que V ⊆ U . Por lo probado anteriormente, tenemos que todo espacio completamente regular es cuasi-regular. En particular, todo espacio métrico completo así como todo espacio localmente compacto es cuasi-regular. Teorema 1.3.5. Si (X , τ) es un espacio de Hausdorff cuasi-regular y G es un subconjunto denso de X , entonces G también es cuasi-regular. Prueba. En efecto, sea U cualquier subconjunto abierto no vacío de G. Entonces existe un conjunto abierto no vacío W de X tal que U = W ∩ G. Como X es cuasi-regular, existe un abierto no vacío V de X τ tal que V ⊆ W . Notemos que V ∩ G es un abierto de G y que   τ|G τ V ∩G ⊆ V ∩ G ⊆ W ∩ X = U. Esto termina la prueba.



Definición 1.3.3. Sea X un espacio topológico de Hausdorff. Una compactificación de X es un par (bX , b) donde bX es espacio de Hausdorff compacto y b es un homeomorfismo de X sobre un subespacio denso de bX . En la práctica siempre identificaremos a X con su imagen b(X ) ⊆ bX y diremos simplemente que bX es una compactificación de X . Al conjunto bX r X se le llama el resto de bX . Puesto que cualquier subespacio de un espacio de Hausdorff compacto es completamente regular, resulta que los únicos espacios que pueden ser compactificados son los completamente regulares. El teorema clásico fundamental que garantiza la existencia de compactificaciones para espacios completamente regulares es el siguiente (véase, por ejemplo, [83]). ˇ Teorema 1.3.6 (Stone-Cech). Sea X un espacio completamente regular. Entonces existe una compactificación βX de X con la siguiente propiedad: toda función continua y acotada f : X → R se puede extender a una función continua y acotada fˆ : βX → R. ˇ La compactificación obtenida en el teorema anterior se le llama la compactificación de Stone-Cech y será denotada siempre por βX . Entre los espacios completamente regulares, los localmente compactos se caracterizan por el siguiente resultado. Teorema 1.3.7 (Alexandroff). Cualquier espacio de Hausdorff X localmente compacto admite una compactificación αX tal que αX r X es un punto.

ˇ Sec. 1.3 Espacios completamente metrizables y Cech-completos

25

La compactificación obtenida en el teorema anterior se le llama la compactificación de Alexandroff o compactificación por un punto y será denotada siempre por αX . Si denotamos por x∞ el único punto en αX r X , entonces αX = X ∪ {x∞ }.

Sea U un cubrimiento abierto de un espacio topológico de Hausdorff (X , τ). Un subconjunto F de X se dice que es U-pequeño si F está contenido en algún miembro de U. En general, una familia F de subconjuntos de X se dice que es U-pequeña si existen F ∈ F y U ∈ U tal que F ⊆ U . ˇ Definición 1.3.4. Un espacio topológico completamente regular X se llama numerablemente Cech∞ completo si existe una colección numerable (Un )n=1 de cubrimientos abiertos de X satisfaciendo la siguiente propiedad: para cualquier familia numerable y decreciente F = (Fn )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de X que es Un -pequeña para cada n ∈ N, se cumple que ∞ \

n=1

Fn 6= ∅.

Es un ejercicio sencillo establecer, por ejemplo, que todo espacio métrico completo (X , d) es numeˇ rablemente Cech-completo. En efecto, basta tomar, para cada n ∈ N, el cubrimiento abierto Un formado por todas las bolas abiertas de radio 1/n y observar que si (Fn )∞ y decren=1 es una familia numerable T ciente de subconjuntos cerrados de X tal que Fn es Un -pequeña para cada n ∈ N, entonces ∞ n=1 Fn 6= ∅. ˇ Similarmente, para probar que todo espacio localmente compacto es numerablemente Cech-completo es suficiente elegir, cada n ∈ N, el cubrimiento abierto Un formado por todos los conjuntos abiertos que son relativamente compactos en dicho espacio. Lo que nos interesa aquí es demostrar que los espacios ˇ numerablemente Cech-completos también son espacios de Baire. ˇ Teorema 1.3.8 (Teorema de Categoría de Baire para espacios Cech-completos). Sea (X , τ) un espaˇ cio numerablemente Cech-completo. Entonces X es un espacio de Baire. ˇ Prueba. Suponga que X es un espacio numerablemente Cech-completo. Sea (Gn )∞ n=1 una sucesión de T∞ subconjuntos abiertos densos en X y consideremos G = n=1 Gn . Probemos que G es denso en X ; es decir, G ∩V 6= ∅ para cualquier subconjunto abierto V de X . Sean entonces V subconjunto abierto de X y (Un )∞ n=1 una colección numerable de cubrimientos abierˇ tos de X con las propiedades establecidas en la definición de numerablemente Cech-completo. Ahora se procede como en la demostración del Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos con una pequeña variación: hacer uso del hecho de que X es cuasi-regular. En efecto, como G1 es denso, entonces V ∩ G1 6= ∅ y por la cuasi regularidad de X podemos encontrar un abierto V1 de X tal que V 1 ⊆ V ∩ G1

y V 1 ⊆ U1

para algún U1 ∈ U1 .

Repitiendo el proceso anterior al conjunto abierto no vacío V1 ∩ G2 uno obtiene, usando de nuevo el hecho de que X es cuasi-regular, un conjunto abierto V2 de X tal que V 2 ⊆ V1 ∩ G2

y V 2 ⊆ U2

para algún U2 ∈ U2 .

Continuando inductivamente con este proceso se obtienen una sucesión (Vn )∞ n=1 de subconjuntos abiertos ∞ de X y una sucesión (Un )n=1 de subconjuntos de X que cumplen V ⊇ V1 ⊇ V2 ⊇ · · · ,

V n ∩ Gn 6= ∅ y V n ⊆ Un

para algún Un ∈ Un .

26

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

Tomando F = {V n : n ∈ N}, vemos que ella es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados donde ˇ resulta que cada V n es Un -pequeña, n = 1, 2, . . .. Como X es numerablemente Cech-completo, ∞ \

n=1

V n 6= ∅,

de donde se deduce que G ∩V 6= ∅.



ˇ Una noción más restrictiva que la de espacio numerablemente Cech-completo es la siguiente:

Definición 1.3.5. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff completamente regular. Diremos que ˇ X es Cech-completo si existe una colección numerable (Un )∞ n=1 de cubrimientos abiertos de X con la propiedad de que cualquier familia F de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita y Un -pequeña para cada n ∈ N, se cumple que \

F∈F

F 6= ∅.

ˇ ˇ Es claro que todo espacio Cech-completo es numerablemente Cech-completo y, por consiguiente, es un espacio de Baire. En algunos casos es conveniente disponer de la siguiente condición equivalente para ˇ los espacios Cech-completos (véase, por ejemplo, [89], p. 251-252). Teorema 1.3.9. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff completamente regular. Las siguientes condiciones son equivalentes: ˇ (1) X es Cech-completo. (2) X es un Gδ en β X . ˇ Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que X es Cech-completo y sea (Un )∞ n=1 una colección numerable de cubrimientos abiertos de X tal que para cualquier familia F de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita y Un -pequeña para cada n ∈ N, se cumple que \

F∈F

F 6= ∅.

Para cada n ∈ N, pongamos Un = {Us,n }s∈Sn , donde Sn es un conjunto de índices con la misma cardinalidad que la de Un . Puesto que X ⊆ βX , existen conjuntos abiertos Vs,n en βX tal que Us,n = X ∩Vs,n para cada s ∈ Sn y n = 1, 2, . . . Claramente X⊆

∞ [ \

Vs,n .

n=1 s∈Sn

Para demostrar que X es un Gδ en β X es suficiente demostrar la otra inclusión. T S Tomemos un punto x ∈ ∞ n=1 s∈Sn Vs,n y sea B(x) la familia de todos los entornos abiertos de x en βX . Entonces la familia F = {X ∩ V : V ∈ B(x)}, donde V denota la clausura de V en βX , consiste de subconjuntos cerrados del espacio X con la propiedad de intersección finita. Por otro lado, para cada n ∈ N, existe un s ∈ Sn tal que x ∈ Vs,n y se sigue de la regularidad de βX (βX es un espacio de Hausdorff compacto) que la familia F es Un -pequeña. Por esto, X∩

\

V ∈B(x)

V 6= ∅,

ˇ Sec. 1.3 Espacios completamente metrizables y Cech-completos

27

y como βX es un espacio de Hausdorff, \

V ∈B(x)

V = {x},

de donde resulta que x ∈ X . Esto prueba que X es un Gδ en βX .

(2) ⇒ (1). Supongamos que X es un Gδ en βX y sea (Gn )∞ n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos de T∞ βX tal que X = n=1 Gn . Por la regularidad de βX podemos, para cualquier x ∈ X y cualquier n ∈ N, escoger un conjunto abierto no vacío Vx,n ⊆ βX tal que x ∈ Vx,n ⊆ V x,n ⊆ Gn . Sea  Un = X ∩Vx,n : x ∈ X , n = 1, 2, . . .

Es claro que la familia (Un )∞ n=1 es una colección numerable de cubrimientos abiertos de X . Sea ahora F = {Fs : s ∈ S} una familia de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección finita y Un pequeña para cada n ∈ N. Como βX es compacto y la familia = {F s : s ∈ S} (clausura tomada en βX ) T consiste de subconjuntos cerrados en βX con la propiedad de intersección finita, resulta que s∈S F s 6= ∅. T T Sea x ∈ s∈S F s . Para ver que x ∈ s∈S Fs será suficiente demostrar que x ∈ X . Veamos esto último. Puesto que para todo n ∈ N, F es Un -pequeña, escojamos para cada n = 1, 2, . . . un sn ∈ S tal que Fsn ⊆ An para algún An ∈ Un y un xn ∈ X que cumpla Fsn ⊆ X ∩Vxn ,n . Como para todo n ∈ N, tenemos que

x ∈ F sn ⊆ X ∩V xn ,n ⊆ X ∩V xn ,n ⊆ Gn x∈

∞ \

Gn = X .

n=1

Esto termina la prueba.



Como una consecuencia directa del Teorema 1.3.3 y el resultado anterior tenemos la siguiente imporˇ tante caracterización de los espacios metrizables Cech-completos demostrada, fundamentalmente, por E. ˇ Cech (véase, [54]): ˇ Teorema 1.3.10 (Cech). Sea (X , d) un espacio métrico. Son equivalentes: (1) X es completamente metrizable. (2) X es un Gδ en βX . ˇ (3) X es Cech-completo. La siguiente categoría de espacios topológicos originalmente creada por Frolík [95] bajo el nombre ˇ de espacios casi-completos y llamados espacios casi Cech-completos por Aarts y Lutzer en [1] también pertenecen a la clase de los espacios de Baire con propiedades muy interesantes. ˇ Definición 1.3.6. Un espacio topológico completamente regular (X , τ) se llama casi Cech-completo si ˇ existe un subconjunto Gδ -denso G de X que es Cech-completo. ˇ Más adelante veremos, Corolario 1.3.1, que todo espacio casi Cech-completo es un espacio de Baire. ˇ En la búsqueda de espacios topológicos más generales que los espacios Cech-completos, J. M. Aarts y D. J. Lutzer [2] se preguntan:

28

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire ¿Existe una clase “natural” de espacios topológicos que contenga a los espacios completamente metrizables y a todos los espacio localmente compactos y que, además, cada uno de sus miembros satisfaga la conclusión del Teorema de Categoría de Baire?

En [264], Aaron R. Todd usando la noción de espacio pseudo-completo introducida por Oxtoby en [213] (a los que llamaremos espacio de Oxtoby), profundiza los resultados de Oxtoby y demuestra que esa clase de espacios es una apropiada e interesante respuesta a la pregunta formulada por Aarts y Luster. Definición 1.3.7. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Una colección B de subconjuntos abiertos no vacíos de X se llama una pseudo-base de τ si para cualquier conjunto abierto no vacío U de X , existe V ∈ B tal que V ⊆ U . El espacio X se llama Oxtoby-completo si X es cuasi-regular y posee una sucesión de pseudo-bases (Bn )∞ n=1 con la siguiente propiedad: siempre que Vn ∈ Bn

y

V n+1 ⊆ Vn para cada n ∈ N, entonces

∞ \

n=1

Vn 6= ∅.

Los espacios Oxtoby-completos son los comúnmente llamados espacios pseudo-completos definidos por Oxtoby en [213]. Esta noción difiere ligeramente de la definida en [123]. En la literatura sobre el tema, a las pseudo-bases también se les llama π-bases. Cualquier espacio métrico completo es un espacio Oxtoby-completo. En efecto, basta tomar la sucesión de pseudo-bases (Bn )∞ n=1 , donde cada Bn consiste de todas las bolas abiertas de radio ≤ 1/n. Similarmente, cada espacio localmente compacto es un espacio Oxtoby-completo. En general, vale el siguiente resultado: ˇ Teorema 1.3.11. Si (X , τ) es un espacio Cech-completo, entonces X es un espacio Oxtoby-completo. ˇ Prueba. Sea X un espacio Cech-completo. Por el Teorema 1.3.9, X es un Gδ en βX . Puesto que βX es un espacio cuasi-regular, entonces X , siendo denso en βX , también es cuasi-regular. Sea (Gn )∞ n=1 una T∞ sucesión de subconjuntos abiertos de βX tal que X = n=1 Gn . Para cada n ∈ N, definamos  Bn = H ∩ X : H es abierto en βX y H ⊆ Gn .

Afirmamos que cada Bn es una pseudo-base de X . En efecto, sea U un subconjunto abierto no vacío de X . Sea G un subconjunto abierto no vacío de βX tal que U = G ∩ X . Entonces G ∩ Gn, es un abierto no vacío en βX y como βX es cuasi-regular, existe un abierto no vacío H ⊆ βX tal que H ⊆ G ∩ Gn . Por esto H ∩ X ∈ Bn y H ∩ X ⊆ G ∩ X = U . Esto prueba nuestra afirmación. Supongamos ahora que Un ∈ Bn y que Un ⊇ U n+1 ∩ X (= la clausura de Un+1 relativo a X ), para cada n ∈ N. Por definición, Un = Hn ∩ X , donde Hn es un abierto no vacío de βX y H n ⊆ Gn . Puesto que T∞ Un ⊇ Un+1 , la sucesión decreciente de cerrados (U n )∞ n=1 en el compacto βX cumple con n=1 U n 6= ∅. Por otro lado, como H n ⊆ Gn , entonces U n ⊆ Gn y, en consecuencia, ∞ \

n=1

Por esto,

∞ \

n=1

Un ⊇

∞ \

n=1

Un ⊆

∞ \

Gn = X .

n=1

∞ ∞ \  \
U n+1 ∩ X = U n+1 ∩ X = U n 6= ∅,

y, así, X es un espacio Oxtoby-completo.

n=1

n=1



En la búsqueda de familias de espacios de Baire con propiedades agradables tenemos el siguiente resultado demostrado por Oxtoby en [213]. Más adelante abordaremos otra demostración de dicho resultado usando juegos topológicos (Teorema 2.2.40, página 212).

ˇ Sec. 1.3 Espacios completamente metrizables y Cech-completos

29

Teorema 1.3.12 (Oxtoby). Si X es un espacio Oxtoby-completo, entonces X es un espacio de Baire. Prueba. Sea X un espacio Oxtoby-completo y sea (Bn )∞ n=1 una sucesión de pseudo-bases satisfaciendo la condición impuesta por la definición. Sea ahora (Gn )∞ n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos densos T∞ de X y pongamos G = n=1 Gn . Para demostrar que G es denso en X , tomemos un abierto no vacío arbitrario U de X . Hagamos U0 := U . Como G1 es denso, U ∩ G1 es un conjunto abierto no vacío y por ser B1 una pseudo-base podemos elegir V1 ∈ B1 tal que V1 ⊆ U ∩ G1 . Usemos ahora la cuasi-regularidad de X para obtener un conjunto U1 en B1 tal que U 1 ⊆ V1 ⊆ U ∩ G1 . La densidad de G2 nos dice que U1 ∩ G2 es un conjunto abierto no vacío y argumentando como antes, existe un abierto no vacío U2 ∈ B2 tal que U 2 ⊆ U1 ∩ G2 . Continuando de este modo se logra producir una sucesión (Un )∞ n=1 de subconjuntos abiertos no vacíos tal que Un ∈ Bn y U n ⊆ Un−1 ∩ Gn para todo n ∈ N. Es claro que U n+1 ⊆ Un y, entonces, por hipótesis ∞ \

n=1

Un 6= ∅.

De esto se sigue que G ∩U 6= ∅ y termina la prueba.



Los siguientes resultados nos serán de utilidad en lo que sigue. Teorema 1.3.13. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff cuasi-regular. (1) Si X posee una pseudo-base B tal que la clausura de cada uno de sus miembros es numerablemente compacto, entonces cualquier subespacio Gδ -denso Y de X es Oxtoby-completo. (2) Si Y es un subespacio denso Oxtoby-completo de X , entonces X es Oxtoby-completo. Prueba. (1). En primer lugar, por el Teorema 1.3.5, Y es cuasi-regular por ser un subespacio denso de T∞ un espacio cuasi-regular. Sea (Gn )∞ n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos de Y tal que Y = n=1 Gn . Para cada n ∈ N, definamos  Bn = H ∩Y : H ∈ B y H ⊆ Gn .

Evidentemente Bn es una clase de conjuntos relativamente abiertos no vacíos de Y . Cualquier conjunto relativamente abierto no vacío de Y es de la forma G ∩ Y , donde G, y entonces G ∩ Gn , es no vacío y abierto en X . Puesto que X es cuasi-regular, existe un conjunto H ∈ B tal que H ⊆ G ∩ Gn . Por esto, H ∩Y ∈ Bn y H ∩Y ⊆ G ∩Y . Esto prueba que Bn es una pseudo-base en Y para cada n ∈ N. Supongamos ahora que para cada n ∈ N, existe Un ∈ Bn tal que Un ⊇ U n+1 ∩Y (= la clausura de Un+1 en la topología relativa de Y ). Por definición, existe Hn ∈ B tal que Un = Hn ∩Y y H n ⊆ Gn . Puesto que Un ⊇ Un+1 , resulta que (U n )∞ n=1 es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos todos incluido en el conjunto numerablemente compacto H 1 . Por consiguiente, ∞ \

n=1

U n 6= ∅.

30

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

Ya que H n ⊆ Gn , tenemos que U n ⊆ Gn , y de allí que ∞ \

n=1

Un ⊆

∞ \

Gn = X .

n=1

Finalmente se obtiene que ∞ \

n=1

Un ⊇

∞ \

n=1

U n+1 ∩Y




∞ \

=

n=1

!

U n+1 ∩Y =

∞ \

n=1

U n 6= ∅

lo cual prueba que X es Oxtoby-completo. (2). Sea (Bn )∞ n=1 una sucesión de pseudo-bases de X tal que para cada Un ∈ Bn se cumpla que Un ⊇ U n+1 , n = 1, 2, . . . Notemos que, por la densidad de Y , cada abierto no vacío U de X intersecta a Y . Por esto, la ′ familia (B′n )∞ n=1 , donde cada Bn viene dada por  B′ n = U ∩Y : U ∈ Bn es una sucesión de pseudo-bases de Y con la propiedad de que para cada Un′ ∈ B′n , Un′ ⊇ U ′n+1 . Como Y es Oxtoby-completo, ∞ \

n=1

y por lo tanto,

∞ \

n=1

La prueba es completa.

Un ⊇

∞ \

n=1

!

Un′ 6= ∅

Un ∩Y =

∞ \

n=1

Un ∩Y




=

∞ \

n=1

Un′ 6= ∅. 

Como una consecuencia del resultado anterior tenemos que la clase de los espacios Oxtoby-completos ˇ contiene a la de los espacios casi Cech-completos. ˇ Corolario 1.3.1. Si X es un espacio casi Cech-completo, entonces X es Oxtoby-completo. En particular, X es un espacio de Baire. ˇ ˇ Prueba. Supongamos que X es un espacio casi Cech-completo y sea Y un subespacio denso Cechcompleto de X . Por el Teorema 1.3.11, Y es Oxtoby-completo y gracias al Teorema 1.3.13, X es Oxtobycompleto.  ˇ En [2], Aarts y Lutzer construyen un espacio Oxtoby-completo que no es casi Cech-completo deˇ mostrando que la noción de espacio Oxtoby-completo es más general que la de ser casi Cech-completo. k ◮ Espacios topológicos conteniendo un subespacio denso completamente metrizable. Los espacios topológicos de Hausdorff conteniendo un subespacio denso completamente metrizable poseen propiedades tan interesantes como las estudiadas anteriormente en esta sección. Tales espacios son de Baire (véase el Teorema 2.2.65, página 250) y cuando ellos son metrizables coinciden con los espacios Oxtoby-completos. Recordemos que una familia U = (Us )s∈S de subconjuntos de un espacio topológico X se llama localmente finita si, para cualquier punto x ∈ X , existe un entorno abierto U de x tal que el conjunto

ˇ Sec. 1.3 Espacios completamente metrizables y Cech-completos

31

S

{s ∈ S : U ∩ Us } es finito. Si U = ∞ n=1 Un , donde cada Un es una familia localmente finita, entonces se dice que la familia U es σ-localmente finita. Una familia U se dice que es un cubrimiento de X si X = S s∈S Us . Si todos los Us son abiertos (respectivamente, cerrados), entonces se dice que el cubrimiento U es abierto (respectivamente, cerrado). Un cubrimiento U de X se llama exhaustivo si cualquier conjunto no vacío S ⊆ X posee un subconjunto relativamente abierto de la forma U ∩ S con U ∈ U. Sean U y V dos colecciones de subconjuntos de X . Diremos que V es un refinamiento de U si, para cada V ∈ V, existe un U ∈ U tal que V ⊆ U . Si los elementos de V son conjuntos abiertos (respectivamente, cerrados) de X llamamos a V un refinamiento abierto (respectivamente, refinamiento cerrado) de U. Similarmente, diremos que V es un refinamiento fuerte de U si V es un refinamiento de U y para cada elemento V ∈ V existe un elemento U ∈ U tal que V ⊆ U . Comencemos por recordar el siguiente resultado (véase, por ejemplo, [195], Lema 39.2, p. 280) cuya prueba daremos sólo para entender la técnica para construir familias disjuntas con ciertas propiedades a partir de una familia dada. Teorema 1.3.14. Sea (X , d) un espacio métrico. Si U es un cubrimiento abierto de X , entonces existe un cubrimiento abierto V de X tal que: (1) V es una familia disjunta, (2) V refina a U, y (3) V es σ-localmente finita. Prueba. Sin perder generalidad, podemos suponer que U = (Us )s∈S , donde S es un conjunto bien ordenado (de índices) por la relación 0 de modo que el intervalo (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) no contenga ningún número natural. De inmediato seleccionamos otro δ2 > 0 tal que el intervalo abierto (x0 − δ2 , x0 + δ2 ) no contenga ningún racional de la forma m/2 con m y 2 primos relativos. Siguiendo con este procedimiento, podemos hallar un δk > 0 tal que el intervalo (x0 − δk , x0 + δk ) no contenga ningún racional de la forma m/k, con m y k primos relativos y k = 1, 2, . . . , N. Definiendo δ = min{δ1 , . . . , δN }, resulta que el intervalo J = (x0 − δ, x0 + δ) no contiene ningún racional de los que aparecen en la lista (1.4.1) y la prueba concluye.  Si bien es cierto que la función f : R → R definida anteriormente es continua únicamente en los irracionales, el siguiente resultado nos muestra que es imposible construir una función f : R → R que sea continua sólamente en los racionales.

Sec. 1.4 Puntos de continuidad

41

Teorema 1.4.3. No existe función f : R → R tal que PC( f ) = Q. Prueba. Supongamos que una tal f existe. Entonces, por el Teorema 1.4.1, tenemos que PC( f ) es un Gδ , mientras que por hipótesis, PC( f ) = Q. La combinación de estos hechos nos dice que Q es un Gδ , lo cual contradice el Corolario 1.2.3.  Otra demostración del resultado anterior, sin usar el Teorema de Categoría de Baire, como ya habíamos mencionado, fue dada por el matemático italiano Vito Volterra, cuando aún era un estudiante, dos décadas antes de la aparición del resultado de Baire. Volterra usó la función g dada en (A9) para tal propósito. Veamos cómo lo hizo. Otra prueba del Teorema 1.4.3. Supongamos que una existe una función f : R → R que es continua únicamente en los racionales y sea g la función definida en (A9). Tomemos un número racional cualquiera x0 en (0, 1). Como f es continua en x0 , existe un δ > 0 tal que (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ (0, 1) y siempre que | x − x0 | < δ.

| f (x) − f (x0 )| < 1/2

Escojamos ahora a1 y b1 de modo que [a1 , b1 ] ⊆ (x0 − δ, x0 + δ). Entonces, para todo x, y ∈ [a1 , b1 ] se cumple que 1 1 | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − f (x0 )| + | f (y) − f (x0 )| < + = 1. 2 2 El siguiente paso es elegir arbitrariamente un número irracional y0 ∈ (a1 , b1 ) y usar la continuidad de g en y0 para obtener, como en el paso anterior, puntos a2 y b2 tales que [a2 , b2 ] ⊆ (a1 , b1 ) y | g(x) − g(y)| < 1 para todo x, y ∈ [a2 , b2 ]. En particular, | f (x) − f (y)| < 1

y

| g(x) − g(y)| < 1

para todo x, y ∈ [a2 , b2 ]. Repitiendo el argumento anterior pero ahora trabajando con el intervalo (a2 , b2 ) en lugar de (0, 1), podemos construir un intervalo [a3 , b3 ] ⊆ (a2 , b2 ) tal que las desigualdades | f (x) − f (y)|
0 y x ∈ C. Escojamos n ∈ N tal que 1/n0 < ε. Puesto que x ∈ Vn0 y como Vn0 es abierto, existe un δ > 0 tal que (x − δ, x + δ) ⊆ Vn0 y, en consecuencia, |x − y| < δ

⇒

y ∈ Vn0

⇒

| f (x) − f (y)| = | f (y)| =

1 0 con (x − δ, x + δ) ⊆ Vn , podemos hallar un irracional y ∈ (x − δ, x + δ) y, por consiguiente, 2 1 > > ε. n n Esto dice que f no es continua en x, lo cual es contrario a nuestra hipótesis. • Si x 6∈ Q, entonces aplicando un argumento enteramente similar al empleado en el caso anterior, produce como conclusión que f no es continua en x. Por lo tanto, la suposición x ∈ PC( f ) pero x 6∈ G, conduce a una contradicción. Esto termina la prueba.  | f (x) − f (y)| =

1.4.1. k ◮ El Teorema de Baire-Kuratowski Un resultado que es excepcionalmente importante por sus muchas aplicaciones es el siguiente, debido fundamentalmente a René Baire y generalizado por K. Kuratowski. Como siempre, C(X ) denotará el espacio métrico completo formado por todas las funciones continuas acotadas f : X → R con la métrica del supremo, es decir, d∞ ( f , g) = sup{| f (x) − g(x)| : x ∈ X } con f , g ∈ C(X ). Teorema 1.4.5 (Teorema de Continuidad de Baire-Kuratowski). Sea (X , d) un espacio métrico completo y suponga que ( fn )n∈N una sucesión de funciones en C(X ) tal que f (x) = l´ımn→∞ fn (x) existe para cada x ∈ X . Entonces el conjunto de los puntos de continuidad de f , PC( f ), es un Gδ -denso en X . En particular, si X no posee puntos aislados, entonces PC( f ) es no numerable.

Sec. 1.4 Puntos de continuidad

43

Prueba. PC( f ) es un Gδ gracias al Teorema 1.4.1. Veamos que él es denso en X . Para k, m, n ∈ N, definamos   1 . Fkmn = x ∈ X : fm (x) − fn (x) ≤ k

Siendo fm , fn funciones continuas, también lo es | fm − fn | y, en consecuencia, cada Fkmn es cerrado en X . Fijando k, m ∈ N y definiendo Fkm =

∞ \

Fkmn ,

∞ [

Fkm

n=m

resulta que cada Fkm también es cerrado en X . Afirmamos que X=

m=1

para cada k ∈ N. En efecto, sea k ∈ N y sea x ∈ X . Puesto que l´ımn→∞ fn (x) = f (x), existe un m ∈ N tal que fn (x) − f (x) ≤ 1 2k para todo n ≥ m. Ahora bien, si n ≥ m, entonces fm (x) − fn (x) ≤ fm (x) − f (x) + fn (x) − f (x) ≤ 1 + 1 = 1 2k 2k k

lo que prueba que x ∈ Fkmn para todo n ≥ m y, por lo tanto, x∈

∞ \

n=m

Fkmn = Fkm ⊆

∞ [

Fkm

m=1

Esto prueba nuestra afirmación. Por el Teorema 1.2.6, cada Gk =

∞ [

int(Fkm )

m=1

es abierto y denso en X . Se sigue del Teorema de Categoría de Baire que E=

∞ \

Gk

k=1

es denso en X . Nos proponemos demostrar que E ⊆ PC( f ). En efecto, sean x0 ∈ E y ε > 0. Elijamos un k ∈ N tal que S∞ 1 ε < k 3 . Como x0 ∈ Gk = m=1 int(Fkm ), existe un m ∈ N tal que x0 ∈ int(Fkm ). Siendo int(Fkm ) abierto, podemos elegir un δ0 > 0 de modo que la bola abierta U (x0 , δ0 ) ⊆ int(Fkm ). Observemos ahora que si d(x, x0 ) < δ0 , entonces x ∈ int(Fkm ) ⊆ Fkm y así, fm (x) − fn (x) ≤ 1 k

para cualquier n ≥ m. Usando la continuidad del valor absoluto, se obtiene que

fm (x) − f (x) = fm (x) − l´ım fn (x) = l´ım fm (x) − f (x) ≤ 1 . n→∞ n→∞ k

44

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

En particular, fm (x0 ) − f (x0 ) ≤ 1 . k Por otro lado, como fm continua en x0 , podemos hallar un δ1 tal que ε fm (x) − fm (x0 ) ≤ . 3 siempre que x ∈ U (x0 , δ1 ).

Sea δ = min{δ0 , δ1 }. Si d(x, x0 ) < δ, entonces f (x) − f (x0 ) ≤ f (x) − fm (x) + fm (x) − fm (x0 ) + fm (x0 ) − f (x0 ) 1 ε 1 ≤ + + k 3 k ε ε ε ≤ + + 3 3 3 =ε

Esto prueba que f es continua en x0 y, en consecuencia, E ⊆ PC( f ). De aquí se sigue que PC( f ) es un Gδ -denso en X . Si X no posee puntos aislados, entonces el Teorema 1.2.7 es el responsable de que PC( f ) sea no numerable.  Dos aspectos importantes referentes al Teorema de Continuidad de Baire-Kuratowski nos gustaría hacer resaltar. El primero es que dicho teorema sigue siendo válido si reemplazamos a R, el rango de las funciones, por cualquier otro espacio métrico completo separable (Y, d), mientras que el otro aspecto está relacionado con el hecho de que la sucesión ( fn )∞ n=1 es equicontinua sobre PC( f ) y que, además, gracias al Teorema de Arzela-Ascoli, ella converge uniformemente sobre cualquier subconjunto compacto de PC( f ).

1.4.2. k ◮ Funciones que son continuas sobre un conjunto Gδ -denso En vista del resultado de la sección anterior estamos obligados a preguntarnos: ¿Qué clase de funciones f : X → R tienen la propiedad de que el conjunto de sus puntos de continuidad, PC( f ), es denso en X ? El objetivo central de esta sección es mostrar algunas familias especiales de funciones cuyos puntos de continuidad constituyen un conjunto Gδ -denso de su dominio. Primero recordaremos la siguiente definición. Definición 1.4.2. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Una función f : X → R se llama semicontinua superiormente (resp. semicontinua inferiormente) si para cada a ∈ R, el conjunto Ga = {x ∈ X : f (x) < a}

(resp. Ga = {x ∈ X : f (x) > a})

es abierto en X . Comenzaremos de inmediato con los ejemplos.

Sec. 1.4 Puntos de continuidad

45

Ejemplo 1. Sea (X , d) un espacio métrico completo. Si f : X → R es semicontinua superiormente (resp. semicontinua inferiormente), entonces PC( f ) es un Gδ -denso en X . Prueba. Sólo haremos la prueba para el caso en que f es semicontinua superiormente. Sea {rn }∞ n=1 una enumeración de Q. Para cada n ∈ N, definamos Hn = Gn ∪ (X r Gn ), donde Gn = {x ∈ X : f (x) < rn } es, por hipótesis, abierto en X . Observemos en primer lugar que cada Hn es abierto en X y, además, denso en X ya que H n = Gn ∪ (X r Gn ) ⊇ Gn ∪ (X r Gn ) = X . Por el Teorema de Categoría de Baire, G=

∞ \

Hn

n=1

es un Gδ -denso en X . Afirmamos que G ⊆ PC( f ). En efecto, sean x ∈ G y ε > 0. Como f (x) − ε < f (x), podemos elegir un racional rn tal que f (x) − ε < rn < f (x). Puesto que x ∈ Hn y x ∈ / Gn = {x ∈ X : f (x) < rn }, entonces x ∈ X r Gn y, en consecuencia, existe un δ1 > 0 tal que U (x, δ1 ) ∩ Gn = ∅; es decir, para cualquier y ∈ U (x, δ1 ), f (x) − ε < rn < f (y).

Por otro lado, siendo G f (x)+ε un conjunto abierto conteniendo a x, existe un número real δ2 > 0 tal que U (x, δ2 ) ⊆ G f (x)+ε . Por esto, f (y) < f (x) + ε para cualquier y ∈ U (x, δ2 ). Si ahora definimos δ = min{δ1 , δ2 }, tendremos que si y ∈ U (x, δ), entonces d(x, y) < δ y, en consecuencia, f (x) − ε < f (y) < f (x) + ε lo cual nos asegura que f es continua en x, esto es, x ∈ PC( f ). Siendo x ∈ G arbitrario, concluimos que G ⊆ PC( f ). La prueba concluye teniendo en cuenta que cualquier punto de PC( f ) está contenido en G.  Ejemplo 2. Sea X un subconjunto cerrado de R. Si f : X → R es derivable en X , entonces PC( f ′ ) es un Gδ -denso en X . Prueba. Para cada n ∈ N, definamos fn : X → R por

   1 fn (x) = n f x + − f (x) n

x ∈ X.

Como cada fn es continua sobre el espacio métrico completo X y l´ımn→∞ fn (x) = f ′ (x), la conclusión de que PC( f ′ ) es un Gδ -denso en X sigue del Teorema 1.4.5.  Ejemplo 3. Sea F un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo (X , d). Entonces PC(χF ) es un Gδ -denso en X .

46

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

Prueba. Para cada n ∈ N, definamos fn : X → R por fn (x) =

1 1 + n d(x, F )

para cada x ∈ X . Puesto que la aplicación x 7→ d(x, F ) es continua, cada fn también lo es. Además, si x ∈ F, entonces fn (x) = 1; mientras que si x ∈ / F, entonces d(x, F) > 0 y así, l´ımn→∞ fn (x) = 0. Por esto, para cada x ∈ X , l´ımn→∞ fn (x) = χF (x) y por lo tanto, PC(χF ) es un Gδ -denso en X , gracias al Teorema 1.4.5.  Un resultado más general que el anterior se cumple, pero se requiere que recordemos el siguiente caso particular del lema de Uryshon: Lema de Urysohn. Sea (X , d) un espacio métrico. Si E y F son subconjuntos cerrados y disjuntos de X , entonces existe una función continua f : X → R tal que: (1) 0 ≤ f (x) ≤ 1 para todo x ∈ X , (2) f (x) = 0 para todo x ∈ E, y (3) f (x) = 1 para todo x ∈ F. En efecto, la función f (x) =

d(x, E) d(x, E) + d(x, F)

(x ∈ X )

donde d(x, A) = ´ınf{d(x, a) : a ∈ A} para cualquier A ⊆ X , cumple (1), (2) y (3).



Ejemplo 4. Sea (X , d) un espacio métrico completo. Si F ⊆ X es ambiguo; es decir, F es tanto un Gδ así como un Fσ , entonces PC(χF ) es un Gδ -denso en X . Prueba. Como F es tanto un Gδ como un Fσ , podemos escribir F=

∞ [

Fn

n=1

y

X rF =

∞ [

Bn ,

n=1

donde tanto los Fn así como los Bn son subconjuntos cerrados de X y ambas sucesiones son crecientes. Por el Lema de Urysohn, para cada n ∈ N, existe una función continua fn : X → R tal que fn = 1 sobre Fn y fn = 0 sobre Bn . De esto se sigue que l´ım fn = χF y así, por el Teorema 1.4.5, PC(χF ) es un Gδ -denso n→∞ en X .  Otra consecuencia inmediata que se deriva del Teorema 1.4.5 es el siguiente: Ejemplo 5. No existe ninguna sucesión de funciones continuas ( fn )∞ n=1 , donde fn : R → R, n = 1, 2, . . . tal que, para cada x ∈ R, l´ım fn (x) = χQ (x) n→∞

Sec. 1.4 Puntos de continuidad

47

Este ejemplo expresa, en la terminología del Capítulo 3, que χQ 6∈ B1 (R) El próximo resultado establece que sobre B∞ [0, 1], el espacio vectorial de todas las funciones acotadas f : [0, 1] → R, la convergencia puntual no es generada por ninguna métrica definida sobre dicho espacio. Ejemplo 6. No existe ninguna métrica d en el conjunto B∞ [0, 1] tal que l´ım d( fn , f ) = 0 si, y sólo si,

n→∞

l´ım fn (x) = f (x),

n→∞

para cada x ∈ [0, 1].

Prueba. Sea (rn )∞ n=1 una enumeración de los números racionales en [0, 1]. Para cada n ∈ N, consideremos la función fn : [0, 1] → R definida por ( 1 si x = r j , j = 1, . . . , n fn (x) = 0 en otro caso. Claramente l´ım fn (x) = χQ ∩[0,1] (x)

n→∞

para cada x ∈ [0, 1].

Por otro lado, para cada n ∈ N, podemos construir una sucesión (gnk )∞ k=1 de funciones continuas convergiendo puntualmente a fn en [0, 1]. En efecto, basta considerar funciones cuyos gráficos están formados por triángulos isósceles tales que sus vértices sean los puntos (r1 , 1), . . . , (rn , 1) y cuyas bases, cada vez menores, estén en el eje de las abscisas. Supongamos ahora que existe una métrica d en B∞ [0, 1] bajo la cual la d - convergencia fuese la convergencia puntual. Tendríamos entonces que, para cada n ∈ N, l´ım d(gnk , fn ) = 0

k→∞

lo cual significaría que fn ∈ C[0, 1]. De aquí se sigue que l´ım fn = χQ ∩[0,1] ∈ C[0, 1]

n→∞

y, por lo tanto, la sucesión de funciones continuas (gnk )∞ k=1 converge puntualmente a χQ ∩[0,1] , lo cual es imposible por el resultado anterior. 

48

Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

CAPÍTULO 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Hemos dividido las aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire en dos partes: la primera abarca la existencia de funciones que pudiéramos pensar como raras, pero que, a pesar de esa naturaleza exótica e increíblemente sorprendente, ellas abundan en cantidades “muy grandes”. En la segunda parte nos deleitaremos al presentar ciertas aplicaciones en el ámbito de los espacios de Banach incluyendo algunas de las aplicaciones que son consideradas clásicas así como otras más actuales.

2.1. Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes Algunas veces sucede que, en cierto momento de nuestra investigación, uno se encuentra con un problema que, a primera vista, parece no tener solución y sin embargo, y este es el punto fundamental, suele existir un conjunto increíblemente abundante de soluciones a dicho problema. En algunos casos estos conjuntos pueden o no tener una estructura lineal e interesa saber si sobre los conjuntos que no poseen globalmente una estructura lineal, existe algún subespacio vectorial (de alguna dimensión) dentro de ellos. En estas notas mostraremos algunos ejemplos de, no sólo de la existencia de ciertos monstruos que se exhiben en nuestra galería, sino de una propliferación increíble de ellos. Algunos tipos de conjuntos de funciones con propiedades muy particulares, y que son muy difíciles de visualizar, constituirán fundamentalmente los elementos de nuestra galería. En la penúltima sección abordaremos muy someramente la existencia de subespacios vectoriales viviendo en tales conjuntos. Artículos recientes tales como [9, 10, 112, 18], exhiben, además de los ejemplos que aquí mostramos, otros tipos de conjuntos de funciones extrañas que poseen subespacios vectoriales.

2.1.1. k ◮ Funciones continuas nunca diferenciables En esta sección abordaremos, por medio del Teorema de Categoría de Baire, una solución al problema sobre la existencia de abundante funciones continuas nunca diferenciables. La primera demostración de la existencia de una función continua nunca diferenciable parece provenir del matemático checo Bernard Placidus Tohann Nepomuk Bolzano (1781-1848), un sacerdote contestatario que a pesar de haber en-

50

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

señado por pocos años en la Universidad de Praga, le prohibieron seguir con sus enseñanzas por expresar puntos de vistas que no eran aceptables por las autoridades de ese momento. Su trabajo matemático pasó casi desapercibido y nunca recibió el reconocimiento que merecía salvo mucho tiempo después de su muerte. Bolzano era contemporáneo de Weierstrass. Además de dar definiciones similares de límite, derivada, continuidad y convergencia, también hizo valiosas contribuciones a la lógica y la teoría de conjuntos (ver [34]). Bolzano inventó, alrededor del año 1830, un procedimiento para la construcción de funciones continuas nunca diferenciables. De hecho, él solamente afirmaba la no existencia de la derivada en un conjunto denso de puntos. La historia detrás de ese ejemplo está acompañada de circunstancias desafortunadas. En efecto, el manuscrito de Bolzano con el nombre “Functionenlehre”, escrito alrededor del año 1830 y que contenía la función, no fue publicado sino un siglo después, en 1930. La construcción de Bolzano es muy distinta a otras construcciones de funciones nunca diferenciables en el sentido que ella se hace a través de un procedimiento geométrico en lugar de usar series convergentes. La tesis de Johan Thim [262] contiene detalladamente la construcción de Bolzano así como el estudio de otras 17 funciones nunca diferenciables. Es un hecho conocido que, dado cualquier conjunto numerable D de R, se puede construir una función continua sobre R de modo tal que ella deja de ser diferenciable precisamente sobre dicho conjunto. En efecto, sea D = {d1 , d2 , . . .} un subconjunto numerable de R y sea (xn )∞ n=1 una sucesión de números reales tal que ∞

∑ xn < ∞.

n=1

Para cada x ∈ R, consideremos la función hx : R → R definida por ( 1, si t < x hx (t) = 0, en otro caso. Ahora, la función g : R → R definida por ∞

g(x) =

∑ xn hx (dn )

n=1

es continua excepto en los puntos de D y entonces la función f : [0, 1] → R dada por f (x) =

Z x

g(t) dt

0

es continua, acotada y, gracias al Teorema Fundamental del Cálculo, deja de ser diferenciable exactamente en los puntos de D. Imaginarse la gráfica una función continua que no sea diferenciable en ningún punto de su dominio es una tarea extremadamente difícil. Lagrange, en 1877, era uno de los que creían que toda función continua era diferenciable excepto para ciertos valores particulares. Compartiendo la misma opinión de Lagrange sobre este punto de vista se encontraba, el también matemático, Ampere y algunos otros. Parece ser un hecho aceptado hoy en día que la función continua, pero nunca diferenciable, creada por K. Weierstrass, fue el primer ejemplo convincente de una tal función que apareció por primera vez publicada en una revista de matemáticas (en el año de 1875), aunque algunos ya conocían de su existencia pues ella fue dada a conocer por el propio Weierstrass el 18 de Julio de 1872 en una conferencia impartida en la Academia Real de Ciencias en Berlin. Sin embargo, Allan Pinkus nos cuenta que

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

51

Weierstrass dio a conocer su función en un salón de clases en 1861 (ver, Allan Pinkus, Weierstrass and Approximation Theory). En el Volumen 2 de su Mathematische Werke, publicado en 1895, aparece el artículo de Weierstrass donde demuestra que la función ∞

W (x) =

∑ an cos(bn πx)

n=0

es continua pero nunca diferenciable, siempre que 0 < a < 1, b es un entero impar > 1, y ab > 1+(3π/2). Es necesario resaltar que Weierstrass concede a Riemann el reconocimiento de ser el primero en afirmar que la serie infinita ∞ sen(n2 x) ∑ n2 , n=1 la cual es manifiestamente continua, es no diferenciable. Más tarde, en 1916, G. H. Hardy prueba que la función de Weierstrass W sigue siendo continua y nunca diferenciable si además de las condiciones 0 < a < 1 y b > 1, se exige sólamente que ab ≥ 1. El descubrimiento de funciones continuas nunca diferenciables conmocionó a la comunidad matemática de la época que incluso, matemático de la talla de Charles Hermite (1822-1901), en una carta dirigida a Stieltjes fechada el 20 de Mayo de 1893, le decía: “Je me détourne avec horreur et effroi de cette plaie lamentable des functions continue qui n’ont pas de dérivé”. (“Me alejo con horror y temor de esta plaga lamentable de las funciones continuas que no poseen derivadas”). Aunque hoy en día existen variados ejemplos de funciones continuas nunca diferenciables, (véase, por ejemplo, Johan Thim [262]), encontrar una de ellas es casi una proeza y, por supuesto, una curiosidad. Sin embargo, a primera vista puede pensarse que este tipo de funciones son excepcionales, que es algo patológico y, de hecho, hasta hace un poco más de cien años esa era la opinión expresada por la mayoría de los matemáticos de la época; pero resulta, y este es lo que fundamentalmente debemos resaltar, que la existencia de tales funciones constituye, desde el punto de vista topológico, la regla y no la excepción. En efecto, el conjunto de tales funciones es tan asombrosamente abundante que él constituye un conjunto de segunda categoría, pero, además, su conocimiento es crucial para entender la teoría de los movimientos Brownianos, la teoría de los fractales, la teoría del caos o la teoría de las ondas pequeñas (wavelets), sólo por mencionar algunas de las teorías que hacen uso de ese resultado. En un artículo de 1929, Hugo Steinhauss [257] propuso lo siguiente: ¿De qué categoría es el conjunto de todas las funciones continuas nunca diferenciables en el espacio de todas las funciones continuas? La respuesta fue dada a conocer en dos artículos diferentes. El primero por Stefan Banach en 1931 [16] y el segundo por S. Mazurkiewicz en 1932 [182]. La prueba que aquí presentamos se debe a J. C. Oxtoby [211]. En lo que sigue (C[0, 1], d∞ ) representa el espacio métrico completo de todas las funciones continuas a valores reales definidas sobre [0, 1], donde d∞ es la distancia de la convergencia uniforme; es decir, d∞ ( f , g) = sup | f (x) − g(x)| x∈[0,1]

52

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

para toda f , g ∈ C[0, 1], mientras que ND[0, 1] consiste de los elementos de C[0, 1] que son nunca diferenciables, es decir, que no poseen derivada en ningún punto de [0, 1]. Por el resultado de Weierstrass, ND[0, 1] es no vacío. Lo que resultó ser devastador a las pretensiones de Hermite y los que pensaban como él sobre este punto, fue el siguiente resultado de Banach y Mazurkiewicz. Teorema 2.1.1 (Banach-Mazurkiewicz). El conjunto ND[0, 1] formado por todas las funciones continuas nunca diferenciables sobre [0, 1] contiene un conjunto Gδ -denso de C[0, 1]. Para hacer la demostración del Teorema de Banach-Mazurkiewicz más accesible necesitaremos recordar la siguiente definición: Una función continua f : [0, 1] → R es lineal a trozo si existe una partición de [0, 1], digamos P : 0 < t1 < · · · < tn = 1 tal que f es lineal en cada subintervalo [ti−1 ,ti ] para i = 1, 2, . . . , n, y demostrar el siguiente resultado. Lema 2.1.1. El conjunto P[0, 1] de todas las funciones continuas lineales a trozos en [0, 1] es normadenso en C[0, 1]. Prueba. Sea f ∈ C[0, 1]. Para cada n ∈ N y cada partición Pn : 0 < t1 < · · · < tn = 1 de [0, 1], definamos la función hn : [0, 1] → R por hn (x) = f (ti )

ti+1 − x x − ti + f (ti+1 ) , ti+1 − ti ti+1 − ti

x ∈ [ti ,ti+1 ].

Claramente hn ∈ P[0, 1], para cualquier partición Pn . Sea ε > 0. Lo que queremos demostrar es que para alguna partición Pn , k f − hn k∞ < ε. En efecto, sea x0 ∈ [0, 1]. Como f es continua sobre [0, 1], existe un δ > 0 tal que | f (x) − f (x0 )| < ε

para cualquier x con |x − x0 | < δ.

Escojamos una partición Pn : 0 < t1 < · · · < tn = 1 de [0, 1] tal que m´ax

i=0,...,n−1

|ti+1 − ti | < δ.

Para x ∈ [ti ,ti+1 ], y teniendo en cuenta que |ti+1 − ti | < δ, obtenemos
 1  | f (x) − hn (x)| = f (x) − ti+1 f (ti ) − ti f (ti+1 ) + x f (ti+1 ) − f (ti ) ti+1 − ti t f (t ) − t f (t ) f (t ) − f (t ) i+1 i i i+1 i+1 i = f (x) − −x ti+1 − ti ti+1 − ti ti+1 − x = f (x) − f (ti+1 ) − ( f (ti ) − f (ti+1 )) ti+1 − ti ti+1 − x | f (ti ) − f (ti+1 )| ≤ | f (x) − f (ti+1 )| + ti+1 − ti ε ε ε ≤ +1· = · 4 4 2

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

53

Por esto, k f − hn k∞ ≤

m´ax

i=0,...,n−1

sup x∈[ti −ti+1 ]

!

| f (x) − hn (x)|

≤

ε < ε. 2 

Esto termina la prueba. Estamos ahora preparado para dar la demostración del Teorema de Banach-Mazurkiewicz. Prueba del Teorema de Banach-Mazurkiewicz. Para cada n ∈ N y 0 < h < 1/n definamos n o En,h = f ∈ C[0, 1] : para algún x ∈ [0, 1 − 1/n], | f (x + h) − f (x)| ≤ nh .

Vamos a demostrar en primer lugar que En,h es cerrado para todo n ∈ N y todo h ∈ R con 0 < h < 1/n. Sea f ∈ E n,h . Entonces existe una sucesión ( fk )∞ k=1 en En,h tal que fk → f uniformemente, es decir, k fk − f k∞ → 0 cuando k → ∞. Como cada fk ∈ En,h , existe un xk ∈ [0, 1 − 1/n] tal que | fk (xk + h) − fk (xk )| ≤ nh.

(⋆)

Puesto que la sucesión (xk )∞ k=1 vive en el compacto [0, 1 − 1/n], el Teorema de Bolzano-Weierstrass nos garantiza la existencia de una subsucesión (xk j )∞j=1 de (xk )∞ k=1 convergiendo a algún x ∈ [0, 1 − 1/n]. Sea ∞ ∞ ( fk j ) j=1 la correspondiente subsucesión de ( fk )k=1 satisfaciendo (⋆). Entonces, | f (x + h) − f (x)| ≤ | f (x + h) − f (xk j + h)| + | f (xk j + h) − fk j (xk j + h)| +

+ | fk j (xk j + h) − fk j (xk j )| + | fk j (xk j ) − f (xk j )| + | f (xk j ) − f (x)|



≤ | f (x + h) − f (xk j + h)| + f − fk j ∞ + nh + fk j − f ∞ + + | f (xk j ) − f (x)|.

Observemos ahora que como f es continua tanto en x como en x + h y ya que l´ım j→∞ xk j = x, resulta que l´ım | f (x + h) − f (xk j + h)| = 0 y l´ım | f (xk j ) − f (x)| = 0. j→∞

j→∞

Similarmente, como fk j → f uniformemente, se sigue de la desigualdad anterior, cuando j → ∞, que | f (x + h) − f (x)| ≤ nh. Esto prueba que f ∈ En,h y así, En,h es cerrado. De aquí se sigue En =

\

En,h

0 n + 2 k p′ k∞ y pongamos  1   2 · 5m x si 0 ≤ x ≤   2 · 10m   2 1 1 − 2 · 5m x si n h h h
lo cual significa que f ∈ C[0, 1] r En y, por lo tanto, f ∈ U (g, ε) ∩ C[0, 1] r En . Esto prueba que el conjunto C[0, 1] r En es denso en C[0, 1]. De modo enteramente análogo se prueba que o \ n Hn = f ∈ C[0, 1] : ∃x ∈ [1/n, 1], | f (x − h) − f (x)| ≤ nh 0 n(x − a), y entonces hallar un ε > 0 de modo que también se satisfaga la desigualdad f (x) − f (a) > n(x − a) + 2ε. Si ahora g ∈ U ( f , ε), tendremos que g(x) − g(a) ≥ f (x) − f (a) − 2ε > n(x − a), lo cual prueba que g ∈ Vn . Esto demuestra que Vn es abierto. • Vn es denso. Sean g ∈ P[0, 1] una función continua lineal a trozo y ε > 0. Elijamos una función h ∈ P[0, 1] satisfaciendo k hk < ε y h′+ (a) > n − g′+ (a).

Entonces (g + h)′+ (a) = g′+ (a) + h′+ (a) > n, y puesto que g + h ∈ P[0, 1], resulta que g + h ∈ Vn . La densidad de P[0, 1] en C[0, 1] ( Lema 2.1.1), así como el hecho de que g + h ∈ U (g, ε), nos garantiza que Vn es denso en C[0, 1]. Por el Teorema de Categoría de Baire, tenemos que Ga es un Gδ -denso en C[0, 1]. 

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

57

5) Si bien es cierto que ND[0, 1] es un conjunto abundante desde la perspectiva de la categoría de Baire, dicho conjunto no es un boreliano; es decir, no pertenece a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos de (C[0, 1], k·k∞ ). Este hecho fue probado por Mazurkiewicz en Über die menge der differenzierbaren Funktionen, Fun. Math. 27 (1936), 244-249. Un conjunto más apropiado, que es un boreliano y que está incluido en ND[0, 1] es el conjunto de todas las funciones continuas nunca Lipschitz.

2.1.2. k ◮ Funciones continuas nunca Lipschitz Con la aparición, en la galería de los monstruos, de las funciones continuas nunca diferenciables se abrió una especie de caja de Pandora de funciones raras. Para algunos, la existencia de esos objetos extraños limitaba el análisis clásico, pero para otros hurgar en sus propiedades constituía un reto fascinante. Pero muy a pesar de las críticas adversas, esa disputa dio origen al estudio de nuevas disciplinas en el campo de las matemáticas y obligó a los matemáticos a mirar ciertos fenómenos con más detenimiento. Veremos ahora la existencia de funciones continuas que son nunca Lipschitziana y que, además, dichas funciones son nunca diferenciables. Definición 2.1.1. Una función f ∈ C[0, 1] se dice M-Lipschitz en [0, 1] si existe una constante M > 0 tal que | f (x) − f (y)| ≤ M|x − y| para todo x, y ∈ [0, 1]. Denotaremos por LipM [0, 1] el conjunto de todas las funciones que son M-Lipschitz en [0, 1]. Por NLipM [0, 1] entenderemos el conjunto de todas las funciones que son nunca M-Lipschitz en [0, 1]; es decir, n NLipM [0, 1] = f ∈ C[0, 1] : para cada subintervalo [a, b] ⊆ [0, 1], existen x, y ∈ [a, b] o tal que | f (x) − f (y)| > M|x − y| y sea

NL[0, 1] =

\

NLipM [0, 1].

M∈N

El siguiente resultado presenta algunas de las propiedades de estos conjuntos. Teorema 2.1.2. Las siguientes propiedades se cumplen: (a) NLipM [0, 1] es un conjunto abierto en C[0, 1] para cada M ∈ N. (b) NL[0, 1] es un Gδ en C[0, 1]; en particular, un boreliano. (c) NL[0, 1] ⊆ ND[0, 1]. Prueba. (a) Demostraremos que para cada M ∈ N, C[0, 1] r NLipM [0, 1] es subconjunto cerrado de C[0, 1]. En efecto, sea f ∈ C[0, 1] r NLipM [0, 1]

k ·k∞

.

58

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Entonces existe una sucesión ( fn )∞ n=1 en C[0, 1] r NLipM [0, 1] tal que fn → f uniformemente. Sean ∞ x, y ∈ [0, 1]. Por compacidad, existen sucesiones (xn )∞ n=1 y (yn )n=1 en [0, 1] convergiendo a x y a y respectivamente. Como cada fn es M-Lipschitz tenemos que | fn (xk ) − fn (yk )| ≤ M|xk − yk |, para todo k ≥ 1 y, en consecuencia, | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − f (xk )| + | f (xk ) − fn (xk )| + | f (xk ) − fn (yk )| + | fn (yk ) − f (yk )| ≤ | f (x) − f (xk )| + k f − fn k∞ + M|xk − yk | + k fn − f k∞ .

Tomando límite cuando k → ∞, vemos que | f (x) − f (y)| ≤ M|x − y|, lo cual prueba que f es M-Lipschitz en [0, 1] y así, f ∈ C[0, 1] r NLipM [0, 1]. Por esto, NLipM [0, 1] es abierto en C[0, 1]. (b) Es consecuencia directa de (a). (c) Sea f ∈ NL[0, 1]. Entonces, para cualquier M ∈ N y cualquier subintervalo [a, b] de [0, 1], existen x, y ∈ [0, 1] tal que | f (x) − f (y)| > M|x − y| lo cual implica que | f (x) − f (y)| > M. |x − y|

Esto nos dice que dicho cociente no es acotado en ningún subintervalo [a, b] de [0, 1] y por lo tanto, f no tiene derivada en ningún punto de [0, 1]; es decir, f ∈ ND[0, 1]. 

2.1.3. k ◮ Funciones continuas nunca monótonas El próximo ejemplo tiene que ver con la existencia de funciones continuas nunca monótonas, es decir, funciones continuas que siempre oscilan en cualquier subintervalo no degenerado que se piense. Definición 2.1.2. Una función f : [0, 1] → R se dice nunca monótona o siempre oscilante en [0, 1] si en cualquier subintervalo cerrado [a, b] de [0, 1], con a < b, f no es ni creciente ni decreciente. Construir una función siempre discontinua y nunca monótona es muy fácil. Por ejemplo, la función característica de Q en [0, 1], f |Q∩[0,1] , es una tal función. Observemos que una función nunca monótona en [0, 1] no debe confundirse con una función que no es monótona en [0, 1]. ¿Existen funciones continuas nunca monótona? La respuesta es ¡sí!. He aquí un ejemplo tomado de ([102], Example 21, p. 29). Sea f1 : R → R la función periódica con período 1 definida por f1 (x) = | x |

si

| x | ≤ 1/2

si

| x | > 1/2

y f1 (x + n) = f1 (x)

y n ∈ Z.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

59

Para n > 1, definamos fn (x) = 4−n+1 f1 (4n−1 x), tal que para cualquier entero positivo n, fn es una función periódica de período 4−n+1 y valor máximo 1 −n+1 . Entonces, la función f : R → R definida por 24 ∞

f (x) =

∑

n=1

f1 (4n−1 x) 4n−1

es continua nunca monótona. Similar al caso de las funciones continuas nunca diferenciables, la abundancia de las funciones continuas nunca monótonas se establece por una aplicación del Teorema de Categoría de Baire. Teorema 2.1.3. El subconjunto NM[0, 1] de C[0, 1] formado por todas las funciones continuas nunca monótonas es residual en C[0, 1]. Prueba. Sea (In )∞ n=1 la sucesión de todos los intervalos cerrados de [0, 1] con extremos racionales distintos. Definamos, para cada n ∈ N, n o Cn = f ∈ C[0, 1] : f es no decreciente en In • Cn es cerrado. En efecto, sea f ∈ Cn . Entonces existe una sucesión ( fk )∞ k=1 en Cn tal que fk → f uniformemente. Sean x, y ∈ [0, 1] con x < y. Como fk ∈ Cn , entonces fk (x) ≤ fk (y) para todo k ∈ N y así, f (x) = l´ım fk (x) ≤ l´ım fk (y) = f (y) k→∞

k→∞

lo cual prueba que f ∈ Cn . Similarmente, definiendo Dn = para cada n ∈ N, resulta que

n

f ∈ C[0, 1] : f es no creciente en In

o

• Dn es cerrado. Para cada n ∈ N, sea Gn = C[0, 1] r (Cn ∪ Dn ) =

n

o f ∈ C[0, 1] : f no es monótona sobre In .

Vamos a demostrar que cada Gn es abierto y denso en C[0, 1].

• Gn es abierto en C[0, 1] por ser el complemento de un conjunto cerrado. • Gn es denso en C[0, 1]. Debido a que el conjunto de todas las funciones continuas lineales a trozos en [0, 1], P[0, 1] es denso en C[0, 1] (Lema 2.1.1), es suficiente demostrar que Gn es denso en P[0, 1] Sea f ∈ P[0, 1] r Gn . Entonces f es, a su vez, lineal a trozo así como monótona sobre In . Sin perder generalidad, podemos suponer que f es no decreciente sobre In ; es decir, f ∈ Cn . Sea [a, b] ⊆ In un intervalo sobre el cual f es lineal y sea m la pendiente de ese segmento lineal; es decir, la pendiente del segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Definiendo h sobre [0, 1] por

60

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

h(x) =

resulta que h ∈ P[0, 1].

0

a

       

0

si

2m(x − a)

si

  − 2m(x − b)      0

a+b 2

si si

0≤x≤a a+b a 0} y {x : f ′ (x) < 0}

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

61

sean ambos densos en R. Dini era uno de los que creían que tales funciones podían existir, mientras que P. du Bois-Reymond tenía la presunción de que las funciones nunca monótonas no podían ser diferenciables. En 1887, Köpcke a fuerza de coraje y perseverancia dio a conocer explícitamente, a través de una construcción increíblemente complicada, una función diferenciable nunca monótona. Esa construcción permitió que se unieran al clan con nuevas funciones de este tipo matemáticos como Denjoy, Pereno, Hobson, etc. Todas esas construcciones seguían siendo difíciles y largas (la más corta constaba de 10 páginas). Casi 100 años después, en 1974, Y. Katznelson y K. Stromberg [151] reviven la investigación al construir otra función diferenciable nunca monótona pero mucho más simple que la dada por Köpcke. Fundamentalmente lo que Katznelson y Stromberg probaron fue el siguiente resultado: Teorema (Katznelson-Stromberg). Existe una función f : R → R tal que: (1) f es siempre diferenciable sobre R; (2) f ′ es acotada sobre R y (3) f no es monótona en ningún subintervalo de R. Una exposición detallada del resultado anterior se puede leer en el libro de A. B. Kharazishvili [150], pág. 69-77. La función f así construida disfruta de algunas propiedades interesantes: por ejemplo, f ′ , por ser acotada, implica que f es una función Lipschitziana; en segundo lugar f ′ no es Riemann-integrable en ningún subintervalo [a, b] de R. Más aún, f ′ es una función de la primera clase de Baire; es decir, se puede representar como límite puntual de una sucesión de funciones continuas y, por consiguiente, el conjunto de puntos donde ella es continua es un Gδ -denso (Teorema de Baire-Kuratwoski). Dos años más tarde de la aparición del resultado de Y. Katznelson y K. Stromberg, Clifford E. Weil [271], usando el Teorema de Categoría de Baire, prueba la existencia de abundantes funciones de ese tipo en apenas 2 páginas. Veamos ahora el procedimiento que Weil siguió para demostrar la abundancia de las funciones diferenciables nunca monótonas usando el Teorema de Categoría de Baire. Para probar lo que hizo Weil necesitaremos las siguientes nociones y herramientas: Sea B∞ [0, 1] = dotado de la métrica uniforme

n

f : [0, 1] → R | f es acotada

o

d∞ ( f , g) = sup | f (x) − g(x)|. x∈[0,1]

para todo f , g ∈ B∞ [0, 1]. Es bien conocido que (B∞ [0, 1], d∞ ) es un espacio métrico completo. Consideremos ahora el conjunto D[0, 1] formado por los elementos de B∞ [0, 1] que son derivadas; es decir, n o D[0, 1] = f ∈ B∞ [0, 1] : existe F : [0, 1] → R con F ′ = f . Observemos que C[0, 1] ⊆ D[0, 1] pues, si f ∈ C[0, 1], entonces la función F : [0, 1] → R definida por F(x) =

Z x 0

f (t) dt,

para todo x ∈ [0, 1]

es, gracias al Teorema Fundamental del Cálculo, una función diferenciable satisfaciendo F ′ = f . Además, (D[0, 1], d∞ ) es cerrado en B∞ [0, 1] y, en consecuencia, un espacio métrico completo. Para ver esto últi′ mo, sea ( fn )∞ n=1 una sucesión en D[0, 1] tal que l´ımn→∞ d( fn , f ) = 0 y sea Fn : [0, 1] → R tal que Fn = fn para todo n ∈ N. Haciendo uso del siguiente resultado conocido,

62

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Si (Gn )∞ n=1 es una sucesión de funciones en D[0, 1] convergiendo uniformemente a una función G, entonces la sucesión (G ′n (x))∞ n=1 converge uniformemente a una función g(x) y, además, ′ G (x) = g(x).

′ se sigue que la sucesión (Fn )∞ n=1 converge uniformemente a una función diferenciable F y F es el límite ′ uniforme de ( fn )∞ n=1 ; es decir, F = f ∈ D[0, 1]. Esto prueba que (D[0, 1], d∞ ) es cerrado en B∞ [0, 1]. Para cada f ∈ D[0, 1], sea Z f = {x ∈ [0, 1] : f (x) = 0} y definamos n o D0 [0, 1] = f ∈ D[0, 1] : Z f es denso en [0, 1] .

Notemos que si f ∈ D0 [0, 1], entonces Z f es, en realidad, un subconjunto Gδ -denso de [0, 1]. Vamos a demostrar que D0 [0, 1] es cerrado en D[0, 1]. En efecto, sea ( fn )∞ n=1 una sucesión en D0 [0, 1] tal que fn → f uniformemente, donde f ∈ D[0, 1]. Como cada Z fn es un Gδ -denso de [0, 1], el Teorema de Categoría de Baire, o en su defecto, el Teorema 1.2.1 nos dice que Z=

∞ \

Z fn

n=1

es denso en [0, 1] y ya que Z ⊆ Z f , se sigue que f ∈ D0 [0, 1]. Esto prueba que (D0 [0, 1], d∞ ) es cerrado en D[0, 1] y, en consecuencia, un espacio métrico completo. Observemos que D0 [0, 1] es, además, un espacio vectorial pues si f , g ∈ D0 [0, 1], entonces Z f +g ⊇ Z f ∩ Zg , por lo que f + g ∈ D0 [0, 1]. También es claro que si f ∈ D0 [0, 1] y λ ∈ R, entonces λ f ∈ D0 [0, 1]. El espacio D0 [0, 1] será interesante en la medida en que podamos demostrar que él, como espacio vectorial, es no trivial. Afirmación 1. D0 [0, 1] 6= {0}. Prueba de la Afirmación 1. Observemos en primer lugar que si d es cualquier número real, entonces la función gd (x) = (x − d)1/3 tiene derivada finita excepto en x = d, en donde su derivada es infinita. Sea (dn )∞ n=1 una sucesión densa en [0, 1] y para cada x ∈ [0, 1], definamos ∞

1

(x − dn ) 3 F(x) = ∑ . 2n n=1 Entonces, por el M-Test de Weierstrass, la serie converge uniformemente y, así, F es una función continua sobre [0, 1]. Pero además, como F es monótona creciente, su derivada existe λ - casi-siempre, donde λ es la medida de Lebesgue sobre R y entonces, de la igualdad    a − b = a1/3 − b1/3 a2/3 − a1/3 b1/3 + b2/3 , válida para todo a, b ∈ R, tenemos que F(x) − F(t) = x−t Si ahora definimos K=

∞

∑ h(t − d ) n=1

(

n

1

2 3

i . 1 2 + (t − dn ) (x − dn ) 3 + (x − dn ) 3 2n

∞

x ∈ [0, 1] :

1 3

1

∑ 3(x − d )

n=1

n

2 3

2n

converge

)

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

63

y si usamos las desigualdades 3 1 2 (a + b2 ) ≤ a2 + ab + b2 ≤ (a2 + b2 ) 2 2 donde a, b ∈ R, tendremos que • si x ∈ K, entonces F ′ (x) existe y F ′ (x) =

∞

n=1

• y si x 6∈ K, entonces

F ′ (x) = l´ım t→x

Observemos que, para todo x ∈ [0, 1],

1

∑ 3(x − d ) n

2 3

2n

,

F(x) − F(t) = ∞. x−t

√ F(t) − F(x) 2 l´ım > . t→x t −x 3

Sea G : [F(0), F (1)] → [0, 1] la inversa de F. Entonces G es diferenciable sobre [F(0), F (1)] y G ′ (F(x)) =

1 . F ′ (x)

Notemos que G ′ es acotada y que G ′ (F(x)) = 0 si, y sólo si, x 6∈ K. De esto se sigue que G ′ = 0 sobre un subconjunto denso de [F(0), F (1)]. Definamos ahora la función g por ( (x + 1)2 (x − 1)2 , si x ∈ [F(0), F(1)] g(x) = 0, en otro caso Entonces g ′ existe para todo x ∈ [0, 1]. Si ahora consideramos la función ( g(G(x)), si x ∈ [F(0), F (1)] H(x) = 0, en otro caso resulta que ′

H (x) =

(

g′ (G(x))G ′ (x), 0,

si x ∈ [F(0), F(1)] en otro caso.

y, por lo tanto, H 6= 0 y H ∈ D0 [0, 1]. Afirmación 2. Sea E=

n

f ∈ D0 [0, 1] : existe un intervalo abierto I ⊆ [0, 1] tal que o f (I) ⊆ [0, +∞) o f (I) ⊆ (−∞, 0] .

64

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Entonces E es de primera categoría en D0 [0, 1]. Prueba de la Afirmación 2. Sea (In )∞ n=1 la colección de todos los subintervalos abiertos no vacíos de [0, 1] con extremos racionales, y pongamos n o n o y Fn = f ∈ D0 [0, 1] : f (In ) ⊆ (−∞, 0] . En = f ∈ D0 [0, 1] : f (In ) ⊆ [0, +∞)

Entonces

E=

∞ [

(En ∪ Fn),

n=1

y es suficiente demostrar que tanto En así como Fn son cerrados y nunca densos, para cada n ∈ N. El argumento será llevado a cabo sólo para En ya que un procedimiento similar trabaja para Fn . Que En es cerrado es inmediato. Para demostrar que En tiene interior vacío, supongamos que f ∈ En y sea ε > 0. Puesto que f ∈ D0 [0, 1], entonces Z f es denso en [0, 1] y por lo tanto Z f ∩ In 6= ∅. Sea x0 ∈ Z f ∩ In . Entonces x0 ∈ In y f (x0 ) = 0. Trasladando un elemento no cero de D0 [0, 1], podemos encontrar un elemento g ∈ D0 [0, 1] tal que g(x0 ) < 0 (en caso contrario se multiplica por −1). Sea M > 0 tal que  M > sup | g(x)| : x ∈ [0, 1] . Entonces

 ε  d∞ f , g + f < ε. M Como g y f están en el espacio vectorial D0 [0, 1], resulta que Mε g + f ∈ D0 [0, 1]. Observemos, sin  embargo, que Mε g + f (x0 ) < 0, lo cual dice que Mε g + f no es un elemento de En . Esto prueba que En no puede contener ninguna bola abierta y, así, En es nunca denso.  Teorema 2.1.4 (Weil). El conjunto DNM[0, 1], formado por todas las funciones diferenciables nunca monótonas sobre [0, 1], es residual en D0 [0, 1]. Prueba. Sea E el conjunto definido en la Afirmación 2. Entonces, por el Teorema de Categoría de Baire, el conjunto DNM[0, 1] contiene a D0 [0, 1] r E, el cual es un Gδ -denso en D0 [0, 1].  Observación 2.1.6.

1) Haciendo uso del siguiente resultado ([46], Theorem 2.1, p. 226)

Teorema 2.1.5 (Petruska-Laczkovich). Sea J ⊆ [0, 1]. La restricción de cada función f ∈ B1 [0, 1] sobre J se puede extender a una derivada sobre [0, 1] si, y sólo si, µ(J) = 0. se prueba sin mucha dificultad que la aplicación     0 si x es irracional 1 f (x) = si x = qp es irreducible con q par q   − 1 si x = p es irreducible con q impar q

q

genera una función diferenciable nunca monótona. En efecto, es fácil verificar que f es continua en cada punto irracional de [0, 1] y, por lo tanto, f ∈ B1 [0, 1], donde B1 [0, 1] es el espacio de todas las funciones de la primera clase de Baire (véase el Capítulo 3 para detalles). Puesto que los racionales en [0, 1] forman un conjunto J de medida (de Lebesgue)

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

65

cero, la restricción de f a J puede, por el Teorema 2.1.5, ser extendida a una función derivada fb sobre todo [0, 1]. Puesto que f > 0 sobre el conjunto denso Q1 = {p/q ∈ Q ∩ [0, 1] : p/q es irreducible con q par} y f < 0 sobre el conjunto denso Q2 = {p/q ∈ Q ∩ [0, 1] : p/q es irreducible con q impar}, se sigue que si F ′ = b f sobre [0, 1], entonces F es una función diferenciable nunca monótona.

2) Otra demostración de la existencia de funciones diferenciables nunca monótonas se puede ver en un artículo recientemente publicado por R. Aron, V. I. Gurariy y J. B. Seoane ([10], Corollary 3.3).

2.1.5. k ◮ Funciones nunca monótonas de la 2a especie Una función continua f : [0, 1] → R se dice nunca monótona de la 2a especie si la función f+r (x) = f (x) + rx es nunca monótona para todo r ∈ R. La clase de todas las funciones continuas nunca monótonas de la 2a especie será denotada por NM2 [0, 1]. A estas funciones también se les llaman funciones de tipo nunca monótonas ([46], p. 210). En lo inmediato probaremos que NM2 [0, 1] no contiene ningún elemento de DNM[0, 1]. Notemos que cualquier función f ∈ C[0, 1] nunca diferenciable es nunca monótona y, por consiguiente, para cualquier r ∈ R, la función f (x) + rx también es nunca monótona en [0, 1]. En consecuencia, cualquier función nunca diferenciable f es una función nunca monótona de la 2a especie. Lema 2.1.2. NM2 [0, 1] ⊆ NM[0, 1] r DNM[0, 1]. Prueba. Vamos a probar que ninguna función diferenciable nunca monótona es de la segunda especie. Sea f ∈ NM2 [0, 1] y supongamos, por un momento, que f ∈ DNM[0, 1]. Afirmación. Para cada r ∈ R, existe una colección Jr de intervalos abiertos tal que: (a)

[

I es denso en [0, 1], y

I∈Jr

(b) f+r es monótona sobre cada I ∈ Jr . Prueba de la Afirmación. Por el Ejemplo 2, página 45, f ′ es continua sobre un subconjunto Gδ -denso de [0, 1]; es decir, PC( f ′ ) = {x ∈ [0, 1] : f ′ es continua en x} es un Gδ -denso de [0, 1]. Además, como Z( f ′ ) = {x ∈ [0, 1] : f ′ (x) = 0} es un Gδ en [0, 1] y puesto que f ∈ NM[0, 1], resulta que Z( f ′ ) es también un Gδ -denso en [0, 1]. Por el Teorema de Categoría de Baire, el conjunto  D = Z( f ′ ) ∩ PC( f ′ ) = x ∈ [0, 1] : f ′ (x) = 0, f ′ es continua en x es un Gδ -denso en [0, 1]. De esto se sigue que f ′+r es continua y no cero sobre algún subconjunto denso G de [0, 1]. Usando la continuidad de f ′+r en los puntos de G, tenemos que para cada x ∈ G, existe un intervalo abierto Ix conteniendo a x donde f ′+r es continua y distinta de cero. Sea Jr = {Ix : f ′+r es continua y 6= 0 sobre Ix , x ∈ G}.

66

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire S

Entonces I∈Jr I es denso en [0, 1] y f+r es monótona en cada intervalo Ix ∈ Jr . Esta contradicción  establece que f 6∈ NM2 [0, 1] y con ella termina la prueba del lema. Pareciera, en vista del resultado de Weil y del lema anterior, que NM2 [0, 1] es pequeño (en el sentido de categoría de Baire); sin embargo, el próximo resultado establece que él es genérico en C[0, 1]. Teorema 2.1.6. El conjunto NM2 [0, 1] es residual en C[0, 1]. Prueba. Notemos que si f ∈ C[0, 1] r NM2 [0, 1], entonces existe un r ∈ R tal que f+r es monótona sobre algún subintervalo de [0, 1]. Para cada subintervalo arbitrario I de [0, 1], definamos AI = =

n

f ∈ C[0, 1] : existe r ∈ R con f+r no decreciente sobre I

∞ [

An ,

o

n=1

donde, para cada entero n ≥ 1, n o An = f ∈ C[0, 1] : existe r ∈ [−n, n] con f+r no decreciente sobre I . Vamos a demostrar que cada An es cerrado y nunca denso en C[0, 1].

• An es cerrado.

Sea ( fk )∞ k=1 una sucesión en An tal que fk → f uniformemente. Entonces f ∈ C[0, 1]. Para probar que f ∈ An , notemos que para cada k ≥ 1, existe un rk ∈ [−n, n] tal que frk (x) + rk x ≥ frk (y) + rk y

si x ≥ y con x, y ∈ I.

∞ Por compacidad, existe una subsucesión (rki )∞ i=1 de (rk )i=1 tal que rki → r ∈ [−n, n]. Por esto, f (x) + rx ≥ f (y) + ry siempre que x ≥ y con x, y ∈ I y, así, f ∈ An .

• An es nunca denso.

Lo que queremos demostrar es que An no contiene ninguna bola abierta. Sea U ( f , ε) una bola abierta con centro f y radio ε > 0, donde f ∈ An y ε > 0. Sea g ∈ ND[0, 1] con k gk∞ ≤ 1. Afirmamos que f + εg ∈ U ( f , ε) r An . Supongamos que f + εg ∈ An . Entonces existe un r1 ∈ [−n, n] tal que h(x) := f (x) + εg(x) + r1 x es no decreciente sobre I. Además, como f ∈ An , existe otro r2 ∈ [−n, n] tal que f (x) + r2 x es no decreciente sobre I. Notemos ahora que h(x) − r1 x + r2 x = ( f (x) + r2 x) + εg(x), de donde se sigue g(x) =

h(x) − ( f (x) + r2 x) − r1 x + r2 x ε

es diferenciable µ-casi siempre sobre I. Esta contradicción establece que f + εg 6∈ An y, entonces, An es nunca denso. Por lo anterior, cada conjunto AI es de primera categoría en C[0, 1]. Lo mismo es cierto para el conjunto n o BI = f ∈ C[0, 1] : − f ∈ AI .

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

67

Sea (Ik )∞ k=1 el conjunto de todos los subintervalos de [0, 1] con extremos racionales y definamos A=

∞ [

AIk

B=

y

k=1

∞ [

BIk .

k=1

Entonces A y B son conjuntos de primera categoría y como C[0, 1] r NM2 [0, 1] = A ∪ B, el Teorema de Categoría de Baire nos dice que NM2 [0, 1] = C[0, 1] r (A ∪ B) 

es residual en C[0, 1]. Similar al anterior tenemos el siguiente resultado de Borwein y Wang [37]. Teorema 2.1.7 (Borwein-Wang). En (Lip1 [0, 1], d∞ ), el conjunto n o G = f ∈ Lip1 [0, 1] : f (x) − rx ∈ NM[0, 1], para todo | r| < 1 es residual.

Prueba. Sea I un intervalo abierto no vacío de [0, 1] y, para cada n ∈ N, definamos EIn =

n

h o 1 1i f ∈ Lip1 [0, 1] : existe r ∈ − 1 + , 1 − con f (x) − rx no decreciente sobre I . n n

Procediendo como en la demostración del resultado anterior se prueba que cada conjunto EIn es cerrado. Veamos que también es nunca denso. Sea U ( f , 5ε) una bola abierta en Lip1 [0, 1] donde f ∈ EIn y ε > 0. Consideremos el intervalo abierto (x0 − ε, x0 + ε) ⊆ [0, 1] para algún x0 ∈ (0, 1) y definamos la función g : [0, 1] → R por   si x ∈ (x0 − ε, x0 ]  −1 g(x) = 1 si x ∈ (x0 , x0 + ε)    f ′ (x) si x 6∈ (x − ε, x + ε) y siempre que f ′ (x) exista. 0

0

Si ahora definimos fε : [0, 1] → R declarando que

fε (x) = f (0) +

Z x

g(t) dt

0

para todo x ∈ [0, 1], resulta que fε ∈ Lip1 [0, 1] y Z x Z 1 ′ ′ f (t) − g(t) dt = 4ε. | f (x) − fε (x)| = ( f (t) − g(t)) ≤ 0

0

Observemos, sin embargo, que sobre I, la función fε (x) − rx con r ∈ [−1 + 1/n, 1 − 1/n] es no creciente, pues sobre el intervalo (x0 − ε, x0 + ε) ella tiene derivada −1 − r ≤ −1/n. Esto prueba que EIn es nunca S n denso en Lip1 [0, 1] y, en consecuencia, el conjunto EI = ∞ n=1 EI es de primera categoría en Lip1 [0, 1]. Similarmente, si definimos n h o 1 1i FIn = f ∈ Lip1 [0, 1] : existe r ∈ − 1 + , 1 − con f (x) − rx siendo no creciente sobre I , n n

68

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire S

n ∞ y FI = ∞ n=1 FI , entonces FI es de primera categoría en Lip1 [0, 1]. Como antes, sea (Ik )k=1 el conjunto de todos los subintervalos de [0, 1] con extremos racionales. Entonces el conjunto G = Lip1 [0, 1] r (E ∪ F) es residual en Lip1 [0, 1], donde

E=

∞ [

k=1

EIk

y

F=

∞ [

FIk .

k=1

 Observación 2.1.7. Las funciones continuas f : [0, 1] → R nunca monótonas juegan un papel muy importante en la Teoría de la Subdiferenciabilidad de Funciones. De hecho, ellas constituyen el ingrediente clave para la construcción de funciones continuas, absolutamente continuas y Lipschitz con subdiferenciales grandes sobre la recta real. Para una breve incursión en este campo, podemos invitar al lector a echarle una mirada al reciente artículo de Xinafu Wang [270] en donde él demuestra, entre otros, los siguientes resultados. (Los símbolos ∂c f y ∂a f representan la subdiferencial de Clarke y la subdiferencial aproximada de f respectivamente. Las definiciones pueden verse en [270], pág. 138-140.) Wang (1). Si f ∈ C[0, 1] es nunca monótona, entonces el conjunto de todos los puntos x ∈ [0, 1] donde f es oscilante, tanto a la derecha como a la izquierda de x, es residual en [0, 1]. Una función f : [0, 1] → R se dice no-decreciente (no-creciente) a la derecha de t ∈ [0, 1] si existe un h > 0 tal que f (t) ≤ f (x) (respectivamente, f (x) ≤ f (t)) para todo t < x < t + h. Si f no es ni no-decreciente ni no-creciente a la derecha de t, entonces decimos que f es oscilante a la derecha de t. De forma similar se define oscilante a la izquierda de t. Sea X el conjunto de todas las funciones f : [0, 1] → R que son continuas y no decrecientes en [0, 1], dotado de la métrica uniforme d∞ . Entonces (X , d∞ ) es un espacio métrico completo. Wang (2). En (X , d∞ ), el conjunto  G = f ∈ X : ∂c f = ∂a f ≡ [0, +∞)

es residual. Si H denota la familia de las funciones f ∈ C[0, 1] que son estrictamente crecientes tales que f (0) = 0 y f (1) = 1, dotado de la métrica uniforme heredada de C[0, 1], entonces H no es d necesariamente cerrado en C[0, 1]. Pero H es un Gδ en el espacio métrico completo H ∞ y, en consecuencia, por el Teorema 1.3.3, es un espacio completamente metrizable. Sea d la métrica compatible que hace que (H, d) sea un espacio métrico completo. Wang (3). En (H, d), el conjunto  H1 = f ∈ H : ∂c f = ∂a f ≡ [0, +∞)

es residual. Wang (4). El conjunto 

f ∈ C[0, 1] : ∂c f = ∂a f ≡ R y ∂− f existe sólo sobre un conjunto de primera categoría

es residual en C[0, 1].

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

69

Wang (5). En LipM [0, 1], el conjunto  L = f ∈ LipM [0, 1] : ∂c f = ∂a f ≡ [−M, M]

es residual.

2.1.6. k ◮ Funciones cuyos puntos de discontinuidad son c-densos

Sea Γ el conjunto ternario de Cantor en [0, 1]. Si (a, b) es uno de los intervalos extraídos en la construcción de Γ, entonces la función f : [0, 1] → R definida por   2(x − a) − 1, para x ∈ [a, b] b−a f (x) =  0, en otro caso.

es discontinua en cualquier punto de Γ; es decir, Disc( f ), el conjunto de los puntos de discontinuidad de f , tiene cardinalidad c (la cardinalidad de R). El propósito de esta sección es probar la abundancia de tales funciones en el espacio de las funciones que son Riemann integrables. Definición 2.1.3. Un subconjunto S de un espacio métrico X es c-denso en un conjunto abierto O ⊆ X si la intersección de S con cualquier subconjunto abierto no vacío de O contiene c puntos.

Sea (X , d) un espacio métrico separable y denotemos por B∞ (X ) un espacio lineal métrico completo de todas las funciones acotadas f : X → R provisto de la norma del supremo k f k∞ = sup{| f (x)| : x ∈ X }. Definición 2.1.4. Diremos que B∞ (X ) posee la propiedad de discontinuidad c-densa si existe una función h ∈ B∞ (X ) tal que el conjunto de los puntos de discontinuidad de h, Disc(h), es c-denso en X . El siguiente resultado, probado por Shi en el año 2001 [249], es una generalización de un teorema demostrado por Pavel Kostyrko, el cual establece que la existencia de un espacio de funciones con la propiedad de discontinuidad c-densa posee, en realidad, abundantes funciones cuyos puntos de discontinuidad tienen cardinalidad c. Teorema 2.1.8 (Shi). Sea (X , d) un espacio métrico separable y suponga que B∞ (X ) posee la propiedad de discontinuidad c-densa. Entonces, el conjunto G = { f ∈ B∞ (X ) : Disc( f ) es c-denso}, es un Gδ -denso en (B∞ (X ), k·k∞ ). Prueba. Sea O un subconjunto abierto de X y consideremos el conjunto  A(O) = f ∈ B∞ (X ) : Disc( f ) ∩ O tiene cardinalidad c .

Lo que vamos a demostrar de inmediato es que A(O) es abierto en B∞ (X ). En efecto, sea ( fn )∞ n=1 una sucesión en B∞ (X ) r A(O) convergiendo a una función f ∈ B∞ (X ). Puesto que cada fn 6∈ A(O), el S conjunto En = Disc( fn )∩ O es a lo más numerable y, en consecuencia, ∞ n=1 En es a lo más numerable. Ya

70

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire S

que f es continua en cada punto x ∈ Or ∞ n=1 En , resulta que f ∈ B∞ (X )rA(O). Por esto, B∞ (X )rA(O) es cerrado en B∞ (X ) y, así, A(O) es abierto en B∞ (X ). Afirmamos que A(O) es también denso en B∞ (X ). Para cualquier bola abierta U ( f , ε) ⊆ B∞ (X ), si ocurriera que f ∈ A(O), entonces no habría nada que probar. Supongamos que f 6∈ A(O). Entonces f posee a lo sumo una cantidad numerable de puntos de discontinuidad en O. Por hipótesis, existe una función h ∈ B∞ (X ) tal que Disc(h) es c-denso. Sea M una constante tal que |h(x)| ≤ M para todo x ∈ X y definamos g : X → R por g(x) = f (x) +

ε h(x) 2M

para todo x ∈ X.

Entonces g ∈ B∞ (X ) posee por lo menos c puntos de discontinuidad en O. Además,

ε

ε



d∞ (g, f ) := ( f + h) − f = h < ε 2M 2M ∞ ∞

lo cual nos dice que g ∈ A(O) ∩U ( f , ε). Esto prueba que A(O) es denso en B∞ (X ). Como X es separable, podemos tomar una sucesión densa (xn )∞ n=1 en X . Ahora, el Teorema de Categoría de Baire nos dice que G=

∞ \ ∞ \

A(U (xn , 1/m))

n=1 m=1



es un Gδ -denso en B∞ (X ).

Sea R[a, b] el espacio de todas las funciones acotadas f : [a, b] → R que son Riemann integrables provisto de la norma del supremo. Recordemos que si λ es la medida de Lebesgue en R, entonces (♣)

Una función acotada y medible Lebesgue f : [a, b] → R es Riemann integrable si, y sólo si, λ(Disc( f )) = 0.

Definición 2.1.5. Una función f : R → R se llama simétricamente continua si   l´ım f (x + h) − f (x − h) = 0 h→0

para todo x ∈ R.

Es claro que toda función continua es simétricamente continua, pero el recíproco no es válido. Sin embargo, se sabe que que toda función f : R → R simétricamente continua es medible Lebesgue ([215]) y que, además, ella es continua excepto sobre un conjunto de medida cero y de primera categoría ([256]). Más aun, la existencia de una función simétricamente continua f : [a, b] → R cuyos puntos de discontinuidad es c-denso fue construida por Tran en [267]. Corolario 2.1.1. Sea

 G = f ∈ R[a, b] : Disc( f ) es c-denso .

Entonces G es residual en R[a, b].

Prueba. Para poder aplicar el Teorema 2.1.8, todo lo que tenemos que hacer es producir una función f ∈ R[a, b] tal que la cardinalidad de Disc( f ) sea c. Usemos el resultado de Tran para producir una función simétricamente continua f : [a, b] → R cuyos puntos de discontinuidad es c-denso. Por lo afirmado anteriormente, el conjunto de los puntos de discontinuidad de f tiene medida de Lebesgue cero (ver también, [263], Theorem 2.3, p. 27) y gracias a (♣), f es Riemann integrable. 

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

71

2.1.7. k ◮ Funciones nunca analíticas de clase C ∞ El Teorema de Categoría de Baire ilustra dramáticamente la diferencia existente entre las funciones analíticas y las de clase C ∞ . Recordemos que una función f : R → C es analítica en x0 ∈ R si f admite un desarrollo en series de Taylor con radio de convergencia positivo en x0 , y es de clase C ∞ si f posee derivada continua de todos los ordenes; es decir, si f (n) existe y es continua para todo n ∈ N. Debemos recordar que para que una función f de clase C ∞ en un intervalo de R sea analítica, no es suficiente que su serie de Taylor posea, en cada punto, un radio de convergencia positivo; es necesario, además, que la suma de dicha serie sea igual a f . Por supuesto, cada función analítica es de clase C∞ ; sin embargo, el recíproco no es, en general, válido. Uno de los ejemplos más sencillo y relativamente simple de una función de clase C∞ sobre R que no es analítica en ningún punto, fue construido por Mathias Lerch, en 1888, [175]: ∞

f (x) =

cos(an x) n! k=0

∑

(con a impar y > 1)

Otro ejemplo, más reciente, debido a Kent G. Merryfield, [185], es el siguiente: ∞

f (x) =

∑ 2−2

k/2

k

e i2 x .

k=0

En efecto, para probar que dicha función es infinitamente diferenciable sólo tenemos que hacer uso del M-test de Weierstrass y aplicar la convergencia uniforme de la serie para la n-ésima derivada. Merryfield provee una demostración de que f es nunca analítica. Lo que A. P. Morgenstern [194] demostró en 1938, usando el Teorema de Categoría de Baire, fue la existencia de “abundantes” funciones de clase C ∞ que son nunca analíticas. Teorema 2.1.9 (Morgenstern). Sea NA∞ ([0, 1], C) el conjunto de todas las funciones de clase C ∞ en la que cualquiera de sus miembros no es analítica en ningún punto de [0, 1]. Entonces NA∞ ([0, 1], C) es residual en C ∞ [0, 1]. Denotemos por C ∞ [0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas f : [0, 1] → C que tienen derivadas continuas de todos los ordenes en [0, 1]. Sobre C ∞ [0, 1] definamos la siguiente métrica: ∞

d( f , g) =

∑ min

n=0

n

o

2−n , f (n) − g(n) ∞

para toda f , g ∈ C ∞ [0, 1]. De la completitud de (CC [0, 1], k·k∞ ) se puede probar, sin mucha dificultad, que (C ∞ [0, 1], d) es un espacio métrico completo; es decir, un espacio de Baire. Las funciones en C ∞ [0, 1] son llamadas funciones de clase C ∞ . En lo que sigue, si f ∈ C ∞ [0, 1] es analítica en a ∈ [0, 1], su serie de Taylor será denotada por T ( f , a), y por lo tanto, ∞ f (n) (a) T ( f , a) = ∑ (x − a)n , n! n=0 converge a f (x) para cada x en algún entorno abierto de a.

72

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba del Teorema de Morgenstern. Observemos en primer lugar que, para que una función f ∈ C ∞ [0, 1] sea analítica en a ∈ [0, 1], se debe cumplir que f (n) (a) 1/n sup = c < ∞. n! n∈N Definamos ahora

D(a; c) =

∞ n \

n=1

o f ∈ C ∞ : f (n) (a) ≤ n! cn .

Se sigue que si f es analítica en a, entonces f ∈ D(a; c) para algún c ≥ 0; pero, además, puesto que analiticidad en un punto implica analiticidad en algún entorno abierto de ese punto, deducimos que cualquier función que sea siempre analítica en [0, 1] está contenida en [

D :=

D(a; c),

(a,c)∈Q×N

el conjunto de todas las funciones que son siempre analítica en [0, 1]. Nuestro objetivo inmediato es demostrar que D es un conjunto de primera categoría en C ∞ [0, 1]. En efecto, notemos primeramente que para cada (a, c) ∈ Q × N, el conjunto n o f ∈ C ∞ : f (n) (a) ≤ n! cn

es claramente cerrado y, en consecuencia, también lo es D(a, c). Para ver que D(a, c) tiene interior vacío, supongamos lo contrario y veamos que esto conduce a una contradicción. Sea entonces f ∈ D(a, c) y supongamos que existe alguna bola abierta U ( f , 2ε) ⊆ D(a, c) conteniendo a f . Escojamos ahora un entero positivo n de modo que ∞

∑ 2−k < ε,

k=n

y entonces usemos el principio de Arquímedes para seleccionar un entero b > 2 tal que ε bn > (2n)! c2n . La función g : [0, 1] → C definida por g(x) = f (x) + ε b−n cos b(x − a); claramente pertenece a C ∞ [0, 1] y, además, se cumple que

(k) (k) − g f

≤ ε bk−n < ε 2k−n , ∞

para cada k < n.

Esto prueba que g ∈ U ( f , 2ε), y así, g ∈ D(a, c). Pero por otro lado, (2n) f (a) − g(2n) (a) = ε bn > (2n)! c2n

lo cual implica que g 6∈ D(a, c). Esta contradicción establece que D(a, c) es nunca denso y, por lo tanto, D es un conjunto de primera categoría en C ∞ [0, 1]; es decir, n o C ∞ [0, 1] r D = f ∈ C ∞ [0, 1] : f es nunca analítica en [0, 1] = NA∞ ([0, 1], C)

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

73

es residual en C ∞ [0, 1]. Esto termina la prueba.



Dugundji, ([83], p. 302) atribuye a H. Salzmann y K. Zeller la demostración del resultado anterior. Grandes matemáticos tales como Lagrange, Babbage, Herschel y Peacock eran de los que creían que cualquier función podía ser representada como una serie de potencias. Esa opinión se mantuvo vigente hasta finales del año 1816 cuando Fourier construyó una serie de potencias que convergía únicamente sobre el intervalo (0, 1). Este hecho forzó a los matemáticos de la época a una revisión crítica de los conceptos de función, de series infinitas y de la derivada. En 1821, Cauchy exhibe su famoso contraejemplo a la afirmación de Lagrange que funciones distintas tenían series de potencias distintas: ( −2 si x ∈ R r {0} e−x f (x) = 0 si x = 0. Esta función tiene la misma serie de potencias, en x = 0, que la función idénticamente nula g(x) = 0 ([53]).

2.1.8. k ◮ Funciones analíticas nunca prolongables

Sea Ω ⊆ CN un conjunto no vacío, abierto y conexo. Recordemos que una sucesión ( fn )∞ n=1 de funciones a valores complejos definidas sobre Ω se dice que converge a f uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω si para cualquier compacto K ⊆ Ω y para cada ε > 0, existe un entero positivo N1 = N1 (K, ε) tal que | fn (z) − f (z)| < ε para todo z ∈ K siempre que n ≥ N1 . Como siempre, el espacio de las funciones continuas a valores complejos definidas sobre Ω será denotado por CC (Ω). Éste espacio puede ser dotado de una métrica bajo la cual una sucesión converge en dicha métrica si, y sólo si, ella converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω. Para obtener tal métrica sobre CC (Ω) lo S∞ que se hace es construir una sucesión (Gn )∞ n=1 de subconjuntos abiertos de Ω tal que C = n=1 Gn , Gn es compacto para cada n ∈ N y se cumpla, además, que Gn ⊆ Gn+1 (véase, [240], Th. 13.3, p.285). Si ahora definimos, para cada n ∈ N, dn ( f , g) = sup | f (z) − g(z)|, z∈Gn

f , g ∈ CC (Ω)

el cual es finito pues la clausura de Gn es un subconjunto compacto de G, resulta que ρ( f , g) =

∞

dn ( f , g)

∑ 2−n 1 + dn( f , g)

n=1

f , g ∈ CC (Ω)

es la métrica buscada. Recordemos que una función f : Ω → C es holomorfa o analítica en Ω si el límite f ′ (z0 ) = l´ım

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

existe para todo z0 ∈ Ω. Si denotamos por H(Ω) el subespacio vectorial complejo de CC (Ω) formado de todas las funciones que son holomorfas o analíticas en Ω, entonces (H(Ω), ρ) resulta ser un espacio métrico completo, en particular, un espacio de Baire. Diremos que f ∈ H(Ω) admite prolongación analítica si existe un dominio (= abierto conexo) e conteniendo a Ω, de modo que Ω e r Ω tenga interior no vacío, y existe una e e que es una Ω f ∈ H(Ω)

74

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

extensión de f ; es decir, fe(z) = f (z) para todo z ∈ Ω. Nuestro objetivo en esta parte es demostrar que las funciones analíticas que no admiten prolongación analítica forman un conjunto residual. Antes necesitamos recordar que una conjunto F ⊆ H(Ω) se llama una familia normal si cualquier sucesión de miembros de F contiene una subsucesión la cual converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω. En el siguiente teorema haremos uso de un resultado clásico debido a P. Montel ([240], Theorem 14.6, p. 300) que dice lo siguiente: k◮ Teorema de Montel. Sea F ⊆ H(Ω) y suponga que F es uniformemente acotada sobre cada subconjunto compacto de Ω. Entonces F es una familia normal. Teorema 2.1.10. Sea Ω ⊆ CN un conjunto no vacío, abierto y conexo. Si definimos el conjunto SΩ por SΩ = { f ∈ H(Ω) : f admite prolongación analítica}, entonces: o bien SΩ = H(Ω), o bien SΩ es un subconjunto de primera categoría en H(Ω). Prueba. Siguiendo la tradición, designemos, como siempre, por D la bola unitaria abierta de CN ; es decir, D = {z ∈ CN : |z| < 1}. Seleccionemos una sucesión densa (zn )∞ n=1 en la frontera ∂D de D y para enteros positivos arbitrarios m, n, p definamos n  1  Hnmp = f ∈ H(Ω) : existe fe ∈ H Ω ∪ (zn + D) m 1 o tal que e f Ω = f y e f (z) ≤ p para todo z ∈ zn + D . m

Nuestra primera tarea es demostrar que cada Hnmp es cerrado en H(Ω). En efecto, sea ( fk )∞ k=1 una sucesión en Hnmp convergiendo a una función f ∈ H(Ω). Se sigue, por definición, que la sucesión ( e fk )∞ k=1 1 está uniformemente acotada en cada compacto de Ω ∪ (zn + m D). Gracias al Teorema de Montel, existe
1 e ∞ e e una subsucesión ( e fnk )∞ k=1 de ( fn )n=1 tal que fnk → f en H Ω ∪ (zn + m D) . Es claro entonces que la función f ∈ Hnmp , por lo que Hnmp resulta ser cerrado en H(Ω). El siguiente objetivo es probar que SΩ =

∞ [ ∞ [

Enm ,

m=1 n=1

donde Enm =

∞ [

p=1

Hnmp . Para ver esto último, notemos que cualesquiera sean m, n ∈ N, se tiene que Enm ⊆

SΩ y, por consiguiente,

∞ [ ∞ [

m=1 n=1

Enm ⊆ SΩ .

e conteniendo a Ω y una fe ∈ H(Ω) e que es una Por otro lado, sea f ∈ H(Ω). Entonces existe un dominio Ω e 6= ∅. Sea zn ∈ ∂Ω ∩ Ω, e y escojamos un r > 0 de modo que la bola extensión de f . Es claro que ∂Ω ∩ Ω e cerrada de centro zn y radio r esté contenida en Ω. Si ahora elegimos m ∈ N tal que m1 < r, resultará que fe Dnm ∈ H(Ω ∩ Dnm ) es acotada, donde Dnm = zn + m1 D. Esto prueba que f ∈ Enm y así, SΩ =

∞ [ ∞ [

m=1 n=1

Enm .

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

75

Observemos, además, que cada Enm es un subespacio vectorial de H(Ω). Lo probado anterior nos conduce a examinar las dos siguientes posibilidades: a) o bien todos los Hnmp tienen interior vacío, en cuyo caso SΩ es de primera categoría, b) o bien existen m, n, p ∈ N tal que Hnmp tienen interior no vacío. En este caso, el subespacio vectorial Enm tiene interior no vacío y, en consecuencia, forzosamente coincide con H(Ω).  Notemos que si SΩ = H(Ω), entonces SΩ = Enm = H(Ω) para algún par de enteros positivos n, m y, por consiguiente, toda f ∈ H(Ω) se prolonga a una función analítica acotada sobre Ω ∪ (zn + m1 D). Si para cada zn existe una fn ∈ H(Ω) tal que l´ımzn →z | fn (z)| = ∞, entonces SΩ es de primera categoría en H(Ω) y, por tanto, existe una f ∈ H(Ω) que no admite prolongación analítica. En efecto, la hipótesis implica que Enm 6= H(Ω), para todo valor de n y m en N.

Si N = 1, entonces siempre SΩ es de primera categoría en H(Ω) y se sigue del Teorema de Categoría de Baire que H(Ω) r SΩ es residual en H(Ω); es decir, Teorema 2.1.11 (Kierst-Szpirajn). Si Ω ⊆ C es conjunto no vacío, abierto y conexo, entonces el conjunto NE(Ω) de todas las funciones f ∈ H(Ω) que no admiten prolongación analítica sobre Ω es residual en H(Ω). De la observación hecha en el parágrafo anterior, se sigue que sólo en CN , con N ≥ 2, pueden existir (y de hecho existen) dominios Ω tales que SΩ = H(Ω).

2.1.9. k ◮ Orbitas y operadores hipercíclicos En la teoría de operadores, el problema abierto más importante es el problema del subespacio invariante. Recordemos que si X es un espacio de Banach, T un operador lineal continuo sobre X y M es un subconjunto de X , entonces se dice que M es invariante con respecto a T si T (M) ⊆ M. El conjunto M es no trivial si {0} = 6 M 6= X . Problema del Subespacio Invariante. Sea T un operador sobre un espacio de Hilbert H de dimensión infinita. ¿Existe un subespacio cerrado no trivial invariante con respecto a T ?. Es fácil ver que el Problema del Subespacio Invariante tiene sentido sólamente para espacios de dimensión infinita separables. En efecto, si H es no separable y x ∈ H es cualquier vector no cero, entonces los vectores x, T x, T 2 x, . . . generan un subespacio cerrado no trivial invariante con respecto a T . Observe que si H es un espacio de Hilbert sobre los complejos con dim(H) < ∞, entonces T posee al menos un autovalor y el autovector correspondiente genera un subespacio no trivial invariante con respecto a T de dimensión 1. Es importante destacar que en ciertos espacios de Banach separables que no son espacios de Hilbert, se han construidos operadores sin subespacios cerrados invariantes no triviales. Tales ejemplos fueron dados a conocer por P. Enflo [87], B. Beauzamy [28] y C. J. Read [226]. Sin embargo el Problema del Subespacio Invariante sigue abierto para espacios de Hilbert separables de dimensión infinita. Fijemos ahora un espacio de Banach separable X de dimensión infinita y sea T ∈ L(X ). Estamos interesado en el comportamiento de la sucesión I, T, T 2 , T 3 , . . .

76

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

donde T n denota la composición de T consigo mismo n veces. De interés particular es la noción de órbita del operador T . Toda sucesión de la forma {x, T x, T 2 x, . . .}, donde x es un vector fijo de X es llamada una órbita de T y denotada de ahora en adelante por Orb(T,x). Notemos que un operador T ∈ L(X ) no posee subespacio cerrado invariante no trivial si, y sólo si, todas las órbitas correspondientes a vectores no ceros generan todo el espacio. Es por esto que, desde este punto de vista, las órbitas nos proporcionan la información básica para estudiar la estructura de un operador. Teorema 2.1.12. Sean X un espacio de Banach, T ∈ L(X ) y (an )∞ n=1 una sucesión de números reales positivos tal que l´ımn→∞ an = 0. Entonces, el conjunto  M = x ∈ X : k T n xk ≥ an k T n k para infinitos n′ s es residual en X .

Prueba. Observe que la conclusión es inmediata si nuestro operador T es nilpotente. Supongamos entonces que T n 6= 0 para todo n ∈ N. Para cada k ∈ N, definamos  Mk = x ∈ X : existe n ≥ k tal que k T n xk ≥ an k T n k .

Es claro que cada Mk es un conjunto abierto en X . Veamos que ellos también son densos en X . En efecto, fijemos k ∈ N y sean x ∈ X y ε > 0. Puesto que l´ımn→∞ an = 0, podemos escoger un n ≥ k tal que an ε−1 < 1. Por otro lado, puesto que an ε−1 k T n k < k T n k = supz∈SX k T n zk existe un z ∈ X de norma 1 tal que k T n zk > an ε−1 k T n k. Por esto, 2an k T n k < k T n (2εz)k = k T n (x + εz − (x − εz))k ≤ k T n (x + εz)k + kT n (x − εz)k , y se sigue que k T n (x + εz)k > an k T n k o k T n (x − εz)k > an k T n k. De allí se deduce que, x + εz ∈ Mk o bien x − εz ∈ Mk . En cualquier caso tenemos que dist(x, Mk ) ≤ ε y ya que x y ε eran arbitrarios, concluimos que Mk es denso en X . Un llamado al Teorema de Categoría de Baire nos dice que ∞ \

k=1

 Mk = x ∈ X : k T n xk ≥ an k T n k para infinitos n′ s

es un conjunto Gδ -denso de X . Recordemos que el espectro de un operador T ∈ L(X ), se define como  σ(T ) = λ ∈ C : T − λI es no invertible



y que cuando X es un espacio de Banach sobre los complejos, entonces σ(T ) es no vacío y compacto. También recordemos que r(T ) = m´ax{|λ| : λ ∈ σ(T )} denota el radio espectral de T y que la fórmula del radio espectral viene dada por r(T ) = l´ımn→∞ k T n k1/n = ´ınfn→∞ k T n k1/n . En general, si x ∈ X , entonces no siempre es cierto que el límite l´ımn→∞ k T n xk1/n existe, sin embargo, l´ım supn→∞ k T n xk1/n siempre existe y es denotado por rx (T ). A tal número se le llama el radio espectral local de T en x. Un hecho fácil de verificar es que rx (T ) ≤ r(T ) para todo x ∈ X . Lo realmente interesante es el siguiente resultado demostrado por P. Vrbová [269]

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

77

Corolario 2.1.2 (Vrbová). Sean X un espacio de Banach sobre los complejos y T ∈ L(X ). Entonces, el  conjunto Rσ (T ) = x ∈ X : rx (T ) = r(T ) es residual en X . Prueba. Para cada n ∈ N, definamos an = n−1 . Por el Teorema 2.1.12, existe un subconjunto residual M ⊆ X tal que para cada x ∈ M se cumple que k T n xk ≥ n−1 k T n k para infinitos n′ s. De esto se sigue que n

rx (T ) = l´ım sup k T xk n→∞

1/n



k T nk ≥ l´ım sup n n→∞

1/n

= r(T ) 

para todo x ∈ M.

El estudio de los operadores hipercíclicos es el estudio de los operadores que poseen órbitas densas. Este concepto está motivado, históricamente, por el estudio de los subespacios invariantes y, en el presente, constituye un campo muy amplio de desarrollo dentro de la teoría de los operadores. Los resultados sobre operadores que expondremos en esta sección estarán formulados fundamentalmente sobre espacios de Banach separables de dimensión infinita, aunque tales resultados se pueden obtener sobre espacios más generales tales como los espacios de Fréchet (= espacios vectoriales topológicos localmente convexos, metrizables y completos) a los que llamaremos simplemente F-espacios. Recordemos que una función f : C → C se llama entera si f ∈ H(C). Durante la primera mitad del siglo XX, G. B. Birkhoff y G. Maclane demostraron que ciertas funciones enteras pueden aproximar cualquier otra función entera bajo un cierto proceso de límite. En forma concreta, G. B. Birkhoff [33] estableció, en 1929, el siguiente resultado: Teorema de Birkhoff. Existe una función entera f ∈ H(C) con la propiedad de que el conjunto de sus trasladados T f = { f (z), f (z + 1), f (z + 2), . . .} es denso en H(C).

mientras que G. MacLane, 25 años más tarde, probó un resultado análogo para derivadas:

Teorema de MacLane. Existe una función entera f ∈ H(C) tal que el conjunto de todas sus derivadas T = { f , f ′ , . . . , f (n) , . . .} es denso en H(C).

Ambos resultados pueden ser considerados como ejemplos de un fenómeno que ha resultado ser significativamente importante en el campo de la teoría de operadores: la noción de operador hipercíclico. Sin embargo, no fue sino hasta mediados de los años 80 del siglo XX cuando la teoría de los operadores hipercíclicos comienza a hacerse coherente. Definición 2.1.6. Sea X un espacio vectorial topológico de Hausdorff. Un operador lineal y continuo T : X → X se llama hipercíclico si existe un vector x ∈ X cuya órbita bajo T , Orb(T, x) := {x, T x, T 2 x, . . .} es densa en X . Un vector x ∈ X para el cual Orb(T, x) es denso en X , se llama hipercíclico o universal para T . Al conjunto de todos los vectores hipercíclicos (o universales) de T lo denotaremos por HC(T ), mientras que LHC (X ) denotará el conjunto de todos los operadores hipercíclicos sobre X . Observación 2.1.8. (1) Puesto que la definición de operador hipercíclico impone la existencia de un vector universal x ∈ X tal que el conjunto Orb(T, x) sea denso, el cual es, además, numerable por definición, entonces nuestro espacio X es, necesariamente, separable; es decir, operadores hipercíclicos sólo pueden existir en espacios separables.

78

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire (2) La segunda observación, menos obvia, es que X debe ser un espacio de dimensión infinita, ya que no existen operadores hipercíclicos sobre espacios de dimensión finita (la demostración se da más abajo). Esto nos dice que la propiedad de ser hipercíclico es un fenómeno infinitodimensional. (3) Otra condición que se necesita imponerle a X es que dicho espacio sea completamente metrizable, debido a que varios resultados fundamentales sobre hiperciclicidad requieren del Teorema de Categoría de Baire. (4) Finalmente, queremos hacer notar que si X es un espacio métrico, completo, separable sin puntos aislados y T : X → X es un operador hipercíclico, entonces, por el Corolario 1.2.3, página 19, cada órbita Orb(T, x) es un conjunto denso numerable el cual es un Fσ pero nunca un Gδ . Más aun, como X no posee puntos aislados, entonces él es no numerable y, por consiguiente, la densidad de Orb(T, x) no se destruye si de él eliminamos un subconjunto finito de sus puntos. De lo anterior se sigue que, si x ∈ HC(T ), entonces T m x ∈ HC(T ) para cualquier entero m ≥ 1, pues Orb(T, x) r Orb(T m , x) es finito para cualquier m ∈ N. Esto nos dice que Orb(T, x) ⊆ HC(T ) y por lo tanto, HC(T ), el conjunto de todos los vectores hipercíclicos de T , es denso en X .

En lo inmediato demostraremos por qué no existen operadores hipercíclicos sobre espacios vectoriales topológicos de dimensión finita. El siguiente resultado fue probado por C. Kitai en su tesis doctoral [162]. Teorema 2.1.13 (Kitai). Sean (X , k·k) un espacio de Banach separable y T : X → X un operador hipercíclico. Entonces el operador adjunto T ∗ : X ∗ → X ∗ no posee autovalores. Prueba. Supongamos que X es sobre C y que T ∗ posee un autovalor λ. Sea x∗ ∈ X ∗ un autovector asociado a λ; es decir, T ∗ (x∗ ) = λx∗ . Fijemos ahora un vector hipercíclico para T , digamos x ∈ X . Entonces la órbita x respecto a T , Orb(T, x), es densa en X y como x∗ es una aplicación continua, el conjunto  D = x∗ (x), x∗ (T x), x∗ (T 2 x), . . .

es denso en C, ya que la imagen bajo una aplicación continua de un conjunto denso es denso. Por otro lado, como x∗ (T x) = T ∗ x∗ (x) y (T n )∗ = (T ∗ )n para todo n ∈ N, resulta que  ∗ n   x (T x) : n = 0, 1, 2, . . . = (T ∗ )n x∗ (x) : n = 0, 1, 2, . . . = λn x∗ (x) : n = 0, 1, 2, . . .

y, por supuesto, el último conjunto no es denso en C. Esta contradicción establece que T ∗ no puede poseer autovalores. El caso real se prueba de manera similar, (véase por ejemplo, [180], p. 69).  Puesto que todo operador sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita posee al menos un autovalor, el siguiente resultado, el cual fue probado por Rolewicz [235] en 1969, sigue inmediatamente del teorema anterior. Corolario 2.1.3 (Rolewicz). Ningún operador sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita puede ser hipercíclico La observación hecha anteriormente combinada con éste último resultado nos permite concluir, en el contexto de los F-espacios (en particular, en los espacios de Banach), que si T : X → X es un operador hipercíclico, entonces necesariamente nuestro espacio X debe ser tanto separable como de dimensión

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

79

infinita. Por esta razón, y a partir de este momento, todos nuestros F-espacios serán separables de dimensión infinita. Rolewicz, en [235], se pregunta si éstas pueden o deben ser las únicas restricciones sobre X ; es decir, si dado cualquier F-espacio separable de dimensión infinita existe un operador definido sobre dicho espacio que sea hipercíclico. La respuesta, dada recientemente, es afirmativa. Varios investigadores son responsables de ese resultado entre quienes se encuentran S. I. Ansari, L. Bernal-González, M. Gethner, J. H. Shapiro, J. Bonet, A. Peris, etc. (véase [111], p. 360). El siguiente resultado, demostrado por primera vez por C. Kitai en su tesis doctoral de 1982 [162], y posteriormente redescubierto por R. M. Gethner y J. H. Shapiro en [103], permite demostrar los teoremas de Birkhoff y MacLane de un modo simple. Teorema 2.1.14 (Kitai-Gethner-Shapiro). Sean X un espacio de Banach separable de dimensión infinita y T : X → X un operador lineal continuo. Suponga que existe un subconjunto norma-denso D de X y un operador lineal continuo S : X → X tal que (a) T S = I, donde I es el operador identidad sobre X ,

(b) l´ımn→∞ k T n xk = 0 y l´ımn→∞ k Sn xk = 0 para cualquier x ∈ D. Entonces T es hipercíclico. Prueba. Puesto que X es norma-separable, existe una sucesión (xn )∞ n=1 densa en dicho espacio. Para cada j, m, k ∈ N, definamos el conjunto F( j, m, k) = =

∞  [

n=m ∞ [ n=m

x ∈ X : T n x − x j < 1/k


T −n U (x j , 1/k) ,

donde, como siempre, U (a, r) es la bola abierta con
centro en a y radio r. De la continuidad de T se sigue que para todo n ∈ N, el conjunto T −n U (x j , 1/k) es abierto en X y, por consiguiente, también lo es el conjunto F( j, m, k). Veamos que también ellos son densos en X . En efecto, fijemos j, m, k ∈ N y sea V un conjunto abierto no vacío de X . Sean z ∈ V y U (z, ε) una bola abierta arbitraria contenida en V , con ε > 0. Por la densidad de la sucesión (xn )∞ n=1 , existen y0 y z0 en D tales que,

x j − y0 < 1/2k, y0 6= x j . k z − z0 k < ε/2 y Puesto que T n y Sn convergen puntualmente a 0 sobre D, podemos escoger un entero positivo n tal que k T n z0 k < 1/2k

y

k Sn y0 k < ε/2.

El vector x ∈ X definido por x = Sn y0 + z0 satisface k x − zk ≤ k x − z0 k + k z0 − zk = k Sn y0 k + k z0 − zk < ε/2 + ε/2 = ε, es decir, x ∈ V . Finalmente, como T S = I, entonces también T n Sn = I y, en consecuencia,

n





T x − x j = T n (Sn y0 + z0 ) − x j = T n Sn y0 − x j + T n z0

≤ y0 − x j + k T n z0 k < 1/2k + 1/2k = 1/k.

80

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Esto prueba que x ∈ F( j, m, k) ∩ V ; es decir, F( j, m, k) es denso en X . Por el Teorema de Categoría de Baire, \ \ \ F( j, m, k) 6= ∅ HC(T ) = j=1 k=1 m=1

es un Gδ -denso en X , lo que confirma que T es hipercíclico.



Usando el resultado anterior es fácil demostrar el Teorema de MacLane. En efecto, si X = H(C), D es el conjunto de los polinomios holomorfos en H(C), T es el operador diferenciación sobre H(C) y S : H(C) → H(C) es el operador integración definido, para cualquier z0 fijo en C, por S f (z) =

Z z

f (ζ) dζ

z0

para todo f ∈ H(C) y z ∈ C,

entonces, por el Teorema 2.1.14, T es hipercíclico. Un argumento similar trabaja para demostrar el Teorema de Birkhoff, siempre que S sea el operador traslación por −n; es decir, S f (z) = f (z − n) para todo z ∈ C, y D es el subespacio lineal generado por las funciones enteras fm,k , definidas por    z m+1 z −1 sen z ∈ C, fm,k (z) = zm k k donde k, m son enteros con k > 0 y m ≥ 0 (véase, [103], p. 284).

La noción de operador hipercíclico está estrechamente relacionada a un concepto de transitividad topológica ampliamente conocido en el estudio de dinámica topológica. El concepto de transitividad topológica parece que fue utilizado por primera por G. D. Birkhoff en 1920. Definición 2.1.7. Sea X un espacio vectorial topológico. Un operador T : X → X se llama topológicamente transitivo, o simplemente transitivo, si para cada par de subconjuntos abiertos no vacíos U y V de X , existe algún n ∈ N tal que T n (U ) ∩V 6= ∅. Es fácil ver que cualquier operador hipercíclico es transitivo, aunque el recíproco no es necesariamente cierto. Sin embargo, en muchos espacios los dos conceptos coinciden. Teorema 2.1.15 (Teorema de Transitividad de Birkhoff). Sean X un F-espacio de dimensión infinita y T : X → X un operador lineal continuo. Son equivalentes: (1) T es hipercíclico. (2) T es transitivo. Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que T es hipercíclico y sea x ∈ X tal que su órbita Orb(T, x) es densa en X . Sean U y V abiertos no vacíos de X . Como Orb(T, x) es denso en X , resulta que Orb(T, x) ∩U 6= ∅ y, en consecuencia, existe k ∈ N tal que T k x ∈ U . Por otro lado, como X no posee puntos aislados, tenemos que Orb(T, x) r Orb(T, T k x) es finito y, en consecuencia, Orb(T, T k x) = {T m x : m ≥ k} también es denso en X . Por esto, Orb(T, T k x) ∩ V 6= ∅, y entonces podemos determinar la existencia de un n ∈ N tal que T k+n x = T n (T k x) ∈ V . Tomando y = T k x ∈ U , vemos que T n y ∈ V , y por lo tanto T n (U ) ∩V 6= ∅. Esto prueba que T es transitivo. (2) ⇒ (1). Supongamos que T es transitivo. Como X es separable podemos elegir un subconjunto denso numerable D = {x1 , x2 , . . .} de X . Sea {Vn : n ∈ N} la familia de todas las bolas abiertas con centro en puntos de D y radio racional. Definamos, para cada n ∈ N, el conjunto Gn =

∞ [

m=1

T −m (Vn ).

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

81

Vamos a probar que cada Gn es abierto y denso en X . Como cada T m es un operador lineal continuo, resulta que T −m (Vn ) es abierto y, en consecuencia, Gn es abierto. Para probar que Gn es denso en X , tomemos un abierto no vacío V de X y probemos que Gn ∩V 6= ∅. Siendo T transitivo, existe m ∈ N tal que T m (U ) ∩Vn 6= ∅ y, por consiguiente, existe x ∈ U tal que T m x ∈ Vn . De aquí se sigue que x ∈ Gn ∩U y, así, Gn es denso en X . Puesto que X un espacio de Baire, se sigue del Teorema de Categoría de Baire que G=

∞ \

Gn

n=1

es un Gδ -denso en X . Veamos que cada punto x ∈ G tiene órbita, respecto de T , densa en X . En efecto, sean x ∈ G y U un subconjunto abierto no vacío de X . Como {Vn : n ∈ N} forma una base de X , existe un entero positivo n0 tal que Vn0 ⊆ U . Ya que x ∈ G ⊆ Gn0 , existe un m ∈ N tal que T m x ∈ Vn0 ⊆ U . Esto prueba que Orb(T, x) ∩U 6= ∅ y termina la prueba.  Sean X un F-espacio separable de dimensión infinita y T : X → X un operador lineal continuo. Ya hemos visto, de nuestra previa observación, que HC(T ) es un subconjunto denso de X . Podemos, de hecho, afirmar que efectivamente, HC(T ) es un Gδ -denso. En efecto, del resultado anterior se deduce fácilmente que HC(T ) =

∞ [ ∞ \

T −m (Vn ),

n=1 m=1

donde {Vn : n ∈ N} es cualquier base numerable para la topología de X . Esto prueba que HC(T ) es un Gδ -denso en X . Además, siendo HC(T ) un Gδ -denso viviendo en un espacio métrico completo sin puntos aislados, él es no numerable, gracias al Teorema 1.2.7. Tomemos ahora cualquier x ∈ X . Entonces HC(T ) + x sigue siendo un Gδ -denso en X , pues la traslación por x es un homeomorfismo. Por el Teorema de Categoría de Baire, la intersección
HC(T ) + x ∩ HC(T ) es, de nuevo, un Gδ -denso en X . Elijamos z ∈ (HC(T ) + x) ∩ HC(T ). Entonces, puesto que tanto z, así como x − z, están en HC(T ), resulta que x = (x − z) + z ∈ HC(T ) + HC(T ), por lo que X = HC(T ) + HC(T ). Finalmente, si (Tn )∞ n=1 es una sucesión de operadores hipercíclicos sobre X , entonces cada HC(Tn ) es un Gδ -denso de X y, por el Teorema 1.2.1, el conjunto HC∞ =

∞ \

HC(Tn )

n=1

es un Gδ -denso común a todos los Tn ; es decir, cada x ∈ HC∞ es un vector hipercíclico para todo Tn , n ∈ N. Lo expuesto anteriormente lo podemos resumir en el siguiente teorema. Teorema 2.1.16. Sean X un espacio de Banach separable de dimensión infinita y T : X → X un operador hipercíclico. Entonces: (a) HC(T ) es un Gδ -denso de X .

82

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

(b) Cualquier vector en X es la suma de dos vectores hipercíclicos; es decir, X = HC(T ) + HC(T ). (c) Si (Tn )∞ n=1 es una sucesión de operadores hipercíclicos sobre X , entonces existe un vector en X que es hipercíclico para cada Tn , n ∈ N. De hecho, el conjunto de todos los vectores hipercíclicos, HC∞ , que son comunes a todos los Tn , es un Gδ -denso de X . Situándonos de nuevo en el caso en que X es un espacio de Banach separable de dimensión infinita y T : X → X es un operador hipercíclico, la afirmación (b) del resultado anterior nos revela que hiperciclicidad no es un fenómeno lineal, es decir, la suma de dos vectores hipercíclicos no es necesariamente un vector hipercíclico. No obstante surge, como en el caso de las funciones continuas nunca diferenciables, la pregunta de si HC(T ) contiene algún subespacio vectorial de dimensión infinita compuesto sólo de vectores hipercíclicos con excepción del vector cero el cual, por supuesto, nunca es hipercíclico. La respuesta es positiva y fue dada por B. Beauzamy en [27], quien exhibió un operador T sobre un espacio de Hilbert complejo con un subespacio vectorial denso, invariante bajo T y compuesto sólo de vectores hipercíclicos. Posteriormente varios matemáticos, entre ellos, Godefroy y Shapiro, Herrero, Bourdon, Bès y Wengenroth producen la respuesta más general conocida hasta el momento (véase, por ejemplo, [110], p. 356). La idea clave fue tomar un vector hipercíclico x y estudiar el subespacio denso e invariante    x, T x, T 2 x, . . . = p(T )x : p es un polinomio complejo , donde [A] es el espacio lineal generado por el conjunto A. Definiendo subespacio hipercíclico como el subespacio lineal en el cual cualquier vector no cero es hipercíclico, tenemos que:

Teorema 2.1.17 (Herrero, Bourdon, Bès, Wengenroth). Sean X un espacio de Banach separable de dimensión infinita y T : X → X un operador hipercíclico. (1) Si x ∈ HC(T ), entonces p(T )x ∈ HC(T ) para cualquier polinomio no nulo p.

(2) HC(T ) contiene subespacio hipercíclico de dimensión infinita denso en X e invariante bajo T . Prueba. (1). Supongamos que X es un espacio de Banach sobre C. Sean x ∈ HC(T ) y p cualquier polinomio no nulo. Como T conmuta con p(T ) tenemos que T n p(T )x = p(T )T n x, y, por consiguiente,

para todo n ∈ N,


Orb(T, p(T )x) = p(T ) Orb(T, x) ,

es decir, la órbita del vector p(T )x bajo T es la imagen por p(T ) de la órbita del vector x bajo T . Vamos a probar que p(T ) : X → X tiene rango denso en X . Para ello notemos en primer lugar que si λ ∈ C, entonces T − λI tiene rango denso en X . En efecto, supongamos que T − λI no tiene rango denso en X . Entonces F := Im(T − λI) es un subespacio propio cerrado de X y, por el Teorema de Hahn-Banach, existe x∗ ∈ X ∗ no nulo tal que x∗ (y) = 0 para todo y ∈ F. En particular, x∗ (T x − λx) = 0,

para todo x ∈ X,

x∗ (T x) = λx∗ (x),

para todo x ∈ X.

de donde se sigue que

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

83

Pero como T ∗ x∗ (x) = x∗ (T x) = λx∗ (x),

para todo x ∈ X

tenemos que T ∗ x∗ = λx∗ , lo cual prueba que T ∗ posee un autovalor contradiciendo así el Teorema 2.1.13. Esto prueba que T − λI tiene rango denso en X para cualquier complejo λ. Para terminar la prueba, escribamos p(T ) en la forma p(T ) = (T − λ1 I) · · · (T − λn I) donde λ1 , . . . , λn son las raíces del polinomio p. Por lo probado anteriormente, tenemos que cada factor T − λi I tiene rango denso en X y, en consecuencia, p(T )
también posee rango denso en X . Finalmente, como Orb(T, x) es denso en X , entonces p(T ) Orb(T, x) = Orb(T, p(T )x) es denso en X . Esto termina la prueba para el caso complejo. El caso cuando X es sobre R también es válido y la prueba puede verse en [180]. (2). Sea x ∈ HC(T ). El subespacio hipercíclico que necesitamos es el siguiente:  V = p(T )x : p es un polinomio .

Claramente V es un subespacio de X invariante bajo T . Por (1), p(T )x ∈ HC(T ) para cualquier polinomio p y, entonces, V es denso en X pues contiene al conjunto denso Orb(T, p(T )x). 

Acabamos de ver que HC(T ) contiene un espacio vectorial denso de dimensión infinita, pero no siempre dicho espacio vectorial es cerrado. En efecto, el operador de Rolewicz B 2 : ℓ2 → ℓ2 ,

B2 (x1 , x2 , . . .) = 2(x2 , x3 , . . .),

es un operador hipercíclico para el cual HC(B2 ) contiene un espacio vectorial de dimensión infinita que no es cerrado, véase [190]. Observación 2.1.9. El Teorema de Birkhoff puede ser reestablecido en el lenguaje de los operadores hipercíclicos del modo siguiente: el operador traslación Tn : H(C) → H(C), n ∈ N, definido por Tn ( f )(z) = f (n+ z) es hipercíclico. Puesto que, para cada n ∈ N, HC(Tn ) es un Gδ -denso en H(C), el Teorema de Categoría de Baire, Teorema 1.2.1, página 14, nos dice que ∞ \

HC(Tn )

n=1

también es un Gδ -denso (véase, Teorema 2.1.16 (c)). Por consiguiente, existen abundantes vectores hipercíclicos comunes a todos los Tn . El resultado anterior puede ser generalizado para familia no numerables de operadores traslación. En efecto, si para cada α ∈ C, α 6= 0, el operador Tα : H(C) → H(C), es definido por Tα ( f )(z) = f (z + α), resulta que la familia no numerable (Tα )α∈C\{0} de operadores hipercíclicos posee, como en el caso anterior, abundantes vectores hipercíclicos común a todos ellos. Este hecho fue demostrado por G. Costakis y M. Sambarino en [64]: Teorema de Costakis-Sambarino. Existe un conjunto Gδ -denso G ⊆ H(C) tal que G⊆

\

α∈C\{0}

HC(Tα ).

84

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire A la misma conclusión llegan los autores anteriores para el Teorema de Maclane referente a los operadores de diferenciación. Teorema de Costakis-Sambarino. Existe un conjunto Gδ -denso G ⊆ H(C) tal que G⊆

\

HC(Dα ),

α∈C\{0}

donde, para cada α ∈ C \ {0}, el operador Dα : H(C) → H(C) viene dado por la igualdad Dα ( f )(z) = α f ′ (z) para todo z ∈ C. Muchas otras situaciones que conciernen a la residualidad de vectores hipercíclicos pueden ser consultadas en [111], [110] y las referencias allí citadas. Por ejemplo, Abakumov y Gordon [3], dando respuesta a un problema planteado por Salas [245], han demostrado la existencia de vectores hipercíclicos comunes en ℓ2 para la familia no numerable {λB : |λ| > 1}, donde B es el operador de Rolewicz (unilateral backward shift) actuando sobre ℓ p , 1 ≤ p < ∞. Por otro lado, Bayart [20] demuestra que la familia no numerable {λT : |λ| > 1}, posee un vector hipercíclico común, donde T = Mφ∗ es el adjunto de un operador multiplicación sobre el espacio de Hardy H 2 (D) por una función interna φ. Recordemos que si f es una función analítica sobre el disco unitario D con φ(D) ⊆ D, entonces la ecuación Cφ ( f ) = f ◦ φ define un operador de composición Cφ sobre el espacio H(D). Aunque Bayart [20] ha demostrado que los operadores de composición invertibles sobre el espacio de Hardy H 2 (D) no admite un vector hipercíclico común, sin embargo, E. Gallardo Gutiérrez y J. R. Partington [98] demuestran que: Teorema. Sea φ una función interna tal que φ(0) = 0 y φ distinta de la función identidad. Entonces la familia {λCφ∗ : |φ| > 1} actuando sobre H02 (D) = { f ∈ H 2 (D) : f (0) = 0} posee un conjunto residual de vectores hipercíclicos comunes. Queremos finalizar esta sección haciendo mención sobre el siguiente hecho. Uno de los criterios más práctico para determinar si un operador dado es hipercíclico es el “Criterio de Hiperciclicidad”. Quien primero lo aisló fue C. Kitay en [162] y se expresa del siguiente modo: Teorema 2.1.18 (Criterio de Hiperciclicidad). Sean X un espacio de Banach separable y T ∈ L(X ). Suponga que existen conjuntos densos D1 y D2 en X y una sucesión creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos tal que: (1) l´ımk→∞ T nk (z) = 0 para todo z ∈ D1 , y

(2) para cada z ∈ D2 , existe una sucesión (xk )∞ k=1 en X tal que l´ım xk = 0

k→∞

y

l´ım T nk (xk ) = z.

k→∞

Entonces T es hipercíclico. Es un hecho no trivial aunque no difícil de probar de que si T ∈ L(X ) satisface el Criterio de L L Hiperciclicidad, entonces el operador T T (actuando sobre X X ) es hipercíclico. En [30], J. L Bès y A. Peris demuestran el recíproco: si T T es hipercíclico, entonces T satisface el Criterio de Hiperciclicidad.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes El siguiente problema, originalmente propuesto por Domingo Herrero en [124] en la forma T ha sido considerado como una de las cuestiones más interesantes en Dinámica Lineal.

85 L

T

Problema. Sean X un espacio de Fréchet separable y T ∈ L(X ). Si T es hipercíclico, ¿es verdad L que T satisface el Criterio de Hiperciclicidad?. De modo equivalente, ¿ es T T hipercíclico siempre que T lo es?. Muy recientemente, M. De La Rosa y C. Read [66] han demostrado que dicho Problema tiene una respuesta negativa al construir un espacio de Banach X y un operador hipercíclico T ∈ L(X ) L tal que T T no es hipercíclico, es decir, tal T no satisface el Criterio de Hiperciclicidad. Más ejemplos sobre operadores hipercíclicos que no satisfacen el Criterio de Hiperciclicidad puede ser consultado en [24].

2.1.10. k ◮ Series de Fourier divergentes En 1873, P. du Bois Reymond exhibe el primer ejemplo de una función continua definida sobre [−π, π] cuya serie de Fourier diverge en un punto. La existencia de una tal función se prueba sin mucha dificultad usando el Principio de Acotación Uniforme el cual, como ya hemos visto, se soporta sobre el Teorema de Categoría de Baire. De hecho, usando el Teorema de Categoría de Baire se demuestra la abundancia (= conjunto residual o genérico) de funciones continuas que posee un conjunto Gδ -denso de puntos de no convergencia ([48], pág. 684), aunque dicho conjunto tiene medida de Lebesgue cero. Para terminar de hacer el panorama más complicado, A. Kolmogorov, en 1922, cuando apenas contaba con 19 años de edad (véase, [163], [268]), produce el primer ejemplo de una función f ∈ L1 [−π, π] cuya serie de Fourier diverge casi-siempre (en el sentido de la medida de Lebesgue) en [−π, π], aunque, como comenta el propio Kolmogorov, a él no le fue posible construir una serie de Fourier siempre divergente. Tres años más tarde, en 1926, Kolmogorov anuncia (sin prueba), en el artículo [164], la existencia de una serie de Fourier siempre divergente. Con todo este panorama, todavía para ese momento se desconocía si una función continua podía tener una serie de Fourier divergiendo sobre un conjunto de medida positiva. Luzin conjeturó que eso no podía ocurrir. En 1966, Carleson demostró que la conjetura de Luzin era cierta, es decir, la serie de Fourier de cualquier función continua sobre [−π, π] converge casi-siempre. Es más, Carleson demuestra que la serie de Fourier de cualquier f ∈ L2 [−π, π] converge casi-siempre ([48], pág. 685). El mismo año de 1966, Jean-Pierre Kahane y Y. Katznelson prueban que dado cualquier subconjunto del círculo con medida de Lebesgue cero, existe una función continua cuya serie de Fourier diverge sobre ese conjunto [146]. Una exposición más detallada de todos estos hechos se pueden encontrar, por ejemplo, en los excelentes artículos de Jean-Pierre Kahane [144], P. L. Ul’yanov [268] y S. H. Jones [141]. Una serie trigonométrica S es una serie infinita de la forma S∼

∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx), 2 n=1

donde los coeficientes an y bn son números complejos y x ∈ R. Debemos hacer notar que la serie trigonométrica así expresada no prejuzga su convergencia en ningún punto de R, tan sólo es su expresión formal. La n-ésima suma parcial de esta serie es el polinomio trigonométrico Sn (x) =

n a0 + ∑ (ak cos kx + bk sen kx). 2 k=1

86

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Si, para algún x ∈ R, l´ım Sn (x) ∈ C, escribiremos n→∞

S(x) =

∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1

y llamamos a S(x) la suma de la serie en x. Una función f : R → C admite una expansión trigonométrica o está representada por una serie trigonométrica si existe una serie trigonométrica S tal que f (x) =

∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1

para cualquier x ∈ R. Es claro que una tal función es periódica con período 2π. Observemos que cualquier serie ∞ a0 S ∼ + ∑ (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1 también puede ser escrita como +∞

∑

cn einx ,

n=−∞

donde b0 = 0 y, para cada n ∈ N, cn =

an − i bn 2

c−n =

y

an + i bn . 2

Así, an = cn + c−n y bn = i(cn − c−n ). Con estas notaciones, las sumas parciales Sn (x) se expresan en la forma n

∑

Sn (x) =

ck eikx ;

k=−n

y si ella converge cuando n → ∞ con límite s, entonces escribiremos +∞

s=

∑

cn einx .

n=−∞

En general, es un problema muy difícil caracterizar las funciones f : R → C que admiten expansiones trigonométricas. Sin embargo, algunos resultados positivos se conocen. Por ejemplo, las funciones de clase C1 gozan de tales representaciones. Los ejemplos clásicos de series trigonométricas son las series de Fourier de funciones integrables. Dada una función 2π-periódica f : R → C diremos que ella es integrable, si f es medible Lebesgue y 1 2π

Z 2π 0

| f (t)| dt < ∞.

En este caso definimos sus coeficientes de Fourier fˆ(n), n ∈ Z, por 1 fb(n) = 2π

Z 2π 0

f (t) e −int dt.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes La serie trigonométrica

∞

S( f ) ∼

∑

n=−∞

será llamada serie de Fourier de f , y escribiremos

b f (n) einx .

n

Sn ( f , x) =

87

∑

k=−n

b f (k) eikx

para sus sumas parciales para cada x ∈ R. Teniendo en cuenta que la igualdad sen(n + 12 )θ 1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ = 2 2sen θ2 se cumple para todo θ ∈ R, es fácil establecer que Sn ( f , x) =

n a0 + ∑ (ak cos kx + bk sen kx) 2 k=1

1 = 2π

Z π

−π

f (x − t)

sen (n + 12 )t dt. 2sen 2t

Definiendo, para cada n ∈ N, la función Dn por    1  sen n +  2 t   n   , si t 6= 2mπ, m ∈ Z t Dn (t) = ∑ e −ikt = sen   2 k=−n  2n + 1, si t = 2mπ entonces Dn es una función par, y

1 2π

Z 2π 0

Dn (t) dt = 1.

Observación. Hemos de hacer notar que la convergencia de una serie trigonométrica no significa la existencia de una función integrable de la cual ella sea su serie de Fourier. Por ejemplo, la serie ∞

sen (nx) n=2 log n

∑

es una serie trigonométrica que converge para cualquier x ∈ R, pero no es una serie de Fourier.

En lo que sigue será conveniente identificar el circulo unitario T = {eix : 0 ≤ x < 2π} con R/2πZ vía la aplicación x 7→ eix . Algunas veces consideraremos a T como el intervalo [0, 2π) o como [0, 2π] siempre que 0 y 2π sean identificados. Con estas premisas siempre vamos a pensar a C(T) como el espacio de Banach (con la norma del supremo) de todas las funciones continuas 2π-periódicas definidas sobre T. Conviene también considerar funciones periódicas f (x) de período 1. En este caso ∞

f (x) ∼

∑

n=−∞

cn e 2πnx ,

donde

cn =

Z 1 0

f (t) e −2πnt dt.

88

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Como siempre L1 (T) denota el espacio de Banach de todas las funciones (clases de equivalencia) f : T → R que son medibles Lebesgue y que satisfacen 1 2π

Z 2π 0

| f (t)| dt < ∞

Comenzaremos con el siguiente resultado, probado en 1873, por P. du Bois-Reymond, el cual es consecuencia del Teorema de Acotación Uniforme. Teorema 2.1.19 (du Bois-Reymond). Existe una función f ∈ C(T) cuya serie de Fourier diverge en un punto. Más aun, el conjunto de todas las funciones en C(T) que comparten esa propiedad es Gδ -denso en C(T). Prueba. Haremos la prueba suponiendo que t = 0 ya que no se pierde generalidad en asumir esta restricción. Definamos, para cada n ∈ N, el funcional lineal Tn : C(T) → C por Tn ( f ) = Sn ( f , 0), Puesto que |Tn ( f )| = |Sn ( f , 0)| ≤

1 2π

entonces

Z π

−π

para cada f ∈ C(T). | f (t)||Dn (−t)|dt ≤

k Tn k ≤

k f k∞ k Dn k 1 , 2π

1 k Dn k1 . 2π

1 k Dn k1 = ∞. En efecto, como Dn es una función Nuestro primer objetivo será demostrar que l´ımn→∞ 2π par y | sen(x)| ≤ |x| para todo x ∈ R, resulta que

1 1 k Dn k1 = 2π 2π 1 = π

Z π

|Dn (t)|dt

=




t

dt ≥

−π


Z π sen n + 12 t 0

Z

sen

1

2

2 (n+ 2 )π | sen(s)| ds > π 0 s Z 2 n kπ | sen(s)| = ∑ ds > π k=1 (k−1)π s =

=

1 2π 2 π


Z π sen n + 12 t −π



sen

Z π | sen n + 0

Z

t




t 2
1 2 t|

dt

dt

2 nπ | sen(s)| 1
ds, donde s = n + t, π 0 s 2 Z 2 n 1 π ∑ kπ 0 sen(s)ds π k=1

4 n 1 ∑k π2 k=1 1 k Dn k1 = ∞. n→∞ 2π

de donde se deduce que l´ım

Una vez establecido el resultado anterior, veamos ahora que k Tn k = l´ımn→∞ k Tn k = ∞. Fijemos un n ∈ N, y consideremos la función ( 1, si Dn (t) ≥ 0 g(t) = −1, si Dn (t) < 0.

1 2π

k Dn k1 y que, por lo tanto,

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

89

De inmediato vamos a probar que, dado ε > 0, existe una función fε ∈ C(T), con k fε k∞ = 1, y tal que l´ımε→0 fε (t) = g(t). En efecto, puesto que el número de discontinuidades de Dn es finito, entonces también lo es el de la función g. En cada punto de discontinuidad de g, digamos ti , consideremos un intervalo cerrado con centro en ti , llamémoslo Ji , de longitud ε/N, donde N se elige de modo que los intervalos Ji sean disjuntos dos a dos, y entonces se define la función fε del modo siguiente: fε (t) = g(t) S S si t 6∈ i Ji , y para cada t ∈ i Ji , sea Ji el único intervalo conteniendo a t y entonces definamos fε (Ji ) como el segmento de recta que une el punto de discontinuidad ti con los puntos extremos de Ji . Es claro que con esta construcción fε ∈ C(T), k fε k∞ = 1, y l´ımε→0 fε (t) = g(t). Por otro lado, como g(t)Dn (t) = |Dn (t)|, entonces l´ım fε (t)Dn (t) = |Dn (t)|

ε→0

y

| fε (t)Dn (t)| ≤ |Dn (t)|,

λ-c.s en T

y se sigue del Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue que Z

1 π l´ım Tn ( fε ) = l´ım fε (t)Dn (t) dt ε→0 ε→0 2π −π Z π 1 = |Dn (t)| dt 2π −π 1 = k Dn k1 . 2π De esto se deduce que k Tn k =

1 2π

k Dn k1 y, por consiguiente, l´ım k Tn k = ∞.

n→∞

Un llamado al Teorema de Acotación Uniforme 2, página 134, nos revela que la igualdad sup |Tn ( f )| = sup |Sn ( f , 0)| = ∞ n∈N

n→∞

se cumple para cada f en algún subconjunto Gδ -denso en C(T).



El Teorema de du Bois-Reymond establece la existencia de una función f ∈ C(T) cuya serie de Fourier diverge en un punto. El resultado que sigue a continuación afirma, además, que el conjunto de puntos donde dicha función diverge es un Gδ -denso y que, más aun, la colección de las funciones en C(T) que comparten esa propiedad también es Gδ -denso. Formalmente, Teorema 2.1.20 (du Bois-Reymond - genérico). Existe un subconjunto Gδ -denso G en el espacio C(T) tal que, para cada f ∈ G, el conjunto n o G f = t ∈ T : sup |Sn ( f ,t)| = ∞ n→∞

es residual en T. Prueba. Observemos que en la demostración del Teorema de du Bois-Reymond la elección de t = 0 se hizo sólo por conveniencia en los cálculos, pero debe ser claro que la conclusión es la misma si elegimos un punto arbitrario t en T. En consecuencia,

90

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Para cada t ∈ T, existe un conjunto Ht ⊆ C(T) el cual es un Gδ -denso en C(T) tal que S∗ ( f ,t) := sup |Sn ( f ,t)| = ∞, n→∞

para cada f ∈ Ht .

La separabilidad de T nos garantiza la existencia de una sucesión densa (ti )∞ i=1 en T. Por el Teorema de du Bois-Reymond (véase la observación anterior) existe, para cada i ∈ N, un conjunto Gδ -denso Hti en C(T) tal que S∗ ( f ,ti ) = ∞, para cada f ∈ Hti . Sea G=

∞ \

Hti .

i=1

Por el Teorema de Categoría de Baire, G es un conjunto Gδ -denso en C(T) tal que, para cada f ∈ G, S∗ ( f ,ti ) = ∞ se satisface en cada punto ti . Para cada f ∈ C(T), S∗ ( f ,t), por ser el supremo de una colección de funciones continuas, es semicontinua inferiormente como una función de t y, por consiguiente, para cada número real r, el conjunto {t ∈ T : S∗ ( f ,t) > r} es abierto en T que, además, es denso en dicho conjunto por contener a la sucesión densa (ti )∞ i=1 . Por esto, para cada f ∈ G, el conjunto ∞   \ G f = t ∈ T : S∗ ( f ,t) = ∞ = t ∈ T : S∗ ( f ,t) > k k=1

es un Gδ -denso en T y termina la prueba.



En una carta escrita a un amigo en 1826, Neils Hendrik Abel escribió: “Las series divergentes son una invención del diablo”. Cien años después, en 1926, A. N. Kolmogorov [164] exhibe el primer ejemplo de una función periódica integrable Lebesgue cuya serie de Fourier diverge siempre (una prueba del resultado de Kolmogorov puede ser leída en el excelente libro de Zygmund [278] quien presenta paso a paso la construcción de Kolmogorov, o en el artículo de P. L. Ul’yanov [268]). Kline, en 1972, arremete de nuevo contra las series divergentes al afirmar: “. . . usándolas se puede derivar cualquier cosa que se desee y es por esa razón que ellas han producido muchas falacias y paradojas”. Sin embargo, como se ha podido demostrar, tales funciones forman, desde el punto de vista de la categoría de Baire, un conjunto increíblemente abundante. k◮

Teorema de Kolmogorov. Existe una función f ∈ L1 (T) cuya serie de Fourier diverge siempre sobre T.

La versión genérica del resultado anterior es el siguiente. Teorema 2.1.21 (Kolmogorov - genérico). El conjunto n o Fdiv = f ∈ L1 (T) : la serie de Fourier de f diverge siempre sobre T es residual en L1 (T).

Vamos a dar la demostración del Teorema de Kolmogorov - genérico desarrollada por F. Bayart en [22]. Otra demostración se puede leer en el elegante y agradable artículo de Kahane [145].

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

91

Teorema 2.1.22 (Bayart). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y (E, τ) un espacio topológico de Hausdorff σ-compacto. Suponga que: (1) para cada entero no negativo n, existe una función continua ϕn : X × E → C, lineal en la primera variable, y (2) para cualesquiera M, N > 0 y cada compacto K ⊆ E, existe g ∈ BX tal que δN (g,t) := sup ϕn (g,t) − ϕN (g,t) > M, para todo t ∈ K n>N

Entonces el conjunto

es residual en X .

 Fud = f ∈ X : (ϕn ( f ,t))n≥0 es siempre divergente para todo t ∈ E

Prueba. Puesto que E es σ-compacto, existe una sucesión no-decreciente de subconjuntos compactos S∞ de E, digamos (Ek )∞ k=1 tal que E = k=1 Ek . Nuestro objetivo es construir una sucesión estrictamente ∞ creciente (Nk )∞ k=0 de enteros no negativos y una sucesión (gk )k=1 de vectores en la bola cerrada unitaria BX de X tal que sup ϕn (gk ,t) − ϕNk−1 (gk ,t) > k, para todo t ∈ Ek . (A) Nk−1 k para todo t ∈ K. Sea δ∗N (t) := sup ϕn (gk ,t) − ϕNk−1 (gk ,t) , t ∈ K = Ek . Nk−1 Nk−1 tal que
−1
−1 δ∗N (t) + 1 ≤ k + 1 , para todo t ∈ Ek . ∞ Justo ahora tome Nk = N para obtener (A). Con las sucesiones (Nk )∞ k=0 de enteros no negativos y (gk )k=1 de vectores en BX satisfaciendo (A), podemos ahora definir, para cada M, k ∈ N, el conjunto

A(M, k) =

∞ n [

l=k

f ∈X :

sup Nl−1 M para todo t ∈ Ek . k−1

Es claro que A(M, k) es abierto. Veamos que también es denso en X . En efecto, sean f0 ∈ X y ε > 0. Por (A) podemos elegir un l ≥ k tal que ϕn (gl ,t) − ϕN (gl ,t) > M , l−1 ε Nl−1 n, para todo t ∈ E .

Cada Gn es, por supuesto, abierto y, además, denso por el Lema de Kahane-Katznelson. Por el T Teorema de Categoría de Baire ∞ n=1 Gn es un Gδ -denso, y se sigue de lo anterior que la serie de T∞ Fourier de cualquier f ∈ n=1 Gn diverge sobre E. Si ahora consideramos la colección E de todos los subconjuntos E de T que son cerrados y donde T la serie de Fourier de cualquier f ∈ ∞ n=1 Gn diverge sobre E, vemos que dicha colección es estable bajo uniones numerables y, en consecuencia, la conclusión del resultado sigue de esto último. 

2.1.11. k ◮ Series de Dirichlet siempre divergentes

Sea H∞ el conjunto de todas las funciones analíticas que convergen y son acotadas en el semi-plano C+ = {s ∈ C : Re(s) > 0} y que pueden ser representadas por series de Dirichlet de la forma ∞

f (s) =

∑ ann−s ,

n=1

s ∈ C+ .

H∞ resulta ser un espacio de Banach (de hecho un álgebra de Banach) si se le dota de la norma k f k∞ = sup{| f (s)| : s ∈ C+ }. −s ∈ H∞ , el símbolo S ( f , s) denota, como siempre, su suma parcial Si f (s) = ∑∞ ∑nk=1 ak k−s . n n=1 an n n −s Escribiremos Sn ( f ,t) en lugar de Sn ( f , it) siempre que s = it ∈ i R. Sea P := ∑k=1 ak k un polinomio de Dirichlet. El grado de P es dado por grad(P) = sup{k : ak 6= 0}, mientras que val(P) = ´ınf{k : ak 6= 0} denota su valuación.

94

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Supongamos de nuevo que f ∈ H∞ . Una pregunta natural, formulada primeramente por H. Hedenmalm, es la siguiente: ¿qué puede decirse de la convergencia de f sobre el borde i R? La respuesta, la cual puede ser sorprendente si se compara con el ya conocido Teorema de Carleson sobre series de Fourier, fue dada a conocer muy recientemente por F. Bayart, S. V. Konyagin y H. Queffélec en [23]: Teorema de Bayart-Konyagin-Queffélec. Existe una serie de Dirichlet en H∞ , digamos ∞ −s it f (s) = ∑∞ n=1 an n , tal que ∑n=1 an n diverge para cualquier t ∈ R. −s ∈ H∞ tal que Denotemos por Ddiv (R) el conjunto de todas las series de Dirichlet f (s) = ∑∞ n=1 an n it ∑∞ n=1 an n es siempre divergente sobre R. La abundancia de tales objetos fue establecida por Bayart en [21] y [22]. Véase también [25]. Para construir un conjunto Gδ -denso de series de Dirichlet siempre divergentes necesitamos un resultado básico obtenido en [22] en el curso de la demostración del Teorema de Bayart-Konyagin-Queffélec.

Lema 2.1.3 (Bayart-Konyagin-Queffélec). Dado cualquier a > 0 y cualquier M > 0, existe un polinomio de Dirichlet Q = ∑nk=1 ak k−s y un entero K ≥ 1 tal que k Qk∞ ≥ 1 y K it para todo t ∈ [−a, a]. ∑ ak k ≥ M k=1

Si reemplazamos Q por 2−s Q, la conclusión del lema anterior es la misma. Por esta razón, podemos asumir (y así lo haremos) que val(Q) ≥ 2. Denotemos por D(C+ ) la clausura en (H∞ , k·k∞ ) de todos los polinomios de Dirichlet. Es claro que D(C+ ) es un espacio de Baire. Finalmente, para cada s ≥ 1 y m ≥ 1, definamos el subconjunto compacto K(s, m) de Cm por:   1 m K(s, m) = α = (α1 , . . . , αm ) ∈ C : sup |αi | ≤ s y |αm | ≥ . s 1≤i≤m Teorema 2.1.24 (Bayart). Ddiv (R) es residual en D(C+ ). −s ∈ D(C ). Para cada m ≥ 1 y α ∈ Cm , pongamos Prueba. Sea f = ∑∞ + k=1 ak k

fα = α1 f + α2 f 2 + · · · + αm f m . Sean ahora u, s, m ∈ N arbitrarios y definamos n D(u, s, m) = f ∈ D(C+ ) : para cada α ∈ K(s, m) existen p, q ∈ N tal que o S p ( fα ,t) − Sq ( fα ,t) > u ∀t ∈ [−u, u] .

Afirmamos que D(u, s, m) es abierto y denso en D(C+ ) para todo u, s, m ∈ N.

(a) D(u, s, m) es abierto en D(C+ ). En efecto, teniendo en cuenta la compacidad de K(s, m) en Cm y la continuidad de S( fα , ·) en f y α, es fácil ver que el complemento de D(u, s, m) es cerrado.

(b) D(u, s, m) es denso. Fijemos un polinomio de Dirichlet P y sea ε > 0. Escribamos la serie de Taylor de (1 + x)1/m como ∞

(1 + x)1/m = 1 + ∑ βl x l . l=1

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

95

1 l Sea C = 1+ ∑∞ l=1 |βl | ( 2 ) . Por el Lema 2.1.3, existe un polinomio Q y un entero K ≥ 1 tal que val(Q) ≥ 2, k Qk∞ ≤ 1/2 y   K C m ·s·u para todo t ∈ [−u, u]. ∑ ak kit > k=2 ε

Notemos que, para cualquier L ≥ 1, existen números complejos (γl )l≥L+1 tal que !m L

mL

1 + ∑ βl x l

= 1+x+

l=1

∑

γl x l .

l=L+1

En particular, puesto que val(Q) ≥ 2, podemos elegir L ≥ 1 tal que !m L

1 + ∑ βl x l

= 1 + Q + R,

l=1

con val(R) > grad(Q). Fijemos ahora un n > m´ax{grad(P), grad(R)} y pongamos ! L ε −s f = P+ n 1 + ∑ βl Q l = P + n−s T. C l=1 Observe que como k f − Pk∞ ≤ ε, entonces sólo nos resta probar que f ∈ D(u, s, m). Para ver esto último, definamos p = 2nm y q = nm K. Para j < m, después de un poco de cálculo se llega a la conclusión de que grad( f j ) ≤ n j grad(T j ) < p. En particular, S p ( f j ,t) − Sq ( f j ,t) = 0. Por otro lado, uno tiene que fm =

m−1

∑ Cmk P m−k (n−s )k T k +

k=0

|

{z

gradq

 m S p ( fα ,t) − Sq ( fα ,t) = |αm | ε SK (Q,t) − S1 (Q,t) > u. C

Esto prueba que D(u, s, m) es denso en el espacio de Baire D(C+ ). Se sigue del Teorema de Categoría de Baire que ∞ \ ∞ \ ∞ \

u=1 s=1 m=1

es un Gδ -denso en D(C+ ).

D(u, s, m) ⊆ Ddiv (R) 

2.1.12. k ◮ Series universales La representación de funciones por series trigonométricas, de Taylor, de Dirichlet, etc., siempre ha sido un tema de interés. Ya hemos visto que el problema de la unicidad de la representación por series de Fourier posee, en general, una respuesta negativa, dada por Menchoff (o Menšov) en 1916. El otro problema, el de la existencia:

96

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Dada una función medible Lebesgue f : R → C, ¿existe una sucesión (cn )∞ n=1 en C tal que ∞

f (t) =

∑ cn eint

λ-c.s?,

n=1

contrario al problema de la unicidad de la representación, posee una respuesta positiva. Menchoff, de nuevo, es el responsable de tal descubrimiento en el año de 1940 (véase, por ejemplo, [166]). En esta sección abordaremos muy superficialmente algunas informaciones relacionadas con la respuesta positiva de Menchoff al problema de existencia ya planteado. Ello condujo a la noción de series universales que ha tenido un gran impacto en el análisis armónico y un profundo e increíble desarrollo por más de 50 años. . . y aun continúa. ∞ Definición 2.1.8. Sean (X , k·k) un espacio de Banach complejo, (xn )∞ n=1 una sucesión en X y (cn )n=0 ∞ ∞ una sucesión de números complejos. La serie ∑n=0 cn xn se llama universal si la sucesión (Sn )n=0 de sus sumas parciales es norma-densa en X . ∗

En lo que sigue supondremos que CN , donde N∗ = {0, 1, 2, . . .}, está provisto de la topología de la convergencia de los coeficientes para cada índice n. Las hipótesis del siguiente teorema son naturales y muy permisivas. Ellas permiten reconfirmar lo que ya había demostrado Grosse-Erdmann en [111]: “Universalidad es un fenómeno genérico en análisis”. Teorema 2.1.25 (Bayart). Sean X un espacio vectorial metrizable separable, (xn )∞ n=1 una sucesión en ∗ N X y Y un subconjunto de C con las siguientes propiedades: (a) Y es un espacio de Baire, (b) para cada m ∈ N∗ , la proyección pm : Y → C dada por pm (c0 , . . . , cm , . . .) = cm es continua, y

∞ (c) si a = (an )∞ n=0 ∈ Y , b = (bn )n=0 ∈ Y y N ≥ 0, entonces c(N) = (b0 , . . . , bN , aN+1 , aN+2 , . . .) ∈ Y , y

l´ım c(N) = b.

N→∞

Las siguientes condiciones son equivalentes: ∞ (1) Para al menos un a = (an )∞ n=0 ∈ Y , la serie ∑n=0 an xn es universal.  ∞ (2) El conjunto SU = (an )∞ n=0 ∈ Y : ∑n=0 an xn es universal es un Gδ -denso en Y .

Prueba. Es claro que (2) implica (1). Suponga entonces que (1) se cumple. La separabilidad de X garantiza la existencia de una base numerable (Uk )∞ k=1 para X . Definamos ahora, para cada k ∈ N, el conjunto ( ) Gk =

(an )∞ n=0 ∈ Y : existe N ≥ 0 tal que

N

∑ an xn ∈ Uk

.

n=0

Nuestro objetivo es demostrar que cada conjunto Gk es abierto y denso en Y . Fijemos k ∈ N y observemos que, por ser la proyección pm una función continua, también lo es la aplicación ϕm : Y → X dada por ϕm (a) = am xm para todo a = (an )∞ n=0 ∈ Y . De esto se sigue que Gk es abierto en Y . Para demostrar la densidad de Gk , tomemos un abierto no vacío V de Y y veamos que Gk ∩ V 6= ∅. Sea b = (bn )∞ n=0 ∈ V . ∞ ∞ Por hipótesis, existe un elemento a = (an )n=0 ∈ Y tal que la serie ∑n=0 an xn es universal. Por (c) resulta que c(N) ∈ Y para cualquier N ≥ 0 y, además, l´ımN→∞ c(N) = b. De esto se sigue la existencia de un entero N0 > 0 tal que c = (b0 , . . . , bN0 , aN0 +1 , aN0 +2 , . . .) ∈ V.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

97

Afirmamos que c ∈ Gk . En efecto, como ∑∞ n=0 an xn es una serie universal, el conjunto S formado por todas sus sumas parciales es denso en X ; en particular, Uk ∩ S 6= ∅. Elijamos ahora un entero N1 > N0 de modo que N1

∑ anxn

n=0

∈ Uk ∩ S.

Observemos finalmente que como N0

∑ bn xn +

n=0

N0

N1

∑

an xn =

n=N0 +1

∑ bn xn +

N1

∑ an xn −

n=0

n=0

N0

N0

N0

∑ an xn,

n=0

resulta que N1

∑ an xn ∈ Uk +

n=0

∑ an xn −

n=0

∑ bn xn ,

n=0

y, en consecuencia, N1

∑ cn xn ∈ Uk .

n=0

Esto prueba que c ∈ Gk y, así, Gk ∩ V 6= ∅. Siendo Y un espacio de Baire, se sigue del Teorema de T Categoría de Baire que SU = ∞  k=1 Gk es un Gδ -denso en Y .

Sea Ω un subconjunto no vacío, abierto y conexo de C. Recordemos que una función f : Ω → C es representable por una serie de potencia en Ω si para cualquier disco abierto D(a, r) ⊆ Ω corresponde n una serie ∑∞ n=1 cn (z − a) que converge a f (z) para todo z ∈ D(a, r). El siguiente resultado es conocido.

Teorema 2.1.26 ([240], Th. 10.6, p.215). Si f : Ω → C es representable por una serie de potencia en Ω, entonces f ∈ H(Ω). El primer ejemplo del fenómeno de universalidad para series de potencias fue observado por Fekete en 1914 (véase, por ejemplo, [111], p. 346), quien demostró el siguiente resultado: k◮

n Teorema de Fekete. Existe una serie de potencia ∑∞ n=1 an x sobre [−1, 1], con an ∈ R, que diverge en cualquier punto x 6= 0, y que posee la siguiente propiedad: para cada función continua f ∈ C[−1, 1] satisfaciendo f (0) = 0, existe una sucesión estrictamente creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos tal que nk

f (x) = l´ım

∑ an xn

k→∞ n=1

uniformemente sobre [−1, 1].

Si se tiene en cuenta un teorema de Borel (de 1895) el cual establece que cualquier serie de potencia es la serie de Taylor alrededor del 0 de alguna función de clase C∞ , entonces podemos suponer lo espectacular que resulta el resultado de Fekete. El ejemplo de Fekete de una serie de potencia (o de Taylor) exhibe dos aspectos de universalidad que están presentes en dicho resultado. El primero es el de la divergencia maximal: sólo en x = 0 la serie converge. El segundo aspecto, el más interesante, es el de la existencia de un sólo objeto el cual, a través de un proceso usualmente numerable (tomar límites), permite aproximar una clase maximal de objetos. Esto es lo que sugiere el nombre de universalidad, el cual fue empleado por primera vez por

98

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Marcinkiewicz en 1953 (él la llamó una primitiva universal) y quien también fue el primero en demostrar que tales primitivas universales formaban un conjunto residual. k◮

Teorema de Marcinkiewicz. Sea (hn )∞ n=1 una sucesión de números reales con hn → 0. Entonces existe una función continua f ∈ C[0, 1] tal que, para cualquier función medible g : [0, 1] → R, existe una sucesión estrictamente creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos con f (x + hnk ) − f (x) → g(x), λ − c.s. en [0, 1]. hnk Más aun, el conjunto de tales f es residual en C[0, 1].

Antes del resultado de Marcinkiewicz, D. Menchoff (véase [111], p. 362) había demostrado el siguiente resultado que resolvía positivamente el problema de la representación de funciones medibles por series trigonométricas: k◮

2πint cuyos coefiTeorema de Menchoff. Existe una serie trigonométrica ∑∞ n=−∞ cn e cientes converge a cero tal que, para cualquier función medible Lebesgue f : T → C, existe una sucesión estrictamente creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos con Nk

∑

f (t) = l´ım

k→∞ n=−N

cn e2πint ,

k

λ − c.s. sobre T.

Posteriormente, en 1957, A. A. Talayan (véase, [111], p. 363) demostró que uno puede reemplazar el sistema trigonométrico por cualquier sistema ortonormal completo en L2 (T) para obtener la misma conclusión en el Teorema de Menchoff. La siguiente definición fue propuesta después del resultado de Menchoff. 2πint se dice universal en el sentido de Menchoff Definición 2.1.9. Una serie trigonométrica ∑∞ n=−∞ cn e si, para cualquier función medible Lebesgue f : T → C, existe una sucesión estrictamente creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos tal que Nk

l´ım SNk ( f ,t) = l´ım

k→∞

∑

k→∞ n=−N

cn e2πint = f (t),

k

λ − c.s. sobre T

Veremos ahora algunos resultados genéricos sobre universalidad. Para ello es importante hacer notar que si ST (C) denota el conjunto de todas las series trigonométricas con coeficientes complejos, entonces dicho conjunto es isomorfo al espacio producto CZ . Por consiguiente, la topología en dicho conjunto es la topología de la convergencia de los coeficientes; es decir, una sucesión (sn )∞ n=1 converge a s en ST (C) si, y sólo si, convergen los coeficientes para cada índice n: +∞

l´ım

m→∞

∑

n=−∞

cmn e2πint =

+∞

∑

cn e2πint

si, y sólo si,

n=−∞

l´ım cmn = cn

m→∞

para cada n ∈ N.

Con esta topología, ST (C) resulta ser un espacio de Baire. 2πint que Teorema 2.1.27 ([144], Th. 2.1). El conjunto de todas las series trigonométricas ∑∞ n=−∞ cn e poseen la propiedad: para cada función f ∈ C(T) existe una sucesión estrictamente creciente (nk )∞ k=1 de enteros positivos tal que l´ım Snk ( f ,t) = f (t) k→∞

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

99

para cada t ∈ T y uniformemente sobre cada compacto K ⊆ T evitando un punto dado, es un Gδ -denso en ST (C). Prueba. Dado a ∈ T, definamos K j = [a, a + 1 − 1/ j] para j ∈ {3, 4, . . .}, y consideremos un racional ε > 0 y un polinomio trigonométrico P con coeficientes racionales. Dados P, ε y j, el conjunto  G(P, ε, j) = S ∈ XΣ : existe N ∈ N tal que |P(t) − SN (t)| < ε sobre K j

es abierto ST (C). Veamos que también dicho conjunto es denso en ST (C). Notemos en primer lugar que cualquier subconjunto abierto de ST (C) contiene un cilindro de la forma (cn ∈ In para algún n tal que |n| ≤ M para algún M). Cuando fijamos un M, y un conjunto abierto no vacío U en ST (C) conteniendo a P, resulta que el conjunto  exp (2π int) : |n| > M

constituye un sistema total en C(K j ) y, gracias al Teorema de Aproximación de Weierstrass, existe algún polinomio trigonométrico de la forma

∑

S(t) =

cn exp (2π int)

M 1 tal que K ⊆ {z ∈ C : 1 ≤ |z| ≤ n}. Puesto que 0 y n + 1 pertenecen al complemento de K, el cual es conexo, podemos unirlos por una línea poligonal Γ incluida en C \ K y teniendo vértices con coordenadas racionales. Observemos que Γ es un conjunto compacto infinito cuyo complemento es conexo. Denotando por LP(K) el conjunto de tales líneas poligonales resulta que dicho conjunto es numerable. Siendo Γ y K compactos disjuntos, la distancia entre ellos es estrictamente positiva. De esto se sigue la existencia de un número natural s tal que K ⊆ L(n, Γ, s), donde   1 . L(n, Γ, s) = z ∈ C : 1 ≤ |z| ≤ n, dist(z, Γ) ≥ s

Γ

0

n+1

K

Observemos ahora que el conjunto A = {L(n, Γ, s) : n, s ∈ N, Γ ∈ LP(K)}

es numerable y que si (Km )∞ m=1 es una enumeración de A, entonces cada compacto K ⊆ C \ D con complemento conexo está incluido en algún Km .  ∞ Fijemos la sucesión (Km )∞ m=1 obtenida en el lema anterior y sea ( f j ) j=1 una enumeración de todos los polinomios cuyos coeficientes poseen coordenadas racionales. Para cada f ∈ H(D) y n ∈ Z con

102

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

n ≥ 0, denotemos, como siempre, por Sn ( f ) la n-ésima suma parcial del desarrollo de Taylor de f . Más aun, para cualesquiera enteros m, j, s, n con m, j, s ≥ 1 y n ≥ 0, sea E(m, j, s, n) el subconjunto de H(D) definido por   1 . E(m, j, s, n) = g ∈ H(D) : sup Sn (g)(z) − f j (z) < s z∈Km Lema 2.1.5. UT (D) =

∞ \ ∞ \ ∞ [ ∞ \

E(m, j, s, n).

m=1 j=1 s=1 n=0

Prueba. Por definición, UT (D) ⊆

∞ \ ∞ \ ∞ [ ∞ \

E(m, j, s, n) := G.

m=1 j=1 s=1 n=0

Para demostrar la otra inclusión, sea f ∈ G. Sean K ⊆ C \ D un conjunto no vacío, compacto con complemento conexo y h : K → C una función continua sobre K y holomorfa en el interior de K. Fijemos ahora un ε > 0 y un ν ∈ N. Nuestra tarea inmediata es determinar un N > ν tal que sup Sn (g)(z) − h(z) < ε. z∈K

Por el Teorema de Mergelyan, existe un polinomio f j (para algún j ∈ N) cuyos coeficientes poseen coordenadas racionales tal que ε sup h(z) − f j (z) < . 2 z∈K Sin perder generalidad, podemos suponer (y así lo haremos), que f j (0) 6= f (0). Por el Lema 2.1.4 existe un m ∈ N tal que K ⊆ Km , de donde se deduce que, para cualquier s ∈ N, f∈

∞ [

E(m, j, s, n).

n=0

De aquí se sigue que, para cada s ∈ N, existe un entero ns ≥ 0 tal que 1 sup Sns (g)(z) − f j (z) < . s z∈Km

Observemos ahora que la sucesión (ns )∞ s=1 no puede poseer subsucesiones acotadas. En efecto, supongamos que ella posee alguna subsucesión acotada. Entonces existe un entero λ ≥ 0 tal que ns = λ para infinitos s. Sobre Km uno obtiene que Sλ ( f ) = f j y puesto que Km es infinito resulta que Sλ ( f ) ≡ f j , lo cual contradice el hecho de f j (0) 6= f (0). Por consiguiente, la sucesión (ns )∞ s=1 converge a +∞ y, en consecuencia, existe un s ∈ N tal que 1/s < ε/2 y ns > ν. Finalmente, puesto que ε sup h(z) − f j (z) < , 2 z∈K

1 ε sup Sns (g)(z) − f j (z) < < s 2 z∈Km

y

K ⊆ Km ,

la desigualdad triangular nos garantiza que

sup Sns (g)(z) − h(z) < ε z∈K

siempre que ns > ν. Esto prueba que f ∈ UT (D) y termina la prueba.



Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

103

Lema 2.1.6. E(m, j, s, n) es abierto en H(D) para cualesquiera enteros m, j, s, n con m, j, s ≥ 1 y n ≥ 0. Prueba. Sea f ∈ E(m, j, s, n). Entonces 1 sup Sn (g)(z) − f j (z) < . s z∈Km

Definiendo M = sup{|z| : z ∈ Km }, vemos que 1 ≤ M < +∞. Sea

a :=

1 − sup Sn (g)(z) − f j (z) s z∈Km n

∑2

λ

M

λ

> 0.

λ=0

Supongamos que g ∈ H(D) satisface

sup g(z) − f (z) < a.

|z|≤ 12

Vamos a demostrar que

1 sup Sn (g)(z) − f j (z) < s z∈Km

lo cual nos conducirá, por consiguiente, a que g ∈ E(m, j, s, n) y, en consecuencia a que E(m, j, s, n) es abierto. En efecto, para z ∈ Km tenemos que Sn (g)(z) − f j (z) ≤ Sn (g − f )(z) + Sn ( f )(z) − f j (z) .

Escribamos

n

Sn (g − f )(z) =

∑ bλ zλ .

λ=0

Puesto que sup|z|≤ 1 g(z) − f (z) < a, tenemos que |bλ | < a · 2λ . Para z ∈ Km , obtenemos 2

De esto se sigue que

n n ∑ bλ zλ < a · ∑ 2λ M λ . λ=0 λ=0

n 1 sup Sn (g)(z) − f j (z) < a · ∑ 2λ M λ + sup Sn ( f )(z) − f j (z) = . s z∈Km z∈Km λ=0

Esto termina la prueba.

Lema 2.1.7. Para cualesquiera m, j, s ∈ N, el conjunto G(m, j, s) = en H(D).

∞ [

n=0



E(m, j, s, n) es abierto y denso

104

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba. Por el Lema 2.1.6 los conjuntos E(m, j, s, n), n = 0, 1, 2, . . . son abiertos y entonces cada G(m, j, s) también lo es. Sean f ∈ H(D), L ⊆ D un disco compacto no vacío y ε > 0. Para demostrar que G(m, j, s) es denso en H(D) es suficiente encontrar un n ≥ 0 y una función g ∈ E(m, j, s, n), tal que sup f (z) − g(z) < ε. z∈L

Notemos que los compactos Km y L son disjuntos y que Km ∪ L es un compacto con complemento conexo. Por el Teorema de Mergelyan, aplicado a la función F : Km ∪ L → C definida por ( f j (z) si z ∈ Km , F(z) = f (z) si z ∈ L, la cual es continua sobre Km ∪ L y analítica en el interior Km ∪ L, existe un polinomio g tal que F(z) − g(z) < m´ın{ε, 1/s} sobre Km ∪ L.

Más aun, si n := grado(g), entonces 1 Sn (g) = g, sup Sn (g)(z) − f j (z) < s z∈Km

y

Esto prueba que G(m, j, s) es denso en H(D) y termina la prueba.

sup f (z) − g(z) < ε. z∈L



Finalmente estamos ahora en condiciones demostrar el teorema de Nestoridis. Teorema 2.1.30 (Nestoridis). UT (D) es un subconjunto Gδ -denso en H(D). En particular, UT (D) 6= ∅. Prueba. Puesto que H(D) es un espacio de Baire, la aplicación de los lemas Lema 2.1.5 y Lema 2.1.7 producen el resultado.  Como una consecuencia del resultado de Nestoridis combinado con el Teorema de Categoría de Baire tenemos: n Corolario 2.1.6 (Nestoridis). Sea f (z) = ∑∞ n=1 cn z una serie de Taylor con z ∈ D, cn ∈ C para todo n ∈ N y cuyo radio de convergencia es mayor o igual a 1. Entonces f = s1 − s2 , donde s1 y s2 son series de Taylor universales en el sentido de Nestoridis.

Prueba. Puesto que f ∈ H(D), la aplicación Φ : H(D) → H(D) definida por Φ(g) = g + f , para toda g ∈ H(D) es un homeomorfismo. Por el Teorema 2.1.30, el conjunto U(D) es un Gδ -denso en H(D), y como Φ es un homeomorfismo, resulta que Φ(UT (D)) = UT (D) + f también es un Gδ -denso en H(D). Siendo H(D) un espacio de Baire, el Teorema de Categoría de Baire nos garantiza que el conjunto UT (D) ∩ (UT (D) + f ) 6= ∅. Esto muestra la existencia de dos elementos s1 , s2 ∈ UT (D), tal que f = s1 + s2 . Puesto que −s2 ∈ UT (D) la prueba es completa.  Recordemos que NE(D) representa el conjunto de todas las funciones f ∈ H(D) las cuales no se pueden extender holomorficamente a ningún dominio conteniendo estrictamente a D. Es un hecho ya establecido (véase, por ejemplo, Teorema 2.1.11, página 75, o [160]) que NE(D) contiene un subconjunto Gδ -denso de H(D). Por el Teorema de Categoría de Baire tenemos que UT (D) ∩ NE(D) 6= ∅. Sea f ∈ UT (D) ∩ NE(D). Entonces f es una serie de Taylor universal en el sentido de Nestoridis que no es el desarrollo de Taylor de ninguna función racional (= cociente de dos polinomios) ya que f no es extendible.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

105

Observación 2.1.11. Algunos otros resultados demostrado por Nestoridis en [207], en relación a las series de Taylor universales, son los siguientes: n Teorema de Nestoridis. Sea f (z) = ∑∞ n=1 cn z una serie de Taylor universal en el sentido de Nestoridis. Entonces

(1) (cn )∞ n=1 6∈ c0 .

(2) f 6∈ H 1 (D). En particular, f 6∈ H p (D) para cualquier p ≥ 1, donde H p (D) es el espacio de Hardy de orden p.

(3) f no es el desarrollo de Taylor de ninguna función racional. (4) Ninguna subsucesión de las sumas parciales de f converge uniformemente sobre T. (5) Las series de Taylor universales en el sentido de Nestoridis cuando son consideradas en el círculo |z| = 1, son series trigonométricas universales en el sentido de Menchoff. En un artículo aun no publicado, V. Farmaki y V. Nestoridis [91] usando la teoría de Ramsey infinita, específicamente, el principio de dicotomía de Galvin-Prikry, prueban el siguiente resultado: Teorema de Farmaki-Nestoridis. Para cualquier sucesión (α j )∞j=1 en C, existe una subsucesión (αk j )∞j=1 tal que: (1) cualquier subsucesión de (αk j )∞j=1 define una serie de Taylor universal en el sentido de Nestoridis, o (2) ninguna subsucesión de (αk j )∞j=1 define una serie de Taylor universal en el sentido de Nestoridis. Muchos otros resultados interesantes se pueden ver en [111], [145] y las referencias allí citadas. Por ejemplo, en ([111] Proposition 7), se prueba el siguiente resultado: Teorema. Sean X un espacio vectorial topológico metrizable y (xn )∞ n=1 una sucesión en X . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: n (1) Existe una serie universal ∑∞ n=1 an x en X .

(2) Para cualquier n0 ∈ N, el subespacio lineal generado por {xn : n ≥ n0 } es denso en X .

2.1.13. k ◮ Medidas no-atómicas

Una de las propiedades importantes que posee la medida de Lebesgue λ en [0, 1], es que dicha medida no posee átomos. Recordemos que un conjunto medible-Lebesgue A ⊆ [0, 1] se llama un átomo si λ(A) > 0 y para cualquier subconjunto medible-Lebesgue E de A ocurre que λ(E) = 0, o bien, λ(E) = λ(A). Esta propiedad, que resulta ser muy natural para la medida de Lebesgue, pareciera no ser compartida por muchas medidas definidas, no sobre los conjuntos medibles Lebesgue, sino sobre la σ-álgebra más pequeña de los borelianos de [0, 1]. Lo que vamos probar más abajo es que dichas medidas constituyen, en realidad, un conjunto muy abundante en el sentido de categoría de Baire. En esta sección sólo estaremos interesados en un tipo especial de espacio topológico, en consecuencia, nuestro espacio de trabajo será un espacio métrico compacto (X , d). En este caso, la σ-álgebra de

106

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Borel B0 (X ) de X es la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos de X . Una medida de Borel es una medida µ definida sobre B0 (X ) a valores no-negativos; esto es, µ : B0 (X ) → [0, +∞]. Diremos que µ es finita si µ(X ) < +∞. Si se permite que µ tome valores negativos; es decir, si µ : B0 (X ) → R ∪ {−∞, +∞}, entonces se dice que µ es una medida con signo. Observe que una tal medida sólo puede asumir uno de los valores {−∞, +∞}, pero no ambos. En lo que sigue sólo consideraremos medidas con signo finitas, es decir, a valores reales. Puesto que X es un espacio métrico compacto, toda medida de Borel µ es regular en el sentido de que µ(E) = sup{µ(K) : K ⊆ X y K es compacto} para todo conjunto E ∈ B0 (X ), (véase, [214], Theorem 3.1). En lo que sigue denotaremos por M(X ) el espacio de Banach formado por todas las medidas de Borel a valores reales (las cuales son regulares) definidas sobre la σ-álgebra de Borel B0 (X ) con la norma de la variación total: ∞

k µk := |µ|(X ) = sup ∑ | µ(Ei )| ,

µ ∈ M(X ),

i=1

∗ supremo tomado sobre todas las particiones {Ei }∞ i=1 de X , con Ei ∈ B0 (X ). El dual topológico C(X ) de C(X ) se identifica, isométricamente, con M(X ) asociando a cada funcional lineal x∗ ∈ C(X )∗ , vía el Teorema de Representación de Riesz, con una única medida µ ∈ M(X ) tal que ∗

x ( f ) := h f , µi =

Z

f dµ, X

para toda f ∈ C(X )

y

k x∗ k = k µk .

Con esta identificación, M(X ) hereda todas las topologías de C(X )∗ . En particular, la ω∗ -topología. Por tal motivo a M(X ) lo dotaremos con la ω∗ -topología proveniente de C(X )∗ a la que seguiremos llamándola de la misma manera. Notemos que si µ ∈ M(X ), entonces los conjuntos de la forma Z   Z V (µ, f1 , . . . , fn , ε) = ν : fi dµ − fi dν < ε, i = 1, . . . , n X X

donde ε > 0, y f1 , . . . , fn ∈ C(X ), con n ∈ N, forman una base de entornos básicos abiertos de µ en la ω∗ -topología, y en consecuencia, dada cualquier sucesión (µn )∞ n=1 en M(X ), ω∗

µn −→ µ

si, y sólo, si h f , µn i → h f , µi

para toda f ∈ C(X ).

En lo que sigue, denotaremos por M + (X ) el subconjunto de M(X ) formado por todas las medidas de Borel (no negativas) y por P(X ) el conjunto de todas las medidas de probabilidad en M + (X ); es decir, µ ∈ P(X ) si µ ≥ 0 y µ(X ) = 1. Puesto X es un espacio métrico compacto, resulta que C(X ) es norma-separable, y se sigue del Teorema de Banach-Alaoglu, Teorema 2.2.1, página 130, que BM(X) , la bola unitaria norma-cerrada de M(X ), es ω∗ -compacto y metrizable. En particular, P(X ), por ser un subconjunto ω∗ -cerrado de BM(X) , es un espacio métrico compacto en la ω∗ -topología restringida, y en consecuencia, (P(X ), ω∗ ) resulta ser un espacio de Baire. Recordemos que si µ ∈ M + (X ), entonces el soporte de µ, sop(µ), se define como el conjunto cerrado más pequeño de X que cumple con las siguientes propiedades: (I ) µ(sop(µ)) = µ(X ), y (II ) para cada x ∈ sop(µ), cualquier entorno abierto Vx de x satisface µ(Vx ) > 0.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes Observemos que sop(µ) = X \

107

[

U : U es abierto y µ(U ) = 0 .

Una medida µ ∈ M + (X ) se dice que es estrictamente positiva si µ(U ) > 0 para todo conjunto abierto no vacío U de X . El siguiente hecho relaciona la noción de medida estrictamente positiva con su soporte.

Lema 2.1.8. µ ∈ M + (X ) es estrictamente positiva si, y sólo si, sop(µ) = X . Prueba. Si µ es estrictamente positiva y x ∈ X es un punto arbitrario, entonces cualquier entorno abierto Vx de x, por ser un conjunto abierto, tiene medida positiva y, en consecuencia, x ∈ sop(µ). Esto prueba que sop(µ) = X . Recíprocamente, si sop(µ) = X , entonces cualquier conjunto abierto no vacío U de X es un entorno abierto de cada uno de sus puntos, en particular de algún punto x de su interior, el cual es también un punto de sop(µ), y entonces tiene medida positiva, es decir, µ(U ) > 0. Con esto se prueba que µ es estrictamente positiva.  Es oportuno aclarar que no en cualquier espacio topológico de Hausdorff (ni aun si dicho espacio es compacto) existe una medida de Borel estrictamente positiva (véase, por ejemplo, [5], Example 12.15, p. 442). Sin embargo, como nuestro espacio es un compacto metrizable, la existencia de una tal medida es posible si dicho espacio no posee puntos aislados, hecho que probaremos más abajo. Lema 2.1.9. Sean µ ∈ M + (X ) y A ∈ B0 (X ) un átomo de µ. Entonces existe un x ∈ A tal que µ({x}) > 0. En particular, µ posee átomos si, y sólo si, µ({x}) > 0 para todo x ∈ X . Prueba. Sea {V1 ,V2 , . . .} una base para la topología de X y defina I = {n ∈ N : µ(A ∩Vn ) = 0}. Considere ahora el conjunto [ B = A \ Vn . n∈I

Entonces B es un conjunto medible incluido en A y se cumple que µ(B) = µ(A) > 0. En efecto, como  [   [  [
A ∩Vn , A = A \ Vn ∪ A ∩ Vn = B ∪ n∈I

n∈I

n∈I

y µ(A ∩Vn ) = 0 para todo n ∈ I, entonces la aditividad de µ nos dice que µ(B) = µ(A) > 0. En particular, B 6= ∅. Afirmamos que B consta de un único punto. Para ver esto, supongamos, por contradicción, que B posee dos puntos distintos, digamos a y b. Puesto que X es de Hausdorff, existen conjuntos abiertos básicos disjuntos Vi y V j tales que a ∈ A ∩Vi y S b ∈ A ∩V j . Si µ(A ∩Vi ) = 0, entonces i ∈ I lo cual es imposible pues a ∈ B = A \ n∈I Vn . Puesto que A es un átomo, obtenemos que µ(A ∩Vi ) = µ(A). Con un argumento similar se obtiene que µ(A ∩V j ) = µ(A). Sin embargo, como (A ∩Vi ) ∩ (A ∩V j ) = ∅, entonces ni A ∩Vi , así como tampoco A \Vi , tienen medida cero, lo cual contradice el hecho de que A es un átomo. Por esta razón B se reduce a un punto.  El resultado anterior permite formular la siguiente definición Definición 2.1.11. Una medida µ ∈ P(X ) se dice no-atómica, difusa o continua, si µ({x}) = 0 para cualquier x ∈ X .

108

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Notemos que si µ ∈ P(X ) es no-atómica y D es cualquier subconjunto a lo más numerable de X , entonces µ(D) = 0. Observemos también que si µ ∈ P(X ) no es difusa, entonces µ({x}) > 0 para algún x ∈ X . Si denotamos por δx la medida de Dirac en x ∈ X , es decir, ( 1 si x ∈ E, δx (E) = 0 si x 6∈ E, para cada E ∈ B0 (X ), entonces δx siempre es atómica (= posee átomos). Además, para toda f ∈ C(X ) y todo x ∈ X se cumple que Z h f , δx i =

X

f dδx = f (x).

En general, una medida µ ∈ P(X ) se llama puramente atómica si existen números reales ε j > 0 y vectores x j ∈ X , j = 1, 2, . . . tal que ∞

µ(E) =

∑ ε j δx (E), j

j=1

para todo E ∈ B0 (X ).

Es un hecho ya establecido que Teorema 2.1.31. Sea µ ∈ M + (X ). Entonces, µ = µc + µ pa , donde µ es una medida de Borel no-atómica y µ pa es una medida puramente atómica. Prueba. Si µ no tiene átomos, entonces µ = µc y µ pa = 0. Supongamos que µ posee átomos y sea A = {x ∈ X : µ({x}) > 0}. Nos proponemos, en lo inmediato, demostrar que A es a lo más numerable. Para ver esto, definamos, para cada n ∈ N, el conjunto An = {x ∈ X : µ({x}) ≥ 1/n}. Entonces A=

∞ [

An

n=1

y cada conjunto An consta a lo sumo de n elementos. En efecto, supongamos que An contiene N elementos, digamos x1 , x2 , . . . , xN , y usemos la aditividad y la monotonicidad de µ para obtener ! N N [ N ≤ ∑ µ(x j ) = µ {x j } ≤ µ(X ) = 1, n j=1 j=1 es decir, N/n ≤ 1 y, así, N ≤ n. De esto se concluye que A es a lo más numerable. Representemos al conjunto A como A = {x1 , x2 , . . .} y definamos la media µ pa : B0 (X ) → [0, +∞] por ∞

µ pa (E) =

∑ µ({x j }) δx (E), j

j=1

para todo E ∈ B0 (X ).

Entonces µ pa es una medida puramente atómica, y para cualquier conjunto de Borel E se cumple que ∞

µ pa (E) =

∑ µ({x j }) δx (E) = ∑ µ({x j }) = µ(E ∩ {x1 , x2 , . . .}) ≤ µ(E). j

j=1

xj ∈E j∈N

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

109

Esto prueba que µ pa ≤ µ, lo cual nos permite definir µc : B0 (X ) → [0, +∞] por µc (E) = µ(E) − µ pa (E),

para todo E ∈ B0 (X ).

Es claro que µc ∈ M + (X ). Veamos que µc es no-atómica. En efecto, sea x ∈ X . Si x = x j para algún j ∈ N, entonces µ pa ({x j }) = µ({x j }) y así, µ({x}) = 0. Por otro lado, si x 6= x j para todo j ∈ N, entonces µ pa ({x}) = 0 = µ({x}) y, de nuevo, µc ({x}) = 0. Esto termina la prueba.  Recordemos que si X es un espacio topológico de Hausdorff, el conjunto de los puntos límites de X se define como X ′ = X r {x ∈ X : x es un punto aislado de X}.

Usando inducción transfinita definimos, para cada número ordinal α, el derivado de Cantor-Bendixson X (α) como sigue: 1. X (0) = X ; 2. X (α+1) = (X (α) )′ , si α es un ordinal, y 3. X (β) =

\

X (α), si β es un límite ordinal.

α< β

No es difícil establecer que X (α) es cerrado en X para todo α < ω1 y que la familia (X (α) )α 0. α 0. Entonces el conjunto  Ka = a · δx : x ∈ K es ω∗ -compacto en M + (X ).

Prueba. Puesto que la aplicación ϕ : (X , d) → (M + (X ), ω∗ ) definida por ϕ(x) = δx para cada x ∈ X , es claramente continua, se sigue que el conjunto ϕ(X ) = {δx : x ∈ X } es ω∗ -compacto en M + (X ). En particular, el conjunto Ka = {a · δx : x ∈ X } también es ω∗ -compacto en M + (X ). 

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

111

Sea A ⊆ M(X ). Recordemos que el aniquilador de A se define como  A⊥ = f ∈ C(X ) : h f , µi = 0 para toda µ ∈ A . Una de las buenas razones, además de importante, que poseen las medidas de Dirac es que ellas sirven para aproximar cualquier medida de Borel con signo finita; es decir, si µ ∈ M(X ) entonces existe una cierta combinación lineal de medidas de Dirac que aproxima a µ en la ω∗ -topología. Para demostrar este hecho, haremos uso del siguiente teorema. Teorema A ([5], Corolary 5.108, p. 219). Sea A un subespacio de M(X ). Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) A⊥ = {0}.

(2) A es ω∗ -denso en M(X ). ∞ Teorema 2.1.33. sucesión densa en X . Entonces  Sean (X , d) un espacio métrico compacto y (xn )n=1 una  ∗ {δxn : n ∈ N} , el subespacio lineal generado por {δxn : n ∈ N}, es ω -denso en M(X ).

 ⊥  ⊥ Prueba. En primer lugar notemos que δxn : n ∈ N = {0}. En efecto, sea f ∈ δxn : n ∈ N . Entonces 0 = h f , δxn i =

Z

X

f δxn = f (xn ),

y la densidad de la sucesión (xn )∞ n=1 , así como la continuidad de f , garantizan que f (x) = 0 para todo x ∈ X . Esto prueba nuestra afirmación.  ⊥  ⊥   Por otro lado, como δxn : n ∈ N = {δxn : n ∈ N} , se sigue del Teorema A que {δxn : n ∈ N} es ω∗ -denso en M(X ).  El resultado anterior establece que para cualquier medida µ ∈ M(X ), existen escalares a1 , . . . , an y vectores z1 , . . . , zn en {x j : j ∈ N} tal que la medida υ = a1 δz1 + · · · + an δzn aproxima a µ en la ω∗ topología. Si los coeficientes ai , i = 1, . . . , n, se eligen no-negativos y tales que a1 + . . .+ an = 1, entonces las medidas υ = a1 δz1 + · · · + an δzn aproximan a las medidas µ ∈ P(X ) en la ω∗ -topología. Cualquier medida µ ∈ P(X ) de la forma n

µ = ∑ ai δxi , i=1

donde los ai son números reales no negativos satisfaciendo a1 + · · · + an = 1, se llama una medida finitamente soportada. En este caso decimos que µ es soportada por {x1 , . . . , xn }. En general, si D es un subconjunto no vacío de X , denotaremos por Pf s (D, X ) el conjunto de todas las medidas de probabilidad finitamente soportadas por elementos de D; es decir, ( ) n

Pf s (D, X ) =

µ ∈ P(X ) : µ = ∑ ai δxi , a1 + · · · + an = 1, ai ≥ 0, xi ∈ D, i = 1, . . . , n, n ∈ N . i=1

Lema 2.1.13. Sean (X , d) un espacio métrico compacto y D ⊆ X un subconjunto denso en X . Entonces Pf s (D, X ) es ω∗ -denso en P(X ).

112

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba. Vamos a demostrar que cualquier conjunto no vacío y ω∗ -abierto V de P(X ) intersecta al conjunto Pf s (D, X ). Sin perder generalidad, podemos suponer que V es un entorno ω∗ -abierto de µ ∈ P(X ) de la forma: Z   Z V := V ( f1 , . . . , fn , ε) = ν : fi dµ − fi dν < ε, i = 1, . . . , n , X X donde ε > 0, y f1 , . . . , fn ∈ C(X ). Veamos que existe una medida de probabilidad finitamente soportada por elementos de D perteneciente a V ( f1 , . . . , fn , ε). En efecto, como las funciones f1 , . . . , fn son uniformemente continuas, existe un δ > 0 tal que |x − y| < δ ⇒ | fi (x) − fi (y)| < ε para cualquier x, y ∈ X e i = 1, . . . , n. De aquí se sigue la existencia de una partición finita F1 , . . . , Fk de X por conjuntos medibles Borel de medida positiva tal que ⇒

x, y ∈ Fj

| fi (x) − fi (y)| < ε,

j ≤ k, i ≤ n.

Escojamos xi ∈ Fi ∩ D, y definamos ai = µ(Fi ) y ν = ∑ni=1 ai δxi . Entonces ν ∈ Pf s (D, X ) y para f ∈ { f1 , . . . , fn }, tenemos que Z Z Z Z n f dµ − f dν = f dµ − ∑ ai f (xi ) (puesto que f dδx = f (x)) X X X X i=1 ! Z k Z f dµ − f (xi )dµ (puesto que µ(Fi ) = ai ) = ∑ i=1 Fi Fi k Z = ∑ ( f (x) − f (xi ))dµ i=1 Fi k

≤∑

Z

i=1 Fi k Z

≤∑

| f (x) − f (xi )|dµ ε dµ

i=1 Fi

=ε

Esto demuestra que ν ∈ V y, en consecuencia, ν ∈ V ∩ Pf s (D, X ).



La existencia de medidas de Borel no-atómicas se puede lograr usando el Teorema de Categoría de Baire tal y como se demuestra en [214], Theorem 8.1, p. 53. Otra demostración, que no invoca el Teorema de Categoría de Baire, se puede ver en el libro de Aliprantis y Border, [5], Theorem 12.22, p. 446. Véase también [174]. Lema 2.1.14. Sea (X , d) un espacio métrico compacto sin puntos aislados. Entonces existe una medida µ ∈ M + (X ) no-atómica estrictamente positiva. Prueba. Nuestra primera tarea es demostrar la siguiente: Afirmación. Para cada bola cerrada B en X con radio positivo, existe una medida µB ∈ P(X ) tal que sop(µB ) ⊆ B.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

113

Prueba de la Afirmación. Sea B = B(x, r) una bola cerrada con centro en x ∈ X y radio r > 0. Puesto que X no posee puntos aislados, la bola cerrada B(x, r/4) no se reduce a un punto; es decir, ella contiene (1) (1) (1) (1) infinitos puntos. Sean x1 y x2 dos puntos distintos de B(x, r/4) y pongamos ε1 := d(x1 , x2 )/4. (1) (1) Considere ahora las bolas cerradas disjuntas B(x1 , ε1 ) y B(x2 , ε1 ). De nuevo, por la ausencia de (2) (2) puntos aislados en X , cada una de esas bolas contienen dos puntos diferentes, digamos x1 , x2 en (1) (2) (2) (1) B(x1 , ε1 ) y x3 , x4 en B(x2 , ε1 ). (2)

(2)

(2)

Sea ε2 := m´ın{d(xi , x j )/4 : i, j = 1, 2, 3, 4}. Entonces las bolas cerradas B(x j , ε2 ), j = 1, 2, 3, 4 son disjuntas. Continuando inductivamente con este proceso, se puede construir, para cada n ∈ N, un εn > 0 y un conjunto  (n) (n) Xn = x1 , . . . , x2n con 2n elementos tal que

εn+1 ≤

εn , 2

Xn ⊆ B

y para cada y ∈ B, y n ≥ k, la bola B(y, εk ) contiene a lo más 2n−k puntos de Xn . Defina, para cada n ∈ N, la medida 1 n µn := n ∑ δx(n) . 2 j=1 j Con esta definición resulta que cada µn es una medida de probabilidad cuyo soporte yace en B y, además, se cumple que
1 1 µn B(y, εk ) ≤ n · 2n−k = k (1) 2 2

para todo n ≥ k y cualquier y ∈ X . Puesto que (X , d) es un espacio métrico compacto, sabemos que (C(X ), k·k∞ ) es separable y, por consiguiente, por el Teorema de Banach-Alaoglu, (P(X ), ω∗ ) es un compacto metrizable. Por esto, la sucesión (µn )∞ n=1 posee una subsucesión, a la que seguiremos denotando del mismo modo, que converge a una medida µ ∈ P(X ). Como sop(µn ) ⊆ B para todo n ∈ N y ya que B es compacto, se sigue que sop(µ) ⊆ B. Más aun, por (1), µ es no-atómica. Esto termina la prueba de nuestra afirmación.  Para finalizar la demostración del lema, sea D un subconjunto denso numerable de X . Para cada n ∈ N y cada x ∈ D, existe, por la afirmación anterior, una medida de probabilidad no-atómica µn,x := µB(x,1/n) con soporte contenido en B(x, 1/n). Seleccionemos, arbitrariamente, números cn,x > 0 tales que

∑

cn,x < +∞.

n∈N,x∈D

Entonces υ :=

∑

cn,x µn,x

n∈N,x∈D

es una medida no-atómica cuyo soporte contiene a todos los x ∈ D. Como D es denso en X , se sigue que sop(υ) = X . Esto prueba que υ es una medida estrictamente positiva.  Teorema 2.1.34. Sea (X , d) un espacio métrico compacto sin puntos aislados. Entonces Pc1 (X ) es un Gδ -denso en (P(X ), ω∗ ).

114

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba. Demostraremos, en primer lugar, que Pc1 (X ) es un Gδ . En efecto, pongamos Ppa (X ) = P(X ) r Pc1(X ) =

∞ [

Fn ,

n=1

donde, para cada n ∈ N, Fn =

(

) 1 µ ∈ P(X ) : µ({x}) ≥ para algún x ∈ X . n

Afirmamos que cada Fn es ω∗ -cerrado en P(X ). En efecto, puesto que X es compacto, existe una sucesión S∞ creciente de subconjuntos compactos de X , digamos (Kn )∞ n=1 , tal que X = n=1 Kn . Consideremos ahora, para cada n ∈ N, el conjunto   1 δx : x ∈ Kn . Kn = n Como cada Kn es ω∗ -compacto, se sigue del Lema 2.1.11 que n o K•n = µ ∈ P(X ) : existe ν ∈ Kn tal que ν ≤ µ n o 1 = µ ∈ P(X ) : existe x ∈ Kn tal que δx ≤ µ n = Fn

es ω∗ -compacto. Esto prueba que Ppa (X ) =

∞ [

Fn ,

∞ \

Vn

n=1

es un Fσ , de donde se concluye que Pc1 (X ) =

n=1

es un Gδ en P(X ), donde Vn = P(X ) \ Fn = {µ ∈ P(X ) : µ({x}) < 1/n para cada x ∈ X}. Veamos ahora que cada Vn es ω∗ -denso en P(X ). Sea µ una medida de probabilidad no-atómica estrictamente positiva (la cual existe por el Lema 2.1.14). Para cada k ∈ N con k > n y cada x ∈ X , defina la medida µk por µ|B(x,1/k) µk := · µ(B(x, 1/k)) ∗ Entonces µk ∈ Vn es no-atómica y la sucesión (µk )∞ k=1 converge (en la ω -topología) a la medida δx . Esto prueba que cualquier medida de Dirac puede ser aproximada por medidas no-atómicas viviendo en Vn , en particular, cualquier medida de probabilidad finitamente soportada puede ser aproximada por medidas no-atómicas de Vn . Por el Lema 2.1.13 sabemos que el conjunto Pf s (D, X ), con D cualquier conjunto denso numerable de X , es ω∗ -denso en P(X ), y entonces se sigue que Vn también es ω∗ -denso en P(X ). Por el Teorema de Categoría de Baire, Pc1 (X ) es ω∗ -denso en P(X ). 

Sean λ ∈ M + (X ) y µ ∈ M(X ). Diremos que µ es absolutamente continua con respecto a λ, µ ≪ λ, si para cualquier E ∈ B0 (X ) para el cual λ(E) = 0, implica que µ(E) = 0. Dos medidas λ, µ ∈ M + (X ) se

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

115

dice que son mutuamente singulares, en notación: µ ⊥ λ, si existe un conjunto medible-Borel E ⊆ X tal que µ(E) = 0 = λ(X \ E). El archiconocido Teorema de Radon-Nikodym establece que si µ ≪ λ con µ ∈ M(X ) y λ ∈ M + (X ), entonces existe una función f ∈ L1 (λ) := L1 (X , B0 (X ), λ) tal que µ(E) =

Z

f dλ, E

para todo E ∈ B0 (X ).

dµ . dλ + Fijemos ahora una medida de Borel λ ∈ M (X ). Por el Teorema de Descomposición de Lebesgue, cada medida con signo µ ∈ M(X ) admite una única representación en la forma µ = µa + µs , donde µa ≪ λ y µs ⊥ λ. De hecho, λ induce una descomposición de M(X ) en suma directa Mλa ⊕ Mλs = M(X ), donde   Mλa = µ ∈ M(X ) : µ ≪ λ y Mλs = µ ∈ M(X ) : µ ⊥ λ La función f , obtenida por intermedio del Teorema de Radon-Nikodym, se le suele denotar por f :=

son subespacios lineales de M(X ). Una aplicación del Teorema de Radon-Nikodym permite identificar, isométricamente, al subespacio lineal Mλa de M(X ) con L1 (λ). Si ahora elegimos a λ en M + (X ) que sea estrictamente positiva, entonces sop(λ) = X y, por consiguiente, Mλa ⊥ = {0}. Se sigue del Teorema A que Mλa es ω∗ -denso en M(X ). Con esto hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 2.1.35. Sean (X , d) un espacio métrico compacto y λ una medida de Borel estrictamente positiva en M + (X ). Entonces el conjunto  Mλa = µ ∈ M(X ) : µ ≪ λ es ω∗ -denso en M(X ).

2.1.14. k ◮ Conjuntos de Luzin Los conjuntos de Luzin en R son, en efecto, conjuntos raros. Su existencia fue establecida por primera vez en 1913 por P. Mahlo. Un año después, N. Luzin obtiene el mismo resultado pero con un desarrollo mucho más amplio siendo esta, tal vez, la razón por la cual a tales conjuntos se le llama conjuntos de Luzin. Su existencia se prueba añadiéndole la Hipótesis del Continuo (CH) a la usual Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección, ZFC. Recordemos que ω1 denota el primer ordinal no numerable cuya cardinalidad es ℵ1 (= el primer cardinal no numerable). Como se sabe, la pregunta de si la cardinalidad de ω1 es la misma que la cardinalidad de R es el contenido de la Hipótesis del Continuo. La Hipótesis del Continuo establece que no existe ningún conjunto infinito A ⊆ R que satisfaga la desigualdad ℵ0 < card(A) < c. Otra forma de enunciar la Hipótesis del Continuo es con la afirmación 2ℵ0 = ℵ1 . Definición 2.1.12. Un subconjunto X $ R se llama conjunto de Luzin si (a) X es no numerable, y (b) para cualquier conjunto de primera categoría A ⊆ R, card(X ∩ A) ≤ ℵ0 . Veamos ahora por qué la existencia de conjuntos de Luzin se sustenta sobre la base de la Hipótesis del Continuo en combinación con el Teorema de Categoría de Baire.

116

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Teorema 2.1.36 (Mahlo-Luzin). La Hipótesis del Continuo implica la existencia de un conjunto de Luzin. Prueba. Sea Nd = {Fα : α ∈ I} la familia de todos los conjuntos cerrados nunca-densos en R. Puesto que para cada x ∈ R, el conjunto {x} ∈ Nd , entonces card(Nd ) > ℵ0 y, así, la Hipótesis del Continuo nos garantiza que card(Nd ) = c. Bajo estas circunstancia podemos suponer, y así lo haremos, que el conjunto I es sustituido por ω1 . Puesto que Fα 6= R para todo α < ω1 , podemos comenzar eligiendo un x1 ∈ R tal que x1 6∈ F1 ∈ Nd . Vamos usar inducción transfinita para construir nuestro conjunto. Sea ξ < ω1 y supongamos que la familia (xα )α 1. (X IV ) Funciones nunca cuasi-analíticas. El próximo resultado requiere de algunas definiciones. Sea (Mn )∞ n=1 una sucesión de números (M ) n reales positivos y sea U ⊆ R abierto. Denotemos por C (U ) el espacio de todas las funciones f : U → R de clase C∞ tal que para algún par de constantes A y h, se cumpla que

(n)

f ≤ Ahn Mn

124

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire para todo n ∈ N. Diremos que C(Mn ) (U ) es un espacio cuasi-analítico si dada cualquier f ∈ C(Mn ) (U ) y si para algún x ∈ U , ocurre que f (n) (x) = 0 para todo n ∈ N, entonces necesariamente f ≡ 0. Una función se dice cuasi-analítica en x0 si existe un entorno U de x0 tal que f |U está en algún espacio cuasi-analítico C(Mn ) (U ). A pesar de que las funciones que no son cuasi-analíticas no son fáciles de conseguir, J. Schmets y M. Valdivia probaron el siguiente resultado. (1) Cualquier espacio C(Mn ) (U ) que no es cuasi-analítico contiene un subespacio Z de dimensión infinita con la siguiente propiedad: si f ∈ Z, f 6≡ 0, entonces f es nunca cuasi-analítica.

(XV ) El Teorema de Bishop-Phelps. El Teorema de Bishop-Phelps, Teorema 2.2.10, página 165, establece que NA(X ) es norma denso en X ∗ , donde X es un espacio de Banach sobre R y NA(X ) es el conjunto de todos los funcionales lineales en X ∗ que alcanzan la norma; es decir, f ∈ NA(X ) si, y sólo si, f (x) = sup{ f (z) : z ∈ BX } = k f k para algún x ∈ BX . Aron, García y Maestre preguntan lo siguiente: Problema. ¿Contiene NA(X ) un subespacio Y de dimensión infinita? Si existe un tal subespacio, ¿es dicho subespacio denso en X ∗ ? En todos los casos conocidos, la respuesta a dicho problema es sí. Sin embargo, como ellos muestran, no podemos pedir que el subespacio sea cerrado en lugar de denso. Los siguientes resultados fueron obtenidos, fundamentalmente, por Bandyopadhyay y Godefroy [18]. Recordemos que un subespacio lineal cerrado Y del espacio de Banach (X , k·k) es un subespacio proximinal de X si para cualquier x ∈ X , existe un y ∈ Y tal que k x − yk = dist(x,Y ). (1) Sea Y un subespacio proximinal de X . Entonces Y ⊥ ⊆ NA(X ) si, y sólo si, X /Y es reflexivo. De esto se sigue que si si existe un subespacio proximinal Y de X tal que X /Y es reflexivo y de dimensión infinita, entonces NA(X ) es espaciolizable. De hecho, se cumple lo siguiente: (2) Sea Y un subespacio proximinal de X tal que X /Y es isométricamente isomorfo a un espacio dual Z ∗ . Entonces Z ⊆ NA(X ). Sea (X , k·k) un espacio de Banach (real) tal que BX ∗ es ω∗ -secuencialmente compacto. Son equivalentes: (1) Existe una norma equivalente ||| · ||| sobre X tal que NA(X , ||| · |||) es espaciolizable.

(2) Existe un espacio cociente de dimensión infinita de X el cual es isomorfo a un espacio dual. Igualmente ellos probaron que que si X es un espacio de Banach tal que X ∗ es separable, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (1) Existe una norma equivalente ||| · ||| sobre X tal que NA(X , ||| · |||) es espaciolizable. (2) X ∗ contiene un subespacio reflexivo de dimensión infinita.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

125

Si en el resultado anterior en lugar de pedir que X ∗ sea separable, se exige que X sea un espacio de Asplund WCG, entonces se obtienen las siguientes equivalencias: (1) Existe una norma equivalente ||| · ||| sobre X tal que NA(X , ||| · |||) es espaciolizable. (2) X ∗ contiene un subespacio reflexivo de dimensión infinita.

Si el espacio de Banach X es Asplund con la propiedad de Dunford-Pettis, entonces los subespacios lineales norma-cerrados de NA(X ) son de dimensión finita. De allí que NA(X ) no es espaciolizable. Si el espacio de Banach X posee la PRN, entonces [NA(X )] = X ∗ . En particular, si NA(X ) es un espacio vectorial, entonces X es reflexivo. (XV I) Series de Fourier siempre divergentes. El primer ejemplo de la existencia de una función integrable según Lebesgue y cuya serie de Fourier siempre diverge, fue dado por A. Kolmogorov en 1926. Aunque este hecho, que en principio parecía ser un fenómeno patológico, posteriormente se demostró que, en realidad, era genérico en el sentido de categoría de Baire (Teorema 2.1.21). Lo que Bayart ([21], Theorem 3) demuestra es que dicho fenómeno también es algebraicamente genérico en el sentido de espaciabilidad; es decir, (1) Sea Fdiv el conjunto de todas las funciones de L1 (T) cuyas series de Fouier siempre divergen sobre T. Entonces Fdiv es espaciolizable. Casi enseguida, R. M. Aron, D. Pérez Gracía y J. B. Seoane Sepúlveda en [11] profundizan el resultado anterior al obtener: (2) Sea E ⊆ T un conjunto de medida de Lebesgue cero. Sea Fdiv (T, E) el conjunto de todas las funciones en C(T) cuya serie de Fourier diverge en todo punto de t ∈ E. Entonces Fdiv (T, E) es denso y algebralizable. (XV II) Series de Dirichlet siempre divergentes. Recordemos que H∞ consiste de todas las series de Dirichlet ∞

f (s) =

∑ an n−s

n=1

que convergen y son acotadas en el semi-plano C+ = {s ∈ C : Re(s) > 0}. H∞ es un espacio de Banach con la norma k f k∞ = sup{| f (s)| : s ∈ C+ }. −s ∈ H∞ tal que El conocimiento de la existencia de una serie de Dirichlet f (s) = ∑∞ n=1 an n ∞ it ∑n=1 an n diverge para cada t ∈ R es de data muy reciente (véase [23]). Denotemos por Ddiv (R) el −s tal que ∞ a nit subconjunto de H∞ formado por todas las series de Dirichlet f (s) = ∑∞ ∑n=1 n n=1 an n es siempre divergente sobre R. La abundancia de tales objetos fue establecida por Bayart [21] y Bayart-Quarta [25] respectivamente.

(1) Ddiv (R) es espaciolizable y algebralizable.

126

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

(XV III) Funciones C∞ con expansión de Taylor constante. García-Pacheco, Palmberg y Seoane-Sepúlveda [101] prueban que si T∞ (R) denota el conjunto de todas las funciones C∞ con expansión de Taylor constante, entonces (1) T∞ (R) es algebralizable. (X IX ) Funciones Lipschitz-continuas que son Gâteaux-diferenciables. Sea X un espacio de Banach. Denotemos por Cb (X , c0 ) el espacio de Banach formado por todas las funciones continuas y acotadas de X en c0 equipado con la norma del supremo y por LipG (X , c0 ) el conjunto de todas las funciones Lipschitz-continuas de X en c0 que son Gâteaux-diferenciable en cada punto de X y tal que el rango de la función derivada de Gâteaux consiste sólo de puntos aislados. Recientemente, Frédéric Bayart [21], demostró: (1) Sea X un espacio de Banach real separable. El conjunto LipG (X , c0 ) es espaciolizable en Cb (X , c0 ).

2.1.16. k ◮ Conjuntos predominantes ∗∗ Ya hemos visto que en cualquier espacio de Baire X conteniendo un subconjunto residual, cuyos elementos poseen una cierta propiedad P, “casi todos” los elementos de X poseen la propiedad P en el sentido de categoría de Baire. Residualidad es, entonces, una “medida” de la abundancia de elementos en un espacio de Baire con una cierta propiedad. En la Teoría de la Medida de Lebesgue también existe una noción, similar a la residualidad, para medir el tamaño de un conjunto medible. Ella se hace a través de la noción de “casi siempre”. Si λ es la medida de Lebesgue en Rn , con n ∈ N, una propiedad P(x) sobre un conjunto medible E de Rn se dice que se cumple λ-casi siempre, o λ-c.s, si el conjunto de puntos donde ella no se cumple tiene medida cero; es decir, si λ({x ∈ E : P(x) no se cumple}) = 0. La existencia de un conjunto que, desde el punto de vista topológico es muy grande, pero pequeño en el sentido de la medida de Lebesgue, permite comprender por qué estos dos modos de medir el tamaño de un conjunto no son equivalentes. Sea λ la medida de Lebesgue en R. Entonces existe un conjunto no vacío G en R tal que: (1) G es un Gδ -denso (no numerable), y (2) λ(G) = 0. Este resultado ya fue establecido anteriormente como caso particular del Lema 2.1.15, página 116, pero no hace daño volver a probarlo. Sea (qi )∞ i=1 una enumeración de Q y, para cada i, j ∈ N, denotemos por Ii j el intervalo   1 1 Ii j = qi − i+ j , qi + i+ j . 2 2 Definamos ahora, para cada j ∈ N, los conjuntos Uj =

∞ [

i=1

Ii j

y

G=

∞ \

j=1

U j.

Sec. 2.1 Galería de monstruos: funciones raras pero abundantes

127

Notemos que cada U j es abierto y, además, denso en R pues Q ⊆ U j . Por el Teorema de Categoría de Baire, G es un Gδ -denso en R. El hecho de que G es no numerable proviene del Teorema 1.2.7. Para demostrar que G es un conjunto λ-nulo, sea ε > 0. Notemos, en primer lugar, que G es medible. Escojamos un j ∈ N tal que 1/2 j < ε. Para ese j, claramente G ⊆ U j y, en consecuencia, λ(G) ≤ λ(U j ) ≤

∞

∞

1

∑ λ(Ii j ) = ∑ 2i+ j

i=1

i=1

=

1 < ε. 2j

Como ε > 0 es arbitrario, concluimos que λ(G) = 0.



Teniendo en cuenta las muy variadas aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire así como algunas de sus profundas consecuencias, estamos tentados a preguntarnos. ¿Se puede llevar a cabo un programa similar al de la “residualidad” en el ámbito de la Teoría de la Medida pero sin la noción topológica de categoría?. La pregunta surge a propósito del conocimiento que se tenía del siguiente hecho: Sea X un espacio de Banach separable de dimensión infinita. Una medida de probabilidad µ sobre X se llama Gaussiana si, para cualquier x∗ ∈ X ∗ , la medida µx∗ definida sobre R por medio de la fórmula µx∗ (A) = µ({y : x∗ (y) ∈ A}), tiene distribución Gaussiana. Si ocurre que para cada x∗ 6= 0, la distribución µx∗ es no-degenerada, entonces se dice que µ es una medida Gaussiana no-degenerada. Un subconjunto de Borel E se llama Gauss nulo si µ(E) = 0, para cualquier medida Gaussiana no-degenerada sobre X . El hecho conocido es el siguiente resultado descubierto por Aronszajn en 1976. Si X es un espacio de Banach separable y f : X → R es una función Lipschitz, entonces el conjunto de todos los puntos donde f no es Gâteaux diferenciable es Gauss nulo. Por otro lado, la diferenciabilidad de Fréchet de una tal función Lipschitz es completamente diferente. Si bien es cierto que el conjunto de puntos donde f no es Gâteaux diferenciable en el resultado anterior, es un Gδ -denso en X , el resultado de Aronszajn nos sugieren la idea, en principio, que en la teoría de la diferenciabilidad de las funciones Lipschitz definidas sobre un espacio de Banach separable, la teoría topológica de categoría no es muy adecuada. En la búsqueda de un programa similar al de residualidad pero sin la noción de categoría de Baire, J. P. R. Christensen [56] crea, en 1972, el concepto de conjunto de Haar nulo en espacios no euclidianos el cual permite usar términos tales como “casi siempre” y “medida cero” sin disponer de una medida previamente especificada. Surge así el concepto de conjunto predominante que resulta ser más apropiado que el de categoría en contextos donde se desea obtener un resultado probabilístico. Posteriormente Hunt, Sauer y Yorke [129] redescubren el concepto de Christensen y lo desarrollan ampliamente. Ellos deciden llamarlo conjunto tímido (en inglés, shy) y el complemento de un conjunto tímido lo llaman predominante. Una propiedad en un espacio métrico se llama predominante si ella se cumple para todos los puntos excepto en un conjunto tímido. En toda esta sección el símbolo λ, como siempre, denotará la medida de Lebesgue en Rn , n = 1, 2, . . . Para poder justificar la noción de preponderancia es necesario tener a mano una noción similar, en ciertos aspectos, de la medida de Lebesgue pero en espacios de dimensión infinita. Un teorema clásico de Radamacker establece que Si f : Rn → Rm es localmente Lipschitz, entonces f es diferenciable λ-c.s. Intentar obtener una extensión de éste resultado en el ámbito de los espacios de Banach separables de dimensión infinita, requiere contar con una generalización de la noción de “casi siempre” o, en su defecto, de la de conjunto de medida cero. Similarmente, se conoce que si G es un grupo Polaco conmutativo localmente compacto, entonces se puede definir una medida de Borel sobre G, llamada la medida de Haar, la cual es invariante (por ambos

128

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

lados) y con el peculiar encanto de que la medida de cualquier conjunto abierto no vacío con clausura compacta es finita y nunca igual a cero. Esta definición de medida de Haar no se extiende a grupos que no sean localmente compactos. Sin embargo, existe una cierta extensión de la propiedad de medida de Haar cero. Un intento por ir un poco más allá de éstos dos resultados, al menos en el ámbito de los espacios de Banach, tropieza con el hecho de que tanto la medida de Lebesgue así como la medida de Haar son invariantes y que: Si X es un espacio de Banach separable de dimensión infinita, cualquier medida de Borel µ sobre X invariante por traslación la cual no es idénticamente nula, asigna medida infinita a todos los conjuntos abiertos no vacíos. (Véase, por ejemplo, W. Ott y J. A. York, [210]) Para ver por qué esto es así, suponga que para algún x ∈ X y algún ε > 0, la bola abierta de centro x y radio ε tiene medida finita; es decir, µ(U ((x, ε))) < ∞. Puesto que X es de dimensión infinita, entonces U (x, ε) contiene infinitas bolas abiertas disjuntas dos a dos cada una de radio ε/4. Todas esas bolas tienen la misma medida y la suma de sus medidas es finita. De aquí se sigue que la medida de cada una de esas bolas de radio ε/4 es cero y como X es separable, dicho espacio puede ser cubierto por una cantidad infinita numerable de bolas de radio ε/4 y, en consecuencia, µ(X ) = 0. Esta contradicción prueba nuestra afirmación.  Esta limitación requiere la búsqueda de medidas que sean, al menos, no invariantes. Para situarnos en el ambiente adecuado vamos a comenzar por recordar, una vez más, algunas definiciones y resultados conocidos en la Teoría de la Medida. Sea X un espacio de Banach separable. Por una medida de Borel sobre X se entiende una función de conjuntos µ sobre B0 (X ), la σ-álgebra de Borel sobre X , la cual es numerablemente aditiva y no negativa. M + (X ) denota el conjunto de todas las medidas de Borel sobre X . Si µ(X ) = 1, entonces diremos que µ es una medida de probabilidad y a la totalidad de tales medidas la denotaremos por P(X ). Dada una media µ ∈ M + (X ), denotaremos por Bµ (X ) la completación de B0 (X ) con respecto a µ, es decir, la σ-álgebra más pequeña que contiene tanto a B0 (X ) así como a todos los subconjuntos de los conjuntos borelianos que poseen medida cero. Si µ ∈ M + (X ), entonces Bu (X ) =

\

Bµ (X )

µ∈M + (X)

es una σ-álgebra y cualquier elemento en Bu (X ) es llamado universalmente medible. Un hecho conocido es que cualquier medida de Borel µ sobre X se puede extender a una medida b µ sobre Bu (X ). Cuando X + es un espacio métrico completo separable, cualquier medida µ ∈ M (X ) es tensa, en el sentido de que ella satisface la siguiente condición: Para cada ε > 0, existe un conjunto compacto Kε ⊆ X tal que µ(Kε ) > µ(X ) − ε. Para una demostración de este hecho se puede consultar, por ejemplo, ([214], Theorem 3.2, p. 29). Definición 2.1.14. Sean X un espacio de Banach separable, µ una medida de probabilidad sobre X y S un conjunto universalmente medible de X . Diremos que µ es transversal a S si µ(S + x) = 0 para todo x ∈ X.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

129

Observemos que nuestra medida µ debe ser no-atómica; es decir, µ({x}) = 0 para cualquier x ∈ X . Si µ({x0 }) > 0 para algún x0 ∈ X , entonces µ no puede ser transversal a ningún conjunto no vacío. En efecto, si µ fuera transversal a algún conjunto no vacío A, entonces µ(A + y) = 0 para todo y ∈ X y, por consiguiente, escogiendo un elemento arbitrario cualquiera y0 ∈ A, resultaría que x0 ∈ A − y0 + x0 , y así, 0 < µ({x0 }) ≤ µ(A − y0 + x0 ) = 0, lo cual es imposible. Definición 2.1.15. Un subconjunto universalmente medible S de un espacio de Banach separable X se dice que es un conjunto de Haar nulo si existe una medida de probabilidad de Borel sobre X que es transversal a S. El complemento de un conjunto de Haar nulo se llama conjunto predominante. Otros autores llaman a los conjuntos de Haar nulo, conjunto de Haar cero o conjunto de Christensen nulo. Ya hemos visto que el conjunto ND[0, 1] formado por todas las funciones en C[0, 1] que son nunca diferenciables es residual en dicho espacio. Lo que Brian R. Hunt demostró en 1994, [127], es que Teorema 2.1.38 (Hunt, [127]). ND[0, 1] es un subconjunto predominante de C[0, 1]. Posteriormente, en su Tesis Doctoral escrita en 1997 [248], H. Shi demuestra la predominancia de ciertos conjuntos que ya se sabían eran residuales. Algunos de esos resultados fueron publicados en el artículo [249] en el año 2001. Por ejemplo, Shi prueba que si NA∞ ([0, 1], C) es el conjunto de todas las funciones de clase C∞ que son nunca analíticas, el cual, como ya sabemos, es residual en dicho espacio, también es predominante. Teorema 2.1.39 (Shi, [249], Theorem 3.1). El conjunto NA∞ ([0, 1], C) formado por todas las funciones f : [0, 1] → C de clase C∞ que son nunca analíticas es predominante. Similarmente, Shi, en el mismo artículo, prueba que NM2 [0, 1], el conjunto de todas las funciones continuas nunca monótonas de la 2a especie, es predominante en C[0, 1]. Teorema 2.1.40 (Shi, [249], Theorem 2.1). NM2 [0, 1] es un subconjunto predominante en C[0, 1]. En su artículo [270], X. Wang, además de demostrar que el conjunto  D = f ∈ C[0, 1] : ∂c f = ∂a f ≡ R y ∂− f existe sólo sobre un conjunto de primera categoría

es residual en C[0, 1], prueba que dicho conjunto también es predominante en C[0, 1]. Otros resultados sobre predominancia pueden ser consultados en los artículos [129], [210], [248], [249], [276], [277], etc. y las referencias allí citadas.

2.2. Otras aplicaciones en espacios de Banach 2.2.1. k ◮ Algunas aplicaciones clásicas Esta sección la dedicaremos a mostrar algunas de las aplicaciones clásicas del Teorema de Categoría de Baire en el ámbito de los espacios de Banach tales como: el Teorema de Acotación Uniforme, el Teorema de Banach-Steinhauss, el Teorema de la Aplicación Abierta, etc. Salvo mención explícita de lo contrario, todos nuestros espacios de Banach serán sobre el cuerpo de los números reales.

130

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Algunas herramientas y resultados de la teoría de los espacios de Banach serán presentadas en lo que sigue y sus pruebas se pueden ver, por ejemplo, en [63]. Si (X , k·k) es un espacio de Banach (real), entonces X ∗ denota el dual de X . Los elementos de serán denotados por x∗ , y∗ , z∗ , . . . . En lo que sigue BX denota la bola unitaria cerrada de X ; esto es, BX = {x ∈ X : k x k ≤ 1}, y la esfera unitaria será denota por SX = {x ∈ X : k x k = 1}. En general, cualquier bola cerrada con centro en x ∈ X y radio r > 0 se denotará por B(x, r), mientras que las bolas abiertas serán designadas por el símbolo U (x, r). En particular, escribiremos UX = U (0, 1). La topología débil o la ω-topología sobre X se define como la topología más pequeña sobre X bajo la cual las aplicaciones X∗

x 7→ x∗ (x),

para cada x∗ ∈ X ∗

son continuas. Con esta topología X es un espacio vectorial topológico localmente convexo. Una base local del 0 ∈ X en esta topología viene dada por los conjuntos  U (x∗1 , . . . , x∗n , ε) = x ∈ X : |x∗1 (x)|, . . . , |x∗n (x)| < ε , para x∗1 , . . . , x∗n ∈ X ∗ , n ∈ N. ω

k·k

Si A ⊆ X , su clausura en la ω-topología será denotada por A , mientras que A es su clausura en la k·k-topología. Si bien la ω-topología es más débil que la k·k-topología, los conjuntos convexos cerrados en ambas topologías, coinciden. k◮ (A13) Teorema de Mazur. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Para cualquier conjunto ω k·k convexo A ⊆ X , ocurre que A = A La aplicación J : X → X ∗∗ dada por Jx(x∗ ) = x∗ (x) para todo x∗ ∈ X ∗ y todo x ∈ X , es una aplicación lineal continua que tiene el peculiar encanto de satisfacer la igualdad k Jx k = k x k para todo x ∈ X . Este hecho permite identificar cada elemento x de X con el elemento Jx de X ∗∗ y, así, pensar a X como u subespacio norma-cerrado de X ∗∗ . Si en lugar de X consideramos su dual X ∗ , podemos definir una nueva topología sobre X ∗ , llamada la ω∗ -topología, como la topología más pequeña sobre X ∗ bajo la cual las aplicaciones x∗ 7→ x∗ (x),

para cada x ∈ X

son continuas. Esta topología convierte a X ∗ en un espacio vectorial topológico Hausdorff localmente convexo. Una base local del 0 ∈ X ∗ en la ω∗ -topología la constituye la colección de todos los conjuntos de la forma U (0; x1 , . . . , xn , ε) =

n  \

i=1

x∗ ∈ X ∗ : |x∗i | ≤ ε ,

para x1 , . . . , xn ∈ X , n ∈ N,

siempre que x1 , . . . , xn ∈ X sean identificados como elementos de X ∗∗ .

Dos resultados importantes acerca de la ω∗ -topología sobre un espacio de Banach dual son los siguientes: k◮ (A14) Teorema de Banach-Alaoglu. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Entonces BX ∗ es ω∗ -compacto. Si además, X es separable, entonces (BX ∗ , ω∗ ) es metrizable. Teorema de Goldstine. Si (X , k·k) es un espacio de Banach, entonces BX es ω∗ denso en BX ∗∗ ; es decir, ω∗ BX = BX ∗∗ .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

131

Sea X un espacio vectorial sobre K y sea A un subconjunto de X . Diremos que: A es convexo si tx + (1 − t)y ∈ A siempre x, y ∈ A y 0 < t < 1. A es absorbente si, para cada x ∈ X , existe un kx > 0 tal que x ∈ tA para todo t > kx . A es simétrico si A = −A B-1) Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Si K es un subconjunto absorbente, convexo y cerrado de X , entonces K contiene un entorno abierto del origen. Prueba. Definamos D = K ∩ (−K). Entonces D es absorbente, simétrico, convexo, cerrado y además 0 ∈ D. Más aún, para cualquier subconjunto no vacío A de D, resulta que 1 1 1 1 1 1 0 ∈ A + (−A) ⊆ D + (−D) ⊆ D + D = D, 2 2 2 2 2 2 y entonces será suficiente demostrar que int(D) 6= ∅ puesto que el entorno del origen 1 1 int(D) + (−int(D)) 2 2 está contenido en D. Supongamos que int(D) = ∅. Entonces, para cada n ∈ N, el conjunto nD es cerrado y tiene interior vacío; es decir, es nunca denso en X . Del Teorema 1.1.1, se sigue que X r nD es abierto y denso en X y por el Teorema de Categoría de Baire, ∞ \

(X r nD)

n=1

es denso en X . Observemos ahora que ∞ \

(X r nD) = X r

n=1

∞ [

nD = ∅

n=1

pues X=

∞ [

nD

n=1

ya que D es absorbente. Esta contradicción establece que int(D) 6= ∅ y termina la prueba.



B-2) Sea (X , k·k) un espacio normado. Si F es un subespacio cerrado y propio de X , entonces F es nunca-denso en X . Prueba. Supongamos que int(F) 6= ∅ y sea x ∈ int(F). Entonces existe un r > 0 tal que la bola abierta U (x, r) ⊆ F. Como F es un subespacio lineal, entonces −x +U (x, r) = U (0, r) ⊆ F. De aquí se sigue, gracias a que F es cerrado, que X=

∞ [

n=1

n ·U (0, r) = F

132

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire lo cual es imposible pues F es un subespacio propio de X .



Del resultado anterior podemos concluir que en el espacio de Banach (ℓ∞ , k·k∞ ) de todas las sucesiones acotadas, casi todos (en el sentido de Categoría de Baire) sus elementos son sucesiones divergentes. En efecto, si consideramos a c, el espacio de Banach de todas las sucesiones convergentes, resulta que c es un subespacio norma-cerrado de ℓ∞ (con la norma del supremo) y, gracias al resultado anterior, c es nunca-denso en ℓ∞ ; es decir, el conjunto ℓ∞ \ c, que consiste de todas las sucesiones divergentes, es norma-denso en ℓ∞ . B-3) Sea (X , k·k) un espacio de Banach de dimensión infinita. Si B es una base de Hamel o algebraica de X , entonces la cardinalidad de B es no numerable. Prueba. Supongamos que B es infinito numerable, y escribamos a dicho conjunto como B = {e1 , e2 , . . . , en , . . .}. Definamos, para cada n ∈ N, los conjuntos Fn = [{e1 , e2 , . . . , en }] donde [{e1 , e2 , . . . , en }] denota el subespacio vectorial generado {e1 , e2 , . . . , en }. Cada Fn es un subespacio vectorial de dimensión finita y, en consecuencia, propio y cerrado en X . Puesto que X=

∞ [

Fn ,

n=1

el Teorema de Categoría de Baire nos provee de la existencia de un n ∈ N tal que int(Fn ) 6= ∅, lo cual contradice el resultado anterior. Por esto B es no numerable.  B-4) Sea K un espacio de Hausdorff compacto. K es numerable si, y sólo si, él es metrizable y disperso. Recordemos que un espacio de Hausdorff compacto (K, τ) se dice disperso si cada subconjunto cerrado L de K posee al menos un punto aislado. Prueba. Supongamos que K es numerable y para cada par de elementos x, y ∈ K con x 6= y, definamos el conjunto Hx,y = { f ∈ C(K) : f (x) = f (y)}, donde, como siempre, C(K) es el espacio de Banach de Banach de todas las funciones continuas a valores reales definidas sobre K. Es fácil ver que cada Hx,y es un subespacio cerrado y propio de C(K). Por (B − 2), cada Hx,y tiene interior vacío; es decir, cada conjunto Hx,y es cerrado y nunca S denso. Observe que como K es numerable, la unión x,y∈K Hx,y es una unión numerable y, así, por el Teorema de Categoría de Baire, [ Hx,y C(K). x,y∈K

Por consiguiente, existe una función f ∈ C(K) que no pertenece a ningún Hx,y ; es decir, f es una función inyectiva sobre K. De aquí se sigue que f : K → f (K) es un homeomorfismo y como f (K) es un subconjunto métrico compacto (de R), entonces K es metrizable. Para finalizar la prueba de esta implicación, notemos que cualquier subconjunto cerrado L de K es numerable y, de nuevo, por el Teorema de Categoría de Baire, L posee al menos un punto aislado; es decir, K es disperso.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

133

Supongamos ahora que K es un espacio métrico compacto disperso. Por el Lema 2.1.10, página 109, existe un β < ω1 tal que K (β) = ∅. Puesto que K (α) r K (α+1) es a lo más numerable ya que cada x ∈ K (α) r K (α+1) es un punto aislado de K (α) y como   [ [ K= K (α) r K (α+1) ∪ K (β) = K (α) r K (α+1) , α 0 tal que U (x0 , δ) ⊆ O, y sup ||Tα (x)|| ≤ M ′ .

α∈Γ x ∈U (x0 ,δ)

Ahora, si y ∈ X con ||y|| < δ, entonces x0 + y ∈ U (x0 , δ) y así, para todo α ∈ Γ, ||Tα (y)|| ≤ ||Tα (x0 + y)|| + ||Tα (x0 )|| ≤ 2M ′

Finalmente, si z ∈ X con z 6= 0 y definiendo y = (δ/2||z||) z, tendremos que ||y|| < δ y por la observación anterior ||Tα (y)|| ≤ 2M ′ . Por esto, para todo α ∈ Γ,

 

2||z||

||Tα (z)|| = T y

α

δ 2||z|| = k Tα (y)k δ 4M ′ k zk . ≤ δ Por consiguiente, tomando M = 4M ′ /δ, tendremos que k Tα (z)k ≤ M k zk para todo α ∈ Γ y todo z ∈ X , es decir, sup ||Tα || ≤ M. α∈Γ

 Observemos que el Teorema de Acotación Uniforme también se puede expresar del modo siguiente: B-7) Teorema de Acotación Uniforme 2. Sean (X , k·k) un espacio de Banach y (Y, k·k) un espacio normado. Si (Tα )α ∈ Γ es una familia de operadores lineales continuos de X en Y , entonces (a) o existe una constante positiva M tal que sup ||Tα || ≤ M α∈Γ

(b) o existe algún subconjunto Gδ -denso G de X tal que para todo x ∈ G, sup ||Tα (x)|| = ∞.

α∈Γ

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

135

Prueba. En efecto, si definimos f (x) = sup k Tα (x)k α∈Γ

(x ∈ X )

y Gn = {x ∈ X : f (x) > n}

(n = 1, 2, 3, . . .),

entonces, como cada función x 7→ k Tα (x)k es continua, resulta que f es semicontinua inferiormente y, por consiguiente, cada Gn es abierto. Dos opciones son viables: o todos los Gn son densos, en cuyo caso aplicamos el Teorema de Categoría de Baire para obtener (b), o existe algún n0 ∈ N tal que Gn0 no es denso. En este caso existe una bola abierta, digamos U (x0 , r) en X , que no intersecta a Gn0 . Entonces, para todo x ∈ U (x0 , r) y todo α ∈ Γ tenemos que k Tα (x − x0 )k ≤ k Tα xk + kTα x0 k ≤ 2n0 . De esto se deduce que la familia (Tα )α ∈ Γ es puntualmente acotada. Un llamado al Teorema de Acotación Uniforme 1 termina la prueba de (a).  Otra demostración del Teorema de Acotación Uniforme sin apelar al expediente del Teorema de Categoría de Baire fue dada por S. Banach en su libro [15] usando el método de la joroba deslizante (Gliding hump). Más recientemente, J. Hennefeld [121] utilizando sólo la noción de series en un espacio de Banach y el hecho de en tales espacios toda serie absolutamente convergente es convergente (en la norma del espacio) nos proporciona otra prueba del Teorema de Acotación Uniforme. Otra consecuencia del Teorema de Acotación Uniforme es el siguiente: B-8) Teorema de Banach-Steinhauss. Sean (X , k·k) un espacio de Banach, (Y, k·k) un espacio normado y (Tn )∞ n=1 una sucesión de operadores lineales continuos de X en Y tal que l´ımn→∞ Tn (x) existe para cada x ∈ X . Si definimos T : X → Y por la fórmula T (x) = l´ım Tn (x) n→∞

para todo x ∈ X , entonces: a) T es lineal y continuo, y b) k T k ≤ l´ım infn→∞ k Tn k. Prueba. a) La linealidad de T es consecuencia inmediata de la de cada Tn . Por otro lado, puesto que toda sucesión convergente es acotada, y ya que l´ımn→∞ Tn (x) existe para cada x ∈ X , se sigue que para cada x ∈ X existe una constante positiva Mx tal que supn ||Tn (x)|| ≤ Mx . Por el Teorema de Acotación Uniforme, existe una constante M > 0, tal que supn ||Tn || ≤ M. De esto y la continuidad de cada Tn , se sigue que ||Tn (x)|| ≤ M||x|| para todo x ∈ X . Finalmente, de la desigualdad k T (x)k ≤ k T (x) − Tn (x)k + k Tn (x)k y como T (x) = l´ımn→∞ Tn (x), concluimos que k T (x)k ≤ M k xk

para todo x ∈ X,

es decir, T es continua. b) es inmediata.



136

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

B-9) Teorema de la Aplicación Abierta. Sean (X , k·k) y (Y, k·k) espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado sobreyectivo. Entonces T es una aplicación abierta; es decir, T transforma conjuntos abiertos en X en conjuntos abiertos en Y . Prueba. La prueba la haremos en dos actos. Primero probaremos lo siguiente: k◮ (A15) Sean (X , k·k) y (Y, k·k) espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado. Supongamos que para algún ρ > 0 y R > 0 se cumple que UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, R)). Entonces UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, R)). Prueba. Sea 0 < ε < 1/2 dado y tomemos cualquier y ∈ UY (0, ρ). En primer lugar vamos a demostrar que existe una sucesión (xn )∞ n=1 en X tal que ∞

∑ k xnk < ∞

∞

y

y=

n=1

∑ T xn.

n=1

En efecto, como y ∈ UY (0, ρ) entonces, por hipótesis, y ∈ T (UX (0, R)) y, así, existe y1 ∈ T (UX (0, R)) tal que k y − y1 k < ερ. Pero y1 ∈ T (UX (0, R)) significa que existe un x1 ∈ UX (0, R) tal que y1 = T x1 ; es decir, k y − T x1 k < ερ, lo cual es equivalente a decir que y − T x1 ∈ UY (0, ερ). Observemos, por otro lado, que la condición UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, R)) implica que UY (0, ε ρ) = εUY (0, ρ) ⊆ ε T (UX (0, R)) = T (UX (0, ε R)) y, en consecuencia, y − T x1 ∈ T (UX (0, ε R)).

Procediendo como en el paso anterior, existe un punto x2 ∈ UX (0, ε2 ρ) tal que k (y − T x1 ) − T x2 )k < ε2 ρ; es decir, y − T x1 − T x2 ∈ UY (0, ε2 ρ) ⊆ T (UX (0, ε2 R)). Si suponemos que este proceso se lleva a cabo indefinidamente, habremos obtenido una sucesión n−1 R) y (xn )∞ n=1 en X tal que para todo n ∈ N, xn ∈ UX (0, ε y − T x1 − T x2 − · · · − T xn ∈ UY (0, ε2 nρ) ⊆ T (UX (0, ε2 nR)). De esto, y el hecho de que k xn k < εn R, obtenemos ∞

∑ k xnk < ∞

n=1

y

∞

y=

∑ T xn.

n=1

Por otro lado, como X es completo, la serie ∑∞ n=1 xn converge a algún x ∈ X y entonces, la continuidad de T nos garantiza que y = T x. Vamos de inmediato a verificar que x ∈ UX (0, R/(1 − 2ε)). En efecto, las desigualdades

n n R R

k xk = l´ım ∑ xi ≤ l´ım ∑ k xi k ≤ < , n→∞

n→∞ i=1 1 − ε 1 − 2ε i=1

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

137

muestran que x ∈ UX (0, R/(1 − 2ε)) y, por lo tanto, y = T x ∈ T (UX (0, R/(1 − 2ε))). Hasta ahora hemos demostrado que UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, R/(1 − 2ε))),

para todo 0 < ε < 1/2.

Para finalizar la prueba elijamos de nuevo un elemento cualquiera y en UY (0, ρ). Entonces k yk < ρ. Escojamos ahora un d > 0 de modo que k yk < d < ρ. Entonces d UY (0, ρ) ρ d ⊆ T (UX (0, R/(1 − 2ε))) ρ = T (UX (0, dR/ρ(1 − 2ε)))

y ∈ UY (0, d) =

Puesto que d/ρ < 1, podemos redefinir ε > 0 eligiéndolo suficientemente pequeño de modo que siga siendo menor que 1/2 pero que, además, cumpla la desigualdad dR/ρ(1 − 2ε) < R. De aquí se sigue que y ∈ T (UX (0, R)) y, en consecuencia, UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, R)). Esto termina la prueba del primer acto. El segundo acto es la demostración de que T es una aplicación abierta. Sea entonces G un conjunto abierto no vacío en X y sea y ∈ T (G). Veamos que T (G) contiene una bola abierta con centro en y. Ya que y ∈ T (G), existe un x ∈ G tal que y = T x. Puesto que G es abierto, existe un r > 0 tal que U (x, r) ⊆ G y, por consiguiente, T (UX (x, r)) ⊆ T (G). Como X=

∞ [

UX (x, n)

n=1

y ya que T es sobreyectiva, se concluye que Y=

∞ [

T (UX (x, n))

n=1

Por el Teorema de Categoría de Baire, existe un N ∈ N tal que T (UX (x, N)) tiene interior no vacío; es decir, existe un y ∈ Y y un ρ > 0 tal que UY (y, ρ) ⊆ T (UX (x, N)). Ahora bien, como UY (y, ρ) = y +UY (0, ρ) y T (UX (x, N)) = T (x +UX (0, N)) = T x + T (UX (0, N)) = y + T (UX (0, N)) entonces UY (y, ρ) = y +UY (0, ρ) ⊆ y + T (UX (0, N)) y en consecuencia podemos suponer que UY (y, ρ) ⊆ T (UX (0, N))

138

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Más aún, como T (UX (0, N)) es convexo y simétrico tenemos que UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, N)). En efecto, sea w ∈ UY (0, ρ). Entonces w + y y w − y están en T (UX (0, N)) y por convexidad, w = (w + y)/2 + (w − y)/2 ∈ T (UX (0, N)). Un llamado a (A15) nos dice que UY (0, ρ) ⊆ T (UX (0, N)) y, en consecuencia,  rρ  r UY 0, ⊆ T (UX (0, N)) N N = T (UX (0, r)) lo cual concluye la prueba del segundo acto y, con ello, la demostración del teorema.



Los siguientes resultados son consecuencias inmediata del Teorema de la Aplicación Abierta: Corolario 2.2.1. Sean (X , k·k) y (Y, k·k) espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado tal que T (X ) es de segunda categoría en Y . Entonces T (X ) = Y . Prueba. Puesto que T (X ) =

∞ [

n=1


T UX (0, n)

y ya que T (X ) es de segunda categoría en Y , el Teorema de Categoría de Baire nos garantiza la
existencia de un n0 ∈ N tal que T UX (0, n0 ) tiene interior no vacío. Esto quiere decir que existen un y0 ∈ Y y un r0 > 0 tal que
UY (y0 , r0 ) ⊆ T UX (0, n0 ) . Por traslación podemos suponer, sin perder generalidad, que


UY (0, r0 ) ⊆ T UX (0, n0 ) .

Se sigue de (A15) que de donde se deduce que T (X ) = Y .


UY (0, r0 ) ⊆ T UX (0, n0 ) ,



Corolario 2.2.2. ℓ1 es de primera categoría en ℓ2 . Prueba. Puesto que ℓ1 ⊂ ℓ2 , entonces la aplicación inclusión j : ℓ1 → ℓ2 definida por j(x) = x para todo x ∈ ℓ1 es un operador lineal continuo ya que k Jk2 = sup k xk2 ≤ sup k xk1 ≤ 1. k xk1 ≤1

k xk1 ≤1

Si ℓ1 fuese de segunda categoría en ℓ2 , entonces el Teorema de la Aplicación Abierta (o el corolario anteror) nos diría que j(ℓ1 ) = ℓ2 , lo cual es imposible. 

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

139

Corolario 2.2.3 (Teorema de la Aplicación Inversa). Sean (X , k·k) y (Y, k·k) espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado biyectivo. Entonces T −1 es un operador lineal acotado. Prueba. Es claro que T −1 : Y → X existe y es lineal. Para probar que él es acotado, tomemos cualquier conjunto abierto G en X . Por el Teorema de la Aplicación Abierta, T (G) es abierto en Y
−1 y ya que T −1 (G) = T (G), resulta que T −1 es continua.  Es un hecho ya establecido, conocido como el Lema de Riemann-Lebesgue, que:

f (n))∞ Lema de Riemann-Lebesgue. Si f ∈ L1 [0, 1], entonces l´ımn→∞ fb(n) = 0, donde ( b n=1 es la sucesión de los coeficientes de Fourier de f ; es decir, fb(n) =

Z 1 0

f (x) e−2πinx dx,

n = 1, 2, . . .

El resultado de Riemann-Lebesgue nos dice que si f ∈ L1 [0, 1], entonces la sucesión de los coeficientes de Fourier de f , ( b f (n))∞ n=1 , es un elemento de c0 , y resulta entonces natural preguntarse si ∞ cualquier sucesión (cn )n=1 en c0 son los coeficientes de Fourier de alguna función f ∈ L1 [0, 1], es decir, si existe una función f en L1 [0, 1] tal que cn = fb(n),

para todo n ∈ N.

Como una aplicación del Teorema de la Aplicación Abierta vamos a demostrar que ello no es verdad. Corolario 2.2.4. Existe una sucesión (cn )∞ n=1 ∈ c0 que no son coeficientes de Fourier de ninguna función f ∈ L1 [0, 1]. Prueba. Consideremos el operador lineal T : L1 [0, 1] → c0 definido por
Tf= b f (n) n∈Z .

El Lema de Riemann-Lebesgue garantiza que, efectivamente, T f ∈ c0 por lo que T está bien definido. Por otro lado, puesto que Z 1 Z b 1 −2πinx f (x)e dx ≤ | f (x)| dx = k f k1 , f (n) = 0 0 entonces k T f k∞ ≤ k f k1 , lo cual muestra que T es continuo.

Vamos a verificar que T es inyectivo. Supongamos que T f = 0 para alguna f ∈ L1 . Entonces b f (n) = 0 para todo n ∈ N y de aquí se sigue que, para cualquier polinomio trigonométrico p, Z 1

f (x)p(x) dx = 0.

0

e 1] y el Teorema de la Convergencia DomiLa densidad de los polinomios trigonométricos en C[0, nada de Lebesgue garantizan que Z 1 0

f (x)g(x) dx = 0

(∗)

140

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire e 1]. El Teorema de Luzin y de nuevo el Teorema de la para cualquier función continua g ∈ C[0, Convergencia Dominada de Lebesgue dicen que (∗) sigue siendo válido para cualquier función característica g de un conjunto medible. La densidad de estas funciones en L1 [0, 1] conducen a que f = 0, y entonces T es inyectiva. Si ocurriera que para cada sucesión (cn )∞ n=1 ∈ c0 existiera una función f ∈ L1 [0, 1] tal que ella sea los coeficientes de Fourier de f , entonces estaríamos diciendo que T es sobreyectiva y, en consecuencia, podemos invocar el Teorema de la Aplicación Inversa para garantizar la existencia de una constante positiva m tal que m k f k1 ≤ k T f k∞ ,

para toda f ∈ L1 [0, 1].

Definamos ahora, para cada N ∈ N, la función fN (x) =

∑

e −2πinx .

|n|≤N

Claramente fN ∈ L1 [0, 1]. Observemos finalmente que, por un lado k T fN k∞ = || b fN ||∞ = 1, mientras que por el otro lado, la L1 -norma de fN , como vimos en el resultado anterior, tiende a infinito cuando N → ∞, contradiciendo de este modo la desigualdad m k f N k1 ≤ k T f N k∞ = b fN ∞ = 1. Esta incongruencia nos revela que T no puede ser sobreyectiva y termina la prueba.



B-10) Si (X , k·k) es un espacio de Banach separable, entonces la norma dual k·k∗ sobre X ∗ es ω∗ continua sobre un subconjunto Gδ -denso de (BX ∗ , ω∗ ). Prueba. Sabemos que si (X , k·k) es un espacio normado y si τk·k es la topología generada por la métrica-norma, entonces la norma, k·k : (X , τk·k ) → R, es una aplicación continua. Por otro lado, k·k∗ es siempre ω∗ - semicontinua inferiormente y si X es separable, entonces (BX ∗ , ω∗ ) es un espacio compacto metrizable y, en consecuencia, un espacio métrico completo. Por el Ejemplo 1, página 45, k·k∗ es ω∗ - continua sobre un subconjunto Gδ -denso de (BX ∗ , ω∗ ), pero no es ω∗
∗ ∗ continua sobre (BX ∗ , ω ) ya que ω − int BX ∗ es vacío.

B-11) Sea (X , k·k) un espacio de Banach con dual separable y sea K un subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ . Entonces la aplicación identidad, id : (K, ω∗ ) → (K, k·kX ∗ ), es continua en un subconjunto Gδ -denso de (K, ω∗ ). Prueba. Para cada ε > 0, definamos el conjunto  Gε = W ∩ K : W es ω∗ abierto en X ∗ y k·k∗ − diam(W ∩ K) < ε .

Claramente cada Gε es ω∗ abierto en K. Más aún, los puntos de ω∗ − k·k∗ continuidad de id son exactamente los que se encuentran en ∞ \

G1/n .

∞ \

G1/n

n=1

Si logramos probar que cada Gε es ω∗ -denso en K, entonces invocaremos el Teorema de Categoría de Baire para concluir que n=1

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

141

es un ω∗ Gδ -denso en K. Veamos entonces que cada Gε es ω∗ -denso en K. Como X ∗ es separable, existe una sucesión (x∗n )∞ n=1 tal que K=

∞ [

n=1



K∩



x∗n +

ε BX ∗ 2



.

Pero ya que cada uno de los conjuntos K ∩ (x∗n + 2ε BX ∗ ) es ω∗ -cerrado, el Teorema de Categoría de Baire (Teorema 1.2.6) nos asegura que el conjunto ∞ [

Wn

n=1

es ω∗ -denso en K, donde Wn es el ω∗ -interior relativo de K ∩ (x∗n + 2ε BX ∗ ). Puesto que ciertamente cada Wn tiene norma-diámetro ≤ ε, resulta que su unión forma parte de Gε . Por esto cada Gε es ω∗ -denso en K y termina la prueba.  Michelle Talagrand en [259] obtiene la siguiente generalización del resultado anterior Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto de X ∗ que es ω∗ -compacto y débilmente K-analítico. Entonces existe un subconjunto Gδ ω∗ -denso G de K tal que la aplicación identidad id : (K, ω∗ ) → (K, k·k) es continua en todo punto de G. Véase la página 159 de estas notas para la definición de espacio débilmente K-analítico . k◮

B-12) Si (X , k·k) es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces (X , ω) no es un espacio de Baire. Prueba. En efecto, es un hecho conocido que toda bola norma-cerrada en X es nunca densa en la topología débil de X ; es decir, no posee interior débil. Así, intω B(x, r) = ∅, donde intω B(x, r) denota el interior de B(x, r) en la topología débil de X . Si (X , ω) fuera un espacio de Baire, entonces como X=

∞ [

B(0, n)

n=1

tendríamos, por el Teorema de Categoría de Baire, que alguna bola cerrada B(0, n) debería tener interior débil no vacío, lo cual es imposible.  Si bien es cierto que (X , ω) no es un espacio de Baire cuando (X , k·k) es un espacio de Banach de dimensión infinita, en algunos casos (BX , ω) si lo es. Sabemos que (BX , ω) es compacto si, y sólo, si X es reflexivo, y que (BX , ω) es metrizable si, y sólo si, X ∗ es separable. Combinando estos dos resultados tenemos que: B-13) Si (X , k·k) es un espacio de Banach reflexivo y separable, entonces (BX , ω) es un espacio de Baire.

Existen otras condiciones bajo la cual (BX , ω) es un espacio de Baire. Por ejemplo, cuando la norma del espacio tiene la propiedad de Kadec-Klee. La norma k·k del espacio de Banach X posee la propiedad de Kadec-Klee o es una norma de Kadec-Klee si la topología de la norma y la topología débil coinciden sobre SX . Antes de probar este hecho necesitaremos el siguiente resultado.

142

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

B-14) Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Entonces SX es un subconjunto Gδ -denso de (BX , ω). ω

Prueba. Puesto que BX es convexo y SX ⊆ BX , se sigue del Teorema de Mazur que SX ⊆ BX . Sea ω x0 ∈ BX r SX . Para demostrar que x0 ∈ SX , es suficiente considerar cualquier ω-entorno abierto básico V de x0 y probar que V ∩ SX 6= ∅. Sea entonces V un ω-entorno básico de x0 , es decir,  V = x ∈ X : | < x∗i , x − x0 > | < ε, i = 1, . . . , n , T

donde ε > 0 y x∗1 , . . . , x∗n ∈ X ∗ . Tomemos cualquier x ∈ ni=1 x∗i −1 (0) y observemos que la función g : [0, +∞) → [0, +∞) definida por g(t) = k x0 + txk es continua y satisface las condiciones: g(0) < 1

l´ım g(t) = +∞.

y

t→+∞

La continuidad de g nos garantiza la existencia de t0 > 0 tal que g(t0 ) = 1, es decir, k x0 + t0 xk = 1, lo cual significa que el punto x0 + t0 x ∈ SX . Veamos ahora que x0 + t0 x también pertenece a V . En efecto, para cualquier i = 1, . . . , n, tenemos que | < x∗i , x0 + t0 x − x0 > | = t0 | < x∗i , x0 > | = 0 < ε. ω ω Por esto, x0 + t0 x ∈ V ∩ SX , lo cual prueba que B ⊆ SX y, por lo tanto, SX = BX . Para finalizar la prueba, notemos que si para cada n ∈ N, definimos n 1o , Gn = x ∈ BX : k x k > 1 − n resulta que Gn es abierto en (BX , ω) y SX =

T∞

n=1 Gn .



B-15) Si norma k·k del espacio de Banach X posee la propiedad de Kadec-Klee, entonces (BX , ω) es un espacio de Baire. Prueba. La demostración se sustenta sobre los siguientes dos hechos conocidos: (1) SX es un Gδ -denso en (BX , ω). (Ejemplo B-14). (2) Un espacio topológico de Hausdorff Y es de Baire si dicho espacio contiene un subespacio de Baire denso. (Teorema 1.2.3, página 15). En efecto, puesto que (SX , k·k) es un espacio de Baire (= espacio métrico completo con la topología de la norma) y como nuestra norma satisface la propiedad de Kadec-Klee, resulta (SX , ω) es un espacio de Baire. El resultado se deduce inmediatamente de (1) y (2).  B-16) Si (X , k·k) es un espacio de Banach tal que X ∗∗ es separable, entonces (BX , ω) es un espacio de Baire. Prueba. Sea X ⊥ = {x∗∗∗ ∈ X ∗∗∗ : x∗∗∗ (x) = 0 para todo x ∈ X} y dotemos a X ⊥ de la ω∗ topología de X ∗∗∗ . Puesto que (BX ∗∗∗ , ω∗ ) es un compacto metrizable, él es separable y por consiguiente ∗ podemos hallar una sucesión densa (yn )∞ n=1 en (BX ⊥ , ω ). Por el Teorema de Goldstine, para cada ∗ ∞ n ∈ N, existe una sucesión (xn,k )k=1 en BX ∗ tal que l´ımk→∞ x∗n,k = yn en la ω∗ topología de X ∗∗∗ . Por el Teorema Bipolar sabemos que X = (X ⊥ )⊥ , donde (·)⊥ denota el polar en X ∗∗ de un conjunto en X ∗∗∗ . Por esto, BX = X ∩ BX ∗∗

= (X ⊥ )⊥ ∩ BX ∗∗ ∞ \ ∞ [ ∞ n \ 1o = x∗∗ ∈ BX ∗∗ : x∗∗ (x∗n,k ) < m n=1 m=1 k=m

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

143

lo cual muestra que BX es un Gδ en (BX ∗∗ , ω∗ ). Como (BX ∗∗ , ω∗ ) es un compacto metrizable, tenemos que (BX , ω) es metrizable por una métrica completa. Además, ya que (BX , ω) es separable, pues X lo es, concluimos que (BX , ω) es un espacio de Baire.  B-17) Si (X , k·k) es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces (X , ω) no es metrizable.

Prueba. Supongamos que (X , ω) es metrizable. Sea d la métrica que genera la topología débil de X . Entonces (X , d) satisface el primer axioma de numerabilidad y, por consiguiente, cada punto de X posee una base de entornos a lo sumo numerable. Esto significa que los entornos básicos del cero generan todos lo demás entornos de X . De allí resulta que podemos elegir una sucesión ∗ (x∗n )∞ n=1 en X tal que para cada entorno débil U de 0 se pueden encontrar un racional r > 0 y un entero positivo nU de modo que  W (0; x∗1 , . . . , x∗nU , r) = x ∈ X : |x∗1 (x)|, . . . , |x∗n (x)| < r ⊆ U. U

Ahora bien, cada

x∗

∈

X∗

genera el entorno débil W

= W (0; x∗ , 1)

de 0 y, en consecuencia,

W (0; x∗1 , . . . , x∗n , r) ⊆ W. W

Esto nos dice que

x∗

es una combinación lineal de x∗1 , . . . , x∗n ya que W

n

W \

n=1

ker(x∗n ) ⊆ ker(x∗ ).

Sea Fm el subespacio lineal generado por x∗1 , . . . , x∗m , m = 1, 2, . . .. Puesto que cada Fm es un subespacio de dimensión finita y, por consiguiente, cerrado de X ∗ y ya que ∗

X =

∞ [

Fm ,

m=1

el Teorema de Categoría de Baire nos revela que algún Fm tiene norma-interior no vacío. Esto, como sabemos, es imposible por (B − 2) de esta sección. Esta contradicción establece que (X , ω) no es metrizable. B-18) Sean (X , k·k) un espacio de Banach separable y K un subconjunto ω∗ compacto de X ∗ tal que, para cada x ∈ X , existe un x∗x ∈ K verificando la igualdad x∗x (x) = sup | y∗ (x)| = k x k . y∗ ∈K

(∗)

Entonces el conjunto

es un Gδ -denso en BX .

 F = x ∈ BX : existe un único x∗x verificando (∗)

Prueba. Sea (xn )∞ n=1 una sucesión densa en BX y, para cada m, n ∈ N, definamos n Em,n = x ∈ BX : existen x∗ , y∗ ∈ K tales que x∗ (x) = y∗ (x) = k xk

y | x∗ (xn ) − y∗ (xn )| ≥

1o . m

144

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Para demostrar que F es denso en BX , vamos a probar primero que ∞ \

F=


BX r Em,n .

m,n=1

y después que cada Em,n es cerrado y nunca denso en BX , para luego invocar el Teorema de Categoría de Baire.
T Es claro que F ⊆ ∞ m,n=1 BX r Em,n . Para demostrar la otra inclusión, sea x ∈ BX tal que x∈

∞ \

m,n=1


BX r Em,n .

Como x 6∈ Em,n para todo m, n ∈ N, resulta que si x∗ , y∗ ∈ K satisfacen la igualdad x∗ (x) = y∗ (x) = k xk, entonces 1 para todo m, n ∈ N | x∗ (xn ) − y∗ (xn )| < m lo cual significa, gracias a la continuidad de los funcionales x∗ y y∗ y la densidad de la sucesión ∗ ∗ (xn )∞ n=1 , que x = y ; es decir, x ∈ F. Probemos ahora que cada Em,n es cerrado y nunca denso en BX . • Em,n es cerrado: Sea (zn )∞ n=1 una sucesión en Em,n tal que zk → z. Puesto que zk ∈ Em,n , existen x∗k , y∗k ∈ K tales que x∗k (zk ) = y∗k (zk ) = k zk k

| x∗k (xn ) − y∗k (xn )| ≥

y

1 . m

∗ ∞ Ahora bien, como K es un ω∗ -compacto metrizable, existen subsucesiones de (x∗k )∞ k=1 y (yk )k=1 , que seguiremos denotando del mismo modo, tales que ω∗

x∗k −→ x∗ ∈ K

ω∗

y∗k −→ y∗ ∈ K.

y

De aquí se sigue que x∗ (z) = y∗ (z) = k z k

| x∗ (xn ) − y∗ (xn )| ≥

y

1 , m

es decir, z ∈ Em,n . • Em,n es nunca denso: Supongamos que para algún m, n ∈ N, el interior de Em,n es no vacío. Entonces existen un x ∈ BX y un δ > 0 tal que la bola abierta U (x, δ) ⊆ Em,n ; esto es, kx − yk < δ

⇒

y ∈ Em,n .

Obtendremos una contradicción si logramos construir, por inducción, una sucesión (zn )∞ n=1 en BX ∗ )∞ en K tales que: y dos sucesiones (x∗k )∞ y (y k=1 k k=1 (a) k x − zk k ≤ (1 − 1/2k )δ, (b) x∗k (zk ) = y∗k (zk ) = k zk k

y

x∗k (xn ) ≥

k m

+ y∗1 (xn )

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

145

En efecto, de ser cierto lo anterior tendríamos, por la última desigualdad, que el lado izquierdo permanece acotado mientras que el lado derecho tiende a ∞ cuando k → ∞, lo cual es imposible. Para comenzar la inducción, sea z1 = x. Como z1 ∈ Em,n , existen x∗1 , y∗1 ∈ K tales que x∗1 (z1 ) = y∗1 (z1 ) = k z1 k

y x∗1 (x1 ) ≥

1 + y∗1 (x1 ). m

Supongamos que z1 , . . . , zk han sido escogidos tales que 



x − z j < 1 − 1 δ, k x k = kz j k 2j y j j = 1, . . . , n. x∗j (xn ) ≥ + y∗1 (xn ) m Definamos ahora kxk zk+1 = (zk + a xn ), k zk + a xn k

δ donde a se ha elegido de modo que sea positivo y tal que k zk − zk+1 k < 2k+1 . Puesto que zk+1 ∈ Em,n , ∗ ∗ existen xk+1 , yk+1 ∈ K tales que 1 x∗k+1 (zk+1 ) = y∗k+1 (zk+1 ) = k zk+1 k y x∗k+1 (xn ) − y∗k+1 (xn ) ≥ . m Si pudiéramos mostrar que y∗k+1 (xn ) ≥ x∗k (xn )

tendríamos entonces que

1 k+1 + y∗k+1 (xn ) ≥ + y∗1 (xn ) m m y concluiríamos la prueba de la no densidad de Em,n . Veamos que ello es así. x∗k+1 (xn ) ≥

Notemos en primer lugar que

mientras que por otro lado

de donde obtenemos

k zk+1 k = y∗k+1 (zk+1 ) y∗ (zk ) + a y∗k+1 (xn ) = k x k k+1 k zk + a xn k k zk k + a y∗k+1 (xn ) ≤ kxk k zk + a xn k k zk+1 k ≥ x∗k (zk+1 ) x∗ (zk ) + a x∗k (xn ) = kxk k k zk + a xn k k zk k + a x∗k (xn ) = kxk k zk + a xn k y∗k+1 (xn ) ≥ x∗k (xn ).

Hemos demostrado que Em,n es cerrado y nunca denso en BX . Un llamado al Teorema de Categoría de Baire conduce a que F es un Gδ -denso en BX . 

146

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

2.2.2. k ◮ Diferenciabilidad en espacios de Banach Las propiedades de diferenciabilidad de las funciones continuas y convexas a valores reales definidas sobre un subconjunto abierto y convexo de Rn , han resultado ser de una importancia fundamental en ciertas áreas de las matemáticas. Un estudio en profundidad de unas propiedades similares de diferenciabilidad pero ahora para funciones convexas continuas a valores reales definidas sobre un subconjunto abierto y convexo de algún espacio de Banach de dimensión infinita ha sido llevada a cabo desde hace un poco más de 70 años. En efecto, el primer resultado de este tipo fue obtenido por S. Mazur quien, en 1933, demostró que cualquier función continua convexa a valores reales definida sobre un espacio de Banach separable de dimensión infinita, es Gâteaux-diferenciable en un subconjunto residual de dicho espacio. A partir de ese momento el estudio de estas nociones generalizadas de diferenciabilidad dieron origen a la creación de los espacios de Asplund y los espacios débilmente de Asplund; es decir, aquellos espacios de Banach los cuales tienen la propiedad de que cualquier función convexa y continua definida sobre ellos es Fréchet (respectivamente, Gâteaux) diferenciable en los puntos de un subconjunto Gδ -denso de su dominio. En esta sección no intentaremos abordar dicho estudio, ni tan siquiera dibujar algunas de sus consecuencias más importantes sino, tan sólo, mostrar algunos resultados fundamentales en los que el Teorema de Categoría de Baire aparece como un ingrediente importante en su demostración. Los libros de Fabian [90], Giles [104], Phelps [216], Deville-Godefroy-Zizler [78], etc. abordan muchos aspectos en profundidad de esos espacios. Debemos señalar, finalmente, que estas dos modalidades de diferenciabilidad son, en términos generales, muy diferentes. Por ejemplo, existen exquisitas y variadas formas equivalentes de caracterizar a los espacios de Asplund, pero no ocurre lo mismo con los espacios débilmente de Asplund; de hecho, no existen, hasta el momento, condiciones equivalentes que caractericen a dichos espacios y tan sólo un número modesto de condiciones necesarias son conocidas.

k ◮ Funciones multivaluadas Sean X y Y espacios topológicos de Hausdorff y sea F : X → 2Y una función multivaluada, es decir, una función tal que, para cada x ∈ X , su imagen F(x) es un conjunto. Puesto que F(x) puede ser vacío para algunos x ∈ X , entonces es necesario definir el dominio de F como

Para A ⊆ X , definimos mientras que si B ⊆ Y , entonces

 Dom(F) = x ∈ X : F(x) 6= ∅ . F(A) =

[

 F −1 (B) = x ∈ X : F(x) ∩ B 6= ∅

{F(x) : x ∈ A}

y

 F # (B) = x ∈ X : F(x) ⊆ B .

Observemos que F # (B) contiene cada punto x ∈ X para el cual F(x) = ∅. Más aun, F −1 (Y ) = Dom(F) y F # (Y ) = X . Finalmente, el conjunto  Gr(F) = (x, y) ∈ X ×Y : y ∈ F(x)

se llama el grafo de F. Algunas referencias donde estos objetos son estudiados más en profundidad son las siguientes [90], [216], [275].

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

147

Definición 2.2.1. Sean X y Y espacios topológicos de Hausdorff. Una función multivaluada F : X → 2Y se llama semicontinua superiormente (respectivamente, inferiormente) en x0 ∈ X si, para cualquier conjunto abierto V ⊆ Y con F(x0 ) ⊆ V (respectivamente, F(x0 ) ∩ V 6= ∅), existe un entorno abierto U de x0 en X tal que F(x) ⊆ V (respectivamente, F(x) ∩V 6= ∅) para todo x ∈ U . F es semicontinua superiormente en X si ella es semicontinua superiormente en cada punto de X . Notemos que la semicontinuidad superior se puede caracterizar del modo siguiente: k◮

F es semicontinua superiormente en X (β1 ) si, y sólo si, el conjunto F # (V ) es abierto en X , para cualquier abierto V ⊆ Y . (β2 ) si, y sólo si, para cada subconjunto cerrado C de Y , el conjunto F −1 (C) es cerrado en X .

Escribiremos F es usc (respectivamente, lsc) cuando dicha función es semicontinua superiormente (respectivamente, semicontinua inferiormente). En lo que sigue sólo consideraremos aplicaciones multivaluadas F : X → 2Y cuyo dominio, Dom(F), sea denso en X . La razón es la siguiente: si x0 6∈ Dom(F), entonces para algún conjunto abierto U de X conteniendo a x0 tendríamos que F(x) = ∅ para cualquier x ∈ U ; lo cual implica que F es automáticamente usc y lsc en tales puntos. Por lo tanto, si Dom(F) es denso en X y si F es usc en algún x0 ∈ X , entonces necesariamente F(x0 ) 6= ∅. Por consiguiente, convenimos que cuando decimos que F es a valores no-vacíos lo que asumiendo es que Dom(F) = X . Sea F una función multivaluada semicontinua superiormente. Si para cada x ∈ X , el conjunto F(x) es compacto y no vacío, entonces diremos que F es una aplicación usco. Notemos que Si F : X → 2Y es una aplicación usco, entonces su grafo Gr(F) es cerrado en X ×Y . Prueba. Suponga que (xα , yα )α∈D es una red en Gr(F) la cual converge a (x, y) ∈ X ×Y , pero que y 6∈ F(x). Puesto que F(x) es compacto, existe un entorno abierto V de F(x) cuya clausura V no contiene a y. Por la semicontinuidad superior de F, existe un entorno abierto U de x tal que F(U ) ⊆ V , lo cual significa que casi todos los yα ∈ F(xα ) están en V y, en consecuencia, y ∈ V . Esta contradicción nos dice que (x, y) ∈ X ×Y y termina la prueba.  Cuando Gr(F) es cerrado en X ×Y , diremos que F tiene grafo cerrado. Algunas veces el recíproco del resultado anterior es también cierto: por ejemplo, si F : X → 2Y tiene grafo cerrado y si el espacio Y es compacto, entonces F es usco. Sean F, G : X → 2Y dos aplicaciones multivaluadas. Diremos que F está contenida en G si F(x) ⊆ G(x) para cada x ∈ X . La más importante subclase de las aplicaciones usco son las llamadas usco minimales, las cuales poseen poderosas y sorprendentes propiedades. Su existencia queda garantizada por una aplicación del Lema de Zorn. Definición 2.2.2. Una aplicación usco F : X → 2Y se llama usco minimal si, para cada cualquier otra aplicación usco G : X → 2Y tal que G(x) ⊆ F(x) para todo x ∈ X , entonces G = F. Notemos que

148

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Si F : X → 2Y es una aplicación multivaluada con grafo cerrado a valores no vacíos la cual está contenida en una aplicación usco G : X → 2Y , entonces F es usco. Prueba. En efecto, supongamos que F no es semicontinua superiormente. Entonces existe x0 ∈ X tal que F no es semicontinua superiormente en x0 . Esto significa que en alguna parte de Y se encuentra un abierto V conteniendo a F(x0 ) y una red (xd )d∈D en X convergiendo a x0 tal que para cada d ∈ D existe yd ∈ F(xd ) rV . Por otro lado, la semicontinuidad superior de G y la compacidad de G(x0 ) implican que la red (yd )d∈D se acumula en algún punto y0 ∈ G(x0 ). Esto prueba que la red (xd , yd )d∈D se acumula en (x0 , y0 ) lo cual es violatorio al hecho de que el grafo de F es cerrado.  Teorema 2.2.1. Si F : X → 2Y es una aplicación usco, entonces existe una aplicación usco minimal G : X → 2Y contenida en F. Prueba. Es suficiente demostrar que cualquier cadena decreciente (Fα )α∈D de aplicaciones usco contenidas en F tiene un elemento minimal. Para cada x ∈ X , defina G(x) =

\

Fα (x).

α∈D

Por compacidad, G(x) es compacto y no vacío. Para ver que G es semicontinua superiormente, suponga que x ∈ X y sea V un subconjunto abierto no vacío de Y tal que G(x) ⊆ V . Afirmamos que para algún α ∈ D se cumple que Fα ⊆ V . En efecto, si cada Fα rV fuera no vacío, la intersección de estos compactos encajados debería ser un compacto no vacío de G r V lo cual es imposible. Una vez establecido que Fα ⊆ V para algún α ∈ D, invocamos la semicontinua superior de Fα para obtener un entorno abierto U de x tal que G(U ) ⊆ Fα (U ) ⊆ V y termina la prueba.  Uno de los problemas centrales de las aplicaciones multivaluadas es el siguiente: Dada una aplicación multivaluada F : X → 2Y , donde X es un espacio de Baire y Y es un espacio topológico, encontrar condiciones que garanticen la existencia de un subconjunto Gδ denso X1 de X y de una función a un sólo-valor y continua f : X1 → Y tal que f (x) ∈ F(x) para todo x ∈ X1 . Esto último significa que f es una selección de F sobre el conjunto X1 . En general, una selección para la función multivaluada F : X → 2Y es una función (= a un sólo-valor) f : X → Y tal que f (x) ∈ F(x) para cada x ∈ X . El siguiente resultado muestra varias propiedades útiles e interesantes de las aplicaciones usco minimales. Teorema 2.2.2. Sean X y Y espacios topológicos de Hausdorff y F : X → 2Y una aplicación multivaluada. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) F es usco minimal. (2) Si U ⊆ X es abierto y C ⊆ Y es cerrado tal que F(x) ∩C 6= ∅ para todo x ∈ U , entonces F(U ) ⊆ C.

(3) Si U y V son subconjuntos abiertos de X y Y respectivamente tales que U ∩ F −1 (V ) 6= ∅, entonces existe un subconjunto abierto no vacío U ′ ⊆ U tal que F(U ′ ) ⊆ V .

(4) Si F(U ) ∩ V 6= ∅ para algún conjunto abierto U ⊆ X y algún conjunto abierto V ⊆ Y , entonces existe un conjunto abierto no vacío U ′ ⊆ U tal que F(U ′ ) ⊆ V .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

149

Prueba. (1) ⇒ (2). Sean U ⊆ X abierto y C ⊆ Y cerrado tal que F(x) ∩ C 6= ∅ para todo x ∈ U . Definamos ahora H : X → 2Y por ( F(x) ∩C si x ∈ U, H(x) = F(x) si x ∈ X rU. Entonces, para cualquier x ∈ X , el conjunto H(x) es no vacío y H ⊆ F. Observemos que Si (xτ , yτ )τ∈D es una red en Gr(H) tal que xτ → x ∈ X , entonces alguna subred de (yτ )τ∈D converge a un elemento de F(x). En efecto, supongamos que ninguna subred de (yτ )τ∈D converge a un elemento de F(x). Esto significa que, para cualquier z ∈ F(x), existe un conjunto abierto Uz ⊆ Y conteniendo a z tal que yτ 6∈ Uz para τ mayor que algún τz . Puesto que F(x) es compacto, existen y1 , . . . , yn ∈ F(x) tal que F(x) ⊆

n [

Uyk = U.

k=1

De esto se sigue que yτ 6∈ U para todo τ mayor que τy1 , . . . , τyn , lo cual contradice la semicontinuidad superior de F en x. Tomemos entonces una red (xτ , yτ )τ∈D en Gr(H) convergiendo a (x, y) ∈ X × Y . Por lo acabado de probar, resulta que y ∈ F(x) y que y ∈ C siempre que x ∈ U . Por esto, (x, y) ∈ Gr(H) quedando así establecido que H es usco. Pero como G ⊆ F, la minimalidad de F garantiza que H = F y, en consecuencia, F(x) ⊆ C para cualquier x ∈ U ; es decir, F(U ) ⊆ C.

(2) ⇒ (3). Sean U y V como en (3). Sea x ∈ U ∩ F −1 (V ). Entonces ∅ 6= F(x) ∩V ⊆ F(x) ∩V y por (2) tenemos que F(U ) ⊆ V . La semicontinuidad superior de F nos proporciona la existencia de un conjunto abierto no vacío U ′ ⊆ U tal que F(U ′ ) ⊆ V . (3) ⇒ (4). Es inmediata.

(4) ⇒ (1). Supongamos que F0 : X → 2Y es una aplicación usco minimal con Gr(F0 ) ⊆ Gr(F) y que para algún x0 ∈ X se cumple que F0 (x0 ) 6= F(x0 ). Por la compacidad de F0 (x0 ), podemos encontrar un conjunto abierto W ⊆ Y tal que F(x0 ) ∩W 6= ∅

y

F0 (x0 ) ∩W = ∅.

La semicontinuidad superior de F0 nos dice que F0 (U ) ∩ W = ∅ para algún conjunto abierto U ⊆ X conteniendo a x0 y, entonces también se cumple que F(U )∩W 6= ∅. Se sigue ahora de (4) que F(Ω) ⊆ W para algún conjunto abierto no vacío Ω ⊆ U . En particular, F0 (Ω) ⊆ W . Esta contradicción establece que F0 = F.  En el caso particular en que X es un espacio de Banach, tenemos el siguiente: ∗

Corolario 2.2.5. Sean X un espacio de Banach y F : X → 2X una aplicación multivaluada. Son equivalentes: (1) F es norma - ω∗ (respectivamente, norma - norma) semicontinua superiormente en x ∈ X .

(2) Para cada conjunto ω∗ - abierto (respectivamente, norma-abierto) W conteniendo a F(x) y cualquier sucesión (xn )∞ n=1 en X con k xn − xk → 0, se tiene que F(xn ) ⊆ W para todo n suficientemente grande.

150

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

k ◮ Funciones convexas y los teoremas de diferenciabilidad de Mazur y Asplund-Lindenstrauss. Sea X un espacio lineal sobre R. Recordemos que un subconjunto no vacío U de X se llama convexo si λ x + (1 − λ) y ∈ U siempre que x, y ∈ U y λ ∈ [0, 1]. Una función f : U → R se llama convexa si f (λ x + (1 − λ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f (y) para todo x, y ∈ U y todo 0 ≤ λ ≤ 1. Uno de los resultados clásicos importante sobre la diferenciabilidad de funciones a valores reales definida sobre intervalo abierto de R es el siguiente, cuya prueba puede ser consultada, por ejemplo, en [216], Theorem 1.16. Teorema de diferenciabilidad real. Sea f : (a, b) → R una función convexa continua. Entonces f es diferenciable en todo punto de (a, b) excepto sobre un subconjunto a lo sumo numerable. Nuestro objetivo es esta sección es demostrar dos resultados fundamentales sobre diferenciabilidad de funciones convexas continuas definidas sobre espacios de Banach reales, donde se hace uso del Teorema de Categoría de Baire, siendo el primero de ellos el siguiente teorema publicado por Mazur en 1933 ([181]). Teorema 2.2.3 (Teorema de diferenciabilidad de Mazur). Sean (X , k·k) un espacio de Banach separable, U un subconjunto abierto convexo de X y f : U → R una función convexa continua. Entonces el conjunto de puntos donde f es Gâteaux diferenciable es un Gδ -denso de U . La demostración de este resultado requiere de algunas definiciones y resultados adicionales. Definición 2.2.3. Sean X un espacio de Banach y f : X → R función. Se dice que f es Gâteaux diferenciable en x ∈ X si existe un único funcional lineal continuo de X en R, denotado por d f (x) ∈ X ∗ , tal que f (x + th) − f (x) t→0 t para cada h ∈ X . El funcional d f (x) es entonces llamado la derivada de Gâteaux de f en x. Si, además, el límite anterior es uniforme en h ∈ SX , diremos que f es Fréchet diferenciable en x. Equivalentemente, f es Fréchet diferenciable en x si existe f ′ (x) ∈ X ∗ , tal que d f (x)(h) = l´ım

l´ım

y→0

f (x + y) − f (x) − f ′ (x)(y) = 0. k yk

El funcional f ′ (x) se le llama la derivada de Fréchet de f en x.

Observación 2.2.13. 1) En general, si Y es otro espacio de Banach y f : X → Y es una función convexa continua, entonces las derivadas de Gâteaux y Fréchet, si existen, serán elementos de L(X ,Y ). 2) Si f es una función continua la cual es Fréchet diferenciable en x, entonces ella es Gâteaux diferenciable en dicho punto y d f (x) = f ′ (x). El recíproco no es, en general, válido. 3) La norma k (xn )k1 = ∑∞ n=1 |xn | en ℓ1 nunca es Fréchet diferenciable; sin embrago, el cuadrado de la norma en un espacio de Hilbert H es siempre Fréchet diferenciable.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

151

4) En espacios de Banach de dimensión finita, cualquier función convexa continua definida sobre él, las derivadas de Gâteaux y Fréchet coinciden. En particular, cualquier función f : Rn → R que es convexa y continua, la diferenciabilidad de f en x0 es equivalente a la existencia de las derivadas parciales (∂ f /∂xi )(x0 ) para i = 1, 2, . . . , n. De aquí en adelante consideraremos sólo funciones convexas continuas f : U → R, donde (X , k·k) es un espacio de Banach real y U un subconjunto abierto convexo de X . Lema 2.2.1. Sea f : U → R una función convexa continua. S f es Gâteaux diferenciable en x0 ∈ U , entonces si existe un único x∗ := d f (x0 ) ∈ X ∗ tal que

∗  x , x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), para todo x ∈ U. Prueba. Siendo f convexa se tiene que

f (λ x + (1 − λ) x0 ) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f (x0 ),

para cualquier x ∈ U y λ ∈ [0, 1]. De aquí se sigue que

f (x0 + λ(x − x0 )) − f (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) λ

de donde, tomando el límite cuando λ → 0, se obtiene el resultado.



La subdiferencial de una función convexa f , se define como la aplicación multivaluada ∂ f : X → X ∗ dada por  ∂ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , y − xi ≤ f (y) − f (x) para todo y ∈ X , x ∈ X .

Notemos que ∂ f (x) consiste de todos los funcionales lineales continuos que son posibles candidatos para la derivada de Gâteaux de f en x y que si f es Gâteaux diferenciable en x ∈ U , entonces ∂ f (x) consta de un único punto. Es fácil ver que si ∂ f (x) 6= ∅, entonces dicho conjunto es convexo. En efecto, sean x∗1 , x∗2 ∈ ∂ f (x) y sea λ ∈ (0, 1). Para cualquier y ∈ X , tenemos que hλ x∗1 , y − xi ≤ λ f (y) − λ f (x)

y

h(1 − λ) x∗2 , y − xi ≤ (1 − λ) f (y) − (1 − λ) f (x).

Sumando ambas desigualdades obtenemos hλ x∗1 + (1 − λ) x∗2 , y − xi ≤ f (y) − f (x) para todo y ∈ X , por lo que λ x∗1 + (1 − λ) x∗2 ∈ ∂ f (x). Más aun, se cumple la siguiente desigualdad (monotonicidad del operador ∂ f ): hx∗ − y∗ , x − yi ≥ 0

siempre que x, y ∈ X y x∗ ∈ ∂ f (x), y∗ ∈ ∂ f (y). En efecto, si x∗ ∈ ∂ f (x), y∗ ∈ ∂ f (y), entonces sumando las siguientes dos desigualdades se obtiene el resultado: hx∗ , y − xi ≤ f (y) − f (x)

y

− hy∗ , y − xi = hy∗ , x − yi ≤ f (x) − f (y).

Recordemos una función convexa f : U → R es localmente acotada en x0 ∈ U si existen constantes M > 0 y δ > 0 tal que | f (x)| ≤ M para todo x ∈ U (x0 , δ). Similarmente, f es localmente Lipschitz en x0 si si existen constantes M > 0 y δ > 0 tal que | f (x) − f (y)| ≤ M k x − yk siempre que x, y ∈ U (x0 , δ). f es localmente acotada (resp. Lipschitz) sobre U si f es localmente acotada (resp. Lipschitz) en todo punto de U . Más aun, diremos que la aplicación x → ∂ f (x) es localmente acotada en x0 si existe una constante M > 0 y un entorno abierto U de x0 tal que k x∗ k ≤ M para todo x∗ ∈ ∂ f (x) y todo x ∈ U . Un hecho que es importante resaltar es el siguiente.

152

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Lema 2.2.2. Sea f : U → R una función convexa localmente acotada. Entonces (1) f es localmente Lipschitz. (2) ∂ f es localmente acotada, y para cada x ∈ U , ∂ f (x) es ω∗ -compacto.

(3) La aplicación subdiferencial x → ∂ f (x) es norma-ω∗ semicontinua superiormente sobre U .

Prueba. (1). Fijemos x0 ∈ X . Puesto que f es localmente acotada en x0 , existen constantes M > 0 y δ > 0 tal que | f (x)| ≤ M siempre que x ∈ U (x0 , 2δ). Para cualesquiera x, y ∈ U (x0 , δ), sean α = k x − yk y z = y + (x − y)δ/α. Entonces z ∈ U (x0 , δ). Puesto que y =

δ α z+ x ∈ U (x0 , 2δ) α+δ α+δ

resulta que f (y) ≤ y así, f (y) − f (x) ≤ Intercambiando x y y, vemos que

α δ f (z) + f (x) α+δ α+δ


α 2M f (z) − f (x) ≤ k x − yk . α+δ δ

| f (x) − f (y)| ≤ M k x − yk

para todo

x, y ∈ U (x0 , δ).

Esto nos dice que f es localmente Lipschitz. (2). Para ver que ∂ f es localmente acotada, sean x ∈ U (x0 , δ) y x∗ ∈ ∂ f (x). Entonces, para todo y ∈ U (x0 , δ), hx∗ , y − xi ≤ f (y) − f (x) ≤ M k y − xk lo cual implica que k x∗ k ≤ M. Finalmente, como ∂ f (x0 ) es norma-acotado, sólo nos resta demostrar ∗ ∗ ∗ que ∂ f (x0 ) es ω∗ -cerrado. En efecto, sea (x∗n )∞ n=1 una sucesión en ∂ f (x0 ) tal que xn → x ∈ X en la ∗ ω -topología. Entonces, para todo n ∈ N y todo y ∈ X se tiene que hx∗n , y − xi ≤ f (y) − f (x). Tomando límite cuando n → ∞, se obtiene que hx∗ , y − xi = l´ım hx∗n , y − xi ≤ f (y) − f (x) n→∞

y así, x∗ ∈ ∂ f (x0 ). Se sigue del Teorema de Alaoglu que ∂ f (x0 ) es ω∗ -compacto. (3). Para demostrar esta última parte, haremos uso del Lema 2.2.5. En efecto, sean x ∈ U , W cualquier subconjunto ω∗ -abierto de X ∗ conteniendo a ∂ f (x) y (xn )∞ n=1 cualquier sucesión en U tal que xn → 0 en la norma. Vamos a demostrar que existe N ∈ N tal que ∂ f (xn ) ⊆ W para todo n ≥ N. Supongamos que este no es el caso, entonces existe una subsucesión de (xn )∞ n=1 , que la seguiremos denotando del mismo modo, tal que ∂ f (xn ) 6⊆ W para todo n = 1, 2, . . .. Para cada n ∈ N, escojamos x∗n ∈ ∂ f (xn ) r W . Puesto que ∂ f (·) es localmente acotada y cada ∂ f (xn ) es ω∗ -compacto, podemos suponer que existe una bola norma-cerrada B(y∗ , K) en X ∗ , conteniendo a todos los conjuntos ∂ f (xn ) para n suficientemente grande. Sea x∗ ∈ {x∗n : n = 1, 2, . . .}

ω∗

⊆ B(y∗ , K). Para cualquier y ∈ U , tenemos que

x∗ (y) − x∗n (x) = x∗ (y) − x∗n (y) + x∗n (y) − x∗n (xn ) + x∗n (xn ) − x∗n (x) + x∗n (x) − x∗ (x).

(2.2.1)

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

153

Sin embargo, como x∗ es un punto de ω∗ -clausura de la sucesión {x∗n : n = 1, 2, . . .}, resulta que los valores x∗ (y) − x∗n (y) y x∗n (x) + x∗n (x) se pueden hacer arbitrariamente pequeños para n suficientemente grande. Similarmente, como x∗n ∈ ∂ f (xn ), entonces x∗n (y) − x∗n (xn ) ≤ f (y) − f (xn )

= f (y) − f (x) + f (x) − f (xn )

y por la continuidad de f en x, tenemos que f (x) − f (xn ) → 0 ya que k xn − xk → 0. Finalmente, como x∗n ∈ B(y∗ , K) para n suficientemente grande, resulta que |x∗n (xn ) − x∗n (x)| ≤ K k xn − xk → 0,

pues xn → x.

Usando estas desigualdades en (2.2.1), obtenemos que x∗ (y) − x∗n (x) ≤ f (y) − f (x) para cualquier y ∈ U . Esto prueba que x∗ ∈ ∂ f (x) rW , lo cual es una contradicción por el hecho de que W contiene a ∂ f (x).  Observemos que si la función convexa f : U → R es continua en x0 ∈ U , entonces ella es localmente acotada en dicho punto y, en consecuencia, ∂ f (x0 ) es localmente acotada. Además, d f (x) existe si, y sólo si, ∂ f (x) consiste exactamente de un único elemento. Un resultado importante que caracteriza la diferenciabilidad de funciones convexas continuas en términos de ciertas selecciones es el siguiente: Teorema 2.2.4. Sean X un espacio de Banach, U un subconjunto abierto convexo no vacío de X y f : U → R una función convexa continua. f es Fréchet (respectivamente, Gâteaux) diferenciable en x ∈ U si, y sólo, existe una selección ϕ para ∂ f la cual es norma - norma (respectivamente, norma - ω∗ ) continua en x. Prueba. La demostración será llevada a cabo sólo para el caso en que f es Fréchet diferenciable. Supongamos que existe una selección ϕ para la subdiferencial ∂ f de f . Puesto que ϕ(x) ∈ ∂ f (x), tenemos que hϕ(x), y − xi ≤ f (y) − f (x) para todo y ∈ U . Para tales y ∈ U también tenemos que ϕ(y) ∈ ∂ f (y), y así, hϕ(y), x − yi ≤ f (x) − f (y). Combinando estas dos desigualdades resulta que para todo y ∈ U , 0 ≤ f (y) − f (x) − hϕ(x), y − xi ≤ hϕ(y) − ϕ(x), y − xi.

(2.2.2)

Si ϕ es norma-norma continua en x, entonces el hecho de que el último término en la desigualdad (2.2.2) está acotada por k ϕ(y) − ϕ(x)k k y − xk implica que f es Fréchet diferenciable en x. Recíprocamente, supongamos que f es Fréchet diferenciable en x ∈ U . En primer lugar vamos a demostrar que ∂ f es norma-norma semicontinua superiormente en x, es decir, queremos probar que para cualquier entorno norma-abierto V de x∗ := f ′ (x), existe un entorno norma-abierto W de x tal que ∂ f (W ) ⊆ V . Supongamos que ∂ f no es norma-norma semicontinua superiormente en x. Entonces es ∗ posible elegir un ε > 0, una sucesión (xn )∞ n=1 en U y xn ∈ ∂ f (xn ) para cada n ∈ N tal que k xn − xk → 0

pero que

k x∗n − x∗ k > 2ε.

La última desigualdad implica la existencia, para cada n ∈ N, de un zn ∈ SX tal que hx∗n − x∗ , zn i > 2ε. Ahora bien, como f es Fréchet diferenciable en x, existe un δ > 0 tal que x + y ∈ U y f (x + y) − f (x) − hx∗ , yi ≤ ε k yk

154

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

siempre que k yk ≤ δ. Por otro lado, puesto que x∗n ∈ ∂ f (xn ), tenemos que hx∗ , (x + y) − xn i ≤ f (x + y) − f (xn ) y, así, hx∗n , yi ≤ f (x + y) − f (x) + hx∗n , xn − xi + f (x) − f (xn )

siempre que k yk ≤ δ. Sea yn = δzn , n = 1, 2, . . .. Entonces k yn k = δ y   2εδ < hx∗n − x∗ , yn i ≤ f (x + yn ) − f (x) − hx∗ , yn i + hx∗n , xn − xi + f (x) − f (xn ) ≤ εδ + hx∗n , xn − xi + f (x) − f (xn ).

(2.2.3)

Finalmente, como ∂ f es localmente acotada y |hx∗n , xn − xi| ≤ k x∗ k k xn − xk, éste término converge a 0, mientras que f (x) − f (xn ) → 0 puesto que f es continua en x. Usando estos hechos en (2.2.3) nos conduce a la desigualdad 2εδ ≤ εδ que resulta a todas luces contradictoria. Esto prueba que ∂ f es normanorma semicontinua superiormente y, en particular, ϕ es norma-norma semicontinua superiormente en x. Pero como toda función semicontinua superiormente a valores reales definida sobre un espacio métrico completo es continua sobre un subconjunto Gδ -denso de su dominio (Ejemplo 1, página 45) y teniendo en cuenta que ϕ es una función convexa, resulta que ϕ será norma-norma continua en x.  Procedamos ahora a dar la demostración del Teorema de Mazur. Prueba del Teorema de diferenciabilidad de Mazur. En primer lugar vamos a demostrar que el conjunto  F = x ∈ U : d f (x) no existe

es un Fσ de U . En efecto, como X es separable podemos elegir una sucesión (xn )∞ n=1 densa en la esfera unitaria SX de X . Para cada par de enteros n, m ≥ 1, definamos los conjuntos Fn,m como  Fn,m = x ∈ U : existen x∗ , y∗ ∈ ∂ f (x) satisfaciendo (x∗ − y∗ )(xn ) ≥ 1/m . Notemos que d f (x) no existe si, y sólo si, ∂ f (x) contiene más de un punto. De esto se sigue que d f (x) no existe si, y sólo si, x ∈

∞ [

Fn,m ;

es decir,

n,m=1

F=

∞ [

Fn,m .

n,m=1

Por esto, sólo debemos demostrar que cada Fn,m es relativamente cerrado. Para demostrar esto último, sea ∗ ∗ (zk )∞ k=1 cualquier sucesión en Fn,m tal que zk → z ∈ U . Para cada k ∈ N, escojamos xk y yk en ∂ f (zk ) tal que (x∗k − y∗k )(zk ) ≥ 1/m. Puesto que X es separable, los subconjuntos norma acotados de X ∗ son metrizables en la ω∗ -topología y, en consecuencia, por el acotamiento local de la aplicación ∂ f y la ω∗ -compacidad de cada uno de los conjuntos ∂ f (x), no se pierde generalidad en asumir, y así lo haremos, que existen ω∗

ω∗

x∗ , y∗ ∈ X ∗ tales que x∗k −→ x∗ y y∗k −→ x∗ . Usando estos hechos tenemos que, para cualquier y ∈ U , hx∗ , y − zi = l´ım hx∗k , y − zk i ≤ l´ım [ f (y) − f (zk )] = f (y) − f (z), k→∞

k→∞

de modo que x∗ (y similarmente y∗ ) está en ∂ f (z). Además, puesto que (x∗ − y∗ )(xn ) = l´ım (x∗k − y∗k )(xn ) ≥ 1/m, k→∞

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

155

se concluye que z ∈ Fn,m . Finalmente, para hacer uso del Teorema de Categoría de Baire, tenemos que demostrar que cada U r Fn,m es denso en U . Veamos esto. Fijemos m, n ∈ N y sean x0 ∈ U y ε > 0 arbitrarios. Consideremos la función g : I → R dada por g(r) = f (x0 + rxn ) (r ∈ I), donde I = {r ∈ R : x0 +rxn ∈ U }. Como g es convexa sobre el intervalo abierto I entonces, por el Teorema de diferenciabilidad real, tenemos que g ′ (r) existe para todos los puntos r ∈ I excepto, posiblemente, en un conjunto a lo sumo numerable. Sea |r′ | < ε tal que g es diferenciable en x ′ := x0 + r′ xn . Observemos que k x0 − x ′ k < ε. Afirmamos que x ′ 6∈ Fn,m . En efecto, si x ′ ∈ Fn,m , entonces existen x∗ , y∗ ∈ ∂ f (x ′ ) tal que (x∗ + y∗ )(xn ) ≥ 1/m. De esto se sigue que las restricciones de x∗ y y∗ a la línea x0 + Rxn producen dos líneas tangentes distintas al grafo de la función g lo cual es una contradicción por el hecho de que g es diferenciable en x ′ . Por consiguiente, x ′ ∈ U r Fn,m para m = 1, 2, . . . y, en consecuencia, toda bola abierta U (x0 , r) con centro en x0 y radio r intersecta a U r Fn,m ; es decir, U r Fn,m es un abierto denso en U . Un llamado al Teorema de Categoría de Baire nos revela que ∞ \

(U r Fn,m )

n,m=1



es un Gδ -denso de U .

Un resultado similar al Teorema de diferenciabilidad de Mazur pero cambiando Gâteaux diferenciabilidad por Fréchet diferenciabilidad e imponiendo una condición adicional al espacio de Banach, fue obtenida por Asplund y generalizada por Lindenstrauss en los siguientes términos. Teorema 2.2.5 (Teorema de diferenciabilidad de Asplund-Lindenstrauss). Sean (X , k·k) un espacio de Banach tal que X ∗ es separable y sea f : X → R cualquier función convexa continua. Entonces f es Fréchet diferenciable sobre un subconjunto Gδ -denso de X . Prueba. Definamos el conjunto  F = x ∈ X : f no es Fréchet diferenciable en x .

Vamos a demostrar que F es de primera categoría en X . Para ello consideremos el epígrafo de f , es decir, epi( f ) = {(x,t) ∈ X ⊕ R : f (x) ≤ t}. Siendo epi( f ) un conjunto convexo cerrado en X ⊕ R, el Teorema de separación de Hahn-Banach en X ⊕ R nos garantiza la existencia, para cada x ∈ F, de un funcional px ∈ X ∗ tal que f (x + h) − f (x) ≥ px (h) para cualquier h ∈ X . Puesto que f no es Fréchet diferenciable en los puntos de F, para cualquier x ∈ F podemos encontrar un mx ∈ N tal que l´ım sup h→0

f (x + h) − f (x) − px (h) 1 > . k hk mx

Para cada m ∈ N, pongamos Fm = {x ∈ F : mx = m}. Dado m ∈ N, consideremos el cubrimiento abierto V de X ∗ formado por todas las bolas abiertas en X ∗ de radios 1/(24m). Puesto que X ∗ es separable, dicho espacio satisface la propiedad de Lindelöf, por lo que podemos seleccionar un subcubrimiento numerable de X ∗ , digamos U = {Um,k : k = 1, 2, . . .}, del cubrimiento V. Para cada k ∈ N, defina  Fm,k = x ∈ Fm : px ∈ Um,k .

156

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Es una tarea fácil probar que F=

∞ [

Fm,k .

m,k=1

Por esto sólo tenemos que demostrar que el conjunto Fm,k es nunca-denso para cada m, k ∈ N. Fijemos m, k ∈ N y supongamos, para arribar a una contradicción, que F m,k tiene interior no vacío. Entonces existen un x ∈ Fm,k y un entorno abierto U de x tal que U ⊆ F m,k . Para obtener nuestra contradicción es suficiente demostrar que existe un punto y ∈ U poseyendo un entorno abierto V tal que V ∩ Fm,k = ∅. Siendo f localmente Lipschitz, podemos suponer, sin perder generalidad, que el entorno U de x ∈ Fm,k es de la forma U = U (x, r), donde r se elige de modo tal que f es Lipschitz con constante K > 1/m sobre U (x, r). Ahora bien, como x ∈ Fm,k , existe h ∈ X , k hk < r tal que f (x + h) − f (x) ≥

k hk + px (h). m

(2.2.4)

Afirmamos que

 k hk  U x + h, ∩ Fm,k = ∅. 12mK Supongamos que existe z ∈ U (x + h, k hk /12mK) ∩ Fm,k . Como z ∈ Fm,k y x ∈ Fm,k , por la definición de Fm,k tenemos que k px − pz k < 1/(12m). Por la elección de pz se tiene que f (x) − f (z) ≥ pz (x − z).

(2.2.5)

Sumando las desigualdades (2.2.4) y (2.2.5) nos da f (x + h) − f (x) > pz (x − z) +

k hk + px (h) m

= px (x + h − z) + (pz − px )(x − z) +

k hk . m

(2.2.6)

Puesto que k x + h − zk ≤ k hk /12mK y k px k ≤ K ya que f es K-Lipschitz sobre un entorno de x, tenemos que k hk |px (x + h − z)| ≤ . 12mK Más aun, k z − xk ≤ k z − (x + h) + hk ≤

k hk + k hk ≤ 2 k hk 12mK

y

k px − pz k ≤

de donde se sigue que |(px − pz )(x − z)| ≤ k px − pz k k x − zk ≤

1 k hk · 2 k hk = . 12m 6m

Reemplazando estas desigualdades en (2.2.2) obtenemos finalmente que f (x + h) − f (x) > −

k hk k hk k hk k hk k hk k hk k hk − + >− − + = , 12m 6m m 6m 3m m 2m

lo cual contradice el hecho de que k x + hk − k zk ≤ k x + h − zk ≤ k hk . 12m

1 , 12m

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

157

Hemos probado que F es de primera categoría en X y, gracias al Teorema de Categoría de Baire, el conjunto de puntos donde f es Fréchet diferenciable, G := X r F, es denso en X . De inmediato vamos a demostrar que en realidad G es un Gδ . En efecto, para cada n ∈ N, definamos ( ) f (x + δy) + f (x − δy) − 2 f (x) 1 Gn = x ∈ X : existe un δ > 0 tal que sup < . δ n y∈SX Usando el hecho de que el cociente diferencial para funciones convexas es una aplicación monótona, T obtenemos que G = ∞ n=1 Gn . En particular, cada Gn es denso en X . La prueba termina una vez que logremos demostrar que Gn es un conjunto abierto en X para cada n ∈ N. Para este fin, sea n ∈ N y tomemos cualquier x ∈ Gn . Siendo f localmente Lipschitz, existe alguna bola abierta U (x, r) sobre la cual f es L-Lipschitz. Además, como x ∈ Gn , existen un δ < r/2 y C < 1/n tal que sup y∈SX

f (x + δy) + f (x − δy) − 2 f (x) < C. δ

δ 1 Escojamos 0 < ε < m´ın{ δ2 , 4L ( n −r)}. Afirmamos que U (x, ε) ⊆ Gn . En efecto, para cualquier z ∈ U (x, ε) tenemos

sup y∈SX

f (x + δy) + f (x − δy) − 2 f (x) δ

f (x + δy) + L k z − xk + f (x − δy) + L kz − xk − 2 f (x) + 2L k z − xk δ y∈SX   4Lε 1 1 ≤C+ 0 existe un δ > 0, tal que k x0 − xk < ε siempre que x ∈ BX y k x0 + xk /2 > 1 − δ. Si x∗0 ∈ SX ∗ es tal que x∗0 (x0 ) = 1 y para cada x ∈ BX se cumple que x∗0 (x) > 1 − δ, entonces k x0 + xk /2 ≥ (1/2)x∗0 (x0 + x) > 1 − δ/2 y así, k x0 − xk < ε. Esto nos dice que el conjunto U = {x ∈ BX : x∗0 (x) > 1 − δ} forma un entorno básico en la norma topología de BX en x0 .  El resultado anterior combinado con el Ejemplo (B-15), página 142, nos dice que: Corolario 2.2.6. Si la norma k·k del espacio de Banach X es LUR, entonces (BX , ω) es un espacio de Baire. Fijemos de nuevo un espacio de Banach (X , k·k) y sea K un subconjunto débilmente compacto de X . Para cada x ∈ X , definimos la función  r(x) = sup k x − zk : z ∈ K ,

a la que llamaremos la distancia más larga de x a K. Es fácil ver que la función r es convexa y Lipschitz sobre X . Diremos que un punto z ∈ K es el punto más lejano a x en K si r(x) = k x − zk. Para cada x ∈ X , la subdiferencial de r en x, ∂r (x), vive en la bola unitaria de X ∗ ; es decir, ∂r (x) ⊆ BX ∗ . En efecto, si x∗ ∈ ∂r (x), entonces x∗ (y − x) ≤ r(y) − r(x) ≤ k y − xk para cualquier y ∈ X y por lo tanto, k x∗ k ≤ 1. Teorema 2.2.8. El conjunto  G = x ∈ X : sup{x∗ (x − z) : z ∈ K} = r(x) para cualquier x∗ ∈ ∂r (x)

es un Gδ -denso en X . Más aún, si x ∈ G, entonces K posee un punto más lejano a x. Prueba. Para cada n ∈ N, definamos

n o 1 Fn = x ∈ X : ´ınf x∗ (y − x) ≥ −r(x) + , para algún x∗ ∈ ∂r (x) . y∈K n

Afirmamos que Fn es cerrado para cada n. En efecto, sea (x j )∞j=1 una sucesión en Fn tal que l´ım x j = x y para cada j ∈ N, escojamos x∗j ∈ ∂r (x j ) de acuerdo a la definición de Fn . Sea x∗ un ω∗ -limite de x∗j . Tomando límite tenemos que x∗ (y − x) ≥ −r(x) + 1/n, para todo y ∈ K y, además, x∗ ∈ ∂r (x). Esto prueba que x ∈ Fn y así, Fn es cerrado. T

Puesto que G = ∞ n=1 Gn , donde cada Gn = X r Fn es abierto, entonces sólo nos resta demostrar que Gn es denso en X , o equivalentemente, Fn es nunca denso en X . Supongamos que para algún n,
int(Fn ) 6= ∅ y elijamos un λ > 0 tal que la bola abierta U := U y0 , 2λr(y0 ) ⊆ int(Fn ), para algún y0 ∈ Fn . λ Pongamos ε = 4(1+λ)n m´ın{1, r(y0 )}. Escojamos ahora un z0 ∈ K tal que k y0 − z0 k > r(y0 ) − ε > r(y20 ) .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

161

r(y0 ) > ε. To2 memos un punto x1 en el segmento de línea [x0 , y0 ] tal que k x0 − x1 k = ε. Puesto que k x0 − x0 k = λ k y0 − z0 k ≤ λr(y0 ), resulta que tanto x0 , así como x1 , están en U ⊆ Fn . Por la definición de Fn , existe un x∗1 ∈ ∂r (x1 ) tal que ´ınf{x∗1 (y − x1 ) : y ∈ K} ≥ −r(x1 ) + 1n . Usando la desigualdad anterior, se sigue que Nótese que si definimos x0 = y0 + λ(y0 − z0 ), entonces k x0 − y0 k = λ k y0 − z0 k > λ

r(y0 ) − r(x1 ) < k y0 − z0 k + ε − r(x1 ) = ≤ ≤ ≤ ≤ = =

1 k x0 − z0 k + ε − r(x1 ) 1+λ 1 r(x0 ) + ε − r(x1 ) 1+λ 1 r(x1 ) + 2ε − r(x1 ) 1+λ λ  ∗ 1 x1 (z0 − x1 ) − + 2ε 1+λ n 1 λ  ∗ x1 (z0 − x0 ) − + 3ε 1+λ n 1  ∗ λ x1 (λz0 − λx0 ) − + 3ε 1+λ n
1 ∗ λ x1 (1 + λ)y0 − (1 + λ)x0 − + 3ε 1+λ (1 + λ)n

= x∗1 (y0 − x0 ) −

λ + 3ε (1 + λ)n

≤ x∗1 (y0 − x1 ) −

λ + 4ε (1 + λ)n

≤ x∗1 (y0 − x1 ). Por esto, r(y0 ) < r(x1 ) + x∗1 (y0 − x1 ), lo cual es contrario al hecho de que x∗1 ∈ ∂r (x1 ). Esta contradicción establece que cada Fn es nunca denso en X . Por el Teorema de Categoría de Baire, G es un Gδ -denso en X . Con esto queda probada la primera parte del teorema. Para probar la segunda parte, sea x ∈ G y escojamos un x∗ ∈ ∂r (x). Como x∗ es un funcional débilmente continuo, la compacidad débil de K nos permite hallar un z0 ∈ K tal que x∗ (x−z0 ) = sup{x∗ (x−z) : z ∈ K}. Entonces r(x) = x∗ (x − z0 ) ≤ k x∗ k · k x − z0 k ≤ k x − z0 k ≤ r(x). De allí que k x − z0 k = r(x) y termina la demostración.



2.2.4. k ◮ Dentabilidad, la PRN y densidad de funcionales En esta sección mostraremos una condición geométrica, aludida en la sección anterior, conocida como dentabilidad, que está estrechamente relacionada con la noción de diferenciabilidad.

162

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Definición 2.2.5. Sean (X , k·k) un espacio normado y D un subconjunto no vacío acotado de X . Para cada f ∈ X ∗ , f 6= 0, escribamos  M(D, f ) = sup f (x) : x ∈ D .

Dado α > 0, el subconjunto de D,

 S(D, f , α) = x ∈ D : f (x) > M(D, f ) − α

se llama una rebanada de D. Diremos que D es dentable si para cada ε > 0, existe un punto xε ∈ D tal que xε 6∈ co(D rU (xε , ε)), donde co(A) denota la clausura de la cápsula o envoltura convexa del conjunto A ⊆ X . Si D es un subconjunto no vacío acotado de X ∗ , se define la ω∗ -rebanada de D, como  S(D, x, α) = f ∈ D : f (x) > M(D, x) − α

donde x ∈ X y α > 0.

Las nociones de dentabilidad y rebanadas están relacionadas por medio del siguiente resultado. Teorema 2.2.9. Sean (X , k·k) un espacio normado y D un subconjunto no vacío norma-acotado de X . Son equivalentes: (1) D es dentable. (2) D contiene rebanadas de diámetros arbitrariamente pequeños. Prueba. En efecto, supongamos que D es dentable y sea ε > 0. Por hipótesis, existe un x ∈ D tal que x 6∈ co(D rU (x, ε)). Por el Teorema de Hahn-Banach, existen un f ∈ BX ∗ y un λ ∈ R tal que  sup f (x) : x ∈ co(D rU (x, ε)) < λ < f (x). S(D, f, α) U (x, ε) co(D \ U (x, ε))

f −1 (r)

D \ U (x, ε)

Figura 2.1: Si ahora definimos α = M(D, f ) − λ, entonces claramente  S(D, f , α) = x ∈ D : f (x) > M(D, f ) − α ⊆ U (x, ε) ∩ D

(⋆)

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

163

tiene diámetro menor que 2ε. Recíprocamente, sea ε > 0 y supongamos que diam S(D, f , α) ≤ ε. Definamos λ = M(D, f ) − α y seleccionemos x ∈ S(D, f , α). Como diam S(D, f , α) ≤ ε, resulta que S(D, f , α) ⊆ U (x, ε) ∩ D y, en consecuencia,


co D rU (x, ε) ⊆ co D r S(D, f , α) ⊆ f −1 (−∞, λ] .
Es claro que x 6∈ co D r U (x, ε) , pues si x estuviera en D r U (x, ε) tendríamos, por la desigualdad anterior, que f (x) ≤ λ lo cual es imposible pues f (x) > λ por estar x en S(D, f , α). Esto prueba que D es dentado.  Es importante resaltar, para referencia futura, lo que dice (⋆) en el teorema anterior. Si D es un subconjunto dentado de X y ε > 0, entonces existe un conjunto abierto U ⊆ X tal que U ∩ D 6= ∅ y k·k − diam(U ∩ D) < ε. (z) Corolario 2.2.7. Sea D un subconjunto acotado de X . Si K = co (D) es dentable, entonces también lo es D. Prueba. Observemos que, para cada f ∈ X ∗ r {0}, se cumple que M(D, f ) = sup x∗ (x) = sup x∗ (x) = M(K, f ). x∈D

x∈K

Por lo tanto, si α > 0 y f ∈ X ∗ r {0}, entonces S(D, f , α) ⊆ S(K, f , α) y así, si K contiene rebanadas de diámetro arbitrariamente pequeño, también las posee D.  En la teoría de los espacios de Banach, la noción conocida como Propiedad de Radon-Nikodym, desarrollada intensamente en las décadas de los 70 y los 80 del siglo pasado, constituye uno de los pilares fundamentales de esa teoría. De las variadas y sorprendentes formas equivalentes que existen en la literatura en relación a dicha propiedad (véase, por ejemplo la monografía de J. Diestel and J. Uhl [79]), la siguiente nos será de gran utilidad a nuestros intereses. Definición 2.2.6. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Se dice que X tiene la Propiedad de RadonNikodým (abreviado PRN) si cada subconjunto no vacío acotado D de X es dentable. En general, si K es un subconjunto convexo y cerrado de X , diremos que K tiene la PRN si cada subconjunto convexo, cerrado y acotado de K es dentable. Definición 2.2.7. Un árbol infinito en X es una sucesión (xn )∞ n=1 en X tal que 1 xn = (x2n + x2n+1 ) 2 para cada n ∈ N. Si además,

k x2n − xn k = k x2n+1 − xn k ≥ δ

para todo n ∈ N y algún δ > 0, entonces se dice que (xn )∞ n=1 es un δ-árbol infinito.

164

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Corolario 2.2.8. Si (X k·k) es un espacio de Banach con la PRN, entonces X no contiene δ-árboles infinitos acotados para cualquier δ > 0. Prueba. En efecto, si para algún δ > 0 existiera un δ-árbol infinito acotado en X , entonces dicho conjunto no sería dentable y, por lo tanto, X no tendría la PRN.  La existencia de ciertos subconjuntos extraordinarios habitando en la frontera de los conjuntos convexos, cerrados y acotados de un espacio de Banach es lo que a continuación expondremos. Definición 2.2.8. Sean X un espacio vectorial sobre K, K un subconjunto convexo de X y x ∈ X . Diremos que x es un punto extremal de K si él no es interior a ningún segmento con extremos en K; es decir, si la relación x = ax1 + bx2 implica que x1 = x2 = x, donde x1 , x2 ∈ K y a + b = 1 con a, b ∈ [0, 1]. Denotaremos por ext (K) el conjunto de todos los puntos extremales de K.

Dos resultados fundamentales y que nos interesan en esta sección son los siguientes, cuya demostración se puede ver, por ejemplo, en [116], pág. 48-49: Teorema de Krein-Milman. Si K es un subconjunto no vacío convexo y compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo X , entonces ext (K) 6= ∅

y

K = co (ext (K)).

Teorema de Milman. Si X es un espacio vectorial topológico localmente convexo, K ⊆ X es convexo y compacto, y si F ⊆ K es tal que K = co (F), entonces ext (K) ⊆ F. Cuando (X , k·k) es un espacio de Banach y K es un subconjunto no vacío convexo, cerrado y acotado conteniendo puntos extremales, entonces en ext (K) se pueden encontrar ciertos subconjuntos especiales que son de gran importancia en la geometría de los espacios de Banach. Decimos que x es un punto expuesto de K si existe f ∈ X ∗ tal que f (x) > f (y)

para todo y ∈ K, y 6= x.

En este caso se dice que el funcional f expone a x. Denotaremos por exp (K) el conjunto de todos los puntos expuestos de K. Por último, diremos que x es un punto fuertemente expuesto de K si existe f ∈ X ∗ tal que (a) f expone a x, y (b) l´ım+ diam(S(K, f , α)) = 0. α→0

En este caso diremos que f expone fuertemente a x y a dicho funcional se le llama funcional fuertemente expuesto. Escribiremos s exp (K) para denotar el conjunto de todos los puntos fuertemente expuestos de K y por SE(K) denotaremos el conjunto de todos los funcionales fuertemente expuestos de K.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

165

Las siguientes relaciones se cumplen: s exp (K) ⊆ exp (K) ⊆ ext (K) Ejemplos de conjuntos convexos, cerrados y acotados donde la inclusión es estricta pueden verse en ([42], p. 43-44). Si x es un punto de un subconjunto acotado K de X tal que  f (x) = sup f (z) : z ∈ K = M(K, f )

para algún f ∈ X ∗ r {0}, entonces decimos que x es un punto soporte de K y a f lo llamaremos un funcional soporte de K. Definimos  NA(K) = f ∈ X ∗ r {0} : f es un funcional soporte de K . En el caso particular cuando K = BX , escribiremos NA(X ) en lugar de NA(BX ) y a los elementos de NA(X ) los llamaremos funcionales que alcanzan la norma, debido a que si f ∈ NA(X ), entonces k f k = f (x0 ) para algún x0 ∈ BX . En general, a NA(K) se le llama un conjunto de Bishop-Phelps debido fundamentalmente a un resultado fascinante de E. Bishop y R. R. Phelps ([31]) el cual establece que:

Teorema 2.2.10 (Bishop-Phelps). Para cada subconjunto convexo, cerrado y acotado K de X , NA(K) es norma-denso en X ∗ . Existen varias demostraciones hermosas y elegantes de éste resultado. Una de ellas usa el principio variacional de Ekeland (véase, por ejemplo, [75]). Otra demostración interesante del mismo teorema para el caso en que X es norma-separable es presentada en ([116], Theorem 370, p. 300). Nosotros abordaremos la demostración clásica de dicho teorema por lo que vamos a requerir varios resultados adicionales. Lema 2.2.3. Sean f , g ∈ SX ∗ y ε > 0. Si x ∈ f −1 (0) ∩ BX entonces k f − gk ≤ ε

o

implica que

ε | g(x)| ≤ , 2

k f + gk ≤ ε.

Prueba. Notemos en primer lugar que la restricción de g al subespacio cerrado f −1 (0) es un funcional lineal de norma a lo sumo ε/2. Por el Teorema de Hahn-Banach, existe un h ∈ X ∗ tal que h = g sobre f −1 (0) y k hk ≤ ε/2. Ahora, puesto que g − h ≡ 0 sobre f −1 (0), entonces existe un λ ∈ R tal que g − h = λ f . Por esto, 1 − |λ| = k gk − k g − hk ≤ k hk ≤ ε . 2 Si λ ≥ 0, entonces k f − gk = k (1 − λ) f − hk ≤ |1 − λ | + khk = 1 − |λ| + khk ≤ ε mientras que si λ < 0, entonces

k f + gk = k (1 + λ) f + hk ≤ |1 + λ | + khk = 1 − |λ| + k hk ≤ ε.

La siguiente consecuencia técnica del Lema 2.2.3 será usada más adelante.



166

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Lema 2.2.4. Sean f ∈ SX ∗ , δ > 0 y definamos Vδ = f −1 (0) ∩ B(0, δ). Sean x0 , y ∈ X satisfaciendo f (x0 ) > f (y)

y

2 k x0 − yk ≤ 1. δ

Si g ∈ SX ∗ y g(x0 ) > M(y +Vδ , g), entonces k f − gk ≤ 2δ k x0 − yk. Prueba. Para poder aplicar el Lema 2.2.3, tomemos x ∈ f −1 (0) ∩ BX . Entonces δ x + y ∈ y + Vδ y así, δg(x) + g(y) < g(x0 ). Sea ε = 2δ (g(x0 ) − g(y)). Entonces g(x) ≤ 2δ y por simetría se sigue que | g(x)| ≤ 2δ . Un llamado al Lema 2.2.3 nos dice que 2 2 k g − f k ≤ ε = (g(x0 ) − g(y)) ≤ k x0 − yk δ δ o bien

2 k g + f k ≤ (g(x0 ) − g(y)). δ

Pero si k g + f k ≤ 2δ (g(x0 ) − g(y)), entonces 0 < g(x0 ) − g(y) < g(x0 ) − g(y) + f (x0 ) − f (y) = (g + f )(x0 − y)

≤ k f + gk k x0 − yk 2 ≤ (g(x0 ) − g(y)) k x0 − yk δ lo cual implicaría que 1 < 2δ k x0 − yk, una desigualdad que es contraria a nuestra hipótesis. Por lo tanto, k f − gk ≤ 2δ k x0 − yk.  Para cada f ∈ SX ∗ y 0 < δ < 1, definamos  C( f , δ) = x ∈ X : f (x) ≥ δ k xk .

Entonces C( f , δ) es un cono convexo cerrado con interior no vacío (y vértice 0). Lema 2.2.5. Sean f , g ∈ SX ∗ , 0 < ε < 1 y 0 < δ < ε/(2+ ε). Si g(z) ≥ 0 para cada z ∈ C( f , δ), entonces k f − gk ≤ ε. Prueba. Sea x ∈ X y supongamos que x ∈ f −1 (0) ∩ BX . Vamos a probar que | g(x)| ≤ ε/2. Para este fin, escojamos y ∈ SX tal que f (y) ≥ δ(2 + ε)/ε. Entonces

 

2 2 2 

δ y ± x ≤ δ 1 + ≤ f (y) = f y ± x ε ε ε y, en consecuencia, y ± 2ε x ∈ C( f , δ). Como g ≥ 0 sobre C( f , δ), entonces 2ε g(x) ≤ g(y) ≤ 1 o, lo que es lo mismo, | g(x)| ≤ ε/2. Por el Lema 2.2.4, o bien k f − gk ≤ ε o k f + gk ≤ ε. Veamos que esto último no ocurre. En efecto, sea z ∈ SX con f (z) > m´ax{δ, ε}. Entonces f (z) > δ k zk tal que z ∈ C( f , δ). De aquí que g(z) ≥ 0 y, por lo tanto, k f + gk ≥ ( f + g)(z) ≥ f (z) > ε.  Estamos listo para la prometida demostración del Teorema de Bishop-Phelps.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

167

Prueba del Teorema de Bishop-Phelps. Es suficiente demostrar que si f ∈ SX ∗ y si 0 < ε < 1, entonces existe un g ∈ NA(K)   tal que k f − gk ≤ ε. 1 ε . Definamos un ordenamiento parcial  sobre K del modo siguiente: para x, y ∈ K, Sea δ = 2 2+ε diremos que x  y si, y sólo si, δ k y − xk ≤ f (y) − f (x).

Observemos que x  y si, y sólo si, y − x ∈ C( f , δ). Supongamos que L es un subconjunto totalmente (= linealmente) ordenado de (K, ). Si x, y ∈ L, satisfacen la relación x  y, entonces f (x) ≤ f (y). Por consiguiente, como la red ( f (x))x∈L es monótona no decreciente en R y acotada superiormente por M(K, f ), ella converge. Pero ya que δ k y − xk ≤ f (y) − f (x) para x  y, entonces la red {x : x ∈ L} converge en la norma a un z ∈ K. Es claro que x  z para todo x ∈ L; es decir, L posee una cota superior y, entonces, el Lema de Zorn nos dice que (K, ) posee un elemento maximal, digamos x0 . Si x es cualquier punto de K ∩ (x0 +C( f , δ)), entonces x − x0 ∈ C( f , δ). Puesto que tanto x como x0 están en K, entonces nuestra definición de  nos dice que x0  x y, gracias a la maximalidad de x0 , se concluye que x = x0 . Lo anterior nos garantiza que K ∩ (x0 +C( f , δ)) = {x0 }. Observemos ahora que si g ∈ SX ∗ satisface

sup g(K) = g(x0 ) = ´ınf g(x0 +C( f , δ)),

entonces g ∈ NA(K) y, además, g es no negativa sobre C( f , δ). Invocando el Lema 2.2.5, concluimos que k f − gk ≤ ε.  Debemos hacer resaltar que el Teorema de Bishop-Phelps no es válido para espacios de Banach sobre C. En efecto, en el año 2000, Victor Lomonosov ([178]) construyó un espacio de Banach complejo en donde no se cumple la conclusión del Teorema de Bishop-Phelps. El siguiente resultado es geométricamente claro y será usado en lo que sigue. Lema 2.2.6. Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto acotado de X . Para cada α > 0 y f ∈ X ∗ r {0}, existe un ε > 0 tal que S(K, g, α/2) ⊆ S(K, f , α)

siempre que g ∈ X ∗ y

k f − gk ≤ ε.

Prueba. Sea M = sup {k xk : x ∈ K} y elijamos 0 < ε < α/(4M). Sea g ∈ B( f , ε); es decir, k f − gk ≤ ε. Si y ∈ S(K, g, α/2), entonces g(y) > M(K, g) − α/2 y, en consecuencia, f (y) ≥ g(y) − | f (y) − g(y)| α > M(K, g) − − εM 2 α ≥ M(K, f ) − εM − − εM 2 > M(K, f ) − α

lo cual significa que S(K, g, α/2) ⊆ S(K, f , α).



Nuestro próxima tarea es demostrar que sobre cualquier conjunto convexo, cerrado y acotado con la PRN abundan suficientes funcionales fuertemente expuestos. Comencemos con el siguiente resultado.

168

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Teorema 2.2.11 (Bishop). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto convexo, cerrado y acotado de X . Si para cada ε > 0, el conjunto  Oε = g ∈ X ∗ : g determina una rebanada de K de diámetro a lo más ε es norma-denso en X ∗ , entonces SE(K) es un Gδ -denso de X ∗ . En particular, K = co (s exp) (K) Prueba. Sea f ∈ Oε . Si g ∈ B( f , ε), entonces el Lema 2.2.6 garantiza que g ∈ Oε y, por lo tanto, dicho conjunto es abierto y, además, por hipótesis, denso en X ∗ . Por el Teorema de Categoría de Baire, ∞ \

O1/n = SE(K)

n=1

es un Gδ -denso de X ∗ . Supongamos que K contiene propiamente a co (s exp) (K). Usemos el Teorema de Separación de Hahn-Banach para producir una rebanada de K, digamos S(K, f , α), la cual es disjunta de co (str exp) (K). Puesto que SE(K) es denso en X ∗ , el Lema 2.2.6 nos garantiza la existencia de un funcional g ∈ SE(K) tal que S(K, g, α/2) ⊆ S(K, f , α). Evidentemente, si x ∈ K es fuertemente expuesto por g, entonces dicho elemento debe pertenecer tanto a co (s exp) (K) como a S(K, g, α/2), dos conjuntos disjuntos. Esta contradicción establece que K = co (s exp) (K).  Otro resultado geométrico curioso, pero importante, es el siguiente. Aquí, diam(A) significa k·k − diam(A). Teorema 2.2.12 (Asplund-Namioka-Bourgain). Sea (X , k·k) un espacio de Banach y sea ε > 0. Supongamos que J, K0 y K1 son subconjuntos convexos, cerrados y acotados de X satisfaciendo las siguientes condiciones: (1) J ⊆ co (K0 ∪ K1 ). (2) K0 ⊆ J

y

diam(K0 ) < ε.

(3) J 6⊆ K1 . Entonces existe una rebanada S de J tal que S ∩ K0 6= ∅ y diam(S) < 2ε. Prueba. Para cada r ∈ [0, 1] definamos  Cr = x ∈ X : x = (1 − λ)x0 + λx1 , x0 ∈ K0 , x1 ∈ K1 , r ≤ λ ≤ 1 .

Observemos que C1 = K1 y que cuando r decrece de 1 a 0, los conjuntos convexos crecen de K1 al conjunto C0 = co(K0 ∪ K1 ) cuya clausura contiene, por hipótesis, a J. Estableceremos en primer lugar que si

0 < r ≤ 1,

entonces

J 6⊆ Cr .

En efecto, usemos la hipótesis (3) para elegir un x ∈ J tal que x 6∈ K1 . El Teorema de Hahn-Banach nos garantiza la existencia de un f ∈ X ∗ tal que M(K1 , f ) < f (x) ≤ M(J, f )

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

169

Ahora bien, si ocurriera que J ⊆ C r entonces tendríamos que M(J, f ) ≤ M(Cr , f ) = M(Cr , f )  ≤ sup (1 − λ)M(K0 , f ) + λM(K1 , f ) : λ ∈ [r, 1] = (1 − r)M(K0 , f ) + rM(K1 , f ) ≤ (1 − r)M(J, f ) + rM(K1 , f ) lo cual conduce a la relación contradictoria M(J, f ) ≤ M(K1 , f ). Nuestro siguiente paso es demostrar que diam(J rCr ) < 2ε para algún r > 0. Veamos esto. Como J ⊆ C0 , tenemos que J rCr ⊆ C 0 rCr . Además, puesto que Cr es cerrado, se sigue que C0 rCr es denso en C0 rCr . Tomemos y ∈ J rCr . Entonces existe un x ∈ C0 rCr tal que k y − xk < ε/4. Por otro lado, como x ∈ C0 r Cr , existen x0 ∈ K0 , x1 ∈ K1 y λ ∈ [0, 1] tal que x = (1 − λ)x0 + λx1 . Pero ya que x 6∈ Cr , entonces 0 ≤ λ < r. De esto se sigue que k y − x0 k ≤ k y − xk + k x − x0 k ε < + λ k x0 − x1 k 4  ε ≤ + r sup k y − zk : y ∈ K0 , z ∈ K1 4 ε = + rM 4  donde M = sup k y − zk : y ∈ K0 , z ∈ K1 . Si elegimos r < ε/4M tendremos que ε diam(J rCr ) ≤ 2 + 2rM + diam(K0 ) < 2ε. 4

Finalmente, puesto que J rCr 6= ∅, podemos escoger un x0 ∈ K0 tal que x0 ∈ J rCr . Gracias al Teorema de Separación de Hahn-Banach, existe una rebanada S de J disjunta de Cr y conteniendo a x0 . Esto termina la prueba.  En vista del Teorema 2.2.11, uno debe preguntarse ¿qué subconjuntos K de X poseen la propiedad de que Oε sea denso en X ∗ ? Uno de los resultados importantes en esta dirección es el siguiente. Teorema 2.2.13 (Phelps-Bourgain). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto convexo, cerrado y acotado de X . Si K tiene la PRN, entonces SE(K) es un Gδ -denso de X ∗ . En particular, K = co(s exp)(K). Prueba. Gracias al Teorema 2.2.11 es suficiente demostrar que el conjunto  Oε = g ∈ X ∗ : g determina una rebanada de K de diámetro a lo más ε

170

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

es denso en X ∗ . Supongamos entonces que 0 < δ < 1 y sea f ∈ SX ∗ . Puesto que K es acotado, existe un punto y ∈ X tal que f (y) < f (x) − 1 para cada x ∈ K. Pongamos λ=

M = sup {k x − yk : x ∈ K},

2M , δ

V = f −1 (0) ∩ B(0, λ),

y C = y +V.

Notemos que si z ∈ C y x ∈ K, entonces f (z) = f (y) < f (x) − 1 por lo que K ∩ C = ∅. En particular, K rC 6= ∅. Definamos J = co (K ∪C). Afirmamos que: existe una rebanada S de J tal que S ∩ K 6= ∅ y diam(S) < δ. Para demostrar esta afirmación, sea  D = x ∈ J : existe f ∈ X ∗ tal que f (x) = M(J, f ) > M(C, f )

(⋆)

Veamos que D ⊆ K. En efecto, sea x ∈ D. Entonces x ∈ J y, en consecuencia, existe una sucesión (xn )∞ n=1 en co(K ∩C) tal que l´ımn k xn − xk = 0. Supongamos que xn = ξn yn +(1−ξn )zn , donde 0 ≤ ξn ≤ 1, yn ∈ K, y zn ∈ C. Sin perder generalidad, podemos suponer que ξ = l´ımn ξn . Observemos que la condición ξ < 1, conduce a una contradicción, pues en tal caso M(J, f ) = f (x)


= l´ım ξn f (yn ) + (1 − ξn ) f (zn ) n

≤ ξ M(K, f ) + (1 − ξ) M(C, f ) < M(J, f ).

Por esto ξ = 1. Puesto que C es acotado, se sigue que l´ımn k x − yn k = 0 y como K es cerrado, concluimos que x ∈ K. Una vez establecido que D ⊆ K, tenemos que co (D∪C) ⊆ J. Lo que queremos probar es que ellos son iguales. Supongamos por un momento que co (D ∪ C) sea un subconjunto propio de J. Entonces existe una rebanada S′ de J tal que S′ ∩ co (D ∪C) = ∅. Usemos el Teorema de Bishop-Phelps y el Lema 2.2.6 para encontrar una g ∈ S(J) y un α > 0 con S(J, g, α) ⊆ S′ . Entonces g soporta a J en algún punto x. Claramente x 6∈ co (D ∪C) k D y como, g(x) = M(J, g) > M(C, g), resulta que x ∈ D. Esta contradicción prueba que J = co (D ∪C). En particular D 6= ∅, pues K rC 6= ∅. Puesto que K tiene la PRN, el conjunto D ⊆ K es dentable y, por lo tanto, existe un punto x0 ∈ D tal que x0 6∈ co (D rU (x0 , ε/3)). Sean K0 = co (D ∩U (x0 , ε/3)) Observemos que como J = co (D ∪C), entonces (1) J = co (K0 ∪ K1 ). (2) diam(K0 ) < 2ε/3 y K0 ⊆ co (D) ⊆ J. (3) Probemos ahora que x0 ∈ J r K1 .

y

K1 = co (D rU (x0 , ε/3)) ∪C




Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

171

En efecto, si x0 ∈ K1 , pongamos D1 = co (D rU (x0 , ε/3)) y notemos que K1 = co (D1 ∪C). Puesto que x0 ∈ D, existe un h ∈ X ∗ tal que h(x0 ) = M(J, h) > M(C, h) y como x0 ∈ K1 ⊆ J, resulta que h(x0 ) = M(K1 , h) > M(C, h). Por (⋆), con D1 en lugar de D y K1 en lugar de J, tenemos que x0 ∈ D1 . Puesto que esto contradice la elección de x0 , se sigue que x0 ∈ J r K1 . El Teorema de Asplund-Namioka-Bourgain, Teorema 2.2.12, nos garantiza la existencia de una rebanada S de J de diámetro menor que ε, conteniendo un punto de K0 . Como K0 ⊆ K, la prueba de la afirmación es completa.  Sea S = S(J, g, α) para alguna g ∈ SX ∗ , y notemos, en primer lugar, que S ∩ C = ∅. En efecto, si w ∈ S ∩C, entonces 1 > δ > diam(S) ≥ k x0 − wk ≥ f (x0 ) − f (w) = f (x0 ) − f (y) > 1 lo cual es contradictorio. En segundo lugar, observemos que M(K, g) > M(C, g), pues, en caso contrario, tendríamos que M(J, g) = M(C, g) y, en consecuencia, cada rebanada de J determinada por g contendría puntos de C. Como esto no ocurre para la rebanada S = S(J, g, α), concluimos que M(K, g) > M(C, g). Por esto,  M(K, g) = m´ax M(K, g), M(C, g) = M(J, g). Puesto que K ⊆ J se sigue que S(K, g, α) ⊆ S(J, g, α) y, por consiguiente, diam(S(K, g, α)) < δ. Finalmente, como

2 λ

k x0 − yk ≤ 2M/λ = δ se sigue del Lema 2.2.4 que kg − f k ≤

2 k x0 − yk ≤ δ. λ

Esto prueba que Oε es denso en X ∗ . Un llamado al Teorema 2.2.11 nos revela que SE(K) es un Gδ -denso de X ∗ .  Otra pregunta que nos podemos formular es la siguiente: ¿qué propiedades topológicas posee el conjunto NA(K)? Una respuesta es dada por el siguiente resultado el cual relaciona la PRN con el Teorema de Categoría de Baire. Teorema 2.2.14 (Bourgain-Stegall). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y C un subconjunto convexo, cerrado y acotado de X . Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) C tiene la PRN, (2) NA(K) es residual en X ∗ para cada subconjunto convexo, cerrado y acotado K de C. Prueba. (1) ⇒ (2). Puesto que SE(K) ⊆ NA(K), el Teorema 2.2.13 nos dice que NA(K) es residual en X ∗ para cualquier subconjunto convexo, cerrado y acotado K de C. (2) ⇒ (1). Supongamos que (2) se cumple pero que C no tiene la PRN. En particular, existe un subconjunto convexo, cerrado, acotado y separable K de C que no es dentable. Esto nos revela que en alguna parte de R habita un cierto δ > 0 tal que cada rebanada de K tiene diámetro ≥ 3δ. Escojamos ahora una sucesión densa, digamos (xn )∞ n=1 , en K y para cada n ∈ N, definamos Vn = K ∩ B(xn , δ) y  On = g ∈ X ∗ : g determina una rebanada de K disjunta de Vn .

172

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire T

Observemos que si g ∈ ∞ n=1 On y x ∈ K, entonces como K = en consecuencia, g(x) < M(K, g); es decir, NA(K) ⊆ X ∗ r

∞ \

S∞

n=1 Vn ,

resulta que x ∈ V j para algún j y,

On .

n=1

Vamos probar que cada On es abierto y denso en X ∗ . Que On es abierto es consecuencia del Lema 2.2.6, por lo tanto, lo que tenemos que chequear es la densidad de On . Sean entonces f ∈ X ∗ y 0 < ε < 1. Puesto que On es cerrado bajo multiplicación por escalares positivos, podemos suponer que k f k = 1. Escojamos y ∈ X tal que f (x) − f (y) > 0 para cada x ∈ K y sea M = sup{k x − y k : x ∈ K}. Elijamos un λ ≥ 2M/ε y definamos V = f −1 (0) ∩ B(0, λ) y C = y +V. Es claro que Vn rC 6= ∅. Notemos que, por el Teorema de Asplund-Namioka-Bourgain, Teorema 2.2.12, el conjunto J = co (Vn ∪C) contiene una rebanada S con diam(S) < 3δ y S ∩Vn 6= ∅ pues diam(Vn ) < 2δ. Pero si K ⊆ J, entonces, como por definición Vn ⊆ K, tendríamos que S ∩ K sería una rebanada de K de diámetro menor que 3δ, lo cual contradice la elección de δ. Esto prueba que K r J 6= ∅. Sea x0 ∈ K r J 6= ∅. Escojamos g ∈ SX ∗ tal que g(x0 ) > M(J, f ) y notemos que de la desigualdad 2 2 k x0 − y k ≤ M ≤ ε < 1 λ λ y el Lema 2.2.4, tenemos que k f − g k ≤ ε. Puesto que evidentemente g determina una rebanada disjunta de Vn , se sigue que g ∈ On . Esto demuestra que On es denso en X ∗ por lo que invocando el Teorema de T ∗ Categoría de Baire tenemos que ∞ n=1 On es denso en X y, así, NA(K) sería de primera categoría. Esta contradicción establece que C tiene la PRN.  Siguiendo con los conjuntos de Bishop-Phelps y en ausencia de la propiedad de Radon-Nikodym, Kenderov, Moors y Sciffer demuestran en [158] que: Teorema de Kenderov-Moors-Sciffer. Si K es un espacio de Hausdorff compacto infinito, entonces el conjunto de Bishop-Phelps NA(C(K)) es de primera categoría en C(K)∗ .

2.2.5. k ◮ Dentabilidad y compacidad débil Nuestro objetivo en esta corta sección es demostrar el siguiente resultado: Teorema 2.2.15 (Lindenstrauss-Troyanski). Sea (X , k · k) un espacio de Banach. Si K es un subconjunto débilmente compacto de X , entonces K es dentable. La demostración de este resultado descansa sobre los siguientes hechos: k◮ Hecho 1 Sea D un subconjunto acotado de X . Si K = co (D) es dentable, entonces también lo es D. Un exquisito y poderoso resultado de R. C. James, cuya prueba puede ser vista en ([107] o [44], pág. 27), establece lo siguiente:

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

173

k◮ Hecho 2 Teorema de James. Un subconjunto acotado y débilmente cerrado K de X es débilmente compacto si, y sólo si, para cada x∗ ∈ X ∗ existe un x0 ∈ K tal que x∗ (x0 ) = sup x∗ (K), es decir, NA(K) = X ∗ . Con este instrumento en las manos, el siguiente resultado es muy fácil. k◮ Hecho 3 Teorema de Krein-Šmulian. Si K es un subconjunto débilmente compacto de X , entonces co (K) también es débilmente compacto. Prueba. Sea x∗ ∈ X ∗ . Si K es débilmente compacto, entonces el resultado de James nos provee de un x0 ∈ K tal que x∗ (x0 ) = sup x∗ (K). Pero ya que, sup x∗ (K) = sup x∗ (co (K)), entonces x∗ (x0 ) = sup x∗ (co (K))  y de nuevo, por el Teorema de James, co (K) es débilmente compacto. Prueba del Teorema 2.2.15. Los Hechos 1 y 3 nos dicen que podemos suponer que K es convexo. Supongamos, además, que K es norma-separable y sea (xn )∞ n=1 una sucesión norma-densa en K. Fijemos ω un ε > 0 y definamos D = ext(K) . Observemos que D=

∞  [

n=1

 B(xn , ε/3) ∩ D .

Como D es débilmente compacto y B(xn , ε/3) ∩ D es débilmente cerrado en D, el Teorema de Categoría de Baire nos garantiza la existencia de un subconjunto débilmente abierto V de X tal que ∅ 6= V ∩ D ⊆ B(xn , ε/3) ∩ D para algún x ∈ N. Pongamos K0 = co (V ∩ D)

y

K1 = co (K rV ).

Notemos que (1) K ⊆ co (K0 ∪ K1 ) (2) K0 ⊆ K y diam(K0 ) < ε (3) K 6⊆ K1 Sólo (3) requiere prueba. Como V ∩ D 6= ∅, podemos elegir un x ∈ V ∩ ext(K) y, entonces, observar que ω x 6∈ K rV . Un llamado al Teorema de Milman nos revela que x 6∈ K1 . Invocando el Teorema de Asplund-Namioka-Bourgain (Teorema 2.2.12), existe una rebanada S de K de diámetro < ε. Como ε > 0 es arbitrario, entonces K es dentable. El caso general ahora es consecuencia del hecho de que si para cada subespacio norma-separable Y de X , el conjunto K ∩ Y es débilmente compacto, entonces K es débilmente compacto (véase [44], pág. 14). 

174

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

2.2.6. k ◮ Fragmentabilidad y espacios de Asplund Fragmentabilidad es una noción modelada sobre la noción de dentabilidad pero que la generaliza. Ella aparece por primera vez en un artículo de J. E. Jayne y C. A. Rogers [140] donde los autores investigan la existencia de selecciones “adecuadas” para las aplicaciones multivaluadas semicontinuas superiormente a valores compactos (usco). Su importancia, a partir de ese momento, no ha dejado de crecer. Por ejemplo, ella ha resultado ser una herramienta muy conveniente en el estudio de ciertas propiedades geométricas de los espacios de Banach, en diferenciabilidad genérica de funciones convexas, en la propiedad de Radon-Nikodým, en estabilidad genérica y la unicidad en el análisis no lineal relacionados a problemas de optimización, en programación matemática, en aplicaciones dinámicas, etc. Los artículos [133, 134, 135, 136, 137, 199, 229, 230] y las referencias allí citadas forman parte de la bibliografía sobre el tema. Definición 2.2.9. Sea d una métrica sobre un espacio topológico de Hausdorff (X , τ). El espacio (X , τ) se dice fragmentado por la métrica d o d-fragmentado si, para cada ε > 0 y cada subconjunto no vacío D de X , existe un subconjunto τ-abierto no vacío U de X tal que U ∩ D 6= ∅

y

d − diam(U ∩ D) < ε,

es decir, cada subconjunto no vacío de X contiene subconjuntos no vacíos relativamente τ-abiertos de d-diámetro arbitrariamente pequeño. El espacio (X , τ) se dice fragmentable si existe una métrica sobre dicho espacio que lo fragmenta. En general, la topología original τ de X y la topología τd , generada por d, pueden no estar directamente relacionadas. Observe que si U es un abierto de X y A ⊆ X , entonces U ∩ A 6= ∅ si, y solo si, U ∩ A 6= ∅. De esto se deduce que para que (X , τ) sea d-fragmentado es necesario y suficiente que cada subconjunto no vacío y τ-cerrado de X contenga subconjuntos no vacíos relativamente τ-abiertos de d-diámetro arbitrariamente pequeño. Por supuesto, cada espacio métrico es fragmentado por su propia métrica. Sin embargo, la clase de los espacios fragmentables es mucho más grande que la clase de los espacios metrizable. Notemos, en particular, que si (X , k·k) es un espacio de Banach norma-separable, entonces cada subconjunto norma-acotado y ω∗ -cerrado de X ∗ (es decir, ω∗ -compacto), es metrizable y, en consecuencia, fragmentado por esa métrica. Si F es un subconjunto no vacío de X ∗ , diremos que (F, ω∗ ) es norma-fragmentado si dicho conjunto es fragmentado por la métrica inducida por la norma dual de X ∗ . El resultado expresado más abajo en el Teorema 2.2.17, aunque elemental, es fundamental en el estudio de la noción de fragmentabilidad. Antes de formularlo es conveniente definir lo que es un espacio hereditariamente de Baire. Recordemos que todo subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire es, en su topología relativa, un espacio de Baire. Por otro lado, si X es un espacio métrico completo o un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, entonces todo subconjunto cerrado de X es un espacio de Baire; sin embargo, si X es un espacio de Baire arbitrario y F es un subconjunto cerrado de X , entonces no siempre es cierto que F es un espacio de Baire. Por esta razón decimos que un espacio de Hausdorff X es hereditariamente de Baire si cada subconjunto cerrado de X es un espacio de Baire con respecto a la topología relativa. Los espacios metrizables se pueden caracterizar como espacios hereditariamente de Baire por medio del siguiente resultado de Hurewicz. Teorema de Hurewicz. Un espacio topológico metrizable X es hereditariamente de Baire si, y sólo si, cualquier subconjunto perfecto no vacío F de X es no numerable. Resulta también interesante observar que los conjuntos Gδ viviendo en un espacio hereditariamente de Baire heredan dicha propiedad, vale decir:

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

175

Teorema 2.2.16. Sea (X , τ) un espacio hereditariamente de Baire. Si G es un subconjunto Gδ de X , entonces G es hereditariamente de Baire. Prueba. Sea F un subconjunto cerrado de G. Entonces existe un subconjunto cerrado H de X tal que τ τ F = H ∩ G. Puesto que F ⊆ H se sigue que F ⊆ H y, en consecuencia, F = F ∩ G. Esto prueba que F τ es un subconjunto Gδ -denso del espacio de Baire F . Por el Teorema 1.2.4, página 16, F es un espacio de Baire.  La siguiente caracterización de fragmentabilidad para espacios hereditariamente de Baire es una de las que más se utiliza. Teorema 2.2.17. Sean (X , τ) un espacio hereditariamente de Baire y d una métrica sobre X . Son equivalentes: (1) X es fragmentado por d. (2) Para cada conjunto no vacío y τ-cerrado K de X , la identidad id : (K, τ) → (K, d) posee al menos un punto de continuidad. (3) Para cada conjunto no vacío y τ-cerrado K de X , el conjunto de los puntos de continuidad de la identidad id : (K, τ) → (K, d) es un Gδ -denso de (K, τ). Prueba. Claramente (3) ⇒ (2) ⇒ (1). Para demostrar que (1) ⇒ (3) es suficiente considerar la aplicación identidad id : (X , τ) → (X , d). Sea ε > 0 y definamos  Gε = U ⊆ X : U es τ-abierto y d − diam(U ) < ε .

Obviamente Gε es τ-abierto. Veamos que él es τ-denso en X . En efecto, sea V un subconjunto τ-abierto no vacío de X . Como (X , τ) es d-fragmentado, existe un subconjunto τ-abierto no vacío W de X tal que V ∩ W 6= ∅ y d − diam(V ∩ W ) < ε. Esto nos dice que V ∩ W ∈ Gε y como V ∩ W ⊆ V , resulta que ∅ 6= V ∩W ⊆ V ∩ Gε . Por esto, Gε es τ-denso en X . Finalmente, siendo (X , τ) un espacio de Baire, podemos invocar el Teorema de Categoría de Baire para concluir que ∞ \

G1/n

n=1

es un Gδ -denso en (X , τ) y, por supuesto, dicho conjunto constituye el conjunto de los puntos de continuidad de id.  Se sigue del Teorema 2.2.17 que, si X es un espacio hereditariamente de Baire el cual es fragmentado por una métrica d, entonces X es también fragmentado por cualquier métrica cuya topología sea idéntica a la generada por la métrica d. Definición 2.2.10. Sean X y Y espacios topológicos de Hausdorff. Una función f : X → Y se dice que es puntualmente continua si, para cada subconjunto no vacío y cerrado F de X , la restricción f |F posee al menos un punto de continuidad. A las funciones puntualmente continuas también se le llaman barely continuous. La condición (2) del Teorema 2.2.17 dice que, cuando X es un espacio hereditariamente de Baire y d-fragmentado, entonces la aplicación identidad id : (X , τ) → (X , d) es puntualmente continua. Más adelante veremos que toda función f : X → R de la primera clase de Baire, donde X es un espacio de Baire, es puntualmente

176

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

continua; de hecho, si nuestro espacio X es un espacio métrico completo separable, entonces vale el recíproco. En este caso, el conjunto de puntos donde f es continua constituye un subconjunto Gδ -denso de X . Notemos que si (X , k·k) es un espacio de Banach, entonces (BX ∗ , ω∗ ) es un espacio compacto y, en consecuencia, un espacio hereditariamente de Baire. Así, en particular, tenemos que Corolario 2.2.9. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. La siguientes condiciones son equivalentes: (1) (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado. (2) El conjunto de los puntos de continuidad de la identidad id : (BX ∗ , ω∗ ) → (BX ∗ , k·k) es un Gδ -denso de (BX ∗ , ω∗ ). Observemos que si (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado entonces, por el resultado anterior, la identidad id : (BX ∗ , ω∗ ) → (BX ∗ , k·k) es continua en sobre un subconjunto Gδ -denso G de (BX ∗ , ω∗ ); esto significa que id|G : (G, ω∗ ) → (G, k·k) es un homeomorfismo, pues la topología de la norma es más fuerte que la topología ω∗ y, por consiguiente, G es metrizable. Por esto, Corolario 2.2.10. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Si (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado, entonces la topología de la norma y la topología ω∗ , restringidas sobre BX ∗ , coinciden sobre un subconjunto Gδ denso de (BX ∗ , ω∗ ). En particular, (BX ∗ , ω∗ ) contiene un subconjunto Gδ -denso metrizable. Una noción estrechamente relacionada a la noción de fragmentabilidad pero particularizada para los espacios de Banach es la siguiente. Definición 2.2.11. Un espacio de Banach (X , k·k) se dice que tiene la propiedad de Punto de Continuidad (PC) si para cada subconjunto acotado y débilmente cerrado K de X , la aplicación identidad id : (K, ω) → (K, k·k) posee al menos un punto de continuidad. Como una consecuencia inmediata del Teorema 2.2.17 tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.2.18. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X tiene la propiedad de punto de continuidad. (2) Cualquier subconjunto acotado y débilmente cerrado K de X es fragmentado por la métrica generada por k·k.

(3) Cualquier subconjunto acotado y débilmente cerrado K de X es un espacio de Baire.

Para ver cómo se vincula la noción de fragmentabilidad con los espacios de Asplund vamos a requerir de los siguientes tres resultados. Lema 2.2.7. Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ . Si K no es norma-fragmentado, entonces existen un ε > 0, una sucesión (Vn )∞ n=1 de subconjuntos no vacíos relativamente ω∗ -abiertos de K y una sucesión de vectores (xn )∞ en S X tal que n=1 V2n ∪ V2n+1 ⊆ Vn

para todo n ∈ N,

y con f (xn ) − g(xn ) ≥ ε

ω siempre que f ∈ V2n y g ∈ V2n+1 . En particular, f (xn ) − g(xn ) ≥ ε siempre que f ∈ V ω 2n y g ∈ V 2n+1 ∗

∗

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

177

Prueba. Supongamos que (K, ω∗ ) no es norma-fragmentado. Entonces existen un subconjunto no vacío y acotado B de K y un ε > 0 tal que k·kX ∗ −diam (V ) > ε para cualquier subconjunto no vacío relativamente ω∗ -abierto V de B. Sea V un subconjunto arbitrario, no vacío y relativamente ω∗ -abierto de B. Entonces k·kX ∗ − diam (V ) > ε y, en consecuencia, existen f , g ∈ V tal que k f − gk > ε. Escojamos x ∈ SX tal que ( f − g)(x) = ε + δ para algún δ > 0. Si ahora definimos   V0 = h ∈ V : h(x) > f (x) − δ/2 y V1 = h ∈ V : h(x) < g(x) + δ/2 . resulta que esos conjuntos son no vacíos, relativamente ω∗ -abiertos de B, V0 ∪ V1 ⊆ V y se cumple que (h0 − h1 )(x) > ε siempre que h0 ∈ V0 y h1 ∈ V1 . Llevando a cabo la construcción anterior indefinidamente, obtenemos las sucesiones deseadas.  El siguiente resultado nos será de gran utilidad cuando tengamos que trabajar con un espacio de Banach X para el cual su dual X ∗ sea fragmentado por alguna métrica. Teorema 2.2.19. Sean X y Y espacios topológicos de Hausdorff, donde X es un espacio de Baire y Y es fragmentado por una métrica d. Sea F : X → 2Y una aplicación usco minimal. Entonces existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que, para cualquier x ∈ G, el conjunto F(x) consta de un único punto y F : G → (Y, d) es semicontinua superiormente en cada x ∈ G. Prueba. Para cada n = 1, 2, . . . definamos los conjuntos [ Gn = U : U es un subconjunto abierto no vacío de X con d − diam (F(U )) < 1/n ,

Claramente, los Gn son subconjuntos abiertos de X . Veamos que ellos son también densos en X . En efecto, sea V un subconjunto abierto no vacío de X . Por la fragmentabilidad de Y , existe un conjunto
abierto G ⊆ Y tal que F(V ) ∩ G 6= ∅ y d − diam F(V ) ∩ G < 1/n. Ahora, puesto que F es usco minimal existe, por el Teorema 2.2.2, un subconjunto abierto no vacío W de V tal que F(W ) ⊆ G. Por esto, F(W ) ⊆ F(V ) ∩ G y, en consecuencia, W ⊆ Gn . Así, V ∩ Gn 6= ∅ quedando establecido que cada Gn es denso en X . Si ahora definimos G=

∞ \

Gn ,

n=1

vemos que G es un Gδ -denso en X gracias al Teorema de Categoría de Baire. Es claro que para cualquier x ∈ G, el conjunto F(x) consiste de un único punto y que F es semicontinua superiormente en x cuando Y está provisto de la topología generada por d.  Observación 2.2.15. En el resultado anterior podemos modificar la hipótesis sobre el espacio Y o la función multivaluada F para obtener la misma conclusión. En efecto, si d es una métrica semicontinua inferiormente sobre Y y si (a) Y es σ-fragmentado por una métrica d, o (b) F es fragmentada por d, (véase la Definición 2.2.12, página 182) entonces existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que F es a un sólo valor y semicontinua superiormente en cualquier punto de G cuando a Y se le dota de la topología generada por d. La condición (a) se debe a Jayne, Namioka y Rogers ([135], Theorem 3.1), mientras que (b) es un ˇ resultado de Coban, Kenderov y Revalski ([61], Theorem 5.1).

178

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Finalmente, necesitaremos el siguiente hecho.

Lema 2.2.8. Sean X un espacio de Baire y (On ) una sucesión de subconjuntos abiertos en X tal que ∞ [

On

n=1

es denso en X . Si Ω es un subconjunto de X tal que Ω ∩ On es residual en On para cada n ∈ N, entonces Ω es residual en X . Prueba. Definamos los conjuntos Wn = On r

W1 = O1 ,

n−1 [

n = 2, 3, . . .

Oj

j=1

Ellos son abiertos y disjuntos dos a dos. Sea W=

∞ [

Wn

n=1

y observemos que W es denso en X . En efecto, sea U un subconjunto abierto no vacío de X . Por hipótesis, U∩

∞ [

n=1

On 6= ∅. T

0 −1 Sea n0 el primer entero positivo para el cual U ∩On0 6= ∅. Entonces U ∩ nj=1 On = ∅ y, por consiguiente, U ∩Wn0 6= ∅. Por esto, U ∩W 6= ∅ con lo cual queda demostrada la densidad de W . Por otro lado, como Ω ∩ On es, por hipótesis, residual en On , podemos determinar conjuntos abiertos Un j (densos en On ) tales que

Un j ⊆ On ⊆ U n j

∞ \

y

j=1

Un j ⊆ Ω ∩ On,

n = 1, 2, . . .

Es claro que cada Un j ∩Wn es abierto y denso en Wn y por lo tanto, ∞ \

j=1

Haciendo esto para cada j ∈ N y definiendo


Un j ∩Wn ⊆ Ω ∩Wn

Gj =

∞ [

n=1


Un j ∩Wn ,

vemos que los G j son abiertos y densos en X . Además, como Wn ∩ Wm = ∅ si n 6= m, resulta entonces que  ∞ ∞  ∞ \ [ \ Gj = Wn ∩ Un j j=1

= ⊆

n=1 ∞ \ ∞ [ n=1 ∞ [ n=1

j=1

j=1

Un j ∩Wn




Ω ∩Wn ⊆ Ω.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

179

Un llamado al Teorema de Categoría de Baire nos revela que el conjunto Ω es residual en X .



Estamos ahora en condiciones de demostrar el siguiente resultado, fundamentalmente demostrado por Namioka-Phelps [201] y Stegall. Teorema 2.2.20 (Namioka-Phelps-Stegall). Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Son equivalentes: (a) X es un espacio de Asplund. (b) Cada subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ con la ω∗ -topología es norma-fragmentado. (c) (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado. (d) El conjunto de los puntos de continuidad de la identidad id : (BX ∗ , ω∗ ) → (BX ∗ , k·k) es un Gδ -denso de (BX ∗ , ω∗ ). (e) X ∗ tiene la PRN. Prueba. (a) ⇒ (b). Supongamos que X es un espacio de Asplund pero que existe un subconjunto ω∗ compacto K de X ∗ que no es norma-fragmentado. Por el Lema 2.2.7, existen un ε > 0, una sucesión ∗ ∞ (Vn )∞ n=1 de subconjuntos no vacíos relativamente ω -abiertos de K y una sucesión de vectores (xn )n=1 en SX tales que para todo n ∈ N, V2n ∪ V2n+1 ⊆ Vn y además,

ω∗

f (xn ) − g(xn ) ≥ ε siempre que

ω∗

f ∈ V 2n y g ∈ V 2n+1 .

Sea Y = [(xn )] clausura (en la norma) del subespacio lineal generado por (xn )∞ n=1 . Claramente Y es norma separable. Denotemos por Ξ la colección de todas las sucesiones α = (αn )∞ n=1 de números natuω∗ ∗ rales tal que αn+1 − 2αn ∈ {0, 1} para cada n. La ω compacidad de los V n nos garantiza la existencia de algún fα ∈ (αn )∞ n=1

(βn )∞ n=1

∞ \

ω∗

V αn .

n=1

Si α = yβ= son elementos distintos de Ξ y si Λ = {n ∈ N : αn 6= βn }, entonces seleccionado los xn ∈ SX correspondientes a los n ∈ Λ, se tiene que

fα |Y − fβ |Y ≥ | fα (xn ) − fβ (xn )| ≥ ε.

Como el conjunto Ξ es no numerable, se concluye que Y ∗ no es norma-separable. El Teorema 2.2.6 nos dice que X no es de Asplund. Esta contradicción establece que (K, ω∗ ) es norma-fragmentado. (b) ⇒ (c). Es inmediato.

(c) ⇒ (a). Supongamos que (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado y sea f : X → R una función convexa continua. Es suficiente demostrar que la subdiferencial ∂ f de f es norma-norma semicontinua superiormente y a un sólo valor en los puntos de un subconjunto residual de X . ∗ Tomemos una aplicación norma - ω∗ usco minimal F : X → 2X tal que F(y) ⊆ ∂ f (y) para todo y ∈ X . Consideremos los conjuntos  Hn = x ∈ X : F(x) ∩ nBX ∗ , n = 1, 2, 3, . . . Por definición, cada Hn es norma - cerrado y puesto que X=

∞ [

n=1

Hn ,

180

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

el Teorema de Categoría de Baire (Teorema 1.2.6) nos dice que ∞ [

int(Hn ) = X ,

n=1

Sea n ∈ N. Si On = ∅, definamos Un = ∅. Supongamos que int(Hn ) 6= ∅. Como F es usco minimal, el Teorema 2.2.2 (2) nos revela que F(int(Hn )) ⊆ nBX ∗ . Pero como (nBX ∗ , ω∗ ) es norma - fragmentado, el Teorema 2.2.19 nos muestra que F es a un sólo-valor y norma - norma semicontinua superiormente en cada punto de un conjunto Un el cual es residual en int(Hn ). Por esto, F es a un sólo-valor y norma S norma semicontinua superiormente en todos los puntos de O = ∞ n=1 Un . Sin embargo, por el Lema 2.2.8, O es residual en X . Se sigue entonces del Teorema 2.2.4, página 153, que f es Fréchet diferenciable en cada punto de O. Esto prueba que X es un espacio de Asplund. (c) ⇔ (d). Es el Corolario 2.2.9.

(d) ⇒ (e). Sea A un subconjunto no vacío y acotado de X ∗ . Vamos a demostrar que A es dentable. Sean ∗ K = co ω (A) y ε > 0. Afirmamos que: Existe un subconjunto convexo y ω∗ -compacto D de K tal que K r D 6= ∅ y norma − diam(K r D) < ε. En efecto, por el Teorema de Krein-Milman, el conjunto de los puntos extremales de K, ext(K), es no ∗ ω∗ vacío y, además, K = co ω (ext(K)). Sea E = ext(K) . Es claro que (E, ω∗ ) es norma-fragmentado y, por consiguiente, existe un subconjunto ω∗ -abierto U de X ∗ tal que E ∩U 6= ∅ y norma − diam(E ∩U ) ≤ ε/2. Observemos que U ∩ ext(K) 6= ∅. Si ahora definimos K1 = co ω (E rU ) y K2 = co ω (E ∩U ), ∗

∗

entonces se comprueba fácilmente que: K1 ⊆ K,

K2 ⊆ K,

K = co(K1 ∪ K2 ) y norma − diam(K2 ) ≤ ε/2.

Por el Teorema 2.2.12, existe un subconjunto convexo y ω∗ -compacto D de K para el cual K r D 6= ∅ y norma − diam(K r D) < ε. Esto termina la prueba de nuestra afirmación. Notemos ahora que A " D, es decir, A r D 6= ∅. En efecto, si ocurre que A ⊆ D entonces, por ser D ∗ convexo y ω∗ -compacto, resulta que K = co ω (A) ⊆ D lo cual contradice el hecho de que K r D 6= ∅. Sea f ∈ A r D ⊆ K r D. Entonces U ( f , ε) ⊇ K r D ya que norma − diam(K r D) ≤ ε/2. De esto se sigue que K rU ( f , ε) ⊆ D y, así, co(D rU ( f , ε)) ⊆ D, en particular, f 6∈ co(K rU ( f , ε)). Esto prueba que K es dentable y, por ende, A es dentable.

(e) ⇒ (c). Supongamos que X ∗ tiene la PRN pero que (BX ∗ , ω∗ ) no es norma-fragmentado. Por el ∗ Lema 2.2.7, existen un ε > 0, una sucesión (Vn )∞ n=1 de subconjuntos no vacíos relativamente ω -abiertos ∞ de BX ∗ y una sucesión de vectores (xn )n=1 en X tal que (α1) k xn k = 1, para todo n = 1, 2, 3, . . ., (α2) V2n ∪V2n+1 ⊆ Vn , para todo n ∈ N y

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

181 ω∗

(α3) f (xn ) − g(xn ) ≥ ε si f ∈ V2n y g ∈ V2n+1 . En particular, f (xn ) − g(xn ) ≥ ε siempre que f ∈ V 2n ω∗ y g ∈ V 2n+1 .

Para cada n ∈ N, sea Kn = co ω (Vn ). Entonces cada Kn es convexo, ω∗ -compacto y se cumple, por (α2), que K2n ∪ K2n+1 ⊆ Kn . ∗

Notemos que si f ∈ K2n y g ∈ K2n+1 , entonces f − g ∈ K2n − K2n+1 ⊆ co ω (V2n −V2n+1 ) ∗

y así, por (α3), ( f − g)(xn ) > ε. Esto último, en conjunción con (α1), nos dice que k f − gkX ∗ ≥ ε. Si ahora elegimos una sucesión ( fn )∞ n=1 en BX ∗ tal que fn ∈ Kn y 1 fn = ( f2n + f2n+1 ) 2 con f2n ∈ K2n y f2n+1 ∈ K2n+1 , resulta que k f2n − f kX ∗ = k f2n+1 − f kX ∗ ≥ ε. Esto nos dice que X ∗ posee un ε-árbol infinito acotado, lo cual es imposible pues X ∗ tiene la PRN (Corolario 2.2.8).  Observación 2.2.16. 1) Notemos, en particular, como consecuencia del resultado anterior, que si X es un espacio de Banach tal que (BX ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentado, entonces X es un espacio débilmente Asplund. El recíproco es, en general, falso. 2) Si la norma k·k del espacio de Banach X es Gâteaux suave, entonces (X ∗ , ω∗ ) es fragmentable, ([231], Theorem 1.1). 3) Si la norma k·k del espacio de Banach X es Fréchet suave, entonces cada subconjunto norma acotado de (X ∗ , ω∗ ) es norma-fragmentable, ([231], Corollary 2.8). Recordemos que si (Z, τ) es un espacio topológico de Hausdorff (Z, τ), un punto x ∈ Z es llamado un punto de condensación de un conjunto A ⊆ Z si cualquier entorno abierto U de x contiene una cantidad no numerable de puntos de A. Corolario 2.2.11 (Asplund-Namioka). Sea (X , k·k) un espacio de Banach norma-separable. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X ∗ tiene la PRN. (2) X ∗ es norma-separable. Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que X ∗ tiene la PRN pero que no es norma-separable. En este caso tampoco BX ∗ es norma-separable y, en consecuencia, existen un ε > 0 y un conjunto no numerable A de BX ∗ tal que para todo f , g ∈ A, f 6= g ⇒ k f − gk ≥ ε.

Por otro lado, como X es norma-separable, resulta que BX es un espacio ω∗ -compacto metrizable. Usemos ahora el Teorema de Cantor-Bendixson (véase, el Corolario 3.1.1, página 276) para representar a BX ∗ en la forma BX ∗ = P ∪ N, donde P es el conjunto perfecto de sus ω∗ -puntos de condensación y N es el conjunto a lo más numerable de sus puntos aislados. Puesto que A es no numerable, entonces dicho conjunto sólo puede poseer a lo sumo una cantidad numerable de puntos aislados. Por esta razón (eliminando una cantidad a lo más numerable de puntos de A), podemos suponer (y así lo haremos) que cada punto de A es un ω∗ -punto de condensación de A.

182

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Ahora bien, como X ∗ tiene la PRN, el Teorema 2.2.20 nos garantiza que (A, ω∗ ) es norma-fragmentado y, en consecuencia, existe un subconjunto ω∗ -abierto U de X ∗ tal que A ∪U 6= ∅

k·k − diam(A ∪U ) < ε.

y

Observemos ahora que si f , g ∈ A ∪U , con f 6= g, entonces k·k − diam(A ∪U ) ≥ k f − gk ≥ ε. Esto nos dice que A ∪ U debe contener exactamente un punto, digamos f ; pero como todos los puntos de A son ω∗ -puntos de condensación, entonces A ∪ U es no numerable. Esta contradicción establece que BX ∗ (y por lo tanto X ∗ ) es norma-separable. (2) ⇒ (1). Supongamos que X ∗ es norma-separable y sea K un subconjunto no vacío, ω∗ -compacto de X ∗ . Entonces, para cada ε > 0, existe una sucesión (x∗n )∞ n=1 en K tal que K⊆

∞ [

B(x∗n , ε).

n=1

Puesto que cada bola B(x∗n , ε) es ω∗ -cerrada, se sigue del Teorema de Categoría de Baire que existe algún n0 ∈ N tal que K ∪ B(x∗n0 , ε) tiene ω∗ -interior relativo no vacío, y además, dicho conjunto tiene diámetro (en la norma) menor que 2ε. Esto nos muestra que (K, ω∗ ) es norma-fragmentado y de nuevo, por el Teorema 2.2.20, X ∗ tiene la PRN.  La siguiente definición la cual aparece por primera vez en [117], será de utilidad en el próximo resultado. Definición 2.2.12. Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff y (Y, d) un espacio métrico. Una función f : (X , τ) → (Y, d) se dice que es fragmentada por d si, para cada ε > 0 y cada subconjunto no vacío A de X , existe un subconjunto abierto V ⊆ X tal que V ∩ A 6= ∅ y d − diam( f (V ∩ A)) < ε. Un resultado interesante que relaciona fragmentabilidad con la existencia de puntos de Gâteaux (Fréchet) diferenciabilidad para funciones continuas convexas en ausencia de separabilidad del espacio de Banach, es el siguiente (véase, [228], Theorem 6.1). Teorema 2.2.21 (Revalski). Sea (X , k·k) un espacio de Banach tal que (X ∗ , ω∗ ) es fragmentado por alguna métrica d. Si f : X → R es una función convexa continua, entonces existe un subconjunto Gδ denso G de X tal que f es Gâteaux diferenciable en cada punto de G. Si la métrica d es generada por la norma dual de X ∗ , entonces f es Fréchet diferenciable en cada punto de G. ∗

∗

Prueba. Como f es continua convexa, por el Teorema 2.2.4, su subdiferencial ∂ f : (X , k·k) → 2(X ,ω ) es una aplicación usco y, por consiguiente, por Teorema 2.2.1 de la página 148, existe una aplicación usco minimal F : (X , k·k) → (X ∗ , ω∗ ) contenida en ∂ f . Afirmamos que F : (X , k·k) → (X ∗ , d) es fragmentada por d. En efecto, como F es norma-ω∗ usco, los conjuntos F −1 (nBX ∗ ) son cerrados en X para cualquier n ∈ N. Sean U un subconjunto abierto no vacío arbitrario de X y ε > 0. Observe que como U⊆

∞ [

n=1

F −1 (nBX ∗ ),

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

183

y ya que U es un espacio de Baire, entonces el Teorema de Categoría de Baire nos proporciona la existencia de un n1 ≥ 1 tal que   U1 := U ∩ intk·k F −1 (n1 BX ∗ ) 6= ∅. Ahora bien, puesto que F es minimal, el Teorema 2.2.2 nos garantiza que F(U1 ) ⊆ BX ∗ . Por otro lado, como d fragmenta a X ∗ , para el conjunto F(U1 ), existe un ω∗ -abierto V de X ∗ tal que V ∩ F(U1 ) 6= ∅ Esto termina la prueba de nuestra afirmación.

y


d − diam V ∩ F(U1 ) < ε.

Por el Teorema 2.2.19, existe un subconjunto Gδ -denso G de X en cuyos puntos F es a un sólo valor y norma - τd semicontinua superiormente, donde τd es la topología generada por d. Lo que vamos a demostrar a hora es que: (R1 ) ∂ f (x) = F(x) para cualquier x ∈ G; es decir, F es Gâteaux diferenciable en los puntos de G, y (R2 ) si la métrica d es generada por norma dual en X ∗ , entonces ∂ f es a un sólo-valor y norma-norma usc en cualquier x ∈ X (esto implica que f es Fréchet diferenciable). Probemos (R2 ). Sean x0 ∈ G y ε > 0. Entonces F(x0 ) = {x∗0 } para algún x∗0 ∈ X ∗ y x∗0 ∈ ∂ f (x0 ). Puesto que F es norma-norma usc en x0 , existe algún abierto U de X tal que x0 ∈ U y F(U ) ⊆ x∗0 + εBX ∗ . Es suficiente demostrar que ∂ f (U ) ⊆ x∗0 + εBX ∗ . Suponga que este no es el caso y tomemos algún x∗1 ∈ ∂ f (x1 ) r {x∗0 + εBX ∗ }, donde x1 ∈ U . Entonces, por el Teorema de Hanh-Banach, existe h ∈ X , k hk = 1, el cual separa fuertemente x∗1 de la bola norma-cerrada y convexa x∗0 + εBX ∗ ; es decir, para algún δ > 0, el conjunto abierto Hδ := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ (h) > x∗1 (h) − δ} no intersecta a x∗0 + εBX ∗ . Considere, para t > 0, el punto xt := x1 + th. Por la monotonicidad de ∂ f se tiene que 0 ≤ (x∗ − x∗1 )(xt − x1 ) = t(x∗ − x∗1 )(h)

para cualquier x∗ ∈ ∂ f (xt ).

Esto significa que ∂ f (xt ) ⊆ Hδ para cualquier t > 0. Sin embargo, cuando t es lo suficientemente pequeño, xt ∈ U y, entonces, F(xt ) ⊆ x∗0 + εBX ∗ . Esto es una contradicción ya que F es una selección de ∂ f . Esto termina la prueba de (R2 ). La prueba de (R1 ) es más simple y se deja como ejercicio al lector.  Notemos que el resultado anterior puede ser establecido en términos de la noción de espacios de Asplund del modo siguiente: (1) Todo espacio de Banach X tal que (X ∗ , ω∗ ) es fragmentado por alguna métrica d es un espacio débilmente Asplund, y (2) Todo espacio de Banach X tal que (X ∗ , ω∗ ) es fragmentado por la métrica generada por la norma dual es un espacio de Asplund. Estos dos últimos resultados están incluidos en el Teorema de Namioka-Phelps-Stegall, Teorema 2.2.20, pero no hace daño volver a recordarlos. El siguiente resultado, el cual generaliza el Teorema 2.2.17, establece la relación existente entre las funciones fragmentables y las puntualmente continuas del modo siguiente:

184

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Teorema 2.2.22. Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff y (Y, d) es un espacio métrico. Toda aplicación f : X → Y puntualmente continua es fragmentada por d. Si, además, X es hereditariamente de Baire, entonces el recíproco es cierto. Prueba. Supongamos que f es puntualmente continua y consideremos un subconjunto no vacío A de X . Siendo A un subconjunto cerrado no vacío de X , se sigue de nuestra hipótesis que f |A posee al menos un punto de continuidad, digamos x0 ∈ A. De allí que, dado ε > 0, existe un entorno abierto U de x0 tal que d-diam f (U ∩ A) < ε. Por otra parte, como x0 ∈ A resulta que U ∩ A 6= ∅, de donde obtenemos que d − diam f (U ∩ A) ≤ d − diam f (U ∩ A) < ε. Esto prueba que f es fragmentada por d. Sea X un espacio hereditariamente de Baire y veamos que toda función f : X → Y fragmentada por d es puntualmente continua. Suponga que f no es puntualmente continua, entonces existe un subconjunto cerrado no vacío F de X tal que f |F no posee puntos de continuidad. Usemos esta circunstancia para definir, para cada n ∈ N, el conjunto n 1o Fn = x ∈ F : para cada entorno abierto U de x, d − diam f (U ∩ F) > n y observemos que como f no posee puntos de continuidad en F entonces F=

∞ [

Fn .

n=1

Nos proponemos demostrar que cada Fn es cerrado. En efecto, fijemos n ∈ N y sea (xα )α∈D una red en Fn convergiendo a x ∈ X . Por ser F cerrado, se tiene que x ∈ F. Más aun, si U es un entorno abierto de x, entonces por ser x límite de la red (xα )α∈D tenemos que todos los xα están en U salvo un número finito de ellos, lo cual nos dice que U es un entorno abierto de cada uno de esos xα ∈ Fn por lo que se cumple que d − diam f (U ∩ F) > 1/n y así, x ∈ Fn . Usando el hecho de que X es hereditariamente de Baire tenemos que F es un espacio de Baire y, gracias al Teorema de Categoría de Baire, existe un n ∈ N tal que int(Fn ) 6= ∅, es decir, existe un abierto V en X tal que V ∩ F es no vacío y V ∩ F ⊆ Fn . Finalmente, invocando el hecho de que f es fragmentada por d, para el conjunto V ∩ F y con ε := 1/n, existe un abierto U en X tal que U ∩ (V ∩ F) 6= ∅ y d − diam f (U ∩ (V ∩ F)) < 1/n, lo cual es una contradicción, puesto que si x ∈ V ∩ (U ∩ F) ⊆ Fn , entonces V ∩U es un entorno abierto de x y d − diam f ((V ∩U ) ∩ F) > 1/n y termina la prueba.  Finalizamos esta sección con una caracterización “interna” de fragmentabilidad que resulta ser muy útil para demostrar ciertas propiedades de estabilidad de la familia Fd constituida por todos los espacios topológicos fragmentables, (ver, por ejemplo, [90]). Definición 2.2.13. Una familia bien ordenada U = {Uξ : 0 ≤ ξ < ξ0 } de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que es una partición de X relativamente abierta si [  (a) Uξ está contenido en X r Uβ y es relativamente abierto en dicho conjunto, para cualquier ξ, 0 < ξ < ξ0 , y

(b) X =

[

ξ 1 un ordinal tal que, para cada η < ξ, los conjuntos Aη1 y Bη1 han sido construidos y pongamos ξ

A1 = X r

[

η

η ( f0 + δg)(x0 ) + ≥ f (x0 ) 3

≥ f0 (x0 ) +

y, en consecuencia, M( f ) ⊆ U . (d) Es consecuencia de (c). T (e) Es claro que M(g) ⊆ ∞ n=1 M(Bn ). Supongamos por otro lado que x ∈ M(Bn ) para todo n ∈ N. Entonces, para cada n ∈ N, existe un fn ∈ Bn con k fn − gk∞ ≤ diam(Bn ) tal que x ∈ M( fn ). De esto se sigue que x ∈ Ψg (2 · diam(Bn )) y, por lo tanto, M(Bn ) ⊆ Ψg (2 · diam(Bn )); es decir, ∞ \

n=1

M(Bn ) ⊆

∞ \

n=1

Ψg (2 · diam(Bn )) = M(g). 

Aunque, como acabamos de ver, Dom(M) es siempre denso en C(X ), dicho conjunto no está obligado a ser un Gδ . Sin embargo, ello es posible cuando (y sólo en este caso) el jugador α posee una estrategia ganadora en el juego BM(X ). Teorema 2.2.46 (Kenderov-Revalski). Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff completamente regular. El jugador α posee una estrategia ganadora en el juego de Banach-Mazur BM(X ) si, y sólo si, Dom(M) contiene un subconjunto Gδ -denso en C(X ). Prueba. Supongamos que εα es una estrategia ganadora para el jugador α en el juego de Banach-Mazur BM(X ) y sea M : C(X ) → 2X la aplicación multivaluada considerada anteriormente. Para demostrar que Dom(M) es residual en C(X ), debemos hacer uso del siguiente resultado: Lema 2.2.11. Para cada n ∈ N, sea (U1 ,V1 , . . . ,Un ,Vn ) un juego parcial en BM(X ) y supongamos que Wn es un subconjunto abierto no vacío de C(X ) tal que M(Wn ) ⊆ Vn . Entonces existe una familia Γ(Wn ) de tripletas (Un+1 ,Vn+1 ,Wn+1 ) tales que (I ) Un+1 es un subconjunto abierto no vacío de M(Wn ), (II ) Vn+1 = εα (U1 ,V1 , . . . ,Un ,Vn ,Un+1 ), (III ) Wn+1 es un subconjunto abierto no vacío de C(X ) tal que 1 diam(Wn+1 ) < , W n+1 ⊆ Wn y n+1 (IV ) la familia

M(Wn+1 ) ⊆ Vn+1 ;

 γ (Wn ) = Wn+1 : (Un+1 ,Vn+1 ,Wn+1 ) ∈ Γ(Wn ) para algún par (Un+1 ,Vn+1 )

es disjunta, y

(V) el conjunto H(Wn ) =

S

Wn+1 : Wn+1 ∈ γ (Wn ) es denso en Wn .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

227

Prueba del Lema. En el paso n + 1, el jugador β elige el abierto Un+1 := Wn y entonces α responde eligiendo Vn+1 = εα (U1 ,V1 , . . . ,Un ,Vn ,Un+1 ). Usemos la cuasi-regularidad del espacio C(X ) y el hecho de que M es una aplicación abierta para hallar un subconjunto abierto no vacío Wn+1 ⊆ C(X ) tal que diam(Wn+1 ) < 1/(n + 1), W n+1 ⊆ Wn y M(Wn+1 ) ⊆ Vn+1 . El Lema de Zorn nos permite construir la familia maximal Γ(Wn ) satisfaciendo las propiedades (I)-(IV) del Lema. Vamos a probar (V). Supongamos que ello no es verdad. Entonces existe un subconjunto abierto no vacío G de C(X ) tal que G ⊆ Wn y G ∩ H(Wn ) = ∅. Puesto que M es una aplicación abierta, resulta que el conjunto M(G) es un conjunto abierto (no vacío) de X . Más aun, M(G) ⊆ M(Wn ) ⊆ Vn . Sean • Un+1 = M(G)

• Vn+1 = εα (U1 ,V1 , . . . ,Un ,Vn ,Un+1 ).

y

• ⊆ C(X ) tal que Por la minimalidad de M, existe un subconjunto abierto no vacío Wn+1 • Wn+1 ⊆G

• • M(Wn+1 ) ⊆ Vn+1 .

y

•

• ) < 1/n + 1. Si ahora consideramos la nueva faPodemos, además, suponer que W n+1 ⊆ Wn y diam(Wn+1 ′ ∞ ′ • ,V • ,W • )}, vemos que ella es estrictamente milia (Γ (Wn ))n=1 definida por Γ (Wn ) = Γ(Wn ) ∪ {(Un+1 n+1 n+1 más grande que (Γ(Wn ))∞ n=1 y aun satisface (I)-(IV). Esta contradicción establece que H(Wn ) es denso en Wn . 

Es oportuno advertir que el lema anterior también es válido en el caso n = 0 siempre que definamos U0 = V0 = X . Regresemos a la demostración del teorema y comencemos con lo siguiente: pongamos γ 0 = {C(X )},

W0 = C(X )

U0 = V0 = X

y

y apliquemos el lema anterior para obtener una familia de tripletas Γ1 = Γ1 (W0 ) satisfaciendo las condiciones (I)-(IV) de dicho lema. Hagamos ahora γ 1 = γ (W0 )

y

H1 = H(W0 ).

Por (V), el conjunto H1 es abierto y denso en C(X ). Usemos ahora (IV) para determinar, para cada W1 ∈ γ 1 , un único par (U1 ,V1 ) con (U1 ,V1 ,W1 ) ∈ Γ1 . Aplicando de nuevo el lema anterior a ésta tripleta, obtenemos, para cada W1 ∈ γ1 , una familia de tripletas Γ(W1 ) con las propiedades (I)-(IV) asociadas al par (U1 ,V1 ) correspondientes a W1 . Sean Γ2 =

[

W1 ∈γ 1

Γ(W1 ),

γ2 =

[

γ (W1 ),

y

W1 ∈γ 1

H2 =

[

H(W1 ).

W1 ∈γ 1

Puesto que γ 1 es disjunta y ya que cada γ (W1 ) es, también, una familia disjunta, resulta que γ 2 también lo es. Más aun, por (V), cualquier H(W1 ) es denso en W1 y como H1 es denso en C(X ), concluimos que H2 es abierto y denso en C(X ). ∞ Procediendo de este modo obtenemos una familia (Γn )∞ n=1 de tripletas y una sucesión (γ n )n=0 de conjuntos abiertos en C(X ), con γ 0 = {C(X )}, tales que para cualquier n ∈ N: S

(1) Γn = {Γ(Wn−1 ) : Wn−1 ∈ γ n − 1}, donde Γ(Wn−1 ) se obtiene del lema anterior para algún juego εα -parcial (U1 ,V1 , . . . ,Un−1 ,Vn−1 ) unívocamente determinado; (2) γ n es la unión de las familias γ (Wn−1 ) obtenidas de la condición (V) del lema, y S

(3) el conjunto Hn = {Wn : Wn ∈ γ n } es abierto y denso en C(X ).

228

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Sea H0 =

∞ \

Hn .

n=1

Por el Teorema de Categoría de Baire, el conjunto H0 es un Gδ -denso en C(X ). Lo que queremos demostrar es que H0 ⊆ Dom(M). Veamos esto. Sea f0 ∈ H0 . Por las propiedades anteriores, este f0 determina una única sucesión (Wn )∞ n=1 tal que para cada n ≥ 1: Wn ∈ γ n ,

f0 ∈ Wn ,

W n+1 ⊆ Wn

1 diam(Wn ) < . n

y

T

En consecuencia, { f0 } = ∞ n01 Wn . Por las propiedades (I)-(IV) del Lema 2.2.11 y las condiciones (1) − (3) determinadas anteriormente, se sigue que existe un εα -juego p = (Un ,Vn )∞ n=1 tal que Un+1 ⊆ M(Wn ) ⊆ Vn para cualquier n ≥ 1. Un llamado a la Proposición 2.2.5 (e) nos dice que M( f0 ) =

∞ \

M(Wn ) =

n=1

∞ \

Vn =

n=1

y puesto que εα es una estrategia ganadora, entonces M( f0 ) =

∞ \

Un

n=1

T∞

n=1 Vn

6= ∅; es decir, f0 ∈ Dom(M).

Para probar la otra dirección, supongamos que Dom(M) es residual en C(X ). Entonces existe una T∞ sucesión (Gn )∞ n=1 de subconjuntos abiertos densos de C(X ) tal que n=1 Gn ⊆ Dom(M). Si ahora definimos Fn = C(X ) r Gn, n = 1, 2, . . ., resulta que cada conjunto Fn es cerrado y nunca denso en C(X ). Vamos a demostrar que el jugador α posee una estrategia ganadora εα en el juego BM(X ). Comencemos tomando un subconjunto cualquiera, digamos U1 , que sea abierto y no vacío en X . Haciendo uso de la Proposición 2.2.5 (d), resulta que int(M # (U1 )) es no vacío. Puesto que F1 es subconjunto cerrado y nunca denso en C(X ), el conjunto int(M # (U1 )) r F1 es abierto y no vacío en C(X ). Escojamos ahora una bola abierta B1 en C(X ) de radio r1 ≤ 1 tal que B1 ⊆ int(M # (U1 )) r F1 y definamos el valor de la estrategia εα en U1 por εα (U1 ) = M(B1 ). Sea U2 un subconjunto arbitrario, abierto no vacío de V1 = εα (U1 ) = M(B1 ). Puesto que U2 ⊆ S M(B1 ) = {M( f ) : f ∈ B1 }, existe al menos una función f ∈ B1 tal que M( f ) ∩U2 6= ∅. Se sigue entonces de la Proposición 2.2.5 (c) la existencia de un conjunto abierto no vacío W ⊆ B1 tal que M(W ) ⊆ U2 . Como antes, W r F2 es abierto y no vacío en C(X ). Tomemos B2 , una bola abierta de radio r2 ≤ 1/2, tal B2 ⊆ W r F2 ⊆ B1 y pongamos εα (U1 ,V1 ,U2 ) = M(B2 ). Claramente εα (U1 ,V1 ,U2 ) es un subconjunto abierto no vacío de U2 . Continuando inductivamente con este procedimiento definimos la estrategia εα para cualquier cadena (U1 ,V1 , . . . ,Un ), n ≥ 1, como Vk−1 = εα (U1 ,V1 , . . . ,Uk−1 ),

2≤k≤n

y exigiendo que

Uk ⊆ Vk−1 .

∞ Sea p = (Un ,Vn )∞ n=1 cualquier εα -juego y sea (Bn )n=1 la sucesión de bolas abiertas en C(X ) asociadas ∞ ∞ con (Un )n=1 y (Vn )n=1 en la construcción de εα . Entonces, para cualquier n ≥ 1,

a) Bn+1 ⊆ Bn y Bn ∩ Fn = ∅, b) diam(Bn )
0. Puesto que la topología de la convergencia uniforme es más fina que la topología de la convergencia puntual, se sigue B( f , r) también es cerrado en (C(K, Z), τ p ). Toda función f : X × K → Z tiene asociada una función F : X → C(K, Z) definida por F(x) = fx para todo x ∈ X . Observemos que f es separadamente continua si, y sólo si, F es continua cuando en C(K, Z) se considera la topología de la convergencia puntual τ p . Sea I un conjunto arbitrario y denotemos, como antes, el espacio lineal de todas las funciones acotadas g : I → R por B∞ (I) el cual se convierte en un espacio métrico completo si se le provee de la métrica del supremo ρ∞ (g, h) = sup{|g(x) − h(x)| : x ∈ I}, donde g, h ∈ B∞ (I). La usual relación de orden en R induce sobre los espacios B∞ (I) y C(K, B∞ (I)) relaciones de orden que hacen que dichos espacios sean retículos (esto significa que cualquier par de elementos en esos espacios poseen tanto supremo como ínfimo). Así, si g, h ∈ C(K, B∞ (I)), entonces g ≤ h ⇔ g(y)

≤ h(y)

⇔ g(y)(i)

≤ h(y)(i)

para todo y ∈ K

para todo y ∈ K y todo i ∈ I.

Lema 2.2.12. Sean K un espacio topológico de Hausdorff compacto, I un conjunto arbitrario y H un subretículo de C(K, B∞ (I)). Sean g ∈ C(K, B∞ (I)) y ε > 0. Suponga que para cada (y, y′ ) ∈ K × K, existe un hyy′ ∈ H tal que

ρ∞ hyy′ (y), g(y) < ε y ρ∞ hyy′ (y′ ), g(y′ ) < ε. (2.2.10) Entonces existe un h ∈ H tal que

d∞ (g, h) ≤ ε.

Prueba. Para cada (y, y′ ) ∈ K × K, sea

n o
Uyy′ = z ∈ K : ρ∞ hyy′ (z), g(z) < ε .

Los conjuntos Uyy′ son abiertos y por (2.2.10) contienen a y así como a y′ . Fijemos y ∈ K. Entonces la  familia Uyy′ : y′ ∈ K es un cubrimiento abierto del espacio compacto K, por lo que existen y′1 , . . . , y′n en K tal que K = Uyy′1 ∪ . . . ∪Uyy′n . Por hipótesis, existen funciones hyy′1 , . . . , hyy′n en H satisfaciendo las desigualdades

y ρ∞ hyy′j (y′j ), g(y′j ) < ε ρ∞ hyy′j (y), g(y) < ε para todo j = 1, 2, . . . , n. Definamos ahora

 hy = sup hyy′1 , . . . , hyy′n .

Puesto que H es un retículo, se cumple que hy ∈ H. Sea z ∈ K. Entonces existe un j ∈ {1, 2, . . . , n} tal que z ∈ Uyy′j y, en consecuencia,


g(z)(i) − hyy′j (z)(i) ≤ sup g(z)(i) − hyy′j (z)(i) = ρ∞ hyy′j (z), g(z) < ε. i∈I

Esto último, combinado con la definición de hy , nos asegura que g(z)(i) < hyy′j (z)(i) + ε ≤ hy (z)(i) + ε

para todo z ∈ K y todo i ∈ I.

(2.2.11)

234

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Más aun, se sigue de (2.2.10) que ρ∞ (hy (y), g(y)) < ε.

(2.2.12)

Usemos la última desigualdad para definir, para cada y ∈ K, el conjunto abierto  Uy = z ∈ K : ρ∞ (hy (z), g(z)) < ε .  Resulta que, gracias a (2.2.12), el conjunto Uy contiene a y. La familia Uy : y ∈ K es, entonces, un cubrimiento abierto del compacto K y, por lo tanto, existen y1 , . . . , ym en K tal que K = Uy1 ∪ . . . ∪Uym . Como antes, las funciones hy1 , . . . , hym están en el retículo H y satisfacen las desigualdades ρ∞ (hy j (y j ), g(y j )) < ε, Finalmente, definiendo

j = 1, . . . , m.

 h = ´ınf hy1 , . . . , hym

tenemos que h ∈ H y se cumple que

h(z)(i) < g(z)(i) + ε

para todo z ∈ K y todo i ∈ I.

(2.2.13)

para todo z ∈ K y todo i ∈ I.

(2.2.14)

Más aun, se sigue de (2.2.11) que g(z)(i) < h(z)(i) + ε

La combinación de las desigualdades (2.2.13) y (2.2.14) implican que d∞ (h, g) < ε. 

La prueba ha concluido.

El siguiente hecho, en combinación con el lema anterior, es fundamental en la demostración del Teorema Grande de Namioka expresado desde el punto de vista de espacios funcionales. (⋆)

Todo espacio métrico (Z, d) se puede sumergir isométricamente en un espacio métrico completo de funciones acotadas.

Prueba. En efecto, fijemos un punto arbitrario z0 ∈ Z y para cada a ∈ Z definamos la función ϕa : Z → R por ϕa (z) = d(z, a) − d(z, z0 ), para todo z ∈ Z. Se sigue de la desigualdad triangular que |d(z, a) − d(z, b)| ≤ d(a, b), para todo a, b, z ∈ Z, de donde, tomando b = z0 , resulta que la función ϕa ∈ B∞ (Z). Lo anterior permite definir, sin ambigüedad, la aplicación Φ : (Z, d) → (B∞ (Z), ρ∞ ) dada por Φ(a) = ϕa ,

para todo a ∈ Z.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

235

Veamos que ella es una isometría. En efecto, para todo a, b ∈ Z ρ∞ (Φ(a), Φ(b)) = ρ∞ (ϕa , ϕb ) = sup ϕa (z) − ϕb (z) z∈Z

= sup d(z, a) − d(z, b) z∈Z

≤ d(a, b)

y como en z = b dicho supremo se alcanza, vemos ρ∞ (Φ(a), Φ(b)) = d(a, b) para todo a, b ∈ Z. Esto prueba que Φ(Z) & B∞ (Z).  El siguiente resultado, que es la versión en término de espacios de funciones del Teorema Grande de Namioka, es una reformulación útil y muy práctica de dicho teorema tal y como lo veremos en el transcurso de estas notas. ˇ Teorema 2.2.52 (Teorema Grande de Namioka). Sean X un espacio numerablemente Cech completo, K un espacio de Hausdorff compacto y Z un espacio metrizable. Si F : X → (C(K, Z), τ p ) es una función continua, entonces existe un subconjunto Gδ -denso G en X tal que F : X → (C(K, Z), d∞ ) es continua en todo punto de G. Prueba. Por (⋆) podemos suponer, sin perder generalidad, que Z = B∞ (I), donde I es un conjunto. Para cada x ∈ X , denotemos por osc(F, x) la oscilación de la función F : X → (C(K, Z), d∞ ) en x. Recordemos que  osc(F, x) = ´ınf sup F(y) − F(z) : y, z ∈ U (x, δ) . δ>0

Para cada k ∈ N, sea

 Gk = x ∈ X : osc(F, x) < 1/k .

Como la función x → osc(F, x) es semicontinua superiormente, tenemos que cada uno de los conjuntos Gk es abierto en X . Queremos demostrar que ellos también son densos en X . Supongamos por un momento que existe un k0 ∈ N tal que Gk0 6= X y sean V = X \ Gk0

y

ε = 1/2k0 .

ˇ Puesto que X es numerablemente Cech-completo, existe una colección numerable (Un )∞ n=1 de cubrimientos abiertos de X satisfaciendo la siguiente propiedad: para cualquier familia numerable y decreciente F = (Fn )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de X que es Un -pequeña para cada n ∈ N, se cumple que ∞ \

n=1

Fn 6= ∅.

Sea P el conjunto de todos los pares (U, x) tal que U es un subconjunto abierto no vacío de X contenido en V y x ∈ U . Vamos a construir, por medio de un proceso inductivo, una sucesión (Uk , xk )∞ k=1 de elementos de P satisfaciendo las siguientes propiedades: U k+1 ⊆ Uk

y

U k+1 es Uk+1 -pequeño.

236

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

En primer lugar escojamos un punto x1 ∈ V y un entorno abierto U1 de x1 tal que U 1 ⊆ V y además se (U j , x j ) ∈ P para j = 1, 2, . . . , k. Sea cumpla que U 1 sea U1 -pequeño. Supongamos que hemos construido  Hk el subretículo finito de C(K, Z) generado por el conjunto F(x1 ), . . . , F(xk ) y consideremos Mk =

[

F −1 (B( f , ε)).

f ∈Hk

Como la bola B( f , ε) es cerrada en (C(K, z), τ p ), la continuidad de F : X → (C(K, Z), τ p ) nos garantiza que F −1 (B( f , ε)) es cerrado en X y, por lo tanto, Mk también es cerrado en X . Observemos ahora que siendo Uk un abierto no vacío contenido en V , dicho conjunto no puede estar contenido en Mk . En efecto, aceptemos por un momento que Uk ⊆ Mk , esto significa que Mk tiene interior no vacío y, por consiguiente, para algún f ∈ Hk , el conjunto F −1 (B( f , ε)), también tiene interior no vacío. Si x es punto interior de F −1 (B( f , ε)), resulta entonces que osc(F, x) ≤ 2ε < 1/k0 por lo que x ∈ Gk0 lo cual es contradictorio ya que x ∈ V . Por esto, Uk " Mk . Escojamos finalmente un xk+1 ∈ Uk \ Mk y un entorno abierto Uk+1 de xk+1 en X tal que U k+1 ⊆ Uk y se cumpla, además, que U k+1 sea Uk+1 -pequeño. Esto completa la construcción de la sucesión (Uk , xk )∞ k=1 con las propiedades establecidas.  Para cada k ∈ N, sea Fk = x j : j ≥ k . Entonces la sucesión de conjuntos cerrados (Fk )∞ k=1 es decreciente y puesto que Fk ⊆ U k y los conjuntos U k son Uk -pequeño, se concluye que cada conjunto Fk también es Uk -pequeño. De esto se sigue que ∞ \

k=1

Fk 6= ∅,

o, dicho de otro modo, la sucesión (xk )∞ k=1 posee un punto de clausura, digamos, x0 . Siendo la función F : X → (C(K, Z), τ p ) continua, resulta que F(x0 ) es un punto de clausura de la sucesión (F(xk ))∞ k=1 en S (C(K, Z), τ p ) y, por consiguiente, pertenece a la clausura de H = ∞ H en (C(K, Z), τ ). Pero como p k=1 k H es un subretículo de C(K, Z), se sigue del Lema 2.2.12, que existe g ∈ H tal que d∞ (g, F(x0 )) ≤ ε. Sea p ∈ N tal que g ∈ H p . Entonces g ∈ M p , mientras que por otro lado, para todo k > p, tenemos que xk ∈ U p+1 ⊆ U p \ M p , de donde se deduce que x0 ∈ U p \ M p obteniéndose así una contradicción. Esto prueba que cada Gk es conjunto denso en X y como éste último es un espacio de Baire resulta que G=

∞ \

k=1

 Gk = x ∈ X : osc(F, x) = 0

es denso en X y, por supuesto, constituye el conjunto de todos los puntos de continuidad de la función F : X → (C(K, Z), d∞ ). Esto termina la prueba.  La razón por la cual hemos llamado a los Teorema 2.2.51 y Teorema 2.2.52 “El Teorema Grande de Namioka” es que dichos teoremas son equivalentes. En efecto, para ver que eso es así, sólo tenemos que demostrar el siguiente resultado. ˇ Lema 2.2.13. Sean X un espacio numerablemente Cech completo, K un espacio de Hausdorff compacto y (Z, d) un espacio métrico. Suponga que f : X × K → Z es una función separadamente continua y sea x0 ∈ X . Son equivalentes: (1) f es continua en cada punto de {x0 } × K. (2) La función asociada F : X → (C(K, Z), d∞ ) es continua en x0 .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

237

Prueba. Es claro que (2) implica (1). Veamos que (1) implica (2). Sea ε > 0. La continuidad de f en cada punto de {x0 } × K, nos garantiza que para cada y ∈ K, existen entornos abiertos U (y) y V (y) de x0 y de y respectivamente, tales que
d f (x, y′ ), f (x0 , y) < ε, para todo x ∈ U (y) y todo y′ ∈ V (y).  De la familia V (y) : y ∈ K , lacual es un cubrimiento abierto del compacto K, se puede extraer T un subcubrimiento finito, digamos V (y1 ), . . . ,V (yn ) . Se sigue de esto que U (x0 ) = nj=1 U (y j ) es un entorno abierto de x0 tal que para todo x ∈ U (x0 ) se cumple que
d∞ (F(x), F(x0 )) = sup d F(x)(y), F (x0 )(y) y∈K


= sup d f (x, y), f (x0 , y) y∈K

≤ ε.

 La prueba de la equivalencia de los Teorema 2.2.51 y Teorema 2.2.52 es consecuencia inmediata del Lema 2.2.13. Las propiedades de Namioka y co-Namioka La siguiente definición fue introducida por Gabriel Debs en [67]. Definición 2.2.23. Sean X un espacio topológico de Hausdorff y K un espacio de Hausdorff compacto. La notación N(X , K, R) significa que para cualquier función separadamente continua f : X × K → R, existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que f es continua en cada punto de G × K. En vista del Teorema Grande de Namioka, J. P. R. Christensen [55] y G. Debs [67] formulan, respectivamente, las siguientes propiedades (véase también [199, 225]). Definición 2.2.24. (a) Un espacio topológico de Hausdorff X se dice que tiene la propiedad de Namioka, o que es un espacio de Namioka, o está en la clase N, si N(X , K, R) se cumple para cualquier espacio de Hausdorff compacto K. (b) Un espacio de Hausdorff compacto K se dice que tiene la propiedad de co-Namioka, o que es un espacio de co-Namioka, o está en la clase N∗ , si N(X , K, R) se cumple para cualquier espacio Baire X. Observemos que como el Teorema Grande de Namioka se cumple para cualquier espacio metrizable Z uno pudiera exigir, en la definición de la propiedad de Namioka, que N(X , K, Z) se cumpla para todo espacio metrizable Z. Sin embargo, Namioka y Pol en [202], y posteriormente Bouziad en [43] demostraron, por métodos distintos, el siguiente resultado. Teorema (Bouziad [43], Proposition 3.1). Para todo espacio de Baire X y todo espacio de Hausdorff compacto K, las condiciones siguientes son equivalentes: (1) N(X , K, R) se cumple, (2) N(X , K, M) se cumple para todo espacio métrico M.

238

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Más aun, Namioka y Pol [202] hacen notar que: Teorema (Namioka-Pol ([202], A.2 Theorem). Sea K un espacio de Hausdorff compacto. Si N(E, K, R) se cumple para cada espacio de Baire completamente regular E, entonces N(X , K, M) se cumple para todo espacio de Baire X y cada espacio metrizable M. ˇ Sabemos que, gracias al Teorema Grande de Namioka, todo espacio numerablemente Cech-completo ˇ es un espacio de Namioka. En particular, cualquier espacio Cech-completo, todo espacio métrico completo así como todo espacio de Hausdorff (localmente) compacto, son espacios de Namioka. ˇ Estudiaremos ahora algunos otros espacios de Baire, distintos de los espacios numerablemente Cechcompletos, que poseen la propiedad de Namioka. Comencemos con un resultado que ya habíamos probado anteriormente pero que, formulado en término de la propiedad de Namioka, es más útil. Teorema 2.2.53. Sea (X , τ) un espacio de Hausdorff. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X tiene la propiedad de Namioka. (2) Para cada espacio de Hausdorff compacto K y cualquier función continua ϕ : X → (C(K), τ p ), existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en cualquier punto de G. Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que X tiene la propiedad de Namioka. Sean ahora K un espacio de Hausdorff compacto y ϕ : X → (C(K), τ p ) cualquier función continua. La función f : X × K → R definida por f (x,t) = ϕ(x)(t) para todo x ∈ X y todo t ∈ K es separadamente continua. Como X tiene la propiedad de Namioka, existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que f es continua en todo punto de G × K. Fijemos un x ∈ G arbitrario y veamos que ϕ es norma-continua en x. En efecto, sea ε > 0. Para cada t ∈ K, por la continuidad de f en (x,t) existen abiertos no vacíos Ut ⊆ X y Vt ⊆ K tales que x ∈ Ut , t ∈ Vt y |ϕ(x)(t) − ϕ(x′ )(t ′ )| = | f (x,t) − f (x′ ,t ′ )| < ε para todo x′ ∈ Ut y todo t ′ ∈ Vt . Por la compacidad de K, existen t1 , . . . ,tn en K tal que K=

n [

Vti .

i=1

El conjunto W =

n \

i=1

Uti es un abierto conteniendo a x y se cumple que para todo x′ ∈ W ,

ϕ(x) − ϕ(x′ ) = sup |ϕ(x)(t) − ϕ(x′ )(t ′ )| ≤ ε. ∞ t∈K

Esto prueba la continuidad de ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) en todo x ∈ G. (2) ⇒ (1). Sean K un espacio de Hausdorff compacto y f : X × K → R una función separadamente continua. Entonces la función ϕ : X → (C(K), τ p ) definida por ϕ(x)(t) = f (x,t) para todo x ∈ X y todo t ∈ K es continua sobre X . Por hipótesis, existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que la función ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en todo punto de G. Vamos a probar que f es continua en todo punto de G × K. Sea entonces (x0 ,t0 ) ∈ G × K. Por la norma-continuidad de ϕ en x0 , existe un entorno abierto U0 de x0 en X tal que k ϕ(x) − ϕ(x0 )k∞ < ε/2,

para todo x ∈ U0 .

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

239

Pero como ϕ(x0 ) ∈ C(K), existe un entorno abierto V0 de t0 en K tal que |ϕ(x0 )(t) − ϕ(x0 )(t0 )| < ε/2,

para todo t ∈ V0 .

Finalmente, si (x,t) ∈ U0 ×V0 , tenemos que | f (x,t) − f (x0 ,t0 )| ≤ | f (x,t) − f (x0 ,t)| + | f (x0 ,t) − f (x0 ,t0 )|

= |ϕ(x)(t) − ϕ(x0 )(t)| + |ϕ(x0 )(t) − ϕ(x0 )(t0 )|

< k ϕ(x) − ϕ(x0 )k∞ + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε.

La prueba es completa.



Podemos usar el resultado anterior para demostrar que toda función débilmente continua con dominio un espacio de Namioka y rango en un espacio de Banach, es norma-continua en un subconjunto Gδ -denso de su dominio. Corolario 2.2.19 (Namioka). Sean X un espacio con la propiedad de Namioka y (E, k·k) un espacio de Banach. Supongamos que la aplicación ϕ : X → (E, ω) es continua. Entonces existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que ϕ : X → (E, k·k) es continua en todo punto de G. Prueba. Consideremos el espacio de Hausdorff compacto K = (BE ∗ , ω∗ ). Puesto que la aplicación evaluación e : (E, ω) → (C(K), τ p ) definida por e(x)(x∗ ) = x∗ (x) para todo x ∈ X y todo x∗ ∈ K es continua, tenemos que la función ϕ0 = e ◦ ϕ : X → (E, ω) → (C(K), τ p ) también es continua. Ahora bien, ya que X es un espacio de Namioka se sigue del Teorema 2.2.53 que la aplicación ϕ0 : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en todo punto de un cierto subconjunto Gδ -denso G de X . Finalmente, como la norma de C(K) restringida a E es la norma original de E, concluimos que ϕ : X → (E, k·k) es continua sobre G.  Otra consecuencia inmediata del resultado anterior es el siguiente, el cual ya habíamos demostrado en el Teorema 2.2.25, página 191. Corolario 2.2.20 (Namioka). Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Si K es un subconjunto débilmente compacto de X , entonces K es norma-fragmentable. ˇ ˇ Prueba. Puesto que (K, ω) es un espacio Cech-completo y como todo espacio Cech-completo tiene, por el Teorema Grande de Namioka, la propiedad de Namioka, resulta que la aplicación identidad id : (K, ω) → (K, ω) siendo continua, cumple con las condiciones establecidas en el Corolario 2.2.19 y, en consecuencia, existe un subconjunto Gδ -denso G en (K, ω) tal que id : (K, ω) → (K, k·k) es continua en todo punto de G. Un llamado al Teorema 2.2.17, página 175, nos dice que la norma k·k de X fragmenta a K.  La noción de función fragmentable se puede extender a cualquier familia de funciones del modo siguiente (véase [196], p. 131). Definición 2.2.25. Sean X un espacio topológico de Hausdorff y (M, d) un espacio métrico. Diremos que una familia de aplicaciones F = { f j : X → M : j ∈ J} es equi-fragmentable por d si, para cada ε > 0 y cada A ⊆ X no vacío, existe un conjunto abierto no vacío U de X tal que U ∩ A 6= ∅ y
d − diam f j (U ∩ A) < ε para todo j ∈ J.

240

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Otra consecuencia que se deriva del Teorema Grande de Namioka es el siguiente resultado:

ˇ Teorema 2.2.54. Si X es un espacio Cech-completo y K ⊆ C(X ) es τ p -compacto, entonces K es equifragmentable por la norma de C(X ). Prueba. Sea A ⊆ X un subconjunto cerrado de X y consideremos la función separadamente continua ˇ F : X × K → R definida por F(x, f ) = f (x). Puesto que A es Cech-completo, el Teorema Grande de Namioka nos proporciona la existencia de un subconjunto Gδ -denso U ⊆ A tal que F es continua en todo punto de U × K. Fijando un punto x0 ∈ U y teniendo en cuenta la compacidad de K, podemos encontrar un entorno abierto V de x0 tal que para todo x, x ′ ∈ V ∩U la desigualdad | f (x) − f (x ′ )| < ε se cumple para toda f ∈ K. Ya que U denso en A y V es abierto, resulta que V ∩ U es denso en V ∩ A, de donde obtenemos que V ∩ A 6= ∅ y así, para x, x ′ ∈ V ∩ A tenemos que | f (x) − f (x ′ )| < ε, para toda f ∈ K.
Esto demuestra que k·k∞ − diam f (U ∩ A) < ε para toda f ∈ K y termina la prueba.



En particular, si X es compacto o métrico completo, cualquier compacto K de (C(X ), τ p ) es equifragmentable. En el caso en que X es compacto, ser equi-fragmentable es equivalente a la de ser equimedible en el sentido de Grothendieck; es decir, un subconjunto norma-acotado K de C(X ) con X compacto, se dice equi-medible si para cada medida de Radon µ sobre X y cada ε > 0, existe un subconjunto F ⊆ X tal que |µ1(F ) > k µk − ε y el conjunto K|F = { f|F : f ∈ K} es relativamente compacto en C(X ). Algunas otras nociones tales como familia de funciones equi-σ-fragmentable, equi-barely continua, σ-continua, etc. y algunas de sus relaciones se pueden ver en la tesis doctoral de María Muñoz [196]. Nuestra próxima tarea es presentar un resultado, demostrado por Saint-Raymond [244], el cual establece que todo espacio de Namioka completamente regular es un espacio de Baire. Para alcanzar dicho objetivo, demostraremos un lema que es fundamental en la prueba del teorema de SaintRaymond. Recordemos que el soporte de una f : X → R, en notación sop( f ), es la clausura del conjunto {x ∈ X : f (x) 6= 0}. Si f es continua, entonces {x ∈ X : f (x) 6= 0} es un subconjunto abierto de X . Lema 2.2.14. Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff completamente regular y F un subconjunto cerrado nunca denso de X . Entonces existe un conjunto compacto K y una función separadamente continua f : X × K → [0, 1] con la siguiente propiedad: para cada x ∈ F, existe un k ∈ K tal que f es discontinua en (x, k). Prueba. Puesto que F es cerrado y nunca denso en X , resulta que F 6= X . Sea x ∈ X tal que x 6∈ F. La completa regularidad de X garantiza la existencia de una función continua ϕ : X → [0, 1] tal que ϕ(x) = 1 y ϕ|F = 0. Sea F1 = sop(ϕ). Si F1 6= X , entonces F1 ∪ F es un conjunto cerrado y nunca denso en X y como antes existe función continua ψ : X → [0, 1] tal que ψ(y) = 1 y ψ|F1 ∪F = 0 para algún y 6∈ F1 ∪ F. Sea F2 = sop(ψ). Continuando de este modo, y con la ayuda del Lema de Zorn, podemos construir una familia maximal de funciones continuas (ϕi )i∈I de X en [0, 1] tal que ϕi |F = 0

y

ϕi .ϕ j = 0 si i 6= j,

donde ϕi · ϕ j = 0 significa que ϕi y ϕ j tienen soportes disjuntos.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

241

Afirmamos que el conjunto abierto G=

[ i∈I

x ∈ X : ϕi (x) 6= 0

es denso en X . Supongamos que G no es denso en X . Entonces existe un subconjunto abierto no vacío W de X tal que W ∩ G = ∅. Como F es cerrado y nunca denso resulta que el conjunto W r F es abierto y no vacío. Sea x ∈ W r F. Podemos, usando una vez más el hecho de que X es completamente regular, obtener una función continua φ : X → [0, 1] tal que φ(x) = 1

φ|(W rF)c = 0.

y

Notemos que φ 6= ϕi para todo i ∈ I y que φ · ϕi = 0 para todo i ∈ I. De aquí se sigue que la nueva familia {ϕi : i ∈ I} ∪ {φ} se anula sobre F y sus soportes son disjuntos dos a dos lo que, evidentemente, contradice la maximalidad de (ϕi )i∈I . Por esto G es denso en X . El conjunto de índices I dotado de la topología discreta es claramente un espacio de Hausdorff localmente compacto y por lo tanto también lo es I × [0, 1]. Sea K la compactificación de Alexandroff de I × [0, 1] y sea λ∞ el punto al infinito de K. Definamos la función f : X × K → [0, 1] por f (x, λ∞ ) = 0, 2t ϕi (x) f (x, i,t) = 2 t + ϕ2i (x)

si t 6= 0,

f (x, i, 0) = 0 Uno verifica sin dificultad que a) f es separadamente continua, b) si x ∈ F, entonces f (x, k) = 0 para todo k ∈ K, y c) si z ∈ G, entonces existe i ∈ I tal que ϕi (z) 6= 0.

Sea x ∈ F. Como G = X , entonces cualquier entorno abierto U de x contiene al menos un punto zx ∈ G. Para este zx existe, por (c), un i ∈ I tal que t = ϕi (zx ) 6= 0, y por lo tanto, f (zx , i,t) = 1. Puesto que k = (i,t) ∈ K, resulta de (b) que f (x, i,t) = 0 y, en consecuencia, | f (x, i,t) − f (zx , i,t)| = 1 lo cual prueba que f es discontinua en (x, k). Esto termina la prueba.  Teorema 2.2.55 (Saint Raymond). Sea (X , τ) un espacio de Hausdorff completamente regular. Si X es un espacio de Namioka, entonces X es un espacio de Baire. Prueba. Supongamos que X no es un espacio de Baire. Entonces existe un conjunto abierto no vacío V de X que es de primera categoría; es decir, V=

∞ [

Fn

n=1

donde cada Fn es un subconjunto cerrado y nunca denso de X . Por el Lema 2.2.14, aplicado a cada Fn , existen un compacto Kn , el cual será el mismo para todos los n ∈ N y que denotaremos por K, y una función separadamente continua fn : X × K → [0, 1] tal que para cada x ∈ Fn , existe algún t ∈ K para el cual fn es discontinua en (x,t).

242

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Consideremos el espacio Z = [0, 1]N con la topología producto. Entonces Z es un compacto metrizable y la función f : X × K → Z definida por
∞ f (x,t) = fn (x,t) n=1

es claramente separadamente continua. Notemos, por otro lado, que por construcción f no puede ser continua en ningún punto de {a} × K para algún a ∈ V . Esto prueba que X no puede ser un espacio de Namioka y concluye la prueba.  Como una consecuencia del resultado antes mencionado de Saint Raymond, I. Namioka y R. Pol demuestran el siguiente teorema ([204], Lemma 3.1). Teorema 2.2.56 (Namioka-Pol). Sea X un espacio topológico de Hausdorff completamente regular. Si X contiene un subespacio denso Y con la propiedad de Namioka, entonces X tiene la propiedad de Namioka. Prueba. Puesto que Y tiene la propiedad de Namioka, se sigue del Teorema 2.2.55 que dicho espacio es un espacio de Baire. Además, como Y es denso en X , resulta que también X es un espacio de Baire. Sean K un espacio de Hausdorff compacto y ϕ : X → (C(K), τ p ) una función continua. Para cada n ∈ N, sea Gn =

U : U es un subconjunto abierto no vacío de X y k·k∞ − diam(ϕ(U )) < 1/n .

[

Es suficiente demostrar que cada Gn es denso en X . Sea W un subconjunto abierto no vacío de X . Como ϕ|Y : Y → (C(K), τ p ) es continua y Y tiene la propiedad de Namioka, entonces existe un subconjunto Gδ -denso O de Y tal que ϕ|Y : Y → (C(K), k·k∞ ) es continua en todo punto de O. Puesto que Y ∩ W es abierto en Y , entonces O ∩ (Y ∩ W ) 6= ∅. Sea y ∈ O ∩ (Y ∩ W ) y usemos la norma-continuidad de ϕ|Y para hallar un entorno abierto V de y en X tal que V ⊆W

y

k·k∞ − diam(ϕ(Y ∩V )) < 1/n. τp

Por otro lado, siendo ϕ : X → (C(K), τ p ) continua, se tiene que ϕ(V ) ⊆ ϕ(Y ∩V ) . Ahora bien, como la norma k·k∞ en C(K) es τ p -semicontinua inferiormente, entonces la τ p -clausura de cualquier conjunto no crece con el diámetro, y en consecuencia, k·k∞ − diam(ϕ(V )) ≤ k·k∞ − diam ϕ(Y ∩V )

τp


= k·k∞ − diam(ϕ(Y ∩V )) < 1/n.

Esto prueba que V ⊆ Gn y ∅ 6= V ⊆ W ∩ Gn , es decir, Gn es un abierto denso en X . El Teorema de T Categoría de Baire nos revela entonces que G = ∞ n=1 Gn es un Gδ -denso tal que ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en todo punto de G. Por el Teorema 2.2.53, X tiene la propiedad de Namioka.  Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff X se llama un Kσ (o σ-compacto), si se puede expresar como una unión numerable de conjuntos compactos. Como un corolario del resultado anterior, tenemos que: Corolario 2.2.21 (Talagrand). Si X es un espacio de Baire conteniendo un conjunto Kσ -denso, entonces X es un espacio de Namioka.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

243

Prueba. Sean K un espacio de Hausdorff compacto y f : X × K → R una función separadamente continua. Sin perder generalidad, uno puede suponer que las funciones f (x, ·) separan los puntos de K y una sucesión de subconjuntos compactos de X cuya unión es densa en X . que f es acotada. Sea (Kn )∞ S n=1 Entonces el conjunto ∞ L , donde Ln = { f (x, ·) : x ∈ Kn }, separa los puntos de K. Puesto que cada n n=1 conjunto Ln es τ p -compacto en C(K), el Teorema de Grothendieck nos revela que ellos son débilmente compactos y, por lo tanto, C(K) es un espacio WCG. Por el Teorema de Amir-Lindenstrauss K es un compacto de Eberlein. Se sigue del Teorema 2.2.61, que existe un conjunto Gδ -denso G de X tal que f es continua en todo punto de G × K. Esto nos dice que X es un espacio de Namioka.  Desafortunadamente no todo espacio de Hausdorff compacto es co-Namioka. En efecto, en [259], M. Talagrand construye un espacio de Hausdorff compacto K, un espacio α-favorable X para el juego BM(X ) (y por consiguiente, un espacio de Baire) y una función separadamente continua f : X × K → R la cual no satisface la conclusión del Teorema Grande de Namioka. A pesar de este hecho algunos espacios compactos importantes son co-Namioka. En lo que sigue veremos algunos de ellos. El próximo resultado, que usaremos con cierta frecuencia, caracteriza a los conjuntos compactos que tienen la propiedad de co-Namioka. Dicha caracterización es muy parecida a la demostrada para la propiedad de Namioka. Como siempre, τ p denotará la topología de la convergencia puntual sobre C(K), donde K es un espacio de Hausdorff compacto. Teorema 2.2.57 (Debs). Sea K un espacio de Hausdorff compacto. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) K tiene la propiedad de co-Namioka. (2) Para cada espacio de Baire X y cualquier aplicación continua ϕ : X → (C(K), τ p ), existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en cualquier punto de G. (3) Para cada espacio de Baire X , cada aplicación continua ϕ : X →
(C(K), τ p ) y cada ε > 0, existe un subconjunto abierto, no vacío U de X tal que k·k∞ − diam ϕ(U ) ≤ ε. Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que K posee la propiedad de co-Namioka. Sea X cualquier espacio de Baire y sea ϕ : X → (C(K), τ p ) una función continua arbitraria. La función f : X ×K → R

definida por

f (x,t) = ϕ(x)(t)

para todo x ∈ X y todo t ∈ K, es claramente separadamente continua. Por tener K la propiedad de coNamioka, existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que f es continua sobre G × K. Fijemos un x ∈ G y probemos que ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en x. En efecto, sea ε > 0 y notemos que para cada t ∈ K, la continuidad de f en el punto (x,t) nos garantiza la existencia de conjuntos abiertos Vt y Ut tales que t ∈ Vt , x ∈ Ut y ϕ(x′ )(s′ ) − ϕ(x)(t) = f (x′ , s′ ) − f (x,t) < ε

para todo s′ ∈ Vt , x′ ∈ Ut . Por la compacidad de K, existe un conjunto finito F0 de K tal que T a K. El conjunto W = t∈F0 Ut es un conjunto abierto conteniendo a x y se cumple que ϕ(x′ )(t) − ϕ(x)(t) = f (x′ ,t) − f (x,t) < ε

S

t∈F0 Vt

cubre

para todo t ∈ K y x′ ∈ W . Esto significa que la aplicación ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en x pues



ϕ(x′ ) − ϕ(x) = sup ϕ(x′ )(t) − ϕ(x)(t) ≤ ε ∞ t∈K

244

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

para todo x′ ∈ W .

(2) ⇒ (3). Es inmediata.

(3) ⇒ (1). Sean X un espacio de Baire y f : X × K → R una función separadamente continua. Definamos ϕ : X → (C(K), τ p ) por ϕ(x)(t) = f (x,t) para todo x ∈ X , t ∈ K.

Puesto que f es separadamente continua, resulta que ϕ es continua sobre X . Sea ε > 0. Por (3), existe un conjunto abierto no vacío U de X tal que k·k∞ − diam ϕ(U ) ≤ ε. Como todo conjunto abierto en un espacio de Baire es un espacio de Baire, se sigue que cada uno de los conjuntos ∞ n [ 1o On = U ⊆ X : U es abierto y k·k∞ − diam ϕ(U ) ≤ n n=1 es abierto y denso en X . Por el Teorema de Categoría de Baire, G = supuesto, f es continua en todo punto de G × K.

T∞

n=1 On

es un Gδ -denso en X y, por 

La vinculación de la noción de fragmentabilidad con la propiedad de co-Namioka es dada por el siguiente resultado demostrado por Jayne, Namioka y Rogers ([135], Corolary 3.1), véase también ([189], Theorem 2.1). Teorema 2.2.58 (Jayne-Namioka-Rogers). Sea K un espacio de Hausdorff compacto. Si (C(K), τ p ) es norma-fragmentado, entonces K tiene la propiedad de co-Namioka. Prueba. Sean X un espacio de Baire y ϕ : X → (C(K), τ p ) una función continua. Puesto que ϕ define una aplicación usco minimal x → {ϕ(x)}, se sigue del Teorema 2.2.19 que existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que ϕ : X → (C(K), k·k∞ ) es continua en todo punto de G. Un llamado al Teorema 2.2.57 nos dice que K tiene la propiedad de co-Namioka.  En general, la conclusión del resultado anterior sigue siendo válida si uno exige que (C(K), τ p ) sea σ-fragmentado por la norma ([135], Corolary 3.1). Recordemos que un espacio de Hausdorff compacto K es metrizable si, y sólo si, (C(K), k·k∞ ) es separable. Si bien es cierto que no todo espacio compacto de Hausdorff es co-Namioka vale, sin embargo, el siguiente resultado. Teorema 2.2.59. Todo espacio métrico compacto tiene la propiedad de co-Namioka. Prueba. Sea K un espacio métrico compacto. Sean X un espacio de Baire y ϕ : X → (C(K), τ p ) una función continua. Puesto que K es un espacio métrico compacto, resulta que (C(K), k·k∞ ) es un espacio de Banach norma-separable y, en consecuencia, existe una sucesión ( fn )∞ n=1 en C(K) que es k·k∞ -densa en dicho espacio. De esto se sigue que, para cada ε > 0, C(K) =

∞ [

B( fn , ε).

n=1

Como las bolas B( fn , ε) son k·k∞ -cerradas, ellas también son τ p -cerradas por lo que la continuidad de ϕ nos garantiza que, para cada n ∈ N, el conjunto ϕ−1 (B( fn , ε)) := Fn es un cerrado de X y se tiene, además, S que X = ∞ n=1 Fn . Por el Teorema de Categoría de Baire, existe un n0 tal que int(Fn0 ) es no vacío. Si ahora definimos U := int(Fn0 ), resulta que, para ese U , k·k∞ -diam ϕ(U ) ≤ 2ε. Uno invoca el Teorema 2.2.57 para concluir que K tiene la propiedad de co-Namioka. 

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

245

Teorema 2.2.60. Sea K un espacio de Hausdorff compacto. Si C(K) admite una norma LUR que es τ p -semicontinua inferiormente, entonces K tiene la propiedad de co-Namioka. Prueba. Sea k·k una norma LUR sobre Y = C(K) que es τ p -semicontinua inferiormente. Afirmamos que la aplicación identidad id : (BY , τ p ) → (BY , k·k) es continua en cualquier punto de SY . En efecto, tomemos un y0 ∈ SY arbitrario y sea ε > 0. Puesto que k·k es LUR, existe un δ > 0 tal que   V := y ∈ BY : k y0 + yk > 2 − δ ⊆ y ∈ BY : k y0 − yk < ε .

Ahora bien, como la norma k·k es τ p -semicontinua inferiormente, resulta que V es un τ p -entorno de y0 en BY , por lo que id es continua en y0 . Sean X un espacio de Baire y ϕ : X → (C(K), τ p ) una función continua. Entonces la aplicación ψ : X → R dada por ψ(x) = k ϕ(x)k, es τ p -semicontinua inferiormente. Por el Ejemplo 1, página 45, existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que ψ es continua en todo punto de G. Afirmamos que cualquier punto x de G es un punto de continuidad de ϕ : X → (C(K), k·k∞ ). En efecto, si l´ım xα = x, entonces l´ım k ϕ(xα )k = k ϕ(x)k. Notemos que si ϕ(x) = 0, entonces claramente ϕ es continua en x. Supongamos ahora que ϕ(x) 6= 0. Sin perder generalidad podemos asumir que ϕ(xα ) 6= 0 para cualquier α y entonces definamos zα = k ϕ(xα )k−1 ϕ(xα ). Claramente, τ p − l´ım(zα ) = k ϕ(x)k−1 ϕ(x). Puesto que todos estos puntos están en SY , tenemos que



l´ım zα − k ϕ(x)k−1 ϕ(x) = 0. α

El Teorema 2.2.57 permite concluir que K tiene la propiedad de co-Namioka..



Nos proponemos, en lo inmediato, probar que todo espacio compacto de Eberlein es un espacio de co-Namioka. Para ello vamos a utilizar los siguientes resultados, el primero de los cuales caracteriza a los espacios compactos de Eberlein, un hecho probado por Amir y Lindenstrauss en 1968, ([6]), mientras que el segundo caracteriza a los conjuntos débilmente compactos de C(Ω), donde Ω es un espacio de Hausdorff compacto, hecho demostrado por Grothendieck y cuya prueba puede verse en [239] o en [44], donde la demostración usa el teorema “sup” de R. C. James. Teorema de Amir-Lindenstrauss. K es un espacio compacto de Eberlein si, y sólo si, (C(K), k·k∞ ) es WCG. Teorema de Grothendieck. Un subconjunto norma-acotado K de C(Ω) es débilmente compacto si, y sólo si, K es τ p -compacto. Teorema 2.2.61 (Deville). Si K es un espacio compacto de Eberlein, entonces K tiene la propiedad de co-Namioka. Prueba. Sea K un espacio compacto de Eberlein y supongamos que f : X → (C(K), τ p ) es una función continua definida sobre un espacio de Baire X . Sea ε > 0. Por el resultado de Amir-Lindenstrauss (C(K), k·k∞ ) es débilmente compactamente generado (WCG), por lo que existe un subconjunto débilmente compacto F de C(K) tal que [F]

k·k∞

= C(K),

246

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

donde, como siempre, [F] denota el subespacio lineal generado por F. De esto se deduce, en particular, que C(K) =

∞ [

(nF + εBC(K) ).

n=1

Puesto que F es débilmente compacto y BC(K) es norma-cerrado, se sigue que cada uno de los conjuntos nF + εBC(K) es débilmente compacto en C(K). Por el Teorema de Grothendieck resulta que ellos son τ p compactos y, en particular, τ p -cerrados. Ahora bien, la continuidad de f nos dice que f −1 (nF + εBC(K) ) es cerrado en X y, además, que X=

∞ [

f −1 (nF + εBC(K) ).

n=1

Siendo X un espacio de Baire, el Teorema de Categoría de Baire nos garantiza la existencia de al menos un n0 ∈ N tal que f −1 (n0 F + εBC(K) ) tiene interior no vacío. Si ahora definimos   U1 := int f −1 (n0 F + εBC(K) ) , resulta que U1 es un abierto no vacío de X tal que

f (U1 ) ⊆ n0 F + εBC(K) . Pongamos L0 = n0 F y usemos inducción transfinita para construir una sucesión decreciente (Lγ ) de subconjuntos débilmente compactos de C(K) tal que cada Lγ r Lγ+1 tenga k·k∞ -diámetro ≤ ε. En efecto, como L0 es débilmente compacto, el Teorema 2.2.25 nos asegura que L0 es k·k∞ -fragmentado, por lo que existe un subconjunto relativamente ω-abierto O de L0 tal que k·k∞ − diam(O) ≤ ε. Si definimos L1 = L0 r

[

{O : O es relativamente ω-abierto en L0 y k·k∞ − diam(O) ≤ ε}

entonces L1 es débilmente compacto y L0 r L1 tiene k·k∞ -diámetro ≤ ε. Supongamos que Lγ ha sido construido para cada γ < β con β un ordinal fijo. Si β es un límite ordinal definimos Lβ =

\

Lγ ,

γ 0 tal que el conjunto A := {x ∈ X : osc(F, x) < δ} no es denso en X ; esto implica la existencia de un conjunto abierto no vacío U de X tal que U ∩ A = ∅; es decir, osc(F, x) ≥ δ > 0 para todo x ∈ U . Para cada k ∈ N, el conjunto [−1, 1]k es un espacio métrico compacto y, por consiguiente, el espacio de Banach C([−1, 1]k ) es separable y, así, podemos escoger una sucesión de funciones (Pk, j )∞j=1 en C([−1, 1]k ) tal que k

C([−1, 1] ) =

∞ [

B(Pk, j , δ/4),

j=1

donde B(Pk, j , δ/4) son bolas cerradas con centro Pk, j y radio δ/4. Lo anterior nos permite definir ahora una estrategia εβ para el jugador β del modo siguiente: β, como siempre, es quien hace la primera elección tomando U1 := U . Entonces α elige (V1 , x1 ) con V1 ⊆ U1 y x1 ∈ V1 . En el paso n + 1, una vez que α ha elegido (Vn , xn ), con xn ∈ Vn ⊆ Un , el jugador β elige Un+1 := εβ ((V1 , x1 ), . . . , (Vn , xn )) = Vn r

[

j+k ≤ n

donde los Ck, j son los subconjuntos cerrados de X definidos por

 Ck, j = x ∈ X : F(x) − ϕk, j ∞ ≤ δ/3

y las funciones continuas ϕk, j : K → R vienen dadas por

ϕk, j (y) = Pk, j ( f (x1 , y), . . . , f (xk , y)).

Ck, j

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

249

Puesto que k·k∞ -diam(F (Ck, j )) ≤ 2δ/3 < δ, resulta que cada conjunto Ck, j es nunca denso en X , lo cual asegura que Un+1 6= ∅ pues Vn ⊆ U1 . Tenemos que, por hipótesis, la estrategia εβ del jugador β no es una estrategia ganadora en el juego Gσ (X ), por lo que existe una partida (Un ,Vn , xn )∞ n=1 en Gσ (X ) que es ganada por el jugador α; es decir, ∞ \

n=1

Vn ∩ {xn : n ∈ N} = 6 ∅. T

∞ N Sea x∞ un punto de acumulación de la sucesión (xn )∞ n=1 contenido en n=1 Vn y sea Φ : K → [−1, 1] la ∞ función definida por Φ(y) = (F(xn )(y))n=1 . Entonces, la continuidad de la función f (·, y) nos dice que

Φ(y) = Φ(y ′ )

f (x∞ , y) = f (x∞ , y ′ )

⇒

para todo y, y ′ ∈ K. Esto permite construir una función continua ϕ sobre el compacto Φ(K) tal que F(x∞ ) = ϕ ◦ Φ y, así, por el lema de Uryshon, existe una función continua ψ sobre [−1, 1]N que prolonga a ϕ. Si ψk es la función continua definida sobre [−1, 1]k dada por ψk (u1 , u2 , . . . , uk ) = ψ(u1 , u2 , . . . , uk , 0, 0, . . .), entonces la continuidad uniforme de ψ produce la existencia de un k ≥ 1 tal que k ψ −

ψk ◦ πk k ∞ ≤ δ/12, donde πk es la proyección canónica de [−1, 1]N sobre [−1, 1]k . Si j ∈ N es tal que ψ − Pk, j ∞ ≤ δ/4, entonces se tiene que

F(x∞ ) − ϕk, j ≤ δ/4 + δ/12 = δ/3 ∞

de donde se sigue que x∞ ∈ Ck, j pero no pertenece a Uk+ j+1 . Esto, por supuesto, es violatorio al hecho T T∞ de x∞ ∈ ∞ n=1 Vn = n=1 Un . Esta contradicción establece que G es denso en X y, por lo tanto, X es un espacio de Namioka.  Para el jugador α en el juego Gσ (X ), Christensen [55] obtiene el siguiente resultado. ˇ Teorema 2.2.63 (Christensen). Si X un espacio numerablemente Cech-completo, entonces X es αfavorable para Gσ (X ). ˇ Prueba. Como X es numerablemente Cech-completo, existe una sucesión (An )∞ n=1 de cubrimientos abiertos de X tal que, para cualquier sucesión decreciente de subconjuntos cerrados (Fn )∞ n=1 de X , se cumple que ∞ \

n=1

Fn 6= ∅

siempre que cada Fn sea An -pequeño, n ∈ N. Asignemos, a cada conjunto A ⊆ X , el número  n(A) = sup k ∈ N : para cada n ≤ k, existe un Un ∈ An con A ⊆ Un .

Definamos ahora la siguiente estrategia εα para α en el juego Gσ (X ). Sea U1 cualquier subconjunto abierto no vacío de X y supongamos que dicho conjunto es el primer movimiento del jugador β. Usemos la regularidad de X para obtener un abierto no vacío V1 de X y un x1 ∈ X tal que x1 ∈ V1 ⊆ V1 ⊆ U1

y

n(V1 ) ≥ n(U1 ) + 1.

250

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

La primera elección de α es, por supuesto, tomar V1 y el punto x1 , es decir, εα (U1 ) = (V1 , x1 ). Continuando de este modo uno obtiene, usando inducción, una partida p = (Un ,Vn , xn )∞ n=1 con las siguientes propiedades: xn ∈ Vn ,

Un+1 ⊆ Vn ⊆ Vn ⊆ Un ,

εα (Un ) = (Vn , xn ),

y

n(Vn ) ≥ n(Un ) + 1

Pongamos Fn = {xn , xn+1 , . . .},

n ∈ N.

Entonces cada Fn es cerrado y la sucesión (Fn )∞ n=1 es decreciente. Observemos que para cada n ∈ N se cumple que n(Vn ) ≥ n por lo que existe An ∈ An tal que Vn ⊆ An y de allí que Fn ⊆ An . Esto prueba que cada Fn es An -pequeño, para todo n ∈ N y así, por hipótesis, ∞ \

n=1

Fn 6= ∅.

La conclusión es que la sucesión (xn )∞ n=1 posee un punto límite en la patida p.

T∞

n=1 Vn ,

lo cual significa que α gana 

Estamos ahora en condiciones, con las herramientas ya establecidas, de poder demostrar el Teorema Grande de Namioka usando juegos topológicos, el cual, en este lenguaje, se puede expresar del modo siguiente: ˇ Teorema 2.2.64 (Teorema Grande de Namioka). Todo espacio numerablemente Cech-completo tiene la propiedad de Namioka. ˇ Prueba. Sea X un espacio numerablemente Cech-completo. Por el Teorema 2.2.63, X es α-favorable para Gσ (X ) y, por consiguiente, por la observación (♣)1 , β-desfavorable para el mismo juego. Por el Teorema 2.2.62, X tiene la propiedad de Namioka.  El siguiente corolario también es una consecuencia inmediata del Teorema Grande de Namioka en combinación con el Teorema de Namioka-Pol. ˇ Corolario 2.2.22. Todo espacio casi Cech-completo tiene la propiedad de Namioka. ˇ ˇ Prueba. Sea X un espacio casi Cech-completo. Entonces X contiene un subespacio Y que es Cechcompleto y denso en X . Por el Teorema Grande de Namioka, Y tiene la propiedad de Namioka y por el Teorema 2.2.56, X tiene la propiedad de Namioka.  Teorema 2.2.65. Si X es un espacio topológico de Hausdorff el cual contiene un subespacio denso completamente metrizable, entonces X es α-favorable para Gσ (X ). En particular, X es un espacio de Namioka y, en consecuencia, un espacio de Baire. Prueba. Sea G un subespacio de X denso y completamente metrizable. Sea d una métrica completa sobre G compatible con la topología relativa de G. Para construir una estrategia ganadora εα para el jugador α en Gσ (X ), comencemos tomando cualquier conjunto abierto no vacío U de X y supongamos que U1 := U es la primera elección del jugador β. La elección del jugador α se hará de acuerdo a la siguiente observación. Como G es denso en X , entonces U1 ∩ G 6= ∅. Sea x1 ∈ U1 ∩ G y usemos la cuasi-regularidad

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

251

de (G, d) para obtener un abierto W1 en G tal que x ∈ W1 ⊆ W 1 ⊆ U1 ∩ G y d − diam(W1 ) < 1/2. Siendo W1 un abierto de G, existe un abierto no vacío V1 de X tal que W1 = V1 ∩ G, x ∈ V1 ⊆ V 1 ⊆ U1

d − diam(V1 ∩ G) < 1/2

y

La elección inteligente y adecuada de α es tomar el par (V1 , x1 ) = εα (U1 ). Por inducción se construye una partida p = (Un ,Vn )∞ n=1 para la cual se cumple que xn ∈ Vn ∩ G,

Un+1 ⊆ Vn ⊆ V n ⊆ Un

d − diam(Vn ∩ G) < 1/(n + 1),

y

n = 1, 2, . . .

Puesto que (xn )∞ n=1 es de Cauchy en el espacio métrico completo (G, d), existe un x0 ∈ G tal que xn → x0 . Por la construcción de los Vn tenemos que x0 ∈

∞ \

Vn .

n=1

Esto prueba que εα es una estrategia ganadora para el jugador α y termina la prueba.



Ya hemos visto que todo espacio de Namioka es un espacio de Baire. El recíproco, demostrado por Saint Raymond, también es cierto en espacios con una estructura métrica. Teorema 2.2.66 (Saint Raymond). Sea (X , d) un espacio métrico. Son equivalentes: (1) X es un espacio de Namioka. (2) X es un espacio de Baire. Prueba. (1) implica (2) es el Teorema 2.2.55. Supongamos que (2) se cumple. Por el Teorema de Banach-Mazur-Oxtoby-Krom-Saint Raymond, Teorema 2.2.38, el jugador β no posee estrategia ganadora en el juego BM(X ). Se sigue de la observación (♣)2 que el jugador β no posee estrategia ganadora en el juego Gσ (X ). Un llamado al Teorema 2.2.62 concluye la prueba.  Nuestro último resultado en esta sección establece las equivalencias de varias nociones ya estudiadas anteriormente, así como la siguiente introducida por Edgar y Wheler en [85]. Definición 2.2.27 (Edgar-Wheler). Sean (X , k·k) un espacio de Banach sobre R y A un subconjunto no vacío de X . El conjunto A se dice fragmentable por abiertos si para cada subconjunto débilmente abierto U de X con U ∩ A 6= ∅ y cualquier ε > 0, existe un conjunto débilmente abierto V ⊆ U tal que V ∩ A 6= ∅ y k·k − diam (V ∩ A) < ε Edgar y Wheler llaman a tales conjuntos descascarables (en inglés “huskable”). El siguiente resultado fue probado por Rybakov en ([242], Theorem 1, p. 526). Teorema 2.2.67 (Rybakov). Sean (X , k·k) un espacio de Banach sobre R y A un subconjunto normacerrado y acotado de X . Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) el conjunto A es fragmentable por abiertos, (2) los puntos de continuidad de la aplicación identidad id : (A, ω) → (A, k·k) forman un subconjunto Gδ -denso de (A, ω), (3) las topologías de la norma y la débil en A coinciden sobre un subconjunto Gδ -denso de (A, ω),

252

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

ˇ (4) el espacio topológico (A, ω) es casi Cech-completo, (5) el espacio topológico (A, ω) es α-favorable en el juego Gσ (A, ω), (6) el espacio topológico (A, ω) es β-desfavorable en el juego Gσ (A, ω), (7) el espacio topológico (A, ω) es un espacio de Namioka. Prueba. (1) ⇒ (2). Para cada n ∈ N, sea [ Gn = U ⊆ A : U es ω-abierto y k·k − diam (U ) < 1/n .

Como cada uno de los conjuntos Gn es abierto en (A, ω), se sigue de la definición de conjunto fragmentable por abiertos que cada Gn es denso en (A, ω). Sea G=

∞ \

Gn .

n=1

Obviamente G es el conjunto de los puntos de continuidad de id el cual es un Gδ en (A, ω). Veamos que G es denso en (A, ω). Tomemos un conjunto abierto no vacío arbitrario V de (A, ω). Puesto que A es fragmentable por abiertos, podemos construir una sucesión decreciente de conjuntos no vacíos (Un )∞ n=1 abiertos en (A, ω) todos contenidos en V y tal que la clausura de Un+1 en (A, ω) está contenida en Un y k·k − diam (Un ) ≤ 1/n, n ∈ N. Puesto que (A, k·k) es un espacio métrico completo, existe un elemento x∈

∞ \

n=1

Un =

∞ \

n=1

Un ⊆ V.

Claramente, x ∈ G. Esto prueba que G es denso en (A, ω) y termina la prueba de la implicación. (2) ⇒ (3). Sea G el conjunto de los puntos de continuidad de la identidad id : (A, ω) → (A, k·k). Entonces las topologías débil y de la norma coinciden sobre G el cual es un Gδ -denso en (A, ω). (3) ⇒ (4). Sea G un subconjunto un Gδ -denso en (A, ω) en el cual las topologías débil y de la norma coincidan. Puesto que (A, k·k) es un espacio métrico completo, se sigue que G también es un Gδ en ˇ (A, k·k), pero además, como G es denso, se deduce que (G, k·k) es Cech-completo ([89], Secs. 4.3.23 y ˇ 4.3.26). Por esto, (G, ω) también es Cech-cmpleto y se termina la prueba de ésta implicación. ˇ (4) ⇒ (5). Sea G un subconjunto denso en (A, ω) el cual es Cech-completo. Entonces existe una sucesión {An : n ∈ N} de cubrimientos abiertos de (G, ω) tal que, para cada familia (Fξ )ξ de conjuntos cerrados en (G, ω) con la propiedad de intersección finita y An -pequeña para cada n ∈ N, se tiene que T ξ Fξ 6= ∅. Vamos a usar lo anterior para definir una estrategia εα para el jugador α en el juego Gσ (A, ω) del modo siguiente: sea U1 , un subconjunto abierto de (A, ω), la primera elección hecha por el jugador β. En el n-ésimo paso la elección de α es εα (U1 , (V1 , x1 ), . . . ,Un ) = (Vn , xn ), donde Vn es un subconjunto ω ω abierto en (A, ω) tal que V n ⊆ Un y existe un elemento An ∈ An tal que V n ∩ G ⊆ An y xn ∈ Vn ∩ G. Definamos, para cada n ∈ N, el conjunto ω-cerrado ω

Fn = {xk : k ≥ n} ∩ G. Entonces, la familia {Fn : n ∈ N} posee la propiedad de intersección finita en (G, ω) y es An -pequeña T T∞ para cada n ∈ N. Por la hipótesis, ∞ n=1 Fn 6= ∅. Sea y ∈ n=1 Fn . Entonces ! y∈

∞ \

n=1

ω

Fn ∩ {xn : n ∈ N} ,

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

253

lo cual prueba que el espacio (A, ω) es α-favorable para el juego Gσ (A, ω). (5) ⇒ (6). Esta implicación es inmediata. (6) ⇒ (7). Es el Teorema 2.2.62. (7) ⇒ (1). Supongamos que (A, ω) es un espacio de Namioka y consideremos la aplicación separadamente continua f : (A, ω) × K → R definida por f (x, x∗ ) = x∗ (x),

x ∈ A,

x∗ ∈ K,

donde K = (BX ∗ , ω∗ ). Como (A, ω) es un espacio de Namioka, existe un subconjunto Gδ -denso G en (A, ω) tal que f es continua en cada punto de G × K, lo cual es equivalente, gracias a la compacidad de K, a la continuidad de la aplicación identidad id : (A, ω) → (A, k·k) en cada punto de G. Sean U un subconjunto abierto arbitrario en (A, ω) y ε > 0. Por la densidad de G, U ∩ G 6= ∅. Sea x0 ∈ U ∩ G. Entonces, por la continuidad de la función identidad id en x0 , existe un entorno abierto V de x0 tal que V ⊆ U y k·k − diam(V ) < ε. Esto prueba que A es fragmentable por abiertos y termina la prueba. 

2.2.15. k ◮ Juego de Banach-Mazur y aplicaciones cuasi-continuas En [200] Isaac Namioka demostró, usando el Teorema Grande de Namioka, el siguiente resultado: Teorema 2.2.68 (Namioka). Para cualquier espacio de Banach (E, k·k), si f : X → (E, ω) es una funˇ ción continua definida sobre un espacio numerablemente Cech-completo X , entonces existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que f : X → (E, k·k) es continua en todo punto de G. ˇ Prueba. Por el Teorema Grande de Namioka todo espacio numerablemente Cech-completo es un espacio de Namioka. El resultado sigue del Corolario 2.2.19, página 239.  ˇ Puesto que todo espacio numerablemente Cech-completo es un espacio de Baire, uno espera que el resultado de Namioka se pueda extender a cualquier espacio de Baire; sin embargo, un contraejemplo de M. Talagrand en [259] sepultó toda esperanza de extender el resultado de Namioka a cualquier espacio de Baire. En efecto, en dicho artículo Talagrand construye un espacio α-favorable X para el juego de Banach-Mazur BM(X ) que, como hemos visto, es un espacio de Baire, y una función débilmente continua f : X → E que nunca es norma-continua. El objetivo de esta sección es caracterizar, por medio del juego de Banach-Mazur, a los espacios de Banach (E, k·k) para los cuales cualquier aplicación débilmente continua f : X → E definida sobre un espacio α-favorable X para el juego de Banach-Mazur es normacontinua en un subconjunto Gδ -denso de X . La demostración del resultado arriba mencionado de Namioka para el caso en que X es un espacio de Hausdorff compacto, sin usar la poderosa herramienta del Teorema Grande de Namioka, es muy sencilla y elegante si se tiene en cuenta que todo espacio débilmente compacto en un espacio de Banach es norma-fragmentable, (Teorema 2.2.25, página 191). Teorema 2.2.69 (Namioka). Sean (E, k·k) un espacio de Banach y X un espacio de Hausdorff compacto. Si f : X → E es una función débilmente continua, Entonces existe un subconjunto Gδ -denso G de X tal que f : X → (E, k·k) es continua en todo punto de G. Prueba. Para cada n ∈ N, sea [ Gn = V : V es un subconjunto abierto no vacío de X tal que k·k − diam( f (V )) < 1/n .

254

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Notemos que, por definición, cada Gn es abierto en X y, además, ∞ \

Gn = G

n=1

es el conjunto de puntos donde f : X → (E, k·k) es continua. Veamos ahora que, para cada n ∈ N, el conjunto Gn es denso en X . En efecto, sean V un subconjunto abierto no vacio de X . Puesto que f es débilmente continua, f (X ) es débilmente compacto y así, por el Teorema 2.2.25, página 191, dicho conjunto es norma-fragmentado. De la definición de fragmentabilidad, existe un conjunto débilmente abierto U de f (X ) tal que U ∩ f (V ) 6= ∅ y con k·k − diam(U ∩ f (V )) < 1/n. Si ahora definimos W = f −1 (U ) ∩V , resulta que W es un conjunto abierto no vacío e incluido en V ∩ Gn . Esto prueba la densidad de Gn . El Teorema de Categoría de Baire nos garantiza que G es un Gδ -denso en X .  Usaremos ahora el juego de Banach-Mazur para demostrar el siguiente hecho simple e interesante. Es importante, para su demostración, tener en cuenta la Observación 2.2.10 (4), en donde el jugador α es quien primero comienza el juego tomando V0 = Z. Proposición 2.2.6 (Kenderov-Kortezov-Moors). Sean (X , τ) y (Z, τ′ ) espacios topológicos de Hausdorff y suponga que Z es α-favorable para BM(Z). Sea f : Z → X una aplicación cuasi-continua. (1) Si f es abierta, entonces f (Z) es un espacio α-favorable para BM( f (Z)), y  (2) G( f ) = (z, x) ∈ Z × X : x = f (z) , el grafo de f , es α-favorable para BM(G( f )).

Prueba. (1). Sea εα una estrategia ganadora para el jugador α en BM(Z) y sea V0 := Z el primer movimiento de α en BM(Z). Vamos a construir, por intermedio de la estrategia εα , una estrategia ganadora εα, f para el mismo jugador α pero en BM( f (Z)). Comencemos definiendo V0′ := f (Z) y sea U0′ el primer movimiento del jugador β en el juego BM( f (Z)). Para el par de abiertos V0 y U0′ existe, por la cuasi-continuidad de f , un abierto no vacío U0 ⊆ V0 tal que f (U0 ) ⊆ U0′ . Consideremos a U0 como el primer movimiento del jugador β en el juego BM(Z) y denotemos por V1 la respuesta de α según la estrategia εα , es decir, V1 = εα (V0 ,U0 ). Sea V1′ = f (V1 ) la respuesta de α al primer movimiento U0′ de β en el juego BM( f (Z)) (observe que V1′ es un conjunto abierto no vacío ya que f es una aplicación abierta). Continuando de este modo se construye una estrategia εα, f en el juego BM( f (Z)) tal que a cada εα, f -juego p′ = (Vn′ ,Un′ )∞ n=0 en BM( f (Z)) corresponde un εα -juego p = (Vn ,Un )∞ en BM(Z) para el cual n=0 Vn′ = f (Vn ),

n = 1, 2, . . . T

Puesto que εα es una estrategia ganadora para el jugador α en BM(Z), resulta que el conjunto ∞ n=0 Vn es T T∞ ′ lo cual prueba que no vacío. Sea z0 un punto en dicho conjunto. Entonces f (z0 ) ∈ ∞ f (V ) = V n n=0 n=0 n εα, f es una estrategia ganadora para el juego BM( f (Z)). Esto termina la demostración de (1). (2). Consideremos la aplicación g : Z → G( f ) definida por g(z) = (z, f (z)) para todo z ∈ Z. Es un ejercicio sencillo establecer que g es abierta y cuasi-continua. Puesto que g(Z) = G( f ), la parte (1) nos garantiza que G( f ) es un espacio α-favorable para BM(G( f )).  Notemos que si ambos espacios, X y Z, son completamente regulares, entonces G( f ) también lo es.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

255

Teorema 2.2.70 (Kenderov-Kortezov-Moors). Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff y ρ una métrica definida sobre dicho espacio. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) cualquier aplicación continua f : Z → (X , τ) definida sobre un espacio Z que es α-favorable para BM(Z), es ρ-continua en los puntos de un subconjunto Gδ -denso de Z; (2) cualquier aplicación cuasi-continua f : Z → (X , τ) definida sobre un espacio Z que es α-favorable para BM(Z), es ρ-continua en los puntos de un subconjunto Gδ -denso de Z. Prueba. La implicación (2) ⇒ (1) es inmediata. Probemos que (1) ⇒ (2). Sea f : Z → (X , τ) una función cuasi-continua, donde Z es un espacio α-favorable para BM(Z). Sea π la proyección natural de Z × (X , τ) sobre (X , τ). Puesto que la restricción de π al grafo G( f ) de f es una función continua resulta, por la parte (1), que π|G( f ) es ρ-continua en los puntos de un subconjunto Gδ -denso G0 de G( f ). Para cada n ∈ N, definamos el conjunto [ Vn = V : V es abierto en Z y ρ-diam( f (V )) < 1/n .

Claramente cada Vn es abierto. Veamos que ellos son densos en Z. En efecto, sea n ∈ N y sea W un subconjunto abierto no vacío de Z. Como W × X es abierto en Z × X y G0 en denso en G( f ), tenemos que (W × X ) ∩ G( f ) 6= ∅. Sea (z0 , f (z0 )) ∈ (W × X ) ∩ G( f ). Por la ρ-continuad π en (z0 , f (z0 )), existen un conjunto abierto V ⊆ W conteniendo a z0 y un conjunto abierto U ⊆ X conteniendo a f (z0 ) tal que
ρ − diam π(V ×U ) ∩ G( f ) < 1/n.

Por la cuasi-continuidad de f , existe un abierto no vacío V ′ ⊆ V tal que f (V ′ ) ⊆ U . Es claro que f (V ′ ) ⊆ π(V ×U ) ∩ G( f ) por lo que W ∩Vn 6= ∅. Esto prueba la densidad de Vn . Puesto que Z es un espacio de Baire (Teorema 2.2.39), entonces por el Teorema de Categoría de Baire tenemos que G=

∞ \

Vn

n=1

es un Gδ -denso con la propiedad de que f es ρ-continua en cada uno de sus puntos.



En el caso particular cuando (X , k·k) es un espacio de Banach, τ es la topología débil y ρ es la métrica generada por la norma k·k, entonces se obtiene el siguiente corolario: Corolario 2.2.23. Para un espacio de Banach (X , k·k) las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) cualquier aplicación continua f : Z → (X , ω) definida sobre un espacio α-favorable para BM(Z) es k·k-continua en los puntos de un subconjunto Gδ -denso de Z;

(2) cualquier aplicación cuasi-continua f : Z → (X , ω) definida sobre un espacio α-favorable para BM(Z) es k·k-continua en los puntos de un subconjunto Gδ -denso de Z. W. B. Moors [191] usa el resultado de Namioka, Teorema 2.2.68, para demostrar el siguiente teorema.

Teorema 2.2.71 (Moors). Sean K un espacio de Hausdorff compacto, X un espacio de Banach y suponga que f : K → X ∗ es una función ω∗ -continua. Si existe un subconjunto Gδ -denso G de K tal que f es débilmente continua en cada punto de G, entonces f es norma-continua sobre un subconjunto Gδ -denso de K.

256

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba. Supongamos que G es un subconjunto Gδ -denso de K tal que f es débilmente continua en cada punto de G. Entonces G=

∞ \

Gn ,

n=1

donde cada Gn es un subconjunto abierto y denso en K. Nuestra primera tarea es demostrar que G, en la ˇ topología relativa, es numerablemente Cech-completo. Para cada k ∈ N y x ∈ G, escojamos un entorno abierto Uk (x) de x tal que Uk (x) ⊆ Gk .  Si ahora definimos Ak = Uk (x) ∩ G : x ∈ G , resulta que cada Ak es un cubrimiento abierto de K. Sea ahora (Fn )∞ n=1 una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de K que es An -pequeña. Como cada Fn es An -pequeña, existe, para cada n ∈ N, un xn ∈ G tal que Fn ⊆ Un (xn ). Notemos que cada Fn es de la forma Fn = Fn′ ∩ G, donde cada Fn′ es un subconjunto cerrado de K y entonces ∞ \

Fn =

n=1

= =

∞ \

n=1 ∞ \

Fn′ ∩ G Fn′ ∩

n=1 ∞  \ n=1




∞ \

Un (xn )

n=1

 Fn′ ∩ Un (xn )

  T ′ ∩ U (x ) 6= ∅ y entonces F Por la compacidad de K, el conjunto ∞ n n n=1 n ∞ \

n=1

Fn 6= ∅.

ˇ Esto prueba que G es numerablemente Cech-completo. Por el Teorema 2.2.68 existe un subconjunto Gδ -denso G1 de G tal que g := f |G es norma-continua en todo punto de G1 . El siguiente paso es demostrar que f es norma-continua en cada punto donde g es norma-continua. Sea x ∈ G donde g es norma-continua. Entonces, dado ε > 0, existe un entorno abierto U de x en K tal que g(U ∩ G) ⊆ (g(x) + εBX ∗ ). Afirmamos que f (U ) ⊆ f (x) + εBX ∗ . Supongamos que éste no es el caso. Entonces existe un t ∈ U tal que f (t) 6∈ ( f (x) + εBX ∗ ). Como f es ω∗ -continua en t, existe un subconjunto abierto no vacío V de U tal que f (V ) ∩ (g(x) + εBX ∗ ) 6= ∅. Sin embargo, para cualquier y ∈ V ∩ G, f (y) = g(y) ∈ g(x) + εBX ∗ lo que es una contradicción. De esto se sigue que f es norma-continua en x. La prueba termina observando que G1 es, en efecto, un subconjunto Gδ -denso de K.  Observación 2.2.26. (1) Juego de Kenderov-Moors y cuasi-continuidad. Cambiando la regla para ganar en el juego KM(X ), pero manteniendo intacta la elección o los movimientos de los jugadores, se define un nuevo juego en donde se puede obtener otra nueva caracterización de

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

257

la no existencia de estrategias ganadoras para el jugador β en dicho juego. Denotemos por KM ′ (X ) el juego en el cual los jugadores son los mismos que en KM(X ) pero cambiando la regla para ser ganador. Declaramos que el jugador α gana la partida p = (An , Bn )n≥1 en el juego KM ′ (X ) si ∞ \

n=1

An =

∞ \

Bn

n=1

es vacío o contiene un único punto x0 tal que, cualquier entorno abierto U de x0 , existe algún n ∈ N con An ⊆ U . En caso contrario se dice que β ganó la partida. Como antes, las nociones de estrategia y estrategia ganadora para ambos jugadores se definen del modo acostumbrado. Diremos que X es un espacio α-favorable para el juego KM ′ (X ), si α posee una estrategia ganadora en dicho juego. Similarmente, decimos que el espacio X es β-desfavorable para KM ′ (X ), si el jugador β no posee ninguna estrategia ganadora en el juego KM ′ (X ). Teorema 2.2.72 (Kenderov-Kortezov-Moors). Sean (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Las siguientes condiciones son equivalentes: (I ) X es β-desfavorable para KM ′ (X ); (II ) cualquier aplicación cuasi-continua f : Z → X del espacio métrico completo (Z, d) en X es continua en al menos un punto de Z; (III ) cualquier aplicación cuasi-continua f : Z → X del espacio métrico completo (Z, d) en X es continua en los puntos de algún subconjunto el cual es de segunda categoría en cualquier subconjunto abierto no vacío de Z; (2) La clase F. Denotamos por F la clase de todos los espacios de Banach X para los cuales cualquier función continua f : Z → (X , ω) definida sobre un espacio α-favorable Z, es normacontinua en los puntos de subconjunto denso de Z. En [155], Kenderov, Kortezov y Moors demuestran el siguiente resultado. Teorema 2.2.73 (Kenderov-Kortezov-Moors). Un espacio de Banach X está en la clase F si, y sólo si, el jugador β no posee estrategias ganadoras en el juego KM ′ (X , ω). Resulta altamente deseable saber cuándo la topología generada por una métrica fragmentadora contiene a la topología original del espacio. La existencia de una métrica fragmentadora cuya topología “mayoriza” la topología original de X siempre es posible en el juego KM ′ (X ). El enfoque es el siguiente: sean τ1 y τ2 dos topologías sobre un conjunto X , no necesariamente distintas. Si (X , τ1 ) es fragmentado por una métrica d cuya topología es más grande que la topología τ2 , entonces diremos que (X , τ1 ) es fragmentable por una métrica que mayoriza o que es más fina que la topología τ2 . Por supuesto, esto es muy útil cuando (X , k·k) es un espacio de Banach, τ1 es la topología débil y τ2 es la topología de la norma. En [156], Kenderov y Moors demuestran el siguiente resultado. Teorema 2.2.74 (Kenderov-Moors). Sean τ1 y τ2 dos topologías sobre un conjunto X . El espacio (X , τ1 ) es fragmentable por una métrica que mayoriza a la topología τ2 si, y sólo si, el jugador α tiene una estrategia ganadora en el juego KM ′ (X ). La prueba es muy similar a la del Teorema 2.2.42 (véase tmabién [156], p. 206-207).

258

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Hacemos notar que la ausencia de una estrategia ganadora para β en el juego KM ′ (X ) no necesariamente implica que α tenga una estrategia ganadora en KM ′ (X ). De hecho, existe un espacio de Hausdorff compacto X el cual es desfavorable para ambos jugadores en el juego KM(X ), donde KM(X ) es idéntico al juego KM ′ (X ) con la única diferencia de que en KM(X ) el jugador β elige, en lugar de subconjuntos no vacíos arbitrarios An , subconjuntos no vacíos cerrados arbitrarios An . De hecho, ambos juegos son equivalentes (véase [155]). (3) Espacio σ-fragmentable. Para poder ver la importancia del resultado de Kenderov-Moors en el ámbito de los espacios de Banach, es necesario introducir una noción que es más general que la de fragmentabilidad llamada σ-fragmentabilidad. Esta noción fue introducida por Jayne, Namioka y Rogers en [134] con el propósito de extender algunos resultados válidos en espacios compactos fragmentables a espacios no compactos. Un aspecto fundamental en este estudio es la íntima conexión existente entre la cuestión de saber si un espacio de Banach dado, con su topología débil, es σ-fragmentable y la cuestión de la existencia de una norma equivalente con la propiedad de Kadec-Klee (en general, de una norma LUR) en X . De allí que parece inevitable que σ-fragmentabilidad juegue un papel central en la caracterización lineal topológica de aquellos espacios de Banach que admiten normas equivalentes con la propiedad de Kadec-Klee (o LUR). Recordemos que la norma k·k de un espacio de Banach X tiene la propiedad de Kadec-Klee si sobre la esfera unitaria SX , las topologías de la norma y la débil coinciden. Ya hemos visto, Teorema 2.2.7, que toda norma LUR es una norma con la propiedad de Kadec-Klee. Definición 2.2.28. Un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) se dice σ-fragmentado por una métrica d si, dado ε > 0, existe una familia numerable (Xn )∞ n=1 de subconjuntos de X tales que X=

∞ [

Xn

n=1

y, para cada n ≥ 1 y cada subconjunto no vacío A ⊆ Xn , existe un subconjunto abierto no vacío U de X tal que U ∩ A 6= ∅ y d-diam(U ∩ A) ≤ ε. Claramente, cualquier espacio fragmentable es σ-fragmentable, sin embargo, existen espacios σ-fragmentables que no son fragmentables (véase, por ejemplo, [136], Example 2.2). Uno de los criterios más simple para saber si un espacio topológico es σ-fragmentable es el siguiente. Teorema 2.2.75 (Moors-Sciffer). Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff. Si la cardinalidad de X es a lo sumo la cardinalidad del continuo, entonces (X , τ) es σ-fragmentable. Prueba. Puesto que la card(X ) ≤ card(R), existe una función g : X → R que es inyectiva. Si ahora definimos la métrica d sobre X por d(x, y) = |g(x) − g(y)|, resulta que d σ-fragmenta a X . Más aun, para cada ε > 0, X se puede descomponer en una familia numerable de conjuntos cada uno de los cuales tiene diámetro menor que ε.  Es importante observar que la noción de σ-fragmentabilidad no es equivalente a la existencia de un cubrimiento numerable (Xn )∞ n=1 de subconjuntos de X tal que cada Xn es fragmentable. En efecto, Jayne, Namioka y Rogers prueban en [137] que si X es el espacio de Banach c0

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

259

dotado de la topología débil y d es la métrica generada por la norma de X , entonces X es σfragmentado por d el cual no se puede expresar como una unión numerable de subconjuntos que sean fragmentados por d. Similarmente Moors y Sciffer en [192], demuestran que el espacio (ℓ∞ /c0 , ω) se comporta como el anterior. Fragmentabilidad y σ-fragmentabilidad de la topología débil en un espacio de Banach están relacionados del modo siguiente. Ver [134, 135, 136, 156, 230]. Teorema 2.2.76 (Kenderov-Moors, [156]). Para un espacio de Banach (X , k·k) las siguientes condiciones son equivalentes: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

(X , ω) es σ-fragmentado por la norma; (X , ω) es σ-fragmentable por una métrica que mayoriza la topología débil; (X , ω) es σ-fragmentable por una métrica que mayoriza la topología de la norma; (X , ω) es fragmentable por una métrica que mayoriza la topología débil; (X , ω) es fragmentable por una métrica que mayoriza la topología de la norma; Existe una estrategia εα para el jugador α en (X , ω) tal que, para cualquier εα -juego p = (Un ,Vn )n≥1 , o bien,

∞ \

n=1

Un = ∅, o bien, l´ım diam k ·k (Un ) = 0. n→∞

Un resultado interesante que relaciona las propiedades de Kadec-Klee, la de ser débilmente K-analítico y la de Radon-Nikodym con σ-fragmentabilidad es la siguiente. Teorema 2.2.77 (Jayne-Namioka-Rogers, [134]). Sea X un espacio de Banach. (1) Si X admite una norma con la propiedad de Kadec-Klee, en particular, si X admite una norma LUR equivalente, entonces (X , ω) es σ-fragmentado por la norma. (2) Si X es K-analítico en su topología débil, en particular, si X es WCG, entonces (X , ω) es σ-fragmentado por la norma. (3) Si X tiene la propiedad de Radon-Nikodym, entonces (X , ω) es σ-fragmentado por la norma. (4) Punto de ω⋆ -continuidad. La noción de la propiedad de punto de continuidad en un espacio de Banach fue introducida en la Sección 2.2.6, página 174. En el dual de un espacio de Banach X existe, para la topología ω⋆ , una noción similar. Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto no vacío acotado de X ∗ . Un punto x∗ ∈ K se dice que es un ω∗ -punto de continuidad de (K, ω∗ ) si la topología de la norma y la topología ω∗ coinciden en x∗ ; esto, por supuesto, es equivalente a afirmar que la aplicación identidad id : (K, ω∗ ) → (K, k·k) es continua en x∗ . Con esta definición a la mano, es fácil establecer el siguiente resultado. Teorema 2.2.78 (Moors, [191]). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ . Son equivalentes: (1) El conjunto de los ω∗ -puntos de continuidad de (K, ω∗ ) es residual en (K, ω∗ ). (2) Cada subconjunto no vacío relativamente ω∗ -abierto de K posee subconjuntos no vacíos relativamente ω∗ -abiertos de norma-diámetro arbitrariamente pequeño.

260

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire El artículo ya mencionado de Moors, [191], posee una buena dosis de información en relación a la noción de ω∗ -punto de continuidad. Por ejemplo, él demuestra, entre otras cosas, los siguientes resultados: Teorema 2.2.79 (Moors). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y K un subconjunto no vacío acotado y norma-cerrado de X . Son equivalentes: (1) El conjunto de todos los puntos en K ω∗ es residual en (K , ω∗ ). (2) K es residual en (K

ω∗

ω∗

donde la topologías débil y ω∗ de K

ω∗

coinciden,

, ω∗ ). ω∗

ω∗

(3) El conjunto de los ω∗ -puntos de continuidad de (K , ω∗ ) es residual en (K , ω∗ ). (4) El conjunto de los puntos de continuidad de (K, ω) contiene un subconjunto Gδ -denso de (K, ω).

2.2.16. k ◮ Series trigonométricas y conjuntos de unicidad Recordemos que una función f : R → C admite una expansión trigonométrica si f se puede expresar en la forma ∞ a0 f (x) = + ∑ (an cos nx + bn sen nx), 2 n=1 para cada x ∈ R. Es claro que una tal función es periódica con período 2π. El problema inicial de la unicidad de las expansiones trigonométricas se puede formular del modo siguiente. Problema de unicidad. Si x ∈ R,

a0 2

+ ∑∞ n=1 (an cos nx + bn sen nx) es una serie trigonométrica y si para todo ∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) = 0, 2 n=1

¿es cierto que an = bn = 0 para todo n ∈ N? Este fue el problema que el profesor E. Heine, de la Universidad de Halle, le propuso, en 1869, al joven matemático G. Cantor quien para entonces tenía 24 años de edad y acababa de ocupar una plaza en dicha Universidad. Cantor aceptó estudiarlo y al año siguiente, 1870, poseía una solución a dicho problema (Jour. für Math. 72 (1870), 130-142). Una vez resuelto el problema propuesto por Heine, Cantor se pregunta si la unicidad de los coeficientes de la serie trigonométrica persiste si se renuncia a la convergencia de dicha serie en algunos puntos excepcionales. De nuevo, en 1871, Cantor demuestra afirmativamente el resultado. Teorema 2.2.80 (Cantor, 1871). Si ∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) = 0, 2 n=1

para todo x ∈ R excepto en un conjunto finito, entonces an = bn = 0 para todo n ∈ N.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

261

De paso, en el transcurso de esa investigación Cantor sentó las bases para la creación de una de las teoría más fascinante y controversial de las matemáticas: la Teoría de Conjuntos. Sea E ⊆ T. Diremos que la serie trigonométrica ∑ cn einx converge a 0 fuera de E si ∑ cn einx = 0, para eix 6∈ E que simplificaremos escribiendo x 6∈ E. Definición 2.2.29. Sea E un subconjunto no vacío de T. Diremos que E es un conjunto de unicidad si cualquier serie trigonométrica ∑ cn einx convergiendo a 0 fuera de E es idénticamente 0. En caso contrario E es llamado un conjunto de multiplicidad. Denotaremos por U la clase de los conjuntos de unicidad. El teorema de Cantor, Teorema 2.2.80, dice que cualquier conjunto finito de R es un conjunto de unicidad. El siguiente resultado es una extensión de ese teorema. Teorema 2.2.81 (Cantor-Lebesgue). Cualquier conjunto E ⊆ T numerable y cerrado es un conjunto de unicidad. Como siempre, denotaremos por λ la medida de Lebesgue sobre T normalizada; es decir, tal que λ(T) = 1. En general, todo conjunto de unicidad E ⊆ T que sea medible Lebesgue es λ-nulo, es decir, λ(E) = 0 (véase [152], Proposition 7.1). Puesto que existe un puente que conecta la teoría de la medida con el método de la categoría de Baire, una pregunta que resulta natural, formulada por N. Bari en 1927, es la siguiente: Si E ⊆ T es un conjunto de unicidad que, además, es medible Lebesgue, ¿es dicho conjunto, un conjunto de primera categoría?. Para obtener un enfoque más apropiado e interesante es necesario reformular la pregunta anterior del modo siguiente. Recordemos que un subconjunto A de un espacio topológico (X , τ) posee la propiedad de Baire si existe un conjunto abierto U de X tal que A△U = (A rU ) ∪ (U r A) es de primera categoría. La clase A de todos los subconjuntos de X con la propiedad de Baire constituye una σ-álgebra. De hecho, A es la σ-álgebra más pequeña conteniendo tanto a los conjuntos abiertos como a los conjuntos de primera categoría de X . k◮

El Problema de Unicidad y la Categoría de Baire. ¿Es cualquier conjunto de unicidad con la propiedad de Baire un conjunto de primera categoría?

Este problema fue resuelto en forma afirmativa por Debs y Saint Raymond [71] en 1987. Su prueba descansa sobre sofisticados argumentos de la teoría descriptiva de conjuntos y de otros resultados no menos profundos de Solovay, Kaufman, Kechris-Louveau-Woodin y Kechris-Louveau. En [152], pág. 28-30, Kechris nos presenta una prueba del resultado de Debs y Saint Raymond que se debe a KechrisLouveau pero desarrollada por R. Lyons usando el Teorema de Categoría de Baire y el empleo de herramientas elementales del Análisis Funcional. De hecho, Debs y Saint Raymond demuestran un resultado más fuerte. Teorema 2.2.82 (Debs-Saint Raymond). Sea A ⊆ T un conjunto con la propiedad de Baire que no es de primera categoría. Entonces existe una medida de Rajchman µ sobre T con µ(A) = 1. Una medida de probabilidad µ sobre T se llama medida de Rajchman si b µ(n) =

Z

T

e−int dµ → 0 cuando

|n| → ∞.

262

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Prueba de que el Teorema 2.2.82 implica el Problema de Unicidad y la Categoría de Baire. La demostración de este hecho requiere del siguiente resultado: Teorema A ([152], Theorem 7.6). Sea E un subconjunto cerrado de T, tal que E 6= T y suponga que µ es una medida de probabilidad de Borel con µ(E) = 1. Las siguientes condiciones son equivalentes: µ(n) = 0. (1) l´ım b |n|→∞

(2)

∑ bµ(n)einx = 0,

n∈Z

para todo x 6∈ E.

Sea A ⊆ T un conjunto de unicidad con la propiedad de Baire que no es de primera categoría. Por el Teorema 2.2.82, existe una medida de probabilidad de Borel µ, con µ(A) = 1 tal que l´ım|n|→∞ b µ(n) → 0. Puesto que cualquier medida de probabilidad de Borel sobre T es regular, podemos obtener un conjunto cerrado F ⊆ A tal que µ(F) > 0. Definamos ahora la medida ν por ν = µ|F; es decir, ν(E) = µ(E ∩ F) para todo conjunto (de Borel) medible E ⊆ T. Afirmamos que l´ım b ν(n) = 0.

|n|→∞

En efecto, para cualquier función continua f sobre T, Z

f dν =

por lo que b ν(n) =

Z

Z

f χF dµ,

χF (t) e−int dµ(t).

Siendo los polinomios trigonométricos densos en L1 (T) y como χZF ∈ L1 (T), resulta que para cada ε > 0, existe un polinomio trigonométrico P(x) = ∑Nk=−N ck eikx tal que dn =

Z

|χF − P| dµ < ε. Ahora, si

P(t) e−int dµ(t),

tenemos que dn =

Z  N

∑

k=−N

 ck eikx e−int dµ(t)

N

=

∑

k=−N

Más aún,

ck b µ(n − k) → 0,

cuando |n| → ∞.

Z   |b µ(n) − dn | = χF (t) − P(t) e−int dµ ≤

Z

| χF − P| dµ < ε.

De aquí se sigue que l´ımn | b ν(n)| ≤ ε, y entonces b ν(n) → 0 cuando |n| → ∞, lo cual prueba nuestra afirmación. Esto último implica, por el Teorema A, que ∑ b ν(n) einx = 0 fuera de F y así, fuera de A.

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

263

Como b ν(0) 6= 0, resulta que A es un conjunto de multiplicidad. Esta contradicción conduce a que A es de primera categoría.  La demostración del Teorema de Debs-Saint Raymond requiere el uso de algunas herramientas del Análisis Funcional que a continuación expondremos. En primer lugar, denotaremos por c0 = c0 (Z) el espacio de Banach de todas las sucesiones (xn )n∈Z con xn ∈ C tal que l´ım|n|→∞ xn = 0, equipado con la norma k xn k∞ = sup |xn |, n∈Z

mientras que ℓ1 = ℓ1 (Z) denota el espacio de Banach de todas las sucesiones (xn )n∈Z de números complejos tal que ∑n∈Z |xn | < ∞, con la norma k xn k1 =

∑ |xn |.

n∈Z

Por último, ℓ∞ = ℓ∞ (Z) denotaremos el espacio de Banach de todas las sucesiones acotadas de números complejos (xn )n∈Z con la norma k xn k∞ = sup |xn |. n∈Z

Nos interesa recordar los duales (topológicos) de los espacios de Banach c0 y ℓ1 . (1) c∗0 = ℓ1 (2) ℓ∗1 = ℓ∞ Recordemos que el espacio dual C(T)∗ , del espacio de Banach C(T) de todas las funciones continuas a valores complejos definidos sobre T, se puede identificar con el espacio de Banach M(T) de todas las medidas complejas de Borel regular sobre T con la norma ∞

k µk = sup ∑ | µ(Ei )| , i=1

supremo tomado sobre todas las particiones de Borel {Ei }∞ i=1 de T. La identificación, dada por el Teorema de Representación de Riesz, asocia a cada x∗ ∈ C(T)∗ una única medida µ ∈ M(T) por medio de las igualdades Z x∗ ( f ) =

f dµ,

para toda f ∈ C(T)

y

k x∗ k = k µ k .

También sabemos que si D ⊆ T es un conjunto denso en T, entonces  Pf s (D, T) = µ ∈ co {δx1 , . . . , δxn } : x1 , . . . , xn ∈ D, n ∈ N ,

es ω∗ -denso en P(T) (Lema 2.1.13, página 111), donde co {δx1 , . . . , δxn } =

n

o a δ : a + · · · + a = 1, a , . . . , a ≥ 0 i x 1 n 1 n ∑ i n

i=1

es la cápsula convexa del conjunto {δx1 , . . . , δxn }.

264

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire Podemos generalizar lo anterior como sigue. Fijemos un conjunto cerrado E ⊆ T y sea  P(E) = µ ∈ P(T) : µ(E) = 1 .

Entonces P(E) es ω∗ -cerrado en P(T) y, por consiguiente, ω∗ -compacto. Si ahora tomamos un conjunto D ⊆ E denso en E, entonces se prueba, de modo similar a la demostración del resultado anterior, que el conjunto de las medidas de probabilidad soportadas por subconjuntos finitos de D es ω∗ -denso en P(T). Existe una conexión interesante entre M(T) y ℓ∞ . En efecto, a cada µ ∈ M(T) le asociamos sus coeficientes de Fourier Z b µ(n) = e−int dµ. Puesto que

Z |b µ(n)| ≤ e−int dµ ≤ k µk

vemos que b µ = (b µ(n))n∈Z ∈ ℓ∞ . Esto permite definir la aplicación T : M(T) → ℓ∞ por T (µ) = b µ,

para todo µ ∈ M(T).

Veamos que T es inyectiva. En efecto, sean µ, ν ∈ M(T) tal que T (µ) = T (ν). Entonces, para cualquier polinomio trigonométrico f , se cumple que Z

f dµ =

Z

f dν

y como esos polinomios son densos en C(T), la igualdad anterior se cumple para cualquier f ∈ C(T) y, por consiguiente, µ = ν. Esto prueba que T es inyectivo. Pongamos [ = T (M(T)) M(T) b = {b y, en general, si A ⊆ M(T), definimos A µ : µ ∈ A}. En particular, [ ⊆ Bℓ . P(T) ∞

[ cuando a ambos conjuntos se les dota de sus respectivas ω∗ De hecho, P(T) es homeomorfo a P(T) topologías. En efecto, puesto que P(T) es ω∗ -compacto, es suficiente demostrar que la aplicación µ → b µ ∗ ∗ ∗ es ω - ω continua. Supongamos que µn → µ en la ω -topología de P(T). Entonces Z

f dµn →

Z

f dµ para cualquier f ∈ C(T);

[ en particular, b µn (i) → b µ(i) y, en consecuencia, b µn → b µ en la ω∗ -topología de P(T).

[ identificando Lo anterior nos permite, para todos los propósitos prácticos, identificar P(T) con P(T) ∗ µ con b µ y, entonces, pensar a P(T) como un subconjunto de ℓ∞ = ℓ1 . Estamos ahora en condiciones de probar el teorema de Debs-Saint Raymond.

Prueba del Teorema de Debs-Saint Raymond. Sea A un subconjunto de T con la Propiedad de Baire que no es de primera categoría. Como A tiene la Propiedad de Baire, existe un conjunto abierto U ⊆ T tal que A△U es de primera categoría en T. Por otro lado, como A es de segunda categoría, U 6= ∅ y, por

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

265

lo tanto, existe un intervalo cerrado I = [a, b], a 6= b, y una sucesión (Un ) de conjuntos abiertos y densos T en I tal que n Un ⊆ A. Denotemos por R la clase de todas las medidas de Rajchman, es decir,   R = µ ∈ P(T) : l´ım b µ(n) = 0 . |n|→∞

Es un ejercicio sencillo establecer que R es un conjunto de primera categoría en (P(T), ω∗ ). Tomemos ahora un conjunto cualquiera E ⊆ T y definamos  R(E) = µ ∈ R : µ(E) = 1 .

Nuestro objetivo es demostrar que R(A) 6= ∅.

O BSERVACIÓN. Puesto que R(A) ⊆ R y, desafortunadamente, R es de primera categoría en P(T) con la ω∗ -topología, entonces no es viable aplicar el Teorema de Categoría de Baire en P(T) con la ω∗ topología. El truco, entonces, es trabajar con Rb ⊆ c0 en lugar de R y con la norma-topología. Afirmación 1

Rb es norma-cerrado en c0 . Más generalmente, si E ⊆ T es cerrado, [ es un subconjunto norma-cerrado de c0 . entonces R(E)

Prueba de la Afirmación 1. Sea (µn ) una sucesión en R(E) tal que kb µn − xk∞ → 0 para algún x ∈ c0 . Esto implica inmediatamente que b µn (i) → x(i) para todo i ∈ Z. Pero como (P(T), ω∗ ) es un espacio métrico compacto, existe una subsucesión (µn j ) de (µn ) tal que µn j → µ en la ω∗ -topología, para algún µ ∈ P(T). b Por µ(i) para todo i ∈ Z; es decir, b µ(i) = x(i) y, así, x = b µ ∈ R. Esto, por supuesto, implica que b µn j (i) → b [ Esto prueba otro lado, como P(E) es ω∗ -cerrado en P(T), resulta que µ ∈ P(E) y entonces, b µ ∈ R(E). 

nuestra afirmación.

d es, en particular, un espacio métrico completo y entonces De la afirmación anterior se sigue que R(I) podemos aplicar el Teorema de Categoría de Baire. En consecuencia, todo lo que tenemos que probar d \ es que cada conjunto R(U n ) es un Gδ -denso en R(I) siempre que este último esté dotado de la normatopología. En efecto, una vez establecido lo anterior tendríamos, por el Teorema de Categoría de Baire, que ∞ \

\ R(U n)

n=1

d En particular, T∞ R(U \ es un Gδ -denso en R(I). n ) es no vacía y, así, existe µ ∈ R tal que µ(Un ) = 1 para T n=1 T cada n ∈ N. De aquí se sigue que µ( n Un ) = 1 y puesto que n Un ⊆ A, concluimos que µ(A) = 1; es decir, R(A) 6= ∅ y termina la prueba. d \ Para demostrar que R(U n ) es un Gδ -denso en R(I), lo primero que debemos hacer es transferir la topología de T a la de un cierto espacio normado a través del siguiente resultado. Afirmación 2

Sea I un intervalo cerrado no trivial de T. Si U ⊆ I es un conjunto d con la [) es un Gδ -denso en R(I) abierto y denso en I, entonces R(U topología de la norma.

266

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

d En efecto, [) es un Gδ en R(I). Prueba de la Afirmación 2. En primer lugar vamos a demostrar que R(U para cada f ∈ C(T) y cada n ∈ N, definamos   Z 1 d µ ∈ R(I) : f dµ > 1 − Gn ( f ) = b n

d ⊆ c0 . Para ello notemos que la y veamos que cada uno de esos conjuntos es norma-abierto en R(I) aplicación Z F : R(I) → C,

µ→

f dµ

d tenemos que ella es continua en la ω∗ es claramente ω∗ -continua y entonces, identificando R(I) con R(I), d Ahora bien, como R(I) d ⊆ c0 , la ω∗ -topología de R(I) d es la misma que la ω-topología de topología de R(I). d y, en consecuencia, F es ω-continua. Puesto que aplicación identidad id : (R(I), d k·k ) → (R(I), d ω) R(I) ∞ d es norma-continua. es siempre continua, tenemos que F, vista como una aplicación definida sobre R(I), Por esto, Gn ( f ) = F −1 ((1 − 1/n, ∞)) es norma-abierto. De esto se sigue que [) = R(U

∞ \

n=1

[

Gn ( f )

f ∈C(T) 0≤ f ≤ χU

d es un Gδ en R(I). d Notemos que como R(U [) es norma-denso en R(I). [) es un subconjunto Nos resta demostrar que R(U [) es débilmente convexo de c0 , será suficiente, por el Teorema de Mazur, página 130, demostrar que R(U d [) ⊆ c0 , esto es lo mismo que decir que R(U [) es ω∗ -denso en denso en R(I). De nuevo, ya que R(U d donde ahora vemos a estos conjuntos sumergidos en c∗∗ = ℓ∞ . Con esta identificación, todo lo que R(I) 0 tenemos que demostrar es que R(U ) es ω∗ -denso en R(I), visto éste último como un subconjunto de P(T). De hecho, vamos a mostrar que ∗ R(U ) ω = P(I) clausura tomada, por supuesto, en P(T). Puesto que el conjunto de las medidas de probabilidad con soporte finito contenidas en U es ω∗ -denso en P(I) y ya que R(U ) es convexo, entonces es suficiente demostrar que cualquier medida de Dirac δx con x ∈ U , es el ω∗ -limite de una sucesión en R(U ). Pero 1 esto es fácil. En efecto, sea (In )∞ n=1 una sucesión decreciente de intervalos abiertos en U tal que λ(In ) < n T∞ y {x} = n=1 In . Definiendo, para cada n ∈ N, las medidas µn =

λ|In , λ(In )

vemos, por un cálculo directo que, l´ım|i|→∞ b µn (i) = 0 y, así, µn ∈ R(U ). Además, para cualquier f ∈ C(T), tenemos que Z

f dµn −

Z

Z

1 f (t) dµn − f (x) λ(In ) In Z 1 = ( f (t) − f (x))dµn , λ(In ) In

f dδx =

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

267

de modo que si ε > 0 es dado y n es suficientemente grande tal que | f (t) − f (x)| < ε, entonces Z Z f dµn − f dδx < ε. Esto último demuestra que µn → δx en la ω∗ -topología de P(T), y termina la prueba.



Vamos a finalizar esta sección con un resultado importante de Bari, cuya prueba puede verse en ([152], Theorem 20.1) Teorema 2.2.83 (Bari). Si (En )∞ n=1 es una familia numerable de conjuntos cerrados de unicidad, entonces E=

∞ [

En

n=1

también es un conjunto de unicidad.

2.2.17. k ◮ Números de Liouville Recordemos que un número real o complejo z se dice algebraico si satisface alguna ecuación de la forma a0 + a1 z + a2 z2 + · · · + an zn = 0 donde los coeficientes a0 , a1 , . . . , an están en Z y no todos son ceros. Denotemos por Z[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros y por A(K) el conjunto de todos los números algebraicos. El grado de un número algebraico z es el entero positivo más pequeño n tal que z satisface una ecuación de grado n. Cualquier número real que no es algebraico se llama trascendente, es decir, un número trascendente es aquel que no satisface una ecuación algebraica con coeficientes enteros. La primera prueba de la existencia de números trascendentes fue dada por Joseph Liouville quien, en 1844, descubrió una clase muy extensa de tales números. Por ejemplo, todos lo números de la forma 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 6 + 24 + · · · + k! + · · · n n n n n son trascendentes, donde n es número entero mayor que 1. Aunque este descubrimiento de Liouville genera muchísimos números trascendentes, sigue siendo un reto difícil para un matemático demostrar que un sospechoso particular es o no trascendente. Por tal razón, cuando Charles Hermite demostró, en 1873, que e es trascendente, los matemáticos no dejaron de asombrarse ante la belleza y sencillez de la prueba. Nueve años más tarde del descubrimiento de Hermite, en 1882, Ferdinand Lindemann demostró que π pertenecía al mismo clan. Una pequeña observación es pertinente en este momento. Cualquier problema geométrico que es resoluble con la ayuda de la regla y el compás, cuando se lleva a su forma algebraica equivalente, conduce a una o más ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, que pueden ser resueltas por sucesivas extracciones de raíces cuadradas. Lo que Lindemann demostró es que π no satisface una tal ecuación y, por consiguiente, el circulo no se puede cuadrar con dichos instrumentos. Otra prueba de la existencia y abundancia de los números trascendentes fue demostrada por G. Cantor cuando dio a conocer el siguiente resultado:

268

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Teorema 2.2.84 (Cantor). El conjunto A(R) de los números algebraicos reales es numerable. Prueba. La idea de la demostración es considerar, para cada n ∈ N, el conjunto   n n j P(n) = p(x) = ∑ a j x ∈ Z[x] : 1 ≤ ∑ |a j | ≤ n j=1

j=1

y observar que dicho conjunto es finito. También, cualquier polinomio distinto del polinomio cero en Z[x] pertenece a algún P(n). Si ahora consideramos las raíces reales de lo polinomios en P(1), P(2), . . . teniendo en cuenta que en el k-ésimo paso solo consideraremos las raíces reales de los polinomios en P(k) que no han sido raíces de un polinomio en P( j) para j < k, entonces la unión de todas estas raíces constituye, sin duda alguna, un conjunto numerable. Por esta razón, A(R) es numerable.  Vayamos ahora al encuentro de la prueba que dio Liouville sobre la existencia de los números trascendentes. Para ello debemos primero definir lo siguiente. Definición 2.2.30. Un número real x es un número de Liouville si x es irracional y para cada entero positivo n, existen enteros p y q, con q > 1 tal que p x − < 1 . q qn

Denotaremos por L el conjunto de todos los números de Liouville. De inmediato probaremos que los números de Liouville existen y son trascendentes. Para ello vamos a requerir del siguiente resultado. Lema 2.2.15. Para cualquier número algebraico real z de grado n > 1, existe un entero positivo M tal que p z − > 1 (2.2.15) q Mqn

para todos los enteros p y q, q > 0.

Prueba. Sea f (x) = ∑nj=1 a j x j ∈ Z[x] un polinomio de grado n > 1 para el cual f (z) = 0. Consideremos el intervalo cerrado [z − 1, z + 1]. Como la derivada f ′ de f es una función continua, si la restringimos al intervalo compacto [z− 1, z+ 1] podemos determinar la existencia de un entero M > 0 tal que | f ′ (x)| ≤ M para todo x ∈ [z − 1, z + 1]. Haciendo uso del Teorema del Valor Medio, arribamos a la desigualdad | f (x)| = | f (x) − f (z)| ≤ M|x − z|

(2.2.16)

siempre que x ∈ [z − 1, z + 1]. Sean z1 , z2 , . . . , zm las raíces distintas de f (x) que son diferentes a z y supongamos que la desigualdad (2.2.15) no se satisface. Entonces existen enteros p y q, con q > 0 tal que z − p ≤ 1 < 1. q Mqn Por esto,

y, más aún,

p ∈ [z − 1, z + 1], q

p 6∈ {z1 , z2 , . . . , zm }. q

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

269

En efecto, recordemos que como el grado de z es n, entonces el polinomio f (x) es irreducible sobre Z y, en particular, irreducible sobre Q; esto significa que f (x) no tiene ninguna raíz racional. Por consiguiente    2  n p p p p 0 6= f = a0 + a1 + a2 + · · · + an q q q q y en consecuencia,   p |a0 qn + a1 qn−1 p + a2 qn−2 p2 + · · · + an pn | 1 f ≥ n. q = n q q

Usando esto y la desigualdad (2.2.16), obtenemos

1 p ≤ M z − ; qn q

es decir,

Esta contradicción establece la prueba.

1 z − p . ≤ Mqn q



Ahora el resultado de Liouville. Teorema 2.2.85. Cualquier número de Liouville es trascendente. Prueba. Sea z un número de Liouville y supongamos que él es algebraico (real). Por el Lema 2.2.15, existen enteros positivos M y n tal que p z − > 1 (2.2.17) q Mqn

para todos los enteros p y q, q > 0. Escojamos un entero positivo k tal que 2k ≥ 2n M. Como z es un número de Liouville, para este k, existen enteros p y q, con q > 1 tal que z − p < 1 . q qk De esto y la desigualdad (2.2.17) obtenemos 1/qk > 1/Mqn , y así, M > qk−n ≥ 2k−n ≥ M. Esta contradicción nos convence que todo número de Liouville es trascendente.



Nuestro próximo objetivo es mostrar, usando el Teorema de Categoría de Baire, la abundancia de los números de Liouville. Para cada número racional p/q con p y q primos entre sí, construyamos el intervalo abierto   p 1 p 1 − , + , q qn q qn y entonces definamos Gn =

∞ [ ∞ [

q=2 p=−∞



 p 1 p 1 − , + . q qn q qn

270

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

Como cada Gn es un conjunto abierto conteniendo a Q, el Teorema de Categoría de Baire nos dice que G=

∞ \

Gn

n=1

es un Gδ -denso. Además, ya que R r Q = I es también un Gδ , entonces L = I∩G es un Gδ -denso; es decir, k◮

L es un conjunto residual en R y RrL = Q∪

∞ [

(R r Gn )

n=1

es de primera categoría.

2.2.18. k ◮ Operadores diagonales Finalizamos este capítulo con un resultado de C. K. Fong [93] el cual establece que los operadores diagonales constituyen un conjunto residual en el espacio de los operadores normales definidos en un espacio de Hilbert separable. Sea (H, k·k) un espacio de Hilbert complejo, separable y de dimensión infinita, donde k xk = hx, xi para todo x ∈ H. Denotaremos por (L(H), k·k) el espacio de Banach de todos los operadores lineales acotados T : H → H, provisto de la norma-operador dada por k T k = sup{k T xk : x ∈ BH } para cada T ∈ L(H). Una de las topologías interesantes que se pueden definir sobre L(H), que en la literatura sobre el tema se le llama la topología fuerte de operadores, se define declarando los entornos básicos de cualquier operador S ∈ L(H) como:  U (S, x1 , . . . , xn ; ε) = T ∈ L(H) : k (T − S)xi k < ε, i = 1, 2, . . . n para cualquier n ∈ N y cualquier conjunto finito {x1 , . . . , xn } ⊂ H. A esta topología la denotaremos por τsot . Recordemos también que un operador T ∈ L(H) se llama operador de rango finito si el rango de T , R(T ), es un subespacio de dimensión finita de H. Denotando por R f (H) el conjunto de todos los operadores de rango finito en L(H), tenemos el siguiente resultado conocido: Teorema 2.2.86 (Teorema de densidad). R f (H) es τsot -denso en L(H). Prueba. Sea B = {e1 , e2 , . . .} una base ortonormal para H. Si Pn es la proyección ortogonal sobre el subespacio lineal generado por {e1 , e2 , . . . , en } para cada n ∈ N, entonces Pn T Pn → T en la topología fuerte de operadores para cualquier operador T ∈ L(H). Puesto que Pn T Pn es un operador de rango finito, la prueba es completa.  Recordemos que un operador T ∈ L(H) se llama normal si T T ∗ = T ∗ T , donde T ∗ es el adjunto de T . Si por N(H) denotamos el subespacio vectorial de L(H) de todos los operadores normales sobre H, resulta que (N(H), k·k) es un espacio de Banach complejo. Un operador D : H → H se dice que es ∞ diagonal si existe una base ortonormal {en }∞ n=1 de H y una sucesión (λn )n=1 de números complejos tal

Sec. 2.2 Otras aplicaciones en espacios de Banach

271

que D(en ) = λn en para todo n ∈ N. Observemos que los operadores diagonales viven en N(H) y que sus autovectores generan a todo el espacio. Denotaremos por D(H) el conjunto de todos los operadores diagonales sobre H. De la Teoría Espectral de Operadores se conoce que si T ∈ N(H), entonces existe una sucesión (Dn )∞ n=1 de operadores diagonales tal que Dn → T en la norma-operador. A pesar de este hecho, los operadores diagonales son considerados como muy especiales y, en consecuencia, se les suele pensar como objetos más bien raros en algún sentido. Sin embargo, tal y como lo demostró Fong, ellos son muy abundantes. Teorema 2.2.87 (Fong). El conjunto de los operadores diagonales D(H) es residual en N(H). Prueba. Usemos el Teorema 2.2.86 para obtener una sucesión (Pn )∞ n=1 de proyecciones ortogonales con rangos finito tal que l´ımn→∞ k Pn x − xk = 0 para todo x ∈ H. Para cada n ∈ N, sea Nn el conjunto de todos aquellos operadores normales N para los cuales se satisface la siguiente condición: existe una proyección E de rango finito (dependiendo sobre N) tal que (a) EN = NE, (b) k Pn E Pn − Pn k < n−1 , y (c) σ(N|E(H)) y σ(N|(I − E)(H)) son disjuntos. Como siempre, σ(N|E(H)) significa el espectro de N|E(H), la restricción de N al rango de E. Veamos que cada Nn es un abierto denso de N(H). En efecto, invocando el cálculo funcional de Dunford, la condición (c) nos dice que cualquier operador normal suficientemente próximo a N tiene una proyección T espectral de rango finito próxima a E. Nos resta ver que ∞ n=1 Nn ⊆ D(H). T∞ Suponga que N ∈ n=1 Nn . Para todo n ∈ N, N ∈ Nn y, en consecuencia, existe una proyección de rango finito E satisfaciendo (a) − (c). Sea F la proyección de H sobre el subespacio generado por los autovectores de N. Es suficiente demostrar que F = I. Observemos que F conmuta con cualquier operador que conmuta con N. De (a) se sigue que E ≤ F y, gracias a (b), tenemos que Pn F Pn ≥ Pn E Pn ≥ Pn − 1/n. Haciendo que n → ∞ y puesto que Pn → I en la topología generada por la norma-operador, resulta que F ≥ I y de allí que F = I. Esto termina la prueba.  Un resultado de D. Herrero nos dice que, similarmente, el conjunto de todos los operadores triangulares definidos sobre H es residual en el espacio de los operadores quasi-triangulares (ver, por ejemplo [93]).

272

Cap. 2 Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire

CAPÍTULO 3 El Teorema Grande de Baire

Introducción ¿Cuán discontinua es una función? ¿Cómo caracterizar o clasificar las funciones discontinuas? Conceptualmente, la teoría de las funciones discontinuas comienza con Baire cuando, en su tesis de 1899, establece su famosa clasificación topológica por jerarquía de las funciones discontinuas, conocida como las clases de Baire donde las funciones continuas constituye sólo el primer peldaño de su escalera jerárquica. Ya en 1897, Baire había pensado sobre el problema de las funciones discontinuas que son límite de funciones continuas y planteado la posibilidad de caracterizar, de manera precisa, a tales funciones. Nuestro objetivo en esta sección es presentar algunas de las caracterizaciones clásicas de las funciones que son límite puntual de funciones continuas, conocidas como la primera clase de Baire y presentar, sin pruebas, otras de data más reciente. Aunque Körner califica el Teorema de Categoría de Baire como una trivialidad profunda sus aplicaciones, como ya hemos visto, son extremadamente interesantes. Sin embargo, la caracterización clásica de las funciones de la primera clase de Baire, a la que llamaremos el Teorema Grande de Baire y que se sustenta sobre el Teorema de Categoría de Baire, es más profundo y, por consiguiente, sus aplicaciones son más sutiles.

3.1. El Teorema Grande de Baire A partir de este momento y por el resto de esta sección, X denotará un espacio Polaco; es decir, un espacio que es homeomorfo a un espacio métrico completo separable, mientras que ω1 denotará el primer ordinal no numerable. Algunos resultados importantes que usaremos a través de estas notas serán mostrados a continuación. k◮ (H1) Sea X es un espacio Polaco. Si {Gα }α∈Γ es una familia de subconjuntos abiertos y disjuntos dos a dos de X , entonces Γ es numerable. Prueba. Sea D = {x1 , x2 , . . .} un subconjunto denso y numerable de X . Como cada Gα es abierto, resulta que Gα ∩ D 6= ∅ y, en consecuencia, podemos elegir uno y sólo un nα ∈ N tal que xnα ∈ Gα ∩ D. Por ser

274

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

la familia {Gα }α∈Γ disjunta dos a dos, resulta que la aplicación α 7→ nα de Γ → N es inyectiva y así, Γ es numerable. k◮ (H2) Sean X un espacio Polaco y α un ordinal. Entonces cualquier familia no decreciente {Gβ : β < α} de subconjuntos abiertos no vacíos de X es numerable.

Prueba. Fijemos una base numerable (Vn )∞ n=1 de X . Como nuestra familia es no decreciente, existe al menos un β < α tal que Gβ+1 r Gβ 6= ∅. Sea ahora nβ el menor entero positivo m tal que
Vm ∩ X r Gβ = ∅ y Vm ⊆ Gβ+1 .

Es fácil ahora comprobar que la aplicación β 7→ nβ del conjunto {β : β < α} en N es uno a uno y termina la prueba.  k◮ (H3) Si X es un espacio Polaco y si G es un subconjunto abierto de X y ε > 0, entonces existe una sucesión (Gn )∞ n=1 conjuntos abiertos en X tal que G=

∞ [

Gn =

n=1

∞ [

Gn

n=1

y diam (Gn ) < ε para cada n ∈ N.

Prueba. Sea D un subconjunto denso y numerable de X . Para cada n ∈ N, definamos Gn = U (d, 1/n)

1 ε < n 2

tal que d ∈ D,

y U (d, 1/n) ⊆ G,

donde U (x, r) es la bola abierta con centro en x y radio r. Veamos que G=

∞ [

Gn =

n=1

∞ [

Gn .

n=1

En efecto, sea x ∈ G. Siendo G abierto, existe un n ∈ N con 1/n < ε tal que U (x, 1/n) ⊆ G. Ahora bien, por la densidad de D, podemos elegir un d ∈ D ∩ U (x, 1/3n) 6= ∅. Entonces x ∈ U (d, 1/3n) y U (d, 1/3n) ⊆ G; es decir, x ∈ G3n ⊆

∞ [

Gn

n=1

y termina la prueba.



El siguiente resultado, que será de gran utilidad en el ambiente de los espacios Polacos, establece que en dichos espacios no pueden existir colecciones transfinitas no numerables de conjuntos cerrados estrictamente decrecientes; es decir: k◮ (H4) Principio Estacionario de Cantor-Baire. Si (Fα )α 0, entonces existe una sucesión ( fn )∞ n=1 de funciones continuas convergiendo puntualmente a f tal que cada fn es acotada por M. ∞ (2) Si ( fn )∞ n=1 es una sucesión en B1 (X ) tal que k fn k∞ ≤ Mn para cada n ∈ N y si ∑n=1 Mn < ∞, entonces ∞

f :=

∑ fn ∈ B1 (X ).

n=1

(3) B1 (X ) es cerrado bajo la convergencia uniforme; es decir, si ( fn )∞ n=1 es una sucesión en B1 (X ) convergiendo uniformemente a una función f , entonces f ∈ B1 (X ). Prueba. (1) Sea f ∈ B1 (X ) acotada por M. Escojamos una sucesión (gn )∞ n=1 de funciones continuas definidas sobre X convergiendo puntualmente a f . Para cada n ∈ N, definamos   si gn (x) > M, M fn (x) = gn (x) si |gn (x)| ≤ M,   −M si gn (x) < −M, para cada x ∈ X . Claramente la sucesión ( fn )∞ n=1 cumple la conclusión de (1).

(2) Observemos, en primer lugar, que f está bien definida gracias al M-test para la convergencia uniforme de Weierstrass. Para cada n ∈ N, sea ( fn j )∞j=1 una sucesión de funciones continuas tal que l´ım fn j = fn

j→∞

puntualmente.

Como k fn k∞ ≤ Mn , por la parte (1), podemos suponer que para cada j ∈ N, fn j ∞ ≤ Mn . Fijemos un entero positivo n arbitrario y definamos hn = g1n + g2n + · · · + gnn .

Cada hn es continua en X . Para completar la prueba, demostraremos que la sucesión (hn )∞ n=1 converge puntualmente a f sobre X . Para lograr esto, fijemos x ∈ X y sea ε > 0. Como ∑∞ M < ∞, existe un n n=1 entero positivo J tal que ∞

∑

n=J+1

Mn < ε.

278

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

Por otro lado, ya que para cada n, l´ım fn j (x) = fn (x), podemos encontrar un N > J tal que j→∞

| fn j (x) − fn (x)| < ε/J para n = 1, 2, . . . , J y todo j ≥ N. Notemos ahora que para cualquier n ≥ N, n ∞ |hn (x) − f (x)| = ∑ fnk (x) − ∑ fk (x) k=1 J

≤

∑ | fnk (x) − fk (x)| +

k=1

∞

n

∑

k=J+1

| fnk (x)| +

∑

k=J+1

| fk (x)|

∞

ε

J


0, la oscilación de f en x se define como
osc ( f , x) = ´ınf osc f ,U (x, δ) δ>0

= ´ınf diam f (U (x, δ)) δ0

Sec. 3.1 El Teorema Grande de Baire

279

Notemos que si δ < δ′ , entonces osc ( f ,U (x, δ)) ≤ osc ( f ,U (x, δ′ )), por lo que
osc ( f , x) = l´ım+ osc f ,U (x, δ) δ→0

siempre que osc ( f ,U (x, δ)) < ∞ para algún δ > 0.

El siguiente resultado caracteriza la continuidad de una función en términos de su oscilación en un punto. Teorema 3.1.2. Sea (X , d) un espacio Polaco y sea f : X → R una función. Entonces

(1) PC( f ) = {x ∈ X : osc ( f , x) = 0}.

 (2) Para cada ε > 0, el conjunto O f (ε) = x ∈ X : osc ( f , x) < ε es abierto en X .

Prueba. (1) Sea x ∈ PC( f ). Como f es continua en x, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que f (U (x, δ)) ⊆ U ( f (x), ε). De aquí se sigue osc ( f , x) ≤ 2ε y como ε > 0 es arbitrario, concluimos que osc ( f , x) = 0. Recíprocamente, sea x ∈ X tal que osc ( f , x) = 0. Entonces, dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que | f (y) − f (z)| < ε para todo y, z ∈ U (x, δ). En particular, | f (x) − f (y)| < ε para todo y ∈ U (x, δ). Esto prueba que x ∈ PC( f ) y con ello la primera parte del teorema. (2) Sean ε > 0 y x ∈ O f (ε). Entonces osc ( f , x) = ´ınfδ>0 osc ( f ,U (x, δ)) < ε y, por lo tanto, existe un δ0 > 0 tal que osc ( f ,U (x, δ0 )) < ε. Sea δ = δ0 /2 y veamos que U (x, δ) ⊆ O f (ε). En efecto, sea y ∈ U (x, δ). Si d(z, y) < δ, entonces d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < δ + δ = δ0 , por lo que U (y, δ) ⊆ U (x, δ0 ) y, en consecuencia, | f (z) − f (z′ )| < ε

para todo z, z′ ∈ U (y, δ);

es decir, osc ( f , B(y, δ)) < ε y así, osc ( f , y) < ε. Como y ∈ U (x, δ) es arbitrario, resulta entonces que U (x, δ) ⊆ O f (ε). Esto termina la prueba.  Observemos que si F es un subconjunto cerrado de X y f : X → R no posee puntos de continuidad en F, entonces osc ( f , F ) > 0. Los siguientes tres lemas nos permitirá hacer más digerible la demostración del Teorema Grande de Baire. Lema 3.1.1. Sea (X , d) un espacio Polaco. Si A y B son conjuntos Fσ de X , entonces existen conjuntos A∗ y B∗ que son Fσ tal que: (a) A ∪ B = A∗ ∪ B∗ ,

(b) A∗ ⊆ A y B∗ ⊆ B, (c) A∗ ∩ B∗ = ∅.

280

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

∞ Prueba. Sean (An )∞ n=1 y (Bn )n=1 sucesiones de conjuntos cerrados en X tales que ∞ [

A=

An

B=

y

n=1

∞ [

Bn .

n=1

Para cada n ∈ N, definamos A∗1 = A1 ,

A∗n = An r

n−1 [

(n ≥ 2)

Bk

k=1

B∗n = Bn r

y

n [

Ak .

k=1

Notemos que cada uno de los conjuntos A∗n y B∗n son Fσ . Finalmente, si definimos A∗ =

∞ [

A∗n

B∗ =

y

n=1

∞ [

B∗n

n=1

resulta que A∗ y B∗ satisfacen las conclusiones (a) − (c). Lema 3.1.2. Sea (X , d) un espacio Polaco tal que X = dos. Si f : X → R se define por n

f (x) =



Sn

k=1 An ,

donde los Ak son Fσ y disjuntos dos a

∑ ck χAk (x),

k=1

entonces f ∈ B1 (X ).

S

k k ∞ Prueba. Para cada k, sea Ak = ∞ m=1 Fm , donde (Fm )m=1 es una sucesión creciente de conjuntos cerrados en X . Para cada entero positivo m, definamos n

gm =

∑ ck χ

k=1

k Fm

.

S

La restricción de gm al conjunto cerrado nk=1 Fmk es continua puesto que los Fmk son conjuntos cerrados y disjuntos. Invocando al Teorema de Extensión de Tietze, podemos encontrar una función continua S fm : X → R que coincide con gm sobre nk=1 Fmk . Se sigue que ( fn )∞ n=1 converge puntualmente a f sobre X y por lo tanto, f ∈ B1 (X ).  El siguiente resultado, interesante en sí mismo, caracteriza a los subconjuntos Fσ de un espacio Polaco en términos de funciones de la primera clase de Baire. Lema 3.1.3. Sea (X , d) un espacio Polaco. Si F es un subconjunto de X que es un Fσ , entonces existe una función acotada f ∈ B1 (X ) tal que F = {x ∈ X : f (x) > 0}. Prueba. Como F es un Fσ , existe una sucesión creciente (Fn )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de X tal que S∞ F = n=1 Fn . Definamos f : X → R por ∞

f (x) =

∑ 2−n χ

n=1

Fn

(x)

Sec. 3.1 El Teorema Grande de Baire

281

para todo x ∈ X . Por la Observación 4.12 (3) cada χFn pertenece a B1 (X ) y como ellas son acotadas, el Teorema 3.1.1 (2), nos revela que f ∈ B1 (X ) es acotada y, por supuesto, F = {x ∈ X : f (x) > 0}.  Sabemos, del Teorema 1.4.5, que si f ∈ B1 (X ), entonces el conjunto Disc( f ), de los puntos de discontinuidad de f , es un Fσ de primera categoría. El siguiente resultado establece el recíproco. Teorema 3.1.3. Sea (X , d) un espacio Polaco. Si E es un conjunto Fσ de primera categoría en X , entonces existe una función f ∈ B1 (X ) tal que Disc( f ) = E. Prueba. Supongamos que E es un subconjunto Fσ de primera categoría en X . Entonces E=

∞ [

En

n=1

donde cada En es cerrado y nunca denso en X . Como cada x ∈ E pertenece a algún En , el número mx = min{n : x ∈ En } está bien determinado. Si ahora definimos f : X → R por   1 si x ∈ E f (x) = mx 0 si x 6∈ E,

entonces f ∈ B1 (X ) y Disc( f ) = E. En efecto:

• Disc( f ) = E. Sea x ∈ E. Siendo E de primera categoría en X , él no contiene ninguna bola abierta. Esto significa que para cada δ > 0, existe y ∈ U (x, δ) r E. De aquí se sigue que | f (y) − f (x) = |0 − 1/mx | = 1/mx . Esto prueba que f no es continua en x. Supongamos ahora que x ∈ X r E y sea ε > 0. Elijamos N ∈ N tal que N1 < ε. Como F = ∪Nn=1 En es cerrado, existe un δ > 0 tal que U (x, δ) ∩ F = ∅. Se sigue que | f (y) − f (x)|
qn .

Observemos ahora que cada uno de los conjuntos Fn = An ∩Bn es nunca denso en F. En efecto, si algún Fn no fuera nunca denso en F, entonces existiría un conjunto relativamente abierto U en F tal que U ⊆ Fn y, por consiguiente, U = An ∩U = Bn ∩U; es decir, los conjuntos An ∩U y Bn ∩U serían simultáneamente densos en el cerrado U. Esta contradicción establece nuestra afirmación. Siendo L cerrado en el espacio métrico completo X , él mismo es completo; es decir, L es un espacio de Baire y, en consecuencia, como cada F r Fn es un abierto denso en F, el Teorema de Categoría de Baire nos dice que G=

∞ \

(F r Fn ) = F r

n=1

∞ [

Fn

n=1

es un Gδ -denso en F. Puesto que cualquier punto de discontinuidad de f |F está en algún Fn , concluimos que f |F es continua en cualquier punto de G. (a) ⇒ (c) Sea F subconjunto cerrado no vacío de X . Como L es un espacio Polaco, entonces f |F ∈ B1 (F) y así, por la Observación 4.12 (1), el conjunto de puntos de continuidad de f |F es un Gδ -denso en F. (c) ⇒ (a) Como ya hemos probado que (b) ⇒ (a), es suficiente entonces demostrar la implicación (c) ⇒ (b). Sea G un conjunto abierto de R y sea ε > 0. Definamos 
Gε = x ∈ X : dist f (x), R r G ≥ ε

donde dist(·, ·) es la distancia usual de R. Nuestro objetivo inmediato es demostrar que existe un conjunto Fε ⊆ X que es un Fσ tal que y f (Fε ) ⊆ G. Gε ⊆ Fε La prueba la haremos definiendo inductivamente una sucesión transfinita estrictamente decreciente de conjuntos cerrados (Kα )α≥α0 para algún ordinal numerable α0 , con Kα0 = ∅ y tal que si α < α0 y x ∈ Kα r Kα+1 , entonces la oscilación de f sobre Kα en x es menor que ε; esto es, osc ( f |Kα , x) < ε. De modo más preciso esto significa que existe un entorno abierto Vx de x tal que | f (x1 ) − f (x2 )| < ε

para todo x1 , x2 ∈ Kα ∩Vx .

Vamos a trabajar. Comencemos con K0 = X y veamos como construimos K1 . Puesto que K0 es cerrado, el conjunto K0 ( f ) = {x ∈ K0 : f |K0 es continua en x} es, por hipótesis, no vacío. Por consiguiente, si x ∈ K0 ( f ) entonces existe un entorno abierto Vx de x tal que diam f (Vx ∩ K0 ) < ε. Definimos entonces K1 como lo que queda de K0 una vez que hayamos eliminado de él todos los entornos Vx de x que satisfacen diam f (Vx ∩ K0 ) < ε cuando x varía sobre K0 ; es decir, [ K1 = K0 r Vx : x ∈ K0 , diam f (Vx ∩ K0 ) < ε  = x ∈ K0 : ∀ entorno Vx de x, ∃ x1 , x2 ∈ Vx ∩ K0 tal que | f (x1 ) − f (x2 )| ≥ ε .

Sec. 3.1 El Teorema Grande de Baire

285

Para construir K2 observemos en primer lugar que K1 es cerrado y, de nuevo, por hipótesis, el conjunto K1 ( f ) = {x ∈ K1 : f |K1 es continua en x} es no vacío. Ahora [

K2 = K1 r {Vx : x ∈ K1 , diam f (Vx ∩ K1 ) < ε}  = x ∈ K1 : ∀ entorno Vx de x, ∃ x1 , x2 ∈ Vx ∩ K1 tal que | f (x1 ) − f (x2 )| ≥ ε .

Supongamos que Kα ha sido definido para todo α < β, β un ordinal fijo. Si β es un límite ordinal, entonces definimos \ Kβ = Kα . α r para todo t ∈ (x − δ, x + δ) ∩ [0, 1] := J. Para estos valores de t,  ´ınf f (t) + n|t − x| ≥ r t∈J

Para los otros valores de t; es decir, para los t ∈ [0, 1] r J, tendremos que |t − x| ≥ δ y así,  ´ınf f (t) + n|t − x| ≥ −M + nδ t∈[0,1]rJ

donde −M es una cota inferior de f . De aquí que fn (x) ≥ r para todo n suficientemente grande. Esto muestra que l´ımn→∞ fn (x) ≥ r, y por lo tanto, l´ım fn (x) ≥ f (x)

n→∞

puesto que f (x) > r era arbitrario. La prueba es completa.



Otra prueba. Uno puede obtener una demostración mucho más breve del resultado anterior si se invoca al Teorema 3.1.4. En efecto, para ello sólo tenemos que verificar que los conjuntos   x ∈ [0, 1] : f (x) < r y x ∈ [0, 1] : f (x) > r

son Fσ para cada r ∈ R. Observemos que por ser f semicontinua inferiormente, para cada α ∈ R el conjunto {x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ α} es cerrado en X y, en consecuencia, ∞   [ x ∈ [0, 1] : f (x) < r = x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ r − 1/n n=1



es un Fσ . Además, como [0, 1] r x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ r es abierto y ya que todo conjunto abierto en un espacio métrico es un Fσ , concluimos que   x ∈ [0, 1] : f (x) > r = [0, 1] r x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ r también es un Fσ .

290

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

(3) Si f : [0, 1] → R tiene un número finito de discontinuidades, entonces f ∈ B1 [0, 1].

Prueba. Sin perder generalidad podemos asumir, y así lo haremos, que los puntos de discontinuidad de f ocurren en (0, 1). Denotemos por Disc( f ) = {d1 , d2 , . . . , d p } el conjunto de discontinuidades de f , donde p ∈ N. Escojamos ahora una sucesión decreciente (εn )∞ n=1 de números positivos que cumpla con lo siguiente: a) l´ımn→∞ εn = 0, y b) los intervalos [d1 − ε1 , d1 + ε1 ], [d2 − ε1 , d2 + ε1 ], . . . , [d p − ε1 , d p + ε1 ] son disjuntos dos a dos y todos contenidos en (0, 1).

Para cada entero positivo n, sean Un =

p [

(dk − εn , dk + εn )

k=1

y definamos la función gn sobre En por ( f (x) gn (x) = f (dk )


 y En = [0, 1] rUn ∪ dk : 1 ≤ k ≤ p , si x ∈ [0, 1] rUn , si x = dk , k = 1, 2, . . . , p.

Puesto que cada En es un conjunto cerrado y gn |En es continua sobre En , podemos construir una extensión lineal fn de gn sobre [0, 1] que es continua sobre [0, 1]. Es realmente fácil verificar que ( fn )∞  n=1 converge puntualmente a f sobre [0, 1]. Por esto, f ∈ B1 [0, 1]. Observación. De nuevo, haciendo uso del Teorema 3.1.4 y la Observación 3.1.22 (7) podemos dar una demostración más corta del resultado anterior. En efecto, sea F un subconjunto perfecto y no vacío de [0, 1]. Como F es no numerable, entonces f |F posee al menos un punto de continuidad. (4) Toda función escalera f : [0, 1] → R pertenece a B1 [0, 1].

Prueba. Recordemos que una función f : [0, 1] → R es una función escalera si ella se puede escribir en la forma n

f (x) = ∑ ai χIi i=1

donde a1 , . . . , an ∈ R y los Ii , i = 1, . . . , n son intervalos de [0, 1] disjuntos dos a dos. Claramente toda función escalera posee un número finito de discontinuidades y gracias al resultado anterior ella pertenece a B1 [0, 1].  Sabemos que χQ∩[0,1] 6∈ B1 [0, 1]; sin embargo, uno puede usar el resultado anterior para demostrar que χQ∩[0,1] ∈ B2 [0, 1], donde B2 [0, 1] es la clase de Baire-2; es decir, los elementos de B2 [0, 1] son limites de sucesiones de funciones que pertenecen a B1 [0, 1]. En efecto, si {q1 , q2 , . . .} es una enumeración de los racionales en Q ∩ [0, 1] y si definimos n

f n = ∑ χqi , i=1

resulta que cada fn es una función escalera y, por lo anterior, fn ∈ B1 [0, 1]. Claramente l´ım fn = χQ∩[0,1] ∈ B2 [0, 1].

n→∞

Sec. 3.2 Funciones que pertenecen a B1 (X)

291

(5) En general, si f : [0, 1] → R es una función con un conjunto a lo más numerable de discontinuidades, entonces f ∈ B1 [0, 1].

Prueba. Sea F ⊆ X un conjunto perfecto no vacío. Entonces F es no numerable por lo que f |F posee al menos un punto de continuidad. El resultado sigue del Teorema 3.1.4. 

(6) Si f : [0, 1] → R es una función acotada y medible Borel, entonces f ∈ B1 [0, 1].

Prueba. Recordemos que f es medible Borel si para cada conjunto abierto G ⊆ R, f −1 (G) es un conjunto de Borel de [0, 1]. Para cada entero m y cada número natural n, sea h m m + 1  En,m = f −1 , . n n Entonces

En,m =

∞ \

f −1

k=1

 m

1 m + 1  − , n k n

por lo que cada En,m es un conjunto de Borel. Para cada x ∈ [0, 1], sea n2

fn (x) =

∑

m=−n2

m · χ (x). n En,m

Entonces f (x) = l´ım fn (x). n→∞

En efecto, si | f (x)| < n, existe un entero m entre −n2 y n2 tal que f (x) ∈ [ mn , m+1 n ) y puesto que fn (x) = mn , entonces se tiene que | fn (x) − f (x)| < 1/n. Además, la convergencia es uniforme.

Por otro lado, como cada fn es una función escalera, se sigue de (4) que fn ∈ B1 [0, 1] y por el Teorema 3.1.1 (3), f ∈ B1 [0, 1]. 

(7) Si f : [0, 1] → R es de variación acotada sobre [0, 1], entonces f ∈ B1 [0, 1].

Prueba. Puesto que f es la diferencia de dos funciones monótonas y ya que toda función monótona posee a lo sumo una cantidad numerable de puntos de discontinuidad, entonces Disc( f ) es a lo más numerable. Sea F cualquier subconjunto perfecto no vacío de [0, 1]. Como F es no numerable, entonces f |F posee al menos un punto de continuidad. El resultado sigue del Teorema 3.1.4. 

(8) Si f : [0, 1] → R es diferenciable en cada punto de [0, 1], entonces f ′ ∈ B1 [0, 1]. En particular, f ′ es continua en un subconjunto Gδ -denso de [0, 1]. Esto fue establecido en (A13), página 45. (9) Sea f ∈ B1 (X ). Si g : X → R es una función tal que Hε = {x ∈ X : | f (x) − g(x)| > ε} es finito para cada ε > 0, entonces g ∈ B1 (X ). Prueba. Para cada n ∈ N, consideremos la función gn : X → R definida por ( g(x) si | f (x) − g(x)| > 1n , gn (x) = f (x) en otro caso.

Es claro que gn ∈ B1 (X ) y como la convergencia l´ımn→∞ gn = g es uniformemente sobre X , entonces el Teorema 3.1.1 nos asegura que g ∈ B1 (X ). 

292

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

(10) (Lebesgue). Cualquier función separadamente continua f : R × R → R pertenece a B1 (R2 ). Prueba. Para cada n ∈ N y cada j ∈ Z, definamos las funciones h jn : R → [0, 1] por h jn (x) = m´ax{ 0, 1 − |nx − j| } para todo x ∈ R. Notemos que, fijado n, la colección (h jn )+∞ j=−∞ es una partición de la unidad para R; es decir, para cada x ∈ R, +∞

∑

h jn (x) = 1

j=−∞

y h jn (x) 6= 0 sólo para un número finito de j’s. Finalmente, para cada n ∈ N, las funciones fn : R × R → R definidas por  j  +∞ fn (x, y) = ∑ h jn (x) f n , y 2 j=−∞ para todo x, y ∈ R, son continuas y se cumple que

f (x, y) = l´ım fn (x, y) n→∞

en todo punto (x, y) ∈ R × R.



Observemos que las funciones fn son, gracias a que (h jn )+∞ j=−∞ es una partición de la unidad, combinaciones convexas de funciones continuas de y, con coeficientes que son funciones continuas de x y que el conjunto { 2jn : j ∈ Z, n ∈ N} es denso en R. Este resultado aparece por primera vez en el primer artículo publicado por H. Lebesgue en 1898 ([172]). Más recientemente, en 1981, W. Rudin [241] obtiene el siguiente resultado. Teorema 3.2.1 (Rudin). Sea X un espacio topológico Kσ -generado transportando una medida estrictamente positiva µ. Si K es cualquier espacio de Hausdorff compacto, entonces toda función separadamente continua f : X × K → R es de la primera clase de Baire. La demostración del resultado de Rudin requiere ciertas definiciones y algunos resultados previos. Comencemos recordando que si X es un espacio topológico de Hausdorff X , un subconjunto M de X se llama Kσ si existe una sucesión (Kn )∞ n=1 de subconjuntos compactos de X tal que F=

∞ [

Kn .

n=1

Un espacio topológico de Hausdorff X se llama Kσ -generado si es existe un conjunto Kσ que es denso en X . Notemos que todo espacio topológico separable es Kσ -generado, así como todo espacio de Hausdorff compacto. En general, todo espacio de Banach WCG es Kσ -generado respecto a la topología débil. En efecto, si X es WCG, entonces existe un subconjunto débilmente compacto F de X tal que [F] = X . Pongamos K = co(F ∪ −F). El teorema de Krein-Šmulian nos dice que K es débilmente compacto y, además, convexo y simétrico. Si ahora definimos Kn = nK para cada n ∈ N, S resulta que X = ∞ n=1 Kn . Un espacio topológico de Hausdorff X transporta una medida estrictamente positiva si existe una medida de probabilidad de Borel µ sobre X tal que µ(U ) > 0 para cualquier conjunto abierto no vacío U ⊆ X . También, dado n ∈ N, diremos que X admite una partición de la unidad localmente finita de malla 1/n, si existe una familia (hα,n )α∈Λ de funciones continuas hα,n : X → [0, 1] tales que

Sec. 3.2 Funciones que pertenecen a B1 (X) (a)

∑ hα,n (x) = 1

α∈Λ

293

para todo x ∈ X ,

(b) para cada x ∈ X , existe un entorno abierto Vx de x tal que todas las funciones hα,n , salvo un número finito, son idénticamente nulas sobre Vx y, (c) d-diam(sop(hα,n )) ≤ 1/n, donde sop(hα,n ) = {x ∈ X : hα,n (x) 6= 0}. Es un hecho conocido que todo espacio métrico admite, para cada n ∈ N, una partición de la unidad localmente finita de malla 1/n. Vamos ahora a probar algunos resultados que son necesarios para la prueba del teorema de Rudin. Lema 3.2.1. Sean (X , d) un espacio métrico y Y un espacio topológico de Hausdorff. Para cada n ∈ N, sea (hα,n )α∈Λ una partición de la unidad localmente finita de X de malla 1/n y sea D un subconjunto denso de X tal que hα,n (xα,n ) > 0 para algún xα,n ∈ D. Si f : X ×Y → R es una función que satisface

(a) f y : X → R es continua para cada y ∈ Y , y (b) fx : Y → R es continua para cada x ∈ D,

y si para cada entero positivo n, se define Fn : X ×Y → R por Fn (x, y) =

∑ hα,n (x) f (xα,n , y),

(∗)

α∈Λ

entonces cada Fn es continua sobre X ×Y , y f (x, y) = l´ım Fn (x, y) n→∞

en cualquier punto (x, y) ∈ X ×Y . Prueba. Observemos que la continuidad de Fn es una consecuencia inmediata de la local finitud de la familia (hα,n )α∈Λ . Fijemos (x, y) ∈ X ×Y y sea ε > 0. Como f y : X → R es continua en x, existe un n0 ∈ N tal que | f (ξ, y) − f (x, y)| < ε para todo ξ ∈ U (x, 1/n0 ). Si n > n0 y α ∈ Λ es un índice para el cual hα,n (x) > 0, entonces nuestra hipótesis sobre (hα,n )α∈Λ nos muestra que d(x, xα,n ) < 1/n0 , de modo que | f (xα,n , y) − f (x, y)| < ε. Se sigue de (∗) y la definición de (hα,n )α∈Λ que | Fn (x, y) − f (x, y)| < ε para todo n > n0 . Esto prueba que Fn (x, y) converge a f (x, y). Recordemos que: k◮

Si X es un espacio de Hausdorff compacto y si alguna sucesión ( fn )∞ n=1 de C(X ) separa los puntos de X , entonces X es metrizable.



294

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire En efecto, la métrica d : X × X → R definida por ∞

d(x, y) =

| fn (x) − fn (y)|

∑ 2n (1 + | fn(x) − fn (y)|)

n=1



para todo x, y ∈ X hace el trabajo. Lema 3.2.2. Sea (X , τ) un espacio topológico de Hausdorff.

(a) Si X es Kσ -generado y si alguna sucesión ( fn )∞ n=1 de C(X ) separa los puntos del conjunto Kσ , entonces X es separable. (b) Si X es separable, entonces cualquier subconjunto compacto de (C(X ), τ p ) es metrizable. (c) Si X es Kσ -generado, entonces cualquier subconjunto numerable y τ p -compacto de C(X ) es metrizable. Prueba. (a) Como X es Kσ -generado, existe una sucesión (Kn )∞ n=1 de compactos de X tal que X = S∞ S∞ ∞ n=1 Kn . Sea F = n=1 Kn . Si ( fn )n=1 es una sucesión de C(K) separando los puntos de F, entonces ( fn )∞ n=1 separa los puntos de cada Kn y, así, por la observación anterior, cada Kn es separable. De esto se sigue que F es separable y como F = X , concluimos que X es separable. (b) Sea E un subconjunto no vacío de C(X ) tal que (E, τ p ) es compacto. Como X es separable, podemos elegir una sucesión (xn )∞ n=1 densa en X . Definamos, para cada n ∈ N, la función ϕn : E → R por ϕn ( f ) = f (xn ) para cada f ∈ E. Se sigue que cada ϕn es τ p -continua y como (xn )∞ n=1 es densa en X , resulta que el conjunto {ϕn : n = 1, 2, . . .} separa los puntos de (E, τ p ). Por la parte (a), aplicada al conjunto (E, τ p ), se concluye que (E, τ p ) es metrizable. (c) Sea E un subconjunto numerable de C(X ) tal que (E, τ p ) es compacto. Asociemos, a cada x ∈ X , el conjunto cerrado  J(x) = z ∈ X : f (z) = f (x) para todo f ∈ E ,

y sea T el correspondiente espacio de identificación; es decir, T es el conjunto de todas las clases de equivalencias J(x) y la topología sobre T se obtiene declarando que un subconjunto V de T es abierto si, y sólo si, J −1 (V ) es abierto en X . Bajo ésta identificación, a cada f ∈ E le corresponde un único e f sobre T tal que f = e f ◦ J. Es claro que e f es continua. Más aún,  Ee = e f : f ∈E separa los puntos de T , y la aplicación

ψ : E → Ee definida por

e τ p ). es un homeomorfismo de (E, τ p ) sobre (E,

ψ( f ) = fe

Puesto que (E, τ p ) es separable, existe un subconjunto A de E que es τ p -denso y numerable. De aquí e= {e se sigue que A y E inducen la misma relación de equivalencia en X y, por consiguiente, A f:f∈ A} separa los puntos de T . Puesto que J es continua, por la parte (a), T es separable y gracias a la e τ p ) es metrizable; en particular, (E, τ p ) es metrizable. parte (b), (E,  Estamos ahora en condiciones de demostrar el teorema de Rudin.

Prueba del Teorema de Rudin. Nuestro primer objetivo es demostrar el siguiente hecho:

Sec. 3.2 Funciones que pertenecen a B1 (X) (⋆)

295

Sea E un subconjunto de C(X ) tal que |g(x)| ≤ 1 para todo g ∈ E y todo x ∈ X . Si (E, τ p ) es compacto, entonces (E, τ p ) es metrizable. τ

En efecto, sea A un subconjunto infinito numerable de E y sea K = A p . Entonces K es τ p -compacto y, por (c) del Lema 3.2.2, se sigue que K es metrizable. Sea g ∈ (E, τ p ) un punto límite de A. Como (K, τ p ) es un compacto metrizable, existe una sucesión (gn )∞ n=1 en A tal que gn → g puntualmente. Por el Teorema de la Convergencia Dominada, Z

X

|gn | dµ →

Z

X

|g| dµ,

es decir, A tiene un punto límite en (E, k·k1 ), donde k·k1 es la norma de L1 (µ). Esto muestra que (E, k·k1 ) es compacto, en particular, separable. Sea B un subconjunto numerable y denso de (E, k·k1 ). Si h ∈ E, entonces existe una sucesión (bn ) en B tal que k bn − hk1 =

Z

X

| bn − h| dµ → 0.

τ

De nuevo, por (c) del Lema 3.2.2 aplicado a B p , existe alguna subsucesión (bn j )∞j=1 de (bn )∞ n=1 tal que bn j → h puntualmente. Como µ es estrictamente positiva, µ(U ) > 0 para cualquier subconjunto abierto no vacío U de X , de τ donde resulta que g = h. Esto prueba que h ∈ B p y, en consecuencia, B es denso en (E, τ p ); es decir, (E, τ p ) es separable. Un llamado, una vez más a la parte (c) del Lema 3.2.2, nos revela que (E, τ p ) es metrizable.  Una vez establecido (⋆), prosigamos con la demostración. Sin perder generalidad, podemos suponer que | f (x, y)| ≤ 1 para todo (x, y) ∈ X × K. Sea  E0 = f y : y ∈ K .

Entonces E0 ⊆ C(X ). Afirmamos que la aplicación π : K → (E0 , τ p ) definida por π(y) = f y es continua y sobreyectiva. En efecto, por definición π es sobreyectiva. Para probar la continuidad de π, sean y ∈ K y V un τ p -entorno de f y en (E0 , τ p ). Entonces existen puntos x1 , . . . , xn en X y ε > 0 tal que

Si ahora definimos



f z ∈ E0 : | f z (xi ) − f y (xi )| < ε, i = 1, . . . , n ⊆ V.

 U = z ∈ K : | f z (xi ) − f y (xi )| < ε, i = 1, . . . , n ,

resulta que π(U ) ⊆ V . La continuidad de las funciones fx nos muestran que U es abierto en K y, por consiguiente, π es continua. Se sigue entonces que (E0 , τ p ) es compacto y, así, por (⋆), (E0 , τ p ) es metrizable. Para finalizar la demostración, definamos ψ : X × (E0 , τ p ) → R por ψ(x, f y ) = f (x, y).

296

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire Puesto que ψ es separadamente continua y (E0 , τ p ) es metrizable, el Lema 3.2.1 nos dice que ψ es el limite de una sucesión de funciones continuas (ψn ), donde cada ψn es de la forma ψn (x, f y ) = ∑ hα ( f y ) f (x, yα ). α

Pongamos Fn (x, y) = ψn (x, π(y)). Entonces Fn ∈ C(X × K), y l´ım Fn (x, y) = l´ım ψn (x, f y ) = ψ(x, f y ) = f (x, y)

n→∞

n→∞



para todo (x, y) ∈ X × K.

(11) Finalizamos esta cadena de ejemplos con un resultado de H. Lebesgue aparecido en: Une propriété caractéristique des fonctions de classe 1, Bull. Soc. Math. de France, 32 (1904), 1-14. Teorema 3.2.2 (Lebesgue). Sea f : [0, 1] → R. Las siguientes son equivalentes: (a) f ∈ B1 [0, 1].

(b) Para cada ε > 0, existe una sucesión (In )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de [0, 1] tal que [0, 1] =

∞ [

In

diam ( f (In )) < ε.

y

n=1

Prueba. (a) ⇒ (b) Supongamos que f ∈ B1 [0, 1] y sea ( fn )∞ n=1 una sucesión de funciones continuas tal que l´ımn→∞ fn (t) = f (t) para cada t ∈ [0, 1]. Dado ε > 0, definamos, para cada n ∈ N, los conjuntos   ε Fn = t ∈ [0, 1] : | fn (t) − fm (t)| ≤ . 3 m=n ∞ \

La continuidad de las funciones fn nos asegura que cada Fn es cerrado. Como l´ımn→∞ fn (t) = f (t) para cada t ∈ [0, 1], se sigue que [0, 1] =

∞ [

Fn .

n=1

En efecto, sea t ∈ [0, 1]. Escojamos n0 ∈ N tal que | fn0 (t) − f (t)| < ahora que si m ≥ n0 , entonces

ε 6

para todo m ≥ n0 . Observemos

| fn0 (t) − fm (t)| ≤ | fn0 (t) − f (t)| + | f (t) − fm (t)| < lo cual significa que t ∈ Fn0 ⊆

ε ε ε + = , 6 6 3

S∞

n=1 Fn .

Sea (Jk )∞ k=1 un cubrimiento numerable de R por intervalos cerrados de longitud < ε y, para cada par de enteros positivos n, k, pongamos Hn,k = Fn ∩ fn−1 (Jk ). Entonces cada Hn,k es cerrado, Fn =

∞ [

Hn,k

y

diam f (Hn,k ) < ε.

k=1

Finalizamos enumerando a {Hn,k : n, k ∈ N} en la sucesión (In )∞ n=1 .

Sec. 3.3 Otras caracterizaciones de f ∈ B1 (X) ∗∗

297

(b) ⇒ (a) Supongamos que (b) se cumple y sea F un subconjunto no vacío de [0, 1]. Sea ε > 0 y escojamos una sucesión (In )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de [0, 1] tal que [0, 1] =

∞ [

In

diam ( f (In )) < ε.

y

n=1

Sea n0 el primer entero positivo tal que F ∩ In0 6= ∅. Como diam f (F ∩ In0 ) < ε, se sigue que f|F posee al menos un punto de continuidad. Un llamado al Teorema Grande de Baire, nos revela que f ∈ B1 [0, 1].  Observación 3.2.29. 1) Sean (T, τ) un espacio topológico de Hausdorff y (X , d) un espacio de métrico. Dada una clase H de subconjuntos de T , una función f : T → X se dice que es σ-fragmentada por conjuntos de H si, para cada ε > 0, existe una sucesión (Tn )n en H tal S que T = {Tn : n ∈ N} y cada Tn tiene la propiedad (Pε )

Para cada subconjunto no vacío C de Tn , existe un subconjunto abierto V de T tal que V ∩C 6= ∅ y d − diam( f (V ∩C)) < ε.

Si H es la familia de todos los subconjuntos (resp. cerrados) de T , entonces diremos que f es σ-fragmentada (resp. σ-fragmentada por conjuntos cerrados). En [138], Jayne, Orihuela, Pallarés y Vera generalizan el resultado de Lebesgue del modo siguiente: k◮

Si (T, τ) es un espacio topológico de Hausdorff y (X , d) es un espacio métrico, entonces cualquier función f ∈ B1 (T, X ) es σ-fragmentable por conjuntos cerrados. En particular, si X es separable entonces, para cada ε > 0, existe una sucesión (In )∞ n=1 de subconjuntos cerrados de E tal que E=

∞ [

In

y

n=1

d − diam ( f (In )) < ε.

2) Otros tipos de funciones que perteneces a B1 [0, 1] son las funciones f : [0, 1] → R que son aproximadamente continuas ([109], Theorem 14.9, p. 228). Similarmente, las derivadas aproximadas de las funciones aproximadamente continuas pertenecen a B1 [0, 1] ([109], Theorem 14.12, p. 229).

3.3. Otras caracterizaciones de f ∈ B1 (X) ∗∗ Existen otras formulaciones equivalentes para funciones que son de la primera clase de Baire. Nuestro primer ejemplo involucra a la pareja ε − δ como en el caso de las funciones continuas. Este resultado es de Peng-Yee Lee, Wee-Kee Tang y Dongsheng Zhao [173] y establece que: s – 1 (Peng-Yee Lee, Wee-Kee Tang y Dongsheng Zhao) Teorema 3.3.1 (Lee-Tang-Zhao). Sean (X , dX ) y (Y, dY ) espacios métricos completos separables y f : X → Y una función. Las siguientes condiciones son equivalentes. (a) f es de la primera clase de Baire.

298

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire (b) Para cada ε > 0, existe una función δ : X → (0, ∞) tal que dY ( f (x), f (y)) < ε

siempre que

dX (x, y) < m´ın{δ(x), δ(y)}.

Combinando los resultados del Lema 3.1.3 y el Teorema 3.1.3 obtenemos el siguiente resultado de G. Myerson [197]: s – 2 (G. Myerson) Teorema 3.3.2 (Myerson). Sean X un espacio Polaco y S un subconjunto no vacío de X . Las siguientes condiciones son equivalentes. (a) Existe una función f ∈ B1 (X ) con S = {x ∈ X : f (x) 6= 0}.

(b) S es un Fσ .

La próxima caracterización debida a S. J. Agronsky, J. G. Ceder y T. L. Pearson [4] requiere de la siguiente definición: Un conjunto G abierto relativo a [0, 1] × R se llama una banda abierta siempre que dom G = [0, 1] y cada sección transversal vertical de G es un intervalo abierto. s – 3 (S. J. Agronsky, J. G. Ceder y T. L. Pearson) Teorema 3.3.3 (Agronsky-Ceder-Pearson). Sea f : [0, 1] → R una función. Son equivalentes: (a) f ∈ B1 [0, 1].

(b) f es la intersección de una sucesión de bandas abiertas. (c) f es el limite puntual de una sucesión (pn )∞ n=1 de funciones poligonales teniendo sus vértices sobre f . Otra noción que involucra una caracterización de las funciones de la primera clase de Baire es la siguiente: Una trayectoria es cualquier sucesión xb = (xn )∞ n=1 de puntos distintos de [0, 1] la cual es densa en [0, 1]. Para cada trayectoria fijada, digamos xb = (xn )∞ n=1 , y cada unión finita H de intervalos, denotemos por r(b x, H) el primer xn que pertenezca a H. La ruta del primer retorno a x ∈ [0, 1] asociado a xb, R(b x, x), se define como (
r xb,U|x−wk (x)| (x) si x 6= wk (x) w1 (x) = x1 , wk+1 = x si x = wk (x), donde U|x−wk (x)| (x) es el intervalo abierto con centro x y radio |x − wk (x)|.

Diremos que f : [0, 1] → R es recobrable en el primer retorno respecto a xb en x si f (x) = l´ım f (wk (x)), k→∞

y si esto ocurre para cada x ∈ [0, 1], diremos que f es recobrable en el primer retorno respecto a xb. Finalmente, decimos que f es recobrable en el primer retorno si es recobrable en el primer retorno con respecto a alguna trayectoria. U. B. Darji, M. J. Evans y R. J. O’Malley en [65] probaron el siguiente resultado:

Sec. 3.4 Aplicaciones del Teorema Grande de Baire

299

s – 4 (U. B. Darji, M. J. Evans y R. J. O’Malley) Teorema 3.3.4 (Darji-Evans-O’Malley). Sea f : [0, 1] → R. Las siguientes son equivalentes: (a) f ∈ B1 [0, 1].

(b) f es recobrable en el primer retorno.

3.4. Aplicaciones del Teorema Grande de Baire Dos resultados fundamentales serán establecidos sin prueba en esta sección. Uno de ellos se debe a H. P. Rosenthal ([236]) el cual establece la primera caracterización de los espacios de Banach que no contienen copias de ℓ1 , mientras que el otro resultado es producto de los esfuerzos de J. Bourgain, D. H. Fremlin y M. Talagrand ([40]) basados en un resultado anterior debido a H. P. Rosenthal y que describe los subconjuntos compactos de (B1 (X ), τ p ). Estos resultados son hermosos, sus pruebas profundas y no triviales y sus aplicaciones fascinantes. En todo lo que sigue (X , k·k) es un espacio de Banach sobre R. Recordemos que si (xn )∞ n=1 es una sucesión acotada en X , entonces ∗ ∗ ∗ a) (xn )∞ n=1 es débilmente de Cauchy si l´ım x (xn ) existe para cada x ∈ X . n→∞

1 b) (xn )∞ n=1 es una ℓ -sucesión si existe una constante c > 0 tal que

n

n

c ∑ |αi | ≤ ∑ αi xi

i=1 i=1

para todo n ∈ N y todo α1 , . . . , αn en R.

Observemos que si definimos C = sup k xi k, entonces i=1,...,n

n

n n

c ∑ |αi | ≤ ∑ αi xi ≤ C ∑ |αi |

i=1

i=1 i=1

para todo n ∈ N y todo α1 , . . . , αn en R. Denotemos por [(en )] el subespacio lineal de ℓ1 generado por la sucesión (en )∞ n=1 , donde en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) para cada n ∈ N. Las anteriores desigualdades establecen que la aplicación lineal T : [(en )] → X definida por ! n

T

∑ ei xi

i=1

n

= ∑ αi xi i=1

es un isomorfismo. Puesto que el subespacio [(en )] es norma denso en ℓ1 , el isomorfismo T se puede extender de modo único a todo ℓ1 . A dicha extensión la seguiremos denotando por T . Puesto que k em − en k1 = 1 para todo m, n ∈ N con m 6= n, resulta claro que la sucesión (en )∞ n=1 de 1 ℓ no posee ninguna subsucesión débilmente de Cauchy y que toda ℓ1 -sucesión se comporta del mismo modo. De aquí se sigue que 1 Una sucesión (xn )∞ n=1 es una ℓ -sucesión si, y sólo si, ella no posee ninguna subsucesión débilmente de Cauchy.

300

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

Podemos ahora formular uno de los resultados más profundo e importante sobre la caracterización de los espacios de Banach que no poseen copias isomorfas de ℓ1 . Teorema 3.4.1. (Rosenthal-Dor) Sea (X , k·k) un espacio de Banach (real o complejo). Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) Toda sucesión acotada en X posee una subsucesión débilmente de Cauchy. (2) X no posee copias de ℓ1 . Este resultado de Rosenthal-Dor abrió las puertas para un estudio en profundidad de la estructura de los espacios de Banach. Por ejemplo, los libros de Diestel ([79]) y van Dulst ([84]) dan cuentan de la profundidad de ese resultado así como algunas de sus aplicaciones. Cuando uno se asoma por la rendija de la puerta que esconde la estructura de los espacios de Banach, el resultado de Rosenthal-Dor permite descubrir una propiedad de los espacios débilmente secuencialmente completos que era sólo conocida para L1 . En efecto, M. I. Kadec y A. Pełczy´nski ([143]) habían demostrado que: L1 contiene un subespacio isomórfico a ℓ1 . El teorema de Rosenthal-Dor nos conduce a la obtención de un resultado más general que el de KadecPełczy´nski ya que L1 es un espacio de Banach débilmente secuencialmente completo que no es reflexivo (véase, por ejemplo, [237]). Recordemos que un espacio de Banach se dice que es débilmente secuencialmente completo si cada sucesión débilmente Cauchy es débilmente convergente. Corolario 3.4.1. Sea X un espacio de Banach débilmente secuencialmente completo. Entonces X es reflexivo o bien contiene un subespacio isomorfo a ℓ1 . Prueba. Supongamos que X no contiene ningún subespacio isomórfico a ℓ1 y sea (xn )∞ n=1 en BX . Por ′ )∞ el Teorema de Rosenthal-Dor, (xn )∞ posee una subsucesión débilmente Cauchy (x n n=1 y como X es n=1 converge débilmente a algún elemento de BX . Esto nos débilmente secuencialmente completo, (x′n )∞ n=1 dice que BX es débilmente secuencialmente compacto y, gracias al teorema de Eberlein-Šmulian, BX es débilmente compacto. Como una consecuencia de un resultado bien conocido de R. C. James sobre compacidad débil, X es reflexivo (ver, por ejemplo, [79], pág. 18).  Antes de formular el resultado de J. Bourgain, D. H. Fremlin y M. Talagrand [40], es menester pasearnos por algunas definiciones y resultados ya conocidos para así poder situarnos en el marco apropiado. Recordemos que: Si (X , τ) es un espacio topológico de Hausdorff y si K ⊆ X , decimos que:

(a) K es relativamente secuencialmente compacto si toda sucesión en K posee una subsucesión convergente en X . (b) K es relativamente numerablemente compacto si toda sucesión en K posee un punto de acumulación en X . (c) K es secuencialmente denso en su clausura si cada x ∈ K es límite de alguna sucesión de K.

Situándonos en un espacio métrico cualquiera, el siguiente resultado establece que sucesiones son suficientes para caracterizar a los espacios compactos que viven en dichos espacios, una propiedad altamente envidiada por casi todos los espacios topológicos.

Sec. 3.4 Aplicaciones del Teorema Grande de Baire

301

k◮ (C1) Sea (X , d) un espacio métrico y sea K ⊆ X . Son equivalentes: (1) K es relativamente compacto.

(2) K es relativamente secuencialmente compacto. (3) K es relativamente numerablemente compacto. Este hermoso resultado sigue siendo válido para algunos espacios que no son metrizables. Por ejemplo, si X es un espacio de Banach de dimensión infinita, entonces, como ya hemos visto, (X , ω) (X provisto con la topología débil) es un espacio no metrizable, sin embargo, gracias al teorema de Eberlein-Šmulian, los conjuntos compactos en (X , ω) satisfacen las equivalencias dadas en (C1). Los resultados anteriores condujeron a la búsqueda de espacios topológicos más generales que satisfacieran las tres equivalencias anteriores. Nacen así los espacios angelicales. Definición 3.4.1. Un espacio topológico de Hausdorff (X , τ) se llama angelical si cada subconjunto numerablemente compacto F de X es: (1) relativamente compacto en X , y (2) secuencialmente denso en su clausura. Es un hecho ya establecido que en espacios angelicales las nociones de compacidad, compacidad numerable y compacidad secuencial son equivalentes. Lo que Haskell Rosenthal [237], Jean Bourgain, David Fremlin y Michael Talagrand [40] demuestran por medio de sofisticadas y nada convencionales técnicas topológicas es que si X es un espacio Polaco, entonces B1 (X ), provisto de la topología de la convergencia puntual τ p , es angelical. Teorema 3.4.2 (Rosenthal-Bourgain-Fremlin-Talagrand). (B1 (X ), τ p ) es angelical para cualquier espacio Polaco (X , τ). Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Sabemos que la inyección canónica J : X → X ∗∗ dada por (Jx)(x∗ ) = x∗ (x) para todo x ∈ X y todo x∗ ∈ X ∗ , es una isometría; es decir, se cumple que k Jxk = k xk para todo x ∈ X . Esta afortunada circunstancia permite identificar a X como un subespacio norma cerrado de X ∗∗ y pensar a cada x ∈ X como un funcional lineal ω∗ -continuo definido sobre X ∗ . Desde este punto de vista, el Teorema de Goldstine se puede presentar en los siguientes términos: BX es ω∗ -denso en BX ∗∗ ; esto es, ω∗ BX = BX ∗∗ . Por supuesto, esto significa que dado cualquier x∗∗ ∈ BX ∗∗ , existe una red (xα )α∈D en BX convergiendo a x∗∗ en la ω∗ -topología. La pregunta natural es: ¿bajo qué condiciones puede uno sustituir redes por ∗∗ sucesiones; es decir, cuándo puede uno encontrar una sucesión (xn )∞ n=1 en BX que converja a x en la ∗ ∗∗ ω -topología, cualquiera sea x ∈ BX ∗∗ ? Antes de la aparición del resultado de Odell-Rosenthal, varias soluciones parciales eran conocidas. Por ejemplo: (1) cuando X es separable y reflexivo, (2) cuando X ∗ es separable, o (3) cuando X es débilmente compacto generado (WCG).

302

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

En el caso en que X es separable vamos a demostrar, como una aplicación del Teorema Grande de Baire, el siguiente resultado de E. Odell y H. P. Rosenthal (véase, [208] y también [79], Theorem 10, p. 236). Teorema 3.4.3. (Odell-Rosenthal) Sea (X , k·k) un espacio de Banach separable. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X no contiene copias de l1 . (b) Cada elemento de BX ∗∗ es el ω∗ -límite de una sucesión de BX . Los preparativos para la demostración de este resultado requieren de una adecuada interpretación de los elementos que viven en X ∗∗ . Para ello invocaremos la caracterización del Teorema Grande de Baire. Comenzaremos con la siguiente definición. Definición 3.4.2. Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Un elemento x∗∗ ∈ X ∗∗ se llama un funcional de la primera clase de Baire si existe una sucesión (xn )∞ n=1 en X tal que l´ım x∗ (xn ) = x∗∗ (x∗ )

n→∞

para cada x∗ ∈ X ∗ ; es decir, x∗∗ es el ω∗ -límite de la sucesión (xn )∞ n=1 . ∗∗ Denotaremos por B∗∗ 1 (X ) el conjunto de todos los funcionales de la primera clase de Baire en X , ∗∗ ∗∗ ∗∗ e (X ) representará el conjunto de todos los elementos x en X tal que, para cada mientras que B 1 subconjunto ω∗ -cerrado F de X ∗ , la restricción de x∗∗ a F, x∗∗ |F , posee al menos un punto de ω∗ ∗∗ e ∗∗ continuidad. Por supuesto, B∗∗ 1 (X ) ⊆ B1 (X ). En el transcurso de esta sección veremos que B1 (X ) = e ∗∗ (X ) siempre que X sea separable y no contenga copias de ℓ1 . B 1 Supongamos ahora que nuestro espacio de Banach X es separable y denotemos por K la bola dual BX ∗ ⊆ X ∗ , provista de la topología ω∗ . Entonces K es un espacio métrico compacto y, en particular, un espacio Polaco. En esta sección, B1 (K) denotará el espacio de todas las funciones acotadas f : K → R que son de la primera clase de Baire. Puesto que X puede ser naturalmente identificado con un subespacio norma-cerrado de C(K) y, similarmente, X ∗∗ puede también ser identificado con un subespacio normacerrado de A∞ (K), el espacio de Banach de todas las funciones afines acotadas sobre K con la norma del supremo, el Teorema de Odell-Rosenthal se puede reescribir del modo siguiente siempre que cada elemento x∗∗ de X ∗∗ ⊆ A∞ (K) se piense como una función (acotada) definida sobre K.

Teorema de Odell-Rosenthal. Si (X , k·k) es un espacio de Banach separable, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X no contiene copias de l1 . (b) X ∗∗ ⊆ B1 (K). Observe que, desde este punto de vista, el Teorema de Odell-Rosenthal muestra que si X es un espacio de Banach separable, entonces su doble dual X ∗∗ , con la topología ω∗ , consiste sólo de funciones de la primera clase de Baire definida sobre la bola unitaria de X ∗ si, y sólo si, X no contiene copias isomórficas de ℓ1 . Como un aperitivo para lo que viene vamos a probar el siguiente resultado:

Sec. 3.4 Aplicaciones del Teorema Grande de Baire

303

k◮ (C2) Si Ω es un espacio de Hausdorff compacto, entonces B∗∗ 1 (C(Ω)) y B1 (Ω) son identificables. Prueba. En primer lugar notemos que la aplicación δ : Ω −→ BC(Ω)∗ ω 7→ δω

permite sumergir a Ω en BC(Ω)∗ , donde δω : C(Ω) → R viene dada por δω ( f ) = f (ω) para cada f ∈ C(Ω). De aquí se sigue que la aplicación e δ : C(Ω)∗∗ −→ ℓ∞ (Ω) definida por

(e δx∗∗ )(ω) = x∗∗ (δω )

e ∗∗ asigna a cada x∗∗ ∈ B∗∗ 1 (C(Ω)) la función f := δx ∈ B1 (Ω). Recíprocamente, si f ∈ B1 (Ω), entonces existe una sucesión ( fn ) en C(Ω) tal que fn (ω) → f (ω) para cada ω ∈ Ω. Por el Teorema 3.1.1 (1), podemos suponer, y así lo haremos, que k fn k∞ ≤ sup {| f (ω)| : ω ∈ Ω} para todo n ∈ N. Invocando al Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue, tenemos que l´ım

Z

n→∞ Ω

fn dµ =

Z

Ω

f dµ

para cada µ ∈ M(Ω) = C(Ω)∗ . Gracias al Teorema de Representación de Riesz esto significa que l´ım µ ( fn ) = µ ( f ),

n→∞

para cada µ ∈ M(Ω) = C(Ω)∗ ; en otras palabras, f es el ω∗ límite de una sucesión de elementos de C(Ω) y así, f ∈ B∗∗  1 (C(Ω)). Para poder abordar la demostración del Teorema de Odell-Rosenthal vamos a requerir un poco más que el resultado anterior. Para comenzar, consideremos el espacio de Hausdorff BC(Ω)∗ el cual es compacto en la ω∗ -topología. Por lo que resta de esta sección pondremos K := (BC(Ω)∗ , ω∗ ). Lo que tenemos en mente es el siguiente resultado: Lema 3.4.1 (Lema Básico). Sean (X , k·k) un espacio de Banach y x∗∗ ∈ X ∗∗ . Son equivalentes: (1) x∗∗ ∈ B∗∗ 1 (X ). (2) x∗∗ |K ∈ B1 (K). La demostración del Lema Básico se obtendrá como consecuencia de dos resultados adicionales, siendo el primero de ellos el siguiente: Lema 3.4.2. Sea x∗∗ ∈ C(Ω)∗∗ . Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) x∗∗ ∈ B∗∗ 1 (C(Ω)). (2) x∗∗ |K ∈ B1 (K).

304

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

Prueba. Lo probado anteriormente dice que (1) ⇒ (2), por lo que la implicación (2) ⇒ (1) es la que requiere prueba. Supongamos entonces que (2) se cumple pero que (1) es falso; es decir, supongamos que x∗∗ |K ∈ B1 (K) pero que x∗∗ 6∈ B∗∗ 1 (C(Ω)). Observemos que esta suposición implica que x∗∗ δ ∈ B1 (Ω), donde δ : Ω → K es la aplicación definida por δ(ω) = δω para cada ω ∈ Ω y δω es la medida de Dirac concentrada en ω ∈ Ω. Esto, en combinación con el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue, permite concluir que el funcional y∗∗ ∈ M(Ω)∗ definido por ∗∗

y (µ) =

Z

Ω

x∗∗ δω dµ(ω)

∗∗ pertenece a B∗∗ 1 (C(Ω)). Se sigue de la implicación (1) ⇒ (2) que y |K ∈ B1 (K). Definamos ahora

z∗∗ = x∗∗ − y∗∗ . Es claro que z∗∗ |K ∈ B1 (K). Este funcional será el encargado de producir la contradicción que buscamos. En efecto, como mostraremos de inmediato, apelando al Teorema Grande de Baire, veremos que z∗∗ |K 6∈ B1 (K). Para demostrar lo anterior es importante resaltar tres propiedades importantes que posee z∗∗ . (I ) z∗∗ (µ) = 0 para toda µ ∈ M(Ω) que es puramente atómica.

En efecto, observemos en primer lugar que para cualquier ω0 ∈ Ω, y∗∗ (δω0 ) =

Z

Ω

x∗∗ (δω ) dδω0 (ω) = x∗∗ (δω0 )

por lo que z∗∗ (δω0 ) = 0. Pero, además, como cualquier µ ∈ M(Ω) puramente atómica está en el subespacio lineal cerrado generado por el conjunto {δω : ω ∈ Ω}, resulta que z∗∗ (µ) = 0. (II ) z∗∗ (ν) > 0 para alguna medida ν ∈ P(Ω).

Veamos esto. Notemos que z∗∗ 6= 0, pues en caso contrario, x∗∗ = y∗∗ ∈ B∗∗ 1 (C(Ω)) contrario a ∗∗ nuestra suposición. De aquí se sigue que z (ν) 6= 0 para algún ν ∈ M(Ω). Podemos asumir que ν ≥ 0, ya que si z∗∗ se anula sobre el conjunto de todas la medidas no negativas M + (Ω) ⊆ M(Ω), ella debería anularse sobre M + (Ω) − M +(Ω) = M(Ω), y entonces, z∗∗ = 0. Más aún, normalizando y, posiblemente, multiplicando por −1, podemos asumir, y así lo haremos, que z∗∗ (ν) > 0 para alguna medida ν ∈ P(Ω).

(III ) Existen una constante c > 0 y una µ ∈ P(Ω) tal que z∗∗ (λ) ≥ c > 0

para cada λ ∈ P(sop µ) tal que λ 0 tal que ν([ϕ(ω) ≥ c]) > 0.

Notemos que si λ ∈ P(Ω) se anula sobre [ϕ(ω) < c], entonces Z

Ω

ϕ dλ =

Z

[ϕ(ω)≥c]

ϕ dλ ≥ c.

Todo lo anterior nos permite definir, sin ambigüedad, la medida µ ∈ P(Ω) por µ(B) =

ν(B ∩ L) , ν(L)

donde

L = [ϕ(ω) ≥ c].

Es claro que si λ ∈ P(sop µ) y λ 0.

Esto prueba (III). ¿A qué nos conduce realmente estas tres propiedades de z∗∗ ? Veamos. Hemos visto que z∗∗ se anula sobre los miembros puramente atómicos de M(Ω) y, además, es mayor que cualquier número real positivo c sobre aquellas medidas de probabilidad definidas sobre el soporte de µ que son µ-continuas. Cabe entonces preguntarse: ¿Tendrá z∗∗ algún punto de continuidad sobre el conjunto P(sop µ)? La respuesta es no. En efecto, sabemos que los conjuntos Ppa (sop µ) = {λ ∈ P(sop µ) : λ es puramente atómica} y Pac = {λ ∈ P(sop µ) : λ 0. Esta contradicción establece que el misterioso z∗∗ no posee puntos de continuidad en el conjunto cerrado P(sop µ) de M(Ω) y, entonces, por el Teorema Grande de Baire, z∗∗ |K 6∈ B1 (K). Esto finaliza la prueba del lema.  El segundo eslabón en la cadena de resultados que requerimos en la prosecución de la prueba del Lema Básico requiere recordar el siguiente resultado:

306

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire Si X es un subespacio del espacio de Banach Y , entonces X ∗∗ es isométricamente isomorfo a X ⊥⊥ en Y ∗∗ ,

donde A⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ (a) = 0 para todo a ∈ A} para A ⊆ X . Lema 3.4.3. Sea (Y, k·k) un espacio de Banach y X un subespacio de Y . Identifique X ∗∗ con el subespa∗∗ cio X ⊥⊥ de Y ∗∗ . Sea G ∈ X ∗∗ tal que G ∈ B∗∗ 1 (Y ). Entonces G ∈ B1 (X ). Más aún, si k Gk = 1, entonces ∞ ∗ existe una sucesión (xn )n=1 en BX convergiendo a G en la ω -topología. ∞ ∗ Prueba. Puesto que G ∈ B∗∗ 1 (Y ), existe una sucesión (yn )n=1 en Y tal que G = ω − l´ımn yn . Afirmamos que dist(BX , co {yn , yn+1 , · · · }) = 0, para todo n ∈ N.

En efecto, si esto no fuera cierto existiría algún n ∈ N para el cual se cumpliría la desigualdad dist(BX , co {yn , yn+1 , . . .}) > 0. Podemos ahora invocar el Teorema de Hahn-Banach para producir un y∗ ∈ Y ∗ tal que 0 ≤ sup y∗ (BX ) < ´ınf y∗ (yk ). k≥n

Pero, por otro lado, el Teorema de Goldstine nos dice que |G(y∗ )| ≤ sup |y∗ (BX )| < ´ınf |y∗ (yk )|

≤ l´ım y∗ (yk ) = G(y∗ ). n

Esta evidente contradicción prueba que la distancia de BX a co {yn , yn+1 , . . .} es cero para cada n ∈ N. De lo acabado de demostrar se sigue que para cada entero positivo n, podemos encontrar un xn ∈ BX y un σn ∈ co {yn , yn+1 , . . .} tal que l´ımn→∞ k xn − σn k = 0. Puesto que yn → G en la ω∗ -topología de Y ∗∗ , ∗ ∗∗ entonces lo mismo ocurre con la sucesión (σn )∞ n=1 ; es decir, σn → G en la ω - topología de Y . Pero ∗ ∗∗ esto implica que xn → G en la ω - topología de Y y, por supuesto, por el Teorema de Hahn-Banach esto implica que xn → G en la ω∗ -topología de X ∗∗ .  Estamos listo para probar el Lema Básico. Prueba del Lema Básico. La demostración sigue inmediatamente de los dos lemas anteriores observando que todo espacio de Banach X se puede sumergir en C(BX ∗ , ω∗ ).  Recordemos que nuestro interés es demostrar el teorema de Odell-Rosenthal el cual se puede reescribir en la siguiente forma, donde K = (BX ∗ , ω∗ ) Teorema 3.4.4. (Odell-Rosenthal) Sea (X , k·k) un espacio de Banach separable. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X no contiene copias de l1 . (b) X ∗∗ ⊆ B∗∗ 1 (X ).

Sec. 3.4 Aplicaciones del Teorema Grande de Baire

307

(c) X ∗∗ ⊆ B1 (K). Ya hemos avanzado en el camino para la demostración de éste resultado. Nuestra estrategia ahora es mostrar que si X es separable y si existe un x∗∗ ∈ X ∗∗ que no está en B∗∗ 1 (X ), entonces X contendrá una copia de ℓ1 . Observemos que si x∗∗ ∈ X ∗∗ no está en B∗∗ (X ), entonces por el Lema Básico, x∗∗ no está 1 ∗ en B1 (K) y así, por el Teorema Grande Baire, existe un subconjunto ω - cerrado F de BX ∗ tal que x∗∗ es siempre ω∗ - discontinua sobre F. De hecho, uno puede “medir” que tan discontinuo es x∗∗ a través del siguiente resultado. Lema 3.4.4. Sea K un espacio de Hausdorff compacto. Si f : K → R es una función acotada sin puntos de continuidad, entonces existe un subconjunto cerrado no vacío L de K y números reales r y δ con δ > 0 tal que la siguiente condición se cumple: Para cualquier subconjunto no vacío relativamente abierto U de L, existen y, z ∈ U tal que f (y) > r + δ y f (z) < r.

(∗)

Prueba. Para cada n ∈ N, sea  Cn = x ∈ K : si U es un conjunto abierto conteniendo a x, existen y, z ∈ U tal que f (y) − f (z) > 1/n . S

Puesto que f no posee puntos de continuidad, K = ∞ n=1 Cn . Además, como cada Cn es cerrado en K, el Teorema de Categoría de Baire nos provee de la existencia de un N tal que CN tiene interior no vacío. Pongamos UN = int(CN ) y sean KN = UN y δ = 1/N. Tenemos ahora que si V es un subconjunto no vacío relativamente abierto de KN , entonces UN ∩V es un subconjunto abierto no vacío de KN , y así, existen y, z en UN ∩ V para el cual f (y) − f (z) > δ. Sea (rn ) una enumeración de todos los racionales. Para cada n ∈ N, sea Fn el conjunto ( ) x ∈ KN : si U es abierto conteniendo a x, existen y, z ∈ U ∩ KN Fn = con f (z) < rn < rn + δ < f (y). S

De nuevo, es fácil establecer que cada Fn es cerrado y, por lo probado anteriormente, KN = ∞ n=1 Fn . Aplicando una vez más el Teorema de Categoría de Baire, obtenemos la existencia de un Fp con interior no vacío, al que denotaremos por Vp . Definiendo L = Vp y r = r p conseguimos (∗).  Recordemos que una sucesión (An , Bn )∞ n=1 de pares de subconjuntos de algún conjunto S, se dice independiente siempre que: (1) An ∩ Bn = 0/ para todo n ∈ N, y (2) para cualquier par de subconjuntos finitos y disjuntos F y G de N, \

n∈F

An ∩

\

n∈G

/ Bn 6= 0.

Lema 3.4.5. Sean L un espacio de Hausdorff compacto y f : L → R una función acotada. Suponga que r y δ son números reales con δ > 0 y suponga que se cumple la condición

308

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire Para cada subconjunto no vacío relativamente abierto U de L, existen y, z en U con f (y) > r + δ y f (z) < r.

(∗∗)

Asuma, además, que f está en la clausura puntual de alguna familia acotada G de C(L). Entonces existe una sucesión (gn ) en G tal que la sucesión de pares (An , Bn )∞ n=1 es independiente, donde An = [gn (x) < r] y Bn = [gn (x) > r + δ] para todo n. Prueba. Por (∗∗) existen a, b ∈ L con f (a) > r + δ y f (b) < r. Puesto que f está en la clausura puntual de G, podemos elegir una función g1 en G tal que g1 (a) > r + δ

g1 (b) < r.

y

Consideremos ahora los conjuntos abiertos y no vacíos A1 := [g1 (x) > r + δ]

B1 := [g1 (x) < r].

y

Usemos de nuevo (∗∗), pero ahora aplicado a los abiertos A1 y B1 , para obtener puntos a11 , a12 en A1 y b11 , b12 en B1 para los cuales f (a11 ), f (b11 ) > r + δ y f (a12 ), f (b12 ) < r. Escojamos g2 en G tal que g2 (a11 ), g2 (b11 ) > r + δ

g2 (a12 ), g2 (b12 ) < r.

y

Consideremos los conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos A2 := [g2 (x) > r + δ]

y

B2 := [g2 (x) < r].

Notemos que a11 ∈ A1 ∩ A2 ,

a12 ∈ A1 ∩ B2 ,

b11 ∈ B1 ∩ A2 ,

b12 ∈ B1 ∩ B2 .

Repitamos, una vez más, el procedimiento anterior a los conjuntos abiertos A2 y B2 , para obtener puntos a21 , a22 , a23 , a24 en A2 , donde f es mayor que r + δ, y puntos b21 , b22 , b23 , b24 en B2 , donde f es menor que r. Continuando con este proceso, que en principio parece claro, podemos finalizar la demostración.  Estamos ahora en posición de los argumentos para demostrar el resultado de Odell-Rosenthal. Prueba del Teorema de Odell-Rosenthal. Basta demostrar, en vista del Lema Básico, las equivalencias (a) y (b). Supongamos que (a) se cumple pero no (b). Entonces existe un x∗∗ ∈ BX ∗∗ tal que x∗∗ 6∈ B∗∗ 1 (X ). Por el Lema Básico esto significa que f := x∗∗ |K 6∈ B1 (K) y, así, por el Teorema Grande de Baire, existe un subconjunto no vacío ω∗ - compacto L de BX ∗ tal que f |L no tiene puntos de ω∗ - continuidad. Por el Lema 3.4.4, existen un subconjunto cerrado no vacío L0 de L y números reales r y δ > 0 tal que para cualquier subconjunto relativamente abierto no vacío U de L0 , existen y, z ∈ U tal que f (y) > r + δ y f (z) < r. Sabemos que cada x ∈ BX ⊆ X ∗∗ puede ser pensado como un elemento de C(BX ∗ , ω∗ ) vía la aplicación x : BX ∗ → R dada por x(x∗ ) = x∗ (x) para todo x∗ ∈ BX ∗ , pero además, como la topología puntual y la ω∗ topología ω∗ son la misma sobre BX ∗∗ y ya que BX ∗∗ = BX , (Teorema de Goldstine), resulta entonces τ BX ∗∗ = BXp ; es decir, f está en la clausura puntual de BX ⊆ C(BX ∗ , ω∗ ). Lo anterior en combinación con el ∞ Lema 3.4.5, producen una sucesión (xn )∞ n=1 en BX tal que la sucesión de pares de conjuntos (An , Bn )n=1 es una sucesión independiente, donde An = [xn (x) < r] y Bn = [xn (x) > r + δ] para todo n con r y δ obtenidos en parágrafo anterior.

Sec. 3.4 Aplicaciones del Teorema Grande de Baire Veamos ahora que

309



δ k

k

a x

∑ n n ≥ ∑ |an |

2 n=1

n=1

para cualquier sucesión (an )kn=1 en R. En efecto, sea (an )kn=1 en R con ∑kn=1 |an | = 1 y consideremos los subconjuntos de N, F = {i ≤ k : ai ≥ 0} y G = {i ≤ k : ai < 0}. Puesto que la sucesión (An , Bn )∞ n=1 es T T T T / Sean independiente, tenemos que n∈F An ∩ n∈G Bn 6= 0/ y n∈G An ∩ n∈F Bn 6= 0. k1 ∈

Entonces

\

n∈F

An ∩

\

n∈G

Bn

y k2 ∈

\

n∈G

An ∩

\

Bn .

n∈F



k k k

2 ∑ an xn ≥ ∑ an xn (k1 ) − ∑ an xn (k2 )

n=1

n=1 n=1 = ∑ an xn (k1 ) − xn (k2 ) − ∑ an xn (k1 ) − xn (k2 ) n∈F

n∈G

k

>

∑ |an |(r + δ − r) = δ;

n=1

es decir,



k

δ k

∑ an xn ≥ ∑ |an |

n=1

2 n=1

lo cual significa que X contiene una copia de ℓ1 . Esta contradicción establece que x∗∗ ∈ B∗∗ 1 (X ).

Para probar la implicación (b) ⇒ (a) supongamos que (b) se cumple y sea (xn )∞ n=1 una sucesión acotada en X . Para poder invocar el Teorema de Rosenthal-Dor todo lo que tenemos que hacer es demostrar que (xn )∞ n=1 posee una subsucesión débilmente de Cauchy. Sin perder generalidad, podemos suponer que ∞ ∗ (xn )n=1 está en BX ⊆ BX ∗∗ . Como BX ∗∗ es ω∗ -compacto, (xn )∞ n=1 posee al menos un punto de ω - clausura ∗∗ ∗∗ ∗∗ en BX ∗∗ , digamos x . Pero como por hipótesis x ∈ B1 (X ), entonces existe una subsucesión (xnk )∞ k=1 ∗∗ en la ω∗ - topología. Es claro que (x )∞ de (xn )∞ nk k=1 es la subsucesión débilmente n=1 tal que xnk → x de Cauchy que andamos buscando y entonces el Teorema de Rosenthal-Dor nos dice que X no contiene copias de ℓ1 .  Observación. 1. Lo primero que tenemos que observar es que en la demostración de la implicación (b) ⇒ (a) del Teorema de Odell-Rosenthal no se requiere la separabilidad de X . En consecuencia, vale el siguiente resultado: Si (X , k·k) es un espacio de Banach tal que X ∗∗ ⊆ B1 (K), entonces X no contiene copias de ℓ1 . Otra demostración de éste resultado se puede ver en [84]. 2. El Teorema de Odell-Rosenthal permite mostrar ejemplos de conjuntos compactos de funciones de la primera clase de Baire. En efecto, si X es un espacio de Banach separable no conteniendo copias de ℓ1 , entonces BX ∗∗ es un compacto de funciones de la primera clase de Baire (BX ∗∗ ⊆ B1 (K), donde K = (BX ∗ , ω∗ )). En general, cualquier subconjunto norma-acotado y ω∗ - cerrado de X ∗∗ es un compacto de la primera clase de Baire.

310

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

3. Otro ejemplo de conjunto compacto de funciones de la primera clase de Baire que no depende del Teorema de Odell-Rosenthal es el siguiente. Si X es un espacio Polaco, entonces el conjunto D = {δx : x ∈ X } ∪ {0}

es un conjunto compacto de B1 (X ), donde δx es la medida de Dirac de x ∈ X . 4. Conjuntos compactos de funciones de la primera clase de Baire poseen la siguiente propiedad: Cualquier subconjunto compacto de funciones de la primera clase de Baire contiene un subespacio denso metrizable. (Véase, por ejemplo, ([265], Theorem 1)). Como una aplicación del Teorema de Odell-Rosenthal tenemos el siguiente resultado (ver [243]). Teorema 3.4.5 (Saab-Saab). Sea (X , k·k) un espacio de Banach. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X no contiene copias de ℓ1 ; e ∗∗ (X ). (2) X ∗∗ ⊆ B 1

Antes necesitaremos el siguiente resultado.

e ∗∗ (X ), Lema 3.4.6. Sean X y Y espacios de Banach y T : Y → X un operador lineal acotado. Si X ∗∗ ⊆ B 1 entonces para cualquier subconjunto ω∗ -compacto K de X ∗ , cualquier funcional lineal y∗∗ ∈ Y ∗∗ fragmenta al compacto (T ∗ (K), ω∗ ). En particular, la restricción de y∗∗ a (T ∗ (K), ω∗ ) posee al menos un punto de continuidad. Prueba. Sea K un subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ y sea y∗∗ ∈ Y ∗∗ . Para ver que y∗∗ fragmenta al compacto (T ∗ (K), ω∗ ) tomemos un subconjunto arbitrario ω∗ -cerrado B de T ∗ (K) y sea ε > 0. Pongamos A = (T ∗ )−1 (B) ∩ K. Entonces A es un subconjunto ω∗ -compacto de X ∗ satisfaciendo T ∗ (A) = B. Sea A1 un subconjunto ω∗ -compacto minimal (bajo inclusión) de X ∗ tal que T ∗ (A1 ) = B. Puesto que el funcional e ∗∗ (X ); es decir, A1 contiene un subconjunto lineal y∗∗ T ∗ ∈ X ∗∗ , nuestra hipótesis nos dice que y∗∗ T ∗ ∈ B 1 relativamente ω∗ -abierto W tal que diam(y∗∗ T ∗ (W )) ≤ ε. Sea B1 = T ∗ (A1 r W ). Entonces B1 es un subconjunto ω∗ -compacto de Y ∗ y, además, por la minimalidad de A1 , tenemos que B1 6= B. Sean u, v ∈ B r B1 . Entonces existen u1 , v1 ∈ W tales que u = T ∗ (u1 ) y v = T ∗ (v1 ). Finalmente, | y∗∗ (u) − y∗∗ (v)| = | y∗∗ T ∗ (u1 ) − y∗∗ T ∗ (v1 )| ≤ diam(y∗∗ T ∗ (W )) ≤ ε.

Esto prueba que diam(y∗∗ (B r B1 )) ≤ ε y, por lo tanto, y∗∗ fragmenta a (T ∗ (K), ω∗ ). Uno aplica el Teorema 2.2.27 para completar la prueba.  Prueba del Teorema 3.4.5. La implicación (1) ⇒ (2) e consecuencia del Teorema de Odell-Rosenthal. Vamos a demostrar la implicación (2) ⇒ (1). Supongamos entonces que (2) se cumple pero que X contiene una copia de ℓ1 . Sea T : ℓ1 → X el isomorfismo isométrico entre ℓ1 y el subespacio normacerrado Z = T (ℓ1 ) de X . Entonces T ∗ : X ∗ → ℓ1 es sobreyectivo. Sean y∗ ∈ ℓ∗∞ = ℓ∗∗ 1 y K un subconjunto ∗ ∗ ω -compacto de Bℓ∞ . Por el lema anterior (Lema 3.4.6), la restricción de y a (K, ω∗ ) tiene al menos un punto de continuidad. Por el Teorema Grande de Baire (K es un compacto metrizable, en particular Polaco) y∗ es de la primera clase de Baire. Hemos demostrado que cualquier y∗ ∈ ℓ∗∞ = ℓ∗∗ 1 es de la ∗ ∗ primera clase de Baire lo cual es imposible pues todo y ∈ ℓ∞ r ℓ1 nunca es de la primera clase de Baire  sobre Bℓ∞ . Esta contradicción establece que X ∗ no contiene copias de ℓ1 .

Sec. 3.5 Indices de Szlenk, de Bourgain y de oscilación

311

Observación 3.4.30. Si X es un espacio de Banach no separable, entonces las condiciones (a) X ∗∗ ⊆ B∗∗ 1 (X ), ∗∗ e ∗∗ (X ) (b) X ⊆ B 1

no son necesariamente equivalentes. En efecto, siempre ocurre que (a) implica (b), pero en general (b) no siempre implica (a). En efecto, Elias Saab y Paulette Saab prueban en [243] que c0 (Γ) con Γ no numerable, cumple (b) pero no (a).

3.5. Indices de Szlenk, de Bourgain y de oscilación Las equivalencias dadas en el Teorema Grande de Baire permite definir o asociar, a los subconjuntos cerrados de un espacio métrico compacto, un ordinal numerable que hace posible caracterizar las funciones de la primera clase de Baire. Si bien estos índices se originaron en la búsqueda de espacios de Banach “universales” para cierta clase de espacios de Banach separables, algunas modificaciones conllevan a las caracterizaciones antes señaladas. Los orígenes del uso de índices ordinales en la teoría de los espacios de Banach se remontan desde la aparición del famoso libro de Stefan Banach “Théorie des opérationes linéaires”, en el año de 1932 [15]. Allí, Banach demuestra que C[0, 1] es universal para la clase de todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita, lo cual significa que cualquier espacio de Banach separable es isométricamente isomorfo a un subespacio cerrado de C[0, 1]. Dichos índices comienzan otra vez a ser objeto de estudio por algunos matemáticos cuando Szlenk [258], en el año de 1968, demuestra la imposibilidad de hallar un espacio de Banach separable y reflexivo que sea universal para la clase de todos los espacios de Banach separables y reflexivos. En general, la construcción de algunos índices ordinales permiten medir la complejidad de ciertos aspectos de la estructura de un espacio de Banach separable. Por ejemplo, supongamos que se considera cierta propiedad (P) y queremos ver si un espacio de Banach X la satisface o no. La construcción de un índice en X nos permite saber que si dicho índice es ω1 , el primer ordinal no numerable, entonces X tiene la propiedad (P), mientras que si el índice es un ordinal α < ω1 , entonces X no satisface la propiedad (P). Una ventaja de operar con este tipo de enfoque es que se puede demostrar, de manera indirecta, que X tiene la propiedad (P) mostrando que su índice excede cualquier ordinal α < ω1 . Sean K un espacio métrico compacto y F(K) la familia de todos los subconjuntos cerrados de K. Una derivación en K es una aplicación d : F(K) → F(K) la cual satisface las siguientes propiedades: (a) F ⊆ G ⇒ d(F) ⊆ d(G). (b) d(F) ⊆ F. Podemos iterar derivaciones en el sentido habitual definiendo, para cada ξ ≤ ω1 , d ξ (F) =

\

d(d α (F)).

α 0. Fijemos ε > 0. Ya que, B

X∗

=

 α−1 [

B

β=1

X∗


β ε

r B

X∗

existe un ordinal β, 1 ≤ β < ω1 , tal que F∩



BX ∗


β ε

r BX ∗


β+1 ε


β+1



ε



6= ∅.

De aquí se sigue que existe un conjunto ω∗ - abierto V de X ∗ tal que F ∩V ∩ BX ∗


β ε

6= ∅



diam F ∩V ∩ BX ∗

y


β ε



< ε.

Esto prueba que la restricción de id a F, id|F , posee al menos un punto de continuidad. Un llamado al Teorema Grande de Baire, nos revela que id es de la primera clase de Baire. (3) ⇒ (4). Supongamos que (3) se cumple. Elijamos una sucesión ( fn )∞ n=1 de funciones continuas de (BX ∗ , ω∗ ) en (BX ∗ , k·k) tal que l´ımn→∞ fn = id puntualmente. Puesto que por (B2) el conjunto (BX ∗ , ω∗ ) es separable y como cada fn es continua, entonces fn (BX ∗ ) es norma-separable. Más aún, ya que BX ∗ =

∞ [

n=1

fn (BX ∗ ),

resulta que BX ∗ es norma-separable y, en consecuencia, X ∗ es norma-separable. Finalmente, para demostrar que (4) ⇒ (1) es suficiente probar que Sz(X , ε) < ω1 para cada ε > 0. Como (BX ∗ , ω∗ ) es un ω∗ -compacto metrizable;
α
es decir, un espacio Polaco, se sigue del hecho (H4) que la familia estrictamente decreciente BX ∗ ε α 0. 

314

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

3.5.2. k ◮ Indice de Bourgain Sean K un espacio métrico compacto y f : K → R una función. Para cada par de racionales p, q con p < q, consideremos los conjuntos  [ f ≤ p] = x ∈ K : f (x) ≤ p

y

Definamos K0 = K y para cada ordinal α < ω1 , sea

 [ f ≥ q] = x ∈ K : f (x) ≥ p .

Kα+1 ( f , p, q) = Kα ( f , p, q) ∩ [ f ≤ p] ∩ Kα ( f , p, q) ∩ [ f ≥ q], es decir, ( ) x ∈ Kα ( f , p, q) : para cada ε > 0 y j = 1, 2, existe x j ∈ Kα ( f , p, q) Kα+1 ( f , p, q) = con d(x j , x) ≤ ε, f (x1 ) ≥ q y f (x2 ) ≤ p Como antes, la familia (Kα ( f , p, q))α 0. Definamos [ f
′ Kε = K r V ⊆ K : V es abierto, diam ( f (V )) < ε 
= x ∈ K : osc f |K , x ≥ ε Por inducción transfinita, para cada ordinal α < ω1 , sea  ′ f
(α+1) f
(α) Kε = Kε

y si β es un límite ordinal,

f
(β)

Kε

=

\

α 0, sea (  f
(α) m´ın α : Kε = ∅ , si α existe β( f , ε) = ω1 , en otro caso.

316

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

β( f , ε) nos proporciona un índice el cual mide “cuan lejos” está f de ser continua. Finalmente,  β( f ) = sup β( f , ε) : ε > 0 . El resultado que nos interesa es el siguiente.

Teorema 3.5.3. Sean K un espacio métrico compacto y f : K → X una función. Son equivalentes: (1) f ∈ B1 (K). (2) β( f ) < ω1 . Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que f ∈ B1 (X ) y sea ε > 0. Por el Teorema Grande de Baire, para cada conjunto cerrado F ⊆ K, la restricción f |F posee al menos un punto de continuidad. Puesto que K es cerrado, el conjunto K( f ) = {x ∈ K : f |K es continua en x} es, por hipótesis, no vacío. Observemos que si x ∈ K( f ), entonces existe un entorno abierto Vx de x tal que diam f (Vx ∩ K) < ε y, por consiguiente,
′ Kεf es cerrado en K. Es decir, el hecho de que f ∈ B1 (X ) nos garantiza que la sucesión transfinita estrictamente decreciente   f
(α) Kε α 0 y por inducción transfinita, F ⊆ Kεf para todo α < ω1 . De aquí se sigue que β( f , ε) = ω1 . 

3.6. Semi-encajes Sean X y Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado inyectivo. T es llamado un semi-encaje si T (BX ) es cerrado en Y . Este concepto fue introducido por Lotz, Peck y Porta [179], pero ampliado y potenciado por Bourgain y Rosenthal en [41]. Algunos resultados importantes de los semi-encajes son los siguientes: (1) Si X es un espacio de Banach separable y si X se semi-encaja en un espacio de Banach con la Propiedad de Radon-Nikodým, entonces X tiene la Propiedad de Radon-Nikodym. (2) Si X es un espacio de Banach separable, entonces X ∗ se semi-encaja en ℓ2 . Como ℓ2 tiene la Propiedad de Radon-Nikodym, de los dos resultados anteriores se obtiene una prueba elemental de: (3) Espacios duales separables tienen la Propiedad de Radon-Nikodym. (4) Si X es un espacio de Banach separable, Y es un espacio de Banach y T : X → Y es un semi-encaje, entonces T (K) es un Gδ para cualquier subconjunto cerrado y acotado K de X . El último resultado permite dar la siguiente definición. Un operador (lineal y continuo) inyectivo T : X → Y se llama un Gδ -encaje, si T (K) es un Gδ para cualquier subconjunto cerrado y acotado K de X .

Sec. 3.6 Semi-encajes

317

Notemos que si X es separable y T : X → Y es un semi-encaje, entonces T es un Gδ -encaje. Esta noción de Gδ -encaje tiene la ventaja de ser invariante por isomorfismo y, además, es hereditaria (véase, [41]). La relación entre el Teorema Grande de Baire y los Gδ -encajes viene dado por el siguiente resultado. Teorema 3.6.1. Sean X y Y espacios de Banach separables y T : X → Y un operador inyectivo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) T es un Gδ -encaje. (2) T (BX ) es un Gδ y ϕ = T −1 |T (BX ) es de la primera clase de Baire. Prueba. (1) ⇒ (2). Supongamos que (1) se cumple. Observemos, en primer lugar, que K = T (BX ) es un espacio Polaco. En efecto, puesto que K = T (BX ) es, por hipótesis, un Gδ viviendo en un espacio Polaco, él mismo es un espacio Polaco. Ahora bien, si F es un subconjunto cerrado de X , entonces ϕ−1 (F) = T (F ∩ BX ) es un Gδ y, por el Teorema Grande Baire, ϕ es de la primera clase de Baire. (2) ⇒ (1). Es trivial.  Ghoussoub y Maury, en Gδ -Embeddings in Hilbert spaces, han demostrado que la hipótesis: T (BX ) es un Gδ , en el resultado anterior, es superflua.

318

Cap. 3 El Teorema Grande de Baire

BIBLIOGRAFÍA

[1] J. M. Aarts and D. J. Lutzer, Completeness properties designed for recognizing Baire spaces, Dissertationes Math. 116(1974), 1-48. [2] J. M. Aarts and D. J. Lutzer, Pseudo-completeness and the product of Baire spaces, Pacific J. Math., 48(1973), 1-10. [3] E. Abakumov and J. Gordon, Common hypercyclic vectors for multiples of backward shift, J. Funct. Anal., 200(2003), no. 2, 494–504. [4] S. J. Agronsky, J. G. Ceder and T. L. Pearson, Some characterizations of Darboux Baire 1 functions, Real Anal. Exch., 23(2) (1997/98), 421-430. [5] C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinity Dimensional Analysis: A Hitchhiker’s Guide (3rd ed.), Springer, 2005. [6] D. Amir and J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math., 88(2) (1968), 35-46. [7] A. V. Arhangel’ski˘i, Remainders in compactifications and generalized metrizability properties, Topology Appl. 150(2005), 79–90. [8] S. Ansari, Hypercyclic and cyclic vectors, J. Funct. Anal. 128(1995), 374-383. [9] R. Aron, D. García and M. Maestre, Linearity in non-linear problems, Rev. R. Acad. Cien. Serie A Mat., 95(2001), 7-12. [10] R. Aron, V. I. Gurariy and J. B. Seoane-Sepúlveda, Lineability and spaceability of sets of functions on R, Proc. Amer. Math. Soc., 133(2005), 795-803. [11] R. Aron, D. Pérez-García and J. B. Seoane-Sepúlveda, Algebrability of the set of nonconvergent Fourier series, Studia Math., 175(2006), 83-90. [12] , R. Aron and J. B. Seoane-Sepúlveda, Algebrability of the set of everywhere surjective functions on C, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, (en prensa).

320

BIBLIOGRAFÍA

[13] E. Asplund, Fréchet differentiability of convex functions, Acta Math., 121(1968), 31-47. [14] R. Baire, Sur les functions de variables réelles. Annali di Mat. Pura ed Appl., 3(1899), 1-123. [15] S. Banach, Théorie des opérationes linéaires, Monogr. Mat. 1, Warszawa, 1932. [16] S. Banach, Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen, Studia Math., 3(1931), 174-179. [17] S. Banach and H. Steinhauss, Sur le principe de la condensation de singularites, Fundamenta Math., 9(1927), 51-57. [18] P. Bandyopadhyay and G. Godefroy, Linear structures in the set of norm-attaining functionals on a Banach space, Pre-print Version: April, 2005. [19] D. Basile and J. van Mill, Ohio completeness and products, Pre-print. [20] F. Bayart, Common hypercyclic vectors for composition operators, J. Operator Theory, 52(2004), no. 2, 353–370. [21] F. Bayart, Linearity of sets of strange functions, Michigan Math. Journal, 53(2005), 291-303. [22] F. Bayart, Topological and algebraic genericity of divergence and universality, Studia Math. 167(2005), 161-181. [23] F. Bayart, S. Konyagin and H. Queffélec, Convergence almost everywhere and divergence everywhere of Taylor and Dirichlet series, Real Anal. Exch., 29(2), 2003/2004, 557-586. [24] F. Bayart and É. Matheron, Hypercyclic operators failing the Hypercyclicity Criterion on classical Banach spaces, J. Funct. Anal., 250(2007), 426-441. [25] F. Bayart and L. Quarta, Algebrability of sets of queer functions, Israel J. Math., (en prensa). [26] F. Bayart and L. Quarta, On linability of sets of continuous functions, J. Math. Anal. Appl., 294(2004), 62-72. [27] B. Beauzamy, An operator on a separable Hilbert space with all polynomials hypercyclic, Studia Math., 96(1990), 81-90. [28] B. Beauzamy, Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l’example de P. Enflo, Integral Equations Operator Theory 8(1985), 314-384. [29] Y. Benyamini, Applications of the Universal Surjetivity of the Cantor Set, Amer. Math. Monthly, 105(1998), 832-839. [30] J. Bès and A. Peris, Hereditarily hypercyclic operators, J. Funct. Anal., 167(1999), 94-112. [31] E. Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach spaces is subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc., 67(1961), 97-98. [32] W. W. Bledsoe, Neighbourly functions, Proc. Amer. Math. Soc., 3(1972), 114-115.

BIBLIOGRAFÍA

321

[33] G. D. Birkhoff, Démostration d’un théorème élémentaire sur les functions entières, C. R. Acad. Sci. Paris, 189(1929), 473-475. [34] B. Bolzano, Paradoxes of the Infinite, Routledge and Kegan Paul, London 1950. [35] J. Borwein, L. Cheng, M Fabian and J. P. Revalski, A One Perturbation Variational Principle and Applications, Set-Valued Analysis, 12(2004), 49-60. [36] J. M. Borwein and D. Preiss, A smooth variational principle with applications to subdifferentiability and differentiability of convex functions, Trans. Amer. Math. Soc., 303(1987), 517-527. [37] J. M. Borwein and X. Wang, Subdifferentiability of typical continuous functions, Pre-print. [38] J. M. Borwein and Q. J. Zhu, Techineques of Variational Analysis: An Introduction, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-Newyork, 2004. [39] A. Bourass, B. Ferrahi and N. Saidou, A new characterization of the Radon-Nikodym property, preprint [40] J. Bourgain, D. H. Fremlin and M. Talagrand, Pointwise compact sets of Baire measurable functions, Amer. J. Math., 100(4)(1978), 845-886. [41] J. Bourgain and H. P. Rosenthal, Applications of the Theory of Semi-embeddings to Banach Space Theory, Journal of Funct. Anal., 52(1983), 149-188. [42] R. D. Bourgin, Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodým Property, Lecture Notes in Math. Vol. 993, Spriger Verlag, Berlin, 1983. [43] A. Bouziad, Notes sur la Propiété de Namioka, Trans. Amer. Math. Soc., 344(1994), 873-883. [44] W. Brito, Compacidad Débil en Espacios de Banach y Aplicaciones de un Teorema de R. C. James, Notas de Matemática, 180(1998), 1-42. [45] W. Brito, Impacto de la Topología Débil en Espacios de Banach, Notas de Matemática, 135(1993), 1-129. [46] A. M. Bruckner, Differentiation of Real Functions, Lecture Notes in Math. Vol. 659, Spriger Verlag, Berlin, 1978. [47] A. M. Bruckner, The differentiability properties of typical functions in C[a, b], The Amer. Math. Monthly, 80(1973), 679-683. [48] A. M. Bruckner, J. B. Bruckner and B. S. Thomson, Real Anlysis, Prentice-Hall, 1994. [49] J. Cao and W. Moors, A survey on topological games and their applications in analysis, Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat. Vol., 100(1-2)(2006), 39-49. [50] L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math., 116(1966), 133-157. [51] B. Cascales, I. Namioka and G. Vera, The Lindelöf property and fragmentability, Proc. Amer. Math. Soc., 128 (2000), 3301-3309.

322

BIBLIOGRAFÍA

[52] F. S. Cater, Differentiable, nowhere analytic functions, The Amer. Math. Monthly, 91(1984), 618624. [53] A. L. Cauchy, Course d’anlyse, (1821). ˇ [54] E. Cech, On bicompact spaces, Ann. of Math., 38(1937), 823-844. [55] J. P. R. Christensen, Joint continuity of separately continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 82 (1981), 455-461. [56] J. P. R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Proceedings of the International Symposium on Partial Differential Equations and the Geometry of Normed Linear Spaces (Jerusalen, 1972), vol. 13, 1972, pp. 255-260 (1973). [57] G. Choquet, Lectures on Analysis, Vol. I, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amstrdam, 1969. ˇ [58] M. M. Coban and P. S. Kenderov, Dense Gâteaux differentiability of the sup-norm in C(T ) and the topological properties of T , C. R. Acad. Bulgare. Sci. 38(1985), 1603-1604. ˇ [59] M. M. Coban and P. S. Kenderov, Generic Gâteaux differentiability of convex functionals in C(T ) and the topological properties of T , Math. and Education in Math., Proc. 15th Spring Conf. of the Union of Bulgare Math., 1986, pp. 141-149. ˇ [60] M. M. Coban, P. S. Kenderov and J. P. Revalski, Generic well-posedness of optimization problems in topological spaces, Mathematica, 36(1989), 301-324. ˇ [61] M. M. Coban, P. S. Kenderov and J. P. Revalski, Densely defined selections of multivalued mappings, Trans. Amer. Math. Soc., 344(1994), 533-552. ˇ [62] M. M. Coban, P. S. Kenderov and J. P. Revalski, Topological spaces related to Banach-Mazur game and the generic well-posedness of optimization problems, Set-Valued Analysis, 3(1995), 263-279. [63] J. Conway, Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985. [64] G. Costakis and M. Sambarino, Genericity of wild holomorphic functions and common hypercyclic vectors, Advances in Math. 182(2004), 278-306. [65] U. B. Darji, M. J. Evans and R. J. O’Malley, A first return characterization of Baire 1 functions, Real Anal. Exch., 19 (1993-94), 510-515. [66] M. De La Rosa and C. Read, A hypercyclic operator whose direct sum T Preprint, 2006.

L

T is not hypercyclic,

[67] G. Debs, Points de continuité d’une fonction séparédent continue, Proc. Amer. Math. Soc., 97(1986), 167-176. [68] G. Debs, Pointwise and uniform convergence on a Corson compact space, Topology Appl., 23(1986), 299-303. [69] G. Debs, Strategies gagnantes dans certains jeux topologiques, Fund. Math., 126(1985), 93-105. [70] G. Debs, Espaces héreditairement de Baire, Fund. Math., 129(1988), 199-206.

BIBLIOGRAFÍA

323

[71] G. Debs and J. Saint Raymond, Ensembles boréliens d’unicité et d’unicité au sens large, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 37(1987), 217-239. [72] A. Denjoy, Sur les functions dérivées sommables, Bul. Soc. Math. France, 43(1915), 161-248. [73] R. Deville, Convergence punctuelle et uniforme sur un espace compact, Bull. Acad. Polon. Sci., 37(1989), 7-12. [74] R. Deville and M. Fabian, Principes variationnels et differentiabilite d’applications definies sur un espace de Banach, Publications Math. de la Faculté des Sciences de Besançon, Fas. 11(Année 1988/89). [75] R. Deville and N. Ghoussoub, Perturbed minimization principles and applications, The Pacific Institute for the Mathematical Sciences (PIMS), Preprint, 1(1999), 1-40. [76] R. Dougherty, Examples of non-shy sets, Fund. Math., 144(1994), 73-88. [77] R. Deville and G. Godefroy, Some applications of projective resolutions of identity, Proc. London Math. Soc., 22(1990), 261-268. [78] R. Deville, G. Godefroy and V. Zizler, Smoothness and Renorming in Banach Spaces, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Appl. Math., Longman Scientific and Technical, 1993. [79] J. Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag New York, Inc. 1984. [80] J. Diestel and J. J. Uhl Jr., Vector Measure, Mathematical Surveys No. 15, American Math. Society, Providence, 1977. [81] A. L. Dontchev and T. Zolezzi, Well-Posed Optimization Problems, Lecture Notes in Math., Vol. 1543, Springer-Verlag, 1993. [82] L. Dor, On sequences spanning a complex ℓ1 spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 47(1975), 515-516. [83] J. Dugungji, Topology, Allyn and Bacon, Inc., 1966. [84] D. van Dulst, Characterizations of Banach spaces not containing ℓ1 , CWI Tract 59. Centre for Mathematics and Computer Science, 1989. [85] G. A. Edgar and R. F. Wheeler, Topological properties of Banach spaces, Pacific Jour. of Math., 115(1984), 317-350. [86] I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. Appl., 47(1974), 324-353. [87] P. Enflo, On yhe invariant subspace problem in Banach spaces, Acta Math. 158(1987), 213-313. [88] P. Enflo and V. I. Gurariy, On lineability and spaceability of sets in function spaces. Aun no publicado. [89] R. Engelking, General Topology, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1977. Amer. J. Math., 74(1952), 168-186. [90] M. J. Fabian, Gâteaux Differentiability of Convex Functions and Topology: Weak Asplund Spaces, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley and Sons, Inc., 1997.

324

BIBLIOGRAFÍA

[91] V. Fermaki and V. Nestoridis, A dichotomy principle for universal series, (Por publicarse). [92] V. Fonf, V. I. Gurariy and V. Kadeˇc, An infinite dimensional subspace of C[0, 1] consisting of nowhere differntiable functions, C. R. Acad. Bulgare Sci., 52(1999), 11-12, 13-16. [93] C. K. Fong, Most normal operators are diagonal, Proc. Amer. Math. Soc., 99(1987), 671-672. [94] J. Foran, Fundamentals of Real Analysis, Marcel Dekker, Inc., 1991. [95] Z. Frolík, Generalizations of the Gδ -property of complete metric spaces, Czech. Math. J. 10(1960), 359-379. [96] Z. Frolík, Baire spaces and some generalizations of complete metric spaces, Czech. Math. J. 11(1961), 237-247. [97] F. Galvin and R. Telgársky, Stationary strategies in topological spaces, Topology Appl., 22(1986), 51-69. [98] E. Gallardo Gutiérrez and J. R. Partington, Common hypercyclic vectors for families of operators, (Por publicarse). [99] F. J. García-Pacheco and J. B. Seoane-Sepúlveda, Vector Spaces of Non-measurable Functions, Acta Math. Sinica, English Series, 12(2006), 1-4. [100] F. J. García-Pacheco, M. Martín and J. B. Seoane-Sepúlveda, Lineability, spaceability and algebrability of certain subsets of function spaces, (Por publicar). [101] F. J. García-Pacheco, N. Palmberg and J. B. Seoane-Sepúlveda, Lineability and algebrability of pathologcal phenomena in analysis, J. Math. Anal. Appl., (en prensa). [102] B. R. Gelbaum and J. M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Holden-Day 3rd printing (1966). [103] R. M. Gethner and J. H. Shapiro, Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions, Proc. Amer. Math. Soc., 100(1987), 281-288. [104] J. R. Giles, Convex Analysis with Applications in Differentiation of Convex Functions, Res. Notes in Math., 58 Pitman, 1982. [105] J. R. Giles, P. S. Kenderov, W. B. Moors and S. D. Sciffer, Generic differentiability of convex functions on the dual of a Banach spaces, Pacific J. of Math., 172(1996), 413-431. [106] G. Godefroy, Le Lemme de Baire, http://dma.ens.fr/culturemath [107] G. Godefroy, Some applications of Simons’s inequality, Serdica Math. J. 26(2000), 59–78. [108] G. Godefroy, The Szlenk index and its applications, Extracta Mathematicae, 19(2004), 93-125. [109] R. A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Math. 4, 1994, Amer. Math. Soc. [110] K. -G. Grosse-Erdmann, Recent developments in hypercyclicity, Rev. Real Acad. Cien. Serie A. Mat., 97(2003), 273-286.

BIBLIOGRAFÍA

325

[111] K. -G. Grosse-Erdmann, Universal families and hypercyclic operators, Bull. Amer. Math. Soc., 36(1999), 345-381. [112] V. I. Gurariy and L. Quarta, On lineability of sets of continuous functions, J. Math. Anal. Appl., 294(2004), 62-72. [113] V. I. Gurariy, Subspaces of differentiable functions in the space of continuous functions, Teo. Funktsiˇi Funktsional Anal. i Prilozhen, 4(1967), 161-121. (En ruso). [114] V. I. Gurariy, Subspaces and bases in spaces of continuous functions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 167(1966), 971-973. (En ruso). [115] V. I. Gurariy, Linear subspaces composed of everywhere nondifferentiable functions, C. R. Acad. Bulgare Sci., 44(1991), 13-16. (En Ruso) [116] P. Habala, P. Hajek and V. Zizler, Introduction to Banach Spaces I, II, MATFYZPRESS, Univerzity Karlovy, 1996. [117] R. W. Hansell, J. E. Jayne and M. Talagrand, First class selector for weakly upper semi-continuous multivalued maps in Banach sapces, J. Reine Angew. Math., 361(1985), 201-220. [118] G. Hansel and J. P. Troallic, Quasicontinuity and Namioka’s theorem, [119] R. C. Haworth and R. A. Mccoy, Baire spaces, Dissertationes Mathematicae, 141(1977). [120] S. Hencl, Isometrical embeddings of separable Banach spaces into the set of nowhere approximatively differentiable and nowhere Hölder functions, Proc. Amer. Math. Soc., 128(2000), 3505-3511. [121] J. Hennefeld, A non topological proof of the uniform bounded theorem, The Amer. Math. Monthly, 87(1980), 217. [122] M. Henriksen and J.R. Isbell, Some properties of compactifications, Duke Math. J. 25(1958) 83–106. [123] M. Henriksen, R. Kopperman, M. Rayburn and A. R. Todd, Oxtoby’s pseudocompleteness revisited, Topol. Appl. 100(2000), 119-132. [124] D. Herrero, Limits of hypercyclic and supercyclic operatos, J. Funct. Anal., 99(1991), 179-190. [125] E. W. Hobson, H. P. Hudson, A. N. Singh and A. B. Kempe, Squaring the Circle and other Monographs, Chelsea Pub. Co., 1953. [126] Hu and Smith, On the extremal structure of the unit ball of Banach spaces of weakly continuous functions and their duals, Trans. Amer. Math. Soc., 349(1997), 1901-1918. [127] B. R. Hunt, The prevalence of continuous nowhere differentiable functions, Proc. Amer. Math. Soc. 122(1994), 711-717. [128] B. R. Hunt, T. Sauer and J. A. Yorke, PREVALENCE: A translation-invariant “almost every” on infinite-dimensional spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 27(1992), 217-238.

326

BIBLIOGRAFÍA

[129] B. R. Hunt, T. Sauer and J. A. Yorke, PREVALENCE: an addendum to: “PREVALENCE: A translation-invariant “almost every” on infinite-dimensional spaces”, Bull. Amer. Math. Soc., 28(1993), 306-307. [130] R. A. Hunt, On the convergence of Fourier series, in Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (D. T. Haimo, ed.), Southern Illinois Univ. Press, 1968, 235-255. [131] A. D. Ioffe and R. E. Lucchetti, Generic well-posedness in minimization problems, Abstract and Appl. Anal., 4(2005), 343-360. [132] A. D. Ioffe and A. J. Zaslavski, Variational principles and well-posedness in optimization and calculus of variations, SIAM J. Control Optm., 38(2000), 566-581. [133] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, Norm fragmented weak∗ compact sets, Collectanea Math., 41(1990), 133-163. [134] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, Topological properties of Banach spaces, Proc. London Math. Soc., 66(1993), 651-672. [135] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, σ-fragmented Banach spaces, Mathematika, 39(1992), 161-188. [136] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, σ-fragmented Banach spaces, Mathematika, 39(1992), 197-215. [137] J. E. Jayne, I. Namioka and C. A. Rogers, Fragmentability and σ-fragmentability, Fundam. Math., 143(1993), 207-220. [138] J. E. Jayne, J. Orihuela, A. J. Pallarés and G. Vera, σ-Fragmentability of Multivalued Maps and Selection Theorems, Journal of Funct. Analysis, 117(1993), 243-273. [139] J. E. Jayne and C. A. Rogers, K-analytic sets, in Analytic sets, Academic Press, 1980, 1-181. [140] J. E. Jayne and C. A. Rogers, Borel selectors for upper semi-continuous set-valued maps, Acta Math., 155(1985), 41-79. [141] S. H. Jones, Applications of the Baire Category Theorem, Real Anal. Exch., 23(2) (1997), 363-394. [142] H. J. K. Junnila, Embeddings of weakly compact sets and *-paired Banach spaces, Pre-print. [143] M. Kadec and A. Pełczy´nski, Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces L p , Studia Math., 21(1962), 161-176. [144] J.-P. Kahane, Baire’s category theorem and trigonometric series, Journal d’ Analyse Mathématiques, 80(2000), 143-182. [145] J.-P. Kahane, Probabilities and Baire’s theory in harmonic analysis, J. S. Byrnes (ed.), Twentieth Century Harmonic Analysis - A Celebration (2001), 57-72. Kluwer Acad. Pub. [146] J.-P. Kahane and Y. Katznelson, Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques, Studia Math., 26(1966), 305-306.

BIBLIOGRAFÍA

327

[147] J.-P. Kahane and V. Nestoridis, Séries de Taylor et séries trigonométriques universelles au sens de Menchoff, J. Math. Pures Appl., 79, 9(2000), 855-862. [148] O. Kalenda, Stegall compact spaces wich are not fragmentable, Topol. Appl., 96(1999), 121-132. [149] O. Kalenda, A weak Asplund space whose dual is not in Stegall class, Proc. Amer. Math. Soc., 130(2002), 2139-2143. [150] , A. B. Kharazishvili, Strange functions in real analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 2000. [151] Y. Katznelson and K. Stromberg, Everywhere differentiable, nowhere monotone functions, The Amer. Math. Montly, 81(1974), 349-354. [152] A. Kechris, Set Theory and Uniqueness for Trigonometric Series, en tramite para ser publicado. [153] A. Kechris and A. Louveau, A classification of Baire class 1 functions, Trans. Amer. Math. Soc. 318(1990), 209-236. [154] S. Kempisty, Sur les fonctions quasi-continues, Fund. Math. 19(1932), 184-197. [155] P. S. Kenderov, I. S. Kortezov and W. B. Moors, Continuity points of quasi-continuous mappings, Topol. and its Appl., 109(2001), 321-346. [156] P. S. Kenderov and W. B. Moors, Fragmentability and σ-fragmentability of Banach spaces, J. London Math. Soc., 60(1999), 203-223. [157] P. S. Kenderov and W. B. Moors, Game characterization of fragmentability of topological spaces, in Proceeding of the 25th Spring Conference of the Union Bulgarian Mathematicians, April 1996, Kazanlak, Bulgaria, (1996), 8-18. [158] P. S. Kenderov, W. B. Moors and S. Sciffer, Norm attaining functionals on C(T ), Proc. Amer. Math. Soc., 126(1998), 153-157. [159] P. S. Kenderov and J. P. Revalski, The Banach-Mazur game and generic existence of solutions to optimization problems. Proc. Amer. Math. Soc., 118(1993), 911-917. [160] S. Kierst and E. Szpirajn, Sur certaines singularités des functions analytiques uniformes, Fundamenta Math., 21(1933), 267-294. [161] S. S. Kim and K. H. Kwon, Smooth (C∞ ) but nowhere analytic functions, The Amer. Math. Monthly, 107(2000), 264-266. [162] C. Kitai, Invariant closed sets of linear operators, Ph. D. Thesis, University of Toronto, Toronto 1982. [163] A. N. Kolmogorov, Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout, Fundamenta Math. 4(1923), 324-328. [164] A. N. Kolmogorov, Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout, C. R. Acad. Sci. Paris, 183(1926), 1327-1328. [165] T. Körner, Kahane’s Helson curve, J. Fourier Anal. Appl. Special Issue Orsay, 1993(1995), 325346.

328

BIBLIOGRAFÍA

[166] T. Körner, On the representation of functions by trigonometric series Annals de la Faculté des Sciences de Toulouse 6e , Tome spécial « 100 ans après Th. -J. Stieljes» (1996), 77-119. [167] M. R. Krom, Infinite games and special Baire space extensions, Pacific J. Math., 55(1974), 483487. [168] G. Lancien, A survey on the Szlenk index and some its applications, Rev. Real Acad. Cien. Serie A. Mat., 100(2006), 209-235. [169] D. G. Larman and R. R. Phelps, Gâteaux differentiability of convex functions on Banach spaces, J. London Math Soc., 20(1979), 115-127. [170] M. Lassonde and J. P. Revalski, Fragmentability of sequences of set-valued mappings with applications to variational principles. Proc. Amer. Math. Soc., 133(2005), 2637-2646. [171] H. Lebesgue, Sur les functions représentables analytiquement. Journal Math. Pure ed Appl., 6(1905), 139-216. [172] H. Lebesgue, Sur l’approximation des fonctions. Bull. Sci. Math., 22(1898), 278-287. [173] P-Y. Lee, W-K. Tang and D. Zhao, An equivalent definition of functions of the first Baire class, Proc. Amer. Math. Soc., 129(2000), 2273-2275. [174] D. Lenz and P. Stollmann, Generic subsets in spaces of measures and singular continuous spectrum, Lect. Notes Phys., 690(2006), 333-341. [175] M. Lerch, Über die Nichtdifferenzierbarkeit gewisser Functionen, Crelles Jour. 103(1888), 126138. [176] D. H. Leung and W-K. Tang, Functions of Baire class one. En tramite de publicación. [177] B. Levine and D. Milman, On linear sets in space C consisting of functions of bounded variation, Comm. Inst. Sci. Math. Méc. Univ. Kharkoff, 16(1940), 102-105. (En Ruso) [178] V. Lomonosov, A counterexample to the Bishop-Phelps theorem in complex spaces, Israel Jour. Math., 115(2000), 25-28. [179] H. P. Lotz, N. T. Peck and H. Porta, Semi-embedding of Banach spaces, Proc. Edinburgh Math. Soc., 22(1979), 233-240. [180] F. Martínez-Giménez, Operadores hipercíclicos en espacios de Fréchet, Rev. Colombiana de Math., 33(1999), 51-76. [181] S. Mazur, Über konvex Mengen in linearen normierten Raümen, Studia Math., 4(1933), 70-84. [182] S. Mazurkiewicz, Sur les functions non-dérivables, Studia Math., 3(1932), 92-94. [183] S. Mercourakis and S. Negrepontis, Banach spaces and Topology II, in Recent Progress in General Topology, M. Hušek and J. van Mill, editors. Elsevier Sciences Publishers B. V. (1992), 494-536. [184] S. Mercourakis and E. Stamati, Compactness in the first Baire class and Baire-1 operators, Serdica Math. J., 28(2002), 1-36.

BIBLIOGRAFÍA

329

[185] K. G. Merryfield, A nowhere analytic C∞ function, (Por publicarse). [186] E. Michael, A note on completely metrizable spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 96(1986), 513-522. [187] E. Michael, Almost complete spaces, hypercomplete spaces and related mapping theorems, Topology Appl., 41(1-2)(1991), 113-130. [188] A. W. Miller, Special subsets of the real line, Handbook of set-theoretic topology, Nort-Holland, Amsterdam, 1984, 201-233. [189] A. K. Mirmostafaee, Fragmentability and Joint Continuity, The Math. Student, Vol. 70(2001), 227-230. [190] A. Montes Rodríguez, Banach spaces of hypercyclic vectors, Michigan Math. J., 43(1996), 419436. [191] W. B. Moors, The Relationship between Goldstine’s Theorem and the Convex Point of Continuity Property, Jour. Math. Anal. and Appl., 188(1994), 819-832. [192] W. B. Moors and S. Sciffer, Sigma-fragmentable spaces that are not countable unions of fragmentable subspaces, Topology and its Appl., 119 (2002), 279-286. [193] W. B. Moors and S. Somasundaram, A Gateaux differentiability spaces that is not weak Asplund, Proc. Amer. Math. Soc., 134(2006), 2745–2754. [194] A. P. Morgenstern, Unendlich oft differenzierbare nicht-analytische funktionen, Mathematiche Nachrichten ,44(1938), 74. [195] J. R. Munkers, Topología, 2.a edición, Prentice Hall Inc. 2002. [196] M. Muñoz Guillermo, Índice de K-determinación de espacios topológicos y σ-fragmentabilidad de aplicaciones, Tesis Doctoral, Universidad de Murcia, 2003. [197] G. Myerson, First-Class Functions, The Amer. Math. Monthly, 98(1991), 237-240. [198] T. Nagamizu, On topological spaces with dense completely metrizable subspaces, Pub. Línstitut Math. 54(1993), 120-125. [199] I. Namioka, Radon-Nikodým compact spaces and fragmentability, Mathematika., 34(1987), 258281. [200] I. Namioka, Separate continuity and joint continuity, Pacific J. Math., 51(1974), 515-531. [201] I. Namioka and R. R. Phelps, Banach spaces which are Asplund spaces, Duke Math. J., 41(1975), 735-750. [202] I. Namioka and R. Pol, Mappings of Baire spaces into function spaces and Kadeˇc renorming, Israel J. of Math., 78(1992), 1-20. [203] I. Namioka and R. Pol, Sigma-fragmentability of mappings into C p (K), Topology and its Appl., 89(1998), 249-263. [204] I. Namioka and R. Pol, σ-fragmentability and analyticiy, Mathematika, 43(1996), 172-181

330

BIBLIOGRAFÍA

[205] L. Narici and E. Beckenstein, Topological vector spaces, Marcel Dekker, Inc. New York and Basel, 1985. [206] S. Negrepontis, Banach Spaces and Topology, Handbook of Set-theoretic Topology, Chapter 23, Ed. K. Kunen and J. E. Vaughan, 1984, 1045-1142. [207] V. Nestoridis, Universal Taylor series, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 46(1996), 1293-1306. [208] E. Odell and H. P. Rosenthal, A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ1 , Israel J. Math., 20(1975), 375-384. [209] W. F. Osgood, Non-uniform convergence and the integration of series term by term, Amer. J. Math., 19(1897), 155-190. [210] W. Ott and J. A. Yorke, Prevalence, Pre-print. [211] J. C. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag, New York, 1971. [212] J. C. Oxtoby, The Banach-Mazur game and Banach Category Theorem, in Contributions to the theory of games, Vol. III, Annals of Math. Studies, 39(Princeton 1957), 159-163. [213] J. C. Oxtoby, Cartesian products of Baire spaces, Fund. Math., 49(1961), 157-166. [214] K. R. Parthasarathy, Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press, New York and London. 1967 [215] I. N. Pesin, On the measurability of symmetrically continuous functions, Teo. Funkcii Funkcional Anal. i Prilozen 5(1967), 99-101. [216] R. R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Math., Vol. 1364, Springer-Verlag, 1989. [217] R. R. Phelps and I. Namioka, Banach spaces which are Asplund spaces, Duke Math., 42(1974), 735-749. [218] A. Pinkus, Weierstrass and Approximation Theory, En proceso de ser publicado. [219] Z. Piotrowski, Separate and Joint Continuity, Real Anal. Exchange, 11(1985-86), 293-322. [220] Z. Piotrowski, Separate and Joint Continuity II, Real Anal. Exchange, 15(1989-90), 248-258. [221] Z. Piotrowski, Separate versus Joint Continuity - An Update, in Proceeding of the 29th Spring Conference of the Union Bulgarian Mathematicians, Lovetch, Bulgaria, April 3-6, (2000), 93-106. [222] Z. Piotrowski, The Genesis of Separate versus Joint Continuity, Tatra Mountains Math. Publ., 8(1995), 113-126. [223] Z. Piotrowski and E. Wingler, A Note on Continuity Points of Functions, Real Anal. Exchange, 16(1990-91), 408-414. [224] T. S. S. R. K. Rao, Weakly Continuous Functions of Baire Class 1, Extracta Mathematicae, 15(2000), 207-212.

BIBLIOGRAFÍA

331

[225] J. S. Raymond, Jeux topologiques et espaces de Namioka, Proc. Amer. Math. Soc., 87(1983), 499-504. [226] C. J. Read, A solution to the invariant subspace problem. J. London Math. Soc., 16(1984), 337401. [227] J. P. Revalski, Densely defined selections of set-valued mappings and applications to the geometry of Banach spaces and optimization, Pre-print. [228] J. P. Revalski, The Banach-Mazur Game: Histrory and Recent Developments, Universié des Antilles et de la Guyane, Guadeloupe, France 2003-2004, 1-48. [229] N. K. Ribarska, A note on fragmentability of some topological spaces, C. R. Acad. Bulgare Sci., 43(1990), 13-15. [230] N. K. Ribarska, Internal characterization of fragmentable spaces, Mathematika, 34(1987), 243257. [231] N. K. Ribarska, The dual of Gateaux smooth Banach space is weak star fragmentable, Proc. Amer. Math. Soc., 114(1992), 1003-1008. [232] M. A. Rieffel, Dentable subsets of Banach spaces, with applications to a Radon-Nikodým theorem, Functional Analysis. Proc. Conference, Irvine, Calif. 1966. (Academic Press, 1967). [233] L. Rodríguez-Piazza, Every separable Banach space is isometric to a space of continuous nowhere differentiable functions, Proc. Amer. Math. Soc. 123(1995), 3649-3654. [234] C. A. Rogers and J. E. Jayne, Analytic sets, Academic Press, (1980), 1-181. [235] S. Rolewicz, On orbits of elements, Studia Mmath., 32(1969), 17-22. [236] H. P. Rosenthal, A characterization of Banach spaces containing ℓ1 , Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 71(1974), 2411-2413. [237] H. P. Rosenthal, Some recent discoveries in the isomorphic theory of Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 84(1978), 803-831. [238] H. P. Rosenthal, Point-wise compact subsets of the first Baire class, Amer. Jour. of Math., 99(2) (1977), 362-378. [239] H. P. Rosenthal, The hereditary problem for weakly compactly generate Banach spaces, Compositio Math., 28(1974), 83-111. [240] W. Rudin, Real and Complex Analysis, Tata McGraw-Hill Pub. Co. Ltd. New Delhi, 1974. [241] W. Rudin, Lebesgue’s first theorem. Mathematical Analysis and Applications, Part B. Advances in Mathematics Supplementary Studies, Vol. 7B, Academic Press, New York 1981, 741-747. [242] V. I. Rybakov, Banach spaces with the PC property, Mathematical Notes, 76(2004), 568-577. [243] E. Saab and P. Saab, A dual characterization of Banach spaces not containing ℓ1 , Pacif. J. Math., 105(1983), 415-425.

332

BIBLIOGRAFÍA

[244] J. Saint-Raymond, Jeux topologiques et espaces de Namioka, Proc. Amer. Math. Soc., 87(1984), 499-504. [245] H. Salas, Supercyclicity and weighted shifts, Studia Math., 135(1999), no. 1, 55–74. [246] J. H. Shapiro, Notes on the dynamics of linear operators. http://www.math.msu.edu/˜ shapiro. [247] H. R. Shatery, Complemented subalgebras of the Baire-1 functions defined on the interval [0, 1], International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005:3, (2005), 445-449. [248] H. Shi, Measure-theoretic notions of prevalence, Simon Fraser University, Tesis Doctoral 1997. http://www.collectionscanada.ca/obj/s4/f2/dsk3/ftp05/nq24355.pdf [249] H. Shi, Prevalence of some known typical properties, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXX, 2(2001), 185-192. [250] K. Simon, Some dual statements concerning Wiener measure and Baire category, Proc. Amer. Math. Soc., 106(1989), 455-463. [251] S. M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Graduate Texts in Math. 180, Springer-Verlag, New York, 1998. [252] V. V. Srivatsa, Baire class 1 selectors for upper semicontinuous set-valued maps, Trans. Amer. Math. Soc., 337(1993), 609-624. [253] C. Stegall, Functions of the first Baire class with values in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 111(1991), 981-991. [254] C. Stegall, Optimization of functions on certain subsets of Banach spaces, Math. Ann., 236(1978), 171-176. [255] C. Stegall, Topological spaces with dense subspaces that are homeoporphic to complete metric space and the classification of C(K) Banach spaces, Mathematika 34(1987), 101-107. [256] E. M. Stein and A. Zygmund, On the differentiability of functions, Studia Math., 23(1960), 247283. [257] H. Steinhauss, Anwendungen der Funktionalanalysis auf einige Fragen der reellen Funktionentheorie, Studia Math., 1(1929), 51-81 [258] W. Szlenk, The non-existence of a separable reflexive Banach space universal for all separable reflexive Banach spaces, Studia Math., 30(1968), 53-61. [259] M. Talagrand, Espaces de Baire et espaces de Namioka, Math. Ann., 270(1985), 159-164. [260] M. Talagrand, Deus généralisations d’un théorème de I. Namioka, Pacific J. Math. 81(1979), 239251. [261] R. Telgárski, Topological games: On the 50-th anniversary of Banach-Mazur game, Rocky Mount. J. Math., 17(1987), 227-276. [262] J. Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Master Thesis, Luleâ University of Technology, (2003), 1-94.

BIBLIOGRAFÍA

333

[263] B. S. Thomson, Symmetric properties of Real Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1994. [264] A. R. Todd, Quasiregular, pseudocomplete and Baire spaces, Pacific J. Math., 95(1981), 233-250. [265] S. Todorcevic, Compact subsets of the first Baire class, Jour. Amer. Math. Soc., 12(1999), 11791212. [266] S. Todorcevic, Topics in Topology, Lecture Notes in Math., Vol. 1652, Springer Verlag, 1997. [267] T. C. Tran, Symmetric functions whose set of points of discontinuity is uncountable, Real Anal. Exchange, 12(1986-87), 498-509. [268] P. L. Ul’yanov, Kolmogorov and divergent Fourier series, Russian Math. Surveys, 38:4(1983), 57-100. [269] P. Vrbová, On local properties of operators in Banach spaces, Czechoslovak Math. J., 25(1973), 483-492. [270] X. Wang, Subdifferentiability of real functions, Real Anal. Exchange, 30(2004/2005), 137-172. [271] C. Weil, On nowhere monotonic functions, Proc. Amer. Math. Soc., 56(1976), 388-389. [272] H. E. White, Jr., Topological spaces that are α-favorable for a player with perfect information, in: Proc. Second Pittsburg Internat. Conference, 1972, Lecture Notes in Math., Vol. 378, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg-New York 1974, 551-556. [273] H. E. White, Jr., Topological spaces that are α-favorable for a player with perfect information, Proc. Amer. Math. Soc., 50(1975), 447-482. [274] N. Wiener, Differential space, J. Math. Phys., 58(1923), 131-174. [275] D. Yost, Asplund spaces for beginners, Acta Univ. Carolinae Math. Phys., 34(1993), 159-177. [276] L. Zaíˇek, On differentiability properties of typical continuous functions and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc., 134(2005), 1143-1151. [277] L. Zaíˇek, On preponderant differentiability of typical continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 124(1996), 789-798. [278] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge University Press, Second edition, Vol. I, II, 1968

ÍNDICE ALFABÉTICO

ℓ1 -sucesión, 299 εα -juego, 207 árbol infinito, 163 órbita de un operador, 77 índice de Bourgain, 314 de oscilación, 315 de Szlenk, 312 de Cantor-Bendixson, 275 Birkhoff, G. B., 77 bola abierta, 1 cerrada, 1 Bolzano B., 50 clase de Baire, 37 perfecta de compactos, 37 compactificación de Alexandroff, 25 ˇ de Stone-Cech, 24 conjunto Fσ , 5 Gδ , 5 c-denso, 69 derivado de Cantor-Bendixson, 275 abundante, 6 ambiguo, 5 boreliano, 57 clausura de un, 2 complemento de un, 2 de Gauss nulo, 127

de Haar nulo, 129 de Luzin, 115 de multiplicicdad, 261 de primera categoría, 4 de segunda categoría, 4 de Sierpi´nski, 117 de unicidad, 261 denso, 2 dentable, 162 diámetro de un, 2 equi-medible, 240 fragmentable por abiertos, 251 genérico, 6 interior de un, 2 magro, 4 no magro, 4 nunca denso, 2 predominante, 129 residual, 6 universalmente medible, 128 cuasi siempre, 6 cuasi-cubrimiento abierto, 33 cubrimiento, 31 abierto, cerrado, 31 exhaustivo, 31 derivadas de Dini, 56 dominio de una función multivaluada, 146 esfera, 1 espacio

ÍNDICE ALFABÉTICO α-favorable para BM(X ), 207 α-favorable para CH(X ), 215 α-favorable para KM(X ), 217 α-favorable para KM ′ (X ), 257 β-desfavorable para BM(X ), 207 β-desfavorable para CH(X ), 215 β-desfavorable para KM(X ), 217 β-desfavorable para KM ′ (X ), 257 ˇ Cech-completo, 26 σ-fragmentado, 258 algebralizable, 118 angelical, 301 compacto de Radon-Nikodym, 192 completamente metrizable, 21 débilmente Asplund, 157 débilmente de Stegall, 222 de Asplund, 157 de Baire, 6 de Choquet, 207 de Namioka, 237 de segunda categoría, 4 de Stegall, 222 espaciolizable, 118 fragmentable, 174 fragmentado por una métrica, 174 fuertemente de Choquet, 215 hereditariamente de Baire, 174 linealizable, 118 métrico disperso, 109 norma-fragmentado, 174 ˇ numerablemente Cech-completo, 25 Oxtoby-completo, 28 pseudo-completo, 28 espectro de un operador, 76 estrategia, 206 estacionaria, 208 ganadora, 207 familia U-pequeña, 25 σ-localmente finita, 31 discreta, 230 localmente finita, 31 norma, 74 regularmente creciente, 185

335 filtro base, 33 función M-Lipschitz, 57 de la primera clase de Baire, 276 analítica nunca prolongable, 74 continua nunca diferenciable, 50 continua nunca Lipschitz, 57 continua nunca monótona, 58 cuasi-analítica, 124 de clase C ∞ , 71 de clase C ∞ nunca analítica, 71 diferenciable nunca monótona, 61 Fréchet diferenciable, 150 fragmentada por una métrica, 182 Gâteaux diferenciable, 150 holomorfa, 73 lineal a trozo, 52 multivaluada, 146 multivaluada minimal, 147 multivaluada semicontinua inferiormente, 147 multivaluada semicontinua superiormente, 147 multivaluada usco, 147 nunca monótona, 58 nunca monótona de la 2a especie, 65 oscilante a la derecha, 68 oscilante a la izquierda, 68 propia, 198 puntualmente continua, 175 puntualmente discontinua, 39 que interpola sucesiones, 120 selección, 148 semicontinua inferiormente, 44 semicontinua superiormente, 44 separadamente continua, 231 siempre oscilante, 58 siempre sobreyectiva, 120 simétricamente continua, 70 funcional de la primera clase de Baire, 302 fuertemente expuesto, 164 soporte, 165 funciones de tipo nunca monótonas, 65 equi-fragmentables, 239 Hipótesis del Continuo, 115

336 juego parcial, 206 de Banach-Mazur, 204, 206 de Banach-Mazur-Oxtoby, 205 de Choquet, 215 de Christensen-Saint Raymond, 247 de Kenderov-Moors, 217 detrminado, 211 indeterminado, 211 límite de funciones multivaluadas decrecientes, 197 Lema de Riemann-Lebesgue, 139 de Uryshon, 46 media difusa, 108 medida de Borel, 106, 128 de Borel regular, 106 de Dirac, 108 de probabilidad, 128 de Rajchman, 261 estrictamente positiva, 107 finitamente soportada, 111 Gaussiana no-degenerada, 127 no-atómica, 108 puramente atómica, 108 tensa, 128 transversal, 128 número de Liouville, 268 network, 230 σ-discreta, 230 norma de Kadec-Klee, 141 LUR, 159 operador diagonal, 271 hipercíclico, 77 normal, 271 topológicamente transitivo, 80 oscilación de una función, 278 partición

ÍNDICE ALFABÉTICO relativamente abierta, 185 partida del juego, 206 Principio Estacionario de Cantor-Baire, 274 Principio Variacional ˇ de Coban-Kenderov-Revalski, 201 de Deville-Godefroy-Zizler, 200 de Ekeland, 201 de Lassonde-Revalski, 200 de Stegall, 202 problema de unificación de Baire, 37 bien-formulado, 223 de minimización, 223 de unicidad, 260 problema del subespacio invariante, 75 prolongación analítica de una función, 74 propiedad N(X , K, R), 237 de ω∗ -punto de continuidad, 259 de discontinuidad c-densa, 69 de intersección finita, 10 de Kadec-Klee, 141 de Namioka, 237 de punto de continuidad, 176 de Radon-Nikodým, 163 genérica, 6 genérica, típica o abundante, 15 propiedad de Baire, 261 punto aislado, 18 de condensación, 275 de continuidad, 38 de discontinuidad, 38 expuesto, 164 extremal, 164 fuertemente expuesto, 164 punto más lejano, 160 radio espectral de un operador, 76 local de un operador, 76 rebanada de un conjunto, 162 recta de Sorgenfrey, 12

ÍNDICE ALFABÉTICO refinamiento, 31, 186 fuerte, 31, 186 representación por serie trigonométrica, 86 Rolewicz S., 78 semi-encaje, 316 serie trigonométrica, 86 universal, 96 universal en el sentido de Menchoff, 98 universal en el sentido de Nestoridis, 100 serie trigonométrica, 260 series de Dirichlet siempre divergentes, 93, 125 universales, 95 soporte de una medida, 106 subespacio invariante, 75 hipercíclico, 82 subespacio proximinal, 124 sucesión de funciones multivaluadas decrecientes, 196 de funciones multivaluadas fragmentadas, 197 completa, 33 débilmente de Cauchy, 299 de pares independientes, 307 minimizante, 224 numerablemente completa, 33 Teorema Grande de Baire, 282 Grande de Baire en espacios de Banach, 287 Grande de Namioka, 232, 250 de Acotación Uniforme 1, 134 de Acotación Uniforme 2, 135 de Amir-Lindenstrauss, 245 de Asplund-Namioka-Bourgain, 168 de Baire-Kuratowski, 42 de Banach-Alaoglu, 130 de Banach-Mazur, 55 de Banach-Mazur-Oxtoby, 205 de Banach-Mazur-Oxtoby-Krom-Saint Raymond, 209 de Banach-Mazurkiewicz, 52

337 de Banach-Steinhauss, 135 de Birkhoff, 77 de Bishop-Phelps, 165 de Bledsoe, 194 de Bourgain-Stegall, 171 de Bröndsted-Rockafellar, 196 de Cantor, 260 de Carleson-Hunt, 92 de Categoría de Baire, 6 de Debs, 243 de Debs-Saint Raymond, 261 de Deville, 245 de du Bois-Reymond, 88 de du Bois-Reymond - genérico, 89 de Ekeland-Lelourg, 158 de Encaje de Cantor, 8 de Farmaki-Nestoridis, 105 de Fekete, 97 de Galvin-Telgársky, 208 de Goldstine, 130 de Grothendieck, 245 de Hartogs, 231 de Herrero, Bourdon, Bès, Wengenroth, 82 de James, 173 de Kahane-Katznelson, 92 de Kahane-Katznelson - genérico, 93 de Kahane-Nestoridis, 100 de Kenderov-Kortezov-Moors, 195 de Kenderov-Moors, 218 de Kenderov-Moors-Sciffer, 172 de Kenderov-Revalski, 226 de Kitai, 78 de Kolmogorov, 90 de Kolmogorov - genérico, 90 de Krein-Šmulian, 173 de Krein-Milman, 164 de la Aplicación Abierta, 136 de la Aplicación Inversa, 139 de Lassonde-Revalski, 197 de Lindenstrauss-Troyanski, 172 de Maclane, 77 de Mahlo-Luzin, 116 de Marcinkiewicz, 98 de Mazur, 130, 150 de Menchoff, 98 de Menchoff - genérico, 100

338 de Mergelyan, 101 de Milman, 164 de Montel, 74 de Morgenstern, 71 de Namioka-Phelps-Stegall, 179 de Nestoridis, 104 de Odell-Rosenthal, 302 de Osgood, 133 de Oxtoby, 29 de Phelps-Bourgain, 169 de Ribarska, 188 de Rodríguez-Piazza, 55 de Rosenthal-Bourgain-Fremlin-Talagrand, 301 de Rosenthal-Dor, 300 de Rybakov, 251 de Saint Raymond, 241, 248, 251 de Talagrand, 242 de Transitividad de Birkhoff, 80 Thim J., 50 Thomae K. J., 39 topología de la convergencia puntual, 277 vector hipercíclico, 77 universal, 77 Volterra V., 39 Weierstrass K., 51

ÍNDICE ALFABÉTICO