Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el teorema de completud [3 ed.] 9683675409, 9789683675408

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JOSÉ ALFREDO AMOR MONTAÑO

COMPACIDAD EN LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y SU RELACIÓN CON EL TEOREMA DE COMPLETUD

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el Teorema de Completud 2ª edición, 2006 3ª edición, 2013 Diseño de portada: Laura Uribe

© D. R. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Circuito exterior s/n. Ciudad Universitaria México 04510, D. F. [email protected] ISBN 10: 968-36-7540-9 ISBN 13: 978-968-36-7540-8 Impreso y hecho en México

iii

La formalidad rigurosa de la sintaxis s´olo tiene sentido cuando detr´as de ella se encuentra la riqueza creativa de la sem´antica.

Prefacio La logica matem´atica es una rama m´as de la matem´atica moderna, que en ´ el siglo veinte se desarrollo´ de una manera sorprendente y est´a integrada por cuatro areas: Teor´ıa de Modelos, Teor´ıa de Conjuntos, Teor´ıa de la Recursi´on y Teor´ıa de la Demostraci´on. Inicialmente la logica matem´atica puede considerarse como un modelo ´ matem´atico del razonamiento correcto que al desarrollarse y nutrirse de la teor´ıa intuitiva de los conjuntos y del a´ lgebra universal, dio origen a la teor´ıa de modelos. El Teorema de Compacidad junto con el Teorema de Completud son la puerta de entrada a la Teor´ıa de los Modelos. Compacidad, etimologicamente significa “calidad de compacto”. En la ´ logica matem´atica significa “la existencia de un modelo para cualquier con´ junto infinito de enunciados cuyos subconjuntos finitos tengan modelo”. Este poderoso teorema de enormes aplicaciones en la teor´ıa de modelos y en muy diversas ramas de la matem´atica, puede considerarse, desde el punto de vista sem´antico como el teorema fundamental de la logica ma´ tem´atica. Desde un punto de vista sint´actico tal consideracion ´ ser´ıa para el Teorema de Completud de Godel. ¨ El objetivo central de este libro es el estudio del Teorema de Compacidad, sus aplicaciones y su relacion ´ con el Teorema de Completud. El texto puede considerarse como una monograf´ıa sobre el Teorema de Compacidad en la Logica de Primer Orden y su relacion ´ ´ con el Teorema de Completud de Godel. ¨ En el primer cap´ıtulo se presentan algunos antecedentes, los conceptos necesarios y los resultados preliminares. Despu´es, algunas equivalencias del teorema, su prueba, sus limitaciones y su relacion ´ con compacidad en topolog´ıa. En el cap´ıtulo 2 se presentan algunos corolarios y varias aplicaciones muy interesantes de compacidad en diversas ramas de la matem´atica, como son el problema de los cuatro colores para mapas infinitos, el lema de Konig para a´ rboles infinitos, un modelo no-estandar para la aritm´etica ¨ v

vi

PREFACIO

de los numeros naturales y un modelo para los numeros infinitesimales. ´ ´ Finalmente, en el tercer cap´ıtulo se presentan algunos resultados de tipo sem´antico sobre formas normales de Skolem, los Teoremas de Skolem y de Herbrand, que permiten dar una demostracion ´ sem´antica del Teorema de Completud de Godel en su forma restringida o d´ebil, el cual afirma la ¨ existencia de un sistema formal correcto y completo para la validez universal. Aqu´ı se hace un an´alisis de los conceptos esenciales relacionados con sistemas axiom´aticos. Finalmente se presenta una prueba sem´antica para el Teorema de Completud Extendido de Godel, el cual afirma la existencia ¨ de un sistema formal correcto y completo para la consecuencia logica. ´ Se presenta al final un ap´endice con la demostracion ´ sint´actica del Teorema de Completud Extendido, realizada en forma an´aloga a la demostracion ´ sem´antica del Teorema de Compacidad del cap´ıtulo primero, sustituyendo el concepto “S-consistente” (consistencia relativa al sistema formal S) en lugar del concepto “finitamente satisfacible” (existencia de un modelo para cada subconjunto finito). De este modo queda expl´ıcita la analog´ıa entre los dos teoremas. Aunque el objetivo central es el estudio de la compacidad en la logica ´ de primer orden, hay otros objetivos secundarios, pero muy interesantes, como la relacion ´ del concepto algebraico de isomorfismo y el concepto logico de verdad en estructuras algebraico-relacionales, de la cual se ´ presentan el Teorema del Homomorfismo y varios corolarios interesantes como: isomorfismo entre estructuras implica equivalencia elemental entre ellas, Lowenheim-Skolem para la logica sin identidad, y el hecho de que ´ la relacion ´ de identidad no es axiomatizable o axiom´aticamente definible. Quiero dedicar este libro a mis maestros de logica matem´atica: Dr. ´ Ignacio Jan´e y Dra. Susana Berestovoy. Agradezco al maestro Francisco Zubieta Russi por sus ensenanzas; al maestro Gonzalo Zubieta Russi y al ˜ Dr. Raul ´ Orayen por escucharme y orientarme siempre en mi investigacion. ´ Quiero agradecer tambi´en a mis companeros, los maestros Carlos ˜ Torres, Rafael Rojas, Yolanda Torres, Asuncion ´ Preisser y Lourdes Guerrero, ya que juntos iniciamos de modo autodidacta el camino fascinante de la logica matem´atica y juntos hemos descubierto muchas de sus facetas y ´ sorpresas. Agradezco a todos mis alumnos de mis cursos de logica matem´atica ´ en la Facultad de Ciencias y en la UAM Iztapalapa de quienes tambi´en yo he aprendido. Un agradecimiento especial merece el Dr. Diego Rojas Rebolledo por el trabajo de edicion ´ de texto en LATEX, as´ı como por sus

vii valiosas sugerencias. Para la presente segunda edicion ´ (corregida y aumentada) de este libro, cont´e con los valiosos comentarios y sugerencias del Dr. David Meza Alc´antara a quien agradezco la cuidadosa revision ´ de una version ´ preliminar, lo que ayudo mucho a mejorar el nuevo texto. En la elaboracion ´ en LATEX agradezco la colaboracion ´ de H´ector Miguel Cejudo Camacho quien corrigio´ las erratas de la edicion ´ anterior y capturo´ las muchas modificaciones, siendo las principales el complemento sobre consecuencia logica de Cap´ıtulo 1, as´ı como los importantes cambios rea´ lizados en el Cap´ıtulo 3 donde presento la prueba sem´antica del Teorema de Correctud-Completud Extendido de Godel. ¨ Espero que este libro sea util ´ como texto para los cursos de logica ´ matem´atica en las escuelas y facultades de ciencias y logre motivar a los lectores a seguir avanzando en este tema. Jos´e Alfredo Amor.

Contenido

Prefacio

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Introducci´on

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1 El Teorema de Compacidad para la L´ogica de Primer Orden 1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Conceptos y resultados preliminares . . . . . . . . . 1.1.2 Consecuencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.3 Relaciones entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Equivalencias del Teorema de Compacidad . . . . . . . . . 1.3 Prueba del Teorema de Compacidad . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 El Teorema de Compacidad . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Limitaciones del Teorema de Compacidad . . . . . 1.4 ¿Por qu´e el Teorema de Compacidad en la logica de primer ´ orden, se llama “de compacidad”? . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 1 17 20 29 32 32 40

.

42

2 Aplicaciones del Teorema de Compacidad 2.1 El Teorema de Lowenheim-Skolem . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 El problema de los cuatro colores para mapas infinitos . . . 2.3 Todo conjunto es totalmente ordenable . . . . . . . . . . . . . 2.4 El Lema de Infinitud de Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.5 Un modelo no est´andar para la teor´ıa de los numeros naturales ´ 2.6 Reivindicacion ´ de los infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Un modelo para la teor´ıa de los numeros reales, con ´ numeros infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.6.2 M´etodo general para demostrar propiedades de una relacion ´ ∗ R u operacion ´ ∗ f : principio de transferencia. ix

49 49 51 54 58 62 64 66 71

CONTENIDO

x 2.6.3 2.6.4 3

Finitos, infinitos e infinitesimales. Est´andar y noest´andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

El Teorema de Completud de G¨odel y su relaci´on con el Teorema de Compacidad 77 3.1 Teoremas de equivalencia y formas normales prenex . . . . . 78 3.2 Skolemizacion. ´ Teoremas de Skolem y de Herbrand . . . . . 86 3.3 Sistemas axiom´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Resultados metalogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 ´ 3.5 Una prueba sem´antica del Teorema de Correctud-Completud Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A Prueba Sint´actica del Teorema de Completud-Correctud Extendido de G¨odel 139 A.1 Teorema de Correctud-Completud para Lρ . . . . . . . . . . 139 A.2 Prerrequisitos sint´acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 A.3 Demostracion ´ de la version ´ A del Teorema de CompletudCorrectud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 A.3.1 Sublemas sobre constantes (para el Lema 2) . . . . . . 157

Introducci´on La primera noticia que tenemos del Teorema de Compacidad, data de 1930, cuando Kurt Godel lo presento´ junto con el Teorema de Completud ¨ en su tesis doctoral, en la Universidad de Viena, aunque esta presentacion ´ fue para lenguajes contables. Despu´es, en 1936, el teorema, fue presentado impl´ıcitamente, para lenguajes incontables, en un art´ıculo de Anatolii Malcev; su prueba utiliza funciones de Skolem y el Teorema de Compacidad para la Logica de Enunciados; m´as tarde, el mismo Malcev en un art´ıculo ´ de 1941 dio´ una presentacion ´ expl´ıcita del mismo teorema, para lenguajes incontables y es al parecer la primera vez que se hac´ıa. Como muchos otros resultados matem´aticos, existen diferentes pruebas de este teorema, como la ya cl´asica, de Leon ´ Henkin [Malitz], y otras que utilizan resultados m´as fuertes, como la prueba del Teorema de Compacidad, que hace uso de ultraproductos [Bell & Slomson], debida a Morel, Scott y Tarski (1958). La prueba del Teorema de Compacidad que aqu´ı veremos se har´a utilizando exclusivamente m´etodos sem´anticos y no como usualmente se presenta en muchos libros cl´asicos de Logica, en los que se obtiene el Teorema ´ de Compacidad como corolario del Teorema de Completud Extendido de Godel. El procedimiento que seguiremos para la prueba se basa en el ¨ m´etodo de Henkin, para expandir universos, que es una t´ecnica usual en Logica Matem´atica. A diferencia de la prueba original de Godel, la prueba ´ ¨ de Henkin se generaliza f´acilmente a lenguajes de cualquier cardinalidad. Supondr´e algunos conocimientos y resultados b´asicos de la Teor´ıa de Conjuntos, que pueden verse en [Amor 2005] y en los cap´ıtulos introductorios de [Enderton] y de [Mendelson 1987].

xi

Cap´ıtulo 1

El Teorema de Compacidad para la L´ogica de Primer Orden 1.1

Antecedentes

1.1.1 Conceptos y resultados preliminares Lenguajes de primer orden y su sem´antica Definicion ´ 1.1. Un tipo o signatura es un conjunto ρ de s´ımbolos, de la siguiente forma: [ [ ρ = [ Rn ] ∪ [ Fm ] ∪ C, 1≤n

1≤m

donde Rn es un conjunto de s´ımbolos relacionales de aridad n, Fm es un conjunto de s´ımbolos funcionales de aridad m y C un conjunto de s´ımbolos de constante. La palabra “aridad” denota el numero ´ de argumentos de la relacion ´ o funcion ´ en cuestion, ´ ya que los s´ımbolos relacionales y funcionales solo ´ adquieren sentido cuando se asocia alguna sem´antica o interpretacion ´ al tipo. As´ı, los s´ımbolos relacionales, funcionales y constantes del tipo se interpretar´an respectivamente, como relaciones, funciones y elementos distinguidos en un universo de interpretacion. ´ Supondremos que un s´ımbolo no es una sucesion ´ de s´ımbolos. Para expresarnos en la logica de primer orden, requerimos de un len´ guaje formal de primer orden de algun ´ tipo ρ. Utilizamos el adjetivo de 1

[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

2

primer orden, para indicar que los predicados se aplican unicamente a in´ dividuos, y que la cuantificacion sobre individuos. Esto ´ es unicamente ´ permite distinguirlos de aquellos lenguajes en los que hay predicados que tienen a otros predicados como argumentos o en los cuales, se permite cuantificacion se les deno´ sobre predicados o funciones, a e´ stos ultimos ´ mina lenguajes de orden superior. Definicion ´ 1.2. S´ımbolos de un lenguaje de primer orden de tipo ρ. Los s´ımbolos para construir expresiones de un lenguaje de tipo ρ y al que denotaremos con Lρ , son los siguientes: i) v0 , v1 , . . . , vn , vn+1 , . . .

variables individuales.

ii) (, ), ,.

s´ımbolos auxiliares.

iii) ¬, ∨.

conectivos proposicionales.

iv) ≈.

s´ımbolo de igualdad.

v) ∃.

cuantificador existencial.

vi) Los s´ımbolos de ρ.

todos los s´ımbolos de ρ.

A los s´ımbolos de i) a v) les daremos una interpretacion y ´ canonica ´ les llamamos s´ımbolos logicos; a los s´ımbolos de vi), les daremos una ´ interpretacion de ah´ı que sea ´ variable y les llamamos s´ımbolos no-logicos; ´ ρ el que determine el tipo de lenguaje y el nombre del lenguaje de tipo ρ de primer orden: Lρ . El lenguaje con el que hablamos acerca del lenguaje formal, en este caso espanol ˜ m´as algunas expresiones nuevas, recibe el nombre de metalenguaje. As´ı, nuestras definiciones y afirmaciones acerca del lenguaje formal, est´an dadas en el metalenguaje. Definicion ´ 1.3. Sea ρ un tipo. Una expresi´on de tipo ρ o ρ-expresi´on, es una sucesion ´ finita de s´ımbolos de Lρ . Definicion ´ 1.4. El conjunto de los t´erminos de tipo ρ o ρ-t´erminos, es el menor conjunto X de ρ-expresiones, tal que: i) {vi : 0 ≤ i} ∪ C ⊆ X, donde C ⊆ ρ, es el conjunto de constantes de ρ.

1.1 ANTECEDENTES

3

ii) Si f ∈ Fm ⊆ ρ, 1 ≤ m y t1 , . . . , tm ∈ X, entonces f (t1 , . . . , tm ) ∈ X. Un t´ermino de tipo ρ es un elemento del conjunto de los t´erminos de tipo ρ. Definicion ´ 1.5. Una ρ-f´ormula at´omica es una expresion ´ de la forma: (t1 ≈ t2 ) o P(t1 , . . . , tn ), donde t1 , . . . , tn son ρ-t´erminos y P ∈ Rn ⊆ ρ. Definicion ´ 1.6. El conjunto de las f´ormulas de tipo ρ, es el menor conjunto X de ρ-expresiones, tal que: i) {α : α es una ρ − formula ´ atomica} ´ ⊆X ii) Si α y β est´an en X, entonces (¬α), (α ∨ β) ∈ X. iii) Si α ∈ X y vi ∈ Var = {vi : 0 ≤ i}, entonces (∃vi α) ∈ X. Una ρ-f´ormula es un elemento del conjunto de las formulas de tipo ρ. ´ Observaciones: 1.- En la definicion ´ 1.4, t1 , . . . , tm se usan como variables del metalenguaje o metavariables que var´ıan sobre los t´erminos del lenguaje formal y en la definicion ´ 1.6, α y β se utilizan como metavariables, que representan cualquier ρ- formula de un Lρ . ´ 2.- Las definiciones de t´erminos y de formulas dadas anteriormente fueron ´ hechas de modo recursivo, forma v´alida en Logica Matem´atica, justificada ´ por un teorema general de recursion, ´ v´ease [5]. Definicion ´ 1.7. Adoptaremos las usuales abreviaturas siguientes: i) (α ∧ β), como abreviatura de ¬((¬α) ∨ (¬β)). ii) (α → β), como abreviatura de ((¬α) ∨ β). iii) (α ↔ β), como abreviatura de ((¬α) ∨ β) ∧ (α ∨ (¬β)). iv) (∀vi α), como abreviatura de (¬(∃vi (¬α))). Definicion ´ 1.8. Una ρ-interpretaci´on o ρ-estructura para un lenguaje Lρ , es un par A = hA, Ii, donde: i) A , ∅ (A conjunto no vac´ıo es el universo o dominio de A). S m n ii) I : ρ → A ∪ { f : A → A, 1 ≤ m} ∪ [ {P(A ) : 1 ≤ n}]. (donde P(An ) denota el conjunto potencia de An ), y tal que para cualquier x ∈ ρ: Si x ∈ Rn , I(x) = xA ⊆ An . Si x ∈ Fm , I(x) = xA : Am → A.

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[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

Si x ∈ C, I(x) = xA ∈ A. I es la funcion ´ interpretacion ´ de A sobre el universo A. Usualmente si ρ = {x1 , . . . , xn }, denotaremos a la estructura A = hA, Ii como sigue: A = hA, xA1 , . . . , xAn i. Ejemplo: Si ρ = {P2 , f1 , f2,1 , f2,2 , c0 }, donde P2 ∈ R2 ; f1 ∈ F1 ; f2,1 , f2,2 ∈ F2 y c0 ∈ C (una constante). Entonces una interpretacion ´ posible para Lρ es: B B B B B = hN, PB 2 , f1 , f2,1 , f2,2 , co i = hN, ≤, s, +, ·, 0i.

Si A = hA, Ii es una ρ-estructura, su tipo (denotado ρ(A)) es precisamente el dominio de I, la funcion ´ de interpretacion ´ de A, usualmente, cuando no haya confusion ´ escribiremos simplemente A, para denotar el dominio o universo de A, B para el universo de B, C para el universo de C, etc. Verdad en estructuras (Tarski, 1936) Definicion ´ 1.9. Sea A una ρ-estructura. Una asignaci´on S, para A, es una funcion ´ S : N → A, es decir, una sucesion ´ de elementos de A. Notacion: ´ S∈

N

A = { f : N → A}.

Una asignacion ´ S se conoce tambi´en como estado de las variables ya que intuitivamente cada i ∈ N se corresponde con la variable xi y cada Si con el valor o estado asociado a xi Observaciones: 1.- Dada la asignacion ´ S, S(i/a) denota la nueva asignacion ´ tal que  S , si n , i; S(i/a)(n) = n a , si n = i. 2.- [S(i/a)](j/b), se denota S(i/a, j/b). 3.- S(i/a, j/b) = S( j/b, i/a), si i , j. 4.- S(i/a, j/b) = S( j/b) = S(i/b), si i = j.

1.1 ANTECEDENTES

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Definicion ´ 1.10. La interpretaci´on (o denotacion) ´ de un t´ermino t, bajo una asignaci´on S, en una estructura A, lo que denotaremos mediante tA [S], ser´a un elemento de A, tA [S] ∈ A, definido as´ı: i) Si t = vi , tA [S] = vAi [S] = Si . ii) Si t = c, tA [S] = cA [S] = cA . iii) Si t = f (t1 , . . . , tn ), tA [S] = ( f (t1 , . . . , tn ))A [S] = f A (tA1 [S], . . . , tAn [S]). Definicion ´ 1.11. Dada una ρ-estructura A, una asignacion ´ S ∈ N A, y una ρ-formula α, definimos la relacion: ´ ´ S satisface a la f´ormula α en la estructura A, lo que denotamos A |= α[S], de la siguiente manera: i) A |= (t1 ≈ t2 ) [S] sii tA1 [S] = tA2 [S] ii) A |= P(t1 , . . . , tn ) [S] sii htA1 [S], . . . , tAn [S]i ∈ PA , iii) A |= (¬α)[S] sii A 6|= α[S], iv) A |= (α ∨ β)[S] sii A |= α[S] o A |= β[S], v) A |= (∃vi α)[S] sii hay a ∈ A, tal que A |= α[S(i/a)]. Observaciones: 1.- Con “sii”, abreviamos “si y solo ´ si”. 2.- Para decir que la asignacion α en la estructura ´ S no satisface a la formula ´ A, escribiremos: A 6|= α[S]. Definicion ´ 1.12. (Verdad en una estructura) i) Una formula α, es verdadera en una estructura A, sii A |= α[S], para toda ´ N S ∈ A. Y denotamos este hecho como sigue: A |= α. En el caso anterior tambi´en diremos que A es un modelo de α. ii) Diremos que una formula α es falsa en una estructura A sii A |= ¬α. ´ iii) Una interpretacion sii ´ A es un modelo para un conjunto Σ de formulas ´ toda formula de Σ es verdadera en A. ´ Debemos observar que si una formula no es verdadera en una estructura ´ A, no necesariamente es falsa en A, pues puede ser el caso de que unas sucesiones la satisfagan, mientras otras no, en A.

[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

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Definicion ´ 1.13. (Validez Universal o Validez Logica). ´ Diremos que una ρ-formula α, es universalmente v´alida o l´ogicamente v´alida ´ sii A |= α, para toda ρ-estructura A. Y denotaremos este hecho como sigue: |= α. M´as adelante presentamos ejemplos variados de formulas universalmente ´ v´alidas. Definicion ´ 1.14. La nocion ´ “una presencia de la variable v aparece libre en la formula α”, se define por recursion ´ ´ como sigue: i) v aparece libre en α atomica sii v aparece en α, ´ ii) v aparece libre en (¬α) sii v aparece libre en α, iii) v aparece libre en (α ∨ β) sii v aparece libre en α o v aparece libre en β, iv) v aparece libre en (∃vi α) sii v aparece libre en α y v , vi .

Definicion ´ 1.15. Un ρ-enunciado es una ρ-formula en la cual no aparecen ´ variables libres. Proposicion ´ 1.1. Sea t un ρ-t´ermino cualquiera, α una ρ-f´ormula cualquiera, S y S′ dos asignaciones en una ρ- estructura cualquiera A. a) Si Si = S′i para toda i , tal que vi aparece en t, entonces: tA [S] = tA [S′ ]. b) Si Si = S′i para toda i , tal que vi aparece libre en α, entonces: A |= α[S] sii A |= α[S′ ]. Las demostraciones se hacen por inducci´on sobre la formaci´on de t´erminos y f´ormulas, respectivamente y se dejan como ejercicio. ⋄

1.1 ANTECEDENTES

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Corolario 1.1.1. Sea φ un ρ-enunciado cualquiera y A una ρ- estructura cualquiera, entonces: a) Para cualesquiera S, S′ ∈ N A, A |= φ[S] sii A |= φ[S′ ]. b) A |= φ sii hay S ∈ N A tal que A |= φ[S]. c) A |= φ o A |= (¬φ). (Es decir, φ es verdadera en A o (¬φ) es verdadera en A). Es decir, φ es verdadera o falsa en A, en caso de ser enunciado. Es importante en una formula poder sustituir un t´ermino por otro, tanto ´ por comodidad como por conveniencia, sin embargo, tales sustituciones no se pueden hacer arbitrariamente, pues pueden cambiar el sentido de la expresion, ´ por ello reglamentaremos las sustituciones. Definicion ´ 1.16. Sean t0 , t ρ-t´erminos, sean adem´as v una variable y α una ρ-formula, definiremos por recursion: ´ ´ (t0 )vt que se lee “la sustitucion ´ de t en lugar de cada presencia libre de la variable v en t0 ”, y (α)vt que se lee “la sustitucion ´ de t en lugar de cada presencia libre de la variable v en α”, como sigue: a) Para t´erminos tenemos, (recursivamente)  t, si v = vi ; v Si t0 = vi , (vi )t = vi , si v , vi . Si t0 = c, (c)vt = c. Si t0 = f (t1 , . . . , tn ), ( f (t1 , . . . , tn ))vt = f ((t1 )vt , . . . , (tn )vt ). b) Para formulas tenemos, (recursivamente) ´ i) Atomicas ´ (t1 ≈ t2 )vt = ((t1 )vt ≈ (t2 )vt ), (P(t1 , . . . , tn ))vt = P((t1 )vt , . . . , (tn )vt ). ii) Formulas compuestas ´ (¬α)vt = ¬((α)vt ), (α ∨ β)vt = ((α)vt ∨ (β)vt ),  (∃vi α) , si v = vi ;    v v ∃v ((α) ) , si v , vi y vi no aparece en t o v no aparece libre en α; (∃vi α)t =  i t   vi v ∃z((α)z )t ), si v , vi y vi aparece en t y v aparece libre en α. (Donde z es la primera nueva variable z , v que no aparece en (∃vi α), ni en t). Observar que si v no aparece libre en α, entonces (α)vt = α para cualquier α y cualquier t; por induccion ´ sobre α.

[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

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Ejemplo: Consideremos la siguiente formula: (∃w¬(w ≈ v))vf (c,w) , donde ´ w, v son variables y f (c, w) un t´ermino. Entonces, como v aparece libre en la formula, v , w y w aparece en el t´ermino, por definicion ´ ´ la formula ´ anterior es igual a: ∃z(¬(w ≈ v)wz )vf (c,w) , considerando que la formula ¬(w ≈ v)wz es por definicion: ´ ´ ¬(z ≈ v), tenemos que la formula resultante es: ´ ∃z¬(z ≈ v)vf (c,w) , ya que v aparece libre en la formula y z no aparece en f (c, w), la formula ´ ´ final es: ∃z¬(z ≈ f (c, w)). Observacion: ´ y

En otros textos de logica matem´atica se define (α)t de modo diferente para ´ el caso existencial, ya que se pide que vi no aparezca en t. Esta peticion ´ se conoce como: “x es libre para t en α” o como “(α)vt es admisible”. Con nuestra definicion ´ cualquier sustitucion ´ es admisible y sin restricciones. Teorema 1.2. (Teorema de Sustitucion) ´ Sean t, t0 ρ-t´erminos, α una ρ-f´ormula, A una ρ-estructura y S una asignaci´on S ∈ N A, entonces: 1) tA0 [S(i/tA [S])] = ((t0 )vt i )A [S]. 2) A |= α[S(i/tA [S])] sii A |= (α)vt i [S]. Informalmente, este teorema afirma que la sustitucion ´ de objetos en la interpretacion, ´ se corresponde con la sustitucion ´ de s´ımbolos en el lenguaje. Demostraci´on: 1) (Inducion ´ sobre la formacion ´ de t´erminos.) Con H.I. abreviamos Hipo´ tesis Inductiva. ( vA [S] = ((vn )vt i )A [S], si i , n; ∗ A A i) vn [S(i/t [S])] = An t [S] = ((vn )vt i )A [S] , si i = n. [∗ Por Proposicion ´ 1 y por definicion ´ 1.16 a).]

1.1 ANTECEDENTES

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ii) cA [S(i/tA [S])] = cA [S] = ((c)vt i )A [S]. iii) ( f (t1 , . . . , tn ))A [S(i/tA [S])] = = f A (tA1 [S(i/tA [S])], . . . , tAn [S(i/tA [S])]), . . . def. de interp. de t´erminos. = f A (((t1 )vt i )A [S], . . . , ((tn )vt i )A [S]), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.I. = ( f ((t1 )vt i , . . . , (tn )vt i ))A [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de interp. de t´erminos. = (( f (t1 , . . . , tn ))vt i )A [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion. ´ 2) Por induccion de s´ımbolos de la formula α. Probamos ´ sobre el numero ´ ´ 2) para formulas de n s´ımbolos, suponiendo su verdad para formulas con ´ ´ menos de n s´ımbolos. i) A |= (t1 ≈ t2 ) [S(i/tA [S])] sii tA1 [S(i/tA [S])] = tA2 [S(i/tA [S])], . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi A vi A sii ((t1 )t ) [S] = ((t2 )t ) [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por 1), sii A |= ((t1 )vt i ≈ (t2 )vt i ) [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ sii A |= (t1 ≈ t2 )vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion. ´ ii) A |= P(t1 , . . . , tn ) [S(i/tA [S])] sii htA1 [S(i/tA [S])], . . . , tAn [S(i/tA [S])]i ∈ PA , . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi A vi A A sii h((t1 )t ) [S], . . . , ((tn )t ) [S]i ∈ P , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por 1), sii A |= P((t1 )vt i , . . . , (tn )vt i )[S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ sii A |= (P(t1 , . . . , tn ))vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion. ´ iii) A |= (¬α) [S(i/tA [S])] sii A 6|= α [S(i/tA [S])], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi sii A 6|= (α)t [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.I., sii A |= ¬(α)vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi sii A |= (¬α)t [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion. ´ iv) A |= (α ∨ β) [S(i/tA [S])] sii A |= α [S(i/tA [S])] o A |= β [S(i/tA [S])], . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi vi sii A |= (α)t [S] o A |= (β)t [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.I, sii A |= ((α)vt i ∨ (β)vt i ) [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de satisfaccion, ´ vi sii A |= (α ∨ β)t [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion, ´ v) A |= (∃vn α) [S(i/tA [S])] sii A |= (∃vn α)vt i [S] Existen tres casos segun ´ la definicion ´ de sustitucion: ´ Caso 1) vi no est´a libre en (∃vn α): A |= (∃vn α) [S(i/tA [S])] sii A |= (∃vn α) [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por Proposicion ´ 1,

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[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

sii A |= (∃vn α)vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ya que (∃vn α)vt i = (∃vn α). Caso 2) vi est´a libre en (∃vn α) (entonces i , n) y vn no aparece en t. A |= (∃vn α) [S(i/tA [S])] sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/tA [S], n/a)], . . . . . . . . . def. satisfaccion, ´ A sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(n/a, i/t [S])], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(n/a, i/tA [S(n/a)])], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗ sii hay a ∈ A, tal que A |= (α)vt i [S(n/a)], . . . . . . . . . . . . H.I. con S = S(n/a), sii A |= (∃vn (α)vt i ) [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. satisfaccion, ´ sii A |= (∃vn α)vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion, ´ pues i , n. [∗ Observacion ´ 3 de la definicion ´ 1.9 con i , n.] A [∗∗ Como vn no aparece en t, t [S] = tA [S(n/a)], por la Proposicion ´ 1.] Caso 3) vi est´a libre en (∃vn α) (entonces i , n) y vn s´ı aparece en t. Sea k el menor entero positivo tal que vk no aparece en (∃vn α) ni en t; as´ı, k , n y k , i. A |= (∃vn α) [S(i/tA [S])] sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/tA [S], n/a)], . . . . . . . . . def. satisfaccion, ´ sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/tA [S], n/a, k/a)], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 1, sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/tA [S], k/a, n/a)], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2, sii hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/tA [S], k/a, n/vAk [S(i/tA [S], k/a)])], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pues vAk [S(i/tA [S], k/a)] = a, sii hay a ∈ A, tal que A |= (α)vvnk [S(i/tA [S], k/a)], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.I. con S = S(i/tA [S], k/a), sii hay a ∈ A, tal que A |= (α)vvnk [S(k/a, i/tA [S])], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 3, sii hay a ∈ A, tal que A |= (α)vvnk [S(k/a, i/tA [S(k/a)])], . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4, sii hay a ∈ A, tal que A |= ((α)vvnk )vt i [S(k/a)], . . . . . por H.I. con S = S[k/a], sii A |= (∃vk ((α)vvnk )vt i [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . definicion ´ de satisfaccion, ´ vi sii A |= (∃vn α)t [S], . . . . . . . . . . . . . . . . . . . def. de sustitucion ´ en el caso 3. ∗ [ 1 Proposicion ´ 1, pues vk no aparece en α. ∗ 2 Observacion ´ 3 de la definicion ´ de 1.9, con k , n. ∗ 3 Observacion ´ 3 de la definicion ´ de 1.9, con i , k. ∗ 4 Proposicion ´ 1, pues vk no aparece en t, entonces: tA [S] = tA [S(k/a)].] de s´ımbolos, lo cual Observe que α y (α)vvnk , poseen el mismo numero ´ justifica el segundo paso inductivo (solo ´ para este caso, es que nuestra induccion de s´ımbolos que aparece n en las formulas, ´ es sobre el numero ´ ´ en vez de ser sobre la construccion pues α y (α)vvnk son ´ de las formulas, ´ formulas distintas, pero con el mismo numero de s´ımbolos. ⋄ ´ ´

1.1 ANTECEDENTES

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Corolario 1.2.1. Si hay un ρ-t´ermino t, tal que A |= (α)vt i [S], entonces A |= (∃vi α) [S]. Demostraci´on: Sea t tal que A |= (α)vt i [S]; por el teorema de sustitucion ´ A A tenemos que A |= α [S(i/t [S])]. Sea a = t [S] ∈ A, luego hay a ∈ A, tal que A |= α [S(i/a)] y por definicion ⋄ ´ de satisfaccion ´ A |= (∃vi α) [S].

Corolario 1.2.2. Para cualquier ρ-t´ermino t, |= [(∀vi α) → (α)vt i ].

Demostraci´on: Sean A, ρ-estructura y S ∈ N A; supongamos que A |= (∀vi α) [S], esto es, A 6|= (∃vi ¬α) [S], por abreviatura de ∀; luego por el Corolario 2.1, para cada ρ-t´ermino t, A 6|= (¬α)vt i [S], as´ı por definicion ´ de vi sustitucion ⋄ ´ y de satisfaccion, ´ para cualquier ρ-t´ermino t, A |= (α)t [S]. En las siguientes p´aginas presentamos muchos ejemplos de formulas ´ universalmente v´alidas clasificadas segun ´ su forma. Ejercicios: Sean φ, γ1 , . . . , γm , γ formulas cualesquiera. En lo que sigue el ´ s´ımbolo “⇔” denota la relacion ´ “si y solo ´ si” del metalenguaje. 1.- |= φ ⇔|= (∀xφ). 2.- |= φ ⇔|= (∀φ), donde ∀φ denota la cuantificacion ´ universal de todas las posibles variables que ocurren libres en φ. 3.- |= φ ⇔ ((¬φ) es no satisfacible) (es decir, no hay interpretacion ´ ni asignacion ´ que la satisfagan). 4.- φ es satisfacible ⇔ (∃xφ) es satisfacible. 5.- φ es satisfacible ⇔ (∃φ) es satisfacible, donde ∃φ denota cuantificacion ´ existencial de todas las posibles variables que ocurren libres en φ. Presentamos enseguida algunos ejemplos clasificados de formulas uni´ versalmente v´alidas cuya verdad depende unicamente de los criterios de ´ verdad de los conectivos, las que son generalmente conocidas como tautolog´ıas. Tambi´en incluimos el nombre con el que se conocen. En lo que sigue, α, β, γ, son formulas cualesquiera de un lenguaje de primer orden. ´

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[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

A. Leyes Clasicas ´ 1.- α ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identidad 2.- ¬(α ∧ ¬α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No Contradiccion ´ 3.- α ∨ ¬α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tercero Excluido B. Asociatividad y Conmutatividad 1.- (α ∧ β) ∧ γ ↔ α ∧ (β ∧ γ) 2.- (α ∨ β) ∨ γ ↔ α ∨ (β ∨ γ) 3.- ((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) 4.- (α ∧ β) ↔ (β ∧ α) 5.- (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) 6.- (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) C. Leyes de Negacion ´ 1.- ¬¬α ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doble Negacion ´ 2.- ¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 3.- ¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨ ¬β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.- ¬(α → β) ↔ (α ∧ ¬β) 5.- ¬(α ↔ β) ↔ (α ∧ ¬β) ∨ (β ∧ ¬α) ∗ [De Morgan o Dualidad.] D. Leyes de Simplificacion ´ 1.- α ∨ α ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Idempotencia 2.- α ∧ α ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Idempotencia 3.- α ∧ (α ∨ β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eliminacion ´ 4.- α ∨ (α ∧ β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eliminacion ´ 5.- α ∧ (β ∨ ¬β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorcion ´ 6.- α ∧ (β ∧ ¬β) ↔ (β ∧ ¬β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorcion ´ 7.- α ∨ (β ∧ ¬β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorcion ´ 8.- α ∨ (β ∨ ¬β) ↔ (β ∨ ¬β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorcion ´ 9.- (α ∨ β) ∧ (α ∨ ¬β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificacion ´ 10.- (α ∧ β) ∨ (α ∧ ¬β) ↔ α . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificacion ´ E. Distributividad-Factorizacion ´ 1.- α ∨ (β ∧ γ) ↔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) 2.- α ∧ (β ∨ γ) ↔ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) 3.- [α → (β ∨ γ)] ↔ [(α → β) ∨ (α → γ)] 4.- [α → (β ∧ γ)] ↔ [(α → β) ∧ (α → γ)] 5.- [α ∨ (β → γ)] ↔ [(α ∨ β) → (α ∨ γ)] 6.- [α ∧ (β → γ)] → [(α ∧ β) → (α ∧ γ)]

1.1 ANTECEDENTES 7.- [(α ∨ β) → γ] ↔ [(α → γ) ∧ (β → γ)] 8.- [(α ∧ β) → γ] ↔ [(α → γ) ∨ (β → γ)] F. Exportacion-Importaci on ´ ´ 1.- [(α ∧ β) → γ] ↔ [α → (β → γ)] 2.- [α ∧ (β → γ)] → [(α ∧ β) → γ)] 3.- [α ∧ (α ∧ β → γ)] → [β → γ)] 4.- [α ∧ (β → γ)] → [β → (α ∧ γ)] 5.- [α ∨ (β → γ)] → [β → (α ∨ γ)] G. Leyes de la Implicacion ´ 1.- (α → β) ↔ (¬α ∨ β) 2.- (α → β) ↔ ¬(α ∧ ¬β) 3.- (α → β) ↔ (¬β → ¬α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contrapuesta 4.- [α → (β → γ)] ↔ [β → (α → γ)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 5.- α → (β → α) . . . . . . . . . . . . . . . Afirmacion ´ del antecedente 6.- (¬α → α) → α . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consecuentia Mirabilis 7.- ¬α → (α → β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de Contradiccion ´ 8.- (α → β) ↔ (α → α ∧ β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansion ´ ∗

9.- (α → β) ↔ (α ∨ β → β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansion ´ [Intercambio de premisas]

H. Leyes del Bicondicional 1.- (α ↔ β) ↔ [(α → β) ∧ (β → α)] 2.- (α ↔ β) ↔ [(¬α ∨ β) ∧ (α ∨ ¬β)] 3.- (α ↔ β) ↔ [(α ∧ β) ∨ (¬α ∧ ¬β)] 4.- (α ↔ β) ↔ (¬α ↔ ¬β) 5.- (α ↔ β) ↔ ¬(α ∧ ¬β) ∧ ¬(β ∧ ¬α)

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[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

Presentamos ahora algunas formulas universalmente v´alidas, que son ´ tautolog´ıas, de la forma α → γ o [α ∧ β] → γ, o en general de la forma [α1 ∧ . . . ∧ αn ] → γ, y que corresponden a argumentos correctos o v´alidos o bien a las llamadas reglas de inferencia usuales (v´ease Cap´ıtulo 3). En lo que sigue, α, β, γ, δ, αi , α j , βi , denotan formulas cualesquiera de un lenguaje ´ de primer orden. 1.- [(α → β) ∧ α] → β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modus Ponens. 2.- [(α → β) ∧ ¬β] → ¬α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modus Tollens. 3.- [(α ∨ β) ∧ ¬α] → β . . . . . . . . . . . . . . Silogismo Disyuntivo. [(α ∨ β) ∧ ¬β] → α . . . . . . . . . . . . . . Silogismo Disyuntivo. 4.- [(α → β) ∧ (β → γ)] → (α → γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Silogismo hipot´etico, o transitividad de la implicacion. ´ 5.- α → α ∨ β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adicion. ´ β → α ∨ β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adicion. ´ 6.- (α ∧ β) → α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificacion. ´ (α ∧ β) → β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificacion. ´ 7.- [α ∧ β] → (α ∧ β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjuncion. ´ 8.- [(α → β) ∧ (α → γ)] → (α → β ∧ γ) . . . . . . . Composicion. ´ 9.- [(α → γ) ∧ (β → δ) ∧ (α ∨ β)] → (γ ∨ δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilema Constructivo. 10.- [(α → γ) ∧ (β → δ) ∧ (¬γ ∨ ¬δ)] → (¬α ∨ ¬β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilema Destructivo. 11.- [¬β → ¬α] → (α → β) . . . . Prueba por Contraposicion. ´ 12.- [(α → γ) ∧ (β → γ) ∧ (α ∨ β)] → γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba por casos. 13.- [(α → γ) ∧ (¬α → γ)] → γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso especial de Prueba por Casos. V W 14.- [ ni=1 (αi → γ) ∧ ( ni=1 αi )] → γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba General por casos. 15.- [α ∧ ¬α] → β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De una contradiccion, ´ inferir cualquier proposicion. ´ 16.- [(¬α → β) ∧ (¬α → ¬β)] → α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reduccion ´ al Absurdo. [¬α → (β ∧ ¬β)] → α . . . . . . . . . . Reduccion ´ al Absurdo. 17.- [(α → γ) ∧ (β → δ) ∧ (α ∨ β) ∧ ¬(α ∧ β) ∧ (γ ∨ δ) . . . . . . ∧¬(γ ∧ δ)] → (γ → α) ∧ (δ → β) . . . . . . . Ley de Hauber.

1.1 ANTECEDENTES

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Presentamos ahora algunos ejemplos de formulas universalmente v´a´ lidas no tautolog´ıas, es decir, tales que su verdad depende de los criterios de verdad de los cuantificadores adem´as de los de los conectivos. En lo que sigue, α y β representan formulas cualesquiera y σ una formula en la ´ ´ cual la variable x no aparece libre; x, y, representan variables vi , v j , i, j ∈ N y t representa un t´ermino cualquiera. A. Relacion ´ entre ∀x y ∃x 1.- ∀xα ↔ ¬∃x¬α 2.- ¬∀xα ↔ ∃x¬α 3.- ∃xα ↔ ¬∀x¬α 4.- ¬∃xα ↔ ∀x¬α 5.- ∀xα → (α)xt La prueba de este ultimo ejemplo es el Corolario 2 del Teorema de Susti´ tucion. ´ B. Intercambio de cuantificadores y 1.- ∀x(σ)x ↔ ∀yσ y 2.- ∃x(σ)x ↔ ∃yσ 3.- ∀x∀yα ↔ ∀y∀xα 4.- ∃x∃yα ↔ ∃y∃xα 5.- ∀xα → ∃xα 6.- ∃x∀yα → ∀y∃xα C. Relacion ´ de cuantificadores y conectivos 1.- ∀x(α ∧ β) ↔ ∀xα ∧ ∀xβ 2.- ∃x(α ∧ β) → ∃xα ∧ ∃xβ 3.- ∀xα ∨ ∀xβ → ∀x(α ∨ β) 4.- ∃x(α ∨ β) ↔ ∃xα ∨ ∃xβ 5.- ∀x(α → β) → (∀xα → ∀xβ) 6.- (∃xα → ∃xβ) → ∃x(α → β) D. Doble cuantificacion ´ 1.- ∀x(∀xα → α) 2.- ∃x(∃xα → α) 3.- ∀x(α → ∃xα) 4.- ∃x(α → ∀xα) 5.- ∀x∀xα ↔ ∀xα 6.- ∃x∃xα ↔ ∃xα

[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

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E. Relacion sin presencias de la variable ´ de cuantificadores con formulas ´ cuantificada. Aqu´ı x no aparece libre en σ. 1.- ∀xσ ↔ σ 2.- ∃xσ ↔ σ 3.- ∀x(α ∧ σ) ↔ ∀xα ∧ σ 4.- ∃x(α ∧ σ) ↔ ∃xα ∧ σ 5.- ∀x(α ∨ σ) ↔ ∀xα ∨ σ 6.- ∃x(α ∨ σ) ↔ ∃xα ∨ σ 7.- ∀x(σ → α) ↔ (σ → ∀xα) 8.- ∃x(σ → α) ↔ (σ → ∃xα) 9.- ∀x(α → σ) ↔ (∃xα → σ) 10.- ∃x(α → σ) ↔ (∀xα → σ) F. Con igualdad 1.- ∀x(x ≈ x) 2.- ∀x∀y(x ≈ y → y ≈ x) 3.- ∀x∀y∀z(x ≈ y ∧ y ≈ z → x ≈ z) Si α(x/y) denota el resultado de sustituir y en lugar de x en α, en cero o m´as lugares o todos los lugares. Entonces: 4.- ∀x∀y[x ≈ y → (α → α(x/y))] (Ley de Leibniz). G. Paradoja de Russell 1.- ¬∃x∀y[α ↔ ¬(α)xy ] 2.- ¬∃x∀y[(α)xg(x) ↔ ¬(α)xg(y) ] y

y

3.- ¬∃x∀y[(α) g(y) ↔ ¬((α) g(y) )xy ] H. Otras universalmente v´alidas 1.- ∃x[α ∧ ∀y(β → γ)] → ∀y[β → ∃x(α ∧ γ)] 2.- ∃x[α(x) ∧ ∀y(β(y) → γ(x, y))] → ∀y[β(y) → ∃x(α(x) ∧ γ(x, y))] 3.- ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ↔ ∃yP(y) ∨ ∃zQ(z)) 4.- ∀x∃y[P(x) → Q(y)] ↔ [∃xP(x) → ∃yQ(y)] Para aclarar m´as los tres ejemplos de universalmente v´alidas del tipo G. Paradoja de Russell, daremos tres instancias particulares con α = P(x, y): 1.- ¬∃x∀y(P(x, y) ↔ ¬P(y, y)) 2.- ¬∃x∀y(P(g(x), y) ↔ ¬P(g(y), y)) 3.- ¬∃x∀y(P(x, g(y)) ↔ ¬P(y, g(y)))

1.1 ANTECEDENTES

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1.1.2 Consecuencia logica ´ Dedicamos esta seccion ´ a uno de los conceptos fundamentales de la logica ´ matem´atica, el concepto de consecuencia logica. Es importante hacerlo ´ preciso aqu´ı, pues en su definicion ´ intervienen los conceptos vistos anteriormente, como interpretacion, ´ asignacion, ´ satisfaccion ´ y en el caso de enunciados, el concepto de verdad, y por otro lado lo usaremos en una de las formulaciones del teorema de compacidad y en el resto del libro, especialmente en el cap´ıtulo tres. En lo que sigue nos referiremos como antes unicamente a lenguajes formales de primer orden con igualdad. Con ´ respecto a la notacion, α, β, γ, ϕ, ´ usaremos las letras griegas minusculas ´ ψ, para referirnos a formulas del lenguaje. Las letras griegas mayusculas ´ ´ Σ, ∆, Γ, las usaremos para referirnos a conjuntos, finitos o infinitos, de formulas de dicho lenguaje. Las letras goticas como A, B, C, representar´an ´ ´ estructuras como interpretaciones del lenguaje o modelos de formulas. ´ La relacion ´ sem´antica b´asica de ser forzado a ser verdad por otras verdades, es la idea intuitiva de la relacion Decimos ´ de consecuencia logica. ´ que una formula α es una consecuencia l´ogica de un conjunto de formulas ´ Σ, si siempre que las formulas de Σ son satisfechas por alguna asignacion ´ ´ dada para las variables en una interpretacion, α tambi´en es ´ la formula ´ satisfecha por esa asignacion ´ en esa interpretacion. ´ Definicion ´ 1.17. Sea Σ ∪ {ϕ} un conjunto de formulas, no necesariamente ´ enunciados, en un lenguaje de primer orden con igualdad. Decimos que ϕ es una consecuencia l´ogica de Σ o que Σ implica l´ogicamente a ϕ (denotado Σ |= ϕ) si y solo ´ si en toda interpretacion A toda asignacion ´ para variables s (de elementos del universo de A) que satisface α para cada α ∈ Σ, tambi´en satisface ϕ1 . Ilustramos esto con los siguientes ejemplos: ∀xP(x) |= P(c) pero P(x) 6|= ∀xP(x). Tambi´en, para cualquier formula dada ϕ, no necesa´ riamente un enunciado, ϕ |= ∀xϕ implica que |= (ϕ → ∀xϕ). Notese que la definicion de Σ” significa ´ ´ de “ϕ es consecuencia logica ´ que es imposible que haya una interpretacion ´ y una asignacion ´ donde todas las formulas del conjunto Σ sean satisfechas y la f ormula ϕ no. ´ ´ Se sigue inmediatamente de las definiciones, que en el caso particular de los enunciados, un enunciado ϕ es una consecuencia logica de un con´ junto de enunciados Σ, si y solo ´ si para cualquier interpretacion, ´ siempre 1

132.

Cf. [Mendelson 1987] p´agina 52, [Enderton 2001] p´agina 88 y [Enderton 2004] p´agina

[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA...

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que todos los enunciados de Σ sean verdaderos, entonces el enunciado ϕ tambi´en es verdadero. En otras palabras, si todos los modelos de Σ son tambi´en modelos de ϕ2 . Las formulas que son verdaderas en cualquier interpretacion ´ ´ se llaman l´ogicamente validas. Cuando una formula es verdadera en una interpre´ tacion ´ de su lenguaje, decimos que la interpretacion ´ es un modelo de la formula; as´ı, una formula es logicamente v´alida si todas las interpretacio´ ´ ´ nes para su lenguaje son modelos de la formula. En particular tenemos que ´ si una formula es logicamente v´alida, ser´a consecuencia logica de cualquier ´ ´ ´ conjunto de formulas. Por otro lado, si Σ es un conjunto de formulas que ´ ´ no es satisfacible, entonces trivialmente cualquier formula es consecuencia ´ logica de Σ. ´ Usaremos algunas propiedades sem´anticas b´asicas3 cuya prueba es elemental, pues depende solamente de las definiciones de verdad y de consecuencia logica. Estas son las siguientes: ´ a) Si Γ ⊆ Σ y Γ |= ϕ entonces Σ |= ϕ (Monoton´ıa) b) Si Σ |= ϕ y para todo α en Σ, Γ |= α, entonces Γ |= ϕ (Corte) c) Σ, α |= β si y solo ´ si Σ |= (α → β) d) Σ |= ϕ si y solo ´ si Σ ∪ {¬ϕ} no es satisfacible e) Γ es satisfacible si y solo ´ si Γ 6|= ∃x(x , x) f) Σ, α, (α → β) |= β La propiedad c) para el caso Σ vac´ıo, establece la equivalencia entre la nocion entre dos formulas y la nocion ´ de consecuencia logica ´ ´ ´ de validez logica de la formula de forma implicativa correspondiente. La propiedad ´ ´ d) es una reescritura de la definicion Recordemos ´ de consecuencia logica. ´ que nuestro lenguaje no tiene el s´ımbolo “→” de implicacion, ´ pero entenderemos que la formula implicativa (α → β) es una abreviatura para la ´ formula (¬α ∨ β). ´ Algunas de estas propiedades sem´anticas, cuya prueba es elemental, pueden ser usadas en adelante, apelando a cualquiera de ellas solo ´ como “propiedades sem´anticas”. En la seccion ´ 1.2 presentaremos el teorema de compacidad para len2

Recordar que un modelo para un conjunto de formulas es una interpretacion ´ ´ para el lenguaje respecto al cual todas las f´ormulas del conjunto son verdaderas. 3 Tambi´en llamadas propiedades estructurales de la logica deductiva cl´asica. ´

1.1 ANTECEDENTES

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guajes de primer orden con igualdad, al que consideramos el resultado sem´antico fundamental. Consideramos ahora sus dos formas equivalentes: Teorema 1.3. Teorema de Compacidad (Godel-Malcev)(Primera forma) ¨ Si Σ es un conjunto infinito de f´ormulas de un lenguaje de primer orden con igualdad, tal que cada subconjunto finito de Σ es satisfacible, entonces Σ es tambien satisfacible. Teorema 1.4. Teorema de Compacidad (Segunda forma) Si Σ ∪ {ϕ} es un conjunto infinito de f´ormulas de un lenguaje de primer orden con igualdad y si Σ |= ϕ, entonces hay un subconjunto finito Γ ⊆ Σ, tal que Γ |= ϕ. Notese que el teorema de compacidad es una afirmacion ´ ´ puramente sem´antica que involucra unicamente nociones sem´anticas. Daremos una ´ demostracion ´ puramente sem´antica para e´ l, con base en propiedades sem´anticas. Damos ahora un esbozo de la demostracion ´ de la primera forma: Partimos de un conjunto infinito de formulas Σ tal que cada subconjunto ´ finito suyo es satisfacible (llamaremos a esta propiedad “finitamente satisfacible”). Despu´es desarrollamos dos procesos alternativamente, el primero consiste en obtener un conjunto Γ tal que Σ ⊆ Γ y Γ es un conjunto maximal finitamente satisfacible de formulas. El segundo proceso consiste ´ en obtener un conjunto Ω tal que Σ ⊆ Ω, y Ω est´a cerrado bajo testigos existenciales4 y es un conjunto finitamente satisfacible de formulas. Entonces ´ los dos procesos se iteran uno en seguida del otro en un nuevo proceso infinito. Finalmente, la union ´ de todos esos conjuntos de los dos procesos alternados infinitamente, es un conjunto de formulas Σ∗ tal que: Σ ⊆ Σ∗ ´ y Σ∗ es un conjunto maximal cerrado bajo testigos existenciales y finitamente satisfacible. Entonces se construye un modelo para Σ∗ . Ese modelo es obviamente un modelo para Σ y as´ı tenemos que Σ es satisfacible. Esta prueba se desarrollar´a con todo detalle en la seccion ´ 1.3. Ejercicios: 1. Probar todas las propiedades sem´anticas b´asicas. 4

Es decir, si ∃xϕ(x) ∈ Ω entonces hay una constante c (el testigo existencial), tal que ϕ(c) ∈ Ω.

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[Cap. 1.] EL TEOREMA DE COMPACIDAD PARA... 2. Probar la equivalencia de las dos formas del teorema de compacidad. 3. Probar lo siguiente: a) γ1 , . . . , γn |= γ ⇔ |= [(γ1 ∧ . . . ∧ γn ) → γ]. b) γ1 , . . . , γn |= γ ⇔ |= (γ1 → (γ2 → . . . → (γn → γ)) . . .).

1.1.3 Relaciones entre estructuras Es natural pensar en las relaciones de contencion ´ ´ entre los conjuntos que son universos de determinadas estructuras, as´ı como en la “contencion” ´ de una estructura en otra; estas relaciones son interesantes y a continuacion ´ las presentamos. Definicion ´ 1.18. Sean A, B dos ρ-estructuras, decimos que A es una subestructura de B, lo que denotaremos A ⊆ B, sii i) A ⊆ B ii) Si P ∈ Rn ⊆ ρ, entonces PA = PB ∩ An , iii) Si f ∈ Fm ⊆ ρ, entonces f A = f B |Am (la funcion ´ f B restringida al m conjunto A ), iv) Si c ∈ C ⊆ ρ, entonces cA = cB . El que A sea subestructura de B, tambi´en se conoce como que B es una extensi´on de A. Definicion ´ 1.19. Sea A = hA, Ii, una ρ-estructura y sea B = hB, Ji una ρ′ -estructura, donde I y J son funciones de interpretacion. ´ Decimos que A es el reducto de B a ρ o bien que B es una expansi´on de A a ρ′ sii i) ρ ⊆ ρ′ ii) A = B iii) I = J|ρ (la funcion ´ de interpretacion ´ I, es igual a la restriccion ´ de J al tipo ρ). Ejemplo: Consideremos la siguiente estructura B = hN,