Einige Untersuchungen über quadratische Strahlencomplexe: Inaugural-Dissertation [Reprint 2022 ed.] 9783112670682, 9783112670675

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EINIGE UNTERSUCHUNGEN üiiEn

INAUGURAL-DISSERTATION, DER

MATHEMATISCHEN UND NATURWISSENSCHAFTLICHEN FACULTÄT DEIt

KAISER WILHELMS-UNIVERSITÄT STRASSBURG ZUR ERLANGUNG DER DOGTORWÜRDE VORGELEGT VON

CARL

AMOLOT

AUS TILSIT.

STRASSBURG V E Ii L A G V O X K A R L J. T R Ü Ii X E R

1887.

D i e von P l ü c k e r in seinem Werke «Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement» definierten sechs Liniencoordinaten, welche einer quadratischen Bedingungsgleichung genügen, kann man, wie er selbst schon angedeutet h a t , verallgemeinern, wenn man denselben auch solche relativen Werte beilegt, die der quadratischen Bedingungsgleichung nicht unterworfen sind. Herr F. K l e i n hat zuerst von dieser Verallgemeinerung Gebrauch gemacht, in der Abhandlung: «Die allgemeine lineare Transformation der Liniencoordinaten», Mathemat. Annalen, Bd. II; die so verallgemeinerten Liniencoordinaten nennt er Gomplexcoordinaten, da durch die Verhältnisse derselben ein linearer Complex vollständig festgelegt ist. Diese Gomplexcoordinaten wendet dann Herr R e y e a n , in seinem Aufsatze: «Ueber lineare und quadratische Strahlencomplexe und deren Gewebe», C r e l l e ' s Journ., Bd. 95; in dieser Abhandlung definiert er die linearen und quadratischen Complexengewebe und leitet aus den Eigenschaften derselben weitere Resultate über lineare und quadratische Gomplexe ab. Im Bd. 98 des Grelleschen Journals, in der Abhandlung: «Die Hauptarten der quadratischen Strahlencomplexe», giebt derselbe Autor eine Einteilung der allgemeinen quadratischen Strahlencomplexe in Arten; er unterscheidet hyperbolische, parabolische, elliptische und imaginäre Gomplexe zweiten Grades, und unter den parabolischen und elliptischen Complexen wieder verschiedene Hauptarten. Bei dreien dieser Arten von quadratischen Complexen findet Herr R e y e für alle Punkte und Ebenen des Raumes reelle Complexkegel resp. Complexcurven; bei den anderen Arten von Gomplexen, ausgenommen die Gomplexe von der Art VII und VI a (vgl. a. a. 0 . No. 20 und No. 22), sowie den imaginären Complex, für welchen die Gomplex-Kegel und -Curven aller Punkte resp.

4 Ebenen imaginär sind, lässt er es dahingestellt sein, ob dieselben neben den reellen Complex - Kegeln und -Curven für gewisse Teile des Raumes auch imaginäre besitzen. Wie nun schon Herr F. K l e i n in seiner Abhandlung: «Zur Theorie der Liniencomplexe ersten und zweiten Grades», Mathem. Annalen, Bd. I I , angegeben hat, lässt sich die allgemeine Gleichung des Gomplexes zweiten Grades mit neunzehn willkürlichen Constanten bei Anwendung der von ihm gefundenen fünfzehn Fundamentaltetraeder auf eine Form bringen, die neben den sechs Quadraten der Liniencoordinaten nur noch die drei Producte von je zwei solchen Goordinaten enthält, die sich auf gegenüberliegende Kanten des Tetraeders beziehen, also auf die Form: i= c (a) J ^ a i X i 2 + ä ^ ^ x , + 2 b j x ä x s + 2 b , x . , x c = 0. i= 1 In einer Anmerkung zu der eben erwähnten Abhandlung führt Herr F. K l e i n noch an, dass von den fünfzehn Fundamentaltetrsfedern eines oder zwei oder sechs reell sind, je nachdem s Von den sechs von ihm entdeckten Fundamentalcomplexen höchstens zwei oder vier oder alle sech reell sind; eine Bemerkung, die wir in unsern Ausführungen werden bestätigt finden. Im Folgenden werden wir nun für jede der von Herrn R e y e aufgestellten eilf Arten von Complexen die Gleichung des Gomplexes anf die erwähnte Form (a) bringen. Aus dieser einfachen Complexgleichung werden wir dann unmittelbar Aufschluss über die Realität gewisser Complex-Kegel und -Curven erhalten, sowie einige Resultate bezüglich der Singularitätenfläche des Complexes ableiten. Endlich werden wir Criterien dafür finden, wie man teils direct aus den Vorzeichen, teils aus der Grössenfolge der Gonstanten in jedem gegebenen Falle zu erkennen vermag, welcher Art der durch die Gleichung: i i =

= 6

ajXi2 + 2 b , x 4 x 4 + 2 b 2 x 2 x s -f 2 b 3 x 3 x 6 =

1

dargestellte Complex angehört.

0

Der allgemeine hyperbolische Complex.

I. Ein Büschel von quadratischen Complexengeweben, welche denselben quadratischen Strahlencomplex enthalten, wird durch die Gleichung dargestellt: (i, - x )

p , ' + (i, - x) p,* + (i3 - x) p , ' - (L - X) P / - (1, - X) P 6 ä =

(i4 0,

x) p4»

worin ],, lä, . . ]„ die Wurzelwerte der Discriminante von i, k — 6 a i k X i X k + 2 X (x f x 4 + x 2 x ä + x 3 x c ) = 0 ^ i, k — 1 bezeichnen, während X einen willkührlichen Parameter darstellt. Die Pi sind hierbei lineare Functionen der Complexcoordinaten x 4 , x s , . . . x 6 und sie repräsentieren lineare Complexengewebe, von denen jedes zum Träger den Complex hat, in welchem die fünf anderen sich durchdringen. Nach der Definition ist nun ein hyperbolischer Complex ein solcher, durch welchen nur hyperbolisch Complexengewebe, nicht aber auch elliptische und parabolische gelegt werden können, wir erhalten ihn nur dann, wenn alle sechs Doppelcomplexe des Büschels und also auch die linearen Gewebe P, . . . . P 6 (paarweise conjugiert) imaginär sind. Wir haben demnach für einen Büschel von nur hyperbolischen Complexengeweben die Gleichung: (a t + ib, - X) (A, + iBj) 3 + (a. + ib 2 - X) (A, + iB„) 2 + (a3 + ib 3 - X) (A, + i B J + ( a , - ib, - X) (A, - iB,) 3 + (a f - i b , - X) (A, - i B J + (a3 - ib 3 - X) (A, - iB 3 ) 2 = 0. Hierin sind a t , b t , reelle Constante und Av reelle lineare Functionen der Complexcoordinaten, während X einen willkührlichen Parameter darstellt.

6 Vereinfacht giebt die obige Gleichung: (a, -

X) A, 2 +

(a2 -

X) A22 + (a, -

X) A , ' -

2 b , A 5 B , — 2b 1 A,B. ) — (a, — X) B,2 — Für X =

gewebes : A;2 +

(a3 -

X) b ;

oo erhalten wir AÄ2 +

-

2b1A,B1

(a, — X) B.,2

0.

die Gleichung

A;2 — B,2 — B;J — B32

des Haupt-

= o.

W i r haben also als Gleichung des hyperbolischen Complexes: (I) a, (A, 2 - B, 2 ) + a2 (A 2 2 - B, 1 ) + a3 (A 3 2 - B, 2 ) — S b ^ ^ , — 2 b s A s B s — 2 b3 A 3 B 3 = 0, wobei: (II) A;2 + A./ + A32 - B,2 - B22 - B32 = 0. Der Allgemeinheit wegen setzen wir voraus, dass die linearen Gewebe A , = 0, A s = 0, A 3 = 0, B, = 0, B s = 0 und B3 = 0 keinen Gomplex mit einander gemein haben; im entgegengesetzten Falle würde der gemeinschaftliche Complex, dessen Cotordinaten ja der Gleichung (II) genügen müssten, ein specieller und seine Axe würde ein Doppelstrahl des hyperbolischen Gomplexes ( I ) sein, während der allgemeine hyperbolische Complex keinen Doppelstrahl enthält. II. Die Gleichungen: A, — B, = stellen

zusammen

0, A ä — B2 = ein

0, A 3 — B, =

Complexenbündel

dar,

0

welches

die

Gleichung des Hauptgewebes befriedigt und folglich aus zweifach unendlich vielen speciellen Complexen besteht.

Da je

zwei dieser Complexe in einem Büschel specieller Gomplexe liegen, so müssen ihre Axen sich schneiden; die Axen aller jener speciellen Complexe gehen deshalb entweder durch einen Punkt, oder sie liegen in einer Ebene.

Die drei linearen

Complexe, auf welchen die linearen Gewebe: A, -

B, =

0, A 2 -

B2 =

0, A 3 -

B3 =

0

ruhen, gehen durch alle jene Axen, sie haben also entweder ein Strahlenbündel oder ein Strahlenfeld mit einander gemein

7 und sind folglich selbst speciell. Ihre drei Axen aber schneiden sich entweder in dem Mittelpunkte des Bündels oder sie liegen in der Ebene des Feldes, da auch drei specielle Complexe nur in diesem Falle ein Strahlenbündel oder ein Strahlenfeld mit einander gemein haben. Neben A, -

B, = 0, A2 -

B2 = 0, A3 -

B3 = 0

erhalten wir noch andere Complexenbündel, z. B.: A, + B, = 0, A, + B2 = 0, A3 + B3 = 0, welche auch der Gleichung des Hauptgewebes genügen und nach dem vorhergehenden aus zweifach unendlich vielen speciellen Complexen bestehen, deren Axen entweder durch einen Punkt gehen oder in einer Ebene liegen. Im folgenden wollen wir daher kurz sagen, die drei Gewebe: (1) A, -

B, = 0 , A s -

B2 = 0 , A3 -

B3 = 0

oder die Gewebe: (2) Af + B, = 0, A2 + B2 = 0, A3 + B3 = 0 stellen zusammen ein Strahlenbündel oder ein Strahlenfeld dar; das heisst also, die Axen der in ihnen enthaltenen speciellen Complexe bilden dieses Strahlenbündel oder dieses Strahlenfeld. Noch kürzer werden wir auch sagen, die Gewebe (1) oder (2) stellen zusammen einen Punkt oder eine Ebene dar. Die Axen der speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe (1) oder (2) ruhen, schneiden sich dann in diesem Punkte resp. liegen in dieser Ebene. Repräsentieren aber die Gewebe (1) zusammen ein Strahlenbündel, so müssen die Gewebe (2) ein Strahlenfeld darstellen, und umgekehrt. Denn würden sowohl die Gewebe (1) als auch die Gewebe (2) je ein Strahlenbündel [oder ein Strahlenfeld] darstellen, so würden diese beiden Strahlenbündel [oder Strahlenfelder] einen Strahl mit. einander gemein haben; dieser Strahl würde die Axe eines speciellen Complexes sein, welcher in allen sechs Geweben (1) und (2), und folglich auch in den Geweben enthalten wäre, welche mit

8 irgend zweien der Gewebe (1) oder (2) in einem Büschel von Complexengeweben liegen, also z. B. in den Geweben: und

(A, + B f ) + ( A , - B f ) - 2 A , = 0 (A, + B f ) - (A, — B.) == 2 B, = 0.

Die sechs Complexengewebe A, = 0, A 2 = 0, A3 = 0, B, = 0, B , = 0 und B 3 = 0 würden hiernach einen Complex mit einander gemein haben, ein Fall, welcher durch die in I gemachten Voraussetzungen ausgeschlossen ist. Die Gewebe: A, — B, =

0, A 2 — B ä - - 0, A, -

B3 =

0

repräsentieren also zusammen einen Punkt (A f ) oder eine Ebene (e s ) und die Gewebe: A, + B, = 0, A 2 + B s = 0, A3 + B 3 = 0 eine Ebene (s f ) oder einen Punkt (A ä ). Diese Ebene s, kann nicht durch den Punkt A, gehen und der Punkt A2 kann nicht auf der Ebene s2 liegen, da sonst die Complexengewebe At = = 0, A3 = 0 , B, = 0, B 2 = 0 und B 3 = 0 einen Büschel specieller Complexe mit einander gemein haben würden. Nehmen wir z. B. A, — B, = 0, A 2 — B 2 = 0, A„ — B 3 =

0

als Punkt A, an, so repräsentieren A, + B, = 0, A 2 + B 2 = 0, A3 + B 3 =

0

eine Ebene e, (Fig. 1). Die Gleichungen: A, — B j = 0, A 2 - ß 2 - 0, A3 + B 3 = A, — B 2 = 0, A3 — B 3 = 0, A, + B, = A3 - B 3 = 0, A, - B , - 0, A 2 + B 2 = stellen dann Ebenen dar, welche durch den Punkt und die Ebene e, in den Trägern der speciellen schneiden, auf die sich die resp. Gewebe A 3 + A, + B , = 0 und A 2 + B 2 = 0 stützen.

0, 0 und 0 A, gehen Complexe B 3 = 0,

Den reciproken Fall erhalten wir, wenn die Gewebe A, — B j = 0, A 2 — B 2 = 0 und A s — B 3 = 0 zusammen eine

9 Ebene e/ darstellen (Fig. 2). Alsdann repräsentieren die Gleichungen A, + B, = 0, Aä + B3 = 0 und A3 + B3 = 0 einen Punkt A,1, durch welchen die durch A, + A, + A:) + dargestellten

B, = 0, A2 + B2 = 0, A, — B3 = 0, B2 = 0, A3 + B, = 0, Ai — B, = 0 und B3 = 0, A, + Bf - 0, A2 - B, = 0 Ebenen gehen. III.

Als Gleichung des hyperbolischen Complexes bezüglich eines beliebigen Coordinatentetraeders fanden wir: (I) a, (Af2 - B,2) + a, (Afs - B,'2) + a 3 (A,s - B32) - 2 b, A, B, - 2b.2 A2B2 - 2 b3 A3B3 = 0, wobei (II) A,2 + A22 + A / - Bt2 - B23 - B32 = 0 ist. Hierin sind b ( , b2, b3 beliebige reelle Constanten und A„ As, A3, B„ Bä, B3 reelle lineare Functionen der Complexcoordinaten. Die Gleichung (I) vereinfacht sich wesentlich, wenn wir als Goordinatentetraeder ein solches einführen, dessen Kanten von den Axen der speciellen Complexengewebe A, ± B, = 0, A2 ± Bä = 0, A3 ± B3 = 0 gebildet werden; dabei sind die Axen von As + Bj = 0 und Ai — Bi = 0 als gegenüberliegende Kanten zu nehmen. Wir haben dann zu setzen: A

i ± B . = P,*!? A 2 ± B 2 = p,x s ; A 3 ± B 3 = p 3 x 3 ; Ai=t=Bl = p^x,; A2 q:B 2 = P ä x s ; A, B, = pex„; also:

_ p,Xt + p«x4-' 2 .

Ä

2

_ P,Xt + p s x 32 .

_ P3x3 + p 6 x 6| -»3 2

-4-P _ PlX. " P A - U P _ P,*, — P . V - u R - fJ3 X3 ~ P6X6 2 3 — ' 2 ' 2 2 Dabei ist p, p4 = p, ps - p3 p6 = 1, da die linke Seite der Gleichung des Hauptgewebes: A,2 + A22 + A32 - B,® - B,2 - B32 = 0 bei der Transformation in x 4 x 4 + x 2 x 5 + x 3 x 6 übergehen muss.

10 Die Gleichung (I) verwandelt sich dann in: a , x 1 x 4 + a 2 x ä x 5 + a 3 x 3 x 6 =p } b f (p/x, 2 — p/x 4 2 ) =5= l b * ( r W -

p / O zp } b 3 (

P

,v -

rVx 6 2 ) = o.

Setzen wir für ^ b , 2 p,2, i b22 p s 2 ,.... einfache Constanten, so ergiebt sich als Gleichung des hyperbolischen Complexes: (III) a ^ 2 + a 2 x / + a 3 x 3 2 — a 4 x 4 2 — a s x 5 2 -

a6x62 + 2 ß , x t x 4

+ 2 ß 2 x 2 x ä + 2 ß 3 x 3 x 6 = 0. Hierin müssen oq und aj + 3 , für i =

1 , 2 und 3, gleiches

Vorzeichen haben. Nimmt man die Constanten a f . . . a 6 sämmtlich als positiv a n , so kann die Gleichung stets auf eine der Formen gebracht werden: (IV.) a ) X ( 2 + a 2 x ä 2 + a 3 x 3 2 — a 4 x 4 2 — a s x 5 2 — a 6 x 6 2 + 2 ß,x,x 4 + 2 ß 2 x ä x 5 + 2 ß 3 x 3 x 6 - 0. (I V b ) a4 x/2 + a, x 2 2 — a 3 x32 — a 4 x 4 2 — a 5 x,' + a 6 x 6 2 + 2 ß, x, x 4 4

+ 2 ß 3 x 2 x 5 + 2 ß 3 x 3 x 6 = 0.

(IVo) a 4 V — X * . 1 — a 3 X 3 2 — a * x / + a s x 5 3 + a 6 X 6 2 + 2 ß , x , x 4 + 2 ß 2 x 2 x 6 + 2 ß 3 x 3 x 6 = 0. IV. Die R e a l i t ä t der

Complexkegel.

Die Gleichungen (IV) geben uns einigen Aufschluss über die Realität der Complexkegel. Nehmen wir als Gleichung des hyperbolischen Complexes etwa die Gleichung (IV a ) an, so folgt, unmittelbar, dass wir für den Punkt A4 (Fig. 3) oder x, = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 und für die gegenüberliegende Ebene e, oder x 4 = 0, x s = 0, x 6 = 0 einen imaginären Complexkegel resp. eine imaginäre Complexcurve erhalten. Denn für x, = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 z. B. ergiebt sich aus (IV a ): a 4 x 4 2 + a 5 x 5 2 + a 6 x 6 2 = 0, eine Gleichung, welcher durch keine reellen Werte von x 4 , x 5 , x 6 genügt werden kann, da die Constanten rM sämmtlich positiv sind. Hieraus folgt (siehe Herrn R e y e C r e l l e ' s Journ., Bd. 9 8 , S. 293), dass alle durch A, gehenden Ebenen und

11 alle Punkte von e, reelle Complexcuren resp. reelle Complexkegel besitzen. Für die Ebenen s s , s3 und s„ sowie für die Punkte A 2 , A3 und A4 ergiebt sich letzteres auch direct aus der Gleichung des hyperbolischen Complexes. Für die Ebene s2 oder x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 z. B. erhalten wir aus (IV a ): « i V — asX5S = 0. eine Gleichung, welche stets durch reelle Werthe von x„ x5 und x6 befriedigt werden kann, und ebenso ergiebt sich, wenn man z. B. x, = 0, x 5 — 0, x6 = 0 in die Gleichung (IVa) einsetzt, dass A, einen reellen Complexkegel besitzt. Hieraus lassen sich einige Folgerungen bezüglich der Singularitätenfläche ziehen. Da der Punkt A, einen imaginären Complexkegel besitzt, während die Complexkegel aller Punkte der Ebene s, reell sind, so trennt ein Mantel der Singularitätenfläche den Punkt A, von der gegenüberliegenden Ebene s r Jede Gerade, welche durch A, geht, hat mit der Singularitätenfläche zwei Punkte gemein, deren Complexkegel in je zwei imaginäre Ebenen zerfallen. Alle Punkte, welche von dem Mantel der Singularitätenfläche umschlossen sind, der den Punkt A, von der gegenüberliegenden Ebene e, trennt, besitzen imaginäre Complexkegel. Es ergiebt sich noch, dass alle Geraden der Ebene e, von den Complexkegeln ihrer Punkte ausgeschlossen werden, da die Complexcurve der Ebene imaginär ist, und dass der Punkt A, von den Complexcurven aller durch ihn gehenden Ebenen eingeschlossen wird. Aus den in III aufgestellten Gleichungen (IVb) und (IVC) lässt sich ebenso wie vorher ableiten, dass stets ein Eckpunkt des Coordinatentetraeders einen imaginären Complexkegel und dass die gegenüberliegende Ebene eine imaginäre Complexcurve besitzt, woraus man dann wieder wie oben schliessen kann, dass dieser Eckpunkt von der gegenüberliegenden Ebene durch einen Mantel der Singularitätenfläche getrennt wird. Alle Punkte, welche von diesem Mantel umschlossen sind, besitzen imaginäre Complexkegel. Wir haben demnach den Satz: « B e i m h y p e r b o l i s c h e n C o m p l e x g i e b t es i m mer einen von einem Mantel der S i n g u l a r i t ä t e n -

12 fläche umschlossenen Raum, dessen Punkte ginäre Complexkegel besitzen.»

ima-

Wenn wir beim hyperbolischen Complex eine andere Wahl des Coordinatentetraeders treffen und etwa die Axen der speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe: A, ± B 2 = 0, Aä ± B, = 0, A 3 ± B 3 = 0 ruhen, als Kanten annehmen, so ergiebt sich keine Vereinfachung der Complexgleichung. Wie Herr F. K l e i n bewiesen hat (Mathem. Annalen, Bd. II, S. 222), lässt sich die allgemeine Gleichung des quadratischen Complexes nur bei Anwendung eines der von ihm entdeckten fünfzehn Fundamentaltetraeder auf die Form: i —G

( a ) ^ a i X i 2 + äbjXjX, + 2bäxsxB + 2b3x3x6 = i=

0

l

bringen. Das von uns benutzte Coordinatentetraeder, dessen Kanten die speciellen Complexe sind, auf welchen die Gewebe A, ± B, = 0 , Aä ± B ä = 0 , A3 ± B 3 = 0 ruhen, ist demnach eines der fünfzehn Fundamentaltetraeder des quadratischen Komplexes. Je zwei gegenüberstehende Kanten desselben Sind daher gegenseitig einander entsprechende Polaren des Complexes; das angewendete Coordinaltetraeder ist folglich Poltetraeder der Complexkegel seiner Ecken, und die drei Kanten, welche in jeder Fläche des Tetraeders liegen, bilden ein Poldreieck der in dieser Fläche liegenden Complexcurve. Da alle sechs Fundamentalcomplexe beim hyperbolischen Complex imaginär sind, so giebt es nur ein Coordinatentetraeder und zwar das von uns angewendete, für welches die Gleichung des Complexes die Form (a) annimmt. Der [parabolische] Complex zweiter A r t .

Dieselben Betrachtungen, wie beim hyperbolischen Complex, können wir auch anstellen, wenn nicht alle sechs Doppelcomplexe imaginär sind, sondern etwa nur vier. Wir hatten (i,

-

x )

p , "

-

+

(1,

(i5 -

-

P , '

X) p6* -

+

0 ,

(I. -

-

p

3

2

-

0 .

X) p.» = o

-

P

4

2

13 als Gleichung des Büschels von Complexengeweben, welche denselben quadratischen Gomplex enthalten. Es seien nun etwa die Constanten 1, und 14 reell, die anderen 12 und 15, 13 und 16 conjugiert imaginär, also 12 =

a2 +

]3 = Für X =

ib 2 ; 15 = ib3;

+

a3

lj und X =

=

a2 — ib 2 , a3

—

i5V

14 haben wir zwei reelle Doppel-

complexe, auf welche sich die resp. linearen Gewebe P ( = 0 und P 4 =

0 stützen; diese Gewebe sind folglich auch reell.

Die anderen linearen Gewebe P 2 =

0 und P s =

0, P 3 =

0

und PG = 0 müssen aber paarweise conjugiert imaginär sein, weil ihre Träger es sind. Wir haben demnach als Gleichung des Büschels: (1, - X ) P, 2 + (a2 + i b, - X ) (A s + iBJ 2 + (a3 + ib 3 - X) ( A , + iB3)2 -

(14 -

X) P / +

+

(a, -

(a2 -

ib 3 -

ib 2 -

X) (A 3 -

X) (A 2 iBJ

i B2)2 0

=

oder (1, +

X) P, 2 -

2 (a, ~

(14 -

X) (A 3 S -

X) P 4 2 + B32) -

2 (a, -

X) ( A 2 Ä -

4B2A2B2 -

B*)

4b,AsB, =

0.

Nehmen wir die 2 in die Quadrate hinein und setzen P 2 statt V i etc., so ergiebt sich als Gleichung des

Com-

plexes zweiter A r t : (1) 1, P, 2 -

14 P 4 2 + a2 (P 2 2 2b2P2P. -

-

P / ) + a3 (P 3 2 -

2b3P3P6 =

P02)

0,

worin 1,, 14, a 2 , a 3 , b2 und b3 sämmtlich reelle Constanten und P, P 6 reelle lineare Functionen der Complexordinaten sind. P, 2 + P2ä + P3ä — P 4 2 -

P52 -

stellt die Gleichung des Hauptgewebes wieder

wie

tentetraeder Complexe P2 ±

dar.

beim

hyperbolischen

Complex

an,

dessen Kanten

die Axen

sind,

P6 =

P62 =

auf

welchen

0, P 3 ± P c =

P, ±

P 4 == p , x , ; P 2 ±

P4 ^

P4 =

Pi^t'i

die

0

Wenden das

der speciellen

Gewebe P, ±

0 ruhen und setzen P6 =

P 2 —P P 5 =

p2X2; P 3 ±

P.X.;

wir

Coordina-

P6 =

-F f e

P4 =

0,

demgemäss: =

p3x3;

PeXe>

14 also 2 P j = p,x, -f- p 4 x 4 ; qp 2 P 4 = p,x, — p 4 x 4 ; etc., so erhalten wir aus Gleichung (1): (Pi^ + P ä ) 2 — U(Pi x i — p4 x J 2 + 4a 2 p 2 p 5 x 2 x 5 + 4a 3 p 3 p 6 x 3 x 6 ^ 2b ä (p 2 2 x 2 2 - p / x / ) ^ 2 b 3 ( p / x ; - p / V ) = 0 oder, da p, p4 = p2p5 = p3p6 = 1 ist, Pi

2

(1, - 14) x, 2 + P i 2 (1, - 14) x ; + 2 (1, + U x , x 4 + 4 a , x s x s + 4 a , x ä x s =p 2 b 2 (p 2 2 x 2 2 — p52 x 5 2 )! zp 2 b 3 (p32 x 3 2 - p62 x 6 2 ) = 0.

W e n n wir für die Constanten einfachere Bezeichnungen einführen und mit a , . . . . a 6 positive Constanten bezeichnen, so können wir daher die G l e i c h u n g d e s C o m p l e x e s z w e i t e r A r t immer auf eine der Formen bringen: (I) a,x, 2 + a 2 x 2 2 + a 3 x 3 2 + a 4 x 4 2 — a 5 x 5 2 — a 0 x c 2 +

2ß,xlX4

+ 2 ß2 x 2 x 6 + 2 ß3 x 3 x 0 = 0 , 2

2

(Ia) 14 und 15 und für 14 und 1. > 14 und 12 erhalten wir, wie oben gefunden wurde, den Gomplex von der vierten Art. Aus den Gleichungen (5) und (6) ergiebt sich unmittelbar, dass seine Gleichung sich bei Anwendung der beiden oben angegebenen Goordinatentetraeder auf eine der Formen bringen lässt:

19 (I) a, X ) ä + a2x22 + «3x32 + «4x42 + a,x,' - a 0 x c a + 2ß 1 x 1 x 4 + 2ß 2 x 2 x ä + 2 ß3 x3 x6 = 0 oder (I.) a.x, 2 + a2x22 — a3x32 -f- a 4 x 4 2 4- a 5 x s 2 + a c x / + 2ß l X ,x 4 + 2 ß2 x2 x3 + 2 ß3 x8 xG = 0, worin die Constanten a, a6 gleiches Vorzeichen besitzen. In Gleichung (5) haben wir dabei gesetzt: (i, - U P , 2 = ; 0. - U P* 2 = «,; i, • + V = ß t ; aisoji, - 1 4 ) 2 P,2 p42 = a, a4, oder da p, p4 = 1 ist, lf — 14 = Vo.^ a4, folglich 21, = ß, + 214 = ß, — ferner wurde gesetzt:

0, — 1.)P." =

( L - U PS2 = «5; 1 , + J ^ ß , ;

also 21t = ß2 + ^ a , « , ; 21, = ß2 — | / a , a , . In Gleichung (6) aber wurde gesetzt:

0« — 1.) P,2 = °S; Ol — U P«' = a*; + = ßi 2 1 0, -1.) P, = «,; O S ^ U P. = I. + \ = ß«.

UND

also 21, = ß, + ^ a , « 4 ; 21, = ß, — und 21, = ß2 + 1 / 5 ^ ; 214 = ß2 |/a, Hat die Gleichung des Complexes die Form (1), so erhalten wir für A, und A4 (Fig. 3) reelle, für A2 und A3 imaginäre Complexkegel; e, und s4 haben imaginäre, e2 und s3 reelle Complexcurven. Die Punkte A2 und A3 werden daher von den Complexcurven der Ebenen s3 resp. e2 eingeschlossen. Die Singularitätenfläche trennt die Punkte A, und A4 von den Punkten A2 und A,. Die Gleichung (Ia) repräsentiert den zu (I) reciproken Fall: Die Complexkegel von A, und A4 sind imaginär, diejenigen von A2 und A3 reell; s2 und s3 haben imaginäre, s, und e4 reelle Complexcurven. Die Singularitätenfläche trennt also wieder die Punkte A, und A4 von den Punkten A2 und A3. Es ergiebt sich demnach: « D e r [ e l l i p t i s c h e ] C o m plex vierter Art e n t h ä l t s t e t s reelle und imaginäre Complexkegel und Complexcurven».

20 Sind die Constanten 1, und 12 nicht beide grösser oder beide kleiner als 14 und l s , so erhalten wir, wie oben bewiesen wurde, Complexe dritter Art. Hier haben wir nun zwei Fälle zu unterscheiden. A. Wenn die Constanten 1, und 12 von einander in der Grössenfolge durch 14 oder lä und ebenso diese durch jene getrennt sind, wenn also etwa 1, > 14 > 12 > 15 oder wenn 14 > 12 > 15 > 1,, so lässt sich die Gleichung des Complexes dritter Art entweder nach Gleichung (5) oder nach Gleichung (6) auf eine der beim Complex vierter Art gefundenen Formen (I) oder (Ia) bringen. Ist z. B. 14 > 12 > 1, > l l t so nimmt die Gleichung (5) eine der Formen a n : (II) — a ) X ) 2 + atx* + a 3 x, 2 — a 4 x / + a 5 x ä 2 — ßk — Ka k a k + 3 .» Die Complexe fünfter, sechster, siebenter und achter Art.

Wir gehen jetzt dazu über, die vereinfachten Gleichungen derjenigen Complexe zu bestimmen, welche wir erhalten, wenn alle sechs Doppelcomplexe des Büschels von Complexengeweben: (1, -

X) p 4 ' + (1, - X) p.« + (]3 - (15 - X) P , ' - (], reell sind.

X) P 3 2 X) P.» =

(1, 0

X) P /

Die Gleichung des Hauptgewebes ist: p, ä + i>; + P / - v; - p,: - P26 = 0. Aus ganz denselben Betrachtungen wie den beim hyperbolischen Complex angestellten ergiebt sich n u n , dass irgend drei Complexengewebe wie z. B.: (a) P, + P 6 = 0 ; P , + P ( = 0 ; P 3 + P s = 0 oder (b) P, - P , = 0; P , - P , =• 0 ; P , - P 3 = 0, deren Gleichungen zusammen die Gleichung des Hauptgewebes befriedigen, auf speciellen Complexen ruhen, deren Axen durch einen Punkt gehen oder in einer Ebene liegen; und zwar ergiebt sich weiter, dass die Axen der speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe (b) ruhen, durch einen Punkt (A) gehen, wenn die Axen der speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe (a) ruhen, in einer Ebene (s) liegen, und umgekehrt; und dass der Punkt A stets ausserhalb der Ebene e liegen muss. Wir können daher die Axen der sechs speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe P t ± P 6 = 0; P 2 ± P 4 = 0 ; P 3 ± P 5 = 0 ruhen, als Kanten eines Coordinatentetraeders annehmen.

24 Es ergeben sich nun im Ganzen sechs solcher Coordinatentetraeder, wenn wir die Axen der sechs speciellen Complexe, auf welchen die Gewebe: 1) P, ± P 4 - 0; P a ± P s = 0; P 3 ± P6 = 0 oder ä) P, ± P 4 = 0; P. ± P 6 = 0; P 3 dr P, = 0 » 3) P, ± P , = 0; P, ± P 4 = 0; P, ± P°6 = 0 » 4) P, ± P 5 = 0; P ä ± P 6 = 0; P 3 ± P 4 = 0 » 5) P, ± P 6 = 0; P, ± P 4 = 0; P, ± P s = 0 » 6) P, ± P 6 = 0; P, ± P 5 = 0; P 3 ± P 4 = 0 ruhen, als Kanten annehmen; dabei sind dann die Axen der speciellen Gomplexe, auf welche sich je zwei Gewebe Pi + p k = 0 und P, — P k = 0, für i = 1 , 2 oder 3 und k = 4, 5 oder 6, stützen, also gegenüberstehende Kanten zu nehmen. Es wird sich nun ergeben, dass sich bei Anwendung jedes der sechs angeführten Coordinatentetraeder die Gleichungen der Complexe fünfter, sechster, siebenter u. achter Art auf die Form: ' ¿ W i=

+ 2 ß, Xj x4 + 2ß 2 x 2 x ä + 2ß 3 x 3 x 6 = 0

l

bringen lassen. Diese sechs Tetraeder sind dann auch zugleich die einzigen, für welche die Complexgleichung diese einfache Form annimmt (vergl. Herrn F. K l e i n , Math. Annal., Bd. II, S. 206 und S. 222); es sind dies die sechs reellen Fundamentaltetraeder, welche man erhält, wenn die Fundamentalcomplexe des zu Grunde gelegten Büschels von Complexengeweben alle reell sind; je zwei gegenüberstehende Kanten dieser Tetraeder sind einander gegenseitig entsprechende Polaren in Bezug auf den Gomplex. I. Wir erhalten nun den [imaginären] Complex achter Art, wenn von den sechs Grössen 14, 12, 13, 14, lä und 16 die drei ersteren alle grösser oder kleiner sind als die drei letzteren (siehe Herrn R e y e G r e l l e ' s Journ., Bd. 98, S. 297). Nehmen wir etwa das erste der oben angegebenen Coordinatentetraeder und setzen demgemäss:

25 P

a l s o

±

t

p

=i=

4

2

p ,

=

=

p

s i c h

W

=

4

P «

P ,

g i e b t

d i e

P

P « x x ,

4

a u s

+

i ;

x

;

4

+

±

2

P ,

p

d e r

W

P

x

4

P

q = ;

4

=

5

P

=

6

= F

p . x , ;

2

P

p

x

s

=

4

;

5

P ,

±

P

+

3

x ,

P l

P

6

P «

—

p

x

4

=

p , x , ;

=

p

x

6

; . . . . ;

4

;

6

s o

e r -

G l e i c h u n g :

+

W

-

W

-

I , I V

-

W

=

0

f o l g e n d e :

( p | X | ^

1. ( P l

+

P ,

,

—

p 4 * « ) '

(1,

-

X

J

X

+

2

( p 2

—

h

2

+

P

S

5

)

ä

+

I,

(P-2X2

-

P

S X 5

)

2

—

1, (Pa

X

X

( p , x ,

+

3

X

P e

-

P

)

x 6

)

8 X 6

2

=

3

0

o d e r ( 1 )

«

P t

+

(i,

P t 2

-

+

P,

( 2 )

P ( P ,

4

p

14)

+

i n

d i e s e r

e r h ä l t

m a n

a

=

( 3 )

a , x ,

w o r i n

d i e

N e h m e n s i c h

p

4

a

2 b

2

x

1

x

2 2

1

x

l ^ a , a

d e n 1,

2 2

+

) p

s

( l

,

4

l

/ /

=

—

^ a

+

«

=

=

a

-

3

]

(i,

16)

p

p

2

5

) x / -

6

-

,i.)

x

x

2

v

5

0 -

4

2

a

;

a , ; b , ;

p

=

6

x

ä

a

p

3

p

p

=

6

3

1

a x

2

x

4

+

8

+

4 2

a

2 b

3

x

l ^ a , a

=

a , ;

P . ' 0 ,

-

U

=

a . ;

+

U

=

b

0 »

3

a c h t e r x x

+

3 2

a

=

6

3

;

A r t : 6

x /

2

0 ,

V o r z e i c h e n

p o s i t i v

6

)

6

ist,

3

g l e i c h e s

6

u n d

(1, — 1

3 2

P,

C o m p l e x e s

+

3 s

. . . . ä

p

d e s x

3

+ 1 . ) p

ä

2 b

a

ä

=

a

t

x

(] p /

=

+

a

3

x

«

P s

+

2 ( 1 , p 6

— L )

2

0 ,

G l e i c h u n g e n

—

4

6

+ 5 2

p , ' ( l , - l . )

=

4

4

x

h

+

C o n s t a n t e n

w i r

a u s

P,

p

X /

y

G l e i c h u n g :

;

4

15) -

ä

G l e i c h u n g

+

+

]

p

i ;

b

a l s 2

+

a , ;

=

U

-

(i

x , x

4

0 ,

w o b e i s o

p, p

2

=

(1,

P s ä

+

—

(1,

4

»

P l

+

4 2

+

t

( l , - U

2

+

2

x

m a n

0 ,

2

x ,

Q

2 ( l

S e t z t

(

]4)

a n ,

h a b e n .

s o

e r g i e b t

( 2 ) : a

;

4

l1

+

l

=

i

b

)

;

;

a l s o 2 1 , 2 1

2 1 =

i

b

1

= i = l / a

1

a

4

b

2

;

2

=

b

2 1 ,

=

b

±

2

2

l

+

/

K a

^ 2

a

; ;

5

2

1

=

2 1 ,

=

b

>

b ,

—

3

b 3

3

±

^

a

^

;

Va3a6;

+

f o l g l i c h b ,

+

l / a ,

a

4

,

b

N e h m e n

w i r

d i n a t e n f e t r a e d e r ,

+ 2

| / a —

e i n e t w a

s

l / a

a 2

6

a

, s

b ,

a n d e r e s

+

3

b

3

| / a —

d e r

d a s j e n i g e ,

3

a

6

l ^ a ,

a

4

,

Va3a.B. a n g e g e b e n e n d e s s e n

s e c h s

K a n t e n

v o n

C o o r d e n

26 Axen der speciellen Complexe gebildet werden, auf welchen die Gewebe P, ± P 6 = 0, P ä ± P ä = 0 , P., ± P 5 = 0 ruhen, so erhalten wir die der Gleichung (1) entsprechende Gleichung; ( i . ) rV (if - 1 6 ) x,' + ^ (it - 1 4 ) x,' + p3ä (i, - 1 . ) v + rv (i, - 1 . ) x / + P s 2 (i, - 1 . ) x 5 2 + p,* (i, - ],) x62 +

2

P, P, Ol + 1.) x, x f + 2 p, p, (1, + 14) x , x , + 2p,p, 0, + 1«) x 3 x 6 = 0.

Setzen wir hierin p f M l 1 - l 6 ) = a , , ; p43 (1, — 16) = a t 1 ;

Pl

p4 (l, + ),) = b / ;

so ergiebt sich die Gleichung: (3 a ) a, 1 x, 2 -I- a 2 ' x / + a 3 'x 3 2 + a / x / + a s 'x 3 2 + a 8 l x 6 3 + 2 b / x l X t + 2 b , , x , x , + 2 b31 x 3 x 6 = 0, deren Constanten wieder den "Bedingungen genügen: b, 1 + K a T ^ 1 , b,' + 1 / a J V , b, 1 + 1/aTa, 1 > b / -

J

b2' -

i / a 2 ' a 5 ', b3* -

/a.V,

^a/a6r;

dabei besitzen a , 1 . . . . a fi ' gleiches Zeichen. Die gleichen Resultate erhalten wir bei Anwendung der vier übrigen angegebenen Goordinatentetraeder; es ergiebt sich also: «Die Gleichung i—6 £ a i X i 2 + 2 ß , x 1 x i + 2 ß s x ä x ä + 2ß 3 x 3 x 6 = 0 i=l stellt a l l e m a l und nur d a n n einen G o m p f t x achter A r t d a r , w e n n d i e G o n s t a n t e n a, a6 g l e i c h e s • V o r z e i c h e n h a b e n u n d w e n n a u s s e r d e m d i e Ungleichungen bestehen: ß, +

ß, + ^ V * * . ßs +

ßi -

^

^

ß» — ^ a . ® . . ßa — ^ a , « , » Aus den Gleichungen (3) und (3 a ) ersehen wir, dass die Complexkegel und Gomplexcurven sämmtlicher Ecken resp. Ebenen der Goordinatentetraeder imaginär sind, ein Resultat, dass wir voraussehen konnten, da der Complex achter Art überhaupt keine reellen Strahlen enthält.

27 II. Den C o m p l e x s i e b e n t e r A r t erhalten wir, wenn z. B. 1, und 12 > ] ( > 13 > L und 16. Dieselbe Art von Complexen ergiebt sich, wenn wir in diesen Ungleichungen die Indices 1 , 2 , 3 mit 4 , 5, 6 oder mit einander vertauschen; diese Bemerkung gilt auch für die noch zu betrachtenden Arten von Complexen, bei welchen wir, wie auch hier schon, der Kürze wegen nur eine von den Ungleichungen betrachten werden, für die wir dieselbe Art von Complexen erhalten. Bei vieren von den oben angegebenen Coordinatentetraedern ergiebt sich nun dieselbe Gleichungsform wie beim Complexe achter Art, nämlich: (1) a, Xj2 + a s x s s + a 3 x 3 2 + a 4 x 4 2 + a s x 5 2 4- a 6 x„ 2 + 2 ß, x, x 4 + 2 ß2 x2 x.. 4- 2 ß3 x., x 6 = 0, worin a4 a 6 positiv sind. Die Gomplexkegel aller Eckpunkte und die Complexcurven aller Flächen dieser Tetraeder sind demnach imaginär. Setzen wir jedoch: P, ± P:i = p, x 4 ; P 2 ± P 6 = P

i

P , = P* X4; P 2

Plx,;

P 3 ± P s = p3x3;

P 6 = p s X s : P , + P t = p6X6,

also 2 P , = p,x, + p 4 x 4 ; ± 2P S = p,x 1 — p,x 4 ; . . . ; so ergiebt sich 1) (P,X1 + P«*,)' + 1-2 (P2X2 + PÖX.h)2 + 1, (P3X3 + P.*.)' — 1« (Pi X3 — P6 x e) 2 — 1« (Pi x . - P«*«)' — 's (P 2 X 9 — P,*«)' = 0 oder p . ' f l . - U V + p , ' (12_16) x / + p/ (13_14) v +

p.'o.-gx;

+ P52 (1, - 16) z* + p,' (13 - 14) x 6 5 + 2 (1, + I.) x,x 4 + 2 (12 + 1.) x 2 x 5 + 2 (13 + l t ) x 3 x 6 = 0. Berücksichtigen wir, dass 1, — 14 < 0, 1, — L > 0 und 13 — 16 > 0, so können wir die letzte Gleichung schreiben: (2) a,x, 3 + a 2 x 2 2 — a 3 x 3 2 + a 4 x 4 9 + a s x 5 2 — a 6 x / + 2 ß, x, x 4 4- 2 ß2 x 2 x„ + 2 ß3 x 3 x c — 0, worin a t

a 6 positiv sind.

Alle Ecken und Ebenen dieses

Coordinatentetraeders haben reelle Complexkegel resp. -Curven.

28 Für das Coordinatentetraeder, dessen Kanten von den Trägern der speciellen Coraplexe gebildet werden, auf welche die Gewebe P, ± P 6 = 0, P s ± P . = 0 , P 3 ± P 4 = 0 sich stützen, ergiebt sich dieselbe Form der Gleichung wie vorher, so dass auch in diesem Falle sämmtliche Ecken und Flächen des Tetraeders reelle Complexkegel resp. -Curven besitzen. Wenn wir wieder die Grössen 1, stanten

der transformierten

16 durch die Con-

Gleichung (1) ausdrücken,

erhalten wir 1,, 1, und 13 bestimmt durch ß, + und ß3 + l/a 3 a 6 ,

l7«,

so

a 4 , ß3 -+- ^ a , « ,

während 14, 15 und 16 je nach Wahl

des

Coordinatentetraeders einer der drei Differenzen ß, ß2 — V,a.i a s oder ß3 — Va.^ a 6 gleich werden.

Es bestehen

also, da 1, und 12 > 14 > 13 > 1,. und 16, zwischen den Coefficienten der Gleichung (1) die Ungleichungen ß1 + K a 1 a 4 und ß2 +

ßi —

ß3 —

\ Für

> ß3 + das

> ß, ~

Coordinatentetraeder

™d

dagegen,

für

welches oben die Transformation in die Gleichung (2) durchgeführt ist, ergiebt sich: p.2 ('. — i.) = » i ; p/ (1, - 1.) = a 4 ; P,P.

(1, +

].) =

p29 0 , — i.) = « , ; p.» (lä - 1J = ß, -

> ß3 +

^ « e

> ß3 -

^ « i

f « ! « , , ß2 — l^«,«.,

und dasselbe Resultat erhalten wir für das andere Coordinatentetraeder, bei welchem die Gleichung des Complexes die Form (2) annimmt.

29 E s gilt daher das Folgende: «Die Gleichung 2 « i X i 2 + 2 ß, x , x 4 + 2 ß ä x 2 x ä + i=l stellt einen Complex siebenter Art

2ß3x3x6 = dar,

0

w e n n 1) d i e

C o n s t a n t e n a , . . . . a c g l e i c h e s Zei c h e n h a b e n u n d w e n n ausserdem (a) ß, + >

und ß2 +

ß3 +

oder

wenn

zwar

immer

k y ;

> ß, —

V ä ^

> ß2 — ^ a , « » und ß3 — |/a s a,; (2)

zwei

der

at

und

a;

Constanten 3

für i =

1,

« , . . . . a0,

und

2

das

oder

3

e n t g e g e n g e s e t z t e Zeichen h a b e n wie die vier ü b r i g e n und wenn zugleich (b) ß , + V ä ^ und ß2 +

> ß3

+

> ß3 — J ^ a , « , > ß, — ^ a i a 4 und ßä — ^ « s ^ » Man erhält natürlich ebenfalls den Complex siebenter A r t , wenn statt der Ungleichungen (a) oder (b) solche bestehen, die sich ergeben, wenn man in (a) oder in (b) die Indices 1, 4 mit 2, 5 oder 3, 6 vertauscht. III. Den C o m p l e x s e c h s t e r A r t erhalten wir, wenn z. B. 1( und 12 > 14 und 16 und letztere > 13 und l e . W e n n 13 > 1„ ist, so kann die Gleichung dieses Complexes zwei Formen annehmen. F ü r die beiden Coordinatentetraeder, welche von den Axen der speciellen Complexe gebildet werden, auf die sich die Gewebe P , ± P 4 = 0, P 2 ± P 5 = 0, P 3 ± P c = 0 oder die Gewebe P , ± P 5 = 0, P s ± P 4 = 0, P 3 ± P c = 0 stützen, ergiebt sich nämlich, wenn wir mit a f . . . . a c positive Constanten bezeichnen, nach den früher angewendeten Methoden als Complexgleichung: (1) a, x, 2 + a 2 x 2 2 + 14 und 13 und letztere > 13 > 16, so lässt sich, wie eben gefunden wurde, die Gleichung des Gomplexes sechster Art bei Anwendung von zwei Coordinatentetraedern auf die Form (1) bringen. Die Ecken und Flächen dieser Goordinatentetraeder haben demnach imaginäre Gomplexkegel resp. Gomplexcurven, und wir erhalten in diesem Falle den Complex von der Art VI a , welcher auch imaginäre Gomplexkegel und -Gurven besitzt, während seine Singularitätenfläche stets reell ist. Wenn 1, und 12 > 1 4 , l s , 16 und letztere > 13, wenn also die Go^stanten 1 4 , l s , 16 in der Grössenfolge ungetrennt auf einander folgen, so erhalten wir den Complex von der Art VIb, dessen Singularitätenfläche imaginär ist, während er für alle Punkte und Ebenen des Raumes reelle Complexkegel resp. -Gurven besitzt. In derselben Weise wie bei den vorher betrachteten Arten von Complexen können wir auch bei den Complexen sechster Art die Gonstanten 1 4 . . . . 16 durch die Goefficienten der transformierten Gleichung ausdrücken. Um nicht immer dieselben Rechnungen durchzuführen, wollen wir nur die Resultate angeben. Es ergiebt sich: «Die G l e i c h u n g i=

6

i =

l

£>

i X i 2

+ 2 ß l X l x 4 + 2 ß 2 x 2 x„ + 2 ß 3 x 3 x c =

0

s t e l l t e i n e n C o m p l e x von der A r t VI a d a r , w e n n 1) a { . . . * e g l e i c h e s Z e i c h e n b e s i t z e n und w e n n z u g l e i c h ß2 -i> ß3 +

a 5 > ß, — / s , « , und ß2 — ^

a 2 a 3

und letztere

> ß3 — V o . ^ , o d e r w e n n 2) zwei v o n den

Gonstanten a f . . . . 7 . 0 , und zwar immer i=

+ t^aja 4 ,

und ai + s, für

1, 2 o d e r 3 , das e n t g e g e n g e s e t z t e Z e i c h e n

haben

31 wie die vier ü b r i g e n und wenn a u s s e r d e m gleichungen

b e s t e h e n : ß, + V a . ^ ^ , ß2 + l / a 2 a . > ß3

4- l / a , a 6 u n d ß, — V / a l a 4 u n d > ß2 — l/« 2 a 6 .

dieUn-

l e t z t e r e > ß3 — \ / / a 3 a 6

D i e G l e i c h u n g (a) s t e l l t e i n e n G o m p l e x

v o n d e r A r t VIb d a r , w e n n , w i e im v o r h e r g e h e n d e n F a l l e , z w e i d e r G o n s t a n t e n a, ac, und zwar i m m e r «i u n d «¡ + 3, f ü r i = 1, 2 o d e r 3, d a s e n t g e g e n g e s e t z t e Z e i c h e n b e s i t z e n w i e die v i e r ü b r i g e n , u n d w e n n a u s s e r d e m ß, + l / a , a 4 u n d ß2 + l / a ä a 5 > ß3 + Va.^ a 6 , ß, — V7«, a 4 , ß2 — u n d l e t z t e r e > ß3 — K a ^ . » Auch hier ist zu bemerken, dass sich aus den angeführten Ungleichungen andere derselben Art von Complexen entsprechende ergeben, wenn die Indices 1, 4 mit 2, 5 oder 3, 6 vertauscht werden. IV. Analog verfahren wir bei den G o m p l e x e n f ü n f t e r A r t , die wir erhalten, wenn z. B. (a) 14 und 14 > 12 und 15 und letztere > 13 und 16. Wenn (1) I, > 1. > 1, > 1. > 1, > 1., oder, was derselben Art von Gomplexen entspricht, (2) 1, > 1, > L > 1, > 1, > 13,

wenn

so erhalten wir bei Anwendung eines der sechs angegebenen Coordinatentetraeder für den Gomplex die Gleichung: (3) a ) X l 2 + a ä x / + a.,x32 + a 4 x 4 2 + a.x. 2 + a.x.» + S ß . x . x , + 2 ß ä x 2 x 5 + 2 ß , x , x , = 0, worin die Coefficienten a ( a 0 gleiches Zeichen haben. Bei Anwendung der fünf anderen Coordinatentetraeder ergiebt sich für den Complex eine Gleichung von der F o r m : (4) a,x f 2 + a s x 2 2 — a 3 x 3 2 + a 4 x 4 2 + a5x,.2 — a 0 x 0 2 + 2 ß f x f x 4 + 2 ß 2 x 2 x 5 + 2ß 3 x 3 x 0 = 0. Wenn die Grössen ] , . . . . 1, nicht den Bedingungen (1) oder (2), sondern nur den Ungleichungen (a) genügen, wenn also z. B. 1, > 14 > 13 > 12 > 1., > 16, so erhält die Gomplex-

32 gleichung bezüglich jedes der sechs Coordinatentetraeder die F o r m , in welcher zwei Quadrate, und zwar allemal die Quadrate von solchen Coordinaten, die sich auf zwei Gegenkanten des Fundamentaltetraeders beziehen, das entgegengesetzte Zeichen besitzen wie die vier übrigen. Die Eckpunkte und Flächen der sechs Fundamentaltetraeder besitzen demnach reelle Gomplexkegel resp. -Gurven, und wir haben in diesem Falle den Complex von der Art V b , für welchen die Gomplexkegel und -Gurven aller Punkte resp. Ebenen, sowie die Singularitätenfläche reell sind. Wenn alle Gonstanten l l t 1 2 , 13 von einander in der Grössenfolge durch 1 4 , 16, 16 getrennt sind, so erhalten wir den Complex von der Art Va. Seine Gleichung lässt sich, wie wir oben fanden, in einer einzigen Weise auf die Form (3) bringen. Für den Complex von der Art Va giebt es daher immer ein Coordinatentetraeder, dessen Ecken und Flächen imaginäre ; Complexkegel resp. -Gurven besitzen, und der Fall, d e n f i e r r R e y e (siehe C r e l l e ' s Journ., Bd. 98, S. 299) als wahrscheinlich hingestellt hat, tritt also in der That ein: « D e r C o m p l e x v o n d e r A r t Va e n t h ä l t a l l e m a l nicht n u r r e e l l e , s o n d e r n a u c h i m a g i n ä r e Comple'xk e g e l u n d - C u r v e n . » Für diesen Complex allein kann die Singularitätenfläche sechszehn reelle Doppelpunkte und sechszehn reelle Doppelebenen besitzen. Der Complex von der Art Va ist parabolisch; folglich schneidet jede Gerade, die durch einen Punkt mit imaginärem Complexkegel geht, die Singularitätenfläche in mindestens zwei reellen Punkten. Denkt man sich daher durch irgend einen Eckpunkt des oben gefundenen Fundamentaltetraeders, für welches alle Eckpunkte imaginäre Complexkegel besitzen, beliebig viele Strahlen gelegt, so hat jeder derselben mit der Singularitätenfläche zwei reelle Punkte gemein; dieser Eckpunkt wird demnach von einem geschlossenen Teile der Singularitätenfläche umhüllt; alle Punkte innerhalb dieses Mantels besitzen imaginäre Complexkegel. Es lässt sich nun zeigen, dass je zwei der Eckpunkte des betrachteten Tetraeders, wie A, und A 2 , durch die Schnittpunkte der sie ver-

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bindenden Kante A4 A2 mit der Singularitätenfläche harmonisch getrennt sind. Bezeichnen nämlich X,.. X4 die Goordinaten eines Punktes P bezüglich des oben genannten Coordinatentetraeders, so liegt (siehe Herrn R e y e , G r e l l e ' s Journ., Bd. 97) der Punkt P auf einer beliebigen Geraden x ; , wenn die Gleichungen bestehen: (a) X4x4 = X3x2 X 2 x 3 ; X4x5 = XjX3 X4x6 — X 2 x, — X,x 2 .

X 3 x,;

Die Polare Xj1 eines speciellen Complexes xi bezüglich des quadratischen Complexes: (b) a ^ , 2 + a2x22 + a3x32 + a4x42 + a s x / + a,x,* + Sb.x.x, + 2b s x s x s + 2 b3 x3 xc = 0 hat nun die Goordinaten; ( x4' = a,x, + b,x 4 ; x,.1 = a 2 x 2 + b 2 x 3 ; x,11 - a 3 x 3 + b a x, ; '( x / = + a 4 x 4 ; x2' = b 2 x 2 + a 5 x 3 ; x, = b 3 x 3 + a c x 0 .

J

Wenn die Polare Xj1 ein specieller Complex ist und wenn ihre Axe diejenige des homologen speciellen Complexes Xi schneidet, so erhalten wir einen Punkt der Singularitätenfläche. Wir drücken nun aus, dass ein Punkt X j . . X4 auf den beiden Geraden Xi und Xi1 liege und haben dann neben den Gleichungen (a) und (b) noch die folgenden: (d) X4x4' = X 3 x 2 ' - X2x3