Eine kurze Geschichte der Mathematik 3806238774, 9783806238778

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Wolfgang Blum

Eine kurze Geschichte der Mathematik

Wolfgang Blum

Eine kurze Geschichte der Mathematik

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Elektronisch sind folgende Ausgaben erhältlich: eBook (PDF): 978-3-8062-3947-8 eBook (epub): 978-3-8062-3948-5

Inhalt Einleitung: Was ist Mathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Vorgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die ersten Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Babylon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Abakus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ägypter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chinesische Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 15 18 21 23 27 30

Die Antike (600 v. Chr. – 300 n. Chr.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die drei klassischen Probleme der Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alles ist Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Akademie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Vermessung der Erde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heureka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Grenzen der Griechen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 35 36 38 43 45 50 52 55

Das Hochmittelalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Erfindung der Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arabische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Religiös motivierte Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 65 70

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Inhalt

Das ausgehende Mittelalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Arabische Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Die Renaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mönchszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen sorgen für Streit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Buchstaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kolumbus’ Doppelfehler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 81 83 85 88 90 92 95 97

Aufklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Mathematik der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein differenzierter Streit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine Welt aus Nullen und Einsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unendliche Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bernoullis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der produktive Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Mathematik des Vagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrwege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 102 107 109 112 113 116 118 126

Das 19. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bahnberechnendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Fürst der Mathematiker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erbsenzähler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Renaissance der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tragödien um Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verwirrende Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 131 132 134 137 142 146

Das 20. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Jahrhundertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Grundlagenstreit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geheime Botschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhalt

Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Benfords bizarres Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweise aus dem Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 166 169 171 176 178

Das 21. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milleniumspreise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschwundenes Genie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frauen in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sudoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

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Einleitung Was ist Mathematik?

M

athematik kennt jeder. »Das ist das Fach, mit dem sie uns in der Schule gequält haben«, wird so mancher denken. Doch bei genauerem Überlegen ist die scheinbar einfache Frage, was das ist, gar nicht so leicht zu beantworten. Der Begriff kommt aus dem Griechischen und bedeutet: »Die Kunst des Lernens«. Mathematik gilt als die Wissenschaft der Zahlen. Doch behandelt sie zum Beispiel in der Geometrie Formen, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Chancen und Risiken oder in der so­ genannten Booleschen Algebra die Logik. Bloße Rechnerei ist sicher eine Voraussetzung für Mathematik, aber nicht ihr Inhalt. 3886 durch 58 dividieren zu können gilt im Zeitalter der Smartphones weniger als mathematische Leistung als zu erkennen, dass es keine größte Zahl gibt. Denn zu jeder Zahl kann man noch 1 dazu addieren und so eine noch größere Zahl erhalten. Was ist also Mathematik? Das Wesen des Faches ist die Abstrak­ tion. Das geht schon bei den Zahlen los. Die Zahl 3 zum Beispiel ist unabhängig von dem, was gezählt wird. Ob 3 Menschen, 3 Schafe, 3 Buchstaben oder 3 Tugenden – das Einzige, was alle gemein haben, ist die Anzahl. Jeder andere Inhalt – Mensch, Tier, Symbol oder Eigen­ schaft – wird ausgeblendet. Mathematische Objekte sind keine realen Dinge, sondern Ideen. Redet ein Mathematiker von einer Gerade, so meint er damit nicht einen notgedrungen endlichen Strich auf einem Blatt Papier, sondern die Vorstellung einer unendlich langen, unendlich dünnen geraden

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Einleitung

Linie. Ebenso ist für ihn eine Kugel keine Form, die man anfassen kann, sondern die Gesamtheit aller geometrischen Orte, deren Ab­ stand von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt der Kugel, einen bestimmten Wert, den Radius, nicht überschreitet. Darin liegt das Wesen des Faches: Von allem Unnötigen absehen und sich auf das konzentrieren, worauf es im jeweiligen Zusammen­ hang ankommt. Das Vorgehen kennt jeder, der sich schon mal mit Hilfe eines Stadtplans oder eines Navigationssystems orientiert hat. Auf der Karte bzw. dem Display sind alle Straßen dargestellt, die Ein­ zelheiten fehlen aber. Ob der Fahrweg gepflastert ist oder geteert, ob ihn Einfamilienhäuser säumen, Wiesen oder Bürohochhäuser, lässt sich nicht ausmachen. Verzeichnet ist nur das, worauf es ankommt: welche Straßen man einschlagen muss, um von einem Ort zum ande­ ren zu gelangen. Wer einen Stadtplan liest oder ein Navi verwendet, abstrahiert Häuser, Autos, Fußgänger und findet die gesuchte Straße, obwohl sie nur als Strich vermerkt ist. Mathematiker gehen ähnlich vor: Sie lassen alles weg, was nicht zur Lösung einer Aufgabe nötig ist. Ihre Wissenschaft ist die Kunst, das Wesentliche zu erkennen, zu ordnen und neue Zusammenhänge aufzudecken. Eine Besonderheit dabei: Was einmal herausgefunden wurde, gilt für die Ewigkeit. 2 mal 2 ist ein für alle Mal 4, und die Winkel eines Dreiecks summieren sich zu 180 Grad, im Altertum wie im über­ nächsten Jahrhundert. Keine andere Wissenschaft kann eine solche Kontinuität von sich behaupten. Überall sonst veraltet Wissen und wird von neuen Erkenntnissen ersetzt. Selbst in der Physik, der Schwesterdisziplin der Mathematik, löste zu Beginn der Neuzeit das heliozentrische System die Vorstellung ab, alle Himmelskörper dreh­ ten sich um die Erde. Und vor gut hundert Jahren zeigten die Relati­ vitätstheorie und die Quantenmechanik die Grenzen der klassischen Physik Newtons auf. Zwar entsteht Mathematik in den Köpfen der Menschen, doch eignet sie sich erstaunlicherweise bestens dazu, die Welt zu beschrei­ ben. Die Natur scheint ihren Formeln zu gehorchen – vom Aufbau der Elementarteilchen bis zu den Bewegungen der Himmelskörper.

Was ist Mathematik?

Mathematische Gesetze erklären, wie der Apfel vom Baum fällt, ebenso, wie das atomare Feuer der Sonne. Frei nach Goethe könnte man sa­ gen: »Mathematik ist es, was die Welt im Innersten zusammen­hält.« Auch wenn es um Anwendungen geht, ist die Abstraktheit des Fa­ ches seine Stärke. So beschreiben etwa dieselben Formeln das Wasser im Klärbecken, wie den heißen Stahl in der Hüttenindustrie oder den Kunststoff in der Spritzgussmaschine. Denn überall fließt etwas. Und ob das Klärschlamm, Metall oder Plastik ist, verändert die For­ meln kaum. Durch die Abstraktion lässt sich einmal entwickelte Ma­ thematik in vielen Situationen anwenden, die auf den ersten Blick gar nichts gemein haben. In unserem täglichen Leben sind wir ständig von Mathematik umgeben, ohne es zu merken. Aus der Technik ist sie nicht wegzuden­ ken. Überall steckt sie dahinter: Computer, Autos, Kraftwerke, Flug­ zeuge, Kühlschränke, Handys, medizinische Geräte. Die Auflistung ließe sich endlos fortsetzen. CD-Player zum Beispiel ermitteln das Tonsignal aus einer Folge von Bits, die in einer insgesamt 5 Kilometer langen spiralförmigen Spur als Vertiefungen in die CD eingebrannt wurden. Für eine Sekunde Musik werden dabei bis zu 5 Millionen Bits gebraucht. Selbst wenn das Gerät nur jedes tausendste Bit falsch erkennen würde, käme es immer noch zu Hunderten von Fehlern pro Sekunde mit entsprechender Auswirkung auf die Klangqualität. Gründe für Fehler gibt es einige: Schmutz auf der Scheibe, Luftblasen im Plastikmaterial, Ungenauigkeiten beim Druck, Fingerabdrücke, Kratzer. Eine CD kann durchaus eine halbe Million Bitfehler enthal­ ten. Der Hörer merkt davon nichts, weil die verwendeten Codes feh­ lerkorrigierend sind. Das heißt, Fehler können nicht nur erkannt, sondern sogar repariert werden. Dahinter steckt ausgeklügelte Ma­ thematik. Eigentlich sollte jeder CD-Player einen Aufkleber haben: »Mathematics inside«. Denn wie bei allen anderen technischen Gerä­ ten ist die darin steckende Mathematik dem fertigen Produkt nicht mehr anzusehen. Obwohl es Voraussetzung für unser Leben ist, steht das Fach Ma­ thematik heute nicht gut da. Selbst in der gebildeten Bevölkerung gilt es oft als geradezu schick, sich als mathematische Null zu outen. Bei

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Einleitung

Der Physik-Nobelpreisträger Eugene Wigner (1902–1995) schreibt von der »unvernünftigen Effektivität« der Mathematik: »Das Wunder der Angemessenheit der Sprache der Mathematik für die Formulierung physikalischer Gesetze ist ein wunder­bares Geschenk; und zwar eines, das wir weder verstehen noch verdienen.«

der Imagepflege tut sich die Mathematik per se schwer: Ihr Inhalt ist die pure Abstraktion, ihre Sprache formelhaft in doppeltem Sinn. Als richtig gilt nur das, was streng logisches Schließen ohne die geringste Lücke in der Argumentation zu Tage fördert. Vielen ist die Mathematik, die wegen ihrer Exaktheit als Königin der Wissenschaften gepriesen wird, von Kindesbeinen an verhasst. Die Schule hat ihnen alle Lust daran verleidet und sie mit einem lebenslangen Horror geimpft. Spätestens seit den PISA-­Studien ist bewiesen, dass der oft mangelhafte Mathe-Unterricht nicht nur zu Unlust führt, sondern auch zu schlechten Leistungen. Nichts ist es mit dem Volk der Dichter und Denker. In Mathe können deutsche Schüler japanischen oder finnischen nicht den Taschenrechner rei­ chen.

Was ist Mathematik?

Nun ließe sich einwenden, überlassen wir doch die Mathematik den Profis. Zum Bedienen des Smartphones braucht man schließlich über dessen Innenleben nichts zu wissen. Das ist zwar richtig. Aber auch im normalen Leben braucht der moderne Mensch mathemati­ sches Grundverständnis, zum Beispiel, um die Statistiken in der Zei­ tung richtig zu interpretieren oder die Logik von Computerprogram­ men nachzuvollziehen. Und in vielen Berufen – vom Techniker bis zum Psychologen – kommt man nicht ohne das Fach aus. Alle Wis­ senschaften greifen heute auf mathematische Modelle zurück. Vor allem aber sind mathematische Theorien geistig anregend und erwei­ tern den Horizont. Wen die Schule nicht völlig abgeschreckt hat, der kann sich auf den folgenden Seiten einen knappen Überblick über die Entwicklung der Königin der Wissenschaften verschaffen. Keine Angst, es gibt we­ der Noten noch langweilige Übungsaufgaben. Und wenn es an der einen oder anderen Stelle mal etwas komplizierter wird, verspricht ein Bonmot der Physikerlegende Albert Einstein (1879–1955) Trost: »Regen Sie sich nicht über Ihre Probleme mit der Mathematik auf, ich kann Ihnen versichern, meine sind noch größer.«

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Vorgeschichte

um 2 500 000 v. Chr. Erste absichtlich hergestellte Werkzeuge aus Stein

500 000 bis 2000 v. Chr.

Steinzeit

um 35 000 v. Chr. In Afrika ritzen Menschen gezielt Kerben in Knochen



um 8000 v. Chr. Der Ackerbau wird im Vorderen Orient



um 4000 v. Chr.

erfunden Das Rad wird erfunden



um 3700 v. Chr. Ältester Hinweis auf den Satz des Pythagoras



um 3200 v. Chr. In Mesopotamien kommt die Keilschrift auf



um 3000 v. Chr.

Die Sumerer erfinden die Bruchrechnung



um 2600 v. Chr.

Bau der Cheops-Pyramide



um 2000 v. Chr. Erste Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem



2000 bis 1000 v. Chr.



Bronzezeit

um 1700 v. Chr. Sumerische Gelehrte entwickeln die Geometrie des Dreiecks



um 1650 v. Chr. Ahmes schreibt den Papyrus Rhind, eine Sammlung von Rechenaufgaben



um 1300 v. Chr. Erste Dezimalzahlen in China; Moses erhält



ab 1000 v. Chr.

die Zehn Gebote von Gott

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Eisenzeit

ie Geschichte der Mathematik beginnt nicht erst mit den alten Griechen, sondern bereits mehrere Jahrtausende zuvor. Die Menschheit benutzte Zahlen, lange bevor sie – vor etwa 5000 Jahren –

Die ersten Zahlen

die Schrift erfand. Die Quellenlage ist daher naturgemäß vage. Die Forscher ziehen Rückschlüsse aus Funden von Knochen, in die Ker­ ben geschnitzt sind. Zudem untersuchen sie, wie Naturvölker heute mit Zahlen umgehen. Obwohl für uns Zahlen ganz natürlich wirken, leben auf der Erde Naturvölker, die nicht weiter als bis zwei zählen können und die überhaupt kein Gefühl für Zahlen entwickelt haben. Die frühen Hochkulturen der Babylonier und Ägypter hingegen kannten Zahlen bis in Millionenhöhe und zumindest die Gelehrten konnten mit ihnen auch rechnen. Überdies betrieben sie Geometrie, um Felder zu vermessen und Bauwerke zu planen. So manche Er­ kenntnis, die in der Schule als griechische Mathematik gelehrt wird, ist bereits viel älteren Ursprungs.

Die ersten Zahlen Schon in der Steinzeit gingen die Menschen mit Zahlen um. Der äl­ teste Beleg stammt aus Südafrika. Dort wurde der Schenkelknochen eines Pavians gefunden, in den jemand vor rund 35 000 Jahren Ker­ ben geritzt hat. Der Knochen ähnelt einem Kalenderstock, wie ihn die Buschleute noch heute benutzen. Ob der Schnitzer mit seiner Liste aus 29 Strichen Tage berechnen oder seine Jagderfolge dokumentie­ ren wollte, wissen wir nicht. Ein etwa 15 000 Jahre alter knöcherner Werkzeuggriff, der im Grenzgebiet zwischen Kongo-Kinshasa und Uganda ausgegraben wurde und heute im naturwissenschaftlichen Museum in Brüssel liegt, gibt den Anthropologen ein besonders schweres Rätsel auf. Auf ihm sind die Kerben in Gruppen zusammengefasst, die scheinbar willkürliche Größe haben: 9, 19, 21, 11 … Möglicherweise stehen die Markierungen mit den Mondphasen in Verbindung. Ob die Ishango, so der Name des Volkes, das den Knochen hinterließ, den Mond aus religiösen Gründen betrachteten oder um Zeiten vorherzusagen, in denen man nachts gut sehen konnte, bleibt wohl Spekulation. Sicher ist nur, dass die Ishango schon vor langer Zeit beim Ausbruch eines Vulkans ausgelöscht wurden.

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Vorgeschichte

Der früheste Fund aus Europa ist im Mährischen Museum im tschechischen Brünn zu bewun­ dern. Auf einem etwa 20 cm lan­ gen Knochen eines Wolfes finden sich 57 tiefe Kerben. Die ersten 25 sind gleich lang und scheinen in Fünfergruppen angeordnet zu sein. Dann kommen zwei, die doppelt so lang sind, und schließ­ lich wieder 30 kürzere Kerben. Ihr Urheber hat vermutlich etwas systematisch abgezählt und sich dabei an den Fingern einer Hand Rund 15 000 Jahre alt sind diese orientiert. Werkzeuggriffe aus Knochen, die in Noch heute gibt es Kulturen Afrika gefunden wurden. Über die auf der Welt, die keine Wörter für Anordnung der Kerben in den Griffen Zahlen kennen. Die Pirahã-India­ rätseln die Anthropologen bis heute. ner im brasilianischen Regenwald etwa zählen nicht einmal stumm an den Fingern ab, wie viele Fische sie zum Mittagessen grillen müssen oder wie viele Tage die Nahrungs­ vorräte noch reichen. Weil sie wissen wollten, ob sie beim Handel mit Para­nüssen und anderen Waldprodukten betrogen würden, nahmen die Pira­hã bei dem Anthropologen Daniel Everett vor knapp 30 Jahren Un­terricht. Acht Monate lang drückten mehrere Männer und Frauen die Schulbank, bevor sie beschlossen, dass sie den Umgang mit Zahlen nie erlernen würden. In der Tat konnte selbst am Ende ihrer Schulzeit keiner bis zehn zählen oder gar addieren. Dass die Urwaldbewohner schlicht dumm seien, schließt Everett aus: »Die sind auch nicht lang­ samer im Kopf als der durchschnittliche Vordiplomstudent.« Der US-amerikanische Linguist Peter Gordon hat die mathemati­ schen Fähigkeiten der Pirahã getestet. Das Ergebnis war nieder­ schmetternd: Das Völkchen hat mit Zahlen so viel am Hut wie Tau­ ben oder Schimpansen.

Die ersten Zahlen

Noch streiten die Forscher, warum die Pirahã offenbar unfähig sind, die einfachsten Rechnungen durchzuführen. Die einen behaup­ ten, es liege daran, dass es in ihrer Sprache keine geeigneten Wörter gäbe, und die Sprache bestimme, wie wir Menschen dächten. Deshalb gelänge es dem Urwaldvolk auch auf Portugiesisch nicht, sich Zahlen anzueignen. Everett widerspricht dem jedoch. Er glaubt, die Kultur der Pirahã schaffe keinen Platz für Zahlen. Die Indios bevorzugten direkte persönliche Erfahrungen. Sie leben ausschließlich im Hier und Jetzt. So kennt ihre Sprache weder Nebensätze noch Zeiten. Die meisten anderen Völker kennen Zahlwörter – zumindest für eins und zwei. Bei den Aranda in Australien etwa heißt eins »ninta« und zwei »tara«. Für drei sagen sie »tara-ma-ninta«, also zwei und eins, für vier »tara-ma-tara«, zwei und zwei. Für alle höheren Zahlen haben sie nur ein Wort: »viele«. Ähnliche Zahlensysteme finden sich rund um den Globus: bei den Buschmännern in der afrikanischen Savanne ebenso wie bei den Indianern im Amazonasdschungel. Ein Überbleibsel hat sich sogar noch in modernen Sprachen erhal­ ten. Die Wortwurzel vom lateinischen »tres« (drei) stammt von »trans« (deutsch: jenseits) ab. Im Französischen etwa hat sich das erhalten: »trois« heißt drei, »très« sehr. Viele Sprachen, wie das Arabische, unterscheiden zwischen Ein­ zahl, Zweizahl (für genau zwei) und Mehrzahl (für mehr als zwei). Andere verwenden beim Abzählen runder Gegenstände andere Wör­ ter als bei länglichen. Auch im Deutschen haben zwei Dinge oft einen speziellen Namen: ein Paar Schuhe, Zwillinge, ein Duo. Um mit Zahlen umzugehen, mussten unsere Vorfahren die Viel­ fachheit von etwas als Eigenschaft erkennen können. Es galt, das Gemeinsame von drei Beutetieren, drei Kokosnüssen oder drei Men­ schen zu sehen. Erst dann ergaben drei Kerben in einem Knochen Sinn. Neben Kerben, Stöcken oder Steinchen verwendeten die Men­ schen seit Urzeiten die selbe Art von Zählmarken wie heute noch kleine Kinder oder Buchmacher auf dem Rennplatz: ihre Finger. Reichten die nicht mehr aus, griffen viele Naturvölker auf die Zehen zurück. Ein besonders ausgeklügeltes System benutzten die Bewohner der Torres-Strait-Inseln zwischen Australien und Neuguinea noch bis

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Vorgeschichte

ins 19. Jahrhundert. Sie begannen auf der rechten Körperseite zu zäh­ len. Die fünf Finger der Hand standen für die Zahlen 1 bis 5. Anschlie­ ßend kamen das Handgelenk (6), der Ellbogen (7) und die Schulter (8). Über das Brustbein (9) ging es dann auf der linken Seite weiter: Schulter (10), Ellbogen (11), Handgelenk (12), Finger (13 bis 17), Ze­ hen (18 bis 22), Knöchel (23), Knie (24) und Hüfte (25). Rechts zählten die Insulaner dann über Hüfte, Knie, Knöchel und Zehen bis zu 33. Die Ureinwohner anderer pazifischer Inseln zählten in ähnlicher Weise, manche nahmen gar Augen, Ohren, Nase und Mund zur Hilfe. Rechenunterricht artet da in Gymnastik aus. Indem man immer wieder von vorn beginnt, lassen sich beliebig große Zahlen an den Fingern abzählen. Allerdings muss man sich dabei merken, wie oft man schon bis 10 gezählt hat. Einfacher ist es, mit einer Hand zu zählen und mit der anderen zu vermerken, wie viele Fünfer es schon sind. Die beiden Hände stehen dann für Ver­ schiedenes: Die eine zählt die Einer, die andere die Fünfer. Das ist das Prinzip aller weiter entwickelten Zahlensysteme, einschließlich des heute gebräuchlichen Dezimalsystems, bei dem an der letzten, der Einer-­Stelle, immer wieder bis 10 gezählt wird, während an der vor­ letzten, der Zehner-­Stelle, notiert wird, wie oft bereits bis 10 gezählt wurde.

Babylon Vor mehr als 5000 Jahren entwickelten die Sumerer in Mesopotamien in der Nähe des persischen Golfs eine Hochkultur. Ihre Schrift ist neben den ägyptischen Hieroglyphen die älteste, von der wir heute wissen. Mit ihr wickelten die Sumerer ihre komplexen Geschäfte ab. Dazu brauchten sie auch Zahlzeichen. Neben ganzen Zahlen finden sich in rund 5000 Jahre alten Texten aus Uruk sogar Brüche. In ähn­ lich alten Inschriften aus Ägypten stehen bereits sehr große Zahlen. So wird etwa erwähnt, eine Beute habe aus 1 420 000 Ziegen bestan­ den. Offensichtlich war zu dieser Zeit der Zahlbegriff bereits hoch entwickelt.

Babylon

Statt wie die Ägypter auf Papyrus zu schreiben, drückten die Su­ merer mit einem hölzernen keilförmigen Griffel ihre Schriftzeichen in feuchten Ton, der häufig anschließend gebrannt wurde. Als die Babylonier Sumer eroberten, verschmolzen die beiden Kulturen. Die sumerischen Zahlen blieben erhalten. Archäologen haben Tausende von Tonstücken – von winzigen Scherben bis zu ganzen Tafeln – mit umfassenden Rechnungen gefunden. Sie zeugen von fortgeschritte­ nen mathematischen Kenntnissen. Die Babylonier rechneten mit Quadraten, Kuben und anderen Potenzen – Letzteres vermutlich um Kreditzinsen zu bestimmen. Ihre Gelehrten waren Meister der Re­ chenkunst, formulierten ihre Lösungsverfahren jedoch nicht mit ma­ thematischen Symbolen, sondern in Worten. In erster Linie orientier­ ten sie sich an praktischen Problemen: Buchhaltung, Finanzen, Maße und Gewichte. Für astronomische Beobachtungen entwickelten sie auch theoretische Ansätze. Für ihre Zahlen benutzten die Sumerer und die Babylonier wie wir heute ein Stellenwertsystem, das heißt, ein Zahlzeichen bedeutet Verschiedenes, je nachdem, an welcher Stelle es auftritt. Bei 243 zum Beispiel steht die Zwei an der dritten Stelle von rechts und deshalb für 200, die Vier an der zweiten Stelle und daher für 40, die Drei an der letzten Stelle und somit für 3. Ähnlich waren die Zahlen der Ba­ bylonier aufgebaut, die allerdings nur zwei Zeichen kannten: Ein an­ nähernd T-förmiges Zeichen stand für 1 (»gesh«), ein