Ecuaciones diferenciales [8 ed.] 9789701700693, 9701700694

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Ecuaciones diferenciales OCTAVA EDICIÓN

Earl D. Rainville V Late Professor of Mathematics University of Michigan

Phillip E. Bedient Professor Emertius of Mathematics Franklin and Marshall College

Richard E. Bedient Professor of Mathematics Hamilton College

Traducción: Víctor HU~Ibarra Mercado Lic. en Físi y Matemáticas ESFM, Instit to Politécnico Nacional Revisión Técnica: Oscar Alfredo Palmas Velasco Matemático Facultad de Ciencias, UNAM PRBNTICE HALL MÉXICO· NUEVA YORK· BOGOTÁ· LONDRES· MADRID MUNICH • NUEVA DELHI • PARÍS· RÍo DE JANEIRO • SIDNEY SINGAPUR • TOKIO· TORONTO • ZURlCH

EDICIÓN EN ESPAÑOL: DIRECTOR DE MERCADOTECNIA: GERENTE DIVISIÓN COLLEGE: GERENTE EDITORIAL: EDITOR: DIRECTOR DE EDICIONES: GERENTE DE EDICIONES: GERENTE DE TRADUCCIÓN: GERENTE DE PRODUCCIÓN: SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN: SUPERVISORA DE PRODUCCIÓN:

MOISÉS PÉREZ ZAVALA JOSÉ TOMÁS PÉREZ BONILLA LUIS CEDEÑO PLASCENCIA PABLO EDUARDO ROIG V ÁZQUEZ ALBERTO SIERRA OCHOA JUAN ANTONIO RODRÍGUEZ MORENO JORGE BONILLA TALAVERA JULIÁN ESCAMILLA LIQUIDANO JOSÉ LUIS NÚÑEz HERREJÓN OLGA ADRIANA sÁNCHEZ NAVARRETE

EDICIÓN EN INGLÉS: Acquisitions Editor: George Lobell Editorial Assistant: Gale Epps Editorial Director: Tim Bozik Editor-in-Chief: Jerome Grant Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David R. Riccardi EditoriallProduction Supervisor: Robert C. Walters Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Buyer: Alan Fischer Manufacturing Buyer: Trudy Pisciotti Marketing Manager: John Tweeddale Marketing Assistant: Diana Penha Creative Director: Paula Maylahn Art Manager: Gus Vibal Art Director: Maureen Eide Cover and Interior Designer: Jill Little Cover Photo: Spinning Schaft, by Alejandro and Moira Siña Supplements Editor: Audra Walsh

RAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava Edición Traducido del inglés de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed. AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc.

'------

Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc. Al! rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher. Prohibida la reoroducción total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito del editor. Derechos reservados © 1998 respecto a la primera edición en español publicada por:

Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Calle 4 N9 25-2 9 piso Fracc. Ind. Alce Blanco, Naucalpan de Juárez, Edo. de México, c.P. 53370 ISBN 970-17-0069-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg . Núm. 1524. Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc . A Simon & Schuster Company Copyright © MCMXCVII Al! rights reserved ISBN 0-13-508011-8 IMPRESO EN MÉXICOIPRINTED IN MEXICO

• JUL

UTOGRAFICA INGRAMEX, SA DE C.V. CENTENO NO. 162-1 MEXICD,OJ.

C.P. 09810

•

3000

•

1998

Para Esther, Marie, Betsy Katey Adam

Contenido Prefacio / 1

Definiciones; familias de curvas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

1 1

18

Separación de variables / 18 Funciones homogéneas / 24 Ecuaciones con coeficientes homogéneos / 25 Ecuaciones exactas / 29 La ecuación lineal de orden uno / 35 La solución general de una ecuación lineal / 38 Suplemento para computadora / 43

Métodos numéricos / 3.1 3.2 3.3

/

Ejemplos de ecuaciones diferenciales / Definiciones / 2 Familias de soluciones / 5 Interpretación geométrica / 10 Las isoc1inas de una ecuación / 12 Un teorema de existencia / 14 Suplemento para computadora / 15

Ecuaciones de orden uno / 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3

Xl1l

45

Observaciones generales / 45 · Método de Euler / 45 Una modificación al método de Euler

/

48

v

vi

Contenido

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

6

Velocidad de escape desde la Tierra / 62 Ley del enfriamiento de Newton / 64 Conversión química simple / 65 Crecimiento logístico y precio de mercancías Suplemento para computadora / 73

/

69

Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

\

49

Aplicaciones elementales / 62 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

5

Un método de aproximación sucesiva / Una mejora en el método de aproximación sucesiva / 51 Uso del teorema de Taylor / 52 Método de Runge-Kutta / 54 Un método de continuación / 58 Suplemento para computadora / 60

Factores integrantes determinados por inspección / 75 Determinación de factores integrantes / 79 Sustitución sugerida por la ecuación / 83 Ecuación de Bernoulli / 86 Coeficientes lineales en dos variables / 89 Soluciones que involucran integrales no elementales / 94 Suplemento para computadora / 97

Ecuaciones diferenciales lineales / 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

75

99

La ecuación lineal general / 99 Un teorema de existencia y unicidad / 100 Independencia lineal / 102 El Wronskiano / 103 Solución general de una ecuación homogénea / 106 Solución general de una ecuación no homogénea / 107 Operadores diferenciales / 109 Leyes fundamentales de operación / 111 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 113 Suplemento para computadora / 115

Contenido

vii

7

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

8

Introducción / 117 La ecuación auxiliar: raíces distintas / 117 La ecuación auxiliar: raíces repetidas / 120 Una definición de exp z para valores complejos de z La ecuación auxiliar: raíces complejas / 125 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas Suplemento para computadora / 132

Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

/

134

Construcción de una ecuación homogénea a partir de una solución específica / 134 Solución de una ecuación no homogénea / 137 Método de coeficientes indeterminados / 139 Solución por inspección / 144 Suplemento para computadora / . 150

/

9

Variación de parámetros / 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

10

Introducción / 152 Reducción de orden / 152 Variación de parámetros / 156 Solución de yl! + Y =¡ex) / 161 Suplemento para computadora /

Aplicaciones / 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

152

164

165

Vibración de un resorte / 165 Vibraciones no amortiguadas / 167 Resonancia / 169 Vibraciones amortiguadas / 172 El péndulo simple / 177 Leyes de Newton y movimiento planetario / 178 Fuerza central y la segunda ley de Kepler / 179 Primera ley de Kepler / 180

117

/ 123 /

127

viii

Contenido

10.9 Tercera ley de Kepler / 182 10.10 Suplemento para computadora /

11

Sistemas de ecuaciones lineales / 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

12

Introducción / 186 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes Solución de un sistema de primer orden / 187 Repaso de álgebra matricial / 189 Revisión de sistemas de primer orden / 195 Valores propios complejos / 204 Valores propios repetidos / 208 · Plano fase / 216 Suplemento para computadora / 222

243

Observaciones preliminares / 243 Un teorema de existencia y unicidad / 243 Condición de Lipschitz / 246 Demostración del teorema de existencia / 250 Demostración del teorema de unicidad / 250 Otros teoremas de existencia / 251

La transformada de Laplace / 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

224

Sistemas no homogéneos / 224 Carrera armamentista / 228 Circuitos eléctricos / 232 Redes sencillas / 235

Existencia y unicidad de soluciones / 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

14

186

Sistemas no homogéneos de ecuaciones / 12.1 12.2 12.3 12.4

13

184

252

El concepto de transformación / 252 Definición de la transformada de Laplace / 253 Transformadas de funciones elementales / 253 Funciones continuas por secciones / 257 Funciones de orden exponencial / 258 Funciones de clase A / 261

/

186

Contenido

ix 14.7 14.8 14.9 14.10

15

Transformadas inversas 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 , 15.7 15.8 15.9 15.10

16

17

/

274

Definición de una transformada inversa / 274 Fracciones parciales / 277 Problemas de valor inicial / 280 Función escalón / 286 Un teorema de convolución / 294 Ecuaciones integrales especiales / 298 Métodos de transformación y vibración de resortes Deflexión de vigas / 307 Sistemas de ecuaciones .. / 310 Suplemento para computadora / 316

Ecuaciones no lineales / 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

\

Transformada de derivadas / 263 Derivadas de transformadas / 266 La función gamma / 267 Funciones periódicas / 269

320

Observaciones preliminares / 320 Factorización del miembro izquierdo / 320 Soluciones singulares / 323 Ecuación con discriminante e / 325 La ecuación con discriminante p / 326 Eliminación de la variable dependiente / 328 Ecuación de Clairaut / 330 Ecuaciones sin variable dependiente explícita / 334 Ecuaciones sin variabl~ independiente explícita / 335 La catenaria / 338

Soluciones en series de potencias / 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

303

/

342

Ecuaciones lineales y series de potencias / 342 Convergencia de series de potencias / 343 V Puntos ordinarios y puntos singulares / 345 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario Soluciones cerca de un punto ordinario / 347 Suplemento para computadora / 256

/

347

Contenido

x

18

Soluciones cerca de puntos singulares regulares

/

358

18.1 18.2 18.3

Puntos singulares regulares / 358 Ecuación indicatriz / 360 Forma y validez de soluciones cerca de un punto singular regular / 362 18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero / 363 18.5 Diferenciación de un producto de funciones / 367 18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales / 368 18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa / 374 18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico / 377 18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico / 381 18.10 La solución para valores grandes de x / 385 18.11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos / 388 18.12 Resumen / 392

19

Ecuaciones de tipo hipergeométrico / 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8

20

Ecuaciones que se tratarán en este capítulo / 396 Función factorial / 396 Función hipergeométrica / 397 Polinomios de Laguerre / 399 Ecuación de Bessel con índice no entero / 400 Ecuación de Bessel con índice entero / 401 Polinomios de Hermite / 402 Polinomios de Legendre / 403 ,

Ecuaciones diferenciales parciales / 20.1 20.2 20.3

396

404

Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 404 Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas / 404 Método de separación de variables / 406

xi

Contenido

20.4 20.5

21

Conjuntos de funciones ortogonales / 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6

22

23.3 23.4 23.5 23.6 23.7

24

411

418

425

Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos / Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 427 Ejemplos numéricos de series de Fourier / 431 >Series de Fourier en términos de senos / 438 Series de Fourier en términos de cosenos / 441 Análisis numérico de Fourier / 443 Cómo mejorar la rapidez de convergencia / 444 Suplemento para computadora / 445

Problemas con valores en la frontera 23.1 23.2

/

Ortogonalidad / 418 Conjuntos simples de polinomios / 419 Polinomios ortogonales / 419 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales / 421 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 422 Otros conjuntos ortogonales

Series de Fourier / 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8

23

Un problema de conducción de calor en una lámina Suplemento para computadora / 416

/

425

447

La ecuación del calor en una dimensión / 447 Verificación experimental de la validez de la ecuación del calor / 453 Temperatura superficial que varía con el tiempo / 455 Conducción del calor en una esfera / 457 La ecuación de onda simple / 458 La ecuación de Laplace en ocho dimensiones / 461 Suplemento para computadora / 464

Propiedades adicionales de la transformada de Laplace / 467 24.1 24.2

Series de potencias y transformadas inversas Función error / 471

/

467

/

Contenido

xii

24.3 24.4

25

Funciones de Besse1 / 478 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables

Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación / 481 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6

Problemas con valores en la frontera / 481 Ecuación de onda / 485 Difusión en un sólido semiinfinito / 488 Variables canónicas / 491 Difusión en una lámina de ancho finito / 493 Difusión en un octante infinito / 496

Respuestas a los ejercicios / Índice

/

527

500

/

480

Prefacio Al preparar esta nueva edición de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimos alcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo que los estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, como una respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales, agregamos material geométrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y añadimos un componente computacional al texto. El nuevo material geométrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En la primera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solución para una ecuación diferencial; en la sección 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema de ecuaciones. También, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con más anticipación en el presente libro. De todas las áreas de las matemáticas que se cubren en un plan de estudios universitario tradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que más influencia tiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que están diseñados específicamente para ecuaciones diferenciales o que tienen sub aplicaciones para ese tipo de material. En este libro tomamos la decisión, algo arbitraria, de presentar nuestros ejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haber elegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de álgebra computacional, como Mathematica, Matlah o Derive. Hay también varios programas muy eficaces para trazar gráficas numéricas y los cuales producen resultados geométricos excelentes. Entre los más comúnmente disponibles se encuentran MacMath y Phaser. Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del capítulo correspondiente y está resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejercicios que el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles en el mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lectores a ir más allá del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora. Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por sus comentarios al manuscrito de la octava edición: Ebrahim Salchi, University ofNevada-Las Vegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; Giles Wilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L. Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University of Western Ontario. Phillip. E. Bedient Richard E. Bedient

xiii

11 Definiciones; familias de curvas

I 1.1 I

)

Ejemplos de ecuaciones diferenciales La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (3), una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. Nuestra meta es encontrar métodos para resolver tales ecuaciones; esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales: dy = cosx, dx

(1)

d2y -2 +k2y =0, dx

(2)

-

(x2

+ l)dx

- 2xydy = O,

2 au = h2 (a u at ax2 d2i Ldt?

di dt

1

+ R- + -i

e

a-v

2

+ a u) ,

(4)

= Eto cos cot;

(5)

ay2

a2v

-+--0 ax2 ay2 2 (d--2 wy dx

-

(3)

xy- dw dx

(6)

,

+w

= O,

(7)

1

2

Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

d 3x dx +x- - 4xy = 0, dy3 dy

d2y + 7 (d- y )3-

dx

2

dx

8y = 0 ,

(8)

(9) (10)

af af x - +y- =nf. ax ay

(11)

Cuando una ecuación involucra a una o más derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuación: d 2i L dt 2

di

l

+ R dt + C i

= Ewcoswt

(5)

i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados parámetros. La ecuación:

a2 v

a2 v

(6)

-+-=0 ax2 ay2

tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes. Puesto que la ecuación: (x 2 + i)dx - 2x y dy = O puede ser escrita:

o

dy x 2 + i - 2xy- = dx

(3)

°

¡ dx (x 2 + i) - - 2x y = 0, dy

podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otra será la independiente . •

Ejercicios

ldentitique las variables independientes, las dependientes y los parámetros que existan en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta sección.

1 .2

Definiciones El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que aparezca en la ecuación. Por ejemplo,

3

1.2 Definiciones

(1)

es una ecuación de "orden dos". También se le denomina "ecuación de segundo orden". En general, la ecuación: F( x , y,y / , oO . ,y (n)) -- O

(2)

es llamada ecuación diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas sobre la función F, en la ecuación (2) podemos despejar explícitamente yen) en términos de las otras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener: , (n y (n) -_ f( x,y,y,oO.,y

l))

.

(3)

Para los propósitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contrario, una ecuación como la (2) se puede representar en la práctica por más de una ecuación de la forma de la ecuación (3) . Por ejemplo, la ecuación: X(y')2

+ 4y' -

6x 2 = O

puede representarse por dos ecuaciones diferentes, ,

-2+J4+6x 3

y ,= -----------x

o

-2-J4+6x 3

y' = -----------x

Una función /(x), ... , c/>(n-l)(x)),

para toda x en a < x < b. Por ejemplo, verifiquemos que:

es una solución de la ecuación: d 2y

dy

-+--6y=0. dx2 dx

(4)

Sustituimos nuestra solución tentativa en el miembro izquierdo de la ecuación (4) Yencontramos que para todos los valores de x: d 2y dy -dx2 + -- 6y = 4e 2x + 2e 2x - 6e 2x == O, dx lo cual completa la verificación deseada.

4

Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

Todas las ecuaciones que consideraremos en el capítulo 2 son de orden uno y, por lo tanto, pueden escribirse:

dy dx

=

¡(x, y).

En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de cálculo elemental para escribirlas en la forma: .

M(x, y) dx

+ N(x, y) dy =

O.

(5)

Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de linealidad. Una ecuación dife rencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita en la forma: .

dn y bo(x)dxn

dn - ¡y

dy

+ b¡ (x)--¡ + ... + bn- I (x) -d x + bn(x) y = dx n-

R(x).

Por ejemplo, la ecuación (1) es no lineal, y la ecuación (4) es lineal. La ecuación:

x2y"

+ xy' + (x 2 -

n 2)y = 4x 3

también es lineal. La noción de linealidad puede ser aplicada también a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo,

bo(x,

aw

y)~

aw

+ b¡ (x, Y)ay

= R(x, y)

es la forma general de la ecuación diferencial parci al lineal de primer orden con dos variables independientes, y

a2w bo(x, y) ax2

a2w + b l (x, y) axay

a2w + b2(x, y) ay2 aw ax

+ b3 (x, y) -

+ b4 (x,

aw y)ay

+ bs(x, y)w =

R(x , y)

es la forma general de la ecuación diferencial parcial Iinéal de segundo orden con dos variables independientes .

•

Ejercicios

Del ejercicio I al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal , y dé su orden.

1.

2.

1.3 Familias de soluciones

(x 2 + y2) dx

+ 2xy dy = O. 4. y' + P(x)y = Q(x) . 5. ylll - 3y' + 2y = O. 3.

6.

7. 8.

9.

10.

1l. \ 12.

yy" = x. a2u a 2u a2u - +-+-=0. ax2 ay2 az 2 d 4y - 4 = w(x) . dx d 2y d 2x x -2- y - = c,. dt dt 2

13.

di L - + Ri = E. dt (x + y)dx + (3x 2 -l)dy

= O.

x(y") 3 + (y' )4 - Y = O. 3 - wy -2 (dWy +yw = Ü. (d dx 3 dx

15 .

dy 2 = 1-xy + y . dx y" + 2y' - 8y = x2

16.

ada

14.

5

-

+ cos x.

+ bdb = O.

17.

Verifique si sen kt es una solución para la ecuación del ejercicio ,l .

18.

Verifique si e- 2x es una solución para la ecuación del ejercicio 5.

19.

Verifique si 3e- 2x

20.

La función de Bessel de índice cero está definida por la serie de potencias:

+ 4e' es una solución para la ecuación del ejercicio 5. 00

Jo(x) =

~

(_1)" x2n (n!) 2221l

Verifique si Jo(x) es una solución para la ecuación diferencial: xy"

21.

1 .3

Verifique si para x ejercicio 6.

+ y' + x y =

ü.

> O, (2 / -f3)x3/2 es una solución para la ecuación del

Familias de soluciones Todo estudiante de cálculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrarle soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: dy - = f(x). dx

(1)

Este problema de antiderivada con frecuencia es escrito: y =

f

f( x )dx

+C

(2)

y al estudiante se le pide encontrar una sola función de x cuya derivada sea idéntica af(x) en algún intervalo. Una vez determinada tal función, se demuestra que cualquier otra función que satisface la ecuación diferencial (1) difiere de la primera función por una constante para toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so-

6

Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

luciones de la ecuación (1) no ocurren aisladas, sino como un a fam ili a de soluc iones con un parámetro, la ll amada constante arbitraria e de la ecuación (2) . Si consideramos la ecuación diferencial general de primer orden: dy dx = f(x, y),

(3)

el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuaci ón cuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es más difícil, si no imposible. Sin embargo, como veremos , estas soluciones, c uando ex isten, aparecen como fam ili as de soluciones con un parámetro. En el capítu lo 2 estudi aremos varios métodos para encontrar fam ili as de so luciones de algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no ex iste un a fórm ul a universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremos con ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos .

EJEMPLO 1.1 La ecuación diferenci al: dy

-

dx

= 8sen 4x

(4)

tiene la fam ili a de so luciones:

+ e,

y = -2cos4x

(5)

un a senci lla antideriv ac ión ha producido este resultado. Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condición adici onal y = 6 cuando x = O, estaremos obli gados a e leg ir e = 8. Ento nces decimos que:

y = - 2cos4x

+8

es la solución al problema de valor inicial: dy - = 8sen 4x ,

y = 6, cuando x = O.

dx

•

EJEMPLO 1.2 Del cálculo, aprendimos que la derivada de la Funciónf(x) = ce2.x esj'(x) = 2 ce2.x. Expresado en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ec uación diferenc ial: dy

- =2y dx

(6)

1.3 Familias de soluciones

7

tiene la familia de soluciones: y = ee2x .

(7)

Si buscamos una solución de la ecuación (6) que satisfaga: dy dx = 2y ,

y = 4, cuando x = 0,

(8)

entonces, de la ecuación (7) vemos que e = 4 Y la solución de (8) es: y = 4e 2x .

•

EJEMPLO 1.3 Considere la ecuación de segundo orden: 2 Y1/ = 12x.

(9)

Al integrar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x se obtiene: y' = 4x 3 + el.

(lO)

Una segunda integración produce:

Y=

x

4

+ el x + e2·

(11)

En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de soluciones con dos parámetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familia necesitamos proporcionar dos partes de información. Por lo común éstas son dadas especificando los valores de y y y '_para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremos encontrar la solución de (9) que también satisfaga y (O) = 1 Y y'(O) = 2. Sustituyendo x = y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que:

°

y = x

Por último, sustituyendo x rida es:

= 0, y =

4

+ 2x + e2.

1, vemos que e2

=

1, de modo que la solución reque-

• EJEMPLO 1.4 Considere la familia de curvas con un parámetro: (12)

8

Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

Una diferenciación de ambos miembros de esta ecuación con respecto ax produce: 2 2dy 3x - 3x - - 6xy = O

dx

o dy

x - 2y

dx

x

cuando x

=f- O.

(13)

De haber iniciado este ejemplo con la ecuación (13) y tratando de encontrar la familia de curvas dadas por la ecuación (12), nos habríamos enfrentado a un problema mucho más desafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cómo resolver la ecuación (13) en el capítulo 2. Aquísólo indicaremos que el valor x = O crea cierta dificultad tanto para la ecuación diferencial (13) como para su familia de soluciones:

obtenida de la ecuación (12).

•

EJEMPLO 1.5 Considere la familia de círculos:

+ (y + 1)2 = e2 .

(x - 2)2

Una sencilla diferenciación con respecto a x produce: dy 2(x - 2)

+ 2(y + 1)- = dx

(14)

O

o dy

-(x - 2)

(15) cuando y =f- -1 . ' Aquí estamos obligados a pensar en la familia de círculos como en dos familias de semicírculos, una familia:

dx

=

y

+1

y = -1

+ J e2 -

(x - 2)2

(16)

(x - 2)2 .

(1 7)

y la otra: y = -1 -

J e2 -

En la ecuación (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuación diferencial para > -1, mientras que en la ecuación (17) tenemos una familia de soluciones de (15) para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial:

y

dy

dx

- (x - 2) y

+1

'

y = 2, cuando x = - 1,

(18)

1.3 Familias de soluciones e:

debemos elegir el parámetro e de la ecuación (16), ya que 2 -1 + ~e2 - 9 o e = Por lo tanto, la función:

m.

>

-1.

Tenemos

9 2 =

y = -1 + J18 - (x - 2)2 (13) a familia chomás ecuación tad tanto

es la solución que buscamos.

•

m.

•

Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6.

2.

•

de radio

Ejercicios

1.

\

Su gráfica es la de un semicírculo

3.

dy -=x3+2x. dx dy 3 dx x dy - = 4cos6x. dx

4. 5. 6.

dy dx dy dx dy dx

-

4

x

2

-

1

2

x2 +4 3 2

x +x

Resuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12.

7.

dy - = 3ex dx '

8.

~~ = 4e-3x,

9.

dy dx = 4y,

10.

dy dx = -5y,

11.

-

(14)

(15) de semi-

12. (16) 13. (17) cial para de (15)

(18)

y = 6, cuando x = O.

y = 2, cuando x = O. Y = 3, cuando x = O. Y = 7, cuando x = O.

dy = 4 sen 2x, y dx dy dx = x2 + 3 + e2x,

= 2,

cuando x = tt /2.

y = -1,

cuando x = O.

Demuestre que la familia de círculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2 puede ser interpretada como dos familias de soluciones para la ecuación diferencial:

dy dx 14.

-(x

+ 1)

y - 3

Demuestre que la familia de parábolas y = ax2 puede ser interpretada familias de soluciones para la ecuación diferencial:

dy dx

2y x

como dos

10

Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas

después encuentre la solución al problema de valor inicial: dy

2y

dx

x

y = 2, cuando x = - l.

¿Para qué valores de x es válida la solución? También observe que no hay solución de esta ecuación diferencial que satisfagll¡ la condición inicial y = 2 cuando x = O.

1.4

Interpretación geométrica En la sección 1.3 vimos que por lo común una ecuación de primer orden tiene una familia de soluciones. Una técnica útil para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar las gráficas de las soluciones representativas de esta familia.

EJEMPLO 1.6 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuación: dy -=8sen4x. dx

(1)

Recuerde de la sección 1.3 que la familia de soluciones es: y = -2cos4x

+ c.

(2)

Al trazar la gráfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figura 1.1. No es difícil imaginar cómo se verá el resto.

•

y

Figura 1.1

1.4 Interpretación geométrica

11

La familia de curvas solución con un parámetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedad importante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la sección 1.6; por ahora sólo afirmamos que esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuación diferencial de primer orden con las restricciones adecuadas. Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exactamente una solución que pase por ese punto. La única curva que resulta es la curva solución del problema con valor inicial. Esta es la versión geométrica del proceso descrito en la sección 1.3. Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden más alto, encontraremos que sólo se puede conservar parte de la interpretación geométrica.

EJEMPLO 1.7 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuación: d 2y

-

dx2

= 12x2

(3)

Como vimos en la sección 1.3, la familia de soluciones es:

y

= x 4 + C¡X + C2.

(4)

Al trazar las gráficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c ¡ = 2, c2 = 1; c¡ = 0, c 2 = y c l = 0, c 2 = 1 obtenemos la figura 1.2. Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unicidad del caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1) Y por un punto cercano ( - 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones no tiene la misma pendiente en su punto de intersección. Esto es, al especificar una solución particular para una ecuación de segundo orden, podríamos especificar tanto el punto por

°

y

----~~~~--~----~----~--- x

Figura 1.2

12

Capítulo J Definiciones; familias de curvas

donde pasa la solución como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta información, concluimos que hay una solución única.

•

Entonces, la versión de segundo orden de la propiedad geométrica establecida anteriormente se transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad será analizada con detalle en el capítulo 6 .

• l. 2.

1 .5

Ejercicios Para los ejercicios 1 al6 de la sección 1.3, dibujar una muestra representativa de curvas solución. En los ejercicios 7 al 10 de la sección 1.3, dibujar la gráfica de la solución para el problema de valor inicial.

Las isoclinas de una ecuación En la sección 1.4 conocimos algunas propiedades geométricas de las familias de soluciones que habíamos encontrado por los métodos analíticos de la sección 1.3. En esta sección veremos que podemos usar métodos geométricos para encontrar curvas solución. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, y).

(1)

Podemos pensar en la ecuación (1) como una máquina que asigna a cada punto (a, b) en el dominio def, alguna dirección con pendientef(a, b). Así, podemos hablar del campo de direcciones de la ecuación diferencial. En un senlido real , cualquier solución de la ecuación (1) debe tener una gráfica, la cual presentará en cada punto la dirección que la ecuación (1) requiere. Una manera de visualizar esta idea básica es dibujar una pequeña marca en varios puntos para indicar la dirección asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse un poco sistemáticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en las que la dirección indicada por la ecuación (1) es fija.

EJEMPLO 1.8 Considere la ecuación: dy

dx-- y .

(2)

Las isoclinas son líneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta en la que, en cada punto, la dirección impuesta por la ecuación diferencial es el número c. Por ejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuación (2) determina una dirección con pendiente 1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direcciones

1.5 Las isoclinas de una ecuación

a-

13

y

•

or-

la de-

~~~----~~----~~~----~~---------x -----" .•...... ~-+- ..•.•.. --~.......>'r_---~~~e = -112 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-I

ur-

roFigura 1.3

i'n

asociadas con cada isoclina mediante pequeñas marcas. Si empezamos en cualquier punto en el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya dirección sea siempre la de las marcas de dirección, entonces obtendremos una curva solución. En la figura 1.3 podemos apreciar varias curvas solución.

•

el di-

EJEMPLO

1.9

Use el método de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solución para la ecuación:

ión

dy = x2 dx

(1) n-

un las

Il-

•

Ejercicios

Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de dirección apropiados y bosqueje varias curvas solución.

l.

es

(3)

Aquí las isoclinas serán los círculos x2 + l = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclina tiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, marcando cada una con el indicador de dirección apropiado y, por último, bosquejando varias curvas que representan soluciones para la ecuación (3).

• (2)

+l

2.

dy -=2x. dx dy Y x dx

3.

4.

dy 2y dx x dy - = y-x. dx -

14

Capítulo J

Definiciones; familias de curvas

y

----~----~~~--r-~~~----_+----x

Figura 1.4

I

1.61

5.

dy --=x+y+l. dx

8.

dy -- =y-x dx

6.

dy --=x-y-l. dx

9.

dy -dx

x

7.

dy -- = 2x - y. dx

10.

dy -dx

-x

2

y y

Un teorema de existencia Debe ser claro, aún para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta práctica para encontrar soluciones a cualquier ecuación diferencial distinta de aquellas que involucren las funciones más simples. Antes de estudiar algunas de las técnicas analíticas para determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne a la existencia y unicidad de tales soluciones. En el capítulo 13 estudiaremos con detalle dicho teorema. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, Sea T la región rectangular

(1)

y).

definida por:

Ix -xol:::

a

y

Iy - yol ::: b,

una región con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef nuas de x y y en T.

y af/ay

son funciones

conti-

1.7 Suplemento para computadora

15

Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrededor de x o' Ix - xol ::; h, Y una función y(x) que tiene las propiedades:

= y (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix -

(a)

y

(b)

En el intervalo Ix - xo l

DEplotl ( diff(y(x) ,x)=x A 2+y A 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 );

producirá la figura 1.5. Para trazar las curvas solución agregamos selectivamente varios puntos a partir de los cuales podamos eTi;pezar. El comando: >

DEplotl (diff(y(x) ,x)=x A 2 +y A 2 , y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 );

produce la figura 1.6.

1.7 Suplemento para computadora

I I I I I I / / / /

I I I I I /

I I I /

I I I I I I /

/ /

/ / / /

/ ,/

/ / /

,/

----

----

/

,/

,/

,/

,/

/

/ I /

/ I / /

/

/

/ / /

/ / /

/ I / /

/ I /

I I

I

I

I

I I

/ I I

I

I

I

I

I

,/

I I I

,/ ,/

~,/ ,/

17

/ /-

,/

/

/ I /

/ I / /

/ / / / /

/ / / /

/ I I

I I I I

I I I I I

I

I

I

Figura 1.6

y un fnel, ¡lfrla

• 1.

tidad 2.

3.

(2)

ama

e los

Ejercicios En los ejercicios 1 a 10 de la sección 1.5, utilice el programa de computación de su preferencia para trazar los campos de pendientes y las curvas solución representativas. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuación dyldx = y sen(y + x). Éste es un problema muy difícil. Luego utilice la computadora para dibujar el campo de pendientes y las curvas solución representativas. ¿Qué puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 y cuando x ~ -oo? ¿Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales?

Ecuaciones de orden uno

2.1

2

11

Separación de variables En este capítulo estudiaremos varios métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Empecemos con una ecuación de la forma: Mdx+ Ndy = 0,

donde M YN pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan sencillas que pueden ser puestas en la forma: A(x) dx

+ B(y) dy =

O;

(1)

esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solución puede ser escrita casi de inmediato. Para ello sólo tenemos que encontrar una función F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el resultado deseado.

EJEMPLO 2.1 Resuelva la ecuación dy

2y

dx

x

para x > O Y Y > O.

(2)

Advertimos que para la función de la ecuación (2) es aplicable el teorema de la sección 1.6, lo que asegura la existencia de una solución continua única que pasa por cada punto en el primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir: dy

2dx

y

x

De aquí obtenemos una familia de soluciones: Inlyl=2Inlxl+c

(3)

o, ya que estamos en el primer cuadrante,

(4) 18

2.1 Separación de variables

Ahora, si ponemos el

19

=é, podemos escribir: y=e¡x 2 ,

(5)

c»O.

•

EJEMPLO 2.2 Resuelva la ecuación (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O. Aquí el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos proceder como antes en la ecuación (3). Sin embargo, la ecuación (5) debe ser escrita como:

Iyl =

c)x

2

,

e)

> O.

°

(6)

Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = es una solución válida para la ecuación diferencial (2). Por convención, las soluciones encontradas mediante la ecuación (6) se escriben generalmente como:

Y=

2

(7)

e2 X ,

donde e 2 es un número real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye el caso especial y = O. Varias curvas solución representativas son mostradas en la figura 2.3. Sin embargo, debemos ser cautelosos. La función definida por: g(x)=x 2 ,

x>O

x:::: 0, y representada con una línea más oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parabólicos diferentes, también podría ser considerada solución de la ecuación diferencial, auny

--------------~~~~~-------------- x

Figura 2.1

20

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

que dicha función no esté incluida en la familia de la ecuación (7). El enunciado de unicidad en el teorema de la sección 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atención a un punto (xo' Y~ con X o =1= O, Y considerando un rectángulo con centro en (xo' Yo) que no contenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectángulo existe una solución única que pasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectángulo.

•

EJEMPLO 2.3 Resuelva la ecuación:

(8) con la "condición inicial" de que cuando x = O, Y = -1. Si escribimos esta ecuación en la forma:

dy dx

-(1

+ y2)

1 + x2

'

observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuas cerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solución única para la ecuación (8) que pasa por el punto (O, -1). De la ecuación diferencial obtenemos:

~+~-O 1 + x2 1 + y2 - , de la cual se concluye inmediatamente que: arctan x

+ arctan y = c.

(9)

En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inversa de la tang·e nte y está sujeta a la restricción: 1

1

-2 7l" < arctan x < 27l" ·

La condición inicial de que y = -} cuando x = O nos permite determinar el valor de e que debe ser usado para obtener la solución particular deseada. Ya que arctan O = O Y arctan( -1) = 7T, la solución al problema de valor inicial es:

t

arctan x

+ arctan y =

-

i

7l".

(10)

Ahora suponga que deseamos bosquejar la gráfica de (10). Mediante un recurso de trigonometría, tomamos la tangente de cada lado de (10). Como: tan(arctan x) y

tan (A

+ B) =

=x tanA+tanB

----1 - tan A tan B

2.1 Separación de variables

21

obtenemos la ecuación: x + y - -- = - 1, 1 - xy

o xy - x - y - 1 = O.

(11)

Ahora (11) es la ecuación de una hipérbola equilátera con asíntotas x = 1 YY = l. Pero si regresamos a (10), vemos de: arctan x = - ~ 7r que, como ( - arctan y)

-

arctan y

< ! 7T, arctan x < ~7r.

Concluimos que x < 1, Y que la ecuación (10) sólo representa una rama de la hipérbola (11). En la figura 2.2, la curva trazada con una línea continua es la gráfica de la ecuación (10); dicha curva junto con la trazada en línea discontinua forman la gráfica de la ecuación (l1). Cada rama de la hipérbola (11) representa una solución de la ecuación diferencial; una rama para x < 1 Y la otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnos a la rama izquierda, ecuación (10), por la condición inicial de que y = - 1 cuando x = O. Puede advertirse una distinción entre las ecuaciones (10) y (11) observando que una computadora, dada la ecuación diferencial (8) y buscando una solución que pase por el punto (O, -1), estaría condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura 2.2. La barrera (asíntota) en x = 1 impediría a la computadora detectar la existencia de la otra rama de la hipérbola (11).

•

y \

\

I

... _ _

I

_ _ _ L __ _ _______ _ I

o -----~~-+_-~------x

Figura 2.2

22

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

EJEMPLO 2.4 Resuelva el problema de valor inicial:

°

2x(y

+ l)dx -

ydy = 0,

(12)

donde x = y y = - 2. Al separar las variables en la ecuación (12), obtenemos:

(1 -_1_)

2xdx =

y+1

dy,

y:j:.-l.

Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implícitamente por: x2 = y - In Iy

+ 11 + c.

(13)

Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener:

°

= -2 - In I - 11

+ c,

o c = 2.

Así, la solución al problema está dada implícitamente por: x2

= y -In Iy + 11 + 2.

Debe usted observar cómo se aplica el teorema de la sección 1.6 a este problema para indicar que hemos encontrado implícitamente la solución única al problema de valor inicial, solución que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de curvas solución en la figura 2.3, donde la solución particular fue trazada con una línea más oscura. Observe que algunas de estas curvas no son gráficas de funciones y deben dividirse en arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2. y

----~~_+------+-----_+--~----- x

Figura 2.3

•

2.1 Separación de variables

•

23

Ejercicios

En los ejercicios 1 al6 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. En cada ejercicio interprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la sección 1.6 y dibuje una gráfica de la solución. --

= -4rt; cuando t = O, r = ro . 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1.

1. dr/dt 2. 3. 4. 5. 6.

En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada.

= X exp (y -

X2); cuandox

= O, Y = O.

7.

y'

8.

xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+ (2a 2 - r 2) dr = r 3sene de; cuando e = O, r

9. 10.

v(dv/dx)

= g;

cuando x

4. = a.

= xo, v = Vo·

En los ejercicios 11 al 37 obtenga la solución general.

11.

(1 - X)y'

= y2.

24.

12. sen x seny dx+cos x cos y dy = O. x2 13. xy3 dx + e dy = O. 14. 2ydx = 3xdy . 15. 16.

mydx = nxdy. y' = xy2.

17. 18.

dV/dP = -V/P. ye 2x dx = (4 + e 2x ) dy.

19. dr = b(cose dr + rsene de). 20. xy dx - (x + 2) dy = O. 2l. x 2 dx + y(x -l)dy = O. 22. X cos 2 y dx + tan y dy = O. 23. xy3 dx + (y + l)e- X dy = O. 37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2

25. 26. 27. 28. 29. 30. 3l. 32. 33. 34. 35. 36.

+ l)dy.

= x2. = eY. tan 2 ydy = sen 3 x dx. y' = cos 2 X cos y. y' = Y secx. dx = t(1 + t 2) sec 2 x dt. (e 2x + 4)y' = y. (1 - y)y'

x2yy'

a df3+f3 da+af3(3 da+d(3)

= O.

O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0. x dx - J a 2 - x2 dy = O. xdx + Ja 2 - x 2 dy = O. a 2 dx

= xJx 2 - a 2 dy . ylnxlnydx + dy = O.

24

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

2.2

Funciones homogéneas Los polinomios en los que todos los términos son del mi smo grado, como:

x 2 -3x y +4l , x3 + i, 4

x y

(1)

+ 7i,

son llamados homogéneos. Ahora deseamos ampli ar el concepto de homogeneidad y aplicarlo a otras funciones más que a polinomios. Si asignamos una dimensión física, digamos una longitud, a cada variable x y y en los polinomios dados en (1), entonces cada po linomio tendrá también una dimensión fís ica, un a longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalización deseada. Si, cuando ciertas variables son conceptualizadas como longitudes, una función tiene la dimensión física longitud elevada a la k-ésima potencia, entonces decimos que la función es homogénea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la función:

(Y) -x-+ 3y

f(x, y )=2i exp x

X4

(2)

es de dimensión (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esa función es homogénea de grado 3 en x y y . Permitimos que el grado k sea cualquier número. La función -V x +4 Y es llamada homogénea de grado en x y y. La función:

t

x

es homogénea de grado cero en x y y. Una definición formal de homogeneidad es: lafunciónf(x, y) es homogénea de grado k en x y Y si, y sólo si,

f(h , Ay ) = Ak f(x , y ).

(3)

Puede extenderse fácilmente el sentido de esta definición y aplicarse a funciones de más de dos variables. Para la funciónf(x, y) de la ecuación (2), la definición formal de homogeneidad nos lleva a considerar:

Pero vemos de inmediato que:

fCh , Ay) = A3 f(x, y); en consecuencia f( x, y) es homogénea de grado 3 en x y y, como se estableció antes. Los teoremas siguientes demostrarán su utilidad en la próxima sección.

2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos

Teorema 2.1

Si M(x, y) y Nix, y) son homogéneas génea de grado cero.

ydel mismo grado, lafunciónM(x,

25

y)lN(x, y) es homo-

La demostración del teorema 2.1 se deja al estudiante. (1)

Teorema 2.2

Si f( x, y) es homogénea de grado cero en x y y, entonces f(

y) es solamente unafunción de x/y.

Demostración. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es homogénea de grado cero, entonces f(x, y) será sólo una función de v. Ahora.:

y apli-

los física, ciertas calongrado

X,

f(x,

en

y)

=

f(x,

vx)

=

xo fO,

v)

=

f(1,

ue esa horno-

radok

l.

4x2 - 3xy

+ y2.

1l.

x2

+ 3xy

x -2y

2.

x3_xy+y3.

3.

2y+Jx2+y2.

12.

4.

rx=y.

13.

5.

eX.

14. (u2 _ 4v2)-1/2.

6.

tanx.

15. ltan-

(3)

os lle-

•

Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea. Si es homogénea establezca el grado de la función.

16.

3y

8.

tan-o

9.

(x2

x5 x2 + 2y2· (u2 + v2)3/2. X

y (x2+y2)1/2

7. exp (~). ásde

(4)

en la que la x está desempeñando el papel tomado por A. en la definición (3). Por (4), f(x, y) sólo depende de v, como se establece en el teorema 2.2.

• Ejercicios

(2)

v),

(x2 _ y2)

1/2 .

a +4b

17. ---

x

+ y2) exp

(2;)

y

x

x

y

10. x sen - - y sen -.

+ 4xy.

a -4b x

18. In-.

y

19. x Inx -

20.

In y. x Inx - x Iny. y

12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogéneos Suponga que los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno, M(x, y) dx

+ N(x,

y) dy = O,

(1)

26

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, el cociente M/N sólo es una función de y Ix. De aquí que la ecuación (1) pueda expresarse en la forma: dy dx

+ g ( ~) x

= O.

(2)

Esto sugiere la introducción de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) se transforma en: dv xdx

+ v + g(v) =

(3)

0,

donde las variables son separables. Podemos obtener la solución de (3) por el método de la sección 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar así a la solución de (l). De esta manera demostramos que la sustitución y = vx transformará la ecuación (1) en una ecuación en v y x donde las variables son separables. El método anterior habría sido igualmente útil si se usara x = vy para obtener, a partir de (1), una ecuación en y y v. Véase el ejemplo 2.6. .

EJEMPLO 2.5 Resuelva la ecuación: (x 2

-

xy

+ l) dx

- xy dy = O.

(4)

Ya que los coeficientes en (4) son homogéneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx. Entonces (4) se transforma en: (x 2

-

x 2v

+ x 2 v 2 ) dx -

x 2 v(v dx

+ x dv)

= 0,

de la cual el factor x? será eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver: (1- v

+ v 2 )dx -

v(vdx + xdv) = 0,

o (l-v)dx-xvdv=O.

Por lo que separamos las variables para obtener: dx x

+

vdv = O. v-I

Entonces de: 1 ] -dx + [ 1+-x v- 1

dv=O

2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos

27

una familia de soluciones será: In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel,

o x(v - 1)e v = e. En términos de las variables originales, estas soluciones están dadas por: x

(~

- 1) exp

(~)

= e,

o (y - x) exp

(~)

= c.

•

EJEMPLO 2.6 Resuelva la ecuación xydx

+ (x 2 + l)dy = O.

(5)

donde los coeficientes son de nuevo homogéneos y de grado dos. Podríamos usar y = vx, pero la simplicidad relativa del término dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entonces dx = v dy + y dv, y la ecuación (5) es remplazada por:

vl(v dy + Y dv) + (v 2l + y2) dy = 0, ·0

v(v dy + Y dv) + (v 2 + 1) dy = O. De aquí que necesitemos resolver:

vy dv

+ (2v 2 + 1) dy =

0,

lo cual nos conduce de inmediato a: In (2v 2 + 1) +4lnlyl

= lne,

o y\2v 2 + 1) = c. Así, las soluciones deseadas están dadas por:

(6)

28

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

esto es, (7)

Ya que el miembro izquierdo de la ecuación (7) no puede ser negativo, podemos, por simetría, cambiar la constante arbitraria a e 14 , escribiendo:

Es útil, principalmente para el estudiante, resolver la ecuación (5) usando y método conduce directamente a la ecuación: (v

3

+ 2v) dx + x(v 2 + 1) dv =

= vx. Ese

O.

En las ecuaciones con coeficientes homogéneos, a menudo es por completo irrelevante si se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es más fácil sustituir la variable cuya diferencial tenga el coeficiente más sencillo.

•

• Ejercicios En los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones. '-

13.

+ y2) dx - 2xy dy = O. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O. 2(2x 2 + y2) dx - xy dy = O. xy dx - (x 2 + 3y2) dy = O. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y 2. 3xy dx + (x 2 + y2) dy = O. (x - y)(4x + y)dx +x(5x - y)dy = O. (5v - u)du + (3v -7u)dv = O. (x 2 + 2xy - 4y2) dx - (x 2 - 8xy - 4l) dy = o. x(x 2 + y2)2(y dx - x dy) + y6 dy = O. (x 2 + y2) dx + xy dy = O. xydx - (x + 2y)2dy = O. v 2 dx +x(x + v)dv = O.

14.

[x csc (ylx) - y]dx +xdy

1.

2. 3.

4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. lI.

12.

3(3x 2

+ sen

15.

x dx

16.

(x - ylny

l7 .

18.

[x y 2 dy

19.

t(s2

2

= O.

(ylx)[y dx - x dy]

= O.

+ ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O. y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O. = x(xdy

+

- ydx)e x / y • t 2) ds - s(s2 - t 2) dt = O.

2.4 Ecuaciones exactas

20. 21. 22.

29

ydx=(x+Jy2-x 2)dy. (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy.

Demuestre que con ayuda de la sustitución y = vx, puede resolverse cualquier ecuación de la forma y" f(x) dx

+ H(x,

y)(y dx - x dy)

= O,

donde H (x, y) es homogénea en x y y. En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solución particular indicada.

25.

+ (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2. (y - Jx 2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l. (y + Jx2 + y2) dx - x d y = O; cuando x = .)3, y = l.

26.

[x cos 2 (y/x) - y] dx

27.

+ 7xy + + (x 2 + 3xy + 4 y2) dy = O; cuando x = 2, y = l. xy dx + 2(x 2 + 2y2) d y = O; cuando x = O, Y = l. y(2x 2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1,

23. 24.

28. 29. 30.

3l. 32. 33. 34. 35. 36.

(x - y)dx

(y2

+ x dy =

O; cuando x = 1, y = 71:/ 4. 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1.

y2 d x

y = ~.

y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1. y(x 2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) d y = O; cuando x = 2, y = l. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3). v(3x + 2v) dx - x 2dv = O; cuando x = 1, v = 2. (3x2 - 2y2) YI = 2xy; cuando x = O, y = -1 . De los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, se deduce que si F es homogénea de grado k en x y y, F puede ser escrita en la forma : (A)

Utilice la ecuación (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una función homogénea de grado k en x y y, entonces:

aF

aF

ax

ay

x-+y-=kF.

2.4

Ecuaciones exactas En la sección 2.1 se hizo notar que cuando una ecuación puede ser puesta en la forma: A(x) dx

+ B( y) d y

= O,

30

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

siempre será posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integración, esto es, encontrando una función cuya diferencial sea A (x) dx + B (y) dy. Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma:

M(x, y)dx

+ N(x, y)dy =

0,

(1)

en las que la separación de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar una función F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresión M dx + N dy; esto es,

dF = M dx

+ N dy.

(2)

Entonces, naturalmente,

F(x, y) = c

(3)

defina de manera implícita un conjunto de soluciones para la ecuación (1). De (3) se deduce que:

dF=O, o, en vista de (2),

Mdx+ Ndy = 0, como se deseaba. En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qué condiciones impuestas a M y N tiene lugar una función F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la función F. Si existe una función F tal que:

Mdx +Ndy sea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuación (1) es una ecuación exacta. Si la ecuación:

Mdx+Ndy=O

(1)

es exacta, entonces, por definición, existirá una F donde:

dF= Mdx

+ Ndy.

Pero, por razones de cálculo, se tiene:

aF ax

dF = -dx

aF

+ -dy, ay

de modo que:

aF ax'

M=-

aF ay

N=-.

2.4 Ecuaciones exactas

31

Estas dos ecuaciones nos conducen a:

aM ay Y, de nuevo por cálculo, tenemos:

aN = ax axay

y

a2 F

a2 F

ayax - axay' a condición de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecuación exacta, entonces:

aM ay

aN ax

(4)

Así, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha. Ahora mostraremos que si la condición (4) se satisface, entonces (1) es una ecuación exacta. Sea cP(x, y) una función para la cual:

acP = M. ax La función cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene constante. Luego, a2cP ayax

aM ay ,

en consecuencia, si (4) se satisface, también:

a2cP aN = axay ax

(5)

Integramos ambos miembros de la ecuación (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. En la integración con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier función de y. Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integración de (5) con respecto a x produce:

acP = N ay

+ B'(y).

Ahora puede ser representada una función F, a saber,

F = cP(x, y) - B(y), para la cual:

dF = acP dx + acP dy - B'(y) dy ax ay = M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy =Mdx+Ndy.

(6)

32

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

De aquí concluimos que la ecuación (1) es exacta. Así terminamos una demostración del teorema establecido a continuación.

Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condición necesaria y suficiente para que: Mdx +Ndy = O

(1)

sea una ecuación exacta es que: ay

(4)

ax

Además, la demostración contiene el principio del método que utilizaremos para obtener un conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8.

EJEMPLO 2.7 Resuelva la ecuación: 3x(xy - 2) dx

+ (x 3 + 2y) dy =

O.

(7)

Primero, como: y

concluimos que la ecuación (7) es exacta. Por lo tanto, su solución es F = c, donde:

aF

2

= M = 3x y - 6x

-

ax

(8)

y,

aF

3

ay=N=x +2y.

(9)

Tratemos de determinar F a partir de la ecuación (8). Al integrar ambos miembros de (8) con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene: (10) donde la constante arbitraria usual en la integración indefinida ahora es necesariamente una función T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que la función F de la ecuación (10) debe satisfacer la ecuación (9). De aquí que: x3

+ T'(y)

= x3

+ 2y,

T'(y) = 2y.

2.4 Ecuaciones exactas

33

No se necesita una constante arbitraria en la obtención de T (y), puesto que será introducida una en el lado derecho en la solución F = c. Entonces:

y de (10)

Por último, un conjunto de soluciones para la ecuación (7) está definido por: x3 y

-

3X2

+ y2 = c.

•

EJEMPLO 2.8 Resuelva la ecuación:

(2x 3

-

x l - 2y

+ 3) dx

- (x 2y

+ 2x) dy =

O.

(11)

Aquí,

aM

aN

- = -2xy-2 = ay ax' de modo que la ecuación (11) es exacta. Un conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde:

aF

-

ax

3

2

= 2x - xy - 2y

+3

(12)

y

aF

-

ay

2

(13)

= -x y-2x.

Ya que (13) es más sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinación de F a partir de la ecuación (13). Veamos, F = -4x2l- 2xy

+ Q(x),

donde Q (x) será d@terminadade(12). De la última se obtiene:

- x l - 2y

+ Q'(x) =

2x 3

-

xl - 2y

Q' (x) = 2x 3 + 3. Por lo tanto,

+ 3,

34

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

y el conjunto de soluciones deseado para (11) está definido de manera implícita por:

o

• •

Ejercicios

Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores.

+ y) dx + (x

- y) dy = O.

+ y) dx + (x 2 -

x) dy = O.

1.

(x

2.

(6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O. 5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0. 2 2 (2xy-3x ) dx+(x +y) dy = O. 6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o. Resuelva el ejercicio 5 con otro método.

3. 7.

8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

4.

(2xy

Resuelva el ejercicio 6 con otro método. (y2 _ 2xy + 6x) dx - (x 2 - 2xy + 2) dy = O. v(2uv 2 - 3) du + (3u 2v 2 - 3u + 4v) dv = O. (cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x 3 y) dy (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O.

+ l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = (w 3 + wz 2 - z) dw + (Z3 + w 2 z - w) dz = (2xy - tan y) dx + (x 2 - x sec2 y) dy = O. (1

= O.

O.

O.

(cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O. (r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O. x(3xy - 4 y 3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O.

+ r cos e(2r sen e + 1) de = o. + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. 2xydx + (y2 +x 2)dy = O. 2xy dx + (l - x2) dy = O. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy = O. 3y(x 2 - 1) dx + (x 3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1. (1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (3 + Y + 2l sen 2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O. 2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x 2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O. (xy2 +x - 2y + 3)dx +x 2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1. (sen e - 2r cos 2 e) dr [2x

2.5 La ecuación lineal de orden uno

35

I 2.5 I La ecuación lineal de orden uno En la sección 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exactas. Si una ecuación no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un factor adecuado, el cual es llamado factor de integración. En la sección 2.1 multiplicamos por un factor de integración para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuación exacta. En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teoría de factores de integración para ecuaciones de primer orden. En el capítulo 5 probaremos algunos teoremas que nos ayudarán en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de ecuaciones en las que la existencia de un factor de integración sí puede ser demostrada. Esta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno. Una ecuación que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definición (sección 1.2) debe ser de la forma: dy A(x) dx

+ B(x)y =

C(x).

(1)

Al dividir cada miembro de la ecuación (1) entreA(x), obtenemos: dy

- + P(x)y = dx

Q(x),

(2)

a la que elegimos como la forma canónica para la ecuación lineal de orden uno. Por el momento suponga que para la ecuación (2) existe un factor de integración positivo v (x) > 0, una función que es solamente de x. Entonces, v(x)

[~~ + P(X)Y] =

v(x) Q(x)

debe ser una ecuación exacta. Pero (3) se puede anotar fácilmente en la forma: Mdx+Ndy =

°

con, M

= vPy -

vQ

y N= v,

en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x . Por lo tanto, si la ecuación (3) es exacta, el requisito:

aM ay

aN ax

(3)

36

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

implica que v debe satisfacer la ecuación:

dv vP=-. dx

(4)

De la ecuación (4), v puede ser obtenida fácilmente, ya que:

dv Pdx = - , v de modo que,

Inv=fPdx,

o v = exp

(f

(5)

P dx ) .

Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor de integración independiente de y, entonces ese factor debe estar dado por la ecuación (5). Nos falta demostrar que la v dada por la ecuación (5) es en realidad un factor de integración de: dy (2) dx + P(x)y = Q(x). Multiplicamos (2) por el factor de integración, obteniendo: exp ( f P dx )

~~ + P exp ( f P dX) y =

Q exp ( f P dX) .

(6)

El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto:

el miembro derecho de (6) es una función exclusiva dex. De aquí que (6) sea exacta, lo cual queríamos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integración. En consecuencia, podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier función cuya deri vada sea P. Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuación resumimos los pasos involucrados en la solución de tales ecuaciones: a)

Escribir la ecuación en forma canónica:

dy dx

+ Py =

Q.

2.5 La ecuación lineal de orden uno

b) c) d)

37

Obtener el factor de integración exp (f P d x). Multiplicar ambos miembros de la ecuación (escrita en forma canónica) por el factor de integración. Resolver la ecuación exacta resultante.

Observe que en la integración de la ecuación exacta la integral del lado izquierdo siempre es el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integración utilizado.

EJEMPLO 2.9 Resuelva la ecuación: 2(y - 4x 2) dx

+ x dy =

O.

La ecuación es lineal en y . Al escribirla en forma canónica se transforma en: dy

2

dx

x

- +-

y = 8x

x =f. O.

cuando

(7)

Entonces un factor integrante es: exp

(1

2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2.

Ahora se aplica el factor de integración a (7), así se obtiene la ecuación exacta: x2 dy dx

+ 2xy =

8x 3

(8)

'

que de inmediato se puede escribir como:

(9) Al integrar (9) encontramos que: (lO)

Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciación. Luego la ecuación diferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aquí concluimos que (10) define un conjunto de soluciones para la ecuación original.

•

EJEMPLO 2.10 Resuelva la ecuación: y dx

+ (3x

- xy

+ 2) dy

= O.

38

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

Ya que el producto y dy aparece aquí, deducimos que la ecuación no es lineal en y. Pero sí es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los términos como en: ydx

+ (3 -

y)xdy

=

- 2dy

y pasando a la forma canónica,

~: + (~ Ahora,

f (~ -

1) x =

~2

para y

1) dy = 31n Iyl - y

#

O.

(11)

+ Cl,

de modo que un factor de integración para la ecuación (1) es: exp (3 In Iyl - y)

= exp (3 In Iyl)e - Y = exp (In IY I3)e- Y = IYI3 e- y •

Se deduce que cuando y> O, y3 e- Y es un factor de integración para la ecuación (11), Ycuando y < O, _y3e- Y sirve como factor de integración. Cualquiera de estos casos nos conduce a la ecuación exacta:

de la cual obtenemos: xie - Y = -2

f

le - Y dy

= 2le- Y

+ 4ye- Y + 4e- Y + c.

Así que una familia de soluciones queda definida de manera implícita por: xi =2l+4y+4+ce Y •

2.6

•

La solución general de una ecuación lineal En la sección 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden. Si sucede que la ecuación diferencial en ese teorema sea una ecuación lineal, podemos demostrar un teorema un poco más difícil. Considere la ecuación diferencial lineal: dy

- + P(x)y = dx

Q(x).

(1)

2.6 La solución general de una ecuación lineal

39

Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Y que x = X oes cualquier número en ese intervalo. Si Yo es un número real arbitrario, existe una solución única y = y (x) de la ecuación diferencial (1) que también satisface la condición inicial:

Además, esta solución satisface la ecuación (1) en todo el intervalo a < x < b. En esencia, la demostración de este teorema fue hecha en la sección 2.5 . Al multiplicar la ecuación (1) por el factor de integración v = exp (f P dx) e integrando se obtiene:

Ya que v

yv =

f

vQdx + c.

y = v- 1

f

vQdx+cv- 1 •

* O, podemos escribir: (2)

*

Es muy sencillo demostrar que como v O y continúa en a < x < b, (2) es una familia de soluciones para la ecuación (1) . . También es fácil advertir que dada una X o en el intervalo a < x < b junto con cualquier número Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xo· El resultado de nuestro argumento es que toda ecuación con la forma de la ecuación (1), para la cual P y Q tengan algún intervalo común de continuidad, tendrá un conjunto único de soluciones, el cual poseerá una constante de integración que puede ser obtenida introduciendo el f~ctor de integración apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de estas soluciones, debemos esperar que cualquier solución obtenida por otro método sea una de las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parámetro. Es por esta razón que a este conjunto de soluciones se le llama solución general de la ecuación (1). La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones que satisfacen la ecuación diferencial en el intervalo a < x < b .

•

Ejercicios

En los ejercicios l al 24 encuentre la solución general.

(x 5 + 3y) dx - x dy = O. 2. y' = X - 2y . 3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 4. u dx+(1-3u)x du = 3u 2 e3u duo 5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . l.

6. y'=x - 4xy. 7. y' = cscx + y cotx. 8. y' = cscx - Y cotx . 9. (y - cos 2 x) dx + cos x dy 10. y' = x - 2y cot2x.

= O.

40

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

11.

(y - x +xy cotx)dx +xdy = O.

12.

2(2xy +4y - 3)dx

13. 14.

15.

+ (x + 2fdy

= O.

4

(2xy + X2 + x ) dx - (1 + x2 ) dy = O. y ,_ my = CIen ..", donde c l y m son constantes. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y

mI =1= m 2·

19.

17.

v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. x(x 2 + 1)y' +2y = (x 2 + 1)3 .

2y dx = (x 2 - l)(dx - dy).

20.

dx - (1 +2xtany)dy = O.

18.

2y(y2_X)dy =dx.

21.

y'=1+3ytanx.

22.

(1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y).

23. 24. 25 .

(x 2 + a2) dy = 2x[(x2 + a 2)2 + 3y] dx; a es una constante. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1. Resuelva la ecuación del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Y n = -1. En la forma canónica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener:

16.

26.

w(dv

+ Pvdx) + vdw =

Qdx.

Luego, seleccionando primero v de modo que:

dv

+ Pvdx = O

y determinando después w, demuestre cómo completar la solución de: dy

+ Pydx =

Qdx.

En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solución particular indicada.

+ 3)y = Y + (2x + 3) 112; cuando x = - 1, y = O.

27.

(2x

28.

Y = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1.

29.

31.

L di + Ri = E ; donde L, R YE son constantes, cuando t = O, i = O. dt di L- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O. dt Encuentre la solución de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1).

32.

Encuentre la solución de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1).

33 .

(1

30.

•

I

I

+ t 2) ds + 2t [st 2 -

3(1

+ t 2 )2] dt = O; cuando t = O, s = 2.

Ejercicios diversos

En cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa.

1.

y' = exp (2x - y).

2.

(x 4

+ 2y) dx

- x dy

= O.

2.6 La solución general de una ecuación lineal

3. 4. 5. 6. 7.

4) dx + (x + 1)2 dy = O. (x + y)dx +xdy = O. y 2 dx -x(2x +3y)dy = O. (x 2 + l)dx +x2y 2 dy = O. y' = x 3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2. (3xy

+ 3y -

8. senedrjde = -1-2rcose.

13.

+ 3y) dx + x2 dy

14.

9.

y(x

= O.

18.

= y. 4 2 O+x )y' = x y4. (2x 2 -2xy _ y2)dx + xydy =0. (2xy - 3x 2) dx + (x 2 + 2y) dy =

19. 20.

(x 3 + l) dx y(2x 3 - x2y

10.

11.

12.

dyjdx

sec 2 x

sec3

dxjdt=cosxcos 2 t. 3x 3y' = 2y(y - 3).

16.

xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx. (y-sen 2 x)dx+senxdy = 0.

17.

(x+2y)dx+(2x+y)dy = 0.

15.

O.

22.

+ y2(3x + ky) dy = O; k es una constante. + y3) dx - x(2x 3 + y3) dy = O. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O. y(x 2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y =

23.

y '+ ay = b; a y b son constantes. Resuélvala con dos métodos.

24.

(x - y) dx - (x

25.

(sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O. 0+ 4xy - 4x 2y) dx + (x 2 - x 3) dy = O; cuando x

21.

26.

27. 28.

41

+ y) dy =

1.

O. Resuélvala con dos métodos.

= 2, y = = !Jr, Y = 1.

~.

(2y cosx + sen x) dx = sen x dy; cuando x a 2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante. 4

Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la función inversa del seno, está restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y 32 se refieren a los segmentos de arco de la figura 2.4 que muestra la gráfica de la elipse:

+ vT=X2dy =

O.

29.

JI=Yidx

30.

Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O,

31.

Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x

32.

Demuestre que después de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcos restantes de la elipse

= O,

42

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno y

------~------~------~------ x

Figura 2.4

no son soluciones de la ecuación diferencial:

JI"=Y2dx

+ ~dy =

O.

Para lograr este objetivo tome en consideración el signo de la pendiente de la curva. 33.

Para la ecuación

JI"=Y2dx - ~dy =0 plantee y resuelva cuatro problemas análogos a los ejercicios 29 al 32.

= (e + 2uu V

+ x 3 dy = O.

u du

35. 38.

y 2 dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x 2y) dy = O. (l-x 2)y' =1 -xy-3x 2 +2x 4 . 42. x 2y' = y(1 - x) . (y3 _x 3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1. (x 2 - 2xy - y2) dx - (x 2 + 2xy - y2) dy = O. y 2 dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l.

39. 40. 41. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

2u) du.

y(y2 - 3x 2) dx

34.

36.

y' = cosx - ysecx; cuando x = O, Y = l. , Encuentre la solución de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O) . . Encuentre la solución de y I = 3x + y que pase por el punto ( -1, 1).

2.7 Suplemento para computadora

51. 52. 53 . 54. 55.

I 2.7 I

43

(x 2 - 1 + 2y) dx

+ (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) d Y = O; cuando x = 3, Y = 1. (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2.

Suplemento para computadora En este capítulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de manera analítica. La mayor parte de los métodos descritos involucra la integración de alguna manera y, por lo tanto, están sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de Álgebra Computacional (SAC) que pueden integrar de manera simbólica. Como una sencilla muestra considere la ecuación diferencial separable del ejemplo 2.1 en la sección 2.1 : dy dx

=

2y x

La solución dada en el texto implica la separación de las variables y la integración inmediata de ambos miembros de la ecuación resultante. Las integraciones pueden ser realizadas en Maple por medio del siguiente comando: >int(1/y,y) = int(2/x,x)+C; ln(y) = 2 ln(x)

+e

Esta solución implícita puede ser resuelta para y y simplificada por: >so l ve(" , y);

e 21n (x)+C >s implify ( " ) ;

Consideremos también la ecuación (7) dada en el ejemplo 2.7 de la sección 2.4, 3x(xy - 2) dx

+ (x 3 + 2y) dy

= O.

Aquí el primer paso es verificar si la ecuación es exacta. Maple puede hacer esto como sigue: >M: = 3*x* (x*y- 2) ;

M := 3 x (xy - 2) >N: = (x"3+2*y) ;

N: = x 3 +2y >di ff (M, y) ; >di f f (N, x) ;

44

Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno

La ecuación resulta ser exacta. Podríamos usar la computadora para completar los pasos restantes del proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simbólicas, en su mayor parte, están diseñados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, regrese al primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuación diferencial como >diff(y(x) , x) =2*y / x;

d 2y -y(x) = dx x Esta ecuación puede ser resuelta en un comando: >dsolve ( " ,y(x )); y(x) = X 2

_el

El segundo ejemplo es casi igual de fácil: >(3*x*(x*y- 2) )+(x A3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ;

3x (xy - 2)

d dx

+ (x3 + 2 y ) - y (x)

=

°

>dsolve ( " ,y(x));

Por último, la computadora también puede resolver problemas de valor inicial. Veamos, considere la ecuación (8) en el ejemplo 2.3 de la sección 2.1 : 2 (1 + l) dx + (1 +x ) d y = 0, con la "condición inicial" de que cuando x

= 0, y = -

l . La ecuación es introducida como:

>diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+x A2 ) ;

d 1 + (y(x»2 dx Y(x) = 1 +x2

y luego resuelta mediante: >dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ;

y(x) = tan ( - arctan (x) -

• 1.

¡) .

Ejercicios Utilice un Sistema de Álgebra Computacional para resolver una muestra representativa de los problemas trabajados en el presente capítulo. Asegúrese de incluir algunos con condiciones iniciales y otros sin éstas. Es probable que se encuentre con algunos problemas que el SAC no podrá resolver usando técnicas básicas. Verifique si su sistema tiene técnicas más avanzadas para resolverlos.

2.. Un SAC es capaz de resolver aún ecuaciones tan generales como dy/dx Q(x). Inténtelo en su sistema.

+

P(x)y

=

Métodos ,/

nUmerlCOS

3. 1

Observaciones generales No existe un método general que nos dé una forma explícita para encontrar la solución de una ecuación diferencial. En la práctica, nos encontramos con ecuaciones específicas para las que no se conoce un método de resolución o para las cuales las formas explícitas de solución no son las adecuadas para los cálculos. Por estas razones, son tan importantes métodos sistemáticos y eficaces que nos lleven a una aproximación numérica de las soluciones. Desafortunadamente, el dominio de buenos métodos numéricos exige mucho tiempo de práctica y la disponibilidad de una computadora adecuada. Este capítulo está restringido a un estudio parcial de algunos de los métodos más sencillos y útiles. Aquí el propósito es dar al estudiante un concepto de los principios fundamentales para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones. Considerarem0s un problema que no es posible resolver con los métodos desarrollados hasta el momento y le aplicaremos varios procesos numéricos.

3.2

Método de Euler Buscamos obtener la solución de la ecuación diferencial: y'=y-xl

(1)

para la cual y = 1 cuando x = O. Deseamos aproximar la solución y = y (x) en el intervalo

o:::;x:::;l La ecuación (1) puede ser escrita en forma diferencial como: (2)

La figura 3.1 muestra el significado geométrico de la diferencial dy y de ~y, el cambio real en y, inducido por un incremento dx (o ~) aplicado a x. En cálculo se muestra que cerca de un punto donde exista la derivada, dy puede hacerse tan aproximado a ~y como se desee tomando un ~ x lo suficientemente pequeño. Digamos que, conociendo el valor de y en x = O, deseamos calcular y para O :::; x :::; -±. Suponga que elegimos ~ = 0.1; entonces dy puede ser calculado de: dx

= cY -

X2) ~.

45

46

Capítulo 3 Métodos numéricos

A saber, dy = (1 - 0)(0.1) = 0.1. Así, para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es 1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Otra vez elegimos Llx = 0.1. Entonces:

de modo que dy = 0.12. De aquí que en x = 0.2, el valor aproximado de y sea 1.22. El cálculo completo usando Llx = 0.1 se muestra en la tabla 3.1. Los cálculos se realizaron con seis cifras decimales y después el resultado se redondeó a tres cifras decimales. El incremento Llx no necesita ser constante a lo largo de todo el intervalo. Donde la pendiente sea grande, se toma un incremento pequeño. Por simplicidad en los cálculos, aquí se usarán incrementos iguales. Es útil repetir los cálculos con un incremento más pequeño y notar los cambios que resultan en los valores aproximados de y . La tabla 3.2 muestra un cálculo con Llx = 0.05. En la tabla 3.3 tenemos los valores de y que se obtuvieron de los cálculos en las tablas 3.1 y 3.2, Ylos valores de y obtenidos usando Llx = 0.01 (no se muestran los cálculos), además de los valores correctos de y redondeados a tres cifras decimales. y

3.2 Método de Euler

TABLA 3.2

de y es x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

con seis elapens, aquí se bios que ulo con

y2

y

1.000 1.050 1.105 1.166 1.232 1.306 1.388 1.480 1.584 1.701 1.836

1.000 1.102 1.221 1.359 1.519 1.706 1.928 2.192 2.508 2.894

as tablas os), ade-

47

~x = 0.05 x2

(y2 _ X2)

dy

0.000 0.002 0.010 0.022 0.040 0.06~ 0.090 0.122 0.160 0.202

1.000 1.100 1.211 1.336 1.479 1.644 1.838

0.050 0.055 0.061 0.067 0.074 0.082 0.092 0.103 0.117 0.135

r

2.069 2.348 2.692

TABLA 3.3 Cuando

= 0.1

~x

x

y

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

1.000 1.100 1.220 1.365 1.542 1.764

0.5

= 0.05

~x

Sx

=

0.01

Correcta

y

y

y

1.000 1.105 1.232 1.388 1.584 1.836

1.000 1.l10 1.244 1.411 1.625 1.911

1.000 1.l11 1.247 1.417 1.637 1.934

Los valores correctos fueron obtenidos mediante el método que veremos en la sección 3.7. Su disponibilidad en cierto sentido es accidental. Con frecuencia no sabemos de qué forma obtener el valor correcto de y con un grado específico de exactitud. En tales casos es costumbre recurrir a la disminución del tamaño del incremento hasta que los valores de y muestren cambios no mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. Entonces se espera que el cambio constante de los valores de y se deba a que nos encontramos cerca de la solución correcta, en lugar de atribuido a la lentitud de convergencia del proceso utilizado (lo cual también es posible). Para el problema más general de valor inicial:

dy

-

dx

la sucesión de aproximaciones relaciones de recurrencia:

= f(x,

y);

cuandox

= Xo,

y

= yo,

(3)

descritas anteriormente puede ser expresada en términos de las

48

Capítulo 3 Métodos numéricos

Xk+ 1 = Xk Yk+1

+h

= Yk + hf(xk, Yd,

(4)

para k = O, 1, 2, ... . Aquí hemos usado h para el valor de ru:. La técnica descrita líneas arriba es conocida como el método de Euler, aunque no involucra nada más que la aproximación lineal de cálculo elemental.

•

Ejercicios

En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice el método de Euler con el Dx indicado para aproximar la solución al problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 1 al 6, resuel va el problema por métodos elementales y compare los valores aproximados de y con los valores correctos.

y' = x

+ y;

cuando x = O, Y = 1;

box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.

Utilice ru: = 0.05 en el ejercicio l. 3. y' = x + y; cuando x = O, Y = 2;

box = 0.1 Y O ::: x ::: 1.

4.

y' =x +y;

box=0.lyl:::x :::2.

5.

y' = x

1. 2.

cuandox = l,y=l;

+ y;

6. y' = 2x - 3y; 7.

box = 0.1 Y 2::: x::: 3.

cuando x = O, y = 2;

;0.x = 0.1 Y O::: x::: 1.

y' = e- xy ;

8.

cuando x = O, Y = O; Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 7.

9.

y' = (1 +x2 + /)-1;

box = 0.2 Y O::: x ::: 2.

cuando x = O, y = O;

10.

Utilice ru:

] 1.

y' = (cosx

12.

Utilice ru: = O.] en el ejercicio] 1.

13.

3.3

cuando x = 2, y = -1 ;

box = 0.2 Y O::: x::: 2.

= 0.1 en el ejercicio 9.

+

seny)1 /2; cuando x = O, y = 1; box = 0 .2 Y O::: x::: 2.

cuando x

= O,

y

= O;

box = 0.2 Y O ::: x ::: 2.

Una modificación al método de Euler En cada paso del método de Euler, como se describió en las ecuaciones (4) de la sección 3.2, la nueva aproximación Yk+1 utiliza la pendientef(xk , Yk). Esta pendiente es calculada en (x k' yk ), un punto que está en el extremo izquierdo del intervalo x k :::; x :::; x k + h. Es razonable suponer que se obtendría una mejor aproximación para el valor de Yk+1 si la pendiente fuera calculada en el punto medio del intervalo en lugar de usar el extremo. izquierdo. Una modificación en el método de Euler hace uso de esta observación. Procedemos de la siguiente manera: a partir del punto inicial (x o' Yo) y mediante el método de Euler determinamos el punto (XI' y), luego repetimos este paso empezando otra

3.4 Un método de aproximación sucesiva

49

vez en el punto inicial (xo' Yo)' Sin embargo, en la segunda ocasión usamos el método de Euler con un tamaño de incremento de 2h y tomando el valor de la pendiente en el punto (xl' y,), un punto que está a la mitad del nuevo intervalo

(4)

Xo :::: x ::::Xo

no invo-

+ 2h.

Por lo tanto, las fórmulas para el método modificado de Euler son: Xl

= Xo

Yl = yo xirnar la lema por

+ h, + hf(xo,

yo)

y Xk+2 = Xk Yk+2 = Yk

+ 2h, + 2hf

k ::::0, (Xk+

1,

«>

Yk+l),

O.

Al aplicar el método modificado de Euler al problema: Xo = 0,

Yo = 1,

se obtienen los resultados de la tabla 3.4. Por comparación con la tabla 3.3 vemos que hay una mejora considerable en la precisión de los valores calculados de y. TABLA 3.4 Cuando

sección alculada h. Es rai la pen-

extremo eel mé-

do otra

= 0.1 y

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

1.000 l.l00 1.240 1.400 1.614 1.888

0.5

•

h

X

h

= 0.05

h = 0.01

Correcta

Y 1.000 l.l11 1.247 1.417 1.637 1.933

Y 1.000 l.l11 1.247 1.417 1.637 1.934

Y 1.000 l.l00 1.245 1.414 1.631 1.922

Ejercicios

En cada uno de los ejercicios de la sección 3.2, utilice el método modificado de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial en el intervalo dado. Compare estos resultados con los obtenidos por el método de Euler.

I 3.4 I

Un método de aproximación sucesiva Ahora abordaremos

nuevamente

el problema anterior, X

= 0, y = 1,

(1)

50

Capítulo 3 Métodos numéricos

con la y requerida en el intervalo O ::5 x ::5 ~, por el método sugerido en el análisis del teorema de existencia del capítulo 13. Una vez aplicados los enunciados hechos en ese análisis, concluimos que la solución deseada es y = y(x), donde:

= n->oo lim Yn(x)

y(x)

y la sucesión de funciones ylI(x) está dada por Yo(x) = 1, Y para n 2: 1,

l

x

Yn(X) = 1

+

2

[Y~_I (t) - t

]

dt.

(2)

Para el problema en cuestión,

l

X

YI(X) =

1+

2

O-t )dt,

=1+x-tx3. Ahora obtenemos la segunda aproximación, encontrando dio de (2). Así tenemos que:

l

x

Y2(X) = 1 +

= 1+x

[O + t

+ x2

-

y/x)

a partir de yl(x) por me-

- tt3)2 - t2] dt,

!x4 6

-

1..x5 15

7 + ..!..x 63'

Entonces Ylx), Ylx), ... , pueden ser obtenidas de manera análoga, cada una a partir del elemento precedente en la sucesión YII(X). En la tabla 3.5 se muestran los valores tomados por yl(x), y/x) y ylx) a intervalos de 0.1 en x, junto con los valores correspondientes de y(x) redondeados a dos decimales, como se obtuvieron en la sección 3.7. Debe tomarse en cuenta que la utilidad de este método no depende de nuestra habilidad para realizar las integraciones en un sentido formal. Puede ser mejor realizar las integraciones por medio de algún proceso numérico, como la regla de Simpson. TABLA 3.5 x

YI (x)

Y2(X)

Y3(X)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.00 1.10 1.20 1.29 1.38 1.46

1.00 1.11 1.24 1.39 1.56 1.74

1.00 1.11 1.25 1.41 1.62 1.87

y(x)

1.00 1.11 1.25 1.42 1.64 1.93

[

3.5 Una mejora en el método de aproximación sucesiva

• 1.

51

Ejercicios Aplique el método estudiado en esta sección para resolver el problema (ejercicio 1, sección 3.2) y' = x

+ y;

cuando x = 0, y = l.

Obtenga y¡(x), Yix ) y Y3(x). 2. Calcule una tabla de valores con dos decimales de Yl' Y2' Y3 en el ejercicio 1 para x = a x = 1 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos a partir de la solución elemental del problema. 3. Obtenga y¡(x), yix) y Y3(x) para el problema de valor inicial (ejercicio 4, sección 3.2)

°

y' = x

4.

3.5

+ y;

cuando x = 1, Y = l.

Sugerencia : exprese el integrando de la integral en la ecuación (2) en potencias de t - 1 antes de integrar. Calcule una tabla de valores con dos decimales de las y ¡, Y2' Y3 en el ejercicio 3 para x = 1 a x = 2 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos a partir de la solución elemental del problema.

Una mejora en el método de aproximación sucesiva En el método utilizado en la sección 3.4, cada una de las y/x), donde n = 0, 1,2, ... , produce una aproximación a la solución y = y (x). Por lo regular es factible que, mientras una aproximación en particular Yk(X) sea más correcta, su sucesora Yk+' (x) sea mejor. El problema de valor inicial que estamos tratando es: x = O,y = 1

el cual nos indica de inmediato que en x = 0, la pendiente es y ' = l. Pero en la sección 3.4, siguiendo a ciegas una sugerencia dada en el capítulo 13, iniciamos con yo 00 1--> 00 b - axo + axoebl b 2 x e bl lim o 1--> 00 abxoebl b x(t) =

a

donde hemos utilizado la regla de I'H8pital para evaluar el límite. También debemos tener en cuenta que la ecuación logística (1) regirá el crecimiento o disminución de la población, dependiendo de si la población inicial es menor o mayor que b/a. Como ejemplo adicional de una aplicación en la que aparece una ecuación diferencial de primer orden, consideremos el modelo económico de cierto sector mercantil. Supondremos que el precio P, la oferta S y la demanda D de un producto son funciones del tiempo, y que la tasa de cambio en el precio es proporcional a la diferencia entre la demanda y la oferta. Esto-es: dP = k(D - S). dt

(4)

4.4 Crecimiento logístico y precio de mercancías

71

Además suponemos que la constante k es positiva, de modo que el precio aumentará si la demanda excede a la oferta. De acuerdo con la naturaleza de las funciones de demanda y de oferta que se indiquen, se tendrán diferentes modelos de mercado. Por ejemplo, si suponemos que:

D=e-dP

s = a + bp,

y

(5)

donde a, b, e y d son constantes positivas, obtenemos una ecuación diferencial del tipo:

dP

dt

= k[(e - a) - (d

+ b)P]

(6)

que es lineal en P. Las hipótesis (5) reflejan la tendencia decreciente para la demanda cuando el precio aumenta y la tendencia creciente para la oferta cuando el precio aumenta; ambas suposiciones son razonables para muchos productos. También debemos suponer que 0< P < cid, de modo que D no es negativa. La ecuación (6) se puede escribir como:

dP dt

- + k(d + b)P =

(7)

k(e - a),

y resolverse multiplicándola por el factor de integración e* como para x < 0, de lo cual obtenemos: X

-3

W

1 -4 = -;¡:x

+ ;¡:C, 1

o 4xw = cx4 - l . De aquí que el conjunto solución para la ecuación (2) sea,

4x sen y

15.4

= cx4 -

1.

•

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación bien conocida que se ajusta a la categoría vista en la sección 5.3 es la ecuación de Bemoulli,

y'

+ P(x)y =

Q(x)yn.

(1)

Si n = 1 en la ecuación (1) las variables serán separables, así que nos concentraremos en el caso donde n =1= l. La ecuación (1) puede ponerse en la forma: y-n dy

+ py - n+l dx = Q dx.

(2)

Pero la diferencial de y-n+l es O - n)y-ndy, entonces la ecuación (2) puede ser simplificada escribiendo: . y-n+l

= z,

de la cual,

O - n)y-n dy = dz. Así la ecuación en z y

x es: dz

+ 0- n)Pzdx = 0- n)Qdx,

una ecuación lineal en forma canónica. En consecuencia, cualquier ecuación de Bemoulli puede ser resuelta con la ayuda del cambio de variable anterior (a menos que n = 1, que es cuando no se necesita ninguna sustitución).

EJEMPLO 5.9 Resuelva la ecuación: y(6l- x - 1) dx

+ 2x dy

= O.

(3)

5.4 Ecuación de Bernoulli

87

Primero agrupamos los términos de acuerdo con las potencias de y, escribiendo:

2x d y - y(x

+ 1) dx + 6l dx

= O.

Ahora puede verse que tenemos una ecuación de Bemoulli, ya que sólo involucra términos que contienen, respectivamente, a dy, y y y" (aquí n = 3). Por lo tanto, dividimos todo entre y3, obteniendo:

Esta ecuación es lineal en y-2, así que ponemos y-2 = además necesitamos resolver la ecuación:

x d v + v (x

+ 1) dx

V,

lo cual nos da dv = -2y- 3dy,

= 6 dx ,

o dv

+ v(1 + x-l) dx

= 6x- 1 dx.

(4)

Ya que, exp (x

+ In Ixl) = Ixle x

es un factor integrante para (4), la ecuación:

xeX dv

+ ve x (x + 1) dx

= 6e x dx

es exacta. Su conjunto solución es:

que junto con v = y-2, nos lleva al resultado final,

• EJEMPLO 5.10 Resuelva la ecuación:

61 dx - x(2x 3 + y) dy =

o.

(5)

Ésta es una ecuación de Bemoulli con x como la variable dependiente, así que puede resolverse como en el ejemplo 5.9. Ese método de solución se deja para los ejercicios. La ecuación (5) también puede ser tratada como sigue; observe que si cada miembro es multiplicado por x 2, la ecuación se transforma en:

61x2 dx - x 3 (2x 3 + y) dy =

o.

(6)

88

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

En la ecuación (6), la variable x aparece sólo en las combinaciones de x 3 y su diferencial 3x2dx. De aquí que una selección razonable de una nueva variable sea w = x 3. La ecuación en w y y es: 2idw - w(2w

+ y)dy =

O,

tenemos entonces una ecuación con coeficientes homogéneos de grado dos en y y w. El nuevo cambio de variable w = zy conduce a la ecuación: 2y dz - z(2z - 1) dy = O, 4dz 2dz dy ------=0. 2z - 1 z y

Por lo tanto, 2ln 12z - 11 - 2ln Izl-In Iyl = In lel,

o

Pero z = w / y

•

= x3 / y, de modo que las soluciones que buscamos están determinadas por:

•

Ejercicios

En los ejercicios 1 al 20 resuelva cada ecuación.

1.

(3x - 2y + 1) dx + (3x - 2y + 3) dy = O.

2. sen y(x + seny) dx + 2x2 cos y dy = O. 3. dy/dx = (9x+4y+1)2. 5. dy/dx=sen(x+y). 4. y'=y_ xy 3e -2x. 6. xydx+(x 2 -3y)dy=0. 7.

(3 sen y - 5x) dx + 2x2 coty dy = O.

8.

y' = 1 + 6x exp (x - y) .

9.

dv/du

=

(u - v)2 - 2(u - v) - 2.

11.

2y dx + x(x 2 1n y - 1) dy = O. (ke 2v - u) du = 2e 2v (e 2v + ku) dv.

12.

y'tanxsen2y = sen 2 x+cos 2 y.

13.

(x

14.

y (x tan x + In y) dx + tan x dy = O.

10.

+ 2y -

1) dx - (x

+ 2y -

5) dy = O.

5.5 Coeficientes lineaies en dos variables

15. xy' - y 17. (x

* 1 Y k + n * 1.

= x!'y", donde n

16. (3 tan x - 2 cos y)

+ 2y -

1) dx

89

sec 2 x

dx

+ tan x sen y dy = O.

+ (2x + 4y -

3) dy = O. Resuélvala por dos métodos.

18. Resuelva la ecuación 6y2 dx - x(2x3 + y)dy = O del ejemplo 5.10 tratándola como una ecuación de Bemoulli en la variable dependiente x.

+ 3X2). Resuélvala por dos métodos. cos y sen 2x dx + (cos 2 y - cos 2 x) dy = O.

19. 2:x3y' = y(y2

20.

21. Resuelva la ecuación del ejercicio 15 para los valores de k y n no incluidos ahí. En los ejercicios 22 al 27 encuentre la solución particular requerida.

22. 4(3x

+y

- 2)dx - (3x

23. y' = 2(3x

+ y)2 -

24. 2xyy' = y2 25.

(y4 - 2xy)dx

26.

(2y 3

27. (x 2

5.5

-

:x3)dx

+ y)dy =

O; cuando x = l,y = O.

1; cuando x = O, Y = 1.

2x3• Encuentre

la solución que pasa 'por el punto (1, 2).

3x2dy

+ = O; cuando x = 2, Y = l. + 3xy2dy = O; cuando x = 1, Y = l. Resuélvala por dos métodos.

+ 6y2)dx -

4xydy

= O; cuando x

= 1, Y

=

l. Resuélvala por tres métodos.

Coeficientes lineales en dos variables Considere la ecuación: (1)

en la que a, b y e son constantes. Ya sabemos cómo resolver el caso especial en que el = O ye2 = O, ya que entonces los coeficientes en (1) son, cada uno, homogéneos y de grado uno en x y y. Por 10 tanto, es razonable tratar de reducir la ecuación (1) a esa situación. En conexión con la ecuación (1), considere las rectas:

+ bly + el = O, a2x + b 2y + e2 = O.

alx

(2)

Que pueden ser paralelas o intersecarse. No tendremos dos rectas si al y b l o a 2 y b2 son cero, pero entonces la ecuación (1) será lineal en una de sus variables. Si las rectas dadas en (2) se intersecan, sea (h, k) el punto de intersección. Entonces la traslación: x = u +h ,

y=v+k

(3)

90

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

cambiará las ecuaciones (2) en ecuaciones de rectas que pasan por el origen del sistema de coordenadas uv, esto es, alu+hv=O, a2U

+ b2 v

(4)

= O.

Por lo tanto, ya que dx = du y dy = dv, el cambio de variables: x = u

+h,

y = v +k, donde (h, k) es el punto de intersección de las rectas (2), transformará la ecuación diferencial (1) en: (5)

una ecuación que sí sabemos cómo resolver. Si las rectas (2) no se intersecan, suponemos que existe una constante k tal que:

de modo que la ecuación (1) aparece en la forma: (alx

+ bly + CI) dx + [k(al x + bl y ) + C2 ] dy =

O.

(6)

La repetición de (alx + b¡y) en la ecuación (6) sugiere la introducción de una nueva variable w = alx + bly. Entonces la nueva ecuación, en w y x o en w y y, es una ecuación con variables separables, ya que sus coeficientes contienen sólo a w y a las constantes.

EJEMPLO 5.11 Resuelva la ecuación: (x

+ 2y -

4) dx - (2x

+y -

5) d y = O.

Las rectas: x

+ 2y -

4= O

y 2x+y-5=O

se intersecan en el punto (2, 1). De aquí que escribimos: x = u

+ 2,

y =v+l.

(7)

5.5 Coeficientes lineales en dos variables

91

+ v) dv =

(8)

Entonces la ecuación (7) se transforma en: (u

+ 2v) du -

(2u

0,

que tiene coeficientes homogéneos y de grado uno en u y en v. Por lo tanto, hacemos u = vz, lo que transforma a (8) en: (z

+ 2)(zdv + vdz) -

(2z

+ l)dv =

0,

o (Z2 -

+ vez + 2) dz = O.

1) dv

La separación de las variables v y z nos lleva a la ecuación: dv

-V +

(z+2)dz 2

=0.

1 Con la ayuda de fracciones parciales, podemos escribir la ecuación anterior en la forma: 2dv v

+

Z

-

3dz _

z -l

~ = O. z +l

De aquí obtenemos: 2ln Ivl

+ 31n Iz -

11-1n Iz

+ 11 =

In

lel,

de la cual se deduce que:

o (vz - v)3 = e(vz

+ v).

Ahora vz = u, así que un conjunto de soluciones aparece como: (u - v)3

= e(u + v).

Pero u = x - 2 Y v = y - l. Por lo tanto, el resultado requerido en términos de x y y será: (x - y - 1)3 = e(x

+y -

3).

Para conocer otros métodos de solución de la ecuación (7), remítase a los ejercicios 22 y 29 al final de esta sección.

•

EJEMPLO 5.12 Resuelva la ecuación: (2x

+ 3y -

1) dx

bajo la condición de que y = 3 cuando x = l.

+ (2x + 3y + 2) dy

= 0,

(9)

92

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

Las rectas:

2x + 3y - 1 = O y

2x + 3y + 2 = O son paralelas. Por lo tanto, procedemos, como lo habríamos hecho a primera vista de la ecuación, haciendo: 2x

+ 3y =

v.

Entonces 2 dx = dv - 3 dy, Y la ecuación (9) se transforma en: (v - l)(dv - 3dy)

+ 2(v + 2)dy

= O,

o (v - 1) dv - (v - 7) dy = O.

(lO)

La ecuación (lO) se resuelve fáci lmente, llevándonos a la relación: v - y

+ e + 6ln 1v - 71= O.

Por lo tanto, un conjunto solución de (9) es: 2x

+ 2y + e =

-61n 12x

+ 3y - 71 .

Pero y = 3 cuando x = 1, así que e = - 8 - 6 In 4. En consecuencia, la solución particular requerida está dada por: x

•

+y -

4 = -31n [±(2x

Ejercicios

En los ejercicios 1 al 17 resuelva las ecuaciones.

1.

(y - 2) dx - (x - y - 1) dy = O.

2.

(x - 4» - 9) dx

3.

(2x -

4.

(x - 4y - 3) dx - (x - 6y - 5) dy = O.

5.

(x

6. 7. 8.

+ (4x + y - 2) dy = y) dx + (4x + y - 6) dy = O.

+y -

O.

+ (2x + 2y + 1) dy = O. (x - 2) dx + 4(x + y - 1) dy = O. (x - 3y + 2) dx + 3(x + 3y - 4) dy = O. (6x - 3y + 2) dx - (2x - y - 1) dy = O. 1) dx

+ 3y -

7»).

•

5.5 Coeficientes lineales en dos variables

9.

(9x - 4y

+ 4) dx - (2x - y + 1) dy = O. 4) dx + (x + 4y - 5) dy = O. 1) dx - (2x + y - 5) dy = O.

11.

+ 3y (x + 2y -

12. 13.

(x - l)dx - (3x - 2y -' 5)dy = O. (3x + 2y + 7 )dx + (2x - y)dy = O. Resuélvala por dos métodos.

14.

(2x

10.

15.

16.

(x

93

+ 3y - 5)dx + (3x - y - 2)dy = O. Resuélvala por dos métodos. 2dx + (2x - y + 3)dy = O. Utilice un cambio de variables.

Resuelva la ecuación del ejercicio 15 basándose en el hecho de que la ecuación es lineal en x.

17. (x - y

+ 2)dx + 3dy = O. Resuélvala por dos métodos.

En los ejercicios 18 al 21, obtenga la solución particular indicada.

18. (2x - 3y

+ 4)dx + 3(x -

l)dy

= O; cuando x = 3, Y = 2.

19. Resuelva la ecuación del ejercicio 18 bajo la condición de que cuando x = -1 , Y = 2. 20. (x

+y

- 4)dx - (3x - y - 4)dy

= O; cuando x = 4, Y = 1.

21. Resuelva la ecuación del ejercicio 20 bajo la condición de que cuando x 22. Demuestre que el cambio de variables:

x = a,u + a 2 v,

= 3, Y = 7.

y=u+v

transformará la ecuación:

en una ecuación donde las variables u y v serán separables si a, y a2 son las raíces de la ecuación: (B)

*

a, lXz. Observe que este método de solución de (A) no es práctico a menos que las raíces de la ecuación (B) sean reales y distintas.

y si

Resuelva los ejercicios 23 al 28 por el método indicadoen el ejercicio 22.

23 .

Resuelva el ejercicio 4. Como una forma de verificación, la ecuación (B) para este caso es:

a 2 - 5a+ 6=0, de modo que podemos elegir a,

= 2 Y a2 = 3. La ecuación en u y v se convierte en:

(v - l)du - 2(u

+ 2)dv = O.

94

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

24.

Resuelva el ejercicio 3.

25. 28.

Resuelva el ejercicio 5. Resuelva el ejercicio 5.11 de esta sección.

29.

Demuestre que el cambio de variables:

26. 27.

Resuelva el ejercicio 11. Resuelva el ejercicio 12.

y =u+v

transformará la ecuación: (C)

en una ecuación que es lineal en la variable u si al es una raíz de la ecuación:

(D) entonces {3 es cualquier número distinto de al' Observe que este método no es práctico para nosotros a menos que las raíces de la ecuación (D) sean reales; sin embargo, no necesitan ser distintas, como tuvieron que serlo en el teorema del ejercicio 22. El método de este ejercicio es particularmente útil cuando las raíces de (D) son iguales. Resuelva los ejercicios 30 al 34 por el método indicado en el ejercicio 29.

30.

Resuelva el ejercicio 10. La única al posible es (- 2). Así f3 puede tener cualquier otro valor.

31. 32.

Resuelva el ejercicio 6. Resuelva el ejercicio 9.

33. 34.

Resuelva el ejercicio 12. Resuelva el ejercicio 4. Como se vio en el ejercicio 23, las raíces de la "ecuación a" son 2 y 3. Por ejemplo, si al = 2 entonces f3 puede tener cualquier valor excepto 2. Por supuesto, si al = 2 Y f3 = 3, se vuelve al método del ejercicio 22.

5.6

Soluciones que involucran integrales no elementales Al resolver ecuaciones diferenciales, con frecuencia enfrentamos la necesidad de integrar una expresión que no es la diferencial de ninguna función elemental. I Por función elemental entendemos una función estudiada en los cursos de cálculo elemental. Por ejemplo, polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas son funciones elementales. Todas las funciones obtenidas a partir de ellas por medio de un número finito de aplicaciones de las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces y elevación a potencias son elementales. Por último, incluimos funciones como sen sen x, en las cuales el argumento en una función previamente clasificada como elemental es remplazado por una función elemental.

5.6 Soluciones que involucran integrales no elementales

95

A continuación damos una lista pequeña de integrales no elementales:

(C)

(D)

spráctimbargo, io22.El iguales.

x

f

f senx2 dx

fse:x

f cosx2 dx

f --dx cosx x

f

dx

f

Resuelva la ecuación: y'-2xy=1

= 0, y =

l. La ecuación es lineal en y, escribimos

=

dx

y al obtener el factor integrante exp( - x2)estamos listos para resolver la ecuación: exp( -x2)dy - 2xy exp( -x2)dx

= exp( -x2)dx.

(1)

Por supuesto, el miembro izquierdo es la diferencial de y exp( - x2). Pero el miembro derecho no es la diferencial de ninguna función elemental; esto es, f exp( - x2)dx no es una integral elemental. Como ayuda, utilizaremos las series de potencias. De la serie: 00

(_1)nx2n

n=O

n!

)=¿

exp(-x2

,

obtenida en cálculo, se deduce que: e integrar 2 f exp(-x )dx=c+ plo, polinonciones eleiones de las tencias son previamente

dx lnx

EJEMPLO 5.13

dy - 2xydx

acióna" xcepto2.

f xtanxdx

dx

dx ~ Las integrales que involucran la raíz cuadrada de un polinomio de grado mayor que dos, por lo general, son no elementales. Sólo en casos especiales pueden degenerar en integrales elementales. El ejemplo siguiente presenta dos maneras de tratar problemas en los que surgen integrales no elementales.

bajo la condición inicial de que cuando x

ualquier

e:

f exp(-x2)dx

00

~

(_ltx2n+l n!(2n+l)

Así la ecuación diferencial (1) tiene la solución general: 2

00

yexp(-x)=c+¿

(_1)n x2n+1 1(2

11=0

n.

n

+

1)'

96

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de O1den uno

Puesto que y = 1 cuando x = O, c puede determinarse de:

1=c

+ O.

Por lo tanto, la solución particular deseada es: yexp(-x

00

2 )

(_I)"x 2" + 1

= 1 + ~ n!(2n+ 1)'

(2)

Un procedimiento alterno es introducir una integral definida. En cálculo, la función de error definida por: erf

2 r x = .fii Jo

(3)

exp (_f3 2) df3

es estudiada ocasionalmente. Como de (3), d . 2 2 -erf x = exp (-x ), dx

.fii

podemos integrar la ecuación exacta (1) como sigue: y exp (_x2) =

i.fo erf x + c.

Ya que erf O = O, la condición de que y = 1 cuando x alternativa para la ecuación (2) obtenemos: yexp( - x 2 ) = 1 +

= O nos da c =

(4)

l . De aquí, como una

i.fo erf x.

(5)

exp (_f3 2) df3.

(6)

La ecuación (5) significa lo mismo que: y exp(-x 2 ) = 1 +

l

x

Escribir la solución en la forma de la ecuación (6) implica que la integral definida será evaluada mediante series de potencias, por integración aproximada tal como la regla de Simpson, cuadratura mecánica, o cualquier otro recurso matemático adecuado. Si, como en este caso, sucede que la integral definida es una función tabulada, esto es de gran utilidad pero no fundamental. Lo esencial es reducir la solución a una forma que se pueda calcular.

•

•

Ejercicios

En cada ejercicio exprese la solución con ayuda de series de potencias o integrales definidas. 1.

yl = y[ l - exp (_x2)].

2.

(xy - sen x) dx

+ x2 dy =

O.

5.6 SoLuciones que invoLucran integraLes no eLementaLes

3.

y' = 1-4x 3y.

4.

(y COS 2 X

5.

(1

6.

[xex p

7.

x(2y +x)dx - dy

•

-

X

senx) dx

+ xy) dx -

(~:) -

X

+ senx cosx dy =

dy

= O;

y]

dx +xdy

= O;

cuando X

=

= O;

cuando x

1, Y

O.

= O.

cuando x

= O,

y

=

=

1, Y

= 2.

1.

Ejercicios diversos

En cada ejercicio encuentre un conjunto de soluciones a menos que su enunciado estipule otra cosa.

+ (2y -

=

1.

(y2 - 3y - x) dx

2. 3.

(y3 + Y + 1) dx + x(x - 3i - 1) dy = O. (x + 3y - 5) dx - (x - y - 1) dy = O.

4.

(x 5

5. 6. 7.

(2x + y O. y3 sec2 x dx - (1 - 2y 2 tanx) dy = O. x3 y dx + (3x 4 - y3) dy = O.

8. 9.

(x - 4y + 7) dx + (x + 2y + 1) dy xydx + (y4 - 3x 2)dy = O.

-

3) dy

O.

+ 2xy dy = O. 4) dx + (x - 3y + 12) dy =

y2) dx

= O.

11. 12. 13. 14.

+ 2y - 1) dx - (2x + y - 5) dy = O. (5x + 3e Y ) dx + 2xe Y dy = O. (3x + y - 2) dx + (3x + y + 4) dy = O. (x - 3y + 4) dx + 2(x - y - 2) dy = O. (x - 2) dx +4(x + y -1) dy = O. 16. 2(x _. y) dx+(3x- y-l) dy

15.

ydx=x(1+xy4)dy=0.

ydx+x(x 2y - l )dy=0.

10.

(x

17.

18.

dyjdx = tanycotx - secycosx.

19. 20.

(4x + 3y - 7) dx + (4x + 3y + 1) dy = O. (x + 4y + 3) dx - (2x - y - 3) dy = O.

21.

(3x - 3y - 2) dx - (x - y

22. 23.

(x (x - y - 1) dx - 2(y - 2) dy = O.

24. 25. 26.

(x - 3y + 3) dx + (3x + y + 9) dy = O. (2x + 4y - 1) dx - (x + 2y - 3) dy = O. y(x -1)dx - (x 2 - 2x - 2y)dy = O.

27.

(6xy - 3y2

28.

4 dx

+ 1) dy = O. 6y + 2) dx + 2(x + 2y + 2) dy = O.

+ (x

+ 2y) dx + 2(x - y + 2)2 dy = O.

y) dy = O.

= O.

97

98

Capítulo 5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno

29.

Resuelva de dos maneras la ecuación y' = ax

+ by + e; con b '* O.

33.

+ ky + el) dx + (kx + b 2y + e2) dy = O. + v(2 + v 2x) dx = O; cuando x = 1, v = (2x - Sy + 12)dx + (7x -4y + IS)dy = O. [1 + (x + y) 2]dx + [1 +x(x + y)]dy = O.

34.

(x - 2y - l)dx - (x - 3)dy = O. Resuélvala por dos métodos.

30.

(alx

31.

2x dv

32.

+

l)dx - (3x

+ 2y -

!.

4)dy = O. Resuélvala por dos métodos.

35.

(2x - 3y

36.

Encuentre un cambio de variables que reduzca cualquier ecuación de la forma xy' = yf(xy)

a una ecuación en la que las variables sean separables. 38.

+ 4x 3 y dy = O; cuando x = 1, Y = 2. 4ydx + 3(2x -l)(dy + y 4 dx) = O; cuandox = 1, Y = 1.

39.

y' = x - y

40.

(x

37.

I 5.7 I

(x 4 - 4x2y2 - y4) dx

+y -

+ 2. Resuélvala por dos métodos.

2)dx - (x - 4y - 2)dy = O.

Suplemento para computadora Las técnicas desarrolladas en el presente capítulo para tratar casos especiales son innecesarias cuando se utiliza un Sistema de Álgebra Computacional (SAC). La mayoría de las ecuaciones vistas en el capítulo pueden ser resueltas de manera directa usando las técnicas elementales de la sección 2.7. Aún si las soluciones involucran "integrales no elementales", con frecuencia un SAC encontrará una solución. Por ejemplo, podemos resolver la ecuación: y'-2xy=1

dada en el ejemplo de la sección 5.6 por el comando sencillo Maple: >dso lve({diff(y( x) ,x)-2 *x*y=1,y(O)=1},y(x)); ex2 ,foerf(x)

y ( x) =

2

+e

x2

.

Es fácil advertir que esto es lo mismo que la ecuación (5) de la sección 5.6 . •

1.

Ejercicios

Resuelva una selección de ejercicios del capítulo usando un Sistema de Álgebra Computacional.

Ecuaciones diferenciales lineales

6

I 6. 1 I La ecuación lineal general La ecuación diferencial lineal general de orden n puede escribirse como dny bo(x)dxn

dn-1y

dy

+ b1(X)--l + ... + bn- 1(x)+ bn(x)y = dx ndx

R(x).

(1)

Si el valor de la función R(x) es cero para toda x, entonces la ecuación es llamada ecuación diferencial lineal homogénea. I Cuando las funciones coeficientes bo"" ,bn y la función R son continuas en el intervalo /, y bo(x) no se anula en /, se dice que la ecuación (1) es normaten/o Por ejemplo, dy (x - 1) dx

+y

= sen x

es una ecuación lineal de primer orden no homogénea y normal en cualquier intervalo que no contenga a x = 1. Por otra parte,

éy 3 dx2

+ xy =

°

es una ecuación lineal de segundo orden, homogénea y normal en cualquier intervalo. Ahora demostraremos que si YI y Y2 son soluciones de la ecuación homogénea: bo(x)y O.

102

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Ahora, por el teorema 6.2, podemos asegurar que la solución que hemos encontrado es la única válida para x > O.

•

•

Ejercicios

En los ejercicios 1 al4 determine todos los intervalos en los que la ecuación es normal.

1.

2.

(x - l)y" + xy' + y = senx. (x 2 - l)y" + 6y = eX.

3. 4.

+ eXy = lnx. (cotx)y'" + y = O.

x2y'"

En los ejercicios 5 al 8 determine la solución única para el problema de valor inicial, tomando como pauta los ejemplos de esta sección.

6.3

5.

y" - y = O, y(O) = 4, y' (O) ecuación diferencial.

= 2. Utilice el hecho de que é y e-X son soluciones de la

6.

y" + 4y = O, Y (O) = 2, y'(O) = 4. Utilice el hecho de que sen 2x y cos 2x son soluciones de la ecuación diferencial.

7.

y" - 2y' + y = O, y(O) = 7, y'(O) ciones de la ecuación diferencial.

8.

x2y" + xy' - 9y = O, y(l) = -1, y'(l) luciones de la ecuación diferencial.

9.

Establezca en lenguaje matemático el siguiente importante corolario del teorema 6.2: Si la ecuación diferencial es normal y homogénea en 1 y Yo = YI = ... = Yn-I = O, entonces y = Oes la única solución.

= 4. Utilice el hecho de que é y xé son solu= 15. Utilice el hecho de que.x3 y [ 3 son so-

Independencia lineal Dadas las funcionesfl'f2'" que:

.,J", si existen constantes cl' c 2 '·· "cn ' y no son todas cero, tales (1)

par.a toda x en algún intervalo a S; x S; b, entonces las funcionesfl,f2, . .. ,Jn son linealmente dependientes en ese intervalo. Si no existe tal relación, las funciones son linealmente independientes. Esto es, las funcionesfl,J2'" .,J" son linealmente independientes en un intervalo cuando la ecuación (1) implique la igualdad:

Debe comprenderse bien que si las funciones de un conjunto son linealmente dependientes, entonces al menos una de ellas es una combinación lineal de las otras; si son linealmente independientes, ninguna de ellas será una combinación lineal de las otras.

6.4 El Wronskiano

103

I 6.4 I El Wronskiano Con las definiciones de la sección 6.3 en mente, ahora obtendremos una condición idónea para que n funciones sean linealmente independientes en un intervalo a :s: x :s: b. Supongamos que cada una de las funcionesJl J 2 , . . • ,fn es diferenciable al menos (n - 1) veces en el intervalo a :s: x :s: b. Entonces, de la ecuación: (1)

c¡fl +c2h + ···+cnJn =0,

por diferenciación sucesiva se deduce que:

J{ + cd~ + ... + Cn J~ = O, ClJ;' + cd~' + ... + cnJ~' = O, Cl

CI

- I) + ... + c f,(n-I) 2 n n JI(n-I) + C2 /(n

-

-

O.

Para cualquier valor fijo de x en el intervalo a :s: x :s: b, la naturaleza de las soluciones de estas n ecuaciones lineales en Cl' c 2' . . . , c n estará dada por el valor del determinante: JI (x) J;(x)

h(x)

Jn(x)

J~(x)

J~(x)

(2)

W(x) =

En efecto, si W(x o) =f:: O para alguna X o en el intervalo a :s: x :s: b, se deduce que c I = c 2 = ... = cn = O, en consecuencia, las funciones JI J 2 , ••• ,fn son linealmente independientes en a :s: x :s: b. A la función W(x) definida por la ecuación (2) se le llama el wronskiano2 de las n funciones JI' J2,·· · ,fn' Hemos demostrado que si en un punto del intervalo el wronskiano es diferente de cero, las funciones en ese intervalo serán linealmente independientes. El recíproco de este enunciado no es verdadero, como se muestra en el ejercicio 10. Si las n funciones involucradas son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, la situación se simplifica, como lo establece el teorema 6.3. Una prueba de este teorema en el caso de n = 2 está sugerida en los ejercicios 11 a 14 al final de esta sección.

Teorema 6.3 Si en el intervalo a :s: x:S: b, bo(x) =f:: O, b o' b l , • • • , bn son continuas, y y!' Y2""'Y n son soluciones de la ecuación:

bo/

n

)

+ bl /

n

-

I

)

+ ... + bn - Iy' + bny =

O,

2 El determinante wronskiano es llamado así en honor del matemático polaco Hoené Wronski (1778- 1853).

(3)

104

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

entonces una condición necesaria y suficiente para que y!' Y2"'" Y" sean linealmente independientes es que el wronskiano de Y" Y2"'" Y" sea diferente de cero en al menos un punto del intervalo a :::;; x :::;; b.

EJEMPLO 6.3 Considere el conjunto de funciones cos ax, sen ax, sen(ax + b). Estas funciones son linealmente dependientes en cualquier intervalo ya que sen(ax + b) - cos b sen ax - sen b cos ax = O, para toda x. Si calculamos el wronskiano para este conjunto de funciones, encontraremos que W(x) = O para toda x. Esto no es suficiente para determinar la dependencia lineal de nuestro conjunto de funciones. Pero si nos percatamos de que cada una de estas funciones es solución de la ecuación diferencial: y '"

+ a 2 y'

= O,

entonces debemos aplicar el teorema 6.3, y el hecho de que W(x) = Opara toda x nos garantiza que las funciones son linealmente dependientes en cualquier intervalo.

•

EJEMPLO 6.4 Uno de los conjuntos mejor conocidos de funciones de x linealmente independientes es el conjunto 1, x, x 2 , •.• ,x"- I . La independencia lineal de las potencias de x se deduce en seguida del hecho de que si C I' c 2 , ... ,c no son todas cero, la ecuación: lI

c

l

+ c2x + ... + C" X,,-I = O

puede tener, cuando mucho, (n - 1) raíces distintas y, por lo tanto, el polinomio no puede anularse en ningún intervalo. Véase también el ejercicio uno que aparece a continuación .

• 1.

•

Ejercicios Obtenga el wronskiano de las funciones: 1, x, x2, .. . ,X" - l para n

>

l.

2.

Demuestre que las funciones eX, eh, e 3x son linealmente independientes.

3.

Demuestre que las funciones eX, cos x, sen x son linealmente independientes.

4.

Demuestre que las funciones son linealmente dependientes, determinando las constantes CI' c2, c 3' c4' no siendo todas cero cJ, + c2f2 + c 3f3 + c4f4 = O.

y tales que,

6.4 El Wronskiano ,

105

5.

Demuestre que las funciones cos( ro t - [3), cos ro t, sen oJt son linealmente dependientes de t.

6.

Demuestre que 1, sen x, cos x son linealmente independientes.

7.

Demuestre que 1, sen 2 x, cos 2 x son linealmente dependientes.

8.

Demuestre que sify l' son continuas en a :::; x:::; b Yf(x) no es cero para toda x en a:::; x:::; b, entoncesfy xfson linealmente independientes en a:::; x:::; b.

9.

Demuestre que sif, l' y 1" son continuas en a :::; x :::; by f(x) no es cero para toda x en entoncesf, xfy rfson linealmente independientes en a:::; x :::; b.

a:::; x:::; b,

10.

Seanf¡(x) = 1 +,i3 para x :::; O,f¡(x) = 1 para x 2: O; f 2(x) = 1 para x :::; O,fix) = 1 +,i3 para x 2: O; f 3 (x) = 3 + x3 para todax. Demuestre que (a) f,1',f" son continuas para toda x, para cada una de las funciones fl'f2,f3; (b) el wronskiano def¡,f2,f3 es cero para toda x; (c)f¡ ,f2,f3 son linealmente independientes en el intervalo -1 :::; x :::; 1. En la parte (e) debe demostrar que si cJ¡(x) + e2fix) + e3f/x) = O para todaxen -1 :::; x:::; 1, entonces e¡ = e2 = e 3 = O. Utilice x = - 1, O, 1 de manera sucesiva a fin de obtener tres ecuaciones con que resolver para el' e 2 y e3•

11.

Dado cualquier intervalo a :::; x :::; b donde X o es un número fijo de tal intervalo y suponiendo que y es una solución de la ecuación homogénea: y" + Py'

+ Qy = o.

(A)

Además, suponga que y(xo) = y'(xo) = O. Luego utilice el teorema de existencia y unicidad de la sección 6.2 para demostrar que y(x) = O para toda x en el intervalo a :::;x:::;b.

12.

Suponga que y¡ y Y2 son soluciones de la ecuación (A) en el ejercicio 11, Y que el wronskiano de y¡ y Y2 es cero en a :::; x:::; b. Demuestre que para X o en el intervalo a :::; x :::; b, deben existir constantes e¡ y e2 , no siendo ambas cero, tales que:

y

13.

Considere la función definida por: y(x) = c¡y¡ (x)

+ C2Y2(X),

donde e¡ y e2 son las constantes determinadas en el ejercicio 12, Demuestre que esta función es una solución de la ecuación (A) anterior y que de esto se concluye que y(x) == O en a :::; x :::; b. (Utilice los resultados del ejercicio 11.)

106

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

14.

6.5

Combine los resultados de los ejercicios 11, 12 Y 13 para obtener una demostración de la condición de necesidad planteada en el teorema 6.3 cuando n = 2. También observe que la condición de suficiencia fue comprobada en el texto de esta sección.

Solución general de una ecuación homogénea Uno de los resultados fundamentales del estudio de ecuaciones diferenciales lineales está contenido en el teorema 6.4.

Teorema 6.4 Sea {yl' Y2' ... , yJ un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación lineal homogénea:

para x en el intervalo a ::; x ::; b. Además suponga que la ecuación es normal en a ::; x ::; b. Si 4> es cualquier solución de la ecuación (1), válida en a ::; x ::; b, entonces existen constantes el' e2 ,· • •en tales que: (2)

Gracias a este teorema podemos definir la solución general de la ecuación como: (3)

donde cl' c 2 ' ••. ,cn son constantes elegidas arbitrariamente. En cierto sentido cada solución particular de la ecuación lineal (1) es un caso especial (para alguna selección de las constantes) de la solución general (3). Las ideas básicas necesarias en la demostración de este importante teorema se presentan aquí para una ecuación de orden dos. Para ecuaciones de orden superior no hay complicaciones adicionales.

Demostración.

Considere la ecuación: bO(X)Y"

+ b¡ (X)y' + b 2(x)y

=

o.

(4)

Suponga que YI y Y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación (4) en el intervalo a ::; x ::; b. Por el teorema 6.3, existe un número X o en el intervalo tal que:

W _!y¡(XO) (xo)

- y;

y;(XO)!

Y2 (xo)

# o.

Se deduce que el sistema de ecuaciones:

+ C2Y2 (xo) C¡ y; (xo) + C2Y~ (xo) C¡

y¡ (xo)

= =

ep (xo) , ep' (xo),

(5)

6.6 Solución general de una ecuación no homogénea

tiene una solución única C l =

107

cI ' c2 = c2• Esto es,

+ C2Y2(XO) = c¡Y; (xo) + C2Y~(XO) =

CIY¡ (xo)

cf>(xo), cf>'(xo).

Ahora considere la función:

(6) Ya quefes una combinación lineal de dos soluciones de la ecuación (4) en el intervalo a ~ x ~ b, también es una solución en ese intervalo. Además,

f(xo) = CIY¡ (xo) f'(xo) = c¡Y; (xo)

+ C2Y2(XO) , + C2Y~(XO),

de modo que f(x o) = c/J(xo) y f'(x o) = c/J '(xo). Se concluye del teorema de unicidad de la sección 13.2 quef y c/J son la misma solución. Esto es, cf>

= c¡Y¡ + C2Y2,

con lo que se completa la demostración del teorema.

Es necesario tener presente que en el estudio anterior se aprovechó que bo(x) intervalo a ~ x ~ b. Es fácil advertir que la ecuación lineal:

•

* °en el

xy' - 2y = 0 tiene la solución general y = cx2 , y también soluciones particulares como:

°:s

x, x < O.

La solución y l no es un caso especial de la solución general. Pero en cualquier intervalo en el que bo(x) = x 0, esta solución particular sí es un caso especial de la solución general. Por supuesto, fue construida uniendo dos partes en x = 0, sacada cada una de la solución general.

*

6.6

Solución general de una ecuación no homogénea Sea yp cualquier solución particular (no necesariamente con constantes elegidas arbitrariamente) de la ecuación: bo/n)

+ bly(n-I) + ... + bn_¡y' + bny =

R(x)

(1)

y seayc una solución de la ecuación homogénea correspondiente: boy(n)

+ b¡y(n- ¡) + ... + bn_ ¡y' + bny =

O.

(2)

108

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Entonces, y = Yc

+ Yp

(3)

es una solución de la ecuación (1). Usando la y de la ecuación (3), vemos que: bo/ n) +

Si Y I , Y2"'"

Y II

. .. + bny

= (boy~n)

+ ... + bllyc) + (boy~n) + ... + bnyp)

=

0+ R(x)

= R(x).

son soluciones linealmente independientes de la ecuación (2), tenemos que: Yc

=

CIYI

+ C2Y2 + ... + CnYn,

(4)

es la solución general de la ecuación (2), en la que las C son constantes seleccionadas arbitrariamente. El miembro derecho de la ecuación (4) se llama función complementaria para la ecuación (1). La solución general para la ecuación no homogénea (1) resulta de sumar la función complementaria con cualquier solución particular. Para justificar el uso del término solución general, es necesario demostrar que si f es cualquier solución de la ecuación (1) , entoncesf='=' Yc + Yp para alguna selección particular de las constantes c I , . .. , cn ' Observemos que comofy Yp son soluciones de la ecuación no homogénea (1),f - Yp es una solución de la ecuación homogénea (2). En consecuencia, por el teorema 6.4 de la sección 6.5,

f -

Yp

== C I Y I + C2Y2 + ... + CnYn

para alguna selección particular de las constantes cl" .. , cn' Esto comprueba lo que deseábamos demostrar.

EJEMPLO 6.5 Encuentre la solución general de: y"=4.

(5)

En primer lugar, observamos que las funciones 1 y x son linealmente independientes en cualquier intervalo y son soluciones de la ecuación homogénea y' , = O. Por lo tanto, la función complementaria para la ecuación (5) es: Yc

=

CI

+ C2 X .

Por otra parte, la función 2X2 es una solución particular de la ecuación (5). Así que la solución general de la ecuación (5) es:

y=

CI

+ C2X + 2x 2.

•

EJEMPLO 6.6 Encuentre la solución general de la ecuación: Y"- y

=4

(6)

6.7 Operadores diferenciales

109

Se ve fácilmente que y = -4 es una solución de la ecuación (6). Por lo tanto, la yp en la ecuación (3) puede tomar el valor de ( -4). Como veremos posteriormente, la ecuación homogénea: y" - y = O

tiene como solución general:

Así que la función complementaria para la ecuación (6) es Cle< + c2e- x , y una solución particular de (6) es yp = -4. En consecuencia, la solución general de la ecuación (6) es:

y =

cle

x

+ C2e - x

-

4,

en la que c l y c 2 son constantes elegidas arbitrariamente.

•

I 6.7 I Operadores diferenciales Suponga que D denota la derivación con respecto de x, D 2 1a deri vación doble con respecto de x, y así sucesivamente; esto es, para cualquier entero positivo k,

La expresión: (1)

se llama operador diferencial de orden n. Puede definirse como el operador tal que, cuando se aplica a cualquier función 3 y, produce:

dny dn - 1y dy Ay = ao- + a1-d 1 + ... +an-1-d +any. n dxn

x

-

x

(2)

Los coeficientes a o' al" .. , a n en el operador A pueden ser funciones de x, pero en este libro la mayor parte de los operadores utilizados tendrá coeficientes constantes. Dos operadores A y B son iguales si, y sólo si, se obtiene el mismo resultado cuando se aplica cada operador a la función y. Esto es, A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las funcionesy que tengan las derivadas necesarias para las operaciones implicadas. El producto AB de dos operadores A y B se define como el operador que produce el mismo resultado obtenido al usar el operador B seguido por el operador A. Así ABy = A(By). El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador di fe-

3 Se supone que la función y tiene tantas derivadas como se requiera en cualquiera de las operaciones que se realicen.

110

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

rencial. Para operadores con coeficientes constantes, pero por lo regular no para aquellos con coeficientes variables, se cumple queAB = BA.

EJEMPLO 6.7 Sean A = D + 2 Y B = 3D - l. Entonces, By

= (3D -

l)y

dy

= 3 dx

- Y

y A(By) = (D+2)

d 2y dy = 3 dx2 - dx d 2y = 3 dx2 =

-

(3~~

y)

dy

+ 6 dx

- 2y

dy

+ 5 dx - 2y (3D 2 + 5D - 2)y.

De aquí que AB = (D + 2)(3D - 1) = 3D2 + 5D - 2. Ahora considere el operador BA. Al actuar este operador sobre y se obtiene, B(Ay) = (3D - 1)

d 2y = 3 dx2

dy

+ 6 dx

d 2y = 3 dx2 =

(~~ + 2Y ) dy - dx - 2y

dy

+ 5 dx - 2y 2 (3D + 5D - 2)y.

En consecuencia, BA = 3D2

+ 5D -

2 = AB.

EJEMPLO 6.8 Sean G = xD + 2 Y H = D - l. Entonces, G(Hy) = (xD

=

X

+ 2) (~~

d 2y dy dx2 - x dx

- y)

dy

+ 2 dx

- 2y

. d 2y dy =x +(2-x)dx -2y , dx2

•

6.8 Leyesfundamentales de operación

111

así, GH = XD2

+ (2 -

x)D - 2.

Por otra parte, H(Gy) = (D-l)

=

(x~~ + 2Y)

~ (x dy + 2Y ) dx

_ (x dy dx

dx

+ 2Y )

d 2y dy dy dy = x+ - +2- -x - - 2y dx2 dx dx dx 2 d y dy = x+(3 - x) - - 2y; dx2 dx esto es, HG = XD2

+ (3 - x)D - 2.

Es importante hacer notar que aquí tenemos dos operadores G y H (uno de ellos con coeficientes variables) cuyo producto depende del orden de los factores. Véanse los ejercicios 17 a 22 en la sección siguiente.

•

La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno en la forma: aoDn + a¡D n-¡ + ... + an_¡D + a n y sumando los coeficientes correspondientes. Por ejemplo, si:

A = 3D2 - D

+x -

2

y B

entonces,

A

= rD2 + 4D + 7,

+B =

(3

+ x2)D2 + 3D + x + 5.

Los operadores diferenciales son operadores lineales; esto es, si A es cualquier operador diferencial, c¡ y c 2 son constantes, y JI y J2 son cualesquiera dos funciones de x con el número requerido de derivadas cada una, entonces:

6.8

Leyes fundamentales de operación Sean A, B Y e operadores diferenciales cualesquiera como se definió en la sección 6.7. A partir de las definiciones anteriores de suma y multiplicación, se deduce que los operadores diferenciales satisfacen lo siguiente:

112

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

(a)

Ley conmutativa de la suma:

A+B=B+A. (b)

Ley asociativa de la suma: (A

(c)

+ B) + C = A + (B + C).

Ley asociativa de la multiplicación:

(AB)C = A(BC). (d)

Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

A(B (e)

+ C) =

AB

+ AC.

Si A YB son operadores con coeficientes constantes, entonces también satisfacen la ley conmutativa de la multiplicación:

AB=BA Por lo tanto, podemos afirmar que los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes del álgebra de polinomios con respecto de las operaciones de suma y multiplicación. Si m y n son enteros positivos cualesquiera, tenemos que:

un resultado muy útil que surge de inmediato de las definiciones anteriores. Ya que para propósitos de suma y multiplicación, los operadores con coeficientes constantes se comportan igual que los polinomios algebraicos, es válido utilizar en esos casos las herramientas del álgebra elemental. En particular, se puede emplear la división sintética para factorizar operadores con coeficientes constantes .

•

Ejercicios

Efectúe las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 1 a14.

+ l)(D -

1.

(4D

2.

(2D - 3)(2D

2).

+ 3).

3. 4.

(D + 2)(D 2 - 2D + 5) . (D - 2)(D + 1f.

En los ejercicios 5 al 16 factorice cada uno de los operadores.

6.

2D 2 2D 2

7.

D3

-

4D

3

5.

8.

+ 3D -

5D - 12.

2D -

2.

2

4D

+ 6. 11 D + 6.

5D

2

-

9.

D4

-

4D 2 .

10.

D3

-

3D 2 +4.

11.

3

12.

D -21D+20. 2D 3 - D 2 - 13D - 6.

6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales

13 . 2D 4 +11D 3 +18D 2 +4D-8 . 14. 8D 4 + 36D 3 - 66D 2 + 35D - 6.

15.

D 4 +D 3 -2D 2 +4D-24.

16.

D3

113

lID - 20.

-

Realice las multiplicaciones indicadas en los ejercicios 17 al 22.

6.9

+ x) .

17.

(D - x)(D

18 .

(D

19.

D(x D - 1).

+ x)(D -

20.

x).

(xD - 1)D .

+ 2)(xD - 1) . + 2).

21.

(xD

22.

(xD - 1)(xD

Algunas propiedades de los operadores diferenciales Ya que para la constante m y el entero positivo k se tiene que, (1)

es fácil encontrar entonces el efecto que tiene un operador sobre e nlX • Seaf(D) un polinomio enD, (2)

Entonces,

así, f(D)e mx = e mx f(m).

(3)

Cuando m es una raíz de la ecuaciónf(m) = OYconsiderando la ecuación (3), tenemos que f(D) e nu

= O.

Ahora considere el efecto del operador D -a sobre el producto de ea:< y una función y . Tenemos, (D - a)(eax y)

= D(eaxy) _

aeax y

= e ax Dy

y (D - a)2(e ax y) = (D - a)(e ax Dy) = eax D 2 y.

Al repetir la operación, llegamos a:

(4)

114

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

Con base en la linealidad de los operadores diferenciales, concluimos que cuandof(D) es un polinomio en D con coeficientes constantes, entonces: e ax f(D) y

=

f(D - a)[e ax y] .

(5)

La relación (5) nos muestra cómo trasladar un factor exponencial que se encuentra a la izquierda de un operador diferencial, hacia la derecha de éste. Esta relación tiene muchas aplicaciones, algunas de las cuales examinaremos en el capítulo 7.

EJEMPLO 6.9 Seaf(D) = 2D2

+ 5D -

12. Entonces la ecuaciónf(m) = Oes: 2m 2 + 5m - 12

= O,

o (m

+ 4)(2m -

3) = O,

, son mI = - 4 y m = "2'3 cuyas ralces 2 Con ayuda de la ecuación (3) puede verse que: (2D 2 + 5D - 12)e- 4X = O

y que: (2D 2

En otras palabras, YI = e-

4x

+ 5D -

12) exp (~x) = O.

y Y2 = exp( %x) son soluciones de: (2D 2 + 5D - 12)y = O.

• EJEMPLO 6.10 Demuestre que: (D - mt(ike mx )

=O

En la ecuación (5) hacemosf(D) = Dn y y = nencial obtenemos,

para k Xk.

= 0,1 , ... , (n

- 1).

(6)

Entonces, usando la traslación expo-

Pero Dnxk = Opara k = O, 1, 2, ... ,n - 1, que de manera directa nos da la ecuación (6). Los resultados obtenidos en la ecuaciones (3), (5) y (6) son de importancia fundamental en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, las que. consideraremos en el capítulo 7.

•

6.10 Suplemento para computadora

115

EJEMPLO 6.11 Como un ejemplo del uso de la traslación exponencial, resolveremos la ecuación diferencial: (D

+ 3)4y =

Primero multiplicamos la ecuación (7) por

e 3x (D

(7)

O.

e3x para

obtener:

+ 3)4y =

O.

Al aplicar la traslación exponencial igual que en la ecuación (5):

D 4 (e 3x y) Luego de integrar cuatro veces obtenemos:

e 3x y =

CI

= o.

+ C2X + C3X 2 + C4X 3 ,

y, finalmente, (8)

Observe que cada una de las cuatro funciones e- 3x , xe- 3X, x 2e- 3x y ~e-3x es una solución de la ecuación (7). Por supuesto, estamos en posición de asegurar lo anterior dado el teorema de la ecuación (6) en el ejemplo 6.10. Si ahora demostramos que esas cuatro funciones son linealmente independientes, entonces la ecuación (8) nos dará la solución general para la ecuación (7). Véase el ejercicio (5) .

•

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 4, utilice la traslación exponencial como en el ejemplo 6.11 para encontrar la solución general.

1.

(D - 2)3 y = O.

3.

(2D - 1)2y = O.

2.

(D

+ 1)2y = O.

4.

(D

5.

6.

+ 7)6 y =

O.

Para demostrar que las cuatro funciones del ejemplo 6.11 son linealmente independientes en cualquier intervalo, suponga que son linealmente dependientes y compruebe que esto conduce a una contradicción con los resultados obtenidos en el ejercicio 1 de la sección 6.4. Demuestre que el conjunto de funciones:

es linealmente independiente en cualquier intervalo. Véase el ejercicio 5.

16.101 Suplemento para computadora Aunque la mayor parte del material estudiado en este capítulo es bastante teórico y, por lo tanto, no adecuado para su implementación en una computadora, hay dos áreas en las que un Sistema de Álgebra Computacional puede ayudar. La primera es en la factorización de los operadores diferenciales. Por ejemplo, el operador D 3 - 3D2 + 4 puede ser factorizado con el comando de Maple:

116

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales

(D

+ 1) (D -

2)2

La segunda aplicación computacional muestra que las cuatro funciones exp( - 3x), x exp( - 3x), x2exp( - 3x) y ilexp( - 3x) del ejemplo 6.11 en la sección 6.9, son linealmente independientes. >y: =vector{ [exp{-3 *x) ,x*exp{-3*x), (x"2) *exp (-3 *x) , (x"3) *exp (-3 *x) 1 ) ;

>Ans:=det{Wronskian{y,x)) ;

Podemos advertir fácilmente que el wronskiano nunca es cero, de aquí que las funciones sean linealmente independientes .

• 1. 2.

Ejercicios Seleccione algunos ejercicios de factorización de la sección 6.8 y resuélvalos por medio de una computadora. Resuelva los ejercicios 2, 3, 6 Y7 de la sección 6.4.

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 7.1

Introducción En este libro se presentan varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales que tienen coeficientes constantes. Una técnica clásica es tratada en este y en el siguiente capítulo. Los capítulos 14 y 15 contienen un análisis de la transformada de Laplace y su uso en la solución de ecuaciones diferenciales lineales. En el capítulo 12 estudiamos las técnicas matriciales para resolver ecuaciones lineales que contienen coeficientes constantes. Cada método tiene ventajas y desventajas. En teoría cada uno es suficiente: pero todos son necesarios para lograr una eficiencia máxima.

7.2

La ecuación auxiliar: raíces distintas Cualquier ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, dny dn - 1y dy ao- + a ¡ - - + ... + an-l- + any = O, dxn dxn-l dx

(1)

puede escribirse en la forma: f(D)y = O,

(2)

dondef(D) es un operador diferencial lineal. Como vimos en el capítulo anterior, si m es cualquier raíz de la ecuación algebraicaf(m) = O, entonces: f(D)en/x

= O,

lo cual significa simplemente que y =en/X es una solución de la ecuación (2). La ecuación: f(m) = O

(3)

es llamada ecuación auxiliar asociada con (1) o (2). La ecuación auxiliar para (1) es de grado n. Sean sus raíces m¡ ,... , m n . Si estas raíces son todas reales y distintas, entonces las n soluciones: Yl = exp (mlx),

Y2 = exp (m2x) ,

Yn = exp (mnx)

117

118

Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

son linealmente independientes y la solución general de (1) puede escribirse de inmediato. Esto es: y =

CI

exp (ml x )

+ C2 exp (m2x) + . .. + Cn exp (mnx) ,

en la que C l' c2 ' · ·· ' cn son constantes cualesquiera. Las raíces repetidas de la ecuación auxiliar serán tratadas en la sección siguiente. Las raíces complejas se estudian hasta la sección 7.5, donde las soluciones correspondientes se expondrán en una forma adecuada.

EJEMPLO 7.1 Resuelva la ecuación :

Primero se escribe la ecuación auxiliar: m 3 - 4m2 + m

+ 6 = O,

cuyas raíces m = -1,2,3 pueden obtenerse por medio de división sintética. Entonces la solución general es:

•

EJEMPLO 7.2 Resuelva la ecuación: (3D3

+ 5D2 -

2D)y =

O.

La ecuación auxiliar es: 3m 3 + 5m 2 - 2m =

y sus raíces son m = 0, - 2, escribirse como:

0,

t .Usando el hecho de que e

y = CI+ C2 e - 2x

Ox

= 1, la. solución deseada puede

+ c3 exP ( 3x 1 ). .

•

EJEMPLO 7.3 Resuelva la ecuación: d 2x

-

dt 2

con las condiciones de que cuando t

- 4x =0

= 0, x =

°

y dx / dt

= 3.

7.2 La ecuación auxiliar: raíces distintas

119

La ecuación auxiliar es:

m2

~

4 = O,

con raíces m = 2, - 2. De aquí que la solución general de la ecuación diferencial sea:

Faltahacer que se cumplan las condiciones en t = O. Ahora: dx dt = 2c Je21-2c2e - 21.

Así que la condición x = O cuando t = O requiere que:

0= c I

+ c2 '

y la condición dx / dt = 3 cuando t = O requiere que:

3 = 2c I

-

2c 2 .

De las ecuaciones simultáneas para c l y c2 concluimos que c l x - l(e 21 _ e- 21 ) -

4

=~ y

c2 =

- ~ . Por lo tanto,

'

que también puede ponerse en la forma: x = ~ senh(2t ).

•

• Ejercicios

En los ejercicios 1 al 22 encuentre la solución general. Cuando se utilice el operador D, deberá sobreentenderse que la variable independiente es x.

l.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 17. 18. 19.

(D 2 + 2D - 3) y = O. (D 2 + 2D) y = O. (D 2 + D - 6 )y = O.

10. ' I 1.

(D 2 -SD+6) y =0. (D 3 + 3D 2 - 4D) y = O. (D 3 - 3D 2 - 10D) y = O.

+ 6D 2 + lID + 6)y = (D 3 + 3D 2 - 4D - 12)y = (D 3

O. O.

(4D J - l3D - 6) y = O. d Jx d 2x dx - J + -2-=0. dt dt 2 dt d Jx

dx

+ 30x

12.

- J - 19dt dt

13. 14. 15.

(9D 3 - 7 D + 2 )y = O. (4D J - 21D - lO)y = O. (D J - 14 D + 8)y = O.

= O.

16. (D J - D 2 - 4D - 2) y = O. + 6) y = O. 4 3 2 (4D - 16D + 7D + 4D - 2) y = O. (4D 4 + 4D J - 13D 2 -7D + 6) y = O.

(4D 3 - 7D+3) y =0. (4D 4 - 8D 3 -7D 2 + 1 ID

120

Capítulo 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

21 .

(4D5 - 8D4 - 17D3 + 12D2 + 9D)y = O. (D 2 - 4aD + 3a 2)y = O; a real =/= O.

22.

[D2 - (a

20.

+ b)D + ab]y =

O; a y b son reales y diferentes.

En los ejercicios 23 al 24 encuentre la solución particular indicada.

23. (D 2 24. (D

2

-

2D - 3)y = O; cuando x = O, Y = O, y' = -4.

-

D - 6)y = O; cuando x = O, y = O, Y cuando x = 1, Y = e 3 .

En los ejercicios 25 al 29 encuentre el valor de y para la solución particular pedida en x = 1.

25. (D 2

-

2D - 3)y = O; cuando x = O, Y = 4, y' = O.

26. (0"3 - 4D)y = O; cuando x = O, Y = O, y' = O, yl! = 2.

27. (D 2 -D-6)y=0; cuandox=0, y = 3,y' = -1. 28. (D 2 + 3D - lO)y = O; cuando x = O, y = O, Y cuando x = 2, Y = 1. 29. (D 3 - 2D 2 - 5D +6)y = O; cuando x = O, y = 1, y' = -7, yl! =-1.

7.3

La ecuación auxiliar: raíces repetidas Suponga que en la ecuación: f(D)y = O

(1 )

el operadorf(D) tiene factores repetidos; esto es, la ecuación auxiliarf(m) = O tiene raíces repetidas. En este caso el método de la sección anterior no nos dsolve({ - 2*B -2=O,-6 *C+2*F+40 =O,-6*F-2 *C=O ,B-2 *A=O}, {A,B,C,F}) ; {e

= 6, A = -1/2, B = -1, F = -2}

Sólo hemos sustituido los coeficientes resultantes en la solución original para obtener la respuesta correcta . •

1.

Ejercicios

Utilice una computadora para resolver una selección de ejercicios del presente capítulo.

)

Variación de " parametros

9. 1

9

Introducción En el capítulo 8 resolvimos la ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes: (1)

por medio del método de coeficientes indeterminados. Vimos que este método es aplicable sólo en cierta clase de ecuaciones diferenciales: aquellas para las que R(x) es una solución de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes. En este capítulo estudiaremos dos métodos que no tienen tal restricción. En realidad, mucho de lo que haremos será aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes variables. Empecemos con un procedimiento de D' Alembert que a menudo se identifica como el método de reducción de orden.

9.2

Reducción de orden Considere la ecuación lineal general de segundo orden:

y"

+ py' + qy =

R.

(1)

Suponga que conocemos una solución y = YI de la correspondiente ecuación homogénea:

y"

+foy' + qy =

O.

(2)

Entonces la introducción de una nueva variable dependiente v mediante la sustitución:

y = YIV nos conducirá a una solución de la ecuación (1) de la siguiente manera. De la ecuación (3) se deduce que:

y' = YIV' + Y;v , y" = YIV" + 2y;v'

152

+ y~v,

(3)

9.2 Reducción de orden

153

así, la sustitución de (3) en (1) tiene como resultado:

o YI v"

Pero y

+ (2y; + PYI)V' + (y;' + PY; + qYI)v =

R.

(4)

= Y1 es una solución de (2). Esto es, Y;'+PY; +qYI =0

y la ecuación (4) se reduce a: YI v"

+ (2y; + PYI)V'

= R.

(5)

Ahora hagamos v' = w, así la ecuación (5) se transforma en: YIW'

+ (2y; + PYI)W

= R,

(6)

una ecuación lineal de primer orden en w. A partir de la ecuación (6) podemos encontrar w mediante el método usual (factor integrante). Luego podemos obtener v de v' = w por medio de una integración. Finalmente, y = Y1v. Observe que el método no está restringido a ecuaciones con coeficientes constantes. Sólo depende de nuestro conocimiento de una solución distinta de cero en la ecuación (2). En la práctica. el método también depende de nuestra habilidad para efectuar integraciones. ,

EJEMPLO 9.1 Resuelva la ecuación: y" - y = e".

La función complementaria de (7) es: x Y c = cle

(7)

+ C2 e- x .

Tomemos la solución particular e" y por el método de reducción de orden hagamos: y= ve"

Entonces, y' = ve"

+ v 'e"

y y"= ve"

+ 2v'e" + v "e".

Al sustituir en la ecuación (7) obtenemos: v" + 2v' = 1.

(8)

154

Capítulo 9 Variación de parámetros

La ecuación (8) es una ecuación liqeal de primer orden en la variable v'. Aplicando el factor integrante e2.x se obtiene:

Así,

(9) donde c es una constante cualquiera. La ecuación (9) fácilmente da:

4+ ce- 2x ,

v' =

y, por lo tanto, ¡ v = c¡e -2x + c2 + 2x,

donde c¡ y c 2 son constantes elegidas arbitrariamente. Tengamos presente que y = v¿, en consecuencia: y = c¡e- x + C2ex + 4xex .

•

Por supuesto, la solución de la ecuación (7) pudo haberse obtenido por el método de coeficientes indeterminados. Ahora resolveremos un problema que no se puede abordar por ese método.

EJEMPLO 9.2 Resuelva la ecuación:

(D 2

+ 1)y =

cscx.

(10)

+ c2senx.

(11)

La función complementaria es: -----------

Yc =

C¡

cosx

Podemos usar cualquier caso especial de (11) como la y¡ en la teoría que se expuso anteriormente. Entonces escribimos: y = v senx.

Encontramos que: y' = v' sen x

+ v cos x

y y"= v"senx

+ 2v'cosx -

vsenx.

La ecuación para ves: v" senx + 2v ' cosx = cscx,

o v" + 2v' cotx = csc 2 X.

(12)

9.2 Reducción de orden

155

Al hacer v' = w, la ecuación (12) se transforma en:

w' + 2w cotx = csc 2 X, para la que un factor integrante es sen 2 x. Así, sen 2 x dw + 2w sen x cos x dx

= dx

(13)

es exacta. De la ecuación (13) obtenemos: w sen 2 x

= x,

y si sólo buscamos una solución particular, w = xcsc2 x,

o v' = xcsc 2 x. Por lo tanto,

v=

f

X

csc 2 X dx,

o v = - x cotx + In Isenxl, un resultado obtenido al usar la integración por partes. Ahora, y = v sen x, de modo que la solución particular que buscábamos es: ~

Yp = - x cosx +senx In Isenxl.

Por último, la solución completa de (10) es:

y=

•

Cl COS X

+

C2

senx - x cos x + senx In Isenx l.

Ejercicios

Utilice el método de reducción de orden para resolver las ecuaciones en los ejercicios l al 8.

1.

(D 2

2. (D 2 5. 6. 7. 8.

-

l)y = x - 1.

-

5D + 6)y = 2e

x

.

3.

(D 2

4.

2

-

4D

(D + 4)y = senx.

(D 2 + l)y = secx . (D 2 + l)y = sec 3 x.

(D 2

+ 2D + 1)y = 3D + 2)y =

(D 2 -

Utilice y (eX - 1)-2.

(1

+ e 2x )-1/2.

+ 4)y =

= vsenx.

eX.

•

156

Capítulo 9 Variación de parámetros

9. 10.

Utilice la sustitución y = v cos x para resolver la ecuación del ejemplo 9.2. Utilice y 2

= ve - x para resolver la ecuación del ejemplo 9.1. = csc 3 x. Sugerencia: véase el ejercicio 6.

11.

(D + l)y

12.

Verifique si y = ¿ es una solución de la ecuación: (x -

l )y" - xy'

+y

= O.

Utilice este hecho para encontrar la solución general de: (x - 1) y" - x y'

13.

+y =

1.

Observe que y = x es una solución particular de la ecuación: 2x 2 y " +xy , - y = O

y encuentre la solución general. ¿Para qué valores de x es válida esta solución? 14.

En el capítulo 19 estudiaremos la ecuación diferencial de Bessel de índice orden cero: xy"

+ y' + xy

= O.

Suponga que a una solución de esta ecuación se le identifica como Jo(x). Demuestre que una segunda solución tom a la forma: Jo(x)

15 .

f

dx ?

x [Jo(x) ]-

Una solución de la ecuacióri diferencial de Legendre: (l-x 2 )y" - 2xy' +2y = O

es y

9 .3

= x. Encuentre un a segunda solución.

Variación de parámetros En la sección 9.2 vimos que si YI es una so lución de la ecuación homogénea: y"

+ p(x) y' + q(x) y

=

O,

(1)

podemo s usar ésta para determinar la solución general de la ecuaci ón no homogénea: y"

+ p(x)y' + q(x)y =

R (x).

(2)

Al usar el método de reducción de orden procedimos como sigue: ya que YI es una solución de (1) , la función elYI también es un a solución para una constante cualqui era e l' Así, remplazamos la constante el por una función v(x) y consideramos la posibi lidad de la existencia de un a so lución de la forma v . YI para la ecuación (2). Esto nos llevó a una ecuación lineal de primer orden en la variable v' que fuimos capaces de resolver.

9.3 Variación de parámetros

157

Ahora suponga que conocemos la solución general de la ecuación homogénea (1). Esto es, suponga que: Yc

= C1Y 1 + C2Y2

(3)

es una solución de (1), donde y l YY2 son linealmente independientes en un intervalo a < x < b. Veamos qué sucede si remplazamos ambas constantes en (3) con funciones de x. Esto es, consideramos:

(4) y tratamos de determinar A(x) y B(x) de modo que AY 1 + BY 2 sea una solución de la ecuación (2). Observe que estamos introduciendo dos funciones desconocidas, A (x) y B(x), y que sólo insistimos en que éstas satisfagan una condición: que la función (4) sea una solución de la ecuación (2). Por lo tanto, podemos esperar imponer una segunda condición sobre A(x) y B(x) de alguna manera que nos beneficie. En efecto, si imponemos simplemente la condición B(x) == 0, estaremos tratando con el método de reducción de orden. Realmente, impondremos una condición un poco diferente sobre A y B. De la ecuación (4) se deduce que: (5)

En lugar de implicar derivadas de A y B de orden superior al primero, escogemos alguna función particular para la expresión: A 'Y 1 + B'Y2'

Desde el punto de vista técnico, podríamos hacer que esta función sea sen x , eX, o cualquier otra función adecuada. Por sencillez elegimos: A 'Y 1 + B'Y2 = O.

(6)

Entonces, a partir de (5) concluimos que: y " = Ay;'

+ By~ + A'y; + B ' y~.

(7)

~ Ya que y tiene que ser una solución de (2), sustituimos (4), (5) Y (7) en la ecuación (2) para obtener: A(y;'

+ PY; + qYI) + B(y~ + Py~ + qY2) + A ' y; + B ' y~

= R(x) .

Pero y l Y Y2 son soluciones de la ecuación homogénea (l), así que finalmente, A'y;

+ B'y; =

R(x).

(8)

Ahora las ecuaciones (6) y (8) nos dan dos ecuaciones que deseamos resolver para A' Y B '. Tal solución puede existir siempre y cuando el determinante:

I~; ~~I

158

Capítulo 9 Variación de parámetros

no se anule. Este determinante es precisamente el wronskiano de las funciones y¡ y Y2' Y supusimos que estas dos funciones eran linealmente independientes en el intervalo a < x < b. Por lo tanto, el wronskiano no se anula en ese intervalo y podemos encontrar A' YB '. Ahora determinamos A y B por integración. Una vez que A y B son conocidas la ecuación (4) . nos da la y buscada. Este argumento se puede extender confacilidad, sin que ello implique modificaciones esenciales, para aplicarlo en ecuaciones de orden superior a dos. Además, en el niétodo no hay nada que prohiba que la ecuación diferencial implicada tenga coeficientes variables.

EJEMPLO 9.3 Resuelva la ecuación: (D 2

+ l)y =

secx tanx.

(9)

Por supuesto, Yc = c¡ cosx

+ c2 senx.

Buscamos una solución particular por medio de variación de parámetros. Escribimos: y

= A cos x + B sen x,

(10)

de laque: yl = - Asenx

+ B cosx + A' cosx + B ' senx.

Ahora hacemos:

A ' cos x

+ B' sen x =

0,

(11)

de modo que: y' = - Asen x

+ B cos x .

Entonces, yl! = - A cosx - B senx - A' senx

+ B' cosx.

(12)

En seguida eliminamos a y combinando las ecuacio~ 1O) Y(12) con la ecuación original (9). Así obtenemos la relación: -A' senx

+ B' cosx

= secx tanx.

(13)

A' puede eliminarse fáci lmente de (13) y (11). El resultado es: B' = tan x, de modo que: B = In I sec xl,

(14)

9.3 Variación de parámetros

159

donde la constante elegida arbitrariamente no ha sido incluida porque estamos buscando sólo una solución particular para agregar a nuestra función complementaria Yc previamente determinada. De las ecuaciones (13) y (11) también se deduce que: A I = - sen x sec x tan x,

o Al =

Entonces, A

=-

f

- tan 2 x.

tan2 x dx

=

f

2

(1 - sec x) dx,

de manera que: (15)

A = x - tan x,

tampoco aquí se ha considerado la constante elegida de modo arbitrario. Regresemos a la ecuación (10) con la A de (15) y la B de (14) para escribir la solución particular, Yp = (x - tan x) cosx

+ senx In I secx l,

o Yp = x cosx - senx

+ senx In I secx l·

Entonces la solución general de (9) es:

y =

el

cosx

+ e3 senx + x cosx + senx In I secx l,

(16)

donde el término (- sen x) en Yp ha sido absorbido en el término e3 sen x de la función complementaria, ya que e 3 es una constante elegida arbitrariamente. Como de costumbre, la solución (16) puede ser verificada por sustitución directa en la ecuación diferencial original.

•

EJEMPLO 9.4 Resuelva la ecuación:~ (D 2

Aquí,

-

3D

1 + 2)y = 1 + e-X

.' (17)

160

Capítulo 9 Variación de parámetros

\ así que ~scribimos: (18) Ya que,

imponemos la condición:

A'e x + B'e 2x = O.

(19)

y' = Ae x + 2Be 2x ,

(20)

Entonces,

de la cual se deduce que: y" = Ae x + 4B e 2x

+ A' eX + 2B' e2x .

(21)

Si combinamos (18), (20), (21) Y la ecuación original (17), encontramos que: A' eX

+ 2B' e2x

=

1 1 + e-X

(22)

Al eliminar B ' de las ecuaciones (19) Y (22) se obtiene: ,

Ae

X

=-

1

1 + e- X

,

A'= Entonces,

De manera análoga,

B' e2x = __1__ 1 + e-x' en consecuencia: B

o

Entonces, de (18),

=

f

e-2x

1 + e-X

dx

=

f(

e-x -

e-X

1 + e-X

) dx

'

9.4 Solución de yl! + Y = f(x)

161

El ténnino (-eX) en y puede absorberse en la función complementaria. La solución general de la ecuación (17) es: \ ,

9.4

Solución de y"

•

+ y = f(x)

Ahora considere la ecuación: (D 2

+ l)y = f(x),

(1)

en la cual todo lo que pedimos def(x) es que sea integrable en el intervalo donde busquemos una solución. Por ejemplo, f(x) puede ser cualquier función continua o cualquier función con un número finito de discontinuidades finitas en el intervalo a :5 x :5 b. Aplicaremos el método de variación de parámetros a la solución de (1). Escribimos:

+ B sen x.

y = A cos x

(2)

Entonces,

y' = -Asenx

+ B cosx + A' cosx + B' senx,

y si escogemos: A' cos X

+B

I

(3)

sen x = 0,

obtenemos: y" = - A cos x - B senx - A' senx

+ B ' cos X .

(4)

De (1), (2) Y (4) concluimos que:

-A sen x I

+ B ' cosx = f(x).

(5)

Las ecuaciones (3) y (5) se pueden resolver para A Y B " lo cual nos da: I

A'= -f(x) sen x

y

B'=f(x)cosx.

Ahora podemos escribir:

/

A = - [ " f({3) sen{3 d{3~

1

(6)

x

B =

f({3) cos {3 d{3 ,

(7)

162

Capítulo 9 Variación de parámetros

para cualquier x en a

~

~

b. Aquí es donde usamos la integrabilidad def(x) en el intervalo~~x~b. J LaA y la B de (6) y (7) pueden introducirse en (2) para conseguir la solución particular:

x

yp = - cosx ¡X f(f3)senf3 df3

+senx ¡X f(f3) cos f3 df3

= ¡X f(f3)(senxcosf3 -cosxsenf3)df3.

(8)

Por lo tanto, YP = ¡X f(f3) sen (x _ f3) df3,

(9)

y ahora podemos escribir la solución general de la ecuación (1):

y=cICOSx+c2 senx + ¡X f(f3)sen(x - f3)df3.

•

(lO)

Ejercicios

En los ejercicios l al 18 utilice variación de parámetros para resol ver cada ecuación.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 19.

(D 2 - 1)y = eX + 1. (D 2 + 1)y = cscx cotx. (D 2 + l)y = cscx. (D 2 + 2D + 2)y = e-x cscx. (D 2 + l)y = sec3 x.

10. 11. 12.

(D 2 + 1)y = sec4 x. (D 2 + l)y = tanx. (D 2 + l)y = tan 2 x. (D 2 + l)y = secx cscx.

15.

(D 2 + l)y = sec2 x cscx. (D 2 - 2D + 1)y = e 2x (eX + 1)-2. (D 2 -3D+2)y = e 2x /(1+e 2x ).

13. (D 2 - 3D + 2)y = cos (e-X). 14. 16. 17. 18.

(D 2 - l)y = 2(1 - e- 2x )-1/2. (D 2 -l)y = e- 2x sene- x . (D - l)(D - 2)(D - 3)y = eX. ylll - y' = x. ylll + y' = tanx.

Observe que x y ~ son soluciones de la ecuación homogénea asociada con: (1 - x)y" + xy' - y = 2(x - 1)2e- x . Utilice este hecho para res~ver la ecuación no homogénea.

20.

Resuelva la ecuación: y"- y =

~

por el método de variación de parámetros, pero en lugar de hacer A ' #'1 + B I Y2 = O como en la ecuación (6) de la sección 9.3, escoja A YI + B Y2 = k, para una k constante. I

21.

Aplique la sugerencia del ejercicio 20 al ejercicio 5.

I

9.4 Solución de y" + y

22.

=

¡(x)

163

Sean Y¡ y y2 las soluciones de la ecuación homogénea asociada con: y"

+ p(x)y' + q(x)y =

f(x).

(A)

*'

Sea W(x) el wronskiano de y¡ y Y2' Y suponga que W(x) Oen el intervalo a < x < b. Demuestre,que una solución particular de la ecuación (A) está dada por:

_r

Yp -

23.

la

fCB)[y ¡CB)Y2(X) - y ¡(X)Y2UJ)] d,B W(,B) .

(B)

Las condiciones del ejercicio 22 implican que: y;'

+ PY; + qy¡

y~

+ py~ + qY2 =

(C)

= O

y

O.

(D)

Si multiplicamos.la ecuación (C) por Y2 y la ecuación (D) por Y¡ restando luego las dos ecuaciones así obtenidas tenemos, . (Y2Y;' - y ¡ y~)

+ p(Y2Y;

- y ¡y~)

= O.

Con base en esta ecuación demostramos que el wronskiano de Y¡ y Y2 puede escribirse como:

=

W(x)

c exp ( -

f

P dx ).

(E)

donde c es constante. La ecuación (E) se conoce como la fórmula de Abel. 24.

Utilice la fórmula de Abel para demostrar que si W(xo) = O para alguna X o en el intervalo a < x < b, entonces W(x) == O para toda a < x < b.

25.

Resuelva el problema de valor inicial: y"

+y =

cuando x = Xo, y

f(x);

= Yo,

y'

=

yb.

Sugerencia: Demuestre que la constante a en las ecuaciones (6) y (7) de la sección 9.4 podrían ser elegidas como x o' Determine c ¡ y c 2 de la ecuación (10) usando la forma de y p de la ecuación (8).

•

Ejercicios diversos

Resuel va las ecuaciones en los ejercicios l al 17.

\

+ e- 2x )-2.

1.

(D 2

2.

(D 2 -

3.

(D 2 + l)y = sec 2 x tanx.

4.

-

l)y = 2e- x (1

l)y = (1 - e 2x )-3/ 2.

Resuelva el ejercicio 3 por otro método.

+ l)y = cotx. + l)y = secx.

5.

(D 2

6. 7.

2

(D Resuelva el ejercicio 6 por otro método.

8.

(D 2

'"

-

l)y

= 2/(1 + eX).

164

Capítulo 9 Variación de parámetros

(D 2 - I) y = 2/ (e X - e-X ). (D 2 -3D+2)y=sen e- x .

9.

y" + y

== sec 3 x tanx.

15. 16.

13. y"+ 4y'+ 3y =sen e x . 2 2x (D -1) y =I / (e +l). 14. y"+y =csc 3 x cot x. 2 2x x 2 ( D - I)y = e (3tan eX + e sec eX ). (D3 + D)y = sec 2 x . Sugerencia: Primero integre una vez.

17.

yl! + Y = sec x tan 2 x. Verifique su respuesta.

10. 11.

9.5

12.

Suplemento para computadora Como en el capítulo anterior, un Sistema de Álgebra Computacional puede simplificarnos mucho el trabajo con los detalles del método de variación de parámetros . Aquí usamos Maple al resolver el ejemplo 9.3 de la sección 9.3: (D2 + l)y = sec x ta~ x .

Empezamos suponiendo que las soluciones complen1entarias cos x y sen x ya han sido encontradas. >y :=vector( [cos(x) , sin( x )]) ;

y := [cos (x) , sen(x) ] >M :=Wr o n sk ian (y;x) ; M ._ [CO S(X)

- sen(x)

sen (x) ] cos(x)

Observe que Maple utiliza la palabra Wronskian para la matriz en lugar de usarla para su determinante. >ApBp : =linsolve(M , [O,sec(x)*tan(x)]) ; A pBp := [ _ sen (x) sec(x) tan(x) , cos(x) sec(x) tan(x) ]

(seri(x»2 + (cOS(x»2 (sen(x»2 + (COS(x»2 Aquí Maple ha encontrado a A Y B de manera simultánea pero no ha simplificado sus resultados. A continuación hacemos esto antes de integrar. I

I

>A : = int( s i~ l ifY ( APBp[l ] ) ,x ); sen (x) A := x - - cos (x )

>B :=int(simplify(ApBp[2]) , x) ;

B := -In (cos (x»

Podemos usar estos valores para A y B a fin de construir la solución general.

• l.

~

Ejercicios Utilice una computadora para resolver una selección de ejercicios del capítulo.

40

Aplicaciones

110.11 Vibración de un resorte Considere un resorte de acero que cuelga de un soporte. Dentro de ciertos límites de estiramiento, el resorte obedecerá la ley de Hooke: si un resorte se alarga o comprime, el cambio en su longitud será proporcional a la fuerza ejercida sobre él, y cuando la fuerza sea retirada, el resorte regresar~ a su posición original conservando su longitud y otras propiedades físicas sin alterar. Por lo tanto, podemos afirmar que existe una constante numérica asociada con cada resorte; esta constante es la razón entre la fuerza ejercida y el desplazamiento producido por esa fuerza. Si una fuerza de magnitud Q libras (lb) alarga un resorte hasta una longitud de e pies, la relación:

Q=kc

(1)

define la constante k del resorte en unidades de libras por pie (lb/pie). Suponga que un objeto B que pesa w libras está sujeto al extremo inferior de un resorte y es llevado a un punto de equilibrio donde permanece en reposo, como en la ilustración izquierda de la figura 10.1. Una vez que el peso B es apartado del punto de equilibrio E, como en la ilustración derecha de la figura 10.1, el movimiento de B estará determinado por una ecuación diferencial y ciertas condiciones iniciales asociadas. Sea t el tiempo medido en segundos desde el momento en que el movimiento se inicia. Sea x, en pies, la distancia medida desde el punto de equilibrio, positiva hacia abajo y negativa hacia arriba, como en la figura 10.1. Suponemos que el movimiento de B toma un sentido vertical, así la velocidad y la aceleración están dadas por la primera y segunda deriva y q > 0, resulta que si pq - ab > 0, los dos valores propios son negativos, pero si pq - ab < 0, los valores propios tendrán signos opuestos. La presencia de un valor propio positivo es preocupante, ya que conduce a una función exponencial no acotada cuando el tiempo aumenta; una situación así podría tener como consecuencia una carrera armamentista incontrolable. Ahora examinaremos varios ejemplos ilustrativos de las posibles consecuencias del modelo de Richardson.

EJEMPLO 12.3 Considere una situación en la que los parámetros en las ecuaciones (2) son a = 4, b = 2, p = 3, q = 1, r = 2, s = 2, X o = 4 Y Yo = 1, esto es,

XI=(-~ _~)X+(;)

y

X(O) = (~).

La ecuación característica de la matriz es:

1 -3-~

41 = m + 4m 2

- 1 -m

5

= 0,

así los valores propios son mI = 1 y m 2 = - 5. Para mI = 1, calculamos las soluciones no triviales del sistema:

(-4 4) (el) O. 2

Por lo tanto,

el = e

2•

Tomando

- 2

=

e2

el = 1 se obtiene una solución que nos da el vector pro-

PiOG). Para m 2 = - 5, el sistema:

requiere que e l

+ 2e2 =

O. Tomando e2 = - 1 se obtiene el vector propio (_

i)·

230

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Por lo tanto, la solución general del sistema homogéneo X' = AX es: X(t) =

Cl

G)

el

(-i)

+ C2

e-

51

•

El sistema no homogéneo X' = AX + B tiene una solución constante de la forma (;). La sustitución en el sistema da:

sist~ma

un con solución homogeneo es:

(=:;) .

En consecuencia, la solución general del sistema no

X(t)=CI

(1)

Ahora la condición inicial X (O) =

I 1 e+c2

(2) -1

e -51

+

(-2)

-2'

(~) I requiere que:

de modo que C 1 = 4 Yc2 = 1. Por lo tanto, la solución final es:

o x(t) = 4e l

+ 2e- 51

y(t) = 4e l

-

e- 51

-

-

2,

2.

Tenemos una carrera armamentista incontrolable.

•

EJEMPLO 12.4 Veamos un segundo ejemplo de carrera armamentista. Tomamos los valores siguientes para los parámetros en la ecuación (2): a = 4, b = 2, p = 3, q = 1,-r = -2, s = -2, X o = 2, Yo = El sistema de ecuaciones diferenciales tiene la misma solución hallada en el ejemplo 12.3 salvo por el signo de la solución particular. Por lo tanto, la solución general es:

t·

12.2 Carrera armamentista

231

Ahora las condiciones iniciales requieren que:

(ü

G) (-i) + (;), +C2

=CI

t. La solución es:

de la que obtenemos C l = -1 Yc 2 =

+ e- 51 + 2, _el -1e-51 + 2,

x(t) = _el y(t) =

y finalmente cada país disminuirá su presupuesto en armamento hasta llegar a cero; tene-

mos así una condición de desarme.

•

EJEMPLO 12.5 Ahora cambiamos los valores de los parámetros en el sistema (2) a a = 3, b = 1, P = 4, q = 2, r = 6, s = 1 con las condiciones iniciales X o = O, Yo = O. El sistema que será resuelto se convierte en:

Una solución particular de este sistema es el vector

(~)

y los valores propios de la ma-

triz son -1 y - 5 con los correspondientes vectores propios

(~) y (_

i)·

Por lo tanto, la solución general del sistema es:

(Yx)

=

CI

(1)

1 e-

1

+ C2

(3)

-1 e-51

+

(3)

2 .

Las condiciones iniciales X o = Yo = O requieren que:

(~) =

CI

una ecuación que se satisface sólo si del problema de valor inicial es:

G) + (-O + (;),

Cl

C2

= -

tyc

2

= -

t. En consecuencia, la solución (3)

También es cierto que: (4)

232

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Ahora podemos interpretar las ecuaciones (3) y (4) como una situación donde cada país tiene un presupuesto de cero, pero con dx / dt = 6 Y dy / dt = 1, ambas cantidades positivas. A causa de los exponentes negativos, la razón de cambio de ambos presupuestos tiende a cero y el propio presupuesto tenderá a x = 3 Y Y = 2. Habrá una situación armamentista estabilizada.

• •

Ejercicios

Para el modelo de Richardson descrito por las ecuaciones (2), resuelva los casos especiales siguientes anotando en cada ejercicio si habrá una situación armamentista estable, una carrera armamentista incontrolable o una situación de desarme.

1.

a

= 2, b = 4, p = 5, q = 3, r =

1, s

= 2, X o = 8, Yo = 7.

2. El cambio de los valores iniciales de X o y Yo' ¿qué efecto tiene en la estabilidad de la solución del ejercicio l?

3. a

= 4, b = 4, p = 2, q = 2, r = 8, s = 2, X o = 5, Yo = 2.

\

4. Demuestre que la solución del ejercicio 3 siempre será inestable s\ los valores iniciales son no negativos. 5.

Para a

= 4, b = 4, p = 2, q = 2, r = -2, s = -2, demuestre que habrá desarme si

< 2, Yuna carrera armamentista incontrolable si X o + Yo> 2. 6. Para a = 4, b = 4, p = 2, q = 2, r > 0, s > 0, demuestre que habrá una carrera arX o + Yo

mamentista incontrolable para cualesquiera valores no negati vos de X o y Yo' 7.

Para a

= 4, b = 4,p = 2, q = 2, r < 0, s < 0, demuestre que habrá una carrera arma-

-r -s 2 8. Demuestre que si pq - ab > 0, r > y s> 0, habrá una solución estable. mentista incontrolable si Xo

+ Yo

>

°

9. Demuestre que si pq - ab < 0, r> incontrolable. 10.

\12.31

Demuestre que si pq - ab

> 0, r
0, habrá una carrera armamentista

°

y s < 0, habrá desarme.

Circuitos eléctricos Las leyes básicas que rigen el flujo de corriente eléctrica en un circuito o una red se darán aquí sin deducción. La notación utilizada es común en la mayoría de los textos de ingeniería eléctrica, aSÍ:

12.3 Circuitos eléctricos

t

(segundos)

233

tiempo

Q

(culombs)

cantidad de electricidad (por ejemplo, carga en un capacitor)

l

(amperes)

corriente, velocidad de flujo de la electricidad

E

(volts)

fuerza electromotriz o voltaje

R

(ohms)

resistencia

L

(henrys)

inductancia

C

(faradios)

capacitancia

Por la definición de Q e l resulta que: Jet) = Q /(t).

La corriente que hay en cada punto de una red eléctrica puede determinarse resolviendo las ecuaciones que resultan de aplicar las leyes de Kirchhoff: (a) La suma de las corrientes que entran (o salen) de cualquier polo es cero.

(b) Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de los voltajes instantáneos que pasan en un dirección determinada es cero.

Un circuito es tratado como una red que tiene una sola trayectoria cerrada. La figura 12.1~estra un circuito "RLC" con algunas de las convenciones usuales para indicar los diferentes elementos. Para un circuito, la ley de Kirchhoff en (a) sólo indica que la corriente es la misma en todas partes. Esa ley tiene un papel importante en redes eléctricas, como veremos posteriormente. Para aplicar la ley del voltaje (b) de Kirchhoff, es necesario conocer las contribuciones de cada uno de los elementos descritos idealmente en la figura 12.1. El voltaje que pasa por la resistencia es RI, la energía que cruza por el inductor (bobina) es LI'(t) y la que cruza por el capacitor es C- IQ(t). La fuerza electromotriz ejercida E(t) contribuye a aumentar el voltaje. R

E(t)

e

Figura 12.1

234

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

Suponga que en el instante t = Ose cierra el interruptor que se muestra en la figura 12.1 . En t = O no hay flujo de corriente; 1(0) = Oy, si inicialmente el capacitor está sin carga, Q(O) = O.

Con base en la ley de Kirchhoff señalada antes en (b), obtenemos la ecuación diferencial: LJ/(t)

+ RI(t) + C

IQ(t)

= E(t) ,

(1)

en laque: I(t)

= Q' (t).

(2)

Las ecuaciones (1) y (2), con las condiciones iniciales : 1(0) = O,

Q(O)

= O,

(3)

constituyen el problema a resolver. La función I(t) puede eliminarse de (1), (2) Y(3) para obtener el problema de valor inicial LQ"(t)

+ RQ'(t) + C- I Q(t) =

E(t) ;

Q(O) = O, Q'(O) = O.

(4)

De ello resulta que el problema del circuito es equivalente a un problema de vibración amortiguada de un resorte (sección 10.4). El término de la resistencia RQ'(t) corresponde al término de amortiguamiento en problemas de vibración. En la práctica, las analogías entre sistemas eléctricos y mecánicos son útiles. Los problemas de valor inicial del tipo dado en la ecuación (4) pueden resolverse por medio de la teoría general de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Ahora presentamos un ejemplo usando esta técnica.

/ EJEMPLO 12.6 En el circuito RL que se muestra en la figura 12.2, encuentre la corriente l(t) si la corriente en t = Oes cero y E es constante. De las ecuaciones O) y (3) tenemos: LJ' (t)

+ RI(t) = E;

-

1(0)

= O.

R

I(t)

Figura 12.2

L

(5)

12.4 Redes sencillas

235

Esta ecuación lineal de primer orden puede escribirse como:

(D+~)l = ~, para ella la solución general es:

~ (t) =

!+

CI

exp ( -

~ t)'

La condición inicial 1(0) = O requiere que: E

0= -

R

+CI,

de modo que, finalmente,

• 11 2.41 Redes sencillas Al aplicar las leyes de Kirchhoff a redes eléctricas aparecen sistemas de ecuaciones de manera natural. En esta sección consideramos dos redes muy sencillas para indicar cómo puede~licarse las técnicas de este capítulo. EJEMPLO 12.7 Determine el carácter de las corrientes lIU), lit) e 13(t) en la red que tiene el diagrama esquemático mostrado en la figura 12.3, bajo la hipótesis de que cuando se cierra el interruptor cada una de las corrientes son cero. En cierta red aplicamos las leyes de Kirchhoff, sección 12.3, para obtener un sistema de ecuaciones y determinar las corrientes. Como hay tres variables dependientes, 11, 12, /3' necesitamos tres ecuaciones.

Figura 12.3

236

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

De la ley para la corriente se deduce: (1)

La aplicación de la ley del voltaje al circuito de la izquierda en la figura 12.3 nos lleva a: (2)

Al usar la ley del voltaje en el circuito exterior obtenemos,

R¡/¡

+ R3h + L 3 /~ =

E.

(3)

Aún se puede obtener otra ecuación a partir del circuito del lado derecho en la figura 12.3: (4)

La ecuación (4) también se deduce con base en las ecuaciones (2) y (3); puede usarse en lugar de (2) o de (3). Deseamos obtener las corrientes a partir del problema de valor inicial que nos representan las ecuaciones (1), (2) Y (3) Y las condiciones I¡(O) = 0,/2 (0) = O e liO) = O. Una de las tres ecuaciones iniciales es redundante a causa de la ecuación (1). Si eliminamos I¡ de las ecuaciones (1), (2) Y (3), podemos escribir: I

R¡

12 = - - /2

-

I R¡ 13 = - - /2 L3

-

L2

"

.. 1\

R¡

E

L2

L2

-h + R¡

+ R3 L3

h

, E L3

+- ,

o, en notaclOn matncla ,

(5)

Por lo tanto, la ecuación característica de la matriz del sistema (5) es:

R¡ - - - m L2 R¡ - -

o

L3

R¡ L2 R¡

+ R3 L3

-m

=0,

12.4 Redes sencillas

237

Estamos interesados en los factores del polinomio característico A: La ecuación (6) no tiene raíces positivas. El discriminante de A es :

(R,L 2 + R3L2

+ R,L 3)2 -

4L2 L 3R ,R3

y puede escribirse como: (R , L 2)2

+ 2R,L 2(R 3L 2 + R , L3) + (R3L2 + R , L3)2 -

4L2L3R,R3,

que es igual a:

y, por lo tanto, es positivo. Así vemos que la ecuación (6) tiene dos raíces negativas distintas. Llamémosles -a, y -a2 . Resulta que: /::;. = L2L3(m

+ a,)(m + a2)

y que los valores propios de la matriz del sistema (5) son - a, y - a2 . Correspondientes a

estos valores propios, obtenemos los vectores propios: (7)

y

De ello resulta que la solución general del sistema homogéneo asociado con (5) es:

Debe quedar claro en el sistema (5) que existe una solución particular de la forma:

G~)

p

=

(~~),

don~B, y B son constantes. La sustitución directa en (5) nos da: 2

Por lo tanto, hemos encontrado que la solución general del sistema (5) es:

(h/2)

=

Cl

(a,L 2 - R,R')e

- all

+ C2 ( a2L2 -

R,) E(1) e+R, R, O . -a2 1

(8)

Ahora las condiciones iniciales //0) = /zCO) = O requieren que: (9)

238

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

sea el sistema que debe ser satisfecho por C I y c2' La solución de la ecuación (9) es: C¡

E(a2 L 2 - R¡) = - .2 R¡ L2(a2 - al)

Y

C2

=

E(a I L 2 - R¡) 2 ' R¡ L2(a2 - al)

(10)

La solución al problema de valor inicial está dada por la inserción de estas constantes en la ecuación (8), Finalmente, la corriente I I se obtiene con facilidad como la suma de 12 e 13 : (11)

• EJEMPLO 12.8 Para la red mostrada en la figura 12.4, plantee las ecuaciones que permitan determinar las corrientes 11, 12, 13 Yla carga Q3' Suponga que cuando se cierra el interruptor, todas las corrientes y cargas son cero, Encuentre el polinomio característico para la matriz del sistema resultante, Mediante el uso de las leyes de Kirchhoff escribimos las ecuaciones, 11 =

RI/I

R¡/¡

h+h

dl

2 + L2= dt

(12)

Esenwt,

1

+ R3/3 + -Q3 = C3

Esenwt;

(13)

(14)

y por la definición de corriente (como la velocidad de cambio de la carga) obtenemos, (15)

Figura 12.4

12.4 Redes sencillas

239

Nuestro problema consiste en cuatro ecuaciones, de la (12) a la (15), con las condiciones iniciales de que:

Q/O)

o.

=

(16)

Si usamos las ecuaciones (12) y (15) para eliminar del sistema a 13 y a Q3' obtenemos: dl¡

dt

C3R¡R3+L2 ------/¡ C3 L 2(R¡ + R 3)

=

+

Ew R¡

+ R3

d/z R¡ = - -/¡ dt L2

cos wt

+

+

1

C 3(R¡

+ R 3)

/z

ER3 sen wt , L 2(R¡ + R 3)

E L2

+ -senwt.

La matriz del sistema homogéneo asociado es: C3R¡R3 C 3L 2(R¡

+ L2 + R~~

1) +

C 3(R¡

R3~

.

(

L2 Por lo tanto, el polinomio característico es:

(17)

•

•

Ejercicios 1.

2.

Pa~ el circuito RL de la figura 12.2, encuentre la corriente 1 si el elemento de corriente rontinua E no se retira del circuito. Resuelva el ejercicio 1 si el elemento de corriente continua es sustituido por un elemento de corriente alterna Ecos roto Por conveniencia, utilice la notación:

donde Z es llamada la impedancia del estado estable de este circuito. 3. Resuelva el ejercicio 2, sustituyendo Ecos rot con E sen rot.

240

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

R

~c Figura 12.5

4.

La figura 12.5 muestra un circuito RC con un elemento de corriente alterna agregado. Suponga que el interruptor se cierra en t = O, Y en ese momento Q = O e 1 = O. Utilice la notación:

donde Z es la impedancia del estado estable de este circuito. Encuentre 1 para t > O.

5.

En la figura 12.5 sustituya el elemento de corriente alterna con un elemento de corriente continua E = 50 volts y use R = 10 ohms, C = 4(10) - 4 faradios. Suponga que cuando se cierra el interruptor (en t = O) la carga en el capacitor es de 0.015 coulombs. Encuentre la corriente inicial en el circuito y la corriente para t > O.

6.

En la figura 12.1, encuentre l(t) si E(t) = 60 volts, R = 40 ohms, C = 5(10)-5 faradios y L = 0.02 henrys. Suponga que 1(0) = O, Q(O) = O.

7.

En el ejercicio 6 determine la corriente máxima.

En los ejercicios del 8 al 11 utilice la figura 12.1 con E(t) = E sen plifique la apariencia de las fórmulas:

úJt

y con las notaciones siguientes sim-

R

a =-,

2L

1 Y = wL - - ,

wC

Z2 = R 2

+ y2.

La cantidad Z es la impedancia del estado estable para un circuito RLC. En cada uno de los ejercicios del 8 al 11, determine I(t) suponiendo que 1(0) = O Y Q~= o.

8. 9. 10. 11.

Suponga que 4L < R2C. Suponga que R2C < 4L. Suponga que R2C = 4L. Demuestre que la respuesta al ejercicio 10 puede ponerse en la forma: 1 = EZ- 2 (Rsenwt - ycoswt)

+ EZ- 2 e-at [y + (ay

- Rw)t].

12.4 Redes sencillas

241

12. En el ejercicio 4, sustituya el elemento de corriente alterna E sen M con E cos 2M. Determine la corriente en el circuito. 13. En la figura 12.6, suponga que E = 60 volts, R¡ = 10 ohms, R3 = 20 ohms y C2 = 5(10)-4 faradios. Determine las corrientes si, cuando se cierra el interruptor, el capacitor lleva una carga de 0.03 coulombs. 14. En el ejercicio 13, suponga que la carga en el capacitor es de 0.01 coulombs, y deje el resto del problema sin cambio. 15. Para la red mostrada en la figura 12.7, plantee las ecuaciones que lleven a la determinación de la carga Q3 y las corrientes l., /2' /3. Suponga que las cuatro cantidades son cero en el instante cero. Utilice álgebra matricial para demostrar que la naturaleza de las soluciones depende de los ceros del polinomio: do.

o.

o. de ga 15

C3L2(R¡

+ R3)m2 + [C3(R¡R2 + R2R3 + R3R¡) + L2]m + R¡ + R3·

16. Para la red mostrada en la figura 12.8, plantee las ecuaciones que lleven a la determinación de las corrientes. Suponga que todas las corrientes son cero en el instante cero. Utilice álgebra matricial para analizar el carácter de /¡(t) sin encontrar de manera explícita la función.

a-

im-

Figura 12.6

del

Figura 12.7

242

Capítulo 12 Sistemas no homogéneos de ecuaciones

-

R¡

I¡

E

Figura 12.8

Existencia y unicidad de soluciones

13

11 3. 11 Observaciones preliminares Los métodos estudiados en el capítulo 2 dependen estrictamente de ciertas propiedades especiales (variables separables, exactitud, etc.), que una ecuación particular puede o no tener. Es plausible que no pueda encontrarse una colección de métodos que permita la solución explícita, en el sentido del capítulo 2, de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden. Podemos buscar soluciones en otras formas, empleando series infinitas u otros procesos de límite; o hasta recurrir a aproximaciones numéricas. Enfrentado con esta situación, un matemático reacciona buscando lo que se conoce como teorema de existencia, esto es, determina las condiciones suficientes para asegurar la existencia de una solución que tenga ciertas propiedades. En el capítulo 2 enunciamos tal teorema y a continuación vamos a examinarlo más atentamente.

113.21 Teorema de existencia y unicidad Considere la ecuación de primer orden: dy - = f(x , y). dx

(1)

Suponga que T denota la región rectangular definida por:

y una región con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga que la función f en la ecuación (1) Y la función f / y son continuas en cada punto de T. Entonces existe un intervalo, Ix - xol :s h, y una función cjJ (x) que tienen las propiedades siguientes:

a a

(a) y = cjJ (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix - xol :s h. (b) En el intervalo Ix - xol :s h, cjJ(x) satisface la desigualdad: IcjJ(x) - yol

:s b.

243

244

Capítulo J3 Existencia y unicidad de soluciones

cfJ(xo) = Yo' (d) cfJ(x) es única en el intervalo Ix - xol :5 h en el sentido de que es la única función que tiene todas las propiedades enunciadas en (a), (b) y (c).

(e)

El intervalo Ix - xol :5 h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - xol :5 a donde se cumplen las condiciones sobrefy af l ay. En lenguaje informal, el teorema establece que si cerca del punto (x o' Yo) la función f(x, y) es suficientemente bien comportada, entonces la ecuación diferencial (1) tiene una solución que pasa por el punto (xo' Yo) y que es única cerca de (x o' Yo)' Una demostración de este teorema fundamental se presenta en las tres secciones siguientes e implica, en esencia, la prueba de que cierta sucesión de funciones tiene un límite y que la función límite es la solución deseada. La sucesión considerada será definida como sigue: yo(x) = Yo, YI(X)=YO+¡X f(t,Yo(t))dt, Xo

Y2(X)

=

Yo

+ ¡X f(t, YI(t))dt, Xo

Yn(x) = Yo

(2)

+ ¡X f(t, Yn-I (t)) dt. xo

De modo que la demostración pueda parecer más razonable, primero consideraremos algunos ejemplos para ecuaciones diferenciales especiales.

EJEMPLO 13.1 Demuestre que la sucesión de funciones definidas en las ecuaciones (2) converge en una solución para el problema de valor inicial: dy dx

=

fax

dt = 1 + x,

y;

Xo

= 0,

Yo

=

1.

Encontramos que: Yo(x) = 1, YI (x) = 1 +

2

r (1 + t) dt = 1 + x + x2 , . Jo Y3 (x) = 1+ fax (1 + t + t;) dt = 1+ x + x; + ~: .

Y2(X) = 1 +

(3)

13.2 Teorema de existencia y unicidad

245

Con base en el patrón que se desarrolla, es fácil conjeturar que: n

Yn(X )

=

Xk

L -k! ' k=O

En efecto, esto se puede demostrar por inducción. Además, el límite de esta sucesión existe para todo número real x, ya que no es más que el desarrollo en serie de Maclaurin para eX, que converge para todax. Esto es, 00 x k oo k=O k!

L-

Resulta sencillo verificar que eX es una solución al problema de valor inicial (3) .

•

EJEMPLO 13.2 Encuentre una solución para el problema de valor inicial: dy 2 - = x' dx '

(4)

xo = 2, Yo = 1.

La sucesión en (2) ahora se transforma en: Yo(x) = 1,

Yn(x) = l +

l

x

x3 5 t 2 dt=- - -

3

2

3

Queda claro que ellímÍte de esta sucesi~n es x 3/3 - ~,y esta función es una solución de (4) .

•

•

Ejercicios

En cada uno de los ejercicios si guien~es, determine el límite de la sucesión definida en (2). Verifique si la función que obtiene es una solución para el problema de valor inicial.

1.

y'

2.

y'

= x; = y;

xo xo

= 2, Yo = 1. = 0, Yo = 2.

3. y' 4 . y'

= 2y; xo = 0, Yo = 1. = x + y; Xo = 0, Yo =

1.

246

Capítulo J3 Existencia y unicidad de soluciones

11 3.3 1 Condición de Lipschitz En las hipótesis del teorema de existencia anterior hemos supuesto que la función f y su derivada af/ ay son continuas en el rectángulo T. Así, cuando (x, YI) y (x, Y2) son puntos en T, se puede aplicar el teorema del valor medio a fcomo una función de y. De aquí que exista un número y* entre YI y Y2 tal que:

of ay (x, Y*)(YI

f(x, YI) - f(x, Y2) =

- Y2).

La suposición de que a f / ay sea continua en T nos permite asegurar que a f / ay es acotada en T. Esto es, existe un número K > O tal que:

ay lafl

< K

,

para todo punto en T. Como (x, y*) está en T, resulta que: If(x, YI) - f(x, Y2) 1 =

I

af ay (x, y * ) I . IYI - Y2 1,

If(x, YI) - f(x, Y2) 1 :::: K IYI - Y21,

(1)

para toda pareja de puntos (x, YI ) y (x, Y2) en T. La desigualdad (1) es llamada condición de Lipschitz para la función! Hemos demostrado que bajo las hipótesis de nuestro teorema de existencia, la condición de Lipschitz (1) se cumple para cada par de puntos (x, YI ) y (x, y) en T. En la demostración siguiente, sección 13.4, usaremos la condición de Lipschitz en lugar de la hipótesis de continuidad de a f / ay. Por lo tanto, podríamos reformular el teorema de existencia en términos de la condición (1) en vez de suponer que a f / ay es continua en T.

11 3.4 1 Demostración del teorema de existencia Una hipótesis del teorema de existencia en la sección 13.2 es quefes continua en el rectángulo T. De ello resulta que f debe ser acotada en T. Suponga que M > O es un número tal que If(x, y)1::; M para todo punto en T. Ahora tomamos h como el más pequeño de los dos números a y b/M, Ydefinimos el rectánguloR como el conjunto de puntos (x, y) para el que: Ix - xol ::; h

Y

Iy - Yol ::; b.

Resulta evidente que R es un subconjunto de T. Como se indicó en la sección 13.2, ahora consideraremos la sucesión de funciones: Yn(x) = Yo

+ ¡X f(t, Yn - I(t))dt XO

y demostraremos el siguiente lema.

(1)

13.4 Demostración del teorema de existencia

Lema 13.1

247

Si Ix - xol ::5 h, entonces

para n

=

1,2,3, ... .

La demostración de este lema se hará por inducción. En primer lugar, si Ix - xol tenemos:

11: ~ 11: dtl

IYI (x) - Yol =

f(t, Yo)

::5

h,

dtl

M

~

Mlx -xol

~Mh ~b.

Si ahora suponemos que para Ix - xol ::5 h, IYk(X) - Yol tá en R de modo que If(x, Yix))I::5 M. Por lo tanto, IYk+l (x) - Yol

11: ~ 11: dtl ~

::5

f(t, Yk(t))

b, resulta que el punto [x, yk(x)) es-

dtl

M

~Mh ~

b.

Por inducción, ahora podemos estar seguros de la validez del lema. El lema 13.1 puede ser enunciado de una manera un poco diferente: Si Ix - xol ::5 h, entonces los puntos [x, Yn(x)) , n = 0, 1,2, ... , están en R. La condición de Lipschitz de la sección 13.3 puede usarse ahora para deducir el lema siguiente.

Lema 13.2

Si Ix - xol ::5 h, entonces,

para n

=

If(x , Yn(x)) - f(x, Yn-l(x))1 ~ KIYn(x) - Yn- l(x)l , 1,2,3,....

Ahora podemos dar una demostración inductiva de otro lema.

Lema 13.3

Si Ix - xol ::5 h, entonces,

IYn(x) - Yn- l(x)1

para n

=

~

MKn-1Ix-xol n MKn -Ih n , < ----

n.

n!

1, 2, 3, ....

/

248

Capítulo 13 Existencia y unicidad de soluciones

Para el caso n = 1 tenemos, de la demostración del lema 13.1, IYI (x) - Yol S Mlx - xol·

Si suponemos que: M K n - 2 lx - xol" - I IYn-1 (x) - Yn -2 (x)1 S - - - - - - (n - 1)!

(2)

debemos demostrar que: . IYn(x) - Yn - l(x)1 S

M Kn - Ilx - xol" , n.

Demostraremos esto para el caso de X o ::; x ::; X o + h. Del lema 13.2 tenemos: IYn(x) - Yn - I(x)1 =

S

I ¡x [f(t, YIl - 1(t)) IJXO

- f(l, Yn-2(t))] dll

¡x If(t , Yn - I(t)) -

Jxo

S K

¡x IYn - 1(l) -

Jxo

f(t, Yn-2(t))1 dt

Yn-2(t)1 dl.

Al aplicar la hipótesis (2), concluimos que: IYn(x) - Yn - I(x)1 S

¡X

MKn - 1 I , ( t - xot - dl,

(n - 1).

Xo

o IYn(x) - Yn-l(x)1 S

MK n - 1 n , I x - xo l . n.

(3)

Para el caso X o - h ::; x ::; x o' el mismo tipo de argumento dará el mismo resultado. Así la demostración del lema 13.3 queda completa. Para utilizar los resultados del lema 13.3, ahora comparamos las dos series infinitas: 00

00

¿:)Yn (x) - Yn - I(x)] n=1

y

L

n=1

M Kn - Ih n ni

.

La segunda de éstas es una serie absolutamente convergente. Además, por el lema 13.3, la segunda serie domina a la primera. De aquí que, por el criterio M de Weierstrass, la serie: 00

L[Yn(X) - Yn-I (x)] n=1

(4)

13.4 Demostración del teorema de existencia

249

converge absoluta y uniformemente en el intervalo Ix - xol ::; h. Si consideramos la k-ésima suma parcial de la serie (4): k

~)Yn(X) - Yn - l (x)]

=

[Yl (x) - Yo(x)]

+ [Y2(X)

- Yl (x)]

+ ...

n=1

vemos que: k

2)Yn(X) - Yn - l (x)]

= Yk(X).

,,=1 Esto es, el enunciado de que la serie (4) converge absoluta y uniformemente, equivale al enunciado de que la sucesión y/x) converge uniformemente en el intervalo:

Si ahora definimos: 4>(x) = lim y,,(x) n ~oo

y recordamos que, según la definición de la sucesión Y,,(x), cada Y,,(x) es continua en Ix - xol ::; h, resulta que (x) también es continua (ya que la convergencia es uniforme) y: 4>(x) = lim Yn(x) = Yo n-*OO

+ n-*oo lim r J xo

f(t, Yn- l (t)) dt.

A causa de la continuidad de f y de la convergencia uniforme de la sucesión Y,,(x) , podemos intercambiar el orden de los dos procesos de límite para demostrar que (x) es una solución de la ecuación integral: 4>(x) = Yo +

r f(t, 4>(t)) dt.

Jxo

(5)

Al derivar la ecuación (5), se deduce de inmediato que (x) es una solución de la ecuación diferencial dy/dx = f(x, y) en el intervalo Ix - xol ::; h. Además, de la ecuación (5) queda claro que (xo) = Yo· Por último, como demostramos en el lema 13.1 que Iy/x) - Yol ::; b para cada n y para Ix - xol ::; h, deducimos que la misma desigualdad se cumple para (x) = lím ll -+ 00 y,,(x). Esto es, si Ix - xol ::; h, entonces I(x) - Yol ::; b. Así terminamos la demostración de las partes (a), (b) y (c) del teorema de existencia de la sección 13.2.

250

Capítulo 13 Existencia y unicidad de soluciones

113.5

1

Demostración del teorema de unicidad Ahora debemos demostrar que la función (x) tal que (x) es una solución de (1) para toda x en el intervalo Ix - xol ::; h, (xo) = Yo' y ' (xo) = y'o' Una demostración de este teorema, muy similar a la dada en las secciones 13.4 y 13.5, puede encontrarse en Ince.' La generalización del teorema a ecuaciones de orden superior es directa.

I

E. L. Ince, Ordinary Differential Equations (Londres: Longmans, Green & Co., 1927), capítulo 3.

La transformada de Laplace

11 4. 11 El concepto de transformación El lector ya está familiarizado con algunos operadores que transforman funciones en funciones. Un ejemplo notable es el operador diferencial D, que transforma cada función de una clase amplia (aquellas que tienen derivada) en otra función. Hemos comprobado que el operador D es útil en el tratamiento de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En este capítulo estudiaremos una transformación (una asignación de las funciones en las funciones) que ha tenido un papel muy importante tanto en matemáticas puras como en las aplicadas: el operador L. Se introduce en la sección 14.2 y es efectivo especialmente en el estudio de problemas de valor inicial que incluyan ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Una clase de transformaciones, llamadas transformaciones integrales, puede ser definida por:

T{F(t)} =

i:

K(s, t)F(t)dt = fes) .

(1)

Dada una función K(s, t), llamada núcleo (kernel) de la transformación, la ecuación (1) asocia cada F(t), de la clase de funciones para las que la integral anterior exista, una funciónf (s) definida por (1). Generalizaciones y abstracciones de (1), así como estudios de casos especiales, se encuentran en abundancia en la literatura matemática. Varias elecciones particulares de K(s, t) en (1) llevan a transformaciones especiales, cada una con propiedades particulares que las hacen útiles en circunstancias específicas. La transformación definida por: K(s, t)

=

°

para t < O, para t 2: 0,

es a la que está dedicado este capítulo.

252

14.3 Transformadas de funciones elementales

253

11 4.21 Definición de la transformada de Laplace Sea F(t) cualquier función tal que las integrales que aparecerán en este capítulo sean válidas. La transformada de Laplace de F(t) se denota L{ F(t)} y se define por:

1

00

L{F(t)}

=

(1)

e-S I F(t) dt.

La integral (1) es una función del parámetro s; esta función se denominaj(s). Podemos escribir:

1

00

L{F(t)}

=

e-S I F(t) dt

=

f(s) .

(2)

Es costumbre referirse af(s) y al símbolo L{ F(t)} como la transformada, o la transformada de Laplace, de F(t). También podemos ver a (2) como una definición de un operador de Laplace L, que transforma cada función F(t) de cierto conjunto de funciones en alguna funciónf(s). Es fácil demostrar que si la integral en (2) converge, también lo hará para toda s mayor que] algún valor fijo so. Esto es, la ecuación (2) definirá af(s) para s> so. En casos extremos la integral puede convergir para toda s finita . Es importante que el operador L, al igual que el operador diferencial D , sea un operador lineal. Si F](t) y Fit) tienen transformadas de Laplace, y si c] Y c 2 son constantes cualesquiera, (3)

El estudiante puede demostrar fácilmente la validez de la ecuación (3) usando propiedades elementales de las integrales definidas. De aquí en adelante emplearemos la relación (3) sin volver a enunciar que el operador L es un operador lineal.

11 4. 31

Transformadas de funciones elementales Ahora se obtendrán las transformadas de ciertas funciones exponenciales y trigonométricas, así como de los polinomios. Estas deducciones se presentan con frecuencia en el trabajo cotidiano.

EJEMPLO 14.1 Encuentre L{ él}. Procedemos como sigue: L{ e kl } =

1

00

1

00

e -sI.

él

dt =

e-(s-k)1dt .

] Si s no está restringida a valores reales, la convergencia tiene lugar para toda s con parte real mayor que algún valor fij o.

"

254

Capítulo J4 La transformada de Laplace

Para s :5 k, el exponente de e es positivo o cero y la integral diverge. Para s> k, la integral converge. En efecto, para s > k,

1

00

L{e kl } =

=

e -(s-k)1

[ _ e-(S-k)1

dt

Joo

s- k

o

1

=0+--. s-k

Por lo tanto, encontramos que: 1 L{e kl } = - - , s-k

Tenga en cuenta el caso especial k

s> k.

(1)

= O: L{l} =

~,

(2)

s> O.

s

•

EJEMPLO 14.2 Obtenga L{ sen kt}. Por cálculo elemental obtenemos:

Ya que:

f

ax

e sen mx dx =

eax (asenmx - m cos mx) 2

a +m

1

2

+ c.

00

L{senkt} =

e-SI sen kt dt,

entonces resulta: Llsenkt} = [

e-SI(-SSenkt - kcosktJ 2 S

+k

2

oo

o

(3)

Para una s positiva, e -sI ~ Ocuando t ~ oo. Además, sen kt y cos kt están acotados cuando ~ oo. Por lo tanto, (3) produce: 1(O - k) Llsenkt} = O 2 2 ' S +k o t

Llsenkt} =

k 2'

s> O.

(4)

s 2 2' s +k

s> O,

(5)

2

s +k

El resultado: L{cos kt} =

puede obtenerse de manera semejante.

•

14.3 Transformadas defunciones elementales

255

EJEMPLO 14.3 Obtenga L{ f'} cuando n es un entero positivo. Por definición, L{t n } =

100 e-sttn dt.

Si realizamos una integración por partes sobre esta integral obtenemos,

(6) Para s

°

< y n > 0, el primer término de la derecha en (6) es cero, y nos quedamos con: s> 0,

o s> O.

(7)

De (7) podemos concluir que para n > 1, L{t n-

I}

n-1

= _ _ L{tn-2},

s de modo que: LW} =

n(n - 1)

s

2

L{t n- 2}.

(8)

La repetición de este proceso produce: L{t n } =

n(n - l)(n - 2) .. ·2· 1 sn

L{t o}.

Del ejemplo 14.1 tenemos,

De aquí, cuando n es un entero positivo, n n! L{t } = 1' sn+

s> O.

(9)

•

La transformada de Laplace de F(t) existirá aún si la función F(t) es discontinua, pero a condición de que la integral en la definición de L{ F(t)} exista. Por ahora es poco lo que se hará con funciones discontinuas F(t) específicas, ya que más adelante se desarrollarán métodos mejores para obtener tales transformadas.

256

Capítulo 14 La transformada de Laplace

EJEMPLO 14.4 Encuentre la transformada de Laplace de H(t), donde: H(t) = t, = S,

0
4.

t
O, llegamos rápidamente a: L{H(t)} =

t __ e - sI i - l e - SI J4+ [ s s o

[__S

e-sI JOO

S

4

Por lo tanto, 4e- 4s e- 4s L{H(t)} = - - - - +0 s s2 1 e- 4s e- 4s

1

Se- 4s

s2

S

+ - - 0+--

=+ s- - -. s2 s2

•

•

Ejercicios 2

s

2;paras>0.

1.

DemuestrequeL{coskt} =

2.

Puede usarse la fórmula de Euler e ikl = cos kt + y sen kt para obtener la fórmula cos kt = ~ (e ikl + e- ikl ) . Demuestre que el resultado del ejercicio 1 puede obtenerse ahora con una aplicación formal de la transformada de Laplace.

3.

Obtenga la transformada de sen kt por medio de un argumento análogo al sugerido en el ejercicio 2.

4.

EvalúeL{t2

+ 4t -

S.

EvalúeL{t3

-

8.

2 2; para s > Ikl. s - k k Demuestreque L{senhkt} = 2 ;paras> Ikl. s2 - k Utilice la identidad trigonométrica cos 2 A = ~ (1 + cos 2A) y la ecuación (S) de la sección 14.3 para evaluar L{ cos 2 kt}.

,

9. 10.

4t2

s +k

+ 4e-3/}.

S}.

6.

EvalúeL{e-2/

+ 4t} .

7.

EvalúeL{3é/ - e- 2 /}.

Demuestre que L {cosh kt} =

s

J 4.4

11. 12.

13. 14. 15. 16.

(t) }

17.

kt}

+ 7k2) . + k2)(s2 + 9k2) s(s2

=

(S2

Obtenga L{ sen? kt} directamente

de la respuesta del ejercicio

Encuentre L{ ljI(t)} donde ljI(t) = 4,

= 3, Encuentre L{ 2. t < 1, t < 2, t> 2.

°


I 7T, 7T.

Funciones continuas por secciones Debe ser evidente que si debemos encontrar problemas para los que el método de la transformada de Laplace sea útil, debemos aprender mucho acerca de funciones más complicadas que las vistas en las secciones anteriores. Para ello, nuestro enfoque consistirá en demostrar varias propiedades útiles de la transformada de Laplace, luego consideraremos problemas de valor inicial en los que podamos usar esas propiedades. En la sección 14.3 empezamos nuestro estudio determinando realmente las transformadas de algunas funciones sencillas. Sin embargo, pronto se vuelve tedioso probar, para cada F(t) que encontramos, si la integral:

1

00

do en

de la

e-st F(t) dt

(1)

existe para algún rango de valores de s. Por lo tanto, buscamos una clase amplia de funciones para las que podamos demostrar que la integral (1) existe. Una de las razones de nuestro interés por el uso de la transformada de Laplace, radica en su utilidad como herramienta auxiliar en la resolución de problemas en aplicaciones más o menos elementales, particularmente cuando tenemos problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, hemos decidido restringir nuestro estudio a funciones F(t) que son continuas o aún diferenciables, excepto, posiblemente, en un conjunto discreto de puntos, en el rango semiinfinito i e. O. Para tales funciones, la existencia de la integral (1) sólo podría fallar en los puntos de discontinuidad de F(t) o por la divergencia debida al comportamiento del integrando cuando t-7 co,

258

Capítulo 14 La transformada de Laplace

F(t)

: ;1 ,.---, I I I

I

N I o

I

I I

I I I

2

3

I I I I

:I I I

5

6

Figura 14.1

En cálculo elemental encontramos que las discontinuidades o saltos finitos del integrando no interfieren con la existencia de la integral. Por lo tanto, introduciremos un término para describir las funciones que sean continuas excepto para tales saltos. Definición. La función F(t) se denomina continua por secciones sobre el intervalo cerrado a ::; t::; b, si éste puede dividirse en un númdro finito de subintervalos c ::; t ::; d tales que, en cada uno de ellos: F(t) sea continua en el intervalo abierto c

(b)

F(t) tienda a un límite cuando t se aproxima, desde adentro del intervalo, a cada extremo del mismo; esto es, lim F(t) y lim F(t) existen. t --> c+

,

< t < d.

(a)

t --> d -

La figura 14.1 muestra la gráfica de una función F(t) que es continua por secciones en el , intervalo O ::; t ::; 6. El estudiante debe darse cuenta de que no importa que F(t) sea continua por secciones para que L{ F(t)} exista. Más adelante veremos varios ejemplos de esta noción. En la sección 14.6, el concepto de funciones continuas por secciones desempeña un papel decisivo dentro de un conjunto de condiciones suficientes para la existencia de la transformada.

114.51Funciones de orden exponencial Si la integral de e-.I'tF(t) entre los límites O y toexiste para toda to positiva y finita, el único riesgo posible para la existencia de la transformada: (1)

es el comportamiento del integrando cuando ---7 00 .

14.5 Funciones de orden exponencial

259

Sabemos que:

100

e-el

dt

(2)

converge para c > O. Esto despierta nuestro interés en las funciones F(t) que están, para una t grande (t 2: to)' acotadas esencialmente por alguna función exponencial ét, de modo que el integrando en (1) se comportará como el integrando en (2) para una s que sea lo suficientemente grande. Definición. La función F(t) se denomina de orden exponencial cuando t ~ 00 si existen constantes M y b Y un valor fijo to de t que: bl IF(t) 1 < Me para t 2: too (3) Si hay que enfatizar b, decimos que F(t) es de orden é t cuando t ~ oo. También escribimos F(t) = O(e bl ), t -+ 00, (4) para expresar que F(t) es de orden exponencial; la exponencial será é t cuando t ~ oo. Esto es, (4) es otra manera de expresar (3). La integral en (1) puede dividirse en partes como sigue:

00 e-SI F(t) dt =

1o

110e-SI F(t) dt + ¡OO e- SI F(t) dt. o

(5)

lO

Si F(t) es de orden exponencial, F(t) = O(é t), la última integral en la ecuación (5) existe, porque con base en la desigualdad (3), se deduce que para s> b,

[00 le-SIF(t)ldt < M [00 e-sI . ebldt =

}IO

}to

Mexp[ - to(s -b)]. S - b

(6)

Para s > b, el último miembro de (6) tiende a cero cuando to ~ oo. Por lo tanto, la última integral en (5) es absolutamente convergente2 para s > b. Hemos demostrado así el enunciado siguiente.

Teorema 14.1 Si la integral de e-stF(t) existe entre los límites Oy topara todo valor positivo y finito tO' y si F(t) _es de orden exponencial, F(t) Laplace:

=

L{F(t)} =

O(é t) cuando t ~oo, entonces la transformada de

100 e-SI F(t) dt =

fes)

(7)

existe para s > b.

Sabemos que una función que es continua por secciones sobre un intervalo, es integrable en ese intervalo. Esto nos lleva al siguiente caso útil y especial del teorema 14.1 . 2

Si se utiliza una s compleja, la integral converge para Re(s) > b.

260

Capítulo 14 La transformada de Laplace

Teorema 14.2 Si F(t) es continua por secciones sobre todo intervalo finito en el rango t:2: 0, Y si F(t) es de orden exponencial, F(t) L{ F(t)} existe para s> b.

= O(ét) cuando t ~ 00, entonces la transformada de Laplace

Las funciones de orden exponencial desempeñan un papel predominante en nuestro trabajo. Por lo tanto, es prudente desarrollar cierta habilidad para determinar si una función específica es o no de orden exponenciál. Sin duda, cuando hay una constante tal que: (8)

lim [e-bt IF(t)ll 1-+00

existe, la función F(t) es de orden exponencial, m~s precisamente, de orden é t • Para ver esto, sea K =1= el valor del límite (8). Entonces, para una t lo suficientemente grande, le-bt F(t) I puede hacerse tan cercana a K como se desee, de modo que:

°

le-bt F(t)1 < 2K.

Por lo tanto, para una t lo suficientemente grande,

(9)

¡F(t) 1 < Me bt ,

con M = 2K. Si el límite en (8) es cero, podemos escribir (9) con M Por otra parte, si para cada c fija, lim [e -c1¡F(t)l] =

=

1.

00,

(10)

1-+00

entonces la función F(t) no es de orden exponencial. Supongamos que existe b tal que: ¡F(t)1 < Me bl ,

entonces, por (11), la elección c de esta manera e- 2bl F(t) ~

,

°

t 2: to;

(11)

= 2b nos daría,

le- 2bl F(t) 1 < Me - bl ,

a-medida que t ~ 00, lo que contradice a (10).

EJEMPLO 14.5 Demuestre que t 3 es de orden exponencial cuando t ~ oo. Examinamos, con b aún sin especificar, (12) Si b > 0, el límite en (12) es de un tipo tratado en cálculo. En realidad, 3

lim _t_

1-+00 e bl

=

2

lim _3_t _ 1-+00

be bl

=

lim _6_t_ 1-+00

b 2 e bl

=

lim _ 6_ 1-+00

b 3 e bl

= O.

Por lo tanto, concluimos que P es de orden exponencial, t

3

= O(e bl ),

para cualquier b positiva y fija.

t ~

00,

•

14.6 Funciones de clase A

261

EJEMPLO 14.6 Demuestre que exp(t2) no es de orden exponencial cuando t ~ oo. Considere: . exp (t 2 ) hm . (13) 1--+00 exp (bt) Si b ::; O, el límite en (13) es infinito. Si b > O, exp (t 2 ) lim = lim exp [t(t - b)] = oo . 1--+ 00 exp (bt) 1--+00 De aquí que no importe cuál b fija usemos, el límite en (13) es infinito y exp(t2) no puede ser de orden exponencial.

•

En los ejercicios al final de la sección 14.6 encontraremos más oportunidades de determinar si una función es o no de orden exponencial.

114.61 Funciones de clase A Por razones de brevedad, de aquí en adelante usaremos el término "una función de clase A" para cualquier función que sea: (a)

Continua por secciones sobre cualquier intervalo finito en el rango t ¿ O

(b)

De orden exponencial cuando t

~

oo.

Ahora podemos volver a enunciar el teorema 14.2 como sigue.

Teorema 14.3 Si F(t) es una función de clase A, la transformada L{F(t)} existe. Es importante resaltar que este teorema sólo establece que para que L{ F(t)} exista, es suficiente que F(t) sea de clase A. La condición no es necesaria. Un ejemplo clásico para demostrar que ciertas funciones no pertenecientes a la clase A tienen transformada de Laplace es: F(t) = t- I / 2• Esta función no es continua por secciones en todo intervalo finito en el rango t :::::·0, ya que F(t) ~ 00 cuando t ~ 0+. Pero t- l12 es integrable desde O hasta cualquier to positivo. También, t - I /2 ~ O cuando t ~ 00, así que t- l12 es de orden exponencial, con M = 1 Y b = O en la desigualdad (3) de la sección 14.5. De aquí que, por el teorema 14.1 , L{ t- I / 2 } exista. En efecto, para s > O,

1

00

L{t donde el cambio de variable st = L{t -

I 2 / }

l

I 2 / }

=

e- S 1 t -

I 2 /

dt,

da por resultado:

= 2s- I / 2

1°°

exp (- l ) d y,

s > O.

262

Capítulo 14 La transformada de Laplace

En cálculo elemental encontramos que L{t - 1/2}

100exp (- y2) dy

=

!.Jrr .Por lo tanto,

= 2s - I/ 2 . !.Jrr s> O,

(1)

aunque t - l 12 ~ 00 cuando t ~ 0+. Pueden construirse ejemplos adicionales con facilidad; veremos algunos de ellos más adelante en el libro. Si F(t) es de clase A, F(t) es acotada sobre el rango O:::; t :::; to' O::::

t ::::

(2)

too

Pero F(t) es también de orden exponencial, t ::: too

(3)

Si escogemos a M como el máximo entre MI y M 2 yac como el máximo entre b y cero, podemos escribir: t ::: O.

(4)

Por lo tanto, para cualquier función F(t) de clase A,

[ 00 e - sI F(t) dtl

IJo

< M

[00 e-sI. él dt

Jo

=

Ya que el miembro derecho de (5) tiende a cero cuando s guiente resultado útil.

Teorema 14.4 Si F(t) es de clase A y si L{F(t)}

s- c

~ 00,

s> c.

(5)

hemos demostrado el si-

= fes), lim fes) s ~ oo

,

~,

= o.

De (5) podemos concluir un resultado más poderoso, esto es, la transformadaf (s) de una función F(t) de clase A debe ser tal que sf(s) está acotada cuando s ~ oo .

•

Ejercicios

1.

Pruebe que si FI(t) y F 2(t) son de orden exponencial cuando t ~ 00, entonces FI(t) . FzCt) Y FI(t) + FzCt) también son de orden exponencial cuando t ~ oo.

2.

Pruebe que si F¡(t) y FzCt) son de clase A, entonces F¡(t) + FzCt) Y F I(t)·F2(t) también son de clase A.

3.

Demuestre que tx es de orden exponencial cuando t ~ 00 para toda x real.

En los ejercicios del 4 al 17 demuestre que la función dada es de clase A. En estos ejercicios n denota un entero no negativo y k representa cualquier número real.

14.7

(1)

4.

sen kt.

1l.

tnél•

5.

cos kt.

12.

tnsenkt.

6.

coshkt.

13.

t" cos kt.

7.

senhkt. tn.

14.

tnsenh kt.

15.

t" coshkt. 1 - coskt

8.

dad;

9. 10.

senkt

16.

t l-exp(-t)

17.

t

Transformadas

de derivadas

263

t cost - cosht t

(2)

114.71 (3)

,po-

Transformadas de derivadas Cualquier función de clase A tiene una transformada función puede o no ser de clase A. Para la función:

de Laplace, pero la derivada de tal

F¡(t) = sen[exp(t)] (4)

con derivada:

F{ (S)

(t)

= exp

(t) cos [exp (t)],

F¡ Y F'¡ son ambas de orden exponencial cuando t ~ oo. Aquí F¡ está acotada, así que es del orden de exp(O . t); F'¡ es del orden de exp(t). Por otra parte, la función:

1 si-

Fit)

=

sen[exp(P)]

con deri vada:

es tal que F2 es del orden de exp(O . t) pero F'2 no es de orden exponencial. 14.6 en la sección 14.5,

) de

. exp (t2) l im = HOO exp (bt)

Del ejemplo

00

para cualquier b real. Como los factores 2t cos[exp(t2)] no tienden a cero cuando t ~ 00, el producto F'2 exp (-et) no puede estar acotado cuando t ~ 00, no importa cuán grande sea elegida unae fija. Por lo tanto, al estudiar las transformadas de las derivadas, estipularemos que las derivadas mismas sean de clase A. Si F(t) es continua para t 2: O Y de orden exponencial cuando t ~ 00, y si F '(t) es de clase A, la integral en:

1

00

L{F'(t)}

=

e-SI

F'(t)dt

(1)

264

Capítulo 14 La transformada de Laplace

puede simplificarse por medio de la integración por partes. Para una s mayor que alguna So fija obtenemos:

o L{F'(t)} = - F(O)

+ sL{F(t)}.

(2)

Teorema 14.5 Si F(t) es continua para t;::: OY de orden exponencial cuando t -7 00, Y si F'(t) es de clase A, entonces: L{F' (t)} = sL{F(t)} - F(O).

(3)

Al tratar una ecuación diferencial de orden n, buscamos soluciones para las que la derivada de mayor orden que esté presente sea razonablemente bien comportada, digamos continua por secciones. La integral de una función continua por secciones es continua. De aquí que no perdemos nada al pedir continuidad en todas las derivadas de orden menor que n. El requisito de que las diversas derivadas sean de orden exponencial resulta de nuestro interés por usar la transformada de Laplace. Para nuestros propósitos tiene sentido la repetición del teorema 14.5 al obtener transformadas de derivadas superiores. De (3) obtenemos, si F, F', F" están restringidas de manera adecuada, L{F"(t)} = sL{F'(t)} - F'(O),

o L{F"(t)} =

s2 fes)

- sF(O) - F'(O),

(4)

y el proceso puede repetirse tantas veces como se desee.

Teorema 14.6 Si F(t), F'(t), ... , p.n-I)(t) son continuas para

t;:::

OY orden exponencial cuando t -7 00, Y

si p.n)(t) es de clase A, entonces de .: L{F(t)} =f(s) se deduce que: n-l

L{F(n)(t)} = sn fes) - I> S-I-k F(k) (O). k=O

Por lo tanto, L{F(3)(t)} = L{F(4) (t)} =

S4

s3

fes) -

fes) s3 F(O)

S2 F(O)

-

- sF' (O) - F"(O) ,

S2 F ' (O)

-

s F" (O)

- F(3) (O), etc.

(5)

14.7 Transformadas de derivadas

265

El teorema 14.6 es básico en el empleo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, pues nos permite transformar tales ecuaciones en algebraicas. La restricción de que F(t) sea continua puede no ser muy severa, pero las discontinuidades en F(t) producen términos adicionales en la transformada de F'(t). Como un ejemplo, considere una F(t) que es continua para t ~ O excepto por un salto finito en t = tI' como en la figura 14.2. Si F(t) es también de orden exponencial cuando t ~ 00, Y si F'(t) es de clase A, podemos escribir: L{F' (t)} =

=

100 e-SI F'(t)dt 11 e-SIF'(t)dt+ ¡OO e-SIF'(t)dt.

1 o

~

Entonces, aplicando integración por partes a las dos últimas integrales obtenemos:

II

L{F'(t)} =

[11

[e-sI F(t) Jo + s 10

e - SI F(t) dt oo

+ [e-sI F(t)J

+s

II

[00 e-SI F(t) dt

1/1

o L{F'(t)} = s

100 e-SI F(t) dt + e -SIl F(t¡) -

F(O)

+ O-

e-SIl F(tt)

= sL{F(t)} - F(O) - exp (-st¡)[F(tt) - F(t¡)] .

En la figura 14.2, la longitud deAB es [F(tt) - F(t¡)]. F(t)

B~ A

o

tI

Figura 14.2

266

Capítulo /4 La transformada de Laplace

Teorema 14.7

Si F(t) es de o rden exponencial cuando t ~ 00 y es continua para t 2: O excepto por un salto finito en t = tI' Y si F'(t) es de clase A, entonces de: L{ F(t) } = f es),

se deduce que: L{F'(t) } = sf(s) - F(O) - exp (-st¡)[F(tt) - F(tl)].

(6)

Si F(t) ti ene más de una di scontinuidad finita , en la fórmula para L{F '(t)} aparecerán términos adicionales, similares al último término en (6).

11 4.8 1 Derivadas de transformadas Para las funciones de clase A, los teoremas de cálculo avanzado demuestran que es válido diferenciar la integral de la transformada de Laplace. Esto es, si F(t) es de clase A, de

fes) =

100 e-Sr F(t)dt

( 1)

se deduce que: f ' (s) = l °° (-t)e - S I F(t)dt.

(2)

La integra l del lado derecho en (2) es la transformada de la función (-t)F(t).

Teorema 14.8 Si F(t) es de clase A, de: L{ F(t)}

= j(s)

se concluye que: I'(s) = L{ -tF(t)}

•

(3)

Cuando F(t) es de clase A, ( - t) k F (t) también es de clase A para cualquier entero positivo k.

Teorema 14.9 Si F(t) es de clase A. de L{ F(t)} = fes) se concluye que para cualquier entero positivo n,

d"

-fes) = L{( _t)" F(t)}. ds"

(4)

14.9 Función gamma

267

Estos teoremas resultan muy útiles en varias situaciones. Una aplicación inmediata es que nos permiten aumentar nuestra lista de transformadas con muy poco trabajo. Sabemos que: k

s

2

+ k 2 = L { sen kt},

(5)

yen consecuencia, por el teorema 14.8,

-2ks

+ k 2)2

(s2

= L{-t senkt}.

Así obtenemos:

(6)

(S2 : k2)2 = L {;k sen kt } .

Con base en la fórmula conocida: s S2

+ k2 =

L{coskt}

al derivar con respecto a s, obtenemos: k2

_ S2

2

+ k 2 )2

(s

(7)

= L{-tcoskt}.

Sumamos a cada miembro de (7) el miembro correspondiente de:

s

2

1

+k

2

= L

{~k

sen kt }

para obtener: S2

+ k22 + k22 2(s + k )

s2

= L

{

1 } - sen kt - t cos kt ,

k

de lo cual se deduce que: (S2

114.91

~ k2)2 =

L {

2~3 ( sen kt -

kt cos kt) } .

(8)

Función gamma Para obtener la transformada de Laplace de las potencias no enteras de t, necesitamos hacer uso de una función que por lo común no se estudia en matemáticas elementales. La función gamma f(x) está definida por:

x >

o.

(1)

268

Capítulo 14 La transformada de Laplace

La sustitución de (x

+ 1) por x en (1) nos da: r(x

+ 1) =

100 e - /3 fY df3.

(2)

Una integración por partes, integrando e - {3 df3 Y diferenciando f3 x, resulta en : r(x

+ 1) ,=

[ - e-/3

f3x] ~ + x 100 e-/3 f3 x - 1 df3.

(3)

Como x> o, f3 x = Ocuando f3 -) O, y, ya que x está fija, e-jJ f3 x -) Ocuando f3 -) oo. Así, r(x

Teorema 14.10 Para x > O, f(x

+ 1) =

100 e- /3 f3

x

x - 1 df3

= xr(x).

(4)

+ l) = xf(x) .

Suponga que n es un entero positivo. Utilizamos varias veces el teorema 14.10 para obtener: r(n

+ 1) =

nr(n)

= n(n - l)r(n - 1)

= n(n -

l)(n - 2)· ·· 2 · 1 · r(1)

= n! r(1) .

Pero, por definición:

Teorema 14.11 Para un entero positivo n, r(n

+ 1) = nL

En la integral para f(x + 1) en (2), hacemos f3 = st con s > O Y t queda como la nueva variable de integración. Como t -) O cuando f3 -) O Y t -) 00 cuando f3 -) 00, esto produce, (5)

lo cual es válido para x

+ 1 > O. Así obtenemos:

r(x

+ 1)

sx+l

=

00 e-S1 t Xdt,

[0

Jo

s > O, x > -1,

14.10 Funciones periódicas

269

esto, en nuestra notación de transformada de Laplace, nos dice que: r(x

x

L{t } =

Si en (6) hacemos x

=

S

+ 1)

x+ l

(6)

-1-, obtenemos: L{ - 1/2} =

t

Pero ya sabemos que L{ t -

s > 0, x > -1.

'

1/2 }

=

r(~)

S I/2 .

(n / s) 1/2. De aquí que:

r(~) =

v'Ji.

(7)

114 .10 1 Funciones periódicas Suponga que la función F(t) es periódica con periodo eo: F(t

+ eo) =

(1)

F(t)

La función queda determinada completamente por (1) una vez que es dada la naturaleza de F(t) a lo largo de un periodo, t < eo. Si F(t) tiene una transformada,

°: ;

100 e - s r F(t) dt ,

L{F(t)} =

(2)

la integral puede escribirse como una suma de integrales, L{F(t)}

=

00

L

n=O

l e - sr

F(t) dt.

(3)

na>

Ponemos t = neo + {3. Entonces (3) se convierte en:

00 L{F(t)} = L n=O

Pero F({3

f a>

Jo exp (-snúJ - sf3)F(f3

+ núJ) df3.

o

+ neo) = F(/3), por iteración de (1). De aquí que:

00

f a>

n= O

o

L{F(t)} = Lexp(-snúJ) Jo exp (-sf3)F(f3) df3.

(4)

La integral del lado derecho en (4) es independiente de n y podemos sumar la serie del lado derecho: 00 00 1 Lexp(-snúJ) = L [exp(-súJ)r = - - n=O

n=O

1-

e-sa>

270

Capítulo 14 La transformada de Laplace

Teorema 14.12 Si F(t) tiene una transformada de Laplaee y si F(t

l

L{F(t)} =

+ (O)

=

F(t),

w

e-s¡J F(f3) df3 (5)

.:...;0'---_ _ __

1 - e- SW

Ahora suponga que una función H(t) tiene un periodo 2e y que pedimos que H(t) sea cero en toda la mitad derecha de cada periodo. Esto es, H(t

+ 2e) =

H(t) = g(t),

(6)

H(t) , O::,::t O.

S

Utilice la ecuación (4) de la sección 14.7 para deducir L{sen

kt}.

4. Utilice la ecuación (4) de la sección 14.7 para deducir L{ cos

•••.,.

,

e

kt}.

conocidas de sen kt y cos kt, una contra otra, usando el

5.

Compruebe las transformadas teorema 14.5.

6.

Si n es un entero positivo, utilizando el teorema 14.9 obtenga L{t"él} L{ él} conocida.

7.

Encuentre L{ t2 sen kt}.

8.

Encuentre L{ t2 cos kt}.

9.

Para la función F(t) = t

+ 1,

t> 2,

= 3,

O.

Para la función H(t)

a partir de la

0:5 t s: 2,

trace la gráfica de F(t) y F'(t). Encuentre L{ F(t)}. Encuentre L{ F'(t)} J

podemos

= t + 1, = 6,

O

:5

t

:5

t

> 2,

por dos métodos.

2,

repita el ejercicio 9. 11.

Defina la función de onda triangular T(t, e) por T(t,

e) = t,

O:::t:::e,

= 2e - t, T(t

+ 2e,

e
n/2.

x(O) = x/(O)

= O,

en laque

M(t) = sen t - a(t - 2n) sen (t - 2n).

26.

Calcule y(~1t) y y(2 inicial: y " (x)

27.

+ ~1t) para la función y(x) que satisface el problema de valor

+ y(x) = (x -

2)a(x - 2);

y(O)

= O,

y/(O)

= O.

Calcule x(1) y x(4) para la función x(t) que satisface el problema de valor inicial: x"(t)

+ 2x'(t) + xCt) = 2 + (t -

3)a(t - 3);

x(O) = 2, x/(O) = 1.

294

Capítulo 15 Transformadas inversas

11 5.51 Un teorema de convolución Ahora buscaremos una fórmula para la transformada inversa de un producto de transformadas. Dadas: L -l{f(s)} = F(t),

L -l{g(s)} = G(t),

(1)

donde suponemos que F(t) y G(t) son funciones de clase A, deberemos obtener una fórmula para: L -l{f(s)g(s)}.

(2)

Comof(s) es la transformada de F(t), podemos escribir: fes) =

100

e-SI F(t) dt.

(3)

Ya que g(s) es la transformada de G(t),

(4) en la que, para evitar confusión, hemos utilizado f3 (en lugar de t) como la variable de integración en la integral definida. Por la ecuación (4), tenemos: f(s)g(s) =

100

e- sf3 f(s)G(f3) df3.

(5)

En el lado derecho de (5) encontramos el producto e-sf3 fes). Por el teorema 15.3 de la sección 15.4 sabemos que con base en: L -l{f(s)} = F(t)

(6)

L - 1 {e-sf3 fes)} = F(t - f3)a(t - f3),

(7)

se deduce:

en laque aes la función escalón analizada en la sección 15.4. La ecuación (7) significa que: e- sf3 fes) =

100

e-SI F(t - f3)a(t - f3)dt.

(8)

Con la ayuda de (8) podemos poner la ecuación (5) en la forma: f(s)g(s) =

100 100

e- SI G(f3)F(t - f3)a(t - f3)dtdf3 .

(9)

15.5 Un teorema de convolución

295

Como a (t - [3) = O para 0< t < [3 ya (t -[3) = 1 para t;::: [3, la ecuación (9) puede volver a escribirse como f(s)g(s) =

100 tOO

e- SI G(f3)F(t - (3)dtdf3.

(lO)

En (10), la integración en el plano t [3 cubre la región sombreada en la figura 15.6. Los elementos se suman desde t = [3 a t = 00 y luego desde [3 = O a [3 = oo. En cálculo avanzado se demuestra que como F(t) y G(t) son funciones de clase A, es válido intercambiar el orden de integración en el lado derecho de la ecuación (10). De la figura 15.6 vemos que en el nuevo orden de integración, los elementos se suman de [3 = O a [3 = t Y desde t = O hasta t = oo. Así obtenemos:

100 1

1

f(s)g(s) =

e-SI G(f3)F(t - (3) df3 dt,

o f(s)g(s) =

100 [1 e-SI

1

G(f3)F(t - (3) df3 ] dt.

(11)

Ya que el miembro derecho de (11) es precisamente la transformada de Laplace de:

1/

G(f3)F(t - (3) df3,

llegamos al resultado deseado, que se conoce como teorema de convolución para la transformada de Laplace.

f3

o Figura 15.6

296

Capítulo 15 Transformadas inversas

Teorema 15.4

Si L - 1{ f (s)} entonces:

=

F(t), si L - 1 {g(s)}

= G(t), y si F(t) y G(t) son funciones de clase A,

i

L - 1 (f(s)g(s)} =

l

G({3)F(t - (3) d{3.

(12)

Es fácil demostrar que el miembro derecho de la ecuación (12) también es una función de clase A. Por supuesto, F y G se pueden intercambiar en (12) ya que f y g aparecen ahí simétricamente. Podemos remplazar (12) por:

i

L -l {f(s)g(s)} =

l

F({3)G(t - (3) d{3,

(13)

un resultado que también se deduce de (12) por un cambio de la variable de integración.

EJEMPLO 15.13 Evalúe L{f(s)/s}. Sea L{f(s)}

= F(t). Como:

usamos el teorema 15.4 para concluir que:

• EJEMPLO 15.14 Resuelva el problema xl/(t)

+ k2x(t) =

F(t);

x(O) = A, x' (O) = B .

(14)

Aquí k, A YB son constantes y F(t) es una función cuya transformada de Laplace existe. Sean L{F(t)} =f(s).

L{ x(t) } = u(s),

Entonces, el operador de Laplace transforma el problema (14) en: s2 u (s) - As - B As u(s) =

s2

+ eu(s) =

+B

+ k2 +

fes),

fes) + k 2'

(15)

S2

Para obtener la transformada inversa del último término en (15) aplicamos el teorema de convolución. Así llegamos a: x(t) = A cos kt

B

+-

k

sen kt

1i

+-

l

k o

F(t - (3) sen k{3 d{3 ,

15.5

Un teorema de convolución

297

o x(t)

= A cos kt

+ kBItsen

kt

+ k 10

F(f3)sen

k(t - (3) df3.

(16)

•

Verificar la solución (16) es sencillo. Una vez que la comprobación ha sido realizada, no hay necesidad de suponer que F(t) tiene una transformada de Laplace. No importa qué método usemos para obtener la solución (con ciertas excepciones durante los exámenes) si la validez del resultado puede ser verificada a partir del mismo .

•

Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 3 encuentre la transformada de Laplace de la integral de convolución dada.

1.

2.

3.

1/ 1/ 1/

(t - (3) sen 3f3 df3. e-(t-/3)

sen f3 df3.

(t - (3)3

e/3

df3.

En los ejercicios del 4 al7 encuentre la transformada dada f(s) usando el teorema de convolución.

4.

5. 8.

1

6.

s(s2+k2)' 1 s(s

7.

+ 2) + 2x'(t) + x(t)

= F(t);

+ 1)2' x(O) = O, X '(O) = O.

y(O) = O, y '(O) = O.

Resuelva el problema: y"(t)

11.

1 (s2

Resuelva el problema: y"(t) - k2y(t) = H(t);

10.

S2(S - 2)

Resuelva el problema: x"(t)

9.

4

+ 4y'(t) + 13y(t)

= F(t);

y(O) = O, y '(O) = O.

Resuelva el problema: x"(t)

+ 6x

'(t)

+ 9x(t)

= F(t);

x(O) = A, x '(O) = B.

298

Capítulo J5 Transformadas inversas

11 5.6 1 Ecuaciones integrales especiales Una ecuación diferencial puede definirse de manera aproximada como una ecuación que contiene la derivada de una variable dependiente; la ecuación contiene una variable dependiente bajo un signo de derivada. Una expresión matemática de este tipo se denomina ecuación integral. Como consecuencia del teorema de convolución, la transformada de Laplace es una herramienta excelente para resolver una clase muy especial de ecuaciones integrales. Del teorema 15.4, sabemos que si L{F(t) } = fes)

y L{ G(t)} = g(s),

entonces, L

{10

1

F(f3)G(t - (3) d f3 } = f(s)g(s).

(1)

La relación (1) sugiere el uso de la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones que contengan integrales de convolución. EJEMPLO 15.15 Encuentre F(t) de la ecuación integral: F(t) = 4t -

310

1

F(f3) sen (t - (3) df3.

(2)

La integral (2) tiene la forma correcta como para permitir el uso del teorema de convolución. Sea: L{ F(t)}

= fes).

Entonces, como: L{ sen t}

=

1 -2- - ' S

+1

la aplicación del teorema 15.4 da: L {

t

Jo

F(f3) sen (t - (3) d f3 } =

fes) . +1

s2

Por lo tanto, el operador de Laplace convierte la ecuación (2) en: fes) = ~ _ 3f(s) . s2 s2 + 1

(3)

15.6 Ecuaciones integrales especiales

299

Necesitamos obtenerf(s) a partir de (3) y luego F(t) a partir def(s). De (3) tenemos:

( 1 + S2

~ 1) f(s) = s~,

o f (s) = 4(s2 + 1) = ~ s2(S2 + 4) s2

+ _3_ S2 + 4·

Por lo tanto,

o

+~

F(t) = t

(4)

sen2t.

Que la F(t) de (4) es una solución de la ecuación (2) puede verificarse de manera directa. Con frecuencia tal verificación es tediosa. Ahora demostraremos que para la F de (4), el lado derecho (L.D.) de la ecuación (2) se reduce alIado izquierdo (L.I.) de (2). Como LD = 4t -

31

1

(f3

+~

sen 2(3) sen (t - (3) df3,

integramos por partes y obtenemos el resultado: LD = 4t - 3 [ (f3

+~

sen 2(3) cos (t - (3)

+

1

31

1

(1

+

3

cos 2(3) cos

(t -

(3) df3,

de lo cual, LD = 4t -

3(t + ~

sen2t)

+

31

1

cos (t - (3) df3

+ o LD = t -

~ sen 2t -

3 [ sen (t - (3)

91

1

cos 2f3 cos (t - (3) df3,

1

+~

1 1

[cos (t

+ (3) + cos (t -

3(3)] df3.

300

Capítulo 15 Transformadas inversas

Esto nos lleva a: LD = t -

=t

~

sen2t

- ~ sen 2t

+ 3 sent + ~[ sen(t + fJ) + 3 sen t + ~

sen 2t

+~

-

~

sen(t -

3fJ)1

sen 2t - ~ sen t

+~

sen t ,

o LD = t

+~

sen 2t = F (t) = LI

como se deseaba. Es importante darse cuenta de que la ecuación original: F(t)

= 4t

-

31/

F(fJ) sen (t - fJ ) dfJ

• (2)

pudo haberse encontrado en la forma equivalente: F(t ) = 4t -

31/

F(t - fJ) sen fJ dfJ ·

Un detalle esencial para que el método usado tenga éxito es que la integral implicada teng¡:t exactamente la forma de la integral de convolución. Los límites de integración deben ser cero y la variable independiente y el integrando debe ser el producto de una función de la variable de integración por una diferencia entre la variable independiente y la variable de integración. El hecho de que integrales con esa forma aparezcan a menudo en problemas físicos hace que el tema de esta sección sea relegado al papel de un juego matemático de palabras.

EJEMPLO 15.16 Resuelva la ecuación: g(x ) =

~x2

-1

x

(x - y )g(y) dy.

(5)

De nuevo la integral implicada es del tipo de convolución, con x desempeñando el papel de la variable independiente. Suponga que la transformada de Laplace de g(x) es alguna función aún desconocida hez): L{g(x)} = hez).

Como L{~2} = 1/z3 YL{x} = 1/z2, podemos aplicar el operador L a (5) y obtener: hez) = -

1

Z3

hez)

- -, Z2

(6)

15.6 Ecuaciones integrales especiales

301

de la que:

o h

1

_ (z) -

• (2)

+

Z(Z2

Z

1)

~ -

Z2

+i

Entonces: g(x) = L -1

-1 - --

{

Z

Z2

z}

+

1

,

o g(x) = 1 - cosx.

(7)

La comprobación de (7) es sencilla. Para el miembro derecho de (5) obtenemos:

-1

x

LD = !x2

cada eben nde iable bleático

= !x2 -

!

2

= x

=

•

-

(x - y)(l-

-1

x

[(X -

y)(y -

[!l

O-

cosy)dy

senY)I

(y -

+ cos y I

1 2 1 2 2x - 2x - cos x

+ 1= 1-

cos x

=

Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 4 resuelva la ecuación dada y verifique su solución.

F(t)

= 1+

2.

F(t)

= 1+

3.

F(t)

=t+

4.

F(t)

= 4t2

(5)

21 1 1 -1

r

l.

F(t

- f3)e-2f3

df3.

r

do el es al-

F(f3)

sen (t - f3) df3.

r

(6)

F(t - f3)e-f3

df3.

r

F(t - f3)e-f3

df3.

seny)dy

LI

•

'~

302

Capítulo 15 Transformadas inversas En los ejercicios del 5 al 8 resuelva la ecuación dada. Si dispone de tiempo, compruebe su solución.

1 1

5.

F(t) = t 3

6.

F(t)

7.

F(t) = t 2

8.

F(t)

+

F(f3) sen (t -

31 21 + 21 21 l +1 21 + 41

13) df3 .

1

=

8t 2

-

F(f3) sen (t -

13) df3 .

1

F(t -

13) senh 213 df3.

F(t -

13) cos 13 df3.

-

1

=1

En los ejercicios del 9 al 12 resuelva la ecuación dada.

9.

H (t) = ge 21 -

1

H (t -

13) cos 13 df3.

Y

H(x) sen (y - x) dx.

10.

H(y) =

11.

g(x) =

12.

y(t) = 6t

13.

Resuelva la ecuación siguiente para F(t) con la restricción de que F(O) = 4.

x

e- x -

g(f3) cos (x -

13) df3.

1

(13 -

t)2y(f3) df3.

1 1

F' (t) = t

14.

+

F(t -

13)

cosf3df3.

Resuelva la ecuación siguiente para F(t) con la restricción de que F(O) = O.

1 1

F ' (t)

15.

= sent +

F(t -

13) cosf3 df3.

Demuestre que la ecuación del ejercicio 3 puede ponerse en la forma: (A)

16.

Derive cada miembro de (A) con respecto a t y así remplace la ecuación integral con una ecuación diferencial. Observe que F(O) = O. Encuentre F(t) por este método. Resuelva la ecuación:

por dos métodos; use el teorema de convolución y la idea básica que se introdujo en el ejercicio 15. Observe que en este caso no necesita resolver ninguna ecuación diferencial.

15.7 Métodos de transformación y vibración de resortes

303

115.7 1 Métodos de transformación y vibración de resortes Todas las aplicaciones estudiadas en el capítulo 10 dieron origen a ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Esos problemas de valor inicial fueron resueltos mediante la teoría de ecuaciones diferenciales lineales desarrollada en capítulos anteriores. Por supuesto que los problemas de valor inicial pueden resolverse usando las transformaciones de Laplace, esto lo ilustraremos volviendo a examinar algunos de los problemas considerados antes. EJEMPLO 15.17 Resuelva el problema del resorte dado en el ejemplo 10.1 de la sección 10.2, sin amortiguamiento pero con F(t) = A sen rot. Como vimos antes, el problema a resolver es: xl/(t)

+ f32x(t)

= sen rot,

(1)

x '(O) = v o'

(2)

con las condiciones iniciales de que: x(O) = x o'

Sea L {x(t)} = u(s). Entonces (1) y (2) producen, 2

2

s u(s) - sxo-vo + ,8 u(s) =

Aw , s2 + w 2

o (3)

El último término en (3) nos conduce a transformadas inversas diferentes de acuerdo con ro = {3 o ro -:;:. {3. El caso ro = {3 produce un fenómeno denominado resonancia , el cual será analizado en el ejemplo 15.20. Si ro -:;:.{3, la ecuación (3) produce: u () s = sxo

+ Vo + Aw w 2 - ,82

S2 + ,82

(1

s2 + ,82

1)

- -,---s2 + w 2

.

(4)

De (4) se deduce inmediatamente que: x(t) = xocos,8t+vo,8 -

1

sen,8t +

Aw sen,8t,8 (w 2 - ,82)

W

2

A - ,8

2 senwt. (5)

Es fácil verificar que la x de (5) es una solución del problema (1) y (2). Un estudio de (5) es sencillo y en seguida nos lleva a conclusiones tales como que x(t) está acotada, y así sucesivamente. Los primeros dos términos de la derecha en (5) producen la componente armónica natural del movimiento; los últimos dos términos constituyen la componente forzada.

304

Capítulo 15 Transformadas inversas

Esta es la misma solución encontrada para el mismo problema en la sección 10.2, pero usando un enfoque diferente por completo.

•

EJEMPLO 15.18 Utilice transformaciones de Laplace para resolver el problema del resorte del ejemplo 10.2 en la sección 10.2. El problema de valor inicial es: x " (t)

+ 64x(t) =

x(O) = ~, x /(O) = -2.

O;

(6)

Hacemos L{x(t)} = u(s) y en seguida concluimos que: ~s

S2 U (S) -

+ 2 + 64u(s) =

0,

de lo cual: u(s) =

!s - 2 3 2

S

•

+64

Entonces, x(t) = ~cos8t - ~ sen8t.

(7)

•• EJEMPLO 15.19 Un resorte, cuya constante es de 0.75 libras por pie, está en una mesa larga y lisa (sin fricción). En la posición de equilibrio, se sujeta al resorte en reposo (velocidad cero) un peso de 6 libras. Durante 4 segundos se aplica una fuerza de 1.5 libras al soporte del peso, situado a lo largo de la línea de acción del resorte. Analice el movimiento. Debemos resolver el problema: f2x " (t)

+ ~x(t) =

H(t);

en el que: H(t) = 1.5,

=0,

x(O) = 0, x/(O) = 0,

°< t

(8)

4, 4.

Ahora, en términos de la función ade la sección 15.4, H(t) = 1.5[1 - a(t - 4)]. Por lo tanto, volvemos a escribir nuestro problema (8) en la forma: x " (t)

+ 4x(t)

= 8[1 - a(t - 4)];

x(O) = 0, x /(O) = O.

(9)

15.7 Métodos de transformación y vibarción de resortes

305

Sea L{x(t)} = u(s). Entonces (9) produce: s2u (s)

+ 4u(s) =

8 -(1 - e- 4s ) , s

o 8(1 - e- 4s ) u(s) - - - - : - - - S(s2 + 4)

s)

1 = 2 ( :;- - -s2-+-4

(1 - e

-4s

).

La solución deseada es: x(t) = 2(1 - cos 2t) - 2[1 - cos 2(t - 4)]a(t - 4).

(10)

Por supuesto, la solución (10) puede dividirse en las dos relaciones: para

O:::=: t :::=: 4, t > 4,

para

x(t) = 2(1 - cos 2t),

(11)

x(t) = 2[cos 2(t - 4) - cos 2t],

(12)

si éstas dan la impresión de ser más sencillas de utilizar. La verificación del resultado en (10), (11) o (12) es directa. El estudiante debe demostrar que: lim x(t)

1-+ 4-

= 1-+4+ lim x(t) = 2(1 -

cos 8)

= 2.29

y lim x/(t)

1-+4-

= 1-+4+ lim x/(t) = 4 ,sen 8 = 3.96.

De (10) o de (11) vemos que en el rango O < t < 4, la desviación máxima del peso desde el punto de partida es x = 4 pies, y que sucede en t = ~1t = 1.57 segundos. En t = 4, x = 2.29 pies, corrio se demostró anteriormente. Para t > 4 se utiliza la ecuación (12) y, por lo tanto, resulta que el movimiento es armónico simple con una x máxima de 3.03 pies. En efecto, para t > 4, maxlx(t)1 = 2} (1 - cos 8)2

+ sen 2 8

= 2.J2J1 - cos 8 = 2J2.291O = 3.03.

•

El ejemplo 15.19 es un tipo de problema para el que la técnica de la transformada de Laplace resulta particularmente útil. Tales problemas pueden resolverse por medio de métodos clásicos más conocidos, pero con mucha menos simplicidad y prontitud.

306

Capítulo 15 Transformadas inversas

EJEMPLO 15.20 Resuelva el problema de vibración no amortiguada del ejemplo 15.1 7 para el caso en que ro = [3. Nuestro problema es resolver:

+ {32 X(t)

xl/(t)

= A sen {3t;

x(O)

= xo,

x/(O)

= VO,

(13)

con la ayuda de: (14) De la ecuación (8) , sección 14.8, ya sabemos que: L-

1 {

1 ( sen {3t - {3t cos {3t) . (S2 +1 {32)2 } = 2{33

Por lo tanto, (14) nos lleva a la solución: x (t) = Xo cos {3t

Vo

+ 7J

sen {3t

A

+ 2{32 ( sen {3t -

{3t cos {3t).

(15)

Otra vez obtenemos una solución igual a la encontrada en la ecuación (5) de la sección 10.3, y tenemos que se presenta el fenómeno de resonancia.

•

EJEMPLO 15.21 Resuelva el problema dado en el ejemplo de la sección 10.4, ~xl/(t)

Hacemos L{x(t)}

+ 0 .6x'(t) + 24x(t) =

O;

x(O) =

t, x/(O) =

- 2.

(16)

= u(s). Entonces (16) produce:

+ 1.6s + 64)u(s)

(s2

= tes - 4.4),

de lo que obtenemos:

1-I{ es + 0.8)2 s-4.4 } + 63.36 1 -I{ s s-5.2 } = 'lexp(-0.8t)L . + 63.36

x t -- L ( ) -

3

2

.

Por lo tanto, la solución deseada es: x(t)

= exp( -

0.8t)(0.33 cos 8.0t - 0.22 sen 8.0t),

una parte de su gráfica se muestra en la figura 10.3.

(17)

•

/5.8 Deflexión de vigas

•

307

Ejercicios

Cada uno de los ejercicios del capítulo lOes apropiado para resolverse como vimos en esta sección. Sería instructivo resolver un problema con y sin la transformada de Laplace para comparar los dos métodos.

11 5.81 Deflexión de vigas Como ejemplo adicional de la utilidad de los métodos de transformación, consideremos una viga de longitud 2e, como se muestra en la figura 15.7. Denotamos con x la distancia desde uno de los extremos de la viga y la deflexión de ésta con y. Si la viga está sujeta a una carga vertical W(x), la deflexión y deberá satisfacer la ecuación: d4 y

E I -4 dx

=

W(x)

para O < x < 2e,

(1)

en la que E, el módulo de elasticioad, e 1, un momento de inercia, son constantes conocidas asociadas con esa viga en particular. La pendiente de la curva de de flexión es y '(x), el momento de flexión es E/y"(x) y la fuerza cortante es E/y'" (x). Las condiciones de frontera comunes son de los tipos siguientes: (a) Viga empotrada en un soporte: y = O Yy' = O en el punto. (b) Viga soportada simplemente: y

= Oy" = O en un punto.

(c) Viga libre: y" = O Yy'" = Oen el punto. Los problemas donde se plantea el desplazamiento transversal de una viga tienen la forma de la ecuación diferencial (1), con condiciones de frontera en cada extremo de la viga. Tales problemas pueden ser resueltos por integración con el uso de un poco de álgebra; sin embargo, existen dos razones por las que es preferible solucionarlos con nuestro método de transformadas. Con frecuencia, la función de carga, o su derivada, es discontinua. Los problemas de vigas también nos dan oportunidad de examinar un recurso útil en el que un problema sobre un rango finito se resuelve con la ayuda de un problema asociado sobre un rango infinito.

, ,

--------1-------

x __

e

Figura 15.7

2e

308

Capítulo 15 Transformadas inversas

EJEMPLO 15.22 Encuentre el desplazamiento y a lo largo de la viga mostrada en la figura 15.7, donde se supone que la carga disminuye de manera uniforme desde (í)o en x = O, hasta cero en x = e, y permanece en cero desde x = e hasta x = 2e. El peso de la viga se considera insignificante. La viga está empotrada en x = O Ylibre en x = 2e. Tenemos que resolver el problema: d4y Wo E I -4 = -[e - x dx e

+ (x

- e)a(x - e)]

y(O) = O,

= Q,

y"(2e)

para O < x < 2e;

y' (O) = O, y'''(2e) = O.

(2) (3)

(4)

El estudiante debe verificar si el miembro derecho de (2) es la función de carga estipulada. W(x)

=

Wo

-(e - x) para O .:::: x.:::: e, e = O para e < x .:::: 2e.

(5)

Para aplicar la técnica de la transformada, con x desempeñando el papel para el que generalmente empleamos t, necesitamos extender primero el rango de x de modo que tome valores desde O hasta oo . Esto es, en lugar de (2), (3) y (4), resolveremos el problema que consiste en:

d4 y

El dx 4 = H(x )

para O < x
Eqn2:=D(D(x)) (t)+4*x(t)=4*t-4*(t-l)*Heaviside(t-l): dsolve({Eqn2,x(O')=1,D(x) (O)=O},x(t) ,laplace);

x(t)

•

= cos(2 t) + t

-

(t

sen(2 t) sen(2 t - 2)) - 4 H eaviside (t - 1) - - 1/ 4 - - - - 2 4 8

Ejercicios l.

Utilice una computadora para resolver algunos problemas variados que impliquen la aplicación de las transformadas de Laplace.

2.

Utilice una computadora para resolver diversos problemas que impliquen el uso de las transformadas inversas de Laplace.

3.

En el ejemplo 15.12 de la sección 15.4, como se describió anteriormente, la solución incluye a la función Heaviside. Sin embargo, esto no significa que dicha solución no sea continua. Utilice una computadora para encontrar, primero, la solución anterior, luego trace la gráfica de esa solución. ¿Parece continua?

318

Capítulo 15 Transformadas

inversas

TABLA DE TRANSFORMADAS Donde se utilice, n representa un entero no negativo. El rango válido puede determinarse a partir del material apropiado del texto. En los ejemplos y ejercicios se encontrarán muchas otras transformadas. = L{F(t)}

f(s)

f(s

F(t) eaIF(t)

- a)

+ b)

feas 1

-e:", e > O s

a(t - e) = O,

O::: t < e,

=1,c:::t e> O

f(s),

e-es

F(t - c)a(t - e)

1

1

fl (s)12(s)

FI(~)F2(t

- f3) df3

s tn sn+1

1 --

x>-1

sx+l'

s-I/2

n! tX r(x + 1) (nt)-1/2 e-al

s+a

t't e?" (s

+ a)n+1 k

s2

+ k2

s2

+ k2

s k s2 - k2 S

s2 - k2 2k3 (s2

+ k2)2

n! senkt coskt

senh kt cosh kt sen kt - kt cos kt

15.10

Suplemento para computadora

319

TABLA DE TRANSFORMADAS (continuación) f(s)

= L{F(t)}

F(t)

2ks

t senkt 1- e:'

ln(I+~) 2senhkt

s+k s-k

ln--

2 (1 - ~:) -(1 2 -(1 In (1 + ~:)

In

t

t

k

aretan-

coshkt)

coskt)

senkt

s

1,

Ecuaciones no lineales

16 a

11 6. 11

Observaciones preliminares El teorema de existencia y unicidad que estudiamos en el capítulo 13 no hace distinción entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Sin embargo, de nuestro estudio en los primeros capítulos de este libro, sabemos que la utilización de los métodos conocidos para determinar las soluciones de una ecuación dada con frecuencia depende de que la ecuación sea lineal. Por ejemplo, en el capítulo 2 encontramos que ciertas clases particulares de ecuaciones no lineales de primer orden pueden resolverse siendo la ecuación exacta, separable, homogénea, etc. Por otra parte, si una ecuación de primer orden es lineal, podemos aplicar cierto método que produce todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial. El hecho es que no existe un método general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, aún si la existencia de soluciones puede demostrarse por los teoremas del capítulo 13. En realidad, la determinación de soluciones para ecuaciones de este tipo con frecuencia es difícil, si no imposible. En este capítulo analizaremos brevemente unas cuantas de las dificultades especiales que surgen con ecuaciones no lineales, y veremos algunas técnicas con las que se resuelven ciertos tipos particulares de ecuaciones.

116.21 Factorización del miembro izquierdo Para ilustrar la complejidad que puede surgir en situaciones no lineales, primero consideraremos una complicación relativamente sencilla. Para una ecuación de la forma: f(x, y, y') = O

(1)

puede ser posible factorizar el miembro izquierdo. El problema a resolver (1) se remplaza entonces por dos o más problemas más sencillos. Lo último puede ser resuelto por los métodos de los capítulos 2 y 5. Ya que en el ejemplo y en los ejercicios y' se elevará a potencias, simplificaremos su representación y escritura con un recurso muy común, usando p por y ': dy

p --

- dx·

320

16.2 Factorización del miembro izquierdo

321

EJEMPLO 16.1 Resuelva la ecuación diferencial:

xyp2

+ (x + y)p + 1 = O.

(2)

El miembro izquierdo de la ecuación (2) se factoriza con facilidad. Así (2) conduce a: (xp

+ 1)(yp + 1) =

de lo que resulta:

0,

yp

+ 1=

°

(3)

xp

+ 1 = O.

(4)

o bien, De la ecuación (3) en la forma:

°

ydy

+ dx =

y2 =

2(x - Cl).

se deduce que: (5)

La ecuación (4) puede escribirse como:

xdy de la cual, para x

+ dx = 0,

* 0, dx dy+ - =0, x

de modo que: y = - In I c2 x l.

(6)

•

Decimos, y es un lenguaje muy poco formal, que las soluciones de (2) son (5) y (6). Con base en éstas se pueden conformar soluciones particulares; sea a partir de (5) solamente, sólo de (6), o mediante uniones parciales usando (5) en algunos intervalos y (6) en otros. En el punto donde una solución proveniente de (5) se junte con una de (6), la pendiente debe seguir siendo continua de modo que las partes puedan unirse a lo largo de la recta y = x (Véase el ejercicio 21 más adelante.) Note que la segunda derivada, la que no entra en la ecuación diferencial, no necesita ser continua (Véase el ejercicio 24.) La existencia de estos tres conjuntos de soluciones particulares de (2), esto es, soluciones de (5), de (6) o de (5) y (6), nos lleva a conocer un fenómeno interesante en los problemas de valor inicial. Considere el problema de encontrar una solución de (2) tal que pase por el punto (- 2). Si el resultado debe ser válido para el intervalo -1 < x < -1, existen dos respuestas, que se encontrarán en el ejercicio 25. Si el resultado tiene que ser válido para -1 < x < !, sólo existe una respuesta (ejercicio 26), y es una de las dos respuestas del ejercicio 25. Si el resultado tiene que ser válido en -1 < x < 2, sólo hay una respuesta (ejercicio 27).

!'

322

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

•

Ejercicios

En los ejercicios dell all8 encuentre las soluciones en el sentido de (5) y (6).

1.

x2 p2 _ y2 = O.

2.

xp2 - (2x

3.

x2 p2 -

4.

x2 p2

5.

xp2+(l-x2y)p-xy = O.

+ 3y)p + 6y = 5xyp + 6y2 = O.

+ xp -

O.

y2 - Y = O.

11. 12.

(4x - y)p2

13.

(x _ y)2 p2 = y2.

14.

xyp2 + (xy2 - 1)p - y (x 2 + y2)2p2 = 4x2y2.

15. 16. 17. 18 .

y)p

p2 - (x 2y

7.

Xp2 -

8.

p2 - x2y2 = O.

9.

(x

10.

p2- xy (x+y)p+x 3y 3 = O.

+ 6(x -

6.

+ 2x -

+ 3)p + 3x 2y = (1 + xy)p + y = O.

+ y)2p2 = y2. yp2 + (x - y2)p -

O.

xy = O.

5y = O.

= O.

(y + xf p2 + (2 y 2 + xy - x2)p + y(y - x) = O. xy(x 2 + y2)(p2 - 1) = p(x 4 + x2y2 + y4). xp3 - (x 2 +x + y)p2 + (x 2 +xy + y)p -xy = O.

Los ejercicios dell9 al 27 se refieren al ejemplo de esta sección. Allí se demostró que la ecuación diferencial:

xyp2

+ (x + y)p + 1 = O

(2)

tiene las soluciones:

y2 = -2(x - el)

(5) .

y

(6) 19.

Demuestre que de la familia (5), la única curva que pasa por el punto (1, 1) es y = (3 - 2X)1/2 y que esta solución es válida para x < ~.

20.

Demuestre que de la familia (6), la única curva que pasa por el punto (1, 1) es y = 1 - In x y que esta solución es válida para O < x.

21.

Demuestre que la función definida por: y = (2 - 2X) 1/2 y

=-

In x

para x ::::; 1, para x

es una solución de la ecuación (2) para toda x y, por lo tanto, allí no es solución.

=1=

~

1,

1, pero que no tiene derivada enx

=1

16.3 Soluciones singulares

323

y

--------------1-----~~~~-- x

o

Figura 16.1

22.

Demuestre que si una solución de (2) se forma uniendo partes de (5) y de (6), entonces las pendientes de las curvas deben ser iguales donde se unan las secciones. Pruebe también que, por lo tanto, las secciones deben unirse en un punto de la recta y = x.

23 .

Demuestre que la función determinada por:

y = (3 - 2x) l/ 2

para x ::: 1,

Y = 1 - In x

para 1 ::: x

es una solución de la ecuación (2) y válida para toda x. La parte interesante de está curva se muestra en la figura 16.1 . 24.

Demuestre para la solución dada en el ejercicio 23 que y no es continua en x = l. Pruebe también que cuando x ~ 1- , y ~ -1, Ycuando x ~ 1+ , y ~ + l. 11

11

11 6.31

11

25 .

Encuentre aquellas soluciones de (2) que sean válidas en - 1 < x < -;} y que sus gráficas pasen por el punto (- ! , 2).

26.

Encuentre la solución de (2) que sea válida para -1 < x < por el punto ( - ! ' 2).

27.

Encuentre la solución de (2) que sea válida para -1 < x < 2 Yque su gráfica pase por el punto (2).

! y que su gráfica pase

!'

Soluciones singulares Ahora resolv~mos la ecuación diferencial:

l

p2 -

a2

+y2 =

O.

(1)

Aquí, de modo que podemos escribir: (2)

324

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

o ydy = dx, Ja2 - y2

o (si no puede efectuarse la división entre:

.ja2

(3)

_ y2 (4)

De (2) se deduce que: (5)

de (3) que: (6) y de (4),

y=a

o

y= - a

(7)

De manera gráfica, las soluciones de (5) son los semicírculos del lado izquierdo con radio a y centro en el eje x; las soluciones de (6) son los semicírculos del lado derecho con radio a y centro en el eje x. Podemos combinar (5) y (6) en:

(8) que podríamos estar tentados a llamar la solución "general" de (1). Sin embargo, de cualquiera de las ecuaciones (7) obtenemos p = 0, de modo que y = a y y = -a son ambas soluciones de la ecuación (1), pero ninguna de estas funciones es un caso especial de (8). Por lo tanto, vemos que el uso del término solución "general" para las funciones definidas implícitamente por (8) no es consistente con el uso dado para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales. Para las ecuaciones lineales, cualquier solución es un caso particular de la solución general. Tal vez no sea conveniente que designemos como "solución general" la familia de soluciones con un parámetro definida por (8). Las soluciones particulares y = a y y = -a son llamadas singulares. (Debe quedar claro que las ecuaciones lineales no pueden tener soluciones singulares.) Una solución singular de una ecuación diferencial no lineal de primer orden es cualquier solución que: (a)

No sea un caso especial de la solución general.

(b)

En cada uno de sus puntos, sea tangente a algún elemento de la familia con un parámetro dada por la solución general.

La figura 16.2 muestra varios elementos de la familia de círculos dada por la ecuación (8) y las dos rectas que representan a y = a y = -a. En cada punto de cualquiera de las rec-

16.4 Ecuación con discriminante c

325

y

-r----+----Hr---~--~Hr--_+----~x

Figura 16.2

tas, la línea es tangente a un elemento de la familia de círculos. Una curva en la que cada uno de sus puntos es tangente a un elemento de una familia de curvas con un parámetro es llamada curva envolvente de esa familia.

11 6.41

Ecuación con discriminante e Considere la ecuación diferencial de primer orden: dy

f(x, y, p) = O;

p = dx'

(1)

en la que el miembro izquierdo es un polinomio en x, y y p. Tal vez no sea posible factorizar el miembro izquierdo en factores que sean polinomios en x, y y p. En ese caso se dice que la ecuación es irreducible. La solución general de (1) será una familia con un parámetro, (x, y, e) = O

(2)

Si existe una solución singular para la ecuación (1), debe ser una envolvente de la familia (2). Cada punto en la envolvente es un punto de tangencia con algún elemento de la familia (2), y está determinado por el valor de e que identifica a ese elemento. Entonces la envolvente tiene ecuaciones paramétricas, x = x(e) y y = y(e), con la e de la ecuación (2) como parámetro. Las funciones x(e) y y(e) son hasta ahora desconocidas. Pero la x y la y del punto de contacto deben satisfacer también la ecuación (2), de lo que obtenemos, por diferenciación con respecto a e, la ecuación: acp dx ax de

+

acp dy ay de

+

acp = ae

o.

(3)

La pendiente de la envolvente y la del elemento perteneciente a la familia de curvas deben ser iguales en el punto de contacto. Esa pendiente puede determinarse al diferenciar la ecuación (2) con respecto a x, considerando a e constante. Así se deduce que: acp

acp dy

ax

ay dx

-+--=0.

(4)

326

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

Las ecuaciones (3) y (4) se cumplen en el punto de contacto y de ellas se deduce que:

act> = O.

ac

(5)

Ahora tenemos dos ecuaciones, c/J = OY ac/J / ac = O, que deben satisfacer x, y y c. Estas dos expresiones pueden tomarse como las ecuaciones paramétricas deseadas. Contienen cualquier envolvente que pueda existir para la familia de curvas original, c/J = O. Afortunadamente, no necesitamos poner estas ecuaciones en la forma x = x(c) y y = y(c). La ecuación que se obtiene al eliminar a c de las ecuaciones c/J = O Y ac/J / ac = O se denomina ecuación con discriminante c l de la familia c/J = o. Una condición necesaria y suficiente es que la ecuación c/J(x, y, c) = O,

(2)

considerada como una ecuación en c, tenga al menos dos de sus raíces diferentes. Nada en nuestro trabajo garantiza que la ecuación con discriminante c, o parte de ella, producirá una solución de la ecuación diferencial. Para obtener la ecuación con discriminante c necesitamos la solución general; durante el proceso de obtención de ésta encontraremos también la solución singular, si es que existe alguna.

116.51 Ecuación con discriminante p Suponga que en la ecuación diferencial irreducible: f(x, y,p) = O

(1)

el polinomiof es de grado n en p. Habrá entonces n raíces de la ecuación (1) y cada una producirá un resultado de la forma: p = g(x, y).

(2)

Si en el punto (xo' Yo) la ecuación (1) tiene, como una ecuación en p, todas sus raíces distintas, entonces habrá n ecuaciones distintas del tipo de la ecuación (2) cerca de (x o' Yo). También cerca de (x o' Yo)' los miembros derechos de estas n ecuaciones serán univaluados y deberán satisfacer las condiciones del teorema de existencia descrito en el capítulo 13. Pero si en (xo' Yo) la ecuación (1) tiene al menos dos de sus raíces iguales, entonces al menos dos de las n ecuaciones de la forma (2) tendrán miembros derechos que toman el mismo valor en (xo' Yo). Para tales ecuaciones no existe una región, no importa qué tan pequeña sea, alrededor de (xo' Yo) en la que el miembro derecho sea univaluado. De aquí que el teorema de existencia del capítulo 13 no pueda aplicarse cuando la ecuación (1) tenga dos o más raíces iguales, como una ecuación en p. Por lo tanto, debemos considerar por separado el lugar geométrico de puntos (x, y) para los cuales (1) tiene al menos dos de sus raíces iguales. l La ecuación con discriminante e puede tener un lugar geométrico de cúspides de las curvas de la solución general y un lugar geométrico de nodos de esas mismas curvas, así como la envolvente que despertó nuestro interés en ella.

16.5 Ecuación con discriminante p

327

La condición de que la ecuación (1) tenga al menos dos raíces iguales es que tanto f como aj I ap sean iguales a cero. Estas dos ecuaciones con tres variables x, y y p son las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano xy con p desempeñando el papel de parámetro. La ecuación que resulta cuando p es eliminada de las ecuaciones paramétricas f = y ajl ap = es llamada ecuación con discriminante p. Si existe una envolvente de la solución general def = 0, ésta estará contenida en la ecuación con discriminante p. Aquí no se da ninguna demostración. 2 Para nosotros la ecuación con discriminante p es útil en dos formas. Cuando una solución singular se obtiene en el curso natural de resolución de una ecuación, la ecuación con discriminante p nos proporciona una comprobación. Si ninguno de nuestros métodos nos lleva a una solución general, entonces la ecuación con discriminante p ofrece funciones que pueden ser soluciones particulares (incluso singulares) de la ecuación diferencial. En consecuencia, la ecuación con discriminante p debe ser comprobada para buscar posibles soluciones de la ecuación diferencial. Por supuesto, tales soluciones particulares no contribuyeii al proceso de encontrar la solución general. La ecuación con discriminante p puede contener soluciones singulares, soluciones que no son singulares y funciones que no son soluciones .

°

•

°

Ejercicjos

1.

Para la ecuación cuadrática:

f=A p2 + Bp

+ C= 0,

con A, B Y C como funciones de x y y, demuestre que la ecuación con discriminante p obtenida al eliminar p de f = y de ajI ap = 0, es la conocida ecuación

°

B2 - 4AC = O.

+ Ap + B =

2.

Para la cúbica p3 4A3 + 27B2 = O.

3.

Para la cúbica p3 + Ap 2 + B = 0, demuestre que la ecuación con discriminante p es B(4A3 + 27B) = O.

4.

Establezca las condiciones para que la ecuaciónx3p 2 + x2yp + 4 = tenga raíces iguales como una ecuación cuadrática en p. Compárela con la solución singular xy2 = 16.

5.

Demuestre que la condición de que la ecuación xyp2 + (x + y)p + 1 = del ejemplo dado en la sección 16.2 tenga raíces iguales enp es (x - y)2 = 0, también demuestre que la última ecuación no produce una solución de la ecuación diferencial. ¿Habría una solución singular? Para la ecuación y2p2 - a 2 y2 = de la sección 16.3, encuentre la condición para la

6.

0, demuestre que la ecuación con discriminante p es

°

°

°

existencia de raíces iguales en p y compárela con la solución singular. 2 Para mayores detalles acerca de soluciones singulares y discriminantes, véase E. L. Ince, Ordinary Differential Equations (Londres, Longmans, Green & Co., 1927), pp. 82-92.

328

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

7.

Para la ecuación diferencial del ejercicio 6, demuestre que la función definida por: y = [a 2 - (x

+ 2a)2]1/2

:s -2a, para - 2a :s x :s 2a, para 2a :s x :s 3a,

para -3a < x

y = a y

=

[a 2 - (x - 2a)2]1/2

es una solución. Bosqueje la gráfica y demuestre cómo se obtuvo uniendo partes de las soluciones general y singular dadas en las ecuaciones (5), (6) Y(7) de la sección 16.3. En los ejercicios del 8 al 16 obtenga, (a) la ecuación con discriminante p y (b) aquellas soluciones de la ecuación diferencial que estén contenidas en dicha ecuación.

8.

9. 10.

11. 16.

17.

12. p2 +4x 5 p - 12x 4y = O. 13. 4l p2 - 4xp + y = O. p2 - xp - y = O. 14. p3 + xp2 - y = O. p2 - xp + y = O. 15. y4 p3 - 6xp + 2y = O. 4y3p2 + 4xp + y = O. Véase también el ejercicio 13.

xp2 - 2yp +4x = O. 3x 4 p2 - xp - y = O.

Para la ecuación diferencial del ejercicio 4 se encontrará que la solución general es + 4x + e2 = O. Encuentre la condición para que esta ecuación cuadrática en e tenga raíces iguales. Compare esa condición con la solución singular. exy

116.61

Eliminación de la variable dependiente Suponga que la ecuación: dy p = dx'

f(x, y, p) = O;

(1)

es de una forma tal que podemos despejar fácilmente la variable dependiente y y escribir:

(2)

y = g(x,p).

Podemos diferenciar la ecuación (2) con respecto a x y, como dy / dx = p, así obtenemos una ecuación: h

(x,

p,

~~) =

O

(3)

sólo con x y p. Si podemos resolver la ecuación (3), tendremos dos ecuaciones que relacionan a x, y y p, esto es, la ecuación (2) y la solución de (3). Éstas juntas forman ecuaciones paramétricas de la solución de (1) con p considerada ahora como un parámetro. 0, si

16.6 Eliminación de la variable dependiente

329

puede eliminarse p de entre (2) y la solución de (3), entonces se obtendrá una solución en forma no paramétrica.

EJEMPLO 16.2 Resuelva la ecuación diferencial:

+ 9x2 =

Xp2 - 3yp

O

parax > O.

(4)

Escribimos de nuevo la ecuación (4) como

9X 2 3y = x p + - . p

(5)

Entonces, al diferenciar ambos miembros de (5) con respecto a x, usando el hecho de que dy / dx = p, obtenemos: 2 18x + ( x -9x 3p=p+- ) -dp , p p2 dx

o 2p

(1 _

9X) = x p2

(1 _

9X) dP . p2 dx

(6)

Con base en (6) se deduce que, o bien: 1- -

9x =0 p2

(7)

dp 2p =X-. dx

(8)

o

Primero consideramos (8), que conduce a:

2dx = dp x p de modo que:

(9) Por lo tanto, las ecuaciones (4) y (9), siendo p un parámetro, constituyen una solución de (4) la cual es considerada como una ecuación diferencial con p = dy / dx. En este ejemplo es fácil eliminar p de las ecuaciones (4) y (9), de modo que realizamos esa eliminación. El resultado es: x . c2x 4 - 3y . cx 2 + 9x2 = O. Como x > O tenemos:

330

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

o

Ahora hacemos c

= 3k para obtener: (lO)

La ecuación (10), con k como una constante elegida arbitrariamente, es llamada solución general de la ecuación diferencial (4). Aún tenemos que tratar con la ecuación (7). Observe que (7) es una relación algebraica entre x y p, en contraste con la relación diferencial (8), que ya hemos usado. Razonamos que eliminar p de (7) y (4) puede llevamos a una solución de la ecuación diferencial (4) y que la solución no incluirá una constante arbitraria. De (7) se ve que p = 3X l/2 o P = - 3x 1/2. Cualquiera de estas expresiones para p puede sustituirse en (4) y nos llevará a: (11)

No es difícil demostrar que la ecuación (11) define dos soluciones de la ecuación diferencial. Estas soluciones no son casos especiales de la solución general (10). Son soluciones singulares; la ecuación (11) tiene como gráfica la envolvente de la familia de curvas dada por la ecuación (10). Las soluciones definidas por (11) también son fáciles de obtener a partir de la ecuación con discriminante p.

• 11 6.71 Ecuación de Clairaut Cualquier ecuación diferencial de la forma: y = px

+ f(P),

(1)

dondef(p) no contiene ax ni ay de manera explícita, puede resolverse de inmediato por el método de la sección 16.6. La ecuación (1) se conoce como ecuación de Clairaut. Diferenciamos ambos miembros de (1) con respecto ax, así obtenemos: p = p

+ [x + f'(P)]p',

o [x

+f

,

dp (P) ] dx =

O.

(2)

Entonces, o bien: dp = 0 dx

(3)

J6. 7 Ecuación de Clairaut

331

o

x+ f'(P) =0.

(4)

La solución de la ecuación diferencial (3) es, por supuesto, p = e, y aquí e es una constante cualquiera. Regresando a la ecuación diferencial (1), ahora podemos escribir su solución general como:

y = ex

+ f(e),

(5)

un resultado que se comprueba fácilmente por sustitución directa en la ecuación diferencial (1). Observe que (5) es la ecuación de una familia de rectas. Ahora considere la ecuación (4). Como f (P) y f' (P) son funciones conocidas de p , (4) Y (1) constituyen un conjunto de ecuaciones paramétricas dando x y yen términos del parámetro p. En efecto, de la ecuación (4) resulta que:

(6)

x= - f'(P) , la cual, combinada con la ecuación ( 1), produce: y = f(P) - pf'(P).

(7)

Sif(P) no es una función lineal de p y tampoco una constante, puede demostrarse que (6) y (7) son ecuaciones paramétricas de una solución no lineal de la ecuación diferencial (1) (Véanse los ejercicios 1 y 2, de esta sección.) Como la solución g~neral (5) representa una recta para cada valor de e, la solución (6) y (7) no puede ser un caso especial de (5); es

una solución singular.

EJEMPLO 16.3 Resuelva la ecuación diferencial: (8)

Como (8) es una ecuación de Clairaut, de inmediato podemos escribir su solución general: y

= ex + e3 .

Luego, empleando (6) y (7), obtenemos las ecuaciones paramétricas :

y

= - 2p 3,

(9)

de las soluciones singulares. El parámetro p puede eliminarse de las ecuaciones (9), obteniéndose la forma: (10) para las soluciones singulares. Véase la figura 16.3.

•

332

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales y

----------------~~----- x

Figura 16.3

EJEMPLO 16.4 Resuelva la ecuación diferencial: (x 2 - I)p2-2xyp+ l -1 =0.

(11 )

Al escribir de nuevo (11) como:

x 2p2 _ 2x yp

+l

- 1 - p2 = O.

Queda claro que la ecuación es de la forma:

(y _ x p)2 _ 1 - p2 = O

(12)

y así podemos dividirla en dos ecuaciones, cada una de la forma de Clairaut. Entonces la solución general de (11) se obtiene remplazando p, en todas partes donde aparezca, por una

constante c elegida arbitrariamente. Esto es,

(x 2 - 1)c 2 - 2x yc + l - 1 = O

(13)

es la solución general de (11). La solución (13) está compuesta por dos familias de rectas,

y = c, x + R

(14)

16.7

Ecuación de Clairaut

333

y y = C2X De la ecuación con discriminante lares definidas por:

J

-

1 + c~

(15)

p para (11), en seguida obtenemos las soluciones singu(16)

•

•

Ejercicios Suponga que a es un parámetro y demuestre que sif '~(a) existe, entonces:

1.

x

=-

y

f'(a),

=

fea)

- af'(a)

(A)

es una solución de la ecuación diferencial y = px + f (p). Sugerencia: utilice dx y dy para obtener p en términos de a y luego demuestre que y - px - f (P) se anula idénticamente.

*

Demuestre que sif 1/( a) O, entonces (A) del ejercicio anterior no es un caso especial de la solución general y = ex + f(c). Sugerencia: demuestre que la pendiente de lagráfica de una solución depende de x, no así la pendiente de la gráfica de la otra solución.

2.

(11 )

En los ejercicios del 3 al 30 encuentre la solución general y la solución singular, si ésta existe. 3. 4. 5. 6. 7.

(\2)

.es la runa

(13) ctas, (14)

8. 9. 10. 11.

p2

+ x3 P _

p2

+4x5p

=

2x2y

xp3 - yp2

18.

y

O.

19.

p2 _ xp - y

+ y = O. y = px + kp", x8 p2 + 3xp + 9y = O. X4p2 + 2x3yp - 4 = O. xp2 - 2yp + 4x = O.

20. 2l.

2p2

22.

p3

23.

4xp2

-

2xp3 - 6yp2

+

= =

x4

O.

+1=

17.

12x4y

O.

p2 _ xp

3x4 p2 - xp - y

+ (x

- y)p

O.

+ 1 - Y = O. + a = O.

12.

xp2

13.

p(xp - y

14.

x6

p3 - 3xp - 3y

15.

y

=

16.

xp" - 2yp3

+ k)

=

=

O.

x6p3 -xp.

+ 12x3 = O.

=

2p3

px

+ p";

+ xp + xp + 2xp

para n#- O, n

=

#-

l.

O~

= O. = O. - y = O. - 3yp + 3 = O. xp + 2y = O. - 2y

- 2y

24.

p3 -

25.

5p2+6xp-2y=0.

26.

2xp2

27.

5p2+3xp-y=0.

+ (2x

+ 3xp

- y)p

- y

=

28.

p2

29.

y=xp+x3p2. 8y = 3x2 + p2.

30.

O.

+1O.

Y

=

O.

~ ,

334

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

116.81 Ecuaciones sin variable dependiente explícita Considere una ecuación de segundo orden, f(x, y', y") = 0,

(1)

que no tenga a la variable dependiente y de manera explícita. Ponemos: y '=p .

Entonces, dp

y"

dx

y la ecuación (1) puede remplazarse por: (2)

una ecuación de orden uno en p. Si podemos encontrar p a partir de la ecuación (2), entonces y puede obtenerse de y = P mediante una integración. I

EJEMPLO 16.5 Resuelva la ecuación: x y " - ( y ' )3 - y , =

° .

(3)

Como y no aparece de manera explícita en la ecuación diferencial (3), escribimos y '= p. Entonces, dp

y" = d x' así, la ecuación (3) se transforma en: dp

3

x - - P - P =0. dx La separación de variables nos conduce a: dp

dx

p(p2+1)

x

o dp

pdp

-----=

p

dx x

16.9 Ecuaciones sin variable independiente explícita

335

de la que se obtiene: In Ipl - ~ In (p2

+ 1) + In ICII =

In Ixl

(4)

La ecuación (4) produce: CIP(p2

+ 1)-1 /2 =

x,

(5)

.

(6)

la cual queremos resolver para p. De (5) concluimos que:

Pero p = y', así tenemos: dy =

±

xdx

Jci - x2

Las soluciones de (6) son:

o (7)

La ecuación (7) es la solución general deseada para la ecuación diferencial (3). Observe que de haber dividido entre p al inicio de proceso, podríamos haber desechado las soluciones y = k (es decir, p = O), doride k es una constante. Pero (7) puede ponerse en la forma

con nuevas constantes arbitrarias c 3 y c4 . Si c3 = y = k.

116.91

°

(8)

y c4 = - l/k, obtenemos la solución

Ecuaciones sin variable independiente explícita

•

Una ecuación de segundo orden, f(y, y', y")

= 0,

(1)

donde la variable independiente x no aparece de manera explícita, puede reducirse a una ecuación de primer orden en y y y Escribimos: l.

y' = p,

336

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

Entonces, dp dy dp dp yl/ = - = _ _ =p_ , dx dx d y dy

así, la ecuación (1) se convierte en: (2)

Tratemos de determinar p en términos de ya partir de la ecuación (2) para luego sustituir el resultado en y ,= p.

EJEMPLO 16.6 Resuelva la ecuación: yyl/

+ (y')2 + 1 =

O.

(3)

Como la variable independiente no aparece en forma explícita en la ecuación (3), escribimos y I = P y obtenemos: 1/ dp Y = P dy'

como antes. Entonces la ecuación (3) se transforma en: (4)

donde las variables p y y se separan con facilidad. De (4) resulta que: pdp p2 + 1

+ dy

= 0,

Y

de la cual,

!In (p 2 + 1)

+ In Iyl

= In

Icd,

así, p2

Despejamos p en (5) y encontramos que:

+ 1 = eh-2 •

(5)

16.9 Ecuaciones sin variable independiente explícita

337

Por lo tanto,

dy =

± (c~

_ y2)1 / 2

y

dx

o

Entonces,

de lo cual obtenemos el resultado final,

•

•

Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 24 resuelva cada ecuación diferenci 1.

1.

y" = x(y')3.

3.

2.

4.

5.

+ (y'f = O. 2ay" + (y')3 = O.

6.

Resuelva el ejercicio 5 por otro método.

7.

y"

8. 9.

yy"

= 2y(y,)3. yy" + (y,)3 _ yy" + (y')3 = =

~ + (y')3 = O. (y + l)y" = (y')2.

y2y"

(y')2 = O.

12.

y" = (y')2.

O.

13.

y"

14.

x2y"

15.

y" = 1 + (y')2 .

10.

y" cosx

11.

x 3y" - x2y' = 3 - x2.

16.

Resuelva el ejercicio 15 por otro método.

17.

(l

18.

x2y" = y'(3x - 2y').

19. 20.

y'.

+ y2)y" + (y')3 + y'

xy" = y'(2 - 3xy'). y" = 2x + (x 2 _ y')2.

= O.

21.

= eX (y')2. + (y')2 =

(y")2 _ xy"

O.

+ y'

= O.

22.

(y")3 = 12y'(xy" - 2y').

23.

3yy'y" = (y')3 - 1.

24.

4y(y')2y" = (y')4

+ 3.

En los ejercicios del 25 al 43, resuelva la ecuación y encuentre una solución particular que satisfaga las condiciones dadas a la frontera.

25. 26.

+ (y')2 x2y" + (y'f -

x2y"

2xy' = O; cuando x = 2, y = 5, y' = -4. 2xy' = O; cuando x = 2, y = 5, y' = 2.

338

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

27 .

8

,(..

r

29.

xy" = y' +x 5 ; cuando x = 1, Y = ~, y' = l.

"+' 1 Y + X = O·, cuan do X = 2 , y = - l , y ' - - 2:. y" + /32 Y = O. Compruebe su resultado resolviendo la ecuación por medio de dos

XY

métodos. 30.

y" = x(y' )2; cuando x = 2, y = ~n, y' = -~ .

31.

y" = x(y')2; cuando x = O, Y = 1, y' = ~.

32.

y" =

_e - 2y ; 2y

cuando x = 3, y = O, y' = 1.

33.

y" = - e-

34.

2y" = sen2y; cuando x = O, Y = n/2, y' = l.

35.

2y" = sen 2y; cuando x = O, Y = - n /2, y' = 1.

36.

Demuestre que si puede realizar las integraciones que aparezcan, entonces puede resolver cualquier ecuación de la forma y" = f(y).

37.

2y"

38.

y" = [1 + (y ')2 ]312. Resuelva de tres formas, considerando el significado geométrico de la ecuación y los métodos estudiados en este capítulo /

39.

yy" = (y')2[1 - y' sen y - yy'cosy].

40.

[yy"

41.

x2y" = y'(2x-y');cuandox = -1 ,y =5,y ' = 1.

42.

x4y " = y'(y'+x3);cuandox= l,y=2,y'= 1.

43.

(y")2 - 2y"+ (y')2 - 2xy' + x2

;

cuando x = 3, y = O, y' = -1.

= (y')3 sen 2x; cuando x = O, Y = 1, y' = 1.

+ 1 + (y')2f

= [1

+ (y')2]3. = O; cuando x = O, y = } y y' = l.

116.101 La catenaria Suponga que un cable, de peso distribuido uniformemente w (lb/pie), está suspendido de dos soportes en los puntos A y B como se indica en la figura 16.4. Como podemos apreciar, el cable cuelga y tiene su punto más bajo en V. Queremos determinar esta curva, llamada catenaria, formada por el cable suspendido. Seleccionamos los ejes de coordenadas como se muestra en la figura 16.5; el eje vertical y pasa por el punto V y el eje horizontal x (se escogerá más adelante) pasa a una distanB

A

v

Figura 16.4

16.10 La catenaria

339

y TI

J

~------------------x

o

Figura 16.5

ciayo por debajo de V. Suponga que s representa la longitud (en pies) del cable medido desde V hasta el punto variable P con coordenadas (x, y). ASÍ, la parte del cable de Va P está sujeta a tres fuerzas, mostradas en la figura 16.5. Esas fuerzas son: (a) La fuerza gravitacional ws(lb) que actúa hacia abajo a lo largo del centro de gravedad de la parte que va de Va P. (b) La tensión TI (lb), actuando tangencialmente en P. (c) La tensión T 2 (lb), actuando en forma horizontal en V (también tangencialP1.ente).

~

a tensión TI es una variable, la tensión T2 es una constante.

Ya que se supone un equilibrio, las sumas algebraicas de las componentes verticales y orizontales de estas fuerzas es cero. Por lo tanto, si q es el ángulo de inclinación, con respe t? a la horizontal, de la tangente a la curva en el punto (x, y), tenemos: TI sen () - ws = O

(1)

y

(2)

Pero tan () es la pendiente de la curva del cable, aSÍ: tane =

dy --o

dx

(3)

Podemos eliminar la tensión variable TI de las ecuaciones (1) y (2) Y obtener: ws tane = - - o T2

(4)

340

Capítulo 16 Ecuaciones no lineales

La constante T 2 / w tiene la dimensión de una longitud. Hacemos T 2 / w = a (en pies); así, la ecuación (4) se transforma en: s tan e = - .

(5)

a

De las ecuaciones (3) y (5) vemos que:

s

dy

a

dx

(6)

Por nuestros antecedentes de cálculo sabemos que como s es la longitud de arco de la curva, entonces: ds (7) dx De (6) obtenemos: 1 ds

adx

de modo que la eliminación de s produce la ecuación diferencial: (8)

a

La ecuación que buscamos para la curva adoptada por el cable suspendido, es la solución de la ecuación diferencial (8) que también satisface las condiciones iniciales:

-

cuando x = 0,

y=Yo~e-:-

(9)

La ecuación (8) cae dentro de los tipos estudiados en este capítulo. Se deja como ejercicio para el estudiante resolverla con las condiciones dadas en (9) para llegar al resultado: x y = a cosh - + Yo - a. (lO) a

Entonces, por supuesto, se hace la elección adecuada Yo = a, de modo que la ecuación de la curva deseada (catenaria) sea: x Y = a cosh- . a

•

Ejercicios diversos

En los ejercicios dyl I al 27 resuelva la ecuación.

2.

6xp 2

-

(3x +2y)p

+Y =

O.

16.10 La catenaria

así, 4.

+ 3xy4p + y5 = O. 4y3 p2 - 4xp + y = O.

7.

Resuelva el ejercicio 6 por otro método.

8.

y2p2 _ y(x

9.

4x5p2+12x4yp+9=0.

3. (5)

(6) ur-

(7)

9p2

+ l)p

+x

= O.

5.

x6p2_2xp-4y=0.

6.

5 p2

4y2p3 - 2xp

11.

p4+xp-3y=0.

Resuelva el ejercicio 11 por otro método.

13.

x2p3 _ 2xyp2

14.

16xp2

17.

Resuelva el ejercicio 16 por otro método.

18.

9xy4 p2 _ 3y5 p -:- 1 = O. x2 p2 _ (2xy + l)p + y2 + 1 = O.

19.

+ 8yp

p2 = 8(2y

20. 21.

x6

26.

xp2

27.

xp3 - 2yp2

+ xp).

x2p2=(x-yf.

(8)

lu-

(9) eio: 10)

de ~

+ (k

- x - y)p

+ 4x2

=

- 2y = O.

10.

12.

+ y2p + 1 = O. + y6 = O.

+ 6xp

+y

+ l)p

15.

xp2 - (x2

16.

p3 - 2xp - y

= O.

+x

= O.

= O.

23. 24.

+ 1)2(y - px) = 1. p3 - p2 + xp - y = O. xp2 + yO - x)p - y2 = O.

25.

yp2_(x+y)p+y=0.

22.

341

(p

+ y = O. O. Véase el ejercicio 10.

tÍ,

Soluciones en series de potencias

11 7. 11 Ecuaciones lineales y series de potencias La resolución de ecuaciones lineales con coeficientes constantes puede realizarse por los métodos desarrollados al principio de este libro. La ecuación lineal general de primer orden da lugar a un factor integrante, como se vio en el capítulo 2. Para abordar las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes variables y de orden mayor a uno, probablemente el método más general y efectivo sea uno que está basado en el uso de series de potencias. Para simplificar el trabajo y el planteamiento de los teoremas, nuestro análisis se restringirá aquí a ecuaciones que tengan coeficientes polinomiales. Las dificultades, los métodos de solución y los resultados que se obtienen, no cambian en esencia cuando se permite que los coeficientes sean funciones que tengan desarrollos en series de potencias que sean válidos alrededor de algún punto. (Tales funciones son llamadas analíticas.) Considere la ecuación lineal homogénea de segundo orden,

+ b l (x)y' + b2 (x)y = O, (1) con coeficientes polinomiales. Si bo(x) no se anula en x =O, entonces, en algún intervalo alrededor de x =O, lejos del punto más cercano donde bo(x) pueda anularse, es posible divibo(x)y"

dir todo entre bo(x). Así remplazamos la ecuación (1) por y"

+ p(x)y' + q(x)y = O,

(2)

en la que los coeficientes p(x), q(x) son funciones racionales d~Xcon denominadores que no se anulan en x = O. Ahora demostraremos que es razonable esperar l una solución , e (2) que resulte ser una serie de potencias en x y tenga dos constantes cualesquiera. . uponga que y = y(x) es una solución de la ecuación (2). De manera arbitraria, asign~o valores de y y y en x = O; I

y(O) = A, y' (O) = B.

La ecuación (2) nos da: y"(x) = - p(x)y'(x) - q(x)y(x),

(3)

I Esta no es una demostración. Para ello véase, por ejemplo, E. D. Rainville, Intermediate Differential Equations, segunda edición. Macmillan Publishing Company, Nueva York, 1964, pp. 67-71 .

342

17.2 Convergencia de series de potencias

343

así y"(O) puede ser calculada directamente, ya que p(x) y q(x) se comportan bien en x = O. De la ecuación (3) obtenemos: yll/(x) = - p(x)y"(x) - p'(x)y'(x) - q(x)y'(x) - q'(x)y(x),

(4)

de modo que y'" (O) puede calcularse una vez que se conoce y"(O). El proceso anterior puede continuarse tantas veces como queramos; por lo tanto, podemos determinar de manera sucesiva y(n)(o) para todos los valores enteros de n que deseemos. Ahora, por la fórmula de Maclaurin de cálculo, n

00

+¿

y(x) = y(O)

y 1, sustituimos lay de la ecuación (12) en el miembro izquierdo de (11). Obtenemos así: 00

00

00

00

L n(n - 1)anx n- 2 - L n(n - l)a nx n - L 6nanx n - L 4a nx n = O, n=O n=O n=O n=O

o 00

00

L n(n - l)a nx n- 2 - L(n 2 + 5n n=O n=O

+ 4)anx n =

O,

(13)

en la que hemos combinado las series que tienen las mismas potencias de x. Ahora factorizamos el coeficiente en la segunda serie en la ecuación (13), escribiendo: 00

00

L n(n - l)a nx n- 2 n=O

-

L(n n=O

+ 1)(n + 4)an x n =

O.

(14)

Las relaciones para la determinación de las an se obtendrían usando el hecho de que, para que una serie de potencias se anule en cualquier intervalo, cada coeficiente en la serie debe ser cero. Por lo tanto, ahora queremos escribir las dos series en la ecuación (14) de forma tal que los exponentes de x sean los mismos para que podamos identificar fácilmente los coeficientes de cada potencia de x. Recorremos el índice en la segunda serie remplazando n, dondequiera que aparezca, por (n - 2). Entonces la suma que iniciaba con n = O(con la n anterior) ahora iniciará con n - 2 = O, o con n = 2 (con la n nueva). Así obtenemos: 00

00

Ln(n - 1)anx n- 2 - L(n - 1)(n 11=0 n=2

+ 2)an_2Xn-2 =

O.

(15)

En la ecuación (15) el coeficiente de cada potencia diferente de x debe ser cero. Para n = O Y n = 1, la segunda serie aún no inicia, así que sólo tenemos contribuciones de la pri-

mera serie. En detalle, n = 0: n = 1: n-;::2:

O· ao = O, O· al = O, n(n - l)a n - (n - 1)(n

+ 2)an- 2 =

O.

Como esperábamos, ao y a l son constantes cualesquiera. La relación para n ;::: 2 puede ser usada para determinar las otras a en términos de ao y a l ' Ya que: n(n - 1):;t: O

para n ;::: 2, podemos escribir: n-;::2:

n+2

an = - - a n -2· n

(16)

17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario

351

La ecuación (16) es llamada relación de recurrencia y nos da a n en términos de las constantes a precedentes. En este caso particular, cada a se determina por la a con subíndice dos menos que su propio subíndice y en consecuencia, eventualmente, por ao o por al ' de acuerdo con la constante original si tiene un subíndice par o impar. Una relación de recurrencia es una clase especial de ecuación en diferencias . En las ecuaciones en diferencias, los argumentos de la función desconocida (los subíndices de nuestras relaciones) no necesitan diferir por algún entero. Existen textos y cursos sobre ecuaciones en diferencias y cálculo de diferencias finitas comparables a los libros y cursos sobre ecuaciones diferenciales y cálculo. Es conveniente acomodar los casos de la relación (16) en dos columnas verticales [en dos columnas ya que los subíndices en (16) difieren en dos] , así usamos sucesivamente n = 2, 4,6, ... , y n = 3, 5,7,... , para obtener:

4

a2

5

= 2ao

a3 = 3'a¡

7

6

a4 = ¡a2

as = Sa3

8

9 a7 = ;:¡as

a6 = (ja4

Luego calculamos el producto de miembros correspondientes a partir de las ecuaciones en la primera columna. El resultado, k ~ 1:

se simplifica de inmediato a: k

~

1:

a2k = (k

+ l)ao ,

lo que nos da cada a con subíndice par en términos de a o' De manera similar, de la columna a la derecha en el arreglo anterior obtenemos: k

~

1:

5 . 7 . 9 . .. (2k + 3) a2k -a +1 -- 3.5.7 .. . (2k + l) 1,

o k ~ 1:

2k+3 a2k+ l = - 3- a ¡,

lo que nos da cada a con subíndice impar en términos de al'

352

Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

Ahora necesitamos sustituir las expresiones que hemos obtenido para las constantes a en la serie supuesta para y, 00

_

y -

'"'

~anx

n

(12)

.

n= O

La naturaleza de nuestras expresiones para las a, que depende de si el subíndice es par o impar, sugiere que primero debemos separar la serie dada en (12) en dos series, una con todos los términos con subíndice par y la otra con todos los términos con subíndice impar. Escribimos:

y luego usamos nuestros resultados para a 2k y a2k + 1 para obtener la solución general en la forma: Y=

ao

[

1+

t;Ck + 00

l)x

2k ]

+ al

[

x

+

t; _-3-+ 3 00

2k

x2k 1]

+

.

(17)

Como sabemos de la teoría, estas series convergen al menos para Ixl < 1. Que converjan exclusivamente ahí puede verificarse aplicando pruebas elementales de convergencia. En este ejemplo sucede que la solución (1 7) puede escribirse con mayor sencillez como:

LCk + 00

Y=

ao

l)x

k=O

2k

+al L 00

2k + 3 l _3- x2k + .

(18)

k=O

De hecho, las series pueden expresarse en términos de funciones elementales, y = (1

ao - x2)2

+

a l (3x - x 3) 3(1 - x2)2 .

Tales simplificaciones pueden ser importantes cuando es posible realizarlas en un problema en particular, pero nuestro objetivo aquí era obtener la ecuación (1 7) y saber dónde es una solución válida. Los pasos adicionales que se hacen después de que se alcanza el objetivo son, con frecuencia, irrelevantes en comparación con el deseo esencial de encontrar una solución que sea calculable a partir de la ecuación diferencial. La cantidad de trabajo en la resolución de esta ecuación particular se debe, en gran medida, a que se detallaron los pasos, muchos de los cuales se podrán hacer mentalmente conforme se adquiera experiencia.

•

17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario

353

EJEMPLO 17.3 Resuelva la ecuación: yl!

+ (x -

1)2y' - 4(x - l)y = O

(19)

alrededor del punto ordinario x = l. Resolver una ecuación "alrededor del punto x = xo" significa obtener soluciones que sean válidas en una región que rodee a dicho punto, soluciones que son expresadas en potencias de (x - xo)' Primero trasladamos los ejes, escribiendo x - 1 = v. Entonces la ecuación (19) se transforma en: (20) En una traslación pura x - X o = v, siempre tenemos dy / dx = dy / dv, y así sucesivamente. Como es usual, escribimos: (21)

y de (20) obtenemos: 00

00

00

Ln(n - l)a nv n- 2 + Lnanvn+l - L n=O

n=O

4a nv n+1 = O.

(22)

n=O

Al agrupar los términos semejantes en (22) se obtiene: 00

00

Ln(n - 1)all v n - 2

+ L(n -

n=O

4)a n v n+1 = O,

n=O

en la que un corrimiento de índices de n a (n - 3) en la segunda serie nos da: 00

00

Ln(n - 1)a nvn - 2

+ L(n -

n=O

7)a n _3 Vn - 2 = O.

(23)

n=3

Por lo tanto, ao y al son constantes cualesquiera, y para las restantes tenemos: n = 2:

2a2 = O,

n 2: 3:

n(n - l)a n + (n - 7)an-3 n -7

an = -

n(n - 1)

= O,

a n -3·

Esta vez las a se dividen en tres grupos, los que provienen de a o' de al' y de a 2. Utilizamos tres columnas:

354

Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

ao arbitrario

al cualesquiera

-4

-3 4·3 O a7 = - - -a4 = O 7 ·6 3 aJO = - -a7 = O 10·9

a3 = - - - ao

a4

3·2 - 1

a6 = - -- a3

6·5 2

a9 = - -- a6

9·8

3k -7

=

- - - al

a3k+1 = O, k:::: 2

a3k = - 3k(3k _ 1) a3k -3

-2

as = - - -a2 = O

5·4

as al l

=

1 - - - as 8·7

=O

= 0

a3k+2 = O, k :::: 1.

Con el esquema usual de multiplicación, la primera columna produce: k::::l:

( _ l)k[( -4)( -1) · 2· .. (3k - 7)]ao

a3k =

[3·6 · 9·· . (3k)][2 . 5·8· .. (3k - 1)]

.

Para las a que están determinadas por al, vemos que a4 = tal pero cada una de las demás es cero. Ya que a 2 = O, todas las a que son proporcionales a ella, as' as' etc., también son cero. Para y tenemos ahora:

~ ( _ l)k[( - 4)( - l) . 2 ... (3k-7)]V 3k ]

Y = ao

[

1 + L...,

k= 1

[3 . 6 . 9 . .. (3k)][2 . 5 . 8 ... (3k - 1)]

14

+ al (v + ¡v).

Ya que v = x -1, la solución aparece como:

y = ao

~

[

1+L...,

k= 1

(- l)k[(- 4)( - I) ·2 · ·· (3k - 7)](x - 1)3k]

[3 . 6 . 9 . .. (3k)] [2 . 5 . 8 . . . (3k - 1)]

+ al [(x -

1)

+ ~(x -

1)4].

(24)

La ecuación diferencial original no tiene puntos singulares en el plano finito, de modo que la serie en (24) es convergente para toda x finita. Por supuesto, en los cálculos es más útil cerca del punto x = 1. El coeficiente de (x - 1)3k es bastante complicado como para intentar simplificarlo. En el producto 3·6·9···(3k) hay k factores, donde cada uno es un múltiplo de 3. Por lo tanto, llegamos a:

Además, todos los factores dentro de los corchetes en el numerador, excepto los primeros dos, también aparecen en el denominador. Con un pequeño argumento más, probando los

17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario

355

términos k = O, 1,2 ya que los factores que se cancelan no aparecen hasta que k> 2, puede demostrarse que: 00

Y = Qo

~ k-O

4( _ 1)k(X _ 1)3k 3 k (3k _ 1)(3k _ 4)k!

+ Q¡[(x -

1)

+ i(x -

1)4].

.

(25)

•

En los ejercicios siguientes las ecuaciones son en su mayoría homogéneas y de segundo orden. Aumentar el orden de la ecuación no agrega nada nuevo, sólo trabajo adicional, como se verá en el ejercicio 16. Una ecuación no homogénea cuyo miembro derecho tiene un desarrollo distribución en serie de potencias, teóricamente no es más difícil de manejar que una ecuación homogénea; sólo hay que igualar los coeficientes de las dos series de potencias. El tratamiento de ecuaciones que conducen a relaciones de recurrencia, donde se incluyen más de dos constantes Q diferentes, se estudiará en el capítulo 18.

•

Ejercicios

A menos que se diga otra cosa, encuentre la solución general que es válida cerca del origen. Establezca siempre la región de validez de la solución.

1.

Resuelva la ecuación y" + y = O tanto por series como por métodos elementales y compare sus resultados.

2.

Resuelva la ecuación y" - 9y = O por series y por métodos elementales.

3.

y"

(1 - 4x 2)y" (1 + 2x 2)y"

12.

+ 3xy' + 3Y = O. (1 + 4x 2)y" - 8y = O. (1 - 4x 2 )y" + 8y = O. (1 + x 2 )y" - 4xy' + 6y = O. (1 + x 2 )y" + 10xy' + 20y = O. (x 2 + 4)y" + 2xy' - 12y = O. (x 2 - 9»)1" + 3xy' - 3y = O. y" + 2xy' + 5y = O. (x 2 + 4)y" + 6xy' + 4y = O. (1 + 2x 2)y" - 5xy' + 3y = O.

13. 25.

y" +x2y = O. (1 + 2x 2)y" + llxy'

26.

y" - 2(x

27.

y"+(x - 2)y = O. Resuelvaalrededordex = 2.

28.

(x 2

4. 5. 6.

7.

8. 9. 10. 11.

-

+ 3)y' -

16.

+ 6xy' - 4y = O. + 3xy' - 3y = O. ylll + x2y" + 5xy' + 3y = O.

17.

y" + xy'+3y = x 2 .

18.

+ 2xy' + 2y = O. y" + 3xy' + 7y = O. 2y" + 9xy' - 36y = O. (x 2 + 4)y" + xy' - 9y = O. (x 2 + 4)y" + 3xy' - 8y = O. (1 + 9x 2 )y" - 18y = O. (1 + 3x 2 )y" + 13xy' + 7y = O.

14. 15.

19. 20. 21. 22. 23. 24.

y"

+ 9y = O.

3y = O. Resuelva alrededor de x = - 3.

2x + 2)y" - 4(x - l)y'

+ 6y =

O. Resuelva alrededor de x = 1.

356

Capítulo 17 Soluciones en series de potencias

117.61 Suplemento para computadora Dada la cantidad de operaciones algebraicas usadas en las técnicas de series, no es sorprendente que los Sistemas de Álgebra Computacional resulten ser muy útiles en la resolución de ecuaciones diferenciales que requieren estas técnicas. Hay dos enfoques diferentes que pueden emplearse, dependiendo de en qué forma necesitemos la solución. Ilustraremos ambos métodos para la ecuación diferencial dada en el ejemplo 17.2 de la sección 17.5; 2 (1 - X )y" - 6xy' - 4y = O,

(1)

cerca del punto ordinario x = O. Para simplificar un poco los cálculos, agregaremos las condiciones iniciales y(O) = 2 Y y' (O) = 1. El comando Maple usado para introducir este problema de valor inicial es: >Eqnl: = { (1-x"2) *D (D (y) ) (x) -6*x*D (y) (x) -4*y(x)=O,D(y) (O)=1,y(O)=2};

Si empleamos el comando dsolve encontramos que Maple produce un resultado muy complicado: >dsolve(Eqnl,y(x)) ;

2

Y(x) = -:--::---:-:i"7J:-~;¡;;-r==:==~ (-1 + x)3/2 (x + 1)3/2 -J-1 + x2

x3 3 (-1

+ x)3 /2 (x + 1)3/2 -J-l + x2 +

x ---=-1-+-x---:-)-:¡3/n2---:-(x-+-l-:-:)-:¡-3/n2-..¡r_=1=+=X=:Eqn2:=(1-x"2)*diff(y(x),x,x)-6*x*diff(y(x) ,x)-4*y(x)=O; Después, creamos los términos representativos a k -2x k. 2 + ... + a k +2xk+2 en una solución

en serie de potencias: >SeriesSol:=sum(a[n)*x"n,n=k-2 .. k+2);

17.6 Suplemento para computadora

357

Luego sustituimos esta solución en la ecuación diferencial y resolvemos la ecuación resultante para a k , simplificando conforme avanzamos. >simplify(simplify(subs(y(x)=SeriesSol,Eqn2))) ; simplify (solve (coeff (lhs (") ,x" (k-2) ) ,a [k] ) ) ; (k

+ 2) ak-2

k El resultado coincide con la ecuación (16) de la sección 17.5. Para comprobar que esta relación de recurrencia coincide con nuestro resultado final, especificamos valores de ao y al con base en las condiciones iniciales para encontrar los coeficientes a 2 ···a 5 a partir de la relación de recurrencia, y procedemos a formar el polinomio con esos coeficientes. >a[O] :=2: >a[l] :=1: >for k from 2 to 5 do a[k]:= (k+2) *a[k-2] /k od: >So12:=sum(a[j]*x"j,j=O .. 5);

2+x +4x

2

5x3

+3

+6x

4

7 x5

+ -3-

lo cual concuerda con los primeros cinco términos de la solución que se encontró en la ecuación (2) de dicha sección. •

Ejercicios

1.

Utilice una computadora para resolver una selección de problemas del capítulo.

2.

Para la ecuación dada en el ejemplo 17.1 de la sección 17.5, agregue las condiciones iniciales y(O) = 1, y'(O) = 2 Y encuentre los primeros m términos de la solución en serie de potencias para m = 1 ... 5.

3.

Haga que la computadora trace la gráfica de las cinco funciones del ejercicio 2 en los mismos ejes junto con la solución real del problema de valor inicial.

Soluciones cerca de puntos singulares regulares

11 8. 11 Puntos singulares regulares Suponga que el punto x = X o es un punto singular de la ecuación: bo(x)y" + b, (x)y' + b2(X)y = O

(1)

con coeficientes polinomiales. Entonces bo(xo) = O, de modo que bo(x) tiene un factor (x - x o) elevado a alguna potencia. Pongamos la ecuación (1) en la forma: y"

+ p(x)y' + q(x)y = O.

(2)

Ya que x = Xo es un punto singular y como p(x) y q(x) son funciones racionales de x, al menos una (tal vez ambas) de éstas tiene un denominador que contiene al factor (x - x o)' En lo que veremos a continuación supondremos que tanto p(x) como q(x) han sido reducidas de modo que en cada caso el numerador y el denominador no tengan factores en común. Si x = Xo es un punto singular de la ecuación (2), si el denominador de p(x) no contiene . al factor (x - x o) a una potencia mayor que uno,y si el denominador de q(x) no contiene al factor (x - x o) a una potencia mayor que dos, entonces x = Xo es llamado punto singular regular (P.S.R.) de la ecuación (2). Si x = Xo es un punto singular pero no un punto singular regular, se le denomina punto singular irregular (P.S.I.).

EJEMPLO 18.1 Clasifique los puntos singulares, en el plano finito, de la ecuación: x(x - 1)2(x

+ 2)y" + x2y' -

(x 3

Para esta ecuación:

x p(x) = (x _ 1)2(x

+ 2)

y q(x) =

358

_(x 3

+ 2x - 1) . + 2)

x (x - 1)2(x

+ 2x -

l)y = O.

(3)

18.1 Puntos singulares regulares

359

Los puntos singulares en el plano finito son x = O, 1, -2. Consi O; si luego queremos encontrar soluciones de la misma ecuación diferencial que sean válidas para x < O, podemos sustituir simplemente x = - u y estudiar la ecuación resultante en el intervalo u > O. Supongamos que x = O es un punto singular regular de la ecuación: yl!

+ p(x)y' + q(x)y = O,

(1)

donde p y q son funciones racionales de x. Entonces, p(x) no puede tener en su denominador el factor x elevado a una potencia mayor que uno. Por lo tanto, r(x)

p(x) = - ,

x

donde r(x) es una función racional de x que existe en x = O. Sabemos que esta función racional, r(x), tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de x = O. Entonces existe el desarrollo: p(x)

= -Po + p¡ + P2X + P3x 2 +"', x

(2)

que es válido en algún intervalo O < x < a. Por medio de un argumento similar encontramos que existe un desarrollo: q (x) = qo x2

+~ + q2 + q3 x + q4 x2 + ... x

(3)

que es válido en algún intervalo O < x < b. Veremos de manera formal que es razonable esperar que la ecuación (1) tenga una solución de la forma: 00

'""' n+c = aox C y -_ L....;anx n=O

+ a¡x ¡+c + a2X 2+c + " ',

(4)

que es válida en un intervalo O < x < h, donde h es menor que a y que b. Si sustituimos las series para y, p(x) y q(x) en la ecuación (1) y sólo consideramos los primeros términos, obtenemos:

+ (1 + c)ca¡x c-¡ + (2 + c)(1 + c)a2xC + ... + [:0+ p¡ + P2 X + ... ] [caox c-¡ + (1 + c)a¡x c + (2 + c) a2x l+ c + ... ]

c(c - l)aoxc-2

qO + q¡ + q2 + . . .] + [ -x2 X

[aox C+ a ¡ x ¡+c

+ a2X 2+c + . .. ] =

O.

Al realizar las multiplicaciones indicadas, encontramos que:

+ (1 + c)ca¡x c-¡ + (2 + c)(1 + c)a2xC + .. . + pocaox c-2 + [Po(1 + c)a¡ + p¡cao]x c-¡ + .. . + qoaox c- 2 + [qoa¡ + q¡ao]x c-¡ + ... =

c(c - l)aox C- 2

O.

(5)

362

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Con base en el hecho de que el coeficiente de x c - 2 debe anularse, obtenemos: [C(C - 1)

+ POC + qo]ao =

(6)

O.

Podemos insistir en que a o =1= O ya que es el coeficiente de la menor potencia de x que aparece en la solución (4), sin importar cuál sea esa potencia más baja. Así que de (6) se deduce que: C

2

+ (Po -

l)c

+ qo =

O,

(7)

llamada ésta ecuación indicatriz (en x = O). Las Po y qo son constantes conocidas; la ecuación (7) es una ecuación cuadrática que nos da dos raíces, c = c I Yc = c2 • Para distinguir entre las dos raíces de la ecuación indicatriz, denotaremos con c I a la raíz cuya parte real no sea menor que la parte real de la otra raíz. Así, cuando las raíces son reales, c I 2: c 2 ; si las raíces son complejas, (c l) 2: (c 2 ) . Por brevedad, llamamos a clla raíz "mayor". A simple vista parece que debería haber dos soluciones de la forma (4), una para cada uno de estos valores de c. En cada solución la a o sería una constante elegida arbitrariamente y las subsiguientes constantes a serían determinadas igualando a cero los coeficientes de las potencias superiores de x (r- I , xc' Xl +c, etc.) en la identidad (5). Esta conclusión a priori es correcta si la diferencia de las raíces c I y c 2 no resulta ser un entero. Sin embargo, cuando esa diferencia es un entero, puede entrar un término logarítmico en la solución. Las razones para este comportamiento extraño se aclararán cuando desarrollemos un método para la obtención de las soluciones.

m

m

11 8.31 Forma y validez de soluciones cerca de un punto singular regular Sea x = O un punto singular regular de la ecuación: y"

+ p(x)y' + q(x)y = o.

(1)

Entonces las funciones xp(x) y rq(x) tienen desarrollos en serie de Maclaurin que son válidos en algún intervalo común O < x < b. Puede demostrarse que la ecuación (1) siempre tiene una solución general que es de la forma: 00

y = A ¿anX n+c1 n=O

00

+B¿

bnx n+c2

(2)

n=O

o de la forma: 00

y

=

(A

+ B lnx) ¿

n=O

anx n+c1

00

+BL

bnx n+C2 ,

(3)

n=O

en la que A y B son constantes cualesquiera. Además, la serie infinita que aparece en la solución anterior converge en el intervalo O < x < b.

18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero

11 8.41

363

Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero La ecuación:

2xy"

+ (1 +x) y' -

2y = 0 ,

(1)

°

tiene un punto singular regular en x = y no tiene otros puntos singulares para una x fini-' tao Supongamos que existe una solución de la forma: 00

y = LanX n+c, n=O

x> O.

(2)

La sustitución directa de esta yen (1) nos da: 00

00

L 2(n n=O

+ c)(n + e -

l)anx n+c- 1 + L(n n=O 00

+ L(n n=O

+ c)anx n+c- I

+ c)anx n+c -

00

2 Lanxn+c = 0, n=O

o 00

L(n n=O

00

+ c)(2n + 2c -

l)a nx n+c- 1 + L(n n=O

2)a nx n+c = O.

+e -

(3)

Al agrupar los términos semejantes recorremos el índice para reducir todos los exponentes de x hasta el más pequeño que aparezca. Esta alternativa es usada para obtener una relación de recurrencia para an en lugar de una para an+ 10 alguna otra a. En la ecuación (3), remplazamos el índice n en la segunda suma por (n - 1), así que obtenemos: 00

00

L(n + c)(2n + 2c - l)a nx n+c- 1 + L(n n=O n=1

+e -

3)an_IX n+c- 1 = O.

(4)

Una vez más razonamos que el coeficiente total de cada potencia de x en el miembro de la izquierda en (4) se debe anular. La segunda suma no inicia su contribución sino hasta n = 1. De aquí que las ecuaciones para la determinación de e y las a sean: n =0:

c(2c - l)ao = 0,

n :::: 1 :

(n

+ c)(2n + 2c -

l)a n + (n

+e -

3)an_1 = O.

Ya que sin pérdida de generalidad podemos suponer que ao =F 0, la ecuación indicatriz, que determina e, es:

c(2c - 1) = O.

(5)

La ecuación indicatriz proviene siempre del término n = O cuando se emplea la técnica usada en este libro.

364

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

=!

=

=

=!,

De (5) vemos que el y e2 O. La diferencia entre las raíces nos da s el - e2 que no es un entero. Cuando s no es un entero, el método que estamos usando siempre da dos soluciones linealmente independientes de la forma (2), una con cada elección de e. Regresamos a la relación de recurrencia usando el valor e = el = !.Así, n ~ 1:

n

~

(n

+ 4)(2n + 1 -

l)a n + (n

+ 4-

3)an_ 1

= o,

(2n - 5)an _ 1

1:

+ 1)

2n(2n

Como de costumbre, usamos un arreglo vertical y luego encontramos el producto que nos dé una fórmula para an0Tenemos:

aoelegida arbitrariamente al = -

a2 = -

(- 3)ao

2·3 ( - 1)al

4·5

(l)a2 a3 = - --

6·7

an = así el producto nos da, para n

an =

;:::

(2n - 5)a n -1 2n(2n

+ 1)

,

1,

( - 1)n[(- 3)( - 1)(l)··· (2n - 5)]ao

[2·4 · 6 · . . (2n)][3 . 5 ·7· . . (2n

+ 1)] .

(6)

La fórmula (6) puede simplificarse para hacer:

an =

( _ 1)n · 3a o n 2 n! (2n - 3)(2n - 1)(2n

+ 1) .

(7)

Al usar a o = 1, la a n de (7), y el valor pertinente de e, el = !, podemos escribir una solución particular: y = xl/2 l

n

(_ l) 3xn+I /2 + '" _ __~~_ . ______ ~ 2nn! (2n - 3)(2n - 1)(2n + 1). 00

(8)

La notación YI se usa para enfatizar que eSta solución particular corresponde a la raíz el de la ecuación indicatriz. Ahora debemos obtener una solución particular Y2 correspondiente a la raíz más pequeña e 2• Entonces la solución general, si se desea, puede escribirse de inmediato como:

siendo A YB constantes cualesquiera.

18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero

365

Regresemos a la relación de recurrencia que está justo antes de la ecuación indicatriz (5) con la intención de usar e = e2 = O; es evidente que las a serán diferentes de aquellas con e = el ' De modo que es recomendable cambiar la notación. Usamos b en lugar de a. Con e = O, la relación de recurrencia se convierte en: ' n

~

1:

n(2n - 1)b"

+ (n -

3)b n -¡

= O.

El arreglo vertical correspondiente es:

boelegida arbitrariamente b __ (-2 )b o ¡ 1·1 b __ (-I)b ¡ 2 -

b

3

2.3

= _ (0)b 2 3 ·5

b = _ (n - 3)b n _¡ . n n(2n - 1)

Entonces bll = O para n 2: 3 y, usando b o = 1, b¡ Yb 2 pueden ser calculadas y encontramos que tienen los valores b ¡ = 2 Y b2 = ib¡ = Por lo tanto, una segunda solución es:

l

(9)

Ya que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares, distintos de x = O, en el plano finito, concluimos que las soluciones linealmente independientes Y¡ de (8) y Y2 de (9) son válidas al menos para x > O. La validez de (9) es evidente en este ejemplo particular ya que la serie termina. El estudiante debe asociar a cada solución la región de validez garantizada por el teorema general enunciado en la sección 18.3; pero por ahora nosotros omitiremos tal región de validez en las respuestas a los ejercicios .

•

Ejercicios

En los ejercicios del I al 17, obtenga dos soluciones linealmente independientes que sean válidas cerca del origen para x > 0, Establezca siempre la región de validez para cada solución.

2x(x + 1)y" + 3(x + 1)y' - y = O. 2. 4x 2 y" + 4xy' + (4x 2 - l)y = O. 3. 4x 2 y" + 4xy' - (4x 2 + 1)y = O. 4. 4xy" +3y'+3y = 0. 5. 2x 2 (1 - x)y" - x(1 + 7x)y' + y = O. 6. 2xy" + 5(1 - 2x)y' - 5y = O. 1.

366

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

7.

8x 2y"

8.

3xy"+(2-x)y'-2y=0.

+ lOxy' -

9.

2x(x

+ 3)y" -

10.

2xy"

+ (1

11.

X

+ x)y =

(1

3(x

+

1)y'

O.

+ 2y = O.

- 2x 2)y' - 4xy = O.

12.

(4 - x) y" + (2 - x) y' + 4Y = O. 3x 2y" + xy' - (1 + x)y = O.

13.

2xy"

+ (1 + 2x)y' + 4y

14.

2xy"

+ (1 + 2x)y' -

15.

2x2y" - 3x(1 - x)y'

16.

2x2y"

17.

xy == O. La ecuación del ejercicio 17 tiene una solución particular, Y2 = exp(! X 2), obtenida por el método de series. Haga un cambio de la variable dependiente en la ecuación diferencial, usando y = v exp(! X2) (el recurso usado en la sección 9.2) y obtenga así la solución general en una "forma cerrada".

18.

= O.

5y = O.

+ 2y = O. 1)y' + 2(3x - l)y =

+ x(4x 2xy" - (1 + 2x 2)y' -

O.

En los ejercicios del 19 al 22, utilice el método de series de potencias para encontrar soluciones que sean válidas parax > O. ¿Qué provoca que las relaciones de recurrencia deriven en relaciones de un térI1'tino?

19.

2x 2y" +xy'-y=0.

20.

2x2y" - 3xy'

23.

Obtenga dy / dx Yd2y / dX2 en términos de derivadas de y con respecto a una nueva variable dependiente t relacionada con X por la fórmula t = In x, para x > O.

24.

Utilice el resultado del ejercicio 23 para demostrar que el cambio de variable independiente de x a t, donde t = In x, transforma la ecuación 1

+ 2y =

21.

O.

d 2y ax 2 - 2 dx

22.

9x 2y"

+ 2y = O. 2x2y" + 5xy' - 2y =

dy

+ bx+ cy = dx

O.

O,

siendo a, b y e constantes, en una ecuación lineal con coeficientes constantes. Resuelva los ejercicios del 25 al34 por el método sugerido en el ejercicio 24, cambiando la variable independiente a t = In x para x > o.

25.

Ejercicio 19.

26.

Ejercicio 20.

1 Una ecuación como la del ejercicio, que sólo tiene términos de la clase cxkDky, siendo c una constante y k = 0, 1,2, 3, ... , es llamada ecuación de tipo Cauchy o de tipo Euler.

18.5 Diferenciación de un producto de funciones

+ xy' -

367

9y = O.

27.

Ejercicio 21.

30.

x2y"

28. 29.

Ejercicio 22. x2y" + 2xy' - 12y = O.

31.

x2y" - 3xy'

32.

x2y" -

33.

x2y" + 5xy' + 5y = O. (x 3D3 + 4x2D 2 - 8xD + 8)y = O. Necesitará ampliar el resultado del ejercicio 23 a la tercera derivada, obteniendo

34.

+ 4y = 5xy' + 9y =

O. O.

11 8.5 1 Diferenciación de un producto de funciones Dentro de poco se demostrará que es muy necesario saber diferenciar de manera eficiente un producto de varias funciones . Suponga que: (1)

siendo cada una de las u una función del parámetro e. Denotamos la diferenciación con respecto a e mediante los apóstrofes. Entonces, de: lnu = lnu¡

+ Inu2 + Inu3 + ... + lnu n

se deduce que: u~ -u' = -u'¡ + -u; + -u; + ... + -.

u

U¡

U2

U3

Un

En consecuencia, , { u'¡ u = u U¡

u; +-+ -u; + .. . + -u~ } . U2

U3

(2)

Un

Así, para diferenciar un producto, podemos multiplicar el producto original por un factor de conversión (que convierte el producto en su derivada), el cual consiste en la suma de las derivadas de los logaritmos de los distintos factores. Cuando los factores que se incluyen son a su vez potencias de polinomios, hay una manera apropiada: de calcular mentalmente el factor de conversión. Ese factor es la suma de los factores de conversión de las partes individuales. La manera en que la mayoría de nosotros aprendimos a derivar una potencia de una cantidad fue multiplicando el exponente, la derivada de la cantidad original, por la cantidad con su exponente disminuido en uno. Así, si:

y = (ae

+ b)k,

entonces, dy de = y

{ka} ae + b '

la división entre (ae + b) convierte a (ae + b)k en (ae + b )k-¡.

368

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

EJEMPLO 18.3 Si,

entonces:

Observe que los factores del denominador en la función u son considerados como factores en el numerador con exponentes negativos.

•

EJEMPLO 18.4 Si, y

+n = - - -- -e ----e(e + 1)(c + 2) ... (e

+n-

1) ,

entonces: d _ y =y{_I__ ~ _ _ I ___ I __ ... ___I__ } de e+n e e+1 e+2 e+n- 1 .

• EJEMPLO 18.5 Si,

w=

2n e3

-----------~

[(e

+ 2)(e + 3) ... (e + n +

1)]2'

entonces:

11 8.61

• Ecuación indicatriz con raíces iguales Cuando la ecuación indicatriz tiene raíces iguales, el método de la sección 18.4 no puede producir dos soluciones linealmente independientes. El trabajo con un valor de e sería sólo repetición de lo que se hizo con el otro valor de e. Es necesario entonces un nuevo método de solución.

18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales

Considere el problema de resolver la ecuación x2y"

+ 3xy' + (1 -

°

2x)y =

369

(1)

para x> O. Las raíces de la ecuación indicatriz son iguales, un hecho que puede detenninarse estableciendo la ecuación indicatriz como se desarrolló en la teoría, sección 18.2. Aquí,

3 x

p(x) = - ,

1 - 2x

q(x) = - - 2 - '

x

de modo que Po = 3 Yqo = l. La ecuación indicatriz es:

c 2 + 2e

+ 1 = 0,

con raíces c l = c 2 = - l. Cualquier intento por obtener soluciones escribiendo: (2)

en la ecuación (1) es seguro que nos obligará a seleccionar c = - 1, Y así obtendremos solamente una solución. No debemos elegir c, si queremos obtener dos soluciones. De modo que sustituimos la y de la ecuación (2) en el miembro izquierdo de la ecuación (1) e intentamos anular el miembro izquierdo sin seleccionar c. Es conveniente designar una notación para el miembro izquierdo de la ecuación (1); usamos: L(y) = x2y"

+ 3xy' + (1 -

2x)y.

(3)

Para la y de la ecuación (2) encontramos que: 00

L(y) = L(n

00

+ c)(n + c -

1)anx n +c

n~

+L

3(n

+ c)anx n+c

n~ 00

+L

00

anx n+c

-

n=O

L 2a nx n+c+l , n=O

de donde: 00

L(y) = L[(n n=O

00

+ c)2 + 2(n + c) + l]a nx"+ c -

L 2anx n+c+l • n=O

La simplificación usual conduce a: 00

L(y) = L(n 11=0

00

+ c + 1) 2anxn+c -

L n=l

2a n_lX n+c .

(4)

370

Capítulo J8 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Al recordar que la ecuación indicatriz proviene de hacer el coeficiente en el término n = igual a cero, a propósito tratamos de evitar que el término se anule, por el momento. Pero seleccionando las a y dejando e como un parámetro, podemos hacer que todos los términos excepto el primero en L(y) se anulen. Por lo tanto, igualamos a cero cada coeficiente, excepto para n = 0, de las distintas potencias de x en el miembro de la derecha de la ecuación (4); así:

°

n :::: 1 :

(5)

La aplicación sucesiva de la relación de recurrencia (5) determinará cada an, n ;::: 1, en términos de ao y e. En efecto, del arreglo:

2ao

a ------..,. 1-

(e

+ 2)2

2al a2 = -(e- +- 3)-::-2

a n -

2a n -

1

- - - --

(e

+ n + 1)2 '

y por el recurso usual de multiplicación resulta: a n = ::-:----::-:---:---

2nao :----- - - - - - - = -

+ 2)(e + 3) ... (e + n + Para llegar a una solución específica, seleccionamos a o = 1. [(e

1)]2'

Con las a determinadas anteriormente, escribimos una y que depende de x y de e, es decir, 00

y(x, e) =

XC

+ Lall(e)x n +c ,

x> 0,

(6)

n=1

en laque: an(e) =

2n

[(e

+ 2)(e + 3) ... (e + n + 1)]2

.

(7)

La y de la ecuación (6) ha sido determinada de modo que para ella el miembro derecho de la ecuación (4) debe reducirse a un solo término: n = O. Esto es, para la y(x, e) de la ecuación (6), tenemos:

(8) Una solución de la ecuación diferencial original es una función y para la que L(y) = O. Ahora vemos porqué la selección de e = - 1 produce una solución: porque iguala a cero el miembro derecho de la ecuación (8).

18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales

371

Pero el factor (e + 1), en la ecuación (8), aparece elevado al cuadrado, una consecuencia automática de la igualdad de las raíces en la ecuación indicatriz. De cálculo elemental, sabemos que si una función contiene una potencia de cierto factor dependiente de e, entonces la derivada con respecto a e de esa función contendrá el mismo factor elevado a una potencia menor en uno que en la original. En particular, para la ecuación (8), la diferenciación de cada miembro con respecto a e produce:

a

ae L[y(x, e)] = L

[ay(x,e)]

ae

= 2(e + l)x

c + (e

+ 1)2 x c lnx,

(9)

el miembro del lado derecho tiene la primera potencia del factor (e + 1), como lo sabíamos del teorema enunciado anteriormente. En (9), el orden de las diferenciaciones con respecto a x yac fue intercambiado. Es mejor evitar la justificación de tales pasos verificando directamente las soluciones (13) y (14) que aparecen más adelante. La verificación en este caso es directa pero un poco extensa y por eso la omitimos aquí. De las ecuaciones (8) y (9) puede verse que dos soluciones de la ecuación L (y) = O son: Yl = [y(x , e)t=_l = y(x, -1)

y Y2 = [ay(x, e)]

ae

c=- l

ya que e = - 1 hace que el miembro derecho en cada una de las ecuaciones (8) y (9) se anule. Que YI y Y2 son linealmente independientes se evidenciará más adelante. Tenemos: 00

y(x, e) = x c + Lan(e)x n+c

(6)

n=1

y necesitamos ay (x, e) /

a;

ac. De (6) resulta:

ay(x e)

00

=

XC

lnx

+L

an(c)x n+c lnx

00

+L

n=]

a~(c)xn+c,

n=l

que se simplifica de inmediato a la forma: ay(x, e) --'---- = y(x, e) lnx ae

+ Loo a~(e)xn+c. n=1

(lO)

372

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Las soluciones Y1 y Y2 se obtendrán escribiendo e = - 1 en las ecuaciones (6) y (10), esto es, 00

YI = x- I + Lan(-l)x n- I , n=1

(11)

00

+ La~(-I)xn-l.

Y2 = yllnx

(12)

n=1

Por lo tanto, necesitamos evaluar all(e) y a 'n(e) en e = - 1. Sabemos que: 2n

an(e) = [(e+2)(e+3) ... (e+n+l)]2'

de la cual, mediante el método de la sección 18.5, de manera inmediata obtenemos: I an(e)

Ahora usamos e

=

-2a,,(e)

=-

{l 1} . - - + -1 - + ... + e+2 e+3 e+n+ 1

1 para obtener:

y n

{ 2 1 1 1} . (- 1)=-2-1+-+-+···+n (n !)2 2 3 n

aI

Aquí es útil una notación usada con frecuencia para una suma parcial de la serie armónica. Esta es: Hn

1 1 1 = 1 + - + - + ... + - = 2

3

n

L -.k1 n

k=1

Ahora podemos escribir a 'n( - 1) más sencillamente como: a~(-l) = -

2n+IH /. (n!)

Por último, las soluciones deseadas pueden escribirse en la forma: - 1

YI =x

~ 2nxn-1

+ n=1 ~( 1)2 n.

(13)

y 00

Y2 = yllnx - L n=1

2n+1 Hnxn-I 2

(n!)

(14)

18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales

373

La solución general, válida para x> O, es y =Ay¡

+ BY2

siendo A y B constantes elegidas arbitrariamente. La independencia lineal de y¡ y Y2 debe ser evidente dada la presencia de In x en Y2. Detalladamente, XY¡ tiene un desarrollo en serie de potencias alrededor de x = Opero XY2 no, así que no puede ser una múltiplo de la otra. Una revisión del procedimiento usado para solucionar esta ecuación diferencial muestra que el método de ninguna manera es dependiente de los coeficientes específicos, salvo que la ecuación indicatriz tenga raíces iguales. Esto es, el éxito del método se debe a que el término n = O en L (y) contiene un factor cuadrático . •

Ejercicios

A menos que se indique otra cosa, obtenga dos soluciones linealmente independientes que sean válidas para x > o.

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

+ x)y' + y = O. 4x2y" + (1 - 2x)y = o. x 2y" + x(x - 3)y' + 4y = O. x2y" + 3xy' + (1 + 4x 2)y = O. x(l + X)y" + (1 + 5x)y' + 3y = o. x2y" - x(1 + 3x)y' + (1 - 6x)y = O. x2y" + x(x - l)y' + (1 - x)y = O. x(x - 2)y" + 2(x - l)y' - 2y = o. x2y" - x(1

9. 10.

Resuel va la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x = 2. Resuelva alrededor de x = 4: 4(x - 4)2y" + (x - 4)(x - 8)y' + xy

11.

xy" + y' + xy = O. Ésta es conocida como ecuación de Bessel de índice cero. Se encuentra con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas. (Véanse también las secciones 19.5 y 19.6.)

12.

xy" + (1 - x 2 )y' - xy

13.

Demuestre que:

= O.

= O.

1

¡

1 + 3 + 5"

1

+ .. . + 2k _

1=

1

H 2k -

2" Hk

Y aplique el resultado en la simplificación de la fórmula para Y2 en la respuesta del ejercicio 12. 14.

x2y" + x(3

+ 2x)y' + (1 + 3x)y =

O. En la simplificación de Y2' utilice la fórmula

dada en el ejercicio 13. 15. 16.

+ 8x(x + l)y' + Y = O. x2y" + 3x(1 + x)y' + (1 - 3x)y = O.

4x2y"

374

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

17.

xy" + (1 - x)y' - y = O.

18.

Con respecto al ejercicio 17, se encontró que una solución eray) = é. Utilice el cambio de variable dependiente y = vé para obtener la solución general de la ecuación diferencial en la forma:

118.71 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa En la sección 18.6 vimos que cuando la ecuación indicatriz tiene raíces iguales, e2 = el' siempre aparecen dos soluciones linealmente independientes en la forma: 00

YI

=

XC I

+L

anx n+cl ,

(1)

n=1 00

Y2 = yllnx

+L

bnx n+cl ,

(2)

n= 1

donde el' a n , bn son dependientes de los coeficientes dados en la ecuación particular por resolver. Es posible evitar un poco las dificultades computacionales encontradas en la sección 18.6 para el cálculo de bn en (2), determinando primero e) y Y)' sustituyendo luego laY2 de (2) directamente en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia que satisfaga bn • La relación de recurrencia resultante puede ser difícil de resolver en forma cerrada, pero al menos podremos producir de manera sucesiva tantas bn como queramos.

EJEMPLO 18.6 Para la ecuación diferencial de la sección 18.6, L(y) = x2y"

+ 3xy' + (1 -

2x)y = 0,

(3)

vimos que las raíces de la ecuación indicatriz fueron ambas iguales a - 1 Y que una solución no logarítmica fue: -1

YI =

X

2n x n -

+L -(n.1)2 n=1 00

1

.

(4)

Sabemos que existe una solución logarítmica de la forma: 00

Y2

= y)lnx + Lbnxn- I n= 1

(5)

18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa

375

y detenrunaremos la bn forzando a esta Y2 para que sea una solución de (3). Tenemos: 00

y~ = y~ lnx + X-1YI + L(n -l)bnx n- 2, n= 1 00

y~

= y~/lnx + 2x-Iy~

+ L(n -

_ X- 2YI

1)(n - 2)bnx n- 3 ,

n=1

de modo que: 00

L(Y2) = L(YI) lnx + 2YI + 2xy~ + L(n - l)(n - 2)bnx n- 1 n=1 00

+ L

00

00

3(n - l)bnx n- 1 + L

n=1

n bnx - I - 2 L

n=1

bnx n ,

n=1

de la cual: 00

L(Y2) = 2YI + 2xy~ + b l + L(n 2b n - 2bn_ l )x nn=2

l

.

El ténruno logarítmico desaparece ya que L(y¡) = O. La sustitución de (4) paray¡ produce: 1

L(Y2) = 2x- +2

L 00

n=1

2nxn-1 - -2-

-

2x- 1 + 2

(n!)

L 00

2 n (n _ l)xn-1 2

(n!)

n=1

00

+ b l + L (n 2b n -

2bn_¡)x n- 1,

n=2

o

Si Y2 debe ser una solución de la ecuación (3), entonces b¡ = -4 Ybn debe satisfacer la relación de recurrencia: n 2: 2.

(6)

Un cálculo sencillo nos da b 2 = - 3 Y b 3 = -22/27, pero una forma cerrada para b n es difícil de obtener a partir de (6). En la sección 18.6 encontramos que los valores de bn son: b _ n -

_ 2n+IH

n

(n!)2

(7)

376

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

No es difícil demostrar que esta expresión satisface la relación de recurrencia (6), pero sí es difícil obtener la forma (7) a partir de (6). Aún así, para propósitos computacionales, la forma alterna para Y2 dada por la serie (5) y la relación de recurrencia (6) resulta muy útil.

•

EJEMPLO 18.7 Resuelva la ecuación diferencial: x 2y" -x(1 + x )y'

+y =

°

(8)

del ejercicio 1 en la sección 18.6. Se encontró que las dos raíces de la ecuación indicatriz son c 1 = c2 = 1, Yque la solución no logarítmica es: n+ 1

00

YI=¿~ . n= O

(9)

n!

Busquemos una segunda solución de la forma: 00

Y2 = ylln x

+¿

bnx n+ l ,

n= 1

de modo que: 00

y~ = y ; lnx + X- 1Y I + Len

+ l)b nx n ,

n= 1 00

Y2" = YI" 1nx +2x - 1Y II - X - 2 Y I + '""' ~n ( n

+ l )bnX n - I .

n= 1

La sustitución de estas expresiones en (8) nos da: 00

00

2xy; - 2YI - XYI + ¿ n2b nxn+1 - Len n=1

+ l)b nx n+2 =

0,

n=1

o 00

2xy; - (2 + X)YI

+ b 1x 2 + ¿(n2b n -

nbn _ l)x n+1 = O.

n= 2

Al usar la serie (9) para y 1 obtenemos: ~ 2(n

2x+~ n=1

+ 1) I

n+ 1

X

~ xn+1

-2x-2~-I--x

n.

n=1 00

Xn+2

-¿ 7

n=l'

2

n. 00

+ b 1x 2 + ¿(n 2b n n=2

nbn _ l)x n+1 = 0,

18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico

377

que puede escribirse como:

Resulta que b l = - 1 Y 2

n bn

-

1

nb,,_ 1 +

(n - 1)!

= O,

n ::: 2.

(10)

Si este problema se resuelve por medio del método de la sección 18.6 nos dará: b _ -H" n-

nI'

Es fácil demostrar que esta expresión satisface la relación de recurrencia (10).

•

•

Ejercicios

Para los ejercicios del 2 al 8 de la sección 18.6, encuentre la solución logarítmica determinando una relación de recurrencia para la bn dada en la ecuación (5) de esta sección.

118.8 1 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico Considere la ecuación:

xy" - (4 + x)y'

+ 2y =

(1)

O.

Como es costumbre, suponemos que L (y) representa el miembro izquierdo de (1) y escribimos 00

y = LanX"+c.

(2)

n=O

En seguida encontramos que para la y de la ecuación (2), el miembro izquierdo de la ecuación (1) toma la forma: 00

L(y) = L[(n

00

+ c )(n + e -

1) - 4(n

+ c)]anx n +c - I

-

n=O

L(n

+e -

2)a n x n+c ,

n=O

o 00

L(y) = L(n ,,= 0

00

+ c)(n + e -

5)a"x n +c -

1

-

L(n n=1

+e -

3)an_ IX n +c -

l

.

378

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

La ecuación indicatriz es e(e - 5) = 0, así el

= 5,

Razonamos que se pueden esperar dos soluciones en series de potencias, empezando una de ellas con un término:xfJ y la otra con un término r . Si usamos la raíz mayor e = 5 y tratamos con una serie: 00

'""' an xn+5 ,

~

n=O

es evidente que podemos obtener cuando mucho una solución; el término xO nunca se presenta. Por otra parte, si usamos la raíz más pequeña e = 0, un intento de solución de la forma

tendrá entonces la posibilidad de producir ambas soluciones ya que el término n = 5 (n = s) contiene a r . Si s es un entero positivo, tratamos una serie de la forma (2) usando la raíz más pequeña e2 . Si ao y as resultan ser constantes cualesquiera, obtenemos la solución general por este método. De lo contrario, la relación que debe determinar as será imposible de desarrollar, con nuestra hipótesis usual de que a o =1= 0, Yla solución general incluirá un logaritmo como sucedió en el caso de raíces iguales. Ese caso logarítmico será estudiado en la sección siguiente. Regresemos al problema numérico. Usando la raíz más pequeña e = 0, ahora sabemos que para: (3)

obtenemos: 00

L(y) = L

00

n(n - 5)a n x n -

1

-

n=O

L(n - 3)an _ I X n -

l

.

n= 1

Por lo tanto, al hacer L(y) = 0, debemos tener:

n = O: n C: 1:

°

O·a o = (a o elegida arbitrariamente), n(n - 5)a n - (n - 3)an _ 1 = O.

Ya que la división entre (n - 5) no puede realizarse hasta que n > 5, es mejor escribir

18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico

379

todas las relaciones individuales hasta la correspondiente a ay Así obtenemos:

=1: n =2 :

- 4al - 6a2 - 6a3

n

n = 3: n = 4: n = 5:

n

~

+ 2ao = 0, + al = 0, + a2 = 0,

°.

- 4a4 - a3

°.

= 0,

a5 - 2a4 = 0,

(n - 3)an - l

an = - - - - -

6:

n(n - 5)

De estas relaciones resulta que: 1

al = '2ao, a2 -- 1 6a1 -- 1.. l2aO, a3 = 0, a4 = 0,

O· a5 = 0, aSÍ, as es elegida arbitrariamente. Cada a n , n tumbrada encontramos que:

>

5, será obtenida de ay De la manera acos-

3 a6 = 6.1 a5,

4 7 ·2

a7 = - -a6 ,

(n - 3) a n = n(n _ 5) an-I,

de la cual:

3 ·4 . 5 . .. (n - 3)

an

=-[6·7·8 .. · n](n -

5)!

a5

= (n -

3·4 .5 2)(n - l)n(n - 5)!

a5 ·

Por lo tanto, con ao y as cualesquiera, la solución general puede escribirse como:

y = ao(1

l

l2

+ '2 x + T2 x ) + a5

[5x + f=6 ~ 60xn (n _ 5)! n(n - l)(n -

2)

]

.

La serie infinita puede escribirse también, con un corrimiento del índice, en la forma: 60xn+5

00

?;

n! (n

+ 5)(n + 4)(n + 3)'

380

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Antes de continuar con el ejercicio, examinaremos una ecuación en la que no ocurre la circunstancia afortunada de que ao y as sean constantes cualesquiera. Para la ecuación: x2 y"

+ x(1 -

x ) y' - (1

+ 3x )y

(4)

= O

el intento: 00

y = ¿anX n+c n=O

conduce a: 00

00

L(y ) = ¿(n n=O

+ c + f)(n + c -

l)anx n +c

-

¿(n

+ c + 2)an_ IX n+c .

n=l

Ya que c l = 1 Y c 2 = -1 , usamos c = -1 Y encontramos las relaciones: n ::: 1 :

n(n - 2)a n

-

(n

+ l)an _ 1 =

O,

con aoelegida arbitrariamente. Escribimos las relaciones separadas hasta la relación crítica, n = 1:

- al - 2ao = O,

n = 2:

O . a2 - 3al = O,

n:::3:

(n I)an-I a n = - -- - -

+

n (n - 2)

Resulta que: a l = -2ao ,

O . a2 = 3a l = -6ao . Estas relaciones no pueden satisfacerse excepto para la selección a o = o. Pero si se hace esto, a 2 será la única constante elegida arbitrariamente, y la única solución que resulta del trabajo, será la que corresponda al mayor valor de c, c = l . Este es un caso donde aparece una solución logarítmica; la ecuación se resolverá en la sección siguiente. Una buena manera de perder el tiempo es usando ao = O, al = O, a2 elegida arbitrariamente, y determinando a n , n :2: 3, a partir de la relación de recurrencia anterior. Este trabajo adicional produce una solución que será conseguida de nueva cuenta cuando se resuelva la ecuación por el método de la siguiente sección .

•

Ejercicios

Obtenga la solución general cercana a x = O, salvo que se indique lo contrario. Establezca la región de validez para cada solución.

1.

x 2y"

+ 2x (x

- 2) y'

+ 2(2 -

3x) y = O.

18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico

2. 3.

x2(1 + 2x)y" + 2x(1 + 6x)y' - 2y = O. x2y" + x(2 + 3x)y' - 2y = O.

4.

xy" - (3 +x)y' +2y = O.

5.

x(1

6. 7.

Resuelva la ecuación del ejercicio 5 alrededor del punto x = - l. x2y" + x2y' - 2y = O.

8.

x(1 - x)y" - 3y'

9.

Resuelva la ecuación del ejercicio 8 alrededor del punto x

+ x)y" + (x + 5)y' + 2y =

381

= O.

4y

O.

=

l.

+ (4 + 3x)y' + 3y = O. 12. xy" + (3 + 2x)y' + 4y = O. xy"-2(x+2)y'+4y=O. 13. x(x+3)y"-9y'-6y=O. x(1 - 2x)y" - 2(2 + x)y' + 8y = O. xy" + (x 3 - l)y' + x2y = O. x 2(4x - l)y" + x(5x + l)y' + 3y = O.

10. xy"

11. 14. 15.

16.

118.91 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico En la sección anterior examinamos la ecuación:

x2y"

+ x(1

- x)y' - (1

+ 3x)y =

O

x>O

(1)

y encontramos que su ecuación indicatriz tiene raíces el = 1, e2 = -l. Como ninguna

solución en serie de potencias comienza con x C2 , sospechamos la presencia de un término logarítmico y comenzamos a tratar la ecuación en la forma usada para el caso logarítmico anterior, el caso de raíces iguales. De la forma supuesta: 00

c

Lan xn + n=O determinamos fácilmente que el miembro izquierdo de la ecuación (1) será: y

=

00

L(y) = L(n n=O

l)anx n+c

-

L(n n=O

+ e + l)(n + e -

l)a nx n+c

-

L(n n=1

00

= L(n n=O

00

+ e + l)(n + e -

00

+ e + 3)anx n+c+ 1 + e + 2)an _ I X n+c .

Como es costumbre, cada término después del primero en la serie para L (y) puede igualarse a cero seleccionando la a", n 2:: 1, sin restringir e. Escribimos:

n ::: l:

(n + e + 2)a n _1 a" = - - - - - - -- (n+e+1)(n+e - l)'

382

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

de la cual inmediatamente se deduce que: n:::l:

an =

+ 3)(e + 4) . .. (e + n + 2)ao [(e + 2)(e + 3)··· (e + n + l)][e(e + 1)··· (e + n (e

~--~~--~--~----~~~--~------------

1)]'

o an

=

(e

(e + n + 2)ao + 2)[e(e + 1) . . . (e + n -

1)]

.

De la an obtenida anterionnente, todos los ténninos después del primero en la serie de potencias para L (y) han sido anulados, así, con: y = aox

C

+ Loo n=!

+ 2)aox n+c (e + 2)[e(e + 1) . .. (e + n (e + n

(2)

1)]

debe resultar que: L(y) = (e

+ l)(e -

(3)

1)aoXC .

Con base en la raíz mayor, e = 1, sólo puede obtenerse una solución. De la raíz menor, e = -1, obtendríamos dos soluciones, siguiendo la técnica de usar y(x, e) y dy(X, c)/de, como en el caso de raíces iguales si el miembro derecho de (3) tuviese al factor (c + 1? en lugar de sólo (e + 1) elevado a la primera potencia. Pero ao aún es una constante cualquiera, de modo que tomamos:

ao = (e + 1) para obtener el factor al cuadrado que necesitamos en el lado derecho de la ecuación (3). Otra manera de ver que es preferible seleccionar ao = (e + 1) la tenemos a continuación. Sabemos que en algún momento será necesario utilizar e = -1 en la ecuación (2). Pero en la serie el denominador contiene al factor (e + 1) para todos los ténninos que van después de n = 1. Ahora, según la ecuación (2), los términos n ;::: 2 no existirán con e = -1. Por lo tanto, eliminamos del denominador el factor problemático (e + 1) escogiendo ao = (e + 1). Con ao = (c + 1) tenemos: y ( x, e ) = ( e + 1) x

c

+ Loo n=!

(e

(e

+ 1)(e -+ n + 2)x n+c

+ 2)[e(e + 1) ... (e + n -

1)]

,

(4)

para la que: (5)

El argumento, similar al usado cuando la ecuación indicatriz tenía raíces iguales, nos muestra que las dos soluciones linealmente independientes que son buscadas pueden obtenersecomo: y¡ = y(x,-1)

(6)

18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico

383

y Y2

= (ay(x , c)) . ac c=-I

(7)

Desde luego, es acertado cancelar el factor (c + 1) del numerador y denominador en los términos de la serie en (4). Pero el factor (c + 1) aparece en el denominador hasta el término n = 2. Por lo tanto, es preferible escribir por separado los términos que difieren. Escribimos de nuevo la ecuación (4) como: y(x,

c)

(c +

=

1)x

c

(c +

+ 3)x l +c (c + 4)x2+c (c + 2)c + (c + 2)c

1)(c

+

c

+ n + 2)x"+ +¿ (c + 2)c[(c +(c 2)(c + 3)··· (c + n 00

11=3

. 1)]

( 8)

La diferenciación con respecto a e de los miembros de la ecuación (8) produce: ay(x,c) - - - = y(x, c) Inx ac

+ (c +

l)(c

+

(c

+

f 11=3

l

c

3)x + {_1_ 2)c c+ 1

(c + +

+ XC + _1_ _ _1 __ ~} c+ 3 c+ 2 c

+ 4)x2+c {1

(c + 2)c

c+ 4

1 -

c+ 2

1}

~

-

(c + n + 2)x"+ c {c:t±t:z - eh - ¿- (eh + eh + ... + ~) } (c + 2)c[(c + 2)(c + 3) ... (c + n - 1)] .

(9)

Todo lo que falta ahora es obtener Y¡ y Y2 usando c = -1 en las expresiones anteriores para y(x, c) y ay(x, c)/ ac. En el tercer término de la derecha en la ecuación (9), insertamos primero (mentalmente) el factor (c + 1) en la cantidad que está entre las llaves. Por lo tanto, las soluciones deseadas serán : YI

=

ü · x- I +Ü · xo -3x+

(n + 1)x"¿-------(-1)[1·2·· · (n - 2)] 1

00

11=3

y Y2

= y 1 1nx +x- I 00

"

+~ n=3

(n

-

2xo - 3x{~ - 1 + 1}

+

1)x 11 -

I{ 1

-- - 1+ 1-

(1 + - + . .. + -1 - )} 1

n+l 2 (-1)[1·2··· (n - 2)]

n-2

.

384

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Estos resultados pued~n escribirse de manera más compacta como:

YI

= -3x -

(n + l)xl/L ---(n - 2)! I

00

(10)

1/=3

y

Y2 = yllnx

+x

_1

- 2- x -

LOO [1 - (n

+ 1)HI/_2]xl/- 1

(11)

(n - 2)!

1/=3

También es posible absorber un término más en la sumatoria y mejorar la apariencia de los resultados . El estudiante puede demostrar que: 1 00 (n + 3)xl/+ YI = - L -- -

n=O

n!

y

con tal de que sean usadas las convenciones comunes (definiciones) Ha = O Y O! = 1. La solución general de la ecuación diferencial original es:

y = AY 1 + By2 , Y vale para toda x> O, ya que la ecuación diferencial no tiene otros puntos singulares en el plano finito. Los pasos dados para ir de la ecuación (4) a la (8) deben utilizarse sin alteración en este tipo de resoluciones. De lo contrario, se encontrarán formas indeterminadas que pueden . causar confusión. Un punto esencial en este método es la elección aa = (c - c 2), donde c 2 es la raíz más pequeña de la ecuación indicatriz .

•

Ejercicios

Encuentre dos soluciones linealmente independientes, que sean válidas para x que lo contrario.

+y

= O.

1.

xy"

2.

x2y" - 3xy'

3. 4. 5. 6.

7.

+ (3 + 4x)y = O. 2xy" + 6y' + Y = O. 4x 2y" + 2x(2 - x)y' - (1 + 3x)y = O. x2y" - x(6 + x)y' + lOy = O. xy" + (3 + 2x)y' + 8y = O. x(l - x)y" + 2(1 - x)y' + 2y = O.

> 0, a menos que se indi-

18.10 La solución para valores grandes de x

385

8. Demuestre que las respuestas del ejercicio 7 pueden remplazarse por:

"x 00

Y3 (lO)

9.

10. 11)

=

1-x;

Y4

= Y3lnx

1 -1 +2x - 2:x

n-I

- ~------. n=3 (n - l)(n - 2)

Resuelva la ecuación del ejercicio 7 cerca del punto x = 1. x?-y" + xy '+ (x2 - l)y = O. Esta es una ecuación de Bessel de índice uno. (Véanse también las secciones 19.5 y 19.6.)

11. x2y" - 5xy' + (8 + 5x)y = O. 12. xy" + (3 - x)y' - 5y = O. 13. 9x2y" - 15xy' + 7(1 + x)y = O. 14. x2y" + x(1 - 2x)y' - (x + l)y = O.

de

118. 101

La solución para valores grandes de x Las soluciones en series de potencias que hemos estudiado hasta el momento convergen en regiones situadas alrededor de algún punto x = xo' por lo común el origen. Tales soluciones, aunque pueden convergir para valores grandes de x, son susceptibles de hacerlo con lentitud desalentadora. Por esta razón, y por otras de naturaleza más teórica, debemos analizar el problema de encontrar soluciones que sean particularmente útiles para valores grandes de x. Considere la ecuación: bo(x)y"

+ bl

(x)y'

+ b2(x)y

=O

(1)

nel con coeficientes ste

polinomiales.

Escribimos: 1 w=-.

(2)

x

Entonces, dy dw dy 1 dy -=--=---=-w dx dx dw x2dw y

2

dy dw

386

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Así, la ecuación (1) se transforma en la ecuación siguiente en y y w: 2 4 d y dy + b2 ( bo w W dw 2 + [ 2w 3 bo ( w - w 2 b¡ w dw

( l)

1)

(l)]

1)

W

y

= O.

(3)

Ya que bo' b¡ y b2 son polinomios, la ecuación (3) se convierte rápidamente en una ecuación con coeficientes polinomiales. Si el punto w = Oes ordinario o un punto singular regular de la ecuación (3), entonces nuestro método anterior de solución producirá soluciones válidas para valores pequeños de w. Pero w = l/x, de modo que si w es pequeño significa que tenemos unax grande. Como parte de la terminología aplicable en estos casos, decimos que cualquier cosa que sea cierta acerca de la ecuación (3) cuando w = O, es cierta para la ecuación (1) "en el punto al infinito". Por ejemplo, si la ecuación transformada tiene w = Ocomo un punto ordinario, decimos que la ecuación (1) tiene un punto ordinario al infinito. (Véanse los ejercicios dell al 6.)

EJEMPLO 18.8 Obtenga soluciones que sean válidas para valores grandes de x en la ecuación: x2y"

+ (3x

- l)y'

+Y =

O.

(4)

Esta ecuación tiene un punto singular irregular en el origen y no tiene otros puntos singulares en el plano finito. Para investigar la naturaleza de la ecuación (4) para valores grandes de x hacemos x = l/w. Ya hemos encontrado que: dy 2 dy -=-w dx dw

(5)

y 2 d y 4 d 2y 3 dy 2 = w -d 2 + 2w - . dx w dw

(6)

Con la ayuda de (5) y (6) vemos que la ecuación (4) se transforma en: 2 Y . - 12 ( w 4 -d y2 + 2w 3 -dy ) + ( -3 - 1) ( - w 2 -d ) + y = O, w dw dw w dw

o 2

W

d 2y dy dw 2 - w(1 - w) dw

+y =

O,

(7)

una ecuación que queremos resolver alrededor de w = O. Ya que w = Oes un punto singular regular de la ecuación (7), el punto al infinito será un punto singular regular de la ecuación (4). De la forma supuesta: 00

y = ¿anWn+c, n=O

(

18.10 La solución para valores grandes de x

387

la ecuación (7) implica, por los métodos usuales, que: 00

L(y) =

00

¿(n + e -

1)2 anw n+c

n=O

+ ¿(n + e -

1)an_IW n+c ,

n=1

en la cual L(y) representa ahora al miembro izquierdo de la ecuación (7). La ecuación indicatriz tiene raíces e = 1, 1. Establecemos y( w, e) de la forma acostumbrada. De la relación de recurrencia: n:::1:

resulta que: (-lt ao . c(c + 1) ... (e + n - 1)

an = De aquí elegimos:

- 1)n wn+c -------n=1 c(c + 1) ... (e + n - 1) ,

+¿ 00

y(w, e) =

W

C

(

y encontramos:

_ +{1 + __ 1 + ... + ___ 1}

(-1)nwn c _

f

ay(w, e) = y(w, e) In w _ ac n=1

e c(c

e+1 + 1) .. . (e + n -

e +n - 1 .

1)

Al emplear la raíz e = 1, llegamos a las soluciones:

= w+

1

( - 1) w + ¿n=1 ---n! 00

YI

n

n

y

Por lo tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente independientes: (8) y

(- 1tH x - n . n ~ n! n=1 00

Y2

= y 1 ln(1jx) _ "

1

(9)

388

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

Estas soluciones son válidas para toda x > O.

•

•

Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 6 los puntos singulares en el plano finito ya han sido localizados y clasificados. Para cada ecuación determine si el punto al infinito es un punto ordinario (P.O.), un punto singular regular (P.S .R.) o un punto singular irregular (P.S.I.). No resuelva los problemas.

1. 2.

3. 4. 5. 6.

.0(x - l)y" + (x - l)y' + 4xy = O. (Ejercicio 1, sección 18.1.) X2(X2 - 4)y" + 2x3y' + 3y = O. (Ejercicio 2, sección 18.1.)

+ xy = O. (Ejercicio 3, sección 18.1.) x2y" + y = O. (Ejercicio 4, sección 18.1.) .0y" + y = O. (Ejercicio 5, sección 18.1.) .0y" + 2.0y' + 4y = O. (Ejercicio 18, sección 18.1.) y"

En los ejercicios del 7 al 19, a menos que se indique lo contrario, encuentre soluciones que sean válidas para valores positivos grandes dex.

7. 8. 9. 10.

11.

+ x(1 + 2x2)y' + 5y = O. 2.0y" - x(2 - 5x)y' + y = O. x(1 - x)y" - 3y' + 2y = O, la ecuación del ejercicio 8, sección 18.8. x3y" + x(2 - 3x)y' - (5 - 4x)y = O. Véase el ejercicio 13, sección 18.6. 2x2(x - l)y" + x(5x - 3)y' + (x + l)y = O. .0y"

13 .

Resuelva la ecuación del ejercicio 11 alrededor del punto x = O. 2x2(1 - x)y" - 5x(1 + x)y' + (5 - x)y = O.

14.

Resuelva la ecuación del ejercicio 13 alrededor del punto x = O.

15.

x(l

12.

16. 17.

+ x)y" + (1 + 5x)y' + 3y = O, la ecuación del ejercicio 5, sección 18.6. x2(4 + X2)y" + 2x(4 + x 2)y' + y = O. x( 1 - x)y" + (1 - 4x)y' - 2y = O, la ecuación del ejercicio 18 dad¡t en los ejercicios diversos al final de este capítulo.

18.

x(1

+ 4x)y" + (1 + 8x)y' + y

= O, la ecuación del ejercicio 49 dada en los ejercicios

diversos al final de este capítulo. 19.

La ecuación del ejercicio 6.

11 8. 1 11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos Al resolver una ecuación cerca de un punto singular regular, algunas veces sucederá que se encuentra una relación de recurrencia que depende de varios términos. En casos no logarít-

18.11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos

389

micos, los métodos estudiados en este capítulo se aplican fácilmente y no causan complicaciones excepto que por lo regular no se obtendrá una fórmula explícita para los coeficientes. En casos logarítmicos, los métodos mencionados, como la construcción de y(x, e) y By(x, e) / ae, pueden ser difíciles de manejar cuando se presenta una relación de recurrencia con varios términos. Hay otro método que puede aplicarse en esos casos con ciertas ventajas. Considere el problema de resolver la ecuación: L(y)

para x

= x2y" + x(3 + x)y' + (1 + x + x 2 )y = O

(1)

> O. De: (2)

es fácil demostrar que: 00

L(y) = L(n n=O

00

00

+ e + 1)2anxn+c + L(n + e)an_IX n+c + L n=1

an_2Xn+c.

(3)

n=2

Por lo tanto, la ecuación indicatriz es (e + 1)2 = O. Ya que las raíces de la ecuación indicatriz son iguales, e = -1, -1, resulta que existen las soluciones: 00

(4)

YI = '""' L.,..anx n-I , n=O 00

Y2 = yllnx

n I bnx - ,

+L

(5)

n=1

que son válidas para x> O. La región de validez se obtiene de la ecuación diferencial; la forma de las soluciones puede verse por el razonamiento dado en la sección 18.6. Determinaremos la an , n> O; para ello requerimos que L (YI) sea igual a cero. Entonces la bn' n 2: 1, será determinada en términos de an , pidiendo también que L (Y2) sea igual a cero. De L (YI) = Oresulta que: 00

'""' L.,..n 2 a"x n-I

,,=0

00

+ L.,.. '""'en -

00

1) a,,_IX n-I

+ '""' L.,..an-2X n- I =O .

,,=1

n=2

Escogemos ao = 1. Entonces las constantes a que restan se determinan mediante:

n = 1: n ?: 2 :

+ O· ao = O, 2 n a n + (n - l)a,,_1

al

+ a,,-2 =

O.

Por lo tanto, una solución de la ecuación diferencial (1) es: 00

YI = '""' L.,..anx n-I , n=O

(6)

390

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

enlaqueao = l,a¡ =0,

n

~

2:

Ahora queremos que L (Y2)

= O. De, 00

= yllnx + Lbnx n- I

Y2

(5)

n=1 se deduce que: 00

y~ = y; lnx +X-IYI + L(n -l)bnx n- 2 n=1

y 00

y; = y;'lnx

+ 2x-ly;

- X- 2YI

+ L(n -

l)(n - 2)bnx n- 3.

n=1 El cálculo directo de L (y) produce: 00

L(Y2) = L(y¡) lnx + 2xy; - YI + XYI + 3YI + Ln 2bnxn-1 n=1 00

00

+ L(n -l)bn_ l x n- 1 + L n=2

bn-2 Xn - l .

n=3

Ya que L(y¡) = O, el requisito L(Y2) = O conduce a la ecuación: 00

00

Ln 2b nxn-1 n=1

00

+ L(n n=2

= -2xy;

l)bn_ l x n- 1 + Lbn_ 2x n- 1 n=3

- 2YI - XYI

00

00

= - L2nanxn-1 - Lan_IX n- l ,

(7)

n=1 n=1 en la que el miembro de la derecha ha sido simplificado usando la ecuación (6). Con base en la identidad (7) se obtienen las siguientes relaciones para determinar las bn a partir de las an :

n = 1: n =2: n

~

3:

b l = -2al - ao,

4b2 + b l = - 4a 2 - al, n 2b n + (n - l)bn- 1 + bn_ 2 = -2na n - an-I.

18.11 Relaciones de recurrencia que' dependen de varios términos

391

Por lo tanto, la ecuación diferencial original tiene las dos soluciones linealmente independientes dadas por la y ¡ de la ecuación (6) Ypor: 00

Y2

= y¡lnx + L

(8)

bnxn-l,

n=1

en la que b¡

= -1, b 2 = 4, n

~

b __ (n - l)bn_ 1 + b n- 2 _ 2an _ an-I

3:

n2

n -

n

n2 .

Si la ecuación indicatriz tiene raíces que difieren en un entero positivo, y si existe la solución logarítmica, entonces las dos soluciones tendrán la forma: 00

YI

=

La x + n

n C1

,

n=O 00

Y2

= yllnx + Lbnxn+c2, n=O

donde e ¡ es la raíz mayor y e 2 1a raíz menor de la ecuación indicatriz. La an y la bn aún pueden determinarse por el procedimiento usado en esta sección .

•

Ejercicios

A menos que se indique lo contrario, resuelva cada ecuación para x>

o.

4.

+ 3xy' + (1 + x + x 3)y = O. 2x(1 - x)y" + (1 - 2x)y' + (2 + x)y = O. xy" + y' +x(l +x)y = O. x2y" + x(1 + x)y' - (1- 3x + 6x 2)y = O.

5.

Demuestre que la serie en la respuesta del ejercicio 4 empieza como sigue:

1. 2. 3.

x2y"

y = ao(x- I + 2 + 4x2 - ~x3

+ .!fx4 -

+a2(x - ~x2 3

6.

~X2

+

+ ... )

3 - Ix 4 .!.2 12 x 6

+ 72 2l x 5 + ... ).

xy" + xy' + (1 + x 4 )y = O. Aquí la ecuación indicatriz tiene raíces, e = O, e = 1, y un intento por obtener una solución completa sin In x fracasa. Entonces escribimos: 00

YI = L anxn+1 , n=O 00

Y2 = yllnx

+ Lbn xn . n=O

392

Capítulo 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares

El coeficiente bl(s = 1) puede elegirse arbitrariamente y lo escogemos igual a cero. Demuestre que las YI y Y2 indicadas son soluciones si: ao = 1, al = - 1, a2 = n >

5:

a = _ (n

-

n

4, a3 =

- ~ , a4 =

:}¡,

+ l)a n _1 + a n - 5 n(n + 1) ,

y si las constantes b están dadas por:

b o = -1 , b l = O (así se escogió), b 2 = 1, b 3 = -~, b4 =

n::: 5:

nb n - I + b n n(n - 1)

bn = - - -- --

5

(2n - l)a n -l

j¿ ,

+ an - 2

n(n - 1)

8.

Para la YI dada en el ejercicio 6, demuestre que las constantes an alternan en signo. También calcule los términos desde y I hasta x7" x(x - 2)2y" - 2(x - 2)y' + 2y = O.

9.

Resuelva la ecuación del ejercicio 8 para x > 2.

7.

10.

2xy" + (1 - x)y' - (1

+ x)y = O.

11.

Demuestre que las respuestas al ejercicio 10 también están dadas por:

118.12 1 Resumen Enfrentados al problema de resolver una ecuación lineal : L(y) = O,

(1)

primero determinamos la ubicación y naturaleza de sus puntos singulares. En la búsqueda de soluciones que sean válidas alrededor del punto x = x o' en primer lugar, siempre trasladamos al origen haciendo x - X o = v. Las soluciones válidas cerca de un punto ordinario x = O de la ecuación (1) toman la forma: (2)

con ao y al elegidas arbitrariamente, si la ecuación (1) es de segundo orden. Si x = O es un punto singular regular de la ecuación (1) y queremos obtener soluciones que sean válidas para x > O, primero hacemos: 00

y = ¿anX n+c. 11=0

(3)

18.12 Resumen

393

Para la y de (3), obtenemos la serie para L(y) por sustitución. Con base en el término n = O de esa serie puede escribirse la ecuación indicatriz. Cuando la diferencia de las raíces de la ecuación indicatriz no es un entero, o si las raíces son iguales, la técnica es directa siguiendo el método de la sección 18.4 o el de la 18.6. Cuando las raíces difieren por un entero diferente de cero, la solución puede o no incluir In x. La relación de recurrencia para n = s, donde s es la diferencia de las raíces, es la relación crítica. Entonces debemos determinar si las relaciones para n = 1,2, ... , s permiten que a o y as sean elegidas arbitrariamente. Si es así, dos series de potencias de la forma (3) serán soluciones de la ecuación diferencial. Si ao y as no se eligen arbitrariamente, el caso es logarítmico. Entonces puede usarse el método de la sección 18.9. La técnica puede variarse, si se desea, seleccionando siempre la a n en términos de c de modo que la serie de potencias para L(y) se reduzca a un término. Así se determinará una serie de la forma:

(4) para la que: (5)

donde k = O o 1 para las ecuaciones aquí consideradas y c l y c 2 son las raíces de la ecuación indicatriz. De esta manera puede determinarse a partir de los coeficientes reales en (4) si el uso de c = c l y C = c2 tiene como resultado dos soluciones de la ecuación diferencial. Si c l = c 2 ' los resultados serán idénticos y se recomienda el uso de oy(x, c)/oc. El otro caso logarítmico se identifica por el hecho de que uno o más de los coeficientes f/c) no existen cuando c = c2' la raíz menor. Entonces, de nuevo se hace necesario aplicar el proceso de diferenciación, después de introducir ao = c - c2 . El método reseñado líneas arriba tiene una desventaja: parece inducir al usuario a una aplicación automática de reglas, un procedimiento que siempre es peligroso en matemáticas. Cuando el estudiante entiende perfectamente qué es lo que sucede en cada uno de los cuatro casos posibles, este método puede usarse de manera segura y ahorra un poco de trabajo. Ampliar la aplicación de los métodos estudiados en este yen el capítulo anterior a ecua- . --ciones lineales de orden superior se hace directamente. Por ejemplo, una ecuación de cuarto orden cuya ecuación indicatriz tiene raíces c = 2, 2, 2, ~ se trataría como sigue. Una serie sería determinada para y(x, c),

y(x, e)

~ "o [x n. Por lo tanto, al escoger a o igual a uno, una solución de la ecuación (1) será: ~ (-nhx k YI = (k!)2

t:o

(3)

El miembro de la derecha en (3) es llamado polinomio de Laguerre y, por lo común, se denota mediante Ln(x ):

(4)

400

Capítulo 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico

El estudiante debe comprobar la equivalencia de las dos sumas en (4) demostrando que: (-l)k n ! ( -n h (n - k)! Una solución de (1) es Y I = LIl(x). La solución logarítmica asociada, después de efectuar

=

una considerable simplificación, puede escribirse en la forma: Y2

=

L 11 (X ) 1nx

{-- (-n h(Hn - k - H" - 2Hdxk

+~

(k!)2

k=1

00

( - l)" n !(k _ l)!x k+"

+ {;

[(k+n)!]2

(5)

La solución (3) es válida para toda x finita; la solución (5) es válida para x > O.

119 .5 1 Ecuación de Bessel con Índice no entero La ecuación: (1)

es llamada ecuación de Bessel de índiee n. La ecuación (1) tiene un punto singular regular en x = 0, pero ningún otro punto singular en el plano finito. En x = 0, las raíces de la ecuación indicatriz son el = n, e2 = -no En esta sección suponemos que n no es un entero. Con los métodos del capítulo 18 es sencillo demostrar que si n no es un entero, entonces dos soluciones linealmente independientes de (1) serán: 00

YI

(_I)k x2k+1l

(2)

= {; 22kk! (1 + nh ' 00

(

_1)kx2k-n

(3)

Y2 = { ; 22kk! (1 - n)k '

y válidas para x > O. La función : 1 Y3 = 2/1r(l

00

+ n) YI =

(_I/x2k+1l

{ ; 22k+llk! r(k

+ n + 1)'

que también es solución de la ecuación (1), es ll amada J,,(x), función de Bessel de primer tipo e índice n. Así, 00 (_I)kx2k +1l Y3 = Jn (x) = "" ::-;:;-;--:--:-~--22k +Ilk.! r(k + n + 1)

6í

(4)

es una solución de (1), y la solución general de (1) puede escribirse como: y = AJn(x)

+ BLn(x ) ,

(5)

19.6 Ecuación de Bessel con índice entero

401

El hecho de que J_n(x) es una solución de la ecuación diferencial (1), debe ser evidente a partir de que el parámetro n aparece en (1) sólo en el término n2 • También es cierto que: LII(x)

=

1

2- lI

ro _ n) Y2 ·

119.61 Ecuación de Bessel con índice entero En la ecuación de Bessel: (1) suponga que n es cero o un entero positivo. Entonces,

20

(_1)k x2k+n

00

YI = Jn(x)

=

22k+llk! r(k

(2)

+ n + 1)

es una solución de la ecuación O). Cualquier solución linealmente independiente de (2) debe contener In x. Ya hemos resuelto O) para n = O en el ejercicio 11 de la sección 18.6, y para n = 1 en el ejercicio 10 de la sección 18.9. Para una n que sea un entero mayor o igual que dos, hacemos: 00

j y = LajX +c , j=O

o

y procediendo con la técnica de la sección 18.9, determinamos y (x, c) y - y(x, c), luego oc usamos c = - n para obtener dos soluciones: (_I)k x2k-1I

00

Y2 =

2

(3)

2 2k - 1(1 - n)n - I (k - n)! k!

y Y3 = Y2 In x

11- 1 (_l)kx2k-n --=-: 2k- - -k=1 2 (1 - nhk!

+ x- n + L

+

f

Un corrimiento del índice en (3) de k a (k

Pero para n;::: 2, (1 - n)Il_1

= (-

20

(4)

+ n) nos da: (_I)k+n x2k+n

00

Y2 =

+

( - I)k+I(Hk _ n Hk - Hn_l)x2k-n 2k I k=n 2 - (l-n)n _ l(k-n)!k!

22k+2n-1 O - n)II_ l k! (k

+ n)!·

l)lI-l(n - 1)!, de modo que:

-1 Y2 = 211 - 1 (n _ 1)! Jn(x) .

Por lo tanto, podemos remplazar la solución (3) con:

(5)

402

Capítulo 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico

Por medio de operaciones semejantes, remplazamos la solución (4) con: n-I (-l)k+l(n _1 )!x2k-n 22k+l-nk! (1 _ nh

+ {;

Y4 = ln(x) Inx

1 LOO (_l)k+1 (Hk + Hk+n)x2k+n

+2

k=O

22k+nk! (k

+ n)!

(6)

Para una n que sea un entero mayor que uno, las ecuaciones (5) y (6) pueden usarse como la pareja fundamental de soluciones linealmente independientes para la ecuación de Bessel (1) cuando x> O.

119.71 Polinomios de Hermite La ecuación: yl! - 2xy'

+ 2ny =

(1)

O

es llamada ecuación de Hermite. Ya que (1) no tiene singularidades en el plano finito, x = O resulta ser un punto ordinario de esa ecuación. Hagamos: 00

y

= Lajx

j

j=O

y usemos los métodos del capítulo 17 para obtener la solución general: oo

[ L

Y =ao 1+

2k(-n)(-n

k= 1

+al [ x+

~

~ k= 1

+ 2)··· (-n + 2k -

2)X 2k ]

(2k)! 2k(1 - n)(1 - n

+ 2)··· (1 (2k + 1)!

n

2)X 2k + l ]

+ 2k -

,

(2)

que es válida para toda x finita y con ao y al elegidas arbitrariamente. El interés en la ecuación (1) es mayor cuando n es un entero positivo o cero. Si n es un entero par, el coeficiente de a o en (2) termina, ya que cada término para k ;::: ~ (n + 2) será cero. Si n es un entero impar, el coeficiente de al en (2) termina, ya que cada término para k ;::: ~ (n + 1) será cero. Por lo tanto, la ecuación de Hermite siempre tendrá una solución polinomial, de grado n, cuando n es cero o un entero positivo. Es elemental pero tedioso obtener a partir de (2) una sola expresión para esta solución polinomial. El resultado es:

[~n] Hn(x) = { ;

(-I)k n ! (2xy-2k k!(n-2k)!

donde [ ~ n ] representa al máximo entero ::; ~ n. El polinomio Hn(x) de (3) es el polinomio de Hermite; y ecuación (1).

'

(3)

= Hjx) es una solución de la

19.8 Polinomios de Legendre

JI 9. 8J

403

Polinomios de Legendre La ecuación:

o - x2) y" -

2xy'

+ n(n + 1) y

O)

= O

es llamada ecuación de Legendre. Resolvamos (1) alrededor del punto singular regular x = 1. Hacemos x - 1 = v y obtenemos la ecuación transformada: d 2y

v(v

dy

+ 2) dv 2 + 2(v + 1) dv

- n(n

+ 1)y =

O.

(2)

En v = O, la ecuación (2) tiene, como raíces de su ecuación indicatriz, c = O, O. De aquí que resulte ser una solución logarítmica. Por el momento sólo estamos interesados en hallar la solución no logarítmica. Seguimos los métodos del capítulo 18 y hacemos: 00

y = Lak vk k=O

en la ecuación (2) para llegar a los resultados: ao es elegida arbitrariamente y: k ~ 1:

ak =

-(k - n - 1) (k

+ n)ak _ 1

(3)

Resolvemos la relación de recurrencia (3) y obtenemos: (_1)k (-nh O + n)kaO

2 k (k!)2

con la notación factorial de la sección 19.2. Ahora podemos escribir una solución de la ecuación O) en la forma: YI

= 1 + ~ (-l)k(-nh(n + 1)k(X - 1)k ~ 2k (k!)2 k=·1

(4)

Ya que k! = (1)k' podemos expresar (4) como:

~

YI = 1+ ~ k=1

(-nh(n

+

1h (1 -

O)kk!

X)k

--

(5)

2

El miembro derecho de la ecuación (5) es un ejemplo de la función hipergeométrica que encontramos en la sección 19.3. De hecho, YI

=

F ( -n, n

+ 1;

x) .

11; -2-

(6)

Si n es un entero positivo o cero, las series en (4), (5) o (6) terminan. Estas series son llamadas polinomios de Legendre y se dlJsignan con PI/(x). Escribimos nuestra solución no logarítmica de la ecuación de Legendre como: YI = PI1(x) = F ( -n, n

+ 1;

x) .

11; -2-

(7)

Ecuaciones diferenciales parciales

20

120.11 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales Una ecuación diferencial parcial es aquella que tiene una o más derivadas parciales. Ecuaciones de este tipo aparecen frecuentemente en aplicaciones de matemáticas. El tema de ecuaciones diferenciales parciales presenta bastantes ramificaciones y dificultades muy interesantes. En este libro dedicaremos casi por completo el espacio asignado a ecuaciones diferenciales parciales para tratar una clase de problemas con valores en la frontera que se presentan a menudo en matemáticas aplicadas. Las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que impliquen funciones arbitrarias y soluciones que incluyan un número ilimitado de constantes cualesquiera. La solución general de una ecuación diferencial parcial de orden n puede incluir n funciones arbitrarias. La solución general de una ecuación diferencial parcial casi nunca es de uso práctico en la solución de problemas con valores en la frontera asociados con esa ecuación (la ecuación de onda es una de las pocas excepciones).

120.21

Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se utilizan en matemáticas aplicadas tan frecuentemente y tienen tantas conexiones que su estudio es bastante provechoso. Un estudio exhaustivo de estas ecuaciones nos conduciría por cada fase de la matemática clásica y, en particular, nos llevaría casi de inmediato a ponernos en contacto con funciones especiales que son ampliamente utilizadas en teoría cuántica, así como en física teórica e ingeniería. La deducción de las ecuaciones diferenciales que se presentarán aquí queda fuera de los alcances de este libro. Algunas de las formas en que estas ecuaciones son útiles aparecerán en las aplicaciones detalladas en los capítulos 23 y 25. Sean x, y y z coordenadas rectangulares en el espacio usual. Entonces la ecuación conoci(1) .

404

20.2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas

405

da como ecuación de Laplace, aparece en problemas de temperatura estacionaria, potencial eléctrico, flujo de fluidos de la variedad estacionaria, etc. Si un problema que incluya la ecuación (1) es tal que trata con un objeto físico como un cilindro, es posible que las coordenadas cilíndricas faciliten la solución. Este problema lo encontraremos más adelante. Es posible cambiar la ecuación (1) en otra donde las variables independientes sean las coordenadas cilíndricas, r, (J y z relacionadas con x, y y z de la ecuación (1) por medio de las ecuaciones:

x = rcos

y

(J,

= r sen (J,

z = z.

La ecuación resultante, la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, es: 2 2 2 (2) a v + ~ av + ~ a v + a v _ O ar 2 r ar r 2 ae 2 az2 - . Observe que el uso de z en ambos sistemas de coordenadas es seguro al realizar el cambio de variables sólo porque z no está involucrada con otras variables en las ecuaciones. Esto es, en un cambio de variables independientes como: x = x ¡ + y¡ + Z¡ ,

z = Z¡,

y = x¡ - y¡,

o su equivalente: x ¡ = !(x

+y -

z) ,

y¡ = !(x - y - z),

z¡ = z,

con frecuencia se podría llegar a conclusiones incorrectas por la omisión del subíndice en z¡, aunque z = z¡. Por ejemplo, del cambio de variables que estamos estudiando se deduce que: av az

laV 2 ax¡

laV 2 ay¡

av az¡

- = - - - -- - + -. En consecuencia,

av

av

oz

az¡

-# -

aunque z = z¡. Regresemos a la ecuación de Laplace. En coordenadas esféricas, p, (J y , relacionadas con x, y y Z por medio de las ecuaciones: x = p sen (x

+ 4)

= (x) .

Esta O.

(16)

°

La restricción s > puede obtenerse examinando la definición en términos de una integral del miembro del lado izquierdo en (16). También note la conexión con el ejercicio 19 de la sección 14.10.

•

470

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

EJEMPLO 24.3 Evalúe L -1 {In s

+ 1 } . Con base en (lO) tenemos:

s- 1

s+1 In - S - 1 Ahora L -1

1+1

1

00

= In _ _s = 2 '"' ----::---:1- 1 ~ (2n + l)s2n+ 1 . s

n=O

L2~+1 }= (~:)! . De aquí que: S

+ 1 } - 2 ' " ' -t 2n- ~ (2n + 1)! ' 00

L- 1 { l n - s- 1

lo cual, con ayuda de (6), produce: L -1

S+I} - = {In s- 1

-2 senht. t

(17)

•

• Ejercicios 1.

Evalúe L {Se:kt}.

2.

Evalúe L { 1 -

5.

Evalúe F(t) = L -1 {s3(1

6.

Evalúe F(t) = L

~os kt }.

3.

Evalúe L {Senh/kt) }.

4.

Evalúe L { 1 -

~ e- 2s ) }

C~Sh (kt) }.

y calcule F(5).

-1 {3s cosh1 (2s) } y calcule F(12) .

7. Suponga que l{>(t) = L -1

{

3

s4 senh (3s)

} . Calcule ct>ÚO) .

8. Sean e > O, s > O YL -1 (j{s)} = F(t). Demuestre que: L -1

{

f(s) } = cosh (es)

2f(-lt F(t -

2ne - e)a(t - 2ne - e) .

n=O

9. Sean e > O, s> Oy L -1 (j{s)} = F(t). Demuestre que: 00

L -1 {f(s) tanh (es)} = F(t)

+ 2 L( - l t F(t -

2ne)a(t - 2ne).

n=1

10.

Sea O < x < 1, donde x no depende de s. Encuentre la transformada inversa y(x, t) de 4e xs s3(e s

+ e-

S

)

y después calcule y(! , 5), suponiendo continuidad de y.

24.2 Función error

11.

12.

124.21

471

En el ejercicio 4 de la sección 12.4, sustituya el elemento de corriente alterna E sen (j)t por EQ(t, e), en la que Q es la función onda cuadrada de la figura 14.4 dada en la sección 14.10. En el ejercicio 4 de la sección 12.4, remplace E sen (j)f por EF(t) , en la que F(t) es la rectificación de media onda de sen wt como se describió en el ejercicio 17 de la sección 14.10.

Función error La función error, abreviada "err', que fue mencionada brevemente en la sección 5.6, se define por:

¡x

2

erf x = .jJi Jo exp (- f32) df3 .

(1)

Esta función surge de muchas formas. Algunas veces es estudiada en cursos elementales. erf x también se encuentra al evaluar transformadas inversas de ciertas funciones simples de s. Sabemos que L -1 {S-1/2} =(7T t) -1/2 y, por lo tanto, que: L -1 {

l

Js+T

}

=

Entonces el teorema de convolución da: L-

1

l

{

} =

sJs+T En el lado derecho de (2) ponemos .fP = y . s s

+1

l' o

fJ

e-- df3 1. -

N

.

(2)

Entonces f3- 112df3 = 2 dg Yobtenemos:

~} = ~n

L- 1 {

e-' .J]ri'

v

[..Ji exp(-y2)dy.

Jo

Esto es, L-

1 {

~}

s s

+1

= erf(.jt).

(3)

Unas cuantas propiedades básicas de erf x son útiles en nuestro trabajo y ahora las obtendremos. Directamente de la definición (1) se deduce que la derivada de erf x está dada por: -

d

dx

2 exp (_X2). .jJi

(4)

erfx = -

De (1) Yde la serie de potencias para exp( - f32) obtenemos: 2 erfx = .jJi

00

~

(_l)n x2n+1

(2n

+ l)n!

.

(5)

472

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

En cálculo elemental encontramos que:

1

00

o

"fii

exp (_ f32) df3 = -

2

.

(6)

Con base en (6) obtenemos: lÍm erfx = 1.

(7)

x--*oo

A partir de (5), los valores de erf x se calculan con facilidad para valores pequeños de x con base en (5), y para valores grandes con base en el desarrollo asintótico l erfx ~ 1 -

exp ( - x2) ~ ( _ 1)n[1 ·3·5· · · (2n - 1)] !Ji ~ 2nx2n+1 . y"

(8)

n=O

En nuestro trabajo es conveniente usar la llamada función complementaria de error, denotada por erfc x y definida mediante: erfcx

= 1-

que también significa: erfcx =

2 "fii

loo x

(9)

erfx,

exp (_ f32) df3.

(10)

Las propiedades de erf x se convierten con facilidad a propiedades de erfc x. Es importante que para cualquier m fija, (11)

lo cual puede demostrar el estudiante considerando la forma indeterminada: erfcx y usando la derivada de erfc x como se obtuvo en la expresión (4). Véanse los ejercicios al final de esta sección para las propiedades de erf x y de erfc x . En ciertas aplicaciones (véanse las secciones de la 25.3 a la 25.6), una transformación importante es:

en la que k es independiente de t y mayor que cero. Por definición de erfe x tenemos: erfc (

k¡.) =

yt

~ y7r

100 exp k/../i

(_ f32) df3.

(12)

I Por ejemplo, véase E. D. Rainville, Special Functions (Nueva York, Macmillan Publishing Company, 1960), pp. 3638. La función erfxestá tabulada bajo el nombre de "The Probability Integral", en B. O. Peirce y R. M. Foster, A Short Table of Integrals, cuarta edición (Lexington, Mass. , Ginn and Company, 1956), pp. 128' 132.

24.2 Función error

473

En (12) ponemos f3 = k! -JV de modo que los límites de integración son de v = t a v = O. Como df3 = - ~kv -3/2 , ,obtenemos (usando el signo menos para invertir el orden de integración) erfc

(~) .ji

=

r v.fijo

~

3 2 /

exp (_

e) v

dv .

(13)

La integral del lado derecho en (13) es una integral de convolución. Entonces,

o

Ahora suponga que:

A(s)

=

{t-

3 2 /

L

ex p (_

~2)}.

(15)

Observe que las funciones t nz exp( - k 2 / t) son de clase A, sección 14.6, para cada m. Con base en (15) se deduce, por el teorema 14.8 de la sección 14.8, que

dA = L ds

{- t -1/2exp (k - t

2 )}

(16)

y

~:~

= L

{t l/2exp (_ ~2)}.

(17)

Pero también, por el teorema 14.5 de la sección 14.7,

L{:/ /2 exp ( - ~2) }= s L{t 1/2exp ( - kt

2 ) } -

I~n¿+ [t1/2exp ( - ~2) ] '

o

(18)

Como consecuencia de (15), (16) Y (17), la ecuación (18) puede escribirse como: 1 dA 2 d2 A - - - +k A=s - 2 . 2 ds ds

Por lo tanto, la función deseadaA(s) es una solución de la ecuación diferencial:

d2A 1 dA 2 s -2+ - - - k A = O. ds 2 ds

(19)

474

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

Necesitamos dos condiciones en la frontera, junto con la ecuación (19). Sabemos que cuando s ~ 00, A ~ O. Ahora consideraremos lo que sucede cuando s ~ 0+. Por (15): lÍm A(s) = lÍm ('" e- s1 r S .... 0+

s ....

o+ Jo

100 t-

=

3 Z / exp

Z 3 / Z exp

(_ k t

)

dt

~Z) dt.

(_

La ecuación (13) nos proporciona (remplazando y por t)

l

Y

v-

3 Z / exp

(-

~) dv = ~ erfc (~).

(20)

Por lo tanto,

~ A(s) = -./Ti hm • erfc ( - k ) .=/ T - i erfcO =./Ti -. hm k Y.... OO ,JY k k

S"" 0+

Para obtener la solución general de la ecuación diferencial (19), cambiamos la va. Ahora, por la regla de la cade~a de cálculo riable independiente2 de s a elemental, dA dzdA 1 dA 1 dA ---- = = ds ds dz 2yÍs dz 2z dz y dZA ds 2

Por lo tanto,

1 dZA 4s dz z

dA

-------

dZA

1 dZA

ds

4 dz

4syÍs dz 1 dA

s --2 = - ---2 4z dz

y la ecuación (19) se convierte en:

dZA - 2 - 4k 2 A =0. dz

(21)

La solución general de (21) es: A = b¡ exp (-2kz)

+ b2 exp (2kz),

de modo que la solución general de (19) es: A = b¡ exp (- 2kyÍs)

+ bz exp (2k,Js\

(22)

Tal cambio de variable está inspirado por la demostración en la página 16 de E. D. Rainville. Intermediate Dijferential Equations, segunda edición. (Nueva York, Macmillan Publishing Company. 1964).

2

24.2 Función error

475

Debemos determinar las constantes b 1 Y b 2 a partir de las condiciones de que A ~ Ocuando s ~ 00 y A -+ ,Jii j k cuando s ~ 0+. Cuando s ~ 00, A no tenderá hacia ningún límite, a menos que b2 = O. Entonces, haciendo s ~ 0+, obtenemos:

,Jii

- = bl · k

Por 10 tanto, A(s)

=L

{t-3/2exp ( _

~2)} = ~ exp(-2k.JS).

Regresamos a (14) para escribir la transformada deseada: L {erfc

(5t) }

k> O, s > O.

= } exp (- 2k.JS) ,

(23)

Usaremos (23) en la forma: L -1

{}

exp (- 2k .JS} = erfc

(5t),

k> O, s > O.

(24)

En el capítulo 25 será importante combinar el uso de la ecuación (24) Ylos métodos de series de la sección 24.1 . Considere el problema de obtener: L-

1

{senh (xJs) } s senhJs '

(25)

O < x < 1, s > O.

Si x es mayor que la unidad, la inversa en (25) no existiría a causa del comportamiento de senh (xJs)j senh Js cuando s ~ oo. Ya que conocemos (24), es atinado pasar a formas exponenciales. Escribimos: exp (x Js) - exp ( - x Js) senh (x Js) = senh Js exp (Js) - exp (-Js) .

(26)

Como en la sección 24.1, buscamos una serie que incluya exponenciales de argumentos negativos. Por lo tanto, multiplicamos el numerador y el denominador del lado derecho en (26) por y encontramos que: senh (xJs) _ exp [- (1 - x)Js] - exp [-(1 senhJs 1 - exp (- 2Js)

+ x)Js]

(27)

Ahora, 1

1

( 2Js = - exp s)

00

L exp (- 2n.JS). n=O

En consecuencia, senh (x Js) , Js s senh s

~ 1 = L.,¿ -{exp [- (1 - x + 2n).JS] n=O S

exp [- (1

+ x + 2n).JS]}.

(28)

476

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

Para O < x < 1, las exponenciales tienen argumentos negativos y podemos utilizar (24) para concluir que:

L

- 1

•

{senh (X JS )} = s senh JS

f

[erfc

n=O

(1 -20 2n) _ (1 x +

erfc

+ x +

20

2n)].

Ejercicios l. 2.

3: 4.

Demuestre que para toda x real, lerf xl < l. Demuestre que erf x es una función impar de x. erf x 2 Demuestre que lím - - = - . x-+o x -J7i Utilice integración por partes para demostrar que:

r

1 -J7i[1 -

Jo erf y dy = x erf x -

exp (_x2)].

5.

Obtenga el resultado de la ecuación (11).

6.

Inicie con la serie de potencias para erf x, ecuación (5), y demuestre que: L{t- I / 2 erf (0)} =

7.

2

1

v7íS

vS

~ arctan r;'

s>

o.

Utilice el hecho de que: 1 l-.JI+S 1.JI+S 1 l+s --=== =--+ =--+-== 1 +.JI+S 1- (l +s) s s s s.JI+S y la ecuación (3) para demostrar que:

L-

8.

1

1

{ 1+ .JI+S l+s

}

= -1 + erf (0) +

e- t

r.::::

=

v7ít

Utilice la ecuación (3) para concluir que: L -1

{

1

(s - 1)

JS} s

=

el

erf (0)

y, por lo tanto, que: L-

9.

Evalúe: L -

1 {

1

1 {

JS+ 1

}

JSs( JS1s+1) } .

= eI erfc (vr;t ).

e- t

r.:::: -

v7ít

erfc (0).

(29)

24.2 Función error

l} .

10.

Evalúe

11.

Defina la función (t) mediante:

L -1

{ ,;/_

--

Demuestre que: L{(.Jt)} =

2 1 ~sen ¡-; .

...¡7rS

12.

Demuestre que para x > O, L

13.

_1

{SeCh x.fi } = s

~

n

2 L....-(-l) erfc

[(2n +r.1)x ] '

n=O

2...¡

t

Demuestre que para x> O, L

14.

...¡S

_1 {CSchx.fi} s

~

= 2 L....- erfc n=O

[(2n +,jtl)X] . 2 t

Deduzca el resultado: A(s) = L

{t-

3 2 /

exp (-

~2)} = ~ exp(-2k.jS),

k > O, s> O

directamente de la definición de una transformada. En la integral : A(s) =

100 exp(-st -k 2

t-

1)r3/2dt

escriba f3 = ,jt para obtener:

o

Demuestre que:

100

-dA = -2 exp (- sf3 2 - k 2 f3- 2 ) df3 ds o

= -2 exp (-2k Js) Llegue así a la ecuación diferencial:

100 exp [-(f3Js - kf3 - 1)2J df3.

477

478

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

dA - kA = - 2,J7i exp (-2ky's) ds y con base en ella obtenga la función deseadaA(s).

y's -

124 .3 1 Funciones de Bessel La función de Bessel: (1)

de primera clase y de orden n, apareció en las secciones 19.5 y 19.6. Nos encontramos con J/z) en una aplicación sencilla de la técnica de series de la sección 24.1. Si podemos desarrollar una función dada de s en potencias negativas de s, seguramente podremos obtener la transformada inversa término a término. Un ejemplo sencillo es el siguiente: 1

~ exp ( -

x 00 ( _ I)k xk --;) = { ; k! sk+ 1 '

que lleva de manera inmediata a: L

Cuando n

=

°

k _1{1-exp (X)} (-llxkt -= ¿ ---s k! k! 00

S

en (1) obtenemos, ya que f(k 00

(2)

k=O

+ 1) = k! , (_I)k('!' z)2k

Jo(z) = { ;

2

(3)

k! k !

Al comparar (2) con (3), nos da: L -1

Con base en:

obtenemos:

{~exp (-~)}

= Jo(2./Xi);

x> 0, s > O.

(4)

24.3 Funciones de Bessel

479

Por lo tanto, al menos para n :2: O,

L

-1Ln:1 exp (- ~)} = (~r/2

Jn (2.JXi),

s > O, x > O.

(5)

Con un conocimiento mayor de la función gamma, podríamos utilizar métodos de series para obtener la transformada de J/xt) para cualquier n. Por simplicidad, aquí nos limitaremos a trabajar con n = O. De (1) obtenemos:

¿k=O (-ll(lx)2kt2k k! k! 00

Jo(xt) =

2

Entonces: (-l)k(4 x )2k(2k)! ,,2k+1 . k=O k . k. s 00

L{lo(xt)} = ¿

Pero (2k)! = 2 kk![1 ·3· 5 .. ·(2k - 1)]. De aquí que:

L{ Jo(xt) }

_ ~[

-

S

~(-l)k[I.3.5 ... (2k

1 + L..-

k

2 ·k!s

k=1

- l)]X2k]

2k

'

o 1(

L{Jo(xt)}=~

2)-1/2 1+;2

Por lo tanto, L {lo(xt)} =

1

J S 2 + x2

(6)

.

Con base en (1) es fácil concluir que: d -Jo(z) = -JI (z).

dz

Entonces: d

- Jo(xt) = -xJI (xt) dt

y obtenemos: L{ - xJI(xt)} = L {:/o(xt)} = sL{lo(xt)} - Jo(O).

Pero Jo(O) = 1, así que: L{ - xJI(xt)} =

s

J s 2 + x2

- 1,

o (7)

480

Capítulo 24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace

• l.

Ejercicios La función modificada de Bessel de primera clase y de orden n es: ('!' z )2k+n

L k ,2 . . r (k+n+1) 00

ln(z) =

k=ü

Demuestre que: L

124.41

-1LIl~1

exp

(~)} = (~r/2 In (2Ft).

Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables Cualquier lector que sea demasiado optimista acerca de la eficiencia demostrada por la transformada de Laplace al usarla como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales, debe recordar que hemos restringido nuestro trabajo a ecuaciones con coeficientes constantes. Suponga que nos enfrentamos con un problema de valor inicial que involucra la ecuación: F"(t)

+ t 2 F(t)

=

O.

(1)

Suponga que L {f(t)} = f(s) y que F(O) = A , F'(O) = B . Entonces la aplicación del operador L transforma la ecuación (1) en:

o f"(s)

+ S2 f(s)

= As

+ B.

(2)

El problema de obtener la función complementaria para la ecuación (2) es el mismo que para la ecuación (1); no se logró ningún avance. El miembro izquierdo de (1) permanece esencialmente sin cambio bajo la.transformación de Laplace. El comportamiento de (1) bajo L no es único. En realidad, las ecuaciones diferenciales con coeficientes polinomiales que permanecen invariantes bajo la transformación de Laplace ya han sido clasificadas. 3 Ya que L{tI1 F(t)} = (_1)11 (d"/ ds")f(s) , se concluye que el operador L puede utilizarse para transformar una ecuación diferencial con coeficientes polinomiales en otra ecuación similar, y que el orden de la nueva ecuación será igual al grado máximo de los coeficientes polinomiales que aparecen en la ecuación original. Simplemente, la transformada de Laplace no es la herramienta apropiada para tratar las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. Para tal fin, el método clásico de solución por medio de series de potencias resulta ser una buena herramienta.

3 E . D. Rainville. "Linear differential invariance under an operator related to the Laplace transformation", Amer. J. Math. . 62:391-405 (1940).

Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

:25

125.1 1 Problemas con valores en la frontera Para tratar algunos problemas con valores en la frontera que involucran ecuaciones diferenciales parciales, la transformada de Laplace nos proporciona un método eficaz; para otros problemas, esta transformada contribuye con información adicional aún cuando las técnicas tradicionales, tales como separación de variables y series de Fourier, pueden ser más fáciles de emplear. Hay problemas para los que el método de la transformada de Laplace no aporta nada, sino al contrario, complica la resolución. En este capítulo presentaremos unas cuantas aplicaciones y un estudio detallado de la solución de algunos problemas sencillos. Nuestro objetivo es proporcionar suficientes conocimientos para que un estudiante utilice la transformada de Laplace en problemas que se encuentran en la práctica, y dar algunos criterios que ayuden a decidir cuándo el método de la transformada es una herramienta útil para un problema dado. Primero resolveremos algunos problemas que han sido configurados especialmente para mostrar la técnica e ideas subyacentes, sin introducir las complejidades comunes de muchas aplicaciones reales. El estudiante que entienda completamente y pueda ejecutar las resoluciones de tales problemas sencillos no encontrará dificultad cuando en la realidad tenga que enfrentar otros más complejos, si acaso solamente notará un aumento en la cantidad de trabajo.

EJEMPLO 25.1 Resuelva el problema que consiste en la ecuación:

a2 y

a2 y

= 16- 2 ax2 at

-

para t > O, x > O;

(1)

para x > O;

(2)

para x > O;

(3)

para t > O;

(4)

bajo las condiciones: t -+ 0+, y-+O

ay

-

at

-+ - 1

x -+ 0+, Y -+ t 2

Iím y(x, t) existe X-HJO

para una t > O, fija.

(5)

481

482

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Las características de este problema que sugieren intentar resolverlo con la técnica de la transformada de Laplace son: (a)

La ecuación diferencial es lineal (indispensable).

(b)

La ecuación tiene coeficientes constantes (muy conveniente).

(c)

Al menos una variable independiente tiene el rango de O a 00 (muy conveniente).

(d)

Hay condiciones iniciales (t = O) que incluyen a la variable independiente de (c) (conveniente).

En este problema la variable independiente xtambién tiene el rango de O a 00, pero sólo hay una condición en x = O; se necesitan dos condiciones para transformar una segunda derivada. Por lo tanto, trataremos este problema con transformadas de Laplace con respecto a la variable t. Suponga que:

(6)

L{y(x, t)} = w(x, s),

donde x es considerada como constante (parámetro) en lo que a la transformación de Laplace concierne. Ya que verificaremos nuestra solución, no hay peligro en suponer que las operaciones de diferenciación con respecto a x y las transformadas de Laplace con respecto a t se pueden intercambiar. Ya que (1) tiene coeficientes constantes, no aparecerán las derivadas con respecto a la variable de la transformada s. La ecuación diferencial parcial (1) se transformará en una ecuación diferencial ordinaria con variable independiente x y con s incluida como un parámetro. En vista de (6), la aplicación del operador L transforma (1), (2) y (3) en: d2w - 2 = 16(s2 w + 1), x > O. (7) dx Las condiciones (4) y (5) se convierten en:

x -+ 0+,

W

2 s

(8)

-+ 3"'

l{m w (x, s) existe.

(9)

x--->oo

Ahora resolveremos el nuevo problema (7), (8) y (9), para w (x, s) y luego obtendremos y(x, t) como la transformada inversa de w. Escribimos de nuevo (7) en la forma: d2 w

- 16s 2 w = 16 dx2

(10)

teniendo en cuenta que x es la variable independiente y s un parámetro. Cuando obtengamos la solución general de (10), las constantes, elegidas arbitrariamente, en ella pueden ser funciones de s ; no deben involucrar a x. La solución general de (10) debe encontrarse por inspección. Es: 1 w = -2 s

+ Cl (s) exp (-4sx) + C2(S) exp (4sx),

x > O, s > O.

(11)

25.1 Problemas con valores en lafrontera

483

A consecuencia de (9), la w de (11) tiende hacia un límite cuando x ~ oo. Los primeros dos términos del lado derecho en (11) tienden a algún límite cuando x ~ 00, pero el término con el exponente positivo, exp(4sx), no lo hará, a menos que:

Esto es, (9) implica (12) por nosotros. Entonces la w de (11) se convierte en: 1 w = -2: s

+ CI(S) exp (-

x> O, s> O.

4sx),

(13)

La aplicación de la condición (8) a la w de (13) produce: 2 s

2 1 = CI(S)--; s3 S2

-

Así encontramos que:

CI(S) = 3"

1+ (2- + -1)

w(x, s) = - s2

s3

s2

exp (-4sx),

1

+ 2:' s x> O, s> O.

(14)

Ya sabemos que si: L-

1

{f(s)}

= F(t),

L -1 {e -eS f(s)} = F(t - c)a(t - c).

(15)

Por lo tanto, la aplicación del operador L -1 a toda la expresión (14) nos da: y(x, t) = -t

+ [(t -

4x)2

+ (t

- 4x)]a(t - 4x) ,

x > O, t > O.

(16)

Afirmamos que la y de (16) satisface el problema con valores en la frontera planteado inicialmente en las expresiones de la (1) a la (5). Ahora verificaremos la solución en detalle. Con base en (16) se concluye de inmediato que:

ay

-

at

=

-1

+ [2(t

- 4x)

+ l]a(t -

4x),

x > O, t > O, t =1= 4x.

(17)

Observe la discontinuidad existente en la derivada para t = 4x. Esto nos obliga a admitir que obtenemos una solución del problema sólo a cada lado de la recta t = 4x en el primer cuadrante del plano xt. Nuestra y no podrá satisfacer la ecuación diferencial a lo largo de la recta a causa de que la segunda derivada no puede existir ahí. Esto se deriva del hecho de que (1) es una "ecuación diferencial hiperbólica". Que la "solución" satisfaga o no la ecuación diferencial, a lo largo de las llamadas líneas características de la ecuación, depende de las condiciones específicas en la frontera. Trataremos cada problema de manera individual sin intentar examinar la situación general. De (17) obtenemos: .

a2 y at 2 =

-

2a(t -4x)

'

x > O, t > O, t =1= 4x.

(18)

484

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

La ecuación (16) también nos da: ay ax = [-8(t - 4x) - 4]a(t - 4x),

x > O, t > O, t

"# 4x,

(19)

y

a2 y

/ a 2 = 32a(t - 4x),

f

x > O, t > O, t

"# 4x.

(20)

Las ecuaciones (18) Y (20) se combinan para mostrar que la y de (16) es una solución de la ecuación diferencial (1) en la región xt deseada, excepto a lo largo de la recta t = 4x, donde la segunda derivada no existe. Ahora verificaremos que nuestra y satisface las condiciones de frontera. Para ver si y satisface la condición (2), debemos mantener a x fija, pero positiva, y luego hacer que t tienda a cero utilizando valores positivos. Como: t -+ 0+, Y -+ 0+ [( -4x)2 + (-4x)]a( -4x) = O

para x > O.

Con lo que (2) se satisface. Observe que a( -4x) no habría sido cero de haber utilizado valores negativos de x. Con base en (17), con x fija y positiva, se concluye que cuando: + ay t -+ O , - >-

at

_

-1

+ [2(-4x) + l]a(-4x) =

-1

para x > O.

Por lo tanto, se satisface (3). Una vez más el hecho de que x es positiva desempeña un papel importante en la verificación. Considere la condición (4). En ella debemos mantener a. t fija y positiva. Luego, por (16), cuando: x -+ 0+, Y -+ -t + (t 2 + t)a(t) = -t + t 2 + t = t 2

para t > O.

Por lo tanto, (4) se satisface. Por último, la y de (16) satisface la condición (5), ya que: lím y(x, t) = -t

x-->oo

+ 0= -t

para t > O,

porque para una x lo suficientemente grande y una t fija, (t - 4x) es negativo y, por lo tanto, a(t - 4x) = O. Esto completa la verificación de la solución (16).

•

•

Ejercicios

En cada ejercicio resuelva el problema y verifique por completo su solución.

1.

ay ay - +4- = -8t ax at t -+ 0+, Y -+ O x -+ 0+, Y -+ 2t 2

para t > O, x > O; para x > O; para t > O.

25.2

2.

ay + 2 ay ax at

= 4t

t -+ 0+, Y -+ O Y -+ 2t3

19)

x -+ 0+, 3. (20)

4.

para

t

Ecuación de onda

485

> O, x > O;

para x > O; para t > O. 1 con la condición

de que t

--7

0+ sea remplazada

con t

--7

0+,

Resuelva el ejercicio 2 con la condición

de que t

--7

0+ sea remplazada

con t

--7

0+ ,

Resuelva el ejercicio Y --7 x.

Y --7 2x.

ela on-

5.

si y ue t

a2y

a2y

ax2 -at2 t -+ 0+, Y -+ O . ay t -+ 0+ - -+ -2 , at

para t > O, x > O;

x -+ 0+, y -+ t lím y (x, t) existe

para t > O; para t > O.

-=16-

para x > O; para x > O;

x~oo

va-

6.

a2y

a2y

at

ax Y -+ O ay - -+ 2 at

-=42

t -+ 0+, t -+ 0+,

x -+ 0+, Y -+ sen t lím y (x, t) existe

papor

2

x~oo

125.21

para t > O, x > O; para x > O; parax

> O;

para t > O; para t > O.

Ecuación de onda El desplazamiento dimensión:

transversal y de una cuerda elástica satisface la ecuación de onda en una

a2y

-=a-

at2

an-

•

2

a2y

ax2

de la sección 23.5, en donde la constante positiva a tiene las dimensiones de una velocidad, centímetros por segundo, etcétera. Suponga que una cuerda larga y elástica inicialmente está tensa y en reposo de modo que podemos tomar, en t = O,

y =O

Y

ay at

-

=O

para x ::::O.

Supongamos que la cuerda es lo suficientemente larga como para que la hipótesis de que se extienda desde x = O hasta 00 no introduzca un error apreciable en el intervalo de tiempo en el que estamos interesados. También suponemos que el extremo de la cuerda que está alejado del eje y se mantiene fijo, y --7 O cuando x --7 00, pero que el extremo en el eje y está moviéndose hacia arriba y hacia abajo de acuerdo con alguna ley establecida, y --7 F(t) cuando x --7 0+, con F(t) conocida. La figura 25.1 muestra la posición de la cuerda para algún t > O.

486

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

y(x, ti)

---4----------------~=-~-x

o

x

= atl

Figura 25.1

Determinar el desplazamiento transversal y en términos de x y de t es resolver el problema con valores en la frontera: 2 a2y 2a y ax2 at 2 t -+ 0+, y-+O ay t -+ 0+, -- -+ O at x -+ 0+, Y -+ F(t) -= a -

lÍm y(x, t) = O

para t > O, x > O;

(1)

para x ::: O;

(2)

parax > O;

(3)

para t ::: O; para toda t 2: O.

(4) (5)

X"'" 00

La función dada F(t) debe anularse en t = Opara conservar la continuidad de la cuerda. Este problema satisface los criterios de la sección 25.1 que sugieren el uso de la transformada de Laplace. Sean: L{y(x, t)} = u(x, s),

L{F(t)} = fes).

(6)

Observe que en este caso F(t) debe ser continua a causa de su significado físico. El operador L convierte el problema planteado en las expresiones de la (1) a la (5) en el nuevo problema: d2u s2u = a2 _ para x > O; dx2 X -+ 0+, U -+ fes);

lÍm u(x, s) = X "'" 00

o.

(7) (8) (9)

25.2 Ecuación de onda

487

Con base en (7) de inmediato escribimos la solución general: u(x, s) =

Con s

Cl

(s) exp ( - s:) + C2(S) exp

e:).

(10)

> 0, x > 0, la condición (9) exige que: (11)

Así (10) se convierte en:

u (x, s)

= Cl (s) exp ( _ s:) ,

(12)

y (8) pide que: f(s) =

Cl

(s).

Por lo tanto, tenemos: u(x,s) = f(s)exp( - s:),

x> 0, s> O.

(13)

La ecuación (13) proporciona la solución deseada, y(x, t) = F (t -

~) ex (t

-

~) ,

x> 0, t > 0,

(14)

en la que suponemos que F(t) está definida de alguna manera para argumentos negativos, para poder utilizar el teorema 15.3 de la sección 15.4. Es sencillo verificar la solución (14). Nótese que:

ay = - ~F' (t

- ~) ex (t - ~) a a

a y = ~F" (t 2

- ~) ex (t - ~). a a

ax

a

y 2

ax2

a

Estamos obligados a suponer la existencia de dos derivadas de la función dada F(t) . Es particularmente conveniente seleccionar F(t) de modo que F '(O) Y F "(O) se anulen junto con F(O), para que la continuidad de y y de sus derivadas no se interrumpa a lo largo de la rectax = ato Se deja al estudiante la tarea de terminar la verificación de este resultado. En la sección 23.5 estudiamos el desplazamiento transversal de una cuerda de longitud finita sujeta de ambos extremos. Para resolver tales problemas, los métodos de series de Fourier parecen ser mejores que la transformada de Laplace. Por ejemplo, intente solucionar el ejercicio 1 de la sección 23.5 con el método de la transformada L.

488

Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Capítulo 25

• 1.

Ejercicios Interprete y resuelva el problema:

a2y _ a2y at2

-

para t > O, O < x < 1;

ax2

t -+ 0+, Y -+ x - x2 t -+ 0+,

ay

-+

at x -+ 0+, y -+

o

o

x-+l-,y-+O

para O < x < 1; para O < x < 1; para t > O; para t > O.

Verifique su solución directamente.

125.31

Difusión en un sólido semiinfinito Considere el sólido definido por x ;::::O que ocupa la mitad de un espacio tridimensional. Si la temperatura inicial dentro del sólido y las condiciones en la superficie x = O son independientes de las coordenadas y y z, la temperatura u será independiente de y y z para toda t > O. Por ejemplo, podemos visualizar una enorme lámina de concreto con una distribución inicial de temperatura dependiente sólo de la distancia medida desde la superficie de la lámina. Si la temperatura en esa superficie se mantiene después (t > O) en alguna función específica de t, o si la superficie se aísla, el problema de encontrar la temperatura para toda x y t positivas es uno que involucra la ecuación simple del calor (2) dada en la sección 23.1.

EJEMPLO 25.2 Considere una lámina semiinfinita x;:::: O cuya temperatura inicial fija es u = A; la lámina queda expuesta a una temperatura superficial (x -+ 0+) que es u = B para O < t < '» y luego u = O para t ;::::to. Encuentre la temperatura dentro del sólido cuando x> O, t > O. El problema con valores en la frontera que se resolverá es: 2 ou 2 a u -=hax2 t -+ 0+, u -+ A

para x > O, t > O;

(1)

para x > O;

(2)

x -+ 0+, u-+B

para O < t < to,

(3)

x -+ 0+, u-+O

para t > (o;

at

límu(x,t)

x~oo

existe

para cada ( > O fijo.

(4)

25.3 Difusión en un sólido semiinfinito

489

En este problema A, By h 2 son constantes. Usamos la función apara expresar lacondición con valores en la frontera (3) en la forma:

x -+ 0+,

u -+ B[1 - a(t - to)]

para t > O.

(5)

También note que la naturaleza física del problema impone la condición de que el valor límite en (4) seaA. Esto nos proporciona una verificación adicional de nuestro trabajo. El problema satisface los criterios de la sección 25.1, que sugieren el uso de la transformada de Laplace. Sea: . L {u (x,

t)}

=

(6)

x> O, s > O.

W (x, s),

La ecuación (1) con la condición (2) se transforma en:

d2w sw - A = h 2 _ _ dx 2 '

x> O,

o d 2w dx2

A h

S

----w= - -2 2 h

x> O.

'

(7)

Las condiciones (4) y (5) se convierten en: lim w (x, s) existe

para una s> O fija:

(8)

B . w -+ - [1- exp(-tos)]. s

(9)

x->oo

y x -+ 0+ ,

La ecuación diferencial (7) tiene la solución general:

w

= CI exp (-

xf) +

C2exP

(xf) +~,

x > O, s > O,

(10)

en la que CI y c 2 pueden serfunciones de s, pero no de x. Cuando x ~ 00, la w de (10) tenderá a un límite si, y sólo si, c 2 = O. De aquí que la condición (8) nos dé el resultado: (11)

y la w de (10) se convierta en: w = clexp Al hacer x

~

( x.fi) --h-

A

+~.

(12)

0+ Y utilizar (9), obtenemos:

B

- [1 - exp(-tos)] = CI S

A

+ -. s

(13)

Por lo tanto, la solución del problema dado en (7), (8) Y (9) es:

w(x,

s) = ; [1 - exp (-

xf) ]+ ~

exp ( -

xf)[l -

exp (-tos)] . (14)

490

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Sabemos que: L _1

{

~1 exp

(x.Js)} = erfc (x) - h-

x> O.

2h.ji ,

(15)

Entonces podemos escribir: L-

1

{~exp(x.Js)exP(-toS)} s h

= erfc (

x

2hlt - to l

1/2)et Ct - t O),

(16)

donde los signos de valor absoluto se insertaron para permitir que t sea utilizada en el rango de Oa to' en el cual el rango de la función a obligará a que el lado derecho de (16) sea cero. Ahora estamos en posición de escribir la transformada inversa de la w en la ecuación (14). Para x > O Yt > O, x u(x, t) = A [1 - erfc (2h .ji)

J

l.) -

+ B [ erfc ( 2hv x t

erfc (

x

1/2) et(t -

to)J,

(17)

x

1/2) et(t -

to)J.

(18)

2h lt - to l

o x u(x, t) = A erf (2h .ji)

l.) -

+ B [ erfC ( 2hv x t

erfc (

2hlt - to l

La u de (17), o de (18), es la solución deseada. Basta una sustitución directa para demostrar que cada término de (18) es una solución de la ecuación del calor en una dimensión. Que las condiciones (2), (3) Y(4) también se satisfacen se deduce rápidamente de las propiedades: lÍm erfz = O, 2--->0

IÍm erfz = 1

2--->00

y de las correspondientes propiedades de la función erfc. En realidad, para la u de (18),

cuando x -+ 0+,

U

cuando t -+ 0+,

U

cuando x -+ cuando x -+

00,

u -+

00 ,

u -+

0 + B [ l - et(t - to) ] = B[1 - et(t - to)] para t > A . 1 + B(O - O) = A parax > A· 1 + B . O = A para O < t < A . 1 + B(O - O) = A para t >

-+ A·

O;

-+

O; to;

too

25.4 Variables canónicas

125.41 (15)

(16)

491

Variables canónicas Cuando tratamos con problemas que aumentan en complejidad, es importante poder simplificar nuestro trabajo con la introducción de las llamadas variables canónicas. Estas variables son combinaciones adimensionales de las variables físicas y de los parámetros del problema original. Ahora ilustraremos un método útil para seleccionar tales variables. En la sección 25.5 resolveremos un problema de difusión que puede expresarse de la manera siguiente:

au at

ran~ sea

-=h-

ición

2

a2u ax 2

para t > O, O < x < c;

(1)

t ~

0+, u ~

A

para O < x < c;

(2)

x ~

0+, u ~

O

para t > O;

(3)

x ~

e>, u ~

O

para t > O.

(4)

En este problema, un conjunto consistente tantes (parámetros) y variables es:

de unidades para medir las diferentes

cons-

(17) u = temperatura

(OF),

= tiempo (horas), x = coordenada h2

= difusividad térmica (piesvhora),

e = longitud (pies),

(18)

tción e sa-

espacial (pies),

A = temperatura

inicial (OF).

Buscaremos nuevas variables adimensionales riables físicas x, t y u. Por el momento hagamos: x = f3s,

t

S' 1" Y

= y r,

ljI,

que son proporcionales

u = 81/f,

a las va-

(5)

donde {3, y, (j son constantes positivas que serán determinadas de modo que las nuevas variables no tengan dimensión. Los cambios de variable (5) transforman las expresiones de la(1)ala(4)en: 8a1/f --

y

ar

h28 a21/f ---

r ~ 0+, 81/f ~ o-

S ~ 0+, 1/f ~ f3s~c-,

para r > O, O < f3

f32 a S2

1/f~0

A O

para O < f3

s < c;

s < c;

(6) (7)

para r > O;

(8)

para r > O.

(9)

492

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

Como consecuencia de (7), elegimos 8

= A Y ~ = c. Debido a (6), elegimos:

de la que:

Así encontramos que la introducción de las nuevas variables: x 1; =-, e

(10)

transforman el problema planteado en las expresiones de la (1) a la (4), en la forma canónica: 2 a 1/1 a 1/1 (11) para r > O, O < 1; < 1; al;2 ar (12) r -+ 0+, 1/1-+1 para O < 1; < 1; 1; -+ 0+ , 1/1-+0

para r > O;

(13)

1;-+1 -, 1/1-+0

para r -+ O.

(14)

Observe que las variables canónicas en (10) no tienen dimensión; Stiene la dimensión de pies sobre pies, y así sucesivamente las otras variables. La solución para las expresiones de la (11) a la (14) es independiente de los parámetros 2 h , e y A del problema original, este hecho es de gran importancia en las aplicaciones. La solución del problema original planteado en (1), (2), (3) Y(4) es una función de dos variables y tres parámetros: u = f(x,

l,

e, h, A).

(15)

La solución de (11), (12), (13) Y (14) es una función de dos variables:

1/1 = F(I;,

r),

(16)

de modo que (15) realmente toma la forma:

U = AF(~, ::l) .

(17)

La función F, de dos variables, puede ser calculada y, por lo tanto, dar la solución del problema original, sin importar los valores de e, A y h2 . Existen problemas tales como el planteado en el estudio de las temperaturas en una presa de concreto, en los que es importante conocer el valor medio con respecto a x de la temperatura u de (15) en un rango de O < x < c. Ese valor medio puede calcularse usando (16) , y

25.5 Difusión en una lámina de ancho finito

493

el resultado es una función de la única variable, 'r. Por lo tanto, en el plano lfI'l"Se puede dibujar una única curva para dar la temperatura media concerniente a todos los problemas planteados en las expresiones de la (1) a la (4).

125.51

Difusión en una lámina de ancho finito Ahora resolveremos por métodos de transformadas el problema de la lámina de la sección 20.4 para el caso especialf(x) = A. Suponga que el grosor de la lámina es de e unidades. Denotemos con x la distancia desde una cara de la lámina y supongamos que esta lámina se extiende al infinito en las direcciones y y z. Supongamos también que la temperatura inicial de la lámina es una constante A y que las superficies x = O, x = e se mantienen a temperatura cero para toda t > O. Si la lámina se considera infinita en las direcciones y y z, o más específicamente, si sólo tratamos con las secciones transversales cercanas a la lámina, entonces la temperatura u en cualquier momento t y cualquier posición x estará determinada por el problema con valores en la frontera: ou 202u - = h - 2 para t > O, O < x < e; ( l)

ot

ox

t -+ 0+ ,

-+ A

para O < x < e;

(2)

-+ O

para t > O;

(3)

x -+ c-, u -+ O

para t > O.

(4)

x -+ 0+,

U U

Resolveremos el problema correspondiente usando variables canónicas. Esto es, en las expresiones de la (1) a la (4) ponemos: x (5) ~ = - , r = - 2 ' e e En las nuevas variable .. S' 'r, 1fI, el problema que se resolverá es: 01/1 021/1 (6) para r > O, O < ~ < 1; 0~2 or r -+ 0+, 1/1-+1

para O
O;

(8)

~-+1- , 1/I-+0

para r > O.

(9)

~

(7)

< 1;

Sea,

L{1/I(~, r)} = w(~ , s) =

100 e-SI1/l(~ , r)dr.

(10)

La aplicación del operador de Laplace transforma el problema dado en las expresiones de la (6) a la (9) en:

d 2w sw - 1 = - -

paraO
O, x > O

(9)

para t > O, Y > O,

(10)

y aw = at se satisfacen. Si imponemos las condiciones: -+ 1

para x > O,

(11)

W

-+ 1

para y> O,

(12)

x -+ 0+,

V

-+ O

para t > O,

(13)

y -+ 0+,

W

-+ O

para t > O.

(14)

--+

0+,

V

t -+

0+ ,

se cumplirá la condición (2). De la condición (3) obtenemos:

y de (4),

Las condiciones (5) y (6) serán satisfechas si: IÍm v(x, t) existe

x->oo

para t positiva y fija,

(15)

498

Capítulo 25 Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación

y

para t fija y positiva

lim w(y, t) existe

(16)

y-400

Ahora debemos encontrar v de:

av

a2 v

at

ax2

t ---+ 0+ ,

V

x ---+ 0+, IÍm v (x, t) existe

V

para t > O, x > O;

(9)

---+ 1

para x > O;

(11)

---+ O

parat > O;

(13)

para t fija y positiva.

(15)

X-400

La función w debe satisfacer las expresiones dadas en (10), (12), (14) Y (16); por lo tanto, es la misma función que v, salvo que y remplaza a x. Para obtener v usamos la transformada de Laplace. Sea: L{v(x, t)} = g(x, s) =

100

e-stv(x, t) dt.

(17)

Entonces (9) y (11) proporcionan: (18) para las que la solución general se puede escribir fácilmente por inspección, dada nuestra experiencia en el manejo de ecuaciones con coeficientes constantes. Por lo tanto, obtenemos: 1 g = -

s

+ C ¡ (s) exp ( -

xJS)

+ C2(S) expxJS).

(19)

Como consecuencia de (13) y (15), la función g debe satisfacer las condiciones: g ---+ O,

lím g(x, s) existe.

(20) (21)

X-400

Como consecuencia de (21), cis) = O. Debido a la condición (20), 1

0= - +c¡(s) . s Por lo tanto, 1

1

s

s

g(x, s) = - - - exp (-xJS).

(22)

25.6 Difusión en un octante infinito

499

La función v(x, t) es una transformada inversa de g(x, s): v(x, t) = 1 - erfc

(2~) .

(23)

Pero 1 - erfc z '= erf z. Así que: v(x, t) = erf

(2~) .

(24)

Por lo tanto, la solución de nuestro problema original es: (25)

El estudiante debe verificar que la u de (25) satisface todas las condiciones del problema con valores en la frontera planteado en las expresiones de la (1) a la (6) al inicio de esta sección . •

1. 2.

Ejercicios

Demuestre que para la u de (25), O < u < 1, para toda x, y, t> O. Suponga que el punto con coordenadas (x, y, t) está en el primer octante del espacio rectangular x, y, t, Yque se aproxima al origen a lo largo de la curva X2

= 4a 2 t,

l = 4a 2 t, en la que a es positiva y elegida arbitrariamente. Demuestre que cuando x, y, t --70+ en la manera descrita arriba, puede hacerse que u se aproxime al número que se desee entre cero y uno.

Respuestas a los eJercIcIos

Capítulo 1 Sección 1.2 1. ordinaria, lineal en x, de orden 2 3. ordinaria, no lineal, de orden 1 5. ordinaria, lineal en y, de orden 3 7. parcial, lineal en u, de orden 2

9. 11. 13. 15.

ordinaria, lineal en x o y, de orden 2 ordinaria, lineal en y, de orden 1 ordinaria, no lineal, de orden 3 ordinaria, lineal en y, de orden 2

Sección 1.3 1.

y=~X4 +x2+c .

3. 5.

y = ~sen6x + c. y = are tan (x/2) + c.

7.

9. 11.

y = 3ex + 3. y = 3éx . y = - 2cos2x.

Capítulo 2 Sección 2.1 1. r = roexp(-2t 2). 3. y = &.JlOx 2 - 4. 5. y = (x /2)2/3. 7. y = ln2 -ln[l + exp (_ x2)]. 9. r 2 1n (r/a) = r 2 cos8 - a 2. 11. ylnlc(l - x) 1 = 1. x2 13. e- + y-2 = c. 15. xm = cyn.

PV

=c.

r = c(1 - bcos8).

(x + 1)2 + y2 + 21n Ic(x - 1)1 eX (x - 1) = (2y

x(y

+ 1) =

caf3

+ cx)eY •

= exp (- 3a -

35.

37.

In (x 2 + 1) = y2 - 2y + 41n Ic(y + 1)1·

a

(1

= O.

+ 1)/(2y2) + c.

41n 1 sec y+tanyl = 2x+sen2x + c. 2x + sen2x = c + (1 + t 2)2.

y - c = -.Ja 2 - x2, la mitad inferior del círculo X2 y+c x = asec - - o

33.

500

17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31.

+ (y

-

C)2

f3).

= a 2.

Respuestas a los ejercicios

Sección 2.2 Todas las funciones son homogéneas excepto las de los ejercicios 2, 5, 6 Y 19. Sección 2.3 l. 3. 5. 7. 17. 19. 21. 23. 25. 35.

X3 = c(9x 2 + y2). x 4 = c 2(4x2 + y2). x 2(y + 2x) = c(y + x).

9. 11.

13. x(y + X)2 = c(y - 2x). 15 . 2y arctan (y / x) = x In [c 2(x 2 + y2)/x 4J. S2 = -2t 2 1n Icst l. 27. (y-x)(y+3x)3=cx 3. 29. 2(2x + 3y) + (x + y) In(x + y) = O. x2 = 2y + l . x2 = 2y2(y + 1).

31. 33.

X2 + 4y2 = c(x + y) . x2(x2 + 2y2) = c 4. xv 2 = c(x + 2v) . 4x In Ix/cl - 2y + x sen (2y/x) =

o.

x-y = 5(y+4x)lnx . y4(3x 2 + 4y2) = 4. 3x 3 - x2y - 2y 2 = O.

Y + 3x = (y + 4x) In (y + 4x).

Sección 2.4 3.

x2 + 2xy - y2 = c. x2y- x 3 + 1y2=C.

5. 9.

x2 + 2y 2 = 4xy + c. xy2 - x2y + 3x2 - 2y = c.

1.

11.

1sen2y+ xcos2 y - x3y2 = c.

13. 15.

2x+y2(l+x)2 = c. x 2y-xtany=c.

17. 19. 21. 23. 25. 27.

r2

+2r(sene-cose)=c. r sene-r 2 cos 2 e=c. y(3x 2 + y2) = c. x2y2 + 2xy - x2 = c. xy4 - y3 + 5xy - 3x = 5. x 2y+y3+2x 3 +yexp(-x 2)=c.

Sección 2.6 1. 3.

2y = x 5 + cx 3. 20x =4y - 1 +c(y + 1) -4.

7. 9.

y = c senx - cosx. y(secx + tanx) = c + x - cosx. xysenx = c+senx-xcosx.

17:

1 11. xu = ce 3u - u - 3. Y = (l + x2)(c + X - arctanx). y = C3em1x + C2em, .. , con C3 = cl/(ml - m 2). x2y = i(x 2 + 1)3 + c(x 2 + 1) .

19. 21. 23.

(x -l)y = (x + I)(c + x - 21n Ix 3y cos 3 x = C + 3 senx - sen 3 x. y = (x 2 + a 2)2[c(x 2 + a 2) - I J.

25. 27.

Si n = 0, y = bx + c - ab In Ix + al. Si n == -1, Y = ab + c(x + a) + b(x + a) In Ix + al . 2y = (2x + 3)1 /2ln (2x + 3) . 31. y = 2x - 1.

29.

i = ~ [ I - exP(- :) l

5. 13. 15.

+ 11).

33 .

s=(l+t2)[3 - exp(-t2)J.

Ejercicios diversos

= e2t + c. y = 2(x + 1) -1 + c(x + 1) -3.

1. 3.

2e Y

5.

y2(x

+ y)

= cx.

7. 9.

11.

2y=x 2 - 1+4exp(l-x 2). x2y = c(2x + 3y). '.x 3y3 + 1 = y3(c + 3x - 3 arctanx).

501

502

Respuestas a los ejercicios

13. 15. 17. 19.

29. 30. 31. 35. 37. 39. 41. 51. 53. 55.

41n I secx + tanxl = 2t + sen2t + e. 21. x = y In lexyl. 23. 2 x +4xy+y2 = e. 25. ky4 + 4xy3 + x 4 = e. 27.

x2 y 3 = 3(e + y - xy). y = b/a + ee-ax •

xseny+ycosx=e. y = 2 sen 2 x sen2 ~x.

arcsen x + arcsen y = e, o una parte de la elipse x2 + 2elxy + y2 + ef - 1 = O; donde el = cose. arcsen x + arcsen y = ~rr o el arco de la elipse x2 + xy + y2 = ~ determinado por la línea continua superior en la figura 2.4. arcsen x + arcsen y = - ~ rr , o el arco de la elipse X2 + xy + y2 = ~ indicado por la línea continua inferior de la figura 2.4. xy = ey2 - 1. 43. xy cosx = e + co~ x + x senx. 45. x=y2[1+yln(-y)]. 2y = senx + (x + e) secx. 3 y = x - x + e(1 - x2)1/2. 47. y2 + 2xy + 1 = 21n y. Y = senx + ecosx . 49. y = -3(x + 1). (x + l)y = (x -l)[x + 1 +21n(x - 1)]. x 4y = 2x - 1. 2x 2(x - 2)y = x2 - 5.

Capítulo 3 Sección 3.2 1. Los resultados se encuentran en la tabla 1. La solución correcta se calcula con base en la solución y = 2e' - x - 1.

TABLA 1 x

y

x+y

dy

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.00 1.10 1.22 1.36 1.53 1.72 1.94 2.19 2.48 2.81 3.18

1.00 1.20 1.42 1.66 1.93 2.22 2.54 2.89 3.28 3.71

0.10 0.12 0.14 0.17 0.19 0.22 0.25 0.29 0.33 0.37

Correcta 1.00 1.11 1.24 1.40 1.58 1.80 2.04 2.33 2.65 3.02 · 3.44

Sección 3.4 1.

YI (x) = 1 +x + ~x2; Y2(X) = 1 +x +x2 + ¿x3; Y3(X) = 1 +x +X2 + ~x3 + z\¡ x 4.

3.

YI(x) = 1 + 2(x - 1) + ~(x _ 1)2; Y2(X) = 1 + 2(x - 1) + ~(x - 1)2 + ¿(x - 1)3; Y3(X) = 1 + 2(x - 1) + ~«x - 1)2 + ~(x - 1)3 + z\¡(x - 1)4.

Respuestas a los ejercicios

Sección 3.5 1. Y3()X = 1 + x 3.

¡ 3 ¡ 4 + x 2 + jX + T2X . Y3(X) = 1 + 2(x - 1) + ~(x - 1)2 + 4(x

- 1)3 + k(x - 1)4.

Sección 3.6 1. Ys(x)=I+x+x2+~x3+~x4+ixs. a Iíea

= 1 + 2(x .:....1) + ~(x - 1)2 + 4(x - 1)3 + k(x = -1 + (x - 2) + (x - 2)2 + ~(x - 2)3 + ~ (x

3.

ys(x)

5.

ys (x)

7.

Y7(X) = 1 +x +x2

- 1)4 + fo(x - 1)5. - 2)4 + i (x - 2)5.

+ ~x3 + ~x4 + ~xs + ~x6 + ~~~x7.

Sección 3.7 1. Los resultados aparecen en la tabla 2. TABLA 2

olu-

2.

x

0.20

0.30

Y K¡ x +!h ¡2 Y + 'ihK¡ K2 Y + !hK2 K3 x+h y+hK3 K4 K

1.25 1.52

1.42 1.93

0.25 1.33 1.71 1.34 1.73 0.30 1.42 1.93 1.72

0.35 1.52 2.19 1.53 2.22 0.40 1.64 2.53 2.21

0.40

0.50

1.64

1.94

2.53 0.45 1.77 2.93 1.79 3.00 0.50 1.94 3.51 2.98

Los resultados aparecen en la tabla 3. TABLA 3 x Y K¡ x +!h ¡2 Y + 'ihK¡ K2 Y + !hK2 K3 x+h Y +hK3 K4 K

0.00 1.00 1.00

0.10

0.05 1.05 1.10 1.06 1.11 0.10 1.11 1.21 1.11

0.15 1.17 1.32 1.18 1.33

1.11 1.21

0.20 1.24 1.44 1.33

0.20 1.24 1.44 0.25 1.31 1.56 1.32 1.57 0.30 1.40 1.70 1.57

0.30 1.40 1.70 0.35 1.49 1.84 1.49 1.84 0.40 1.58 1.98 1.84

0.40 1.58 1.98 0.45 1.68 2.13 1.69 2.14 0.50 1.79 2.29 2.14

503

504

Res.puestas a los ejercicios

Sección 3.8 1. yf) = 1.93; y~2) 2.

= 1.94; y¿l) = 2.36; y¿2) = 2.37. y!l) = 1.58; y!2) = 1.58; y~ l) = 1.80; yf) = 1.80.

Capítulo 4 Sección 4.3 1. 1.5 millas/segundo. 3. u = 70 - 52 exp( -0.29t); cuando t 5. 56°F. 7. A las 2:05 de la tarde. 9. 80 segundos. 11. t = 2Fo/k. 13. Si b ~ a, x ~ a; si b::S a, x ~ b. 15. 126 horas.

= S, u d 19. 21. 23.

25. 27.

58. v = b + (vo - b) exp( - gt/b). 1.9 segundos y 10.5 pies/segundo. '

x = a In

a

+ ./a 2 _

y2

Y

- ./a2 _ y2.

(a) s = 160 libras; (b) t = 64 minutos. (a) 5.13 pesos; (b)5.13 por ciento.

Sección 4.4 In9 In9 -ln4 yoe- kT

3.

t=

7.

(d)

9.

e -a P(t) = - d+b

1-

~

2.7 hr.

e- kT' qk cos (f3t Q

+-

donde Q = ./k2(d + b)2

+ ex) + ele-k(d+b)1

+ f32, ex =

arccos

~,

,

y

el

=

e- a f3kq Po - - - - - . d+b

Q2

Capítulo 5 Sección 5.1 1. x(xy+ 1) =ey. 3.

5.

x 3y 3 =-3Inlexl . y(3x 4 + y2) = ex 3.

11.

x(y2 + 1) = ey. x2y2 = 2ln lex /yl. x2y2=2Inlexm/ynl.

13.

x(x

7. 9.

+ y2)

= ey.

29. Si n#- 1, (n _1)(xy)n-l(x 2 + y2 -e)

15. 17. 19. 21. 23. 25. 27.

ylnlexl =x{1-:-x2) . x 2y+x+y= exy2. x2 + exy + y2 = 1. xy + arctan (y/x) = e. 2x 2e xy + y2 = ex 2. 3(x 2 _y2)2=4(x 3 +4). x 3y3 + 4x2 - 7xy + 2y = O.

= 2a.Sin = 1, x2 + y2 -e = -2alnlxyl.

Sección 5.2

+ xy -

1.

x2 - y2

3.

2X2 + xy + 2y In Iyl = ey. y(2x + y) = ce x . x 3y(2x - 3y) = c.

5. 7. 19.

1 = ex.

u 2 = 2v 2 1n Icv 2 /u\.

9. 11. 13.

17.

y(2x - y) = e exp (_X2). X4 (y2 + 2xy - y + 2) = e. x2(y2 +xy - y + 2x) = e. x2 = 4y2ln ly/eI.

Respuestas a los ejercicios

Sección 5.4 1. 5(x+y+e)=21nI15x-lOy+lll . 3. 3tan(6x+e)=2(9x+4y+1). 5. x + e = tan (x + y) - sec (x + y). 7. x\siny-x)2=esin2 y. 9. (u-v-3)exp(4u)=e(u-v+l).

11. 13. 15. 17. 19.

2karctan(ue- 2V ) = 1nle(u 2 +e4V) I. 3x-3y+e+41nI3x+6y-71=0. (k+n _l) y l-n = (l-n)x k +ex l-n . (x+2y-1?=2y+e. y2(e-x)=x 3.

Sin=1 y kJiO,x k =klnley/xISi n = 1 Y k = 0, y = ex 2 . l n t Si n Ji 1 pero k + n = 1, yl-n = (1 - n)x - In lex l. 23. 4arctan (3x + y) = 8x + n. 25, x2 = y3(x + 2). 27. 2y 2 = x 2(3x - 1). Sección 5.5 1. x-3=(2-y)lnle(y-2)1. 3. (x + y - W = e(2x + y - 4)2. 21.

5. 7. 9. 11. 13.

15. 17. 19.

+ 2y + e = 31n Ix + y + 21. ln[(x - 1)2 + 9(y - 1)2] - 2arctan

x

x-1 = e. 3(y - 1) Y - 1 = 3(y - 3x - 1) In le(3x - y + 1)1· (x - y - 4? = e(x + y - 2). 3x2 + 4xy - y2 + 14x + 7 = e. y + e = -In 12x - y + 41. x+e=31nlx-y+51. l- x 3(y - 2) = -2(x - 1) In -2- '

+ 8 = 2(y -

y- x x) In -4- '

21.

Y - 5x

23. 27. 31. 33.

(x - 2y - 1? = e(x - 3y - 2). (2y - x + 3)2 = e(y - x + 2). 2(y+l) = -(x+2y)lnle(x +2y)l . (2y - x + 3)2 = e(y - x + 2).

Sección 5.6 1. In leyl = x - ~.fi erf x. 3. y = exp (_x 4) [e + exp (f34) df3J . e-~ df3 5. Y =ex fXl T .

¡;

7. 2y = 2exp(x 2 ) Ejercicios diversos 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17.

-

x

+ ~.fi exp (x 2) erf x.

y2 - 3y - x + 1 = ce-x. 2(y - 1) = (x + y - 3) In le(x + y - 3)1. 2x 2 +2xy-3y2-8x+24y=e. 19. x+y +e=81nI4x+3y +251. 15x 4y l2 = 4 y l5 + e. 21. 2(y - 3x + e) = 51n 12x - 2y - 31. x2 = y4(1 + ey2). 23. (x + y - 5)2(x - 2y + 1) = e. y 3 x (x+e )2=e. 25.1nlx+2y-ll=y-2x+e. (x + y - 8)4 = e(x - 2y + 1). 27. y(2x - y) = ee- 3x . y(5 + xy4) = ex. 29. b2y = e1éx - abx - a - eb. y2(2x2y - 3) = ex 2. 31. xv 2(5x -1) = 1.

505

506

Respuestas a los ejercicios

33. 35.

y2=(x+y)2+2Inlx+yl+c. x2 + x - 3xy - y2 + 4y = c.

37.

y2(5 - 3x)

39.

In Ix - y

= x2(5 + 3x).

+ 11

= C - x.

Capítulo 6 Sección 6.2 1. x > \1 o x < 1. 3. x> O.

5. 7.

Y = 3e' +e- x . y = 7e x - 3xex .

Sección 6.4 1. W = O! 1! 2! . . . (n - 1)!.

3.

W = 2e'.

,

Sección 6.8 1. 4D 2 -7D-2.

11. 13. 15. 17. 19.

3

3. 5. 7.

D +D+ 10. (D + 2)(2D - 1). (D - 1)(D + 2)(D - 3).

9.

D 2(D - 2)(D + 2). x 2D 2 +2xD-2.

(D - I)(D - 4)(D + 5). (D + 2)3(2D - 1). (D - 2)(D + 3)(D 2 + 4). D 2 + 1 - x2. xD2 .

21. Sección·6.9 1.

y = (CI

+ C2X + c3x2)e2x.

3.

y = (CI + C2X) exp (!x).

5. 7.

Y = CI + C2e' + C3e-4x. Y = cle-x + C2e-2x + C3e-3x.

Capítulo·7 Sección 7.2 1. 3.

9. 11. 13.

Y = Cle' + C2e-3x. Y = CI e2x + C2e- 3x .

y=clex+c2exp(!x)+c3exp(-~x).

17.

x = 'CI + C2el + C3e-21 . y = cle - x + C2 exp (~x) + C3 exp (~x) . y = cle-4x + C2 exp [(2 + .J2)x) + C3 exp [(2 - .J2)x). y = cle- x + c2e 2x + C3 exp (-!x) + c4exp(~x) .

19.

y = cle- x + C2e-2x + C3 exp (!x) + C4 exp (~x).

21.

Y = cle ax + c2e 3ax . y = e-x _ e3x .

15.

23.

25. Cuando x = 1, Y = e3 + 3e- 1 = 21.2. 27. Cuando x = 1, Y = 20.4.

29. Cuando x = 1, Y = -19.8. Sección 7.3 1. 3.

5. 7.

17. 19.

Y= Y= Y= Y=

(CI + c2x)e3x. 9. Y = CI + (C2 + C3X) exp (-!x). 11. y = CI + C2X + (C3 + C4X )e- 3x . 13. Y = cle- x + (C2 + C3X) exp (!x) . 15. Y = 3x Y = cle + (C2 + c3x)e-X + (C4 + csx)e-: / 2. -:Y = (CI + c2x)e-X + C3e(l+,¡'3)x + C4 e(r.- ,¡'3)x .

(CI + C2X + c3x2)e-x . CI + C2X + C3x2 + C4ex + cse- x . (CI + C2X )ex/ 2 + (C3 + C4X )e-x . 3x cle + (C2 + C3X + c4 x2 )e- 2x .

Respuestas a los ejercicios 21. y=(1+x)e - 2x . 23. y = 2e 2x + (3x - 2)e-x • 29. Cuando x = 2, Y = e-6 .

25.

Y = 2 - e-x - e- 2x .

27.

Cuando x = 2, Y = 4e.

Sección 7.6 3. y::::;: cle x cosx + C2ex senx . 5. y = CI cosh3x + c2senh3x. 7. Y = CI e2x cos .J3x + c2e 2x sen .J3x. 9. Y = CI + C2X + C3e-x cos 3x + C4e-x sen 3x. 11. Y = (CI + C2X) cos 3x + (C3 + C4X) sen 3x. 13. Y = CI COSX + C2 senx + (C3 + C4X) cos2x + (C5 15. y=yocosh~ 17. y=e- 3x sen2x. 19. x = (vol k) senkt. 21. x = (vola)e- bt senat; donde a =.JP - b 2 • Ejercicios diversos 1. 3.

9.

Y = CI + C2 e- 3x . Y = cle 2x + C2 e- 3x . y = e-x (CI + C2X + C3x2).

5. 7.

+ C6X) sen2x.

Y = cle- x y = cle- x

11.

y = cle x + C2 exp (!x)

13. 15. 17. 19.

y= y = Y= y =

21. 23.

Y = e- 2x (CI + C2X) + c3e...tix + c4e-...tix. Y = cle- x + C2e-2x + C3 exp (-!x) + C4 exp (-~x).

25.

y = e-x (CI

(CI

+ e2x (c2 + C3X). + (C2 + C3X) exp (!x).

+ C3 exp (-~x).

+ C2X) exp (!x) + C3 exp (-!x).

+ C2X) + C3 cos2x + C4 sen2x. CI COSX + C2 sen x + C3 cos2x + C4 sen2x. (CI + C2X + c3x2)e4x + C4e-x.

eX(cl

2x

+ C2X) + C3e-3x. + C2 COSX + C3 senx.

31.

Y = cle- 3x

+ (C2 + C3X) exp (!x).

27. 29. 37.

y = cle 33. y = cle x + C2e2x + e-X(c3 + C4X). 2x 3x y = cle +C2e-2x +C3e3x +c4e- . 35. y = CI +C2X+C3x2+c4e2x +C5e-3x . y = cle- 2x + (C2 COSX + C3 sen x) exp (-!x) .

39. 41. 43. 45.

y = e-X(cl + C2X) + C3e2x + C4COSX + C5 senx . y = e2x (CI + C2X + C3x2) + e- 3x (C4 + C5X).

47. 49. 51.

Y = cle 3x + e- 2x (cl + C2X y = e-X(cl +C2X) + C3e3x

+ C3x2) . + (C4 + c5x)exp(-!x).

y=l-e-:.

y = cle x + C2e3x + C3e-x + e- 2x (C4 + C5X). y = e- 2x (cl + C2X) + C3e3x + C4COSX + C5 senx.

Capítulo 8 Sección 8.1 1.

(D - 2)(D

+ l)y =

O.

3.

D 2 (D - 4)y = O.

507

508

Respuestas a los ejercicios 5.

7. 9. 11.

(D 2 - 2D + lO)y = O. (D 2 - 6D + lO)y = O. (D 2 + 2D + 5)2y = (D 2 +e)y=0.

o.

(D 2

l)y = O. .

13. 15.

m = 2, 2.

17.

m = -1

-

± 4i.

33. ±i, ±i, ±i. Sección 8.3 1. y = el + e2e -x 3.

5. 13. 15.

+ '2I cosx -

'2I senx.

y y

19.

Y

21.

y

23. 25. 27. 29.

y = ele x + (e2 - ±x)e-X + c3

31.

y

39.

21.

m

23. 25.

m = ±2i. m = 2i, 2i, - 2i, -2i.

27. 29. 31.

m = 2i, 2i, -2i, -2i .

7.

=

1, 1.

m = ±i, ±3i. m = 0,0,0, - 1, -1, - 1 ± i.

y

= ele4x + e2e- x -

5e x .

9. y = ele-2x+(e2+±x)e2x_~. = el cos 3x+e2 sen~x+~ex -18x. 11. y = c le x + C2e3x + 2 cosx - 4senx. = e-X(c l + e2x) + 7 - 12cos2x - 9 sen2x. = el cos x + e2 sen x + ~ x sen x . = el é + C2e-x - 2e- x senx. = el + c2 e x + e3 e -x - '2I x 2 . = Cle 2x + e2e-2x + (C 3 - x)e- X + x + ~.

y y

35. 37.

m = 0, 0, 2, 2.

y=e le-x+e2e- 2x +6x2-18x+21.

17.

33.

19.

COSX

+ e4 senx.

y = el cos x + c2 sen x + 6 - 2 cos 2x. y = cle 4x + C2e-x - 4x + 3 + 4cos2x + 3 sen2x. y = (el + ~x)e-X + C2 e - 3x + e 2x . - 2x)e- X + e2e2x - 3x + ~. y = c le- x + (C2 + e3x)e2x + ~ + 4cos 2x - 2 sen2x . y = (el - 2x)e- X + e2e2x + C3e -2x - 2x. y = e 2x - ~e -2x + 2x - ~. 41. x = (l +e-2t ) sent - (l - e- 2t ) COSI. 2x 3x y = e- (13 sen x - cosx) + 5e- . 43. Y = 2e- 2x - e-x cos 2x - eX.

= (el

45. En x = 2, Y = e- 2 , y' = 1. 47. En x = 2, Y = -0.7635, y' = +0.3012. 49. En x = 4, Y = 8 - e- I - e- 2 - e- 3. 51. Y = (e + x) senx. 53. El punto es (l , O); la solución es y = X2 + 1 - 2 exp(x - 1). Sección 8.4 3. Y = 3. 5. Y = 2. 7. Y = -~. 9. Y = 3x. 11. y = 3x. 13. y = -3x2. 15. y = -4x 3. 17. y = 2senx .

= 2x + ±-

19.

Y

21. 23.

Y = 3e 2x . Y - 4le 3x .

25.

y

27.

y

29.

y = -2x

31.

y

= = =

3e x .

-k cos2x. ~ex + 3x.

-1 cos2x.

-~ sen4x.

Respuestas a los ejercicios

33. 35. 37. 39. 41.

y = 3e x . y = 3e- x . x Y -- _l4 e .

45.

x Y -- _l2 e- . 2x Y -- l6 e .

47.

Y =

49.

Y -- '2l cos 2 x.

43 .

Y = - 4 senx . y = 2e x - 5.

509

fa sen2x.

Capítulo 9 Sección 9.2 1. Y = cle x + C2e - x - x + l. 3. Y = (C I + c2x)e2x + eX. 5. y = C l sen x + C2 cos X + x sen x + cos x In 1cos x l. 13. y = CIX + 7. y = e-X(c I + C2X -In 1I - e-X\) . 11.

y

= C l sen x

+

C2

cos X + ~ csc x.

) C2X-I / 2 .

11 + x 1 Y = - 2+x ln - - .

15.

I-x

Sección 9.4 1. Y = c l ex + C2e-x + ~xex - ~ ex - 1. 5. Y = Yc + ~ secx . 3. y = Yc - X cosx + sen x In 1senx l. 7. y = Yc - cosx In 1secx + tanx l. 9. y = Yc - cosx In 1secx + tanx l - senx In 1cscx + cotx l. 11. y = Yc + eX In (1 + eX). 15. y = Yc - sen (e - X) - eX cos (e-X).

y = Yc - e2x cos (e-X) .

13 . 19.

Y = Yc - e-X(x - ~) ..

25 .

Y

= Yo cos (x -

y = Yc - ~x2 - l.

17.

xo) + y~ sen (x - xo) + J~

f

(f3) sen (x - (3) df3.

Ejercicios diversos

+ e- 2x ).

1.

Y = Yc - xe- x - ~e-x In (1

3. 5. 7. 9.

Y = Yc + ~ tanx + ~ cosx In 1secx + tan x l.

= Yc -

11.

sen x In 1cscx + cotx l. Y = Yc + x sen x + cosx In 1cosx l· Y = Yc - xe - X + ~(eX - e-X) In 1I - e- 2x l. Y = Yc - ~ - coshx arctane- x .

13.

Y = Yc - e- 2x sen (eX) - e- 3x cos (eX).

15.

Y

17.

Y = Yc + ~ sen x tanx - x sen x - cosx In 1cosxl.

Y

= Yc +

eX In 1secexl.

Capítulo 10 Sección 10.3 1. x = ~(cos8t - 3 sen8t) .

=

~ cos 16t + ~ sen 16t.

3.

x

5.

x = ~(t - 2) sen8t. t = 7T / 8, 7T / 4, 1, 37T / 8 (segundos) y x = - 0.15, +0.05, +0.03, +0.04 (pies), respectivamente. En t = 7T / 8 (segundos), x = -~ (pies), v = - 8 (pies /segundo) .

9. 11.

510

Respuestas a los ejercicios 13. 15. 21. 23.

17. En 1 = 0.4 segundos, aproximadamente. x = 0.33 cos 11.31 - 0.71 sen 11.31. 35 pulgadas. 19. x = 0.50 cos 9.81 - 0.82 sen 9.81. 1 = 7T/8, 7T /4, 37T /8 (segundos). 1 = 7T/16, 7T/8, 37T/16 (segundos) y x = +0.11, +0.14, - 0.54, +0.93 (pies), respecti vamente.

4,

k,

Sección 10.4 1.

= 13(l/seg), x = 81e- 13t .

(a)

y

(b)

x = 1.6e- 12t sen5t . x = 0 .77(e- 8.8t _ e - 19.2t ).

(c)

= ke-t(2sen71 = _~e-4t sen8t .

cos7t) .

(4 + 4t)e- 8t -

~ cos 8t.

3.

x

5.

x

7.

x =

9. 11. 13 . 15.

tI = 0.3 seg, X I = -12 pulg.; t2 = 0.8 seg, X2 = +6 pulg.; t3 14.4seg. x = 0 .30e-4.8t cos 6.4t + 0.22e- 4.8t sen 6.4t - 0.05 cos 8t (ft). x = ~(8t + l)e- 8t - ~ cos 8t; para t > 1, x = -~ cos 8t.

17.

x

19. 21.

x = 4gt2 . v 2 = vo 2 + 2gx.

23.

x

25.

(a)

~at2(3vo 3t x = _ 3e - sen4t.

(b)

t = 0.23

(c)

0.095.

= exp (-~t)(0 . 30cos 8.0t -

=

4gt2

+ vot -

+ ~mr, n =

0.22 sen8.0t) - 0.05 cos4t

7.

y' = u, u' = 6u - 8y + x + 2. y' = u, u' = -pU - qy + f(x). y' = u , u' = v , v' = W, W ' = y . v' = 2w + 2x - 3, w' = - 2v + 5e X

9. y' = u, v' Sección 11.4

1.

5. 7.

3.

(~

-n.

+ 0.49 sen4t.

9°. Omax = (O~

-

6x

+ 9.

= w, u' = -v + 2w + 1, w' = -y + 4v -

G -n·

= -4 pulg.

O, 1, 2, 3,

Capítulo 11 Sección 11.2 1.

1.3 seg, X3

+ gt) + ~a2t 3 (4vo + gt) .

Sección 10.5 1. 38 veces. 0.8 (radianes/segundo) en 0.2 segundos. 3.

3. 5.

=

2u.

5.

(-1 -1)

7.

G~).

1

O '

+ f3-2Wf/) 1/ 2.

Respuestas a los ejercicios

17.

19

(~) = C(-n.

(O ~ m

25.

X'

~ AX, donde A ~ G

27.

X'

~ AX, donde A ~

e

Sección 11.5

(!) e41 + C2 G) e-41 . 21 21 CI (-n e + C2 (-ne- .

U+ C2 ( _ i) e21 .

1.

X = CI

5.

X = CI ( _

3.

X=

7.

21 l X = CI G)e + C2(;)é •

9.

Y = e-X(cl cosx + C2 senx). y = CI COS 2x + C2 sen2x . W(XI(O), X 2(O») = bq Ji: O.

11. 15.

511

512

Respuestas a los ejercicios

Capítulo 12 Sección 12.1

G) + G) + G).

1.

X p = té

3.

Xp

-

5.

Xp

= -3té

e

_ ! (-2t 8

2

t

6)

18t 2t 2 + 14t .

-

C) - G). 3e

t

Sección 12.2 1. x(t) = 4e - t + 3e- 7t + 1, y(t) = 8e- t 3. x(t) = e- 6t + 6e 2t - 2, y(t) = _e- 6t

3e- 7t + 2. Carrera armamentista estable. + 6e 2t - 3. Carrera armamentista incontrolable. -

Sección 12.4 1.

1 = ER- I [I-exp( -RtL - I )].

3. 5. 7. 9.

1 = EZ- 2 [-wLcoswt + Rsenwt +wLexp(-RtL- I )]. 1(0) = 1.25(amp), I(t) = 1.25 exp (-250t)(amp). I máx = 3e- l (amp). 1 = EZ- 2 (R sen wt-y cos wt)+Ef3-1 Z - 2 e- at [f3y cos f3t-a(y+2w- 1C- I )senf3t].

13.

1I = 2(1 - e- 3OOt ),

12

= _3e- 3OOt ,

13

= 2 + e- 3OOt .

Capítulo 13 Sección 13 .2 x2

1.

--1. 2

Capítulo 14 Sección 14.3 624 5. 4 - 3" + 2 ' s> O. s s s 2s +10 7. , s> 4. (s -4)(s+ 2) 2k 2 11. 2 2 ' S > O. ses +4k) Sección 14.10 2k(3s 2 - k 2 ) 7. 2 2 3 ' S > O. (s + k ) 9. L{F'(t)} = s-I(1- e- 2s ), s> O.

15. 17. 19.

11. 13.

b-a

(s

+ a)(s + b)' s> e- 2s

1

e- 2s

máx ( -a , -b).

-s + - S + -s2, s> O. 2(1 - e- rrs ) 2

s +4

'

s> O.

1 cs - tanh-. s2 2 k s - -2 · cothn- . s2 + k 2k

Respuestas a los ejercicios

15.

-1 1 - expc(1 - s) -- . , s > 1. s- 1 1 - exp ( -cs)

O)

17.

s2+0)2·1 - exp(-srrjO)·

Capítulo 15 Sección 15.1 1. 1e-lseñ3t. 3. e- 21 (3 cos 3t - 2 sen 3t). 9 . e - 41 (2t - ~t2) .

te- 21 . e 21 (2 cos 2t

5. 7.

+ ! sen 2t).

Sección 15.2

1.

~ (l

- e- al).

3.

3e 21 ":'" 3 - 2t .

5. 7.

a

2 + é - e-: 21 .

cos at - cos ht h2 - a 2 Sección 15.3 1. y = e l +1. I e-· 3 . Y -- l3 e 21 - l3 5. Y = cosat . 7. y = !e l - e 21 + !e 31 .

t-2+é+e- 21 .

9.

9. Y = e 21 21. 27. 43.

+ 2t -

x(t) = e 21 (2t 2 - 2t - 1).

11. 13. 15. 17 . 19.

1.

x(t) = 2t 2 - 6t + 7 - 8e- 1 + e- 21 . y = e - 2x (cl cosx + C2 sen x) + lOx - 8 x(t) = (1 - t)2e 21 .

y(t) = 2cosh t

+ senh t -

!e 3x .

+

!

Sección 15.4

9. 11.

17. 19. 23. 25.

4 :;-

+ e-2s

(21) s2 -:;- .

~ + e -s ( ~S s3

-

~ s2

13.

3

-

11.

+ e-rrs ) +9

s2

F(1) = 1, F(3) = -1 , F(5) = - 4. x(t) = 3 - 2cost + 2[t - 4 - sen(t - 4)]a(t - 4) . x(t) = Hl - a(t - 2rr)](2sent - sen2t). x(l) = 2 + e- 1 , x(4) = 1 + 3e- 1 + 4e- 4.

S2(S2

9.

15.

!(t -4)2 exp [- 2(t - 4) ]a (t - 4).

27 . Sección 15.5 3 1.

3.

l-exp(- 2s - 2) s+1

3(1

2s

~ - ~. s3 ) S

+ 9)·

6 S4(S -

5.

!(1 - e- 21 ).

7.

!( sent - t cos t).

1) .

11

1

y(t) =H(t-f3)senhkf3df3. k o x(t) = e- 31 [A

+ (B + 3A)t] +

f f3e-3~

2 cos t .

x(t) = 1 + ~t - ~ sen2t. x (t) = sen t - COS t + 2e l • y(x) = 4e X + cos 3x - 2 sen 3x.

F(t - (3) df3 .

513

514

Respuestas a los ejercicios

Sección 15.6 1. F(t)=1+2t. 3. F(t) = t + !t 2. 5. F(t) = t 3 + 1ot 5 • 13. F(t) = 4 Sección 15.8

1. 3.

+ ~t2 +

7. 9. 11.

F(t) = t 2 -1t4. H (t) = 5e 2t + 4e- t - 6te- t . g(x) = e- x (1-x)2.

-i4t4.

iiowOC2X2 - ;fowocx 3 + ~[5CX4 - x 5 + (x - C)5 a (x - c)]. 120c Ely(x) = l4woc2x2 - 1~8 wocx 3 + -i4WO[X4 - (x - c)4 a (x - c)]. Ely(x)

=

Sección 15.9 1. x(t) = 2 - !é - !e 3t - e- 2t , y(t) = 7t + 5 - é 3. x(t) = (1 + 2t)e t + 2e 3t , y(t) = (1 - t)é - e 3t . 5. 7. 9. 11.

1

x(t) = -t - ~ sent + sen2t , y(t) = 1 + ~ cost - ~ cos2t. x(t) = -1 + é, y(t) = -tet, z(t) = 1- é - teto x(t) = CI cosht + C2 senht + J~[cosh,8F(t -,8) + senh,8G(t - ,8)] d,8, y(t) = CI senh t + C2 cosh t + J~ [cosh ,8G(t - ,8) + senh ,8F(t - ,8)] d,8. x(t) = cos 2t + J~ [cos 2,8F(t - ,8) + sen 2,8G(t - ,8)] d,8, y(t) = - sen 2t + J~ [cos 2,8G(t - ,8) - sen2,8F(t - ,8)] d,8.

Capítulo 16 Sección 16.2 1. y=CIX,Xy=C2. 3. y = CIX 2, Y = C2 x3 .

5. 7. 17. 25. 27.

+ ~e-2t.

y y

9. 11.

= CI exp (!x 2 ), y = -In IC2x1.

13.

= In IClxl, x = In IC2yl .

15.

x = y In ICIYI, y(2x + y) = C2. y(x 2 + CI) = - 2, x 3 = 31n IC2yl. x = - y In IClyl, y(2x - y) = C2. y2 - x2 = CIY, y(3x 2 + y2) = C2.

y2(y2 +2x2) = CI, y2 = 2X2 In IC2XI. y = (3 - 2x)I /2; y y = 2 -ln2 -ln(-x). y' = (3 - 2X)I/2 para x ::: 1; y = 1 -lnx para 1 ::: X.

Sección 16.5 (a) x2(1

+ 12x2y) = O;

(b) x

= O,

9. 11. 13.

(a) X2 - 4 Y = O; (b) X2 - 4 Y = O.

15.

(a) y8(y2 - 2x)(y4

(a) (y2 - x)(y2

12x2y

= -1.

+ x) = O; (b) es igual que (a),

+ 2xy2 + 4x 2) = O;

(b) Y

= O, y2 = 2x.

Sección 16,7 3. e 2 + cx 2 = 2y; sol. sing., 8y = _x 4 • 5. 2c 3x 3 = 1 - 6c 2y; sol. sing., 2y = x2. 7. y = ex + kc 2; sol. sing., x2 = -4ky. 9. 11. 13. 15.

c2. xy = c(3cx - 1); sol. sing., 12x2y = - 1. c(xc - y + k) + a = O; sol. sing., (y - k) 2 = 4ax. xy = c(e2x - 1); sol. sing., 27x 3y2 = 4.

x2(1

+ ey) =

Respuestas a los ejercicios 17 . 19.

xc 3 - yc 2 + 1 = O; sol. sing., 4 y 3 = 27x 2. 3x = 2p + Cp-I!2 y 3y = p2 - Cpl !2.

21. 23 .

x = 4p In jpc j y y =;= p2[1 + 2 ln jpc jJ . 2x = 3p-2 + Cp-4 y 3y = 9p- 1 + 2cp-3.

25 .

p3(x

27. 29.

p3(x + 2p)2 = C y y = 3xp + 5p2. X2 Cp-4!3 - 2p- 1 Y Y x p + x 3p2.

+ p)2 =

C

y 2y = 6xp

=

+ 5p2.

=

Sección 16.9 1. x = CI sen (y + C2) . 3.

x = cly - Injc2yj.

5.

(y-c2? = 4a(x - cl).

7.

y3 = 3(C2 - X - CIY) .

11. 13. 15. 17.

x = CI + Y In jC2yj. 19. 21. Solución general : 2y = CIX2 - 2efx + C2 ; 23. 27e l (y + e l )2 = 8(x + C2)3 . 33. 25. y = ~x2 + 3x-3+9 In(3- x). 35. 6 37. 27. 24y = x + 9x2 + 2. 29. y = CI COS f3x + e2 senf3x . 39. I 2+ x 41. 31. Y = 1 + 2" In 2 _ x · 9.

43 .

y = x- I + X + CIX 2 + C2.

cly+c2= - lnjcle-X-lj. eYcos(x+CI) = C2.

x=c2+cly - (1+cf)lnjy+clj. 3y = C2 + In jx 3 + cd. familia de soluciones singulares: 12y =x3 + k. y=ln(4 - x). x=ln(- cscy - coty) . Y = 1 + In (secx + tan x). x = CI In je2yj - cos y. 2y - 1 = (x - 2)2 + 8ln (x + 2).

2y=l+x 2 +2senx.

Ejercicios diversos 1. 3. 5. 7. 9.

11. 13 . 15. 17. 19. 21. 23 . 25. 27.

cxy + 4x + c 2 = O; sol. sing., xy2 = 16. cy3(x - c) = 1; sol. sing., x2 y 3 = 4. x 2(y - e 2) = c; sol. sing.; 4x 4y = -1.

=

=

cp-3!2 - P y 2y 6Cp-I!2 _ p2. 3 2 x (2ey - 1) = e ; sol. sing. x3 y 2 = 1. 5x = 4 p 3+ cp l!2 y 15y = 9 p 4+ cp 3!2. x 2e 3 - 2xye 2 + y 2e + 1 = O; sol. sing. 27x = _4 y 3. x2 = 2(y - el), Y = In je2xJ. 8x=3 p 2+ ep -2!3 y 4y = p3 _ ep l f3 . x 2C2 - (2xy + l)c + y2 + 1 = O; sol. sing., 4x2 - 4xy - 1 = O. x(x - 2y) CI, Y -x In Ic2x j. 2 3 y = cx + e - e ; sol. sing., x = 2a - 3a 2 y y = a 2 - 2a 3. py = e exp (p-I) Y px = y(p2 - P + 1) ; sol. sing., y = x. x2 = 4c(y - 8e 2); sol. sing., 8 y 3 = 27x 4 . x

=

=

Capítulo 17 Sección 17.3 1. x = 2i, -2i . 3. 5.

Ninguna. x = o.

515

7.

x=i,-i.

9. x = O, 1. 11. x = O.

516

Respuestas a los ejercicios

13.

x = O, 3, - 3.

17 .

x=O,i, -i.

15 .

x = -~ , 3.

19.

x = -~.

Sección 17.5 1. Y = ao cos x ,

3.

+ a I sen x.

[

00

1 + {;

Y = ao

(-3 )k X2k] 2kk!

+ al

[

(-3)kx2k+l

00

x

+ {; 3 . 5 . 7 ... (2k + 1)

]

;

válida para toda x finita.

5.

00 22kx2k+1 y = ao(l - 4x 2) + a l L 2 k=O 4k - 1

7.

Y = ~ao L ( -I)k(k

00

;

válida para

Ixl < !.

+ 1)(2k + 1)(2k + 3)x 2k

k=O 00

+ ~al L(-I)k(k k=O 9.

11.

Y

V

= ao [ 1 = ao

·

~ [3·5·7· .. (2k + l)]X 2k ]

L

18 k 2k _

k= I

() (

2

k=1

+alx; válida para

I

l)k .

~(-I)k(k+l)X2k]

+L

l

[

+ l)(k + 2)(2k + 3)X2k+l; válida para Ixl
O. s

3.

'iln - - , s> k > O.

5.

F(t) =

1

s+k s-k

00

&L(t

- 2n)2 a (t - 2n); F(5) = 17.5.

n=O

7. 11.

344.

t) + - L~( - l ) exp (t- -- -

E ( -l(t)=-exp R RC

2E R ,,=1

"

n e) a(t-ne). RC

525

526

Respuestas a los ejercicios

Sección 24.2 1 .. 9. c-; _~ eterfc(.,fi). yTC1 ·

Capítu16 25 Sección-:25.1 L y{x, t) = _t 2 + 3(t - 4x)2a (t - 4x) . 3. ~x, t) = x - ~t - t 2 + [3 (t - 4x)2 + ~(t - 4x)]a(t - 4x). 5. ji = 3(t - 4x)a(t - 4x) - 2t. Sección 25.2 00

L

Y

=x-

x2 -t 2+ L(-lt[(t-n-x)2a (t-n-x)+(t-n-l +x)2a (t-n - l - x)]. n=O

Sección 25.5 L

u

=

1-

~ (_

l)n [erfC

e~~X) + erfc

en :5t- 1 X)

/

Indice

Aislamiento (térmico), 448 Álgebra matricial ecuación característica, 196 polinomio característico, 196 repaso, 189-195 valores propios, 196 vectores propios, 196 Amortiguamiento crítico, 173 factor de, 172 Aproximaciones sucesivas, 49-51 Ausencia de la variable independiente, 335-338 Calor, véase Conducción del calor Cambio de variable en una ecuación de orden uno, 26, 84-86 en una ecuación de tipo Cauchy, 366 en una ecuación lineal de segundo orden, 152-156 Catenaria, 338-340 Ceros de polinomios ortogonales, 421 Circuito RLC, 233 Circuitos eléctricos, 232-234 Coeficientes constantes, ecuaciones lineales con,117 '/-:lOf,IO(/t¡ ')'> Coeficientes indeterminados, 139-144 Combinación lineal de funciones, 100 Condición de Lipschitz, 246 Conducción del calor en una esfera, 457-458 en una lámina de ancho finito, 493-496 en una lámina, 411-416, 448, 455 octante sólido infinito, 496-499 sólido semiinfinito, 488-490 Conjuntos simples de polinomios, 419 Constante de la gravitación de Newton, 178 ley del enfriamiento, 64, 65 ley de la gravitación, 178 segunda ley del movimiento, 178

Convergencia, mejora en la rapidez de la, 444-445 Conversión química, 65-69 Corrimiento exponencial, 114 Crecimiento logístico, 69-73 Cuerda elástica, 458-459, 485-488 Curva solución, 11 Deflexión de una viga, véase Vigas Dependencia lineal, 102 Diferenciación de un producto, 367-368 Difusión, calor, véase Conducción del calor Difusividad térmica, 411 Ecuación característica, 196 Ecuación con discriminante e, 325-326 Ecuación de Bernoulli, 86-89 Ecuación de Bessel con orden entero, 401-402 con orden no entero, 400-401 de orden cero, 373 de orden uno, 385 Ecuación de Clairaut, 330-333 Ecuación de Laplace de dos dimensiones, 461-463 de tres dimensiones en coordenadas cartesianas, 404-405 en coordenadas cilíndricas, 405 en coordenadas esféricas, 405 Ecuación de onda en tres dimensiones, 404-405 en una dimensión, 458-460, 485-488 Ecuación de tipo Cauchy, 366 Ecuación de tipo Euler, 366 Ecuación del calor en coordenadas cartesianas, 406, 411 en coordenadas esféricas, 457 validez de la, 453-454 Ecuación diferencial ordinaria, 3

527

528

Índice Ecuación discriminante p, 326-328 Ecuación en diferencias, 351 Ecuación indicadora (indicia!) definición, 362 raíces iguales, 368-374 método alternativo, 374-377 resta de raíces dada por un entero caso logarítmico, 381-385 caso no logarítmico, 377-381 resta de raíces dada por un número no entero, 363-367 Ecuación lineal cambio de variable en una, 89-94 con coeficientes indeterminados, 139-144 de orden uno, 35-43 de sistemas, 186, 187 definición, 4 homogénea con coeficientes constantes, 117 homogénea con coeficientes variables, 106-107 no homogénea con coeficientes constantes, 134 no homogénea con coeficientes variables, 107-109 punto ordinario de una, 345-346 solución cerca del , 347-355 punto singular irregular de una, 358 punto singular regular de una, 358 variación de parámetros, 156-161 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes, 117 con coeficientes variables, 106-107 Ecuación lineal normal, 99 Ecuaciones con coeficientes homogéneos, 25-28, 83 Ecuaciones con coeficientes lineales, 89-94 Ecuaciones diferenciales parciales cambio de variables, 405 de matemáticas aplicadas, 404-406 definición, 404 Ecuaciones exactas, 29-34 Ecuaciones integrales especiales, 298-302 Eliminación de la variable dependiente, 328-330 Eliminación de un medicamento, 72 Envolvente, 325 Epidemias, 72 Escape, velocidad de, 62-64 Excentricidad de una cónica, 182 de una órbita, 183 Existencia de soluciones, 14-15, 243-245 Extensión periódica, 436, 438, 440, 442 Factor integrante de una ecuación lineal de primer orden, 35-36 determinado por inspección, 75-78

para ecuaciones con coeficientes homogéneos, 83 Familias de curvas como soluciones, 5-10 interpretación geométrica, 10-12 Flujo de calor, 448 Fórmula de Abel, 163 Fuerza cortante, vigas, 307 'Fuerza de retardo, 165 Fuerza ejercida, 166 Función a, 286 Función complementaria, 108 Función de Bessel, 478-480 Función de clase A, 261-263 Función de peso, 418 Función erf(x), 471-477 Función error aplicación , 488-490, 493-499 complementaria, 472 definición, 471 Función exponencial con argumento imaginario, 123-125 Función factorial, 396-397 Función gamma, 267-269 Función hipergeométrica, 397-399 Función nula, 274 Función onda cuadrada, 271 Función onda triangular, 272 Funciones analíticas, 342 Funciones continuas por secciones, 257-258 Funciones de orden exponencial, 259-261 Funciones hiperbólicas , 127-130 Funciones homogéneas, 24-25 teorema de Euler sobre, 25 Grado de una función homogénea, 24 Impedancia, estado estacionario, 239 Independencia lineal de un conjunto de funciones vectoriales, 198 de un conjunto de funciones , 102 de un conjunto de vectores, 198 Independencia lineal, véase Lineal, independencia, Infinito punto al , 386 soluciones cercanas a, 380 Integrales no elementales, 94-97 Interés compuesto, 69 Isoc\ina, 12-13 Kepler, primera ley, 180 segunda ley, 179 tercera ley, 182

Índice Ley de Hooke, 165 Ley de la gravitación de Newton, 178 Ley del enfriamiento de Newton, 64-65 Ley del voltaje de Kirchhoff, 233 Leyes de Kirchhoff, 233 Lineal, dependencia 102 Linealidad de la transformada de Laplace, 253 de la transformada inversa de Laplace, 275 de operadores diferenciales, 111 Método de continuación, 58-60 Método de Euler, 45-48 modificado, 48-49 Métodos numéricos aproximaciones sucesivas, 49-51 método de continuación, 58-60 método de Euler modificado, 48-49 método de Euler, 45-48 método de Runge-Kutta, 54-58 teorema de Taylor, 52-54 Movimiento planetario, 178-179 Movimiento sobreamortiguado, 173 Núcleo de una transformación integral, 252 Operador diferencial, véase Diferenciales, Operadores, de Laplace, 253 Operadores diferenciales, 109-115 corrimiento exponencial, 114 leyes de operación, 111-113 productos de, 109 Orden de una ecuación diferencial, 2-3 Ortogonalidad de los polinomios de Hermite, 424 de los polinomios de Laguerre, 424 de los polinomios de Legendre, 422-423 de polinomios, 419-420 de ceros, 421 definición, 418 Parámetros, variación de, 156- 161 Péndulo simple, 177-179 Plano fase definición, 216 nodo estable, 217 nodo inestable, 217 retrato fase, 216 silla de montar inestable, 217 trayectoria, 216 valores propios complejos, 218-221 valores propios reales distintos, 217 Plano inclinado, movimiento sobre un, 68

Polinomio característico, 196 Polinomios conjuntos simples de, 419 de Hermite, 402 de Laguerrre, 399-400 de Legendre, 403 ortogonalidad,419-420 Polinomios de Hermite definición, 402 ortogonalidad, 424 Polinomios de Laguerre definición, 399-400 ortogonalidad, 424 Polinomios de Legendre definición, 403, 404-405 ortogonalidad,422-423 Presas de concreto, temperatura de, 453-454 Problema de valor inicial, 244 Problemas de mezclas, 65-69 Punto ordinario definición, 345-346 solución cerca de un, 347-355 validez de la, 347 Punto singular definición, 346 irregular, 358 regular, 358 soluciones cerca de un, 358 Punto singular regular, 358 relación de recurrencia de varios términos, 388-392 solución cerca de un, 362 Punto singular regular de una ecuación lineal, 345-346 Rectificación de media onda, 270 Redes eléctricas, 235-241 Reducción de orden de una ecuación lineal, 152-156 de una ecuación no lineal, 335-337 Relación de recurrencia de varios términos, 388-392 definición, 350-351 Resonancia, 169-172 Resorte, vibración de un, 165 amortiguada, 172-176 amortiguamiento crítico, 173 constante de, 165 métodos de transformación, 303-307 no amortiguada, 167-169 resonancia en la, 169-172 sobreamortiguada, 173 Retrato fase, 216 Runge-Kutta, 54-58

529

530

Índice Segunda ley del movimiento de Newton, 178 Separación de variables en ecuaciones diferenciales ordinarias, 18-24 en ecuaciones diferenciales parciales, 406-411 Serie armónica, 372 Serie de Fourier análisis numérico, 443-444 definición, 429-430 ejemplos numéricos, 431 -437 en discontinuidades, 430 en series de cosenos, 44 1-443 en series de senos, 438-440 mejora en la rapidez de convergenci a, 444-445 periodicidad,430 teorema de convergencia, 430 Series de potencias convergencia de, 343-345 tabla de, 467-468 Series, cá lculo con, 444-445 Sistemas de ecuaciones método de la transformada de Laplace, 310-3 16 métodos matriciales valores propios complejos, 204-208 valores propios reales distintos, 195-204 valores propios repetidos, 208-2 16 Sistemas de ecuaciones lineales, 186-187 Sobreamortiguarniento, 173 Solución general ecuación li neal homogénea, 106-107 ecuación lineal no homogénea, 107-109 Soluciones de una ecuación diferencial, 3 Soluciones logarítmicas, 38 1-385 Soluciones singul ares, 323-325 Superposición de soluciones, 147 Temperatura estacionaria, 461 Temperatura, véase Conducción del calor Teorema de convolución, 294-297 Teorema de Euler sobre funciones homogéneas, 25 Teorema de Tay lor, 52-54 Tractriz, 68 Transformac iones integrales, 252 Transformada de Laplace de deri vadas', 263-266

de funciones continuas por secc iones, 257-258 de funciones de Clase A, 261-263 de funciones de orden exponencial, 259-260 de funciones elementales, 253-257 de funciones periódicas, 269-272 de una func ión escalón, 286-293 definición, 253 deflexión de vigas, 307-310 derivada de la , 266-267 inversa de la, 274-277 linealidad de la, 253, 275 su obtención mediante series de potencias, 467-471 tabla de la, 3 18-3 19 un teorema de convolución, 294-297 vibración de resorte ,303-307 Transformada inversa de Laplace, véase transformada de Laplace, inversa, Trayectoria, 2 16 Valores propios de una matriz, 196 Variable dependiente definición, 2 fa!tan te en .um: ecuación, 334-335 Variable independiente, 2 Variables adimensionales, 491 Variables canónicas, 491-493 Variación de parámetros, 156- 161 Vectores propios de una matriz, 196 Velocidad de escape, 62-64 Vibración no amortiguada, 167- 168 Vibración, véase Resorte Vibraciones amortiguadas, 172- l 76 Vigas condiciones de frontera , 307 deflexión de, 307-310 fuerza cortante, 307 momento de fl exión, 307 Wronskiano de soluciones de un sistema, 198 de soluciones de una ecuac ión, 103- 105 fórmula de Abel para el, 163