Ecuaciones diferenciales ordinarias una introducción 9789586487740

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FERNANDO MESA Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: [email protected]

ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA Licenciado en Educación, Especialidad Matemática de la Universidad del Cauca. Candidato a magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira. Actualmente, se desempeña como docente asociado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira; es investigador en las áreas de Ecuaciones diferenciales y Educación matemática. E-mail: [email protected].

JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira. mail: [email protected].

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Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Mesa, Fernando Ecuaciones diferenciales ordinarias : una introducción / Fernando Mesa, Alejandro Martínez Acosta, José Rodrigo González Granada. – 1ª. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 2 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) Incluye bibliografía e índice alfabético ISBN 978-958-648-774-0 1. Ecuaciones diferenciales I. Martínez Acosta, Alejandro II. González Granada, José Rodrigo III. Título IV. Serie CDD: 515.352 ed. 20

CO-BoBN– a802301

Colección: Ciencias Exactas Área: Matemáticas Primera edición: Bogotá, D.C., 2012 ISBN: 978-958-648-774-0 © Fernando Mesa e-mail: [email protected] © Alejandro Martínez Acosta e-mail: [email protected]. © José Rodrigo González Granada e-mail: [email protected]. Universidad Tecnológica de Pereira Vereda La Julita - Pereira - Risaralda © Ecoe Ediciones Ltda. E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, Fax. 3461741 - Bogotá D.C.

Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Carátula: Edwin Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores e-mail: [email protected] Impreso y hecho en Colombia.

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Contenido

Presentaci´ on

iv

1 Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales

1

1.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Definiciones y terminolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Ecuaci´on diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12

1.5

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

19

2.1

Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5

Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6

Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7

Ecuaci´on diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48

2.8

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1

Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8.2

Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i

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CONTENIDO

3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Introducci´on: sistema masa-resorte . . . . . . . . . . 3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´eneas . 3.1.4 Reducci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Teor´ıa b´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . 3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Variaci´on de los par´ametros . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ecuaci´on de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

4 Transformada de Laplace 4.1 Definici´on y transformadas 4.2 Propiedades . . . . . . . . 4.3 Transformada inversa . . . 4.4 Los teoremas de traslaci´on 4.5 Funciones peri´odicas . . . 4.6 Funci´on delta de Dirac . . 4.7 Funci´on de transferencia . 4.8 Ejercicios . . . . . . . . .

. . . . . . . .

115 . 115 . 118 . 127 . 133 . 140 . 145 . 148 . 152

. . . . .

155 . 155 . 158 . 165 . 165 . 170

b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 Sistemas de ecuaciones diferenciales 5.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Teor´ıa preliminar . . . . . . . . . . . . 5.3 M´etodos de soluci´on . . . . . . . . . . 5.3.1 M´etodo de eliminaci´on . . . . . 5.3.2 Soluci´on mediante transformada

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. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Laplace

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

59 59 59 60 63 66 71 71 75 83 87 89 95 98 107

CONTENIDO

5.4 5.5

5.6 5.7

Sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes Sistemas lineales no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Variaci´on de los par´ametros . . . . . . . . . . . . Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6 Soluci´ on de ecuaciones diferenciales mediante series 6.1 Introducci´on y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Soluci´on mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Soluci´on en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . 6.2.2 Soluci´on en torno a puntos singulares: m´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ecuaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Ecuaci´on de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Ecuaci´on hipergeom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

171 181 181 182 185 191

193 . 193 . 197 . 198 . . . . . .

202 207 208 212 214 217

Respuestas

219

Bibliograf´ıa

229

´Indice alfab´ etico

230

iii

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Presentaci´ on

Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto gu´ıa en los cursos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades en los distintos programas de ingenier´ıas y tecnolog´ıas. En particular, en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira en su programa de licenciatura en matem´aticas y f´ısica. Esta edici´on es el resultado de varios a˜ nos de trabajo y dedicaci´on, lo que permiti´o basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores que fueron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores. Se desarrollaron seis cap´ıtulos, en los que sin perder de vista la formalidad de los contenidos, el lector podr´a encontrarse con una presentaci´on sencilla, pr´actica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es as´ı como en los cap´ıtulos 1 y 2 se presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de matem´aticas IV que se orienta en la Universidad Tecnol´ogica de Pereira. El siguiente cap´ıtulo coincide con la unidad II del programa de matem´aticas IV en el que se desarrollan los elementos m´as importantes de las ecuaciones diferenciales de orden superior. En el cap´ıtulo 4 se lleva a cabo el desarrollo de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la soluci´on de sistemas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por u ´ltimo en el cap´ıtulo final de v

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´n Presentacio

esta obra est´a dedicado a desarrollar lo referente a la soluci´on de ecuaciones diferenciales mediante el m´etodo de Series de Potencias. Es de anotar que en cada uno de estos cap´ıtulos nos preocupamos por entregar una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su respuesta. Por u ´ltimo, queremos manifestar que junto con el prop´osito inicial, tambi´en deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matem´aticas se presente sin perder rigurosidad pero estando cada vez m´as al alcance de todos. Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta primera edici´on, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones que pudieran hacernos llegar. Los autores.

vi

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales

1.1

Introducci´ on

En las ciencias y en la ingenier´ıa se desarrollan modelos matem´aticos para entender mejor los fen´omenos f´ısicos. A menudo, estos modelos conducen a una ecuaci´on que contiene algunas derivadas de una funci´on desconocida. Esta ecuaci´on se denomina una ecuaci´on diferencial. Comenzamos esta secci´on con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecuaciones diferenciales. t = 0, v = 0

Ejemplo 1.1 (Ca´ıda libre). Un objeto de masa m se deja caer desde una altura h (por encima del suelo) y cae por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1). Determine la ecuaci´on diferencial que describe la trayectoria del objeto.

y h mg Nivel del suelo

Figura 1.1. Cuerpo en ca´ıda libre

1

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Soluci´ on. Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleraci´on es igual a la fuerza total que act´ ua sobre ´el. Esto conduce a la ecuaci´on m

d2 y = −mg, dt2 2

donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, ddt2y es su aceleraci´on, g es la aceleraci´on gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida a la gravedad. Esta es una ecuaci´on diferencial que contiene la segunda derivada de la al, se obtiene la tura desconocida y como funci´on del tiempo. Al hacer v = dy dt ecuaci´on diferencial de primer orden en la inc´ognita v: dv = −mg dt Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la rapidez v de flujo (o salida) del agua a trav´es de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura √ h, en este caso v = 2gh, donde g es la aceleraci´on de la gravedad, (figura 1.2). Deduzca una ecuaci´on diferencial que exprese la altura h en cualquier momento t, que hay en el tanque. m

V (t)

h

A0

Figura 1.2. Vaciado de un tanque

2

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h

´ 1.1. INTRODUCCION

Soluci´ on. Si el ´area transversal del agujero es A0 , y la rapidez del agua que √ sale del tanque es v = 2gh, el volumen del agua que sale por unidad de √ tiempo est´a dado por A0 v = A0 2gh. As´ı, si V (t) representa el volumen del agua en el tanque a una profundidad h en cualquier instante t, entonces  dV = −cA0 2gh, 0 < c < 1 (1.1) dt donde el signo menos indica que V est´a disminuyendo. Si no se tiene en cuenta la fricci´on en el agujero, lo cual causar´a una reducci´on en la tasa de flujo, entonces c = 1. Si el tanque es tal que el volumen en cualquier instante t se expresa como V = V (h) con h = h(t) donde h es la profundidad en el dh = dV . Al sustituir esta instante t, entonces por la regla de la cadena, dV dt dh dt u ´ltima ecuaci´on en (1.1) y despejar, se obtiene A0  dh = −c 2gh. dt dV /dh Ejemplo 1.3 (Circuito RLC). Determine la ecuaci´on diferencial para el circuito LRC dado en la figura 1.3.

L

R E C

Figura 1.3. Circuito RLC

Soluci´ on. Los principios f´ısicos que rigen los circuitos el´ectricos fueron establecidos por G. R. Kirchhoff en 1859. Los principios son los siguientes:

1. Ley de la corriente de Kirchhoff. La suma algebraica de las corrientes que fluyen en cualquier punto de uni´on (nodo) debe ser cero. 3

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2. Ley del voltaje de Kirchhoff. La suma algebraica de los cambios instant´aneos del potencial (ca´ıdas de voltaje) en torno a cualquier lazo cerrado (bucle) debe ser cero. Para aplicar la ley del voltaje, se debe conocer la ca´ıda de voltaje a trav´es de cada elemento del circuito. (a) De acuerdo con la ley de Ohm, la ca´ıda de voltaje ER a trav´es de un resistor es proporcional a la corriente i que pasa por el resistor: ER = Ri. La constante de proporcionalidad R se conoce como resistencia. (b) Se puede mostrar mediante las leyes de Faraday y Lenz que la ca´ıda de voltaje EL a trav´es de un inductor es proporcional a la raz´on de cambio instant´anea de la corriente i: EL = L

di . dt

La constante de proporcionalidad L se conoce como inductancia. (c) La ca´ıda de voltaje E a trav´es de un capacitor es proporcional a la carga el´ectrica q que aparece en las placas del capacitor: EC =

1 q. C

La constante C se llama capacitancia. Suponemos que una fuente de voltaje, suma voltaje o energ´ıa potencial al circuito. Si E(t) indica el voltaje que se proporciona al circuito en el instante t, entonces la ley de Kirchhoff implica EL + ER + EC = E(t).

(1.2)

Al sustituir en (1.2) las expresiones para EL , ER y EC se tiene L

1 di + Ri + q = E(t) dt C 4

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(1.3)

1.2. DEFINICIONES Y TERMINOLOG´IA

La corriente es la raz´on de cambio instant´anea de la carga, es decir i = Por lo tanto, podemos expresar (1.3) como L

dq 1 d2 q + R + q = E(t) dt dt C

dq . dt

(1.4)

En la mayor parte de las aplicaciones interesa determinar la corriente i(t). Al derivar (1.3) con respecto a t, suponiendo que E es diferenciable, y sustituyendo i en lugar de dq , se obtiene: dt L

1.2

di 1 dE d2 i +R + i= dt dt C dt

(1.5)

Definiciones y terminolog´ıa

Definici´ on 1.2.1. Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as variables dependientes con respecto a una o m´as variables independientes es una ecuaci´on diferencial. Ejemplo 1.4. En la ecuaci´on dx d2 x + a + kx = 0, 2 dt dt

(1.6)

t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes a k se llaman coeficientes de la ecuaci´on. Ejemplo 1.5. En la ecuaci´on ∂u ∂u − = x − 2y, ∂x ∂y

(1.7)

x y y son las variables independientes, mientras que u es la variable dependiente.

Clasificaci´ on 1. Seg´ un el tipo: Una ecuaci´on que s´olo contiene derivadas ordinarias con respecto de una sola variable independiente, es una ecuaci´on diferencial 5

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

ordinaria (EDO). Una ecuaci´on diferencial que contiene derivadas parciales con respecto de m´as de una variable independiente, es una ecuaci´on diferencial parcial (EDP). La ecuaci´on (1.5) es una EDO, mientras que la ecuaci´on (1.7) es una EDP. 2. Seg´ un el orden: El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de las derivadas de orden m´aximo que aparecen en ella. Las ecuaciones (1.5) y (1.6) son ecuaciones de segundo orden. La ecuaci´on (1.7) es una EDP de primer orden. 3. Seg´ un la linealidad o no linealidad: Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es lineal si tiene la forma an (x)

dn y dn−1 y dy + a (x) + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). n−1 n n−1 dx dx dx

(1.8)

Si una ecuaci´on diferencial no es lineal, entonces se dice que es no lineal. Ejemplo 1.6. Las ecuaciones (2x − y)dx + 4xdy = 0, y  − 3y  + 2y = 0 y dy d3 y x3 dx 3 − 2x dx + 6y = 0 son ecuaciones lineales de primero, segundo y tercer orden respectivamente. 2

d y Ejemplo 1.7. Las ecuaciones (1 + y)y  + 2y = ex , dx 2 + (sen y)y = 0 y d4 y 2 + y = 0 son ecuaciones no lineales de primero, segundo y cuarto orden dx4 respectivamente.

1.3

Soluciones y problemas de valor inicial

Una ecuaci´on diferencial ordinaria general de orden n se representa mediante cualquiera de las expresiones   F x, y, y  , . . . , y (n) = 0   y (n) = f x, y, y  , . . . , y (n−1) 6

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(1.9a) (1.9b)

1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Definici´ on 1.3.1 (Soluci´ on expl´ıcita). Una funci´on φ tal que al sustituirla en lugar de y en la ecuaci´on (1.9a) o en (1.9b) satisface la ecuaci´on para toda x en un intervalo I es una soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on en I. Una soluci´on expl´ıcita que es id´entica a cero en I, se llama soluci´on trivial. Ejemplo 1.8. Muestre que φ(x) = x2 − x−1 es una soluci´on expl´ıcita de d2 y x2 dx 2 = 2y en (0, ∞). Soluci´ on. Las funciones φ(x) = x2 − x−1 , φ (x) = 2x + x−2 y φ (x) = 2 − 2x−3 est´an definidas para toda x > 0. Al sustituir φ(x) y sus derivadas en la ecuaci´on se tiene x2 (2 − 2x−3 ) = 2(x2 − x−1 ) = 2φ(x). Como esto es v´alido para cualquier x = 0, la funci´on φ(x) = x2 − x−1 es una soluci´on expl´ıcita en (0, ∞) y tambi´en en (−∞, 0). Ejemplo 1.9. Muestre que para cualquier elecci´on de la constante c ≥ 0, la  √ dy = xy en funci´on y = ( x + c)2 es una soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on dx (0, ∞). √

dy = √x+c , la cual est´a definida para toda x > 0. Al Soluci´ on. Calculamos dx x sustituir en la ecuaci´on se tiene  √ √ x+c ( x + c)2 √ , = x x

la cual es una igualdad v´alida para toda x > 0. Definici´ on 1.3.2 (Soluci´ on impl´ıcita). Se dice que una relaci´on G(x, y) = 0 es una soluci´ on impl´ıcita de la ecuaci´on (1.9a) o (1.9b) en el intervalo I si define una o m´as soluciones expl´ıcitas en I. Ejemplo 1.10. Muestre que xy 2 − x3 y = 8 es una soluci´on impl´ıcita de dy 3x2 y−y 2 = en el intervalo (0, ∞). dx 2xy−y 3 7

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION √

x +32x Soluci´ on. Al despejar y se tiene y =√ x ± 2x , obteni´endose dos funcio√ 3 3 x + x6 +32x x − x6 +32x y φ2 (x) = en (0, ∞). La sustituci´on de la nes, φ1 (x) = 2x 2x funci´on φ1 (x) o φ2 (x) y su derivada es un poco tediosa, as´ı que se usar´a derivaci´on impl´ıcita. Al derivar impl´ıcitamente con respecto a x la ecuaci´on xy 2 − x3 y = 8 se tiene 3

y 2 + 2xy Al despejar

dy dx

6

dy dy − 3x2 y − x3 = 0. dx dx

se obtiene 3x2 y − y 2 dy = . dx 2xy − y 3

En muchos casos, no es posible despejar y en t´erminos de x. Sin embargo, para cada cambio en x se requiere un cambio en y, de modo que se espera que la relaci´on defina de manera impl´ıcita al menos una funci´on y(x). Esto es dif´ıcil de demostrar directamente, pero puede verificarse con rigor mediante el teorema de la funci´ on impl´ıcita del c´alculo avanzado, el cual garantiza la existencia de tal funci´on y(x) y que adem´as es diferenciable. Una vez que se sabe que y es una funci´on diferenciable de x, se puede usar la t´ecnica de derivaci´on impl´ıcita. Familia de soluciones. Al resolver una ecuaci´on diferencial de primer orden, F (x, y, y  ) = 0, por lo general se obtiene una soluci´on con una constante arbitraria, o par´ametro c. Una soluci´on con una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia uniparam´etrica de soluciones. Al resolver una ecuaci´on diferencial de orden n (1.9a) o (1.9b), se busca una familia n−param´etrica de soluciones y = φ(x, c1 , . . . , cn ) o G(x, y, c1 , . . . , cn ) = 0. Una soluci´on de una ecuaci´on diferencial que no tiene par´ametros arbitrarios se llama soluci´on particular. Ejemplo 1.11. Verificar que x2 +4y 2 = c, donde c ≥ 0 es una constante, proporciona una familia uniparam´etrica de soluciones impl´ıcitas de la ecuaci´on dy + x = 0 y graficar varias soluciones. 4y dx 8

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1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Soluci´ on. Al derivar impl´ıcitamente con respecto a x la expresi´on x2 +4y 2 = c dy dy se tiene 8y dx + 2x = 0, que es equivalente a 4y dx + x = 0. Algunas curvas se muestran en la figura 1.4. y

c=4

c=1

x

c=9

c = 16

Figura 1.4. Familia de curvas x2 + 4y 2 = c

Soluciones singulares. En algunos casos, una ecuaci´on diferencial tiene una soluci´on que no puede obtenerse particularizando alguno de los par´ametros en una familia de soluciones. Esa soluci´on se llama soluci´on singular . Ejemplo 1.12. Verifique que y = cx + c2 es una familia uniparam´etrica 2 de soluciones de la ecuaci´on y = xy  + (y  )2 . Muestre que y = − x4 es una soluci´on singular. Soluci´ on. Derivando y = cx + c2 se tiene y  = c. Al sustituir en la ecuaci´on diferencial se obtiene cx + c2 = xc + c2 , que es v´alida para toda x . y 1

x −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

−2 −3 −4

Figura 1.5. Curvas y = cx + c2 y soluci´on singular y = −

9

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x2 4

´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Ahora se deriva y = − x4 para obtener y  = − x2 . Al reemplazar en la ecuaci´on se tiene −x x2 x2 + , − =x 4 2 4 2

2

que es verdadera para toda x. Adem´as, y = − x4 no se puede obtener de la 2 familia de soluciones asignando alg´ un valor al par´ametro c. Luego, y = − x4 es una soluci´on singular, (ver figura 1.5).

Problema de valor inicial (PVI) Definici´ on 1.3.3. Un problema de valor inicial (PVI) consiste en: Resolver F (x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0 Sujeto a y(x0 ) = y0 , y  (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1

(1.10)

donde x0 ∈ I y y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes dadas. Ejemplo 1.13. Muestre que y = c1 ex + c2 e−2x es una familia de soluciones de y  + y  − 2y = 0. Halle una soluci´on particular que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 1, y  (0) = 2. Soluci´ on. Dejamos al lector la verificaci´on. Para hallar las constantes c1 y c2 , calculamos y  para obtener y  = c1 ex −2c2 e−2x . Al sustituir en las condiciones iniciales obtenemos el sistema de ecuaciones c1 + c2 = 1 c1 − 2c2 = 2. Al resolver este sistema se obtiene c1 = 43 , c2 = − 13 . Por lo tanto, la soluci´on del PVI es y(x) = 43 ex − 13 e−2x , gr´afica en l´ınea continua.

10

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1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

y 3

2 y= y=

−3

−2

1

4 x e 3

4 x e 3

− 13 e−2x

x

−1

1

2

3

−1 y = − 13 e−2x

Figura 1.6. Algunos miembros de la familia y = c1 ex + c2 e−2x

Teorema 1.3.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el problema de valor inicial dy = f (x, y); y(x0 ) = y0 , dx sup´ ongase que f (x, y) y ∂f (x, y) son funciones continuas en un rect´angulo ∂y R = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0 ). Entonces el problema de valor inicial tiene una u ´nica soluci´on φ(x) en alg´ un intervalo umero positivo, (Fig. 1.7). I tal que x0 − h < x < x0 + h, donde h es un n´ y d y = φ(x)

(x0 , y0 )

y0 c a

x0 − h

x0

x0 + h

b

Figura 1.7. Existencia y unicidad de soluciones

11

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x

´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Ejemplo 1.14. Para el problema de valor inicial  dy = 3x − 3 y − 1; dx

y(1) = 1,

¿implica el teorema (1.3.1) la existencia de una soluci´on u ´nica? Soluci´ on. En este caso, f (x, y) = 3x −

√ 3

y−1 y

dy dx

1 = −3√ 3 y−1 .

dy 1 = −√ a definida en y = 1. Por desgracia, dx 3 y−1 no es continua, ni siquiera est´ sean Luego, no hay un rect´angulo que contenga al punto (1, 1) donde f y ∂f ∂x continuas. Como no se cumplen las hip´otesis del teorema (1.3.1), no podemos usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una soluci´on u ´nica.

Ejemplo 1.15. Determine una regi´on R del plano xy para la cual la ecuaci´on diferencial y dy = (x − 1)e x−1 dx tenga una soluci´on u ´nica que pase por un punto (x0 , y0 ) en la regi´on. y

Soluci´ on. f (x, y) = (x − 1)e x−1 no est´a definida para x = 1 y tampoco lo est´a ∂f /∂y. Por lo tanto, el problema de valor inicial tendr´a soluci´on u ´nica para cualquier punto (x0 , y0 ) en una regi´on R tal que x0 < 1 o x0 > 1.

1.4

Ecuaci´ on diferencial de una familia de curvas

En esta secci´on se determinar´a una ecuaci´on diferencial para una familia n param´etrica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 para n = 1, 2, . . . , n. Empezamos con una familia uniparam´etrica F (x, y, c) = 0. 1. Dada una familia uniparam´etrica de curvas F (x, y, c) = 0, donde c es una constante, se puede determinar una ecuaci´on diferencial para dicha familia de cualquiera de las siguientes maneras: 12

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´ DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS 1.4. ECUACION

M´ etodo 1. Se deriva impl´ıcitamente la expresi´on F (x, y, c) = 0 con respecto a x, se despeja y  = dy/dx y se elimina la constante c para obtener y  = f (x, y) o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. M´ etodo 2. Se despeja la constante c en la forma G(x, y) = c y se usa la regla de derivaci´on impl´ıcita Gx dy =− o Gx dx + Gy dy = 0. (1.11) dx Gy En la figura 1.8 se muestran algunas curvas de la familia F (x, y, c) = 0 y una recta tangente a una de dichas curvas. Recu´erdese que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto P (x0 , y0 ) est´a dada por la dy  derivada m = .  dx (x0 ,y0 ) y

P

x

Figura 1.8. Familia de curvas F (x, y, c) = 0

Ejemplo 1.16. Encuentre una ecuaci´on diferencial para la familia de c´ırculos (x − h)2 + y 2 = h2 − 1, |h| ≥ 1. Soluci´ on. Despejando la constante se tiene x2 + y 2 + 1 = 2h. x Al usar la expresi´on dada por (1.11) y simplificar se obtiene la ecuaci´on diferencial de primer orden G(x, y) =

(x2 − y 2 − 1) dx + 2xy dy = 0. 13

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

y 3 2 1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

x

−1

1

2

3

4

5

6

−1 −2 −3

Figura 1.9. Familia (x − h)2 + y 2 = h2 − 1, |h| ≥ 1

2. Dada una familia n param´etrica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0, donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes, se deriva n veces y se eliminan todas las constantes para obtener una ecuaci´on diferencial de orden n. Ejemplo 1.17. Encuentre una ecuaci´on diferencial para la familia de curvas y = c1 e2x + c2 e−2x . Soluci´ on. Como hay dos constantes, derivamos dos veces y eliminamos las constantes. y = c1 e2x + c2 e−2x , y  = 2c1 e2x − 2c2 e−2x , y  = 4c1 e2x + 4c2 e−2x . Ahora procederemos a eliminar las constantes. y  + 2y = 4c1 e2x

(A)

y  + 2y  = 8c1 e2x

(B)

Restando dos veces la ecuaci´on (A) de la ecuaci´on (B) se obtiene y  − 4y = 0, que es la ecuaci´on diferencial para la familia de curvas. 14

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1.5. EJERCICIOS

1.5

Ejercicios

En los ejercicios 1 a 8, clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales como ordinaria (EDO), parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependientes. Si la ecuaci´on es ordinaria, indique si es lineal o no lineal. 1. 3

d2 x dx + 9x = 2 cos 3t, Vibraciones mec´anicas + 4 dt2 dt

2.

d2 y dy − 2x + 2y = 0, Ecuaci´on de Hermite 2 dx dx

3.

y(2 − 3x) dy = , Especies en competencia dx x(1 − 3y)

4.

∂ 2u ∂ 2u + = 0, Ecuaci´on de Laplace ∂x2 ∂y 2

5.

dx = (a − x)(b − x), Reacciones qu´ımicas dt

6. 7. 8.

√

1−y

d2 y dy = 0, Ecuaci´on de Kidder + 2x dx2 dx

∂N ∂ 2N 1 ∂N = + kN , Fisi´on nuclear + 2 ∂t ∂t r ∂r d2 y dy − 0.1(1 − y 2 ) + 9y = 0, Ecuaci´on de Van der Pol 2 dx dx En los ejercicios 9 y 10, escriba una ecuaci´on diferencial que se ajuste a la descripci´on f´ısica.

9. La raz´on de cambio de la poblaci´on N de bacterias en el instante t es proporcional a la poblaci´on en el instante t. 10. La raz´on de cambio en la temperatura T del caf´e en el instante t es proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura del caf´e en el instante t. 15

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

11. Alison y Kevin participan en una carrera de “piques”. Parten del reposo y luego aceleran a una raz´on constante. Kevin cubre la u ´ltima cuarta parte del recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la u ´ ltima tercera parte de la distancia en 4 segundos. ¿Qui´en gana la carrera y por cu´anto tiempo? 12. Muestre que φ(x) = x|x| es una soluci´on expl´ıcita de (−∞, ∞).

dy dx

 = 2 |y| en

13. Muestre que φ(x) = ex − x es una soluci´on expl´ıcita en (−∞, ∞) de la dy + y 2 = e2x + (1 − 2x)ex + x2 − 1. ecuaci´on diferencial dx   14. Muestre que xy 3 − xy 3 sen x = 1 es una soluci´on impl´ıcita en 0, π2 de la x+sen x−1)y dy = (x cos ecuaci´on dx 3x(1−sen x) En los ejercicios 15 a 18, determine si la funci´on o relaci´on es una soluci´on expl´ıcita o impl´ıcita de la ecuaci´on dada. d2 y + y = x2 + 2 dx2

15. y = sen x + x2 ; 16. e

xy

e−xy − y dy = −xy dx e +y

+ y = x − 1;

17. y − ln y = x2 + 1; 18. x = 2e3t − e2t ,

2xy dy = dx y−1

d2 x dx + 3x = e2t − 4 2 dt dt

19. Verifique que x2 + cy 2 = 1, donde c es una constante no nula, es una dy = x2xy−1 y grafique familia uniparam´etrica de soluciones impl´ıcitas de dx varias curvas soluci´on usando los mismos ejes. 20. Si c > 0 demuestre que la funci´on φ(x) = (c2 − x2 )−1 es una soluci´on del dy = 2xy 2 , y(0) = c12 en (−c, c). Analice esta problema de valor inicial dx soluci´on cuando x tiende a ±c. 16

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1.5. EJERCICIOS

21. Muestre que la ecuaci´on reales.

 dy 2 dx

+ y 2 + 3 = 0 no tiene soluci´on con valores

22. Determine los valores de m para los cuales la funci´on φ(x) = emx es una d2 y dy soluci´on de la ecuaci´on dx 2 + 6 dx + 5y = 0. 23. Determine los valores de m para los cuales la funci´on φ(x) = xm es una dy d2 y soluci´on de la ecuaci´on x2 dx 2 − x dx − 3y = 0. 2

d y dy 24. Verifique que φ(x) = c1 ex + c2 e−2x es una soluci´on de dx 2 + dx − 2y = 0 para cualquier elecci´on de las constantes c1 y c2 . Determine de c1 y c2 de modo que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 2, y  (0) = 1. dy = 3y 2/3 , y(2) = 0, muestre que 25. Para el problema de valor inicial dx φ1 (x) = 0 y φ2 (x) = (x − 2)3 son soluciones. Explique por qu´e esto no contradice el Teorema 1.3.1, p´agina 11.

26. El movimiento de un conjunto de part´ıculas a lo largo del eje x est´a dado por dx/dt = t3 − x3 , donde x(t) denota la posici´on de la part´ıcula en el instante t. a) Si una part´ıcula est´a en x = 1 cuando t = 2, ¿cu´al es su velocidad en ese instante? b) Muestre que la aceleraci´on de una part´ıcula est´a dada por d2 x = 3t2 − 3t3 x2 + 3x5 . dt2 c) Si una part´ıcula est´a en x = 2 cuando t = 2.5, ¿puede llegar a la posici´on x = 1 en un instante posterior? 27. Muestre que la ecuaci´on diferencial |y  | − 1 = 0 no tiene una familia uniparam´etrica de soluciones en (−∞, ∞). 28. Considere la ecuaci´on diferencial y  = 1 + y 2 . a) Halle una regi´on R del plano xy, para la cual la ecuaci´on diferencial tenga soluci´on u ´nica que pase por un punto (x0 , y0 ) en R. 17

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´ A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

b) Muestre que y = tan x satisface el PVI y  = 1 + y 2 , y(0) = 0; pero explique por qu´e no es soluci´on del problema de valor inicial y  = 1 + y 2 , y(0) = 0 en el intervalo (−2, 2). c) Determine el mayor intervalo I de validez, para el que y = tan x sea soluci´on del problema de valor inicial en la parte b). 29. Muestre que y = diferencial singular.

dy dx

2(1+c1 e4x ) 1−c1 e4x 2

es una familia de soluciones de la ecuaci´on

= y − 4. Mediante simple inspecci´on, halle una soluci´on

30. Determine una ecuaci´on diferencial para cada una de las familias de curvas. Dibuje algunas curvas para los casos c) y d). a) x2 + (y − k)2 = k 2 + 1

c) y = c1 e2x + c2 e−x

b) x2 − 2kxy + y 2 = 4

d ) y = c1 x2 + c2 x2 ln x

y

y

4

4

k>0

3

k>0

3

1

1

=

2

k

2

0

x −4

−3

−2

−1 −1

1

2

3

x −5

−4

−3

−2

−1 −1

−2

2

3

−2

−3

−3

k q2 V, q1 = q2 V, q1 < q2

V0

3. q1 < q2 . El volumen disminuye El volumen en el tanque est´a dado por V = V0 + (Δq) t, donde Δq = q1 − q2 .

x(t) x(0) = x0

Ejemplo 2.6 (Mezclas). Un tanque con capacidad de 400 litros contiene inicialmente 200 litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos de sal disueltos. Le entra una soluci´on con 1 gramo de sal por litro a una tasa de 4 l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante agitaci´on y de ´el sale a una tasa de 2 l/min. Calcule la cantidad de gramos de sal en el tanque al momento de desbordarse. Soluci´ on. Sea A(t) la cantidad de sal (en gramos) en el tanque en cualquier momento t antes de desbordarse. La rapidez con que cambia A(t) es: dA = R 1 − R2 , dt donde, R1 = (4l/min)(1gr/l) = 4gr/min; R2 = (2l/min)(A gr/min) = 2A/V gr/min, 26

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2.3. ECUACIONES EXACTAS

donde V es el volumen del tanque en el instante t. Como al tanque le entran 4 l/min y le salen 2 l/min, hay una ganancia neta de 2 l/min. Luego, el tiempo que tarda en llenarse el tanque es tf =

200 Diferencia de volumen = min = 100 min. Ganancia neta en el flujo 2

Pero V = V (t) = 200 + 2t = 2(100 + t), luego R2 =

A . t + 100

Al sustitur R1 y R2 se obtiene el siguiente PVI A dA =4− ; dt t + 100

A(0) = 30.

Resolviendo por ecuaciones lineales se tiene A(t) = 2(t + 100) +

C , 0 ≤ t ≤ 100. t + 100

La condici´on inicial da C = −17000. Por lo tanto, la soluci´on al PVI es A(t) = 2(t + 100) −

17000 . t + 100

La cantidad de sal al momento de desbordarse es A(100) = 315 gramos.

2.3

Ecuaciones exactas

Recordemos que si z = F (x, y) es una funci´on de dos variables que tiene primeras derivadas parciales en una regi´on R del plano xy, la diferencial total de F es ∂F ∂F dx + dy dz = ∂x ∂y Sabemos que la gr´afica de z = F (x, y) es una superficie y z = C, donde C es una constante, representa una curva de nivel para aquellos valores en que est´e definida z = C. En realidad, tenemos una familia de curvas en las cuales 27

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

dz = 0, de donde podemos hallar la pendiente a dichas curvas en cualquier punto Fx dy = f (x, y) = − dx Fy pero esta es una ecuaci´on diferencial de primer orden, la cual puede escribirse en la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.9) llamada forma diferencial. Ahora, si el lado izquierdo de (2.9) se puede identificar con una diferencial total ∂F ∂F dx + dy = dF (x, y) M (x, y)dx + N (x, y)dy = ∂x ∂y entonces sus soluciones est´an dadas (de manera impl´ıcita) por las curvas de nivel F (x, y) = C para una constante “arbitraria” C. A continuaci´on se dan algunas diferenciales usadas frecuentemente.

 xdy − ydx x = 1. d(xy) = ydx + xdy 2. d y x2



ydx − xdy ydx − xdy y x = = 3. d 4. d tan−1 2 x x2 + y 2  y

y xdy − ydx x = 5. d tan−1 y x2 + y 2 Ejemplo 2.7. Resolver la ecuaci´on diferencial 2xy 2 + 1 dy =− . dx 2x2 y Soluci´ on. Algunas de las opciones diferenciales que corresponden a esta ecuaci´on son (2xy 2 + 1)dx + 2x2 ydy = 0 28

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2.3. ECUACIONES EXACTAS

2xy 2 + 1 dx + dy = 0 2x2 y 2x2 y dx + dx = 0 2xy 2 + 1 De todas estas opciones, la primera forma es mejor, pues es una diferencial total de la funci´on F (x, y) = x2 y 2 + x. en efecto, (2xy 2 + 1)dx + 2x2 ydy = d(x2 y 2 + x)   ∂  2 2 ∂  2 2 x y + x dx + x y + x dy. = ∂x y De este modo, las soluciones est´an dadas de manera impl´ıcia por la f´ormula x2 y 2 + x = C. Ejemplo 2.8. Resuelva 



y x 2 3 dx + x + 2y − 2 dy = 0 3x y + 2 x + y2 x + y2 Soluci´ on. El lado izquierdo de la ecuaci´on se puede reacomodar de la siguiente forma ydx − xdy 3x2 ydx + (x3 + 2y)dy + , x2 + y 2 el cual se puede ver como la suma de dos diferenciales totales 

 3  2 −1 x . d x y + y + d tan y As´ı, las soluciones est´an dadas de manera impl´ıcita por

 x 3 2 −1 x y + y + tan = C. y Definici´ on 2.3.1. La forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy es exacta en un rect´angulo R si existe una funci´on F (x, y) tal que ∂F (x, y) = M (x, y) ∂x 29

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(2.10a)

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

∂F (x, y) = N (x, y) ∂y

(2.10b)

para toda (x, y) ∈ R. Es decir, la diferencial de F satisface dF (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy. Si M (x, y)dx+N (x, y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuaci´on M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuaci´ on exacta. Como es de esperarse, en las aplicaciones es poco usual que una ecuaci´on diferencial est´e en la forma diferencial exacta. Para identificar este tipo de ecuaciones se requiere de • un criterio para determinar si una forma diferencial M dx + N dy es exacta, y en tal caso • un procedimiento para determinar la funci´on F (x, y). El criterio de exactitud surge de la siguiente observaci´on. Si M (x, y)dx + N (x, y)dy =

∂F ∂F dx + dy, ∂x ∂y

entonces el teorema del c´alculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales mixtas continuas ∂ 2F ∂ 2F = ∂y∂x ∂x∂y indica una condici´on de compatibilidad sobre las funciones M y N . El siguiente teorema indica que la condici´on de compatibilidad es tambi´en suficiente para que una ecuaci´on sea exacta. Teorema 2.3.1. Suponga que las primeras derivadas parciales de M (x, y) y N (x, y) son iguales en un rect´angulo R. Entonces M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 30

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(2.11)

2.3. ECUACIONES EXACTAS

es exacta si y s´olo si la condici´on de compatibilidad ∂N ∂M (x, y) = (x, y) ∂y ∂x

(2.12)

se cumple para toda (x, y) en R. A continuaci´on se describe el m´etodo de soluci´on el cual hace parte de la demostraci´on del teorema 2.3.1 M´ etodo de soluci´ on. (a) Si (2.11) es exacta, en virtud de (2.10a), existe una funci´on F tal que ∂F = M (x, y). ∂x Para determinar F se puede integrar con respecto a x para obtener  F (x, y) = M (x, y)dx + g(y). (2.13) (b) Para determinar g(y) calcule la derivada parcial con respecto de y en ∂F ambos lados de (2.13) y sustituya N por (por (2.10b)) y despeje ∂x  g (y). (c) Integre g  (y) para obtener g(y) sin constante num´erica. Al sustituir g(y) en (2.13) se obtiene F (x, y). (d) Una familia de soluciones de (2.11) est´a dada por F (x, y) = C. En forma alternativa, partiendo de ∂F/∂x = N (x, y), la soluci´on impl´ıcita se puede obtener integrando primero con respecto a y. Ejemplo 2.9. Resolver (yexy + 2x)dx + (xexy − 2y)dy = 0 31

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Soluci´ on. En este caso, M (x, y) = yexy + 2x

(∗)

N (x, y) = xexy − 2y.

(∗∗)

Como

∂N ∂M = xyexy = , d∂y ∂x la ecuaci´on es exacta. Integrando con respecto a x la ecuaci´on (∗) se tiene  F (x, y) = (yexy + 2x)dx = exy + x2 + g(y). Derivando con respecto a y esta u ´ltima expresi´on y usando la ecuaci´on (∗∗) se tiene xyexy + g  (y) = xexy − 2y, de donde g  (y) = −2y. Luego, g(y) = −y 2 . Por lo tanto, F (x, y) = exy + x2 − y 2 y una familia de soluciones de la ecuaci´on est´a dada de manera impl´ıcita por exy + x2 − y 2 = C.

2.4

Factores integrantes especiales

Retomando la ecuaci´on diferencial lineal en forma normal dy + p(x)y = q(x) dx y escribi´endola en la forma diferencial [p(x)y − q(x)] dx + dy = 0,

(2.14)

= p(x) = 0 = ∂N , entonces M (x, y) = p(x)y − q(x) y N (x, y) = 1. Como ∂M ∂y ∂x la ecuaci´on (2.14) no es exacta. Ahora multiplicamos por un factor μ(x) la Ec. (2.14) de modo que la ecuaci´on resultante sea exacta μ(x) [p(x)y − q(x)] dx + μ(x)dy = 0 32

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2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES

y la condici´on de compatibilidad implica μ(x)p(x) = μ (x), de donde se obtiene el factor integrante μ(x) = e



p(x)dx

.

Definici´ on 2.4.1. Si la ecuaci´on en forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(2.15)

μ(x, y)M (x, y)dx + μ(x, y)N (x, y)dy = 0

(2.16)

no es exacta, pero

es exacta, se dice que μ(x, y) es un factor integrante de la Ec. (2.15) Ejemplo 2.10. Muestre que μ(x, y) = x12 y es un factor integrante de la ecuaci´on −y 2 dx + (x2 + xy)dy = 0 y resuelva la ecuaci´on resultante. Soluci´ on. Sean M (x, y) = −y 2 y N (x, y) = x2 + xy = x(x + y). Como ∂M/∂y = −2y = ∂N/∂x = 2x + y, la ecuaci´on no es exacta. al multiplicar por μ(x, y) =

y − 2 dx + x



1 1 + x y

1 x2 y

se obtiene

 dx = 0.

Para esta ecuaci´on se tiene P (x, y) = − xy2 y Q(x, y) = x1 + y1 . Como ∂P = − x12 = ∂Q , la nueva ecuaci´on es exacta. Luego, existe una funci´on ∂y ∂x F (x, y) tal que y 1 1 ∂Q ∂F =− 2 y = + . ∂x x ∂y x y 33

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Luego,

 F (x, y) = −

y y dx = + g(y). 2 x x

Al derivar con respecto a y e igualar con Q(x, y) = 1 1 1 + g  (y) = + x x y

o

1 x

+

g  (y) =

1 y

se tiene

1 y

Integrando, salvo constantes, se tiene g(y) = ln y. Por lo tanto, una famila de soluciones impl´ıcitas est´a dada por y + ln y = C. x

¿C´ omo hallar un factor integrante? Caso I: μ(x, y) = xn y m , donde n y m se encuentran usando (2.12) aplicada a P = μM y Q = μN . Ejemplo 2.11. Encuentre un factor integrante de la forma μ(x, y) = xn y m y resuelva la ecuaci´on diferencial resultante si (xy + y 2 ) dx − x2 dy = 0. Soluci´ on. Se tiene que M (x, y) = xy + y 2 y N (x, y) = −x2 . La ecuaci´on diferencial no es exacta porque My = x + 2y = Nx = −2x. Ahora, sean P (x, y) = μM = xn y m (xy + y 2 ) = xn+1 y m+1 + xn y m+2 Q(x, y) = μN = xn y m (−x2 ) = −xn+2 y m Luego Py = (m + 1)xn+1 y m + (m + 2)xn y m+1 Qx = −(n + 2)xn+1 y m La condici´on de compatibilidad implica que −(n + 2)xn+1 y m = (m + 1)xn+1 y m + (m + 2)xn y m+1 . 34

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2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES

Al igualar coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones lineales −(n + 2) = m + 1

Coeficientes de xn+1 y m : n m+1

Coeficientes de x y

:

0=m+2

cuya soluci´on es n = −1, m = −2. Se deja como ejercicio para el lector resolver la ecuaci´on diferencial resultante. Caso II: Ahora consideramos el caso general. Si μ(x, y) es un factor integrante de la ecuaci´on (2.15) con primeras derivadas parciales continuas, para verificar la exactitud de la ecuaci´on (2.16) se debe tener ∂ ∂ (μ(x, y)M (x, y)) = (μ(x, y)N (x, y)) ∂y ∂x ∂μ ∂M ∂μ ∂N M +μ =N +μ . ∂y ∂y ∂x ∂x Es decir, ∂μ ∂μ −M = N ∂x ∂y



∂N ∂M − ∂x ∂y

 μ.

(2.17)

Resulta que para encontrar un factor integrante de la ecuaci´on (2.12) tenemos que resolver una ecuaci´on en derivadas parciales, que en general es m´as dif´ıcil. Como el caso general es un problema dif´ıcil, consideraremos la siguiente sustituci´on μ = μ(z), z = h(x, y) para alguna funci´on h dada. Para hallar dicho factor integrante, se usa la condici´on (2.12) y la regla de la cadena: dμ ∂z ∂μ = ∂x dz ∂x dμ ∂z ∂μ μy = = ∂y dz ∂y

μx =

35

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(2.18a) (2.18b)

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Al reemplazar (2.18a) y (2.18b) en (2.17) y despejar

N

dμ , se obtiene μ

dμ dμ zx − M zy = (My − Nx )μ dz dz dμ My − Nx = R(z) dz donde R(z) = , z = h(x, y). μ zx N − zy M

As´ı, un factor integrante para (2.12) tiene la forma μ(z) = e



R(z)dz

donde R(z) =

My − N x , z = h(x, y) zx N − zy M

Algunos casos especiales para z son: (i) z = x, (ii) z = y, (iii) z = x + y, (iv) z = x − y, (v) z = ax + by, a = 0 o b = 0, (vi) z = xy, (vi) z = x2 + y 2 , (vii) z = x2 − y 2 y (viii) z = ax2 + by 2 , a = 0 o b = 0. A continuaci´on se consideran los casos especiales (i) – (iii). (i) μ = μ(z), z = x; μ depende s´olo de x. En este caso zx = 1, zy = 0. As´ı, μ(z) = μ(x) = e



R(x)dx

;

donde

R(x) =

My − Nx . N

(ii) μ = μ(z), z = y; μ depende s´olo de x. En este caso zx = 0, zy = 1. As´ı,  My − Nx . μ(z) = μ(y) = e R(y)dy ; donde R(x) = −M (iii) μ = μ(z), z = x + y. En este caso, zx = 1, zy = 1. As´ı, μ(z) = e



R(z) dz

;

donde

R(z) =

Los casos que restan se proponen como ejercicio. 36

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My − Nx . N −M

2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES

Ejemplo 2.12. Resuelva (x2 +2xy −y 2 )dx+(y 2 +2xy −x2 )dy = 0 encontrando un factor integrante de la forma μ = μ(z), z = h(x, y). Soluci´ on. Se tiene M (x, y) = x2 + 2xy − y 2

y

N (x, y) = y 2 + 2xy − x2 .

La ecuaci´on no es exacta, puesto que ∂N ∂M = 2x − 2y = 2y − 2x = . ∂y ∂x Ahora

∂N ∂M − = 4x − 4y = 4(x − y). ∂y ∂x

Es claro que Ahora,

∂M/∂y−∂N/∂x N

no depende de x, ni

∂N/∂x−∂M/∂y M

depende de y.

−4(x − y) −4(x − y) ∂M/∂y − ∂N/∂x = = −2(x + y)−1 = G(z), = 2 2 M −N 2x − y 2(x − y)(x + y) el cual depende de z = x + y. Un factor integrante es μ(z) = e



G(z)dx

= e−2



zdz

= e−2 ln z = z −2 = (x + y)−2 .

Al multiplicar la ecuaci´on por este factor se obtiene y 2 + 2xy − y 2 x2 + 2xy − y 2 dx + dy = 0, (x + y)2 (x + y)2 la cual ahora es exacta. Luego, x2 + 2xy − y 2 ∂F = ∂x (x + y)2 y 2 + 2xy − x2 ∂F = ∂y (x + y)2 Integrando parcialmente con respecto a x la ecuaci´on () se tiene  

 2 2y 2 x + 2xy − y 2 dx dx = 1− F (x, y) = (x + y)2 (x + y)2 37

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() ()

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

=x+

2y 2 + g(y). (x + y)

Derivando con respecto a y y usando la ecuaci´on () se tiene y 2 + 2xy − x2 2y 2 + 4xy  + g (y) = , (x + y)2 (x + y)2 de donde g  (y) = −1. Integrando, salvo constantes, se obtiene g(y) = −y. Luego, 2y 2 x2 + y 2 F (x, y) = x + . −y = (x + y)2 x+y Por lo tanto, una familia de soluciones est´a dada de manera impl´ıcita por x2 + y 2 = C. x+y Observaci´ on. En el proceso de multiplicar por un factor integrante, puede ocurrir que se pierdan o ganen soluciones. En el Ejemplo (2.10), Sec. (2.4), y = 0 es una soluci´on de la ecuaci´on original que se perdi´o al multiplicar por el factor integrante μ(x, y) = x12 y .

2.5

Transformaciones y sustituciones

Puede ocurrir, y con mucha frecuencia, que la ecuaci´on (2.11) no sea separable, ni lineal, ni exacta, por lo que los m´etodos estudiados hasta ahora no funcionan, pero se podr´ıa transformar, mediante alg´ un procedimiento, en una ecuaci´on que se pueda resolver. Esto es lo que se ha hecho en las dos secciones precedentes cuando se utiliza un factor integrante para resolver una ecuaci´on lineal o para transformar una ecuaci´on no exacta en una exacta. En esta secci´on, se consideran algunas transformaciones o sustituciones que permiten llevar una ecuaci´on a una separable o a una lineal. Por ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuaci´on diferencial dy/dx = f (x, y) con la sustituci´on y = g(x, u), donde u se considera como funci´on de x. Si 38

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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES

g tiene primeras derivadas parciales, entonces, por la regla de la cadena se tiene ∂g ∂g du dy = (x, u) + (x, u) . dx ∂x ∂u dx Al sustituir dy/dx, teniendo en cuenta que y = g(x, u) se tiene ∂g du ∂g (x, u) + (x, u) = f (x, g(x, u)), ∂x ∂u dx la cual se puede escribir como du = h(x, u) dx Si es posible encontrar una soluci´on u = φ(x) de esta nueva ecuaci´on, entonces una soluci´on de la ecuaci´on original es y = f (x, φ(x)). De manera similar se puede encontrar una soluci´on en la forma x = F (ϕ(y), y) para una ecuaci´on dx/dy = F (x, y). Ejemplo 2.13. Resolver la ecuaci´on y 2y dy = + x tan 2 dx x x mediante la sustituci´on y = x2 u. Sol Sea y = x2 u. Por la regla de la cadena, d 2 ∂ 2 ∂ 2 du dy = (x u) = (x u) + (x u) = 2xu + x2 . dx dx ∂x ∂u dx Luego, du = 2xu + x tan u o dx Al separar variables e integrar se tiene   du dx = tan u x 2xu + x2

x

du = tan u. dx

ln(sen u) = ln(cx) sen u = cx, Al reemplazar u = y/x2 y despejar se tiene y = x2 sen−1 (cx). 39

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones con coeficientes homog´ eneos Cuando una funci´on f tiene la propiedad f (tx, tx) = tα f (x, y), para alg´ un n´ umero real α, se dice que f es una funci´on homog´enea de grado α. Ejemplo 2.14. f (x, y) = f (tx, ty) =

√

x + y es homog´enea de grado

1 2

pues

√ √ tx + ty = t1/2 x + y = t1/2 f (x, y).

Definici´ on 2.5.1. La ecuaci´on diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(2.19)

es homog´enea si M y N son funciones homog´eneas del mismo grado. Ejemplo 2.15. La ecuaci´on x

 dy = y + x2 + y 2 dx

es una ecuaci´on homog´enea. Una forma alternativa para determinar si una ecuaci´on diferencial de primer orden es homog´enea, es escribirla en la forma dy/dx = f (x, y) y expresar f (x, y) como una funci´on del cociente y/x o x/y. Es decir, f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Cuando esto ocurre se dice que (2.19) es homog´enea. La sustituci´on y = ux o x = vy transforma a (2.19) en una ecuaci´on separable. En efecto, sea y = ux, entonces du dy =u+x dx dx Al sustituir dy/dx, y = ux se obtiene u+x

du = f (x, ux) = x0 f (1, u), dx

que se puede escribir como x

du = F (u), dx

F (u) = f (1, u) − u,

con 40

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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES

la cual es separable. Al separar variables e integrar se tiene  du = ln(cx) F (u) De manera similar, x = vy transforma la ecuaci´on dx/dy = g(x, y) en y

dv = G(v), dy

G(v) = g(v, 1) − v.

con

dy = xy; y(−1) = 1. Ejemplo 2.16. Resuelva el PVI (x2 + 2y 2 ) dx

Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´on en forma est´andar se tiene x2 + 2y 2 x 2y dx = = + dy xy y x Al hacer la sustituci´on x = vy, v+y

dv dx =v+y , dy dy

2 dv =v+ dy v

o

y

dv 2 = dy v

Al separar variables e integrar se tiene   2dy vdv = y 2 v = 2 ln y + C. 2 Regresando a las variables originales se tiene que x2 = 4 ln y + 2C. y2 Usando la condici´on inicial y(−1) = 1 nos da 1 = 4 ln 1 + 2C , de donde 2C = 1. Despejando x, teniendo en cuenta que x < 0, y > 0 por la condici´on inicial, se obtiene  x = −y 4 ln y + 1, la cual es v´alida para y > e−1/4 . 41

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ecuaci´ on de Bernoulli Una ecuaci´on de la forma dy + p(x)y = f (x)y n dx

(2.20)

es una ecuaci´on de Bernoulli. Cuando n = 1, la ecuaci´on (2.20) es separable, mientras que si n = 0, la Ec. (2.20) es lineal. Si n = 0 y n = 1, la sustituci´on z = y 1−n transforma la Ec. (2.20) en una ecuaci´on lineal. Al derivar con respecto a x y usando regla de la cadena se tiene dz dy = (1 − n)y −n dx dx Multiplicando en ambos lados de (2.20) por (1 − n)y −n se tiene (1 − n)y −n Al sustituir

dz dx

dy + (1 − n)p(x)y −n = (1 − n)f (x). dx

(2.21)

dy por (1 − n) dx y z por y 1−n en (2.21) se tiene

dz + (1 − n)p(x)z = (1 − n)f (x), dx la cual es una ecuaci´on lineal. dy + y = x4 y 2 . Ejemplo 2.17. Resuelva la ecuaci´on x dx

Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´on es forma est´andar dy y + = x3 y 2 , dx x

(2.22)

vemos que es una ecuaci´on de Bernoulli con p(x) = 1/x, f (x) = x3 y n = 2. Sean z = y 1−2 = y −1 , (2.22) se tiene

dz dx

dy = −y −2 dy . Multiplicando por −y −2 la ecuaci´on

−y −2

dy y −2 − = −x3 dy x 42

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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES

z dz − = −x3 dx x La u ´ltima ecuaci´on es lineal, dejamos al lector los detalles para encontrar la soluci´on 3 . y= C1 − x4

Ecuaciones de la forma

dy = G(ax + by), b = 0 dx

En este caso, la sustituci´on z = ax + by, dz/dz = a − bdy/dx transforma la ecuaci´on en una separable. Al sustituir en la ecuaci´on y simplificar se obtiene dz = a + bG(z) dx Ejemplo 2.18. Resolver

dy dx

= sen2 (x − y)

Soluci´ on. Sea z = x − y , entonces dy dz =1− dx dx

´o

dy dz =1− . dx dx

Al sustituir en la ecuaci´on y reacomodar se tiene dz = 1 − sen2 z = cos2 z. dx Seaparando variables, integrando y despejando y se tiene y = x − tan−1 (x + C).

Ecuaciones con coeficientes lineales En este apartado consideramos ecuaciones de la forma (a1 x + b1 y + c1 )dx + (a2 x + b2 y + c2 )dy = 0

con a1 b2 = a2 b1 .

(2.23)

Si c1 = c2 = 0 , la Ec. (2.23) es homog´enea. Si c1 = c2 , se busca una traslaci´on de ejes x = u + h, y = v + k, 43

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

de modo que a1 x + b1 y + c1 y a2 x + b2 y + c2 se transformen en a1 u + b1 v y a1 u + b1 v respectivamente. Para hallar tal transformaci´on se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales a1 h + b1 k + c1 = 0 a 2 h + b2 k + c 2 = 0

(2.24)

El sistema (2.24) tiene soluci´on u ´nica puesto que a1 b2 = a2 b1 . Ejemplo 2.19. Resolver (2x + y + 4)dx + (x − 2y + 2)dy = 0. Soluci´ on. Se tiene que 2 · (−2) = 1 · 1. Sean x = u + h, y = v + k, donde h y k se hallan resolviendo el sistema 2h + k + 4 = 0 h − 2k + 2 = 2 La soluci´on es h = −2, k = 0. Al sustituir x = u − 2, y = v se tiene (2u + v)du + (u − 2v)dv = 0 2v − u 2 − u/v du = = dv v + 2u 1 + 2u/v La sustituci´on u = vz, du/dv = z + vdz/dv transoforma la ecuaci´on en z+

2−z dz = . dv 1 − 2z

Al separar variables, integrar, recuperar variables y simplicar se tiene (x + 2)2 + (x + 2)y − y 2 = C.

2.6

Trayectorias ortogonales y oblicuas

En esta secci´on se estudian las trayectorias ortogonales y oblicuas a una familia de curvas dadas F (x, y, c) = 0, donde c es una constante. 44

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2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS

Definici´ on 2.6.1 (Trayectorias ortogonales). Dos familias uniparam´etricas de curvas C1 : F (x, y, c1 ) = 0 y C2 : G(x, y, c2 ) = 0 son ortogonales si todas las curvas de C1 cortan perpendicularmente a todas las curvas de C2 . Recordemos: si m1 es la pendiente de la recta L1 y m2 es la pendiente de la recta L2 , y L1 y L2 son perpendiculares, ver figura 2.2, entonces m1 m2 = −1. y



F (x, y, c1 ) = 0

G(x, y, c2 ) = 0 x

Figura 2.2. Trayectorias ortogonales

Asi, si m1 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la familia C1 y m2 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la familia C2 en los puntos de corte con la familia C1 , entonces dy dx

C2

=−

dx dy

C1

Para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparam´etrica F (x, y, c1 ) = 0 se procede de la siguiente manera: 1. Se halla la ecuaci´on diferencial para la familia dada C1 , para obtener dy = f (x, y) dx 2. A continuaci´on se resuelve la ecuaci´on diferencial de la familia C2 . 1 dy =− dx f (x, y) 45

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ejemplo 2.20. Determine las trayectorias ortogonales para la familia de curvas x2 + 4y 2 = c21 . Soluci´ on. Primero encontramos la ecuaci´on diferencial para la familia dada 2 C1 : x + 4y 2 = c21 . Tomando diferenciales totales se tiene d(x2 + 4y 2 ) = d(c21 ) 2xdx + 4ydy = 0. De ah´ı se obtiene

x dy =− dx 4y La ecuaci´on diferencial para la familia ortogonal es 4y dy = . dx x Al separar variables e integrar se obtiene la familia y = c2 x4 .

En la figura 2.3 se muestran varios miembros de la familia dada y de la familia ortogonal. y y = c 2 x4 , c2 > 0 x2 + 4y 2 = c21 x

y = c2 x4 , c2 < 0

Figura 2.3. Trayectorias ortogonales del ejemplo 2.20

Nota. En un campo electrost´atico, las l´ıneas de fuerza son ortogonales a las l´ıneas de potencial constante. 46

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2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS

Definici´ on 2.6.2 (Trayectorias obl´ıcuas). Dos familias uniparam´etricas de curvas C1 : F (x, y, c1 ) = 0 y C2 : G(x, y, c2 ) = 0 son oblicuas o isogonales si todas las curvas de C1 se cortan formando un a´ngulo φ = π/2, con todas las curvas de C2 . y tan α = −

Fx Fy

tan β = −

Gx Gy

F (x, y, c1 ) = 0

G(x, y, c2 ) = 0 φ α

β

x

Figura 2.4. Trayectorias oblicuas

Si F (x, y, c1 ) = 0 es la familia dada, entonces la pendiente a sus rectas tangentes es m1 = tan α = f (x, y) y las pendientes de las curvas buscadas es m2 = tan β. De la figura 2.4, β + φ = α. Luego, tan β = tan(α − φ) =

f (x, y) − tan φ tan α − tan φ = 1 + tan α tan φ 1 + tan φf (x, y)

Por lo tanto, una ecuaci´on diferencial para una familia de trayectorias oblicuas es f (x, y) − tan φ dy = . (2.25) dx 1 + tan φf (x, y) Ejemplo 2.21. Determine la familia oblicua con a´ngulo de 45◦ a la familia y = c1 x2 , c1 = 0. Soluci´ on. En primer lugar determinamos la ecuaci´on diferencial de la familia dada. Al derivar se tiene dy = 2c1 x. dx 47

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Al eliminar la constante c1 se obtiene 2y dy = = f (x, y). dx x Sustituyendo en (2.25) se obtiene la ecuaci´on diferencial de la familia buscada 2y − x dy = , dx x + 2y la cual es de coeficientes homog´eneos. Usando la sustituci´on y = ux, se tiene du 2ux − x 2u − 1 = = dx x + 2ux 1 + 2u 2 u − 1 − 2u du = x dx 1 + 2u

u+x

Al separar variables e integrar se obtiene

√ ln(2u2 − u + 1) + √67 arctan 4u−1 = −2 ln |x| + c2 . 7 Al reemplazar u = y/x y simplificar se llega a   ln 2y 2 − xy + x2 +

2.7

√6 7

arctan

4y−x √ 7x

= c2 .

Ecuaci´ on diferencial de primer orden en coordenadas polares

En muchas ocasiones puede resultar m´as conveniente trabajar en coordenadas polares debido a las condiciones del problema o a la forma de la ecuaci´on de una familia de curvas. Las cordenadas polares de un punto P del plano est´an dadas por x = r cos θ, y = r sen θ, donde r es el radio polar y θ es el ´angulo polar. 48

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(2.26)

´ DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN EN COORDENADAS POLARES 2.7. ECUACION

y F (x, y, c0 ) = 0 ψ =α−θ α

R

io ad

po

lar

P

θ

x

Figura 2.5. Un miembro de F (x, y, c) = 0 y la recta tangente en P

Sea F (x, y, c) = 0 una familia de curvas en coordenadas cartesianas. Fijando un valor de c y haciendo el cambio a coordendas polares dadas por (2.26), se obtiene una nueva expresi´on de la forma H(r, θ, c) = F (r cos θ, r sen θ, c) = 0. Si F (x, y, c) = 0 define impl´ıcitamente a y como funci´on de x, y = φ(x), en un entorno de los puntos P donde Fy = 0, entonces H(r, θ, c) = 0 tambi´en define impl´ıcitamente a r como una funci´on de θ, r = f (θ), en una vecindad de aquellos puntos en donde Hr = 0. Derivando impl´ıcitamente y aplicando regla de la cadena se obtiene. Hθ dr −Fx r sen θ + Fy r cos θ =− . =− dθ Hr Fx cos θ + Fy sen θ De donde resulta

Fx sen θ − Fy cos θ 1 dr = r dθ Fx cos θ + Fy sen θ

Ahora, si α es el a´ngulo de inclinaci´on de la recta tangente en el punto P entonces y  = tan α, α = α(x). Como y  = −Fx /Fy , obtenemos 1 + tan α tan θ 1 1 dr = = . r dθ tan α − tan θ tan(α − θ) 49

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Haciendo ψ = α − θ, ver figura 2.27, el ´angulo entre el radio polar y la recta tangente, se llega a 1 dθ 1 dr = o r = tan ψ. (2.27) r dθ tan ψ dr Ejemplo 2.22. Encuentre una familia de curvas en coordenadas polares si tan ψ = k, k constante, k = 0 Soluci´ on. Al sustituir tan ψ = k en (2.27), separar variables e integrar, se tiene 1 1 dr = k r dθ dr 1 = dθ r k θ ln r = + ln c, c > 0 k Al exponenciar se obtiene r = f (θ) = ceθ/k , c > 0.

Cambiar M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 a polares En este caso se usan las expresiones dadas por (2.26) y dx = cos θ dr − r sen θdθ,

dy = sen θdr + r cos θdθ,

para obtener [M1 cos θ + N1 sen θ] dr + r [N1 cos θ − M1 sen θ] dθ = 0,

(2.28)

donde M1 (r, θ) = M (r cos θ, r sen θ) y N1 (r, θ) = N (r cos θ, r sen θ). Ejemplo 2.23. Transforme la ecuaci´on diferencial (x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0 a coordenadas polares. Soluci´ on. Al reemeplazar x = r cos θ, y = r sen θ, dx = cos θ dr − r sen θdθ y dy = sen θdr + r cos θdθ se tiene r2 (cos θdr − r sen θdθ) − 2r2 sen θ cos θ(sen θdr + r cos θdθ) = 0 cos θ(1 − 2 sen2 θ)dr − r sen θ(1 + 2 cos2 θ)dθ = 0. 50

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2.8. EJERCICIOS

2.8 2.8.1

Ejercicios Ecuaciones de primer orden

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales 1.

sec2 y dy = dx 1 + x2

2. x

3. yecos x sen x dx + y −1 dy = 0

1 − 4v 2 dv = dx 3v

4. (1 + e−y )dx + (1 + e−x )dy = 0

5. (e−y + 1) sen x dx + (1 + cos x)dy = 0; y(0) = 0 6.

dx = (a − x)(b − x) dt

8. (ex + e−x ) 10.

dy = y2 dx

7.

 √ 4 + y 2 dx − y 4 − x2 dy = 0

9. (x +

√

x)

dy √ =y+ y dx

√ dy 3x2 + 4x + 2 dy = (1 + y 2 ) tan x; y(0) = 3 11. = ; y(0) = 1 dx dx 2y + 1

12. (x2 + 1)

dy dy = x2 + 2x − 1 − 4xy 13. (t2 + 1) = t(y + 1) dx dt

14. (x2 + 1)

√ dy + xy = (1 − 2x) x2 + 1 dx

dy + (sen x + x cos x)y = xex dx π dy =2 16. sen x + y cos x = x sen x; y dx 2

15. x sen x

17.

dy 1 = dx 2x + e4y

⎧ ⎨ 3, dy 2 + y = f (x), y(2) = 0; donde f (x) = 18. ⎩−3, dx x 51

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si 0 < x ≤ 1 si x > 1

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

⎧ ⎨ 1/x, dy + p(x)y = x, y(1) = 1, donde p(x) = 19. ⎩−1/x, dx

si 0 < x ≤ 1 si x > 1

20. y(ln y − e−xy )dx + x(1 + ln y − e−xy )dy = 0 21.

y sen(2x) − y + y 2 exy dy = dx x − sen2 x − 2xyexy2

2

22. Determine el valor de k para (6xy 3 + cos y)dx + (kx2 y 2 − x sen y)dx = 0 sea exacta y resuelva la ecuaci´on resultante 23. Determine la funci´on m´as general que falta para que la ecuaci´on sea exacta y resu´elvala a) M (x, y)dx + (sec2 y − x/y)dy = 0 b) (yexy − 4x3 y + 2)dx + N (x, y)dy = 0 24. Resuelva 6xy dx + (9x2 + 4y)dy = 0 buscando un factor integrante de la forma μ = μ(y) 25. Halle las expresiones para los factores integrantes para las casos μ = μ(z) con z = x−y, z = ax+by, z = xy, z = x2 +y 2 , z = x2 −y 2 y z = ax2 +by 2 . 26. Si xM (x, y) + yN (x, y) = 0, determine la soluci´on de la ecuaci´on diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. 27. Considere la ecuaci´on diferencial (5x2 y + 6x3 y 2 + 4xy 2 )dx + (2x3 + 3x4 y + 3x2 y)dy = 0. a) Muestre que la ecuaci´on no es exacta. b) Multiplique la ecuaci´on por un factor μ(x, y) = xn y m y determine valores de n y m que hagan exacta la ecuaci´on resultante y resu´elvala 28. Resuelva xy  = 2y + x2 cos (y/x2 ) mediante la sustituci´on y = ux2 .  29. Resolver el PVI 2x2 yy  + 2xy 2 = tan(x2 y 2 ); y(1) = π/2, mediante la sustituci´on z = x2 y 2 . 52

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2.8. EJERCICIOS

30.

2y − 3xy dy = dx x − 3xy

31. (xy  − y) cos(2y/x) = −3x4

32.

y dy √ + = (x − 2) y dx x − 2

33.

dy = sen(x − y) dx

34.

dy x+y−2 = dx x+y+2

35.

dy = (x + y + 2)2 dx

36. (2x − y)dx + (4x + y − 3)dy = 0 dy = p(x)y 2 + q(x)y + r(x), se llama ecuaci´on 37. Una ecuaci´on de la forma dx de Ricatti generalizada a) Muestre que si u(x) es una soluci´on conocida entonces la sustituci´on y = u + 1/z reduce la ecuaci´on de Ricatti a una lineal en z. b) Dado que u = x es una soluci´on de dy/dx = x3 (y − x)2 + y/x, use la parte a) para encontrar todas las soluciones. 38. Resolver mediante reducci´on de orden a) x2 y  − 2y  = 3x2

2.8.2

b) y  − k 2 y = 0

Modelado

1. La poblaci´on de una comunidad crece con una tasa proporcional a la poblaci´on en cualquier instante. Su poblaci´on inicial es 500 y aumenta el 15 % en 10 a˜ nos. ¿Cu´al ser´a la poblaci´on dentro de 30 a˜ nos? 2. El Pb-209, is´otopo radiactivo del plomo, se desintegra con una raz´on proporcional a la cantidad presente en cualquier instante y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio hab´ıa 1 gramo de plomo, ¿cu´anto tiempo debe pasar para que se desintegre el 90 %? 3. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´area bajo la curva desde (0, 0) a (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Hallar la curva. 53

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

4. Un estudiante despistado olvid´o la regla del producto para derivadas y crey´o que (f g) = f  g  . Sin embargo cont´o con suerte y obtuvo la respues2 ta correcta. Si una de las funciones es g(x) = ex , halle la otra funci´on. 5. Un term´ometro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior donde la temperatura es de 5o F . Despu´es de un minuto el term´ometro indica 55o F y despu´es de cinco minutos marca 30o F . A los nueve minutos se introduce nuevamente al recinto. ¿Cu´al es la temperatura que marca el term´ometro a los quince minutos? 6. Por razones obvias un anfiteatro se mantiene a una temperatura constante de 5o C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la v´ıctima de un crimen, el forense es asesinado y el cuerpo de la v´ıctima robado. A las 10 a.m. el ayudante del forense descubre su cad´aver a una temperatura de 23o C . A medio d´ıa su temperatura es 18.5o C. Suponiendo que en vida, el forense ten´ıa una temperatura de 37o C, ¿a qu´e hora fue asesinado? 7. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =

⎧ ⎨120

si 0 < t < 20

⎩0

si t > 20

, a un cir-

cuito en serie LR, en que la inductancia es L = 20 henrios y la resistencia es R = 2 Ohms. Determine la corriente i(t) si i(0) = 0. 8. Una medicina se inyecta en el torrente sangu´ıneo de un paciente a un flujo constante de r gr/seg. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una raz´on proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier instante t. Halle x(t) si x(0) = 0 y encuentre l´ımx→∞ x(t). 9. Un tanque est´a parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 lb de sal disueltas. Le entra salmuera con 0.5 libras de sal por gal´on a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque est´a bien mezclado y de ´el sale a un flujo de 4 gal/min. a) Halle la cantidad de libras de sal A(t) a los 30 minutos. 54

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2.8. EJERCICIOS

b) Si el tanque tiene una capacidad de 300 galones, ¿cu´antas libras de sal habr´a cuando empieza a desbordarse? c) Suponga que el tanque se desborda, que la salmuera contin´ ua entrando al flujo de 6 gal/min, que el contenido est´a bien mezclado y que la soluci´on sigue saliendo a un flujo de 4 gal/min. Determine un m´etodo para hallar cantidad de libras de sal A(t) que habr´a en el tanque cuando t = 150 minutos. ¿Su respuesta coincide con lo que cabr´ıa esperar? 10. Los rayos luminosos chocan con una curva C en el plano, de tal manera que todos los rayos L paralelos al eje x se reflejan y van a un punto u ´nico, O. Suponga que el ´angulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi´on, deduzca una ecuaci´on diferencial que describa la forma de la curva y resu´elvala, (Fig. 2.7(a)). 11. Un dep´osito contiene 10 galones de salmuera con 2 libras de sal disueltas en ella. Se introduce en el dep´osito salmuera que contiene disuelta una libra de sal por gal´on a raz´on de 3 gal/min, y la mezcla bien revuelta, sale a raz´on de 4 gal/min. Hallar la cantidad de sal x = x(t) en el dep´osito en un instante t arbitrario. ¿Cu´al es la cantidad m´axima de sal en el tanque? 12. A un recinto de 8000 pie3 de volumen entra aire con 0.06 % de CO2 . El flujo de entrada es de 2000 pie3 /min y sale con el mismo flujo. Si hay una concentraci´on inicial de 0.2 % de CO2 , determine la concentraci´on en el recinto en cualquier instante posterior. ¿Cu´al es la concentraci´on a los 10 minutos? ¿Cu´al es la concentraci´on del estado estable? 13. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a raz´on de 3 gal/min en un tanque, de 60 galones de capacidad lleno con una soluci´on salina. La mezcla resultante se desborda con la misma raz´on en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente conten´ıa s´olo agua pura, y de ah´ı se derrama al piso. Suponiendo una mezcal perfecta en ambos tanques. a) ¿En qu´e momento ser´a m´as salada el agua del segundo tanque? 55

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

b) ¿Y qu´e tan salada estar´a, comparada con la soluci´on original? 14. Un gran tanque de capacidad 500 galones est´a parcialmente lleno con 300 galones de una soluci´on salina. Le entra salmuera con 12 lb de sal por gal´on a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque est´a bien mezclado y de ´el sale a un flujo de 4 gal/min. Si la cantidad m´ınima de sal es a los 13 minutos, halle la cantidad inicial de sal en el tanque y la cantidad de sal al momento de desbordarse. 15. Determine las trayectorias ortogonales para las familias de curvas. a) c) e) g) i)

2x2 + 3y 2 = c1 y 2 = c1 x x2 + y 2 = c 1 x x2 − 2c1 x + 2y 2 = 0 x2 + (y − k)2 = k 2 + 1

b) d) f) h) j)

(x − y − 1)ex = c1 (1 + c1 x)y = x ey = tan x + c1 x 2 − y 2 = c1 y 2 = c1 (c1 − 2x)

16. Las rectas tangentes a una curva desconocida y = f (x) forman con los ejes coordenados en el primer cuadrante un tri´angulo de ´area fija k. Demuestre que la ecuaci´on diferencial que describe este tipo de curvas est´a dada por (xy  )2 +2(k −xy)y  +y 2 = 0. Resuelva la ecuaci´on derivando parcialmente con respecto a y  . y

y nte nge Ta θ

φ = 2θ

y = f (x) y = f (x)

x

(x0 , y0 ) A=k

x Tangente

Figura 2.6. Gr´aficas problemas 10 y 16

17. Curva de persecuci´ on. Suponga que un perro P que viaja con velocidad v parte del punto (a, 0) en el instante t = 0 persiguiendo a un conejo C 56

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2.8. EJERCICIOS

que huye con velocidad w, en la direcci´on positiva del eje y, y que parte del origen en el mismo instante. a) Demuestre que la ecuaci´on diferencial que describe la trayectoria del perro persiguiendo el conejo es 

2 dy w d2 y con k = . x 2 =k 1+ dx dx v b) Haciendo z = dy/dx, mediante separaci´on de variables y con la condici´on inicial z(a) = 0, muestre que  1 x k x −k dy =z= − dx 2 a a c) Halle la posici´on y = y(x) del perro para el caso k < 1 y determine la posici´on donde el perro alcanza al conejo. La condici´on inicial es y(a) = 0. d ) Determine la posici´on y = y(x) del perro para el caso k = 1. Muestre que el perro no alcanza al conejo. 18. Un avi´on que vuela bajo la gu´ıa de un faro no direccional (NDB) se mueve de modo que su eje longitudinal apunte siempre hacia el faro. Un piloto que se encuentra en el punto (a, 0) con a > 0 se dirige con velocidad constante v, hacia un NDB que est´a en el origen. El viento sopla de sur a norte con velocidad constante w y mantiene su direcci´on. a) Determine la ecuaci´on diferencial que describe la trayectoria del avi´on sobre el suelo. b) Haga una sustituci´on adecuada y resuelva dicha ecuaci´on. c) Use el hecho que x = a, y = 0 cuando t = 0 para determinar el valor adecuado de la constante arbitraria en la familia de soluciones. d ) Exprese su soluci´on en t´erminos de funciones hiperb´olicas e) Haciendo k = w/v, analice los casos k < 1, k = 1 y k > 1. 57

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CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

y

y

Q(0, wt)

Viento

P (x, y)

P (x, y) s

x

O

A(a, 0)

x A(a, 0)

Figura 2.7. Gr´aficas problemas 17 y 18

19. Encuentre las trayectorias oblicuas con un ´angulo de 45◦ a a) la par´abola y = x2 ,

b) la familia de curvas y = Aex .

20. Encuentre una familia de soluciones para la ecuaci´on diferencial dada por (2.27) para cada uno de los siguientes casos. a) ψ = θ

b) ψ = θ/2

58

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Cap´ıtulo 3

Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.1 3.1.1

Ecuaciones lineales de segundo orden Introducci´ on: sistema masa-resorte

Un oscilador masa – resorte amortiguado est´a formado por una masa m unida a un resorte fijo en un extremo, como se muestra en la figura 3.1.

l

l

s Posici´ on de equilibrio

m

x

m

Movimiento

l+s

Figura 3.1. Sistema masa-resorte amortiguado

Al aplicar la segunda ley de Newton F = ma y recordando que a = 59

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d2 x dt2

se

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

tiene

d2 x F = m 2 = m¨ x. dt Al desplazar la masa m con respecto del equilibrio, el resorte se estira o se comprime y ejerce una fuerza que resiste al desplazamiento. Para la mayor´ıa de los resortes, esta fuerza es directamente proporcional al desplazamiento y, por lo general est´a dada por Fresorte = −kx,

(3.1)

donde la constante positiva k es la rigidez y el signo negativo refleja su naturaleza de oposici´on de la fuerza. La ley de Hooke, como se conoce a la ecuaci´on (3.1) s´olo es v´alida para desplazamientos suficientemente peque˜ nos. En la pr´actica, todos los sistemas mec´anicos experimentan fricci´on o amortiguamiento; para el movimiento de vibraci´on, esta fuerza se modela por lo general mediante la ecuaci´on Ffricci´on = −b

dx = −bx˙ = −bv, dt

(3.2)

donde b es el coeficiente de amortiguamiento y el signo negativo tiene la misma intenci´on que en la ecuaci´on (3.1). Las otras fuerzas que act´ uan sobre el oscilador se consideran por lo general como externas al sistema. Al aplicar la segunda ley de Newton se tiene m¨ x = −bx˙ − kx + Fexterna

3.1.2

o

m¨ x + bx˙ + kx = Fexterna .

Operadores diferenciales lineales

Una ecuaci´on lineal de segundo orden que se puede escribir en la forma a2 (x)

d2 y dy + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). 2 dx dx

(3.3)

Vamos a suponer que a0 (x), a1 (x), a3 (x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo I. Cuando a0 , a1 y a2 son constantes se dice que la ecuaci´on tiene coeficientes constantes; en caso contrario, tiene coeficientes variables. 60

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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

En esta secci´on nos interesan las ecuaciones lineales en las que a2 nunca se anula en I. En esta caso, (3.3) se puede escribir en la forma normal o can´onica dy d2 y + q(x)y = f (x), (3.4) + p(x) dx2 dx donde p(x) = a1 (x)/a2 (x), q(x) = a0 (x)/a2 (x) y f (x) = g(x)/a2 (x) son continuas en I. Asociada a (3.4) se tiene la ecuaci´on dy d2 y (3.5) + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx llamada ecuaci´on homog´enea asociada a (3.4). Por conveniencia escribiremos (3.5) como y  + py  + qy = 0. (3.6) Dada cualquier funci´on y con segunda derivada continua en el intervalo I, (3.6) define una nueva funci´on que llamaremos operador diferencial y que denotamos por L, tal que L[y] = y  + py  + qy.

(3.7)

El operador diferencial L definido en (3.7) es un operador lineal (transformaci´on lineal). Es decir, L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ]

y

L[cy] = cL[y].

Teorema 3.1.1. Sean y1 y y2 soluciones de la ecuaci´on homog´enea (3.6). Entonces, cualquier combinaci´on lineal c1 y1 + c2 y2 de y1 y y2 donde c1 y c2 son constantes, tambi´en es una soluci´ on de (3.6). Demostraci´ on. L[c1 y1 + c2 y2 ] = c1 L[y1 ] + c2 L[y2 ] = c1 0 + c2 0 = 0. dy d2 y y D2 y = Notaci´ on. Usando la notaci´on Dy := , (3.7) se puede dx dx2 escribir en la forma L[y] = D2 y + pDy + qy = (D2 + pD + q)[y], As´ı, el operador lineal L es L := D2 + pD + q. 61

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(3.8)

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Definici´ on 3.1.1. Sean L1 y L2 dos operadores diferenciales lineales de segundo orden. Se define la suma L1 + L2 y el producto L1 L2 como (L1 + L2 )[y] = L1 [y] + L2 [y] y (L1 L2 )[y] = L1 [L2 [y]]. Se dice que dos operadores L1 y L2 son iguales si L1 [y] = L2 [y] para todas las funciones y con las derivadas necesarias. Ejemplo 3.1. Calcule L1 L2 [y] y L2 L1 [y] en cada caso, donde: a) L1 := D − 2 y L2 := D + 3.

c) L1 := xD − 2 y L2 := xD + 3

b) L1 := xD − 3 y L2 := D + 2 Soluci´ on. a) L1 L2 [y] = L1 [(D + 3)[y]] = L1 [y  + 3y] = L1 [y  ] + 3L1 [y] = (D − 2)[y  ] + 3(D − 2)[y] = y  − 2y  + 3y  − 6y = y  + y  − 6y = (D2 + D − 6)[y]

L2 L1 [y] = L2 [(D − 2)[y]] = L2 [y  − 2y] = L2 [y  ] − 2L2 [y] = (D + 3)[y  ] − 2(D + 3)[y] = y  + 3y  − 2y  − 6y = y  + y  − 6y = (D2 + D − 6)[y]

Es decir, (D − 2)(D + 3) = D2 + D − 6 = (D + 3)(D − 2). b) L1 L2 [y] = L1 [(D + 2)[y]] = L1 [y  + 2y] = L1 [y  ] + 2L1 [y] = (xD − 3)[y  ] + 2(xD − 3)[y] = xy  − 3y  + 2xy  − 6y = xy  + (2x − 3)y  − 6y   = xD2 + (2x − 3)D − 6 [y]

L2 L1 [y] = L2 [(xD − 3)[y]] = L2 [xy  − 3y] = (D + 2)[xy  ] − 3(D + 2)[y] = D[xy  ] + 2xy  − 3y  − 6y = xy  + y  + 2xy  − 3y  − 6y = xy  + (2x − 2)y  − 6y  = xD2 + (2x − 2)D − 6)[y]

En este caso se tiene: (xD−3)(D+2) = xD2 +(2x−3)D−6 y (D+2)(xD−3) = xD2 +(2x−2)D−6. 62

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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

c) L1 L2 [y] = L1 [(xD + 3)[y]] = L1 [xy  + 3y] = L1 [xy  ] + 3L1 [y] = (xD − 2)[xy  ] + 3(xD − 2)[y] = xD[xy  ] − 2xy  + 3xy  − 6y = x2 y  + xy  + xy  − 6y   = x2 D2 + 2xD − 6 [y]

L2 L1 [y] = L2 [(xD − 2)[y]] = L2 [xy  − 2y] = (xD + 3)[xy  ] − 2(xD + 3)[y] = xD[xy  ] + 3xy  − 2xy  − 6y = x2 y  + xy  + xy  − 6y = x2 y  + 2xy  − 6y  = x2 D2 + 2xD − 6)[y]

Luego, (xD − 2)(xD + 3) = x2 D2 + 2xD − 6 = (xD + 3)(xD − 2). En el ejemplo anterior se observa que para los casos a) y c) los operadores conmutan, mientras que en el literal b) no. Algunas propiedades de los operadores diferenciales lineales Sean L1 , L2 y L3 operadores diferenciales lineales de segundo orden. Entonces Leyes conmutativas: L1 + L2 = L2 + L1 L1 L2 = L2 L1 si L1 y L2 tienen coeficientes constantes L1 L2 = L2 L1 si L1 = a1 x2 D2 + b1 xD + c1 y L2 = a2 x2 D2 + b2 xD + c2 Leyes asociativas: (L1 + L2 ) + L3 = L1 + (L2 + L3 ) y (L1 L2 )L3 = L1 (L2 L3 ). Leyes distributivas: L1 (L2 + L3 ) = L1 L2 + L1 L3 y (L1 + L2 )L3 = L1 L3 + L2 L3 .

3.1.3

Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´ eneas

Teorema 3.1.2. Sean y1 y y2 dos soluciones de (3.6), donde p y q son continuas en un intervalo (a, b). Suponga que en cierto punto x0 en (a, b), 63

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

estas soluciones satisfacen y1 (x0 )y2 (x0 ) + y1 (x0 )y2 (x0 ) = 0.

(3.9)

Entonces toda soluci´on de (3.6) en (a, b) se puede expresar como y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)y2 (x), donde c1 y c2 son constantes. Definici´ on 3.1.2 (Wronskiano). Para cualquiera de las funciones diferenciables y1 y y2 , la funci´on   y (x) y (x)  1  2 W [y1 , y2 ](x) =   (3.10)  = y1 (x0 )y2 (x) − y1 (x)y2 (x)  y1 (x) y2 (x) se llama el wronskiano de y1 y y2 . Definici´ on 3.1.3 (Conjunto fundamental de soluciones). Una pareja de soluciones {y1 , y2 } de (3.6) en (a, b) es un conjunto fundamental de soluciones un x0 ∈ (a, b). si W [y1 , y2 ](x0 ) = 0 para alg´ Ejemplo 3.2. Dado que y1 (x) = e2x y y2 (x) = xe2x son soluciones de la ecuaci´on diferencial y  − 4y  + 4y = 0 en (−∞, ∞) y determine la soluci´on general. Soluci´ on. Primero verificamos que {e2x , xe2x } es un conjunto fundamental de soluciones. Dejamos como ejercicio verificar que son soluciones de la un x0 en (−∞, ∞). Al ecuaci´on. Verifiquemos que W [y1 , y2 ](x0 ) = 0 para alg´ sustituir tenemos    e2x  2x xe   W = W [y1 , y2 ](x) =  2x 2x  = e4x + 2xe4x − 2xe4x = e4x = 0, 2x  2e e + 2xe para toda x ∈ R. Luego, {e2x , xe2x } forma un conjunto fundamental de soluciones en (−∞, ∞) y la soluci´on general es y(x) = c1 e2x + c2 xe2x . 64

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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Se puede ver f´acilmente que existe un conjunto fundamental de soluciones para (3.6). De hecho, sea x0 ∈ (a, b) y sean y1 y y2 las soluciones que satisfacen las condiciones iniciales y1 (x0 ) = 1, y2 (x0 ) = 0 y1 (x0 ) = 0, y2 (x0 ) = 1. Entonces W [y1 , y2 ](x0 ) = 1 = 0, de manera que {y1 , y2 } es un conjunto fundamental de soluciones. Definici´ on 3.1.4 (Dependencia e independencia lineal). Dos funciones y1 y y2 son linealmente dependientes (LI) en un intervalo I si existen escalares c1 y c2 no nulas tales que c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = 0 para toda x en I. Si dos funciones no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. La definici´on anterior es equivalente a: dos funciones son linealmente dependientes en un intervalo I, si ninguna es m´ ultiplo constante de la otra. Teorema 3.1.3. Sean y1 y y2 soluciones de (3.6) en (a, b) y sea x0 cualquier punto de (a, b). Entonces y1 y y2 son linealmente independientes en (a, b) si y s´ olo si los vectores     y2 (x0 ) y1 (x0 ) y y1 (x0 ) y2 (x0 ) son linealmente independientes. Corolario 1. Si y1 y y2 son soluciones de (3.6) en (a, b), entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) {y1 , y2 } es un conjunto fundamental de soluciones en (a, b). b) Las funciones y1 y y2 son linealmente independientes en (a, b). 65

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

c) El wronskiano W [y1 , y 2 ](x) nunca se anula en (a, b). Los anteriores conceptos se extienden de manera natural para ecuaciones de orden superior. Identidad de Abel: Si y1 y y2 son soluciones de (3.6) en (a, b), entonces W (x) = W (x0 )e

−

x x0

p(x)dx

(3.11)

para alg´ un x0 en (a, b).

3.1.4

Reducci´ on de orden

Como se ha visto en la secci´on anterior, una soluci´on general de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de segundo orden, est´a dada por una combinaci´on lineal de dos soluciones linealmente independientes. En esta secci´on se describe un m´etodo para determinar una segunda soluci´on linealmente independiente a partir de una soluci´on particular conocida de la homog´enea, y tambi´en para hallar una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea. Este procedimiento se conoce como reducci´on de orden. 1. Si y  = f (x, y  ), es decir, no aparece la variable dependiente y, entonces la sustituci´on u = y  , con u = g(x) la reduce a una ecuaci´on diferencial du de primer orden: = f (x, u). dx  Ejemplo 3.3. Resolver xy  = 1 + (y  )2 . Soluci´ on. Como no aparece la variable “y”, hacemos la sustituci´on u = y  = dy/dx. As´ı, u = y  y al reemplazar se tiene √ xu = 1 + u2 . Al separar variables e integrar se tiene   du dx √ = x 1 + u2 66

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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

arcsenh u = ln x + ln c1 , c1 > 0  1 u = senh(ln(c1 x)) = eln(c1 x) − e− ln(c1 x) 2 1 1 u= c x− 2 1 c1 x Como u = y  , al integrar nuevamente, se tiene y=

1 x2 ln x c − + c2 2 1 2 c1

2. Si y  = f (y, y  ), es decir, no aparece la variable independiente x, entonces la sustituci´on z = y  , con z = h(y) la reduce a una ecuaci´on diferencial dz de primer orden: z = f (y, z). dy 3. Ecuaci´on diferencial lineal homog´enea. Consideremos la ecuaci´on lineal homog´enea de segundo orden y  + py  + qy = 0

(3.12)

Sea y1 una soluci´on no trivial de (3.12), es decir, y1 + py1 + qy1 = 0. Para hallar una segunda soluci´on LI de (3.12), buscamos una soluci´on de la forma y2 (x) = u(x)y1 (x) = uy 1

(3.13)

donde u es una funci´on no constante por determinar. Al derivar tenemos y2 = u y1 + uy1

y y2 = u y1 + 2u y1 + uy1 .

Al sustituir estas expresiones en (3.12) y agrupar, se tiene u y1 + 2u y1 + uy1 + pu y1 + puy1 + quy1 = 0 :0  1+ u[y1+py qy1 ] + y1 u + [2y1 + py1 ]u = 0 

y1 u + [2y1 + py1 ]u = 0 67

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(3.14)

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Al hacer la sustituci´on w = u y dividir por y1 , (3.14) se reduce a   y1  w + 2 + p w = 0. (3.15) y1 La ecuaci´on (3.15) es separable y tambi´en es lineal. Al separar variables e integrar se tiene     y1 dw =− 2 + py1 dx w y1  ln |w| = −2 ln |y1 | + ln c2 − p(x)dx   −2 −2 ln |w| = ln(y1 ) + ln c2 − p(x)dx = ln[c2 y1 ] − p(x)dx w(x) = c2 [y1 (x)]−2 e−



p(x)dx

,

←− Exponenciando

donde c2 = 0 es una constante adecuada. Como w = u , entonces 

 u(x) =

w(x)dx = c2

Por lo tanto

 y2 (x) = c2 y1 (x)

[y1 (x)]−2 e−

[y1 (x)]−2 e−





p(x)dx

p(x)dx

dx.

dx,

(3.16)

para alguna constante c2 = 0 adecuada que puede ser 1. 4. Ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea. Ahora tomemos la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea y  + py  + qy = f (x)

(3.17)

Para obtener una soluci´on particular yp (x) de (3.17) se procede de manera similar. Se supone una soluci´on conocida y1 de (3.12) y se busca yp = y1 u. La ecuaci´on (3.14) cambia a y1 u + [2y1 + py1 ]u = f (x).

68

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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Al dividir en ambos lados por y1 se tiene   y1 f (x)  u + 2 + p u = y1 y1

(3.18)

Al hacer la sustituci´on w = u y dividir por y1 , (3.18) se reduce a y1 f (x) w + 2 +p w = , y1 y1 



la cual es lineal. Al resolverla por el m´etodo estudiado en la secci´on (2.2) se obtiene 

e− p(x)dx w(x) = [y1 (x)]2





y1 (x)e

p(x)dx

f (x)dx + c1 .

Como w = u , entonces  u = w(x)dx   −  p(x)dx   e p(x)dx y1 (x)e f (x)dx + c1 dx + c0 = [y1 (x)]2

(3.19)

Como estamos interesados en una soluci´on particular, hacemos c1 = c0 = 0 en (3.19) para obtener   −  p(x)dx   e p(x)dx y1 (x)e yp (x) = y1 (x) f (x)dx dx (3.20) [y1 (x)]2 Observaci´ on. La f´ormula (3.20) para encontrar una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (3.17) es un poco dif´ıcil de memorizar, as´ı que se sugiere hacer todo el procedimiento para hallarla en cada ecuaci´on que se resuelva. La f´ormula (3.16) se puede memorizar m´as f´acilmente, pero tambi´en se podr´ıa hacer todo el procedimiento para llegar a ella. Para aplicar directamente las f´ormulas (3.16) y (3.20) se debe tener cuidado que las ecuaciones est´en escritas en la forma normal o can´onica. Ejemplo 3.4. Dado que y1 (x) = e−x es soluci´on de y  + 2y + y = 0, halle la general soluci´on y encuentre una soluci´on particular de y  + 2y  + y = 2e−x . 69

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Soluci´ on. Primero hallamos una segunda soluci´on linealmente independiente de la ecuaci´on homog´enea. Partiendo de la ecuaci´on (3.15) y como y1 = e−x , entonces y1 = −e−x . Luego 

y1 w + 2 +p w =0 y1  −x −e  w + 2 −x + 2 w = 0 e 

w = 0, de donde w = c2 = 1. Pero w = u , luego u = x. As´ı, la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea est´a dada por y(x) = c1 e−x + c2 xe−x .

Para encontrar una soluci´on particular yp de la ecuaci´on no homog´enea partimos de (3.18)   y1 f (x)  w + 2 +p w = y1 y1  −x −e 2e−x w + 2 −x + 2 w = −x e e w = 2, de donde w = 2x. Pero w = u , luego u = x2 ; por lo tanto, una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea es yp (x) = x2 e−x . Ejemplo 3.5. Dado que x1 (t) = et es una soluci´on, halle una segunda soluci´on linealmente independiente para tx + (1 − 2t)x + (t − 1)x = 0, t > 0. Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´on en la forma normal tenemos  



1 1   −2 x + 1− x=0 x + t t 70

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Para aplicar la ecuaci´on (3.15) tenemos que x1 = et , x1 = et y p(t) = Luego   y1  w + 2 +p w =0 y1 1 w + w = 0 t

1 t

− 2.

Al separar variables e integrar se tiene   1 dw =− dt w t ln |w| = − ln |t| = ln t−1 , de donde w = t−1 . Como w = u , entonces u = ln t. As´ı, una segunda soluci´on linealmente independiente para t > 0 es x2 (t) = et ln t. Luego, la soluci´on general es y(t) = c1 et + c2 et ln t; t > 0.

3.2

Ecuaciones de orden superior

3.2.1

Teor´ıa b´ asica

Una EDO lineal de orden n se puede escribir en la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y  + a0 (x)y = g(x).

(3.21)

Vamos a suponer que a0 (x), a1 (x), . . . , an (x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo I. Cuando a0 , a1 , . . . , an son constantes se dice que la ecuaci´on tiene coeficientes constantes; en caso contrario, tiene coeficientes variables. Vamos a considerar las ecuaciones lineales en las que an (x) nunca se anula en I. En esta caso, se podemos escribir (3.21) en la forma normal o can´onica y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y  + pn (x)y = f (x), 71

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(3.22)

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

donde p1 (x) = an−1 (x)/an (x), . . . , pn (x) = a1 (x)/an (x) y f (x) = g(x)/an (x) son continuas en I. Asociada a (3.22) tenemos la ecuaci´on y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y  + pn (x)y = 0,

(3.23)

llamada ecuaci´ on homog´ enea asociada. Si definimos el operador L := Dn + p1 Dn−1 + · · · + pn−1 D + pn ,

(3.24)

entonces, las ecuaciones (3.22) y (3.23) se pueden escribir en la forma L[y] = f (x)

(3.25)

L[y] = 0

(3.26)

Teorema 3.2.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Suponga que p1 , p2 , . . . , pn y f (x) son continuas en un intervalo (a, b) que contiene al punto on de los valores iniciales y0 , y1 , . . . , yn−1 , x0 . Entonces para cualquier elecci´ existe una u ´nica soluci´ on y(x) en todo el intervalo (a, b) del problema con valores iniciales L[y] = f (x), donde L est´a definido por la expresi´on (3.24) y(x0 ) = y0 , y  (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1

(3.27)

Ejemplo 3.6. Determine el intervalo (a, b) m´as grande para el que el Teorema 3.2.1 garantice la existencia de una u ´nica soluci´on en (a, b) para el problema con valores iniciales (x2 − 1)y  + ex y = ln x; y(3/4) = 1, y  (3/4) = y  (3/4) = 0 Soluci´ on. Al escribir la ecuaci´on en la forma normal, se tiene que p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) =

ln x ex y f (x) = 2 . 2 x −1 x −1

72

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(3.28)

3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Ahora, p1 (x) y p2 (x) son continuas en todos los reales, p3 (x) es continua en cualquier intervalo que no contenga a x = 1 y ni a x = −1, mientras que f (x) no est´a definida para x < 0 y x = 1, pero es continua en los intervalos (0, 1) y (1, ∞). Luego, las funciones p1 (x), p2 (x), p3 (x) y f (x) son simult´aneamente continuas en los intervalos (0, 1) y (1, ∞). El teorema 3.2.1 garantiza que si ´nica soluci´on del problema con elegimos x0 ∈ (0, 1), entonces existe una u valores iniciales (3.28) en todo el intervalo (0, 1). De manera similar, para ´nica soluci´on en (1, ∞). x0 ∈ (1, ∞), existe una u Teorema 3.2.2 (Primer principio de superposici´ on). Sean y1 , y2 , . . . , yk soluciones de la ecuaci´on homog´enea (3.26), donde x est´ a en un intervalo I. Entonces la combinaci´on lineal c 1 y1 + c 2 y2 + · · · + c k yk , on para todo x ∈ I. donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes, tambi´en es una soluci´ Definici´ on 3.2.1 (Wronskiano). Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones (n−1) veces diferenciables, la funci´on     f (x) f (x) . . . f (x)   1 n 2     f1 (x) f2 (x) ... fn (x)    W (x) = W [f1 , f2 , . . . , fn ](x) =  .. .. .. ...  . . .     (n−1) (n−1) (n−1) f (x) f2 (x) . . . fn (x) 1 es el wronskiano de f1 , f2 , . . . , fn . Teorema 3.2.3. Sean y1 , y2 , . . . , yn soluciones de la ecuaci´on (3.26) en un intervalo (a, b), donde p1 , p2 , . . . , pn son continuas en (a, b). Si en un cierto punto x0 ∈ (a, b) estas soluciones satisfacen W (x0 ) = 0, entonces toda soluci´ on de (3.26) en (a, b) se pueden escribir en la forma y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes. 73

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(3.29)

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Definici´ on 3.2.2 (Conjunto fundamental de soluciones). Un conjunto de soluciones {y1 , . . . , yn } de la ecuaci´on (3.26) en (a, b) es un conjunto un punto fundamental de soluciones si W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 ) = 0 para alg´ x0 ∈ (a, b). Ejemplo 3.7. Dado que y1 = x, y2 = x−2 , y3 = x−2 ln x son soluciones de la ecuaci´on x3 y  + 6x2 y  + 4xy  − 4y = 0 en (0, ∞) determine la soluci´on general. Soluci´ on. Primero verificamos que {x, x−2 , x−2 ln x} es un conjunto fundamental de soluciones. Dejamos como ejercicio verificar que son soluciones de un x0 ∈ (0, ∞). la ecuaci´on. Mostraremos que W [y1 , y2 , y3 ](x0 ) = 0 para alg´ Al sustituir tenemos   −2 −2  x x ln x x     W (x) =  1 −2x−3 x−3 − x−3 ln x  = x−4 + 5x−6 = 0 en (0, ∞)    0 6x−4 −5x−4 + 6x−4 ln x Luego, {x, x−2 , x−2 ln x} es un conjunto fundamental de soluciones en (0, ∞) y la soluci´on general es y(x) = c1 x + c2 x−2 + c3 x−2 ln x. Definici´ on 3.2.3 (Dependencia e independencia lineal). Las m funciones f1 , f2 , . . . , fm son linealmente dependientes(LD) en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , . . . , cm , no todas nulas, tales que c1 f 1 + c 2 f 2 + · · · + c m f m = 0 para toda x en I. Si las funciones f1 , f2 , . . . , fm no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes (LI) en I. Teorema 3.2.4. Sean y1 , y2 , . . . , yn soluciones de la ecuaci´on (3.26) en un intervalo (a, b), donde p1 , p2 , . . . , pn son continuas en (a, b). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes 74

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

(i) {y1 , y2 , . . . , yn } es un conjunto fundamental de soluciones en (a, b). (ii) y1 , y2 , . . . , yn son linealmente independientes en (a, b). (iii) El wronskiano W [y1 , y2 , . . . , yn ](x) nunca se anula en (a, b).

Identidad de Abel Si y1 , y2 , . . . , yn son soluciones LI de (3.26) en (a, b) entonces

  W [y1 , y2 , . . . , yn ](x) = W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 ) exp − p1 (x)dx para alguna x0 en (a, b). Teorema 3.2.5. Sea yp (x) una soluci´on particular de (3.25) y sea {y1 , y2 , . . . , yn } un conjunto fundamental de soluciones de (3.26) en (a, b), entonces toda soluci´on de (3.25) se puede expresar en la forma y(x) = yc (x) + yp (x),

(3.30)

donde la expresi´on yc (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) se llama soluci´on complementaria de (3.25). Teorema 3.2.6 (Segundo principio de superposici´ on). Si yp1 , yp2 , . . . , ypk son soluciones particulares de L[y] = g1 (x), L[y] = g2 (x), . . ., L[y] = gk (x) respectivamente, entonces yp (x) = yp1 + yp2 + · · · + ypk es soluci´on particular de L[y] = g1 (x) + g2 (x) + · · · + gk (x).

3.2.2

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Definici´ on 3.2.4. Sean L1 y L2 dos operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes, de orden n y m respectivamente. L1 = P (D) := an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 y 75

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

L2 = Q(D) := bm Dm + bm−1 Dm−1 + · · · + b1 D + b0 , donde a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bn son constantes. Se define la suma L1 + L2 y el producto L1 L2 como sigue   (L1 + L2 )[y] = L1 [y] + L2 [y] y (L1 L2 )[y] = L1 L2 [y] . Decimos que los operadores L1 y L2 son iguales si L1 [y] = L2 [y] para todas las funciones y con las derivadas necesarias. Teorema 3.2.7 (Propiedades de los operadores lineales). Sean L1 , L2 y L3 operadores lineales con coeficientes constantes. Entonces 1. Leyes conmutativas: L1 + L2 = L2 + L1 y L1 L2 = L2 L1 . 2. Leyes asociativas: (L1 + L2 ) + L3 = L1 + (L2 + L3 ) y (L1 L2 )L3 = L1 (L2 L3 ). 3. Leyes distributivas: L1 (L2 + L3 ) = L1 L2 + L1 L−3 y (L1 + L2 )L3 = L1 L3 + L2 L3 . Teorema 3.2.8. Sean L1 y L2 operadores diferenciales de orden n con coeficientes constantes. Si y1 es una soluci´on no trivial de L2 [y] = 0 y y2 es una on de soluci´on no trivial de L1 [y] = 0, entonces y = c1 y1 + c2 y2 es una soluci´ (L1 L2 )[y] = 0. Demostraci´on. De los teoremas (3.2.2) y (3.2.8) y la definici´on (3.2.4) se tiene (L1 L2 )[c1 y1 + c2 y2 ] = c1 (L1 L2 )[y1 ] + c2 (L1 L2 )[y2 ]

  = c1 L1 [L2 [y1 ]] + c2 L2 L1 [y2 ] = c1 L1 [0] + c2 L2 L1 [y2 ] = c1 0 + c2 L2 [0] = 0 + c2 0 = 0

Teorema 3.2.9. Para cualquier funci´on y con derivadas hasta el orden m se cumple (3.31) e−ax (D − a)m [y] = Dm [e−ax y] 76

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Demostraci´on. Se proceder´a por inducci´on matem´atica Base Inductiva: Para m = 1 se tiene D[e−ax y] = e−ax y  − ae−ax y = e−ax (y  − ay) = e−ax (D − a)[y]. Pasos inductivos Supongamos que para todo k, 1 ≤ k ≤ m − 1, se tiene Dk [e−ax y] = e−ax (D − a)k [y]

Hip´otesis de inducci´on (HI)

y probemos que se cumple para k + 1. Ahora, Dk+1 [e−ax y] = D[Dk [e−ax y]] = D[e−ax (D − a)k y] Por HI = e−ax D[(D − a)k y] − ae−ax (D − a)k [y] Regla del producto = e−ax (D − a)(D − a)k [y] Factorizando = e−ax (D − a)k+1 [y] Por lo tanto, e−ax (D − a)m [y] = Dm [e−a y] para todo n´ umero natural m. Los teoremas (3.2.8) y (3.2.9) proporcionan un m´etodo para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homog´eneas con coeficientes constantes, puesto que un operador lineal de este tipo es factorizable. Ejemplo 3.8. Resolver y  − ky = 0 Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´on en t´erminos de operadores se tiene (D − k)[y] = 0. Multiplicando en ambos lados por e−kx y aplicando el teorema (3.2.9) tiene e−kx (D − k)[y] = 0 D[e−kx y] = 0 Al integrar se obtiene e−kx y = c. As´ı, y = cekx , donde c es una constante arbitraria, proporciona la soluci´on general de la ecuaci´on. 77

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 3.9. Resolver y  + 4y  + 4y = 0. Soluci´ on. En t´erminos de operadores se tiene (D2 + 4D + 4)[y] = (D + 2)2 [y] = 0. Multiplicando por e2x y aplicando el teorema(3.2.9) se tiene e2x (D + 2)2 [y] = 0 D2 [e2x y] = 0. Al integrar dos veces se tiene e2x y = c2 x + c1 . De donde y = c1 e−2x + c2 xe−2x proporciona la soluci´on general de la ecuaci´on. Ejemplo 3.10. Resolver y  − 5y  + 4y = 0 Soluci´ on. En t´erminos de operadores se tiene (D2 − 5D + 4)[y] = (D − 1)(D − 4)[y] = (D − 1)[(D − 4)[y]] = 0. La soluci´on general de (D − 1)[y] = 0 es y = c1 ex y la de (D − 4)[y] = 0 es y = c2 e4x . As´ı, la soluci´on general de la ecuaci´on dada es y = c1 ex + c2 e4x . Ejemplo 3.11. Resolver y  + 4y = 0. Soluci´ on. En t´erminos de operadores, la ecuaci´on es (D2 + 4)[y] = (D − 2i)(D + 2i)[y] = 0 Se obtienen dos soluciones complejas linealmente independientes Y1 = e2ix ,

Y2 = e−2ix .

La soluci´on general (compleja) es Y (x) = C1 e2ix + C2 e−2ix , umeros complejos. Utilizando la f´ormula de Euler donde C1 y C2 son n´ eiθ = cos θ + i sen θ 78

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

podemos expresar la soluci´on general en la forma Y = C1 (cos 2x + sen 2x) + C2 (cos 2x − i sen 2x) = (C1 + C2 ) cos 2x + i(C1 − C2 ) sen 2x = c1 cos 2x +2 sen 2x, donde c1 = C1 + C2 y c2 = i(C1 − C2 ). Es f´acil verificar que las funciones con valores reales y1 (x) = cos 2x y y2 (x) = sen 2x son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on. De este modo, la soluci´on general de la ecuaci´on es y(x) = c1 cos 2x + c2 sen 2x, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. A continuaci´on generalizamos los casos presentados en los ejemplos previos. Consideremos el operador diferencial de orden n con coeficientes constantes L := P (D) = an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 .

(3.32)

De este modo, podemos escribir la EDO lineal homog´enea con coeficientes constantes dn y dn−1 dy an n + an−1 n−1 · · · + a1 + a0 y = 0 (3.33) dx dx dx en la forma L[y] = P (D)[y] = 0 (3.34) Aplicando L = P (D) a y = erx tenemos L[erx ] = an rn erx + an−1 rn−1 erx + · · · + a1 rerx + a0 erx = erx (an rn + an−1 rn−1 + · · · + a1 r + a0 ) = erx P (r) donde P (r) = an rn + an−1 rn−1 + · · · + a1 r + a0 . As´ı, y = erx es soluci´on de la ecuaci´on (3.34) si r es una ra´ız de la ecuaci´on P (r) = an rn + an−1 rn−1 + · · · + a1 r + a0 = 0, 79

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(3.35)

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

llamada ecuaci´ on auxiliar o caracter´ıstica. Como es bien sabido, la ecuaci´on (3.35) tiene n ra´ıces (contando las multiplicidades), que pueden ser reales o complejas. Aunque no existen f´ormulas generales para determinar los ceros de un polinomio arbitrario de grado mayor que 4, si podemos determinar un cero r1 , entonces podemos cancelar el factor (r − r1 ) y trabajar con un polinomio de grado menor. Cuando no se pueda encontrar un cero con exactitud, se pueden usar algoritmos num´ericos para calcular ra´ıces aproximadas. A continuaci´on analizamos las posibilidades.

Ra´ıces reales distintas Si las ra´ıces de la ecuaci´on (3.35) son reales y distintas, entonces n soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on son y1 (x) = er1 x , y2 (x) = er2 x , . . . , yn (x) = ern x As´ı, una soluci´on general de (3.34) es y(x) = c1 er1 x + c2 er2 x + . . . + cn ern x , donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes. Ejemplo 3.12. Resolver y  − 4y  − y  + 4y = 0. Soluci´ on. La ecuaci´on auxiliar es p(r) = r3 − 4r2 − r + 4 = r2 (r − 4) − (r − 4) = (r − 4)(r2 − 1) = (r − 4)(r − 1)(r + 1). Las ra´ıces son r1 = 1, r2 = −1, r3 = 4. Luego, la soluci´on general es y(x) = c1 ex + c2 e−x + c3 e4x . 80

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(3.36)

3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Ra´ıces reales repetidas Si r1 es una ra´ız de (3.35) de multiplicidad m, entonces m soluciones linealmente independientes correspondientes al factor (r − r1 )m son y1 (x) = er1 x , y2 (x) = xer1 x , . . . , ym (x) = xm−1 er1 x Ejemplo 3.13. Resolver y  + 5y  + 3y  − 9y = 0 Soluci´ on. La ecuaci´on auxiliar es p(r) = r3 + 5r2 + 3r − 9 = 0 Evaluando podemos ver que r1 = 1 es una soluci´on de la ecuaci´on auxiliar. Por divisi´on sint´etica se tiene 5 3 −9 1 6 9 1 6 9 0

1

1

El cociente es q(r) = r2 + 6r + 9 = (r + 3)2 , cuya ra´ız es r2 = −3 de multiplicidad m = 2. La soluci´on general es y(x) = c1 ex + c2 e−3x + c3 xe−3x .

Ra´ıces complejas distintas Si r = α + βi es una ra´ız compleja de la ecuaci´on (3.35), entonces tambi´en lo es su complejo conjugado r = α − βi, pues los coeficientes de P (r) son reales. Si no hay ra´ıces repetidas entonces una soluci´on general de (3.34) est´a dada por Y = C1 e(α+βi) + C2 e(α−βi)x . Las soluciones con valores reales correspondientes a las ra´ıces α ± βi son la parte real y la parte imaginaria de e(α+βi)x . Como e(α+βi)x = eαx (cos (βx) + i sen (βx)), 81

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

entonces dos soluciones LI de (3.34) son (Ver Ejemplo 3.11) y1 (x) = eαx cos (βx), y2 (x) = eαx sen (βx). Ejemplo 3.14. Resolver y  + 3y  + 4y − 8y = 0 Soluci´ on. La ecuaci´on auxiliar es p(r) = r3 + 3r2 + 4r − 8 = 0 Se ve f´acilmente que r1 = 1 es una ra´ız de p(r). Por divisi´on sint´etica 1 1

3 1 4

4 4 8

−8 8 0

1

El cociente es q(r) = r2 + 4r + 8 = (r + 2)2 + 4 cuyas ra´ıces son r2,3 = −2 ± 2i. Dos soluciones linealmente independientes correspondientes a este factor son y2 = e−2x cos 2x, y3 = e−2x sen 2x, por lo tanto una soluci´on general es y(x) = c1 ex + c2 e−2x cos 2x + c3 e−2x sen 2x.

Ra´ıces complejas repetidas Si r = α + βi es una ra´ız compleja repetida de multiplicidad m > 1, entonces (3.34) tiene las 2m soluciones linealmente independientes con valores reales eαx cos βx, xeαx cos βx, . . . , xm−1 eαx cos βx eαx sen βx, xeαx sen βx, . . . , xm−1 eαx sen βx

(3.37)

En los dos apartados que siguen se desarrollan los m´etodos de coeficientes indeterminados basados en el principio de superposici´on y en el m´etodo de los operadores anuladores. Para resolver L[y] = g(x), donde L est´a dado por (3.32), se debe pasar por dos etapas: i) Determinar la soluci´on complementaria yc . ii) Establecer cualquier soluci´on particular yp de la ecuaci´on no homog´enea. 82

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

3.2.3

Coeficientes indeterminados

La idea b´asica es hacer una propuesta coherente acerca de la forma de yp originada por los tipos de funciones que forman la entrada g(x). El m´etodo es b´asicamente directo, pero est´a limitado a ecuaciones lineales no homog´eneas con coeficientes constantes en las que g(x) es una constante a, una funci´on polinomial pn (x), una funci´on exponencial eax , funciones seno o coseno como cos ωx, sen ωx o sumas y productos finitos de esas funciones. Ejemplo 3.15. Resolver y  − 4y  + 3y = 6x2 − 4. Soluci´ on. Primero resolvemos la ecuaci´on homog´enea asociada. La ecuaci´on auxiliar es r2 −4r +3 = 0 cuyas ra´ıces son r1 = 1 y r2 = 3. Luego, la soluci´on complementaria es yc (x) = c1 ex + c2 e3x . Como la funci´on g(x) es un polinomio, es de esperarse que la soluci´on particular sea de la misma forma yp = Ax2 + Bx + C e intentamos determinar coeficientes A, B y C. Como yp = 2Ax + B, yp = 2A, al sustituir en la ecuaci´on se tiene 2A − 8Ax − 4B + 3Ax2 + 3Bx + 3C = 6x2 − 4 3Ax2 + (−8A + 3B)x + 2A − 4B + 3C = 6x2 − 4 Por igualdad de polinomios, al igualar coeficientes se tiene Coeficientes de x2 : Coeficientes de x : Coeficientes de 1 :

3A −8A + 3B

=

6

=

0

2A − 4B + 3C = −2

Al resolver el sistema obtenemos A = 2, B = 16 , C = 3 16 40 2 yp = 2x + 3 x + 3 y la soluci´on general est´a dada por y(x) = yc (x) + yp (x) = c1 ex + c2 e4x + 2x2 + 83

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16 x 3

+

40 . 3

40 . 3

Luego

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 3.16. Resolver y  + y  − 2y = 2e−x Soluci´ on. La soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada y  + y  − 2y = 0 es yc = c1 ex + c2 e−x . Como la funci´on g(x) es una exponencial, asumimos una soluci´on particular de la forma: yp = Ae−x , e intentamos determinar el coeficiente A. Como yp = −Ae−x y yp = Ae−x , al sustituir en la ecuaci´on se tiene Ae−x − Ae−x − 2Ae−x = −2Ae−x = 2e−x , de donde A = −1. Por lo tanto yp = e−x y la soluci´on general es y = c1 ex + c2 e−x − e−x . Ejemplo 3.17. Resuelva y  + 4y = sen x Soluci´ on. La soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada est´a dada por yc = c1 cos 2x + c2 sen 2x. Buscamos yp de la forma yp = A cos x + B sen x, Como yp = −A sen x + B cos x, yp = −A sen x − B cos x, al sustituir en la ecuaci´on se tiene −A cos x − B sen x + 4A cos x + 4B sen x = 3A cos x + 3B sen x = sen x. Al igualar coeficientes de cos x y sen x se tiene 3A = 0

y

3B = 1,

de donde A = 0 y B = 13 . As´ı, yp = 13 cos x y la soluci´on general es y = c1 cos 2x + c2 sen 2x + 13 cos x. Ejemplo 3.18. Resolver y  − 2y  = 2x2 − 3x + 2 Soluci´ on. Encontramos que yc = c1 + c2 e2x . Como en el ejemplo (3.15), esperamos que yp sea de la forma yp = Ax2 + Bx + C. Entonces yp = 2Ax + B y yp = 2A. Al sustituir en la ecuaci´on tenemos 2A − 4Ax − 2B = 0x2 − 4Ax + 2A − 2B = 2x2 − 3x + 2. 84

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Al igualar coeficientes se tiene Coeficientes de x2 :

0=

Coeficientes de x :

− 4A = −3 2A − 2B =

Coeficientes de 1 :

2 2

El sistema es inconsitente, el coeficiente C no se puede determinar. As´ı, la soluci´on particular no puede ser de esa forma. Al analizar detenidamente la soluci´on particular propuesta, vemos que la funci´on constante g1 (x) = 2 hace parte de la soluci´on complementaria y por tanto satisface la ecuaci´on homog´enea. Para eliminar esta duplicidad, multiplicamos por x la soluci´on particular propuesta anteriormente. Sea yp = Ax3 + Bx2 + Cx, entonces yp = 3Ax2 + 2Bx + C y yp = 6Ax + 2B. Al reemplazar en la ecuaci´on diferencial, se tiene: 6Ax + 2B − 6Ax2 − 4Bx − 2C = −6Ax2 + (6A − 4B)x + 2B − 2C = 2x2 − 3x + 2.

Al igualar coeficientes se obtiene Coeficientes de x2 :

− 6A =

Coeficientes de x :

6A − 4B = −3.

Coeficientes de 1 :

2B − 2C =

2 2

Da ah´ı, A = − 13 , B = − 14 y C = − 34 . Luego, yp = − 13 x3 + 14 x2 − 34 x y = c1 + c2 e2x − 13 x3 + 14 x2 − 34 . Ejemplo 3.19. Resolver y  + 4y  + 4y = 6e−2x Soluci´ on. La soluci´on complementaria es yc = c1 e−2x + c2 xe−2x . Como 6e−2x y 6xe−2x hacen parte de yc , buscamos una soluci´on particular de la forma yp = Ax2 e−2x . Al derivar y reemplazar en la ecuaci´on se tiene 2Ae−2x − 8Axe−2x + 4Ax2 e−2x + 8Axe−2x − 8Ax2 e−2x + 4Ax2 e−2x = 6e−2x 2Ae−2x = 6e−2x , 85

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

de donde A = 3. Luego, yp = 3x2 e−2x y la soluci´on general est´a dada por y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 3x2 e−2x . A continuaci´on damos una tabla que nos permite conjeturar la forma de una soluci´on particular. g(x)

yp (x)

I

pn (x) = an xn + · · · + a1 x + a0

xk Pn (x) = xk (An xn + · · · + A1 x + A0 )

II

cecx

xk Aecx

III

a cos (ωx) + b sen (ωx)

xk [A cos (ωx) + B sen (ωx)]

IV

pn (x)ecx

xk Pn (x)ecx

V

pn (x) cos(ωx) + qm (x) sen(ωx)

xk [PN (x) cos(ωx) + QN (x) sen(ωx)], con N = m´ax{n, m}

VI

ecx [a cos(ωx) + b sen(ωx)]

xk ecx [A cos(ωx) + B sen(ωx)]

VII

ecx [pn (x) cos(ωx) + qm (x) sen(ωx)]

xk ecx [PN (x) cos(ωx) + QN (x) sen(ωx)], N = m´ax{n, m}

VIII

a cosh(ωx) + b senh(ωx)

xk [A cosh(ωx) + B senh(ωx)]

IX

pn (x) cosh(ωx) + qm (x) senh(ωx)

xk [PN (x) cosh(ωx)+QN (x) senh(ωx)], con N = m´ax{n, m}

X

ecx [a cosh(ωx) + b senh(ωx)]

xk ecx [A cosh(ωx) + B senh(ωx)]

XI

ecx [pn (x) cosh(ωx) + qm (x) senh(ωx)]

xk ecx [PN (x) cosh(ωx) + QN (x) senh(ωx)], N = m´ax{n, m}

Tipo

Tabla 3.1. Forma de yp

El entero no negativo k se elige como el menor entero tal que ning´ un t´ermino de la soluci´on particular yp (x) sea soluci´on de la ecuaci´on homog´enea correspondiente L[y] = 0. El polinomio Pn (x) debe incluir todos sus t´erminos aunque pn (x) tenga algunos t´erminos nulos. Ejemplo 3.20. Determine la forma de una soluci´on particular para la ecuaci´on diferencial y  + 4y  = 2 + 4 cos 2x − 3x2 e2x + xex sen x. 86

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Soluci´ on. Se tiene que yc = c1 + c2 cos 2x + c3 sen 2x. Sea L := D3 + D, usaremos el Teorema 3.2.6 para encontrar la forma de yp para los problemas i. L[y] = 2 iii. L[y] = −3x2 e2x

ii. L[y] = 4 cos 2x vi. L[y] = xex sen x

Vemos que g1 (x) = 2 y g2 (x) = 4 cos 2x est´an inclu´ıdas en yc . Entonces yp1 = Ax, yp3 = (Dx2 + Ex + F )ex

yp2 = x (B cos 2x + C sen 2x) ,   yp4 = ex (Gx + H) cos x + (Ix + J) sen x

As´ı, la forma de yp es y p = yp 1 + yp 2 + y p 3 + y p 4 .

3.2.4

Operadores anuladores

En esta secci´on se estudia un m´etodo que es una variaci´on de coeficientes indeterminados en el cual se usan operadores diferenciales. Definici´ on 3.2.5. Se dice que un operador diferencial Q(D) anula a una funci´on g(x) si Q(D)[g(x)] = 0. Ejemplo 3.21. Muestre que el operador Q(D) := D3 (D − 2)2 anula a la funci´on g(x) = 3x2 − 4x + 2 + (x + 3)e2x . Soluci´ on. Usaremos el Teorema 3.2.9: e−ax (D − a)k [y] = Dk [e−ax y] Q(D)[g(x)] = D3 (D − 2)2 [3x2 − 4x + 2 + (x + 3)e2x ] = D3 (D − 2)2 [3x2 − 4x + 2] + D3 (D − 2)2 [(x + 3)e2x ] = (D − 2)2 [D3 [3x2 − 4x + 2]] + D3 [e2x e−2x (D − 2)2 [e2x (x + 3)]] = (D − 2)2 [0] + D3 [e2x D2 [e−2x (x + 3)e2x ]], y = (x + 3)e2x = 0 + D3 [e2x D2 [x + 3]] = D3 [e2x 0] = D3 [0] = 0 En la tabla siguiente se da una lista de operadores anuladores. 87

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

g(x)

Operador anulador Q(D)

I

pn (x) = an xn + · · · + a1 x + a0

Dn+1

II

ceax

D−a

III

a cos (ωx) + b sen (ωx)

D2 + ω 2

IV

pn (x)eax

(D − a)n+1

V

pn (x) cos (ωx) + qm (x) sen (ωx)

(D + ω 2 )N +1 , N = m´ax{n, m}

VI

eax [c cos ωx + d sen ωx]

(D − a)2 + ω 2

VII

eax [pn (x) cos (ωx) + qm (x) sen (ωx)]

[(D − a)2 + ω 2 ]N +1 , N = m´ax{n, m}

VIII

a cosh (ωx) + b senh (ωx)

D2 − ω 2

IX

pn (x) cosh (ωx) + qm (x) senh (ωx)

(D − ω 2 )N +1 , N = m´ax{n, m}

X

eax [c cosh ωx + d senh ωx]

(D − a)2 − ω 2

XI

eax [pn (x) cosh (ωx) + qm (x) senh (ωx)]

[(D − a)2 − ω 2 ]N +1 , N = m´ax{n, m}

Tipo

Tabla 3.2. Operadores anuladores

Ejemplo 3.22. Resolver y  − 2y  + y = 2x + cos x Soluci´ on. La soluci´on complementaria es yc = c1 ex + c2 xex . Expresando en t´erminos de operadores tenemos (D2 − 2D + 1)[y] = (D − 1)2 [y] = 2x + cos x Un operador anulador para g(x) = 2x+cos x es Q(D) = D2 (D2 +1). Entonces Q(D)P (D)[y] = Q(D)[g(x)] D2 (D2 + 1)(D − 1)2 [y] = 0. La soluci´on de esta u ´ltima ecuaci´on es y = a1 + a2 x + a3 cos x + a4 sen x + a5 ex + a6 xex . La parte de la soluci´on encerrada en el recuadro es yc , luego los t´erminos restantes en la ecuaci´on expresan la forma de la soluci´on particular que buscamos yp = A1 + A2 x + A3 cos x + A4 sen x. 88

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3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Despu´es de efectuar los c´alculos se obtiene yp = −4 + 2x + 12 sen x. As´ı, la soluci´on general es y = c1 ex + c2 xex − 4 + 2x +

1 sen x. 2

Ejemplo 3.23. Determine la forma de una soluci´on particular de la ecuaci´on y  − 2y  + y  = 2x + cos x − 3ex . Soluci´ on. Se encuentra que yc = c1 + c2 ex + c3 xex . Usando operadores tenemos (D3 − 2D2 + D)[y] = D(D − 1)2 [y] = 2x + cos x − 3ex . Un operador anulador para la funci´on Q(D) = D2 (D − 1)(D2 + 1). As´ı

g(x) = 2x + cos x − 3ex es

D2 (D − 1)(D2 + 1)D(D − 1)2 [y] = 0 D3 (D − 1)3 (D2 + 1)[y] = 0, cuya soluci´on es y = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 ex + a5 xex + a6 x2 ex + a7 cos x + a8 sen x. Como la combinaci´on lineal a1 + a4 ex + a5 xex que est´a encerrada en los recuadros corresponde a la soluci´on complementaria, los t´erminos restantes en la ecuaci´on expresan la forma que buscamos yp = A1 x + A2 x2 + A3 x2 ex + A4 cos x + A5 sen x.

3.2.5

Variaci´ on de los par´ ametros

En las secciones previas se ha visto que el m´etodo de los coeficientes indeterminados o el de los operadores anuladores es un m´etodo sencillo para encontrar una soluci´on particular cuando la ecuaci´on tiene coeficientes constantes y el t´ermino no homog´eneo es de un tipo especial. Aqu´ı presentamos un m´etodo m´as general, llamado variaci´on de los par´ametros, para determinar 89

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

una soluci´on particular. Este m´etodo se aplica incluso cuando, los coeficientes de la ecuaci´on diferencial son funciones de x, siempre que se conozca un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on homog´enea asociada. Antes de estudiar el m´etodo daremos algunas definiciones y resultados que nos permiten simplificar algunos c´alculos Definici´ on 3.2.6. Sean u = (u1 , u2 , . . . , un ) y v = (v1 , v2 , . . . , vn ), donde u1 , u2 , . . . , un y v1 , v2 , . . . , vn son funciones, definimos el producto interior u, v entre u y v de la siguiente manera u, v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn =

n 

ui v i

(3.38)

i=1

Teorema 3.2.10. Sea p una funci´on escalar y, u = (u1 , u2 , . . . , un ), v = (v1 , v2 , . . . , vn ) y w = (w1 , w2 , . . . , wn ) funciones vectoriales diferenciables. Entonces u, v = v, u u, v + w = u, v + u, w

(3.39) (3.40)

pu, v = pu, v = u, pv

(3.41)

u, v  = u, v + u , v

(3.42)

donde u = (u1 , u2 , . . . , un ). Consideremos la ecuaci´on lineal no homog´enea de orden n en forma normal L[y] = y (n) + pn y (n−1) + · · · + p2 y  + p1 y = f (x),

(3.43)

donde L := Dn + p1 Dn−1 + · · · + pn−1 D + pn y sea {y1 , y2 , . . . , yn } un conjunto fundamental de soluciones de L[y] = 0. Sabemos que la soluci´on general de L[y] = 0 est´a dada por y = c 1 y1 + c 2 y 2 + · · · + c n yn 90

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(3.44)

3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes. Para determinar una soluci´on particular de (3.43), la idea detr´as de la variaci´on de los par´ametros consiste en reemplazar las constantes en (3.44) por funciones de x. Es decir, buscamos una soluci´on de la forma yp = v1 y1 + v2 y2 + · · · + vn yn = v, y

(3.45)

Como hemos introducido n funciones inc´ognitas v1 , v2 , . . . , vn , es razonable que podamos imponer condiciones sobre dichas funciones. De (3.45) y usando (3.42) tenemos, yp = v, y  = v, y + v , y Para simplificar los c´alculos y evitar derivadas de segundo orden de las inc´ognitas v1 , v2 , . . . , vn en las expresiones para yp , imponemos la condici´on v , y = k1 ,

donde k1 es una constante que puede ser 0.

As´ı, yp se simplifica a yp = v, y + k1 .

(3.46)

Luego, yp = v, y  = v , y + v, y . Ahora imponemos la condici´on v , y = k2 ,

donde k2 es una constante que puede ser 0,

de donde yp = v, y + k2 .

(3.47)

Este proceso se contin´ ua hasta llegar a yp(n−1) = v , y

(n−2)

+ v, y(n−1) .

En este punto, la condici´on que se debe imponer es v , y

(n−2)

= kn−1 ,

donde kn−1 es una constante que puede ser 0, 91

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

de donde yp(n−1) = v, y(n−1) + kn−1 .

(3.48)

Finalmente, yp(n) = v , y

(n−1)

+ v, y(n) .

(3.49)

Al sustituir las expresiones para yp , yp , yp , . . . , yp , yp dadas por (3.45), (3.46), (3.47),. . . , (3.48) y (3.49) en (3.43), y usando (3.40) y (3.41) tenemos (n−1)

(n)

f (x)= L[yp ] = v , y

(n−1)

+ v, y(n) + pn−1 v , y

(n−1)

+ pn−1 kn−1



+ · · · + p1 v, y + p1 k1 + p1 v, y = v , y

(n−1)

(3.50)

+ v, y(n) + pn−1 y(n−1) + · · · + p1 y + p1 y + p, k ,

donde p, k = p1 k1 + · · · + pn−1 kn−1 . Puesto que {y1 , y2 , . . . , yn } constituye un conjunto fundamental de soluciones de L[y] = 0 entonces L[y] = y(n) + p1 y(n−1) + · · · + pn−1 y + pn y = 0. As´ı, (3.50) se reduce a v , y

(n−1)

+ p, k = f (x).

(3.51)

En resumen, para hallar una soluci´on particular dada por (3.45), debemos encontrar v1 , v2 , . . . , vn que satisfagan v , y = v1 y1 + v2 y2 + · · · + vn yn = kn−1 v , y = v1 y1 + v2 y2 + · · · + vn yn = kn−2 .. . v , y(n−2) = v1 y1(n−2) + v2 y2(n−2) + · · · + vn yn(n−2) = k1 v , y(n−1) = v1 y1(n−1) + v2 y2(n−1) + · · · + vn yn(n−1) = f (x) − p, k , 92

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(3.52)

3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Para determinar v1 , v2 , . . . , vn primero debemos resolver el sistema (3.52) en t´erminos de v1 , v2 , . . . , vn . Despu´es de un manejo algebraico de la regla de Cramer se obtiene v1 =

W1  W2 Wn , v2 = , . . . , vn = , W W W

donde W es el wronskiano de y1 , y2 , . . . , yn y Wj es el determinante que se obtiene al reemplazar la columna j−´esima de la matriz del sistema por la columna (kn−1 , kn−2 , . . . , k1 , f (x) − p, k )T . Al integrar estas ecuaciones se obtiene    W1 W2 Wn dx, v2 = dx, . . . , vn = dx. v1 = W W W Para n = 2, las ecuaciones anteriores son   k1 y1 − y2 [f (x) − pk1 ] y1 [f (x) − pk1 ] + k1 y1 v1 = dx, v2 = dx. W W Para simplificar los c´alculos, se toman k1 = k2 = · · · = kn−1 = 0 en (3.52). Asi, para n = 2 se tiene   y2 f (x) y1 f (x) dx, v2 = dx. v1 = − W W Para n = 3 se tiene 

v1 =

W [y2 , y3 ]f (x) dx, v2 = − W



W [y1 , y3 ]f (x) dx, v3 = W



W [y1 , y2 ]f (x) dx. W

Ejemplo 3.24. Resolver y  − y  − 2y = e−x por variaci´on de los par´ametros. Soluci´ on. Un conjunto fundamental de soluciones de y  − y  − 2y = 0 es {e−x , e2x }. Sea yp = v1 e−x + v2 e2x . El wronskiano de e−x y e2x es W = 3ex . Luego v1 = −

e2x e−x = − 13 , 3ex

v2 =

e−x e−x = 13 e−3x , 3ex

de donde v1 = − 13 x,

v2 = − 19 e−3x . 93

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Entonces yp = v1 y1 + v2 y2 = − 13 xe2x e−x − 19 e−3x e2x = − 13 xe−x − 19 e−x y la soluci´on general viene dada por   y = c1 − 19 e−x + c2 e2x − 13 xe−x . Ejemplo 3.25. Resolver y  − y = (1 − e−x )−1 . Soluci´ on. Se obtiene que yc = c1 ex + c2 e−x y W = W [ex , e−x ] = −2. Luego,  e−x 1 dx = 12 ln |1 − e−x | = 12 ln |ex − 1| − 12 x v1 = 2 1 − e−x   ex e2x 1 1 dx = − 12 ex − 12 ln |ex − 1| dx = − v2 = − 2 2 1 − e−x ex − 1 Por tanto, yp = v1 y1 + v2 y2 = 12 ex ln(ex − 1) − 12 xex − 12 − 12 e−x ln(ex − 1); x > 0 y la soluci´on general es y = c1 ex + c2 e−x + 12 ex ln(ex − 1) − 12 xex − 12 − 12 e−x ln(ex − 1), x > 0. Ejemplo 3.26. Resolver y  + y  − 2y  = 6ex (1 + ex )−1 Soluci´ on. Un CFS para la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada es x −2x {1, e , e } y W = W [1, ex , e−2x ] = 6e−x . Ahora y p = v1 y 1 + v 2 y 2 + v 3 y 3 .  x    −2x  e 1 e−2x  e −x  = −3e , W [y1 , y3 ] =   = −2e−2x W [y2 , y3 ] =  x  −2x  −2x  e −2e 0 −2e    1 ex   = ex . W [y1 , y2 ] =  0 ex  Luego,

 −3e−x 6ex W [y2 , y3 ]f (x) dx = dx v1 = W 6e−x (1 + ex )  ex = −3 dx = −3 ln(1 + ex ) 1 + ex 

94

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´ DE CAUCHY–EULER 3.3. ECUACION

 −2e−2x 6ex W [y1 , y3 ]f (x) dx = − v2 = − dx W 6e−x  1 dx = −2 ln(1 + e−x ) = 2x − 2 ln(1 + ex ) =2 x 1+e    ex 6ex e3x W [y1 , y2 ]f (x) dx = dx = dx v3 = W 6e−x (1 + ex ) 1 + ex 

= 12 e2x + ln(1 + ex ) − ex − 32 . Luego, yp = v1 y1 + v2 y2 + v3 y3

    = −3 ln(1 + ex ) + 2ex x − ln(1 + ex ) + e−2x 12 e2x + ln(1 + ex ) − ex − 32 .

La soluci´on general es y = c1 + c2 ex + c3 e−2x + yp .

3.3

Ecuaci´ on de Cauchy–Euler

Una ecuaci´on de la forma an xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + · · · + a1 xy  + a0 y = g(x)

(3.53)

donde a0 , a1 , . . . , an son constantes, se llama ecuaci´on de Cauchy–Euler o ecuaci´on equidimensional. Empezaremos el desarrollo analizando en detalle las formas de las soluciones generales de la ecuaci´on homog´enea de segundo orden (3.54) ax2 y  + bxy  + cy = g(x) La soluci´on de ecuaciones de orden superior ser´a similar. Una vez se haya determinado la soluci´on complementaria yc de ax2 y  + bxy  + cy = 0

(3.55)

podemos resolver la ecuaci´on no homog´enea (3.54) con el m´etodo de variaci´on de los par´ametros. 95

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Puesto que el coeficiente de y (n) es cero cuando x = 0, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema (3.2.1) sean aplicables a la ecuaci´on de Cauchy–Euler, supondremos que x > 0. Hay dos maneras equivalentes de resolver la ecuaci´on (3.55). La primera forma es intentar una soluci´on de la forma y = xr , donde r es una constante por determinar. La primera y segunda derivadas son, y  = rxr−1 y y  = r(r − 1)xr−2 respectivamente. Al sustituir en (3.55) se tiene ax2 y  + bxy  + cy = ar(r − 1)xr + brxr + cxr = [ar2 + (b − a)r + c]xr = 0 As´ı, y = xr es una soluci´on de (3.55) siempre que r sea soluci´on de la ecuaci´on auxiliar (3.56) ar2 + (b − a)r + c = 0. Hay tres casos por considerar que dependen de si las ra´ıces son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas Caso I: Ra´ıces reales distintas. Sean r1 y r2 las ra´ıces reales de (3.56), tales que r1 = r2 . Entonces {xr1 , xr2 } forma un conjunto fundamental de soluciones. De este modo, la soluci´on general es y(x) = c1 xr1 + c2 xr2 . Ejemplo 3.27. Resolver x2 y  + 5xy  + 3y = 0. Soluci´ on. Sea y = xr , entonces y  = rxr−1 y y  = r(r −1)xr−2 . al reemplazar en la ecuaci´on se tiene r(r − 1)xr + 5rxr + 3xr = (r2 + 4r + 3)xr = 0. La ecuaci´on auxiliar es r2 + 4r + 3 = (r + 1)(1 + 3) = 0 96

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´ DE CAUCHY–EULER 3.3. ECUACION

cuya soluciones son r1 = −1 y r2 = −3. Luego, la soluci´on general es y = c1 x−1 + c2 x−3 . Caso II: Ra´ıces reales repetidas. Si las ra´ıces de (3.56) son repetidas, es decir, si r1 = r2 , s´olo podremos obtener una soluci´on y1 = xr1 . Cuando las ra´ıces de la ecuaci´on (3.56) son iguales, el discriminante de los coeficientes debe ser cero. Luego, la ra´ız deber ser . Para encontrar una segunda soluci´on linealmente independiente r1 = − b−a 2a usamos el m´etodo de reducci´on de orden. Para ello, escribimos la ecuaci´on (3.55) en la forma c b dy d2 y + 2 y = 0. + (3.57) 2 dx ax dx x Usando la ecuaci´on (3.16) tenemos   y2 (x) = y1 (x) [y1 (x)]−2 e− p(x)dx dx  −  b dx  − b ln x e ax e a r1 r1 dx = x dx =x x2r1 x2r1  b r1 x−b/a x−2r1 dx ←− e− a ln x = x−b/a =x  r1 x−b/a x−(b−a)/a dx ←− −2r1 = (b − a)/a =x  1 r1 dx = xr1 ln x. =x x Entonces la soluci´on general es y = c1 xr1 + c2 xr1 ln x. Ejemplo 3.28. Resolver la ecuaci´on x2 y  − 3xy  + 4y = 0. Soluci´ on. La sustituci´on y = xr proporciona x2 y  − 3xy  + 4y = r(r − 1)xr − 3rx2 + 4xr = (r2 − 4r + 4)xr = 0. Esto ocurre si r2 − 4r + 4 = (r − 2)2 = 0. Como r = 2 es una ra´ız doble, entonces la soluci´on general es y = c1 x2 + c2 x2 ln x. 97

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Caso III: Ra´ıces complejas conjugadas: Si las ra´ıces de (3.56) son el par conjugado r1 = α + βi, r2 = r¯1 = α − βi, donde α, β > 0 son reales, una soluci´on es Y = C1 xα+βi + C2 xα−βi Al usar la identidad

iβ  xiβ = eln x

y la f´ormula de Euler, al igual que en el caso de ecuaciones con coeficientes constantes, despu´es de un poco de a´lgebra, llegamos a la soluci´on general y = xα [c1 cos (β ln x) + c2 sen (β ln x)]. Ejemplo 3.29. Resolver y  + 3y  + 5y = 0. Soluci´ on. La sustituci´on y = xr , y  = rxr−1 y y  = r(r − 1)xr−2 da r(r − 1)xr + 3rxr + 5xr = (r2 + 2r + 5)xr = 0. La ecuaci´on auxilar es r2 + 2r + 5 = (r + 1)2 + 4 = 0, cuyas soluciones son r1,2 = −1 ± 2i. Luego, la soluci´on general es y = x−1 [c1 cos (2 ln x) + c2 sen (2 ln x)] .

3.4

Algunas aplicaciones

En esta secci´on se analizar´an algunas aplicaciones de las ecuaciones de orden superior.

Sistema masa–resorte Como se vio en la introducci´on del cap´ıtulo, la ecuaci´on diferencial que describe el movimiento de un sistema masa–resorte est´a dada por m

dx d2 x + b + kx = g(t). 2 dt dt 98

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(3.58)

3.4. ALGUNAS APLICACIONES

La ecuaci´on (3.58) puede escribirse en forma conveniente como d2 x dx + 2λ + ω 2 x = f (t), 2 dt dt donde λ =

b , 2m

ω2 =

k m

y f (t) =

(3.59)

g(t) . m

Caso 1: Movimiento libre no amortiguado. Tambi´en conocido como Movimiento Arm´onico Simple (MAS) d2 x + ω 2 x = 0. dt2

(3.60)

umeros complejos Las soluciones de la ecuaci´on auxiliar r2 + ω 2 = 0 son los n´ r1,2 = ±ω i. La soluci´on general de (3.60) est´a dada por x(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt = A sen (ωt + φ),

(3.61)

 donde A = c21 + c22 es la amplitud del movimiento y φ es el a´ngulo de fase el cual est´a definido por las ecuaciones sen φ =

c c c1 , cos φ = 2 , tan φ = 1 A A c2

El periodo de las vibraciones libres que describe (3.61) es T = ω . cuencia es f = T1 = 2π

2π ω

y la fre-

x A A 2T

T −A

T

Figura 3.2. Movimiento Arm´onico Simple (MAS)

99

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3T

t

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 3.30. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del MAS es 2/π oscilaciones por segundo, ¿cu´al es la constante k del resorte? ¿Cu´al es la frecuencia del MAS si la masa original se reemplaza por una de 80 kg? Soluci´ on. El periodo es T = f1 = π2 . Por otro lado, T = k k = 20 . As´ı, k = 320. Tambi´en se tiene que 16 = ω 2 = m  Para el caso en que m = 80 kg se tiene ω = ω 2 = 2π = π1 . Entonces, la frecuencia es f = 2π

k m

2π , ω

 =

de donde ω = 4.

320 80

=

√

4 = 2.

Ejemplo 3.31. Al fijar un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte, lo estira 4 pulg. Deduzca la ecuaci´on del movimiento cuando el contrapeso se suelta de la posici´on de equilibrio con una velocidad inicial de 2 pie/s hacia abajo. Soluci´ on. Primero debemos hallar la constante del resorte. Para ello expresemos la longitud en pies y determinemos su masa. Puesto que 1 pie = 12 pulg. y g = 32 pie/seg 2 se tiene 1 24 3 1 pie = pie, m = slugs = slugs, 12 3  32 4 √ √ F k = 72 libra/pie y ω = = 96 = 4 6. k= l m l = 4 pulg. = 4 ∗

La soluci´on general es √ √ x(t) = c1 cos(4 6 t) + c2 sen(4 6 t). Las condiciones iniciales son: x(0) = 0 y x (0) = 2. Al usar estas condiciones se obtiene √ 1 x(t) = √ sen(4 6 t). 2 6 Caso 2: Movimiento libre amortiguado dx d2 x + 2λ + ω 2 x = 0. 2 dt dt 100

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(3.62)

3.4. ALGUNAS APLICACIONES

Las soluciones de la ecuaci´on auxiliar r2 + 2λr + ω 2 = 0 son r1,2 = −λ ±

√ λ2 − ω 2 .

Ahora se pueden distinguir tres casos dependiendo del signo de λ2 − ω 2 . Puesto que cada soluci´on tiene el t´ermino de amortiguamiento e−λt , λ > 0, los movimientos de la masa se vuelven insignificantes cuando t es grande; es decir, x(t) → 0 cuando t → ∞. Caso I: λ2 − ω 2 > 0. Aqu´ı se dice que el sistema est´a sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento b es grande comparado con k. La soluci´on general de (3.62) est´a dada por (ver Fig. 3.3(a))  √  √ −λt λ2 −ω 2 t − λ2 −ω 2 t c1 e , (3.63) + c2 e x(t) = e Caso II: λ2 − ω 2 = 0. Se dice que el sistema est´a cr´ıticamente amortiguado puesto que cualquier perturbaci´on en la fuerza de amortiguamiento podr´ıa originar un movimiento oscilatorio. La soluci´on general de la ecuacion (3.62) es (ver Fig. 3.3(b)) x(t) = e−λt (c1 + c2 t)

(3.64)

Caso III: λ2 − ω 2 < 0. Se dice que el sistema est´a subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es peque˜ no comparado con k. Ahora las ra´ıces son complejas √ r1,2 = −λ ± ω 2 − λ2 i. Entonces, la soluci´on general de la ecuaci´on (3.62) es (ver Fig. 3.3(c)) √ √ x(t) = e−λt (c1 cos ω 2 − λ2 t + sen ω 2 − λ2 t) (3.65) √ = Ae−λt sen( ω 2 − λ2 t + φ) donde A = ecuaciones

 c21 + c22 y φ es el a´ngulo de fase el cual est´a definido por las sen φ =

c c c1 , cos φ = 2 , tan φ = 1 A A c2 101

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

El movimiento que describe (3.65) es oscilatorio pero debido al coeficiente e−λt , las amplitudes de vibraci´on tienden a cero cuando t → ∞. En ocasiones, al coeficiente Ae−λt se le denomina amplitud amortiguada de las vibraciones. Dado que la ecuaci´on (3.65) no es una funci´on peri´odi√ 2 ω −λ2 es la cuasifrecuencia. ca, el n´ umero √ω2π 2 −λ2 se llama cuasiperiodo y 2π

x

x

x

t t

t

(a) Sobreamortiguado

(b) Subamortiguado

(c) Cr´ıticamente amortiguado

Figura 3.3. Movimiento libre amortiguado

Caso 3: Movimiento forzado d2 x dx + 2λ + ω 2 x = f (t). (3.66) 2 dt dt Aqu´ı consideramos el caso en que f (t) = a1 cos Ωt + a2 sen Ωt. La soluci´on general de (3.66) es de la forma x(t) = xc (t) + xp (t),

(3.67)

donde xc (t) es la soluci´on general de (3.62) y yp (t) es una soluci´on particular de (3.66). Vimos que, para λ > 0, xc (t) → 0 cuando t → ∞. Por esta raz´on, ermino transitorio o la soluci´on complementaria xc (t) se le denomina t´ ermino estable o soluci´ on transitoria y la funci´on xp (t), se le llama t´ soluci´ on estable. 102

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3.4. ALGUNAS APLICACIONES

x

x xp (t) = estable

x(t) = estable + transitorio

t

t

xc (t) = transitorio

(a)

(b)

Figura 3.4. Movimiento forzado

Analicemos ahora el caso en que λ = 0. La ecuaci´on diferencial es d2 x + ω 2 x = a1 cos Ωt + a2 sen Ωt dt2

(3.68)

Hay que considerar dos casos: Ω = ω y Ω = ω (i) Ω = ω. En este caso la soluci´on particular es de la forma xp = A1 cos Ωt + A2 sen Ωt. Al reemplazar xp y xp en (3.68) se obtiene xp (t) =

ω2

a1 a cos Ωt + 2 2 2 sen Ωt 2 −Ω ω −Ω

(3.69)

(ii) Ω = ω. (Resonancia pura). La soluci´on particular es de la forma xp = A1 t cos Ωt + A2 t sen Ωt. Al reemplazar xp y xp en (3.68) se obtiene xp (t) = −

a a2 t cos ωt + 1 t sen ωt = A0 t sen(ωt + φ) 2ω 2ω

(3.70)

Note que la ecuaci´on (3.69) no est´a definida para ω = Ω y que la ecuaci´on (3.70) se podr´ıa “ver” como el caso l´ımite en (3.69) cuando Ω → ω. Este proceso de l´ımite equivale a una “sintonizaci´on” de la frecuencia (Ω/2π) de la fuerza impulsora con la de las vibraciones libres (ω/2π). La presencia del factor t en (3.70) hace que los desplazamientos crezcan cuando t → ∞. Este fen´omeno se conoce como resonancia pura. 103

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

x x = A0 t

xp = A0 t sen(ωt + φ)

t

x = −A0 t

Figura 3.5. Resonancia

Circuito en serie RLC En el cap´ıtulo 1 se encontr´o que la ecuaci´on diferencial para el circuito RLC es 1 d2 q dq L 2 + R + q = E(t). (3.71) dt dt C El estudio de la ecuaci´on (3.71) es similar a la ecuaci´on (3.66).

Deflexi´ on de un viga Una gran cantidad de estructuras son construidas a partir de vigas, las cuales se flexionan o distorsionan debido a su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Como se ver´a m´as adelante, la flexi´on (flecha) y(x) est´a determinada por una ecuaci´on lineal de cuarto orden. Supongamos que una viga tiene longitud L es homog´enea y tiene secci´on transversal uniforme en toda su extensi´on. Cuando no recibe carga, incluyendo la de su propio peso, la l´ınea que une los centroides de sus secciones transversales es una recta, llamada eje de simetr´ıa. Si a la viga se aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetr´ıa, sufre una distorsi´on y la curva que une los centroides de las secciones se llama curva de flexi´on o curva el´astica o simplemente el´astica. Esta curva, describe la forma 104

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3.4. ALGUNAS APLICACIONES

que adopta la viga. Suponiendo que el eje x coincide con el eje de simetr´ıa de la viga y que la flexi´on (o flecha) y(x), medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teor´ıa, se demuestra que el momento flexionante M (x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuaci´on d2 M = w(x). dx2

(3.72)

Adem´as, el momento flexionante M (x) es proporcional a la curvatura κ, de la curva el´astica: M (x) = EIκ, (3.73) donde E e I son constantes, E es el m´odulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la secci´on transversal de ´esta (respecto de un eje llamado eje neutro). El producto EI se llama rigidez a la flexi´on de la viga. De acuerdo con el c´alculo diferencial, la curvatura es na, la pendiente y  ≈ 0, κ = y  /[1 + (y  )2 ]3/2 . Cuando la flexi´on y(x) es peque˜ de modo que [1 + (y  )2 ]3/2 ≈ 1. Si κ = y  , la ecuacion (3.73) se transforma en M = EIy  . La segunda derivada de esta ecuaci´on es d2 M d2  d4 y = EI 2 y = EI 4 . dx2 dx dx

(3.74)

Aplicamos el resultado de la ecuaci´on (3.72) para reemplazar d2 M/dx2 en la ecuaci´on (3.74) y vemos que la flexi´on y(x) satisface la ecuaci´on diferencial de cuarto orden d4 y EI 4 = w(x). (3.75) dx Las condiciones en la frontera asociadas a esta ecuaci´on dependen de la forma en que est´en sometidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo est´a empotrada en un extremo y libre en otro. Un trampol´ın, un brazo extendido, el ala de un avi´on y una marquesina son ejemplos comunes de este caso. Para una viga en voladizo, la flexi´on y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0: • y(0) = 0 porque no hay flexi´on en ese lugar, y 105

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

• y  (0) = 0 porque la curva de deflexi´on es tangente al eje x Cuando x = L, las condiciones del extremo libre son: • y  (L) = 0 porque el momento flexionante es cero • y  (L) = 0 porque la fuerza cortante es cero. La funci´on F (x) = dM/dx = EIdy 3 /dx3 se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga est´a simplemente apoyado (articulado), se debe cumplir que y = 0 y y  = 0 en ese extremo. La siguiente tabla resume las condiciones en la frontera asociadas con (3.75). Extremos de la viga empotrado libre simplemente apoyado

Condiciones de frontera y = 0, y  = 0 y  = 0, y  = 0 y = 0, y  = 0

Ejemplo 3.32. Una viga de longitud L est´a simplemente apoyada en ambos extremos y w(x) = w0 , 0 < x ≤ L. Determine la flexi´on de esta viga. Soluci´ on. La flexi´on satisface la ecuaci´on d4 y EI 4 = w0 . dx Las condiciones iniciales asociadas son y(0) = 0, y(L) = 0, y  (0) = 0 y y  (L) = 0. Al integrar sucesivamente cuatro veces se obtiene la soluci´on general y(x) = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 +

w0 x4 . 24EI

Las condiciones y(0) = 0 y y  (0) = 0 dan c1 = 0 y c3 = 0. Las restantes w0 4 x dan origen al sistema condiciones aplicadas a y(x) = c2 x + c4 x3 + 24EI c 2 L + c 4 L3 +

w0 L4 24EI

=0

106

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3.5. EJERCICIOS

6c4 L +

w0 L2 2EI

=0

Al resolver este sistema se obtiene c2 = w0 L3 /24EI y c4 = −w0 L/12EI. Entonces, la flexi´on es y(x) =

w0 L 3 x 24EI

−

w0 L 3 x 12EI

+

w0 x4 . 24EI

L

x

y

3.5

Ejercicios

1. Sea L := D2 − 4D + 3. Calcule a) L[x2 ]

b) L[e3x ]

c) L[erx ]

d ) L[cos x]

c) L[xr ]

d ) L[e−x ]

c) L[e−2x ]

d ) L[ln x]

2. Sea L := x2 D2 − 3xD − 5. Calcule a) L[cos x]

b) L[x−1 ]

3. Sea L := D2 − xD + 2. Calcule a) L[x2 − 1]

b) L[cos 2x]

4. Muestre que el operador T definido por T := D2 − 3D + y, de manera que T [y] = y  − 3y  + y 2 , no es lineal. 5. Dado que y1 = e2x cos x y y2 = e2x sen x son soluciones linealmente independientes de y  − 4y  + 5y = 0, determine soluciones de esta ecuaci´on que satisfagan las condiciones iniciales a) y(0) = 2, y  (0) = 1

b) y(0) = 4, y  (0) = 5 107

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

6. Muestre que y = c1 x2 + c2 x4 + 3 es una familia de soluciones de la ED x2 y  − 5xy  + 8y = 24 en (−∞, ∞) y halle un miembro de la familia que satisfaga y(1) + y  (1) = −4 y y(2) + y  (2) = 19. 7. Sea y = c1 x2 + c2 x4 + ax + b una familia biparam´etrica de curvas. Halle los valores de a y b de modo que sea soluci´on de x2 y  − 5xy  + 8y = 9x − 16 en (−∞, ∞) y halle un miembro de la familia que satisfaga y(1) + y  (1) = 0

y

y(−1) + y  (−1) = 2.

8. Dado que y = c1 cos x + c2 sen x es soluci´on de y  + y = 0, determine soluciones, si existen, que satisfagan las condiciones de frontera b) y(0) = 2, y(π) = −2

a) y(0) = 2, y( π2 ) = 0

En los problemas 9 y 10, defina un intervalo en torno a x = 0 para el cual el problema de valor inicial correspondiente tenga soluci´on u ´nica. 9. (x − 2)y  + 3y = x

10. y  + (tan x)y = ex

En los problemas 11 a 17, compruebe si las funciones respectivas son linealmente independientes o dependientes en (−∞, ∞). 12. y1 = e3x , y2 = e−2x

11. y1 = x, y2 = x2 13. y1 = e−x cos 2x, y2 = e−x sen 2x

14. y1 = x2 cos (ln x), y2 = x2 sen (ln x) 15. y1 = x + 2, y2 = |x| + 2

16. y1 = 1, y2 = x, y3 = x2

17. y1 = cos 2x, y2 = cos2 x, y3 = sen2 x 18. Considere la ecuaci´on diferencial lineal x2 y  − 3xy  + 3y = 0, x ∈ R. 108

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3.5. EJERCICIOS

a) Verifique que y1 = x, y2 = x3 son soluciones linealmente independientes en (−∞, ∞). Muestre que W [y1 , y2 ](1) = 0 b) Verifique que la funci´on y3 = |x|3 es tambi´en soluci´on en (−∞, ∞), pero que no pueden elegirse constantes c1 y c2 de manera que y3 = c1 y1 + c2 y2 para toda x en (−∞, ∞). c) Explique si lo anterior contradice o no el teorema 3.2.1, p´agina 72. 19. Suponga que y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on diferencial y  + py  + qy = 0 en un intervalo I, y sea W [y1 , y2 ](x) el wronskiano de y1 y y2 a) Demuestre que

dW dx

+ p(x)W = 0

b) Demuestre la identidad de Abel: W (x) = ce− constante c = 0.



p(x)dx

para alguna

20. Use la identidad de Abel para determinar (salvo un m´ ultiplo constante)  el wronskiano de dos soluciones en (0, ∞) de xy − (x − 1)y  + 3y = 0. √ x es una soluci´ on de x2 y  + xy  + (x2 − 14 )y = 0 en 21. Dado que y1 = cos x (0, ∞) determine la soluci´on general

22. Dado que y1 = e−x /2 es soluci´on de y  + xy  + y = 0, mediante reducci´on de orden, encuentre una segunda soluci´on LI y una soluci´on particular yp de y  + xy  + y = 3x2 . 2

23. Dado que y1 = x es una soluci´on de y  − xy  + y = 0 en (0, ∞) a) Obtenga una representaci´on integral para una segunda soluci´on linealmente independiente. b) Obtenga un desarrollo en serie de Maclaurin para esa soluci´on. 

24. Muestre que la sustituci´on y = ue− p(x)dx , transforma la ecuaci´on diferencial y  + py  + qy = 0 en una ecuaci´on de la forma u − pu + (q − p )u = 0. 109

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

En los ejercicios 25 y 26, use el ejercicio 24 para resolver la ecuaci´on dada 25. x2 y  − 2xy  + 2y = 0 en (0, ∞). 26. x2 y  + 2xy  − 2y = 0 en (0, ∞). En los ejercicios 27 a 36 encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea dada 27. y  − 5y  + 4y = 0

28. y  + 4y  + 4y = 0

29. y  − 4y  + 2y = 0

30. y  + 2y  + 5y = 0

31. y  − 3y  + 4y  − 2y = 0

32. (D4 − 5D2 + 4)[y] = 0

33. (D4 + 2D3 − 3D2 − 8D − 4)[y] = 0 34. (D4 − 2D2 − 3)[y] = 0

35. (D4 + 64)[y] = 0

36. (D5 − 3D4 − 10D3 − 2D2 + 9D + 5)[y] = 0 37. Dado que y1 = e−x cos 3x es soluci´on de y iv + 2y  + 8y  − 4y  − 20y = 0, halle la soluci´on general. √ 38. Dado que y1 = ex cos ( 2 x) es soluci´on de y iv − 2y  + y  + 4y  − 6y = 0, halle la soluci´on general. En los ejercicios 39 a 43 resuelva el problema de valor inicial. 39. y  − 8y  + 17y = 0; y(0) = 4, y  (0) = −1 40. 4y  − 4y  + 3y = 0; y(0) = 1, y  (0) = 5 41. y  + 2y  − 5y  − 6y = 0; y(0) = y  (0) = 0, y  (0) = 1 42. y iv − y = 0; y(0) = 2, y(0) = 3, y  (0) = 4, y  (0) = 5 43. (D4 − 3D3 + 3D2 − D)[y] = 0; y(0) = y  (0) = 0, y  (0) = y  (0) = 1 44. Sea L := aD2 + bD + C, donde a, b, c son constantes y b2 − 4ac = 0. 110

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3.5. EJERCICIOS

b a) Muestre que L[erx ] = a(r − r0 )2 erx , donde r0 = − 2a .  ∂ ∂ rx e L[erx ], y as´ı = b) Muestre que L ∂r ∂r

∂ L[erx ] = 2a(r − r0 )erx + ax(r − r0 )2 erx . ∂r En los ejercicios 45 a 50 resuelva mediante coeficientes indeterminados. 45. y  − 8y  + 20y = 100x2 − 26xex

46. y  + 2y  + y = sen x + 2 cos x + 2e−x

47. 4y  − 4y  + y = 12 + 4ex/2

48. y  + 4y = 3 sen 2x

49. y  − 7y  + 6y = 18x + 4ex , y(0) = 4, y  (0) =0 50. y  + 4y = f (x), y(0) = 1, y  (0) = 2; f (x) =

sen x,0 ≤ x < π/2 0,x ≥ π/2

51. Compruebe que el operador diferencial anula la funci´on indicada a) D4 ; g(x) = 5x3 + 2x b) D2 + 2xD + 2; g(x) = e−x c) 2D2 − 5D − 3; g(x) = 4ex/2 − 2e−3x d ) D2 + 4; g(x) = 3 cos 2x − 2 sen 2x

2

52. Determine un operador diferencial lineal que anule cada una de las siguientes funciones. b) g(x) = (x − ex )2 d ) g(x) = (cos x + e−x )2

a) g(x) = x2 sen x + xe2x c) g(x) = x sen2 x + x2

En los ejercicios 53 a 58 resuelva por operadores anuladores. 53. y  − y = x2 ex + 5

54. y  + 4y  + 4y = 2x + 6 − 2ex

55. y  − 6y  + 9y = 3 + e3x

56. y  + 4y  + 4y = x2 − 2e−2x

57. y  + y = cos 2x

58. y  + 4y = x + sen 2x

59. Si k y b son constantes positivas, halle la soluci´on general de y  + k 2 y = sen bx. 111

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

En los ejercicios 60 a 66, resuelva por variaci´on de los par´ametros. 60. y  + y = sec x

61. y  + y = tan2 x

62. y  + 3y  + 2y = (1 + ex )−1

63. y  − 2y  + y = ex (1 + x2 )−1

64. y  − 6y  + 9y = x−3 e3x

65. y  − 2y  + y = ex arctan x

66. y  + y  = tan x 67. Dado que y1 = x es soluci´on de (x2 − 1)y  − 2xy  + 2y = 0 en (−1, 1), halle la soluci´on general de (x2 − 1)y  − 2xy  + 2y = (x2 − 1)2 . 68. Dado que y1 = x−1/2 cos x es soluci´on de x2 y  + xy  + (x2 − 14 )y = 0 en (0, ∞), halle la soluci´on general de x2 y  + xy  + (x2 − 14 )y = x5/2 . 69. Halle una ecuaci´on diferencial de orden 4 cuya soluci´on general sea √ √ √ √ y = c1 ex cos 2 x + c2 ex sen 2 x + c3 cosh 2 x + c4 senh 2 x + x2 − xe−x . En los ejercicios 70 y 71 combine dos m´etodos. 70. y  + 4y = 2 tan 2x + x − e−x

71. y  − 2y  + y = 4x2 − 3x + x−1 ex

En los ejercicios 72 a 78 resuelva las ecuaciones de Cauchy–Euler. 72. x2 y  + 3xy  − 3y = 0

73. x2 y  − xy  + y = 0

74. 4x2 y  + 4xy  − y = 0

75. x3 y  − x2 y  − 2xy  + 6y = 0

76. x3 y  + xy  − y = 0 77. x4 y iv + 6x3 y  + 9x2 y  + 3xy  + 3y = 0 78. x2 y  − xy  + y = x(1 + 3/ ln x) 79. Use la sustituci´on t = ln x para resolver x2 y  − 4xy  + 6y =

x2 −1 , x

y(1) = 1, y  (1) = 0.

112

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3.5. EJERCICIOS

80. Use la sustituci´on t = ln x para demostrar que la ecuaci´on de Cauchy – Euler de tercer orden ax3 y  +bx2 y  +cxy  +dy = 0, x > 0 es equivalente a la ecuaci´on con coeficientes constantes aY  + (b − 3a)Y  + (2a − b + c)Y  + dY = 0;

con Y = Y (t).

Resuelva los ejercicios 81 y 82 usando el ejercicio 80. 81. x3 y  − 2x2 y  + 4xy  − 4y = 0 82. x3 y  − 3x2 y  + 6xy  − 6y = 3 + ln x3

Modelado 1. Un contrapeso de 20 lb estira 6 pulg a un resorte. En este sistema, el contrapeso se suelta, partiendo del reposo, a 6 pulg abajo de la posici´on de equilibrio. a) Calcule la posici´on del contrapeso cuando t =

π π π π , , , 12 8 6 4

b) ¿Cu´al es la velocidad del contrapeso cuando t = se dirige el contrapeso en ese instante?

3π 16

y

9π 32

s? ¿Hacia d´onde

c) ¿Cu´ando pasa el contrapeso por la posici´on de equilibrio? 2. Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Despu´es, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50 kg. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, est´a colgado del mismo soporte r´ıgido en posici´on paralela a la del sistema masa–resorte anterior. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y de ambas masas salen de su posici´on de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. a) ¿Cu´al masa tiene la mayor amplitud de movimiento? b) ¿Cu´al masa se mueve con m´as rapidez cuando t =

π 4

s?

c) ¿En qu´e momento est´an las dos masas en la misma posici´on? ¿D´onde est´an en ese momento? ¿En qu´e direcciones se mueven? 113

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CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

3. Un contrapeso de 4 lb se fija a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio presenta una resistencia al movimiento num´ericamente igual a la velocidad instant´anea. Si el contrapeso se suelta de un punto a 1 pie arriba de la posici´on de equilibrio con una velocidad de 8 pie/s hacia abajo, halle el instante en que pasa por la posici´on de equilibrio. Encuentre el momento en que el contrapeso llega a su desplazamiento extremo respecto a la posici´on de equilibrio ¿Cu´al es su posici´on en ese instante? 4. Un circuito RLC simple tiene un capacitor con C = 0.25 F, un resitor con R = 7 × 104 Ω y un inductor con L = 2.0 H. La carga inicial en el capacitor es cero, lo mismo que la corriente inicial. Si se conecta al circuito un voltaje impreso de 60 volts y se cierra el circuito en t = 0, determine la carga en el capacitor para t > 0. Estime la carga cuando t = 0.1 s. 5. Una viga uniforme de longitud L tiene empotrado su extremo en x = 0 y libre en x = L. Halle la flexi´on “y” de la viga si w(x) = w0 (L − x) para 0 ≤ x ≤ L; donde w0 es una constante. 6. Una viga uniforme de longitud L tiene empotrados sus extremos en x = 0 w y x = L. Halle la flexi´on “y” de la viga si w(x) = 0 (L2 − x2 ) para L 0 ≤ x ≤ L; donde w0 es una constante.

114

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Cap´ıtulo 4

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una poderosa herramienta de gran utilidad en la soluci´on de ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales, c´alculo de integrales impropias y otras aplicaciones.

4.1

Definici´ on y transformadas b´ asicas

Definici´ on 4.1.1. Sea f (t) una funci´on definida para t ≥ 0. La transformada de Laplace de f (t), denotada por L {f (t)}, se define como  ∞ L {f (t)} = e−st f (t)dt. (4.1) 0

Si la integral impropia converge, se dice que f (t) tiene transformada de Laplace y es una funci´on de s; es decir, L {f (t)} = F (s); de lo contario se dice que L {f (t)} no existe. Ejemplo 4.1. Las transformadas de f (t) = 1 y f (t) = t.  a) L {1} =

∞

e 0

−st

1 dt = , s > 0. b) L {t} = s

Mediante inducci´on se puede demostrar que: 115

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∞ 0

e−st tdt =

1 , s > 0. s2

CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ejemplo 4.2. Para todo n = 0, 1, 2, . . . se tiene L {tn } =

n! sn+1

, s > 0.

Para comprobarlo se usa la f´ormula de reducci´on   1 n at n n at tn−1 eat dt, a = 0; n = 1, 2, . . . t e dt = t e − a a Ejemplo 4.3. Halle L {sen t}. Soluci´ on. Usando integraci´on por partes se tiene 

∞

L {sen t} =

←−

st

e sen tdt 0

dv = e−st dt 1 du = cos tdt v = − e−st s u = sen t

∞  0 * 1 ∞ −st 1 −st   = −e  + e cos tdt s 0 s 0 

dv = e−st dt e cos tdt ←− 1 du = − sen tdt v = − e−st 0 s ∞ 0  ∞  : 1  1 1   = −e−st cos t + e−st sen tdt  s s s 0 0 1 = 2 L {sen t}. s

1 = s

∞

u = cos t

−st

Luego,

1 1+ 2 s

 L {sen t} =

1 , s2

de donde L {sen t} = Ejemplo 4.4. Calcule L {cos t}. 1 Soluci´ on. Notando que L {sen t} = s



∞ 0

s2

1 . +1

1 e−st cos tdt = L {cos t} se tiene s

L {cos t} = sL {sen t} =

s2

116

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s . +1

´ Y TRANSFORMADAS BASICAS ´ 4.1. DEFINICION

F (s) = L {f (t)}

f (t) 1. tn , n = 0, 1, . . . 2. et 3. sen t

n!

,s>0 sn+1 1 , s>1 s−1 s2

F (s) = L {f (t)} s , s>0 2 s +1 1 , s>1 2 s −1

f (t) 4. cos t 5. senh t

1 , s>0 +1

6. cosh t

s2

s , s>1 −1

Tabla 4.1. Lista b´ asica de transformadas

Continuidad seccional y orden exponencial Definici´ on 4.1.2. Una funci´on es seccionalmente continua (SC) en un intervalo [a, b], si existen t0 , t1 , . . . , tn tales que a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b de modo que la funci´on es continua en (tk−1 , tk ) y son finitos los l´ımites laterales l´ım+ f (t), l´ım− f (t), l´ım− f (t) y l´ım+ f (t). Una funci´on es continua por t→a

t→b

t→tk

t→tk

partes en [0, ∞), si lo es en cada intervalo [0, N ] con N > 0. Nota. Si f (t) es continua en [a, b], entonces es SC en [a, b]. Definici´ on 4.1.3. Se dice que una funci´on f (t) es de orden exponencial c, si existen constantes c ≥ 0, M > 0 y T ≥ 0 tales que |f (t)| ≤ M ect

para todo t ≥ T . y

y

y = M ect y = f (t)

M

t −M a

y = −M ect

t t1

t2

t3

T

b

Figura 4.1. Continuidad seccional

Figura 4.2. Orden exponencial

117

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teorema 4.1.1 (Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace). Si f (t) es seccionalmente continua en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial c para todo t > T , entonces existe la transformada de Laplace de f (t) para todo s > c. Ejemplo 4.5. Determine si existe L {f (t)} para a) f (t) =

1 t+1

b) f (t) = et

2

Soluci´ on. Se tiene 1 es continua en [0, ∞], luego es SC en [0, ∞]. Adem´as se tiene a) f (t) = t+1 que |f (t)| ≤ et , t ≥ 0. Por lo tanto, existe L {f (t)}. 2

b) f (t) = et no es de orden exponencial. Luego no existe L {f (t)}.

4.2

Propiedades

A continuaci´on se enuncian varias propiedades de la transformada de Laplace y se ilustran con ejemplos. En otras, adem´as, se dar´a una demostraci´on. Asumiremos que las funciones a las cuales se les calcula la transformada de Laplace satisfacen las condiciones del teorema 4.1.1. Propiedad 1 (Cambio de escala). Si F (s) = L {f (t)} entonces 1 s , a = 0. L {f (at)} = F a a Ejemplo 4.6. Como L {et } =

1 1 , s > 1 y L {sen t} = 2 , s > 0, s−1 s +1

1 1/a = , s > a. s/a − 1 s−a k 1/k = 2 L {sen kt} = , s > 0. 2 (s/k) + 1 s + k2 L {eat } =

Aplicando la propiedad 1, la lista b´asica se transforma en 118

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4.2. PROPIEDADES

F (s) = L {f (t)}

f (t) 1. tn , n = 0, 1, . . . 2. eat 3. sen kt

n!

,s>0 sn+1 1 , s>a s−a

f (t) 4. cos kt 5. senh kt

k , s>0 s2 + k 2

6. cosh kt

F (s) = L {f (t)} s , s>0 2 s + k2 k , s>k 2 s − k2 s2

s , s>k − k2

Tabla 4.2. Lista b´ asica de transformadas con cambio de escala

Propiedad 2 (Linealidad). Si F (s) = L {f (t)}, G(s) = L {g(t)}, y a y b son constantes, entonces L {af (t) + bg(t)} = aF (s) + bG(s). 

Ejemplo 4.7.

L {sen2 t}

=L

1 − cos 2t 2



 1 1 2 s = = 2 2 − 2 . 2 s s +4 s (s + 4)

Propiedad 3 (Comportamiento final). Si F (s) = L {f (t)}, entonces l´ım F (s) = 0. s→∞

Corolario 2. Si l´ım F (s) = 0 o l´ım F (s) = ∞, entonces F (s) no es transs→∞ s→∞ formada de Laplace de alguna funci´on SC y de orden exponencial. Ejemplo 4.8. Determine si F (s) puede ser transformada de Laplace de alguna funci´on SC y de orden exponencial s − 2 b) F (s) = e−s a) F (s) = s ln s Soluci´ on. Calculemos l´ım F (s) en cada caso s→0

s→∞

s − 2

Forma 0 · ∞

2

ln 1 − s 0 2 = l´ım ← Forma = l´ım s ln 1 − s→∞ s→∞ s 1/s 0 2 1 1 − 2/s s2 = l´ım ← Regla de L’hˆopital s→∞ −1/s2

a) l´ım F (s) = l´ım s ln s→∞

s

←

119

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

2 = −2 = 0. s→∞ 1 − 2/s  Luego, F (s) = s ln s−2 no es transformada de Laplace de alguna funci´on s SC y de orden exponencial. = − l´ım

b) l´ım F (s) = l´ım e−s = 0. El teorema no garantiza que F (s) sea transfors→∞ s→∞ mada de Laplace. Propiedad 4 (Teorema del valor inicial). Si F (s) = L {f (t)}, entonces l´ım+ tf (t) = l´ım F (s). s→∞

t→0

s . Se tiene s2 + 1 s2 = 1. l´ım sF (s) = l´ım s→∞ s→∞ s2 + 1

Ejemplo 4.9. Sea f (t) = cos t y F (s) = l´ım f (t) = l´ım+ (cos t) = 1 y

t→0+

t→0

Propiedad 5 (Teorema del valor final). Si F (s) = L {f (t)} y l´ım f (t) t→∞

es finito, entonces l´ım f (t) = l´ım+ sF (s). t→∞

s→0

1 1 + . Se tiene s+1 s s

+ 1 = 1. l´ım+ sF (s) = l´ım+ s→0 s→0 s+1

Ejemplo 4.10. Sea f (t) = e−t + 1 y F (s) = l´ım f (t) = l´ım (e−t + 1) = 1 y

t→∞

t→∞

Propiedad 6 (Transformada de una derivada). Si F (s) = L {f (t)}, entonces   L f (n) (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0).  ∞ Demostraci´on. Probaremos para n = 1 y n = 2. Sea F (s) = e−st f (t) dt. n = 1 : L {f  (t)} =



0 ∞

e−st f  (t) dt 0  ∞  −st = e f (t) + s 0

∞

e−st f (t) dt ← Integrando por partes

0

= 0 − f (0) + sF (s) = sF (s) − f (0). 120

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4.2. PROPIEDADES

  n = 2 : L {f  (t)} = sL {f  (t)} − f  (0) = s sF (s) − f (0) − f  (0) = s2 F (s) − sf (0) − f  (0). Ejemplo 4.11. Si y  (t) − 2y  (t) + y(t) = et , y(0) = 0, y  (0) = 1, halle L {y(t)}. Soluci´ on. Sea Y (s) = L {y(x)}. Aplicando transformada de Laplace se tiene L {y  (t) − 2y  (t) + y(t)} = L {et } 1 ← Propiedad 1 L {y  (t)} − 2L {y  (t)} + L {y(t)} = s−1 1 *1 * 0   *0   s2 Y (s) − s ← Propiedad 3 y(0) − y (0) + 2[sY (s) −  y(0) + Y (s)] = s−1 s 1 (s2 − 2s + 1)Y (s) = 1 + = , s−1 s−1 de donde Y (s) =

s (s − 1)3

Propiedad 7 (Transformadas de integrales). Si F (s) = L {f (t)}, entonces   t  t F (s) n = n ; n = 1, 2, . . . ··· f (u) du L s 0 0 Propiedad 8 (Derivada de una transformada (multiplicaci´ on por n n n (n) t )). Si F (s) = L {f (t)}, entonces L {t f (t)} = (−1) F (s).  ∞ e−st f (t) dt, Demostraci´on. Probaremos para n = 1. Como F (s) = 0 



∞

F (s) = 0

 ∂  −st e f (t) dt = ∂s



∞

(−te−st f (t)) dt = −L {tf (t)} .

0

Luego, L {tf (t)} = −F  (s). El caso general, se hace por inducci´on. Ejemplo 4.12. Halle L {t cos 2t} 121

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Soluci´ on. Usando la propiedad 8 se tiene:  d s d L {t cos 2t} = − [L {cos 2t}] = − ds ds s2 + 4 s2 + 4 − 2s2 s2 − 4 =− = . (s2 + 4)2 (s2 + 4)2 Propiedad 9 (Integrales de transformadas (divisi´ on por tn )). Si F (s) = L {f (t)}, entonces   ∞   ∞ f (t) = ··· F (u) dun . L tn s s  Ejemplo 4.13. Halle L

 sen t . t

Soluci´ on. Sea F (s) = L {sen t} entonces    ∞  ∞ ∞ sen t 1  L = du = arctan u F (u)du = 2 t u +1 s s s

 1 π = − arctan s = arctan 2 s 

∞

Propiedad 10. Si L {g(t, u)} = G(s, u) y f (t) =

g(t, u)du, entonces 0



∞

L {f (t)} =

G(s, u)du. 0



∞

cos tu du, halle L {f (t)}. a 2 + u2 0   1 s cos tu = 2 · 2 . Soluci´ on. Sea G(s, u) = L {g(t, u)} = L 2 2 2 a +u a + u s + u2 Por la propiedd 10 se tiene  ∞ s dt. L {f (t)} = 2 2 (u + a )(u2 + s2 ) 0 Ejemplo 4.14. Sea f (t) =

122

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4.2. PROPIEDADES

Mediante fracciones parciales tenemos s (u2

+

a2 )(u2

+

=

s2 )

Au + B Cu + D + 2 . u2 + a2 u + s2

Entonces (Au + B)(u2 + s2 ) + (Cu + D)(u2 + a2 ) = 1 (A + C)u3 + (B + D)u2 + (s2 A + a2 C)u + s2 B + a2 D = 1. Al igualar coeficientes se tiene A+

C = 0,

B+

s2 A + a2 C = 0,

D=0

s 2 B + a2 A = 1

Al resolver estos sistemas se obtiene A = C = 0, B =

s2

1 −1 , C= 2 . 2 −a s − a2

Luego,  ∞ s 1 1 s du = 2 du − (u2 + a2 )(u2 + a2 ) s − a2 0 u2 + a 2 u2 + s 2 0  s u ∞ 1 u ∞ 1 arctan  − arctan  s2 − a2 a a 0 s s 0    s π π s 1 1 π − = − s2 − a2 2a 2s 2 (s2 − a2 ) a s  s s−a π π = 2 (s − a)(s + a) as 2(s + a)

 L {f (t)} = = = =

∞

La funci´ on Gamma o funci´ on factorial Definici´ on 4.2.1. Para x > 0, la funci´on Gamma est´a definida por  ∞ ux−1 e−u du. Γ(x) = 0

123

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE



∞

Ejemplo 4.15. Γ(1) =

∞  e−x du = −e−u  = 1. 0

0

Ejemplo 4.16. Calcule Γ(1/2). Soluci´ on.

  ∞ 1 = u−1/2 e−u du ← u = x2 , du = 2xdx I=Γ 2 0  ∞  ∞ 2 2 −1 −x = x e 2xdx = 2 e−x dx. 0

0

Ahora



2

∞

2

I =4

e



0

∞

−x2

dx ∞



y

e−x dx  0 ∞ 

 0 ∞ 2 −x −y 2 e dx e dy =4 0 0  ∞ ∞ 2 2 e−x −y dxdy =4 0 0  ∞  π/2 2 =4 re−r dθdr ←− Polares 0 0 ∞ π/2  −r2  θ dr = π = −2e  0 0 1 √ Luego, I = Γ 2 = π. =4

e−x dx

 

2

2

r

0 ≤ θ ≤ π/2 0≤r 0. As´ı, Γ(n + 1) = n!, para n = 0, 1, 2 . . . 2. Γ(a)Γ(1 − a) =

π , 0 < a < 1. sen aπ

3. Para x < 0, x = −1, −2, . . ., se define Γ(x) = 4. L {tα } =

Γ(α + 1) , α > −1. sα+1 124

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Γ(x + 1) . x

4.2. PROPIEDADES

Ejemplo 4.17. Se tiene √

Γ( 32 ) = Γ( 12 + 1) = 12 Γ( 12 ) = 2π , Γ( 52 ) = Γ( 32 + 1) = 32 Γ( 32 ) =   Ejemplo 4.18. Calcule L t−1/2 .  √ Γ(1/2) π π −1/2 Soluci´ on. Se tiene L {t . }= = 1/2 = 1/2 s s s √ Ejemplo 4.19. Halle L {sen t} Soluci´ on. Usando la serie sen x =

∞  (−1)n x2n+1 n=0

(2n + 1)!

con x = t1/2 se tiene

 (−1)n Γ(n + 1/2 + 1) (−1)n L {tn+1/2 } = (2n + 1)! (2n + 1)! sn+1/2+1 n=0 n=0 √ ∞  (−1)n 1 · 3 · . . . · (2n + 1) π = n+1 n+3/2 (2n + 1)! 2 s n=0 √ ∞  (−1)n 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 2n · (2n + 1) π = (2n + 1)! (2n · n!)2n+1 sn+3/2 n=0  ∞   (−1)n  (2n + 1)! 1 π  =   n n+1 n+1 (2n + 1)! (2 · n!)2 s s  n=0   ∞  1 π −1/4s 1 1 π e (−1)n = = n 2s s n=0 (4s) 2s s

√ L {sen t} =

∞ 

√ 3 π . 22

∞

La funci´ on Beta Definici´ on 4.2.2. Para m > 0, n > 0, la funci´on Beta est´a definida por  1 um−1 (1 − u)n−1 du; 0 < u < 1. B(m, n) = 0

Algunas de las propiedades de la funci´on Beta son Γ(m)Γ(n) 1. B(m, n) = Γ(m + n)  π/2 1 sen2m−1 θ cos2n−1 θ dθ = B(m, n) 2. 2 0 125

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

√ Γ( 14 )Γ( 34 ) π = =π 2 Ejemplo 4.20. = Γ(1) sen (π/4)  π/2 1 √ Ejemplo 4.21. Calcule dθ tan θ 0 B( 14 , 34 )

Soluci´ on.  π/2 0

1 √ dθ = tan θ



π/2

sen

1/2

θ cos

−1/2

0

1 θ dθ = B 2



1 3 , 4 4



√ π 2 = . 2

Definici´ on 4.2.3 (Convoluci´ on). Sean f (t) y g(t) funciones continuas por partes en [0, ∞). La convoluci´on de f y g, que se denota f ∗ g, se define como  t (f ∗ g)(t) = f (τ )g(t − τ )dτ. 0

Ejemplo 4.22. Halle t2 ∗ t. Soluci´ on.    t  t 3 t 4 t t4 τ τ t 4 t4 t2 ∗ t = τ 2 (t − τ )dτ = (tτ 2 − τ 3 )dτ = t  −  = − = . 3 0 4 0 3 4 12 0 0 Ejemplo 4.23. Halle t ∗ sen t Soluci´ on. 

t  t  t ∗ sen t = τ sen(t − τ )dτ = τ cos(t − τ ) − cos(t − τ ) dτ 0 0 0 t  = t + sen(t − τ ) = t − sen t. t

0

Propiedades de la convoluci´ on. Sean f y g funciones continuas por partes en [0, ∞). Entonces 1. f ∗ g = g ∗ f

3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

4. f ∗ 0 = 0 126

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4.3. TRANSFORMADA INVERSA

Teorema 4.2.1 (Teorema de convoluci´ on). Sean f y g funciones continuas por partes en [0, ∞) y F (s) = L {f (t)}, G(s) = L {g(t)}. Entonces L {f ∗ g} = F (s)G(s).

4.3

Transformada inversa

Definici´ on 4.3.1. Sea F (s) = L {f (t)}, entonces la transformada inversa de F (s) es L −1 {F (s)} = f (t). F (s) 1. 2. 3.

1 sα+1

, α > −1

1 , s>a s−a s2

1 , s>0 + k2

L −1 {F (s)} tα Γ(α + 1) eat 1 sen kt k

F (s) s , s>0 + k2 1 5. 2 , s>k s − k2 4.

6.

s2

s2

s , s>k − k2

L −1 {F (s)} cos kt 1 senh kt k cosh kt

Tabla 4.3. Lista b´ asica de transformadas inversas

La transformada inversa de una funci´on tambi´en es una tranformaci´on lineal y por tanto, satisface propiedades similares a la transformada de Laplace. Ejemplo 4.24.         4 4 s 4 s+4 −1 −1 −1 −1 =L −L −L − L s2 s2 + 4 s2 s2 + 4 s2 + 4 = 4t − cos 2t − 2 sen 2t

C´ alculo de transformadas inversas Descomposici´ on en fracciones parciales. Hay una forma de determinar los coeficientes en la descomposici´on en fracP (s) ciones parciales, en el caso especial cuando F (s) = , donde P y Q son Q(s) 127

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

polinomios y grado(P ) < grado(Q) = n. Consideraremos algunos casos, pero omitiremos las pruebas. Caso 1. Q es un producto de factores lineales distintos. Es decir, Q(s) = (s − a1 )(s − a2 ) . . . (s − an ). Entonces existen constantes A1 , A2 , . . . , An tales que F (s) =

A1 P (s) A2 An = + + ··· + , (s − a1 )(s − a2 ) . . . (s − an ) s − a1 s − a2 s − an

donde   Ak = l´ım (s − ak )F (s) = (s − ak )F (s) s→ak

 Ejemplo 4.25. Halle L

−1

1 2 s − 3s + 2



; k = 1, 2, . . . , n s=ak

.

Soluci´ on. Mediante fracciones parciales se tiene F (s) =

s2

donde

  A = (s−2)F (s)

s=2

1 A B 1 = = + , − 3s + 2 (s − 2)(s − 1) s−2 s−1

 1  = = 1, s − 1 s=2

  B = (s−1)F (s)

s=1

 1  = = −1. s − 2 s=1

Luego,  L

−1

1 2 s − 3s + 2



 =L

−1

1 s−2



 −L

−1

1 s−1

 = e2t − et .

Caso 2. s = a es una ra´ız real de Q de multiplicidad n. Es decir, Q(s) = (s − a)n . Entonces existen constantes A1 , A2 , . . . , An tales que F (s) =

A2 P (s) A1 An + = + ··· + , n 2 (s − a) s − a (s − a) (s − a)n 128

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4.3. TRANSFORMADA INVERSA

donde

1 (k) P (a); k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. (4.2) k! Para el caso de ra´ıces complejas y combinaci´on de casos, se puede usar el m´etodo de evualaci´on num´erica o el m´etodo algebraico junto con el de Heaviside, cuando ´este sea aplicable1 .  2  s + 3s + 3 . Ejemplo 4.26. Halle L −1 (s + 2)3 An−k =

Soluci´ on. Tenemos que P (s) = s2 + 3s + 3, P  (s) = 2s + 3 y P  (s) = 2. Luego B C A + F (s) = + , 2 s + 2 (s + 2) (s + 2)3 donde 1 C = P (−2) = 1, B = P  (−2) = −1, A = P  (−2) = 1. 2 Entonces,   2       s + 3s + 3 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −L =L +L L (s + 2)3 s+2 (s + 2)2 (s + 2)3 1 = e−2t − te−2t + t2 e−2t . 2   2s2 −1 Ejemplo 4.27. Halle L (s + 1)(s2 + 1) Soluci´ on. F (s) = donde

2s2 A Bs + C = + 2 , 2 (s + 1)(s + 1) s+1 s +1

  A = (s + 1)F (s)

s=−1

 2s2  = 1. = 2 s + 1 s=−1

Para determinar B y C usaremos evaluaci´on n´ umerica y n´ umeros complejos:  2s2   s = i : (s2 + 1)F (s) =  = Bi + C s + 1 s=i s=i 1

Para m´as detalles ver, Mart´ınez Alejandro. Descomposici´ on en fracciones parciales. Revista Scientia et Technica No 31. Universidad Tecnol´ogica de Pereira. Pereira 2006.

129

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

=

−2 = Bi + C ⇒ i − 1 = Bi + C. i+1

De ah´ı, B = 1 y C = −1. Por lo tanto,         2s2 1 s 1 −1 −1 −1 −1 L =L +L −L (s + 1)(s2 + 1) s+1 s2 + 1 s2 + 1 = e−t + cos t − sen t.  Ejemplo 4.28. Calcule L

−1

 2s3 + 4s − 2 . s4 − 1

Soluci´ on. F (s) =

2s3 + 4s − 2 2s3 + 4s − 2 As + B Cs + D = = + 2 s4 − 1 (s2 − 1)(s2 + 1) s2 − 1 s +1

Para este ejemplo usaremos el m´etodo algebraico. Multiplicando en ambos lados por (s2 − 1)(s2 + 1) se tiene (As + B)(s2 + 1) + (Cs + D)(s2 − 1) = 2s3 + 4s − 2 (A + C)s3 + (B + D)s2 + (A − C)s + B − D = 2s3 + 4s − 2 Al igualar coeficientes tenemos el siguiente sistema lineal A+C =2

B+D =

0

A−C =4

B − D = −2

Al resolver obtenemos A = 3, B = −1, C = −1, D = 1. Por lo tanto,  2s3 + 4s − 2 f (t) = L s4 − 1         s 3 1 1 −1 −1 −1 −1 +L +L +L =L s2 − 1 s2 − 1 s2 + 1 s2 + 1 

−1

= − cosh t + 3 senh t + cos t + sen t 130

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4.3. TRANSFORMADA INVERSA

  Usando L −1 F (n) (s) = (−)n tn f (t)   s−1 −1 ln Ejemplo 4.29. Halle L s+2 Soluci´ on. Sea F (s) = ln

s−1 = ln (s − 1) − ln (s + 2), entonces s+2 F  (s) =

1 1 + . s−1 s+2

al tomar transformada inversa en ambos lados se tiene     1 1 −1  −1 −1 L {F (s)} = L −L = et − e−2t s−1 s+2 −tf (t) = et − e−2t Por lo tanto, f (t) =

e−2t − et . t

Ejemplo 4.30. Encuentre una funci´on y tal que  t  y(u)du; y(0) = 0. y (t) = 1 + 0

Soluci´ on. Sea Y (s) = L {y(t)}. Aplicando transformada de Laplace en ambos lados se tiene  t   y(u)du L {y (t)} = L {1} + L 0

*0 

 = sY (s) −  y(0)

1 Y (s) + , s s

de donde

1 . −1 Por lo tanto, y(t) = L −1 {Y (s)} = senh t. Y (s) =

s2

Ejemplo 4.31. Resolver el siguiente PVI ty  (t) + (1 − t)y  (t) + y(t) = 0, y(0) = 1. 131

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Soluci´ on. Sea Y (s) = L {y(t)}. Entonces L {ty  (t)} + L {(1 − t)y  (t)} + L {y(t)} = 0 d d − L {y  (t)} + L {y  (t)} − (−1) {y  (t)} + Y (s) = 0 ds ds 1 d 2 d *  − [s Y (s) − sy(0) − y  (0)] + sY (s) −  y(0) + [sY (s) − y(0)] + Y (s) = 0 ds ds d 2 d [s Y (s) − sy(0) − y  (0)] − [sY (s) − y(0)] − sY (s) − Y (s) + 1 = 0 ds ds 1

*  s2 Y  (s) + 2sY (s) −  y(0) − sY  (s) − Y (s) − sY (s) − Y (s) + 1 = 0

(s2 − s)Y  (s) + (s − 2)Y (s) = 0 Al separar variables e integrar se tiene   dY s−2 + ds = C Y s(s − 1)   2 1 ln Y + − ds = C s s−1 ln Y + ln s2 − ln(s − 1) = ln C1 s2 Y = ln C1 s−1 s2 Y = C1 s−1  1 1 C1 (s − 1) − . Y (s) = = C1 s2 s s2 ln

Luego, y(t) = L −1 {Y (s)} = C1 (1 − t). Como y(0) = 1, entonces C1 = 1. Por lo tanto, y(t) = 1 − t. Teorema 4.3.1 (Teorema de convoluci´ on). Sean f y g funciones continuas por partes en [0, ∞) y F (s) = L {f (t)}, G(s) = L {g(t)}. Entonces L −1 {F (s)G(s)} = f ∗ g.   1 −1 Ejemplo 4.32. Halle L s2 (s2 + 1) 132

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´ 4.4. LOS TEOREMAS DE TRASLACION

Soluci´ on. Se podr´ıa resolver por fracciones parciales, pero usaremos la forma inversa del teorema de convoluci´on.     1 1 1 −1 −1 =L · L s2 (s2 + 1) s2 s2 + 1 = t ∗ sen t = t − sen t

4.4

Los teoremas de traslaci´ on

Teorema 4.4.1 (Primer teorema de traslaci´ on). Si F (s) = L {f (t)} y a es un n´ umero real, entonces   at , L {e f (t)} = F (s − a) = F (s) s→s−a

donde s → s − a significa que se reemplaza s en F (s) por s − a. La forma inversa del primer teorema de traslaci´on es: Si F (s) = L {f (t)} y a es un n´ umero real, entonces     −1 −1 = eat f (t), F (s) L {f (t)F (s − a)} = L s→s−a

Ejemplo 4.33. Eval´ ue a) L {t3 e−2t }

b) L {e3t cos 2t}

Soluci´ on.   a) L {t3 e−2t } = L {t3 } 

=

s→s+2

  b) L {e3t cos 2t} = L {cos 2t}   Ejemplo 4.34. Eval´ ue L

−1

s2

3!  6 =  4 s s→s+2 (s + 2)4 =

s→s−3

s − 4s + 5

s  s−3 =  s2 + 4 s→s−3 (s − 3)2 + 4  .

133

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Soluci´ on.  −1 L

s 2 s − 4s + 5





s =L (s − 2)2 + 1    s −1  =L 2 s +1 



−1



s−2+2 =L (s − 2)2 + 1    2 −1  +L 2 s +1 



−1

s→s−2

s→s−2

2t

= e [cos t + 2 sen t].  Ejemplo 4.35. Halle L

−1

s 2 s − 6s + 5

 .

Soluci´ on. Se podr´ıa resolver mediante fracciones parciales, pero lo haremos completando cuadrados       s s s−3+3 −1 −1 −1 =L =L L s2 − 6s + 5 (s − 3)2 − 4 (s − 3)2 − 4        s 2 3 −1   L + = L −1 s2 − 4 s→s−3 2 s2 − 4 s→s−3 = e3t [cosh 3t + 32 sen 3t].

Funci´ on escal´ on unitario o funci´ on de Heaviside Definici´ on 4.4.1. Para a ≥ 0 se define la funci´on escal´on unitario U (t − a) =

y

⎧ ⎨0,

si 0 ≤ t < a

⎩1,

si t ≥ a

1

a

x

Es de anotar que se ha definido la funci´on escal´on unitario s´olo para t ≥ 0, ya que es todo lo que interesa al estudiar transformada de Laplace. En sentido m´as amplio, U (t − a) = 0 para t < 0 Ejemplo 4.36. Realice la gr´afica de a) U (t)

b) U (t − 3) 134

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´ 4.4. LOS TEOREMAS DE TRASLACION

Soluci´ on.

y

y

2

2

1

1

−1 −1

1

t

2

−1 −1

1

2

3

4

t

5

Figura 4.3. Gr´aficas de U (t) y U (t − 3)

Funciones a trozos en t´ erminos de funciones escal´ on unitario. La funci´on escal´on unitario tiene la propiedad de “encender” o “apagar” funciones. 1. “Encendido” de funciones: la funci´on escal´on unitario puede usarse para “encender” funciones a partir de un valor de a. Cuando se multiplica una funci´on g(t) definida para t ≥ 0 por la funci´on escal´on unitario U (t − a), se anula la parte de la gr´afica de dicha funci´on en [0, a) y se “enciende” a partir de a, como lo muestra la figura 4.4(a). 2. “Apagado” de funciones: la funci´on escal´on unitario tambi´en se usa para “apagar” funciones a partir de un valor a, como se ilustra en la figura 4.4(b). y

y

y

=

t) g(

y=

g (t

)

y=0

y=0 a

t

a

t

  (b) f (t) = g(t) 1 − U (t − a)

(a) f (t) = g(t)U (t − a)

Figura 4.4. Encendido y apagado de funciones

135

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CAP´ITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Por ejemplo, la funci´on f (t) =

⎧ ⎨g(t),

0≤t 0 y r1 − r2 = v − (−v) = 2v no es un entero positivo; entonces, de acuerdo con el caso 1 de la secci´on 6.3, se tiene que Jv (x) y J−v (x) son soluciones linealmente independientes de (6.15) en (0, ∞), as´ı que la soluci´on general en dicho intervalo es y = c1 Jv (x) + c2 J−v (x). 1

Al reemplazar x por |x|, las series de (6.22) y (6.23) convergen para 0 < |x| < ∞.

210

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6.3. ECUACIONES Y FUNCIONES ESPECIALES

3. Si r1 − r2 = 2v es un entero positivo, de acuerdo con el caso 2 de la secci´on 6.2, es posible que exista una segunda soluci´on de (6.15) en forma de serie. En este caso vemos que hay dos posibilidades: cuando v = m = entero positivo, J−m (x) definida por (6.23) y Jm (x) no son soluciones linealmente independientes. Se puede demostrar que J−m es un m´ ultiplo constante de Jm . Adem´as, r1 − r2 = 2v puede ser un entero positivo cuando v es la mitad de un entero positivo impar. Es posible demostrar, que en este caso, Jv (x) y J−v (x) son linealmente independientes; es decir, la soluci´on general de (6.15) en (0, ∞) es y = c1 Jv (x) + c2 J−v (x), v no es un entero.

(6.24)

Ejemplo 6.9. Halle la soluci´on general de x2 y  + xy  + (x2 − 14 )y = 0 en (0, ∞). Soluci´ on. En este caso, v 2 = 14 y v = 12 . Luego, la soluci´on general de la ecuaci´on dada en (0, ∞) es y = c1 J1/2 (x) + c2 J−1/2 (x).

Funciones de Bessel de segunda clase Si v no es un entero, la funci´on definida por la combinaci´on lineal Yv (x) =

cos vπJv (x) − J−v (x) sen vπ

(6.25)

y la funci´on Jv (x) son soluciones linealmente independientes de (6.15); por lo tanto, otra forma de la soluci´on general de (6.15) es y = c1 Jv (x) + c2 Yv (x) siempre y cuando v no sea entero. Cuando v → m, donde m es un entero, la ecuaci´on (6.25) tiende a la forma indeterminada 0/0, sin embargo, al usar la regla de L’Hˆopital se puede demostrar que l´ım Yv (x) existe. Adem´as, la v→m funci´on Ym (x) = l´ım Yv (x) v→m

y Jm (x) son soluciones LI de la ecuaci´on x2 y  + xy  + (x2 − m2 )y = 0. Por lo tanto, para cualquier valor de v, la soluci´on general de (6.15) en (0, ∞) se 211

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´ DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES CAP´ITULO 6. SOLUCION

puede escribir en la forma y = c1 Jv (x) + c2 Yv (x).

(6.26)

La funci´on Yv (x) se llama funci´ on de Bessel de segunda clase de orden v. Propiedades Algunas de las propiedades m´as u ´tiles de las funciones de Bessel de orden m para m = 0, 1, 2, . . . son (i) J−m (x) =⎧(−1)m Jm (x) ⎨0, m > 0 (iii) Jm (0) = ⎩1, m = 0

(ii) Jm (−x) = (−1)m Jm (x) (iv) l´ım+ Ym (x) = −∞ x→0

Otras propiedades son (i)

d −v [x Jv (x)] = −x−v Jv−1 (x) dx

6.3.2

(ii)

d v [x Jv (x)] = xv Jv−1 (x) dx

Ecuaci´ on de Legendre

Dado que x = 0 es un punto ordinario de la ecuaci´on de Legendre, al re∞ cn xn , desplazar los ´ındices y combinar las emplazar la serie de potencia n=0

series se obtiene (1 − x2 )y  − 2xy  + n(n + 1)y = [n(n + 1)c0 + 2c2 ] + [(n − 1)(n + 2)c1 + 6c3 ]x +

∞ 

[(j + 2)(j + 1)cj+2 + (n − j)(n + j + 1)cj ]xj = 0.

j=2

Por el teorema 6.1.3, n(n + 1)c0 + 2c2 = 0 (n − 1)(n + 2)c1 + 6c3 = 0 (j + 2)(j + 1)cj+2 + (n − j)(n + j + 1)cj = 0, o sea c2 = −

n(n + 1) c0 2! 212

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6.3. ECUACIONES Y FUNCIONES ESPECIALES

(n − 1)(n + 2) c1 3! (n − j)(n + j + 1) cj , j = 2, 3, 4, . . . =− (j + 2)(j + 1)

c3 = − cj+2

(6.27)

Para j = 2, 3, 4, . . ., la relaci´on de recurrencia (6.27) produce los siguientes resultados (n − 2)(n + 3) c2 4·3 (n − 3)(n + 4) c3 c5 = − 5·4 (n − 4)(n + 5) c4 c6 = − 6·5 (n − 5)(n + 6) c5 c7 = − 7·6

c4 = −

(n − 2)n(n + 1)(n + 3) c0 4! (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) c1 = 5! (n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5) c0 =− 6! (n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6) c1 =− 7! =

Entonces se obtienen dos soluciones linealmente independientes v´alidas al menos para |x| < 1  n(n + 1) 2 (n − 2)n(n + 1)(n + 3) 4 x + x y1 (x) = c0 1 − 2! 4!  (n − 4)(n − 2)n(n + 1)(n + 3)(n + 5) 6 x + ··· − 6!  (n − 1)(n − 2) 3 (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) 5 x + x y2 (x) = c1 x − 3! 5!  (n − 5)(n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4)(n + 6) 7 x + ··· − 7! (6.28) Observe que si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 (x) es una serie infinita. Por ejemplo, para n = 4 se tiene   4·5 2 2·4·6 4 35 4 2 x + x = c0 1 − 10x + x . y1 (x) = c0 1 − 2! 4! 3 De manera similar, cuando n es un entero impar, la serie y2 (x) termina con xn ; esto es, cuando n es un entero o negativo, se obtiene una soluci´on en forma de polinomio de grado n de la ecuaci´on de Legendre.

213

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´ DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES CAP´ITULO 6. SOLUCION

Se acostumbra elegir valores apropiados de c0 o c1 , dependiendo de si n es par o impar, respectivamente. para n = 0 se elige c0 = 1, y para n = 2, 4, 6, . . . c0 = (−1)n/2

1 · 3 · · · (n − 1) ; 2 · 4···n

mientras que para n = 1 se escoge c1 = 1, y para n = 3, 5, . . . c1 = (−1)(n−1)/2

1 · 3···n . 2 · 4 · · · (n − 1)

Polinomios de Legendre Estas soluciones polin´omicas particulares de grado n se llaman polinomios de Legendre y se representan por Pn (x). Los primeros polinomios de Legendre son P0 (x) = 1 P2 (x) = 12 (3x2 − 1) P4 (x) = 18 (35x4 − 30x2 + 3)

P1 (x) = x P3 (x) = 12 (5x3 − 3x) P5 (x) = 18 (63x5 − 70x3 + 15x)

(6.29)

Propiedades 1. Pn (−x) = (−1)n Pn (x) 3. Pn (−1) = (−1)n 5. Pn (0) = 0, n par

2. Pn (1) = 1 4. Pn (0) = 0

Relaci´ on de recurrencia (k + 1)Pk+1 (x) − (2k + 1)xPk (x) + kPk−1 (x) = 0

(6.30)

F´ ormula de Rodr´ıguez Pn (x) =

6.3.3

1 dn 2 (x − 1)n ; n = 0, 1, 2, . . . 2n n! dxn

(6.31)

Ecuaci´ on hipergeom´ etrica

Esta ecuaci´on tiene puntos singulares en x = 0 y en x = 1, ambos regulares. De este modo, un desarrollo en serie en torno a x = 0 de (6.17) obtenida 214

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6.3. ECUACIONES Y FUNCIONES ESPECIALES

mediante el m´etodo de Frobenius converger´a al menos para 0 < x < 1. Para hallar este desarrollo, observe que la ecuaci´on indicial asociada con x = 0 es r(r − 1) + γr = r[r − (1 − γ)] = 0, con ra´ıces 0 y 1 − γ. Supongamos que γ no es un entero y usemos la ra´ız ∞ cn xn . Al r = 0 para obtener una soluci´on para (6.17) de la forma y1 (x) = n=0

sustituir y1 (x) en (6.17), desplazar ´ındices y simplificar obtenemos la ecuaci´on ∞ 

[n(n + γ − 1)cn − (n + α − 1)(n + β − 1)cn−1 ]xn−1 = 0.

n=1

Al igualar a cero los coeficientes de la serie obtenemos la relaci´on de recurrencia n(n + γ − 1)cn − (n + α − 1)(n + β − 1)cn−1 = 0,

n ≥ 1.

Como n ≥ 1 y γ no es un entero, entonces cn =

(n + α − 1)(n + β − 1) an−1 , n(n + γ − 1)

n ≥ 1.

Hallando cn en forma recursiva se obtiene cn =

α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) a0 , n!γ(γ + 1) · · · (γ + n − 1)

n ≥ 1.

Si usamos la funci´ on factorial definida para enteros no negativos n como (t)n = t(t + 1)(t + 2) · · · (t + n − 1), (t)0 = 1,

n≥1

t = 0,

entonces podemos escribir cn de manera m´as compacta como cn =

(α)n (β)n a0 , (γ)n

n≥1

Si c0 = 1 y sustituyendo cn en y1 (x) se tiene la siguiente soluci´on para la ecuaci´on (6.17) ∞  (α)n (β)n n x , y1 (x) = 1 + (γ) n n=1 215

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´ DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES CAP´ITULO 6. SOLUCION

llamada funci´ on hipergeom´ etrica de Gauss y se denota por F (α, β, γ; x). Es decir, ∞  (α)n (β)n n F (α, β, γ; x) = 1 + x . (γ)n n=1 Las funciones hipergeom´etricas son generalizaciones de las series geom´etricas. Para verlo, observe que para cualquier constante β que no sea cero ni un entero negativo, F (1, β, β; x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · . Lo interesante es que varias funciones familiares se pueden expresar en t´erminos de la funci´on hipergeom´etrica: 

 1 −1 1 1+x 1. F (α, β, β; x) = (1 − x)−α 3 2 3. F 2 , 1, 2 ; x = 2 x ln 1−x   4. F 12 , 1, 32 ; −x2 = x−1 arctan x 2. F (1, 2, 2; x) = −x−1 ln(1 − x) Para obtener una segunda soluci´on linealmente independiente de (6.17) cuando γ no es un entero, usamos la otra ra´ız de la ecuaci´on indicial, ∞ dn xn+1−γ . r = 1 − γ, y buscamos una soluci´on de la forma y2 (x) = n=0

Al sustituir y2 (x) en la ecuaci´on (6.17) y calcular bn , tenemos que ∞  (α + 1 − γ)n (β + 1 − n)n n+1−γ 1−γ + x . y2 (x) = x n!(2 − γ)n n=1 Es f´acil ver que y2 (x) = x1−γ F (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; x) Usando la funci´on gamma, se puede ver que (t)n =

Γ(t + n) , t > 0 y n entero no negativo. Γ(t)

As´ı, la funci´on hipergeom´etrica se puede expresar como ∞ Γ(γ)  Γ(α + n)Γ(β + n) n F (α, β, γ; x) = x . Γ(α)Γ(β) n=0 n!Γ(γ + n) 216

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6.4. EJERCICIOS

6.4

Ejercicios

En los ejercicios 1 y 2 compruebe, mediante sustituci´on directa, que la serie de potencias es una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial respectiva. 1. y =

∞ (−1)n xn , (x + 1)y  + y  = 0 n n=1

2. y =

∞ (−1)n xn , xy  + y  + xy = 0 n 2 n=1 2 (n!)

En los ejercicios 3 al 6 determine dos soluciones en forma de series de potencias, de la ecuaci´on diferencial, respecto al punto ordinario x = 0. 3. y  − 2xy  + y = 0

4. y  − xy  + 4y = 0

5. y  − x2 y  − xy = 0

6. (x2 − 1)y  − xy  + y = 0

En los ejercicios 7 y 8, resuelva el problema con valores iniciales dado, mediante el m´etodo de series. 7. t2 x − 12x = 0; x(1) = 3, x (1) = 5 8. (x − 1)y  − xy  + y = 0; y(0) = −2, y  (0) = 6 En los ejercicios 9 al 12 use el m´etodo de Frobenius para hallar al menos los cuatro primeros t´erminos no nulos del desarrollo en serie en torno de x = 0 para una soluci´on de la ecuaci´on dada, para x > 0. 9. 9x2 y  + 9x2 y  + 2y = 0

10. x2 y  + xy  + x2 y = 0

11. x2 x + (x2 + x)z  + z = 0

12. (1 − x2 )y  − 2xy  + 2y = 0

En los ejercicios 13 al 19, use el m´etodo de Frobenius para hallar una f´ormula general para los coeficientes ck en un desarrollo en serie de potencias en torno a x = 0 para una soluci´on de la ecuaci´on dada, con x>0 217

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´ DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES CAP´ITULO 6. SOLUCION

13. 4x2 y  + 2x2 y  − (x + 3)y = 0

14. xw − w − xw = 0

15. xy  + 2y  + xy = 0

16. xy  + 2(x2 + 1)y  + 4xy = 0

17. xy  − x2 y  + y = 0

18. xy  + y  + 2y = 0

19. 4xy  + 2y  − y = 0 20. Resuelva el sistema tx (t) − y(t) = 0, y(0) = 0 x(t) − y  (t) = 0

218

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Respuestas

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on a las ED, p´ agina 15 1. EDO, 2, t; x, lineal

17. Es soluci´ on

2. EDO, 2, x; y, lineal

18. Es soluci´ on

3. EDO, 2, x; y, no lineal

19. Algunas curvas soluci´ on y

4. EDP, 2, x, y; u 5. EDO, 2, t; x, no lineal x 6. EDO, 2, x; y, no lineal 7. EDP, 2, t, r; N 8. EDO, 3, x; y, no lineal 20.

9. dN/dt = kN

l´ım φ(x) = ∞ =

x→c−

l´ım φ(x) = −∞ =

x→c−

10. dT /dt = k(T − M )

l´ım

x→−c+

φ(x) y

l´ım

x→−c−

φ(x)

21. Suma de cuadrados no es negativo

√ √ 11. Allison por 6 3 − 4 6 ≈ 0.594 seg

22. −1, −5 12. Derive y sustituya 23. −1, 3 13. Derive y sustituya 24. y = 14. Derive y sustituya 25. 15. Es soluci´ on 26. 16. No es soluci´ on

∂F ∂x

5 x e 3

+ 13 e−2x

no es continua en (2, 0) a) v|(2,1) = 7 c) No, porque v|(2.5,2) = 7 625 > 0

219

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.

Respuestas

27. Son soluciones las familias y(x) = c1 − x y y(x) = c2 + x. 28.

30. Ecuaci´ on diferencial a) 2xy dx + (y 2 − x2 + 1) dy = 0

a) Todo el plano. b) tan x no es continua en x = ±π/2.

b) y(x2 −y 2 +4)dx+x(y 2 −x2 +4)dy = 0

c) En (−π/2, π/2)

c) y  − y  − 2y = 0 d) x2 y  − xy  − 4y = 0

29. Soluciones singulares: y = ±2

Cap´ıtulo 2. ED de primer orden Ecuaciones de primer orden, p´ agina 51. 1. y +

1 2

⎧ ⎨

sen 2y = 2 arctan x + c

18. y(x) =

⎧ ⎨ x2 + 3 19. y(x) = ⎩x 2 ,

3. y(x) = (c1 − ecos x )−1 c−1−ex 1+ex

y2 )

=c

12. y = 13. y = 14.

√

24. μ(y) = y 2 . Familia de soluciones: 3x2 y 3 + y 4 = c

π 2

√  4x3 + 8x2 + 8x + 9 − 1

1 x2 +1





x5 5

−x+c

27. y = cx



28.

29. sec(y/x2 ) + tan(y/x2 ) = cx

xex −ex +c x sen x

30. sen(x2 y 2 ) = cex

16. y = 1 − cot x + csc x, 0 < x < π 17. x =

1 2

a) Verifique que My = Nx b) n = 2, m = 1 Familia: 5x5 y 2 + 6x6 y 3 + x4 y 3 = c

c(t2 + 1) − 1

x2 + 1y = x − x2 − c

15. y =

si x > 1

y0

10. y = tan (ln(sec x) + π/3) ; − π2 < x < 1 2

si 0 < x ≤ 1

22. k = 9. Familia: 3x2 y 3 + x sen y = c x 23. a) tan y − x ln y + a(t)dt = c x0 y b) exy − x4 y + 2x + b(t)dt = c

√ √ y + 1 = c( x + 1)

11. y =

2 , 3x

2

8. y −1 = c − arctan(ex + 1) 9.

si x > 1

21. y cos 2x + 2xy − 2exy − y = c

a−bctb−a 1−ctb−a

7. 2 arc sen(x/2) − (4 +

si 0 < x ≤ 1

20. xy ln y + e−xy = c

5. y(x) = ln cos x, −π/2 < x < π/2 6. x(t) =

6 , x2

x

2. (1 − 4v 2 )−3/8 = cx

4. y(x) = ln

3 − x ⎩− 3 ,

31. y = cx2 e3(y−x)

+ ce2y

32. sen(2y/x) + 2x3 = c

220

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33.

√

1 (x 3

z=

c x−2

− 2)2 +

36. y = tan(x + c) − x − 2

34. tan(x − y) + sec(x − y) = x + c

37. (2x + 2y + 1)3 = c(y + 1)(2x + y + 2)

35. y − x + 2 ln(x + y) = c

38. y = x +

5x c−x5

Modelado, p´ agina 53 1. x(30) = 760

√ 4. y = c 2x − 1ex , c > 0, x ≥ 1/2

2. t ≈ 11 segundos

5. T ≈ 48o F

3. y = cx2 , c > 0

6. A las 6:00 de la ma˜ nana

7. i(t) =

8. x(t) =

si 0 ≤ t < 20

⎩60(1 − e−2 )e−0.1(t−20) ,

si t ≥ 20

r k



 1 − e−kt , k > 0; l´ım x(t) = t→∞

r . k

a) A(30) ≈ 64.3 libras c) A(150) ≈ 626 libras

9.

10.

⎧ ⎨60(1 − e−0.1t ),

dy dx

√ =

x2 +y 2 −x , y

b) A(100) ≈ 135.5 libras

cuando y  > 0; y 2 = c(2x + c)

11. A(t) = 10 − t − 8−3 (t − 10)4 , Am´ın ≈ 1.22 libras 12. x(t) = 4.8 − 4.6e−t/4 , 0.055 %, 0.06 % 13.

18.

a) b) c) e) f)

a) 20 minutos m´ as tarde b) 1/e m´ as salado

14. A(t) = t + 50 +

17.

15.

26569 , 2(t+50)2

a) Indicaci´ on: y  = c) y =

a 2

d) y =

1 2

dy dx



y−k

16. y =

y−wt , x

x 1+k

1 1+k x2 2a

A ≈ 284.65 Lb

a

−

k 2x a

s = vt, en donde s = 1 1−k

x 1−k  a

− a ln x + a ln a −

a 2



y 2 = c 2 x3 (x − y + 1)ey = c2 2x2 + y 2 = c2 d) x3 + y 3 = c2 2 2 x + y = c2 y 2x + sen 2x − 4e−y = c2

1 + (y  )2 dx

x

+

ak . 1−k2

Lo alcanza en y =

, l´ım y = ∞ x→0+

√

x2 +y 2 , x

y(a) = 0, donde k = w v 

√ b) ln z + 1 + z 2 = −k ln x + C. Sust.: y = xz



1+k  1−k . c) C = k ln a, y = a2 x − x a a

a)

=

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ak 1−k2

Respuestas

  k . d) y = −x senh ln x a e) Si k < 1, el avi´ on llega a su destino. Si k = 1, el avi´ on llega al punto (0, a/2). Si k > 1, el avi´ on se va con el viento, ya que l´ım y(x) = ∞. x→0+

19. a) y = x − ln |2x + 1| + c, x = −1/2

b) y + 2 ln(y − 1) = x + c, y > 1.

b) r = c(1 − cos θ)

20. a) r = c sen θ

Cap´ıtulo 3. ED de orden superior, p´ agina 107 1.

2.

3.

a) 3x2 − 8x + 2 c) (r 2 + 4r + 3)erx d) 2 cos x + 4 sen x

b) 0

17. Linealmente dependiente

a) b) c) d)

−(x2 + 5) cos x + 3x sen x 0 (r 2 − 4r − 5)xr (x2 + 3x − 5)e−x

18. c) No lo contradice

a) b) c) d)

0 −2 cos 2x + 2x sen 2x (6 + 2x)e−2x − x12 − 1 + 2 ln x

20. W (x) = c

a) y = 2e2x cos x + 13 e2x sen x b) y = 4e2x cos x + 53 e2x sen x

6. y = x4 − 4x2 + 3 7. y = 8.

2x2

−

2x4

+ 3x − 2

a) y = 2 cos x b) y = 2 cos x + c2 sen x

9. (−∞, ∞) 10. (− π2 ,

π ) 2

11. Linealmente independiente 12. Linealmente independiente 13. Linealmente independiente

19.

a) Derive W y reemplace b) Resuelva la ecuaci´ on ex x

1 21. y = √ [c1 cos x + c2 sen x] x

4. No cumple las propiedades de linealidad 5.

16. Linealmente independiente

22. y2 = e−x

23. y2 = x

x

2

/2

x

et

2

/2 dt,

yp = x2 − 2

0

t−2 et

2

/2 dt

= −1 +

0

x4 x2 + + ··· 2 24

24. Derive y sustituya 25. y = c1 x + c2 x2 26. y = c1 x + c2 x−2 27. y = c1 ex + c2 e4x 28. y = c1 e−2x + c2 xe−2x 29. y = c1 e(2−

√ 2)x

√

+ c2 e(2+

2)x

30. y = e−x [c1 sen 2x + c2 cos 2x] 31. y = ex [c1 + c2 cos x + c3 sen x]

14. Linealmente independiente

32. y = c1 ex + c2 e−x + c3 e2x + c4 e−2x

15. Linealmente independiente

33. y = c1 ex + c2 xex + c3 e2x + c4 e−2x

222

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34. y = c1 cos x + c2 sen x + c3 cosh

√ √ 3 x + c4 senh 3 x

35. y = e2x [c1 cos 2x + c2 sen 2x] + e−2x [c3 cos 2x + c4 sen 2x] 36. y = c1 e−x + c2 ex + c3 xex + c4 x2 ex + c5 e5x 37. y = c1 e 38. y = c1 e

√ √

2x

+ c2 e−

2x

+ c2 e−

√ √

2x

+ e−x [c3 cos 3x + c4 sen 3x]

2x

+ ex [c3 cos

√

2 x + c4 sen

39. y = e4x (cos x + sen x)  40. y = ex/2 cos

2 x]

41. y =

√

2 x 2

√

+ sen

 √ 2 x 2

1 −x e 30

+

1 −2x e 10

+

1 3x e 15

42. y = 3 cosh x − sen x + 4 cos x − sen x

43. y = 2 − 2ex + 2xex − 12 x2 ex 44. a) L[er−x ] = (aD 2 + bD + c)[erx ] = ar 2 erx + brerx + cerx = a(r 2 +

c b r + )erx a a

2 * b 2 b 4ac − b ) +  erx = a(r − r0 )2 erx , r0 = − = a (r +  4a 2a 2a 0

b)

 ∂ ∂  L[erx ] = a(r − r0 )2 erx = 2a(r − r0 )erx + ax(r − r0 )2 erx ∂r ∂r 

∂ rx = (aD2 + bD + c)[xerx ] = a(D2 [xerx ] + bD[xerx ] + c(xerx ) e L ∂r = (ar 2 x + 2ar + brx + b + c)erx = ax(r +

b 2 rx b rx ∂ ) e + 2a(r + )e = L[erx ] 2a 2a ∂r

45. y = e4x (c1 cos 2x + c2 sen 2x) + 15 x2 + 46. y = c1 e−x + c2 xe−x + cos x −

1 2

4 x 25

+

2 25

− (2x +

12 x )e 13

sen x + x2 e−x

47. y = c1 ex/2 + c2 xex/2 + 12 + 12 x2 ex/2

49. y =

73 x e 15

−

13 7x e 15

+ 2x − 45 xex

48. y = c1 cos 2x + c2 sen 2x − 34 x sen 2x

50. y =

⎧ ⎨cos 2x + ⎩ 2 (cos 2x 3

5 6

sen 2x +

1 3

sen x,

0 ≤ xπ/2 x ≥ π/2

+ sen 2x),

51. Verifique que L[g(x)] = 0 en cada caso. 52.

a) (D2 + 1)3 (D − 2)2 c) D 3 (D 2 + 4)2

d)

D(D 2

53. y = c1 cosh x + c2 senh x + 12 +

x (2x2 12

+ 1)(D +

2)(D 2

b) D 3 (D − 1)2 (D − 2) + 2D + 2)

− 3x + 6)ex

223

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54. y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 12 x −

7 8

− 14 ex

55. y = c1 e3x + c2 xe3x + 3 + 12 x2 e3x 56. y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 14 x2 − 12 x + 57. y = c1 cos x + c2 sen x −

1 3

1 4

− x2 e−2x

cos 2x

58. y = c1 cos 2x + c2 sen 2x + 14 x cos 2x + 14 x ⎧ ⎨ 59. y = c1 cos kx + c2 sen kx + yp (x), en donde yp (x) =

1 sen bx, k2 −b2 ⎩− 1 x sen kx, 2k

si k = b si k = b

60. y = c1 cos x + c2 sen x + ln |sec x| + x sen x 61. y = c1 cos x + c2 sen x + ln |sec x + tan x| − 2 62. y = c1 e−x + c2 e−2x + e−x ln(1 + ex ) + e−2x ln(1 + ex ) 63. y = y = c1 ex + c2 xex − ex ln 64. y = c1 e3x + c2 e3x +

√ 1 + x2 + xex arctan x

e3x 2x

65. y = c1 ex + (c2 − 12 )xex +

1 2



 3x2 − 1ex arctan x − 14 ex ln(1 + x2 )

66. y = c1 + c2 cos x + c3 sen x + 1 + ln |sec x| − sen x ln |sec x + tan x| 67. y = c1 x + c2 (x2 + 1) + 16 x4 − 12 x2 68. y = c1 x−1/2 cos x + c2 x−1/2 sen x + x1/2 69. y v − 2y  + y  + 4y  − 6y = −8x2 + 6x + 2 + 6xe−x + 8e−x 70. y = c1 cos 2x + c2 sen 2x + x − 12 e−x −

1 2

cos 2x ln |sec 2x + tan 2x|

71. y = c1 ex + (c2 − 1)xex + 4x2 + 13x + 18 − xex ln x 72. y = c1 x−5 + c2 x3

74. y = c1 x−1/2 + c2 x1/2

73. y = c1 x + c2 x ln x

75. y = c1 x−1 + c2 x2 + c3 x3

76. y = c1 x + c2 x ln x + c3 x ln3 x √ √ 77. y = c1 x−1 + c2 x + c3 cos ( 3 ln x) + c4 sen ( 3 ln x) 78. y = c1 x + (c2 − 2)x ln x − 79. y =

5 2 x 3

− 54 x3 +

x 2

+

x 2

ln2 x + 2x ln(ln x)

1 12x

81. y = c1 x + c2 x2 + c3 x3

80. Sugerencia: use la regla de la cadena

82. y = c1 x + c2 x2 + c3 x3 + yp

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Cap´ıtulo 4. Transformada de Laplace, sπ

1 1 − 2 (1 − e−s ) s s Use la definci´ on y la funci´ on gamma 2 1 2 + F (s) = 3 + s (s + 1)2 s+2 12s2 − 16 F (s) = 2 (s + 4)2 3(s2 + 5) F (s) = 2 (s + 1)(s2 + 25) 12 F (s) = 2 (s + 1)(s2 + 25) 1 − (s + 1)e−s F (s) = 2 s (1 − e−2s ) 1 + e−πs F (s) = 2 (s + 1)(1 − e−πs ) πs (1 + s)e− 2 1 + F (s) = 2 s √ +1 s2 + 1 ln s2 + 1 F (s) = s

e− 2 s2 + 1 Proceda por inducci´ on 2 F (s) = (s − 2)(s2 − 4s − 8) s2 + 4s + 3 F (s) = 2 (s + 4s + 5)2 s(s2 + 13) F (s) = 2 (s + 1)(s2 + 25) 1 s F (s) = arctan + s ln √ 2+1 s s   1 2e−2s 2e−s F (s) = 2 1 − + 2e−2s s s s π F (s) = √ 2 s s F (s) = (s − 1) ln −1 s−1

1.

a) F (s) =

b) F (s) =

2.

a)

b)

3.

a) c) e) g) i) k) m) n ˜)

4.

b) f (t) = a) f (t) = cos 2t c) f (t) = 14 [cos 2t + sen 2t] e) f (t) = e−3t sen t f ) f (t) =

b) d) f) h) j) l) n)

− 13 e−t − 15 e−3t d) f (t) = 1 −t te sen t 2 8 2t e 15

− 2at cos at)

b)

+ 2at cos at) a(cos bt − cos at) f) a2 − b2

d)

c)

6.

1 (sen at 2a 1 (sen at 2a

a) b) c) d) f)

a sen bt−b sen at a2 −b2 a sen at−b sen bt a2 −b2

y(t) = − 21 e3t sen 2t y(t) = sen t − 12 [cos t − (t − π2 ) sen t]U (t − π2 )   y(t) = ce−2t + 14 (t − 1 − e−t ) − 14 t − 2 − e2(t−1) U (t − 1) y(t) = cos 4t + 14 sen 4t U (t − 2π) e) y = e2t −3t 2 t y(t) = te g) y(t) = ct e

Aplicaciones 1.

a) x(t) = 10 cos 2t

⎧ ⎨10 cos 2t + 2. x(t) = ⎩10 cos 2t +

b) x(t) = 10e2t (1 + 2t)

F0 (cos 2t 2(ω 2 −4) F0 t sen 2t 8

− cos ωt)

− t cos t]

h) f (t) =

√ 2 senh 2t − 4 senh t cos( 3 t) i) f (t) = t

a)

1 [sen t 2

2(cos 2t − cos t) t 1 1 j ) f (t) = √ 3/2 e− 4t 2 πt

g) f (t) = (1 − t + et−2 )U (t − 2)

5.

p´ agina 152

si ω = 2 si ω = 2

225

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e)

1 t sen at 2

Respuestas

3.

4.

a) q(t) = 6 − 6e−4t cos 3t − 8e−4t sen 3t, i(t) = dq = 50e−4t sen 3t dt ⎧ ⎨25e−4t cos 3t si 0 < t < π2 b) i(t) = ⎩25e−4t cos 3t − 25e−4(t− π2 ) cos 3t si t > π 2

a) x(t) =

⎧ ⎨10 cos 2t

si 0 < t


π 2

π 2

b) x(t) = 10 cos 2t + 14 F0 sen 2t 5. y(x) =

6. y(x) =

⎧ 2 ⎨ w0 L x2 − 16EI ⎩ w 0 L2 x 2 16EI

−

⎧ 2 ⎨ 2P0 L x2 − 27EI ⎩ 2P0 L2 x2 27EI

−

w0 L 3 x 12EI w0 L 3 x 12EI

+ +

10P0 3 x 81EI 10P0 3 x 81EI

w0 x4 , 24EI w0 w0 x4 − 24EI (x 24EI

si 0 < x < −

L 4 ) , 2

si

si 0 < x < +

P0 (x 6EI

−

L 3 ) 3

si

L 3

L 2

L 2