Differentialgeometrie: Band 1 Kurventheorie der Ebene und des Raumes [Reprint 2019 ed.] 9783111587684, 9783111214061

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SAMMLUNG

GÖSCHEN BAND

1113/1113a

DIFFERENTIALGEOMETRIE von

DR. P H I L . K A R L

STRUBECKER

o . P r o f e s s o r der M a t h e m a t i k an der T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e K a r l s r u h e

i

KURVENTHEORIE DER

EBENE

UND

DES

RAUMES

Mit 18 F i g u r e n

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g ä h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r • Karl J . T r ü b n e r • V e i t & C o m p .

BERLIN

1955

Alle H e c h t e , einschl. der R e c h t e der H e r s t e l l u n g von P h o f o k o p i e n u n d Mikrofilmen, v o n d e r V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

C o p y r i g h t 1955 b y W A L T E R 1)E G R U Y T E R & 0 0 . Berlin W 35, G e n t h i n e r S t r a ß e 13

A r c h i v - N r . 1111.13 l l r u c k von T h o r m a n n & Goetsch, Berlin SW 61 P r i n t e d in G e r m a n y

Inhalt

Seite 4 5

Literaturverzeichnis Einleitung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

1. 2. 3. ' 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Namen 1*

I. Theorie der ebenen Kurven Ebene Vektorrechnung Darstellung ebener K u r v e n Komplexe Kurven Parameteränderung Tangentenvektor Bogenlänge Die geometrische Deutung der Bogenlänge Ableitungsregeln Begleitendes Zweibein, Ableitungsformeln, K r ü m m u n g Geometrische Deutung der K r ü m m u n g Natürliche Gleichung x = x (s) einer ebenen Kurve Kanonische Darstellung der ebenen K u r v e Berührung höherer Ordnung von zwei analytischen K u r v e n Schmiegkreis einer ebenen K u r v e Evolute und Evolvente Beispiel: Evolute und Evolvente der Kettenlinie Eibereiche und Eilinien. Vierscheitelsatz Gleichdicke (Kurven konstanter Breite) Zindlerkurven

.

. .

I I . Theorie der R a u m k a r v c n Räumliche Vektorrechnung Parameterdarstellung der R a u m k u r v e n . Bogenlänge Schmiegebene einer R a u m k u r v e Begleitendes Dreibein einer nichtisotropen R a u m k u r v e K r u m m e Linien in isotropen Ebenen Ableitungsgleichungen (Formeln von Frenet) E i n f ü h r u n g beliebiger Parameter. Metrische Klassifikation der R a u m k u r v e n nach E. Study Die drei sphärischen Bilder Beispiele. Schraublinien Begleitende Schraubung. Darbouxscher Drehvektor Kanonische Entwicklung. Natürliche Gleichungen Bestimmung einer R a u m k u r v e aus den natürlichen Gleichungen Invariante Bestimmung der R a u m k u r v e aus den natürlichen Gleichungen nach R. Rothe Berührung höherer Ordnung von K u r v e n und Flächen. Schmiegkreis und Schmiegkugel. Sphärische K u r v e n Einfache Flächenscharen, ihre Hüllfläche u n d Gratlinie Ebenenscharen, Tangentenflächen, Torsen Die Torse der Schmiegebenen und der Normalebenen, Evolute . . Die Torse der Streckebenen, Böschungslinien Filarevolvente u n d Filarevolute Planevolvente u n d Planevolute Theorie der k r u m m e n isotropen R a u m k u r v e n . . . u n d Sachverzeichnis

5 8 11 12 14 15 18 19 20 23 25 29 33 35 39 44 47 51 55

59 64 68 71 75 78 81 83 89 93 97 103 107 114 119 122 125 127 131 135 138 146

Literaturverzeichnis Bei der Bearbeitung des vorliegenden B ä n d c h e n s wurde in einigen Kapiteln der ältere Göschenband 1113 v o n Rudolf R o t h e , Differentialgeometrie I ( R a u m k u r v e n u n d Anfänge der Flächentheorie), Berlin, Leipzig 1937, b e n ü t z t . , Das folgende Literaturverzeichnis berücksichtigt nur die d e u t s c h s p r a c h i g e n Lehrbücher der Differentialgeometrie. 1. Luigi B i a n c h i , Vorlesungen über Differentialgeometrie, Deutsch von Max L u c a t , 2. Aufl., Leipzig u n d Berlin 1910. 2. Ludwig B i e b e r b a c h , Differentialgeometrie, Leipzig u n d Berlin 1932. 3. Wilhelm B l a s c l i k c , Vorlesungen über Differentialgeometrie I ( E l e m e n t a r e Differentialgeometrie), 4. Aufl., Berlin 1945. 4. Wilhelm B l a s c h k e , E i n f ü h r u n g in die Differentialgeometrie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950. 5. E r n e s t o C e a a r o , Vorlesungen über natürliche Geometrie, Deutsch von Gerhard K o w a l e w s k i , Leipzig 1901. 6. A d a l b e r t D u s c h e k - W a l t e r M a y e r , L e h r b u c h der Differentialgeometrie, B a n d I ( K u r v e n u n d F l ä c h e n im euklidischen R a u m ) , Leipzig u n d Berlin 1930. 7. Wolfgang R a a c k , Differentialgeometrie Teil I, W o l f e n b ü t t e l u n d H a n n o v e r 1948. 8. Vdclav H l a v a t y , Differentialgeometrie der K u r v e n und F l ä c h e n ; Deutsch v o n Max P i n l , Groningen-Batavia 1939. 9. J o h a n n e s K n o b l a u c h , Grundlagen der Differentialgeometrie, Leipzig und Berlin 1913. 10. Viktor und Karl K o m m e r e i l , Theorie der R a u m k u r v e n u n d k r u m m e n Flächen I ( K r ü m m u n g der R a u m k u r v e n u n d F l ä c h e n ) , 4. Aufl., Berlin und Leipzig 1931. 11. Max L a g a l l y , Vorlesungen über Vektor-Rechnung, 3. Aufl., Leipzig 1944. 12. R i c h a r d von L i l i e n t h d l , Vorlesungen über Differentialgeometrie I, Leipzig 1908. 13. Georg S c h e f f e r s , Anwendung der Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g auf Geometrie, B a n d I ( E i n f ü h r u n g in die Theorie der K u r v e n in der E b e n e und im Räume), 3. Aufl., Berlin und Leipzig 1923. 14. Wilhelm S c h e l l , Allgemeine Theorie der K u r v e n doppelter K r ü m m u n g , 3. Aufl., bearbeitet von Erich S a l k o w s k i , Leipzig und Berlin 1914. F o r m e l v e r w e i s e : (I) u n d (II) b e d e u t e n Abschnitt I (Ebene K u r v e n ) bzw. I I ( R a u m k u r v e n ) . — (1.12) b e d e u t e t Kapitel 12 aus Abschnitt I u n d (I. 12. 4) die F o r m e l 4 darin. — (10. 3) b e d e u t e t K a p i t e l 10, Formel 3 des laufenden Abschnittes, u n d (5) b e d e u t e t Formel 5 des laufenden Kapitels. — (4. Bern. 2) bed e u t e t B e m e r k u n g 2 in K a p i t e l 4 des laufenden Abschnittes und (4. Beisp. 2) das e n t s p r e c h e n d e Beispiel.

Einleitung Die elementare Differentialgeometrie untersucht jene differentiellen Eigenschaften der Kurven und Flächen, die Bewegungen gegenüber unveränderlich (invariant) sind, d. h. sie handelt von b e w e g u n g s i n v a r i a n t e n l o k a l e n E i g e n s c h a f t e n der K u r v e n u n d F l ä c h e n . In den letzten Jahrzehnten interessiert neben dem Verhalten dieser Gebilde „im K l e i n e n " auch ihr Verhalten „ i m G r o ß e n " , wobei das Augenmerk auf die Gesamterstreckung der Kurven und Flächen gerichtet ist. In diesem ersten Bändchen soll zunächst die Differentialgeometrie der e b e n e n K u r v e n , anschließend die vielseitigere Theorie der R a u m k u r v e n behandelt werden.

I. Theorie der ebenen Kurven 1. Ebene Vektorrechnung. Die nach E u k l i d benannte elem e n t a r e G e o m e t r i e der Ebene studiert jene Eigenschaften ebener Figuren, die bei der dreigliedrigen stetigen G r u p p e d e r ebenen Bewegungen 1 ^ " '

N

X = a + x cos

, [e e'] = | E I • I S' I sin