Die Auflösung von Gleichungen in ganzen Zahlen (Diophantische Gleichungen) [2 ed.]

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KLEINE

ERGANZUNGSREIHE

zu den Hochschulbfichern tfir Mathematfik Herausacaeben von Prof. Dr. Herbert Karl, Potsdam

DIE AUFLGSUNG VON GLEICHUNGEN IN GANZEN ZAHLEN (DIOPHANTISCHE GLEICHUNGEN)

Von A. 0. Gelfond

Zwes'te, durchgeaehene Auflage

VEB DEU’I‘SCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1960

'

nonyupnue .nemum no Ina-renaming Bunyan 8

A. 0. I‘eaubonu, Pemenne ypunenfin 3 new: uncanx Mocna

1952

JIermnrpan

Ersehionon 1m Staatsverlag tin- technlsch-theoretische Literati“ Moskau-Lenlngrsd 1952.

Ana dem Russlschen fibertragen von Gerhard Rinlke.

Alla R'ecbbe vorbehalten Copyright 1954 by VEB Deutacher Vetlag der Wissenscharcen, Berlin Printed in Germany

lenz-Nr. 206 -

435/69mn

Gmtherst/ellung: (IV/5/1) Buchdruckerel Paul Diinnhaupt.

Kathen (Anh.) LNG/59

Vorwort

Grundlage dieses Buches ist ein Vortrag fiber Diophantische Gleichungen, den ich im Jahre 1951 auf der mathematisehen Olympiade in der Moskauer Staatlichen Universitiit gehalten babe. Ich machte an dieser Stelle meinem Schfiler, Doz. N. M. KOPOBOW, danken, der den ersten, den zweiten und einen Teil des dritten Paragraphen nach dem Konzept meiner Lektion geschrieben hat.

Das Biichlein ist fiir Schiiler der hfiheren Klassen von Oberschulen gedacht.

A. Gmonn

1.

Inhaltsverzeichnis Seiw

Vorwort........... ........... .....3 Einleitung

..........................

5

§ 1. Gleichungen mit einer Unbekannten ............ §2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbckarinten ..... § 3. Beispiele ffir Gleichungen zweiten Grades mit drei Unbekannten . §4. Gleichungen der Form x2 — A y? = 1.. Die Ermittlung aller Lésungen dieser Gleichung ................... §5. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten . §6. Gleichungen hfiheren als zyveiten Grades mit zwei Unbekannten . §7. Algebraische Gleichungen hfiheren als zweiten Grades mit drei Unbekann’oen und einige Exponentialgleichungen . . . . . . .

7 8 18 22 34 45 51

Einleitung

Die Zahlentheorie untersucht im wesentlichen die arithmetischen Eigenschaften der natfirlichen Zahlen, also der ganzen positiven Zahlen, und gehiirt zu den iltesten Teilgebieten der Mat-hematik.

Eines der zentralen Probleme der (im 19. Jahrhundert

entstandenen; (1. Red.) sog. analytischen Zahlentheorie ist die Verteilung der Primzahlen in der Folge der natiirlichen Zahlen. Primzahl nennt man jede gauze positive Zahl, die gréBer als Eins

ist, wenn sie ohne Rest lediglich durch sich selbst und durch Eins teilbar ist. Das Problem der Verteilung der Primzahlen in der Folge der natfirlichen Zahlen besteht darin, zu untersuchen, nach welchen GesetzmiiBigkeiten die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer

gewissen Zahl N anwéichst, falls diese Zah] N immer gréBer wird. (Die von GAUss [1777—1855] vermutete Beziehung wurde

Ende des 19. Jahrhunderts von HADAMARD und DE LA VALLEEPoUSSIN bewicsen; (1. Red.)

Das erste Ergebnis in dieser Richtung finden Wir schon bei EUKLID (IV. Jahrhundert v. u. Zeitr.). Es handelt sich um den Beweis der Tatsache, daB es unendlich viele Primzahlen gibt. Das zweite Resultat nach EUKLID lieferte in-der zweiten Halfte des XIX. Jahrhundert-s der groBe russische Mathematiker P. L. TSCHEBYSCHEFF. Eine andere wesentliche Aufgabe der Zahlentheorie ist die Darstellung ganzer Zahlen als Summe ganzer Zahlen eines bestimmten Typus, z. B. die Darstellung der ungeraden Zahlen als Summen dreier Primzahlen. Dieses letzte Problem, die GOLDBACI-Ische Vermutung wurde erst 1937 von dem bedeutendsten derzeitigen Vertreter der Zahlentheorie, dem sowjetischen Mathematiker I. M. WINOGRADOW, geltist. Das vorliegende Bfichlein behandelt eines der interessantesten Gebiete der Zahlentheorie, namlich die Aufliisung von sog. diophantischen Gleichungen. Die Ermittlung cler ganzzahligen Lésungen algebraischer Glei-

chungen mit ganzen Koeffizienten und mehr als einer Unbekann’oen

Einleitung

6

ist eines der schwierigsten Probleme der Zahlentheorie. Mit diesen Problemen beschéftigten sich viele hervorragende Mathematiker des Altertums, z. B. der griechische Mathematiker PYTHAGORAS

(VI. Jahrhundert v. u. Zeitr.), der alexandrinische Mathematiker DIOPHANT (II.— —III. Jahrhundert [nach ihm werden diese Gleichungen benannt; d. Red. ]) und die besten Mathematiker der Neuzeit, PIERRE FERMA'I‘ (XVII. Jah hundurt), LEONHARD EULER (XVIII. Jahihundert), LAGRANGE und andere. Ungeachtet der Bemiihungen vieler Generationen hervorragender Mathematiker

fehlen auf diesem Gebiet irgendwelche allgemeine Methoden, etwa von der Art der WINOGRADOWschen Methode der trigonometri-

schen Summen, welche die Losung der verschiedensten Problems der analytischan Zahlentheorie erlaubt. Das Problem, die ganzzahligen Losungen von Gleichungen zu finden, ist nur bis zu Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten voflstandig gelost. Fiir Gleichungen beliebigen Grades mit einer Unbekannten ist das Problem nicht sehr interessant, da, es bier 1n endlich vielen Schritten entschieden werden kann. (Man probiert, ob die Teiler des absoluten Gliedes Losungen sind;

(1. Red. ). Fiir Gleichungen hohereii als zweiten Grades mit zwei oder mehr Unbekannten ist nicht nur das Problem, alle ganzzahligen Lésungen zu ermitteln, sehr schwierig, sondem sogar schon die wesentlich leichtere Aufgabe, festzustellen, ob endlich oder unendlich viele solcher Lfisungen existieren. Die Auflésung von Gleichungen in ganzen Zahlen hat nicht nur

theoretisches Interesse; solche Gleichungen kommen bisweilen auch in der Physik vor.

Das theoretische Interesse an diesen Gleichungen ist sehr groB, da. sie eng mit vielen Problemen der Zahlentheorie zusammenhangen. AuBerdem kfinnen die in diesem Biichlein behandelten elementaren Teile der Theorie solcher Gleichupgen gut zur Erweiterung des mathematischen Gesichtskreises von Schiilern der Oberschule und von Studierenden an Lehrerbildungsinstituten und

Padagogischen Instituten verwendet werden. In diesem Buch werden die grundlegenden Resultate der Theorie der diophantischen Gleichungen behandelt. Die Beweise der vor-

kommenden Sfitze sind angegeben, soweit sie nicht zu schwierig Bind.

§ 1. Gleichungen mit einer Unbekannten

7

§ 1. Gleichungen mit einer Unbekannten Wir betrachten eine Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten

(1)

a1 a: + “o = 0 -

Sind die Koeffizienten a1 und an der Gleichung gauze Zahlen, so ist Her, (1113 die Liisung dieser Gleichung, “o w=——, a1

nur dann eine ganze Zahl ist, wenn al in do aufgeht. Somit ist die Gleichung (1) nicht immer in ganzen Zahlen lésbar; so hat zum Beispiel von den beiden Gleichungen 3 a: — 27 = 0 und 5 x + 21 = 0 die erste die ganzzahlige Ltisung a: = 9, die zweite ist jedoch nicht in ganzen Zahlen lbsbar.

Denselben Sachverhalt finden wir auch bei Gleichungen hfiheren als ersten Grades: die quadratische Gleichung x3 + x - 2 = 0 hat die ganzzahligen Losungen x1— = 1 und x2_ = — 2; die Gleichung x3 —- 4 a: + 2— = 0 hat keine ganzzahligen Lésungen, da. ihre Wurzeln x1 2 = 2 :1: V2 2irrational Sind.

Das Problem, die ganzzahligen Lo'sungen einer Gleichung n-ten Grades mit ganzzahh'gen Koeffizienten anx"+a_1m”-1+--~+a1x+ao=0

(11.21)

(2)

zu finden, ist leicht zu Risen. Angenommen, a: = a sei eine ganz-

zahlige Wurzel dieser Gleichung. Dann gilt anan+an_1a"—1 + - - - +a1a+ao=0,

a0: —a(a,,a"—1 —1—a,,_1a"—2 + - - - +a1). Aus dieser Identitit ist ersichtlich, daB a0 ohne Rest durch a teilbar ist; folglich ist jede ganzzahlige Wurzel der Gleichung (2) ein Teiler ihres_ absoluten Gliedes. Um die ganzzahh'gen Liisungen einer Gleichung zu finden, muB man diejenigen Teiler von a0 suchen, die beim Einsetzen in die Gleichung eine Identitfit liefern. So ist zum Beispiel von den Zahlen 1, — 1, 2 und — 2, die sfimtliche Teiler des absoluten Gliedes der Gleichung x1°+x7+2x3+2=0 ausmachen, nur — 1 eine Wurzel. Folglich ist unter den Wurzeln dieser Gleichung a: = —— 1 die einzige ganzzahlige. Nach der

8

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zWei Unbekannten

gleichen Methode kann man lelcht zeigen, daB die Gleichung xs—x5+3x4+x2—x+3=0 keine ganzzahligen VVurzeln hat. Von wesentlich gréBerem Interesse ist die Emittlung der gauzzahligen Lfisungen bei Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten Wir betrachten eine Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten

ax+by+c=0,

m

wobei a und b ganze, von Null verschiedene Zahlen sind, wiihrend c eine beliebige gauze Zahl ist. Wir dfirfen annehmen, daB die

Koeffizienten a und b keine gemeinsamen Teiler auBer 1 habenlz Ist namlich der gréBte gemeinsame Teiler d = (a, b) dieser Koeffi-

zienten von 1 verschieden, so gelten die Beziehungen a = a1 - d und b = b1 - d; die Gleichung (3) nimmt die Form

‘

(%w+%md+c=0

an und kann nur dann ganzzahlige Ltisungen haben, wenn c durch d teilbar ist. Somit mfissen ffir den Fall (a, b) = d =|= 1 sfimtliche

Koeffizienten der Gleichung (3) ganze Vielfache von d sein. Wenn wit (3) durch d kfirzen, kommen Wir zur Gleichung

a1w+b1y+cl=0

(c1=%),

deren Koeffizienten a1 und b1 teilerfremd sind. Wir betrachten zuerst den Fall 6 = 0. Aus Gleichung (3) Wird damn:

a a: + b y = 0 .

(3’)

Lfisen wir die Gleichung nach x auf, so erhalten wir: __

b

27 — -' 71-" y .

Es ist klar, daB a: damn und nur dann ganzzahlige Werte annehmen kann, wenn y olme Rest durch a teilbar ist. Nun k6nnen alle 1 Solche Zahlen a und b nennt man teilerfremd; bezeichnet man mil: ((1, b) den gréBten gemeinsamen Teller der Zahlen a und b, so ist also fiir teilerfremde Zahlen (a, b) = 1.

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

9

ganzen Zahlen 3/, die' Vielfache von (1. sind, in der Form_“"‘ 3/ = a t

dargestellt werden, wobei t alle ganzzahligen Werte (t = 0, j: 1,

j: 2, . . .) annimmt. Setzen wir diesen Wert fiir y in die obige Gleichung ein, so erhalten wir x=—lat=—bt a

und besitzen damit folgende Formeln, die alle ganzzahligen Lfisungen der Gleichung (3’) liefern: x=—bt,

y=at

(t=0,:|:1,j;2,...).

Wir gehen jetzt zum Fall 0 =|= 0 fiber.

Wir zeigen zunfichst, daB es ffir das Auffinden aller ganzzahligen Liisungen der Gleichung (3) geniigt, irgendeine ihrer Lésungen zu

finden, d. h. solche ganzen Zahlen x0, yo zu finden, fiir die

gilt.

a, ”o + b 3/0 + 0 = 0

_

Satz I. Sind a and b teilerf'remd und ist [$0, yo] irgendeine

Lbsungl dcr Gleickung

ax+by+o=0.

(3)

89 liefem die Formeln

x=wo—bt,

y=yo+at

»

"'_20,

(5)

d. h., sie bilden eine Folge abnehmender nichtnegativer Zahlen. Nun kann die Anzahl der nichtnegativen ganzen Zahlen, welche die Zahl b nicht fibertreffen, nicht unendlich sein; also muB bei einem gewissen Schritt das Verfahren abbrechen, da ein Rest r Null wird. Ist 1'n der letzte von Null verschiedene Rest in der Folge (5), so ist 7n... 1 = 0, und der Euklidische Algorithmus fiir die Zahlen a und b hat die Form a=QIb+r2:

b=q2r2+r3, ’2 =93 73+7'4» 710—2 = gn—lrn—l‘l‘rna ’I'n_1 = q,” T".

(6)

14

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

Wir schreiben die erhaltenen Gleichungen in der Form a

.5— q1+

b

I

T: b

1

'r: "" 92 + T; I

T. r,_, _

1

7".-1 — qn-l + 7..-}. v

7n

,0 —-q..-

'91-] _

b

Ersetzen wir den Wort —— in der ersten Zeile dieser Gleichungen durch den entsprechenden Wert aus der zweiten Zeile, den Wert:a — durch den Ausdruck aus der dritten Zeile usw., so erhalten wir die

Entwicklung von— in einen Kettenbruch b a

7:914'

1

—1—

qi+93+.

1 +—i_' 1-1 +—

"

9..

Die Ausdriicke, die sich aus einem Kettenbrueh beim Vemach-

Essigen aller seiner Glieder von einem gewissen Glied ab ergeben, nennen wir Teilbrfiche. (Ihr Zahlenwert wird 3.13 Ndhemngsbruch Oder Ndhemngswett bezeichnet.) Der erste Teilbruch 61 ergibt sick,

wenn man alle Glieder von ;1- ab vemachlassigt: I 61 = ql T

§ 2. Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten

l5

Ebenso 1 68

a 1

1+

7

1

93+ 93+— ql

118W.

Aus der Art und Weise, wie wir die Teilbriiche erhalten haben, folgen offenbar die Ungleichungen 65>64>

'61 2, so folgte aus der Gleichung x 2

y 2 _

i 2

(7) +2(7) ~(p): daB z ein Vielfaches von 12 wire, da. die linke Seite der Gleichung eine ganze Zahl ist. Das gleiche ist der Fall, wenn a: und z oder y and z durch p beilbar sind.

§ 3. Beispiele fiil' Gleichungen zweiten Grades mit drei Unbekannten

2]

Wir bemerken, daB a: ungerade sein muB, damit der griiBte gemeinsame Teiler von :6, y und 2 gleich 1 ist. Wire nimlich x gerade, so ware die linke Seite der Gleichung (19) cine gerade Zahl, d. h., 22 und damit 2 wire ebenfalls gerade. Die Zahlen x3 und 22 when dann Vielfache von 4; daraus folgte, daB 2 ya durch

4 teilbar sein mfiBte, mit anderen Worten, daB auch y eine gerade Zahl sein mfiBte. Das bedeutet, daB bei geradem x alle Zahlen x, y, z gerade sein miissen. Somit muB, wenn 1 der grfiBte gemein-

same Teiler der Lfisung sein 3011, a; ungerade sein. Dawns folgt schon, daB z ebenfalls ungerade sein muB. Bringen wir x2 auf die rechte Seite, so erhalten wir 293:22—x2=(z+x)(z—x). Die Zahlen z + a: und z— x haben als grfiBten gemeinsamen Teiler die Zahl 2.

Beweis: Ihr gréBter gemeinsamer Teiler sei d. Dann ist z+x=kd,

z—x=:ld,

wobei lc und l gauze Zahlen sind. Durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen erhalten wir

2z=d(k+l),

2x=d(lc—l).

Nun sind aber z und :5 ungerade und zueinander teilerfremd. Daher ist der griiBte gemeinsame Teiler von 2 x und 22 gleich 2. Daraus folgt, daB d— = 2 ist. “7+

Somitist entweder— oder— _xungera,de. Daher ist fiir alle, 2 den Bedingungen genugenden x un2d z eines der beiden Zahlenpaare 2+2:

und

2+2 2

und

z—2x’ z—x

teilerfreind. Im ersten Fall folgt aus der Gleichung

(2 + x) ‘52—” = ya, daB

z+x=n3,

z—x=2m2,

im zweiten Fall aus der Gleichung

it" (2 — 90:212.

22

§ 4. Gleichungen der Form a“ —- A y' = l

daB

z+x=2m‘,

z—x=n3

gilt. Dabei sind n und m gauze Zahlen, m ist ungerade, m und n sind positiv. L'o'sen wir die zwei Gleichungssysteme nach x und 2 auf und bestimmen wir 3], so erhalten wir z=-;—(n’+2m2)-,

x=—;—(n2—2m3),

y=mn,

z=%(n’+2m’),

x=—%—(2m’-—n’),

y=mn,

oder

wobei m ungerade ist. Fassen wir die zwei Lasungsformeln ffir x, y und 2 zusammen, so erhalten wir die allgemeine Formel x=i_;_(n2—2m2)’

y=mvn’

z=_!'2_(n3+2m2)’

wobei m ungerade ist. Damit z und 3: gauze Zahlen sind, muB n notwendig eine gerade Zahl sein. Setzen wir n = 2 b und m = a , so erhalten wir schlieBlich die allgemeinen Formeln, welche alle

Liisungen der Glez'chung (19) in ganzen positive", teilerfremden Zahlen lie/em: x=:|:(a2-2b3),

y=2ab,

z=aa+2b2.

(19')

Dubai mind a und b positiv and teilerfremd, a ist ungemde. Unter

diesen Bedingungen kfinnen die Gréfien a und b beliebig gewiihlt werden, abet so, daB a: positiv ist. Die Formeln (19') liefern tatsfichlich alle Lfisungen in ganzen positiven teilerfremden Zahlen 9:, y, z; wir haben nimlich einerseits gezeigt, daB x, y, z in diesem Falle durch die Formeln (19’) dargestellt werden miissen; anderer-

seits sind bei vorgegebenen a und b, die unseren Bedingungen geniigen, die sich ergebenden x, y, z tatsfichlich teilerfremd und bilden eine Lfisung der Gleichung (19).

§ 4. Gleichungen der Form 2:2 — A 3/2 = 1 . Die Ermittlung aller Lfisungen dieser Gleichungen Wir kommen jetzt zur Untersuchung der Liisungen in ganzen

Zahlen von Gleichunggn zweiten Grades mit zwei Unbekannten der Form

:3” _ A y“ = 1’

(20)

wobei A ganz und positiv, aber keine Quadratzahl ist. Um einen L6sungsansatz fiir solche Gleichungen zu finden, lemen wir die

§ 4. Gleichungen der Form :02 — A y2 = 1

23

Entwicklung von Irrationalzahlen der Form VA in Kettenbrfiche kennen. Aus dem Euklidischen Algorithmus folgt, daB jede rationale Zahl in einen Kettenbruch mit endlich Vielen Gliedern entwickelt werden kann. Anders ist es mit den Irrationalzahlen.

Ihnen entsprechen unendliche Kettenbriiche. Entwickeln wit 2. B. die Irrationalzahl 1/ 2 in einen Kettenbruch! Wir gehen von der Identitflt

(1/5- 1)(V§+1)=1

aus und finden

I/§_1=1/§1+1’ 1

”hmErsetzen wir die Differenz V5 — 1, die wir im Nenner erhalten haben, durch den ihr gleichen Ausdruck 1

so erhalten wir _

2+(V2_—1)’ 1

1

2+(V5—1)

2+(V2‘—1)

Ersetzen wir erneut diel'1m Nenner der letzten Gleichung stehende Klammer durch—————— , so erhalten wir

+(V——11)

1

[32 = 1 + ————1—1—

.

2 + ——

+2 + (1/15— 1) Setzen wir das Yerfahren fort, so kommen Wir auf folgende Ent-

wicklung von V2 in einen unendlichen Kettenbruch:

y§=1+_1_1_ 2+___1

.

.

(21)

24

§ 4. Gleichungen der 'Form 1-3 — A y" = 1

Man bemerkt, daB die oben verwendete Methode zur Entwicklung in einen Kettenbruch, die auf der Verwendung der Identitfib

(Vim-- m)(vm+m)=1 beruhte, nicht fiir jade Irrationalzahl flanwendbar ist. Diese Methode kann offensichtlich nur dann verwendet werden, wenn die

ganze Zahl A in der Form A = m2 + 1 dargestellt warden kann, wobei m irgendeine gauze von Null verschiedene Zahl ist (speziell

fiir m = 1 erhalten Wir_die Entwicklung fiir 1/2; m = 2 fiihrt auf die Entwicklung von [/5 usw.). Auch ffir den allgemeinen Fall sind jefimh verhaltnisméflig einfache Methoden zur Entwicklung von VA in einen unendlichen Kettenbruch bekanntl.

Genau wie friiher bei den endlichen Kettenbriichen bilden wir fiir 'einen unendlichen Kettenbruch (21) die Folge der Teilbrfiche

61, 62, 63, . . .

'

63=1+ 11=%, aa< 2, 2

(22)

..

2

17 64=“'="fi,

— 64>V2

usw. Ans der Bildungsweise der Kettenbriiche folgt, daB

61V§ 1 Siehe z. B. H. B. Apl-IOJ'IBII ,Teopxm queen“ (I. W. ARNOLD ,,Zahlentheorie“), Kapitel VI, Staatsverlag fiir pidagogische Literatur 1939, odor A. H. Xnuqna ”Rename npoGn“ (A. J.CHINTSCHIN”Kettenbriiche“), Staats— verlag fiir technisch-theoretische Literatur, 1949.

Deutsche Liters/cur: 0. PERRON, Irrationalzahlen, Berlin 1939 ; O. PERMN, Kettenbriiche, Leipzig 1929; ferner: C. KNOCHENDtiPPEL, Von den Ketten-

briichen und den Diophantischen Gleichungen, Volk und Wissen, BerlinLeipzig 1948 (d.Red.).

§ 4. Gleichungen der Form a." — A y” = 1

25

ist. Allgemein: 131; die Entwicklung irgendeiner Irrationalzahl a

in einen unendlichen Kettenbruch gegeben, ‘ 1

0‘ = 91 +

,

T

+___ 92- 93+.

so erfiillen die Niherungsbriiche die Ungleichungen.

51 0 (a: = VA irrational) fiir die Gleichung x2 — A ya = 1 zu Ende gefiihrt.

42.

§ 5. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten

Ist A > 0 und ac = VA eine ganze Zahl, 30.1mm: man die Gleichung in der Form

xz—azy2=(x+ocy)(x—ay)=1 schreiben; da, 0: eine ganze Zah] ist, miissen, wenn x0 und 3/0 gauze Zahlen sind, welche die Gleichung erfiillen, die Gleichungen

xo+ocyo= 1,

xo—acyo-el

oder die Gleichungen 30+“3/o=—1»

"’o—°‘.'/o=_:l

einzeln gelten, da das Produkt zweier ganzer Zahlen dann und nur dann gleich Eins sein kann, wenn jede dieser Zahlen gleich + 1 oder gleich — 1 ist. Diese beiden Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekann-

ten to und 3/0 haben nur triviale Lfisungen, nimlich x0 = 1, yo = 0 und x0 = -— 1, yo = 0. Somit hat die Gleichung (51), wenn A gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl ist, als Lfisung in ganzen Zahlen nm' ' die trivialen Lia‘sungen x0 = i 1 and yo = 0. Bei ganzzahligem negativen A hat die Gleichung (51) als Lb'sungen in ganzen Zahlen dieselben trivialen Lc'isungen. (Bei A = — 1 hat die Gleichung die symmetrischen trivialen Lfisungen 9:0 = 0 und yo = :1; 1.) Wir betrachten jetzt die Gleichung der allgemeineren Form

xz—Ay2=0,

(73)

dabei sei A > 0 ganzzahlig, C ganzzahlig, a: = VA irrational. Wir sahen schon, daB fiir 0 = 1 diese Gleichung immer unendlich viele ganzzahlige L63ungen a: und 3/ hat. Bei beliebigen 0 und A hat diese Gleichung im allgemeinen keine L6sung. Beispiel: Wir zeigen, (la/3 die Gleichung

32—3y2=—1

(74)

fiberhaupt Iceine Lb'sung in ganzen x und 3/ hat. Zunfichst bemerken

wir, daB das Quadrat einer ungeraden Zahl bei Division durch 8 immer den Best -1 liefert. Da namlich jede ungerade Zahl a, in der Form a = 2 N + 1 geschrieben werden kann, wobei N eine ganze Zahl ist, gilt _

a2=(2N+1)2=4N2+4N+1=4N(N+1)+1

=8M+1.

(75)

§ 5. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten

43

Hierbei ist M eine gauze Zahl, da. entweder N oder N + 1 eine gerade Zahl sein muB. Nun k6nnen, falls [3:0, 3/0] eine Losung von (74) darstellt, die Zahlen x0 und 3/0 nicht gleichzeitig beide

gerade oder ungerade sein. Waren nfimlich 960 und 3/0 beide gleichzeitig gerade oder ungerade, so wire 3:3- 3 3/3 eine gerade Zahl und konnte nicht gleich — 1 sein. Were aber x0 ungerade und 3/0 gerade, so Wfirde 2:3 bei Division durch 4 den Best 1 ergeben, die

Zahl — 3 3/3 wire durch 4 teilbar, und x3 — 3 3/3 wfirde bei Division durch 4 den Rest 1 ergeben. Dies ist abet nicht moglich, da bei Division dutch 4 die rechte Seite trivialerweise den Rest —- 1 oder

3 = 4— 1 liefert. Wire schlieBlich x0 gerade und 3/o ungerade, so Wire x3 durch 4 teilbar, die Zah] — 3 3/3 k6nnte wegen (75)

in der Form

-3fi=—3@M+Jh=—flM—3=4F6M—D+1 geschrieben werden; das Wiirde bedeuten, daB die Zahl - 3 3/3 bei

Division durch 4 den Best 1 ergibt. Deher mfiBte x3 —— 3 3/3 bei Division durch 4 als Rest wieder 1 liefem. Das ist, Wie wir schon gesehen haben, nicht moglich. Es kann daher keine zwei ganzen Zahlen x0 und 3/o geben, welche die Gleichung (74) befriedigen.

Wir beschfiftigen uns nicht mit der Frage, unter welchen Bedingungen fiir 0 und A die Gleichung (73) eine Losung hat. Die Frage ist schwierig und Wird mit Hilfe der allgemeinen Theorie

der quadratischen Irrationalititen in der algebraischen Zahlentheorie beantwortet. Wir befassen uns mit dem Fall, daB (73) nichttriviale Losungen hat. Wie friiher werden Wir eine Losung [x', y’] als nichttrivial bezeichnen, wenn x', y’ =i= 0 gilt. Wir neh-

men an, Gleichung (73) habe eine nichttriviale Losung [x', y']; m. a. W., es soll

x" — A 3/2 = C‘ (76) gelten. Bei gleichem Wert fiir A betrachten wir die Gleichung

fi—Afi=L

an

Sie hat unendlich viele ganzzahlige Losungen bei positivem nichtquadratischem A. Jede Losung [92, 37] hat die Form i=ixm

37:71:35”

wobei x” und 3/” dutch die Formeln (50) gegeben werden. Da [:7:, 37] eine Losung von (77) ist, gilt

52—4372=(77+0€37)(5—06?)=1-

44

§ 5. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten

Gleichung (76) ihrerseits kann in der Form

(w’+ay’)(w’—ay’)=0 geschrieben Werden. Multiplizieren wir die letzten beiden Gleichungen miteinander, so erhalten wir

(x'+0¢3/')(5+d§)(x'—ay')(5—°¢!7)=0-

(73)

Nun gilt aber

(x'+ay')(5.+¢17)=x'93+A!/'?+a(=v'z7+y'i) und ebenso

(w’-ay’)(9?—ocz7)= x’fi+Ay’fi—oc(x’fi+y’5)Verwenden Wir diese beiden Gleichungen, so kfinnen Wir (78) in der Form

[x'5+Ay'§+a(x'!7+3/'5)] [w'5+Ay'37—d(w'37+y'i)1=0 Oder

(3'5+Ay'§)2-A(x'§+y'5)2=0 schreiben. Damit haben Wir bewiesen, daB das Zahlenpaar [x, y],

x=x’fi+Az/g, y=x’y+y’i

(79)

ebenfalls diese Gleichung befriedigt, sofern [x', y'] eine L6sung der Gleichung (73) ist; das Paar [:E, 37] ist dabei cine beliebige L6sung der Gleichung (77). Hiermit ist bewiesen, dafi aus der Existenz ez'ner einzigen Lb'sung der Gleichung (73) das Vorha'ndensein unendlich vieler Lb'sungen folgt. Man kann natiirlich nicht behaupten, daB die Formeln (79) alle Lésungen der Gleichung (73) liefern. In der Theorie der algebraischen Zahlen wird gezeigt, daB man alle ganzzahligen Lésungen der Gleichung (73) erhalten kann, indem man eine

endliche wohlbestimmte, von A und 0 abhfingige Anzahl von Lésungen dieser Gleichung nimmt und diese Léisungen mit Hilfe der Formeln (79) vermehrt. Ist A negativ oder das Quadrat einer ganzen Zahl, so kann (73) nur endlich viele Lfisungen haben. Den Beweis dieser einfach zu beweisenden Aussage fiberlassen wir dem Leser. Die Auflésung der allgemeinsten diophantischen Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten, einer Gleichung der Form Azz+Bxy+0y2+Dx+Ey+F=0, (80)

§ 6. Gleichungen héheren als zweiten Grades mit zwei Unbekannben

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wobei A, B, 0, D, E, F gauze Zahlen sind, 15,131: sich durch Variablentransformation wieder auf eine Gleichung der Form (73) mit positivem oder negativem A zuriickfiihren. Daher verliiuft sie, falls Lésungen existieren, analog wie bei den Gleichungen vom Typ (73). Ziehen Wir das Fazit des oben Behandelten, so kiinnen wir folgendes aussagen: Eine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten vom Typ (80) kann heme ganzzahligen L5sungen, endlich viele ganzzahlige Lb'sungen Oder unendlich viele ganzzahlige Lésungen haben; dabei ergeben sick diese Lbsungen ans einer endlichen Anzahl verallgemeinerter geometrischer Progressionen, die durch die Formeln (79) geliefert werden. Vergleichen wir das Aufsuchen und die Art der ganzzahligen Lbsungen der Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten mit dem Aufsuchen der ganzzahligen Lésungen der Gleichungen ersten Grades, so stellen

wir einen wesentlichen Unterschjed fest. Die Lésungen der Gleichungen ersten Grades bilden nfimlich, wenn sie existieren, arithmetische Progressionen, wiihrend die Lésungen der Gleichungen zweiten Grades, wenn es unendlich viele gibt, aus endlich vielen verallgemeinerten geometrischen Progressionen entstehen. Fiir

Gleichungen zweiten Grades sind also die Paare ganzer Zahlen, die Lbsungen einer Gleichung sind, wesentlich seltener anzutreffen, 318 die Paare ganzer Zahlen, die Lésungen einer Gleichung ersten Grades sind. Dies ist nicht zuffillig. Es Wird sich zeigen, daB Gleichungen von h6herem als zweitem Grade mit zwei Unbekannten im aflgemeinen nur endlich viele L6sungen haben kénnen.

Ausnahmen von dieser Regel sind auBerst selten. § 6. Gleichungen hiiheren. als zweiten Grades mit zwei Unbekannten Gleichungen h6heren als zweiten Grades mit zwei Unbekannten haben bis auf seltene Ausnahmen nur endlich viele Lésungen [x, y] in ganzen Zahlen. Wir betrachten zunichst die Gleichung

aox"+a1x"—1y+a2w"‘2y2+-~+a,. “=6,

(81)

dabei sei n eine gauze Zahl, die grb'Ber als Zwei ist; alle Zahlen a0, a1, a2, . . ., an, o seien ganze Zahlen.

Wie zu Beginn dieses Jahrhunderts von A. THUE bewiesen wurde, hat eine solche Gleichung nur endlich viele Lb‘sungen [x, y] in ganzen Zahlen. Eine Ausna-hme ist in den Fdllen mb'glich, in denen

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§ 6. Gleichungen héheren als zweiten Grades mit zwei Unbekannten

die linke homogene Seite dieser Gleichung eine Potenz eines homogenen Binoms ersten Grades oder eines homogenen Trinoms zweiten Grades ist. Dann hat nfimlich unsere Gleichung die Form

(ax+by)"=co oder

(ax’+bxy+cy2)”=co and lfiBt. sich daher auf eine Gleichung ersten oder zweiten Grades

zurfickfiihren, da. fiir die Existenz Von Lfisungen die Zahl 60 die n-te Potenz einer ganzen Zahl sein muB. Da. die Methode von

THUE schwierig ist, kfinnen Wir sie hier nicht behandeln. Wir beschranken uns auf einige erliiuternde Bemerkungen, die uns Hinweise auf das Prinzip des Beweises ffir die Endlichkeit der

Anzahl der Lijsungen der Gleichung (81) gebenl. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung (81.) durch 11/”: x n

a: "—1 c M?) + a1(-y—) + - - - + and?a: + an—F-

b), die teilerfremd und

nicht gleichzeitig gerade oder ungerade Iind, derart, daB x3=a3—b', y3=2ab, zo=afi+ba (101) gilt. Wir nehmen etwa, an, x0 sei ungerade und 3/0 gerade. Die entgegengesetzte Annahme wiirde nichts findem, da es damn geniigen wfirde, 2:0 durch yo zu ersetzen und 1% durch are. Nun wissen wir schon (siehe Gleichung (75)), daB das Quadrat einet ungeraden Zahl bei Division durch 4 den Best 1 ergibt. Daher folgt ans Glei-

“h“ns

x3 = a2 — b“,

(102)

daB a ungerade und b gerade ist. Andemfalls wiirde‘ die linke Seite dieser Gleichung bei Division durch 4 den Best 1 ergeben, die rechte aber, da. wit annahmen, a sei gerade und b ungerade, den Rest — 1. Da. a ungerade ist und ((1, b) = 1 gilt, ist auch

(a, 2 b) = 1.

Damn folgt aber aus Gleichung y3=2ba,

daB

a=t3, 2b=.«32 . (103) gilt, wobei t und 8 irgendwelche gauze Zahlen sind. Aus der Beziehung (102) folgt abet, daB [2:0, b, a] eine Lfisung von (96) int, (1. h. '

xo=m’—-n’,

b= 2mn,

a=m3+n';

dabei aind m und n teilerfremde Zahlen, die nicht beide gleich-

zeitig gerade Oder ungerade sind. Aus (103) erhalten wir

—2— 2),

mn—i—(iz'

hieraus folgt, da. m und n teilerfremd sind, daB

m=P‘.

n=q2

(104)

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§ 7. Algobnischo Gleichungen hbheren ale zweiten Grades

ist; dabei sind p und q von Null verschiedene gauze Zahlen. Da a=ta und a=m’+na gilt, ist

(1‘ + I" = 12-

Wegen

(105)

zo=a,2+l'13>a2 gilt

o