Die Lehre von der Permutation und Kombination, der binomische Lehrsatz, die Theorie der unmöglichen Grössen und der Gleichungen: Für Anfänger faßlich dargestellt [Reprint 2022 ed.] 9783112635100

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D t e

Lehre von der

Permutation nnt> Kombinationder

binomische Lehrsah, die

Theorie der unmöglichen Grössen und der Gleichungen für

Anfänger faßlich dargestellt

»Ott

W.

I

u

n

g

i

u

s,

ordentlichem Lehrer der Mathematik und Physik am Königlichen Friedrich # Wilhelms r Gymnasium und Mitglieds der natur» forschende» Gesellschaft hieselbst.

Berlin, 1806.

In der Buchhandlung des Contmerrien-Raths Matzdorfsi

Borerinnerung

habe bey der Herausgabe der fol­ genden Bogen zunächst die Absicht gehabt,

dadurch meinen Znhörern in der zweyten mathematischen

des

Klasse

königlichen

Friedrich - Wilhelms - Gymnasiums hieselbft nützlich zu werden.

ich nämlich gewohnt,

Bisher war

die hier abgehan­

delten Satze entweder ihnen in die Feder zu dictiren, oder sie ihnen schriftlich zum

Abschreiben mitzutheilen.

Jenes raubte

IV

mir und ihnen viel Zeit,

dieses war für

sie nicht weniger zeitraubend und um so beschwerlicher und ermüdender,

den Meisten unter ihnen

mündlichen

Vortrage

vor dem

noch

geschehen

mußte,

daß ihre Abschriften ge­

zu geschweige»,

wöhnlich voller Fehler waren. len glaube ich

da es von

Dem Al­

durch den Druck der ge­

genwärtigen Bogen abgeholfen zu haben. Vielleicht aber Zuhörern

auch

hat

mancher

ausser

Anfänger,

meinen

wenn er

nur über die ersten Elemente der Wissen­

schaft hinweg ist Fertigkeit hat,

und

im Kalkül einige

Nutzen von der Lesung

derselben,

in so fern es mir nämlich ge­

lungen ist,

die vorgetragenen Satze auch

dem weniger Geübten faßlich varzustellen. Den Vorwurf der zu grossen Weitläufig­

keit fürchte ich nicht,

des Gegentheils,

noch weniger den

obgleich ich Manches,

was sonst bey diesen Gegenständen mit ab-

gehandelt zu werden pflegt, weggelassen habe,

z. B.:

absichtlich

wenn unter

den zu versetzenden Dingen mehrere einer­

in der Theorie der Gleichungen

ley sind;

die sogenannte Harriotsche Regel von der

Folge gleicher und

Zeichen u. s. w.

entgegengesetzter

Was ich von der Per­

mutation beygebracht habe,

war noth­

wendig zur Lehre von der Kombination, diese wieder zur Demonstration des bino«

mialtheorems,

woben ich,

wie Kenner

sehen werden, Karsten gefolgt bin, nur

daß ich für negative Exponenten aus der niedern Analysis keinen Beweis zu füh­

ren

weiß,

wenigstens leuchtet mir

Karstensche dafür nicht ein.

der

Die Lehre

von den unmöglichen Grössen war zum Verstehen der

nöthig,

und

Theorie

der

Gleichungen

bey der Abhandlung dieser

war neben der Uebung der Urtheilskraft meiner Zuhörer mein

Hauptzweck

der,

VI

zu zeigen, daß es möglich sey, eine bestimmte Gleichung von jedem Grade auf­ zulösen, wenn dieselbe mögliche, Wurzeln hat. Berlin im November 1805.

Der Verfasser.

I.

Die Lehre von der Versetzung oder der Permutation.

§. i> i§ind gewisse Dinge a, b, c, ... ihrer Anzahl nach gegeben; so laßt sich fragen; wie oft können z. B. je 2 Dinge davon so zusammengestellt werden,

das;

nie dieselbe Ordnung wieder zum Vorschein kommt? Die Antwort auf diese und ähnliche Fragen erhält man nach einer allgemeinen Formel, welche die Lehre

von der Versetzung oder Permutation angiebt.

§. 2. Ist ein Ding a gegeben, so ist auch nur eine

Ordnung möglich.

Sind der Dinge 2, -1, b; so sind nämlich

a, b,

2) auch 2 Ordnungen zu Zwey, nämlich ab, ba.

Sind

1) 2 Ordnungen zu Eins möglich,

der Dinge 3, a, b, c; so sind 3 Ordnungen zu Eins, 6 Ordnungen zu Zwey und 6 Ordnungen zu Drey

möglich, wie man leichr findet.

§. 3. Sind überhaupt m Dinge gegeben, a, b, c, d... und die Anzahl der Ordnungen zu iS darin ist P,

auch N < m; so fehlen in jeder der einzelnen Ord­ nungen einige von den gegebenen Dingen, obgleich nicht stets dieselben,

B. die Ordnung abcde, wo A

I.

Die Lehre von der Versetzung oder der Permutation.

§. i> i§ind gewisse Dinge a, b, c, ... ihrer Anzahl nach gegeben; so laßt sich fragen; wie oft können z. B. je 2 Dinge davon so zusammengestellt werden,

das;

nie dieselbe Ordnung wieder zum Vorschein kommt? Die Antwort auf diese und ähnliche Fragen erhält man nach einer allgemeinen Formel, welche die Lehre

von der Versetzung oder Permutation angiebt.

§. 2. Ist ein Ding a gegeben, so ist auch nur eine

Ordnung möglich.

Sind der Dinge 2, -1, b; so sind nämlich

a, b,

2) auch 2 Ordnungen zu Zwey, nämlich ab, ba.

Sind

1) 2 Ordnungen zu Eins möglich,

der Dinge 3, a, b, c; so sind 3 Ordnungen zu Eins, 6 Ordnungen zu Zwey und 6 Ordnungen zu Drey

möglich, wie man leichr findet.

§. 3. Sind überhaupt m Dinge gegeben, a, b, c, d... und die Anzahl der Ordnungen zu iS darin ist P,

auch N < m; so fehlen in jeder der einzelnen Ord­ nungen einige von den gegebenen Dingen, obgleich nicht stets dieselben,

B. die Ordnung abcde, wo A

I.

Die Lehre von der Versetzung oder der Permutation.

§. i> i§ind gewisse Dinge a, b, c, ... ihrer Anzahl nach gegeben; so laßt sich fragen; wie oft können z. B. je 2 Dinge davon so zusammengestellt werden,

das;

nie dieselbe Ordnung wieder zum Vorschein kommt? Die Antwort auf diese und ähnliche Fragen erhält man nach einer allgemeinen Formel, welche die Lehre

von der Versetzung oder Permutation angiebt.

§. 2. Ist ein Ding a gegeben, so ist auch nur eine

Ordnung möglich.

Sind der Dinge 2, -1, b; so sind nämlich

a, b,

2) auch 2 Ordnungen zu Zwey, nämlich ab, ba.

Sind

1) 2 Ordnungen zu Eins möglich,

der Dinge 3, a, b, c; so sind 3 Ordnungen zu Eins, 6 Ordnungen zu Zwey und 6 Ordnungen zu Drey

möglich, wie man leichr findet.

§. 3. Sind überhaupt m Dinge gegeben, a, b, c, d... und die Anzahl der Ordnungen zu iS darin ist P,

auch N < m; so fehlen in jeder der einzelnen Ord­ nungen einige von den gegebenen Dingen, obgleich nicht stets dieselben,

B. die Ordnung abcde, wo A

2 f, g, h ... fehlen.

Dinge.

Es fehlen aber jedesmal m—N

Setzt man nun jedes dieser fehlenden in den

Ordnungen von P, wo sie fehlen, an eine bestimmte,

z. B. die letzte Stelle; so erhalt man i) m—N mal so viel Ordnungen,

als vorher waren; 2) jede der

neuen Ordnungen ist um Eins höher, als vorher, jetzt also zu N-j-i.

War also die Anzahl der Ord­

nungen zu N, P;

so ist die Anzahl der auf diese

Weise entstandenen Ordnungen zu N-j-i, P(m—N). B eyspiel: abcde giebt mit f,

abcdef; mit g,

abcdeg U. s. w. §* 4Da nun m und N bekannt seyn müssen, so kommt

es, um die Anzahl der Ordnungen zu N-j-i zu wis­

sen (§. 3.), nur darauf an, P zu bestimmen.

Indes­

sen fragt es sich vorher noch, ob die Stelle gleich­ gültig ist, in welche bey einer Ordnung das fehlende

Ding gesetzt wird, da (§. 3.) dafür die letzte genom­

men ist?

Das fehlende Ding kann begreiflich nach

jedem der Dinge in der gegebenen Ordnung, ja auch

vor alle zu Anfang gesetzt werden.

Daraus würden

aber, wenn die gegebene Ordnung zu N ist, schon allein N^-i neue Ordnungen

aus

abcde

mit f,

juN-J-i

entstehen, als:

die neuen Ordnungen abcdef,

abcdfe, abcfde, abfcde, afbcde, fabcde.

Wollte

man hierbey gar wieder die Dinge in abcde versetzen,

so würde dieß Ordnungen geben,

die schon da sind

und welche man also nur mit f zu verbinden hätte.

Dessen ungeachtet scheint die Anzahl der Ordnungen zu N 4-1 doch grösser zu seyn, als sie auf dem We­ ge (§. 3.) gefunden ward.

Denn dort bildete ein feh-

2 f, g, h ... fehlen.

Dinge.

Es fehlen aber jedesmal m—N

Setzt man nun jedes dieser fehlenden in den

Ordnungen von P, wo sie fehlen, an eine bestimmte,

z. B. die letzte Stelle; so erhalt man i) m—N mal so viel Ordnungen,

als vorher waren; 2) jede der

neuen Ordnungen ist um Eins höher, als vorher, jetzt also zu N-j-i.

War also die Anzahl der Ord­

nungen zu N, P;

so ist die Anzahl der auf diese

Weise entstandenen Ordnungen zu N-j-i, P(m—N). B eyspiel: abcde giebt mit f,

abcdef; mit g,

abcdeg U. s. w. §* 4Da nun m und N bekannt seyn müssen, so kommt

es, um die Anzahl der Ordnungen zu N-j-i zu wis­

sen (§. 3.), nur darauf an, P zu bestimmen.

Indes­

sen fragt es sich vorher noch, ob die Stelle gleich­ gültig ist, in welche bey einer Ordnung das fehlende

Ding gesetzt wird, da (§. 3.) dafür die letzte genom­

men ist?

Das fehlende Ding kann begreiflich nach

jedem der Dinge in der gegebenen Ordnung, ja auch

vor alle zu Anfang gesetzt werden.

Daraus würden

aber, wenn die gegebene Ordnung zu N ist, schon allein N^-i neue Ordnungen

aus

abcde

mit f,

juN-J-i

entstehen, als:

die neuen Ordnungen abcdef,

abcdfe, abcfde, abfcde, afbcde, fabcde.

Wollte

man hierbey gar wieder die Dinge in abcde versetzen,

so würde dieß Ordnungen geben,

die schon da sind

und welche man also nur mit f zu verbinden hätte.

Dessen ungeachtet scheint die Anzahl der Ordnungen zu N 4-1 doch grösser zu seyn, als sie auf dem We­ ge (§. 3.) gefunden ward.

Denn dort bildete ein feh-

lendes Ding mit einer der P Ordnungen nur i neue Ordnung, hier N-|-i neue Ordnungen.

klar,

daß,

Es ist aber

wenn in einer gegebenen Ordnung das

fehlende Ding

nicht

eine bestimmte,

sondern jede

jede daher entstehende neue

Stelle einnehmen soll,

Ordnung schon einmal entstanden seyn muß,

wenn

dieselben Dinge auf eine andere Weise zusammentra­ fen, z. B. die Ordnungen aus abcde mit f entste­

hen auch aus abcdf, abcfd, abscd, afbed, fabcd mit e am Ende und bey der ersten einmal auch vor f; ferner aus abcef, abcfe, abfce, afbce, fabce mit d

vor e und bey der zweiten einmal auch vor f u. s. w. Da nun hierbey keine mögliche Ordnung übergangen

werden kann, eine jede aber, wie man sieht, N-j-i mal vorkommt, so find auch diese N-f-i Ordnungen

und behält daher der Aus­

nur als eine zu zahlen,

druck (§. z.) seine Richtigkeit. §- 5-

Wie

bestimmt

man

aber jedesmal P (§. z.)?

Für die Ordnung N-j-i ist es bekannt, wenn es für die Ordnung N bekannt ist.

Ist nun Ns=i,

d. h.

sind die Ordnungen zu Eins; so ist P=m. Daher ist für Ordnungen zu Zwey Pssm.m—i; für Ord­

nungen zu Drey P —m.m—i .m—2 (§.z.).

Druckt

man dieß allgemein durch PM=m.m — i...m— (M—i) aus; so ist PM+X = PM(m—M)=m.m-I

...m —(M —l).m—M.

Und setzt man M4-I.= N,

folglich M=sN—i; so ist PH == m.m — i...m —

(N—a).m — (N—i) und hat ganz die Gestalt der vorigen Formul, welche also allgemeine Gültigkeit A 3

lendes Ding mit einer der P Ordnungen nur i neue Ordnung, hier N-|-i neue Ordnungen.

klar,

daß,

Es ist aber

wenn in einer gegebenen Ordnung das

fehlende Ding

nicht

eine bestimmte,

sondern jede

jede daher entstehende neue

Stelle einnehmen soll,

Ordnung schon einmal entstanden seyn muß,

wenn

dieselben Dinge auf eine andere Weise zusammentra­ fen, z. B. die Ordnungen aus abcde mit f entste­

hen auch aus abcdf, abcfd, abscd, afbed, fabcd mit e am Ende und bey der ersten einmal auch vor f; ferner aus abcef, abcfe, abfce, afbce, fabce mit d

vor e und bey der zweiten einmal auch vor f u. s. w. Da nun hierbey keine mögliche Ordnung übergangen

werden kann, eine jede aber, wie man sieht, N-j-i mal vorkommt, so find auch diese N-f-i Ordnungen

und behält daher der Aus­

nur als eine zu zahlen,

druck (§. z.) seine Richtigkeit. §- 5-

Wie

bestimmt

man

aber jedesmal P (§. z.)?

Für die Ordnung N-j-i ist es bekannt, wenn es für die Ordnung N bekannt ist.

Ist nun Ns=i,

d. h.

sind die Ordnungen zu Eins; so ist P=m. Daher ist für Ordnungen zu Zwey Pssm.m—i; für Ord­

nungen zu Drey P —m.m—i .m—2 (§.z.).

Druckt

man dieß allgemein durch PM=m.m — i...m— (M—i) aus; so ist PM+X = PM(m—M)=m.m-I

...m —(M —l).m—M.

Und setzt man M4-I.= N,

folglich M=sN—i; so ist PH == m.m — i...m —

(N—a).m — (N—i) und hat ganz die Gestalt der vorigen Formul, welche also allgemeine Gültigkeit A 3

4 hat, da sie gilt, wenn N=i, N=s, N = g, folg­ lich auch wenn N = 4, N = s u. s. w. Beyspiel: 6 Menschen können Paarweise auf

30 verschiedene

Weisen

neben

einander sitzen.

Denn m=6; N = 2 gesetzt, giebt PN

6.5. =

3°‘ §. 6.

Sollen m Dinge unter einander versetzt werden, d. h. ist die Ordnung zu m verlangt; so erhalt man

d>e Anzahl der^ Versetzungen Pm=m.m—1 ... 1. Beyspiel: In wie viel Ordnungen können 6 Menschen neben einander sitzen? Da m = 6; so

ist Pm 1=6.5.4.3- 2. i — 720.

Also in 720 Ord­

nungen.

II.

Die Lehre von der Verbindung oder der

Kombination. S- 7Ein Anderes aber ist cs, wenn man fragt: wie

viel Producte von je 2, z, oder mehrer» Faktoren sind in einer gegebenen Anzahl von Grössen a, b, c, d möglich? wobey die Producte ab, ba u. f. w. gleich­

gültig sind.

Die Antwort darauf giebt die Kombi­

nationslehre.

§. 8.

Will man nemlich die Anzahl der Proöucte von je n Faktoren,

oder die Anzahl der Kombinationen

zu n aus m Grössen wissen; so suche man zuvör-

4 hat, da sie gilt, wenn N=i, N=s, N = g, folg­ lich auch wenn N = 4, N = s u. s. w. Beyspiel: 6 Menschen können Paarweise auf

30 verschiedene

Weisen

neben

einander sitzen.

Denn m=6; N = 2 gesetzt, giebt PN

6.5. =

3°‘ §. 6.

Sollen m Dinge unter einander versetzt werden, d. h. ist die Ordnung zu m verlangt; so erhalt man

d>e Anzahl der^ Versetzungen Pm=m.m—1 ... 1. Beyspiel: In wie viel Ordnungen können 6 Menschen neben einander sitzen? Da m = 6; so

ist Pm 1=6.5.4.3- 2. i — 720.

Also in 720 Ord­

nungen.

II.

Die Lehre von der Verbindung oder der

Kombination. S- 7Ein Anderes aber ist cs, wenn man fragt: wie

viel Producte von je 2, z, oder mehrer» Faktoren sind in einer gegebenen Anzahl von Grössen a, b, c, d möglich? wobey die Producte ab, ba u. f. w. gleich­

gültig sind.

Die Antwort darauf giebt die Kombi­

nationslehre.

§. 8.

Will man nemlich die Anzahl der Proöucte von je n Faktoren,

oder die Anzahl der Kombinationen

zu n aus m Grössen wissen; so suche man zuvör-

4 hat, da sie gilt, wenn N=i, N=s, N = g, folg­ lich auch wenn N = 4, N = s u. s. w. Beyspiel: 6 Menschen können Paarweise auf

30 verschiedene

Weisen

neben

einander sitzen.

Denn m=6; N = 2 gesetzt, giebt PN

6.5. =

3°‘ §. 6.

Sollen m Dinge unter einander versetzt werden, d. h. ist die Ordnung zu m verlangt; so erhalt man

d>e Anzahl der^ Versetzungen Pm=m.m—1 ... 1. Beyspiel: In wie viel Ordnungen können 6 Menschen neben einander sitzen? Da m = 6; so

ist Pm 1=6.5.4.3- 2. i — 720.

Also in 720 Ord­

nungen.

II.

Die Lehre von der Verbindung oder der

Kombination. S- 7Ein Anderes aber ist cs, wenn man fragt: wie

viel Producte von je 2, z, oder mehrer» Faktoren sind in einer gegebenen Anzahl von Grössen a, b, c, d möglich? wobey die Producte ab, ba u. f. w. gleich­

gültig sind.

Die Antwort darauf giebt die Kombi­

nationslehre.

§. 8.

Will man nemlich die Anzahl der Proöucte von je n Faktoren,

oder die Anzahl der Kombinationen

zu n aus m Grössen wissen; so suche man zuvör-

4 hat, da sie gilt, wenn N=i, N=s, N = g, folg­ lich auch wenn N = 4, N = s u. s. w. Beyspiel: 6 Menschen können Paarweise auf

30 verschiedene

Weisen

neben

einander sitzen.

Denn m=6; N = 2 gesetzt, giebt PN

6.5. =

3°‘ §. 6.

Sollen m Dinge unter einander versetzt werden, d. h. ist die Ordnung zu m verlangt; so erhalt man

d>e Anzahl der^ Versetzungen Pm=m.m—1 ... 1. Beyspiel: In wie viel Ordnungen können 6 Menschen neben einander sitzen? Da m = 6; so

ist Pm 1=6.5.4.3- 2. i — 720.

Also in 720 Ord­

nungen.

II.

Die Lehre von der Verbindung oder der

Kombination. S- 7Ein Anderes aber ist cs, wenn man fragt: wie

viel Producte von je 2, z, oder mehrer» Faktoren sind in einer gegebenen Anzahl von Grössen a, b, c, d möglich? wobey die Producte ab, ba u. f. w. gleich­

gültig sind.

Die Antwort darauf giebt die Kombi­

nationslehre.

§. 8.

Will man nemlich die Anzahl der Proöucte von je n Faktoren,

oder die Anzahl der Kombinationen

zu n aus m Grössen wissen; so suche man zuvör-

5

fr erst die Anzahl der Ordnungen zu n in m Dingen

(§. §.) oder Pn = m . m — I ... m — (n— i).

Da

aber viele dieser Ordnungen, als Produkte betrachtet,

gleich seyn werden;

so sind begreiflich nicht so viele

Kombinationen, als Permutationen.

Nun sind in je­

der Ordnung n Dinge, welche sich n.n—1...1 mal

(§. 6.) versetzen lassen, von welchen Versetzungen aber ;ede nur ein und dasselbe Produkt oder dieselbe Kom­ bination bildet.

Folglich sind in m Dingen nur

in .m — I... m — fn—i) ... . , --------------------------- ---------- Kombinationen zu n möglich, n*n_ i... i

Beyspiel: Wie viel Ternen (Kombinationen zu Drey) sind in 5 Nummern möglich? Da m=5; n—z; so ist

es 10 die Antwort. 3.2.1

III.

Der binomische Lehrsatz. tz. 9.

Unter einem Binomiu'm versteht man jede zweytheilige Größe a+b, und der binomische Lehrsatz zeigt

— in seiner größten Allgemeinheit —, wie man ;ede Potenz (a4-b)n finden könne.

§. 10.

Multiplicier man (x-j-a) (x4-b), so erhalt man

x’I-j-stx l+bx multiplicirt mit (x4-c)

5

fr erst die Anzahl der Ordnungen zu n in m Dingen

(§. §.) oder Pn = m . m — I ... m — (n— i).

Da

aber viele dieser Ordnungen, als Produkte betrachtet,

gleich seyn werden;

so sind begreiflich nicht so viele

Kombinationen, als Permutationen.

Nun sind in je­

der Ordnung n Dinge, welche sich n.n—1...1 mal

(§. 6.) versetzen lassen, von welchen Versetzungen aber ;ede nur ein und dasselbe Produkt oder dieselbe Kom­ bination bildet.

Folglich sind in m Dingen nur

in .m — I... m — fn—i) ... . , --------------------------- ---------- Kombinationen zu n möglich, n*n_ i... i

Beyspiel: Wie viel Ternen (Kombinationen zu Drey) sind in 5 Nummern möglich? Da m=5; n—z; so ist

es 10 die Antwort. 3.2.1

III.

Der binomische Lehrsatz. tz. 9.

Unter einem Binomiu'm versteht man jede zweytheilige Größe a+b, und der binomische Lehrsatz zeigt

— in seiner größten Allgemeinheit —, wie man ;ede Potenz (a4-b)n finden könne.

§. 10.

Multiplicier man (x-j-a) (x4-b), so erhalt man

x’I-j-stx l+bx multiplicirt mit (x4-c)

5

fr erst die Anzahl der Ordnungen zu n in m Dingen

(§. §.) oder Pn = m . m — I ... m — (n— i).

Da

aber viele dieser Ordnungen, als Produkte betrachtet,

gleich seyn werden;

so sind begreiflich nicht so viele

Kombinationen, als Permutationen.

Nun sind in je­

der Ordnung n Dinge, welche sich n.n—1...1 mal

(§. 6.) versetzen lassen, von welchen Versetzungen aber ;ede nur ein und dasselbe Produkt oder dieselbe Kom­ bination bildet.

Folglich sind in m Dingen nur

in .m — I... m — fn—i) ... . , --------------------------- ---------- Kombinationen zu n möglich, n*n_ i... i

Beyspiel: Wie viel Ternen (Kombinationen zu Drey) sind in 5 Nummern möglich? Da m=5; n—z; so ist

es 10 die Antwort. 3.2.1

III.

Der binomische Lehrsatz. tz. 9.

Unter einem Binomiu'm versteht man jede zweytheilige Größe a+b, und der binomische Lehrsatz zeigt

— in seiner größten Allgemeinheit —, wie man ;ede Potenz (a4-b)n finden könne.

§. 10.

Multiplicier man (x-j-a) (x4-b), so erhalt man

x’I-j-stx l+bx multiplicirt mit (x4-c)

6 X*

+ ax’ 4- ab x 4-abe 4-bx’ acx -f-Cx’ 4-bc x — multiplicirt mit (x-s-ä)

4~ a x* 4-bx’ + ex* 4-dx*

4-abx* 4- acx9 4- ad x* 4~bc x’ 4-bdxa 4“ cdx®

4-abcx 4-abdx 4-acdx 4-bcdx

Hierin bemerkt man: 1) Das erste Glied des Products enthält x in einer

Potenz, beten Exponent die Anzahl der Grössen aus­

das zweyte Glied den Faktor x in der um

ser x ist;

i niedrigern Potenz u. s. f.

Das letzte Glied, genau

genommen, den Faktor x*=i. 2) Nennt man die Faktoren ausser x in jedem Gliede die Koefficienten; so hat das 2te Glied einen Koeffi­ cienten,

welcher der Summe dec Grössen ausser x(

das zte einen,

welcher der Summe der Produkte je

zweyer Grössen ausser x, das 4te einen, welcher der

Summe der Produtte je dreyer Grössen ausser x, u. s. w. gleich ist.

§. ir.

Setzt man die Anzahl der Grössen ausser x,n; so ist die Anzahl der Produkte je zweyer derselben--? -

.

n.n—i . n—2

dreyer —-----------------------1.2.3

.

,

.

,

.

x

U. s. w. (§. 8.)

.

n.n—i.n — 2.n—2 vlerer s= - -------------------- —2 1.2.3.4

6 X*

+ ax’ 4- ab x 4-abe 4-bx’ acx -f-Cx’ 4-bc x — multiplicirt mit (x-s-ä)

4~ a x* 4-bx’ + ex* 4-dx*

4-abx* 4- acx9 4- ad x* 4~bc x’ 4-bdxa 4“ cdx®

4-abcx 4-abdx 4-acdx 4-bcdx

Hierin bemerkt man: 1) Das erste Glied des Products enthält x in einer

Potenz, beten Exponent die Anzahl der Grössen aus­

das zweyte Glied den Faktor x in der um

ser x ist;

i niedrigern Potenz u. s. f.

Das letzte Glied, genau

genommen, den Faktor x*=i. 2) Nennt man die Faktoren ausser x in jedem Gliede die Koefficienten; so hat das 2te Glied einen Koeffi­ cienten,

welcher der Summe dec Grössen ausser x(

das zte einen,

welcher der Summe der Produkte je

zweyer Grössen ausser x, das 4te einen, welcher der

Summe der Produtte je dreyer Grössen ausser x, u. s. w. gleich ist.

§. ir.

Setzt man die Anzahl der Grössen ausser x,n; so ist die Anzahl der Produkte je zweyer derselben--? -

.

n.n—i . n—2

dreyer —-----------------------1.2.3

.

,

.

,

.

x

U. s. w. (§. 8.)

.

n.n—i.n — 2.n—2 vlerer s= - -------------------- —2 1.2.3.4

Setzt nun ferner nun a = b = c=d; so sind-die einzelnen Products eines jeden Gliedes unter sich gleich, oder ax’ = bx$ = cx’ = dx’; abx1 = acx,s3 u. s. w.

und heissen daher:

x*>,

ax°- *,

a1 x”-*,

a’x»~*

a* x”-*.

Daher wird dann aus (x-j-a) (x-s-b)

fx -j- c) f x

d) s fx + a)* csfx 4* a)° = x" 4- nax“ ~ *

§. 12. Heißt die Anzahl der vorhergehenden Glieder r,

.

.

n . n — I....n—fr—i)

so ist das folgende —-------------------------- —-arx«-r.

.r I,2..

Dies ist für die erste, zweite, dritte und vierte Po­

tenz von x 4- a in dem Vorigen (§. II.) erwiesen. Das zunächst vorhergehende Glied aber ist

n.n — I...n — (r—2) , , ... SS ----------------------- -------- - ar - r x"> - fr - ')» r I.2.. —I v Wird die Form dieses Ausdrucks und überhaupt der ganzen Reihe (§. u.) dieselbe bleiben,

wenn x+a

m einer höhern Potenz, als die vierte ist, erscheint? §. iZ.

Um dieß zu untersuchen, multiplicire man

(x-f-a)° cs x° + nax”-I ......... n. n—I... n — fr—2) , , .. 4- -------------------- -r------ - ar-,x"-fr-») 4. .T I.2.. --- 1 n.n — I ...n — fr — 1) , . ■■■■■■

■ ■

I.2.. . r

erhalt man

,

>---------arx«-r+ ... mit X 4- a; so

Setzt nun ferner nun a = b = c=d; so sind-die einzelnen Products eines jeden Gliedes unter sich gleich, oder ax’ = bx$ = cx’ = dx’; abx1 = acx,s3 u. s. w.

und heissen daher:

x*>,

ax°- *,

a1 x”-*,

a’x»~*

a* x”-*.

Daher wird dann aus (x-j-a) (x-s-b)

fx -j- c) f x

d) s fx + a)* csfx 4* a)° = x" 4- nax“ ~ *

§. 12. Heißt die Anzahl der vorhergehenden Glieder r,

.

.

n . n — I....n—fr—i)

so ist das folgende —-------------------------- —-arx«-r.

.r I,2..

Dies ist für die erste, zweite, dritte und vierte Po­

tenz von x 4- a in dem Vorigen (§. II.) erwiesen. Das zunächst vorhergehende Glied aber ist

n.n — I...n — (r—2) , , ... SS ----------------------- -------- - ar - r x"> - fr - ')» r I.2.. —I v Wird die Form dieses Ausdrucks und überhaupt der ganzen Reihe (§. u.) dieselbe bleiben,

wenn x+a

m einer höhern Potenz, als die vierte ist, erscheint? §. iZ.

Um dieß zu untersuchen, multiplicire man

(x-f-a)° cs x° + nax”-I ......... n. n—I... n — fr—2) , , .. 4- -------------------- -r------ - ar-,x"-fr-») 4. .T I.2.. --- 1 n.n — I ...n — fr — 1) , . ■■■■■■

■ ■

I.2.. . r

erhalt man

,

>---------arx«-r+ ... mit X 4- a; so

Setzt nun ferner nun a = b = c=d; so sind-die einzelnen Products eines jeden Gliedes unter sich gleich, oder ax’ = bx$ = cx’ = dx’; abx1 = acx,s3 u. s. w.

und heissen daher:

x*>,

ax°- *,

a1 x”-*,

a’x»~*

a* x”-*.

Daher wird dann aus (x-j-a) (x-s-b)

fx -j- c) f x

d) s fx + a)* csfx 4* a)° = x" 4- nax“ ~ *

§. 12. Heißt die Anzahl der vorhergehenden Glieder r,

.

.

n . n — I....n—fr—i)

so ist das folgende —-------------------------- —-arx«-r.

.r I,2..

Dies ist für die erste, zweite, dritte und vierte Po­

tenz von x 4- a in dem Vorigen (§. II.) erwiesen. Das zunächst vorhergehende Glied aber ist

n.n — I...n — (r—2) , , ... SS ----------------------- -------- - ar - r x"> - fr - ')» r I.2.. —I v Wird die Form dieses Ausdrucks und überhaupt der ganzen Reihe (§. u.) dieselbe bleiben,

wenn x+a

m einer höhern Potenz, als die vierte ist, erscheint? §. iZ.

Um dieß zu untersuchen, multiplicire man

(x-f-a)° cs x° + nax”-I ......... n. n—I... n — fr—2) , , .. 4- -------------------- -r------ - ar-,x"-fr-») 4. .T I.2.. --- 1 n.n — I ...n — fr — 1) , . ■■■■■■

■ ■

I.2.. . r

erhalt man

,

>---------arx«-r+ ... mit X 4- a; so

8 (x-f- a)n*x

x» + r + nstx«4- ................... axn -p na9 x°-

n.n— I...n —(r—2)

,

3.

------------- —---- - ---------------- av " •xn - (r-9)

I.2..r—I n.n— I +

"-fr-1?., I.2....r

n.n — l .. .n — fr — 2) , ---------- - arXn- (r-‘) + --------------------------r- —IT 1.2

+ n.n — I ... n — (r— pT ---------- i------- -arr, und

— / \L L 1 (x + a) P = ^x^i + ^JP = *p Q1 + ~^p ♦ Ferner sey, wie oben (§. 18.),

q; so ist

r r r r xP (i + ^P =x P (i +q)P. Wüßte man nun r (i + q)p in eine Reihe, der (§. 13.) gefundenen ahnr

lich, aufzulösen, so dürfte man diese nur mit xP mul-

rz §. 20.

Die Form der Reihe (§. iz.) bleibt dieselbe, wenn

auch n em positiver Bruch ist.

Zuvörderst aber mer­

ke man, daß wenn zwey ähnliche unbestimmt fortsau­ fende, nach den Potenzen einer veränderlichen Größe

geordnete Reihen einander gleich sind,

die Koeffi­

cienten der ähnlichen Glieder, d. h. derer, in welchen die unbekannte Grösse in einersey Potenz ist, einan­

der gleich seyn müssen.

Es sey

« + #x + 7x2+ . . . x=a-|-bx-j-cx*-f- . . . so Muß die Gleichung wahr- bleiben, was für einen Werth auch x habe, also auch für x=o.

In diesem

Falle erhält man « = x; folglich

ß'X + y x + . . = bx 4- cxa + . . oder ß + rx + ♦ ♦ = b 4- cx + . . ; und für x=o, ß — b u. s. w. §. 21.

Nun setze man n= —, doch so, daß r, p ganze P positive Zahlen sind, p>r, und

— / \L L 1 (x + a) P = ^x^i + ^JP = *p Q1 + ~^p ♦ Ferner sey, wie oben (§. 18.),

q; so ist

r r r r xP (i + ^P =x P (i +q)P. Wüßte man nun r (i + q)p in eine Reihe, der (§. 13.) gefundenen ahnr

lich, aufzulösen, so dürfte man diese nur mit xP mul-

14

tipliciren und man hatte -en Werth von

r (x+a)P.

Man nehme daher unbestimmt r = i 4- Aq 4* Bq* 4- Cq’ 4* • ♦ •

(i 4- q)

Letztere

Reihe kann füglich den Werth von r

(i 4- q)P

ausdrucken.

Denn i) kann man sie sich so weit fort­

gesetzt denken, als man will, ja bis ins Unendliche, s) Können einige der Koefficienten,

wenn es nöthig

wäre, auch =o gedacht werden, durch welches Bey­

des die Reihe, wie man sieht, alle mögliche Werthe erhalten kann; ja z) wenn q=o, so ist

r (I + q)P — 1/ und eben so l+Aq-f-Bq’4-Cq*4-...

SB i, und auch auf diese Weise entspricht die Reir

he dem Werthe von (i 4- q)p ;

kurz es

ist nichts

r vorhanden, weshalb man (i 4- q)P nicht = i 4- Aq 4- Bq* 4. Cq’ 4» . . . annehmen könnte.

Da nun

aus — bekannt ist; so kommt es nur darauf an, die X Koefficienten A, B, c u. s. w. zu bestimmen.

§. 22.

Zu dem 4- A x° *1 a + B xn ~1 a* -f- Cx” -3 a3 4* 4- Mxn - ® am + .. . oder nach den schon besann? ken Korfficimten A, B, (§. 23.)

(x 4~ a)n = xn nxn - ' a -j- - ------- -xn**aaVj-Cxn-,-j-#.

4-Mx»"”1 am4. ... §. 25. Jetzt setze man x 4- a = 1 +(l+z/ 1 + q in der bisherigen Bedeutung und z jebc positive oder nega­ tive Grösse, ja o selbst, je nachdem es nöthig ist, um aus 14-q, x-t-a zu bilden, auch werde r-j-q stets als eine Grüsse betrachtet; so hat man, nach §. 24., wenn man dort für x, i-j-q, und für a, z setzt;

G+q+z)n=s ” - * ze 4.....

+ (m4- l)Nqinz q---- —^T-* 4.

(I4-q)fi-’z4-CqI4-q>-Tz*-,

.

4- q)n- m2m -* 4. 2Sf (I 4-q>~(m + *)*m 4-... B 2

(L -j- = I + Aq4-Bq*-|- ... Mq® 4- . . . Beyde Reihen laufen unbestimmt fort, sind nach einer

20

s= A?|-2Bq-{~Bz + 3^*1* + 3Cqz 4* Cz’*4- . . » m ♦m—I 4-mMqm* +——Mqm- 2 z -f.......................... .

m +1 ♦ iri

+ (m + l)Nqm-|--------------JNqtn-»z+

.

, . .

1.2

§* 28.

Da «un z jeden Werch haben, auch ---o seyn seyn (§. 25.), iy welchem letztem Falle i+q+z — n ”1 — A + 2 Bq + 3 Cq’ 4- ..... . -i- m M q" -1 + (m 1) N q«* 4» ................................ Hieraus erhalt man (14- q)"i wenn die ganze Glei­ chung mit i 4- q multiplicwt, und durch n dividier wird, oder x A aBq | 3cq. l (14-^=-

4"

niMq”-1 < (m 4-1) Nqm - — 4“ '' 4* ♦•♦♦*♦♦♦ n n m Mqm (m + l) Nqm*f*e .... n -+ • • •

°»°° (t + ,).=i+> = I + Aq4-Bq*-|- ... Mq® 4- . . . Beyde Reihen laufen unbestimmt fort, sind nach einer

veränderlichen Grösse geordnet und einander ähnlich. Folglich (§. 20.) — =i; A=n;

=sA, oder

2B4-3C nB — 28 --------- —— B, oder 2B + 3C=nB; 0———— n--------------------------------------------------------- 3 B (n — 2) n.n—i.n — 2 . „ . . -s —-------- s=-------------- ------- ; und allgemein der 3 1.2« 3 Koefficient des (m, 4- i)ten Gliedes nach dem ersten

N aus --------- - ———= M, oder n nM—mM

. ,

M (’n—m)

mM + (m + l)N=:nM; Ns------- ■ :—k m-|-l m4-i (wo M der Koefficient deS mtcn Gliedes nach dem ersten), genau so wie §. 17., wo N der Koefficient des (r—i)ten Gliedes nach dem ersten aus M, dem Koefficienten des vorhergehenden Gliedes, gefunden ward.

Denn N = —-------- - hier verwandelt sich das m +1 M (n — (r — 2))

K

i'4' i.

>------wennln-s-r—r—L

§- 29.

Da nun, wenn n ein positiver Bruch ist, die Koefficienten der Reihe (x 4- a)» == x*> 4- Ax» - * a 44- Cx"-1 a* 4- . . . 4-Mx”-™a">4- . . . (§. 24.) genau in der Form mit den Koefficienten der Reihe, wenn n eine positive ganze Zahl ist (§. iz ), wenigstens in den ersten Gliedern übereinftimmen,

veränderlichen Grösse geordnet und einander ähnlich. Folglich (§. 20.) — =i; A=n;

=sA, oder

2B4-3C nB — 28 --------- —— B, oder 2B + 3C=nB; 0———— n--------------------------------------------------------- 3 B (n — 2) n.n—i.n — 2 . „ . . -s —-------- s=-------------- ------- ; und allgemein der 3 1.2« 3 Koefficient des (m, 4- i)ten Gliedes nach dem ersten

N aus --------- - ———= M, oder n nM—mM

. ,

M (’n—m)

mM + (m + l)N=:nM; Ns------- ■ :—k m-|-l m4-i (wo M der Koefficient deS mtcn Gliedes nach dem ersten), genau so wie §. 17., wo N der Koefficient des (r—i)ten Gliedes nach dem ersten aus M, dem Koefficienten des vorhergehenden Gliedes, gefunden ward.

Denn N = —-------- - hier verwandelt sich das m +1 M (n — (r — 2))

K

i'4' i.

>------wennln-s-r—r—L

§- 29.

Da nun, wenn n ein positiver Bruch ist, die Koefficienten der Reihe (x 4- a)» == x*> 4- Ax» - * a 44- Cx"-1 a* 4- . . . 4-Mx”-™a">4- . . . (§. 24.) genau in der Form mit den Koefficienten der Reihe, wenn n eine positive ganze Zahl ist (§. iz ), wenigstens in den ersten Gliedern übereinftimmen,

22

man aber »eben folgenden aus dem vorhergehenden, hier, wie dort, auf einerley Weise findet, alles Uebrige in beyden Reihen in der Form genau übereinstim­

mend ist; so haben überhaupt beyde Leihen eine und

dieselbe Gestalt und sind nur eine, Fällen

Anwendung findet,

welche in allen

wenn

n

eine

positive

Zahl ist.

§. 30. Ist n eine positive Bruchzahl, so geht die Reihe ohne Aufhören fort and stellt daher jede Wurzel,

selbst die rationale, als eine irrationale Grösse dar. Denn da die Reihe nur dann aufhört,

wxnn

em

Koefficient = o wird (§. 14.), dies; aber nie Statt finden, kann, wenn n eine positive Bruchzahl ist, in­

dem dann nie ein Faktor a — i, n —2, u. s. w. = o werden kann; so hört auch die Reihe nie auf. Beyspiel: — ist. 2

Beyspiel: In x$ -f- 6 x2 + 11 x 6 = o (§. 66. Beyspiel) ist a=6; b=n, folglich a9 —26 = 14, positiv, und die Gleichung hat drey mögliche Wurzeln. In x'+ gx*+4x —81=0 ist a=g; bs-4, folglich a2 — 2 b = i, zwar positiv, aber doch hat die Gleichung nur eine mögliche Wurzel, x=i,

4° und zwey unmögliche,

x = — 2 + V*—4,

die

man mit Hülfe §. 66. findet. In X1 + X1 + 2x

4 — 0 ist a = i; b = 2;

folglich a* — 2 b = — 3, negativ, und die Glei­ chung kann nur eine mögliche Wurzel, x = i, ha­

ben und hat daneben zwey unmögliche,

x --- —

ii/*—1.

§. 68. Fehlt in einer kubischen Gleichung ein Glied; muß,

so

da x einen bestimmten Werth haben soll, der

Koefficient desselben = o seyn.

Nie aber kann daS

vierte Glied fehlen, weil sonst die cubische Gleichung

durch x theilbar und auf eine quadratische zurückzu­ führen seyn würde.

Fehlt das zweite Glied; so muß

auch hier die Summe der entgegengesetzten Werthe

von x Null seyn, u. s. w. (§. 65.)

§. 69.

Soll das zweyte Glied einer vollständigen kubi­

schen Gleichung weggeschäfft werden, so muß in x’ 4axa4-bx+ c =0, ass — (« -f- £ + y) s= O fcpil.

Es

gelten hier nun dieselben Schlüffe, wie oben (§. 63.).

Man nehme nämlich mit jedem Werthe von x die

Grösse d zusammen, wodurch jene so verändert wer­ den,

daß die Summe ihres Entgegengesetzten --- o,

oder man nehme *4- d=y, woraus x = y—d folgt. Dieß in die Gleichung für x substituirt, giebt

4° und zwey unmögliche,

x = — 2 + V*—4,

die

man mit Hülfe §. 66. findet. In X1 + X1 + 2x

4 — 0 ist a = i; b = 2;

folglich a* — 2 b = — 3, negativ, und die Glei­ chung kann nur eine mögliche Wurzel, x = i, ha­

ben und hat daneben zwey unmögliche,

x --- —

ii/*—1.

§. 68. Fehlt in einer kubischen Gleichung ein Glied; muß,

so

da x einen bestimmten Werth haben soll, der

Koefficient desselben = o seyn.

Nie aber kann daS

vierte Glied fehlen, weil sonst die cubische Gleichung

durch x theilbar und auf eine quadratische zurückzu­ führen seyn würde.

Fehlt das zweite Glied; so muß

auch hier die Summe der entgegengesetzten Werthe

von x Null seyn, u. s. w. (§. 65.)

§. 69.

Soll das zweyte Glied einer vollständigen kubi­

schen Gleichung weggeschäfft werden, so muß in x’ 4axa4-bx+ c =0, ass — (« -f- £ + y) s= O fcpil.

Es

gelten hier nun dieselben Schlüffe, wie oben (§. 63.).

Man nehme nämlich mit jedem Werthe von x die

Grösse d zusammen, wodurch jene so verändert wer­ den,

daß die Summe ihres Entgegengesetzten --- o,

oder man nehme *4- d=y, woraus x = y—d folgt. Dieß in die Gleichung für x substituirt, giebt

4° und zwey unmögliche,

x = — 2 + V*—4,

die

man mit Hülfe §. 66. findet. In X1 + X1 + 2x

4 — 0 ist a = i; b = 2;

folglich a* — 2 b = — 3, negativ, und die Glei­ chung kann nur eine mögliche Wurzel, x = i, ha­

ben und hat daneben zwey unmögliche,

x --- —

ii/*—1.

§. 68. Fehlt in einer kubischen Gleichung ein Glied; muß,

so

da x einen bestimmten Werth haben soll, der

Koefficient desselben = o seyn.

Nie aber kann daS

vierte Glied fehlen, weil sonst die cubische Gleichung

durch x theilbar und auf eine quadratische zurückzu­ führen seyn würde.

Fehlt das zweite Glied; so muß

auch hier die Summe der entgegengesetzten Werthe

von x Null seyn, u. s. w. (§. 65.)

§. 69.

Soll das zweyte Glied einer vollständigen kubi­

schen Gleichung weggeschäfft werden, so muß in x’ 4axa4-bx+ c =0, ass — (« -f- £ + y) s= O fcpil.

Es

gelten hier nun dieselben Schlüffe, wie oben (§. 63.).

Man nehme nämlich mit jedem Werthe von x die

Grösse d zusammen, wodurch jene so verändert wer­ den,

daß die Summe ihres Entgegengesetzten --- o,

oder man nehme *4- d=y, woraus x = y—d folgt. Dieß in die Gleichung für x substituirt, giebt

4i

x’ = y’ —3ysd + 3yd»— d* axa= ay1 —2 ady-j-adz bi = by — bd cs + c O =s y’+(a —3 d) y" + (3 =+-’ y 4) Da nun«, ß, mögliche Grössen, folglich (Nr.2.)

B oder ( + *+*) =«ß; so ist (spspß)’

= 4«f oder y* =4(ye—b) GRr.3-);4b=3y* (1). Es ist aber auch *ß= + — (Nr.3.); folglich auch

oder y1 “ + —; y’r5 4- 4c (II). --- y --5) Vergleicht man (I) und (II) (Nr.4.), indem man in beyden y zur 6tcn Potenz erhebt; sv hat man aus (I) — 64b’ 64b' — 27 y° oder ye Aus (II) y° — 16