Dedekind e os números: antologia de textos fundacionais de Richard Dedekind 9786555632026

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Augusto J Franco de Oliveira

DEDEKIND E

os

NÚMEROS Antologia de Textos Fundacionais de Richard Dedekind

O

professor Augusto Franco de Oliveira - autor da tradução de "Introdução à Filosofia Matemática" de Bertrand Russell (vol. 3 desta coleção) -, nos brinda aqui com uma preciosidade sem igual. Nesta coletânea, pela primeira vez em português, encontram-se os textos sobre fundamentos de Richard Dedekind, entre eles "Continuidade e Números Irracionais" onde ele apresenta os famigerados Cortes de Dedekind e "O que São e para que Servem os Números?" marcado pela primeira frase do autor no prefácio da primeira edição: "Na ciência, nada susceptível de ser demonstrado deve ser aceite sem prova."

ISBN 978-65-5563-202-6

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DEDEKIND E

os

NÚMEROS

Antologia de Textos Fundacionais de Richard Dedekind

Textuniversitários

15

COMISSÃO EDITORIAL:

'Jhiago Augusto Silva Dourado Francisco César Polcino Milies Carlos Gustavo T. de A. Moreira Ana Luiza da Conceição Tenório ·Gerardo Barrera Vargas

Augusto ]. Franco de Oliveira

DEDEKIND E os NÚMEROS Antologia de Textos Fundacionais de Richard Dedekind

•

Editora Livraria da Física São Paulo -

2022

Copyright © 2022 Editora Livraria da física la. Edição Editor: JosÉ RoBERTO MARINHO Projeto gráfico e diagramação: 1111AGO AUGUSTO SILVA DOURADO Capa: FABRÍCIO RIBEIRO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Oliveira, Augusto J. Franco de Dedekind e os números : antologia de textos fundacionais de Richard Dedekind / Augusto J. Franco de Oliveira. - 1. ed. - São Paulo, SP : Livraria da Física, 2022. - (Textuniversitários ; 15) Bibliografia. ISBN 978-65-5563-202-6

1. Dedekind, Richard, 1831-1916 2. Matemática 3. Números - Teoria 1. Título. II. Série. CDD-512.7

22-106891 Índices para catálogo sistêmático:

1. Teoria dos números : Matemática 512.7 Eliete Marques da Silva - Bibliotecária - CRB-8/9380 ISBN 978-65-5563-202-6 Todos os direitos

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Aos meus netos, e ao Raphael

PREFÁCIO

A segunda metade do século XIX é um período riquíssimo para as matemáticas e os seus fundamentos, e um manancial inesgotável de descobertas e inovações que enchem páginas e páginas dos manuais de história e filosofia da matemática. Nos meus estudos pós-graduados de Lógica Matemática e de Fundamentos da Matemática, cedo m:e apercebi do pioneirismo e importância de Richard Dedekind _para os desenvolvimentos daquelas matérias desde o último quartel daquele século. Ao mesmo tempo, fui achando que o papel de Dedekind no aprimoramento e formatação das matemáticas no século XX não era suficientemente conhecido ou reconhecido entre colegas e professores da época. Na Análise, imperava a construção cantoriana dos reais mediante as sucessões de Cauchy de racionais e a abordagem weierstrassiana; nos fundamentos da Aritmética só se falava de Peano; a linguagem e a modernidade conjuntistas, manifestas em áreas como a teoria das funções, . a topologia e a teoria da integração, estavam ancoradas na visão sobretudo cantoriana dos conjuntos. 1 Sempre me causaram_ enorme admiração e estímulo as amizades/associações Russell-Whitehead, Hardy-Littlewood e Einstein-Gõdel. 1

Nos anos 60 e 70, leccionava-se sobretudo a teoria intuitiva baseada em Cantor [71 e

Kamkc 1481.

l'UIJÁCIO

Imaginava-os em longas e amenas cavaqueiras e passeios, nos gabinetes, salões, bibliotecas e jardins de Cambridge ou Princeton. Outro grupo notável, tutelado pelo magnífico Gauss, veio repovoar o meu imaginário: Dedekind, Riemann e Dirichlet, com grande destaque para o primeiro. Na Faculdade de Ciências de Lisboa, nos anos 70 e 80 e, mais tarde, na Universidade de Évora, e finalmente no Mestrado em Filosofia das Ciências no regresso àquela Faculdade, não faltavam ocasiões recorrentes de evocação de momentos de suspense e criatividade, ambos com a marca indelével de Dedekind, numa qualquer aula, por exemplo, de um curso de fundamentos, ou de teoria dos conjuntos, ou de filosofia da matemática. O primeiro, historicamente falando, é o da construção dos números reais. Partindo ·do tratamento geométrico dos incomensuráveis dado por Eudóxio de Cnido (e. 408-355 a.C.), conforme exposto no Livro V dos Elementos de ~uclides, Dedekind analisa a natureza do contínuo e chega à noção de corte nos racionais (A 1 , A2 ) definido na pág. 82 (no caso particular D = 2), e fazemos a pergunta·: o que será (poderá ser) então -/2? Após alguns longos instantes de angustiante expectativa e ansiedade, respondemos, como num passo de magia (um pequeno passo além do de Dedekind, dado por Russell) perante a estupefacção geral: defina-se J2 = (A 1 , A2 )! No caso presente, a ousadia paga-se caro quando tentamos estabelecer as propriedades algébricas básicas da multiplicação, coisa que a maioria dos autores evita fazer ou faz apenas timidamente. O segundo ponto alto tem a ver com a descoberta da axiomática de Dedekind para os números n,aturais (na época, começando em 1). Dedekind analisa, desta vez, a progressão dos naturais intuitivos (numerais) (N)

1, 2, 3, ... ,

e o que salta logo à vista. é a existência de um primeiro elemento (1) e de uma operação unária de sucessão n H n' (ou n H n + l), designada por 1:KINll 1. O~ NIIMIJUJ~

alterações que a potência sofre quando se submete o expoente às operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão, mantendo o expoente alterado um inteiro positivo. Uma vez conhecidas as leis vigentes aqui, e se for requerido que elas estabeleçam o padrão para o carácter da exponenciação em geral, elas produzirão por sua vez a definição generalizada. Consegue-se isto tudo com o teorema único, que decorre imediatamente da definição, a saber, que a multiplicação pelo mesmo factor aumenta em uma unidade o expoente da potência resultante. Encontrámos assim o significado da potência para a mais simples das operações realizadas com o expoente; estas operações são, ao mesmo tempo, a fonte de todas as operações posteriores. Mediante a repetição sucessiva desta alteração, obtemos um teorema de adição para os expoentes, o qual, se se supõe ser geralmente válido, acabará por dar as definições das potências com qualquer expoente racional arbitrariamente escolhido. Do teorema de que uma potência cujo expoente é a soma de dois inteiros positivos é igual ao produto das duas potências da mesma base, cujos expoentes são estes dois inteiros, pode ser derivado um teorema de subtracção em que uma potência com um expoente que se exprime como uma diferença se reduz ao quociente das duas potências cujos expoentes são o diminuendo e o s.ubtraendo dessa diferença, respectivamente, desde que o primeiro seja maior do que o último. Se pretendemos que este teorema tenha validade geral, então obtemos imediatamente a definição das potên~ias com expoente zero e com expoentes negativos. Encontramos, desta forma, a primeira extensão. Agora, a fim de obter potências com expoentes fraccionários devemos, em primeiro lugar, como é facilmente feito, derivar do teorema de adição mencionado acima a lei de que uma multiplicação de expoentes corresponde a uma potência de potência. Resulta daqui, obviamente, que a divisão de um expoente nos obriga a realizar a inversa da operação original de exponenciação, ou seja, dividir um número num (também dado) número de factores iguais. Esta maneira de proceder repetidamente

65

6. SOBRE A INTRODUÇÃO DE NOVAS HJN

O; ela estende a fun~·ão

fi. SUBIU: /\ INTl!Ollll.u é um inteiro positivo, certamente menor do que u. Se, além disso, pusermos

t' = Du - >.t, t' é também um inteiro positivo, e obtemos

t' 2

-

Du'2 =

(>. 2 -

D) (t 2

-

D,u 2 )

= O,

o que contraria a hipótese sobre u. Portanto,· o quadrado de qualquer número racional x ou é < D ou é > D. Daqui resulta facilmente que não há na classe A 1 um máximo, nem na classe A 2 um número mínimo. Pois, se pusermos x

y

=

temos

y- x =

(x 2 + 3D) 3x 2 +. D ' 2x (D - x 2 ) 3x 2 + D

e

2 - D= (x2 - D)3 y (3x2 + D) 2 · Se aqui admitirmos x como um número positivo da classe A 1 , então < D, e portanto y > x e y 2 < D. Por isso, também y pertence à classe A 1 . Mas se admitirmos x como um número da classe A 2 , então x 2 > D, e portanto y < x, y > O e y 2 > D. Por isso também aqui y pertence à classe A 2 • Por conseguinte, este corte não é produzido por nenhum número racional. Esta incompletude ou descontinuidade do domínio R dos números racionais consiste precisamente nesta propriedade, de que nem todos os cortes são produzidos por números racionais.

x2

B2

lllJll:KINll 1: O\ NIIMI.IUl\

Assim, sempre que temos um corte (A 1 , A2 ) não produzido por um número racional, criamos um novo número, um número irracional a, que consideramos como completamente definido por este corte (A 1 , A 2 ); diremos que o número a corresponde a este corte, ou que produz este corte. Por isso, de agora em diante, a cada corte bem definido corresponde um número racional ou irracional bem definido, e consideramos dois números como diferentes ou desiguais se e só se eles correspondem a cortes essencialmente diferentes. De forma a obter uma base para o arranjo ordenado de todos os números reais, isto é, de todos os números racionais e irracionais, temos de investigar a relação entre dois cortes quaisquer (A 1 , A 2 ) e (B 1 , B 2 ) produzidos por dois números a e /3 quaisquer. Obviamente o corte (A 1 , A 2 ) é completamente dado quando uma das duas classes, por exemplo, a primeira A 1 é conhecida, porque a segunda A 2 consiste de todos os números racionais que não pertencem a Ai, e a propriedade característica da primeira classe baseia-se no seguinte: se um número ai, está contido nela, então ela contém todos os números menores do que a 1 . Se agora compararmos tais primeiras classes Ai, B 1 uma com a outra, pode acontecer: 1. Que as classes sejam perfeitamente idênticas, isto é, .todo o número contido em· A 1 também está em B 1 , e todo o número em Bi, está em A 1 . Neste caso A 2 é necessariamente igual a B 2 , e os dois cortes são perfeitamente idênticos, o que iremos denotar em símbolos por a = /3 ou /3 = a.

Mas se duas classes Ai, B 1 não são idênticas, então existe numa, por exemplo, em A 1 ; um número a~ = b; que não está na outra Bi, e, consequentemente, está em B 2 ; portanto, todos os números b1 ·contidos em B 1 são certamente menores do que este número a~ = e então todos os números b1 estão em A 1 .

b;,

2. Se agora este número a~ é o único em A 1 que não está em B 1 ,

então todo o número a 1 em A 1 também está em B 1 , e é, portanto, B3

7. CONTINIJlllAlll. 1. NliMLl!O~ IIIHALIONAI\

< a~, isto é, a~ é o maior de todos os números a 1 ; portanto, o corte (A 1 , A 2 ) é produzido pelo número a= a; = b;. Quanto ao outro corte (B 1 , B 2 ), já sabemos que todos os números b1 em B 1 também estão em A 1 e são menores que o número a~ = que está em B 2 ; todos os outros números b2 em B 2 têm que ser maiores do que b;, pois de outra maneira seriam menores do que a~ e, por isso, contidos em A 1 e portanto em B 1 ; assim é o menor de todos os números em B 2 , logo o corte (B 1 , B 2 ) é produzido pelo mesmo número racional fJ = = = a. Os dois cortes diferem apenas, então, de maneira não essencial.

b;

b;

b; a;

3. Se, todavia, existirem em A 1 pelo menos, dois números diferentes a; == b; e aJ = bi, que não estão em B 1 , então existe uma infinidade deles; pois a infinidade de números que está entre a~ e a'{ ~stá obviamente contida em A 1 (§1, II) mas não em B 1 • Neste caso, dizemos que os números ex e (3 correspondentes a estes dois cortes essencialmente diforentes (A 1 , A2 ) e (B 1 , B 2 ) são diferentes, e mais que isso, que a é maior do que (-3 e que (-3 é menor do que a,· o que se exprime através dos símbolos a > (3 ou (3 < a. Observe-se que esta definição coincide completamente com a outra dada mais acima quando a, (3 são racionais. Os restantes casos possíveis são:

a;

4. Se existe em B 1 , um e um só número b~ = que não está em A 1, então os dois cortes (A 1 ,A 2 ) e (B 1 ,B2 ) não são essencialmente diferentes e são produzidos por um mesmo número racional a= a; = Vi = fJ. 5. Mas se existirem em B 1, pelo menos, dois números que não pertencem a A 1 , então fJ > a, a < (3. Com isto, esgotam-se os casos possíveis, concluindo-se que de dois números diferentes um é necessariamente o maior, e o outro é o menor, B4

Ili.Ili ~INll l. O\ NIIMI IUI'>

logo existem duas possibilidades. Uma terceira é impossível. Isto estava implícito na escolha dos termos comparativos (maior, menor) para designar a relação entre a, fJ; mas esta escolha só agora foi justificada. Neste tipo de investigações é preciso ter muito cuidado para que, apesar da melhor das intenções de honestidade, não deixarmos, atravós d,· uma escolha precipitada de expressões emprestadas de outras no\:,ws já desenvolvidas, permitir-nos fazer transferências inadmissíveis de 11111 domínio para outro. Se agora considerarmos novamente o caso a > fJ, é óbvio que 11 número mais pequeno /J, se racional, pertence certamente à classe /\ 1 ; pois como existe em A 1 um número a~ = b; que pertence à classe / {._,, segue-se que o número /J, quer seja o maior número em fl 1 ou o menor em B 2 é certamente :S a~ e, portanto, está contido em A 1• I>a mesma forma tem-se de a > fJ que o maior número, a, se racional, pertence certamente à classe B 2 , pois a ~ a~. Combinando estas duas observações, obtemos o seguinte resultado: se um corte (A,, AJ í· produzido pelo número a então qualquer racional pertence à classe /1 1 ou à classe A 2 , conforme é menor do que, ou maior ·do que n; se o número a é ele próprio racional, pode pertencer a uma ou oul ra das classes. Do que precede obtemos finalmente o seguinte: Se a > /-J, isto •··, se existem infinitos números em A 1 que não pertencem a IJ 1, cnlúo existem infinitos números que são ao mesmo tempo diferentes de li' 1• de fJ; um qualquer tal número racional e é < a, pois não está cm /\ 1 ; é também> fJ, porque não está em B 2 •

§5. CONTINUIDADE DO DOMÍNIO DOS NÚMEROS REAIS

Em consequência das distinções formuladas, o conjunto 91 de todos os números reais forma um domínio totalmente ordenado de uma !IS

7. CONTINUIDADE E NÚMEROS IIUW]ONAIS

dimensão; isto quer dizer apenas que as seguintes propriedades são satisfeitas:

I. Se a > /3 e /3 > 'Y então a > 'Y· Assim, diremos que o número está situado entre a e 'Y·

/3

II. Se a, 'Y são dois números distintos, então existe uma infinidade de números diferentes /3 situados entre a e 'Y· III. Se a é um número bem definido, então todos os números do conjunto 9l dividem-se em duas classes Ql. 1 e Ql.2 em que cada uma contém uma infinidade de elementos; a primeira classe Ql. 1 compreende todos os números a 1 menores do que a, a segunda classe ·Ql.2 compreende todos os números a 2 que são maiores do que a; o número a pode ser arbitrariamente atribuído à primeira .ou à segunda classe e será, respectivamente, o maior número da primeira classe ou menor n~mero da segunda classe. Em qualquer dos casos, a separação do conjunto 9l em duas classes Ql 1 , Ql.2 é tal que qualquer número da primeira classe Ql 1 é mais pequeno do· que qualquer número da segunda classe Ql. 2 , e dizemos que esta separação foi produzida pelo número a.

Para maior brevidade, e para não maçar o leitor suprimi as demonstrações destes teoremas, que saem imediatamente das definições da secção anterior. Todavia, além destas propriedades, o domínio 9l também possui continuidade, isto é, o teorema seguinte é verdadeiro: IV. Se o conjunto 9l de todos os números reais se divide em duas classes Ql. 1 , Ql.2 , de tal forma que todo o número a 1 da classe Ql. 1 é menor do que todo o número a 2 da classe Ql.2 , então existe um

e um só númer~ a pelo qual esta separação é produzida.

Prova. Pela separação ou corte de 9l em Ql 1 e Ql.2 obtemos ao mesmo tempo um corte (A 1 , A2 ) do conjunto R de todos os números 86

lll:lll:KINll 1: OS NIIMl:J!OS

racionais definido da seguinte forma: A 1 contém todos os números racionais da classe m1 , e A 2 contém todos os outros números racionais, isto é, todos os números racionais da classe m2 • Seja a o número perfeitamente bem definido que produz este corte (A 1 , A 2 ). Se /3 é um número qualquer diferente de a, então existem infinitos números racionais e que estão situados entre a e /3. Se /3 < a, então e < a; logo e pertence à classe A 1 e consequentemente também à classe m1 , e como também temos /3 < e, então /3 também pertence à mesma classe m1 , porque todo o número em m2 é maior do que todo o número e em m1 . Mas se /3 > a, então e > a; portanto e pertence à classe A 2 e, consequentemente, também pertence à classe m2 , e como ao mesmo tempo /3 > e, então /3 também pertence à mesma classe m2 , porque todo o número em m1 é menor do que todo o número e em m2 • Portanto todo o número /3 diferente de a pertence à classe m1 ou à classe m2 conforme /3 < a ou /3 > a; consequentemente O próprio a é ou O maior número em mi, ou O menor número em m2, isto é, a é obviamente o único número pelo qual a separação de R nas classes m1 , m2 é produzida. Como se queria demonstrar. -

§6. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

Para reduzir quálquer operação com dois números reais a, /3 a operações com números racionais, precisamos apenas de fazer o seguinte: dados ~.ois cortes ( A 1 , A 2 ), ( B 1 , B 2 ) produzidos pelos números a e /3 no conjunto R, definimos o corte ( C1 , C2 ) que corresponde ao resultadq da operação, 1 . Aqui discute-se apenas o caso mais simples, o da adição. Se e é um número racional qualquer, colocamo-lo na classe C 1 , desde que haja dois números a 1 em A 1 e b1 em B 1 cuja soma verifica a 1 + b1 ~ e; os outros números racionais deverão ser colocados na 87

7. (X)NTINUIIJAIJL 1: NÚMUUJ, IIUIACIONA"

classe C 2 • Esta separação de todos os números racionais em duas classes C 1, C 2 forma evidentemente um corte, pois qualquer número c1 em C 1 é menor do que qualquer número c2 em C 2 . Se a e (3 forem racionais então todo o número c1 em C 1 é ::; a+ (3, porque a 1 ::; a e b1 ::; (3 e, por isso, a 1 + b1 ::; a + {3; além disso, se estivesse contido em C 2 algum número c2 < a+ (3, donde a+ (3 = c2 + p para algum número racional positivo p, então deveríamos ter

o que contradiz a definição do número c2 , porque a - ½P é um número em A 1 , e /3 - ½P um número em B 1 ; consequentemente, todo o número c2 contido em C 2 é ~ a + (3. Portanto, neste caso, o corte (C1 , C2 ) é pro~uzido pela soma a+{3. Assim, não violamos a definição que sustenta a aritmética dos números racionais se estipularmos que a soma de a+ (3 de quaisquer dois números reais a, (3 é o número "/ pelo qual o corte (C1 , C 2 ) é produzido. E, se apenas um dos números a, (3 é racional, por exemplo a,· é fácil verificar que não faz diferença na soma"( = a+ (3 que o número a esteja na cl~sse A 1 ou na classe A 2 • As outras operações, da chamada aritmética elementar (por exemplo, a formação de diferenças, produtos, quocientes, potências, raízes,· logaritmos), podem ser definidas tal como a adição, e desta forma chegamos a verdadeiras demonstrações de teoremas (como, por exemplo: J2 • v'3 = v'6), que tanto quanto eu saiba nunca antes foram estabelecidas. O tamanho excessivo que se teme nas definições das operações mais complicadas está parcialmente ligado à natureza do assunto, mas em grande parte poderá ser evitado. A noção de intervalo é muito útil neste contexto - isto é, um conjunto A de números racionais que possui a propriedade característica seguinte: se a e a' são números de A, então todos os números que estão· situados entre a e a' estão em A. O conjunto R de todos os números racionais, e também as duas classes de qualquer corte, são 88

111:111:KINII 1: OS NIJMIJUJS

intervalos. Se existir um número racional a 1 que é menor do que, e um número racional a2 que é maior do que todos os números do intervalo A, então A chama-se l.lm intervalo finito [limitado]; neste caso existem infinitos números com a mesma propriedade que a 1 e infinitos números com a mesma propriedade que a2 ; o domínio R pode-se então dividir em três partes A 1 , A, A 2 , e entram em cena dois números racionais ou irracionais bem definidos, a 1 , a 2 que se podem chamar respectivamente o limite inferior e limite superior do intervalo A; o limite inferior a 1 é determinado pelo corte para o qual o conjunto A 1 forma a primeira classe e o limite superior a2 pelo corte para o qual o conjunto A 2 forma a segunda classe. Para qualquer número racional ou irracional a que esteja entre a 1 e a 2 , pode dizer-se que está dentro [é interior ao] do intervalo A. Se todos os números de um intervalo A também são números de um intervalo B então a A chama-se uma parte de B. Considerações ainda mais longas parecem surgir quando tentamos adaptar os numerosos teoremas da aritmética dos números racionais [por exemplo, o teorema (a+ b)e = ac + bc] a números reais arbitrários. Todavia, este não é o caso. É fácil ver que tudo se reduz a mostrar que as operações aritméticas possuem uma certa continuidade. O que quero dizer com esta afir~ação, pode ser expresso na forma de teorema geral: Se o número ,\ é o resultado de uma operação com os números a, )3, "(, ... e ,\ pertence ao intervalo L, então podem ser tomados intervalos A, B, C, ... nos quais se encontram os n_úmeros a, /3, "(, ... e tais que o .resultado da mesma operação em que os números a, /3, 'Y,- .. são substituídos por nú~eros arbitrários dos intervalos A, B, C, ... é sempre um número pertencente ao intervalo L. A deselegância proibitiva que marca o enunciado deste teorema

convence-nos, todavia, que algo tem de ser trazido em auxílio dos 89

7. CONTINUlllAL>L E NÚMEHOS IHHACIONAIS

meios de expressão; isto pode ser conseguido, de facto, da maneira mais satisfatória através da introdução das ideias de grandezas variáveis, funções e valores limites, e seria melhor basear nestas ideias as definições até das operações aritméticas mais simples, assunto este, todavia, que não poderá ser desenvolvido aqui.

§7. ANÁLISE INFINITESIMAL

A terminar, devemos explicar a ligação entre as investigações precedentes e alguns teoremas fundamentais da análise infinitesimal. Dizemos que uma grandeza variável :r: que passa por sucessivos valores numéricos bem definidos aproxima um valor limite fixo a quando, no d~correr do processo, x acaba por se encontrar entre quaisquer dois números dados entre os quais o próprio a também está ou, o que vem a dar no mesmo,. quando a diferença x - a em valor absoluto, se toma nierior do que qualquer valor positivo dado. Um dos mais importantes teoremas pode s~r enunciado da seguinte maneira: "Se uma grandeza x cresce continuamente mas não para além de todos os limites, então ela aproxima-se de um valor limite." Provo-o da seguinte maneira. Por hipótese existe um número (e, portanto, infinitos outros números) a 2 tal que x se mantém continuamente < a 2 ; designo por Ql.2 o conjunto de todos estes a 2 , por Ql. 1 o conjunto de todos. os outros números a 1; cada um destes últimos possui a propriedade de que no decorrer do processo, x tomase finalmente 2: a 1 , logo todo o número a 1 é menor do que qualquer número a 2 , e consequentemente existe um número a que ou é o máximo em Ql. 1 ou o mínimo em Ql.2 (§5, IV). O primeiro caso não pode acontecer pois x não pára de crescer, logo a é o número mínimo em Ql.2 • Mas para qualquer a 1 , iremos ter finalmente a 1 < x < n, isto é, x aproxima-se do valor limite a. 90

IJl])l:KINll

t: OS NÚMIJU>S

Este teorema é equivalente ao princípio da continuidade, isto é, ele perde a sua validade assim que nós assumimos que algum número real não está contido no domínio 9'.; ott expresso de outra maneira: se este teorema é correcto então o teorema IV no §5 também é correcto. Outro teorema da análise infinitesimal, também equivalente a este e mais frequentemente utilizado, pode ser enunciado da seguinte maneira: "Se na variação da grandeza x pudermos, para qualquer grandeza positiva ô, fazer corresponder um intervalo dentro do qual x muda por menos de ô, então x aproxima-se de um valor limite." Este recíproco, facilmente demonstrado, do teorema de que qualquer grandeza variável que se aproxima de um valor limite difere finalmente por menos de qualquer grandeza positiva dada, tanto pode ser derivado do teorema precedente como directamente do princípio da continuidade. Escolho a última via. Seja ô uma grandeza positiva qualquer (isto é, ô > O). Então, por hipótese, um instante47 virá a partir do qual x muda por menos de ô, isto é, se neste instante x tiver o valor a, então passado algum tempo devemos ter continuamente x > a - ô ex< a+ ô. Deixo agora de lado, por momentôs, a•hipótese original e utilizo somente o teorema acabado de provar de que todos os valores posteriores da variável x estão entre dois valores finitos dados. É nisto que baseio uma dupla separação de todos os nó.meros reais. A um conjunto 212 atribuo um número a 2 (por exemplo, a + ô) quando, no decurso do processo, x acaba por se tomar ::; a 2 ; no conjunto 21 1 coloco todos os números que não pertencem a 212 ; se a 1 é um tal número, então, por muito que o processo tenha avançado, ainda teremos infinitas vezes x > a 2 • Como todo o número a 1 é menor do que qualquer número- a 2 , existe um número bem determinado a que produz este corte (21 1 ,212 ) do conjunto 9l. e ao qual eu vou chamar o limite superior da variável x que se manterá sempre finito. Da mesma forma, como resultado do comportamento da variável x, é produzido 17

IA terminologia do Autor é sugestiva de uma função real continua x

rl'al /, (ll'mpo).I

91

= x(t)

da variável

7. UJNTINUIIJAIJE E NÚMEHOS IHHACIONAIS

------------------------

.. ·········-····---

um segundo corte (~ 1 , ~ 2 ) do conjunto Vl; um número {-J2 , (por exemplo, a - ô) está em ~ 2 quando, no decurso do processo, :r; acaba por se tornar 2 (3; todo o outro número {-J2 , a ser colocado em ~ 2 , tem a propriedade de x nunca se tornar 2 /32 ; portanto, x é infinitas vezes < /32 ; ao número /3 que produz este corte chamo limite inferior da variável x. Os dois números a e /3 são obviamente caracterizados pela seguinte propriedade: se E é uma grandeza positiva arbitrariamente pequena, então mais tarde ou mais cedo teremos x < a+ E e x > /3 - E, mas nunca acabaremos por ter x < a - E nem :r > (3 + E. Agora temos dois casos possíveis. Se a e (3 são diferentes um do outro, então teremos necessariamente a > (3, porque é sempre a 2 > (32 ; a variável x oscila e, por _mais que o processo avance, sofre sempre mudanças cuja quantidade ultrapassa o valor (a - /3) - 2E, onde E é uma grandeza positiva arbitrariamente pequena. Mas a suposição inicial contradiz esta consequêm:ia; então resta apenas o segundo caso a = (3, e como já foi mostrado que por muito pequena que seja a grandeza positiva E, teremos sempre finalmente x < a + E e x > (3 - E, resulta que :r: aproxima-se do valor limite a, como se· queria demonstrar. Estes exemplos serão suficientes para exibir a ligação entre o princípio da continuidade e a análise infinitesimal.

8

o QUE

SÃO E PARA QUE SERVEM

os

NÚMEROS?

(Was sind und was sollen die Zahlen?, 1888)

Ad o cx:v0pwrrocr cx.pt0µrrríl,t:L. 48

PREFÁCIO

À l.ª EDIÇÃO

Na ciência, nada susceptível de ser demonstrado deve ser aceíte sem prova. Por muito razoável que esta exigência pareça, ainda não a posso considerar como tendo sido realizada, nem sequer nos mais recentes métodos de estabelecer os fundamentos da ciência mais simples; isto é, aquela parte da lógica que lida com a teoria dos números. 49 Ao falar de 48

49

["A humanidade aritmetiza sempre."] Dos trabalhos que caírà.:n sob o meu olhar menciono o valioso Lehrbuch der_ Arithmetik

und Algebra de E. Schrõder (Leipzig, 1873), que contém a bibliografia do assunto, e, além disso, as memórias de Kronecker e Von Helmholtz sobre o conceito de número e sobre contagem e medição (na colecção de ensaios filosóficos publicados em homenagem a E. Zeller, Leipzig, 1887). O aparecimento destas memórias levou-me a publicar os meus próprios pontos de visla em muitos aspectos semelhantes mas essencialmente diferentes nos fundamentos, que formull'i h.í muilos anos cm absoluta independência dos demais.

8. O QUE SÃO E PARA QUE SEltVEM OS NUMUIOS?

aritmética (álgebra, análise) como parte da lógica quero significar que considero o conceito de número totalmente independente das noções ou intuições do espaço e tempo, e que o considero como sendo um resultado imediato das leis do pensamento. A minha resposta aos problemas aventados no título deste ensaio é, então, resumidamente a seguinte: os números são criações livres da mente humana; eles servem como um meio de apreender mais facilmente e mais distintamente a diferença das coisas. É somente através do processo puramente lógico de construir a ciência dos números, adquirindo deste modo o contínuo numérico que ficamos adequadamente preparados para investigar as nossas noções de espaço e tempo, colocando-as em relação com este domínio numérico criado na nossa mente. 50 Se escrutinarmos de perto o que é feito ao contar um conjunto ou número de coisas, somos levados a considerar a faculdade da mente para relacionar coisas com coisas, para fazer uma coisa corresponder a uma coisa, ou para representar uma coisa por uma coisa, uma faculdade sem a qual nenhum pensamento é possível: Sobre esta única e portanto absolutamente indispensável· fundação, como já afirmei num anúncio deste ensaio,51 deve, no meu juízo, ser estabelecida toda a ciência dos números. O plano de uma tal apresentação tinha sido por mim forjado ainda antes da publicação do meu artigo sobre Continuidade [ver nota 50 abaixo], mas somente após o seu aparecimento, mas com muitas interrupções motivadas por deveres oficiais cada vez maiores e outros trabalhos necessários, consegui entre os anos 1872 e 1878 lançar no papel o primeiro rascunho que vários matemáticos examinaram e parcialmente discutiram comigo. Tem o mesmo título e contém, embora não ordenadas da melhor maneira, todas as ideias fundamentais 50

Ver o §3 da minha memória, CNI (Brunsvique, 1872).

(Ver [17].

Todas as referências

(números de páginas, etc.) .de Dedekind ao trabalho CNI foram relativizadas à tradução portuguesa acima, 11.7) 51 Ver Vorlesungen über Zaklentheorie (Lições sobre a 'Teoria dos NúmC'ros), de Dirichll'! 1211 terceira edição, 1879, §163, nota na pág. 470.

l ll.lJLKINI> L OS NIJMl:l!OS

essenciais do presente ensaio, no qual elas estão elaboradas com mais cuidado. Como exemplos de tais pontos principais menciono aqui a distinção nítida entre finito e infinito (64), a noção de número [Anzahl] de coisas (161), a prova de que a forma de argumento conhecida por indução matemática (ou a inferência de n para n + 1) é realmente conclusiva (59), (60), (80), e que portanto a definição por indução ([recursão, ou recorrência]) é determinada e consistente (126). Esta memória pode ser compreendida por qualquer pessoa que possua o que é usualmente chamado bom senso comum; não são minimamente requeridos conhecimentos filosóficos ou matemáticos. Mas tenho consciência de que muitos leitores dificilmente reconhecerão nas formas sombrias que lhes apresento os seus números que toda a sua vida os acompanharam como amigos fiéis e familiares; ficará assustado pela longa série de inferências simples correspondentes à nossa compreensão passo-a-passo, pela análise factual das cadeias de raciocínio de que as leis dos números dependem, e tornar-se-á impaciente ao ser compelido a seguir provas de verdades que à sua suposta consciência íntima parecem imediatamente evidentes e certas. Pelo contrário, é justamente nesta possibilidade de reduzir tais verdades a outras mais simples, por mais longa e aparentemente artificial que seja a série de inferências, que eu reconheço a prova convincente de que a sua posse ou crença nelas nunca é dada por introspecção, mas é sempre obtid~ somente por uma maior ou menor repetição completa de inferências individuais. Gosto de comparar esta acção do pensamento, tão difícil de rastrear por causa da rapidez do seu desempenho, com a acção que o leitor iniciado executa na leitura; esta leitura consiste sempre na maior ou menor repetição completa dos passos individuais que o. iniciando tem de tomar na sua cansativa explicitação; uma parte muito pequena do mesmo, e portanto um esforço ou exercício muito pequeno da mente é suficiente para o leitor treinado reconhecer a palavra correcta e verdadeira, mas com grande probabilidade, é~ certo; pois, como é bem sabido, até o revisor mais 95

8. O QUE SÃO E PARA QUE SERVEM OS NÚMEHOS?

atento deixa escapar ocasionalmente um erro tipográfico, isto é, lê falsamente, uma coisa que seria impossível se a cadeia de pensamentos associada com o soletrar fosse repetida na totalidade. Portanto, desde o nascimento, continuamente e em medida crescente somos levados a relacionar coisas com coisas e assim utilizar a faculdade da mente de que a criação de números depende; mas por esta prática que ocorre continuamente, embora sem objectivo definido, nos nossos primeiros anos e depois pela formação continuada de juízos e cadeias de raciocínio, adquirimos um manancial de verdades aritméticas reais às quais se referem mais tarde os nossos primeiros professores como sendo algo simples, auto-evidente, dado na consciência interior; e assim acontece que_ muitas noções muito complicadas (como por exemplo a de número [AnzahlJ de coisas) são erradamente encaradas como simples. Neste sentido, que desejo exprimir pela palavra formada segundo o célebre ditado "A humanidade aritmetiza sempre", espero que as páginas seguintes, enquanto tentativa para estabelecer a ciência dos números sobre uma fundação uniforme encontre uma recepção generosa e que outros m~temáticos sejam levados a reduzir a longa série de inferências a proporções mais moderadas e atractivas. De acordo com o objectivo desta memória restrinjo-me à consideração da chamada série dos números naturais. De que maneira a extensão gradual do conceito de número, a criação do zero, dos números negativos, fraccionários, irracionais e complexos deve ser realizada por redução a noções anteriores sem a introdução de concepções estranhas (tais como as de magnitudes mensuráveis, que do meu ponto de vista podem adquirir clareza perfeita somente através da ciência dos números), pelo menos para os números irracionais na minha memória anterior sobre Continuidade (1872) 52 ; de uma maneira completamente análoga, no §3 daquela memória,53 mostrei como as outras extensões podem ser tratadas, e pretendo · 52 53

(Ver Nota 50.) Páginas 77 e seguintes de CN/.

IIUll:KINll 1: OS NIIMUUJS

dentro de algum tempo apresentar todo este assunto de maneira sistemática. Precisamente, deste ponto de vista aparece como algo auto-evidente, sem nada de novo,• que todo o teorema de álgebra e análise superior, por mais remoto que seja, pode ser expresso como um teorema acerca dos números naturais, - uma afirmação que ouvi repetidamente dos lábios de Dirichlet. Mas não vejo nada de meritório - e isto estava igualmente longe do pensamento de Dirichlet - em realmente executar este cansativo circunlóquio e insistir no uso e reconhecimento dos números racionais apenas. Pelo contrário, os avanços maiores e mais férteis na matemática e outras ciências têm sido invariavelmente realizados mediante a criação e introdução de novos conceitos, tornados necessários pela ocorrência frequente de fenómenos complexos que só com grande dificuldade podiam ser controlados pelas velhas noções. Sobre este assunto dei uma conferência à faculdade de professores de filosofia no verão de 1854, por ocasião da minha admissão como privatdozent em Gotinga. O assunto desta conferência teve a aprovação de Gauss; mas não é aqui o lugar para entrar em mais pormenores a este respeito. Em vez disso, tomarei a oportunidade para tecer algumas observações sobre o meu trabalho anterior, acima mencionado, sobre Continuidade e números irracionais. A teoria dos números irracionais aí apresentada, delineada no Outono 1853, é baseada no fenómeno (§4)54 que ocorre no domínio dos números racionais que designei pelo termo corte [Schnitt] e que. fui o primeiro a investigar cuidadosamente; ele culmina na prova de continuidade do novo domínio dos números reais (§5, IV.). 55 Parece-me ser um pouco mais simples, diria mais fácil, do que as duas teorias, diferentes dela e entre si, que foram propostas por Weierstrass e G. Cantor, e que igualmente são perfeitamente rigorosas. Ela foi desde então adaptada sem modificação essencial por U. Dini no seu Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa, 51 "5

Páginas 80 e seguintes de CNI. Página llli dl' CN/.

97

8. O QUE SÃO 1.: PARA QIJI: Sl:l{Vl:M OS NIIMl.l!OS?

1878); mas o facto de no decurso desta exposição o meu nome ser mencionado, não na descrição do fenómeno puramente aritmético do corte, mas quando o autor discute a existência de uma quantidade mensurável correspondente ao corte, pode levar facilmente à suposição de que a minha teoria assenta na consideração de tais quantidades. Nada estaria mais longe da verdade; aliás, no §4 daquele artigo 56 apresentei várias razões pelas quais rejeitei de todo a introdução de quantidades mel).suráveis; de facto, no final do artigo assinalei, com respeito à sua existência, que para a grande parte da ciência do espaço a continuidade das suas configurações nem é uma condição necessária, para além do facto de que em trabalhos de geometria aritmética só ser casualmente mencionada por nome mas nunca ser claramente definida e, portanto, não poder ser empregue em demonstrações. Para explicar este assunto de maneira mais clara observo o seguinte exemplo: Se escolhermos três pontos não colineares A, B, C ao arbítrio, com a única limitação de que as razões das distâ~cias AB, AC, BC são números algébricos, 57 e encararmos como existentes no espaço somente aqueles pontos M, tais que_as razões de A..l\.-1, BM, CM para AB são semelhantemente númer~s algébricos, então o espaço constituído pelos pontos M, como é fácil de ver, é descontínuo em toda a parte; mas apesar de esta discontinuidade,. e apesar da existência de falhas neste espaço, todas as construções que ocorrem nos Elementos de Euclides podem, tanto quanto me apercebo, ser efectuadas tal como se o espaço fosse perfeitamente contínuo; a discontinuidade deste espaço não seria notada na ciência de Euclides, não seria notada de todo. Se alguém dissesse que não podemos conceber o espaço senão como contínuo, ousaria duvidar e chamar a sua atenção para o facto de ser necessário. um refinado e avançado treino científico para perceber claramente a essência da continuidade e compreender que além das relações quantitativas racionais, também são concebíveis as irracionais, e além. 56

57

Páginas 86 e seguintes de Continuidade. Dirichlet [21], §159 da 2. 1 edição, §160 da terceira.

98

I111I1.~INIJ 1. ()~ NIJMLl!ll\

das algébricas, também as transcendentes. E tanto mais maravilhoso me parece que, sem qualquer noção de quantidades mensuráveis e simplesmente por um conjunto finito de passos de pensamento, o homem consiga avançar até à criação do domínio numérico contínuo puro; e só por este meio, na minha opinião, é-lhe possível tornar clara e definida a noção de espaço contínuo. A mesma teoria de números irracionais fundada no fenómeno dos cortes é estabelecida na Introduction à la théorie des fonctions cfune variable por J. Tannery (Paris, 1886). Se bem compreendo uma passagem no prefácio deste trabalho, o autor pensou a sua teoria independentemente, isto é, numa altura em que não apenas o meu artigo mas também o Fondamenti de Dini mencionado no mesmo prefácio lhe eram desconhecidos. Esta concordância pareceme uma prova gratificante de que a minha concepção está conforme com a natureza do assunto, um facto que é reconhecido por outros matemáticos, por exemplo, por Pasch no seu Einleitung em die Differential-und Integral-rechnung [Introdução ao Cálculo. Dife.rencial e Integral] (Leipzig, 1883). Mas não posso concordar totalmente com Tannery quando ele chama à sua teoria o desenvolvimento de uma ideia devida a J. Bertrand e contida no seu Traité cfarithmétique, consistindo nisto de um número irracional ser definido pela especificação de todos os números racionais que são menores e todos aqueles que são maiores do que o número a ser definido. No que concerne esta afirmação que é repetida por Stolz -· aparentemente sem investigação cuidadosa - no prefácio à segunda parte do seu Vorlesungen über allgemeine Arithmetik [Lições sobre Aritmética Geral] (Leipzig, 1885), ouso observar o seguinte: que um número irrà~ional seja considerado como determinado pela especificação descrita acima, era uma convicção partilhada certamente muito antes do tempo de Bertrand por todos os matemáticos que se preocupavam com a noção de irracional. Exactamente esta maneira de o determinar é o que está na mente de todo o calculador que calcula a raiz irracional de uma equação por aproximação, e se, como Bertrand 99

8. O QUE SÃO E PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS!

faz exclusivamente no seu livro, (a oitava edição, de 1885, está perante os meus olhos) encaramos um número irracional como uma razão de duas quantidades mensuráveis, então esta maneira de o determinar já está estabelecida da maneira mais clara possível na célebre definição que Euclides fornece da igualdade de duas razões (Elementos, V.5). Esta mesma convicção muito antiga tem sido a fonte da minha teoria bem como da de Bertrand e de muitas outras tentativas mais ou menos completas para assentar na aritmética os fundamentos para a introdução dos números irracionais. Mas embora estejamos bastante em acordo com Tannery, todavia após um exame fino não podemos deixar de observar que a apresentação de Bertrand, em que o fenómeno do corte na_ sua pureza lógica nem sequer é mencionado, não tem semelhança alguma com a minha, na medida em que depende logo da existência de uma quantidade mensurável, uma noção que por razões acima mencionadas rejeito totalmente. À parte este facto, este método de apresentação parece também apresentar falhas tão essenciais na sequência de definições e provas, que são baseadas no postulado desta existência, que ainq.a .considero a afirmação feita no meu artigo (§6.), 58 de que o teorema J2 x y'3 = y'6 não tinha sido estritamente demonstrado em lado algum, como justificada com respeito também a este trabalho, tão excelente em muitos outros aspectos e de que não tinha conhecimento naquela época.

R. Dedekind Harzburgo, 5 de Outubro, 1887

PREFÁCIO

À

SEGUNDA

EDIÇÃO

A presente memória enfrentou críticas favoráveis e desfavoráveis pouco tempo após .o seu aparecimento; na realidade foi acusada· de falhas graves. Não tenho conseguido convencer-me da justeza 58

Páginas 87 e seguintes de Continuidade.

100

llU>l.~INll 1.

m

NllMI.HO~

destas críticas, e apresento agora uma nova edição da memória, que tem estado esgotada há algum tempo, sem qualquer modificação, acrescentando apenas as seguintes notas ao primeiro prefácio. A propriedade que utilizei na definição de conjunto infinito tinha sido assinalada anteriormente ao aparecimento do meu artigo por G. Cantor (Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelle's Journal, Vol. 84, 1878), e também por Bolzano (Paradoxien des Unendlichen, §20, 1851). Mas nenhum destes autores tentou utilizar esta propriedade para a definição do infinito e estabelecer sobre estas fundações com rigor lógico a ciência dos números, e justamente nisto consiste o conteúdo do meu laborioso trabalho que em todas as partes essenciais tinha completado vários anos antes do aparecimento da memória de Cantor e numa altura em que ainda desconhecia até de nome a memória de Bolzano. Para benefício de todos aqueles que estão interessados e compreendem as dificuldades inerentes a tal investigação, acrescento a seguinte observação. Podemos estabelecer uma definição totalmente diferente de finito e infinito, que parece ainda mais simples visto que a noção de aplicação similar [Abbildung] nem sequer é . assumida, a saber: Um conjunto S diz-se finito quando existe uma aplicação de S em S (36) de tal maneira que nenhuma parte própria (6) de S é transformada em si própria; no caso contrário S chama-se um conjunto infinito. 59 59

(Por exemplo, cada segmento Zn é finito neste sentido: basta pensar na permutação

circular

J = ( 1~ ::: 1).

Devemos ter em atenção, em muitos enunciados; que Dedekind não

admite a existência do conjunto vazio, como se verá no texto mais adiante [final de· (2), p. 105]. A relação entre esta definição de conjunto flnito e aquela que é utilizada no texto [Definição (64)], entre outras coisas, foi investigada em profundidade por A. Tarski no extenso artigo [70]. No §7, 'Jàrski prova que as duas definições são equivalentes, mas a prova de que a primeira (64) implica a segunda utiliza o Axioma da Escolha. Investigações posteriores mostraram que esta utilizaç.io do Axioma da Escolha é necessária.)

IOJ

li. O ()Ili: SAO 1. l'AIIA ()Ili ~I IIVI.M o~ NIIMl.110~1

Tentemos agora erigir o nosso edifício sobre estas novas fundações! Cedo enfrentaremos sérias dificuldades, e creio poder justificadamente dizer que a prova de concordância perfeita desta definição com a anterior somente pode ser obtida (e então facilmente) quando nos permitimos assumir a progressão dos números naturais como previamente estabelecida bem como fazermos uso das considerações finais em (131); e, todavia, nada é dito sobre isto quer numa definição quer na outra! Daqui podemos inferir como é grande o número de passos de raciocínio que é necessário para uma tal remodelação da definição. 60 Cerca de um ano após a publicação da minha memória tomei conhecimento dos Grundlagen der Arithmetik [35) de G. Frege, que já tinham aparecido no ano de 1884. Por muito diferente que seja o ponto de vista sobre a essência do número adoptada naquele trabalho, ele contém, particnlarmente do §79 cm diante, pontos de contacto muito próximos do meu trahalho, especialmente com a minha definição (44). Esta concordância não t), por certo, fácil de descobrir por causa da forma diferente de exprct,süo; mas a s·egurança com que o autor fala da inferência lógica de n para n t 1 (p. 93 no livro de Frege) [§9, 137 em baixo) mostra daranwnlc que ele está de acordo comigo neste terreno. Entretanto, os Vorlesungen über die Algebra der Logik [Lições de Álgebra da /,ógica) de E. Schrüder foram quase completados (1890189161). É impossível aprofundar mais aqui sobre a importância deste trabalho extremamente sugestivo, ao qual presto o mais alto tributo; apenas confesso que apesar da observação feita na p. 253 da Parte I, decidi manter os meus símbolos um pouco desajeitados (8) e (17); não pretendo que eles sejam universalmente adoptados, apenas que se. prestem à utilização que lhes dou neste trabalho de aritmética, para 60

(Cavallés [10], p. 143 oh_serva que Dedekind lentou, !'m vão, realizar !'sh• projecto, que-

também demonstraria a equivalência entre as suas duas delini~·fips de rnnjunlo linilo, como prova um manuscrito incluído em 119(. Ver lamhí·m l larl 14211 61 [Schrõder faleceu rm 1902. O :1. 0 volume foi puhlirado !'m 190:i.j

102

111.111.~INII 1: OS NIIMIJ!OS

o que me parece serem melhor adaptados do que os símbolos de soma e produto.

R. Dedekind Harzburgo, 24 de Agosto, 1893.

PREFÁCIO

À TERCEIRA EmçÃo

Quando me pediram, aproximadamente há oito anos, para substituir a segunda edição deste trabalho (que já estava esgotado) por uma terceira, tive reservas em fazê-lo, porque entretanto tinham surgido dúvidas sobre a fiabilidade [Sicherheit] de importantes fundamentos da minha concepção. Ainda hoje não subestimo a importância, e em certa medida a correcção destas dúvidas. Mas a minha confiança na harmonia interna da nossa lógica não é abalada em consequência disso; acredito que uma investigação rigorosa do poder [Schõpferkraft] da mente para criar a partir de determinados elementos um novo elemento igualmente bem determinado, o seu conjunto, que é necessariamente diferente de cada um destes elementos, levará certamente a uma formulação não objectável dos fundamentos do meu trabalho. 62 Mas outras tarefas impedem-me de completar uma tal investigação;· assim, peço a vossa complacência por o trabalho aparecer agora pela terceira 62

(Dedekind está a referir-se aos problemas com os fundamentos da teoria intuitiva dos

conjuntos de Cantor e a versão subjacente à "grande lógica" (= lógica + teoria dos conjuntos) de Frege, motivados pela descoberta, na viragem do século, de alguns paradoxos ou antinomias, como o Paradoxo de Russell de 1902 (do "conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si próprios"). Entretanto, E. Zermelo axiomatizara a teoria dos conjuntos em 1908, bloqueando aparentemente os paradoxos conhecidos, mas não deixando de levarítar aquele outro problema que liderou as principais investigações metamatemáticas, por Hilbert e a sua escola em Gotinga, nas primeiras décadas do séc. XX, o problema da consistência ou nãocontradição dos sistemas formais. ºfodavia, tudo o que Dedekind faz pode ser representado na teoria axiomática de Zermelo e, tanto quanto se sabe, não é mais problemático do que esta do ponto cJp visla ela consistência.)

103

li. O ()UI: SÃO J: l'AHA ()Ili. SIJIVJ:M OS NIÍMIJU)S?

vez sem modificações - o que pode ser justificado pelo facto de o interesse nele não ter ainda desaparecido, como mostram os pedidos persistentes a esse respeito.

R. Dedekind Brunsvique, 30 de Setembro de 1911

§1. CONJUNTOS E SEUS ELEMENTOS

1. No que segue, entendo por coisa ou ente [Ding] todo o objecto do nosso pensamento. Para poder falar convenientemente dos entes, designamo-los por símbolos, por exemplo, letras, e aventamos falar do ente a ou simplesmente de a quando queremos referir o ente designado por a e não a 'própria letra a. Um ente é completamente determinado por tudo quanto possa ser afirmado ou pensado a seu respeito. Um ente a é o mesmo que b (idêntico a b), e b é o mesmo que a, quando tudo o que possa ser pensado de a também pode ser pensado de b, e tudo quanto é verdadeiro de a também o é de b [e vice-versa]. O facto de a e b serem símbolos ou nomes para uni mesmo ente é indicado pela notação a = b, e também por b = a. Se, além disso, b = e, isto é, tanto e como a são símbolos para o ente designado por b, então a = e. Se a mencionada coincidência do ente designado por a com o ente designado por b não tiver lugar, então os entes a, b dizem-se diferentes; a é outro ente que não b, b é outro que não a; alguma propriedade de um não é partilhada pelo outro. 2. Acontece frequentemente que diferentes entes a, b, e, . . . podem, por alguma razão, serem considerados de um mesmo ponto de vista, serem associados na mente, e dizemos que eles formam um sistema [conjunto, daqui em. diante] S; os entes a, b, e, ... são chamados os elementos do conjunto S, eles pertencem a S [ou estão em S]; inversa~ente, S consiste de ou contém estes elementos [e podemos 104

111.1>1 klNII L li~ NIIMI l!IJ~

escrever a,, /J, r·, ... E 8, e 8 = {a, b, e, ... }]. Um tal conjunto S (um agregado, uma multiplicidade, uma totalidade), como objecto do nosso pensamento, é igualmente .um ente (1) 63 ; S é completamente determinado quando, para cada ente, está bem determinado se ele é ou não elemento de 8. 64 O conjunto S é, por conseguinte, o mesmo que o conjunto T, em símbolos S = T, quando todo o elemento de S é também elemento de T, e todo o elemento de T é também elemento de S. A fim de conseguir uniformidade de expressão é vantajoso incluir também o caso especial de um conjunto S que consiste de um único (um e um só) elemento a, isto é, o ente a pertence a S, mas nenhum ente diferente de a pertence a S [e podemos escrever S = {a}]. Por outro lado, devido a certas razões pretendemos excluir completamente aqui o conjunto vazio, que não contém nenhum elemento, embora possa ser apropriado noutras investigações imaginar um tal conjunto. 3. Definição. Um conjunto A diz-se uma parte [ou um subconjunto] de um conjunto S quando todo o elemento de A é também elemento de 8. Como esta relação entre um conjunto A e um conjunto Socorre muito frequentemente no que segue, exprimo-a abreviadamente pelo símbolo A Ç S, ou por S 2 A. 65 Por falta de melhor palavra, direi por 63

(Este é um passo fundament~l na concepção abstracta dos conjuntos: de umâ penada,

obtemos um universo povoado de entes que são conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos .... ) 64 A maneira como é realizada esta determinação, e se conhecemos uma maneira de o decidir, é matéria de indiférença para tudo o que segue; as leis gerais a desenvolver não dependem disto de nenhuma maneira; elas são válidas em todas as circunstâncias.

Digo

isto expressamente porque, não há muito tempo, Kronecker (Crefle's Journal, Vol. 99, 334336) tentou impor certas limitações sobre a formação livre de conceitos em matemática, que eu não acredito serem justificados; mas não parece ser oportuno entrar neste as.sunto com mais pormenor enquanto os distintos matemáticos não publicarem as suas razões para a necessidade ou simples utilidade de tais limitações. 65 (Dedekind escreve "A 3 S" (em vez de "A Ç S") e diz que evitará a expressão sinónima

"8 é. A", mas usa o mesmo símbolo "3" para designar a relação de pertença. A necessidade de distinguir (rnnrPplual e notacionalmente) pertença e inclusão estava sendo considerada na

105

8. O QUE SÃO E PARA QUE SERVEM OS NUMl:l!OS?

vezes que S contém todo o A para exprimir que entre os elementos de S se encontram os elementos de A. Como, além disso, todo o elemento s de um conjunto S pode, por (2), ser ele próprio encarado como um conjunto, podemos daqui em diante empregar a notação s 3 S. 66 4. Teorema. A Ç A, por (3). 5. Teorema. Se A Ç B e B Ç A, então A= B. A prova resulta de (3), (2). 6. Definição. Um conjunto A diz-se uma parte própria de S, quando A é parte de S, mas diferente de S [e escrevemos A e S, ou S ::J A]. De acordo com (5), S não é, então, parte de A, isto é, existe em S um elemento que não E A. 7. Teorema. Se A Ç B e B Ç C, o que abreviadamente se pode escrever A Ç B Ç C, então A Ç C, e A é certamente uma parte própria de C se A é uma parte própria de B ou B é uma parte própria . de C. A prova resulta de (3), (6). 8. Definição. O conjunto união dos conjuntos A, B, C, ... (que será designado por U{A, B, e, ... }, ou por A u B u eu ... ) é o conjunto cujos elementos são determina~os pela prescrição seguinte: um ente é considerado como elemento de LJ{A, B, C, ... } se e só se é elemento de algum dos conjuntos A, B, C, ... , isto é, quando pertence a A, ou B, ou C, ... .67 Inclui-se também o caso em que um só conjunto A é dado; então é óbvio que LJ{ A} = A. Observese, além disso, que o conjunto LJ{ A, B, C, ... } composto a partir de época, nomeadamente por Frege e Peano, bem como pelo próprio Dedekind, como se mostra em Sinaceur [65]. Evitaremos sistematicamente aquela ambiguidade notacional.] 66 (Primeiro, não é implicado por (2) que cada ente seja um conjunto, mas apenas que cada conjunto seja um ente. Segundo, atendendo ao significado anteriormente atribuído ao seu "s 3 S" (isto é, ao nosso s Ç S) parece-nos que estaria aqui uma fonte evitável de ambiguidades e embaraços.] 67 (Dedekind designa a união dos conjuntos A, B, C, ... por !m(A, R, C, ... ) é composta a partir destes conjuntos.]

106

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