De La Logica Del Niño A La Logica Del Adolescente

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Barbel Inhelder Jean Piaget

DE LA LÓGICA DEL NIÑO A LA LÓGICA DEL ADOLESCENTE Ensayo sobre la construcción de las estructuras operatorias formales

PAIDÓS Barcelona Buenos Aires México

Título original: D e la logique de l ’enfant á la logique de l ’adolescent Publicado en francés por Presses Universitaires de France, París Traducción de María Teresa Cevasco

1.a edición, 1985 2.a reimpresión, 1996

© 1955, Presses Universitaires de France © de todas las ediciones en castellano, Ediciones Paidós Ibérica, S.A., Mariano Cubí, 92 - 08021 Barcelona y Editorial Paidós, SAICF, Defensa, 599 - Buenos Aires ISBN: 84-7509-176-8 Depósito legal: B-23/1996 Impreso en Hurope, S. L., Recaredo, 2 - 08005 Barcelona Impreso en España - Printed in Spain

IN D IC E

Págs. P refacio

............ ........................................ .. ......................... .. .. .. ................. .. ......................................................

9

P R IM E R A P A R T E LA C O N S T IT U C IO N

D E L A L O G IC A D E LA S P R O P O S IC IO N E S

C a p ítu lo

I.

La igualdad de los ángulos d e incidencia y d e reflexión y las operaciones de im plicación recíproca .............................................................. .....................................

15

1. E l estadio I ( 1 6 ) . 2. E l estadio II (n iv e le s I I A y I I B ) ( 1 7 ) . 3. E l estadio formal (n iv eles I I I A y I I I B ) ( 2 0 ) . 4. C onclusión: Pasaje de la correspondencia (con creta) a la im plicación recíproca (fo rm a l) ( 2 4 ) . II.

La flotación de los cuerpos y la elim inación de las contradicciones . . . . I. Estadio I ( 2 9 ) . 2¡ Subestadio I I A ( 3 4 ) . tadio III ( 4 0 ) .

III.

28

3. N iv e l II B ( 3 7 ) . 4. Es­

La flexibilidad y las operaciones que intervienen en la disociación de los factores ...................... ................................................................................................................

49

1. Estadio I ( 5 0 ) . 2. Estadio I I A ( 5 1 ) . 3. Subestadio I I B ( 5 3 ) . 4. N iv e l I I I A ( 5 7 ) . 5. N iv e l II IB ( 6 0 ) . 6. Las igualdades por com­ pensación d e factores ( 6 2 ) , IV .

Las oscilaciones

del p éndulo y las operaciones de exclusión

....................

66

1. Estadio I: Indiferenciación entre las acciones d el sujeto y lo s m ovi­ m ientos d el p én d u lo ( 6 6 ) . 2. Estadio II: Seriaciones y correspondencias pero sin disociación de los factores ( 6 7 ) . 3 . Subestadio III A : Disocia­ ción posible pero n o espontánea ( 6 9 ) . 4. Subestadio H IB : La disociación de los factores y la exclusión de las relaciones inoperantes ( 7 1 ) . V.

La caída de los cuerpos sobre u n plano inclinado y las operaciones de disyunción ................................................................ ................................................................ 1. Estadio I: Intuición global sin lectura operatoria de la experiencia ( 7 6 ) . 2. Estadio II: Ensayos d e correspondencias operatorias y exclusión ordina­ ria d el peso ( 7 8 ) . 3. Estadio III: Com pensaciones necesarias entre la inclin ación y la distancia ( I I I A ) , lu ego descubrim iento de la altura com o factor ú n ico O IX B ) ( 8 1 ) .

76

P ágs. V I.

P a p e l d e la im a n ta c ió n in v is ib le y la s d ieciséis o p e ra c io n e s p ro p o s ic io n a le s b in a r ia s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

1. E s ta d io I : D is y u n c io n e s y e x c lu sio n e s p re o p e ra to ria s ( 8 6 ) . 2 . S u b ­ e s ta d io I I A : C o m ie n z o d e la s d is y u n c io n e s y e x c lu sio n e s c o n c r e ta s ( 8 8 ) . 3 . S u b e s ta d io I I B : L a e x c lu s ió n c o n c r e ta d e l p e s o ( 9 1 ) . 4 . E s ta d io I I I : D is y u n c io n e s y e x c lu s io n e s p ro p o s ic io n a le s ( 9 2 ) .

S E G Ü N D A PARTE L O S E S Q U E M A S O P E R A T O R IO S D E L A L O G IC A F O R M A L VII.

Com binaciones d e cuerpos quím icos incoloros o coloreados

..........

97

1. Estadio I: A sociaciones empíricas -y explicaciones precausales ( 9 8 ) . 2. Subestadio II A : M ultiplicación d e los factores por “G ” ( 9 9 ) . 3. Sub­ estadio II B : O peraciones m ultiplicativas con com ienzos em píricos d e com­ binaciones « a r a ( 1 0 2 ) . 4 . Subestadio III A : Formación d e las com bina­ cion es sistemáticas n a n ( 1 0 4 ) . 5. Subestadio I I IB : Equilibración del sistem a ( 1 0 7 ) . VIII.

La conservación d el m ovim iento sobre

u n plano horizontal

........

109

1. Estadio I: A u sen cia d e las operaciones necesarias para u n a lectura ob­ jetiva de la experiencia y explicaciones contradictorias ( 1 1 0 ) . 2 . Sub­ estadio II A: In ten tos de elim inación de las contradicciones y corrección después de experim entar ( 1 1 1 ) . 3. Subestadio I I B: C om ien zo de inver­ sión del problem a e n la dirección de las causas de la dism in ución de velocidad ( 1 1 2 ) . 4 . Subestadio III A : Inversión explícita d el problema d e l m ovim iento durante la experiencia (1 1 2 ). 5. Subestadio I I I B: Con­ servación d el m ovim iento ( 1 1 4 ) . IX.

L os vasos com unicantes

............................................ ..

117

1. Estadio 1: In diferenciación entre las acciones del sujeto y las transfor­ m aciones d el objeto y ausencia de reciprocidad ( 1 1 9 ) . 2 . Subestadio H A : T raducción de las acciones en operaciones objetivas y descubrim iento de las relaciones de altura ( 1 2 0 ) . 3. Subestadio I I B : Igualdad fin al d e los n iveles del líquido pero ausencia d e explicación ( 1 2 1 ) . 4. Subestadio III A : C om ienzos de explicación y estructuración formal ( 1 2 3 ) . 5. Sub­ estadio I I IB : G eneralización formal d e los conocim ientos adquiridos ( 1 2 6 ) . 6 . La noción de equilibrio y. e l grupo de las 4 transformaciones interproposicionales IN R C ( 1 2 6 ) . X.

E l equilibrio de la prensa hidráulica ........................... ............................. 1. Estadio I: Incom prensión d el papel del peso (Subestadio I A ) , luego com prensión global sin seriaciones n i correspondencias operatorias ( 1 3 1 ) . 2 . Subestadio II A : Seriación exacta de los pesos y correspondencia co­ rrecta con los n iveles ( 1 3 3 ) . 3. Subestadio I I B : Inicios in tu itivos de la n oción d e resistencia ( 1 3 5 ) . 4. Estadio III: La reciprocidad de la acción y d e la reacción ( 1 3 6 ) . 5. C on clu sión : Los razonam ientos d el Estadio III y e l esquem a operatorio form al d el equilibrio ( 1 3 9 ) .

130

í k d i o ;s

7 JPágs.

X I.

E l equilibrio de 1a. balanza

142

1. Estadio I: Indiferenciación entre la acción' propia y el proceso exterior ( I A ) ; luego articulación d e las intuiciones en la dirección de la com pen­ sación de los pesos ( I B ) ( 1 4 2 ) . 2. Subestadio I I A : Operaciones con­ cretas sobre los pesos o las distancias pero sin coordinación sistemática entre ellos ( 1 4 5 ) . 3. Subestadio H B : Correspondencia inversa de los pesos y las distancias ( 1 4 7 ) . 4. Estadio III: Descubrim iento ■y expli­ cación de la ley ( 1 4 9 ) . 5. E l esquem a de las proporciones y e l grupo

IN R C (152), X II.

La tracción de u n peso sobre u n plan o inclinado

156

1. Estadio I: Indiferenciación entre la propia acción y los procesos ob­ jetivos ( 1 5 6 ) . 2. Subestadio II A : D eterm inación d el papel d e lo s pesos sin coordinación operatoria con las inclinaciones ( 1 5 7 ) . 3. Subestadio I I B : Descubrim iento del p ap el general de la inclinación y com ienzos de la noción dé trabajo ( 1 5 8 ) . 4. Subestadio III A: Coordinación cuali­ tativa de los tres factores pero sin la proporción en fun ción de la s altu­ ras ( 1 6 2 ) . 5. Subestadio I I I B : D escubrim iento de la le y ( 1 6 5 ) . La proyección

X III.

de

sombras

169

1. Estadio I I : D escubrim iento del pap el dé los tamaños ( I I A ) luego d e las distancias ( I I B ) ( 1 7 0 ) . 2. Estadio III: Proporcionalidad de la correspondencia ( I I I A ); lu ego generalización v explicación de la ley ( I I I B ) (1 7 2 ). X IV .

Fuerza centrífuga y com pensaciones

............

178

I. Estadio I: Interpretaciones preoperatorias ( 1 7 9 ) . 2. Subestadio I I A: Correspondencias parciales ( 1 7 9 ) . 3. Subestadio I I B: C om ienzos de la com pensación concreta ( 1 8 1 ) . 4. Estadio III: Disociación espontánea de los factores y com pensación por proporcionalidad ( 1 8 3 ) . 5. Propor­ ciones y com pensación ( 1 8 5 ) . XV.

Las dispersiones probables y I.

Las dispersiones probables

las correlaciones .......... .. ............................................... ....................................

190 190

1. Estadio I: N i conservación n i ley de dispersión ( 1 9 1 ) . 2. Es­ tadio I I : Reacciones probabilísticas difusas ( I I A ); lu ego determ inación de una zona d e dispersión ( I I B ) ( 1 9 2 ) . 3. Estadio I I I : Explica­ ción de la dispersión y determ inación de la le y con fluctuaciones fortuitas ( 1 9 4 ) . II.

Las correlaciones .......................................................................................................... 4. N iv e l III A : La interpretación probabilística d e las frecuencias consideradas d e m odo aislado p eto sin establecim iento de relación entre los casos ( a -(- d ) y los casos (b - f o ) ( 1 9 9 ) . 5. Subestadio IIIB : R elación espontánea entre los casos favorables (« -)- á ) y los casos des­ favorables (b -)- c ) y con el conjunto de los casos posibles (2 0 3 ).

197

TERCERA PAR TE LAS E S T R U C T U R A S D E C O N JU N T O D E L P E N S A M IE N T O FO R M AL Págs. X V I.

E l pensam iento form al desde el p u n to de vista d el equilibrio

.............

209

1. E l pensam iento preoperatorio ( o in tu itiv o ). E l pensam iento operatorio concreto y e l pensam iento form al ( 2 0 9 ) . 2. Lo real y lo posible en el pensam iento form al ( 2 1 7 ) . 3. E l problem a de las estructuras ( 2 2 6 ) . X V II.

L a s estructuras concretas y las estructuras form ales

................................

231

1. Las agrupaciones d el pensam iento concreto ( 2 3 1 ) , 2. Pasaje de las operaciones concretas de clases y relaciones a las operaciones interproposicionales ( 2 3 6 ) . 3. E l sistema de las 16 operaciones binarias ( 2 4 7 ) . 4. L a puesta en funcionam iento del sistem a de las 16 operaciones bina­ rias y la naturaleza d el razonam iento form al ( 2 5 5 ) . 5 . Los esquem as ope­ ratorios con estructura formal ( 2 5 9 ) . 6. La estructura de conjunto de las operaciones form ales en tanto forma d e equilibrio fin a l de las opera­ cion es m entales ( 2 7 7 ) . X V III.

E l pensam iento del adolescente ...........................................................................

281

PREFACIO El doble título de esta obra no corresponde simplemente a una nueva forma de colaboración entre sus autores o a un deseo de distinguir sus respectivos aportes a la obra común: se debe a la dualidad de los proble­ mas formulados que, por otra parte, n o afectó en absoluto la unidad final de las conclusiones. Existe una breve historia que creemos útil referir aquí, pues propor­ ciona u n buen ejemplo de la convergencia, hay posible, en el dominio del análisis operatorio ( operatoire) de la inteligencia, entre el método experimental y el método deductivo' cuando éste se funda en un algo­ ritmo preciso. M ientras u n o de los autores se hallaba momentáneamente apartado de sus tareas experimentales por la redacción de u n a Epistemología gené­ tica, u n Tratado de lógica y u n Ensayo acerca de las transformaciones de las operaciones lógicas —estas dos últimas obras destinadas a proporcionar una representación simbólica posible de los procesos reales del pensa­ miento— , el otro abordaba con sus asistentes un estudio sistemático acerca de la inducción de las leyes físicas en el niño y en el adolescente. Ahora bien, este estudio genético de la inducción experimental des­ embocó en dos resultados inesperados. E n primer lugar, se halló que el estadio de desarrollo que se inicia cerca de los 11-12 años, que siempre encontramos en nuestros estudios anteriores, no sólo constituía u n nivel de culminación respecto del estadio de 7 a 11 años (estadio de elaboración de las operaciones concretas del pensamiento del n iñ o ), sino que representaba además un período de for­ mación que culm inaba en una meseta ( palier) de equilibrio alrededor de los 14-15 años. P or consiguiente resultaba posible caracterizar el pensa­ miento del adolescente por la constitución de ciertos métodos de inducción experimental y, sobre todo, de verificación sistemática desconocidas para el niño. E n segundo lugar, estos métodos de descubrimiento y prueba expe­ rimentales propios del adolescente en contraste con el niño, se mostraron solidarios con toda una nueva estructuración operatoria, fundada sobre la lógica de las proposiciones y. sobre u n pensamiento ‘‘formal” distinto del pensamiento operatorio “concreto” de los 7 a 11 años (pues este último sólo requiere ciertas operaciones de la lógica de las clases y las relaciones).

En este punto intervino el segundo autor por las razones que seña­ lamos a continuación y que ilustran de modo adecuado la convergencia de la que hablábamos más atrás entre los resultados de la experiencia y los de la deducción. En efecto, se descubrió que para analizar estas estructuras operatorias de conjunto propias deí pensamiento' formal del adolescente, era necesario, emplear, no sólo los algoritmos de la lógica de las proposiciones, por todos conocidos, sino además el grupo de cuatro transformaciones (inversiones y reciprocidades) que uno de nosotros ha­ bía descripto como necesario para el funcionamiento de los mecanismos del pensamiento formal,1 Porque el gran interés de los datos recopilados gracias al estudio del razonamiento experimental en el adolescente reside en que ponen de manifiesto que el pensamiento formal no sólo consis­ te en razonamientos verbales (lógica de las proposiciones), sino que implica la formación de una serie de esquemas operatorios que aparecen sincró­ nicamente: operaciones combinatorias, proporciones, dobles sistemas de referencia, esquema del equilibrio mecánico (igualdad de la acción y reac­ ción), probabilidades multiplicativas, correlaciones, etcétera. Ahora bien, para explicar la formación simultánea de estos esquemas operatorios y de la lógica de las proposiciones, es indispensable recurrir no sólo a ¡as operaciones particulares de la lógica de las proposiciones, sino también, y sobre todo, a las “estructuras" de conjunto que los fundan, esto es, precisamente a la doble estructura del reticulado y del grupo de cuatro transformaciones (grupo de Klein o Vierergruppe, que uno de nosotros ha analizado a propósito de las transformaciones de las operaciones pro­ posicionales. En resum en, mientras uno de los dos autores de esta obra estudiaba el pasaje de la lógica del niño a la del adolescente, principalmente desde el punto de vista del razonamiento experimental, el otro elaboraba los instrumentos de análisis logístico que permitirían la interpretación de los resultados así obtenidos. Sólo a posteriori — se nos crea o se dude de] valor de esta declaración—, esto es, en el momento de las comparaciones de conjunto y de las interpretaciones finales, los autores del presente estudia se percataron de la convergencia notable que se imponía entre los hechos recogidos por uno de ellos y los mecanismos formales anali­ zados por el otro, lo que los llevó a colaborar juntos una vez más, pero de u n modo nuevo, para la realización acabada de esta obra. H ay algo más. Las estructuras operacionales de la lógica del adoles­ cente no sólo son interesantes en sí mismas. Proyectan además, y de modo retroactivo, una clara luz sobre el conjunto de las estructuras ante­ riores características de la lógica concreta del niño. E n efecto, las únicas operaciones lógicas de las que el niño es capaz en el nivel del pensamiento concreto consisten en “agrupaciones elementales” de clases y relaciones, 1 V éase Piaget, Traite ¿le logique (París, C olín, 1 9 4 9 ), págs. 264-286 y sobre todo i-ssai sur les transformnlions des opcrailons logiqv.es (P arís, Presses O niversitaires de France, 1962), cap, 2,

fundadas unas sobre una primera forma de reversibilidad que puede lla­ marse inversión (negación) y otras sobre una segunda forma de reversi­ bilidad: la reciprocidad. Pero, no existe, en el nivel de las operaciones concretas de clases y relaciones, una estructura de conjunto general que fusione en un sistema único las transformaciones por inversión y las transformaciones por reciprocidad. El grupo de las cuatro transformacio­ nes que es propio de la lógica proposicional del adolescente (inversión; reciprocidad; inversión de la recíproca o reciprocación de la inversa; trans­ formación idéntica) muestra, por el contrario, de qué modo las dos for­ mas de la reversibilidad operatoria terminan por coordinarse en un sistema único, mientras que la combinatoria propia de los reticulados de proposi­ ciones se constituye gracias a una generalización de la clasificación. En otros términos, la doble estructura que caracteriza al pensamiento formal aparece claramente como el producto de coordinaciones que alcanzan una meseta de equilibrio final (lo cual no excluye en absoluto las nuevas integraciones y superaciones continuas propias del pensamiento adulto). Por ello, el análisis de los mecanismos formales es indispensable para la plena consecución de una teoría operatoria de la inteligencia que se había propuesto interpretar, paso a paso, las construcciones sucesivas y jerárqui­ cas del pensamiento a lo largo de su desarrollo. Por otra parte, para asegurar mejor la unidad de los dos objetivos perseguidos en esta obra — descripción de los diferentes pasajes de la ló­ gica del niño a la del adolescente y descripción de las estructuras formales que marcan la culminación del desarrollo operatorio de la inteligencia—, los autores trabajaron en colaboración para que quedase asegurada la unidad de redacción de este volumen. Cada uno de los capítulos del 1 al 15 (prim era y segunda partes) incluye una parte experimental, obra del prim er autor y un breve análisis final, obra del segundo, destinada a despejar las estructuras proposicionales o formales que intervienen res­ pectivamente en cada caso particular.2 Los capítulos 16 y 17 (comienzo de la tercera parte) pertenecen al segundo autor, mientras que el capí­ tulo 18 se escribió conjuntamente. En cuanto a los problemas específicos de la inducción experimental enfocados desde el punto de vista del fun­ cionamiento del pensamiento (e n oposición a las presentes investigaciones estructurales) constituirán el tema de una obra especial del primer autor.3 B. I. y J. P.

Para e l simbolismo de las operaciones proposicionales em pleado en las par­ tes finales de estos capítulos y en el capítulo 17, véase Piaget, Traite de logique CParís, C olín, 1 9 4 9 ), cap. 5. 3 Esta segunda obra contendrá en particular una descripción más detallada d e Jas técnicas de Jas experiencias y u n cierto núm ero de figuras explicativas.

p r im e r a

p a rte

LA C O N S T IT U C IO N DE LA LOGICA D E LAS PR O PO SIC IO N E S

El primer problema que hay que resolver para explicar el pasaje del pensamiento concreto del niño al pensamiento formal del adolescente, es explicar cómo se elabora la lógica de las proposiciones, lógica de la que el niño del nivel concreto (nivel II: de 7-8 a 11-12 años) se muestra aún incapaz. La experiencia muestra que, después de un largo período durante el cual sólo se utilizan las operaciones propias de las agrupaciones de clases y relaciones, y de las estructuras numéricas y espaciotempótales que de ellos resultan, los comienzos dei nivel III (subestadio III A de 11-12 a 14-15 años y subestadio III B a partir de los 14-15 años) están marca­ dos por la organización de operaciones nuevas que afectan a las proposi­ ciones mismas y no ya solamente a las clases y relaciones que constituyen su contenido. Para estudiar el problema que presenta esta elaboración, hay que analizar de qué modo se las ingenian los niños o adolescentes del nivel III para resolver problemas que aparentem ente sólo son concretos pero que la experiencia indica que su solución sólo se encuentra en este nivel III y que supone en realidad el empleo de las operaciones interproposicionales. La primera parte, de 1a. presente obra se consagrará a este análisis.

LA IGUALDAD DE LOS A N G U LO S DE IN C ID E N C IA Y D E REFLEXIO N y las operaciones de implicación recíproca 1

El objetivo de esta investigación, como por otra parte de todas aque­ llas que constituirán esta primera parte, no reside en estudiar la forma­ ción operatoria de las nociones en cuestión. En efecto, ya conocemos la construcción de la noción de ángulo y sabemos que queda adquirida ya en el nivel de las operaciones concretas (nivel II) . 2 Sin embargo, el hecho de que esta noción le sea conocida desde mucho tiempo antes en el nivel de las operaciones formales es precisamente el que hace que resulte ins­ tructiva la manera como el niño de este estadio III razona paia descu­ brir la igualdad entre los ángulos de incidencia y reflexión. Uno de los objetivos de este estudio es el de intentar aislar los mecanismos operato­ rios que entran en juego en u n razonamiento formal, cuando este razo­ namiento se refiere a nociones ya elaboradas en el nivel concreto. El dispositivo experimental consiste en una especie de juego de billar, en el que un propulsor tubular (de resorte) que puede desplazarse en di­ recciones variables alrededor de u n punto fijo impulsa a las bolas. Se lanza la bola contra una pared de proyección3 y de este modo rebota en el interior del campo de juego. Se coloca un muñequíto o una placa de tope en diferentes puntos sucesivos y se les solicita a los sujetos que apunten hacia ellos. Cum plido esto, cuentan lo que observaron. Ahora bien, la igualdad entre los ángulos de incidencia y los de reflexión sólo se descubre e n el nivelIII A ( 1 1 - 1 2 a 14 años) y, en muchos casos, sólo se la formula en el nivel III B (14-15 años). Se tra­ ta, pues, de comprender por qué sólo se emplea tan tardíamente u n a no­ ción m uy familiar desde los 7-9 años, como es la. de la igualdad entre 1 Con la colaboración d e H , AeBB, L . Müller y M , Golay-Barraud. 2 V éase Píaget, Inhelder y S íem ín slía, La géowétrie spontmée de l'enfánt, cap. V IH y Piüffet e Inhelder, La représentation de Ves-pace chez l’miftmt, cap. XII. 3

C o n u n ü . p a r e d d e r e b o te d e g o m a .

dos ángulos, para la inducción, de u n a ley elemental y, sobre todo, pot qué para este empleo* son necesarias las operaciones formales. Esto es lo que indagaremos desandando brevemente el camino recorrido antes del ingreso en el nivel formal y. examinándolo luego más profundamente,

| 1. EL ESTADIO I D urante el estadio I (basta los 7-8 años) la atención de los sujetos se concentra ante todo en el buen o mal resultado práctico, sin tomar en cuenta el mecanismo e incluso dejando a m enudo de lado la inter­ vención de los rebotes, Resulta entonces que, por lo general, no conci­ ben la trayectoria de la bola como u n a trayectoria formada por segmentos rectilíneos, salvo al final del estadio, sino que la piensan, como si descri­ biera u n a especie de curva: D an ( 5 ; 2 ) al com ienzo acierta: "Creo que funciona porque va en el mismo sentido." E l m ism o ajusta e l tubo qu.e sirve para im pulsar la bola pero opera m ed íante tanteos empíricos. L uego pregunta espontáneam ente: "¿Por qué a veces hay que hacer girar el tu b o ? ... No, allí hay que colocarlo ( n o acierta). Si se pudiera colocar u n poco ■ mas le jo s ..." ( l o hace y acierta). S in embargo, aunque D a n con sigu e así dirigir la dirección de sus rebotes, n o tien e conciencia alguna de q u e éstos form an ángulos: describe con el dedo la trayectoria como si fuera una curva no tangente a la pared de rebote, considerando el p u n to de llegada y e l d e partida pero sin ocuparse de los puntos d e rebote.

W ir t ( 5 ;5 ) : "Salió por allí y se fu e por allí. . . Seguro que voy a poder", etcétera.

D e tanto en. tanto acierta, pero con el dedo describe la s trayectorias única­

m ente con una forma curvilínea que no toca las paredes d el dispositivo; sólo ocupa d e los p u n tos d e llegad a como si

se

n o hubiera rebotes.

N an ( 5 ;5 ) se asombra p or el contrario ante el rodeo de la bola q u e com ienza por tocar las paredes: "Siempre va para allá." Pero n o logra ajustar su tiro: "¡Oh! Siempre va para allá. . . después irá,” P it ( 5 ; 5 ) observa, a propósito d e u n o d e sus tiros (q u e , por otra parte, fa lla ): "La hola fu e derechito " (¡c o m o si fu e se u n a excep ción !). ¿Por q u é no acertaste? “Yo creí que le iba a acertar’’ ( n o h a y com p ren sión ). A n t ( 6 ; 6 ) tom a conciencia a la v ez de la existencia de rebotes y d el carácter rectilíneo d e los segm entos d e la trayectoria: "Ella ( la b ola) golpea ahí; luego va

para allá" (señ a la líneas recta s). Per ( 6 ; 6 ) e n cambio, perm anece aún, a pesar de su edad, en la concepción de las trayectorias curvilíneas: "Va allá y da vuelta para otro lado" (gesto de cu rva).

Vemos, pues, en q u é consiste el interés de las reacciones de este estadio: se trata de comportamientos de niños que saben actuar, y a veces obtener lo que se proponen, pero que aún n a logran interiorizar sus acciones en operaciones, ní siquiera concretas. En efecto, una opera-

cíón concreta no sólo es una acción interiorizada que se combina con otras en sistemas de conjunto reversibles: también es, y por ello mismo, una acción acompañada de una toma de conciencia de su propio mecanismo y sus propias coordinaciones. Ahora bien, lo que falta en este nivel son, precisamente, estos diversos caracteres: el sujeto sólo actúa para obtener su objetivo, y no se pregunta acerca de cómo lo logra. Sólo a partir de la finalización del estadio (alrededor de los 6; 6-7 años) toma conciencia del carácter rectilíneo de los segmentos de la trayectoria y de la exis­ tencia de los rebotes; en consecuencia no puede observar la presencia de ángulos en el punto de rebote.

§ 2.

E L E ST A D IO II (N IV E L E S I I A .y I I B )

El nivel II A marca el comienzo de las operaciones concretas en el sentido definido hace u n instante: Vir (7 ; 7 ) acierta después de algunos intentos.

M uestra con e l dedo, lu ego

dibuja trayectorias de dos segm entos rectilíneos y d ice: izquierda, hay que girar ( e l tu b o) a la izquierda

"Para apuntar más a la

T u rf ( 7 ; 1 0 ) : "Sé más o menos adonde va"; en efecto, m uestra co n u n gesto u n rebote de ángulo m uy agudo cuando el tubo se dirige hacia arriba y u n án­ gu lo m u y obtuso cuando se lo baja; de este m odo m anifiesta u n a ción global de la igualdad entre los ángulos de in cid en cia y lo s

especie de in tu i­ ángulos de refle­

x ión , pero, por supuesto, sin explicitar el fen óm en o, ya que n o d ivid e e l ángulo total indicado por e l gesto en dos ángulos iguales.

Bend ( 8 ; 0 ) : "Es la esquina ( e l ángulo descripto por el reb ote) lo que hace girar: se cambia el contorno ( la m agnitud d el á n g u lo ) cuando se cambia el tubo ( = la inclinación d e l tu b o ).” Com o e l sujeto anterior, ín d ica u n ángulo m uy agudo cuando el tubo está poco in clin ado y u n án gu lo m uy obtuso cuando e l tubo tien e u n a fuerte in clin ación. S e le pregunta a q u é llam a contorno y n o s señala la apertura d el ángulo, con u n

gesto q u e in d ica que p ien sa en la generación

del

á ngulo por la rotación progresiva del tubo y por la am plitud creciente del rebote así producido.

Des! ( 8 ; 2 ) : "La bola sube siempre más arriba cuando el tubo está más arriba", "La bola irá allí ( m á s le jo s ) porque el tubo está -más inclinado: coloco hacia arriba con los ojos C— lo c a liz o e l p u n t o d e r e b o t e ) y luego la goma ( = l a b a n d a d e g o m a p e g a d a s o b re la p a r e d d e r e b o te ) miro los redondeles ( e s to es, la s p la c a s d e

lu e g o :

c o n ta c to q u e s irv e n c o m o o b je tiv o ) .'’

En el nivel II B, las operaciones precedentes que engendran la re­ presentación de las rectas y los ángulos van acompañadas de una coordi­ nación cada vez más precisa entre la inclinación del tubo y la linca de reflexión:

N ic (9 ;4 ): “Hay que desplazar el tubo siguiendo el lugar de la placa (d e l o b je tiv o ): la bola debe formar una línea oblicua con la placa."

Kar (9 ;ó ): “Cuanto más dirijo el tubo en este sentido ( a la izquierda, es decir orientado hacia arriba) la bola vendrá más así (á n g u lo m uy ag u d o) y cuanto más lo coloco así (in clin a d o hacia la derecha) la bola irá más así (á n g u lo obtuso c r e c ie n te ).” Kar in clu so llega a descubrir que la bola v u elv e a su p u n to d e partida cu an d o e l tubo está "totalmente derecho", es decir, perpendicular a la pared de rebote.

Baer (9 ;6 ): ¿Cóm o lo explicas? “Porque debe estar a la misma distancia de la placa (m uestra e l án gu lo que se abre al alejarse la placa de contacto, y no la lo n g itu d de los trayectos entre e l tubo y e l punto d e rebote o entre éste y la placa de contacto)."

ü l m (9 ;8 ): “Cuanto más se empuja él tubo hacia arriba, la bola va cada vez más así (án gu lo p e q u eñ o ) y cuanto más se lo empuja hacia abajo, vasiempre más así (á n gu lo gran d e)." Explícam e mejor lo q u e ves. “Veo además esto ( e l ob­ je tiv o ), y nada más, porque gira junto con el tubo (_— porque la dirección del trayecto com prendido entre e l punto d e rebote y el objetivo se desplaza con la d el tu b o }-”

D om ( 9 ; 9 ) : “Golpea allí, luego va allá (m uestra ángulos igu ales repitiendo la fórm u la para diferentes in clinaciones del tu b o ).”

Observamos, pues, que ■estos sujetos logran aislar todos los elementos necesarios para el descubrimiento de la ley de la igualdad de los ángulos de incidencia y de reflexión y, sin embargo, no logran ni construir esta ley ni, a fortiori, formularla verbalmente. Ello se explica porque, al pro­ ceder mediante simples operaciones concretas de seriaciones y correspon­ dencias entre las inclinaciones de los dos segmentos de trayectorias (antes y después del rebote), no buscan la causa de las correspondencias baila­ das y sólo consideran los segmentos presentes desde el punto de vista de sus direcciones, sin ocurrírseles dividir en dos ángulos iguales (inci­ dencia y reflexión) al ángulo total que estos dos segmentos forman entre sí. Comparados con los sujetos del estadio I, los de los niveles IT A y II B ya no se lim itan únicamente a actuar, sino que interiorizan sus acciones en forma de operaciones de desplazamiento o de ubicación: to­ man, pues, conciencia de que el tubo puede desplazarse según ciertas inclinaciones a partir del hecho de que el trayecto de la bola está com­ puesto por dos segmentos rectilíneos y, sobre todo, a partir de que estos dos segmentos forman entre sí un ángulo (cuyo -vértice superior coincide con el punto de rebote) que varía según las inclinaciones del tubo. En­ tonces logran seriar estas inclinaciones en “más inclinada” o “más a la izquierda”, “más arriba”, etcétera, o en “menos inclinada”, etcétera, lo cual equivale simplemente a traducir en. operaciones coordinadas de se-

riación las acciones más o menos bien seriadas que saben ejecutar a partir de! nivel I. Logran asimismo seriar las inclinaciones o las direcciones de los segmentos de trayectos comprendidos entre el punto de rebote y el objetivo ( ‘‘la bola sube siempre más arriba” o más adelante, la bola “irá allí" o allá, etcétera). Por último, y sobre todo, establecen una corres­ pondencia entre las inclinaciones o direcciones del tubo (y del primer segmento de tra}'ectoria de la bola) y las inclinaciones o direcciones de estos segundos segmentos de. la trayectoria: “cuanto más (inclinado, etcé­ tera) está el tubo, etcétera, tanto más la bola irá (bacía abajo, etcétera)”. Si simbolizamos las inclinaciones crecientes del tubo (y del primer segmento de trayectoria de la bola que sale del tubo) mediante las letras a , /3¡ y , etcétera, y las inclinaciones del segundo segmento de trayectoria (entre el punto de rebote y el objetivo) mediante los signos a ’, (3’, y , etcétera, las operaciones de seriación y correspondencia que los sujetos de este estadio II pueden establecer son las siguientes: 1)

a < y3 < y < . . .

o

d < ¿8' < y < . . .

v 2)

y