Culegere de probleme de analiză funcțională

Citation preview

GULEG[RE

DEPROBLEME DEANALiZA FUNG丁 10NALA

ED:TURA DIDACTiCA s:PEDAGOGICA BUCURESTl… 1981

MrNrsrERuL EDUcATIEI $t

iNvATAulnrulul

Lector dr.EUGEN POPA

￨

GULEGERE

DE PROBLEME DEANALIZA FUNGT10NALA

―

EDITURA DIDACTlc八 51 PEDAGCGICA BUCUREsTl

■

INTRODUCERE

Culegerea de fatユ Cuprinde enunturile,i S01ut五 le la peste 350 de probleme de analizユ functiOnalュ .Aproape toate aceste probleme au fOst discutate in cadrul selllinar五 10r tinute de autor la faculta― tea de matematicユ a Universitユ tii din la,i.

n special studen,1lor din anul IV fこ Se adreseazユ 含

rユ

fFeCVent益

,i anul III Zi,de la facultユ tile dc lnatematicl,care au in programul de invtttこ Illlttnt disciPlina ,′ Analizユ functional嵐 “ 。Culegerea poate fi cOnsultatこ cu folos Pi de cこ tre studentii din anul II de la facul¨

ttttile de matematic嵐

,i fizic嵐 ,precum,i

de la institutde politell_

niCe,i pedagoぎ ce. Problemele sint ttmpユ rtite ttn 9 capitOle,urmttnd structura ma― nualului′ ,Introducere ttn analiza functionalユ

“de profo N. Gheor_

ghiu(Ed.Acad.R.S.R.,Bucure,ti,1974).in functie de dificultate, Cnuntur■ e au fost marcate astfel:A― u,oare,B― mai grelc(aCestea

avmd solut五 integrale),problemele marcate+au,de regulユ locul solutiei,O trimitere bibliograficと

,in

,fiind,n general chestiuni

mai dificile si umlrind acomodarea studentilor Cu parcurgerea altor texte,全 n afara manualului.

Pentru u,urarea consultユ rii, culegerea contine un index de nOtat五 ,i un index tenninologico 12 figuri au fost intercalate ttn text.

De asemenea, un numttr de

Autorul multume,te indeosebi prof.dr.N.Gheorghiu,sub indrumarea cttruia s― au deshttrat maioritatea scminariilor tinute ncuraiユ rile ,i indiCat五 le D― sale au contribuit esential de autor; 全 la e対 stenta aCestei culegeri.De asemenea,conducerea unor semi― 「. Barbu ,i conf・ dr. To Precupanu a ■ar五 la cursurile prOf. dr. ヽ

3

contribuit la,mbunltユ tirea,i全 五bOgこ tirea l∝ 壺五i;a■ ltorul expriml,i pe aceastl cale recllЮ

,tinta sa・

i,i

Di∝ utiile purtate cu

lector dr. S.Frunzユ au contribuit la lmbunttt五 ●rea tl.or enunturi

Oi la eliminarea unor erori.in sfir,it,cele mai sincere multumiri colectivului de analizl matellnatictt din cadml Faculttttii de mate― attsfera creat江 lYlatictt de la Universitatea din la,i, pentn■ ,

AUTORUL

´ ヽヽ ， ．¨

propice lucrului.

7

CUPRINS pag' Etztu,tluti

４ Ｄ ５ ５

Bibliografie

３

Index de notalii Index terminologic

18

24

３

\:Il. Dualitate .. . \rIII. Spalii }trilbert IX. Teorie spectralE

10 12

２

liniare continue

7 d

４５ ７ ”訂 脱︲ ２ 少５ ︲レ鰤

0. Fi.eliminarii

I. Algebrd, Iiniare Si topdogie generald, II. Prelungirea truncfionalelor liniare IlI. Spalii liniare topologice .. IV. Spafi,i local convexo V. Spalii normate VI. Spalii norsrate do a.plicalii

ENUNTURI

0.PRELIMINARH

Dattal珊臨』 嚇 乳t郷 )出 篤躙珊 器 ι ,嘲路l戦 ∈r.xT va fi identificat cu multimea functii10■ ノ:r→ x,asociind fiechrei ∀ι funCtiiノ elementul(バ ι )),cr∈ Xr.lie r o multime Oarecare.Vom numi sim―

bolul lui KrOnecker,i VOm nota i δ t`==1・ §

δ tル

aplicatia definitユ prin:δ .J=O dacユ

Pentru notiunile de topologie generaltt utilizate, recomandユ

グ≠ノ

m cartea

Elelnente de topologie generalユ “ de prof.dr.0.Costinescu[5].Un mare numttr de probleme de topologie generaltt se aflユ reunite in,,Top01ogie gene_ ,′

ralユ

.Probleme“ de O.Costinescu,Co Amihttesei,T.Blrsan[6].Dactt X este

:響 ア 霊衡孟ボ筆盤 T増 :ri槻 Li訛 群χ躍 集鷺詣ぷ χ。 ocX dacユ ∀ε>0,ヨ )一 ノ O)> rよ

in

∈ア.Pentru >一 ε ,∀ χ

7 vecintttate a lui

,astfel lncitノ (χ

o functie oarecare/:X→

乳庸 りぶり だ 騨り訊ち「 券 ycИ

(χ

R,numim suportul luiノ

χげ0≠ 叫・DЖ うに,の eSte刹 mm∝ 五ら

場罵 靭√ 運重絆じ ,賢 RettЪ ざ

柵驀

￨

fi inelul polinoamelor cu coeficientittn C O varietate liniar嵐 ア =χ 。+XO din

subspatiu liniar maximalo Dac嵐 ″ est

鳳色 お雰1用 ゝπЪ }亀 孟 ξ 鳳 :罵 :∬ FttWtt」 盆1群 鑑 胤,電 轟 瑠 ]Im: sllbspath五 面 ar,care conⅢ multimЪ B X dacユ feir胤1■ 1行 ふ 器 喘 multe sPatii liniare,vom presupune cユ ゞ C鞘 `∬ Cttallttt諦 littt∬ 1精 ftttff‖ 策 。 ate consulta ッ Functii COmplexe“ de 翻 ′ :器 翻 N.Boboc[2]. 1冦

⊆

existtt λ >O astfel incit i

4・

:]じ

nt peste acela,i corp de scalari.

￨

a:ょ

Reamintim cl,dacユ

=lim(Sup物 →∞ %>ん 力

),i lim

π }eSte un,ir de numere reale,se noteazユ lim sup χ π= inf χπ=lim(inf易 ).Fieん =(力 1,… ,ん π)∈ Nπ un multi_

"→ ∽

{χ

→∞ %>カ ん

h畿 cM綿 レト れ+… +礼 ジ

盟 γ管讐翌

=洗

dasdor de hnc,eg』 e apt,hte」

・hn民 バ動

…

e pe iecare compact 茄■

Notaliile ;i nofiunile folosite f5,r5. explicalie sint in conformitate cu utilidir:,,Analiz[ funcfional[" de prof. dr. N. Gheorghiu. Singurele exceplii sint: utilizarea notafiei Ker in loc de N, pentru a desemna nucleul unei aplicalii liniare ;i T' in loc de ?*, utilizat in $ 6.23 din manual. Referinfele in interiorul culegerii se dau dup[ cum urmeazl: daci se face trimiterea Ia un exerciliu din acela;i capitol, se menfioneazl numai numlrul exercifiului; dac5" se face trimiterea la un exerciliu din alt capitol, se indici capitolul gi numlrul exerciliului. zarea

hょ

uソ 棚距1晟 酵島 盤子 熙 が野∫ 撻讐曇

aplica:ie liniar益 P五

/:X→

y,astfel ttncl

ち .1詣 守塩 亀 盟ふ i√

aち

・ぷl鷲 驚ぶ凛el」 ° cPiin壁

c={(1『

ι ・ Prelungi ::G→ κ prin ι;(ι ノ)=δ・プ

se arate cユ

Q:

子 }tcr fOrmeazl o multime liniar independentこ

in Xα

3.Fie X spatiu liniar,i χcX・ Definim 9(χ ):X`→ K prin 9(χ )(χ *)= {ι

=χ *(χ ),∀ χt

Xα・ Sl se verifice c1 9(χ )GX・

4,vχ

defini髄 ,`este o aplicatie liniar≒ i inieCt市 ユ ・

∈x,iar

.

9:X→

XCC astfel

⊆X O parte oarecare.Notttnd∠ 0={ノ ∈Xα ノ(α )一

魔 l 潔り ュ I肥 じ 多 5S釘 供 :鮮 塾 1(L讐妥 夢 4.Fic X spatiu liniar,i∠ '」

1漬

subspatiu liniar ttn X.Pentru orice И⊆

iecia」

‰

∬ ガ 雲

l肥

■ 語

L異 よ

ti書 SubSpath h通 L%Se arate cl suト

biieCtie, care cOnservl ordinea ttntre

subspatiile lui x′ Xl,i Subspatiile lui x,care coniin Xl・

b)Sl Se arate ctt intersectia tuturor subsPatinOr liniare maximale din X eSte{0}.Sユ Se dedu9ユ de aiCi Cこ 9rice subsPatiu liniar din X,diferit de X,

coincide cu interseclia tuturor subsPatii10r liniare maximale,care-l contin.

ξ 亀 勢 鱗鍔纂if煤 鶏縛鮮 II藁 み reglseascユ astfel rezultatele din manual,§

1.37.

7.a)Fie X spatiu liniar.Pentru fiecare″ ∈X definim?z:κ → X prin

o Sl se arate ctt 9α (λ )=λ χ X,i ttα (K,X)・

χ→ 9。 este un izomorfism de spat五

liniare,全 ntre

(r,X)(VOm nOta xO=Xπ l① X). 8.Fie X spatiu liniar,Xl,X2⊆ X SubsPatil liniare.Dacユ X3=X:,

b)Sユ

Se arate cユ Xπ este izomorf cu Zα

atunciス r.==x2・

血9:LttXl ①X"η 七 にp聡 ① '急 五 :S臀 , ①∴ ￨」 il,崎 unde 7｀ )=r(χ ,o),i r2(χ ) F亀 r(o,χ (昇

1(χ

si Se arate c1 9 este aplicatie liniar五 teze inversa. =二

)。

,i bijectiv嵐 . Sl se explici―

10。 Fie X spatiu liniar,∠ ,B⊆ X douこ mulぃ mi COnvexe,nevide,i dis― iunCte,sl se arate cユ existtt C,D⊆ X,multimi cOnvexe oi disiuncte,astfel 金 nclt И ⊆ C,B⊆ ∪ D・

D,iX=θ

8

11.Fie X,y spat五 liniare de dimensiune algebrictt finitユ ;{ι l,・・ ,ι ■ 0 ・ ln X;{/1,… ,ノ %}O baZユ algebrictt in y,iar α ー 1,ぁ cK(グ じ ノ

baztt algebricユ

ノー1,0,Stt definim r:X→ =を

(を

%毛

)ノ

・→ ノ

Y astfel:dacユ

χ=Σン・ ι ,atunci ι-1

Sl Se VeHice cユ r este o aメ icale五 darユ .D

rχ

=

Recつ roCづ

1鳳 纂tWter鳳 ふ ン ∫ TttC■ 盤 誌 塩:T也 慶就 , r,i楊 ′ ∫ :l::留

pologie pe X. Pentru fiecare

χc X

se arate ch slnt inde―

重 点 ″

.じ 1,り [ ・(0.(χ =お)Se nume,te )。

χ,m topologia T). 13.Fie X multime ne宙 dュ ,isユ presupunem datユ ,pentru fiecare χc Xリ O multime de pユ rti ale lui X,■ otatこ の (κ ),aVind prOprietユ tile α)_ε )de la ex.12.Notttm:τ ′={0}∪ {D⊆ XI∀ χ∈D,DCc(χ )}・ Sユ Se verifice sistemul vecintttユ ti10r lui

ctt

τv eSte o topologie pe X.

14.Fie X O multime nevid嵐

,i

τo tOpologie pe X.Fie cr(χ )multimea de

plrti ale lui X,definittt la ex.12;fie T7 tOpOlogia asociatユ

cu cr,ca nn ex。 13.

a) Sl Se arate cユ τ== τ7.

b)Fie X O multime nevid嵐 ,i stt presupunem datユ ,pentru fiecare χ∈X,0

multilne dc Pユrti C (χ )ale lui X,cu proprietユ tile α )_ε )Ca in ex.12. Fie T7 tOpOlogia definittt in ex。 13.Sユ se verifice cユ o(χ )=Oτ ′ cX. (χ ),∀ χ 15.Fie X O multime ne宙 dユ ,i,pentru fiecare χ∈X,o multime a(→ ′ dc Pttti ale lui x,a宙nd Prop五 ettttile:α ′ )研 (χ )≠ 0, ∀χ∈X.β )び ∈ ′ ∈α (χ )⇒ χ∈び・ γ)び 1, び2Ca(χ )⇒ ョ鴫 ∈c(χ ), 全 nCttt 鴫 ⊆ び1∩ び2. ′ δ )U∈ 税 (χ )⇒ ヨア∈C(χ )inctt Vノ ∈/ヨ TT/∈ 7(,ぅ ,Cu 7r/⊆ び.sユ se arate cl,Pentru fiecare χ∈X,e対 stl o multime de pユ rti ale lui X,c(χ ), unic determinati de conditi■ e:一 au loc Proprietttile

α )一 C)din eX.12.一 7.(a(χ )se

一 α (χ )⊆ C(χ ),Vχ ∈X.一 v7∈ c(χ )ヨ び ∈Q(χ )incttt C/r⊆ nume"e sisteln・ fulldamental de vecinユ tttti ale punct■llui χ .)

16.a)Fie X o multime,iτ ={0,X}(tOp010gia grOsier益 ).Sユ Se de_ monstreze cl sittFurele multimi inchise sint O,iX;金 nCl■ iderea Oricユ rei muト ,imi ne宙 de este X;interiorul oricユ rei multimi diferite de X este vid,Orice

′ ,ir COnverge la orice punct;∀ χcX,c(χ )={X},oriCare ar fi(y,τ )un :y→ x o functie,ノ este continuユ ;Orice parte a lui X Spatill tOpologic,iノ este quasi― compac髄 ;dacユ

X are mai mult decit un punct,(X,τ )nu este

separat. cこ

￨

()(tOp010gia discretl).Sl Se demonstreze b)Fieジ (O mnultillne,iτ 一 : orice multilne este ttnchisl; singurele ,Iuri cOnvergente sint ,irurile `D(ジ

constante,de la lln anumit rang;∀ χ∈X,c(χ )={ア ⊆ X,χ ∈ア}este sistemul vecin■ t4■Or punctului χ;∀ χ∈X,c(χ )={{4}eSte un sistem fundamental de vecinltttti ale lui%;oricare ar fi(y,τ ′ )Spatiu tOpologic,i r:X→ y functie,ノ eSte cOntinu嵐 ,o multime din χ este compactユ dacこ ,i numai dacユ este finitユ ;(X,τ )eSte separat Hausdorff.

=

17.Fie(X,p)un sPatiu metric compact,{χ π }un,ir din X・ Notind Fπ ci familia {F"} are interseclia nevid[. Deci

:{,{n+r, ,cn*2,...}, s5. se arate

F,, existS. un subgir {r,*} convergent la r. ". A 18. Fie {(Xr, o familie de spalii topologice. Notlm G mullimea acelor pixliAS il"r)}li, Xo, de forma A:17,4u, unde Are ri, iar multimea

pentru fiecare

i:I

{ie I I Ar4X,} este finit[. Sl pentru o topologie pe X:fI

Xu

i.el

G este o bazl. de mullimi deschise, (numitl topologia produs). S5.se arate c5.

verifice

se

c5.

proiecliile pr,: (X, .) --- (Xi,".u; ,irrt continue. c este cea mai pulin fin5. topologie pe X, pentru care toate proiecliile sint continue. 19. Cu notaliile din ex. 18, (X, c) este compact daci gi numai daci fiecare (Xr, este compact (teorema lui Tihonov). "o)Fie A c R" o multime deschisS.. Dacl. d, este distanta euclidianS. si 20. Kn:{x e Xld.(x,0) q z, 'd.(x,C A) >- r1}, s[ se arate c5.: 1) K* este compact, Vn eN. 2) A: l) K". zeN

o

3) Koc Kr*r.

4) YK c .4 compact, ln, incit K

cu, compacte pentru A).

- K""({K") se numegte

21. a) Fie{(X", p")}".x spalii metrice. S5. se arate cu topologia produs (conform ex. 18) este metrizabil,

*

p((x,),(y")):DZ-" b) si

1

?n(x* )_ ^ (.

jn)

ci II

exkawstiwne

Xn irzestrat

iar J'Letric5.

este:

_.

^, \

." #:r't" ce Il'ki"lr#'irmplet

d.ac;.

;i numai dac5. fiecare x,

este complet.

II.PRELUNGIREA FUNCT10NALELOR LINIARE Alo Sユ

se verifice ctt

πeste o functionaltt COnvextt pe ψ(χ )=liln Sup χ

SPatiul%,dar nu este nici seminOrmユ ,nici functionaltt liniarこ

.

.Dac沈 {0}Spatiu liniar,c bazこ algebricHn X,iar 90⊆ り ねrφ レ)一 Σ lλ ,￨,Sl Se vernce cこ φeste SemmOrmユ pe

A2.Fie X≠

χ=Σ λ t亀

xり `謹 te normユ A&→

dac■ il訛 hai

Re X Sp4m h面

ど ,φ

dacと

Sm慧

の0=り 。

面

i∝ Cl mtthea

皿 ll:∫ ∫ 管 Ker φ一{χ ∈Xlφ (χ )=0}este SubsI, → :X′ R+prin Ker φ b)Dacと definim φ φ(χ tt Kerφ )=夕 (χ ),Sと Se arate 。 Cユ タeSte O nOrmユ pe X′ Ker ψ

c)Folosind cele de mai sus,stt se arate cl orice selnino...1沈 neidentic pe]R este norml.

nulユ

10

A4.Fie ψ :R→

dacl χ >0. sと

R definittt prin φ(χ )=β χ dach χ