Coss. [2] Kommentarband 3815420261

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A D A M

R I E S

C oß Herausgegeben und kommentiert von W olfgang Kaunzner, Regensburg, und Hans Wußing, Leipzig

m B. G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart • Leipzig 1992

A utor der Kapitel 6 .-1 1 .: Prof. Dr. W olfg a n g Kaünzner, Regensburg. Transliteration ausgewählter Textstellen aus der »C o ß «: Archivrat H elga Reich, Leipzig. Bildredaktion: Peter R ochhaus, Annaberg-Buchholz. Buchgestaltung: Peter M auksch, Leipzig.

Gedruckt mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft.

D ie Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Riese, A dam : Coss / A dam Ries. Hrsg, und kom m entiert v on W olfg a n g Kaünzner und Hans W ussing. - Stuttgart ; Leipzig : Teubner. (Teubner-Archiv zur M athematik : S u pp lem en t; 5) ISBN 3-8154-2026-1 NE: Kaünzner, W olfg a n g [Hrsg.] ; Teubner-A rchiv zur M athematik / Supplement [Kommentar-Bd.]. - 1992 TEU BN ER-ARCH IV zur M athematik • Supplem ent 3 Das W erk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimm ung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, M ikroverfilm ungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. (6) B. G. T eubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1992 Printed in Germ any Satz und Druck: IN TE RD RU CK Leipzig Gm bH

A DA M RIES ( 1 4 9 2 - 1 5 5 9 )

Der Mathematiker Adam Ries war sowohl im deutschsprachigen Raum als auch darüber hinaus als Rechenmeister und Verfasser von Rechenbüchern bekannt, die weite Verbreitung fanden. Ries hat zudem cossische Handschriften hinterlassen, die im 17. Jahrhundert unter dem Titel »Coß« von einem Mathematiker namens Martin Kupffer zusammengebunden wurden und damit der Nachwelt erhalten geblieben sind. Diese Coß, obwohl eigenhändig von Ries geschrieben, ist bisher nie vollständig gedruckt worden. Nur so läßt es sich erklären, weshalb Ries nicht als Cossist bekannt geworden ist, obwohl er zu den herausragenden Vertretern der Deutschen Coß gehört. Die hier im Kommentarband vorliegende ausgezeichnete Analyse der Schriften von Ries, wie sie von Professor Dr. W olfgang Kaunzner (Regensburg) und Professor Dr. Hans Wußing (Leipzig) vorgenommen wurde, zeigt dies in aller Deutlichkeit. Der Druck der »Coß« von Ries - aus Anlaß seines 500. Geburtstages - wird dem Cossisten Adam Ries endlich historische Gerechtigkeit zuteü werden lassen.

Professor Dr. Wüliam R. Shea (Montreal) Präsident der Internationalen Union für Geschichte und Philosophie der Wissenschaften, Abteilung Geschichte der Wissenschaften

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VORWORT

Vor einem halben Jahrtausend - 1492 - wurde Adam Ries geboren. Im deutschsprachigen Raum ist sein Ruf als »Rechenmeister des deut­ schen Volkes« geradezu legendär. Seine Re­ chenbücher sind mehr als anderthalb Jahrhun­ derte gedruckt bzw. nachgedruckt worden und blieben Grundlage des Rechenunterrichtes. Noch heute wird die Richtigkeit einer Rech­ nung mit dem Ausspruch bekräftigt: »Das macht nach Adam Ries ...« Trotz dieser Popularität ist Adam Ries in sei­ ner Bedeutung als Cossist, als Vertreter der frü­ hen Algebra, kaum bekannt geworden. Er hat in der ersten Hälfte des lö.Jh. cossische Schrif­ ten verfaßt, die er jedoch nicht zum Druck brin­ gen konnte. Im 17. Jh. wurden sie, zusammen mit anderen Aufzeichnungen von Ries, unter dem Titel »Coß« zusammengebunden; diese Sammelhandschrift von Ries’ eigener Hand umfaßt 554 Seiten. Das kostbare Dokument ist erhalten geblieben. Auf verschlungenen histori­ schen Wegen kehrte die Handschrift an ihren Entstehungs ort Annab erg im Erzgebirge zu­ rück und wird jetzt im Erzgebirgsmuseum von Annab erg-Buchholz aufbewahrt. Die »Coß« wurde im 19. Jh. wiederentdeckt, konnte damals aber nur in Auszügen bekannt gemacht werden. Durch das Entgegenkommen des Erzgebirgsmuseums und durch die verlege­ rische Initiative des Teubner-Verlages in Leip­

zig wird aus Anlaß des 500. Geburtstages von Adam Ries diese seine »Coß« der Öffentlichkeit erstmals im Druck zugänglich: zum Gedenken an Adam Ries, der nicht nur als Rechenmeister, sondern auch als Cossist eine herausragende Gestalt der Kulturgeschichte der Mathematik darstellt. Dies zeigt sich auch bei dem von ihm geschriebenen Kodex C549 der Sächsischen Landesbibliothek Dresden, einem Band von etwa 150 Blättern. J Der aufrichtige Dank der Herausgeber für Hilfe, Unterstützung und Beratung geht an die Herren Jörg Nicklaus und Peter Rochhaus vom Erzgebirgsmuseum Annaberg-Buchholz, an den Teubner-Verlag in Leipzig, insbesondere Herrn Jürgen Weiß, an den Graphiker Herrn Peter Mauksch, an die Sächsische Landes­ bibliothek Dresden, die Universitätsbibliothek Göttingen, die Bayerische Staatsbibliothek München, die Staatliche Bibliothek Regens­ burg, die Deutsche Forschungsgemeinschaft, Herrn Prof. Dr.Menso Folkerts in München so­ wie an eine Reihe weiterer Freunde und Kolle­ gen. Die Stadt Staffelstein, der Geburtsort unseres Adam Ries, hat sich in großherziger Weise mit dieser Edition identifiziert. Dem Bürgermeister von Staffelstein, Herrn Reinhard Josef Leutner, danken wir ganz herzlich für sein persönliches Engagement.

Regensburg und Leipzig, Juni 1990 Wolfgang Kaunzner • Hans Wußing

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I NHALT

B IO G R A P H IS C H E S ZU A D A M RIES / 9 / 1. Lebensstationen / 9 / 2. Traditionspflege / 20 / 3. Ries und die Mathematik seiner Zeit / 24 / 4. Die Rechenbücher des Adam Ries / 28 / 5. Ries als Cossist / 33 / E I N F Ü H R U N G Z U R » C o ß « V O N A D A M R I E S / 39 / 6. Hinweise und Erläuterungen für den Leser / 39 / 7. Inhalt der »Coß«, unmittelbare Quellen und Paralleltexte / 40 / 7.1. Allgemeines / 40 / 7.2. »Coß« / 43 / 7.3. Aufgeführte Kodizes / 44 / 7.4. Über einige Merkmale in der »Coß« und in den Paralleltexten / 49 / 7.5. Zusammenfassung / 52 / 8. Münz- und Maßumrechnungen sowie Fachausdrücke / 52 / K O M M EN TAR ZUR »Coß« / 55/

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9. Coß 1 / 5 5 / 9.1. Vorwort von Adam Ries aus dem Jahre 1524 / 55 / 9.2. Einleitung in die Arithmetik / 56 / 9.3. Theorie der algebraischen Gleichungen / 60 / 9.4. Textaufgaben / 63 / 10. Coß 2 / 80 / 10.1. Vorwort und allgemeine Erläuterungen / 80 / 10.2. Einführende Algorithmen und Rechenvorschriften / 82 / 10.3. Theorie der algebraischen Gleichungen / 86 / 10.4. Textaufgaben / 87 / 11. Die »Data« des Jordanus Nemorarius / 92 / 11.1. Allgemeines / 92 / 11.2. Die »Data« des Jordanus Nemorarius in der Bearbeitung von Adam Ries / 93 / TR A N SLITE R A TIO N A U SG E W Ä H LTE R TE XTSTE LLEN A U S D E R » C o ß « / 101 /

Ü B E R E I N I G E Z I E L E D E R W E I T E R E N A D A M R I E S F O R S C H U N G / 126 / N A C H W O R T / 1277

G R U S S W O R T / 128/

A N H A N G / 129/ Literatur / 129 / Bildnachweis / 133 / Personenverzeichnis / 133 / Sachverzeichnis / 134 /

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Abb. 1. E igenhändige Unterschrift »A dam Riß bürger auf sanct A nnenberg« unter dem Bittgesuch an Kaiser Karl V, 1550 (H of- und Staatsarchiv W ien)

BI OGRAPHI SCHES ZU A D A M RIES HANS W U SSIN G

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1. L E B E N S S T A T I O N E N Nach viereinhalb Jahrhunderten ist der Name Adam Ries* noch immer fest im Gedächtnis der Menschen im deutschsprachigen Raum Euro­ pas. Aber auch außerhalb dieses historischen Kulturkreises, sogar in Ubersee, verbinden sich mit diesem Namen Vorstellungen über einen Mann, der dem Volk das Rechnen gelehrt hat. Bei dieser weltweiten Popularität unseres Adam Ries ist es erstaunlich zu erfahren, daß die durch Quellen belegbaren und somit gesi­ cherten Aussagen über sein Leben relativ spär­ lich sind, und dies, obwohl schon seit dem 19. Jh. mit großer Energie und viel Scharfsinn den Spuren seines Lebens nachgegangen wird. Der Annaberger Gymnasialprofessor Bruno Beriet (1825-1892) darf als Begründer der Adam-Ries-Forschung gelten; auf ihn geht letzt­ lich auch die Wiederauffindung der »Coß«-Handschrift von Ries zurück (vgl. Kapi­ tel 5. und 7.). Im 20. Jh. haben sich insbesondere das Ehepaar Fritz Deubner (1873-1960) und Hildegard Deubner (1891-1972) (Abb.2), Willy Roch (1893-1977), Walter Schellhas (1897-1988) und Kurt Vogel (1888-1985) be­

* Im süddeutschen Sprachraum verwendet man heute vorwiegend den Namen Riese. Über die Frage: Ries oder Riese gibt es zahl­ reiche Forschungen und Publikationen. Die Entscheidung ist ein­ deutig; es muß Ries heißen. Sieht man von Deklinationsformen des Namens Ries ab, wie sie damals üblich waren - z. B. Riesen im Akkusativ so tritt der Nominativ Adam Ries im Titelholz­ schnitt des großen Rechenbuches von Ries auf. Ries seinerseits hat unterschiedlich unterschrieben, zum Beispiel mit Ris, Riß, Riess, Rieß, Rihs. - Auch die Namensform Riese ist urkundlich belegt, beim Kauf (1525) des Hauses in der Johannisgasse in Annaberg. Hier wirkte sich die sächsisch-meißnische Kanzlei­ sprache aus, die dem oberdeutschen Wort die Endung e anfügte. Deshalb sprach und schrieb man Straße und Mühle statt Straß und Mühl, also auch Riese statt Ries. Und da die sächsisch-meiß­ nische Kanzleisprache die Herausbildung der deutschen Natio­ nalsprache stark beeinflußte, setzte sich auch Riese neben Ries durch. Ries entstammte aber dem damaligen oberdeutschen Sprachraum, also ist Ries besser und historisch angemessen [Annaberger Museumsblätter 7,1989].

deutende Verdienste um die Erforschung des Lebens und Wirkens von Adam Ries erworben. Von ihnen stammt eine Fülle lesenswerter Lite­ ratur, die Adam Ries einer breiten Öffentlich­ keit nahe zu bringen suchte. Doch gibt es in der großen Zahl von Veröffentlichungen über Ries nicht wenige Mitteilungen, in denen neben si­ cheren Erkenntnissen auch unbestimmte, nicht nachprüfbare Legenden und Überlieferungen als historische Tatsachen dem Leser angeboten werden. Das Geburtsjahr 1492 unseres Adam Ries darf als gesichert gelten. Trotz aller Bemühun­ gen ist es aber nicht gelungen, Monat und Tag der Geburt bzw. der Taufe herauszufinden; die Quellen lassen keine genaueren Angaben zu. Als sinnfälliges Zeugnis für das Geburtsjahr 1492 wird der Titelholzschnitt seines 1550 er­ schienenen großen Rechenbuches herangezo­ gen, auf dem Ries als im 58. Jahr seines Lebens stehend angegeben wird (Abb. 3). Auch der Geburtsort von Ries, die Stadt Staf­ felstein in Franken, wird unter anderem durch das Titelblatt eines seiner Werke belegt. In sei­ nem ersten Rechenbuch heißt es in der zweiten Auflage von 1525: »Rechnung auf der linihen ||gemacht durch Adam Riesen vonn Staffelsteyn |...«. Auch in der hier vorgelegten »Coß«-Handschrift [»Coß«, S. 1 und S. 2] in der Ankündi­ gung und in der Widmung an Dr. Stortz be­ zeichnet sich Ries als von Staffelstein stam­ mend. Ries fand seine Hauptwirkungsstätte im säch­ sischen Annaberg und verstarb dort 1559; auch hier ist das genaue Datum unbekannt. So eng waren in unkritischer Überlieferung Adam Ries und Annaberg, der Mann und seine Wirkungs­ stätte, miteinander verbunden, daß noch im 19. Jh. gelegentlich Annaberg als Geburtsort an­ gegeben wurde. Die Bezeichnung »vom Staffelsteyn« schien auf einen Titel nach Art eines Adelsprädikates hinzudeuten. Erst Mitte des

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Abb. 2. H ildegard und Fritz Deubner, Aufnahm e um 1959 '________________________________________________ ._______

Abb. 3. Titelholzschnitt des großen Rechenbuches von A dam Ries aus dem Jahre 1550, in dem Ries als im 58. Lebensjahr stehend bezeichnet wird. Dieses Porträt, von dem Nürnberger Kleinmeister Sebald Beham (1500-1550) geschaffen, ist das einzige authentische A bbild des Rechenmeisters und Bergbe­ amten. Natürlich bleibt offen, w iew eit es das wahre Äußere unseres A dam Ries w iedergibt

19. Jh. konnte der wahre Sachverhalt ins öffent­ liche Bewußtsein gehoben werden. Die Stadt Staffelstein war damals einigermaßen über­ rascht, Geburtsort des Adam Ries zu sein, und würdigte 1875 ihren berühmten Sohn durch das Anbringen einer Gedenktafel am Rathaus. Die Stadt Annaberg ihrerseits ehrte ihren welt­ weit bekannten Bürger 1895 mit einem Denk­ mal und mit einer Medaille (Abb. 4, 5, 6). Adam Ries stammte aus einer verhältnismä­ ßig wohlhabenden Familie. Wie Quellen im Staatsarchiv Bamberg ausweisen, besaß der Va­ ter Conntz Ries Häuser, eine Mühle und einen Weinberg. Unser Adam Ries ging aus der zwei­ ten Ehe des Conntz mit einer gewissen Eva her­ vor, deren Mädchenname möglicherweise Kittler (oder Kittle) war. Adam hatte zwei Halbbrüder und eine Halbschwester sowie drei Vollschwestern und einen Bruder namens CoUrad. Von Kindheit und Jugend des Adam Ries ist wenig Sicheres überliefert; der Brand des

Staffelsteiner Rathauses im Jahre 1684 hat mögliche Unterlagen vernichtet. Aus der späte­ ren wissenschaftlichen Tätigkeit wissen wir, daß Ries Latein, die damalige Sprache der Ge­ lehrten, verstand; es ist jedoch völlig unbe­ kannt, welche Schulen Ries besucht hat. Eine verbürgte Nachricht stammt aus dem Jahre 1509. Adam hielt sich in Zwickau auf, zu­ sammen mit seinem Bruder Conrad, der dort die angesehene Lateinschule besuchte. Im Jahre 1517 war Adam Ries in Staffelstein, um Erbschaftsangelegenheiten nach dem Tode des Bruders Conrad zu regeln. Im Jünglingsalter bereits entstanden erste persönliche Beziehungen nach Annaberg. So lernte er in Zwickau einen gewissen Thomas Meiner kennen, der später Ratsherr in Anna­ berg wurde. Möglicherweise war Ries schon 1515 in Annaberg; jedenfalls hat er in jenem Jahr mathematische Aufgaben mit Hans Con­ rad gerechnet, der zu dieser Zeit als Probierer

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Abb. 4. G ipsm odell für das Ries-Denkm al, 1893, R. Henze, in Annab erg-Buchholz

Abb. 5. E inweihung des Adam -Ries-Denkm als in Annaberg, 5. N ovem ber 1893 Abb. 6. Adam -R ies-M edaille. Entwurf R. Henze, 1893, Durchm esser 50 mm, Kupfer

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A bb. 61. Das sogenannte Vermächtnis, mit dem A dam Ries seine zweite C oß seinen Söhnen übergibt (Seite 529 der »C oß « v on 1524) A bb. 65. In Dresden befinden sich zw ei Abschriften der »C o ß « von A dam Ries. W iedergegeben ist das erste Blatt einer C oß, C 461 (Sächsische Landesbibliothek Dresden)

Abb. 62. Eine Seite aus dem Aufgabenteil der »C oß « des A dam Ries (Seite 525 d er »C o ß « von 1524) A bb. 64. Behandlung der Gleichungen ersten und zweiten Grades mit cossischen M ethoden in Anlehnung an die Data des Jordanus Nem orarius durch A dam Ries. Abschrift (Sächsische Landesbibliothek Dresden)

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A bb. 65. Titelblatt der C oß vo n Christoff Rudolff, Straßburg 1525

A bb. 66. Titelblatt der durch M ichael Stifel überarbeiteten und ergänzten C oß v on Christoff Rudolff, Ausschnitt, Königsberg 1553

würdigt Rudolff die »alten meister« und deren Verdienste um die Auffindung von Regeln zur Lösung von Gleichungen. Er wendet sich gegen den Vorwand, die cossischen Regeln seien schwer zu verstehen. Vor allem aber durch »neidische hinterhaltung« seien die Regeln und sogar deren Bezeichnungen weithin ins Verges­ sen geraten: »Als do sein die allernutzbarlichste regeln Algebre |von vnsern eitern zu aufflösung verborg­ ner fragen |so von zal vnnd maß geschehe: reichlich erfunden. Hab ich warlich (angesehen solcher! iren nutz) nit lenger leiden mügen sie in finstemuß zu ligen lassen« [Rudolff 1525, Widmung]. Hübsch ist auch die folgende Passage aus der Vorrede der »Coß« von Rudolff, zeigt sie doch in zeitgenössischen Sprachwendungen das hi­ storische Selbstverständnis der Cossisten und ihr wissenschaftliches Selbstbewußtsein: »Demnach sich die alten höchlich beflissen die zal zu ergründen |haben geschribe ein sub-

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A bb. 67. Titelblatt der Deutschen Arithmetik v on M ichael Stifel, Nürnberg 1545

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v..:c!c Algorithmi des Algebras< um eine Algebra, von der sich vier Handschriften in Göttingen befinden. Die eine D a ta w urde 1902 veröffentlicht, die andere stammt, fein säuber­ 11.2., S. 5 0 7 -5 3 1 : Bearbeitung v on Buch I und drei P ro­ lich geschrieben, v on A dam Ries selbst, die dritte von sei­ positionen aus Buch II der »D ata« des Jordanus N em oranem Sohn Jakob, die vierte vermutlich von seinem Sohn rius. D ie Beispiele sind - nicht im m er w örtlich — entnom ­ Abraham «. Es kann sich hier jed och nur der Reihe nach m e n aus C 80, f. 316r-3 1 8 r, w o f. 316r-3 2 5 v die handeln um die Kodizes Göttingen Philos 30, dann D res­ vollständigen lateinischen »D ata« stehen; bei Proposition den C 349, C 8 und C 405. Das D resdener Manuskript 1-5 in C 80, f. 316r, steht w iederum eine Bem erkung des C 549 w urde als Ries-Autograph dem nach von [Saemann A nnaberger Rechenmeisters. Bis auf 1-18, 1-20, 1-21, 1-19, 1959, S.45] erkannt. Diese Entdeckung w urde jed och der 1-22 ist dort die R eihenfolge die näm liche w ie in der Fachwelt - siehe obiges Zitat v on R och - nicht deutlich »C o ß «; auch die nicht originalen Data-Beispiele 1-17,1-27 genug mitgeteilt, denn w ir lesen: »Eins jed och hat er und 1-29 finden sich in C 80, und zwar auf f. 517r, 317v, (W a p p ler 1887) übersehen od er falsch gedeutet, das w a ­ 318r. W arum bei Ries nur ein kleiner Teil der »D ata« er­ ren die v on A dam Ries oft erwähnten >Algorithmi des Alhalten ist, w eiß man nicht. gebrasAlgebra des Initius Algebras< veröffent­ licht. Dazu verglich er alle vier Handschriften (P hilos 50, C 8, C 349, C 405), richtete sich aber vornehm lich nach 7.3. A U F G E F Ü H R T E K O D I Z E S der im C odex Philos. 50 in Göttingen, die er den Um stän­ den nach für die älteste hielt und mit 1545 datiert fand. M axim ilian Curtze untersuchte die vier Handschriften Göttingen Philos 50, Dresden C 8, C 349 und C 405, die im Leider blieb ihm verborgen, daß C 349 Dresd. schon v or Prinzip ein ähnliches gemeinsam es Textstück enthalten; 1545 und zwar von A dam Riese geschrieben w urde. Diese nach Philos 50 gab er die Algebra des »Initius A lgebras« Erkenntnis drängte sich m ir auf, als ich kurz nacheinan­ heraus [Curtze 1902]. der dieselbe schw ungvolle Schrift in der C oß in M arien­ berg (d ort lag die »C o ß « seinerzeit) und in C 349 in D res­ G öttin gen Philos 30: Papier, 205 Blätter, geschrieben 1545; den sah. Ü ber die Vorlage zu C 349 konnte ich nichts Inhaltsverzeichnis gem äß [Curtze 1902, S. 437 f.]: erfahren. D o ch ist sicher, daß A dam Riese sie schon v or f. l r: »Libri ALG EBRAE sunt octo. 1523 sorgfältig abgeschrieben hat.« Primus de octo equationibus et demonstrationibus eaDies läßt sich w ie folgt erklären: [Beriet 1855, S. V und rundem. Secundus de quantitatibus additis et diminutis XXXI] vermutete die »C oß « v on A dam Ries unter den Be­ seu pregnantibus. Tertius de numeris rationalibus ständen der D resdener Bibliothek, mußte jed och feststel­ comm unicantibus atque surdis trium tractatuum ... O clen, daß der ihm v o n dort übersandte schöne Pergam ent­ tavus de datis absolutis num erorum secundum claves band »Extract der Coss« — es handelt sich w o h l um examinatis«. C 357 - nicht Autograph v o n A dam Ries ist, w eil er dies f. 2r Titel der A bhandlung von f. l v-1 5 0 v: »ALG EB RA E nach dem Auftauchen der »C o ß « n och im näm lichen Jahr Arabis Arithmetici viri Clarissimi Liber ad Y LE M G eoaufgrund der schw ungvollen Schrift des A nnaberger R e­ metram praeceptorem suum«. chenmeisters auf jeden Fall gemerkt hätte. C 357 ist g e­ f. 151v-1 7 6 v: »Algorithm us de datis (JORDANI N E M O R A schrieben v om Ries-Sohn Abraham ; dieser K odex konnte RII)«. hier nicht herangezogen w erden. f. 152r-1 5 5 r: Einleitung in die »D ata« aus späterer Zeit, C 349 w urde beim Binden offensichtlich durcheinander­ nicht bei Jordanus Nem orarius, nicht bei [Curtze 1902]. gebracht; gem äß [Curtze 1902, S. 440] ist die R eihenfolge: f. 153v-1 6 2 r: »D ata« 1-1 bis 1-29 und II-l bis 11-11. »II, III, 137', 137, V', V, VI', VI, VII-XLI, X L II-5 1 , E inge­ f. 162v, Zeile 3 v on unten bis f. 176v: D er w eitere Teil der legte Blätter 6, 5, 1, 2, 3, 4, Blatt 5 2 -7 8 , 9 0 -1 3 6 , 138-150, »D ata« v on einer anderen Hand. 8 0 -8 9 , 79', 79, so ist der vollständige Text der drei ersten Bücher vorhanden, nur fehlt am E nde ebenfalls ein Blatt, D resd en C 8 : [Curtze 1902, S .440f.], nicht eingesehen. die letzte halbe Seite des Göttinger Manuskriptes.« V orne befand sich mindestens ein weiteres Blatt. Es handelt sich D resd en C 405 = K A 1 7 1 : Pergament, zwischen 1555 und um eine Abschrift od er um eine Übersetzung aus dem La­ 1586 [Curtze 1902, S .439f.]. teinischen von der H and des jungen A dam Ries, vielleicht

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sogar v or der Erfurter Zeit, wie die W asserzeichen in G 549 zeigen, die ab 1517 nachgew iesen sind, und w ie viel­ leicht durch Schriftvergleich mit seinen Eintragungen in K odex Dresden C 80 erhärtet w erd en kann. Beriet untersuchte offensichtlich nicht die Kodizes C 8, C 549 und C 405. [Curtze 1902] erwähnt mit keinem W ort [Beriet 1860; Beriet 1892], w o auch ein Blatt mit dem Schriftzug von A dam Ries beigefügt ist; so entging ihm, daß die »C oß « und C 549 v o n der näm lichen H and stam­ m en. [Eneström 1902, S. 558 f.] stellte fest, daß die von [Curtze 1902, S. 4 5 5 -6 0 9 ] herangezogenen vier Kodizes Philos 50, C 8, C 549 und C 405 als Abschriften eines T ex ­ tes von Andreas A lexander und auch als Vorlage für einen Abschnitt der »C oß « von A dam Ries in Frage kämen, o b ­ w oh l w eder [Curtze 1902] n och [Cantor 1900, S.425] dies auch nur angedeutet hätten. So lag das jetzt A nnaberger M anuskript - die »C o ß « von A dam Ries - für sich, ebenso die Dresdener Handschrift C 549, und m an wußte nicht, daß beide Autographen v on Adam Ries sind. K odex C 549 mit den M aßen 26,5 cm x 19 cm X 3 cm trägt am Rücken die Bezeichnung »A M ICII ALG EB RA «. A u f dem Benützerblatt vorne steht zusätzlich zu einem Eintrag v on M axim ilian Curtze: 1. W illi Saemann, Halle, O k tob er-D ezem b er 1957: »D en Bemerkungen v on M axim ilian Curtze ist nachzutra­ gen, daß außer den v on ihm angemerkten Versetzungen sich auch n och eine Textlücke zwischen 100' und 101 b e ­ findet. Es fehlen die W orte v on Gott. Philos 50 auf Blatt 97 v on der Mitte ab und ferner 97', 98 und 98', 99 und 99', 100 und die Hälfte von 100'. Daß sie in der vorliegenden Handschrift C 549 ursprünglich vorhanden waren, zeigt der Custode >wir< auf 100' an.« 2. Saemann, D ezem ber 1958: »D ie Textlücke zwischen 100' und 101 kann vollständig nach KA 171 ( = C 405) ausgefüllt w erden.« 5. Saemann, Februar 1959: »D er Schreiber der C 549 ist einwandfrei A dam Riese (1525 oder früher).« In C 549 ist zwischen den Blättern 101 und 102 eine w e i­ tere Textlücke vorhanden, die gem äß Philos 50, f. 101rf., geschlossen w erden kann. Hatte es jem and auf die dorti­ gen Skizzen abgesehen? In C 549 treten drei W asserzeichen auf, so daß die Datie­ rung sich noch verdeutlichen läßt: 1. A u f dem nicht foliierten Vorsetzblatt befindet sich schw er erkennbar und n och nicht nachgew iesen ein L öw e od er G reif od er Fabeltier, 4,5 cm h och , 4 cm breit. 2. Viele der v on A dam Ries beschriebenen Blätter tra­ gen eine der beiden folgenden Form en des W asserzei­ chens Buchstabe P. So handelt es sich etwa auf f. VII, VIII, XIX, ... um Nr. 155 in [Piccard 1977, Abteilung V, S. 44; Piccard 1977(1), A bteilung V, S. 142], datiert Dornstetten, W iesbaden 1517-1519. A u f f. 55, 65, 88, ... dreht es sich um Nr. 156 in [Piccard 1977, Abteilung V, S. 44; Piccard 1977(1), Abteilung V, S. 145], Provenienz Butzbach, Feuer­ bach, Frankfurt/M ain 1517-1519. H ier erhebt sich die Frage, ob dieses von ihm verw en­ dete Schreibpapier aus dem hessischen od er badischen R aum einen Rückschluß dahingehend zuläßt, daß A dam Ries sich v or seiner Erfurter Zeit 1518-1525 auch im süd­ westdeutschen Raum aüfgehalten hatte. D ie Abhandlung in C 549 müßte nun - naheliegend in die richtige R eihenfolge gebracht w erden, w o b e i m an die fehlenden - früher auch vorhandenen - Teile gem äß Göttingen Philos 50, Dresden C 8 und C 405 ergänzen könnte.

D resd en C 46 1: Papier, vorne steht »D er Schreiber von

C 461 ist Jacob Riese«, W . Saemann, 29. 8. 1957; Ü ber­ schrift »C oß R echnung A dam Riesens«, umfaßt abschnitts­ w eise im Prinzip den Inhalt von C oß 2; die allgem eine Einleitung ist jed och viel ausführlicher angelegt als die entsprechenden Teile in C oß 2. N ach [Saemann 1964, S. 652] ist C 461 eine vollständige W iedergabe von C oß 2, w elch e es erlaubt, alle Lücken in der A nnaberger H and­ schrift auszufüllen; nach seinen W orten sprechen alle A n ­ zeichen dafür, daß in C 461 die endgültige Fassung von C oß 2 erhalten geblieben ist. V on Interesse ist v or allem die bereits aufgeführte Gliederung in e lf Abschnitte. In C 461 steht eine Reihe v on interessanten Notizen, die sich bislang n och nicht bei Ries nachw eisen ließen. A u f S .4 7 -5 5 w ird über die Binomialkoeffizienten abgehandelt, S. 55: »D iese erfundung, so Stieffel gesatztt, Ist sehr w u n ­ dersam «; auf S. 7 0 -7 5 w erden die Glieder arithmetischer und geom etrischer F olgen einander gegenübergestellt usw. Somit scheint erwiesen, daß ursprünglich wesentlich m ehr an Originalmaterial von A dam Ries zur Verfügung gestanden hatte, als heute im Annaberger Manuskript zu­ gänglich ist; oder, daß C 461 direkt v o n einer anderen V or­ lage, die auch von Ries stammt, abgeschrieben wurde. H ierauf deuten einige nicht in der »C o ß « stehende Bem er­ kungen od er dort fehlende Sätze bzw. Beispiele und A b ­ schnitte hin; etwa S. 520: »Z w en Kauffen ein pferd vmb 15 fl; der erste w iel v om andern haben 1/5, der ander vom Ersten den vierden theil; w ie viel hatt Ider geldts. Ist w ie das ander exem pel Andree alexandri«. A u f S. 200 f. zeigt Ries, w ie gut er mit der mathemati­ schen Literatur seiner Zeit und mit Euklid vertraut war, und daß er um die Lehre v on den Irrationalitäten in Eu­ klid X Bescheid wußte: »Es kan auch ein Ides Binom ium od er residuum ein quadrat sein vnnd Ihr radix quadrata erschopfft w erden, w elches das widerspiel ist mitt den blossenn Zalen, denen allen nicht radix kan aus geZ ogenn w erden. Solches beweiset Euclides gantz gründlich vnnd d a r in seynen Zehenden buch, da ehr eines Iden Binomij radici, des gleichen Residui, einen sonderlichenn nahmen giebt. Als da ehr Radicem quadratam ausm ersten Binom io Binomium nendt, des andern Binomij radicem qua­ dratam Bimediale primum. |Des dritten Binomij so Bimediale secundum, des vierden Binomij Liniam m aiorem , des funfften potens in rationale et m ediale, des sechstenn potens in dua medialia.« V on besonderer Bedeutung sind solche Abschnitte, die verm utlich als Ergänzung der »C o ß « herangezogen w er­ den können. In C 461 befinden sich auch die drei Beispiele v on A n ­ dreas Alexander, die in C oß 2 nach S.454 fehlen: Seite 301 , Bsp. 9. »D es gleichen auch, so 4$j gleich w er­ den 24 c. Theil 24 c in 4jj, kom pt 6, valor y. M ach en 4 jj vom y (ra d ix ) 6 5184, so viel m achen auch 2 4 c v om radix 6; dan l c ist 216, der 24 thun auch 5184«. 4x4 = 24x3. S eite 302, Bsp. 10. »Zeh enn theil in Zw ey vngleiche theil, So ich einen theil vom andernn niem, das 5 bleibett. Setz, der eine theil sey ly, der ander 100 — ly. Niem einen theil v om andernn, als ly von 100 — ly, bleiben 100 — 2y, die seindt gleich dem Rest 5 0. Gieb 2y beden theiln vnnd niem 50 beden theiln, w iert v ff eynem theil 2y, vffm an-

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d em n 50; theil 5 in 2, w ierth 2 — , Ist der eine theil; den

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2 — von 7— , bleiben 5, als oberf begerth«. (1 0 -x ) - x = 5.

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Seiten 3 0 2 -3 0 6 , Bsp. 11. »Es ist ein quadratischer Super­ ficies mitt vngleichen seyten, als 5 vnnd 7, | der inhaltt ist 55. Nuhn ist die cleyner seitte, als 5, getheil in Zw ey bekande theil, das grosser 3, das d e in e r 2; die frag nachn theilen der grossem n seitten, hier mitt bede Supplementa einander gleich seindt, w elch e der Diam eter im mittel theiltt. Setz der erste theil der grosser seiten sey ly, So ist der ander theil 70 - ly. Fuhre den eynen theil, als ly, in den grossem theil der cleyn em seiten, als 3, w erden 3y. Fure auch den grossem theil der grossem seiten, als 70 — ly, in den d ein er theil der d ein er seiten, als 2, K ö­ rnen 140 — 2y. Kom pt |das ander Suplemendt gleich dem 5y; gieb beyden theiln das minus, als 2y, wierth v ff einem 4 theil 14, vffm andern 5y. Theil 14 in 5y, Körnen 2— , der

5

d ein er theil der grossem n seitten; die niem von 7, bleiben

1

4-jr, der grosser theil, als du in volgen der figur sehen magst ... ||Ist das ander exem pell, so Andreas A llexander in seinen Introductorio vber das erste Buch Euclides er-

2

5

clert hatt. Dan w ie sich 8-^- gegen den 5-jr heltt, also hal3 2 ten sich 12-g- gegenn 8-^-, Ist vberal als 3 gegen 2, Nem lich

D resd en C 46 7: Papier, Überschrift »R echnung der Coss«,

proportio Sesquialtera«. 3x = 2(7 — x).

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2 B

81

5‘ 21 E

N ach den oben aufgeführten W orten, die sich im Annaberger K odex in dieser F orm nicht finden, lehrte A dam Ries im Jahre 1523 den damals zehnjährigen Hans von E l­ terlein diese eben aufgeführten A ufgaben; denn es ist an­ zunehmen, daß seine Bem erkung in C oß 1, S. 325, v om Jahre 1524 sich au f denselben Schüler bezog; dort steht sie allerdings nach 322 vorangehenden numerierten Beispie­ len. Bei Vergleich der Texte v on Nr. 157) auf S. 186 in C oß 1, auf S.455 in Coß 2 und S. 4 2 1 -4 23 in C 461 sieht man, daß die Form ulierung in den beiden letztgenannten Kodizes wörtlich übereinstimmt, w ährend in C oß 1 dieses Beispiel nur angedeutet, aber nicht durchgerechnet ist. D er nächste Abschnitt in C 461, S. 423 f., w ird mit den­ selben historisch bedeutsam en W orten eingeleitet, die in C oß 2, S .453f., stehen. D ie Beispiele, die sich hieran von S .4 2 4 -7 0 8 anschließen, sind w ie die bisherigen auch nicht num eriert und ebenfalls nur undeutlich gegeneinander ab­ gesetzt; sie entstammen C oß 1, trotz der w örtlichen E inlei­ tung w ie in Coß 2. Bei Nr. 216) in C 461 auf S. 5 3 1 -5 5 4 fehlt der Hinweis auf Aquinas Dacus und Andreas A lexan­ der; in Nr. 265) au f S. 615 fehlt die Jahreszahl 1523, in Nr. 284) auf S.645 ist 1524 mit aufgeführt. Gibt od er gab es also n och weitere E xem plare der »C o ß « von A dam Ries?

D

H ier in C 461, S.306, w ird also mitgeteilt, daß dieses letzt­ genannte Beispiel das zweite E xem pel aus dem »Introductorium « des Andreas A lexander über das erste Buch Eu­ klids war. Die folgende Bemerkung in C 461, S. 306f., findet sich ebenfalls nicht in der »C o ß «: »Ich hab anno 1522 Zu Erdffurdt in m einem vorigen gedruckten Buchlein | etli­ che exem pla durch Regulam Falsi volferdigett. Hiermitt Ider einen gutten Zutritt Z ur Cosß habenn m ag, So durch erforschung Zw eyer Zain geschieht vnnd w ie do selbst gehandeltt, soltu alhie ly exam inim , w iell die selbe nachein­ ander setzenn also«. Hieran schließen sich von S. 30 7 -3 4 6 diejenigen 34 A ufgaben an, die in fast derselben Reihen­ folge in Riesens »R E chnung auff der Linien vnnd Federn«, Frankfurt 1544, S. 8 5 -1 0 3 , durch die Regula falsi gelöst w erden. Falls diese Beispiele auch in der »C o ß « standen, dann zwischen S. 434 und 435. A u f S. 347 steht die Notiz »V olgen andere E xem pel auff die erste Equation, so Hans v om Elterlein A nno 1523 auff sanct A nnaberck von mir, A dam Riesen, gelerth«; sie b e ­ zieht sich auf die anschließenden Fragestellungen in C 461, S. 347 -4 2 3 ; in diesen 59 A ufgaben sind fast w ortge­ treu aus C oß 1 die Beispiele 1), 5), 7), 10), 12), 17), 21), 23), 29), 50), 38), 41), 44), 45), 46), 49), 50), 51), 55), 67), 71), 74), 75), 76), *77), *78), *79), *92), *104), *106), *108), *109), *110), 111), 113), *114), *115), *117), *118), *119), *120), *121), 122), *124), 125), *128), 150), *152), *154), *135), *156) und *137) und sieben andere v om A ufbau her ähnliche enthalten, v on denen die mit »*« markierten auch in C oß 2 stehen.

enthält auf einem Blatt nach 117v u. a. die Notiz »In Porta coelj Erphordie«. A u f f. l r-1 1 7 v ist inhaltlich im wesentli­ chen der Text aus C 461, S. 1 -4 2 1 , näm lich bis Aufgabe 156), enthalten. So heißt es in dieser Handschrift, f. l rf., einleitend: »D erw egen w ill ich euch Zum Ersten lernen etliche A lgorithmos Zu dieser R echnung dinstlich, |Die dan v or etzlichen Jahren v on H ochgelarten M athem atico magistro A n ­ drea Alexandro hinderlassenn, die ehr ausm buch Algebra gezogenn, Nach denen w ill ich euch acht vorgleichung Equationes genandt, So Algebras anzeiget, mitt schönen, hübschen vnd d a p ffem exem peln vnd fragstücken setzen vnd erklehren, Hiermit Ihr einen freyen vnd gutten Z u ­ gang haben m öget Zu an d em n bü chem , so dauon geschriebenn od er nach geschrieben w erden, vnd hiermit euch semptlich dem lieben Gott beuehlnn«. D resd en C 3 7 5 : Pergament, von f. l r- 3 0 r sind v on unbe­ kannter H and die acht G leichungsregeln von A dam Ries sow ie die P ropositionen I—1 bis 1 -3 0 aus den »D ata« von Jordanus Nem orarius deutsch in der näm lichen Reihen­ folge w ie in der »C o ß « abgehandelt. Bei diesem offensicht­ lich jüngeren M anuskript handelt es sich um eine fast w ortgetreue Abschrift, auch der Fehler in N° 6 ist derselbe w ie im Original aus Annab erg. L e ip z ig 136 LJ140 mit neuer Signatur M s 1696: Papier,

vermutlich Ende 15. Jh.; M en so Folkerts, den m an in Leipzig hierauf aufmerksam machte, teilt folgendes mit: »D ie Handschrift der Universitätsbibliothek Leipzig mit der Zugangsnum m er 156 L fl4 0 stammt aus dem Nachlaß des Leipziger Professors Johann V olm ar von Villingen ( f 1558); sein Nam e ist auf der Rückseite des Vorderdekkels angegeben. D er C odex w urde 1956 v on Hans P.Kraus verkauft (Catalogue 12, N ovem ber 1956, Nr. 2). Die Handschrift besteht aus 217 Blättern, von denen ei­ nige leer sind. Sie enthält auf f. I r -I 5 9 r verschiedene Texte zur Arithmetik und Algebra, darunter mehrere A lgorism en (f. lr - 2 5 v : R echnen mit ganzen Zahlen, mit Brü­ chen und kaufmännische Beispiele; f. 25 r-5 0 v : de integris; f. 5 5 r-4 1 r: Algorism us fractionum ; f. 156r-159r: de proportionibus) und Beispiele zur Regula de tri (f. 51r-35r).

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D en Hauptteil nim m t eine anonym e A bhandlung zur Algebra ein (f. 41v-1 2 6 v, 152a r -v ) , an den sich ein Text mit der Überschrift >Introductorium breve super elementa Euclidis< anschließt (f. 1 2 7 r -l5 lr ). Teile des A lgebra-T ex­ tes in der Leipziger Handschrift finden sich in ähnlicher Form auch in der sogenannten A lgebra des Initius A lgebras, insbesondere die Einleitung (Leipzig, f. 4 1 v 42v ~ [Curtze 1902, S. 449f.]) und die acht Regeln der A l­ gebra, die sich w örtlich entsprechen (Leipzig, f. 71 r 7 3 r = [Curtze 1902,: S. 484-497]). A u f f.7 4 r -7 8 r folgen Beispiele zu diesen Regeln. Die ersten zehn davon sind ge­ nau die Beispiele, die Ries nach seinen A ngaben von A n ­ dreas A lexander übernom m en hat, und zw ar in einer ge­ genüber Ries nur geringfügig veränderten R eihenfolge (Nr. 1, 2, 4 -1 0 , 3). D a in der Leipziger Handschrift auch ein >Introductorium super elementa Euclidis< vorhanden ist und Ries angibt, das 11. Beispiel aus dem Introductorium über das l.B u ch des Euklid v o n A lexander übernom ­ m en zu haben, gibt es Grund zu d er Annahm e, daß der A utor des Textes in der Leipziger Handschrift Andreas A lexander ist.« W eitere Aufschlüsse zur »C o ß « v on A dam Ries lassen sich vielleicht über andere in Dresden vorhandene M anu­ skripte erlangen [Schnorr v on Carolsfeld 1882, S. 631].

7.4. Ü B E R E I N I G E M E R K M A L E I N DER »C oß« U N D IN D E N P A R A L L E L T E X T E N D ie bisherige Interpretation der »C o ß « stützt sich fast durchgehend auf die verdienstvolle Edition durch [Beriet 1860; Beriet 1892] - [Beriet 1860] scheint derzeit nur schw er zugänglich zu sein, so etwa in der Landesbiblio­ thek Coburg unter den Signaturen 85, 181 und 85,181:1 - , die freilich nur ziem lich w illkürlich ausgewählte A b ­ schnitte umfaßt: V orw ort und W idm ung, S. 1 -4 ; Einleitung in die A lge­ bra vor dem Aufgabenteil aus Coß 1, S. 1 09-122; A ufga­ benteil mit 143 Beispielen aus Coß 1 ab S. 122, eines aus C oß 2 von S. 426; V orw ort zu Coß 2, S.329f. V on Beriet w urden nicht einbezogen: Einleitung in die Arithmetik vor dem Aufgabenteil aus C oß 1, S .4 -8 9 ; die restlichen A ufgaben aus Coß 1; Einlei­ tung in die Arithmetik v o r dem Aufgabenteil aus Coß 2, S. 330-398; Einleitung in die A lgebra vor dem Aufgabenteil aus C oß 2, S. 599-41 6 ; Beispiele von Christoff R udolff v o r dem Aufgabenteil aus Coß 2, S. 4 1 6 -4 2 4 ; Beispiele v on Andreas A lexander in C oß 2, mit Aus­ nahm e der Aufgabe 3 auf S. 426; Aufgabenteil aus Coß 2, S. 4 3 5 -4 9 9 ; Bearbeitung der »D ata« des Jordanus N em orarius, S. 507-551. Diese unvollständige Edition der »C o ß « führte zu einer falschen Einschätzung der wissenschaftlichen Bedeutung von A dam Ries. So schreibt [Gerhardt 1867, S .4 8 f.]: »Sie hat auf selbstständige Auffassung keinen Anspruch; sie ist lediglich eine Com pilation.« [Cantor 1900, S.422] bemerkt bezüglich Ries: »Ein gleichzeitiger Schriftsteller, der gei­ stig unendlich h och über Riese stand, M ichael Stifel.« G e­ rade im 19. Jh. erfuhr m an aber punktuelle Details bezüg­ lich der Vorgänger, auf die sich Ries bezieht, v or allem zu

Andreas A lexander aus Regensburg und Aquinas Dacus [Gerhardt 1867, S.46 und 49; Gerhardt 1877, S.48 F u ß n .l], au f w elche sich ein T eil der bisherigen [Eneström 1902; NDB 1, S. 195b/196a und 333a] und w o h l auch der künfti­ gen Ries-Forschung stützen wird. D ie »C o ß « von A dam Ries liegt aber trotz [Beriet 1860; Beriet 1892] und der sich hierauf berufenden Literatur großenteils n och brach.

* * * Bei C oß 1, die wahrscheinlich zwischen 1518 und 1523 in großen Teilen in Erfurt aufgezeichnet [Vogel 1959, S. 21 f.] und in Annab erg 1524 vollendet w urde, handelt es sich dem nach um einen frühen deutschen Algebratext, der in einzelnen Teilen verm utlich bereits im Jahre 1515 anzuset­ zen ist (S.453f.), also einige Jahre v o r dem Erscheinen des ersten gedruckten deutschen Algebrabuches [Schreyber 1521], dessen W idm u n g die Jahreszahl 1518 trägt und des­ sen Inhalt Ries bekannt w a r [NDB 6, S.738b]. A lgebra, die »ars rei et census (Kunst es x und x 2)« , die »ars m aior« ge­ genüber der Arithmetik als »ars m inor«, die »ars artis«, w urde damals als eine nur w enigen Eingeweihten vorbe­ haltene W issenschaft betrieben und gepflegt - Ries bestä­ tigt dies zweim al (S. 3 und 187). Dies führte so w eit, daß die Preisgabe m ancher Lösungsw ege mit einem hohen Geldbetrag abgegolten w u rde - auch hierüber berichtet er zweim al (S.257 und 429). Das scheint m anchen Cossisten veranlaßt zu haben, seine Prioritäten zu w ahren - Ries schreibt, daß er 1515 A lgebra betrieb (S. 454); dies scheint auch zu heftigen Zwistigkeiten unter Cossisten geführt zu haben, die sich w oh l meist in derben W orten erschöpften, etwa »D an ich hoff, gott lob Das maul sol den selbigen, so sie es lesenn, ferner Zu gestopfftt w erden n « (S. 4), oder »Ich höret auff ein zeit jm (C h ristoff R u d olff) grew lich vnd vnchristlich fluchen, das er die Coss hatte geschriben, vnd das beste (wie der flucher sagt) hette verschwigen, nem lich die Dem onstrationes seyner R egeln« [Stifel 1555/54 V orrede]. Dies m ag auch zu ernsten Situationen geführt haben - im m erhin ist der T o d von Johannes Regiom ontanus in R om 1476 nach w ie v o r geheim nisum w o­ ben. V or 500 Jahren w a r die Kenntnis um die Geschichte der A lgebra auf w enige Fakten beschränkt; hiervon sind meist nur jene voll zu würdigen, die aus dem direkten Lebensbe­ reich des betreffenden W issenschaftlers gezogen w erden können. In den allgem einen Bemerkungen, die sich an m ehreren Stellen über die ganze »C o ß « verstreut finden, liegt so m ancher Hinweis, der bemerkenswerte A uf­ schlüsse über die Entwicklung der A lgebra v o r einem hal­ ben Jahrtausend zu geben verm ag. V or allem die Fachaus­ drücke in C oß 1 sind charakteristisch für den W issens­ stand des dam aligen M athematikers und für die T erm in o­ logie, die im deutschen Sprachraum üblich war. Etliche M athematiker der Renaissance leisteten einen beachtli­ chen Beitrag, und die sächsische Kanzleisprache w u rde vielleicht begünstigt durch die wirtschaftliche Blüte — zum V orläufer der deutschen Schriftsprache. So läßt sich auch bei Ries im V ergleich der Fachw örter in korrespondieren­ den Beispielen aus Coß 1 und C oß 2 eine Veränderung der Aus drucks w eise erkennen. Ob sich Riesens Einstellung zu den K onfessionen auch in der »C oß « w iderspiegelt? »Item eyner w il von n R ohm gegenn deutschen landen« (S.202); »Z w en seint von einan­ der 300 meil W egs« (S.468). In der Zwischenzeit w ar ganz Sachsen protestantisch gew orden. In der M athematik des angesprochenen Zeitraums ging es darum, das W issen der Antike w iederzuerlangen, m a­ thematische Inhalte in im m er knapperen und verständli­

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cheren Form en darzubieten, ferner bereits um die A nw en ­ dung der M athematik auf außermathematische Bereiche. Für die Mathematikgeschichte ist somit w en iger die Frage nach den Auswirkungen der W erke von A dam Ries von Bedeutung, als vielm ehr der Inhalt dieser A bhandlungen in Verbindung mit den Quellen, aus denen er sein W issen erlangt hatte; hierzu findet sich vieles auf S. 1 -5 , 7, 8, 29, 42, 44, 50, 185, 187, 226, 257, 515, 3 2 9 -5 5 1 , 359, 362, 408, 416, 425, 429, 433, 434, 455, 454, 456, 472, 487, 491, 499: Zu den Beispielen ist zu bem erken, daß er nur w enige R egel­ nam en gebraucht: R egel de tri, den Dreisatz; R egel alligationis bei M ischungsrechnungen (S. 315, 315, 517); Bauer R egel (S. 226, 315). Bei den M ischungsaufgaben ab S. 297 behandelt Ries zuerst übliche Fragen, indem etwa der Feingehalt einer aus m ehreren Stücken zusam m enge­ schm olzenen Legierung od e r der eines einzelnen Teiles einer Legierung zu bestim m en ist. A b S.512 kom m en auch Beispiele vor, die unterbestimmt sind, w o b e i in der Legie­ rung bei willkürlich vorgew ählter K om bination der Teile bestimmte vorgegeben e M en gen nicht überschritten w e r­ den dürfen. Hie und da verweist er bei M ischungen auf die »vnderrichtung A lgebre« (S. 515, 516, 31-7) und setzt seiner Phantasie in Beispielen mit unterbestimmten Syste­ m en (S. 320 -5 2 5 ) kaum Grenzen. H ier merkt man, daß er ein ausgezeichneter M ünzfachm ann w ar. R ichtiggehend erstaunlich ist, daß sich in der »C o ß « v o n A dam Ries kaum R echenfehler finden. Im Unterschied zu anderen A utoren sind seine Beispiele trotzdem großenteils wirklichkeitsnah, o b w oh l er späte­ stens 1524 mit den abstrakt gehaltenen »D ata« des Jordanus Nem orarius in Berührung gekom m en w ar (S. 185). W äre die »C oß «, v or allem Coß 1, kurz nach ihrer Fer­ tigstellung im Jahre 1524 gedruckt w orden , in der Form w ie Ries dort die neuen algebraischen Sym bole ge­ braucht - sie sind praktischer als bei [Schreyber 1521] - , dann hätte dieses Buch vielleicht ähnlich viele Leser g e­ funden w ie seine Rechenbücher mit den hohen Auflagen. In der »C o ß « stehen nur w enige Jahreszahlen: auf S.278 sagt Ries, daß in Leipzig ein Zentner bestes W achs um 15 fl gekauft und im Jahre 1523 151b um 17 gr verkauft w urden; auf S. 290 gibt er an, daß er Beispiel 284) am Samstag nach Pauli Bekehrung 1524 durchrechnete. Die Abschnitte ab S.329 sind nicht datiert. D em Inhalt und den aufgeführten Nam en nach ist dieser Teil der »C oß « in die Zeit nach 1545 anzusetzen. N och unklar ist, w ann er die »D ata« bearbeitete. In der ganzen »C oß « w ird eine Reihe von interessanten historischen Details aufgeworfen, die - w ie etwa die Frage nach dem aus Regensburg stam m enden M athem ati­ ker Andreas A lexander [NDB 1, S. 195b/196a] - n och nicht geklärt sind.

* * * W en n m an A dam Ries in seine Zeit einordnen w ill, dann ist C oß 1 aussagekräftiger als C oß 2, denn in zw ei v o m In­ halt her fast gleichw ertigen Arbeiten aus der Frühzeit der deutschen A lgebra ist die 1524 abgeschlossene für uns w ertvoller als die etwa 25 Jahre jüngere. Fragt m an nach den Q uellen v o n Ries, dann sind hiervon w o h l nur diejeni­ gen seiner A ngaben brauchbar, die sich auf seine direkten V orlagen stützen. Im V orw ort äußert sich Ries in einer abenteuerlich klin­ genden Schilderung (S. 1) bezüglich der historischen Ent­ w icklung der A lgorithm en; zu seiner Zeit w a r es n och ü b ­ lich, jede Rechenanleitung als A lgorism us od er A lgorith­ mus zu bezeichnen. A u f S. 1 schreibt Ries aber ebenfalls, das »B uch v om dem ding« - das ist die Lehre v on den al­

gebraischen G leichungen - w u rde »Z u vnser (Z e it) eins teyls vordeutscht Durch denn erfam enn M athem aticum M agistrum A ndream Alexandrum «. A u f S. 5 teilt er mit, daß Dr. Stortz ihn gebeten hatte, »vber die Algorithm i, so Algebraß gesatzt, Zu schreibenn«. Gegen Schluß der W id ­ m ung an Dr. Stortz seiner im Jahre 1524 abgeschlossenen Coß 1 folgt auf S .4 ein Satz, der die bisherige Ansicht zur Quellenlage bezüglich Ries verdeutlichen könnte, denn er führt an: »H abe ich ... mit gantzem Vleyß nach M eynem V orm uegen Zusam en gelesenn etzlich A lgorithm i Auß eynem altenn vorw orffen en buch, w elches ich durch eur achtparkeitt treybenn vberkom en; vnd was ich in solchm gefundenn für den gem eynen m ann nützlich, hab ich nach gantzem Vleyß gesatzt, W ie dan eur achtparkeytt sehenn wirtt«. Hiermit ist jedenfalls gemeint, daß Ries eine A b ­ handlung über A lgorithm en schrieb, die er »eynem altenn vorw orffenen b u ch « entnom m en hatte. [Beriet 1892, S. 55—41] bringt im Anschluß an diese W id ­ m ung v on Ries gleich die Einleitung in die A lgebra aus C oß 1, S. 109-122. [W appler 1887, S .5 -9 ] konnte nachw eisen, daß die Berlet-Aufgaben (l)-( 9 3 ) , die in C oß 1 zw i­ schen S. 122 und S. 186 stehen, aus K odex Dresden C80 stam men; sie sind v o n Ries auf S. 122 angekündigt mit den W orten »w il dir hie in disem bu ch die exem pel erclem n, In m asenn ich sie In eynem altenn lateinischn für viel Jam n geschribenn buch gefunden hab«, w elches von Ries auch das »beruerte alte b u ech« (S. 157) und das »lateini­ sche b u ch« (S.151) genannt w ird. So w a r m an geneigt, alle diese bisherigen H inw eise auf eine einzige Vorlage, näm ­ lich C80, zu beziehen, d .h . »altes vorw orffenes bu ch« und »lateinisches bu ch« w urden vielfach identifiziert. [Eneström 1902, S.357f.] legte schon eine andere Version vor. Es dürfte sich w ie folgt verhalten: In C oß 1 bringt Ries von S .4 -8 9 eine Einleitung in die Arithmetik, die anschei­ nend grundlos auf der letzten Seite abbricht, au f w elch e [Beriet 1892, S.28] lediglich verweist und die von ihm folg ­ lich nicht mit abgedruckt w u rde; hieran schließt sich S. 109-122 die genannte Einleitung in die A lgebra an, so daß Ries somit nun »etzlich Algorithm i A uß eynem altenn vorw orffenen b u ch « zusammengetragen hatte. In diesem »altenn vorw orffen en b u ch « w aren also die von ihm ver­ w endeten acht G leichungsform en enthalten und vielleicht auch die 24 nach seinen W orten hieraus abgeleiteten. H ierbei handelt es sich jed och nicht um C80, w eil dort dem heutigen W issensstand nach nur die 24 Form en auf­ traten; vielm ehr dürfte es sich u m den n och unbekannten lateinischen od er deutschen [Curtze 1902, S.437] Text dre­ hen, der vermutlich sow oh l Ries bei der Abfassung von C oß 1 als auch dem 1545 geschriebenen »Initius Algebras« in K odex Göttingen Philos 30 und in den Kodizes Dresden C 8 und C405 als V orlage diente; außerdem auch Riesens eigener Abschrift in C349. Bei V ergleich des Textes v o n C oß 1, S. 4 -8 9 und S. 109-122, mit Philos 30, f. 3r-1 5 0 v, sieht man, daß viele Parallelen auftreten, w elch e diese gem einsam e A bhängig­ keit bestätigen. Beachtenswert ist die Bemerkung »eins teyls vordeutscht« v o n Ries (S. 1), denn Philos 30 und die drei D resdener Kodizes enthalten nur drei von insgesamt acht angekündigten Büchern des sagenhaften Algebras, in der Göttinger Handschrift f. l v aufgeführt als »Libri ALG E BRAE sunt octo« [Curtze 1902, S.437 und 441]. Das Ries-Autograph C 349 ist n och nicht ediert und nur sch w er zugänglich. Deshalb stützen sich die nun folg en ­ den V ergleiche auf entsprechende Stellen in Philos 30 G öt­ tingen [Curtze 1902] und C oß 1.

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Einige Beispiele aus der Einleitung in die Arithmetik: 1. Das V orw ort v o n Ries auf S. 1 ist zum Teil ähnlich dem in Philos 30, f.3 rf. [Curtze 1902, S.449f.]. 2. In C80 tritt Algebras als N am e des Begründers der A lgebra nicht auf; Ries beruft sich in C oß 1 au f S. 1 auf »d en berumbstenn In der Zall erfam en Algebram , den A rabischem ! m eister«; Philos 30, f. 2r: »A lgebrae Arabis Arithmetici viri Clarissimi Liber ad Y lem Geom etram praeceptorem suum «; f. 5r: »H ie hebet sich an das Buch A l­ gebrae, des grossen Arismetristens«; f. 5V: »W ann zu den gezeithen was A lgebras der köstlichste vn d berümtist in der zal«; f. 4r: »Initii A lgebrae Arabis, Viri Clarissimi ... P rologus foebciter incipit« [Curtze 1902, S. 438, 449, 450, 450]. 3. Im »R echenbuch« al-Hwärizmls w ird Kubikwurzel­ ziehen nicht gelehrt [Vogel 1963]; in Coß 1, S.44a, b, und ebenso in Philos 30, f. 80rf., w ird es auf (a + b)5 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 zurückgeführt [Curtze 1902, S.528]. 4. Ries behandelt in C oß 1, S .50—52, den Euklidischen Algorithm us, und zwar nach seinen W orten gem äß Euklid VII-1 und dem 3. Buch des Algebras; in Philos 30, f. 100v102r, - dabei handelt es sich um das 3. Buch des »Initius A lgebras« - w ird der Euklidische Algorithm us gelehrt [Curtze 1902, S. 5 50-552]. 5. In Coß 1 und in Philos 30 gibt es eine Reihe v on spe­ ziellen Fachwörtern, etwa: G nom on, cubellus, wissentlich, ereugnet, zusammentuung usw. A uch die Einleitung in die Algebra in Coß 1, S. 109-122, hat entsprechende Parallelen mit den vier von [Curtze 1902] untersuchten Handschriften: 1. In Coß 1, S. 109, und in Philos 30, f. 28v, tritt prinzi­ piell das näm liche Schem a für die Potenzen von x auf, die 5. heißt jeweils »sursolidum « [Curtze 1902, S. 474]. D er Schriftzug des jungen A dam Ries w ie in Coß 1, S. 109, kom m t v or allem auch in C349, f. 126vf., deutlich zum Aus­ druck. 2. In C oß 1 w erden v on Ries auf S. 111-115 acht Glei­ chungstypen in der näm lichen R eihenfolge gelehrt w ie in Philos 30, f.55r- 5 8 v [Curtze 1902, S .4 8 0 -4 8 4 ]; d.h., die bis­ lang nicht eingeordnete Kom bination aus x k, x k+n, x k+2n steht auch in anderen Handschriften, so in C8, C349 und C405, ferner in Leipzig 136 L f 140; hierzu etwa [Cantor 1900, S. 423]. 3. 7x3 = 189 in C oß 1, S. 112, und in Philos 30, f. 43vf. [Curtze 1902, S.489]. 4. 5x4 = 405 in C oß 1, S. 112, u nd in Philos 30, f. 46r [Curtze 1902, S.491]. 5. D er Gleichungstyp cx2 + a = b x ist bei Ries in C oß 1, S. 113 f., auf die näm liche Art falsch gelöst w ie in Philos 30, f. 50r, näm lich x t>2 = - \

j ~~

[Curtze 1902,

S.494 und 495 mit Fußn. 1]. In C80 ist diese Form der qua­ dratischen Gleichung auf eine hiervon verschiedene Art falsch behandelt, w eil anstatt der W urzel ein x° angesetzt w ird [W appler 1887, S. 14]. D ie Einleitung in Arithmetik und A lgebra in C oß 1 weist folglich markante Übereinstim mungen mit Philos 30, C8, C349 und C405 auf. Hieraus kann m an folgern, daß alle diese Texte von einer gem einsam en V orlage - dem »alten vorw orffenen buch« - herzuleiten sind. Falls dieses aber von Andreas A lexander stammen sollte, dann bleibt rätsel­ haft, w arum sich Ries auf S .4 nicht hierzu äußert. Ergänzend ist noch zu sagen, daß die Abhängigkeit z w i - , sehen dem vermutlich älteren C549 und der 1524 abge­

schlossenen C oß 1 - beide stammen aus der Feder von A dam Ries - n och nicht untersucht ist. Es w äre ja denk­ bar, daß er seine eigenen Aufzeichnungen in C349 als Grundlage für die entsprechenden T eile in C oß 1 (S .4 -8 9 und 109-122) herangezogen hatte. C oß 1 ist auf einem breiten, auf den weiteren Inhalt der »C o ß « abgestimmten arithmetischen Fundament aufge­ baut, w o Ries der dam aligen Gepflogenheit entsprechend v o r allem die Grundrechenarten in den natürlichen Zah­ len und in Brüchen behandelte. Hierzu gehörten: N um e­ rieren (Z ä h le n ), Addieren, Subtrahieren, Duplieren (V er­ d op p eln ), M edieren (H a lb ieren ), M ultiplizieren, D ividie­ ren, arithmetische und geom etrische Reihenlehre und W urzelziehen. A u f S. 119 erscheint erstmals der Haken bei der Quadratwurzel. M anche Cossisten leiteten durch Erweitern aus den da­ mals üblichen Gleichungsregeln eine Vielzahl von Fallun­ terscheidungen her; Ries erkannte, w ie überflüssig dies für den echten Aufbau der Algebra w a r (S. 121); a = b x und h x7 = ix8 w aren ihm prinzipiell gleichwertig. *

*

*

Bei den Textbeispielen in C oß 1 ist es nicht nötig, nach den direkten Quellen zu fragen, w eil A dam Ries diese selbst nennt: ein altes lateinisches v o r vielen Jahren ge­ schriebenes Buch (S. 122), das berührte alte Buch (S. 137) bzw. das lateinische Buch (S. 151); es handelt sich jeweüs um die D resdener Handschrift C80, einen Sam m elband v on 420 Blättern, der in der mathematikhistorischen F or­ schung seit m ehr als einem Jahrhundert eine bedeutende R olle spielt. [W appler 1887, S .5 —9] w ies die direkte Bezie­ hung zwischen den Beriet-Aufgaben ( l)-( 9 5 ) und C 80 nach, so daß verm utlich alle Beispiele 1)—137) aus C oß 1, S. 122-186, diesem jetzt Dresdener, ehedem Leipziger K o­ d ex entstammen und v o n Ries ins Deutsche übertragen wurden. Diese Fragestellungen haben freilich eine zum T eil uralte Tradition. D ie Num m ern 158)-322) von S. 1 8 7-324 in C oß 1, die auf Hans Conrad, Hans B em ekker und A dam Ries zurückgehen (S. 187), könnten n och auf ihre unmittelbare Abhängigkeit v on anderen Autoren hin angesehen w erden ; offen bleiben hier die mittelbaren Quellen, w eü solche A ufgaben sich ebenfalls durch die ganze Entwicklungsgeschichte der M athematik hinziehen. Inwieweit sie hier auf die griechische A nthologie od er die mathematische Überlieferung durch die M uslim e bzw. seit Leonardo von Pisa, Jordanus Nem orarius, Johannes de M uris usw. zurückgehen, dies ließe sich erst in einer um ­ fassenden Analyse feststellen.

* * * D ie einführenden Algorithm en in C oß 2 für sein später ge­ plantes Hauptwerk (S.424) enthalten große Lücken, etwa S. 3 4 3 -3 5 0 ; hier w erden auch P olynom rechnen und P ro­ blem e aus der W urzelarithmetik behandelt, so w ie dies um 1550 m odern w ar. P roportion und Dreisatz w erden ebenfalls stärker herausgestellt als in der Einleitung zu C oß 1, denn der U m gang mit Euklid w a r nun v or allem durch die Arbeiten v on M ichael Stifel geläufiger als 25 Jahre früher. D ie vorbereitende Einführung in die Gleichungslehre in C oß 2 enthält au f S. 3 9 9 -4 1 3 alle Form eln aus der damali­ gen Sicht richtig. Ries führt 13 A ufgaben v on [R udolff 1525] v o r (S .4 16 -4 2 4 ), anschließend acht von e lf angekün­ digten Beispielen, die v on Andreas A lexander herrühren (S .4 25 -4 3 4 ); zehn dieser e lf Fragestellungen stehen in K o­ dex Leipzig mit der E ingangsnum m er 136 L fl4 0 , f. 74r-

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77v, w ie M enso Folkerts, M ünchen, herausfand. Die hier­ auf folgenden Ries-N um m ern 62-171 (S. 4 3 5 -4 9 9 ) zeigen deutlich, daß der A nnaberger Rechenm eister nun viel un­ gezw ungener mit negativen Zahlen um geht als in C oß 1. D ie Quellen von C oß 2 sind nur v on untergeordnetem Interesse gegenüber denen von C oß 1, bis auf die Beispiele v on Andreas A lexander; n och läßt sich nicht sagen, ob die Handschrift 136 L f 140 das bislang vermißte Autograph dieses schw er faßbaren Cossisten ist. Die entsprechende Notiz w ie in Coß 1, S. 187, steht verdeutlicht in C oß 2, S.455f. D ort hebt A dam Ries hervor, daß er im Jahre 1515 im Beisein von Hans C onrad die ab hier folgenden A ufga­ ben - es handelt sich fast durchgehend um die näm lichen w ie in Coß 1 - besaß und durch die Coß (A lg eb ra ) löste, ehe ihm »das alte buch ader die exem pla A ndree A lexandri Zu handen kom ent seint«; folglich b ezog er diese Fra­ gestellungen entweder aus einer sonst v on ihm nicht nä­ her bezeichneten Quelle, od er sie stammen v on ihm selbst; ferner w aren das hier genannte »alte bu ch « und die »exem pla« des Andreas A lexander zwei verschiedene W erk e [Eneström 1902, S. 357]. Fraglich bleibt nun, ob dieses eben angesprochene »alte bu ch« auch K odex C80 w ar od er die hier schon m ehrfach erwähnte Vorlage zu seiner Einleitung in Arithmetik und Algebra in Coß 1.

* * * D er letzte Teil der »C o ß « umfaßt die Propositionen aus Buch I und drei aus Buch II der »D ata« des Jordanus Nem orarius; A dam Ries behandelt sie auf seine Art, näm lich um vermittels der damals m odernen A lgebra quadratische G leichungen zu lösen. Eine Eintragung von seiner H and in C80, f. 316r, zeigt, daß er die dortigen lateinischen »D ata« als V orlage für seine Übertragung ins Deutsche heranzog [Kaunzner 1968, S. 36].

7.5. Z U S A M M E N F A S S U N G Die Quellenlage bezüglich der Paralleltexte zur »C o ß « von A dam Ries ist weiterhin großenteils ungeklärt. W as m ag ihn b ew og en haben, die Druckvorlage Coß 1 im arithmeti­ schen Teil (S .4 -8 9 ) nur als Fragment zu hinterlassen, den jetzigen K odex C349 aber als Reinschrift? Verwunderlich ist, daß Ries (S.4) nur von einem alten verw orfenen Buch spricht und somit offenläßt, ob dieses von Andreas A le­ xander geschrieben w urde od er nicht; ob w oh l er sonst so oft auf diesen Cossisten verweist. W a r vielleicht der schön geschriebene C349 als Druckvorlage gedacht, so daß die Texte S .4 - 8 9 und S. 1 09-122 in der »C o ß « vorerst nur irgendw elche Konzepte w aren? Es w äre m öglich, daß der Ries-Nachlaß ziem lich durcheinandergebracht war, so daß M artin Kupffer im Jahre 1664 die nicht gebundenen Teile zum heutigen Sam m elband zusammenheftete, um wenigstens n och zu retten, w as zu retten war. In der Zwischenzeit w urde v o n M enso Folkerts, M ü n ­ chen, die jetzt Leipziger lateinische Handschrift 136 L f 140 gefunden, die w o h l nur aus Erfurt, W ien, Regensburg od er Leipzig stammen kann. H ierbei handelt es sich um ein lateinisches M anuskript v on etwa 150 Blättern, w o zwischen f. 74v und 77v zehn v on den elf Beispielen stehen, die in Coß 2 (S. 425) als v on Andreas A lexander herrüh­ rend genannt sind; alle elf A ufgaben finden sich mit H in­ w eis auf den A utor in C 461, S. 2 8 4 -3 0 6 , sow ie in C 467, f. 81v- 8 6 v. D ort in 136 L f 140 befindet sich auch ein Introductorium zu den 15 Büchern Euklids, vermutlich entspre­

chend der Notiz in C461, S. 306, bzw . C467, f. 86v. H ierauf dürfte sich ein T eil der Verweise von A dam Ries auf A n ­ dreas A lexander in seiner »C o ß « beziehen, nicht hingegen auf das bislang bekannte »M athem alogium prim e partis A ndree alexandri Ratisbonensis mathematici super nouam et veterem loycam Aristotelis«, Leipzig 1504. Bezüglich der neuen Nachw eise zu Andreas A lexander er­ gibt sich folgendes Schem a: 201 284 291 298 306 320 424

C461

S. 2

60

C467

f. l v

20r 60v 81v 85r 84v 86v 89v

»C oß «

S. 530

425 429 453

454

C461 ist deutlicher geschrieben als C467; so heißt es in C461, S. 60: »Algebras hatt in seinem andern buch die M ultiplicatio Zum ersten beschriebenn, Ich acht aber v or gutt, das addicio Zum ersten gelereth wirth, w ie dan M a ­ gister Andreas allexander auch gethan hatt, In erclerung seiner algorithmi Zur Coß gehorndt«; S.201: »NB. Diese Regul trieffet ein mitt dem buch Algebrae mitt M . Andrea A lexandro vnd dem buch Quadripartiti num erorum Ioannis de M uris vnd mitt Ioannis Scheubelij«; S. 306: »Ist das ander exem pell, so Andreas A llexander in seinen Introductorio vber das erste bu ch Euclides erclert hatt«; S. 520: »Ist w ie das ander exem pel Andree alexandrj«. Inwieweit K odex 136 L f 140 gemeinsam e Teile mit Phi­ los 30, C 8, C 349 und C 405 besitzt, muß weiteren Untersu­ chungen Vorbehalten bleiben. Zur lückenhaften Einleitung in Arithmetik und Algebra in Coß 2 muß eine entsprechende V orlage von Ries od er von anderen bestanden haben, denn C 461 und C 467 sind viel umfassender als das Ries-Autograph. C 461 und C 467 könnten somit in einzelnen Teilen direkte Abschriften von einem verschollenen Original von A dam Ries sein. N ach­ dem aber das Gros der A ufgaben aus C oß 1 in C 461, S. 4 2 4 -7 0 8 , anschließend an die aus C oß 2 aufgeführt ist, deutet dies auf die späte Entstehungszeit dieser H and­ schrift hin.

8.

M ÜNZ- UND MASSUMRECHNUNGEN

SO W IE FA CH A U SD RÜ CK E Die Grundlage des mittelalterlichen Gewichts- und M ünz­ systems w ar die röm ische libra zu 327,45 g. Karl d. Gr. stellte das M ünzw esen au f Silberwährung um, so daß 1 pondus Caroli - zwischen 367 g und 491 g - 20 Schilling od er 240 Pfennig gleich w a r; Pfund und Schilling w aren hierbei keine M ünzen, sondern nur Rechnungsgrößen. Als m an größeres Zahlgeld brauchte, w urde 1252 in Florenz der fiorino (G u ld e n ) geprägt, 1284 in Venedig der Duka­ ten. D er Ausdruck »ort« bedeutet allgem ein »ein Viertel«. Das Standardmaß für Gew ichte w a r seit der Mitte des 12. Jh. die kölnisch-erfurtische M ark, die zwischen 233 g und 237 g lag. Bei Betrachtung w eiterer Einzelheiten em p­ fiehlt sich die Lektüre v on [Luschin von Ebengreuth 1926]. Die von Ries verwendeten M ünz- und M aßum rechnungen geben wahrscheinlich den aktuellen Stand zu seiner Zeit w ieder; hierbei ist zu berücksichtigen, daß auch damals Abw ertungen gang und gäbe w aren. Einige Beispiele:

/ 52 /

G eld um rechn un gen

H ier liegt wahrscheinlich der rheinische Gulden zu­ grunde, w ob ei nur einmal (S. 292) 100 ungarische fl (G ul1 d en ) etwa gleich 133 -g" rheinischen fl gleichw ertig ange-

»caracter«: Potenz der Unbekannten; Sym bol (S. 399, 421), »caracter nihil«: Null (S. 5), »collect«: Summe (S. 357), »coniecturacion«: G leichung (S. 145),

1 setzt w erden; 1 ung. fl = 18 — gr (G ro sch e n ).

»Ist das denominat m ehr dan das absolut«: f\% > 4 (S. 582),

lfl = 21 gr; 1 gr = 12 3» (P fen n ige) (S. 48), lfl = 2 0 ß (S ch illin g e); 1 ß = 12hl (H e lle r) (S. 85f.), 14 1 fl = 8 -^ r gr im Jahre 1525 (S. 278),

denom inieren: quadrieren bzw. unter die Quadratwurzel bringen (S. 359, 365, 567, 368, 380, 381, 418,419, 420), »die Zeichn (S. 351),

1 fl = 4 ort (S. 281, 300f.), 1 ß o (S olid u s) = 60 gr (S. 286), 1 fl = 21 gr (S. 292, 339), 1 fl = 7 gr (S. 297), 1 fl = 20 ß (S. 470, 480 Nr. 148, S. 481 f. Nr. 150), 1 fl = 50 gr (S. 488 Nr. 157), 1 fl = 20 ß = 240 hl (S. 495 f. Nr. 166).

der

»alhie der duction (S. 570),

hohestn gem eß«:

duction«: dem

höchste

Potenz

Stellenwert gem äß

»ereugen«: aufzeigen, folgern (S. 5, 36, 295), »A ddir bede facit«: addiere beide Ergebnisse (S. 467),

G eivichtsum rechnungen

1

Zentner = 1101b; l l b = 521ot; l l o t = 4 Quint(lein); 1 Quint = 4 Pfenniggew icht (S.48, 340), 1 M ark = 16 lot; 1 lot = 4 Quint; 1 Quint = 43» (S. 88), 1 Zentner = 1101b im Jahre 1523 (S. 278), 1 Stein als Gewichtseinheit in Preußen und Sachsen, der schw ere Stein zu 221b, der leichte zu 111b [Zedier Band 10 1755, Sp. 1385] (S.281), 1 lot = 4 Quint = 18 grenn (G ra n ) (S. 297), auf 1 M ark Gew icht w erden 52 Silbergroschen gemünzt (S. 297), auf 1 M ark Gewicht w erden 72 Gulden gemünzt (S. 300), 1 M ark = 24 Karat; 1 Karat = 4 Gran (S. 500 f. Nr. 298).

»laß farn den £«: lasse die Unbekannte w e g (S. 441), »so hastu den w erd des fragenden dinges«: die U nbe­ kannte (S. 119), »ein teil in den andern gefurt«: multipliziert (S. 508), »fure 2 in 2.2.2 w irt 16«: multipliziere (S. 422), »ym e gebricht der dritte teil«: ihm fehlt ein Drittel (S. 476), »D an er hat in nicht m ehr gelten w o lln «: er w ollte ihn nicht teuerer verkaufen (S. 248), »kein Radix m ag erschopfft w erden v ff den genehesten punct«: keine W urzel kann exakt berechnet w erden (S. 569), »D w eil aber der herre an 100 f Zu gew in habn w il 10 f«: 10 Prozent Gew inn (S. 492),

A n d e r e U m rechnungen

»mit seynem halten«: mit seinem Feingehalt (S. 201),

Längenmaß Lachter, niederdeutsch für Klafter, etwa 2 m (S. 523 f. Nr. 522), 1 Fuder = 1 2 Eimer; 1 Eim er = 64 Kandel, M aß, Viertel (S. 540), 1 G old w urde in Karat gehandelt: 1 Karat G old = M ark

»heufflung«: Summe (S. 194),

G old = 4 - ~ l b G old = 3 fl 12ß = 5 -| fl (S.305), ^ i* 0 ^ Silber w urde in M ark gehandelt: 1 M ark Feinsilber = 7 — 5 1 fl; 1 Karat Feinsilber = fl (S.304), Verhältnis Goldpreis: Silberpreis =

5

5

= 11,52.

»H ebe auff mit 4«: kürze mit 4 (S. 61), »so ich denn erstenn teyl mit 4 hinw egk nim «: durch 4 teile (S. 125), »M ultiplicir (S. 380),

creutz«:

multipliziere

kreuzweise

»w erdn bede teil kuntbar«: w erden beide Teile bekannt (S. 524), »lesche auß das punct pey dem p«: quadriere die W urzel (S. 119), »lesche auß (S. 120),

Fachausdrü cke von A d a m R ies (A usw ahl)

im

den punct für dem

j«:

quadriere

Vcx2

Punkt als M alpunkt (S. 420, 421, 422),

absolut: ganzzahlig (S. 367),

»m ehrung ader w achsung«: V ergrößerung (S. 47),

»N un m ach den absolutischn teiler« (S. 376),

»m ensur ader Zal« (S. 70),

»abw achssung ader m inderung« (S. 47),

»abw achssung ader m inderung«: Verkleinerung (S. 47),

»an «: ohne (S. 265), »Z w en Zain ader quantiteten auffgehobn«: ins Verhältnis gesetzt (S. 556),

»so w er 1 eym er vm b 1 fl neher körnen«: w äre billiger ge­ kom m en (S. 261),

»Laß auff gehen«: kürze (S. 220),

»w ie im nesten exem pel gem elt«: w ie im vorigen Beispiel gezeigt (S. 375),

»das punct v or dem R adix außleschn«: W urzel w egsch af­ fen (S. 119),

»potencia« (S. 360),

»vindet sich beschwertt«: benachteiligt (S. 292),

»setz dise Z w ei Zeichn in die cleinste proportz«: ins klein­ ste Verhältnis setzen (S. 400),

»besoldu n g«: L ohn (S. 240), »Vbiß von 128«:

lfm

»produ ct«: Produkt (S. 365); Ergebnis (S. 494),

(S. 405),

»b öse«: geringwertig (S. 200), »Brich yeden Bruch«: um w andeln in gemischte Zahl (S. 559),

»D as mann N im m er m ehr ad punctum körnen m ag sonder auff das geneste«: m an erhält nicht den exakten, son­ dern einen Näherungswert (S. 75),

/ 55 /

Punkt als W urzelzeichen (S. 119, 120, 369), »vnd brufen kanst, das die Surdn w ie die andern eintreffen A uff das genehste vnd nicht In puncto«: und prüfen kannst, daß die Irrationalzahlen genauso w ie die ande­ ren nur näherungsweise zu finden sind und nicht exakt (in pu ncto) (S. 569), »w an Zw u Zain ader quantiteten auffgehobn«: ins Verhält­ nis gesetzt (S. 356), »w en Zw en quantitet außgelasen« im Beispiel mit a, dx3, gx6 (S. 411),

»Setz der vngenante teil sei 1 y«: die Unbekannte sei x (S.513), »vnw ißlich«: unbekannt (S. 182), »solche

vorbeut m an« ( ? ) (S .493),

»vorborgen «: unbekannt (S.211), »acht vorgleichung A lgebre«: acht Gleichungen des A lgebras (S. 109), »habenn beyd den Z olner vorgenugett«: zufriedengestellt (S. 261),

»quaß In der fastnacht« (S. 286),

»v om im (e)« ( ? ) (S. 377, 487, 489, 527, 530),

»R esoluir«: Fachausdruck in der P robe (S. 420),

»vorordent«: vererbt (S. 129),

»Rest 36 + « : bleibt 36 (S.475),

»nach vorschiner (S. 149 f., 203),

»sam elung«: Summe (S. 511), »auß surdischn vffm letzten scherff nicht Zu körnen«: aus Irrationalzahlen nicht den genauen W ert angeben k ön ­ nen (S. 372), »eine sch eu em «: Trinkgeschirr (S. 223),

Zeit«:

nach

der verflossenen

Zeit

»vorstechen«: stechen, tauschen (S. 281), »D er Cubus hab sein w achssung mit dreyen quadraten Vnd dreyen radicibus sampt dem C ubello«: (a + b )3 = a3 + 5a2b + 3ab2 + b 3 (S. 373),

signum: Potenz der Unbekannten (S. 109),

»W einhegker«: W einbauer (S. 281), »so seint bede teil w issent«: so sind beide Teile bekannt (S. 526), »Item 15 gesellen sein pey einem w olieb en « (S. 286),

»Z w en w ollen n miteinander stechen«: W are tauschen (S. 251),

»so er nicht w u ch em n w oltt«: keinen G ew inn haben (S. 229),

radix oder Supplement (S. 394),

W urzelhaken (S. 119, 120),

»Surd vnd Irrationalisch«: irrational (S. 378),

»mit der Zal der stett multiplicirtt«: mit der Anzahl der Glieder multipliziert (S. 38), Zeichen: Potenz der Unbekannten (S. 109), »so ... Zerrinnenn Im «: so fehlen ihm (S. 140),

»D ie proba ist schlecht«: die Probe ist einfach (S. 297), Schwäbische: M ünze ( ? ) (S.271),

terminus (S. 385, 392), »so hat a Zuuorgnugenn«: so besitzt a (S.200), »also vberkom et er«: erhält er (S. 264),

»Zusam enbrengung«: Sum m e (S. 360), »Zusam fugung«, »Zusam thuung«: Summe (S. 358),

»vierfechtig«: vierfach (S. 508), »m uß der (S. 281),

ander

D em

ersten

vnderlasenn«:

geben

»Z w eiteil«: Halbe (S. 367), »setz 17 stet in Zw ifacher auffsteigung«: setze 17 G lieder mit Quotient 2 (S. 40),

»pleibt 4 die vnderscheit«: Unterschied (S. 512), »D er vngem elt in sich gefurtt«: der unbekannte quadriert (S. 512),

»Zw irnt«: zweimal (S. 62).

/ 54 /

K O M M E N T A R ZUR »Coß« W OLFGANG KAUNZNER

9. C o ß 1 9.1. V O R W O R T V O N A D A M R I E S A U S D E M J A H R E 1524 S. l

Bei der Frage nach den Quellen zu seiner »C o ß « liefert A dam Ries selbst ausführliche H inw eise. Bezüglich der Algorithm en beruft er sich auf Algus, Boetius, A rchim edes usw. »Vnd den berum bstenn In der Zall erfam en A lgebram , D en A rabischem ! meister«, dem n och nie einer im mathematischen W issen gleichkam . D iese Angaben sind ziem lich willkürlich. »H ane igitur scientiam num erandi com pendiosam quidam philosophus edidit n om ine Algus, unde et A lgorism us nuncupatur« [Curtze 1897, S. 1] besagt, daß im »Algorism us vulgaris« des Johannes v on S acrobosco das W o rt A lg o ­ rismus v on einem Philosophen Algus hergeleitet w urde, w ährend es sich um eine mittelalterliche latei­ nische Verform ung des Namens al- H w ärizm l handelt; »A lgebras« kom m t von »al-gabr«. »A uch schw erlich vber in eyner körnen wirtt« soll ausdrücken, daß alHwärizmi in seinem Rechenbuch mit dem m utm aßli­ chen Titel »Kitäb al-Gam* wat-tafriq bi-hisäb al-Hind«, w o er die Grundrechenarten in den indischen Ziffern für die M uslim e und hierdurch auch für das A bendland aufbereitet hatte, w o h l kaum zu übertreffen sein wird. Dieses W erk [Vogel 1963; Crossley 1990] diente den abendländischen Algorithm en als Grundlage. Das »B uch v om dem ding« ist al- Hwärizmis »al-Kitäb almuJitasar fi hisäb al-gabr w a-l-m uqäbala«, also seine Glei­ chungslehre. Die W en dun g »auß arabischer In krichisch gesaezt von n A rchim edo« sollte man nicht einfach von der H and weisen, w enngleich Archim edes nicht in Frage kom m t; aber man kennt lateinische Bearbeitungen der »Algebra«, b ei denen m an zur Annahm e gelangen kann, daß sie von den M uslim en über griechische Vermittlung zu den Lateinern kamen. Solche Texte findet m an in den Handschriften Lyell 52 der B odleian Library O xford und Vat lat 4606 der Vati­ kanischen Bibliothek; es handelt sich um Abschriften aus dem frühen 14. Jh. [Kaunzner 1986]. Appuleius von M adaura soll um das Jahr 150 die Arithmetik des Nikom achos v on Gerasa ins Lateinische übertragen und mit neuen Beispielen versehen haben [Günther 1907, S. 146; Busard 1971, S. 103]; als Vermittler der A lgebra von al- Hwärizm l kom m t er nicht in Betracht. D er »erfam e« Mathematicus M agister Andreas A lexander aus Regensburg übertrug lateinische mathematische Texte ins Deutsche, »darnach vffs aller leichtest vnd gruntlichst w o l Zu begreyfen gefertigett Durch Adam

S. 2

S. 3

/ 55 /

Riesenn V om staffelstein« im Jahre 1524. Andreas A le­ xander w ird im Verlaufe der »C o ß « nicht nur einmal genannt, und jedesm al spricht Ries voller Hochachtung von diesem M ann, den m an in der Geschichte der M athematik n och nicht voll einordnen kann. A u f ihn und seinen Lehrer Aquinas Dacus, w o h l einen Augusti­ nerm önch, scheint sich ein Teil der Entwicklung der A lgebra in Deutschland an der W en d e vom 15. zum 16. Jh. zu stützen. Einem seinerzeitigen Brauch folgend, w idm et Ries seine Arbeit v on 1524 G eorg Stortz, D ok tor der Arznei in Erfurt. D em nach w a r er v on jenem angehalten w orden , »etwas dem gem eynen m an nützlich in trugk Zu gebenn«. Ries führt an, daß etwa die zweijährige Ausbildung bei den Rechenm eistern in Nürnberg zu keinem großen E rfolg bei den Schülern führe, »D an keynem exem pel Ist vnderrichtung Zu geschriebnn«, w en n sie eines der Lehrbücher zur H and nehm en. D em gegenüber spricht der Leipziger Professor Bal­ thasar Licht in seinem »Algorism us linealis« von etwa 1500 voller H ochachtung v on den N ürnberger Rechen­ meistern, ohne deren Fleiß die ganze Arithmetik im Dunkel läge [Vogel 1959, S. 19]. Dam als — und lange n och —w a r die dogm atische Lehrm ethode die Praxis im schriftlichen und m ündlichen Rechenunterricht, d. h., daß die A ufgaben oft unabhängig vom Schw ierig­ keitsgrad nach dem Grundsatz »T hu ihm also« vermit­ tels einer M erkregel behandelt wurden. D er nächste Aufgabentyp lief - meist auch mittels einer Faustregel und nicht algebraisch gelöst - nach einem neuen Prinzip ab. Ries standen - »V ber das hat m ir eur achtparkeitt auch erZelett, w ie seltzam w underlich auch vorfurisch rechenung etzlich furtragen, D er buchlein ich auch geschenckt em pfangen vnnd durch sehenn« Bücher von Jakob Köbel, Stadtschreiber von Oppenheim [Köbel 1514; K öbel 1520] und [Johannes W idmann [W idm ann 1489] zur Verfügung, ferner w ah r­ scheinlich die B am berger R echenbücher von 1482 und 1483 [W agner 1482; V ogel 1949/50; W agn er 1483]; die W erke von K öbel und W idm ann entsprachen nicht seinen Vorstellungen von einem zeitgemäßen M athe­ matikbuch. Ries erwähnt auch das Exem plar, »Darausß er (W id m a n n ) die fragstugk vnd anderß genum en«; nach heutigem W issen kom m en folgende W erke in Betracht: Clm 14908 aus Kloster St. Em ­ meram Regensburg [Vogel 1954], K odex 3 029 Öster­ reichische Nationalbibliothek W ien, Bam berger Rechenbuch 1483 [W agner 1483]; [Vogel 1959, S.54]. Stortz hatte Ries gebeten, auch »V ber die Algorithm i, so A lgebraß gesatzt, Zu schreibenn« - es handelt sich hier w o h l um eine Einleitung in die Arithmetik und in

9.2. E I N L E I T U N G I N D I E

die Gleichungslehre gem äß Bemerkung auf S. 4, Zeile 6 v on unten nachdem diese bisher nur lateinisch Vor­ lagen und somit schw er verständlich waren. Aus heu­ tiger Sicht ist ein lateinischer T ext v on damals freilich meist leichter zu verstehen als seine w örtliche deutsche

S. 4

Übersetzung. »D es ich m ich allew eg gewidertt« bedeutet offenbar, daß Ries diesem Anerbieten ursprünglich nicht gerne folgte, denn er verwies Stortz »an den w olerfa m en w olgelartenn M agistrum Henricum Gramatheum M athem aticum «, der kürzlich zu schreiben begon nen hatte, »auch etwas von der je (C o ß ) berurtt« - also auch über Algebra. Es handelt sich um H einrich Schreyber, den Verfasser des ersten bekannten gedruckten deutschen Algebrabuches [Schreyber 1521; M üller 1896]. Stortz drängte aber w eiter darauf, daß Ries über das W erk des Algebras schreibe, w eil »berurtter (d e r genannte) Heinrich schreyber, M athematicus vnd magister, sich vnderstehe D er A stronom ey itzt Zu diser Zeitt«. Ries hatte nach seinen eigenen W orten etliche Jahre lang Schule gehalten, »vil vnd m ancherley fragenn m ir Zu gekom en, Vleysigklich ersucht D ie selbigenn nichtt Zu bergenn, wieuil biß here gethan«. A u f W unsch von Stortz w erde er nun dieses algebraische W issen nicht auch geheim halten, w ie dies bisher oft der Fall gew esen war. A u f S. 187 oben bekräftigt er diese Aus­ sage und bestätigt hierdurch, daß zu seiner Zeit m athe­ matische - insbesondere algebraische - Kenntnisse vielfach nur unter dem Siegel der Verschwiegenheit bzw . gegen hohe Bezahlung w eitergegeben w urden. »D ie Algebra galt damals für eine Art geheim er Kunst, die der Eingeweihte seinen Schülern unter der B edin­ gung sie nicht zu veröffentlichen mittheilte« [Ger­ hardt 1867, S. 46f.]. »H abe ich eur achtparkeit b e g e m angesehenn ... die schwere |vnderweisung denn anhebendenn Vnd behaltung der vnderrichtung ... Zusam en gelesenn etzlich Algorithm i Auß eynem altenn vorw orffenen buch« bedeutet, daß er hiermit dem Begehren von Stortz folgte und und eine Rechenanleitung für A nhebende (A n fän ger) und deren Unterricht zusam­ menstellte aus einem alten verw orfenen Buch - es han­ delt sich hierbei w oh l auch um die gemeinsam e V or­ lage zu Philos 30 Göttingen, sow ie C8, C 349 und C405 Dresden (vgl. Kapitel 7.) - , w elches er von jenem »durch eur achtparkeitt treybenn« erhalten hatte. Dies könnte ein heute vielleicht in Dresden, Leipzig, Erfurt, M ünchen od er W ien liegendes Manuskript sein - falls n och vorhanden - , von w elchem der jetzige K odex Leipzig 136 L f 140 zumindest einen T eil der fraglichen Texte enthält. Sein fertiges Manuskript schickte er Stortz zu, w ob ei er voraussetzte, jener w erde es zum Druck bringen; dies folgt aus den W orten »das selbig gütlich in schütz habnn, das vorteydigen vo r den, die sprechn durffenn sey Zu schw er Zu begreiffen; D an ich h o ff gott lob , Das maul sol den selbigen, so sie es lesenn, ferner Zu gestopfftt w erdenn«. Lesen - w ie vo n Ries erhofft konnten seine N eider dieses Buch nicht. W arum es nicht gedruckt w urde, ist nicht bekannt. M an erkennt hieran aber, daß in M athematikerkreisen damals ein rauher Um gangston herrschte. Die W idm u n g der »C oß « stammt v on Freitag nach dem ersten Sonntag nach Ostern 1524, als Ries in Annaberg lebte. W äre die »C o ß « gedruckt w orden , dann hätte sie voraussichtlich breiten Anklang gefunden, w eil die v on Ries eingeführten cossischen Sym bole viel praktischer zu handhaben sind als die bei [Schreyber 1521].

ARITH M E TIK V or Behandlung der »A lgorithm i A lgebre« - w ar es eine Arithmetik, od er eine Gleichungslehre, oder beides? — geziem t es sich, den »Algorithm us de integris« und die anderen zu besprechen. S. 5

/ 56 /

9.2.1. D er Algorithm us de integris, d. h. die R echenvor­ schrift in ganzen Zahlen, behandelt Numeratio (Z ä h le n ), dann neben den vier Grundrechenarten n och D uplacio (V erd op p eln ), M ediacio (H albieren ), Progressio (R eih en leh re) und R adicum extractio (W u rzelziehen ). D ieser A ufbau hatte jahrhunderte­ lange Tradition, so w ie er im w esentlichen aus dem »R echenbuch« al- Hwärizmis folgt [Vogel 1963]. N achdem laut Ries bereits viele über diesen A lg o ­ rithmus geschrieben hatten, »etzlicher kurtz, etzlicher langk, w ie die all genent m ugen w erdenn«, führt er Algus, Boetius, Jordanus, Johannes de Muris und Gaspar Lachs auf; hierbei handelt es sich um einen in Paris w irkenden spanischen M athematiker, Logiker und Naturphilosophen; »N one o f Lax’s w orks is translated from the Latin, and copies o f the Originals are rare« [DSB 8, S. 100b]. Dies ist sehr interessant in Bezug au f Ries, w eil m an hieraus annehmen kann, daß er gut in Latein bew andert w ar; m an w eiß nicht, w o er Unterricht in dieser Sprache erhalten hatte [Vogel 1959, S. 20]. Es ist anzunehmen, daß Ries einiges aus den W erken von Lax kannte, die alle in Paris gedruckt w ord en w aren: Obligationes 1512; T er­ mini 1512; Insolubilia 1512; Proportiones 1515; Arithmetica speculatiua 1515. Gaspar Lax w ar ein seinerzeit sehr bekannter theoretischer W issenschaftler - in v oll­ kom m enem Gegensatz zu Ries, w ie m an ihn in seinen praktischen Rechenbüchern kennt: »G aspar Lax de syllogismis et alijs:habetur in S orbon a« [Gesner 1574, S. 218]; Ries w ird dort nicht erwähnt. »L ax od er Lachs, (Caspar) ein berühm ter Logicus seiner Zeit v on Sarinnena aus A ragonien, lehrte zu Anfänge des 16. Jahr­ hunderts zu Paris hernach in Saragossa, und schrieb verschiedene zur L ogic und Arithmetic gehörige Bücher, davon das de Syllogism o zu Paris 1481 ( ! ) und seine Arithmetica speculatiua et Proportiones, ib. 1515 gedruckt« [Zedier Band 16 1737, Sp. 1219]. H ier w äre es interessant zu erfahren, w elch e Schriften von Boetius, Jordanus, de M uris, Lax üsw. Ries damals zur Verfügung gestanden hatten [Vogel 1959, S. 35f.] - wahrscheinlich in Erfurt - , w o diese sich jetzt befinden und o b m an dort M arginalien v on seiner Hand nachw eisen kann. Ries erläutert folglich sein eigenes Ziel - näm lich praxisnah zu arbeiten — mit den W orten : »W il ich hiemit keines 1er (L eh re) vorw orffen habenn, sonder dir in deutscher sprach Beschreyben die Species, w elch e si gesatzt, in m asenn M an si itztt Zu vnser Zeitt, braucht vnd lertt«. E r bringt hierdurch zum Ausdruck, daß er die Lehrm ethoden v on keinem der Genannten verwirft, daß er aber seine eigenen W eg e einschlägt. Erstaunlich ist nur, daß er S acrobosco, dessen »A lgorism us vulgaris« gang und gäbe war, nicht mit aufzählt; sollte er Algus vielleicht mit Johannes v o n S acrobosco gleichsetzen, nachdem er ausdrücklich zwischen Algus und Algebras unter­ scheidet? 9 .2 .I.I. D ie Numeratio braucht zehn Figuren, also zehn

S. 6

S. 7

S. 8

S. 9f.

S. li

Ziffern, »w elchenn sie bildnuß gebenn haben«, die zehnte heißt »figura« od er »caracter nihil«. »A uß disen Zehen figum n ereugett, das die Z al in vnentliche vnd vnauffloßliche w eyß in die hohe vnd tieff erreiche, w ie dan kom en wirtt in den ductiones Algebre, A ida die Natur vnd kunst gantz stil steenn m uß«. Hierzu ein Merkvers: »Vnum dat finger, brücke duo significabit, Tercia dat schweynZagel, quatuor burstbogil signat, Quinque dat stebichen, sex w ed ir dat, septem gesperre, Octo dat kethe, sed nouem schlepkeul signat, Ringel cum finger decem tibi significabit, Si finger desit, ringel tibi nihil significabit«. Die näm lichen Verse stehen in den Handschriften Dresden C80, f. l r, und Leipzig 1470, f. 557r, beides ehe­ m alige Leipziger Universitätsmanuskripte. Zur heu­ tigen Lesart siehe [D eubner 1956, S. 80; Henrici 1913/14, S. 18]. »D ise possige habenn villeicht Zu erffurtt vrsprung gehabtt der sprach nach«, sagt Ries anschließend. Ob dies ein Hinweis auf Lehrm ethoden an den Erfurter Rechenschulen ist? Hierzu auch [Folkerts 1986, S. 181]. Große Zahlen w urden der. damaligen Gepflogenheit nach an den Tausenderstellen durch übergesetzte Punkte leichter überblickbar, so hieß 789635147 »sibenhundert tausent m al tausent Neunundachtzigk tausent mal tausent sechß hundertt tausent funffunddreissigk tausent ein hundertt vnd sibenunduiertzigk«. »Vorsihe m ich ein yd er mitler vornufftt w erde gnugsam en vorstandtt des Zelens in diser vnderrichtung begriffen habenn« nach Erläuterung des Stellen­ wertsystems bedeutet, daß er Numerieren nun hinrei­ chend erklärt hat. Ries geht anschließend darauf ein, daß Boetius, de M uris und andere »von stund ann« die spekulative Arithmetik in A ngriff nahm en und ein­ führten, w ob ei sie die Zahl in m ancherlei W eise ein­ teilten; sonderlich de M uris in numerus mathematicus und numerus naturalis mit der Unterteilung der letz­ teren in gerade und ungerade usw. Diese Art der Unterteilung ist älter und geht au f N ikom achos und Boetius zurück. Ries bezieht sich h ier offensichtlich auf die »Arithmetica com m unis« des Johannes de M uris »ex diui Seuerini Boetij Arithmetica«, ediert v o n G eorg Tannstetter, W ien 1515, sow ie au f die »Arithmetica speculativa« [Busard 1971], »W elches den anhebenden in keynen w egk Zu nutz erspriesen mag, D er halben w il ich m ich hie enthaltenn vnd dir von solchen nichts setzenn«; dies drückt deutlich aus, daß er in seinen Ausführungen nur W ert legt auf die praktische A nw en ­ dung der Arithmetik, d och gibt er jedem an der speku­ lativen Arithmetik Interessierten die »anw eysung ... in ire (B oetius; de M u ris) bucher alda nach ... w illen vnd gmut Zu lesen«. 9.2.I.2. A dd icio od er Zusam m engebung »so schreib das 0«, |»d er halben setz das 0« zeigt, daß die Null sächlich war. Die Richtigkeit einer R echenoperation erfolgt über die P robe; hier 1) »das eyne species die andere probirtt, A lß do ist Subtractio proba A ddicion is«; 2) P robe m od u lo 9; 3) Probe m odu lo 7 über die Reste; die früheren M athematiker hatten die Probe mit 7 »gew iser gesatztt auch geschätzt D an | die mit 9«. E r führt an, daß »Villeicht die vrsach, so irgents Zain in der prob mit 9 vorsatztt wurden, kom e die prob rechtt vnd w ere dannoch falsch«; so etwa, w enn man die N eunerprobe auf 363 anwenden m öchte, aber irrtümlich 336 schreibt, ergibt sich jeweils

Rest 3. »H irum b habn si mit 7 Zu p rob im n für gewiser angesehen«. Die Neuner- und die Siebenerprobe führt er vermit­ tels des Andreaskreuzes durch, w elches sich auch im Holzschnitt seines Brustbildes in [Ries 1550] findet: 4 2X 2. 4 Die Probe über das Andreaskreuz findet sich bereits bei [W idm ann 1489, f. 10rff.]. Er führte dieses Zeichen in seinem W a ppen [Annaberger Museumsblätter 7], gele­ gentlich w urde es direkt zum Em blem für A dam Ries gewählt, oft aber auch fälschlicherweise für die R ich­ tigkeit von 2*2 = 4 hingestellt. Das Andreaskreuz stammt aus der Bergmannspraxis: »Andreas-Creutz, ein Creutz in Gestalt des Buchstabens X. Die ErtzGänge m achen ein Andreas-Creutz, das ist so viel gesagt, w en n die Gänge geschoben übereinander setzen, und w ill m an den Ursprung dieser Redens-Art von der A ndreasbergischen M üntze herleiten, inmassen alsdann, w ann die Gänge ein Andreas-Creutz m achen, dieselben nicht quer übereinander setzen, son­ dern geschoben fallen, als w ie das Creutz auf gedachter M üntze steht, w ie ein X « [Zedier Band 2 1732, Sp. 189]. In seinen R echenbüchern verwendete Ries das Andreaskreuz nicht. Die Herleitung des zugehörigen Verfahrens findet sich nur hier in der »C oß «: X . Die Summe aus 7 869 und 8 796 soll m odu lo 9 geprobt w erden: 7869 7 8 6 9 m od 9 = 3 5X , 8796m od9 = 3 5X 3, 8 796 h f S. 12

16665 6789 3211

10000

3 + 3 = 6 m o d 9 = 6 5X 3, 1 6 6 6 5m od 9 = 6 3 X 3 .

6

6 7 8 9 m od 7 = 6 6 X 3211 m od 7 = 5 6X 5 4 6 + 5 = l l m o d 7 = 4 6X 5 4 10 000 m od 7 = 4 6X 5 4

D ie Reste m od u lo 7 w erden durch D ivision bestimmt.

Es kom m t darauf an, daß im Andreaskreuz oben und unten die gleichen Reste stehen.

S. 14 S. 15

9.2.I.5. Subtractio od er Abziehung, Abnehm ung »so setze schlechts (sch lich t) die ob er figur vnden«. 78 548 m od 9 = 5 5 X 97856 78548 19 508 m od 9 = 5 5X 3 19308

8

5 + 5 = 8 m od 9 = 8 5X 5

8

9 7 856m od 9 = 8 5 ^ 3

10000

7 896m od 7 = 0 0 X

7896

2104 m od 7 = 4 0X 4

2104

4 0 + 4 = 4 m o d 7 = 4 0X 4 10 000m od 7 = 4 0 X 4 4

9.2.I.4. D uplacio od er Zw iefachm achung und S. 17

/ 57 /

9.2.I.5. M ediacio od er H albm achung w urden gem äß der Tradition seit al- Hwärizm l als zwei selbständige Rechenoperationen ausgeführt [Vogel 1963, S. 21 und 46]. »D ise species wirtt ser vnd vil gebraucht«. D ie A uf­ gabe 8 6 4 2 :2 ist auch in dei; »R echenung nach der lenge«, f. 6r, enthalten [Beriet 1892, S. 17].

S. 18

67819 33 90972

S. 19

359091/2m o d 9 =

6% 6 % X

2x53 909y2m od 9 = 13

6y2X 13 4

13m od 9 =

4

6y2X13

6 7 8 1 9 m od 9 =

4

4 6y2^ :i3

S. 36

9.2.1.6. M ultiplicacio od e r Vielfältigung, M annigfältigung setzt das kleine Einmaleins voraus, das der Zeit gem äß in einer |viereckigen M ultiplikationstafel gelehrt wird. D rei »hübsche« R egeln zur M ultiplikation

S. 37

zweier Zahlen im Bereich bis 10 lauten: 1. ab = (a + b — 10)10 + (10 — a) (10 — b); »so setz die erste, Die ander laß farnn« bedeutet a + b — 10, »D a r­ nach besihe wiuil von ider figur biß auff 10 gebrichtt« heißt 10 - a bzw. 10 —b. A m Beispiel 8*7 folgt (8 + 7 - 1 0 ) 10 = 50 und ( 1 0 - 8 ) (10 - 7) = 2 -3 = 6; 50 + 6 = 56. s. 20 2. ab = (10 — a) (10 — b) + (a — (10 — b))10 mit Bei­ spiel 6*8. 3. ab = 10a - (10 —b)a mit Beispiel 6 -8 . Die erste und die dritte R egel finden sich auch bei [W idm ann 1489, f. 17vf.]. S. 21 Beim Übergang in den Zahlenraum bis 20 w ird freilich auch nur in W orten - vermittels folgender F or­ m eln vorgegangen, w o b e i 0 < a; b < 10: 1. (10 + a)b = ab + b •10 mit Beispiel 17*8. 2. (10 + a) (10 + b) = ab + 10(a + b) + 100 mit Bei­ spiel 17* 16. Beide M ethoden findet m an auch bei [W idm ann 1489, f. 18vf. und 19vf.]. S. 25 Nach Erläuterung der Multiplikation anhand ver­ schiedener Einzelfälle lehrt Ries »eyne andere w eyß, so S. 28 di alten gebraucht«. Das Beispiel 67 895 •79 643 |führt schließlich zum Ergebnis 5 407 363 285, w elches nicht stimmt, aber vom Prinzip her verständlich ist: Die nicht S. 38 m ehr benötigten Ziffern w erden bei diesem Verfahren jeweils durchgestrichen, ähnlich dem Vorgehen frü­ herer Völker. Jene löschten beim Rechnen auf ihren mit Sand oder Staub bedeckten Tafeln die nicht m ehr benötigten Ziffern [M enninger 1979, S. 140 und 231]. Die nächste M ethode, zwei Zahlen miteinander zu m ul­ tiplizieren, »Ist etwas schw er vnd irsam, der halben in keynem gebrauch«. Das Ergebnis v on 2 345 •35 folgt in einem einzigen Rechengang! M an nannte dies »multiplicare per crocetta« [M enninger 1979, S. 261]. S. 29 Eine v on Hans C onrad verw endete M eth ode: Im s. 39 Beispiel 78 965 •89 w ird jede Ziffer des M ultiplikanden mit jeder des M ultiplikators dem Stellenwert gem äß vervielfacht; ein Beispiel hierzu auch in der »R eche-' nung nach der lenge«, f. 112r [Beriet 1892, S. 19]. Die einzelnen Schritte sind w ie folgt ausgeführt: S. 40 S.30 9*5 = 45; 9*6 = 54; 9 •9 = 8 1 ;...; | 78965 8 - 7 = 56.

89 78545 6 3 2 14 67440 56428

s. 41

7027885

S. 34

S. 42

9.2.1.7. Diuisio od er Teilung A uch beim Dividieren w erden die behandelten Z if­ fern der Reihe nach durchgestrichen, so daß sich das Ergebnis schließlich direkt aus den nicht gestrichenen ablesen läßt. |Die A ufgabe 572 832 geteilt durch 72

/ .58 /

kom m t auch in der »R echenung nach der lenge«, f. 10v, v o r [Beriet 1892, S. 19]. Bei diesem Überwärtsdivi­ dieren entsteht ein segelähnliches Bild, deshalb die Bezeichnung »teylen yn galeyn« von Galeere, w ie [W id m ann 1489, f. 24v] dies bezeichnet. M an sehe hierzu auch [M enninger 1979, S. 140]. |D ie P robe erfolgt durch gegenläufige R echenoperation od er durch Rest­ probe m od 7 bzw. m o d 9, auszuführen im Andreas­ kreuz. Ergibt sich ein »vberpleibendes«, also ein Rest, dann w ird in der Probe w ie folgt verfahren: 978 564 geteilt 204. Die beiden ersten durch 789 ergibt 1240, Schritte: 3

in wn

18 209

m

ß 7ß 0 6 4| 12 7W 9

1 •7 = 7; 7 + 2 = 9; 7 und 9 streichen 1 -8 = 8; 8 + 9 = 17; 2 - 1 =_1; 8, 7 und 2 strei­ chen 1 -9 = 9; 9 + 9 = 18; 9 — 1 =_8; 9, 8 und 9 strei­ chen

2 - 7 = 14; 14 + 4 = 18; 7 und 18 streichen 2 - 8 = 16; 16 + 3 = 19; 4 - 1 =_3; 8, 9 und 4 strei­ chen 2 - 9 = 18; 1 8 + 2 = 25; 3 — 2 =_1; 9, 5 und 3 strei­ chen

0 7 ß 5 6 4 |1

n

Probe: 789 m od 9 = 6 6 X 1240 m od 9 = 7 6X 7

789m od 7 = 5 5 X 1240m od 7 = 1 5X1

3 6 -7 + 204m o d 9 = 5 6X 7

5 •1 + 204m od 7 = 6 5X1

5

978 564m o d 9 = 3 6X 7 3

6

6

978 564m od 7 = 6 5X1

6

9.2.1.8. Progressio o d e r Fortgehung, Fortzählung, behandelt 1. »Z ain die einnander nach volgen in natürlicher ordenung ader gleichn mittelnn«, also arithmetische Reihenlehre. »Vnd solt wissenn, das vnsere forfam n allein dise nachuolgende regel gebraucht vn d nicht vm bsch w eiff gem achtt«. H ierbei w ird nach den A us­ führungen von Ries nur unterschieden, ob bei arithme­ tischer Reihe die Sum m e aus A nfangs- und E ndglied gerade od er ungerade ist. D ie Anzahl der Glieder heißt jeweils »die Zal der stett«. 2. »so eyne Zal die andere vberdritt Zwifeltig, dreyfeltig, vierfeltig, funffeltig etc.«, also geom etrische Reihen, mit der in W orten ausgedrückten Summenr , aqn — a form e! sn = — 1— -—.

q-i

Gefragt w ird nach dem Preis der 32 H ufnägel eines Pferdes, die mit 1 3», 2 \ 4 3 j,... »in zw ifacher auffsteigung« bezahlt w erden ; auch in der »R echenung nach der lenge«, f. 55v [Beriet 1892, S. 2 0 f.]; bzw. |nach dem Preis v on 17 Schweinen, für die der Reihe nach 1 3», 3 3t, 9 3 »,... bezahlt werden. 9.2.I.9. Extractio Radicum oder Ausziehung der W urzel »N ach vnderrichtung vnser altenn«. Die »prim i ader incom positi« - die nur von der Unität, der M ensur aller Zahlen gezählt w erden - , w urden gemäß Ries von unseren Vorfahren w ie A lgebras, Euclides, Boetius, Jordanus etc. der Linie zugemessen, folglich »in keinem w egk vnd form radix m ag auß gezogen

S. 45f. w erdenn«. |»D ie w eyl nun die auß |zihung der

wurtzel allenthalbenn sere not vn d dinstlich ist des quadraten vnd cubics Nicht alleine Zu den Regelen A lgebre, sunder Zum visirn (F aßrechnung) vnd an dem n kunstenn«, w ill er Unterweisung geben »des quadraten w ie er w echst vnd nach vnderweisung A lgebre gesucht wirtt. V nd Zum andem n m al w ie die wurtzel gefundenn wirtt durch die, w elchen das buch A lgebre vorporgen n ist«; er w ill also auch die M ethoden v on den Mathematikern aufzeigen, die das Buch des Algebras nicht kennen. In dem v o n al-H wärizml überlieferten Text w ird n ur Quadratwurzelziehen behandelt [Vogel 1963, S. 39 nicht; S. 49 Erläuterung]. Ries bezieht sich auf Initius Algebras [Curtze 1902]. 1. Quadratwurzelziehen. »Im buch A lgebre gespro­ chen haben mag, alß 5 m ag m an keinen radix vinden, den grosten darinnen m ag man außsprechenn ader durch eine gelehende Zal vffs nehest kom enn«, d. h., m an versuche über die Form el (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 näherungsweise vorzugehen. Bei der Erläuterung dieser Form el in W orten bricht d er T ext auf S. 44 unten ab, der restliche Teil fehlt. S.44 2a. Kubikwurzelziehen. Diese beiden Seiten sind in a’ b der späteren Handschrift von Ries hier eingefügt. Es w äre m öglich, daß schon ihm das Fehlen der Original­ stellen bekannt w a r; das hieße,' daß er die »C o ß « nach der Übersendung mit W idm u n g an Stortz w ied er in Besitz hatte. Andernfalls w äre es denkbar, daß hier der entsprechende Abschnitt aus seinen späteren Arbeiten beim Binden im Jahre 1664 eingefügt w urde. In der Identität (5 + 4)3 = 53 + 3 •52 •4 + 3 •3 •42 + 43 heißt 4 »der wachssende Cubel«. S. 45 2b. Näherungs weise Kubikwurzelziehen lehrt er der damaligen Art gem äß, indem Nulltripel an den Radi­ kanden angehängt w erden, etwa

S. 51

S. 46 S. 47

S. 48 S. 49 S. 50

gezeigt

wird. al-Hwärizmi behandelte den Euklidischen A lg o ­ rithmus nicht. Ries bezieht sich hier auf die näm liche heute verschollene V orlage w ie der Schreiber von Philos 30 Göttingen, f. 100v-1 0 2 r [Curtze 1902, S .5 5 0 -552], bzw. w ie er selbst in C349, im lücken­ haften Text um f. 101 herum . S. 52

S. 54

S. 55

S. 56

9.2.2.2. Addition von Brüchen »wie si Zu vnser Zeit gebraucht wirtt, N ach dem w ie si di altenn gebrauchtt haben«. N och mitten in der Erläuterung der A ddition von Brüchen bricht der T ext ab, die ursprünglich folgende Seite fehlt. A u f S .5 5 -5 9 findet m an Schrift w ie S.44a/44b. Die eingefügten fü n f Seiten passen sinngem äß hierher, so daß m an annehm en könnte, Ries habe hier etwas evtl, verlorengegangenes später ersetzt. »D ie alten Vnser forfarn haben eynen gem einen N enner gemachtt, w an sie zwen ader m ehr teil Zusam en gethan haben«. Bei Bestimmen des Hauptnenners setze m an unter solche N enner ein o od er einen Punkt, w elch e in anderen enthalten sind.

S. 61

9.2.2.3. Subtraktion v on Brüchen »N ach der w eyß, so die altenn gebrauchtt habenn«: »Item % minus % von % minus %« bedeutet (% — %)

S. 62

" (% ~ % ) = 4/is [Tropfke 1980, S.120]. Bei einer kom plizierten A ufgabe »addir die bruch beyder parthey«.

S. 57

9.2.2.4. Duplieren und M edieren von Brüchen »Item Zwirnt % wiuil macht es« bedeutet V erdoppeln v o n 5/7.

^25 = ^25 000 000 000 :1 0 0 0 ergibt -||||-, Rest 454976.

größten gem einsam en Teilers, |w ie an

S. 65

* * *

S. 67

9.2.2. Algorithm us de M inuciis, d. h. Bruchrechnen 9.2.2.1. »D ie bruch lernenn kennen vnnd nennenn«. »D u soltt auch wissen, das % m ehr dan % ... ist also hinfurtt dan an ende geschieht abw achssung ader minderung. Also auch saltu m ergken, das % m inder dan % ... ist also hinfurtt wirtt m ehrung ader wachsunge piß in vnentliche Zalnn«. Geld- und Gewichtsumrechnungen. Eine Tafel, mit der Kürzen von Brüchen veranschau­ licht wird. »Sz'o aber eyne gebroch ne Zal so h och komett, Das mann beyde Zalnn, v o m im den Zeler vnd nenner in der figur vnd tafelnn (S .4 9 ) nicht haben m ag Vnd wiltt die selbig Zw u Zalnn alß Zeler V nd nenner in die geringsten vnd kleinsten Zain d och gleichförm ig den grossem n vorordenenn, so gebrauche volgen der lere, w elch e dan geezogenn auß dem dritten buch Algebre, der gleich stimet euclides In seinem sibenden buch an der ersten proposicion, Vnd laut nach deutscher sprach also«. Sofern Zähler und Nenner eines Bruches so große Zahlwerte bilden, daß sie in der Tafel zum Kürzen auf S.49 nicht herausgesucht w erden können, dann verfahre m an nach seinen W orten gem äß 3. Buch des Algebras bzw. gem äß Euklid V II-1; es handelt sich um den Euklidischen Algorithm us zur Bestimmung des

S. 68

S. 69

9.2.2.5. M ultiplikation von Brüchen »W iltu m ultiplicim Bruch vnd bruch mit gebrochn Vnnd gebrochen«, etwa » % vnd % M ultiplicir m ir mit % vnd y5«, heißt (% + %) •(% + %). H ier führt Ries + und - ein. Das M inuszeichen erscheint wahrscheinlich erstmals 1481 in der »D eut­ schen A lgebra« in C 80, f.368v, der Sächsischen Landes­ bibliothek Dresden [Vogel 1981, S .20 mit Fußn. 11], in M athem atikvorlesungen w erden 1486 in Leipzig Plusund M inuszeichen allgem ein verwendet, w ie in C 80 und K odex 1470 Leipzig zu sehen ist; im Druck erscheinen beide erstmals 1489 [W idm ann 1489, f.88r]. Ries schreibt: »m it dem Zeichenn pluß also + «, »mit dem Zeichen minus also —!— «. Bei der Aufgabe (% - %) •( 3/4 — y3) = 25/ 144 bemerkt er: »V onn disem wirstu clerlicher habenn Im A lgoritm o de additis et diminutis«, der erst S.330 folgt, gut 25 Jahre später geschrieben. 9.2.2.6. Division von Brüchen in allen Form en, die der seinerzeitigen T erm inologie nach behandelt wurden.

S. 70

Zähler und Nenner haben »gen einander gemeinschafftt«, »so si mitt eyner mensur ader Zal gezeltt mugen werden«, also einen gemeinsamen Teiler haben; man spricht von kommunizieren, etwa % und 7/i2 >wenn die Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

S. 73

»W iltu aber gebrochen vnnd gebrochen In gebro­ chen vnd gebrochenn teylenn«, etwa (% + %) •(% + %).

/ 59 /

S. 74

9 .2 .2 .7 .1. Reihenlehre bei Brüchen. 2. Quadratwurzelziehen. 2a. Bei B edarf w ird der Zähler bzw. der N enner zu einem Quadrat erweitert; etwa % =

S. 75

*% 4

= 2y36 > d. h.

V% ~ % bzw. 4% « %. »Vnd soltt wissen, das m ann N im m er m ehr ad punctum körnen m ag, sonder auff das geneste« drückt aus, daß m an beim W urzelziehen bei diesem Beispiel nicht den genauen W ert erhält, sondern eine N ähe­ rung. A ndere R edew endungen v on Ries in C oß 1 beim W urzelziehen w aren: »das punct v o r dem R adix außleschn«, »lesche auß das punct pey dem y (ra d ix ) « (S.119, R egel 19) und »lesche auß den punct für dem j«, »lesche auß das punct« (S. 120, R egel 20). In K od ex 5277 der Österreichischen Nationalbibliothek W ien, f.50r: »punctus de y deleatur«, »für ... in sich mit abw ischung des puncts«; f.52v: »P er punctum Intellige radicem « [Kaunzner 1970, S.256f.; Kaunzner 1972, S. 154 f. und 157]. __ „ 2b* ^

3000000 ' ' 4 0 0 0 0 0 0 ’ sodaß

/3 y

4

A uch Teile vo n Jahren, M onaten, W och en , Tagen, Stunden, M inuten, Sekunden lassen sich auf die ange­ gebene Art addieren, ebenso Geldbeträge, w obei hier 1 fl (G u ld en ) = 20 ß (S ch illin g ); 1 ß = 12h l (H eller) angesetzt ist. S. 86 2. Subtrahieren. S. 87 Ries spricht sow oh l v o n M o n d als auch von M onat, den er zu vier W o ch e n rechnet. Freimütig bekennt er »dan ich hab m ich nicht beflissenn der astronomey. S. 88 Das m ir |vorliehnn ist, w ill ich eynem itzlichn getreu­ lich mitteilenn«. Bei Gew ichtsum rechnungen gilt hier 1 M ark = 16 L ot; 1 Lot = 4 Quentchen; 1 Quent­ chen = 4 Pfennig; 1 Pfennig = 2 H ellergewicht, anders als w en n die norm alen U m rechnungen angesetzt w erden. Allgem ein gilt 1 Quentchen — 2 Pfennig; m an sehe hierzu etwa [Tropfke 1980, S.91f.]. S. 89 3. Duplieren ohne Beispiel. D er Text bricht ab. S. 85

*

geben w ird ; »das vberig laß fam n, tregt w en igk ausß«. 3. Kubikwurzelziehen. S. 76

5a. Ries empfiehlt die M eth ode -g- =

cL 3. *b2 *C3 Näherungswert der W urzel; |bzw . — = . ^ 5 .^ 3 und

S. 78

2_ 2 1 7 Näherungswert der W urzel, so 3 24 8 ' 5b. Erweitern mit einer Tausenderpotenz.

S. 79

9.2.2.8. Algorithm us de minutiis minutiarum, d.h. Brüche von Brüchen. |» % von % vierer funffteil«

S. 80

jfc

$

*

9.3. T H E O R I E D ER A LG E BR A ISC H E N GLEICH U N G EN

a* b2 .. und

S. 77

bedeutet

$

' 1752 als 2000 ange‘

Ries hatte seine 1524 in Annaberg abgeschlossene C oß 1 vielleicht schon ab 1515 konzipiert - siehe »C oß «, S.454 —, denn es ist unwahrscheinlich, daß er sie zwischen 1518 und 1525 in Erfurt [Vogel 1959, S.21] gleich ins reine schrieb. Dr.Stortz hatte ihm Fachlite­ ratur besorgt: die aufgeführten R echenbücher [K öbel 1514; Köbel 1520; W idm an n 1489] und das »alte vorw orffen e« Buch (S .2 -4 ), w elches m an aber n och nicht kennt. D er nun folgende eigentliche Hauptteil von C oß 1 besteht aus zwei Abschnitten: Theorie der alge­ braischen Gleichungen und Textbeispiele.

, eine Redew endung, die w ahr­

scheinlich auch bei den dam aligen G eldum rechnungen gebräuchlich war. 1. A d d ie re n .»% vonn % A ddir m ir Zu % vnd % von % 2 3 1 5 4 5 dreyer sib enteil« heißt — •— + — + .

* * * S. 109 »Z w eyner erkantnus der acht vorgleichung Algebre

S. 81 S. 82 S. 85

S. 84

2. 5. 4. 5. 6. lenn

Subtrahieren. Duplieren. M edieren. Multiplizieren. Dividieren. » % von n y3 eines halben dritteilß solgeteiltt w erdenn in % v on Vs dreyer virtel« heißt

9.2.2.9. »Algorithm us de signis, gradibus, minutis, secundis, tercys etc«. »H ie soltu m ergkenn, das die altenn meister Vnd beruffestenn der astronom ey 12 Zeichen dem Jar Zu geeigentt, eynem itzlichenn Z ei­ chen dreyssig grad gegebenn, eynen itzlichen grad in 60 minuten geteiltt, ein itzliche minut in 60 secund, Also hinfurtt habenn si die Resoluirung piß ane ende gehaltenn«. Die von Ries hier angesprochenen Sexagesim albrüche haben eine Jahrtausende alte Tradition und fanden A nw endung bis etwa zur Erfindung des Buchdrucks. M it der Verbreitung der indisch-arabi­ schen Ziffern ab dem 15. Jh. verloren die Sechziger­ brüche im m er m ehr an Bedeutung und w erden in den kaufmännischen R echenbüchern nicht m ehr behan­ delt. 1 Zeichen = 30 Grad; 1 Grad = 60 M inuten; 1 Minute = 60 Sekunden; 1 Sekunde = 60 Tertien usw. 1. Addieren.

/ 60 /

A der seyner regelnn auß solchnn g ecZ ogen « lehrt, w ie die acht »Vergleichungen« (G leichu n gen) des Algebras und die w eiter hieraus ableitbaren Regeln mittels der Zeichen od er Benennungen »proporcionalischer ordenung ane mittel einander nachuolgent« also x°, x, x 2, x 3 usw., »ader mittel darcZw ischenn« näm lich x k, x k+n, x k+ 2n usw> aufgebaut w erden. Die Nam en der Potenzen der Unbekannten, die »signa« (S. 109; 111), Zeichen od er Benennungen (S. 109), bürgern sich um diese Zeit in Fachkreisen erst allm ählich ein und bekom m en vor allem durch die Drucke von Christoff R udolff [R udolff 1525] und M ichael Stifel [Stifel 1544; Stifel 1545; Stifel 1555/54] diese hier bei Ries angedeutete viel breitere Bedeutung, die sich großenteils auf die Geom etrie stützt, als dies in den bis dahin vorhandenen Texten der Fall gew esen w ar [Dresden C 80; Leipzig 1470; Clm 26 639; Schreyber 1521], In einem Schem a führt Ries die Nam en für die Potenzen der algebraischen Unbekannten anhand der Potenzen von zwei ein. Die Konstante »D ragm a ader Numerus«, sie w ird jeweils n och mit angeschrieben, etwa 9 0 für die Zahl 9, »Das ist die Zal an ir selbest gesatzt gantz b lo ß «; die Unbekannte heißt »R adix ader C oß«, das ist »D ie wurtzel ader das dingk gnant w elchs geschwengert itzliche Zal Zu tragen«. Das W ort »C oß « für die Unbekannte w ird von anderen A utoren nicht so

häufig w ie hier verwendet. Insgesamt sieht man, daß auch bei den höheren Potenzen eine geom etrische Deutung versucht w ird, so bei x 4: »Ist ein flech, ent­ springende auß dem quadrat in sich seihest«; für x 5 steht »sursolidum «, hergeleitet aus »surdussolidus«, w ie A dam Ries in C 349, f. XXVIFf., erläutert. Bei Betrach­ tung des Schemas drängt sich d ie Vermutung auf, daß hier Stifel bei der Verallgem einerung dieser Gedanken in seinen W erken eine Anleihe gen om m en haben könnte; er kannte Arbeiten von Ries [Cantor 1900, S.422]. Nun folgen drei damals übliche Anw eisungen, die beim L ösen algebraischer G leichungen zu beachten sind, sinngemäß gleich w ie in C 80, f.350r [W appler 1887, S . l l ] : 1. D ie einzelnen Term e sind »a llew eg In die klein­ stem! proportz Zu setzenn«, also 16x6 = 2x9 w ird zu 16 = 2x3. S. 110 2. D er dam aligen Gepflogenheit nach ließ Ries in Gleichungen mit drei Gliedern nur positive Koeffi­ zienten zu. »Das du dich auch beuleisigest in die geringiste ordenung Zu setzenn« zeigt er, indem 65x2 = 3x5 + 2x4 übergeht in 65 = 3x + 2x2. 3. x k, x k+n, x k+ 2n in einer algebraischen Gleichung w erden vorher übergeführt in x°, x n, x 2n. Schließlich schreibt Ries, daß bei x, x 3, x 6 in einer G leichung »soltu wissen, das die vorgleichungen vnnd die nach gesetzten Regeln algebre solchs außZufum n in keinem w eg leyden w o lln «; »q u od si sic non fuerit, n on intrat apporismata algabre«, heißt es in C 80, f.350r [W appler 1887, S. 11; Cantor 1900, S.245 Fußn. 1].

Gleichungslehre mit ihrer unterschiedlich großen Anzahl v on Fallunterscheidungen (S. 109-122) zog A dam Ries ja nach seinen eigenen W orten das alte ver­ w orfene Buch heran. In K odex Leipzig 136 L f 140, f.71r- 7 3 r, stehen diese acht Gleichungsregeln lateinisch in der näm lichen R eihenfolge w ie in der »C oß «, S. 111 -1 1 5 , ebenso lateinisch in K odex W ien 5277, f . l l v- 1 3 r [Kaunzner 1972, S .136-138], ferner lateinisch und deutsch von eigener Hand in C 349, f. XXIXVXXXIIV. Aus einer solchen V orlage kann Ries dem nach auch den achten Gleichungstyp entnom m en haben; siehe [Cantor 1900, S.423]; m an begegnet dieser Form auch bei [R u dolff 1525, f.H IIr], [Kaunzner 1970 (1), S.9].

* * * Ries hat folgende Beispiele: 9.5.I.I. 6x = 24, dann »sol das wenigiste signum am nam en durch das groser nachuolgend geteylt w erden«, hier also x° durch x. D iese kom plizierte Ausdrucks­ weise zieht sich auch durch andere deutsche m athem a­ tische Texte aus dieser Zeit, nicht anders als bei Ries; »so teyl 0 in ]c, als 24 in 6, kom enn 4, souil ist valor radicis«. 9.5.I.2. 5x2 = 80. s.

x =

9 .3 .I.3 .189 = 7x3. 9.5.I.4. 5x4 = 405, dann »teyl 0 in $g« und »radix quadrata von dem radix quadrata bericht die frag«, also die Quadratwurzel aus der Quadratwurzel aus 81.

S. 111 9.3.1. »V olgenn hernach die A cht equaciones Algebre,

gecZ ogen n auß seynem erstenn buch genant gebra vnd alm uchabola, In w elch n Zwey Zeichenn in den ersten v iem einander vorgleicht w erden, Vnnd in den andern viernn drey Zeichnn«. al-Hwärizm i hatte in seiner »A lgebra« die Aufgabentypen b x = a; cx2 = a; cx2 = bx; cx2 + bx = a; cx2 + a = b x ; cx2 = a + b x behandelt, w ä h ­ rend Ries der Reihe nach b x = a; cx2 = a; dx3 = a; ex4 = a als die vier ersten und dann b x + cx2 = a; cx2 + a = b x ; cx2 = a + b x sowie eine der damals zu bewältigenden Kom binationen aus x k, x k+n, x k+ 2n v o r­ führt. Die Form en dx3 = a und ex 4 = a stehen auch in der »Lateinischen A lgebra« in C 80, f.350r [W appler 1887, S. 11], w o der Reihe nach d x3 = a; ex4 = a; axk = bx k+1; axk = cxk+2; axk = d x k+3; axk = exk+4 und anschließend auf f.350v die drei Fälle der quadrati­ schen Gleichung, aber durchgehend falsch gelöst, v o r­ geführt w erden [W appler 1887, S . l l f . ; Cantor 1900, S.245f.; S om m er 1929, S. 16]. In Clm 26 639, f. 15v, tritt der näm liche Fehler auf wie in C 80, daß etwa b x + cx2 = a zum Ergebnis

112

Bei den drei folgenden R egeln »teyl allemal die minsten Z w ey Zeichen durch das meist Zeichen«. Gemeint ist, daß zuerst durch den Koeffizienten bei Grad zwei zu teilen ist. Anschließend quadriere m an den Koeffi­ zienten bei Grad eins. In der quadratischen Gleichung w urden nur positive G lieder angesetzt, folglich erschienen die drei folgenden Fälle: S. 113 9 .5 .I.5 .1 2 x + 5x2 = 135.

führt. V on dort her kann Ries also

die Lösungsvorschriften für die quadratische Glei­ chung in C oß 1 nicht erhalten haben. Sie stammt auch nicht aus einem anderen Abschnitt in der »Lateini­ schen A lgebra« in C 80, f.551r [W appler 1887, S.13f.], ebenso in Clm 26 639, f. 15v, R egel 4 - 6 unten, dort wird nämlich der Gleichungstyp cx2 + a = b x insofern falsch gelöst, als im doppeldeutigen Ergebnis anstelle der W urzel eine Konstante 0 erscheint, so daß Xi, 2 = - £ - T P heißt [W appler 1887, S.15f.]. Als Grundlage für seine - w ie damals üblich - w eit­ schweifig angelegte Einführung in die algebraische

/ 61 /

Bei Behandlung v o n b x + cx2 = ä gibt es die eine

L8sung x=V(^)2+^ ~ ~ t'wobd t >o und x > 0, so w ie es die dam alige Gleichungslehre ver­ langte, die keine negativen Lösungen zuließ. V on der heute verwendeten Lösungsform x 2 + 4x —45 = 0 mit x i)2 = —2 ± -^4 + 45 = —2 ± 7 x = 7 — 2 = 5.

bleibt

bei

Ries

nur

9.5.I.6. 5x2 + 21 = 24x. Im Falle cx2 + a = b x fordert Ries, so w ie m an diesen Gleichungstyp damals aus der Tradition heraus seit al-Hwärizmi behandelte, die D oppellösung. E r ent­ nahm diese Anleitung spätestens im Jahre 1524 aus einer vermutlich lateinischen Vorlage und übertrug sie ins Deutsche. H ierbei könnte ihm ein Fehler unter­ laufen sein: »A lso die euserstenn Zw ey dem mittelsten, soll m an die wenigisten Zw ey durch das meyst teyln, Darnach den halbenn teyl des mittelsten Zeichenß in sich furenn, von solchm product das erste Zeichenn subtrahirnn, Alß dan wirt außweysen vom vberigen radix quadrata, hinzu gethan ader hinw egk genom en der halbe teyl des mittelen Zeichens, denn w erd des fragenden dinges« liefert die Ergebnisse falsch, denn

b 3. aus x 2 - — x + — = 0 folgt bei ihm die D oppellösu n g x i( 2 =

9.3.2. Aus diesen acht G leichungsform en leitete man 24 R egeln her, von denen die ersten sechs die vornehm ­ sten genannt w in den , w eil sie die Konstante, x und x 2 enthalten. D ie R eihenfolge bei Ries ist die näm liche w ie in C 80, f.551rf. [W appler 1887, S. 1 3 -1 5 ], und Clm 26 639, f. 15vf.; bei Ries sind die Num m ern 5,11 und 17 falsch, w ährend sie in den beiden anderen H and­ schriften bis au f einen eventuellen Schreibfehler richtig gelöst sind [W appler 1887, S. 14]. H ier m üssen noch sehr aufw endige V ergleiche einsetzen, um Klarheit schaffen zu können, denn sow oh l in der »D eutschen A lgebra« in C 80, f.568r-5 7 8 v [W appler 1887, S.4; V ogel 1981, S. 19,22 und 31—36], als auch in der »Latei­ nischen A lgebra« [W appler 1887, S. 1 2-15] treten ähn­ liche Beispielgruppen m ehrfach auf, die aber nicht übereinstimmen und auch gegenüber Ries abw eichen [Cantor 1900, S.423f.].

A ndere M athematiker

seiner Zeit bringen in lateinischen Texten das richtige Ergebnis, näm lich x 1)2 = - ^ - ±

~ — , meist

c

mit der Bemerkung, daß m an die W urzel addieren soll, falls m an sie nicht abziehen kann [Hughes 1989, S.34f.]. Bei Ries dürfte es sich um einen Übersetzungs­ fehler handeln, indem er anstelle eines Dativs »hinzu gethan ader hinw egk gen om en dem halben teyl« od er eines Ablativs » ... v om halben teyl« den Nom inativ wählte. So folgt bei Ries aus der G leichung x 2 — 8x + 7 = 0 gem äß seinen W orten »daruon nim das S. 114 erste Zeichenn alß 7, pleiben 9, |daruon ist radix quadrata 3, V on solchen kanstu nicht nem en den hal­ ben teil des mittelsten Zeichen alß 4, sonder gib 4 dem radix zw, k om en dir 7, souil ist valor radicis«. E r rechnet also x if 2 = J l 6 —Y + 4, w o b e i sich aus dam a­ liger Sicht 5 — 4 nicht bilden läßt. A n der entsprechenden Stelle in C 80, f.351r, steht: » ... radix est m edianda, medietas in se ducenda, a p roducto 0 est subtrahendus, radix residui debet de m edietate radice tolli, residuum est va lor rei. Q u od si 0 (rad ix residui) subtrahi n on potest, addere licet eundem « [W appler 1887, S.14]. Diese letzte Bem er­ kung ist falsch. Bei Initius Algebras in Philos 30 bzw. in C349, f. XLIIvf., ist die Aufgabe 18x = 28 + 2x2 auf die näm ­ liche Art falsch gelöst w ie in der »C oß «, näm lich 25 »dau on zihen w ir das erste, als 14, pleiben ; dauon

s.

9.5.2.I. b x = a. 9.3.2.2. a = cx2. 9.3.2.3. b x = cx 2. 9.5.2.4. a = b x + cx2 mit einer Lösung w ie Typ 5, S. 113. 9.3.2.5. b x = a + cx2. »N im vom radix den halben teyl p

S. 117 ader |gib dem radix quadrata Zu den halbenn teyl p so

d w nicht nem en magst, was dan körnet bericht di frag«. Seine Anw eisung ist w iederum falsch, w ie bei Typ 6, S.115f. 9.3.2.Ö. a + b x = cx2 hat die Lösung w ie Typ 7, S. 114. »V olgen die andern 18 Regeln, W elch e auch auß berurten acht equacionibus gen om en V on vn sem vorfa m n «:

nem en w ir radicem , khom en — . Nun sollen w ir den halbteil der y |subtrahim, m ugen nicht, deshalb ad d im 9 14 w ir — , facit zusamen , macht 7: souil ist p w erdt« [Curtze 1902, S.494f. und F u ß n .l auf S.495]. In K odex W ien 5277, f. 12v, ist der näm liche Gleichungstyp in lateinischem Text ohne Beispiel auf die gleiche Art falsch behandelt [Kaunzner 1972, S.138], So erweitert sich vermutlich der Kreis, in w elch em m an das »alte verw orfene« Buch als V orlage der Coß 1 von A dam Ries, Göttingen Philos 30, Dresden C 8, C 349 und C 405 suchen muß, denn auch W ien 5277 scheint kein Originaltext zu sein.

116

9.5.2.7. dx3 = cx2. »D ise R egel Ist auch in der ersten equacion begriffen«. 9.3.2.8. dx3 = bx. 9.5.2.9. dx3 = a. S. 118 9.3.2.10. b x = cx2 + dx3 |w ird zurückgeführt auf Typ 5.

9.3.2.11. cx2 = b x + dx3 mit falscher Anleitung w ie Typ 6, S.115f.

9.3.I.7. 27 + 24x = 5x2. Im Falle a + b x = cx2 folgt eine Lösung

9.3.2.12. dx3 = cx2 + b x w ie Typ 7. 9.3.2.13. ex4 = d x3.

9.5.I.8. Bei Kom binationen aus x k, x k+n, x k+2n verweist er auf die Lösungsm öglichkeiten in den R egeln fü n f bis S. 115 sieben, |gerechnet w ird 24 + 21x3 = 5x6, »A lso seinj hi Zw ey Zeichen offt berurter ordenung außgelasenn«; nach R egel sieben folgt x 3 = 8 und »kom en 2, souil ist dem radix auffgelegtt Zu tragenn; Das magstu prob im n in numeris absolutis, das ist in blosenn gesatztenn Zalnn des p; sprich 2 1 c v om p2 m achenn 168 (21 cubi vom radix 2 m achen 168) «.

9.3.2.14. ex4 = cx 2. 9.3.2.15. ex4 = bx. s. 119 9.3.2.16. cx2 = dx3 + ex4 läßt sich zurückführen auf Typ 5, deshalb »W il sich hie nicht leyden ferner den wint mit vnnutzenn w ortenn zu schlahenn«. 9.3.2.17. dx3 = cx2 + ex4 w ird falsch behandelt w ie Typ 6, S.115f. 9.3.2.18. ex4 = dx3 + cx2 w ie Typ 7.

/ 62 /

9.3.2.19. »S o $ vorgleicht w irt dem V v om radix, sol m an den i in sich m ultiplicim n vnnd das punct v o r dem Radix außleschn« bedeutet cx2 = V b x , w o b e i m an durch Quadrieren ztun Ergebnis kom m t. Einige M athem atiker setzten zu r Darstellung einer W urzel einen Punkt v o r den Radikanden, w oraus sich bei schnellem od er öfterem Schreiben der W urzel­ haken entwickelt haben w ird, w ie er hier bei Ries erscheint. »W isß dam ebenn, das dise R egel vnd die neheste nachuolgend nicht ehr sich in die vorgleichung algebre geben, dan die Zeichenn k om en zu gantzer irer m acht; fure der halbenn 1 j in sich, körnet 1 $$, lesche auß das punct pey dem y, kom en 1 jj gleich 8 y« zur Lösung v on »1 j ist gleich dem V v o n 8 y«. S. 120 9.3.2.20. cx2 = Vfx2 , »ß o i vorgleicht wirt dem V v om j,

ß o multiplicir den j in sich, darnach lesche auß den punct für dem j, so kumstu in die vorgleichung, das gleich wirtt dem j«; »radix von 36 $ alßo geschribenn V 36 $«. Hiermit erläutert er den W urzelhaken. 9.3.2.21. ex4 = a. »D ie drey N achuolgenden Regeln seint auß der achtenn equacionn A lgebre vorhin bem eltt genom enn«: 9.3.2.22. a = cx2 + ex4, »so teyl 0 + j in den jj« mit Ver­ weis auf die Typen 5 und 2. 9.3.2.23. cx2 = a + ex4 w ird falsch gelöst als

4 2= ^

—— +

c

nach d er A ngabe bei T^p 6,

S.113f. S. 121 9.3.2.24. ex4 = cx2 + a. »D ise Regel hat im n vrsprungk

auß der achtenn equacionn« mit H inw eis auf Typ 7 und 2.

Seine bisherige Vorlage, näm lich zu S .4 -8 9 und S. 109-122, kann also nicht die »A lgebra« al-Hwärizmis gew esen sein, sondern vermutlich eine spätmittelalter­ liche Bearbeitung. Es ist naheliegend, daß es sich um einen Text handelte, der mit Johannes Regiom ontanus, Aquinas Dacus, Johannes W idm ann od er Andreas A lexan der in B eziehung steht. Ries verweist m ehrere M ale in C oß 1 und C oß 2 in überschw englichen W orten au f Andreas A lexander - m an sehe auch in den späteren Coß-Abschriften Dresden C 461, S.2, 60, 201, 284,291, 298, 306, 320,424 bzw. C 467, f . l v, 20r, 60v, 81v, 83r, 84v, 86v, 89v, aber gerade hier schweigt er sich nochm als - w ie auf S.4 - aus. Als diese heute nicht bekannte Q uelle kom m t verm utlich ein M anu­ skript in Betracht, w elches m an in Erfurt, Dresden, Leipzig, M ünchen od er auch W ien suchen könnte; dieses w äre dann vielleicht als Grundlage von »Initius A lgebras« und som it v on Göttingen Philos 30, Dresden C 8, C 349 und C 405 anzusprechen, ferner von Leipzig 136 L f 140 und eventuell auch v on W ien 5277. Die dam alige Gleichungslehre basierte au f ungleich breiten Fundamenten. Dies spielte eine R olle bei den W issenschaftlern, die sich im 14. und 15. Jh. in Italien mit algebraischen Fragestellungen abgaben und bildet auch ein Kennzeichen der deutschen Coß. M ichael Stifel führte schließlich die bis dahin unterschiedlich bearbeiteten Fälle der quadratischen Gleichung - sie durften nur positive Koeffizienten enthalten - auf einen einzigen zurück, w o b e i nichtreelle Ergebnisse n och auszuschließen w aren [Stifel 1544, f.227v]. Ob Ries m it der A ndeutung au f den D ruck eines w ei­ teren W erkes seine C oß 2 meinte, die vermutlich die ganze dam alige Gleichungslehre mit Beispielen umfassen sollte, od er eine andere Abhandlung, w o er die acht Fälle ausführlich behandeln w ollte, etwa C 349, dies bleibt w o h l weiterhin eine ungelöste Frage.

* * * *

* * * Das bisherige entnahm A dam Ries zumindest zum Teil dem alten verw orfenen Buch. N ach Erläuterung der 24 Gleichungsregeln ist nun die Nahtstelle bezüglich der Vorlagen erreicht, aus denen er seine frühen alge­ braischen Kenntnisse bezogen hatte. Diese interessante Textstelle w ird vielleicht n och auf m ancherlei Art inter­ pretiert werden. W ir erfahren, daß unsere Vorfahren diese 24 Regeln aus den acht Gleichungstypen des Algebras herleiteten, daipit die A nfänger »eynen pessem vorstant schopffenn m ugenn«, od er w eil die Lehre des Algebras nicht zur Verfügung stand. W äre m an im Besitz der acht Regeln gewesen, hätten sie nicht »ferner vm bschw eiff gem acht« od er gar alle Kom binationen bis zum Grad neun aufgeführt, näm lich insgesamt 90. Dies w äre frei­ lich »dem gem eynenn m ann schw er im sin Zu behalS. 122 ten, der halbenn A lgebras w o l Z w hertzen genom en proporcionalische ordenung« mit den acht aufge­ führten Fällen, w elch e Ries »auß seinem buch g ecZ ogenn«. Diese w ollte er mit Beispielen und Fragstücken versehen »Z u r an d em n Zeit mit d en algorithmis D ar Zu dinenden In tag« geben; hier je d o ch w o lle und w erde er die E xem pel erklären, so w ie er sie zu den 24 R egeln »In eynem altenn lateinischn für viel Jam n geschribenn buch gefunden« hat, und zwar im heutigen K odex Dresden C 80.

/ 63 /

9.4. T E X T A U F G A B E N Anders verhält es sich mit den v on [Beriet 1860; Beriet 1892] edierten A ufgaben (l)-(9 5 ), denn sie sind fast durchgehend aus C 80 entnom m en [W appler 1887, S. 5 - 9 und 1 6 -1 9 ]; ein T eil hiervon entstammt der d or­ tigen »Lateinischen A lgebra«. Später hierzu anstehende Textvergleiche können von der vollständigen Edition der »Lateinischen A lgebra« in C 80, f. 550r-3 6 4 v [W appler 1887, S. 1 1 -3 0 ], aus­ gehen, denn die genannte Handschrift ist durch W as­ sereinwirkung w ährend des letzten Krieges stark beschädigt, so daß vieles nicht od er fast nicht m ehr lesbar ist. D ie »Lateinische A lgebra« findet sich auch in K odex Leipzig 1470, f. 479r bis 493v, ebenfalls Leipziger Vorlesungsm anuskript v on 1486; Randnotizen auf f. 442v und 449r könnten von Ries stam men [Kaunzner 1968, S. 40]. In den letzten Jahren tauchte ein weiteres Manuskript mit dem näm lichen Text auf, und zwar C lm 26 639, f. 15r- 1 8 v; dieser K odex lag bis 1876 unter dem anonym en Titel »R echnungsbuch« mit der Signatur N o 64 in Regensburg. Die Schrift in Clm 26 639 ist m anchm al der v on Ries täuschend ähn­ lich, so daß m an m einen könnte, Ries als Schreiber v or sich zu haben, w en n nicht dem gegenüber einzelne Buchstaben, etwa e und r, völlig anders als in der

»G oß « geschrieben wären. Hier w erden n och ausführ­ liche Untersuchungen zur Geschichte der A lgebra im 15./16. Jh. ansetzen müssen, um diese verwickelten Querverbindungen näher aufzuzeigen. In C lm 26659 befindet sich - m an kennt keinen anderen Parallel­ text - auf f. l r- 6 v die derzeit einzige bekannte m ögliche lateinische Vorlage zu W idm anns Geom etrie in seinem deutschen Rechenbuch [W idm ann 1489; Kaunzner 1978]. W as hier nur angedeutet w erden kann, ließe sich dann ebenfalls in einem sehr aufwendigen Vergleich anhand der Originale feststellen: Hat Ries auch A uf­ gaben aus Clm 26 639 bezogen, der vielleicht von Andreas A lexander geschrieben w ord en w ar? Denn m an fragt sich, durch w en und w ann dieses W erk nach Regensburg gelangte. Es ist das große Verdienst von [Beriet 1860; Beriet 1892 ist unveränderter N achdruck mit anderer Seitenan­ gabe], daß er die Theorie aus Riesens C oß 1 [Beriet 1892, S. 3 5 -4 1 ], ferner 143 Beispiele aus Coß 1 und eines aus C oß 2 zumindest im Ansatz zugänglich machte [Beriet 1892, S. 4 1 -6 2 ]. H ierdurch ist aber eine Unsicherheit über Inhalt und Bedeutung des Gesamt­ werkes von A dam Ries entstanden, w eil m an fast durchw egs nur auf [Beriet 1860; Beriet 1892] zurück­ greifen konnte. Die »C o ß « von Ries ist aber viel um fas­ sender; so müssen alle bisherigen Aussagen über die »C oß « geändert bzw. ergänzt w erden, w eil jetzt, nachdem dieses Buch originalgetreu zugänglich ist, auch die v on [Beriet 1892] nicht mit abgedruckten A uf­ gaben auf ihre Quellen hin untersucht w erden können. Dies gilt speziell für die Abhängigkeit von Leonardo von Pisa [B oncom pagni 1857; Treutlein 1879, S. 121 f.], A braham ibn Ezra [Libri 1838, S. 3 0 4 -3 6 5 ; W appler 1887, S. lf.], Jordanus Nem orarius und Johannes de Muris. Die Beispiele aus Coß 1 w erd en zum leichteren Ver­ ständnis auf unterschiedliche Art durchnumeriert (vgl. Kapitel 6.): 1), 2 ) ,... ab S. 122 verm utlich v on Martin Kupffer; [65 ] , . . . mit Unterbrechungen ab S. 156 vermutlich v on Kupffer; (1), (2 ) ,... ab S. 122 v on Bruno Beriet; )19(, )2 0 (,... auf S. 205 und ab S. 217 von unbe­ kannter Hand; ebenso {2 } ,... ab S. 305. Vorgesetzte ^Sternchen geben prinzipm äßige Ü berein­ stimmung v o n A ufgaben in C oß 1 und C oß 2 an. Hiermit soll angedeutet w erden, w elch e v on den n och vorhandenen Fragestellungen von Ries in C oß 2 aus C oß 1 übernom m en w ord en w aren; wieviel fehlt, läßt sich nicht sagen. Die Blattzählung 2 -1 9 auf den unge­ raden S. 109-143 rechts oben stammt von Ries. Ries sagt v o r Beginn der einzelnen A ufgabengruppen jeweils, w oh er die Beispiele stammen. Seine Auskünfte sind freilich für uns undeutlich: [Beriet 1860; Beriet 1892] konnte die Quellen von Ries nicht nennen. [Gerhardt 1867, S. 49] stützt sich auf [Beriet 1860]. [Treutlein 1879, S. 121-123] b ezog sich auf [Beriet 1860], berichtigte aber dessen Ansicht, daß »das alte buch ader die exem pla A ndree Alexandri« - siehe »C oß «, S. 454 - ein und dasselbe W erk seien [Beriet

/ 64 /

1860, S. 20 Fußn. *) und S. 27 Fußn. *)], er wußte aber n och nicht, w oh er Ries seine Exem pla genom m en hatte. Er stellte fest, daß »in dem von Riese benützten >alten verw orffenen Buch< zum mindesten eine Blu­ menlese von Beispielen nach F ibonacci’s Abbacus ent­ halten gew esen ist« [Treutlein 1879, S. 122] und bringt [Treutlein 1879, S. 122 Fußn. *)] eine num m ernm äßige Gegenüberstellung vo n 21 bzw. 25 A ufgaben aus der »C o ß « von Ries und L eonardo v on Pisa [B oncom pagni 1857]; er behauptet ferner, daß die Aufgaben (54)-(67) bei [Beriet 1860; Beriet 1892, S. 4 8 f.] dem »L iber augmenti et dim inutionis« entstammen [Treutlein 1879, S. 122], der vielleicht auf Abraham ibn Ezra »secundum sapientes Indos« [Libri 1838, S. 124 Fußn. 1 und S. 304-365] zurückgeht. Diese Beispiele haben aller­ dings in der Übersetzung durch Ries oft eine andere Einkleidung als bei [Libri 1838] und nicht im m er den­ selben W ortlaut, w ie [Vogel 1959, S. 35 Fußn. 8] gegen ­ über [Treutlein 1879, S. 122] feststellt; etwa [Libri 1838, S. 305]: »Est census de quo ejus tertia dempta, et x2 x2 quarta, fuit octo quod remansit«, also x 2 — - ----- — = 8;

O

aber in der »C oß «, S. 157, Bsp. 81): »Item eyner hat gelt,

1

vorspilt daruon — vn d

1

beheltt 8 fl«.

[W appler 1887, S. 5] fand heraus, daß C 80 eine Hauptquelle v on Ries war, w eil jener viele E xem pel »In eynem altenn lateinischn für viel Jam n geschribenn buch gefunden« hatte (S. 122); doch auch er bezieht sich mit seinen Gegenüberstellungen auf [Beriet 1860]. Die leider nur kurze A bhandlung [Som m er 1929] stützt sich auf das Original von A dam Ries in Annaberg. V on [Vogel 1959] stam men weitere Untersuchungen zur Abhängigkeit der »C o ß « von K odex Dresden C80 mit Bezug auf [Beriet 1892]. , D er A bhandlung v o n [Saemann 1964] liegen direkte Untersuchungen der »C o ß « zugrunde im Vergleich mit den D resdener Kodizes C80, C349 und C461. [W ußing 1985; W u ß in g 1986] greift auch au f die »C o ß « zurück. Derzeit läßt sich sagen: 36 Aufgaben der Num ­ m ern l) - 3 7 ) aus Coß 1 stehen in der näm lichen R ei­ henfolge lateinisch in C80, f. 352v-3 5 5 r, abgedruckt bei [W appler 1887, S. 1 6 -1 9 ], w o b e i Ries anscheinend aus einer Fragestellung in C80 Nr. 35) und 34) in der »C oß « herleitete. Die Nr. (3 8 )-(5 3 ) aus der Feder von Johannes W idm ann [V ogel 1959, S. 35 mit Fußn. 6] b e­ finden sich am Rand v o n C80, f. 550r-3 6 4 v [W appler 1887, S. 5], innerhalb der »Lateinischen A lgebra«; ob dies auch für die Beispiele 44), 48), 49), 53), 57), 58), 59) gilt, läßt sich nicht m ehr entscheiden, ist aber anzu­ nehm en. W o Nr. 6 1 )-8 0 ) in C80 zu finden sind, w ie Ries S. 151 sagt, ist n och offen. Nr. 81)-103) ent­ stammen im Prinzip in der näm lichen R eihenfolge dem »L iber augmenti et dim inutionis« [Libri 1838, S. 3 0 4 -365], w o b e i die dortigen Zahlwerte mit A us­ nahm e von 95), 98) und 99) mit denen von Ries über­ einstimmen; dieser T ext steht in C80, f. 597v-4 0 7 r, ist jed och nicht m ehr lesbar [Kaunzner 1968, S. 39]. Nr. 104)-137) sind wahrscheinlich zum Teil C 80, f. 294r-3 0 1 r, entnom m en [W appler 1887, S. 7 -9 ], w eil dort Randbem erkungen von Ries stehen; dieser Teil der Handschrift ist nicht m ehr zu lesen [Kaunzner 1968, S. 35]. Nr. 133)-135) ist nach drei Beispielen der

»D eutschen A lgebra« gebildet [W appler 1887, S. 7], w ob ei 134) auf S. 183 der »C oß « mit gleichen Zahl­ werten in C80, f. 372v, steht [V ogel 1981, S. 29 mit Fußn. 5]; Nr. 136) ist Aufgabe II—23 aus den »D ata« des Jordanus [Hughes 1981, S. 79f.] *

*

10 S. 125 8); (8). 10 in zwei Teile zerlegen:

9); (9). 10 in zw ei Teile zerlegen, »so ich denn erstenn teyl mit 4 hinw egk nim vnd den a n dem n mit 1«, daß die Summe dieser beiden Quotienten 4 ergibt:

*

In C oß 1 führt Ries die seinerzeit in der G leichungs­ lehre gängigen R egeln au f und praktiziert in den Texten anschließend nur die erste bx = a; die Bem er­ kung auf S. 324 »keyner w erde andere für tragenn, der vnderrichtung hie nicht beschriben ist« besagt, daß nie­ m and weitere Fragestellungen zur ersten R egel ersinnen könnte, deren M eth ode hier aus seinem K on­ zept nicht klar zu erkennen w äre. Dies ist heute nicht ohne weiteres einzusehen, wird aber durch die dam a­ lige Praxis verständlich, w o solch e Beispiele w ie hier auf verschiedene Art gelöst wurden, etwa durch Erraten, über die Proportion, durch falschen Ansatz; Ries ging algebraisch vor. Das Hauptverdienst der Cossisten lag darin, die auch für Fachleute nur schw er zugänglichen algebraischen Kenntnisse vermittels sym bolischer Form en verbreitet zu haben, oft eingebettet in einen Text in ihrer Mutter­ sprache. A dam Ries kom m t hier erhebliches Verdienst zu. Dieser Teil des nachgelassenen Gesamtwerkes von Ries, näm lich die algebraischen Textaufgaben, gab M artin Kupffer offensichtlich Anlaß, den ganzen Sam ­ m elband »C oß « zu nennen.

x , 10 —x 4 1 S. 126 10); (10). 60 c = x + 5 ;d = 11); (11). 60 c = x + 8; d =

,

~T + — i----- = 4.

in vier Teile zerlegen: a = x ; b = x + 2; x + 9. in fü n f Teile zerlegen: a = x ; b = x + 3; x + 15; e = x + 24.

S.127 12);(12). 2 y x = 1 9 .

13)

; (13). 56x = 15.

14)

; (1 4 ).- | x = 1 3 .

15)

; (15). y x = 1 3 y .

16)

; (16). y x = 18.

S. 128 17); (17). y x _ 18. 18)

;(1 8 ). x - y - y = 9 y .

19); (19).

=9. 7 *2*

20)

; (20). x •y •y = 24. 107

* * #

S. 129 21); (21). x ( l + % + y4 + %) = 107; —

Im folgenden w ird auf die Theorie der algebraischen Gleichungen aus Coß 1 eingegangen, anschließend w erden die Beispiele prinzipm äßig in der w ahrschein­ lich v on Kupffer herrührenden N um erierung l)-2 9 5 ) von S. 122-297 aufgelistet, und zw ar so, daß die F or­ m ulierung der Frage von Ries b zw . die zugehörige algebraische Gleichung angeschrieben und auf Beson­ derheiten im R echengang verwiesen wird. Aus den hierauf folgenden Aufgaben 2 9 4 )-3 22 ) von S. 2 98-323, die z. T. unterbestimmte Systeme von M ischungsrech­ nungen behandeln, w ird eine Ausw ahl getroffen. * * * * S. 122 9.4;1. »V olgende E xem pel erclem die erste Regel,

W elch e do ist, So Radix vorgleicht wirt dem 0. Thu w ie berurt ist«. Es sind Aufgaben der Gruppe b x = a. 1); (1). 10 in zwei Teile zerlegen, so daß Quotient 5;

S. 125 2); (2). 10 in zwei Teile zerlegen, »w ie Im nehesten

gescheenn«, also im vorhergehenden Beispiel, so daß X

Quotient 6. »V olfure es durch die cosß«: ^ _

= 6.

»W iltu aber die cosß in disem exem pel nicht gebrauchenn«, dann w ird nach einer M erkregel vorgegangen. 3) ; (3). 10 in zwei Teile zerlegen, so daß Quotient 10. 4 ) ; (4). 1 in zwei Teile zerlegen, so daß Quotient 1000. 5) ; (5). Zw ei um 2 verschiedene Sum m anden ergeben 10: x + (x + 2) = 10. S. 124 6); (6). Z w ei um Vs verschiedene Sum m anden ergeben

22); (22). ——y

— •2 •y = 60.

23); (23). Ein Vater hat vier Söhne: x (1 - 5 4 - 54 - 5 4 )- 9 2 . S. 130 24); (24). Vier Gesellen teüen 100 fl:

x ( 2 4 + 12 + 4 + 1 ) = 100. Die folgenden sechs Beispiele zählt m an zum Problem ­ kreis »G eben und N ehm en« aus der Unterhaltungsma­ thematik [Tropfke 1980, S. 60 9 -6 1 1 ]. H ier lag einer der frühen Ansatzpunkte für lineare Gleichungssysteme, so w ie man diese A ufgaben heute löst. Geschickt führt Ries diese Fragestellungen - auch w en n drei oder später m ehr Unbekannte nötig w ären - auf den Typ b x = a zurück. H ier könnte nur ein Blick in seine V or­ lage in C80 darüber Auskunft geben, ob er den entspre­ chenden Text lediglich übersetzte, oder ob er zusätzlich seine eigene Art der Bearbeitung wählte. 25); (25). 2 (x - 1) = x + 5. S. 151 26); (26). A hat x Pfennige, B hat x + 2 Pfennige; w enn A dem B einen Pfennig gibt, hat B dreimal soviel w ie A : 3 (x — 1) = x + 3. 27) ; (27). W en n A x Pfennige und B y Pfennige hat, dann folgt aus der Forderung des A : x + 1 = 10 (y — 1); x , 11 x + 11 , . y - 10 + 10 ; 2 0 (x 10 L 28) ; (28). Nicht gerechnet. Gefragt wäre 5 ( x - 1) = —4?— + 1. B x y x + l = y - l ; y = x + 2;z+l = 3(x-l). y + 5 x + 5 ; z = 3x - 4. y + 1 — 2 (z — 1); z =

S. 152 29); (29). Drei Gesellen haben Geld:

10.

5 CIO- x")

x =107.

1

7); (7). 10 in zwei T eüe zerle g e n :------ --— ~ = 3 — .

/ 65 /

H ierdurch ist alles au f den Geldbetrag von A zurückge­ führt. S. 135 50); (50). D rei Gesellen haben Geld: ^

x

^ y

z

x + l = y — l ; y = x + 2. y + 2 = 2 (z — 2); z = Aus

der

letzten

. Forderung

z + 5 = 5 (x — 5)

w ird

x " f- 8

— ------ H5 = 5 (x — 5), und hieraus w ird x bestimmt zu

44). 8 (x + 4) = l l x : Beim W arentausch od er Stich w urde die abgegebene W are h öher im Preis angesetzt, als w en n sie um Geld verkauft w ord en wäre. S. 141 45); (44). D iese Aufgabe mit zwei Unbekannten umgeht Ries dadurch, daß er die Geldm enge von B mit 1 0 > lx ansetzt: »setz a hab lp, D em B setz ein Zal w ie du wilt, D ann auff disß exem pel m ugenn als vil facit gem achet w erdenn, alß offt m an eyn andere Zal nimet. D er halben nim ich für m ich Vnd w il setzen b hab gehabtt 1 0, Vnnd ist m ehr dan a hatt«. Z w ei Gesellen haben Geld, A hat x, B hat y, w ob ei y > x. B gibt A so viel w ie A hat und vom Rest die v —x 3 v Hälfte, so daß A nun hat x + x + J = —x + .

4

51); (51). Solche Aufgaben zählt m an zum Problem ­ kreis »E iner allein kann nicht kaufen« [Tropfke 1980, S. 608 f.]. D rei Leute A, B, C w ollen ein Pferd kaufen, benötigen hierzu v on einem der anderen Geld. Ries führt entsprechend den vorhergehenden A ufgaben hier

Jetzt hat A gegenüber dem ursprünglichen Betrag von B um so viel m ehr w ie er ursprünglich w en iger hatte, also / 5 y\ 5 ( 2 *x + y ) - y = y - x ; x = — j . Ries setzty = 1 0, so

aus x + -^- = y + — = z + — = 100 alles auf den Betrag

5 daß x = -g-0, dann n och 0 = 1 fl. D iese Aufgabe ist von

v on A zurück. - M an sehe Aufgaben 50) und 156) auf S. 144 und 184 in der folgenden Bearbeitung. S. 135 52); (52). 50x + 6 = 40x: Einer w ill Butter kaufen. 55); (55). Alter eines Sohnes: x (1 + 1 + % + % + %) + 2 = 100. 54); (54). Ich habe Geld:

x(i + 1 + %+y3+%) —2 = ioo. S. 136 55); (55). Ä pfel in einem Garten mit vier T oren und

X

••

T orw ächtern; beginnt damit, daß jem and — + 1 Ä pfel w eggibt und

[W appler 1887, S. 5 -7 ] nicht mit abgedruckt, am Rand ist sie in G 80 nicht m eh r identifizierbar. x 46); (45). 5x = — + 5: Z w ei Gesellen fanden einen Beutel mit Geld. D iese ursprünglich auf drei U nbe­ kannte zugeschnittene A ufgabe w ird dadurch auf zwei zurückgeführt, daß im Beutel 2 fl sind. v x 41 S. 142 47); (46). x + x + — + -^ -+ 1 — 1 6 = 1 6 - x ; x = 8 - ^ - :

— 1 Ä pfel behält. Siehe Nr. 95)—95).

W en n ich Geld hätte und n och einmal so v i e l ... »D er gleichnn Ist auch ein exem pel gesetzt am 16 blat, hebt sich an: Item eyner begegent etzlichen schonen etc«. Ries bezieht sich hier auf die Num erie­ rung, die S. 109 = Blatt 2r beginnt und S. 145 = Blatt 19r endet. 48) . Ries bezieht sich au f das vorvorige Beispiel mit den S. 143 W orten : | »Ist schir gleich dem gefunden beutel Im ♦ * nehestenn blat erclerett«, und führt diese A ufgabe mit 9.4.2. »N ach disenn itzt erclertenn exem pelnn H abe ich drei Unbekannten durch die A nnahm e, daß jeder Im beruerten altem bu ech gefunden am rande andere gleich viel G eld hat: »V olfure es, kom en 7, souil hat ein exem pel, auch auff die erste regel gehörende, eyner itzlicher«, und ihr G ew inn 5x + 11 betrug: »T hu im S. 138 anderenn handschriefftt; w er der mathemati |cus also, setz sie haben gefunden 5 y + 11 0« - er bringt gew esenn Ist mir vorporgen n, D ie w eyl ich seynen gew onnen und gefunden durcheinander - au f eine nam en nicht weyß, w il ich dir d och erZelenn vnnd erlineare Gleichung zurück: Z w ei Gesellen haben »in clem n Die exem pel, w elch e er gesetzt hat w ie volget«. handelung« m iteinander gew on n en eine Anzahl Geld Die nun folgenden A ufgaben (58) bis (55) stammen und 11 fl m ehr: x + z = 4y + 11; y + z = 5x + 4; sei von Johannes W idm ann, der einst im Besitz der »Latei­ z = 5x + 11, so folgt 4 x + l l = 4 y + l l und x = y = 7. nischen A lgebra« in C80 war. Hierzu sehe man 49) . 5 Ellen T uch um 7 fl, w ie teuer sind 12 Ellen? Er [W appler 1887, S. 5 - 7 ] ; bei [W appler 1899, S. 541-554] verweist hier a u f die verschiedenen M öglichkeiten in sind etwa 58 dieser R andaufgaben W idm anns abge- . der R egel de tri. druckt. S. 144 50); (47). D rei Gesellen w ollen ein Pferd um 17 fl kaufen, A braucht % v o n B und C, B braucht % von A 58) ; (58). 5x + 2x = J ^ -. und C, C braucht % v o n A und B, um das Pferd zu 1 bezahlen. A hat x. 59) ; (59). 2 — x — 10 = 10 — x: Einer begegnet etlichen A fehlt 17 - x, d. h. die Hälfte von B und C. Jungfrauen. B und C haben folglich 2 (17 —x) = 54 — 2x. A, B, C haben x + (5 4 —2 x )= 5 4 —x. 40); (40). x + x + +y + + - i - + j = 26: Alter Nun kom m t bei Ries der Gedankensprung entspre­ eines Sohnes bestimmen. chend 11-25 der »D ata« des Jordanus [Hughes 1981, S. 79 f.]: »W iltu nun wissen, nach dem A 1 y gesatzt, S. 139 41); (41). 4 x - 5 x = - ^ - . wiuil dem B geburtt, so nim 17 fl, so uil das pferdtt kost, von aller dreyer geht, alß v on 54 0 —I— 1 je, plei42); (42). x — jr x + -|-x = 4. 56); (56). 7x — 50 = 5x + 50: Einer hat Arbeiter, die er einmal zu 5 3i, dann zu 7 3» entlohnt. S. 137 57); (57). x •5 = (28 —x) ■5: Einer verdingt einen Arbeiter auf 28 T age zum Tageslohn von 5 gr. Falls der Arbeiter feiert, muß er pro T ag 5 gr zahlen. Keiner blieb etwas schuldig.

2

benn 17 0 —:— 1 j:, Das ist — v o m A und C«. W en n die

S. 140 45; (45). 5x — 4 = 2x + 10: Einer w ill ein Stück Lein­

w an d kaufen.

1

Beträge von A , B, C je x, y, z sind, dann gilt

/ 66 /

X X

y — 17 - y3 (z + x); y + z + x = 17 — y3(z + x) + z + x ;

W ill m an wissen, w ieviel B besitzt, dann nehm e m an v om Gesamtbetrag, den sie miteinander aufbringen,

2

den Kaufpreis w eg , dann ist dies gleich — dessen, was

60) ; (53). 2 (2 (2 x — 12) - 12) - 12 = 0: Einer kom m t in ein Haus zu drei Jungfrauen; er kauft der Reihe nach S. 151 drei Kannen W ein um 12 3|. |»Ist gleich dem geht, so er mit sich hinw egk getragenn hatt, alß 0; gib Zu auff beyden teyln Das do —!— ist, als 84 0«. * * *

davon

Kaufpreis,

bleibt 9.4.3. »V olgenn H ernach andere exem pel, so ich, A dam Ries, eyner anderenn schrifftt Im lateinischn buch an einer anderen stel gefundenn, D ie selbigenn Ins Deutsch gebracht also«.

2

— des Geldes von A und C beträgt 17 — x. A und C haben

+ x = 1: 1 in fünf Teile zerlegen.

2

x + y + z = 1 7 + y ( z + x ) ; x + y + z - 1 7 = j ( z + x).

A und C besitzen. A, B, C haben 34 —x, (34 - x) - 17 = 17 - x.

X

59). x + — + — +

2

(17 —x) = 2 5 — 1 -^-x.

Geld von allen - Geld v o n A und C (34 - x ) - ( 2 5 i - l { x ) = 8 l

1

A dam Ries hat m anchen Abschnitt des später so genannten C 80 gründlich durchgearbeitet, denn dort schrieb er Randbem erkungen. D ie Aufgabe C 80,f. 294v: »D iuidantur 26 in duas partes, quarum vna mediata facit 11 et altera mediata et d ico, qu od est 1 y,

+ f .

X

B hat somit 8 — + — . C hat folglich Geld von B und C - Geld von B, näm lich

1

altera 26 — 1 y. m edia ly et m anet — y, m edio eciam (34 - 2x) - ( 8 {

+ f ) = 2 5 {-2 {x . 1

26 — 1 y et m anet 13 —— y, m o d o illa medietas est

X 1 1 A hat x, B hat 8 — + — , C hat 2 5 — — 2 — x, insgesamt 1

equalis illi medietati, id est 13. h o c est tum dicere: Ille due medietates sunt equales medietati tocius, id est medietati de 26, quae est 13, Art dixi«, kommentierte er am Rand: »Auß dißem exem pel kan ich keinen vorstant vinden«; f. 298r schrieb er: »D as exem pel ist vorhin gesatzt«, w eil es zweim al gebracht w ird, und »Das Exem pel W il keinen W eg k in D er algobre haben, D er halben Ist es hie her nicht dinstlich« [Kaunzner 1954, S. 50; Kaunzner 1968, S. 35]. Hier drängt sich die Vermutung auf, daß zwischen 81) und 91) A ufgaben von Andreas A lexander stehen; siehe etwa S. 425.

34 —x. S. 145 »Als ... nun ferner Zur bekantenn Zal p roced im n wiltt, mustu mitt vleyß mergken, Das A vnd B ZubeZalnn in bekanter vnd berurter Zalnn habn. D arZu vom ersten Zum letztenn gesatztt, D er halbenn sich auch g ebu m will, v om letzten als dem C in Die coniecturacion Zugehn«. C begehrt % von A und B:

H

- 2

b ) + %(8i + ' b ) - 27j - 2b - 17-

1 5 2 — x = 1 0 -z -. Somit besitzt A x = 5 fl, B 11 fl, C 13 fl. O O 51); (48). D rei Gesellen w ollen drei Pferde um 12 fl, 18 fl, 16 fl kaufen. Ries rechnet mit einer Unbekannten. S. 146 52); (49). 12x + 4x + x = 200: Drei Gesellen bezahlen

61). x + 6 - 16 = 30. s. 152 62). y + 7 = 1 5 .

200 fl. S. 147 53). Einer kauft um 25 Schilling zu je 12 Heller

25 Haupt Vieh, näm lich Hirsche, Hasen und R eb­ hühner zu je 5 ß, iy2ß und % ß. Ries gibt vor, daß ein S. 148 Hirsch gekauft w urde. |»D es gleichnn auch, so 20 person vortrungkenn hetten 20 pfennig, 1 m an solt gehn 3 3j, 1 frau 2 3» vnnd 1 Jungkfraw 1 heller«. 54) ; (50). lOx + 8x = 40: Einer reitet von Regensburg gegen Erfurt täglich 10 M eilen, d er andere geht von Erfurt gegen Regensburg täglich 8 M eilen. 55) ^ (51). Ein Vater und sein Sohn gehen nach R om , täglich je 6 bzw. 9 M eilen ; der Vater ist zu Beginn 100 M eilen voraus: 9x = 100 + 6x. S. 149 56); (52). Ein 13 Lot schw erer D eckel w ird mit zwei verschieden schweren silbernen Bechern gew ogen : 7x =

- x + 15-3-. 5 5 57) . 4x + 20 = 5x — 20: Einer hat etliche Arbeiter. Gibt er jedem 4 3*, so behält er 20 3»; gibt er jedem 5 3», so »zerrinnen« ihm 20 3j. »M achs nach vnderweysung Item eyner hat gelt fl 17«. 58) . 7x = 5 (40 —x ): Einer dingt einen Arbeiter auf 40 Tage. W en n er arbeitet, erhält er 7 3»; w enn er feiert, w ill er ihm »abrechenn« 5 3j. Keiner bleibt etwas S. 150 schuldig. |»M achs also w ie am 16 blat Des gleichn ein exem pel beschriebenn außweyst«; gemeint ist A uf­ gabe 37) auf S. 137. 4

63) 64)

. 2x + 18 = 40. . 4x + 20 = 100.

65)

. - | + '9 - | = 20.

S. 155 66). - ^ p - 5 = 1 5 . 67) . (x + 3) 3 = 21. 68) . x + 8 = 5 •5. 69) . 24 in zwei Teile zerlegen. »A ber durch die y(C oß ) thu im also«: x + 6 = 24. S. 154 70). (16 — x) — x = 8. x 26 —x 71) . — = 8; — —— = 5. Beispiel vorher konstruiert. 72) . 2x = 8; 2(12 — x) = 16. Beispiel vorher konstru­ iert. S. 155 7 3 )

S. 156

/ 67 /

. — — — = 6.

x

74)

. ^

75)

.^

76)

%

i =

2.

= 5. -

3

- T “ T-

♦77) i * = ! U ) ' 10

5

* 7 8 ) i / 65J . ^ j -

24 5 *

S. 157

S. 167 100); [1 0 0 ]. M an gibt im W echsel für einen Gulden

■79);/64;.|- = - f - .

20 gr bzw. 30 gr. Jem and w ill 27 gr für 1 fl haben: 80)

. — •5 = 15: x soll sein Summe aus A nfangs- und

-2 - + J I Z i = 1 . 20 30

Endglied einer fünfgliedrigen arithmetischen Reihe.

X

81)

X

101); (66). 8x + -|- (10 —x) = 50: Einer hat 10 Scheffel

; (54). x - — - — = 8: Einer verspielt von seinem

oder M aß W eizen und Gerste zum Preis v on je 8 ß bzw. % ß der Scheffel. Er erlöst 50 ß.

Geld, ihm bleiben 8 fl. S. 158

S. 168 102). x •1 + (10 —x) •6 = 40: 10 in zwei Teile zer­

82) -(x- ( f +4) K =2°85). (

x

legen.

12.

103); (67). 5x + 5(100 - x) = 460: Einer wechselt 100 gr, teils zu 3 S), teils zu 5 Sj, erhält insgesamt 460 3).

84) . ( ( x - 4 ) ~ - 5 ) ~ = 1 0 . S. 159 85)

86)

S. 169 *104); (68). (10 — x)2 — x 2 = 2 0 :1 0 in zwei Teile zer­

legen, so daß die Differenz von deren Quadraten 20 ist.

. ( x + f ) ( l + i ) = 5°. .(x + f

105); (69). x + x + x + y + -|- = 100.

+ 4 )(l+ | )= 4 0 .

fty —Oy 87) . ^(x + 4) ^1 + - ^ j + 5 j ^1 +

= 70. Ries hatte sich

hier vorerst verrechnet, dann führt er die Probe richtig durch. S. 160 88) ; (55). ((x + x - 1) 2 — 2) 2 — 5 = 10: Einer hat Geld und gewinnt im Handel. 89) ; (56). 2(2(x + x - 2) — 4) - 6 = 0: Ein Spieler hat Geld, gewinnt und verzehrt. S. 161 90) ; (57). x + 3x + 12x = 64: Eine Frau hatte drei M änner geheiratet, dann den vierten. 91) ; (58). x + (4x + 1) + 5(4x + 1) + 3 = 56: Einer hat Geld, kom m t zu drei Frauen. S. 162 »NK. V on hier an biß n. 216 stehen die Exem pla m ei­ sten Theils hinten in denen Fragmentis, doch bisw eilen etwas geändert« stammt von M artin Kupffer. Siehe Bemerkung von der näm lichen H and auf S. 436. *92); (59); [6 6 ]. x + (3x - 1) + 4(5x - 1) - 4 = 71: Einer w ill um 71 fl drei Pferde kaufen. 93); (60). Einer schenkt Ä pfel an drei Jungfrauen; er hat x Äpfel, gibt der ersten die Hälfte und zwei mehr, so bleiben ihm x —

+ 2^ =

+ S. 165

%-2

+2H

+ 2) = f

% -3

94); (61). ( f + 4) + P

y

- 5 "SW. ( f + 2)

+ 2 + l= x .

1 + e) +

+ s) = x:

S. 164 95); (62). Einer hat x Geldstücke, gibt dem ersten die

Hälfte w en iger zwei, dem nächsten hiervon die Hälfte w en iger vier, dem dritten hiervon die Hälfte w en iger sechs und hat z w ö lf Geldstücke übrig.

x_( f _2) =f +2usw- ( f _2) +(JT i - 4 ) % ±5__

2

1 0 7 );(7 1 );/7 0 /.^ i = y . *108); (72); [6 9 ].

~

^

: Zw ei Zahlen verhalten

sich w ie 3 zu 1.

S. 171 * 109); (73); [7 0 ] . 12 in zwei Teile zerlegen im Ver­ hältnis 2 zu 1. *110); (74); [7 1 ]. D rei Zahlen verhalten sich w ie 4 zu 2 zu 1. S. 172 111); (75). D rei Zahlen verhalten sich w ie 7 zu 3 zu 2. Ries bezieht sich bei diesen Beispielen auf die Bezeich­ nungen aus der mittelalterlichen Proportionenlehre, etwa p roportio dupla superparticularis sesquitertia für 2 5 4 : 1. *112); [ 7 5 ] . D ie erste Zahl verhält sich zur dritten w ie 3% und zur zweiten w ie 2%. 113); (76); [ 7 4 ] . Vier Leute teilen 12 fl in g e g e b e n e m ' Verhältnis.

s. 175 *114); [7 5 ]. A , B, C, D haben Geld im Verhältnis

Einer teilt Äpfel mit drei anderen.

+

gegebenem Verhältnis stehende Zahlen sind von ein ­ ander abzuziehen.

— 2; der nächsten gibt

er hiervon die Hälfte und zwei m ehr, und so bleiben ihm ( | - 2 ) - ( - ^

S. 170 *106); (70); [6 8 ]. — — — = — : Zw ei zueinander in

+ 12 = x.

96) ; (63). 2(x — 4) = x + 2 + 4: Z w ei Schweinetreiber begegnen einander. S. 165 97) ; (64). 5(x — 5) = 2x + 5 + 5: Z w ei haben Geld. 98) ; (65). 5(x —4) = x + 4 + 2 + 4: Zw ei haben eine Summe Geldes gefunden, die 2 ßi betragen soll. Ries am Rand: »D es gleichn folio 18«; wahrscheinlich A uf­ gabe 46) v on S. 141. S. 166 99) . 5(x — 5) = 3(x + 3 + 1 )+ 1 + 3 + 5: Zw ei fanden eine Summe Geldes, sie sei 3 3|.

4 9 7 — : — : — : 1. D er Einfachheit halber habe D 12 fl. 3 4 2 * 115); (77); [7 6 ] . x + 2 = 2x - 2. S. 174 116); (78); [7 7 ]. Z w ei Zahlen verhalten sich in dupla proportione, also w ie 2:1. Ries kom m t zu negativen Zahlen: » ... so pleibet 0 je gleich 0 0. teylstu ß in je, körnet 0 die erste Zal, duplir wirtt 0 die ander, p robir das also, nim 2 der ersten, pleibt 0 —!— 2. Nim der an d em n 4, pleibtt 0 —■— 4, heit sich gegen einander in dupla proporcione. Ist m uglich Zu m achn, D an eyn yd e Zal S. 175 thuts ... |D ie w eyl vil Zalenn sicht rechtform ig in disem fragstuck begebenn V nd die y (C o ß ) allein ein facitt w elches do recht ist außdrucktt, W il si di äugen gegen disenn Vnd andern der gleichnn Zu thun«. Ries w ill zum Ausdruck bringen, daß sich hier das Aussehen vieler Zahlen - »vil Zalenn sicht« - , näm lich der nega­ tiven, rechtförm ig einstellte. Dies ist ein groß er Schritt in R ichtung A nerkennung der negativen Zahlen, w ie 2x —4 2 sie bei Stifel erfolgte. Ries bildet — ZTtT = — . 2 x — 12 * 1 1 7 ) ; ( 7 9 ) ; / 7 8 7 . - ^ g - = 4. * 1 1 8 ) ; ( 8 0 ) ; / 7 9 7 . - ? | p ^ = 5. S. 176

/ 68 /

*119); (81); [SO], 2x +

- l ) = 9.

*120); (82); [8 1 ]. -f- + -§■ + 17 = x : Drei Gesellen gewannen Geld. S. 177

_ _ 52 —x 43x — 32 . _ . ,_ C: 7 x ------- -— = ------ ------- ; Anteil B, C — Anteil B. 6

M 2 1 );(8 3 );/8 2 /y + y + y + 1 3 = x . 122); (84). y + y + 5 = - y - . 125); (85). x + 2x + 6x = 60: Drei teilen 60 fl.

2 . y + 5 = o -x + v + z = 20 124); (86); [8 4 ]. x + 4 y + 5 2 ’ z+ 1 Ax y z Ries rechnet: T eil 3 beträgt x — 1, T eil 2 beträgt 2x - 5, Teil 1 ist 3x — 4; (x — 1) + (2x — 5) + (3x —4) = 20. Somit sind diese Teile 4, 5 und 11. y + 4 _ x + 20 _z__ __ _5_ = 2 mit x = 4; 125). y + 4 ~~2; x “ 2’ z y = 4; z = 12. D er L ösungsw eg b ei Ries ist undeutlich angegeben. 16 “ X S. 179 126); (87). — —-----Hx = 8: 16 in zw ei Teile zerlegen.

6

»W iltu nun wissenn, w iuil itzlicher habenn sol, so mustu auff die vorgleichung achtung habenn, Dan die operacionn Ist gescheenn Zum lecZtenn auff das C. D er halbenn w irt der teyl des C vorgleichtt«. D , A : (32 — 8x) + x = 52 — 7x; Anteil D + Anteil A. ~ 52 2c = d + a: 2 ------ ------- = 32 — 7x. Hieraus folgt

S. 178

192 —42x = 86x — 64 mit x = 2. Es handelt sich um A ufgabe 11-23 der »D ata« des Jordanus od er gem äß S.451 um die 52.V orgabe; hierzu [Hughes 1981, S.79f. und 149 f.]. S. 186 * 137); [9 5 ]. »Item w ie itzt vorm elt teyl m ir 33 in vier teyl«, also entsprechend w ie in der A ufgabe vorher. Bei anderen Rechenmeistern und Cossisten - w ir schreiben eines der Jahre zwischen 1518 und 1524 finden sich keine Beispiele v on solchem Um fang. Erstaunlich ist die Rechenfertigkeit von Ries. Lehrreich w äre es auch zu erfahren, w ie seine Konzepte zu diesen A ufgaben aussahen.

127) ; (88). x + 4 = 16 —x : 16 in zw ei Teile zerlegen. S. 180 *128); (89); [8 8 ]. (x + 8) + (x + 12) = 60: Vier Gesellen

haben Geld, der dritte und vierte zusammen 60 fl. 129). A hat die Hälfte von B bzw. ein Drittel vo n C. S. 181 W elch en T eil besitzt B v o n C? |»A lso beschleust das C 2

* # #

in sich — des B«. »A d er setz schlechts die proportz gegenn einander« bedeutet, man bilde schlichtweg die Proportionen. 150), Betrag des B verhält sich zu dem des A w ie 2:1, der des C zu dem des A w ie 6:1; w ie verhält sich der des C zu dem des B? W ie sind 54 fl zu teilen? 131). x + (x + 9) = 15:15 in zwei Teile zerlegen. S. 182 *132). 2x + 12 = 76 — 12: »Item aus 76 soltu m ir 3 teyl machen, D er kleinste teyl sol 12 sein, D ie andern Zw en vnwißlich«. 135); (90). ( x + f

S. 187 9.4.4. »V olgende exem pel seint eynes teylß D urch Han-

senn C onrad probirer Z w eyßleyben gmacht, eynes teyls auch D urch Hansenn bem egk er Zu leiptzk etwan Rechnm eister do selbest, vnd darZu etzliche von mir A dam Riesenn. D arZu hab ich sie alle rechtfertigett Vnnd am leichtestenn in tag gebenn mit anhangendenn probenn, D er si allecZeit vorm ittenn habenn, sonder heim lich auch vorborgen Die fragstuck gesatzt, W elch e si ane Zw eyfel für eynenn grosenn schätz D er Zal gehaltenn habenn«. M an sehe hierzu auch S.453f. Es handelt sich um die Num m ern 158)-522) auf S.187 bis 324; [Beriet 1892] hat hieraus seine A ufgaben (94) bis (142) und (144) ausgewählt. Ries verweist darauf, daß er die Probe jeweils mit aufführt, die von den anderen verm ieden wurde. H ier w äre es freilich aufschlußreich, die Nam en von denen zu erfahren, w elche diese Beispiele für einen großen Schatz der Zahl hielten.

'+ f ) - ( f '+ f ) = 10: Einer

gewinnt und verliert mit seinem Geld, behält 10 fl. S. 183 *134); (91); [9 0 ]. Einer legt dreim al Geld mit G ew inn

an, verzehrt jeweils um einen Betrag, behält 100 fl:

(( S. 184 * 1 3 5 ) ; ( 9 2 ) ; / - 9 1 7 . - ß ^ = x - 4: Eine Zahl suchen.

*136); (93); [9 2 ]. Vier teilen 52, w o b e i a der T eil v on A b + c c 4“ d. ist, b der T eil v on B usw. A: — - — ; B: — ^— ; C: d+ a 2 ' A : x. B, C, D : 32 — x ; Rest auf 32. B, C: 7x; siebenmal soviel w ie A. A, B, C: x + 7x = 8x. D : (52 - x) - 7x = 32 - 8x; Anteil B, C, D - Anteil B, C. B, C, D : 7x + (32 - 8x) = 32 - x; Anteil B, C + Anteil D. S. 185 »N ach außweysung der 23 proposicion des an dem n buchs data genant« läßt sich der Anteil von B c+ d bestimmen aus B: , w ob ei also insgesamt durch

*1 5 8 );(9 4 );^ 9 4 7 .x + y + ^ = 1 5 | . *139); [9 5 ]. x + -^-x + ^x —-^-x^ ~ S. 188 *140); (95); [9 6 ]. f

+ ± + f

+ f

= 24.

*141); 7977. y x = 29. *142); (96); [9 8 ]. x + y + y + 4 = 1 8 . S. 189 *143);7997. X - ^ x = 13 y .

'144); (97); [1 0 1 ]. x - ^ J -x + y - 5^ = 6. »D aruonn Nim 5, w elche —\— seint, pleibet 1 — «.

sechs zu teilen ist, w eil C und D zusammen fünfmal soviel besitzen w ie B. 32 —x ' 32 — x B, C, D : 52 —x : ------------ r O---- -----

6

+ f

= 25.

*145); (98); [1 0 2 ]. 3 y x - 3 y = 24. S. 190 *146); 71037. ( x + -| x^ •1 -| = 9. *147); (99); 7 1 0 4 / ( x +

/ 69 /

J: 5 j

- 5 = 27.

die böse wertt Ist«. Es handelt sich hier um die erste M ischungsaufgabe in der »C oß «. 9 *24 + 5x = 7(24 + x). *170); [1 2 7 ]. 17 M ark Silber zu 11 Lot fein sollen mit Silber v on 5 Lot fein gem ischt w erden, so daß nach 1 dem Schm elzen Silber v on 8 — Lot fein vorhanden ist.

*148);A057.|x = f + 5. S. 191

* 149); 71067.

+ 6 ))--~ = 8 .

*150); (100); [1 0 7 ]. ( x +

( l + j j = 24.

*151); (101); [1 0 8 ]. ^x + y + 4^ ^1 + y ) = 21.

1

S. 201 11 •17 + 5x = 8 — (17 + x). |»mit seynem halten«

S. 192 *152); (102); [1 0 9 ]. ^(x + 4) *-| + 5^*-| = 35.

*153); (103); 71107. x - j x '154); 71117. x

+ y = 11.

= 9.

S. 193 *155); 71127. (( x - 4) ( l - j ) - 6 ^ 1 - y ) = 10.

*156); (104); [1 1 5 ]. Die Sum m e zw eier Zahlen ist 20, also ist die eine x, die andere 20 — x.

(*H)+(2°"x)(‘+i)) ~1)=20;x=80S. 194 » ... kom ett 80, D er eyne teyl, vnd der ander 20 minus

1 je, Das seint 20 —!— 80. Ist nicht m uglich Zu m achnn, Dan 80 m ugen von 20 nicht genom enn w erden ... sam 1 ich setz, eyner hat 12 ß, ich gib im — seint 5 ß v on 1 fl, er solte nun von sich gehn — fl vnnd dennoch sein gelt alß 12 ß behaltenn, m ag nicht gesein. A der vm b der vrsach willn w iew ol vnm uglich Zu m achn, W ill ich dir dennoch Zum vberfluß die prob setzenn. Die erste Zal von 20 (wie gefunden) ist 80, Die ander 20 —I— 80. ... A ber im volgenden exem pel gleichs lauts wirstu m uglicheit befm denn«. D ort kom m en positive Zahl­ werte. *157); [ 1 U ] . ( x ( l + j j + (20 - x) ( l + y ) ) ( l - y )

4)

S. 196 ♦ 1 5 9 );7 1 1 6 7 .((2 x -5 )-3 -| -); i |

*178); (112); [1 5 5 ], x + -|-x + 5x = 48: Drei m achen eine Gesellschaft und legen ein 36 fl, 54 fl, 108 fl. G ew inn 48 fl. s. 205 * 179); [1 5 6 ]. ( y + 6) + ( y + 7) + ( y + 8) = 124: Drei

= 20; x = 8. S. 193 *158); 71157. f x ( l + j j +

bedeutet den Feingehalt. *171); 71287. 3 2 :2 8 = 6 :x : 32 Ellen T uch um 28 fl, w ie­ viel kosten sechs Ellen? *172); 71297. 4 8 :2 7 = 9 : x : 48 Ellen T uch um 27 fl, w ie teuer sind neun Ellen? S. 202 *173); (109); [1 5 0 ]. 7x + 9x = 300: Einer kom m t von R om , geht sieben M eilen täglich; ein anderer reitet nach R om , täglich neun M eilen; insgesamt 300 M eilen. *174); [1 5 1 ]. 15x = 12(24 — x): Einer dingt einen Knecht auf 24 Tage; beim Arbeiten gibt er 15 3» täglich, beim Feiern erhält er 123» täglich v om Knecht. Zum Schluß erhält der Knecht nichts. S. 203 *175); (110); [1 5 2 ]. l l x = 8(36 —x) + 12: Einer beschäf­ tigt einen Knecht auf 36 Tage; w en n jener arbeitet, erhält er 11 3»; w enn der Knecht feiert, muß er p ro T ag 8 3» zurückzahlen. D er Knecht erhält 123». *176); (111); 71337. 15x + 24 = 17x - 16: Kauft jem and 1 lb Ingw er um 15ß, so bleiben ihm 24 ß; kauft er 1 lb um 17 ß, so m angeln ihm 16 ß. S. 204 * 177). 14x + 12 = 16x + 4: Einer hat Arbeiter. Gibt er jedem 14 3», bleiben ihm 12 3»; gibt er jedem 16 3», so bleiben ihm 4 3». W ie viele A rbeiter w aren beschäftigt?

Gesellen A, B, C teilen 124 Ellen. *180); )19(. Hierzu sehe man Beispiel 137 = 180)) auf S.472. D ort verweist Ries auf Hans Conrad, von dem die Aufgabe stammt, hier nicht. In der hiesigen Frage­ stellung führt er n och eine weitere Lösungsm ethode S. 206f. an: »Hette w o ll |eynenn Nehernn W egk Zu machenn, ader nicht durch die cosß. W il dir hiemit denn selbigen anZeigen«. Er rechnet nun die Aufgabe n och mittels der R egel de tri durch. X X S. 208 *181). — + — = 5: Einer kauft um 5 fl gleiche M engen

— 6 = 25. = 4.

*160); (105); 7 1 1 7 7 . ^ ^ = 8. *161); 71187* 5x = 4 (1 1 — x). S. 197 *162); (106); 71197- ^

*163); (107); 71207. x + 3x + 12x + 60x = 9. S. 198 *164). x + 2x + 6x + 24x + 120x = 25.

*165); (108); [1 2 2 ]. 3x + 2x =

Pfeffer und Kalmus ein, je 4 lb bzw. 7 lb für 1 fl.

»N un teyl 3 jein 2 je,

182); (113); [1 5 9 ]. x + x + x + J - + l = 134: Ein Sohn

5

fragt seinen Vater, w ie alt er sei. Alter des Sohnes 38 Jahre.

körnet — 0, Dan so 1 Zeichen in sich selbest diuidirtt wirtt, kom et allewege 0«. *166); 71237. Drei Zahlen in »continua tripla prop or1 cion e«: x + 3x + 9x = 19 — .

S. 209 *183); (114);

2 4 7 . Vier Zahlen in »continua dupla prop orcion e«: x + 2x + 4x + 8x = 42. *168); 71257. Zw ei Gesellen A und B w ollen ein Pferd um 13 fl kaufen. In Zeile 4 sind A und B vertauscht.

- 84 = 84 - x : Einer

spricht zu etlichen Jungfrauen »got grus euch all 84«. *184); (115); [ U l ] , x + (x + 7) + (x + 9) = 124: Drei Gesellen haben zu teilen 124 fl.

S. 199 *167);/ I

S. 200

[H O ], ^x + x +

S. 210 * 185). ((2x — 4) 2 —4) 2 = 4 —

Schließlich |»hat A Zuuorgnugenn Die 13 fl«. *169); [1 2 6 ]. Einer hat 24 Zentner W olle zu 9 fl und andere zu 5 fl. Er w ill den Zentner um 7 fl abgeben. »A ddir Zusamen Das geht, so die gute w ollen vnd auch

/ 70 /

: Einer zieht auf drei

1 M ärkte, so daß »son der im m angelt — seines erstenn haubtguts«. M it den W orten »D as ist nun gleich 4 0 1 — ■— —£« verm eidet es Ries, eine Gleichungsseite Null oder gar negativ zu setzen.

4 2 * 186). (x + x ) — •— = 10: Einer zieht au f drei M ärkte. 4

S. 221 *200); )22(; 71567. 5(100 - x) + 1 4 ~ x = 8 ^100 - :

3

S. 211 *187); [1 4 4 ], — x = — x + 4: D rei Ellen Tuch kauft man

um eine Sum m e Geldes, »vorkaufftt w id er 4 elnn vm b 3 — des vorborgen geldes vnd 4 fl h oh er«; imbekannt nennt Ries hier »vorborgen «. *188).

+ 2^ y + 4^ y +

6

= 10: Einer geht mit

Birnen in einen Garten durch d rei verschlossene Pforten. S.212 *190); [1 4 6 ], 7x + 9(86 — x) = 734: Einer hat 8 6 M ark zweierlei Silber um insgesamt 734 fl, die M ark zu je 7 fl bzw. 9 fl. Ergebnis stimmt, ob w o h l Ries den falschen Zahlwert 772 benützt, anstatt 774. 0 S. 213 *191); [1 4 7 ]. x + 2x + 2 — x = 100: D rei Gesellen teilen 1 0 0 fl. *192); [1 4 8 ]. 8 x + 6 (x + 4) + 4(x + 14) = 320: Ein Krämer verkauft 4 lb Safran, 6 lb Ingw er und 8 lb Pfeffer um insgesamt 16 fl = 320 ß.

S. 214 *193); (116); /1497. -^-x + 4~(12 — x) = x : D er T ag ist

o y zw ölf Stunden lang. Einer fragt, w ieviel es geschlagen habe. 3 2 * 194). 6 x + 10 •— x + 16 •— x = 290: Einer kauft drei4

3

erlei Spezerei, näm lich Pfeffer, In gw er und Nelken um insgesamt 14 fl 10 ß, das sind 290 ß. S. 215 *195); (117).

8x

+ 4x + 2 y x =

8

: Ein Faß zu acht

Eimern wird durch drei Zapfen geleert. 28 21 S. 216 *196); [1 5 2 ]. x + -— x + - y x = 46: Drei Gesellen

E r nimm t einen Teil, treibt ihn auf 14 Lot, so daß die M ischung nach dem Zusatz des Getriebenen 8 Lot fein hält. S. 222 *201); 7157]. H ier fehlen einige A ngaben. M an sehe deshalb 157 au f S.488. S. 225 *202); 71587. 15(8 - x) + 21 •y x = 18 ^8 - x + y x ^ :

Ein G oldschm ied bekom m t 8 M ark G old, »heltt ame strich« 15 Karat. E r soll eine Scheuer (Trinkgeschirr) zu 18 Karat herstellen; deshalb schlägt er ein Stück ab, das er auf 21 Karat veredelt. D er Feingehalt einer Legierung w urde oft durch Reiben an Prüfsteinen festgestellt. Ries gibt noch einen weiteren L ösungsw eg an. S.225 *203); 71597. Ein G oldschm ied hat 3 M ark G old zu 14 Karat, 4 M ark zu 17 Karat und 5 M ark zu 19 Karat. E r w ill hersteilen 7 M ark zu 18 Karat, w ob ei von jedem ein Rest bleiben soll. Ries behandelt solche unterbestimmten Systeme, indem er irgendw elche Bedingungen einführt, hier: 1 9 x + 1 7 - y x + 1 4 ^ 7 - l y x ^ = 7 -1 8 . E r stellt also eine ganz andere Frage als die norm al erwartete. Trotzdem beschließt er sein Beispiel: »Vnd dises exem pel w il keyn andere operacion leiden«. S. 226 *204); (119); [1 6 0 ]. Aus 100 M ark Gekörntem zu 7 Lot fein und 50 M ark zu 12 Lot fein soll eine M ischung zu 10 Lot w erden. Bauernregel: M an nimm t die M enge, die ganz aufgeht und v om anderen nur eine Teilm enge, 1

schulden 46 fl. A gewinnt in vier M onaten 32 fl, B in vier M onaten 28 fl, C in der näm lichen Zeit 2 1 fl. 20 17 15 S. 217 *197); (118). ~z~'x + - V - x + ~r“ X = 24: Drei W ind0 o o mühlen m ahlen in acht Stunden je 20, 17,15 Scheffel. W ie lange brauchen sie insgesamt für 24 Scheffel? *198); )20(; [1 5 4 ]. 8(12 - x) + 8 x = 9^12 - x + ^ j x ^ . Einer hat Silber, 12 M ark zu 8 L ot fein, schmilzt einen T eil davon ein und bessert ihn dadurch zu Silber von 11 Lot fein. Dies setzt er w ieder zu und hat Silber von 9 Lot Feingehalt. Er nimmt x M ark zu 8 Lot, die er im g

S. 218 Feuer a u f-rr -x M ark zu 11 Lot treibt, I »Das vindestu

11

+Tfx):Einer hat 100 M ark Gekörntes zu 5 Lot fein.

1

per R egulam conuersam «. 199); )21(; 71557. 1(12 - x) + lx = 2 ^12 - x + -^ y + -7 ^- + - £ r + -^7 -): Einer hat 12 M ark Silber zu 1 Lot 16 20 24/ S. 219 fein. Er schlägt vier Stücke |»gleicher schw er genom en« ab und treibt sie auf je 3 ,4 , 5, 6 Lot fein. Nach der M ischung ist das Silber zweilötig im FeingeX X X halt. — M ark einlötigen w erden zu ^ — = - j y M ark dreilötigen Silbers usw. Ries rechnet, indem er - anders als in seiner F orm u­ lierung angegeben - die Feingehalte addiert. Sein 159 Ergebnis liegt nahe dem richtigen W ert 7 183'

1

näm lich 12 •50 + 7 •33 — = 10 •85 — . Hans C onrad 3 5 nannte diese Rechenw eise Bauernregel, »V on w egen Das etwan ein W aradein (M ü n zprüfer) von Nurmbergk scheurlein genantt sich vil R echens vorm essenn. Vnd das geringste exem pel D er p (C o ß ) nichtt hett m achen m ugenn, D em ich auch guten glaubenn.gib. Darmit aber die Coß durchauß gebraucht werdtt in masenn gescheen«: 12 •50 + 7(x - 50) = lOx. S. 227 * 205); [1 6 1 ]. Einer hat Gekörntes zu 12 Lot und zu 7 Lot. E r w ill eine M ark zu 10 Lot herstellen: 12x + 7(1 - x ) = 10-1. »W iltu aber die p (C o ß ) in solchm falh nicht gebrauchn, so nim für dich regulam alligacionis«. Es handelt sich hierbei um die damals übliche Faustregel bei M ischungs aufgab en. S. 228 Ries verweist hier auf sein »buchlein auff kauffmannschafftt«. *206); [1 6 2 ]. Ein H err läßt Pfennige schlagen, 35 auf 1 Lot. Die M ark M ünze hält 5 Lot fein, die M ark fein einschließlich Unkosten um 7 fl 16 ß gerechnet. »Nun w il der her vonn 100 fl Z w gewin habnn 10 fl«. W ie viele Pfennige soll m an für 1 fl geben? Zuerst w ird gerechnet, w ie viele Pfennige auf 1 M ark M ünze gehen. 1 Lot gibt 35 3*, 16 Lot geben 560 di; so viele Pfennige w erden aus 1 M ark zu 5 Lot fein hergestellt. W ie viele Pfennige kom m en aus 1 M ark zu 16 Lot fein? 1792 Pfennige, denn 5 :1 6 = 5 6 0 :1 792. D er Pfennige »gebühren« x für 1 fl: 1 fl gibt x9», 7 fl 16 ß geben 4 4 29 7 — x 3j; 7 y x = 1792; x = 229 - g y So viele Pfennige für 1 fl ohne Gewinn. N achdem an 100 fl 10 fl gew onnen . 29 w erden sollen, muß v on 2 2 9 der zehnte Teil w egge-

/ 71 /

nom m en w erden: Für 1 fl w erden 206-j^-3i abgegeben.

B: 100 -

Gefragt ist nach der Anzahl der Pfennige, die für 1 fl 29 abgegeben werden, w enn bei 229-gg-3i für 1 fl noch

=

kein G ew inn erzielt ist, aber an 100 fl 10 fl gew onnen w erden sollen. S. 229 *207). H ier w ird bei gleichen Voraussetzungen w ie im vorhergehenden Beispiel die M ark Feinsilber um 7 fl 29 16 ß eingekauft, so daß 229 -gg- 3» au f 1 fl gehen, »so er nicht w u ch em n w oltt«. A n 100 fl sollen 10 fl gew onnen 28 w erden, so daß 252-^g-Sj für 1 fl genom m en werden

1

4 / v on C, also 100 —-y ( 10° - | x )

+ -I x . 0

A braucht

v o n B: x +

^20 + -|*x^ = 100.

Ries bem erkt: »M achs nach vnderrichtung Des nehe sten (v o rig e n ) exem pel beschrieben auff w elch weyß du wiltt, körnet dir recht. Ich w il hir di erste nem en«. S. 235 * 215); [ 170]. Vier Tuchm acher kaufen um 60 fl W olle, einer benötigt jeweils v om nachfolgenden dessen Geldes. A : x. 1

D : 60 —-^-x, denn er braucht von A %.

müssen. S. 230 * 208); [ 1647- 10 in vier Teile zerlegen, so daß diese mit 5, 6 , 7, 8 multipliziert, in der Summe 62 ergeben: x + y + z + u = 10; 5x + 6 y + 7z + 8 u = 62. Ries halbiert: x + u = 5; 5x + 8 u = 31 bzw. y + z = 5; 6 y + 7z = 31 und rechnet dann jeweils mit einer U nbe­ kannten durch, näm lich 5x + 8(5 — x) = 51 bzw. 6 y + 7(5 - y) = 31, w o b e i er x bzw. y gleich p setzt. 1

20

4

C braucht % v on D, er hat: 6 0 - | ( 60 - | x ) = 4 5 + ^ . B braucht % v on C, er hat: 6 0 -{(4 5 + ^ ) =

45

- ^ .

A braucht % von B, um zu kaufen:

1

S. 231 *209). -3 -x + — x + — x = 4: 5 lb bzw. 7 lb bzw. 8 lb 5 7 8 kosten je 1 fl. Um 4 fl von jedem gleichviel. 11 3 S. 232 * 210); 71667. — - x = 3 — : Einer kauft Safran um 100 fl,

10

x+l ( 43- w ) =60S. 236 »V or NK. Biß hi eher stehen die Exem pla hinten in

denen Fragmentis«. M an sehe S. 162 und S.436. *216); (122). D rei kaufen ein Pferd um 12 fl. A braucht % von B und C, B braucht y3 von C und A, C benötigt y4 von A und B. A : x, ihm fehlt 12 —x, die Hälfte v on B und C. B, C: 2(12 - x) = 24 - 2x. A, B, C: x + (24 — 2x) = 24 — x. A, B, C haben nach dem Kauf: (24 —x) — 12 = 12 — x. W en n die Beträge v o n A, B, C der Reihe nach x, y, z

4

5

gibt im Verkauf 1 lb um 5 -^-fl, erlöst 110 fl. 5 ^ n = 5n8ß

2

A

h l.

*211); [1 6 7 ]. Einer schickt zwei Knechte mit 11 fl auf den Markt. D er erste verliert % seines Geldes und »entlehett« (nim m t ein) 5 fl; der andere gewinnt % seines Geldes und verzehrt 2 fl. Sie bringen 15 fl:

sind, dann gilt: x =

( f x+3) +('?(11_x)_2) =13-

z=

S. 233 *212); (120); [1 6 8 ], A, B und C kauften ein Pferd um

100 fl. A begehrt v on B die Hälfte, B v on C ein Drittel, C v on A ein Viertel. Ries rechnet mit einer U nbe­ kannten. A : x.

12

1

12

—— (y + z); y =

1

12

—— (z + x)

- ^ - ( x + y).

H iervon w ählt Ries die zweite F orm aus, so daß 1

y + z+ x

= 12

—— (z + x) + z + x od er

2

2

x + y + z — 1 2 = — (z + x ), also — v on C und A. B: 1 0 0 - - | - v o n C. 3

x + y + z — 12 haben A, B, C nach dem Kauf, dies ist gleich 12 —x bzw. gleich % v on A und C.

C: 100 —~ r x . 4

2

— von A und C: 12 —x. 5

.B :1 0 0 -j(l0 O -i* )-1 0 O -(» j--£ -x )

A, C : 1 8 - J - x . B :(2 4 -x )-(l8 -J -x ) =

6

+ | -.

= 10 0 .

A und Hälfte von B: x + —

Geld von B und C - Geld von B: S. 234 Das näm liche Beispiel »w ie itzt gesatzt allein auff eyne

( 2 4 - 2 x ) - ( e + -| ) = 1 8 - | x .

andere w eyß «: *213). A hat x, ihm fehlen 100 —x, die Hälfte von B. B hat 2(100 — x) = 200 — 2x, ihm fehlen 100 — (200 — 2x) = 2x — 100, d.h. ein Drittel von C. C hat folglich 3(2x — 100) = 6 x — 500.

C :1 8 - 2 - | - x . S. 257 »N un mustu fort p roced im n auff das du in die vor-

gleichung körnest«.

1

C braucht ein Viertel von A : 6 x - 300 + — x = 100. 4 *214); (121); [1 6 9 ], D rei kaufen ein Pferd um 100 fl. A 5 4 5 braucht von B, B braucht -jr von C, C benötigt — von A: A : x.

~r v o n A und B: -7 - + —

4

4

(6

4 \

+ -77-) = 1 -77- + -77-x. 2/ 2 8

Hierzu das Geld von C:

H +l x) +(i8-

4x) =i9l - 2l x-

»Das ist nun gleich dem gelt vm b welches si das 1 1 9 pferdtt kauffenn«: 19— —2 — x = 1 2 ; x = 5 -j-y .

5 5 C: 100 —-rr von A , das ist 100 —— x.

/ 72 /

9 13 3 A : 3 — f l . B : 7 ^ y f l . C : 9 — fl.

A, B, D : y (2701 - x) = 3 6 0 1 y - l y x.

»Ist rechtt gem acht. V onn disem exem pel hat Hans Conrad gebenn eynem schwartzenn m nnich prediger Ordens w elch er aquinas genant wartt, 1 fl, vo n dem auch andreas alexander der erfam ste M athematicus gelem ett. H ab dir es hi besser außgestrichen, dan er es im furgebenn hat. M agst sein exem plar sehen ader seine operacion etc«. Es folgt die Probe. Dieses Beispiel mit den historischen A ngaben ist eines der in der Geschichte der Mathematik am häufigsten zitierten. W elches Buch w a r das E xem plar des Andreas A lexander? S. 258 217); (123). Um 204 fl aufzubringen, bräuchten A %, B %, C % des Geldes der beiden anderen. A : x, ihm fehlt 204 — x ; dies ist Hälfte v o n B, C. B, C: 2(204 - x) = 408 - 2x. A , B, C: x + (408 - 2x) = 408 - x. U m den Betrag y v on B zu finden:

C :(5 4 0 2 - x ) -^ 3 6 0 1 y -ly x j = 1800y + y . 3 1 Entsprechend für D : 2 025y + y x. Anzahl von D und % der Anzahl v o n A, B, C:

(2025f+f)+'/s(3151i+1fx)=2635H+x = 2701. x = 73. S. 244 219); (125). Ein Fürst hat Bürger in einer Stadt gefangen, geschätzt um 14 800 fl. V or den vier T oren A, B, C, D liegen H eere mit x, y, z, u Leuten. Folgende Prämien w erden gesetzt: x + % (y + z + u) = y + % (z + u + x) = z + % (u + x + y) = u + / 4 ( x + y + z) = 14800. Ries rechnet mit einer Unbekannten. A : x, fehlen 14 800 — x, das ist % v o n B, C, D. B, C, D : 5(14800 - x) = 74000 - 5x. A, B, C, D : x + (74000 - 5x) = 74000 - 4x. x + y + z + u — 14800 = x + y + z + u

1

y = 204 —— (z + x ); z ist Betrag des C. 1

y + z + x = 204 + z + x —— (z + x).

~ (y + 1/4(2 + u + x )) = y ( z + u + x).

2

5 Ries sagt: y v o n A, C, D :

x + y + z = 204 + — (z + x).

2

(74 000 - 4x) - 14 800 = 59 200 - 4x.

x + y + z — 204 = — (z + x).

A, C, D : y (59 200 - 4x) = 78 933 y - 5 y x.

Geld v on A, B, C - 204 fl: (408 - x) - 204 = 204 - x.

2

Dies ist gleich — des Geldes von A und C: 204 — x.

B :(74 000 - 4x) - ^78 935 y - 5 y x^ = 1 y x - 4 933 y . x + y + z + u — 14 800 = x + y + z + u — (z + % (u + x + y))

A, C: -|(204 - x) = 306 - l-| -x.

= J - ( u + x + y ). B: (408 —x)

3 0 6 - l y x ) = 102 + y .

2 Ries sagt: — v on A, B, D :

C: (408 - 2x) - ^102 + -|^ = 306 - 2 y x.

(74 000 - 4x) - 14 800 = 59 200 - 4x.

Geld von C und % von A und B: 306 - 2 y x j + y ( x + 102 + S. 239

y

A , B, D : J - (59 200 - 4x) = 88 800 - 6x.

) = 531 y ~ 2 y x = 204.

C: (74 000 - 4x) - ( 8 8 800 - 6 x) = 2x - 14 800. x + y + z + u — 14 800 = x + y + z + u — (u + % (x + y + z)) = 1/ 2 (x + y + z ) . Ries sagt: % von A, B, C: (74 000 - 4x) - 14 800 = 59 200 - 4x. A, B, C: 2(59200 - 4x) = 118400 - 8 x. D : (74000 - 4x) - (118400 - 8 x) = 4x - 44400.-

»H at kein andere operacion D an wie gescheenn«. 218); (124). Eine Stadt w urde vor den vier T oren von vier m ächtigen H eeren A, B, C, D belagert. Prämie für die Erstürmung 2 701 fl. Zahl der Belagerer: x, y, z, u. x + V4 (y + z + u) = y + % (z + u + x) = z+ (u + x + y) = u + % (x + y + z) = 2 701. Ries rechnet mit einer Unbekannten: A : x, bleiben 2 701 — x, Hälfte von B, C, D. B, C, D : 2 ( 2 701 - x) = 5402 - 2x. A, B, C, D : x + (5402 - 2x) = 5402 - x. Aus y = 2 701 - % (z + u + x) folgt y + z + u + x = 2 701 - % (z + u + x ) + (z + u + x)

A, B, C: x + | l | x - 4 9 3 3 y ^ + (2x - 14800) = 4 y x - 1 9 7 3 5 y . 2

0

D und die Hälfte von A, B, C:

2

od er x + y + z + u — 2701 = — (z + u + x), und dies ist

(4x - 44400) + ^ 2 y x - 9 8 6 6 y j .

einerseits Anzahl v on A, B, C, D - 2 7 0 1 , andererseits Dies ist gleich der Prämie:

2

— der Anzahl von A, C, D, so daß o A, B, C, D - 2 701: (5 402 - x) - 2 701 = 2 701 - x. o

1

0

A, B, C bekom m en je zwei 1 fl: 2 — x — 9 8 6 6 — .

1

6

2

y x —5 4 2 6 6 y = 14800;

ö 4 - x = 69 0 6 6 - f - ;x = 11200.

0

3

V or den T oren lagern: A : 11200; B: 10000; C: 7 600; D:

von A, C, D : 2701 - x.

400.

S. 246 220); (126). Vier w ollen ein Pferd um 37 fl kaufen. A, C , D : - | ( 2 7 0 1 - x ) = 4 0 5 1 y - l y x . B :(5 4 0 2 - x ) -^ 4 0 5 1 y - ly x ^ = 1 5 5 0 y + y . 3 Entsprechend y v on A, B ,D : 2 7 0 1 — x.

x + !4 (y + z + u) = y + y3(z + u + x) = z + y4(u + x + y) = u + % (x + y + z) = 37. »M achs in masen ich die nehestenn Zw ey erclertt hab«! Gemeint sind die beiden vorigen Beispiele. S. 247 »D ie prob ist leicht, hab dir der halben kein geschwetz m ugen halten«.

/ 73 /

S. 255 2 30). Vier Gesellen haben Spezerei, A 100 lb, B 150 lb,

^ aaa 10 1 S.248 221). ^ y — = -y y x = 1 6 — : E iner zieht gegen Leipzig,

C 180 lb, D 210 lb; Erlös insgesamt 800 fl. B gibt soviel für 4 fl w ie A für 3 fl, C gibt soviel für 6 fl w ie B für 5 fl, D gibt soviel für 8 fl w ie C für 7 fl. A B C D 100 150 180 210

2

gewinnt — des Hauptgutes, legt alles auf einem anderen M arkt in Safran an. 222). Zw ei Gew andschneider schicken 35 bzw. 27 Tuch auf einen Markt. G leicher Fuhrlohn pro Tuch. D er mit

3

27 T uch zahlt 3 - y fl w en iger als der andere: 27 x + 5 4 - = 35 x . 5 S. 249 223). Im E inkauf 100 lb B aum w olle um 20 fl = 420 gr. Im Verkauf ohne Gew inn od er Verlust 15 lb um 2 fl 420 einer anderen W ährung, also 15 lb um ■ - •15 gr

11

5

3/5

+ fl. = 3 flllß 3 ^ -h l = 5 + 240 o 20 + 240 17 9 225). (x + 4 ) - g - + x •— = 166: »Item ein Herr hatt Zw enn knecht, gibt itzlichm geht, darmit kauffmanschafftt Zu treybenn«. S. 251 226). Zw ei w ollen m iteinander stechen, also W are tau­ schen. Einer hat Safran, 1 lb zu 3 fl; der andere hat 1 fl ^ fl 2001b Nelken, das lb zu 1 fl: 2001b •T -n- = x lb 1 lb 1 lb 227). Zw ei verkaufen G ew and, 100 bzw. 60 Ellen, um insgesamt 120 fl. Soviel der mit 60 Ellen um 4 fl gibt, soviel gibt der andere um 3 fl. 1. 1 Elle um x fl, 100 Ellen um lOOx fl. 1

D : 1 lb um

•-f-x fl, 210 lb um 384xfl. / o Die gesamte W are w ird um 972x fl = 800 fl verkauft. 200 71 Für 11b erlösen sie der Reihe nach fl, 1 nrtrx fl, 729 243 243

1701

43 Für einen Gulden gaben sie der Reihe nach 1 — lb, 729 245 1701 lb. 800 ’ 520 ’ 2560 S. 256 »W iltu im aber nun nicht gentzlich glaubenn gebenn, so Rechn Zum vberfluß w iuil itzlicher auß seyner w har lost«. S. 257 251). Drei T uchm acher haben 70, 60, 50 Ellen Tuch, Verkauf um insgesamt 200 fl. Soviel der mit 70 Ellen um 3 fl gibt, soviel der mit 60 Ellen um 4 fl, ebenso der mit 50 Ellen um 5 fl. D er erste gibt 1 Elle u m x fl, der zweite um 1 — x, der 2

1

3

3

dritte um 1 — x : 235— x = 200. S. 258 232) = 255); (127). x - y ( l " y ) - 48 = — x : Einer 3

kauft eine Perle und verkauft sie wieder.

1

2. 1 Elle um 1 — x fl, 60 Ellen um 60 •1 — x fl = 80x fl.

8

C: 1 lb um - y •-y x f l , 180 lb um 288xfl.

= 63 gr = 2 fl. Also hat der Gulden 51 — Groschen. 224). Einer kauft für 75 fl Safran, das lb für 3 — fl. VerO S. 250 kauft alles um 69 fl; w ie teuer ist 1 lb? |»R echn wiuil die £x - “ T O M = 8 0 « “

4 " 7

=24 fl = — n = 1 6 fl 48

V om Zusatz braucht er 80 M ark

S.310

— x 1 25

/ 79 /

13 80 + 1 6

5 + 1 6

1

1 3 -7 - Lot.

o »Ist recht ginacht, M ag nicht nehernn W egk habnn«.

'

S. 515

512); { 1 1 }. Einer hat viererlei Silber, nämlich:

M en ge Feing.

1. 20 m 141

2. 30 m 151

3. 40 m 151

4. 50 m 91

»W iuil m ag er vorschigken, so er die 9 loten gar nimet, das die m argk alß heltett«. E r beruft sich auf die »regel M ischungsregel. Ries kom m t mit seinem Vorhaben, ersten Sorten je 1 M ark und v o n der 12 M ark zu nehm en zu 1 - 1 4 + 1 - 1 5 + 1 - 1 5 + 1 2 -9 = 15-10. E r w ill aber 50 M ark zu 9 Lot fein

50 m ark Zu dann 10 lott fein alligacionis«, die von den drei zu 9 Lot

nehm en, nicht 50 1 M ark w ie soeben angesetzt, d. h. 4-g*.

12

M it diesen Beispielen beschloß er die erste Regel. Niemand w erde andere Beispiele vortragen, deren M ethode hier nicht vorgeführt ist. »H ab dir si mit S. 525 allem Vleyß Zusamenn | gelesenn vnd denn meistenn teyl N ew gem acht vnd gerechnett, auch itzlichm sein p rob eygentlich vn d gruntlich angehengett«. M it der seinerzeit häufig anzutreffenden Rechtfertigung am Schluß eines Buches - »ad er Zu tungkel beschribenn, W ollest das selbig gütlichen rechtfertigen« - schließt der Aufgabenteil v o n Goß 1 »A m freytag N ach Judica Ime 1524 Jar, Vnd Zum ersten gelem et H einrich vonn Elterleinß sohn, eynen knaben bey eylff Jaran«. Bezüglich d er letztgenannten Notiz sehe m an auch C 461, S. 347 (vgl. Kapitel 7.).

10. C o ß 2

1

Hiermit gelangt er zu 62— M ark M ischung: i . . 14 + 4 JL. 1 5 + 4 -L . 15 + 5 0 •9 = 62 -^ - 10. b b b 2 »N ach der regel alligacionis vnnd nicht mehr. A ber nach der Vnderrichtung A lgebre W il ich dir vorschig-

4

kenn 65 mark ...«. M it dem folgenden unterbestimmten System kann er nicht um gehen: x •14 + y •15 + z •13 + 50 •9 = (x + y + z + 50) •1 0 mit x < 2 0 ,.y < 30, z < 40. Ries wählt aus, nachdem er ansetzte M ark 20 50 40 50 Lot 14 15 13 9 , indem er nun vorgibt 5 1 M enge x -^-x 2x 65 - 4 — x Feing. 14 15 15 9 . Er gelangt nicht zum Ziel, w eil aus der Gleichung 14x + 15 •-|-x + 13 •2x + 9 ^65 — 4-|-x^ = 10-63 folgt 63 1 5 x = -T-r- und 65 —4 — x = 5 0 - 7 7 - > 50. 22 2 44 E r setzt neu an: x x 4x 63 — 6 x 14 15 13 9 "■ ■■■*■■■ 7 ' ' ' '' ' und gelangt zu x = — und 63 — 6 x = 49 < 50. S. 515

;;

»D u kanst w o l m eh r vorschigkenn N ach der paur Regel, w elch m m eyn guter freundt Hans C onrad den Nam enn gegeben, setz also«: 20 50 40 50 14 15 13 9 4 5 ' 5

2

E r wählt der Reihe nach die M en gen 1, 1, 13— ,

2

49— und gelangt über 1 - 1 4 + 1 •■■15 + 15— 15 + 49-f- •9 = z •10 zu z = 65-^-; 3 0 5

11

richtig ist z = 65-gg-. Er kom m t hiermit nahe an die 50 M ark zu 9 Lot fein heran. 522); (144). Eine neun Lachter hohe senkrecht aufge­ richtete Vogelstange w ird v o m W in d so geknickt, daß S. 524 sie |»Berurt mit der spitznn das ertrich 3 lachter vonn einstegkung der Stangen«. In w elch er H öhe brach die Stange, »D an si mit irm fallenn gleich eynenn triangel orthogonum gemachtt«. Das abgeknickte Stück habe die Länge x, so folgt x 2 = (9 — x ) 2 + 52; 18x = 90; x = 5. ' »D as magstu probiran M it dem Zirgkel, so hastu es v o r augenn«. S. 525

* * 4t 4t 4»

/ 80 /

10.1. VO RW O RT UND ALLG EM EIN E ERLÄUTERUNGEN Bei diesen v on Kupffer als »Fragm ente« bezeichneten T eüen v on S. 3 2 9 -4 9 9 handelt es sich um eine Reihe v on einführenden A lgorithm en und um die eigent­ liche C oß 2, das ist die spätere Bearbeitung von C oß 1. Zur Inhaltsangabe der Algorithm en in C 461 siehe [Saemann 1964, S. 6 5 2 -657]. C oß 1 und Coß 2 sind zwei vom Inhalt her w eitge­ hend übereinstim m ende handschriftliche Texte, die v on A dam Ries zu verschiedenen Zeiten geschrieben wurden. Generell ist hierbei der frühere meist w ert­ voller als der spätere, v o r allem dort, w o es um sicht­ bare Fortschritte in der deutschen C oß geht. [Beriet 1892, S. 28] verlegt die A bfassung von C oß 2 in den Zeitraum 1544-1559, denn Ries verweist S. 329 auf seine »Practica«, die freilich bereits 1525 fertig w ar [Beriet 1855, S. V; D oppelm ayr 1730, S. 169 Fußn. (00)], aber erst 1550 gedruckt w u rde [Ries 1550]. A ußerdem nennt Ries zeitgenössische Autoren, etwa M ichael Stifel und Girolam o Cardano. S ow oh l Stifels »Arithmetica integra« [Stifel 1544] als auch Cardanos »Artis m agnae, sive de regvlis algebraicis, Liber unus« [Cardano 1545] w aren in Nürnberg erschienen. Eine Datierung ist auch m öglich durch die Bemerkung S. 429, daß Hans Conrad nicht m ehr lebte. Ries beruft sich au f Christoff R udolff, aus dessen »C o ß « [R u dolff 1525] er zitiert, auf Andreas Alexander, aus dessen weiterhin unbekanntem W erk er ebenfalls A ufgaben anführt, ferner auf Boetius, Campanus von Novara und Johannes de M uris. Die Lehre »v om dem ding«, w ie Ries 1524 die Gleichungs­ lehre genannt hatte (S. 1), heißt nun »ein andere R echenung ... W elch e geschieht durch examinirung der Vnitet« (S. 529); er führt sie auch jetzt auf den hocherfahrenen Arithmeticus Algebras zur Zeit A lex­ ander d. Gr. zurück, »vnd ist piß here von allen liebh a b em gem elter kunst nichts hohers vnd lieblichers auch behenderß am tag brachtt«. ♦ 4c 4c Dieser Teil der »C o ß « ist vor allem deshalb bedeu ­ tungsvoll, w eil sich viele historische M itteilungen von der H and v o n A dam Ries finden: in Beispiel 216) auf S. 257 sagte er, daß Aquinas Dacus von Hans C onrad einen Gulden für die algebraische Lösung bekam ; in Beispiel 5 au f S. 429 - siehe S. 425 - führt er an, daß Andreas A lexander v on Hans C onrad einen G old-

gülden für die cossische Lösung solcher Aufgaben bekam. Bekam en beide einen G ulden? Ursprünglich vorhandene T eile des handschriftli­ chen W erkes von Ries fehlen, andere stehen in der »C oß « nicht an der richtigen Stelle. A uch die ein­ zelnen Abschnitte sind in zeitlicher Folge nicht richtig gebunden, denn die »D ata« gehören verm utlich vor Coß 2: In C oß 1 löste Ries den Gleichungstyp cx 2 + a = b x auf S. 113 f. falsch, in seiner Bearbeitung der »D ata« des Jordanus S. 511, N ° 6 , behandelte er cx 2 + b x = a falsch; in C oß 2 rechnet er einwandfrei. Die »D ata« brechen am Ende einer vollgeschriebenen Seite ab, d. h., der folgende Teil w ar vermutlich auch vorhanden; Coß 2 endet mitten im Satz auf S.499. Ries w ollte offensichtlich ein großes mathemati­ sches Lehrbuch schreiben und dies als wissenschaftli­ ches Testament seinen Söhnen hinterlassen. Ein Indiz für die Niederschrift dieses Traktats w ährend seiner letzten Lebensjahre ist »D w eil ich dan nun mit alter beladen« auf S. 330, und eine rührende W ürdigung für die Bedeutung der Algebra: »eu ch als m eynen lieben söhnen nichts bessers geben vnd lasen mag, Dan vnderrichtt gem elter Rechnung durch erforschung der Vnitett (G leichu n gsleh re)«. Er beginnt mit einem »Algorithm us de additis et diminutis«, w o Beispiele w ie beim Klammerrechnen behandelt w erden, geht über zu W urzelrechnungen 2. und 3. Grades und zu R echnungen mit Binom ien a + -Jb und Residuen a — Vb"> berechnet gebrochene irrationale Ausdrücke und zieht mit Hilfe kom pli­ zierter Identitäten W urzeln aus Binom ien und Resi­ duen (S. 380-383). Hier steht er ganz unter dem Ein­ fluß der Lehre von den Irrationalitäten, so w ie sie von R ud olff und Stifel gemäß Euklid X behandelt w ord en waren. Textlücken zeigen, daß einzelne Teile fehlen; m an w eiß, daß Ries auch diese heute feh­ lenden Abschnitte - etwa Rationalm achen eines N en­ ners od er Rechnungen mit gebrochenen Polynom en nach S. 342 - zumindest konzipiert hatte, denn die hier in der »C oß « fehlenden Textstücke lassen sich jetzt gem äß der Abschrift in Dresden C 461, S. 60-108, ergänzen. Die Lehre von den Proportionen bildet eine V or­ stufe für das spätere Logarithm enrechnen, w eil ein­ zelne Rechenoperationen auf andere dem Sprachge­ brauch nach niedere zurückgeführt w erden. Die Regel de tri nimmt den Platz am Ü bergang zur G leichungs­ lehre ein. Ries behandelt theoretisch die acht Gleichungs­ typen w ie in der Einleitung zu C oß 1, diesm al auch Typ sechs richtig. A n einzelnen Fachw örtern (caracter, quantitet) merkt man, daß er z. B. R ud olff studiert hatte. Bei Typ sechs bezieht er sich auf die »Quadripartita num erorum « von de Muris, aber das Beispiel x 2 + 21 = lOx, das er aufführt, stammt von alHwärizml. Dies zeigt etwa [Karpinski 1913, S. 105; Hughes 1989, S. 57]. W en n bei cx 2 + a = bx eine der beiden Lösungen ein Bruch ist, dann halte m an sich an die andere (S. 409). Zu Typ acht, näm lich Frage­ stellungen in axn, b x n+ k, cxn+ 2k, rechnet er nun w irk­ lich m ehrere Beispiele durch. A u f S. 414 steht R u d olff Pate mit den Forderungen, daß gleiche Potenzen der Unbekannten nur auf je einer Gleichungsseite zu stehen haben und daß Gleichheit erhalten bleibt, w enn m an beidseitig gleichviel dazugibt od er wegnim m t. Die S. 414f. fo l­ genden Fragestellungen hierzu hat Ries vielleicht

/ 81 /

selbst entsprechend der Vorlage bei [R u dolff 1525, f. H IIIV—H IW] entwickelt. Aus seinen A ufzeich­ nungen erfährt m an allgemein, w ie sehr er sich um die Deutung und Erklärung negativer G rößen bemühte und daß er nun viel ungezw ungener mit ihnen um gehen kann als in C oß 1. Dies kom m t etwa deutlich zum Ausdruck bei Gegenüberstellung der Beispiele 156) auf S. 193 f. und 113 auf S. 460. Ries steht in der Zeit, w o der Bereich der natürlichen, rationalen und irrationalen Zahlen um den der nega­ tiven erweitert wurde. A uch in den M ischungsrechnungen merkt man, w ie sich die Ausdrucksweise verdeutlichte, etwa in der Gegenüberstellung von »Vnd Ist dennoch Im gantzenn w ergk 11 lott fein m ehr« auf S. 206 und »Vnd ist dennoch im gantzen w erck 11 lott fein Zu uil« auf S. 472. D er Dreisatz w ird nun ebenfalls schematisch in den R echengang einbezogen, so w ie etwa auf S. 480 zu sehen ist. In der A ufeinanderfolge der A uf­ gaben 154 und 155 auf S. 484—487 v on bestimmtem zu unterbestimmtem Gleichungssystem sieht m an eine der Problematiken der Mathematik der dam aligen Zeit, die mit Gleichungssystemen n och ebensow enig deutlich um gehen konnte w ie mit der algebraischen Gleichung v o m Grad n. Erst zur Zeit v on Gottfried W ilhelm Leibniz entstand die Determinantentheorie; im 16. Jh. w urde der W e g zur exakten Lösung der quadratischen und kubischen Gleichung beinahe auf­ gezeigt, insofern nämlich, als negative Zahlen ihre Berechtigung im Zahlbereich erhielten. E infach-kom ­ plexe Zahlen blieben trotz der herausragenden Arbeiten v on Rafael B om belli n och außerhalb der all­ gem einen Betrachtungsweise. U m zu zeigen, w ie m an G leichungen löst, in denen die Unbekannte unter der W urzel bzw. in Brüchen erscheint, führt Ries 13 A ufgaben von [R u dolff 1525, f. H IW —H VIV] vor. H ierauf folgten e lf Beispiele vom »h och erfam en « Mathematicus M agister Andreas A lexander; hiervon sind jed och auf S. 4 2 5 -4 3 4 nur m ehr die N um m ern 1 bis 8 vorhanden. In den Dres­ dener Kodizes C 461 und C 4 6 7 stehen alle Aufgaben (vgl. Kapitel 7.). Sollte es gelingen, diese elf Fragestel­ lungen irgen dw o anders zu finden, evtl, gar in der näm lichen R eihenfolge, dann w äre dies ein großer Schritt, um das Inkognito v on Andreas A lexander w eiter zu lüften; in K od ex Leipzig 136 L f 140 stehen zehn dieser Beispiele (vgl. Kapitel 7.). Trotz des aus­ führlichen Hinweises v on Ries auf S. 330 läßt sich w ed er zu Alexanders deutschem n och zu seinem latei­ nischen W erk bisher viel sagen, außer, daß er laut C 461, S. 306, und C 467, f. 8 6 v, ein »Introductorium « zu Euklid I verfaßte, so w ie eines in K odex Leipzig 136 L fl4 0 , f. 127r, beginnt. V on der eigentlichen C oß 2 - Bearbeitung von Coß 1 - fehlt der erste Teil; denn der Text auf S. 4 3 5 -4 9 9 umfaßt drei Zeilen v on Aufgabe 62, die Beispiele 63 bis 170 und zwei Zeilen von Num m er 171; einige Fragestellungen hieraus sind nicht in Coß 1 enthalten. Die letzte A ufgabe bricht mitten im Satz ab. W aren dies die letzten wissen­ schaftlichen Aufzeichnungen von A dam Ries? Coß 2 ist ein reiferes W erk als C oß 1. Es handelt sich im Prinzip um ein systematisch aufgebautes Lehr­ buch der Algebra, bei dessen Abfassung der T od dem Verfasser die Feder aus der Hand genom m en haben dürfte, denn hierauf deute! der Abbruch mitten im Satz auf S. 499 hin. Ries bearbeitete nochm als einen

Großteil der A ufgaben aus C oß 1, näm lich 77) bis 216). N achdem schon beim Binden im Jahre 1664 die Lücke zwischen den Beispielen 8 und 62 zwischen S. 434 und S. 435 bestand, ist anzunehmen, daß schon damals die drei letzten der von Andreas A lexander stam menden und die aus C oß 1 übernom m enen und hier vorangehenden Fragestellungen nicht m ehr v o r­ handen waren, ebenso w ie eine nun fehlende Z w i­ schenüberschrift. Aus den W orten »W as ferner vn d weitter für felh sich begehn w erden, w il ich dir gnugsam in v olgenden exem peln bericht thun« auf S. 424 läßt sich folgern, daß Ries diesm al - in C oß 2 - alle Glei­ chungstypen anhand v on Textbeispielen diskutieren w ollte. Anschließend an die A ufgaben von Typ eins, näm lich b x = a, aus denen die ganze C oß 1 besteht und w ie sie in Coß 2 v on S. 4 3 5 -4 9 9 laufen, sollte dem nach eine vollständige Gleichungslehre aufgebaut w erden, so w ie sie ihm in den Büchern v on H einrich Schreyber, Christoff R u d olff und M ichael Stifel zugänglich war, nur: sein W erk w äre das umfas­ sendste von allen gew orden . W arum es nicht dazu kam, wissen w ir nicht. Erstaunlich ist hierbei, daß Ries außer auf S. 5 H einrich Schreyber nie m ehr erwähnt; denn durch seine Erfurter Jahre m uß er mit ihm in Kontakt gekom m en sein.

10.2.

s. 338

7% 8

10.2.2. »Algorithm us v o n + vnd —:— v on gantzen vnd teiln«. In den A ufgaben zu A ddition und Subtraktion geht Ries gleich zur A nw endung in der Praxis über; bei S. 340 U m rechnung in fl und gr steht: |»die setz mit dem Zeichn —I—, dan das Z eichn —\— ist m echtiger dan das Zeichn + « . »D es gleichn thu in gewichten, M asen V nd Zain, so in sich R esoluirung haben«, etwa: 1 Zentner = 1101b, 1 lb = 32 Lot, 1 Lot = 4 quent, 1 quent = 4 Pfenniggew icht; 1 Fuder = 12 Eimer, 1 E im er = 64 Kandel, M aß od er Viertel. Beispiele zu M ultiplikation und D ivision fehlen. * S. 351

S. 350 10.2.1. »Algorithm us de Additis et diminutis in S. 331

c92-c (q 2-q i) dq 2 ~ d(q 2 ~ qi)

addieren

* * ♦

UND R EC H E N V O R SC H R IFTE N

(92 - q i ) j

multiplizieren

60 + 6 8 - 3 0 - 3 4 = 6 4 In der lateinischen Textstelle ist dies leichter ver­ ständlich; hierzu etwa [W appler 1887, S.31f.].

ALG O R ITH M EN

92 " ^

6 0 :8 = 7 1/2 - ( 7 '/ 2 - 1 6 ) + (-4 )

8 -7% 8 - ( —8 %) —4 - 7 ‘/ 2 - ( - 4 ) - ( —8 'A)

EIN FÜ H REN DE

gantzen Zain«. Erklärung von + und —. |D ieser Algorithm us ist entnom m en dem 3. Buch der »Quadripartita numerorum « des Johannes de M uris, Kapitel eins und zwei. Als Vorlage diente Ries hier wahrscheinlich »D e Additis et Diminutis Algorithm us« in C 80, f. 325v-3 2 6 r, geschrieben von Johannes W idm ann, der­ zeit nicht m ehr lesbar [Kaunzner 1968, S.56]. A n ge­ w andt w erden die vier Grundrechenarten auf Binom e, also auf zweigliedrige Ausdrücke in ganzen Zahlen, so w ie w ir sie heute im Klammerrechnen s. 334 durchführen. |Bei einem Subtraktionsbeispiel, näm ­ lich (7 - 4) - (3 + 2), ergibt sich »4 —I— 6 Residuum, also pleibtt hie in dem andern exem pel —i— 2, Dan die Zal so du hinw eck nem en wilst, ist grosser dan die, von der du nimest«. S. 336 Beim M ultiplizieren w erden die Vorzeichenregeln erläutert, »plus mit plus wirtt plus vnd plus mit minus wirtt m inus«: (8 + 5) (5 — 3) = 40 + 25 — 24 — 15. Bei der Division v on (a + b ) : (c + d) unterscheidet m an den «furnemesten quotiens« oder »quotiens principalis« und den »quotiens secundarius«. Es dreht sich um folgende Identität (a + b ) : (c + d) = q t ; a : c = q 2 sind die beiden Q u o­ tienten.

quotiens principalis quotiens secundarius

(6 0 + 4 ): ( 8 - 4 ) = 16

*

*

10.2.3. A u f vorhergehenden, jetzt nicht m ehr vorhan­ denen Seiten, scheint Ries die R echnung mit Potenzen der algebraischen Unbekannten eingeführt zu haben. Dies scheint auch geübt w ord en zu sein, denn hier handelt es sich bereits um die Division von Binom en: 3 + 2x 5 4x + x 2 . _ . . 3 + 2x 5 2x 2 — 1 lst Er®ebn,s von »D u magst w o l die Z eichn der hohestn duction N acheinander setzen« heißt, m an ordne nach der M ultiplikation nach fallenden Potenzen, so folgt 2xs + 8 x 4 + 3x 2 + 12x _ .. . 0 t , . ,----- ö— - — . Zur Probe setze m an x = 2 ein. 2x 4 + 4 x 3 - x 2 - 2x Diese A ufgabe steht vom Schwierigkeitsgrad her isoliert da. Es bleibt zu untersuchen, w oh er die ent­ sprechenden Quellen v on Ries stammen, so w ie sich dies gem äß den A ufzeichnungen in C 461 und C 467 Dresden nachvollziehen ließe. * # *

S. 352 10.2.4. »Algorithm us de Numeris Surdis Quadra-

. . .. . multiplizieren addieren

cq 2 - cq 2 + cqi + dq 2 - dq 2 + dqj = (c + d) qi = a + b

/ 82 /

torum «. In der Entwicklung der Zahlenlehre stehen am A nfang die natürlichen Zahlen, w ie sie zum Zählen gebraucht w urden, w o b e i diese N am ensgebung erst­ mals bei Boetius erscheint. Die aus heutiger Sicht schwerfälligen Zahlbezeichnungen erschwerten das Verständnis der Grundrechenarten; Operationszeichen hierfür gab es nicht, denn alles w urde verbal ausge­ drückt. Die bei den Griechen übliche Sonderstellung der Eins zog sich durch das lateinische Mittelalter hindurch, etwa als «Unitas est principium num eri et non est numerus«. M it dem verstärkten A ufkom m en der indisch-arabischen Ziffern erhielt allmählich auch ein Zeichen für das Nichts, näm lich schließlich die Null, die A nerkennung als Zahl, und zwar in w eiten Bereichen eher als die Eins. Ab dem 13.Jh. w urden im A bendland die Grundrechenarten bis Reihenlehre und Quadratwurzelziehen in verschiedenen A lg o ­ rithmen - aufbauend auf al-Hwärizmls »R echenbuch« [Vogel 1963] - verbreitet, ursprünglich meist m ißver­ standen in röm ischen Zahlen, ab dem l5.Jh. verstärkt in den neuen Zahlzeichen. An Operationszeichen

kannte m an den Bruchstrich, Sum m anden w urden bisw eilen nebeneinandergestellt, ab etwa 1480 setzten sich + und — durch. M an hatte die natürlichen und die rationalen Zahlen zur Verfügung. Die Entdeckung des Irrationalen b ei den Griechen, so die D iagonale im Quadrat, hatte zweierlei Zahlbegriffe aufkom m en lassen. Irrationale Ausdrücke erlangten nur in der Geom etrie volle Anerkennung, nicht in der Arith­ metik. D ie Intervallehre der G riechen m ag dazu b ei­ getragen haben, daß Tim 1500 die Gegenüberstellung rationabilis, audibilis (h örbar; v o m M o n och o rd h er) einerseits und irrationabilis, surdus (taub, nicht h ö r­ b a r), alogus andererseits beibehalten wurde. U m 1500 stellte m an den Gegensatz p o s itiv -n e g a ­ tiv allmählich verstärkt heraus, einmal durch die Beschäftigung mit der algebraischen Gleichungslehre, zum anderen wahrscheinlich durch den internatio­ nalen W aren- u nd Geldverkehr. Das M inuszeichen dürfte sich aus einem schnell geschriebenen »m inus« bei Untergewicht gegenüber einer N orm bei den damals schw eren Frachtballen herausgebildet haben; bei Ü bergew icht w u rde dieses Zeichen gekreuzt. A b etwa 1450 begegnet m an in mathematischen Handschriften in unserem Sprachraum auch irratio­ nalen, meist sehr einfachen Fragestellungen, um Iden­ titäten aufzuzeigen, etwa VlfF — ^2 = Vß", w o b e i außer den Zahlen alles als Text geschrieben war. Durch die Beschäftigung mit quadratischen G leichungen und mit W urzelalgorithm en bildeten sich Abkürzungen heraus, zuerst ein verkürztes »radix«, dann ein Vorge­ setzter Punkt für die Quadratwurzel, bei m anchen Autoren der deutschen Coß sehr eigenw illige Zeichen. D er W urzelhaken erscheint nach bisherigem W issen erstmals in der »C o ß « v o n A dam Ries, S.119, somit spätestens 1524. Nach den neuen Untersuchungen tritt er in den Kodizes Leipzig 136 L f 140 und Dresden C 349 bereits früher auf. Im hiesigen Abschnitt gebraucht Ries bei der Qua­ dratwurzel lediglich den Vorgesetzten Haken, also V50

der rationalen Zahl: »N um erus est quem unitas m ensurat« und m eint hiermit etwa, daß er die Kante eines Quadrates v o n fü n f Flächeneinheiten nicht rational angeben kann. S. 554 Entsprechendes gilt für Kubikzahlen, so zwischen 27 und 64. »M u gen all in potentia, das ist in irer macht, Cubi genant w erden, aber in longitudine seint sie Numeri Irrationales, als 28, 29, 30, 31, 32, 33 etc.«, folglich schreibt er deren 3. W urzeln als Vc 31 usw., denn »kan der radix solchs Cubi mit gew isen vniteten nicht geZeltt w erden, alß radix Cubica v on 64, des radix 4 ist, w eliche 4 mit 4 eyns geZelt w erden«. Das heißt ^64 = 4 = 4 -1 . 10.2.4.1.3. »C om m unicantes« sind Zahlen, »so die mit eyner andern auffgehobn, Das m an radicem qua­ dratam, Cubicam etc. außm quotient haben m ag«; etwa 8 = 2 •22, 18 = 2 •32. S. 555 Zw ischen 4 2 und 52 sind »N um eri Surdi vnd irratio­ nales« 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, w o v o n 18, 20, 24 »C om m unicanten« sind. Zw ischen 5 3 und 4 3 »w erden aber C om m unicim te Zain« gefunden, näm lich 32 = 4 •23, 40 = 5 •23, 48, 56, ferner 54 = 2 •35. s. 556 »W irt aber eyne Zal gen der andern geschätzt, als 73 gegen 712, Seint Com m unicanten, Ist 3 ir mensur, wirt 1 vnd 4, Darauß ist radix 1 vnd 2«. Ries meint V5 :V l 2 = V i > 4 =

und VäfT »auffgehobn«, also ins Verhältnis gesetzt, ergeben -/T •Vä", folglich sind sie »Surdi Irra­ tionales«, nicht »Com m unicantes«.

S. 557 10.2.4.2.1. Addieren. Ries verw endet hierbei die Iden­ titäten

________ ______

Vä^ + Vb^" = und Vca2 +

Cossisten, näm lich 7 c 2 für ^ 2 , 7$j 2 für ^ 2 usw. In der N am ensgebung ist Ries von M ichael Stifel beein­ flußt, dessen »Arithmetica integra« er auch zitiert. Als surdische Zahlen w erden von ihm allerdings andere Zahlen bezeichnet als solche, w ie m an es v on anderen Autoren seiner Zeit her gew öhnt ist.

=

7

7

+

= Vft2 "*■2 ab + b 2 = a + b

cb 2 = J e (Vä^ + Vb* 0 = V^ (a + b)

c(a + b ) 2

bzw.

Va” + J b = V(Vä" + ViT) 2 — V a + b + 2 tJsl ijb . 10.2.4.2.1.1. J i 6 + t/25 ; 16 + 25 = 41, »diß collect behaltt«; 16 •25 = 400, »D ie duplir, das ist multiplicir mit

10.2.4.1. H ier w erden dreierlei Zahlen gebraucht, »alß Racionales, Communicantes vnd Irrationales«. 10.2.4.1.1. Ries bezeichnet als rationale Zahlen jene, »die R adicem habn«, w ie 4, 9, 16 usw.; | 2, ,5, 4 usw. heißt »radix in longitudine«, und 4, 9, 16. usw. »potentia rationalis« oder »zensus in potentia«.

;2.

10.2.4.1.4. »Irrationales« sind ganz und gar unge­ schickte Zahlen, die in keinem W e g zu einer 2 ., 3., 4. W urzel führen, w ie 3, 5, 7, 11. Es handelt sich um die Primzahlen ab 3.

für VöÖVund ist hierdurch m oderner als seine Zeitge­ nossen, die Vi 50 schreiben. Ab der dritten W urzel ver­ w endet er die T erm inologie der anderen damaligen

S. 555

1

4,

w erden

1600«;

-Jl6ÖQ — 40;

41 + 40 = 81;

V iT = 9. »Vnd ist alhie nicht v on noten Vil hieuon Zu schreiben«. S.558

10.2.4.2.1.2. VÜT + V8 ~; 8 : 2 = 4 und 1 8 : 2 = 9; V4 + -/ff = 2 + 3 = 5 ; 52 = 25, »die M ultiplicir mit der

10.2.4.1.2. »Surdus Numerus ist eyne Zal, die nicht radicem quadratam, Cubicam, ZensiZensicam , n och eyner andern quantitet hatt; ... w erden ... Surdische Zain genant alß 5, 6 , 7, 8 , Dan solche Zain seint all in potentia Racional, Dan es kan ein quadrat sein, des m a ch (t) 5 vnitates sei, auch 6 , 7 ader 8 , aber nach der leng m ügen ir radices nicht genant w erden, sonder w erden mit disem Zeichn beschrieben 7> das ist radix«. M it »nach der leng m ugen ir radices nicht genant w erden « bezieht sich Ries auf die Definition

gem eynen mensur alß 2, wirt 50«; V5Ö". Dasselbe Bei­ spiel nach Vä" + Vb" = V(Vä" + Vb")2 Bei V2Ö" + Vää" schreibt er Ergebnis als 7$ 125, entS. 559 gegen

/ 83 /

7125. | V27* + Väß"

w ird

gelöst

über

75a 2

+ 73b 2 = Vä" ( V ? + V^2") = V5 (a + b). »Stieffel setzt das durch Regulam de tri«; denn es gilt a : (a + b) = (Vä"a) •(Vä"(a + b )), hier: 3 : (3 + 4) = (3 •V ä "): ((3 + 4) •Vä"). Entsprechend w ird bei -^6% + 741% verfahren.

S. 560 10.2.4.2.1.3. 4 ^ + 4 $ = V (V 7 + V^

)2

in den selben Surdischn ader Irrationalischn Zain sehn magst vnd brufen kanst, Das die Surdn w ie die andern eintreffen A u ff das genehste vnd nicht In puncto w i hie obn, So Nim alhie für dich eyne Zal, ye h oher die ist, ye N eher du den Radix habn wirst«.

= V l 2 + Vl4Ö".

10.2.4.2.2. Subtrahieren. H ier erscheint entsprechend: V ? - 4 ^ ~ V ( V ? - Vb^ und -y/ca2 — Vcb 2 =

)2

= Vft2 — 2 ab + b 2 = a — b

( V ? “ V b^) =

S.370

(a — b)

/=-. , , V7 0 0 0 0 0 0 . J Unter y7 ist also zu versteh en ----- j~öÖÖ™— mit (*er

= Vc(a — b ) 2 bzw.

2645 Näherung

V*T“ V^"= vCVä"“ Vb" ) 2 = V a + b — 2-\fä-\/b .

5975 5291

1000

die auf sechs Dezim alen

genau ist. 10.2.4.2.2.1.

V25 “ V9 = V C V ^ - V ö ) 2 .

S. 361 10.2.4.2.2.2. V^Ö’ - V i 8 *. S. 362 »M ich el Stieffel gebraucht in seiner Arithmetica Integra Im A lgorithm o M edialium am 117 blatt dise w eiß «: VÜtf - V*5 = VS" (V25" - Vö ) = V5 (5 - 3) = V5 •2. Ries setzt auch die R egel de tri an 3 :2 = V ^ : 4 ^ = V45": V2 Ö und verw endet das Schema

V5 + V7~ = V l2 + V l40 w ird nun auf diese Art geprobt. Die Fehler, die durch falsches R unden und die geringe Stellenzahl Zustandekommen, kom m enS. 371 tiert Ries: |»D ie Residua tragen w en ig auß, dan es seint eitel M illesim e partes, das seint tausent teil«. Diese Einstellung zu Irrationalzahlen trifft m an auch n och bei Johannes Kepler, der unter s/2 nur einen Näherungswert verstehen will, der v om näch­ sten R echner beliebig verbessert w erden kann, w äh ­ rend die D iagonale im Einheitsquadrat exakt ist.

V 9 ........V 4 ........ V ^ W eitere Beispiele 4Ö& — ^ 1 2 % und

♦ * * — V 41% . 10.2.5. »Algorithm us de Surdis Radicibus N um erorum Cubicorum «.

S. 363 10.2.4.2.2.3. V7 ~ V 5 .

10.2.5.1. Beim Kubikwurzelziehen w ird entsprechend w ie beim Quadratwurzelziehen verfahren, d och w ird nun Vc vorgesetzt:

10.2.4.2.3. M ultiplizieren w ird erläutert anhand v on Vä” •Vb^= Vab ; V ^ ‘ b = Vab 2 S. 564 10.2.4.2.3.1. ^25 10.2.4.2.3.2.

S. 572 10.2.5.1.1. Rationale Zahlen sind hier 8 , 27, 64, 125 usw., deren 3. W urzeln 2, 3, 4, 5 usw., »vnd m ugen solche Radices mit 1 geZelt w erden«.

Vß ‘ Vlö" und 4 Ü t% •_

4): ^72 —4-^-x^ M ark. 8x

+ 9 •2x + 11 •1-^-x + 13 ^72

-4ix)

12 •72. Unter-

bestimmte Aufgabe.

/ 88 /

10 5 * *63; 78)) = S. 156 78). *64; 79)) = S. 157 79).

S. 456

S. 437

S. 458 S. 439

65; 80)). »G ib Progressionem Naturalem ... in 5 stelln, Das do wirtt proportio octupla sesquitertia gegen 3«: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 5) + (x + 4) 1 3 “ 8 5 * Kl6S rechnet mit der Sum m enform el. »Vide v o m im ersten Theil no 92« v on M artin Kupffer bezieht sich auf die ab h ier folgende K onkor­ danz zwischen den Aufgaben in Coß 2 und denen in Coß 1. *6 6 ; 92)) = S. 162 92). *67. Dieselbe Gleichung w ie S. 169 104). Z w ei haben insgesamt 10 fl. Jeder gewinnt hiermit soviel w ie er hat, so haben sie x 2 bzw . (10 - x)2. Jeder kauft hiervon »ein tuch gleichs kauffs«. D em ersten bleibt nichts, dem zweiten 2 0 fl: 1 0 0 — 2 0 x = 2 0 . *6 8 ; 106)) = S. 170 106). *69; 108)) = S. 170 108). *70; 107)) = 109)) = S. 171109). *71; 110)) = S. 171 1 1 0 ). 1

72. Drei Zahlen verhalten sich w ie 5 zu 2 zu 1 — .

S. 440 *73; 1 1 2 )) = S. 172 1 1 2 ). S. 441 74; 113)). Sehr ähnlich S. 172 113). *75; 114)) = S. 173 114).

S. 442 *76; 115)) = S. 173 115). »gib das —!— 2 0 beden teiln«. 77; 116)). Sehr ähnlich S. 174 116). Diesmal behandelt 2 x —6 2 S. 445 Ries _ ^ = — . |»M u gen auf diß exem pel vil facit gem acht w erden, nach dem m an Numeri p rop ortio­ nales nimet«. *78; 117)) = S. 175 117). S. 444 *79; 118)) = S. 175 118). *80; 119)) = S. 176 119). S. 445 *81; 120)) = S. 176 120). *82; 121)) = S. 177 121). S. 446 83. Ä hnlich S. 177 122). Jetzt rechnet Ries 5 , . 2 l 2 x + 3 = T x*84; 124)) = S. 178 124). S. 447 85. Ähnlich S. 178 125). H ier handelt es sich um :

*8 6 ; 128)) = S. 180128).

S. 448 87. A, B, C haben Geld im Verhältnis 1 zu 2 zu 6 . 8 8 . Ähnlich S. 181 130). A zu B zu C w ie 1 zu 2 zu 6 . Eine W en dun g aus der Proportionenlehre: »N im duplam v on Sexdupla, Rest tripla« bedeutet 6 :2 = 3. S. 449 *89 = S. 182 132). *90; 134)) = S. 183 134). W ährend Ries auf S. 185 schreibt: »G ibe beydenn teylen Z w Das Z w w en igk ist

alß 57-jQ- 0«, steht auf S. 450: »G ibe Zu das

beden

D : 33 — 6 x. .. . . _ _ x + (33 — 6 x) 33 — 5x C hat %> von A und D ; C : ------------------- L = — ----„ ^ ^ „ 33 - 5x 15x-53 B, C - C ergibt B: 5 x ------ ^-------------------------- • C, D:

33 - 5 x

99 - 17x .

+ (33 — 6 x) = ------ --

ist Vierfaches

v on B. 99 - 17x B:

8

Ries rechnet C, D ist vierm al soviel w ie B: 15x - 53 \

99 - 17x

4 .

1

. »G ibe beden teiln Zu das 1

—!—«, folgt 38 — x = 115 — ; x = 5, soviel hat A. *

*

*

10.4.3. »N achuolgende exem pla seint eynes teils durch Hansen Conrad, Zum teil durch Hansen Bernecker, des gleichn durch m ich gem acht; hab die gerechent S. 454 vnd durch die y(C oß)volfurtt In beisein Hansen |C on ­ rads anno 1515, so dise Zeit auff S Annaberck Probirer was. W ie w o l ir diser exem pla gleichs lauts Zuuor gemeldett, w il ich die auch setzn, hirumb yeder eynen guten vorstandt haben vnd bekom en m ag. Ich hab auch volgende exem pla gehabtt vnd gem acht durch die y, ehe m ir das alte buch ader die exem pla Andree Alexandri Zu handen kom ent seint«. Diese Aussage v on Ries bedeutet, daß er die nun fo l­ genden A ufgaben der Coß 1 und C oß 2 bereits vor Erscheinen der ersten gedruckten A lgebrabücher von H einrich Schreyber, Christoff R udolff und M ichael Stifel konzipiert hatte. Inwieweit dies auch für die von Ries nicht m ehr aufgezeichneten Beispiele nach 170 auf S. 499 gilt, läßt sich hier nicht entscheiden. *94; 138)) = S. 187 138). *95; 139)) = S. 187 139). *96; 140)) = S. 188 140). 5.455 *97; 141)) = S. 188 141). *98; 142)) = S. 188 142). *99; 143)) = S. 189 143). 100. 10 in zwei T eile zerlegen, so daß x 2 = 4x(10 —x). 5.456 »Stet solch exem pel Im 15 Capitel des dritten Buch Quadripartite N um erorum « des Johannes de Muris. Falls Ries auch dieses Beispiel bereits 1515 behandelte, dann w äre dies ein deutlicher Hinweis au f seine frühe Beschäftigung mit wissenschaftlicher Literatur. Die A ufgabe geht auf al-Hwärizm i zurück [Karpinski 1913, S. 105; Hughes 1989, S. 53].

teiln«.

*101; 144)) = S. 189 144). »m acht Zusam en

S.450 *91; 135)) = S. 184 135). A u f S. 184: »D ie seint gleich 1 y —4 0, gibe Zu beyden teylen 4 0«, dem gegenüber auf S. 450: »G ibe 4 0, die do —!— seint, beden teiln«. S. 451 *92; 156)) = S. 184 136). Gemäß »D ises exem pel ist genom en außm Buch Data der 52 furgab« könnte m an annehmen, daß er hier eine Abschrift der »D ata« des Jordanus Nem orarius mit durchgehender N um erie­ rung der Beispiele benützte, während er etwa 25 Jahre früher sich au f Buch II P roposition 23 berufen hatte. S.455 *93; 137)) = S. 186 137). In der C oß 1 stehen nur Frage­ stellung und Ergebnis; hier ist die A ufgabe durchge­ rechnet. 33 ist in vier Teile zu zerlegen, so daß A % von B und C ausmacht, B % v on C und D, C % v on A und D. Ries rechnet: A : x. B, C: 5x. A, B, C: x + 5x = 6 x.

1

N im ------ 5, pleibtt 1 — «.

6

-^-. Daruon 2

*102; 145)) = S. 189 145). *103; 146)) = S. 190 146). *104; 147)) = S. 190 147). s. 457 *105; 148)) = S. 190 148). *106; 149)) = S. 191149). S. 458 *107; 150)) = S. 191150). *108; 151)) = S. 191151). *109; 152)) = S. 192 152). S. 459 *110; 153)) = S. 192 153). *111; 154)) = S. 192 154). *1 1 2 ; 155)) = S. 193 155). 'S.460 *113; 156)) = S. 193 156). G egenüber Coß 1 zeigt Ries, daß er hier mit negativen Zahlen um zugehen in der Lage ist: »T eil 0 in y, w irtj 80, Ist die eyne Zal; Die ander ist 20 0 —I— 1 y, Das ist— 60. Proba: thu 80 vnd

/ 89 /

S. 461 S. 462 S. 465 S. 464

—:— 60 Zusamen, wirtt 20 ... Gibe den Sechsten teil von —!— 60, a lß —•— 10, Z u —i— 60, w irtt—!— 70. A ddir 100 Vnd —!— 70, wirtt 30«. *114; 157)) = S. 194 157). *115; 158)) = S. 195 158). *116; 159)) = S. 196 159). *117; 160)) = S. 196 160). *118; 161)) = S. 196 161). *119; 162)) = S. 197 162). *120; 163)) = S. 197 165). *121; 164)) = S. 198 164).

+ x M ark - 11 Lot Legierung zu 5 \ i 45 47 — + x ) 6 — = 295 -rrr + 16 / 4 64

m enge von

*123; 166)) = S. 198 166). *125; 168)) = S. 199 168).

s. 470 5.471

5.472 einer Gesellschaft: |124 -

15x

20 47

103 Ellen,

15

(6

12x

+ 7+

8)

= 105;

211

8 -t ^tt =

400

211

56— — ; darin befinden sich 560 Lot Fein­

400

11 16

M ark ab, so

daß 56 -t ^ ----- 77T = 55 In 5 5 -^ - Lot Schm elze sind 400 16 25 25 (360 — 11) Lot Feinsilber = 349 Lot Feinsilber ent­ halten. W ieviel Kupfer braucht m an n och für die elf S.474 überzähligen Lot Feinsilber? |»S o sihe, w ie sich das fein, so 1 M ark heltt, gegen dem Kupffer sei, alß

1

6

— lot

3 gegen 9 — lot«, näm lich w ie 25:39. Ries setzt nochm als T mit der näm lichen U nbekannten an, so daß 4 4 x : l l = 59:25; x = 1 7 -^ - Lot zusätzlich zuge25 setztes Kupfer gleichen die 11 Lot überschüssigen FeinSilbers aus. Insgesamt sind also

8

211

q - M ark

4 3 Kupfer + 1 7 -^ - Lot Kupfer zuzusetzen. Dies ergibt 9 — M ark Kupfer, die zu den ursprünglichen 48 M ark

43

dazukom men. Ries zerlegt eine einfache M ischungsrechnung

59

47 41 facit 32-rir- Ellen. 47

48 ■7-|- + x •0 = (48 + x)

enthält. Er gibt Kupfer dazu. D ann hält die M ark

6

-^- mit

6

-^-x = 60; x = 9-|- in

zwei Teile, so daß im ersten V organg noch

Silber eingesetzt, w ob ei die M ark 7 — Lot Feinsilber 6

—

Lot fein, »Vnd ist dennoch im gantzen w erck 11 lott fein Zu uil«. W ieviel Kupfer setzte er bereits zu und wieviel muß er n och zusetzen, damit die M ark wirklich

11

11 Lot = -jg- M ark Feinsilber übrigbleiben, die im zweiten V organg durch erneutes Zusetzen von Kupfer auf den geforderten Feingehalt von 6 % Lot gebracht w erden. Andererseits zeigen solche Beispiele, w ie ver­ siert Ries bereits im Jahre 1515 im U m gang mit M ischungsrechnungen war. *158 = S. 208 181). S. 475 139; 182)). Sehr ähnlich S. 208 182). x + x +x + — +

1

=

100.

— Lot fein hält?

4 »Dises exem pel kom pt vom Hansen Conrad, der etwan der Schutzn diner Zu Kempnitz, auff S Annaberck Probirer, Vnd nach dem Probirer vnd W ardin Zu eyßlebn gew esen«. S. 475 x M ark Kupfer setzt er zu Beginn zu.

*140; 185)) = S. 209 183). In C oß 1: »G ibe Zu, das do Z w w enigk ist auff beydenn teylen«; in C oß 2: »G ib beden teiln Zu das —!—«. *141; 184)) = S. 209 184). s. 476 *142 = S. 210 185). A uch hier um geht Ries durch 1 »8

1

48

M ark Silber enthalten 48 •7 — Lot Feinsilber =

•7 — M ark Feinsilber = 22 M ark

8

Lot Feinsilber;

diese sind nach Zusatz des Kupfers da. Es sind jed och 11 Lot fein zuviel: 22 M ark 8 Lot — 11 Lot = 21 M ark 13 Lot. Soviel Feinsilber ist enthalten in 48 M ark

je —24 P Ist gleich 4 0 — — y« weiterhin eine negative

rechte Gleichungsseite w ie sie aus »ym e gebricht der dritte teil seines haubtguts, so er Zum ersten außgefurtt» folgt, nachdem vorher steht »vorZert abermals 4f, hat nicht Zu Zain«. In der Probe form uliert er dies

1

3

-^- Lot Feingehalt sind 21 M ark

silber. H iervon zieht m an die 11 Lot =

.

1

1

48 +

-^r

12 26 ü 47 *137; 180)) = S. 205 180). Ein M ünzm eister hat 48 M ark

6

6

Kupfer sind 0 Lot Feinsilber enthalten.

W olle gegenübergestellt, hier spricht Ries von guter und geringer W olle. *127; 170)) = S. 200 170). |»A ddir bede facit thut« für Resultate. *128; 171)) = S. 201171). *129; 172)) = S. 201 172). *130; 173)) = S. 202 173). In Coß 1: »Item eyner w il von n R ohm gegenn deutschen landen«; in Coß 2: »Z w en seint von einander 300 meil W egs«. Spielt hier die Konfessionsfrage herein? *151; 174)) = S. 202 174). *152; 175)) = S. 203 175). In C oß 1: »N ach vorschinener Zeit Ist der her dem Knechtt schuldig bliebn«; in Coß 2: »N ach vorschinner Zeit Rest der herr dem Knecht«. *155; 176)) = S. 203 176). »ß o m angeln im 16 ß « bzw. »gebrechn Im 16 ß«. *154; 177)) = S. 204 177). *135; 178)) = S. 204 178). ■ *136; 179)) = S. 205 179). D ie Probe erfolgt w ie bei

. . 20x g e h t u b e r m—

4

1

Lot Feinsilber enthalten oder 560 Lot; im zugesetzten

S.466 *126; 169)) = S. 200 169). In C oß 1 w ird gute und böse

S. 469

i —r x. In dieser Gesamt-

Lot = 349 Lot Feinsilber enthalten. In Lot ergibt 45 1 1 19 dies: 2 9 5 -3 -r+ 6 -J-x = 349; 6 -j-x = 5 5 -jy -; 64 4 4 64 5411 4 5411 n 211 0 . 114/r , Tr r = 8 - —- . Soviel M ark Kupfer 64 25 400 ~ 400 wurden zugesetzt. P robe: In den 48 M ark sind 48 •7 —

S. 465 *124; 167)) = S. 199 167).

S.468

— Lot Feingehalt:

13

*122; 165)) = S. 198 165). Hier: x + J - x = J -.

S. 467

6

6

S.477 anders: »D uplir aber, wirtt |

/ 90 /

22

so der dritte teil von

9

3

»Hast also die vier teil w ie gemeltt«. Sie w iegen ins-

3~2£i alß 1 "2 5 " hinzugethan, kom en 4f, hat also Zum

5

gesamt 7 — Mark. M it dem folgenden Schem a zeigt er,

drittn mal auch Zu Zain«. *143 = S. 210 186). *144; 187)) = S. 211187). S. 478 *145 = S. 211188). A uch hier w ird n och deutlich, daß Ries einzelne Teile einer Gleichung auf Zw ischener­ gebnisse bringt und erst zum Schluß den Ansatz in ein1

fachster F orm aufstellt: »— y +

daß nach dem H öherschm elzen jeder der vier Anteile gleichviel wiegt: 3 2 1 — M ark — — l l o t

y

5

8

S.480

s. 481 s. 482 s. 483 S. 484 S.485

S. 486

2 - y M ark —

*146; 190)) = S. 212 190). »A ddir Zusam en« auf S. 212; jetzt »D ise bede product addir«. *147; 191)) = S. 213 191). Hier geht Ries über zu 3x + 6 x + 8 x = 100. *148; 192)) = S. 213 192). *149; 193)) = S. 214 193). *150 = S. 214 194). *151 = S. 215 195). *152; 196)) = S. 216 196). *153 = S. 217 197). *154; 198)) = S. 217 198). 155; 199)). Sehr ähnlich S. 218 199). Einer hat geringe, böse M ünze, die er körnt, und zwar 12 M ark zu 1 Lot fein. Er nim m t einen Teil, treibt ihn auf 3 Lot, einen anderen Teil auf 4 Lot, einen auf 5 Lot und einen au f 6 Lot fein. Ries beabsichtigt hier, w ie sich aber erst zum Schluß zeigt, daß die nach dem H öherschm elzen verbleibenden Anteile gleichviel w iegen ; in Coß 1 auf S. 219 hatte er bei diesem unterbe­ stimmten System verlangt, »vnd gleicher schw er«, daß näm lich jeder der vier abgeschlagenen Teile gleichviel wiegt. Diese vier Teile, nachdem er sie h öher brannte, gibt er zum Rest und erhält die M ischung zu 2 Lot fein. »W iuil hat yeder teil in Sonderheit gewegen?« Sein

s. 488

Conradt«. *156; 200)) = S. 221200). *157; 201)) = S. 222 201). Ein M ünzm eister soll 12 gr au f 1 Lot münzen, v on denen sollen 50 einen Gulden gelten. V on 1 M ark Feinsilber soll er 24 gr zu L ohn und Unkosten haben. 1 M ark Feinsilber gilt 8 fl. W ieviel Lot Feinsilber muß 1 M ark dieser Groschen enthalten? 1 Lot Schm elze ergibt 12 gr, 1 M ark Schm elze ergibt 192 gr; diese enthalten x Löt Feinsilber. W ie viele G ro­ schen können aus 1 M ark Feinsilber hergestellt w erden? x Lot Feinsilber in 1 M ark Schmelze ergibt 192 gr, 16 Lot Feinsilber in 1 M ark Schm elze ergibt 16*192 3072 ----- x ---- Sr = — x — Sr 5hinzu kom m t der Schlagschatz, also 24 gr auf 1 M ark Feinsilber = 16 Lot Feinsilber: 3072 13 — —— gr = 8 •50 g r + 24 g r ; x = 7 -gg-. So viele Lot Fein­

silber muß 1 M ark dieser Groschen enthalten. 1 M ark = 1 6 Lot; 1 fl = 50 gr; 12 gr gehen auf 1 Lot. S. 489 *158; 202)) = S. 223 202). S. 490 *159; 203)) = S. 225 203). H ier steht die Form ulierung v on S. 225, daß es außer der angeführten keine andere Lösungsm öglichkeit m ehr gibt, nicht dabei. *160; 204)) = S. 226 204). Ries rechnet hier nach der Bauernregel, m sei die M asse, f der Feingehalt:

daß die zu treibenden Teile anschließend insgesamt

m 2(f2 “ fivt) = nti(fM - fi); hier: 50(12 - 10) = m l (10 - 7)

1

1

4 — Lot fein halten. »Setz durch vorkerung« bedeutet,

1

2

ansetzt: » 4 — lot gehn 1 je, was gibt 1 lott, facit — £«. Es

9

4

9

x’

So bleibt ihm nach dem H öherschm elzen ((12 - x) + -^-x) •2 = (12 - x) •1 + -^-x •-jj-. Durch diesen letzten Sum m anden ist also die Unterbestimmt5 heit w ieder verschwunden, es folgt x = 7 — , »also vil habn die vier teil semptlich gew egen, so er hoher

2

gebrendt«. 4 — M ark behält er zu 1 Lot fein. W ill man nun wissen, wieviel die einzelnen abgeschlagenen Teile w ogen , dann setze m an an w ie in einer Gesellschaft: 3 4 lott facit 18 7 -y- M ark

er auff das meiste beschicken«. D ann verw endet er w ie­ derum die Coß. *161; 205)) = S. 227 205). A u f S. 227 w urde in M ark gerechnet, hier in Lot: 12x 4- 7 (16 —x) = 10 •16. S. 492 *162; 206)) = S. 228 206). S.493 *163; 206)) = S. 229 207). *164; 208)) = S. 230 208). Ries w eiß nun, daß b ei diesem unterbestimmten System seine M eth ode nur S. 494 eine von vielen ist: |»D iß ist ein Exem pel, darauff Vil facit m ugen gm acht w erden, Dan nach dem die Sat­ zung, also V olgen die facit: Hie sol 10 in 4 teil, W elch e mit 5, 6 , 7 vnd 8 M ultiplicirt w erden, das 62 kom en«. Er rechnet nun eine andere M öglichkeit durch, indem 6 7 . er x, -7TX, — x, den vierten 5 6 6 7 11 10 - (x 4- -z -x + -T-x) = 10 - 5 — x ansetzt. Hieraus v 5 6 7 30

5

6

1

S. 491 mit m t = 33 — . |»thut in Summa 83 — marck, souil kan

daß er die umgekehrte Proportionalität als direkte

v

7

5

1

y

5_

S. 487 insgesamt 1 — M ark. |»D iß E xem pel kom pt vom Hans

= 18; 18 =4 = 4 — . E r setzt hierdurch fest,

müßte heißen: x M a r k .... 1 Lot f ^ 7 . 1 , x :y = 4 y : l ; y M ark ... 4 -2 "Lot

3 M ark 7

Nach dem Schm elzen w iegt jeder der Teile — Mark,

x w og en die vier Teile in summa, (12 — x) M ark halten 1 Lot fein. 3, 4, 5, 6 Lot ist Feingehalt der vier Teile nach dem Brennen. Im unterbestimmten System addiert er die Feingehalte und teilt durch die Anzahl. 6

l l o t facit

2- 7 - M a r k -----— l l o t 7

Rechengang:

54-4 + 5 +

7

— 0 thut souil alß

10 0«.

S. 479

3

1 — M ark — — l l o t

1

n

/ 91 /

folgt x

5x

■_146_ 197*

+

6

*-^-x +

7

*-^-x +

8 (1 0

— 3-gg-x) = 62

mit

A u f eine allgem eine Aussage für dieses doppelt unterbestimmte System verweist Ries freilich nicht. s. 495 *165 = S. 231 209). *166; 210)) = S. 252 210). S. 496 *167; 211)) = S. 252 211). Gegenüber Coß 1: »D er erste mant ein 5 f schultt«. S .497 *168; 212)) = S. 255 212). »Ist Nq 18 Zuuor gesatzt, auff ein ander W eiß, machs also«. Dies läßt sich nicht m ehr feststellen, w eil Riesens A ufgabe 18 auf den fehlenden Seiten zwischen 454 und 455 gestanden hätte. Bei­ spiel 18 läßt sich verm utlich in C461, S. 4 2 4 -7 0 8 , finden. Ries rechnet das Beispiel diesmal w ie S. 254 215). *169; 214)) — S. 254 214). »fast w ie obn Vnd Ns 18«. S. 498 *170; 215)) = S. 255 215). »M achs nach vnderrichtung des 168«. Hierdurch ist deutlich erkennbar, daß die h ie­ sige Numerierung der Aufgaben v on Ries stammt. Er rechnet hier anders als auf S. 255: A : x ; ihm fehlt 60 —x, dies ist die Hälfte von B. B: 2(60 —x) — 120 — 2x; ihm fehlt 60 — (120 — 2x) = 2 x — 60, dies ist ein Drittel von C. C: 5(2x — 60) = 6 x — 180; ihm fehlt 60 — (6 x — 180) = 240 — 6 x, dies ist ein Viertel von D. D : 4 (240 - 6 x) = 960 - 24x. G leichung: D kauft die W o lle um 60 fl mit seinem Geld und dem fünften Teil des A : (960 — 24x) + A = 60. S. 499

Die folgende Bemerkung »Dises exem pel ist gleich dem drittn Exem pel, so magister Andreas A llexander, w ie Zuuor gemelt, angeZeigt vnd beschriebn hatt« w urde von Ries gestrichen, w eil sie nicht stimmt. Siehe hierzu S. 4 26-428. *171 = S. 256 216). Dies w äre die A ufgabe mit d.em H in­ weis, daß Hans C onrad einem Predigerm önch namens Aquinas, von dem auch Andreas A lexander gelernt hatte, für die Lösung einen Gulden bezahlte.

11. D I E » D A T A « DES JORDANUS N EM O RARIU S 11.1. A L L G E M E I N E S Die »D ata« des Jordanus bilden neben der »A lgebra« aus muslimischer Ü berlieferung eine weitere Quelle für die Gleichungslehre, so w ie sie zu Beginn der Neu­ zeit betrieben w urde, d och »Jordanus’ place in the histoiy o f m edieval and early m odern mathematics has yet to be determ ined« [DSB 7, S. 175a]. R egiom ontanus w ollte die »D ata« edieren [Zinner 1968, T afel 26]. In-' der dam aligen Literatur w ird vereinzelt auf die »D ata« des Jordanus verw iesen [W idm ann 1489, f. 2r], d och sie w urden erst im 19. Jh. gedruckt [Treutlein 1879 ( 1 ); Curtze 1891]; v o r kurzem erfolgte eine kritische Edition nach 15 lateinischen Handschriften mit englischer Übersetzung [Hughes 1981, S. 56]. D ie »D ata« sind ein früher Versuch, m ehrere Unbekannte in der zugehö­ rigen Anzahl von Gleichungen unterzubringen und mit M ethoden, die uns zum T eil ungew ohnt erscheinen, • deren Lösung zu finden; es handelt sich um ein schw er lesbares und schw er verständliches W erk. »D ata« ist w örtlich als »G egebenes« im Gegensatz zum Gesuchten aufzufassen. Im 15. Jh. w urde, sow eit bekannt, in mathematischen Traktaten keinerlei Symbolik ver­ wendet, sondern alles in W orten ausgeschrieben m an spricht von der rhetorischen Darstellung. So liegt

/ 92 /

im W erk des Jordanus bereits ein gewaltiger Fort­ schritt gegenüber den Arbeiten der M uslim e, die in ausgesprochen mathematischen T exten bis zum 15. Jh. selbst ihre Zahlen nicht verziffert und auch sonst kei­ nerlei abkürzende M erkm ale verwendet hatten. Die »D ata« sind als einer der frühen Ü bergänge zur synko­ pierten und schließlich zur sym bolischen Algebra anzu­ sehen, w eil Jordanus in seinem Text röm ische Zahlen und allgem eine Buchstabenbezeichnungen einführte; A ddition drückte er durch Nebeneinanderstellen der entsprechenden Sum m anden aus. Für den nicht Geübten geht aber der Überblick bereits nach kurzer Zeit verloren, w eil für jedes neue Ergebnis neue Buch­ staben in der Folge des Alphabets herangezogen w erden. Außerdem w ird in der Art dieser Bezeichnung n och keinerlei Unterschied angestrebt um zu sagen, ob es sich um »D ata« od er um Gesuchte handelt. Die A bhandlung des Jordanus erscheint im Vergleich zur »A lgebra« al-Hwärizmis sehr starr, w eil - zumindest im hier betrachteten Teil, w ie er v on Ries behandelt w urde - das erste »D atum « meist x + y = a ist, w elches dann im Rechengang beibehalten wird. Dies kom m t schon bei Aufgabe 1-1 [Hughes 1981, S.57 und 189] zum Ausdruck: x + y = a; x —y = b. Jordanus rechnet: »Etenim m inor portio ( y ) et differentia (b = x —y ) faciunt m aiorem (a = x + y ). Tune m inor portio ( y ) cum sibi equali ( y ) et cum differentia (b = x - y ) facit totum (2 y + b = y + y + (x - y) = x + y = a ). Sublata ergo differentia

—

100 %

1 " ^ j- f < l°re n >

—

150 U

l^ -f< lo r e n >

—

180*0»

d 1—

859 1 - ^ - f f l o r e n ) — 210 %

T

S. 268

1 6 4 | jff< lo r e n >

2

3

3 1

7

mir

m ehr

f

dan ir behaldett Nun frage ich w iuil itzlicher in Sonderheit gehabtt hab M achs also setz sie ha benn all drey zusamen 1 x Nun spricht a so ich von eurm geht 6 0 het, so hette ich 4 mal m ehr 4 D an ir beyd behiltt also muß a x —:— 6 0

12 6 f

2 35). Item ein her hat gelt gibt seynem knecht daruonn 15 f(lo re n ) Zihen hinw egk zu handeln D er her gewint 1 Die sum so do körnet auß dem m ultiplicim — seyns

habenn Des gleichnn spricht b gebt m ir 10 0 so hab ich auch 4 mal souil sam ir behaltet also 4 hat b -jr x —i— 10 0 Spricht ferner Das c gebt

gelts in das gantze gelt des knechts, so gewint der 1 knecht das do körnet so er — seynes gelts mit dem gan

m ir 12 so hab ich auch 4 mal souil sam ir behal 4 tett Zeigtt an Das c muß habenn x —I— 12 0

12

tzen gelt des h erm n multiplicirtt Brengen bey S. 260

249). Item D rey gesellnn a b vnd c haben gelt itzlicher ein anczal spricht a zum b vnd c gebt von eurm gelt 6 f(lo r e n ) so hab ich 4 mal m ehr dan ir beyd behaldett, sprich b zum a vnd c gebt m ir 10 f(lo r e n ) v on eurm gelt so hab ich auch 4 mal souil sam ir behaldet spricht c zum a vnd

S. 269 dem b gebt m ir 12 f(lo r e n ) so habe ich auch 4 mal

Sumir Zusamenn so hastu gerad 800 f(lo r e n ) in masen ob enn begertt ist S. 259

T

plicir mit des h erm n gelt alß 16 w erden 60 darzu addir des knechts gelt alß 15 k om en 75 f(lo r e n ) souil brengtt der knecht zu w egen Nun addir zusamen ir beyder gelt so hastu w ie obn begertt ist gerad 171 f(lo r e n )

82 2 4 3 'f

fa c(it) c 1—

Nim — v o n des knechts gelt ist 3 — multi

Summir zusamen ir dreyer geht k om en - g - x —!—

de zusamen her vnd knecht Haubtgut vnd gew in 171 f(lo re n ) Nun frage ich wiuil d er her anfengklich geldes gehabtt hab M achs also setz a hab 1 x Das ist der her Nun nim hinwegk das gelt w elchs er dem knecht gibtt alß 15 0 pleibt 1 x —I— 15 0 D em herrnn Vnd dem knecht 15 0 Nun nim 1 1 — von des h erm n gelt macht — x —:— 5 0 mul

28 0 gleich dem geh so si m iteinander gehabtt habenn alß 1 x gibe beyden teylen zu 28 0 Vnd nim beyden teylenn hinw egk 1 x so hastu v ff ey n e(m ) 7 teyl 28 0 vnd vffrn an dem n x Teyle 0

tiplicir mit des knechts gelt alß 15 körnen 5 x —I— 75 0 addir zu des h erm n gelt als 1 x —— 15 0 körnen 6 x —I— 90 0 souil vberkom et der her haubtgut Vnd gew in Nun besihe auch wiuil 1 der knecht Nim — von seynem gelt Das ist von

4 6 f(lo r e n ), so hat c -jr x —:— 12 M acht 4 f(lo r e n ) Das

in x fa c(it) 20 f(lo r e n ) souil haben si all drey, so hat 4 4 a -j- x —\— 6 m acht 10 f(lo r e n ) B hat x —4— 10 macht

probir also setz 10, 6, 4 Nim 6 v om b c pleibn 4 addir die 6 dem a wirt 16 gleich 4 mal souil sam b vnd c behaltenn Des gleichn N im 10 vom a vnd c gib dem b wirtt auch 4 mal souill A lso auch Nim 12 f(loren> v om a vnd b gib dem c so hat es auch 4 m al souil sam a vnd b behaltenn

T

15

3 Ist 3 — Die m ultiplicir mit des h e m gelt

3 1 alß 1 x —!— 15 0 k om en 3 — x —I— 5 6 — 0 T1

v

S. 277

Darzu addir des knechts haubtgut alß 15 0 ko 3 1 m enn 3 — x —I— 41 — 0 souil brenget der knecht zu w egen n haubtgut V nd gew in Nun addir zusamen W as der her Vnd der knecht haben w er 3 1 den 9 — x —i— 131 — 0 Das ist nun gleich T

T

D em gelt daß si gelost haben alß 171 0 V olfur es teyl 0 in x so du was do zu w en igk ist vorhin zu gebn hast fa c(it) so der her gehabt 31 f r o ­ ren ) anfengklichnn D ä m o n Nim 15 f(lo r e n ) Die er dem knecht gebn hat pleiben im 16 f(lo r e n ) Das saltu 1 1 p robim n also Nim — v on des h e rm gelt Ist 5 — multiplicir mit des knechtes gelt alß 15 kom en 80 Darzu addir 16 so der her hat w erden 96 Nu

264.) Item eyner komett Inn das land Z w N fordertt Zusam en Die vnderthanen gedencktt sey nen waitz Zu dreschen legtt auff eyne gem eyne steur also ein itzlicher gesessen bürg (e r ) sol im gebn 1 f r o ­ ren ) hatt auß gem eynem ra ff v o m o m e n w ie die landt schafftt sey vorm ugens 52208 person streit barß volgks auß zu schickenn v o r d e r « der halben die furnemsten Des landes in die haubtstat N genantt, legtt in für seyn b eg em n , D ar auff antwurttenn si yh m sprechendt V n se(r) seyen nicht souil, sonder w an die Schweitzer der souil sam vnser gew esenn bey vns plibn w eran Vnd hetten dar

1

1

1

1

1

zu — vnd — Reysigs geczeugs Vnd — — V nd — souil vnser einw oner lantzknqcht gehabtt W oltenn w ir vbergem elte zal des volgks souil m echtig ge

/ 113 /

0 Nun addir hinzu 37 0 Die er w id er gewint wirt 1 x + 22 0 gleich 4 0 die er behelt. Nim e beyden teylen hin w egk 22 0 pleibet ey nem teyl 1 x Vnd dem an dem n —■— 18 0 tey le 0 in x k om en — 18 souil f(lo r e n ) hat er ge habtt do er angefangen zu spilen Das p robir al so Nim herab die 15 f(lo r e n ) so er vorspiltt pleiben —I— 15 + 18 seint —i— 53 f(lo r e n ) Darzu addir 37 f(lo r e n ) so er gewint k om en dir gerad 4 f(lo r e n )

w esen sam itzt darunder, Vnd vn sem n h erm n Im land behalten habenn, D ie w eyl w ir aber nicht so m echtig seint vnß der steur Zu w e g e m n w olln n w ir die willigk geben, Nun frage ich w ie uil der steur gefallnn Ist M achs also setz D er steur sey gew esenn 1 x Ist w en ig (e r ) dan der person obenn berurtt. Hirum b nim 1 x v on 52208 pleibenn 52208 0 —!— 1 x E xam inir 1 x erstlich gesatzt sprich 1 x einw oner, 1 x schweitzer 1 1 zuruck gezogenn, — x vnd y x Reisigs gezeuges

284). Item Siben geselln kauffen eyn hauß vm b 100 f(lo r e n ) A 2 3 4 begertt v om b — B v o m c — C v om d y

1 1 1 — x — x vnd — x lantzknechtt summir zusamen 0 / o 19384 k om en x D aruon Nim 52208 pleibenn

5 6 7 D v om e — E v om f — F v om g — vnd 6 7 ° 8

19384 672Q x - h - 52208 0 gleich 52208 0 —J—

g

g v om a — so w olle itzhcher das hause mitt

1 x Volfure es Vnd thu im w ie im nehesten , ■ . . , 26104 exem pel gescheen ist Wirt eynem teyl q j 2 Q x

seynem gelt hinzu gethan beczaln Nun frage ich w iuil ein itzlicher in Sonderheit gehabt hab M achs also setz a hab 1 x M uß g nothalben ha 8 7 ben 100 0 —I— — x Das f 100 0 —------— vom

gleich dem andern teyl alß 104416 0 Teyle S. 278 0 in x k om en 26 880 souil manschafft Ist vor handen gew esenn souil f(lo r e n ) hat m an auch zu eyner steur em pfangenn Das p robir also Nim 26 880 von 52208 pleibenn 25328 Nun sprich 1 1 26 880 eynw oner 26 880 schweitzer — vnd y

9

o

o

9

gibt g dem f so hat es mit seinem gelt hinzu 700 7 gethan 100 0 Nim 0 —I— — x vonn o

1 1 Reysiger thut 6 720 vnd 5 376 vnd — , —

100 pleibnn —

o

1 — machtt 4480, 3 840, 3360 sumir zu 0 samen Vnd nim hinw egk 52 208 so pleibn dir auch 25 328 Ist recht gem acht Vnd also des gleichnn allein hab achtung v ff die vorgleichung Item 1 c(Z en tn er) w achs gekaufft zu leiptzigk des b e ­ sten für 15 f(lo r e n ) Im 1523 Iar seint 15 % vm b 17 g (ro sch e n ) vorkaufft Nun frage ich wiuil der g (ro sch e n ) für 1 f(lo r e n ) genom en seint w ord en n M achs also setz 1 x g (rosch en ) geltenn 1 f(lo r e n ) Rechnn wiuil 15 f r o ­ ren ) g (ro sch e n ) habenn M ul tiplicir 15 f(lo r e n ) mit 1 x groschn kom en 15 x Nun 374 sprich 15 % für 17 g (ro s ch e n ) w ie 110 % fa c(it) —— 0

o

KT. 7 . 700 „ . 7 g Nim — v o m g ist 0 —:----— x souil

9

0 + -jr x D em f, so 9

muß nun e haben 100 0 w e n ig (e r ) y

vom

6. 100 7 T> 75 , 2 f Nim y von —— 0 + y x Ist — 0 + y x

S. 290 souil gibt f dem e so hat e 100 f(lo r e n ) Nim der halben 625 2 von 100 pleiben - y — 0 — — x Das geht

gleich 15 x, Volfure es teyle 0 in x kom en 14 8 y r g (ro sch e n ) so h och ist 1 f(lo r e n ) gerechnet. Das magstu p robim n also sprich 15 % Vmb 17 g (ro sch e n ) W ie 110 %

2

5 so e hatt Nun begertt D vom e y Besihe 5 625 . 2 wiuil — Ist vom e alß vonn _ :---- — X 6 7 5125 macht — — x souil gibt e dem 42

3125 ... r 42 r 1075 5 von 100 pleiben dem d ..0 + y x Dar d so hat d 100 Nim der halben

.

_ ^ 9

4 4 uon begertt c y Besihe wiuil y Ist von dem 450 4 gelt d macht ^ 0 + y x souil gibtt

fa c(it) 124 — g (ro sch e n ) M ach die g (ro sch e n ) zu f(lo 14 ren ) sprich 8 y r g (ro sch e n ) 2 gebnn 1 f(lo r e n ) w aß gebenn 1 2 4 — g (ro sch e n ) R e­ chen es so kom en dir gerad 15 f(lo r e n ) w ie dan obn berurt ist S. 289

283). Item ein spiler hat gelt vorspilt daruon 15 f r o ­ ren ) Hebt w id er an vnd gewint 57 f(lo r e n ) Zelt sein gelt vnd vin det nicht m ehr dan 4 f(lo r e n ) W iuil hat er zum er­ ste n ) gehabtt M achs also setz er hab gehabt 1 x Nim hinw egk 15 0 die er vorspiltt pleibet 1 x —■— 15

/ 114 /

d dem c Nim v on 100 pleiben ■y y i 0 —-I— 4 5 — x souil hat das c D aruon w il b habn — 9 4 3 2505 . 1 suche — v om c m acht — tz.— 0 —!---- — x 4 42 r 3 565 1 Nim von 100 pleiben dem b y y 0 + y x D ie w eyl du nun itzlichem seynen geburenden teyl der x n och gefunden, M ustu ferner Zur bek an t(en ) 2 zal p roced im n thu im also N im y v om B 565 „ V 1 . 565 alß v on — — 0 + — x ist n . 14 5 21

+f x

nach Hat Hans Conradtt probirer Zu eyßleubn grossem n vleyß furgewendett Vnd gar nahen Zu troffen Das zil erreichett A ber auß beger vnd bephel m ir gethan vorhoffe ich tröstlich den schirm Vnd mittel punct getroffenn w elches ich dir in volgenden worttenn Durch die prob er eugenn w ill Das p robir also R esoluir Die 52 elnn in teyl mit 12 k om en 584 teyl ab mit dem steygen alß 51 kom en 7 tag pleiben 27 Nun multiplicir die 7 tag mit dem falln so die schneck des nachtes thut alß mit 40 Vnd addir die 27 die pliebn seint w erden 507 teyl aber ab mit dem steygen w erden 6 tag pleibt 1 M ultiplicir 6 mit 40 vnd addir 1 wirtt 241 teyl ab mit 51 k om en 4 tag pleibn 57 M ultiplicir 4 mit 40 Vnd addir 57 wirtt 197 teyl ab mit 51 kom en 5 tag pleibenn

Das addir zu dem geht a alß 1 x kom en 1 — x 9 565 + Qi - l gleich 100 0 Nime beydenn teylen hinw egk

565 ^ ■0 pleibt eynem teyl

2 1555 1 — x vnd dem andern ——— 0 Tey 1555 2 le 0 in x alß —^ — in 1 — x k om en 59 f(lo r e n ) 62 565 vnd — - souil f(lo r e n ) hat a so habt b y — 0 ,1 i 45 f/1 v , 1670 + y x macht 60 - y y f(lo r e n ), so hat c —— — 4 218 0 —;— — x Das ist 52 ~ ^ rr f(lo r e n ), so hat D 9 2j 1 1075 n 5 579 . . —— — 0 + y x M achtt 58 - y y f(lo r e n ) so hat

S. 296 44 M ultiplicir 5 tag mit 40 vnd addir 44 w erden

625 2 52 e - y — 0 —:— — x Das ist 49 -y y f(lo r e n ), so

164 teyl ab mit 51 kom en 5 tag pleibn 11 M ul tiplicir 5 mit 40 vnd addir 11 wirt 151 teyl abe mit 51 kom en 2 tag pleiben 29 M ultiplicir 2 mit 40 vnd addir 29 w erdn 109 teyl ab mit dem steygen kom en 2 tag pleibn 7 M ul tiplicir 2 mit 40 vnd addir 7 w erden 87 teyl in 51 kom et 1 tag pleiben 56 Darzu 40 w er den 76 teyl in 51 wirt 1 tag pleibn 25 dar zu addir 40 w erden 65 teyl ab mit 51 kom et 1 tag pleibn 14 Darzu addir 1 mal 40 w er den 54 teyl in 51 wirt 1 tag pleibn 5 Darzu addir 40 w erden 45 teyl ab mit 51 45 kom en y y tag Nun sumir zusamen D ie tag

1 hatt f 59 y y f(lo r e n ) Vnd das g hat 100 0 8 194 —I— y x machtt 46 f(lo r e n ) vn d ■—y f(lo r e n ) Ist recht gemachtt am sonabent Nach conuersionis pauli anno 1524 (Januar 2 9 ). Das magstu p ro b im also 2 45 Nim — v om b das ist von 60 „ . M acht 5 154 15 62 40 y — A ddir zu a gelt alß 59 y y kom en 100

S.291 f(lo re n ) A lso auch nim — v om gelt c addir dem b so

all miteinander alß 7, 6, 4, 5, 5, 2, 2, 45 1, 1, 1, 1, vnd y y so hastu gerad die tag in

hastu 100 f(lo r e n ) A lso allenthalben kom en dir 100 f(lo r e n ) itzlichem gesellnn so der nehst nachuolget, in sein b eg em n vberreichtt

m asenn obenn beschriebenn ist D u magst es auch p ro b im n N achm czürgkel Nim für dich eyne lange linihenn teyl die in 52 teyl Dar nach der selbigen teyl eynes in 12 teyl von w e gen benennung bed er bruch des steigern vnd fal lens Darnach N im zwen cirgkel M it ey n e(m ) nim das steygen vnd mit dem andern das falln so wirstu die tag befinden in masen obn geschri benn ist Vnd also m ach des gleichenn, ferner w olt ich gern hie eingefurtt habn so das steigen wissent des gleichn die tag vnd die tieff zu er finden das fallenn, A der so steigen falln Vnd tag bestimet die tieff zu ereugenn Hat es die erste equacionn nicht leyden w olln , so aber got sein gnad vorleihet w il ich das selbig in den nach volgendenn volen den mit gnugsam er vnder richtung D em Vorstand w o ll zufassenn

S. 294 2 90). Item eyn brun ist 52 elnn tieff Darinnen ist einn

1 schneck kreucht alletag herauff 4 — elnn des nach 1 tes veldet er zu ruck 5 — elnn Nun frage ich in wiuil tagen D en brun der schneck herauf steigtt S. 295 M achs also setz in eyner x tag M ultiplicir mit dem

1 steygen vnd auch mit dem fallnn kom en 4 — x das 1 steygenn Vnd 5 y x das fallenn Resoluir nun 17 10 itzlichn bruch in seine teyl, k om en - y Vnd y M ultiplicir im creutz w irt 51 das steigenn vnd 40 das fallnn N im eines vom andern pleiben 11 das vbersteigenn Ist gleich dem gantzen brun 52 0 mit 5 vnd 4 den Nennern multiplicirtt w en iger dem fallenn M ultiplicir 52 mit 5 + 4 darnach w erden 584 D aruon Nim das fallen alß 40 0 pleiben 544 D ie teyl ab mit 11 dem vbersteigen k om en 51 tag pleiben 5 Darzu addir das falln, so die nacht zuuor gescheen alß 40 wirt 45 Darunder setz Das steigenn alß 51 so hastu 45 51 y y tag so langer zeitt kom et die schnegk herauß

S. 505 501). Item 1 stuck Goldes hat 1 muntzmeister wigtt

Dises exem pel hatt anfengklich besser zu rechen vn derstanden ein Rechenm eister Zu Nurm bergk N kolberger genant Hat etwas geirrett D em selben

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5 m argk 12 lot D er Zusatz ist kupffer macht 5 1 m argk 75 y f(lo r e n ) den k a r(a t) fü r 5 f