Càlcul integral per a enginyers 8483016273, 9788483016275

Citation preview

POLITEXT 132

Càlcul integral per a enginyers

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

POLITEXT

Pere Pascual, ed. - Carles Bonet Albert Compta - Neus Cónsul Mercè Ollé - Agustí Roig

Càlcul integral per a enginyers

EDICIONS UPC

Primera edició: setembre de 2002

Aquest llibre s'ha publicat amb la col·laboració de la Generalitat de Catalunya En col·laboració amb el Servei de Llengües i Terminologia de la UPC Disseny de la coberta: Manuel Andreu ©

Els autors, 2002

©

Edicions UPC, 2002 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es A/e: [email protected]

Producció:

CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona

Dipòsit legal: B-13160-2002 ISBN: 84-8301-627-3 Són rigorosament prohibides, sense l'autorització escrita dels titulars del copyright, sota les sancions establertes a la llei, la reproducció total o parcial d'aquesta obra per qualsevol procediment, inclosos la reprografia i el tractament informàtic, i la distribució d'exemplars mitjançant lloguer o préstec públics.

Index Introduccio

5

1 La nocio d'integral de Riemann 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

La integral de nida d'una variable : : : : : : : : De nicio d'integral en un rectangle : : : : : : : : Criteris d'integrabilitat :: :: :: :: :: :: :: Integracio en dominis mes generals : : : : : : : : Propietats de la integral : : : : : : : : : : : : : : Integrals sobre regions de tres o mes variables

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

El Principi de Cavalieri : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : El teorema de Fubini : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Exemples :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: Integrals en tres o mes variables : : : : : : : : : : : : : : : : Canvi de variables per a integrals dobles : : : : : : : : : : Canvi de variables per a integrals de tres o mes variables Integrals multiples impropies : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integracio aproximada : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

2 Calcul d'integrals 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

3 Algunes aplicacions de les integrals multiples 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Calcul d'arees i volums : : : : : : Mitjana d'una funcio : : : : : : : : Massa d'un cos : : : : : : : : : : : : Centre de masses : : : : : : : : : : Moment d'inercia i energia cinetica Potencial gravitacional :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

4 Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

4.1 Longitud d'una trajectoria : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 Integral de trajectoria : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.3 El concepte de superfcie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

7

7 8 14 18 19 21

23

23 26 30 36 38 44 50 58

65

65 68 70 72 76 82

87

87 96 98

Index

4

4.4 4.5 4.6

 Area d'una superfcie parametritzada : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integral d'una funcio sobre una superfcie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Aplicacions de les integrals de trajectoria i de superfcie : : : : : : : : : : : : : : : :

5 Camps escalars i camps vectorials 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Camps vectorials : : : : : : : : : : : : : : : : Camps gradients : : : : : : : : : : : : : : : : Divergencia i rotacional d'un camp vectorial Integrals sobre corbes: circulacio :: :: :: Camps conservatius i potencials escalars : : Integrals de camps sobre superfcies: ux : :

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: ::

El teorema de Green : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : El teorema de Stokes. Camps conservatius :: :: :: :: El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals Els operadors diferencials en coordenades ortogonals : : : : Camps newtonians : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Les formules de Green. Teoria del potencial : : : : : : : : Descomposicio de Helmholtz : : : : : : : : : : : : : : : : : : Camps que depenen del temps : : : : : : : : : : : : : : : : Equacions de Maxwell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

:: :: :: :: :: :: :: :: ::

6 Els teoremes integrals i aplicacions 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

104 109 112

115

115 120 124 130 137 143

155

155 164 179 192 200 204 212 215 222

Apendix A: Taula de primitives

233

Apendix B: Les funcions d'Euler

241

Apendix C: Sistemes de coordenades curvilnies

245

Bibliogra a

249

Index alfabetic

251

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Introduccio Els plans d'estudis de les enginyeries i les llicenciatures cient ques acostumen a contenir un captol dedicat al Calcul Integral en el qual s'aprofundeix, amb mes o menys intensitat, en els conceptes i resultats d'aquesta branca de les matematiques. El llibre que teniu a les mans esta basat en un curs de Calcul Integral, corresponent a una assignatura de tercer quadrimestre, que els autors hem estat desenvolupant durant els darrers 12 anys a l'Escola Tecnica Superior d'Enginyeria Industrial de Barcelona i es fruit de l'experiencia adquirida en aquest llarg perode. El curs parteix de que l'estudiant coneix el Calcul Diferencial d'una i diverses variables, aix  com la teoria d'integracio en una variable, i que te coneixements elementals d'Algebra Lineal i Geometria. El contingut que proposem es pot dividir en dues parts: el calcul integral de diverses variables i el calcul vectorial. Els tres primers captols estan dedicats al calcul integral de diverses variables i a les seves aplicacions. L'objectiu principal d'aquests captols es fonamentar, des d'un punt de vista alhora intutiu i precs, el concepte d'integral i els metodes de calcul mes importants, la integracio iterada i el canvi de variables. Actualment es relativament senzill utilitzar metodes computacionals per calcular integrals de forma efectiva, es per aixo que creiem que es important incidir en la de nicio d'integral, que es i per a que serveix. El captol 3 recull algunes de les aplicacions mes habituals del calcul integral: el calcul d'arees i volums, el calcul de masses, de centres de masses, i els moments d'inercia. En el captol 4 s'introdueixen les integrals de funcions sobre corbes i superfcies. Apro tem aquest captol per recordar com es tracten matematicament aquests objectes, cosa que servira alhora com a introduccio de la segona part del curs, el calcul vectorial. Els dos darrers captols estan dedicats a l'estudi integral dels camps vectorials, la seva circulacio al llarg d'una trajectoria i el ux a traves d'una superfcie, i s'estableixen els teoremes integrals del calcul vectorial: el teorema de Green, el teorema del rotacional o de Stokes i el teorema de la  indubtable l'interes d'aquesta mena d'estudi en les aplicacions i es divergencia o de Gauss. Es per aixo que hem volgut il
lustrar la seva utilitat incorporant alguns elements de la mecanica de

uids, com l'equacio de continutat i l'equacio del moviment d'Euler, o de l'electromagnetisme, com les equacions de Maxwell. Aquest es un llibre col
lectiu mes enlla dels autors que signem el text, ja que ens sentim hereus

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6

Introduccio

de l'experiencia d'altres professors i companys que, al llarg dels darrers anys, han impartit l'assignatura i, tambe, de la interaccio docent amb els molts estudiants que han passat per les nostres aules. Volem expressar aqu, a tots ells, el nostre agrament. En especial, volem esmentar el nostre deute als professors F. Puerta, F. Guillen, A. Jorba i V. Navarro. Per la composicio del text i dels gra cs hem comptat amb la inestimable ajuda de Rosa Maria Cuevas. El professor J. L. Ruz ens ha permes utilitzar el format de llibre dissenyat per ell. El lector apreciara aquestes aportacions, que milloren la presentacio del text. Hem intentat presentar un curs equilibrat entre els aspectes teorics i l'orientacio practica que un text destinat als futurs enginyers ha de mantenir. P. Puig Adam, en el seu famos llibre Curso teorico practico de Calculo Integral aplicado a la fsica y tecnica, publicat per primer cop l'any 1944, ja feia referencia a la necessitat d'establir aquest equilibri. Acabarem amb les paraules amb que l'admirat Puig Adam clou el seu proleg: \[...] entrego este libro al lector, deseandole feliz excursion por el ... y recuerdo grato". Barcelona, marc 2002

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1 La nocio d'integral de Riemann Donada una funcio d'una variable f (x) la integral de nida Z b

a

f (x)dx

esta connectada, com s'ha vist en el curs de Calcul In nitesimal, amb el calcul de l'area limitada per la funcio i l'eix real, i admet algunes interpretacions fsiques que la fan especialment util. Per exemple, la podem interpretar com la distancia recorreguda per un mobil amb velocitat donada per f (x) des de l'instant a ns a l'instant b. Hi ha molts altres problemes similars, tan geometrics com fsics, que fan intervenir funcions de diverses variables. L'objectiu d'aquest primer captol es introduir la nocio d'integral corresponent. Per fer-ho, prendrem com a guia la de nicio d'integral d'una funcio d'una variable, i ens restringirem sobretot al cas d'integrals de dues variables. Aquesta eleccio del nombre de variables permet un desenvolupament mes gra c i intutiu de les idees que presentem, encara que els resultats seran certs en general.

1.1 La integral de nida d'una variable En aquest apartat, de caracter introductori, repassarem succintament la de nicio d'integral d'una variable. Sigui f : [a; b] ! R una funcio de nida en un interval compacte de la recta real. Si f (x) es una funcio positiva, el gra c de f determina, amb l'eix d'abscisses, una area que volem calcular. La idea de partida es prou simple, consisteix a aproximar l'area que es vol calcular per la suma de les arees de certs rectangles, com il
lustra la gura 1.1. Per fer-ho, es subdivideix el segment [a; b] en n intervals a = x0 < x1 <


< xn = b, de longitud
xi = xi+1 xi , s'escullen punts ci 2 [xi ; xi+1 ] i es de neix la suma

S (xi ; ci ) = f (c0 )
x0 + : : : f (cn 1 )
xn 1 ; que s'anomena la suma de Riemann associada a la particio, i que correspon a la suma de les arees dels rectangles que aproximen l'area sota el gra c de f .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

8

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

Figura 1.1: Aproximacio de l'area per les arees de rectangles

Les sumes de Riemann depenen de les subdivisions realitzades i dels punts intermedis ci escollits. Per formalitzar la de nicio d'integral s'ha de fer un pas al lmit: es diu que f es integrable en l'interval [a; b] d'integral I si, donat un nombre real qualsevol " > 0, existeix un Æ > 0 tal que per a tota particio de [a; b] amb
xi < Æ, per a tot i, les sumes de Riemann associades satisfan que jI S (xi ; ci )j < " ;  a dir, xat un marge d'error " hi ha un Æ tal que independentment dels punts ci escollits. Es les sumes de Riemann de nides amb particions de longitud menor que Æ difereixen de I menys que ". Usualment s'escriu Z a f (x)dx = lim [f (c1 )
x1 + : : : f (cn )
xn ] : Æ!0 b No totes les funcions son integrables. Si la funcio f no esta acotada podem fer les sumes de Riemann tan grans com vulguem: en efecte, podem escollir els punts ci de manera que f (ci )  per aixo que es restringeix sigui tan gran com es vulgui i, per tant, la funcio no es integrable. Es l'atencio a les funcions acotades. L'acotacio d'una funcio, pero, no assegura la integrabilitat, com mostra la coneguda funcio de Dirichlet de nida en l'interval [0; 1] i que pren valors 0 o 1 segons si el punt es racional o no.

1.2 De nicio d'integral en un rectangle Sigui R = [a; b]  [c; d] un rectangle de R2 i f (x; y) una funcio acotada de nida en el rectangle R, f : [a; b]  [c; d] ! R : Per de nir la integral de f (x; y) en R seguirem el model indicat en l'apartat anterior en el cas d'una variable, amb alguna simpli cacio deguda a l'acotacio de f .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.2. De nicio d'integral en un rectangle

9

Quan f (x; y) sigui una funcio positiva determinara un volum com el de la gura 1.2, que volem determinar. En general, si f no es necessariament positiva, no podem parlar del volum

Figura 1.2: Volum sota un gra c

determinat per f , en aquest cas volem determinar la integral de f en el rectangle R. Com que f es una funcio acotada, podem considerar els seus valors extrems

M = sup f (x; y) ; m = inf f (x; y) ;

(x; y) 2 R ; (x; y) 2 R :

 clar que la integral que volem determinar estara entre els valors mA(R) i MA(R) (on A(R) Es es l'area del rectangle R), es a dir, si I es el valor de la integral (pensem en el volum quan la funcio es positiva, vegeu la gura 1.3), es clar que

m(b a)(d c)  I  M (b a)(d c) : Donat un nombre natural n 2 N de nim la particio regular d'ordre n del rectangle R com la

M m

Figura 1.3: Acotacio del volum sota un gra c

particio de R en subrectangles Rij donats per

Rij = [xi ; xi+1 ]  [yj ; yj+1 ] ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

10

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

on

b a ; i = 0; 1; : : : ; n n d c yi = c + i ; i = 0; 1; : : : ; n : n En la gura 1.4 es mostra la particio regular d'ordre 3 d'un rectangle R. La funcio f esta xi = a + i

d

c a

b

Figura 1.4: Particio regular d'ordre 3 d'un rectangle

acotada sobre cadascun dels rectangles Rij . Siguin

Mij = sup f (x; y) ; mij = inf f (x; y) ;

(x; y) 2 Rij ; (x; y) 2 Rij :

1.2.1 De nicio Es de neix la suma superior n-esima de f en el rectangle R segons

Sn (f; R) =

X

i;j

Mij (xi+1

xi )(yj+1

yj ) :

Analogament, es de neix la suma inferior n-esima per

sn (f; R) =

X

i;j

mij (xi+1

xi )(yj+1

yj ) :

En el cas d'una funcio positiva, aquestes sumes representen les sumes dels volums de base Rij i alcades Mij i mij , respectivament. Observem que, a causa de la regularitat de la particio, les arees dels rectangles Rij donades pels productes (xi+1 xi )(yj+1 yj ) son totes iguals a (b a)(d c)=n2 i, per tant, les sumes superiors i inferiors es poden escriure de la forma (b a)(d c) X Mij ; n2 i;j (b a)(d c) X sn (f; R) = mij : n2 i;j

Sn (f; R) =

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.2. De nicio d'integral en un rectangle

11

 clar que, per a tot n, se satisfa que Es

sn (f; R)  Sn (f; R) ; i, mes generalment, es pot comprovar que donats dos nombres qualssevol n i m, se satisfa que

sn (f; R)  Sm (f; R) : 1.2.2 De nicio Es diu que la funcio f es integrable en el rectangle R si existeixen i son iguals els lmits de les successions sn (f; R) i Sn (f; R). Al valor comu l'anomenarem la integral de f en R.

 a dir, la integral de f , en cas d'existir, es igual a Es Z

R

f (x; y)dxdy = lim Sn (f; R) = lim sn (f; R) :

En termes geometrics, diem que una gura de l'espai ordinari determina un volum si es possible aproximar-la amb un marge d'error pre xat, tant des de dintre com des de fora, per una suma de volums de paral
leleppedes. 1.2.3 Observacio Es pot demostrar que, com en el cas de funcions d'una variable, el valor d'una integral es el lmit de les sumes de Riemann: partim el rectangle R en subrectangles Rij , no necessariament de forma regular, escollim punts cij 2 Rij , i de nim la suma de Riemann associada per X S (Rij ; cij ) = f (cij )A(Rij ) :

Aleshores se satisfa que

Z

R

f (x; y)dxdy =

lim

A(Rij )!0

S (Rij ; cij ) :

Sovint es parla que A(Rij ) =
xi
yj es l'element d'area i que la integral es la suma dels volums damunt dels elements d'area in nitesimals. Quan parlem en aquests termes voldra dir exactament que es dona la igualtat expressada anteriorment. 1.2.4 Exemples Per il
lustrar la de nicio d'integral, anem a presentar dos exemples sobre el quadrat R = [0; 1]  [0; 1], un d'una funcio que no es integrable i l'altre del calcul d'una integral.

1. Considerem la funcio de nida per

f (x; y) =



1 ; si x 2 Q ; 0 ; altrament :

Com que els nombres racionals son densos en R, els extrems de la funcio sobre la particio n-esima estan donats per Mij = 1 ; mij = 0 ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

12

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

i, per tant, les successions de sumes superiors i inferiors son constants:

Sn (f; R) = 1 ; sn (f; R) = 0 ; i, en de nitiva, en resulta que lim Sn (f; R) 6= lim sn (f; R) ; es a dir, la funcio no es integrable. 2. Considerem ara la funcio

g(x; y) = 1 x : En aquest cas els valors extrems de g sobre el rectangle Rij corresponen a

i ; n i+1 mij = 1 xi+1 = 1 ; n

Mij = 1 xi = 1

com ho mostra una simple inspeccio del seu gra c ( gura 1.5). Aix les sumes superiors asso-

z

y x Figura 1.5: Gra c de la funcio f (x; y ) = 1

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

x

1.2. De nicio d'integral en un rectangle

13

ciades son:

Sn (f; R) = = = = = =

1 X M n2 i;j ij i 1 X (1 ) 2 n i;j n 1 X i n(1 ) n2 i n 1 n + (n 1) +


+ 1 n n 1 n(n + 1) n 2n n+1 ; 2n

i, per tant, trobem que

n+1 1 = ; 2n 2 que es el valor esperat, ja que es tracta de la meitat del volum d'un cub de costat unitat. Si realitzem el calcul amb les sumes inferiors trobarem el mateix valor i, per tant, podem dir que g es integrable en R i que la seva integral es lim Sn (g; R) = lim

Z

1 (1 x)dxdy = : 2 [0;1][0;1]

Advertencia. Com hem assenyalat anteriorment, aquest calcul preten il
lustrar la de nicio d'in-

tegral, pero aquest no es el metode natural de calcular integrals ja que, en general, comporta moltes di cultats. Resseguint l'exemple anterior podem assenyalar que hi ha hagut, com a mnim, tres bones coincidencies que no trobarem en general: 1. Els valors extrems Mij i mij s'han pogut calcular facilment perque la funcio era prou simple. 2. Hem pogut donar una formula tancada per a les sumes superiors, cosa que difcilment succeira. 3. Hem pogut realitzar el calcul del lmit de la successio de les sumes superiors. D'aquests comentaris se segueix la necessitat de desenvolupar tecniques que permetin reconeixer facilment les funcions integrables i realitzar el calcul d'integrals. Els criteris d'integracio els abordarem en els propers apartats, mentre que el calcul efectiu d'integrals sera l'objecte del proper captol. Aixo no vol dir que la de nicio d'integral nomes tingui interes teoric. Ben al contrari, amb la possibilitat d'utilitzar potents eines de calcul, els metodes numerics basats en la de nicio d'integral com a lmit han esdevingut corrents.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

14

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

1.3 Criteris d'integrabilitat El primer criteri general d'integrabilitat el dona el resultat seguent. 1.3.1 Teorema Si f es una funcio contnua sobre un rectangle R, aleshores f es integrable a R.

No reproduirem de forma completa la demostracio d'aquest teorema; assenyalem, pero, la lnia general del raonament. Partint de que existeixen els lmits de les sumes inferiors i superiors associades a f , el que s'ha de provar es que Demostracio.

lim (Sn n

sn ) = 0 ;

o, equivalentment, que donat un marge d'error " podem aconseguir la desigualtat

Sn sn < " ; per a n prou gran. Si escrivim de forma completa aquesta diferencia en resulta que

Sn sn =

(b a)(d c) X (Mij n2 i;j

mij ) :

Com que la funcio es contnua, la diferencia Mij mij es pot fer tan petita com es vulgui augmentant l'ordre n de la particio, en particular podem aconseguir que se satisfaci que " : Mij mij < Æ = (b a)(d c) Aqu hem de fer esment d'una subtilesa matematica (coneguda com a continutat uniforme) que assegura que aquesta acotacio es pot realitzar simultaniament en tots els subrectangles de la particio Rij . Acceptarem aquest fet sense donar-ne mes detalls. Finalment, podem acotar la diferencia entre les sumes superiors i inferiors segons

Sn

(b a)(d c) X (Mij mi;j ) n2 i;j (b a)(d c) X " < n2 ( b a )( d c) i;j 1 X " = ": = 2 n i;j

sn =

Aquest resultat dona un criteri comode d'integrabilitat de forma que, per exemple, podem assegurar l'existencia de les integrals Z

[0;1][0;1]

(1 x)dxdy ;

Z

xy dxdy : 2 [1;2][0;5] x + 1

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.3. Criteris d'integrabilitat

15

 pero, clarament insu cient, ja que hi ha funcions discontnues que son integrables com, per Es, exemple, la funcio esglaonada de nida en el rectangle [0; 2]  [0; 1] segons

f (x; y) =



2; 0  x  1; 1; 1  x  2;

que te el gra c representat en la gura 1.6.

z

y

x Figura 1.6: Gra c d'una funcio esglaonada

En efecte, en aquest cas el volum sota el gra c de f es 2 + 1 = 3. D'altra banda, en l'apartat anterior hem vist un exemple de funcio (fortament discontnua) que no es integrable. La pregunta que aixo suggereix es: quina mena de discontinutat pot admetre una funcio integrable? Intutivament, la resposta es que les discontinutats de f formen un subconjunt del rectangle R que no tingui area. Anem a descriure aixo de forma mes precisa. En la de nicio seguent entendrem per regio poligonal del pla tota regio de R2 formada per superposicio d'un nombre nit de rectangles o trapezis. 1.3.2 De nicio Direm que un subconjunt B de R 2 es un conjunt d'area zero si es pot incloure en una gura poligonal d'area arbitrariament petita, es a dir, si, donat qualsevol " > 0, existeix una gura poligonal del pla, P , amb B  P i area (P ) < " :

1.3.3 Exemples

1. Tot conjunt B format per un nombre nit de punts, B = p fp1; : : : ; pr g, es un conjunt d'area zero. En efecte, es su cient prendre quadrats Pi de costat "=r i centrats en cadascun dels

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

16

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

punts pi , amb la qual cosa tindrem una gura poligonal d'area r X

p"

r X

1 " 2 = r  ": r r i=1 i=1 2. El conjunt imatge C d'una corba parametritzada C 1 del pla, : [a; b] ! R2 , C = [a; b], es d'area zero. En efecte, si ` es la longitud de la corba, considerem un nombre nit de punts pi , 1  i  n, sobre C tals que la longitud entre pi i pi+1 sigui < `=n, i considerem un quadrat de costat 2`=n centrat en cadascun d'aquests punts (vegeu la gura 1.7). area(P ) 

(

)2 = "

Figura 1.7: Una corba recti cable te area zero

D'aquesta forma s'obte una regio poligonal d'area acotada per nX +1

2` 2` 4`2 = 2 (n + 1) n i=1 n n que, per a n prou gran, es tan petita com es vulgui. En particular, els gra cs de les funcions C 1 d'una variable, y = '(x) o x = (y), de nides en un interval nit donen lloc a conjunts d'area zero. 1.3.4 Observacio La hipotesi de que les corbes parametritzades estan de nides per funcions

derivables amb continutat s'ha usat, en l'exemple anterior, per assegurar que C te una longitud nita Z b `= k 0 (t) k dt ; a

ja que la continutat de 0 (t) assegura l'existencia d'aquesta integral (vegeu un estudi mes complet d'aquest punt al captol 4). Aquesta hipotesi es pot rebaixar en algunes circumstancies. Per exemple, els gra cs de funcions contnues en un interval compacte, es a dir, corbes del tipus (x; '(x)) o ( (y); y) on '; son funcions contnues, son d'area zero. No es cert pero que, en general, la imatge d'una aplicacio contnua : [a; b] ! R2 sigui d'area zero, vegeu els exemples 4.1.6. Una manera de generar conjunts d'area zero la proporciona el resultat seguent, de demostracio immediata.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.3. Criteris d'integrabilitat

17

1.3.5 Proposicio La unio nita de conjunts d'area zero es un conjunt d'area zero.

Aix podem generalitzar l'exemple 2 de la forma seguent: 1.3.6 Corol
lari Si B

 R2 es una unio nita de conjunts imatge de corbes C 1 , aleshores B es

un conjunt d'area zero.

Amb aquests preliminars podem establir una generalitzacio del teorema anterior. 1.3.7 Teorema Sigui f una funcio acotada de nida sobre un rectangle R. Notem

B = f(x; y) 2 R=f no es contnua en (x; y)g : Si B es un conjunt d'area zero, aleshores f es integrable a R.

Amb les notacions de 1.2, veurem que la diferencia entre les sumes superiors i les sumes inferiors associades a una particio pot fer-se tan petita com es vulgui. Demostraci o.

Sigui, doncs, Rij una particio de R. Aleshores podem escriure:

Sn (f ) sn (f ) =

X

i;j

(Mij

mij )(xi+1

xi )(yj+1

yj ) :

Descomponem aquesta suma en dos termes segons si el rectangle Rij talla B o no:

Sn (f ) sn (f ) =

X

X

(Mij mij )(xi+1 xi )(yj+1 yj )+ (Mij mij )(xi+1 xi )(yj+1 yj ) : Rij \B =; Rij \B 6=;

Prenent n prou gran i com que la funcio es contnua fora de B , podem suposar que se satisfa que " ; Mij mij < 2A(R) per als i; j del primer sumand. Aix, aquest terme esta acotat superiorment per X " X " (Mij mij )(xi+1 xi )(yj+1 yj )  (xi+1 xi )(yj+1 yj ) < : 2A(R) 2 Respecte al segon sumand, com que B es un conjunt d'area zero, existeix un n a partir del qual la suma de les arees dels rectangles Rij que tallen B es menor que "=2(M m) i, per tant, X

(Mij Rij \B 6=;

mij )(xi+1

xi )(yj+1

yj )



X

< (M

(M

m)

En de nitiva, trobem que Sn (f ) sn (f ) < ".

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

m)(xi+1 2(M

"

m)

xi )(yj+1 = "=2 :

yj )

18

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

Aix, per exemple, una aplicacio directa d'aquest resultat permet assegurar l'existencia de la integral sobre [ 2; 2]  [ 2; 2] de la funcio

f (x; y) =



1 si x2 + y2 < 1 ; 2 2 2(x + y ) si x2 + y2  1 ;

ja que les discontinutats dibuixen una circumferencia, que es un conjunt d'area zero.

1.4 Integracio en dominis mes generals El concepte de conjunt d'area zero no solament dona un criteri d'integrabilitat com l'enunciat anteriorment, sino que, a mes, permet estendre la nocio d'integral sobre un rectangle a regions mes generals. Direm que D es un domini elemental si es un subconjunt compacte (es a dir, tancat i acotat) del pla que te frontera d'area zero. Segons els exemples esmentats en l'apartat anterior, un domini acotat limitat per un nombre nit de corbes diferenciables sera un domini elemental. Aix, per exemple, un cercle o un rectangle son dominis elementals. Observem que donat que un domini elemental D es acotat, podem considerar un rectangle R que l'inclogui, D  R. Si f es una funcio acotada de nida sobre un domini elemental D, considerem l'extensio de f al rectangle R de nida en la forma

fe(x; y) =



f (x; y) ; si (x; y) 2 D ; 0; altrament .

1.4.1 De nicio Es diu que f es integrable a D si fe es integrable a R, i en aquest cas es de neix la integral de f a D per Z Z D

f (x; y) dxdy :=

R

fe(x; y) dxdy :

Cal observar que el fet que els conjunts d'area zero no distorsionin la integrabilitat d'una funcio fa que la de nicio tingui sentit. D'altra banda no es difcil comprovar que la de nicio es consistent, en el sentit que no depen del rectangle R escollit. 1.4.2 De nicio Sigui D una regio elemental del pla. Es de neix l'area de D segons

A(D) =

Z

D

dxdy :

Els resultats de l'apartat anterior s'estenen sense di cultat i donen: 1.4.3 Teorema Sigui f una funcio acotada de nida sobre un domini elemental D  R2 . Si f es contnua llevat d'un conjunt d'area zero, aleshores f es integrable a D.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.5. Propietats de la integral

19

En particular, les funcions contnues son integrables sobre dominis elementals. Aix, per exemple, podem assegurar l'existencia de les integrals Z

x2 xy dxdy ; x2 +y2 1 x2 + y 2 + 1

Z

3 cos x dxdy : x2 y1 y 2 + 1

1.4.4 Observacio En algunes situacions es convenient integrar sobre conjunts oberts de R 2 . Si

U  R2 es un obert tal que D = U es un domini elemental (en particular, U esta acotat), i f es una funcio acotada sobre U , es de neix la integral de f en U segons Z

U

f (x; y)dxdy =

Z

D

f (x; y)dxdy ;

on f (x; y) es una extensio qualsevol de f a D. El fet que la vora de D sigui d'area zero assegura que la integral aix de nida no depen de l'extensio f escollida.

1.5 Propietats de la integral Un cop establert el concepte d'integral doble, podem enunciar-ne les propietats basiques, que son completament analogues a les propietats corresponents per a les integrals de funcions d'una variable. En tot aquest apartat D sera un domini elemental del pla i f; g funcions integrables sobre D. Les seguents propietats de la integral es deriven facilment de les de nicions: 1. Linealitat: f + g es una funcio integrable, i se satisfa que Z

D

(f + g) =

Z

D

f+

Z

D

g:

2. Homogenetat: si c es una constant, cf es una funcio integrable, i se satisfa que Z

D

cf = c

Z

D

f:

3. Monotonia: si en tot punt de D es te que f (x; y)  g(x; y), aleshores Z

D

Aplicant aquesta desigualtat a en resulta la desigualtat

f



Z

D

g:

jf j  f  jf j ; j

Z

D

fj 

Z

D

jf j :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

20

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

4. Additivitat: descomponem D en la forma D = D1 [ D2 , on D1 i D2 son dominis elementals que nomes tenen contacte a la frontera. Si f es una funcio integrable sobre cadascun dels Di , i = 1; 2, aleshores f es integrable a D i se satisfa que Z

D

f=

Z

D1

f+

Z

D2

f:

Una consequencia important de la monotonia es: 1.5.1 Teorema del valor mig Sigui f una funcio integrable en un domini elemental D, i notem

m = M =

min f (x; y) ;

(x;y)2D

max f (x; y) ;

(x;y)2D

els valors mnim i maxim de f a D. Aleshores, se satisfa que

mA(D) 

Z

D

f (x; y) dxdy  MA(D) :

En efecte, el resultat se segueix immediatament d'aplicar la propietat de monotonia a les desigualtats

m  f (x; y)  M :

En el cas en el qual f (x; y) es una funcio contnua i D es connex, el teorema de Bolzano assegura que tot nombre entre m i M es el valor de la funcio f en algun punt (x0 ; y0 ) de D, i, per tant, el resultat anterior pot enunciar-se de la forma seguent. 1.5.2 Corol
lari Sigui f una funcio contnua en un domini elemental connex D. Existeix un

punt (x0 ; y0 ) 2 D tal que

Z

D

f (x; y) dxdy = f (x0 ; y0 )A(D) :

El teorema del valor mig pot servir per acotar el valor d'una integral. Aix per exemple, es facil comprovar que se satisfa que 4 

Z

x2 +y2 4

2 2 ex +y dxdy  4e4 :

1.5.3 Observacions De les propietats de la integral, i mes particularment del teorema del valor

mig i de la propietat d'additivitat, se segueixen dos fets remarcables: la continutat de la integral respecte de la funcio i respecte del domini. 1. La integral varia contnuament amb la funcio. De fet, si f (x; y) i g(x; y) son funcions integrables en un domini D i se satisfa que

jf (x; y) g(x; y)j < " ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

1.6. Integrals sobre regions de tres o mes variables

21

per a tot (x; y) 2 D, aleshores es te que Z

D

f (x; y) dxdy

Z

D

g(x; y) dxdy

Z

 jf (x; y) g(x; y)j dxdy D  "A(D) :

Aix, si " es molt petit, els valors de les integrals de f i de g son molt propers. 2. La integral depen contnuament del domini d'integracio. Suposem que D = D [ D0 , on D , D i D0 son dominis elementals del pla, que la interseccio D \ D0 es d'area zero i que l'area de D0 es molt petita, A(D0 ) < ". Per l'additivitat de la integral, per a tota funcio integrable f (x; y) se satisfa que Z Z Z f (x; y) dxdy = f (x; y) dxdy + f (x; y) dxdy : D

D0

D

Aix, si M es una cota de la funcio f en D0 , es a dir, si se satisfa que jf (x; y)j < M per a tot (x; y) 2 D0 , aleshores es te que Z 0 f (x; y ) dxdy D



Z

D0

jf (x; y)j dxdy  MA(D0 ) < M" ;

i, per tant, la diferencia entre les integrals de la funcio f en D o en D es menor que M".

1.6 Integrals sobre regions de tres o mes variables Cadascuna de les de nicions i resultats que hem establert per a integrals dobles admet una extensio natural per a tres o mes variables. Per exemple, en el cas de tres variables comencarem integrant una funcio acotada f sobre un interval de la forma

B = [a; b]  [c; d]  [e; f ] ; prenent les sumes superiors i inferiors associades a una particio de B . En aquest cas una particio regular de B correspondra a una subdivisio en blocs

Bijk = [xi ; xi+1 ]  [yj ; yj+1 ]  [zk ; zk+1 ] on

b a d c f e ; yj = c + j ; zk = e + k : n n n Aix, si Mijk indica el valor maxim de la funcio f en el bloc Bijk , les sumes superiors es de neixen segons xi = a + i

S (f; B ) = =

X

i;j;k

Mijk (xi+1

(b a)(d c)(f n3

xi )(yj+1 yj )(zk+1 e) X i;j;k

Mijk :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

zk )

22

Captol 1. La nocio d'integral de Riemann

Analogament, es de neixen les sumes inferiors. La integral de f a B es aleshores Z

B

f (x; y; z ) dxdydz = lim Sn (f; B ) = lim sn (f; B ) ;

entenent que una funcio es integrable quan existeixen els lmits indicats i son iguals. A banda dels canvis de notacio imposats pel canvi de dimensio, tots els resultats enunciats en els apartats 3, 4 i 5 es traslladen sense di cultat a la nova situacio. Potser val la pena, pero, fer una referencia als dominis elementals de R3 : son aquells subconjunts compactes B que tenen frontera de volum zero. S'enten que un conjunt C  R3 te volum zero si, xat un nombre real " > 0 existeix un conjunt nit de cubs B1 ; : : : ; Bm de forma que C  B1 [


[ Bm i vol(B1 ) +


+ vol(Bm ) < ". Per exemple, un rectangle R del pla te volum zero, ja que, donat ", esta inclos en el cub R  [ Æ; Æ] si prenem Æ < "=A(R). Reprenent els exemples de x1.3, remarcarem que els cossos limitats per un nombre nit de superfcies diferenciables son regions elementals. Aix, per exemple, una bola de radi R, x2 + y2 + z 2  R2 es un domini elemental, o el cos limitat per dues funcions diferenciables sobre un rectangle, fa  x  b; c  y  d; f (x; y)  z  g(x; y)g ( gura 1.8), es un domini elemental.

Figura 1.8: Un domini elemental de R 3

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2 Calcul d'integrals En el captol anterior hem establert la nocio de funcio integrable, pero no hem donat metodes efectius per al calcul d'integrals. En aquest captol establirem dos resultats fonamentals per al calcul d'integrals: el teorema de Fubini i el teorema de canvi de variables, que il.l amb diversos exemples. El captol inclou, a mes, un apartat dedicat a les integrals impropies de diverses variables, i acaba introduint algunes nocions elementals d'integracio aproximada.

2.1 El Principi de Cavalieri Dediquem aquest apartat a l'anomenat Principi de Cavalieri, ja que es un principi que motiva geometricament els resultats que provarem en propers apartats, alhora que ha jugat un important paper historic en el desenvolupament del calcul integral. Donat un cos V de R3 , que suposarem compacte, es intutivament clar que entenem pel volum de V . De fet, en el cas de cossos prou regulars (com ara un paral
leleppede, un cilindre, una esfera, ...) disposem de formules per calcular-ne els volums. Ara be, com es pot calcular el volum d'un cos V en general? Anem a fer unes consideracions heurstiques que ens conduiran al Principi de Cavalieri. El Principi de Cavalieri diu que podem calcular el volum del cos V com la \suma" de les arees de les seccions obtingudes en llescar V per un feix de plans paral
lels. En particular, a rma que dos cossos amb les mateixes seccions tenen el mateix volum. Mes concretament, suposem que considerem el pla secant a V de nit per x = x0 , a < x0 < b (on a i b son els valors mnim i maxim, respectivament, de x a V ) i notem per A(x0 ) l'area de la seccio V \ fx = x0 g (vegeu la gura 2.1). S'obte aix una funcio d'una variable A(x). Si interpretem ara que la \suma" de les arees A(x) es la integral de A(x) entre a i b, el Principi de Cavalieri es concreta de la forma seguent:

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

24

Captol 2. Calcul d'integrals

V

x = x0 Figura 2.1: Seccio d'un cos per un pla x = x0

Principi de Cavalieri: vol(V ) =

Z b

a

A(x) dx :

Caldra, pero, saber calcular les arees A(x) per tal que aquest criteri sigui efectiu. Restringimnos a una situacio especial, on aixo sigui possible. Suposem que V correspon a un cos limitat per una funcio positiva de dues variables f (x; y) de nida en un rectangle [a; b]  [c; d], es a dir,

V = f(x; y; z )=a  x  b ; c  y  d ; 0  z  f (x; y)g : En aquest cas, les arees A(x) corresponen a les integrals d'una variable

A(x) =

Z d

c

f (x; y) dy ;

i, pel Principi de Cavalieri, s'ha de satisfer la igualtat vol(V ) =

Z b

a

A(x) dx =

Z b

Z d

a

c

!

f (x; y) dy dx :

 a dir, el Principi de Cavalieri estableix que el volum sota la funcio f (x; y) es calcula mitEs jancant una integral iterada. La justi cacio que hem esbossat de la formula anterior no es una demostracio, no obstant anem a comprovar que aquesta formula se satisfa en el cas particular d'un cos regular del qual coneixem el volum a priori. Considerem el volum limitat pel gra c de la funcio (vegeu la gura 2.2) f : [0; 1]  [0; 1] ! R (x; y) 7 ! 1 x: Donat que el cos correspon a la meitat d'un cub de costat 1, el seu volum es 1=2. Comprovem

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.1. El Principi de Cavalieri

25

z

y x Figura 2.2: Gra c de la funcio f (x; y ) = 1

x

ara que el Principi de Cavalieri dona el mateix valor: vol(V ) = =

Z

1 Z 1

Z0 1



Z

1

(1 x) dx dy = x 0 0 1 1 dy = :

0 2

x2 1 dy 2 0

2

El Principi de Cavalieri es independent del feix de plans paral
lels que haguem utilitzat per llescar el cos V . Aix, per exemple, si es prenen plans paral
lels al pla y = 0 i es denoten per A(y) les arees de les seccions corresponents, hauria de satisfer-se que vol(V ) = es a dir,

Z b

a

Z d

c

A(x) dx =

A(y) dy ;

Z d

c

A(y) dy :

En el cas del volum corresponent al gra c d'una funcio positiva, s'obte la igualtat Z b

Z d

a

c

!

f (x; y) dy dx =

Z d

Z b

c

a

!

f (x; y) dx dy :

(2.1)

Pot comprovar-se facilment que les dues integrals coincideixen en l'exemple anterior. En de nitiva, si acceptem aquest principi podrem inferir que les integrals de dues variables es calculen integrant iteradament aquestes variables, independentment de l'ordre emprat en la iteracio. El teorema de Fubini, que establirem en el proper apartat, delimita la validesa d'aquesta inferencia.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

26

Captol 2. Calcul d'integrals

2.2 El teorema de Fubini Les integrals que apareixen a (2.1) s'anomenen integrals iterades. El Principi de Cavalieri suggereix que es pot reduir el calcul d'una integral doble a dues de simples. En efecte, es te el resultat seguent: 2.2.1 Teorema de Fubini Sigui f : R = [a; b]  [c; d] ! R una funcio contnua. Aleshores, existeixen les integrals iterades i se satisfan les igualtats:

Demostracio.

Z b

Z d

a

c

!

f (x; y) dy dx =

Z

R

f dxdy =

Z d

Z b

c

a

!

f (x; y) dx dy :

Provarem la igualtat Z b

Z d

a

c

!

f (x; y) dy dx =

Z

R

f dxdy ;

ja que l'altra es fa de forma analoga. Z d

Sigui F (x) = f (x; y) dy i c = y0 < y1 < c Aleshores, es te que

F (x) =




< yn

nX1 Z yk+1 k=0 yk

= d, una particio regular de [c; d].

f (x; y) dy :

Com que f es una funcio contnua, podem utilitzar el teorema del valor mig integral per a cadascuna de les integrals que apareixen en el sumatori anterior per deduir l'existencia de punts dk 2 [yk ; yk+1 ], per a k 2 f0; 1; : : : ; n 1g, de forma que es te la igualtat

F (x) =

nX1 k=0

f (x; dk )(yk+1

yk ):

(Els punts dk depenen, alhora, del punt x xat a priori, encara que no ho recollirem en la notacio.) De la de nicio d'integral d'una variable com el lmit d'una suma de Riemann s'obte que Z b

a

F (x) dx = nlim !1

nX1 `=0

F (c` )(x`+1

x` ) ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.2. El teorema de Fubini

27

on a = x0 < x1 <


< xn = b, es una particio regular de [a; b] i c` resulten les igualtats Z bZ d

a

c

f (x; y) dydx =

2 [x` ; x`+1 ].

D'aqu en

Z b

F (x) dx nX1 = nlim !1 `=0 F (c` )(x`+1 x` ) nX1 nX1 = nlim !1 `=0 k=0 f (c` ; dk )(yk+1 yk )(x`+1 x` ) =

a

Z

R

f dxdy :

2.2.2 Exemples

1. Integrem la funcio f (x; y) = x cos xy en el rectangle [0; =2]  [0; 1]. Segons el teorema de Fubini, el calcul es igual a la integral iterada: Z =2 Z

0

0

1

x cos xy dydx =

Z =2

0

y=1 sin xy dx

y=0

=

Z =2

0

sin x dx =

=2 cos x

0

= 1:

 immediat comprovar que si f (x; y) = g(x)h(y), amb g i h funcions contnues, aleshores 2. Es es te que Z Z Z En particular, per exemple, Z

[1;2][1;3]

R

f dxdy =

xy2 dxdy =

b

a

2

Z

1

d

g(x) dx


x dx


3

Z

1

c

h(y) dy :

y2 dy =

3 26
= 13 : 2 3

Com hem assenyalat en el captol anterior, sovint es necessari integrar funcions sobre regions que no son rectangulars. En aquests casos hem de nit la integral considerant l'extensio per zero  per aixo que es convenient disposar del teorema de Fubini de la funcio sobre un rectangle. Es per a funcions no necessariament contnues. En aquest cas, pero, el resultat es una mica mes delicat, per la qual cosa l'enunciarem sense demostracio. 2.2.3 Teorema de Fubini Sigui f : R = [a; b]  [c; d] ! R una funcio acotada tal que el conjunt de les seves discontinutats es d'area zero. Si existeix la integral

x 2 [a; b], aleshores existeix la integral iterada Z b

Z d

a

c

Z b

Z d

a

c

!

f (x; y) dy dx =

!

Z d

c

f (x; y) dy per a cada

f (x; y) dy dx i se satisfa que

Z

R

f dxdy :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

28

Captol 2. Calcul d'integrals

Analogament, si Z d

Z b

c

a

Z b

f (x; y) dx existeix per a cada y 2 [c; d], aleshores existeix la integral iterada

a!

f (x; y) dx dy i se satisfa que Z d

Z b

c

a

!

f (x; y) dx dy =

Z

R

f dxdy :

Per tant, si se satisfan totes les condicions del teorema alhora, existeixen i coincideixen les dues integrals iterades i son iguals a la integral de f en el rectangle R: Z bZ d

a

c

f (x; y) dydx =

Z dZ b

c

a

f (x; y) dxdy =

Z

R

f dxdy :

Pel que fa a notacio, usarem indistintament Z b

a

o be

Z d

c

dx dy

Z d

c Z b

a

f (x; y)dy = f (x; y)dx =

Z bZ d

a

c

Z dZ b

c

a

f (x; y)dydx = f (x; y)dxdy =

Z b

Z d

a

c

Z d

Z b

c

a

!

f (x; y)dy dx ; !

f (x; y)dx dy :

per indicar les integrals iterades corresponents. 2.2.4 Observacio Abans d'aplicar el teorema de Fubini per integrar funcions contnues sobre

regions elementals en alguns exemples concrets, analitzem les hipotesis del teorema en la versio mes general. 1. En l'enunciat de 2.2.1 no hem imposat l'existencia de les integrals iterades ja que aquesta esta assegurada pel fet que la funcio f es contnua. En efecte, si f es contnua, aleshores xada una x 2 [a; b] qualsevol, la funcio y 7 ! f (x; y) es contnua i, per tant, integrable a [c; d]. A mes, la funcio Z

x7

d

!

c

f (x; y) dy

es tambe contnua Za [a;Z b] i, en consequencia, integrable a [a; b], d'on se segueix l'existencia de la integral iterada

b

a

d

c

f (x; y) dydx:

2. Es pot donar el cas que la integral

F (x) =

Z d

c

f (x; y) dy

no existeixi per a un nombre nit de valors de x. Com que la integral Z b

a

F (x) dx

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.2. El teorema de Fubini

29

no s'altera si modi quem els valors de F (x) en aquests punts donant-los el valor zero, per exemple, podem aplicar encara el teorema de Fubini. Considerem un cas concret: sigui f : [0; 1]  [0; 1] ! R la funcio de nida per

f (x; y) =

8 < :

1; si x 6= 1=2 ; 1 ; si y 2 Q ; si x = 1=2 ; 0 ; si y 2 R n Q ; si x = 1=2 :

f es una funcio acotada i el conjunt de les seves discontinutats esta contingut en l'interval x = 1=2, per la qual cosa es un conjunt d'area zero. Aix, f es una funcio integrable a [0; 1][0; 1]. Per a x = 1=2 la funcio y 7 ! f (1=2; y) no es integrable, no obstant, l'observacio que acabem de fer ens permet aplicar la integracio iterada i deduir que Z Z 1Z 1 Z 1 f (x; y) dxdy = f (x; y) dydx = dx = 1 : [0;1][0;1] 0 0 0 3. En general, si f es una funcio integrable, no tenen per que existir les integrals iterades. El teorema 2.2.3 diu que, en cas d'existir alguna de les integrals iterades, el seu valor coincideix amb el de la integral de f . Considerem, per exemple, la funcio f : [0; 1]  [0; 1] ! R de nida per

f (x; y) =

8 > > < > > :

1; x 2= Q ; 1; x2Q; y 2= Q ; p 1 ; x = irreductible ; y 2 Q : 1 q q

La funcio f es integrable, d'integral igual a 1. Tenim, pero, que la integral iterada respecte de y es:

F (x) =

Z

0

1

f (x; y) dy =



1 ; si y 2= Q ; no existeix, si x 2 Q :

Aix, tot i que rede nim la funcio F (x) assignant el valor zero als punts racionals, la funcio resultant no es integrable i, per tant, no existeix la integral iterada

1Z 1

Z

0 0

f (x; y) dydx :

4. Allo que no diu el teorema de Fubini es que l'existencia de les dues integrals iterades impliqui que f sigui integrable. D'altra banda, si existeixen les integrals iterades i no son iguals, la funcio no es integrable. En el llibre d'Apostol trobareu un exemple on es dona aquesta situacio, es a dir, una funcio acotada en un rectangle, que te les dues integrals iterades diferents i que, per tant, no es integrable. Si admetem, momentaniament, integrals de funcions no acotades (vegeu l'apartat 2.7), aleshores es mes senzill donar un exemple.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

30

Captol 2. Calcul d'integrals

Considerem la funcio

x y ; (x + y)3 en el quadrat [0; 1]  [0; 1]. Calculem una integral iterada: Z

f (x; y) =

1Z 1 x y dx dy = 0 0 (x + y )3

Z

1Z 1

1 (x + y)2



2y dx dy (x + y)3

0 0 x=1 1 1 y = + dy 0 x + y (x + y)2 x=0  Z 1 1 y + dy = 1 + y (1 + y)2 0 1 Z 1 dy 1 1 = = : = 2 (1 + y ) 1 + y 2 0 0 Z

Si calculem l'altra integral iterada trobarem

1Z 1 x y 1 dy dx = : 3 ( x + y ) 2 0 0

Z

Com que els valors resultants son diferents, la funcio no es integrable.

2.3 Exemples Dediquem aquest apartat a presentar alguns exemples d'aplicacio del teorema de Fubini per integrar funcions contnues sobre dominis elementals del pla. Considerem dominis elementals D  R2 tals que les rectes verticals o horitzontals nomes tallin la frontera @D de la regio en dos punts. El cas mes general es reduira a aquesta situacio usant l'additivitat de la integral.

y = '2 (x)

D

a

y = '1 (x) b

Figura 2.3: Un domini elemental

Sigui f (x; y) una funcio acotada i contnua llevat d'un conjunt d'area zero. Sigui D un domini limitat per les rectes x = a i x = b, amb a < b, i les corbes y = '1 (x) i y = '2 (x), amb '1 (x)  '2 (x), i essent '1 i '2 funcions contnues a [a; b] (vegeu la gura 2.3).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.3. Exemples

31

Si c i d son els valors mnim i maxim, respectivament, de '1 i '2 sobre [a; b], aleshores hem de nit la integral de f en D per Z

f dxdy =

D

Z

[a;b][c;d]

e fdxdy ;

(2.2)

on fe es l'extensio de f per zero fora de D. Per poder aplicar el teorema de Fubini ha d'existir la integral Z d

c

fe(x; y)dy =

Z '1 (x)

c

fe(x; y)dy +

Z '2 (x)

'1 (x)

fe(x; y)dy +

Z d

'2 (x)

fe(x; y)dy ;

que certament existeix, ja que podem fer cadascuna de les tres integrals anteriors. A mes, tal com hem de nit fe, resulta que Z '1 (x)

c

i, per tant, es te que

Z d

c

fe(x; y)dy fe(x; y)dy

En de nitiva, en resulta la formula seguent: Z

D

fdxdy =

=

=

Z d

'2 (x)

fe(x; y)dy = 0 ;

Z '2 (x)

'1 (x)

Z b

Z '2 (x)

a

'1 (x)

f (x; y)dy : !

f (x; y)dy dx :

(2.3)

Sovint escriurem les integrals dobles sense usar els parentesis, i entendrem que s'integra la integral de mes endins respecte del diferencial que es troba en primer lloc, i integrarem despres la funcio que s'obte respecte de la segona variable entre els lmits de la primera integral que es troba. y

y = x2

D 0

1

x

Figura 2.4: El domini 0  x  1; 0  y  x2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

32

Captol 2. Calcul d'integrals

2.3.1 Exemple Calculem el valor de la integral doble de f (x; y ) = x2 + y 2 a D, on D es el

domini limitat per les corbes y = 0, x = 0, y = x2 i x = 1 (vegeu la gura 2.4). Segons la formula anterior, es te que

I=

Z

D

f dxdy =

1Z

Z

x2

0 0

(x2 + y2 ) dydx :

Aix, calculant primer la integral respecte de la variable y, deixant la variable x constant, i integrant despres respecte de la x, trobem:

Z 1 y3 x (x2 )3 ) dx I = x2 y + dx = (x2 x2 + 3 0 3 0 0 Z 1 x6 x5 x7 1 26 = (x4 + ) dx = + = : 3 5 21 0 105 0 Suposem ara que el domini D esta limitat per les rectes y = c i y = d, amb c < d, i les corbes x = 1 (y), x = 2 (y), amb 1 (y)  2 (y), essent 1 , 2 funcions contnues a [c; d] (vegeu la Z

1

2

gura 2.5). Aleshores, aplicant el teorema de Fubini de forma analoga a com ho hem fet en la situacio anterior trobem que la integral d'una funcio f (x; y) sobre el domini D s'escriu Z

D

f dxdy =

Z d

c

Z

2

1

(y)

(y)

!

f (x; y) dx dy :

(2.4)

d D c

x = 1 (y ) x = 2 (y )

Figura 2.5: Un domini elemental

2.3.2 Exemple Sigui D el triangle determinat per les rectes y = 0, y = x i x + y = 2. En aquest

cas, podem descriure D de la forma: 0  y  1, y  x  2 y. Aix, la integral de la funcio f (x; y) = 1 + xy a D es: Z Z 1Z 2 y Z 1 x2 2 y (1 + xy) dxdy = (1 + xy)dxdy = x + y dy = 2 y D 0 y 0  Z 1 2 3 (2 y) y y = 2 2y + dy = 2 0Z   1 4 1 = : = 2 (1 y2 )dy = 2 1 3 3 0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.3. Exemples

33

Si la regio D es pot descriure de les dues maneres anteriorment assenyalades, la integral doble de la funcio f (x; y) sobre D es pot expressar de qualsevol de les dues formes i, per tant, es donen les igualtats seguents: Z

D

f dxdy =

Z b Z '2 (x)

'1 (x)

a

f (x; y) dydx =

Z dZ

2

c

1

(y)

(y)

f (x; y) dxdy :

(2.5)

En cada cas concret es triara un o altre ordre d'integracio en funcio de la forma del domini D i/o de la funcio que es preten integrar. En els exemples seguents veiem com canviar l'ordre d'integracio d'una funcio de dues variables. 2.3.3 Exemples Donada una funcio f (x; y ) integrable sobre un domini D, ens proposem expressar les dues integrals iterades, segons les equacions del domini.

p

1. Sigui D el domini del pla limitat per les corbes y = x, y = x, x = 0 i x = 1 (vegeu la gura 2.6). Equivalentment, D esta limitat per les corbes y = 0, y = 1, x = y2 i x = y.

y y=x

1

y2 = x

D x

0

Figura 2.6: El domini 0  y  1; y 2  x  y

En aquest cas les integrals iterades s'escriuen: Z 1Z y Z Z 1 Z px f (x; y) dydx = f (x; y) dxdy : f dxdy =

0

D

0

x

y2

2. Suposem ara que el domini esta limitat per les corbes y = x2 i y2 = x (vegeu la gura 2.7). Les integrals iterades seran: Z

D

fdxdy =

1 Z px

Z

0

x2

f (x; y) dydx =

1 Z py

Z

0

y2

f (x; y) dxdy :

3. Per al domini determinat per les corbes y2 = ax, x2 + y2 = 2ax i y = 0, amb a > 0 i y > 0 (vegeu la gura 2.8), en resulta:

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

34

Captol 2. Calcul d'integrals

y

y = x2

y2 = x

D x

0

Figura 2.7: El domini limitat y = x2 ; y 2 = x

p

Z

D

fdxdy = =

Z a Z a+ a2 +y2

0

y2 =a Z a Z pax

0 0

f (x; y) dxdy =

f (x; y) dydx +

Z 2a Z

a

p2ax x2

0

f (x; y) dydx ;

on hem utilitzat l'additivitat de la integral per escriure la segona igualtat. De vegades escollir un o altre ordre d'integracio determina la possibilitat de realitzar el calcul de la integral doble.

y

y2 = ax

D a

x

Figura 2.8: El domini limitat y 2 = ax; x2 + y 2 = 2ax; y  0

2.3.4 Exemple Calculem la integral de f (x; y ) = ey=x en el triangle D limitat per les rectes

y = x, y = 0 i x = 1 (vegeu la gura 2.9).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.3. Exemples

35

y

D x Figura 2.9: El triangle limitat y = x; y = 0; i y = 1

En aquest cas, si volguessim aplicar la formula (2.4) caldria integrar en primer lloc ey=x respecte de la variable x, pero, aquesta integral no es pot expressar mitjancant funcions elementals. Apliquem, doncs, la formula (2.3). Aix la integral iterada es:

1Z

Z

0 0

x

Z 1 x xey=x dx = x(e 1) dx 0 0 0 x2 1 e 1 = (e 1) = : 2 0 2

ey=x dydx =

Z

1

Observem, nalment, que si el domini D es tal que hi ha rectes horitzontals o verticals que passen pels punts interiors del domini i tallen la frontera en mes de dos punts, aleshores no podem calcular integrals dobles sobre D usant (2.3) o (2.4). En aquest cas, per l'additivitat de la integral respecte de la regio d'integracio podem descompondre la regio D en una unio de regions com les d'abans i integrar separadament en cadascuna. Per exemple, si D es la regio de la gura 2.10, descomponen D en la forma D = D1 [D2 [D3 [D4 i, aleshores, per l'additivitat de la integral es te que

D2 D1

D4 D3

Figura 2.10: Descomposicio d'una corona

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

36

Captol 2. Calcul d'integrals

Z

D

f dxdy =

4 Z X i=0 Di

f dxdy ;

on, ara, cadascuna de les integrals pot calcular-se usant (2.3) o (2.4).

2.4 Integrals en tres o mes variables Els resultats anteriors s'estenen sense mes di cultat per a integrals de tres o mes variables. En aquesta seccio indicarem l'extensio del teorema de Fubini per a tres variables a traves d'un exemple. En alguns exemples de captols posteriors tindrem l'oportunitat de calcular integrals amb mes de tres variables. Sigui W

 R3 una regio elemental de l'espai ordinari que pot expressar-se de la forma a  x  b; '1 (x)  y  '2 (x); 1 (x; y)  z  2 (x; y) ;

per a certes funcions contnues '1 ; '2 de nides en un interval [a; b] de la recta i satisfent '1  '2 en aquest interval, i 1 , 2 dues funcions contnues de nides sobre la regio D = fa  x  b ; '1 (x)  y  '2 (x)g i tals que 1 (x; y)  2 (x; y) en aquesta regio. Aleshores, el teorema de Fubini en aquesta situacio estableix que la integral d'una funcio contnua f (x; y; z ) sobre W pot calcular-se mitjancant la integral iterada Z

W

f dxdydz =

Z b

Z '2 ( x)

Z 2 (x;y)

a

'1 (x)

1 (x;y)

!

!

f (x; y; z ) dz dy dx :

(2.6)

Els parentesis indiquen l'ordre d'integracio a l'hora de fer els calculs, es a dir, primer integrem la funcio f (x; y; z ) respecte de la variable z entre el lmits 1 (x; y) i 2 (x; y), i obtenim una funcio contnua (x; y). En segon lloc integrem (x; y) respecte de la variable y entre els lmits '1 (x) i '2 (x), i obtenim una funcio contnua (x), i nalment integrarem respecte de la variable x entre els lmits constants a i b. 2.4.1 Exemple Integrem la funcio f (x; y; z ) = 2z en el domini de nit en el primer octant de

R3 per les desigualtats x2 + y2  1 i z  x2 + y2 . El domini W es el domini interior al cilindre x2 + y2 = 1 i que queda per sota del paraboloide z = x2 + y2 (vegeu la gura 2.11). Aix, la variacio de les variables es descriu de la forma seguent: 0  x  1, 0  y  1 x2 i 0  z  x2 + y2 . Podem ara aplicar 2.6 per calcular la

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.4. Integrals en tres o mes variables

37

integral: Z

W

2z dxdydz =

Z

1Z 1

0 0 Z 1Z 1

x2 Z x2 +y2

0

(2z ) dzdydx =

Z

1Z 1

x2

0 0

x2 +y2

z 2

0

dydx

1 x2 3 5 y y = (x2 + y2 )2 dydx = x4 y + 2x2 + dx 3 5 0 0 0 0  Z 1 2 2 1 4 2 2 3 2 5 = x (1 x ) + x (1 x ) + (1 x ) dx 3 5 0 1 1 1 1 1 1 1714 = + + = : 5 9 5 7 27 55 10395

x2

Z

1

Figura 2.11: Volum interior a un cilindre i sota un paraboloide

Intercanviant els papers de les variables x, y i z en la descripcio del domini W s'obtenen les altres cinc possibles integrals iterades que corresponen als altres cinc possibles ordres d'integracio a (2.6). 2.4.2 Exemple Per al tetraedre limitat pels plans x = 0, y = 0, z = 0 i 2x + 3y + 4z = 12, les sis integrals iterades possibles son: Z

6 Z (12 2x) Z (12 2x 3y) 1 3

1 4

0 0 0 Z 6 Z (12 2x) Z (12 2x 4z) 1 4

1 3

0 0 0 Z 4 Z (12 3y) Z (12 2x 3y) 1 2

1 4

0 0 0 Z 4 Z (12 3y) Z (12 3y 4z) 1 2

1 4

0 0

0

f (x; y; z ) dzdydx ; f (x; y; z ) dydzdx ; f (x; y; z ) dzdxdy ; f (x; y; z ) dxdzdy ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

38

Captol 2. Calcul d'integrals

Z

3 Z (12 4z) Z (12 2x 4z) 1 2

1 3

0 0 0 Z 3 Z (12 4z) Z (12 3y 4z) 1 3

0 0

1 2

0

f (x; y; z ) dydxdz ; f (x; y; z ) dxdydz :

Analogament al cas de R2 , si una regio es mes general i no es pot descriure d'alguna d'aquestes sis maneres, caldra descompondre la regio W en una unio nita i disjunta d'altres subdominis que s que admetin aquesta descripcio i usar la propietat de l'additivitat de la integral triple.

2.5 Canvi de variables per a integrals dobles Fins ara hem descrit els punts del pla utilitzant les seves coordenades cartesianes, (x; y). Hi ha recintes d'integracio que s'expressen mes facilment en altres sistemes de coordenades. Per exemple, si D es una corona circular hem vist que cal descompondre la regio en quatre subregions per tal d'aplicar el teorema de Fubini en el calcul d'integrals, mentre que es molt mes senzill descriure la corona en coordenades polars. En aquest apartat anem a establir la formula de canvi de variables per a integrals dobles.

Calcul d'arees en coordenades curvilnies Per tal d'estudiar la formula de canvi de variables en una integral doble ens preocupem, primer de tot, de veure com canvia el calcul de l'area d'una regio a traves d'una transformacio del pla. Siguin D i D dos conjunts oberts del pla R2 . Recordem que un canvi de variables de D a D es una aplicacio T : D ! D (u; v) 7 ! T (u; v) = (x(u; v); y(u; v)) ; que es bijectiva, es a dir, tal que existeix l'aplicacio inversa T 1, i tal que tant T com T 1 son derivables amb continutat. La bijectivitat de T correspon al fet que per a cada punt (x; y) 2 D existeix un unic punt (u; v) 2 D tal que T (u; v) = (x; y). Diem que (u; v) son les coordenades curvilnies, corresponents al sistema de nit per T , del punt (x; y). Si xem la variable u = u0, la imatge de la recta corresponent de D per T descriu una corba de D, v ! T (u0; v). Analogament, podem considerar les corbes u ! T (u; v0). Aquestes corbes s'anomenen corbes coordenades (vegeu la gura 2.12). 2.5.1 Exemple L'exemple mes important de canvi de variables en el pla es el de les coordenades

polars:

x = r cos  ; y = r sin  :

En aquest cas podem prendre D =]0; 1[]0; 2[, on la primera coordenada es el radi r i la segona l'angle , de manera que D es el pla R2 llevat del semieix f(x; 0)=x  0g. Les corbes

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.5. Canvi de variables per a integrals dobles

39

y

v T v0 u0

v = v0

-

u

u = u0

x

Figura 2.12: Corbes coordenades

coordenades r = r0 son circumferencies de radi r0 centrades a l'origen, mentre que les corbes  = 0 son radis de pendent tg 0 que surten de l'origen. Si T es un canvi de variables, anomenem la matriu jacobiana de T , i escriurem DT , a la matriu de l'aplicacio diferencial de T , 0 1 @x @x @u @v C @ (x; y) B C DT = : =B B @ (u; v) @ @y @y C A @u @v Ens referirem al determinant de la matriu jacobiana com al determinant jacobia i el denotarem per JT , @x @y @x @y JT = det DT = : @u @v @v @u 2.5.2 Observacio Si T es un canvi de variables, el jacobia JT no s'anul
la en cap punt de l'obert D , ja que la matriu DT es invertible, d'inversa D(T 1). Recordem que, de fet, la no-anul.lacio d'aquest determinant s'utilitza sovint per comprovar quan es te un vertader canvi de variables. En efecte, el teorema de la funcio inversa permet assegurar que s que se satisfan les condicions seguents: (i) T es bijectiva, (ii) T es diferenciable amb continutat, (iii) JT 6= 0 per a qualsevol (u; v) 2 D , aleshores T es un canvi de variables. Ja hem de nit l'area de D com el volum del cilindre de base D i alcada 1, es a dir, com la integral Z A(D) = dxdy : D

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

40

Captol 2. Calcul d'integrals

Sigui T : D ! D un canvi de variables i suposem, per simpli car l'exposicio, que D es un rectangle. Subdividim la regio D a partir d'una particio regular de D , es a dir, subdividim D en regions T (Rij ) que son imatge per T dels rectangles Rij de D , corresponents a una particio regular (vegeu la gura 2.13).

y

v T

-

u

x

Figura 2.13: Particio de D

Si R es un dels rectangles de la particio regular de D , de vertex (u0 ; v0 ), podem aproximar @T @T l'area de T (R) per l'area del paral
lelogram de costats
u i
v, de vertex T (u0; v0 ) @u @v (vegeu la gura 2.14).  a dir, considerem l'aproximacio donada per Es 



@T @T A(T (R))  = = A
u ;
v @u @v 

@ (x; y) = j det @ (u; v)



0 B B det B @


u

@x @x
v @u @v


u

@y @y
v @u @v

1 C C C A

j
u
v = jJT (u; v)j
u
v = jJT (u; v)jA(R) :

Observem que, en aquesta formula, el determinant jacobia mesura la distorsio produda per T al passar de A(R) a A(T (R)). L'aproximacio de l'area de T (R) resultant sera mes acurada a mesura que el diametre del rectangle R sigui mes petit. Com que la integral que calcula l'area de D es de neix com a lmit de les sumes de Riemann quan el diametre dels rectangles de la particio tendeixen a zero, sembla raonable substituir l'aproximacio anterior per igualtats, d'on se segueix que

A(D) =

Z

D

dxdy = nlim !1 n X

n X i;j =1

A(T (Rij )) Z

= nlim !1 i;j=1 jJT (ui ; vj )j
ui
vj = D jJT (u; v)j dudv : El que acabem de veure dona una idea succinta de la demostracio del resultat seguent.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.5. Canvi de variables per a integrals dobles

41

y



: x

Figura 2.14: Aproximacio de l'area per l'area d'un paral
lelogram.

Siguin D; D

 2.5.3 Teorema [Area en coordenades curvilnies.] T : D ! D un canvi de variables. Aleshores,

A(D) =

Z

D

dxdy =

Z

D

 R2

oberts acotats i

jJT (u; v)j dudv :

El modul del determinant jacobia l'anomenem coe cient d'expansio de l'area en el punt (u; v). Formula del canvi de variables en integrals dobles Estem ara en disposicio d'enunciar el teorema de canvi de variables per a les integrals de dues variables. 2.5.4 Teorema [Canvi de variables.] Siguin D i D dos oberts acotats a R 2 i T : D ! D un canvi de variables. Sigui f : D ! R una funcio integrable. Aleshores, se satisfa que Z

D

f (x; y) dxdy =

Z

D

f (x(u; v); y(u; v)) jJT (u; v)j dudv :

No farem la demostracio detallada d'aquest teorema, sino que exposarem les idees principals tot ometent alguns detalls tecnics. Idea de la demostracio. Donat D , sigui R un rectangle tal que D  R. Fem una partici o regular Rij , 1  i; j  n, de R i denotem per Sij = T (Rij ) les imatges dels subrectangles de la particio. Les regions Sij , 1  i; j  n, donen una particio de D = T (D ). Usant les sumes de Riemann, podem calcular la integral de f a D segons Z

D

f (x; y) dxdy = nlim !1

n X

i;j =1

f (ij ) A(Sij ) ;

(2.7)

on ij 2 Sij son arbitraris. Al llarg de la demostracio apro tarem aquesta arbitrarietat per escollir els punts ij adequadament. Segons la formula de l'area d'una regio en coordenades curvilnies que hem establert anteriorment, les arees A(Sij ) es donen per les expressions

A(Sij ) = A(T (Rij )) =

Z

Rij

jJT (u; v)j dudv :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

42

Captol 2. Calcul d'integrals

Pel teorema del valor mig integral sabem que existeixen ij 2 Rij tals que

A(Sij ) = jJT ( ij )j A(Rij ) = jJT ( ij )j
ui
vj :

(2.8)

Triem ara ij = T ( ij ) i substitum (2.8) a (2.7). S'obte que Z

n X

f (x; y) dxdy = nlim !1 i;j=1f (T ( ij )) jJT ( ij )j
ui
vj D =

Z

D

f (T (u; v)) jJT (u; v)j dudv ;

com volem veure. En el cas de les coordenades polars, el jacobia es igual a r i el teorema del canvi de variables dona la formula seguent: Z

D

f (x; y) dxdy =

Z

D

f (r cos ; r sin )r drd :

(2.9)

En els exemples seguents apliquem aquesta formula en diverses situacions. 2.5.5 Exemples

1. Calculem l'area del cercle de radi R, es a dir, del conjunt de punts del pla que satisfan la desigualtat x2 + y2  R2 . En coordenades polars aquest cercle correspon a la desigualtat r  R. Usant, per tant, el canvi a coordenades polars l'area demanada es calcula integrant el jacobia sobre el domini D = [0; R]  [0; 2], es a dir,  Area = =

Z

fx2 +y2 RZ2 g

Z 2

0

d


dxdy =

R

0

Z

r drd =

D 2R

r dr = 2

r 2 0

Z 2 Z R

r drd 0 0 R2 = 2 =  R2 : 2

2. Calculem el volum sota el gra c de la funcio

f :D (x; y)

! R 7 ! e (x +y ) 2

2

on D = f(x; y) 2 R2 : x; y  0 ; a2  x2 + y2  b2 g, amb 0 < a < b.

Observant que la funcio f (x; y) depen de x2 + y2 i com que el domini D es un quart d'una corona circular, escollirem les coordenades polars. En aquestes coordenades, les circumferencies x2 + y2 = a2 i x2 + y2 = b2 s'escriuen r = a i r = b, respectivament. A mes, la restriccio x; y  0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.5. Canvi de variables per a integrals dobles

43

passa a ser la condicio sobre l'angle 0    2 . Per tant, el volum es igual a Vol

=

Z

e (x +y ) dxdy = 2

D

Z b

2

Z =2 Z b

0

0

2 e r rdrd

a 1 b r2 A

2  1  re r dr = @ e 2 a 2 2 a 2 2 2  b2  = (e e a ) = (e a e b ) : 4 4

=

3. El calcul en coordenades polars es imprescindible quan el recinte esta expressat en aquestes coordenades. Per exemple, calculem l'area d'un petal de la rosa r = a sin 3 (vegeu la gura 2.15). Observem que, com que el radi sempre es positiu, no tots els angles estan permesos. Concretament, 3 ha de tenir sinus positiu i, per tant,  ha de satisfer que 0    =3, que 2=3    , o que 4=3    5=3, d'on li ve el nom de rosa de tres petals (vegeu la gura 2.15). Aix, l'area corresponent es

Figura 2.15: Rosa de tres petals r = a sin 3 Z Z =3 Z a sin3 dxdy = r drd = r drd D D 0 0 Z =6 Z a sin3 Z a sin3   =6 r2 = 2 r drd = 2 d 0 2 2 0 Z0 =6 02 Z = a a2 = 2 sin2 3 d = sin2 t dt 2 3 0 0   a2 3 1  a2 = B ; = : 6 2 2 12

A =

Z

4. Com a darrer exemple, calculem la integral de la funcio y cos xy en el domini de nit per 1  y  4 i 1  xy  4, (vegeu la gura 2.16).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

44

Captol 2. Calcul d'integrals

D

Figura 2.16: Domini 1  y  4 , 1  xy  4

En aquest cas considerem el canvi de variables donat per u x = ; v y = v: El jacobia del canvi de variables es 1=v, i, per tant, el valor de la integral es: Z

D

y cos xy dxdy =

Z

1

4

du

Z

4

1 v cos u
dv = 3(sin 4 sin 1): v 1

2.6 Canvi de variables per a integrals de tres o mes variables L'extensio dels resultats de l'apartat anterior a tres o mes variables no presenta di cultats. Sigui T : W  ! W un canvi de variables entre dos oberts acotats de R3 . El jacobia @x @x @x @u @v @w @ (x; y; z ) @y @y @y = JT (u; v; w) = ; @ (u; v; w) @u @v @w

@z @z @u @v

@z @w



es ara el coe cient de distorsio de volum. Aix, doncs, per a integrals triples, la formula del canvi de variables s'escriu Z

W

f (x; y; z ) dxdydz =

Z

W

f (x(u; v; w); y(u; v; w); z (u; v; w)) jJT (u; v; w)j dudvdw ;

i, en general, per a un canvi de variables a Rn , la formula de canvi de variables s'escriu Z

W

f (x1 ; : : : ; xn ) dx1 : : : dxn =

Z

W

(f Æ T ) jJT (u1; : : : ; un )j du1 : : : dun :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.6. Canvi de variables per a integrals de tres o mes variables

45

Dedicarem aquest apartat als dos exemples mes signi catius dels canvis de variables en tres dimensions: les coordenades cilndriques i les coordenades esferiques.

Coordenades cilndriques Les coordenades cilndriques (r; ; z ) d'un punt (x; y; z ) estan de nides per les equacions

x = r cos  ; y = r sin  ; z = z: La gura 2.17 mostra la representacio d'un punt (x; y; z ) en termes de les seves coordenades cilndriques r,  i z .

6z 



r

Figura 2.17: Coordenades cilndriques d'un punt de l'espai

 a dir, que les coordenades cilndriques representen el punt (x; y; z ) a traves de les coordenades Es polars de la seva projeccio en el pla xy i la distancia a aquest pla, z . El nom de coordenades cilndriques prove del fet que les superfcies coordenades r = a > 0 son cilindres, l'eix dels quals es l'eix z . Aixo fa que les coordenades cilndriques siguin especialment utils quan el domini d'integracio presenti simetria cilndrica, es a dir, de rotacio respecte d'una recta. Observem que sobre l'eix z , es a dir, per als punts amb x = y = 0, l'angle  no esta de nit, encara que aixo no comporta cap di cultat per al calcul integral ja que en una regio W el conjunt de no-de nicio de l'angle, es a dir, la interseccio de W amb l'eix z , sera de volum zero. El jacobia de les coordenades cilndriques es

@x @x @x @r @ @z

JT (r; ; z ) = @y @r

@y @

@y @z

@z @r

@z @

@z @z



=

cos  sin  0



r sin  0 r cos  0 = r ; 0 1

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

46

Captol 2. Calcul d'integrals

que es sempre diferent de zero i positiu, r = 6 0. Aix, el teorema de canvi de variables per a coordenades cilndriques dona la formula Z

W

f (x; y; z ) dxdydz =

Z

W

f (r cos ; r sin ; z )r drddz :

(2.10)

La gura 2.18 mostra com es transforma el cub [r1 ; r2 ]  [1 ; 2 ]  [z1 ; z2 ] en coordenades cilndriques.

z
r
z

y


x Figura 2.18: Imatge de [r1 ; r2 ]  [1 ; 2 ]  [z1 ; z2 ]

2.6.1 Exemples

1. Calculem el volum del cos compres entre el con z 2 = x2 + y2 i el paraboloide z = x2 + y2 , per a z  0, ( gura 2.19). Observem que les dues gures que delimiten el cos tenen simetria cilndrica respecte de l'eix de les zetes. Aix doncs, proposem fer un canvi a coordenades cilndriques. La interseccio de les dues gures es dona a z = 0 i z = 1. En coordenades cilndriques p el con s'escriu z = r i el paraboloide z = r2 . Per tant, com 0  z  1, tenim z  r  z. A mes, respecte de l'eix z prenem una volta sencera, amb la qual cosa 0    2. Per tant, el volum demanat sera Vol

Z

Z

1 dxdydz = r drddz  ZV2 Z 1 Z pz V  = r drdzd = : 6 0 0 z =

2. Calculem la integral de f (x; y; z ) = x2 + y2 sobre el volum W = f(x; y; z ) 2 R3 : 1  x2 + y2  4; 0  z  2g. Observem que el volum W correspon a un cos compres entre dos cilindres.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.6. Canvi de variables per a integrals de tres o mes variables

47

En coordenades cilndriques, W  = f1  r  2; 0    2; 0  z  2g. Per tant, Z

W

Z 2 Z 2 Z 2 r2 rdrddz = r3 drddz = W 0 0 1 2 r4 = 4 = 15 : 4 1

(x2 + y2 )dV =

Z

Figura 2.19: Volum entre un paraboloide i un con

Coordenades Esferiques Les coordenades esferiques (r; ; ') d'un punt (x; y; z ) de R3 estan de nides per les equacions x = r cos ' cos  ; y = r cos ' sin  ; z = r sin ' : La gura 2.20 mostra la representacio d'un punt (x; y; z ) en termes de les seves coordenades esferiques (r; ; '). La variacio de les coordenades esferiques es dona en els intervals seguents: r > 0, 0 <  < 2, i =2 < ' < =2. El nom de coordenades esferiques prove del fet que si xem r = a > 0 s'obte una esfera de radi a amb centre (0; 0; 0). En aquest cas, les coordenades ' i  son la longitud i latitud calculada sobre l'esfera. Les coordenades esferiques son utils quan el domini d'integracio presenta simetria esferica, es a dir, simetria respecte un punt. El jacobia de les coordenades esferiques es

cos ' cos  JT (r; ; ') = cos ' sin  sin '

r cos ' sin  r cos ' cos  0



r sin ' cos  r sin ' sin  = r2 cos ' ; r cos '

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

48

Captol 2. Calcul d'integrals

z r



x

I'

y



Figura 2.20: Coordenades esferiques

que es no nul en W  . Observem, a mes, que cos ' > 0 ja que l'angle ' varia en l'interval ] =2; =2[, i, per tant, jJT (r; ; ')j = r2 cos '. Aix, la formula de canvi de variables per a coordenades esferiques es Z

W

f (x; y; z ) dxdydz =

Z

W

f (r cos ' cos ; r cos ' sin ; r sin ')r2 cos ' drd'd :

(2.11)

La gura 2.21 mostra com es transforma el cub [r1 ; r2 ]  [1 ; 2 ]  ['1 ; '2 ] en coordenades esferiques. 2.6.2 Exemples

1. Calculem el volum de l'esfera de radi R, x2 + y2 + z 2  R2 . En coordenades esferiques l'esfera s'escriu r  R, amb la qual cosa el volum de l'esfera es: Vol

= = =

Z

dxdydz =

Z

 ZB2 Z =2 Z R B Z0

0

2

=Z2

d


0

=2 =2

r2 cos ' drdd'

r2 cos ' drd'd cos ' d'


Z R

0

r2 dr =

4R3 : 3

 a dir, retrobem la formula del volum d'una esfera que ja coneixem. Es Aquest exemple ens permet fer una observacio que s'aplica algunes vegades a les integrals que es calculen amb coordenades esferiques: la projeccio de l'esfera de radi R en el pla xy es el disc x2 + y2  R2 d'aquest pla, z = 0. Aixo fa que les coordenades cilndriques s'adaptin tambe

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.6. Canvi de variables per a integrals de tres o mes variables

49

adequadament per fer el calcul del volum corresponent. En efecte, es te que Z Z 2 Z R Z pR2 r2 dxdydz = r dzdrd p

0

B

0

R2 r2

2 2 2 (R r R2 r2 drd = 3 0 0 0 Z 2 2 3 4R3 = R d = : 3 0 3 = 2

Z 2 Z R p

... .....
r .... . .......

Z

R

r2 )3=2 d 0


'


 Figura 2.21: Imatge de [r1 ; r2 ]  [1 ; 2 ]  ['1 ; '2 ] p

2. Calculem la integral de f (x; y; z ) = x2 + y2 + z 2 sobre el volum W determinat per les desigualtats z 2  x2 + y2  3z 2 i 1  x2 + y2 + z 2  4, amb x  0; y  0; z  0. El volum esta limitat per dos cons i dues esferes, de radis 1 i 2. En termes de coordenades esferiques aquesta regio correspon a la seguent variacio de coordenades

Aix, la integral es Z

p

W

1 0  6

 r  2;    2 ;  '  4 :

x2 + y2 + z 2 dxdydz =

Z =2 Z

2Z

=4

r3 cos ' d'drd

0 1 =6 2 =4 4 15 p  r

sin ' = ( 2 1) : = 2 4 1 8 =6

Tot i que, com en l'exemple anterior, podem fer el calcul de la integral amb coordenades cilndriques, en aquest cas caldra descompondre el recinte W en dues subregions en les quals aplicar el teorema de Fubini.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

50

Captol 2. Calcul d'integrals

2.7 Integrals multiples impropies La de nicio d'integral pot estendre's, en algunes situacions, a funcions no acotades i que no son necessariament zero fora d'un conjunt acotat. Considerem un parell d'exemples. 2.7.1 Exemple Prenem la funcio

1 f (x; y) = 2 2 ; xy de nida per x  1, y  1. El recinte es certament no acotat, pero podem plantejar-nos si el volum de sota de la funcio f es nit o no. Per esbrinar-ho podem aproximar B = f(x; y) = x  1 ; y  1g pels subrectangles acotats Bn = f(x; y) = 1  x  n ; 1  y  ng en els quals f es integrable, ja que es contnua, i prendre l'aproximacio   Z 1 2 f (x; y)dxdy = 1 : n Bn z 1

0.5 3 01

1.5

2 x 2

2.5

1.5

2.5 y

3 1

Figura 2.22: Gra c de la funcio 1=x2 y 2

Quan n ! 1, els rectangles Bn cobreixen B , i sembla natural de nir Z

B

f (x; y)dxdy = lim n



Z

Bn

f (x; y)dxdy = lim 1 n

 1 2 = 1: n

2.7.2 Exemple Considerem ara una funcio no acotada en un domini acotat. Prenem B =

f(x; y) = x2 + y2  1g, el disc unitat, i f la funcio de nida en el disc puntejat per f (x; y) = ln(x2 + y2 ) ; 0 < x2 + y2  1 :

Com que f no esta acotada prop de zero, traiem un petit disc de radi " del recinte

B" = f(x; y) = "2  x2 + y2  1g ; de manera que f sigui integrable en B" .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.7. Integrals multiples impropies

51

Aleshores podem aproximar el volum per la integral Z

B"

ln(x2 + y2 )dxdy =

Z 2

0

d

1

Z

(ln r2 )rdr

"

1 2 1 r 2 " =  + 2"2 ln " "2 : 



2 r2 ln r

=

z 5 4 3 2 1

1

0-1

-0.5

x 0

0.5

0 -0.5

0.5 y

1 -1

Figura 2.23: Gra c de la funcio

ln(x2 + y2 )

Quan " ! 0 les corones B" cobreixen el disc unitat B , i sembla natural prendre Z

B

ln(x2 + y2 )dxdy = "lim !0

Z

B"

ln(x2 + y2 )dxdy

2 2 = "lim !0( + 2" ln " " ) = :

Abans de formalitzar la situacio que es dona en aquests dos exemples, observem que en ambdos casos hem aproximat el recinte B per unes subregions concretes. En principi no es evident que si prenem una altra aproximacio Bn0 de B el resultat sigui el mateix. Ens restringirem a la situacio mes senzilla (la de la convergencia absoluta) en la qual es demana independencia de la integral respecte de les aproximacions Bn en la propia de nicio. Situacio general. Considerem un obert D  R 2 , no necessariament acotat. Direm que una successio de subconjunts oberts Dn  D cobreix monotonament D si se satisfa que i) Dn  Dn+1 , per a tot n  0, ii)

S

n0 Dn

= D.

En els exemples anteriors, les successions Bn i B1=n cobreixen monotonament els recintes en questio.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Captol 2. Calcul d'integrals

Considerem una funcio f : D ! R integrable en tot subconjunt elemental de D (per exemple, perque es una funcio contnua). 2.7.3 De nicio Direm que f es integrable (en el sentit impropi) a D si per a qualsevol successio de subconjunts oberts acotats fDn g que cobreix monotonament D existeix el lmit

lim n

Z

Dn

f (x; y) dxdy ;

i es independent de la successio fDn g escollida. Aquest lmit l'anomenarem integral (en el sentit impropi) de f a D.

Si f admet integral impropia a D escriurem Z

D

f (x; y) dxdy = lim n

Z

Dn

f (x; y) dxdy :

La situacio mes comuna es donara, com en el cas dels exemples 2.7.1 i 2.7.2, a partir d'una funcio contnua f : D ! R, de nida en una regio oberta D, essent la particularitat que D no sigui acotat o be que f no sigui contnua a D. La varietat de successions fDng que cobreixen monotonament l'obert D fan que la de nicio d'integral impropia sigui gairebe impracticable. Ens permet, pero, comprovar que certes funcions no tenen integral impropia.

p

Figura 2.24: Gra c de la funcio y= x2 + y 2

3

2.7.4 Exemple Considerem la funcio

f (x; y) =

p

y (x2 + y2 )3

de nida en el disc unitat puntejat, D0 = f(x; y) = 0 < x2 + y2  1g. Per estudiar la integral2 impropia de f a D aproximem el disc unitat puntejat per regions Dn = f(x; y) = y  0 ; n" 2  x2 + y2  1 o y < 0; n12  x2 + y2  1g, amb " < 1.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.7. Integrals multiples impropies

53

y 1=n

x

Figura 2.25: Regio Dn

Aleshores tindrem que Z

Dn

Z 1=n

2 1 sin  sin  rdr + d rdr 2 0 "=n r  1=n r2 [cos ]0 [ln r]1"=n [cos ]2 [ln r]11=n " 1 2 ln + 2 ln = 2 ln " : n n

Z 

f (x; y)dxdy = = =

Aix, si " = 12 , en resulta que lim n

d

Z

Dn

Z

Z

f (x; y)dxdy = 2 ln 2 ;

mentre que si " = 1, el lmit es 0. De la dependencia del lmit respecte del tipus de regions utilitzades dedum que f no admet integral impropia a D. Per a funcions positives, l'existencia de la integral impropia es mes senzilla de comprovar ja que es te el resultat seguent: 2.7.5 Teorema Amb les notacions precedents, suposem que f (x; y ) Aleshores, si existeix el lmit Z

lim n

Dn

 0, per a tot (x; y) 2 D.

f (x; y) dxdy

per a una successio fDn g que cobreix monotonament D, existeix la integral impropia de f a D. Demostraci o. Notem an el valor de la integral de la funci o f sobre Dn . Per hipotesi an  0 i, com que la successio fDn g es monotona, la successio fan g es una successio monotona no decreixent, an  an+1 . D'aqu se segueix que la successio an es convergent si i nomes si es acotada. Per hipotesi, existeix doncs una constant M tal que an  M , per a tot n 2 N .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

54

Captol 2. Calcul d'integrals

Sigui Dn0 una altra successio de regions elementals que cobreix monotonament D i notem a0n els valors de les integrals de f corresponents. Pel raonament anterior, es su cient provar que la successio no decreixent de numeros positius a0n esta acotada. Fixat un n, de la monotonia de la successio Dn se segueix que hi ha un m tal que Dn0  Dm i, per tant, a0n  am , es a dir, a0n  M . Com que n es arbitrari, se segueix que a0n es acotada. Per tant, els valors calculats als exemples 2.7.1 i 2.7.2 corresponen als valors exactes de les integrals impropies en questio. 2.7.6 Exemples

1. Considerem la integral

Z

dxdy D (x2 + y 2 ) on D = f(x; y) = 0 < x2 + y2  1g. Prenem Dn com en l'exemple 2.7.2, 1 Dn = f(x; y) = 2 < x2 + y2  1g : n Aleshores, Z 1 Z Z 2 Z 1 dxdy rdr p = d = 2 r1  dr : 1=n 0 1=n r Dn (x2 + y 2 ) Ara, la integral   Z 1 r2  1 1 1 1  r dr = = 1 ; 2  1=n 2  n2  1=n es convergent si i nomes si 2  > 0 i, per tant, la integral doble original es convergent si i nomes si  < 2. 2. Analogament, es poden considerar integrals impropies de la forma Z dxdy p 2 + y 2 ) ( x D on D es una regio no acotada (amb 0 2= D), com per exemple D = f(x; y) = x2 + y2  1 ; x; y  0g. En aquest cas, existeix la integral impropia si i nomes si  > 2. p

2.7.7 Exemple Un exemple famos i important d'integral impropia es el seguent: Z

R2

2 2 e x y dxdy :

Aqu D = R2 i prenem Dn = f(x; y) = x2 + y2  n2 g. Aleshores, Z

Dn

i, per tant,

e

x2 y2 dxdy

=

Z

R

2

Z 2

0

d

Z n

0

2 2 e r rdr = (1 e n )

2 2 e x y dxdy =  :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.7. Integrals multiples impropies

55

L'interes d'aquest exemple prove del calcul que resulta de prendre regions del tipus

Rn = [ n; n]  [ n; n] ; doncs aleshores tenim Z

Rn

2 2 e x y dxdy =

Z n

n

2 e x dx

Z n

n

2 e y dy =

2

Z n

n

2 e x dx

;

d'on podem concloure que Z

D

e

x2 y2 dxdy

i, en de nitiva, que

1

Z

1

p ( 1 ) = .

o, si es prefereix,

= lim n

Z n

n

e

2

x2 dx

;

p 2 e x dx =  ;

2

 immediat comprovar que se satisfa: Es 2.7.8 Proposicio [Criteri de comparacio.] Si f; g : D ! R son funcions no negatives amb  g i g admet una integral impropia a D, aleshores f tambe admet integral impropia a D.

f

Aix, de l'exemple 2.7.6 en resulta: 2.7.9 Corol
lari Sigui f : D

!R

una funcio (positiva) de nida i contnua en el disc unitat, llevat de l'origen. Si existeixen M > 0 i  < 2 amb

f (x; y) 

M ; (x; y) 6= (0; 0) ; (x2 + y2 )

p

aleshores existeix la integral impropia Z

D

f (x; y) dxdy :

Deixem l'enunciat del corol
lari corresponent a dominis no acotats com a exercici per al lector, aix com l'extensio d'aquestes consideracions a Rn , n  3. En els resultats anteriors hem imposat que la funcio f sigui positiva. Aquesta no es una restriccio important, ja que es te el resultat seguent que admetrem sense demostracio: 2.7.10 Teorema

Z

D

f (x; y) dxdy es convergent si i nomes si ho es

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Z

D

jf (x; y)j dxdy .

56

Captol 2. Calcul d'integrals

2.7.11 Observacio Aquest resultat no es cert per a integrals impropies d'una variable. En efecte, la integral impropia Z 1 sin x dx ; 0 x es convergent, pero no ho es absolutament. La diferent situacio que es dona entre una i dues variables es deu al fet que a la recta real la nocio d'integral impropia d'una variable fa us dels intervals de la forma [a; r], fent r ! 1, i no permet, per exemple, prendre subregions Dn disconnexes.

Per a funcions f amb gra c simetric respecte d'un punt x0 a voltes te interes de nir la integral de f a D com a lmit de les integrals sobre recintes Dn simetrics respecte de x0 . Es parla, en aquest cas, del valor principal de Cauchy. Per exemple, si f es una funcio integrable en tota corona D" = f(x; y) = "  x2 + y2  1g ; el valor principal de Cauchy de la integral impropia es

vp

Z

D

f (x; y)dxdy = "lim !0

Z

D"

f (x; y) dxdy :

2.7.12 Exemple Considerem la funcio

f (x; y) =

p

y 2 (x + y2 )3

de l'exemple 2.7.4. Ja hem observat que f no admet integral impropia al disc unitat D. Observem que podem arribar a la mateixa conclusio utilitzant el teorema anterior, ja que es te que Z Z 2 Z 1 ; jf (r; )jrdrd = j sin jd rdr D 0 0 r3 i la integral d'una variable respecte de r no es convergent. Te sentit, pero, calcular-ne el valor principal de Cauchy: Z Z 2 Z 1 sin  dr sin  rdrd = "lim drd = "lim sin  = 0: vp 3 2 ! 0 ! 0 D" r 0 " r2 D r Z

Per acabar aquest apartat donarem una formula de Dirichlet que es util en el calcul d'algunes integrals. La formula es valida en qualsevol dimensio, pero ens restringirem a R3 . Formula de Dirichlet. Siguin p; q; r > 0 i
la regio de l'espai de nida per x; y; z  0 i 0  x + y + z  1. Se satisfa que Z




xp 1 yq 1 z r 1dxdydz =

(p) (q) (r) : (p + q + r + 1)

La demostracio es senzilla i es pot fer com a exercici.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.7. Integrals multiples impropies

57

2.7.13 Exemples

1. Com aplicacio de la formula de Dirichlet podem calcular el volum d'un el
lipsoide

x2 y2 z 2 + + a2 b2 c2

En efecte, tindrem

V =8

Z

on

E+

 1:

dxdydz

x2 y2 z 2 E + = f(x; y) = 2 + 2 + 2  1 i x; y; z  0g : a b c + A E considerem el canvi de variables 9 x2 > > = u; > > > a22 x = au1=2 = y y = bv1=2 =v; > b22 > > z = cw1=2 > z > ; = w ; c2 abc 1=2 1=2 1=2 que te jacobia J = u v w . Ara tindrem 8 Z abc 1=2 1=2 1=2 V = 8 u+v+w1 u v w dudvdw ; 8 u;v;w>0 i, per la formula de Dirichlet, en resulta que

V = abc 2. Anem a provar que si

ppp

(1=2) (1=2) (1=2)    p = 4 abc : = abc (1=2 + 1=2 + 1=2 + 1) (3=2)(1=2)  3 1 1 1 + + < 1; p q r

p; q; ; r > 0 i

se satisfa que Z

dxdydz 1 = pqr x;y;z>0 1 + xp + y q + z r

 

1 p

 

1 q

 

1 r



1

1 p

1 q



1 : r

En efecte, fem el canvi de variable

z r = t(1 + xp + yq ) : En la iteracio respecte de la variable z , resulta que Z 1 Z 1 dz 1 (1=r)t(1=r) 1 (1 + xp + yq )1=r dt = p q r p q 1+x +y 0 1+t 0 1+x +y +z     1 1 1 1 : = (1 + xp + yq )(1=r) 1 r r r

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

58

Captol 2. Calcul d'integrals

Si fem ara

yq = (1 + xp )u ;

trobem que Z 1 Z 1 dy

 





1 1 1 dz 1 p + y q + z r = qr 1 + x r r 0 0 Finalment, prenem xp = v i en resulta la formula nal.



1 ;1 q

1 q



1 1 1 (1 + xp ) q + r 1 : r

2.8 Integracio aproximada Fins ara hem establert la nocio de funcio integrable en el sentit de Riemann i hem apres a calcular les integrals amb l'ajut del teorema de Fubini i el de canvi de variables. El calcul efectiu d'integrals es redueix sempre, d'una manera o altra, al calcul d'integrals iterades i a l'aplicacio successiva de la regla de Barrow, la qual ens permet calcular les integrals avaluant i restant les primitives en els extrems d'integracio. Ara be, no sempre es facil el calcul de primitives i, ns i tot, en moltes ocasions no es possible. Per exemple, no sabem calcular, en termes de primitives, una integral com la seguent: Z

[0;1][0;1]

exy sin x sin y dxdy:

A mes, en alguns casos, tot i coneixer la primitiva, pot passar que l'expressio sigui tan complicada que a l'hora d'efectuar-ne avaluacions aixo introdueixi errors en el resultat nal. En aquest apartat presentem algunes regles numeriques elementals per calcular integrals de diverses variables. El desenvolupament espec c de regles numeriques mes elaborades queda fora del nostre abast. La integracio de funcions de diverses variables en regions de dimensio major que u no es senzilla. Hi ha dues raons que compliquen aquests metodes de calcul. La primera es que el nombre d'avaluacions de la funcio que es necessiten en dimensio n creix com la potencia n esima del nombre d'avaluacions necessaries en dimensio u. Aix, per exemple, si es necessiten 30 avaluacions per fer una integral u dimensional, es necessitaran de l'ordre de 30000 avaluacions per assolir la mateixa precisio en una integracio triple. La segona rao es que en dimensio alta els recintes d'integracio poden esser molt complicats.

Integracio aproximada en una variable Donada una funcio f integrable en un interval [a; b], es preten calcular la integral Z b

a

f (x) dx :

Moltes vegades no es coneix la funcio f , sino que tan sols tenim el seu valor en un conjunt d'abscisses x1 ; : : : ; xn . El que ens plantegem es trobar un valor numeric de la integral que s'aproximi al valor real.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.8. Integracio aproximada

59

Volem trobar una combinacio lineal de les f (xi ), i = 1; : : : ; n que aproximi el valor de la integral, es a dir, formules del tipus: Z b

a

f (x)dx  = w1 f (x1 ) +


+ wn f (xn )

amb wi 2 R, i = 1; : : : ; n. Aquests wi s'anomenen pesos. Destaquem dos metodes: (a) Formula dels trapezis. Aquesta formula resulta d'aproximar la funcio f per una funcio poligonal que passa pels punts (xi ; f (xi )), 0  i  n.

Figura 2.26: Aproximacio de f per una funcio poligonal

Suposem que a = x0 ; x1 ; : : : ; xn = b es un conjunt de n +1 punts de l'interval [a; b] equiespaiats, es a dir, xi = a + ih, i = 1; : : : ; n i h = b na es el pas. Aleshores podem aproximar l'area sota del gra c de f per la suma de les arees dels trapezis construts entre els valors de dos punts consecutius (vegeu la gura 2.26), es a dir, considerem l'aproximacio Z b

h f (x)dx  = (f (a) + 2f (x1 ) +


+ 2f (xn 1 ) + f (b)) = Tn(f ) : 2 a Si la funcio f 2 C 2 ([a; b]) es pot veure que l'error comes, es a dir, la diferencia entre el valor real de la integral i el valor trobat usant la formula dels trapezis, es E=

Z b

a

b a 2 00 f (x)dx Tn (f ) = h f (c) ; 12

amb c un punt de l'interval [a; b]. D'aquesta expressio de l'error se segueix que podem disminuir-lo tant com vulguem augmentant el nombre de punts o, equivalentment, fent decreixer el pas h, ja que com que f 00 es una funcio contnua en l'interval tancat [a; b], esta acotada en aquest interval. Cal remarcar que la formula dels trapezis es una regla exacta per a les funcions lineals, es a dir, si f (x) es una funcio lineal, el resultat que s'obte aplicant la formula dels trapezis es exacte.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

60

Captol 2. Calcul d'integrals

(b) Formula de Simpson. Es pot millorar la precisio de l'aproximacio del metode dels trapezis si, en lloc de substituir corbes per segments rectilinis, substitum el gra c entre dos punts per una parabola que passi per aquests punts. Aquest es el fonament de la regla de Simpson. Suposem que tenim un nombre senar n + 1 de punts equiespaiats, a = x0 ; x1 ; : : : ; xn 1 ; xn = b, amb n parell, i que, com abans, h = b na denota el pas. Aproximem l'area entre la funcio i els eixos a [xi ; xi+2 ], i = 0; 1; : : : ; n 2, per l'area entre la parabola pels punts (xi ; f (xi )), (xi+1 ; f (xi+1 ) i (xi+2 ; f (xi+2 )) i els eixos (vegeu la gura 2.27).

Figura 2.27: Aproximacio pel metode de Simpson

 un exercici elemental comprovar que l'aproximacio resultant es Es Z b

h f (x)dx  = (f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + 3 a +


+ 2f (xn 2 ) + 4f (xn 1 ) + f (b)) = Sn (f ) : Si denotem per E novament l'error d'integracio i suposem que f 2 C 4 ([a; b]), es te que E=

Z b

a

f (x)dx Sn (f ) =

b a 4 iv h f (c) 180

amb c 2 [a; b]. Com abans, en ser f iv) contnua en l'interval tancat [a; b], es acotada i, per tant, podem fer decreixer l'error tant com vulguem augmentant el nombre de punts, es a dir, disminuint el pas h. Cal remarcar que la formula de Simpson es una regla exacta per a les funcions cubiques, es a dir, per a polinomis de grau menor o igual que 3.

Integracio aproximada en dues variables La mateixa pregunta que ens feiem en una variable sobre si podem trobar un valor aproximat per a aquelles integrals sense primitiva ens la tornem a plantejar per a les integrals a R2 . En aquest paragraf anem a donar algunes regles per obtenir aproximacions numeriques d'integrals de dues variables, que s'estenen al cas de mes variables.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.8. Integracio aproximada

61

Regles producte per a integrals dobles. Suposem que es vol calcular la integral doble Z

f (x; y)dxdy ;

R

on R = [a; b]  [c; d] es un rectangle. El teorema de Fubini redueix el calcul d'una integral doble al calcul de dues integrals simples. Les regles producte apro ten les regles d'integracio u-dimensional i les apliquen a cada una de les integrals simples. Sigui R1 una regla aproximada d'integracio de la funcio f de M + 1 punts sobre l'interval [a; b], es a dir,

R1 (f ) =

M X k=0

wk f (xk )  =

Z b

a

f (x)dx ;

i R2 una regla de N + 1 punts sobre l'interval [c; d] per a la funcio g, es a dir,

R2 (g) =

N X `=0

v` g(y`)  =

Z d

c

g(y)dy :

Aleshores, s'anomena regla producte R1  R2 sobre el rectangle R = I  J de R2 (R1  R2 )(h) =

M X N X k=0 `=0

wk v` h(xk ; y` ) :

El resultat seguent, que se segueix facilment del teorema de Fubini, garanteix que R1  R2 es una regla d'integracio sobre el rectangle: 2.8.1 Proposicio Si R1 es una regla d'integracio que integra exactament una funcio f en un interval I i R2 integra exactament una funcio g en un interval J , aleshores R1  R2 integra exactament h(x; y ) = f (x)g (y ) sobre I  J .

Per tant, podem construir regles d'integracio sobre rectangles de R2 , i per extensio sobre blocs de Rn , a traves de les regles producte de les regles dels trapezis o de Simpson per a integrals u-dimensionals. Vegem tot seguit les regles dels trapezis i Simpson producte sobre un rectangle R = [a; b]  [c; d] de R2 . Regla dels trapezis producte a R 2 . Donats M; N

2 N , considerem la xarxa de punts equirepartits (xi ; yi ) tals que xi = a + ih, i = 0; 1; : : : ; M , i yj = c + j`, j = 0; 1; : : : ; N , on els passos son h = bMa i ` = dN c . Aleshores la regla producte dona l'aproximacio de la integral seguent: Z

R

f (x; y)dxdy  =

M X N h` X c f (x ; y ) ; 4 i=0 j=0 ij i j

on els coe cients cij son els productes dels coe cients i-esim i j -esim de la regla dels trapezis

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

62

Captol 2. Calcul d'integrals

unidimensional. La taula seguent recull aquests coe cients: 1 1 2 2 .. . 1

1 2 2 .. . 1

2 2 4 4 .. . 2

2 2 4 4 .. . 2

2 2 4 4 .. . 2

2 2 4 4 .. . 2

::: ::: ::: :::

1 1 2 2 .. . 1

:::

Regla de Simpson producte a R2 . Donats M; N

2 N parells, considerem la xarxa de punts equirepartits (xi ; yj ) tals que xi = a + ih, i = 0; 1; : : : ; M , i yj = c + j`, j = 0; 1; : : : ; N , on els passos son h = bMa i ` = dN c . Aleshores la regla producte corresponent s'escriu Z

R

f (x; y)dxdy  =

M X N h` X d f (x ; y ) 9 i=0 j=0 ij i j

on els coe cients dij son els productes dels coe cients i-esim i j -esim de la regla de Simpson unidimensional. La taula seguent recull aquests coe cients: 1 4 2 .. . 2 4 1

::: ::: ::: :::

1 4 2 4 2 1 4 2 4 2 4 16 8 16 8 2 8 4 8 4 .. .. .. .. .. . . . . . 2 8 4 8 4 4 16 8 16 8 1 4 2 4 2

::: ::: :::

2 4 1 2 4 1 8 16 4 4 8 2 .. .. .. . . . 4 8 2 8 16 4 2 4 1

2.8.2 Exemple Calculem la integral Z

1Z 1

0 0

sin(x + y)dxdy ;

usant la regla de Simpson producte agafant 3 punts en cada variable i comparem el resultat amb el valor exacte de la integral. Si calculem la integral iteradament i utilitzant la regla de Barrow, trobem:

1Z 1

Z

0 0

sin(x + y)dxdy =

1

Z

0

= sin y

cos(x + y)j10 dy = 1 sin(1 + y)

0

1

Z

0

(cos y cos(1 + y))dy =

= sin 1 sin 2 + sin 1 = 2 sin 1 sin 2:

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2.8. Integracio aproximada

63

Aix, el valor de la integral amb set dgits exactes es Z

1Z 1

0 0

sin(x + y)dxdy = 007736445 :

Utilitzem ara la regla producte amb tres punts per variable, es a dir, prenem M = N = 2 i els passos d'integracio h = ` = 12 . Els punts corresponen a x0 = 0, x1 = 1=2, x2 = 1, y0 = 0, y1 = 1=2, y2 = 1. Aleshores, (S1  S2 )(sin(x + y)) =

2 X 2 1=2
1=2 X dij sin(xi + yj ) 9 i=0 j =0

2 1 X 1 di0 sin(xi ) + di1 sin xi + + di2 sin(xi + 1) 36 i=0 2  1 1 1 = d00 sin 0 + d01 sin + d02 sin 1 + d10 sin 36 2 2  3 3 +d11 sin 1 + d12 sin + d20 sin 1 + d21 sin + d22 sin 2 2 2  1 1 = d sin 0 + (d01 + d10 ) sin + (d02 + d11 + d20 ) sin 1 36 00 2  3 +(d12 + d21 ) sin + d22 sin 2 : 2 

=







Els coe cients dij son els de la taula seguent: 1 4 1 1 1 4 1 4 4 16 4 1 1 4 1 Per tant, el valor aproximat de la integral, usant els valors de la taula, es Z

1Z 1

0 0





1 1 3 sin 0 + 8 sin + 18 sin 1 + 8 sin + sin 2 36 2 2 0 = 0 7741983 :

sin(x + y)dxdy  =

Observeu que l'error comes, es a dir, la diferencia entre el valor real i l'aproximat, es " = 50 5
10 4. 2.8.3 Observacio En recintes arbitraris, diferents dels intervals, tambe es poden aplicar les regles producte sempre que es pugui aplicar el teorema de Fubini per tal de reduir la integral al calcul de les integrals iterades corresponents.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3 Algunes aplicacions de les integrals multiples Quan hem introdut la nocio d'integral en dues variables ja hem esmentat el problema subjacent del calcul del volum de cossos de l'espai R3 . En aquest captol anem a presentar alguns exemples del calcul d'arees i volums, i tambe algunes aplicacions fsiques de la nocio d'integral. Cal tenir present que amb aquestes aplicacions volem il
lustrar la utilitat del concepte d'integral de diverses variables i que, per tant, aquesta discussio no pot substituir els tractats de fsica mes espec cs.

3.1 Calcul d'arees i volums Les aplicacions mes immediates de les integrals multiples son al calcul d'arees de regions del pla i volums de l'espai ordinari. Vegem-ne ara alguns exemples.

y

(x)

D '(x) x  Figura 3.1: Area entre dues funcions

Si D es una regio elemental del pla, D  R2 , ja havem de nit area de D per

A(D) =

Z

D

dxdy :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

66

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

Observem que l'area de D no esta de nida a priori i que amb aquesta integral la de nim com el volum del cilindre de base D i alcada 1, cosa que fa que aquesta de nicio sigui coherent amb la intucio geometrica. 3.1.1 Exemple Si D es una regio donada per

D = f(x; y) = a  x  b ; '(x)  y  (x)g ; aleshores, la de nicio de l'area de D dona

A(D) =

Z

D

Z b

dxdy =

a

Z b

=

a

dx

(x)

Z

'(x)

dy

( (x) '(x))dx :

Recuperem aix l'expressio de l'area d'aquestes regions que es te del calcul d'una variable.  d'una regio donada en coordenades polars per 3.1.2 Exemple Area

g()  r  f () ;

0    1 :

En aquest cas tenim

A(D) =

Z

D

dxdy =

Z 1

0

d

Z f ()

g()

rdr =

Z

1 1 (f ()2 2 0

g()2 ) d :

Per exemple, calculem l'area exterior a la circumferencia r = 2 i interior a la cardioide r = 2(1+cos ). Donada la simetria de la gura 3.2, l'area demanada es el doble de l'area escombrada en variar  de 0 a =2. Aix, trobem que r2 2(1+cos ) A = 2 r dr d = 2 d = 2 2 0 2 0 Z =2  sin 2 =2 = 4 (2 cos  + cos2 )d = 4 2 sin  + + =  +8: 2 4 0 0 Z =2 Z

2(1+cos )

Z =2

y D

x

Figura 3.2: Cardioide r = 2(1 + cos )

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.1. Calcul d'arees i volums

67

Si B es un cos elemental de R3 , es de neix el volum de B per vol (B ) =

Z

B

dxdydz :

3.1.3 Exemple Si B es un cos donat per

B = f(x; y; z ) = a  x  b ; f (x)  y  g(x) ; '(x; y)  z  (x; y)g ; aleshores, es te que vol (B ) =

Z

D

( (x; y) '(x; y)) dxdy ;

on D es el domini del pla donat per f(x; y)=a  x  b; f (x)  y  g(x)g. 3.1.4 Exemple Calculem el volum que s'elimina quan en una esfera de radi 2a hi fem un forat de radi a, de manera que l'eix de l'ori ci sigui un diametre de l'esfera, (vegeu la gura 3.3).

z

0

y

x Figura 3.3: Esfera foradada per un cilindre

De la gura dedum que el volum demanat es 8 vegades el corresponent al primer octant limitat 2 2 2 pel cilindre x2 + y2 = a2 , l'esfera x2 + p y 2+ z 2 = 4a i el pla z = 0. Usant coordenades cilndriques, l'esfera s'escriu com a z = 4a r , i es te que

V =8

Z =2 Z a p

0

0

4a2

r2 rdrd =

8 =2 3 (8a 3 0 Z

p p 4 3 3a3 )d = (8 3 3)a3  : 3

3.1.5 Exemple Volum d'un cos de revolucio. Sigui (x) = (x; f (x)) una corba en el pla x; z de nida per la funcio f , amb a  x  b, i sigui B el cos de revolucio donat per

B = f(x; y; z ) = a  x  b ; y2 + z 2  f (x)2 g : (Vegeu la gura 3.4.) Aleshores el volum de B es vol (B ) =

Z

B

dxdydz =

Z b

a

dx

Z

y2 +z2 f (x)2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

dydz ;

68

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

z f y a

x b

Figura 3.4: Volum de revolucio

i, fent el canvi de variables y = r cos , z = r sin , resulta que vol (B ) =

Z b

a

dx

Z 2

0

d

Z f (x)

0

rdr = 

Z b

a

f (x)2 dx :

Recuperem, aix, la formula heurstica que interpreta el volum de B com la suma de les arees dels cercles de radi f (x). 3.1.6 Exemple Per acabar els exemples de calcul de volums, determinem el volum tancat per

un el
lipsoide

x2 y2 z 2 + +  1: a2 b2 c2 En aquest cas, utilitzem les coordenades esferiques modi cades de la forma seguent: x = ar cos ' cos  ; y = br cos ' sin  ; z = cr sin ' : El jacobia d'aquest canvi de coordenades es igual a abcr2 cos . La variacio del radi r esta determinada per l'equacio de l'el
lipsoide, es a dir, 0  r  1, mentre que les variacions dels angles estan donades, com en el cas de les coordenades esferiques ordinaries, per 0    2 i =2  '  =2. Aix, el volum demanat es igual a

vol =

Z 2

0

d

Z =2

=2

d'

Z

1

1 4 abcr2 cos dr = 2
2
abc = abc : 3 3 0

En particular, quan a = b = c recuperem la formula del volum d'una esfera.

3.2 Mitjana d'una funcio x +


+ xn Si x1 ; : : : ; xn son n valors numerics, la seva mitjana es de neix per 1 . Volem de nir n ara la mitjana d'una funcio sobre un interval I .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.2. Mitjana d'una funcio

69

Sigui f : I = [a; b] ! R una funcio contnua. Dividim l'interval I en n intervals, Ii , de longitud b a
x = , i prenem n punts x1 ,...,xn en I , un per a cada interval. La mitjana dels valors de n la funcio en aquests punts es f (x1 ) + ::: + f (xn ) ; vm = n b a i, tenint en compte que n = , en resulta que
x

vm =

f (x1 )
x + ::: + f (xn )
x : b a

Si fem el lmit d'aquest quocient Zquan n tendeix a l'in nit, es a dir, quan
x tendeix a zero, el b

numerador es igual a la integral f (x) dx. Aixo ens indueix a de nir la mitjana de la funcio a f en l'interval [a; b] per Z b

vm (f ) = a

f (x)dx

b a

;

que ens dona la mitjana d'una funcio f en un interval I com el quocient entre la integral de la funcio i la longitud de l'interval. Analogament, de nim la mitjana d'una funcio contnua de dues variables, f : D en un domini elemental D, a partir de Z

vm (f ) = D

f (x; y)dxdy A(D)

i la d'una funcio contnua de tres variables f : W Z

vm (f ) = W

! R, de nida

;

! R per

f (x; y; z )dxdydz vol (W )

:

3.2.1 Exemple Calculem la mitjana del quadrat de la distancia dels punts d'una bola a un punt xat de l'espai. Prenem els eixos de manera que l'esfera te per equacio x2 + y2 + z 2 = R2 i el punt te coordenades (0; 0; c). Hem de calcular la mitjana de la funcio f (x; y; z ) = x2 + y2 + (z c)2 sobre la bola, es a dir, volem calcular Z

vm (f ) =

B

(x2 + y2 + (z Z

B

c)2 )dxdydz

dxdydz

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

:

70

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

Z

4 dxdydz = R3 . De l'altra, usant coordenades 3 BZ esferiques i tenint en compte que, per simetria, z dxdydz = 0, es te que D'una banda, el volum de la bola B es igual a Z

B

(x2 + y2 + (z

B

Z

c)2 )dxdydz =

ZB

=

(x2 + y2 + z 2

(x2 + y2 + z 2 )dxdydz + c2 vol (B )

B Z R

=

0

2cz + c2 )dxdydz

r4 dr

Z 2

0

d

Z =2

4 cos 'd' + c2 R3 3 =2

4 4 = R5 + R3 c2 : 5 3 3 Per tant, vm (f ) = R2 + c2 . 5

3.3 Massa d'un cos Considerem una massa distribuda al llarg d'un cos W de l'espai. Un concepte ntimament associat al de massa es el de densitat; de fet, sovint es mes comode calcular la massa d'un cos a partir de la seva funcio de densitat. Pero, que es la densitat? Com es calcula la massa a partir de la densitat? Analitzem, breument, aquests conceptes en termes del concepte d'integral. Si B es una part de W , la densitat mitjana de B es de neix per

m (B ) =

m(B ) ; vol(B )

on m(B ) indica la massa de B . Estem suposant, per tant, que coneixem la massa m(B ) per a qualsevol part B de W . Si xem un punt p 2 W , de nim la densitat de W en p com el lmit de la densitat mitjana de les regions B de W que contenen p, quan el volum d'aquestes regions tendeix a zero, sempre que aquest lmit existeixi. Escrivim

m(B ) (p) = lim : B !p vol(B )

(3.1)

Suposem que la funcio resultant, (p), es una funcio contnua. Aleshores se satisfa que Z

(p) = lim B B !p

(x; y; z ) dxdydz vol(B )

:

En efecte, pel teorema del valor mig demostrat en el captol 1, podem escriure Z

B

(x; y; z ) dxdydz = (xB ; yB ; zB )vol(B ) ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

(3.2)

3.3. Massa d'un cos

71

on (xB ; yB ; zB ) es un punt de B . Aix, en resulta que Z

B

(x; y; z ) dxdydz

= (xB ; yB ; zB ) : vol(B ) Quan B tendeix a p, el punt (xB ; yB ; zB ) tendeix tambe a p i, per la continutat de , trobem que Z (x; y; z ) dxdydz B lim = lim (xB ; yB ; zB ) = (p) : B !p B !p vol(B ) Z

Comparant 3.1 i 3.2, veiem que la integral (x; y; z ) dxdydz representa la massa de B . Aixo B dona sentit a la de nicio que segueix: 3.3.1 De nicio Siguin D  R 2 i W  R3 conjunts elementals del pla i de l'espai de densitat variable (x; y ) i (x; y; z ), respectivament. La massa de D i W es de neix per

m(D) = m(W ) =

Z ZD

(x; y) dxdy;

W

(x; y; z ) dxdydz :

3.3.2 Exemple Calculem la massa d'una placa quadrada de costat a suposant que la densitat en cada punt es proporcional al quadrat de la seva distancia a un vertex. Prenem coordenades de forma que l'origen sigui un dels vertexs del quadrat i que dos dels costats estiguin situats sobre els eixos coordenats (vegeu la gura 3.5). y

a

x

Figura 3.5: Placa quadrada de costat a

Aleshores, la funcio de densitat es (x; y) = k(x2 + y2 ), per a certa constant de proporcionalitat k. Aix, la massa de la placa es:  Z Z aZ a Z a 3 a 2 m = (x; y)dxdy = k(x2 + y2 )dxdy = k + ay2 dy = ka4 : 3 D 0 0 0 3

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

72

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

3.3.3 Exemple Calculem la massa d'una bola de radi R formada per capes concentriques ho-

mogenies (es a dir, per a cada esfera -capa- concentrica de radi r, es te que la densitat es constant a la capa). Usant coordenades esferiques trobem que

m=

Z

W

(x; y; z )dxdydz =

Z 2

0

d

Z R

0

Z 

(r)dr

0

r2 sin 'd' = 4

Z R

0

(r)r2 dr :

3.4 Centre de masses Suposem que tenim n masses puntuals m1 , m2 ,..., mn en els punts x1 , x2 ,..., xn d'una barra sense massa; aleshores, el centre de masses es de neix per

x =

Pn

mi xi : i=1 mi

Pi=1 n

L'interes fsic d'aquesta de nicio P es que x es el punt d'equilibri de la barra considerada, ja que en aquest punt el moment total, mi (xi x), es zero, (vegeu la gura 3.6).

m1

?

m2

m3

m4

?

?

?

Figura 3.6: Centre de masses

Si suposem ara que la barra I te una densitat de massa contnua (x), podem aproximar el centre de masses, x, dividint la barra en n intervals Ii de longitud
x. Prenent, per exemple, el punt mig xi de cada interval i suposant que la densitat es constant, (xi ), en cada interval, tenim que Pn Pn xi (xi )
x x m i i i =1 = Pi=1 ; x  Pn n i=1 mi i=1 (xi )
x i prenent la particio prou na i fent un pas al lmit trobem que Z

x = I

x(x)dx m(I )

Z

x(x)dx

= ZI I

(x)dx

:

Analogament, si D es una placa de R2 o W un solid de R3 amb densitat variable , el centre

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.4. Centre de masses

73

de masses es de neix per Z  

x y



= D



x y

0

Z

(x; y)dxdy

m(D)

0

;

x y z

@

1 A

=

W

@

x y z

1 A (x; y; z )dxdydz

m(W )

:

Sovint, el centre de masses es pot determinar sense calcular efectivament totes les integrals que el de neixen com a consequencia de consideracions geometriques o de simetria: 1. Si dividim un cos en dues o mes parts, el centre de masses es el mateix que si les masses de cadascuna de les parts estiguessin concentrades en els centres de masses corresponents. Per veure-ho nomes cal aplicar la propietat additiva de la integral. En efecte, si W = W1 [ W2 (on suposem que W1 i W2 nomes tenen contacte a la frontera), aleshores, pel teorema d'additivitat, la primera coordenada del centre de masses esta donada per Z

W

x(x; y; z ) dxdydz =

Z

Z

W1

x(x; y; z ) dxdydz +

W2

x(x; y; z ) dxdydz = x1 m(W1 )+x2 m(W2 ) ;

on x1 i x2 son les primeres coordenades dels centres de masses de W1 i W2 , respectivament. Aix, per l'additivitat de la massa (m(W ) = m(W1 ) + m(W2 )), en resulta l'expressio

x m(W1 ) + x2 m(W2 ) x = 1 : m(W1 ) + m(W2 ) Analogament es prova la relacio corresponent per a les coordenades y; z. 2. Si un cos te un pla de simetria en la distribucio de massa, llavors el centre de masses li pertany. En efecte, suposem que considerem els eixos tals que el pla de simetria del volum W es el pla xy, i se satisfa que (x; y; z ) = (x; y; z ) :

Llavors, si denotem per W + i W les parts de W per sobre i per sota del pla xy es te que

z(W ) = = =

Z ZW ZW

z(x; y; z )dxdydz +

W+

z(x; y; z )dxdydz + z(x; y; z )dxdydz +

Z ZW

W+

z(x; y; z )dxdydz w(u; v; w)dudvdw = 0 :

En particular, en un cos homogeni (de densitat constant) el centre de masses nomes depen de la seva geometria. Per tant, en aquest cas tot pla de simetria geometrica es pla de simetria en la distribucio de la massa.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

74

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

z

y x Figura 3.7: Centre de masses d'un cilindre

3.4.1 Exemple Calculem el centre de masses d'un cilindre recte d'alcada h i base circular de

radi R suposant que la densitat en cada punt es proporcional a la seva distancia a la base.

Prenem el cilindre com mostra la gura 3.7, l'equacio del qual en coordenades cilndriques s'escriu r = R,  2 [0; 2], z 2 [0; h] i la densitat (r; ; z ) = k z . Observem que qualsevol pla que passi per l'eix z es pla de simetria en la distribucio de massa i que, per tant, el centre de masses estara a l'eix z . D'una banda,

m(W ) =

Z =2 Z R Z h

Z

(x; y; z )dxdydz = 4 kz rdzdrd 0 0 0 Z =2 Z R Z =2 1 = 2kh2 rdrd = kh2 R2 d = kh2 R2 ; 2 0 0 0 W

i de l'altra, Z

W

Z =2 Z R 4 rdrd = kz 2 rdzdrd = kh3 3 0 0 0 0 0 Z 2 3 2 =2 1 = kh R d = kh3 R2 ; 3 3 0

z(x; y; z )dxdydz = 4

Z =2 Z R Z h

i, per tant, z = 2h=3.

Els teoremes de Guldin En els dos exemples que segueixen, veurem dos resultats, coneguts com el primer i el segon teorema de Guldin, que ja eren coneguts per Papus al segle III, que relacionen el volum i l'area de cossos de revolucio amb el centre de masses. Pel context on ens trobem, comencarem pel segon teorema de Guldin. 3.4.2 Exemple Sigui D una lamina homogenia (de densitat constant igual a 1) en el pla xy

i la fem girar al voltant de l'eix x (D no talla aquest eix); llavors podem enunciar el resultat seguent.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.4. Centre de masses

75

Segon teorema de Guldin. El volum de revolucio del cos de revolucio engendrat pel recinte pla D, al girar al voltant de l'eix x, es igual al producte de l'area del recinte per la longitud de la circumferencia descrita pel seu centre de masses ( gura 3.8).

z G

D

y x

Figura 3.8: Segon teorema de Guldin

En efecte, denotem per W el cos de revolucio corresponent. A W , les equacions

u = x; v = y cos  ; w = y sin  ; de neixen un sistema de coordenades de jacobia igual a y. Aix, el volum de W es igual a Z 2 Z

0

D

y dydx = 2

Z

D

y dxdy:

D'altra banda, per la de nicio del centre de masses tenim que Z

ydxdy y = D ; A(D) i, per tant, 2y area(D) =

Z

D

2ydxdy = V :

Calculem, per exemple, el volum d'un tor de seccio circular (vegeu gura 3.9): l'area de la seccio es r2 i el centre de masses es a l'eix x, en el punt (R; 0). Llavors,

V = r2 2R = 22 r2 R :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

76

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

R

-

a

Figura 3.9: Tor generat per la revolucio d'un cercle

3.4.3 Exemple El primer teorema de Guldin fa referencia a l'area d'una superfcie de revolucio.

Encara que aquest concepte es desenvolupara mes extensament en el proper captol, enunciarem aqu l'esmentat teorema, deixant la demostracio per a mes endavant. Primer teorema de Guldin. L'area de la superfcie de revolucio engendrada per una corba plana, S , es igual al producte de la longitud de la corba per la longitud de la circumferencia descrita pel seu centre de masses.

Els teoremes de Guldin poden usar-se tambe en l'altre sentit, es a dir, a partir d'un volum o d'una area coneguda poden utilitzar-se per a calcular un centre de masses. Per exemple, per calcular el centre de gravetat d'una semicircumferencia homogenia de radi R, usem aquest teorema tenint en compte que l'area de la superfcie de revolucio es 4R2 . Llavors 4R2 = 2 R
2y i, per tant, y = R. 

3.5 Moment d'inercia i energia cinetica Suposem que tenim una partcula de massa m que gira al voltant d'un eix amb velocitat angular w. Si r es la distancia de la partcula a l'eix de gir, la velocitat de translacio d'aquesta partcula es v = rw ; i, per tant, l'energia cinetica corresponent es 1 1 E = mv2 = mr2 w2 : 2 2 Aix, si denotem per I el producte de la massa de la partcula pel quadrat de la seva distancia a l'eix de gir, en resulta l'expressio 1 E = Iw2 : 2 Aquesta formula per a l'energia cinetica de la partcula es completament analoga a la corresponent a l'energia cinetica de translacio, 12 mv2 , i substitueix la massa m per la quantitat I i la

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.5. Moment d'inercia i energia cinetica

77

velocitat de translacio v per la velocitat angular w. A la quantitat I se l'anomena el moment

d'inercia de la partcula de massa m respecte de l'eix de gir.

El moment d'inercia d'un sistema de partcules de l'espai respecte d'un eix xat es additiu, es a dir, si tenim dues partcules de masses m1 i m2 a distancies r1 i r2 de l'eix de gir, el moment d'inercia del sistema format per les dues partcules es igual a

I = m1 r12 + m2 r22 :

Aixo fa que la de nicio del moment d'inercia d'un cos W de l'espai de densitat variable respecte d'un eix es de neixi mitjancant una integral triple. En efecte, sigui (x; y; z ) la funcio de densitat de massa de W i r la funcio distancia d'un punt de W a un eix xat. Subdividim W en regions de volum
x
y
z i aproximem W per un sistema de partcules, un per a cadascuna de les regions resultants; en cadascuna d'aquestes regions aproximem la massa per 
x
y
z , on  es el valor de la densitat en un punt de la regio, i aproximem la distancia r pel valor d'aquesta distancia en aquest mateix punt. El moment d'inercia resultant d'aquesta aproximacio es X

r2 
x
y
z :

Si passem al lmit d'aquesta expressio quan el volum
x
y
z tendeix a zero, trobem la integral

I=

Z

W

r2 dxdydz :

Per de nicio, aquesta integral es el moment d'inercia de W respecte de la recta xada. Analogament, si D es una placa del pla R2 , de nim el moment d'inercia de D respecte d'un eix com

I=

Z

D

r2 dxdy :

Especialment interessants son els moments d'inercia respecte dels eixos coordenats. Sigui D una lamina de R2 de densitat de massa (x; y). De nim el seu moment d'inercia respecte dels eixos x, y respectivament com

Ix =

Z

D

y2 (x; y) dxdy;

Iy =

Z

D

x2 (x; y) dxdy ;

que mesuren la resposta d'un cos a l'intent de girar-lo, i depenen de la forma i massa del cos. Analogament, de nim el moment d'inercia d'un solid W  R3 de densitat de massa (x; y; z ) respecte dels eixos x, y, z , respectivament, com

Ix = Iy = Iz =

Z

ZW ZW

W

(y2 + z 2)(x; y; z ) dxdydz; (x2 + z 2)(x; y; z ) dxdydz; (x2 + y2 )(x; y; z ) dxdydz :

Amb aquesta de nicio de moment d'inercia es mante el lligam establert per al cas d'una partcula entre aquest i l'energia cinetica del solid. En efecte, considerem un solid rgid W que gira amb

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

78

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

velocitat angular constant al voltant d'un eix x. Un element de massa dm contribuira 1 dm j ! v 2 j a l'energia cinetica total del cos. A mes, si l es la distancia de dm a l'eix de 2 rotacio, llavors j ! v j= l, ja que cada element de massa esta en moviment circular. Per tant, dE = 21 2 l2 dm i l'energia cinetica total sera

E=

Z

W

dE =

Z

1 1 22

l dm = I 2 ; 2 2 W

R

on I = W l2dm, que es el moment d'inercia del cos respecte de l'eix donat. Notem que, en particular, quan un dels eixos es un eix coordenat, tenim les de nicions de Ix , Iy i Iz donades abans. Tot i l'analogia resultant entre el moment d'inercia i la massa de W , cal remarcar que el moment d'inercia de W respecte d'un eix depen de l'eix de gir i de la forma de W . 3.5.1 Exemple Calculem el moment d'inercia, respecte a l'eix x, d'un plat que te per contorn un

arc de la corba y = sin x, x 2 [0; ] i l'eix x, sabent que la densitat a cada punt es proporcional a la seva distancia a l'eix. y

 x

0

Figura 3.10: Moment d'inercia d'un plat

La funcio de densitat es  = ky, per a certa constant k, i per tant el moment d'inercia respecte de x es:

Ix =

Z

D

y2 (x; y)dxdy = k

Z Z

0 0

sin x

y3 dydx =

Z

k  4 3 sin xdx = k : 4 0 32

3.5.2 Exemple Calculem el moment d'inercia de la bola unitat W = fx2 + y 2 + z 2  1g respecte

d'un diametre, sabent que la densitat de massa en cada punt es proporcional a la distancia del punt al centre de la bola.

Podem suposar, per simetria, que el diametre es l'eix z . Operant amb coordenades esferiques,

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.5. Moment d'inercia i energia cinetica

79

x = r sin ' cos ; y = r sin ' sin ; z = r cos ', tenim x2 + y2 = r2 sin2 ',  = kr, llavors Z Z 2 Z  Z 1 2 2 Iz = (x + y )(x; y; z )dxdydz = d d' kr r2 sin2 ' r2 sin ' dr W Z 0 0 0 Z 1  3 k  4 k 2 = 2 k sin 'd' = sin '(1 cos ')d' = : 6 0 3 0 9

3.5.3 Exemple Si W es un cos de forma geometrica simple que te un eix de simetria, aleshores es relativament senzill calcular el moment d'inercia de W respecte d'aquest eix. Considerem, per exemple, un cilindre anular homogeni i calculem el seu moment d'inercia respecte de l'eix de simetria. Escollim coordenades de manera que W sigui els cos donat per les desigualtats

a2  x2 + y2  b2 ; 0  z  l: L'eix de simetria es l'eix z . Com que W es un cos homogeni, podem suposar que la funcio de densitat es constant igual a 1. Aix, utilitzant coordenades cilndriques, podem calcular el moment d'inercia segons:

I = =

Z

W

(x2 + y2 ) dxdydz

Z 2 Z b Z l

0

= 2l

a Z b a

0

r2
r dzdrd

r3 dr =

l 4 (b 2

a4 ) :

La massa del cilindre es

m(W ) = (b2 a2 )l = l(b2 a2 ) ; i, per tant, podem expressar el moment d'inercia de la forma l 2 2 2 2 (b a )(b + a ) 2 1 = m(W )(b2 + a2 ) : 2 Aix, quan a = 0, cas en el qual tenim un cilindre masss, el moment d'inercia respecte de l'eix del cilindre es 1 I = m(W )b2 ; 2 mentre que si fem el lmit quan a tendeix a b, cas en el qual tindrem nomes la carcassa del cilindre, trobem que I = m(W )b2 : I =

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

80

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

Aquests resultats tenen una interpretacio evident: amb una mateixa massa, la inercia de rotacio del cilindre masss es menor, ja que te bona part de la massa mes propera a l'eix de gir que la distancia b. Hi ha una relacio molt util entre el moment d'inercia d'un cos W respecte d'un eix i el moment d'inercia de W respecte d'un eix paral
lel que passa pel centre de masses. Aquesta relacio es coneix com a teorema dels eixos paral
lels o teorema de Steiner: 3.5.4 Teorema de Steiner El moment d'inercia d'un cos respecte d'un eix es la suma del moment d'inercia respecte d'un eix paral
lel que passa pel centre de masses i el moment que tindria si tota la seva massa estigues concentrada en l'esmentat centre.

Podem expressar analticament aquest resultat de la forma seguent: sigui W  R3 una regio elemental i  una funcio de densitat. Sigui r un eix de l'espai i s la recta paral
lela que passa pel centre de masses de W . Finalment, notem

d = distancia del centre de masses a r ; m = massa total de W . Aleshores, el teorema de Steiner s'expressa per l'equacio

Ir = Is + md2 : En efecte, prenem coordenades de manera que el centre de masses de W es l'origen, (0; 0; 0), i que s es l'eix z . La recta r es una recta paral
lela a l'eix z que passa per un punt (x0 ; y0 ; 0). Aleshores, el moment d'inercia de W respecte de r es

Ir = =

Z ZW

W

((x x0 )2 + (y y0 )2 ) dxdydz (x2 + y2 ) dxdydz + (x20 + y02 )

2x0

Z

W

x dxdydz

2y0

Z

W

Z

W

 dxdydz

 dxdydz :

Pero, com que l'origen es el centre de masses de W , es te que Z

W

x dxdydz =

Z

W

ydxdydz = 0 ;

d'on se segueix el resultat. Observem que d'aquest resultat es dedueix que el moment d'inercia d'un cos respecte d'un eix es mes gran a mesura que es mes gran la distancia de l'eix al centre de masses del cos, i es mnim quan l'eix passa pel centre de masses.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.5. Moment d'inercia i energia cinetica

81

3.5.5 Exemple Sigui W el cilindre donat per les desigualtats

x2 + y2  R2 ; h h  z ; 2 2 amb densitat constant k. El moment d'inercia de W respecte de l'eix x, calculat amb coordenades cilndriques, es: Z Z 2 Z R Z h=2 I = k (y2 + z 2 ) dxdydz = k (r2 sin2  + z 2)r dzdrd W 0 0 h=2 Z 2 Z R h3 = k (hr3 sin2  + r) drd 12 0 0 Z 2 4 3 R h R2 = k (h sin2  + ) d 4 12 2 0 hR4 h3 R2 + ): = k( 4 12 La massa del cilindre es m(W ) = R2
h
k : Aix, podem escriure el moment d'inercia segons  2  R h2 I = m(W ) + : 4 12 Segons el teorema de Steiner, el moment d'inercia de W respecte d'un eix perpendicular al cilindre i que passa per un extrem es  h2 R 2 h2 + +m 4 12 4  2  2 R h = m + : 4 3

I0 = m



3.5.6 Exemple Un uid de densitat constant  = 1 esta contingut entre dos cilindres de radis

a1 i a2 , que giren a velocitats angulars 1 i 2 . Cada partcula de uid es mou descrivint una circumferencia amb velocitat v(r) = A=r + B r. Les constants A i B estan triades de manera que v(a1 ) = 1 a1 i v(a2 ) = 2 a2 . Si el uid esta con nat entre els plans z = 0 i z = h (vegeu la gura 3.11), calculem l'energia cinetica total del uid. Sigui W el volum entre els dos cilindres. Si prenem coordenades cilndriques, es te que Z Z 1 2 1 2 v dm = v dxdydz E = W 2 W 2 Z Z Z Z a2 2 1 h 2 a2 A2 A = ( 2 + 2AB + B 2 r2 )rdrddz = h  ( + 2ABr + B 2 r3 )dr 2 0 0 a1 r a1 r   2 a B = h A2 ln 2 + AB (a22 a21 ) + (a42 a41 ) ; a1 4

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

82

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

z

z=h a1

a2 z=0

y

x

Figura 3.11: Un uid entre dos cilindres

on A i B els trobarem resolent el sistema lineal

A + B a1 ; a1 A

2 a2 = + B a2 ; a2

1 a1 =

es a dir,  

1 a31 2 a1 a22 A = a1 1 ; a21 + a22

a2 a2 B = 1 21 22 2 : a1 + a2

3.6 Potencial gravitacional Segons la llei de la gravitacio universal de Newton, la forca entre dues partcules de masses m i m0 separades per una distancia r es una forca atractiva en la direccio que uneix les partcules i de modul igual a Gmm0 ; r2 sent G la constant de gravitacio universal. Podem expressar aquesta llei de forma vectorial: si (x0 ; y0 ; z0 ) son les coordenades de la partcula de massa m i (x; y; z ) les de la de massa m, aleshores la forca exercida per m sobre m es igual a (x x0 ; y y0 ; z z0 ) Gmm0 p F = (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 Gmm0 = 3 (x x0 ; y y0 ; z z0 ) : p (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0)2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.6. Potencial gravitacional

83

Aix, si denotem per r = ((x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 )1=2 , la forca exercida per m sobre una partcula de massa unitat m0 = 1 en el punt (x; y; z ) es Gm F= (x x0 ; y y0 ; z z0 ) : r3 Un calcul elemental mostra que F es igual a Gm F = r( ); r @f @f on rf = ( @f @x ; @y ; @z ). En aquest cas es diu que F admet una funcio potencial, V = Gm=r (mes endavant, en els captols 5 i 6, tractarem els camps vectorials amb mes detall). La forca gravitacional i, en consequencia, el potencial gravitacional son additius. Aixo es, si m1 ; : : : ; mk son masses puntuals de l'espai, el potencial gravitacional que generen es igual a   mk m1 +


+ ; G r1 rk on r1 ; : : : ; rk son les distancies de les masses corresponents ns al punt (x0 ; y0 ; z0). Aix, com en d'altres processos additius examinats al llarg d'aquest captol, la nocio de potencial gravitacional creat per un cos de l'espai es de neix en termes d'una integral. Suposem ara que el nostre objecte atractor es un domini estes W amb densitat de massa (x; y; z ). Es de neix el potencial gravitacional creat per W com la funcio de nida per la integral Z (x; y; z )dxdydz p V (x1 ; y1; z1 ) = Gm : W (x1 x)2 + (y1 y )2 + (z1 z )2 Observem que si el punt de de nicio de V es de W aleshores la integral es una integral impropia, que es convergent. 3.6.1 Exemple Calculem el potencial gravitacional degut a una barnilla de longitud L, homogenia (amb densitat igual a 1), en els punts de l'eix on esta situada, (vegeu la gura 3.12):

L

0

Figura 3.12: Barnilla homogenia de longitud L Z L=2

Z L=2 dx dx = Gm = 2 L=2 (x1 x) L=2 x1 x L=2 x + (L=2) PA = GM ( ln(x1 x)) = Gm ln 1 = Gm ln x ( L= 2) P B 1 L=2

V (x1 ) = Gm

p

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

84

Captol 3. Algunes aplicacions de les integrals multiples

3.6.2 Exemple Usant coordenades esferiques, calculem el potencial gravitacional d'una esfera

de radi R formada per capes concentriques homogenies.

Suposem que l'origen es el centre de l'esfera i que la densitat de massa es constant en cada capa concentrica de l'esfera (es a dir, la densitat (r) es funcio del radi de laRcapa). Usem el resultat de l'exemple 3.3.3 que ens donava la massa de l'esfera segons M = 4 0R (r)r2 dr. Prenem un punt p qualsevol en l'eix z de coordenades (0; 0; D), amb D > 0; la simetria del problema ens donara el potencial a qualsevol punt de l'espai. Es te que Z

(x; y; z ) dxdydz 2 W x + y 2 + (D z )2 Z 2 Z R Z  sin ' 2 p = Gm d (r)r dr d' : 2 0 0 0 D + r2 2Dr cos '

V (x1 ; y1 ; z1 ) = Gm

p

Ara be, 

Z 

sin ' 1 p 2 2 p D + r 2 Dr cos ' d' = 2 2 Dr 0 D + r 2Dr cos ' 0 1 h 2 2 1 = 2 = (D + r + 2Dr) (D 2 + r 2 Dr 1 = [D + r j D r j] ; () Dr

2Dr)1=2

i

expressio que cal avaluar distingint dos casos: (a) Si p es exterior a l'esfera (D > R), llavors j D Z 2

r j= D r, (*) val

2 i es te que D

Z R

2 (r)r2 dr D 0Z 0 R 4 GMm = Gm (r)r2 dr = : D D 0

V (x1 ; y1; z1 ) = Gm

d

Per tant, el potencial degut a una esfera de densitat (r) en un punt exterior es el mateix que si tota la massa de l'esfera es concentres en el seu centre. (b) Si p es interior a l'esfera (D < R), llavors 

r j D r j= D r D i el valor de (*) es



si r < D ; si r > D ;

2=D si r < D ; 2=r si r > D ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.6. Potencial gravitacional

85

i es te que "Z

# Z 2 Z R 2 2 2 2 V (x1 ; y1 ; z1 ) = Gm d (r)r dr + d' (r)r dr D r 0 0 0 D # " Z D Z R 4 (r)r2 dr + 4 (r)rdr = Gm D 0 D " # Z R MD = Gm + 4 (r)rdr ; D D

2

Z D

on el primer sumand es el potencial degut al tros de massa MD corresponent a l'esfera de radi D. Si D < 0, cal substituir D per jDj en els calculs anteriors. Aix, per D < 0 en el cas (a), trobem que GMm V (x1 ; y1 ; z1 ) = ; D i en el cas (b), que # " Z R MD + 4 (r)rdr : V (x1 ; y1; z1 ) = Gm D D 3.6.3 Observacio El potencial gravitacional ens dona tambe l'oportunitat de presentar l'interes

de les integrals de mes de tres variables. En efecte, siguin W i W 0 dos cossos de l'espai amb distribucions de masses donades per les funcions (x; y; z ) i (x0 ; y0; z 0 ), respectivament. Segons la llei de Newton, el potencial gravitacional entre dos elements de masses arbitrariament petites de W i W 0 es (x; y; z )(x0 ; y0 ; z 0 )
x
y
z
x0
y0
z 0 ; Gp (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z 0 )2 i, per tant, trobem la integral de sis variables Z (x; y; z )(x0 ; y0 ; z 0) p G dxdydz dx0 dy0 dz 0 : W W 0 (x x0 )2 + (y y 0 )2 + (z z 0 )2 Val a dir que, com hem observat en els exemples anteriors, sovint el comportament d'un cos es similar al d'una massa puntual concentrada en el seu centre de masses, la qual cosa estalvia calcular integrals de sis variables.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4 Integracio de funcions sobre corbes i superfcies En molts processos de la fsica i de les aplicacions es convenient modelitzar un cos de l'espai mitjancant una corba o una superfcie, de manera que el model sigui mes senzill que l'objecte original. Aix, sovint es tracta un lferro (o un l conductor) com una lnia o una placa com una superfcie, com si no tinguessin volum. Tot i aixo, aquests models estan dotats d'una funcio de densitat de massa. Si volem determinar la massa d'una lnia material de l'espai R3 a partir de la seva funcio de densitat, no podem integrar la funcio com si fos de tres variables, sino que  aix com sorgeix el concepte d'integral cal fer referencia al fet que la lnia es de dimensio 1. Es de trajectoria que introdum en aquest captol. Analogament, si la massa que volem calcular es la d'una placa, la integral corresponent es una integral de superfcie. Aquestes son aplicacions del calcul integral que podrem haver inclos en el captol anterior. No obstant aixo, hem preferit dedicar un captol espec c a aquestes questions que apro tarem, alhora, per repassar els conceptes geometrics de corba i superfcie de l'espai, cosa que ens sera de molta utilitat en els captols seguents.

4.1 Longitud d'una trajectoria En aquest apartat analitzem el concepte de longitud d'una corba i com calcular-la. Per fer-ho, comencarem recordant les de nicions de trajectoria i de corba associada. La idea intutiva de trajectoria respon a la del recorregut descrit per una partcula a mesura que passa el temps. Aix, per coneixer la trajectoria cal coneixer la posicio de la partcula en cada instant, es a dir, les seves coordenades en funcio del temps. Formalitzem aquesta idea de la forma seguent. 4.1.1 De nicio Una trajectoria, o cam, es una aplicacio, derivable amb continutat,  d'un interval tancat I = [a; b] a R 3 ,

:I t

! R3 ; 7 ! (t) = (x(t); y(t); z (t)) :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

88

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

La variable real t rep el nom de parametre (o tambe, temps) de la trajectoria . A la imatge de  a dir, la corba associada a I per , (I ), l'anomenarem la corba associada a la trajectoria . Es una trajectoria correspon al conjunt de punts pels quals passa la trajectoria al llarg del temps t 2 [a; b], mentre que el terme trajectoria es reserva per a la forma en la qual es descriu el pas  clar, per tant, que dues trajectories diferents poden tenir la mateixa per aquests punts. Es corba associada. En la de nicio de trajectoria hem imposat que  sigui derivable, de fet amb continutat. La derivada de , 0 : I ! R3 t 7 ! 0 (t) = (x0 (t); y0 (t); z 0 (t)) ; de neix el vector tangent 0 (t) en cada punt, (t), de la trajectoria. El modul d'aquest vector indica la velocitat amb la qual es recorre la corba associada a la trajectoria. 4.1.2 Exemples

1. Considerem les trajectories planes ; : [0; 2]

! R2 , de nides per

(t) = (cos t; sin t) ;

(t) = (cos 2t; sin 2t) ; respectivament. Ambdues trajectories tenen la circumferencia x2 + y2 = 1 com a corba associada, pero mentre que  fa una volta al llarg de la circumferencia, en fa dues. Observem que les velocitats corresponents son 1 i 2, respectivament. 2. La cicloide es la corba plana descrita per un punt de la circumferencia unitat quan aquesta roda al llarg de l'eix de les x (vegeu la gura 4.1). Si t es l'angle de gir de la circumferencia, l'equacio parametrica de la cicloide es

(t) = (t sin t; 1 cos t) : La cicloide completa un cicle quan 0  t  2.

y

t x Figura 4.1: Una cicloide

3. La trajectoria  : [0; 2]

! R3 de nida per (t) = (cos t; sin t; t) ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.1. Longitud d'una trajectoria

89

descriu una volta de l'helice circular (vegeu la gura 4.2).

Figura 4.2: Helice circular

Com podem mesurar la longitud d'una trajectoria? Ho farem per un proces d'aproximacio: considerem una trajectoria , que suposarem que es simple, es a dir, que es injectiva, o sense autointerseccions (encara que aixo no es necessari). Podem aproximar la longitud de la corba associada a la trajectoria per la longitud d'una corba poligonal formada per un nombre nit de segments que uneixen diferents punts de la trajectoria (vegeu la gura 4.3). En efecte, sigui P = ft0 ; t1 ; : : : ; tk g, amb a = t0 < t1 <


< tk = b, una particio d'ordre k de l'interval I . La longitud de la corba poligonal formada pels segments que uneixen (ti ) i (ti+1 ), i = 0; : : : ; k 1, que denotarem per `(P ), es igual a

`(P ) =

k X i=1

k (ti ) (ti 1 ) k :

Sigui k P k= max fti ti 1 g la norma de la particio. E s clar que si afegim mes punts a una 1ik particio donada, la corba poligonal corresponent s'ajusta millor a la corba original (vegeu la gura 4.3). Aixo dona sentit a la de nicio que segueix.

Figura 4.3: Poligonal inscrita a una corba

4.1.3 De nicio La longitud d'una trajectoria  es el lmit de les longituds de les poligonals inscrites, `(P ), quan la norma de P tendeix a zero, es a dir,

`() = lim `(P ) : kP k!0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

90

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

Logicament, la de nicio anterior nomes te sentit si aquest lmit existeix, fet que en el nostre cas esta garantit per la proposicio seguent, resultat que dona, alhora, una formula integral per fer el calcul efectiu de la longitud d'una trajectoria. 4.1.4 Proposicio La longitud d'una trajectoria es igual a la integral de la velocitat o norma del vector tangent, es a dir,

`() =

Z b

a

k 0 (t) k dt =

Z bp

[x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 + [z 0(t)]2 dt :

a

Com que hem demanat que una trajectoria  sigui derivable amb continutat, les components del vector tangent 0 (t) = (x0 (t); y0 (t); z 0 (t)) son funcions contnues. Aplicant el teorema del valor mig a cadascuna en els intervals [ti 1 ; ti ], 1  i  k, dedum l'existencia de certs valors ai ; bi ; ci 2 [ti 1 ; ti ] tals que Demostracio.

k (ti ) (ti 1 ) k

p

[x(ti ) x(ti 1 )]2 + [y(ti ) y(ti 1 )]2 + [z (ti ) z (ti 1 )]2 x0 (ai )2 + y0 (bi )2 + z 0(ci )2 (ti ti 1 ) :

= =

p

Si tinguessim que ai = bi = ci , aleshores podrem escriure k X

lim kP k!0 i=1

k

X k 0 (ti ) 0 (ti 1 ) k= kPlim k 0 (ai ) k (ti k!0

i=1

ti 1 ) =

Z b

a

k 0 (t) k dt;

on la darrera igualtat correspon a la de nicio de la integral d'una funcio, i aix acabaria la demostracio. No es cert en general, pero, que ai = bi = ci . Per reduir-nos a aquest cas, utilitzarem la continutat uniforme: en efecte, essent x0 ; y0 ; z 0 funcions contnues sobre l'interval compacte I , son funcions uniformement contnues i, per tant, donat qualsevol " > 0 existeix Æ > 0 tal que, si k P k< Æ, aleshores p 0 x0 (ai )2 + y 0 (bi )2 + z 0 (ci )2 k  (ui ) k < " ; per a tot ui 2 [ti 1 ; ti ]. Aix, si k P k< Æ, es te que `(P )

k X i=1

k 0 (ui ) k (ti

P Ara be, la suma ki=1 k 0 (ui ) k (ti l'interval I , es a dir, que es te que

ti 1 )

< "(b a) :

ti 1 ) es una suma de Riemann de la funcio

k

X lim k 0 (ui ) k (ti kP k!0 i=1

ti 1 ) =

Z b

a

k 0 (t) k dt ;

i, en consequencia, existeix el lmit limkP k!0 `(P ) = `() i es igual a

`() =

Z b

a

k 0 (t) k dt :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

k 0 k a

4.1. Longitud d'una trajectoria

91

4.1.5 Exemples

1. Les longituds de les trajectories de l'exemple 4.1.2, que tenen com a imatge la circumferencia de radi 1, son:

`() = `( ) =

Z 2 p

0 Z 0

2

sin2 t + cos2 t dt = 2 ;

p

2 sin2 2t + cos2 2t dt = 4 ;

cosa que re ecteix clarament que una de les trajectories fa una volta a la circumferencia mentre que l'altra en fa dues. 2. La longitud d'una volta de l'helice (t) = (cos t; sin t; t), t 2 [0; 2] es

`() =

Z 2 p

0

sin2 t + cos2 t + 1 dt =

Z 2

0

p

p

2 dt = 2 2 :

3. La determinacio de la longitud d'una trajectoria mitjancant una integral s'esten sense di cultat a les trajectories diferenciables a trossos, es a dir, trajectories contnues (t) que son derivables amb continutat llevat d'un nombre nit de punts, a1 ; : : : ; am de l'interval [a; b], en els quals la derivada, 0 , presenta discontinutats de salt. En aquest cas, si prenem a0 = a i am+1 = b, es te que m Z ai+1 X `() = k 0 (t) k dt : i=0 ai

()

6 (0)

1

Figura 4.4: Una trajectoria diferenciable a trossos

Aix, per exemple, la trajectoria

(t) =



(cos t; sin t; 0) ; 0  t  =2 ; (0; 1; t) ; =2  t   ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

92

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

es una trajectoria diferenciable a trossos, ja que es contnua pero no es derivable en t = =2 (vegeu la gura 4.4), i la seva longitud es igual a Z =2

0

k 0 (t) k dt +

Z 

=2

k 0 (t) k dt =

Z =2 p

sin2 t + cos2 t dt +

0

Z 

=2

dt =  :

La formula que acabem de demostrar per calcular la longitud d'una corba utilitza, de forma essencial, la continutat de la derivada de (t). Si no haguessim imposat que les trajectories fossin de classe C 1 podrem trobar-nos amb trajectories de longitud in nita com veiem en els dos exemples que presentem a continuacio. 4.1.6 Exemples

1. Considerem l'espiral plana de nida, per a 0 < t  1, per (vegeu la gura 4.5) 



2 2 (t) = t cos ; t sin ; si t t (0) = 0 :

t 2]0; 1] ;

Figura 4.5: Corba espiral

1 ; 1 ], la trajectoria  fa una volta completa a l'origen, que denotaQuan t recorre l'interval [ k+1 k  clar que la longitud de cadascuna d'aquestes trajectories satisfa que rem per Sk . Es

d'on se segueix que

`(Sk ) 

1 ; k+1

1 k1 k + 1

 `() :

X

Pero aquesta serie es la serie harmonica d'exponent 1, que es divergent, per la qual cosa la longitud `() es in nita.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.1. Longitud d'una trajectoria

93

Observem que, per a t 6= 0,  es derivable amb continutat i se satisfa que 

0 (t) = cos

2 2 2 2 + sin ; sin t t t t



2 2 cos ; t t

t 2]0; 1] :

La singularitat d'aquest exemple resideix en que  no es derivable a l'origen. De fet, si intentem calcular la longitud de  mitjancant una integral com la de la proposicio anterior, trobem la integral impropia Z 1r 42 `() = 1 + 2 dt ; t 0 que es divergent. 2. La corba que anem a descriure seguidament es construeix a partir d'aproximacions poligonals. Prenem un segment S de longitud 1 i el dividim en tres parts iguals. Substitum el segment [1=3; 2=3] pels costats d'un triangle equilater basat en aquest segment, i notem P1 la corba poligonal corresponent. Aix, P1 esta formada per quatre segments iguals de longitud 1=3, i, per tant, la seva longitud total es `(P1 ) = 4=3.

.. .

. ........... . . . .... .. .... .... . . . .... .... .

... ..... .....

..

........ ..

....... .

... ..... .....

.........................

Figura 4.6: Generacio de la corba de von Kock

Repetim l'operacio en cada un dels quatre segments de P1 , es a dir, dividim els segments en tercos i substitum el terc mig pels costats d'un triangle equilater que el te per base (vegeu la gura 4.6). Obtenim aix una corba poligonal P2 formada per 16 segments de longitud 1=32. La seva longitud total es  2 1 4 `(P2 ) = 42 2 = : 3 3 Reiterant el proces, construm una corba poligonal Pk de longitud

`(Pk ) =

 k

4 3

;

i, per tant, si C es la corba lmit de les corbes poligonals Pk (corba que acceptarem que existeix), la longitud de C es in nita. En aquest cas ens trobem davant d'una corba que no es derivable en una in nitat de punts.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

94

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

Fins ara ens hem referit a la longitud d'una trajectoria. Quan diem que la longitud d'una circumferencia de radi R es 2R no fem referencia a cap manera explcita de recorrer-la i, a mes, esperem que aquesta longitud sigui tambe la de qualsevol trajectoria que faci una volta completa a la circumferencia. Acabem aquest apartat de nint la longitud d'una corba. Per fer el pas de la longitud d'una trajectoria a la longitud d'una corba comencarem de nint trajectories equivalents. 4.1.7 De nicio Direm que dues trajectories  : I ! R 3 i : J ! R3 son equivalents si existeix una aplicacio bijectiva h : I ! J tal que tant h com h 1 son de classe C 1 i se satisfa que  = Æ h.

Aix, dues trajectories equivalents descriuen el mateix recorregut, pero a velocitats diferents (i, possiblement, en sentit invers, vegeu l'apartat d'orientacions del proper captol). La funcio h es un canvi de variable. Recordem que una funcio amb aquestes propietats es sempre estrictament monotona (creixent o decreixent). 4.1.8 Proposicio Dues trajectories equivalents tenen la mateixa longitud, es a dir, si  i son equivalents, `( ) = `( ).

Com que  i son equivalents, hi ha una funcio de canvi de variable, h, tal que  = Æ h. Segons la regla de la cadena tenim que 0 (t) = 0 (h(t)) h0 (t) ; Demostracio.

i, per tant,

k 0 (t) k= jh0 (t)j k 0 (h(t)) k :

Aix, es te que

`() =

Z

I

jh0 (t)j k 0 (h(t)) k dt ;

i, aplicant el teorema del canvi de variable per a integrals d'una variable, en resulta la igualtat Z

I

jh0 (t)j k 0 (h(t)) k dt =

Z

J

k 0 ( ) k d ;

d'on se segueix que `() = `( ). Aquest darrer resultat ens permet ara de nir la longitud d'un corba (regular) sense fer referencia a la trajectoria que la de neix. En primer lloc establim quines son les corbes regulars. 4.1.9 De nicio Direm que una trajectoria  es regular si el vector tangent no s'anul
la mai, es a dir,  0 (t) 6= 0, per a tot t 2 I .

Les trajectories regulars satisfan el seguent: 4.1.10 Proposicio Dues parametritzacions regulars i simples d'una mateixa corba son sempre equivalents.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.1. Longitud d'una trajectoria

95

Demostraci o. Siguin  : I ! C i : J ! C dues parametritzacions regulars i bijectives de la corba C . Com que els intervals I i J son compactes, les funcions inverses  1 i 1 , que existeixen per la bijectivitat de les parametritzacions, son tambe contnues. Aix, la composicio h = 1 Æ  : I ! J es contnua i bijectiva. Ens queda per comprovar que h i h 1 son derivables amb continutat. Per a qualsevol t 2 J , es te que 0(h(t)) 6= 0, ja que es regular, per la qual cosa alguna component d'aquest vector sera no nul
la; sigui i0 (h(t)) 6= 0. Com que i0 es contnua, podem aplicar el teorema de la funcio inversa per deduir que i 1 es derivable amb continutat i que, per tant, la composicio h = i 1 Æ i es C 1 en un entorn del t escollit. Aixo ho podem fer per a cada t 2 I i, per tant, h 2 C 1 (I ). Que h 1 es C 1 se segueix d'una nova aplicacio del teorema de la funcio inversa.

Aquest resultat dona sentit a la de nicio seguent. 4.1.11 De nicio Direm que un conjunt de punts de R 3 que admeti una parametritzacio regular i simple es una corba regular. S'anomena longitud de la corba regular la longitud de qualsevol parametritzacio regular i simple de la corba.

Si  es una parametritzacio regular i simple, la funcio ` : I

`(t) =

Z t

a

! [0; `()] de nida per

k 0 ( ) k d ;

que dona la longitud de  des de (a) ns a (t), te per derivada `0 (t) =k 0 (t) k> 0. Aix, com que es C 1 , sera estrictament creixent, i, pel teorema de la funcio inversa, te inversa ` 1 de  a dir,  Æ ` 1 es una parametritzacio, equivalent a , depenent del parametre ` classe C 1 . Es que dona la longitud de l'arc recorregut. Aquest parametre rep el nom de parametre arc. Observeu que el vector tangent en cada punt d'una corba parametritzada pel parametre arc es unitari: 0 Æ ` 1 ( Æ ` 1 )0 = (0 Æ ` 1)(` 1 )0 = 0 k Æ` 1 k : Derivant el parametre arc respecte del parametre t trobem la igualtat

d` =k 0 (t) k : dt Usarem l'expressio element de longitud per referir-nos a `0 (t) =

d` =k 0 (t) k dt : Aix, la longitud d'una corba es igual a la integral de l'element de longitud, cosa que escriurem de la forma: Z b Z Z `(C ) = `() = k 0 (t) k dt = d` = d` : a



© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

C

96

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

4.2 Integral de trajectoria Ens plantegem el problema seguent: sigui C (o ) una corba plana i f : C ! R una funcio positiva. Representem gra cament f situant un punt d'alcada z = f (x; y) sobre cada punt (x; y) de la corba (vegeu la gura 4.7). S'obte, aix, una corba sobre C , que juntament amb la corba original determina un tancat vertical. Com podem calcular l'area d'aquest tancat?

Figura 4.7: Tancat sobre una corba plana

El problema aix plantejat te moltes analogies amb el del calcul de l'area sota el gra c d'una  un problema d'integracio. Per resoldre'l utilitzarem el mateix metode funcio d'una variable. Es emprat en la de nicio de la longitud d'una trajectoria: dividir la corba en arcs cada vegada mes petits, que podem aproximar per segments rectilinis, i prendre el lmit quan la longitud d'aquests arcs tendeix a zero. 4.2.1 De nicio Donada una funcio real f de nida sobre la corba imatge d'una trajectoria  : I = [a; b] ! R3 , direm que f es integrable sobre la trajectoria  si existeix el lmit k X

lim f ((ci )) k (ti ) (ti 1 ) k ; kP k!0 i=1

sent P una particio ft0 ; t1 ; : : : ; tk g de I , ci 2 [ti 1 ; ti ], i aquest lmit es independent dels punts ci escollits. Z

El lmit rep el nom d'integral de la funcio f sobre la trajectoria  i la designarem per f d`,  es a dir, k X

Z

fd` = lim f ((ci )) k (ti ) (ti 1 ) k : kP k!0 i=1 

4.2.2 Proposicio Si f es contnua, f es integrable sobre qualsevol trajectoria  i se satisfa que Z



f d` =

Z b

a

f ((t)) k 0 (t) k dt :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.2. Integral de trajectoria

97

Demostraci o. Usant la continutat uniforme i el teorema del valor mig, com en la demostracio de la proposicio 4.1.4, veiem que

k

k

X X lim f ((ci )) k (ti ) (ti 1 ) k= lim f ((ci )) k 0 (ci ) k (ti kP k!0 i=1 kP k!0 i=1

ti 1 ) ;

i l'ultima expressio es una suma de Riemann de la funcio (f Æ ) k 0 k sobre l'interval I . Aquesta funcio es contnua sobre I i, per tant, integrable, d'on se segueix que aquest lmit es igual a la integral de l'enunciat. Observeu que la longitud d'una trajectoria es la integral de la funcio 1 sobre la trajectoria. El resultat seguent permet de nir la integral d'una funcio sobre una corba regular independentment de la trajectoria simple que la de neixi. 4.2.3 Proposicio La integral d'una funcio contnua f sobre la trajectoria  no varia si la reparametritzem, es a dir, si  i son parametritzacions equivalents, Z



f d` =

Z

f d` :

 una aplicacio immediata del teorema del canvi de variables. En efecte, si Es  = Æ h, aleshores es te que 0 = ( 0 Æ h) h0 i, per tant, Demostraci o. Z



f d` =

Z b

a

f ((t)) k 0 (t) k dt =

Z b

a

(f Æ )(h(t)) k 0(h(t)) k jh0 (t)jdt :

Finalment, pel teorema del canvi de variables, resulta que Z



f d` =

Z

J

f ( ( )) k 0 ( ) k d =

Z

f d` :

De nim ara la integral de f sobre una corba: 4.2.4 De nicio Donada una corba regular C i una funcio contnua f , de nida sobre la corba, es de neix la integral de f sobre C com la integral de f sobre qualsevol parametritzacio  regular i simple de C , es a dir, si  : I ! C es una parametritzacio regular i simple, aleshores es te que Z Z C

f d` =



f d` :

4.2.5 Exemples

1. Calculem la integral de la funcio f (x; y) = jxyj sobre l'el
lipse x2 =4 + y2 = 1. Parametritzem l'el
lipse per (t) = (2 cos t; sin t), amb t 2 [0; 2]. L'element de longitud es p p d` =k 0 (t) k dt = 4 sin2 t + cos2 t dt = 1 + 3 sin2 t dt

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

98

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

i, llavors, Z

C

f d` =

Z 2

= 4

0Z 0

p

2j cos t sin tj 1 + 3 sin2 t dt = 8

1p

Z =2

0

p

cos t sin t 1 + 3 sin2 t dt

8 56 1 + 3u du = [(1 + 3u)3=2]10 = : 9 9

2. Calculem la integral d'una funcio de nida sobre una trajectoria plana expressada en coordenades polars per r = r(),  2 [1 ; 2 ]. Utilitzant l'angle  com a parametre, la trajectoria correspon a () = (r() cos ; r() sin ) ; que te derivada 0 () = (r0 () cos  r() sin ; r0 () sin  + r() cos ) ; d'on se segueix que l'element de longitud es p d` =k 0 () k d = (r0 )2 + r2 d : Aix, la integral d'una funcio f sobre aquesta trajectoria s'expressa mitjancant la integral Z



f d` =

Z 2

1

p f (r cos ; r sin ) (r0 )2 + r2 d :

Per exemple, la integral de la funcio f (x; y) = x2 +y2 al llarg d'una espira de l'espiral logartmica r = e , es igual a Z 2

p

2

p

2 3 2 e = (e6 e2 e2 + e2 d = 3 3 0 0 p

1) :

4.2.6 Observacions

1. Si la trajectoria  es C 1 a trossos, de nim la integral d'una funcio contnua sobre la trajectoria com la suma de les integrals sobre cadascun dels trossos on  es C 1 . 2. Com que les integrals de funcions contnues sobre trajectories son sumes d'integrals de funcions contnues d'una variable, es evident que es compliran totes les propietats de linealitat, homogenetat, etc. d'aquestes. A ttol d'exemple, enunciem el teorema del valor mig: donada una trajectoria  : I ! C i una funcio contnua f , existeix un punt p 2 (I ) tal que Z



f d` = f (p) `() :

4.3 El concepte de superfcie  clar Intutivament, una superfcie es un subconjunt de R3 que, localment, es com un pla. Es que el gra c d'una funcio contnua z = f (x; y) de nida en un domini respon a aquesta idea,

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.3. El concepte de superfcie

99

ja que per determinar un punt del gra c es su cient coneixer el valor de les dues coordenades (x; y). El paraboloide z = x2 + y2 es una d'aquestes superfcies. Un exemple mes ampli de superfcies el donen les descrites per equacions de la forma

F (x; y; z ) = 0 ; com l'esfera x2 + y2 + z 2 = 1. En aquest cas, per tal que l'equacio determini una superfcie en el sentit amb que usualment usem aquest terme, es necessari imposar alguna condicio a la funcio F (x; y; z ). En efecte, si F es C 1 i rF (x; y; z ) 6= 0 en cada punt solucio de l'equacio, aleshores el teorema de la funcio implcita assegura que, localment, una de les variables, per exemple z , pot allar-se en funcio de les altres dues, z = f (x; y). En aquest segon cas, els punts de la superfcie tambe quedaran unvocament determinats, localment, per dues variables, pero ara les variables utilitzades poden canviar d'un punt a un altre. Aixo ens dona la idea de generalitzar la de nicio al cas en que les dues coordenades que determinin els punts de la superfcie no siguin les coordenades cartesianes. 4.3.1 De nicio Una superfcie parametritzada es una aplicacio de classe C 1

':D (u; v)

! R3 7 ! '(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z (u; v))

on D es un domini elemental de R 2 i tal que es injectiva a l'interior de D.

La imatge S = '(D) l'anomenarem la superfcie associada a la parametritzacio '. Les variables u, v reben el nom de parametres o coordenades de la superfcie. 4.3.2 Observacio La de nicio de superfcie que hem donat pot semblar tecnicament compli-

cada, ja que distingeix el comportament de ' en els punts de l'interior de D respecte els de la frontera. De fet, normalment es demana, per questions de diferenciabilitat, que els parametres d'una superfcie parametritzada varin en un obert del pla. Nosaltres hem proposat una variacio en un domini elemental, D, que es compacte ja que facilita els enunciats d'integrabilitat de funcions contnues, tot i que afegeix la complicacio addicional esmentada. Per tal de no fer una digressio tecnica cada cop que utilitzem el concepte de superfcie, cosa que ens allunyaria dels objectius que perseguim en aquest text, i com que la frontera de D te area zero i no modi ca la integrabilitat d'una funcio, obviarem la distincio entre un domini elemental D i el seu interior, on s'han de satisfer les propietats de regularitat que imposarem mes endavant. Donat un punt p0 = '(u0 ; v0 ), s'anomenen corbes coordenades de la parametritzacio ' les corbes que son les imatges, per ', de les rectes u = u0 , v = v0 (vegeu la gura 4.8). Els vectors tangents en p0 a aquestes corbes coordenades son els vectors 



@x @y @z @' (u ; v ) = ; ; (u0 ; v0 ) ; @u 0 0 @u @u @u   @' @x @y @z (u0 ; v0 ) : 'v (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ) = ; ; @v @v @v @v

'u (u0 ; v0 ) =

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

100

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

'

-

D Figura 4.8: Corbes coordenades

Aquests vectors generen l'espai tangent a S en p0 , Tp0 S = ['u (u0 ; v0 ); 'v (u0 ; v0 )] : Direm que la superfcie es regular o suau si l'espai tangent a la superfcie en cada punt es un pla, es a dir, si els vectors 'u i 'v son linealment independents en tot punt de la superfcie. Equivalentment, la superfcie es regular si i nomes si se satisfa que

'u ^ 'v 6= 0 : La condicio de regularitat equival, intutivament, al fet que la superfcie S no tingui \punxes" ni \arestes". En aquest cas, el vector 'u ^ 'v dona la direccio normal a la superfcie (ortogonal al pla tangent). 4.3.3 Exemples

1. El gra c d'una funcio de dues variables, z = f (x; y), de classe C 1 , es una superfcie regular. Parametritzem el gra c per '(x; y) = (x; y; f (x; y)). Aix, 'x = (1; 0; fx) i 'y = (0; 1; fy ), d'on se segueix que 'x ^ 'y = ( fx; fy ; 1) 6= 0. 2. El conjunt de solucions d'una equacio

F (x; y; z ) = 0 ;

on F es una funcio de classe C 1 tal que @F @z (x; y; z ) 6= 0, es una superfcie ja que, mitjancant el teorema de la funcio implcita, podem allar z globalment, es a dir, existeix una funcio derivable amb continutat, f , tal que F (x; y; z ) = 0 () z = f (x; y) : En aquest cas, utilitzant la parametritzacio analoga a l'exemple anterior, i tenint present que F F fy = y ; fx = x ; Fz Fz resulta que una base del pla tangent es:     F F 'x = 1; 0; x ; 'y = 0; 1; y ; Fz Fz

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.3. El concepte de superfcie

101

i el vector normal corresponent es

'x ^ 'y =

1 (F ; F ; F ) : Fz x y z

4.3.4 Exemples

1. La superfcie d'una esfera de radi R, x2 + y2 + z 2 = R2, es pot parametritzar per

' : [0; 2]  [ =2; =2] ! R3 ; '(; ) = (R cos  cos ; R sin  cos ; R sin ) :

Aquesta parametritzacio es regular. En efecte, els vectors tangents a les corbes coordenades son

' = ( R sin  cos ; R cos  cos ; 0) ; ' = ( R cos  sin ; R sin  sin ; R cos ) ; i, per tant, el producte vectorial es el vector

' ^ ' = (R2 cos  cos2 ; R2 sin  cos2 ; R2 cos  sin ) ;

que es sempre no nul quan l'angle  varia a l'interval ] =2; =2[.

Figura 4.9: Esfera de radi R

Les corbes coordenades  = cnt son els paral
lels, mentre que les corbes coordenades  = cnt corresponen als meridians. Observeu que ' es injectiva a l'interior del domini de de nicio, ]0; 2[  ] =2; =2[. 2. El cilindre de radi 1, x2 + y2 = 1, es pot parametritzar per

' : [0; 2]  [0; h] ! R3 '(; z ) = (cos ; sin ; z ) :

En aquest cas, un calcul elemental mostra que ' ^ 'z = (cos ; sin ; 0), que es un vector no nul, pel qual la parametritzacio es una parametritzacio regular. Les corbes coordenades son les circumferencies horitzontals i les generatrius verticals. Observeu que ' es injectiva a l'interior ]0; 2[  ]0; h[.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

102

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

3. Un con de revolucio d'angle , x2 + y2 = tg 2  z 2 , z > 0, es pot parametritzar per

' : [0; 2]  [0; h] ! R3 ; '(; z ) = (z tg  cos ; z tg  sin ; z ) : En aquest cas, trobem que

' ^ 'z = (z tg  cos ; z tg  sin ; z tg 2 ) : Observem que aquest vector es nul quan z = 0, pero que aixo es compatible amb la nostra de nicio ja que aquest punt correspon a un punt de la frontera de D. Les corbes coordenades son les circumferencies horitzontals i les generatrius. Observeu que ' es injectiva a l'interior ]0; 2[  ]0; h[ i que la superfcie propiament dita (imatge de l'interior) no te punxes (la punxa correspon a la imatge dels punts (; 0) que son de la frontera). 4. Tots els exemples anteriors son exemples de superfcies de revolucio. Mes generalment, considerem una corba en el pla xz , (t) = (f (t); 0; g(t)), a  t  b, i la superfcie de revolucio generada al girar la corba al voltant de l'eix z (vegeu la gura 4.10). Si  es l'angle de gir, la parametritzacio de la superfcie es

'(t; ) = (f (t) cos ; f (t) sin ; g(t)) ; i varia  entre 0 i 2. Per tal d'evitar puntes com la del con, suposem que f (t) > 0, es a dir, que la corba no travessa l'eix de les z .

Les corbes coordenades t = cnt son els parl
lels de la superfcie, i les corresponents a  = cnt son els meridians. Aquestes corbes tenen vectors tangents

't = (f 0 (t) cos ; f 0 (t) sin ; g0 (t)) ; ' = ( f (t) sin ; f (t) cos ; 0) ; el producte vectorial dels quals es igual a

't ^ ' = ( f (t)g0 (t) cos ; f (t)g0 (t) sin ; f (t)f 0 (t)) ; que es un vector no nul segons les hipotesis efectuades sobre les funcions f i g. 4.3.5 Observacio Sovint, les superfcies que apareixen en les aplicacions del calcul integral son

superfcies que tenen arestes. Per exemple, la superfcie que envolta la massa cilndrica

x2 + y2  1 ;

0  z  1;

te arestes circulars al llarg de les circumferencies corresponents al tall del cilindre x2 + y2 = 1 amb els plans z = 0; 1. Aquesta superfcie esta formada per la regio 0  z  1 del cilindre i pels cercles x2 + y2  1 dels corresponents plans. Des d'un punt de vista tecnic, aquestes superfcies no son superfcies regulars en el sentit establert en els paragrafs anteriors, pero no  per aixo que, en els exemples, utilitzarem presenten di cultats afegides per al calcul integral. Es

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.3. El concepte de superfcie

103

Figura 4.10: Superfcie de revolucio

superfcies a trossos, de les quals donem la de nicio orientativa seguent: una superfcie a trossos es una unio de superfcies parametritzades articulades al llarg de corbes regulars. Per exemple, siguin '1 ; '2 i '3 , les superfcies parametritzades donades per

'1 (r; ) = (r cos ; r sin ; 3 r) ; '2 (z; ) = (cos ; sin ; z ) ; '3 (; ) = (cos  cos ; cos  sin ; sin ) ; on els parametres varien en les regions (r; ) (z; ) (; )

2 2 2

[0; 1]  [0; 2] = D1 ; [0; 2]  [0; 2] = D2 ;  [0; 2]  [ ; 0] = D3 : 2

Aleshores, S = S1 [ S2 [ S3 es una superfcie regular a trossos.

z S1 S2 x

y

S3

Figura 4.11: Superfcie amb arestes

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

104

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

 4.4 Area d'una superfcie parametritzada Donada una superfcie parametritzada, ' : D ! S , ens proposem calcular la seva area. Aparentment, el problema es similar al de calcular la longitud d'una corba, resolt per aproximacio per corbes poligonals inscrites, pero en aquest cas el recurs a aproximacions poligonals no es valid, en general. En el llibre de Budak-Fomin citat a la bibliogra a trobareu l'exposicio d'un conegut exemple de Schwarz que aproxima un cilindre d'area nita per una superfcie poligonal inscrita amb area tan gran com es vulgui. La idea basica per calcular l'area d'una superfcie es, un cop mes, aproximar-la per l'area de superfcies mes senzilles, cosa que en el lmit es convertira en una integral. Aquesta vegada l'aproximacio la farem des de l'espai tangent. Considerarem un rectangle R que conte el domini D de de nicio de la superfcie, D  R. Considerem una particio regular d'ordre n de R en n2 rectangles Rij , 1  i; j  n. Per a cadascun dels rectangles Rij  D notem per Sij = '(Rij ) el tros de la superfcie S que li correspon per la parametritzacio '. Per a n molt gran, es raonable pensar que l'area de la superfcie Sij es aproximadament igual a l'area de la superfcie del rectangle imatge de Rij per l'aplicacio lineal d', per a tots els 1  i; j  n, (vegeu la gura 4.12).

Æ :

Figura 4.12: Aproximacio de l'area des de l'espai tangent

Aix, si denotem per
u;
v les longituds dels costats dels rectangles Rij , l'area de cada Sij s'aproxima per l'area del paral
lelogram de costats
u'u (ui ; vj ),
v'v (ui ; vj ); que esta en el pla tangent a S en '(ui ; vj ), i que es igual a

A(Sij ) k 'u (ui ; vj ) ^ 'v (ui ; vj ) k
u
v : Sumant aquestes expressions sobre tots els rectangles Rij , 1  i; j  n, en resulta l'aproximacio

A(S ) 

X

i;j

k 'u (ui ; vj ) ^ 'v (ui ; vj ) k
u
v :

El pas al lmit, quan n tendeix a l'in nit, justi ca la de nicio seguent.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

 4.4. Area d'una superfcie parametritzada

105

4.4.1 De nicio Es de neix l'area de la superfcie parametritzada ' : D

A' (S ) =

Z

D

! S per la integral

k 'u ^ 'v k dudv :

4.4.2 Observacio Com que solament hem considerat superfcies parametritzades amb ' 2 C 1 i sobre dominis elementals, que recordem que son compactes, totes les superfcies considerades

tenen area nita.

Abans de fer cap exemple, recordem que si notem

E = < 'u ; 'u > = k 'u k2 ; G = < 'v ; 'v > = k 'v k2 ; F = < 'u ; 'v > ; llavors es te que

k 'u ^ 'v k2 = EG F 2 ;

per la qual cosa l'area de la superfcie S pot expressar-se de la forma

A' (S ) =

Z

D

k 'u ^ 'v k du dv =

L'expressio

Z p

D

EG F 2 dudv :

p

dS =k 'u ^ 'v k dudv = EG F 2 dudv ; rep el nom d'element de superfcie. A vegades se'l denota per dA i se l'anomena element d'area.

4.4.3 Exemples  del gra c d'una funcio. Sigui S la superfcie corresponent a una funcio z = f (x; y ), de 1. Area

classe C 1 , de nida sobre un domini elemental D. Hem vist abans que, per a la parametritzacio '(x; y) = (x; y; f (x; y)), es te que 'x ^ 'y = ( fx; fy ; 1), d'on se segueix que l'area de la superfcie S es igual a Z q A' (S ) = 1 + fx2 + fy2 dxdy : D

Per exemple, l'area del paraboloide z = x2 + y2 sobre el disc D = f(x; y); x2 + y2  Rg, es igual

a

Z p

D

1 + 4x2 + 4y2 dxdy =

Z 2 Z R p

0

= 2

0

r 1 + 4r2 drd R

2 (1 + 4r2 )3=2  h = (1 + 4R2)3=2 3 8 12 0

i

1 :

El terme subintegral de l'area d'un gra c admet la seguent interpretacio geometrica: observem que el vector normal unitari a la superfcie que surt de la cara superior es igual a ' ^' N= x y ; k 'x ^ 'y k

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

106

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

i que, per tant, el cosinus de l'angle  que forma aquest vector amb el semieix positiu de les z es (vegeu la gura 4.13) 1 cos  =< N; k >= q : 1 + zx2 + zy2 k

6



N

 Figura 4.13: Area del gra c d'una funcio

Aixo fa que l'area de S s'expressi de la forma seguent: Z 1 A' (S ) = dxdy : cos  D  a dir, l'area d'un gra c S es igual a la integral de l'invers del cosinus de l'angle que forma Es la normal amb el semieix z . En el cas en que la superfcie sigui un pla, l'angle  es constant i, per tant, en resulta la formula 1 A' (S ) = A(D) ; cos  es a dir, l'area de S es igual a l'area de la seva projeccio sobre el pla xy, D, dividida pel cosinus de l'angle . Per exemple, calculem l'area de la regio del pla 2x + y + 3z = 1 continguda dins el cilindre x2 + y2  1. El vector unitari normal al pla es 1 N = p (2; 1; 3) ; 14 i, per tant, 3 cos  =< N; k >= p ; 14 d'on resulta que p p 14 14 A' (S ) = A(D) = : 3 3  2. Area d'una superfcie de revolucio. Amb les notacions de l'exemple 4.3.4, donada una superfcie de revolucio es te que E =k 't k2 = [f 0 (t)]2 + [g0 (t)]2 ; G =k ' k2= [f (t)]2 ; F =< 't ; ' >= 0 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

 4.4. Area d'una superfcie parametritzada

107

Per tant, l'area de la superfcie de revolucio es calcula mitjancant la integral

A' (S ) =

Z

p

I [0;2]

jf (t)j [f 0 (t)]2 + [g0 (t)]2 dtd = 2

Observem que la integral

Z bp

a

Z b

a

p

jf j (f 0 )2 + (g0 )2 dt :

(f 0 )2 + (g0 )2 dt ;

es la longitud de la corba que genera la superfcie. Aix, la formula de l'area d'una superfcie de revolucio admet la seguent interpretacio: l'area de la superfcie de revolucio generada per la corba (f (t); 0; g(t)) es la integral (la suma en el sentit heurstic) de trajectoria de les longituds de les circumferencies generades en la rotacio, es a dir, de la funcio 2jf j. Destaquem els casos particulars seguents, coneguts dels cursos de Calcul In nitesimal: (a) Si la corba es el gra c d'una funcio z = g(x), la formula es converteix en

A' (S ) = 2

Z

p

I

jxj

1 + [g0 (x)]2 dx :

(b) Si la corba es el gra c d'una funcio x = f (z ), aleshores la formula es converteix en

A' (S ) = 2

Z

p

I

jf (z )j

1 + [f 0 (z )]2 dz :

 d'una esfera de radi R. Una esfera de radi R s'obte al fer girar una semicircumferencia (c) Area de radi R, (t) = (R cos t; 0; R sin t), =2  t  =2, al voltant de l'eix z . Aix, la seva area es igual a

A(S ) = 2 = 2

Z =2

=2

Z =2

=2

p

R cos t R2 sin2 t + R2 cos2 t dt R2 cos t dt = 2 R2 sin t ==2 2 = 4R2 :

Acabem aquest apartat assenyalant que l'area d'una superfcie no depen de la parametritzacio escollida per calcular-la. Per aixo, necessitem la nocio de parametritzacions equivalents. 4.4.4 De nicio Donades dues parametritzacions d'una mateixa superfcie ' : D ! S , : D ! S , direm que son equivalents si existeix una aplicacio derivable amb continutat, h : D ! D , que es bijectiva i amb jacobia no nul, Jh(u; v) 6= 0, per a qualsevol punt (u; v) 2 D, i tal que ' = Æ h.

 a dir, h es un canvi de variables, ja que pel teorema de la funcio inversa, la funcio h 1 es, Es tambe, una funcio derivable amb continutat. 4.4.5 Proposicio Si ' i son dues parametritzacions equivalents de S , aleshores es te que A' (S ) = A (S ), es a dir, Z

D

k 'u ^ 'v k dudv =

Z

D

k

w^ t

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

k dwdt :

108

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

S

'

1'

h=

D

D0

Figura 4.14: Canvi de parametres en una superfcie Demostracio.

Per la regla de la cadena es te que

D' = D


Dh ;

cosa que podem escriure de la forma ['u ; 'v ] = [ w ; t ]
Dh : Veiem que Dh es la matriu del canvi de base i, per tant, les matrius del producte escalar estan relacionades per la igualtat: 

< 'u ; 'u > < 'u ; 'v > < 'u ; 'v > < 'v ; 'v > i els seus determinants satisfan que



= DhT



k 'u ^ 'v k2 = Jh2 k

< w; w > < w; t > < w ; t > < t; t > w^ t

D

k 'u ^ 'v k dudv =

Z

D

k 

Dh ;

k2 :

Per tant, aplicant el teorema del canvi de variables resulta que Z



w Æ h ^ t Æ h k
jJhjdudv

=

Z

D

k

w^ t

k dwdt :

Enunciem ara, sense demostracio, l'equivalencia de les parametritzacions regulars d'una superfcie. 4.4.6 Proposicio Dues parametritzacions regulars d'una mateixa superfcie son equivalents.

Aquest resultat dona sentit a la de nicio de l'area d'una superfcie: 4.4.7 De nicio Si un conjunt S  R3 admet una parametritzacio regular en dues variables, direm que es una superfcie regular. S'anomena area de la superfcie l'area relativa a qualsevol parametritzacio regular.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.5. Integral d'una funcio sobre una superfcie

109

Per tant, posarem A(S ) = A' (S ) sent ' una parametritzacio regular i tambe escriurem

A(S ) =

Z

S

dS :

4.5 Integral d'una funcio sobre una superfcie Analogament al que hem fet en l'apartat 4.2 respecte de la integral de trajectoria, en aquesta seccio de nim la nocio d'integral d'una funcio sobre una superfcie i en calculem alguns exemples. 4.5.1 De nicio Sigui f una funcio real de nida sobre la imatge, S , d'una superfcie parametritzada ' : D ! S . Direm que f es integrable sobre la superfcie S si existeix el lmit

lim n

n X i;j =1 Rij D

(f Æ ')(cij ) k 'u (cij ) ^ 'v (cij ) k
u
v ;



sent Rij els subrectangles d'una particio regular d'ordre n d'un rectangle que conte D, D  R, i cij 2 Rij , i, a mes, aquest lmit es independent dels punts cij escollits. En aquest cas, el lmit rep el nom d'integral de f sobre S i el denotarem per Z

'

fdS :

Tenint present que es l'element de superfcie, es immediat comprovar que les funcions contnues son integrables. Mes concretament, se satisfa: 4.5.2 Proposicio Si f es una funcio contnua, aleshores f es integrable sobre qualsevol superfcie parametritzada ' : D ! S , sent D un domini elemental, i es te que Z

' Demostraci o.

fdS =

Z

D

(f Æ ') k 'u ^ 'v k dudv :

Es deriva directament de la de nicio.

4.5.3 Exemples

1. La integral d'una funcio g sobre un gra c, z = f (x; y), de nida en un domini D es igual a la integral ordinaria Z Z q g dS = g(x; y; f (x; y)) 1 + fx2 + fy2 dxdy : S

D

Aix, per exemple, la integral de la funcio f (x; y; z ) = x + 1 sobre la superfcie z = x2 variant els parametres en el cercle unitat, x2 + y2  1, es igual a la integral Z

p

D

(x + 1) 1 + 4x2 + 4y2 dxdy :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

y2,

110

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

La integral de la funcio x es zero per simetria, aix, calculant amb coordenades polars, la integral anterior resulta igual a Z 2

0

d

1

Z

0

p

r 1 + 4r2 dr =

 3=2 (5 12

1) :

2. Calculem la integral de la funcio f (x; y; z ) = x + z sobre la superfcie del primer octant del cilindre x2 + y2 = 9 entre z = 0 i z = 5. Per fer-ho, parametritzem el cilindre amb coordenades cilndriques '(; z ) = (3 cos ; 3 sin ; z ) : Com que nomes considerem el primer octant, l'angle varia entre 0 i =2. Un calcul elemental dona que E = 9, F = 0, i G = 1, amb la qual cosa la integral plantejada val: Z

S

5 p d (3 cos  + z ) 9 dz 0 0 Z =2 25 75 = 3 (15 cos  + ) d = 45 + : 2 4 0

f dS =

Z =2

Z

Com succea en el cas de corbes, la de nicio d'integral de superfcie que hem donat depen, aparentment, dels parametres utilitzats, en el sentit que els parametres u; v intervenen en la propia de nicio. Es planteja, doncs, esbrinar si aquesta dependencia es fonamental o simplement es operativa. La resposta es, un cop mes, que la de nicio depen de la geometria de la superfcie S , i no dels parametres que haguem escollit per descriure-la. El resultat que ens assegura aquest fet es: 4.5.4 Proposicio La integral d'una funcio contnua f sobre una superfcie parametritzada no varia si la reparametritzem, es a dir, si ' i son dues parametritzacions equivalents, aleshores Z

'

f dS =

Z

f dS :

El raonament es completament analeg al realitzat en la demostracio de 4.2.3, i aquesta vegada s'utilitza el teorema de la funcio inversa per a funcions de dues variables. Estem ara en condicions de de nir la integral d'una funcio sobre una superfcie regular. Demostraci o.

4.5.5 De nicio Donada una superfcie regular S i una funcio contnua f de nida a sobre, de nim la integral de f sobre la superfcie S com la integral de f sobre qualsevol parametritzacio regular ' de S , es a dir, Z Z S

f dS =

'

f dS :

Hem esmentat al nal de la seccio anterior que, en les aplicacions del calcul integral, apareixen  clar que la de nicio sovint superfcies que no son regulars en el sentit de la nostra de nicio. Es d'integral d'una funcio contnua s'esten sense di cultat a les superfcies regulars a trossos. Tot seguit en presentem un exemple.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

4.5. Integral d'una funcio sobre una superfcie

111

4.5.6 Exemple Sigui S la superfcie que envolta el volum determinat per les desigualtats 0  z  1 x2 y2 , i f la funcio f (x; y; z ) = zx + 1. Anem a calcular la integral de f sobre S . La superfcie S es una superfcie regular a trossos formada per les dues superfcies seguents: la superfcie S1 , que es el tros del paraboloide z = 1 x2 y2 amb z  0, i la superfcie S2 , que es el cercle x2 + y2  1 del pla z = 0. Aix, es te que Z

f dS =

S

Z

S1

f dS +

Z

S2

f dS :

z S1 y S2

x

x2

Figura 4.15: Superfcie que envolta el volum 0  z  1

y2

Calculem cadascuna d'aquestes integrals per separat. Si usem coordenades polars per parametritzar S1 , la funcio f s'expressa per f (r cos ; r sin ; 1 r2 ) = (1 r2 )(r cos  + 1) i, per tant, es te que Z

S1

f dS = =

Z 2

0

Z 2

d

1

Z

0

p

((1 r2 )r cos  + 1)r 1 + 4r2 dr

cos  d

Z

1

p (1 r2 )r 1 + 4r2 dr +

Z 2

d

Z

0 0 0 0  3=2 (5 1) : = 12 Per a la superfcie S2 , i tenint en compte que z = 0 a sobre, es te que : Z

S2

Aix, nalment,

f dS =

Z

S

Z

S2

1

p

r 1 + 4r2 dr

dS = A(S2 ) =  :

f dS =  +

 3=2 (5 12

1) :

4.5.7 Observacio Com que les integrals de funcions contnues sobre superfcies son sumes d'integrals de funcions contnues de dues variables, es clar que es compliran totes les propietats de linealitat, homogenetat, etc. de les integrals ordinaries. Per la qual cosa les utilitzarem sense fer-ne una mencio explcita.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

112

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

4.6 Aplicacions de les integrals de trajectoria i de superfcie Com hem esmentat a la introduccio d'aquest captol, sovint els models fsics de fenomens reals  per aixo que, en les s'elaboren amb el concepte de trajectoria o amb el de superfcie. Es aplicacions del calcul integral, es necessari disposar de les nocions de massa, de centre de masses, moments d'inercia, etc., sobre aquesta mena de realitzacions geometriques. L'extensio dels conceptes introduts al captol 3 a aquesta nova situacio es immediata un cop ja sabem que hem d'entendre per integral d'una funcio sobre una trajectoria o una superfcie. Aix, en lloc de reescriure el captol 3 sobre corbes i superfcies, ens limitarem, en aquesta seccio, a posar alguns exemples que il
lustrin la situacio. Comencem per la demostracio del primer teorema de Papus-Guldin, que tenim pendent des del captol 3. 4.6.1 Exemple Primer Teorema de Papus-Guldin. L'area d'una superfcie de revolucio es el

producte de la longitud de la seccio per la longitud del recorregut del seu centre de gravetat. En efecte, si la superfcie la parametritzem com en 4.4.3, tenim que l'area es igual a

A(S ) = 2

Z

p

I

jf j (f 0 )2 + (g0 )2 dt :

La coordenada x del centre de gravetat de la corba  es Z Z p 1 1 j f jd` = j f j (f 0 )2 + (g0 )2 dt ; `()  `() I i, per tant, la longitud del seu recorregut es Z p 2 j f j (f 0 )2 + (g0 )2 dt ; `() I d'on se segueix el resultat. Per exemple, podem aplicar el teorema de Papus-Guldin per trobar l'area d'un tor. Un tor es la superfcie generada per una circumferencia de radi R al girar al voltant d'un eix, del qual el centre de la circumferencia esta a una distancia a, amb a > R (vegeu la gura 3.9). Segons la formula anterior, resulta que

A(S ) = 2r
2R = 42 rR : 4.6.2 Exemples

1. Calculem la massa total de la superfcie z = x2 + y2 , amb 1  z  4, si la funcio de densitat es  = jxj.

M =

Z

= 4

S

 dS =

Z =2

0

Z

p

1x +y 4

cos  d

2

2

h

jxj 4x2 + 4y2 + 1 dxdy = i2

p

Z 2

0

j cos j d

p

1 1 (4r2 + 1)3=2 = (17 17 5 5) : 12 1 3

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

2

Z

1

p

r 4r2 + 1 dr

4.6. Aplicacions de les integrals de trajectoria i de superfcie

113

2. El centre de gravetat d'un lferro, modelitzat per la corba C , amb funcio de densitat (p) esta donat per les integrals. Z

x = Z

xd`



d`

Z

y = Z

Z

yd`



z = Z

d`



zd` d`

:




Calculem la massa i el centre de gravetat del lferro de nit per (t) = jtj; t 12 , 1  t  1, 1 amb densitat (x; y) = . x+y La trajectoria (t) es C 1 a trossos perque no es derivable a t = 0 i t = 1=2. La funcio densitat es contnua sobre la corba perque aquesta no talla x + y = 0. Descomponem la corba en tres trajectories de la forma seguent:
1 (t) = t; t +
12 ; 2 (t) = t; t +
12 ; 3 (t) = t; t 21 ;

1  t  0; 0  t  21 ; 1 2  t  1:

La massa total del lferro es igual a

M = =

Z p Z 0 p2 2 dt + dt + 1 12 2t 0 12   0   1 1 1 ln 2t + 1 + ln 2t 2 2 2 1

Z

1 d` = x + y 

p

2

Z

1 2

1 p2 dt 2t 21  ! p 1 1

1 2

2

1 2





ln 15 = 2 1+ : 2

Ara, calculem la integral del numerador de la primera coordenada del centre de masses: Z

p

p

1 2t 2 p 2t dt + 2 2tdt + 1 1 dt 1 2t 0 1 2 2t 2 2 p p   0 ! p   2 2 2 1 1 1 1 = 1 + ln 2t + + + + ln 2t 2 4 2 4 2 2 4 1 p 2 = ln 15 : 8

x d` = x + y 

Z

0

Z

1

Z

1 2

1 ! 1 2

Aix, la primera coordenada del centre de masses es p2 ln 15 ln 15 : x = p 8 ln15
= 8 + 4 ln 15 2 1+ 2 De forma similar trobarem la segona coordenada, y.

3. Calculem el moment d'inercia respecte de l'eix z de la superfcie de l'esfera x2 + y2 + z 2 = R2, suposant que te densitat constant  = k. Utilitzant la parametritzacio de l'esfera mitjancant

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

114

Captol 4. Integracio de funcions sobre corbes i superfcies

coordenades esferiques tenim que Z

S

(x2 + y2 ) dS =

Z 2

0

d

= 2R4

Z =2

=2

Z =2

=2

R2 cos2 R2 cos  d

(1 cos2 ) d = 4R4 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5 Camps escalars i camps vectorials Alguns fenomens fsics poden ser descrits mitjancant funcions. Per exemple, la temperatura d'un solid pot ser descrita per una funcio que a cada punt (x; y; z ) de la regio de l'espai U que ocupa el solid li associa la seva temperatura f (x; y; z ). Coneguda la funcio f (x; y; z ), les integrals estudiades en el captol anterior permeten trobar, per exemple, la temperatura mitjana del solid en questio. Altres fenomens no poden ser descrits totalment per simples funcions. Aix, per exemple, pel moviment d'un uid no n'hi ha prou, posem per cas, amb coneixer el modul de la velocitat del uid en cada punt de l'espai que ocupa. Cal coneixer tambe la direccio i el sentit del seu moviment. La qual cosa ens du a associar a cada punt no pas un nombre real, un escalar, sino un vector, i aleshores parlarem de camps vectorials. En aquest captol, que es una introduccio als camps vectorials, es plantegen els aspectes diferencials i integrals associats als camps vectorials. Les integrals que anem a de nir per a aquests camps vectorials, circulacio i ux, ens permetran calcular, per exemple, la quantitat de uid per unitat de temps ( ux) que travessa una seccio d'un canal de conduccio del qual coneixem el camp de velocitats F (x; y; z ) en cada punt. En el proper captol veurem d'altres aplicacions d'aquestes integrals.

5.1 Camps vectorials La formulacio matematica de la nocio de camp vectorial es: 5.1.1 De nicio Un camp vectorial de R 3 es una aplicacio

F :U (x; y; z )

! R3 7 ! F (x; y; z ) = (P (x; y; z ); Q(x; y; z ); R(x; y; z ));

 R3 . El camp F s'anomena continu, derivable, C 1 ,etc., si les funcions escalars P; Q; R : U ! R son contnues, derivables, C 1 , etc. on U

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

116

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Analogament, un camp vectorial de R2 , o camp vectorial pla, es una aplicacio

! R2 7 ! F (x; y) = (P (x; y); Q(x; y)); on U es una regio de R2 i P; Q : U ! R son funcions. F :U (x; y)

5.1.2 Observacions

1. En general, suposarem que els camps vectorials que considerem son su cientment derivables, per exemple C 1 , en el domini on estan de nits, de manera que tinguin sentit les operacions de derivacio que efectuem a les seves funcions coordenades. 2. Llevat que es digui explcitament el contrari, tot el que fem per a camps de l'espai R3 val per a camps de R2 . Per tant, tot sovint veurem tan sols un dels dos casos. 5.1.3 Exemples

1. En la gura 5:1 hi ha representats els camps vectorials F (x; y) = (1; 0), que es un camp constant, i G(x; y) = (y; x). La representacio suggereix que aquest darrer camp vectorial \gira" al voltant de l'origen. Concretarem tot seguit aquesta interpretacio en termes de les lnies de ux d'un camp vectorial.

-

-

-

-

F = (1; 0)

3 6 6 i





-

-

j

? + G =?(y;

x)

Figura 5.1: Alguns camps vectorials plans

2. Les forces que actuen en diferents punts de l'espai formen un camp vectorial. Per exemple, segons la llei de gravitacio universal de Newton, el camp gravitatori creat per una partcula de massa M es igual a GM ! r ; r =k ! r k; F (x; y; z ) = r3 on (x0 ; y0 ; z0) son les coordenades de la massa M , ! r = (x x0 ; y y0 ; z z0), i G es la constant universal. Experimentalment s'ha demostrat que el camp gravitatori es additiu, en el sentit que el camp creat per dues masses puntuals es la suma dels camps individuals corresponents a cadascuna de

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.1. Camps vectorials

117

les masses. Estenent aquest principi de superposicio a una distribucio de massa  que ocupa un volum W , el camp gravitatori corresponent en un punt (x1 ; y1 ; z1) de l'espai es de neix (llevat de constants) per la integral vectorial

F (x1 ; y1 ; z1) =

! r dxdydz ; 3 r W

Z

(x1 ; y1 ; z1 )

r dW W Figura 5.2: Camp gravitatori

que te per components

Z

(x1 x) dxdydz ; 2 W ((x1 x) + (y1 y )2 + (z1 z )2 )3=2 Z (y1 y) dxdydz Q = ; 2 W ((x1 x) + (y1 y )2 + (z1 z )2 )3=2 Z (z1 z ) dxdydz R = : 2 W ((x1 x) + (y1 y )2 + (z1 z )2 )3=2 Si el punt (x1 ; y1 ; z1) es extern a la massa W , aleshores les funcions subintegrals son funcions contnues a W i, per tant, integrables. En canvi, si el punt es de W , aleshores les integrals P =

son impropies. Observem, pero, que en qualsevol cas, son integrals convergents, ja que podem aplicar el criteri de comparacio que se segueix de l'exemple 2.7.6 del captol 2. 3. Segons la llei de Coulomb, el camp electric determinat per una carrega electrica puntual (i estatica) Q es igual a 1 Q! E= r; 4"0 r3 on "0 es el valor de la permissivitat en el buit, de manera que la forca exercida per Q sobre una carrega q es igual a qE . Experimentalment s'ha comprovat que, com en el cas dels camps gravitatoris, el camp electric satisfa el principi de superposicio. Eliminant un cop mes les constants, el camp electric de nit per una distribucio contnua de carregues  en el volum W es igual a la integral vectorial Z ! r E= dxdydz : 3 W r Aqu hem de tenir present que la distribucio de carregues electriques es sempre discreta. De tota manera, per a fenomens d'escala su cientment gran comparada amb l'escala atomica,

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

118

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

la quantitat de carregues que ocupen una regio de l'espai es tant elevada que es convenient tractar-les com si fos una distribucio contnua. En de nitiva, tant el camp gravitatori com l'electric son, llevat de constants, iguals al camp

!r

; r3 en el cas discret, i al camp determinat per la integral vectorial

! r dxdydz ; 3 r W en el cas d'una distribucio de massa o de carrega contnua . 4. Integrant sobre corbes o superfcies, es de neix el camp gravitatori o el camp electric determinat per una massa lineal (una barnilla) o per una massa super cial (una placa). Per exemple, donada una placa D que s'esten sobre el disc unitat de nit per x2 + y2 = 1, z = 0, amb densitat  constant, calculem el camp gravitatori que de neix en un punt (0; 0; a). Si F = (P; Q; R) es el camp que volem determinar, un raonament senzill de simetria mostra que P = Q = 0. Calculem la tercera component: Z 1 Z 2 Z rdr adxdydz = a d R = (r2 + a2 )3=2 0 0 D ((x2 + y 2 + a2 ))3=2 Z 1 rdr 1 2 + a2 ) 1=2 1 = 2a( p 1 = 2a = 2 a ( r ): 0 1 + a2 jaj 0 (r2 + a2 )3=2 Z

Observem que quan el punt (0; 0; a) s'aproxima al disc, es a dir, quan a tendeix a zero, la forca (es a dir, la integral) no esdeve in nita, com succeiria pel camp gravitatori creat per una partcula. D'altra banda, veiem que la forca es discontnua justament en els punts del disc: quan a > 0 tendeix a zero, el lmit de R es 2, mentre que si fem el mateix lmit al llarg del semieix a < 0, en resulta 2. En la seccio 5.4, quan disposem de la nocio d'integral curvilnia, introduirem el camp d'induccio magnetica a partir de la llei de Biot-Savart. Una forma adequada de visualitzar algunes propietats dels camps vectorials es a traves de les seves lnies de ux, que tot seguit introdum. 5.1.4 De nicio Sigui F un camp vectorial de nit a U es una lnia de ux de F si satisfa que

 R3 .

Una trajectoria,  (t), es diu que

0 (t) = F ((t)) ; en tots els seus punts.

Dit d'una altra manera, una lnia de ux d'un camp vectorial es una corba tal que en cadascun dels seus punts el vector del camp vectorial li es tangent.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.1. Camps vectorials

119

Analticament, les lnies de ux s'obtenen resolent un sistema d'equacions diferencials de primer ordre: en efecte, si F = (P; Q; R), aleshores les lnies de ux son les solucions del sistema d'equacions diferencials 10 (t) = P ((t)) ; 20 (t) = Q((t)) ; 0 (t) = R((t)) :

3

Fixat un instant inicial, t0 , i un punt de l'espai, (x0 ; y0 ; z0) 2 U , el teorema d'existencia i unicitat de les solucions per a equacions diferencials ordinaries aplicat al sistema anterior, respecte de les condicions inicials (t0 ) = (x0 ; y0 ; z0 ), ens permet assegurar que hi ha una unica lnia de

ux del camp F que passa pel punt xat en l'instant t0 . Una interpretacio especialment suggeridora de les lnies de ux es dona quan F es el camp de velocitats d'un uid: en efecte, si F es un camp de velocitats d'un uid, la lnia de ux que passa per un punt (x0 ; y0 ; z0 ) correspon a la trajectoria que seguira una partcula situada en aquest punt sota la in uencia del camp F . 5.1.5 Exemples

1. El camp constant F = (1; 0) te per lnies de ux les rectes (t) = (t + x0 ; y0 ), que son rectes paral
leles a l'eix x. Les lnies de ux del camp pla G = (y; x) satisfan el sistema 10 (t) = 2 (t) ; 0 (t) = 1 (t) :

2

Aix, derivant la primera equacio i tenint present la igualtat que estableix la segona, trobem que les lnies de ux satisfan que 100 (t) = 1 (t) ; i, analogament, derivant la segona equacio trobem que 00 (t) = 2 (t) :

2

De la teoria d'equacions diferencials, sabem que les solucions d'aquestes equacions d'ordre dos son de la forma

1 (t) = A cos t + B sin t ; 2 (t) = C cos t + D sin t ; per a certes constants A; B; C i D. Tenint present el sistema d'equacions inicial, trobem que C = B;

D = A;

per la qual cosa les solucions son del tipus

1 (t) = A cos t + B sin t ; 2 (t) = B cos t A sin t :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

120

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Si ' es un angle, entre 0 i 2, tal que

p 2B 2 ; A +B p aquestes equacions es poden escriure en termes de l'amplitud, A2 + B 2 , i la fase, ', segons sin ' =

p 2A 2 ; A +B

1 (t) = 2 (t) =

cos ' =

p

A2 + B 2 sin(t + ') ; A2 + B 2 cos(t + ') :

p

Aquesta expressi p o mostra clarament que les trajectories descriuen circumferencies de radi igual a l'amplitud, A2 + B 2 , i que en l'instant t = 0 estan en el punt (A; B ) (vegeu la gura 5.3).

-

???? F

G

Figura 5.3: Lnies de ux

Tot i que hem desenvolupat de forma completa l'exemple anterior, el nostre objectiu no sera, en general, calcular explcitament les lnies de ux dels camps vectorials. El nostre interes per les lnies de ux rau en les interpretacions fsiques i geometriques que se'n deriven, que ens ajuden a comprendre els conceptes desenvolupats. 2. Sigui F un camp radial de la forma F = ! r =r3 , com son el camp gravitatori i el camp electric. Les lnies de ux son rectes que passen per l'origen, com veurem mes facilment en el proper apartat. 3. En la gura 5.4, veiem les lnies de ux pels camps electrics generats per dues carregues puntuals de modul igual, segons si tenen o no el mateix signe.

5.2 Camps gradients En el context d'aquest captol, les funcions f : U s'anomenen camps escalars.

! R,

de nides en un obert U

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

 R3 ,

5.2. Camps gradients

121

Y 61 + ?  U R

N

6 I + 

-





+?R

?

-

*

-

6 Y

Figura 5.4: Camps electrics generats per dues carregues iguals, d'igual o diferent signe

Donat un camp escalar pla, f (x; y), el podem representar a R2 mitjancant les corbes de nivell f (x; y) =cnt. Aixo es el que s'acostuma a utilitzar en la representacio de mapes, marcant les corbes de nivell de les alcades respecte del nivell del mar (vegeu la gura 5.5). Podem estendre aquesta idea als camps escalars de l'espai. 5.2.1 De nicio Donat un camp escalar f (x; y; z ) es de neixen les superfcies de nivell de f com les superfcies

f (x; y; z ) = cnt:

Per tal que les superfcies de nivell d'un camp escalar siguin veritables superfcies, en el sentit del captol anterior, sera su cient que es tingui que rf 6= 0 en tots els punts de la superfcie. p

x2 + y2 + z 2, les superfcies de nivell del camp escalar f = ar son les esferes centrades a l'origen, llevat del cas en que la constant es zero. Analogament, les superfcies de nivell del camp f = 1=r son tambe esferes centrades a l'origen.

5.2.2 Exemple Si r =

Com en el cas dels mapes, les superfcies de nivell ens permeten fer-nos una imatge gra ca de la variacio del camp escalar f . Alla on son mes properes dues superfcies de nivell es on es produeix el maxim desnivell, es a dir, on la variacio del camp escalar f es mes gran. Per formalitzar aquesta idea recordem la de nicio de derivada direccional d'una funcio. 5.2.3 De nicio Sigui v un vector unitari de R 3 . La derivada direccional respecte del vector v d'una funcio f en el punt p es de neix com el lmit seguent (en cas d'existir)

df f (p + tv) f (p) (p) = tlim : !0 dv t

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

122

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

y

z

y

z

x Figura 5.5: Corbes de nivell

Recordem que si f es diferenciable en p, aleshores existeixen les derivades direccionals respecte de qualsevol direccio v, i se satisfa que

df (p) =< rf (p); v > dv

on

@f @f rf = ( @f ; ; ): @x @y @z

Aix, en resulta immediatament el resultat seguent: 5.2.4 Proposicio La derivada direccional maxima d'un camp escalar f en un punt p es dona en la direccio del vector rf= k rf k.

Quan varia el punt p en l'obert U de de nicio del camp escalar f , els vectors gradients rf formen un camp vectorial, que anomenarem el camp gradient associat a f :

@f @f ; ; ): rf = ( @f @x @y @z Usarem tambe la notacio grad f per referir-nos al camp gradient. Aquest camp esta caracteritzat per la proposicio 5.2.4: te la direccio en qu`q la derivada direccional es maxima i el seu modul atansa aquest maxim. D'entre les propietats dels camps gradients, en destacarem la seguent: 5.2.5 Proposicio Els camps gradients son perpendiculars a les superfcies de nivell.

En efecte, si (t) es una trajectoria que esta continguda en una superfcie de nivell, f (x; y; z ) = c, amb c una constant, aleshores se satisfa que f ((t)) = c. Aix, si derivem Demostracio.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.2. Camps gradients

123

aquesta expressio i tenim present la regla de la cadena trobem que

< rf ((t)); 0 (t) >= 0 ; es a dir, que rf es ortogonal al vector 0 (t), que es tangent a la trajectoria  i a la superfcie de nivell que la conte. Com que tot els vectors tangents a una superfcie de nivell s'obtenen com a vectors tangents d'una trajectoria inclosa a la superfcie, aixo acaba la demostracio. 5.2.6 De nicio Es diu que un camp vectorial F deriva de potencial en un obert U  R 3 si es el camp gradient d'un camp escalar f , es a dir, si existeix una funcio f , diferenciable en U , tal que F = rf . La funcio f l'anomenarem la funcio potencial, o simplement el potencial, del camp F . 5.2.7 Exemples

1. El camp gravitatori i el camp electric son camps gradients. De fet, llevat de constants, son iguals al gradient de la funcio 1=r, ja que es te que

@ 1 x x = 2 2 2 3=2 = 3 ; @x r (x + y + z ) r  a dir, si r = px2 + y2 + z 2, es te que i analogament per a les altres components. Es

! r 1r = rr3 :

Com hem vist anteriorment, les superfcies de nivell de f = 1=r son esferes concentriques i, per tant, les lnies de ux del camp ! r =r3 son les semirectes que surten de l'origen. En el cas d'una distribucio contnua de massa, , el potencial del camp gravitatori es la funcio

f (x1 ; y1 ; z1) =

Z

V

p

(x1

(x; y; z ) dx dy dz ; x)2 + (y1 y)2 + (z1 z )2

que ja havem considerat en el captol 3. 2. No tot camp vectorial deriva de potencial. En efecte, si F = (P; Q; R) es un camp que deriva de potencial, aleshores existeix una funcio f tal que

P=

@f ; @x

Q=

@f ; @y

R=

@f ; @z

i, en particular, les components del camp F han de satisfer les equacions de compatibilitat

@P @Q = ; @y @x

@Q @R = ; @z @y

@R @P = ; @x @z

que corresponen al fet que les derivades creuades d'ordre dos de f son iguals independentment de l'ordre amb el qual les hem calculat.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

124

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Per exemple, el camp F = (x; xy; z ) no deriva de potencial, ja que

@P @Q = 0 6= y = : @y @x En canvi, el camp F (x; y; z ) = (y; x + 2yz; y2), que satisfa les equacions de compatibilitat, admet el potencial f (x; y; z ) = xy + y2 z . Hem de remarcar que les equacions de compatibilitat donen condicions necessaries per a l'existencia del potencial, pero que, en general, no son su cients. Amb l'ajut dels teoremes integrals del proper captol, estudiarem situacions on aquestes condicions (que s'expressen dient que el rotacional del camp es nul) son su cients, es a dir, en que asseguren l'existencia del potencial.

5.3 Divergencia i rotacional d'un camp vectorial En l'apartat anterior hem vist com, a partir d'un camp escalar f , se'n deriva un camp vectorial rf . En aquest apartat anem a introduir, de forma purament operativa, els operadors diferencials que actuen sobre un camp vectorial: la divergencia i el rotacional. En tot aquest apartat, F = (P; Q; R) sera un camp vectorial de nit en un obert U de R3 , on es C 1 . 5.3.1 De nicio Es de neix la divergencia de F com el camp escalar

div F =

@P @Q @R + + : @x @y @z

Com veurem en el proper captol, la divergencia d'un camp vectorial mesura l'expansio o contraccio d'aquest per unitat de volum i de temps. Fem ara una aproximacio heurstica a aquesta interpretacio: suposem que F es la velocitat d'un uid i calculem, aproximadament, el volum de uid que surt, per unitat de volum i de temps, a traves de les parets d'un paral
leleppede elemental, d'eixos paral
lels als eixos de coordenades, centrat en un punt p, i de dimensions
x;
y;
z , (vegeu la gura 5.6). El volum del paral
leleppede esta limitat per sis parets rectangulars. Calculem el volum que surt, per unitat de temps, per les cares laterals AF ED i GHCB : en aquest cas es su cient considerar la component de la velocitat, F , en la direccio de l'eix x, P . En el punt p, la velocitat considerada es P (p), que per comoditat denotarem simplement per P . A partir d'aquest valor, podem calcular la velocitat del uid en el centre del rectangle AF ED: en efecte, pel teorema del valor mig, aquesta velocitat es 1 @P
x : P 2 @x Analogament, la velocitat en el centre del rectangle GHCB es igual a

P+

1 @P
x : 2 @x

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.3. Divergencia i rotacional d'un camp vectorial

125

z D

E

C

H A

x

B


y

P


z

F
x

y

G

Figura 5.6: Paral
leleppede elemental

Aix, el volum de uid que travessa els rectangles AF ED i GHCB , per unitat de temps, es igual a 1 @P (P
x)
y
z ; 2 @x 1 @P
x)
y
z ; (P + 2 @x respectivament. En de nitiva, el volum per unitat de temps que surt d'aquestes dues cares del paral
leleppede es igual a 1 @P 1 @P @P (P +
x)
y
z (P
x)
y
z =
x
y
z : 2 @x 2 @x @x Tenint present la contribucio de les altres quatre cares del paral
leleppede, trobem que el volum total, per unitat de temps i de volum, que surt d'aquest es igual a @P @Q @R ( + + )
x
y
z @x @y @z = div F :
x
y
z De fet, l'exactitud del resultat anterior es dona en el lmit quan les longituds dels costats del paral
leleppede tendeixen a zero. 5.3.2 Exemples

1. La divergencia del camp F = (x; y; z ) es div F = 3. Aquest valor positiu es congruent amb el fet que, intutivament, el camp es un camp expansiu (vegeu la gura 5.7). 2. El camp G = (y; x) te divergencia 0. Hem vist a l'exemple 5.1.5que les lnies de ux d'aquest camp son circumferencies centrades a l'origen. Observeu que el modul del camp vectorial sobre cadascuna d'aquestes circumferencies es constant, cosa que es correspon amb el fet que la divergencia es zero.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

126

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

I

6 I 6  U





3 6 6

-

i



U

F

-

-



j

? + ? G

Figura 5.7: Un camp expansiu, F , i un de divergencia nul
la, G

3. Si E es el camp electric creat per una carrega puntual q, situada a l'origen, aleshores la divergencia de E es zero en qualsevol punt diferent de l'origen, ja que es comprova facilment que se satisfa que !r div 3 = 0 : r El mateix resultat es cert per al camp electric creat per una distribucio contnua de carrega . 5.3.3 De nicio Es de neix el rotacional del camp vectorial F com el camp vectorial

rot F =



@R @y

@Q @P ; @z @z

@R @Q ; @x @x





i

j

k

@P @ @ @ = @y @x @y @z P Q R



:

5.3.4 Exemples

1. Un exemple paradigmatic del signi cat del rotacional d'un camp vectorial el dona el rotacional del camp de velocitats d'un solid rgid. Suposem que F es el camp de velocitats d'un solid rgid que gira amb velocitat angular constant, !, al voltant d'una semirecta `, (vegeu la gura 5.8). Si ! e es el vector unitari en la direccio del semiradi `, el camp vectorial F esta donat per l'equacio F = !! e ^! r: Si ! e = (e1 ; e2 ; e3), aleshores el camp F es igual a

F = !(e1; e2 ; e3 ) ^ (x; y; z ) = (ze2 ye3 ; xe3 ze1; ye1 xe2 ) ; i, per tant, el seu rotacional es igual a @ (ye1 xe2 ) @ (xe3 ze1) @ (ze2 ye3 ) @ (ye1 xe2 ) @ (xe3 ze1) !( ; ; @y @z @z @x @x

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

@ (ze2 ye3 ) ); @y

5.3. Divergencia i rotacional d'un camp vectorial

127

IF ~e

`

 ~r

Figura 5.8: Velocitat d'un solid rgid

per la qual cosa

rot F = 2!! e:

 a dir, el rotacional es constant, te la direccio de l'eix de gir i el seu modul es el doble de la Es velocitat angular. 2. Si F = (P (x; y); Q(x; y)) es un camp pla, es de neix el rotacional de F com el rotacional del camp (P (x; y); Q(x; y); 0), es a dir, rot F = (0; 0;

@Q @y

@P ): @x

Aix, si el rotacional d'un camp pla es diferent de zero, es un vector ortogonal al pla on esta de nit el camp vectorial. 5.3.5 Observacio Les de nicions que hem donat del rotacional i de la divergencia d'un camp vectorial depenen, de forma essencial, del sistema de coordenades que estem utilitzant, les coordenades cartesianes, i el seu signi cat fsic, que ha de ser independent del sistema escollit, no es evident. En el proper captol donarem expressions per a aquests operadors que son independents dels sistemes de coordenades i que, per exemple, ens permetran donar les formules per calcular-los en coordenades cilndriques o esferiques.

Si introdum formalment l'operador nabla

@ @ @ ; ; ); r = ( @x @y @z aleshores la divergencia i el rotacional d'un camp F s'interpreten com el producte escalar i

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

128

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

vectorial, respectivament, de r per F : div F = rot F =

r
F ; r^F :

Aquesta notacio i les propietats del producte vectorial suggereixen que, en general, se satisfan les igualtats

r
(r ^ F ) = 0 ; r ^ (r
F ) = 0: Aquestes igualtats son, efectivament, certes. Enunciem-ho en forma de teorema: 5.3.6 Teorema

1. Si F es un camp vectorial C 2 , se satisfa que div rot F = 0 : 2. Si f es un camp escalar C 2 , se satisfa que rot grad f = 0 : El resultat se segueix de que les derivades creuades d'ordre dos d'una funcio no depenen de l'ordre amb el qual han estat calculades. Observem que la condicio rot grad f = 0 no es altra cosa que l'equacio de compatibilitat que hem imposat als camps gradients en l'exemple 5.2.7. La proposicio seguent resumeix les principals propietats del gradient, la divergencia i el rotacional, i les seves relacions. La comprovacio d'aquestes propietats es elemental, i es deixa com a exercici. 5.3.7 Proposicio (a) Propietats del gradient: 1. 2. 3. 4.

r(f + g) = rf + rg : r(cf ) = crf : r(fg) = grf + f rg : r( fg ) = g12 (grf f rg) :

(b) Linealitat de la divergencia i del rotacional: 5. div (F + G) = div F + div G : 6. rot (F + G) = rot F + rot G :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.3. Divergencia i rotacional d'un camp vectorial

129

(c) Formules de derivacio de productes: 7. div (fF ) = rf
F + f div F :

^ G) = rot F
G F
rot G : rot (fF ) = rf ^ F + f rot F : rot (F ^ G) = rot F ^ G F ^ rot G :

8. div (F 9. 10.

A partir de les formules recollides en aquest resultat es poden derivar altres igualtats entre els operadors diferencials. A ttol d'exemple, provem que donades dues funcions f; g es te que div (rf ^ rg) = 0 : En efecte, segons la formula numero 8 i el teorema 5.3.6, podem escriure div (rf ^ rg) = rot rf ^ rg

rf ^ rot rg = 0 :

Encara hi ha una altra combinacio possible entre els operadors gradient i divergencia que dona lloc a un operador fonamental de la fsica-matematica: la laplaciana. 5.3.8 De nicio Sigui f un camp escalar. Es de neix la laplaciana de f com el camp escalar


f = div grad f =

@ 2f @ 2 f @ 2 f + + : @x2 @y2 @z 2

Les solucions de l'equacio diferencial
f = 0 tenen un paper essencial en la teoria del potencial. S'anomenen funcions harmoniques. Per exemple, la funcio f (x; y) = ex sin y es una funcio harmonica, ja que es te:
(ex sin y) = ex sin y ex sin y = 0 : Per a un camp vectorial F es de neix la laplaciana per l'expressio
F = grad div F

rot rot F :

Aquest operador de camps vectorials s'anomena laplaciana ja que si expressem F en el sistema cartesia de coordenades, F = (P; Q; R), se satisfa que
F = (
P;
Q;
R) : Les propietats operacionals de la laplaciana es deriven facilment de les propietats fonamentals establertes a 5.3.7. A ttol d'exemple, n'establirem dues que utilitzarem mes endavant. 5.3.9 Corol
lari

1.
(fg) = f
g + g
f + 2rf
rg. 2. div (f rg grf ) = f
g g
f .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

130

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

5.4 Integrals sobre corbes: circulacio La nocio de treball ens ajudara a donar sentit a la de nicio d'integral de lnia o circulacio d'un camp vectorial. Comencem per una cas elemental: si en cada punt del pla tenim un camp de forces constant F (x; y) = F0 , el treball efectuat quan un punt es mou sobre un segment rectilini que uneix els punts A i B des de A ns a B , es

!

!

treball =< F0 ; AB >=k F0 k k AB k cos  ;

!

on  es l'angle que formen F0 i AB (vegeu la gura 5.9).



F





F

 A

B Figura 5.9: Treball d'un camp de forces constant

En general, si volem calcular el treball efectuat quan un punt es mou al llarg d'una trajectoria  : I = [a; b] ! R3 sota un camp variable F , aproximarem  per una trajectoria poligonal i suposarem que F es constant sobre cada segment de la corba: prenem una particio de [a; b], a = t0 < t1 <


< tn 1 < tn = b. Suposant, com a primera aproximacio, que F es constant sobre els segments rectilinis (ti 1 ); (ti ), el treball per moure un punt de l'origen a l'extrem en cadascun d'aquests segments sera

!

< F (xi ; yi ; zi ); (ti 1 )(ti ) > ; sent (xi ; yi ; zi ) un punt qualsevol sobre el segment de (ti 1 ) a (ti ). Si, com es habitual, escrivim
xi = xi xi 1 i
yi = yi yi 1 i
zi = zi zi 1 , el treball total desenvolupat al desplacar-nos al llarg del segment entre (ti 1 ) i (ti ) es igual a

!

< F (xi ; yi ; zi ); (ti 1 )(ti )) >= P (xi ; yi ; zi )
xi + Q(xi ; yi ; zi )
yi + R(xi ; yi ; zi )
zi : Per tant, el treball al moure's al llarg de tota la poligonal sera n X i=1

(P (xi ; yi ; zi )
xi + Q(xi ; yi ; zi )
yi + R(xi ; yi ; zi )
zi ) :

Prenent la separacio entre els punts (xi ; yi ; zi ) cada cop mes petita, sembla natural de nir el treball al llarg de  del camp F com el lmit: lim

n!1

n X i=1

(P (xi ; yi ; zi )
xi + Q(xi ; yi ; zi )
yi + R(xi ; yi ; zi )
zi ) :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

(5.1)

5.4. Integrals sobre corbes: circulacio

131

Si la trajectoria  es diferenciable, podem utilitzar el teorema del valor mig per a les funcions x(t), y(t) i z (t), de forma analoga a com ho hem fet en diversos moments del captol anterior per igualar el lmit (5.1) a la integral Z b

a

(P (x(t); y(t); z (t))x0 (t) + Q(x(t); y(t); z (t))y0 (t) + R(x(t); y(t)z (t))z 0 (t)) dt ;

(5.2)

que escriurem abreujadament de la forma Z b

a

(P x0 + Qy0 + Rz 0) dt :

Observem que l'integrant es el producte escalar < F ((t)); 0 (t) >. Per tant, el treball fet per moure una partcula al llarg de  sota l'accio del camp F es la integral Z b

a

< F ((t)); 0 (t) > dt :

En general, per a un camp vectorial F qualsevol (no necessariament un camp de forces) prenem aquesta expressio com a de nicio d'integral vectorial: 5.4.1 De nicio Sigui  una trajectoria i F un camp continu de nit sobre  . Anomenarem circulacio o integral de lnia de F al llarg de  la integral: Z b

a

< F ((t)); 0 (t) > dt :

(5.3)

Hi ha diverses notacions utils per a la circulacio d'un camp al llarg d'una trajectoria. Una es Z



i una altra es

Z



< F; d` >=

< F; d` >=

Z



Z b

a

< F ((t)); 0 (t) > dt;

P (x; y; z )dx + Q(x; y; z )dy + R(x; y; z )dz :

En aquest segon cas, l'expressio

P (x; y; z )dx + Q(x; y; z )dy + R(x; y; z )dz s'anomena la 1-forma diferencial associada al camp vectorial F . La rao d'aquesta escriptura es clara si observem que per als punts de la trajectoria , les regles habituals de derivacio permeten escriure, formalment, dx = x0 (t)dt, dy = y0 (t)dt i dz = z 0 (t)dt, i, per tant, que Z



P dx + Qdy + Rdz =

Z b

a

P x0 (t)dt + Qy0(t)dt + Rz 0 (t)dt =

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Z b

a

< (P; Q; R); 0 > dt :

132

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

5.4.2 Exemples

1. Calculem la integral de F (x; y) = (y; 0) al llarg de l'el
lipse

x2 y 2 + = 1; a2 b2 parametritzada per (t) = (a cos t; b sin t), quan t 2 [0; 2]. Segons la de nicio es te: Z Z 2 Z 2 < F; d` >= < (b sin t; 0); ( a sin t; b cos t) > dt = ab sin2 tdt = ab :  0 0 El signe negatiu d'aquesta integral es deu al fet que la parametritzacio  recorre l'el
lipse en sentit antihorari, mentre que el camp vectorial F \gira" en sentit horari (vegeu la gura 5.10). y

3

-

b

j

t

i



a

x

+

Figura 5.10: El camp F sobre l'el
lipse

2. Calculem la integral del camp vectorial F = (x; y; z ) al llarg de la primera volta de l'helice (t) = (cos t; sin t; t), 0  t  2. Es te:

t2 2 < (cos t; sin t; t); ( sin t; cos t; 1) > dt = ( cos t sin t +sin t cos t + t) dt = = 22 : 2 0 0 0 En aquest cas el valor de la integral es positiu, cosa que esta d'acord amb el fet que el camp vectorial F te el mateix sentit que la trajectoria sobre la qual hem integrat. Z 2

Z 2

 conegut que dos circuits recorreguts per corrents electrics 5.4.3 Exemple El camp magnetic. Es

exerceixen una forca entre si. Mes concretament, si Ca i Cb son dos circuits pels que hi ha corrents d'intensitat Ia i Ib , respectivament, la forca que exerceix Ca sobre Cb es

!

!

 d`a ^ (d`b ^ ! r) F = 0 Ia Ib ; 3 4 r Ca Cb Z

Z

on 0 es la constant de permeabilitat magnetica en el buit, ! r es el vector de posicio des de Ca a Cb i r el seu modul, es a dir, la distancia entre els punts dels circuits (vegeu la gura 5.11).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.4. Integrals sobre corbes: circulacio

133

! d`

a

Ia

r Ib

! d`

b

Figura 5.11: Circuits recorreguts per corrents electrics Ia , Ib

Podem escriure aquesta forca de la forma

! r! Z ! d`a ^ ! 0 I ; F = Ib d`b ^ 4 a Ca r3 Cb Z

que podem interpretar com l'accio del camp

B=

!

 d`a ^ ! r Ia 3 4 Ca r Z

creat pel circuit Ca sobre el circuit Cb . A B l'anomenem el camp d'induccio magnetic creat per Ca . Aquesta de nicio de B es el que es coneix com a llei de Biot-Savart. Si el corrent I esta distribut a l'espai amb densitat de corrent J , aleshores I es converteix en  a dir, en aquest cas de nim el camp J
dS i Id` = JdSd` pot escriure's com Jdxdydz . Es d'induccio magnetica per Z J ^! r 0 dxdydz : B= 3 4 W r La circulacio d'una camp vectorial admet la interpretacio geometrica seguent: si la trajectoria  es regular, es a dir, que satisfa que 0 (t) 6= ! 0 , per a tot t 2 [a; b], aleshores podem considerar el vector tangent unitari 0 (t) T (t) = 0 k  (t) k ; i podem escriure la circulacio d'un camp de la forma Z b

a

< F ((t)); 0 (t) > dt =

Z b

a

< F ((t)); T (t) >k 0 (t) k dt =

Z



< F Æ ; T > d` ;

 a dir, la circulacio de F al llarg de  es la on d` es l'element de longitud de la trajectoria. Es integral de trajectoria de la funcio escalar

t7

!< F ((t)); T (t) > :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

134

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Aquesta funcio es la component tangencial de F sobre la corba  en cada punt, es a dir, la projeccio ortogonal de F ((t)) sobre la recta tangent a  en el punt (t). Per tant, sols la component tangencial del camp F sobre la corba  interve en el treball realitzat (vegeu la gura 5.12).

........

F

... ...

1T

9 :

< F; T >

Figura 5.12: Projeccio del camp F sobre la recta tangent

Les integrals de lnia satisfan les propietats habituals de linealitat, homogenetat, etc., com es comprova facilment. Aix per exemple, es te que Z Z



< F + G; d` >= < F; d` >= 

Z

Z 



< F; d` > +

Z

< G; d` > ;



< F; d` > :

Una d'aquestes propietats es l'additivitat de la integral. D'acord amb aquesta propietat, podem estendre la de nicio d'integral de lnia per a corbes que siguin de tipus C 1 a trossos: Z



< F; d` >=

Z

1

< F; d` > +


+

Z

n

< F; d` > ;

on i =  [ti 1 ;ti ] , i  es C 1 en els subintervals [t1 1 ; ti ], que determinen una particio de [a; b], a = t0 < t1 <


< tn 1 < tn = b. R

5.4.4 Exemple Calculem  3x2 ydx + (x3 + 1)dy sent  el cam

(t) =



(t; 0); (1; t 1);

t 2 [0; 1]; t 2 [1; 2];

representat en la gura 5.13. Aleshores es te: Z



3x2 ydx + (x3 + 1)dy = =

1

Z

0 Z 1

2

[3t2 0
1 + (t3 + 1)0]dt +

2

Z

1

[3
1(t 1)0 + (13 + 1)1]dt

2dt = 2(2 1) = 2 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.4. Integrals sobre corbes: circulacio

135

y

-

6 1

x

Figura 5.13: Un cam diferenciable a trossos

Ja hem esmentat la independencia de la integral de la funcio escalar < F; T > respecte de la parametritzacio de la corba. Observem que la funcio escalar < F; T > depen del sentit de recorregut de la corba, ja que si anem en sentit contrari el vector unitari tangent corresponent sera T , i la funcio escalar que integrarem sera < F; T >. De forma mes precisa: siguin  : [a; b] ! C i : [c; d] ! C dues parametritzacions regulars d'una mateixa corba, C , i sigui p = (a), q = (b). Direm que les dues parametritzacions indueixen la mateixa orientacio de la corba C si ambdues comencen i acaben en el mateix punt, es a dir, si

(a) = (c); i (b) = (d) ; ambdues van des de p ns a q. En cas contrari, direm que son parametritzacions oposades.

Si h : [a; b] ! [c; d] es la funcio de canvi de parametre, h = 1 , segons si h es monotona creixent o decreixent estarem mantenint o canviant el sentit amb que recorrem la corba. Direm que h preserva l'orientacio o que inverteix l'orientacio, respectivament. Equivalentment, com que h es bijectiva

h preserva l'orientacio h inverteix l'orientacio

() h0 (t)  0; 8 t 2 [a; b] ; () h0 (t)  0; 8 t 2 [a; b] :

Efectivament, com que

0 (t) = ( Æ h)0 (t) = h0 (t) 0 (h(t)) ; si h preserva l'orientacio, 0 (t) i 0 (h(t)) tindran el mateix sentit i, si h la inverteix, tindran sentits oposats. Per tant, una orientacio d'una corba (l'eleccio d'un sentit de recorregut) es equivalent a triar un vector tangent unitari en cada punt, T (t). Si escollim el sentit de recorregut d'una parametritzacio (t), aquest vector tangent unitari sera 0 (t) T (t) = 0 k  (t) k ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

136

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

i dues parametritzacions equivalents,  i =  Æ h, tindran la mateixa orientacio si

0 (t) 0 (h(t)) = 0 0 k (t) k k  (h(t)) k ; per a tot t. 5.4.5 Exemple Donada una trajectoria  : [a; b]

op : [a; b] t

! R3 , la corba

! R3 7 ! op = (a + b t);

es una reparametritzacio de  que n'inverteix l'orientacio. Correspon a la funcio

h : [a; b] t

! [a; b] 7 ! h(t) = a + b t :

L'anomenarem la trajectoria oposada de . La trajectoria oposada de

 : [0; 2] 

! R2 7 ! () = (cos ; sin );

es la trajectoria

op () = (2 ) = (cos(2 ); sin(2 )) = (cos ; sin ) : De la discussio anterior, se segueix immediatament que se satisfa el resultat seguent: 5.4.6 Teorema Sigui F un camp vectorial continu sobre la corba, C 1 a trossos,  : [c; d] i sigui : [a; b] ! R3 una reparametritzacio de  . Aleshores, R

! R3

R

(1) < F; d` >=  < F; d` >, si i  tenen la mateixa orientacio. R

(2) < F; d` >=

R



< F; d` >, si i  tenen orientacions oposades.

5.4.7 Observacio Per aquest fet, es diu que la integral de lnia es una integral orientada. Aixo

la distingeix de la integral de trajectoria, que es independent de la reparametritzacio i tambe de l'orientacio. Es diu que la integral de trajectoria es no orientada. En de nitiva, donada una corba C podem parlar de la circulacio d'un camp vectorial al llarg de C , sense especi car-ne una parametritzacio, sempre que haguem pre xat una orientacio sobre C . En aquest cas, per remarcar la importancia de l'orientacio escriurem C + , i la integral corresponent la denotarem per Z < F; T > d` : C+

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.5. Camps conservatius i potencials escalars

137

5.5 Camps conservatius i potencials escalars Comencem aquest apartat amb dos exemples que mostren la importancia del cam d'integracio per a la circulacio d'un camp vectorial al llarg d'una trajectoria. R

5.5.1 Exemple Calculem  x2 dx + xydy per als camins

(t) = (1 t; t);

(t) = (cos t; sin t);

t 2 [0; 1] ; t 2 [0; =2] :

Ambdos camins van des del punt (1; 0) del pla al punt (0; 1), (vegeu la gura 5.14).

y

I

I

x

Figura 5.14: Els camins  i

La integral de la forma diferencial x2 dx + xydy al llarg de  es: Z



x2 dx + xydy = = =

1

Z

0

Z

1

0 Z

1

=

0

[(1 t)2 ( 1) + (1 t)t1]dt ( 1 + 2t t2 + t t2 )dt ( 1 + 3t 2t2 )dt

t+

3t2 2

2t3 1 3 = 1+ 3 0 2

2 1 = : 3 6

Mentre que la integral al llarg de es igual a Z



x2 dx + xydy =

Z =2

0

[cos2 t( sin t) + cos t sin t cos t]dt = 0 :

Veiem en aquest exemple que, en general, la integral d'un camp vectorial depen del cam d'integracio escollit.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

138

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

5.5.2 Exemple Calculem ara la integral de la forma diferencial 3x2 ydx + (x3 + 1)dy sobre els

camins

(t) = (t; t); t 2 [0; 1] ;

(t) = (t; t2 ); t 2 [0; 1] : Com en l'exemple anterior, els camins  i tenen els mateixos extrems, ambdos comencen en el punt (0; 0) i acaben en (1; 1). Ara, pero, la integral de 3x2 ydx + (x3 + 1)dy es la mateixa per als dos camins. En efecte, es te que Z Z 1 1 3x2 ydx + (x3 + 1)dy = 3t2tdt + (t3 + 1)dt = t4 + t 0 = 2 ;  0 i, de forma analoga, es comprova que Z

3x2 ydx + (x3 + 1)dy = 2 :

En el primer exemple hem vist un camp, F (x; y) = (x2 ; xy), per al qual la circulacio entre dos punts depen del cam que seguim, mentre que a l'exemple seguent, en canvi, la circulacio del camp G(x; y) = (3x2 y; x3 + 1) es la mateixa per als dos camins d'integracio. De fet, com veurem tot seguit, per al camp G aixo passa sempre: la circulaci o de (0; 0) ns a (1; 1) sera R sempre la mateixa, independentment del cam  que seguim:  < G; d` >= 2. Els camps com G s'anomenen conservatius.

*

q

p

*



Figura 5.15: Dos camins diferents entre dos punts

5.5.3 De nicio Es diu que un camp vectorial F es conservatiu, si la circulacio de F al llarg d'una corba  depen tan sols dels punts inicial i nal de  .

Els camps conservatius son importants a causa de la llei de la conservacio de l'energia: si F Res un camp de forces, el treball fet per moure una partcula de p a q sota la seva accio es  < F; d` >, on  es una corba d'origen p i extrem q . Si es una altra corba amb el mateix origen i extrem (vegeu la gura 5.13), el treball per anar de p a q seguint  i de q a p invertint el sentit de es Z



< F; d` > +

Z

op

< F; d` >=

Z



< F; d` >

Z

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

< F; d` > ;

5.5. Camps conservatius i potencials escalars

139

segons el teorema 5.4.6. Segons la llei de la conservacio de l'energia, aquest treball ha de ser zero i, per tant, Z Z < F; d` >= < F; d` > : 

 a dir, la llei de conservacio de l'energia requereix camps de forces conservatius. Es Anem a donar una caracteritzacio matematica dels camps conservatius. Abans, pero, introduirem un resultat que es pot interpretar com una mena de regla de Barrow (i el potencial escalar com una mena de \primitiva" del camp). 5.5.4 Teorema [Newton-Leibniz]. Sigui f una funcio de classe C 1 i  una corba de classe C 1 a trossos. Aleshores, Z

 Demostraci o.

< rf; d` >= f ((b)) f ((a)) :

Si apliquem la regla de la cadena a la composicio g(t) = f ((t)), obtenim que g0 (t) = (f Æ )0 (t) =< rf ((t)); 0 (t) > :

Integrem separadament cadascun dels costats d'aquesta igualtat. Per la regla de Barrow, Z b

a

g0 (t)dt = g(b) g(a) = f ((b)) f ((a)) ;

mentre que, d'altra banda, es te que Z



< rf; d` >=

Z b

a

< rf ((t)); 0 (t) > dt :

Igualant aquestes dues expressions en resulta la formula de l'enunciat. El teorema de Newton-Leibniz implica facilment una part de la caracteritzacio dels camps conservatius que cerquem: 5.5.5 Corol
lari Tot camp que deriva d'un potencial escalar es conservatiu. 5.5.6 Exemples

1. El camp G(x; y) = (3x2 y; x3 + 1) deriva del potencial escalar f (x; y) = x3 y + y, com es comprova immediatament:   @f rf (x; y) = @f ; = (3x2 y; x3 + 1) = G(x; y) : @x @y Per tant, es conservatiu, com havem avancat. 2. Hem comprovat en un exemple anterior que el camp gravitatori o el camp electric deriven del potencial escalar (llevat de constants i del signe) 1 f (x; y; z ) = ; (5.4) r p on, r =k ! r k= x2 + y2 + z 2 . Per tant, son camps conservatius.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

140

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Veiem com tambe es cert el recproc del corol
lari anterior i, per tant, camps conservatius i camps que deriven d'un potencial escalar son el mateix: 5.5.7 Proposicio Tot camp conservatiu deriva d'un potencial escalar.

De forma mes precisa, anem a provar que si F es un camp conservatiu de nit en un obert connex U , aleshores F deriva de potencial escalar en U . Sigui p0 un punt de U . Com que U es un obert connex, donat un punt p 2 U existeix algun cam Cp , tot contingut a U , que uneix p0 i p. A mes, com que F es un camp conservatiu, la integral Demostracio.

Z

Cp

< F; d` > ;

es independent del cam escollit, nomes depen dels extrems inicial, p0 , i nal, p. Es de neix aix una funcio Z f (p) = < F; d` > : Cp

Comprovem ara que f es un potencial escalar de F , es a dir, que se satisfa que F = rf . Hem de veure que @f @f @f =P; = Q; i = R: @x @y @z Provarem la primera igualtat, ja que les altres dues es raonen de forma analoga. Per de nicio de derivada parcial,

@f f (x +
x; y; z ) f (x; y; z ) (x; y; z ) = lim :
x!0 @x
x El numerador d'aquest lmit es f (x +
x; y; z ) f (x; y; z ) =

Z

Cp0

< F; d` >

Z

Cp

< F; d` > ;

on Cp es una corba que uneix p0 amb p = (x; y; z ) i Cp0 uneix p0 amb p0 = (x +
x; y; z ), (vegeu la gura 5.16). Com que F es conservatiu, la circulacio de F al llarg d'una trajectoria depen unicament dels extrems d'aquesta. Aixo ens dona llibertat a l'hora d'escollir el cam Cp0 : podem prendre com Cp0 la unio de Cp amb el segment rectilini paral
lel a l'eix x, C 0 , que uneix p amb p0 . Llavors, per l'additivitat de la integral, Z

C p0

Z

< F; d` >

Cp

< F; d` >=

Z

C0

< F; d` > ;

i aquesta darrera integral es igual a Z x+
x

x

P (t; y; z ) dt ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.5. Camps conservatius i potencials escalars

141

p

p0

p0

Figura 5.16: El cam Cp0 entre p0 i p

la qual, pel teorema del valor mig, es igual a P (t0 ; y; z )
x ; per a algun t0 2 [x; x +
x]. Tot plegat, resulta que P (t ; y; z )
x @f (x; y; z ) = lim ; 0 = P (x; y; z ) ;
x!0 @x
x ja que, quan
x ! 0, es te que t0 ! x. Donada la seva importancia, recollim els dos resultats anteriors en forma de teorema: 5.5.8 Teorema Sigui F un camp vectorial de nit en un obert U

 R3 .

Son equivalents:

i) F deriva de potencial en U , F = rf . ii) F es un camp conservatiu en U .

5.5.9 Observacio Si f es un potencial d'un camp vectorial F , tambe ho es la funcio resultant

 a dir, el potencial d'un camp conservatiu de sumar a f una constant qualsevol, f + c, c 2 R. Es esta determinat llevat de constants. La demostracio anterior dona, de fet, una formula per calcular potencials escalars de camps conservatius: Z f (p) = < F; d` > : Cp

Per tal d'aplicar-la hem d'escollir un punt, p0 , de l'obert U des d'on calcular les integrals. Observem que si canviem l'eleccio d'aquest punt, escollint un punt p1 , aleshores el potencial que en resulta difereix de l'anterior per la constant Z p0

p1

< F; d` > :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

142

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

En el cas que F (x; y; z ) = (P (x; y; z ); Q(x; y; z ); R(x; y; z )) estigui de nit a tot R3 , podem prendre p0 = (0; 0; 0) i com a corba Cp unint p0 amb p = (x; y; z ) la formada pels segments rectilinis paral
lels als eixos coordenats de nits per (vegeu la gura 5.17):

t 2 [0; x] ; t 2 [0; y] ; t 2 [0; z ] :

1 (t) = (t; 0; 0); 2 (t) = (x; t; 0); 3 (t) = (x; y; t); z

(x; y; z )

6

1

+

x

2

y

3

-

Figura 5.17: Cam des de l'origen ns a un punt

Fent-ho aix, resulta Z

Cp

< F; d` >=

Z

1

< F; d` > +

Z

2

< F; d` > +

Z

3

< F; d` > ;

i, com que es tenen les igualtats Z

1

Z

2

Z

3

< F; d` >= < F; d` >= < F; d` >=

Z x

0 Z

y

0 Z

z

0

< F (1 (t)); 10 (t) > dt =

Z x

0

P (t; 0; 0)dt ;

Q(x; t; 0)dt ; R(x; y; t)dt ;

trobem la formula

f (x; y; z ) =

Z x

0

P (t; 0; 0)dt +

Z y

0

Q(x; t; 0)dt +

Z z

0

R(x; y; t)dt :

Per a camps plans, de dues variables, la formula corresponent es

f (x; y) =

Z x

0

P (t; 0)dt +

Z y

0

Q(x; t)dt :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

143

5.5.10 Exemples

1. Un potencial escalar del camp conservatiu G(x; y) = (3x2 y; x3 + 1) es:

f (x; y) =

Z x

0

3t2 0dt +

Z y

0

y

(x3 + 1)dt = (x3 t + t) = x3 y + y :

0

2. Logicament, si el camp F no es conservatiu, les formules que hem trobat no donen un potencial escalar. Aix, per al camp F (x; y) = (x2 ; xy), la funcio

f (x; y) =

Z x

0

t2 dt +

Z y

0

xtdt =

x3 xy2 + 3 2

no es un potencial escalar:

2 6 F (x; y) : rf (x; y) = x2 + y ; xy = 



2

5.6 Integrals de camps sobre superfcies: ux Suposem que en una regio de l'espai tenim un lquid en moviment (un uid) del qual coneixem la velocitat en cada punt: F (x; y; z ). Volem mesurar la quantitat de uid per unitat de temps que passa a traves d'una superfcie S . Per exemple, la superfcie pot ser una seccio d'un canal i estem interessats en el cabal d'aquest canal. Suposem, per comencar, que la superfcie es una regio d'un pla, que la velocitat del uid es constant F (x; y; z ) = F0 i que F es perpendicular a S . Aleshores la quantitat de uid ( ux) que passara a traves de S per unitat de temps sera justament el volum del \cilindre" de tapes S i S + F0 i alcada k F0 k, es a dir,  (S ) : Flux =k F0 k Area Si la direccio de F no es necessariament perpendicular a S , aleshores tindrem (vegeu la gura 5.18)  (S ) :  (S ) =< F0 ; N > Area Flux =k N (F0 ) k Area kN k Anem ara al cas general: si S = '(D) es una superfcie qualsevol, procedim per un proces  a dir, prenem una particio de S en regions d'aproximacio com hem fet en el calcul de l'area. Es Kij , que alhora aproximem per les regions corresponents dels plans tangents (i que seguirem denotant per Kij , vegeu la gura 5.19). Tindrem que el ux a traves de la superfcie S sera aproximadament igual a n X i;j =1

< F (pij );

'u ^ 'v  k 'u ^ 'v k (ui ; vj ) > Area (Kij ) :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

144

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

N F

Figura 5.18: Flux d'un camp constant

Com que l'element d'area de Kij s'aproxima per k 'u ^ 'v k, aquesta suma es igual a n X i;j =1

< F (pij ); ('u ^ 'v )(ui ; vj ) >
ui
vj ;

on hem escrit pij = '(ui ; vj ).

Figura 5.19: Aproximacio de l'area d'una superfcie

Re nant la particio, i passant al lmit quan les longituds dels costats
u i
v tendeixen a zero, tindrem el ux desitjat: n X

lim < F ('(ui ; vj )); ('u ^ 'v )(ui ; vj ) >
ui
vj ; n!1 i;j =1

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

145

que no es altra cosa que la integral Z

D

< F ('(u; v)); ('u ^ 'v )(u; v) > dudv :

En general, per a un camp qualsevol (no necessariament de velocitat d'un uid) prenem aquesta integral com a de nicio de ux: 5.6.1 De nicio Sigui S la superfcie corresponent a la parametritzacio ' : D ! '(D) = S  R3 i F un camp vectorial de nit sobre S . Anomenarem integral de superfcie de F sobre S o

ux de F a traves de S Z

S

< F; dS >=

Z

D

< F Æ '; 'u ^ 'v > dudv :

Si ' : D ! S = '(D)  R3 es una parametritzacio regular, es a dir, tal que 'u ^ 'v 6= 0 en tots els seus punts, podem calcular en cada punt el vector normal unitari corresponent a la parametritzacio ', ' (u; v) ^ 'v (u; v) N (u; v) = u k 'u (u; v) ^ 'v (u; v) k : Aix, substituint aquest vector en la de nicio del ux, tenim que Z

S

< F; dS > = =

Z

ZD

S

< F Æ '; N >k 'u ^ 'v k dudv < F Æ '; N > dS :

 a dir, la integral de superfcie del camp F coincideix amb la integral de superfcie de la funcio Es escalar (u; v) 7 !< F ('(u; v)); N (u; v) > ; que es la component normal de F sobre S . 5.6.2 Observacio Una notacio alternativa per al ux de F a traves de S es Z

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy :

En aquest cas, es diu que

P dydz + Qdzdx + Rdxdy es la 2-forma diferencial associada al camp F . Veiem el perque d'aquesta notacio: considerem l'expressio aproximada n X

on

i;j =1

 (Kij ) ; < F (pij ); N (pij ) > Area

N (pij ) =

'u (ui ; vj ) ^ 'v (ui ; vj ) k 'u (ui ; vj ) ^ 'v (ui ; vj ) k :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

(5.5)

146

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

Si escrivim

F (x; y; z ) = (P (x; y; z ); Q(x; y; z ); R(x; y; z )) i N = (n1 ; n2 ; n3 ) ; aleshores qualsevol dels sumands anteriors es  (K ) = (P n1 + Qn2 + Rn3)Area  (K ) < F; N > Area (5.6)    = P n1 Area (K ) + Qn2 Area (K ) + Rn3 Area (K ) : (5.7) Recordem que, com hem vist al captol 3, podem obtenir l'area del paral
lelogram K a partir de les seves projeccions, K yz , K zx i K xy sobre els plans coordenats yz , zx i xy, mitjancant les igualtats zx xy yz     (K ) = Area (K ) = Area (K ) = Area (K ) ; Area cos 1 cos 2 cos 3 on 1 ; 2 , i 3 son els angles de N amb els eixos coordenats: z . ......................... ...................... ..... .... ... .. .. . ... xz . . K ... . ... ..................................................... .... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...................................... . . ... . . .... ... .... .... .... ... .. ............................................... ... ... ... ... ... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .... . ............... . ........................ x ... ...... ... ..... K xz .. .... . ....................................

y

Figura 5.20: Projeccions sobre els plans coordenats

n1 = cos 1 ; n2 = cos 2 ; n3 = cos 3 : Substituint en (5.6), en resulta la igualtat  (K ) = P Area  (K yz ) + QArea  (K zx ) + RArea  (K xy ) : < F; N > Area Les arees de les projeccions sobre els plans coordenats son
y
z ,
z
x, i
x
y. Sumant ara la contribucio de cadascuna de les regions Kij , obtenim n h X

=

i;j =1 n X i;j =1

 (Kijyz ) + Q(pij )Area  (Kijzx ) + R(pij )Area  (Kijxy ) P (pij )Area

[P (pij )
y
z + Q(pij )
z
x + R(pij )
x
y] ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

i

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

147

que per pas al lmit dona l'expressio de la 2-forma corresponent. 5.6.3 Exemples

1. Considerem la parametritzacio de l'esfera unitaria

! R3 7 ! '(; ) = (cos  sin ; sin  sin ; cos ): '

D = [0; 2]  [0; ] (; )

Calculem el ux a traves de '(D) del camp F (x; y; z ) = (x; y; z ). Els vectors tangents a les corbes coordenades son

' = ( sin  sin ; cos  sin ; 0) ; ' = (cos  cos ; sin  cos ; 0) ; i, per tant, el vector normal a la parametritzacio es igual a

' ^

' =

i

j

sin  sin  cos  sin  cos  cos  sin  cos 

k



= ( cos  sin2 ; sin  sin2 ; sin  cos ) : 0 sin 

Aix, per calcular el ux de F per '(D) hem d'integrar la funcio cos  sin2  < F ('(; )); ' ^ ' > = (cos  sin ; sin  sin ; cos ) @ sin  sin2  sin  cos  2 3 2 3 = cos  sin  sin  sin  sin  cos2  = sin3  sin  cos2  = sin  : 0

Calculem, nalment, la integral: Z

'

< F; ds >=

Z

D

sin dd =

Z  Z 2

0 0

( sin )dd =

 2 cos 

0

1 A

= 2( 1 1) = 4:

Observem que el valor d'aquesta integral es negatiu, quina interpretaci o te aquest fet?
Si
calculem el vector normal en un punt, per exemple, en el punt 2 ; 2 2 [0; 2][0; ], ' 2 ; 2 = (0; 1; 0); veiem que       ' ; ^ ' ; = (0; 1; 0) ; 2 2 2 2 que es un vector que apunta cap endins de l'esfera, mentre que el camp F del qual estavem calculant el ux apunta cap enfora. Aix, si F hagues estat la velocitat d'un uid, el que estavem calculant era la quantitat de uid per unitat de temps que entra dins l'esfera. Logicament, hem trobat una quantitat negativa! 2. Si S es una superfcie, s'anomena angle solid d'un casquet  de S , i el denotarem per (), l'area de la superfcie de l'esfera unitat tallada pel con que projecte  des de l'origen (vegeu la gura 5.21).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

148

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

N

r  S



Figura 5.21: Angle solid determinat per una superfcie

Si  es l'angle format per la normal a la superfcie S , N , i la normal a l'esfera, ! r =r, aleshores

r2
= cos 
 ; i, per tant,

1 ! r cos 
 = < ; N >
 ; r2 r2 r d'on resulta que l'angle solid () es igual a
=

!r < 3 ; N > dS ;  r es a dir, que l'angle solid es el ux del camp vectorial ! r =r3 .

() =

Z

En el primer exemple hem vist com es d'important l'orientacio de la superfcie. Abans de fer altres exemples, anem a introduir els conceptes fonamentals al voltant de l'orientacio de superfcies. 5.6.4 De nicio Una superfcie S es diu que es orientable si a sobre hi ha de nit un camp vectorial unitari continu que sigui ortogonal a la superfcie en cada punt

N :S p

! R3 7 ! N (p):

5.6.5 Exemples

1. Les superfcies que poden cobrir-se amb una sola parametritzacio regular, que es injectiva, son orientables. En efecte, si S = '(D) es una parametritzacio regular, podem orientar S

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

149

mitjancant el camp normal

N (u; v) =

'u (u; v) ^ 'v (u; v) k 'u (u; v) ^ 'v (u; v) k :

En particular, els gra cs de funcions, z = f (x; y), son superfcies orientables. En aquest cas, si la parametritzem per '(x; y) = (x; y; f (x; y)), la podem orientar pel camp normal

N (x; y) =

'x ^ 'y 1 k 'x ^ 'y k = q1 + fx2 + fy2 ( fx; fy ; 1) :

Per exemple, la superfcie d'un paraboloide z = x2 + y2 es orientable. 2. Les superfcies de nides implcitament per una equacio f (x; y; z ) = 0 tambe son orientables, ja que el camp vectorial rf es normal i, si es donen les condicions per aplicar el teorema de la funcio implcita, es no nul, per la qual cosa podem orientar-les pel camp normal unitari

N=

rf : k rf k

Per exemple, una esfera, x2 + y2 + z 2 = R2 , es una superfcie orientable. 3. A diferencia del que succeeix per a les corbes, hi ha superfcies no orientables, es a dir, per a les quals no es possible l'eleccio d'un vector normal unitari en cada punt variant amb continutat. Un exemple es la cinta de Moebius (vegeu la gura 5.22).

Figura 5.22: Cinta de Moebius

Com en el cas de corbes, en les quals podem anar en un sentit o en el sentit contrari, per a les superfcies orientables hi ha dues maneres de travessar-les: si S es orientable i N es un camp vectorial unitari continu i ortogonal, aleshores el camp oposat, N , tambe compleix les mateixes propietats. Escollir un o altre camp ortogonal unitari (N o N ) s'anomena una orientacio de la superfcie. Una superfcie per a la qual hem escollit una orientacio s'anomena una superfcie orientada. Aix, les superfcies orientables son aquelles que tenen dues cares; la superior (exterior, positiva) es aquella on es troba el vector normal unitari. La contraria es la inferior (interior, negativa). La cinta de Moebius te, doncs, una sola cara. L'eleccio d'un vector unitari ortogonal que vari contnuament equival a elegir una base (p.e., ortonormal) en cada espai tangent Tp S , tambe que vari contnuament. Exactament, una base

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

150

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

6N v1



-v2

Figura 5.23: Orientacio del pla tangent

fv1 ; v2 g tal que N = v1 ^ v2 .

Per tant, l'eleccio d'una orientacio equival a l'eleccio d'un sentit de gir en cada espai tangent (o en l'entorn de cada punt): el sentit que porta del primer vector de la base al segon. Donada una superfcie orientada, que podem denotar per (S; N ), es diu que una parametritzacio ' : D ! R3 de S preserva l'orientacio si el vector normal corresponent a la parametritzacio ', 'u ^ 'v k 'u ^ 'v k ; coincideix amb el vector N en tot punt. En cas contrari, es te que N = 'u ^ 'v =k 'u ^ 'v k, i es diu que ' inverteix l'orientacio. Donades dues parametritzacions equivalents d'una superfcie S , ' : D ! R3 i : D0 ! R3 , es diu que tenen la mateixa orientacio si

'u ^ 'v k 'u ^ 'v k =

en tot punt de S . Si 'u ^ 'v =k 'u ^ 'v k = tenen orientacions oposades.

u^ v u^ v

k k; u ^ v =k u ^

5.6.6 Exemple Si orientem l'esfera S 2 = f(x; y; z )

v

k en tot els punts, es diu que

2 R3 j x2 + y2 + z 2 = 1g escollint en cada

punt el vector normal unitari que apunta cap enfora

N (x; y; z ) = (x; y; z ) ; aleshores la parametritzacio '(; ) = (cos  sin ; sin  sin ; cos ) inverteix l'orientacio. 5.6.7 Observacio Donada una parametritzacio

':D (u; v)

! R3 7 ! '(u; v)

aleshores (v; u) = '(u; v) te l'orientacio oposada de la de '.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

151

Un cop aclarit aixo, podem enunciar que la integral de superfcie de funcions vectorials es independent de la parametritzacio, si aquesta preserva l'orientacio (compareu-ho amb la circulacio i tambe amb la integral de funcions escalars sobre superfcies). 5.6.8 Teorema Sigui S una superfcie orientable i F un camp vectorial continu de nit sobre dues parametritzacions equivalents de S . Aleshores,

S . Siguin ' i R

(a) ' < F; dS >= R

(b) ' < F; dS >=

R

< F; dS >, si ' i

R

tenen la mateixa orientacio.

< F; dS >, si ' i

tenen orientacions oposades.

Per tant, si S es una superfcie orientada te sentit parlar de la integral sobre S i no pas sobre una parametritzacio particular: Z

Z

S S

< F; dS > =

Z

< F; dS >; si ' preserva l'orientacio de S ;

'

Z

< F; dS > =

'

< F; dS >; si ' inverteix l'orientacio de S :

Algunes vegades, per tal de remarcar que hem escollit una orientacio de la superfcie S , la denotarem per S +. 5.6.9 Exemples

1. Calculem el ux del camp F (x; y; z ) = (0; 1; 0) a traves de l'esfera unitaria orientada per la normal exterior. Si ' es la parametritzacio per coordenades esferiques considerada en l'exemple 5.6.3, aleshores (; ) = '(; ) n'es una parametritzacio que preserva l'orientacio. Es te que ^ 

= ' ^ ' = (' ^ ' ) = (cos  sin2 ; sin  sin2 ; sin  cos ) ;

i, per tant, hem d'integrar la funcio

0

< F;  ^  >= (0; 1; 0) @

cos  sin2  sin  sin2  sin  cos 

1 A

= sin  sin2  :

Ara tenim tots els ingredients per a realitzar el calcul desitjat: Z

S

< F; dS >=

Z 2 Z 

0

0

sin  sin2 dd =

Z 2

0

sin d

Z 

0

sin2 d = 0 :

La interpretacio fsica d'aquest resultat es evident: entra tant de uid com en surt. 2. Calculem el ux del camp constant F = (9; 6; 3) per la superfcie del pla 2x + 3y + 6z = 12 continguda en el primer octant, segons la direccio del vector normal (2; 3; 6). En aquest cas efectuem el producte escalar de F amb el vector normal unitari, N : 2 3 6 18 < F; N >=< (9; 6; 3); ( ; ; ) >= : 7 7 7 7

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

152

Captol 5. Camps escalars i camps vectorials

El ux de F es

Z

S

< F; dS >=

Z

18 18 18 12 dS = A(S ) = = 36 : 7 7 7 6=7 S

2

4 6

Figura 5.24: Pla 2x + 3y + 6z = 12

3. Com succeeix per a les integrals de funcions sobre una superfcie, podem calcular el ux d'un camp vectorial a traves d'una superfcie diferenciable a trossos, sempre que aquesta estigui orientada. Vegem-ne un exemple. Sigui S la superfcie que envolta el solid de nit per les equacions

x2 + y2  1 ;

0  z  5:

Calculem el ux sortint per S del camp vectorial F = (xz; x; 3y2 z ). La superfcie S es compon de la superfcie cilndrica lateral, x2 + y2 = 1; 0  z  5, que denotarem per S1 , el disc inferior, z = 0; x2 + y2  1, que denotarem per S0 , i el disc superior, z = 5; x2 + y2  1, que denotarem per S2 , (vegeu la gura 5.25). Els vectors unitaris normals corresponents son N1 = (x; y; 0), N0 = (0; 0; 1) i N2 = (0; 0; 1). Aix, el ux de F per la superfcie S es igual a la suma dels uxos de F per S0 , S1 i S2 : Z

S

< F; dS > = = =

Z

S Z 0

< F; dS > +

Z

S1

< F; dS > +

SZ0

< F; (0; 0; 1) > dS + S0

3y2 zdS +

Z

S1

Z

S1

Z

S2

< F; dS >

< F; (x; y; 0) > dS +

(x2 z + xy)dS +

Z

S2

3y2 zdS :

Z

S2

< F; (0; 0; 1) > dS

La primera integral es igual a zero ja que z = 0 sobre la superfcie S0 . Per a la segona, parametritzem la superfcie del cilindre amb les coordenades habituals, '(u; v) = (cos u; sin u; v);

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

5.6. Integrals de camps sobre superfcies: ux

153

N2

N1

N0 Figura 5.25: Superfcie que envolta un cilindre

observem que, en aquest cas, no cal que comprovem si la parametritzacio preserva o no l'orientacio, ja que ja hem utilitzat l'orientacio del vector normal sortint quan hem calculat el producte escalar < F; N >= x2 z + xy, i ara hem d'integrar aquesta funcio, la qual cosa es fa independentment de la parametritzacio utilitzada. La variacio dels parametres es 0  u  2 i 0  v  5, per la qual cosa el calcul a efectuar es: Z

S1

(x2 z + xy)dS =

Z 2

0

du

5

Z

0

(v cos2 u + cos u sin u) =

25 2 2 25 cos udu =  : 2 0 2 Z

Calculem ara la tercera integral usant coordenades polars, Z

S2

3y2
5dS = 15

Z 2

0

d

1

Z

0

r
r2 sin2 dr =

15 2 2 15 sin d =  : 4 0 4 Z

En de nitiva, el ux total del camp F a traves de la superfcie que envolta el cilindre es igual a 0+

25 15 115 + = : 2 4 4

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6 Els teoremes integrals i aplicacions El teorema fonamental del Calcul estableix la igualtat Z b

a

f 0 (x)dx = f (b) f (a) ;

es a dir, que quan s'integra la derivada d'una funcio, f 0(x), en un interval, [a; b], el resultat que s'obte es la diferencia de valors de la funcio f (x) en els extrems de l'interval. En aquest captol presentem els coneguts com els teoremes integrals del calcul vectorial que relacionen les integrals de lnia, de superfcie i de volum amb els operadors diferencials que actuen sobre els camps escalars i vectorials, el gradient, el rotacional i la divergencia. Interpretats adequadament, aquests resultats generalitzen el teorema fonamental del calcul abans esmentat en cadascuna de les situacions que es donen en la integracio vectorial. Son els teoremes de Green, de Stokes i de de la divergencia de Gauss. Els resultats d'aquest captol van tenir l'origen en la fsica matematica del XIX. Al llarg de l'exposicio presentem, a ttol indicatiu, alguns exemples que re ecteixen aquesta vinculacio amb les aplicacions a la fsica matematica, tot i que per a un estudi mes complet es convenient consultar la bibliogra a especialitzada corresponent.

6.1 El teorema de Green En aquest apartat establim l'anomenada formula de Green que expressa la relacio entre una integral de lnia del pla Z P dx + Qdy ; C

calculada al llarg del contorn C d'un domini del pla D i una integral doble en aquest domini. Per tal d'enunciar el teorema de Green es convenient xar una terminologia adequada: per una corba tancada simple del pla entendrem una corba tancada sense autointerseccions, (vegeu la gura 6.1). Una regio D del pla direm que es simplement connexa si es connexa i la regio tancada per tota corba tancada simple de D esta tota continguda a D. Per exemple, a la gura 6.2 veiem dues

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

156

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

(b)

(a)

(c)

Figura 6.1: Corbes tancades del pla

regions simplement connexes, la (a) i la (b), mentre que no ho son les altres dues. De fet, en la gura (c) una circumferencia centrada a l'origen com la dibuixada es una corba tancada simple de D, pero el disc que encercla aquesta circumferencia no esta tot a D, ja que la regio D no conte l'origen. 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

(a)

(c)

(b)

(d)

Figura 6.2: Regions del pla

Intutivament, una regio plana es simplement connexa si es d'una sola peca (aixo es la connexio) i no te forats. Podem ara enunciar el teorema de Green. 6.1.1 Teorema de Green Sigui D una regio elemental del pla, simplement connexa i sigui C = @D la corba que l'envolta. Sigui F = (P; Q) un camp vectorial, derivable amb continutat a D. Aleshores se satisfa que Z

Z 

@Q P dx + Qdy = + C D @x



@P dxdy ; @y

on C + indica que recorrem la corba C (que es una corba tancada) en sentit antihorari.

Provarem el resultat per a un tipus especial de regio D i indicarem com es tractaria el cas general, de desenvolupament molt mes tecnic. Suposarem que D es una regio tal que tota recta vertical i tota recta horitzontal tallen la seva frontera com a maxim en dos punts, (vegeu la gura 6.3). Demostracio.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.1. El teorema de Green

157

y

g

f a

b

x

Figura 6.3: Regio pel teorema de Green

Aleshores la corba C que l'envolta esta formada pels gra cs de dues funcions, f (x) i g(x), de manera que la regio es pot descriure per les desigualtats

a  x  b;

f (x)  y  g(x) :

Provem que se satisfa la igualtat Z

C+

P dx =

Z

@P dxdy : D @y

D'una banda, podem aplicar el teorema de Fubini de la forma seguent: Z

@P dxdy = D @y =

Z b

a

Z b

a

dx

Z g(x)

@P dy f (x) @y

(P (x; g(x)) P (x; f (x)))dx :

De l'altra, utilitzant la de nicio d'integral de lnia al llarg de C , el fet que al llarg dels segments x = a i x = b la forma diferencial P dx es zero, i que el sentit de recorregut es antihorari trobem que Z Z Z Z b Z b P dx = P dx + P dx = P (x; f (x))dx Q(x; g(x)) ; C

C1

C2

a

a

i, per tant, trobem justament el valor oposat al calcul anterior. Tal com hem escollit D, la situacio es simetrica respecte de les variables x i y, per la qual cosa es prova analogament que Z Z @Q Qdy = dxdy ; + C D @x i aixo acaba la demostracio en aquest cas. El cas general se segueix de descompondre una regio D en un nombre nit de regions com les del cas particular que hem provat, (vegeu la gura 6.4), i aplicar el resultat a cadascuna d'aquestes regions, apro tant el teorema d'additivitat de les integrals i el fet que les integrals que apareguin al llarg dels talls practicats per obtenir la descomposicio es cancel
laran dos a

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

158

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Figura 6.4: Descomposicio d'una regio en regions simples

dos. En els exemples i situacions que es presenten a la practica sera clar com obtenir una descomposicio com l'esmentada, tot i que provar-ne l'existencia en general resulta un afer molt tecnic, que no tractarem. 6.1.2 Exemple En aquest exemple veri quem el teorema de Green en una regio determinada:

sigui D el semicercle de nit per x2 + y2  1 i y  0, i considerem el camp vectorial F = (x + y; xy). Calculem la circulacio de F al llarg de la corba que envolta D: aquesta corba esta formada pel segment C1 , de nit per 1  x  1, y = 0, i la semicircumferencia de radi 1, C2 , recorreguda des del punt (1; 0) ns al punt ( 1; 0), (vegeu la gura 6.5).

C2

C1 Figura 6.5: Regio de l'exemple 6.1.2

Aix, les parametritzacions de C1 i C2 donades per

1 (t) = (t; 0); 1  t  1; 2 (t) = (cos t; sin t); 0  t   ; respectivament, son positives. La circulacio de F es, per tant, Z

C

(x + y)dx + xydy =

Z

1

Z 

tdt + (cos t + sin t)d(cos t) + cos t sin td(sin t) 1 0 1 Z  2 t + ( cos t sin t sin2 t + cos2 t sin t)dt = 2 1 0 cos2 t t sin 2t cos3 t  = 2 2 4 3 0  2 = + : 2 3

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.1. El teorema de Green

159

D'altra banda, si integrem l'altre terme de la formula de Green trobem: Z 

@Q D @x



@P dxdy = @y =

Z

(y 1)dxdy 1 Z p1 x2 ydy dx

D

Z

 2

0 1 1 1 x2  = dx 2 2 1 1 3 1 x  ) = (1 = (x 2 3 1 2 Z

1 ) 3

 2 = 2 3

 ; 2

resultat que coincideix, com era d'esperar, amb el calcul anterior. 6.1.3 Observacio Hem enunciat el teorema de Green per a regions simplement connexes, pero de fet pot aplicar-se a regions molt mes generals, com per exemple a una corona circular, (que no es simplement connexa). En aquests casos, la regio pot estar envoltada per mes d'una corba, dues circumferencies en el cas d'una corona circular, cadascuna de les quals contribuira a la formula de Green amb la integral de lnia corresponent, essent molt important recorrer cadascuna de les corbes en el sentit adequat. Anem a concretar aquest comentari veient com deduir la formula de Green per a una corona circular, (vegeu la gura 6.6).

C1

D1

D2

C2

Figura 6.6: Descomposicio d'una corona circular

Utilitzant les notacions de la gura, descomponem la corona en dues regions, D = D1 [ D2 , cadascuna de les quals es simplement connexa. Per l'additivitat de la integral es te que Z 



Z





Z





@Q @P @Q @P @Q @P dxdy = dxdy + dxdy ; @y @y @y D @x D1 @x D2 @x i, aplicant el teorema de Green a cadascuna d'aquestes regions, dedum la igualtat: Z 

@Q D @x



Z

Z

@P dxdy = + P dx + Qdy + + P dx + Qdy ; @y C1 C2

on C1 i C2 son les corbes que envolten D1 i D2 , respectivament, recorregudes en sentit antihorari. Observem que els segments verticals de C1 i C2 estan recorreguts en sentits oposats, segons

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

160

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

es recorrin formant part de C1 o de C2 , per la qual cosa les integrals corresponents a aquests segments en la darrera igualtat es cancel
len. Aix, si Cr i CR son les circumferencies de radis r i R, r < R, que delimiten la corona, trobem que Z 

@Q D @x



Z

Z

@P dxdy = + P dx + Qdy + + P dx + Qdy ; @y Cr CR

on ara, CR esta recorreguda en sentit antihorari, mentre que Cr ho esta en sentit horari. El fet de canviar el sentit de recorregut per a la circumferencia interna pot induir a confusio. De fet, el sentit de recorregut de la vora d'un domini del pla esta determinat per la seguent regla general: el sentit de recorregut de cadascuna de les corbes es tal que el parell de vectors format pel vector normal sortint de la corona i el que dona el sentit de recorregut formen una base directa. Mes endavant, quan parlem del teorema de Stokes, tornarem a aquest punt. Ara es senzill deduir com aplicar el teorema de Green a una regio com la de la gura 6.7. En aquest cas sera: n Z X

P dx + Qdy = +

i=0 Ci

Z 

@Q D @x



@P dxdy ; @y

on el signe + en cadascuna de les corbes indica que esta recorreguda en el sentit marcat a la gura 6.7.

Figura 6.7: Orientacio d'una regio multiplement connexa

L'exemple seguent es una veri cacio de la versio mes general del teorema de Green que acabem d'establir. 6.1.4 Exemple Sigui D la corona de nida per 1  x2 + y 2  4, i considerem el camp vectorial

F = (x2 y; x). La vora de D esta formada per les circumferencies centrades a l'origen de radis 1 i 2, que parametritzarem, d'acord amb el criteri de l'observacio 6.1.3, per 1 (t) = (sin t; cos t) ; 2 (t) = (2 cos t; 2 sin t) ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.1. El teorema de Green

161

respectivament. Aix, la integral de lnia de F al llarg de la vora de D es calcula de la forma: Z

1

x2 ydx + xdy +

Z

2

Z 2

x2 ydx + xdy =

sin2 t cos td(sin t) + sin td(cos t)

0

Z 2

+

0

Z 2

=

0 Z

=

2

0

= 2
2

(4 cos2 t
2 sin td(2 cos t)) + 2 cos td(2 sin t)

(cos2 t sin2 t sin2 t 16 cos2 t sin2 t + 4 cos2 t)dt (3 cos2 t 15 cos2 t sin2 t)dt Z =2

0

(3 cos2 t 15 cos2 t sin2 t)dt

3 3 3 1 = 2(3B ( ; ) 15B ( ; )) 2 2 2 2 15 3 = 3 = : 4 4 D'altra banda, hem de calcular la integral a D de

@Q @x

@P = 1 x2 : @y

Per fer-ho, usem coordenades polars: Z

D

(1 x2 )dxdy =

Z 2

0

= r2 = 4 3 = 4

d

Z

1 r4

2

(1 r2 cos2 )rdr

3 1 2 2B ( ; ) 4 2 2 1 1 4  +  4

Tal com era d'esperar, els dos calculs coincideixen.

 Aplicacio: Area d'una regio plana com una integral curvilnia Una primera aplicacio del teorema de Green es el calcul de l'area de regions planes mitjancant una integral de lnia al llarg de la seva vora: sigui D una regio elemental del pla que te per vora una corba C ; aleshores, l'area de D esta donada per Z

1 ydx + xdy: A(D) = 2 C+

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

162

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

En efecte, si apliquem el teorema de Green al camp vectorial ( y; x) en la regio D trobem la formula enunciada:  Z Z  @x @ ( y) dxdy ydx + xdy = y C+ D @x = 2

Z

D

dxdy

= 2A(D) : Posem dos exemples per il
lustrar l'interes de la formula obtinguda. 6.1.5 Exemples

1. Sabem que l'area tancada per l'el
lipse de nida per

x2 y 2 + = 1; a2 b2 es igual a ab. Calculem aquesta area mitjancant la formula anterior: hem de recorrer l'el
lipse en sentit antihorari, per la qual cosa la parametritzem segons: (t) = (a cos t; b sin t), amb 0  t  2. Aix, trobem que Z 1 A(D) = ydx + xdy 2 C Z 1 2 = b sin td(a cos t) + a cos td(b sin t) 2 0 Z 1 2 = (ab sin2 t + ab cos2 t)dt 2 0 Z ab 2 = dt = ab: 2 0 2. Aquesta manera de calcular l'area d'una regio plana resulta imprescindible quan nomes coneixem la corba que envolta la regio D per una parametritzacio: si (t) = (x(t); y(t)), amb a  t  b, aleshores la formula anterior es transforma en Z 1 A(D) = ydx + xdy 2  Z 1 b yx0 dt + xy0 dt = 2 a Z 1 b 0 = (xy yx0 )dt : 2 a Per exemple, calculem l'area tancada per una volta de la cicloide i l'eix x, (vegeu la gura 6.8). La corba que envolta D esta formada pel segment 0  x  2, y = 0, de l'eix x, recorregut en sentit creixent, i l'arc de cicloide determinat per

(t) = (t sin t; 1 cos t);

0  t  2 ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.1. El teorema de Green

163

t 2

0 Figura 6.8: Una volta de cicloide

que haurem de recorrer en sentit invers, des del punt (2; 0) ns al punt (0; 0). Sobre el segment de l'eix x es te que

ydx + xdy = 0 ; ja que y es constant i igual a zero. Aix doncs, nomes caldra integrar la forma diferencial ydx + xdy sobre l'arc de cicloide per tal de calcular l'area de D. Tenint present que (t) recorre la corba en el sentit contrari del que hem de calcular, en resulta:

A(D) = = = =

1 2 0 (xy yx0 )dt 2 0 Z 1 2 ((t sin t) sin t (1 cos t)(1 2 0 Z 1 2 (t sin t 2 + 2 cos t)dt 2 0 1 j t cos t + sin t 2t + 2 sin tj20 = 2 Z

cos t)) dt

1 ( 4) = 2: 2

Camps conservatius plans Una altra aplicacio del teorema de Green es la caracteritzacio dels camps vectorials plans que son conservatius, es a dir, que provenen de potencial: 6.1.6 Teorema Sigui D una regio elemental del pla simplement connexa. Un camp vectorial F = (P; Q) es conservatiu si i nomes si

@Q @P = : @x @y En efecte, sabem que la condicio es necessaria. Tambe es su cient: si es dona la condicio de l'enunciat, la circulacio de F per qualsevol corba tancada de D sera zero, com es dedueix per

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

164

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

aplicacio de la formula de Green. Pero aquesta es una condicio equivalent al fet que F sigui conservatiu. La hipotesi que D sigui un domini simplement connex (es a dir, sense forats) es fonamental, com mostra l'exemple seguent. 6.1.7 Exemple Considerem el camp vectorial de nit per

F=





y x ; : x2 + y2 x2 + y2

Aquest camp vectorial esta de nit, i es derivable amb continutat, a tots els punts del pla llevat de l'origen. Aix, el teorema de Green li es aplicable en tota regio que no encercli l'origen, pero no el podem aplicar, per exemple, al disc unitat. El camp F satisfa (alla on esta de nit):

@Q @x







@P @ x @ y = 2 2 2 @y @x x + y @y x + y2 2 y2 x2 y x2 = = 0: (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2



De tota manera, el camp no es conservatiu en el disc unitat menys l'origen. En efecte, si ho fos, la circulacio de F al llarg de qualsevol corba tancada hauria de ser zero, mentre que el calcul directe que segueix mostra que no es aix: la integral de F al llarg de la circumferencia centrada a l'origen i de radi 1, recorreguda en sentit antihorari, es Z

y x dx + 2 2 dy = 2 2 x + y x + y C

Z 2

sin t cos t d(cos t) + 2 d(sin t) 2 2 cos t + sin t cos t + sin2 t 0 Z 2 = (sin2 t + cos2 t)dt 0 = 2 6= 0 :

6.2 El teorema de Stokes. Camps conservatius En aquest apartat establirem el teorema de Stokes, tambe conegut com a teorema del rotacional, que es un resultat que expressa la relacio entre les integrals de lnia i les integrals de superfcie. El teorema de Stokes conte, com a cas particular, el teorema de Green que ja hem establert. A mes, del teorema de Stokes deduirem una interpretacio fsica del rotacional d'un camp vectorial, independent del sistema de coordenades que emprem, i caracteritzarem (amb les hipotesis adequades) els camps conservatius com aquells que son irrotacionals.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

165

Comencarem reescrivint la formula de Green, que a l'apartat anterior hem establert com la igualtat  Z Z  @Q @P dxdy ; P dx + Qdy = @y C+ D @x de manera que no faci referencia explcita a les coordenades cartesianes x; y: la integral de lnia de la forma diferencial P dx + Qdy es la circulacio del camp vectorial F = (P; Q; 0) al llarg de la corba C . D'altra banda, el rotacional d'aquest camp es igual a rot F =



i

j

k

@ @ @ @x @y @z P Q 0



= (0; 0;

@Q @x

@P ); @y

i, per tant,

@Q @P =< rot F; k > ; @x @y essent k = (0; 0; 1) el vector normal al pla z = 0. Aix, podem expressar la formula de Green de la forma Z Z < F; T > d` = < rot F; k > dS : C+

D

Podria semblar que en aquesta expressio queda encara una remora de les coordenades cartesianes, ja que el signe + de C + indica que recorrem la corba en sentit antihorari, es a dir, de l'eix x a l'eix y. Observem que podem descriure aquest sentit de gir directament a partir del vector normal al pla escollit, k. En efecte, el sentit antihorari es aquell que fa que, caminant sobre @D en la posicio de k, la regio D quedi a l'esquerra, (vegeu la gura 6.9).

z N

x

y

D

Figura 6.9: Sentit antihorari de recorregut

El teorema de Stokes estableix la validesa d'una formula com l'anterior sobre superfcies no necessariament planes limitades per una corba simple. Abans d'enunciar-lo, analitzem amb una mica mes de detall com son aquestes superfcies i com s'orienten les corbes que les limiten.

Superfcies amb vora La idea intutiva de que es una superfcie limitada per una corba es clara. Per exemple, un disc esta limitat per una circumferencia, com tambe ho esta un casquet esferic obtingut pel

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

166

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

tall d'una esfera amb un pla, i la superfcie del paraboloide z = x2 + y2 , amb x + y  2, esta limitada per una el
lipse (vegeu la gura ??). En lloc de donar una de nicio general i abstracta de superfcie amb vora, ens limitarem a considerar dues situacions en les quals es presenten aquestes superfcies, i que son su cients per a les necessitats d'aquest llibre. 1. Superfcies amb vora parametriques. Donada una parametritzacio d'una superfcie, ' : U ! S  R3 , on U es un obert del pla, la imatge d'una regio elemental D  U per ', '(D), es una superfcie amb vora, limitada per la corba '(@D). Per exemple, si parametritzem el paraboloide z = x2 + y2 segons

'(u; v) = (u cos v; u sin v; u2 ) ; 0 < u < 1; 0 < v < 2 ; i prenem D = f(u; v)=1  u  2; =2  v  g, aleshores '(D) es la regio del paraboloide compresa entre els meridians u = 1; 2, i els paral
lels v = =2; , (vegeu la gura 6.10).

Figura 6.10: Regio elemental d'un paraboloide

2. Superfcies amb vora de nides implcitament. Sigui ara S una superfcie de nida implcitament per una equacio, f (x; y; z ) = 0 ; i sigui g(x; y; z ) una funcio. Aleshores, el sistema

f (x; y; z ) = 0 ; g(x; y; z )  0 ; de neix una superfcie amb vora sempre que les equacions

f (x; y; z ) = 0 ; g(x; y; z ) = 0 ; de neixin una corba (recordem que, per tal que aixo passi, es su cient que rf ^ rg 6= 0, en els punts solucio del sistema), que es la corba que limita la superfcie. Per exemple, el sistema

x2 + y2 + z 2 = 1 ; x  y;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

167

de neix un casquet esferic, limitat per la corba x2 + y2 + z 2 = 1, x = y.

Orientacio de la vora Sigui S una superfcie limitada per una corba C . Suposem que S esta orientada per un camp normal N . Anomenarem orientacio compatible de C amb N , i la notarem C + , aquella que correspon a recorrer C de manera que, situant-nos segons el vector normal N sobre C , la superfcie S queda a l'esquerra. Equivalentment, el sentit de recorregut esta determinat per N i la regla de la ma dreta (vegeu la gura 6.11).

N

N

Figura 6.11: Orientacio de la vora

6.2.1 Exemples

1. Sigui S el casquet esferic de nit per x2 + y2 + z 2 = 1 i z  0, orientat pel camp normal exterior, es a dir, per N = (x; y; z ). Aleshores, el sentit de recorregut de la circumferencia x2 + y2 + z 2 = 1, z = 0, es el sentit \antihorari", (vegeu la gura 6.12).

N

N N Figura 6.12: Diferents orientacions d'un casquet esferic

Observem que si prenem com a camp normal el camp ( x; y; z ), que es el camp que assenyala cap a l'interior de l'esfera, aleshores el sentit de recorregut de C compatible amb aquesta eleccio es el sentit \horari".

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

168

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

2. En general, si la superfcie S esta de nida per

f (x; y; z ) = 0 ; g(x; y; z )  0 ; i orientada pel camp normal N = rf , aleshores l'orientacio compatible de la vora C = @D esta determinada pel camp tangent r f ^ rg : Comprovem-ho en l'exemple anterior: en aquest cas f (x; y; z ) = x2 + y2 + z 2 1, g(x; y; z ) = z , i la superfcie esta orientada pel camp N = 12 rf . Aix, el camp vectorial

rf  rg = 2(x; y; z )  (0; 0;

1) = 2( y; x; 0) ;

ha de donar l'orientacio correcta de C , com ho es en efecte ja que en resulta el sentit antihorari de recorregut, (vegeu la gura 6.12). Estem ara en condicions d'enunciar el teorema principal d'aquesta seccio. En tot el que segueix suposarem que els camps vectorials que apareixen son derivables amb continutat. 6.2.2 Teorema de Stokes Sigui S una superfcie amb vora i C = @S la corba que la limita. Suposem que S esta orientada pel camp normal N i sigui F un camp vectorial de nit a S . Aleshores, Z

S

< rot F; N > dS =

Z

C+

< F; T > d` ;

on C + indica que orientem la corba C de manera compatible amb N .

Provarem el resultat en un cas particular, el que correspon a una superfcie S de nida pel gra c d'una funcio, z = f (x; y), sobre una regio elemental del pla, D. El camp normal amb el qual orientem S sera: Demostracio.

N=

( zx; zy ; 1) ; 1 + zx2 + zy2

q

on, com es habitual, els subndexs indiquen derivades parcials respecte de les variables corresponents. Si F = (P; Q; R), la circulacio de F per C es la integral de la forma diferencial P dx + Qdy + Rdz . Pero, en els punts de C es te que z = f (x; y), per la qual cosa podem aplicar la regla de la cadena per escriure dz = zx dx + zy dy : Aix, la circulacio de F es igual a la integral Z

C

(P + Rzx)dx + (Q + Rzy )dy ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

169

i, aplicant el teorema de Green a la regio D, podem calcular aquesta integral de la forma seguent: Z

C

Z 

@ (Q + Rzy ) @x D Z  @Q @Q @R + zx + zy + Rzxy = @x @z @x D   Z  @P @R @Q ( zx) + = @y @z @z D

(P + Rzx)dx + (Q + Rzy )dy =



@ (P + Rzx) dxdy @y  @P @P @R zy zx Rzxy dxdy @y @z @y    @R @Q @P ( zy ) + dxdy @x @x @y

que es, precisament, el ux per S de rot F , es a dir, la integral Z

S

< rot F; N > dS :

El cas general pot reduir-se al cas que hem provat si es pot descompondre S en una unio nita de regions, cadascuna de les quals es el gra c d'una funcio, cosa que podrem fer en els diferents exemples que apareguin al llarg del text, i per aixo no detallarem la demostracio del cas general. 6.2.3 Exemples

1. En aquest exemple anem a comprovar que se satisfa el teorema de Stokes en la situacio seguent: considerem la superfcie x2 + y2 + z 2 = 1, y  0, orientada pel camp normal (x; y; z ), i F el camp vectorial (x; 2y; xz 2 ). S es un casquet esferic i l'orientacio que indueix el vector normal sobre la circumferencia y = 0 de l'esfera correspon al sentit antihorari del pla x; z . El rotacional de F es el camp vectorial rot F

=

i

j

S



@ @ @ = (0; z 2; 0) ; @x @y @z x 2y xz 2

i el seu ux per S es la integral Z

k

Z

< rot F; N > dS =

< (0; z 2; 0); (x; y; z ) > dS

SZ

=

S

yz 2dS :

Si utilitzem ara coordenades esferiques, aquesta integral es igual a Z 2

Z =2

sin2 v sin u cos2 vdv

=2 Z =2 cos u 2 2 sin2 v cos2 vdv 0 

=

du

= 2


  = : 8 4

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

170

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Calculem ara la circulacio de F al llarg de la corba C . El recorregut de la circumferencia x2 + z 2 = 1, y = 0, compatible amb N es el donat per la parametritzacio 0  t  2 :

(t) = (cos t; 0; sin t) ; Aix, la circulacio es: Z

C

+

Z 2

< F; T > d` =

0

Z 2

=

0

< (cos t; 0; cos t sin2 t); ( sin t; 0; cos t) > dt ( cos t sin t + cos2 t sin2 t)dt

Z 2 cos2 t 2 = + 2 cos2 t sin2 tdt 2 0 0  = : 4

2. En la seccio anterior hem vist que el teorema de Green s'aplica a regions limitades per mes d'una corba simple. Analogament, el teorema de Stokes s'aplica tambe a superfcies limitades per mes d'una corba. La formula corresponent s'escriu Z

S

< rot F; N > dS =

X Z

C @S C +

< F; T > d` ;

on la suma s'esten a totes les corbes C que limiten S , orientades compatiblement amb la superfcie S . Per exemple, considerem la superfcie cilndrica de nida per

x2 + y2 = 1 ;

0  z  1;

que esta limitada per les circumferencies

x2 + y2 = 1 ; x2 + y2 = 1 ;

C0 : C1 :

z = 0; z = 1:

Orientem S pel camp normal exterior (x; y; 0). Aleshores, per a tot camp vectorial F de nit a S , el teorema de Stokes generalitzat a aquesta situacio estableix la igualtat Z

S

< rot F; N > dS =

Z

C0+

< F; T > d` +

Z

C1+

< F; T > d` ;

on les orientacions compatibles de C0 i C1 son les indicades a la gura 6.13. Per exemple, si F = ( zy; zx; z ), aleshores rot F = (x; y; 2z ). Aix, el ux de rot F pel cilindre S es: Z

S

< rot F; N > dS = =

Z

< ( x; y; 2z ); (x; y; 0) > dS

SZ

S

(x2 + y2 )dS =

Z

S

dS = 2 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

171

z C1

C0

x

y

Figura 6.13: Orientacio de les vores d'un cilindre

Integrem ara el camp F sobre cadascuna de les circumferencies C0 i C1 utilitzant les parametritzacions C0 : 0 (t) = (cos t; sin t; 0) ; 0  t  2 ; C1 : 1 (t) = ( cos t; sin t; 1) ; 0  t  2 ; que son compatibles amb les orientacions indudes per S . La circulacio al llarg de C0 es Z

C0

< F; T > d` =

i la circulacio al llarg de C1 es: Z

C1

< F; T > d` = =

Per tant,

Z

C0

Z 2

< (0; 0; 0); ( sin t; cos t; 0) > dt = 0 ;

0 Z 2

0

Z 2

0

< F; T0 > d` +

< ( sin t; cos t; 1); (sin t; cos t; 0) > dt ( sin2 t cos2 t)dt = 2 :

Z

C1

< F; T1 > d` = 0 2 = 2 ;

i, en de nitiva, hem comprovat en aquest exemple que la suma de les circulacions de F al llarg de totes les corbes que limiten la superfcie es igual al ux de rot F per S .

Interpretacio fsica del rotacional El teorema de Stokes permet donar una interpretacio del rotacional d'un camp vectorial de la qual es deriva gran part del seu interes en les aplicacions. Sigui F un camp vectorial de nit en un entorn d'un punt p i rot F el camp rotacional associat. Sigui N un vector unitari en p i considerem D un disc centrat en p que esta sobre el pla ortogonal a N , (vegeu la gura 6.14). Pel teorema de Stokes, el ux de rot F per D es igual a la circulacio de F al llarg de la circumferencia C = @D. D'altra banda, pel teorema del valor mig (vegeu el captol 1), hi ha

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

172

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

F

z

N D y

x Figura 6.14: Disc ortogonal al vector N

un punt q 2 D tal que el ux de rot F es igual a

< rot F (q); N > A(D) ; on A(D) es l'area de D. Aix, es te que

< rot F (q); N > A(D) = i, per tant, que

Z

C

< F; T > d` ;

Z

1 < F; T > d` : < rot F (q); N >= A(D) C Si fem ara tendir a zero el radi del disc D, el punt q tendira a p i, per tant, trobem:

6.2.4 Proposicio Amb les notacions anteriors, se satisfa que Z

< F; T > d` < rot F (p); N >= lim C : A(D) A(D)!0  a dir, la component de rot F en la direccio N es igual a la circulacio de F per unitat d'area Es en p, en una superfcie ortogonal a N . Observem que en el raonament anterior, el fet que D sigui un disc, no es essencial i que, per tant, podem prendre com a D qualsevol regio simplement connexa que envolti p i sigui ortogonal a N. Per interpretar fsicament la formula que hem obtingut, suposem que F es el camp de velocitats d'un uid. Aleshores, < rot F; N > expressa la turbulencia de F en la direccio N . En efecte, suposem, per simpli car, que F = (P; Q; 0) es un camp pla, de manera que @Q @P rot F = (0; 0; ); @x @y i prenem N = k. Col
loquem una petita circumferencia C en un punt del uid i analitzem com es desplaca al llarg de la lnia de corrent, (vegeu la gura 6.15).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

173

Figura 6.15: Interpretacio del rotacional

Si F te component tangencial no nul
la, es a dir, la circulacio de F per C es diferent de zero,  a dir, si al desplacar-nos per una lnia aleshores de 6.2.4 se segueix que < rot F; N >6= 0. Es de corrent el camp de velocitats F fa girar la corba C , i provoca una turbulencia, aleshores rot F 6= 0. La direccio rot F k rot F k es la direccio en la qual la turbulencia es maxima. A aquest vector se l'anomena el vector vorticitat de F . 6.2.5 Exemples

 important assenyalar que la turbulencia a la qual ens referim al considerar el rotacional 1. Es  a dir, el rotacional d'un camp mesura la rotacio d'un camp vectorial es in nitesimal. Es in nitesimal a l'entorn d'un punt. Els dos exemples seguents precisen aquest comentari. Considerem els camps vectorials plans

F = ( y; x) ;

y x G = ( 2 2; 2 2); x +y x +y

el segon dels quals no esta de nit a l'origen. Ambdos camps vectorials tenen lnies de ux formades per circumferencies centrades a l'origen, (vegeu la gura 6.16).  a dir, en ambdos casos les trajectories giren al voltant de l'origen. Ara be, es te que Es rot F = (0; 0; 2) ; i rot G = (0; 0; 0) ; es a dir, mentre que F es un camp amb turbulencia, no ho es G. Aquesta turbulencia es pot il
lustrar col
locant una petita turbina en un punt del pla, (vegeu la gura 6.17). Seguint les lnies de ux de F la turbina girara sobre si mateixa (hi ha turbulencia), mentre que no ho fara sota l'accio de G. 2. Observem que la formula de la proposicio anterior expressa rot F , en la direccio N , com a lmit d'un quocient en el qual no hi ha cap tipus de coordenades pre xat. De fet, es pot usar

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

174

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

F

G

Figura 6.16: Camps amb rotacional nul i no nul

aquesta interpretacio del rotacional per calcular rot F en sistemes de coordenades diferents al de les coordenades cartesianes. Aixo ho farem a la seccio 6.4. Avancant-nos a 6.4, comprovem com es pot deduir la formula amb que hem de nit rot F a partir de 6.2.4. Calcularem la tercera component de rot F , les altres dues es calculen de forma similar.

Figura 6.17: Turbina per detectar el rotacional

Prenem N = (0; 0; 1) i D un rectangle ortogonal a aquest vector centrat en un punt p i de costats
x,
y, (vegeu la gura 6.18). La vora de D esta formada per quatre segments, ab; bc; cd; ad, per la qual cosa la circulacio d'un camp vectorial F = (P; Q; R) al llarg d'aquesta vora es igual a Z

ab

< F; T > d` +

Z

bc

< F; T > d` +

Z

cd

< F; T > d` +

Z

ad

< F; T > d` :

Podem calcular, de forma aproximada, cadascuna d'aquestes integrals usant el teorema del valor mig: en efecte, si p = (x; y; z ), el segment ab es el segment donat per

(t) = (x +


x ; y + t; z ) ; 2


y 2

 t 
2y ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

175

z

k


y

d p

a

c b


x

y x Figura 6.18: Rectangle ortogonal a k

i, per tant,

Z

ab

< F; T > d` =

Z


y=2


x ; y + t; z )dt 2

Q(x +


y=2
x = Q(x + ; y + t0 ; z )
y 2 1 @Q = (Q(x; y + t0 ; z ) + (x; y + t0 ; z )
z )
y : 2 @x

En la darrera igualtat hem utilitzat el teorema del valor mig del calcul diferencial. Raonant analogament amb els altres segments que formen la vora de D trobarem les igualtats seguents: Z 1 @P < F; T > d` = (P +
y)
x ; 2 @y Z bc 1 @Q
x)
y ; < F; T > d` = (Q 2 @x cd Z 1 @P < F; T > d` = (P
y)
x ; 2 @y da on cadascuna de les funcions que apareixen estan avaluades en un punt indeterminat del segment corresponent. Sumant ara la contribucio dels quatre segments del permetre de D en resulta   Z @Q @P < F; T > d` =
x
y : @x @y @D Aix, la tercera component de rot F en p es igual a Z

< rot F; k > =

lim

A(D)!0

@D

< F; T > d`

A(D)  @Q @P
x
y @x @y = lim
x;
y!0
x
y @Q @P ; = @x @y 

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

176

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

on aquestes derivades estan avaluades a p.

Camps conservatius Una de les aplicacions mes importants del teorema de Stokes es la caracteritzacio dels camps conservatius com aquells camps vectorials que son irrotacionals, sempre que se satisfacin certes condicions sobre la geometria de les regions on estan de nits.

Sigui U  R3 un obert de l'espai. Direm que U es simplement connex si tota corba tancada C de U es la vora d'una superfcie S  U , tota inclosa tambe a U . Per exemple, una bola, un cub de R3 , o tot l'espai, son oberts simplement connexos, com tambe ho son els conjunts obtinguts a partir d'aquests traient un nombre nit de punts. Podem ara enunciar la caracteritzacio dels camps conservatius que busquem. 6.2.6 Teorema Sigui F un camp vectorial de nit a un obert U Aleshores F es conservatiu a U si i nomes si rot F = 0 a U .

 R3 que es simplement connex.

Si F es conservatiu, aleshores F prove de potencial, F = rot F = rot rf = 0. Demostracio.

rf ,

i, per tant,

Recprocament, suposem que rot F = 0 i provem que F es un camp conservatiu, es a dir, que la circulacio de F per tota trajectoria tancada de U es zero. Com que U es simplement connex, si C es una corba tancada de U , hi ha una superfcie S  U tal que C es la seva vora. Aix, pel teorema de Stokes i la hipotesi efectuada sobre F , rot F = 0, resulta que Z

C

< F; T > d` =

Z

S

< rot F; N > dS = 0 ;

com volem provar. Aquest resultat completa la caracteritzacio dels camps conservatius iniciada a 5.5.8. En de nitiva, resumint 5.5.8 i 6.2.6, s'obte la caracteritzacio seguent: 6.2.7 Teorema Sigui U un domini obert simplement connex de R3 i F un camp vectorial de nit a U . Son equivalents:

1. F es conservatiu. 2. La circulacio de F per una corba tancada qualsevol de U es zero. 3. F prove de potencial, F = rf . 4. rot F = 0.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.2. El teorema de Stokes. Camps conservatius

177

6.2.8 Exemples

1. El camp vectorial F = (x2 ; 2yz; y2) es conservatiu a R3 ja que rot F

=

i

j

= =

Z x Z0 x

0 x3

P (t; 0; 0)dt + t2 dt + y2 z:

3

2. El camp vectorial



@ @ @ = (0; 0; 0) : @x @y @z 2 2 x 2yz y

Una funcio potencial esta donada per

f (x; y; z ) =

k

Z y

Q(x; t; 0)dt +

Z z

0 0 Z z 2ztdt + 0 + y2 dt 0 0

R(x; y; t)dt

Z y





y x ; ;0 ; x2 + y2 x2 + y2 esta de nit a tot l'espai llevat de l'eix z , es a dir, a R3 f(x; y; z )=x = y = 0g. Aquesta regio no es simplement connexa ja que, per exemple, no pot contenir cap superfcie limitada per la circumferencia x2 + y2 = 1; z = 0. Aix, tot i que F es un camp irrotacional, rot F = 0, no podem aplicar el resultat anterior i deduir que F es conservatiu a U . De fet, F no es conservatiu en aquest obert: en efecte, si calculem la circulacio de F per la circumferencia F=

(t) = (cos t; sin t; 0) ; trobem:

Z



Z 2

< F; T > d` =

0

Z 2

=

0

0  t  2;

< ( sin t; cos t; 0); ( sin t; cos t; 0) > dt dt = 2 ;

que es diferent de zero, per la qual cosa F no es conservatiu, 6.2.7. 3. Considerem ara el camp vectorial   y x G = 2 2; 2 2;0 ; x +y x +y que esta de nit en el mateix recinte que el camp vectorial anterior, es a dir, a tot arreu llevat de l'eix z . Es comprova facilment que rot G = 0 i es planteja, com abans, la questio de si G es o no es conservatiu. Integrant G al llarg de la circumferencia  trobem que Z



< G; T > d` =

Z 2

0

< (cos t; sin t; 0); ( sin t; cos t; 0) > dt = 0 ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

178

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

cosa que es compatible amb que G sigui conservatiu, pero ho es realment? El teorema de Stokes ens permet completar el raonament de la forma seguent: sigui una altra trajectoria tancada de U . Si no envolta l'eix z , aleshores sera la vora d'una superfcie S  U i, per aplicacio del teorema de Stokes, la circulacio de G al llarg de sera zero. Si, en canvi, envolta una vegada l'eix z , podem considerar una superfcie cilndrica S que connecti  amb , (vegeu la gura 6.19), i aplicant el teorema de Stokes a aquesta superfcie es te que Z



< G; T > d`

Z

< G; T > d` =

Z

S

< rot G; N > dS = 0 ;

z

y x



Figura 6.19: Connexio de  i a traves d'un cilindre

es a dir, que la circulacio de G per es la mateixa que la circulacio per , que es zero. En de nitiva, la circulacio de G per qualsevol corba tancada de U es zero i, per tant, G es un camp conservatiu a U . De fet, es immediat comprovar que G es el gradient de la funcio

g(x; y; z ) = ln(x2 + y2 ) ; de nida a U . 6.2.9 Observacio A l'exemple 2 hem vist un camp vectorial que no es conservatiu a U , tot i

que es irrotacional. Si W es una subregio simplement connexa de U , per exemple, si W es el semiespai y > 0, aleshores com que rot F = 0 a W , i d'acord amb el teorema 6.2.7, el camp F es conservatiu a W , es a dir, hi ha una funcio f de nida en aquesta regio W tal que F = rf . De fet, per a y > 0 es te que x F = r arctg ; y on arctg es una determinacio de l'arctangent entre 0 i . Observeu, pero, que aquesta funcio no esta ben de nida a tot l'obert U i que, per tant, la igualtat anterior no es certa a tot U .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

179

6.3 El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals En aquesta seccio presentem el darrer dels teoremes integrals del calcul vectorial, l'anomenat teorema de Gauss, de Gauss-Ostrogradsky o de la divergencia, que relaciona una integral de volum amb una integral de superfcie. 6.3.1 Teorema de la divergencia Sigui W una regio elemental de l'espai i S = @W la superfcie tancada que l'envolta. Sigui F un camp vectorial de nit a W . Aleshores, Z

W

div F dxdydz =

Z

< F; N > dS ;

S+

on S esta orientada pel camp normal sortint. Demostraci o. Com hem fet en els altres teoremes integrals, demostrarem el teorema en una situacio particular, que il
lustra su cientment els elements que intervenen en la seva prova. Notem F = (P; Q; R). El resultat es cert si ho es cadascuna de les tres igualtats seguents: Z

@P dxdydz = @x ZW @Q dxdydz = @y ZW @R dxdydz = W @z

Z ZS ZS

S

< P i; N > dS ; < Qj; N > dS ; < Rk; N > dS :

Suposem que W admet una presentacio de la forma

W:

(x; y) 2 D ; '(x; y)  z  (x; y) ;

on D  R2 es una regio elemental del pla i ' i son dues funcions de nides a D, (vegeu la gura 6.20). Provem, en aquesta situacio, la tercera de les igualtats anteriors.

z W y x

D

Figura 6.20: Una regio de la demostracio del teorema de Gauss

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

180

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

La superfcie que envolta W es un cilindre sobre D que esta format per les tres superfcies seguents: S1 , la cara inferior, d'equacio z = '(x; y); S2 , la cara superior, d'equacio z = (x; y); i la superfcie cilndrica lateral S3 . Pel teorema de Fubini es te que Z Z @R dxdydz = (R(x; y; (x; y)) R(x; y; '(x; y)))dxdy : W @z D D'altra banda, els camps normals exteriors a S1 i S2 son, respectivament,

N' = ( 'x ; 'y ; 1) ; N = ( x ; y ; 1) ; mentre que el vector normal a S3 es paral
lel al pla x; y i, per tant, ortogonal a k. Aix, es te que Z

@W

< Rk; N > dS = + =

Z

S Z 1 SZ3

< Rk; N > dS +

Z

S2

< Rk; N > dS

< Rk; N > dS D

R(x; y; '(x; y))dxdy +

Z

D

R(x; y; (x; y))dxdy ;

que coincideix amb el calcul anterior. Les altres dues formules es raonen de forma similar per a regions compreses entre gra cs de funcions de y; z i de x; z , respectivament. Aquests casos son su cients ja que, en els exemples que trobarem a la practica, sempre es possible subdividir una regio en un nombre nit de subregions en les quals podem aplicar el raonament anterior. 6.3.2 Exemples

1. Comprovem el teorema de la divergencia en un exemple. Sigui W la bola de radi R centrada a l'origen i S l'esfera del mateix radi. Prenem F = (x; y; z ). Aleshores podem calcular el ux sortint de F a traves de S utilitzant coordenades esferiques: Z Z 1 < F; N > dS = < (x; y; z ); (x; y; z ) > dS R S SZ 1 = (x2 y2 + z 2)dS R ZS 1 = z 2dS R S Z Z =2 1 2 4R3 = du R3 cos v sin2 vdv = : R 0 3 =2 D'altra banda, integrant la divergencia de F sobre W trobem el mateix valor: Z Z 4 div F dxdydz = dxdydz = vol(W ) = R3 : 3 W W

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

181

2. Calcul d'un ux per una superfcie oberta. De vegades es convenient utilitzar el teorema de Gauss per calcular integrals de camps vectorials sobre superfcies obertes. Il
lustrem-ho amb un exemple: ens proposem calcular el ux sortint del camp F = (x; 0; z 2) a traves del cilindre x2 + y2 = 1, 0  z  1, que denotarem per S . La superfcie cilndrica S que estem considerant no tanca cap volum, pero si afegim les tapes S0 , (el disc z = 0, x2 + y2  1) i S1 , (el disc z = 1, x2 + y2  1), aleshores la superfcie formada per S; S0 i S1 tanca el volum W de nit per

x2 + y2  1 ; 0  z  1 :

Denotem per N; N0 i N1 els vectors normals a S; S0 i S1 , respectivament. El teorema de la divergencia dona la igualtat Z

W

div F dxdydz =

Z

S

< F; N > dS +

i, per tant, el ux que hem de calcular es: Z

S

< F; N > dS =

Z

W

div F dxdydz

Z

S0 Z

S0

< F; N0 > dS +

Z

S1 Z

< F; N0 > dS

S1

< F; N1 > dS ; < F; N1 > dS :

Calculem cadascuna d'aquestes integrals per separat. El terme subintegral de la integral de volum es div F = 1 + 2z i, per tant, calculant amb coordenades cilndriques trobem: Z

W

div F dxdydz =

Z

W

(1 + 2z )dxdydz =

Z 2

0

1

Z

d

0

rdr

1

Z

0

(1 + 2z )dz =  +  = 2 :

El vector normal exterior a S0 es el vector N0 = (0; 0; 1) i, per tant, Z

S0

Z

< F; N0 > dS =

S0

z 2dS = 0 ;

ja que z = 0 a S0 . Finalment, el ux sortint per S1 es: Z

S1

< F; N1 > dS = +

Z

S1

z 2 dS =  ;

ja que z = 1 a S1 . En de nitiva, el ux per S es igual a 2 0  = . Observem que aquest valor coincideix, logicament, amb el que resulta del calcul directe del ux de F per S : parametritzem S segons '(; u) = (cos ; sin ; u), i en resulta: Z

S

< F; N > dS =

Z

S

x2 dS =

Z 2

0

cos2 d

Z

0

1

du =  :

3. El teorema de la divergencia s'aplica, tambe, a volums limitats per mes d'una superfcie, com per exemple una corona esferica, a2  x2 + y2 + z 2  b2 . En aquest cas, si denotem per Sa i Sb les esferes de radis a i b, respectivament, i per Na , Nb els vectors normals sortint de W , el teorema estableix la igualtat Z

W

div F dxdydz =

Z

Sa

< F; Na > dS +

Z

Sb

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

< F; Nb > dS :

182

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Observem que Na assenyala cap al centre de l'esfera Sa . 4. Les superfcies que envolten el volum W al qual apliquem el teorema de la divergencia poden estar formades per diverses superfcies articulades al llarg de diferents corbes, com ha estat el cas de l'exemple 2. Hi ha situacions que apareixen a la practica i que no estan cobertes per aquests casos, com per exemple, el volum limitat per la superfcie d'un con, que es una superfcie singular, ja que en el vertex no hi ha de nit l'espai tangent. Ens limitarem a assenyalar que el teorema de la divergencia s'aplica, tambe, en aquesta situacio. Comprovem-ho en un exemple: considerem el volum conic donat per

x2 + y2  z 2 ; 0  z  1 ; i el camp vectorial F = (x; yz; z ). La divergencia de F es 2 + z , per la qual cosa, calculant amb coordenades cilndriques, la integral de volum es:

Z 1 Z 1 d rdr (2 + z )dz W 0 0 r  Z 1  2 z 1 = 2 r 2z + 2 r 0 Z 1 1 r2 = 2 r(2 + 2r )dr 2 2 0 52 1 = 2( ) 43 8 11 = : 12 La superfcie que envolta W esta formada pel disc S 0 d'equacions z = 1, x2 + y2  1, i per la superfcie conica S , d'equacions x2 + y2 = z 2 , 0  z  1, amb camps normals exteriors N 0 = (0; 0; 1) i N = (x; y; z ), respectivament. Si parametritzem S per Z

(2 + z )dxdydz =

Z 2

'(u; v) = (u cos v; u sin v; u) ; 0 < u < 1; 0 < v < 2 ; de manera que

'u ^ 'v = ( u cos v; u sin v; u) ; i tenim present que aquest camp normal es entrant al con, el ux sortint de F es: Z

S0

< F; N 0 > dS +

Z

S

< F; N > dS = = = = =

Z

Z

< F; 'u ^ 'v > dudv Z Z 1 dS dv ( u2 cos2 v u3 sin2 u + u2 )dudv S0 0 0 Z 2 1 2 1 1 sin v + )dv  ( cos2 v 3 4 3 0 7 2 +   12 3 11 : 12 S0

zdS

S Z 2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

183

Volum d'una regio com una integral de superfcie De forma analoga a com el teorema de Green ens ha permes expressar l'area d'una regio del pla a traves d'una integral de lnia, el teorema de Gauss permet expressar el volum d'una regio acotada a traves d'un ux. En efecte, si W es una regio de l'espai limitada per una superfcie S , el seu volum es Z 1 < (x; y; z ); N > dS : vol(W ) = 3 S En efecte, aixo es consequencia immediata del teorema de la divergencia: Z

S

Z

< (x; y; z ); N > dS =

= 3

W Z

div (x; y; z )dxdydz

W

dxdydz = 3vol(W) :

Interpretacio fsica de la divergencia El teorema de Gauss permet donar una interpretacio fsica de la divergencia d'un camp vectorial que resulta de gran interes: sigui F un camp vectorial de nit en un obert U  R3 i p 2 U , un punt d'aquest obert. Notem B" (p) la bola de radi " centrada a p, que per a " prou petit esta inclosa a U , i sigui S" = @B" (p) l'esfera que l'envolta. 6.3.3 Proposicio Amb les notacions anteriors se satisfa que Z

div F = "lim !0

S"

< F; N > dS vol(B" (p))

;

on N es el vector normal exterior a S" .

 a dir, la divergencia de F en p es igual al ux sortint de F en p per unitat de volum. Es Aquesta expressio de la divergencia es consequencia del teorema de la divergencia de Gauss i del teorema del valor mig integral. En efecte, pel teorema de Gauss es te que Z

B" (p)

div F dxdydz =

Z

S"

< F; N > dS ;

mentre que, pel teorema del valor mig, hi ha un punt q 2 B" (p) tal que Z

B" (p)

Aix, es te que

div F dxdydz = div F (q)vol(B" (p)) : Z

div F dxdydz : div F (q) = B" (p) vol(B" (p))

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

184

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Quan " tendeix a zero, el punt q tendira necessariament a p, i, com que suposem que div F es contnua, trobem la igualtat de l'enunciat.  clar que Hem establert la formula anterior envoltant el punt p per una petita bola de radi ". Es podrem haver utilitzat una altra mena de volums, com per exemple un cub de costat " centrat a p, o, ns i tot, altres volums mes irregulars. Observem que segons 6.3.3 el signe de la divergencia d'un camp F en un punt p es el mateix que el del ux sortint a traves d'una petita superfcie que envolti p. Si div F (p) > 0, aleshores el ux sortint es positiu, mentre que si div F (p) < 0, aleshores el ux sortint es negatiu, es a  per aixo que en el primer cas, div F (p) > 0, es diu que p es dir, es positiu el ux entrant. Es una font del camp F , i en el segon, div F (p) < 0, es diu que p es un pou del camp vectorial F . A la gura 6.21 veiem una representacio dels camps plans F = (x; y) i G = ( x; y), que presenten una font i un pou a l'origen, respectivament.

F

G Figura 6.21: Els camps F i G

Els termes font i pou descriuen molt gra cament la situacio que es te per als camps F i G anteriors. No sempre es tan evident la presencia de fonts i pous. Considerem, per exemple, el camp vectorial pla ! x y F = p 2 2; p 2 2 : x +y x +y

Aquest es un camp unitari de nit a R2 0, les lnies de corrent del qual son hiperboles xy = cnt, (en efecte, observeu que si (t) = (1 (t); 2 (t)) es una lnia de ux, aleshores (xy)0 = (1 (t)2 (t))0 = 1 20 + 10 2   = 1 p 2 2 2 + 2 p 2 1 2 = 0 ; 1 + 2 1 + 2

es a dir, que se satisfa que 1 2 = cnt). Un senzill calcul mostra que es te

@ div F = @x

!

x @ p + 2 2 @y x +y

!

y y2 x2 p = : (x2 + y2 )3=2 x2 + y2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

185

 a dir, F Aix, div F es positiva per als punts amb jyj > jxj i negativa per als que jyj < jxj. Es te fonts en tots els punts en els quals jyj > jxj i pous en tots els punts en els quals jyj < jxj. 6.3.4 Exemple Analogament a com succea amb la interpretacio fsica del rotacional, un avantatge important de l'expressio de la divergencia que hem trobat respecte de la de nicio que havem donat en el captol anterior, es que la nova formula expressa la divergencia com un quocient d'un ux per un volum, sense fer referencia explcita a un sistema de coordenades determinat. Aixo ens permetra, en la propera seccio, trobar la divergencia d'un camp vectorial en coordenades cilndriques i esferiques.

Com a mostra immediata de l'interes d'aquesta observacio, anem a veure com 6.3.3 permet recuperar la de nicio de la divergencia en termes de les coordenades cartesianes. Donat un camp vectorial F de nit a p = (x; y; z ), prenem un petit cub centrat a p de costats
x,
y,
z , (vegeu la gura 6.22).

z p y x Figura 6.22: Un cub al voltant de p

Si emprem el teorema del valor mig, el ux de F per les cares x +
x=2 i x aproximadament, igual a

P (x +


x ; y; z )
y
z P (x 2


x ; y; z )
y
z ; 2

i, per tant, la primera component de F , P i, te divergencia: Z

div F =


x;
lim y;
z!0



< F; N > dS


x
y
z P (x +
2x ; y; z )
y
z P (x = lim
x;
y;
z!0
x
y
z
x P (x + 2 ; y; z ) P (x
2x ; y; z ) = lim
x!0
x @P
x @P @P = lim @x = :
x!0
x =
lim x!0 @x @x

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002


x ; y; z )
y
z 2


x=2 es,

186

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Raonant de forma similar amb les altres dues components, recuperem la formula amb la qual hem de nit la divergencia, @P @Q @R div F = + + : @x @y @z

Camps solenodals Si F es un camp vectorial tal que hi ha un altre camp, G, amb F = rot G es diu que F prove de potencial vector. En aquest cas, es te que div F = div rot G = 0 :  a dir, un camp vectorial que admet un potencial vector te divergencia nul
la. El teorema de Es la divergencia ens permetra ara establir condicions su cients per tal que sigui cert el recproc, i respondre aix a la pregunta: donat un camp vectorial F tal que div F = 0, admet potencial vector? Direm que F es un camp solenodal a U  R3 si div F = 0 en tots els punts de U . El terme solenodal deriva de la paraula grega ! , (tub), i s'aplica a aquesta situacio perque aquests camps satisfan el que s'anomena la llei de conservacio de la intensitat d'un tub, que tot seguit dedum. Considerem un tub d'un camp solenodal F format per dues seccions arbitraries, S1 i S2 , entre les lnies de corrent de F , (vegeu la gura 6.23).

S2 S1

Figura 6.23: Tub de lnies de ux

Com que F es solenodal resulta, del teorema de Gauss, que el ux sortint d'aquest tub de F es nul. Ara be, la superfcie cilndrica lateral segueix les lnies de corrent i, per tant, el ux que hi passa a traves es zero. Aix, en resulta que Z

S1

< F; N1 > dS =

Z

S2

< F; N2 > dS ;

 a dir, on N1 i N2 son els vectors normals a S1 i S2 , respectivament, en la direccio del ux. Es se satisfa:

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

187

6.3.5 Proposicio Sigui F un camp solenodal. El ux de F per una seccio qualsevol d'un tub de corrent es constant.

Aix, si interpretem F com el camp de velocitats d'un uid, aquest resultat estableix que la quantitat de uid que travessa una seccio del tub de ux es la mateixa per a totes les seccions del tub. Per tal de relacionar els camps solenodals i els que admeten potencial vector hem d'introduir la nocio de conjunt estrellat. Sigui U  R3 un obert de l'espai ordinari i p un punt de U . Direm que U es estrellat respecte de p si per a qualsevol punt q 2 U el segment de l'espai que uneix p i q, pq, esta tot inclos a U . Per exemple, una bola o tot l'espai son conjunts estrellats respecte de l'origen i, de fet, respecte de qualsevol punt, (a la gura 6.24 es poden veure alguns conjunts estrellats).

Figura 6.24: Conjunts estrellats

6.3.6 Teorema Sigui U un obert estrellat respecte de p i F un camp vectorial de nit a U . Son equivalents:

1. F admet un potencial vector, F = rot G. 2. El ux de F per a tota superfcie tancada de U es nul. 3. Donada una corba tancada C a U , el ux de F pera qualsevol superfcie S de U limitada per C es independent de la superfcie, nomes depen de C . 4. F es solenodal, div F = 0. Demostraci o. 1) =) 2). Si F = rot G i S es una superfcie tancada de U , com que el volum tancat per S tambe esta inclos a U , podem aplicar el teorema de la divergencia i deduir Z

S

< F; N > dS =

Z

V

div F dxdydz =

Z

V

div rot G dxdydz = 0 :

2) () 3). Siguin S1 i S2 dues superfcies de U amb la mateixa vora, C , (vegeu la gura 6.25). La unio S = S1 [ S2 es una superfcie tancada i, per hipotesi, el ux sortint de F per S es nul.  a dir, si denotem per N1 i N2 els vectors normals sortints de S1 i S2 , respectivament, es Es te que Z Z < F; N2 > dS = 0 ; < F; N1 > dS + S1

S2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

188

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

o, equivalentment,

Z

S1

< F; N1 > dS =

Z

S2

< F; N2 > dS :

Observem que els vectors N1 i N2 indueixen la mateixa orientacio a C . Aquest raonament es reversible i prova, tambe, que 3) =) 2).

S2 C N2

S2

N1

Figura 6.25: Dues superfcies amb la mateixa vora C

2) () 4). Si la divergencia de F es zero, aleshores F satisfa 2), per aplicacio directa del teorema de Gauss. D'altra banda, si el ux per una superfcie tancada es sempre nul, aleshores, Z

div F = lim

S"

< F; N > dS vol(B" )

= 0;

es a dir, se satisfa 4). Finalment queda per veure que 4) =) 1), es a dir, que si div F = 0, aleshores F admet un  aqu on interve potencial vector, F = rot G. Ho farem construint explcitament el camp G. Es la hipotesi que U es un obert estrellat i, per tal de simpli car les notacions, suposarem que U es un conjunt estrellat respecte de l'origen de coordenades. Sigui F = (P; Q; R); com que el segment entre 0 i un punt (x; y; z ) de U , (es a dir, els punts de la forma (tx; ty; tz ), 0  t  1), esta inclos a U , el camp vectorial

1

Z

G=(

0

tP (tx; ty; tx)dt;

1

Z

0

tQ(tx; ty; tx)dt;

1

Z

0

tR(tx; ty; tx)dt) ^ (x; y; z ) ;

esta ben de nit per a tots els punts de U . Aquest es el potencial vector buscat, es a dir, rot G = F . No farem la comprovacio d'aquest fet en general. A mes, en l'observacio que segueix veurem altres formes de calcular el potencial vector per a camps vectorials de nits a tot l'espai.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

189

6.3.7 Observacio

1. Sigui F un camp vectorial que prove de potencial vector i G un d'aquests potencials, rot G = F . Donada una funcio qualsevol f , el camp G + rf tambe es un potencial vector de F: rot (G + rf ) = rot G + rot rf = F : Es a dir, el potencial vector d'un camp esta determinat llevat de camps gradients. Podem apro tar aquest fet per calcular un potencial vector G = (X; Y; Z ) de forma simple: en efecte, el calcul de G a partir de F correspon a resoldre el sistema d'equacions diferencials @Z @Y = P; @y @z @X @Z = Q; @z @x @Y @X = R: @x @y Com que G esta determinat llevat de gradients, podem suposar que X = 0. Les dues darreres equacions del sistema es transformen, aleshores, en les equacions @Z = Q; @x @Y = R: @x Si (x0 ; y0 ; z0 ) es un punt de U , integrant des d'aquest punt trobem que

Z = Y =

Z x

Z x

x0

x0

Qdx + '(y; z ) ;

Rdx + (y; z ) ;

on ' i son funcions que haurem de determinar. Per fer-ho imposem que les funcions Y i Z satisfacin la primera equacio del sistema: Z x Z x @' @Q @R @ @Z @Y = dx dx @y @z @y @y @z @z x0 x0  Z x @' @ @Q @R = + dx @y @z @y @z x Z x0 @' @ @P = + dx @y @z x0 @x @' @ + P (x; y; z ) P (x0 ; y; z ) = P (x; y; z ) : = @y @z (En la tercera igualtat hem utilitzat que la divergencia de F es zero.) Aix, la primera equacio del sistema es redueix a @' @ = P (x0 ; y; z ) : @y @z

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

190

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Imposem ara que

= 0 i, aleshores, trobem que Z y

'(y; z ) =

y0

P (x0 ; y; x)dy :

En de nitiva, un potencial vector de F esta donat per

X = 0;

Y=

Z x

Z=

x0

Z x

x0

R(x; y; z )dx ;

Q(x; y; z )dx +

Z y

y0

P (x0 ; y; z )dy :

En aquesta expressio del potencial vector, les integrals es fan al llarg de camins paral
lels als eixos, des de x0 ns a x o des de y0 ns a y, per la qual cosa la regio U on esta de nit el camp vectorial ha de contenir aquests camins. Aix s'aplicara, per exemple, a un cub o a tot l'espai. 2. Hem enunciat el teorema anterior per a regions estrellades de l'espai, tot i que el resultat es cert per a regions mes generals, les regions simplement connexes i sense forats. Ja hem esmentat anteriorment que signi ca que un obert U sigui simplement connex (donada una corba tancada C de U hi ha una superfcie S de U limitada per C ). Direm que U es sense forats si donada una superfcie tancada S de U , l'obert U conte tambe tot el volum limitat per S . Per exemple, si U es tot l'espai, una bola o un cub, aleshores es una regio sense forats, mentre que si U = R3 0, aleshores U te un forat a l'origen: l'esfera unitat S es una superfcie tancada continguda a U pero el volum tancat per S conte l'origen i, per tant, no esta contingut a U .

z 2 ) es solenodal, ja que

6.3.8 Exemple El camp F = (2xz; z; y

div F = 2z + 0 2z = 0 ; i com que esta de nit a tot l'espai, F es un camp que prove de potencial vector. Prenent (x0 ; y0 ; z0 ) = (0; 0; 0), i utilitzant la formulacio anterior, trobem un potencial vector:

X = 0; Y =

Z x

0Z

Z =

Rdx = x

Z x

0Z

y

z 2)dx = yx z 2x ; P (0; y; z )dy =

Z x

zdx = xz : 0 0  a dir, trobem el camp G = (0; xy xz 2 ; xz ). Si utilitzem la formula que hem donat en la Es

0

Qdx +

(y

demostracio del teorema trobem:

Z 1 Z 1 t
2t2 xzdt; t
tzdt; t
(ty t2 z 2)dt) ^ (x; y; z ) 0 0 0   xz z y z 2 = ; ; ^ (x; y; z ) 2 3 3 4   2 y2 yz 2 xy 3xz 2 xyz xz z : = + ; ; 3 3 4 3 4 2 3

G0 = (

Z

1

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.3. El teorema de la divergencia de Gauss. Camps solenodals

191

Observem que, tal com es d'esperar, la diferencia G0 G es un camp conservatiu. De fet, es comprova immediatament que G0 G = rg, on g es la funcio

g(x; y; z ) =

xz 2 3

xy2 xyz 2 + : 3 4

6.3.9 Exemple Considerem el camp vectorial





x y z ; ; : F= (x2 + y2 + z 2)3=2 (x2 + y2 + z 2)3=2 (x2 + y2 + z 2)3=2 El camp F esta de nit a tot l'espai llevat de l'origen i en aquesta regio F es solenodal: div F = =

= =













@ x @ y @ z + + @x (x2 + y2 + z 2)3=2 @y (x2 + y2 + z 2 )3=2 @z (x2 + y2 + z 2)3=2 (x2 + y2 + z 2)3=2 3x2 (x2 + y2 + z 2 )1=2 (x2 + y2 + z 2)3=2 3y2 (x2 + y2 + z 2)1=2 + (x2 + y2 + z 2)3 (x2 + y2 + z 2)3 (x2 + y2 + z 2 )3=2 3z 2(x2 + y2 + z 2)1=2 + (x2 + y2 + z 2)3 (x2 + y2 + z 2) 3x2 (x2 + y2 + z 2 ) 3y2 (x2 + y2 + z 2 ) 3z 2 + + (x2 + y2 + z 2 )5=2 (x2 + y2 + z 2 )5=2 (x2 + y2 + z 2 )5=2 0:

Ara be, com que la regio de de nicio de F no es un obert estrellat (ni sense forats), no podem aplicar el teorema anterior i assegurar que aquest camp admet un potencial vector. De fet, F no admet un potencial vector a tota la regio ja que, si aquest fos el cas, el ux per qualsevol superfcie tancada seria nul, mentre que si calculem el ux de F per l'esfera unitat trobem que Z Z y z x < F; N > dS = < ( 2 2 2 3=2 ; 2 2 2 3=2 ; 2 2 2 3=2 ); (x; y; z ) > dS ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y +z ) S S Z 2 2 2 x +y +z = dS 2 ( x + y2 + z 2 )3=2 S =

Z

S

dS = 4 6= 0 :

Aqu podrem fer una observacio analoga a la que hem fet a 6.2.9 quan hem caracteritzat els camps conservatius amb l'ajut del rotacional: el camp F d'aquest exemple es solenodal i, per tant, prove de potencial vector en qualsevol regio simplement connexa i sense forats. Per exemple, F prove de potencial vector en el semiespai z > 0. Aquest potencial vector no pot, pero, estar ben de nit a tot l'espai llevat de l'origen, ja que en aquest cas la integral anterior hauria de ser igual a zero. 6.3.10 Exemple El potencial magnetic. Si J es el camp de densitat de corrent en un volum W , hem de nit el camp d'induccio magnetica a traves de la integral vectorial

!r  B (x1 ; y1; z1 ) = 0 J ^ 3 dxdydz ; 4 W r Z

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

192

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

on ! r = (x1 x; y1 y; z1 z ). Com que el camp ! r =r3 es conservatiu, el camp B es solenodal: Z !r  div B = 0 div (J ^ 3 )dxdydz 4 W r Z !r 0 = J ^ rot 3 dxdydz 4 W r = 0: (En el calcul anterior hem de tenir present que derivem respecte de les variables x1 ; y1 ; z1, per la qual cosa la derivada de J , que depen de les variables x; y; z del volum W , es zero.) L'equacio div B = 0, que algunes vegades s'anomena la llei de Gauss del camp magnetic, indica que el camp magnetic no te fonts ni pous, es a dir, que no hi ha carregues magnetiques. El camp B prove de potencial vector; en efecte, si de nim Z 0 J A= dxdydz ; 4 W r aleshores es te que rot A = B :

6.4 Els operadors diferencials en coordenades ortogonals En diverses aplicacions del calcul vectorial es convenient disposar de les expressions dels operadors diferencials, gradient, rotacional i divergencia, no solament en coordenades cartesianes sino, tambe, en sistemes de coordenades adaptats al problema que s'estudia. Aix, per exemple, si treballem amb un camp escalar que depen unicament de la distancia a l'origen es clar que l'us de les coordenades esferiques resultara molt convenient i, en particular, ens interessara calcular el gradient usant aquestes coordenades. Els sistemes de coordenades mes importants son el de les coordenades cilndriques i el de les coordenades esferiques. Ambdos sistemes comparteixen el fet de ser sistemes de coordenades ortogonals, es a dir, tals que les corbes coordenades son ortogonals entre si. En aquesta seccio presentem el calcul dels operadors diferencials en sistemes de coordenades ortogonals.

Sistemes de coordenades ortogonals Recordem que un sistema de coordenades en un obert U  R3 es una aplicacio bijectiva  a dir, per a tot ' : W ! U , on W  R3 es tambe un obert, que es C 1 i amb inversa C 1 . Es (u; v; w) 2 W hi ha un unic (x; y; z ) 2 U tal que x = '1 (u; v; w) ; y = '2 (u; v; w) ; z = '3 (u; v; w) ; i aquesta correspondencia es derivable amb continutat.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.4. Els operadors diferencials en coordenades ortogonals

193

6.4.1 De nicio Amb les notacions anteriors, direm que el sistema ' es un sistema ortogonal de coordenades si les corbes coordenades son ortogonals dos a dos, es a dir, si se satisfan les igualtats

< 'u ; 'v > = 0 ; < 'u ; 'w > = 0 ; < 'v ; 'w > = 0 : Un sistema de coordenades '(u; v; w) associa a cada punt de l'espai, de forma natural, un tredre de vectors que formen base. En efecte, els vectors 'u ; 'v ; 'w , que son els vectors tangents a les corbes coordenades, son linealment independents. En general, aquests vectors no son unitaris. Escriurem h1 = j'u j ; h2 = j'v j ; h3 = j'w j ; i els anomenarem coe cients de dilatacio. Denotarem el tredre unitari corresponent per 1 1 1 eu = 'u ; ev = 'v ; ew = 'w : h1 h2 h3 Quan expressem un camp vectorial en el sistema de coordenades (u; v; w) ho farem a traves de les seves components en la base eu ; ev ; ew :

F = Fu eu + Fv ev + Fw ew ; (on ara el subndex no representa derivar respecte de la variable, sino que es la component corresponent a aquesta variable). 6.4.2 Exemples

1. Considerem les coordenades cilndriques

'(r; ; z ) = (r cos ; r sin ; z ) :  un sistema ortogonal amb Es

'r = (cos ; sin ; 0) ; ' = ( r sin ; r cos ; 0) ; 'z = (0; 0; 1) ; i, per tant, h1 = 1, h2 = r i h3 = 1, amb la qual cosa el tredre unitari associat es

er = 'r = (cos ; sin ; 0) ; 1 e = ' = ( sin ; cos ; 0) ; r ez = 'z = (0; 0; 1) : Aix, per exemple, el camp vectorial F = (x(x2 + y2 ); y(x2 + y2 ); z 2 ) s'expressa, en el tredre de coordenades cilndriques, per F = r3 er + z 2 ez .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

194

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

2. Les coordenades esferiques formen tambe un sistema ortogonal: el sistema esta determinat per '(r; ; ) = (r cos  cos ; r sin  cos ; r sin ) ; i, per tant,

'r = (cos  cos ; sin  cos ; sin ) ; ' = ( r sin  cos ; r cos  cos ; 0) ; ' = ( r cos  sin ; r sin  sin ; r cos ) ; amb la qual cosa els coe cients de dilatacio resulten

h1 = 1 ; h2 = r cos  ; h3 = r ; i el tredre associat es:

er = 'r = (cos  cos ; sin  cos ; sin ) ; 1 e = ' = ( sin ; cos ; 0) ; r cos   1 e = ' = ( cos  sin ; sin  sin ; cos ) : r 3. Tot i que les coordenades cilndriques i les esferiques formen els sistemes de coordenades ortogonals mes utilitzats (a mes, logicament, de les coordenades cartesianes), hi ha molts altres sistemes de coordenades ortogonals d'utilitat. A ttol d'exemple, considerem el sistema de coordenades cilndriques el
lptiques, que es el sistema de nit per les equacions x = cos u cosh v ; y = sin u sinh v ; z = z; amb 0 < u < 2, v > 0, i 1 < z < 1. Com que son coordenades de tipus cilndric, (amb la tercera variable, z , lliure), es su cient estudiar les corbes coordenades u = cnt i v = cnt en el pla z = 0. Si u = u0 , aleshores v descriu una hiperbola, ja que es te que

y2 cos2 u0 cosh2 v sin2 u0 sinh2 v = = cosh2 v sinh2 v = 1 : 2 cos2 u0 sin u0 sin2 u0 D'altra banda, les corbes v = v0 son el
lipses: x2 y2 cos2 u cosh2 v0 sin2 u sinh2 v0 + = + = cos2 u + sin2 u = 1 : cosh2 v0 sinh2 v0 cosh2 v0 sinh2 v0 El sistema es ortogonal amb coe cients de dilatacio: x2 cos2 u0

h1 = h2 =

p

sinh2 v + sin2 u ; h3 = 1 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.4. Els operadors diferencials en coordenades ortogonals

195

Figura 6.26: Coordenades cilndriques el
lptiques

Gradient en coordenades ortogonals Sigui f (u; v; w) un camp escalar. El gradient de f s'expressara, en les coordenades (u; v; w), de la forma rf = Fu eu + Fv ev + Fw ew : Ens proposem calcular les components Fu ; Fv i Fw . Com que el tredre eu ; ev ; ew es ortonormal, la component Fu de rf en eu es calcula projectant rf sobre eu :

Fu = < rf; eu > @f @f @f 1 @' @' @' = < ( ; ; ); ( 1 ; 2 ; 3 ) > @x @y @z h1 @u @u @u   1 @f @'1 @f @'2 @f @'3 = + + h1 @x @u @y @u @z @u 1 @f = ; h1 @u on la darrera igualtat es consequencia de la regla de la cadena. Analogament, per a les altres variables trobem que 1 @f 1 @f ; Fw = : Fv = h2 @v h3 @w En de nitiva, el gradient de f en coordenades ortogonals esta donat per: 1 @f 1 @f eu + ev + e : rf = h1 @f @u h @v h @w w

1

2

3

En particular, per a les coordenades cilndriques trobem 1 @f @f rf = @f er + e + ez ; @r r @ @z i per a les coordenades esferiques, 1 @f 1 @f rf = @f e + e + e : @r r r cos  @  r @ 

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

196

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

6.4.3 Exemple El camp escalar f (r; ; z ) = r2  esta expressat en coordenades cilndriques. El

seu gradient es

rf = 2rer + re :

Divergencia en coordenades ortogonals Sigui F = Fu eu + Fv ev + Fw ew un camp vectorial expressat en un sistema ortogonal de coordenades (u; v; w). Per calcular la divergencia de F utilitzarem la proposicio 6.3.3 de manera analoga a com ho hem fet a la seccio 5.3 per a les coordenades cartesianes. Donat un punt p = '(u; v; w), considerem un volum coordenat centrat en aquest punt i de costats
u;
v;
w, (vegeu la gura 6.27), que es el volum imatge per ' del cub centrat a (u; v; w) i de costats
u;
v;
w.

z

x


u


v


w y

Figura 6.27: Cub curvilini al voltant de p

Com que el sistema de coordenades es ortogonal, les cares d'aquest cub curvilini son ortogonals entre si i l'area de cadascuna es, simplement, el producte de les seves longituds. Aix, l'area de la cara corresponent a u +
u=2 sera

h2
v
h3
w = h2 h3
v
w : El vector normal a aquesta mateixa cara es el vector eu i, per tant, el ux de F per aquesta cara es aproximadament igual a
u < F; eu > h2 h3
v
w = Fu (u + ; v; w)h2 h3
v
w : 2 Raonant analogament per la cara u
u=2 i tenint present que en aquest cas el vector normal corresponent es eu , obtenim que el ux corresponent es
u Fu (u ; v; w)h2 h3
v
w : 2 Aix, tenint present el teorema del valor mig, podem calcular el ux sortint per aquestes dues cares de la forma:  
u
u @ (Fu h2 h3 )
u
v
w ; Fu (u + ; v; w)h2 h3
v
w Fu (u ; v; w)h2 h3
v
w = 2 2 @u

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.4. Els operadors diferencials en coordenades ortogonals

197

on la derivada esta calculada en un cert punt del segment. La contribucio d'aquest ux a la divergencia de F es, per tant, 



@ (Fu h2 h3 )
u
v
w 1 @ @u = (F h h ) ; lim h1 h2 h3
u
v
w h1 h2 h3 @u u 2 3 vol!0 on ara la derivada esta avaluada a p. Raonant de forma analoga per a les altres variables trobem, nalment, la formula de la divergencia en coordenades ortogonals: 



@ (Fu h2 h3 ) @ (Fv h1 h3 ) @ (Fw h1 h2 ) 1 + + : div F = h1 h2 h3 @u @v @w En particular, en coordenades cilndriques trobem que 

1 @ (rFr ) @F @ (rFz ) + + r @r @ @z 1 @ (rFr ) 1 @F @Fz = + + ; r @r r @ @z

div F =



i, en coordenades esferiques, 1 @ (r2 cos Fr ) @ (rF ) @ (r cos F ) + + 2 r cos  @r @ @ 2 1 @ (r Fr ) 1 @F 1 @ (cos F ) = 2 + + : r @r r cos  @ r cos  @

div F =





6.4.4 Exemple Considerem el camp vectorial donat en coordenades esferiques per F = rer . Aleshores F te divergencia: 1 @ (r 2
r ) div F = 2 = 3: r @r Observem que, logicament, el resultat d'aquest calcul es el mateix que el que en resulta usant coordenades cartesianes. Comprovem-ho: en coordenades cartesianes, F esta donat per

F = rer = r(cos  cos ; sin  cos ; sin ) = (x; y; z ) ; i, per tant,

div F = 1 + 1 + 1 = 3 :

El rotacional en coordenades ortogonals Partim un cop mes d'un camp vectorial F = Fu eu +Fv ev +Fw ew i volem calcular-ne el rotacional utilitzant la formula Z < F; T > d` ; < rot F; N >= lim C A(D) A(D)!0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

198

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

establerta a la proposicio 6.2.4. Com que rot F es un camp vectorial hem de trobar les seves components en una base de l'espai, en aquest cas en el tredre eu ; ev ; ew . Calculem la primera d'aquestes components, ja que les altres dues es fan de la mateixa forma. Escollim, per tant, la direccio N = eu i, com a superfcie D, escollim un rectangle curvilini centrat en el punt p, de costats
v;
w, ortogonal a eu , (vegeu la gura 6.28).

eu

d a

c
v


w

b Figura 6.28: Rectangle curvilini ortogonal a eu

La circulacio de F per la vora d'aquesta regio consta de quatre parts: Z

@D

< F; T > d` =

Z

ab

< F; T > d` +

Z

bc

< F; T > d` +

Z

cd

< F; T > d` +

Z

da

< F; T > d` :

Calculem la circulacio de F per ab i per cd: pel teorema del valor mig, aquesta integral es, aproximadament: Z Z < F; T > d` = < F; ev > d` = Fv (q)h2
v ; ab

ab

on q es un punt del segment ab, i analogament es te que Z

cd

< F; T > d` = Fv (q0 )h2
v :

Aix, la contribucio d'aquests dos segments curvilinis a la circulacio de F per @D es: @ (Fv (q) Fv (q0 ))h2
v = (Fv h2 )
w
v ; @w on la derivada parcial esta calculada en un punt intermig, l'existencia del qual es dona pel teorema del valor mig diferencial. La contribucio dels segments bc i da es calcula analogament i resulta ser @ (Fw (q) Fw (q0 ))h3
w = (Fw h3 )
v
w : @v En de nitiva, la circulacio de F per @D es @ @ (h2 Fv )
v
w (h F )
v
w ; @w @v 3 w

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.4. Els operadors diferencials en coordenades ortogonals

199

i dividint per l'area h2 h3
v
w i passant al lmit, trobem que 





1 @ < rot F; eu >= (h F ) h2 h3 @v 3 w



1 @ (h F ) : h2 h3 @w 2 v

Tenint presents els valors de les altres coordenades, veiem que, en general, la formula del rotacional en coordenades ortogonals es dona pel seguent determinant:

h1 eu h2 ev h3 ew 1 @ @ @ rot F = h1 h2 h3 @u @v @w h1 F1 h2 F2 h3 F3



En particular, per a les coordenades cilndriques trobem que



er re ez  1 @ @ @ = 1 @F3 rot F = r @r @ @z r @ F1 rF2 F3





@ (rF2 ) @F1 er + @z @z





@F3 1 @ (rF2 ) e+ @r  r @r



@F1 e; @ z

i, per a les coordenades esferiques, trobem que 1 r2 cos  



er r cos e re @ @ @ rot F = @r @ @ F1 r cos F2 rF3   1 @F3 @ (F2 cos ) 1 @F1 = er + r cos  @ @ r @   1 @ (r cos F2 ) @F1 + e : r cos  @r @ 



@ (rF3 ) e @r

6.4.5 Exemple En coordenades cilndriques, el rotacional del camp vectorial F = er + rzez es

rot F = ze .

Laplaciana en coordenades ortogonals Un cop calculats el gradient i la divergencia en coordenades ortogonals es facil calcular l'expressio de la laplaciana:
f = div rf   1 @f 1 @f 1 @f eu + ev + ew = div h1 @u h2 @v h3 @w   1 @ 1 @f @ 1 @f @ 1 @f = ( h2 h3 ) + ( h1 h3 ) + ( h1 h2 ) : h1 h2 h3 @u h1 @u @v h2 @v @w h3 @w

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

200

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

En de nitiva, trobem: 











1 @ h2 h3 @f @ h1 h3 @f @ h1 h2 @f + +
f = h1 h2 h3 @u h1 @u @v h2 @v @w h3 @w



:

En particular, per a les coordenades cilndriques trobem que 1 @2f @2f 1 @ @f (r ) + 2 2 + 2 ;
f = r @r @r r @ @z i per a les coordenades esferiques trobem que   1 @ @f 1 @2f 1 @ @f
f = 2 (r2 ) + 2 2 + cos  : r @r @r r cos  @2 r2 cos  @ @ 6.4.6 Exemples

1. El calcul de la laplaciana en coordenades esferiques permet trobar facilment totes les funcions f (r) que nomes depenen de r i que satisfan
f = 0. En efecte, la laplaciana de f es igual a 1 @ @f
f = 2 (r2 ) ; r @r @r i imposant que
f = 0 trobem: 1 @ 2 @f @ 2 @f (r ) = 0 =) (r )=0 2 r @r @r @r @r @f =) r2 = cnt @r @f cnt =) = @r r2 a =) f (r) = + b ; r  a dir, llevat de constants, la funcio 1=r es l'unica funcio que satisfa on a i b son constants. Es els requeriments imposats. 2. Analogament, si utilitzem coordenades cilndriques i cerquem les funcions amb laplaciana zero i que nomes depenen del radi trobem   @f 1@ r = 0 =) f (r) = a ln r + b : r @r @r A la funcio ln r se l'anomena el potencial logartmic.

6.5 Camps newtonians En aquesta seccio establim la llei de Gauss per als camps newtonians i derivem les equacions de Laplace i de Poisson que satisfan els potencials newtonians.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.5. Camps newtonians

201

Anomenarem camp newtonia tot camp vectorial de nit per una distribucio de massa de densitat  segons la llei de gravitacio de Newton. Un camp newtonia pot estar de nit per una massa puntual o per una integral vectorial,

F (x1 ; y1 ; z1 ) =

! r d? ; 3 r ?

Z

on ! r = (x1 1; y1 y; z1 z ) i la integral s'esten a una regio \?" que pot ser una corba, una superfcie o un volum, i indica aleshores d? l'element de lnia, de superfcie o de volum. Per comoditat de l'exposicio ens limitarem a tractar el cas puntual i el d'un camp creat per una distribucio de massa volumetrica. Els camps newtonians son conservatius. De fet, deriven de potencial, ja que es immediat comprovar que r(1=r) = ! r =r3 i que, en el cas volumetric, si de nim

V=

Z

 dxdydz ; W r

aleshores,

F = rV : A V l'anomenarem el potencial newtonia, (2.6). La llei de Gauss Si F es un camp newtonia, aleshores rot F = 0, ja que deriva de potencial. Respecte de la divergencia de F tenim: 6.5.1 Proposicio Sigui F un camp newtonia, aleshores F es solenodal fora de les masses, es a dir, div F = 0 en tot punt exterior a la massa. Demostraci o.

En el cas puntual el resultat a provar es

1 1 div r =
= 0 ; r r resultat que ja hem comprovat a la seccio anterior. En el cas d'un volum W de densitat de massa , el calcul es similar, ja que es te que Z













@ y1 y @ z1 z @ x1 x div F =  + + 3 3 @x r @y r @z r3 1 1 W  1  Z 3 3 + 3 dxdydz =  3 r r W = 0:



dxdydz

Per estudiar com es la divergencia de F en els punts de W resulta fonamental el resultat seguent, de gran interes en les aplicacions.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

202

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

6.5.2 Teorema [Llei de Gauss.] Sigui W una regio elemental de l'espai i S = @W la superfcie que l'envolta. Suposem que 0 62 S i sigui ! r = (x; y; z ). Aleshores, Z

!r < 3 ; N > dS = r S



4 ; 0;

si 0 2 W ; si 0 2= W :

Com hem assenyalat en la proposicio anterior, el camp ! r =r3 es solenodal alla on esta de nit. Si 0 62 W , el camp esta de nit a tots els punts de W i, aplicant el teorema de la divergencia, resulta que

Demostracio.

!r !r < 3 ; N > dS = div 3 dxdydz = 0 : r r S W D'altra banda, si 0 2 W , no podem aplicar directament el teorema de Gauss. Tot i aixo, podem utilitzar aquest resultat per reduir la prova del teorema al cas en que S es una esfera: en efecte, sigui " > 0 un nombre real prou petit per tal que la bola de centre 0 i radi ", B" , estigui tota continguda a W . Fixem les notacions seguents: W" = W B" ; S" = @B" , l'esfera de radi ", (vegeu la gura 6.29). Z

Z

0

N" S"

N

W Figura 6.29: Seccio del volum W"

Per de nicio de W" es te que 0 62 W" i podem aplicar el teorema de la divergencia per deduir que Z Z Z !r !r !r < 3 ; N > dS = < 3 ; N > dS + < 3 ; N"0 > dS = 0 ; r r r @W" S S" 0 on N" es el vector normal a l'esfera que surt de W" , es a dir, que entra a la bola B" . Aix, si N" = N"0 es el vector normal exterior a l'esfera S" , la igualtat anterior implica que Z

!r

!r < 3 ; N"0 > dS r S" Z !r = < 3 ; N" > dS : r S"

< 3 ; N > dS = r S

Z

Ara el calcul es elemental ja que sobre l'esfera de radi " es te que N" = ! r =" i se satisfa que

!r !r < 3 ; > = r " r="



1 r2 = ; "4 r=" "2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.5. Camps newtonians

i, en de nitiva, el ux es

203

!r

Z

Z

1 dS < 3 ; N" > dS = r " S" 2 S" 1 = 2 Area( S" ) " 1 = 2
4"2 = 4 : "

6.5.3 Observacio Hem enunciat la llei de Gauss en els casos en que 0 esta inclos a W o es exterior a aquest volum i hem deixat de banda el cas en que 0 es un punt de la superfcie @W . Es pot veure que, en aquest cas, el valor de la integral de la llei de Gauss es 2, tot i que no ho provarem, ja que es un calcul que no utilitzarem en aquest text.

El resultat es cert, tambe, per a una distribucio de volum: 6.5.4 Proposicio Sigui  una funcio de densitat de nida en un volum elemental W , M la massa total de W i F el camp newtonia associat. Sigui S una superfcie tancada amb interseccio buida amb W . Aleshores, el ux sortint de F per S es igual a 4M , si S envolta W , i zero, en cas contrari. Demostraci o. El resultat se segueix de la llei de Gauss establerta anteriorment i de la possibilitat de canviar l'ordre d'integracio en una integral multiple: Z Z Z !r < F; N > dS = <  3 ; N > dxdydzdS r S S W Z Z !r = dxdydz < 3 ; N > dS r W S

= 4

Z

W

dxdydz = 4M :

6.5.5 Observacio La llei de Gauss s'aplica, tambe, al camp electric. En aquest cas diu: el ux per una superfcie tancada S del camp electric creat per una distribucio de carrega  es 4 per la carrega total envoltada per S .

Com a consequencia de la llei de Gauss, dedum ara l'equacio de Poisson dels potencials newtonians volumetrics. 6.5.6 Teorema Sigui V el potencial newtonia corresponent a una funcio de densitat  de nida en un volum W . Aleshores, en els punts interiors de W se satisfa:


V = 4 : Sigui p un punt interior de W . Per a tot volum W 0 contingut a W i que conte p en el seu interior se satisfa, segons la llei de Gauss, la igualtat Demostraci o.

Z

S0

< F; N > dS = 4M 0 ;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

204

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

on M 0 es la massa de W 0 i S 0 = @W 0 . Aix, pel teorema de la divergencia, es te que Z

W0

div F dxdydz = 4

Z

W0

dxdydz :

Pero, div F = div rV =
V i, per tant, aquesta igualtat s'escriu de la forma Z

W0


V dxdydz = 4

Z

W0

dxdydz :

Com que el volum W 0 es arbitrari, podem concloure que se satisfa l'equacio
V = 4 : 6.5.7 Observacio La demostracio anterior no es correcta tal com s'ha presentat. En efecte, la

superfcie S 0 que envolta el volum W 0 esta tota continguda a W i, per tant, conte part de la distribucio de massa, cas que havem exclos de la llei de Gauss. No obstant, hem presentat aquest raonament perque, amb hipotesis adequades, es pot provar que la demostracio es essencialment correcta. Aix doncs, un potencial newtonia creat per una funcio de densitat  satisfa les equacions Laplace
V = 0 ; Poisson
V = 4 ;

a l'exterior de W a l'interior de W

6.6 Les formules de Green. Teoria del potencial En la seccio anterior hem vist que el potencial newtonia V satisfa l'equacio de Laplace
V = 0 fora de la massa que el de neix. En general, les funcions f (x; y; z ) que son C 2 i que satisfan l'equacio @2f @2f @2f
f = 2 + 2 + 2 = 0 ; @x @y @z s'anomenen funcions harmoniques. En aquesta seccio presentem les formules de Green, que son consequencia del teorema de la divergencia, i les apliquem a l'estudi de les funcions harmoniques i els problemes de contorn associats.

Les formules de Green Les dues primeres formules de Green son consequencia immediata del teorema de la divergencia. 6.6.1 Teorema [1a formula de Green.] Siguin f; g dues funcions derivables amb continutat en un volum elemental W ; denotem per S la superfcie que envolta W i per N el camp normal a S sortint de W . Se satisfa que Z

W

(f
g+ < rf; rg >)dxdydz =

Z

@g dS ; @N S f

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.6. Les formules de Green. Teoria del potencial

205

on @g=@N =< rg; N > es la derivada direccional de g respecte de N . Demostraci o. La f ormula de l'enunciat es consequencia d'aplicar el teorema de la divergencia al camp vectorial f rg ja que, segons la regla de derivacio de Leibniz, es te que

div f rg =< rf; rg > +f div rg =< rf; rg > +f
g : En particular, si f es la funcio constant igual a 1 i g es una funcio harmonica, trobem: 6.6.2 Corol
lari Si f es una funcio harmonica de nida en un volum elemental W , aleshores Z

@f dS = 0 : @W @N

Un altre cas particular de la primera formula de Green que ens sera d'utilitat mes endavant es aquell en el qual f = g. 6.6.3 Corol
lari Si f es una funcio harmonica de nida en un volum elemental W , aleshores Z

Z

@f dS = @N W @W f

k rf k2 dxdydz :

La segona formula de Green s'obte simetritzant la primera, en el sentit que s'obte aplicant la primera formula al parell (f; g) i al parell (g; f ) i restant les expressions corresponents. 6.6.4 Teorema [2a formula de Green.] Amb les notacions de 6.6.1, es te que Z

W

(f
g

g
f )dxdydz =

Z 

S

f

@g @N

g



@f dS : @N

6.6.5 Corol
lari Si f i g son funcions harmoniques de nides en un volum elemental W , aleshores

se satisfa que

Z

Z

@g @f f dS = g dS : S @N S @N

Finalment, la tercera formula de Green expressa el valor d'una funcio de nida a W a partir dels valors de f i de @f=@N sobre S = @W i de
f . 6.6.6 Teorema [3a formula de Green.] Sigui p0 = (x0 ; y0 ; z0 ) de nida a W . Aleshores,

1 f (p0 ) = 4 on r =

p

(x x0 )2 + (y

Z 

1 @f S r @N



Z

2 W @W i f 

@ 1 1 f dS +
fdxdydz ; @N r W r

y0 )2 + (z z0 )2 .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

una funcio C 2

206

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Per provar la formula de l'enunciat integrarem la funcio
f=r sobre W . Com que es tracta d'una integral impropia hem de realitzar un pas al lmit, Z Z 1 1
fdxdydz = "lim
fdxdydz ; ! 0 r W W" r on W" = W B" , essent B" un bola de radi " centrada a p0 , tota continguda a W . Analitzem la integral sobre W" : la vora de W" esta formada per dues superfcies, S i S" , l'esfera de radi " que envolta B" . Si apliquem la segona formula de Green a les funcions 1=r i f sobre W" , i tenim present que la funcio 1=r es harmonica, trobem la igualtat  Z Z  1 1 @f @ 1
fdxdydz = f dS @N r W r @N W" r   Z 1 @f @ 1 + f dS ; @N" r S" r @N" on N" es el vector interior a S" . Analitzem la integral sobre S" : la derivada direccional de 1=r respecte de N" = ! r =" es ! @ 1 1 r = @N" r r " r=" !r !r = < 3; > r " r=" 1 = 2; " i, per tant, el primer terme de la integral sobre S" es, en el lmit, Z Z @ 1 1 dS = lim fdS lim f "!0 S" @N" r "!0 "2 S" 1 2 = "lim !0 "2 4" f (q) = 4f (p0 ) : L'altre terme de la integral tendeix a zero ja que, com que @f=@N es contnua sobre el compacte S" , hi ha una constant K amb j@f=@N j < K a tots els punts de S" i, per tant, es te la desigualtat Z Z K 1 @f K dS = 4"2 = 4K" ; < " r @N " " S" S" que tendeix a zero amb ". Demostracio.

Especialitzant la tercera formula de Green per a les funcions harmoniques, obtenim la representacio integral de les funcions harmoniques: 6.6.7 Corol
lari Sigui f una funcio harmonica de nida en un volum elemental W . Aleshores, es

te que

Z



1 1 @f 4 @W r @N per a qualsevol punt p0 de l'interior de W .

f (p0 ) =

f



@ 1 dS ; @N r

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.6. Les formules de Green. Teoria del potencial

207

 a dir, els valors de la funcio (harmonica) f a l'interior de W queden determinats pels Es valors d'aquesta funcio i de @f=@N sobre la frontera @W de W . Assenyalem que els valors de la derivada direccional @f=@N sobre S no poden ser arbitraris ja que, segons 6.6.2, s'ha de satisfer la igualtat Z @f dS = 0 : S @N 6.6.8 Observacio La formula de Green que hem establert a 6.6.7 per a funcions harmoniques de tres variables es valida tambe, amb les modi cacions oportunes, per a funcions de diverses variables. Per a funcions harmoniques de dues variables la formula de Green corresponent utilitza el potencial logartmic, ln r, en lloc de la funcio 1=r. Mes concretament, si D es una regio del pla de vora C , una corba tancada, i f (x; y) es una funcio harmonica a l'interior de D i contnua a D, aleshores es te que  Z  @f @ 1 f (p0 ) = ln r f ln r d` ; 2 C @n @n on n es el vector normal a C sortint de D. L'estudi de les funcions harmoniques de dues variables esta estretament lligat a l'estudi de les funcions de variable complexa, que no tractarem aqu.

Els problemes de contorn Els resultats anteriors son especialment utils per establir teoremes d'unicitat per als problemes de contorn classics associats a l'equacio de Laplace i a l'equacio de Poisson. Ens centrarem en l'equacio de Laplace, ja que les solucions de l'equacio de Poisson s'obtenen com a suma d'una solucio particular d'aquesta equacio i una solucio general de l'equacio de Laplace. En tot el que segueix, W es un volum elemental de vora S = @W . Problema de Dirichlet. Donada una funcio contnua f sobre S , hi ha una funcio contnua u sobre tot el domini W tal que coincideixi amb f en els punts de S i sigui harmonica a l'interior de W ? En cas a rmatiu, quantes n'hi ha?.

Indiquem l'interes d'aquest problema amb un exemple: imaginem que W es una regio de l'espai de la qual volem coneixer la distribucio de temperatura T . Suposem que hem mesurat la temperatura a la superfcie S , i n'ha resultat una funcio f . Si el proces es estacionari (es a dir, que no varia amb el temps) la temperatura a W ha de satisfer l'equacio de Laplace a l'interior de la regio (vegeu la seccio 6.8) i, per tant, ha de ser solucio del problema de Dirichlet associat a la mesura f . En un cas com aquest, l'existencia de la solucio esta determinada per la fsica del problema, (alguna distribucio de temperatures hi haura a W ), i la part que esdeve mes important es saber si la mesura f efectuada a S determina unvocament la solucio, es a dir, la questio es saber si hi ha una unica solucio a l'equacio de Laplace tal que sobre S coincideix amb f . Com en l'exemple que hem assenyalat, sovint l'existencia de solucions al problema de Dirichlet esta assegurada per les condicions fsiques del problema, (des del punt de vista matematic, els

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

208

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

teoremes d'existencia estan fora de l'abast d'aquest curs). La unicitat resulta de les formules de Green, com tot seguit comprovem. 6.6.9 Teorema Sigui W un volum elemental connex i f una funcio contnua a S . Si el problema de Dirichlet per a f a W te solucio, aleshores la solucio es unica.

Suposem que hi ha dues solucions u i v al problema de Dirichlet per a f a W . Aixo vol dir que se satisfa ujS = f = vjS ; i que les dues funcions son harmoniques a l'interior de W . Aix, la diferencia w = u v satisfa les igualtats Demostracio.


w =
u
v = 0 ; wjS = ujS vjS = f f = 0 ; es a dir, w es una solucio al problema de Dirichlet per a la funcio constant igual a 0. Com que w es harmonica, se satisfa que Z

W

k rw k2 dxdydz = 0 ;

segons 6.6.3 i, com que k rw k2 es una funcio contnua i positiva, en resulta que

k rw k= 0 :  a dir, com que W es connex, la funcio w es una funcio constant. Pero, sobre S es igual a Es zero, per la qual cosa, en de nitiva, w = 0, o, equivalentment, u = v. 6.6.10 Exemple Una aplicacio immediata de la unicitat de la solucio del problema de Dirichlet es que el camp electric a l'interior d'una esfera buida S carregada uniformement es zero. En efecte, com que a l'interior de l'esfera no hi ha carrega, el potencial electric V satisfa l'equacio de Laplace en aquests punts, es a dir, es una funcio harmonica. Considerem una esfera S 0 concentrica amb S i de radi menor que el de S . Per simetria, el potencial V sera constant sobre S 0 i, per la unicitat de la solucio del problema de Dirichlet, V sera constant a l'interior de S 0 . Fent tendir el radi de S 0 al radi de S , dedum que V es constant a l'interior de l'esfera S , pero aleshores el camp electric corresponent es E = rV = 0.

Un altre problema de contorn associat a l'equacio de Laplace de gran interes en les aplicacions es el problema de Neumann. Problema de Neumann. Donada una funcio contnua f sobre S , hi ha una funcio contnua u sobre tot el domini W tal que coincideixi amb @f=@N en els punts de S i sigui harmonica a l'interior de W ? En cas a rmatiu, quantes n'hi ha?

Una vegada mes, les formules de Green permeten establir un resultat d'unicitat de les solucions.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.6. Les formules de Green. Teoria del potencial

209

6.6.11 Teorema Sigui W un volum elemental connex i f una funcio contnua a S . Si el problema de Neumann per a f a W te solucio, aleshores la solucio es unica llevat de constants.

La deduccio d'aquest teorema d'unicitat es analoga a la de 6.6.9. En aquest cas, pero, de l'equacio rw = 0 (notacions de la demostracio de 6.6.9) no podem deduir que w = 0, ja que ara no coneixem els valors de w sobre la vora @W i, per tant, nomes podem a rmar que w es constant. A la practica son importants, tambe, els anomenats problemes externs de Dirichlet i de Neumann. Abans de presentar aquests problemes estudiem algunes propietats de les funcions harmoniques, en particular el principi del maxim, que ens permetran establir els resultats d'unicitat de solucions adequats. Demostraci o.

Funcions harmoniques: el principi del maxim El principi del maxim que volem establir per a les funcions harmoniques es consequencia dels teoremes del valor mig per a aquestes funcions. 6.6.12 Teorema [1er teorema del valor mig.] Sigui f una funcio harmonica a la bola BR (p), i sigui SR = @BR (p). Aleshores, Z

1 fdS ; 4R2 SR es a dir, el valor d'una funcio harmonica f en un punt p es el valor mig de f sobre una esfera, SR , centrada a p.

f (p) =

Demostraci o.

Per la tercera formula de Green, 6.6.7, es te que

f (p) =

Z



1 1 @f 4 SR r @N

f



@ 1 dS ; @N r

pero, com que f es harmonica, se satisfa que (6.6.2) Z

Z

1 @f 1 @f dS = dS = 0 : R SR @N SR r @N

Conjugant aquestes dues igualtats dedum la formula del valor mig:

f (p) = = = =

Z

1 @ 1 f dS 4 SR @N r Z 1 1 ! r f < r ; > dS 4 SR r R Z !r !r 1 f< ; > dS 4 SR R3 R Z 1 fdS : 4R2 SR

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

210

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

6.6.13 Corol
lari [2n teorema del valor mig.] Amb les notacions del teorema anterior, se satisfa

que

f (p) = Demostracio.

Z

3 fdxdydz : 4R3 BR (p)

Pel primer teorema del valor mig, per a tot 0 < r  R se satisfa que 4r2 f (p) =

Z

Sr

fdS :

Integrant entre 0 i R, respecte de r, s'obte que

4R3 f (p) = fdxdydz ; 3 BR Z

d'on se segueix el resultat. Podem ara establir el principi del maxim per a les funcions harmoniques. 6.6.14 Teorema [Principi del maxim.] Sigui f una funcio contnua a W i harmonica en els punts interiors de W i suposem que W es connex. Aleshores, f atansa els seus valors extrems en punts de la frontera @W .

Si f te un maxim a la frontera no hi ha res per demostrar. Suposem que f te un valor maxim en un punt p de l'interior de W . Anem a veure que, en aquest cas, la funcio es constant i que, per tant, atansa aquest valor maxim tambe en els punts de la frontera. Com que p es un punt interior a W podem escollir un " > 0 prou petit per tal que B" (p)  W . El teorema del valor mig i el fet que el valor de f (p) es maxim permeten establir la desigualtat Z Z 1 1 f (p) = fdS  f (p)dS = f (p) : 4"2 S" 4"2 S" Demostracio.

Com que en resulta una igualtat, els valors de f sobre S" no poden ser menors que f (p), es a dir, f es constant en un petit entorn de p. Per la connexio de W i l'arbitrarietat del punt interior p, f es constant, com volem provar. Podem expressar el principi del maxim a traves de la desigualtat max x2W jf (x)j  max x2@W jf (x)j :

Problemes de contorn externs Enunciem tot seguit el problema de contorn extern de Dirichlet i provem un resultat d'unicitat de les solucions. Problema extern de Dirichlet. Sigui W un volum elemental i f una funcio contnua sobre S . Hi ha una funcio contnua a R3 W Æ que coincideixi amb f sobre S i que sigui harmonica en els punts de R 3 W ? En cas a rmatiu, quantes n'hi ha?

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.6. Les formules de Green. Teoria del potencial

211

En aquest cas, el teorema d'unicitat de les solucions no s'aplica de forma immediata ja que R3 W no es compacte, hipotesi que hem utilitzat per establir els teoremes d'unicitat en el cas acotat. Per exemple, la funcio 1=r es harmonica a R3 B1 (0) i sobre l'esfera de radi 1 es constant i igual a 1, sense ser constant ella mateixa. En el context dels problemes de contorn externs, s'han de xar les condicions de creixement de les funcions a l'in nit per tal d'obtenir resultats d'unicitat. El resultat seguent n'es un exemple. 6.6.15 Teorema [Unicitat Dirichlet exterior.] Sigui U  R3 un obert no acotat amb frontera S = @U , i sigui g una funcio de nida a R3 Br (0), per a algun r > 0. Si u es solucio al problema de Dirichlet exterior a U , amb ujS = f i satisfa que lim ju(x) g(x)j = 0 ;

x!1

aleshores u es unica.

Suposem que u; v son dues funcions contnues a U , harmoniques a U i que coincideixen amb f sobre la frontera S i suposem, a mes, que ambdues funcions tenen el mateix creixement a l'in nit que la funcio g. Volem veure que u = v. El resultat es consequencia del principi del maxim: en efecte, observem que provar la igualtat u = v es equivalent a provar que per a qualsevol x 2 U i qualsevol " > 0 se satisfa la desigualtat

Demostraci o.

ju(x) v(x)j < " :

Fixem x 2 U i " > 0. Per hipotesi es te que

lim ju(y) g(y)j = ylim !1 jv(y) g(y)j = 0 ;

y!1

i, per tant, hi ha un radi prou gran R > 0 tal que jxj < R i tal que, per a tot jyj > R se satisfan les desigualtats

ju(y) g(y)j < "=2 ; jv(y) g(y)j < "=2 ;

amb la qual cosa, per a tot jyj > R es te que

ju(y) v(y)j  ju(y) g(y)j + jg(y) v(y)j < "=2 + "=2 = " :

(6.1)

Sigui BR la bola centrada a l'origen i de radi R, que conte el punt x per l'eleccio de R, i considerem el conjunt compacte K = U \ BR . La frontera de K es

@K = (@U \ BR ) [ (U \ @BR ) ; i, com que u = v = f sobre S = @U i que se satisfa 6.1 sobre @BR , en resulta que max@K ju(y) v(y)j < " :

Pero, pel principi del maxim,

ju(x) v(x)j  max@K ju(y) v(y)j < " ;

fet que acaba la prova.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

212

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

6.6.16 Observacio El teorema d'unicitat anterior admet diverses versions segons el tipus de

condicio de creixement a l'in nit que imposem. Un enunciat habitual correspon a aquell que imposa la regularitat de la solucio: una funcio harmonica u en un obert U no acotat es diu que es regular a l'in nit si hi ha una constant k i un radi r0 tals que

k u k< kr ; k ru k< rk2 ; per a tot r > r0 . Es pot provar, per exemple, que una funcio harmonica de nida a U i que tendeix a zero uniformement a l'in nit es una funcio harmonica regular (aquesta es la situacio de la diferencia u v de la demostracio anterior). El teorema 6.6.15 es una cas particular de l'enunciat seguent: si u es una funcio harmonica en un obert no acotat U que es regular a l'in nit i satisfa ujS = 0, aleshores u = 0. El problema exterior de Neumann s'enuncia de forma similar i, amb condicions de comportament a l'in nit adequades, admet el teorema d'unicitat, llevat de constants, corresponent.

6.7 Descomposicio de Helmholtz En aquest apartat apliquem algunes de les propietats establertes per als potencials newtonians i per a les funcions harmoniques per descompondre un camp vectorial com a suma d'un camp conservatiu i un camp solenodal. Aquesta descomposicio apareix tambe quan s'intenta recuperar un camp vectorial a partir de la seva divergencia i del seu rotacional, es a dir, de les seves fonts i de la seva vorticitat. En general, no podem esperar recuperar un camp vectorial unicament a partir de la divergencia i del rotacional. 6.7.1 Exemple El camp vectorial F = (x; 2y; z ) te divergencia i rotacional nuls:

div F = 1 2 + 1 = 0 ; rot F =



i

@ @x x

j

k



@ @ = (0; 0; 0) ; @y @z 2y z

pero no es el camp constant zero. Comencem tractant el cas acotat: sigui W un domini elemental simplement connex i sense forats amb frontera S = @W , i denotem per N el camp normal a S exterior a W . La divergencia i el rotacional d'un camp el determinen si xem la component normal sobre S , com prova el resultat seguent.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.7. Descomposicio de Helmholtz

213

6.7.2 Proposicio Amb les hipotesis anteriors, siguin F; G dos camps vectorials de nits a W tals que

div F = div G ; rot F = rot G ; i suposem que es te que < F; N >=< G; N >. Aleshores, F = G. Demostraci o.

Si H = F

G, aleshores H satisfa les igualtats div H = div F div G = 0 ; rot H = rot F rot G = 0 ; < H; N > = < F; N > < G; N >= 0 :

Hem de provar que H = 0. Com que H es irrotacional, rot H = 0, i W es simplement connex, el camp H es conservatiu, per la qual cosa hi ha una funcio h 2 C 2(W ) amb H = rh. Pero, aleshores
h = div rh = div H = 0 ; es a dir, h es una funcio harmonica. Aix, tenint present que la component normal de H es nul
la, < H; N >= 0, de 6.6.3 se segueix que Z

W

k rh k2 dxdydz = 0 ;

i, per tant, que H = rh = 0. Analitzem ara el cas d'un domini no acotat. En aquest cas hem d'imposar condicions de creixement a l'in nit si volem obtenir un resultat d'unicitat. Fixem les notacions seguents: siguin F i G dos camps vectorials de nits a tot l'espai que tenen el mateix rotacional, rot F = rot G. Com que rot (F G) = 0, hi ha una funcio h tal que F G = rh. 6.7.3 Proposicio Siguin F i G dos camps vectorials de nits a tot l'espai amb la mateixa divergencia i el mateix rotacional, i sigui h una funcio potencial de F G. Si h es regular a l'in nit, aleshores F = G. Demostraci o. El potencial h es una funcio harm onica i per aixo, per 6.6.3, per a una bola B centrada a l'origen de radi R es te que Z Z @h h dS = k rh k2 dxdydz : @B @N B

Pero si el radi R es prou gran, el terme h@h=@N es d'ordre 1=R3, i aix h es regular, mentre que l'area de l'esfera es d'ordre R2 . Per tant, la integral de l'esquerra tendeix a zero quan R ! 1. Aix, Z k rh k2 dxdydz = 0 ; R3

i, com que es tracta de la integral d'una funcio positiva, en resulta que F = G.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

rh

= 0, es a dir,

214

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

6.7.4 Proposicio [Descomposicio de Helmholtz.] Sigui F un camp vectorial C 1 amb divergencia acotada a tot l'espai. Aleshores, F admet una descomposicio

F =G+H; tal que G es conservatiu i H es solenodal, es a dir, tals que

rot G = 0 ; div H = 0 : Suposem que F admet una descomposicio F = G + H com la de l'enunciat i vegem com aixo ens permet trobar els camps G i H . Com que G es un camp conservatiu hi haura una funcio potencial g, G = rg. Determinem aquest potencial: com que hem suposat que div H = 0, la divergencia de F es: Demostracio.

div F =
g + div H =
g : Aix, g es solucio de l'equacio de Poisson
g = 4


div F : 4

Sabem que aquesta equacio te per solucio el potencial newtonia de densitat div F=4, es a dir, que es te que Z Z div F  dxdydz = dxdydz : g= r W 4r W Un cop determinat el camp vectorial G, el camp H es, simplement, H = F G, ja que aix es te div H = div F div G = div F
g = 0 ; amb la qual cosa H es solenodal. Si el camp vectorial F del teorema anterior esta de nit a tot l'espai, el camp solenodal H de la descomposicio de Helmholtz provindra de potencial vector, H = rot I . Els potencials g i I no estan determinats unvocament, ja que g ho esta llevat de constants i I ho esta llevat de camps conservatius. En qualsevol cas, direm que g es una funcio potencial de F i que I es un potencial vector de F . Sovint, per determinar el potencial vector I s'imposa, a mes, que sigui un camp solenodal, es a dir, que satisfaci l'equacio div I = 0 : Sempre podem aconseguir que I sigui solenodal, ja que si I 0 es un potencial vector qualsevol i prenem Z 1 div I 0 dxdydz ; h= 4 r aleshores el camp vectorial I = I 0 + rh es un potencial vector i te divergencia nul
la: div I = div I 0 +
h = 0 :

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.8. Camps que depenen del temps

215

Aix, segons la de nicio de la laplaciana d'un camp vectorial, si I es un potencial vector de F que es solenodal, I satisfa una equacio de Poisson vectorial:
I = =

rdiv I

rot F ;

rot rot I

Coneixem una solucio d'aquesta equacio utilitzant potencials newtonians,

I=

Z

rot F dxdydz : 4r

En de nitiva, suposant les integrals convergents, podem precisar la descomposicio de Helmholtz segons: Z Z rot q F div q F dxdxydz + rot p dxdydz ; F = rp 4r 4r (els subndexs p i q indiquen les variables respecte de les quals es calculen els operadors diferencials corresponents, i les integrals estan de nides a tot l'espai). 6.7.5 Exemple Considerem el camp vectorial

F = (ax; ay; b) ;  immediat comprovar que div F = 0 i rot F = 0. Per que no podem on a; b son constants. Es aplicar la formula anterior per recuperar F a partir de la divergencia i el rotacional, ambdos zero? Observem que F prove de potencial, F = r i aquest potencial es una funcio harmonica,
 = 0; de fet, podem prendre (x; y) = a(x2 y2 )=2, pero aquesta funcio no es regular a l'in nit i, per tant, no s'aplica el resultat d'unicitat corresponent. L'unic camp vectorial amb divergencia i rotacional nuls i regular a l'in nit es el camp constant zero.

6.8 Camps que depenen del temps Els camps vectorials que hem estudiat en els apartats anteriors depenen de les coordenades espacials dels punts on estan de nits. En diverses situacions de la fsica matematica es presenten camps vectorials que depenen, a mes, del temps. En aquest apartat presentem algunes questions relacionades amb la dependencia del temps, en particular l'equacio de continutat. Basem la presentacio en les equacions de la dinamica de uids.

Derivades locals i derivades materials Considerem un uid en moviment amb camp de velocitats v que depen de les coordenades de cada punt i del temps, v(x; y; z; t). Donada una magnitud del uid , escalar o vectorial, que es vulgui estudiar, per exemple, la temperatura, la pressio o l'acceleracio, hi ha dos punts de vista per analitzar-la: podem estudiar  en un punt x de l'espai (es a dir, xem les coordenades x; y; z i estudiem la variacio de  respecte del temps en aquest punt), o podem analitzar els

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

216

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

valors de  per a una partcula del uid mentre es desplaca, amb coordenades variables, al llarg del temps. Per exemple, si  es la temperatura, la dicotomia anterior consisteix a mesurarla en un punt x de l'espai o be analitzar-ne la seva variacio al llarg de la trajectoria d'una partcula. Un smil senzill ajuda a entendre aquesta situacio: si volem analitzar el transit per una autopista podem situar-nos en un quilometre determinat i estudiar el ux de vehicles per aquell punt o podem seguir el comportament d'un vehicle particular en el seu trajecte al llarg de la ruta. La variacio d'una magnitud (x; y; z; t) respecte del temps esta caracteritzada per la derivada parcial (tambe anomenada, en aquest context, derivada local) @=@t, mentre que la variacio de  per a una partcula generica al llarg de la seva trajectoria la dona la derivada total (tambe coneguda per derivada material o substancial), d=dt. Si v = (v1 ; v2 ; v3 ), la regla de la cadena permet relacionar les derivades local i material per

d @ dx @ dy @ dz @ = + + + dt @x dt @y dt @z dt @t @ @ @ @ = v1 + v2 + v3 + @x @y @z @t @ = < r; v > + : @t Si introdum la notacio

< v; r >= v1

@ @ @ + v2 + v3 ; @x @y @z

escrivim aquesta equacio de la forma

d @ =< v; r >  + : dt @t Al terme < v; r >  se l'anomena terme convectiu. Es diu que un proces es estacionari si totes les magnituds que el determinen son independents del temps. 6.8.1 Exemples

1. Si v = (3t; xz; ty2 ), aleshores es te que

@v = (3; 0; y2) ; @t i el terme convectiu es @v @v @v v1 + v2 + v3 = 3(0; z; 0) + xz (0; 0; 2yt) + ty2 (0; x; 0) @x @y @z = (0; 3z + txy2 ; 2xyz t) ; per la qual cosa la derivada material es:

dv = (3; 0; y2) + (0; 3tz + txy2 ; 2xyz t) = (3; 3tz + txy2 ; 2xyz t + y2 ) : dt

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.8. Camps que depenen del temps

217

2. Considerem l'acceleracio de les partcules d'un uid. L'acceleracio es la derivada total de la velocitat respecte del temps, es a dir, dv @v a = =< v; r > v + : dt @t Si escrivim aquesta equacio usant les coordenades cartesianes, en resulta el sistema d'equacions: @v @v @v @v a1 = v1 1 + v2 1 + v3 1 + 1 ; @x @y @z @t @v @v @v @v a2 = v1 2 + v2 2 + v3 2 + 2 ; @x @y @z @t @v3 @v3 @v3 @v3 a3 = v1 + v2 + v3 + : @x @y @z @t

L'equacio de continutat L'equacio de continutat expressa, en forma d'equacio diferencial, la llei de conservacio de la massa. Considerem un uid amb camp de velocitats v(x; y; z; t) i funcio de densitat (x; y; z; t), (amb v i  derivables amb continutat). 6.8.2 Teorema Amb les notacions anteriors, la llei de conservacio de la massa es equivalent a l'equacio

@ = 0; @t equacio que es coneix com a equacio de continutat. div (v) +

Demostraci o. Fixem un volum W de l'espai. La llei de conservaci o de la massa assegura que l'increment de uid que omple W es igual a la massa que travessa la superfcie S que envolta W , S = @W . L'increment de massa per unitat de temps es igual a la integral Z Z d @ dxdydz = dxdydz : dt W W @t D'altra banda, el volum que travessa S per unitat de temps es el ux del camp de velocitats v i, per tant, la massa que ueix cap a l'interior de W es igual a la integral Z

S

< v; N > dS ;

on N es el vector normal exterior a W i el signe indica que estem considerant la massa guanyada per W . Pel teorema de la divergencia, aquesta integral es igual a Z

W

div (v)dxdydz :

Aix, la llei de conservacio de la massa s'expressa mitjancant la igualtat Z Z @ dxdydz = div (v)dxdydz ; W @t W

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

218

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

es a dir,

Z

@ + div (v))dxdydz = 0 : W @t Com que aquesta equacio s'ha de satisfer per a tot volum W , dedum que (

div (v) +

@ = 0; @t

que es l'equacio de continutat. Calculant la divergencia de v segons la regla del producte, l'equacio de continutat la podem escriure de la forma @ div v+ < r; v > + = 0 ; @t o, en termes de la derivada total: 6.8.3 Corol
lari L'equacio de continutat es equivalent a l'equacio

d + div v = 0 : dt Un uid es diu que es incompressible si la funcio de densitat  es constant al llarg de les trajectories, es a dir, d = 0:

uid incompressible  dt Segons el corol
lari anterior, i com que  > 0, es te que un uid es incompressible si i nomes si div v = 0 : Si el moviment d'un uid incompressible es conservatiu, es a dir, si el camp de velocitats v admet una funcio potencial V amb v = rV , l'equacio de continutat es redueix a l'equacio de Laplace per a V :
V = div rV = div v = 0 : Hem provat, per tant: 6.8.4 Corol
lari Sigui v el camp de velocitats d'un uid incompressible i irrotacional en un

domini simplement connex. Aleshores, el potencial V del camp de velocitats satisfa l'equacio de Laplace,
V = 0 : Aix, pel teorema d'unicitat del problema de Dirichlet, el camp de velocitats d'un uid incompressible i irrotacional que circula per un canal queda determinat per les condicions de frontera que imposa la geometria del canal.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.8. Camps que depenen del temps

219

6.8.5 Observacio Hem derivat l'equacio de continutat a partir de la llei de conservacio de la massa. Si en el volum W hi ha un cabal de brollador donat per una funcio contnua q (positiva per a les fonts i negativa per als pous), la llei de conservacio de la massa incorpora la variacio que produeix aquest cabal i l'equacio de continutat corresponent es

div (v) +

@ = q; @t

com es comprova facilment. 6.8.6 Observacio L'equacio de continutat que hem desenvolupat per als uids es dona tambe en altres contextos, com la conduccio de la calor o el camp electric. Analitzarem aquest darrer en el proper apartat. Comentem breument l'equacio de la calor. Si T es una distribucio de temperatures en un solid que ocupa el volum W amb funcio de densitat , l'augment de calor del solid el dona la integral Z

W

c

@T dxdydz ; @t

on c es la funcio de calor espec ca. Aquesta variacio s'ha d'equilibrar amb el ux de calor per S = @W , que es igual a la integral Z

S

< krT; N > dS ;

on k(x; y; z; t) es el coe cient de conductivitat calor ca. Utilitzant el teorema de la divergencia per calcular aquest ux i raonant com ho hem fet a 6.8.2, trobem l'equacio de continutat corresponent @T c + div (krT ) = 0 : @t Veiem, en particular, que si k es constant i el regim de temperatures es estacionari (independent del temps), l'equacio de continutat es redueix a l'equacio de Laplace per a la funcio temperatura,
T = 0 :

Equacions del moviment per a un uid perfecte La segona llei de Newton segons la qual la forca exercida sobre una massa es igual al producte de la massa per l'acceleracio determina les equacions del moviment d'un uid. Per trobar aquestes equacions hem de coneixer les forces que actuen sobre el uid i l'acceleracio d'aquest. Sobre el uid actuen dos tipus de forces: les externes, com ara la forca de la gravetat o la produda per un camp magnetic, i les internes, originades per la pressio que exerceix la resta del uid sobre un element de volum. Direm que un uid es perfecte (tambe anomenat ideal) si hi ha una funcio p(x; y; z; t), que anomenarem pressio, de manera que la forca interior exercida sobre una superfcie S es normal a S i igual a pN , on N es el vector normal exterior a S , (suposem que la superfcie es tancada i envolta un volum W ).

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

220

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Que un uid sigui perfecte comporta que sobre una superfcie del uid no hi actuen forces tangencials, cosa que podem interpretar, intutivament, dient que el uid no iniciara espontaniament un moviment de rotacio o, en cas que el tingues, que no l'aturara de forma espontania. Comporta, tambe, que els efectes tangencials de viscositat son menyspreables. 6.8.7 Teorema Sigui v el camp de velocitats d'un uid perfecte sobre el qual actua un camp de forces (extern) F . Aleshores, se satisfa l'equacio diferencial

dv =F dt que s'anomena equacio del moviment d'Euler.

rp ;



La forca total que actua sobre un volum determinat W es igual a la suma de la forca externa i la forca interna exercides sobre W , es a dir, a la suma de les integrals vectorials Demostracio.

Z

W

Z

F dxdydz

S

pNdS ;

que, pel teorema de la divergencia, podem escriure de la forma Z

W

F dxdydz

Z

W

rpdxdydz :

Per la segona llei de Newton, aquesta forca es igual a la massa per l'acceleracio, es a dir, es te la igualtat Z Z dv (F rp)dxdydz =  dxdydz ; W W dt i, com que aquesta igualtat es certa per a tot volum W , dedum que

F

rp =  dv ; dt

que es l'equacio del moviment d'Euler. Aix, el camp de velocitats d'un uid perfecte satisfa l'equacio de continutat i l'equacio d'Euler, es a dir, el sistema d'equacions diferencials

@ (v1 ) @ (v2 ) @ (v3 ) @ + + + @x @y @z @t @v1 @v1 @v1 @v1 v1 + v2 + v3 + @x @y @z @t @v @v @v @v v1 2 + v2 2 + v3 2 + 2 @x @y @z @t @v3 @v3 @v3 @v3 v1 + v2 + v3 + @x @y @z @t

= 0 = F1 = F2 = F3

@p ; @x @p ; @y @p : @z

El coneixement de la dinamica del uid comporta el coneixement de cinc parametres: ; p; v (la velocitat te tres components), mentre que el sistema anterior esta format unicament per

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.8. Camps que depenen del temps

221

quatre equacions. Aixo fa sospitar que per determinar la dinamica del uid manca, a part de les condicions de contorn adequades, una cinquena equacio. La conservacio de l'energia proporciona aquesta cinquena equacio, tot i que no seguirem el desenvolupament complet d'aquest tema i ens limitarem a imposar una equacio d'estat, que es una relacio entre  i p. Mes concretament, acabem l'apartat analitzant el cas en que  es constant i les forces externes son conservatives. En els calculs que segueixen utilitzarem la igualtat 1 r < v; v >=< v; r > v rot v ^ v ; 2 facilment comprovable a partir de les propietats dels operadors diferencials. Utilitzant la relacio entre la derivada material i la derivada local i aquesta igualtat, l'equacio del moviment s'escriu de la forma 1 @v (rot v ^ v + r < v; v > + ) = F rp : 2 @t En el que segueix escriurem v2 =< v; v >. 6.8.8 Proposicio Sigui v el camp de velocitats d'un uid perfecte, estacionari i amb funcio de densitat  constant. Suposem que el uid esta sotmes a un camp extern de forces F que es conservatiu, F = rU . Aleshores, la quantitat es constant al llarg de les trajectories.

1  v2 U + p ; 2

Com que el ux es estacionari, @v=@t = 0, l'equacio d'Euler es redueix a 1 (rot v ^ v + rv2 ) = r(U p) : 2 Multiplicant aquesta igualtat escalarment per v i tenint present que < rot v ^ v; v >= 0, trobem que 1 < r( v2 U + p); v >= 0 : 2  a dir, la derivada direccional de v2 =2 U + p respecte de v es nul
la o, altrament, aquesta Es quantitat es mante constant al llarg de les trajectories. Demostraci o.

Observem que el primer terme, v2 =2, correspon a l'energia cinetica, mentre que U p es l'energia potencial deguda a les forces externes, U , i internes, p, de manera que la constancia de la quantitat anterior correspon al fet que l'energia total es constant al llarg de les trajectories. La constant que postula el resultat anterior pot variar d'una trajectoria a una altra. Si el uid es irrotacional, el valor d'aquesta constant es el mateix per a totes les trajectories: 6.8.9 Proposicio Sigui v el camp de velocitats d'un uid perfecte, conservatiu (irrotacional), estacionari i amb funcio de densitat  constant. Suposem que el uid esta sotmes a un camp extern de forces F que es conservatiu, F = rU . Aleshores, la quantitat

1  v2 U + p ; 2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

222

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

es constant.

Com que v prove de potencial, v es un camp irrotacional i com que @v=@t = 0, l'equacio del moviment corresponent es

Demostracio.

 es a dir, i, per tant, on k es una constant. A l'equacio

1 2 rv = rU 2

rp ;

r( 12 v2 U + p) = 0 ; 1 2 v 2

U +p =k;

1 2 v 2

p U + = k; 

se l'anomena equacio de Bernouilli. Considerem dues situacions particulars: a) Si F es la forca de gravetat, aleshores U = gh, on h es l'alcada i l'equacio de Bernouilli esdeve 1 2 p v + gh + = k : 2  Per a un uid en repos, trobem la coneguda equacio que relaciona la pressio amb l'alcada:

p + gh = p0 : b) Si no hi ha forces exteriors, F = 0, l'equacio de Bernouilli esdeve l'equacio 1 2 v + p = p0 ; 2 on p0 representa la pressio quan el uid esta en repos, anomenada pressio hidroestatica.

6.9 Equacions de Maxwell En aquest apartat presentem les equacions de Maxwell del camp electromagnetic. Comencem per recollir i completar algunes de les propietats dels camps electroestatic i magnetoestatic que hem anat presentant en diferents exemples al llarg del captol. A la seccio 6.7 hem vist que un camp vectorial esta determinat per la seva divergencia i el seu rotacional sempre que imposem condicions de frontera o de creixement a l'in nit. En aquesta seccio determinem

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.9. Equacions de Maxwell

223

la divergencia i el rotacional dels camps electric i magnetic, i establim aix les equacions de Maxwell. No analitzarem, pero, situacions particulars amb diferents condicions de frontera, tractades abastament en els llibres d'electromagnetisme citats a la bibliogra a.

El camp electroestatic Considerem una densitat de carrega electrica  en un volum W el camp electric creat per  es

 R3 .

Per la llei de Coulomb,

1 ! r dxdydz ; E (x1 ; y1 ; z1) = 3 4"0 W r Z

on ! r = (x1 x; y1 y; z1 z ) i r = j! r j. El camp electroestatic E es conservatiu. De fet, si prenem

= aleshores,

Z

1  dxdydz ; 4"0 W r Z

1 1 r = 4" r dxdydz 0 WZ r !r 1 =  3 dxdydz ; 4"0 W r es a dir,

E = r : A  l'anomenarem el potencial electroestatic. Com que E es conservatiu, es te que rot E = 0 : La divergencia de E es calcula a traves de la llei de Gauss. En efecte, per la llei de Gauss 6.5.2, el ux del camp E per una superfcie tancada que contingui W es Z

S

< E; N > dS = 4


1  = ; 4"0 "0

i raonant com ho hem fet per a un camp newtonia, en resulta  div E = ; "0 i, en particular, el potencial  ha de satisfer l'equacio de Poisson  ;
 = "0 en els punts de W i l'equacio de Laplace,
 = 0 a l'espai lliure.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

224

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Resumint, el camp electroestatic E prove de potencial, E = r, i es te que rot E = 0 ;  div E = : "0

El camp magnetoestatic Si J es el vector de densitat de corrent en un volum W , el camp magnetic (magnetoestatic) que de neix es Z !r  B (x1 ; y1 ; z1 ) = 0 J ^ 3 dxdydz : 4 W r Hem vist a 6.3.10 que aquest camp es solenodal, div B = 0 ; i que si de nim el camp vectorial A per la integral vectorial Z  J A= 0 dxdydz ; 4 W r aleshores es te que rot A = B : Per calcular el rotacional de B recordem que, per la de nicio, de la laplaciana d'un camp vectorial, es te que
A = rdiv A rot rot A ; i, per tant, rot B = rot rot A = rdiv A
A : La divergencia de A es nul
la. En efecte, si notem amb una 0 les derivades respecte x, y, z per distingir-les de les derivades respecte de x1 , y1 i z1 , tenim: Z  J div A = 0 div dxdydz 4 ZW r 0 1 = J
r dxdydz 4 WZ r 0 1 = J r0 dxdydz 4 W r  Z  0 J 1 0 0 = div + div J dxdydz 4 W r r Per l'equacio de continutat en el cas estacionari, vegeu 6.9.1, div 0 J = 0 i, per tant, aplicant el teorema de la divergencia trobem que Z 0 J div A = div 0 dxdydz 4 W r  Z  0 J = ; N dS : 4 S r

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.9. Equacions de Maxwell

225

Com que el corrent esta limitat al domini W , no travessa S i, per tant, la component normal a S de J es zero, per la qual cosa la darrera integral s'anul
la. Observem que, si
0 designa la laplaciana calculada respecte de les variables (x; y; z ), la simetria de la funcio 1=r fa que
=
0 , i que, per tant, la integral que correspon a
A sigui igual a Z

0 1 J
0 dxdydz : 4 W r El calcul d'aquesta darrera integral no es immediat, ja que si (x1 ; y1 ; z1 ) es un punt de W , es tracta d'una integral singular. A mes, no es una integral impropia en el sentit de la nocio d'integral impropia introduda al captol 2, ja que no es tracta d'una funcio contnua fora de l'origen que creix ns a l'in nit a l'origen, sino que
(1=r) = 0 en tots els punts diferents de (x1 ; y1 ; z1 ), pero en aquest punt no esta de nida. De fet,
(1=r) es igual la delta de Dirac. Per tal de no allunyar-nos del tema principal, aplicarem els teoremes establerts en aquesta situacio mes general. Prenent W prou petit, podem suposar que J es constant i escriure Z

Z

1  1 0 J
0 dxdydz = 0
0 dxdydz : 4 W r 4 W r Ara, aplicant el teorema de la divergencia a la integral (singular) resultant trobem Z

Z

0 J 1 1 
0 dxdydz = 0 div r0 dxdydz 4 W r 4 W r  Z  0 1 0 ; N dxdydz = r 4 S r  Z  ! 0 r = ; N dxdydz ; 4 S r3 i, per la llei de Gauss, aquesta integral es igual a 4, es a dir, Z

0 1 J
0 dxdydz 4 W r 0 ( 4) = 0 J : 4

rot B = =

Resumint, el camp magnetoestatic admet un potencial vector, A, i satisfa les equacions div B = 0 ; rot B = 0 J : El calcul del rotacional de B es una expressio diferencial de la llei d'Ampere: en efecte, si C es una corba tancada que limita una superfcie S , podem aplicar el teorema de Stokes per calcular la circulacio de B per C , Z

C

< B; T > d` =

Z

S

< rot B; N > dS =

Z

S

< 0 J; N > dS = 0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Z

S

< J; N > dS = 0 I :

226

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Aquesta igualtat es l'expressio matematica de la llei d'Ampere: la circulacio de B per una corba tancada C es igual a 0 per la intensitat de corrent que travessa una superfcie qualsevol S limitada per C .

L'equacio de continutat Fins aqu hem estudiat els camps electric i magnetic suposant que no depenen del temps. Quan la densitat de carrega  depen del temps, la llei de conservacio de la carrega permet establir l'equacio de continutat que ha de satisfer la velocitat v de moviment de les carregues. En efecte, raonant com en la seccio anterior per al cas dels uids, es immediat establir que la llei de conservacio de la carrega es equivalent a l'equacio

@ + div (v) = 0 : @t Si escrivim J = v, el camp de densitat de carrega, hem establert: 6.9.1 Teorema Donada una distribucio de carregues electriques de densitat  i densitat de corrent J , se satisfa l'equacio

@ + div J = 0 ; @t equacio que anomenarem equacio de continutat En particular, si la distribucio es estacionaria ( independent del temps), se satisfa que div J = 0 :

Les equacions de Maxwell del camp electromagnetic Observem que en el cas estacionari l'equacio de continutat, div J = 0, es compatible amb el calcul de la divergencia i el rotacional dels camps electric i magnetic que hem efectuat. En efecte, es te: div rot B = div 0 J = 0 div J = 0 : Ara be, en el cas no estacionari, el calcul anterior juntament amb l'equacio de continutat dona la igualtat @ div rot B = ; @t que es incompatible amb el fet que div rot = 0. Aixo indica que, quan hi ha dependencia del temps, ha de variar-se l'equacio del rotacional de B . De fet, l'equacio de continutat indica com hem de variar la llei d'Ampere, ja que utilitzant-la, juntament amb la llei de Gauss, es te que div J +

@ @ = div J + "0 div E @t @t @E = div (J + "0 ) @t = 0;

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.9. Equacions de Maxwell

227

i per aixo Maxwell va reemplacar la llei d'Ampere per l'equacio rot B = 0 J + 0 "0

@E ; @t

equacio que ha passat a anomenar-se equacio d'Ampere-Maxwell. Al terme

@E ; @t

0 "0 se l'anomena corrent de desplacament.

D'altra banda, Faraday va observar que quan un l conductor es mou en un camp magnetic, apareix un corrent indut en el circuit, i va formular la coneguda com a llei d'induccio de Faraday: sigui C un circuit que limita una superfcie S amb vector normal N i sigui (t)el ux del camp magnetic B per S . Aleshores, se satisfa que Z

C

d (t) : dt

< E; T > d` =

Utilitzant el teorema de Stokes podem escriure aquesta igualtat de la forma Z

S

Z

< rot E; N > dS =

S


dS ; @t

i com que C i S son arbitraries, en resulta l'equacio

@B ; @t que es la versio diferencial de la llei d'induccio de Faraday. La llei de Gauss i el caracter solenodal del camp magnetic es mantenen per a camps que depenen del temps. En de nitiva, el sistema d'equacions resultant es rot E =

 ; "0 div B = 0 ; div E =

@B ; @t @E rot B = 0 J + 0 "0 ; @t rot E =

que son les equacions de Maxwell. Aquest sistema d'equacions regeix tots els fenomens electromagnetics. A l'espai vuit, on  = 0 i J = 0, el sistema anterior es redueix a les equacions div E = 0 ; div B = 0 ;

@B ; @t @E rot B = 0 "0 : @t

rot E =

La dependencia mutua de E i de B que es despren de les equacions de Maxwell indueix a considerar-los com aspectes parcials d'un unic camp, el camp electromagnetic.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

228

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

Les equacions de Maxwell per a l'espai lliure permeten provar que els camps E i B satisfan la mateixa equacio d'ones. En efecte, com que div E = 0, la llei d'induccio de Faraday i la llei d'Ampere-Maxwell donen lloc a l'equacio seguent per a E :

rdiv E


E = =

rotrot E @B @t

rot

@ rot B @t   @ @E 0 "0 = @t @t 2 @E = 0 "0 2 : @t Raonant analogament per al camp B , s'obte que a l'espai lliure satisfa l'equacio d'ones @2B
B = 0 "0 2 : @t Si de nim c per la igualtat c2 = 0 "0 , les equacions d'ones per a E i B s'escriuen de la forma =

@2E ; @t2 @2B c2
B = 2 : @t

c2
E =

Els potencials del camp electromagnetic Com en el cas electroestatic i magnetoestatic, sovint es convenient utilitzar un potencial vector per al camp B i un potencial escalar vinculat a E i expressar les equacions de Maxwell en funcio d'aquests potencials. Acabem aquesta seccio presentant les equacions que satisfan els potencials electromagnetics. Com que B es solenodal, segons l'equacio de Gauss per al camp magnetic, B admet un potencial vector, B = rot A, determinat llevat de camps conservatius (suposarem que estem en un recinte simplement connex i sense forats). Per la llei d'induccio de Faraday se satisfa que

@ @B = rot A ; @t @t

rot E = i, per tant, es te que





@A rot E + = 0: @t Pero, aleshores, el camp E + @A=@t es un camp conservatiu, es a dir, existeix una funcio  tal que @A E+ = r : @t

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.9. Equacions de Maxwell

229

A  i A els anomenarem potencials electromagnetics. Les equacions de Maxwell imposen les equacions que han de satisfer els potencials electromagnetics. Com que A esta de nit llevat de camps gradients, tenim certa llibertat d'eleccio. Imposarem que A i  satisfan l'equacio 1 @ div A = 2 ; c @t coneguda com a condicio de Lorentz. En aquest cas, la llei de Gauss del camp electric dona lloc a l'equacio: @A ) div E = div ( r @t 1 @2 =
 + 2 2 c @t  = ; "0 es a dir,  satisfa l'equacio d'ones no homogenia

 1 @2 = : c2 @t2 "0 D'altra banda, per la llei d'Ampere-Maxwell es te que @E rot B = 0 J + 0 "0 @t   @ @A = 0 J 0 "0 r + @t @t @ @2A = 0 J 0 "0 r 0 "0 2 ; @t @t pero, per la condicio de Lorentz, se satisfa que


rot B = rot rot A = rdiv A
A 1 @
A : = r 2 c @t Conjugant aquestes dues equacions, trobem que el potencial A satisfa l'equacio

1 @2A = 0 J : c2 @t2 Observem que, formalment, les equacions que satisfan el potencial  i el vector potencial A son les mateixes. L'interes de la condicio de Lorentz rau en el fet que permet desacoblar les equacions de Maxwell per a  i A. Si introdum l'operador dalembertia segons
A

=


@2 ; @t2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

230

Captol 6. Els teoremes integrals i aplicacions

les equacions que satisfan  i A son

 ; "0 0 J :

 = A =

Si coneixem els potencials electromagnetics, els camps E i B son

@A E = r ; @t B = rot A : 6.9.2 Exemple Considerem l'equacio d'ones homogenia,

= 0, es a dir,

@2 = 0: @t2 Suposem que es una solucio d'aquesta equacio que nomes depen de la distancia a l'origen. Expressant la laplaciana en coordenades esferiques i com que nomes depen de r, l'equacio anterior s'escriu de la forma   2 2@ @2 @ 2 + = 0: c @r2 r @r @t2 c2


 immediat comprovar que tota funcio de la forma Es 1 r (r; t) = f (t ); r c on f es una funcio qualsevol, es solucio d'aquesta equacio d'ones. L'anomenarem un potencial retardat de l'equacio d'ones. El nom prove del fet que interpretem que l'ona transporta la densitat f (t) amb un retard r=c. El potencial retardat juga, per a l'equacio d'ones, un paper analeg al que representa la funcio harmonica 1=r per a la laplaciana. De fet, les integrals Z

1 (x; y; z; t r=c) dxdydz ; 4"0Z r 1 J (x; y; z; t r=c) A= dxdxydz ; 4c r

=

que son el substitut dels potencials newtonians en aquesta situacio, satisfan les equacions del potencial electromagnetic. Indiquem la prova de que  satisfa l'equacio d'ones no homogenia  = ="0: sigui R un radi arbitrari i descomponem la integral que de neix  en dues parts, segons

=

Z

Z

1 (x; y; z; t r=c) (x; y; z; t r=c) 1 dxdydz + dxdydz = R + 0R ; 4"0 BR r 4"0 R3 BR r

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

6.9. Equacions de Maxwell

231

on BR es la bola de centre l'origen i radi R. La integral que de neix 0R esta ben de nida (r no es zero) i, per tant, satisfa l'equacio d'ones homogenia 0 = 0 : R

Quant a R considerem la igualtat Z

Z

1 (x; y; z; t r=c) (x; y; z; t) 1 (x; y; z; t) R = dxdydz + dxdydz : 4"0 BR r 4"0 BR r Si  es derivable amb continutat respecte de t, la primera integral tendeix a zero quan R tendeix a zero. Pero la segona integral es un potencial newtonia de densitat  i, per tant, se satisfa que  :
R = "0 Finalment, observem que la integral

@2 1 dxdydz ; BR @t2 r tendeix tambe a zero amb R, d'on se segueix que  satisfa l'equacio d'ones no homogenia. Z

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix A: Taula de primitives Per a la comoditat del lector, recollim en aquest apendix algunes de les primitives mes usuals que apareixen al llarg del text. Una taula molt mes completa es troba al llibre Formulas y tablas de matematica aplicada, citat a la bibliogra a. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Z

Z

Z

Z

Z

(uv0 ) = uv

Z

(vu0 ).

au (au u0 ) = + C ; a 6= 1 ; a > 0. ln a (u0 cos u) = sin u + C . (u0 sin u) = cos u + C . (ax + b)n =

(ax + b)n+1 + C ; n 6= 1. a(n + 1)

Z

1 (ax + b) 1 = ln jax + bj + C . a

Z

x x(ax + b) 1 = a

Z

1 b x(ax + b) 2 = 2 ln jax + bj + + C. a ax + b

Z

1 x 1 = ln + C. x(ax + b) b ax + b

10.

Z

b ln jax + bj + C . a2 



(

p

ax + b)n





p

2 ( ax + b)n+2 = + C ; n 6= 2. a n+2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

234

Taula de primitives

11.

p

p ax + b = 2 ax + b + b x

Z

12. a) b) 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Z

Z

Z

p1

x ax + b

.

r

ax + b + C ; si b < 0. b x ax + b b p p 1 ax + b 1 pb + C ; si b > 0. p = p ln p x ax + b b ax + b + b

p1

Z

p

ax + b = x2

=

p2

arctg

p

ax + b a + x 2

Z

p1

x ax + b

+ C.

1 1 x = arctg + C . a2 + x2 a a

Z

a2 Z

Z

1





1 x + a = ln + C. 2 x 2a x a

p 21 2 = Arg a +x

p x sinh + C = ln x + a2 + x2 + C . a

x p 2 2 a2 x a + x + Arg sinh + C . 2 2 a p 2 2 p 21 2 = a1 ln a + ax + x + C . x a +x

Z p

a2 + x2 =

Z

Z

Z

p 12 2 = 2 x a +x

p2 2 a +x a2 x

+ C.

p 21 2 = arcsin xa + C . a x

x p 2 2 a2 x a x + arcsin + C . 2 2 a p a4 x 1 p 2 2 2 x2 a2 x2 = arcsin x a x (a 2x2 ) + C . 8 a 8 p2 2 p p a x a + a2 x2 2 2 = a x a ln + C. x x

Z p

a2 x2 =

Z

Z

Z

p2 2 a x = x2

x arcsin a

p2 2 a x + C. x

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix A

235

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

Z

2 2 p 2x 2 = a2 arcsin xa a x

Z

p

1

x a2 Z

Z

p 12 2 x a



x2

=

x2 a2 dx =

Z

Z

Z

Z

Z

Z



x2

+ C.

a2 x

p x cosh + C = ln x + x2 a

xp 2 x 2 x 2 2x 8



a2 + C .

a2 x Arg cosh + C . 2 a
p a4 x a2 x2 a2 Arg cosh + C . 8 a

a2

x2 a x 2 2 p p 2x 2 = a2 Arg cosh xa + x2 x2 x a

a2 + C .

p 21 2 = a1 arcsec xa + C = a1 arccos xa + C . x x a p2 2 1 x a p = + C. 2 2 2 a2 x x

a





1 x a + C. = arcsin a 2ax x2

p

x ap a2 x a 2ax x2 = 2ax x2 + arcsin + C. 2 2 a p 2ax x2 p x a = 2ax x2 + a arcsin + C. x a r p   2ax x2 2a x x a = 2 arcsin + C. x2 x a

Z p Z

a2 =

x2 + C .

p2 2 p x a x = x2 a2 a arcsec + C . x a p2 2 p2 2 x a x x a = Arg cosh + C.

x Z

p2 2 a x + C.

p 21 2 = Arg x a p x2 x2

p

1 a + a2 ln = a x x2

Z p Z

1 p 2 x a 2



© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002



236

Taula de primitives

40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Z

p x

Z

1 1 2a x + C. = a x x 2ax x2

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x a = a arcsin 2 a 2ax x

sin ax =

50. 51. 52. 53.

Z

Z

Z

Z

Z

1 cos ax + C . a

1 cos ax = sin ax + C . a sin2 ax =

x 2

sin 2ax + C. 4a

x sin 2ax + + C. 2 4a Z sinn 1 ax cos ax n 1 sinn ax = + sinn 2 ax. na n Z cosn 1 ax sin ax n 1 n cos ax = + cosn 2 ax. na n cos2 ax =

b)

49.

2ax x2 + C .

p

p

48. a)

c)

p

Z Z Z

cos(a + b)x cos(a b)x + C ; a2 6= b2 . 2(a + b) 2(a b) sin(a b)x sin(a + b)x sin ax sin bx = ; a2 6= b2 . 2(a b) 2(a + b) sin(a b)x sin(a + b)x cos ax cos bx = + ; a2 6= b2 . 2(a b) 2(a + b) sin ax cos bx =

sin ax cos ax =

cos 2ax + C. 4a

sinn ax cos ax =

sinn+1 ax + C ; n 6= 1. (n + 1)a

cos ax 1 = ln j sin axj + C . sin ax a cosn ax sin ax =

cosn+1 ax + C ; n 6= 1. (n + 1)a

sin ax 1 = ln j cos axj + C . cos ax a

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix A

237

sinn 1 ax cosm+1 ax n 1 54. + a(m + n) m+n n 6= m (si n = m, useu n.86.) Z

sinn ax cosm ax =

sinn+1 ax cosm 1 ax m 1 + a(m + n) m+n m 6= n (si m = n, useu n.87.) 55.

56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

Z

sinn ax cosm ax =

Z

1 x sin ax = 2 sin ax a

Z

1 x x cos ax = 2 cos ax + sin ax + C . a a

Z

tg ax =

x cos ax + C . a

1 ln j cos axj + C . a

Z

1 cotg ax = ln j sin axj + C . a

Z

1 tg 2 ax = tg ax x + C . a

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

cotg 2 ax =

1 cotg ax x + C . a

1 sec ax = ln j sec ax + tg axj + C . a cosec ax =

1 ln j cosec ax + cotg axj + C . a

1 sec 2 ax = tg ax + C . a cosec 2 ax =

1 cotg ax + C . a

arcsin ax = x arcsin ax +

1p 1 a2 x2 + C . a

arccos ax = x arccos ax

1p 1 a2 x2 + C . a

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Z

Z

sinn 2 ax cosm ax ,

sinn ax cosm 2 ax ,

238

Taula de primitives

68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

Z

Z

Z

Z

Z

1 ln(1 + a2 x2 ) + C . 2a

arctg ax = x arctg ax 1 eax = eax + C . a

bax =

1 bax + C ; b > 0 ; b 6= 1. a ln b

eax xeax = 2 (ax 1) + C . a xn eax

1 = xn eax a

n a

Z

xn 1 eax.

Z

eax eax sin bx = 2 2 (a sin bx b cos bx) + C . a +b

Z

eax eax cos bx = 2 2 (a cos bx + b sin bx) + C . a +b

Z

Z

ln ax = x ln ax x + C .

xn ln ax =

xn+1 + C ; n 6= 1. (n + 1)2

xn+1 ln ax n+1

Z

1 x 1 ln ax = (ln ax)2 + C . 2

Z

1 = ln j ln axj + C . x ln ax

Z

1 sinh ax = cosh ax + C . a

Z

1 cosh ax = sinh ax + C . a

Z

x x sinh ax = cosh ax a

1 sinh ax + C . a2

Z

x x cosh ax = sinh ax a

1 cosh ax + C . a2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix A

239

83. 84. 85.

Z

1 tanh ax = ln(cosh ax) + C . a

Z

1 cotgh ax = ln j sinh axj + C . a

Z

1 ax cosech ax = ln tanh + C . a 2

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix B: Les funcions d'Euler Al llarg del text hem suposat conegudes, en diferents punts, com ara quan hem establert la formula de Dirichlet, les funcions i B d'Euler. En aquest breu apendix recordem la de nicio d'aquestes funcions, aix com algunes de les formules associades.

La funcio gamma: Si x > 0, es de neix la funcio

com la integral impropia (x) =

1

Z

0

e t tx 1 dt.

La funcio esta ben de nida (en el sentit que es una integral convergent) per a tot x > 0, i es una funcio C 1 per a aquests valors. La propietat fonamental de es la relacio funcional que estableix el resultat seguent. Proposici o. (x + 1) = x (x). En efecte, el resultat se segueix d'integrar per parts: Z 1 Z 1 1 e t tx dt = txe t + x e t tx 1dt = x (x):

0

0

0

Com que (1) = 1, de la proposicio anterior se segueix que (n + 1) = n! : A mes, al captol 2 hem provat que d'on se segueix que

 

p 1 = ; 2



n+



(2n 1)!! p 1 = : 2 2n

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

242

Les funcions d'Euler

La funcio beta:

B

Per a x; y > 0 es de neix la funcio beta d'Euler per

B (x; y) =

1

Z

tx 1 (1 t)y 1 dt.

0

De les propietats de la funcio B destaquem: Proposicio.

1. B (x; y) = B (y; x). Z =2

sin2x 1  cos2y 1  d. 0 (x) (y) . 3. B (x; y) = (x + y) Z 1 vx 1 4. B (x; y) = dv. 0 (1 + v)x+y 2. B (x; y) = 2

La primera propietat es clara. Quant a la segona, considerem el canvi de variable

t = sin2  ;

Aleshores, es te que

1

Z

0

tx

1 (1 t)y 1 dt =

Z =2

0

= 2 Provem ara 3: en el producte (x) (y), (x) (y) =

Z

0

0 <  < =2 :

1

sin2x 2  cos2y 2
2 sin  cos d

Z =2

0

sin2x  cos2y 1 d :

e t tx 1 dt

1

Z

0

e tty 1 dt ;

fem el canvi de variable t = u2 , t = v2 i calculem la integral resultant utilitzant coordenades polars: Z 1 Z 1 2 2 (x) (y) = e u u2x 2
2udu
e v v2y 2 2vdv 0Z Z 0 1 1 2 2 = 4 e u v u2x 1 v2y 1 dudv 0 0 Z 2 Z 1 2 = 4 d e r r2x 1 cos2x 1  r2y 1 sin2y 1 rdr 0 0 Z 2 Z 1 2 = 2 cos2x 1  sin2y 1 d
2 e r r2x+2y 1 dr

0

= B (x; y)
(x + y) :

0

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix B

243

Deixem la quarta propietat com a exercici. La propietat 3, juntament amb el calcul de en els enters i els semienters, permet calcular la funcio B en punts de coordenades enteres i semienteres. Per exemple,   



3 1 B ; = 2 2

3 2 

 

3 1 + 2 2

1 2

1 2

=

 

1 2

 

(2)

1 2

=

 : 2

Conjugant les propietats 2 i 3 trobem que 2

Z =2

0

(x) (y) sin2x 1  cos2y 1 d = : (x + y)

En particular,



2

Z =2

0

sinn  cosm d =







n+1 n+1 2 2  : n+m+2 2

Aix, per exemple,   Z =2

0

1 sin4  cos2 d = 2

5 2

 

(4)

3 2

3 1p 1p 1 2 2 2   = = : 2 3
2 96

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Apendix C: Sistemes de coordenades curvilnies Recollim aqu les formules dels operadors classics en sistemes ortogonals que hem provat al llarg del text, aix com diversos exemples de sistemes ortogonals de coordenades.

Sistema ortogonal de coordenades Si (u; v; w) es un sistema ortogonal de coordenades, els coe cients de dilatacio es de neixen per

h1 =k 'u k; h2 =k 'v k; i la base ortonormal associada es 1 1 eu = 'u ; ev = 'v ; h1 h2 Sigui f una funcio escalar i F = Fu eu + Fv ev + Fw ew 1. Gradient:

h3 =k 'w k;

1 ' : h3 w un camp vectorial.

ew =

1 @f 1 @f eu + ev + e . rf = h1 @f @u h @v h @w w

1

2

3

2. Rotacional:       1 @ (h3 Fw ) @ (h2 Fv ) 1 @ (h1 Fu ) @ (h3 Fw ) 1 @ (h2 Fv ) @ (h1 Fu ) eu+ ev+ : h2 h3 @v @w h1 h3 @w @u h1h2 @u @v 



1 @ (h2 h3 Fu ) @ (h1 h3 Fv ) @ (h1 h2 Fw ) 3. Divergencia: div F = + + . h1 h2 h3 @u @v @w        @ h2 h3 @f @ h1 h3 @f @ h1 h2 @f 1 + + . 4. Laplaciana:
f = h1 h2 h3 @u h1 @u @v h2 @v @w h3 @w Coordenades cil ndriques

x = r cos ; y = r sin ; z = z . h1 = 1; h2 = r; h3 = 1.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

246

Sistemes de coordenades curvilnies

1. Gradient:

1 @f @f rf = @f e + e + e. @r r r @  @z z

2. Rotacional: 

1 @Fz r @ 3. Divergencia: div F =





@ (rF ) @Fr er + @z @z





@Fz 1 @ (rFz ) e + @r  r @r



@Fr e : @ z

1 @ (rFr ) 1 @F @Fz + + . r @r r @ @z

1@ @f 1 @2f @2f 4. Laplaciana:
f = r + 2 2 + 2. r @r @r r @ @z 



Coordenades esf eriques

x = r cos  cos ; y = r cos  sin ; z = r sin . h1 = 1; h2 = r cos ; h3 = r. 1. Gradient:

1 @f 1 @f rf = @f er + e + e . @r r cos  @ r @ 

2. Rotacional: 

1 @F r cos  @





1 @Fr @ (F cos ) er + @ r @





1 @ (r cos F ) @ (rF ) e + @r r cos  @r

1 @F 1 @ (cos F ) 1 @ (r2 Fr ) + + . 3. Divergencia: div F = 2 r @r r cos  @ r cos  @ 1 @ 2 @f 1 @2f 1 @ @f 4. Laplaciana:
f = 2 r + 2 2 + cos  . r @r @r r cos  @2 r2 cos  @ @ 





Coordenades cil ndriques parab oliques

1 x = (u2 v2 ) ; y = uv; z = z , 2 1 < u < 1; v > 0; 1 < z < 1, p h1 = h2 = u2 + v2 ; h3 = 1. Les corbes coordenades son paraboles homofocals amb un eix comu.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002





@Fr e : @ 

Apendix C

247

Coordenades cil ndriques el
l ptiques

x = a cosh u cos v ; y = a sinh u sin v; z = z , n  0; 0 < v < 2; 1 < z < 1, p 2 h1 = h2 = a sinh u + sin2 v ; h3 = 1.

Les corbes coordenades son el
lipses i hiperboles homofocals. Coordenades esfero dals allargades

x = a sinh  sin  cos ' ; y = a sinh  sin  sin '; z = a cosh  cos ,   0; 0    ; 0  '  2, p h1 = h2 = a sinh2  + sin2 v ; h3 = a sinh  sin .

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

52

Aleaciones ligeras

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Bibliogra a 1. Agullo, J.: Mecanica de la partcula i del solid rgid. Publ. OK-punt. Barcelona, 1995. 2. Apostol, T.: Analisis matematico. Ed. Reverte. Barcelona, 1981. 3. Bers, L. Calculo diferencial e integral. Ed. Interamericana. Mexico, 1972. 4. Budak, B. and Fomin, S. Multiple Integrals, Fields Theory and Series. Ed. Mir. Moscow, 1973. 5. Conde, C. Calculo Integral Vectorial. Ed. Tebar Flores. Madrid, 1988. 6. Courant, R. and John, F. Introduccion al calculo y al analisis matematico. Ed. Limusa. Mexico, 1978. 7. Fernandez Mills,G., Fernandez Ferrer,J.: Electricidad, teoria de circuitos y magnetismo. Ed. UPC. Barcelona, 1995. 8. Feynman, R. et alt.: The Feynman lectures on physics. Addison Wesley. Reading, 1964. 9. Garvan, E.: The Maple book. Chapman Hall/CRC. Boca Raton, 2002. 10. Greenspan, H. and Benney, D. Calculus: an introduction to applied mathematics. Ed. McGraw-Hill. New York, 1973. 11. McShane, E. Uni ed integration. Academic Press. Orlando, 1983. 12. Marsden, J. and Tromba, A. Calculo vectorial. Addison-Wesley Longman. Mexico, 1998. 13. Puerta, F. Calculo Integral. CPDA-ETSEIB. Barcelona, 1973. 14. Puig Adam, P. Calculo Integral. Biblioteca matematica. Madrid, 1970. 15. Rey Pastor, J.; Pi-Callaeja, P. and Trejo, C. Analisis matematico. Ed. Kapelusz. Buenos Aires, 1957. 16. Spiegel, M. Analisis Vectorial. Schaum. McGraw-Hill. Mexico, 1991.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

250

Bibliogra a

17. Spiegel, M.; Avellanas, L. Formulas y Tablas de Matematica Aplicada. MacGraw-Hill. Madrid, 1988. 18. Trejo, C. Analisis vectorial, con teora del potencial y aplicaciones. Ed. Kapelusz. Buenos Aires, 1965. 19. White, F.M.: Mecanica de uidos. MacGraw Hill. Mexico, 1983.

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Index alfabetic additivitat de la integral, 20 angle solid, 147 area, 18, 65, 161 en coordenades curvilnies, 41 en polars, 66 superfcie, 105, 108 superfcie de revolucio, 106 camp conservatiu, 138, 141, 163, 176 electric, 117 electroestatic, 223 electromagnetic, 227 gradient, 122 gravitatori, 116 magnetic, 132 magnetoestatic, 224 newtonia, 201 que deriva de potencial, 123, 141 solenodal, 186 camp vectorial, 115 pla, 116 canvi de variables, 38 centre de massa, 73 cinta de Moebius, 149 circulacio d'un camp vectorial, 131 coe cient de dilatacio, 193 condicio de Lorentz, 229 conjunt d'area zero, 15 conjunt de volum zero, 22 conjunt estrellat, 187 convergencia absoluta, 55

coordenades cilndriques, 45, 46, 245 cilndriques el
lptiques, 194, 247 cilndriques paraboliques, 246 eferodals allargades, 247 esferiques, 47, 48, 246 ortogonals, 192, 245 polars, 38, 42 coordenades curvilnies, 38 corba tancada simple, 155 corba associada, 88 corba regular, 95 corbes coordenades, 38, 99 corrent de desplacament, 227 criteri de comparacio, 55 dalembertia, 229 densitat, 70 derivada local, 215 material, 215 derivada direccional, 121 descomposicio de Helmholtz, 214, 215 divergencia, 124, 127, 183, 197 domini elemental, 18 domini elemental , 22 element de longitud, 95 de superfcie, 105 equacio d'Ampere-Maxwell, 227

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

252

Index alfabetic

de Bernouilli, 222 de continutat, 217, 219 de Laplace, 204 del moviment d'Euler, 220 d'ones, 228 de Poisson, 203, 204 equacions de Maxwell, 227

uid

incompressible, 218 perfecte, 219

ux d'un camp vectorial, 145 font, 184 forma diferencial, 131, 145 formula de Dirichlet, 56 de Green primera, 204 segona, 205 tercera, 205 de Simpson, 60, 62 dels trapezis, 59, 61 funcio beta d'Euler, 242 gamma d'Euler, 241 hamonica regular a l'in nit, 212 harmonica, 204 funcio integrable, 8, 11, 18, 52 funcio potencial, 123, 214 gradient, 195 integral, 11, 18, 22 de superfcie, 109, 145 de trajectoria, 96 en un obert, 19 impropia, 52 funcio positiva, 53 superfcie, 110 integral de lnia, 131 integral iterada, 26, 28, 36 jacobia, 39 laplaciana, 129, 199

Índex alfabètic

d'un camp vectorial, 129 lnia de ux, 118 llei d'Ampere, 225 de Biot-Savart, 133 de Faraday, 227 de Gauss, 202 del camp magnetic, 192 longitud d'una corba, 95 massa, 71 mitjana d'una funcio, 69 moment d'inercia, 77 monotonia de la integral, 19 operador nabla, 127 orientacio compatible, 167 d'una corba, 135 d'una superfcie, 149 de la vora, 167 orientacio oposada, 150 parametre arc, 95 parametritzacio que inverteix l'orientacio, 150 que preserva l'orientacio, 150 parametritzacions oposades, 135 particio regular, 9, 21 potencial electroestatic, 223 gravitacional, 83 logartmic, 200 newtonia, 201 retardat, 230 potencial magnetic, 191 potencial vector, 186, 214 potencials electromagnetics, 229 pou, 184 principi de Cavalieri, 24 principi del maxim, 210 problema de Dirichlet, 207 extern, 210

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

Index alfabetic

de Neumann, 208 proces estacionari, 216 regio sense forats, 190 simplement connexa, 155, 176 regio poligonal, 15 regla producte, 61 rotacional, 126, 127, 172, 199 d'un camp pla, 127

253

253

oposada, 136 regular, 94 simple, 89 valor principal de Cauchy, 56 volum, 67, 183 cos revolucio, 67, 75 vorticitat, 173

suma de Riemann, 7 inferior, 10 superior, 10 sumes superiors, 21 superfcie amb vora, 165 de nivell, 121 orientable, 148 orientada, 149 parametritzada, 99 regular, 100 revolucio, 102 teorema canvi de variables, 41, 44 del rotacional, 168 divergencia, 179 Fubini, 26, 27, 31, 32, 36 Gauss, 179 Green, 156 Guldin, 75, 76, 112 Newton-Leibniz, 139 Steiner, 80 Stokes, 168 valor mig, 20 primer, 209 segon, 210 terme convectiu, 216 trajectoria, 87 equivalencia, 94 longitud, 90 longitud d'una, 89

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002