Übungsbuch Strömungsmechanik: Analytische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele 9783834801227, 3834801224

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Herbert Oertel jr. Martin B/Shle Ulrich Dohrmann ee

Ubungsbuch Str6mungsmechanik

Herbert Oertel jr. Martin B/Shle Ulrich Dohrmann

00

Ubungsbuch S t r 6 m u n g s m e c han i k Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Liisungsmethoden, Softwarebeispiele

5., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Mit 166 Abbildungen

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Bibliografische Information Der I)eutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische I)aten sind im Internet fiber abrufbar.

Die Autoren:

Prof. Dr.-Ing. habil. Herbert Oertel jr., Ordinarius I)r.-Ing. Ulrich I)ohrmann, Akademischer Oberrat Institut ftir Str6mungslehre, Universit/it Karlsruhe, Kaiserstr. 12, 76128 Karlsruhe Prof. Dr.-Ing. Martin B6hle, Universitfitsprofessor Bergische Universitfit Wuppertal, Gaugstr. 20, 42097 Wuppertal

Die 1. Auflage des Buches erschien unter demselben Titel im Springer Verlag. 2., fiberarbeitete und erweiterte Auflage 1998 3., fiberarbeitete und erweiterte Auflage 2001 4., tiberarbeitete und erweiterte Auflage 2003 5., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Januar 2006 Alle Rechte vorbehalten 9 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieglich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschfitzt. Jede Verwertung augerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul/issig und strafbar. I)as gilt insbesondere ffir Vervielf/iltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf s~iurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 3-8348-0122-4

Vorwort

Mit den Ubungsaufgaben zur StrSmungsmechanik H. Oertel jr., M. BShle 1992 sind wir einem oft ge~ut~erten Wunsch unserer Studenten nachgekommen, neben den Vorlesungen und Ubungen im HSrsaal, eine Grundlage fiir die eigenst~ndige Priifungsvorbereitung zu schaifen. Die Ubungsaufgaben wurden neu bearbeitet und den Vorle. sungen StrSmungslehre und Mathematische Methoden der StrSmungslehre angepasst, die an der Universit~t Karlsruhe im fiinften und sechsten Semester fiir Studenten des Maschinenbaus, des Chemieingenieurwesens, der Physik und der Technomathematik gelesen werden. Es werden zun~chst die Grundbegriffe der StrSmungsmechanik, die eindimensionale Stromfadentheorie und die vereinfachte Berechnung technischer Str5mungen vermittelt. Es folgen Ubungsaufgaben zu den Grundgleichungen der Str5mungsmechanik und zu den daraus abgeleiteten Modellgleichungen fiir laminare und turbulente, inkompressible und kompressible Str5mungen. In den darauf folgenden Kapiteln werden deren analytische und numerische L5sungsmethoden in einem ersten Ansatz behandelt. Diesen Kapiteln kommt im Ubungsbuch absichtlich eine besondere Bedeutung zu, da der Ingenieur in der Praxis zunehmend numerische Methoden und strSmungsmechanische Software auf vernetzten Grot~rechenanlagen fiir die Produktentwicklung nutzt. Um den Studenten ein erstes Uben mit L5sungssoftware zu ermSglichen, werden die analytischen LSsungswege von Software-Beispielen begleitet. Die Ubungsaufgaben zur StrSmungsmechanik erg~nzen das Lehrbuch StrSmungsmechanik H. Oertel jr., M. BShle 1995, 1999, 2002, 2004, das als Leitfaden der StrSmungslehre Vorlesungen an der Universit~t Karlsruhe dient. Dabei ist es fiir den Studenten auch im Zeitalter der Software-Nutzung unerl~slich, den Lehrstoff, angeleitet von den Ubungsaufgaben und detailliert beschriebenen L5sungswegen, selbst nachzuvollziehen. Das Erlernen der F~higkeit, strSmungsmechanische Probleme mathematisch zu formulieren und fiir ausgew~hlte Anwendungsbeispiele analytisch und numerisch zu 15sen, ist ein wesentliches Ausbildungsziel, das die aktive Mitarbeit der Studenten erfordert. Dafiir soll das Ubungsbuch Anregungen geben. Die Ubungsaufgaben sind von meinen langj~hrigen Assistenten und Mitautoren M. B5hle und U. Dohrmann entsprechend der Vorlesungskapitel zusammengestellt worden. Sie sind in unterschiedliche Schwierigkeitsgrade eingeteilt, so dass der Student sich entsprechend seines Wissensstandes den Lehrstoff an meist praktischen strSmungsmechanischen Ubungsbeispielen erarbeiten kann. Die Ubungsaufgaben sind mehrfach in den Ubungen im HSrsaal vorgerechnet und die LSsungswege mit den Studenten iiberarbeitet worden. Die Auswahl der Ubungsaufgaben ist zwangsl~ufig ein Kompromiss und orientiert sich an den Studienpl~nen der Universit~t Karlsruhe. Es werden aber auch Studenten h5herer Semester an anderen deutschsprachigen

VI Universit/iten zahlreiche Anregungen finden und die schwierigen 0bungsaufgaben als Prfifstein ihres strSmungsmechanischen Wissens empfinden kSnnen. Das Manuskript wurde in bew/fhrter Weise von meinem Assistenten U. Dohrmann angefertigt. Unserer Mitarbeiterin L. Huber gilt besonderer Dank ffir die ~)berarbeitung der Abbildungen. Wir danken dem Vieweg Verlag fiir die 0bernahme des 0bungsbuches und ffir die erfreulich gute Zusammenarbeit.

Karlsruhe, August 1998

Vorwort

Herbert Oertel jr.

z u r 5. A u f l a g e

Das ()bungsbuch StrSmungsmechanik hat sich zur Prfifungsvorbereitung und Vorlesungsbegleitung der Vorlesungen StrSmungslehre und Mathematische Methoden der StrSmungslehre inzwischen etabliert und bewSahrt. Die 0bungsaufgaben wurden bezfiglich der jfingsten Prfifungsaufgaben aktualisiert und Aufgaben zur Turbulenzmodellierung und Grobstruktursimulation sowie die neuen Kapitel StrSmungen Nicht-Newtonscher Medien und StrSmungen mit W~mezufuhr erg~hlzt. Der Zugang zur vorlesungsbegleitenden StrSmungsmechanik Software erfolgt fiber die Homepage des Instituts fiir StrSmungslehre der UniversitEt Karlsruhe w w w isl.mach, uni-karlsruhe.de. Die Abbildungen wurden von L. Huber in bew~hrter Weise fiberarbeitet. Dem Vieweg Verlag danken wir ffir die Fortffihrung der erfreulich guten Zusaxnmenarbeit.

Karlsruhe, November 2005

Herbert Oertel jr.

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung 2

3

G r u n d l a g e n der StrSmungsmechanik 2.1 StrSmungsbereiche 2.2 Hydro- und Aerostatik 2.2.1 Hydrostatik 2.2.2 Aerostatik 2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie 2.3.1 Kinematische Grundbegriffe 2.3.2 Inkompressible StrSmungen 2.3.3 Kompressible StrSmungen 2.4 Berechnung von technischen StrSmungen 2.4.1 Turbulente StrSmungen 2.4.2 Impulssatz 2.4.3 Drehimpulssatz 2.4.4 Rohrhydraulik 2.4.5 StrSmungen Nicht-Newtonscher Medien 2.4.6 StrSmungsablSsung 2.4.7 StrSmungen mit W~rmeiibertragung 2.4.8 StrSmungsmaschinen

3 3 11 11 22 29 29 40 62

91 111 120 139 147 157 163

Grundgleichungen der StrSmungsmechanik 3.1 Kontinuit ~tsgleichung 3.2 Navier-Stokes- Gleichungen 3.2.1 Laminare StrSmungen 3.2.2 Reynolds-Gleichungen fiir turbulente StrSmungen 3.2.3 Turbulenzmodelle 3.3 Energiegleichungen 3.3.1 Laminare StrSmungen 3.3.2 Turbulente StrSmungen 3.4 Grenzschichtgleichungen 3.4.1 Inkompressible StrSmungen 3.4.2 Kompressible StrSmungen 3.5 Potentialgleichungen 3.5.1 Potentialgleichung fiir kompressible StrSmungen 3.5.2 Potentialgleichung fiir inkompressible StrSmungen

171 171 175 175 189 198 204 204 211 214 214 222 225 225 232

77 77

VIII 3.6 4

Grundgleichungen in Erhaltungsform

246

Numerische LSsungsmethoden

253

4.1

253 253 261 270 273 278 278 287 292 301

4.2

5

Inhaltsverzeichnis

Analytische Vorbereitung 4.1.1 Dimensionsanalyse 4.1.2 Linearisierung 4.1.3 Stabilit~tsanalyse 4.1.4 Strukturanalyse Diskretisierung 4.2.1 Galerkin-Methode 4.2.2 Finite-Elemente-Methode 4.2.3 Finite-Differenzen-Methode 4.2.4 Finite-Volumen- Methode

Anhang

312

5.1 5.2

312 317

Ubersicht fiber die Aufgaben StrSmungsmechanik Software

Bezeichnungen

321

Ausgew~ihlte Literatur

324

S a c h w o r t verz eich nis

325

1

Einfiihrung

Mit dem vorliegenden Ubungsbuch mSchten wir den Studentinnen und Studenten eine MSglichkeit bieten, den Vorlesungsstoff durch das Rechnen von Beispielaufgaben zu vertiefen und die technischen Anwendungen des Lehrstoffes kennenzulernen. Der Vorlesungsstoff, der auf den Lehrbfichern von H. Oertel jr., M. BShle 1995, 1999, 2002, 2004 basiert, ist zum Teil abstrakt und ffir Studierende sind die technischen Anwendungen nicht unmittelbar erkennbar. Man muss sich oftmals zuerst sehr viel theoretisches Wissen aneignen, um anschliet~end technische StrSmungsprobleme 15sen zu kSnnen. Mit dieser A ufgabensammlung mSchten wir dazu beitragen, dass der Lehrstoff ffir die Studierenden nicht nur abstraktes Wissen bleibt sondern, dass sie den Zweck des Erlernens des Vorlesungsstoffes erkennen und damit auch Spa~ an der LSsung strSmungsmechanischer Probleme gewinnen. Die Beispielaufgaben besitzen einen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad. Die meisten Kapitel dieses Buches sind so aufgebaut, dass die am Anfang des jeweiligen Kapitels stehenden Aufgaben leicht und mit wenig Aufwand zu 15sen sind. Der Schwierigkeitsgrad nimmt dann bis zum Ende des Kapitels zu. Mit dem Rechnen der einfachen Aufgaben kSnnen sich die Studierenden allm~hlich mit den in der Vorlesung behandelten Problemen vertraut machen. Die schwierigen Aufgaben sollen der Priifungsvorbereitung dienen. Darfiber hinaus enth~lt das Buch auch Aufgaben, die als Prfifungsaufgaben zu schwierig sind. In diesen Aufgaben werden StrSmungsprobleme vorgestellt, die entweder als Einffihrung in ein umfangreiches neues Thema oder als Anleitung zur selbst~ndigen LSsung von ausgew~hlten schwierigen technischen Problemen angesehen werden kSnnen. Dieses trifft insbesondere ffir die Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' und 'Methoden der StrSmungsmechanik' zu. Eine Ubersicht fiber den Schwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgaben gibt eine entsprechende Tabelle im Anhang dieses Buches. Allerdings muss dazu gesagt werden, dass der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe nur subjektiv eingesch~tzt werden kann. Ffir den einen ist eine Aufgabe schwer zu 15sen, die von einem anderen wiederum als leicht eingestuft wird. Insofern gibt die Tabelle im Anhang dieses Buches den Studentinnen und Studenten die MSglichkeit den erlernten Wissensstand zu iiberpriifen. Obwohl einige Aufgaben als sehr schwierig eingesch~tzt werden kSnnen, empfehlen wir den Studierenden, jede Aufgabe selbst zu rechnen und sich dabei nicht sofort an den vorgerechneten LSsungen zu orientieren. Die LSsungen sind sehr ausffihrlich beschrieben und sollten nur zur Kontrolle dienen oder ggf. fiber Verst~ndnisschwierigkeiten hinweg helfen. Nur so hat man sicherlich den grSt~ten Nutzen von dem vorliegenden Ubungsbuch. Nachfolgend sollen die einzelnen Kapitel vorgestellt werden. Im ersten Kapitel

2

1 Einffihrung

'Grundlagen der Str5mungsmechanik' werden Beispielaufgaben behandelt, die mit den Grundkenntnissen der StrSmungsmechanik zu 15sen sind. Es werden Aufgaben zu ruhenden Fluiden und zur eindimensionalen Stromfadentheorie vorgerechnet, wobei das Verhalten von inkompressiblen und kompressiblen Fluiden betrachtet wird. Im Kapitel 'Berechnung von technischen StrSmungen' werden Beispiele turbulenter StrSmungen gezeigt, die grSigtenteils Auslegungsrechnungen fiir Rohrleitungssysteme mit und ohne StrSmungsmaschinen, UmstrSmungen sowie einfache Rechnungen fiir den Entwurf technischer Ger~te beinhalten. Im Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' werden Beispiele zu den wichtigsten Grundgleichungen der StrSmungsmechanik behandelt. Mit den Beispielen soll dem Lernenden gezeigt werden, dass die umfangreichen Navier-StokesGleichungen StrSmungen in bzw. um technische Ger~te beschreiben und dass sie fiir das jeweils betrachtete Problem angepasst werden miissen. Insbesondere soll dabei auch gezeigt werden, dass die vereinfachten Gleichungen (Grenzschicht- bzw. Potentialgleichungen) in der Technik ihre Anwendung finden. Das letzte iibergeordnete Kapitel 'Numerische LSsungsmethoden' beinhaltet Beispielaufgaben die zeigen, wie mit analytischen bzw. numerischen Methoden die im Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' behandelten Gleichungen ge15st werden kSnnen. Bevor eine numerische oder analytische Rechnung durchgefiihrt wird, sollte zun~ichst das strSmungsmechanische Problem mittels einer Dimensionsanalyse behandelt werden und falls mSglich, sollten die das Problem bestimmenden Gleichungen linearisiert bzw. gegebenenfalls eine Stabilit~itsanalyse durchgefiihrt werden. Beispielaufgaben dazu sind in den entsprechenden Kapiteln 'Dimensionsanalyse', 'Linearisierung' und 'Stabilit~tsanalyse' enthalten. Die Auswertung der berechneten StrSmungsfelder erfolgt mit den kinematischen Methoden der Strukturanalyse. Mit den einfachen numerischen Beispielaufgaben soll deutlich werden, dass Ingenieurprobleme zum Teil mit PCs, Workstations oder Grotgrechnern gelSst werden. Es soll in diesen Kapiteln nur ein erster Einstieg in das sehr umfangreiche Thema 'Numerische StrSmungsmechanik' gegeben werden, das in einem gesonderten Lehrbuch H. Oertel jr., E. Laurien 2003 behandelt wird. Die Theorie und Beispiele zur Anwendung der Stabilitiitsanalyse finden sich in dem erg~inzenden Lehrbuch 'StrSmungsmechanische Instabilit~iten', H. Oertel jr., J. Dells 1996, 2005. Die vorgestellten Beispielaufgaben sowie die Software-Beispiele sollen dazu dienen, dass sich die Studenten und Studentinnen auch nach dem Vorexamen gerne mit StrSmungsmechanik beschMtigen. Insbesondere das erste Uben mit strSmungsmechanischer Software soll den Weg weisen wie in der Industriepraxis strSmungsmechanische Probleme gelSst werden. Fiir eine erfolgreiche Software-Nutzung sind die im 0bungsbuch vermittelten analytischen F~ihigkeiten eine Voraussetzung.

2 2.1

Grundlagen der StrSmungsmechanik StrSmungsbereiche

A u f g a b e 2.1.1

Kraft fahrzeugumstrSmung

A b b . 2.1.1a KraftfahrzeugumstrSmung

Ein K r a f t f a h r z e u g wird von einer r e i b u n g s f r e i e n ParallelstrSm u n g d e r G e s c h w i n d i g k e i t U~ a n g e s t r S m t . A b b i l d u n g 2.1.1a zeigt das K r a f t f a h r z e u g u n d die P a r a l l e l s t r S m u n g im Mitt e l s c h n i t t d e r (x,z)-Ebene. Unt e r Vernachl~issigung von Bodeneinfliissen l~isst sich die U m s t r S m u n g des K r a f t f a h r z e u g M i t t e l s c h n i t t e s in drei u n t e r schiedliche B e r e i c h e einteilen.

a) M a n b e n e n n e die drei u n t e r s c h i e d l i c h e n S t r S m u n g s b e r e i c h e u n d g e b e ihre c h a r a k t e r i s t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n an. b) M a n skizziere die S t r / i m u n g s b e r e i c h e u m das K r a f t f a h r z e u g im M i t t e l s c h n i t t u n d t r a g e zus~itzlich die S t a u p u n k t e sowie das G r e n z s c h i c h t p r o f i l a u f d e m D a c h des K r a f t f a h r z e u g s in die Skizze ein. Liisung: a) Im Staupunkt des Kraftfahrzeugs wird die reibungsfreie ParallelstrSmung auf die Geschwindigkeit Null verzSgert. Anschliefoend wird die StrSmung beschleunigt, wobei sich der Bereich der reibungsbehafteten GrenzschichtstrSmung in unmittelbarer N~he der Oberfl~che ausbildet. Aut~erhalb der Grenzschicht befindet sich der Bereich der reibungsfreien A uflenstrSmung. Durch die Verdr~ngungswirkung, die das Kraftfahrzeug der AnstrSmung entgegensetzt, wird die StrSmung beschleunigt, bis die maximale HShe des Kraftfahrzeugs erreicht ist. Stromab der maximalen HShe wird die StrSmung verzSgert, was zum AblSsen der Grenzschicht und zur Ausbildung des Bereichs der reibungsbehafteten NachlaufstrSmung ffihrt.

4

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b)

A b b . 2.1.1b StrSmungsbereiche der KraftfahrzeugumstrSmung

A u f g a b e 2.1.2

Profilumstr6mung

In e i n e m W i n d k a n a l m i t p a r a l l e l e n h o r i z o n t a l e n W ~ i n d e n ist ein z u r x - A c h s e s y m m e t r i s c h e s schlankes Tragtifigelprofil e i n g e b a u t (siehe Abb. 2.1.2a). D a s P r o f i l e r s t r e c k t sich fiber die g e s a m t e K a n a l b r e i t e s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e u n d s t e h t in e i n e r s t a t i o n f i r e n P a r a l l e l a n s t r S m u n g d e r M a c h - Z a h l M ~ : 0, 1 (U~ : 34 m / s ) . a) M a n s e t z e e i n e a b l S s e f r e i e U m s t r S m u n g d e s P r o f i l h e c k s v o r a u s u n d s k i z z i e r e q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e s D r u c k b e i w e r t e s cp(x/L) a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t lllngs d e r O b e r s e i t e d e s Profils. b) D a s P r o f i l w i r d n u n u m e i n e n A n s t e l l w i n k e l ~ - 2 ~ z u r x - A c h s e ang e s t e l l t . Es g e l t e n die g l e i c h e n V o r a u s s e t z u n g e n wie ffir T e i l a u f g a b e a) u n d n a c h wie v o r ist die U m s t r S m u n g d e s P r o f i l h e c k s a b l S s e f r e i . Skizzie-

A b b . 2.1.2a Tragfliigelprofile

2.1 StrSmungsbereiche

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r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f des D r u c k b e i w e r t e s Cp(X/L') a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t l~ings d e r O b e r s e i t e des a n g e s t e l l t e n P r o f i l s w o b e i die U n t e r s c h i e d e i m V e r g l e i c h z u m nicht a n g e s t e l l t e n Fall a u s T e i l a u f g a b e a) d e u t l i c h e r k e n n b a r sein sollen. c) D u r c h e i n e V e r g r S g e r u n g des A n s t e l l w i n k e l s ~ t r i t t u n t e r s o n s t weit e r h i n g l e i c h e n V o r a u s s e t z u n g e n A b l S s u n g bei d e r U m s t r S m u n g des P r o filhecks auf. S k i z z i e r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e n u m d a s a n g e s t e l l t e P r o f i l w o b e i die U n t e r s c h i e d e i m S t r o m f e l d z w i s c h e n O b e r u n d U n t e r s e i t e d e s Profils d e u t l i c h h e r v o r t r e t e n sollen. d) I m g l e i c h e n W i n d k a n a l w i r d a n s c h l i e g e n d ein so g e n a n n t e s L a m i n a r profil u n t e r s u c h t , bei d e m sich die m a x i m a l e P r o f i l d i c k e a m O r t x / L - O, 5 b e f i n d e n soil. D a s P r o f i l ist s y m m e t r i s c h z u r x - A c h s e , e r s t r e c k t sich fiber die g a n z e K a n a l b r e i t e s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e u n d s t e h t in e i n e r s t a t i o n ~ i r e n P a r a l l e l a n s t r S m u n g d e r M a c h - Z a h l M ~ = 0, 1. S e t z e n Sie eine a b l S s e f r e i e U m s t r S m u n g des P r o f i l h e c k s v o r a u s u n d s k i z z i e r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f des D r u c k b e i w e r t e s Cp(X/L) a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t l~ings d e r O b e r s e i t e des Profils. D i e U n t e r s c h i e d e z u r CpV e r t e i l u n g a u s T e i l a u f g a b e a) sollen d e u t l i c h zu e r k e n n e n sein. LSsung: Bei inkompressiblen Str5mungen gilt im Staupunkt Cp = 1. Str0mab des Staupunktes wird die StrSmung beschleunigt, wodurch der statische Druck und s0mit der cp-Wert abnimmt. Das Druckminimum stellt sich n~herungsweise am Ort der maximalen Profildicke ein. Durch Anstellung erh~lt man ein ausgepr~gteres Druckminimum.

:p o

Cp-Verlauf ohne Anstellung A b b . 2.1.2b Druckverlauf

c p-Verlauf mit Anstellung

6

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A b b . 2.1.2c Stromlinienverlauf

A u f g a b e 2.1.3

A b b . 2.1.2d cp-Verlauf beim Laminarprofil ohne Anstellung

U m s t r S m u n g eines H a u s e s

Es soil die W i n d s t r S m u n g u m eine R e i h e n h a u s - Z e i l e b e t r a c h t e t w e r d e n , die im freien e b e n e n Gel/inde s t e h t . D e r a n k o m m e n d e W i n d k a n n n/iher u n g s w e i s e als station[ire S t r S m u n g mit e i n h e i t l i c h e r R i c h t u n g a n g e s e h e n werden. a) M a n skizziere d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e n im a n g e g e b e n e n U m f e l d des H a u s e s ( g e s t r i c h e l t e r R a h m e n ) , w o b e i die U n t e r s c h i e d e im S t r o m feld z w i s c h e n W i n d z u g e w a n d t e r u n d W i n d a b g e w a n d t e r Seite d e u t l i c h h e r v o r t r e t e n sollen~ die S c h o r n s t e i n e k S n n e n d a b e i u n b e r i i c k s i c h t i g t bleiben.

A b b . 2.1.3a Reihenhaus-Zeile in station~er Windanstr5mung

2.1 StrSmungsbereiche

7

b) M a n skizziere q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e r H o r i z o n t a l k o m p o n e n t e u(z) d e r G e s c h w i n d i g k e i t ltlngs d e r v o r g e g e b e n e n z-Achse sowie d e n V e r l a u f des D r u c k e s p l~ings d e r v o r g e g e b e n e n x-Achse a u f d e r H S h e z - z0 (siehe A b b . 2.1.3a). Die S c h o r n s t e i n e k S n n e n vernachl~issigt w e r d e n . c) W a r u m ist P o s i t i o n Pa gfinstiger fiir d e n S c h o r n s t e i n als P o s i t i o n PD? d) W e l c h e R i c h t u n g h a t die aus d e r D r u c k d i f f e r e n z z w i s c h e n I n n e n u n d Auf~enseite eines e i n z e l n e n D a c h z i e g e l s r e s u l t i e r e n d e K r a f t (siehe A b b . 2.1.3a)~ w e n n v o r a u s g e s e t z t wird~ dass alle F e n s t e r g e s c h l o s s e n sind u n d n u r die H a u s t i i r a u f d e r W i n d z u g e w a n d t e n Seite des H a u s e s often s t e h t u n d dass v o m E r d g e s c h o s s bis z u m D a c h s t u h l eine offene V e r b i n d u n g besteht~ so dass im g e s a m t e n H a u s i n n e r n ein e i n h e i t l i c h e r D r u c k pi h e r r s c h t ? M a n b e g r f i n d e die A n t w o r t . LSsung: gesucht: a) Stromlinienverlauf, b) richtung

u(z), p(x),

c) Positionsbegriindung, d) Kraft-

a) Laut Aufgabenstellung sollen die beiden Schornsteine unberiicksichtigt bleiben und die Unterschiede zwischen Wind zugewandter und Wind abgewa~dter Seite des Hauses sollen deutlich hervortreten. Daher sind zur Skizzierung des Stromlinienverlaufs folgende Punkte zu beriicksichtigen: Das Haus wirkt als Hindernis gegeniiber der ankommenden Windstr5mung und iibt eine Verdr~ingungswirkung aus. Die urspriinglich parallelen Stromlinien werden um das Dach herum umgelenkt, wobei sich ihr gegenseitiger vertikaler Abstand aufgrund der Verdr~ngungswirkung des Hauses verringert. Auf der Wind zugewandten Hausseite ist also eine Konvergenz der Stromlinien oberhalb des Daches zu beobachten. Der hSchste Punkt des Dachgiebels wirkt als definierte Abrisskante d. h. die StrSmung reiigt ab und die Stromlinien kSnnen der Kontur des Daches auf der

A b b . 2.1.3b Stromlinienverlauf

8

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

wandabgewandten Seite nicht mehr folgen. Dort stellt sich hinter dem Haus ein so genanntes Rezirkulationsgebiet bzw. Nachlaufgebiet ein. Oberhalb des Rezirkulationsgebietes divergieren die Stromlinien wieder, da der Einfluss des Hauses mit zunehmendem Abstand stromab immer weiter abnimmt. Der sich aufgrund dieser 0berlegungen einstellende Stromlinienverlanf ist in Abbildung 2.1.3b gezeigt. b) Erster Anhaltspunkt zur Skizzierung des Geschwindigkeitsverlaufes u(z) ist die Haftbedingung am Dachgiebel an der Stelle z = 0. Folglich gilt u(z = O) = O. Da das Haus eine Verdr~ngungswirkung ansiibt, wird die StrSmung oberhalb des Dachgiebels auf Werte grSt~er als das Maximum U,~ der ungestSrten AnstrSmung beschleunigt. Relativ zum Wert U~ der AnstrSmung stellt sich oberhalb des Dachgiebels mit u(z - 0) = 0 eine 0bergeschwindigkeit mit Umax > U~ ein. Diese Ubergeschwindigkeit nimmt fiir Werte z ~ oc wieder auf den Wert U~ ab, so dass man den in Abbildung 2.1.3c skizzierten Geschwindigkeitsverlauf u(z) erh~lt. Aufgrund der StrSmungsbeschleunigung oberhalb des Daches steigt der dynamische Druck l~ngs x an und der statische Druck p nimmt somit l~ngs x ab. Die maximale Verdr~ngungswirkung findet oberhalb des Dachgiebels statt. Daher stellt sich an dieser Stelle das Geschwindigkeitsmaximum und somit ein relatives Druckminimum ein. Abbildung 2.1.3d zeigt qualitativ den sich anhand der Uberlegungen ergebenden Druckverlauf p(x ). c) In Abbildung 2.1.3b erkennt man, dass sich der oberste Punkt des Schornsteins an Position Pa im Bereich der Aui~enstrSmung oberhalb der gestrichelt dargestellten Grenze zum Rezirkulationsgebiet befindet. Die Emissionen des Schornsteins an der Stelle P~ werden daher von der Aui~enstrSmung weggetragen. Der Schornstein an der Stelle Pb emittiert die Abgase hingegen unterhalb der gestrichelten Grenze. Dies bedeutet, dass die Abgase im Rezirkulationsgebiet verbleiben. Daher ist Position Pa giinstiger.

Omax

H

Abb.

~(z)

2.1.3c Geschwindigkeit sverlauf

A b b . 2.1.3d Druckverlauf p(x)

2.1 StrSmungsbereiche

9

d) Der Druck p~ innerhalb des Hauses, der auf die Ziegelunterseite wirkt, entspricht dem Druck im Staugebiet der AnstrSmung vor der Haustiir. Der Druck pa, der aut~en auf die Ziegeloberseite wirkt, ist wegen der ErhShung der Geschwindigkeit und der damit verbundenen Abnahme des statischen Druckes kleiner als der Druck pi. Die resultierende Druckdifferenz iibt folglich eine Kraft auf den Ziegel nach augen aus. A u f g a b e 2.1.4

Fliissigkeit-Dampfabscheider

In A b b i l d u n g 2.1.4a ist eine vereinfachte Prinzipskizze eines FliissigkeitsD a m p f a b s c h e i d e r s dargestellt. a) In welchen S t r 6 m u n g s t e i l e n liegt eine Fliissigkeitsstr6mung vor, in welchen eine M e h r p h a s e n s t r 6 m u n g und in welchen eine GasstrSmung?

4

1

-V ~ .2

c

Drosselventil

,,,...

5

- k,..~ Pumpe

6

A b b . 2.1.4a Prinzipskizze eines Fliissigkeits-Dampfabscheiders

b) Welche c h a r a k t e r i s t i s c h e n physikalischen G r 6 g e n des S t r 6 m u n g s feldes sind im S t r S m u n g s t e i l 3 und welche im S t r S m u n g s t e i l 5 zu beriicksichtigen?

c) B e s c h r e i b e n Sie die S t r S m u n g s f o r m e n die im S t r S m u n g s t e i l 2 a u f t r e t e n kSnnen. d) Von welchen G r 6 g e n sind die S t r 6 m u n g s b e r e i c h e b e i m U b e r g a n g ein e t i n k o m p r e s s i b l e n Fliissigkeitsstr6mung zu einer k o m p r e s s i b l e n Gass t r 6 m u n g abh~ingig? L6sung: a) Im StrSmungsteil 1 wird das Mehrkomponentengemisch in der Regel in flfissiger Form dem Fliissigkeits-Dampfabscheider zugefiihrt, so dass hier eine inkompressible FlfissigkeitsstrSmung vorliegt. Danach wird durch die Drossel der Druck derart abgesenkt, dass die zu trennenden Komponenten in verschiedenen Phasen, d. h. fliissig bzw. gasfSrmig vorliegen. Damit liegt im StrSmungsteil 2 eine MehrphasenstrSmung vor. Im Demister wird dann die ftiissige yon der gasf6rmigen Komponente getrennt. Im StrSmungsteil 3 wird danach die gasfSrmige Komponente weiter gefSrdert, in den StrSmungsteilen 5 und 6 die fliissige Komponente. Damit liegt in dem StrSmungsteil 3 eine kompressible GasstrSmung vor, in den StrSmungsteilen 5 und 6 eine inkompressible FliissigkeitsstrSmung. Die Expansion in der Turbine fiihrt im Teil 4 im

10

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Allgemeinen wieder zu einem Mehrkomponentengemisch. b) Im StrSmungsteil 3 liegt eine kompressible GasstrSmung vor, d. h. es mfissen Dichte, Druck, Temperatur und Geschwindigkeit beriicksichtigt werden. Im StrSmungsteil 5 ist die StrSmung inkompressibel, d. h. es mfissen nur Druck, Temperatur und Geschwindigkeit beriicksichtigt werden. c) Die entstehenden StrSmungsformen der MehrphasenstrSmung im StrSmungsteil 2 h~ngen von dem Druckabfall fiber dem Drosselventil ab. Ist die Druckabsenkung zu gering, bleibt die FliissigkeitsstrSmung erhalten. Mit steigendem Druckabfall nimmt der Dampfgehalt X der MehrphasenstrSmung immer stoker zu. Zungchst bildet sich eine BlasenstrSmung aus, in der die HauptstrSmung aus Fliissigkeit besteht, in der Blasen enthalten sind. Mit steigendem Dampfgehalt wachsen die Blasen und lagern sich zusammen, so dass sich eine Pfropfen- bzw. eine SchwallstrSmung ausbildet. Mit weiter steigendem Dampfgehalt entsteht eine so genannte Ring-TrSpfchenstrSmung, bei der am Rand des Rohres ein Flfissigkeitsfilm und in der Mitte des Rohres der Dampf strSmt. Dabei sind in der DampfstrSmung TrSpfchen enthalten. Als Grenzfall ergibt sich bei entsprechender Druckabsenkung die reine GasstrSmung. In Abbildung 2.1.4b sind die wichtigsten dieser StrSmungsformen dargestellt. d) Die StrSmungsformen h~ngen vonder Temperatur, vom Druck, vom Dampfgehalt X und vonder StrSmungsgeschwindigkeit ab.

Abb. 2.1.4b Die wichtigsten StrSmungsformen der MehrphasenstrSmung

2.2 Hydro- und Aerostatik 2.2

Hydro-

2.2.1

11

und Aerostatik

Hydrostatik

A u f g a b e 2.2.1

U-Rohrmanometer D r e i gleiche U - R o h r e sind h i n t e r e i n a n d e r g e s c h a l t e t . In d e n U - R o h r e n b e f i n d e t sich jeweils eine Fliissigkeit m i t d e r D i c h t e p. Die Fliiss i g k e i t s s p i e g e l w e i s e n die H~Shend i f f e r e n z e n hl~ h2 u n d h3 a u f (siehe A b b . 2.2.1). D e r Einfluss d e r E r d s c h w e r e a u f die Luft ist v e r n a c h l~issigbar. W i e grog ist d e r D r u c k u n t e r s c h i e d Ap : p3 - pl z w i s c h e n d e n freien E n d e n des e r s t e n u n d dritten Rohres?

A b b . 2.2.1 zusammengeschaltete URohre LSsung: g e g e b e n : hi, h2, h3, p, g gesucht:

Ap - p3 - pl

Zur LSsung der Aufgabe fiihren wir die Drficke p~ und p~/ ein (siehe Abb. 2.2.1). Zun~chst betrachten wit das linke U-Rohr in Abbildung 2.2.1. Unmittelbar auf der Fliissigkeitsoberfl~che im linken Schenkel des genannten U-Rohres herrscht der Druck p3. Der gleiche Druck existiert in der Flfissigkeit in dem rechten Schenkel auf der gleichen Niveauh5he, so dass nach dem hydrostatischen Grundgesetz folgender Zusammenhang gilt: p~ - p'~ + p 9

(1)

h~

Analoge 0berlegungen gelten ffir die Driicke in dem mittleren und rechten U-Rohr, so dass gilt" !

I!

P2 - - P 2 + P" g" h2 p'2~ - p l

,

+ P" 9 " h i

p~l g e m ~ Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt:

(2) (3)

12

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik !

(4)

P2 -- Pl + P" g " h l + p . g . h2

Gleichung (4) wiederum in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt nach einer Umformung das gesuchte Ergebnis: A p - p3 - p l - p ' g " (hi + h2 + h3) A u f g a b e 2.2.2

U-Rohrmanometer Ein oftener Wasserbeh~ilter und ein d u r c h ein M a n o m e t e r g e g e n die A t m o s p h ~ i r e abgeschlossenes~ m i t O l geffilltes Gef'dg s i n d d u r c h ein U - R o h r v e r b u n d e n (siehe A b b . 2.2.2)~ in dessert u n t e r e m Tell sich eine Tetrachlorkohlenstoff-Ffillung (CCI4) b e f i n d e t . Die H S h e d e r Wassers~iule ( D i c h t e des W a s s e r s : pw : 1000 k g / m 3) betr~igt hi = 0, 4 m~ die Ols~iule ( D i c h t e des {~ls: P O l - 950 k g / m 3) h a t die H S h e h3 = 0, 13 m~ u n d die H S h e h2 d e r CCl4S~iule betr~igt h2 - 0, 1 m.

A b b . 2.2.2 CC14-Fiillung im U-Rohr W i e g r o g ist die D i c h t e pTck d e r CC14-Fiillung~ w e n n a m M a n o m e t e r ein ~ l b e r d r u c k g e g e n die A t m o s p h ~ i r e y o n 1200 N / m 2 a b g e l e s e n w i r d ? LSsung: g e g e b e n : h l - 0,4 m, h2 - 0,1 m, h3 - 0,13 m, pw 950 k g / m 3, p - po - 1200 N / m 2, g - 9, 81 m / s 2 gesucht:

1000 k g / m 3, PO1 =

PWck

Auf der NiveauhShe X-X (siehe Abb. 2.2.2) sind die Driicke in dem Tetrachlorkohlenstoff in dem linken und rechten U-Rohrschenkel gleich. Mittels des hydrostatischen Grundgesetzes berechnet sich der Druck p~ in der Fliissigkeit auf der Niveaulinie X-X in dem linken U-Rohrschenkel zu: p!

- P + P61 ~ g ~ h3 + pTck

~

g " h2

9

(1)

Fiir den Druck auf der HShe X-X in dem rechten U-Rohrschenkel gilt entsprechend: !

p -- p0 + pw-g" hi

(2)

2.2

Hydro-

und

13

Aerostatik

Durch Gleichsetzen der Gleichungen (1) und (2) erh~lt man die Bestimmungsgleichung ffir flWck, die nach Aufl5sung nach flWck der folgenden Ergebnisformel der Aufgabe entspricht: hi h3 PTck -- Pw" ~ -- POI" h2

p - po g" h2

Mit den angegebenen Zahlenwerten berechnet sich PTck zu: /gTck z

A u f g a b e 2.2.3

1541, 8

kg/m

s

.

W a s s e r b e h ~ i l t e r mit K l a p p e E i n e in e i n e n W a s s e r b e h i i l t e r eingebaute rechteckige Klappe der H S h e h u n d d e r B r e i t e b ist im P u n k t D u m eine h o r i z o n t a l e Achse d r e h b a r g e l a g e r t (siehe A b b .

2.2.3). a) W i e g r o g ist die r e s u l t i e r e n de D r u c k k r a f t FD a u f die K l a p p e in Abh~ingigkeit d e r H S h e H des Wasserspiegels? A b b . 2.2.3 exzentrisch gelagerte Klappe

b) Bei w e l c h e r H S h e H0 des Wasserspiegels 5ffnet sich die K l a p p e d u r c h die D r u c k k r a f t selbstt~itig?

Z a h l e n w e r t e : hi = 1 m, h 2 - - 0 , 45 m LSsung: g e g e b e n : hi, h2, b, p gesucht: a) Druckkraft FD = f(H), b) niedrigste HShe Ho des Wasserspiegels, bei dem sich die Klappe 5ffnet a) Der konstante Aufoendruck wirkt sowohl von rechts auf die Klappe als auch fiber die freie 0berfl~che des Wasserspiegels von links auf die Klappe. Damit ist die resultierende Kraft des Aut~endruckes gleich Null und der Aut~endruck braucht nicht berficksichtigt zu werden. Die Druckverteilung im Wasserbeh~lter ergibt sich somit zu:

;(~) = p 9

(H-

z)

14

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Die Druckkraft auf ein Fl~i~henelement dA = b. dz der Klappe betr~gt dann: dFD = p ( z ) . d A = p . g . ( H - z ) . b . d z

.

Die resultierende Druckkraft erh~lt man aus der Integration fiber die gesamte Platte: hi y.

FD - - / p ( z ) .

dA -

p. g . (H - z) . b . dz

o

t.]

o

Damit l ~ s t sich die Abh~ngigkeit der Druckkraft FD von der Spiegelh5he wie folgt angeben: FD -

p. g. (H -

(1)

~-~ ) . h l . b

b) Die in Abbildung 2.2.3 dargestellte Klappe 5ffnet sich selbst~ndig, wenn das Moment der resultierenden Druckkraft grSt~er als Null ist. Das Moment d M das auf das Fl~chenelement dA ausgefibt wird, berechnet sich aus der Druckkraft auf dieses Fl~chenelement und dem Hebelaxm beziiglich des Drehpunktes D zu: d M = (z - h2)-dFD -- (z - h 2 ) - p ( z ) , d A = ( z - h2) . p . g . ( H - z ) . b . d z Durch Integration fiber die gesamte Klappe erh~ilt man das resultierende Moment: hi

at.

M =/(z

- h2).p.g.

(H-

z). b. dz

, , ]

o

M = p.g.b,

h i . ( - ~1 . H .

hi -

1.h21_h2.H+ -~

1 h2. hi) -~.

Ist das Moment gr5t~er als Null, 5ffnet die Klappe. Die Bestimmungsgleichung zur Berechnung der gesuchten H5he des Wasserspiegels lautet also: 1 . Ho . hl -~

1.h~_h2.Ho+ -~

1

.h2.hi-0

Diese Gleichung nach Ho aufgel5st, ergibt das gesuchte Ergebnis: Ho_

--h2

12. ( - ~ - h2) Zahlenwerte eingesetzt: Ho - 2, 2 m

[ hi

2

.

(2)

2.2 Hydro- und Aerostatik A u f g a b e 2.2.4

15

Kegelventil

In

zur

Abbildung

Hiihe

H

2.2.4a -

0,5

ist m

ein

mit

bis

Was-

s e r ( D i c h t e pw d e s W a s s e r s b e t r ~ i g t

A b b . 2 . 2 . 4 a Kegelventil als Verschluss

pw - 1000 k g / m 3) g e f i i l l t e r Beh~ilter dargestellt~ dessen BodenSffnung durch ein Kegelventil (Dicht e Pk d e s K e g e l m a t e r i a l s b e t r ~ i g t Pk -- 3910 k g / m 3) a b g e d i c h t e t ist. D e r D u r c h m e s s e r 2. r d e r G r u n d fl~iche d e s K e g e l v e n t i l s u n d d e s s e n HShe h betragen jeweils 2-r h - 0, 25 m ( s i e h e A b b . 2 . 2 . 4 a ) . D e r Durchmesser der Bohrung im Beh ~ i l t e r b o d e n ist m i t r b e z e i c h n e t . W e l c h e K r a f t IF[ ist z u m A n h e b e n des Ventils nStig?

L6sung:

g e g e b e n : H = 0,5 m, r = 0,125 m, h 3910 k g / m 3 gesucht:

0,25 m, pw -

1000 k g / m 3, Pk --

F

A b b . 2 . 2 . 4 b Kr~fte am Kegelventil

In Abbildung 2.2.4b sind die Kr~ifte eingetragen, die auf das Kegelventil wirken. Zus~tzlich ist das Ventil in zwei Volumenanteile V1 und V2 zerlegt worden. Das Volumen V1 erf~hrt durch das es umgebende Wasser eine Auftriebskraft FA. A uf das Volumen V2 wirken die Wasserlast FD1 und die Kraft FD2, die aus dem Atmosph~rendruck po herrfihrt. Die Gewichtskraft G und die gesuchte Kraft F wirken auf das gesamte Ventil.

16

2 Grundlagen

der Str5mungsmechanik

Die gesuchte Kraft F ergibt sich durch ein Krgftegleichgewicht am Kegel: F+FA-G-FD~

+FD2 = 0

.

(1)

Die Auftriebskraft FA berechnet sich gem&g der Auftriebsformel: h 9 ?.2

FA=pw'g'V1

, h

V1

=Tr.

,

6

9 ~.2

F a - - p w -g. yr.

6

(2)

Die Wasserlast FD1 l ~ s t sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz ermitteln: 7. 2

FDI - - p " Tr" 4

'

P - - P o + Pw "g"

FD1

--

H-

+ pw-g"

0

-~

,

H - ~

.Tr. -~-

.

(3)

Auf das Kegelventil wirkt von unten der Luftdruck po. Er ist die Ursache fiir die Kraft FD2. Die Kraft FD2 berechnet sich zu: ?~2

FD2 - p o ' T r " -4

"

(4)

Die Gewichtskraft G ergibt sich aus der nachfolgenden Rechnung: G=pk

"g" Vk 2

yk

--

7T . T

,

h 9 __

3

G - - p k . g - 7 r . r 2 . _h 3

(5)

Gleichungen (2), (3), (4) und ( 5 ) i n Gleichung (1) eingesetzt, ergibt nach einer Umformung nach F das gewiinschte Ergebnis: F--pw.g.Tr.r

2.h.

Zahlenwerte eingesetzt, ergibt: F -

1 ~

182 N.

p___~k+ _ . pw 4

h

24

2.2 Hydro- und Aerostatik

17

A u f g a b e 2.2.5 R o t i e r e n d e s Gef'fif~

E i n k e i s z y l i n d r i s c h e s Gef'fig (Inn e n r a d i u s r2, H g h e h) r o t i e r t m i t konstanter Winkelgeschwindigkeit cv u m seine H o c h a c h s e . D i e in d e m GeFfig b e f i n d l i c h e Fliissigkeit ( D i c h t e p) r o t i e r t d a b e i wie ein S t a r r k g r p e r mit. U b e r i h r e r freie n Oberfl~iche, die b e i m R a d i u s rl a n d e n B e h ~ i l t e r d e c k e l grenzt~ h e r r s c h t d e r U m g e b u n g s d r u c k p0 (siehe A b b . 2.2.5)

A b b . 2.2.5 Rotierendes Gefs

a) W i e g r o g ist die K r a f t IF2l, die die Fliissigkeit a u f d e n B e h ~ i l t e r b o d e n ausiibt? b) W i e grolg ist die K r a f t IF1[, die die Fliissigkeit a u f d e n B e h f i l t e r d e c k e l ausfibt? c) W i e g r o g ist d e r A b s t a n d fl[iche v o m B e h f i l t e r b o d e n ?

hmin des t i e f s t e n P u n k t e s d e r f r e i e n O b e r -

Lgsung: g e g e b e n : p, p0, w, g, rl, r2, h gesucht:

[F21,

JEll, hmin

Durch die Rotation entsteht ein Zentrifugalfeld in radialer Richtung. Die Erdschwere wirkt in negative z-Richtung. Damit ergibt sich fiir die Druckverteilung in der Fliissigkeit 1 2 2 p ( r , z ) - -~ . p . w . r - p . g . z + C (1) Als Ursprung des Koordinatensystems (r = 0, z = 0) wird der Schittpunkt der Achse mit dem Behiilterboden gew/ihlt. Da die Oberfl/iche der Fliissigkeit eine freie Oberflgche ist, herrscht dort der Druck p0. Damit gilt am Schnittpunkt der Fliissigkeitsoberflgche mit dem BehSJterdeckel die Randbedingung: p(r--

r l , z - - h) - p o

Durch Einsetzten der Randbedingung in Gleichung (1) ergibt sich die Konstante zu: C - p o -

1 -~ . p . ~

2

9

r~+p

9

g

.h

18

2

Grundlagen der Str5mungsmechanik

Damit folgt fiir die Druckverteilung in der Fliissigkeit: 1 p(r,z)-po+~'p'~

2

"(r2-rl ~)+p'g'(h-z)

(2)

a) Fiir die differentielle Kraft d]F2] auf den Behglterboden gilt: dlF2l -

p(r, z - 0). dA

(3)

.

Mit der Fl~he (4)

dA - 2.7r. r - d r und der Druckverteilung 1

p(~, z - o) - po + ~ . p . ~

2

9(~ - ~) + p. g. h

am Boden erh~ilt man aus Gleichung (3) fiir die Kraft ]F2[ das Integral r2

[F21- S ( po + -~1 " p " ~ 9. " (r 2 - r~) + p " g " h ) . 2 . Tr . r . d r r:0

Nach der Integration ergibt sich die Kraft auf den Beh~lterboden zu ]F2]--Tr.r~.

(

po+p.g.h+-~.p'w

1

2 r~ "2"

[

1-2-

rl -r2

b) Fiir die differentielle Kraft d[Fll auf den Beh~lterdeckel gilt" (5)

dlF11 - p ( r , z - h) . d A

Mit Gleichung (3) und der Druckverteilung 1 p(r,z-h)-po+~.p.~

2

" ( r 2 - r l ~)

am Deckel erh~ilt man aus Gleichung (5) fiir die Kraft IF1] gas Integral r2

tFll-

f

( p 1o + ~ ~ . w2 ( ~ - ~ 1 ~) )

2 ~ ~.d~

r--r 1

Nach der Integration ergibt sich die Kraft auf den Beh~ltereckel zu [Fl[ -- Tr. (r~ - r~) .

(

1 2r2[ po + -~ . p . w . -~ " 1-

(r1)21) -~2

2.2

Hydro-

und

19

Aerostatik

c) Der tiefste P u n k t der Oberfl~iche befindet sich bei r = 0 u n d h = h m i n . Mit der Randbedingung

p(r -- O, z

= h m i n ) = Po

auf der freien Oberfl~che der Fliissigkeit folgt aus Gleichung (2) po - po - ~1 9p" ~ 2 . r l2 . + / 9 . g. ( h

hmin)

9

Hieraus ergibt sich als Ergebnis fiir den A b s t a n d des tiefsten P u n k t e s der freien Oberfl~iche vom Behiilterboden 1 O22 h m i n --~ h . . . .

2

Aufgabe

2.2.6

g

2 rl

Drehtisch

Ein rotationssymmetrischer

Dreh-

tisch hat ein zylindrisches, schwimmendes 2.2.6).

Axiallager Der

betriigt

d -- 2 m .

se besitzt

(siehe

Abb.

Zapfendurchmesser Die

Lagerhiil-

einen Durchmesser

yon

D -- 2, 2 m u n d ist m i t t o o l -- 1500 kg O l d e r D i c h t e P O l - 900 k g / m 3 g e fiillt. a) W i e g r o g ist d e r T i e f g a n g Zl d e s Zapfens, wenn die DrehkSrpermasAbb.

se m D - - 5

2 . 2 . 6 Drehtisch

b) W i e g r o g ist d e r D r u c k u n t e r s c h i e d

P B - P0 z w i s c h e n

am Boden des Lagers und dem Umgebungsdruck des Zapfens? c) M i t w e l c h e r M a s s e Zapfen aufsetzt ?

mL . . . .

kann

t betr~igt?

der

Tisch

dem

Oldruck

PB

p0 n a c h d e m E i n t a u c h e n

beladen

werden,

bis der

LSsung: g e g e b e n : d - 2 m, D = 2.2 m, PO1 = 900 k g / m 3, toO1 = 1500 kg, m D = g = 9, 81 m / s 2 gesucht:

zl, P B - Po, mL . . . .

5 t,

20

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

a) Die Bestimmungsgleichung fiir die Eintanchtiefe zl erh/ilt man durch das nachfolgende Kr/fftegleichgewicht (Auftriebskraft=Gewichtskraft)"

F~ - c D

(1)

(FA ist die Auftriebskraft, die vom Fluid anf den Drehtisch wirkt, GD die Gewichtskraft des Drehtisches). Die beiden Kr/ifte b e s t i m m e n sich mit der folgenden Rechnung: GD

-- g"

mD

,

FA

-- PoI

" g"

YZyl

,

(2)

7r 9d 2 VZyl --

4

Zl

(3)

Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt und die so erhaltene Formel fiir FA zusammen mit der Formel fiir die Gewichtskraft in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt die gesuchte Bestimmungsgleichung fiir Zl" 9 "roD

--

PO1 " g"

7"t"9d 2 4 z~

Diese Gleichung nach Zl aufgelSst und die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die gesuchte Eintauchtiefe Zl zu: Zl =

4 9~D

PO1 " 7r. d 2

= 1, 77 m

(4)

b) Der Druckunterschied PB --Po ergibt sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz zu: PB

- - PO =

(5)

POl " g " 2

(2 ist der A b s t a n d zwischen der Oloberfl/iche und dem Boden der Lagerhiilse, siehe Abb. 2.2.6). Zur Auswertung der Gleichung (5) muss zun~chst die L~nge 2 ermittelt werden. Dazu soll ausgenutzt werden, dass das F1/issigkeitsvolumen Vol = t o O l ~ p 6 1 in der Lagerhiilse bekannt ist. Die Liinge 2 setzt sich aus der bereits bekannten L~nge Zl u n d dem A b s t a n d z2 zusammen, also: 2 = zl + z2. (z2 ist der A b s t a n d zwischen dem Axiallager und dem Boden der Lagerh/ilse). Mit den eingefiihrten GrSf~en kann das Fliissigkeitsvolumen wie folgt ausgedriickt werden: V61 = m 0 1 _ 7t-. D 2 7r D2 PO1 -4 "Z2 + -~ " Z I " ( -- d 2)

(6)

Gleichung (6) nach z2 aufgelSst und die entsprechenden Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die L/inge z2 zu: Z2 = 71"'/)61 . D2 - Zl 9 1 - ~

-- 0, 13 m

2.2

Hydro-

und

21

Aerostatik

und 2 zu 2 = Z l -~- z 2 = 1, 9 m. Mit der Gleichung (5) und der ermittelten Liinge 2 erh/ilt man den gesuchten Druckunterschied: pB - p o = 16787 N / m 2. c) Zur Berechnung der maximalen Traglast wird das Kr/iftegleichgewicht am Drehtisch in dem Zustand betrachtet, in dem das Axiallager nahezu den Boden der Lagerhiilse beriihrt. Die Auftriebskraft ist fiir den genannten Fall wieder gleich der Gewichtskraft. Die Gewichtskraft setzt sich aus der Gewichtskraft des Drehtisches und der Masse mL . . . . zusammen. Es ergibt sich also folgende Gleichung: FA

-- GD

-J- G L

(7)

(GD ist die Gewichtskraft des Tisches, GL die Gewichtskraft der Last und FA die Auftriebskraft). Die Auftriebskraft berechnet sich fiir den maximalen Olstand Z01,max. Dieser lfisst sich wieder mittels des bekannten Olvolumens bestimmen: V~ 1 _

mOl /901

7r

- - ZO1 . . . .

"

~-" ( D2

4-mOl Z(~l,ma x =

_

d2

)

1

7i"" /901

D 2 -

(8)

d2

Die Auftriebskraft ergibt sich also mit Gleichung (8) zu: 7r. d 2 FA

- - PO1 " g "

4

d2 ZO1 m a x

'

- - PO1 " g " t o O 1

PO1

D2 - d2

(9)

Die Gewichtskr~fte berechnen sich g e m ~ GD -- g ' m D

,

G L -- g " m L

(10)

,

so dass sich die Bestimmungsgleichung fiir m L,max durch Einsetzen der Gleichungen (9) und (10) in Gleichung (7) wie folgt ergibt" POl " g " toO1 /901

d2 D2

_

d2

-- g"

(roD

-Jr- m L , m a x )

Diese Gleichung nach rrtL,max aufgelSst, ergibt das gesuchte Ergebnis: d2 mL,max

- - TYt01 " D 2

_

d2

-

mD

Die Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die Maximallast: rrtL. . . . -- 2143

kg.

22 2.2.2

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik Aerostatik

A u f g a b e 2.2.7

Atmosph~ire

D e r D r u c k p0 u n d die T e m p e r a t u r To sind fiir eine Luftatmosph~ire (spezifische G a s k o n s t a n t e R - 287 m 2 / ( s 2 . K ) ) , in d e r H S h e z - 0 b e k a n n t (p0 -- 101300 N / m 2, To - 283 K). a) G e m ~ d e r Annahme~ dass sich d e r Z u s t a n d des G a s e s in d e r A t m o sph~ire i s o t h e r m ~indert~ sollen d e r D r u c k u n d die Dichte d e r Atmosph~ire in Abh~ingigkeit der H S h e z b e r e c h n e t w e r d e n . b) Gem~ig~ der A n n a h m e ~ dass sich d e r Z u s t a n d des Gases in d e r A t m o sph~ire p o l y t r o p ~indert~ sollen der D r u c k u n d die Dichte d e r Atmosph~ire in Abh~ingigkeit d e r H S h e z b e r e c h n e t w e r d e n . Zur B e r e c h n u n g ist d a z u zus~itzlich d e r T e m p e r a t u r g r a d i e n t d T / d z - - 0 , 0 0 7 K/m bekannt. LSsung: g e g e b e n : p0 - 101300 N / m 2, To -0,007 K / m

283 K , R -

287m2/(s 2. K),

dT/dz

-

gesucht: a) bzw. b) p - f(z), p - f(z) a) Fiir die Atmosph~e ist die folgende Gleichung giiltig: P

Z

--

----

1 / g

dp P

9

(1)

Po

Da eine isotherme Atmosph~e vorausgesetzt wird, ergibt sich mittels der Zustandsgleichung fiir ideale Gase: P-P-= R - T - R-To - konst. P P P-R.To

"

(2)

In Gleichung (1) p gem~f~ Gleichung (2) eingesetzt ergibt die folgende, noch zu 15sende Gleichung: P

R.To Z

--

-

-

~

p Po

Mit der LSsung des in dieser Gleichung vorhandenen Integrals und einer anschliet~enden Umformung der Gleichung nach z, erh~lt man das gesuchte Ergebnis: _

p -- po . e

9

RT~ "~ -- po " e

~o

2.2

Hydro-

und

23

Aerostatik

mit

R-To g

Ho =

(3)

Fiir die Dichte ergibt sich mit dem obigen Ergebnis und der Gleichung (2) das folgende Ergebnis: p--po.e

iSIo

,

mit po -= p o / ( R . To). b) Fiir die polytrope Zustandsgnderung des Gases gelten fiir die ZustandsgrSgen die nachfolgenden Gleichungen: n

po-

1

~

-

Foo

(4)

In Gleichung (4) ist n der Polytropenexponent. Ersetzt man in Gleichung (1) p gemfi~ Gleichung (4) durch: Z

p-

po

,

(5)

so erh/ilt man die folgende Gleichung: __1 Z------"

l g

p~ Po

p

9

lap 2

p.

po

Mit der LSsung des in der Gleichung vorhandenen Integrals und der anschliegenden Umformung nach p/po, ergibt sich die Gleichung

(1

z) 1

Po

n

/~o

12

(6)

12

Z

Z

103.m

103.m

8

\'~ 9X~

0 , 0.0 0.2

- - isotherm - - polytrop

|

8

_

0.4

0.6

0.8

.~

1.0

P/Po

X \\

0 0.0

012 ' 0:4

0.6

0.8

A b b . 2.2.7 Druck und Dichte in isothermer und polytroper Atmosph~e

l:0 =P/P0

24

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

(Ho gems Gleichung (3)). Die Gleichung (6) entspricht noch nicht der gesuchten L5sung, da der Polytropenexponent noch unbekannt ist. Da der Temperaturgradient d T / d z bekannt ist, ermittelt man zun~chst eine Funktion T = f(z, n) und differenziert sie anschliegend nach z. Mit den Gleichungen (4) und der Gleichung (6) ergeben sich die nachfolgenden Gleichungen: T n-1 = 1To n p ~o

9

n-1 n

_

1-

z Ho

(7)

'

z Ho

-~

"

(8)

Aus der Gleichung (7) ergibt sich durch Differenzieren die nachfolgende Bestimmungsgleichung fiir den Polytropenexponenten n: dT dz

To Ho

n-

1 n

oder nach n umgeformt"

To /to

n=

(9)

dT To dz+Ho

Mit den erstellten Gleichungen kann nun die Auswertung erfolgen: po = 1,247 k g / m 3 gemfi~ Gleichung (2), Ho = 8279 m gemfiag Gleichung (3) u n d n = 1,258 gem~g Gleichung (9). Fiir den Druck und die Dichte ergeben sich also in Abh~ngigkeit v o n d e r HShe z die nachfolgenden Berechnungsformeln (siehe Abb. 2.2.7): P = Po

(1-0,21.

Aufgabe 2.2.8

8279m

'

po --

(1 o, 1

z

8279 m

"

(10)

Ballon

E i n B a l l o n s c h w e b t in e i n e r i s o t h e r m e n A t m o s p h ~ i r e ( L u f t d r u c k a m B o d e n p 0 - 1,013 bar, L u f t d i c h t e a m B o d e n p 0 - 1,225 k g / m 3) in d e r H S h e z0 - 500 m. U m w i e v i e l s i n k t er a b , w e n n sich d i e L u f t d i c h t e a m B o d e n b e i g l e i c h b l e i b e n d e m L u f t d r u c k d u r c h W i t t e r u n g s e i n f l i i s s e a u f p~ - 1, 0 k g / m 3 ~indert? H i n w e i s : D a s V o l u m e n V d e s B a l l o n s ~indert sich b e i d e m H S h e n w e c h s e l nicht. LSsung: g e g e b e n : po - 1,013 bar, po - 1,225 k g / m 3, zo - 500 m, p~ - 1,185 k g / m 3

2.2 Hydro- und Aerostatik gesucht:

25

Az

Im Schwebezustand ist die Auftriebskraft F A des Ballons gleich dem Gewicht des Ballons. Fiir den Schwebezustand nach der Wetter/inderung bleibt die Auftriebskraft F A des Ballons erhalten, da sich das Gewicht nicht kndert. Mit der Auftriebsformel erh/ilt man: FA = Psoom " g" V = pz,x " g" V

(1)

.

(Psoom ist die Dichte in 500 m HShe vor der Wetter/inderung, pz,x ist die Dichte in der noch unbekannten HShe nach der Wetter/inderung). Aus der Gleichung (1) folgt: Psoom = p z ,x

(2)

Sowohl die Dichte psoom als auch die Dichte p z , x kSnnen mit der Ergebnisgleichung der Aufgabe 2.2.7 entsprechend ausgedriickt werden, so dass sich mit der Gleichung (2) fiir die noch unbekannte SchwebehShe Zx die folgende Bestimmungsgleichung ergibt: z0

po-e Ho _

R " To _ g

H0

Po

- - p ol - e ,

_ H0

(3)

,

H~

R"

g'po

_ g

Po g " P'o

(Der Index ' steht fiir die Atmosph/ire nach der Wetter~hnderung). Gleichung (3) nach zx aufgelSst, ergibt: zx-H;"

,[

ln(P~ \po/

+

zo] ~

(4) "

Mit der Zahlenrechnung erh/ilt man folgende Werte: Ho = 8430 m, H~ = 8714 m, z~ = 228 m. Der Ballon sinkt also infolge des Witterungseinflusses um Az = 272 m. A u f g a b e 2.2.9

Stratosph~irenballon

Ein Stratosph~irenballon wird a m B o d e n nur z u m Teil mit d e m rlYaggas W a s s e r s t o f f H2 gefiillt. B e i m A u f s t e i g e n bl~iht er sich d u r c h V o l u m e n z u n a h m e der F i i l l u n g auf. D a d u r c h wird ein zus~itzlicher A u f t r i e b s g e w i n n erzielt. A m B o d e n b e s i t z t der B a l l o n ein V o l u m e n V0 - 450 m 3, sein max i m a l e s V o l u m e n betr~igt V1 - 1400 m3. a) W i e s c h w e r d a r f die zu h e b e n d e Last Gmax h S c h s t e n s sein (die B a l l o n hiille ist ein Teil der Last, j e d o c h nicht das Traggas), w e n n der Stratosph~irenballon e i n e m a x i m a l e H S h e y o n Z m a x - 12 k m in e i n e r p o l y t r o p e n Atmosph~ire e r r e i c h e n soil? A m B o d e n herrscht der Luftdruck p0 - 1,013

26

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik bar u n d die L u f t d i c h t e p0 betr~igt d o r t po = 1,234 k g / m 3. D i e W a s s e r s t o f f d i c h t e PH2,O i m B a l l o n b e s i t z t a m B o d e n d e n W e r t PH2,0 : 0.087 k g / m 3. W e i t e r h i n s i n d die T e m p e r a t u r T1 k m : 280 K in 1 k m H 6 h e u n d die s p e z i f i s c h e G a s k o n s t a n t e d e r L u f t R = 287 m 2 / ( s 2. K ) bekannt. b) I n w e l c h e r H S h e zl h a t d e r B a l l o n sein g r S g t e s V o l u m e n V1 1400 m3 e r r e i c h t ?

A b b . 2.2.9 Stratosph~enballon H i n w e i s : Bis z u m E r r e i c h e n s e i n e s m a x i m a l e n V o l u m e n s b e s i t z t d e r W a s s e r s t o f f d e s B a U o n s in j e d e r H S h e die T e m p e r a t u r u n d d e n Druck der Atmosphiire. LSsung: g e g e b e n : p0 - 1,013 bar, po - 1,234 k g / m 3, R - 287 m 2 / ( s 2. I f ) , PH2,O = 450 m 3 V1 1400 m 3 0,087 k g / m 3, T1 km -- 280 K, Vo 9, 81 m / s 2 g e s u c h t : a) Gm~x, b) Zl a) Zur LSsung der vorliegenden Aufgabe kSnnen die Formeln der Aufgabe 2.2.7 genutzt werden. Der Ballon schwebt in einer polytropen Atmosph~e. Um die Zust~nde der A t m o s p h ~ e fiir unterschiedliche HShen angeben zu kSnnen, wird der Polytropenexponent benStigt. Dieser berechnet sich mit der in der Aufgabe 2.2.7 hergeleiteten Beziehung:

n-

dT

To /-/o

To

-~+H0

,

Ho= R.To g

,

To-

p0 po" R

.

(1)

Zur Auswertung der Gleichungen (1) sind alle GrStgen auger der Temperaturgradienten d T / d z gegeben. Die Temperatur nimmt in einer polytropen A t m o s p h ~ e linear ab (siehe Aufgabe 2.2.7), so dass sich der Temperaturgradient mit den gegebenen Temperaturen am Boden und in der HShe Zlkm = 1 k m wie folgt berechnen l~st: d T = Tlk,~ - To dz Zlkm - 0

.

(2)

Mit der Auswertung der Gleichungen (1) und (2) ergeben sich die folgenden Zahlenwerte: To = 286 K, Ho - 8367 m, d T / d z - 0 , 0 0 6 K / m , n - 1, 21.

2.2 Hydro- und Aerostatik

27

Die maximal tragbare Last Gmax ergibt sich durch ein KrMtegleichgewicht am Ballon in der H5he Zmax -- 12 kin: FA,12km -- Gmax - GH2 -- 0

==~

Gmax - fA,12km -- GH2

9

(3)

(FA,12km ist die Auftriebskraft in 12 k m HShe, GH2 die Gewichtskraft des Traggases). Die Masse mH2 des Traggases ~ndert sich w~ihrend des Ballonaufstieges nicht. Ihr Gewicht berechnet sich also wie folgt" GH2 -- mH2 "g -- PH2,0 " 17o'9

(4)

9

Die Auftriebskraft FA,12km berechnet sich mit der Auftriebsformel: FA,12km -- p12km "g" V1

9

(5)

In der Gleichung (5) steht V1, da sich der Ballon in der HShe Zm~x -- 12 k m voll ausgedehnt hat. Zur Auswertung der Gleichung muss noch die Dichte p12km der Luft in der betrachteten HShe ermittelt werden. Sie 1/isst sich mit der in Aufgabe 2.2.7 bereitgestellten Formel (8) berechnen. Die Formel lautet:

Pl2km---po.(l _ n - 1 n

1 Zmax) n 1 H0

(6)

Die Auswertung der Gleichungen ergibt die folgenden Zahlenwerte: p12km = 0,316 k g / m 3 g e m ~ Gleichung (6), FA,12k,~ -- 4340 N g e m ~ Gleichung (5), GH2 384 N g e m ~ Gleichung (4). -

-

Die berechneten Werte in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt die gesuchte Gr5ge Gm~x: Gmax - 3956 N. b) Die im Ballon befindliche Masse mH2 bleibt w~hrend des Aufstiegs unver~ndert. Es gilt also: (7)

mH2 -- fill2,0" Vo -- /9H2,1" V1 oder umgeformt: Vo /9H2,1 -- /9H2,0 " V1 (Der Index 1 steht fiir die GrSgen in der HShe

9

(s)

Zl).

Weiterhin gilt fiir den Wasserstoff die Zustandsgleichung fiir ideale Gase: PHz,1 -- fill2,1

" /~H2

THz,1

~

PH2,1

:

PH2,1 TH2,1

/~H2 .

"

(9)

Der Druck und die Temperatur des Wasserstoffes sind in der betrachteten HShe identisch mit dem Druck und der Temperatur der Atmosph/ire, so dass in Gleichung

28

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

(9) fiir den Druck PH2,1 und die Temperatur TH2,1 der Index 'H2' weggelassen werden kann. Die GrSt~en pl und T1 k5nnen mit den bereitgestellten Gleichungen (6) und (7) der Aufgabe 2.2.7 ausgedriickt werden. Man erh~ilt also: n

Pl

P0"( 1-n-ln

"~00) -1

RH2"To'( 1-n-ln

PH2'I=RH2"T1 _

po

9

1-

"Hoo21)

n-1

Zl

n

-RH2"To

-1

" Ho

"

(10)

Wird in Gleichung (10) PH2,1 gem~it~ Gleichung (8) ersetzt und beriicksichtigt man weiterhin, dass po/To = R . p o ist, so erh~ilt man die folgende Gleichung:

Vo

R

(

PH2'0" Yl -- RH2 "P0"

n-l 1-

n

1

Zl ) n l Ho

Diese Gleichung nach Zl aufgel5st, ergibt:

z .o

n El

n- 1

R ~oo~]/i

11

"

(11)

Da der Druck und die Temperatur des Wasserstoffs jeweils gleich den entsprechenden Werten der Atmosph~e sind, gilt gem~i/~ der Zustandsgleichung fiir ideale Gase: PH2,0 _ PO __ R ' p o TH2,0 To

-

-

/{H2 " PH2,0 ,

(12)

so dass man mit der Gleichung (11) unter Beriicksichtigung der Gleichung (12) die folgende L5sung fiir Zl erh~lt: " [1 - ( V ~ n-l]

zl-H~

Als Zahlenwert fiir

Zl

ergibt sich:

Zl

--

10224 m.

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie 2.3 2.3.1

Hydro- und Aerodynamik,

29

Stromfadentheorie

K i n e m a t i s c h e Grundbegriffe

A u f g a b e 2.3.1

StaupunktstrSmung

Ein z w e i d i m e n s i o n a l e s S t r S m u n g s f e l d ist mit d e n G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n u - a.x und v - - a . y b e s c h r i e b e n (a ist eine p o s i t i v e K o n s t a n t e ) . a) Es sollen die S t r o m l i n i e n des Strfimungsfeldes b e r e c h n e t und gezeichnet werden. b) W i e grog ist die D r e h u n g des S t r S m u n g s f e l d e s ? c) Ein S t a u b t e i l c h e n wird z u m Z e i t p u n k t to = 0 a u f d e n P u n k t (x0, y0) einer b e l i e b i g e n S t r o m l i n i e gelegt. W i e grog ist die Zeit te, bis das Staubteilchen d e n P u n k t (Xl, yl) der Stromlinie, a u f die es anfangs gelegt wurde, erreicht? Es soil a n g e n o m m e n werden, dass das S t a u b t e i l c h e n eine sehr kleine M a s s e besitzt, so dass kein S c h l u p f z w i s c h e n i h m und der StrSmung entsteht. LSsung: g e g e b e n : a) und b) u - a .x, v - - a - y , (x0, y0), (Xl, Yl) gesucht: a) Stromlinien, b) Drehung des StrSmungsfeldes, c) te

a) Die Definitionsgleichung fiir eine Stromlinie lautet: dy dx

v u

(1)

In Gleichung (1) die gegebenen Geschwindigkeitskomponenten eingesetzt, ergibt: dy dx

y x

=

--~

dy y

=

dx x

(2)

Durch Integration der Gleichung (2) auf beiden Seiten erh~lt man die Funktionsgleichung fiir die Stromlinien" S dY . y

. I . dx. x

~

ln(y) - - l n ( x ) + C

==~

C y - -x

(3)

C ist eine Integrationskonstante. Sie besitzt fiir jede Stromlinie einen speziellen Wert. Die Stromlinien sind Hyperbeln (siehe Abb. 2.3.1). b) Die Drehung in der (x, y)-Ebene ist durch die folgende Gleichung definiert: Ov - Ox

Ou Oy

(4)

30

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Die in Gleichung (4) stehenden partiellen Ableitungen sind Null, so dass das gesamte Str5mungsfeld drehungsfrei ist, also: a~=0

fiiralle

(x,y)

.

c) Das Staubteilchen wird zum Zeitpunkt to auf eine Stromlinie gelegt. Es bewegt sich dann entlang der Stromlinie, da es eine so kleine Masse besitzt, dass kein Schlupf zwischen ihm und der Str5mung entsteht. Die Wegl~inge s, die es vom Punkt (xo, yo) bis zum Punkt (Xl, yl) zuriicklegt, entspricht der L~i~ge der betrachteten Stromlinie zwischen den beiden genannten Punkten. Diese L~nge s berechnet sich g e m ~ der nachfolgenden Gleichung:

s-f

1+ ~

9 dx

.

(5)

xo

In Gleichung (5) ist dy/dx die Ableitung der Funktion fiir die betrachtete Stromlinie nach x. Innerhalb der Zeit dt legt das Staubteilchen den Weg ds mit der Geschwindigkeit c zuriick. Dazu gilt: dt - ds -

-

,

~

_ V/U2 + v2

.

(6)

C

Das Weginkrement ds g e m ~ der Gleichung (5) in Gleichung (6) eingesetzt, ergibt:

dt-

A b b . 2.3.1 Stromlinien

u2 + v2

9 dx

.

(7)

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

31

Stromfadentheorie

In Gleichung (7) u - a . x , v - - a . y

und

dy/dx

-

- C / x

2

eingesetzt, fiihrt auf die

f01gende zu integrierende Gleichung: C 2

at-

1 + x-~ ( a - x ) : + (a. y)2

dx=l

1 + - - 4X C 2

a xe +

X

1

1

a

x

9dx . . . . .

2

dx

.

(8)

Mit der nachfolgenden Integration erh/ilt man das gesuchte Ergebnis zu: te

Xl --

-

9

& o

Aufgabe

2.3.2

~

t~ --

-

X

9

In

a

x0

EckenstrSmung

D i e station~ire, d r e h u n g s f r e i e e b e ne S t r S m u n g e i n e s i n k o m p r e s s i b l e n F l u i d s l~ings e i n e r I n n e n e c k e h a t die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o nenten u

-

c~ . y

,

v

-

c~ . x

,

(1)

m i t c~ > 0. D i e B e r a n d u n g des halb u n e n d l i c h e n S t r o m f e l d e s ist geg e b e n d u r c h die b e i d e n G e r a d e n y-+x und y--x fiir x > 0 . A b b . 2 . 3 . 2 a Innenecke a) W i e viele S t a u p u n k t e e x i s t i e r e n i m S t r o m f e l d ? M a n g e b e die K o o r d i n a t e n an. b) M a n b e s t i m m e die G l e i c h u n g y - f(x) j e n e r S t r o m l i n i e , die d u r c h d e n P u n k t Pl(Xl - 1, yl - 0 ) g e h t , s k i z z i e r e q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d i e s e r u n d d e r b e n a c h b a r t e n S t r o m l i n i e n u n d g e b e die S t r S m u n g s r i c h t u n g l~ings d e r S t r o m l i n i e n an. c) M a n b e t r a c h t e a u f d e r d u r c h P1 g e h e n d e n S t r o m l i n i e e i n e n w e i t e r e n P u n k t P2, d e s s e n x - K o o r d i n a t e x2 - 2 sei. W e l c h e Zeit At v e r s t r e i c h t , bis sich ein F l u i d e l e m e n t l~ings d i e s e r S t r o m l i n i e v o m P u n k t P1 z u m P2 bewegt hat ? L6sung: g e g e b e n : a, xl - 1, yl - 0 , x2 - 2

32

2 Grundlagen der StriJmungsmechanik

gesucht:

a) Staupunkte, Koordinaten, b) y8 = f(x), Skizze, c) A t

a) In einem S t a u p u n k t gilt f/ir die Geschwindigkeitskomponenten: u = 0, v = 0. Da es sich bei den Gleichungen (1) u m lineare Gleichungen handelt, existiert folglich nur ein S t a u p u n k t im StrSmungsfeld. Die Koordinaten des S t a u p u n k t s S lauten somit (xs = 0, ys = 0) . Der S t a u p u n k t befindet sich also im Koordinatenursprung. b) Die Defmitionsgleichung der Stromlinie lautet: dy . dx

v a.x . . . . u c~-y

x y

--->

y.dy-x.dx

.

(2)

Eine u n b e s t i m m t e Integration von Gleichung (2) liefert: l y . dy - / x . d x + C

==>

1

~-y

2

1

2

=~.x

+C

.

(3)

Die Integrationskonstante C wird unter Berticksichtigung der R a n d b e d i n g u n g im P u n k t P1 mit yl - y ( x -- xl = 1) = 0 bestimmt: 1.y~=O_

[1.x2+C-

[+C1

==>

C -

1

(4)

2

Gleichung (4) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt" 1 -~ . y

2

1 =

-~ . x

2

1 2

___>

y2 = x 2 _ 1

==~

y = -+-V/X2 - 1

.

(5)

Die StrSmungsrichtung erhglt m a n aus einer Diskussion der Vorzeichen der Geschwindigkeitskomponenten u u n d v nach Gleichung (1). Im angegebenen Definitionsbereich ist v f/ir alle x positiv. F/ir y > 0 n i m m t u positive Werte an u n d f/ir y < 0 wird u negativ. Der Verlauf der Stromlinien ist in Abbildung 2.3.2b skizziert.

A b b . 2 . 3 . 2 b Stromlinienverlauf

2.3 H y d r o -

und

Aerodynamik,

33

Stromfadentheorie

c) Das Fluidelement legt im Zeitintervall At die Strecke Ax - x 2 - Xl zurfick. Daher wird als Ansatz die Differentialgleichung zur Bestimmung der x - K o m p o n e n t e der Teilchenbahn gew~hlt: dx

dt

= u

:=::>

dx -

u. dr-

a.

y(x)

9dt = a.

1

dx

a

v/x 2 -

dt = - .

V/x 2 -

1 9dt

=:~

(6)

1

Die bestimmte Integration von Gleichung (6) erfolgt in der Zeit in den Grenzen von 0 bis At und im Raum in den Grenzen von Xl bis x2, so dass folgt: /Xt

1 0

d t = .1 a

x2

/

. 1 .dx V/X2 - 1

==v .

At-- 1 a

In x + v / x 2 - 1

)Ixx.. 1

=:::>

Xl

(x.+

(Xl+Jx-1)] =

,, 1,.(x.+.x:_,) Xl -~- 4 X l 2 -- 1

"

(7)

Durch Einsetzen der Werte Xl = 1 und x2 - 2 erh~lt man das Endergebnis:

C~

A u f g a b e 2.3.3

Richtungsstation~ire StrSmung

G e g e b e n ist die i n s t a t i o n i i r e , e b e n e S t r S m u n g eines i n k o m p r e s s i b l e n F l u i d s in d e r ( x , y ) - E b e n e fiir x > 0 u n d y > 0 d u r c h die G e s c h w i n d i g keitskomponenten u(x,t)=-[A+B.sin(w.t)].x

,

v(y,t)=[A+B.sin(w.t)].y

,

(1)

m i t d e n K o n s t a n t e n A > B > 0. a) M a n b e s t i m m e die K o m p o n e n t e y ( t ) des B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l c h e n , das sich z u m Z e i t p u n k t t - 0 im P u n k t P(xp, yp) b e f i n d e t . b) M a n e n t w i c k l e die G l e i c h u n g d e r S t r o m l i n i e , die d u r c h d e n P u n k t P g e h t , skizziere d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e d u r c h P sowie b e n a c h b a r t e r S t r o m l i n i e n u n d g e b e die S t r S m u n g s r i c h t u n g an. W e l c h e r S o n d e r f a l l beziiglich s t a t i o n ~ i r e m u n d i n s t a t i o n ~ i r e m V e r h a l t e n liegt hier vor? c) M a n e n t w i c k l e e i n e i m p l i z i t e B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g fiir die Zeitdiff e r e n z At, die v e r s t r e i c h t , bis ein F l u i d t e i l c h e n v o m P u n k t P(xp,yp) bis z u m P u n k t Q(xQ,yQ) m i t y Q - 3 . y e g e l a n g t ist.

34

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

y - K o m p o n e n t e bx u n d by der s u b s t a n t i ellen B e s c h l e u n i g u n g im S t r o m f e l d in Abh~ingigkeit yon O r t u n d Zeit. d)

Man

bestimme

die

x- und

die

LSsung: g e g e b e n : A, B, w, xp, yp, yQ -- 3 . y p gesucht: a) y(t), b) Stromlinie, Skizze, Sonderfall, c) At, d) bx, by a) Die Definitionsgleichung fiir die Teilchenbahnkomponente lautet: dy d--t- = v

.

(2)

Die gegebene Geschwindigkeitskomponente v(y,t) aus Gleichung (1) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt: dy = v -- [A + B. sin(w, t)].y dt

1 - . dy - [A + B. sin(w, t ) ] - d t y

==~

(3)

Durch unbestimmte Integration von Gleichung (3) auf der linken Seite nach y und auf der rechten Seite nach t erhfilt man" In(y)-[ A't-Bw'c~

1 +Co

9

(4)

Die Integrationskonstante Co wird mit Hilfe der Anfangsbedingung y(t bestimmt zu: ln(yp) =

B

+ Co

B Co = ln(yp) + --

~

0.)

O) -

yp (5)

0.)

Co in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt: l n ( y ) - l n ( y p ) -[ A . t In

Y

-

- B-

9 cos(~,

t)

]

+

B

-

A-t+--.[1-cos(w-t)]

(6)

0.)

Als Endergebnis erh~ilt man fiir y(t): y(t)

=

yp -exp

A. t + - - . [1 - cos(w, t)]

(7)

CO

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lantet: dy dx

v u

[A + B - s i n ( w . t)].y - [ A + B. sin(w, t)].x 1 1 - -dy . . . . dx . y x dy dx

(8)

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

35

Stromfadentheorie

Integration von Gleichung (8) fiihrt auf: ln(y) - - l n ( x ) +

C1

ln(y) § ln(x)

~

-

C1

ln(y. x) - C:

~

(9)

Die Integrationskonstante C1 wird unter Beriicksichtigung der Randbedingung y(x = xp) - yp ermittelt: Cl

--

ln(ye, xp)

,

(10)

Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt, fiihrt auf das Ergebnis: ~,r

- xp .yp

(11)

X

Xp

X

A b b . 2.3.3 Stromlinien

Die Stromlinien sind Hyperbeln in der (x, y)-Ebene und in Abbildung 2.3.3 eingezeichnet. Die Str5mungsrichtung erhalt man aus einer Vorzeichendiskussion der Geschwindigkeitskomponenten von Gleichung (1). Da laut Voraussetzung x>0sowieA>B>0gilt, folgt u < 0 iiberall im ersten Quadranten. Mit der gleichen Uberlegung fiir y > 0 erh~lt man v > 0 iiberall im ersten Quadranten. Damit liegt die Str5mungsrichtung fest.

Hinsichtlich s t a t i o n ~ e m bzw. instation~em Verhalten liegt hier der Sonderfall einer so genannten richtungsstation~en Str5mung vor. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeitsrichtung und damit der Verlauf der Stromlinien s t a t i o n ~ sind. Der Geschwindigkeitsbetrag hingegen ist instation~, was jedoch auf den Verlauf der Stromlinien keinen Einfluss hat. Dies ist auch daran zu erkennen, dass sich der zeitabh~ngige Faktor in der Definitionsgleichung der Stromlinie nach Gleichung (8) herauskiirzt. c) Das Fluidteilchen soll sich zum Zeitpunkt t - At am Ort yQ -~ 3 - y p befinden. Mit Gleichung (7) erh~lt man folgenden Ansatz zur Bestimmung von At:

y(t--At)--yQ--3.yp--yp.exp

( A . A t + - - .B[ 1 - c o s ( w . ~d

At)]

)

(12)

Durch Umformung von Gleichung (12) erh~lt man die gesuchte implizite Gleichung zur Bestimmung von At: B A.At+--.[1-cos(~.At)]--ln(3) O2

.

(13)

36

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

d) Die substantiellen Beschleunigungen b~ und by erh/ilt man durch substantielles Differenzieren der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u u n d v zu:

du Ou Ou Ou b~ = d---t = 0---[+ u" ~ + v " Oy

dv Ov Ov Ov b y = d---t = 0---[+ u" ~ + v " -~y

'

.(14)

Mit Ou/Ot = - B . a;. cos(a;, t ) - x sowie Ou/Ox = - A + B . sin(a;, t) und cOu/Oy = 0 folgt fiir die x-Komponente der Beschleunigung: b~ - - B . a;. c o s ( a ; - t ) . x + [A + B . sin(a;, t ) ] 2 . x

(15)

Entsprechend erh/ilt man mit Ov/Ot = B - a ; . cos(a;, t ) . y sowie Ov/Ox = 0 und Ov/Oy = A + B 9sin(a;, t) fiir die y-Komponente der Beschleunigung: by - B . a ; . cos(a;, t ) . y + [A + B . sin(a;, t)] 2 . y

Aufgabe 2.3.4

(16)

Instation/ire ParallelstrSmung

G e g e b e n ist d i e i n s t a t i o n [ i r e e b e n e S t r S m u n g Fluids d u r c h die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n : U(t) -- U0 -~- U l - c o s ( a ; .

m i t d e r K r e i s f r e q u e n z co =

t)

,

eines

inkompressiblen

v ( t ) -- ~/rl" sin(a;, t)

s -1 u n d d e n K o n s t a n t e n

,

(1)

U0, UI, V1 > 0.

a) M a n b e s t i m m e d i e K o m p o n e n t e n x(t), y(t) d e s B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l e h e n , d a s sieh z u m Z e i t p u n k t t - 0 i m P u n k t P(xp, gp --O) b e f i n d e t . A n w e l e h e r S t e l l e Q(XQ, yQ) ist d a s T e i l e h e n z u r Z e i t t = 2 s? b) M a n e n t w i e k l e d i e G l e i e h u n g d e r S t r o m l i n i e , d i e d u r e h d e n P u n k t g e h t , fiir e i n e n f e s t e n Z e i t p u n k t t - to.

P

e) M a n s k i z z i e r e d e n V e r l a u f d i e s e r S t r o m l i n i e in d e r U m g e b u n g d e s P u n k t e s P fiir d r e i v e r s e h i e d e n e Z e i t p u n k t e to = 0 s, 2 s, 6 s u n d g e b e d i e j e w e i l i g e S t r g m u n g s r i e h t u n g a n . H i e r z u soil a n g e n o m m e n w e r d e n , d a s s U0 - U1 - 1/1 = 1 m / s ist. Lgsung: g e g e b e n : a ; - :r/4 s -1, U0, U1, 1/1, xp, yp gesueht:

x(t), g(t), Q(XQ, gQ), b) Stromlinie, c) Skizze

a) Die beiden Definitionsgleichungen zur Ermittlung yon x(t) und y(t) lauten: dx = u dt dy -- = v dt

==~

dx = u . dt - [Uo + UI. COS(a;" t)]" dt

=~

dy - v . dt - V~. sin(a;, t ) . dt

,

(2) (3)

37

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Nach Integration erh/ilt m a n aus den Gleichungen (2) u n d (3)" x ( t ) - Uo. t + U-2-1.sin(w, t) + C~ 03

,

y(t) -- _ V l . 03

COS(0)" t) -Jr-C2

.

(4)

Die Integrationskonstanten C1 u n d C2 der Gleichungen (4) b e s t i m m t m a n mit Hilfe der Anfangsbedingungen zu: x(t=O)-xe

,

-C1

y ( t -- 0 ) - - 0

-- V l

V1

Jr- C2 03

03

Somit erh/ilt m a n als Ergebnis" UI

x ( t ) - x p + Uo . t + - - . 03

sin(w, t)

y(t) -

,

V 1 . [1 - cos(03, t)] 03

.

(6)

Zur Berechnung von XQ u n d yQ werden die Gleichungen (6) zum Zeitpunkt t - 2 s ausgewertet. Somit ergibt sich: x(t

- - 2 8) - - X Q - - X p q- 2 " No ~- 4 . 7r

Vl

,

y(t -

2 8) -

4

yQ -- --. 7r

V1

(7)

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet zum Zeitpunkt t = to: dy v =dx u

--~

v dy--.dxu

V1 9sin(03 9to) Uo Jr- g l 9 cos(03, to)

.dx

.

(8)

Nach Integration yon Gleichung (8) erh~tlt man: V1 9sin(03 9to) (9)

Y -- Uo Jr- U I " cos(03- to) . x -~- C3

Die Integrationskonstante C3 wird unter Beriicksichtigung der R a n d b e d i n g u n g y ( x = xp) = yp = 0 ermittelt: yp

0 -

V1 9sin(03 9to) -

Uo -Jr U I " cos(03, to)

.xp

+

C3

==~

V1 9sin (co. to) C3 -- - U o

(10)

-~ U 1 . cos(03- to) - x p

Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt fiihrt mit co = rr/4 s -1 auf das Ergebnis: 1/1 9s i n ( ~ , to)

9 (x - xe)

(11)

~(x) - Uo + u , . co~(~, to) c) Die Stromlinien dutch den P u n k t P aus Teilaufgabe b) sind Geraden (y ~ x) mit zeitabh/iagiger Steigung. Die Str5mungsrichtung ergibt sich aus den Vorzeichen der betreffenden Geschwindigkeitskomponenten zu den jeweiligen Zeitpunkten to.

38

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

~ p

~

t~ 2s to= Os X

to= 6s xp---~, A b b . 2.3.4 Stromlinien Unter Beriicksichtigung der Annahme Uo = U1 = V1 = 1 m/s erhglt man die folgende Tabelle, mit deren Hilfe die Skizze 2.3.4 sofort erstellt werden kann. to=0:

y(x) =0

,

u=2>O ,

v=O

to=2:

y(x)=l.(x-x~)

,

u=l>o

,

~=1>o

to=6:

y(x)=-l.(~-x~)

,

~=1>o

,

~=-1 0 u n d d e n K o n s t a n t e n A u n d B. a) B e r e c h n e n Sie die S t r o m l i n i e n g l e i c h u n g e n z u m Z e i t p u n k t t = 0 u n d zu

e i n e m Z e i t p u n k t t > 0. b) B e s t i m m e n Sie die K o m p o n e n t e n x(t) u n d 9(t) des B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l c h e n , d a s sich z u m Z e i t p u n k t t = 0 i m P u n k t P(zo, 90) befindet. c) B e s t i m m e n Sie die x- u n d y - K o m p o n e n t e substantiellen Beschleunigung im Stromfeld.

bx(x,y,t) u n d by(x,y,t) d e r

LSsung: g e g e b e n : A, B, w, xo, yo g e s u c h t : a) ys(t = O)= f(x), ys(t > O)= f(x), b) x(t), y(t), c) bx, by

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

39

a) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet zum Zeitpunkt t dy dx

- -

=

v u

----,

-

dy

-

v u

-

9 dx

0 A

-

9 dx

-

0

0: (2)

"

Nach Integration von Gleichung (2) erhglt man: y(x)

-

C:

(3)

C1 ist eine Integrationskonstante. Sie besitzt fiir jede Stromlinie einen b e s t i m m t e n Wert. Die Stromlinien von Gleichung (3) beschreiben eine Parallelstr5mung entlang der x-Achse. Fiir einen festen Zeitpunkt t > 0 lautet die Definitionsgleichung der Stromlinie: dy . . dx

.

v . u

v B . x . t-sin(co, t) . dx dy - - 9dx u A

~,

(4)

Nach Integration von Gleichung (4) erhglt man: y(x)

-

sin(a:, t) 2.A +C2

B . x 2. t .

(5)

C2 ist wiederum eine Integrationskonstante. Die Stromlinien von Gleichung (5) fiir einen festen Zeitpunkt t > 0 sind zur y-Achse symmetrische Parabeln. b)Die beiden Definitionsgleichungen zur E r m i t t l u n g von x ( t ) u n d y ( t ) lauten: dx dt = u

~

dx-u.dt-A.dt

dy = v dt

~

d y - v . dt - B . x - t - s i n ( a : .

,

(6) t)-dt

(7)

Nach Integration von Gleichung (6) erh/ilt man" x(t)

-

A.

t +

Ca

(8)

Die Integrationskonstante C3 bestimmt m a n mit Hilfe der Anfangsbedingung zu" .

x(t-O)-xo-C3

(9)

Setzt m a n Gleichung (9) in Gleichung (8) ein erh/ilt m a n als Ergebnis: x(t)

-

A.

t + xo

(10)

.

Da x - f(t) eine Punktion der Zeit ist, muss m a n vor der Integration von Gleichung (7) die Punktion (10) einsetzen: d y - B . (A. t + xo)" t . sin(a;, t ) - d t = [A. B . t 2 sin(a;, t) + B - x o - t .

sin(a;, t)]. dt

(11)

40

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Nach Integration yon Gleichung (11) erhglt man: y(t) = A . B 9

2 . t . sin(00 t) _ cos(00-t).

00

002

(sin(00. t) _ t . co8(00, t ) ~ + C4

+B.x0. \

~

(12)

]

Mit der Anfangsbedingung y ( t = O) = yo e r h ~ t m a n fiir die Integrationskonstante C4: 2

y ( t = 0) - y o - A . B . ~-5 + C4

2 C4 = Yo - A . B . 00--5 "

m

(13)

Gleichung (13) in Gleichung (12) eingesetzt liefert das Ergebnis: y(t) = A . B .

+B-x0 9

2. t . sin(w- t) _ cos(w, t ) . 002 sin(co- t) w2

t.cos(w-t)

CO

2 002

+ y 0 - A ' B ' w - - - g2

c) Die substantiellen Beschleunigungen bx u n d by erhglt m a n durch substantielles Differenzieren der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u u n d v zu: bx

du dt

. . . .

Ou Ou Ou Ot +-u" ~ + v" Oy

'

by =

dv Ov Ov Ov = + u+ v. dt Ot ~ -~y

"

(14)

Mit Ou/Ot = 0 sowie O u / O x = 0 u n d O u / O y = 0 folgt fiir die x - K o m p o n e n t e der Beschleunigung: b~ = 0

(15)

Entsprechend erhglt m a n mit Ov/Ot = B . x . sin(w 9t) + B . t . w. x . cos(w 9t) sowie O v / O x = B . t . sin(w, t) u n d Ov/Oy = 0 fiir die y-Komponente der Beschleunigung: b~=B.x.sin(w.t)+B.t.w.x-cos(w't)+A'B-t'sin(w-t)

2.3.2

.

(16)

Inkompressible StrSmungen

A u f g a b e 2.3.6

Windkanaldfise

A n e i n e W i n d k a n a l d i i s e m i t d e m K o n t r a k t i o n s v e r h t i l t n i s A 1 / A 2 = 4 ist v o r der Verengung ein U-Rohrmanometer mit Wasserfiillung angeschlossen (siehe Abb. 2.3.6). Im Betrieb zeigt das Manometer eine HShendifferenz y o n h = 94 m m W S ( m m W S - M i l l i m e t e r W a s s e r s R u l e ) a n . W i e g r o g ist d i e A u s t r i t t s g e s c h w i n d i g k e i t c2 i m Q u e r s c h n i t t A2~ w e n n d i e D i c h t e d e s W a s -

2.3 H y d r o -

und

Aerodynamik,

41

Stromfadentheorie

sers im U - R o h r

pw - 1000 k g / m 3 u n d d i e D i c h t e d e r L uft pL -1,226 k g / m 3 b e t r a g e n ?

Hinweis: Es soil die reibungsfreie KernstrSmung angenommen werden (Kapitel 2.1, H. Oertel jr., M. B6hle 2004)

A b b . 2.3.6 Windkanaldiise

LSsung: gegeben: h = 0,094 m, pw = 1000 k g / m 3, pL : g = 9, 81 m / s 2 gesucht:

1,226 k g / m 3, A1/A2 = 4,

ce

Zur LSsung der Aufgabe wird ein Stromfaden vom Querschnitt A1 zum Querschnitt A2 gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible Str5mungen angewendet. Sie lautet (in diesem Fall ohne HShenglied):

(1)

pl Weiterhin gilt die Kontinuit~tsgleichung: PL -Cl 9A1 = PL "c2 9A2

(2)

oder umgeformt: A2

Cl - c2" A1

(3)

cl in Gleichung (1) gemfis Gleichung (3) eingesetzt, ergibt nach einer einfachen Umformung:

I

/

Der Druck auf die Querschnittsfl/iche A2 ist gleich dem Druck autgerhalb der Windkanaldiise. Die in Gleichung (4) stehende Druckdifferenz pl - p 2 , die den HShenunterschied h im U - R o h r m a n o m e t e r verursacht, 1/isst sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz berechnen zu: P l -- P2 -- /gW " g " h

(5)

42

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Die Druckdifferenz pl - p 2 gem/~ Gleichung (5) in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis:

AIs Zahlenwert erhElt man f/ir c2 den Wert" c2 - 40 m / s . A u f g a b e 2.3.7

Uberlauf einer Badewanne Eine Badewanne der HShe H 0,6 m b e s i t z t in d e r H S h e h 0, 5 m e i n e n U b e r l a u f mit der Q u e r schnittsfl~iche A (siehe A b b . 2.3.7). Der maximale Zulauf betr/igt V = 0 , 5 . 1 0 -4 m 3 / s . W i e grog muss der Q u e r s c h n i t t A des U b e r l a u f s bem e s s e n werden~ damit die W a n ne bei g e s c h l o s s e n e m A b l a u f nicht iiberl/iuft ?

~Zulauf LOberlauf H h blauf I A b b . 2.3.7 Badewanne mit 0berlauf

Hinweis: Es soil die reibungsfreie K e r n s t r S m u n g a n g e n o m m e n werden. LSsung:

g e g e b e n : H = 0, 6 m, h = 0, 5 m, V = 0, 5- 10 -4 m 3 / 8 , g = 9, 81 m / s 2 gesucht: A

Zur Dimensionierung der UberlaufSffnung wird angenommen, dass die Badewanne bis zum oberen Rand gef/illt ist und, dass der Volumenstrom V zufliegt. Damit die Badewanne nicht fiberlEuft, muss der zufliet~ende Volumenstrom V durch die 0berlanfSffnung abfliet~en kSnnen. Deshalb muss folgende Ansatzgleichung anfgestellt werden: V = cA . A

===:V

A=

CA

(1)

.

Zur Berechnung der Fl~che muss noch die Ausflussgeschwindigkeit CA berechnet werden. Dazu wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen entlang eines Stromfadens von der Wasseroberfl~che bis zur 0berlauF6ffnung angewendet. Diese lautet:

p l + ~P

.c 2 +p.g.H--pA

+ -~ P.4+p.g.h

.

(2)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

43

Da der zufliet~ende Volumenstrom gleich dem abfliet~enden Volumenstrom ist, sinkt der Wasserspiegel nicht ab, so dass gilt: Cl - 0. Weiterhin wirkt auf den Wasserspiegel und auf den Austritt der 0berlaufSffnung der Umgebungsdruck po, so dass in Gleichung (2) pl - P A --Po ist. Beriicksichtigt man dies in der Gleichung (2), so vereinfacht sie sich zu:

p . g . H - ~ P .C2A+ p . g . h oder umgeformt: CA -- V/2"g 9 (H - h)

(3)

Gleichung (3) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis zu:

A

u

V/2.g. ( H - h) AIs Zahlenwert erh~lt man: A -

A u f g a b e 2.3.8

3, 6 . 1 0 -5 m 2 - 0 , 36

cm 2.

Trichter W i e l a n g e sinkt der W a s s e r s p i e gel des in A b b i l d u n g 2.3.8 gezeigt e n Trichters v o n der H S h e z - H bis zur H S h e z - H/2? D e r Trichter b e s i t z t die H S h e H - 1 m und am oberen Rand einen Durchm e s s e r D - 0,8 m. D i e A u s f l u s s 5 f f n u n g hat die Q u e r s c h n i t t s f l i i c h e A = 3 . 1 0 -4 m 2.

A b b . 2.3.8 Mit Wasser gefiillter Trichter H i n w e i s : D i e A u s f l u s s s t r S m u n g soil als r e i b u n g s f r e i u n d als q u a s i - s t a t i o nfir a n g e n o m m e n w e r d e n (d. h. die z e i t l i c h e A b l e i t u n g der Ges c h w i n d i g k e i t in der B e r n o u l l i - G l e i c h u n g fiir instation~ire StrSm u n g e n kann vernachlfissigt w e r d e n ) . LSsung: gegeben:H-lm, gesucht:

D-0,

Absinkdauer T

Sm, A-3cm

2,g-9,81m/s 2

44

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Zur LSsung der Aufgabe wird die Lage des Wasserspiegels an einer beliebigen Stelle z zum Zeitpunkt t betrachtet. An dieser Stelle x besitzt der Trichter den Durchmesser d. Der Wasserspiegel sinkt mit der Geschwindigkeit ~. Es gilt die nachfolgende Kontinuit~itsgleichung: 9d 2 (1)

9 ~ = A.CA

4

(CA ist die Ausflussgeschwindigkeit dutch die AusflussSffnung). Die Gr5t~e des Durchmessers d in Abh~ngigkeit von z und die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels kSnnen unter der Annahme A T2. D e r W ~ i r m e i i b e r gangskoefflzient vom Fluid 1 auf d a s R o h r ist hi, v o m F l u i d 2 a u f d a s R o h r ist h2. D i e Wfirmeleitf'fih i g k e i t d e s R o h r e s ist /k u n d d e r mittlere Durchmesser des Rohres Dm ist d e f i n i e r t d u r c h : .

A b b . 2.4.35 RohrstrSmung

~1 Dm -

D~-D~

2" In(D2) - In(D1)

(1) "

W i e groi~ ist d e r W f i r m e s t r o m p r o L ~ i n g e n e i n h e i t (~/L fiir d i e g e g e b e n e n W e r t e i m v e r l u s t f r e i e n e i n d i m e n s i o n a l e n s t a t i o n f i r e n Fall? LBsung: g e g e b e n : hi = 6000 Wm-2K -1, T1 = 330 K, h2 - 100 Wm-2K ,,~- 200 Win-is -1, D1 - 2 . 1 0 -2 m, D2 - 3 . 1 0 -2 m

-1,

T1 - 290 K,

162

2

gesucht:

Grundlagen

der Str5mungsmechanik

(~/L

Die vom Fluid 1 an das Rohr iibertragene W ~ m e m e n g e pro Fl~ichen- und Zeiteinheit betr~gt: h i . (T1

ql --

-

TR,1)

,

(2)

mit der T e m p e r a t u r Ta,1 der inneren Rohrwand. Die vom Rohr an das Fluid 2 iibertragene W ~ m e m e n g e pro Flgchen- und Zeiteinheit betrggt: q2=h2.(TR,2-T2)

,

(3)

mit der T e m p e r a t u r TR,2 der gugeren Rohrwand. Im Rohr gilt der eindimensionale Fourier-Ansatz fiir die W ~ m e l e i t u n g : --A.VT=-A.

dT___A.2.TR,2-TR,1 dr D2 - D1

.

(4)

Fiir die pro Zeiteinheit iibertragene W ~ m e m e n g e , d. h. der W ~ m e s t r o m vom Fluid 1 auf das Rohr bzw. vom Rohr auf das Fluid 2 berechnet sich aus den Gleichungen (2) und (3) zu: 0 :

qi 9 7r.

D1. L

= hi-(T1

-

TR,1)-Tr-

D1.

L

(~ = q2- It. D 1 - L = h2-(TR,2 -- T 2 ) - ~ - D 2 - L

,

.

Daraus kSnnen die beiden W a n d t e m p e r a t u r e n des Rohres bestimmt werden: TR,1-T1-

~.hl.D1.L

T R , 2 - T2 +

(5)

'

(6)

zc. h2 " D 2 9 L

Aus Gleichung (4) folgt mit (1) fiir den W ~ m e s t r o m im Rohr: (~ -- q. Tr. Dm" L - - A . 2. TR,2 -- TR,~ il D22 - D12 .L D2 - D1 .Tr. 2" l n ( D 2 ) - ln(D1) Mit den Gleichungen (5) und (6) folgt hieraus: 9

~1

7r. L. ( T2 - T1) --~--h2Q-]D -'~ hlQ-D (~ : - A . 2.

02 - D1

2

1

D~ - D~

2 " In(D2) - l n ( D 1 )

Nach einer Umformung erh~lt man hieraus den W ~ r m e s t r o m pro L~ngeneinheit: r5 L

=

71"-

(T1

T2)

D2 - D1 / 2 1 I n ( D 2 ) - l n ( D 1 ) 1 1 2. A " V 2D2 - D~ + h i - D 1 -~- h2. D2

= 458

W/m

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen 2.4.8

163

StrSmungsmaschinen

A u f g a b e 2.4.36

Pumpenauslegung

A us e i n e m Beh~ilter mit d e m Atm o s p h f i r e n d r u c k pl = 0,98 bar soil W a s s e r m i t e i n e r P u m p e in e i n e n Beh~ilter m i t p5 - 4 bar g e p u m p t w e r d e n . Die P u m p e wird in e i n e r H 6 h e h l fiber d e m W a s s e r s p i e g e l 1 a u f g e s t e l l t (siehe A b b . 2.4.36). D e r W a s s e r s p i e g e l 5 im o b e r e n Beh~ilt e r b e f i n d e t sich in e i n e r H S h e yon h5 : 10 m fiber d e m W a s s e r s p i e gel 1. D e r E i n t r i t t d e r R o h r l e i t u n g in d e n o b e r e n Beh~ilter bei 4 liegt u m die H S h e h4 u n t e r d e m o b e r e n W a s s e r s p i e g e l 5. A b b . 2.4.36 Wasserpumpe D e r D u r c h m e s s e r d e r S a u g r o h r l e i t u n g (L~inge L2) betr~igt D 2 - - 0 , 1 2 5 m. Die G e s c h w i n d i g k e i t in d e r P u m p r o h r l e i t u n g (L~inge L3, D u r c h m e s s e r D3) betr~igt c3 - 4 m / s . Aus e i n e m K a t a l o g soil eine p a s s e n d e P u m p e ausg e s u c h t w e r d e n . Das W a s s e r s t r S m t a n d e r Stelle 4 als F r e i s t r a h l in d e n o b e r e n Beh~ilter. Aus d e m K a t a l o g ist ersichtlich, dass d e r N P S H - W e r t (nominal p u m p suction head) der P u m p e n mit NPSH = 4 m angegeben ist. Dies b e d e u t e t , dass m i n d e s t e n s die z u m k a v i t a t i o n s f r e i e n B e t r i e b d e r P u m p e b e n S t i g t e H a l t e e n e r g i e ( e n t s p r e c h e n d e i n e r Wassers~iule yon 4 m) v o n d e r A n l a g e als k i n e t i s c h e E n e r g i e u n d als L e i s t u n g d e r D r u c k k r a f t an d e r Stelle 2 abzfiglich d e r L e i s t u n g des D a m p f d r u c k e s d e r Flfissigkeit zur Verffigung g e s t e l l t w e r d e n muss. D e r D a m p f d r u c k pv ist 23, 4 m b a r . M a n b e s t i m m e d e n V o l u m e n s t r o m , die m a x i m a l mSgliche H S h e h l m a x in d e r die P u m p e a u f g e s t e l l t w e r d e n k a n n u n d die b e n S t i g t e F S r d e r h S h e H d e r P u m p e , u m eine g e e i g n e t e P u m p e ausw~ihlen zu kSnnen. Die D i c h t e u n d die Viskosit~it des W a s s e r s sind k o n s t a n t . Die P u m p e arb e i t e t v e r l u s t f r e i . Die Beh~ilter sind so grog, dass die W a s s e r s p i e g e l h 6 h e n als k o n s t a n t b e t r a c h t w e r d e n k 6 n n e n . Die R o h r l e i t u n g e n sind h y d r a u l i s c h glatt. LSsung:

164

2

Grundlagen

der

StrSmungsmechanik

g e g e b e n : pl = 0,98 b a r , p5 = 4 b a r , PD -- 23,4 m b a r , p = 998 k g / m 3, u = 10 -6 m e / s , ca = 4 m / s , D e = 0,125 m, D3 = 0,1 m,, L2 = 6 m, L3 = 6 m, h5 = 10 m , N P S H gesucht:

= 4 m, g = 9, 81 m / s 2

V, hlm~x, H

Der V o l u m e n s t r o m berechnet sich aus der Kontinuit~tgleichung: 71"

9 -

V3 -

-4 . D ~ . c 3 = 3 , 1 4 . 1 0

-2 m 3 / s

(1)

.

Die Geschwindigkeit im Saugrohr erh/ilt m a n mit der Kontinuit/itsgleichung: V2 -

~zr . D ~ . c 2 = V3 = -4 ~ 9D3"c3

e2=Ca.

~

,

=2,56m/s

(2)

Die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Verluste von der Stelle I bis zur Stelle 2 ergibt folgende Gleichung: P . c~ + p . g . z2 + P . c~ . )~2 . L 2 P l -+- -~P " c ~ + p " g " z l -- P 2 + -~ -~ D2

p~ - p ~

'

P "c22 9 ~ 2 "

+ ~P . c~ - p l

- p , + ~P . ~ - p . g . (z~ - Zl) - ~

L2

D~

Mit Cl ~ 0, z2 - zl - hi u n d der Definition der H a l t e h 5 h e der P u m p e folgt P < p2 + -~

p. g. NPSH

" C22 - - P D

=

Pl

-- PD

-- p"

g"

h l -

p -2

9 c 2 9 )~2 9 L 2

D2

9

(3)

Fiir die m a x i m a l e Aufstellh5he h l max der P u m p e gilt dann: p. g . NPSH

hi

max

:

- p l - pD - p " g " h l m a x

p l - PD _ N P S H p.g

-

-

P . c ~ - ) ~ 2 . L2 D2

~

1

. c~. A2" L2

2.g

D2

.

' (4)

Der Verlustbeiwert A h/ingt v o n d e r Reynolds-Zahl ab. Diese ergibt sich aus R e D = c 2 . D 2 / u zu R e D = 3 , 2 . 105. D a m i t kann der Verlustbeiwert aus der impliziten Gleichung von P r a n d t l : x/~ - 2- loglo

ReD

9

-- 0, 8

,

1 =

.

[loglo(R~

(5)

9 ~) - 0, s]~

berechnet werden. Die B e r e c h n u n g erfolgt iterativ m i t Gleichung (5). Es wird mit ein e m S t a r t w e r t von ~ = 0, 02 begonnen. Nach 2 I t e r a t i o n e n ist der Verlustbeiwert geniigend genau b e s t i m m t u n d m a n erh/ilt ~2 - 0,014. D a m i t kann jetzt mit Gleichung (4) die m a x i m a l e Aufstellh5he e r m i t t e l t werden. Sie ergibt sich zu hi max = 5, 6 m.

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

165

Zur Berechnung der ben5tigten F5rderhShe der P u m p e wird die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Verluste von der Stelle 3 bis zur Stelle 4 aufgestellt: P 9c2 + p'g" P3 + -~

Mit C 4 folgt:

--

C3,

Z4

--

Z3

=

P 9 c24 + p . g . z3 - p4 + -~

z4 + -~ p 9 c24 9 A3 9 D L33

h5 - h4 - hi und der Freistrahlbedingung p4 : p5 + p ' g "

P c 2 " A3 " D3 L3

P3 + '~ p " c~ -- P5 + -~ p " c~ + p . g . (h5 - hi) -/- ~ "

"

h4

(6)

Die Reynolds-Zahl ergibt sich hier zu R e D = c 3 . D 3 / u -- 4.105. Mit der impliziten Prandtl-Gleichung (5) folgt nach 2 Iterationen A3 = 0.014. Aus Gleichung (3) erh/ilt man: p~, +

~P

" c22 - p l - p ' g "

P.c~ h l - -~

9 A2 9

L2 D2

.

(7)

Fiir die benStigte FSrderhShe der P u m p e gilt: H -- A1 = Apges -- p3 + ~P ' c 3 2 - p 2 -

p.g.

p'c 2

Nach der FSrderhShe aufgel5st und die Gleichungen (2), (6) und (7) eingesetzt ergibt sich: H = h5 -~

p5 - p l p'g

Aufgabe 2.4.37

4-2-~g.

[

l+Aa-~33+

( 3/4 ~

.A2.~22:52,3m

Axiallaufrad

Zur B e s c h r e i b u n g der S t r S m u n g in e i n e m A x i a l l a u f r a d ( s i e h e A b b . 2 . 4 . 3 7 a ) b e n u t z t m a n G e s c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e , i n s b e s o n d e r e fiir d e n S t r S m u n g s v e r l a u f a m Laufrad- Ein- u n d A u s t r i t t . M i t Hilfe der Ges c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e in d e n drei e i n g e z e i c h n e t e n S c h n i t t e n an der N a b e ( S c h n i t t 1), a m Geh~iuse ( S c h n i t t 3) u n d in der M i t t e der S c h a u f e l ( S c h n i t t 2) u n d a u f der B a s i s f o l g e n d e r A u s l e g u n g s d a t e n : I n n e n r a d i u s R1 - 3 . 1 0 -2 m, A u g e n r a d i u s R3 - 6 . 1 0 -2 m, V o l u m e n s t r o m V = 120 m 3 / h , D r e h z a h l n = 3000 r a i n - 1 , G e s a m t d r u c k e r h S h u n g Apges = 40 P a , W i r k u n g s g r a d ~ = 0, 4 b e r e c h n e man: a) die s p e z i f i s c h e D r e h z a h l ns des A x i a l l a u f r a d e s , die W a h l e i n e s A x i a l l a u f r a d e s v e r n i i n f t i g ist,

u m zu i i be r pr i i f e n ob

b) die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n Clu,i, Clm, C2u,i u n d C2m der A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t i m Ein- u n d A u s t r i t t u n d die Ein- bz w. A u s t r i t t s w i n k e l

2 Grundlagen der Str/Smungsmechanik

166

A b b . 2 . 4 . 3 7 a Axiallaufrad

]~l,i

u n d /~2,i j e w e i l s in d e n d r e i K o a x i a l s c h n i t t e n m u n g a m E i n t r i t t d r a l l f r e i ist.

i = 1, 2, 3, w e n n d i e Strii-

L~isung: g e g e b e n : Axiallaufrad, R1 : 3 . 1 0 -2 m, R3 : 6 . 1 0 -2 m, V : 120 m 3 / h , n : 3000 m i n -1, /kPges : 40 Pa, r / : 0, 4, p : 1,205 k g / m 3, g : 9, 81 m / s 2 gesucht:

a) n~, b) Clu,i, Clm, C2u,i, C2m, /~1,i, /~2,i

a) Die spezifische Drehzahl ist definiert als:

n~--n.

HO,75

,

(1)

mit der FSrderhShe H = A a / g . Ffir die spezifische Arbeit A a gilt A a -- A 1 / p mit der volumenspezifischen Arbeit A1. Eingesetzt in Gleichung (1) erh~ilt man: .

(2)

Die volumenspezifische Arbeit entspricht der GesamtdruckerhShung fiber dem Laufrad (A1 = Apges). In Gleichung (2) eingesetzt, ergibt sich die spezifische Drehzahl:

/ 0,75 ns -- n . X / ~ .

P" g Apges

-- 220 m i n

-1

2.4

Berechnung

von technischen

167

StrSmungen

Ffir spezifische Drehzahlen ns > 150 m i n -1 werden Axiallaufr~ider verwendet. Damit ist mit den gegebenen Auslegungsdaten die Wahl eines Axiallaufrades verniinftig. b) Aus der Kontinuit~itsgleichung folgt, dass die beiden axialen Geschwindigkeitskomponenten gleich sein miissen ( C l m : C 2 m : C m ) . Mit der Kontinui~it folgt dann: ?-

Cm" 7r. (./~32 -- ~12)

Hieraus erh~lt man fiir die axialen Geschwindigkeitskomponenten: Cm - - C l m

-- C2m --

----

3, 9 m / s

Der Radius im Mittelschnitt berechnet sich als arithmetischers Mittel des ~iui~eren und inneren Radius: R2- ~l.(Rl+R3)-4,5-10

.2 m

.

(3)

Damit folgt fiir die Umfangsgeschwindigkeiten in den drei Schnitten: Ui=2.:r.

Ri.n

.

(4)

Eine drallfreie ZustrSmung bedeutet, dass am Eintritt in das Laufrad die Absolutgeschwindigkeit keine Komponente in Umfangsrichtung besitzt (Clu,1 = Clu,2 = Clu,3 = 0). Damit kSnnen die Geschwindigkeitsdreiecke, wie in Abbildung 2.4.37b gezeigt, skizziert werden. Fiir den Eintrittswinkel /31 folgt dann aus dem Geschwindigkeitsdreieck und Gleichung (4): / 3 1 ' i - a r c t a n ( c 1 U - - i m ) - a r c t a n ( 2"Tr'Ri'n)'clm--

/3,

u

u

A b b . 2.4.37b Geschwindigkeitsdreiecke des Axiallaufrades am Ein- und Austritt

168

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Als Zahlenwerte ergeben sich daraus die Winkel 3 1 , 1 - - - - 7 5 ~ f l l , 2 -

82,9 ~ und

/~1,3 -- 87 ~

F/ir die Antriebsleistung Lges des axialen Laufrades gilt mit der Drallfreiheit am Eintritt (die Umfangsgeschwindigkeiten am Ein- und Austritt sind gleich): Lges - rh. U . (C2u - Clu) - rh. U.c2u Unter Beriicksichtigung des Wirkungsgrades Gleichung (5)" Aa r/ C2u --

(Lges "~

--

. L -

(5) A a . rh) folgt aus

Al Apges -- U C2u p.r / p.r / Apg~ 9

p.~.U

Damit ergibt sich fiir die Axialgeschwindigkeiten im Austritt mit Gleichung (4): Apges

(6)

C2u,i = 2.7r. r / - n - p. Ri

"

Die Zahlenwerte ergeben:" C2u,1 -- 8, 8 m/8, C2u,2 -- 5, 9 m/s und C2u,3 = 4, 4 m/s. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck in Abbildung 2.4.37b ergibt sich die folgende Beziehung: / 3 2 - arctan ( U - C2u/C2m Mit Gleichung (4) erhElt man fiir den Austrittswinkel: /~2'i - arctan ( 2 " 7r " R-i) "-n C -2 c2u'i m Mit den gegebenen und berechneten /~2,2 - 71, 9 ~ und/~2,3 - 83, 2 ~ A u f g a b e 2.4.38

Zahlenwerten

(7) folgt

daraus

/~2,1-

10 ~

Radiallaufrad

Z u r K f i h l u n g v o n B a u e l e m e n t e n soil L u f t m i t e i n e m R a d i a l l i i f t e r gef'6rdert werden (siehe Abb. 2.4.38a). Der Radialliifter hat eine Antriebsleis t u n g y o n L - 20 W u n d f'6rdert e i n e n V o l u m e n s t r o m V - 180 rn3/h b e i e i n e r D r e h z a h l y o n n - 3600 m / n -1. D e r A u g e n r a d i u s d e s L f i f t e r r a d e s ist R 2 = 8 " 1 0 -2 m. a) M a n z e i c h n e die G e s c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e q u e r s c h n i t t ( S t e l l e 1 u n d Stelle 2).

am Eintritts- und Austritts-

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

169

A b b . 2 . 4 . 3 8 a Radialliifter

b) M a n berechne die U m f a n g s k o m p o n e n t e

Cuz der absoluten Geschwindigkeit c2 im Austrittsquerschnitt (Stelle 2)~ wenn der Liifter mit einer drallfreien EintrittstrSmung arbeitet.

LSsung: gegeben: Radiallaufrad, L = 20 W, V = 180 m3/h, n = 3600 rain -1, R2 = 8 . 1 0 -2 m, p = 1,205 k g / m 3 gesucht: a) Geschwindigkeitsdreiecke, b) Cu2 a) Im radialen Laufrad strSmt das Fluid senkrecht zur Drehachse ein und wird in die Laufradebene umgegelenkt. Dann tritt das Fluid radial an der Stelle 1 in die Schaufeln des Laufrades ein, erf~hrt einen Drehimpuls und tritt an der Stelle 2 radial mit erhShter kinetischer Energie wieder aus. In Abbildung 2.4.38b sind die zugehSrigen Geschwindigkeitsdreiecke an den Stellen 1 und 2 skizziert. Fiir den Radialliifter gilt immer c2 > Cl, u2 > Ul und wl :> w2. Je kleiner die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit Clu im Eintritt und je kleiner der Austrittswinkel a2 zwischen der Absolutgeschwindigkeit und der Umfangsgeschwindigkeits ist, d. h. je grS$er C2u ist, desto effizienter ist das Laufrad.

170

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

b) Die Antriebsleistung L des radialen Laufrades berechnet sich aus:

L-?:n.(u2.c2u-Ul

.Clu)

9

(1)

Fiir den Massenstrom gilt r h - p. 17. Damit folgt aus Gleichung (1): L-p'V'(u2"C2u-Ul'Clu)

(2)

9

Aus der Drallfreiheit im Eintritt folgt Clu - 0. Damit ergibt sich aus Gleichung (2)" C2u -

L

.

p. l/ .u2

(3)

Fiir die Umfangsgeschwindigkeit u2 gilt: u2 -

2.Tr.

R2 .n

.

In Gleichung (3) eingesetzt folgt schliet~lich fiir die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit im Austritt: - -

c2u

L 2. It. p. V . R2 9n

=

11

m/s

.

u2

elm Clu

II 1

A b b . 2 . 4 . 3 8 b Geschwindigkeitsdreiecke im Laufrad am Eintritt (Stelle 1) und am Austritt (Stelle 2)

171

3 3.1

Grundgleichungen der StrSmungsmechanik Kontinuit~itsgleichung

Aufgabe 3.1.1

Inkompressible StrSmung

Von e i n e m station~iren d r e i d i m e n s i o n a l e n und i n k o m p r e s s i b l e n m u n g s f e l d mit d e m d i m e n s i o n s l o s e n G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r

sind die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n u - x 2 + 2. z 2 und w in e i n e m kartesischen (x, 9, z ) - K o o r d i n a t e n s y s t e m gegeben.

-

9 2 -

StrS-

2"9"

z

a) D a s G e s c h w i n d i g k e i t s f e l d v = ( u , v , w ) erfiiUt die Kontinuit/itsgleichung. M a n berechne die K o m p o n e n t e v des G e s c h w i n d i g k e i t s f e l d e s in 9 - R i c h t u n g in a l l g e m e i n e r Form. b) Es soil iiberpriift werden, ob die v o r l i e g e n d e S t r S m u n g fiir alle (x, 9, z) drehungsfrei ist.

c) M a n berechne die Beschleunigung bx(x, y , z ) der gegebenen StrSmung in x-Richtung.

LSsung: g e g e b e n : u : x 2 + 2 - z 2, w = y 2 - 2 - y . z gesucht: a) v, b) Drehungsfreiheit, c) bx(x, y , z ) a) Die Kontinuit~itsgleichung f/ir eine station~e inkompressible Str5mung lautet: Ou

Ov

Ow

Ox + ~ + ~

(1)

-o

Aus den gegebenen Geschwindigkeitskomponenten u und w erhs Ou Ox = 2 " x

Ow Oz

,

-2

man: (2)

y

Mit den Gleichungen (2) folgt aus der Kontinuit/itsgleichung (1): Ov

2-X+~y

2.y-0

~

Ov Oy--2.x+2.y

.

(3)

Eine partielle Integration von Gleichung (3) nach y f/ihrt auf die gesuchte Komponente v, wobei C(x, z) eine Funktion bezeichnet, die ausschliet~lich von x und z abh/~ngt: v ( x , y, z) = - 2 . x . y + y2 +

C(x,z)

(4)

172

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Zur Uberpriifung der Drehungsfreiheit wird der Drehungs-oder Wirbelst~kevektor w benStigt, der sich aus der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ergibt:

- V x v-

wy

=

x

~z

v

=

Ou _ Ow

w

~vv_~u

/

(5)

u und w sind in der Aufgabenstellung gegeben, so dass man wy berechnen kann" Ou wy = Oz

Ow =4.z:/:O Ox

fiir

z~O

.

(6)

Die gegebene StrSmung ist also nicht fiir alle (x, y, z) drehungsfrei. c) Die Beschleunigung b~ erh~lt man aus der totalen zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeitskomponente u. Es gilt: bx=

du dt

Ou Ou Ou Ou Ot + U" Ox + V" Oy + W" Oz

(7)

Da eine s t a t i o n ~ e Str5mung vorliegt, verschwindet Ou/Ot, ebenso Ou/Oy, da u keine Funktion von y ist. Somit folgt: bx - (x 2 + 2. z2) 92 . x + (y2 _ 2 . y - z ) .

4-z

bx : 2. x 3 + 4- x . z 2 + 4. y2 . z - 8 . y . z 2

Aufgabe 3.1.2

Kompressible StrSmung

V o r g e g e b e n ist e i n i d e a l e s G a s (p - p. R . T, R - konst.) s o w i e d i e K o n t i nuit~itsgleichung: dp +p. (V. v)=0 dt

(1)

a) M a n zeige, d a s s sich a u s d e r K o n t i n u i t ~ i t s g l e i c h u n g (1) d i e f o l g e n d e B e z i e h u n g fiir die t o t a l e z e i t l i c h e A n d e r u n g d e s D r u c k e s a b l e i t e n l~isst:

1 dp .

p

~

1 _

dt

_

-

-

T

.

dT dt

V.v

b) Fiir das gegebene dimensionslose Geschwindigkeitsfeld

(2)

3.1 Kontinuit~tsgleichung

173

mit der Konstanten V0 sowie der konstanten Winkelgeschwindigkeit w und der ebenfalls g e g e b e n e n dimensionslosen Temperaturverteilung T ( x , y ) - Ao . v / x 2 + y2 + TO

(3)

,

mit den Konstanten A0 und To b e s t i m m e man die relative substantielle Temperatur~inderung ( l / T ) - (dT/dt)sowie die Divergenz ( V . v) des Geschwindigkeitsfeldes. oo

Hinweis: Man fiberfiihrt die substantielle Anderung von T zuerst in die lokale Anderung und in den konvektiven Anteil. LSsung: 6 ,

gegeben: R, Vo, w, Ao, To gesucht: a) Drucl~nderung, b) Temperaturgnderung, Divergenz a) In einem ersten Schritt wird die Dichte p in Gleichung (1) mit Hilfe der idealen Gasgleichung substituiert. Es folgt: 1

d (p)

.(V-v)-

-R " d---[ T

+ RPT

1 -R "

-~'T-P'T2

1

dp

R.T

d

P

d--i- R . T 2

p + R

T " ( V " v) - O

dt + R

P.T (v.~)-0

dT

, (4)

(5)

Durch Multiplikation yon Gleichung (5) mit R . T / p erh~lt man die zu beweisende Beziehung: 1 dp p dt .

.

.

.

.

.

1 T

dT dt + V . v

0

1 dp 1 dT p. . dt. . .T . .dt w

~

V.v

.

(6)

b) Die substantielle Anderung der Temperatur T lautet allgemein: dT

OT

OT

OT

dt = o-7 + ~ ~ O:I; + ~ ~ uy + ~

OT Oz

(7)

Da ein stationgres zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld vorgegeben wurde, folgt: dT

dt

OT

cOT

Ux

Oy

= u 9 -a-: + v .

(8)

Aus Gleichung (3) erh~ilt man: OT x Ox = d ~ " v / x e + y2

'

i)T y Oy = A~ " V/xe + y2

"

(9)

Mit Gleichung (9) und den Geschwindigkeitskomponenten aus Gleichung (2) folgt aus Gleichung (8)" dT = Vo. A o . x . sin(w, t) + Vo. Ao . y . cos(w, t) dt

(10)

174

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Unter Beriicksichtigung von Gleichung (3) erhiilt man schlies substantielle Temperatur~nderung: 1 T

_

_

.

fiir die relative

dT Vo-Ao = 9 [x. sin(co, t) + y - c o s ( w , t)] dt Ao. V/X2 + y2 + To

.

(11)

Die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ergibt sich direkt aus Gleichung (2)"

Ou Ov Vo t = 9 [x. sin(a~, t) + y. cos(w, t)] Ox Oy v/x2 + y2

(12)

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen 3.2

175

Navier- Stokes- Gleichungen

3.2.1

Laminare StrSmungen

A u f g a b e 3.2.1

Kanalstr6mung

h

l

X

1

m.

P0

A b b . 3.2.1 Laminaxe KanalstrSmung

In e i n e m s e n k r e c h t s t e h e n d e n K a nal (siehe A b b . 3.2.1) fliegt ein Fluid mit der konstanten Dichte p u n d d e r d y n a m i s c h e n Z~ihigkeit # u n t e r d e m Einfluss d e r E r d s c h w e re g. D e r K a n a l b e s i t z t die Breit e h u n d s e i n e E r s t r e c k u n g b senkr e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e ist s e h r viel g r S g e r als h ( z w e i d i m e n s i o n a le S t r 6 m u n g ) . A n d e r Stelle 1 (x = 0) b e f i n d e t sich e i n e D r u c k b o h rung~ a n d e r d e r s t a t i s c h e D r u c k pl d e r S t r S m u n g g e m e s s e n w e r d e n kann. Der Abstand zwischen der Druckbohrung und dem A ustrittsq u e r s c h n i t t ist l. I m A u s t r i t t s q u e r schnitt herrscht der Umgebungsd r u c k p0.

Es w i r d a n g e n o m m e n , d a s s es sich u m e i n e a u s g e b i l d e t e s t a t i o n f i r e u n d l a m i n a r e K a n a l s t r 6 m u n g m i t D r u c k g r a d i e n t h a n d e l t . N a c h e i n a n d e r soil folgendes berechnet werden: a) D a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l u(x, z) in Abh~ingigkeit des D r u c k g r a d i e n t e n Op/Ox. b) D e r D r u c k p - f(x, z). c) D e r D r u c k pl,m a n d e r Stelle 1~ d e r n o t w e n d i g ist~ u m e i n e n v o r g e g e b e n e n M a s s e n s t r o m ~h zu f'Srdern. LSsung: g e g e b e n : h, b, pl, po, l, p, #, 9 gesucht:

a) u = f(x, z), b) p = f(x, z), c) pl,ri~

a) Zur LSsung wird das in Abbildung 3.2.1 gezeigte Koordinatensystem zugrunde gelegt. Es gelten die Kontinuit~tsgleichung und die Navier-Stokes-Gleichungen fiir

176

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

inkompressible und station~e StrSmungen. Sie lauten: Ou

Ow

Ox + - ~ z = 0 p"

p .

u " --~x + W " --~z

,

(1)

- - --~x + # 9

u . --~-~x + W . - - ~z

-

+

- --~z + # 9

-~x 2 + --~z 2

q-Ix

+ fz

(2)

,

9

(3)

fx und f z sind die Komponenten der Volumenkr~fte, die auf das Fluid wirken. Auf die betrachtete StrSmung ist nur die Schwerkraft wirksam, so dass f x - p ' g und f z - 0 ist. Weiterhin handelt es sich um eine ansgebildete Str5mung, d. h. es ist O u / O x = 0 und O w / O x = 0. Gleichung (1) ergibt unmittelbar, dass auch O w / c g z = 0 gilt. An der Kanalwand haftet das Fluid, somit ist die w-Komponente dort gleich Null. Da O w / O z = 0 gilt, ist mit der genannten Randbedingung ( w ( z = + h / 2 ) = 0) die Geschwindigkeitskomponente w iiberall Null. Es gilt also: w = 0, fiir alle (x, z). Mit w = 0, und (3) zu:

cgu/Ox =

0,

und

fx = p'g

fz = 0

vereinfachen sich die Gleichungen (2)

cgp c92u O=--~x + #" ~ + p" g

0=

Op Oz

'

"

(4) (5)

Aus der Gleichung (5) folgt, dass p ~ f(z) ist und deshalb gilt: O p / O x = d p / d x . Beriicksichtigt man in Gleichung (4), dass u -~ fix), da O u / O x = 0, so erhiilt man nach einer Umformung eine gewShnliche Differentialgleichung fiir u ( z ) . Sie lautet:

l(d

d z 2 --ft.

)

~x - p . g

.

(6)

Durch zweimaliges Integrieren ergibt sich: du dz

l(dp # ~xx

u(z) = 2-#

) P g

-~z -- P" g

z+C1 "

, + C I " z + C2

(7)

(8)

C1 und C2 sind Integrationskonstanten, die gem~is der beiden folgenden Randbedingungen bestimmt werden miissen. Da das Fluid an der Kanalwand haftet, lauten die Randbedingungen (Haftbedingungen): h u(z-+~)-O

,

h

u(z--~)=O

(9)

177

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

G e m ~ der Gleichung (8) ergeben sich mit den beiden Randbedingungen die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen fiir die Konstanten C1 und C2: 0--8.

l

# 9

O - 8 l. p

(dP

-"~x--p'g"

)

h2

h

-~-C1- ~ - ~ - C 2

,

tdP -dTz - P" g ) " h2 - C1. ~h + C2

(10) (11)

Die LSsung der Bestimmungsgleichungen ergibt:

C~-0

h2 C2- 8.#

,

(

dp)

(12)

P'g--~x

C1 und C2 gem/is der Gleichungen (12) in Gleichung (8) eingesetzt, ergibt die folgende gesuchte Ergebnisforme]: ~(z) -

h2

s.,

(P'g--~x)"

(1-4.

( h ) 2)

(13,

b) Im Aufgabenteil a) wurde bereits gezeigt, dass p r f(z). Weiterhin ist das Geschwindigkeitsprofil u(z) nicht von x abhgngig und deshalb kann der Druckgradient, der auf der rechten Seite der Gleichung (13) steht, ebenfalls nicht von x abhgngig sein. dp/dx ist folglich eine Konstante, d. h. der Druck verlguft linear in StrSmungsrichtung. An der Stelle 1 und im Austrittsquerschnitt ist der Druck bekannt. Da er in xRichtung linear verlguft, ergibt sich: p(X)

= PO - - P l

1

9x + PI

(14)

und fiir dp/dx entsprechend: dp po pl d--7 = 1 -

"

(15)

c) Der Massenstrom rh berechnet sich gemNg der folgenden Integration: h -ff

rh -- p. / u(z) . b . dz

(16)

h 2

u(z) gemgg der Gleichung (13) eingesetzt, ergibt" h

rh--p.

~. h 2

" P'g-~x

" 1-4.

(~)

.b.dz

(17)

178

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Mit der folgenden Rechnung erhElt man fiir rh: 1

rh-p.

f

~

-

9

.b-d(~)

1

! 2

}

Gleichung (18) liefert eine Beziehung zwischen dem Massenstrom rh und dem Druckgradienten d p / d x . In Gleichung (18) den Druckgradienten g e m ~ Gleichung (15) eingesetzt, ergibt die folgende Bestimmungsgleichung fiir den erforderlichen Druck pl,~h"

rh _ P " h3 " b ( 12.# " pg-

p0-pl,m) 1

Px,m : P~ + l " ( 12 . # ' zh p.h3.b -P'g

Aufgabe 3.2.2

)

SpaltstrSmung

U b e r einer horizontalen e b e n e n Wand, die sich mit der k o n s t a n t e n Geschwindigkeit U bewegt, ist ein r u h e n d e s Maschinenteil so a n g e o r d n e t (siehe Abb. 3.2.2a), dass der linke Teil der U n t e r s e i t e z u s a m m e n mit der b e w e g t e n W a n d einen e b e n e n Spalt der L~inge l, der HShe s und der Breite b (senkrecht zur Zeichenebene) bildet. I m Spalt und in der sich anschlieigenden K a m m e r K befindet sich ()l (Newtonsches M e d i u m mit k o n s t a n t e r d y n a m i s c h e r Z~ihigkeit #), das im u n t e r e n Tell des Spalts

Abb. 3.2.2a Laminaxe SpaltstrSmung

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

179

infolge d e r b e w e g t e n W a n d in die K a m m e r K g e s c h l e p p t w i r d u n d im o b e r e n Tell des Spalts aus der K a m m e r w i e d e r a u s s t r S m t . A n d e r D i c h t l i p p e (Stelle 3) kann kein ()l a u s t r e t e n . D e r D r u c k a m linken E n d e des Spalts an d e r SteUe 1 ist pa~ a m r e c h t e n E n d e an d e r Stelle 2 h e r r s c h t d e r K a m m e r d r u c k pi. Die S t r S m u n g ist fiber die g e s a m t e L~inge 1 ausgebildet und laminar. a) W i e sieht das Geschwindigkeitsprofil im Spalt q u a l i t a t i v aus? b) W i e l a u t e t die Differentialgleichung fiir die G e s c h w i n d i g k e i t u(x, z) und wie l a u t e t die B e z i e h u n g fiir d e n D r u c k p in Abh~ingigkeit von p~ u n d pi? c) Es sollen das Geschwindigkeitsprofil werden.

u(z) u n d der D r u c k pi b e r e c h n e t

LSsung: g e g e b e n : U, s, l, p~, # gesucht: a) Skizze des Geschwindigkeitsprofils, b) Dgl. fiir u und Formel ffir p, c)

u(z), pi a) Das Geschwindigkeitsprofil ist in der Abbildung 3.2.2b skizziert. Folgendes gilt dazu: 1. Unmittelbar an der Wand wird das Fluid mit der Geschwindigkeit U bewegt, da es an der Wand haftet.

A b b . 3.2.2b Geschwindigkeitsprofil

2. Auf der Oberfl~che des Maschinenteils haftet das Fluid ebenfalls, dort ist die StrSmungsgeschwindigkeit Null.

3. Durch die Haftbedingung an Wand wird Fluid in die Kammer geschleppt. Die gleiche Menge, die pro Zeiteinheit hineingeschleppt wird, strSmt im oberen Bereich des Spaltes wieder zuriick, so dass die Geschwindigkeitspfeile des Profils im unteren Bereich nach rechts und im oberen Teil des Spaltes nach links zeigen. b) Die Differentialgleichung fiir u(x, z) ergibt sich mit der Vereinfachung des Gleichungssystems, bestehend aus der Kontinuit~tsgleichung und den Navier-StokesGleichungen fiir zweidimensionale, inkompressible und station~e StrSmungen (siehe Aufg. 3.2.1). Die Vereinfachungen der Gleichungen (1) bis (3) der Aufgabe 3.2.1 sind hier nochmals kurz zusammengefasst:

180

3 G r u n d g l e i c h u n g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

9 Die StrSmung ist ausgebildet, d. h. O u / O x - 0 und O w / O x - O. Dann folgt mit Gleichung (1) aus Aufgabe 3.2.1 unmittelbar, dass O w / O z - 0 ist. Mit der Haftbedingung w = 0 ergibt sich dann: w -- 0 fiir alle (x, z). 9 Mit w - 0 und O u / O x - 0 erh~lt man mit Gleichung (2) bzw. mit Gleichung (3) aus Aufgabe 3.2.1 die beiden folgenden Gleichungen (die VolumenkrMte sind Null, also f x - f z = 0)"

op

o--~

O

C~2U

+ ~" Oz~

'

(1)

op ~

(2)

~

Oz

9 Da O p / O z = 0, h~ingt p nut von x ab und deshalb ist O p / O x = d p / d x . Weiterhin ist u nut eine Funktion von x ( O u / O x - 0), so dass sich fiir u bei dem beschriebenen Problem die folgende Differentialgleichung ergibt: d2u 1 = -. dz 2 #

dp dx

(3)

"

9 Die linke Seite der Gleichung (3) ist nur von z abh~ngig. Der Druckgradient d p / d x auf der rechten Seite ist also eine Konstante, d. h. der Druck verl~uft in x-Richtung linear. Fiir ihn gilt: p ( x ) = Pi -- Pa 1

"X + p ~

9

(4)

c) Durch zweimaliges Integrieren der Gleichung (3) auf beiden Seiten erh~lt man" du

dz

1

dp

#

dx

. . . . .

U--

1 2.p

9

Z+Cl

dp dx

(5)

9 z2 + C 1 9 z + C 2

(6)

C1 und C2 sind Integrationskonstanten. Sie lassen sich mit den folgenden beiden Randbedingungen bestimmen: 1.

u ( z = O) -

U

,

2.

u ( z = s) = O

.

(7)

Mit den Randbedingungen (7) und der Gleichung (6) ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen fiir C1 und C2" C2~U

2.#

9d - - p - P . s 2 + C I ' s + C 2 - 0 dx

3.2

181

Navier-Stokes-Gleichungen

mit deren LSsung man fiir C1 und C2 erh~t: C 1 - . 1. ( . 1 . s 2.#

dp dx

2 ) s +U

,

C2

U

(8)

Die Konstanten C1 und C2 gemfitg der Gleichungen (8) eingesetzt, ergibt fiir u(z):

1 u(z) - 2 . #

dp s 2 . [ ( z ) 2 dx s

zl

-

+ V.

[

z] 1 - -s

"

(9)

Fiir den Druckgradienten dp/dx gilt gem~i~ der Gleichung (4) dp/dx = ( p i - pa)/1. Durch Einsetzen des Druckgradienten in Gleichung (9), erh~ilt man das Ergebnis fiir ~(z) ~,.: u(z)-2.p

1....

z (z).l

l

.s . . s . . s

+U.

~1

i1 -

(10)

Zuletzt wird noch der Druck pi in der Kammer berechnet. Der Druck an Stelle 2 ist gleich dem Druck pi (siehe Aufgabenstellung). Er stellt sich so ein, dass der Volumenstrom V durch den Spalt Null ist (siehe L5sung des Aufgabenteils a)). Die Bestimmungsgleichung fiir pi erh~lt man mit der Gleichung V - 0:

9 --/u(z)

9b. dz - 0

(11)

o

u(z) gem~ig der Gleichung (10) in Gleichung (11) eingesetzt, ergibt: (

1 2.#

-

pl

z ('~'] s +U. I 1 - s zl). b . d z - O

P~ - Pi 2 1 -s 9 s -

o 1

f

83

.

2.#

b

1 p~

l

[z s - (z).] s .d (.)I -s + U. s . b (1 - zs I.d (i sZ

=0

o

o

s3. b 12.p

p~ - pi

1

-----[-- -t- -~ . U . s . b - O.

Diese Gleichung nach pi aufgelSst, ergibt das gesuchte Ergebnis zu: pi ~

6.#.1 82

U + p~

182 A u f g a b e 3.2.3

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik StrSmung an einer Wand Eine Fluidschicht der Dichte p und der dynamischen Z~ihigkeit # s t r S m t e i n e s e n k r e c h t steh e n d e W a n d d e r B r e i t e b (senkrecht zur Zeichenebene) hinunter. D i e S t r S m u n g ist l a m i n a r u n d ausg e b i l d e t . A u f die Oberfl~iche d e r Fluidschicht wird yon der umgeb e n d e n abwfirts s t r S m e n d e n Luft die S c h u b s p a n n u n g ~-0 i i b e r t r a g e n . Die D i c k e d e r F l u i d s c h i c h t ist h (siehe A b b . 3.2.3).

A b b . 3.2.3 Fluidschicht

Fiir diese StrSmung gilt die folgende Differentialgleichung (Herleitung a n a l o g zu A u f g a b e 3.2.1 u n d 3.2.2): d2w dx 2

p.g #

=

.

(1)

( D r u c k g r a d i e n t Op/Oz = O, fz - - p ' g ) . Es sollen d a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l w(x) u n d die a u f die W a n d i i b e r t r a g e n e W a n d s c h u b s p a n n u n g rw e r m i t t e l t werden. Hinweis: b >> h LSsung: g e g e b e n : h, p, #, To, b, g g e s u c h t : w(x), 7% Durch zweimaliges Integrieren der Gleichung (1) erh$1t man die folgenden Gleichungen mit den Integrationskonsta~ten C1 und C2: ,

dw=p.g.x+C1 dx #

~(~)-

P ' g 9x 2 + C1 9x + C2

2

(2) (3)

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten werden zwei Randbedingungen benStigt. Die erste folgt durch Haften des Fluids an der Wand zu w ( x - 0) - 0. Da auf die Oberfl~che des Fluids die Schubspannung To iibertragen wird, ergibt sich die zweite Randbedingung mit dem Newtonschen Reibungsansatz: dw

ro-~-~-X-X

(4) =h

3.2

183

Navier-Stokes-Gleichungen

Mit den Randbedingungen und den Gleichungen (2) und (3) ergeben sich die folgenden Bestimmungsgleichungen fiir die Konstanten C1 und C2" C2 - 0

~0-~

,

dw ~-~l~=~-~ Cl -

( P ", g

l

h + C1)

,

. (7"o - p . g . h )

#

C1 und C2 in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt das gesuchte Geschwindigkeitsprofil

~(x). 2..

~

+~.(~o-p.g.h).

(x)~

.

(5)

Die Schubspannung ~-w,die auf die Wand wirkt, berechnet sich mit dem Newtonschen Reibungsansatz. Er lautet: dw

(6)

Tw x----0

Mit der Gleichung (2) ergibt sich fiir dw/dxlx=o" dw

t

--

dx x=o

C1

-

1

-

9 (TO - -

p.g.

h)

#

und mit Gleichung (6) erh~lt man schliet~lich das gesuchte Ergebnis zu: "rw - 7o - p. g . h

Aufgabe 3.2.4

Rayleigh- S t o k e s - P r o b l e m

Bei der LSsung des Problems der '~lStzlich in Gang gesetzten ebenen Platte" (Rayleigh-Stokes-Problem) muss eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung gelSst werden, die z. B. durch Vereinfachung der Kontinuit~itsgleichung und der Navier-Stokes-Gleichung hergeleitet werden kann. In dieser A ufgabe soil die g e n a n n t e Differentialgleichung ohne Anwendung der Navier-Stokes-Gleichung aufgestellt werden. Die partielle Differentialgleichung soil mittels eines Kr~iftegleichgewichts a m Volumene l e m e n t hergeleitet werden. Dazu sollen n a c h e i n a n d e r die folgenden Teilaufgaben gelSst werden: a) An einem V o l u m e n e l e m e n t sollen die angreifenden Kr~ifte a n g e t r a g e n werden.

184

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Es soil das Kr~iftegleichgewicht f o r m u l i e r t w e r d e n . c) Die in der resultierenden Gleichung v o r h a n d e n e S c h u b s p a n n u n g soil durch den Newtonschen Reibungsansatz ersetzt werden. d) Es sollen die Randbedingungen fiir dieses P r o b l e m a n g e g e b e n w e r d e n .

LSsung: gegeben: p, p, U gesucht: a) Kr~fte am Volumenelement, b) Kr~ftegleichgewicht aufstellen, c) Reibungsgesetz anwenden, d) Randbedingungen formulieren

~)

Die angreifenden Krgfte sind in der Abbildung 3.2.4 am Volumenelement angetragen. Dazu wird folgendes erg~inzend erwghnt:

~Tyx

[Vyx+ - ~ y .dy].dx-b

"

din. O___uu~

!

I

dy

~'yx.dx-b

x

A b b . 3.2.4 KrMte am Volumenelement

1. Auf dem unteren und oberen Schnittufer wirken die entsprechenden Schubspannungen. Der erste Index an der Variablen T bezeichnet das Schnittufer (in diesem Fall y - konst.), und der zweite zeigt an, in welche Richtung (in diesem Fall in x-Richtung) die Schubspannungskraft wirkt.

2. Zeigt die Normale des Schnittufers in positive Achsenrichtung so werden die Schubspannungskr~ifte in positive Achsenrichtung eingetragen, zeigt die Normale in negative Richtung werden die Schubspannungskr~fte entsprechend in negative Achsenrichtung eingezeichnet. 3. In Abbildung 3.2.4 sind die Druckkr~fte nicht eingezeichnet, da in der Str5mung kein Druckgradient wirksam ist. 4. Die Tr~igheitskraft d F T lautet allgemein: aFT--

Ou Ou Ou ) --~ + u . -~z + v . -~y .am

dFT - p .

(o~

o~

o~)

--~ + u " -~x + V " ~ y

,

. b . dx . d y

In Abbildung 3.2.4 ist die Tr~gheitskraft gemgs der Formel dFw - ( O u / O t ) . d m = p . ( O u / O t ) . b. d x . d y eingezeichnet, da fiir die StrSmung cOu/Ox - 0 und v - 0 sind.

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

185

b) Gemfig der eingetragenen Kr/ffte am V01umenelement, ergibt sich mit dem Krgftegleichgewicht: ~-~'dFi-O--p.-~.b.dx.dy+

ryx + - ~ y

. dy

. b . d x - ryx . b . d x

i

Ou

Oryx

(1)

P-o-I- Oy c) Mit dem Newtonschen Reibungsansatz erhglt man: Vyx

-

#

Ou Oy

OTyx = , Oy

--~

02 u Oy 2

(2)

Die partielle Ableitung von %x g e m ~ Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt folgende Differentialgleichung ffir das Rayleigh-Stokes-Problem: Ou 02u p . --~ - # . Oy 2

(3)

d) Fiir t < 0 ist u fiberall Null. Ist t > 0 , so haftet das Fluid auf der plStzlich in Gang gesetzten Platte und bewegt sich auf der Wand mit der Geschwindigkeit U. Fiir y ) cc ist u auch zum Zeitpunkt t > 0 gleich Null. Die Randbedingungen lauten also: 1.

u(y)-O

fiir

t0

fiir

t > 0

ZylinderspaltstrSmung

E i n Z y l i n d e r m i t d e m R a d i u s rl ist v o n e i n e m R u g e r e n Z y l i n d e r m i t d e m R a d i u s r2 u m g e b e n (siehe A b b . 3.2.5a). D e r i n n e r e Z y l i n d e r r o t i e r t mit

A b b . 3.2.5a Zylinderspaltstr5mung

A b b . 3.2.5b Polarkoordinaten

3 Grundgleichungender StrSmungsmechanik

186

der W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t Wl und der ~iugere Zylinder mit der W i n k e l g e schwindigkeit 0v2. Zwischen d e n b e i d e n Zylindern befindet sich ein Fluid. In dieser A u f g a b e soil das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l d e n b e i d e n Zylindern e r m i t t e l t w e r d e n (laminare setzt). D a z u soil von d e n N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n a u s g e g a n g e n werden. Sie l a u t e n fiir eine stationfire S t r S m u n g (siehe A b b . 3.2.5b):

des Fluids z w i s c h e n S t r 6 m u n g vorausgein P o l a r k o o r d i n a t e n und i n k o m p r e s s i b l e

Kontinuit~it sgleichung: Ou~

u~

1

O---r- -t- --r

+ -'r

Ou~ c9t9 = 0

p"

Ou~ u~" or

.

(1)

1. Navier- Stokes- Gleichung:

0]9 -o--; +~,.

( 02 u~

10u~ r -b-~ + . Or

u~ r

9

u~ 1 02 u~ 2 r 2 + .r 2 . 0# 2 r 2 . . .

Ou~ O0

u~) r

0uo ) 0~) + f~

.

(2)

2. Navier- Stokes- Gleichung:

Ou~ P

1 -r

u~

~ - - ~ +

Ouo

u~.u~)

~ "--+a~

Op (02u~ 10uo uo 1 02uo 2 " 0--0 + #" Or 2 + Or - r 2 + - -2 " 002 + - 2

~

=

0u~) 0~) + f~

(3)

D i e G l e i c h u n g e n sollen zuerst fiir das P r o b l e m vereinfacht w e r d e n und a n s c h l i e g e n d soil u(r) mit einer v e r e i n f a c h t e n G l e i c h u n g e r m i t t e l t w e r d e n . LSsung: g e g e b e n : rl, ?'2, Wl, w2 gesucht: u(r) Da sich die StrSmungsgrS~en in Umfangsrichtung nicht ~ndern, verschwinden in den Gleichungen (1) bis (3) alle Ableitungen nach 0 und die GrSi~en u~, u~ und p sind nur von r abh~ngig. Mit der Kontinuit~tsgleichung ergibt sich dann die folgende gewShnliche Differentialgleichung: du__y_~+ u__L~_ 0 dr r

(4)

Mit der folgenden einfachen Rechnung kann die Gleichung fiir u~ gelSst werden: du~ _e - u~ --0 dr r

~

du~ = Ur

dr r

~

u ~ = - -C r

.

(5)

3.2

Navier-Stokes-Gleichungen

187

C ist eine Integrationskonstante. Mit der Randbedingung u ~ ( r - r l ) - 0 ergibt sich fiir C der Wert C = 0. Gem~t~ Gleichung (5) ist u~ also fiir rl < r c~:

u / Uo~

0.6 Blasius

0.2 i

i

1.0

I

3.0

f~ = 0

f'=l Die Gleichung (13) entspricht der Blasius-Gleichung. Sie ist eine gewShnliche Differentialgleichung, die nur noch von ~ abhgngig ist, d. h. dass u / U = f'(~) (siehe G1. (8)) fiber ~ fiir beliebige x-Stellen den gleichen Verlauf hat. Der Verlauf des Profils ist in Abbildung 3.4.2b gezeigt. Die Geschwindigkeitsprofile sind ghnlich.

1.0

0.4

,

i

I

5.0

!

i

17 7.0

Abb. 3.4.2b Blasius-Geschwindigkeitsprofil

A u f g a b e 3.4.3

Rayleigh- Stokes-Problem

A b b . 3.4.3a Rayleigh-Stokes-Problem

Eine unendlich ausgedehnte Platt e w i r d plStzlich z u m Z e i t p u n k t t - 0 aus dem Stillstand mit der G e s c h w i n d i g k e i t U0 in i h r e r eig e n e n E b e n e b e w e g t (siehe A b b . 3.4.3a). B e s c h l e u n i g u n g s v o r g ~ i n g e d e r P l a t t e sind zu vernachl~issigen, d.h. die P l a t t e b e w e g t sich s o f o r t mit der angegebenen Geschwindigkeit.

A u f g r u n d d e r u n e n d l i c h e n A u s d e h n u n g d e r P l a t t e stellt sich s o f o r t ein in x - R i c h t u n g a u s g e b i l d e t e s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l ein. D e r D r u c k im Aui~enfeld e n t l a n g d e r P l a t t e ist k o n s t a n t . a) M a n s k i z z i e r e d a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l fiir e i n e n Z e i t p u n k t t - tl > 0, d a s sich i m M e d i u m fiber d e r P l a t t e e i n s t e l l t .

b) Man vereinfache die Grundgleichungen ffir den skizzierten Fall (siehe Abb. 3.4.3a). Das M e d i u m ist inkompressibel (Dichte p, kinematische Viskosit~it u).

220

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

c) Welche Art von Gleichung ist das Ergebnis der Betrachtung. Formulieren Sie die Anfangs- und R a n d b e d i n g u n g e n fiir einen Zeitpunkt t > 0. Durch Einfiihren einer dimensionslosen )i.hnlichkeitsvariablen r ] - y / ( 2 . v~" t) ergibt sich eine gewShnliche Differentialgleichung der Form f" + 2. 7" f ' - 0 ~ mit der n o r m i e r t e n Geschwindigkeit f = u / U o . Die LSsung der Differentlalgleichung ergibt: ~7

u =1 Uo

~2 " 1 e - 'Tz 9 dr/ o

d ) M a n skizziere qualitativ das Geschwindigkeitsprofil fiir einen Zeitp u n k t tl > 0, ~7= f ( u / U o ) . Wie verhalten sich die Profile fiir unterschiedliche Z e i t p u n k t e t > 0 beziiglich der skizzierten Geschwindigkeitsverteilung? LSsung: gegeben: p, U0, ~, gesucht: a) Skizze u(y, t), b) Vereinfachte Grundgleichungen, c) Art der Gleichungen, Anfangs- und Randbedingungen, d) Skizze u/Uo(r])

~)

Abb. 3.4.3b Geschwindigkeitsprofil zum Zeitpunkt tl b) Die Grundgleichungen ffir eine instation~e ebene und inkompressible StrSmung lauten: Ou

Ov

0-~ + G = 0 ,

,.

P

+ ~.

+ ~. ~

=

(ov~ 7 + ~ N + ~ N ov) - - N

(1) +,.

+'\~x

+

~+0y~]

Folgende Vereinfachungen ergeben sich aus der Aufgabenstellung:

,

(2)

(a)

221

3.4 Grenzschichtgleichungen

1. Es handelt sich um ein rgumlich ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil, d. h. u und v sind keine Funktionen von x. Damit sind alle Gradienten der Geschwindigkeit in x-Richtung gleich Null: Ou Ox

02u Ox 2

Ov Ox

02v Ox 2 = 0

(4)

2. Der Druck entlang der Platte ist konstant, d. h. p ist keine Funktionen von x. Damit gilt:

ov =0

(5)

0x

Setzt man die Gleichungen (4) und (5) in die Grundgleichungen (1) - (3) ein erhglt magi:

OV =0 Oy Ou )

( Ou

P p.

37 + ~ ~

(o~

(6) 09u

-"or

Ov)

by+~.N

~ '

Ov

(7)

o~v

--N+..ov~

(8)

Aus der Kontinuitgtsgleichung (6) folgt mit der Haftbedingung v]v=o - 0 an der undurchl/issigen Platte v - C(t) = 0. Dieses in die Gleichungen (7) und (8) eingesetzt ergibt: Ou Oeu p. - ~ - , . Oy 2 Op Oy = 0

,

(9) (10)

Aus der 2. Navier-Stokes-Gleichung (10) folgt fiir konstanten Druck entlang der Platte p - C(t) - konst., d. h. der Druck gndert sich im gesamten StrSmungsfeld nicht. Damit ergibt sich aus der 1. Navier-Stokes-Gleichung (9) die folgende Gleichung zur Beschreibung des Rayleigh-Stokes-Problems: Ou =u. Ot

02u Oy 2

(11)

c.) Die erhaltene Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung. Die Randbedingungen lauten u(y = O, t > O) = Uo und u(y ) co, t > O) = O. Die Anfangsbedingung lautet u(y > O, t < O) = O. d.) Die Profile sind fiir verschiedene Zeitpunkte t > 0 ghnlich, d.h. sie lassen sich durch Skalierung von y ineinander iiberfiihren (siehe Abb. 3.4.3c).

222

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

2. :7

v

1

U

u0

A b b . 3.4.3c Geschwindigkeitspr0fil ~ - f(u/Uo) 3.4.2

Kompressible StrSmungen

A u f g a b e 3.4.4

Grenzschichtgleichung

Fiir eine station~ire l a m i n a t e i n k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g in d e r (x, y ) - E b e n e in G r e n z s c h i c h t a p p r o x i m a t i o n l a u t e n die G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n bei k o n s t a n t e r d y n a m i s c h e r Z~ihigkeit #: 0u 0v + ~ - o 0--~

(1)

,

(2)

Bei b e k a n n t e r G e s c h w i n d i g k e i t a m G r e n z s c h i c h t r a n d Us(x) l~isst sich d e r D r u c k g r a d i e n t mit Hilfe der B e r n o u l l i - G l e i c h u n g b e s t i m m e n : 1

v(x) + ~ . p .

U~ (x) -

konst

"

~

dp

~

dx

+ p. U~-

dp _ dx - - p ' U ~ "

dU5 ~x

-

dU~ dx

0

'

(3)

"

Somit stellen die G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n (1) u n d (2) ein S y s t e m von zwei p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n zur B e s t i m m u n g d e r zwei U n b e k a n n t e n u u n d v dar. N a c h f o l g e n d soil d i s k u t i e r t w e r d e n , welche P u n k t e b e i m A u f s t e l l e n der k o m p r e s s i b l e n G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g a u s g e h e n d von d e n G l e i c h u n g e n (1) u n d (2) b e s o n d e r s zu b e a c h t e n sind. D a b e i wird d a r a u f hingewiesen, dass

3.4 Grenzschichtgleichungen

223

die dynamische Ziihigkeit # bei kompressiblen StrSmungen eine Funktion der Temperatur ist, d. h. es gilt: p - p(T). a) Wie lauten die Gleichungen (1) und (2) fiir den Fall einer stationfiren laminaren kompressiblen GrenzschichtstrSmung in der (x, y)-Ebene? b) Welche unbekannten GrSgen enth~ilt das Differentialgleichungssystem aus Teilaufgabe a) und wie viele zus[itzliche Gleichungen sind zur Schliegung des Differentialgleichungssystems nStig? c) Man gebe die N a m e n der in Teilaufgabe b) zus~itzlich benStigten Gleichungen und (soweit mSglich) die zugehSrigen Formeln an. LSsung: a) Gleichung (1) stellt die Kontinuit~tsgleichung fiir eine inkompressible StrSmung dar. Sie ist somit durch die Kontinuit~tsgleichung fiir eine kompressible StrSmung zu ersetzen:

a(p.~) a(p.~)

O ~ + Oy

:

0

.

(4)

Die Formulierung der konvektiven Terme auf der linken Seite von Gleichung (2) ist im inkompressiblen und im kompressiblen Fall identisch und kann somit unver~ndert iibernommen werden. Gleiches gilt fiir den Druckgradienten, der sich auch im kompressiblen Fall durch die Geschwindigkeit U5 am Grenzschichtrand ausdriicken l~sst. Eine J{nderung ist jedoch beim Reibungsterm auf der rechten Seite von Gleichung (2) vorzunehmen, da laut Voraussetzung im kompressiblen Fall # = konst, gilt. Die Temperatur T ist eine skalare FeldgrSt~e die iiblicherweise eine Ortsabh~ngigkeit aufweist. Damit ist auch # ortsabhiingig.

Is(T) =/=

Der Reibungsterm auf der rechten Seite von Gleichung (2) folgt bei der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen aus einem Gradienten des Schubspannungsterms T. Es gilt:

07

O(

oy - oy

Ou) "

N

(a)

Lediglich im inkompressiblen Fall mit # = konst, darf p in Gleichung (5) vor das Differential geschrieben werden. Im kompressiblen Fall ist aufgrund der Temperaturund somit der Ortsabh~ngigkeit der dynamischen Ziihigkeit in den Grenzschichtgleichungen die Formulierung aus Gleichung (5) zu verwenden. Man erh~t:

P ~N+~N

--~+N

"N

(6)

224

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Die Differentialgleichungen (4) und (6) enthalten mit den Geschwindigkeitskomponenten u und v zun~hst die gleichen Unbekannten wie im inkompressiblen Fall. Bei einer kompressiblen StrSmung ist als weitere Unbekannte die Dichte p zu berechnen. Als zus~itzliche Unbekannte tritt weiterhin die Temperatur T auf, sowie die Funktion # ( T ) , die die dynamische Z~iJaigkeit mit der Temperatur T verkniipft. Da es sich um fiinf Unbekannte und zwei Differentialgleichungen handelt, sind zur Schliegung des Gleichungssystems drei zus~tzliche Gleichungen nStig. c) Eine zus~tzliche Gleichung, die bei Gasen die Dichte und die Temperatur miteinander koppelt, ist die thermische Zustandsgleichung fiir ideale Gase: P

-

R.T

(7)

P

Weiterhin wird die Energiegleichung zur Berechnung von T benStigt, die in Grenzschichtapproximation lautet:

p . cp .

u . --~x + V .

=

A . -~y 2 + # .

+ U . d x

.

Als Funktion #(T) wird bei Luft meistens das Sutherland-Gesetz verwendet:

o+11o #o

" T + l l 0 K

"

(9)

Die Konstante #o bezeichnet eine bekannte dynamische Zghigkeit bei einer bekannten Referenztemperatur To. Mit Gleichung (9) berechnet sich dann # bei der Temperatur T.

3.5 Potentialgleichungen 3.5 3.5.1

225

Potentialgleichungen P o t e n t i a l g l e i c h u n g fiir k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

Linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g

Abb. 3.5.0 Theorie kleiner StSrungen Die folgenden Aufgaben basieren auf der linearisierten Potentialgleichung fiir die reibungsfreie Aut~enstr5mung (siehe H. Oertel, M. B6hle 2004)"

(1 - M ~ ) . 02~

c92~

~-Yx2 +-~y2 - 0

.

(1)

ist das fiir die Linearisierung eingefiihrte St5rpotential. Die Gleichung (1) ist giiltig fiir die Umstr5mungen von schlanken Profilen bei Mach-Zahlen 0 1 (0berschallanstrSmung) entspricht die Gleichung (1) der Wellengleichung. Im Rahmen der Theorie kleiner St5rungen kann mit ihr der dimensionslose Druckbeiwert cp,k auf der Kontur eines schlanken Profils analytisch bestimmt werden. Die Formel dazu lautet (siehe Abb. 3.5.0)" p~(x)

Cp,k(X) = 1

9.~

- p~ .uL

-- I

2. O(x) v~ML

-

(2) 1

"

0 ist bei sehnenparalleler ZustrSmung der Winkel zwischen der Horizontalen und der Tangente an der Kontur (siehe Abb. 3.5.0). Die Formel (2) wird mit einem Pluszeichen angewendet, wenn eine linksl~iufige Charakteristik vonder Konturoberfl/iche ins StrSmungsfeld verl~uft (siehe Abb. 3.5.0), verl~iuft hingegen eine rechtsl~iufige

226

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Charakteristik von der Konturoberfl/iche ins StrSmungsfeld, so wird die Gleichung (2) mit einem Minuszeichen angewendet. A u f g a b e 3.5.1

Linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g

Es soil gezeigt werden, dass die F u n k t i o n ~ - f(x - a. y) + g(x + a. y) die linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g erffillt (a = v / M ~ - 1 ). LSsung: Zur Uberpriifung werden die folgenden GrSt~en eingef/ihrt: -- x - a . y

Mit diesen GrSs Ableitungen:

,

erh/flt man durch partielle Differentiation von ~ die folgenden

0 ~ _ Of 0~ Ox -o

0g

Ox +

02~

02f

0~

0 r / _ Of

0g

Ox -

o,7

02g

Or/

02f

(2) '

02

-----y Ox = O~ 2 " O---x + 0,12 9 Ox = O~ 2 t 0~72 g O~ .

(1)

r/ = x + a . y

Of .

Oy

.

O~ .

O~

02~__

.

(02g

Oy 2 -- a "

Og .

.

Oy + Or/

0r/

(0g

Or~

(3)

'

0f)

(4)

.

Oy

02f

Or~2 9 O---y-- O~ 2

Or~

0~) 0y

O~ a2

--

'

( 02f 02g) " \0-~ +~

"

(5)

Setzt man die Ableitungen gem~ig den Gleichungen (3) und (5) in die lineaxisierte Potentialgleichung

(1-ML). 02~ + ~0~

= 0

(6)

ein, so ergibt sich die linke Seite der Gleichung zu Null. Die angegebene Funktion = f(x - a. y) + g(x + a. y) erfiillt also die linearisierte Potentialgleichung.

Aufgabe 3.5.2

Angestellte Platte

Eine dfinne e b e n e P l a t t e der HShe Null, der L~nge L und der B r e i t e b senkrecht zur Zeichenebene (L

(9' = O

==:>

n'=n

,

(4)

,

(5) (6)

v'=v

V - - Vstation~ir -~- V' --- Vs Jr- V'

Die S t S r g r S g e n sowie d e r e n A b l e i t u n g e n w e r d e n als sehr klein aufgefasst. a) M a n f o r m u l i e r e das S y s t e m d e r G r u n d g l e i c h u n g e n ffir M a s s e , I m p u l s u n d E n e r g i e in k a r t e s i s c h e n K o o r d i n a t e n u n d l i n e a r i s i e r e n Sie es bzgl. d e r S t S r g r S g e n O', II', u', v' u n d w'. b) M a n s c h r e i b e die S t S r g l e i c h u n g in V e k t o r f o r m . LSsung: g e g e b e n : Erhaltungsgleichungen des B6nard-Problems gesucht: a) linearisierte Grundgleichungen, b) St5rgleichung in Vektorform a) Die Erhaltungsgleichungen (1) - (3) in kartesischen Koordinaten lauten: Ou Ov 0--7 + G

,o.

Ow

+ -5-; - o

(7)

,

= Ono~+ t* k(~ ~Ox+ ~ ~~~~ + ~~~ ) (0~ O~ Ov Ov)

(8)

an +~" ( o ~ ~-7, ~ -~7 ~ 00~~ ) % \ a ~ +~,~, +~,~

(9)

b7 +,~. a-; +,,. N +w. ~

po.-O-i- +~- ~ +~. G + ~ . N

= Oz+,,. 00

0--7-

00

-]- '//, 9 ~

00

--]--V ' ~ L

=a"

-hTx~+-aT-~y~+-57z~ +g.po.9.o 00

-Jr- W ' ~

-- (To -- T 1 ) .

/

~;~-~+ -g-jy~+ -gT~

,

(10)

w

h (11)

Der StSransatz (4)- (6) wird jetzt in die Erhaltungsgleichungen (7)- (11) eingesetzt.

4.1 Analytische Vorbereitung

269

Man erhglt: Ou'

Or'

Ow'

0-7 + ~

+~

-o

(12)

,

(o~' o~' o~' o~') po . - ~ + ~' . -~x + ~' . -~v + ~' . - & 01I' o, + ~

=

/ 02 u' 02 u' [,-~+~v~+-~

02 u' "~ ~ ]"

(13)

po . - j + ~' . -s + ~' . -~y + ~' . - ~ On'oy

( ~ ~' ~ ~' ~ ~' ) +# -~+~+-~z~ (Ow' o~' ow' o~') po . -ji- + ~' . --~ + ~' . -~y + ~' . --& -

OIl' O~ + ' "

= Oe'

0--7- + ~

,

( 0 2w' 0 2w' 0 2w' ~+~7+~J+g'P~

, Oe'

Oe'

(14)

z Oez

(15)

( T o - T1)-to' h

" -bTx + v " -0-y-y+ w 9 Oz (020' 02e' 02e ') ='~ -a--Z~+ ~ - y~ + 0~*

(16)

Da die StSrgrSflen und ihre Ableitungen sehr klein sind, kSnnen die Produkte solcher Gr5gen gegeniiber den anderen Termen vernachlgssigt werden. Es gilt" , u

Ou' . Ox

,

Ou'

= v . Oy

Ow'

=v

, -

w

Ou' . Oz

Ow'

, -

Or'

,

u . --~x -

00'

Ov'

,

V . Oy -

0(3'

' " Oy = w ' 9 Oz = u ' 9 Ox = v ' " Oy

w

00'

=w

' 9 Oz

Or' . -~z

, Ow' -- u . O x

=0

(17)

Die Gleichung (17) in die Gleichungen (12) - (16) eingesetzt ergibt als Ergebnis: Ou'

Or'

0-7 + ~ ot

-

Or' P~

ot

00' Ot

Ot

02

u'

02

- - -O+x ~ . - ~ + - g ~ y ~ + - g ~ 02v'

OH' =

Oy

-

- ~ Oz +#.

Ow' po"

(18)

OII'

Ou' P~

Ow'

+ -~z - o

u'

02

02v'

u' )

(19)

02v ' )

(20)

~.-07~+5-~y~+-~ 02 w' 02 w' 02 w' ) ~+~-y~ +-gj~ +g.po.~.o'

OH'

w' ( To - r~ ) " T

( 020' -

a

-yT.~

020 ~

020' + ~7

+

Oz 2 )

(21)

(22)

270

4 Numerische LSsungsmethoden

b) Die Gleichungen (18)- (22) in Vektorform lauten: ~Tv' = 0 COv' t

P~

4.1.3

, -VII'+#

Av'+g

po ~ (9'

CO(.~t

Wt

cot

(To - T~ ) . --ff - a . AO'

Stabilit~itsanalyse

Aufgabe 4.1.8

Stabilit~itsdiagramm

Zur Klfirung der Frage nach Stabilitfit o d e r Instabilitfit eines g e g e b e n e n stationfiren i n k o m p r e s s i b l e n G r u n d g e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l s Uo(z) w e r d e n die StSrungsdifferentialgleichungen benStigt, die sich mit Hilfe des folgenden S t S r u n g s a n s a t z e s aus den N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n ableiten lassen: = U o ( z ) + ~'

,

~ = ~'

,

(1)

p = po + p'

D u r c h E i n s e t z e n der Ansfitze (1) in die N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n und anschliegende Linearisierung erh~ilt m a n die linearisierten StSrungsdifferentialgleichungen zur E r m i t t l u n g der S t S r u n g s g r S g e n u', w' und p'. Sie lauten: COUl

COWI

Ox + -~z

- ~

(2)

'

COu' COu' dUo_ 10p' (02u ' CO2u"~ O---t + U~ " ~ + w' " dz - - p " COx + u. \ ~ + ~ ] COw'

COw'

1

COp'

( CO2w,

o--i- + Uo . o--7 = - - ~ " o - 7 + ~ ' \ ~

(92w, "~ +

)

(3) (4)

Die S t S r u n g s g r S g e n u' , w ' und p' w e r d e n mit Hilfe des W e l l e n a n s a t z e s modelliert: U ' (X~ Z , t ) - - ~ ( z ) 9 i ( a ~ - ~ )

p'(x,z,t)=~(z)

.e i'(a'x-w't)

,

W ' (X~ Z~ t ) - - ~LU(Z)" e i ' ( a ' x - w ' t )

(5)

In G l e i c h u n g (5) b e d e u t e n i die imagin~ire E i n h e i t mit i 2 = - 1 , a die k o m p l e x e W e l l e n z a h l und w die k o m p l e x e K r e i s f r e q u e n z . a) M a n s e t z e d e n W e l l e n a n s a t z aus G l e i c h u n g (5) in die G l e i c h u n g e n ( 2 ) (4) ein und e r m i t t l e ein D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s s y s t e m ffir die U n b e k a n n t e n ~, @ und/5.

271

4.1 Analytische Vorbereitung

b) M a n iiberfiihre die drei in T e i l a u f g a b e a) e r h a l t e n e n Differentialgleic h u n g e n zur B e s t i m m u n g der u n b e k a n n t e n W e l l e n a m p l i t u d e n ~, ~ und i5 in e i n e e i n z i g e G l e i c h u n g zur B e s t i m m u n g v o n ~. U m w e l c h e n Gleic h u n g s t y p h a n d e l t es sich d a b e i ? LSsung: a) Zun~chst werden s~mtliche partiellen Ableitungen ermittelt, die in den Gleichungen (2) - (4) ben5tigt werden. Man erh~lt im Einzelnen: COt

=- i. a-~2(z) 9 e i'( . . . . to.t)

Ou' = - i . '

Ox

cO. ~ t ( z ) 9 e i ' ( a ' x - ~ ' t )

cOt

CO2 U t

Ox 2 CO2u'

--a --~

Oz 2 Ow ~

2

.~(z)-e

d 2~

"e

i.(a.x-~v.t)

i.(a.x--w..t)

OW t

dz 2

'

= -i.

(6)

,

co- ~D(z)- e i'( . . . . . .

---

d(v

Oz t)

"e

i.(a.x--w.t)

dz

'

(7)

,

Ot Ow' Ox 02w' Oz 2

= i . a . ~ v ( z ) 9 e i'(~x-"~t) d 2(v

02w ' Ox 2 -- -a2

,

. ~fl)(Z) " e i ' ( a ' x - - w ' t )

,

i.(a.x-w.t)

= dz 2 9 e

Op' = i . a . ~(z) Ox

,

(8)

. e i'(a'x-w't)

Op t Oz

'

dl5 i.( . . . . . . = dz'e

t)

(9)

Die Kontinuitgtsgleichung (2) lautet somit" i . a . ~t ( z ) 9 e i ' ( a ' x - w ' t

) §

d~v

--d-ffz " e

i.(a.x--co.t)

(10)

--- 0

Aufgrund der Nullstellenfreiheit der e - F u n k t i o n lgsst sich der Faktor e i ' ( a z - ~ ~ in Gleichung (10) herauskiirzen. Durch eine Multiplikation der Gleichung mit dem Faktor i erhglt m a n schlieifilich:

92 d~ 1 .a./t+i.-d-~z -0

===>

d~ -a-/t+i.-d~z -0

~

a.g-i,

dzb dz

. (11)

Durch Einsetzen der Ableitungen aus den Gleichungen (6) - (9) in Gleichung (3) erh~lt m a n nach Kiirzen der e-Funktion: - i 9co 9~t + Uo 9 i 9a . ~t + ~b 9

duo dz

__l.p i . a . i b + u .

- a 2 . ~ + ~ z d2u~ 2j

(12)

Eine Multiplikation von Gleichung (12) mit dem Faktor - i fiihrt auf: (a. U o - c O ) - ~ - i . ~ z adU~ " ~ . . . . 1 a - l b + i . u P

( a 2 .~2

d2g'2~dz /.

(13)

272

4 NumerischeL5sungsmethoden

Ein vSllig analoges Vorgehen durch Einsetzen der Ableitungen aus den Gleichungen (6)- (9) in Gleichung (4) liefert nach nach Kiirzen der e-Funktion: -i.a~.@+Uo.i.a.~--1-d/5 t-up dz

-a 2-~+~

(14)

Durch Multiplikation yon Gleichung (14) mit dem Paktor - i folgt schlieglich: 1 dis ( p ' d z + i ' u " \ a 2.@

(a. U o - a ; ) . ~ - i .

d2@~ dz 2 j

.

(15)

b) In einem ersten Schritt wird die Variable ~ eliminiert, indem Gleichung (11) nach aufgelSst und in Gleichung (13) eingesetzt wird. Man erh~ilt: -dz

a. @- ~

P

" dz

dz a

(16)

In einem weiteren Schritt ist der Druckterm i5 zu eliminieren. Dazu wird Gleichung (16) zun~ichst nach z differenziert, so dass folgt: [ i.

62@ (a. Uo-~).-d~-z2

d2Uol _ -a2 dz 2 p

-a.@.

el5 dz

( u-

d2 64) a 2- dz2@ dz4@

(17)

Anschliei~end wird Gleichung (15) mit dem Faktor ( - i . a 2) multipliziert und zu Gleichung (17) hinzu addiert, so dass der Druckgradient verschwindet. Nach einer zus~itzlichen Erweiterung mit der imagin~iren Einheit i erh~ilt man schliei~lich: (a. Uo - a ; ) - d2@

-~z2 +

a2.w-a

3

.Uo-a.

( d4@ +i.u--d-~z4-2.a

Uo

dz 2

9~b

2 d2w a4 ) .-d--~z2+ .@-0

.

(18)

Zur Identifikation des Typs von Gleichung (18) ist es vorteilhaft, zur Operatorenschreibweise (z. B. d2@,/dz2 ~ (d2/dz2)@) iiberzugehen. Nach weiterer Zusammenfassung folgt aus Gleichung (18): [

( a . Uo - a; ) .

( d 2 )

-~-~z~ - a 2

d2U~

( -d~z2 d 2 2 )] - 2a

@-0

.

(19)

Bei Gleichung (19) handelt es sich um ein Eigenwertproblem, wenn aui~er der unbekannten Wellenamplitude @ noch ein weiterer Parameter unbekannt ist, z. B. ~. Sind aui~er der Unbekannten @ alle anderen Parameter bekannt, so ist Gleichung (19) eine gew5hnliche Differentialgleichung vierter Ordnung. Gleichung (19) in dimensionsloser Form angeschrieben lautet unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen fiir die einzelnen physikalischen GrSi~en:

4.1

273

Analytische Vorbereitung

(a . Uo - ~ ) .

~

- a2

- a . dz 2

+ i . ~ - ~ ed .

~z-j2-a 2

@-0

(20)

Sie trggt den Namen Orr-Sommerfeld-Gleichung. Im Falle eines zeitlichen Stabilitgtseigenwertproblems sind in Gleichung (20) die GrundstrSmung U0(z), die Reynolds-Zahl _Red = U ~ . d / u und die Wellenzahl a vorzugeben. Als Ergebnis des Eigenwertproblems erhglt man komplexe Eigenwerte cv = cvr + i. cvi und komplexe Eigenfunktionen @. Die LSsungen des Eigenwertproblems werden in Form von Stabilitgtsdiagrammen dargestellt, die erstellt werden, indem die Wellenzahl a fiber der Reynolds-Zahl Red aufgetragen wird. Fiir ein jeweils gegebenes Wertepaar ( R e d , a) wird die Nullstelle des Imagingrteils cvi = 0 des komplexen Eigenwertes cv im Diagramm eingetragen. Die sich ergebende Neutral- oder Indifferenzkurve mit 0-)i --- 0 trennt die stabilen von den instabilen StSrungen (siehe Abb. 4.1.8). Im Gebiet innerhalb der Indifferenzkurve gilt O2i > 0, w a s Instabilitgt bedeutet. Im Bereich augerhalb der Indifferenzkurve nimmt cvi negative Werte an und die zu untersuchende GrundstrSmung ist somit bei der betrachteten Reynolds-Zahl stabil gegenfiber aufgebrachten StSrungen mit der links an der Ordinate abzulesenden Wellenzahl. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Stabilitgtsanalyse' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

stabil akrit

Rekrit

Re d

A b b . 4.1.8 Stabilitgtsdiagramm

4.1.4

Strukturanalyse

Aufgabe 4.1.9

SenkenstrSmung

Fiir ein zweidimensionales StrSmungsfeld gilt folgende Differentialgleichung: dy

dx

=

x+y

x

(1)

a) Man bestimme das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

4 Numerische LSsungsmethoden

274

b) U m w e l c h e A r t v o n Singularit~it h a n d e l t es sich? c) W i e l a u t e t die G l e i c h u n g fiir die I n t e g r a l k u r v e n s c h a r ? d) M a n skizziere die I n t e g r a l k u r v e n s c h a r . LSsung:

g e g e b e n : obige Differentialgleichung gesucht:

a) charakteristisches Polynom, b) Art der Singularit~t, c) y = f(x), d) Skizze y - f(x)

a) Fiir Stromlinien gilt die Beziehung d y / d x = v/u. Gleichung (1) l ~ s t sich mit den Gleichungen v = x + y und u = x darstellen. Daraus ergibt sich:

v

-

~

-

9

1

~

y

(10)

A-

11

'

(2)

mit der Matrix A. Das charakteristische Polynom bestimmt sich aus der Gleichung det[A - A-/] : 0, wobei I die Einheitsmatrix ist. Man erh~lt als charakteristisches Polynom: (1 - A ) - ( 1

-

A) -

1.0

= 0

==~

)~2 _ 2A + 1 = 0

(3)

b) Die Nullstellen des Polynoms sind ,~1 --- ~ 2 : 1. Beide Nullstellen sind reell und haben gleiches Vorzeichen. Es handelt sich um einen Knotenpunkt. c) Auf die Differentialgleichung l~sst sich die folgende Integrationsregel fiir Differentialgleichungen 1. Ordnung anwenden: y' + P(x) -y = Q(x)

,

1 x

P(x) =

,

Q(x) = 1

(4)

Die L5sung der Differentialgleichung berechnet sich dann mit der Gleichung

y - e- f Pdx

( f Q . ef P dX . dx + C )

,

(5)

mit der Integrationskonstanten C. Gleichung (4) in (5) eingesetzt fiihrt zu:

(l /1/dx dx+) y--e y-x.

in x, 9 ( / (

/

e-

ln lx, . d x + C )

1 ) -.dx+C

,

x

y=x.lnlxl+C.x

,

.

(6)

4.1 Analytische V0rbereitung

275

d)

Abb. 4.1.9 Kurvenschar der Integralkurven (6)

A u f g a b e 4.1.10

Deltafliigel N e b e n den klassischen Fliigeln fiir die zivile L u f t f a h r t existiert fiir den Uberschallflug noch eine weitere Form der Fliigelgeometrie, der Deltafliigel (siehe Abb. 4.1.10a).

Abb. 4.1.10a Deltafliigel mit Wirbel

a) M a n skizziere einen Deltafliigel im Q u e r s c h n i t t und zeichne die S t r S m u n g s s t r u k t u r ein. M a n bezeichne alle singul~iren P u n k t e und erl~iutere d e r e n B e d e u t u n g .

b) M a n begriinde, w a r u m ein Deltafliigel fliegt. LSsung: gegeben: Umstr6mung eines Deltafliigels gesucht: a) Str6mungsstruktur mit singul~en Punkten, b) Begriindung warum Deltafliigel fliegt. a) In Abbildung 4.1.10b ist die Str6mungsstruktur um einen Deltafliigel dargestellt. Man erkennt die zwei Foki F der PrimSxwirbel, die vier Halbsattel S' der Staulinien und Abl6selinien an den Vorderkanten des Deltafliigels sowie einen Sattelpunkt S im

276

4 NumerischeLSsungsmethoden

Abb. 4.1.10b Struktur um einen Deltafliigel StrSmungsfeld. Die StrSmungsstruktur im Bereich der Sekund~rwirbel ist ebenfalls skizziert. Es soll hier aber nicht n~her darauf eingegangen werden. b) Aufgrund der Wirbelbildung auf der Oberfl~che des Deltaflfigels entsteht eine Verringerung des statischen Drucks und damit eine Sogwirkung wie beim klassischen Unterschallfliigel. Das Flugzeug fliegt. Aufgabe 4.1.11

Kraft fahrzeugumstr~imung

Abb. 4.1.11a AngestrSmtes Kraftfahrzeug

Ein Kraftfahrzeug wird mit der Geschwindigkeit U~ angestrSmt (siehe Abb. 4.1.11a). Man zeichne die Struktur der KraftfahrzeugumstrSmung im Mittelschnitt und trage die singul~iren Punkte in die Skizze ein. Mit Hilfe der Goldstein-Regel iiberpriife man die Topologie der StrSmung. LSsung: gegeben: KraftfahrzeugumstrSmung gesucht: StrSmungsstruktur, singul~en Punkte In Abbildung 4.1.11b ist die StrSmungsstruktur mit den singul~en Punkten skiz-

4.1 Analytische Vorbereitung

277

Uoo

S' A b b . 4.1.11b Topologie der Kraftfahrzeugumstr5mung im Mittelschnitt ziert. An der Vorderfront des Fahrzeugs entsteht durch den Staupunkt ein Halbsattel S'. Am Heck des Kraftfahrzeugs entstehen durch den Nachlauf drei Halbsattel S' (AblSselinien und Staupunkt). Der Nachlauf besteht im Mittelschnitt aus zwei Nachlaufwirbeln die gegensinnig drehen. Dadurch bilden sich zwei Foki F. Durch die beiden Wirbel entsteht im Nachlauf noch ein freier Staupunkt S (Sattelpunkt). Nach der Goldstein-Regel gilt: 1

Zs')

---1

Dabei bedeutet K einen Knotenpunkt bzw. Fokus, K' einen Halbknoten bzw. Halbfokus, S einen Sattelpunkt und S' einen Halbsattel. Setzt man die entsprechenden singul~ren Punkte der Abbildung 4.1.11b in die Goldstein-Regel ein erh~t man:

(2+0)Damit ist die Goldstein-Regel erfiillt.

1+~

--

278

4.2

4 Numerische LSsungsmethoden

Diskretisierung

4.2.1

Galerkin-Methode

A u f g a b e 4.2.1

KanalstrSmung Fiir eine station~ire i n k o m p r e s s i ble K a n a l s t r S m u n g gilt die folgende D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d2u = dy 2

P u

,

P ....

1 dp p dx

. (1)

Es soll die N ~ i h e r u n g s l S s u n g d e r genannten Differentialgleichung mit der Galerkin-Methode numerisch e r m i t t e l t w e r d e n . D a z u soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n :

A b b . 4.2.1 Fliissigkeit im Str5mungskanal

a) W i e l a u t e t die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir die d i m e n s i o n s l o s e n G r S g e n = u . u / ( P . h 2) u n d ~ = y / h ? W i e l a u t e n die z u g e h S r i g e n R a n d b e d i n g u n gen? b) W e l c h e t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n sind als A n s a t z f u n k t i o n e n geeignet? c) Es soil gezeigt w e r d e n , dass gilt: 1

l - - 1 fiiri-- j cos ( 1 + 2 - i ) . - ~ . ~

.cos

(l+2.j).-~.~).d~-

-1

(2) - 0 fiir i -r j

d) Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g soil mit d e m A n s a t z N

(3)

~ 7~ -- E Ci" Fi i--0

gelgst w e r d e n . Fi sind die ausgew~ihlten A n s a t z f u n k t i o n e n u n d ci die zu bestimmenden Koefllzienten. LSsung: a) Mit der folgenden Rechnung erhglt man die Differentialgleichung mit den dimensi0nslosen Gr5gen ~ und ~' d25 dO2

h2

9

P 9 u h2

=

p u

-->

d2~ d~ 2

~ + 1 - 0

.

(4)

4.2

279

Diskretisierung

Die Randbedingungen lauten: -1-

~(,)-1)-0

,

~--1"

~(~--1)-0

.

(5)

b) Es miissen Ansatzfunktionen Fi gew~ihlt werden, die die Randbedingungen erfiillen. Die folgenden trigonometrischen Funktionen besitzen diese Eigenschaften. Sie lauten: F~i -- COS

1 _qL 2 " i ) " -~ " y

i- 0,1,2,3,...

,

(6)

c) Fiir die Rechnung werden die folgenden Abkiirzungen eingefiihrt. Sie lauten: ai-

(1 -~- 2 .

i).~71"

,

aj -

(1 _qL 2 " j ) ' - ~

T"

(7)

Fiir das Produkt cos(ai. ~). cos(aj 9~) gilt"

~os(ai- ~). ~os(aj. ~) -

1 . (COS([ai-

a j ] . y ) -Jr- c o s ( [ a i -~- a j ] . y ) )

(8)

Mit der Integration erhglt man: 1

cos ( 1 + 2 . i ) . - ~ . ~

.cos

(l+2-j).-~.~

.d9

--1 1

= / ~o~(ai. ~/" ~o~(~j.

y).

d9

t J

--1 1

= / 1 - ~( c o s ( [ a i

- a j . ] 9 ) + c o s ( [ a i + ~ j]. 9 ) ) d9~

--1

2

=

ai -- aj

~i~(ai -

f!!

(s) -

U !! (s)

(5)

Setzt man Gleichung (5) in Gleichung (2) ein, so erhglt man: u (s)+

~-

9 u'(s)+~-~

-0

(6)

Die Randbedingungen fiir die neue Funktion u(s) folgen aus Gleichung (3) und dem Ansatz f(s) = u(s) + w(s): s=0:

f(0) = u ( 0 ) + w ( 0 )

s=10:

=0

~

u(0) = 0

f(10)=u(10)+w(10)=a

==>

,

(7)

u(10)+a=a

u(10) = 0

==>

(8) (9)

b) Die Ansatzfunktion lautet g(s) - s . ( 1 0 - s) und erfiillt die Randbedingungen fiir u(s), denn es gilt: s-0"

g(0)-0

und

s-10-

g(10)-0

.

(10)

Die gesuchte Funktion u(s) wird durch die Ansatzfunktion g(s) unter Verwendung einer unbekannten Konstanten Cl approximiert, so dass folgt: ~(8)

-

-

C1" g(s) -- C1"8" (10 -- S) -- C1" (10"S -- Se)

(11)

In Gleichung (6) werden die erste und die zweite Ableitung von u(s) ben5tigt. Man erhglt aus dem Ansatz fiir u(s) in Gleichung (11): ' ( ~ ) - Cl . (lO .

2 . ~) . ,

.

I!

~(s)

-2

c~

(12)

284

4 Numerische LSsungsmethoden

Aus Gleichung (6) folgt somit: -2.c~+

_ls

c~.

-

" [c1-(10-2.s)]+~-~

+5-s

-

s

-~

20

10. s

=a

,

=R

.

(13)

Da der Ansatz fiir u(s) aus Gleichung (11) die Differentialgleichung (6) nicht exakt erfiillt, steht auf der rechten Seite der Gleichung (13) nicht Null, sondern ein yon Null verschiedenes Residuum R. Durch die Galerkin-Methode wird das Residuum R minimiert und somit die Konstante el bestimmt. Das Residuum wird mit der Ansatzfunktion g(s) multipliziert und danach zwischen den Grenzen des Definitionsbereichs integriert. Anschlietgend wird gefordert, dass das Integral verschwindet" lO

a.g(s).as-0

,

o lO

/[c1" (__s2+ 5 . s o

/(.

i0) a-s - - a ]. s . ( 1 0 - s ) . d s = 0 + s

+ 5-s

8

0 10

/(..

20

,o)

lO

c1"

(14)

-)

10- s

9s. ( 1 0 - s). ds

9 s.(10-s).ds-0

.

(15)

o

Ausmultiplizieren von Gleichung (15) und Bildung der Stammfunktionen fiihrt auf: C1"

1 ~ 5 5 +~.

15 4 ~ 83 82 I 10 T.s + 9 +5. -100.s o

i

84

83

82

] 10

- ~ + - ~ + ~ - s

=o

(16)

,

o el"

(4000) ----

Ara.y

330

--0

11 el -- L-7-~-Z9 a

9

4UU

(17)

Mit der Konstanten cl folgt fiir u(s): u(s) - c l . s .

11 ( 1 0 - s) - 4--0~.a.s. ( 1 0 - s)

(18)

Als Endergebnis der NgherungslSsung fiir f(s) erh/flt man: f(s) - u(s) + w(s)

:::::v

11 a f(s) -- 4-0-~. a. s. (10 - s) + ] - 6 . s

(19)

285

4.2 Diskretisierung

A u f g a b e 4.2.3

Rossby-Wellen Geschwindigkeit s s t S r u n g e n einer vorherrschenden GrundstrSmung U in der h S h e r e n Erdatmosph~ire kSnnen b e d i n g t d u r c h die E r d r o t a t i o n so g e n a n n t e Rossby-Wellen a n r e g e n (siehe Abb. 4.2.3). Dieser Vorgang kann vereinfacht d u r c h folgendes R a n d w e r t p r o b l e m beschrieben werden:

Erde

X

Abb. 4.2.3 Rossby-Wellen

CQ2V a

' D-~

(92 v + Ox . Ot + 9 " v + ~ -

~

(1)

,

mit

v(0, t ) - - A . s i n ( ~ . B . t )

und

v(A,t)-+A.sin(~.B.t)

.

(2)

D a b e i ist U = konst. (z. B. W e s t w i n d ) , v(x, t) die G e s c h w i n d i g k e i t s s t S r u n g q u e r zur H a u p t s t r S m u n g s r i c h t u n g U u n d a, fl, A, A und B sind gegebene Konstanten. Das R a n d w e r t p r o b l e m soil, was die x - R i c h t u n g betrifft, n~herungsweise nach der G a l e r k i n - M e t h o d e gelSst werden. Die Zeit wird in der Ansatzf u n k t i o n g(x,t) als P a r a m e t e r aufgefasst, so dass bei der M i n i m i e r u n g des R e s i d u u m s yon Gleichung (1) n u t fiber x integriert w e r d e n muss. Die A p p r o x i m a t i o n yon v(x, t) soil mit der einzigen A n s a t z f u n k t i o n g(x, t) -- sin( ~

[~ -

B

t])

erfolgen. W i e l a u t e t die NiiherungslSsung yon (1) ? LSsung: gegeben: obigen Gleichung (1) fiir Rossby-Wellen gesucht: N~iherungslSsung von (1)

(3)

286

4 Numerische LSsungsmethoden

a) Zur Vereinfachung werden die partiellen Ableitungen durch 0 2 v / O x 2 0 2 v / ( O x 9 Or) - v~t und O v / O x - v~ abgekiirzt. Gleichung (1) lautet dann: .

U.v~+v~t+/3.v+a=O

-

v~,,

(4)

Unter Verwendung der Ansatzfunktion (3) fiir die GeschwindigkeitsstSrung ergibt sich" t) = C - g ( x , t) : C. sin(~7r. [x - B. t])

v(x,

(5)

Daraus folgt fiir die partiellen Ableitungen: 7r.cos(Tr.[x_B.t]) X

~-c

71.2

v~t=C.~-~-B.sin(~.[x-B-t])

,

(6) ,

(7)

rr 2 9sin(~rr. Ix - B. t]) v ~ -- - C - ~-g

(8)

Setzt man die Ableitungen (7) und (8) in die Differentialgleichung (4) ein und verwendet die Voraussetzung, dass t als Parameter (z. B. t = to) betrachtet werden soll ergibt sich: -U-C-

rr 2 B. sin( :r. [x - B. to]) rr 2 sin( 7r . [x - B. to]) + C- ~-7" ~-g. 71"

+ ~ . C. sin(~ 9 [ x - B . to]) + a - R C- ( - U . ~ -7r2 f f + ~ - 7r2 ff.B+~

) .sin(~7 r . [ x - B . t o ] ) + a = R

(9)

mit dem Residuum R. Es muss nun die Bedingung R. g(x, to). dx - 0

(10)

o erfiillt sein. Man erhglt:

/[ ( C-

)

-V.~-ff+~-ff.B+/3

.sin(~.[x-B.to])+a

]

o

9sin(~7 r . [ x _ B . t o ] ) . d x _ 0 C.

)/

(-U.~-ff+~-g.B+/3

9

,

sin2(~

dx

o

+c~. f sin(~~ . Ix - B. to]). dx - 0 o

(11)

4.2 Diskretisierung

287

Die Integration yon Gleichung (11) ergibt: C. ( - U . ~ -7r2 - ~ + ~ -~.2 .B+/3

) 9 [~ . [ x - B . t o ] - 4 . ~ . )~

s i n (-2-.~~ . . [ x _ B . t o ] )

)~ ~-.cos(.[x-B-to]) -0 , ~X o ) ( 1 .[A_B.to]+ 1 .B-to 9 ~

-~. ( ~.2+ / 3 C . - U - ~ - 5 +7r~2 - ~ . B -~4.~)~

sin(~2"Tr. [)~ _

-~.

[a-

-.~ co~(

( ~2 7r2 C.-U-~-~+~-~.B+/3

)

+

to]) - s i n ( - - - ~ ,

to])-cos(-v,

to)

to)

=o

4-)~-a ~.B.t0 -cos(~)-0 7r

(12)

Aus Gleichung (12) folgt fiir C: C=

4- ~. c~ . c o s ( ~ " B to ) ~"2 7r ( U - B) - / 3 A2

(13)

Setzt man Gleichung (13) in Gleichung (5) erh~It man als N~herungslSsung fiir die Geschwindigkeitsst5rung:

4-~-a .cos(~B'to) v(x,t)

2 ~-~. ( U - B ) - / 3

-

9sin(~. [x - B. t])

7r

4.2.2

F i n i t e - E l e m e n t e - M e t hode

A u f g a b e 4.2.4

KanalstrSmung

In dieser A u f g a b e soil die in der A u f g a b e 4.2.1 gelSste Differentialgleichung d2fi _ d~ 2 F1 0

.

~3-0"

.

,

5(~-0)-0

~

_

.

U.p

,

u h2 , 9 ~-1.

~3

y ~

5(~-1)-0

,

P ....

1 dp p dx

(1) (2)

nochmals gelSst werden. Es soil wieder die Galerkin-Methode angewendet werden, diesmal jedoch mit den einfachen linearen Ansatzfunktionen

288

4 Numerische LSsungsmeth0den

Nj(~) (siehe A b b . 4.2.4a). D a s G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l ~(~) soil mit d e m folgenden A n s a t z b e r e c h n e t w e r d e n : ~-~Nj(~).~j j=0

.

(3)

Uj ist die dimensionslose G e s c h w i n d i g k e i t an d e m K n o t e n j, die fiir alle K n o t e n mit d e r G a l e r k i n - M e t h o d e zu b e r e c h n e n sind. Die /iquidistant e n Intervalle zwischen e i n e m K n o t e n j u n d j + 1 w e r d e n als E l e m e n t e bezeichnet. I m E i n z e l n e n soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n : a) D e r A u s d r u c k d2"5/dy 2 soil in der zu 18senden Differentialgleichung (1) d u r c h d e n A u s d r u c k d2fi/d~ 2 e r s e t z t w e r d e n (noch nicht die Summ e d e r A n s a t z f u n k t i o n e n e i n s e t z e n ) . Anschliefgend soil die G a l e r k i n M e t h o d e a n g e w e n d e t w e r d e n . Als G e w i c h t u n g s f u n k t i o n e n sind die Ans a t z f u n k t i o n e n Nk zu v e r w e n d e n . Es soll eine partielle I n t e g r a t i o n gemfif~ f a . / 3 ' , dy - a . / 3 - f / 3 . a ' . dy d u r c h g e f i i h r t w e r d e n . W a s w i r d d a d u r c h zun/ichst erreicht ? b) Welches G l e i c h u n g s s y s t e m e r g i b t sich, w e n n der L S s u n g s a n s a t z (3) eingesetzt wird? c) Die L S s u n g e n der einzelnen I n t e g r a l e sollen in Abh/ingigkeit d e r Elementl/inge A (L/inge der Intervalle) a n g e g e b e n w e r d e n . d) W i e l a u t e n das G l e i c h u n g s s y s t e m u n d seine LSsung u n t e r Beriicksichtigung d e r R a n d b e d i n g u n g e n ? Die LSsung soll mit e i n e m C o m p u t e r e r m i t t e l t w e r d e n . Die LSsung ist mit d e r a n a l y t i s c h e n L~Ssung zu vergleithen. LSsung: a) Wird d2~/d~ 2 in der Differentialgleichung (1) durch d2~/df/2 ersetzt und wird

A b b . 4.2.4a Lineare Ansatzfunkti0nen

4.2 Diskretisierung

289

anschliegend die Galerkin-Methode angewendet, erh~lt man" 1

/

Nk]

0

o 1

1

/(d2g ) / ~-ff. Nk 9d~ + Nk" d~ - 0 , k - 0, 1, 2,..., n . (4) o o Mit der partiellen Integration des linken Summanden der linken Seite der Gleichung (4) ergibt sich die folgende Gleichung: 1 1 (dg )Y=I / ( d ~ dNk) / ~-~" Nk 9=0 -d~ " d~ 9d~ + Nk-d9 - 0 , (5) 0 o k - 0,1,2,...,n . Der Vorteil der Integration besteht darin, dass Gleichung (5) nur Ableitungen 1. Ordnung enth/ilt. W/iren Ableitungen von hSherer Ordnung als erster Ordnung in Gleichung (5) enthalten, so w~en die linearen Ansatzfunktionen Nj zur LSsung der Aufgabe unbrauchbar. b) Durch Differenzieren der Ansatzfunktion (3) nach ~) erh/ilt man: dg=~(dNj d~ j=o - ~

) (6)

"~j

dg/d9 gem/fig Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt: (du) 9=1 f [dNk.~2-~(dNj )] f ~-~. Nk --d~ j=o \-d--~- "•j 9d~ + Nk. d9 = 0 9=~ 0 o k - 0, 1, 2,... ,n

,

(7)

Die Gleichung (7) wird wie folgt umgeformt: (du 9Nk/~:1 _ / [ ~ ( dNk dNj ~=o o j=o d~ d~

1

d /Nk d, 0 o

]J

(dad__~.Nk )9--19=0-- ~2~" d N[0ff j (dNk j =dO o dO 5j) 9d~ +

j=0

i :(d'k gJ"

0

dO

Nk 9d9 - 0

o

dNj) . d~] _ ( d 5 ) ~ - - 1 d~ ~ 9Nk

+

/

Nk-d~ ~=0 0 k - 0, 1,2,...,k

,

(8)

4 NumerischeLSsungsmethoden

290

Gleichungssystem (8) besteht aus n + 1 Gleichungen f/ir die n + 1 Unbekannten ~j. c) Bevor die einzelnen Integrale berechnet werden, ist noch folgendes festzuhalten: 1. Der Definitionsbereich [0, 1] ist in n Elemente (Intervalle) unterteilt.

Uj

2. Es miissen an n + 1 Knoten die Geschwindigkeitswerte berechnet werden. Da jedem Knoten mit dem Index "j" eine Funktion Nj zugeordnet ist, gibt es auch n + 1 Funktionen Nj(No, N1,..., Nn). Zur Berechnung der Integrale wird die Gr5fle A eingeffihrt. Sie steht ffir die L~nge eines Elements (bzw. Intervalls). F/ir A gilt: A = 1/n. Die Integrale der rechten Seite des Gleichungssystems (8) kSnnen mit der GrSfle A sofort angegeben werden. F/ir sie gilt: { 89

1

Nk" d/) o

f/ir k 899Affir

:fi o,k-O k not = n k-n

(9)

Zur Berechnung der Integrale unter dem Summenzeichen der Gleichung (8) werden die drei F/ille (k = 0), (k = j, k # 0, k # n) und (k = n) nacheinander betrachtet. 1. Fall (k = 0):

{ ~ fiirj-0

1 /(dNkd~ o 2. Fall ( k # 0 , k # n )

dNj) "d~-d~

-~fiirj--1 0 fiirj > 1

: l-

~~dNk dNj).d 9\ d - ~ " d~ o Ffir den Fall (j < k 3. Fall (k = n):

(10)

fiirj - k - 1 ~fiir j-k -

.

(11)

fiirj - k + 1

1 ) und (j > k + 1) ist das betrachtete Integral gleich Null.

1 / ~fiir j--n /(dNkd~ "dNJ)d~ . d ~ -~fiirj-n-1 o 0 fiirj < n - 1 d) Setzt man die berechneten Integrale in das Gleichungssystem (8)

[~J " / /aSk . dUj) .d~l _ /d~ ~ 9Nk )~-1 + ~ Nk" d~ d~ d~ j=0 0 ~=0 0 k = 0, 1 , 2 , . . . , n

(12)

4.2 Diskretisierung

291

ein, erhglt man: [ d~

i 1 -1

~1~:o + 89.A

~'0

-1

2-1 -1 2-1

1

9

. 9

A

A 9

. .

-1

.

2-1 -1 2-1 -1 1/

A

?~n--1

d~

"~n

Beriicksichtigt man in dem Gleichungssystem, dass Go und "~n gemgg der Randbedingungen gleich Null sind, so gilt" I1

-1

-1 2-1 -1 2-1 9

9

o 9

i'd~l~=o./X+ 89

0

A2 o

o

o

-1

,

(13)

,

2-1 -1 2-1 -1 lj

/~2 '~n--1

~l~=l.ZX+ 89 A2 d5

0

In diesem Fall kSnnen die erste und die letzte Zeile im Gleichungssystem (13) weggelassen werden, da durch rio - 0 und Un --- 0 die iibrigen Gleichungen des Gleichungssystems nicht vergndert werden (es w ~ e anders, wenn gelten wiirde: uo ~ 0 oder Un # 0). Das zu 15sende Gleichungssystem lautet also: 2 1 -1 2 -1

ul

/k2

9

(14) -1

2 -1 -1 2

~,n!

1

/~2

Das Gleichungssystem kann mit einfachen Computerprogrammen (z. B. mit dem Thomas-Algorithmus) gelSst werden. In der Abbildung 4.2.4b ist die numerische L5sung fiir n - 5 Elemente und die analytische L5sung dargestellt. Obwohl fiir die numerische Rechnung nur fiinf Elemente verwendet wurden, ist die [)bereinstimmung der beiden L5sung schon so genau, dass in der graphischen Darstellung kein Unterschied zu erkennen ist. Die numerische L5sung stimmt natiirlich umso besser mit der analytischen LSsung iiberein, umso mehr Elemente bei der numerischen Rechnung verwendet verwenden. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Finite-Elemente-Methode' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

292

4 Numerische LSsungsmethoden

Y 1.0 analytisch

0.5-

o numerisch

0.0

0.1

0.2

fi

A b b . 4 . 2 . 4 b Vergleich der numerischen LSsung mit der ana]ytischen LSsung 4.2.3

Finite-Differenzen-Met hode

A u f g a b e 4.2.5

KanalstrSmung

I n A u f g a b e 4.2.1 w i r d die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e r station~iren K a n a l strSmung 5,~. 2 d02 b 1

u 0

,

~-u

p.h2

_ y ,

Y

h

p= '

1

d~_r

p

dx

(1)

mit den Randbedingungen 0=0"

"~(0 -- 0) -- 0

mit der Galerkin-Methode

,

0--1"

fi(:O--1)--O

(2)

n u m e r i s c h gelSst.

a) W e l c h e s zu 1 5 s e n d e G l e i c h u n g s s y s t e m erh~ilt m a n , w e n n m a n d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) m i t d e r D i f f e r e n z e n - M e t h o d e n u m e r i s c h 15st? D a z u ist d e r D e f i n i t i o n s b e r e i c h in n I n t e r v a l l e z u u n t e r t e i l e n .

b) W i e l a u t e t d a s zu 15sende G l e i c h u n g s s y s t e m , w e n n die R a n d b e d i n g u n g fiir die Stelle 0 - 1 wie folgt l a u t e t : f i ( 0 - 1) - 1 ( o b e r e K a n a l w a n d b e w e g t sich)? LSsung: a) Zur LSsung der Aufgabe wird der Definitionsbereich in n Interva]le der L~nge Ay unterteilt. Also ist A0 -- 1/n. Fiir die Stelle ~j (~j ist eine Interva]lgrenze) wird in Gleichung (1) der Differentia]quotient 02~/002 durch den Differenzenquotient Uj + 1 -- 2 9 Uj 31- U j - 1

(~0)~

4.2 Diskretisierung

293

ersetzt (?~j-t-1 - - u ( y j + I ) , ?~j ~j die folgende Gleichung:

- - ?~(Yj), ?~j--1 - - u ( y j - - 1 ) ) .

?~j+l -- 2 - Uj J r - U j - 1

Man erhfilt also fiir die Stelle

+ 1- 0

(3)

Werden fiir die restlichen Intervallgrenzen Y l - - - Y n - - 1 die entsprechenden Gleichungen aufgestellt und wird dabei beriicksichtigt, dass gemiis der Randbedingungen fiir Yo und Yn gilt" ~o - Yn - 0, SO ergibt sich das nachfolgende Gleichungssystem: 2 --1 -1 2 -1 9

.

~21 .

1 . (4)

"

-1 21-1 2

Un--1

1

Das Gleichungssystem (4) ist mit dem zu 15senden Gleichungssystem der Aufgabe 4.2.2 identisch! Die L5sung ist in der Aufgabe 4.2.2 bereits diskutiert worden. b) Mit ?~n - - 1 lautet die entsprechende Differenzengleichung fiir die Stelle ~n-l" 1

-

2.

'~n--1

-t- ?~n--2

+ 1- 0

(5)

Beriicksichtigt man sie in dem aufzustellenden Gleichungssystem, erh~lt man:

y/h 1.O

0.5

rJ 0.0

, o numerisc h 0.5

__

1.0

A b b . 4.2.5 Vergleich der numerischen LSsung mit der analytischen L5sung

294

4 Numerische LSsungsmethoden

2 21 -1

(A~) 2

~,1 -1

9

. 9

9

(6)

21 - i

-i

2

1 2 1 + (Ay)

~,n--1

Die LSsung des Gleichungssystems ist fiir n = 3 in Abbildung 4.2.5 zusammen mit der analytischen L5sung dargestellt. Obw0hl der Definiti0nsbereich nut drei Intervalle enth~ilt, ist kein Unterschied zwischen der numerischen und analytischen LSsung erkennbar. A u f g a b e 4.2.6

Anlaufvorgang der KanalstrSmung

Die d i m e n s i o n s l o s e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 0~ 0~

02~ =1 0~ 2

,

(1)

mit -

t = t.

u

u

h---~

,

~t= U. p.

y

h2

,

Y-

p:

-h

__1

'

p

.

dp dx

b e s c h r e i b t mit d e n A n f a n g s - u n d R a n d b e d i n g u n g e n d e n instation~iren A n l a u f v o r g a n g e i n e r K a n a l s t r S m u n g (siehe A b b . 4.2.1). In d i e s e r A u f g a b e soil d e r V o r g a n g n u m e r i s c h mit d e r e x p l i z i t e n D u F o r t F r a n k e l - M e t h o d e b e r e c h n e t w e r d e n . A n s c h l i e g e n d soil das E r g e b n i s mit d e r a n a l y t i s c h e n L S s u n g v e r g l i c h e n w e r d e n . W i r d die D u F o r t - F r a n k e l M e t h o d e z u r L S s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) a n g e w e n d e t , erh~ilt man: nX 9

-uj

2 A~

f+X _

n -

-uj

+uj_l

=1

.

(2)

(A~) 2

D e r I n d e x "n" s t e h t fiir die G r S g e n z u m Z e i t p u n k t tn, d e r I n d e x "j" k e n n z e i c h n e t die W e r t e a n d e n e n t s p r e c h e n d e n K n o t e n d e r Stellen yj. I m E i n z e l n e n soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n : a) W a r u m ist die D u F o r t - F r a n k e l - M e t h o d e ein explizites V e r f a h r e n ? b) W a r u m s t e h e n in d e m D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n zur A p p r o x i m a t i o n y o n 02u/0y 2 G r S g e n z u m Z e i t p u n k t t n+l u n d tn--l? W a s m u s s bei d e r A u s w a h l eines n u m e r i s c h e n V e r f a h r e n s i m m e r b e a c h t e t w e r d e n ? c) Es soil ein R e c h e n p r o g r a m m zur L S s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) mit d e r D u F o r t - F r a n k e l - M e t h o d e e r s t e l l t w e r d e n .

4.2 Diskretisierung

295

d) Es sollen drei B e i s p i e l r e c h n u n g e n mit d e n folgenden Zeit- u n d R a u m schritten durchgefiihrt werden: 1.

1 A { - 5---0 '

3.

A~-5~

1

,

1 A~A~-

,

2.

-

1

At-

50

1

'

A9

10

'

1

20

D i e L S s u n g e n sollen m i t d e r a n a l y t i s c h e n

LSsung verglichen w e r d e n . W a s

stellt m a n fest? LSsung: a) Gleichung (2) beinhaltet nur die eine Unbekannte ~;+1. Sie kann unmittelbar mit einer Umformung der Gleichung (2) ermittelt werden. Wird die LSsung mit einem impliziten Verfahren berechnet, miissen mehrere GrSt~en ~n+l fiir verschiedene Knoten mit einem mehr oder weniger aufwendigen Gleichungssystem berechnet werden. b) Wiirde der Differenzenquotient zur Approximation von 02~/0~ 2 z. B. nur GrSi~en zum Zeitpunkt t n enthalten, so w ~ e das Verfahren instabil und nicht anwendbar. Der Begriff "Stabilit~t eines numerischen Verfahrens" ist im Lehrbuch von H. Oertel, M. B6hle 2004 erkl~t. Bei der Auswahl eines numerischen Verfahrens muss darauf geachtet werden, dass das Verfahren stabil ist. c) Das Rechenprogramm ist einfach zu erstellen. Die Gleichung (2) kann unmittelbar nach ~ + 1 aufgel5st und entsprechend programmiert werden. d) Das Ergebnis der ersten Rechnung ( A { = 1/50, A ~ - 1/5) ist in der Abbildung 4.2.6a, das der zweiten Rechnung (A{ = 1/50, A~ = 1/10) in der Abbildung 4.2.6b y/h

.v -t=t h2

1.0

y/h t=0.8 1.0

u = u ' ~V P'h:

0.0

=1.0 t - ~ oo

0.0

~ o 0

-

-1.0

~~--

0.0

0.3

0.5

!

-1.0 9

5

A b b . 4.2.6a Numerische LSsung fiir A { - 1/50, A ~ - 1/5

oO

(analytisch)

lytisch) 0.0

0.3

0.5

u

A b b . 4.2.6b Numerische L5sung fiir A { - 1/50, A ~ - 1/10

296

4

und das der dritten Rechnung ( A t dargestellt.

1/50, A9 - 1/20) in der Abbildung 4.2.6c

Obwohl die erste Rechnung mit einem grogen Raumschritt durchgefiihrt ist, stimmen die berechneten Werte sehr genau mit der analytischen LSsung iiberein (die Kurvenverl/iufe sind wegen der wenigen Aufpunkte eckig). Die zweite Rechnung unterscheidet sich ebenfalls nicht sichtbar vonder analytischen LSsung.

y/h

-f=0.8 -i=l.O

1.0

Numerische LSsungsmethoden

0.0

O(3

(analytisch)

I

-1.0 0.0

0.3

0.5

A b b . 4 . 2 . 6 c Numerische LSsung ffir A { - 1/50, A ~ - 1/20

Die dritte LSsung, die mit einem vergleichsweise kleinen Raumschritt erstellt ist, weicht erheblich vonder analytischen LSsung ab. Es stellt sich also die Frage: Warum wird die LSsung falsch, obwohl die numerischen Fehler infolge der Verkleinerung des Raumschrittes abnehmen? Das Verfahren wird ab einer bestimmten Grenze instabil, wenn der Raumschritt ohne gleichzeitige Verringerung des Zeitschrittes verkleinert wird. Bei expliziten Verfahren darf der Zeitschritt nicht unabh~ngig vom Raumschritt gew~hlt werden. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'FiniteDifferenzen-Methode' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

Aufgabe 4.2.7

Potentialwirbel

D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir e i n e n e b e n e n z e r f l i e g e n d e n P o t e n t i a l w i r b e l lautet:

02~

2 .

Ox 2

.

O~ .

x

Die Randbedingungen

.

.

Ox

2 ~---z ~ .

Ot

ffir

O