Aufgaben zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler [3., korr. Aufl.] 9783486716047, 9783486715989

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Aufgaben zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler mit Lösungen

von

Dr. Otto Hass und

Prof. Dr. Norman Fickel

2., korrigierte Auflage

R.01denbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2007 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, [email protected] Herstellung: Anna Grosser Satz: DTP-Vorlagen des Autors Coverentwurf: Kochan & Partner, München Coverausführung: Gerbert-Satz, Grasbrunn Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 978-3-486-58245-1

Vorwort Zwei Ziele lassen sich anhand dieses Buchs verfolgen: ( l ) M i t den Definitionen, Lehrsätzen und Erläuterungen (Teil Α jedes Kapitels) kann überprüft werden, ob man sich die Eckpunkte des Vorlesungsstoffs richtig gemerkt hat. (2) Versucht man die Aufgaben (Teil B) selbst zu lösen, so lässt sich feststellen, inwiefern man den Stoff auch wirklich beherrscht. Die ausführlichen Lösungen (Teil C) erlauben es, Verständnislücken schnell zu erkennen und zu schließen. Das Buch ist unterteilt in Analysis (Teil I) und Lineare Algebra (Teil II). Ein Verweis in ein anderes Kapitel besteht daher aus Teil- und Kapitelnummer. Beispielsweise meint Kapitel / / . / / / d a s dritte Kapitel zur Linearen Algebra. Die im Anhang angegebenen Übungsklausuren dienen einem abschließenden Selbsttest: Innerhalb von ungefähr eineinhalb Stunden sollte man jede der Klausuren lösen können. Als Hilfsmittel sind - auf wenigen Seiten - die wichtigsten Formeln und Begriffe zusammengestellt. Dieses Buch entstand aus einer Aufgabensammlung, die der erste Verfasser viele Jahre in der Lehre eingesetzt hat. Die Studierenden haben durch kritische Anmerkungen auch zur Verbesserung der vorliegenden zweiten Auflage beigetragen. Exemplarisch seien hier Daniel Kalchishkov, Nikolay Raev und Markus Sedlmeier genannt. Auch über Ihren Kommentar würden wir uns freuen. Haben Sie vielleicht sogar einen Fehler entdeckt? Bitte senden Sie uns ein E-Mail an: [email protected] Die Verfasser

Inhaltsverzeichnis

Teil I: Aufgaben zur Analysis mit Lösungen

1

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

3

II. Ableitung von Funktionen y = f(x)

25

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

37

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen. Extremwerte

59

V. Integralrechnung

89

Teil II: Aufgaben zur Linearen Algebra mit Lösungen

117

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme

119

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume

153

III. Lineare Abbildungen und Matrizen

177

IV. Determinanten

197

V. Grafische Lösung von linearen Ungleichungssystemen mit zwei Variablen

215

VI. Lineare Programmierung

221

Teil III: Anhang

245

I. Zusammenstellung wichtiger Formeln und Begriffe

246

II. Übungsklausuren

255

III. Literatur

271

IV. Sachverzeichnis

272

Teil I: Aufgaben zur Analysis mit Lösungen

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen

Definition: Es sei R die Menge der reellen Zahlen. Ist D eine nicht-leere Teilmenge von R und χ ein Platzhalter, für den jedes Element von D eingesetzt werden darf, so nennt man χ eine Variable in D. Definition: Sei D c R und D Φ 0. Liegt außerdem eine Zuordnungsvorschrift/vor, die jedem Element aus D genau eine reelle Zahl zuordnet, so bezeichnet man / als eine (reelle) Funktion. Die Menge D ist die Definitionsmenge der Funktion. In der Wertemenge W der Funktion sind alle diejenigen Zahlen zusammengefasst, die mindestens einem Element aus D zugeordnet worden sind. Die jeweilige Variable in D (häufig JC) nennt man die unabhängige Variable, die jeweilige Variable in W (häufig y) die abhängige Variable der Funktion. Eine allgemeine Funktion pflegt man daher kurz in der Formy =fix) zu schreiben. Definition: Ist eine Funktion y =fix) gegeben, so wird jedem χ aus D genau eine reelle Zahl zugeordnet. Man erhält auf diese Weise eine Menge von Wertepaaren (χ ; y). Überträgt man diese, nach Festlegung eines Koordinatensystems, in eine Ebene, ergibt sich eine Punktmenge, die grafische Darstellung oder kurz der Graph der Funktion. Vereinbarung: Die

Achse ist stets senkrecht, die x-Achse stets waagrecht.

Definition: Eine Funktion^ = f x ) heißt in einem Intervall α < χ < b der Definitionsmenge streng monoton steigend, wenn für beliebige x\ < x2 in dem Intervall auch stets X*,) fix2) folgt. Definition: Wir bezeichnen die folgenden Funktionen als (a) y = 1 (b) y = χ (c) y = In χ (d) y = sin χ

Grundfunktionen:

4

Teil I: Analysis

Eigenschaften und grafische Darstellungen der Grundfunktionen Zu (a): y = 1; damit D = R; W = {1}. Diese Funktion ist weder streng monoton steigend noch streng monoton fallend.

-3

-2

-1 -1 - 2

Zu (b): y = x; damit D = W= R. Die gegebene Funktion ist streng monoton steigend.

Zu (c): y = In x; damit D = ]0 ; a2--^-l

W =

JjUeRundj0

2

- — 4

\

°oJ

furao 0 beziehungsweise a 0 < 0 und dann innerhalb eines jeden Falles die Möglichkeiten: Das Polynom hat (i) zwei verschiedene, (ii) genau einen und (iii) keinen Punkt mit waagrechter Tangente. Fall a0 > 0: y = (x+3) 3 (durchgezogene Linie); y = x3 - x2 - I2x - 2 (gepunktete Linie); y = x} - 3x 2 + 4x + 5 (gestrichelte Linie)

8

Teil I: Analysis

Fall a0 < 0: y = -(x+3)3 (durchgezogene Linie); y = -χ3 + χ2 + \2x + 2 (gepunktete Linie); y = -χ3 + 3x2 - 4x + 3 (gestrichelte Linie)

Lehrsatz 3: Das Polynom 3. Grades y = a0 x3 + at χ2 + a2 χ + α3 mit a0 φ 0 hat (i) zwei verschiedene Punkte mit waagrechter Tangente, wenn α,2 - 3a 0 a 2 > 0 , (ii) genau einen Punkt mit waagrechter Tangente, wenn af - 3a 0 a 2 = 0 , (iii) keinen Punkt mit waagrechter Tangente, wenn a,\ - 3a 0 a 2 < 0 .

(B) Gebrochen-rationale Funktionen Wie verwenden die Grundfunktionen y = 1 und y = χ sowie die Verknüpfungen (1), (2), (3), (4) und (5), aber ohne die Umkehrung von Funktionen. Alle Funktionen, die sich so ergeben, fix) bezeichnet man als gebrochen-rationale Funktionen y = , wobei fijc) und g(x) Polynog(x) me sind. Lehrsatz 4: Die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion ist D = R \ {Nullstellen des Nenners} Bemerkung: Jede ganz-rationale Funktion y = fix) kann auch als eine gebrochen-rationale Funktion aufgefasst werden: y =

fix)

, das heißt mit g(x) = 1 fur alle x.

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

Beispiel: y =

χ - 4x JC

—1

= x2 +x-3

9

3 χ-ϊ

; Z3 = R \ { 1 } . J C = 1

ist eine Polstelle und

y = χ 1 + χ - 3 eine asymptotische Kurve (gestrichelt gezeichnet).

(C) Algebraische Funktionen Wir beziehen uns ein drittes Mal auf die Grundfiinktionen y = 1 und y = χ und außerdem jetzt auf alle genannten Verknüpfungen, insbesondere also auch auf die Umkehrung von Funktionen. Beispiel: A u s y = x 3 ergibt sich χ = \ f y . Das heißt, zu den algebraischen Funktionen gehören die Wurzelfunktionen. Bemerkung: (a) Jede gebrochen-rationale Funktion y = J[x) kann auch als algebraische Funktion aufgefasst werden: y= \] f (x)3 (b) Nicht jede Funktion hat eine Umkehrung. Beispielsweise: y = (x- 2) 2 + 3. Die Auflösung nach χ liefert x{ = 2 + J y - !

oder x2 = 2 - Jy - 3 . Einem y-Wert sind zwei x-Werte

zugeordnet. Die Auflösung der gegebenen Funktionsgleichung nach χ ist keine Funktion, also gibt es keine Umkehrung. Definition: Jede nicht-algebraische Funktion bezeichnet man als transzendent. Transzendente Funktionen entstehen, wenn man zur Verknüpfung die Grundfunktionen y = \nx oder y = sin χ heranzieht. Wichtige Beispiele transzendenter Funktionen (I) Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Da

y = In χ

eine streng monoton steigende Funktion ist, hat sie eine Umkehrfunktion

10

Teil I: Analysis

Definition: Man nennt die Funktion y = e x

die e-Funktion.

Setzt man nun in y = eg die Funktion g = χ • In α mit a > 1 ein, ergibt sich y = e" '"" = a" Definition: Wir bezeichnen y = a x

mit a > 1 als Exponentialfunktion.

Lehrsatz 5: Für y = a* gilt: (1) Die Definitionsmenge ist D = R. (2) Die Wertemenge ist W - {y | y e R und y > 0}. (3) Alle Exponentialfunktionen laufen durch den Punkt (0 ; 1). (4)_y = ax ist streng monoton steigend über ganz D und daher über ganz D umkehrbar. Γ '

' 1I

,

/

''

/

/

3 y^d

/

' ' '

/1

, ,—

-

_

2

_

-

-

*

- * '

'

•

/

/

/

'

'

/

/

I i ' 2

-—

'

/

/

mit a = 2, e, 4, 7

//

/

/

/

/

'* /

-

1

1

2

Die Definition einer Exponentialfunktion ist an a > 1 gebunden. Wählt man nun 0 < a < 1, so ergeben sich als Graphen die Spiegelbilder der Exponentialfunktionen an der y-Achse.

-2

-1

1

2

I. Funktionen. Überblick und Einteilung Definition: Die Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen sind die tionen zur Basis a (a > 1): y = log 0 χ

11 Logarithmusfunk-

Lehrsatz 6: Für die Logarithmusfunktionen gilt: (1) Die Definitionsmenge ist gegeben als D = {x | χ e R und χ > 0}. (2) Wertemenge W= R. (3) Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt (1 ; 0). (4) y = log,, χ ist streng monoton steigend über ganz D. (5) Die Logarithmen im Intervall 0 < χ < 1 sind negativ, die im Intervall χ > 1 positiv.

(II) Trigonometrische Funktionen Eine trigonometrische Funktion ist die Sinusfunktion y = sin x, die zu den Grundfunktionen gehört und bereits besprochen wurde.

12

Teil I: Analysis

Definition: Cosinusfunktion ν = cos χ - sin 1 x + —

2

Lehrsatz 7: Für die Cosinusfunktion gilt: (1) Definitionsmenge D = R. (2) Wertemenge W=[-\

7Γ

; 1], (3) Nullstellen χ = {2n +1) ·— , wobei η ein Parameter für ganze Zahlen ist.

Definition: Tangensfunktion

y = tan χ :

sin Λ; cos Λ;

Lehrsatz 8: Für die Tangensfunktion gilt: (1) Die Definitionsmenge ist D = {x | χ e R und χ Φ (2η +1)— mit η ganze Zahl} (2) Wertemenge W= R. (3) In den Intervallen zwischen den Polstellen verläuft die Funktion streng monoton steigend.

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

Definition: Cotangensfunktion

y = cot χ =

13 cosx sinx

Lehrsatz 9: Für die Cotangensfunktion y = cot χ gilt: (1) Die Definitionsmenge ist D = {x | χ e R und χ Φ η·π mit η ganze Zahl} (2) Wertemenge W = R. (3) Zwischen den Polstellen verläuft die Funktion streng monoton fallend.

Lehrsatz 10: Pythagoras der Winkelfunktionen sin 2 χ + cos 2 χ = 1

14

Teil I: Analysis

Β. Aufgaben 1. Gegeben ist die ganz-rationale Funktion^ = x2 - 4x + 7 (also D = R). (a) Es ist nachzuweisen: Diese Funktion hat über ganz D keine Umkehrfunktion. D lässt sich aber als Vereinigung von zwei Intervallen auffassen, so dass die auf je ein Intervall eingeschränkte Funktion umkehrbar ist. (b) Man berechne die Wertemenge W der gegebenen Funktion. 2. (a) Man zeige, dass y = xr mit r e R aus den Grundfunktionen durch Anwendung von Verknüpfungen hergeleitet werden kann, also eine Funktion ist. (b) Gesucht ist die grafische Darstellung v o n y = xr fur r = 1; 2; 3; 4. 3. Gegeben sind die Funktionen y = xr, y = ex, y = In x, y = sin x,y = cos x. Man zeige, dass die folgenden transzendenten Funktionen durch Hintereinanderschaltung der gegebenen Funktionen unter zusätzlicher Verwendung von ganz-rationalen beziehungsweise gebrochenrationalen Funktionen entstanden sind.

(a)>> = e2x+l

(b)y=ln(x2

(d) y = xx

(e) y = cos(ln(x 2 + 2))

+ x+l)

(c)y= χ +1

4. Gegeben: ( a ) y =

(b)y=

J^-^·

( f ) ^ = tan

(c)y=

ν

+ 2-

;

-J-x2 + 2 * + 15

x+5 \x-4 (i) Gesucht ist die Definitionsmenge D jeder Funktion. (ii) Es ist zu prüfen, ob die jeweilige Funktion eine Umkehrfunktion über ganz D beziehungsweise wenigstens über einige Teilmengen von D hat. (iii) Man bestimme die Wertemenge W jeder Funktion. 5. Gesucht sind jeweils die Definitionsmenge D, die Wertemenge W und der Graph der gegebenen Funktion y =fix): ι (a)y=e'x2+l (b)> = ln(jc 2 -1) (c)y= J\n(x+4) (d )y= e^1

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

15

C. Lösungen LI: (a) Auflösung der gegebenen Funktionsgleichung nach x: x2 - 4x + 7 = y —> _ 4±Vl6-4(7->>) x

i

- 4 x

+

7

-

y

=

0

4

x

±

^

4

y

-

\

2 x

χ

\,2

ι,2

=

2

+

J

y

-

3

oder χ = 2 - -Jy- 3 . Zu jedem y > 3 gibt es zwei zugeordnete x-Werte, also ist die gegebene Funktion nicht umkehrbar über ganz D (= R). Die gegebene Funktion ist eine Parabel mit der Achse χ = 2. Diese ist auch Symmetrieachse. Sie zerlegt die Parabel in zwei ,Äste\

6 5 4 3

2 1 -2

-1

1

2

3

4

5

Diese Aufteilung der Parabel teilt auch die Definitionsmenge D = ]--3

(in der grafischen Darstellung als gepunktete Linie gekenn-

zeichnet) (b) Da bei einer Parabel die Wertemenge des Astes (1) der Wertemenge des Astes (2) gleicht und beide mit der Wertemenge W der gesamten Parabel übereinstimmen, kann W als Definitionsmenge der Umkehrung eines der beiden Äste abgelesen werden. Wir wählen die Funktionsgleichung x= 2 + yjy-3 . Ihre Definitionsmenge ist {y \ y e R und y > 3}. Damit haben wir auch die gesuchte Wertemenge IV der gesamten Parabel. L2. (a) Die Umkehrfunktion zu y = In χ ist χ = e* (e-Funktion). Wir ändern jetzt die Bezeichnung der Variablen: y = e? und setzen g = r l n χ (Multiplikation der Logarithmusfunktion mit der Konstanten r). Hintereinanderschaltung beider: y = er lnx = (e'"1)" = xr (b) Der Verlauf von y = χ ist durch Punkte, y = x2 durch Punkte und Striche, y = x3 durch Striche, schließlich y = x* durch eine kontinuierliche Linie gekennzeichnet.

2 ( c ) y = 8 2 ; g = sin * (d) Man forme die gegebene Potenz zuerst in eine Potenz mit der Basis e um: y = xx - » 1η>> = 1ηΛ:* In >> = λγ·1π jc y - ex,nx. Also>> = e?\ g = x-\n χ (e)y = cosgi;gi = \ng2;g2

L4. ( a ) ( i ) y = ^ 4 x+5

2 = x +2

/λ sin e χ 2 +1 (f)^ = t a n g = — - ; g = „ 2 cosg χ +2

I. Funktionen. Überblick und Einteilung

17

Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion, also D = R \ { - 5 } .

5 4 3 2 1

-30 -25 -20 -15 -10 -

5

-1

(ii) Auflösung der Funktionsgleichung nach x: y =

x-7

10 15 20

y-(x + 5)=

x-7

x+5 yx + 5y = x-7

χ(γ-

1) = -5y - 7 - > χ =

J y-\

χ = ^ + ^ . Die gegebene Funk\-y

tion hat eine Umkehrfunktion über ganz D.

15 10

2 3 4 5 6 7 8 -10

-15 -20 (iii) Die Wertemenge W der gegebenen Funktion ist gleich der Definitionsmenge der Umkehrung, also W = R \ { 1 } .

(b)j> =

x +2

. Dies ist eine algebraische Funktion.

x-4

(i) Berechnung von D: Die Quadratwurzel erfordert die Bedingung

x +2 x-4

x+2 (*) £ ± £ = ο x-4

oder

x+2 (**) — > 0 x-4

> 0. Also

18

Teil I: Analysis

Zu (*): Ein Quotient ist gleich null, wenn der Zähler = 0, der Nenner aber Φ 0 ist. x+2=0 X--2. Für diesen Wert ist der Nenner gleich (-6). Zu (**): Ein Quotient ist größer null, wenn im Folgenden (1) oder (2) erfüllt ist: (1) Zähler und Nenner größer 0 χ + 2 > 0 und jc - 4 > 0 -> χ > -2 und χ>4 Der Durchschnitt beider Intervalle ist das Intervall χ > 4 (2) Zähler und Nenner kleiner 0 -> χ + 2 Ί y e R und y > 0 und y Φ 1} (c) y ~ TPX1 + 2x +15 ist eine algebraische Funktion. (i) Berechnung von D: Die Quadratwurzel erfordert die Bedingung -x2 + 2x + 15 > 0. Man löst eine quadratische Ungleichung, indem man zunächst die Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung sucht: _ -2±V4-4

-x2 + 2x+ 15 = 0

- 2

(-l)15

χ

=

-2 ±8 - 2

Die Lösung der quadratischen Ungleichung ist somit - 3 < χ < 5. Also D =

e Rund-3 -x2 + 2x+\5

x = l-yjl6-y2

* =

= y2

-»

-2±J64-4v2 * —

oderx = l +

- 2

6-y2

Da jedem j-Wert zwei x-Werte zugeordnet werden, gibt es zur gegebenen Funktion keine Umkehrfunktion über ganz D. Da die senkrechte Gerade χ = 1 Symmetrieachse der gegebenen Funktion ist, stellen wir die Definitionsmenge als Vereinigung von zwei Intervallen dar: D = [ - 3 ; 1] u [1 ; 5], Dann schränken wir die Funktion y = V-*2

+ 2x + \5 einmal auf das eine, dann auf das andere

Intervall ein: (1)

, y = V - * 2 + 2 x + 15

mit - 3 < x < 1 (im Graphen durch eine kontinuierli-

che Linie dargestellt) (2)

y = V - * 2 + 2x + 15 mit 1 < χ < 5 (im Graphen durch Punkte dargestellt)

In beiden Fällen kann y keine negativen Werte annehmen. Sowohl (1) als auch (2) sind umkehrbar: (1)

χ = 1- - y

(2)

x=l

2

mit der Einschränkung^^ 0

+ J\6 - y 2 mit der Einschränkungy > 0

(iii) Die Wertemenge W der gegebenen Funktion ist gleich der Wertemenge der Einschränkung (1) und diese wiederum stimmt mit der Wertemenge der Einschränkung (2) überein. Daher kann beispielsweise W durch die Definitionsmenge der Umkehrung von (1) bestimmt werden: χ = \-^[\6-y2

. Die Quadratwurzel erfordert gerade die Bedingung 16 — y 2 > 0

-» -4 0 ergibt sich W = {y \y e R und 0 lnj> = - x 2 + l ->

χ 2 = 1 - In ^ -» Λ: = ± ^ / l - l n y . Die gegebene Funktion ist nicht über ganz D umkehrbar. Sie Senkrechte χ = 0 ist die Symmetrieachse. Daher fassen wir D als Vereinigung der folgenden Intervalle auf: D = ; 0] u [0 ; oo[. Wir schränken die gegebene Funktion jetzt zunächst auf das erste, dann auf das zweite Intervall ein: (1)

y= έΓχΙ+1 mit χ < 0

(2)

y= e'1'*1

mit * > 0

Beide Einschränkungen haben eine Umkehrung: (1) x-

- Jl- Iny

beziehungsweise

(2) x=

yjl-\ny

Wertemenge: Die Wertemenge der gegebenen Funktion ist gleich den übereinstimmenden Wertemengen der Einschränkungen (1) und (2). Wir berechnen W daher als Definitionsmenge der Umkehrung (2): χ = -y/l-ln y -» l - l n _ y > 0 -> ln_y> < e. Außerdem gilt für eine Zuordnungsvorschrift = e~x +1 , die also eine Potenz mit der Basis e darstellt, dassy nur positive Werte annehmen kann. Daher W= {y \ y e R und 0 0 nach sich: g> 0 x2 >0 χ < - 1 oder at > 1. Es folgt D = {x e Rund (x < - 1 oder χ > 1)} Umkehrbarkeit: Auflösung der Funktionsgleichung nach x: y = ln(x2 - 1 ) -> χ2 - 1 = ^ x2=\+ey -> * = ±-Jl+ey . Die gegebene Funktion ist nicht über ganz D umkehrbar. Die Definitionsmenge D ist die Vereinigung von zwei Intervallen: D = ]-oo ; -1[ u ]1 ; oo[.

22

Teil I: Analysis

Wir schränken die gegebene Funktion jetzt auf je ein Intervall ein: (1) y=\n(x21) m i t x < - l (2) y = ln(x2- 1) m i t x > 1

Beide Einschränkungen haben eine Umkehrung: (1) (2)

x= --s/ \ + e" χ = J\ + e

y

mitx < - 1 mit* > 1

Wertemenge: Die Wertemenge der gegebenen Funktion stimmt überein mit den identischen Wertemengen der beiden Einschränkungen (1) und (2). W kann daher aus den Umkehrungen von (1) beziehungsweise (2) entnommen werden. Wir wählen χ = Vl + ey . Da 1 + £ > 0 für alle y, ist die Definitionsmenge von (2) gleich R. Also auch W = R. (c) Definitionsmenge: y = ~J\n(x + 4) ist durch Einsetzen von g\ = χ + 4 in g2 = In gi und von dieser Funktion in y =

entstanden. Die Definitionsmenge von g\ ist R; g2 setzt da-

gegen gi > 0 voraus, womit χ > - 4 . Schließlich fordert die Quadratwurzel die Bedingung g2 > 0. Da man g2 = ln(jc + 4) hat, folgt, dass g2 für alle χ > -3 nicht negativ ist. Zusammen: Z) = {* | x e R und χ > - 3 }

23

I. Funktionen. Überblick und Einteilung Umkehrbarkeit: Auflösung der Funktionsgleichung nach x: y= λ / Ϊ Φ - + 4) ln(x + 4 ) =y2

->

- » χ + 4 = ey' -> χ = ey* - 4. Die Funktion >> = ^/ln(x + 4) ist umkehrbar

über ganz £>. D a die Zuordnungsvorschrift der gegebenen Funktion keine negativen Werte für y zulässt, lautet die Umkehrfunktion χ = eyl -4

mit j > 0

Wertemenge: Die Definitionsmenge von χ = ey' - 4 ist R, die Definitionsmenge der Umkehrung und damit auch die Wertemenge der gegebenen Funktion ist W = {y | y ε R und y > 0}. (d) Definitionsmenge: y = e ^

ist durch Einsetzen von g =

in y = e1 entstanden.

, Vx-l

Die Definitionsmenge von g besteht aus den Zahlen χ > 1; e? ist für alle g definiert. Also: D = {x | x e R und χ > 1} 4 3

2 1 1

2

3

4

5

6

!_ Umkehrbarkeit: Auflösung der Funktionsgleichung nach x: y= Vx-1 =

I n1 j

—>. jc — 11 = 7 (In y)2

-» χ = 1 +

-» \ny:

1 2 r-. Da ν = e ^ (Iny) 1

größer 1 annehmen kann, lautet die Umkehrfunktion von_y = x = 1+

e ^

f ü r x > 1 nur Werte

:

1 ^ mit v > 1 (In y)2

Wertemenge: Die Definitionsmenge dieser Umkehrfunktion ist die Wertemenge der gegebenen Funktion: W= {y | y e R undy > 1}.

II. Ableitung von Funktionen y = f(x) A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Es sei R die Menge der reellen, Ν die Menge der natürlichen Zahlen. Definition: Eine (reelle) Funktion mit der Definitionsmenge Ν bezeichnet man als eine Folge und schreibt sie in der Form aua2, • ··, ^V» ··• Definition: Eine Folge ct\, a2, ..., a„, ... existiert mit a„ 6 ] - £ ; ε[ fur alle η > η*.

heißt eine Nullfolge, wenn zu jedem ε> 0 ein n*

Definition: Sei y =fix) eine Funktion, ~\a ; b[ eine offene Teilmenge der Definitionsmenge D von y = fix)·, x* e ]a ; b[ und h eine Variable für Nullfolgen, deren Elemente alle ungleich null sind. Ist dann der Grenzwert [im

Λ-0

f(x*+h)-f(x*) h

ein und derselbe für alle Nullfolgen, die für h eingesetzt werden dürfen, so bezeichnet man diesen mit f'(x*) und nennt ihn die erste Ableitung vony =f(x) an der Stelle x*. Die Funktion >> = f i x ) ist an der Stelle x* einmal ableitbar. Ist jy =fix) ableitbar fur alle x* 6 ]a ; b[, so nennt m a n y = f(x) ableitbar in Ja; b[. Die erste Ableitung ist dann wiederum eine Funktion

dy

v o n x , die man m i t y oder f'{x) oder —- bezeichnet.

dx Bemerkung: Ist_y = fix) in x* ableitbar, so heißt dies geometrisch: Die Tangente an den Graphen v o n y =fix) im Punkt (x* ]fix*)) hat die S t e i g u n g / ' ( x * ) . Istjv =fix) in einem Intervall ]a ; b[ ableitbar, stellt / =f'(x) die Funktion der Steigung der Tangenten an y = fix) mit χ e ]a; b[ dar. Lehrsatz 1: Die erste Ableitung spezieller Funktionen:

(a)y = χ" (c) y = In χ (e) y = cos χ

/ = η·χ"'λ mit ne R y' = — χ

y'= ex

(d) y = sin χ - > y' = cos χ

y' = - s i n x

(g)y = c o t * -> y' = -

( b ) y = ex

. \ sin χ

(f) y = tan χ

y' = —^r—

( h ) y = c? mit a > 1

cos χ

y' = c? In a

26

Teil I: Analysis

Lehrsatz 2: Ableitungsregeln: (a) Seien fix) und g(x) (kurz mit / und g bezeichnet) Funktionen von χ und α eine Konstante. Dann gilt: (i) y =f + g -» y' = — (/ + g ) = (f+ g)' =/' dx mandenweise abgeleitet.

+ g'\ das heißt, Summen werden sum-

(ii) y = a-f -> y' = - { a - f ) = (a-f)' = a-f'\ das heißt, konstante Faktoren bleiben erhaldx ten. (iii) Produktregel: y = f g

y = ^ - ( f - g ) = >=ln(lnx)

(c)y (c) y = = e*sin;t e sin χ

(b)^= V 2 j c - 4

(f)y =

((d) d ) y == — — X

(c)^= ln(jc2 +2)?

(e).y = e'yfx ( d ) y = xx

ex-\ ex +1

2

4.(a)y=

S1

" x 1 - cos χ

{€)y= ln(cot(x 2 +l)) (i) y = ln(sin Λ:)

( b ) ^ = ψ\η(2χ)-1 (f);,= I - l n ^

( c ) y = Vl + 2cos 2 x (g)y= Jx\e*+

\)

( d ) ^ = (lnx) 2 (h)y=

sin-^-

(j) y = a'" * mit a > 1

5. Es ist nachzuweisen, dass die jeweils angegebene Funktion^ = ß x ) eine Lösung der hinzugefugten gewöhnlichen Differenzialgleichung ist: (a)>> =Xjc) = (1 -x)-cotx+ 1 für y"-sin2x-2y = 0 2 (b)y =/(χ) = -2-cos * + 5-cosx für / +.ytanx = 2-sinx-cosχ (c) =Äx) = g(x) ~ 1 + 2·β* χ ) fllr / + g'(x)y = gfx)-g(x) 6. Gesucht sind sämtliche Ableitungen der folgenden Funktionen: (a) y = 1

(b)_y = sinx

(c)^ = cosx

(d)y = ln(l +

(e)y=

yfx

7. Gesucht sind die Taylorreihen der in Aufgabe 6 gegebenen Funktionen und zwar in den Fällen (a) bis (d) an der Stelle x0 = 0, im Fall (e) an der Stelle x 0 = 1 ·

29

II. Ableitung von Funktionen y = f(x)

C. Lösungen L I : Wir formen zunächst nur den

/(x+

Differenzenquotienten

/(x) ^" = h-W / » - / « ) h

um. (a) — [(x + h)2 -2(x + h) + l-(χ2 h + h2\ = 2x-2

^\h{2x-2)

/ = \\mp.x-2 1 x+h+\ x+ h

A

1 x +xh + x-x ~h

1 (x + h + \)x-(x h

-xh-x-h

(χ + h)x 1

(x + h)x

Ä

J(x + h)2

-h

-1 (χ + h)x

-1 χ

-2-Jx2-2

(j(x + h)2-2-Jx2-2\J(7+

h)2 - 2 +

h{^{x + h)2-2

(x + h)2-

x2 + 2xh + h2 -2 - χ2 + 2

2-(x2-2)

2

+2x-\\

+ l)(x + h)

h (x + h)x

-1 y' = hlim ~>°(x + h)x

(C)

+ \-x2

+ h) = 2 x - 2

χ 2

+2xh + h2-2x-2h

+h

x+1

2

-2x +1)] = -\x2 h

2

2

h(J(x + h) -2+Jx -2)

2

h(y](x + h) -2+Jx

x2 - 21

+ Vx 2 - 2 ) A(2x + h)

h(^j(x + h)2 -2 + λ/χ

-2)

-2)

2jc + /i ij(x +

h)2-2+Jx2-2 2x + h 2x y = lim , = —• = Λ >0 ~ -y/(x +A) 2 - 2 + VJt! - 2 2Vx 2 - 2

i 1

1

1 χ + l-[(x

1 2

(x + A ) + l -A(2x + A)

h [(x + A) + l](x +1)

2

x +l

2

+A)2 +1] 2

Α [(χ + A) + l](x +1) - ( 2 x + h)

[(x + A) + l](x +1)

χ , Vx2-2 =

1 χ2 + 1-x2-2xh-h2 Α

2

-1 2

[(x + A ) + l ] ( x + l )

30

Teil I: Analysis

+ y' - lim *-°[(x + Ä) +l](x +1)

« ϊ

(χ +1)

1

1

1 (Jx - Jx + h){Jx+Jx

•Jx + h

Jx

h

-Jx + hJx(Jx

+ h)

1

+ -Jx + h)

x - ( x + A)

h *Jx + hJx(Jlc

+y/x + h)

-1 •sIx + hjx (Jx + Jx + h) y' = lim ' *->0 J^c + hJx(-Jx + Jx + h)

L2: (a) Quotientenregel: y'

λ:·2 Vx

2XJX

χ • 1 - (x - 2) _ 2 χ

I *·-~('η* (b) Quotientenregel: / = * 2 χ

χ Η

_ l-lnjc χ2

(c) Produktregel: y' = ex-cos χ + e*-sin χ = e* (sin χ + cos χ) . , , xex-ex (d) Quotientenregel: y = — χ (e) Produktregel: y' = ex—\= 2jx

=

+ exJx

ex(x-\) -— χ = e" *+ ^ 2 Vx

L3: (a), (b), (c) und (e) sind nach der Kettenregel abzuleiten. Zu diesem Zweck denken wir uns zunächst einmal die gegebene Funktion als Hintereinanderschaltung von Funktionen entstanden, deren Ableitungen bereits bekannt sind: (a) Sei g = 2x2 + 3

y = g5. Kettenregel: y' = 5g4-4x

/ = 20x-(2x2 + 3)4

(b) Sei g = 2x - 4 -> y = Jg . Kettenregel: y' = — 7 = - 2 2VF ^

y

(c) y = ln(x 2 +2)? = 3 · 1 η ( χ 2 + 2 ) . Sei g = x 2 + 2 ->· y = 3-ln g y

,_ ~

J2x-4 y' =

-·2χ g

6x

(d) Ist eine Potenz gegeben, deren Basis nicht e ist, rechne man sie erst auf die Basis e um: x y = xx -» \ny=\nx —> lny = x-lnx —> y = exlnx. Sei jetzt g = χ·1η χ y = eg. Kettenref gel: y' = eg χ · — + 1 · In x l -> / = e" tax (l + lnx) = x*(l + lnx)

31

II. A b l e i t u n g v o n F u n k t i o n e n y = f ( x ) ( e ) S e i g = I n χ - > y = I n g. K e t t e n r e g e l : y' = — • — g χ . , , (ex+l)-e"-(ex-l)-ex (f) Q u o t i e n t e n r e g e : v' = — W (e +1)

=

-> y' =

—-— χ • In χ +1)

ex-{ex +l-ex (ex +1)

=

2ex (ex +1)

L 4 : Die meisten der folgenden Aufgaben benötigen mehrfache A n w e n d u n g der Kettenregel oder die A n w e n d u n g v o n mehreren verschiedenen Ableitungsregeln. . .. ( a ) E s g i l t jv =

sin2* l-cos2x (1 + c o s x ) • (1 - c o s jc) , . = = = 1 + c o s x; a l s o 1-cosx l-cosx l-cosx

y' = - s i n χ ( b ) S e i g i =2x u n d g 2 = s i n g , - 1 - > y= ( g 2 ) 3 . K e t t e n r e g e l : / = ,

1 ,

Α

,

χ^

dg2 dg,

; also

2· cos(2x) 3•ysin(2jc) - 1

3

( c ) S e i gi = c o s χ u n d g2 = 1 + 2-g,2 -> y = J ^ . K e t t e n r e g e l : / = ^

y =

dx

1 . . . . . —i=-4gi(-smx) T f i l V J··· Λ) Usi

— 1 ·% ; also g 2 dg, dx

- 2 · sin χ • cos χ Vl + 2· cos2 X

2 dy dg ( d ) S e i g = I n χ - > y = g . K e t t e n r e g e l : y' = — — — ; a l s o dg dx , „ 1 2-lnx y=2g— = χ χ ( e ) S e i gi = χ 2 + 1 u n d g 2 = c o t g] - > y = I n g 2 . K e t t e n r e g e l : y' = y'=

1 g2

-1 — sin2 g,

„ 2* =

cot(:c2

-2x +1) • sin2(x2 +1)

• · ; also dg 2 dg, dx

-2x cos(x +1) ·sin(x2 +1) 2

( f ) E s g i l t jy = — · l n - ^ - ^ · = — • ( l n ( l + * ) - l n ( l - x ) ) . P r o d u k t r e g e l : χ l - x χ y'

= z

\ · (ln(l + * ) - ln(l - * ) ) + - · [ln(l + * ) - ln(l χ χ

32

Teil I: Analysis

Der Ableitungsstrich an der eckigen Klammer besagt, dass der Inhalt dieser Klammer noch abzuleiten ist und zwar beide Summanden mit Hilfe der Kettenregel: Für den ersten Summanden: gi = 1 + x, also I n g t ; für den zweiten Summanden: g2 = 1 - x, also In g2. Ableitung des ersten Summanden: — 1 = —-—; Ableitung des zweiten Summanden: — (-1) = 1+ gl * & -1 ; also l—x y=,

-1 X

,In l + x \-x

1_

+

X

-1 \+x

l-x

2

x(l-x )

1 , 1+x - — In1 -x

(g) Sei g = x-(ex + 1); also y = Jg . Kettenregel und innerhalb dieser Produktregel:

2^jx-(ex +1)

2 Jg (h) Seigi =x2-4

undg 2

=

5 g]"1; also.y = sing 2 - Kettenregel:/ = — dg2

/ = (cosg 2 )-(-5)-g{ 2 -2x =

s^-.-sL·· dgx dx

also

-ΙΟχ-cos—^— * ~4 2 (x - 4 )

(i) Sei g = sin jc; womity = In g. Kettenregel: 1 cos χ y - — • cos χ = = cot χ g sin λ: (j) Umformung zu einer Potenz mit der Basis e: In y = (In χ)·1η a; also_y = 6 (1η * )|ηα = {e^'J1" = x lna ; womit y

=x(lnayi-\na

L5: (a) Wir haben die zweite Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden. Dabei beachten wir, dass cot χ =

COS X

sin χ

y'= (Ι-*).—

. Produktregel:

-1 sin χ

, cos* x-l-sinxcosx 1·= — sinx sin χ

Zur Berechnung der zweiten Ableitung benötigen wir die Quotientenregel und darin die Kettenregel:

33

II. Ableitung von Funktionen y = f(x)

„ _ sin 2 x[l - (sin χ • ( - sin x ) + cos χ • cos χ)] - (χ - 1 - sin χ • cos x)[sin 2 x]'

y ~

·4

sin χ

Sei g = sin x, dann erhält die eckige Klammer die Form g2. Es folgt nach der Kettenregel: 2g-cos x. Eingesetzt:

y

„ _ sin 2 χ -(1 + sin 2 x - cos 2 x ) - ( x - l - sin x - c o s x ) -2 sin χ cos χ

: 4

sin χ

Wir stellen im Zähler sin χ vor und kürzen anschließend durch sin x. „ _ sinx-(l + s i n 2 x - c o s 2 x ) - ( x - l - s i n x c o s x ) - 2 c o s x

y ~

' 3

sin χ

Es ist sin 2 χ = 1 - cos 2 χ beziehungsweise cos 2 χ = 1 - sin 2 x: „ _ s i n x - 2 sin 2 χ - (χ - 1 ) - 2 c o s x + 2 s i n x (1 - sin 2 x )

y ~

;

3

sm χ

2sin3x + (l-x)-2cosx + 2sinx-2sin3x

_ ( l - x ) - 2 c o s x + 2sinx

sin 3 χ Also _ 2 (1 — x ) · cos χ + sin χ sin χ Eingesetzt in die linke Seite der Differenzialgleichung: .

(1 - x ) · c o s x + s i n x

2 -

5

sin χ

. , ^ r„ sm χ - 2 · [(1 - x ) · cot χ +1]

= 2·((1 - x ) c o t x + 1) - 2·((1 - x ) - c o t x + 1) = 0 Das ist die rechte Seite. (b) Es gilt y' - - 2 · [cos 2 x j + 5 · ( - sin x ) . Die eckige Klammer ist nach der Kettenregel abzuleiten: Sei g = cos x, dann nimmt die eckige Klammer die Form g2 an, also abgeleitet 2g-(-sin x). Es folgt y' = - 2 ( - 2 cos x-sin x) - 5-sin χ = sin x (4 cos χ - 5). Unter Beachtung der Gleichung tan χ =

sin χ cosx

eingesetzt in die linke Seite der gegebenen Differenzialglei-

chung: ^ Γ 2 , 1 sinx sm χ · (4 · cos χ - 5) + [ - 2 · cos χ + 5 cos xj· cosx

34

Teil I: Analysis = 4-sin x-cos χ - 5-sin χ - 2-sin χ -cos χ + 5-sin χ = 2-sin x-cos χ

Das ist die rechte Seite. (c) Es gilt / = g'(x) + 2 • \e~g{x) \ . Ableitung der eckigen Klammer nach der Kettenregel: Sei h = -g(x), dann nimmt die eckige Klammer die Form eh an. Ableitung der eckigen Klammer: ei-g'(x)). Also / = g'ix) + 2-if g W -(-g'M) = g'(x) ( 1 - 2-e^). Eingesetzt in die linke Seite der gegebenen Differenzialgleichung: g'(x) · (l - 2 · e " « « ) + g'(x) · [g(x) - 1 + 2 · = g'(x) · [1 - 2 · e-g(x) + g(x) -1+2

]

· e-g(z)]

= g'(x)g(x) Das ist die rechte Seite. L6: (a) Umformung der gegebenen Potenz in eine Potenz mit der Basis e: In y = jc-ln a - » y = exlna. Sei g = x-ln a y = es. Kettenregel: / = e l n a ·1η a / = af-ln a y"= [α 1 J ·1ηα = / · 1 η α - > y" = α*·(1η α)2 / " = [α 1 J - ( I n a ) 2 = γ"·{\ηά) 2 /" = a*-(ln of Allgemein: y(k) = Λ*·(1η a)k

mit k = 0, 1, 2, 3, ...

(b) y = sin χ - » y' = cos χ —> y" = -sin χ - » y"' = -cos χ y 4 ) = sin χ —> y 5 ) = cos χ - » 6) {1) y = -sin χ y = - c o s χ und so weiter. Zusammengefasst: y2*) = (-l)*-sinχ;

y(2k+l) = ( - l ^ - c o s x

mit A = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

(c) y = cos χ - » y = -sin χ -> y" = - c o s χ - » / " = sin χ - » y 4 ) = cos χ - » - » y 6 ) = - c o s χ —> y 7 ) = sin x und so weiter. Zusammengefasst: y2*) = (-l)*.cos*;

y2*fl) = ( - l ) w - s i n *

mit Λ = 0, 1 , 2 , 3 , . . .

( d ) y = ln(l + x). Sei g = 1 + χ -> y= In g. Kettenregel: y =

1 -»

= -sin χ

35

II. Ableitung von Funktionen y = f(x) y = (1 + x f l -> y = g \ Kettenregel: y" = -g 2 -l y =

-1 (1 + *) 2

y = - y" = -g~2· Kettenregel: y'" = ( - l ) (-2)-g Μ ->

' (i + *) 3 = 1-2 (1 +x)~3 v(4)_

-1-2-3

y

(i + *) 4

= 1 -2-g~3. Kettenregel: y 4 ) = 1·2·(-3)·^·1

y

Allgemein:

7

für 1,2, 3,...

0 + *)* ι

yfx = X2

(e).y =

—>

1 4 y = —λ: 2 = ->• 2 2-VT „ 1 - 1 -f2 l-(-l) V = χ = —-—τ 2 2

2

2

2

2

(4)_ I - I ^ 3 2 2 2

-5 2

=

3.^5 1 •(-!)• (-3) (-5)

Allgemein: Π(3-20 /

) =

ι—zk-i

2"-VI k Dabei bedeutet

=

mit

k= 1,2,3,

a\-a2ay

...

-ak.

36

Teil I: Analysis

L7: Wir greifen auf die Ergebnisse von L6 zurück. (a) Wir berechnen die Ableitungen der gegebenen Funktion an der Stelle x0 = 0: y k , (0) = / k ) ( 0 ) = (In a)k für k = 0, 1, 2, 3, ...; Taylorreihe: ..

Ä(lna)* k=0

t

Λ!

(b) Ableitungen an der Stelle * 0 = 0: k = 0, 1, 2, 3, ...; Taylorreihe:

h ( 2 k

+

y

1

\ 0 )

=f

k

\ 0 )

= 0 und y

( 2 k + l

\ 0 )

=f

k + ]

\ 0 )

= ( - 1 / fur

i)\

(c) Ableitungen an der Stelle x 0 = 0: y k = 0, 1 , 2 , 3 , ...; Taylorreihe: y=Ax)=f

( 2 k

—-x

( 2 k

\ 0 )

k

= f

\ 0 )

= (-1)* und

y

( 2 k + r >

(0)

= f

k

+

l

\ 0 )

= 0 für

a

Ü ( 2 k ) \

(d) Ableitungen an der Stelle x 0 = 0: y y(0) = y o ) ( 0 ) = ln(l) = 0; Taylorreihe:

/ 7 IM

{ k )

(0) =

f

\

0) = (-l)* +I -(/fc-l)! für

oo /

k

=

1 , 2 , 3, ... und

k

Π (3-20 (e) Ableitungen an der Stelle

= 1: / ' ( l ) = f \ 1) =

y 0 ) ( l ) = VT = 1; Taylorreihe: k

β

Π (3-20

fur k = 1, 2, 3, ...; ^(1)

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Der Begriff einer F u n k t i o n ^ =fix), ihrer Definitionsmenge D und ihrer Wertemenge W, sowie der Begriff einer Nullstelle von Funktionen wurde bereits in Kapitel I.I definiert. Definition: Die Funktion y = fix) hat an der Stelle x* e D ein absolutes Maximum [Minimum], wenn fix*) der größte [kleinste] Funktionswert über ganz D ist. Extremwert ist die Maximum und Minimum zusammenfassende Bezeichnung. Beispiele: (a) Sei y = yfx ; dann D = [0 ; oo[. An der

3

Stelle jc* = 0 liegt ein absolutes Minimum vor. Es gibt kein absolutes Maximum.

2 1

1

2

3

4

5

6

-1 1 (b) Sei y = --fx 6 -1 - 2

- 3

; dann D = [0 ; oo[. An der

Stelle x* = 0 liegt ein absolutes Maximum vor. Ein absolutes Minimum gibt es nicht.

38

Teil I: Analysis

(c) Sei y = sin x\ dann D = R. Ein absolutes Maximum gibt es an der Stelle χ* = ^ mit f{x\)

= 1, ein absolutes Minimum an der 3π

Stelle x\ = — mit / ( * ' ) = - 1 . Der maximale und auch der minimale Funktionswert werden unendlich oft angenommen. (d) Sei y = x 3 ; dann D = R. Die Funktion hat weder ein absolutes Maximum noch ein absolutes Minimum.

g

/ / 4

2

2 /

'

/

~

4

-8

Definition: Die Funktion y =ßx) hat an der Stelle x* ein (relatives) Maximum [Minimum], wenn es innerhalb der Definitionsmenge D ein offenes Intervall I mit der Mitte x* gibt, so dassX**) der größte [kleinste] Funktionswert über I ist. Lehrsatz 1: (a) Die Funktion y = fix) hat an der Stelle x* einen relativen Extremwert, wenn (i) f'(x*) = 0 (notwendige Bedingung) und (ii) fix*) φ 0 (hinreichende Bedingung) ist. (b) I s t f \ x * ) > 0, liegt ein Minimum, f ü r f \ x * ) < 0 ein Maximum vor. Bemerkung: Gelten fur eine Stelle x* e D die Gleichheiten f'(x*) =f\x*) = 0, so ist noch nicht entschieden, ob es einen Extremwert gibt. Sollte es einen geben, kann es ein Minimum oder Maximum sein.

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion Beispiele: (a) Sei y = fix) = x* h> / = 4-x y" = 12-x2. A l s o / ' ( 0 ) = / ' ( 0 ) = 0. Die grafische Darstellung zeigt, dass an der Stelle x* = 0 ein Minimum vorliegt.

39

16 12 8

(b) Sei y = fix) = -x\

(c) Sei y=fix)=x3 -> / = 3 jc2 y" = 6x. Also / ' ( Ο ) = / ' ( 0 ) = 0, aber es gibt kein Intervall I mit der Mitte 0, so dass XO) = 0 der größte oder kleinste Funktionswert über / wird. Alle Funktionswerte mit χ > 0 sind positiv, alle Funktionswerte mit χ < 0 sind negativ.

-8

Auch in

40

Teil I: Analysis

Lehrsatz 2: Gegeben ist _v = J{x) und x* e D mit f'(x*) = 0. Es sei f(k\x*) die erste höhere Ableitung, die an der Stelle x* nicht mehr gleich 0 ist. Dann liegt an der Stelle x* (a) ein relatives Maximum vor, wenn f(k\x*) < 0 und k gerade, (b) ein relatives Minimum vor, wenn f(k\x*) > 0 und k gerade ist. Es handelt sich weder um ein relatives Maximum, noch um ein relatives Minimum, wenn k ungerade ist. Definition: Eine Funktion^ = f i x ) hat einen Wendepunkt in x* e D, wenn ihre erste Ableit u n g / ' ^ ) in x* einen relativen Extremwert besitzt. Bemerkung: Welche Eigenschaften einer Funktion y = J[x) bei einer Kurvendiskussion zu untersuchen sind, wird in jeder Aufgabenstellung explizit angegeben.

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

41

B. Aufgaben Zu den Aufgaben 1 bis 4: Zu bestimmen sind die (a) Definitionsmenge, (b) Wertemenge, (c) Nullstellen, (d) Extremwerte und (e) grafische Darstellung. 3 _2 1r I.y = x+6x - 15x

„ 2 .y=

*2-8 x-3

„ Jt 3 +4 3 .y = x-l

, .2 4.y = s i n x

Zu den Aufgaben 5 bis 9: Gesucht sind die (a) Definitionsmenge, (b) Nullstellen, (c) Extremwerte und (d) grafische Darstellung. 2 -i' 5.y=x-e

2 V 6 .Λ χ +2x + 20

* 6. (i)y=

*2+4 ——χ -1

8. (\)y = -Jx'(x2 - 9 )

....

X2-1 (»)>'=-j—Τ χ +4

(ii)^=

-Jx-(x2-9)

I 9.

= e

10

- sin χ

10. Gegeben ist die ganz-rationale Funktion dritten Grades y = a0 χ3 + a\ χ2 + a2 χ + mit a0 Φ 0 Welche Voraussetzungen müssen die Koeffizienten a 0 , a 2 und a 3 erfüllen, damit (a) die Funktion zwei verschiedene Extremwerte (das Minimum soll links, das Maximum rechts liegen) und eine positive x-Koordinate ihres Wendepunktes, (b) die Funktion keine Extremwerte und eine positive ^-Koordinate des Wendepunktes hat? I I . (a) Man gebe ein Zahlenbeispiel zu 10.(a) mit a 3 = 0 an. (b) Die erste Ableitung dieser y _ Funktion ist zu bilden, (c) Man bilde die Funktion — = y . (d) Alle drei Funktionen sind χ grafisch darzustellen. 12. (a) Man gebe ein Zahlenbeispiel zu 10.(b) mit a 0 > 0 und a 3 > 0 an. (b) Die erste AbleiV _ tung dieser Funktion ist zu bilden, (c) Man bilde die Funktion — = y . (d) Man bilde die χ Funktion ——— = y v . (e) Alle vier Funktionen sind grafisch darzustellen.

42

Teil I: Analysis

C. Lösungen LV.y = x3 +

6x2-\5x

(a) D = R, da dies fur alle ganz-rationalen Funktionen gilt. (b) W = R, da dies für alle ganz-rationalen Funktionen mit ungeradem Grad gilt. (c) Nullstellen: Bedingung y = 0 x 3 + 6x2 - 15x = 0 ->· x-(x2 + 6x - 15) = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist gleich 0, wenn der (1) erste oder (2) zweite Faktor gleich 0 ist: (1) * = o , , 2 - 6 ± J 3 6 - 4 - l (-15) -6±λ/% (2) χ2 + 6x - 15 = 0 -> λ: = * L = 2 1 2 χ

=

γ

= - 3 ± 2V6

—3 — 2-ν/ό oder χ = - 3 + 2 ^ 6

Es gibt drei Nullstellen. (d) Extremwerte: y = 3jc2 +12jc - 15 = 6* + 12 Notwendige Bedingung: y = 0 —» 3x2 + 1 2 x - 15 = 0 -> -12±Vl44-4-3-(-15) 2-3

=

-12±18

=

_

2 ± 3

6

Also χ = - 5 oder χ = 1, das heißt, Punkte mit waagrechter Tangente sind ( - 5 ; 100) und (1 ; - 8 ) . Hinreichende Bedingung: / ' ( - 5 ) = - 1 8 < 0 ; / ' ( l ) = 18 > 0. Also ist ( - 5 ; 100) ein Maximum und (1 ; - 8 ) ein Minimum.

43

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

L2: y =

x2 - 8

x-3

(a) Definitionsmenge ist D = R \ {3}, denn bei einer gebrochen-rationalen Funktion sind nur die Nullstellen des Nenners auszunehmen. (b) Wertemenge: Auflösung der Funktionsgleichung nach x: χ2-8

x2-xy

= xy-3y _ y±-Jy2

x2 - 8

2

= y -> χ - 8 = > · ( * - 3 )

x-3

+ 3y - 8 = 0

—41·(3>· — 8) _ y±Jy2-\2y 2-1

+ 32

2

Es ergeben sich reelle x-Werte, wenn der Radikand nicht-negativ ist: y2 - 12>> + 32 > 0. Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung: ν=

12±λ/144-4·1·32

=

12±4

2·1

, „ =6±2

2

Also_v = 4 oder_y = 8. Lösung der quadratischen Ungleichung: Weil der Faktor beijy2 positiv ist, ergibt sich^ < 4 oder_y > 8. Das heißt W= {y \ y e R und (y < 4 oder_y > 8 )}. (c) Nullstellen: Bedingung y = 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist. * 8 = 0 - > λ : 2 - 8 = 0 - > x 2 = 8 - > · * = 2 ^ 2 oder x = - 2^2 . x-3 Es ist unmittelbar einzusehen, dass der Nenner für diese beiden Werte ungleich 0 wird. (d) Extremwerte: Quotientenregel: (x-3)-2x-(x2 y

-8)1

_ 2x2-6x-x2+&

2

2

(x-3)

(x-3)

_ x2-6x

+&

(x-3)2

Zur Berechnung von y" benötigt man erneut die Quotientenregel und innerhalb dieser die Kettenregel: (χ-3)2·(2*-6)-(χ2-6* +

8)·[(*-3)21

(x-3)4 Zur Ableitung der eckigen Klammer: g = x- 3, dann nimmt die eckige Klammer die Form g2 an. Ableitung der eckigen Klammer: 2g \ = 2 (x - 3). Diese Ergebnis setzen wir i n / ' ein, stellen im Zähler (x - 3) vor und kürzen anschließend den Bruch durch (x - 3): „ = ( x - 3 ) • (2x-6)-2(x2 y

(χ~3Ϋ

- 6 x + 8)

=

2x2-6x-6x + 18-2x2+12x-16 (^-3)3

44

Teil I: Analysis

ν" =

Notwendige Bedingung: / = 0. Ein Bruch ist dann gleich 0, wenn der Zähler gleich 0 und x2 — 6x + 8 der Nenner ungleich 0 ist. — =0 x 2 - 6x + 8 = 0

χ =

6± V36-4-1-8 2-1

=

6±2 2

„

,

=3±1

Also χ = 2 oder χ = 4. Für diese x-Werte ist der Nenner ungleich 0. Die gegebene Funktion hat zwei Punkte mit waagrechter Tangente: (2 ; 4) und (4 ; 8). Hinreichende Bedingung: v"(2) = 6

2 r

(2 - 3)

= - 2 < 0; v"(4) =

2 (4-3)

= 2 > 0. Somit ist

(2 ; 4) ein Maximum und (4 ; 8) ein Minimum. 15

10 5

Bemerkung: Im Fall der vorliegenden Funktion ist es sinnvoll, noch eine weitere Eigenschaft hervorzuheben: Der Zähler der gebrochen-rationalen Funktion hat einen größeren Grad als der Nenner. Daher kann man die Polynomdivision durchführen: ( Χ 2 - 8 ) : ( χ - 3 ) = Λ: + 3 3λγ- 8 1 χ 2 —8 1 1 = χ + 3+ . Es gilt lim>±oc = 0. Man bezeichnet y = χ + 3 als eine ax-3 x-3 "- x-3 symptotische Gerade oder Asymptote der gegebenen Funktion. Damit

45

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

L3 :y =

s3+4 s-l

(a) Definitionsmenge D = R \ {1}, denn bei einer gebrochen-rationalen Funktion sind nur die Nullstellen des Nenners auszunehmen. (b) Wertemenge:

s3 +4

= y -> s 3 + 4 = y(x - 1)

s 3 - xy + y + 4 = 0. Es handelt sich

χ -1 um eine Bestimmungsgleichung dritten Grades in x. Setzt man für y irgendeine reelle Zahl ein, so gibt es nach Lehrsatz 5 in Kapitel I.II mindestens ein x, das die Gleichung xs-xy+y

+4 =0

erfüllt, also W= R. (c) Nullstellen: Bedingung y = 0 ->

x3 + 4 x-\

= 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler

gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist. Also s 3 + 4 = 0 also eine Nullstelle.

s 3 = - 4 —> χ = - \[4 . Es gibt

(d) Extremwerte: Quotientenregel: _ (s - 1 ) • 3s 2 - (s 3 + 4) · 1 _ 3 s 3 - 3 s 2 - s 3 - 4 _ 2x 3 - 3 s 2 - 4 y = (ΛΓ-1)2 (*-l)2 (x-\)2 Zur Berechnung von Kettenregel:

benötigen wir erneut die Quotientenregel und innerhalb dieser die

„ = (jc - 1 ) 2 · (6s 2 - 6x) - (2x3 - 3x2 - 4) · [(χ - 1 ) 2 J y

(x-i)4

~

Zur Bestimmung der Ableitung der eckigen Klammern setzten wir g = χ - 1, dann nimmt die eckige Klammer die Form g2 an. Die Ableitung der eckigen Klammer lautet somit: 2g· 1 = 2 {x - 1). Wir setzen dieses Ergebnis in y" ein, stellen im Zähler (χ - 1) vor und kürzen anschließend den Bruch durch (χ - 1): „ = ( x - l ) (6x2 -6x)-2-(2x3 y , .s3 (s-l)3

-3x2

-4)

=

6s 3 - 6 s 2 - 6 s 2

- 4 s 3 +6s2 +8

{χ - 1 )

2s3 - 6 s 2 + 6 s + 8 (s-l) 2s3-3s2-4 Notwendige Bedingung: ne: y' ν = 0 — ->·> -— — — — = 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zäh(s-l) ler gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist: 2s 3 - 3s 2 - 4 = 0. Diese Bestimmungsgleichung dritten Grades kann man nicht durch Vorstellen von s auf eine quadratische Gleichung redu-

46

Teil I: Analysis

zieren. In solchen Fällen hat man gelegentlich die Möglichkeit, eine Lösung durch Probieren zu ermitteln. Dies Verfahren wird im Allgemeinen nur dann erfolgreich sein, wenn die Lösung ganzzahlig ist. Im gegebenen Beispiel hat man Glück, da χ = 2 eine Lösung ist. Die linke Seite der Gleichung lässt sich dann ohne Rest durch (x - 2) dividieren. (2x3 - 3x2 - 4 ) : (x-2) -(2x3 - 4X2~) *2-4 2x) 2x-4 -(2x - 4) 0 Also 2x3 -3x2-4

= 2x2 + x + 2

= (x- 2)-(2x2 + x + 2). AUS 2x3 - 3x2-4 2

(x-2)-(2X +X

= 0 folgt damit

+ 2) = 0

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn der (1) erste oder (2) zweite Faktor 0 ist: (1) x-2 = 0, das heißt χ = 2 (2) 2x2 + x + 2 = 0, das heißt χ = ~

1 1

^

'—

=

. Keine Lösung!

Es gibt genau einen Punkt mit waagrechter Tangente: (2 ; 12). Hinreichende Bedingung: / ' ( 2 ) = 12 > 0, also ist (2 ; 12) ein Minimum. Bemerkung: Die gegebene Funktion hat eine asymptotische Kurve (eine Parabel), denn die Polynomdivision ergibt: * = χ 2 + χ + 1 η — , womit wegen i lim —^— = 0 die Funkx-\ x-\ ->±0° χ -1 tion y = χ2 + χ + 1 eine asymptotische Kurve ist. 30

2

3

4

5

6

30 L4:y = sin2* (a) Definitionsmenge: y = sin χ hat als Definitionsmenge D = R, also auch die gegebene Funktion.

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

47

(b) y = sin χ hat als Wertemenge [-1 ; 1]. Quadriert man die Zahlen dieses Intervalls, erhält man alle Zahlen des abgeschlossenen Intervalls zwischen 0 und 1. Also W = [0 ; 1], (c) Nullstellen: Bedingung^ = 0 -> sin2 χ = 0 - » sin χ = 0 χ = k-π mit k e Ζ (Z Menge der ganzen Zahlen). Die gegebene Funktion hat unendlich viele Nullstellen. (d) Extremwerte: Sei g = sin χ - » y = g2. Kettenregel: y' = 2g-cos χ - » y' = 2 s i n x c o s x Die zweite Ableitung erhält man mit Hilfe der Produktregel: y" = 2 (cos x-cos χ + sin x-(-sin x)) = 2 (cos 2 χ - sin2 x) Da cos 2 x=\-

sin2 x, f o l g t / ' = 2·(1 - 2-sin2 x).

Notwendige Bedingung: y' = 0, also 2 sin x-cos χ = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren (der Faktor 2 spielt keine Rolle) ist 0, wenn (1) der erste gleich 0 oder (2) der zweite Faktor gleich 0 ist: (1) sin χ = 0 - » χ = k-π mit k e Ζ (Ζ Menge der ganzen Zahlen) 2A + 1 (2) cos χ = 0 - » χ = π mit k e Ζ

2

Hinreichende Bedingung: y''ik-π) = 2 [1- 2-sin2 {k-π)] = 2-(l - 2-0) = 2 > 0 y ' ( r ^ p - · * ) = [1 — 2 · sin 2 ( — - ^r)] = 2 ( 1 - 2 · 1 ) = - 2 < 0 Die gegebene Funktion hat an den Stellen χ = k-π Minima, an den übrigen Stellen mit waagrechter Tangente Maxima.

(a) Definitionsmenge: Da y = x2 u n d y = ex als Definitionsmenge R haben, gilt dies auch für die gegebene Funktion: D = R.

Teil I: Analysis

48

(b) Nullstellen: Aus der Bedingung^ = 0 folgt x 2 -e = 0 . Ein Produkt aus zwei Faktoren ist gleich 0, wenn der (1) erste oder (2) zweite Faktor gleich 0 ist: (1) x2-0 -> x = 0 (2) e~x' = 0. Keine Lösung! Es gibt genau eine Nullstelle. Extremwerte: Zur Berechnung der ersten Ableitung benötigt man die Produktregel und innerhalb dieser die Kettenregel: y' = 2x • e~*2 + x2 Je"*2 J . Ableitung der eckigen Klammer: Sei g = -x2, dann nimmt die eckige Klammer die Form e? an. Ableitung der eckigen Klammer: 2x) = e~*2 • (—2jc) . Eingesetzt in y': y=

2x-ex2

+x2e'x2-(-2x)

=

e~x2(2x-2x3)

Die zweite Ableitung ergibt sich mit Hilfe derselben Ableitungsregel: /'=

ε~χ2 -(2-6X2)

+ [e_I J

•(2x-2xi)

Die eckige Klammer haben wir gerade abgeleitet: y" = e~'2 -(2 - 6x2) + e"' 2 -(-2χ)·(2χ - 2x>) = ε~χ2 -(2 - 6x2 - 4x2 + 4x") = e~x2 -(4x4-10X2

+2)

Notwendige Bedingung: y' = 0 -> e"2 -(2x - 2x3) = 0 -> e'x' ·2χ·{\ - χ2) = 0. Ein Produkt aus drei Faktoren ist gleich 0, wenn (1) der erste oder (2) der zweite oder (3) der dritte Faktor gleich 0 ist: (1) e~χ2 = 0. Keine Lösung! (2) 2x = 0 λ =0 (3) 1 - x 2 = 0 -> x2= 1 x = -\ oder χ = 1

49

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

Es gibt drei Punkte mit waagrechter Tangente: ( - 1 ; — ) ; (0 ; 0 ) ; (1 ; —).

e

e

4 Hinreichende Bedingung: / ' ( - l ) = — < 0 ; / ' ( 0 ) = 2 > 0; y"(l)

e

= —

4

e

< 0. Der Punkt

(0 ; 0) ist also ein Minimum, die Punkte ( - 1 ; —) und (1 ; —) sind Maxima.

e

e

x2 +4 χ -1

L 6 : (i

(a) Definitionsmenge: Die gegebene Funktion ist gebrochen-rational. Daher sind nur die Nullstellen des Nenners auszunehmen: χ2 - 1 = 0 - > x2 = 1 - » x = -\ oder χ = 1. Also D = R \ { - 1 ; 1}. (b) Nullstellen: Bedingung y = 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist: x 2 + 4 = 0 - » χ = - 4 . Keine Lösung! Die gegebene Funktion hat keine Nullstellen.

-4

-3

-2

-

- 2

L

6

'-8 (c) Extremwerte: Zur Bestimmung der ersten Ableitung benötigen wir die Quotientenregel: =

(χ2 -\)-2x -(x2 + 4) ·2χ

=

2x3 - 2x - 2x} - 8x 2

(x -i)

=

-lOx

2

Die Berechnung der zweiten Ableitung erfordert zunächst die Quotientenregel und anschließend die Kettenregel:

=

( χ 2 - 1 ) 2 · ( - 1 0 ) - ( - l O x ) · [(x 2 - 1 ) 2 |

(x'-iy Ableitung der eckigen Klammer nach der Kettenregel: Sei g = χ2 - 1, dann nimmt die eckige Klammer die Form g2 an. Ableitung 2g-2x = 4χ·(χ2 - 1). Eingesetzt i n / ' :

Teil I: Analysis

50

v

(*2-1)2·(-10)-(-10*)·4χ·(Χ2-1)

„_

y

(*2-D4

Wir stellen (χ - 1) aus dem Zähler vor und kürzen den Bruch anschließend durch (χ - 1): „ = (Λ:2 - 1 ) · ( - 1 0 ) - ( - 1 0 Λ : ) · 4 Λ : y

=

- Ι Ο * 2 + 10 +40A:2

(*2-d3

=

(*2-D3

Notwendige Bedingung: y' = 0 Tangente: (0 ; - 4 ) .

30.x 2 +10

(x2-\ Υ

- 1 0 * = 0 -> χ = 0. Es gibt einen Punkt mit waagrechter

Hinreichende Bedingung: / ' ( 0 ) = - 1 0 < 0. Der Punkt (0 ; - 4 ) ist ein Maximum. x2-l

(ii ) y -

x

+4

(a) Definitionsmenge: Da x2 + 4 > 0 für alle x, gilt D = R. χ2 - 1 —2 — - = 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler x +4 gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist. χ2 - 1 = 0 -» χ2 = 1 χ = - 1 oder χ = 1. Es gibt zwei Nullstellen. (b) Nullstellen: Bedingung y = 0

(c) Extremwerte: Berechnung der ersten Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel: y =

(Χ2 + 4)-2x — (x2-l)-2x 2

{x + 4 )

_ 2x3 + 8 j c - 2 x 3 +2X

2

(JC2 + 4 ) 2

_

10s (*2+4)2

Die Funktion y" wird unter Anwendung von Quotientenregel und Kettenregel bestimmt:

yv

„ _ (* 2 + 4 ) 2 1 0 - 1 0 j t [ ( : y 2 + 4 ) 2 {

Zur eckigen Klammer: Sei g = x2 + 4, dann nimmt die eckige Klammer die Form g2 an. Damit ist ihre Ableitung 2g-2x = 4χ·(χ2 + 4). Dies Ergebnis wird in y" eingesetzt: „ _ (x + 4 ) ·10-10λ:·4Λ:·(Λ: y

(χ

2

+4)

+4)

4

ller den Faktor I Wir stellen aus dem Zähler (χ 2 + 4) vor und kürzen den Bruch durch (JC2 + 4): „ = (Χ2+4)·10-10Χ·4Χ V

2

(* +4)

3

=

4Q-3Qjt 2 (*2+4)3

51

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

Notwendige Bedingung: y' = 0 ->

— — —

= 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler

gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist. Also l ( k = 0

χ = 0. Es gibt einen Punkt mit

waagrechter Tangente: (0 ; - —). 4 Hinreichende Bedingung: y"(0) = — > 0. Der Punkt mit waagrechter Tangente ist ein Mini8

mum.

L7 :y=

— X2+2X

+ 20

(a) Definitionsmenge: Die gegebene Funktion ist gebrochen-rational, daher sind nur die Nullstellen des Nenners auszunehmen: x2 + 2x + 20 = 0, womit -2±Λ/4-4·1·20

χ =

21

=

- 2 ±Λ/-76 2

Also keine Lösung! Die Definitionsmenge ist D = R. (b) Nullstellen: Bedingung y = 0. Ein Bruch ist gleich 0, wenn der Zähler gleich 0 und der Nenner ungleich 0 ist. Also χ - 6 = 0, womit χ = 6. (Wie gerade gezeigt, kann der Nenner nicht 0 werden.) Es gibt genau eine Nullstelle. (c) Extremwerte: Berechnung der ersten Ableitung nach der Quotientenregel: ,=

( x 2 +2x + 2 0 ) · 1 - ( x - 6 ) · ( 2 x + 2 )

y

=

2

(x -x2

+\2x

(x2 +2x

+ 32 + 20)2

+2x

+ 20)

2

=

x2 + 2x + 20-2x2 (x

2

+2x

-2x + \2x + \2 + 20)2

52

Teil I: Analysis

Die Bildung der zweiten Ableitung erfordert die Quotientenregel und innerhalb dieser die Kettenregel: (x2 +2x + 20) 2 -(-2x

y

+12)-

( - χ 2 + \2x + 3 2 ) ·

[p 2 + 2x + 20) J 2

{χ2 +2x + 20) 4

Zur eckigen Klammer: Sei g = x2 +2x + 20, dann nimmt die eckige K l a m m e r die Form g 2 an. Damit ist ihre Ableitung 2g(2x + 2 ) = 2·(χ2 +2x + 20)-(2x + 2). Dieses Ergebnis wird in y" eingesetzt. „=

(x2 +2x + 20)z •(-2x

+ \2)-(-x1

+12χ + 32)·2·(χ2

(X2+2X

y

+

+2x + 20)-(2x

+ 2)

20)4

Wir stellen jetzt aus dem Zähler den Faktor (x2 +2x + 2 0 ) vor und kürzen anschließend den Bruch durch (x2 +2x + 20): „=

(χ2 +2x+ 20)-(-2x+

=

\2)-(-x2 {x2+2x

y

+12x + 3 2 ) - 2 ( 2 x + 2 )

+ 20f

- 2x> - 4x2 - 40x + 12jc2 + 24x + 240 - 2 • ( - 2 x 3 + 24x2 + 64x - 2x2 + 24x + 6 4 ) (x2 +2x + 20)3 2xi -36x2 (x2

- 1 9 2 x + 112

+2x + 20) 0.1

8

16 24 32 40

-0.5 Notwendige Bedingung: y' = 0 - »

λ: =

-12±λ/144-4·(-1)·32 2·(-1)

- x 2 +12x + 32

(jc2 +2JC + 20)2

=0

—^ + 12x +32 = 0 ->

12±λ/272 _ - 1 2 ± 4 V l 7 - 2

= 6±2λ/Ϊ7

- 2

Also χ = 6 - 2 - v / l 7 oder λ: = 6 + 2-\/Γ7 , das heißt χ = - 2 , 2 5 oder χ = 14,25. Es gibt zwei Punkte mit waagrechter Tangente: ( - 2 , 2 5 ; - 0 , 4 0 ) und (14,25; 0,03).

53

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

Hinreichende Bedingung: Zum einen χ = 6-2-Jvj ist der Nenner von / '

, womit x2 +2x + 20 = 104 - 2 4\ϊ

positiv. Der Zähler ergibt 544 VT7

-

, also

1904 > 0. Zum anderen

χ = 6 + 2-J\7 ; der Nenner von y" ist positiv, der Zähler ergibt - 5 4 4 - 1904 < 0. Daher ist (-2,25; - 0 , 4 0 ) ein Minimum und (14,25; 0,03) ein Maximum. Jx-(x2-9)

L8: (\)y-

(a) Definitionsmenge: Aus der Bedingung χ·(χ 2 - 9) > 0 folgt eines der beiden: (1) χ·(χ 2 - 9) = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn der erste oder zweite Faktor gleich 0 ist: χ = 0 oder x 2 - 9 = 0, das heißt x 2 = 9 - » χ = - 3 oder χ = 3. (2) χ·(χ 2 - 9) > 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist größer 0, wenn beide Faktoren positiv oder beide negativ sind: (Α) x > 0 und x2 - 9 > 0 - » χ > 0 und x 2 > 9 -> χ > 0 und (x < - 3 oder χ > 3). Beide Bedingungen gelten zugleich, wenn χ > 3. (Β) χ < 0 und χ2 -9 χ < 0 und - 3 < χ < 3. Beide Bedingungen gelten zugleich, wenn - 3 < χ < 0. Zusammenfassend ergibt sich als Definitionsmenge D = {x | χ e R und ( - 3 < χ < 0 oder χ > 3)} ^Jx-(x2 - 9 ) = 0 - > x (x2 - 9) = 0. Dieses Problem

(b) Nullstellen: Bedingung y = 0

wurde bereits gelöst:x = - 3 ; x = 0 ; x = 3. Die gegebene Funktion hat drei Nullstellen. (c) Extremwerte: Zur Berechnung der ersten Ableitung benötigt man zunächst die Kettenregel und innerhalb dieser die Produktregel: Sei g = x (x2 - 9) y =

=

+

= 1 -9) 2

2-yJx-(x2

24s

y=

Jg . Also

x2 - 3 Jx-(x2-9)

Zur Berechnung der zweiten Ableitung sind die Quotientenregel, und innerhalb dieser die Kettenregel und Produktregel erforderlich: „= y

3 V x - ( X 2 - 9 ) - 2 X - ( X 2 - 3 ) · yjx'jx2 - 9 ) j 2

χ (x2

-9)

Die eckige Klammer stimmt mit der gegebenen Funktion überein, also ist die Ableitung dieser Klammer g l e i c h / . Wir haben daher nur noch einzusetzen: 3 •y/x-(x 2 - 9 ) · 2 χ - ( χ 2 - 3 ) · —· 2

„= 3 y

2

2

χ · (x - 9)

χ

-3

Jx-(x2~9)

54

Teil I: Analysis

Wir fassen den Zähler in einem Bruch zusammen: ' 2 • χ • (x2 - 9) - 2x - 3 • (x2 2^x-(x2-9)

= λ 2·χ·(χ2 2'

2

x-(x -9)

- 9)·2χ-3·(χ2 χ-(χ2

-3)2

-9)

3 Λ:4 -18Λ:2 - 2 7 4

- e 10 - sin χ = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn (1) der erste oder (2) der zweite Faktor gleich 0 ist: X (1) e 10 = 0. Keine Lösung! (2) sin χ = 0 χ = k-nmii k e Ζ (Ζ Menge der ganzen Zahlen) Es gibt unendlich viele Nullstellen. (c) Extremwerte: Zur Berechnung der ersten Ableitung benötigen wir die Produktregel und innerhalb dieser die Kettenregel:

y' = e

10

•sinx

-cosx +

Um die Ableitung der eckigen Klammer zu erhalten, setzen wir g = -x/10. Die eckige Klammer hat dann die Form e*. Als Ableitung der eckigen Klammer ergibt sich: ^ (-1)/10 = -1/10-e *Λ0. Dieses Ergebnis wird in_y' eingesetzt: y' = e

10

-C0SX + —--e 10

10

-sin* = e

10

I cosx

J_ 10 sinx

Produktregel: /

cosx

10

smx \ + e

-sinx V

1

\

cosx

10

/

Die eckige Klammer wurde bereits abgeleitet: -1 10

c o s x - — sin χ + e 10

lü

· -sinx

10

cosx

= e"10 ( - 0 , 9 9 s i n x - 0 , 2 cosx) Notwendige Bedingung: / = 0, also e

10

( c o s χ - 0 , 1 sinx) = 0. Ein Produkt aus zwei Fak-

toren ist 0, wenn der (1) erste oder (2) zweite Faktor gleich 0 ist: χ (1) e"10 = 0. Keine Lösung!

56

Teil I: Analysis

(2) cos χ - 0,1 -sin χ = 0 - > cos χ = 0,1 sin x. Da die Nullstellen von y = sin χ nicht mit den Nullstellen von y = cos χ Ubereinstimmen, können diese Nullstellen nicht Lösung der obigen Gleichung sein. Man darf diese Gleichung somit durch sin χ dividieren: cot χ = 0,1 χ = 1,47 + k-nm\X k ε Ζ ( Ζ Menge der ganzen Zahlen) 1.47+*·» Die zugehörigen Ordinatenwerte lauten: e 10 • sin(l,47 + k-π) mit k e Z.

X Hinreichende Bedingung: Der Term e

10

ist für alle χ positiv. Es kommt also nur noch auf

die Klammer an. Wir unterscheiden: (1) Λ: = 1,47 + lk-π

- > sin(l,47 + 2k-π) > 0 und c o s ( l , 4 7 + 2k-π) > 0

-> y" < 0

->

Maximum. (2) χ = 1,47 + (2/H-l)·«·

sin(l,47 + (2k+\)·^

< 0 und c o s ( l , 4 7 + (2k+\)·^

< 0

y" > 0 - » Minimum.

L 1 0 : y = a0x3 + a\ x2 + a2x + a3 mit a0 ^ 0 (a) Das Minimum liegt bei einer Funktion dritten Grades links vom Maximum, wenn a0 < 0. Es gilt y' = 3a0 χ2 + 2a{ χ + a2. Notwendige Bedingung für die Existenz von Extremwerten: y = 0, das heißt 3a 0 χ2 + 2ax χ + a2 = 0, also

χ=

- 2a. ± J4a,2 - 4 · 3a0 • a2

6a0

Es gibt zwei verschiedene x-Werte und damit zwei verschiedene Punkte mit waagrechter Tangente, wenn der Radikand größer als 0 ist: 4a2 - \2a0a2 > 0, das heißt a 2 - 3a0a2 > 0. Die x-Koordinate des Wendepunktes erhält man, indem man y" gleich 0 setzt:

.. —2a, -α, 1 = — L y" = 6aoX + 2a] = 0 - » x= 6a0 3a0 Diese ^-Koordinate soll positiv sein: —^— > 0, also < 0. Da a0 < 0 folgt ax > 0. 3 a0 3 a0

III. Extremwerte von Funktionen y = f(x). Kurvendiskussion

57

(b) Die Bedingungen ergeben sich unmittelbar aus den Überlegungen unter (a): α2-3α0α2 0; a 0 < 0 oder a\ 0]

LH: (a) y = -2* 3 + 5x2 + 4x

(durchgezogen gezeichnet)

(b)y'=-6x2+

IOjc + 4

(gepunktet gezeichnet)

(c) y = -2x2 + 5x + 4

(gestrichelt gezeichnet) 1c

Ökonomische Deutung: Wir beschränken die grafische Darstellung auf χ > 0 und y > 0. Sodann sei χ die Anzahl der von einem Produkt hergestellten Einheiten, y(x) die Ertragskurve, / die Grenzertragskurve und y die Durchschnittsertragskurve.

L12: (a) y = 2x3 - 2x2 + χ + 6 2

(b) y '= 9x - 4x + 1

(durchgezogen gezeichnet) (gestrichelt gezeichnet)

Teil I: Analysis

58 2 6 (c) y = 3x - 2x + 1 + — (gepunktet gezeichnet) χ (d) yv = 3x2 - 2x + 1

(durch Punkt-Strich-Linie gezeichnet)

Ökonomische Deutung: Wir beschränken die grafische Darstellung auf χ > 0 und y > 0. Es sei χ die Anzahl der von einem Produkt hergestellten Einheiten; _v(x) die Gesamtkostenkurve, y die Grenzkostenkurve, y die Kurve der durchschnittlichen Gesamtkosten und yv die Kurve der durchschnittlichen variablen Kosten.

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen. Extremwerte dieser Funktionen A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Definition: Sei D eine Menge von Paaren (x ; y) reeller Zahlen. Wird jedem Element (x ;y) e D mittels einer Zuordnungsvorschrifit/genau ein Element ζ e R zugeordnet, so nennt man / e i n e Funktion von zwei unabhängigen Variablen und bezeichnet sie mit ζ = fix , y). Dabei ist ζ die abhängige Variable. Man bezeichnet D als die Definitionsmenge von ζ =fix ; y) und W={z\ze

R und ζ - f i x ;

mit (x ;

e D}

als die Wertemenge dieser Funktion. Bemerkung: Man erhält die grafische Darstellung einer Funktion ζ = fix ; y), wenn man die Punkte (x ;y ; z) mit (x ; y) e D in ein dreidimensionales Koordinatensystem überträgt. Geometrisch kann man sich unter ζ = fix ; y) eine Fläche im dreidimensionalen Raum vorstellen. Beispiele: (a) ζ =fix ; y) = (x - l f + (y - 2) 2

60

Teil I: Analysis

(b) ζ =fix ;y) = -x2 + Ixy+y1

+ 4x + 4y+\

Definition: Sei I = {(* ; y) \ x, y e R und αλ /

Man bezeichnet die so festgelegte Gerade y = ax + b die

Regressionsgerade.

Partielle Ableitungen einer Funktion ζ = f [ x i , x 2 , ···,*„) von mehr als zwei unabhängigen Variablen Definition: Zu einer Funktion ζ = fixi, x2, ..., x„) lassen sich η erste partielle Ableitungen bilden. Man erhält z'z (/' = 1 , 2 , . . . , «), indem man ζ nach x, ableitet und alle übrigen Variab-

62

Teil I: Analysis

len wie Konstanten behandelt. Entsprechendes gilt für die Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen. Definition: Ist ζ = fix\, x2, •••, xn) an der Stelle man ι dz . . ... dz dz = — ( x , , . . . , * „ ) - d x , + ... + — dxx dx„

.

x2, ..., x„') partiell ableitbar, so nennt

... (x],...,xn)-dx„

das totale Differenzial der Funktion ζ =fix\, x2, ·.., xn) an der Stelle (x,*, x2, ..., x„*). Bemerkung: Für den Spezialfall ζ =fix, y) lautet das totale Differenzial an der Stelle (χ*, y ) dz = z'x(x' ,y)-dx

+

z'y(x',y)-dy

Methode von Lagrange: Extremwerte einer Funktion ζ = fix, y) unter einer Nebenbedingung: Es sind die Extremwerte (Minima oder Maxima) der gegebenen Funktion zu bestimmen unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Lehrsatz 4: Man bestimme zunächst die Lagrangefunktion: Z(x, y, λ) =fix, y) + Ä-g(x, y) wobei man λ als den Lagrangemultiplikator Z'x = 0 und Z; = 0 und Z\ = 0.

bezeichnet. Die notwendige Bedingung lautet:

Hinreichende Bedingung: Erfüllt ein Punkt (x* ; y ; z*) die notwendige Bedingung, so liegt ein Maximum vor, wenn der Wert der Determinante Z"

Z"

Z"χλ

Z"

Z"

z \

xx

xy

xy

yy

rytt ^xX

>0

an der Stelle (x

\y)

yi rytt

^yX

Es liegt ein Minimum vor, wenn diese Determinante an der Stelle (x \y ) negativ ist. Definition: Gegeben sei die partiell differenzierbare Funktion ζ = fix, y)· Den Term ετ;r

χ dz = — ·

ζ dx

bezeichnet man als partielle Elastizität von ζ bezüglich χ und den Term _ y zy

'

dz

ζ dy

als partielle Elastizität von ζ bezüglich y.

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

63

Lehrsatz 5: Sei ζ = fix, .y) eine zweimal partiell differenzierbare Funktion mit dz/dy = f'y Φ 0 und c ein Element der Wertemenge, dann wird durch die Gleichung fix, y) = c implizit eine Funktion y = g(x) definiert, die ebenfalls zweimal differenzierbar ist. Es gelten:

= -IL d*

0

f'y

=

-^τ[(/;)2·/:-2·/;·/;·/;+(/;)2·/;]

Definition: Die Funktion >> = g(x) mit c als Parameter bezeichnet man als das feld von y=fix, y).

Niveaulinien-

η

Lehrsatz 6: Die Funktion ζ =

·1η/?( hat unter Einhaltung der Nebenbedingung 1=1

" 1 ^ pt - 1 ein Maximum für px = p2 = ... = pn = — ·

64

Teil I: Analysis

Β. Aufgaben 1. Es sind die ersten partiellen Ableitungen folgender Funktionen gesucht: (b ) z =

(d) ζ = t a n 2 0 2 +y2) + x-y

(e) ζ =

χ sin(*y)

( f ) z = x?

(g)z = sin(x-ln.y) 2. Die ersten und zweiten partiellen Ableitungen sind zu berechnen: (a)z = x2y + x-y

(b )z=y-ex

(c) ζ = In χ + χ2 - 3y

(d) ζ = y s i n χ - x-cosy

(e) ζ = (χ2 - l)(x-y2)

(f) ζ = \n{xy)

(g) ζ = έ* - y-In λ:

(h) ζ = sin(2x2 - 2y)

3. Man überprüfe anhand der Funktionen (a) ζ = 2x-ey + y2

und

(b) ζ = e?ln(x + y)

die Gleichung z^ = z"yx. 4. Hat die Funktion ζ = 2x2 + xy + 4y2 — 5 Ijc — 5_v + 15 Extremwerte? Wenn ja, wo liegen sie? 5. Es ist die Funktion ζ = x2 + 2axy + y2 - 2ax - 2ay + 15 mit α Φ ±1 gegeben. Für welche Werte von α hat diese Funktion Extremwerte? Handelt es sich um Minima beziehungsweise Maxima? 6. Hat die Funktion ζ = αχ2 + 2xy + (1 - ä)-y2 - 2ax - 2 Extremwerte? 7. Hat die Funktion ζ = -Jl- x2 - y1

ein Minimum oder ein Maximum?

8. Welchen Homogenitätsgrad haben die folgenden Funktionen: (a) z = x2 +y2

(b) ζ = a-xr-y'~r mit 0 < r < 1

( c ) z = rJxr +yr

9. Zu den folgenden Punkten ist die Regressionsgerade zu bestimmen: (a) (1 ; -3), (2 ; 5), (3 ; 6) (b) (2 ; -4), (4 ; 8), (5 ; 6), (7 ; 9) Man setze nicht in die Formeln des Lehrsatzes 3 ein, sondern berechne in beiden Fällen die Regressionsgerade nach Lehrsatz 2.

65

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

10. Zu berechnen sind die Extremwerte von ζ unter der angegebenen Nebenbedingung. Lösung mit Hilfe der Methode von Lagrange: (a) ζ = - χ 2

y2 + 4 unter -2x-y

=0

(b) ζ = χ + y + 4 unter x 2 + y2 = 1 (c) ζ = x-y unter χ + y2 = 1 (d) ζ = x-y1 unter x2 + y= 1 (e) ζ = ax + by mit ct,b> 0 unter xr-ys = c mit 0 < r , s < l , c > 0 und x, y > 0 (f) ζ = xr-ys mit 0 < r, s < 1 unter ax + by = c mit a, b, c > 0 und x, y >0 (g) ζ = - / v l n p i - p 2 - I n p 2 mit 0 < p \ , p 2 < 1 unter p \ + p 2 = 1 11. Gegeben ist die Funktion ζ = xr-y5 mit 0 < r, s < 1 und x,y>

0.

1 3 (a) Sei r = — und s = — . Die Niveaulinien für ζ = c = 1; 2; 3; 4 sind grafisch darzustellen. 4 4 (b) Man berechne die erste und zweite Ableitung der Niveaulinien der Funktion ζ = χ ' · γ mit Hilfe der Formeln aus Lehrsatz 5. 12. Gegeben ist die Funktion ζ = χΓ·γ mit 0 < r, s < 1 und x, y > 0. Man bilde die partiellen Elastizitäten von ζ bezüglich χ und von ζ bezüglich^. 13. Es ist zu zeigen, dass die Funktion ζ =fix,y) (a) z = Ax + -——

die gegebene Differenzialgleichung erfüllt:

-y - — •y2 + Β mit (z'x )2 + ayz'x +bz'y = c

(d)ζ = Axey - — •(y1+2y

+ 2)-e~y+B

mit χ• (z'xf -z[z'y + ay1 = 0

Teil I: Analysis

66

C. Lösungen χy xy —. Vereinfachung: ζ = — - — . Quotientenregel: 1η(* ) 2·1η*

L I : (a) ζ =

ζ

, _ ι Qnx>y-xy·= (1η Λ:)2

_

ι

2

y

.

l n x

_

(In χ)

_

y

2

.{ϊηχ_ι}

γ

2-(lnjc) 2

2 ·1η Λ; 2χ2— 2χ2— (b) ζ = J — — — . Kettenregel mit g = — — — , dann ζ = -yfg . Ableitung von g nach χ mit V χ χ Hilfe der Quotientenregel: zr =

1

x-Ax-{2x2-y)-\

_

1

2 4s

2 x2-y 1

2x2

z· 1

_

4x • {Ix2

+ y)

2

2 - -y/2* - > > · χ 2

x

x

+y

2-^2

(c) ζ = i]x2y

2x2+y

x2-y{x4^c) 1

1

2-Jg

x

+ ijxy2

η _ V^-(-i) 2x - y

. Vereinfachung: ζ = (x2yp

1 1 --3^32 = L1 . x - 2 .y4+-L.JC 2 3

=

2··^2χ2

+ (xy2j*

ι

-y

-1 χ

2-ij2x2

- y

-4x

I i 12 = x2y* + x3y3 . Ableitung:

7 + _ 1. 3 jf μi1. 4 L[ L 2 \x 3 Vv-

, 1 i -2 2 i 4 1 X2 2 \x ζ' = - X2 ·y 4 + — x}y 3 = —.4 _ 3+ - . 3 — y 4 3 4 Vy 3 Vy (d) ζ = tan2(x2 tenregel gilt

+ y2) + χ - y. Sei g2 = tan g\ und gi = x2 + y2, dann ζ = (g2)2. Nach der Ket-

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

= ^ . Ü I l . M dg 2 dg, dx 2

= 2 · g2 — ^ cos g,

2

4xsin(.x: + .y ) 3

2

67

2x + \ = cos (x

)

j

2

cos (x + y ) Zur Bildung der partiellen Ableitung nach y benötigen wir ebenfalls die Kettenregel wie folgt ,

_dz_

y

J

d f z .

3gL

' J

dg 2

dg,

4y-sin(x 3

~

=

1

σ

a.

>

,

=

cos g,

d y

2

4 y - t a n ( x

1

2

2

+ y

2, 2 cos

(x

2

)

2x + y

1

)

^

2

2

cos (x + y ) x2 (e) ζ = . Zunächst Anwendung der Quotientenregel: sin(x^) ,

=

sin(jry) · 2x - ^ [ s i n ^ ) ^ sin 2 (xy)

Jetzt ist die eckige Klammer noch partiell nach χ abzuleiten unter Verwendung der Kettenregel. Sei g = xy, dann nimmt die eckige Klammer die Form sin g an. Ableitung der eckigen Klammer: cos g • y =y · cos(;*y). Eingesetzt: ,

_

s m { x y ) -2x

·

x1

-

· cos(xy) _

· [2 sin(xj) -

χ

2

x y •

cos(jcy)]

2

sin (xy)

sin (xy)

Zur Berechnung von z'y benötigen wir ebenfalls die Quotientenregel und darin die Kettenregel:

sin 2 (xy) Ableitung der eckigen Klammer: χ • cos(xy), damit , _ - x 2 • χ · cos(ry) _ y

(f) ζ =

sin2(x>')

sin (*y) ->

x?

z'x

=y-xy~l.

Jetzt partielle Ableitung nach_y. Umformung der gegebenen Funk-

tion: In ζ = In x* = _yln x 1

z'

=

'

χ 3 · cos(xy)

2

—

dg

·

— d y

= eg-\nx

ζ = β*'1ηχ.

= e

y l n x

S e i g = _yln;t -> ζ = - \ n x =

x

y

- \ n x

e?.

Kettenregel:

68

Teil I: Analysis

dz dg (g) ζ = sin(xln y). Ableitung nach der Kettenregel z'x = — — — . Sei g = x-\ny, dann dg dx ζ = sin g. Es folgt z'x = cos g-lny = cos^-lnj^-lny Ableitung nach y ebenfalls mit Hilfe der Kettenregel: , _ dz dg _ 1 z'„ = = cosg-Jt·— = — · cos(x · In y dg ' Öy " y y L 2 : ( a ) z = x2y + x-y (b)z=y-ex

2 -> z'x = 2 x y + l ; z'/ = x'-l

z'x =yS\

(c)z = \nx+x2-3y

,·*.

ζ' =

-> z'x = ^- + 2 * ;

-» z'a =2y; z' =2x; z" = 0 »

χ.

_

η

= - 3 ; -> z^ =

0 + 2 ; z% = 0;

Z

; =0

(d) ζ = ysin χ - x-cos y —> z'x = y· cos χ - cos y, z' = sin χ - jc-(—sin y) = sin χ + x-sin y —> z

"xx

=

>"(-sin x) = - y s i n χ; ζ" = cos χ -(-sin y) = cos χ + sin y\ ζ" = x-cos y

(e) ζ = (χ2 - 1 )·(χ· - y2). Zunächst Umformung: z = x3 - x2y2 - χ + y2 -> z'x =3x2 - 2xy2 - 1; z' = -2x2y + 2y -> z^ =6x-2y2· (f)z= z"

z" =^xy;

= -2x 2 + 2

z'

ln(xy). Umformung: ζ = In χ + In y -> z'x = —; z' = — -> χ y

z"xx =

; z" = 0; χ

- ~ L

(g) z = e** - j ln x. Der erste Summand wird nach der Kettenregel abgeleitet. Sei g = xy, dann nimmt der Summand die Form e 8 an: J_ z'x = eg • y- y·— = y-e^ - — und χ χ

z' = eg • χ - In χ = x-exy - In χ

Zur Berechnung der zweiten partiellen Ableitung ist einmal die Produktregel und dreimal die Kettenregel erforderlich. Für die Kettenregel kann dieselbe Substitution verwendet werden wie eben bei der Berechnung der ersten partiellen Ableitung: /

1Λ

Z - y - W - y

X

»

z" = y\exyX+

\-e»--

X

= yxev+ev--

X X

= (xy + l ) - e v - X

69

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen (h) ζ = sin(2x 2 - 2y). Sei g = 2x2 - 2y, dann ζ = sin g. Kettenregel: z\ = —

· —

= c o s g-4x

dg dx

= 4JC-COS(2X2 -

2y)

Dieselbe Substitution und die entsprechende Kettenregel ergeben:


) z'x = 2·^

z^ = 2·^; andererseits z'y = 2x-£ + 2y

-»

= 2·«".

(b) ζ = ex-ln(x+y).

Produktregel:

z: = exln(x + y) + ex[ln(x + y)l' Die eckige Klammer wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet. Sei g = χ + y , dann nimmt die eckige Klammer die Form In g an. Ableitung der eckigen Klammer: 1/g · 1 = \/{x + y). Eingesetzt: 1

z'x = ex • ln(x + y) + ex • χ+y

ln(x + y) + -

1

χ+y

Da die erste partielle Ableitung von ln(x + y) nach χ und nach y gleich M(x + y) ist, erhält man /

1

x+y

V

1

\

1

x+y y

/

Die Ableitung der eckigen Klammer, die die Form 1/g hat, lautet: - — - 1

g

Eingesetzt: ι

x+y

ι

+ y)

(x + y)2

Der Term ζ' ergibt sich aus dem bereits Gesagten: z' = ex •

•. Damit

x+y

(x+yy

70

Teil I: Analysis

ζ"yx = e 1

'

x+y

1 x + y)

L4: ζ = 2x2 + xy + 4y2 - 5lx - 5 ^ + 1 5 4

1

1

x+y

(x + y)

z'x =4x+y-5l;

(x + y)2

z' =x + 8y-5->

z\

=

Notwendige Bedingung: 4x + y-5\

=0

x+8j-5 =0 Aus der ersten Gleichung: y - 51 - 4x. Eingesetzt in die zweite Gleichung: χ + 8·(51 - 4x) - 5 = 0 x=13

-> y=5l

χ + 408 - 32x - 5 = 0

-31x = ^ 0 3 ->

- 4-13 = - 1 -> ζ = 2-169 + 13-(-l) + 4 - 663 + 5 + 15 = - 3 1 4

Also ist (13 ; - 1 ; -314) ein Punkt mit waagrechter Tangentialebene. Hinreichende Bedingung: An der Stelle χ = 13 und_y = - 1 gilt 4 - 8 - 1 =31 > 0 Also liegt ein Extremwert vor. Da z"^ = 4 > 0, ist der Punkt (13 ; - 1 ; -314) ein Minimum. L5: z = x2 + 2axy+y2 - 2ax - lay + 15 mit α ^ ±1 -» z'x =2x + 2ay-2a-

z' = 2ax + 2y-2a

ζ* = 2 ; ζ ' =2α; ζ" = 2

Notwendige Bedingung: 2x + 2ay-2a

=Q

2ax + 2y-2a

=0

Wir dividieren beide Gleichungen durch 2: χ + ay - a = 0 ax + y - a = 0 Aus der ersten Gleichung: χ = a - ay. Eingesetzt in die zweite Gleichung: a(a - ay) + y - a = 0 -> a2- cfy + y - a = 0 ~ , Daa?±

, ·, a-a1 a-(Ι-α) 1, gilt y= - — = I-a (1 - α) · (1 + a)

y-(\ - a2) = a - a2

a . Daraus folgt: χ = a - a 1+a 1+a

1+a

Hinreichende Bedingung: Die zweiten partiellen Ableitungen hängen nicht von χ und y ab, also

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

71

= 2 · 2 - 4 * 2 = 4·(1-α2) Dieser Term ist positiv, wenn 1 - a2 > 0, also - 1 < a < 1. Es gibt somit Extremwerte, wenn - 1 < a < 1. Da z^ = 2, also positiv ist für alle a, liegt an der Stelle χ = y = a/(l + ä) ein Minimum vor. L6: ζ = ax2 + 2xy + (1 - a)-y2 - 2ax - 2 -> z[ = 2ax + 2y - 2a\ z'y = 2x + 2 (1 - a)-y z ; = 2 * ; z ; = 2 ; z'„ = 2 ( 1 - α ) . Notwendige

Bedingung:

2 ax

+

2*

+

2y

-

2a

=

2·(1 -a)-y

0

= 0

Wir dividieren beide Gleichungen durch 2: ax

+

λ:

+

y

-

a

(1 -a)-y

=

0

=

0

Aus der ersten Gleichung: y = a {\ -x). Eingesetzt in die zweite Gleichung: x + (l -a)a( 1 - * ) = 0 -> jc + (l - α ) · α - ( 1 - a ) ax = 0 Λ:·[α 2 -α+ 1] = ( α - 1)·α Die Division durch die eckige Klammer ist erlaubt, da dieser Term für kein α gleich 0 ist, denn aus a2 - a + 1 = 0 folgt a=

l±Vl-4-M 21

=

1±V^3 2

Also gibt es keine reelle Lösung. Der Term a 2 - a + 1 = 0 ist somit für alle α positiv oder für alle α negativ. Wie man durch Einsetzen von a = 0 feststellt, kann der gegebene Term nur positive Werte annehmen. Damit x=

(α-1)·α , a -a —-— -> y = a- 1 — a -a +1 a -a +1

a 2

a -a

+1

Hinreichende Bedingung: Die zweiten partiellen Ableitungen hängen nicht von χ und y ab, also = 20-2(1 - a) - 4 = -Aia2 - a + 1) < 0 da die runde Klammer stets positiv ist. Die gegebene Funktion hat für kein α einen Extremwert.

72

Teil I: Analysis

L7: ζ = φ - χ z'x = — · — dg dx

z

- /

2

. Die ersten partiellen Ableitungen erhält man mit Hilfe der Kettenregel

beziehungsweise ζ

= — · — . Sei dazu g= 1 - x 2 - / , dann ζ = Sg dg d y

; = J=.(_2x)= * ^ - x

2 4g

4 - x

2

- y

2

2

- y

2

.Also

Die zweiten partiellen Ableitungen ergeben sich durch die Quotientenregel und innerhalb dieser durch die Kettenregel: . _ V i - *

2

- /

-(-IM-*)·[Vi-*2-/]; l - x 2 - y 2

Die Ableitung der eckigen K l a m m e r nach χ ist die Ableitung der gegebenen Funktion nach x, man muss also z'x einsetzen: Vi - * 2 - / · ( - ! ) - ( - * ) ·

Vi-*2-y

2

_ {l-x2

- / ) · ( - ! ) - ( - * ) · ( - * )_

/ -y Weiterhin

l-x

2

- y

2

Die Ableitung der eckigen K l a m m e r nach y ist die Ableitung der gegebenen Funktion nach y, es muss somit z' eingesetzt werden: φ - 7 - y

2

·(-1)-(-y)•

^ Vi-*

l - *

2

2

-/

- /

^ x ^ f

Außerdem , _ V i - *

2

- /

·ο-(-*Ηνι-* 1 - *

2

- /

*2-i

2

-/];

73

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

Es ist z'

einzusetzen:

Jl-x2-y2

. = *y

z

Notwendige

ι

„2

_

-xy

..2

Bedingung:

A u s z'x = 0 und z^ = 0 folgt χ = y = 0, w o m i t ζ = 1. Der Punkt

(0 ; 0 ; 1) ist ein Punkt mit waagrechter Tangentialebene.

Hinreichende Bedingung: \2

,

»

, *s2 -

/ Vi-*

2

-xy

1

"/

Vi-*

2

-/

V i - *

2

- /

Damit gilt an der Stelle λ: = 0 und >> = 0 =(-l)-(-l)-02 = 1 >0 Es liegt also ein E x t r e m w e r t vor. D a an dieser Stelle z"a = -1 < 0, handelt es sich bei d e m Extremwert um ein M a x i m u m . Bemerkung: Unter Z u h i l f e n a h m e von geometrischen Überlegungen hätte man das Ergebnis auch schneller h a b e n können: Wir quadrieren die gegebene Funktion und erhalten:

z2= 1 -x2-y2

-> x2+y2 + z2= 1

Dies ist die G l e i c h u n g der Einheitskugel, das heißt einer Kugel um (0 ; 0 ; 0) mit Radius 1. Diese G l e i c h u n g stellt aber keine Funktion dar, was unmittelbar klar wird, w e n n man wieder nach ζ auflöst: z = ± -J\-x2 on ζ = φ - χ

2

-y2

- /

, also ζ = -Jl-x2

-y2

oder ζ = - φ - χ

2

ist die obere Kugelhälfte, die Funktion ζ = - φ - χ

-y2 2

- y2

. Die Funktidie untere

Kugelhälfte. Die obere K u g e l h ä l f t e hat aber im Punkt (0 ; 0 ; 1) ihr M a x i m u m . L8:

Wir

x-z'x + y-z'y ( a ) z = x2+y2 2

haben

die

gegebenen

Funktionen

in

die

Eulersche

Differenzialgleichung

= v - z einzusetzen und dann das ν zu bestimmen: —> z'x =2x;

z'y = 2y. Eingesetzt in die linke Seite der Differenzialgleichung:

2

2x + 2 / = 2-(x + / ) = 2·ζ - » ν = 2, das heißt der Homogenitätsgrad beträgt 2. (b) z = a • xr • y ~ r . E s gilt Ζ

zsι = r • a • χr - l • y1 - r _ = r· — χ z'y = ( 1 - r ) - a - x

r

y

r

= (1-r)- —

y

74

Teil I: Analysis

ζ ζ Eingesetzt in die linke Seite der Differenzialgleichung: x-r- — + y-{\-r)·— = 1 z. Damit * y ν = 1, also ist der Homogenitätsgrad 1. (c) ζ = r-jxr + yr . Ableitung nach der Kettenregel: z'x - — • — dg dx

beziehungsweise

z' = — • — dg dy

Sei dazu g = xr + yr, dann ζ = rJg = gr. Damit 1 I-i z'x = - gr r xr-] = (xr+yrY r 1

-1

i_i

,

·χΓ"'

-1

r Eingesetzt in die linke Seite der Differenzialgleichung: !-i (.xr + yr)r

l-i -χ'-1 -x + (xr +yrY

I-i ·/"'-y

= (*' +yr)-{xr

+y'Y

=

l (xr+yrY

= 1 ζ

Somit ν = 1, das heißt der Homogenitätsgrad ist 1. L9: Wir bilden gemäß Lehrsatz 3 zunächst die Summe ζ der Abweichungsquadrate: ζ = [ - 3 - (α + b)]2 + [5 - (2a + b)f + [6 - (3a + b)f = [-3 - a - bf + [5 - 2 a - b]2 + [6 - 3 a - b]2 Quadrate leitet man nach der Kettenregel ab, indem man die Basis gleich g setzt. Jeder Summand nimmt dann die Form g2 an. Die Ableitung beginnt daher mit dem Faktor 2g. Der zweite Faktor besteht aus der Ableitung der Basis nach α beziehungsweise nach b. z'a = 2 (-3 - a - b)-(-1) + 2-(5 -2a-

b) (-2) + 2-(6 -3a-

b)-(-3)

= 2-(3 + a + b - 10 + 4a + 2b - 18 + 9a +3b) = 2-(14a + 6 b - 2 5 ) und z'„ = 2·(-3 - a - b)i-1) = 2·(3 + a + b-5+2a womit zl

+ 2 (5 -2a+ b-6

= 28; z"ab = 12; z"bb = 6.

Notwendige Bedingung: 28 a

+

12b

-

50

=

0

12a

+

6b

-

16

=

0

b) (-1) + 2 (6 -3a-

+ 3a + b) = 2 ( 6 a +

3b-8)

b) (-1)

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

75

Division beider Gleichungen durch den Faktor 2: 14a

+

66

-

25

=

0

6a

+

36

-

8

=

0

Aus der zweiten Gleichung: 3b = 8 - 6a. Eingesetzt in die erste Gleichung: 14a + 2 ( 8 - 6a) - 2 5 = 0 - » 2 a - 9 = 0 —> 9 36 = 8 - 6 2

->

19 ό= - — 3

Hinreichende Bedingung: Die zweiten partiellen Ableitungen nach α beziehungsweise nach b sind Konstanten, sie gelten für alle α und b, also insbesondere auch fur die errechneten Werte: C-'U-iO

2

=

28-6 - 122 = 24 > 0

Es liegt also ein Extremwert vor. Da z"a = 28 > 0 ist der Extremwert ein Minimum. 9

19

Die Regressionsgerade lautet: y = — ·* —— . (b) Man erhält ζ = [-4 - (2α + 6)]2 + [8 - (4α + b)]2 + [6 - (5α + 6)]2 + [9 - (7α + 6)]2 = [-4 - 2α - bf + [8 - 4α - 6]2 + [6 - 5α - b]2 + [9 - 7α - bf und damit z'a =2-(-4-2a-

b)i-2)

+ 2 (8 - 4α - ό)·(-4) + 2 (6 - 5a - b)-(-5) +

2 ( 9 - 7a - b)-(-7) = 2 (8 + 4a + 2b - 32 + 16a + 4 6 - 3 0 +25a + 5 6 - 6 3 +49a + 7b) = 2·(94α+ 1 8 6 - 117) sowie z'„ = 2·(-4 - 2 a - 6)·(-1) + 2 (8 - 4a - 6) ( - l ) + 2 (6 - 5a - 6) ( - l ) + 2·(9-7α-6)·(-1) = 2·(4 + 2a + 6 - 8 + Aa + 6 - 6 + 5a + 6 - 9 + 7a + 6) = 2·(18α + 46 - 19) womit z;0 = 188; z"ab = 3 6 ; z"bb =8. Notwendige

Bedingung:

188a

+

36 b

-

234

=

0

36a

+

86

-

38

=

0

Die zweite Gleichung wird durch 2 geteilt:

76

Teil I: Analysis 188α

+

36 b

-

234

= Ο

18α

+

Ab

-

19

= Ο

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: Ab = 19 - 18a. Eingesetzt in die erste Gleichung: 188a + 9 (19 - 18a) - 2 3 4 = Ο 63

*u

- > 4 6 = 1το 9 - 1 to 8

a = — 26 Hinreichende

Bedingung:

z"a-z"M

63

26

188a + 171 - 1 6 2 a - 234 = Ο - > 6L =

~{z"abf

26 a = 63

80 13

= 188-8 - 36 2 = 2 0 8 > 0. E s liegt ein E x t r e m w e r t

vor. Da z"aa = 188 > 0, ist der Extremwert ein Minimum. „ j , 63 80 Die Regressionsgerade lautet: y = — -x - —. L10: Lösung nach Lehrsatz 4: (a) ζ = -χ2 - ^y2

+ 4. Nebenbedingung (in normierter Form): -2x — y - 0. Lagrange-

Funktion: Z(x, y, λ) = Κ Κ

- I / =

= -2x - 2λ

= -2 κ

Notwendige

Bedingung:

+ 4 + Λ·(-2χ - y) -y-Ä

Z'λ =

—2x—y

=0

Ζ"

= -2

= —1

Ζ"

=

Ζ"

=0

-1

Z'x = 0 und Z'y = 0 und Z\=

-2x

-2/1

=

0

-y

-

λ

=

0

-2x

-

y

=

0

0

Aus der dritten Gleichung folgt: y = -2x. Eingesetzt in die zweite Gleichung: —2x 2x

-2/1

=

0

-

=

0

λ

Aus der zweiten Gleichung folgt: λ = 2x. Eingesetzt in die erste Gleichung: -2x - 2·2χ = 0 -> ~6x = 0 x=0 y = 0 -> ζ = 4.

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

Hinreichende

77

Bedingung:

Z" xx

Ζ"

Z"

Ζ"

xy

Z"

xy

Ζ" χλ Ζ"

yy

0

-2

0

-1

-1

-2

-1

0

=

Ζ"

Ζ"

-2

=

-2

0

-2

2

0

-1

-2

-1

0

-2

-2

2

-1

= 6> 0

=

Der Punkt (0 ; 0 ; 4) ist somit ein Maximum. (b) ζ = χ + y + 4. Nebenbedingung (in normierter Form): x2 +y2 - 1 = 0 . Lagrange-Funktion: Z(x,y,

ζ; = ι + ZI

=

X)

= χ + y Z;

2xä

2Λ

+ 4 + X-(x2 =

1 +

+y2

-

2yX

Bedingung:

Z'x

2

+ y -

1

ζ: = 2*

ζ;=2Λ

Notwendige

= x

ζ ;

= 0

Κ

1)

Z'

= 0 und

Ζ;

=2y

Ζ"

=0

= 0 und

Z'

=

0

l + 2Ax = 0 1+2^ =0 2

+• ;y- 2

1= 0

Aus der ersten Gleichung: 2X = — . Eingesetzt in die zweite Gleichung:

λ:

i+(---j0 = 0 X

x2 + y 2 - 1 = 0 Aus der ersten Gleichung folgt: y = x. Eingesetzt in die zweite Gleichung: „2 _ 1

2 -

2

2 z, =

Hinreichende

+4

42

;z2 = -VI + 4

Bedingung:

Ζ "XX

Ζ"

Ζ"

Ζ"

xy

Ζ" χλ

Ζ"

= 2X\-Ay2)

xy yy

Ζ" Ζ" λλ

2Χ

0

0

2Χ

yi =

2 X, =

(i) F ü r (x,

Ζ" χλ

VI

ß .

; y]

2χ

+ 2χ·(-~4χΧ)

2 =

VI

; y 2 =

VI , VI ;X = 2

; z,):

2χ 2Χ

=

~T

2 y

2

0

-8Xy 2

-

2

•-2X·

y

0

y

8/bt2 = -U-(y

Setzt man jetzt χ 1,^1 u n d X\ ein, ergibt sich:

2

y

+ 2χ·

0

2χ

2Χ

2y

+ λ:2)

~~2

Teil I: Analysis

78

- 8 · ( - — ) · ( - + - ) =4V2 >0 2 2 2 Der Punkt (χ, \y\ ; Zi) ist ein Maximum. (ii) Für (x 2 ; y2; z2): Man setze jetzt x2, y2 und λ2 in die Determinante ein: - 8·

•(— + —) = —4 λ/2 < 0 2 2

2

Der Punkt ( x 2 ; y2; z2) ist ein Minimum. (c) ζ = χ-y. Nebenbedingung (in normierter Form): x+y2-

1 = 0 . Lagrange-Funktion:

2

Z(x, y, X) = x-y + λ·(χ +y - 1) Z'x=y + Ä

Z; =x + 2Äy

Z" = 0

K = 1 z;=2Ä

Z'A=x+y2-l ζ'Λ =i z* =2y

Z" •''λ» = 0 Notwendige Bedingung: Z'x = 0 und Z' = 0 und Z· = 0 y + 2Äy

χ

= 0 =

2

x + y

λ

+

0

- 1 = 0

Aus der ersten Gleichung: λ = -y. Eingesetzt in die zweite Gleichung: χ

2 y2

-

χ

2

+

y

=0 - 1

=

0

Aus der ersten Gleichung: χ = 2y2. Eingesetzt in die zweite Gleichung: „

2

,

3v = 1 y zi =

2 1 y = — 3

V3 Vi = — ; V2= 3

7

2V3 2V3 ~ ; Z2 = - 9

S

->

3

3 '

=

2

—; 3

=

—2

3

3

Hinreichende Bedingung: Z"

Z*

0

Z"

Ζ"

Z"

1 2λ

Z"

Z" 'S*

Ζ"

1 2y

Z"xr

1

1

0 =

0

1

1

0 2(Ä-y) 1

2y

0

1

1

= 4y - 2/1

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen λ/3 (i) Einsetzen der WerteX\,y\ und λ\\

Λ/3 +

ein Maximum.

79

= 2^

λ/3

> 0 . Der Punkt

•,yl ; z : ) ist

λ/3

(ii) Einsetzen der Werte x2, y2 und Ä2: - 4 · — - 2 · - j - = - 2 -JJ < 0 . Der Punkt (;c2 ; y2 ; z2) ist ein Minimum. (d) ζ = x-y2. Nebenbedingung (in normierter Form): x2 +y - 1 =0. Lagrange-Funktion: Z(x, y, λ) = x-y1 + Λ·(χ2 + y - 1) z ; = / + 2Ax

z ; = 2xy + /l

z ; = 2/i

Z"*y = 2y Z"yy - 2x

Z" = 2x Z"

=

1

Z" = 0 Notwendige

Bedingung:

2λχ

+

y2

+

y

Z'x = 0 und Ζ' = 0 und Z' = 0

2 xy

+

χ

λ

=

0

=

0

- 1 = 0

Aus der zweiten Gleichung: λ = -2xy. Eingesetzt in die erste Gleichung: -4x

y 2

+

/

+

y

= 0 -

1

= 0

2_ Aus der zweiten Gleichung: χ = 1 - y . Eingesetzt in die erste Gleichung: - 4 (1 - y ) -y+y2

= Q -> 4y2-4y

+y2 = 0

5y2-4y

=0 ->χ(5^-4) =0

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn der (i) erste oder (ii) zweite Faktor gleich 0 ist: *n

(0 yi = 0

Hinreichende

*21 = — ; *22 = -

A, =0 16λ/5 -» Z21 = • ; Z22 :

Z\ = 0

41 5

\6-Js

125

125

8-s/J 25 Bedingung:

Z"xx Z" xy Ζ"*y yy Ζ" 'γη *·χλ t'yX -2x\2y-

i;χΐ2 — ι

λ/J

(ii) J>2 = /ί.22 —

_

Z" Ζ" ι Ζ"

=

2λ

2y

2x

2y

2x

1

2x

1

0

= 2x

4x2) - (2/1 - 4xy) = 4 xy - 8*3

2y 2x

2x

2λ

2y

1

2x

1

->

Ä2,

8λ/5 25

80

Teil I: Analysis

(I) Wir setzen die Werte x n , yi und A\ ein: - 8 < 0. Der Punkt ist ein Minimum. (II) Wir setzen die Werte xl2,yt

und A, ein: 8 > 0. Der Punkt ist ein Maximum.

(III) Wir setzen die Werte x2i,y2

und λ^ ein: —— > 0. Der Punkt ist ein Maximum.

(IV) Wir setzen die Werte x22,y2

8Λ/5 und A22 ein: — — < 0. Der Punkt ist ein Minimum.

(e) ζ = ax + by. Nebenbedingung (in normierter Form): xr • ys - c = 0. Lagrange-Funktion: Z(x, y, A) = ax + b y + A-(xr-ys - c ) Z'x=a

+ Αr/1

ZI =Ar(r-])

y

Ζ; = b + Xs-xr-ys-x

Z\ = xr-ys - c

χ1"2·/

z ; = ArsxrA·/"'

Z;a = rx1"'•/

z;

z; =

zi =o Um die Terme besser handhaben zu können, werden die Differenzen in den Exponenten in Brüche aufgelöst: Z'x=a

+ Ar^-^-

X

Z' = b + As^r

Z ' ^ M r - D ^ f χ2

Z" = Arsz

Notwendige

Bedingung:

^

=

Z\=xr-ys-c

y « .s

Z ' ^ r ^ 1 χ

xy A

s

(

y

s

-

z

;

=

s

·

^ y

Z'x = 0 und Z' = 0 und Z\ = 0

χ b+ As-^— = 0 y xrys -c = 0 Aus der dritten Gleichung folgt x r y s = c. Eingesetzt in die erste und dritte Gleichung: Q

a + Ar — = 0 —> ax + Are = 0 —> Are = -ax χ Q b + As·— = 0 - > b y + Asc = 0 Asc = - b y y

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

^

.

Damit

Arc

-ax

=

Äse

- b y

f

r

ax

s

by

as

-> — = —

r

—> y= —

= c

->

jT···

•c

—>

χ as

j

as y=

= c ergibt

br

bAs

•Xs

\br

..

χ . Eingesetzt in x y

ν

as

81

as

br

br

as

= —

χ br

• c'"

, br\+* -.r+s — |

br_

=

as

— , cr+*

as I

1 ^

as

f

-L

J r

y

Hinreichende

N\

as

r

r+s

bry Wir fügen x'-y1

Bedingung:

=

c in die zweiten partiellen Ableitungen ein: Arse

Är(r-\)c Ζ" D =

Κ ζ:

λ

2

χ

xy

X

Arse

As(s—l)c

sc

xy

y2 sc

y

rc X

y

ζ:,

xy

Ζ" yy

ζ ; ,

Ζ"

Zu

rc

0

Wir stellen aus der ersten Zeile, dann aus der zweiten und schließlich aus der dritten Zeile j e einen Faktor vor: A(r rc

sc

c

x2y

xy2

xy

D

rc

sc

2

-

xy

rsc •λ·

-1)^

xy

/l(s-l)x

xy

ry

sx

0

- Xy

λχ

0

Äry

Ä ( s - l ) x

xy

ry

sx

0

c

2

xy

Asx

Äry

χ

xy

- y

x

ry

sx

4

y

4

- Ay

Äx

ry

sx

i-])-xy·

Wir stellen aus der ersten Spalte den Faktor y und aus der zweiten Spalte den Faktor χ vor. Außerdem setzten wir A = -ax/(rc) ein: ^ - rsc D = - j χ y

-ax

-1

1

r

s

asc2

x y rc

xy

, . - ( - s - r ) =

asc2 r

, ( s + r)
0, 0 < r, s < 1 und a, c > 0. Es liegt somit ein Minimum vor.

0

82

Teil I: Analysis

(f)z = xr-y . Nebenbedingung (in normierter Form): ax + by - c

0. Lagrange-Funktion:

Z(x, y, A) = x' •y + A-(ax + by —c) z ; = s-xryl

= rxr-'-ys + λα r 2

z;

= r(r— \)-x ~ y'

+ Äb r l

/ '

λ = αχ + by- c Ζ" xk = a

1

=rs-x - y-

i)-xry2

z ; = s-(s-

Ζ" = b Ζ" = 0

Um die Terme besser handhaben zu können, werden die Differenzen in den Exponenten in Brüche aufgelöst und dann ζ = xr-ys eingesetzt: r,, Ζ =

r-z

_

Z'=

+ λα r-(r-\)-z

Z" =

— + Äb y r-s-z

Z\ = ax + by- c

21

xy

/

=a

Z

"yk

Notwendige Bedingung: Z'x = 0 und Z' = 0 und Z\ = 0 rZ

+

1λα

—

+

IL Xb

ax

+

by

— SZ

-

c

=

0

=

0

Aus der ersten Gleichung folgt r-z - -λαχ und aus der zweiten s-z = -Äby. Wir dividieren die ax as •JE. Eingesetzt in die dritte umgeformten Gleichungen durcheinander: ~by ~br as Gleichung: ax + b- — χ - c = 0. Multiplikation dieser Gleichung mit r: arx + asx — rc = 0 -> br r-c _ as _ as r-c _ s-c ax-(r + s) = rc br br a • (r + s) b-(r + s) a-(r + s) Hinreichende Bedingung:

YFF

Y IF

XX ^xy ytt D = 7» ^xy yy rjtt ZjrjU **χλ yk Z

χλ

r(r - l)z 2 X rsz

Μ Jtl λλ

xy a

Y*

Δ

rsz xy s(s -1)z 2 y b

a L Ο 0

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen rsz = a- xy a

s(s -1 )z -b-

y b

r(r -1 )z

rsz

χ a

xy b

83

Aus der ersten Zeile beider Determinanten wird ein Faktor vorgestellt, womit D = ci-

sz ty

= ^ xy

x2y

ry

( ί - l)x

a

b

(r - l)_v sx - b — • x2y

\rby - (s - l)ax] -

a

b

·[(>· - 1 )by- asx] χ y

— [asx{rby - asx + ax) - bry-(rby -by-

asx)]

——[asbrxy — a2s2x2 + a2sx2 - b2r2y2 + b2ry2 + asbrxy] χ y2 x2/

•Kasx - bryf + a2sx2 + b2ry2]

In diesen Term sind der errechnete x-Wert und der _y-Wert einzusetzen: Es genügt aber, diese Werte in die eckige Klammer einzusetzen, denn as

rc a(r + s)

, br

sc b(r + s)

So verbleibt nur der Term

χ y

r+s

= 0

[a sx2 + b2ry2]. Dieser ist positiv, da a, b, r, s, x, y, ζ > 0. Es

liegt ein Maximum vor. (g) ζ = - p i l n ρ ι - ρ 2 · In p 2 . Nebenbedingung (in normierter Form): ρ, + p 2 - 1 = 0. LagrangeFunktion: Z(p\,p2, λ) = -ρχΛηρ\

-p2 \np2 + λ·{ρχ

+p2-\)

Es gilt Z ' = - ( I n p \ + p \ · — ) + A = -(Inp x + 1) + λ. Entsprechend für Ζ ' , womit: Pi z ; —(In/», + 1

+A

Ζ'Ρι =-(Ιηρ2+1)

+λ

Ζ[=ρ,+ρ2-

1

84

T e i l I: Analysis

Notwendige Bedingung: Z'n = 0 und Z' -(Inpx

+ 1) + λ = 0 -»

Inpx = λ-

- { I n p 2 + 1) + λ = 0 Pi +P2-

= 0 und Ζ'λ = 0 1

px =

lnp2 = λ - 1

p2 =

1 =0

Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich

= p2. Setzt man dieses Ergebnis in die drit-

te Gleichung ein, erhält manp\ = p2 = 1/2. Hinreichende Bedingung: 1

£> =

Ζ"ΡιΡι Z"P1P2 Ζ "Ρ\λ Ζ" = Z" P\Pl Ζ"ΡιΡι Z' Ζ"Pi^ Ζ"λλ

1 P,

0

Ρι

1 1

0

Ρι 1

1

- — Λ

0

1

0 Pi

A 1

0

1

1

Ρι 1

Ρι 1

1

+ — >0 Pl

da 0 < ρ ι , p 2 < 1. E s liegt ein M a x i m u m vor. L I 1: (a) ζ = xr · / . Gleichung der Niveaulinien:

x4 ·y4

cJ

y =

=c

X

•v-4

50 40

3

.1 11 ι. ι \

30

c •\Tc

> \

ν \ : ν ν . ν

20

\

•s

c=4 10 Γ

~~~ 0.02

. 0.04

0.06

c — 1 0.08

0.1

85

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

1 2· = —j= (durchgezogene Linie); für c = 2 ist jr = —j=— (gepunktete Linie); für V* \X

Für c = 1 ist

c = 3 ist >• = — ( g e s t r i c h e l t e Linie); fur c = 4 isty = —j=— (Punkt-Strich-Linie). yx Vx ( b ) z = xr-ys

ζ; = rx'-1·/

dy _

z'x _

rz-y

dx

z'

x-sz

= — und ζ' = ί - χ ' / " 1 = — χ y _

->

r-y s-x

Weiterhin z^ = r(r - l)-jcr_ -y

• z" χ

=s(s-\)-xry

xy

_ j(i-l)-z •, womit y d2y d*

_

2

ί

-1 r

e

sz

\

r(r-\)-z

2

rz

rsz +

χ

v

sz

y

xy

(

r z

\

\ x J

y

v>V .3

2_3 j_V · r(r - 1 ) - 2 · r V z J + r2z3 • s(s -1)

sV =-

- 2 · Γ V + r V - i/· 2 )

· (s V -

s W y

Α ' s 3 ζ 3x 2 y 2

2

,

Λ +

Also d2y

_ r-y-(r

+ s)

d7 L12: ζ = xr-ys —> z'x = rxr seits z' = s-xr-ys~x ->

y

{

-ys = —-. x

Elastizität von ζ bezüglich x: —•— = r. Andererdx ζ

. Elastizität von ζ bezüglich y: — · — = s. dy ζ

86

. ,.

Teil I: Analysis

, ^

L 1 3 : (a)

c — A2

z = Ax+

.

ζ

=Α

aA

-y

b

und

2b

2 -y2 + Β

,

c - A

'

b

z„ =

aA

2

b

-v

Dies eingesetzt in die linke Seite der Differenzialgleichung ergibt 2 aA + b• ' c - A - r ~ T -

Al + ay-A

= A2 + ay-A

+ c - A2 - aA-y

= c

y

Letzteres ist die rechte Seite. (b)

ζ =

'

A-y2

x + —

ν

ΒV

. Zur partiellen Ableitung der Klammer benötigen wir die Kettenre-

y ,

B

gel: g = χ + — . Die Klammer erhält dann die Form g , womit y = -2g· 1 = - 2 -

z'x

'

Βλ x + —

y —1

z'y =2Ay~2g-B·—

Β —

=2 A-y+

y

B x +-

y

Linke Seite der Differenzialgleichung: f

4

R

x + -B

V

/ - 2x

)

V

γΛ

Β x + —

yS

\ Β

= 4·

\2

r -2x-

y Β

f

y.

y

-2A-y

Β x + —

—

y ,

•

2Β

y ) Β

2

= 2· x + —

- y +

/

Β x + —

\ \2

- y - 2A

Β x + —

ν

+2-

A - y

2

-

ΧΗ

B

\2

yJJ

(

Βλ

v

y )

+2A-/-2-

f

Βλ x + —

l

y )

= o

y j

Letzteres ist die rechte Seite. [Ä

Ay + B

χ

χ

(c) ζ = 2 • J — + " J

. Die Quadratwurzel wird nach der Kettenregel abgeleitet. Sei g

, dann nimmt die Wurzel die Form - J g an, womit

IV. Funktionen ζ = f(x, y) von zwei unabhängigen Variablen

87

+ Ay

+Β

= — γ

•( J Ä x +Ay

+

B)

Linke Seite der Differenzialgleichung: Ay + B - — • { y f Ä x + Ay

+

2 ·

-

2 J Ä x

= z„

- - • { j Ä x + A y + B - 2 - ^ Ä x - A y - B ) X

Letzteres ist die rechte Seite. (d)

ζ =

Axey

(y 2

- — A

+ 2)-e~y

+ 2y

+ B

z'x

=

A ^ .

Zur Berechnung von

ζ

benötigen

wir zunächst die Produktregel und innerhalb dieser die Kettenregel: z;

= Axe*

-

- ·\(y A L

2

+2y

+ 2)·

\e

y

]/

+ (2y

+ 2) • e

y

Die innere eckige Klammer wird nach der Kettenregel abgeleitet. Sei g = -y, dann nimmt die Klammer die Form £ an. Ableitung: e ^ ( - l ) , womit z'

=Axey-

— \ y A

— •ey• A

= Axt?-

2

[- y2

+2y

+ 2)

- 2y

e~y

- 2 + 2y

• ( - \ ) + {2y

+ 2 ] = Axe?

2)-e~y\

+

•yl-ey

+ A

Linke Seite der Differenzialgleichung: x \ A

e

y

)

- A f -

Axey

Letzteres ist die rechte Seite

+ — • y2 A

•e

y

+ ayz

= x-A2-e2y

- χ•Ai-eiy

- ayz

i == 10 + ay„2

V. Integralrechnung Α. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Lehrsatz 1: Es sei_y = ß x ) eine (stetige) Funktion. Dann gibt es unendlich viele Funktionen der Form F(x) + C, wobei C ein Parameter für reelle Zahlen ist, mit der Eigenschaft d[F(x) + C] dx

=ßxy

[y[ an bezeichnet die Funktionenmenge F(x) + C als unbestimmtes

ral der Funktion y = f(x) und schreibt Jf(x)dx = F(x) + C Dabei ist JC die Integrationsvariable Lehrsatz 2:

Integrationskonstante.

Grundintegrale

(a) 3[x"dx = - — + C n +1 (c)

und C die

mit« e R u n d « φ - \

dx = In χ + C

(f) J[ — \ — d x = t a n x + C cos χ

(g) Jf — \ - d x = -cot x + C

(h) J I'a'dx = —

sin χ

Ina

Lehrsatz 3: Integrationsregeln (a) Summen werden summandenweise integriert:

Kurz: \{f + g)dx = J/dx + jgdx

+C

(d) Jsin χ dx = -cos x + C

(e) J[cosxift = s i n x + C

\ { f { x ) + g{x))dx = \f(x)dx

(b) J\exdx=ex

+

\g{x)dx

+ C mit a > 1

Integ-

90

Teil I: Analysis

(b) Konstante Faktoren bleiben erhalten: ja • f (x)dx = a- j f (x)dx

mit α konstant

Kurz: ja- fdx - a- jfdx

Lehrsatz 4: Partielle

Integration

{/(*) · g'{x)dx

Kurz: jf-g'dx

=A*)-g(x) - j f ' ( x ) • g(x)dx

=fg-

j/'-gdx

Lehrsatz 5: Partialbruchzerlegung Gegeben sei eine gebrochen-rationale Funktion y =

q{x)

, das heißt p(x) und q(x) sind Poly-

nome, wobei der Nenner nur reelle Nullstellen x\,x2, ··.,*„ hat. Der Grad von p(x) sei kleiner als der Grad von q(x). Dann gilt: (a) Sind die Nullstellen von q(x) paarweise verschieden, so gilt P(x) _ q{x)

"ι

,

ΛΓ — JCJ

0 und a, b, c > 0

(c) 3U ex

——)dx mitαφΟ a-ex+\

\a-ex)dx

9. Kann a > 0 so gewählt werden, dass (a) f o(x

2dx

= — 16

(b) 'f . 2 X dx = 1 „JVlT47

a (d) J(4jc - 2) · e xl ~'* 2 dx = 0

10. Kann b so gewählt werden, dass

I 2 r x —;

4 -dx = — ?

(c) "f—Ϊ— dx = 0

96

Teil I: Analysis C. Lösungen

LI: Vergleiche Lehrsatz 3: 3\ x

(a)

2

d x

=

—

+ c

-1

= - ~ χ

+C

(b) _[(3χ2-4χ + 2 ) d x =3· J x = x

i

- 2 x

1

+ 2x

+

2

dx

- 4 •

f x d x

+ 2·

=3·— -4· —

j l d x

+2-x

+

C

C

(c) Jf(x2 --U& =J U2dx -J W'dx = — - — +C=--x3+-iT+C 3 x 3-2 3 ... r2x~'+3x5 , r . x χ 2 . , 1 r .4 , 1 r 2 , 1 x~3 1 χ3 _ I x

(d)

=

12 ι18* (e) J—^dx

=

I(T+T)£& = 6 • J(2x + 3 f d x

J(4x2

=

Ä +

Ä

7 '

=

1

«

3

+

7'T

+ c

2

= 4-y + 12· y + 9x + C

+ I 2 x + 9)dx

, + 9x + C = 43- ατ3 + 6* 5

(f) J(V?-4-Vx) a 2 = - 2 —> a 3 = — + 2 = — 4 4

4

Aus dem Ansatz fur die Partialbruchzerlegung folgt: 1 r 2x—2>x J

+ \ ^

=

J

x +5x +4* 1 fl , - ·

„ c 1 - 2· ί

J

}

4

x

15 r

+

x + \

jc J

dx

J

15 + — 4

—

r

+

J

χ +1 r 1 · | J

a2 = 3

Also f ^ l f * = 3\—dx

3 2

x -l

x +l

+ Jf - i - Λ = - Jf — dx + 3 · f J- i - dx

x-1

x +1

x-1

103

V. Integralrechnung

Für das erste Integral: g = χ + 1, dann dg/dx = 1, also dx = dg\ für das zweite Integral h = χ - 1, dann dh/dx = 1, also dx = dh. Also

r2x + 4 , r1 , „ fl „ , „, , _ , A3 _ , (jc — l)3 „ dx = - Ji—Jg + 3 · 1Γ—ί/Λ = - I n g + 3-ln A + C = I n — + C = l n — +C χ -1 g h g x+l

f— J

Für das gegebene Integral folgt: rx4+2x3+3 ,

;

J

χ -1

r, 2 ~

.n .

r2x + 4 ,

dx = J\(x2+2x + X)dx + —;

V - l

dx

3 , ( ^ - l )— = -1· χ 33+ χ 22 + χ + In+ C^ 3 jc + 1

(e) f — - \dx . Wie man sofort sieht, hat der Nenner bei χ = 3 eine dreifache Nullstelle. (* 3 ) Also ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung wie folgt: 2x2 - 2 _ (x-3)

3

α,

a2

x-3

(Jc-3)

(x-3)

_ α,χ 2 + (-6a, +a2)x + (9a,-3a2 (*-3)

_ a , ( ; t - 3 ) 2 +a1(x-2)

a3 2

3

(*-3)

+ ai

3

+a})

3

Die Brüche und der Nenner sind gleich, also müssen auch die Zähler übereinstimmen: α,

= 2

- 6α,

+

α2

= 0

9α,

-

3 α2

+

α3

=

- 2

Es ergibt sich α! = 2. Aus der zweiten Gleichung: a2 = 6aι -> a 2 = 12. Aus der dritten Gleichung: o 3 = - 2 - 9a, + 3a 2 a 3 = 16. Damit 2

r2x J

-2 , rdx = 3

(x-3)

f

2

J

JC-3

Für alle Integrale: g = x-3,

dx +

f

12 (* - 3)

J Tdx

+

r

16

J

(*-3)3

dann dg/dx = 1, also dg = dx\ womit + 12· \g~2dx + 16·

... =2- J—dg + 12· j~~~dx + 16· J-^-cfcc = 2 · \-dg

S

S

S

f>~2 = 2 - l n g + 1 2 · — + 16·^— + C = 2-lng -

1

= 2In(jc-3)- —

x-3

-dx

-

2

(x-3)2

+C

S 12

g

8 -- + C

g

104

Teil I: Analysis

(f) 3f

χ

X

+

}—dx.

-2χ

Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren:

+ χ

χ3 - 2χ2 + χ = χ·(χ2 - 2χ + 1) = χ·(χ - 1 f

Der Nenner hat eine einfache Nullstelle bei χ = 0 und eine zweifache Nullstelle bei * = 1. Ansatz für die Partialbruchzerlegung: x2 + 1 3

2

x -2x

_ α,

+x

_ (α, + a2)x2

α3

a2

χ

x-\

+ ( - 2 a , -a2 Xs -2x2

(x-l) + a})x

- l) 2 + a2(x - l)x + a3x

_ 2

x(x-l)2

+ α,

+x

Der Bruch und die Nenner sind gleich, also müssen auch die Zähler übereinstimmen: ai

+

a2

-2α,

-

a2

= 1

+

a3

= 0 =

1

Aus a\ = 1 folgt durch Einsetzen in die erste Gleichung: a2 = 0. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich dann: - 2 + a 3 = 0, also a 3 = 2. f , * +,1 Χ'-2χ2+Χ

3

dx =

f ( — + — - — τ ) ά χ = \—dx J χ (λ: -1) x

y

Für das zweite Integral: g = χ - 1 -> dg/dx = 1 , ι

. . . = In * + 2 · \—dg

+2-

—rdx (x-1)

dx = dg. Also

p'1 = l n x + 2 · - — +C=\nx

V

f

J

2

-1

+C

x-l

L4: Vergleiche Lehrsatz 6: (a) Jfsin(x - 2 ) d x . Sei g = χ - 2 -> — = 1

dx = dg. Also

dx

|sin(x - 2)dx = Jsin g dg = - c o s g + C = -cos(x - 2) + C

(b) J\U\-5xdx.

Seig= 1 - 5 * - » · — =-5

dx= ^ .

dx

-5

7

Also

105

V . Integralrechnung

(c) [—-—dx . Sei g = χ + a J x+ a \-^—dx x+ a

=

3

(d) \(Χ-1)·ΛΙΧ J

\-dg J g

=\ng

3 dx.Seig

+

— = 1 -> dx = dg. Also dx

\{x-X)-J^3dx

+ C=\n{x

= x + 3 ->

+ a) + C

dx

= /(jc-I)-VF

= 1 ->

dx = dg. Also

«fe

Aus g = χ + 3 folgt* = g - 3. Eingesetzt: •·•= l

3

2

2

r , tan χ dx =

J

rsinx J

i Jg'dg

·(-·(* + 3)- - ) + C 5 3

= (x + 3)-yfc+3

^ (e)

2 1 1 = J(g>-4-gi)dg = jg^g-4·

j(g-4)-yfgdg

cosx

Α*

_ . . Sei g = cos

Χ

-»

dg — dx

= -sin

JI

, dg . , -> dx = — 2 — . Bis auf den -sin*

Faktor (-1) ist der Zähler die erste Ableitung des Nenners. r , rsinx , fsin* dg tan χ dx = dx = — = ·" J cosjc fnc ν J σ — einx γ ' g -sm

J

r1 , , , — dg = -In g + C = -ln(cos x) + C *g σ

= In—ί— + C cosx

(f)

fcotxdx =

J

f c o s * dx. Sei g = sin χ sinx

J

-»

— dx

= cos χ -> dx =

cosx

. Der Zähler ist

gleich der ersten Ableitung des Nenners. r , I cot χ dx

J

= J

fCOSX , dx = sinx

fCOSX J

g

dg — cosx

=

r1 — dg g

J

, , , . , „ = l n g + c = ln(sinx) + C

Teil I: Analysis

106

(g) [

sin * = c ix. Sei g = 1 - cos χ -> — = sin x - » Vl-cosx

= ^ . Also cinv smx

2

Vi - cos*

J

Vg

sin χ

2 3

J

2

= — -\/(1-COSJC)2 + C e2x

(h) f — i£c. Sei g = 1 + e2*. Ableitung nach der Kettenregel: h = 2x g = 1 + eA ->• J 1 +e dg/dx = eh-2 = 2-e2*. Bis auf den konstanten Faktor 2 ist die erste Ableitung des Nenners gleich dem Zähler. 2 J

l + e2*

2 j? g 2-e λ-e" *

J

In *J\ + elx

21

2Ζ J"j?g

2

2

5

+C

(i) JlO "dx. Umrechnung des Integranden in eine Potenz mit der Basis e: γ = 10 x -> Iny = ln(10~*) = -χΛη 10 -> y = e~*'ln 10. Also JlO- X dx =

j'eM0dx

Sei g = -χ·1η 10 ->· — = -In 10 -> dx = dx

...=

_

[eM*dx

= Jf

J

1 lnlO

-j-ln 10+. C~ =

e

=

- lnlO

-In 10

. Also

—· J fe*dg =

lnlO

lnlO

—-e*+C

1 10 ~X + C lnlO

(j) J[ * + t a " * · cos χ dx cos χ

dx = (cos2 x) dg. Also 3

J

COS X

=

JJL.(C0S>x)dg = COS AT

J

i g

\dg = 4 _ 2

+ c

107

V. Integralrechnung

(k) 1\3x3-ylx2-2dx

. Seig = x2-2

l3x}-47^2dx

->

=

dx

= 2x -> dx =

= | ·

2x

. Also

Sx'Jgdg

Aus g = x2 -2 folgt χλ = g + 2. Eingesetzt: ,2

-

_

= I · S(g + 2)Jgdg

= | • { ( g 1 + 2 g'^dg

+ C =

f "Ϋ"

= (x2 -2)-Jx2

= | · \g*dg

+

C = g^(^g

f ^ ' ^

Zur Berechnung der ersten Ableitung benötigt man für

den zweiten Summanden die Kettenregel: h = -x -» dh/dx = - 1 Ä= — _ re'-e"1 g

.... I

+ 2) + C

-2 ·(—(jc2 - 2 ) + 2 ) + C

g —^ i — ^ y d x . Sei g = e* + e \

e'-e"*

+ 3· { g ^ g

.

ί/g/ütc = ex + eA ( - l ) =

Also _(

-2,

_ g

+ C

e„χ - e - χ Λ

L5: Wir lösen die bestimmten Integrale in zwei Schritten: (i) Lösung des zugehörigen unbestimmten Integrals, (ii) Einsetzen der Grenzen in die gefundene Stammfunktion. ι

ι

(a) J — dx = jx-e~x'dx . (i) Jx · e~" dx. Sei g = -x2

= 3fx-eg·-^-2x

[xe^dx

3

1

(ii) j-^-dx 0e

I

= jx e~'2dx 0

1 2

— =-2x dx

= - - · 3\egdg =---e8 2 2 e

+ C =--• 2

dx=

e~*'

-2x

. Also

+C

. 2

2

2

e

6 r cosx + sinx . dg . f cosx + sinx i£t . Sei g = cos χ - sin χ —> —— = -sin χ - c o s χ (b) JI : — d x . ( ι ) IJ cosx-stnx c o s * - s i n λ: dx

-(cos χ + sin x) —> dx =

dg , Also - (cos* + sin x)

108

Teil I: Analysis rcosx + sinx , e cosx + sin a: dg : — d x = JJg - ( c o s x + sinx) cos*-sin χ

JJ

1 = -ln(cos χ - sin x) + C = In cos x - sin χ

- J J~ d g = - l n g + C g

+ c

χ + sin (ü) J-cos cos χ - sin

χ dx = Inχ cosx-sinx

(c) jx-e'dx.(

i) Jx · e Xdx . Sei g = -x -> — =-1 -» dx = -dg. Also dx

\x-exdx

= jx-eg-(-l)dg

= lnπ cos 6

1 . π sin — 6

= j(-g) • eg • (-l)dg

=

1 1 - ,In - = ιIn 1 π . π cos sin — 6 6

jg-egdg

Jetzt Anwendung der Formel für die partielle Integration: j g -egdg. Wir setzen h = g und k' = e* -> h' = 1 und k - e?. Also fg-e'dg

=g-(*~ jl·e g dg = g-e?-

jxe~xdx

= (-χ-

(ii) \x-exdx J

+ C = (g- 1)·β* + C

l)-e'x + C = -(x+ l)-e'x + C

n = - ( χ + 1)·έΗ =-2-e"1 - ( - 1 ) = 1 l 10

2 λ

IM ι (d) jVVx + 4 d x = J (x + A)3 dx = J(x + 4) 6 i£c. (i) J(x + 4)6

Ä

7

|(* + 4 ) « Λ = Jg~ dg = ^ 6

+C=yg·^

(ü) JA/^x + 4ift = - • ( x + 4)-Vx + 4 7

=

£.5.6/5 7

+ C = y(x

+ 4)-6^74

_®.4.«/4 = £.(5. 7 7

«/J _ 4 - V 4 ) « l , 3

ff ( (e) J(l + Vl + sinx)-cosx dx . (i) J(l + Vl + sinx)-cosx otx:. Sei g = 1 + sin χ dg cos χ -> dx = — — . Also cos λ:

+C

dx

109

V. Integralrechnung

g2)dg

[(1 + V l + s i n ; t ) c o s x dx = Jf(l + J g ) - c o s x — — = Jf(l + cosx

3

Jl dg + lg-*dg=g+£r

+C = g+--g-VJ

+ C = g ( l + — · y[g ) + c

= (1 + sin χ)·(1 + — • λ/ι + sin λ: ) + C

κ

(ii) f(l + Vi + sin x ) · c o s x dx = (1 + sin λ) · (1 + — • Vi + s i n x ) = 0 0

fV f i i1++VVx ^ ^,

(f)

0i Also

tyjl fV l ++Vyfx i ^ . ^ Vx

(i)

Vx

p/L^L,

= ώ . 2 ^

V*

.... y V i + V I ^ "

)

h

/

r

*

+

^

=

λ

=2· fgW

_

J _ 2Vx

=2·^

tJx

_

ct^-rx-dg.

+C=\-gfg+C

i.

= j - O + V* ) - V i + V *


x

2

-x-2=0

1±3 2

Also χ = - 1 oder χ = 2. Die Nullstellen der Parabel liegen bei χ = ; die Nullstelle der Geraden bei χ = 3, das heißt, keine dieser Nullstellen liegt zwischen - 1 und 2. Für die Fläche Fgilt

F= j(-x2 +5)dx - |(-x + 3)dx =

χ1

(

χ2

2

x3 Λ

λ

+ 5 x - - — + 3x 3 l 2 -1

J

=

x2 _ Λ + — + 2x 3 2

110

Teil I: Analysis 1

- + 2 + 4 - (— + 3 3 2

2^ ) = 92

(b) .y = x 2 und y =

. Diese Funktionen haben für χ > 0 keine Nullstellen. Schnitt beider

Kurven: χ2 = yfx

x2 - Jx

= 0 -»

-Ix •( -fx - 1 ) = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren

ist gleich 0, wenn (i) der erste oder (ii) der zweite Faktor gleich 0 ist: (i)

=0

4x

λ; = 0

(ii) V T - 1 = 0 -> V x 3 = l - >

Vjc = 1 —> jc = 1

Damit [ F = jyfxdx

1 -

|x2dx

=

—·4χ

3

-—

3

=

1 - 1 - 0 = 1 3 3 3

111

V. Integralrechnung

(c) y = χ 3 - δ* 2 + 15*. Wir untersuchen zunächst, welche Nullstellen diese Funktion hat: x 3 - 8x2 + 15x = 0 x ( x 2 - 8x + 15) = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist gleich 0, wenn (i) der erste oder (ii) der zweite Faktor gleich 0 ist: (i) x = 0 8 ± V64 - 4 - 1 15

(ii) χ - 8x + 1 5 = 0

8±2

=4± 1 χ = 3 oder χ = 5 2-1 2 Im Intervall ]0; 3[ sind die Funktionswerte positiv, im Intervall ]3; 5[ negativ. Wir dürfen das bestimmte Integral somit nicht in den Grenzen von 0 bis 5 nehmen, sondern müssen dieses Intervall bei 3 teilen: j j x 3 - 8 x 2 + 1 5 xdx 0

χ4 χ3 χ2 = — - 8 · — + 15· — 4 3 2

5

x4 x3 x2 J x 3 - 8 x 2 + 1 5 x < £ t = — - 8 — + 15 — 4 3 2

4

3

63 4 125

63

16

12

4

3

12

(d) y = —x4 - 2x2 + 4. Wir berechnen zunächst die Extremwerte dieser Funktion: y' = 4 x3-4x -»· / ' = 3 · χ 2 - 4 . Notwendige Bedingung: χ3 - 4x = 0 -> x-(x2 - 4) = 0. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn (i) der erste oder (ii) der zweite Faktor gleich 0 ist: (i) χ = 0 (ii) x 2 - 4 = 0 x 2 = 4 - > χ = - 2 oder χ = 2 Hinreichende Bedingung: / ' ( - 2 ) = 3 4 - 4 = 8 > 0, also liegt an der Stelle χ = - 2 ein Minimum vor; y"(0) = - 4 < 0, also liegt an der Stelle χ = 0 ein Maximum vor; y"(2) = 3 - 4 - 4 = 8 > 0, also liegt an der Stelle χ = 2 ein Minimum vor. Das gegebene Polygon vierten Grades ist nach oben geöffnet, die Minima sind die kleinsten Funktionswerte. Daher kann

112

Teil I: Analysis

y = -xA-2x2

+4

keine negativen Funktionswerte annehmen. Da aus χ = 0 die Gleichheit y = 4 folgt, ist y = 4 die Gleichung der Tangente im Punkt (0 ; 4). Schnitt der gegebenen Funktion mitjy = 4: — x4-

2x2 + 4 = 4

-X4-2X2

= 0

x2i-x2-

2) = 0

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist 0, wenn (i) der erste oder (ii) der zweite Faktor gleich 0 ist: (i) χ 2 = 0 x= 0 χ = -2 42

oder χ = 2 4Ϊ

1 . , Da die gegebene F u n k t i o n y =—χ - 2x + 4 symmetrisch z u r y - A c h s e ist, ist auch die ge4 suchte Fläche symmetrisch zur y-Achse. Es genügt also, das bestimmte Integral in den Grenzen von 0 bis 2

zu berechnen und dann das Ergebnis zu verdoppeln. Die gesuchte Fläche

F ist somit die Restfläche des Rechtecks mit Grundlinie von χ = - 2 s

bis χ = 2

Höhe 4. Also

4-\/2 -4-F=2·

= 2.(32V2

2

f (--x*-2x +4)dx 0* 4n

_ W 2

+ 8

^

)

Daher

15

15

= 2

=2

. W 2

=

1 χ5 4

5

112^

3 2„ —x + „4x 3

21/2

und der

V. Integralrechnung

113

L 7 : Wir lösen die einseitig uneigentlichen Integrale in drei Schritten: (i) Wir berechnen zunächst das zugehörige unbestimmte Integral, (ii) ersetzen die obere Grenze durch b beziehungsweise die untere Grenze (-00) durch α und (iii) lassen schließlich b - » 00 beziehungsweise a —> -00 gehen. je'xdx

(a) "je'dx.Q) 0

-1

(b)

^ =-1 ^^

= jeg · ( - 1 )dg = - je'dg

je'dx

(ii) \exdx J Λ

. Sei g = -x

=\-ext I

ι

lO

=-eh-(-\)

= \-\.(\\\) 0C·

(c)

fe-* dx = dx

it ?2

+ c_ = 2 a

τ^ r—

b

+_c

. Also

+

1.

114

Teil I: Analysis = — •yfbx + C

— = - 2 -> dx

dx

dx

. = —d h . aAlso - 2

... =

4α-

Je« -(-dg)

-

4·

jeh ^

= -4α·

jegdg

+ 2·

= -4α-e* + 2-e A + C

= -4a-e"* + 2-e" 2 * + C = 2e"'-(e" J: - 2 a ) + C L 9 : (a) f , dx = — . (i) fJ ,2 * 2. ο (x + 4 ) 16 (x +4) Also J(*2+4)2 1

2 · (x + 4 )

J

g 2 2x

2

J

. Sei g = x 2 + 4 ->

2 - 1

^

Ä

= 2x ^

dx=

dg

2x

2g

+ C

1 1 1 1 1 1 + - = — -> (ü) J-„( * 2 + 4 ) 2 Ä = 2 · ( x + 4 ) 2 · (α 2 + 4 ) 8 16 2 · ( α 2 + 4 ) 16 2·(α 2 + 4 ) = 1 6 -> α 2 + 4 = 8 —> α 2 = 4 α = - 2 oder α = 2. Da α > 0 nach Voraussetzung, folgt α = 2. (b)

— — d i r . Sei g = 1 + 4x 2 -> ^ = 8x ->

— dx

= 3x2

Also

3x

] s 3 J_M 2 J/-v {x + b)

j rrl 2 Tv2 g 3x

1

..... 1 , 1 (ill)-·( 3 b

1

=

ι

l

-

3-(x'+b)

, 4 )= — -> 1+b 3

(2b + l) 2 = 0 - >

b

3

-1

+c = ~— +c 3g

+ C

3-(x'+b)

00 ί τ τ ^ η τ τ ^ ί ( χ + b r

1 Jb

3-(1 + ä) 1 b-(\ + b)

:

+ — = 1 ( 1 3b 3 b

— ) 1+b

- 4 - » -A-b-( 1 + b) = 1 - > 462 +

+ 1 = 0 ->·

Teil II: Aufgaben zur Linearen Algebra mit Lösungen

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme Α. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Definition: Jedes Gleichungssystem, das durch Äquivalenzumformungen in die folgende Form gebracht werden kann, bezeichnet man als ein lineares Gleichungssystem: αη·χι

+

an ·χ2

+

α 2 1 ·χ,

+

α22·χ2

+

••·

+

αΙη·χ,

b, b, b,m

Dabei sind xu x2, ...,x„ die Variablen (für reelle Zahlen) des Gleichungssystems. Die b, und a0 (i = 1 , 2 , ..., m\j = 1 , 2 , ..., ri) sind Parameter fur reelle Zahlen. Man bezeichnet die ay auch als die Koeffizienten des Gleichungssystems. Definition: Ein lineares Gleichungssystem ist normiert, wenn gilt: (a) In allen Gleichungen des Systems befinden sich die Summanden mit den Variablen auf der linken, die übrigen auf der rechten Seite. (b) Die Summanden mit gleichen Variablen stehen senkrecht untereinander. Definition: Gilt b\ = b2 = ... = bm = 0, so bezeichnet man das lineare Gleichungssystem als homogen, sonst als inhomogen. Definition: Ein «-Tupel reeller Zahlen (xi\ x2', ..., x„') bezeichnet man als eine Lösung des linearen Gleichungssystem, wenn die Einsetzung xx = X\ ,x2=x2 , •••, xπ = alle Gleichungen des Systems erfüllt. Die Menge aller Lösungen ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Als Lösungsverfahren verwenden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren und beschränken uns auf die beiden folgenden Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems: (i) Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ungleich null, (ii) Addition einer Gleichung zu einer anderen. Das heißt, es sind jeweils die linken Seiten und auch die rechten Seiten von zwei Gleichungen zu addieren. Da die Multiplikation mit ( - 1 ) und anschließende Addition einer Subtraktion entspricht und die Division durch eine Zahl ungleich 0 gleichbedeutend ist mit einer Multiplikation mit dem

Teil II: Lineare Algebra

120

Kehrwert dieser Zahl, umschließen die beiden Äquivalenzumformungen auch die Subtraktion und die Division. Für die praktische Durchführung der Lösung eines linearen Gleichungssystems ist es zweckmäßig, am Rande anzugeben, welche Rechenschritte man vorgenommen hatte, damit eine Kontrollrechnung möglichst einfach wird. Wir erläutern die Bezeichnungen an einem Beispiel: 2*,

-5X2

+

6X2

+ x2

+x3

9

=

-x3

==

-7

-2*3

==

-8

Multiplikation der zweiten Gleichung mit ( - 2 ) : 2*,

-5X2

+* 3

=

x,

+6X2

-*

=

— 3*,

3

9 - 7

-(-2)

+ χ2

— 2xj

— —8

-5*2

+*3

==

9

-12Λ: 2

+ 2x 3

==

14

+ x2

-2*3

=:

-8

Ergebnis: 2*, -2x,

-3*,

Addition der zweiten zur ersten Gleichung, das heißt, die erste wird durch die Summe ersetzt, die zweite bleibt unverändert: 2*,

-5*2

+*3

==

9

+

-2*,

-12*2

+ 2*3

==

14

+

+ *2 - 2 * 3

==

-8

-3*, Ergebnis: 0*,

-17*2

+3*3

==

23

-2*,

-12*2

+ 2*3

==

14

-3*|

+ *2

-2*3

==

-8

Um die Schreibarbeit möglichst einzugrenzen, empfiehlt es sich, mehrere Schritte zusammenzufassen. Beispielsweise: 2*,

-3*,

+*3

==

9

+

+ 6*2

-*3

==

-7

•(-2)

+ *2

-2*3

==

-8

-5*2

121

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme Durch die Zeichen rechts vom Gleichungssystem werden drei Schritte zusammengefasst: (a) Multiplikation der zweiten Gleichung mit (-2), (b) Addition der zweiten Gleichung zur ersten, (c) Division der zweiten Gleichung durch (-2). Ergebnis: Οχ,

-17χ2

+3x 3

=

23

+ 6X2

- x3

=

- 7

-2x3

=

-8

x,

+ x2

-3x,

Insgesamt heißt dies: Die erste Gleichung wird ersetzt durch die Summe, die zweite und die dritte (diese wurde gar nicht in die Umformung mit einbezogen) bleiben unverändert. Solche Rechen-Dreischritte können jetzt wiederholt werden: Ox,

-17x2

+3x 3

+ 6x2 -3x,

+ x2

-2x3

=

23

=

-7

•3

=

-8

+

+3x 3

=

23

+ 6x2

-x3

=

-7

Ox,

+ 19x 2

-5x3

=

-29

+

Ox,

-17 x2

+3X3

==

23

+

+

-*J + lx 3

== ==

-7

Ox,

Ox,

6X2

-15XJ

17

•2

+ •(-3)

+

Die Bezeichnung neben dem letzten Gleichungssystem meint die Durchführung eines Rechen-Dreischritts und gleich danach die eines zweiten. Ox,

+28x 2

+0x 3

=

-28

lx,

-9X2

+0x3

=

10

:28

Οχ,

-15χ2

+lx3

=

17

Ox,

+lx2

+0x 3

==

-1

-9

lx,

-9x2

+ 0x 3

==

10

+

Ox,

-15x2

+ lXj

==

17

15

+

122

Teil II: Lineare Algebra Ox, Ox,

+1χ2

+0x3

== - 1

+ 0x2

+ 0x3

== 1

+ 0x2

+ lX3 ==

2

Befreit man nun das letzte Gleichungssystem von den überflüssigen Nullen und Einsen, ergibt sich als Lösungx { = l;x2 = -l;x3 = 2. Setzt man diese Zahlen in das zu Anfang gegebene Gleichungssystem ein, sind alle drei Gleichungen erfüllt. Wir wollen die Durchrechnung jetzt noch etwas vereinfachen. Geht man stets von einem linearen Gleichungssystem in normierter Form aus, so ändern sich bei der Durchführung der Äquivalenzumformungen (i) und (ii) lediglich die Koeffizienten und die Konstanten der rechten Seiten, die Variablen dagegen behalten ihre Position. Daher genügt es - bei der Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens - sich die Position der Variablen zu merken und lediglich die Veränderung der Konstanten zu verfolgen. Definition: Jedes rechteckige Schema

^mn ) wobei die t reelle Terme sind, bezeichnet man als eine Matrix. Die horizontalen Anordnungen sind die Zeilen, die vertikalen die Spalten der Matrix. Wir beginnen die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Aufstellen der so genannten erweiterten Koeffizientenmatrix'. JC)

X2

...

xn

a\\

0\2

···

«in

bι

a21

«22

···

χ,

-αχ2

=

1

+ αχ2

==

0

-*1

+ 2αχ 2

== - 1

Teil II: Lineare Algebra

128

C. Lösungen LI: X,

2

1 -3 2 3 [1] 0 0 1 0 0 1 0 0 1

*2 -5 6 1 -5 1 -9 13 [28] -9 13 [1] -9 0 1 0

*3 [1] -1 -2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

+ 9 •2 + -7 + -8 + 9 + 2 10 (-2) •(-3) -11 -28 :28 10 -11 + -1 •(-13) •9 + 10 2 -1 1

Lösung: = 1; x2 = -1; X3 = 2 Probe: 2-1 -5·(-1) +1-2 = 9 Μ +6·(-1) -1-2 = -7 -3-1 +1·(-1) -2-2 = -8 L2: Das Gleichungssystem ist zuerst zu normieren: +x3 0 9*, -2X + 3x} 0 3.x, -6X + 4X3 0 Χι XI *3 3 -4 [1] 0 •(-3) + •H) 9 -2 3 0 + 13 -6 4 0 3 -4 1 0 0 10 0 0 [i] 10 0 0 •(-3) 0 -34 1 0 0 [10] 0 0 :10 1 10 0 0 - 4 X

2

2

-

2

=

129

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme 0 0 1

-34 [1] 10

1 0 0

0 0 0

0 0 1

0 1

1 0

0 0

0

0

0

Lösung: X) = x2 = X3 = 0 Probe: trivial

L3: X3

X\

1

-3 7 -8

[1] -1 4

7 -9 26

-3 4 4

1

[-1] -1

0 0

7 -2 -2

1

-3

[1] -1

-A

1 0

7 2

4

0

-2

1

5 2 0 5 2

-2 3 1

0 1 0

-4 0

1 0 0

0 1

1 -4

1 0

+ +

•M)

+

+ •(-i)

+ +

XXX

Lösung: x, = 2 + 4c; x2 = c beliebig; x3 = 5 - c Probe: 1 (2 + 4 c )

-3c

+1 (5 - c )

- 2 ( 2 + 4c)

+7 c

- 1 • (5 - c )

= =

-9

7

3 · (2 + 4 c )

-8c

+ 4 · (5 - c )

=

26

L 4 : Das Gleichungssystem ist zuerst zu normieren: 3*,

+4X2 -3X2

2x,

=

-10

+ 5x 3

=

0

+ 5*3

-

-x3

+ x2

-5

x\ 3

4

[1] -2

-3 1

-1 5 5

-10 0 -5

Teil II: Lineare Algebra

130 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

13 -3 [-5] 13 -3

-16 5 15 -16 5 -3 [231 -4 -3

m 0 0 1 0 0 1 0 0 1

[1] -4

-3 1 0 0

-10 0 -5 -10 0 1 -23 3 1 -1 3 1 -1 -1 -2

Lösung: X\ = - 1 ; x2 = - 2 ;

:(-5) + •(-13) :23

•4 +

+ •3

•3 +

= -1

Probe: 3.(_1)

+4

l-(-l) -2·(-ΐ)

. (-2)

-l-(-l)

=

-10

- 3 · (-2)

+5(-l)

=

0

+1 · ( - 2 )

+5·(-1)

=

-5

L5: *2 3 -12 -6 3 -12 -12 3 -4 -12 -1 -4 0

-15 17 -13 -15 17 17 -15 17/3 17 -28/3 17/3 0

x4

*3 -1 3 1 -1 [31 3 -1

[1] 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0

PI 3 0 1 0

7 -2 5 7 -2 -9 7 -2/3 -9 19/3 -2/3 -7

•(-2) + :3 + +

•Η) +

Die letzte Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

L6: X,

1 3 1

*2 0 [1] 2

*3 -1 -3 -2

4 -1 2

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme [1] 3 -5 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

-1 -3 4 -1 0 Hl -1 0 fi] 0 0 1

4 -1 4 4 -13 24 4 -13 -24 -20 -13 -24

131

•(-3) +

:(-l) +

+

Lösung: x\ = - 2 0 ; x2 = -13; x3 = - 2 4 Probe: 1 · (-20)

- 1 -(-24)

=

4

3 · (-20)

+1(-13)

- 3 • (-24)

=

-1

1 ·(—20)

+ 2 (-13)

- 2 (-24)

=

2

L7: 2 [1] -2 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

*2 -1 3 -1 3 -7 3 5 6 -7 3 -5 6 18 -2 -5 -9 18 -2 -5 -3

*3 3 -1 1 -2 5 -1 [-1] -3 5 -1 [1] -3 0 0 1 0 0 0 1 0

*4 -1 2 -4

1 -5 2 0 3 -5 2 0 3 -5 2 0 [3] -5 2 0 [1]

0 -1 2 1 2 -1 0 0 2 -1 0 0 2 -1 0 0 2 -1 0 0

+ •(-2)

2 +

+ + (-5)

+

•3 +

:3 + +

•5

•(-2)

132

Teil II: Lineare Algebra

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

[1] 4 -5 -3 1 0 0 0

x\

Losung:

Probe: -11 2 3 -11 1· 2·

-11 ~ r

•1·

-11

=

-1

X] 2

-1 5 2 5 5 2 -5 5 -3 -5 0 -3 -5 Lösung:

-11

2

7 2 + 3· "3 2 -1 "3 2 +3 3

~3~

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

[3] 4 -5 -3

;

x2

=

2

—;xj=

10 + 3· Τ 10 -1· 3 10 + 13 10 -2· Τ

2 -1 0 0 2/3 -1 0 0 2/3 -11/3 10/3 2 10 — ;

- 1 •2

=

+ 2 •2

=

- 4 •2

=

•2 + l·

=

= 2

X2 -1

[1] 2 -3 - 1 0 -1 1 [-1] 0 - 1 0 -1 1 [1] 0 - 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

3 0 9 3 9 9 3 -9 9 -6 -9 0 -6 -9

-3 +

:(-l) + +

XXX

= c beliebig; x2 - - 9 + 5c; x 3 = - 6 + 3c

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme Probe: 2c - l - ( - 9 + 5c)

+ l ( - 6 + 3c)

=

3

-c

+ 2 - ( - 9 + 5c)

- 3 ( - 6 + 3c)

=

0

5c

- 1 · ( - 9 + 5c)

=

9

[1] 2 -1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Χι -1 5 2 -3 -1 7 [1] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

X$ 1 -3 -1 2 1 -5 0 -1 1 -5 0 1 -5 0 ΠΙ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

X

A -2 1 1 -1 -2 5 -1 5 -3 12 -1 5 -3 12 -1 -5 2 [-13] -1 -5 2 [1] -1 -5 0 1 0 0

Lösung: xt = x2 = xj = *4 = 0 Probe: trivial

133

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

•(-2)

+

+ +

+ + +

(-7)

+ +

(-1)

•5

:(-13)

+

•(-2)

+ +

134

Teil II: Lineare Algebra

LIO: X\ 2 -1 7 -11 1 [3] -1 12 -15 3 [1] -1 12 -15 3 1 0 0 0 0 1 0

X2 -1 3 -1 8 2 -4 3 -16 20 -4 -4/3 3 -16 20 -4 -4/3 5/3 0 0 0 -4/3 5/3

Xj 1 [1] 5 -4 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Lösung: jcj = ^c;x2Probe: 4 2 —c 3 4 - 1 - - C

3 4 7—c 3

-1-c

+1

+3-c

+1

-1-c

+5

+ .(_!)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-(-5) +

3 -5 3 -5 3

-(-2)

+ + :3

+ +

-(-12)

15

-(-3)

+ + +

XXX XXX XXX

c beliebig; x3 = -y- c

-5

-4

c

=

0

c

=

0

c

=

0

- 1 1 — c +8-c - 4 · — c = 0 3 3 4 -5 1 ·—c + 2 - c + 2 c = 0

135

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme Lll: X]

*2

*3

x4

1 1 1 0 1 1 1 0 1 [2] 2 0 1

1 -1 -1 0

0 2 0 (1] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

-2 0 -1 -1 -2 2 -1 -1 -2 0 -3 -1 -2 0 -3 -1 -2 0 [-3]

-1 0 0 1 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 1 -1 -3/2 -1 1 1/2 -3/2 2

1

-1

1

0 0 0 1 0 0 0

-2 0 [1]

1/2 -3/2 -2/3 1 -5/6 -3/2 -2/3 1/3

[1] 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0

[1] -1 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1

-1

0 0 1 0

+ (-2) + +

:2

+ •(-i)

:(-3) +

•2

Lösung: χλ = — ; x 2 - — ;x3 = —;x4 = — 2 6 3 3 Probe:

136

Teil II: Lineare Algebra

L12: x\

x

[1] -1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

-1 2 4 1 -1 [1] 5 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Lösung: X\=

*3

2

1 -1 -2 -1 1 0 -3 -3 1 0 -3 [-3] 1 0 -3 [i] 0 0 0 1 0 0 1

0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 -5/3 5/3 0 0 -5/3 5/3 0 -5/3

- j ; x2 = 0;

+ +

•(-1)

-(-2) +

+ +

(-5) +

•(-3) +

:(-3) +

•(-i)

+ •3

XXX

= -j-

Probe: 1 3

-1-0

+1·— 3

=

0

- 1 3

+2-0

- 1 — 3

=

0

1.1 3 5 2 3

+4·ο

- 2 · — 3 -5 -1 3

=

5

+10

5

L13:

2

-1 0

*2 [1]

2 3

*3 5 5 9

x

4

8 6 12

1 5 3

•(-2) +

•(-3)

137

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme 2 -5 -6 2 -5 [1] 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

5 -5 [-61 5 -5 1 3 0 1

8 -10 -12 8 -10 2 4 0 2

1 3 0 1 3 0 1 3 0

:(-6) +

'(-2)

+5 •

Die vorletzte Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung. L14: X\

-2 3 1 -2 1 -3 1 10 -3 1 2 -3 1 2 -1

Χι

1 2 -1 1 3 PI 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Xy

-1 3 1 -1 2 -1 0 [5] -1 0 [1] -1 0 1 0

X4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[1] -1 -2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

•2

+ +

+ + +

(-1)

(-3)

:5 + +

Lösung: x\ = c beliebig; x2 = c\ x3 = -2c; x4 = -c Probe: -2-c +l-c -l-(-2c) +l(-c) = 0 3 -c +2-c +3·(-2 c) -l-(-c) = 0 1 c - 1 c +l-(-2c) -2(-c) = 0 L15:

3 -1 14 -4

-2 2

-8 4

1 -2 3 -3

-1 [1] -4 2

-2 1 -9 3

+ +

•4 +

(-2) +

138

Teil II: Lineare Algebra

2 -1 10 -2 0 -5 0 -2 -5 -2

-1 -2 -5

0 2 0 0 0 2 0 0 2 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 0

m 0 0 0 1 0 1

+

-1 1 -5 1 0 3 0 1 3 1

+ XXX XXX

= c\ beliebig; x 2 = c 2 beliebig; x3=

Lösung:

1 + 2ct; x4 = 3 + 5ci -

2c2

Probe: 3c,

-2c2

+1·(1 + 2ο,)

— 1 - (3 + 5c, - 2 c 2 )

-c,

+ 2c 2

- 2 - ( l + 2c 1 )

+ l-(3 + 5c,-2C2)

=

=

1

-2

14c,

-8C2

+ 3 · (1 + 2 c , )

-4-(3 + 5c,-2C2)

=

-9

-4c,

+4C2

- 3 - ( 1 + 2C,)

+ 2 - ( 3 + 5C, - 2 C 2 )

=

3

L16: Xj

%2

Xj

X4

X5

2 0 -4 1 5 2 0 -3 1 12 -1 -9 -3 -2 -9 -10 -9 -12 -20 -135

-3 2 0 1 6 -3 2 1 1 13 -2 5 1 2 20 3 5 6 12 [90]

-1 -3 2 -1 0 -1 -3

0 4 0 -1 0 0 4 -1 -1 -7 -1

0 0 -1

[1] -1 -7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

[1] -1 -2 -14 0 1 0 0 0

[1] -7 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

+ + + +

+ +

:90

•7

+ +

•3

+ +

+ +

•7

•2

•14

+

+

+

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme -10 -9 -12 -20 -3/2 -11/2 -3/2 -3 -2 -3/2

3 5 6 12 m 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

[1] -3/2 -3 -2 -3/2 1 0 0 0 0 Lösung:

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

139 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

•(-3) :(-ll/2)

(-5)

(-6)

•(3/2) +

-3

-2

= x2 = Xj = X4 = x$ = 0

Probe: trivial L17: X\

*2

*3

x4

*5

0

1

-2

[1]

-1

2

0

-1

2

1

-3 0

(-2)

1

1

1

0

-1

2

-2

0

-2

0

2

-1

0

-1

-1

2

0

1

-2

1

-1

2

-2

+

[1]

1

2

(-2)

-1

2

-2

-2

0

2

0

-2

0 0 0 0

3

0

3 3

-3 6

-2

-1

1

-2

1

-1

-3

-2

2

0

1

2

0 0

2

1

0

-8

0 0 0 0

[1]

1

-3 3

-1

2

- 4

-5

+

+

1 -1

0 0

(-1)

+

+

+ +

•(-2)

+ + +

•(-1) +

+ +

+ (-12)

-(3/2)

Teil II: Lineare Algebra

140 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

-1 -2 2 0 -8 -1 -2 2 0 -8 -1 -2 2 0 HI -1 -2 2 0 [1] 0 0 0 0 1

-5 -3 6 [-2] -20 -5 -3 6 [1] -20 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

-1 2 0 4 3 -1 2 0 -2 3 -11 -4 12 -2 -37 -11 -4 12 -2 37/8 -51/8 21/4 11/4 -2 37/8

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

:(-2) +

•5

(-6)

:(-8) +

+ (-2) +

11 37 „ -51 21 Losung: xt = — ;x2 = — ; x3 =-2; x4 = —— ; x5 = — 4 8 8 4 Probe: 37 1·— 8 „2 1—1 4 1— 4 11 -1— 4 2-11 4

- 2 · (-2) - 1 · (-2)

+1-21 8 37 +2·— 8 8

+1.(_2)

-51 +1·— 8 5 1 +2 8 +

21 -1·— 4 , 2 + 1 —1 4

-1-^i 8

-3

=

0

=

8

- 2 · (-2)

=

21 -2 — 4 -1·— 4

M

=

0

=

2

-20 +

141

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme L18: -5 2 -5 12 -5 -12 -17 -12

3 -1 3 -7 3 7 10 7

x4

-7 0 -7 14 -7 -14 -21 -14

[1] 2 1 0 1 0 1 0

*5 -1 -3 -1 [-11 -1 [1] 0 1

3 0 3 -6 3 6 9 6

•(-2) + :(-D + +

Lösung: x, = c, beliebig; x2 = c2 beliebig; x3 = c3 beliebig; x4 = 9 + 17c, - 10c2 + 21 c3; = 6 + 12c, - 7c2 + 14c3

x5

Probe: -5c, + 3c 2 -7c 3 + (9 + 17c, - 10c2 + 21c3) - (6 + 12c, - 7 c 2 + 14c3) 2c, - c2 + 2(9 + 17c, - 10c2 + 21c3) - 3(6 + 12c, - 7c2 + 14c3) L19: *2 -1 -1 1 -3 0 -1 1 -2 -1 1 -2 -1 0 0 -1 0

X\

3 1 -3 5 0 1 -3 2 1 -3 2 1 -2 0 1 -2

Lösung:

1 1 -1 3 0 1 -1 2 [1] -1 2 1 0 0 1 0

X4

-1 0 [1] -1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

XXX

+ +

+ +

'(-2)

XXX

= c, beliebig; x2 = c2 beliebig; x3 = -c, + c2; x4 = 2c|

Probe: 3c, c, -3c,

-c 2 -c2 +c 2

+(-c,+c2) +(-c,+c2) -(-c,+c2)

-2c, +2 c,

= 0 = 0, = 0

5c,

-3C2

+3(-C,+C2)

-2c,

=

0

=3 =0

142

Teil II: Lineare Algebra

L20: X\

x2

2 -1 7 -5 2 5 5 5 2 -5/4 5 5 -1/2 -5/4 0 0 -1/2 -5/4

-3 2 -10 8 -3 -7 -7 -7 -3 7/4 -7 -7 1/2 7/4 0 0 1/2 7/4

*3 [1] -3 1 -5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

X4

-2 2 -6 6 -2 H]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -2 ΓΠ -4 -4 0 1 0 0 0 1

•3 +

(-1)

•5

•4 +

•4

:(-4)

+ •2

+

XXX XXX

Lösung: xx = cι beliebig; x2 = c2 beliebig; x3 = — c, - — c2; x* = — Ci -—c 2 Probe: 1 1 5 7 2c, - 3 c 2 + l - ( - c , - — c2) - 2·( — C] - - C 2 ) 1 -Ci

+2c2-3-(-c,

1

5

=0

7

- -c2) + 2-(-c,--c2)

=0

7c,-10c2+ l - ( | c , - ^ c 2 ) - 6 - ( ^ c , - ^ c 2 )

=0

-5c, + 8 c 2 - 5 ( ^ c , - ^ c 2 ) + 6 - ( ^ c , - ^ c 2 )

=0

L21:

X]

[1] 0 1 0 1 0 0 0

*2 -1 1 0 1 -1 1 1 1

*3 0 -2 1 -2 0 -2 1 -2

*4 0 0 -1 1 0 0 -1 [1]

4 1 0 0 4 1 -4 0

(-1) +

+ +

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

-1 [1] 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 -2 -1 -2 -2 -2 [3] 0 -2 -2 [1] 0 0 0 1 0

4 1 -4 0 5 1 -6 -1 5 1 -2 -1 1 -3 -2 -1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

143 + +

-(-2) +

+

:3 + + •2

-2

Lösung: jcj = 1; jc2 = —3; jc3 = —2; jc4 = —1 Probe: 1

-(-3) (-3)

1 (-3)

-2-(-2)

=

4

=

1

+(-2)

-(-1)

=

0

-2-(-2)

+(-1)

=

0

L22: 2 -1 3 1 2 5 1 [1] 0 0 0 1 0 0 0 1

*2 3 7 -9 -1 3 16 -12 -1 5 21 [-11] -1 5 21 [1] -1

*3 [1] -3 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

7 0 8 5 7 21 1 5 -3

•3

+

+

-4 -4 5

:(-ll)

-3

+

-4 4/11 5

•(-i)

+

•(-2)

(-5)

+ •(-!)

+

(-5)

-(-1)

(-21)

+ +

144

Teil II: Lineare Algebra 0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

-53/11 -128/11 4/11 59/11

Die zweite Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

L23: a -α2 a α2 a-2a α2

*2 2a Γ—11 2α ΠΙ 0 1

1 0 1 0 1 0

+ •(-2a)

(i) Voraussetzung: a - 2a3 φ 0 [a-2a]

:(α-2α) 1

[1]

W )

α -2α3 0 1 α -2α3 α 2α2-1

Lösung: χ\

α-2α3

'Χΐ

2α1 -1

Probe: 1 α-2α3 1

+ 2α- 2 2α -1 α

α-2α3

2α2-1

=

1

=

0

(ii) Sonderfall: a - 2αJ == ,0. Nebenrechnung: α - 2α = α{ 1 - 2α ) = 0, also α = 0 oder 1 - 2α = 0, das heißt α = 0 oder α = 0 α2

0 1

1 0

42 2

oder α =

λ/2 2

. Man hat:

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme

145

Die erste Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung. Bemerkung: Für keinen Wert von α hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. L24: 1 α -1 -1 α -1 -1 0 [-Π -1 0 [1]

*2 -α 1 α α 1 α α 1+α2 α α 1+α2 -α

Χ3 [-1] -α 0 [1] -α 0 1 0 0 1 0 0

1 0 -1 -1 0 -1 -1 -α -1 —1 -α 1

:(-1)

•α +

:(-1) + +

Im nächsten Schritt ist die Division durch 1 + α2 uneingeschränkt möglich, da 1 + α2 > 0 für alle a. 0 0 1 0

0 [1+α2] -α 0

1 0 0 1

0

[Π

0

1 0

-α 0

0 1

0

1

0

1

0

0

Lösung:

=

Probe: . 1 l + a2

-α-

1+a

; x2 =

0 -α 1 0 —α * 7 1+α 1 0 -α

:( 1+α2)

•α +

1 + α2 1 1 + α2 -a ü7

2

;*3 = o

-a ~a - 1 + 1· - 1; αλλ-a r 1 + α2

=

0;-1·-

1 + α1

+ α·\ +α

=

-1

146

Teil II: Lineare Algebra

L25: X\ X2 1 a 1 -a -1 b a 1 -1 a -1 b 1 +ab a-b a -1 b [-11 l+ab a-b -1 a -b [1] 0 a(\+bz) 0 -1 +ab 1 -b

-b [-1] 0 -b [1] 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

+ •b

+

+ ( - 1 -ab)

i-a)

(i) Voraussetzung: α Φ 0 (damit a-(\+b2) φ 0, da 1 +b2> 0) 0 0 1 0 0 1 0 0 1

[ail+b1)] -l+ab -b [1] -l+ab -b 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

:[α·(1+ό2)]

(1 -ab) +

Lösung: x\ = x2 = X3 = 0 (ii) Sonderfall: a = 0 (und b beliebig) 0 0 1 0 1 Lösung:

0 -1 -b -1 -b

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

= be; x2 = c beliebig; x3 = c. Die Probe wird dem Leser überlassen.

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme

147

L26: X\ [1] 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0

*2 0 a -1 0 a Γ—11 0 a [1] 0 0 1

*3 a 2 0 a 2 -2a a 2 2a a 2-2 a2 2a

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(-2) +

+ i-d)

(i) Voraussetzung: 2 -2α2φ0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

a [2-2 a2] 2a a [1] 2a 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

:(2-2a) + i-ä)

•(-2a) +

Lösung: x\ = *2 = x3 = 0. Probe: trivial (ii) Sonderfall: 2 - 2 a 2 = 0. Nebenrec heißt a = ±1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1

a 0 2a a 2a

Lösung: x\ = -ac; x2 = -2ac\

0 0 0 0 0

=

2x _

a 2 = 0, das

XXX

= c beliebig

Bemerkung zu (ii): Lösung fur α = 1: χ, = -c; x2 = -2c; x3 = c beliebig; Lösung fur a = -1: χ, = c; x2 = 2c; x3 = c beliebig

148

Teil II: Lineare Algebra

L27: X\ a-2

0 0 a-2

0 0 a-2

0 0

X2

Xj

1 [-1] 0 1 [1] 0 0 1 0

- a 2 a1 - a - 2 a2 2-a - 2 a2

0 0 1 0 0 1 0 0 1

(i) Voraussetzung: α Φ 0 (damit α2 Φ 0) a-2

0 0 a-2

0 0 a-2

0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0

2 - a

-2 2-a - 2

fl] 0 0 1

•a2

+

a~2 (a-2)-a'

•2 2

2a'2 a'2

Weitere Voraussetzung: α Φ 2 (damit a - 2 Φ 0) 0 1 0 0 1 0

[a-2]

0 0 1 0 0

Losung:

0 0 1 0 0 1

1

(a-2)-a~2 2a~2 a'2 a-2 2a-2 a~2

2

1

= — ; χ 2 = —r ; *3 r α α2 α

Probe: ( α - 2 ) · - ί - + Α α

α

+ α · \ α

= 0 ; - 2 · \ α

+

4 " =0;α2·-ία

=

1

α

(ii) Erster Sonderfall: a = 0 -2

0 0

0 1 0

2 -2 0

0 0 1

Die letzte Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme (iii) Zweiter Sonderfall: 0 0 0 0 0

Lösung:

a-2

0 0 1 0 1

0 1 0 1 0

149

0 1/2 1/4 1/2 1/4

= c beliebig; x2 = — ; x 3 = —

L28: X\ [1] b 1 0

*2 b2 a3 b2 3 3 a -b

0 0 0 0

i-b) +

(i) Voraussetzung: α -b ^ 0, also α Φ b 1 0 1 0 1 0

b2 w-b^ b2 rn 0 1

0 0 0 0 0 0

i a ^ ) •(-V)

Lösung: x\ = x2 = 0. Probe: trivial (ii) Sonderfall: a = b 1 0 1

b1 0 bL

0 0 0

XXX

Lösung: *) = -b2c\ x2 = c beliebig. Probe: -b2c + b2c = 0; b(-b2c) L29: *l [flu] ai\ [1] a2\

*2 ai2 a2 2

b\ b2

'•0\\

A. .

anb2-bxa2x

a a

u 22~a\2a2\

0

«1.

«1.

(i) Voraussetzung: aua22

- ana2\

Φ0 bi a b

u 2~b\a2\

a a

-an

«1 \b2 -^1«21

[1]

~ai2a2l

u 22

«11 «22 "«12«21

«11

«22^1 -b2an «11 «22"«.2«21 aub2 ~b\a2\ «11«22 ~ «12«21 Lösung:„

=

°^-b

2

a

n

.^

aub2-b]a21

=

α α

η 22~αηα2,

«n«22 ~«i2«2i (ii) Sonderfall: a n a 2 2 - «12^21 1

=

0

fk «II

«11 a

0

0

\ \

b

2 ~

b

\

a

2 \

«11 (111) Voraussetzung: anb2 - b{a2i φ 0 Die letzte Zeile zeigt einen Widerspruch an. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung. (112) Sonderfall: a\\b2 - b]ü2\ = 0 1 0

£12. «11 0

«11 0

XXX

151

I. Auflösung linearer Gleichungssysteme

Lösung: x\ = —'a u

-c; x2 = c beliebig

a

n

Bemerkung: Das Gleichungssystem kann abhängig von den Parametern genau eine Lösung, keine oder unendlich viele Lösungen haben. L30: Χι [1] b -1 1 0 0

*2 -a a 2a -a a(b+1) a

1 0 -1 1 -b 0

(i) Voraussetzung: α Φ 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

-a a-(b+1) [α] -a a-(b+1) [1] 0 0 1

1 -b 0 1 -b 0 1 -b 0

\a + +

•a

-(aib+\))

(11) Für b Φ 0 gibt es keine Lösung. (12) Für b - 0 gibt es genau eine Lösung: xt = 1; x2 = 0 (ii) Sonderfall: a = 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0

1 -b 0 1 -b

(111) Für b Φ 0 gibt es keine Lösung. (112) Für b = 0 liegen unendlich viele Lösungen vor: x\ = 1; x2 = c beliebig Bemerkung: Das Gleichungssystem ist also nur für b = 0 lösbar.

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Definition: Unter einem Vektor versteht man eine einspaltige (einzeilige) Matrix. Die Elemente eines Vektors sind die Koordinaten, die Anzahl der Koordinaten ist die Dimension des Vektors. Ein Vektor, dessen Koordinaten alle gleich 0 sind, bezeichnet man als Nullvektor. Wir geben Vektoren durch Pfeile über kleinen lateinischen Buchstaben wieder. Nummeriert man die Koordinaten zweier w-dimensionaler Vektoren von 1 bis η, so nennt man Koordinaten mit derselben Nummer entsprechende Koordinaten. Definition: Rechnen mit Vektoren: (a) Vektoren gleicher Dimension werden addiert, indem man entsprechende Koordinaten der Vektoren addiert. (b) Man multipliziert einen Vektor mit einem Term c, indem man jede Koordinate des Vektors mit c multipliziert. Da die Subtraktion aus einer Multiplikation mit (-1) und anschließender Addition zusammengesetzt werden kann, enthält die letzte Definition auch die Subtraktion von Vektoren gleicher Dimension. Deflnition: Seien α,, a 2 , ..., a n Vektoren gleicher Dimension und c\, c 2 , ..., c„ Parameter fiir reelle Zahlen. Man nennt die Summe b = c\ 5, +c2ä2

+ ... + c„ä„

eine Linearkombination der Vektoren ä , , ä2, ..., än. Sollte nur ein einziger Vektor gegeben sein, so spricht man auch noch von einer Linearkombination. Dieses Wort bedeutet dann nichts anderes als ein Vielfaches dieses Vektors. Man erhält die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren

=

r

=

3

4

- ι

- ι

4

ί

2

1

-4

54 =

1

Ist jeder dieser Vektoren eine Linearkombination der jeweils übrigen drei? 2. Sind die jeweils gegebenen Vektoren linear unabhängig? Τ

'-Γ

3

1

(a)

3N -7

' 4 ^

(b)

0

-1

(e)

1

v / 1

-1

4

2

5

-1

3

0

4

-3

1

v-3y

vi,

v-5,

v-2, ' 6

f (h)

1

'

4 >

-2

f3> 1

0

0

-1

4

0

2

, 1 ,

i

1

(i)

0 v0/

Τ

(f)

(c)

Κ

Λ

(d)

0

2

-5

τ

' 1

0

1

0

\0y

ί1' (g) 0

0

'(f 1

0 JJ

>

-12

4

6

-2

3

-1

9

-3

Ό G) 2 ,3,

-Γ 0

(k)

2 ν3 ,

8

4

0

-1

N

' 2^

'0>

'iL

2

1

0

3

-1

4

1

2

0

1

0

1

-1

A

(c)

ί

0

"

7. Man bilde den Vektorraum aller Linearkombinationen der jeweils gegebenen Vektoren und bestimme die Dimension und eine Basis dieser Vektorräume. '3s (a)

6

0

A

- ι

' 5

'4>

N

-10

2

(b)

Γ Κ

r

2

' 2

0

1

0

1

1

0

Α

r l

(c)

9

7>

Ί Γ

Ί

1 -1

-8

6

ί4' 2

-1

-1

0

-2

1

'

, ι ,

A ,

\

12 8. Für welche Werte von α ist

eine Linearkombination von v 15 y

-1

158

Teil II: Lineare Algebra '3n

9. Die Vektoren

f-2N

3

19

,,

1 f 1 bilden eine Basis eines Vektorraums. Ist der Vektor - 1

-1 Element dieses Vektorraums? 10. Gegeben: +2x2 3xi

-*3 + X,

=

0

+ ax2

=

0

-x2

+ x3

=

0

(a + l)x,

Für welche Werte von α hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? Man gebe fur diese Fälle je den Lösungsraum einschließlich Basis und Dimension an. 11. Gegeben: +3X3

+4 == 0

+ x2

+ *3

-2

+ ax2

+ 2*3

-2X2

2*.

== 0

+ b --= 0

Für welche Werte von α und b hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Man gebe für diese Fälle je den Lösungsraum einschließlich Basis und Dimension an. 12. Die Mengen { ä , , a2} und { ,

b2, b}} sind Vektormengen, aus denen Vektorräume Vt

und V2 als Mengen aller Linearkombinationen der Elemente je einer Menge gebildet werden. Gilt Vl = V2 ?

- 1 ; s2

=

-2

1 j k =

r Γ

' 2 (b) «1 = - 2

; a2 =

1

f 7 •Λ -

N

-5

>

V

1

τ ; b3 - 1

V-10,

λ

-3n

f

\

3

- 7 ; b2 -

II

(a) «1 =

/

3Λ II

/

Τ

)

1

1 l u

/

13. Man betrachte nochmals die Aufgaben 10, 14, 19 und 20 in Kapitel II.I. Zu jeder Aufgabe ist der Lösungsraum durch eine Basis und die Dimension zu charakterisieren. 14. Die Aufgaben 3, 8 und 18 in Kapitel II.I sind inhomogene lineare Gleichungssysteme. Die Lösungsmengen sind als lineare Räume zu schreiben. 15. Gegeben:

2x. -xl

1 2 3 + 2x2 - 3 x 3

+x. 4

= 0 +x5

=

0

Man gebe zwei verschiedene Basen des Lösungsraumes an.

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume

159

C. Lösungen L I : Wir beantworten zunächst die Frage, ob ä, eine Linearkombination von ä2, a} und ä 4 ist. Ansatz: ä2 X\ + a3x2 + 5„ x3 = ax X] 2 0 3 -1 2 -4 -5 [1] 0 0 0 1 0 1

X2 [1] 2 4 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

X3 4 -4 1 -1 4 -12 -15 3 -2 0 0 3 -2 3

1 -2 -1 0 1 -4 -5 1 -1 0 0 1 -1 1

•(-2) +

+

•M) +

+ + + +

•(-2)

•4

•5

XXX XXX

Daher x\ = 1 - 3c; x2 = - 1 + 2c; ;c3 = c. Aus c = 1 folgt x\ = - 2 ; x2 = 1 = X3. +

Also 5, = - 2 a 2 + ä 3 + ä 4 und damit ä 2 =

+

ä 4 = 5, + 2 5 2 - ä3 L2: Die gegebenen Vektoren werden mit 5,, ö 2 , ... bezeichnet, (a) Ansatz: axx\ + a2x2+ X\

Xl

[1] 3 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

-1 1 3 -1 [4] 4 -1 [1] 4 0 1 0 0 1

-5 -7 3 -5 8 8 -5 2 8 -3 2 0 -3 2

ä3x3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 (Nullvektor)

(-3)

(-1)

+

+ :4 +

+

(-4) +

XXX

); 5 3 = 5, + 2 ä 2 - 5 4 ;

160

Teil II: Lineare Algebra

Die Variable x3 ist frei, es gibt also unendlich viele Lösungen. Daher sind die gegebenen Vektoren linear abhängig. (b) Ansatz: X] 2 [1] -3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

3 -5 1 [13] -5 -14 [1] -5 -14 1 0 0 1 0

+ ä2x2 + 5 3 jc3 = 0

+

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 -6 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2

•(-2)

•3 +

:13

•5 +

•14 +

XXX

Es gibt unendlich viele Lösungen, da die Variable x3 frei wählbar ist. Die gegebenen Vektoren sind linear abhängig. (c) Jeder Nullvektor für sich genommen ist linear abhängig. (d) Ansatz: αλχ\ + ä2x2 + a3x3 + 5 4 x 4 = 0 . Dieses homogene Gleichungssystem hat vier Variable, aber nur drei Gleichungen. Also gibt es unendlich viele Lösungen. Die gegebenen Vektoren sind damit linear abhängig. (e) Ansatz: äxxx + ä2x2 + a}x3 = 0 . In der erweiterten Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems besteht die letzte Zeile nur aus Nullen; die Zeile kann gestrichen werden. Es gibt somit unendlich viele Lösungen. Also sind die gegebenen Vektoren linear abhängig. ι Ansatz: 5, χ ι + a2 x2 + ä3x3+

[1] 2 0 -3 1 0 0 0

*2 3 5 4 1 3 -1 4 10

*3 -1 -1 -3 -5 -1 [1] -3 -8

Χ4 4 3 1 -2 4 -5 1 10

a4 x4 = δ

0 0 0 0 0 0 0 0

•(-2) +

•3

+ + +

•3 +

•8 +

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

2 -1 [1] 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

-1 -5 -14 -30 27 -19 -14 -2 27 -19 -14

+

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[1] 0 0 0 1

•(-2)

+ +

•(-2) +

:(-2) + +

•(-27)

•19

+ •14

Es gibt genau eine Lösung. Die gegebenen Vektoren sind also linear unabhängig. (g) Verschiedene Einheitsvektoren derselben Dimension sind stets linear unabhängig. (h) Ansatz: äxX\ + ä2x2 + ä1x3= x\ 1 -2 0 4 1 7 -2 0 4 1 7 -2 0 4 [1] 0 0 0 0 1 0 0 1

*2 3 [1] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

*3 4 1 -1 2 -1 1 1 [1] 2 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

+ •(-3)

+

•(-1)

•(-i)

•(-2) +

+

+ (-7) XXX

XXX

• M )

161

162

Teil II: Lineare Algebra

Die letzte Matrix zeigt, dass es genau eine Lösung gibt. Also sind die gegebenen Vektoren linear unabhängig. (i) Es gilt 5, = (-3)· ä2, also sind die beiden Vektoren linear abhängig. (j) Ansatz: ätx, + 0 x2 = 0 . Man erkennt sofort, dass x2 beliebig gewählt werden kann. Somit sind die beiden Vektoren linear abhängig.

Bemerkung: Allgemein lässt sich feststellen: Sind η Vektoren gleicher Dimension gegeben und befindet sich darunter auch der Nullvektor, so sind diese Vektoren linear abhängig. (k) Jeder einzelne Vektor, der nicht der Nullvektor ist, ist linear unabhängig.

L3: V

rr

b c

0 =

0

foN

•a +

1 0

•b +

0 1

•c +

A

(2

0 0

*

ij

(4] f- 3N f101 - 1 •X\ + 8 •*2 + 3 •*3 =

19

\

V 11

/

l°J

L5: Vorsicht, wenn man durch Terme dividiert, die die Parameter enthalten! Für welche Werte der Parameter werden diese Terme null? Diese Werte sind zunächst auszunehmen. Schließlich müssen die Aufgabenstellungen fur die ausgenommenen Zahlen gesondert gelöst werden. Die gegebenen Vektoren bezeichnen wir mit 5 , , ä2, ... (a) Ansatz: 5 , * ι + a 2 x 2 + ä 3

-1 1 1

X2 1 1 -1 1

0 0

[2] -2

[1]

1

0 0

1

[1] -2

Xj -1 1 a -1 0

1 +a -1 0

1 +a

= 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

+ +

•(-i) +

:2 + (-1)

•2 +

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume 1 0 0

0 1

0

-1 0 1 +a

163

0 0 0

(i) Voraussetzung: α Φ - 1 (damit 1 + α Φ 0) 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

-1 0 [1+«] -1 0 [1] 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Es ergibt sich genau eine Lösung: x, = x2 = x 3 = 0, weshalb die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind. (ii) Sonderfall: a = - 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1

-1 0 0 -1 0

0 0 0 0 0

Die Variable χ 3 ist beliebig wählbar; es gibt also unendliche viele Lösungen. Damit sind die gegebenen Vektoren linear abhängig. (b) Ansatz:

a 0 5 a 0 5 a 0 5 -a

+ ä2x2+ *2 1 0 1 [1] 0 1 1 0 0

*3 0 [1] a 0 1 0 0 1 0

)

ο

Die mit einem Parameter c verbundenen Vektoren bilden jeweils eine Basis, die Anzahl dieser Vektoren ist jeweils die Dimension des Vektorraums.

L14: Aufgabe 3:

/

f2

V *2

=

+

0 A

V 2

Aufgabe 18:

Γ

0

=

9

X

4

•c

Aufgabe 8: *2

' 0 >

0

1

+

0

V

' 0^ =

-9

+

5

Κ

' Γ 0

X

1

\

•c,+

0

0

•c2 +

-10

17

1 •c3 21 ,14,

,12,

In den beiden ersten Fällen liegen eindimensionale lineare Räume vor, der dritte Fall stellt einen dreidimensionalen linearen Raum dar. L15: x\ 2 -1

x

2 1 2

*3

1 -3

x4 1 0

*5 0 1

0 0

Lösung: x, = C] beliebig; x2 = c2 beliebig; x3 = c 3 beliebig; x4 = -2c\ -c2~ 3c3. Vektoriell geschrieben:

c 3 ; x5 = c, - 2 c2 +

II. Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Vektorräume und lineare Räume ' ι

V

0

*2 *3

' 011

N

=

0

0

•c,+

-2

*4

175

0 •c2 +

1 -1

-1

, 1> Eine Basis ist somit { α,, ä2,

ä3}.

Wir beginnen nun nochmals mit der erweiterten Koeffi-

zientenmatrix: *2 [1] 2 1 0 1 0 1 0

*1 2 -1 2 [-5] 2 [1] 0 1 Lösung:

*3 1 -3 1 -5 1 1 -1 1

= -c, - - c

*4 1 0 1 -2 1 2/5 1/5 2/5

2

*5 0 1 0 1 0 -1/5 2/5 -1/5

0 0 0 0 0 0 0 0

+ j c 3 ; x2 = c , -

•(-2)

+

:(-5)

+

(-2)

-c

2

— c 3 ; x 3 = C] beliebig; x 4 = c2 beliebig;

x$ = c 3 beliebig. Vektoriell geschrieben: r-o

| V

*4 VX5

-

1

*2 *3

f

=

1

f

2/5^

-1/5

•C\ +

0

1/5 -2/5

•c2 +

0

0

1 ,

Eine weitere Basis ist somit {

0

) =

0 ,

,

, b2,

}.

1

,

·cι + Z>2 -c2 + b} -c3

III. Lineare Abbildungen und Matrizen A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Definition: Eine reelle (m, n)-Matrix ist ein rechteckiges Schema reeller Zahlen. Die m horizontalen Zahlen-Anordnungen nennt man Zeilen, die η vertikalen Spalten der Matrix. Als Elemente einer Matrix können auch Variablen fiir reelle Zahlen beziehungsweise reelle Terme auftreten. Wir bezeichnen Matrizen mit großen lateinischen Buchstaben:

A=

Definition: Sei R" die Menge der «-dimensionalen Vektoren χ und sei Rm die Menge der /w-dimensionalen Vektoren y . Beide Mengen sind Vektorräume. Die folgende eindeutige Zuordnung von R" in R m bezeichnet man als normierte lineare

Abbildung:

y\

Lehrsatz 1: Jeder normierten linearen Abbildung ist die Koeffizientenmatrix

A=

umkehrbar eindeutig zugeordnet. Beispiel: Die normierte lineare Abbildung yt

=

2x,

+3X2

-5X}

y2

=

4x]

- 7X2

+ 8x 3

178

Teil II: Lineare Algebra r

3 -7

2

hat die Koeffizientenmatrix A =

,4 \

8

. Umgekehrt kann man aus Α die obige nor/

mierte lineare Abbildung wiederherstellen. Es sind jetzt zwei normierte lineare Abbildungen y' und y" von R" in Rm gegeben: y[

= :

y'n,

=

y"

=

a x

ni

+α

+-

ι A mit der Koeffizientenmatrix A

+···

+,;

=

y')

f

und

-*y\

und

~

y2

=

+3x2 -7*,

+ *2

=

y'i

=

9*,

-*2

+ i2* 3

2. Man kehre die folgenden normierten linearen Abbildungen um, soweit dies möglich ist: y,

+3x2

==

(a) y 2

== 2*1

y3 =

-V. == ( b ) y 2 -=

+ 3*3 + 4* 2

=

+ JCj

y3 =

--

3x,

+4x.

x

+ 3x.

~

\

4*,

-

Ix.

3. Man bestimme den Rang folgender Matrizen:

(a)

/ l1

11

11 \

/1 2

1

2

-1

(b) 0 - 1 1 1

0

1

-2

1 0 - 1 1

1 4

4. Man vergleiche den Rang der Koeffizientenmatrix und den Rang der erweiterten Koefifizientenmatrix bei folgenden Aufgaben aus Kapitel II.I: (a) Aufgabe 15

(b) Aufgabe 13

(c) Aufgabe 8

(d) Aufgabe 5

5. Gegeben sind die Matrizen: -2 A

5

7

-Ο

0

2 - 5 3

2

4 - 2 - 3

B=

=

1 1 2

' 1 - 1 2

1

-3

-1

2 - 1 0

4

3

2

1

ν- 1

-2

-3

4

Man überzeuge sich, dass (a)A+B

=B+A

(b )A-B r

6. Gegeben ist A = Α die Zahl 3 vor.

f> 3

12

15λ

=

-{B-A)

. (a) Man multipliziere Α mit der Zahl 5. (b) Man stelle aus

182

Teil II: Lineare Algebra

7. Welcher Term kann vorgestellt werden?

a2b -lab 4a*b ν

ab

ab2 ab - ab4

(

-a2b2 3 a Z>3 /

8. Man bilde das Matrizenprodukt A-B: f

(a) Λ '

2

3

0

1

- 1 4 v

2

(b )A =

5 =

3 1

1

r

(cM =

0

0

-1,

-5

3λ

1

4

0

2

1

a

a2 >

a a2 \

1

-a 1

V

-1

/

3

B= 2

2 -3

-a

-1

v

0,

3

5

1,

V

B= 0 A

y

9. Es ist zu prüfen, ob bei den gegebenen Matrizen der Aufgabe 8 auch die Produkte B A definiert sind. Ί 3

10. Gegeben sind die Matrizen A =

-2

0N

8

1

,B = 0 3 - 2

1

4

ο

-ι

V

1

1

Ί

0N

Κ

und C =

1

1

η

2

0

0

ι

Man prüfe die Gesetze

(a)A(B + C) = AB+A-C (b) (A + B)-C = A-C + B C (c) Gilt A B = B A ? 11. Für welche Werte von α gilt A B = B A mit

A=

1

a

a2

0

12. Gegeben sind A

B=

0 für alle a). Die Matrix B'[ ist berechenbar, wenn α Φ 0 und b Φ 0. Dann ergibt sich 1 ab + ab

f -α

λ - α2Λ

-ab

|C| = 8 - x3. Es ist |C| = 0, wenn χ = 2. Die Matrix (T1 ist berechenbar, wenn χ Φ 2. Dann ergibt sich

206

Teil II: Lineare Algebra

L6: (a) Wir berechnen zuerst die Determinante zur Koeffizientenmatrix. Zu dem Zweck wählen wir die dritte Spalte aus und verwenden die Vielfachesadditionsregel (Lehrsatz l c aus Kapitel II.IV):

Ml =

2

-5

1

1

6

-1

-3

1

-2

9

-5

1

—

2

-5

1

3

1

0

1

-9

0

9

-5

1

2

1

0

-9

0

M.l = - 7 -8

6

-1

1

-2

10

2

9

1

2

9

1

1

-7

-1

3

2

0

-3

-8

-2

1

10

0

=

—

3

1

1

-9

—

= - 2 7 - 1 =-28

2

1

10

-9

3

2

1 10

= -18-10

= 3 0 - 2 = 28

In der folgenden Determinante wählen wir die erste Spalte aus:

Μ3

2 - 5

9

0 - 1 7

23

1

6

-7

1

6

- 7 = 1 ·(-!)·

-3

1

-

0

19

-17

23

19

-29

-29

= -(493 - 4 3 7 ) = - 5 6

^ , · -28 , 28 , -56 „ Ergebnis: xx = —— = 1; x2 = —— = - I ; x 3 = —— = 2 -28 -28 -28 (b) Wir wählen die erste Spalte aus: 4

-:

0

13

-16

\A\ = 1

-3

5

1

-3

5

-2

1

5

0

-5

15

3

-10 |ΛιΙ =

4

0 - 3 -5

1

-1

0

5

0 - 3

5

-5

2 1

= 1 ·(-!)·

13

-16

-5

15

-11 5

= (-5)·

15

2

-11

-3

5

= - ( 1 9 5 - 8 0 ) = -115

= (-5)·(10 - 33) = 1 1 5

In der nächsten Determinante wählen wir die zweite Spalte aus:

|A2

3

-10

-1

7

0

-11

1

0

5

1

0

5

-2

-5

5

- 2

-5

5

Jetzt wenden wir uns der dritten Spalte zu:

11 (-5H-1)·

= 5 (35+11) = 230

IV. Determinanten

207

3

4

-10

1

-3

0

-2

1

-5

|λ 3 | =

115

Ergebnis: χ,

7

2

1

-3

0

7 2 0 = (-5)· = —5-(—21 - 2 ) = 115 1 -3 -2 1 -5 = 115 _ 230 _ = -1 1;*2 "Τ -115 -115

_

-115

(c) Auswahl der ersten Spalte: 1 \A\ =

3

1 3 - 1 4

-1

2

5 - 1

0 - 1

0

4 - 3

0

-3

1

-5

-2

1

-5

-1

1

4

-3

1

10

-8

10

4 - 3 1

0

10

-8

10

-5

Wir wenden uns jetzt der zweiten Spalte zu: -1

1

-5

1

0

-14

2

0

-30

1 •(-!)•

1

-14

2

-30

= - ( - 3 0 - (-28)) = 2

Bei der nächsten Determinante halten wir uns wieder an die erste Spalte:

1=

2

3

0

5 - 1

3

0

4 - 3

1

-1

1

-1

-5

4 =

0

5

-11

0

0

5

-1

3

4

-3

1

-5

-2

0

-2

-1

1

5 (-i)-(-i)· 5 4

-11

0

-1

3

-3

1

-5

-11

0

2

-1

3

0

-3

1

Nun zur dritten Spalte: 5

-11

0

-7

8

0

4

-3

1

11

= 40 - 77 = - 3 7

Auswahl der zweiten Spalte:

\A2\·

1

2

-1

4

2

0

-1

3

-5

0

-11

0

2

0

-1

3

=

0

0

-3

1

0

0

-3

1

-3

-1

-5

-2

-3

-1

-5

-2

Auswahl der dritten Spalte:

=

(

208

Teil II: Lineare Algebra

-5

-11

0

8

0

(-1)· 2 0

-3

(-1)·

-5

-11

2

8

1

= - ( - 4 0 - ( - 2 2 ) ) = 18

Auswahl der dritten Spalte: 1 2 Mal·

3

2

5

0

4

-5

5

0

0

3

2

5

0

3

0

4

0

1

0

4

0

1

-3

1

-1

-2

-3

1

-1

-2

-5

5

0

= (-1 K - l ) · 2 0

5

3

4

1

Jetzt kommt die dritte Spalte an die Reihe: -5

5

0

2 - 7

0

0

1

4

-5

5

2

-7

= 3 5 - 1 0 = 25

Bei der nächsten Determinante verwenden wir die vierte Spalte zur Umformung: 1 3 - 1 2 2

\A4-

5

-1

0 4 - 3 -3

1

-5

-5

5

-11

0

-1

0

0

_

2

5

0

0

4

-

-1

-3

1

3

-5

0 -5

5

-11

2

5 - 1

0

4 - 3

-1

Schließlich wird nochmals die dritte Spalte ausgewählt: -27

0

5 - 1 = (_1).(_1).(_1).

2 - 6

_ . . Ergebnis:

-50

-11

-27

-50

- 6

-11

= - ( 2 9 7 - 300) = 3

0

-37 18 25 3 = - y - ; x2 = — = 9; x3 = —; xA = -

L 7 : (a) Berechnung von A~l: 2 0 m 0 0 1 0 0 1

-1 4 3 -7 4 3 -7 -2 3

3 -2 -4 11 [-2] -4

11 [1] -4

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 -1/2 0

0 0 1 -2 0 1 -2 0 1

+ •(-2) :(-2) + •(-11)

•4 +

IV. Determinanten 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

209 1 0 0 1/15 0 0 1/15 2/15 1/3 1/3 1/15 2/15

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

[15] -2 -5 [1] -2 -5 1 0 0 0 1 0

11/2 -1/2 -2 11/30 -1/2 -2 11/30 7/30 -1/6 -1/6 11/30 7/30

-2 0 1 -2/15 0 1 -2/15 -4/15 1/3 1/3 -2/15 -4/15

:15

•2

+

+ 0:

x2


. Die Lösungsmenge besteht aus allen Punkten der GeraC — und aus allen Punkten oberhalb dieser Geraden. b

(b) Sei 6 = 0, also α ^ 0 : c Fallsa> 0: x\ < —. Die Lösungsmenge besteht aus der senkrechten Geraden a und allen Punkten links von dieser Senkrechten. Falls a < 0:

c =— a

c c jct > —. Die Lösungsmenge besteht aus der senkrechten Geraden χι = — a a und allen Punkten rechts von dieser Senkrechten.

Lehrsatz 2: Enthält ein lineares Ungleichungssystem k Ungleichungen, so ist seine Lösungsmenge gleich dem Durchschnitt der k Halbebenen, die jeweils zu den k linearen Ungleichungen als Lösungsmengen gehören. Definition: Ist die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems beschränkt, das heißt, kann sie in einen hinreichend großen Kreis um (0, 0) eingeschlossen werden, bezeichnet man die Lösungsmenge auch als Polyeder.

V. Grafische Lösung von linearen Ungleichungssystemen mit zwei Variablen

217

B. Aufgaben 1. Gesucht ist die grafische Lösung folgender linearer Ungleichungen: (a)

+ 2 x2 < 4

(b) 12*i >

(d)*i 2

(e)χ, > 0

(f)^2>0

2. Gesucht ist die grafische Lösung folgender linearer Ungleichungssysteme: *1 (a) JC|

* >

4

>

0

+6X2




8

>

1

*2

> 0

18

+x 2

< 8

>

1

+ 4x2

>

4




0

>

0

>

0

X

2

C. Lösungen LI: Auflösung jeder Ungleichung nach x2 beziehungsweise X\, falls x2 nicht vorkommt. Die Lösungsmenge, die Halbebene, wird durch kammartiges Schraffieren kenntlich gemacht.

218

Teil II: Lineare Algebra

(b) λγ2 > -2jc, + 4

(c) Lösungsmenge: Punkte der Senkrechten x, = 2 und alle Punkte rechts von dieser Geraden. (d) Lösungsmenge: Punkte der Senkrechten χι = 3 und alle Punkte links von dieser Geraden. (e) Lösungsmenge: Punkte der jc2-Achse und alle Punkte rechts von dieser Achse. (f) Lösungsmenge: Punkte der x,-Achse und alle Punkte oberhalb dieser Achse.

L2: Auflösung jeder linearen Ungleichung nach x2 beziehungsweise xi, falls x2 nicht vorkommt. (a) x2 < —jc, + 4 ; λγ, > 0; x2 > 0

V. Grafische Lösung von linearen Ungleichungssystemen mit zwei Variablen

(b) x2>~—xi+2;

> 1; x 2 > 0 ; kein Polyeder!

(c) χ2 0; jc2 ^ —-^ι + 1 i

(d) * 2 ();

4

+

> 0;

4

2

219

VI. Lineare Programmierung A. Definitionen, Lehrsätze und Erläuterungen Definition: Jede Aufgabenstellung, die durch Äquivalenzumformungen in folgende Form gebracht werden kann, bezeichnet man als ein lineares Programm: Die lineare Funktion Z = C\X] + C2X2 + ... + c„x„ + d (Zielfunktion)

ist zu maximieren unter den Nebenbedingungen

auxx

+···

°2lXl

+•••

+a

*

Κ

β»ι*ι

+ -

+ V ,

^

Κ

X\, x2, ...,x„>0

+auxn 2 n*n

< bj

(Nichtnegativitätsbedingungen)

Definition: Ein lineares Programm nennt man normiert, wenn gilt: (a) Im Ungleichungssystem stehen die Summanden mit den Variablen x 1} x2, ..., x„ links, die übrigen rechts. (b) Die Summanden mit denselben Variablen stehen senkrecht untereinander. (c) In allen Ungleichungen des Ungleichungssystems (bis auf die Nichtnegativitätsbedingungen) steht stehen, sind diese Ungleichungen mit (-1) zu multiplizieren. Wird das Minimum der Zielfunktion gesucht, ist diese ebenfalls mit (-1) zu multiplizieren und das Maximum der so veränderten Zielfunktion zu berechnen. Dieses Maximum unterscheidet sich vom gesuchten Minimum nur durch das Vorzeichen. Definition: Man bezeichnet ein lineares Programm als normal, wenn es (a) normiert ist und (b) auf der rechten Seite des Ungleichungssystems keine negative Zahlen hat. Vereinbarung: Wir setzen jetzt stets ein normiertes lineares Programm voraus.

222

Teil II: Lineare Algebra

Durch Einführung von so genannten Schlupfvariablen x„+i, xn+2, ... , x„+m wird das Ungleichungssystem (mit Ausnahme der Nichtnegativitätsbedingungen) zu einem Gleichungssystem umgeformt:

=

b, b.2

+ n+m =

b„ m

=

α,,χ,

+•••

+α,„χ„

+

Lehrsatz 1: Eine Lösung des Gleichungssystems (*) mit nichtnegativen Zahlen für alle Variablen, unter denen mindestens η gleich 0 sind, stellt - geometrisch gesprochen - eine ,Ecke' der Lösungsmenge der Nebenbedingungen dar. Bei normalen linearen Programmen ist*) = x2 = ... = x„ = 0; x„+k = bk für k= 1, 2 , . . . , m stets eine Ecke. Simplextableau: Man füge dem Gleichungssystem (*) noch die Zielfunktion, ebenfalls normiert geschrieben, hinzu: Z-C\X\-

C2X2 - ... - c„x„ = d

Das Simplextableau besteht dann aus der erweiterten KoefFizientenmatrix von (*), der als letzte Zeile die Koeffizienten der normiert geschriebenen Zielfunktion angefügt wird, allerdings ohne die abhängige Variable ζ zu berücksichtigen. X\ an «21

x2 an a22

«ml ~C\

-c2

x„ a2n

*n+1 1 0

Xn+2 0 1

0 0

bx b2

-Cr,

0 0

0 0

1 0

bm d

Von oben nach unten gliedert sich das Simplextableau in Kopfzeile, Mittelfeld und Zielfunktionszeile. Simplexverfahren für normale lineare Programme: A: Gibt es in der Zielfunktionszeile (links vom senkrechten Strich) keine negativen Zahlen, ist das Verfahren beendet. Die folgende Ecke ist dann eine Lösung des linearen Programms: Man setze die Variablen, die nicht über den verschiedenen Einheitsvektoren stehen, gleich 0 und lese die übrigen auf der rechten Seite des Mittelfelds ab. Der maximale Wert der Zielfunktion steht rechts unten in der Ecke des Tableaus. Falls Α nicht zutrifft: B: Man wähle in der Zielfunktionszeile (links vom senkrechten Strich) die kleinste negative Zahl aus. Bei Nicht-Eindeutigkeit hat man die freie Auswahl unter den gleich großen negativen Zahlen. Diese Auswahl hebt eine Spalte des Simplextableaus hervor, die so genannte Pivotspalte.

VI. Lineare Programmierung

223

Sodann bilde man die Zeilenquotienten im Mittelfeld jeweils aus der rechten Seiten einer Zeile und der Zahl der Pivotspalte derselben Zeile, soweit diese positiv ist. Dann wähle man die Zeile mit dem kleinsten Quotienten als Pivotzeile aus. Bei Nicht-Eindeutigkeit gilt auch hier wiederum die freie Auswahl unter den gleich großen Quotienten. Kann man nach dem eben beschriebenen Verfahren keine Pivotzeile finden, weil im Mittelfeld alle Zahlen der Pivotspalte null oder negativ sind, so hat das lineare Programm keine Lösung. Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems der Nebenbedingungen ist unbegrenzt. Falls Pivotspalte und Pivotzeile bestimmbar sind, bezeichnet man das gemeinsame Element beider als Pivotelement. C: (a) Alle Elemente der Pivotzeile werden durch das Pivotelement dividiert. (b) Alle übrigen Zeilen des Simplextableaus werden mit Hilfe der dividierten Pivotzeile umgeformt, so dass in der Pivotspalte (abgesehen von der 1 an der Stelle des Pivotelements) alle Elemente 0 werden. Man wiederhole diese Schritte, bis Α oder Β das Ende des Verfahrens anzeigt. Simplexverfahren für lineare Programme, die nicht normal sind: Die zusätzliche Schwierigkeit der Lösungssuche bei diesen linearen Programmen besteht darin, dass man keine Ecke der Lösungsmenge des Ungleichungssystems der Nebenbedingungen kennt, die als Beginn des Simplexverfahrens verwendet werden könnte. Das folgende Vorgehen dient der Suche nach einer Startecke. Zunächst wird - wie bei den normalen linearen Programmen - das Simplextableau des normierten linearen Programms aufgestellt. Dann folgt: D: Man wähle auf der rechten Seite des Mittelfelds eine negative Zahl aus, die eine Pivotzeile festlegt. Gibt es dann in dieser Pivotzeile links vom senkrechten Strich keine negativen Zahlen, ist das lineare Programm unlösbar. Andernfalls wähle man unter den negativen Zahlen eine aus und bestimme dadurch eine Pivotspalte. Anschließend erfolgt die Umformung nach C. Befinden sich nach dieser Umformung immer noch negative Zahlen auf der rechten Seite des Mittelfelds, wiederhole man D. Andernfalls - soweit das lineares Programm überhaupt lösbar ist - gehe man zu den Schritten Α, Β und C zurück, bis Α oder Β das Ende des Verfahrens anzeigt. Grafische Lösung eines linearen Programms: Die grafische Lösung eines linearen Programms hat nur bei Programmen mit zwei Variablen einen Sinn. Sie besteht aus zwei Schritten: (a) Man bestimmt die Lösungsmenge des Ungleichungssystems der Nebenbedingungen. Dieses Problem wurde Kapitel II.V bereits behandelt.

224

Teil II: Lineare Algebra

(b) Die Zielfunktion lautet im Fall von zwei Variablen ζ = C]Xi + c2x2 + d. Wir setzen voraus, dass c 1 und c2 nicht zugleich null sein dürfen. Wie die Ungleichungen lösen wir jetzt auch die Zielfunktion nach x2 auf beziehungsweise nach xh falls x2 nicht vorkommt. c ζ—d (*) Falls c 2 * 0:x 2 = — L ·χ\ + (dabei ist ζ der Parameter, also handelt es sich um c2 c2 eine Geradenschar, hier also eine Menge paralleler Geraden) (**)Falls c2 = 0, das heißt c, Φ 0: χ, =

z-d

(dabei ist ζ der Parameter und so ist eine

Cl Menge senkrechter Geraden entstanden) Man setze jetzt für ζ eine spezielle Zahl ein, so dass die zugehörige Gerade die Lösungsmenge des Ungleichungssystems der Nebenbedingungen schneidet. (i) Ist das Maximum der Zielfunktion gesucht, wird gefragt: Wird mit steigendem ζ der Achsenabschnitt von (*) beziehungsweise (**) größer oder kleiner? Dementsprechend verschiebt man die eingezeichnete spezielle Gerade aus der Schar nach oben oder nach unten beziehungsweise nach rechts oder nach links. (ii) Ist das Minimum der Zielfunktion gesucht, wird gefragt: Wird mit sinkendem ζ der Achsenabschnitt von (*) beziehungsweise (**) kleiner oder größer? Dementsprechend verschiebt man die eingezeichnete spezielle Gerade aus der Schar nach unten oder nach oben beziehungsweise nach links oder nach rechts. Die Verschiebung hat so weit wie irgend möglich zu erfolgen, das heißt, die verschobene Gerade muss aber noch einen nichtleeren Durchschnitt mit der Lösungsmenge des Ungleichungssystems der Nebenbedingungen behalten. Bei lösbaren linearen Programmen ist die Verschiebung nicht unbegrenzt. Der verbleibende Durchschnitt ist dann die Lösung des linearen Programms.

B. Aufgaben Bei allen Aufgaben ist (a) die grafische Lösung und (b) die Lösung mit Hilfe des Simplexverfahrens gesucht. 1. ζ = 3*i + 5*2 max. 2xl

X,

+*2 + x2




0

10. ζ = 2x| + 3x- max.

2x,

+x.i