Apuntes Matematicos Para Leer A Lacan 1 9789506492700

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Pa b l o A

m ster

APUNTES MATEMATICOS PARA LEER A LACAN 1. Topología

Am ster, Pablo Apuntes m atem áticos para leer a Lacan : 1. Topología - I a ed. - Buenos Aires : Letra Viva, 2010. 148 p. ; 22 x 14 cm . ISBN 9 7 8 -9 5 0 - 6 4 9 -2 7 0 0 1. Psicoanálisis. J. Título CD D 1 5 0 .1 9 5 E d ic ió n

a l c u id a d o de

L e a n d r o Sa l g a d o

© 2 0 1 0 , Letra Viva, Librería y Editorial Av. C oronel Díaz 1837, (1 4 2 5 ) C. A. de Buenos Aires, Argentina e -m a i l

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© 2010, Pablo A m ster [email protected]

Prim era edición: m arzo de 2 0 1 0 Im preso en Argentina - Printed in Argentina Queda hecho el depósito que m arca la Ley 11.723

Ín d i c e

Pr e f a c io . .

In t r o d u c c i ó n

Sensatez y p resen tim ien to s............................... 11 Geom etría cauchesca ........................................................................ 14 C a p ítu lo 1. G e n e r a lid a d e s

¿Qué es t o p o lo g ía ? ................. ... El nervio, la pim ienta y la s a l .................... ... La calidad es lo que im porta ................................................ C a p ítu lo

2.

19 19 32

S u p e rfic ie s

La indiferencia del m undo ............................ Una m orcilla abierta en las dos puntas . . . . . . . . . El toro por las astas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una palabra soporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invierta su toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estás desorientao y no sabés, qué trole hay que tomar. . . . La banda de Móbius, el Crosscap y la Botella de Klein . . Encoré, Encoré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 . . 53 . . 59 . . 62 . . 72 . . . 79 . . . 83 . .10 0

Redondeles de cuerda.................................................... ... 116 Piano piano, se va lo n t a n o ................................................. 123 Nudos multicolores....................................................... ... 125 Número de enlazamiento.............................................................. 127 Especulando con la im agen...........................................................130 131 Desanudando duidades........................................................... A moverse con R eidem eister....................................................... 132 El Borromeo, ese c u a s i-tr iv ia l.................................................... 135 Trenzas. . ........................................................................................137 In d ic e d e t é r m i n o s

.....................................................................145

P r e f a c io

En unas notas y cartas de 1679, el matem ático y filósofo Gottfried Leibniz observó que algunas propiedades de los obje­ tos geométricos no involucraban directamente el uso de magni­ tudes. Se propuso entonces la formulación de estas propiedades mediante un sistema de símbolos que permitiera a la vez combi­ narlas para obtener otras nuevas: la idea aparece en un artículo, en el que se empleó por primera vez el nombre deAnalysis situs, análisis o geometría de situación. El significado de todo esto no se hizo claro hasta un buen tiem­ po después, a partir de los sucesivos aportes de grandes persona­ lidades como Euler y Gauss. Uno de los alumnos de este último, llamado Listing, sugirió un nombre diferente para esta nueva rama de la matemática, que se volvería definitivo: Topología'. Más tarde otro grande, el francés Henri Poincaré, habría de transformarla en esta teoría que conocemos ahora, que constituye i.

En el artículo Vorstudien zurTopologie, Listing señala su preferencia por el nue­ vo término pues, a su entender, la denominación propuesta por Leibniz “... evo­ co el concepto de medida que está aquí totalmente subordinado y crea una con­ fusión con el término geometría de posición ya utilizado corrientemente para otro tipo de consideraciones geométricas. Con el término topología deberemos entender entonces el estudio de las relaciones modales concernientes a las fo r­ maciones espaciales o de las leyes que rigen la conexión, la situación recíproca y la sucesión de los puntos, de las líneas, de las superficies, de los cuerpos y de sus partes o de sus agregados en el espacio, haciendo abstracción de toda relación de medida y de dimensión”.

,

una de las bases del análisis matemático y la geometría. Pero sus artículos fundacionales de alguna forma remiten a aquellas anti­ guas cartas de Leibniz; de esta forma, el filósofo alemán participó en la génesis de algunos de los conceptos más relevantes del dis­ curso lacaniano: la lógica, la topología y... el inconsciente2. Diversos son los aspectos de esta cautivante invención leibniziana que interesaron a Lacan, prácticamente desde los comien­ zos de su enseñanza. De este modo, en sus primeros seminarios pueden encontrarse ya diversas cuestiones relativas a la teoría de grafos o redes, de los que se vale para presentar su famoso siste­ ma sintáctico del Seminario sobre “La carta robada”, o su no me­ nos famoso Grafo del deseo. Pero es en el Seminario IX, La Identificación, en donde la to­ pología comenzaría a cobrar mayor importancia hasta constituir­ se en un elemento central, a tal punto que muchos de sus varia­ dos desarrollos no iban a faltar a ninguno de los seminarios pos­ teriores. A partir de una idea sencilla, según la cual la operación de “pegar” consiste en identificar puntos, Lacan describe algu­ nas superficies elementales como el Toro, el Crosscap, la banda de Móbius y la botella de Klein. Un nuevo y crucial giro aparece en el Seminario XX, Aun, don­ de el lector tiene que vérselas con las nociones de continuidad y límite, así como también con los conjuntos abiertos y los cubri ­ mientos que aparecen en la definición de compacidad. Más ade­ lante, el mismo seminario ofrece algunas consideraciones en tor­ no al punto del espacio euclidiano, y esboza el tema que se cons­ tituirá en eje de los seminarios siguientes: la teoría de nudos; en particular, ese curioso objeto lacaniano por excelencia queya ha­ bía sido introducido en el Seminario XIX,...o peor, y más tarde se popularizó bajo el nombre de nudo borromeo. Desde ese enton­ ces, los nudos y luego las trenzas ocuparon un lugar preferencial en su enseñanza, y llegaron a convertirse en el rasgo distintivo de los últimos años. En este libro se propone efectuar un recorrido por los princi­ pales aspectos de la topología que introduce Lacan en sus diver­ sos seminarios. El texto está organizado de la siguiente forma: en Además de sus apolles a la lógica y al calculo infinitesimal, el inconsciente es uno de los descubrimientos que se le atribuyen al multifacético filósofo alemán.

la introducción, presentaremos los aspectos generales de la topo­ logía, para caracterizarla como una suerte de geometría “débil”, o más bien “no métrica”. Para ello, presentaremos algunos con­ ceptos básicos como el de conjunto abierto, y los de continuidad y homeomorfismo. Luego nos ocuparemos de ciertos temas espe­ cíficos, desde superficies como la esfera, el toro, la banda de Mó­ bius el crosscap y la botella de Klein, hasta los más recientes de­ sarrollos sobre trenzas y nudos, que en este marco tienen como elemento central al afam ado nudo borromeo. En relación con el uso que Lacan da a tales materias, tan criti­ cado fuera del ámbito psicoanalítico, vale la pena tener en cuen­ ta la advertencia hecha por J. A. M iller3: ...n o se puede extra e r e sta topología de la en señan za de L acan para h acerla u na disciplina in d ep en d ien te. Esta topología sólo es útil in ­ m ersa en su en señ an za, n o es una disciplina sui generis.

Respecto de este comentario, cabe aclarar entonces que el pre­ sente trabajo no constituye una descripción de la “topología lacaniana”, si es que existe algo que pueda llevar tal nombre. Tam­ poco se encontrará aquí una valoración de su enseñanza: el úni­ co propósito que se persigue es el de exponer en forma sencilla los principales temas que se desarrollan a lo largo de los sem ina­ rios a fin de allanar su lectura, ya de por sí trabajosa. En definiti­ va, el objetivo es claro: si el lector de Lacan ha de verse en aprie­ tos, que no sea a causa de la matemática que allí aparece. Lo que se busca es mostrar que toda esa matemática, bien mirada, en realidad es muy simple y puede convertirse en una materia do­ tada de un irresistible atractivo.

3.

Entre dichas “críticas” merece una mención especial el renombrado affaire Sokal de los últimos años.

In t r o d u c c i ó n

Se n s a t e z y p r e s e n t im ie n t o s

Hace ya varias décadas -el 7 de marzo de 1962, para ser exac­ tos- el psicoanalista francés Jacques Lacan formulaba durante su clase del seminario La Identificación un llamativo anuncio: Pues es del toro que voy a hablarles hoy. Abro deliberadam ente, com o u stedes lo ven, a p artir de hoy, la era de los presen tim ien tos.

Cabe suponer que una apertura tan deliberada debió haber suscitado entre la audiencia cierta inquietud, que dudosamente iba a mitigarse por el posterior aviso: In ten tem os ah ora aclara r lo que voy a decirles.

Sin embargo, en aquel momento casi nadie debió imaginar que la pretendida aclaración le iba a llevar un buen tiempo, aca­ so el resto de su vida. Aunque existen diversas referencias previas, la anterior con­ fidencia puede ser considerada como la presentación “oficial” en su enseñanza (ya de por sí peculiar) de una de las más notables ramas de la matemática actual: la topología. No porque el toro sea, estrictamente hablando, un objeto de la topología; de hecho, la geometría ya lo había definido hacía varios siglos como:

Una superficie de revolución enyendrada por una circunferen­ cia que gira en torno a un eje situado en su mismo plano y exte­ rior a la misma. Esto significa que debemos tomar una circunferencia, y hacer­ la dar una vuelta completa alrededor de un eje que no la toque, hasta volverá encontrar el punto de partida. De este modo se ob­ tiene aquella figura bien conocida por los lectores de Lacan:

Podemos ir un poco más atrás y ubicarnos en aquel m omen­ to preciso del siglo XVÍT, en el que otro conocido francés se dio el gusto de proclamar sus propios anuncios: 10 de noviem bre de 16 19 , cu an d o lleno de en tu siasm o, descubrí los fu n dam entos de una cien cia adm irable.

Nos referimos a Descartes, de quien nadie duda que “abrió una era” al presentar aquella formidable conjunción entre geometría y álgebra que se conoce como geometría analítica. En estos tér­ minos la describe el pensador Edgar Quinet: C uando vi a esta e cu ació n fu n cion ar y resolverse sola, por así d e ­ cir, en tre mis m an os, y exp lotar en una infinidad de verdades, tod as igu alm ente indudables, creí estar en posesión del talism án que m e abriría la p uerta de todos los m isterios.

Parece razonable, entonces, que brindemos al lector el talis­ mán capaz de abrirnos la puerta de los misterios correspondien­ tes a la figura que nos concierne aquí, que pueden resumirse en una expresión de lo más concisa:

( N/V + y 2- a f + z2 = r

o>r>0

Esta fórmula, a todas luces admirable, debe entenderse bajo la consigna tácita de pensar a cada punto como una terna, cons­ tituida por sus coordenadas espaciales. De este modo, el conjun­ to de aquellos puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación anterior describe, sencillamente, a un toro. Sin embargo, este espíritu tan cartesiano no parece todavía el más indicado como para que algo se nos aclare. ¿Cómo pueden esas letras ser capaces de manifestar la esencia del toro? Más aun, ¿cuál es dicha esencia? La respuesta a esta pregunta constituye el comienzo de aque­ llo que Lacan “va a decirnos”. Aquí entramos, precisamente, en terreno topológico: en cierto sentido la topología se ocupa de es­ tudiar las propiedades esenciales de las figuras, aquellas que re­ velan su carácter más íntimo. En el caso del toro, el propio La­ can lo expresaría poco más tarde mediante uno de sus típicos juegos de palabras: al decir trou matisme, deja ver que la esen­ cia de un toro, su “intim idad” (por no decir su “trauma”), con­ siste en tener un agujero. Esta observación, casi trivial, deja de lado los aspectos métricos del toro para centrarse en su carác­ ter puramente cualitativo: en otras palabras, estamos hablando de una propiedad relativa a aquella materia que Gauss descri­ be en 1833 como ...la g eo m etría de situ ació n , que Leibniz ha presentido...

De esta forma, podemos concluir que también la Matemáti­ ca avanza en base a presentimientos, en muchos casos producto de las mentes más sensatas4.

4.

Ya que hablamos de “mentes sensatas”, vale la pena recordar que el libro Cándi­ do, de Voltaire, constituye una encendida burla en contra de la filosofía leibniziana. Sin embargo, todos estos hallazgos del alemán revelan un pensamiento claramente no-cándido, o como diría Lacan: non-dupe.

G e o m e t r ía c a u c u e s c a

La topología es considerada actualmente una de las principa­ les ramas de la Matemática, aunque su desarrollo es relativamen­ te reciente, como se evidencia en las palabras que completan la anterior cita gaussiana: ...sobre la cual ha estad o reservado a dos geóm etras solam ente, Euler y V anderm onde, ech a r una débil m irada, sab em os y poseem os, d es­ pués de siglo y m edio, poco m ás que nada.

Más allá de la anticipación de Leibniz, los historiadores sue­ len conceder también un rol inaugural al gran matemático Euler, cuando desde la corte de Catalina (otra Grande) en San Petersburgo resolvió el famoso problema de los puentes de Konigsberg:

El río Pregel atraviesa la ciudad de Konigsberg form an do dos islas que se unen en tre sí y con tierra firme m ediante siete puentes. ¿Es posible trazar un recorrid o que pase por todos los puentes cru z á n ­ dolos una sola vez?

Quizás sólo se tratase de una manera de no extrañar tanto a su Suiza natal; en cualquier caso, Euler se convenció de que la distancia no importa, al menos a la hora de encarar esta clase de problemas. En efecto, el acertijo se resuelve mediante un senci­ llo modelo llamado grafo, en el cual las líneas o aristas repre­ sentan los puentes, y los puntos o vértices, las regiones conecta­ das por ellos.

Es fácil comprobar entonces que el recorrido propuesto es im­ posible, por una razón que parece sacada del Seminario sobre “La carta r o b a d a la paridad. Un vértice se dice par o impar de acuer­ do con la cantidad de aristas que lo tienen como extremo, y re­ sulta claro que un vértice que sea "odd” (impar) sólo puede ser punto inicial o punto final de un recorrido. Bajo esta óptica, Euler no hizo más que señalar algo que realmente está a la vista: dado que todos los vértices son impares, cualquier itinerario fuerza a la repetición de al menos un puente. Este sencillo proceder nos muestra el aspecto más íntimo de un problema que, una vez des­ pojado de aditamentos, se reduce a puras consideraciones de or­ den combinatorio. Nada de distancias o ángulos; el razonamien­ to, sutil pero poderoso, permitió a su artífice proporcionar la res­ puesta apropiada y -d e paso- dar auténtico inicio a una discipli­ na. Todo esto ocurrió San Petersburgo hacia 1735: al fin y al cabo, ¿qué mejor que una corte para fundar la topología? Una antigua frase asegura que la geometría es el arte de razo­ nar sobre figuras mal hechas. Por ejemplo, tomamos una circun­ ferencia, y trazamos una recta tangente a ella en cualquier pun­ to. Podemos observar entonces que dicha tangente es perpendi­ cular al radio en ese punto; se trata de una propiedad de la cir­ cunferencia.

Pero en algún sentido, eso es razonar sobre una figura mal he­ cha, porque el dibujo no es la circunferencia perfecta, ideal, si se quiere platónica, de la geometría. Sin embargo, a pesar de su im­ perfección el dibujo colabora con nuestra intuición geométrica, pues nos hace vislumbrar la propiedad. De alguna manera, ter­ minamos por creerle al dibujo “mal hecho” y entonces recurri­ mos a los axiomas de la geometría para demostrar la propiedad como corresponde. Al respecto, Poincaré se pregunta: ¿Pero qué es una figura mal hecha? En la geometría clásica dos figuras son equivalentes cuan­ do se las puede superponer mediante rotaciones y traslaciones; en ese caso podemos aceptar que éste

es un círculo bastante maí hecho. En cambio, no lo es para la geometría proyectiva, que prescinde de algunos aspectos métri­ cos para apoyarse sobre cierta noción de “perspectiva” A grandes rasgos, podemos decir que un círculo es equivalente a una elipse porque una de las figuras es algo así como una perspectiva de la otra. Pero aun aceptando maneras de mirar tan torcidas, todos estaremos de acuerdo en que por ejemplo esta otra

es una elipse muy mal hecha: por ejemplo, no parece haber pun­ to de vista capaz de limar las asperezas de sus ángulos. Sin em ­ bargo, la topología nos hace olvidar toda aspereza y todavía nos permite efectuar una identificación entre ambas figuras. La descripción de Poincaré essugerente: en la topología -d icelos dibujos se parecen a los que hace un dibujante inexperto. Po­ demos suponer, por ejemplo, que un novato intenta copiar una circunferencia, pero el dibujo le sale así:

Este es el momento exacto en el cual el maestro no debería perder la paciencia, sino insinuarle con tono amable que tal vez las artes plásticas no sean lo suyo. Pero a pesar del fracaso, el dis­ cípulo puede argüir que, desde el punto de vista topológico, am ­ bas figuras son equivalentes. En efecto, en esta copia tan “mal he­ cha”, algunas de las propiedades de la circunferencia se conser­ van: son los aspectos esenciales. O, más precisamente, los que hacen a su esencia topológica. Como dijimos, la topología pasa por alto las “cantidades” y sólo se fija en “cualidades”; en ella, dos figuras son equivalentes siempre que se pueda pasar de una a la otra por medio de una de­ formación, cuyo sentido más preciso veremos en el capítulo i. Lo que se preserva entonces son las características verdaderamente esenciales de las figuras, llamadas invariantes topológicos. Este aspecto tan flexible de la topología justifica el nombre coloquial con que también se la conoce: geometría del caucho.

Ca p ít u l o

i

G e n e r a l id a d e s

¿Q u é es t o p o l o g ía ?

En la introducción hemos partido de un anuncio hecho por Lacan en el Seminario IX, antes de introducir los rudimentos de esta rama de la Matemática que ha cautivado a los espíritus más notables, desde pensadores y filósofos hasta artistas como Escher, o el escritor A, j. Deutch, autor de aquel célebre cuento de cien­ cia ficción más tarde convertido en película argentina: A subway named Moebius. Dijimos, informalmente, que se trata de una geometría débil, no métrica, y que algunos aLitores la han denominado -sin mu­ cho rigor- "geometría del caucho”. En su intento por “desimaginarizar” Lacan se interesó por diversas cuestiones que conciernen a la topología, comenzando por los grafos para pasar por las superficies y llegar finalmente a los nudos, Todos estos términos participan, de una manera o de otra, en la topología. Pero aún queda sin respuesta una pregun­ ta más básica: ¿qué es topología?

E l N E R V IO , LA P IM IE N T A Y LA SA L

Cuando Lacan presenta al toro en el Seminario IX, no deja lu­ gar a dudas de que el objeto que se dispone a estudiar proviene de la geometría: i r\

Lo que quería subrayar es que el toro, hablo en el sen tid o g eo m é­ trico e stricto del térm in o , es d ecir que según la definición g eo m é­ trica es u na superficie de revolución, la superficie de revolución de ese círcu lo alred ed o r de un eje, y lo que se engendra es una super­ ficie cerrada.

No obstante, poco después explica: Pues, finalm en te, si les ruego aquí referirse exp resam en te a la su­ perficie, es p or las p ropiedades top ológicas que estará en m edida de m ostrarles. De esas propiedades topológicas ustedes van a ver el nervio, la p im ien ta y la sal.

Pero entonces: ¿puede un objeto geométrico ser estudiado topológicamente? ¿Qué son, en suma, las “propiedades topológicas”? Vamos a comenzar con una situación sencilla; consideremos cuatro puntos distintos en el plano, por ejemplo:

Entonces podem os preguntarnos: ¿es posible unirlos dos a dos (es decir, a cada uno de ellos con cada uno de los otros) me­ diante líneas que no se crucen entre sí? La respuesta es inmedia­ ta, un simple intento alcanza para mostrar que tal cosa siempre puede hacerse:

¿Por qué decimos que esta “mostración” es suficiente? La in­ tuición nos dice que no importa cómo ubiquemos a los puntos,

siempre podremos, en primer lugar, efectuar una suerte de “pa­ seo” que comience en cualquiera de ellos y recorra todos los pun­ tos sin que los trayectos se crucen, hasta volver al origen. Es lo que se denomina un circuito simple; vale decir, un camino cerra­ do sin auto-intersecciones. El plano queda así separado en dos regiones, una interior y la otra exterior:

usted se encuentra aquí

exterior

un paseo por el plano

Lo que resta es fácil de adivinar: de los vértices opuestos que aún quedan por unir, un par se conecta mediante una línea inte­ rior al cuadrilátero, y el par que falta lo hace por medio de un re­ corrido exterior. Si tres de los puntos (o los cuatro) se encuentran alineados, la figura resultante no va a ser un cuadrilátero dem a­ siado ortodoxo, aunque el razonamiento sigue valiendo siempre que dejemos en claro qué entendemos por “vértices opuestos”:

un cuadrilátero heterodoxo

Unión de vértices (heterodoxamente) opuestos

Podemos darnos por satisfechos con la respuesta obtenida, y pasara la próxima pregunta: ¿qué ocurre cuando se trata de cinco puntos? Ahora nuestros primeros intentos parecen fracasar:

Y bien: a fuerza de fracasos, es nuevamente nuestra intuición la que nos dice que no hay manera de unir esos puntos. Según parece, en cualquier caso queda un par de puntos que es imposi­ ble conectar sin pasar sobre alguna línea previa. Sin embargo, esta respuesta está lejos de darnos las mismas satisfacciones que obtuvimos en el caso anterior. Podemos ob­ servar que la situación ahora es bastante diferente: cuando se tra­ ta de probar que la unión es posible, alcanza con encontrar una manera de hacerlo; en cambio, una demostración de su imposi­ bilidad requiere un argumento que esté a salvo de todo intento ulterior. Dicho de otra manera: ¿quién nos garantiza que acaso ensayando con la paciencia o el ingenio suficientes 110 habremos de dar en algún momento con alguna solución mágica? Después de todo, cabría imaginar que existe en el plano alguna combina­ ción, algún atajo que no hemos tomado... Es aquí en donde comienzan a formularse los primeros es­ bozos de lo que podemos llamar una “teoría”. Desde el punto de vista del lenguaje, la propiedad de los cinco puntos se expresa de un modo sorprendentemente conciso: basta decir que el grafo K5no es plano. Podríamos rechazar esta última afirmación alegando que no es más que una manera de hablar, aunque situarnos en la teoría de grafos nos permite hacer uso de herramientas muy efectivas a la hora de llevar a cabo ciertas demostraciones. Es oportuno recordar que Lacan se valió de algunas ideas de esta teoría, en especial en la primera etapa de su enseñanza, de modo que vale la pena dedicar algunos párrafos a ella.

Intuitivamente, un grafo consiste en una colección finita de puntos y líneas, denominados respectivamente vértices y aris­ tas, de manera tal que cada arista tenga exactamente dos vérti­ ces como extremos.

Todo grafo puede representarse de un modo sencillo median­ te un dibujo en el plano; no obstante, sólo se denomina grafos planos a aquellos que pueden trazarse evitando que las líneas se superpongan. Por ejemplo, el siguiente es un grafo plano a pesar de que presenta un cruce, a

b

ya que admite esta otra configuración: a

b

Una clase particular de grafos es la de los denominados com­ pletos, en donde cada uno de los vértices se conecta con cada uno de los otros, de modo que no se pueden agregar más aristas. Al grafo completo de n vértices se lo suele denotar Kn:

Kj

k2

k3

k4

k5

También se puede asignar a cada arista una orientación, obte­ niéndose un grafo orientado o dirigido, por ejemplo: c

En la definición usual de grafo suele ponerse como condición que las aristas no tengan sus dos extremos iguales (es decir, que no haya “bucles”), y que dos aristas diferentes tengan siempre al­ gún vértice diferente. Sin embargo, a veces resulta de interés considerar grafos que no cumplen las condiciones anteriores; son los denominados multi-grafos, como el que presenta Lacan en el Seminario sobre “La carta robada”: 2

En este caso, hay que mencionar además un pequeño ardid que lo transforma en un grafo que no es como los demás. Apare­ cen, en efecto, dos vértices que son distintos pero llevan el m is­ mo nombre. Esto no debería hacerse, aunque Lacan se vale de ello para expresar, en sintonía con Rirnhaud: Yo es Otro. También propone un juego, resumido en la equívoca traducción de André Gidede la locución latina Numero Deus impare gaudet, en la que un irreverente reemplazo de Dios por Dos arroja el resultado: El número dos se regocija de ser im par .5 Form alm ente, un grafo se puede describir como una terna G = (V, A, cp), en donde V (vértices) y A (aristas) son conjuntos finitos, y q> es una función que hace corresponder a cada ele ­ mento de A un par de elem entos de V. Por ejem plo, dados V = { v , v , v }, A = { a , a }, y la función cp definida por

f a

es posible, en lugar de llevara cabo la construcción que vimos en la página 59, efectuar primero la identificación de los dos lados a. En tal caso también se obtiene un tubo:

Apelando entonces a los generosos recursos del caucho, se ob­ tiene una figura no muy diferente a la que ya conocíamos: 25. Esta desolada imagen de un redondel colgando “de ninguna paite” remite al lia niado nudo trivial, del cual nos ocuparemos más adelante.

Entonces cabe preguntarse: ¿es el mismo toro? La respues­ ta va a depender bastante de cuál sea la “mismidad” a la que nos estemos refiriendo; en todo caso, bien vale observar que el lazo que en el primero de los toros era a través se ha transformado en lazo alrededor en el segundo, y viceversa. Todavía se observa otro detalle, no previsto por el esquema combinatorio: en realidad, podemos “doblar” el rectángulo para el otro lado, y obtener dos construcciones diferentes. Una verda­ dera sutileza, pero digna de ser tenida en cuenta; por ejemplo:

El resultado es el mismo; lo que diferencia al primer toro del segundo es que la cara del rectángulo que mira hacia nosotros queda, en el primer caso, mirando hacia el lado “interior” del toro, y hacia el lado “exterior” en el segundo.

Sin embargo, toda esta información no se encuentra en el es­ quema combinatorio. Vemos así q u e la metáfora lacaniana no es del todo precisa, pues sólo en una de las dos regiones delimi­ tadas por la “morcilla”, mejor dicho por su piel, parece prudente ubicar el relleno. Podemos incluso ir más lejos, y observar que el rectángulo original no nos impide por ejemplo anudar unas cuantas veces al tubo antes de unir finalmente ambos extremos. El esquema nos muestra al toro en sí; lo demás, cuál es la cara interior y cuál la exterior, cuál es D y cuál es d, o cuántos “anu­ damientos” tiene el tubo, todo eso es más bien circunstancial, y forma parte de su carácter extrínseco. Pero no deja de tener im­ portancia: Lacan habló de los toros abrazados, en los que se com­ prueba que una vuelta a través del agujero de uno de ellos equi­ vale a una vuelta alrededor del agujero del otro.

En este contexto, ¿qué ocurre si invertimos uno de los toros? Invertirlo quiere decir: darlo vuelta como una media, una tarea muy fácil de llevar a cabo si se efectúa un pequeño orificio en su superficie, como suelen tener precisamente las medias. Lo curio­ so es que entonces debemos extraer el interior al exterior, y en consecuencia “pasar” el agujero del toro por el orificio:

La figura siguiente, la de un agujero pasando dentro de otro la dejamos para la imaginación (o quizá el imaginario) del lector. Acto seguido, no le resultará difícil volver a los toros abrazados y evaluar las consecuencias de la inversión de uno de ellos.

Existe una razón por la que Lacan se interesó especialmen­ te por el lazo D + d, que se entiende bajo esta idea del abrazo entre toros. Cuando Lacan observa los lazos en un toro y en el otro, habla de un “calco”; lo que para un toro es una vuelta alre­ dedor, para el otro es a través:

Pero justamente el lazo D + d es “diagonal”, describe una vuelta en cada una de las direcciones, y esto le ocurre por igual a los dos protagonistas del abrazo. Dejando de lado (otra vez) el sentido de los recorridos, podemos decir que es un lazo simétrico. Para concluir esta sección, vamos a efectuar unos comentarios adicionales sobre lo que significa “adentro” y “afuera”. Recordemos que el toro es una superficie, y por eso es bidimensional; lo que está dentro es “aire”, espacio interior, pero que no forma parte de la superficie del toro. Aunque cabe ha­ cer algún cuestionam iento a la idea de “interior”. Por empezar, veamos lo que sucede en el plano: al trazar sobre él una circun­ ferencia, determ inam os dos regiones, una acotada, que llam a­ mos interior, y otra no acotada, exterior. Pero si alguien vivie­ ra encerrado dentro de ese círculo, y no tuviera ninguna noti­ cia del exterior, podría pensar que allí fuera no hay nada. No­ sotros vemos todo desde “arriba”; vemos que hay un plano con una región acotada y otra no acotada. Pero el que vive adentro no tiene muchas posibilidades de enterarse, como ocurre en aquel cuento m etafísico de Macedonio Fernández: E¡ Zapallo que se hizo cosmos. Un zapallo em p ieza a cre ce r en el C haco, sin que nada lo d eten ga: Días m ás, y el Zapallo será el ser, la realidad y su C áscara.

Pero existe una operación topológica muy sencilla, que con­ siste en “agregar” al plano un punto, muchas veces denominado punto del infinito. Esto permite obtener una esfera, que es una com pac tifie ación del plano: el infinito que en el plano es poten­ cial, que siempre se encuentra “lejos”, adquiere ahora un estatu­ to de infinito actual. La operación permite poner en acto al infi­ nito26. De esta forma, el círculo que habíamos trazado se trans­ formó en un pequeño lazo sobre la esfera:

26. Lacan se vale de una operación similar en los últimos seminarios, para iden­ tificar a las componentes de un nudo, que son circunferencias, con rectas. Debe entenderse que cada recta contiene un punto adicional, el punto del infinito.

oo

La pregunta es: ¿sigue teniendo validez la distinción entre in­ terior y exterior? En principio sí, por las mismas razones que nos motivan, cuando compramos un terrenito, a llamar “interior” a lo que está dentro y exterior al resto, el mundo sin el terreno. Pero la topología nos permite hacer caso omiso al catastro, y llevar a cabo una deformación que nuestros vecinos verían justamen­ te como “catastrófica”: hacer crecer los límites del terreno has­ ta conquistar el mundo, en una suerte de re-escritura de Macedonio, que podría titularse El terreno que se hizo Tierra. Si mi­ ramos otra vez el dibujo, una vez que el círculo se ha agranda­ do tanto hasta abarcar casi toda la esfera: ¿es correcto seguir lla­ mando “interior” a lo que está pintado? Quizás se trata solamen­ te de un punto de vista.

La cuestión es que cuando identificamos el plano con la esfe­ ra, agregando el punto del infinito -que se convirt ió en N, polo norte-, el exterior de cualquier región acotada se transforma en una región que contiene a N. En tal sentido, no está mal de­ cir que se trata de un entorno del infinito. La manera de invertir una circunferencia trazada sobre un plano consistiría en despla­

zarla sobre la esfera hasta hacerla atravesar el polo norte; de este modo, al volver a llevarla al plano lo que era interior pasó a ser exterior, y viceversa. La inversión (y también -¿p o rq u é no?- la diversión) parece tener que ver con operar de alguna forma con el punto del infinito.

E st á s d e s o r ie n t a o y n o s a b e s , q u é t r o l e h a y q u e ...

tom ar

Al cabo de tantas inversiones, es posible que no quede del todo claro cuál es el lado de adentro, y cuál el lado de afuera del toro, más bien llegamos a convencernos de que no hay tales “afuera” y “adentro”. Al menos, no en términos absolutos. Esto justifica quizás un rapto de desaliento, en especial si te­ nemos alguna tendencia a sentirnos como el personaje del tan­ go que da título a esta sección. Sin embargo, hay razones topológicas para oponerse al calificativo “desorientao”, ya que el toro, no importa cuántas veces se lo invierta, nunca pierde su carácter de orientable. Esto ya ha sido mencionado algunas páginas atrás, ahora veremos un poco mejor en qué consiste. Todo el mundo conoce a la banda de Móbius y sus magnífi­ cas propiedades, en especial aquella para cuya explicación sue­ le apelarse -acaso por influencia de Escher- a un recurso no del todo matemático pero eficaz: la hormiga. En efecto, para m os­ trar que la banda es unilátera, es frecuente utilizar la imagen de alguno de estos trabajadores insectos recorriéndola “por dentro y por fuera” sin necesidad de saltar. De esta forma, se confirma que la superficie tiene un solo lado27. Lo cual, pensándolo bien, no deja de ser extraño: unasuperficie hecha y derecha; ¿no debería tener dos lados? Justamente, el secre­ to reside en que la banda no es tan “hecha y derecha”; mejor dicho, 27 Vale la pena observar que esta confirmación sólo es posible después de comple­ tar toda la vuelta. Nuevamente, se trata de una propiedad global. Cada hormiga por separado es incapaz de darse cuenta; felizmente pueden transmitir la infor­ mación por las antenas, de la primera a la última, de modo que llegue el men­ saje: A migas, hay un solo lado. En términos más psicoanalíticos, podríamos de­ cir que se trata de una confirmación aprés coup, aunque es justo decir que esto a veces conlleva un verdadero trabajo de hormiga.

es hecha pero no derecha, pues para construirla es forzoso efec­ tuar una torsión. Una, o bien tres, cinco...; no importa exactamen­ te cuántas son las torsiones, sino que sea un número impar1*:

Ahora bien, el rectángulo tiene dos caras; por ejemplo, pinte­ mos de rojo la cara de adelante y la de atrás de azul. Cuando lo ce­ rramos para formar una esfera, un color queda del lado de aden­ tro, y el otro del lado de afuera.

--------------------- > ------------ -—

> '

----

0

R

*

\ f , b

---------- * ---------------------

X

V

7

También podríamos haber hecho al revés, de modo que el lado rojo quedara afuera y el azul adentro; en cualquier caso, se trata de dos caras distinguibles. En la banda de Móbius eso no ocurre. Por más que el rectán­ gulo tenga dos lados, al construir la banda este carácter bilátero se pierde. Antes de identificar los lados opuestos hacemos una torsión, de modo que la cara que mira hacia nosotros en esa zona no es más la roja sino la azul. Cuando pegamos, se forma un con­ tinuo entre la cara roja y la azul, y eso transforma a las dos caras en una sola Con todo, la banda no deja de ser una superficie; no una su­ perficie cerrada, como el toro o la esfera, sino una superficie con ¿8 Recordemos lo mencionado anteriormente acerca de lo intrínseco y lo extrín­ seco: en este caso es claro que el esquema combinatorio no permite decir cuán­ tas veces se tuerce la banda antes de identificarse los lados, ni hacia qué lado es la torsión. Tales propiedades dependen de la forma en que la banda se encuen­ tra sumergida en el espacio.

borde. Y aquí aparece otra vez ese aspecto un tanto extraño, o si se prefiere outré (aunque no excesivamente, como diría el detec­ tive Dupin) de su naturaleza: si se observa bien se verá que, a di­ ferencia de lo que ocurre con un cinturón “hecho y derecho”, el borde de la banda es una circunferencia. Un tanto retorcida, eso es cierto, pero no debemos olvidar que estamos hablando de una circunferencia topológica.

Una circunferencia "Alia Móbius"

Pero todas estas “otredades” son consecuencia de un único hecho decisivo, que marca la diferencia entre la banda y las su­ perficies biláteras: la orientabilidad. O en realidad su falta, pues justamente la banda de Móbius no es orientable. Intuitivamen­ te, eso puede vislumbrarse de la siguiente forma: Receta para detectar la no-orientabilidad: Trace una circunferencia orientada en torno a cualquier punto, y com ience a recorrer la b a n ­ da hasta dar una vu elta com pleta. Verá entonces que el sentido del redondel se ha invertido.

Como es de esperar, tales extrañezas nunca podrán tener lu­ gar en un toro o una esfera, que son superficies biláteras como

Dios manda. Y sin embargo, hay infinitas superficies uniláteras, no orientables: por ejemplo el crosscap, que consiste en una banda de Móbius y un disco pegados por el borde, o la bo­ tella de Klein, que no es otra cosa que el resultado de pegar en­ tre sí dos bandas29. Esto da lugar a dos cuestiones: en primer lugar, pareciera que las superficies no orientables tienen un “germen” moebiano; vale ía pena preguntarse si eso siempre es así. Y la segun­ da cuestión se revela algo más inquietante: ¿qué sentido tiene eso de “pegar por el borde”? En realidad, la operación no suena del todo ilógica, pues hemos dicho que el borde de la banda es como una circunferencia; lo que entorpece un tanto las cosas es su peculiar manera de presentarse en el espacio. En especial si se tiene en cuenta que, si ambos bordes se pegan entre sí punto a punto, el resultado final tiene que ser una superficie sin bor­ de. Aunque esto ya no es tan fácil de concebir... ¿cómo se hace para llevar a cabo una torsión en una superficie cerrada? Acaso !a respuesta sorprenda a más de un desprevenido: simplemen­ te, no se hace. Esto no pretende expresar una prohibición (“Eso no se hace”) sino una imposibilidad; sin embargo, no quiere de­ cir que el crosscap o la botella de Klein sean objetos inexisten­ tes. En realidad, lo correcto sería decir que su construcción es imposible dentro del espacio tridimensional, por eso, cualquier modelo que pretendamos construir con papel de cualquiera de las dos lleva en sí una pequeña “trampa”, una línea de penetra­ ción que permita terminar de efectuar las uniones. Pero sin tram­ pas, ni la botella ni el crosscap pueden ser sumergidos en el es­ pacio tridimensional. Volviendo a la primera cuestión, la respuesta es afirmativa: toda superficie cerrada no orientable (en el sentido de la topolo­ gía combinatoria) contiene una banda de Móbius. Más que eso, se ha probado que toda superficie cerrada no orientable equivale a una esfera cerrada con cierto número de crosscaps. Junto con el resultado ya mencionado en la página 61, esto termina de com­ pletar la clasificación de las superficies cerradas.

29. Algún lector fantasioso podría pensar que hablamos de la fusión de dos bandas de rock, pero seguirnos hablando de topología.

La b a n d a d e M ó b iu s , e l C r o s s c a p y la B o t e l l a d e K l e in

Una de las superficies que mayor dificultad ofrece a los lecto­ res de Lacan es el famoso gorro cruzado o crosscap, cuya repre­ sentación combinatoria es tan simple como la del toro:

a

La diferencia, sutil pero profunda, consiste en la orientación de las flechas, que provoca un efecto de torsión similar al de la banda de Móbius. Sin embargo, el crosscap presenta una com­ plicación adicional respecto de esta última superficie, cuya cons­ trucción hemos visto ya que no es ningún milagro. En cambio, siendo el crosscap una superficie sin borde, nos topamos con un problema a la hora de terminar de pegar entre sí los lados b que se identifican:

a

¿Cómo pegar b con b?

Aunque parezca extraño, los dos lados b son en realidad uno solo. El crosscap es como una banda de Móbius, pero cerrada; a la hora de intentar construirlo vemos que la unión de b con b es im­ posible. Pero esto no debe tomarse como el fracaso de un intento particular de construcción, sino que responde a una propiedad contundente, definitiva, que admite demostración: el crosscap

no se puede sumergir en el espacio tridimensional. Esto explica el hecho mencionado en la sección previa: a pesar de tratarse de un objeto matemático bien definido y tener sólo dos dimensiones, no existe una manera de incluirlo sin desgarraduras en tal espa­ cio. Lo mismo ocurre con otra superficie cerrada muy reconocible para el lector lacaniano: la Botella de Klein, Se puede brindar, en cambio, una suerte de construcción ficticia, gracias a la “trampa'’ antes referida y que veremos en las próximas páginas. Cabe decir que, además de su inviabilidad en el mundo tri­ dimensional, estas dos últimas superficies comparten esa otra propiedad que las distingue del toro o de la esfera, que ya hemos mencionado: la de ser no orientables. En este contexto, eso resul­ ta equivalente a otra cualidad muy curiosa: se trata de superficies uniláteras, como la banda de Móbius. No deja de ser llamativo el hecho de que una superficie pueda tener un solo lado, y pueda ser recorrida de una sola vez por dentro y por fuera... para concluir, al cabo de una vuelta, que dentro y fuera son una misma cosa. La definición rigurosa de “orientabilidad” es algo más compli­ cada, aunque puede expresarse en forma aproximada tal como hi­ cimos en la “receta” de la sección previa: orientar una superficie consiste, a grandes rasgos, en trazar en torno a cada uno de sus puntos una pequeña circunferencia, eligiendo siempre el mismo sentido horario o anti-horario (Lacan empleó los términos dextrógiro y levógiro). Esto debe efectuarse en forma continua, vale decir, de manera tal que a puntos cercanos entre sí correspondan circunferencias con el mismo sentido.

O

Esto explica por qué la banda de Mobius no es orientable, pues si comenzamos a trazar circunferencias levógiras, al cabo de una v-uelta “se transforman” en dextrógiras. En términos de topología combinatoria, una superficie se de­ fine como un poliedro topológico, lo que permite esbozar una definición más simple. En efecto, es fácil pensar en una orienta­ ción para cada una de las caras de un poliedro, como si se trata­ se de revolver sus puntos siempre hacia un mismo lado con una cuchara de madera30:

Es muy razonable proponer ahora cierta noción de “compatibi­ lidad” entre las orientaciones de dos caras adyacentes: se dice que la orientación a lo largo de una arista es compatible si a cada lado de la misma las respectivas flechas tienen sentidos opuestos: arista

30. El sentido es indistinto: no ocurre como con la mayonesa, que según el saber popular se corta cuando el sentido de giro no es el correcto.

De este modo, el poliedro (es decir, la superficie) es orientable cuando existe una orientación de todas sus caras que sea compa­ tible a lo largo de las aristas: por ejemplo, eso ocurre con la esfe­ ra, que es topológicamente igual al cubo que dibujamos antes. O también se lo puede ver directamente sobre el tetraedro:

Vamos a describir ahora el crosscap con mayor detalle. En pri­ mer lugar, conviene destacar su equivalencia topológica con aquel famoso objeto de la geometría proyectiva denominado plano proyectivo, que tiene su origen histórico en un esfuerzo de los ma­ temáticos renacentistas por fundar una teoría de la perspectiva. Se lo define de varias maneras distintas, aunque su carácter más intuitivo se expresa en la simple idea de la representación que el pintor hace en la tela de dos rectas paralelas que se alejan:

El “punto de encuentro” de las paralelas, que los pintores lla­ man punto de fuga, corresponde a un horizonte que, de acuerdo con nuestra concepción euclidiana del espacio, resulta inalcan­ zable: en efecto, se compone de puntos "del infinito”, denomina­ dos impropios. Sin embargo, la geometría proyectiva los convier­ te en puntos como otros cualesquiera, para transformar así al “in­ finito” en un lugar al que se puede acceder: a diferencia del euclidiano, el plano proyectivo es un espacio acotado.

La construcción de este plano se basa en la idea de agregar a cada recta un punto impropio: de un modo similar al que descri­

be Edgar Alian Poe en torno a la escritura de su poema El cuervo, a partir del estribillo nevermore, las propiedades de este nuevo espacio surgen a partir de permitir el desencadenamiento natu­ ral de este acto, de este ademán inicial. Cada recta determina un punto impropio, el mismo para todas las paralelas. Pero esta simple operación no deja de traer consecuencias. En primer lugar, debemos tener en cuenta que las rectas paralelas también “se encuentran” cuando se las recorre en sentido opues­ to, lo que daría lugar a otro horizonte: horizonte

Pero entonces, lo verdaderamente impropio es nuestra repre­ sentación. En especial, esto se comprueba cuando observamos que también existen las rectas horizontales, que parecen reque­ rir un horizonte especial para ellas:

En otras palabras, los horizontes tienen que curvarse, y de esta forma el pintor puede echar también una ojeadita hacia los costados. Por otra parte, el hecho de que haya dos horizontes no se corresponde con nuestra idea inicial, según la cual cada rec­ ta debe determinar un punto impropio. Uno, y no dos: en conse­ cuencia, el horizonte de arriba y el de abajo son en realidad uno solo; cada haz de rectas paralelas determina en el mismo un pun­ to, un único punto impropio. Ahora bien, observemos que dos rectas no paralelas se cortan en un punto del plano euclidiano, pero sobre el horizonte deter­ minan puntos impropios distintos:

De esta forma, el enunciado “dos rectas distintas se cortan en un punto” es siempre cierto, tanto para las que no son paralelas como para las que sí lo son. Finalmente, en la última figura observamos que, en el hori­ zonte “superior", el punto impropio de la recta i aparece a la iz­ quierda del correspondiente a la recta 2, mientras que en el “in­ ferior” la relación se invierte. Como se trata de un mismo hori­ zonte, esto nos termina de convencer de que plano proyectivo y crosscap son, en rigor, un mismo objeto: h

QQ

Esta forma de introducirlo brinda una explicación satisfac­ toria de la segunda de las propiedades señaladas por Lacan: el crosscap puede pensarse como una banda de Móbius y un disco, pegados por el borde. borde

borde

h

Recíprocamente, podemos decir que si cortamos el crosscap a lo largo de cierta curva, obtenemos un disco y una banda de M6bius. La curva en cuestión, que recorre a la figura por dentro y por fuera, no es otra que el famoso ocho interior:

Esto puede verse devuelta con ayuda del pacman; sin embar­ go, a diferencia del toro, si uno sale por un lado tiene que volver a entrar por el lado opuesto, e invertido. h

Veamos ahora la construcción usual de este extraño objeto, la misma que reproduce Lacan en sus seminarios. El crosscap también es conocido a veces como mitra, que es aquel pintores­ co gorro que usan los papas, aunque a decir verdad la mitra es nada más que la parte de arriba. Un nombre más preciso sería esfera provista de un crosscap: la parte de abajo es una semi-esfera común, que se cierra por arriba con ese gorro cruzado que construiremos en los próximos párrafos. La construcción pue­ de efectuarse con una bolsa de plástico, a partir de un pequeño recorte: una vez más, he ahí al sujeto.

Por comodidad, podemos dar un nombre a cada vértice de este rectángulo: A, B, C y D. No hará falta trazar flechas para indicar la orientación, pues bastará con escribir los segmentos a ser identi­ ficados cuidando el orden correcto de los vértices. En nuestro di’ bujo, debemos identificar AB con CD, y luego BC con DA,

Toda la información intrínseca del crosscap se encuentra en este diagrama; tal es el sorprendente poder que tiene a veces un esquema o una fórmula, de condensar una gran cantidad de in­ formación en una expresión de lo más simple. La construcción que presenta Lacan en el seminario IX fue propuesta por el alemán Hilbert (acaso el más importante mate-

mático del siglo XX), como una manera sencilla de visualizar el crosscap. De la misma forma que vimos antes con el toro, debemos suponer que en realidad partimos de una esfera, a la que recorta­ mos un rectángulo. Esto es equivalente a pensar que "inflamos” al esquema original, como si fuera un pedazo de goma sujeto a una estructura rígida rectangular, o una especie de burbujero:

En el caso del toro, se debe identificar primero el lado AB con su opuesto, pero recorrido en el mismo sentido: DC. En cambio, ahora la intención es más retorcida: hay que identificar, pero invirtiendo antes la orientación, AB con CD. Una manera cómoda de verlo consiste en imaginar que se le­ vantan los vértices A y C para colgar a est a esfera de ellos, como si se tratase de una pieza de ropa húmeda. Quedan entonces suel­ tos, meciéndose al viento, el vértice D y por detrás el otro, que se llama B.

ni

F1 primer paso consiste en pegar AB con CD. que se encuen­ tran orientados en forma óptima para llevar a cabo nuestro pro­ pósito. Ante tan favorable circunstancia, efectuamos el pegado sin pérdida de tiempo, y la figura se transforma en algo así: A =C

El vértice superior es A, ya identificado con C; abajo quedó B, que es ahora idéntico a D. El lado AB, que estaba atrás, se pegó punto a punto con el lado CD, que estaba adelante. Pero todavía quedaron dos lados sueltos: el lado AD en la par­ te de adelante, y el lado CB en la parte de atrás. Se trata de algo así como bolsillos del tipo napoleónico, con un diseño que per­ mitiría al emperador también calzar su mano dentro de la cha­ queta por el lado de la espalda. Pero todavía no se trata de la su­ perficie cerrada que debería ser, pues aquí podríamos meter una mano, dar la vuelta y extraerla por el otro lado. Llega entonces el momento tan esperado, de sacar al empera­ dor de adentro de esta esfera con bolsillos, para efectuar ahora la segunda identificación. Pero he aquí que no se puede: por eso di­ jimos antes que el crosscap no se deja sumergir en el espacio tri­ dimensional. No existe manera de lograrlo; se demuestra mate­ máticamente que no es posible pegar ahora BC con DA. Lo curio­ so es que los lados se encuentran bien orientados, y no parecen tener otro anhelo que el de unirse; sin embargo, no hay lugar por dónde pasar. Esto quizás altere un poco los ánimos de aquellos es­ píritus ligeramente sensibles, pero no debe tomarse como un in­ conveniente del crosscap en sí, que al fin y al cabo poca culpa tie­

ne. Como suele ocurrir, el problema somos nosotros, o al menos nuestra insistencia en querer meterlo en el espacio tridimensio­ nal. Y eso no es posible, se trata de una propiedad demostrada: las superficies cerradas no orientables nunca se pueden sumergir en el espacio tridimensional. Como sea, todavía podemos pretender alguna imagen del crosscap, aunque no resulte del todo fidedigna, pero que ayu­ de a entenderlo. Entonces se suele hacer una pequeña tram­ pa, consistente en aquella famosa línea de penetración. Debe­ mos unir los lados sueltos punto a punto, y la orientación es co­ rrecta. El único detalle es que no tenemos sitio por dónde pa­ sar, ¿qué hacemos? Simplemente, efectuamos un corte bien prolijo, por el lugar donde habíamos pegado antes, y pasamos por allí estas dos so­ lapas sueltas. El secreto consiste en hacerlo rápidamente, antes de que nadie nos vea, para luego volver a pegar estos lados que se han visto así violentados. Pero entonces los lados se aplastan; queda una línea que en realidad es de doble pegado, porque no sólo con fluyen AD con CB, sino también los lados que ya estaban identificados, AB y CD. Esto debe ser considerado como una pe­ queña licencia que uno se toma, si se quiere poética, para termi­ nar de construir este curioso objeto. Precisamente, si hablamos de curiosidad podemos observar que en esa línea doble (“el infinito”) se cruzan los pliegos de esta superficie, produciendo como resultado la forma de mitra: A=C

Hemos hecho un corte, pero no eliminamos puntos: la cons­ trucción resultante, si bien es “tramposa”, preserva algunas pro­ piedades del crosscap. En primer lugar, observemos que la línea de pegado es un re­ corrido de ida y vuelta. Parece el itinerario de una guía de trans­ porte urbano: Comienza en A, pasa por D y luego vuelve a C, donde estaciona.

Resulta claro que empleamos el término “vuelve” porque a esta altura decir C es lo mismo que decir A; de esta forma, se tra­ ta de un recorrido cerrado. La recta del infinito es, en realidad, una circunferencia. Y eso ocurre con todas las rectas: cualquier recta que se trace sobre el crosscap determina un único punto impropio, que se en­ cuentra sobre la recta-circunferencia del infinito. Pero así como en el esquema combinatorio “sale” por el horizonte, vuelve a en­ trar por el mismo punto, y el recorrido es cerrado. Todas las rec­ tas del crosscap son cerradas, se trata de lazos que pasan por esa línea de plegado en que se ha transformado el infinito. Empecemos por ejemplo a trazar una recta sobre la cara ex­ terior, que tarde o temprano llega a la línea del infinito. ¿Qué sucede entonces?

En la versión previa a la “trampa”3’, llegar a esta parte de la lí­ nea del infinito significaba alcanzar el borde de alguno de los dos 3J.

Q /l

EJ hecho de continuar llamándola así denota quizás algún sentimiento culposo de nuestra parte F.n el fondo, lo que hicimos no es tan grave... pero, al parecer, se necesitan agallas para la topología.

bolsillos; en el dibujo, se trata del que queda de nuestro lado. Pero al tener en cuenta la identificación debemos “saltar” al bolsillo de atrás, y pasaremos a recorrer la superficie por su lado interior.

Claro que esto es una ficción: una vez que atravesamos la lí­ nea del infinito, caemos en la cuenta de que en realidad no hay “adentro” y “afuera” Lo que creíamos afuera pasó a ser adentro: sucede lo mismo que con la banda de Móbius. El crosscap puede pensarse como una banda de Móbius cerrada, y esa es la causa de su no orientabilidad. Como anticipamos, toda superficie cerrada no orientable contiene una banda de Móbius. Otro tanto ocurre con la botella de Klein, que es equivalente a dos bandas de Mó­ bius pegadas por el borde. Cabe aclarar que en el esquema de la banda de Móbius que­ dan dos lados sin identificar, por ejemplo los lados superior e in­ ferior del rectángulo. Eso ocurre porque la banda tiene un bor­ de; no es una superficie cerrada. Si eliminamos ese borde, que­ daría precisamente el crosscap; por eso se dice que el crosscap es como una banda de Móbius cerrada.

Vamos a ver ahora aquel recorrido tan especial que Lacan lla­ mó ocho interior. Podemos comenzar por cualquier punto, por ejemplo uno sobre la línea del infinito. Comenzamos por el lado de “afuera” y, luego de dar una vuelta, en vez de cerrar el trazo como hicimos antes decidimos continuar, esquivar el punto de partida para volver a encontrarlo recién al cabo de la segunda vuelta. Ese es el ocho interior.

Se trata al igual que antes de un lazo, pero que pasa dos veces por la línea del infinito. Cuando se tiene un recorrido cerrado sobre una superficie, siempre cabe preguntarse qué ocurre cuando se corta siguiendo ese recorrido. En el dibujo, puede vislumbrarse una porción in­ terior al corte, que se asemeja a una banda de Móbius. En efecto, ese es el resultado: si se corta al crosscap a lo largo del ocho inte­ rior se obtiene una banda de Móbius. Ahora bien, ¿y el resto? La porción restante de crosscap está formada por esos trozos sueltos que constituyen para Lacan un desecho. Pero en realidad no están “sueltos” sino que forman un disco. El crosscap es una superficie formada por una banda de Móbius y un disco pegados por el borde; al cortarlo queda un residuo contráctil, un disco, pero también queda una parte que no es orientable. El hecho de que el crosscap sea una banda de Móbius pega­ da o cosida por el borde con un disco, muestra una vez más que el borde de la banda equivale a una circunferencia. En realidad, dicho borde se ve idéntico al recorrido del ocho interior; si se lo destuerce es una circunferencia.

En el esquema combinatorio, todo esto es muy sencillo. Según dijimos, el ocho interior pasa dos veces por la línea del infinito; entonces debemos comenzar a dibujar y salir por el horizonte en un punto P, para luego volver a entrar y seguir dibujando. Como el sentido se invierte, el punto P que arriba se ve volcado hacia la derecha, en el horizonte inferior se encuentra más hacia la iz­ quierda. Ahora nos toca aguantar un poco el cansancio y no ce­ der a la tentación de volver al punto de partida. En tal caso, no se trataría de un ocho interior sino de una simple “recta":

Si realmente pretendemos pasar por el infinito dos veces, en­ tonces tenemos que continuar, para volver a toparnos con el ho­ rizonte en otro punto Q. Al entrar de nuevo por Q, ahora el ca­ mino se encuentra despejado y alcanzamos finalmente el pun­ to de partida. Este es el ocho interior, en la versión de la topolo­ gía combinatoria.

La franja que quedó entre P y Q es claramente una banda de Móbius; todo lo demás es un disco, una pieza única, la versión lacaniana del desecho. ¿Por qué es una pieza única? Para enten­

der esto, podemos partir al horizonte en tres partes menores, hL, h2 y h3, cada una conservando la orientación dada por la flecha original. La franja correspondiente a h2 está separada del resto, y eso forma la banda de Móbius.

Los otros dos pedazos también parecen estar sueltos, aunque al pegar los lados correspondientes, lo que se forma es un disco.

Vale la pena mencionar que el mismo recorrido trazado sobre la banda de Móbius, que no es cerrada, produce un efecto sor­ prendente: lo que se obtiene son dos bandas, una de Móbius y otra que no lo es, pues resulta orientable. Esto quizás no llame la atención cuando se observa el esquema combinatorio, que es aun más sencillo que el del crosscap; lo que resulta verdadera­ mente notable es la situación en que se presentan estas dos ban­ das cuando dicho corte se efectúa sobre una banda “real”, hecha con un trozo de papel: aparecen enlazadas, como si no quisieran desprenderse una de otra. Es fácil anticipar que la banda de Mó­ bius es la más corta de las dos, exactamente la mitad; podemos decir que la otra, la no orientable, se enrolla a la primera. Pero no se trata de un anillo común, sino de una banda con doble tor­ sión; como vimos en la página 8o, el número par de torsiones es el que determina su carácter orientable.

A la luz de este caso más elemental, cabe pensar que el dese­ cho que se produce al cortar el crosscap es retorcido, como ocu­ rre con esta banda de doble torsión. Pero esto no es del todo cier­ to, pues el número mínimo de dimensiones requerido para su­ mergir al crosscap es 4, y en el espacio cuatridimensional la vida es algo diferente: las torsiones se destuercen, las figuras enlaza­ das se desenlazan... Páginas atrás dijimos que una superficie cerrada orientable es siempre un toro con cierto número de agujeros; el teorema aná­ logo para superficies no orientables dice que toda superficie ce­ rrada no orientable equivale a una esfera cerrada con cierto nú­ mero de crosscaps. La esfera cerrada con un crosscap es lo que antes denominamos simplemente “crosscap”. A continuación viene la esfera con dos crosscaps; no es difícil demostrar que es equivalente a la botella de Klein. Para concluir esta sección, dedicaremos unos párrafos a esta superficie, la úl­ tima de las que interesaron a Lacan. En prim er lugar, podem os decir que la botella de Klein es un toro que se auto-penetra; como el toro, se construye a par­ tir de un cilindro, pero uno de sus bordes se orienta en senti­ do contrario. El esquem a, completamente desplegado, es el si­ guiente:

De esta forma, la botella de Klein tiene por un lado algo del toro, pero por otro lado algo de la banda de Móbius: en realidad, equivale a dos bandas pegadas por el borde. Como ocurre con el crosscap, su construcción es imposible; en cuanto queremos, al igual que para fabricar el toro, pegar los dos bordes b del tubo, las flechas no coinciden. Visto de frente, sería algo así:

Mal que nos pese, debemos recu rrir otra vez a los procedimien­ tos turbios. La botella tampoco se sumerge en el espacio tridi­ mensional; no queda otra que volver a tomar la navaja y efectuar un pequeño tajo que permita pasar por allí el extremo de esta es­ pecie de manguera:

Para nuestro alivio, podemos decir que con esta operación acaban, al menos por el momento, todas nuestras argucias y trampasT\

E n c o r é , E n c o r é *5

Más allá de los métodos que empleemos, la topología que es­ tamos desarrollando aquí presupone un espacio que no es otro 32 . Ya que hablamos de “manguera”, vale la pena tener en cuenta quizás una de las posibles acepciones de esta palabra en nuestra jerga local, para descnbir a la persona pedigüeña o, si se quiere, demandante. Justamente con esta figura Lacan vucfve a hablar de la demanda, pero no la misma que en el toro si no esa otra que denominó demanda invertida. 33 . Teniendo en cuenta las distintas acepciones de la palabra encore, el título de esta sección puede leerse: Aun. otra vez o bien Una vez más» Aun.

q u e e l espacio habitual, cuya construcción se basa en el conjunto de los números reales. ¿Cómo es eso? En realidad, se puede estu­ diar topología en conjuntos abstractos, pero eso excede los obje­ tivos del presente texto. Toda la topología que describe Lacan se enmarca dentro de ía denom inada "usual” dentro de un espacio q u e en líneas generales no es m uy distinto al soñado por Euclides. La única salvedad es que no se trata justamente de "líneas gene­ rales’" sino más bien de líneas muy particulares, precisas: los ejes coordenados. Esos son los actores principales de esta magnífica representación del espacio que constituye el sistema cartesiano, a la cual nos hemos referido ya en la introducción. Pero entonces: ¿por qué hablar del número? En todo caso, la cuestión no es pasada por alto en el Seminario XX:

La top ología que califiqué de m ás re cie n te , p artien d o de una lógica con stru id a sob re la in te rro g a ció n deí n ú m ero ...

Vale la pena mencionar que la geometría analítica ha sido ca­ lificada por algunos autores como “una boda entre el álgebra y ía geometría” entendiendo, claro está, a las bodas como algo bueno. Según Descartes, el problema con la geometría es que ...está siem pre tan ligada a co n sid e ra cio n e s sobre las figuras q u e no p ueden ejercer el in te le cto sin ca n sa r m u ch o ta im agin ación ...

Por otra parte, en el álgebra ... se está tan su jeto a c ie rta s reglas y c ie rta s letras que en lugar d e una cien cia que ed u q u e a la m e n te se con vierte en un arte o scu ro que la tu rb a.

Para evitar todos estos “efectos colaterales" de dedicarse a una cosa o a la otra, es que decide . to m a r lo m ejor del análisis g e o m é trico y del álgebra, co rrig ien d o los d efectos del u n o p o r el o tro .

Y esto explica entonces la “interrogación acerca del núm ero”. El hecho es que. a grandes rasgos, el aspecto principal de tan des­ tacada boda (el famoso “pato de la boda") consiste en la ¡dentifi-

cación de la recta con el conjunto de los números reales. A cada punto de la recta le corresponde un único número real, y vicever­ sa. La operación parece de lo más natural: ^________ i ...

- 4

i - 3

i____ i____ I____ i----- 1 _...—i-------------------- 1_____ - 2

-

1

0

1

2

3

4

A partir de allí, todo marcha bien, pues se piensa a los puntos del plano como pares de números reales, y al espacio tridimen­ sional como ternas. Para cada nueva dimensión del espacio, basta con agregar un nuevo eje, lo que en términos algebraicos corres­ ponde simplemente a una nueva coordenada. Me aquí el espacio diseñado por Descartes, al que Lacan cuestiona en Aun:

Sin embargo, debemos aclarar que, por natural que parezca, la identificación entre puntos de la recta y números reales no es in­ mediata. Para los griegos los números estaban al servicio de aque­ llo que constituía su verdadero interés: la geometría. Un núme­ ro no era prácticamente otra cosa que la medida de un segmen­ to. Pero lo triste del caso es que los griegos sólo concebían mag­ nitudes racionales; vale decir, aquellas que resultan del cociente de dos enteros. Aunque eso iba a chocar definitivamente con la noción de recta, si se pretende que sea un continuo.

En realidad, fueron los propios griegos quienes descubrieron discontinuidades en su continuo, aunque una suerte de orgullo filosófico les impidió seguir adelante, y fundar una teoría que tu­ viera en cuenta a los números irracionales. Es que tales números, hoy muy fáciles de pensar como expresiones decimales no perió­ dicas, en realidad sólo pueden definirse con ayuda de una noción muy importante en el análisis matemático: la noción de límite, cuya formalización se hizo esperar unos cuantos siglos. Sin em ­ bargo, la idea se encuentra ya latente en el antiguo problema de A q u i l e s y la tortuga, sobre el cual dice Lacan: Un n ú m ero se define de allí, sea cual fuere, si es real. Un núm ero tiene un lím ite, y en e sta m edida es infinito. Aquiles, está m uy cla ­ ro, sólo puede sob rep asar a la tortu ga, no puede alcan zarla. Sólo la alcan za en la infinitud.

Pero, ¿qué es el límite? La descripción lacaniana no parece orientarnos demasiado: ...el lím ite es lo que se define co m o algo m ás grande que u n punto, m ás p equ eñ o que otro, pero en ningún caso igual ni al p u n to de p ar­ tida ni al p u n to de llegada.

En todo caso, conviene recurrir a una definición más matemá­ tica, aunque para facilitar la comprensión dejaremos los rigores de lado. Comencemos por aquel irracional tan conocido, que fue según los historiadores el causante de más de un dolor de cabeza a los pitagóricos: la raíz cuadrada de 2, cuyo valor aproximado es 1,4142135... Este número había sido mencionado por Lacan mucho tiem­ po atrás, en el Seminario II, al referirse al Mcnon y la diagonal del cuadrado. Se desprende del propio teorema de Pitágoras que la longitud de dicha diagonal es V2 veces el lado del cuadrado; y fueron los propios pitagóricos quienes demostraron que este nú­ mero es irracional. Para ellos, esto era prácticamente lo mismo que decir que tal número no existe; se entiende ahora por qué el asunto pudo haberles parecido preocupante.

De acuerdo con la escritura decimal (que no se conocía en los tiempos pitagóricos; la vida era muy complicada en ese enton­ ces...) la irracionalidad de esta magnitud se manifiesta en esos muy lacanianos puntos suspensivos, que dan a entender que hay algo allí que no cesa. No se trata sólo de la existencia de infinitas cifras decimales, puesto que ello ocurre también con otros nú­ meros mucho más inocentes, como 2/7 = 0.2857142857-. Pero la diferencia entre un ejemploy otro es crucial; está dada por el periodo. Podemos decir que la expresión decimal de 2/7 “cesa”, en el sentido de que hay una pequeña porción de su escritura (285714) que se repite indefinidamente. Eso nos permite conocerlo porcompleto, con sólo echarle un vistazo. En cambio, en esa caótica (al me­ nos, en apariencia) expresión decimal de la raíz de 2, ¿cómo saber cuál es, por ejemplo, la cifra que está diez mil lugares después de la coma? Sólo hay una forma: calcular las primeras diez mil cifras de su desarrollo una a una. Cosa que se puede hacer, y llegar tan lejos como nos plazca; lo que no se puede es calcularlas todas, las infini­ tas cifras. El número 4l es un límite, el valor al cual converge una sucesión cuyos términos se parecen entre sí cada vez más. Podemos pensar en sus cifras decimales, una por una:

a1 = 1,4' a - 1,41 ^ = 1,4 14 ...

Ahora, ¿cómo sabemos cuál es el nuevo decimal que corres­ ponde agregar para construir cada nuevo término? Parece mejor intentar con una sucesión cuya definición no ofrez­ ca lugar a dudas. Por ejemplo, podemos partir de a = 2, y luego de­ finir a cada término a partir del anterior, de la siguiente manera:

Es fácil ver que esta sucesión es decreciente, y sus términos son siempre mayores que la raíz cuadrada de 2. Esto prueba que converge a cierto valor L > 0, y una simple cuenta muestra que entonces el límite es y f l, pues vale: L-

2L

Luego zLz = L 2+ 2, de donde L = V2 Calculemos, en efecto, los primeros términos: 0o= 2 at = (2’+2)/2.2 = 1,5 a_ - (i,52+2)/2.i,5 = 1,41666... a^ = (1,41666../+ 2 )/ 2 .1,41666... = 1,4142156... Como puede observarse, los términos de la sucesión se acercan cada vez más al número 7 2 , aunque en este caso ninguno de ellos es igual a él. Pero las observ aciones anteriores permiten escribir: Üni a n = ^ 2 n— >-3 C Esto se lee así: el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito es v2 - Intuitivamente, debe entenderse de la siguien­ te forma: A medida que n crece, el término a “se acerca'' al valor (lími­ te) V'2 La recta, como continuo, proviene de “agregar” al conjunto de números racionales todos los irracionales, que son los decimales no periódicos. De este modo, se logra un conjunto denominado completo, que intuitivamente puede pensarse como “sin aguje­ ros”. Esta idea de la recta como un continuo es la que permitirá a Lacan más adelante hablar de la consistencia del nudo. La completitud de los números reales se encuentra también ligada a un concepto de suma importancia, que Lacan introduce en el mismo Seminario XX: la compacidad. En efecto, es la pro­ piedad de completitud (que en realidad es un axioma ) laqueper-

mite demostrar que todo conjunto cerrado y acotado de la recta es compacto. Más en general, eso vale para el plano, el espacio tridimensional, o cualquier espacio de dimensión finita provis­ to de la topología usual. Para entender la definición de compacidad, veamos un poco mejor en qué consiste el continuo de los números reales, a los que hemos identificado con la recta. ¿Cómo se define un punto en la recta? Euclides dice: Punto es lo que no tiene p artes. Recta es aquella línea que yace igualm ente resp ecto de todos sus p un tos.

Eso no es más que una manera de hablar; casi se trata de defi­ niciones -p o r así decirlo- poéticas. Cabe mencionar que un co­ mentario similar hizo Geneviéve Morel respecto de Lacan, cuyas definiciones “matemáticas” resultan mayormente desconcertan­ tes. Sin embargo, en Euclides las definiciones no importan; se tienen los postulados que afirman hechos respecto de los pun­ tos, las rectas, etcétera, sin que haga falta saber lo que esto “quie­ re decir”, más allá de la propia abstracción. De cualquier modo, una vez que se tienen los conceptos primitivos de esta teoría, sobre estos se construyen otros; este proceso sí debe estar bien definido, y a veces requiere un gran esfuerzo. En particular, eso es lo que ocurrió con aquel conjunto que los matemáticos em­ plean desde hace mucho tiempo, el de los números reales, que recién en el siglo XIX tuvo una definición rigurosa. Y esto tiene relación con la idea de “cortar”; una de las defi­ niciones del concepto de número dice, intuitivamente que en cualquier lugar por el que se corte a la recta se encuentra un nú­ mero real. Cada punto de la recta es un número real; sería bue­ no entonces tener claro que esa recta no tiene agujeros... no sea cosa que cortemos en un punto que no está, y el cuchillo pase limpiamente de lado a lado. Recta Agujereada

Esto puede parecer una tontería, pero se trata de una teo­ ría bien establecida, la teoría de las cortaduras de Dedekind. Lo que se hace es definir el conjunto de números reales a partir de los racionales, pensando a ciertos subconjuntos de raciona­ les como “cortaduras”. El problema no es sencillo, y la construcción debe hacerse con el mayor de los cuidados. Los números racionales son mucho más “razonables”, pues para definirlos bastan las palabras: una vez que conocemos a los naturales, los enteros se forman agregando a este conjunto los números negativos, y luego los racionales no son más que cocientes de enteros. Todo racional se escribe em­ pleando un número finito de caracteres, ya sea por medio de su (periódico) desarrollo decimal, o bien como una fracción. En cambio, esto no ocurre con los números irracionales, que para ser definidos requieren la noción de límite. Si bien algunos irracionales “terminan”, en el sentido de poder expresarse finita­ mente, la idea de un desarrollo infinito y no periódico de cifras decimales debe establecerse con mucho cuidado. Vamos a verlo una vez más con la raíz cuadrada de 2, de la si­ guiente manera: en el continuo de la recta, hay un punto que es exactamente V2 . No podemos decir con absoluta precisión adon­ de se encuentra, aunque podemos encontrarlo por medio de una sencilla construcción geométrica:

Esto nos muestra, a modo de primera aproximación, que se trata de un número entre 1 y 2. La información no es demasiado exacta, pero al menos es confiable; eso nos anima a acercarnos un poco más, achicar el intervalo que contiene al número que

estamos buscando, como si se tratase de una cacería. Por ejem­ plo. si tomamos el punto medio del intervalo y lo elevamos aJ cuadrado, observamos que 1,5- = 2,25, que es mayor que 2. Esto dice que nuestra presa se encuentra en un interv alo más peque­ ño, entre 1 y 1,5. Lo que sigue es fácil de adivinar. Si ahora partimos al medio a este nuevo intervalo resulta el número 1.25, cuyo cuadrado es menor que 2; entonces nos quedamos con la mitad que va de 1,25 a 1,5. De esta forma, la trampa se va ciñendo sobre v 2 cada vez más, y al cabo de algunos pasos llegaremos a aproximacio­ nes reabr.ente btienas: [i,3 7 > 1,5] [1,375, i,4375 J [1,40625,1,4375] [1.40625,1,421875]

Cada uno de los nuevos intervalos está contenido en el ante­ rior; es lo que se llama un encaje de intervalos.

l3 ....

Esto permite definir la noción de límite de otra manera, que tam­ bién se insinúa en la misma clase de Encoré. Lo que ocurre es que de la anterior familia de intervalos se obtiene la raíz cuadrada de 2, pero para ello debemos tomarlos a todos (al menos, a un número infinito de ellos). Son interv alos cada vez más chicos, cada uno en­ cajado en el anterior; para obtener v2 hay que tomar la intersec­ ción de un número infinito de ellos Porque la intersección de un

número finito de intervalos es un nuevo intervalo, no trivial: por ejemplo, si tomamos diez intervalos, la intersección de todos ellos es el intervalo más pequeño de todos. Pero no es un punto: un in­ tervalo no trivial siempre tiene infinitos, un continuo de puntos. Podemos escribirlo así, denotando I al intervalo producido en el paso n :

i Puede verse como poético, o quizás no. Pero es, aproximada­ mente, lo que dice Lacan, Nada m ás co m p a cto que una falla. Se estab lece cla ra m e n te que al ad m itir co m o existen te la in tersecció n d e to d o lo que allí se cierra en el n ú m ero infinito d e co n ju n to s, resu lta que la in tersecció n im ­ p lica ese n ú m ero infinito.

Una noción importante, asociada a la de límite, es la de infini­ tésimo. Podemos pensarlo al modo leibniziano, como lo “infini­ tamente pequeño”, pero eso no tiene sentido dentro del conjun­ to de números positivos. Por ejemplo, si decimos x es mayor a o y menor a i, existe algún valor de x para el cual esta oración es verdadera. Lo mismo ocurre para: x es mayor a o y menor a o ri y así sucesivamente: x es mayor a o y m enor a 0,01 x es mayor a o y menor a 0,001

Todas estas oraciones son verdaderas para algún x, tomadas de a una. y también es verdadera ía conjunción de cualquier can­ tidad finita de ellas. Pero sí tomamos una oración que sea la con­ junción de todas ellas, no existe ningún valor de x capaz de satis­ facerla. Porque la conjunción dice: Para todo valor de n. x es mayor a o y menor que o,o...oi

Esto significa que x es menor que todos los números de una sucesión que tiende a cero; es decir, que es infinitamente peque­ ño. Pero no hay ningún número real que sea infinitamente pe­ queño; a esa misteriosa entidad se la denomina infinitésimo™. Por eso la cita de Lacan dice: ...algo m ás grande que un punto, m ás pequeño que otro, pero en nin­ gún caso igual al p u n to de partida ni al punto de llegada.

Por más chico que sea x, si es positivo nunca será igual a o. A fines de entender la noción de compacidad, veamos la de­ finición habitual: Un conjunto se dice compacto cuando todo cubrimiento por abiertos del mismo admite un subcubrimiento finito. Según la topología usual, esto se expresa más fácilmente di­ ciendo: Un compacto es un conjunto cerrado y acotado. Por ejemplo, el rectángulo de la izquierda en la figura consti­ tuye una porción acotada del plano; es un conjunto cerrado, ya que contiene a la frontera. En cambio, el otro es abierto pues no contiene a ninguno de los puntos de su frontera, hecho que se expresa mediante la línea punteada (cf. página 44):

cerrado

abierto

34. Vale la pena mencionar que el infinitésimo se encuentra bien definido en una teo­ ría bastante reciente que se denomina análisis no standard. Alli cabe hablar de magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas; de esta forma se construye un conjunto que permite extender la teoría clásica de números reales.

La definición de compacidad dice que si "tapam os” al rec­ tángulo de la izquierda con una familia de abiertos, por ejemplo discos, entonces siempre existe una subfamilia finita que tam ­ bién lo cubre. Es más fácil verlo directamente sobre la recta. Tomemos por ejemplo el conjunto de números positivos que son menores que i, ¿existe alguno de ellos que sea más grande que todos los de­ más? Es fácil ver que no. Por ejemplo, el 0,99 no nos sirve porque está el 0,999, que es más grande y también pertenece al conjunto. Por más cerca que estemos del 1, siempre podemos agregar más nueves y obtener números cada vez más cercanos a 1. Pero el 1 no está en el con­ junto, por eso no existe “el más grande”. Y de paso observemos que el número 0,9 = 0,9999999999999999... tampoco sirve porque, por extraño que parezca, no es menor que 1 sino que es igual. Por lo tanto, no está en el conjunto. Esto qui­ zás merezca una demostración, a fines de convencer a los lecto­ res más incrédulos. Supongamos que aún no conocemos el valor de esa cantidad, y entonces le ponemos algún nombre que sue­ ne serio, por ejemplo x:

x = 0,9999999999999999Podemos ahora multiplicar por 10 los dos miembros de la igual­ dad, para obtener así: íox = 9,9999999999999999... Esa es precisamente la gracia de una "tira infinita" de nueves; al correr todo un lugar el desarrollo decimal no se modifica. De esta forma, si restamos ahora la expresión de arriba menos la de abajo, la parte decimal desaparece y resulta: íox - x = 9,999999999... - 0,99999999... = 9 Esto dice que gx es igual a 9, de donde x = 1.

Volviendo a lo anterior, llegamos a la conclusión de que no es posible determ inar un número que sea el más gran J e del inter­ valo abierto (0,1). Entonces si tomamos los intervalos I5= (o, 0,9), I7 = (o, 0,99), I. = (o, 0,99), lz i (o, 0,9999),

tenemos un cubrimiento por abiertos del intervalo (0,1) que no admite un subcubrimiento fmito. Si nos quedamos con cualquier cantidad finita de intervalos, eso no alcanza para cubrir al (0,1)» El ejemplo previo muestra que para la compacidad resulta esencial que el conjunto sea cerrado. También se necesita que sea acotado: por ejemplo, la recta es infinita, no es compacta. Pode­ mos cubrirla con infinitos discos, de manera tal que no pueda ex­ traerse un subcubrimiento finito:

Lacan habla también de rebosamiento; si cubrim os a un com­ pacto con discos abiertos, siempre va a haber rebasamiento, al­ gún sobrante. Porque para terminar de tapar con abiertos a un compacto -salvo que sea vacío- es inevitable cubrir un poco más de lo necesario; para incluir a la frontera es preciso sobrepasar­ la. En cambio, un abierto no tiene por qué ser rebasado, porque no es compacto. Ahora se puede entender eso de que “nada más compacto que una fa lla ”. Un compacto es cerrado y acotado; un punto es sin duda cerrado, y además: ¿existe algo que sea más acotado? En 35 . Fn algunos países por ejemplo Francia. la notación que se emp'ea para un ín tervalo abierto es un corchete invertido. De esta forma, el íorj i se escribe lo,i{.

realidad sí, el conjunto vacío. Desde el punto de vista m atem á­ tico la frase correcta seria: “nada más compacto que el vacío”. El vacío es tautológicam ente compacto. ¿Dónde está la tautología? Pensemos por un momento en “cu­ brir'1, en el sentido de tapar: si tenemos un agujero m uy pequeño en la remera, entonces para taparlo hace falta poner un parche. Pero si tenemos cero agujeros, entonces para cubrirlos no hace falta ningún parche; es suficiente con no poner ningún pedazo de tela56. La definición de compacto dice que todo cubrim iento por abiertos admite un subcubrim iento finito; com o el vacío no tiene elementos, puede ser cubierto con cualquier cosa. En caso de tener un punto, si lo tapamos con infinitos discos basta quedarse con uno que lo contenga, así se obtiene un sub­ cubri miento finito. Pero para el vacío es todavía más fácil, se cu­ bre con cero discos. Por eso dijimos que es tautológico: entramos así en el terreno de la lógica, pero es m uy fácil de entender. Notemos que cubrir, en este contexto, significa contener. Se dice que un conjunto está cubierto por otro si está incluido en él; cuando decim os que un rectángulo está cubierto por una familia de discos, lo que quere­ m os decir es que está incluido en la unión de todos ellos,

Pero “estar incluido" es una relación entre conjuntos; y el va­ cio cum ple tautológicam ente la propiedad de estar incluido en cualquier conjunto. La clave está en observar que si decim os que A está incluido en B (es subconjunto de B), eso equivale a decir que todo elemento de A es también elemento de B : si x está en A, entonces x esta en B. 36 Dirho sea de paso, cabe aclarar que “agujero y “vario” no son sinónimos

Para demostrar que el vacío está metido en ,4 , sea cual sea el con­ junto A, tenemos que probar la verdad de la siguiente oración: Si x pertenece al conjunto vacío, entonces x pertenece al con­ junto A. Pero esto es trivialmente verdadero, pues la premisa es falsa siempre. Si la premisa es falsa, la implicación es verdadera, como ocurre en este ejemplo tambiém trivial: Si i es igual a 2, entonces mi canario canta en húngaro. Esto es cierto, porque 1 no es igual a 2; entonces después de esa falsedad se puede decir cualquier cosa. Por eso la oración anterior es tautológicamente verdadera, porque el antecedente “x pertene­ ce al conjunto vacío” es siempre falso, desde el momento en que el vacío no tiene elementos. Esto lo transforma en un conjunto al que le resulta fácil ser pudoroso: cualquier cosa lo cubre.

Ca pít u lo 3

A l

bo rd e

d e u n a g u je r o

En las primeras clases de su sem inario...011 pire, Lacan enun­ cia una oración que más tarde se hará célebre: Yo te dem ando que m e rechaces lo que te ofrezco porque n o es eso.

Esta frase tan singular lo lleva a desarrollar las nociones de función proposicional y de variable, a la que entiende en el sen­ tido de Frege (ver volumen 2. Lógica y Teoría de conjuntos). Sin embargo, ante la complejidad de los temas que allí se discuten suele pasar desapercibido un hecho que no deja de ser significa­ tivo: durante la discusión en torno a dicha frase tuvo lugar la pri­ mera mención en la enseñanza de Lacan de esa curiosa entidad en la que apoyaría su esfuerzo de los años siguientes para hablar del agujero y aquello que denom inó “punto de calce”. Nos referi­ mos, claro está, al nudo borromeo. Aunque inicialmente no pa­ sara de una mera observación acerca de unos ingenuos redonde­ les de cuerda, los desarrollos cada vez más complejos motivaron una incursión posterior por la teoría matemática de nudos. La teoría de nudos tuvo su origen con Gauss, a mediados del siglo XIX, aunque recién a partir del XX la topología pudo con­ tar con las herram ientas adecuadas para elaborar teoremas que fueran más allá de la confección de tablas m inuciosas clasifican­

do los distintos tipos de nudo. A continuación veremos algunas de las definiciones y resultados básicos de dicha teoría.

Red o n d eles d e c u er d a

Estos son tres nudos. Mejor dicho, no son tres nudos; en rea­ lidad. estamos tan acostumbrados a los esquem as planos que so­ lemos abusar del lenguaje. Pero en el fondo se trata del mismo abuso que cometemos cuando, al mostrar una fotografía, deci­ mos: “acá están mi tío Marcos y mi tía G a rita ”. Esos no son los nudos sino apenas aplanamientos de ciertos nudos que en ri­ gor son sólo dos. En efecto, los últimos dos esquem as corres­ ponden a un mismo nudo, que admite una representación mu­ cho más sencilla:

Se trata deJ famoso nudo trivial. Uno se preguntará cuál es el sentido de denominar “nudo" a algo tan descaradam ente des­ anudado; sin embargo, eso tiene una razón de ser desde el pun­ to de vista de la constitución de una teoría. Para fijar ideas, cabe pensar que el nudo trivial es una especie de “elemento neutro” como lo es el 0 en los números, o el v acío en la teoría de con­ juntos Porque, al fin y al cabo, no es difícil im aginar cuestiona-

rnientos análogos, del tipo: si un conjunto es una “colección de cosas”, ¿cuál es el sentido de denom inar “conjunto" a algo que no tiene cosas ?37 Volviendo al tem a, debem os decir en primer lugar qué es un nudo: un nudo de n com ponentes es un conjunto de n circunfe­ rencias disjuntas, sum ergidasen el espacio tridim ensional. Por­ que no hay que olvidar que en el aspecto intrínseco, los fam o­ sos e intrincados “redondeles de cuerda” lacanianos no dejan de ser circunferencias: es su m odo de estar en el espacio lo que nos interesa, y nos m otiva a m anipularlos. La teoría de nudos tie­ ne que ver con ese otro aspecto, el extrínseco, que estudia cómo esos redondeles están sum ergidos en el espacio38. Por ejem plo el famoso nudo de trébol, com o objeto topológico, es una cir­ cunferencia: una circunferencia que tiene el capricho de estar sumergida de cierta manera particular en el espacio. La m ane­ ra en la que está sum ergida en el espacio es la que la hace dife­ rente del nudo trivial.

37 . Respecto del numero, entendido por los griegos como multiplicidad, el cuestionamiento llega más lejos e involucra también al r l os griegos se resistían a creer que la Unidad pudiera ser pensada como multiplicidad: esto fue señalado por Lacan justamente al hablar del nudo como ...una manera muy material de hacerles sentir que el Uno no es un número. 38 . En tal sentido es importante observ ar que el espacio tridimensional es el único apropiado como “espacio ambiente" de los nudos. Como se menciona en RSI, es fácil ver que en el espaciocuatridimensional (calculable pero no imaginable, se­ gún Lacan) dos o más circunferencias, por anudadas que estén, siempre pueden separarse Esa es una de las virtudes más celebradas de la cuarta dimensión: la posibilidad de deshacer una cadena sin romper los eslabones. A partir de lo vis­ to en los capítulos anteriores, podemos también celebrar el hecho de que allí se pueda sumergir un crosscap o una botella de Klein sin “m eter la muía”. De cual quier forma, el espacio tridimensional posee otras propiedades que lo hacen en algún sentido único; eso llevó al matemático Daniel Asimov a escribir un arti­ culo de sugerente título: There's no space like home.

Estos nudos no son equivalentes, por más que intrínsecamente no se trate más que de dos circunferencias. Podemos entenderlo pensando que en vez de redondeles tenemos dos tubos:

Para aquel que vive dentro de uno de ellos, no hay forma de enterarse de lo que sucede afuera; no tiene manera de saber si su tubo está anudado o no. Dos nudos de la misma cantidad de componentes son homeomorfos, pues no son más que coleccio­ nes de circunferencias, pero no tienen por qué ser equivalentes. Para que haya equivalencia en el sentido extrínseco, tiene que ha­ ber un homeomorfismo, pero de todo el espacio. Para nuestros fines, alcanza con algo más sencillo; vamos a pensar que “ser equivalentes” significa simplemente que si deformamos a uno de ellos podemos obtener el otro; en otras palabras, que se pue­ de pasar de uno al otro sin cortar ninguna de las circunferencias. El parámetro por excelencia para comparar y determ inar cuán anudado se encuentra un nudo, es el llamado nudo trivial; una suerte de elemento neutro que merecería serdenominado no-nu­ do. Consiste apenas en una colección de circunferencias sueltas, sumergidas en el espacio de la forma más elemental:

Nudo trivial de n componentes

Existe un problema que es central en la teoría de nudos; un problema muy fácil de plantear y no tan fácil de resolver: dados

dos nudos cualesquiera, determinar si son o no equivalentes. Para formularlo mejor, vamos a introducir una importante idea, la de aplanamiento: se llama aplanamiento de un nudo a un esquema dibujado en el plano que permite estudiar, mediante reglas com­ binatorias, algunas de sus propiedades. Puede pensarse como si se tratase de una vista del nudo desde cierta perspectiva, aunque de­ bemos aclarar que no se trata de una proyección. El aplanamiento, a diferencia de la proyección, introduce un artificio para evitar la ambigüedad en los cruces. Por ejemplo, dos circunferencias enla­ zadas que se proyectan sobre el plano se ven de esta forma:

CD Sin embargo, si las circunferencias estuvieran sueltas, pero su­ perpuestas, su proyección sería la misma. El aplanamiento tie­ ne en cuenta los cruces, de modo tal que las dos situaciones an­ teriores sean inequívocamente distintas:

Nudo no trivial

Nudo trivial

O bservemos que un mismo nudo puede dar lugar a esque­ mas muy diferentes; el aplanamiento no es único. Por ejemplo, los siguientes son tres aplanamientos distintos del nudo trivial de una componente:

Esto muestra la necesidad de disponer de ciertas reglas que digan en qué casos dos esquemas distintos corresponden a apla­ namientos de un mismo nudo. Esto lo veremos más adelante, con los denom inados movimientos de Reidemester, que perm i­ ten pasar de un nudo aplanado a otro equivalente. En cambio, si se quiere dem ostrar que dos nudos no son equivalentes, esto no alcanza. Tampoco ía intuición: es preciso em plear-u na vez m ásalgunos invariantes?9. Entre los infinitos nudos no equivalentes que ofrece la M ate­ mática, Lacan privilegia a una familia caracterizada por una pro­ piedad muy especial: si se corta alguno de los redondeles, los otros se liberan. En otras palabras, se trata de nudos en los cuales la pérdida de alguna de sus componentes los transforma en trivia­ les; por esa razón se los suele denominar cuasi-triviales. El más conocido es el de tres componentes, que se puede presentar así:

Sin embargo, este es apenas el más simple de los nudos que gozan de tal propiedad, muchas veces denom inados hrunnianos 39 . Como hemos mencionado en varias ocasiones, se denomina invariantes topológicos a aquellas propiedades que los espacios conservan cuando se les apli­ ca cualquier homeomorfismo: por ejemplo. ía conexión, la compacidad, etc. En el caso de los nudos existen numerosos invarianres. algunos de los cuales vere­ mos en las próximas paginas F 1 más conocido de todos es el grupo fundamen­ tal mencionado en la p¿g 67 , que se construye a partir de los lazos que recorren al espacio sin el nudo. Entre los que no veremos aquí, cabe mencionar a las su­ perficies de Seifert, los polinomios de Conway, entre otros. Como dijimos, los invariantes resultan de utilidad para comprobar que dos ob­ jetos (en este caso, dos nudos) no son e q u iv a le n te s : por ejemplo, si dos nudos tienen distinto grupo fundamental, entonces se trata de nudos diferentes.

en honor quien los describiera en 1892, el matemático H. Brunn. Aunque más difundido es el nombre por el que se los conoce en la literatura lacaniana: nudos borromeos. Es fácil v er que existen nudos borrom eos de n com ponentes para cualquier valor de n, a partir de tres; como dice Lacan en RSI: El n ud o b o rro m e o c o n siste e s tric ta m e n te en que tre s es su m ín i­ m o. Si u sted es d e sa n u d a n d os an illos de u na cad e n a , los o tro s p e r­ m an ecen a n u d ad o s. E n el n u d o b o rro m eo , si d e tres ro m p e n u n o , se liberan los tres Lo n o ta b le , q u e es un h e c h o de co n siste n cia , es q u e u sted es p u ed en p o n e r un n ú m e ro indefinido de anillos y s ie m ­ p re será v erd ad ero q u e, sí ro m p e n u no de eso s anillos, to d o s los d e m as, p o r n u m e ro so s q u e se a n , q u ed aran libres.*®

El punto de calce no es otro que el ubicuo agujero central, que en rigor es “el mismo’7que aparece en el nudo de trébol:

Es interesante comparar este diagrama con el del ‘ falso agujero” de la banda de Móbius, que se puede pensar como un plegado:

40 . Lacan se refiere a las componentes del nudo com o tres consistencias; por otro lado, conviene tener en cuenta su manera de situar en el nudo a aquellos térmi­ nos que son cruciales en su enseñanza

consistencia agujero existencia

—» —> >

imaginario simbólico Real

Esto da lugar a una curiosa observación: si efectuamos un plega­ do con un doblez adicional, obtenemos como resultado una ban­ da que no es de Móbius, sino que presenta una doble torsión:

/

\

\

.

/

Ya que hablamos de “plegados”, vale la pena mostrar el si­ guiente ejemplo, que bien puede efectuarse con la servilleta de papel en un bar:

Pero este sencillo diseño admite una lectura curiosa, quizás inesperada en este contexto. En primer lugar, observemos que la suma de las áreas del cuadrado central y los cuatro triángulos dan por resultado el cuadrado mayor; de este modo, si denota­ mos mediante las letras a, b y c a los lados de cada triángulo o b tenemos una fórmula muy simple:

(a - b ) 2+ 4 ^ = c2 2 Un poco de álgebra elemental produce un “desenlace” notable. Dado que (a —b ) 2es igual a a 2- 2ah + b2, entonces se obtiene: a 2- zab + b2+ 2.ab = c2. Luego, a 2+ b2 = c2. En otras palabras, hemos demostrado el teorema de Pitágoras, que dice: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hi­ potenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b). De esta forma, el más célebre teorema geométrico pue­ de pensarse como una consecuencia del plegado inocente de un trozo de papel. Por tal motivo, la operación bien merece ser de­ nominada un plegado pitagórico.

P ia n o

p i a n o , s e v a l o n t a n o 41

En la sección previa hemos presentado a los nudos y otros em ­ brollos, pensados en su ‘ hábitat'’ natural, el espacio tridim ensio­ nal. Y hemos mencionado también al aplanamiento, que no es otra cosa que una especie de “proyección” cuidadosa, en donde se tiene la prudencia de indicar cómo se cruzan los hilos. 1 lay una gran diferencia entre el nudo como objeto y su repre­ sentación como nudo aplanado: un esquema plano es corno una perspectiva del nudo, constituido únicamente por arcos (o seg­ mentos), y cruces. Sin embargo, a pesar de su simplicidad resulta la herramienta más efectiva para e) estudio de los nudos. Un primer ejercicio consiste en demostrar (o al menos mos­ trar) que el número de arcos de un esquema plano siempre coin­ cide con el número de cruces. Sin embargo, este número no es el 41. Recordemos que en italiano la palabra “piano” no sólo significa lento o suave, sino tam bién “plano”.

mismo para todos los aplanamientos, como se ve por ejemplo en estas dos presentaciones del nudo trivial de una componente:

(X) 0 arcos

1 arco

0 cruces

1 cruce

Ahora bien, de todos los aplanamientos posibles de un mis­ mo nudo siempre hay uno cuyo número de cruces es mínimo: se puede demostrar que ese sí es un invariante topológico, al que se denomina índice (Crossing índex). El lector puede verificar que si un nudo de una componente no es trivial, entonces su índice es mayor que 2. Por ejemplo, ello ocurre con el ya mencionado (notrivial) nudo de trébol:

3 arcos 3 cruces

Vale la pena observ ar que este nudo es equivalente a este otro.

lo cual nos lleva a form ular una pregunta: ¿dónde quedó el tan mentado agujero central, que en el borromeo permitió a Lacan situar su objeto a? Podemos em pezar a sospechar que tal aguje­ ro no tiene una ubicación en el nudo, sino que depende más bien del lugar desde donde se lo mire. Kn las próximas secciones vamos a introducir algunos inva­ riantes m ás; su función principal será la de distinguir nudos. Por ejemplo, uno no podría estar seguro a priori de que el nudo de trébol no es trivial, aunque el uso adecuado de ciertos invariantes permite probarlo. A modo de nota histórica, cabe m encionar que los primeros intentos de reconocer nudos, allá por fines del siglo XJX, resultaron muy trabajosos; según hemos dicho, la teoría re­ cién pudo tener un avance significativo en las primeras décadas del siglo XX, conform e la topología fue produciendo herram ien­ tas más adecuadas. Parece increíble que un objeto tan tangible como un nudo haya dado lugar a elucubraciones tan complicadas; ello nos recuerda una cita del célebre físico Paul Dirac: Tal vez se pudiera d escrib ir la situación afirm ando que Dios es un m a ­ tem ático de orden m u y alto, y que al co n stru ir el universo se valió de m atem áticas m uy elevadas. N uestras endebles tentativas en el c a m p o de las m atem áticas nos p erm iten co m p ren d er una p izca del universo; co n form e p ro ced am o s a desarrollar m atem áticas m ás y m ás su p erio ­ res. será de esp erar q ue p o d am o s co m p ren d er m ejor el universo.

Cabe decir que la definición que hemos dado de nudo no res­ ponde con exactitud a los "redondeles de cuerda”, pues existen ciertos nudos m atem áticos que son físicam ente irrealizables. Hay definiciones un poco diferentes que corrigen este hecho; por ejemplo, puede pedirse que en vez de circunferencias se tra­ te de polígonos, en el sentido usual de la geometría, con un nú­ mero fin ito de lados rectos.

N u d o s m u l t ic o l o r e s

Uno de los invariantes más conocidos se basa en una idea de co­ loración de nudos. Se dice que un nudo es coloreable cuando es po­ sible pintar a cada línea de un color, con las siguientes consignas:

1. Deben emplearse en total dos o tres colores. 2. Si en un cruce participan dos colores, entonces partici­ pan los tres. Por ejemplo, el nudo trivial de una componente no es coloreable, pues no hay forma de pintar a una única línea usando “dos o tres colores”. En cambio, el nudo de trébol puede colorearse de la siguiente forma:

Debemos notar que estamos hablando de colorear un nudo, cuando en realidad lo que hacemos es colorear alguno de sus apla­ namientos. ¿Es eso lícito? Para tranquilidad del lector, podemos decir que la respuesta es afirmativa: la propiedad de ser coloreable es un invariante topológico, y en consecuencia no depende del aplanamiento. Entre otras cosas, esto demuestra que el nudo de trébol no es trivial42. El nudo borromeo, tal como lo conoce­ mos: ¿es coloreable? ¿Es trivial?

42. Por supuesto, lo que no es tan sencillo es dem ostrar que propiedad de ser colo­ reable es un invariante; sin embargo, resulta un ejercicio elemental a partir de lo que verem os en la sección "A moverse con Reidemeister" de este capítulo.

sJÚ M ERO D E E N L A Z A M IE N T O

A l B O R D E D E U N A G U JE R O

[S ÍÚ M E R O D E E N L A Z A M I E N T O

Para nudos de dos componentes, existe una interesante manera de ver, en forma intuitiva, cuán “anudados” están ambos redonde­ les entre sí: es el llamado número de enlcizamiento (linking number). Para ello primero debemos tener en cuenta que cada redon­ del, en tanto circunferencia, admite dos orientaciones posibles:

El procedimiento para calcular el linking number consiste en elegir una orientación para cada una de las componentes, y asig­ nar el valor 1 0 - i a cada cruce que se produzca entre ambas com ­ ponentes, de acuerdo con la siguiente convención:

+1

-1

Luego se suman los valores de todos los cruces, y se divide el resultado por 2. Por ejemplo, en el siguiente nudo hay dos cru­ ces, que analizamos por separado:

Si ‘"enderezam os’ los esquemas que muestran el detalle de A y B, vem os que am bos son cruces del tipo +1, razón por la cual el nudo tiene el casi esperable número de enlazamiento i;

A *1

B +1

El número de enlazamiento del nudo trivial de dos compo­ nentes es o: ello obedece a su obvio estado de “desenlace”. Como en el caso anterior, el número de enlazamiento no depende del aplanamiento, por lo cual se lo puede considerar una propiedad del nudo. Porejem plo, el mismo cálculo anterior pero aplicado al siguiente esquema da por resultado o, y eso es lo que corresponde al caso de dos circunferencias sueltas, sin cruces para sumar: A A

+1

B

-1

En consecuencia, basta con que el número de enlazamiento de un esquema sea distinto de o para poder asegurar que el nudo no es trivíal; y cuanto mayor sea ese valor, más “enlazado " esta el nudo. Por ejemplo, el lector puede v erificar que el número de enlazamiento del llamado nudo del Rey Salom ón es 2 (o bien —2, dependiendo de las orientaciones elegidas), loque prueba que se encuentra un poco "más enlazado'’ que la cadena anterior:

A pesar de sus ventajas, debem os aclarar que no se trata de un invariante infalible. Por ejemplo, para el llamado nudo de W hitehead se verifica que el nudo de enlazam iento es o:

Sin embargo, es fácil com probar que el nudo no es trivial. A c la ra c ió n y p r e g u n t a : Debe recordarse que para el cálculo del número de enlazam iento sólo se deben tener en cuenta los cruces en los que participan las dos com ponentes del nudo. En el aplanam iento anterior, entonces, deben com putarse única­ mente los valores de cuatro cruces, ya que el cruce central es en realidad un autocruce. Podem os preguntarnos entonces: ¿hay algún aplanam iento de W hitehead (m ejor dicho, de su nudo) en el cual ninguno de los redondeles se cruce consigo m ism o? Y, ya que estam os: ¿por qué motivo para calcular el núm ero de enlazam iento se divide por 2? ¿No podría llegar a dar un núm e­ ro no entero?

Es p e c u l a n d o c o n l a im a g e n

Hemos hablado ya bastante del nudo de trébol:

Nudo famoso si los hay, sobre él se ha planteado allá por 1934 una de las primeras cuestiones importantes de esta teoría, en esos tiempos todavía incipiente. Se trata de ver si es o no equivalente a su imagen especular:

Tal vez valga la pena hacer algunos intentos antes de conocer la respuesta: ante estas cosas, nada mejor que un buen fracaso. El hecho es que la respuesta es negativa; como sea, su demostración es complicada: no es lo mismo mostrar que demostrar... Aquellos nudos equivalentes a su imagen especular son los que Lacan denominó no especularizables; según se puede verifi­ car, esta propiedad es también un invariante. La imagen especu­ lar no es exactamente lo mismo que un reflejo en el espejo; en el caso de los nudos se lo define sencillamente por el procedimien­ to de alterar todos los cruces de un nudo: pasar por abajo la línea que está arriba, y viceversa.

E je rc ic io : probar que el siguiente nudo es equivalente a su ima­ gen especular (en términos lacanianos: no es especularizable):

E D e s a n u d a n d o d u i d a d e s 43

En la definición del invariante anterior resulta fundam en­ tal tener en cuenta la operación de alterar los cruces. Cabe aho­ ra preguntarnos: ¿qué ocurre si en vez de alterar todos los cruces sólo modificamos algunos? Un ejemplo de un proceder similar es la recordable “pifiada” lacaniana del Seminario XX, según se describe en un artículo posterior44. Podemos ver otro caso más sencillo, nuevamente con el nudo de trébol. ¿Qué ocurre si aca­ so por efecto de una pifiada equivocamos uno de los cruces? La respuesta es inmediata; el nudo se trivializa:

n u d o triv ia l

43. El juego de palabras remite a una consigna intuicionista formulada por el m a­ temático holandés L. Brouwer, según la cual la intuición primigenia o Urintuition de la Matemática es la intuición de la desnuda duidad. A su entender, dicha intuición representa el fenómeno fundamental del pensamiento matemático. 44 J.Lacan, Una pifada en el establecimiento de una figura de nudo, o una fechoría de perspectiva, en ürnicar? número 5

Dado cualquier nudo, resulta evidente que alterando algu­ nos cruces siempre podremos obtener el nudo trivial; la canti­ dad mínima de pasos necesarios para lograrlo es un invariante, llamado número de desanudamiento. A partir del ejemplo ante­ rior vemos que para el trébol dicho número es i (no es o, pues en tal caso sería trivial). ¿Cuál es el número de desanudamiento del nudo borromeo? Ante todo, el lector deberá observar -qui­ zás con alguna sorpresa- lo que ocurre en dicho nudo si se mo­ difica un solo cruce. Pregunta ¿es correcto decir que la alteración de un cruce siempre genera un nudo distinto del original?

A M O V E R S E C O N R f .I D E M E I S T E R

Una de las maneras más conocidas de operar con los nudosaplanados la constituye un grupo de transformaciones denominadas mo­ vimientos de Reidemeister, cuya descripción es bien simple;

2)

:C «Z>C ~ 3

Se puede demostrar sin mayores dificultades que la aplicación de cualquiera de los tres tipos de movimiento permite a partir de un nudo obtener otro equivalente. A modo de ejemplo, veamos cómo obtener el nudo trivial aplicando los movimientos (i) y (2).

La sorpresa gratificante es que vale también la afirm ación re­ ciproca, aunque ya no es tan fácil de comprobar: si dos esquem as corresponden a nudos equivalentes, entonces existe una secuen­ cia de m ovim ientos de Reidem eister que permite pasar de uno al otro. Eso transform a a tales m ovim ientos en algo muy útil: entre otras cosas, ofrece un m odo práctico de dem ostrar que todos los invariantes que hem os definido hasta el m omento son verdade­ ros invariantes. La razón es clara: para probar que una propiedad cualquiera definida a partir de los esquem as planos es un inva­ riante, alcanza con dem ostrar que se mantiene cuando se apli­ can m ovim ientos de Reidemeister, lo cual reduce la dem ostra­ ción a la com probación de tres situaciones específicas. Por ejem ­ plo, si en un esquem a coloreable aparece en alguna parte la pri­ mera figura del segundo m ovim iento45, entonces en una colora­ ción de dicho esquem a la región tiene que ser

o bien:

En el primer caso, ligeramente monocromático, es claro que se puede m antener el negro todo el tiempo mientras se aplica el 45 . Pareciera que hablamos de ballet, pero h.iblainos de movimientos de Reidemeister

movimiento 2), mientras que en el segundo caso la coloreabilidad, como puede verse, no se pierde:

: c

-

d

c

-

d

:

La mejor manera de ejercitarse en la aplicación de dichos mo­ vimientos es verificar algunas equivalencias entre nudos operan­ do paso por paso, por más que el resultado sea tan obvio que ten­ gamos ganas de apurarnos. Por ejemplo, el siguiente nudo pare­ ce similar, a primera vista, al de Whitehead:

Pero “primeras vistas” no siempre son buenas, al menos en estas cuestiones, como se puede comprobar a partir de la apli­ cación sucesiva del segundo y el primero de los movimientos de Reidemeister:

E l B o r r o m e o , e s e c u a s i -t r i v i a l

Al igual que la banda de Móbius, el nudo borromeo parece el fruto de una paradoja: si denotam os con el signo > la propiedad de un redondel de pasar sobre otro, tenemos entonces tres re­ dondeles (R, S, I) con la siguiente particularidad: R >S > I > R

R pasa sobre S S pasa sobre I I pasa sobre R

i

En tal sentido, el nudo puede ser también “una manera muy ma­ terial” (c f nota 37) de presentar aquel juego infantil en el que la Piedra rompe a la Tijera el Papel envuelve a la Piedra la Tijera corta al Papel En otras palabras: no existe uno entre los tres elementos que tenga más poder que los otros. Pero no es eso lo que define al borromeo, sino la propiedad de ser cuasi-trivial, vale decir: si se suelta un redondel cualquiera, los otros se liberan. Según la terminología lacaniana, los cruces de un nudo se llaman puntos de imposibilidad o de trabazón; el nudo borromeo cuenta como mínimo con seis trabazones que lo mantienen en equilibrio. Sin embargo, se trata de un equilibrio sum am en­ te inestable, ya que la inversión de cualquiera de los cruces anu­ la el carácter del nudo. Ahora bien, la propiedad borromca no implica que sean sólo

tres los redondeles; es más correcta la observación de Lacan de que tres es su mínimo, pudiendo formarse nudos borromeos de n componentes para cualquier n > 3. Tal es el esfuerzo que hace Lacan al introducir el famoso sympthome, cuando muestra que se puede obtener un nudo borromeo de cuatro componentes a partir de tres redondeles apilados, si se alternan cuidadosam ente los cruces de la siguiente manera: "No hay tres sin cuatro”

Sin embargo, existe también una “receta'’ muy sencilla, que surgirá en forma inmediata a partir del siguiente ejercicio. E je rc ic io : probar que el nudo borromeo de tres redondeles es equivalente a este otro:

Con esto se ve que para fabricar un nudo borromeo de un nú­ mero cualquiera de componentes basta con el sencillo procedi­ miento de abrir el último redondel y agregar la cantidad desea­

da de lengüetas” interm edias, para finalmente volver a cerrarlo. Tal es el intento "pifiado" que hace Lacan en Aun, en donde qui­ so mostrar un nudo borrom eo de 13 componentes. Para concluir esta sección, vam os a ver una propiedad intere­ sante que tiene el nudo de tres componentes, al invertir uno de sus cruces. En tal caso, los redondeles directamente involucra­ dos en el cruce quedan anudados entre sí, mientras el tercero, le­ jos de la escena, resulta "expulsado”:

H s e (ibera

|iy“> quedan e n te ja d o s

■fiera 0 0 cruce

Esto puede parecer enojoso, una especie de confabulación para echara un tercero en discordia (o. m ejordicho, dis cordia)46. Pero también lo podem os verlo como una operación: sí se tiene buena mano, al operar sobre el cruce de dos redondeles podemos obte­ ner consecuencias en el tercero, un efecto liberador.

T renzas

T renzas del co lo r del m ate am argo, que endulzaron mí letargo gris H

om ero

Ex p ó sit o . "T

renzas”

En los años 30, el matemático Artin introdujo el concepto ma­ temático de trenza com o un m edio para estudiar algunas pro­ piedades de los nudos. Tal origen quizás induzca a pensar que las trenzas no tienen interés como objetos m atem áticos en sí; 46 . En particular, se ve que el número de desanudamiento del nudo borrom eo (cf. página 131 ) es z

al menos esa fue la actitud de los matemáticos durante algunos años. Sin embargo, a partir de 195° se descubrió que la teoría de trenzas es aplicable a diversos campos, lo que generó un cierto ímpetu a favor de la investigación en tal área. Las trenzas se de­ finen de un modo muy sencillo a partir de un cubo, en el cual se eligen n puntos en sus caras superior e inferior para unirlos en­ tre sí mediante curvas, cada punto de la cara superior con uno de la cara inferior:

Para que la definición sea aceptable, se pone como condición que las curvas se tracen de manera tal que cualquier plano hori­ zontal corte a cada una de ellas una sola vez. Por ejemplo, la si­ guiente curva no verifica dicha condición, y por consiguiente no define una trenza de una componente:

De más está decir entonces que hay una única trenza de una componente: la trivial

/ Trenza trivial

En forma análoga a la empleada con los nudos, el estudio de las trenzas puede llevarse a cabo mediante esquemas planos, por ejemplo:

De este modo, se aplican a las trenzas algunas de las técnicas ya conocidas para los nudos, como los movimientos de Reidemester, y también ciertos invariantes. Pero las trenzas ofrecen una venta­ ja, que es la posibilidad de pensarse de una manera muy natural apelando a la teoría de grupos (cf. pág. 67). Para ello, definimos el producto entre dos trenzas de n componentes a y (3 simplemente por yuxtaposición; vale decir, “pegando” los cubos respectivos de modo de que los puntos correspondientes coincidan:

Resulta fácil comprobar que: i) El producto es asociativo, es decir: (aP)y - a (py) para todas las trenzas a , p, y de n componentes. 2) 1.a trenza trivial de n componentes -denotada e —es elementó neutro; en otras palabras: a e = eTa para toda trenza a . Para terminar de verificar que las trenzas de n componentes determinan un grupo, es preciso mostrar que para toda trenza a existe una trenza inversa, denotada a de m odo tal que vale: a a

1- a

y* - en

En efecto, dada cualquier a basta con tom ar su imagen espe­ cular respecto del eje horizontal inferior, por ejemplo:

SX a: =Cj "identidad'' (Trenza trivial1de 3 componentes)

De este m od o, cad a tre n z a de n co m p o n e n tes puede ser pen­ sada en form a p u ram en te algebraica co m o elem ento de un grupo, denom inado b r a id g r o u p . Más aun, es m uy sencillo d ar una p r e ­ se n ta ció n de tal grupo, a p artir de un con ju n to de g e n e r a d o r e s : al­ canza co n to m ar los elem en to s o (co n j entre i y n - 1 ) co n sisten ­ tes en p asar el a rc o 7 -é s im o por en cim a del arco que se en cu en tra in m ed iatam en te a su d erech a. Por ejem plo, en el grupo de tren ­ zas de 5 co m p o n e n tes ten em o s al elem en to y su inversa:

Fs fácil dem ostrarquecualquier trenza puede escribirse com o pro­ ducto de un núm ero finito de dichos generadores y sus inversas:

Existe una propiedad que resulta de especial im portancia para Lacan: toda trenza se puede cla u su rar. Esto significa que se la puede cerrar, de forma tal de obtener un nudo. El procedim iento es simple: basta con unir m ediante arcos disjuntos los n puntos correspondien­ tes a cada una de las com ponentes de la trenza; de esta m anera, se genera se genera un nudo de n com ponentes co m o m áxim o:

Algo menos evidente, pero sin duda de gran importancia, re­ sulta la afirmación recíproca: todo nudo es la clausura de alguna trenza. Esto permite aplicar a los nudos ciertos invariantes que son típicos de las trenzas, aunque debe tenerse en cuenta que el procedimiento no es unívoco, vale decir: un mismo nudo puede obtenerse a partir de trenzas distintas. Por ejemplo, aquí tene­ mos dos trenzas diferentes que determinan el zonzo nudo tri­ vial de una componente:

Lacan se interesó en especial por la trenza “clásica" de tres componentes, que recorre todas las posibles permutaciones de un conjunto de tres letras:

RSI SRI SIR ISR IRS RIS RSI

Según puede verse, al cabo de seis pasos se llega nuevamen­ te a la configuración inicial: es por eso que Lacan dice que el in-

conscientecuenta hasta seis47. Pero lo que resulta verdaderam en­ te notable es que la clausura de esta trenza determina un nudo de tres com ponentes que no es cualquiera; se trata nada menos que del nudo borromeo:

47. En relación a las permutaciones, existe un interesante ejemplo algebraico rela­ cionado con la fracción 1/ 7 , cuya expresión decimal es: 0,142857142857142857... Si tomamos las seis cifras que constituyen el período, observamos la siguiente propiedad:

142857.1 = 142857 142857.2 = 285714 142857.3 - 428571 142857.4 = 571428 142857.5 = 714285 142857.6 - 857142 En otras palabras, el producto del misterioso número por los sucesivos núme­ ros naturales da como resultado las llamadas permutaciones cíclicas del mismo. Al llegara 7 , la cosa cambia radicalmente:

142857.7 - 999999 Bien mirado, esto no debe sorprender; el lector puede hacer el intento de expli­ car esta propiedad tan agradable, e incluso establecer una regla para el compor­ tamiento posterior de tal número:

142857.8 = U42856 (6+1 = 7) 142857.9 = 1285713 (3+1 = 4) 142857.10 = 1428570 (0+1 = 1) Las seis permutaciones mencionadas se relacionan con las dos orientaciones que pueden definirse para el espacio tridimensional, de la siguiente forma: si pen­ samos en R, S e I como ejes cartesianos, entonces orientar al espacio consiste en elegir una manera de recorrer dichos ejes Por convención se establece como orientación positiva aquella que los recorre en sentido anti-horario, y negativa a la orientación opuesta, lo que da un signo para cada una de las permutaciones:

Hay que ten er en cu en ta la im portancia, en cad a cru ce, de in­ dicar cuál es el a rco que pasa por arriba del o tro , inform ación que no se en cu en tra cuand o se describen ú n icam en te las p erm u ta­ ciones R S I, S R I, etcétera. De esta form a, volviendo a la n otación introducida en la página 141, la tren za lacan ian a se lee aB a 2~‘o Ia 2" a 1a2

o, si se prefiere: (Xa ia 2~1')3

La n otab le concisión de esta últim a fórm ula ofrece una nue­ va perspectiva, a la luz de la propiedad que m en cion am o s pocos párrafos atrás. En efecto, vale la pena reco rd ar que Lacan preten ­ dió, en los últim os años, h acer del nudo b o rrom eo una escritu ­ ra. El propósito excede, sin duda. ía m a te m á tica : debería ser uno psicoanalista para em p ren d er acaso el in ten to de en ten d er lo que quiso decir. Pero las h erram ientas que h em os desarrollado en es­ tas últim as páginas nos han perm itido alcan zar o tro propósito, en absoluto desdeñable. En efecto, la an terior trenza produce el b o rrom eo ; por otra parte, la fórm ula obtenida describe a la tren za. Esto no alcan ­ za para asegu rar que h em os logrado h acer d e l n u d o u n a e s c r itu ­ ra aunque, al cab o de tan to esfuerzo, h em os conseguido cu an to m enos un a e s c ritu ra d el nudo.

In d ice de

t é r m in o s

conjunto abierto.

A

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i

e

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o

........................... .. ..................................... .. ................... v e r

A

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o

........................................................................................ 4 2 / 7 ,

7 7 - 7 8 .

A

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...................................... 1 3 .

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A

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....................................................................................................... ..

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l

e

c

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ss.,

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y

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...........................................

.............

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...........

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1 0 5 - 1 1 4 .

compacidad.

............................................................ .. .....................................................4 5 .

o

C O M P L E T I T U D . o

z

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e

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P A C I

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r

6 1

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.................................................................................. 6 7 - 6 8 -

a

a

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n

r

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y

conjunto cerrado „ curva cerrada y superficie cerrada.

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e

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............................................ .. ...................v e r

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a

ss.

6 7 . 1 0 5

................................................................................. 8 2 ,

n

.................

e

ss.

y y

......................................... .. ............................................ 4 5 .

a

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1 1 5

................................. .. ...............................................................1 0 3

a

t

e

u

u

ó

A S I F I C A C I Ó N s

t

t

8 6 , 1 1 0 - 1 1 3 .

ss.,

y

r

l

u

6 1 - 6 3 ,

M

C

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............................................ .. ............................................. 1 1 9

. . . o

4 8 .

e

o

f

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y

d e

l

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a

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3 6 / 3 7 .

...................................... ................................ .. .................................. 1 6 ,

a

a

r

i

s

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m

r

m

e

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o

e

C

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3 3 .

e

r

r

r

t

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o

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4 4 - 4 5 ,

....................................................................................... .. .. ................................... 1 5 .

í

. .....................................................................................................1 0 5 . ......................... ..

3 7

y

ss.,

6 3

y

ss.,

6 1 - 6 2

u o - 1 1 3 1 1 0 - 1 1 2 .

6 3 0 . 1 1 2 - 1 1 4 ,

c

a

C o n t i n u i d a d .

o

. 1 0 5 .

........................4 2 - 4 3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o

d

..................

i 2 i n .

8 4 . 1 0 2

y

ss

Co

n t r á c t il

Co

n v e r g e n c ia

Co

n v e x o

C

............................................................................................................................................ 9 6 . ................................................................................................................. 1 0 4 - 1 1 0 .

........................................................................................................................... ...........................2 7 .

o o rd en ad as c a r t e s ia n a s

Co

r r e sp o n d e n c ia

Co

r t a r

.................................................... 1 2 - 1 3 , 1 0 1 - 1 0 2 , 1 4 3 ^

......................................................................................................2 5 , 3 7 - 4 5 .

..............................................................5 4 , 5 9 y s s . , 8 8 y s s . , 1 0 6 - 1 0 7 , 1 1 8 , 1 2 0 .

C o t a ..................................................................................................................... C

r o s s c a p

C

l ib r im ie n t o

C

u r v a

C

urva c e r r a d a

• • • ver

acotado.

............................................................................. ...................................................... 8 2 y s s . ..................................................................................................................... • 1 1 0 - 1 1 3 .

............................................................................................

..............................4 2 , 6 2 , 6 4 y s s .

..................................................................................................... 4 2 . 6 2 , 6 4 y s s .

D i s c o . .......................................................................................... 5 ° - 5 1> 8 2 . 8 9 , 9 6 - 9 8 , 1 1 1 - 1 1 3 . D

isc o n e x o

............................................................................................................................................... 4 3 .

E n t o r n o ............................................................................................................... E s f e r a ...............................................33Esp a c io

n

-

35 -

4 4 4 5 . 5° _ 5 i»

78.

4 7 *52 - 5 6 - 5 7 , 5 9 y ss., 7 7 y ss., 9 0 y ss.

d i m e n s i o n a i ................................................5 0 ,

55» 6 1 , 7 3 , 8 2 , 8 4 , 9 2 - 9 3 ,

9 9 - 1 0 0 , 1 0 2 , 1 0 6 , 1 1 7 , 1 2 3 , 143. E s p a c i o t o p o l ó g i c o ......................................................................................... 3 9 , E s q u e m a c o m b i n a t o r i o .....................................v e r Es

t r u c t u r a

Fa

m il ia

Fó

de

r m u l a

C

45 .

63-68

topología combinatoria.

......................................................................................... .............................3 3 , 4 5 , 6 7 . ................................................................ 4 5 , 1 0 8 , 1 1 1 - 1 1 3 .

o n ju n t o s

...................................................................................................1 3 , 2 5 - 2 9 , 9 0 , 1 2 2 , 1 4 4 .

F r o n t e r a ...................................................................................................................

35 - 45 - 1 1 0 > » 2 -

...................................................................................... ..................... 2 5 , 3 7 - 4 5 , 6 5 , 1 1 5 .

Fu

n c ió n

Fu

n c ió n

b iy e c t iv a o

Fu

n c ió n

c o n t in u a

Fu

n c ió n

in v e r sa

b iu n ív o c a

........................................................ 3 7 , 3 9 , 4 5 .

.............................................................................................................. 3 8 , 6 5

...............................................................................................................................3 9 .

G

é n e r o

G

e o m e t r ía

................................................................................................................................................6 1 - 6 2 . p r o y e c t iv a

............................... ........................1 6 , 3 2 , 3 5 - 3 6 , 4 0 - 4 1 , 8 6 .

G

e o m e t r ía

e u c l id ia n a

...............................1 5 - 1 6 , 4 0 - 4 1 , 8 6 , 8 8 , 1 0 1 - 1 0 2 , 1 0 6 .

G

r á f ic o

G

r a f o

...................................................................................................... ...............1 4 - 1 5 , 2 0 - 3 3 , 6 3 .

G

r u p o

................................................. ... ......................... .

G

ru po

fu n d am en tal

de u n a fu n c ió n

H

ip é r b o l a

H

o m e o m o r f ism o

H

o m o t o p ía

...................................................................................... ..

38.

4 1, 6 7 - 7 0 , i 2 o n , 132, 13 9 y ss.

................................................................

. 6 7 - 7 0 , 1 2 0 n.

........................................... .......................................... .................................

....

41/1

............................... ... ................3 7 y s s . , 5 0 5 1 , 6 3 - 6 5 , 1 1 8 , 1 2 0 .

........................................................................................................ .....................6 5 - 6 8

Id

e n t id a d

Id

e n t if ic a r

In

c lu sió n

In

t e r io r

In

tervalo

In

t r ín se c o

In

v a r ia n t e g e o m é t r ic o

........................................................................................................... 4 1

In

v a r ia n t e t o p o l ó g ic o

........................................1 7 , 3 7 , 4 1 - 4 2 , 6 3 , 1 2 0 , 1 2 4 y s s

In

v e r sió n

La

zo

. . ..................................................... 2 1 , 4 4 - 4 5 , 6 2 , 7 4 - 7 5 , 7 7 - 7 9 , 8 9 , 9 5 - 9 7 .....................................................................................................................................1 0 7 y s s ......................................................................................... 5 5 , 7 3 , 8 o n , 9 0 , 1 1 7 - 1 1 8

/in

v er so

r e d u c ib l e

ím it e

M

..............................................................8 , 1 6 , 5 2 - 5 7 , 7 3 , 7 7 y s s . , 1 0 1 y s s

........................................................................................................................8 4 , 1 1 2 - 1 1 3

................3 9 , 6 7 - 6 8 , 7 2 y s s . , 8 9 , 1 0 0 , 1 3 5 , 1 3 7 , 1 4 0 - 1 4 1

...........................................................................................................................6 3 - 7 7 , 9 4 , 9 6 , 1 2 0

Lazo L

.................................. ............................................................................... 4 1 - 4 3 , 1 4 0

.................................................................................................................6 3 , 6 5 - 6 6

............................................................................................................................ 3 8 , 7 8 , 1 0 3 - 1 0 9

o v im ie n t o s d e

Re

id e m e ist e r

................................................................1 2 0 , 1 3 2 y s s

N u d o ............................................................................................................... 42/7, 7 3 n, 1 0 5 , 1 1 5

y ss

N

udo a p l a n a d o

..........................................................................................................1 1 6 , 1 1 9 y s s

N

udo

b o r ro m eo

............................................ 1 1 5 , 1 2 1 , 1 2 5 - 1 2 6 , 1 3 2 , 1 3 5 - 1 3 7 , 1 4 3 - 1 4 4

N

udo

de t r é b o l

.......................................................................1 1 7 , 1 2 1 , 1 2 4 - 1 2 6 , 1 3 0 - 1 3 2

N

lid o t r i v i a l

.........................7 3 / 1 , 1 1 6 - 1 2 0 , 1 2 4 - 1 2 6 , 1 2 8 , 1 2 9 , 1 3 1 - 1 3 2 , 1 3 5 y s s

N ú m e r o c r o m a t i c o ........................................................................................... 3 3 - 35> N

d e e n l a z a m ie n t o

N

úm ero

ir r a c io n a l

N

ú m ero

r a c i o n a i ................................................................................................1 0

N

ú m ero

r e a l

O

ch o

O

r ie n t a b l e

O

r ie n t a c ió n

Pa

r á b o l a g a r

Pl

a n o

..................................................................................................... 1 0 3 - 1 0 7 2 ,10 5 . 107

.............................................................................................................................1 0 1 y s s

in t e r io r

Pe

5^ . 6 3

...................................................................................1 2 7 - 1 2 9

ú m ero

................................................................................................................8 9 . 9 6 - 9 7

................................................................................................................ 6 1 - 6 2 , 7 9 y s s ............................................................................. 2 4 , 5 3 , 5 5 , 7 0 , 8 3 , 9 0 y s s

................................................................................................................................................4 i n

............................... ........................................... 5 1 5 2 , 5 7 , 6 1 , 8 2 8 3 , 9 2 - 9 3 , 9 8 - 9 9 .................................................. ..................... 2 0 y s s . , 3 3 - 3 5 , 4 2 n , 6 3 - 6 5 , 7 7 - 7 9 , 88, 10 2 ,10 6 ,110 , 116 ,12 3 y ss.

Plan

o

p r o y e c t iv o

........................................................................................................ .. 8 6 - 8 8 .

Po

l ie d r o

s im p l e

Po

l ie d r o

t o p o l ó g ic o

.................................................... ................................................................. 2 7 - 2 8 . . ..............................................................................................

85-86.

P o l í g o n o t o p o l ó g i c o ......................................................................................... 5 3 - 5 4 » Pro

57 -

p ie d a d

e x t r ín se c a

............... ..................... ..................... 5 5 , 7 3 , 7 5 , 8 o n , 1 1 7 - 1 1 8 .

Pr o

p ie d a d

in t r ín se c a

. . . . . . .

Pro

y e c c ió n

......................... 5 5 , 7 3 . 7 5 . 8 o n , 9 0 , 1 1 7 - 1 1 8 .

............................ .................................... ............................................................. 1 1 9 , 1 2 3 .

P u n t o ................................................................................ ! 3 - 1 > 2 0 Y s 5 - 53 - 3 8 39 - 4 2 - 4 5 , 4 9 56 , 6 3 -6 5 , 6 8 , 7 7 -7 9 . 81 8 8 9 2 y s s ., 10 2 -110 , 115 , i 2 i r 135. 138 -139 , Pu

n to

fr o n t er a

.................................................................... .................................

- - - - -

45.

P u n t o i m p r o p i o ................................................................................................... 8 6 8 8 , 94. PUMTO IN T E R IO R ..................................................................................... - |- . -44-45. R e c t a ................. ................................. 1 5 , 3 5 , 4 - n Rec

tá n g u lo

71n>8 6

8 8 . 9 4 . 9 7 ,1 0 2 ,1 0 5 y ss.

...................... ..................................................................................... 5 3 y s s . , u o - m .

S im p le m e n te c o n e x o

..................................................... .

S u b c o n j u n f o ...........................................- —

65 .

................................................... 45 . 107, 113.

S i BCUBRIM SENTO............................................................................................................................ - .. IIO

104 y

S u c e s i ó n .................................................................................................................... ... S u c e sió n c o n v e r g e n te

ss.

.................................. ................................................ 104-105

S u m e r g i r ....................... 50 ,

S u p e rficie

55 . 7 3 , «Son. 82 , 8 4 . 92 -9 3 , 99 100, 117-118 .............. — .................................... 12 . 20 . 34 . 47 y ss., 120n. b i l á t e r a . ______ ________ . — .. ...................................................... 79 -82 . c e r r a d a ........................................ . 20 . 59 . 61 , 80 , 82 y s s . d e r e v o l u c i ó n ------ -- — .................................... 12 . 20 .

Su p e r f ic ie

de

S u p e rficie S u p e rficie S u p e rficie

Se

if e r t

S u p e rf ic ie un il á t f .r a

...........................................................

.................

....

oon.

........................ ................. .................................. 79-82 y s s .

34 .

T e o r e m a d e l o s c u a t r o c o l o r e s ................................................

T e o r e m a d e J o r d á n ....................... ................................................... ............................... 42 n. T e o r í a d e l a s c o r t a d u r a s ( D e d e k i n d ) .............................. T o p o l o g í a c o m b i n a t o r i a .............................

15 . 52 y

ss.„

. 107. 119 y s s .

T o p o l o g í a u s u a l .................................................................................... 4 4 - 101r l o í >- u o T o r o ................................ ........... .. ........................................ 11 y s s ., 19 20 , 31 -36 , 54 y ss. T r e n z a ............................................................................................................................... «37 y ssT r e n z a t r i v i a l ................................ ........ ............................................................................ - - .. 138 Vec

in d a d

ver

entorno.