Apuntes Matematicos Para Leer A Lacan 2 9789506492717

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Pa b lo A m ster

APUNTES MATEMÁTICOS PARA LEER A LACAN 2. Lógica y teoría de conjuntos

Amster, Pablo Apuntes m atem áticos para leer a Lacan : 2. Lógica y teoría de conjuntos - Ia ed. - Buenos A ire s: Letra Viva, 2010. 218 p . ; 22 x 14 cm. ISBN 978-950-649-271-7 1. Psicoanálisis. I. Título C D D 150.195 E d ic ió n

a l c u id a d o d e

L ea n d ro Sa lg a d o

© 2010, Letra Viva, Librería y Editorial Av. Coronel Díaz 1837, (1425) C. A. de Buenos Aires, Argentina e - m a i l : [email protected] / w e b p a g e : www.imagoagenda.com

© 2010, Pablo Amster [email protected]

Primera edición: marzo de 2010 Impreso en Argentina - Printed in Argentina Queda hecho el depósito que marca la Ley 11.723

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra bajo cualquier método, incluidos la reprografía, la fotocopia y el tratamiento digital, sin la previa y expresa autorización por escrito de los titulares del copyright.

't*

Estoy convencido de que todo auténtico teórico es una especie de metafísico en estado de domesticidad, por muy “positivista” puro que se pueda tener a sí mismo. El metafísico tiene la creencia de que lo lógicamente sencillo es también lo real; el metafísico domesticado no cree que todo cuanto sea lógicamente sencillo haya de tomar cuerpo en la realidad sensible, pero sí que la totalidad de la experiencia sensorial puede “entenderse” a partir de un sistema conceptual construido sobre premisas de suma simplicidad. El escéptico dirá que esto es un “credo milagroso" Reconozcamos que así es, pero también se trata de un credo milagroso confirmado en asombrosa medida por el desarrollo de la ciencia. A

lbert

E in s t e in

Hay suficiente metafísica en no pensar en nada. A l b e r t o Ca e ir o

In d i c e

Prefacio ..........................................................................................9 Capítu lo 1. N o cio n es básicas de l ó g ic a ............ ................... 13 1.Definición de la definición ............................... ................ 14 2.¿Qué significa “significar”? ......... ............................. .15 3.Las leyes del pensamiento ................. ...18 4.Deducción, inducción, abducción.................................. 21 5-Lógica aristotélica............ ................................ .................25 ó.Enunciados categóricos....................................................31 7-Cuadrante de P eirce........ .......................... .......................33 8.Silogism os.................................................................... . 3 4 9.Sintaxis y semántica de los lenguajes formales ...........38 ío.Tablas de v e rd a d ............ ...................... ......................4 0 u.Leyes lógicas..................................................................... 43 12.Variables libres y cuantificación.............................· · · 49 13.Álgebra de c la se s .............. ........................................ . 5 4 Ca pítu lo 2. L a y e l sist e m a de

in d u cció n m a t e m á t ic a

Pean o .............................................................59

Ca pítu lo 3. La s r e g l a s de a l -ja b a r y F ibo nacci robado . 71 Fibonacci robado ................................................................ 78 De los conejos áureos a lo imaginario ................................... ..... ............. 81 Ca p ít u lo 4. La

d em o str ació n d ia g o n a l :

una cr u zad a c a n t o r ia n a .............. .......................................

87 í.Un antecedente socrático ....................... .. 88 2.Las paradojas de la identificación............ ......................90 3.... y sin embargo, se coordina .........................................92 4.EI bicho de lo no-numerable.......... .. 94 Epílogo ............................................................................... . 9 7

Ca p ít u lo 5. La v id a sin la b o l sa : AUTORREFERENCIA Y TEOREMAS DE GÓDEL........ ...................... ÍOI Uno. Breve referencia sobre Epiménides........ ..................101 Dos. Breve referencia sobre la referencia: Quine y Gódel........ ....................................... ..................... 103 Tres. Proposiciones indecidibles y teorema de G ó d e l........................ ................................ . 107 Cuatro. ¿Cuál es el título de esta sección?. . ..................110 Cinco. Los lenguajes formales ............................................112 Seis. Un pase mágico................................ .......................114 Siete. La liebre de M a rz o .................... ............................. 118 Ocho. Autorretrato de mí m ism o .............. .....................122 Epílogo, y nueva gódelización....................................... .128 C a p ítu lo 6. Breve presentación de c a s o s ........................ 135 Segundo caso. Un caso de inconsistencia..........................137 Tercer caso. Un caso de metonimia.................................... 141 Cuarto caso. Un caso de metáfora..................................... 147 Quinto caso. Un caso al margen................................ .. 151 Sexto caso. Ramanujan, y otros casos. ....................... .160 C a p ítu lo 7. La re lig ió n ,

o r d in e

MATHEMATICA D EM O N STR A TA .......................... ...................

i 69 La creación ..................................................................................... 170 Ciencia, Matemática, Religión............................ ............173 Un Dios tautológico...................... ...................................177 Imagen y Semejanza .......................................................... 179 Consistencia, Inconsistencia. ........................................... 186

Capítu lo 8. Pa s c a l , ah aró n y la po ten c ia d el d o s . . . . .189 Epílogo ......................................................................... .. 2x2

B ib l io g r a f ía

217

P r e f a c io

En este libro se presentan diversos temas de la Matemática; más precisamente, de Lógica, Teoría de Conjuntos y algunos as­ pectos de su filosofía. Los primeros cuatro capítulos se ocupan de las cuestiones más generales de la lógica, desde las primeras formulaciones aristo­ télicas hasta los desarrollos actuales de Boole, Peano, Frege, et­ cétera. Se habla también de la teoría de números naturales, el ál­ gebra, y ciertos aspectos relacionados con los sistemas sintácti­ cos introducidos por el psicoanalista francés Jacques Lacan en el Seminario sobre ‘La carta robada’. El siguiente capítulo comprende una exposición informal de los célebres teoremas de incompletitud de Gódel, y su incidencia en los más variados campos, en especial el del lenguaje y el Psi­ coanálisis. Esto lleva a reflexionar sobre ciertos temas que parti­ cipan de modo esencial en dichos teoremas: en especial, el de la paradoja, de gran importancia en el desarrollo del pensamiento filosófico. A modo de conclusión se verá que, en cierto modo, la disyuntiva gódeliana entre incompletitud e inconsistencia pue­ de ser contemplada desde la perspectiva de la lógica clásica como aquello que Lacan denominó una elección forzada. El capítulo posterior abarca, al modo de las presentaciones clínicas, una serie de "casos" matemáticos. Se plantean allí di­ 9

L ó g ic a

y t e o r í a d e c o n ju n t o s

Pa b l o A m s t e r

ferentes asuntos, como el del infinito y los Alefs, el problema de la metáfora y la representación, para concluir con una pregunta: ¿cómo piensa un matemático? El título del capítulo 7 evoca a la Etica de Spinoza, y refiere una serie de puntos en común entre las teorías matemáticas y el texto bíblico. Dijo Yojanán Ben Zacai: “no hay verdad sin una fe sobre la que pueda apoyarse”; como veremos, en cierto senti­ do esta afirmación concierne también a las verdades matemáti­ cas. Dios -según Lacan, inconsciente- se define en concordan­ cia con la noción lógica de tautología. Por otra parte, la tradi­ ción sostiene que su Nombre es indecible; la teoría de conjun­ tos creada por el ruso Georg Cantor brinda argumentos capaces de sustentar este hecho. Finalmente, el último capítulo es quizá el que más resonan­ cias despertará en el lector lacaniano; su lectura puede plantear­ se al modo de un ejercicio interpretativo. Por otra parte, se hace mención explícita de diferentes materias desarrolladas por Lacan, especialmente en los Seminarios XIX y XX: el triángulo de Pascal, la simetría y lo especular, y la lógica modal, muy conec­ tada a la lógica temporal. Esto es algo que Lacan hace notar en sus conocidas fórmulas: no cesa de escribirse cesa de escribirse

no cesa de no escribirse cesa de no escribirse

Hay una frase del seminario ...ou pire que se ha hecho céle­ bre: “no hay enseñanza más que matemática, el resto es broma”. Al margen de las muy dispares valoraciones que existen sobre la enseñanza lacaniana, este trabajo busca -un poco en bromaapoyar esta postura, ofreciendo algunos elementos que ayuden a abordarla. El lector advertirá que determinados temas se repiten en dis­ tintos capítulos; tal repetición obedece a la finalidad de que cada sección se encuentre autocontenida y pueda ser así leída en for­ ma independiente.

Para concluir estas líneas, vale la pena señalar que el ánimo que guía a esta obra es el de la Matemática entendida como una de las más grandes expresiones de la humanidad, fruto de las pa­ siones más encendidas y de la búsqueda incesante. Una búsque-

P r e f a c io

< I O N I S D Á N IC A S D E M t o l C A

I le aquí al hombre de Platón.

Tal como ocurre ante su respuesta a las aporías de Zenón (“el movimiento se demuestra andando”, frase que supuestamente pronunció unos ochenta años antes de desplumar al pobre po­ llo), se suele reprochar a Diógenes el no haber entendido la ver­ dadera esencia del problema. De todas formas debemos conve­ nir que la definición de Platón resulta un tanto amplia: las propie­ dades empleadas para definir el concepto, aunque verdaderas, no son suficientes para distinguirlos por completo de otras entidades (los pollos desplumados). De acuerdo con el identitas indiscernibilium -indiscernibilidad de los idénticos- formulado por Leibniz, si dos cosas son distintas debe existir alguna propiedad que no sea común a ambas, lo que permite “estrechar” un poco la de­ finición, por ejemplo: El hombre es un bípedo implume que no cacarea. Vale la pena aclarar que en el afán de distinguir se corre el riesgo de caer en definiciones demasiado estrechas, que no lle­ gan a abarcar la totalidad de objetos que se quieren definir, por ejemplo: El hombre es un bípedo implume de 36 años que se llama En­ rique.

2.

¿Q u é

s ig n if ic a

“s i g n i f i c a r ” ?

En los párrafos anteriores hemos dicho, vagamente, que defi­ nir consiste en explicar el significado de un término. Ahora bien: ¿qué significa “significar”? Este tema constituye el campo de la semántica, cuyas consideraciones fundamentales pueden encon­ trarse en autores como Frege, Tarski, Quine, Davidson, etcétera. Mencionemos brevemente aquella distinción elemental que es­ tablece dos sentidos diferentes para la noción de significado: En un sentido extensional o denotativo, el significado es el conjunto de objetos (extensión) a los cuales la definición pue­ de aplicarse. 15

I.ÓGICA

y t e o r ía d e c o n ju n t o s

Pa b l o A m s t e r

En un sentido intensional o connotativo, el significado con­ siste en las propiedades que son comunes a los objetos que const i Luyen la extensión. Conviene tener también en cuenta la distinción entre signifi­ cación y referencia', según cita Quine (1984), ...los problem as de lo que genéricam ente se llam a sem ántica q u e­ dan divididos en dos provincias tan fundam entalm ente diversas que no m erecen una apelación com ún. Se las puede llam ar te o ­ ría de la significación y teoría de la referencia. ‘Sem ántica’ sería un nom bre excelente para la teoría de la significación, si no fuera por el hecho de que algun as de las m ejores obras de la llam ada sem án ­ tica, especialm ente la de Tarski, pertenecen a la teoría de la referen­ cia. Los principales conceptos de la teoría de la significación, apar­ te del de significación m ism o, son los de sinonim ia (o igualdad de significación), significancia o significatividad (posesión de signifi­ cación) y analiticidad (verdad por virtud de la significación). Otro es el de im plicación, o analiticidad del condicional. Los principa­ les conceptos de la teoría de la referencia son los de nombrar, ver­ dad, denotación (o ser-verdadero-de) y extensión. Otro es la n o­ ción de valores de variables.

Es fácil ver que un término puede tener connotación y no de­ notación: por ejemplo, podemos definir al mangrejo como la poco afortunada cruza entre una manguera y un cangrejo. La palabra, aunque desusada, tiene connotación: su significado es claro y no induce a errores. Sin embargo, nada hay en el universo que me­ rezca ser llamado “mangrejo”, y entonces su denotación es vacía: esto muestra, entre otras cosas, que la definición de una entidad no implica su existencia. Ejemplos similares abundan en la obra de L.Carroll, bajo el fa­ moso apelativo de palabras-maletín. Muchas de ellas aparecen en el poema Jabberwocky, minuciosamente explicado por Humpty Dumpty en el capítulo VI de A través del espejo. Aunque debe­ mos decir que para este personaje la idea de significado difiere un poco de la que hemos expuesto: Cuando yo uso una palabra -d ijo H um pty D um pty en tono algo d e s­ pectivo-, esa palabra significa exactam ente lo que yo quiero que sig ­ nifique... ni m ás ni m enos.

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N o c i o n e s DÁNICAS

d e l ó g ic a

También Quine hace un planteo al respecto, e intenta ver las consecuencias de definir a “Pegaso” de distintas maneras; entre ellas una muy sugestiva: la cosa que pegasea. Pero si asumimos como alguna vez hicimos con los Reyes Magos o el Ratón Pé~ rez- que Pegaso no existe, dicha inexistencia tiene un carácter muy diferente a la que muestra este otro ejemplo: La redonda cúpula cuadrada del Berkeley College.

En efecto, aquí el objeto definido no puede existir pues su propia definición presenta una contradicción (ver Quine, op. cit., Acerca de lo que hay). Vale la pena mencionar también que la cuestión antes sugerida de que “la esencia no implica la exis­ tencia” permitió a Spinoza demostrar la unicidad de Dios. El fi­ lósofo entiende a Dios como una sustancia, cuya esencia es exis­ tir; y un ser cuya esencia es existir necesariamente existe. Lue­ go, aduce que una definición no establece el número de indivi­ duos que la satisfacen: de este modo, si hubiera por ejemplo ca­ torce dioses se tendría que la existencia de trece de ellos sería in­ necesaria. Eso contradice la definición de sustancia; existe, pues, un único Dios2. En Matemática, los sentidos denotativo y connotativo se ven reflejados en las dos formas de definir a un conjunto, por com­ prensión y por extensión: A = { x / x e s u n número natural impar menor que 10 } (por comprensión) o bien, A = { i, 3, 5, 7, 9 } (por extensión). Es claro que las dos definiciones describen un mismo con­ junto, la primera de ellas dando una “explicación” o descripción de su contenido, y la segunda haciendo una lista de sus elemen­ 2.

Para Spinoza es fundamental el concepto de un Dios cuya esencia envuelve a la existencia, poniendo en juego la distinción aristotélica entre particulares y uni­ versales. Bajo esta distinción, la existencia queda del lado de lo particular, mien­ tras que la esencia corresponde a lo universal.

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L ó g ic a

y t e o r í a d e c o n ju n t o s

Pa b l o A m s t e r

tos3. Esta última se caracteriza por su unicidad: si bien existen infinitas maneras diferentes de definir por comprensión, la ex­ tensión es siempre única. La mezcla de denotación y connotación da lugar a confusio­ nes y aparentes paradojas, como las que describe Quine en su ar­ tículo Referencia y Modalidad4. La discusión se centra en uno de los principios más básicos de la Lógica, que sin embargo a menu­ do se manifiesta ineficaz; por eso Quine llegó a postular la exis­ tencia de ciertas “semientidades crepusculares a las cuales no se aplica el principio de identidad”.

3.

La s

l e y e s d e l p e n s a m ie n t o

Esta sección lleva el mismo título que la famoso libro del lógi­ co inglés G. Boole, considerada por los historiadores como el pri­ mer desarrollo de la lógica formal. Pero debemos decir que The laws ofThought era un título demasiado ambicioso, y la propia Lógica no tardaría en revelar que “las” ansiadas leyes no existen. Claro que eso no significa que pensemos sin ley alguna (al menos no siempre); sin embargo, los métodos lógicos se toparon muy pronto con sus propias limitaciones y sufrieron su golpe defini­ tivo con los sucesivos teoremas de Godel, Tarski, Church, según veremos más adelante. De cualquier modo, es justo reconocer en la obra de Boole el nacimiento de la Lógica. Es interesante men­ cionar que pocos años antes de la aparición de su obra, el filósofo alemán Immanuel Kant había asegurado que la Lógica ...según toda verosim ilitud, parece estar conclusa y perfecta. 3.

La palabra “lista” es aquí empleada informalmente; debe ser entendida simple­ mente como una anotación minuciosa de objetos, pero sin que ello implique una sucesión. Existen conjuntos cuyos elementos no pueden escribirse en for­ ma sucesiva: son los que Cantor denominó conjuntos no numerables, como el de los números reales. Esta denominación surge por oposición a los conjuntos numerables (por ejemplo, los números naturales), cuyo cardinal o cantidad de elementos es el conocido K 0 (alef cero). Veremos más sobre esto en el capítu­ lo 4 . Cabe aclarar también que la anterior definición “por comprensión” no es del todo correcta, pues emplea aquel axioma que Cantor denominó “de abstrac­ ción”, y es causante de la paradoja de Russell. En las próximas páginas veremos esto con mayor detalle. 4 . Quine, op.cit. l8

N O I'IO N I'.N

hA S IC A S

l ili L Ó G IC A

De algún modo, debe haber hecho falta este anuncio de Kant para que los matemáticos se dispusieran por fin a sentar las ba­ ses de esta disciplina. ¿Qué es razonar? Para responder a esta pregunta nos remon­ taremos a los primeros esbozos que fueran trazados en tal direc­ ción, aquellos que fomentaron el entusiasmo kantiano: nos refe­ rimos a la obra de Aristóteles, cuyo sistema de reglas para el razo­ namiento mantuvo su vigencia por unos cuantos siglos. En primer lugar, cabe señalar otro aspecto ligado al lengua­ je, más precisamente a sus usos: si bien en la escuela todos he­ mos aprendido que el lenguaje puede ser informativo, expresivo o directivo, no parece muy probable establecer un razonamien­ to con premisas tales como “¿Qué mirás?”, o “Sonate la nariz”. En otras palabras, es razonable suponer que los enunciados que in­ teresan a la Lógica son siempre oraciones declarativas. Los razo­ namientos se basan en las relaciones entre las llamadas proposi­ ciones o enunciados predicables, es decir, enunciados a los que se puede asignar un valor de verdad. Un mérito muy destacable de Aristóteles consiste en haber trans­ formado al razonamiento -o al menos buena parte de él- en un cál­ culo, convirtiendo a los problemas lógicos en ejercicios de aplica­ ción de un conjunto de reglas. Esta idea es fiel a la etimología de la palabra “razón” en tanto encierra una ratio o división: para detec­ tar la validez de un argumento nada mejor que dividirlo en premi­ sas y conclusiones, que a su vez pueden resultar premisas de nue­ vas conclusiones. Al cabo de tanta división se obtiene aquella uni­ dad mínima denominada silogismo, que consiste en dos proposi­ ciones (premisas), de las cuales se deriva, a partir de ciertas reglas de inferencia, una tercera proposición llamada conclusión. El cum­ plimiento de dichas reglas es fundamental, al margen de la verdad de las proposiciones intervinientes: podemos decir que las premi­ sas deben ofrecer, de alguna forma, una prueba de la conclusión a la que se llega. El siguiente es un razonamiento válido Todos los gatos son mamíferos. Todos los mamíferos son animales. Luego, todos los gatos son animales

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L ó g ic a

y t e o r í a d e c o n ju n t o s

Pa b l o A m s t e r

aunque también lo es este otro: Todo buen ciclista lee a Kierkegaard. Los que leen a Kierkegaard no escuchan operetas. Luego, ningún buen ciclista escucha operetas. Como se ve, lo que importa en la relación entre las premisas y la conclusión es el aspecto sintáctico y no el semántico. Pero al­ guna relación entre los enunciados tiene que existir: compare­ mos por ejemplo las frases: Desde el día en que vi Tiburón me da miedo meterme al agua. Desde el día en que vi Tiburón salí con mi novia tres o cua­ tro veces. En la primera hay implícito un razonamiento, puesto que la conclusión parece seguirse de la premisa “vi Tiburón”; en cam­ bio, la segunda frase indica entre los dos enunciados una rela­ ción temporal, pero no lógica. En virtud de los ejemplos que hemos visto, cualquier persona seria podría poner en duda el valor de los métodos lógicos: ciclis­ tas que leen a Kierkegaard y no escuchan operetas, ¿qué es eso? Bien podría decirse que la Lógica permite decir cualquier clase de disparate, siempre que se trate de un disparate “lógico”. Qui­ zás por eso Russell dijo: Las m atem áticas son una ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero.

Por otro lado, después de haber comprobado la validez de al­ gunos silogismos no es difícil comprender el sentido de la más famosa de sus frases: La m atem ática es una vasta tautología.

Famosao no, la aseveración no quita valórala Matemática. Hay algo que queda absolutamente garantizado por la corrección de un razonamiento: si se parte de premisas verdaderas, entonces la con­ clusión es verdadera. Se suele acusar a los métodos lógicos de no 20

N i H 'IO N IÍN Ii A S IC A S lili I.Ó tilC A

.irrogar nada a nuestros conocimientos: si al comienzo sabemos que todos los mamíferos son animales, y tras un cálculo obtene­ mos por resultado que todos los gatos son animales, terminamos el ivv/.onamiento sabiendo menos de lo que ya sabíamos. Desde esta perspectiva la lógica no agrega, sino que en algún sentido resta: eso justifica el hecho de que la operación lleve un nombre tan sig­ nificativo como “deducir”. Sin embargo, la acusación deja de lado un aspecto fundamental de los métodos lógicos: brindar una ma­ nera efectiva de refutar un enunciado. Nada hay en la Lógica que permita validar las leyes de las ciencias empíricas, pues para veri­ ficar una afirmación universal deberíamos ser capaces de compro­ bar su verdad caso por caso, y eso es imposible. Pero es muy fácil falsear un enunciado: si un razonamiento lleva a una conclusión falsa, entonces es falsa alguna de las premisas. En esta elemental observación se basa el falsacionismo de Karl Popper.

4.

D e d u c c ió n ,

in d u c c ió n , a b d u c c ió n

En la sección precedente hemos dado una breve descripción de lo que para la Lógica significa “razonar”, haciendo hincapié en la propiedad principal que tienen los razonamientos válidos: si las premisas son verdaderas, las conclusiones también lo son. Sin em­ bargo, hay otras formas de llegar a conclusiones, que son inválidas desde el punto de vista lógico, pero no por eso menos importantes. Se las suele denominar también “razonamientos” aunque en rigor no lo sean; conviene llamar entonces al anterior razonamiento de­ ductivo, para distinguirlo de otras dos formas no válidas, conocidas como razonamiento inductivo y razonamiento abductivo. A diferencia de la deducción, la inducción no brinda certeza alguna respecto de la verdad de las conclusiones, aunque en oca­ siones establece una cierta probabilidad. El razonamiento induc­ tivo consiste, a grandes rasgos, en extraer alguna ley general a par­ tir de determinado número de casos particulares. Como hemos anticipado, gran parte de las leyes de la ciencia se formulan en base a algún método inductivo; un enunciado bastante elemen­ tal de la zoología, por ejemplo Los osos tienen cuatro patas,

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LÓGICA y TEORÍA

d e c o n ju n t o s

Pa b l o A m s t e r

se apoya en el hecho de que tal propiedad se ha verificado inva­ riablemente en todos los casos observados, aunque no hay im­ pedimentos de orden lógico a la aparición futura de osos quintúpedos5. Dijimos antes que la deducción “resta”; en la inducción, en cambio, la conclusión dice siempre más de lo que dicen las pre­ misas. Se suele decir que la inducción “va de lo particular a lo ge­ neral" contrariamente a la deducción, que “va de lo general a lo particular”. Comparemos el contundente silogismo Todos ¡os gatos son simpáticos Félix es un gato luego, Félix es simpático con un razonamiento inductivo, a todas luces más sospechoso: Félix es un gato Félix es simpático luego, todos los gatos son simpáticos. Desde el punto de vista práctico, quizás sea aventurado dar una ley general a partir de una única observación; al menos, la con­ clusión parece reforzarse si presentamos más argumentos: Félix es un gato y es simpático Tom es un gato y es simpático El gato Barbieri es un gato y es simpático luego, todos los gatos son simpáticos. De cualquier forma, siempre queda abierta la posibilidad de que alguien venga y nos arruine todo al anunciar: 5 . De todas maneras, negarse a admitir la ley como verdadera podría ser visto por

algunos como una necedad, algo así como buscar la quinta pata al oso. Un ca­ rácter diferente presentan enunciados tales como Los cuadrúpedos tienen cuatro patas, cuya verdad es tautológica. En efecto, la propiedad de tener cuatro patas no es otra cosa que la definición del concepto “cuadrúpedo”. 22

N o c io n e s

b á s ic a s d e l ó g ic a

El gato de mi cuñada es un gato; no obstante, resulta un animal de lo más huraño. Como caso particular de inducción, debemos recordar tam­ bién el razonamiento por analogía, que consiste en extraer con­ clusiones sobre determinado problema o situación en base a re­ sultados obtenidos en condiciones similares. Por ejemplo, si X e y tienen alguna propiedad en común, entonces podemos aven­ turar que otras propiedades de X son también aplicables a Y. Pero como ocurre en cualquier aventura, el resultado final pue­ de ser un desastre: el método no ofrece las seguridades que ofre­ ce la buena lógica. Conviene señalar la diferencia entre esta clase de razonamien­ to inductivo y la inducción matemática que, como veremos en el capítulo 2, constituye una propiedad básica de los números na­ turales. También se extiende -aunque esto es más complicadoa conjuntos más generales: se trata del llamado principio de in­ ducción transfinita. Es posible dar todavía otra vuelta al esquema anterior: Todos los gatos son simpáticos Félix es simpático luego, Félix es un gato Este nuevo razonamiento, denominado abductivo, presenta un defecto muy fácil de descubrir: es claro que el tal Félix bien podría haber sido un canario, un elefante o un individuo simpá­ tico de cualquier clase. La propiedad de ser gato se convierte así en una causa posible de la simpatía de Félix, pero no necesaria­ mente la única. Se suele describir a la inferencia abductiva como “la lógica de la mejor explicación": por ejemplo, si nuestros invi­ tados se presentan en casa completamente mojados, podemos extraer la conclusión de que afuera está lloviendo. Esto signifi­ ca que hemos optado por una posibilidad que nos pareció razo­ nable, descartando otras menos verosímiles: un vecino que rie­ ga sus plantas con descuido, o alguna travesura infantil con la manguera del garaje. Aunque en este caso no se trate de una con­ clusión especialmente lúcida, la abducción resulta de vital im­ portancia, tanto en la ciencia como en cualquier clase de inves­ tí

\

¡ICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

Pa b l o A m s t e r

tigación: tal es la forma de proceder de Sherlock Holmes, cuan­ do reconstruye una situación a partir de ciertos indicios. Esto guarda relación con el origen etimológico de la palabra inves­ tigar, proveniente del latin investigare, y en definitiva de vesti­ gium: si leemos esto al pie de la letra, descubriremos que signi­ fica, justamente, “planta del pie”. Cualquier persona versada en anatomía pensará en los mús­ culos abductores, y podrá justamente abducir que dicho término proviene de separar o abrir, origen que se vislumbra en la idea de buscar las eventuales causas de un efecto dado desplegando un abanico de posibilidades:

Pn

Hay que aclarar que la implicación sigue el sentido de las fle­ chas; el procedimiento de elegir una de las de las premisas como “antecedente más probable” de q es descripto por Mr. Holmes como “razonar hacia atrás”: El gran factor, cuando se trata de resolver un problem a de esta clase, es la capacidad de razonar hacia atrás. Esta es una cualidad muy útil y m uy fácil, pero la gente no se ejercita mucho en ella. En las tareas corrientes de la vida cotidiana resulta de mayor utilidad el razonar hacia adelante, y por eso se la desatiende. Por cada persona q ue sabe analizar, hay cincuenta que saben razonar por síntesis.

Las dos formas de razonamiento comentadas en esta sección resultan en algún sentido falaces; vale decir, una especie de in­ fracción a las leyes lógicas. En general, una falacia no es otra cosa que un razonamiento inválido, aunque a primera vista pueda pa­ recer correcto o resultar psicológicamente persuasivo. Tal es el caso de los famosos sofismas.

24

N

Ló g i c a

o c i o n u s ii A s i c a s d i ·; l.ó c í i c a

a r is t o t é l ic a

Veremos ahora algunos elementos de la lógica aristotélica, que se apoya en la noción intuitiva de clase: una colección de cosas que tienen algún atributo en común. Por ejemplo, la clase de los jugadores de ping-pong, o la clase de los perros salchicha. A di­ ferencia de la moderna teoría de conjuntos, Aristóteles no previó la necesidad de contar con clases vacías. Si bien el concepto de “clase” que estamos empleando no es muy riguroso, vale la pena mencionar algunos aspectos de aque­ llo que actualmente se conoce como Teoría Ingenua de Conjun­ tos. Se trata, esencialmente de la nada ingenua teoría desarro­ llada por Cantor a fines del siglo XIX; el apelativo se debe a que han surgido allí algunos inconvenientes, que derivaron en una profunda crisis en los fundamentos de la Matemática. El proble­ ma no es menor, y fue motivo de controversias entre las escue­ las logicista (encabezada por Russell y Frege), formalista (Hilbert, y posteriormente Bourbaki) e intuicionista (Brouwer, Poincaré). De alguna manera, la discusión se calmó en buena medi­ da cuando Zermelo y Fraenkel propusieron en 1908 los axiomas para una teoría “no ingenua”, que es la más comúnmente acep­ tada en la actualidad. La noción de conjunto existíaya en la Matemática desde tiem­ po atrás, así como algunas de las paradojas que dicha noción trae consigo. La representación por medio de los diagramas de Venn tiene su origen en una idea anterior, la de los círculos de Euler, inventados por tan ilustre autor hacia 1770 como un modo de re­ solver silogismos y en especial poder explicárselos a su célebre princesa alemana. Pero fue Cantor quien, en una serie de memorias escritas en­ tre 1874 y 1884, se ocupó de dar forma a tales cuestiones y fundar la teoría que, además de sus múltiples aplicaciones, permitió es­ tablecer sorprendentes conclusiones en torno al problema del in­ finito. En efecto, el descubrimiento de diversas clases de infini­ to, y la consecuente definición de los números transfinitos mos­ traron algunos aspectos de la Matemática completamente insos­ pechados. A una frase de Gauss, para quien el infinito actual era una “manera de hablar”, responde Cantor:

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LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

Pa b l o A m s t e r

No obstante la diferencia esencial entre los conceptos de infinito potencial y de infinito actual (siendo el prim ero una m agnitud fini­ ta variable que crece m ás allá de todo límite finito, y el segundo una m agnitud fija, constante, que se m antiene m ás allá de tod as las m ag­ nitudes finitas) ocurre con frecuencia tom ar el uno por el otro... En vista de la justificada aversión a tales infinitos actuales ilegítim os y a la influencia de la tendencia m oderna epicúreo-m aterialista, se ha extendido en am plios círculos científicos cierto horror infiniti, que encuentra su expresión clásica y su apoyo en la carta de G auss; sin em bargo m e parece que el consiguiente rechazo, sin crítica alguna, del legítim o infinito actual no deja de ser una violación de la natu­ raleza de las cosas, que han de tom arse com o son.

La definición cantoriana de conjunto no es, por cierto, una de­ finición formal. Se trata más bien de una idea intuitiva, en donde un conjunto se piensa como una colección de cosas (Cantor em­ pleó la palabra Menge, “multitud”). Un conjunto es, para Cantor, un agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, de nues­ tra intuición o nuestro pensamiento. Pero esto no significa gran cosa: el término “conjunto” es, en de­ finitiva, un término primitivo de la teoría. También lo es aquel otro que se refiere a esos objetos de los que un conjunto se compone, los elementos. Para indicar que determinado x es elemento de un con­ junto A, se emplea el símbolo de pertenencia, y se escribe: x e A. El paralelo entre teoría de conjuntos y la lógica es inmedia­ to: por ejemplo, las operaciones de intersección y unión se tra­ ducen respectivamente a las operaciones lógicas de conjunción y disyunción, así como la noción de complemento, definida a par­ tir de la diferencia entre conjuntos, se asocia con la negación6. Podemos comparar las diferentes versiones de las clásicas leyes de De Morgan, que se enuncian - '( p v q ) = -,pA-, x e A, que en otras palabras se lee: A está incluido en A. La teoría de Cantor permite el libre empleo de un enunciado conocido como axioma de abstracción. En él se basan las defi­ niciones por comprensión antes mencionadas, que en principio permiten construir a partir de cualquier función proposicional el conjunto de todos los objetos del universo que la satisfacen: { x /