Analemmatic sundials – science and entertainment 9788674668795

Citation preview

Milutin Tadić • ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI - NAUKA I ZABAVA

cyanmagentayellowblack

Milutin Tadić

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI nauka i zabava

Milutin Tadić

Analematski sunčani časovnici nauka i zabava

Akademska misao

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Izdavač Akademska misao Bulevar kralja Aleksandra 73 11120 Beograd, Srbija https://akademska-misao.rs/#/ Za izdavača Marko Vujadinović Recenzenti Prof. dr Milan S. Dimitrijević, Astronomska opservatorija u Beogradu Doc. dr Aleksandar S. Petrović, Univerzitet u Beogradu – Geografski fakultet

Lektor prof. dr Valentina Pitulić Dizajn, tehnička priprema i korice Milutin Tadić Fotografije (izuzev fotografija u Prilozima) Milutin Tadić Tiraž: 300 Štampa: Planeta print, Beograd Ovo delo se ne sme umnožavati, fotokopirati i na bilo koji drugi način reprodukovati, ni u celini, ni u delovima, bez pismenog odobrenja izdavača.

Nauka i zabava

PREDGOVOR I KLJUČNI POJMOVI GNOMONIKE 7 Intermeco: Kako se ne pravi sunčani časovnik 10 II KOORDINATNA GEOMETRIJA NA ZEMLJINOJ LOPTI I NEBESKOJ SFERI 11 Geografski koordinatni sistem 11 Koordinatni sistemi na nabeskoj sferi 13 Horizontski koordinatni sistem 14 Ekvatorski koordinatni sistem 16 Intermeco: Isti azimut senke pri različitim časovnim uglovima 18 III PRIVIDNO KRETANJE SUNCA 18 Prividno dnevno kretanje sunca 19 Prividno dnevno kretanje sunca tokom godine 21 Prividno godišnje kretanje sunca 23 Izračunavanje elemenata sunčeve geometrije 24 Izračunavanje horizontskih koordinata sunca (h, A) 26 Izračunavanje dužine obdanice (T☉) 27 IV ČASOVNI SISTEMI 30 Zvezdani dan i pravi sunčev dan 30 Pravo sunčevo vreme 31 Srednje sunčevo vreme 31 Lokalno i zonalno vreme 32 Novovekovna analema 34 „Analema” u analemi” 33 Analema u gnomonskoj projekciji 36 V ANALEMA 40 Određivanje dužine obdanice 42 Određivanje horizontskih koordinata sunca 43 Horizontske koordinate sunca i polarne koordinate kraja senke gnomona 45 Intermeco: Analematska projekcija 50 VI GEOMETRIJSKA KONSTRUKCIJA SKALE ANALEMATSKOG ČASOVNIKA 51 VII PRORAČUN ANALEMATSKOG ČASOVNIKA 55 Dimenzije analematske elipse 55 Brojčanik 55 Polarne koordinate 55 Pravougle koordinate 58 Datumska skala 58

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

VIII IZRADA ANALEMATSKOG ČASOVNIKA 65 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Izbor mesta za postavljanje časovnika 65 Određivanje geografskih koordinata 66 Određivanje podnevačke linije 66 Određivanje dimenzija analematske elipse 67 Konstrukcija analematske elipse 68 Raspored časovnih podeljaka 70 Konstrukcija datumske skale 72 Izbor dopunskih sadržaja 73 Likovno oblikovanje 75 Demonstracija rada 76 Intermeco: Analematski časovnici: studentski radovi 77

IX ANALEMATSKI ČASOVNIK KAO NASTAVNO SREDSTVO 78 Prvi ciklus osnovnog obrazovanja 79 Drugi ciklus osnovnog obrazovanja 79 Srednje obrazovanje 80 PRILOZI 81 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Elementi skale analematskog časovnika za najveće gradove Srbije 81 Analematske skale za pravo sunčevo vreme na raznim geografskim širinama 82 Primeri analematskih časovnika (iz foto albuma Miloša Noseka, Češka) 83 Primeri analematskih časovnika (iz foto albuma Petera Ransoma, UK) 84 Analematski časovnik iz Ninhagena (Nianhagen), Nemačka (Siegfried Rasper, 2014) 85 Primeri analematskih časovnika (Renzo Righi, 2016, Italija), 86

LITERATURA 87 REZIMEI 88

Knjiga je namenjena onima koji žele sami da konstruišu skale analematskih časovnika, polazeći od jednostavne logike da već imaju senku kojoj, da bi bila svrsishodna, samo treba podmetnuti odgovarajuću skalu. Svi to mogu lako uraditi koristeći programe sa interneta: „unesi geografsku širinu, unesi geografsku dužinu i časovnu zonu, unesi veličinu velike poluose elipse” i gotovo, začas će biti izračunati svi elementi i urađeni svi nacrti koje treba preneti na tlo. Oni koji pročitaju ovu knjigu moći će to da urade koristeći formule, geometrijske načine starovekovnih gnomonista ili uz pomoć kompjuterskih programa, svejedno, s tom razlikom što će znati kako rade i program i analematski časovnik. A da bi se razumela (objasnila) teorija i konstrukcija analematskih časovnika potrebno je poznavati osnovne pojmove gnomonike, koordinatnu geometriju na nebeskoj sferi, prividno kretanje sunca, časovne sisteme i perspektivne azimutne projekcije, prvenstveno ortografsku. Tim redom se i smenjuje prvih šest poglavlja ove knjige, kao dugo približavanje ključnom, sedmom poglavlju, u kome je detaljno objašnjen proračun svih elemenata analematske skale za mesta na severnoj hemisferi. U osmom poglavlju izložena su praktična uputstva za gradnju analematskih časovnika, dok su u poslednjem, devetom, razmotrene mogućnosti primene analematskog časovnika kao nastavnog sredstva. Od šest priloga knjige, četiri čine fotografije do kojih smo došli zahvaljujući predusretljivosti evropskih ljubitelja gnomonike – Mario Arnaldi (Italija), Peter Husty (Austrija), Miloš Nosek (Češka), Peter Ransom (Velika Britanija), Renzi Righi (Italija), Siegfried Rasper (Austrija) – kojima dugujemo zahvalnost. Takođe, srdačno se zahvaljujemo lektorki, prof. dr Valentini Pitulić. Poslednja rečenica u predgovoru knjige „Сунчани часовници” (Тадић, 2002) glasi: „Nisam siguran da će knjiga postati bestseler ali sam uveren da će se posle njenog izlaska broj sunčanih časovnika kod nas povećati”. Neka to bude poslednja rečenica i u ovom predgovoru. Beograd, 31. mart 2021.

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Nauka i zabava

Gnomonika je naučna disciplina koja proučava hod senke gnomona u funkciji vremenske i prostorne orijentacije. (Stručnjaci koji se bave gnomonikom nazivaju se gnomonisti.) Gnomonika se nalazi na granici između sferne astronomije i matematičke geografije pa koristi znanja i pojmove obe ove nauke, i zajedno s njima znanja i pojmove sferne trigo-nometrije i nacrtne geometrije. Od izvorno gnomoničkih termina ključni su gnomon, gnomonska projekcija, analema i sunčani časovnik. Uz pojam analematski sunčani časovnik, to su istovremeno i ključni pojmovi u ovoj knjizi, pa je u nastavku svaki od njih ukratko objašnjen, redom.

časovniku gnomon nije kazaljka, kazaljka je senka koju on baca (sl. 1).

Slika 1. Gnomon na stonom horizontalnom sunčanom časovniku manastira Hilandar. Gnomon baca senku prema čijem se kraju očitavaju dnevni časovi odbrojavani od zalaska sunca i astronomski počeci godišnjih doba (ekvinociji i solsticiji).

Gnomon je instrument čija senka služi za prostornu i vremensku orijentaciju, ili instrument prema čijoj se senci određuju elementi sunčeve geometrije. U elementarnom obliku to je vertikalni štap ili stub, ali ne mora biti s obzirom na to da je teoretski bitna samo tačka na njegovom vrhu, nodus. Radi lakšeg očitavanja, nodus se obično označava rupicom u metalnom kružnom zaklonu kroz koju prolazi uski snop sunčevih zraka i na podlozi, u senci zaklona, stvara svetlu tačku, sunašce, čiji položaj može lako da se uoči i odredi.

Gnomonska projekcija je perspektivna azimutna projekcija (Тадић, 2004, str. 47–61) kod koje se centar perspektive nalazi u centru nebeske sfere, ili u nodusu gnomona. U nodusu se sastaju svetlosni konus čiju osnovicu predstavlja određena prividna dnevna putanja sunca i konus senke koga opisuje granični sunčev zrak produžen kroz nodus: preseci konusa senke sa osnovom gnomona predstavljaju gnomonske projekcije dnevnih lukova prividnih putanja sunca (vidi str. 47-48). Sa izuzetkom projekcije ekvinocijske putanje sunca (nebeskog ekvatora) koja je prava linija, projekcije svih ostalih dnevnih putanja sunca su hiperbole. Na skalama sunčanih časovnika obično se ucrtavaju gnomonske projekcije ekvinocijskih i solsticijskih putanja sunca, to jest, projekcije ekvatora i nebeskih povratnika (sl. 1). U gnomonskoj projekciji se lukovi svih

Tokom starog i srednjeg veka gnomon je služio za određivanje podnevačke linije i podneva, visine sunca, geografske širine mesta, nagiba ekliptike, početaka godišnjih doba i dužine godine, a prvenstveno za merenje vremenskih razmaka u okviru dana/obdanice, kao deo sunčanog časovnika. Na sunčanom 7

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

velikih kružnica prikazuju kao prave linije, pa se i časovne linije na skalama sunčanih časovnika prikazuju kao prave linije (sl. 1, 2). Da bi sunčani časovnik vršio osnovnu funkciju, pokazivao dnevne časove, dovoljne su samo časovne linije sa brojčanikom.

rotacionoj osi Zemlje, ili, približno govoreći, da se gnomon usmeri u zvezdu Severnjaču. Tako orijentisan gnomon naziva se polos. Na horizontalnim sunčanim časovnicima polos sa osnovom zaklapa ugao jednak geografskoj širini mesta, dok je taj ugao na zidnim sunčanim časovnicima (sl. 2), meren u odnosu ne vertikalu, komplementaran geografskoj širini mesta. Izabrane datume, međutim, i dalje pokazuje samo kraj senke polosa (projekcija nodusa) svojim hodom po ucrtanim datumskim linijama.

Dnevni časovi se, dakle, očitavaju prema kraju senke gnomona (prema položaju projekciji nodusa). Po savremenom časovnom sistemu, dnevni časovi se mogu očitavati i prema pravcu senke ali pod uslovom da se gnomon izvede iz izvornog položaja i postavi paralelno

Slika 2. Elementi sunčanog časovnika pokazani na primeru vertikalnog sunčanog časovnika (mermerna ploča, 150 x 100 x 3 cm) postavljenog 2018. godine na zgradi Opštine Trebinje

Analema je perspektivna azumutna projekcija nebeske sfere (Tadić, 2004, str. 47–61) kod koje se centar perspektive nalazi na beskonačnoj udaljenosti tako da su projekcioni zraci međusobno paralelni. Danas je poznata kao ortografska projekcija. Za razliku od starog veka, primena u gnomonici svedena joj je na konstrukciju skala samo jedne vrste sunčanih ča-

sovnika koji su zbog toga polovinom XVII veka i nazvani analematski časovnici. Sunčani časovnici su sprave za merenje vremena u oviru obdanice na kojima se dnevni časovi očitavaju na odgovarajućoj skali prema senci koju baca gnomon. Od mnogo vrsta sunčanih časovnika, danas su najrašireniji sunčani 8

Nauka i zabava

časovnici sa ravnom osnovom – ekvatorijalni, horizontalni i vertikalni raznih orijentacija. Uglavnom su svi sa polosom kao bacačem senke i skalom konstruisanom u gnomonskoj projekciji (sl. 2). Izuzetak predstavljaju analematski sunčani časovnici. Analematski sunčani časovnici (u nastavku, „analematski časovnici”) spadaju među najmlađe konstrukcione tipove sunčanih časovnika. Teorijski su razrađeni tek polovinom 18. veka, a prvenstvo se pripisuje francuskom matematičaru Lalandu (Parisot, 1985, p. 43). Sasvim su jednostavni: eliptični brojčanik sa stajnom tablom na horizontalnoj ravni, bez i jednog fiksnog dela van te ravni. Prvobitno su rađene i stone varijante dok su to danas uglavnom časovnici većih razmera koji krase trgove, parkove, šetališta i školska dvorišta. Popularnost im ne umanjuje ni to što su najmanje tačni od svih sunčanih časovnika. Kao i kod ostalih sunčanih časovnika, u ulozi kazaljke je bestelesna senka, s ključnom razlikom što senku ne baca vertikalni štap ili stub, gnomon, nego sam merilac, „živi gnomon”. Zbog toga se u literaturi na engleskom jeziku analematski časovnik ponekad naziva „human sundial” ili „sundial with human involvement”. To su na srpsko-hrvatskom jezičkom području ponegde preveli kao „ljudski sat”, a što je verovatno najnakaradniji pojam koji se može sresti u gnomonici. A nepotrebno, za razliku od većine savremenih sunčanih časovnika, časovna skala ovog tipa sunčanog časovnika konstruiše se u ortografskoj projekciji koja se u starom i srednjem veku nazivala analema, pa kako ga drugačije nazvati nego „analematski sunčani časovnik”. I zašto bi se to prevodilo?

Slika 3. Analematski časovnik u dvorištu OŠ „Laza Lazarević” u Šapcu (2011), sam (gore) i sa meriocem (dole), ili tačnije rečeno – analematska skala (gore) i analematski časovnik (dole).

I kao što kazaljka vage neće meriocu pokazati težinu sve dok ne stane na vagu, tako ni analematski časovnik neće pokazati dnevni čas sve dok merilac ne stane na odgovarajući podeljak njegove datumske skale (sl. 3). A kada stane i kompletira analematski časovnik, od njega se očekuje da ne bude tek zamena za gnomon, stub, nego da bude „misleći gnomon” koji razume princip na kom funkcioniše sprava čiji je i sam deo. „Misleći gnomon” će postati kada na datumsku skalu stane sa ovom knjigom, pod uslovom da ju je prethodno pažljivo iščitao.

9

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Pre nego što reč bude o tome kako se prave sunčane časovnici, prvo treba reći kako se oni ne prave, to jest, prvo treba razjasniti raširenu zabludu da sunčani časovnik može svako napraviti jednostavno tako da na horizontalnu podlogu pobode gnomon i onda, gledajući na ručni časovnik, svakog punog časa obeleži pravce senki. I eto sunčanog časovnika, začas posla (Tadić, 1985; Тадић, 1989).

trač proveravajući iz dana u dan šta pokazuje senka, recimo u 9 h? Počevši od 21. marta posmatrač bi video kako se senka skraćuje i pomera ka zapadu od prvobitno obeleženog pravca (plava linija na slici 4). Prvog dana leta (21. jun) najviše bi se otklonila (crvena linija), pokazujući, ne 9 h, nego oko 7 h 30 min. Nakon što bi naizgled zastala, senka bi se počela vraćati nazad da bi oko prvog dana jeseni (23. septembar) ponovo pokazala približno 9 h. Tokom jeseni senka bi se produžavala i od prvobitno pravca (plava linija) otklanjala sve više ka severu. Najbliža severu postala bi prvog dana zime (22. decembar), pokazujući, ne 9 h, nego blizu 10 h (zelena linija). Tokom zime, senka bi se vraćala i prvog dana proleća ponovo zauzela prvobitni pravac pokazujući 9 h. Sprava koja pokazuje vreme sa „tačnošću” od –1,5 h do + 1 h ne može se nazvati časovnikom.

Slika 4. Pogled iz „ptičije perspektive” na brojčanik nastao 21. III beleženjem svakog punog dnevnog časa pravaca senki gnomona postavljenog u tačku O

Očigledno je, dakle, da sunčani časovnik ne može da se napravi jednostavnim beleženjem istočasovnih pravaca senki gnomona. Izuzetak su jedino geografski polovi nad kojima sunce opisuje prividne dnevne putanje paralelne horizontu. Nad horizontima drugih mesta, sunce svaki dan opisuje putanju koja je i nakošena prema horizontu i, što je bitno, pomerena u odnosu na prividnu putanju iz prethodnog dana.

Da je to pogrešno moguće je dokazati neposrednom proverom tačnosti s kojom senka pokazuje dnevne časove na brojčaniku napravljenom na opisani način. Ako je brojčanik nastao beleženjem senki prvog dana proleća, 21. marta (sl. 4), šta bi video strpljivi posma-

I gnomonisti su se dosetili: – Ako se pomeraju sunčeve prividne dnevne putanje, što u skladu s njima ne bi pomerali i sam gnomon? I tako je nastao analematski sunčani časovnik kod koga se dnevni časovi očitavaju prema pravcu senke pomičnog/živog gnomona.

10

Nauka i zabava

Geografska širina, geografski pol, horizont, sever, zapad, prividna putanja sunca, prvi dan proleća – svi ti matematičko-geografski pojmovi vezani za orijentaciju na Zemljinoj lopti i nebeskoj sferi objašnjeni su u narednom

poglavlju jer bez njih, praktično, ne bi bilo moguće da se govori o konstrukciji sunčanih časovnika. Poglavlje mogu da preskočei oni koji su u matematičkoj geografiji i sfernoj astronomiji „kod kuće”, mogu a ne moraju.

Slika 5. Geografski koordinatni sistem

kružnicu, sfernu koordinatnu mrežu i sferne koordinate (sl. 5). Polazni podatak za konstrukciju svakog oblika sunčanog časovnika jesu geografske koordinate, geografska širina i geografska dužina. To su koordinate u sfernom koordinatnom sistemu na Zemljinoj lopti koji se naziva geografski koordinatni sistem. Kao i svaki drugi koordinatni sistem, i geografski sistem ima svoju polarnu osu, sferne polove, prvu i drugu osnovnu

Zemljina osa se prirodno nametnula kao polarna osa. Zemljina rotaciona osa prodire površ Zemlje u dijametralno suprotnim tačkama, Severnom i Južnom geografskom polu. Severni je onaj koji se nalazi ispod zvezde Severnjače. Geografski polovi su sferni polovi ekvatora, koji je tako u ulozi prve osnovne kružnice geografskog koordinatnog sistema. Ekvator spada u velike kružnice, to jest

11

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

kružnice čija ravan prolazi kroz centar pripadajuće sfere (sve ostale kružnice na sferi nazivaju se male kružnice). Ekvator deli Zemljinu loptu na severnu i južnu poluloptu; severna je ona u čijem je centru severni geografski pol. Kroz geografske polove prolazi bezbroj velikih polukružnica koji se nazivaju meridijani (podnevci). Polukružnica koja sa određenim meridijanom čini punu kružnicu jeste njen antimeridijan. Meridijan koji prolazi kroz nekadašnju astronomsku opservatoriju Grinič kraj Londona, Grinički meridijan, usvojen je kao druga osnovna kružnica geografskog koordinatnog sistema. Grinički meridijan sa svojim antimeridijanom deli Zemljinu loptu na istočnu i zapadnu poluloptu. Sfernu koordinatnu mrežu čine meridijani i paralele (uporednici). Paralele su male kružnice uporedne ekvatoru. Meridijani se protežu pravcem sjever-jug, a paralele pravcem istok- zapad, i međusobno zaklapaju prave uglove. Parovi susednih meridijana i paralela ograničavaju polje geografske mreže. Polje konkretne teritorije čine lukovi meridijana i paralela koji prolaze kroz njene krajnje tačke: najseverniju (N), najjužniju (S), nazapadniju (W) i najistočniju (E). Sferne koordinate su geografska širina i geografska dužina (sl. 5). Geografska širina se može definisati na tri načina: kao sferna udaljenost određene tačke od ekvatora, kao veličina luka meridijana od ekvatora do određene tačke, ili kao ugao koji vertikala te tačke zaklapa sa ravni ekvatora. Geografska širina se meri od 0° (tačke na ekvatoru) do ±90° (Severni i Južni geografski pol). Sve tačke na severnoj polulopti imaju pozitivne, a

tačke na južnoj polulopti negativne geografske širine. Geografska dužina je veličina luka ekvatora od Griničkog meridijana do meridijana određene tačke, ili ugao koji ravan meridijanа određene tačke zaklapa sa ravni Griničkog meridijana, ili pak sferni ugao koji meridijan te tačke zaklapa sa Griničkim meridijanom. Geografska dužina se meri od 0° (tačke na Griničkom meridijanu) do ±180° (tačke na antimeridijanu Griničkog meridijana). Sve tačke na istočnoj polulopti imaju pozitivne, a tačke na zapadnoj polulopti negativne geografske dužine. Mesta u Srbiji imaju istočne geografske dužine i severne geografske dužine, to jest, za mesta u Srbiji obe geografske koordinate su pozitivne. Geografska širina se označava grčkim slovom ϕ („fi”), a geografska dužina grčim slovom λ („lambda”). Izražavaju se u stepenima, minutama i sekundama, ili samo u stepenima, u decimalnom obliku. Na metalnoj piramidi spred zgrade SANU u Beogradu, na primer, urezane su koordinate (ϕ = 44° 49’ 14”, λ = =20° 27’ 44”) koje, napisane u drugom obliku, glase (ϕ = 44,82056°, λ = 20,46222°). Izražavanje geografskih kordinata u decimalnom obliku i sa predznacima koristi se u egzaktnim naukama, inače se umesto predznaka koriste slovne oznake: N – severna geografska širina, S – južna geografska širina, E – istočna geografska dužina, W – zapadna geografska dužina. U tom stilu, a u decimalnom obliku, geografske koordinate Beograda, na primer, pišu se kao 44,82056° N, 20,46222° E, a Buenos Ajresa, kao 34,6° S, 58,23° W.

12

Nauka i zabava

S obzirom na to da Zemlja za 24 h jednom obrne oko svoje ose , geografske dužine se izražavaju i u časovnoj meri, u odnosu: 360° = = 24 h, 15° = 1 h, 1° = 4 min. Izražena u časovnoj meri, na primer, navedena geografska dužina Beograda jednaka je 20,4622° : 15° = 1,36415 h ili 1 h 21 min 51 s. Razlika lokalnih vremena dva mesta jednaka je razlici njihovih geografskih dužina, što omogućava određivanje geografskih dužina na osnovu istovremenog merenja lokalnih vremena. Zahvaljujući internetu, danas mogu brzo i precizno da se odrede geografske koordinate bilo koje tačke na svetu, a za tačke u Srbiji na Geoportalu Nacionalne infrastrukture geprostornih podataka Srbije: https://a3.geosrbija.rs/. Kada internet nije dostupan, geografske koordinate uvek mogu da se odrede na odgovarajućem listu topografske karte.

Od geografske širine određenog mesta zavisi sunčeva geometrija nad ravni njegovog horizonta. Pod sunčevom geometrijom se se podrazumeva celokupnost elemenata vezanih za prividno kretanje sunca. Iako se može spustiti na površinu Zemljine lopte i razmatrati u okviru matematičke geografije (Tadić, 2004, str. 239-267), sunčevu geometriju ipak je jednostavnije i očiglednije razmatrati na tradicionalan način, na nebeskoj sferi, u okvirima sferne astronomije. Prvobitno je smatrana stvarnom sferom pa su drevni astronomi ovako rezonovali: – Ako je

Slika 6. Zemlja je lopta koncentrična nebu

nebeski svod hemisfera s kojom se zajedno obrću sve zvezde opisujući kružne putanje, logično je pretpostaviti da je on tek vidljivi deo nebeske sfere, inače zvezde ne bi mogle da zatvore svoje kružne putanje. Tako je nebeska sfera postala osnovni pojam u geocentričnom sistemu. Geocentrični sistem je davno napušten ali je pojam nebeske sfere sačuvan u sfernoj astronomiji iz praktičnih razloga, kao matematička konstrukcija sledećih svojstava: • Centar nebeske sfere u centru je Zemljine lopte, to jest, Zemlja je „kao lopta koncentrična nebu” (Страбон, II.V.2) (sl. 6). • Radijus nebeske sfere je neodređen, veći od rastojanja do najudaljenijeg nebeskog tela. U sfernoj astronomiji radijus nebeske sfere se uzima za jedinicu, a sferna rastojanja se izražavaju u ugaonim jedinicima. (Sferna udaljenost zvezda αUMa i βUMa, zadnjih „točkova” asterizma Velika kola, na primer, iznosi 5° 22’).

13

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

dijametralno suprotnim tačkama koje se nazivaju zenit (Z) i nadir (Z1) (tačka „iznad glave” i tačka „pod nogama”). Zenit je sferni pol vidljive, a nadir sferni pol nevidljive nebeske hemisfere. To su hemisfere na koje horizont deli nebesku sferu.

Slika 7. Elementi nebeske sfere

• Zemlja je beskonačno mala u odnosu na nebesku sferu pa su zato paralelni svetlosni zraci koji sa određene zvezde stižu do bilo koje tačke na površini Zemlje. Iako je Sunce mnogo bliže od ostalih zvezda, to uslovno važi i za sunčeve zrake. • Zajedno sa svim nebeskim telima projektovanim na nju, nebeska sfera se prividno obrće oko nebeske ose (svetske ose), koja je produžetak Zemljine rotacione ose. Pun obrtaj napravi za jedan zvezdani dan (zaokruženo, 23 h 56 min). S obzirom na to da je Zemlja beskonačno mala u odnosu na razmere nebeske sfere, može se reći da se stajna tačka (O) bilo kog posmatrača na Zemljinoj lopti nalazi u centru nebeske sfere (sl. 7). Ravan koja tangira Zemljinu loptu u stajnoj tački seče nebesku sferu po velikoj kružnici koja se naziva horizont. Polarna osa horizonta, vertikala, prodire nebesku sferu u

Nebeska osa prodire nebesku sferu u severnom (P) i južnom nebeskom polu (P1). Nebeska osa je polarna osa velike kružnice koja se naziva nebeski ekvator. Nebeski ekvator preseca horizont u istočnoj i zapadnoj tački (E, W) i deli nebesku sferu na severnu i južnu nebesku hemisferu. Severna je ona u čijem se centru nalazi severni nebeski pol. Tačno ispod severnog nebeskog pola na horizontu se nalazi severna tačka horizonta (N), nasuprot njoj je južna (S). Severnu i južnu tačku u ravni horizonta spaja podnevačka linija. Sada nebeski pol pada sasvim blizu zvezde Severnjače, najsjajnije zvezde u sazvežđu Mali medved, tako da se u približnim razmatranjima može se poistoveti s njom.

Od više koordinatnih sistema ustanovljenih na nebeskoj sferi u nastavku su objašnjena dva koja su bitna za gnomoniku: horizontski i I ekvatorski (lokalni). U horizontskom koordinatnom sistemu (sl. 8) polarna osa je vertikala, sferni polovi su zenit (Z) i nadir (Z1), prva osnovna kružnica je horizont, a druga osnovna kružnica, nebeski meridijan.

14

Nauka i zabava

Slika 8. Horizontski koordinatni sistem

Horizontsku koordinatnu mrežu čine vertikali i almukantarati (zenitne kružnice). Vertikali su velike polukružnice koje spajaju zenit i nadir, a almukantarati, male kružnice uporedne horizontu. Vertikal koji prolazi kroz nebeske polove (a time kroz severnu i južnu tačku) naziva se nebeski meridijan, a onaj koji prolazi kroz istočnu i zapadnu tačku, prvi vertikal. Horizontske koordinate su visina (h) i astronomski azimut (A). Visina je sferna udaljenost određene tačke od horizonta, ili veličina luka vertikala od horizonta do te tačke, ili pak ugao koji vertikala te tačke zaklapa sa ravni horizonta. Meri se od 0° (tačke na horizontu) do ±90° (zenit i nadir). Tačke na vidljivoj hemisferi imaju pozitivne, a tačke na nevidljivoj polulopti negativne visine. Zamena za visinu je zenitna udaljenost z = 90°– h koja je uvedena iz praktičnih razloga (lakša je za merenje od nadmorske visine). Astronomski azimut se definiše kao veličina luka horizonta od nebeskog meridijana do vertikala određene tačke, kao ugao koji ravan vertikala iste tačke

zaklapa sa ravni nebeskog meridijana, ili kao sferni ugao između nebeskog meridijana i vertikala te tačke. Astronomski azimut se meri od južne ka zapadnoj tački: astronomski azimut zapadne tačke je 90°, južne 180°, istočne 270° i južne 360° ili 0°. U astronomiji se azimuti mere od južne tačke jer nebeska tela u pravcu juga dostižu najveće visine (kulminiraju), dok se u geografiji azimuti mere u istom smeru, ali od severne tačke, s obzirom na to da je to pravac koji pokazuje igla kompasa, osnovne sprave za geografsku orijentaciju. To je i razlog zašto se u gnomonici, kada je reč o vertikalnim (zidnim) sunčanim časovnicima, koristi geografski azimut. Odnos između geografskog (AN) i astronomskog azimuta je: AN = 360° – A. Horizontske koordinate određene tačke nebeske sfere (sunca, zvezda, Meseca) vremenski i prostorno su promenljive, u određenom trenutku različite su na različitim geografskim širinama, a budući da se nebeska sfera privi-

15

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

dno obrće od istoka ka zapadu, neprestano se menjaju i u jednom te istom mestu. U Beogradu (44° 49’ N, 20° 28’ E), na primer, tačno u 10 h srednjoevropskog vremena, 11. aprila 2020. godine horizontske koordinate Sunca su iznosile (h = 40° 04’, A = 235° 47’), dok su i istom trenutku u mnogo severnijem Stokholmu (59° 19’ N, 18° 04’) iste koordinate iznosile (h = =30° 06’, A = 230° 08’ ). U 11 h te su se koordinate u Beogradu promenile u (h = 47° 52’, A = 218° 10’), a u Stokholmu u (h = 35° 13’, A = 245° 07’). Zbog toga što su horizontske koordinate promenljive, vezane za određeno mesto i određeni trenutak, astronomi su nastojali da dođu do stalnih koordinata koje mogu međusobno razmenjivati bez potrebe za preračunavanjima. Prvi korak u tom smislu je koordinatni sistem ekvatora I, ili lokalni ekvatorski koordinatni sistem.

Pre objašnjenja ekvatorskog koordinatnog sistema neophodno je nakratko se vratiti slikama 7 i 8, na kojima je nebeska osa nagnuta prema ravni horizonta, pa se postavlja pitanje koliki je taj ugao, to jest, kolika je visina nebeskog pola nad ravni određenog horizonta. Odgovor je kratak: – Visina nebeskog pola jednaka je geografskoj širini mesta. To je osnovna teorema u matematičkoj geografiji, koju je lako dokazati pomoću slike 9, na kojoj je prikazan meridijanski presek Zemljine lopte, sa stajnom tačkom O koja se nalazi severnoj geografskoj širini ϕ.

Slika 9. Visina nebeskog pola jednaka je geografskoj širini mesta: h0 = ϕ.

Kao što je već istaknuto, Zemljina lopta je beskonačno mala u odnosu na razmere nebeske sfere tako da su međusobno paralelni zraci koji stižu od određene tačke nebeske sfere do bilo koje tačke na površini Zemljine lopte. To važi i za severni nebeski pol, odnosno i za Severnjaču ako severni pol uslovno poistovetimo s njom. Kao što je očigledno na slici 9, uglovi h0 i ϕ su uglovi sa normalnim kracima, te prema tome i jednaki: h0 = ϕ. Visina nebeskog pola jednaka je geografskoj širini mesta, to znači da se nebeski pol nalazi na horizontima mesta smeštenih na ekvatoru, negde na oko pola puta između horizonta i zenita za tačke na srednjim geografskim širinama obe polulopte, a tačno u zenitu nad horizontima geografskih polova. Posmatrač pred sunčanim časovnikom, vertikalnim ili horizontalnim, svejedno, lako može da odredi gde se nalazi nebeski pol, potrebno je samo da u mislima produži polos: severni pol je tamo gde bi on „probio” nebeski svod.

16

Nauka i zabava

Slika 10. Lokalni ekvatorski koordinatni sistem

U lokalnom ekvatorskom koordinatnom sistemu (sl. 10), ulogu polarne ose ima nebeska osa. Sferni polovi su severni i južni nebeski pol. Prva osnovna kružnica je nebeski ekvator koji deli nebesku sferu na severnu i južnu nebesku hemisferu; severna je ona u čijem je centru severni nebeski pol (hemisfera pod zvezdom Severnjačom). Druga osnovna kružnica, nebeski meridijan, zadržana je iz horizontskog koordinatnog sistema. Sfernu koordinatnu merežu čine međusobno normalne deklinacione polukružnice i nebeske paralele, prve – velike polukružnice koje spajaju nebeske polove, a druge – male kružnice uporedne ekvatoru. Nebeske paralele su praktično i prividne dnevne putanje nebeskih tela.

đene tačke od ekvatora, ili veličina luka deklinacione kružnice od ekvatora do te tačke, ili ugao koji njena vertikala zaklapa se ravni ekvatora. Meri se od 0° (tačke na ekvatoru) do ±90° (severni i južni nebeski pol). Tačke na severnoj hemiferi imaju pozitivne, a tačke na južnoj hemisferi, negativne deklinacije. Časovni ugao je veličina luka ekvatora od južne tačke do deklinacione kružnice određene tačke, ugao koji ravan deklinacione kružnice te tačke zaklapa sa ravni meridijana, ili sferni ugao koji nebeski meridijan zaklapa sa deklinacionom polukružnicom te tačke. Meri se od 0° do 360°, od juga prema zapadu, ili od 0 do 24 h, izraženo u časovnoj meri (u poznatom odnosu, 15° = 1 h).

Sferne koordinate su deklinacija (δ) i časovni ugao (t). Deklinacije je sferna udaljenost odre17

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Već je skrenuta pažnja (str. 8) da pravac senke fiksiranog gnomona ne može tokom cele godine svojim pravcem pokazivati dnevne časove na skali urađenoj jednostavnim beleženjem istočasovnih pravaca senki u toku jednog dana. Kada se poznaju koordinatni sistemi na nebeskoj sferi, to je lako i dokazati, bez potrebe za neposrednim posmatranjem.

lnu (sl. 12), svejedno, ne može, dakle, svojim pravcem pokazivati dnevne časove.

Slika 11. U položajima T1 i T2 sunce (senka) ima isti azimut, ali se to dešava pri različitim časovnim uglovima.

Na slici 11 su prikazane dve prividne dnevne putanje sunca (E1T1W1, E2T2W2) i položaji sunca T1 i T2 u trenutku prolaska kroz isti vertikal. Sunce u ta dva položaja ima isti azimut (A), isto kao i senka gnomona OL, ali se to dešava pri različitim časovnim uglovima t1 i t2, to jest, u različitim trenucima dana. Bacač senke postavljen pod pravim uglom na ravnu osnovu, horizontalnu (sl. 11) ili vertika-

Slika 12. Improvizovani sunčani časovnik sa ortogonalno fiksiranim bacačem senke na Blagoveštenskoj crkvi manastira Krušedol. Ne može tako, senka će zaklapati iste uglove prema vertikali pri različitim vrednostima časovnih uglova.

18

Nauka i zabava

Zemljina lopta se stvarno obrće od zapada prema istoku (gledano iznad severnog geografskog pola – suprotno kretanju kazaljke na časovniku), a nebeska sfera prividno, u suprotnom smeru. Pun obrtaj naprave za vremenski razmak koji se naziva zvezdani dan (vidi str. 30). S nebeskom sferom se obrću sve na nju projektovane zvezde ne menjajući međusobne položaje.

nikada ne vide nad određenim horizontom. Za razliku od prve dve grupe, putanje necirkumpolarnih zvezda presecaju horizont, to jest, zvezde te grupe tokom godine svakog dana izlaze i zalaze.

Deklinacije zvezda se menjaju u dugogodišnjem periodu ali je ta promena mala, tako astronomi operišu sa vrednostima deklinacija utvrđenih svakih pola veka. U skladu s tim, uz vrednost deklinacije određene zvezde navodi se „epoha” na koju se odnosi (1900, 1950, 2000). Za epohu 2000. na primer, za zvezde Dubhe u sazvežđu Veliki medved, na primer, δ = 61° 45’, za zvezdu Vegu u Liri, δ = 38° 47’, za Akruks u Južnom krstu, δ = – 63° 06’. Prividne putanje zvezda, dakle, poistovećuju se sa nebeskim paralelama. Položaj zvezdanih putanja u odnosu na horizont zavisi od geografske širine mesta, pa se u zavisnosti od toga zvezde dele na cirkumpolarne, anticirkumpolarne i necirkumpolarne (sl. 13). Za određeni horizont, cirkumpolarne zvezde su sve one čije su putanje u celosti iznad horizonta, to jest, zvezde koje nikada ne zalaze tako da se mogu videti u svako doba noći, preko cele godine. Anticirkumpolarne su zvezde čije su putanje ispod horizonta, to jest, one koje se

Slika 13. Podela zvezda u zavisnosti od položaja njihovih prividnih putanja u odnosu na određeni horizont

Tačnije rečeno, cirkumpolarne su sve zvezde koje ispunjavaju uslov δ ≥ 90° – ϕ, anticirkumpolarne, uslov, δ ≤ ϕ – 90°, i necirkumpolarne, uslov, 90° – ϕ ≥ δ ≥ ϕ – 90° (sl. 14). U skladu s tim, od već pomenutih zvezda – Dubhe, Vega i Akruks, za geografske širine naših mesta prva spada u cirkupolarne, druga u necirkupolarne, a treća su anticirkupolarne.

19

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 14. Godišnji tok deklinacije sunca 2020. godine

Za razliku od ostalih zvezda, Sunce tokom godine neprestano menja deklinaciju jer Zemlja obilazi oko njega sa rotacionom osom otklonjenom 23° 27’ od vertikala na revolucionu putanju. Pri tome Zemljina rotaciona osa ne menja položaj u prostoru, usled čega se deklinacija sunca tokom godine menja u rasponu, zaokruženo, od –23° 27’ do +23° 27’ (sl. 14). Vrednosti deklinacija sunca su pozitivne (od 0° do +23° 27’) u letnjoj polovini godine (od 21. marta do 23. septembra) i negativne (–23°

Na srednjim geografskim širinama Sunce je necirkupolarna zvezda, svakog dana izlazi i zalazi. Na slici 15a je, kao primer, prikazana prividna dnevna putanja sunca nad horizontom ϕ = 40°. U svom prividnom dnevnom kretanju, sunce izlazi u tački E1, pomera se ka jugu, uvećava visinu, i u podne preseca nebeski me-

27’ do 0°) u zimskoj polovini godine ( od 23. septembra do 21. marta). S obzirom da su promene deklinacije sunca u toku jednog dana vrlo male, prividne dnevne putanje sunca se posmatraju kao nebeske paralele. Vrednosti deklinacije sunca daju se za svaki dan najmanje godinu dana unapred u posebnim tablicama, efemeridama, koje izdaju astrono-mske opservatorije, a vrednost za bilo koji dan uvek se može pronaći i na internetu.

ridijan. To je gornja kulminacija sunca (K), položaj u kome se sunce nađe tačno prema jugu (A = 0°) dostigavši najveću visinu u toku dana – podnevnu visinu (h☉). Posle podne sunce se pomera ka zapadu, smanjuje visinu, i na kraju zalazi ispod horizonta u tački W1. U ponoć preseca meridijan ispod horizonta, to jest, u donjoj je kulminaciju (K1). Horizont deli sunčevu prividnu putanju na dva dela: na dnevni luk iznad horizonta i noćni luk ispod

20

Nauka i zabava

horizonta. Uzevši da se deklinacija sunca ne menja u toku jednog dana, prepodnevni dnevni poluluk jednak je poslepodnevnom dnevnom

poluluku (E1K = KW1). U skladu s tim, kada se izračuna časovni ugao sunca u trenutku zalaska (t☉), i pomnoži sa dva, dobije se dužina obdanice (vidi str. 27–28).

Slika 15. Prividna putanja sunca jednog letnjeg dana na ϕ = 40°

Trenutak gornje kulminacije sunca, pravo sunčevo podne i visina sunca u tom trenutku, podnevna visina (h☉), mogu se izračunati za bilo koji dan u godini. Podnevna visina sunca (sl. 15b) izračunava se po formuli, h☉ = 90°– ϕ + δ

dok je izračunavanje pravog sunčevog podneva po srednjoevropskom vremenu objašnjeno na str. 32. Sa stanovišta gnomonike bitno je to što su u pravo sunčevo podne senke gnomona najkraće i usmerene tačno ka severu.

(1)

Tokom godine deklinacija sunca se menja u rasponu 23° 27’ ≥ δ ≥ – 23° 27’, što znači da je prividno kretanje sunca ograničeno na tropski pojas nebeske sfere, unutar nebeskih paralela δ = 23° 27’ i δ = – 23° 27’, koje se nazivaju nebeski povratnici, severni i južni (Rakov i Jarčev povratnik). Severni nebeski povratnik je najsevernija, a južni nebeski povratnik, najjužnija prividna putanja sunca:

sunce prvu opisuje 21. juna (najdužeg dana na severnoj polulopti), a drugu 21. decembra (najkraćeg dana na severnoj polulopti). Tačno na pola puta između njih je nebeski ekvator, s kojim se poklapa prividna putanja sunca 21. marta i 23. septembra. Pod nebeskim povratnicima na Zemljinoj lopti se nalaze geografski povratnici koji ograničavaju svetlosno-toplotni tropski pojas. Nad hori-zontima svih tačaka u tropskom pojasu sunce je dva puta godišnje u zenitu, pri δ = ϕ, a u tačkama na povratnicima jednom u toku godine (21. juna, odnosno 22. decembra).

21

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Da bi se odredilo u koja dva dana je sunce u zenitu nad ravni horizonta određenog mesta u tropskom pojasu, jednostavno treba u tablicama ili na odgovarajućem grafikonu (sl. 31, str. 33) pogledati kada je deklinacija sunca jednaka geografskoj širini tog mesta (δ = ϕ).

Položaj prividnih putanja sunca u odnosu na horizont zavisi od ϕ: normalne su na horizonte mesta ne ekvatoru, paralelene sa horizontima geografskih polova, i nakošene pod uglom (90°– ϕ) prema horizonatima ostalih mesta (sl. 17), u koje spadaju i mesta u Srbiji.

Slika 16. Sunčeve prividne putanje nd horizontima ekvatora, na ϕ = 45°, i na geografskom polu

U nastavku je opisano prividno dnevno kretanje sunca tokom godine upravo nad horizontom ϕ = 44°, što je, kao što je poznato, srednja geografska širina Srbije.

Slika 17. Prividne putanje sunca tokom godine na ϕ = 44°

Dvadeset prvog marta (δ = 0°) prividna putanja sunca se poklapa s nebeskim ekvatorom, sunce izlazi u istočnoj tački, u podne dostiže visinu h = 90° – ϕ, i zalazi u zapadnoj tački (sl. 17). Horizont polovi ekvator tako da su obdanica i noć jednaki. To je prolećna ravnodnevica ili prolećni ekvinocij. Prvi je dan proleća, u astronomskom smislu te reči. Posle 21. marta tačke izlaska i zalaska sunca se pomeraju ka severu, podnevna visina sunce se uvećava, a obdanica postaje sve duža od noći. Dvadeset prvog juna (δ = 23° 27’) prividna putanja sunca se poklapa sa severnim nebeskim povratnikom, tačke izlaska i zalaska su najviše odmaknute od istočne i zapadne tačke 22

Nauka i zabava

(najbliže tački N), a podnevna visina sunca najveća: h☉ = 90° –ϕ + 23° 27’. Obdanica je najduža a noć najkraća. To je dugodnevica ili letnji solsticij, prvi dan leta. Oko dugodnevice deklinacija se neznatno menja, sunce kao da zastane pa otuda i naziv „solsticij”. Narednih dana sunčeva prividna putanja počinje se odmicati od severnog nebeskog povratnika i vraćati ka nebeskom ekvatoru (otuda naziv „povratnik”). Tačke izlaska i zalaska sunca se pomeraju ka istočnoj i zapadnoj tački, podneva visina sunca se smanjuje, a obdanica skraćuje mada je i dalje duža od noći. Dvadeset trećeg septembra prividna putanja sunca ponovo se poklapa sa ekvatorom. To je jesenja ravnodnevica ili jesenji ekvinocij, prvi dan jeseni. Narednih dana tačke izlaska i zalaska sunca pomeraju se ka južnoj tački, podnevna visina se smanjuje a obdanica postaje sve kraća od noći. Dvadeset prvog decembra sunčeva prividna putanja poklapa se sa južnim nebeskim povratnikom, tačke izlaska i zalaska sunca najviše su udaljene od istočne i zapadne tačke, a podnevna visina sunca najmanja (h☉ = 90° – ϕ – 23° 27’). Obdanica je najkraća a noć najduža. To je kratkodnevica ili zimski solsticij, prvi dan zime. Tokom zime prividna putanja sunca se vraća ka ekvatoru da bi se 21. marta ponovo poklopila sa ekvatorom, kada opisani ciklus kreće iz početka. Prethodni opis treba dopuniti podatkom da se sferna udaljenost tačke izlaska sunca od istočne tačke naziva jutarnja amplituda sunca, a sferna udaljenost tačke zalaska od zapadne tačke, večernja amplituda. Na srednjoj geo-

grafskoj širini naše zemlje maksimalne amplitude (solsticijske ammplitude) sunca su, zaokruženo, a = ± 33,5°, što znači da se tačke izlaska i zalaska sunca tokom godine pomeruju u sektoru horizonta čiji je raspon 2a = 67°.

Drevni astronomi su iz dana u dan u isto vreme određivali položaj sunca ne nebeskoj sferi a onda su te tačke nanosili na globus nebeske sfere. Spajanjem svih tačaka dobili su prividnu godišnju putanju sunca, ekliptiku (sl. 18). Ekliptika je velika kružnica nebeske sfere koja sa nebeskim ekvatorom zaklapa ugao, zaokruženo, ε = 23° 27’, isti za koji je otklonjena rotaciona osa Zemlje od vertikale na ravan njene putanje oko Sunca.

Slika 18. Ekliptika: prividna godišnja putanja sunca nebeskom sferom

23

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Ekliptika prolazi kroz pojas sazvežđa koji su stari Grci nazvali zodijak („životinjski krug”) i podelili na 12 sektora, znakova zodijaka, koje su nazvali prema odgovarajućim sazvežđima i dodelili im odgovarajuće simbole. Sunce u znake zodijaka ulazi približno svakog 21. dana u mesecu: u znak Ovna, na primer, ulazi 21. marta, u znak Raka, 21. juna itd. Ekliptika preseca nebeski ekvator u prolećnoj tački („gama” tački) i jesenjoj ekvinocijskoj tački koje se označavaju zodijačkim znacima Ovna i Vage (♈, ♎). Te su se oznake i datumi tradicionalno sačuvani iako se zodijak neprestano pomera zbog gravitacionih uticaja Meseca i Sunca. Tako se još pre dva milenijuma celi zodijak pomerio za jedan znak „u susret suncu” pa danas, na primer, proljećna tačka pada ne, ne u znak Ovna, nego u znak Riba. Ekliptika je, dakle, prividna godišnja putanja Sunca. Stvarno, ona je presek nebeske sfere sa ravni Zemljine putanje oko Sunca, odnosno, velika kružnica koju među zvijezdama, posmatrano sa „putujuće” Zemlje, opisuje projekcija Sunca. Pomerajući se ekliptikom, sunce prividno prođe kroz 12 znakova zodijaka, odnosno kroz 13 sazvežđa u njihovim savremenim granicama (tradicionalna zodijačka sazvežđa, i još sazvežđe Zmijonoša): u zodijačkim znacima sunce provodi približno isti broj dana, dok se taj broj menja od sazvežđa do sazvežđa, u Devici je, na primer, 45 dana, a u Škorpiji samo sedam. Davno je dokazano da je naučno neosnovano astrološko verovanje da se sudbina čoveka može proricati na osnovu položaja sunca i planeta, u zodijaku i međusobno, tako da danas obrazovni ljudi na astrologiju gledaju isključivo kao na zabavu.

Poznavanje prividnog kretanja sunca ključno je za gnomoniku jer su na njemu zasnovani časovni sistemi u čijoj su službi sunčani časovnici. Zato analiza „sunčeve geometrije” nad određenim horizontom prethodi proračunu elemenata časovne skale svakog sunčanog časovnika, bez obzira na njegov konstrukcioni oblik. A ta analiza podrazumeva izračunavanje horizontskih koordinata sunca (posebno podnevnih visina), podneva po pravom, lokalnom srednjem i zonalnom sunčevom vremenu, trenutaka prolaska sunca kroz određeni vertikal, te trenutaka izlaska/zalaska sunca i dužine obadanice. Već je objašnjeno kako se izračunavaju podnevne visine sunca (str. 21), formule za izračunavanje podneva u raznim varijantama date su u narednom poglavlju (str. 34), izračunavanje trenutaka prolaska sunca kroz određeni vertikal potrebno je za određivanje „radnog vremena” zidnih sunčanih časovnika, tako da će u nastavku biti izvedene samo formule za izračunavanje horizontskih koordinata sunca i dužine obdanice, oboje neophodno kada se radi o analematskim časovnicima.

Astronomski azimut sunca (A) za zadato mesto tačku A (ϕ, λ), određenog dana i trenutka, odnosno pri određenim vrednostima deklinacije i časovnog ugla sunca (δ, t), može se izračunati rešavanjem kosouglog sfernog trougla TPZ (sl. 19).

24

Nauka i zabava

Slika 19. U kosouglom sfernom trouglu TPZ poznate su dve stranice i ugao koji one zaklapaju

Po kosinusnoj formuli za stranice, sledi, cos(90° − ℎ) = cos(90° − 𝜑) ∙ cos(90° − 𝛿) + 𝑠𝑖𝑛(90° − 𝜑) ∙ sin(90° − 𝛿) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡, sinℎ = sin𝜑 ∙ sin 𝛿 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛿 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡

(2)

Zatim, po sinusnoj formuli, sin(180° − 𝐴) 𝑠𝑖𝑛𝑡 = , sin(90° − 𝛿) sin(90° − ℎ) odakle je, 𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑠𝑖𝑛𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛿 cosℎ

(3)

(Časovni ugao t se dobija prevođenjem CET u pravo sunčevo vreme, vidi str. 34). Kada se po formulama (2) i (3) izračunaju horizontske koordinate sunca određenog dana u jednočasovnom razmaku i spoje na grafiku, dobijaju se prikazi prividnih dnevnih putanja sunca. Uradi li se to za solsticijske i ekvinocijske putanje, nastaje grafik na kome se može analizirati kompletno prividno kretanje sunca nad horizontom određenog mesta (sl. 20).

To je analiza koja prehodi konstrukciji sunčanog časovnika bez obzira na konstrukcioni oblik. Slika se kompletira kada su poznati i trenuci prolaska sunca kroz vertikale ruže kompasa (A = 0°, A = 22,5°, A = 45° itd) (sl. 21) izračunati po poznatim formulama (Тадић, 2004, str. 244–247).

25

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 20. Prividne putanje sa jednočasovnim položajima sunca sunca za solsticija i ekvinocija u horizontskoj mreži (ϕ = 44°, λ = 21°). Crveni kružići označavaju položaje sunca u 12 h CET.

Slika 21. Prolasci sunca kroz vertikale ruže kompasa nad horizontom tačke (ϕ = 44°, λ = 21°). Zimskog solsticija, na primer, sunce je na SW u 13 h 08 min, jesenjeg ekvinocija u 12 h 32 min, itd. 26

Nauka i zabava

Radno vreme svakog horizontalnog sunčanog časovnika sa polosom i analematskog sunčanog časovnika koji su postavljeni na nezaklonjenom mestu, traje od izlaska do zalaska sunca, dok će radno vreme vertikalnog počinjati (ili se završavati) u trenutku kada sunce preseca vertikal u čijoj je ravni postavljen sunčani časovnik. Svi se ti trenuci mogu jednostavno očitati na sl. 21. Očigledno je, na primer, da će vertikalni sunčani časovnik na zidu azimuta AN = 50° počinjati da radi s izlaskom sunca, najranije završavati s radom nešto posle 13 h (letnji solsticij), a najkasnije oko 15:30 h (zimski solsticij).

Budući da je promena deklinacije sunca u toku jednog dana vrlo mala (16” < Δδ < 24’), dužina obdanice (T☉) se određuje kao dvostruka vrednost časovnog ugla sunca u trenutku zalaska (t☉). Formula za izračuna-vanje časovnog ugla sunca u trenutku zalaska (t☉) dobija se rešavanjem pravouglog sfernog trougla W1NP (sl. 22). Na slici 22, W1 je tačka zalaska sunca nekog letnjeg dana (pri pozitivnoj vrednosti δ), za horizont na geografskoj širini ϕ.

Slika 22. . Desno je tzv. Neperov krug/petougao koji vizualizuje Neperovo pravilo

Prema Neperovom pravilu, cos 180° − 𝑡⊙ = 𝑐𝑡𝑔(90° − 𝜑) ∙ 𝑐𝑡𝑔(90° − 𝛿), i dalje, cos 𝑡⊙ = − 𝑡𝑔𝜑 ∙ 𝑡𝑔𝛿 (4) Formulom (4) nije uzeta u obzir atmosferska refrakcija zbog koje se teoretski zalazak/izlazak sunca dešava, ne kada se centar sunčevog diska nalazi na ekvatoru, nego kada je na almukantaratu h = –51’ (sl. 23).

27

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 24. Teoretski, sunce je zašlo tek kada je centar njegovog diska 51’ ispod horizonta (tačka W1)

Iz kosouglog sfernog trougla W1PZ, prema kosinusnoj formuli za stranice, sledi, cos(90° + 51 ) = sin(90° − 𝜑) ∙ sin(90° − 𝛿) + cos(90° − 𝜑) ∙ cos(90° − 𝛿) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡⊙ , odakle je, 𝑐𝑜𝑠𝑡⊙ =

−sin51 − sin 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛿 cosφ ∙ cosδ

(5)

Dužina obdanice u časovima je, 𝑇⊙ = 2

⊙

(6)

Trenutak izlaska sunca (TI) dobija se oduzimanjem t☉ izraženog u časovnoj meri od pravog sunčevog podneva po srednjoevropskom vremenu (TSE), a trenutak zalaska sunca (TZ), kada se t ☉ oduzme od istog podneva: TI = TSE – t☉ = TSE = 12 h – e + (λ0 – λ)°· 4 min – t☉ TZ = TSE + t☉ = TSE = 12 h – e + (λ0 – λ)°· 4 min + t☉ Izlazak i zalazak sunca, kao što je već rečeno, označavaju teoretski početak i kraj rada svakog horizontalnog sunčanog časovnika postavljenog na nezaklonjenom mestu, dok je dužina obdanice njegovo teoretsko radno

(7) (8)

vreme. U središnjoj tački Srbije, na primer, najkraće teoretsko radno vreme je zimskog solsticija i teoretski traje od 7 do 16 h standardnog CET vremana, a najduže, letnjeg solsticija, od 3 h 50 min do 19 h 20 min (sl. 24).

28

Nauka i zabava

Slika 24. Godišnja promena odnosa svetla i tame u središnjoj tački teritorije Srbije (ϕ = 44°, λ = 21°).

Stvarno radno vrijeme svakog horizontalnog sunčanog časovnika svedeno je na trajanje sunčevog sjaja koje se u Kragujevcu, na primer, kreće od prosečno 2,1 h dnevno u decembru do prosečno 9,5 h dnevno u julu. Kada su u pitanju analematski sunčani časovnici, to je, međutim, i dalje teoretsko radno vreme. Dok svaki horizontalni sunčani časovnik, postavljen na nezaklonjenom mestu, proradi čim ga

obasja sunce i pokazuje vreme gledao ga neko ili ne, za analematski časovnik sunce nije dovoljno jer šta vredi sunce ako nema merioca da baci senku. U skladu s tim, može se reći da analematski časovnk nema strogo određeno radno vreme, počinje da radi kada ga istovremeno „posete” sunce i živi gnomon, to jest, kada ga obasja sunce i merilac baci senku.

29

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Zemlja je svojim kretanjima prirodno odredila dve osnovne vremenske jedinice, dan kao period rotacije i godinu kao period revolucije Zemlje. Periodi rotacije i revolucije određuju se u odnosu na prolećnu tačku čiji položaj može tačno da se izračuna. Prvi, zvezdani dan, definiše se kao vremenski razmak između dve

uzastopne gornje kulminacije prolećne tačke, a drugi, tropska godina (365,2422 dana), kao vremenski razmak između dva uzastopna prolaska sunca kroz proljetnu tačku ekliptike. Za gnomoniku je bitan dan, odnosno njegova podela na kraće vremenske razmake.

Zemljina kretanja se odražavaju prividnim dnevnim i godišnjim kretanjem sunca nebeskom sferom, pa se dan može definisati kao vremenski razmak između dve gornje uzastopne kulminacije sunca. Tako definisan dan naziva se pravi sunčev dan. Pravi sunčev dan je kraći od zvezdanog dana (sl. 25). Slika 25 nije u razmeru. Na njoj je prikazana Zemlja za vreme ravnodnevice, u trenutku gornje kulminacije sunca i zvezde Kaf u sazvežđu Kasiopeje (oznaka βCas) nad horizontom tačke A. Ta zvezda je uzeta jer kulminira istovremeno sa nevidljivom prolećnom ekvinocijskom tačkom prema kojoj se određuje zvezdani dan. Kada se rotirajuća Zemlja pomakne na putanji oko Sunca tako da tačka A dođe u položaj A1, zvezda Kaf ponovo kulminira i tako označava završetak jednog zvezdanog dana. Jednodnevni pomak Zemlje na putanji oko Sunca zanemarljivo je mali u odnosu na udaljenost do zvezde Kaf, ali je zato merljiv u odnosu na Sunce.

Slika 25. Zemlja na putanji oko Sunca, u jednodnevnom razmaku

Za jedan zvezdani dan, spojnica Zemlja-Sunce prebriše sektor čiji je raspon jednak količniku broja stepeni u punom krugu i broja dana u

30

Nauka i zabava

godini: 360°: 365,2422 = 59` 08”. Zemlja treba da se zarotira za taj ugao i dođe u položaj A2 da bi nastupila i gornja kulminacija sunca, to jest, da bi se završio jedan pravi sunčev dan. Da se zarotira za taj ugao Zemlji je potrebno 3 min 56 s, i za toliko je zvezdani dan kraći od pravog sunčevog dana. Vremenski sistem zasnovan na zvezdanom danu koristi se u astronomiji. Zvezdani dan je konstantna jedinica ali nije praktičan jer svaki naredni počinje 3 min 56 s ranije u odnosu na vreme mereno prema suncu, to jest, pomera se i tokom godine pada u različite trenutke obdanice i noći. Zato su za vremensku orijentaciju u svakodnevnom životu ustanovljeni sistemi sunčevog vremena, pravog i srednjeg.

Vremenski razmak između dve uzastopne donje kulminacije pravog sunca naziva se pravi sunčev dan, a na njemu zasnovan vremenski sistem, pravo sunčevo vreme (TP). Pravi sunčev dan se deli na 24 časa (sata): 0 h (ili 24 h) je u pravu sunčevu ponoć, a 12 h u pravo sunčevo podne (u trenutku gornje kulminacije sunca). U pravo sunčevo podne časovni ugao sunce jednak je nuli, pa je pravo sunčevo vreme jednako časovnom uglu sunca uvećanom za 12 h, TP = t + 12h. Časovni ugao sunca uvek se može izračunati na osnovun geografske širine mesta i deklinacije sunca, pa prema tome i pravo sunčevo vreme.

Za razliku od zvezdanog, pravi sunčev dan nije konstantna jedinica. Dužina mu se menja tokom godine u granicama jednog minuta zbog toga što se sunce, odražavajući stvarno kretanje Zemlje, kreće neravnomernom brzinom ekliptikom koja je, uz to, nakošena prema ravni nebeskog ekvatora. Zato pravo sunčevo vreme mogu pokazivati samo sunčani časovnici s obzirom na to da jedino njihova senka može verno da prati pravo sunce. Kada su se krajem srednjeg veka pojavili mehanički časovnici čiji su mehanizmi imali ravnomeran hod, pravo sunčevo vreme je zamenjeno srednjim sunčevim vremenom.

U sistemu srednjeg sunčevog vremena (TS), pravo sunce je zamenjeno zamišljenim srednjim suncem, tačkom koja se, umesto po ekliptici kreće po ekvatoru, konstantnom brzinom. Pravo i srednje sunce zajedno polaze iz prolećne tačke i zajedno se vraćaju u nju, putem prednjačeći ili zaostajući jedno za drugim. Razlika između odgovarajućih vremena (e) naziva se vremensko izjednačenje: e = TP – TS. Uvođenjem pojma srednjeg sunca dobijena je konstantna jedinica. Srednji sunčev dan je vremenski razmak između dve uzastopne donje kulminacije srednjeg sunca. Srednji sunčev dan se deli na 24 časa (sata): 0 h (ili 24 h) pada u srednju sunčevu ponoć, a 12 h u srednje sunčevo podne.

31

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 26. Godišnji hod vremenskog izjednačenja 2020. godine

Budući da je srednje sunce zamišljena tačka, srednje sunčevo vreme se određuje na osnovu poznatog (prethodno izračunatog) pravog sunčevog vremena po formuli, TS = TP – e.

(9)

Vrednosti vremenskog izjednačenja tokom godine menjaju se u rasponu od –14 min do +16,5 min (sl. 26), objavljuju se u astronomskim efemeridama za svaki dan najmanje godinu dana unapred, a uvek se mogu pronaći i na internetu. Slika 27. U mestima istočno od nas podne nastupa ranije, a u zapadnijim mestima, kasnije

U pravom i srednjem sunčevom vremenu, nulti trenutak za odbrojavanje časova je trenutak donje kulminacije sunca, odnosno, trenutak prolaska sunca kroz nebeski meridijan ispod horizonta. Svaka tačka/mesto na Zemlji ima svoj meridijan, a samim tim i svoje vreme, lokalno vreme, pravo i srednje. Zemlja se rotira od zapada prema istoku, pa u odnosu na lokalno vreme određenog mesta, lokalna vremena istočnijih mesta prednjače, dok dok kod zapadnijih mesta zaostaju (sl. 27).

Na slici 27, prikazana je Zemljina lopta u trenutku kada je sunce u zenitu tačke B. Istog trenutka sunce kulminira u svim tačkama meridijana te tačke (na primer u tačkama A, C i D). U tom trenutku, sunce je već kulmiralo nad horizontima tačaka meridijana LPN, dok tek treba da kulminira nad meridijanom MPN: lokalno vreme meridijana LPN prednjači u odnosu na lokalno vreme meridijana APN za vreme-nski razmak Δt = Δλ = λL – λA, dok lokalno vreme meridijana MPN zaostaje za interval Δt = Δλ = λA – λM. Tako lokalno

32

Nauka i zabava

podne, u Moskvi (λ = 37° 37’), na primer, nastupa 17 min 9 s ranije, a u Parizu (λ = 02° 21’), 18 min 7 s kasnije, nego u Beogradu (λ = 20° 28’). S obzirom da svako mesto ima svoje lokalno vreme, ono je nepraktično jer otežava svaku vrstu komunikacije između mesta, kako u jednoj državi tako i na globalnom planu. Zbog toga je međunarodnim dogovorom iz 1884. godine uvedeno zonalno vreme zasnovano na teoretskoj podeli Zemljine lopte na 24 časovne zone od po 15°. Sva mesta odgovarajuće zone ravnaju se prema srednjem sunčevom vremenu središnjeg meridijana te zone. Za nultu časovnu zonu izabran je sektor čiji je srednji meridijan, Grinički meridijan. Središnji meridijan prve istočnije zone je λ0 = 15°, prve posle nje, λ0 = 30°, itd. (sl. 28).

Slika 28. Prve tri časovne zone: Grinička, srednjoevropska i istočnoevropska

Teoretske meridijanske granice časovnih zona očuvane su samo na prostoru Svetskog okeana,

inače iz praktičnih razloga prate državne granice i administrativne granice unutar država čije se teritorije prostiru kroz više časovnih zona. Većina časovnih zona ima i svoje nazive date prema glavnim regijama koje pokrivaju, kao i odgovarajuće skraćenice. Tako su tri već pomenute evropske zone nazvane Grinička (zapadnoevropska), srednjoevropska i istočnoevropska, a odgovarajuća zonalna vremena, redom: Griničko ili zapadnoevropsko, srednjoevropsko (centralnoevropsko), istočnoevropsko. Srbija se nalazi u srednjoevropskoj časovnoj zoni (oznaka CET) čiji je srednji meridijan λ0 = 15°. Kada naš časovnik, na primer, pre podne pokazuje tačno 10 h, to znači „prošlo je tačno 10 h od donje kulminacije srednjeg sunca nad horizontima meridijana srednjeg meridijana (λ0 = 15°) srednjoevropske časovne zone”. Po ugledu na zapadnoevropske zemlje, a radi racionalnijeg korišćenja dnevnog svetla i ekonomskih ušteda, od 1983. godine u Srbiji (tada republici u sklopu Jugoslavije), poslednje nedelje marta kazaljke časovnika se pomeraju jedan čas unapred, a vraćaju nazad poslednje nedelje oktobra. Drugim rečima, u tom periodu se prelazi standardnog srednjoevropskog vremena na tzv. letnje vreme. Iako nema opšte saglasnosti o svrsishodnosti letnjeg vremena, Srbija se pridružila zemljama Evropske unije koje su odlučile da od 2021. godine odustanu od pomeranja kazaljki. Do danas (mart 2021.) nije donesena odluka da li će ostati samo standardno vreme kao pre 1983. godine ili će se trajno preći na letnje vreme. Razlika između srednjoevropskog vremena (TSE) i lokalnog srednjeg sunčevog vremena

33

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

(TS) nekog mesta na meridijanu λ, jednaka je vremenskom razmaku Δt potrebnom Zemlji da se zakrene za ugao (λ0 – λ): Δt = TSE – TS = (λ0 – λ)° · 4 min a samo srednjoevropsko vreme,

ja se kriva linija obavijena oko nebeskog meridijana u obliku izdužene osmice (sl. 29). Ova kriva je nazvana „analema”. Naziv nije originalan ali to nije stvorilo zabunu s obzirom da je izvorna starovekovna analema („Vitruvijeva” analema) početkom XVII veka preimenovana u ortografsku projekciju.

TSE = TS + (λ0 – λ)° · 4 min, odnosno, znajući da je TS = TP – e, TSE = TP – e + (λ0 – λ)°· 4 min.

(10)

Uvrštavanjem u prethodnu formulu TP = 12 h, a znajući vrednost vremenskog izjednačenja, moguće je za određenu mesto izračunati trenutak gornje kulminacije pravog sunca, to jest, pravo sunčevo podne pa srednjoevropskom vremenu, TSE = 12 h – e + (λ0 – λ)°· 4 min. (11) Kada se u prethodnu formulu uvrste ekstremne vrednosti vremenskog izjednačenja (vidi sl. 26, str. 32), dobija se vremenski raspon u okviru koga se u središnjoj tački Srbije pomera pravo sunčevo podne u toku godine (11 h 22 min – 11 h 52 min) što znači da pravo sunčevo podne nikada ne pada u 12 h CET kao što to mnogi smatraju. (To takođe znači da je neosnovana uzrečica „od 12 do podne”, upotrebljena u smislu „nikada”.)

Kada se za svaki dan izračunaju horizontske koordinate sunca (h, A) u 12 h lokalnog srednjeg sunčevog vremena, a onda se ti položaji nanesu i spoje na globusu nebeske sfere, dobi-

Slika 29. Analema na nebeskoj sferi

Analema se vrlo često prikazuje u funkciji nomograma koji omogućava da se za svaki dan u godini grafički odrede vrednosti vremenskog izjednačenja i deklinacije sunca, kao i pomenuti datumi kada je sunce u zenitu nad mestima tropskog pojasa, kao što je to pokazano na primeru Hajderabada i Brazilije (sl. 30). Istu funkciju imaju analeme koje se ponekad ucrtavaju na geografskim globusima, od povratnika do povratnika, obično na prostoru Pacifika (da ne pokrivaju prikaze geografskih objekata).

34

Nauka i zabava

nicima, često u ulozi datumske skale. To može izazvati nedoumice pa nije suvišno da se dodatno objasni kako se analema konstruiše i koristi u gnomonici.

Da bi se „analema” za lokalno srednje sunčevo vreme prikazala u ortografskoj projekciji, to jest, da bi se prikazala „analema u analemi”, prvo je potrebno izračunati horizontske koordinate sunca uvrštavajući u formule (2) i (3) časovni ugao sunca t = e, a potom i odgovarajuće koordinate projekcije sunca na projekcionoj ravni, pravougle (x, y) ili polarne (ρ, α). Za poprečnu projekciju pravougle koordinate se izračunavaju po formulama, x = r· cosh· sinA, y = r· sinh, Slika 30. Nomogram: godišnji hod vremen-

skog izjednačenja (e) i deklinacije sunca (δ) Nomogram (sl. 31) se može posmatrati kao prikaz analeme za lokalno srednje sunčevo vreme u pravougaonoj kartografskoj projekciji čiju mrežu čine projekcije lukova nebeskih paralela (poprečne linije) i projekcije lukova deklinacionih kružnica (uzdužne linije), dok su koordinatne ose, projekcije lokalnog meridijana i nebeskog ekvatora. Analema se prikazuje i u perpspektivnim kartografskim projekcijama, najčešće u gnomonskoj, i ucrtava na sunčanim časovnicima svih konstrukcionih oblika. Među njima i na analematskim časov-

(12)

a za normalnu projekciju polarne koordinate, po formulama,

α = A, ρ = r· cosh.

(13)

Kada se na osnovu izračunatih koordinata na kartografske mreže nanesu položaji sunca svakog prvog dana u mesecu, kao i za solsticije i ekvinocije, i kada se te tačke spoje, formira se analema za lokalno srednje sunčevo podne. Tako je, na primer, konstruisana analema za Šabac u poprečnoj (sl. 31) i polarnoj ortografskoj projekciji (sl. 32).

35

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 31. Analema za 12 h lokalnog srednjeg vremena u Šapcu (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’), prikazana u poprečnoj ortografskoj projekciji nadhorizontske nebeske hemisfere: žute linije su projekcije prividnih putanja sunca za solsticija i ekvinocija (projekcije ekvatora i nebeskih povratnika); desno je uvećan prikaz analeme.

Slika 32. Analema za 12 h lokalnog srednjeg vremena u (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’), prikazana u normalnoj ortografskoj projekciji nadhorizontske nebeske hemisfere; desno je uvećan prikaz.

U pravo sunčevo podne sunce se nalazi tačno u ravni nebeskog meridijana, a u srednje sunčevo podne skup svih položaja sunca u toku godine čini analemu koja se obavija oko meridijanskog luka ograničenog povratnicima. U zonalno srednje sunčevo podne analema je otklonjena od lokalnog meridijana, a veličina i orijentacija tog otklona (ka zapadu ili ka

istoku) zavisi od položaja mesta u odnosu na srednji meridijan odgovarajuće časovne zone. Celom svojom teritorijom Srbija se nalazi istočno od srednjeg meridijana srednjoevropske časovne zone (λ0 = 15°), pravo sunčevo podne u svim mestima nastupa pre nego što formalni časovnici pokažu 12 h CET.

36

Nauka i zabava

Slika 33. Analema za 12 h CET u Šapcu (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’) prikazana u poprečnoj ortografskoj projekciji nadhorizontske nebeske hemisfere; desno je uvećan prikaz.

Slika 34. Analema za 12 h CET u Šapcu (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’) prikazana u normalnoj ortografskoj projekciji nadhorizontske nebeske hemisfere; desno je uvećan prikaz.

Tto znači da je nad horizontima svih mesta, analema na nebeskoj sferi otklonjena ka zapadu od lokalnog meridijana (sl. 33, 34). Za podne po CET analema se može konstruisati na isti način i kao analema za lokalno srednje sunčevo podne, s tim da se u formule (2) i (3) uvrsti korigovani časovni ugao: t = e – (15 – λ)°· 4 min. Analema se verno može prikazati samo na glo-

busu nebeske sfere, dok su kartografski prikazi na slikama 31–34 deformisani: u ortografskoj projekciji centar projekcije je tačka nultih deformacija, s udaljavanjem prema obodu rastu deformacije likova i površina pa je tako zimski deo analeme više deformisan od letnjeg. Verni ili deformisani, u oba slučaja se radi o posrednim prikazima kojima su prethodila već opisana izračunavanja.

37

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Na neposredan način analema se može konstruisati samo gnomonskom metodom, beleženjem na horizontalnoj podlozi položaja kraja senke gnomona u 12 h odgovarajućeg zonalnog vremena (recimo CET), i to tokom cele godine u razmaku od nekoliko dana. Spajanjem obeleženih položaja formira se analema, odnosno, njena gnomonska projekcija.

Umesto da se cele godine u 12 h na horizontalnoj podlozi beleže položaji kraja senke gnomona (v) jednostavnije je i brže naneti ih pomoću polarnih koordinata izračunatih po formulama za gnomonsku projekciju: α = A, ρ = v·ctgh (sl.12).

Slika 35. Gnomonska projekcija analeme za 12 h lokalnog srednjeg sunčevog vremena (a) i 12 h CET (b) izračunata za Šabac (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’); jedinica dužinske skale je visina gnomona.

Postoje „podnevni časovnici” koji su, da zbrka s pojmovima bude još veća, od sredine XVIII veka takođe nazivani „analemama” (Sawyer, 1994). Takve časovnike čine samo gnomon i ploča na kojoj je ugravirana analema: dolazak kraja senke gnomona na odgovarajući mese-

čni luk analeme označava 12 h lokalnog srednjeg sunčevog vremena (sl. 35a), odnosno 12 h CET (sl. 35b). Podnevni časovnici su se služili da se prema njima navijaju mehanički časovnici, u vreme dok su ovi još uvek bili nepouzdani u radu.

38

Nauka i zabava

Slika 36. . Vertikalni sunčani časovnik sa urezanom analemom za 12 h CET ili 13 h letnjeg CET vremena (zgrada PMF-a u Prištini, časovnik postavljen 1995. a polomljen 1999. godine).

Osim na podnevnim varijantama sunčanih časovnika, analeme se ucrtavaju i na sunčanim časovnicima sa kompletnim skalama (sl. 36). Najčešće je to analema samo za 12 h, ali postoje i sunčani časovnici kod kojih je ana-

lema ucrtana za svaki okrugli dnevni čas. Takvi sunčani časovnici su atraktivni ali su zbunjujući za većinu posmatrača (u šali se kaže da na njima vreme zna očitati samo onaj ko ih je konstruisao) (sl. 37).

Slika 37. Časovna skala horizontalnog sunčanog časovnika (44° N, 21° E) sa analemama ucrtanim za svaki puni čas CET. Na slici, senka gnomona svojim krajem pokazuje tačno 3 h posle podne. 39

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Starovekovni naučnici su za određivanje položaja sunca koristili šest sfernih koordinta (sl. 38), drugačijim od onih koji se danas koriste u sfernoj astronomiji. Primenjivali su ih u zavisnosti od konkretnog zadatka, a u gnomonici u zavisnosti od vrste sunčanog časovnika (Tadić, 1988/1989, str. 19–20). Koordinate su

određivali geometrijskim putem pomoću analeme (doslovno – „ono što je projektovano odozgo”, s neba, ili jednostavno – „projekcija”), metodom koju danas matematičari nazivaju nacrtnom geometrijom a kartografi ortografskom projekcijom.

Slika 38. Sferne koordinate kojima su starovekovni astronomi određivali položaj sunca

Tvorac ovog metoda verovatno je Apolonije Pegejski, primenjivao ga je Hiparh, mehanizovao Ptolemej, dok je poznat prvenstveno zahvaljujući opisu koji je dao rimski arhitekta Vitruvije u „X knjiga o arhitekturi”. Govoreći o antičkim gnomonistima, Vitruvije dodaje: „Pa ko želi moći će iz njihovih knjiga uzeti nacrte, samo ako se razume u crtanje analeme” (IX, 7). Ortografska projekcija je vrsta perspektivnih azimutnih projekcije kod koje se centar perspektive nalazi beskonačno daleko, a projekcioni zraci međusobno paralelni, dok je analema, može se reći, specijalni slučaj – ortografska projekcija primenjena u sfernoj

astronomiji i gnomonici. Suština primene u sfernoj astronomiji i gnomonici sastojala se od naizmeničnih prelazaka iz normalnog u poprečni oblik te projekcije; ulogu projekcionih ravni imale su ravan horizonta ili ravan nebeskog ekvatora (vidi str. 41-42). Na slici 39 tačka O je centar nebeske sfere, tačka Z je zenit, Z1 – nadir, ZZ1 – vertikala, N severna tača, S – južna tačka, a prečnik NS, podnevačka linija. Osnovna ružnica ZNZ1S predstavlja nebeski meridijan. Vertikalni poluprečnik Z1O = 1 predstavlja gnomon, a Z1B2 severni krak podnevačke linije duž koje padaju podnevne senke gnomona: Z1A2 je podnevna ekvinocijska senka gnomona.

40

Nauka i zabava

Slika 39. Analema, ortografska projekcija nebeske sfere: osnovni crtež

Kao polazni podatak za konstrukciju analeme za određeno mesto, starovekovni gnomonisti su uzimali odnos dužine podnevne ekvinocijske senke i visine odgovarajućeg gnomona, odnosno, polazili su od klimata, kako su u to vreme nazivali geografsku širinu. U tom je stilu, na primer, Vitruvije (IX, 7) zabeležio pomenuti odnos za pet antičkih gradova: Rim (8/9), Atina (3/4), Rodos (5/7), Taranto (9/11) i Aleksandrija (3/5). Savremenom terminologijom, ti odnosi su tangensi geografskih širina navedenih mesta: za Rim, na primer, 𝑎𝑡𝑎𝑛 = 41,6°, za Atinu, 𝑎𝑡𝑎𝑛 = 36,9°, za Rodos, 𝑎𝑡𝑎𝑛 = 35,5°, za Taranto, 𝑎𝑡𝑎𝑛

= 39,3°, i za Aleksandriju

𝑎𝑡𝑎𝑛 = 31°, što nije daleko od tačnih vrednosti, redom: 41,9°, 38°, 36,4°, 40,5°, 31,2°).

Na osnovu odnosa dužine podnevne ekvinocijske senke i visine gnomona starovekovni gnomonisti su prvo konstruisali poprečnu projekciju nebeskog ekvatora A1A i na nju normalnu projekciju nebeske ose P1P (sl. 39). Poprečne projekcije nebeskih povratnika (BB1, CC1) su tetive paralelne ekvatoru koje na osnovnoj kružnici odsecaju lukove (A1B1, A1C1) jednake nagibu ekliptike prema ekvatoru (kod Vitruvija „1/15 punog ugla”). Polukružnice B1B1 i C1C1 predstavljaju polukružnice nebeskih povratnika kao solsticijskih prividnih putanja sunca, oborene na ravan nebeskog meridijana. Projekcije ostalih prividnih putanja sunca gnomonisti su konstruisali posredstvom male kružnice koju Vitruvije naziva mesečna kružnica (sl. 40).

41

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 40. Konstrukcija projekcija prividnih putanja sunca pomoću mesečne kružnice

Prečnik mesečne kružnice jednak je dužini tetive luka B1C1 koga na meridijanskoj kružnici ograničavaju nebeski povratnici. Centar pomoćne kružnice nalazi se na sredini tetive, u tački O1. Počevši od ekvatorskog prečnika, mesečna kružnica se deli na 12 sektora od kojih svaki odgovara jednom znaku zodijaka. Znaci zodijaka su označeni tradicionalnim simbolima, počevši od znaka Ovna (prolećna tačka, ♈) koji je obeležen na ekvatorskom prečniku. Prividna putanja sunca pri njegovim ulaskom u svaki znak zodijaka dobija se tako što se kroz odgovarajuće podeljke mesečne kružnice povuku linije paralelne ekvatorskom prečniku AA1. (Danas bi jednostavno iz centra osnovne kružnice, od ekvatora naneli ugao jednak deklinaciji sunca određenog dana.) U nastavku će, kao primer, biti pokazano kako su starovekovni astronomi pomoću analeme

određivali dužinu obdanice i sferne koordinate Sunca.

Pre određivanja dužine obdanice treba napomenuti da je u grčko-rimskom svetu formalni časovni sistem bio temporalni u kome su devni časovi bili jednaki dvanaestini obdanice, pa u skladu s tim i sezonski promenljivi. Uporedo s njim u naučnom svetu je korišćen ekvinocijski časovni sistem, u suštini jednak savremenom. S obzirom da svaka obdanica sadrži 12 temporalnih časova, njenu dužinu su, podrazumeva se, određivali u ekvinocijskim časovima, pomoću analeme. Kako su to radili pokazano je na primeru određivanja najduže obdanice (sl. 41).

42

Nauka i zabava

Slika 41. Određivanje najduže dužine obdanice pomoću analeme na ϕ = 44°

Osnova se konstruiše kako je to već opisano uz sliku 40. Tetiva BB1, kao poprečna analematska prividne putanje sunca letnjeg solsticija (dugodnevica) oborena je u ravan nebeskog meridijana. Pri tome je tačka izlaska sunca E1 preslikana kao tačka E2 koja dnevnu polukružnicu BB1 deli na dnevni poluluk BE2 i noćni poluluk E2B1. Veličina dnevnog poluluka jednaka je časovnom uglu sunca u trenutku izlaska (t☉), a dobija se jednostavnim merenjem ugla BQE2. Izražena u časovnoj meri (podeljena sa 15°) i pomnožena sa dva daje dužinu obdanice (T = 2 t☉). U primeru prikazanom na slici 42, t☉≈115° ≈ 7,667 h, odnosno T = 2t☉≈ 15 h 20 min (tačno izračunata, najduža obdanica traje 15 h 18 min). Na isti način može da se odredi dužina obdanice bilo kog dana u godini, s tim da se pomoću mesečne kružnice konstruiše odgovarajuća dnevna putanja sunca. To je na sl. 41 pokazano

na primeru najduže obdanice jer su astronomi i geografi u starom i srednjem veku matematičko-geografski položaj mesta izražavali i trajanjem naduže obdanice. U tom stilu, za Kragujevac se može reći da je grad na ϕ = 44°, ili grad u kome najduža obdanica traje 15 h 20 min, svejedno.

Pomoću analeme se može odrediti bilo koja od sfernih koordinata koje su koristili starovekovni astronomi (sl. 38), na bilo kojoj geografskoj širini i u bilo kom trenutku. U kontekstu glavne teme, iz praktičnih razloga, u narednom primeru pokazano je samo određivanja savremenih horizontskih koordinata sunca (h, A) tačno u 9 h pravog sunčevog vremena letnjeg solsticija na geografskoj širini ϕ = 44° (sl. 42).

43

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 42. Određivanje horizontskih koordinata sunca pomoću analeme na ϕ = 44°

Da bi bila izbegnuta potreba za mesečnom kružnicom (da bi crtež bio pregledniji), ponovo je izabran letnji solsticij. Izostavljene su i projekcije ekvatora i južnog nebeskog povratnika. Na polukružnici prividne dnevne putanje sunca letnjeg solsticija oborenoj u ravan meridijana, na svakih 15° označeni su jednočasovni položaji sunca (0–12), a zatim su te tačke paralelnim zracima projektovane na poprečnu projekciju pomenute putanje (na prečnik BB1): položaj sunca u 9 h istaknut je simbolom sunca u tački L. Tetiva KK1 paralelna horizontu jeste poprečnu projekcija almukantarata na kome se nalazi sunce u 9 h. Almukantarat preseca nebeski meridijan u tački K. Veličina luka SK, odnosno odgovarajući centralni ugao SOK, jednaki su visini sunca (h) u 9 h, dok je podnevna visina sunca (h☉) jednaka veličini luka

SB, odnosno centralnom uglu SOB. Almukantarat projektovan u normalnoj projekciji na ravan horizonta jeste koncentrična kružnica prečnika KK1, a tačka M, projekcija tačke L (položaja sunca u 9 h). S obzirom da je u centru ortografske projekcije sačuvana vernost uglova, azimuta, astronomski azimut sunca (A) u 9 h jednak je uglu SOM, a geografski azimut (AN) uglu NOM. Izmereni na analemi (sl. 42), visina, azimut i podnevna visina sunca redom iznose, h ≈ 48°, A ≈ 284° (ili AN ≈ 104°), h☉≈ 69,5, što je vrlo blizu tačno izračunatim vrednostima: h = 47° 59’ 39”, A = 284° 13’ 06”. (Treba podsetiti da se zadato vreme, 9 h, odnosi na pravo sunčevo vreme.)

44

Nauka i zabava

Kada je u sličnim zadacima zadato srednjoevropsko vreme (TSE), što je češći slučaj, prvo treba da se prevede u pravo sunčevo vreme (TP), a onda da se pravo sunčevo vreme pretvori u časovni ugao sunca (t). Da bi to moglo da se izvede potrebno je, osim datuma, geografske širine i tačnog vremena, znati i geografsku dužinu mesta. Ako ostanu datum, geografska širina i tačno vreme iz prethodnog zadatka (21. jun 2020. godine, ϕ = 44°, 9 h) (sl. 43), a ako se doda geografska dužina λ = =21°, precizira „9 h srednjoevropskog vremena”, i iz astronomskih efemerida za 2020. godinu preuzme vrednost vremenskog izjednačenja (e = –1 min 48 s), postupak bi bio sledeći:

str. 39), najčešće se vrši korekcija kojom se eliminiše razlika lokalnih vremena: t’ = t – (λ0 – λ).

(14)

Prilikom računanja uglova senki na sunčanim časovnicima, na primer za središnju tačku Srbije (ϕ = 44°, λ = 21°), za 13 h, časovni ugao sunc bio bi t = 15°, za 14 h, t = 30° i tako redom, dok bi korigovani časovni ugao za 13 h iznosio t’= 15° – (15 – 21)° = 21°, za 14 h bilo bi ne 30° nego t’= 36°, i tako redom. S ovako izvršenom korekcijom časovnog ugla sunčani časovnici ne pokazuju tačno srednjoevropsko vreme ali se njihova tačnost svodi na vrednost vremenskog izjednačenja (sl. 26, str. 30), to jest, u granice od –14 do + 16,5 min.

TSE = TP – e + (λ0 – λ)°· 4 min, odakle je, TP = TSE + e – (λ0 – λ)°· 4 min = = 9 h + (–1 min 48 s) – (15 – 21) · 4 min = = 9 h 22 min 12 s, a zatim, t = (12 + TP) h · 15° = = (12 + 9,37) · 15° = 320,55°. To je ugao koji treba naneti na projekciju zadate prividne putanje sunca od tačke gornje kulminacije sunca (tačka B na sl. 43) u pravcu kretanja kazaljke na časovniku, ili njegovu nadopunu do 360°, u suprotnom pravcu (u razmatranom slučaju, ugao 39,45°). Navedeno preračunavanje je vrlo bitno za gnomoniku jer se pri konstrukciji sunčanih časovnika nastoji da senka pokazuje vreme što bliže odgovarajućem zonalnom vremenu. Da se ne bi unosile korekcije za svaki dan i komplikovale skale sunčanih časovnika (vidi sl. 37,

Senka gnomona reprodukuje prividno kretanje sunca nebeskom sferom i svakom položaju sunca na nebeskoj sferi odgovara određeni položaj kraja senke gnomona na ravni korizonta. Odnosno, određenim horizontskim koordinatama sunca (A, h) odgovaraju određene polarne koordinate kraja senke gnomona: polarni ugao (α) koji se meri kao i geografski azimut, i polarna udaljenost (ρ) (sl. 43). Kada su pomoću analeme određene horizontske koordinate, lako je potom odrediti i polarne koordinate kraja senke gnomona visine (v): jednostavno se izmere, polarni ugao, uglomerom, a polarna udaljenost, lenjirom (duž Z1D na slici 43). Oboje se mogu tačno izračunati: polarni ugao je jednak astronomskom azimutu sunca (α = A), dok je polarna udaljenost (dužina senke), ρ = v·ctg h.

45

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Ako se, na primer, tokom letnjeg solsticija svakog punog časa pravog sunčevog vremena na horizontalnoj podlozi beleže položaji kraja senke gnomona postavljenog u tački O (sl. 44) a onda se te tačke spoje, dobija se projekcija putanja kraja senke najdužeg dana u godini (na slici, crvena tačkasta linija). Ponovi li se isti postupak zimskog solsticija, dobija se putanja kraja senke najkraćeg dana u godini (na slici, zelena tačkasta linija).

Slika 43. Koordinate kraja senke gnomona OL

Bitno je ponoviti da se u isti čas pravog sunčevog vremena, senke gnomona pružaju u različitim pravcima što potvrđuje na početku iznesenu tvrdnju da sunčani časovnik ne može da se napravi na taj način (sl. 4 str. 8).

Slika 44. Putanje kraja senke gnomona svakog 21. dana u mesecu na ϕ = 44°

46

Nauka i zabava

Putanje krajeva senki gnomona letnjeg i zimskog solsticija zatvaraju „radno polje” unutar koga su smeštene putanje krajeva senki svih ostalih dana u godini. Sve se putanje mogu konstruisati na osnovu izračunatih polarnih koordinata kraja senke gnomona u jednočasovnom razmaku, po poznatim formulama: (α = A, ρ = v·ctg h) (sl. 43).

utanja sunca samo se ekvinocijska putanja (nebeski ekvator) u gnomonskoj projekciji projektuje kao prava linija. Kao prave linije takođe se projektuju i deklinacione polukružnice. Posmatrane kao skup tačaka istih časovnih uglova, projektovane na ravan horizonta one se pretvaraju u pramen časovnih linija sunčanog časovnika (sl. 47, 48).

Putanje krajeva senki su centralne projekcije prvidnih putanja sunca preko nodusa gnomona pa otuda naziv, gnomonska projekcija. Spojnica centra sunčevog diska i vrha gnomona u toku jednog dana opiše omotač svetlosnog konusa čija je osnovica odgovarajuća nebeska paralela (sl. 45). Preko vrha gnomona (O) taj se konus nastavlja podudarnim konusom senke koga preseca horizontalna ravan π na kojoj je učvršćen gnomon. Koji će od konusnih preseka (hiperbola, parabola, elipsa) nastati zavisi od ugla koji presečna ravan zaklapa sa osom konusa i ugla α koji izvodnica konusa zaklapa sa osom konusa. Ako je taj ugao, na primer, manji od α onda je presek hiperbola (Tadić, 2004, str. 30-31). S obzirom na to da ravan π sa osom konusa zaklapa ugao O1FO = ϕ, i da izvodnica s njom zaklapa ugao α = 90° – δ (sl. 45), uslov za hiperbolu je: ϕ < 90°– δ. To znači da se prividne putanje sunca prikazuju kao hiperbole na ravnima svih horizonata u umerenim svetlosno-toplotnim pojasevima, pa prema tome i na horizontima svih mesta u našoj zemlji. Bitno svojstvo gnomonske projekcije koje je izdvaja od svih otalih projekcija, jeste to što se sve velike kružnice projektuju na ravni kao ravne linije. U skladu s tim, od svih prividnih

Slika 45. Sa izuzetkom ekvinocijskih putanja, na geografskim širinama Srbije sve prividne putanje sunca se u gnomonskoj projekciji prikazuju kao hiperbole

47

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 46. Skala horizontalnog sunčanog časovnika za pravo sunčevo vreme (ϕ = 44°): senka gnomona (OT) svojim krajem pokazuje 14:30 h.

Slika 47. Stoni horizontalni sunčani časovnik sa gnomonom, konstruisan za Beograd (ϕ = 44° 49’,

λ = 20° 28’): kraj senke gnomona pokazuje 13 h

Na tako konstruisanoj mreži dnevnih i časovnih linija horizontalnog sunčanog časovnika, (sl. 46, 47) gnomon učvršćen u tački O baca senku prema čijem se, ne pravcu, nego kraju (T) očitavaju dnevni časovi. Napomenuto je „ne pravcu” budući da savremni posmatrač, navikao da očitavanje prema pravcu kazaljke mehaničkog časovnika, po inerciji gleda šta pokazuje pravac senke. Na istoj skali horizontalnog sunčanog časovnika, vreme se može očitavati i prema pravcu senke, ali ne gnomona, nego polosa čiji se nodus poklapa sa nodusom gnomona (sl. 48). Polos leži u ravni meridijana i sa ravni horizonta zaklapa ugao jednak geografskoj širini mesta. S obzirom da polos polazi iz projekcije nebeskog pola, njegova senka ne preseca časovne linije kao što je slučaj sa senkom gnomona (sl. 49).

30 min. 48

Nauka i zabava

Slika 48. Skala savremenog horizontalnog sunčanog časovnika za pravo sunčevo vreme (ϕ = 44°): senka polosa (O1T) svojim pravcem pokazuje 14:30 h.

jeći u tački O, u ulozi gnomona, merilac očitava vreme gledajući gde pada kraj njegove senke. To ne može da se uoči na prvi pogled na mreži dnevnih i časovnih linija, posebno pri malim visinama sunca kada su senke duge a njihovi krajevi rasplinuti. Lakše bi se snalazio kada bi očitavanje vršio samo prema pravcu senke, ali za to bi morao da stane u tačku O1 i da se telo nakosi u ravni meridijana pod uglom jednakim geografskoj širini mesta, što je praktično neizvodljivo. Slika 49. Stoni sunčani časovnik konstruisan za manastir Hilandar (ϕ = 40° 20’, λ = 24° 07’), na kome ulogu polosa ima hiptenuza trougaonog bacača senke. (Senka hipotenuze/polosa pokazuje 12 h istočnoevropskog vremena.)

Pretpostavimo da je mreža horizontalnog sunčanog časovnika na slici 49 izračunata prema visini određenog čoveka/merioca. Sto-

Najbolje bi bilo kada bi merilac mogao normalno da stoji i da dnevne časove očitava prema pravcu sopstvene senke. To je moguće, ali ne na horizontalnom sunčanom časovniku čija je skala konstruisana u gnomonskoj projekciji, nego na posebnoj vrsti horizontalnog sunčanog časovnika, analematskom sunčanom časovniku.

49

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Radi boljeg razumevanja predstojećeg analematskog preslikavanja sunčevih prividnih putanja na ravan horizonta, korisno je ponoviti osnovna svojstva analematske projekcije. U ovoj projekciji preslikavanje se vrši paralelnim

zracima na ravan koja dodiruje nebesku sferu u tački koja se naziva konstrukcioni pol (centar projekcije). U zavisnosti od položaja kostrukcionog pola, analematske projekcije se dele na kose, poprečne i normalne (sl. 50).

Slika 50. Nebeska sfera u tri oblika analematske projekcije: a) kosa; b) poprečna; c) normalna.

Kod kosih projekcija (sl. 50a), konstrukcioni pol se nalazi između horizonta i zenita, a almukantarati i vertikali se prikazuju kao elipse. Kod poprečnih projekcija (sl. 50b) konstrukcioni pol se nalazi na horizontu, središnji vertikal i horizont se prikazuju kao međusobno normalni prečnici osnovnog kruga, projekcije vertikala su elipse, a almukantarata, tetive paralelne projekciji horizonta. U normalnoj projekciji (sl. 50c) konstrukcioni

pol je u zenitu, osnovna kružnica je horizont, almukantarati su koncentrične kružnice čiji se razmak naglo smanjuje idući ka obodu projekcije, dok su vertikali prave linije koja se radijalno razilaze iz centra projekcije pod istim azimutima koje zaklapaju na nebeskoj sferi. Neizmenjene uglove zaklapaju i sve velike kružnice koje prolaze kroz konstrukcioni pol u svim oblicima analematske projekcije.

50

Nauka i zabava

Na slici 51 prikazano je analematsko projektovanje nebeskog ekvatora, kao prividne ekvinocijske putanje sunca, na ravan horizonta ϕ = 44°. Prvo su na već opisani način (vidi str. 44) na poprečnoj projekciji nebeskog ekvatora označeni jednočasovni položaji sunca, a potom je ekvator sa svim tim tačkama projektovan na ravan horizonta. Tako je dobijena normalna projekcija nebeskog ekvatora – elipsa čiji se centar nalazi u centru nebeske sfere, a mala osa u podnevačkoj liniji. Vertikali koji prolaze kroz pomenute istočasovne podeljke na nebeskom ekvatoru, preslikavaju se kao pramen pravih linija koje se radijalno razilaze iz centra projekcije (O). Budući da je u analematskoj projekciji sačuvana vernost uglova između velikih kružnica koje prolaze kroz konstrukcioni pol, projekcije vertikala zaklapaju sa južnim krakom podnevačke linije (OS) iste uglove kao i na nebeskoj sferi, to jest, uglove koji su jednaki odgovarajućim azimutima sunca za ekvinocija, u okrugle časove. Iste uglove sa severnim krakom podnevačke linije (ON) zaklapale bi i senke gnomona postavljenog u centru projekcije: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ

(Vidi formule 16 i 17, str. 55.)

Slika 51. Normalna analematska projekcija nebeskog ekvatora kao ekvinocijske putanje sunca, na ravan horizonta ϕ = 44°

51

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 52. Normalna analematska projekcija severnog (a) i južnog nebeskog povratnika (b), kao solsticijskih prividnih putanja sunca, na ravan horizonta ϕ = 44°

Na isti način se na ravan horizonta analematski projektuju nebeski povratnici, kao solsticijske putanje sunca (sl. 52). U oba slučaja, sunčeve putanje se projektuju kao elipse čiji su centri u odnosu na centar nebeske sfere pomereni duž podnevačke linije – centar letnje solsticijske putanje ka severnoj (sl. 52a), a centar zimske, ka južnoj tački (sl. 52b). U oba slučaja uglovi koje časovne linije zaklapaju sa podnevačkom

linijom ostaju jednaki odgovarajućim azimutima sunca. Ukoliko se ekvinocijska elipsa zarotira za 180° i u njen centar O postavi gnomon, pravac senke će pokazivati tačno vreme kratak period oko ekvinocija (sl. 53a). Kratak period oko letnjeg solsticija, tačno vreme pokazivaće i pravac senke

52

Nauka i zabava

Slika 53. Ekvinocijske i solsticijske časovne skale, zasebno (a, b, c) i preklopljene tako da časovne linije solsticijskih skala završavaju na istoznačnim podeljcima ekvinocijske elipse (d, e, f). Bitno je uočiti da je OO1 ≠ OQ1, kao i da je OO1 ≠ OQ2.

gnomona postavljenog u centar projekcije O1 severnog povratnika (sl. 53b), a oko zimskog solsticija, pravac senke gnomona postavljenog u centar O2 projekcije južnog nebeskog

povratnika (sl. 53c). Tri zasebna sunčana časovnika, od kojih svaki pokazuje približno tačno vreme samo par dana pre i posle početaka godišnjih doba, i nije neki uspeh.

53

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Ništa se ne dobija ni centralnim preklapanjem solsticijskih elipsi sa časovnim skalama preko ekvinocijske elipse kao osnove, opet su to tri redukovana sunčana časovnika. Međutim, ako se nakon centralnog preklapanja tih elipsi, časovna skala letnjeg solsticija pomeri duž podnevačke linije tako da joj pol dođe u tačku Q1 (sl. 53d), a zimska časovna skala tako da joj

pol dođe u tačku Q2 (sl. 53e), sve istoznačne časovne linije će se presecati u istim tačkama na ekvinocijskoj elipsi (sl. 53f). To znači da će senke gnomona postavljenih u tačkama Q2, O i Q1, u isti dnevni čas pravog sunčevog vremena biti usmerene ka istoj cifri na ekvinocijskom brojčaniku. Časovne linije na takvoj skali su suvišne (besmislene).

Slika 54. Osnova časovne skale (a) i kompletna skala (b) analematskog sunčanog časovnika, za pravo sunčevo vreme na ϕ = 44°

Zimskog solsticija, dakle, gnomon treba da je postavljen u tački Q2, letnjeg solsticija u tački Q1, a za ekvinocija, u tački O (sl. 54a). U dane između tih datuma gnomon treba da se postavi između solsticijskih položaja, u podeljke određene pomoću analeme na već opisani način, s tim da se na početku konstruišu poprečne projekcije odgovarajućih prividnih putanja sunca. Ako se to izvede pomoću Vitruvijeve mesečne kružnice (vidi str. 42), dobijaju se podeljci za svaki 21. dan u mesecu (pri ulasku sunca u znakove zodijaka, redom), i time bi bila završena konstrukcija časovne skale analematskog sunčanog časovnika (sl. 54b).

Skala analematskog časovnika je, dakle, dvodelna. Čine je analematska elipsa sa brojčanikom, i datumska skala sa mesečnim podeljcima. Simetrala datumske skale leži u maloj osi osnovne elipse, koja se nalazi u podnevačkoj liniji. Sunčani časovnik je kompletiran kada se na odgovarajući podeljak mesečne skale postavi gnomon. Kada se radi o malim analematskim časovnicima to je gnomon u doslovnom smislu te reči, a kod dovoljno velikih analematskih sunčanika ulogu gnomona može preuzeti sam merilac. Upravo takvi časovnici, sa meriocem kao neophodnim „dopunskim delom”, glavna tema su ove knjige.

54

Nauka i zabava

Nakon dugog približavanja kroz prethodna poglavlja, stekli su se uslovi za izračunavanje svih elemenata analematskog časovnika za tačku T (ϕ, λ): 1) dimenzija analematske elipse; 2) položaja časovnih podeljaka na analematskoj elipsi; 3) udaljenosti mesečnih podeljaka na datumskoj skali.

Osim velike i male poluose (a, b), za konstrukciju elipse treba znati i linearni eksentricitet (sl. 2),

Analematska elipsa, kao što je poznato, jeste analematska projekcija nebeskog ekvatora, kao prividne ekvinocijske putanje sunca, na ravan horizonta. Velika osa elipse poklapa se sa prečnikom nebeske sfere EW koji predstavlja presek ravni nebeskog ekvatora i horizonta (sl. 55), pa je velika poluosa elipse, a = r.

Položaji časovnih podeljaka na analematskoj elipsi u odnosu na centar elipse kao koordinatni početak, mogu da se odrede polarnim (ρ, α) ili pravouglim koordinatama (x, y) (sl. 56).

𝑒 = √𝑎 − 𝑏 . Analematska elipsa postaje brojčanik kada se na njoj označe časovni podeljci .

Polarni ugao α, kao što je poznato, jednak je astronomskom azimutu sunca A, s tim da se iz praktičnih razloga meri od severne tačke male poluose elipse, od 0 do 180° u smeru kretanja kazaljke na časovniku, i od 0 do –180° u suprotnom smeru.

Slika 55. Analematska elipsa je normalna analematska projekcija nebeskog ekvatora

Kada se u formule (2) i (3) uvrsti jednakost δ = 0°, dobijaju se formule za izračunavanje visine sunca (h) i astronomskog azimuta (A) za ekvinocija,

Mala poluosa elipse može da se odredi iz pravouglog trougla OQA, 𝑏 = 𝑟 ∙ cos(90° − 𝜑) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑.

(15) 55

𝑠𝑖𝑛ℎ = 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ

(16) (17)

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 56. Elementi analematske elipse

Azimut (A), odnosno polarni ugao (α = A), izračunati po prethodnim formulama, odnosi se na pravo sunčevo vreme tako da bi senka na analematskom (sl. 57a), i na svakom drugom sunčanom časovniku, pokazivala vreme različito od vremena koje pokazuju ručni časovnici i mobilni telefoni. Razlika ΔΤ može da se odredi za svaki dan pomoću poznate formule (10) za pravo sunčevo vreme, TP = TSE + [e – (15 – λ)°· 4 min], ΔΤ = e – (15 – λ)°· 4 min. Kada se, na primer, za središnju tačku Srbije (ϕ = 44°, λ = 21°) uvrste ekstremne vrednosti vremenskog izjednačenja (–14 min 12 s, +16 min 27s) proizilazi da bi analematski časovnik uvek brzao u rasponu od 10 min 12 s do 30 min 27 s. Ta se razlika može svesti u granice

promene vremenskog izjednačenja tako što se u formule za izračunavanje horizontskih koordinata sunca, umesto vrednosti pravog sunčevog vremena t (t = 15°, t = 30°, t = 45° itd.) unose vrednosti korigovane za razliku lokalnih vremena, t’= t – (15 – λ)°· 4 min. S obzirom na to da se sva mesta u Srbiji (BiH, Crnoj Gori i Makedoniji), takođe) nalaze istočno od srednjeg meridijana (λ0 = 15°), u svakom od njih lokalno podne nastupa ranije nego na srednjem meridijanu, pa sunčani časovnici uvek „brzaju”. Izračunavanjem azimuta sunca na osnovu korigovane vrednosti časovnog ugla t’, časovne oznake na analematskoj elipsi se pomiču u smeru kratanja senke (sl. 58b), čime je senci dato dodatno vreme da „potroši” prednjačenje [(15 – λ)°· 4 min].

56

Nauka i zabava

Slika 57. Simetrični brojčanik analematskog časovnika T (ϕ = 44°, λ = 21°) izračunat na osnovu pravog (a) i brojčanik izračunat na osnovu korigovanog časovnog ugla (b)

U nastavku su date vrednosti astronomskog azimuta sunca (A), to jest, polarnog ugla senke (α = A), za ekvinocije (pri δ = 0°) u okrugle časove, za središnju tačku Republike Srbije

T (ϕ = 44°, λ = 21°), izračunate prema pravom (t) i korigovanom (t’) časovnom uglu sunca (tab. 1).

Tabela 1. Uglovi senke (α) svakog punog časa u tački T (ϕ = 44°, λ = 21°), izračunati na osnovu pravog (t) i korigovanog časovnog ugla (t’) CET (h) t° h° (α = Α)° −90.0 6 −90.0 0.0 −79.5 7 −75.0 10.7 −68.1 8 −60.0 21.1 −45.0 30.6 −55.2 9 −30.0 38.5 −39.7 10 −15.0 44.0 −21.1 11 0.0 46.0 0.0 12 15.0 44.0 21.1 1 30.0 38.5 39.7 2 45.0 30.6 55.2 3 60.0 21.1 68.1 4 75.0 10.7 79.5 5 90.0 0.0 90.0 6

CET (h) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Druga polarna koordinata (ρ) može se izračunati iz polarne jednačine elipse (sl. 59), 𝜌=

𝑏 1 − (𝜀 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼)

t’° h° (α = A)° −84.0 4.3 −85.8 −69.0 14.9 −75.1 −54.0 25.0 −63.2 −39.0 34.0 −49.4 −24.0 41.1 −32.7 −9.0 45.3 −12.8 6.0 45.7 8.6 21.0 42.2 28.9 36.0 35.6 46.3 51.0 26.9 60.6 66.0 17.0 72.8 81.0 6.5 83.7 96.0 −4.3 85.8

u kojoj je ε numerički eksentricitet, 𝜀=

(18)

a polarni ugao, α = A. 57

𝑒 𝑎

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Pravougle koordinate se mogu izračunati i na osnovu prethodno izračunatih polarnih koordinata, 𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼,

𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 .

Na osnovu pravouglih koordinata tačke T1 na elipsi (sl. 59), može da se odredi njena udaljenost od severne tačke elipse C, 𝑑=

𝑥 − (𝑦 − 𝑏) .

(21)

To je, u stvari, dužina kontrolne tetive CT1 koja omogućava da se pri izradi analematskog brojčanika proveri da li je tačno nanesena tačka T1.

Slika 58. Polarne i pravougle koordinate tačke T1 na analematskoj elipsi

Pravougla koordinata x može se izračunati iz pravouglog trougla OT2T (sl. 58), x = r · sint = a · sint.

(19)

a koordinata y iz jednačini elipse, 𝑦 = ± √𝑎 − 𝑥 , nakon što se izvrši zamena, 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑦=

√𝑎 − 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡 = =

𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑎 (1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑡), 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡.

(20)

U prethodnom poglavlju (sl. 53), položaji solsticijskih stajnih tačaka na datumskoj skali određeni su „peške”, eksperimentalnim pomicanjem pramena solsticijskih časovnih skala duž podnevačke linije. Ti pomaci, naravno, mogu da se odrede i geometrijski i analitički, što najjasnije može da se objasni posredstvom džepnog samoorijentirajućeg armilarnog sunčanog časovnika koji je prethodio analematskom sunčanom časovniku (Тадић, 2020б). Samoorijentirajući armilarni sunčani časovnik predstavlja mini verziju redukovane armilarne sfere koja se sastoji od dva mesingana prstena, meridijanskog i ekvatorskog, i tzv. „mosta” koji se obrće oko „nebeske ose” sunčanog časovnika (sl. 59a). Na mostu je gravirana skala preko koje se pomera klizač sa nodusom (K). Kada se sunčani časovnik podesi za određenu geografsku širinu i pusti da slobodno

58

Nauka i zabava

visi, i kada se klizač dovede na konkretan podeljak datumske skale, kroz nodus prolazi uski snop sunčevih zraka i na časovnoj skali ekva-

torskog prstena stvara „sunašce” (A1) prema kome se očitava odgovarajući dnevni čas.

Slika 59. Princip rada samoorijentirajućeg armilarnog sunčanog časovnika (univerzalnog ekvinocijskog prstenastog sunčanog časovnika)

Princip rada samoorijentirajućeg armilarnog sunčanog časovnika prikazan je na slici 59b u poprečnoj analematskoj projekciji, s tim da je prethodno uvećan do razmera sunčanog časovnika: prečnik SN je projekcija horizonta, AΑ1 projekcija nebeskog ekvatora, a CC1 projekcija sunčeve prividne putanje pri deklinaciji sunca δ. Da bi sunčani časovnik bio univerzalni, neophodno je da „sunašce” uvek pada na časovnu skalu ekvatorskog prstena, a to će se dešavati ako nodus u trenutku merenja bude najviša tačka zamišljenog polosa OK. Iz pravouglog trougla A1OK,

Ako se zamisli gnomon s nodusom u tački K (sl. 61), onda će i polos i gnomon istovremeno bacati senke koje se sastaju na ekvatoru u tački A1. Senke će sastajati i na analematskoj projekciji ekvatora na ravni horizonta, to jest,u istoj tački analematske elipse sunčanog časovnika. To znači da na analematskom časovniku, gnomon OQ iz centra analematske elipse treba samo pomeriti po podnevačkoj liniji u tačku L i tada će njegova senke svojim pravcem određenog dana (pri određenoj vrednosti deklinacije sunca) tačno pokazivati dnevne časove. Pri tome gnomon može da bude bilo koje visine: s promenom visine gnomona menjaće se dužina senke ali ne i njen pravac.

𝑂𝐾 = 𝑟 ∙ 𝑡𝑔𝛿 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔𝛿 .

59

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

3) veličina duži OL jeste udaljenost q odgovarajućeg podeljka od centra anale-matske elipse, odnosno, od ekvinocijskog podeljka datumske skale analematskog ča-sovnika. Udaljenost q je lakše izračunati iz pravouglog trougla OLK, 𝑞 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝐾 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 , a iz pravouglog trougla A1OK, 𝑂𝐾 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔𝛿 , što znači da je, 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛿 . Slika 60. Princip određivanja veličine pomaka OL gnomona na datumskoj skali analematskog časovnika

Prethodnim razmatranjem stvoreni su preduslovi za grafičko/analematsko određivanje veličine pomaka gnomona na datumskoj skali analematskog časovnika (sl. 60): 1) nakon što se ucrta poprečna projekcija C1C prividne putanje sunca određenog dana, pri određenoj vrednosti deklinacije sunca (δ), paralelno s poluprečnikom OC1 povuče se prava koja pada u tačku A1 (najjužniju tačku projekcije nebeskog ekvatora); 2) iz tačke K, u kojoj ta prava preseca nebesku osu, spusti se normala na projekciju horizonta, u tačku L;

(22)

Po formuli (22) se izračunavaju udaljenosti podeljaka na datumskoj skali. Radi preglednosti, obično se ucrtavaju podeljci u jednomesečnom razmaku koji mogu da se odnose na kalendarske mesece ili na dvanaestine godine (znake zodijaka) koje počinju svakog 21. dana u kalendarskim mesecima (sl. 61). Datumske skale su najčešće u obliku „školice” (sl. 61a) sa mesečnim poljima u dva paralelna reda, a postoje i skale u obliku analematskih „osmica” sa označenim mesečnim lukovima (sl. 61b). Datumska skala u obliku analeme lepše izgleda ali neretko merioca dovodi u zabludu tako što ga vizuelno usmerava na pogrešnu stajnu tačku, a stane li na pogrešno mesto, pogrešno će očitati i vreme.

60

Nauka i zabava

Slika 61. Oblici datumske skale: a) „školica”; b) analematska „osmica”.

Datumska skala u obliku analeme može da se dobije preoblikovanjem već konstruisane „školice” kao što je to pokazano na slici 62 (Příhoda, 1983, str. 103), za tačku analeme u Šapcu (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’) koja odgovara 1. novembru, datumu kome u „školici” pripada poprečna crta koja prolazi kroz tačku A (sl. 62a). Nakon što se izračunaju horizontske koordinate sunca 1. novembra u srednje sunčevo podne (t = e = 16 min 26 s, h = 30° 38’, A = 3°23’), kroz tačku A se povuče prava koja sa podnevačkom linijom zaklapa ugao α = A. Ta prava preseca analematsku kružnicu u tački B. Kroz tačku N se zatim povuče paralela sa AB: tamo gde ona preseče liniju „školice” za 1. novembar, obeleži se odgovarajuća tačka analeme, A1. Nakon što se postupak ponovi za sve obeležene datume „školice” i zatim spoje opisani preseci, formira se analema datumske skale (sl. 62b) koja lepo izgleda ali nema praktičnog značaja.

u severnu tačku analematske elipse (u podeljak brojčanika za 12 h), a nije tako.

Ideja je jasna, da se „preokrene” princip gnomonske analeme i da se umesto kraja senke fiksnog gnomona po krivoj analeme tokom godine pomera sam merilac. To bi bilo adekvatno kada bi pri tome kraj senke uvek padao

Slika 62. Konstrukcija analeme za datumsku skalu analematskog sunčanog časovnika (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’, a = 200 cm) (tab. 4). Stranice kvadrata mreže na slici „b” jednake su 10 cm.

61

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Jedino što se postiže jeste korekcija pravca senke: da se senka pri pozitivnoj vrednosti vremenskog izjednačenja pomakne nazad a pri negativnoj napred, s tim da to teoretski ima smisla samo ako se izdvojeno posmatra podeljak za 12 h. U praksi to ništa ne znači: u letnjoj polovini godine, na skali analematskog časovnika koja je po formuli (14) korigovana za razliku lokalnih vremena teoretska tačnost očitavanja je od –7 do +7 min, i ona se ne može ni blizu postići dugačkom i širokom meriočevom senkom, niti promenom stajne tačke na letnjoj petlji analeme koja je uža od njegove stope. Analema, dakle, ima smisla samo na standardnim sunčanim časovnicima čije skale predstavljaju gnomonske projekcije odgovarajućih polulukova deklinacionih kružnica i nebeskih paralela (najčešće, ekvatora i povratnika). Njena uloga je da omogući direktno očitavanje zonalnog (kod nas CET vremena). To se očitavanje vrši isključivo prema kraju senke gnomona ili polosa, odnosno prema položaju „sunašca” koje stvara uski snop sunčevih zraka propušten kroz posebno oblikovan nodus (vidi sl. 35, str. 38).

Isto tako treba da stane i merilac na skali u obliku analematske osmice, a ne na odgovarajući mesečni luk osmice kako to neki pograšno rade misleći da će im tada senka pokazati odgovarajuće zonalno vreme (sl. 63).

Slika 63. Stope merioca pri određivanju dnevnog časa sredinom oktobra: pravilan položaj na „školici” (a); nepravilan (b) i pravilan (c) položaj na analemaskoj osmici

Zaključno sa datumskom skalom, opisani su i objašnjenji svi elementi analematskog časovnika, što je u nastavku sumirano pregledom svih formula (tab. 2) i odgovarajućim primerom (tab. 3 i 4, sl. 64-65).

Za razliku od gnomonske analeme, analema na analematskom časovniku („analematska analema”) nema tu funkciju. Ako postoji, onda treba da se posmatra samo kao sofisticirani oblik „školice” koji, kompletno urađen (vidi sl. 77, str. 74) meriocu pruža informaciju i o vremenskom izjednačenju. Prilikom određivanja dnevnog časa na časovniku sa „školicom”, merilac treba da stane tako da mu je podnevačka linija (mala osa analematske elipse) između stopa, a stope, naravno, na odgovarajućem mesečnom polju. 62

Nauka i zabava

Tabela 2. Elementi analematskog časovnika sa formulama za izračunavanje Elementi analematskog časovnika Analematska Velika poluosa (a) elipsa Mala poluosa (b)

Formule a b = a ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑

Linearni ekscentricitet Časovna skala

𝑒=

Polarne koordinate časovnog podeljka: polarni ugao (α)

α=A 𝜌=

polarna udaljenost (ρ) Pravougle koordinate časovnog podljka: abscisa (x) ordinata (y) Udaljenost tačke T (x, y) od severne tače elipse T (0, b) Udaljenost podeljka od velike poluose analematske elipse

Datumska skala

𝑎 −𝑏

𝑏 1 − (𝜀 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼)

Horizontske koordinate sunca (h, A) za ekvinocija: 𝑠𝑖𝑛ℎ = 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑜𝑠ℎ Numerički ekscentricitet: ε = e/a

x = a · sint 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑=

𝑥 − (𝑦 − 𝑏)

𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛿

Po formulama iz tabele 2, kao primer, izračunati su svi elementi za analematski časovnik OŠ časovnik OŠ „Laza Lazarević” u Šapcu (tab. 3 i 4). Tabela 3. Elemeti analematskog časovnika (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’, a = 200 cm) A°

x (cm)

y (cm)

ρ (cm)

α = A°

d (cm)

−100,32

−97,30

−196,8

−25,2

198,4

−97,30

257,4

Jun

21

23,44

61,6

−92,82

−91,98

−199,8

−6,9

199,9

−91,98

248,4

Jul

1

23,09

60,5

3,32

−86,70

−199,3

11,5

199,7

−86,70

151,7

Avgust

1

17,95

46,0

−70,32

13,84

−75,86

−188,3

47,4

194,2

−75,86

163,5

Septembar

1

8,19

20,4

−55,32

23,84

−64,03

−164,5

80,1

182,9

−64,03

152,9

21

0,00

0,0

CET

t°

t'°

5

−105

5,5

−97,5

6

−90

−85,32

7

−75

8

−60

h°

Mjesec

Dan

δ° (2020)

q (cm)

9

−45

−40,32

32,79

−50,32

−129,4

107,4

168,1

−50,32

125,0

Oktobar

1

−3,28

−8,1

10

−30

−25,32

39,94

−33,90

−85,5

127,3

153,3

−33,90

84,4

Novembar

1

−14,50

−36,7

11

−15

−10,32

44,32

−14,50

−35,8

138,5

143,1

−14,50

35,7

Decembar

12

0

4,68

45,06

6,64

16,3

140,3

141,3

6,64

16,3

13

15

19,68

41,97

26,94

67,4

132,6

148,7

26,94

66,9

Januar

14

30

34,68

35,73

44,51

113,8

115,8

162,4

44,51

111,0

15

45

49,68

27,35

59,15

152,5

91,1

177,6

59,15

144,2

16

60

64,68

17,68

71,58

180,8

60,2

190,6

71,58

161,8

17

75

79,68

7,31

82,70

196,8

25,2

198,4

82,70

159,2

1

−21,83

−56,9

21

−23,44

−61,6

1

−23,06

−60,5

Februar

1

−17,31

−44,3

Mart

1

−7,49

−18,7

21

0,00

0,0

1

4,64

11,5

April

18

90

94,68

93,30

199,3

−11,5

199,7

93,30

250,9

Maj

1

15,15

38,5

19

105

109,68

104,14

188,3

−47,4

194,2

104,14

266,3

Jun

1

22,09

57,6

19,5

120

124,68

115,97

164,5

−80,1

182,9

115,97

275,4

Jun

21

23,44

61,6

63

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 64. Nacrt analematskog časovnika (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’, a = 200 cm, b = 140,8 cm)

Tabela 4. Elemeti analeme kao podnevne „osmice” (ϕ = 44° 45’, λ = 19° 41’) Dan

δ° (2020)

Jun

21

23,44

Jul

1

Avgust Septembar

Mesec

e (h) (2020)

Gnomonska (v = 1)

Analematska (a = 1)

t°

h°

A°

−0,03

4,23

68,41

23,09

−0,06

3,71

68,13

1

17,95

−0,11

3,10

63,07

4,86

4,86

0,51

4,86

0,45

1

8,19

0,00

4,68

53,21

5,56

5,56

0,75

5,56

0,60

α=Α

ρ

α=Α

ρ

8,19

8,19

0,40

8,19

0,37

7,09

7,09

0,40

7,09

0,37

21

0,00

0,12

6,42

44,89

6,43

6,43

1,00

6,43

0,71

Oktobar

1

−3,28

0,17

7,27

41,53

6,89

6,89

1,13

6,89

0,75

Novembar

1

−14,50

0,27

8,79

30,21

7,22

7,22

1,72

7,22

0,86

Decembar

1

−21,83

0,18

7,43

23,07

5,73

5,73

2,35

5,73

0,92

21

−23,44

0,03

5,17

21,65

3,95

3,95

2,52

3,95

0,93

Januar

1

−23,06

−0,05

3,91

22,10

3,00

3,00

2,46

3,00

0,93

Februar

1

−17,31

−0,22

1,33

27,93

1,07

1,07

1,89

1,07

0,88

Mart

1

−7,49

−0,21

1,60

37,74

1,44

1,44

1,29

1,44

0,79

21

0,00

−0,12

2,89

45,18

2,91

2,91

0,99

2,91

0,70

April

1

4,64

−0,06

3,71

49,76

4,08

4,08

0,85

4,08

0,65

Maj

1

15,15

0,05

5,40

60,05

7,70

7,70

0,58

7,70

0,50

Jun

1

22,09

0,04

5,22

66,93

9,49

9,49

0,43

9,49

0,39

Napomena: Prema podacima iz tabele 4 konstruisana je analema prikazana na slikama 31–34 (str. 37-38) i gnomonska analema prikazana na slici 35 (str. 39), a prema nacrtu (sl. 64), urađen je 2011. godine analematski časovnik čije se fotografije nalaze u narednom poglavlju. 64

Nauka i zabava

Nakon teoretske pripreme, stekli su se uslovi za gradnju analematskog časovnika, pri čemu se podrazumeva časovnik na kojoj je merilac u ulozi gnomona. Merilac se tako na analematskom časovnika vraća izvornoj ulozi jer je gnomonika i počela upravo merenjem sopstvene senke (doduše ne pravca nego dužine senke, ali to je u principu isto). U postupku izrade analematskog časovnika razlikuje se nekoliko koraka: 1. 2. 3. 4.

izbor mesta za postavljanje časovnika, određivanje geografskih koordinata, određivanje podnevačke linije, određivanje dimenzija analematske elipse, 5. konstrukcija analematske elipse, 6. raspored časovnih podeljaka, 7. izrada datumske skale, 8. izbor dopunskih sadržaja, 9. likovno oblikovanje, 10. demonstracija rada.

Analematski časovnik se postavlja na otvorenom i frekfentnom mestu, na horizontalnoj i stabilnoj podlozi (sl. 65). Na otvorenom mestu, to znači na mestu koje je

osunčano veći deo dana. Da li mesto zaklanjaju okolne zgrade ili krošnje drveća može da se proceni na osnovu odgovarajućih ortofotografija koje su za mesta u Srbiji dostupne na Geoportalu Nacionalne infrastrukture geoprostornih podataka Srbije, https://a3.geosrbija.rs/, kao i na nacionalnim geoportalima za sva mesta na prostoru bivše SFRJ. Pravi uvid stiče se tek uvidom na licu mesta, najbolje oko podneva određenog sunčanog dana. Stojeći na mestu planiranog sunčanog časovnika, gnomonist treba da zamisli prividnu putanju sunca zimskog solsticija, idealno je ako njen podnevni luk nadvisuje okolne zgrade i krošnje drveća. Kada se kaže „na frekfentnom mestu”, u opštem slučaju to se odnosi na sva turistička mesta, a unutar jednog naselja, na gradske i seoske trgove, šetališta, dvorišta škola i dečijih vrtića, plaže i sl. Analematski časovnik može da stoji na frekfentnom mestu bez bojazni od obesnih prolaznika jer nije tako „ranjiv” kao druge vrste sunčanih časovnika: polomili se ili iskrivi polos horizontalnog, ekvatorijalnog ili vertikalnog časovnika oni automatski gube svoju funkciju sve dok se ne naprave novi polosi, što nije slučaj sa analematskim časovnikom čiji su pokazivači senke samozamenljivi.

65

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 65. Analematski časovnik se pravi na horizontalnoj, stabilnoj i glatkoj podlozi. Ako postojeća podloga nije takva, treba je takvom napraviti (dvorište OŠ „Laza Lazarević”, Šabac, 2011. godine)

Geografske koordinate mesta mogu se odrediti na licu pomoću GPS uređaja ili mobilnih telefona, dovoljno je samo stati na mesto budućeg analematskog časovnika i sačekati da prijemnik „uhvati” dovoljan broj navigacionih satelita. Još ih je lakše odrediti kabinetski na ortofotografijama s pomenutog geoportala (https://a3.geosrbija.rs/). Kada savremena pomagala nisu pri ruci, onda geografske koordinate mogu da se odrede na odgovarajućem listu topografske karte. Dovoljna je tačnost od 1’ ali ne smeta ni veća tačnost. Geografske koordinate je korisno upisati i na sam analematski časovnik (vidi sl. 79, str. 76).

Kada je izabrano mesto koje ispunjava nabrojane uslove, i kada su određene geografske koordinate, u narednom koraku treba da se odredi podnevačka linija, to jest, strane sveta. Danas je to isto tako lak zadatak kao određivanje geografskih koordinata budući da svi imaju mobilne telefone sa aplikacijama za kompas. Da bi se izbegle greške tehničke prirode (nekalibrisan kompas na mobilnom telefonu, nemogućnost tačnog viziranja), podnevačka linija uvek može de se odredi nekom od gnomonskih metoda poznatih još od starog veka (Тадић, 2002, str. 7–12), a najbolje i najjednostavnije obeležavanjem pravca senke

66

Nauka i zabava

Slika 66. Obeležavanje podnevačke linije – male ose buduće analematske elipse

viska u pravo sunčevo podne. Za to su potrebni tačan časovnik (mobilni telefon), visak i podatak kada je pravo sunčevo podne po srednjoevropskom vremenu (Tadić, 2013, str. 50–51). Postupak je sledeći: a) pravo sunčevo podne po srednjoevropskom vremenu izračuna se poznatoj formuli (11), TSE = TP – e + (15 – λ)°· 4 min;

alematske elipse, neposredno pomoću velikog zidarskog vinkla, ili geometrijski pomoću velikog šestara, konstruiše normala koja će se pružati pravcem istok-zapad. Tako su određene strane sveta, odnosno konstruisane ose buduće analematske elipse. Ose treba obeležiti tako da se ne mogu izbrisati pre početka izrade skale analematskog časovnika.

b) obeleži se centar buduće analematske elipse pa se tačno iznad nje pusti visak da slobodno visi (sl. 66a); c) Prati se vreme na mobilnom telefonu, i u pravo sunčevo podne, kada se sunce nalazi tačno na jugu a senka pada tačno ka severu, na podlozi se sa dve udaljene tačke pažljivo obeleži pravac senke niti viska (sl. 66b); d) kroz obeležene tačke se pomoću dugačkog lenjira povuče što duža linija – podnevačka linija, a onda se na nju u centru buduće an-

Oblik analematske elipse sa zadatom veličinom velike poluose (a) menja se sa sinusom geografske širine mesta, tako da elipsa, idući prema ekvatoru, postaje sve spljoštenija. Veličina velike poluose za određenu geografsku širinu bira se prema prosečnoj visini merioca kao što je to pokazano na primeru analematske elipse za središnju tačku Srbije i prosečnu visinu merioca od 1,7 m (sl. 67).

67

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 67. Prividne putanje kraja senke gnomona (v = 1,7 m) na ϕ = 44° (levo) i analematska elipsa (desno) dovoljnih dimenzija: duž OO1 jednaka je najkraćoj podnevnoj senci gnomona.

Na slici 67a, tačka O je podnožje gnomona čija je visina jednaka prosečnoj visini merioca, recimo, 1,7 m. Crvenim tačkastim linijama su u metarskoj mreži ucrtane solsticijske i ekvinocijske putanje kraja senke gnomona, gnomonske projekcije nebeskih povratnika i ekvatora na ravan horizonta. Dovoljne dimenzije analematske elipse jesu te pri kojima ona bar dodiruje gnomonsku projekciju severnog nebeskog povranika (sl. 67b), a to su dimenzije pri kojima tu liniju dodiruje podnevna senka merioca letnjeg solsticija. Podrazumeva se da merilac stoji na solsticijskom podeljku datumske skale. U navedenom primeru te uslove ispunjava analematska elipsa sa a = 1, 7 m. To je minimalno. Uvek treba izabrati nešto veće dimenzije da bi senka uvek prelazila preko brojčanika na analematskoj elipsi. Velika poluosa analematske elipse, a = 2 m, bila bi dovoljna na našim geografskim širinama (posebno u školskim dvorištima ), s tim da se, u zavisnosti od raspoloživog prostora slobodno može uvećavati do a = 3 m. Metarska mreža na slici 68 omogućava da se za svaku elipsu ispita

kako „stoji” u odnosu na gnomonsku projekciju severnog nebeskog povratnika.

Kada se veličine velike i male poluose nanesu na ranije ucrtane koordinatne ose, mala poluosa duž podnevačke linije a velika duž prave EW, tada je sve spremno za konstrukciju analematske elipse. Konstrukcija se može izvesti na više načina što je lako uraditi na papiru geometrijskim priborom, pa čak i bez njega kada je elipsa malih dimenzija. Zadatak postaje teži kada se radi o velikim elipsama na tvrdoj podlozi. Velika elipsa može se konstruisati pomoću dugačke prave letve ili libele dužine 2 m (sl. 68a). Na ivici letve se crticama označe duži AB = a i BC = b, a zatim letva zakreće tako da je tačka A uvek na maloj, a tačka B na velikoj osi elipse. U svakom od tih položaja se kod crtice B označi tačka na podlozi. Elipsa se formira spajanjem svih obeleženih tačaka.

68

Nauka i zabava

Slika 68. Način konstrukcije elipse na kome se zasniva elipsograf, mehanička sprava za konstrukciju elipse (a) i konstrukcija elipse pomoću zategnute niti čija je dužina jednaka velikoj poluosi elipse (b)

Slika 69. Početne faze izrade analematskog sunčanog časovnika u dvorištu OŠ „Banović Strahinja” u Beogradu 2009. godine, pod rukovodstvom nastavnice razredne nastave Branke Petrović: a) konstrukcija analematske elipse pomoću zategnutog kanapa; b) nacrtanu elipsu nije neophodno bojiti, ali će sunčani časovnik lepše izgledati ako se to uradi (b).

Kod drugog načina, u fokuse elipse se ukucaju ekseri, za njih priveže čvrsti kanap dužine 2a i onda pisaljkom (flomasterom ili kredom) zategne nit i opiše elipsa (sl. 68b, 69a). I uz najveću pažnju, ovako opisana elipsa neće biti idealno opisana jer, niti postoji nerastegljivi kanap niti je moguće sve vreme na putanji du-

goj preko pet metara pisaljkom zatezati kanap neprekidno je držeći pod pravim uglom. Prvi način je praktičniji i tačniji, pod uslovom da se koristi dugačka libela, dok je prednost drugog načina što se odmah iscrtava elipsa.

69

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Položaji časovnih podeljaka mogu da se odrede na dva načina, na već nacrtanoj analematskoj elipsi ili bez nje.

Slika 70. Pozicioniranje časovnih podeljaka na analematskoj elipsi pomoću tetive (d) i na osnovu polarnog ugla (α).

Kada je tačno iscrtana analematska elipsa, časovni podeljci mogu da se odrede na dva načina (sl. 70), tako što se elipsa: 1) preseče šestarom pobodenim u najseverniju tačku elipse (C), sa otvorom jednakim dužini (d) odgovarajuće tetive (21); 2) preseče sa pravom koja polazi iz centra elipse pod uglom jednakim odgovarajućem azimutu sunca za ekvinocija (A), odnosno, pod odgovarajućim polarnim uglom (α = A).

Slika 71. Pomoću polarnih ili pravouglih koordinata (a), časovni podeljci se mogu naneti i pre konstrukcije analematske elipse koja se potom formira nakon spajanja svih tih podeljaka (b)

Časovni podeljci mogu da se obeleže i bez analematske elipse, pomoću pravouglih (x, y) ili polarnih koordinata (ρ, α), svejedno (sl. 71a). Primeni li se ovaj način, onda on može da prethodi konstrukciji elipse koja se formira spajanjem svih već obeleženih časovnih podeljaka (sl. 71b). Gledano samo sa tehničke strane, brojčanik može postojati i bez elipse ali bolje je s njom jer ona „odaje” suštinu konstrukcije analematskog časovnika.

70

Nauka i zabava

Slika 72. Nanošenje pravouglih koordinata pomoću dugačke ravne letve i trougla za školsku tablu

Pravougle koordinate se nanose na podlogu uz pomoć geometrijskog pribora za školsku tablu (sl. 72) ili pomoću velikog zidarskog vinkla (recimo 40 x 60 cm), a polarne koordinate

pomoću profesinalnog uglomera (recimo pomoću digitalnog uglomera sa produžetkom kraka) i metarske trake.

Slika 73. Kada se na podlogu zalepi šablon i skloni isečena brojka, ostaje samo da se nastale šupljine popune bojom pomoću četke ili valjka.

Kada su na neki od opisanih načina označene tačke, časovni podeljci, sledi izrada brojčanika arapskim ili rimskim brojkama, u kompletnom rasponu (na našim geografskim širinama od 5 h pre podne do 19 h posle podne), ili samo za svaki treći čas (6, 9, 12, 3, 6). Kada se

brojčanik ispisuje direktno na podlozi poželjno je da se pripreme samolepljivi šabloni. Šablone će brzo iseći u svakoj bolje opremljenoj fotokopirnici pod uslovom da im se pripreme vektorski urađeni nacrti brojki u razmeru 1:1 (sl. 73).

71

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

najbolje da se koriste ne boje za beton, nego akrilne boje za povlačenje linija na putevima jer su trajnije, lako se nanose i brzo suše. Skala analematskog časovnika se kompletira sa datumskom skalom koja se ucrtava (urezuje, gravira) na pravougaonoj osnovi širine ne veće od 50 cm i dužine koja zavisi od geografske širine mesta i dimenzija elipse (za ϕ = 44° i a = 200 cm, na primer, dužina datumske skale je 124,8 cm).

Oslikane skale nisu dugog veka, na frekfentim mestima, kao što su školska dvorišta, nakon dve-tri godine jedva da se razaznaju. Mnogo su trajnije skale uklesane direktno na kamenim podlogama ili na zasebnim kamenim (mermernim, granitnim) pločama, ili utisnute na livenim metalnim pločama (sl. 77).

Slika 74. Postavljanje samolepljivog šablona datumske skale duž male ose analematske elipse

Centar skale je u centru analematske elipse: simetrala skale se poklapa se malom, a nulti podeljak (ekvinociji), sa velikom osom elipse. Skala je podeljena na mesečna polja, a datum se procenjuje odoka: početkom meseca merilac stoji tako da mu je „merno” stopalo na početku, sredinom meseca – na sredini, a na kraju meseca – na kraju odgovarajućeg datumskog polja. Kada se datumska skala iscrtava direktno na podlozi, najbolje je, isto kao i za brojke, da se uradi vektorski nacrt u razmeri 1 : 1 i i dati u fotokopirnicu da se prema njemu iseku samolepljivi šabloni (sl. 74). Za oslikavanje je

Slika 75. Datumska skala ispisana/oslikana direktno na betonskoj podlozi (Šabac, 2014) i dve kamene table: sa reljefnim (Šabac, 2011) i uklesanim sadržajem (Stara Pazova, 2014)

Na datumskim skalama se obično prikazuju stope kojima se meriocu sugeriše kako treba stati u odnosu na podnevačku liniju (sl. 75). Uz datumske skalu u obliku kamene ploče, obično ide brojčanik sa brojkama označenim na kamenim postoljima (diskovima, kubovima i sl.), tako da takav analematski časovnik ne oslikava, nego sastavlja (sl. 76).

72

Nauka i zabava

branim svetskim gradovima. Geografski azimut (AN) ka određenom gradu T1 (ϕ1, λ1) u odnosu na centar elipse T (ϕ, λ) izračunava se po formuli, 𝑠𝑖𝑛𝐴 =

cos 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝜆 , 𝑠𝑖𝑛𝑧

u kojoj je Δλ razlika geografskih dužina (λ1 – –λ), a z, sferna/ortodromska udaljenost između zadatih tačaka, koja se izračunava po formuli, Slika 76. Fiksiranje sastavnih elemenata (diskova brojčanika, datumske table i strelice za strane sveta) na kružnoj podlozi pokrivenoj keramičkim pločicama za dvorišta.

Ucrtavanjem/postavljanjem datumske skale završen je čisto gnomonski deo posla, ostaje da se dodaju neobavezni dopunski matematičko-geografski podaci, eventualno upiše prigodni moto, postavi tabla s kratkim objašnjenjem i ukomponuju likovni sadržaji. U standardne matematičko-geografske sadržaje spadaju oznake za glavne strane sveta (strelice, slova N, S, E i W) ili kompletna ruža kompasa, zatim geografske koordinate i nadmorska visina mesta (centra analematske alipse) (vidi sl. 79, str. 75). Uz geografske koordinate može se upisati i ime mesta/grada, to ima smisla zbog onih koji se fotografišu pri merenju i fotografije šalju prijateljima koji mogu da budu i na drugom kraju sveta. S tim sadržajima, merilac ima kompletnu orijentaciju, vremensku i prostornu. Ruža kompasa može da se proširi obeležavanjem geografskih azimuta (AN) ka iza-

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ cos 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝜆. Da se merioci ne bi dovodili u zabunu, potrebno je da im se objasni da su to označeni azimuti/kursevi pod kojima treba krenuti da bi se nakraćom putanjom (ortodromom) stiglo do odredišta, ali da se taj kurs tokom puta mora stalno menjati: sa fiksiranim početnim azimutom kretali bi se spiralnom putanjom (loksodromom) i nikada ne bi stigli do odredišta (Тадић, 2004, str. 92–93). Na sunčanim časovnicima često se upisuje neki moto. Moto može da se upiše i na analematskom časovniku, s tim da onda treba da se prilagodi prirodi tog časovnika. Na primer, poznati moto na sunčanim časovnicima – Senka tebi, sunce meni – odgovara i analematskom časovniku, moto – Dođi, vidi, zbogom – može da se preoblikuje u – Dođi, baci senku, zbogom – dok se moto – Senko, gledaš senku! – može da preinači u – Senko, bacaš senku! U tom stilu, moto – Dođi sunce, poseti me – može da se skrati na – Dođi, poseti me – dok se poznata tinejdžerska pozdravna fraza – Baci pet! – može da se pretvori u – Baci senku! Upućenima u gnomoniku, tabla s objašnjenjem nije potrebna, drugima jeste (sl. 77, 78).

73

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 77. Analematski sunčani časovnik „Svemirskog kutka” Karter opservatorije u Velingtonu (Novi Zeland). Na početku datumske table sa reljefno izlivenom analemom, piše: „Stani na odgovarajući datum, leđima okrenut suncu, sa spojenim dlanovima, ruku podignutih iznad glave. Tvoja senka će pokazati lokalno standardno vreme”.

Slika 78. Tabla sa objašnjenjem uz analematski časovnik u Parku nauke na Adi Ciganliji (Beograd), rad Nemanje Đorđevića iz 2011. godine. 74

Nauka i zabava

Najkraće objašnjnje, upisano ispod naziva „Analematski časovnik”, glasilo bi: „Kada staneš na odgovarajuće mesečno polje kako to sugerišu prikazane stope, pravac tvoje senke pokazaće dnevni čas.” Nastavak rečenice – „sa tačnošću u rasponu od –14 do +16,5 minuta” – može i da izostane jer se očitavanjem prema sopstvenoj senci i ne može postići veća tačnost.

Kao i svaki drugi sunčani časovnik, i analematski treba da bude lep za oko pa je poželjna koautorska kombinacija gnomonist – dizajner (slikar, vajar, arhitekta). Koristeći najrazličitije likovne tehnike i materijale, autori dodaju diskretne ukrase komplementarne gnomonskom sadržaju (sl. 79) ili svoje časovnike pretvaraju u složeniјe slikarske ili vajarske kompozicije (sl. 80). U elementarnom obliku, analematski časovnik se izrađuje bojenjem (sl. 81), graviranjem, ili utiskivanjem sadržaja na ravnim i raznorodnim podlogama. Obavezna geometrija analematskog časovnika najčešće se oživljava tako što se ravna monotona podloga popločava elementima različitih oblika, materijala i boja, a ponekad se ceo časovnik izvodi tehnikom mozaika. Za razliku od ostalih vrsta sunčanih časovnika, analematski nema fiksni bacač senke pa se trodimenzionalnost može dobiti jedino oblikovnjem brojčanika. S tim ciljem, brojke se urezuju ili utiskuju na najčešće kamenim postoljima različitih formi – na koso zasečenim stubićima, diskovima, kubovima (sl. 77, sl. 78), čije sopstvene senke naglašavaju trodimenzionalnost brojčanika. Uz to, njihove bačene senke tokom dana menjaju veličinu i pravac, oživljavajući analematski časovnik i kada na njemu nema merioca.

Slika 79. Analematski časovnik standardnog sadržaja naslikan direktno na igralištu OŠ „Banović Strahinja” u Beogradu, 2009. godine (Петровић, А. и Петровић, Б., 2009)

Slika 80. Oslikani analematski sunčani časovnik na keju Crnice u Paraćinu (oslikao Ž. Đorđević, 2011. godine)

Slika 81. Završni „farbarski” radovi na časovniku u dvorištu gimnazije „Laza Kostić” u Novom Sadu, 2019. godine)

75

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Analematski časovnici krupnih razmera, sa čovekom kao bacačem senke, najmanje su tačni od svih sunčanih časovnika i zato u likovnom oblikovanju treba naći meru. Bolje je ograničiti se na skromne likovne ukrase kompatibilne analematskom sadržaju (sl. 79), nego u tome preterati: sa previše elemenata od

Analematski sunčani časovnik izračunat, nacrti preneti na podlogu, urađeni su brojčanik i datumska skala, sve skupa likovno oblikovano da čini skladnu celinu... i samo ostaje da se časovnik pusti u rad. Za to su potrebni, sunčan dan i demonstrator – živi gnomon, odnosno, potrebna je senka koju baca demonstrator koji stoji na odgovarajućem polju datumske skale.

kamena, analematski časovnik će postati preozbiljan i još manje tačan, dok će, ako je prešaren, sve manje da liči na časovnik. Od svih funkcija – upotrebna, ukrasna, obrazovna – uvek je glavna prva, i analematski časovnik će je imati čak i ako nema ni jednog ukrasnog dela.

Kada su dimanzije analematske elipse izabrane na opisani način (vidi sl. 67, str. 68 ), tako da preko nje tokom cele godine prelaze senke merioca prosečne visine, merilac prilikom merenja ne mora podizati ruke uvis, kako to mnogi po inerciji rade. To ima smisla samo kada mere deca, da bi na taj način produžila sopstvene senke (sl. 79, 82). Ako je gnomonika danas samo naučna zabava onda je analematski sunčani časovnik njen najreprezentativniji brend.

Slika 82. Demonstracija rada analematskog časovnika urađenog na posebno pripremljenoj podlozi u dvorištu OŠ „Laza Lazarević” u Šapcu, 2011. godine. 76

Nauka i zabava

Kao praktičan rad iz predmeta Matematičha geografija, studenti Geografskog fakulteta u Beogradu su u periodu od 2013–2019. godine školama u Srbiji napravili 125 stacionarnih sunčanih časovnika, među njima i nekoliko analematskih (sl. 83).

Slika 83. Primeri analematskih sunčanih časovnika, studentskih radova (Тадић, 2020). 77

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Zbog svoje atraktivnosti i mogućnosti da se iskoriste u nastavi, analematski časovnici se najčešće prave u školskim dvorištima. Od 14 analematskih časovnika za koje znamo da su postojali na teritorije Srbije 2020. godine (sl. 84), deset se nalazilo u školskim dvorištima.

Slika 84. Razmeštaj sunčanih časovnika na teritoriji Srbije 2020. godine 78

Nauka i zabava

U prvom ciklusu osnovnog obrazovanja, analematski sunčani časovnik kao nastavno sredstvo mogu da koriste učitelji (vremenska i prostorna orijentacija: časovnik i strane sveta), a drugom ciklusu nastavnici geografije (geografske koordinate, polarne koordinate, prividno kretanje sunca, smena godišnjih doba) i

matematike (koordinatni sistemi, merenje uglova, konstrukcija elipse). U gimnaziji, učenici ih mogu sami napraviti u saradnji sa profesorima egzaktnih predmeta, ili samo u sklopu izborne nastave iz astronomije. Šta svaki od njih može reći učenicima okupljenim oko analematskog sunčanog časovnika?

Učitelj: „Okupljeni smo oko analematskog časovnika. U središtu je „školica” sa nazivima meseci, usmerena tačno prema severu. Ispred nje je lučni brojčanik u rasponu od pet časova pre podne do sedam časova posle podne. Kada merilac stane na odgovarajuće mesečno polje „školice”, kako to pokazuju utisnute stope, pravac njegove senke pokazaće dnevni čas.

Sada će nam to pokazati „taj i taj”: mesec je april [recimo], on će stati na aprilsko polje… i sada ćemo zajedno očitati šta nam pokazuje kazaljka, njegova senka (sl. 85). Ako bi duže ostao na tom mestu, video bi kako se senka pomera brojčanikom od zapada, preko severa, ka istoku, i verno odražavaju prividno kretanje sunca nebeskom sferom koje se odvija u suprotnom smeru.

Slika 85. Za predškolce i osnovce u prvom ciklusu, analematski sunčani časovnik je „zabavnik”

Nastavnik geografije: „Danas ćemo pokazati kako radi analematski sunčani časovnik (sl. 86). Časovnik se sastoji od datumske skale koja je orijentisana tačno pravcem jug-sever, i elipsastog brojčanika čiji raspon odgovara trajanju najduže obdanice na našim geografskim širinama. Dnevni časovi se očitavaju

prema pravcu senke koju baca merilac koji, okrenut ka severu, stoji na odgovarajućem mesečnom polju datumske skale. Tokom godine merilac se pomera datumskom skalom i tako on, i njegova senka, prate promenu položaja prividnih putanja sunca nebeskom sferom. Na sunčanom časovniku upisane su i geografske koordinate mesta tako da merilac ima potpunu orijentaciju, prostornu i vremensku”.

79

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Slika 86. Čas geografije van školske učionice, na analematskom časovniku: učenici 5. razreda OŠ „Laza Lazarević” u Šapcu 2011. godine, okupljeni oko profesora geografije, Slobodana Bogdanovića.

se pomera „bacač senke” i to je princip na kome se zasniva rad analematskog časovnika.” Profesor geografije/fizike: „Postoji mnogo vrsta sunčanih časovnika. Među njima analematski časovnici su posebni po tome što ulogu kazaljke ima senka koju baca sam merilac. Časovne brojke su raspoređene po elipsi koja predstavlja ortogonalnu projekciju prividne ravnodnevačke putanje sunca nad horizontom. Starovekovni naučnici su tu projekciju nazivali analema pa je po njoj i ova vrsta časovnika dobila ime. Mala osa elipse se nalazi u podnevačkoj liniji duž koje je postavljena datumska skala sa mesečnim poljima. Ako merilac za ravnodnevica stane u centar datumske skale (polja za mart i septembar) njegova senka će pokazivati tačno vreme, ali ne zadugo, jer će se prividna putanja sunca svakim narednim danom sve više odmicati od ravnodnevačke putanje. Rešenje je u tome da

Svakom od ovih objašnjenja može se na kraju pridodati: „Pred nama su časovna i datumska skala ali, pravo govoreći, to se ne može nazvati sunčanim časovnikom jer nedostaje kazaljka. Kazaljka je senka, a senku baca merilac zaustavljajući deo snopa sunčevih zraka. Podrazumevajući da je sunce danju uvek tu, i da „od kuće” radi za svaki sunčani časovnik, proizilazi da je merilac sastavni deo analematskog sunčanog časovnika. Kada merilac stane na određeno polje datumske skale i svojim telom baci bestelesnu senku, on tada analematsku podlogu preobražava u sunčani časovnik. U skladu s tim, standardni moto sa sunčanih časovnika – Bez sunca ćutim – prilagođen analematskom časovniku, glasio bi – Bez tebe ćutim.

80

Nauka i zabava

81

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

82

Nauka i zabava

83

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

84

Nauka i zabava

85

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

86

Nauka i zabava

Cousins, F. W. (1969). Sundials: A Simplified Approach by Means of the Equatorial Dial. London: John Baker. Hanžek, Z. (1971). Sferna trigonometrija. Zagreb: Školska knjiga. Justinijanović, J. (1956). Sferna trigonometrija. Zagreb: Tehnička knjiga. Parisot, J. P. (1985). La Retrogradation de L Ombre dans les Cadrans Solaires Analemmatiques. Journal for the History of Astronomy, 16 (1), p. 43–48. Příhoda, P. (1983). Sluneční hodiny. Praha. ÚKVČ. Savoie, D. (2009). Sundials: Desing, Construction, and Use. Chichester: Praxis Publishing. Sawyer, F. W. (1994). Of Analemmas, Mean Time and the Analemmatic Sundial – Part 1. Bulletin of the British Sundial Society, 94(2), p. 2-6. Tadić, M. (1985). Elementarni oblici sunčanih satova. Naša škola, 5/6, str. 373–385. Tadić, M. (1988/1989). Antički sunčanik „pauk”: teoretske osnove za (re)konstrukciju, porijeklo ideje i imena. Goriški letnik, 15/16, str. 17–24. Tadić, M. (2013). Geografska merenja van školske učionice. Beograd: Kreativni centar. Zenkert, A. (1984). Faszination Sonnenuhr. Thun; Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch. *** Петровић, А. и Петровић, Б. (2009). „Живи”сунчани часовник ОШ „Бановић Страхиња”. Глобус, 34, стр.161–166. Страбон. (1964). География в 17 книгах. (прев. и ком. Г. А. Стратановский). Москва: Наука. Тадић, М. (1989). Вулгаризација гномонике. Васиона, XXXVII (5), стр. 104‒108. Тадић, М. (2002). Сунчани часовници. Београд: Завод за уџбенике и наставна средства. Тадић, М. (2004). Математичка географија. Београд: Завод за уџбенике и наставна средства. Тадић, М. (2010). Математичка географија Србије. Београд: Еон. Тадич, М. и Прнят, З. (2019). Конструирование солнечных часов: стратегия обучения на открытом воздухе в курсе математической географии. География в школе, 3/2019, стр. 42–45. Тадић, М. (2020a). Сунчани часовник професора Радована Данића: сунчани часовник Астрономског друштва „Руђер Бошковић”. Васиона, LXII (4), стр. 96-102. Тадић, М. (2020б). Сунчани часовници: радови студената Географског факултета у Београду. Београд: Географски факултет.

87

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

Analematski sunčani časovnik spada među najmlađe konstrukcione oblike sunčanih časovnika. Nazvan je tako jer se njegova skala, za razliku od ostalih vrsta sunčanih časovnika, konstruiše u ortografskoj projekciji koja se izvorno nazivala „analema”. Osim po vrsti projekcije, analematski časovnici su posebni i po tome što se na njima dnevni časovi očitavaju prema pravcu senke vertikalnog pokazivača, gnomona, koji se mora pomerati po odgovarajućoj datumskoj skali. Do danas su iz upotrebe nestale prenosivi konstrukcioni oblici, dok sve popularnije postaju stacionarne varijante većih razmera kod kojih ulogu gnomona ima sam merilac, živi gnomon. Gnomon je najstariji i najjednostavniji astronomski/naučni instrument pa nije neosnovana tvrdnja da je prvi pokušaj određivanja doba dana pomoću gnomona ujedno bio i prvi nagoveštaj nauke. A prvi gnomon nije bio štap nego sam čovek koji je stopama merio dužinu sopstvene senke. S razvojem gnomonike živi gnomon je izgubio tu ulogu, da bi je vratio u novom veku kao bacač senke na analematskim sunčanim časovnicima krupnog razmera koji danas krase mnoge trgove, parkove i školska dvorišta. Upravo takvi časovnici tema su ove knjige strukturirane u devet poglavlja. Prvih pet poglavlja knjige (I Gnomonika: ključni termini; II Koordinatna geometrija na Zemljinoj lopti i nebeskoj sferi; III Prividno kretanje sunca; IV Časovni sistemi; V Analema) predstavljaju dugi uvod u VI poglavlje (Proračun analematskog časovnika) u kome je, korak po korak, objašnjeno kako se za mesta na severnoj hemisferi izračunavaju elementi obe skale analematskog časovnika, časovne i datumske. VII poglavlje je napisano na osnovu iskustva i sadrži opis svih faza izrade skale analematskog časovnika, sa konkretnim primerima. U VIII poglavlju je razmotrena upotreba analematskog časovnika kao nastavnog sredstva na časovima van školske učionice, na svim nivoima obrazovanja. Skalu analematskog časovnika može izračunati bilo ko koristeći programe koji su dostupni na internetu, s tim da će čitalac ove knjige biti u prednosti zbog toga što će razumeti kako rade i program i analematski časovnik. К89ada na podlozi naslika skale, časovnu i datumsku, čitalac ove knjige, novopečeni gnomonist, neka ne misli da je napravio analematski sunčani časovnik. To može reći tek kada stane na odgovarajuće polje datumske skale i baci senku jer je analematski časovnik sklop koga čine skala sa meriocem koji u sprezi sa suncem stvara nematerijalni deo časovnika, senku-kazaljku. Budući da funkcija živog gnomona nije ničije zanimanje niti zaduženje, merilac se može okarakterisati kao „spoljni saradnik” ili „animator” analematskog sunčanog časovnika. On neće moći baš tačno odrediti koliko je sati ali će zato lepo zabaviti: davne, 1930. godine, profesor Vojislav V. Mišković je savremenu gnomoniku nazvao naučnom zabavom i u tu definiciju se savršeno uklapa analematski časovnik kao časovnikzabavnik.

88

Nauka i zabava

АНАЛЕММАТИЧЕСКИЕ СОЛНЕЧНЫЕ ЧАСЫ: НАУКА И РАЗВЛЕЧЕНИЕ Резюме Аналемматические солнечные часы - одна из самых молодых конструктивных форм солнечных часов. Они названы так потому, что их шкала, в отличие от других типов солнечных часов, конструируется в ортографической проекции, которая изначально называлась «аналемма». Аналемматические часы отличаются не только типом проекции, но и тем, что дневное время на них определяется по направлению тени от вертикального указателя, гномона, который необходимо перемещать в соответствии с соответствующей шкалой дат. На сегодняшний день переносные конструкции вышли из употребления, при этом все большую популярность приобретают стационарные варианты больших размеров, в которых роль гномона играет сам наблюдатель, живой гномон. Гномон - самый старый и самый простой астрономический/научный инструмент, поэтому не без оснований утверждают, что первая попытка определить время суток с помощью гномона в то же время была первым проявлением науки. И первым гномоном был не шест, а сам человек, измерявший шагами длину своей тени. С развитием гномоники живой гномон утратил эту роль, чтобы в новом столетии вновь обрести ее в качестве отбрасывателя тени на аналемматических солнечных часах большого размера, которые сегодня украшают многие площади, парки и школьные дворы. Именно такие часы являются темой этой книги, состоящей из восемь глав. Первые пять глав книги (I. Гномоника: ключевые термины; II. Координатная геометрия на земном шаре и небесной сфере; III. Видимое движение Солнца; IV. Часовая система времени; V. Аналемма) представляют собой длинное введение к главе VI (Расчет аналемматических часов), в которой шаг за шагом объясняется, как рассчитываются элементы обеих шкал аналемматических часов, часовой шкалы и шкалы дат, для северного полушария. Глава VII написана на основе опыта и содержит описание всех этапов создания шкалы аналемматических часов с конкретными примерами. В главе VIII рассматривается использование аналемматических часов в качестве учебного пособия на уроках вне школьного класса на всех уровнях образования. Шкалу аналемматических часов может рассчитать любой при помощи программ, доступных в Интернете, но читатель этой книги будет иметь преимущество, поскольку он поймет, как работают и программа, и аналемматические часы. И когда читатель этой книги, начинающий специалист в области гномоники, нарисует шкалы, часовую шкалу и шкалу дат, пусть он не думает, что он сделал аналемматические солнечные часы. Он сможет сказать это только тогда, когда встанет на соответствующее поле шкалы дат и отбросит тень, поскольку аналемматические часы представляют собой конструкцию, состоящую из шкалы с самим наблюдателем, который в паре с солнцем создает нематериальную часть часов - тень, образующую стрелку.Поскольку функция живого гномона не является чьей-либо профессией или обязанностью, наблюдатель может быть охарактеризован как «внешний сотрудник» или «аниматор» аналемматических солнечных часов. Он не сможет точно определить, который час, но зато интересно проведет время: еще в 1930 году профессор Воислав В. Мишкович назвал современную гномонику научным развлечением, и аналемматические часы, как часыразвлечение, идеально подходят под это определение. 89

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI

ANALEMMATIC SUNDIALS: SCIENCE AND ENTERTAINMENT Resume Analemmatic sundial is one of the youngest construction forms of sundials. It was named so because its dial, unlike other types of sundials, is constructed in an orthographic projection which was originally called "analemma". Apart from the type of projection, analemmatic sundials are special in that the daylight hours are read in the direction of the shadow of the vertical pointer, the gnomon, which must be moved according to the appropriate date dial. Portable construction forms are not used anymore, and stationary types with larger dimensions, where the person taking measurements has the role of the gnomon, thus becoming a human gnomon, are becoming increasingly popular. Gnomon is the oldest and simplest astronomical/scientific instrument, so it is not unfounded to claim that the first attempt to determine the time of day using a gnomon was also the first indication of science. Also, the first gnomon was not a stick, but a human himself who measured the length of his own shadow using his feet. With the development of gnomonics, the human gnomon lost that role, only to regain it in the new century as a shadow caster on large-sized analemmatic sundials that today adorn many squares, parks and schoolyards. Precisely such sundials are the topic of this book structured into eight chapters. The first five chapters of the book (I. Gnomonics: key terms; II. Coordinate geometry on the Earth and the celestial sphere; III. The apparent motion of the sun; IV. System of hours; V. Analemma) represent a long introduction to Chapter VI (Calculation of the analemmatic sundial) in which a step-by-step explanation is provided on how to calculate elements of both hour and date dials of the analemmatic sundial for places in the northern hemisphere. Chapter VII is written based on the experience and contains a description of all phases of making a dial of an analemmatic sundial with specific examples. Chapter VIII discusses the use of analemmatic sundial as a teaching tool in classes outside school classroom at all levels of education. Anyone can calculate the dial of an analemmatic sundial using programs available on the Internet, but the readers of this book will have the advantage of understanding how both the program and the analemmatic sundial work. And when readers of this book, fresh gnomonists, paint the hour and date dials on the flat plate, they should not think that they made an analemmatic sundial. They can say that only when they step in the appropriate area of the date dial and cast a shadow, because the analemmatic sundial is an assembly consisting of a dial with a person taking measurement, who, in conjunction with the sun, creates an intangible part of the sundial, the shadow-hand. Since the role of a human gnomon is not an occupation or a task, this person can be described as an "external collaborator" or "activator" of an analemmatic sundial. He/she will not be able to determine exactly what time it is, but he/she will have a good time: back in 1930, Professor Vojislav V. Miskovic called modern gnomonics a scientific pastime, and the analemmatic sundial as an entertaining timekeeping device fits perfectly into that definition.

90

Nauka i zabava

Izdavač Akademska misao Primorska 21, Beograd Tel.: +381 11 3218 354 Marko Vujadinović dipl. el. inž. +381 63 30 10 75 [email protected]

Aleksandar Rašković, dipl. el. inž. +381 63 30 10 65 [email protected]

www.akademska‐misao.rs office@akademska‐misao.rs CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 681.111.1 ТАДИЋ, Милутин, 1955‐ Analematski sunčani časovnici : nauka i zabava / Milutin Tadić ; [fotografije Milutin Tadić]. - Beograd : Akademska misao, 2021 (Beograd : Planeta print). - 91 str. : ilustr. ; 27 cm Tekst štampan dvostubačno. - Tiraž 300. - Bibliografija: str. 87. - Резюме: Аналемматические солнечные часы: наука и развлечение ; Resume: Analemmatic sundials: science and entertainment. ISBN 978-86-7466-879-5 а) Сунчани часовници COBISS.SR-ID 35789065

91

Milutin Tadić • ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI - NAUKA I ZABAVA

cyanmagentayellowblack

Milutin Tadić

ANALEMATSKI SUNČANI ČASOVNICI nauka i zabava