Allgemeine Theorie der zwei- und drei-teiligen astronomischen Fernrohr-Objective 9783111687117, 9783111299808

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ALLGEMEINE THEORIE DER

ZWEI- UND D R E I - T E I L I G E N ASTRONOMISCHEN

FERNROR - OB JECTI VE. VON

AUG. K R A M E R , OBERLEHRER, DR. PHIL.

MIT Z W E I

FIGUREN-TAFELN.

BERLIN. DRUCK UND V E R L A G

VON G E O R G

1885.

REIMER.

V o r w o r t .

Anfänglich nur zum Zwecke des wissenschaftlichen Zeitvertreibes und der eigenen Belehrung geschah es, dass ich mich mit den optischen Eigentümlichkeiten der Linsengläser und Zusammenstellung der letzteren zu Doppel-objectiven beschäftigte. Ich hatte die Freude, dass es mir gelang zunächst das erste und zweite, sodann auch das dritte Glied der Reihenentwickelung für die Distanz des vierten Bildes und ferner die Grundbedingungsgleichung des Achromatismus — und zwar alles exact, d. h. ohne alle und jede Vernachlässigung irgend welcher, wenn auch noch so kleinen Gröfsen in geschlossenen Formeln darzustellen. Die hieran sich anschliefsende Untersuchung, an welche ich mich heran wagte, über den Gang der seitlichen Strahlen, d . h . solcher, welche ursprünglich von einem nicht in der Axe gelegenen Punkte ausgehen, führte zu der Aufstellung einer neuen Bedingnngsgleichung. Kurz es wuchs die kleine Abhandlung allmählich zu einer förmlichen Theorie der zweiteiligen, endlich auch der dreiteiligen Objective und einer auf ihr beruhenden Berechnungs-methode heran. Und wie die Diatribe an Ausdehnung und Vertiefung gewann, so entstand und erstarkte in mir mehr und mehr die Ueberzeugung, dass die Schrift wohl der ursprünglich gar nicht beabsichtigten Veröffentlichung nicht unwert sein dürfte, wäre es auch nur um den Lernenden den mühsamen Weg möglichst zu ebnen und sie auf einen Standpunkt hin zu geleiten, von welchem sie im Stande sein möchten den Inhalt der in Betracht kommenden Hauptfragen zu tiberschauen und seiner Bedeutung nach zu würdigen. Diese didaktische Rücksichtnahme möge es entschuldigen, dass die Darstellung hin und da wohl ein zu lehrhaftes Gepräge aufweist.

V o r t o r t.

IV

Den

beiden Herren Astronomen

und Professoren

Dr.

Galle

zu

Breslau und Dr. Abbe zu Jena fühle ich mich verpflichtet meinen Dank auszusprechen für den erst von ihnen mir zuteil gewordenen Hinweis auf

die gegenwärtig

fälligkeit, mit welcher

brennendsten Fragen, sowie für die grofse

Ge-

sie schriftlich und mündlich Auskunft und Auf-

klärung, j a selbst Mitteilung über eigenste Forschungen und praktische Erfolge mir zukommen liefsen. N o r d h a u s e n im Jauuar 1885.

Der

Verfasser,

(vormals L e h r e r der Mathem. u. P h y s i k am Gymn. zu Nordhausen.)

Bedeutung der Buchstaben. (Vgl. § 10.)

(Vgl. § 79.)

A als P u n k t : Ausgangspunkt der Strahlen, Ort des Objectes. — A', B',... H'-, siehe § 68. als W i n k e l : der erste Strahl-axenwinkel § 2 1 , Fig. 1 und Fig. 4. B als P u n k t : Ort des vierten Bildes; als W i n k e l : der 5. Strahl-axenw. § 2 1 . C der Coefficient der zweiten Potenz der Elongation (e) in der Entwickelung der unendlichen Reihe -i- = C e 2 + De* + Ee6 +... 0 o0 Cn, Ct, siehe § 62, S. 152. D, E.. resp. die Coefficienten von e4, eG in derselben Reihen-entwickelung. F, die Brennweite der Flintglaslinse. I I besteht aus zwei Teilen. H = H"-\-H t , deren Bedeutung aus § 47, Gleichung (99.) zu ersehen ist. Hu ff2! Ht sind die sphärischen (r-Iorizontal-)katheten des § 45. Siehe Gl. (91.). L ist das, was in § 46, Gleichung (95.) zweite Zeile in j j steht. Siehe auch Gleichung (99.). V und M' Abkürzungen siehe Gleichung (18.). M, der Coefficient von q2 in der Entwickelung von A ——. § 46, Gleichung (95.) dritte Zeile. N, das Brechungsverhältniss des Flintglases. 0, 0 „ 0 2 , . . . Flächencentra (Pole) der brechenden Flächen (verschieden von P Abkürzungszeichen, siehe Gleichungen (28.) (85.) (87.) (88.). Q ein dergl., siehe Gleichung (102.). Äi, S ? , R3, R t sind Einfallswinkel; siehe § 21. ^ J Brechungs-indices des Flintglases für

m2 ...).

Strahlen §§ 59, 68, 71.

Fi, Vt, \\ sind sphärische (Vertikal-)Katheten, § 4 5 , Gl. (91.). X, Y, Z, als P u n k t e : Oerter des ersten, zweiten, dritten Bildes. als W i n k e l : Strahl-axenwinkel § 2 1 . o Entfernung des Objeclspunktes A von der ersten Linse. — a', b', ... h'-. siehe § 68. b Entfernung des 4. Bildes von der 4. brechenden Fläche (4. Bildweite). c, c', constante Zahlencoefficienten in § 76, § 78, § 91. c l t c3 Coefficienten in § 54, Gleichung (116.) und § 58. Desgleichen A,, /¡ 3 . ch, Zwischenraum (Hiatus) zwischen der zweiten und dritten Linse in Teil V.

VI

Bedeutung der Buchstaben.

e und e{, e2, e3, e 4 : Linear-entfernung (Sehne) des ersten, zweiten, dritten, vierten Incidenzpunktes von dein Pole der zugehörigen brechenden Fläche. /' Brennweite der Kronglas-linse. Aber in Teil IV ist / die combinierte Brennweite der ersten und dritten Linse. f\-/2,/s Teil IV und V § 8 3 , § 9 0 Brennweite der ersten, zweiten, dritten Linse. y, Abkürzungszeichen in der Farbengleichung (44.), § 18. i ?2 > 93 Abkürzungen § 43,. Gleichung (84.); § 45, Gleichung (92.). h Zwischenraum (Hiatus) zwischen der zweiten und dritten brechenden Fläche, (in der Axe gemessen). Aber in Teil IV ist es die Dicke der mittleren Linse. — h', Abkürzung, Gleichung (92.). /f3 siehe c1 c 3 . ¿L i auf S. 78 oben, ist ein kleiner Winkel in einer Figur. i an anderen Stellen z. B. § 33 ist der objectsseitig bezogene scheinbare Halbmesser einer Aberration, und zwar: ¿- iß der Beugungs-aberration, § 33, ix der Kugelabweichung, § 33, ii der chromatischen Aberration, § 67, S. 165. — ¿- j, scheinbarer Halbmesser einer Aberration, vom Orte des Oculares aus gesehen § 32, S. 80, uud zwar: jß, j j beziehungsweise der diffractorischen, sphärischen, chromatischen Aberration. k, k', constante Zahlencoefficienten in § 76, § 78, § 91. kd, k'd' Längen; sind Halbmesser von Abweichungskreisen in § 31, Fig. 5* und 5**; § 37, Fig. 6* und 6**; auch Fig. 11. Abkürzungszeichen, Gleichungen (3.), ( 5 . ) . . . , (23.). — ( nur in Gleichung (4.). m im 1. Teile ein Abkürzungszeichen, Gleichungen (3.), (5.), (6.), (8.); nur in §§ 5, 7, 12. m im IV. und V. Teile Brechungs-index der Glasart für die dritte Linse. m', die Vergrölserungszahl des Fernrores; m'

- —

bei Gleichung (71.), § 3 2 .

m,, w 2 , m z , m i t Punkte in den Figuren, Kugelcentra der brechenden Flächen. n, das Brechungsverhältniss des Crownglases. " i i "2> "3i Brechungsverhältnisse bei der 1., 2., 3., 4. Brechung. p Seite eines sphärischen Dreieckes und zwar sphärische Entfernung des Incidenzpunktes von dem (Oberflächen-) Centram 01 der ersten brechenden Fläche. § 45. P\ i Pi • von dem ersten, zweiten Incidenzpunkte auf die Axe gefällte Perpendikel Figuren 3*, 3**, 4. — Gleichung- (64.). q, Seite eines sphärischen Dreieckes, § 45. r, Brechungsverhältniss des Crownglases für rote Strahlen §§ 59, 68, 71. r i> r2> »3, r 4• die vier Kugelradien der brechenden Flächen, i , , s 2 , s3, s 4 Punkte in Figuren. s ist der Abweichungswinkel, Vinter welchem ein nicht in der Hauptaxe (sondern seitlich) befindlicher Objectspunkt von dem Ilauptpole der betreffenden Fläche aus gesehen wird, § 50. Fig. 10. t. E n t f e r n u n g des 5. Bildes von der 5. brechenden Fläche. Teil V. " » » 6. „ „ „ 6. , „ desgl. « und v Längen in Figg. 3* und 3**, desgl. in § 2 1 , Gl. (64.). v als Zahl: Brechungsverhältniss des Crownglases für violette Strahlen, § 5 9 etc. Pi, Pit P* sind die g e b r o c h e n e n W i n k e l § 21. 4>, B r e n n w e i t e d e s D o p p e l - o b j e c t i v e s § 18, Z u s . ; i n Teil IV u n d V des dreifachen. a, ß, A b k ü r z u n g e n i n § 4, ( v o r ü b e r g e h e n d ) . — ß0, ß, A b k ü r z u n g s z e i c h e n § 90. Yii J'2) J'3> Yt- A b k ü r z u n g s z e i c h e n f ü r Coefficienten, § 7 9 . J , Dicke der Crownglas-linse (in d e r A x e g e m e s s e n ) . S', i' A b k ü r z u n g s z e i c h e n in Gl. (92.) § 45. t im I., II., III., V. T e i l e : Dicke d e r zweiten L i n s e . < im IV. T e i l e : Dicke d e r d r i t t e n L i n s e , § 8 4 . f 0 , f j , vo, I n A b k ü r z u n g s z e i c h e n , s. § 10. Ä A b k ü r z u n g s z e i c h e n , G l e i c h u n g (102). & in Teil V, Dicke der d r i t t e n Linse, § 90. ^ |

A b k ü r z u n g e n § 7, § 11, G l e i c h u n g (12.).

E i n a n d e r e s l A b k ü r z , in § 62, Gl. (125.)

v A b k ü r z u n g •§ 54, G l e i c h u n g (116.) — auch in § (58.) S 0 , { , , A b k ü r z u n g e n , siehe § 10. p, H a l b m e s s e r des A b w e i c h u n g s k r e i s e s im Maximum der s p h ä r i s c h e n oder c h r o m a t i s c h e n A b e r r a t i o n = Max. kd o d e r k'd'. T, A b k ü r z u n g s z e i c h e n f ü r e i n e n e c h t e n B r u c h . § 31, u n d auch s o n s t . 7q, Tu siehe § 90. ist anstatt G zu schreiben ©. Seite 165, Zeile 2 J

I. T e i l .

Von den axononomen Strahlen. §1. Gesetz der B r e c h u n g . Wenn ein Lichtstrahl A'J (Fig. 1), von dem Punkte A' ausgehend, auf einen durchsichtigen Körper — etwa Glas — trifft, so dringt er in den letzteren zwar ein, geht jedoch innerhalb desselben keineswegs in derselben Richtung A'JA weiter, sondern wird nach einem gewissen Gesetze abgelenkt, welches folgendermafsen lautet: Geht ein Lichtstrahl A'J aus einem durchsichtigen Mittel in ein anderes, ebenfalls durchsichtiges über, so wird er bei seinem Durchgange durch die beide Mittel trennende Berührungsebene (— angedeutet durch BD —) dergestalt gebrochen, dass, wenn man in dem T r e f f p u n k t e J auf derselben ein Perpendikel (— E i n f a l l s l o t —) M'JM errichtet, der e i n f a l l e n d e Strahl A'J und der g e b r o c h e n e JX sammt dem Einfallslote in einer und derselben Ebene ( — B r e c h u n g s e b e n e , hier die Ebene des Papieres —) liegen, und dass die Sinus der Winkel, welche sie mit dem Einfallslote bilden, (— des E i n f a l l s w i n k e l s AJM und des B r e c h u n g s w i n k e l s XJM—) in einem für dieselben Mittel constanten Verhältnisse (— B r e c h u n g s v e r h ä l t n i s s —) stehen. Und zwar wird der Strahl, wenn er aus einem dünneren in ein dichteres Mittel übergeht, (zumal bei gleichem Aggregatzustande der Mittel), allermeist nach dem Einfallslote JM hin, und wenn er aus einem dichteren in ein dünneres tritt, von dem Einfallslote weg gebrochen, so dass also im ersteren Falle der Einfallswinkel AJM gröfser ist als der Brechungswinkel XJM; im letzteren umgekehrt. Immer aber ist bei Umkehrung der Mittel auch das Brechungsverhältniss das umgekehrte. Krämer, Fernror-objectivc. X

2

Uebergang aus Luft in eine Glaskugel.

§2.

§2. A b l e n k u n g e i n e s a u s L u f t in eine G l a s k u g e l e i n d r i n g e n d e n Strahles. Sei M (Fig. 1) der Mittelpunkt einer gläsernen Kugel; MO und MJRadien der Kugel; A ein leuchtender Punkt, d. h. ein solcher, von welchem eine unendliche Anzahl Strahlen divergierend ausgehend auf die Kugelfläche trifft, oder — wie hier in unserer Figur — nach welchem hin unendlich viele, die Kugelfläche treffende Strahlen (z. B. A'J, A"0, A"'K) zu convergieren streben (— in welchem letzteren Falle man den Punkt A ein g e o m e t r i s c h e s , e i n g e b i l d e t e s , imag i n ä r e s Object zu nennen pflegt —): so zeichnet sich vor den unendlich vielen p r i m ä r e n ( — d . i . von A kommenden, oder dahin gerichteten —) Strahlen einer (— nämlich A"MA —) dadurch aus, dass er durch den Mittelpunkt M geht. Wir nennen die unbegrenzt gedachte Linie AM die Axe; ihren Durchschnitt mit der Kugelfläche (— nämlich O —) den P o l ; jenen ausgezeichneten Strahl A"0 den P o l a r s t r a h l bezüglich des Objectes A. — Andere ganz nahe bei dem Pole O auftreffende primäre Strahlen heisseu C i r c u m p o l a r s t r a h l e n ; entfernter einfallende (— wie A'J, A"'K—) heissen Z o n e n s t r a h l e n . Es ist ersichtlich, dass alle solche primären Strahlen, welche in gleichen Entfernungen von dem Pole O auf die Glaskugel treffen (— also welche einer und derselben Zone angehören —), nach erlittener Brechung, — genugsam vorwärts oder rückwärts fortgesetzt —, sich in einem und demselben Punkte der Axe durchschneiden müssen. Betrachten wir nun näher den in der Ebene des Papieres befindlichen Zonenstrahl A'J. Die Brechungsebene ist eben die des Papieres. MJ ist das Einfallslos, A'JM der Einfallswinkel; XJM der Brechungswinkel; n : 1 das Brechungsverhältniss aus Luft iu Glas, und so ist dem Gesetze der Brechung gemäfs: sin A'JM': sin XJM = n: 1, wo n für verschiedene Glassorten von verschiedener Gröfse, bei allen aber bekanntlich ohngefähr f , oder ein weniges gröfser ist. — Der Zonenstrahl A'J also, welcher von A' bis J seiner Richtung nach A hin treu blieb, wird in dem Punkte J geknickt, so dass er die Axe nicht in A, sondern in X durchschneidet. Dasselbe thun alle ihm gleichwertigen Zonenstrahlen. — Yon allen primären Strahlen überhaupt dringt nur ein einziger, der Polarstrahl A"0, ungebrochen in die Glaskugel ein, und er allein erreicht wirklich den Punkt A, vorausgesetzt, dass der Glaskörper so weit reicht.

§3.

3

Erste Bildweite.

§3. G l e i c h u n g f ü r die Bildweite. Unsere nächste Aufgabe ist nun die, die Entfernung des Punktes X (Fig. 1) von dem Kugelcentrum M, resp. dem Pole 0 genau zu bestimmen. — Es sei die Distanz des leuchtenden (in dem Falle der Figur eingebildeten) Objectes A von dem Pole 0, also die Linie OA = a; die Länge der Kugelsehne OJ = e; der Radius der Kugel MO = MJ — r; — die gesuchte Entfernung OX = x. Diese letztere soll ausgedrückt werden durch a, r, n, e, und zwar entwickelt nach steigenden Potenzen von e. Man denke sich von dem Kugelcentrum M auf A'A und JX Perpendikel gefällt. Ihre Längen müssen notwendig in dem Verhältnisse n : 1 stehen. Von diesen Perpendikeln ist aber ersteres gleich MA.&mA; und letzteres = M X . s i n . X . Demnach ist also: MA.rn.nA : JWX.sinZ = n \ 1, MX MA

sin -, sinX '

, . und auch

=

JX JA '

letzteres aus Betrachtung des Dreieckes JXA. Da nun MX — x—r, MA = a—r ist; ferner JX2 sich aus JM, d. i. r, aus MX, d. i. x—r, und dem Winkel JMX, d. i. 180°—c, — und da endlich JA2 sich aus MA, dem Radius JM und demselben Winkel JMA = 180°—c bestimmen lässt: so gelangt man zu der Gleichung 2 (x—j') 2 -|-r 2 -|-2r(«—r)cosc 2 (x—r) ( a — r ( a — ry-> r r' i -\-2r(a—?-)cosc ' oder auch , (x—r)2 n (a—r)2y £

2 a? 2 —4(x—rV.sin -^K J 2 , ., . „ c a — 4 { a — r jNr . s i n -gu

Nun ist aber 2r.%m-^- = e, also , n'

(x—r) (a—rY' v '

T ~ — e2

a2

a—r

e

„ '

oder was d. i.

(1.)

(\r ¿ - ¿x yJ \r

a}

i - ix - \ i ri - i -x )] . a \ r

a ] 1*

4

§3, §4.

Erste Bildweite.

Die erste der letzten vier Gleichungen bildet die Grundlage eines der wichtigsten Abschnitte der ganzen Dioptrik überhaupt. Deswegen sollte niemand, der sich mit letzterer Disciplin ernstlich zu beschäftigen gedenkt, die kleine Mühe scheuen, sich von ihrer strengen Richtigkeit für alle möglicherweise eintretenden Fälle durch Einzeluntersuchung auf das unzweideutigste zu überzeugen. Bezüglich der Vorzeichen liegt die Sache nicht gerade so ganz einfach, dass auf den ersten Blick vollkommene Ueberzeugung zu erlangen wäre. Die Einzeluntersuchung zeigt, dass j e n e Gleichung — und also auch die letzte mit (1.) bezeichnete — für alle denkbaren Fälle Gültigkeit besitzt unter folgenden Festsetzungen: W i r denken uns den W e g des Lichtstrahles stets von der Linken nach der Rechten gerichtet (hier A'J, dann JX). Wir denken uns den Pol 0 als Abscissenanfang für die Entfernungen OA und OX, und zwarr ist die Entfernung OA

{

rechtsl links J

V0T1

j ^ g g ^ j ^ ] aufzufassen, j e

nachdem

der

^ S e ^ e S e n ' s t ! ebenso bezüglich der Entfernung OX.

Der Kugelradius r gilt als ( ^ g ^ ^ J i j® nachdem das Kugelcentrum

{

rechtsl

links J

VOn

^

J e nachdem die die Mittel trennende Kugel-

fläche dem stets von links kommenden primären Strähle ihre | c o n v e , IconcaveJ SeiteEndlich zukehrt.ist beim Uebergange aus 1Luft in Glas das Brechungsverhältniss n : 1, dagegen aus Glas in Luft — : 1 zu nehmen. w Dieser allgemeinen Gültigkeit entsprechend hätte die Ueberschrift dieses Paragraphen eigentlich lauten sollen: Ablenkung des Strahles und Bestimmung der Bildweite nach der Gleichung (1.)) für den Fall, dass die die Mittel trennende Fläche kugelförmig ist. §4. R e i h e n e n t w i c k e l u n g der B i l d w e i t e ; die drei

Anfangsglieder.

Durch Auflösung der quadratischen Gleichung (1.), welche aufser x nur die als bekannt vorausgesetzten Gröfsen a, r, n, e enthält, könnten wir leicht einen geschlossenen Ausdruck für x entwickeln, wenn uns daran gelegen wäre. Allein wir bedürfen vielmehr einer nach Potenzen von e fortschreitenden Reihenentwickelung, zu welcher wir ziemlich einfach in folgender Weise gelangen.

§4.

Erste Bildweite.

5

Setzen wir der Abkürzung wegen (vorübergehend) — — = — ,1 so dass also — = — r a y x r durch eine leichte Umformung

ß

— =

ist, so erhalten wir aus vCl.") J '

P - ^ T ^ a ( n \ \ \ , oder auch ß2— -2-e* = » V — — \ e \ •> e , r ' \ a J ' r Y y-H« s r und bedienen uns zur weiteren Entwickelung der Methode der unbestimmten Coefficienten, indem wir, da j a nur die g e r a d e n Potenzen von e auftreten können, ß=Ct+C,e'+Ciet-+~.. setzen. Also: =

Ct+2C0Cle*+(Cl+2C0Cjet+...\

ß> = r

folglich:

r

r

)

woraus durch Vergleichung und Wiedereinsetzung von a, r, x anstatt 7t der Hülfsgröfsen y und ß zunächst folgt: C 0 = ± - j —• Wir r a werden weiter unten sehen, dass nur das obere Vorzeichen -+- gelten kann. So erhalten wir: 0

C*

1 r (n— l)(n+l)

8ra3

oder auch

_

1

1 ' a fl

1

» + 1\ /1

a)\r

\ r 1V/1 a) \r

a

a ) \r w+lUl a )\r

J\r

/' n—1\

:

a

a ) n—IUI a )\r

n 1 —1\ a )i

|

n— \r

r

a

n-h 1

(n—l)(w+l)/l lßre5 Vf Hieraus: 1 n x

\ r

I U I

\r

=

r

n

a

)

a \ r

a) \ r

a

) \ r

a

)

' "

6

Erste

Sodann nach geschehener Umkehrung formung:

- = ( 1 - i u + i

)

x

\

n)

r

na

i+.•

§4.

ßildweite.

L 2r

\r

und entsprechender Um-

_ i y ( i _ j l ü ) ] .+ a ) \r

a Ja

~~>re 4n' (r a) ( r a Das l, welches einen Factor des Coefficienten von el ausmacht, ist eine Abkürzung, welche bedeuten soll: -1(1 l\Vl q+l\ n l ~ l3 2n \r a) \ r a J' d. i. den Coefficienten von e\ Es blieb vorhin noch unentschieden, ob der aus der Gleichung ß J L

= n2y2—

+ 1 j e2

für e = 0 erlangte Wert von ß gleich -i-ny oder gleich —ny zu setzen sei, also 1 n X Z X "

=

—

i

'

•r x r a Bedenken wir, dass in dem Falle: n = 1, d. h. wenn bei dem Uebei-gange aus einem Mittel in ein anderes passend gewähltes eine Brechung Uberhaupt n i c h t stattfindet, der Durchschnitt des nicht gebrochenen Strahles A'J mit dem unbegrenzten Polarstrahle nirgends anderswo sein kann, als in dem Punkte A, — also unter dieser Voraussetzung x = a sein muss, und zwar für jedes e, also auch für e — 0 — : so erkennt man, dass nur das obere Vorzeichen -+- Gültigkeit besitzt. (Beiläufig mag man sich auch überzeugen, dass in obiger Gleichung n2— v 4-1 ß gleich Null der vollständige Coefficient von e2, nämlich — —, a r wird für n = 1 und x — a.) Die Gleichung (2.) lehrt uns, in welcher Entfernung x von dem Polpunkte 0 derjenige Puukt X zu finden sei, nach welchem hin die zu einer und derselben Elonga"tion e ( — einer und derselben Zone — ) gehörigen Strahlen nach erlittener Brechung gerichtet sind, (resp. von welchem Puukt der Axe sie alsdann herzukommen scheinen). Träfen dieselben auf ihrem Wege dahin überall nur dasselbe Mittel an, so würden sie in der That nach X gelangen, hier ein sogenanntes p h y sisches B i l d machen, und über X hinaus in ähnlicher Weise weiter gehen, als wäre X selbst ein leuchtendes Object. Die Anzahl der in X sich durchschneidenden Strahlen ist allerdings eine unendlich grofse, aber dessenungeachtet im Vergleiche mit der Anzahl der gesammten

§5.

Regelabweichung.

7

primären Strahlen überhaupt doch nur eine unendlich geringe, da j a zu jeder anderen Elongation ein anderes x gehört. Woraus zugleich erhellt, dass eine Wiedervereinigung a l l e r von dem leuchtenden Object A ursprünglich ausgegangenen (— oder dahin gerichtet gewesenen —) Strahlen im allgemeinen ein Ding der Unmöglichkeit ist. Dass dem so und nicht anders ist, das liegt an der Kugelgestalt der brechenden Fläche. Sollten sämmtliche Circumpolar- und Zonenstrahlen nach der Brechung wieder in einen einzigen Punkt zusammenlaufen, so dürfte die die Mittel scheidende Fläche eben nicht eine sphärische, sondern müsste eine anders gestaltete (etwa ellipsoidische, parabolo'idische) sein. §5. Kugelabweichung. Die B i l d w e i t e der dem Pole allernächsten Circumpolarstrahlen, welche wir mit x0 bezeichnen wollen, findet sich aus Gleichung (2.), wenn wir daselbst den Wert des e uns bis zu Null abnehmend vorstellen. Durch Einführung der von e unabhängigen Constante x0 lässt sich Gleichung (2.) auch so schreiben: 1 1 b l.e2-\-m.ei~\ , worin

(3.)

Diejenige Gröfse, um welche eine zu einer bestimmten Elongation e gehörige Bildweite x von der Bildweite x0 der allernächsten Circumpolarstrahlen verschieden ist, bezeichnet man mit dem Namen s p h ä r i s c h e A b e r r a t i o n , K u g e l a b w e i c h u n g ; wir werden auch gebrauchen S p h ä r i s m u s . Je gröfser der Unterschied zwischen x und x0, desto gröfser wird auch der Unterschied zwischen — und — sein; daher x x0 kommt alles auf die Gröfse von i « ' + m e 4 H an. Und da in allen von uns in Betracht zu ziehenden Fällen die Elongation immer verhältnissmäfsig geringfügig sein wird, so handelt es sich vorzugsweise um die Gröfse von le2.

8

Zweite Bildweite.

§6-

Brechung der Strahlen durch ein Linsenglas. (§§ 6—11.) §6. Aufstellung einer Gleichung. Es ist von höchstem Interesse, den Weg eines schon einmal durch eine Kugeloberfläche gebrochenen Strahles weiter zu verfolgen für den Fall, dass die Stelle des Glaskörpers, wo der Strahl aus demselben aus-, und wieder in das Medium der Luft eintritt, ebenfalls kugelförmig ist; also wenn der von dem Lichtstrahle durchwanderte Glaskörper eine sogenannte L i n s e (— in der allgemeinsten Bedeutung —) ist. Die beiden Radien der Kugelflächen bezeichnen wir mit rx und und bleiben bei der obigen Regel (§ 3, gegen Ende), n a c h w e l c h e r wir e i n e n R a d i u s f ü r p o s i t i v o d e r n e g a t i v a n s e h e n , j e n a c h dem die convexe oder die concave Seite der K u g e l o b e r f l ä c h e v o n d e m (von l i n k s her k o m m e n d e n ) S t r a h l e g e t r o f f e n w i r d . — Es wird hieran aus dem Grunde hier nochmals erinnert, weil in den Lehrbüchern meist nach einer andern Festsetzung verfahren wird. Die (unbegrenzt gedachte) Verbindungslinie der beiden Kugelmittelpunkte heisst d i e A x e d e r L i n s e . Zuvörderst werden wir uns nur mit den a x o n o n o m e n Strahlen, d . i . solchen befassen, welche primär von einem in d e r A x e s e l b s t g e l e g e n e n P u n k t e ausgehen, oder nach einem solchen hin gerichtet sind. Sei A',Jl in Fig. 2 der primäre Strahl, dessen Weg wir speciell untersuchen wollen. Von Haus aus nach einem (in der Fig. gar nicht angegebenen) Punkte der Axe hin strebend, nimmt er nach der ersten Brechung in dem Punkt J , eine solche Richtung innerhalb des Glaskörpers an, als wollte er nach dem Punkt X hin gehen. Er kann jedoch diese Richtung nur von dem Punkt bis zu dem Punkt J a verfolgen,. weil er hier bei seinem Austritte aus dem Glase und Wiedereintritte in die Luft eine abermalige Brechung erleidet, so dass er die Axe nicht in dem Punkt X, sondern in einem anderen Punkt Y erreicht, dessen Entfernung 0 2 Y von der zweiten brechenden Fläche mit Hülfe der Gleichung (3.) durch entsprechende Buchstabenvertauschung gefunden werden kann. — Das durch die erste Brechung intendierte Zonenstrahlenbild in X dient nämlich bei der zweiten Brechung als leuchtendes Object für eine auf der z-weiten krummen Fläche liegende Zone, deren Sehnenabstand von dem Pole 0 3 (— nämlich die Kugelsehne 03J2 —) durch einen einfachen Buchstaben e2 bezeichnet werden soll. — Man sieht leicht ein, dass man, wenn man die Dicke des Glases

Zweite Bildweite.

§6, § 7 .

9

in der Mitte ( — also — ) gleich 6 setzt in der Gleichung (3.), um sie für den Zweck der z w e i t e n Brechungsberechnung umzuformen, anstatt a wird schreiben müssen OtX—0l02, oder x—ä, welche Vertauschung wir so andeuten wollen: a ^ x — S . — Ferner wii'd man anstatt r r2 setzen müssen. — Die Entfernung des neuen oder zweiten ( — in dem speciellen Falle der Figur wirklich in der Luft zustande kommenden — ) Bildes Y von der neuen brechenden Fläche, also die Länge 0 2 Y, wollen wir mit y bezeichnen; demnach wird mau zu setzen haben xy. — Ferner anstatt e

1 r

1 r2

1 a

7

1 x —d

W i r werden jedoch in e i n e m Punkte etwas allgemeiner verfahren, und zwar anstatt n nicht — , sondern lieber n„ setzen; so wie wir auch n ' ' in dem weiteren Verlaufe unserer zunächst bis zu vier Brechungen sich erstreckenden Untersuchung die folgenden Brechungs-indices durch n3 und nt ausdrücken werden, teils weil bei dieser Bezeichnungsweise gewisse Regelmäfsigkeiteu der Formeln leichter entdeckt werden, teils auch um die Ergebnisse auf den Fall anwenden zu können, dass etwa der Strahl nach jeder stattgehabten Brechung in ein neues, von allen vorhergegangenen verschiedenes Mittel gelangte. So erhalten wir: 2

i ^ y

-

\

J

L W ^ n3J r,

i

Jw.,-1/1

(40

U 2\

2n\

i 1

W l

n.-f-l \\

\r2

1 (J_ 4n\ V »-,

* V ^ x — d r

+

M ^ x— S

wo V der Abkürzung wegen den in { } eingeschlossenen Coefficienten von e\ bedeutet. §7. W e i t e r e U m g e s t a l t u n g d e r G l e i c h u n g (4.). So ist denn nun allerdings eine Gleichung für — aufgestellt, aber sie ist noch weit von derjenigen Form entfernt, welche unseren Zwecken genügen könnte; denn wir bedürfen einer Gleichung von folgender

10

Z w e i t e Bildweite.

§ 7.

Beschaffenheit: —

=

—

y y *

+

— ,

in welcher die Greisen — , X, fi Constanten, d. h. von der Elongation unabhängig sind, und in welcher die Hauptgröfse nach deren Potenzen die Reihe fortschreitet, dieselbe ist, wie in Gleichung (3.), nämlich e, und nicht e2. — Keiner von diesen vier Nebenbedingungen entspricht die an sich ganz richtige Gleichung (4.). Denn in derselben ist das von der Elongation gänzlich Freie noch nicht gehörig abgesondert, insofern als ——^ einer Entwickelung nach Potenzen der e r s t e n x—d Elongation e (— die wir von jetzt an mit el bezeichnen wollen, ebenso wie der Radius der ersten Kugelfläche fortan durch r, dargestellt werden soll —) fähig ist. Dieselbe Gröfse

erscheint wiederholt,

sowohl in dem Coefficienten von e\, als auch von e\. Endlich ist die zweite Elongation eine andere als die erste el, wenn sie auch in der Mehrzahl der Fälle nicht allzusehr von ihr abweicht. — Unser nächstes Geschäft wird also sein müssen, die Gleichung (4.) so umzuformen, dass die angegebenen Bedingungen erfüllt werden. — Erste Frage ist: Wie gestaltet sich die Entwickelung von — w e n n , X' 0

wie Gleichung

(3.) lehrt,

— =--+-le\-{-me\-f—• ist? 1 1 x x0 Aus der Gleichung (3.) folgt zunächst durch Reversion, jedoch mit Uebergehung der die vierte Ubersteigenden Potenzen von ex\ x = x0—x\le\ — (oc\m — x\P) e f ,

folglich x—S = x0—6—xl

le\—(x\m—x\

P)e\,

ferner

hieraus 1 x—d

1 L x0—ö

x o x0 l' e11 x0—rf

und nach einer geringfügigen Transformation, da namentlich

§7. 1 :-=

x0—d

x0—ö

, ,

und

V x0—d

Für die Constante x0-—welche wir ein einfaches Zeichen —

11

Zweite Bildweite.

J

=

x0—o

ist:

sehr häufig auftreten wird, setzen

desgleichen für den Bruch — ^ - r

das einfache Zeichen '£.: endlich für den umgekehrten Wert

oder —

das Zeichen | 0 , also: X 0 fc . ^ r — sM

X X 0 ä \ V ——— — —- —

Es bedeutet demnach ein einfaches x ohne Marke die variable, d. h. die von der Elongation abhängige Entfernung des ersten Bildes (Oj-X in Fig. 1). Dagegen x0 mit der Marke o ist die Entfernung desjenigen Bildes, welches der Elongation Null entspricht, also derjenige Grenzwert, welchem sich die Bild weite ohne Ende n ä h e r t , wenn die Elongation bis auf Null abnimmt. xx aber = x0—6, d. i. die Constante x01 vermindert um die Dicke des Glases; also ebenfalls constant. Desgleichen sind die Quotienten und — , die wir durch und £0 bezeichnen, constant. Die Marke des £ stimmt jedesmal mit der Marke des Nenners in dem gleichwertigen Bruche. und £0 sind einander reciprok, ihr Product ^ ^ also genau = 1 ; jedes einzelne von ihnen ist, da 6 in der Regel eine gegen x0 verhältnissmäfsig sehr kleine Gröfse ist, gewöhnlich nahezu gleich 1. Absolut genommen ist das gröfsere, also ein unechter Bruch, wenn nämlich x0 positiv ist; umgekehrt, wenn x0 negativ ist. — So schreibt sich die Gleichung: (60

^

=

Q;\m+di\l*).e\,

wo l und m die in Gleichung (3.) angegebene Bedeutung haben. — Um die Gleichung (4.) in die gehörige Form zu bringen, bedürfen wir ferner der Entwickelung von

(_l_

i

y p L - ^ 4 )

V r2 x—öj \r1 x—ö ) nach Potenzen von en jedoch blos bis zu der Potenz e\ einschliefslich, da die eben genannte Function in Gleichung (4.) bereits mit e\ multipliciert erscheint. Mit Hülfe von Gleichung (5.) und unter Weglassung der die zweite (— nämlich e\ —) tibersteigenden Potenzen erhält man leicht

§ 7, § 8.

Zweite Bildweite.

12

« — d / \ r2 =

[i l_r2

i IV i \r

»,+n /

2

¿e—d ]

r i i]C3n2+3 Ln, «jJV

»,+3^

Was nun den Coefficienten von e\ in Gleichung (4.) anbetrifft, so 1 geradezu schreiben müssen wir innerhalb desselben für

-S

d. i. — , da wir doch nur höchstens noch die vierte Potenz der Elongation in Betracht ziehen wollen. So gestaltet sich denn die Gleichung für — z u n ä c h s t wie folgt:

y

2n\ Lr2

)2

Ir,

11 ( 3W8+3

in

(8.)

«J

2 n\i L r,

x1 J \

tlfl +±l'(i_itL)x ¿n\ L r x, J v r x ) t

2

1

^ 4nl [ r., x, _ ( §8. R e l a t i o n z w i s c h e n der ersten und z w e i t e n

3w 2 —3

r1)'

Elongation.

Es erübrigt noch e2 auszudrücken in einer Entwickelung nach Potenzen von ex. Es ist in Fig. 3*: 01X = 0 , 0 2 = i und p i - p 2 = x — u : x — 6—v. Indess ist diese Gleichung nur dann gültig, wenn die zweite brechende Kugelfläche J 2 0 2 nicht allzuweit von der ersten J1Ol entfernt ist, so dass der gebrochene Strahl -

± . • •) [ l -

]•

Die niedrigste Potenz Ton e1, welche linker Hand auftritt, ist e\ Wir würden bei wirklicher Entwickelung und Darstellung der einzelnen Glieder erhalten links ¡-¡e2, rechts A2e2, woraus wir folgern A2 = A — ± £ 0 ; Vorzeichen unentschieden. Die dritte Potenz von ei tritt links gar nicht auf, aber rechts erhalten wir 2ABe\, woraus da A nicht Null ist, mit Notwendigkeit folgt B = 0. Gehen wir weiter zur vierten Potenz von en deren Coefficienten (in Berücksichtigung des so eben Gefundenen) sind 2 1 1 A2 11 A* links _ g o J ! _ _ 2 ! 0 0< H — i 0 ± • rechts — — — A ^ l A C ~ Ar\ x0 r2 ' x0 r, Ar', Lösen wir die Gleichung für 2^46' auf, indem wir im übrigen £J anstatt A2 schreiben, so erlangen wir: 2^6' = - 2 J :

j - S . ±

-

±

-

-

£!

-¿r)}.

14

Zweite Bildweite.

§ 9, § 10.

Dieses Resultat überhebt uns der Mühe, wegen des vorhin unbestimmt gebliebenen Vorzeichens eine Untersuchung anzustellen, da 2AC — welcher Grösse wir allein bedürfen — sich unzweideutig darstellt. — Das iu {j Enthaltene lässt sich in die Form eines Productes bringen, so dass die obige Gleichung für sich sohliefslich so gestaltet: (9.)

§9. F e r t i g s t e l l u n g der G l e i c h u n g für die z w e i t e Bildweite. Nun endlich sind wir in den Stand gesetzt, die Gleichung für y in derjenigen Form zu erlangen, welche wir begehren (siehe Anf. v. § 7). Wir setzen den in Gleichung (9.) stehenden Ausdruck für ee'2 in die Gleichung (8.) ein, und erhalten so:

(10.)

^ U-1 / r2

V +«2

n„

-i

n

2n 2

n

2

nl L n 2n¡ Lr,

3w„H—3

Vr,

»„4-3 l

1+ ri

x J 4n¡ír

11/:3—n,

3

:

^2 t 2 P )' Wegen der Bedeutung von l und m siehe Gleichung (3.). 3

§. 10. E i n f ü h r u n g kurzer Zeichen für z u s a m m e n g e s e t z t e Functionen.

v

Um nicht den Gang der Untersuchung auch noch an späteren Stellen zu oft unterbrechen zu müssen, sollen gleich jetzt auch die Abkürzungszeichen für solche Functionen m i t aufgeführt werden, welche bis jetzt noch gar nicht vorgekommen sind. — Da unsere Untersuchung sich bis zu vier Brechungen ausdehnen wird, so setzen wir gleich hier folgendes fest: Die vier R a d i e n der brechenden Flächen seien der Reihe nach r ii r21 r3i r i i vier B r e c h u n g s i n d i c e s n n n 2 , n 3 , n 4 .

15

Kurze Zeichen für Functionen.

Der Zwischenraum zwischen der ersten und zweiten

brechenden

Fläche (d. i. 0 , 0 2 in Fig. 2, D i c k e d e r e r s t e n L i n s e ) sei i. Der Zwischenraum

zwischen

der zweiten und dritten brechenden

Fläche (d. i. der Zwischenraum oder H i a t u s zwischen den zwei hinter einander aufgestellten Linsengläsern) sei h. Der Zwischenraum zwischen der dritten und vierten Fläche ( — d i e D i c k e d e r z w e i t e n L i n s e — ) sei e.

brechenden

—

Die Entfernung des ersten Bildes von der ersten brechenden Fläche ( O j . X ) , oder die e r s t e B i l d w e i t e , sei Die z w e i t e B i l d w e i t e gerechnet, d. i. 0 Die

2

Y ) sei

(von

x.

der zweiten brechenden Fläche an

y.

d r i t t e B i l d w e i t e (von

der dritten

brechenden Fläche

an

gerechnet) sei z. Die Entfernung

des

vierten Bildes

von

der vierten

brechenden

Fläche, also die v i e r t e B i l d w e i t e sei b. Die E n t f e r n u n g

d e s leuchtenden O b j e c t e s

brechenden Fläche ( 0 A

A

von der

ersten

in Fig. 1.) sei a.

Die vier B i l d w e i t e n , insoweit sie von der Elongation unabhängig sind (d. h. also f ü r e = Die Abkürzungen xit

o), seien x0, yl,

= x0—d;

yx = y0

Weitere Abkürzungen sind:

Ferner:

y0,

20,

b0.

z, bedeuten:

h; z, = z0—e.

16

Kurze Zeichen für Functionen.

3—n 3

§ 10.

3»;—3'

|

Weiter:

=

\

IT —»

a ' 3#2+3 . xl ' 3ra,+3

y j v • Vx y, '3W4+3

**3

r3 - ; W 4 +3" T ~ r

—^TJ v—^

Die erste Function (an) tritt in unseren Rechnungen gar nicht auf, wohl aber die folgenden. Uebrigens ist, wie j a auch aus der Entstehung hervorgeht: , N ..!.; n2 x,

i . f l ; LJ'

^

„_{}. U

Es entspricht unserem Zwecke zur Genüge, dass die Entwickelung eben nur in der angegebenen Ausdehnung, d. h. bis zur 4. Potenz von «j durchgeführt worden ist. J a in den meisten Fällen wird uns schon die Kenntniss des Coefficienten von e\ vollständig gentigen. Später wird gezeigt werden, wie man auf trigonometrischem Wege die Vereinigungsweite für die einer beliebigen Sehne e entsprechenden Zonenstrahlen ganz exact berechnen kann. Die dazu dienlichen Formeln reichen jedoch zur Erlangung u n s e r e s Zieles keineswegs aus, welches dahin geht, anzugeben, welche Krümmungshalbmesser ( ^ , r 2 , r 3 , r 4 ) die beiden Linsengläser, aus welchen man achromatische Objective zusammenzusetzen pflegt, erhalten müssen, damit die sphärische Abweichung so gering als möglich ausfalle, und aufserdem die bei jeder Strahlenbrechung eintretende Farbenzerstreuung bis zu einem für das Auge nicht mehr bemerkbaren Grade ermäfsigt werde. Hierzu bedürfen wir der Reihenentwickelung nach Potenzen von el, und vorzugsweise des Coefficienten der niedrigsten vorkommenden Potenz e\. K r a m e r , Fernror-objective.

2

18

§ 12.

Dritte Bildweite.

Hinzutritt einer zweiten Linse. (§§ 12—IB.) §. 12. G l e i c h u n g für d i e d r i t t e B i l d w e i t e . Lässt man den aus der ersten Linse heraustretenden, bereits zweimal gebrochenen Strahl nunmehr auf eine in der Regel nicht weit hinter der ersten auf dieselbe Axe „aufgezogene" zweite Linse treffen, so wird er noch eine dritte und vierte Brechung erleiden, und es werden, wie bisher, die gleichwertigen Zonenstrahlen (d. h. alle diejenigen, welche einer und derselben ursprünglichen Elongation entsprechen) auch nach der dritten und vierten Brechung jedesmal nach einem und demselben Punkt der Axe hinzielen, oder — wenn sie etwa divergent weiter gehen — von einem und demselben Punkte der Axe herzukommen scheinen. Zunächst die dritte Brechung anlangend, so dient das zweite Bild, dessen Entfernung von dem Pole der zweiten brechenden Fläche gleich y ist, als Object. Da wir nun (siehe die Gleichung (11.)) den Zwischenraum oder Hiatus zwischen den beiden (— gewöhnlich so dicht als möglich hinter einander aufgestellten —) Linsen mit h bezeichnen, so ist die Entfernung des zweiten Bildes Y von dem Pole der dritten brechenden Fläche gleich y—h; das neue Brechungsverhältniss n3:1; der neue Radius r 3 ; die neue, jetzt in Rechnung zu nehmende Elongation e3; die gesuchte Entfernung des dritten Bildes Z von dem Pole der dritten brechenden Fläche bezeichnen wir mit z. Nach diesen Festsetzungen wird es uns leicht, die Unbekannte z, oder deren Reciprocum -j- zunächst wenigstens in eine Gleichung zu fassen, deren weitere Umformung dann freilich etwas beschwerlicher werden wird. Wir bilden die Gleichung nach dem Vorbilde von (3.) wie folgt: (13.)

worin J soviel bedeutet wie den in j } eingeschlossenen Coefficienten von e\. Wir bilden nun die Gleichung für

y—h

T

nach dem Muster der

§ 12.

Dritte Bildweite.

19

Gleichung (6.), und mit Benutzung der Abkürzungszeichen in (11.): (14.)

= y n yi worin X den Coefficienten von e\, und p den von e\ in Gleichung (12.) bedeutet. Ferner ist nach dem Vorbilde von Gleichung (7.): (J_ \r3

(15.)

1 W 1 y—h) V r3

»3+1) y—h

)

_

3 JiJ Vx ' Lr3 i/JV r3 J In dem Coefficienten von e\ in Gleichung (13.) haben wir an Stelle

y,

von — o h n e weiteres zu schreiben — — T , d. i. — , da wir doch die V—h y—V Entwickelung nur bis zu dem mit e\ behafteten Gliede ausführen. So erhalten wir unter Benutzung der Abkürzungen in (11.): (16.)

- = f i — - ) y— • + — — n \ 2 V n"3j r.3 n33 y. n..i l

(-2

v M

+ n l

-

-¿r

Und doch ist dies fehlerhaft, denn die Gleichung (9.) entsprang aus der nach Potenzen von ei entwickelten Gleichung für — , welche war ¿c == — —

x

—

Ebenso müssen wir jetzt aus einer nach Potenzen von

(nicht e,) ge-

ordneten Gleichung für — die gewünschte Gleichung für e\ herleiten. Es ist nach Potenzen von y

yo

20

§ 12.

Dritte Bildweite.

und nach Potenzen von e„: — 2 / =2 / 0— (weil nämlich nach Gleichung (9.) e\ folglich = —• ist). Hieratis ersieht man, dass in obigem Ausdrucke, damit er richtig werde, zu X noch der Factor hinzugefügt werden muss. Es ist also mit Rücksicht auf (11.): «I

=

V l e l + i - ^ t f X + t i C r ^ e l - t - . . .

Daher nach Gleichung (9.) =

Vi

tt-e\+

( v i

tt

( - f - v t

tt

(r, r ,

y ) ) . , • -

(17.) und

4toei"

Setzen wir diese Werte in die Gleichung (16.) ein, so verwandelt sich dieselbe nach einigen geringfügigen Reductionen und teilweiser Beseitigung von l, X, (x nach Mafsgabe der Gleichungen (3.) und (12.) ( — denn an einigen Stellen trägt es zur leichteren Uebersicht bei, wenigstens l und X vorläufig noch beizubehalten — ) in die folgende: ( 1 8 . )

worin

1

=

J _

V

n

—

~1

=

—

1 v i r ,

AT

+ . L ' e \ + M ' e \ - \ -

r a ( n a n ) -

Vi

321

j

r ,

r a -

n , y. 2/i t?2£2 —

v l t t r x ( n x r i ) -f

V i t t

/ J2

£2

- r a ( x n ) - \ —

-f- è ( - l l l L p— 2 -

n„

2

v i s «

r y ,

r y ( n y n ) -

fl3

__

I - ^ i — ra-\——

Irx—

V l t t

A i i ^ r x n , n„

\ r x

( w ) +

- I r y j •

V n3n2 \n%

n3

v j

§13. G l e i c h u n g für die v i e r t e B i l d w e i t e . Wir gehen nun über zu der Entwickelung der Gleichung für - y

§ 13.

21

Vierte Bildweite.

Nach dem Muster von (3.) bilden wir:

i (19.)

o

\

(i_JL)JL+!_i_+ ntJ

2n\

\ r

r

n

4

z—•£

t

z—e

t

'

z—s

))

^

— rz ( n z n )

,e\-

In dem Coefficienten von e\ ist gleich anstatt 3 gesetzt z 0 , also z 0 —s anstatt 2—s (vgl. das zu Gleichung (15.) Gesagte). Ferner bilden wir nach dem Muster von (6.):

(20.)

und nach dem Muster von (7.): n.—

2 n\

L_V(. J Vi

zz—e —e.

\ r4

4 + 1 \I 4

Z

£J

—

=

r zz - ^ \ L X z n ) . e \ -

Hieraus erhalten wir:

(21.) +

ni

e\+

- i - % L'(zn).e\e\-*r « ( « « » ) .« «4 «4

4

M ~ . •

Und nun muss zunächst e4 durch e3 ausgedrückt werden, wobei wir von der Gleichung 3

0

, folglich auszugehen haben, da nämlich = — ; e\ = rf\ ,el~\ e i 1 = ^ \ r j ] . e l ist. — So erhalten wir nach dem Muster von (9.):

und setzen hier hinein die in Gleichung (17.) schon nach Potenzen von öj entwickelten Werte für und e\, wornach folgt: ( * • , * ) + r . nt r

(22.)

0

„ 4 nt

(r, r < « »

e

\

-

so wie auch

So erhält man schliefslich nach gehöriger Substitution, Reduction und Anordnung, jedoch unter Beibehaltung von l, X und LI in denjenigen Ausdrücken, welche in S, h oder s multipliciert erscheinen, für die vierte Bildweite b, oder vielmehr deren Reciprocum die folgende Gleichung:

22

Vierte Bildweite.

(23.)

l

§ 13.

=

worm Z,

ferner c -

ra-

= i 7o Sp ry-\- »o Vo?o

rx-

8,1

Und ferner: FVS8

—

»oii»

rvs» — I „2 V2 |

Z)

=

(»m)+iooSo

ry-

Vo

ninsnzni

°\w4to3W2»1

10

1 f2„2fc2 I hl '3 2/J

, I i v

i r i _ i r Li- 4 zj

/"

| 19.

Näherungsgleichungen.

41

wofür unter Anwendung von (49.) auch gesetzt werden kann =+= Wir suchen ferner eine Näherungsgleichung für —

ra

r,

j

1—j

a

r,

rx x,

2w2 L r, a _l\ r, a was nach ( 3 5 a . ) alles dasselbe ist. (

^

(

.

.

^

^

(ru)-h(rx)

oder

oder

(5,)

1—w 1 2 f

{

^

J 2 L r2 J \ r2 Wir finden mittelst (51.): i

-

i

^

L

i

-

^

l

}

xt

)

,

und durch die obige Vertauschung und Vereinigung: r (56.)

> i r

>

, /

> _u .

f

1

7 1 + 1

1

2 n

+

1

1

n

1

\ ,

1 fiV-f-1 1 2iV+l 1 1| iV f, N y, N—l Fi' Soweit die vorhin angekündigte Abschweifung. Wir wenden uns nun zu ra-\-n.rx d. i. nach (35 a.) n-4 TJL J_1 Y_1 _ n—1 M L ] Y — — ILtM 2ra2 L r, a J V a ) 2 L r2 xi J \ r 2 xi ) Wir finden mit Benutzung von (51.): n—1 f 1 1 n 1 \V 1 »+1 w2 1 \ nrx 2 2rc Vr, a n — l f ) V r, a n—l f J' und - , ri n 2 n2 i n r i l l i l »-+-1\ » 1 ra-+-nra* 2 — 1 f Lr, a J n—1 / Lr, aJ \ a jn—1 n* 1 2 3 _ / 7 j n 1 ri 1] n 1\ VW, a l)2 f U, a](n—iyf2J~ ( n — l ) 3 f 3 ' nachdem nämlich diejenigen Glieder, welche die dritte Potenz von

— i enthalten haben würden, sich gegenseitig aufgehoben haben. E s ist zu bemerken, dass dieser günstige Umstand (des Herausfallens der dritten Potenz) nur bei den Annäherungsgleichungen, und keineswegs bei den exacten eintritt. — Nach einigen leichten Transformationen ¿f

iL?*,

aJ V,

n Lr,

aJvr,

a )n—l

f

a b\

r

J ajn—1

f

(n—l)2

Z2}'

42

§19.

Näherungsg'leichungen; insbes. für C.

und schlieislich: r

(57.) K J

- ,

-

, 1

[n+2

2 f V

^

f 4w+4 1

n

V

n

3»+2

n

a'

a

3»-l-l

+

n—1

1\1 / V

-1

1 1

1

a f

L I. i-2 f J

(»—l)2

Hieraus durch obige Buchstabenvertauschung und Vereinigung:

ra-\-nrx-\-ry-\-Nrz =f= 2f L

w+2

1

(4w+4

1

\

a

n

3»+2

1

L

N

yl also mit Hülfe von (47.)

1

a

^4iV+4

11

n—1 a /

^

'

~2

1_1

(n-iy

p\

1 , 2iV+l + - i iV2 3 AM-2 1 , 3iV-t-l i i JL1. + 1 ^ iV y\ ^ N— 1 y, F (TV—l)2 Jf» F1 J Diese Gleichung, um deren Gewinnung es uns yor allem zu thun war, drückt einen genäherten Wert des Coefficienten C (— vgl. das in § 17 zu Gleichung (41.) Gesagte —) aus, und zwar durch r, und r 3 , und sonst lauter bekannte Gröfsen. Denn was das yi betrifft, so ist nach (38.) 1 1 , 1 1 \ — *—K»—i)l ; 1

fiV4-2

n- -1 f ) r ,

3n+l

3

n

(58.)

2w+l

N

y,

y

a

\rl

1 , 1

Vi

a

1

f

folglich bekannt. — Setzen wir nun, wie es doch bei einem Fernrore sein muss, a =

—oo,

also -i- = 0; führen wir ferner, vermöge der Einheitsgleichung (40.) anstatt - j - vielmehr 1 ein; schreiben endlich nach (49) —m~~f~

ot er

'

— co anstatt - L ; so verwandelt sich die Gleichung (58.) in folgende Gestalt, die zur annähernden numerischen Berechnung gewöhnlich angewandt wird: n+2 1 2«-|-1 1 2n—2 r, 2 n r' (2N+2 2iV+l N-h 2 1 (59.) + w 2N V N Jr3 2N—2 2 2 n 3iV-t-2 3A4-1 2 N 3

2(n—l)2

2N

2.V- -2

-ü) =

2(N—1);

0.

§ 19, § 20.

43

Herschel's zweite Forderung.

Setzt man die rechte Seite gleich 0, so hat man die nahezu richtige sphäristische Bedingungsgleichung. Hat man sich für irgend eine bestimmte Gröfse des ersten Radius i\ entschieden, so giebt die Auflösung der Gleichung (59.) den dritten Radius r 3 , oder zunächst dessen reciproken Wert — • — Nur wolle r

3

man sich hüten, den auf diesem Wege erlangten Wert von r 3 für etwas anderes als einen Näherungswert zu halten, oder gar zu wähnen, dass man ein übriges thue, wenn man r3 , anstatt sich einer der existierenden Tafeln zu bedienen, lieber aus Gleichung (59.) selbst berechnet. So selbst Prechtl, Vorrede pag. VI. Obwohl man zugeben muss, dass gerade in derjenigen Region, in welcher sich bei der Herschel'schen Methode die Werte von rx bewegen, die Annäherungsgleichung (59.) verhältnissmäisig nahe richtige Werte für r3 liefert. §20. Z w i s c h e n b e t r a c h t u n g ü b e r d i e zweite H e r s c h e l ' s c h e , die Littrow'sche und die Gaufs'sche Forderung. Die Aufgabe, zu den gegebenen Gröfsen n, N, w, S, h, e die passendsten Krümmungsradien zu linden, wäre eine ganz bestimmte, wenn nur für e i n e n der Radien, etwa für r n eine bestimmte Gröfse vorgeschrieben wäre. So lange dies nicht der Fall ist, bleibt die Aufgabe eine auf unendlich viele Arten zu lösen mögliche. Wir könnten für 'i\ eine jede beliebige Gröfse willkürlich festsetzen, da nach der bis hierher vorgetragenen Theorie nicht einzusehen ist, warum der eine Wert von rl vor einem andern den Vorzug haben sollte. Allein was die Theorie nicht vermag, das leistet (— in gewissen Grenzen —) die Praxis, d. i. die wirkliche Anfertigung achromatischer Objective seitens der Mechaniker. Diese hat genugsam gelehrt, dass es durchaus nicht gleichgültig ist, von welchem Werte von r1 man ausgeht, wenn man sich auch (— bei vorgeschriebener Brennweite des Kronglases oder des ganzen Doppelobjectives —) noch so viel Mühe giebt durch passende Gröfsenbestimmung für r2 , r3 , r4 den Sphärismus und Chromatismus zu beseitigen. — Hieraus darf man wohl den Schluss ziehen, dass die Theorie noch mit irgend einem Mangel behaftet sein müsse, d. h. nicht etwa mit einem aus Irrtum untergelaufenen Fehler, sondern dass sie noch an einer Unvollstäudigkeit leide, und einer Ergänzung bedürftig sei, die etwa in einer vierten Forderung oder Bedingungsgleichung ihren Ausdruck finden dürfte. Und in der That sind wir j a im Stande noch e i n e , aber auch n u r noch e i n e e i n z i g e Bedingung zu erfüllen. Vgl. § 17.

44

Herschel's zweite

§20.

Von gröfseren Objectiven haben sieh die von Fraunhofer selbst gefertigten am wirksamsten gezeigt, deren Verhältnisse, was den Sphärismus anbetrifft, wohl nur auf empirischem Wege gefunden wurden, bis es dem jüngeren (J. F. W.) Hörschel gelang, eine Theorie aufzustellen, deren Ergebnisse nahezu mit jenen Fraunhoferschen Verhältnissen übereinstimmen. Vgl. Prechtl § lOOfif., desgl. die Vorrede pag. VI bis X, wo man auf pag. VII unter II. eine (aufser der uns schon aus § 17 bekannten ersten) z w e i t e , ebenfalls von Hörschel aufgestellte G l e i c h u n g (— also eine vierte Bedingungsgleichung —), jedoch in anderer als der von uns adoptierten Bezeichnung antrifft. Die Herleitung dieser Gleichung finden wir bei Herschel selbst in den Transaetions of the royal soc. for 1821. p. II, pag. 222. — Edinburgh philos. Journal Vol. VI. pag. 361; auch bei Littrow, Dioptr. pag. 90—92. — Herschel glaubte nämlich, die einzige uns noch übrige Freiheit d a z u benutzen zu müssen, dass er den Näherungswert von C (in unserer Gleichung (58.)) nicht allein für a = zpoo, also ~ = 0 zum Verschwinden zu bringen suchte (— eine Forderung die bei uns in Gleichung (59.) ihren Ausdruck gefunden hat —), sondern wo möglich f ü r j e d e n b e l i e b i g e n Wert von

Eine Folge davon würde sein, dass

das Doppelobjectiv nicht blos von unendlich entfernten Objecten möglichst deutliche Bilder lieferte, sondern auch von relativ nahen. Wir können die zweite Herschelsche Gleichung sehr leicht entwickeln, wenn wir in (58.) aus dem genäherten Werte von

ra+nrx+rx+Nrz

oder C den Coefficienten von — (zur ersten Potenz) gesondert darstellen und gleich Null setzen. Wir müssen uns dabei an eben dasselbe erinnern, was schon oben (kurz hinter Gleichung (58.)) angeführt wurde, dass nämlich 1 , 1 1 . 1 , 1 2 1 1 — #= H t f ) also — =t=— 4—yh^r y, a f y\ a* f a f' ist. So erhalten wir

1 r

2/L

4n+4 1 n

3w+11~1

+

1 r

« — \fr~2Fl

4iV+4 1 N

r

3

6iV+4 1

+

N

f

3A'+1 11

+

Und wenn wir nun gemäfs der genannten Farbengleichung S6tZ6ü * ™ +4 - 1 (60.)\ §1 = -4 w—

4iV # +- 4< » -1

3 n + l 1J ^ 6 N + 4 co

N—lF]' ~ —

3iV+l

A n m . Der unveränderte Coefficient von - i - ist nicht +,£>, sondern —

w

2

,

§20.

Forderung.

45

Dies ist die zweite Herschelsche Forderung in u n s e r e r Bezeichnung; sie stellt eine lineare Gleichung bezügl. — und — dar. Durch Hörschel und Barlow ist eine Tafel berechnet worden, aus welcher man für jedes gegebene n, N und to ohne eigentliche Rechnung diejenigen Krümmungshalbmesser entnehmen k a n n , welche geeignet sind, den beiden Herschelschen Forderungen (59.) und (60.) und der Farbengleichungen (49.) 4= j - , (— alle drei allerdings nur Näherungsgleichungen —) Genüge zu thun. Die Tafel nebst Gebrauchsanweisung steht u. a. auch bei Prechtl, § 103ff. Dort wird auch an drei Beispielen der Nachweis zu führen gesucht, dass die nach Herschel-Barlow berechneten Krümmungsradien beinahe vollständig dieselben seien, wie diejenigen der so berümten Fraunhoferschen Objective. Vgl. § 111 gegen E. — Indessen steht dieser Nachweis doch auf sehr schwachen Füfsen, da in den erwähnten drei einzelnen Fällen Professor Stampfer auf Prechtl's Ersuchen (§ 110) zwar die K r ü m m u n g s r a d i e n der Fraunhoferschen Objective nachgemessen hat, aber nicht die B r e c h u n g s und Z e r s t r e u u n g s v e r h ä l t n i s s e ; diese nimmt Prechtl (an drei Stellen des § 111) vielmehr nach Gutdünken an. Zum Ueberflusse geht aus der Betrachtung des e r s t e n Beispieles hervor, dass die Fraunhoferschen Mafse bezüglich des kleinen Theodolithen von den Angaben der Tafel weit abliegen, j a total verschieden sind. Littrow führt dieselben drei Beispiele (von Prechtl entlehnt) so an (pag. 120), dass man zu der Annahme verleitet wird, als habe Stampfer auch n, N und co durch Messung bestimmt. Vgl. auch Grunert (Optische Untersuchungen. Leipzig 1847. Zweiter Teil, Vorrede pag. VIII) der die Sache ebenso aufgefasst zu haben scheint. S. pag. 215—216. — [Uebrigens will Littrow an den drei Beispielen n i c h t zeigen, dass Fraunhofers Objective den Herschelschen Forderungen entsprächen, sondern dass sie dem Arbitrium Bohnenberger's (nach welchem r1 :r2 = 2 : 3 sein soll) nicht nahe kämen.] Das Richtige dürfte wohl sein, dass Fraunhofer nach vielen Versuchen es für das vorteilhafteste erachtet hat, wenigstens bei seinen gröfseren Objectiven die Kronglaslinse beiderseitig convex, und absolut genommen, den ersten Radius über doppelt so grofs zu machen als den zweiten; dass er im übrigen aber wohl nur auf dem Wege des Probierens die chromatistische, oder doch wenigstens die sphäristische Gleichung nahezu zu erfüllen verstand. Nach meiner Ansicht ist die von Herschel durch Aufstellung seiner z w e i t e n F o r d e r u n g versuchte Vervollständigung der Theorie nicht die richtige; abgesehen davon, dass ra -+-nrxry4-Nrz, d. i. 4= C, immer

46

§20.

K l ü g e l - L i t t r o w ' s und

1

noch von a abhängig bleibt, selbst wenn der Coefficient von - - auf 0 gebracht wird.

(Denn aus (58.) erhalten wir als Coefficienten der

z w e i t e n Potenz von — : a 1 3w+2 1 3J +"2F 2f n eine Gröfse, die bei den wirklich vorkommenden Werten von n, N, w nicht Null werden kann, deren schädlicher Einfluss also nur dadurch unbemerkbar gemacht werden kann, dass

entsprechend klein, oder a

entsprechend grofs angenommen wird, wodurch also das Gute, welches erreicht werden soll, wenigstens limitiert wird.) Abgesehen also hiervon würde die Erfüllung der zweiten Herschelschen Forderung auf das Hauptdesiderat eines guten Fernror-objeetives, nämlich auf grölsere Schärfe des von einem unendlich entfernten (himmlischen oder sehr weiten irdischen) Objecte gemachten Bildes ohne allen Einfluss sein, vielmehr würden die dieser Theorie entsprechend construierten Objective uns die astronomischen Objecte nicht um ein Haar deutlicher zeigen, als wir sie durch ein Objectiv sehen, dessen erster Radius r, willkürlich angenommen wird; und wenn etwa in diesem oder jenem bestimmten Falle ein streng nach Herschel-Barlow gearbeitetes astronomisches Objectiv hervorragend Vorzügliches geleistet hat, so ist die Erfüllung der zweiten Herschel'schen Gleichung ganz gewiss nicht die Ursache gewesen. Der eben gemachte Einwurf, dass nämlich zu Gunsten einer gröfsereu Bildschärfe nichts gewonnen wird, trifft auch den von Littrow ( — früher schon einmal von Klügel — ) gemachten Vorschlag, die beiden ersten Krümmungen genau gleich stark, dem Zeichen nach aber entgegengesetzt zu machen ( — nämlich nach u n s e r e r Auffassung, vgl. § 3 gegen Ende und § 6 kurz nach Anfang —), so dass also, wie man es auszudrücken pflegt, die Kronglaslinse eine g l e i c h s e i t i g e wird; rt = •—rr Was Littrow zur Begründung seiner Forderung p. 126—127 anführt, dass man nämlich hierdurch die grÖfste Apertur des Objectives gewinne, beruht auf der nicht stichhaltigen Annahme, dass bei möglichst geringen Krümmungen der brechenden Flächen der nicht wegzuschaffende Rest der sphäristischen Abweichung ein Minimum sein müsse. Aehnlich verhält es sich mit allen übrigen, bis jetzt in Vorschlag gebrachten Ergänzungen der Theorie. Einzig und allein die von Gaufs (Zeitschrift für Astronomie pp. von B. von Lindenau und J . G. F. Bohnenberger. 4. Band, Tübingen 1817; S. 345) aufgestellte Forderung ist ausgenommen. Dieselbe lässt sich

47

Gaufs's Forderung.

§20.

in unserer Bezeichnung folgendermafsen darstellen: In Gleichung (25.) ist

i

Hier sind die Gröfsen ~

0

und C Functionen von n und N.

sich nun n und N in n±dn

und NzhdN,

Verändern

so ändern sich im allge-

meinen gleichzeitig J - und C, folglich unerwünschter Weise auch der 1 Wert von - y

Dass die Aenderung möglichst gering ausfalle, dafür

ist gesorgt durch die9 Farbengleichung: y = 0 (nach n und iV); vgl. (43.) und (44.).

Das heifst in Worten:

bleibt für die roten

und violetten Strahlen dasselbe wie für die mittleren (Strahlen mittlerer Brechung). Aber jene Farbengleichung vermag n i c h t zu verhindern, dass der Coefficient C, und alle höheren D, E, . .. ihre Werte ändern. Darum dringt G a u f s auf die Erfüllung der B e d i n g u n g (61.)

ö C = 0 (nach n und AT);

in Worten: Auch C soll für die extremen Brechungsindices nzhdn und N±8N keinen andern Wert annehmen, als für die mittleren n und N. Wenn diese neue Bedingung sich erfüllen liefse (— was in der That möglich ist —), so würde (nicht blos von den dem Pole ganz nahe einfallenden Circumpolarstrahlen, für welche el nahezu = 0 ist, sondern auch) von den entfernteren Zonen- und Marginalstrahlen ein färben reineres, also schärferes Bild erzeugt werden. Grunert sagt pag. VIII der Vorrede: „Endlich habe ich das von Gaufs angegebene, aber nicht weiter analytisch entwickelte Princip einer ausführlichen Untersuchung auf dem Wege der Rechnung unterworfen, und möchte wohl wünschen, dass sich einmal ein geschickter Künstler entschlösse, nach diesem Principe, welchem ich in theoretischer Beziehung den Vorzug vor allen übrigen Principien einzuräumen keinen Anstand nehme, ein Doppelobjectiv zu bauen, was bis jetzt (1847) noch nie geschehen zu sein scheint"; u. s. w. Von keineswegs ungewöhnlichen Brechungs- und Zerstreuungsverhältnissen (p. 237) ausgehend gelangt Grunert (d. h. ohne Berücksichtigung der Glasdicken und des Hiatus) zu einer Gleichung des vierten Grades, welche jedoch nur e i n Paar reeller Wurzeln enthält, mittelst deren er (p. 255 und 256) schliefslich die folgenden Krümmungs-

48

- Trigonom. Berechnung

§ 20, § 21.

radien erhält: entweder r, = + 1 4 " 0 7 3 oder

r, = + 5 4 " 9 9 0

r, = + 1 7 " 6 7 4

=

+H"733,

r,=— 7 "680 r 2 = — 5"462 rM = + 4"175 r 4 = + 3"729; bei einer G e s a m m t b r e n n w e i t e des Doppelobjectivs von 100 Z o l l . In Teil III kommen wir ausführlicher auf das Gaufs'sche Princip zurück. § 21. T r i g o n o m e t r i s c h e Berechnung der Bildweiten. Ehe wir in unserer Betrachtung weiter vorwärts gehen, empfiehlt es sich, zuvor die schon anderweit bekannte trigonometrische Bestimmung der Bildörter vorzutragen, die uns in den Stand setzt, für jede gegebene Elongation den exacten Betrag von x, y, z, b auf dem Wege eines ziemlich einfachen und traitablen trigonometrischen Verfahrens numerisch berechnen zu können, wovon wir, hauptsächlich was das vierte und letzte Bild betrifft, in der Folge öfters Gebrauch machen werden. Es sei (in Fig. 4) a die Abscisse eines in der Axe befindlichen (— in dem speciellen Falle der Fig. nur eingebildeten —) leuchtenden Punktes, und A derjenige Winkel, um welchen der einfallende Strahl (JA) von der Axe ( O A ) abweicht; ferner R der Einfallswinkel (welchen der einfache Strahl JA mit dem Radius JM = r der brechenden Kugelfläche bildet), so ist in AM JA: a

• Rn — sin

—r r

s•i nAA

Ist nun P der gebrochene Winkel (welchen der gebrochene Strahl JX mit dem Radius JM der eben verlassenen Kugelfläche bildet) und n der Brechungsindex, so ist: sin P = — sinÄ: n

und bezeichnet man den A x e n w i n k e l , d. i. denjenigen, welchen der gebrochene Strahl ( J X ) mit der Axe (OX) bildet, mit X, so hat man: X =

Nun ist in A

R—

P+A.

JMX:

x—r =

sin P Sllll

r——

daher die Bildweite x =

r-\-r

sin P . v • sin X

§21.

49

der Bildweiten.

Für eine nachfolgende zweite Brechung vertritt X die Stelle dessen, was jetzt A, und x—6 die Stelle dessen, was jetzt a war. Bezeichnen wir nun der Reihe nach die E i n f a l l s w i n k e l (welche der einfache Strahl mit dem Radius der jedesmaligen brechenden Fläche bildet) mit R„ i?2, -ß3, Rv d i e g e b r o c h e n e n W i n k e l (welche der gebrochen fortgehende Strahl mit dem Radius der eben verlassenen Fläche bildet) mit P1, 1P

2? P-1 31 -P1 41 d i e A x e n w i n k e l * ) (welche der gebrochene und hinreichend verlängerte Strahl mit der Axe bildet) mit X, Y, Z, B: so können wir mittelst blofser Buchstabenvertauschung leicht alle diejenigen Gröfsen finden, deren wir bedürfen. So erhalten wir die Gruppe der Gleichungen

sinß, =

(62.) Gegeben sind sin A und Angesucht werden: ^ ^1 I I I " — — s i n J s i n ^ = — sinP, sinX = sin(ßj—P,-h^4)

s i n = ——-——sinX

s i n I \ — n.&mR^ sin Y — sin(ß 2 —P 2 -|-X) y

. „ y—h—r. . T7 sinP,a = - IV* - s i n Y sinP 3 = - ^ s i n i ? 3

2

V ^

sin Z = 3

sinü 4 = - — £ — — - s'mZ

sinP 4 = N sin Rt

\

sinP = 4

V

sin Y ) sin(ß3—P3+F) sin Z / sin(P4—P4+Z) smjS ]

Wenn man, wie bei u n s gewöhnlich der Fall sein wird, die drei ersten Bildweiten x, y, z nur in seltenen Fällen zu berechnen braucht, so kann man, nachdem man sinP, und sinX gefunden, sogleich zur Berechnung von sinß 2 schreiten nach der Gleichung *) Besser: Strahl-axenwinkel, vgl. § 41.

Kram er, Fcrnror-objeetive.

4

50

§ 21.

Trigonometrische Berechnung.

. „ ( sm P. sinir,2 = r, 1— — V sin A

—1

(63.) .

/

sinP,

„\ smX r,— d , 2 / rri2 sin Y r *

. , uud ebenso spater

\ sin si Z

wodurch mehrmals ein Eingehen in die Logarithmentafeln erspart wird. Den Gebrauch aller dieser Gleichungen zu zeigen, findet sich unten Gelegenheit. Sollte der Winkel A nicht direkt gegeben sein (— was doch bis hierher angenommen wurde —), sondern etwa e oder das vom Treffpunkte J (Fig. 4) gefällte Perpendikel so lässt sich doch ¿. A leicht aus den zwischen ihm und den Linien e oder pl statt habenden Relationen berechnen, die wir hier kurz zusammenstellen. — Es ist u — r—LM, also wegen des rechtwinkeligen Dreieckes JLM r—]/r2—

= u

~~ 2r ' :

(64.)

2r2(l — y i — i ^ .

Ferner auch (Kreiseigenschaft): Aus Verbindung dieser Gleichungen: Und aus dem rechtw. A JOL: Ferner (rechtw.

Pi

AJLA):

P, a— u In der letzten dieser Gleichungen mag man je nach Bedarf u durch pl, oder pi und u beide durch e ausdrücken. Wenn aber a = ± o o , folglich der einfallende Strahl der Axe parallel ist, so ist der A — 0. Dann wird aber in (62.) sin-ß, = o o x O , also unbestimmt. Da jedoch, wie gesagt, in diesem Falle der Strahl JA parallel ist der Axe OA, so haben wir ¿- MJA, d. i. Z. i?j = L JMO igA

=

und sin JMO — —. also auch sin-R-^si^LV T' 1 '1 Ist aber, während a einen endlichen Wert hat, e = 0 gegeben, so wird ebenfalls (wie vorhin) ¿ . A = 0; aber diesmal wird sini^ a u c h = 0 , j a sogar, wie man aus (62.) ersieht, jeder Einfalls-, gebrochene oder Axenwinkel ausnahmslos gleich Null. Aber dessenungeachtet lassen uns die Gleichungen (62.) keineswegs im Stiche, sondern gewähren uns die exacten Werte der Bildweiten für e = 0; das ist dasjenige, was wir mit x01 y0, z0, b0 zu bezeichnen gewohnt sind. Denn wenn wir bedenken, dass die Sinus unendlich kleiner Winkel zu einander

§21, §22.

51

der Bildweiten. — Dicken der Gläser.

in demselben Verhältnisse stehen, wie die Winkel selbst, so verwandelt sich die oberste Zeile von (62.) in: r. R, = a — r t ' P,

A R,

( A nr. \ n; ^woraus _ = - _ ) ;

P

= r,

^ - M

Hieraus: 1 R,

P,

V 7-,

=r1-\

d -i-

n—1+

ni\ a—r.

in ganz gleicher Weise findet man (65.)

ya = r2-+-

z0

=r

3

+

Nr,

N— 1 +

1 - 1 + — 1 n x0—( b — r* a N Die erste dieser Gleichungen lässt sich leicht umwandeln in 0

nar, (n—1)«-!-^

'

daraus -1- = x0

C " " 1 ) ^ narx

=

H=L n rx

n a

und ganz ähnlich mit den übrigen, so dass wir also hier genau dieselben

Gleichungen

abermals erhalten

wie

oben Gleichungen (36.).

Und man ersieht leicht, dass sie auch für a — ± o o Gültigkeit besitzen.

§22. Die Dicken der Gläser. Was diesen Gegenstand, den wir, bevor wir eine numerische Berechnung vornehmen können, erst einer näheren Betrachtung unterwerfen müssen, anlangt, so ist zu bemerken, dass für jede gegebene Apertur (JJ) ein gewisses Minimum der Dicke erforderlich ist ( — natürlich nur bei denjenigen Linsen, welche in der Mitte am dicksten sind •—), welches sich mit ziemlicher Annäherung sofort angeben lässt. Man hat nämlich J021 = 0lL.2r1, also sehr nahe auch JL1 OlL.2r1; ebenso JL? =f= 0„L.2r„. Aus diesen beiden: 0,L-02L,

d.i.:

—

JL2, 4*

52

Dicken der Linsen.

§22.

oder wenn wir, wie auch später immer geschehen wird, die h a l b e A p e r t u r (JL) mit p; die g a n z e ( J J ) mit ^S bezeichnen : «der Nennen wir, wie schon früher, die Brennweite der ersten Linse /, und bedenken wir, dass — i m m e r nahe gleich 2 (weil n 4= f ) ist, wir TL— X

also aus (47.) erhalten

1 r

+

1 i

r

2 + -F, SO ist: * f

genauer

*

Man muss jedoch dem Glase eine etwas gröfsere Dicke geben, als die hier eben gefundene, deren Ermittelung die Annahme zu Grunde lag, dass die Linse am Rande scharfschneidig wäre. Eine solche würde aber der Mechaniker nicht gehörig in der Fassung befestigen können. Bei einem Glase von 4 Zoll Apertur, also wenn p = 2 Zoll ist, dürfte eine Randdicke von V8 Zoll vollständig genügen, und bei gröfseren oder kleineren Gläsern eine in geradem Verhältnisse gröfsere oder geringere, so dass wir also obigem noch -j^p hinzuzufügen hätten. Somit wäre (66.)

„

76

Sphärische Longitudinal-

§30, §31.

welche, wie schon oben vermutet wurde, in der That nur etwa 6 Einheiten der fünften Decimale beträgt, trotz des übermäfsig grofsen p. Dürften wir in der Reihe

die Uber Ee\

hinaus liegenden Glieder vernachlässigen, so könnte, da

doch C und D beide Null sind, Ee\ als die Differenz zwischen angesehen werden.

und

Auf alle Fälle wird

nahe Ee\ =# 0.000 0581 sein. Oben hatten wir löge = 9.351 7205; daher ist (logarithmisch) 2 ? X 6 . 1 1 032 + 5.76 418 logi? * 9.654; nuE * 0.451. Uebrigens hat dies Beispiel uns gelehrt: Zur Berechnung des Gliedes Ee\ sind fünfstellige Logarithmen nicht ausreichend; wohl aber zur Berechnung von C und D nach den exacten Formeln. §31. Sphärische Longitudinal- und Lateral-Abweichung. (Fig. 5.) Ist A ein leuchtender Punkt in der Axe AOo eines einfachen oder zusammengesetzten Linsenglases G'G, so mögen die äufsersten Bandstrahlen AG' und AG so gebrochen werden, dass sie die Axe und sich selbst gegenseitig in dem Punkte g schneiden; dann ist g das den äufsersten Randstrahlen entsprechende Zonenbild. Die der Axe allernächsten Circumpolarstrahlen mögen in o sich vereinigen, so dass also go die L o n g i t u d i n a l a b w e i c h u n g , auch s p h ä r i s c h e A b e r r a t i o n in d e r A x e genannt, darstellt. Die einer mittleren Zone angehörigen Strahlen, wie AJ, werden in einem zwischen g und o glegenen mittleren Punkte i ein Zonenbild erzeugen. Jeder gebrochene Zonenstrahl — wie Ji — in dem einen herausgegriffenen, und hier durch die Ebene des Papieres dargestellten, Blatte des der Axe AOo zugehörigen Ebenenbüschels schneidet den einen extremen Randstrahl G'y' in dem Punkte d', den anderen Gy in dem Punkte d. Denkt man sich a l l e gebrochenen Zonenstrahlen dieser Ebene (des Papieres) hingezeichnet, so wird anstatt der gebrochenen Linie G'd'dy (oder in der anderen Fig. Gdd'y') eine dieser sich ungefähr anschliefsende Curve zum Vorscheine kommen; und durch Rotation um die Axe ein eigentümlich gestalteter Körper zu Tage treten, welcher zweien, mit ihren dünnen Enden gegen einander gerichteten und verbundeneu Trichtern ähnlich erscheint.

§31.

77

und Lateral-Abweichung.

Durch jeden zu der A x e Ao

senkrechten ebenen Querschnitt des

genannten Körpers

gehen

und ein solcher —

offenbar kreisförmiger —

einzigen Punkt

sämmtliche gebrochene Strahlen

seiner Fläche

aufzuweisen,

hindurch,

Querschnitt hat keinen durch welchen nicht ein

gebrochener Strahl hindurchginge. A m dünnsten ist der Rotationskörper, und am kleinsten der Flächeninhalt des eben erwähnten

Querschnittes offenbar an einer gewissen

Stelle kd, w o der Durchschnitt d eines gewissen Ji

mit Gy am weitesten von der A x e AOo

Mittelzonenstrahles

entfernt liegt.

jenigen gebrochenen Strahlen, welche nahe bei 0,

Denn die-

oder nahe bei G'

austretend das Glas verlassen, durchschneiden die Linien G'y'

und Gy

ganz in der N ä h e der A x e . Den Radius kd

des

kleinsten Querschnittes

nennt

man

Radius

d e r K u g e l a b w e i c h u n g , oder Halbmesser d e r L a t e r a l a b w e i c h u n g zu der Elongation

OG.

W ä r e eine sphärische Abweichung überhaupt nicht vorhanden, so würde sowohl die ganze Länge go, einzigen

Punkt ( o )

der A x e

als auch der Radius kd in einen

zusammenschrumpfen,

in

welchem

sich

sämmtliche gebrochene Strahlen aller Zonen durchschneiden, und darnach ihre W e g e würden.

divergierend

und

weiter

nach

rechts

hin verfolgen

So aber sieht vielmehr ein in der Entfernung km des deut-

lichen Sehens befindliches Auge m die auf dasselbe treffenden Strahlen Strahlen nicht als von einem einzigen Punkte, sondern von der kleinen Kreisfläche ( — A b w e i c h u n g s k r e i s

genannt — )

herkommen, deren

Radius kd ist. (Bezüglich der Anwendung eines Oculares oo siehe § 32.) Dass hierdurch ein schädlicher Einfluss auf ein ausgedehntes Bild ( — ein wirkliches Gesichtsfeld — ) ausgeübt werden müsse, ist leicht einzusehen.

„ E i n vollkommen deutliches Bild kann nur dadurch ent-

s t e h e n , wenn . . . jeder Punkt des Gegenstandes auch w i e d e r „einen Punkt in dem Bilde dargestellt wird.

durch

Dieses ist nun aber nicht

„mehr der F a l l ; denn die Stelle dieses P u n k t e s im Bilde vertritt nun „der A b w e i c h u n g s k r e i s , und wenn auch dieser Kreis noch so klein ist, „so nimmt er doch

immer

einen Raum

ein;

es können daher auch

„mehrere solche Kreise nicht wie Punkte sehr nahe an einander liegen, „sondern sie fallen ü b e r einander, und decken einander um so mehr, „je näher die leuchtenden Punkte des Gegenstandes an einander liegen. „Dieses bringt natürlich eine Verwirrung hervor, indem Strahlen

ver-

schiedener leuchtenden Punkte sich mit einander vermischen, wodurch „ein Mangel an scharfer Begrenzung

der einzelnen Linien,

eine Un-

„deutlichkfeit des ganzen Bildes entsteht". — So Prechtl § 72.

—

Man kann demnach mit Recht den Halbmesser kd als das Mais

78

Sphärische

Lateral-abweichung.

§31.

der Undeutlichkeit wegen der Kugelgestalt ansehen, da j a die Undeutlichkeit mit diesem Halbmesser wachsen und abnehmen, und im allergünstigsten (idealen) Falle verschwinden wird. Bezeichnen wir die W i n k e l des kleinen Dreieckes gid mit den Buchstaben g, i, d, so ist ,

sinz sind

S

.

sin» sin(i-t-g)^'

und wegen Kleinheit der Winkel g und i

9d =

kd

aber ist

gd.sing,

sini sini+sm^

folglich

kd — sin i

sin