À la chasse aux chiffres: Énigmes, problèmes et jeux mathématiques 2759822257, 9782759822256

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À la chasse aux chiffres

À la chasse aux chiffres

Énigmes, problèmes et jeux mathématiques

DANIELE GOUTHIER — MASSIMILIANO FOSCHI

Traduction de Rosella Pinna-Jamme

17, avenue du Hoggar – P.A. de Courtabœuf BP 112, 91944 Les Ulis Cedex A

Illustrations de Salvatore Modugno Révision scientifique Elena Ioli

Composition et mise en pages : Patrick Leleux PAO Traduction de l’italien par Rosella Pinna-Jamme, « Dar la caccia ai numeri, Enigmi, problemi e giochi matematici », © Daniele Gouthier, Massimiliano Foschi, edizioni Dedalo. Imprimé en France ISBN (papier) : 978-2-7598-2225-6 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-2327-7

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinés à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute repré­ sentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou ­reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon ­sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. © EDP Sciences, 2018

SOMMAIRE

Préface.........................................................................................

7

Légendes des symboles....................................................................

9

Partie 1 Activez les neurones................................................... 11 Partie 2 Parions que vous allez réussir !.................................. 31 Partie 3 Regardez un peu ce que vous savez faire !................. 61 Partie 4 Pouvez-vous le démontrer ?........................................ 81

Solutions................................................................................... 93 Table des matières.................................................................... 159

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PRÉFACE

Chère lectrice, cher lecteur, Ce livre que vous avez entre les mains contient des énigmes, des jeux, des problèmes, des casse-têtes… Nous nous sommes connus à Civitavecchia au printemps 2016, et en bavardant, nous avons conçu et partagé des listes de problèmes mathématiques. Et, on le sait, les problèmes sont comme les cerises, l’une appelle l’autre. Ainsi, assez vite, nous en avons eu en abondance, au point de pouvoir en faire une bonne sélection. À la chasse aux chiffres est un recueil de petits défis pour le cerveau, issu de notre dialogue passionné, amusé et amusant. Et nous vous les proposons, dans l’espoir qu’en les résolvant, vous vous amusiez autant que nous. Nous les avons organisés en trois groupes de difficulté croissante. D’abord, vous allez activer vos neurones, puis vous vous demanderez si vous êtes capable de les résoudre avant de vous étonner de votre réussite ! Il y a ensuite une quatrième section, composée de problèmes qui nécessitent de petites ou grandes démonstrations, pour les plus habiles, voire pour les habitués des mots fléchés. Les solutions que vous trouverez à la fin du volume sont nos méthodes pour résoudre les problèmes. Naturellement, vous pourrez 7

PRÉFACE

en trouver des meilleures, des plus simples, des plus immédiates. Hourra ! Bon divertissement ! Daniele Gouthier et Massimiliano Foschi

PS : Naturellement, il y aura des erreurs. « Chaque livre de mathématiques en contient au moins une, dans chaque édition », il s’agit d’un postulat sur lequel tout le monde est d’accord. Si vous en trouvez, merci de nous avertir. Ainsi, nous pourrons la corriger et laisser l’espace à une nouvelle erreur. Bonne chasse ! PPS : Nos remerciements vont à Monica Conte, Paolo Dall’Aglio, Salvatore Damantino, Robert Ghattas, Elena Ioli, Paolo Silimbani et Elena Sternini ; en tant qu’enseignants et passionnés d’énigmes, jeux, problèmes, casse-têtes… ils nous ont aidés à rendre ces pages meilleures. Naturellement, nous sommes entièrement responsables des imperfections et des « horreurs » qui restent. 8

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

LÉGENDE DES SYMBOLES

Chiffres et opérations élémentaires

Schémas et modèles

Triangles

Géométrie plane

9

légende des symboles

Logique

Probabilité

Géométrie dans l’espace

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Partie

1

Activez les neurones

1 Une partie de fléchettes Alexandre, Barbara, Charles et Darius se sont inscrits à une partie de fléchettes : on le sait, quand l’un s’inscrit, tout le monde s’inscrit, ce n’est pas pour rien qu’ils sont appelés la « bande des quatre ». Alexandre a fait un tiers de la totalité des points, Barbara en a fait un quart, Charles un sixième et Darius en a fait six. Combien de points a faits Alexandre ?

Partie 1. Activez les neurones

13

2 Entre les morceaux d’un puzzle Albert est un horloger à la retraite. Même s’il aime dire : « Je ne suis pas vraiment à la retraite. Tant qu’il y aura des aiguilles et des engrenages, il y aura toujours quelqu’un qui m’apportera une montre à réparer. » Mais parfois, le pessimisme le prend et il soupire : « Tout est en train de devenir électronique… Brrr ! » Mettons de côté ces pensées sombres et allons frapper, avec lui, à l’autre porte du palier, celle de Jeanne, elle aussi à la retraite (c’est la seule chose qu’ils ont en commun). Jeanne était institutrice. Et surtout, Jeanne n’est pas ronchonne : elle est toujours prête à sourire. À peine entré chez sa voisine, Albert s’assoit et avec son coude, il défait accidentellement un puzzle. Le jeu consiste à disposer les pièces de façon à laisser des espaces vides qui forment un nombre de trois chiffres.

Jeanne avait réussi. Albert réussira-t-il à reconstruire le puzzle ? Quel nombre peut-on écrire avec ces formes géométriques ? 14

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

3 Une année… magique ? La « prof » lit en classe un article sur Bebe Vio, dans lequel, entre autres, l’athlète paralympique médaille d’or aux Jeux olympiques de Rio a déclaré que « l’année 2016 a été magique ». « Et comment lui donner tort ? », demande madame la professeur à ses étudiants. « Écrivez les quatre chiffres de 2016, ensuite ajoutez-en un cinquième de sorte que la somme fasse 13. Puis continuez à ajouter un chiffre à la fois, de façon à ce que la somme des cinq derniers corresponde toujours à 13. Quel chiffre y a-t-il à la 2 016e place ?

Partie 1. Activez les neurones

15

4 Une partie de poker circulaire Alexandre, Barbara, Charles et Darius jouent au poker : c’est un de ces jeux qui les font se sentir une vraie bande. À chaque manche, chacun des quatre amis met un jeton dans le pot et celui qui a la combinaison de cartes la plus importante emporte le pot. Naturellement, quand un joueur n’a plus de jetons, il est exclu. Après quelques manches, les quatre joueurs ont respectivement : Alexandre 5 jetons, Barbara 3, Charles 2 et Darius 1. Alors Charles s’exclame : « Nous sommes au point de départ. Pourtant, au début, nous avions 5, 3, 2 et 1 jetons (même si je ne me souviens pas dans quel ordre) ! » « Alors je sais combien de manches nous avons jouées au moins », s’écrie Barbara. Combien de manches ont-ils jouées ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

5 Volumes Jade et Marthe sont deux copines explosives, sympathiques, joyeuses, inséparables et surtout prêtes à se défier avec des questions, des problèmes et énigmes mathématiques. Aujourd’hui, c’est une belle journée de printemps et elles se sont donné rendez-vous au parc. Assise sur un banc, Jade dessine par terre avec un bâton un parallélépipède rectangle. Puis elle pose une question à Marthe : « Un parallélépipède a deux faces de 40 cm2 et 32 cm2 et la longueur de la grande arête est le double de la petite. Combien mesure le volume ? »

Partie 1. Activez les neurones

17

6 Une sortie à Rome La prof, accompagnée par le collègue d’histoire de l’art, emmène les étudiants en promenade à Rome. Vu qu’elle a confiance en ses élèves, elle les laisse se promener sans les accompagner. Ils sont au total 30. À la fin de la promenade, 28 ont visité le Colisée, 27 le Forum romain, 26 le Panthéon, 25 place Navone et 24 la basilique de Saint-Pierre. Combien d’étudiants, au moins, ont visité tous les cinq monuments ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

7 Encore un poker Pendant une autre partie de poker, similaire à Une partie de poker circulaire (p. 16), à un moment donné, Alexandre, Barbara, Charles et Darius ont respectivement 5, 3, 1 et 1 jetons. Combien de manches ont-ils jouées au maximum ?

Partie 1. Activez les neurones

19

8 Les petits-enfants d’Albert Quelque temps après qu’Albert a emménagé sur le même palier que Jeanne, on a découvert que l’ancien horloger est grand-père, et naturellement Jeanne lui demande quel âge ont ses petits-enfants. « J’ai quatre petits-enfants. Tous, par une bizarre coïncidence, sont nés le 1er janvier. Le produit de leurs âges est 36. » Ensuite, Albert révèle aussi à Jeanne (mais pas à nous) la somme de leurs âges. Et Jeanne répond : « Mais comme ça je n’ai pas de données suffisantes. » « C’est vrai, mais si je te dis que l’aîné a les yeux bleus ? » « Maintenant, je peux te dire leur âge. » Quel âge ont les petits-enfants d’Albert ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

9 Le défi des cinq 7 La prof entre en classe et dit : « En utilisant exactement cinq fois le chiffre 7, les quatre opérations et les parenthèses, on peut obtenir différents chiffres. Donnez-moi un exemple. » « (7 + 7 − 7 − 7) × 7 = 0. » « Excellent ! », se félicite-t-elle. Ensuite, elle lance un défi à ses chers élèves. « De cette manière, on peut obtenir tous les nombres entiers naturels jusqu’à un certain nombre. » « Quand vous dites “de cette manière”, vous entendez que nous pouvons utiliser le 7 soit comme chiffre soit comme nombre, n’estce pas ? » « Exact. » Avec cinq 7, nous pouvons écrire les premiers nombres entiers naturels. Quel est le premier nombre que l’on ne peut pas écrire ?

Partie 1. Activez les neurones

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10 Octaèdres peints Jeanne sait travailler le cuir. Ainsi, pour l’anniversaire d’Albert, elle veut coudre un porte-monnaie en forme d’octaèdre régulier. Elle a à disposition beaucoup de triangles de couleurs différentes. Elle se propose d’en choisir huit de telle manière que les deux faces contiguës (c’est-à-dire avec une arête en commun) n’aient pas la même couleur. Quel est le nombre minimum de couleurs dont elle a besoin ?

22

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

11

Une troisième (et dernière) partie de poker

Après Une partie de poker circulaire (p. 16) et Encore un poker (p. 19), les quatre de la bande jouent une partie en débutant avec 4 jetons chacun. Après quatre manches, ils sont encore tous en jeux. Combien de manches a gagnées chaque joueur ? Combien de jetons ont-ils chacun après la quatrième manche ?

Partie 1. Activez les neurones

23

12 Combien d’espaces Marthe montre à Jade une structure construite avec deux bâtons perpendiculaires et fixés entre eux par leurs origines respectives. Sur chaque bâton sont fixés, bien alignés, douze tétons en bois. Marthe relie le téton 1 du premier bâton au téton 12 du deuxième bâton avec une première ficelle ; puis le téton 2 du premier bâton au téton 11 du deuxième avec une deuxième ficelle, et ainsi de suite jusqu’aux derniers tétons : le 12 du premier bâton au 1 du deuxième bâton. Puis elle s’adresse à sa copine :

« Si je pose le cadre sur la table, les douze ficelles, avec les deux bâtons, forment des espaces délimités. Combien d’espaces y a-t-il en tout ? » 24

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

13 Cônes « Vous pouvez pivoter un triangle rectangle de deux manières », explique la prof. En réalité, vous pourriez le faire de plusieurs manières, mais aujourd’hui, seulement deux nous intéressent : autour d’un axe correspondant à l’un ou l’autre des côtés. Qu’est-ce que vous obtenez ? » « Toujours un cône. » « Deux cônes différents ! » « … si les côtés sont différents. » « Bravo à vous tous : mémorisez les deux cônes et sachez que leurs aires latérales (sans la base) mesurent respectivement 10 cm2 et 24 cm2 », continue la prof. « Maintenant, vous reprenez le triangle et construisez un demicercle ayant pour diamètre l’hypoténuse : qu’est-ce que vous obtenez si vous faites pivoter le demi-cercle autour d’un axe correspondant à l’hypoténuse ? » « Une sphère. » « Combien mesure la surface de la sphère ? »

Partie 1. Activez les neurones

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14 Le classement La bande des quatre organise, pour l’anniversaire de Darius, un tournoi de jeux de mathématiques. Chacun d’entre eux est le capitaine d’une des quatre équipes : les Homards, les Paresseux, les Caméléons et les Dugongs. Chaque équipe joue une fois contre chacune, en tout six parties sont jouées. Il est attribué 3 points pour la victoire, 1 en cas d’égalité et 0 pour une défaite. À la fin du tournoi, le classement est celui-ci : Homards 6 Paresseux 5 Caméléons 2 Dugongs 2 Comment se sont déroulées les parties ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

15 Un dîner entre amis Jade et Marthe dînent avec des amis : autour de la table, il y a sept personnes. Jade propose un jeu. Chacun doit déposer son téléphone portable sur la table et doit lire à haute voix les messages qu’il reçoit. Tout le monde est d’accord. Chacun, toutefois, a un secret, et elle sait bien qu’il y a un message qui le dévoilerait. Bizarrement, les messages révélateurs ont tous la même probabilité d’arriver à 1/7. « Quelle est la probabilité », demande Jade à Marthe, « que, une fois arrivés exactement sept messages, tous les secrets soient dévoilés ? »

Partie 1. Activez les neurones

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16 Question de titre Jeanne va à la librairie et un livre au titre extrêmement bizarre lui est tombé sous la main : Le Titre de ce livre est provisoire. Elle s’aperçoit tout de suite qu’il s’agit d’un hommage au grand, incomparable et incontournable Quel est le titre de ce livre, du mathématicien Raymond Smullyan (achetez-le ou, au moins, lisez-le !). En même temps que, curieuse, elle tourne le livre entre les mains, une question lui trotte dans la tête : « Le titre de ce livre est-il définitif ou provisoire ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

17 Achats à la papeterie La bande des quatre entre dans une papeterie où, malheureusement, les prix ne sont pas exposés. Le papetier leur dit que tous les articles de même type ont le même prix : tous les cahiers ont le même coût, idem pour les stylos et les livres. Alexandre achète trois cahiers, un stylo et deux livres, et il paie 14,20 €. Barbara achète deux cahiers, deux stylos et un livre, en dépensant 11,50 €. Charles achète un cahier et trois stylos, et en entendant combien paient ses amis, il s’écrie : « Maintenant, je sais combien je dois payer » (Darius en revanche n’achète rien parce qu’il a oublié l’argent à la maison : il est un peu étourdi). Combien doit payer Charles ?

Partie 1. Activez les neurones

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Partie

2

Parions que vous allez réussir !

18 Le troisième côté La prof est une grande passionnée de problèmes de géométrie. Aujourd’hui, elle en propose un à ses élèves. Un triangle a deux côtés qui mesurent 1 cm et 3 cm et l’angle formé par eux mesure 60°. Combien mesure le troisième côté du triangle ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

33

19 L’autobus Albert, depuis qu’il ne doit plus aller au travail, a mis de côté la voiture et prend toujours le bus. Ce matin, l’ex-horloger observe qu’au premier arrêt la moitié des passagers descendent ; au deuxième arrêt, il en descend un tiers (… de ceux qui sont encore à bord, Albert compris) ; au suivant, il en descend un quart ; à celui d’après, un cinquième ; ensuite un sixième et au dernier tous, Albert compris. En parlant avec Jeanne, ils arrivent à comprendre combien de personnes étaient dans l’autobus au début du trajet d’Albert. En sachant qu’un autobus à un étage, comme celui où se trouvait Albert, peut contenir au maximum 100 personnes, combien de passagers y a-t-il au début de la ligne ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

20 Produits sur le… gril Jade et Marthe aiment se défier l’une l’autre avec des questions et des problèmes de mathématiques. Ainsi aujourd’hui, Marthe met sous le nez de sa copine un papier où il y a une grille dessinée avec la consigne suivante :

14

3 276 1

540 4 800 2 464

384 16 800 1 152

1 430

756

11 760

« Complète la grille avec les nombres entiers de 1 à 16 (1 et 14 sont déjà écrits), en sachant que les nombres à côté des lignes, des colonnes et des diagonales indiquent les produits des nombres sur la même ligne, colonne ou diagonale. »

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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Alignement dans les rectangles

La prof entre en classe et lance son usuel « Bonjour, mes chers élèves » ; ensuite, sans prononcer un mot, elle dessine un rectangle au tableau. À l’intérieur du rectangle, elle choisit au hasard un point P. Elle se tourne et sourit quand elle les voit concentrés, à reproduire le dessin sur le cahier, à la regarder très concentré. Ensuite, elle trace deux droites parallèles aux côtés du rectangle qui passent par P. De cette manière, le rectangle est subdivisé en quatre rectangles. « Si les rectangles AHPM et PKCL ont la même aire, où se trouve P ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

22 Triangles pythagoriques Le triplet pythagoricien est un triplet d’entiers naturels (a, b, c) vérifiant la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2. Jeanne a fait une observation et elle lance un défi à Albert : « Si les côtés d’un triangle rectangle forment un triplet pythagoricien, qu’estce que tu sais dire du rayon du cercle inscrit ? »

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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23 Trois dés spéciaux Jade et Marthe jouent avec trois dés spéciaux : un a la forme d’un tétraèdre régulier, un autre a la forme d’un hexaèdre (le dé classique), le troisième est un octaèdre. Sur les tétraèdres sont inscrits les nombres de 1 à 4 ; sur l’hexaèdre, il y a ceux de 1 à 6. Sur l’octaèdre, il y a ceux de 1 à 6 avec le 5 et le 6 répétés deux fois. Si on lance tous les trois dés, est-il plus probable de voir le résultat 1-2-3 ou 2-4-6 ou 4-5-6 ? Évidemment, il ne faut pas considérer l’ordre…

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

24 Confusion à table La bande des quatre est invitée à un repas de noces. Les mariés leur ont réservé une table (« De toute façon, ces quatre se perdront sûrement à parler de problèmes mathématiques ! », se sont-ils dit). Leurs noms sont écrits sur chaque marque-place, mais personne des quatre ne s’assoit à la bonne place. En combien de façons peuvent s’assoir nos amis en se trompant tous les quatre de place ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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25 Échauffement géométrique Ses étudiants le savent. Certaines fois, la prof entre dans la classe et fait une demande. Ainsi, elle ne les surprend pas, si aujourd’hui elle les salue en disant : « Bonjour à tout le monde : on fait un peu d’échauffement géométrique », et elle demande : « L’aire d’un trapèze isocèle est de 240 cm2, la hauteur de 10 cm. Combien mesure la diagonale ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

26 Un nombre mystérieux Jeanne est curieuse, elle a beaucoup de passions et d’intérêts. Par exemple, elle aime jouer avec les nombres. Un jour, avec Albert, il lui est arrivé d’écrire un nombre de trois chiffres. La moitié du nombre est paire. Le produit de ses chiffres est 12. Et les chiffres sont ordonnés. Jeanne et Albert se demandent combien de numéros il y a avec les mêmes propriétés et ils décident de les chercher soit avec les chiffres en ordre croissant soit le contraire avec les chiffres en ordre décroissant. Ils sont d’accord que deux chiffres peuvent être égaux. Combien de nombres trouvent-ils ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

41

27

Les diagonales de l’octogone

La prof entre en classe et s’écrit : « Voici pour vous un problème de géométrie très intéressant. » « Dans un octogone régulier, quel est le rapport entre la longueur de la diagonale la plus grande et la diagonale la plus courte ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

28 Le solitaire des neuf 1 Jade et Marthe aiment faire un solitaire. Chacune des deux copines dessine une grille de 3 × 3 remplie de 1. Chaque coup consiste en deux actions : effacer le nombre écrit dans une case ; récrire dedans la somme des nombres contenus dans les cases adjacentes (horizontalement et verticalement). Quel est le numéro minimum de coups pour dépasser 100 ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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29 Dans un triangle équilatéral Un soir, Albert est en train de feuilleter un livre de bons vieux problèmes mathématiques classiques et l’envie le prend de calculer la somme des distances d’un point P à l’intérieur du triangle équilatéral ABC à chacun des trois côtés de ce même triangle. Jeanne écoute le problème et elle réfléchit à voix haute : « Je ne ferais pas trop de calculs… »

Combien mesure la somme des distances ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

30 Une piscine à remplir Quand elle n’est pas à l’école, la prof aime nager. Ainsi, dans son jardin, elle a une belle piscine. Pour la remplir, elle a fait installer quatre pompes : la première a besoin de 3 jours pour la remplir, la deuxième 4, la troisième 6 et la quatrième 12 (elle n’a pas réussi à acheter les pompes de la même puissance et alors elle en possède de plus ou moins performantes). Pour la fin de l’année scolaire, la prof invite ses élèves à passer un après-midi dans la piscine. Toutefois, la veille, elle se rend compte qu’elle a oublié de mettre en marche les pompes, ainsi elle en emprunte une cinquième qui, avec toutes les autres, peut remplir la piscine en une seule journée. Combien de temps mettrait la cinquième pompe seule à remplir la piscine ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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31

Triangles scalènes acutangles et cure-dents

Alexandre montre à ses amis une boîte de cure-dents qui, inutile de le dire, sont tous identiques. Il leur dit qu’il est en train de présenter un problème sur les triangles scalènes acutangles. « Alors », dit Barbara, « chaque côté est inférieur à la somme des deux autres côtés. » « Exact », continue Charles, « et les longueurs des côtés sont toutes différentes. » « Et n’oublions pas que le carré de la longueur de chaque côté est inférieur à la somme des longueurs au carré des deux autres côtés. » Quel est le nombre minimum de curedents qu’il vous faut pour construire un triangle scalène acutangle ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

32 Dans un polygone régulier Jade et Marthe ont trouvé par hasard la feuille où Albert et Jeanne ont résolu Dans un triangle équilatéral (p. 44). Elles en ont pris inspiration et se sont posé la question suivante. Nous considérons la somme des distances des segments d’un point P interne au polygone régulier jusqu’aux côtés du polygone. Quel est le rapport entre la somme obtenue et l’apothème ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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33 Carrés magiques La prof dessine au tableau une grille carrée de 3 × 3 et lance un défi : « Un carré magique est une grille comme celle-ci, vous devez y insérer tous les chiffres de 1 à 9 de façon à ce que la somme des nombres de chaque ligne, colonne ou diagonale donne comme résultat le même nombre. Savez-vous compléter un carré magique 3 × 3 ? » De quelles différentes façons est-il possible de compléter un carré magique ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Couper un trapèze (quelconque) à moitié

Albert a dessiné le point médian M du côté oblique BC d’un trapèze ABCD. Il a dessiné en passant par M, la droite parallèle à l’autre côté oblique AD, et il a nommé N le point d’intersection avec la grande base. « Regarde un peu, Jeanne », demande-t-il à sa copine intriguée par la figure, « comme c’est facile de calculer l’aire du trapèze NBCD. »

Combien mesure l’aire du trapèze NBCD ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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35 La piste d’athlétisme La prof a une heure libre et elle va au jardin de l’école. Derrière, il y a la piste d’athlétisme où ses élèves sont en train de s’entraîner. Le périmètre intérieur de la piste est composé de quatre parties longues de 100 m : deux lignes droites alternées avec deux demi-cercles. Sur la piste sont dessinés huit couloirs, chacun large de 1 m. Ses élèves courent, huit à huit, la course de 400 m. Naturellement, les athlètes doivent arriver « en ligne », la ligne d’arrivée doit être perpendiculaire aux côtés de la piste. Les lignes de départ doivent donc être décalées. « Mes chers élèves », demande la prof, quelle distance doit-il y avoir entre les deux lignes consécutives de départ ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Un match de tennis… sur deux tours

Pendant une sortie, Jade monte sur une tour haute de h mètres et Marthe monte sur une autre tour haute de k mètres. Les tours sont proches l’une de l’autre : elles sont distantes de l mètres. Les deux copines se lancent une balle en la faisant rebondir par terre.

Sur quel point doivent-elles faire rebondir la balle afin qu’elle arrive au sommet de l’autre tour ? Il faut rappeler que pour réussir, l’angle d’arrivée au sol de la balle doit être identique à celui du rebond.

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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37 Sommes d’entiers naturels L’ascenseur est en panne et Albert monte les escaliers en même temps que Jeanne les descend. À chaque fois qu’Albert monte une marche, Jeanne en descend une. Une marche après l’autre, Jeanne est en train de réfléchir jusqu’à ce qu’elle ait une idée et s’écrie : « J’ai trouvé une formule pour décrire la somme des premiers n nombres naturels ». « Mais comment fait-elle pour avoir ces idées ? », se demande Albert en essayant de deviner la formule que Jeanne a trouvée. Pouvez-vous aider Albert à trouver la formule qui décrit la somme des premiers n nombres entiers naturels ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

38 Le côté plus court Est-ce que vous vous souvenez quand la prof a demandé à ses chers élèves de raisonner sur le problème intitulé Le troisième côté (p. 33) ? Non contente, elle leur a posé une autre demande similaire.

« Dans un triangle, l’angle compris entre deux côtés mesure 60° et un des deux côtés est long de 3 cm. Quelle est la longueur minimum du troisième côté ? »

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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39 Le 2 016 chiffre e

Un après-midi, la bande des quatre prend un goûter à base de biscuits et chocolat chaud. Et naturellement de mathématiques. Durant un moment de silence, Alexandre demande à ses amis : « Si nous écrivons tous les nombres naturels à partir de 1, quel sera le 2 016e nombre écrit ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

40 Pièces égales Albert, étant un bon ancien horloger, aime les solitaires et les devinettes qui nécessitent des encastrements et positions exactes. Il y consacre des heures pour les décortiquer et comprendre ce qu’ils cachent. Un jour, il lui arrive une grille 4 × 4 et un beau tas de tétraminos. Il se demande si c’est possible de recouvrir la grille avec quatre pièces identiques, peut-être en en inversant quelques-unes.

Par le regard hautain que lui a lancé Jeanne, notre Albert comprend que la couverture de la grille est tout à fait possible et aussi très facile. Alors il se pose une autre question. « En combien de façons puis-je couvrir cette grille avec quatre pièces identiques ? »

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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41 Quali colombe

dal disio chiamate…

(cf. : Divina Commedia, Inferno, Canto V, 82-142) « Aujourd’hui, chers élèves », s’écrie la prof, « je vous propose un problème classique cité aussi par Fibonacci. Deux colombes sont perchées sur deux arbres hauts respectivement de 30 et 40 m. La distance entre les deux arbres est de 50 m. Les colombes volent en ligne droite vers le bas à la même vitesse et arrivent pour boire à la même fontaine située entre les deux arbres en même temps. À quelle distance des deux arbres se trouve la fontaine ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

42 Le logo de la « Mathesis » Marthe et Jade ont vu le logo de la « Mathesis », l’association italienne qui a pour but de valoriser l’enseignement des mathématiques et des sciences.

Tout à coup, Jade a une intuition et éclate de rire. « J’ai compris pourquoi ils l’ont colorié de cette manière ! » « Pourquoi ? », lui demande sa copine pleine de vie. « Je ne te le dis pas… tu peux y arriver toute seule ! » Pourquoi deux des cinq parties que forme le logo sont grises ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

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Le volume du parallélépipède

« Mes chers élèves », demande la prof, «­ combien peut mesurer le volume d’un parallélépipède rectangle dont les deux faces mesurent 24 cm2 et 36 cm2, et où l’arête la plus longue est le double de la plus courte ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

44 La somme des arêtes Albert est en train de peindre une boîte : le petit vieux, très vif, l’appelle « parallélépipède rectangle », mais c’est toujours une boîte. La surface totale qu’il a peinte mesure 192 dm2. Pour une raison inconnue, Albert sait que la diagonale mesure 13 dm. « Je crois que ces informations sont suffisantes pour connaître la somme de toutes les arêtes de la boîte », remarque Jeanne en jetant un coup d’œil par-dessus les épaules de son ami, lequel s’arrête et se demande : « Mais… Jeanne, elle a raison (et surtout) comment a-telle fait pour le comprendre ? » Combien vaut la somme des arêtes ?

Partie 2. Parions que vous allez réussir !

59

45 Ouvrir la porte d’entrée La prof doit ouvrir la porte d’entrée de chez elle. Elle a six clés, mais elle ne se souvient pas quelle est la bonne, donc elle procède par tentatives. À chaque fois, elle essaie une clé sûrement différente de la précédente, mais pas forcément différente de celles qu’elle a déjà essayées avant. Quelle est la probabilité qu’elle arrive à ouvrir la porte d’entrée en maximum quatre essais ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Partie

3

Regardez un peu ce que vous savez faire !

46

Mathématiciens et diplômés en mathématiques

Jade a une passion explosive pour les chiffres, ainsi Marthe ne s’étonne pas que dans le monde des mathématiques tout le monde puisse avoir jusqu’à sept masters 2. 80 % possèdent au moins un diplôme, 40 % en ont au moins trois et 10 % en ont au moins six. Pendant que Marthe est en train de réfléchir sur ces informations, Jade lui lance une question : « Quel est le nombre moyen de diplômes par habitant en Italie ? Et le maximum ? »

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

63

47 Ballon de foot C’est le dernier jour d’école. La prof accompagne ses élèves jouer au ballon dans le jardin, « même si, chers élèves, l’appeler ballon est incorrect ». « Et pourquoi ? C’est une sphère. »

« Mais non, bananes : les ballons de foot ont une forme, même un peu arrondie, d’un icosaèdre tronqué, un polyèdre dont les faces sont 20 hexagones réguliers, et 12 pentagones réguliers. » « Donc ils ont des arêtes. » « Exact : arêtes et sommets », sourit la prof. « Combien y a-t-il de sommets dans un ballon de foot ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

48 Question de soldes Le très vieux lave-linge d’Albert s’est cassé. Ainsi, il a dû courir en acheter un nouveau au magasin où il se rend depuis des années. Sur le prix du catalogue de 1 000 €, le commerçant lui applique trois réductions : une parce que c’est la période des soldes, une parce qu’Albert est un client régulier, une parce qu’il y a une offre sur les appareils électroménagers. Le commerçant, en faisant les calculs, fait une erreur : il additionne les pourcentages des trois réductions et demande à Albert un prix inférieur aux 802,62 € que notre ami horloger pensait payer. Albert est un peu perplexe et très honnête et lui fait remarquer l’erreur. Sachant que les pourcentages des soldes sont entiers et qu’ils ne dépassent pas respectivement 10 %, quel est le compte erroné que le commençant présente à Albert ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

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49 Une grille de carreaux Pendant une leçon particulièrement ennuyeuse, Jade met sur le banc de Marthe une feuille où elle a dessiné une grille 10 × 10 et elle lui chuchote une question : « Combien de carreaux vois-tu ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

50 Somme de cubes Un après-midi, Jade est à la maison quand on sonne à la porte. Elle va ouvrir et voit Marthe un peu déprimée et un peu en colère. « Je me creuse les méninges sur cette figure » et elle lui agite sous le nez le dessin que sa copine lui avait donné il y a quelque temps. « Pourquoi dis-tu qu’il représente la somme des cubes des premiers nombres entiers ? »

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

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Chaussettes blanches, chaussettes noires, tiroir du haut, tiroir du bas

Albert garde ses chaussettes – rigoureusement blanches ou noires – dans deux tiroirs. Dans le tiroir du haut, il y a quatre chaussettes blanches. La probabilité d’extraire une chaussette blanche du tiroir du bas est de 6/7. Dans l’un des deux tiroirs, il y a quatre chaussettes noires en plus par rapport à l’autre. Si Albert rassemblait les deux tiroirs, la probabilité d’extraire une chaussette blanche serait de 2/3. Combien de chaussettes noires y a-t-il dans le tiroir du bas ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

52 À toute vitesse ! Algèbrepolis, Géométryland et Countville sont trois villes disposées sur les sommets d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le segment qui relie Countville à Géométryland. La distance entre Géométryland et Algèbrepolis correspond aux 4/5 de celle entre Géométryland et Countville. Alexandre et Charles partent en voiture de Countville et se dirigent vers Géométryland, roulant à une vitesse constante de 45 km/h. Barbara et Darius partent de Countville en même temps, ils vont à une vitesse constante jusqu’à Algèbrepolis, ensuite ils réduisent leur vitesse de moitié et se dirigent vers Géométryland. Ils veulent arriver au même moment qu’Alexandre et Charles. À quelle vitesse Barbara et Darius doivent-ils parcourir le premier trajet ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

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53 Une grille de rectangles Très satisfaite de sa solution de Une grille de carreaux (p. 66), Marthe rend à Jade la grille 10 × 10 sous laquelle elle a griffonné : « Les carreaux sont des rectangles. » Et en même temps, elle chuchote à sa copine : « Combien de rectangles vois-tu ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

54 Quel cadeau veux-tu ? Jade aime défier sa copine et ainsi propose à Marthe une manière bizarre pour lui faire un cadeau de quelques euros. « Imagine qu’après avoir tiré au sort une des valeurs comprises entre 0 et 9 €, je t’offre cette somme. Tu peux choisir d’accepter le cadeau ou non. Si tu le refuses, tu es obligée d’accepter le deuxième cadeau que je tire au sort. Quelle stratégie choisis-tu ? Combien reçois-tu en moyenne ? »

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

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55 L’évaluation de Zhen Quand la prof donne un devoir surveillé en classe, les points qu’elle attribue aux exercices sont toujours une surprise. Aujourd’hui, il s’agit de six problèmes. La solution du premier vaut 5 points, celle du deuxième 9, et celle des suivants 15, 23, 35 et 41. Au moment de rendre les copies, la prof jette un coup d’œil au devoir de Zhen, elle fait un rapide calcul mental et s’écrit : « La somme des points que Zhen a totalisés ne permet pas de savoir exactement les problèmes qu’il a résolus et ceux qu’il n’a pas résolus. » Naturellement, une discussion survient immédiatement sur les points possibles. « Devoir à faire à la maison… », éclate de rire la prof. « Énumérez tous les points possibles totalisés par Zhen. »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Couper de moitié un trapèze isocèle

Le papa de Jade lui a préparé un petit gâteau d’anniversaire en forme de trapèze isocèle (allez savoir pourquoi…). Jade, évidemment, veut le manger avec Marthe. Quand il s’agit de le couper en deux, l’idée lui vient de lancer un défi à sa copine. « Marthe », commence-t-elle avec un sourire rayonnant, « au lieu de le couper banalement par l’axe de symétrie, essaie de le couper en commençant par un des sommets de la petite base. » Par quel point de la grande base doit passer la coupe commençant par un sommet de la petite base pour partager en deux le gâteau d’anniversaire en forme de trapèze isocèle ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

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57 Monty Hall/Classique Barbara raconte à ses trois amis de la bande un classique de mathématiques, le problème de Monty Hall. Dans un jeu télévisé, le candidat se trouve devant trois portes fermées. Derrière l’une des trois, il y a une voiture de luxe ; derrière les deux autres, il y a deux chèvres. Le candidat choisit une porte : le présentateur ouvre une des deux autres portes où il sait qu’il y a une chèvre. Puis, il demande au candidat s’il veut confirmer la porte choisie initialement, ou s’il veut la changer avec celle qui n’a pas été ouverte. Le candidat gagnera ce qui se cache derrière la porte qu’il choisit. Quel est le meilleur choix ? Confirmer le premier ? Changer de porte ? Ou n’importe quel choix sera indifférent pour gagner la voiture ?

74

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Monty Hall/Quatre portes et trois choix

« Je vous ai proposé le Monty Hall/Classique (p. 74) », continue Barbara, « parce que je veux que vous abordiez une variante qui m’est venue à l’esprit. » Dans un jeu télévisé, le candidat se trouve devant quatre portes fermées. Derrière l’une des quatre, il y a une voiture de luxe ; derrière chacune des trois autres, il y a une chèvre. Le candidat choisit une porte : le présentateur ouvre une des trois autres portes où il sait qu’il y a une chèvre. Puis, il demande au candidat s’il veut confirmer la porte choisie initialement, ou s’il veut la changer avec une de celles qui n’ont pas été ouvertes. Le candidat gagne ce qui se cache derrière la porte qu’il choisit. Pour le concurrent, vaut-il mieux jouer avec trois portes (et deux choix) ou avec quatre (et trois choix) ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

75

59 Monty Hall/Super La bande des quatre augmente vite le niveau du Monty Hall (pp. 74-75) et considère deux variantes du jeu. Dans le premier jeu télévisé, Classique, le candidat se trouve devant cinq portes fermées. Derrière l’une de celles-ci, il y a une voiture de luxe ; derrière les autres, il y a une chèvre. Le candidat choisit une porte : ensuite, le présentateur ouvre une des quatre autres portes où il sait qu’il y a une chèvre. Puis, il demande au candidat s’il veut confirmer la porte choisie initialement, ou s’il veut la changer parmi celles qui n’ont pas été ouvertes. Le candidat gagne ce qui se cache derrière la porte qu’il choisit. Dans le deuxième, Super, après le premier choix, le présentateur exclut une chèvre ; après le deuxième choix, il exclut le prix le plus important disponible ; après le troisième choix, il exclut à nouveau une chèvre. Est-il plus probable que le joueur doive se contenter de la chèvre dans le problème de Monty Hall avec cinq portes et quatre choix Classique, ou qu’il gagne la voiture dans le jeu Super ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

60 Monty Hall/Super récompense Après quelque temps, pour les brillants cerveaux de la bande des quatre, le Monty Hall/Super (p. 76) devient ennuyeux. Ainsi, ils inventent la version Super récompense. Il y a quatre portes. Derrière chacune d’elle, il y a une récompense en argent : 1 000 €, 2 000  €, 3 000  €, 4 000  €. Voici les étapes du jeu. Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre la porte qui cache la récompense la plus basse parmi les trois restantes. Le candidat choisit une porte (il peut aussi confirmer le choix initial). Le présentateur ouvre la porte qui cache la récompense la plus basse parmi les deux qui restent. À ce moment-là, le candidat décide de confirmer ou de changer la porte choisie initialement. Quelle probabilité a le candidat de gagner le premier prix ? Et le deuxième ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

77

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Monty Hall/Super méga récompense

Comme les cerises, un Monty Hall en appelle un autre et voici que nos amis songent à la version Super récompense (p. 77) avec des prix de 0 €, 1 000  €, 2 000  €, 3 000  €, 4 000  € et, naturellement, un troisième choix. Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus bas parmi les quatre prix restants. Le candidat choisit une porte (il peut aussi confirmer le choix initial). Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus bas des trois restants. Le candidat choisit une porte (il peut aussi confirmer le choix initial). Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus bas des autres deux prix. À ce point, le candidat décide de confirmer ou changer la porte choisie. Est-il plus avantageux de jouer à Monty Hall/Super récompense (p. 77) ou à Monty Hall/Super méga récompense ? 78

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Monty Hall/ Super méga de luxe !

Enfin, la bande des quatre invente la version Super méga de luxe ! C’est la même version que Super méga récompense (p. 78) avec cinq portes et une seule variante : il y a toujours des récompenses à la clé de 0 €, 1 000  €, 2 000  €, 3 000  €, et 4 000 €, mais la deuxième fois, le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus important de ceux qui restent. Ensuite, la dernière fois, il ouvrira la porte qui cache le prix le moins important. Le joueur choisit une porte. Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus bas des quatre restants. Le joueur choisit une porte (il peut aussi confirmer le choix initial). Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus important parmi les trois restants. Le joueur choisit une porte (il peut aussi confirmer le choix fait précédemment). Le présentateur ouvre la porte qui cache le prix le plus bas des deux autres. À ce moment-là, le joueur décide de confirmer ou changer la porte choisie. Quel est le gain attendu pour le joueur ?

Partie 3. Regardez un peu ce que vous savez faire !

79

Partie

4

Pouvez-vous le démontrer ?

63 De points et de droites La bande des quatre se délecte à construire des « machines géométriques ». Alexandre tend une ficelle (la droite r), sur laquelle il fixe deux pinces (les points A et B). Pendant ce temps, Barbara a réalisé un rectangle en carton (CDEF) qu’elle fixe à la ficelle aux points E et F. Ensuite, Charles fait passer une longue et fine paille par A et C (droite AC) et une autre par B et D (droite BD). « Regardez », s’écrit Darius. « Les droites AC et BD se coupent au point P et quand nous bougeons le rectangle CDEF, en maintenant E et F sur r, P décrit une droite parallèle à r. » Alexandre et Charles ont quelques doutes. Pourtant, Barbara soutient que Darius a bien vu. Qui a raison ?

Partie 4. Pouvez-vous le démontrer ?

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64 Sommes de puissances Albert et Jeanne discutent de temps en temps de mathématiques. Ils aiment trouver des résultats qui sont valables pour beaucoup de cas différents. Et ainsi, ils ont passé une longue soirée d’hiver à démontrer que la somme des puissances k-ièmes des premiers nombres entiers naturels jusqu’à n est un polynôme. De quel degré est-il ? Quel est le coefficient du monôme du degré le plus haut ?

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Une forme géométrique cachée

Chez Charles, la bande des quatre est en train de prendre le goûter. Alors que Barbara n’est pas encore assise sur le canapé, elle s’exclame : « J’ai observé que dans un parallélogramme, les points équidistants de trois côtés consécutifs, ou éventuellement de leurs prolongements, forment une belle forme géométrique. » Ensuite, elle fait une pause savante et demande aux amis : « Est-ce que vous trois sauriez la reconnaître et démontrer pourquoi ? »

Quelle forme géométrique forment les quatre points équidistants des trois côtés d’un parallélogramme ?

Partie 4. Pouvez-vous le démontrer ?

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66 Une propriété inattendue « Comme nous l’avons vu dans Une forme géométrique cachée (p. 85) », dit Darius en dévorant une part de tarte, « dans un quadrilatère, les points équidistants des trois côtés consécutifs forment un quadrilatère. »

« C’est normal, il a quatre côtes… », lui répond Alexandre. « Normal ? C’est toi qui le dis ! Je pense que ce quadrilatère a une belle propriété. » « Laquelle ? » « Découvrez-la ! »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

67 Rapports triangulaires Un jour, pendant une promenade sur la plage, Jade demande à Marthe : « Est-il possible d’inscrire dans un triangle ABC un triangle équilatéral DEF ? » Marthe : « Que signifie “inscrire” dans ce cas ? » Jade : « Je veux que les trois sommets D, E, F soient sur les trois côtés du triangle et que le côté EF soit parallèle à AB. » Marthe : « En règle générale… je pense que oui. Pourquoi ça t’intéresse ? » Jade : « Combien vaut le rapport entre EF et AB ? »

Partie 4. Pouvez-vous le démontrer ?

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68 Chansons de Noël Jeanne – ça ne nous étonnera pas de le découvrir maintenant que nous la connaissons un peu – aime chanter et aime particulièrement les chansons traditionnelles. Ce n’est pas rare de l’entendre fredonner une chanson traditionnelle de Noël qui fait comme ça : « Le premier jour de Noël, mon amour m’a donné une perdrix. Le deuxième jour de Noël, mon amour m’a donné deux tourterelles et une perdrix. Le troisième jour, mon amour m’a donné trois poules, deux tourterelles et une perdrix. » La chanson continue comme ça jusqu’au douzième jour, quand : « Mon amour m’a donné douze batteurs, onze joueurs de fifre… trois poules, deux tourterelles et une perdrix. » À force de la lui entendre chanter, Albert se pose la question : « Mais la protagoniste de la chanson, pendant ces douze jours, combien de cadeaux a-t-elle reçus ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

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Parallélogrammes et encore des parallélogrammes

« J’ai une anecdote géométrique », dit Alexandre qui aime lancer des défis à ses amis. « Je ne connais pas la démonstration, mais je suis convaincu que c’est vrai. » « Allez », lui accorde Darius, « dis-nous ta conjecture d’Alexandre. » « Dans un parallélogramme, les points équidistants de trois sommets forment un parallélogramme qui a une propriété en commun avec le premier. » « Laquelle ? » « Je ne vous la dis pas encore… Voyons si vous la trouvez. » Quelle propriété ont en commun les deux parallélogrammes ?

Partie 4. Pouvez-vous le démontrer ?

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Une autre méthode pour diviser en parties égales un trapèze (quelconque)

La prof a dessiné au tableau un point P au hasard à l’intérieur d’un trapèze (quelconque) et elle l’a relié avec les quatre sommets, en obtenant quatre triangles. « Où doit se trouver le point P afin que les deux triangles déterminés par P et par un couple de côtés opposés ensemble soient la moitié du trapèze ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

71 Somme des carrés « Maintenant que nous connaissons le degré de la somme des premières K-ièmes puissances – voir Sommes de puissances (p. 84) –, calculer la somme des carrés des premiers n nombres entiers naturels est un jeu de retraités », dit Albert. En effet, en un clin d’œil, Jeanne trouve la formule. Pouvez-vous trouver la formule qui indique la somme des n premiers nombres carrés ?

Partie 4. Pouvez-vous le démontrer ?

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Une myriade de petits cubes

Jade reçoit son amie en jouant avec un dé en caoutchouc-mousse plutôt grand. Jade : « Marthe, imagine avoir un énorme dé peint en rouge coupé en petits cubes en divisant chaque arête en 1 002 segments de même longueur. » Marthe : « Allez ! » Jade : « Parmi les petits cubes obtenus ainsi, certains ont trois faces rouges, d’autres en ont deux, d’autres encore une seule. Enfin, il y a des petits cubes sans faces peintes. » Marthe : « Évidemment. » Jade : « Combien y a-t-il de cubes de chaque type ? »

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Solutions

I ACTIVEZ LES NEURONES 1. UNE PARTIE DE FLÉCHETTES Alexandre a fait 8 points Soit n la totalité des points. Alexandre en a fait n/3, donc ceux des trois autres amis sont n − (n/3) = 2n/3. Barbara en a fait n/4, ainsi Charles et Darius en ont totalisé (2n/3) − (n/4) = 5n/12. Charles en a fait n/6, ceux de Darius sont (5n/12) − (n/6) = n/4. Nous savons que Darius en a fait 6, qui est égal à un quart de 24. Alexandre, qui en a fait un tiers, a totalisé 8 points. ❍ Un moyen pour obtenir la solution avec moins de calculs est le suivant. Le nombre de points doit être un multiple de 3, 4, et 6, par conséquent c’est un multiple de 12, donc 12n. Alexandre en a un tiers, soit 4n. Barbara un quart, soit 3n. Charles un sixième, soit 2n. À Darius, il en reste 3n (= 12n − 4n − 3n − 2n) qui est égal à 6. Alexandre en a 8, Barbara 6, Charles 4 et Darius, comme nous le savons, 6. ❍ Solutions

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Ou raisonnons aussi en utilisant les fractions qui indiquent les points des trois premiers de la bande. 1 1 1 4+3+2 9 3 + + = = = 3 4 6 12 12 4 La fraction indique le résultat de Darius, qui est 1/4, et nous savons que la totalité de ses points est égale à 6, donc le total des points est de 24 et Alexandre en a 8. ❍ Ou, encore, nous résolvons l’équation : x x x + + +6=x 3 4 6 Nous trouvons que le total des points est de 24 et ceux d’Alexandre 8.

2. ENTRE LES MORCEAUX D’UN PUZZLE Le nombre est 374 Après quelques essais, Albert réussit à remonter le puzzle. Voici la disposition que nous devrions aussi trouver.

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

3. UNE ANNÉE… MAGIQUE ? Le 2 016e chiffre est 2 La règle démontre que nous devons écrire une succession de chiffres de sorte que la somme de cinq chiffres consécutifs fasse toujours 13. Étant donné que 2 + 0 + 1 + 6 = 9, le cinquième chiffre est 4. La succession continue ainsi : 2 0 1 6 4 2 0 1 6 4 2 0… Les chiffres se répètent cinq par cinq… 2, 0, 1, 6, 4 et ensuite à nouveau 2, 0, 1, 6, 4. Si on saute de cinq en cinq, nous trouvons le même chiffre. Donc le 2 016e chiffre est égal au premier, qui est 2. Un défi en plus. Maintenant, nous recommençons, mais en demandant que la somme des cinq derniers chiffres fasse toujours 10 (ou 14, ou n’importe quel nombre inférieur à 18). Quel est e le 2 016 chiffre ? Pourquoi ne pouvons-nous pas obtenir un total supérieur de 18 ?

4. UNE PARTIE DE POKER CIRCULAIRE Ils ont joué au moins quatre manches Aucun joueur à aucun moment de la partie ne peut avoir 0 jeton, autrement il finirait de jouer. Chaque joueur qui gagne une partie gagne 3 jetons de plus et tous les autres en perdent 1 chacun. Alexandre a donc gagné la dernière manche et la précédente distribution des jetons était : Alexandre 2, Barbara 4, Charles 3 et Darius 2. Barbara a gagné l’avant-dernière manche au début de laquelle chaque ami avait : Alexandre 3, Barbara 1, Charles 4 et Darius 3. Solutions

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Charles a gagné l’antépénultième manche au début de laquelle chaque ami avait : Alexandre 4, Barbara 2, Charles 1 et Darius 4. Maintenant, nous ne pouvons pas dire avec certitude qui a gagné la première manche, mais c’est obligatoirement Alexandre ou Darius… et dans les deux cas, le nombre de jetons avec lesquels ils ont commencé à jouer était 5, 3, 2 et 1. Donc la bande des quatre a joué au moins quatre manches. Naturellement, ils pourraient en avoir joué 8, 12, 16, 20 et ainsi de suite : les données permettent de connaître le nombre minimum de manches, mais pas la solution exacte.

5. VOLUMES Le volume est de 160 cm3 ou 128 5 cm3 Nous appelons les trois arêtes 2x, y et x, étant donné que la grande arête est le double de la petite. Donc : 2x ≥ y ≥ x Les aires des trois faces sont 2xy, xy et 2x2 et forment une autre inégalité : 2xy ≥ 2x2 ≥ xy Comme pour les arêtes, la grande face a le double de l’aire de la petite face. Il y a deux possibilités : 40 ≥ 32 ≥ 20  ou  64 ≥ 40 ≥ 32 Dans le premier cas, les trois arêtes mesurent 8, 5, et 4 cm et le volume est égal à leur produit, 160 cm3. Dans le deuxième, elles mesurent 4 5, 3,2 5 et 2 5 cm et le volume est 128 5 cm3.

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES

6. UNE SORTIE À ROME 10 étudiants ont visité tous les monuments On change de point de vue, et nous considérons combien n’ont pas visité de monument. Des 30 étudiants, 2 n’ont pas visité le Colisée, 3 n’ont pas visité le Forum romain, 4 n’ont pas visité le Panthéon, 5 n’ont pas visité la place Navone et 6 n’ont pas visité la basilique de Saint-Pierre. Si les personnes sont toutes différentes, celles qui n’ont pas visité au moins un monument sont 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20. Donc au moins 10 étudiants ont visité tous les cinq monuments et les autres 20 en ont visité quatre sur cinq. Naturellement, il y a beaucoup d’autres cas possibles, par exemple que 24 étudiants aient visité tous les cinq monuments, un en ait visité quatre, un en ait visité trois, un en ait visité deux, un en ait visité un et deux étudiants n’en aient visité aucun.

7. ENCORE UN POKER Ils ont joué deux manches Seulement Alexandre peut avoir gagné la dernière manche. La précédente commençait avec la distribution des jetons suivante : Alexandre 2, Barbara 4, Charles 2 et Darius 2. La seule personne qui peut avoir gagné l’avant-dernière manche est donc Barbara et la distribution précédente était Alexandre 3, Barbara 1, Charles 3 et Darius 3. Personne ne pourrait avoir gagné une hypothétique manche précédente parce qu’ils auraient dû avoir 0 (ou même − 2) jetons, chose impossible.

Solutions

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8. LES PETITS-ENFANTS D’ALBERT Les petits-enfants ont 9, 2, 2 et 1 ans Jeanne écrit dans un tableau les âges possibles des petits-enfants d’Albert, c’est-à-dire toutes les combinaisons de quatre nombres entiers naturels dont le produit est 36. premier

36

18

12

9

9

6

6

4

3

deuxième

1

2

3

4

2

6

3

3

3

troisième

1

1

1

1

2

1

2

3

2

quatrième

1

1

1

1

1

1

1

1

2

Ensuite, elle remarque que les sommes de leurs âges sont toutes différentes sauf deux qui valent 14 : 6 + 6 + 1 + 1 = 9 + 2 + 2 + 1 = 14 Dans les deux cas, il y a des jumeaux ou des neveux du même âge. Quand Albert dit que l’aîné des petits-enfants a les yeux bleus, Jeanne exclut que les plus âgés soient deux (autrement l’horloger aurait dit « l’un des plus âgés »). Les âges des petits-enfants doivent être 9, 2, 2 et 1 ans.

9. LE DÉFI DES CINQ 7 Le premier nombre qu’on ne peut pas écrire est 23 Voici tous les nombres entiers naturels jusqu’à 22.

100

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

(7 + 7 − 7 − 7) × 7 = 0 (7 + 7 + 7 − 7) ÷ 7 = 2 (7 + 7 + 7 + 7) ÷ 7 = 4 7 − 7 + 7 − 7 ÷ 7 = 6 7+7−7+7÷7=8 7 + (7 + 7 + 7) ÷ 7 = 10 7 + 7 − (7 + 7) ÷ 7 = 12 7 + 7 + (7 − 7) × 7 = 14 7 + 7 + (7 + 7) ÷ 7 = 16 (77 + 7 × 7) ÷ 7 = 18 7 + 7 + 7 − 7 ÷ 7 = 20 (77 + 77) ÷ 7 = 22

7 ÷ 7 + 7 × (7 − 7) = 1 (7 × 7 − 7) ÷ (7 + 7) = 3 (77 − 7) ÷ (7 + 7) = 5 7+7−7+7−7=7 (77 − 7 − 7) ÷ 7 = 9 77 ÷ 7 + 7 − 7 = 11 (77 + 7 + 7) ÷ 7 = 13 (7 × 7 + 7) ÷ 7 + 7 = 15 (77 − 7) ÷ 7 + 7 = 17 (77 + 7) ÷ 7 + 7 = 19 7 + 7 + 7 + 7 − 7 = 21

Et le 23 ? On revient sur la question et nous considérons ces trois listes. Nombres écrits avec un 7 : 7 Nombres écrits avec deux 7 : 77

7 + 7 = 14

7−7=0

7÷7=1

Nombres écrits avec trois 7 : 77 − 7 = 70 77 + 7 = 84 77 × 7 = 539 7 + 7 + 7 = 21 (7 + 7) ÷ 7 = 2 (7 + 7) × 7 = 98 7 × 7 × 7 = 343 7 × 7 − 7 = 42 7 − (7 ÷ 7) = 6 7 + (7 ÷ 7) = 8

7 × 7 = 49

77 ÷ 7 = 11 7+7−7=7 7 × (7 − 7) = 0 7 × 7 + 7 = 56

En utilisant cinq 7, nous mettons ensemble comme termes d’une opération finale un résultat obtenu avec trois 7 et un avec deux 7 ou bien un avec quatre 7 et un avec un 7. En regardant les deux listes « avec deux 7 » et « avec trois 7 », on ne trouve pas deux nombres qui aient la somme, la différence, le produit ou le quotient égal à 23. Solutions

101

De la même façon, si nous écrivions tous les nombres qui peuvent être obtenus avec quatre 7, parmi eux nous ne trouverons pas 16, 30, 161 et non plus 23/7. Il est donc impossible d’écrire 23 avec cinq 7.

10. OCTAÈDRES PEINTS Deux couleurs sont suffisantes Nous pouvons voir l’octaèdre constitué par deux pyramides avec une base carrée en commun. Nous colorions les quatre faces d’une pyramide alternativement en blanc, noir, blanc et noir. Donc nous colorions les quatre faces de l’autre pyramide « en sens inverse » : en noir, blanc, noir et blanc. Nous devons seulement faire attention à colorier en noir la face qui correspond à la face blanche de l’autre pyramide et vice versa. Un défi en plus. Jeanne veut mettre le portemonnaie dans une boîte cubique avec les sommets coloriés. Elle a des autocollants à placer en correspondance de chaque sommet. Combien de décorations doit-elle au moins utiliser pour que les deux sommets de la même arête ne soient pas de la même couleur ?

11. UNE TROISIÈME (ET DERNIÈRE) PARTIE DE POKER Chaque joueur a gagné une manche et tous ont à nouveau 4 jetons Si un joueur a gagné deux manches, alors au moins un autre joueur les a perdues toutes les quatre. Par conséquent, ce joueur aurait 0 jeton et il serait exclu du jeu. Si tous les quatre joueurs sont en jeu, 102

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

alors ils doivent forcément gagner une manche chacun (et en avoir perdu trois). Avec une victoire, chacun a gagné 3 jetons, autant qu’il en a perdu avec les trois défaites. Alexandre, Barbara, Charles et Darius se trouvent alors avec 4 jetons chacun.

12. COMBIEN D’ESPACES Il y a 78 espaces Jade observe que la première partie de la ficelle reliée sur les deux bâtons forme 1 espace triangulaire. Quand Marthe relie la deuxième partie de la ficelle, il y a 3 espaces délimités. Quand elle relie la troisième partie de la ficelle, il en y a 6 et ainsi de suite. À chaque fois, il y a une correspondance entre le nombre d’espaces définis et le nombre de fois que la ficelle est reliée. À la fin, donc, le nombre d’espaces est : 1 + 2 + 3 + 4 + … + 12 = 78 PS : Si vous voulez vérifier que la somme des nombres de 1 à 12 est réellement 78 sans faire toutes les additions, résolvez le problème Sommes d’entiers naturels (p. 52).

13. CÔNES La surface de la sphère mesure 26 cm2 Nommons les côtés a et b et l’hypoténuse c. L’hypoténuse est l’apothème des deux cônes, alors que le côté qui tourne est le rayon de la base. Les surfaces latérales sont s(a) = πac et s(b) = πbc. Alors que celle de la sphère est s(c) = πc2. Solutions

103

Attention ! Nous devons calculer 4 fois le carré du rayon qui est la moitié de l’hypoténuse : il y a deux 4 qui se simplifient. Maintenant, faisons les comptes : s(a)2 = π2 a2 c2 s(b)2 = π2 b2 c2 s(a)2 + s(b)2 = π2 a2 c2 + π2 b2 c2 Utilisons le théorème de Pythagore : s(a)2 + s(b)2 = π2 c4 s(a)2 + s(b)2 = S(c)2 Nous avons trouvé que le carré de la surface sphérique est la somme des carrés des surfaces latérales. Il reste à remplacer par les valeurs 10 cm² et 24 cm² et le carré de la surface sphérique est 676. La surface sphérique mesure 26 cm².

14. LE CLASSEMENT Les Homards perdent contre les Paresseux, mais gagnent contre les Caméléons et le Dugongs. Les trois parties entre les Paresseux, Caméléons et Dugongs se soldent par une égalité Il y a six parties entre les quatre équipes. Ils ont totalisé 15 points. L’unique possibilité est qu’il y a eu 3 victoires et 3 égalités. Chaque équipe a joué trois parties. Caméléons et Dugongs, pour avoir totalisé 2 points, peuvent seulement avoir fait 2 égalités et 1 défaite. Les Paresseux, de façon analogue, ont 1 victoire et 2 égalités. Les Homards ont gagné 2 parties et ils en ont perdu 1. 104

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Les Homards n’ont jamais fait égalité, les Paresseux ont fait égalité contre les Caméléons et les Dugongs et ont gagné contre les Homards, qui à leur tour ont gagné contre les Caméléons et les Dugongs. Le résultat de la partie restante, celle entre les Caméléons et les Dugongs, est nécessairement une égalité.

15. UN DÎNER ENTRE AMIS La probabilité de dévoiler tous les secrets est de

7! 714

Le premier message arrive à l’un des invités avec la probabilité 7/7 = 1. Le second arrive à une autre personne avec la probabilité 6/7. Le troisième arrive à une troisième personne avec la probabilité 5/7 et ainsi de suite. La probabilité que les sept messages arrivent aux sept convives est le produit de ces probabilités : 7 6 5 4 3 2 1 7! × × × × × × = 7 7 7 7 7 7 7 77 Nous savons qu’un message dévoile un secret avec la probabilité 1/7. Alors la probabilité de dévoiler sept secrets est (1/7)7 . La probabilité de dévoiler tous les sept secrets avec seulement sept messages est 7!/714 ou, écrit autrement, 6!/713.

16. QUESTION DE TITRE Ni définitif, ni provisoire, on ne peut pas le décider Le titre du livre que Jeanne a entre les mains est Le Titre de ce livre est provisoire, nous pouvons dire avec raison que le tire est définitif (il y a aussi la copie qu’elle est en train de regarder qui le démontre). Solutions

105

Mais s’il est définitif, alors (l’énoncé est clair !) le titre est provisoire. Et alors, comment est le titre ? Provisoire ou définitif ?

17. ACHATS À LA PAPETERIE Charles doit payer 8,80 € Les prix ne sont pas affichés, Charles ne peut pas savoir combien coûtent un cahier et un stylo. Mais il observe que s’il ajoute ses achats à ceux d’Alexandre, il a quatre cahiers, quatre stylos et deux livres, soit le double de ce qu’achète Barbara. Alexandre + Charles = 2 Barbara Charles doit donc payer 2 × 11,50 € − 14,20 € = 8,80 €. ❍ Nous pouvons aussi raisonner ainsi. Barbara a acheté un cahier en moins, un stylo en plus et un livre de moins qu’Alexandre. Charles a acheté un cahier de moins, un stylo de plus et un livre de moins que Barbara. Vu que la différence des achats d’Alexandre et Barbara est égale à celle entre Barbara et Charles, c’est aussi le cas de la différence des prix. Barbara a payé 2,70 € de moins qu’Alexandre. Alors Charles paie 2,70 € de moins que Barbara, soit 8,80 € en tout.

106

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

II PARIONS QUE VOUS ALLEZ RÉUSSIR ! 18. LE TROISIÈME CÔTÉ La longueur du troisième côté est de 7 cm Dessinons la hauteur relative au long côté 3 cm.

Le triangle ABH est la moitié du triangle équilatéral et donc AH mesure 3/2 cm et BH mesure 1/2 cm. Vu que BC mesure 3 cm, la longueur HC est de 5/2 cm. Avec le théorème de Pythagore, nous calculons le troisième côté AC qui mesure 7 cm.

19. L’AUTOBUS 60 passagers Au départ, dans l’autobus, il y a n personnes. Au premier arrêt, la moitié des passagers descend : il en reste donc n/2. Au second arrêt, il en descend un tiers soit (n/6). Il en reste donc à bord (n/2) − (n/6) = n/3. Au troisième arrêt, il en descend un quart de n/3, soit n/12, et il en reste (n/3) − (n/12) = n/4. En continuant ainsi après les deux arrêts successifs, il reste à bord en premier n/5 puis n/6 passagers. Solutions

107

Tous ces nombres (n/2, n/3, n/4, n/5 et n/6) sont le nombre de passagers, ils doivent donc être des entiers naturels. Alors n doit être un multiple de 2, 3, 4, 5 et 6. Et le plus petit multiple commun est 60. Le nombre de voyageurs peut donc être 0, 60, 120, 180… Si l’autobus n’a pas deux étages, nous devons exclure 120, 180, et les suivants. Comme Albert était à bord, la solution 0 est impossible, il y avait donc 60 passagers.

20. PRODUITS SUR LE… GRIL La grille est composée ainsi :

14

6

13

3

3 276

5

12

1

9

540

15

8

10

4

4 800

16

2

11

7

2 464

1 430

756

11 760

384 16 800 1 152

La grille peut être remplie d’une seule façon, voici la méthode. Parmi les nombres écrits à côté des lignes et des colonnes, 11 divise uniquement 2 464 et 1 430. Donc il est à l’intersection des ligne et colonne correspondantes. 1 430 ÷ 11 = 130.

108

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

130 admet uniquement les deux diviseurs 10 et 13, tous les deux inférieurs à 16. Les zéros sur la troisième ligne et ceux absents dans la première obligent à mettre 13 en haut et 10 à la troisième place. Ainsi, nous avons rempli toute la colonne.

14

384 16 800 1 152

13

3 276

1

540

10

4 800

11

2 464

1 430

756

11 760

Sur la première ligne, 14 × 13 = 182, et dans les deux autres cellules, nous devons donc écrire 3 et 6. Maintenant, regardons les zéros (deux sur la première colonne, un et deux respectivement sur les seconde et troisième lignes) : nous remarquons que 5 et 15 doivent être sur les seconde et troisième cellules avant la première colonne. Cette déduction nous aide beaucoup, car nous pouvons diviser la première colonne par 14 × 5 × 15 = 1 050 et alors dans la quatrième case nous écrivons 16. Voici qu’en une seule fois nous avons complété la quatrième ligne ! En effet, 11 × 16 = 176 et il manque un facteur 14 pour arriver à 2 464. Vu que 1 est déjà en place, les deux nombres doivent être 2 et 7 et ce dernier ne peut pas être dans la troisième colonne (1 152 n’est pas divisible par 7).

Solutions

109

14

3 ou 6

13

6 ou 3

3 276

5 ou 15

1

540

15 ou 5

10

4 800

16

2

384 16 800 1 152

11

7

2 464

1 430

756

11 760

Maintenant, le jeu est presque fini : divisons 11 760 par les trois nombres de la diagonale (14, 10 et 7) et nous trouvons 12. Vu que 540 ÷ 12 = 45, les deux autres nombres peuvent être 3 ou 15 ou 5 et 9. Mais le 3 est sur la première ligne et sur la deuxième, il doit y avoir 5 et 9.

14

6

13

3

3 276

5

12

1

9

540

15 16

10 2

384 16 800 1 152

4 800

11

7

2 464

1 430

756

11 760

Enfin, avec un simple calcul, nous trouvons que le 4 va dans la quatrième colonne et le 8 dans la seconde.

110

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

14

6

13

3

3 276

5

12

1

9

540

15

8

10

4

4 800

16

2

11

7

2 464

1 430

756

11 760

384 16 800 1 152

21. ALIGNEMENT DANS LES RECTANGLES P se trouve sur la diagonale BD L’aire de AHPM est AH × HP, que l’on peut écrire comme AH × AM. L’aire de PKCL est PK × KC, soit HB × MD. Écrivons l’égalité entre les aires, AH × AM = HB × MD. Et nous la transformons en proportionnalité : AH ÷ HB = MD ÷ AM En appliquant les règles de proportionnalité, on peut écrire : AH ÷ (AH + HB) = MD ÷ (AM + MD) AH ÷ AB = MD ÷ AD Maintenant, nous pouvons voir AH comme identique à DL et réécrire la proportionnalité : DL ÷ AB = MD ÷ AD Cette dernière proportionnalité nous dit que le rectangle MPLD de côté DL et MP est semblable au rectangle ABCD de côté AB et AD. Donc, le point P se trouve sur la diagonale BD.

Solutions

111

22. TRIANGLES PYTHAGORIQUES C’est un nombre entier naturel Rappelons une propriété géométrique : les segments de tangentes à une circonférence qui partent d’un même point sont de même longueur. AM = AP CN = CP BN = BM Si nous enlevons de la somme des côtés la longueur de l’hypo­ ténuse, nous trouvons 2BM (ou 2BN, qui est identique) : AB + BC − CA = BM + AM + BN + CN − AP − CP = BM + BN = 2BM C’est-à-dire : r =

a+b–c 2

Si a et b ont la même parité, alors c est pair et a + b − c est pair et r est un nombre naturel. Si a et b sont, un pair et l’autre impair, alors c est impair et donc a + b − c est pair et r est un nombre naturel.

23. TROIS DÉS SPÉCIAUX 1-2-3 et 2-4-6 sont les combinaisons les plus probables et elles ont la même probabilité d’occurrence Un des chiffres 1, 2 ou 3, sort sur le tétraèdre avec la probabilité de 1/4, sur l’hexaèdre avec la probabilité de 1/6 et sur l’octaèdre avec la probabilité de 1/8. Il y a six combinaisons possibles pour obtenir 1, 2 et 3. Donc, la possibilité que sorte la combinaison 1, 2 et 3 est de : 1 1 1 1 × × ×6= 4 6 8 32

112

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Les trois chiffres 2, 4 et 6 peuvent apparaître sur le tétraèdre, l’hexaèdre et l’octaèdre de quatre façons : le triplet (2, 4, 6) peut apparaître de deux façons (car il y a deux fois le 6 sur l’octaèdre) ; (4, 6, 2) d’une façon ; (4, 2, 6) de deux façons et (2, 6, 4) d’une façon. Donc, la probabilité que sortent 2, 4 et 6 est : 1 1 1 1 × × × (2 + 1 + 1 + 2) = 4 6 8 32 Les trois chiffres 4, 5 et 6 peuvent apparaître sur le tétraèdre, l’hexaèdre et l’octaèdre de deux façons : dans l’ordre, deux triplets (4, 5, 6) et deux triplets (4, 6, 5). Donc, la probabilité que sortent 4, 5 et 6 est : 1 1 1 1 × × × (2 + 2) = 4 6 8 48 La probabilité d’avoir les chiffres 4, 5 et 6 est inférieure aux deux autres choix qui sont équiprobables entre eux. Un défi en plus. Si vous étiez trois amis et que vous décidiez de parier sur trois cas, combien devriez-vous parier pour que le jeu soit équitable ?

24. CONFUSION À TABLE Il y a neuf façons de s’asseoir en se trompant Alexandre peut s’asseoir à n’importe quelle place autre que celle assignée. Nous disons qu’il s’assoit à la place de Barbara. Et Barbara ? Elle s’assoit à la place d’Alexandre, Charles et Darius sont obligatoirement l’un à la place de l’autre. Solutions

113

Si en revanche Barbara s’assoit à la place de Charles, Darius est obligatoirement à la place d’Alexandre et Charles à la dernière libre (celle de Darius). De la même manière, si Barbara s’assoit à la place de Darius, Charles va à celle d’Alexandre et Darius à celle de Charles. En résumé, une fois Alexandre assis, il y a seulement trois possibilités. Alexandre a, à son tour, trois possibilités. Les combinaisons selon la règle que toutes les places sont incorrectes sont au nombre de 3 × 3 = 9. Un défi en plus. Et s’ils s’assoient en se trompant seulement de trois places sur quatre ? Ou seulement de deux sur quatre ? Et si à table, en plus de la bande des quatre, il avait été prévu aussi leur ami Emmanuel, de combien de façon auraient-ils pu se tromper tous les cinq de places ?

25. ÉCHAUFFEMENT GÉOMÉTRIQUE La diagonale mesure 26 cm Connaissant l’aire et la hauteur, nous trouvons facilement que la somme des bases B + b vaut 48 cm. Une hauteur qui part d’un des sommets de la petite base divise la grande base en deux segments (B + b) (B – b) (B + b) et . Le segment (qui longs respectivement 2 2 2 mesure 24 cm), la hauteur (qui mesure 10 cm) et la diagonale forment un triangle rectangle. La diagonale est donc longue de 26 cm.

114

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

26 UN NOMBRE MYSTÉRIEUX Ils en trouvent trois : 126, 134 et 322 Le nombre 12 peut s’écrire comme le produit de trois facteurs inférieur à 10 de trois façons différentes. 12 = 1 × 2 × 6 12 = 1 × 3 × 4 12 = 2 × 2 × 3 Il y a six nombres qui ont les chiffres en ordre croissant ou décroissant et pas nécessairement tous différents : 126 et 621, 134 et 431, 223 et 322. Parmi ces nombres, trois sont pairs : 126, 134 et 322. Et la moitié de tous les trois est impaire. Donc tous les trois peuvent être le « numéro mystérieux ».

27. LES DIAGONALES DE L’OCTOGONE Le rapport est de 2 Le triangle HBF est isocèle et ses trois côtés sont deux petites diagonales et la plus grande diagonale de l’octogone. Cette dernière est en plus le diamètre du cercle circonscrit. Le triangle HBF est aussi un

Solutions

115

triangle rectangle. Le rapport entre l’hypoténuse et le côté est donc de 2, mais en même temps l’hypoténuse et le côté sont nos diagonales.

28. LE SOLITAIRE DES NEUF 1 Jade et Marthe y réussissent en 10 coups, et toi ? Jade et Marthe y réussissent en 10 coups, par exemple ceux-ci. 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 1 1

1 1 1

1 1 1

3 6 1

1 1 1

1 8 1

3 6 1

1 1 1

11 18 1 8 6 1 1 1 1

11 18 1 8 28 1 1 1 1

11 18 1 40 28 1 1 1 1

58 18 1 40 28 1 1 1 1

58 87 1 40 28 1 1 1 1

58 87 1 40 129 1 1 1 1

11 3 8 6 1 1

1 1 1

Pouvez-vous faire mieux ? Un défi en plus. Quelquefois, Jade et Marthe transforment le solitaire en un jeu à deux personnes avec ces règles simples : on joue chacun son tour et celui qui arrive ou dépasse le seuil de 100 gagne. Essaie d’y jouer avec un ami.

116

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

29. DANS UN TRIANGLE ÉQUILATÉRAL Elle est égale à la hauteur du triangle équilatéral Albert dessine par le point P les parallèles aux trois côtés ; de cette façon, il divise le triangle en six figures : trois triangles équilatéraux qui ont comme hauteur les trois distances en question, et trois parallélogrammes.

Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur. Nous pouvons ainsi reconnaître sur n’importe quel côté du triangle de départ trois segments dont les longueurs sont égales à la longueur des trois triangles équilatéraux dessinés à l’intérieur du premier. La somme d’un côté de chacun des trois petits triangles est le côté du triangle équilatéral de départ. De toute façon, tous les triangles équilatéraux (du monde entier !) sont semblables entre eux. En particulier, le rapport entre la hauteur et le côté est constant. Si la somme des côtés des trois triangles internes est égale au côté du triangle équilatéral de départ, la somme des trois hauteurs des triangles internes (soit la distance de P aux côtés) est égale à sa hauteur. Solutions

117

30. UNE PISCINE À REMPLIR La pompe mettrait 6 jours La première pompe remplit 1/3 de la piscine par jour, la seconde en remplit 1/4, la troisième 1/6 et la quatrième 1/12. Toutes ensemble, elles remplissent : 1 1 1 1 4 + 3 + 2 + 1 10 + + + = = 3 4 6 12 12 12 Soit 5/6 de la piscine par jour. La cinquième pompe remplit donc les 1/6 restants. Seule, la cinquième pompe emploierait 6 jours pour remplir toute la piscine. Elle a donc la même puissance que la troisième pompe que la prof avait auparavant.

31. TRIANGLES SCALÈNES ACUTANGLES ET CURE-DENTS 15 cure-dents Avant-propos : pourquoi la longueur au carré de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs au carré des deux autres côtés ? Pour le comprendre, essayons de raisonner ainsi. Prenons deux côtés et mettons-les à angle droit : nous obtenons un triangle rectangle. La longueur de son hypoténuse est supérieure au troisième côté du triangle acutangle, vu qu’elle est opposée à un angle supérieur. La longueur au carré de ce troisième côté est donc inférieure à la somme des carrés des longueurs des deux autres. Maintenant, réfléchissons sur le problème proposé : si le côté inférieur mesure 1 cure-dents, la différence entre les deux autres pourrait valoir seulement 0 ou 1 cure-dents : et dans les deux cas, nous n’aurions pas un triangle acutangle à angles aigus. Ce n’est donc pas la solution.

118

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Nommons les côtés avec a, b et c et établissons que a > b > c > 0 : c’est possible, car le triangle est scalène. Écrivons l’inégalité qui garantit que le carré d’un côté est inférieur à la somme des carrés des deux autres. a2 < b2 + c2 a2 – b2 < c2 (a + b) (a – b) < c2 Des deux facteurs du premier membre, a − b est le plus petit et inférieur à c : a–b b), car si c’était l’arête la plus longue, elle ne serait pas le double de la plus courte. Solutions

129

Il reste deux cas. Le premier est que l’arête a soit la plus longue et b la plus courte, donc de la première expression nous avons : a = 2b et 2b² = 24 cm² et les arêtes mesurent a = 4 3 cm, b = 2 3 cm et c = 3 3 cm. Le volume mesure alors 72 3 cm3. Si en revanche a est l’arête la plus courte et c la plus longue, alors c = 2a, 2a² = 36 cm² et les arêtes mesurent a = 3 2 cm, b = 4 2 cm et c = 6 2 cm. Dans ce cas, le volume mesure alors 144 2 cm3.

44. LA SOMME DES ARÊTES La somme des douze arêtes est de 76 dm Appelons a, b et c les trois arêtes. Voici comment nous pouvons exprimer la superficie totale et le carré de la diagonale : 2ab + 2ac + 2bc = 192 (surface totale du parallélépipède) a² + b² +c² = 169 (le carré de la diagonale du parallélépipède) Si nous additionnons les deux relations membre à membre, nous obtenons : a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 361 Ou (a + b + c)2 = 361 Soit a + b + c = 19 Vu qu’il y a quatre arêtes de chaque longueur, la somme des douze arêtes mesure 76 dm.

130

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

45. OUVRIR LA PORTE D’ENTRÉE 43 soit environ 57,33 % 75 Il y a deux voies pour répondre au problème des quatre tentatives de la prof. La première consiste à calculer la probabilité qu’elle y arrive. La prof a 1/6 de probabilité de réussir à la première tentative ; 1/5 × 5/6 de réussir à la deuxième ; 1/5 × 5/6 × 4/5 de réussir à la troisième et 1/5 × 5/6 × 4/5 × 4/5 de réussir à la quatrième. La somme de ces quatre probabilités est de 43/75 soit 57,3 %. La seconde voie consiste à calculer la probabilité que la prof ne réussisse pas à chaque tentative. Cette probabilité est de 5/6 × 4/5 × 4/5 × 4/5 (vu que la première fois a un cas favorable sur 6 alors que les autres en ont un sur 5), soit 32/75. La probabilité de réussir est donc celle complémentaire, soit 43/75.

Solutions

131

III REGARDEZ UN PEU

CE QUE VOUS SAVEZ FAIRE !

46. MATHÉMATICIENS ET DIPLÔMÉS EN MATHÉMATIQUES Le minimum est 1,9 ; le maximum est 3 Marthe a schématisé la situation avec ce tableau. Diplômes en mathématiques Pourcentage

0 20 %

entre 1 et 7 80 %

Diplômes en mathématiques Pourcentage

0 20 %

1 ou 2 40 %

entre 3 et 7 40 %

Diplômes en mathématiques Pourcentage

0 20 %

1 ou 2 40 %

3 ou 4 ou 5 30 %

Dans le « pire » cas, la moyenne est : 40 × 1 + 30 × 3 + 10 × 6 = 1,9 100 Dans le « meilleur » cas, elle est : 40 × 2 + 30 × 5 + 10 × 7 =3 100

132

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

6 ou 7 10 %

47. BALLON DE FOOT Il y a 60 sommets Pour répondre, nous devons établir combien de faces sont communes à un sommet. Pour ce faire, nous devons mesurer les angles. Un hexagone régulier a chaque angle interne de 120°, 108° pour un pentagone régulier. Vu que 4 × 108° = 432° alors 3 faces maximum sont communes à chaque sommet (autrement, la somme des angles serait supérieure à 360°, ce qui est impossible). D’un autre côté, deux faces seules ne suffisent pas… Donc, chaque sommet est commun à exactement 3 faces. Les 20 hexagones ont en tout 120 sommets ; les 12 pentagones en ont en tout 60. Si nous les additionnons, 120 + 60, nous obtenons 180, mais nous comptons chaque sommet trois fois (car en comptant toutes les faces, nous passons trois fois par chaque sommet). Alors le nombre de sommets d’un ballon est de : 180 ÷ 3 = 60 ❍ Comme alternative, nous pouvons utiliser la formule d’Euler qui relie le nombre des faces, d’arêtes et de sommets (F – A + S = 2). Les faces sont 20 + 12 = 32 ; les arêtes sont [(20 × 6) + (12 × 5)] ÷ 2 = 90, car chaque arête est commune à deux faces.  Nous avons donc 60 sommets.

Solutions

133

48. QUESTION DE SOLDES Le montant du compte erroné est de 790 € Les trois réductions sont : x/100 = x % ; y/100 = y % ; z/100 = z %. Albert doit payer en euros (1 – x %) (1 – y %) (1 – z %) 1 000 = 802,62 €. Les trois valeurs (1 – x %), (1 – y %) et (1 – z %) valent au minimum 90 % et au maximum 99 %, et nous pouvons écrire l’égalité du prix réduit comme : 1–

x y z 1– 1– 1 000 = 802,62 100 100 100

Ou (100 – x)(100 – y)(100 – z) = 802 620 Factorisons le nombre 802 620 en facteur premier et nous obtenons 13 × 73 × 5 × 32 × 22 Maintenant, nous devons trouver trois nombres entre 90 et 99 qui ont comme facteurs tous et seulement les facteurs de 802 620. 13 × 6 = 78 est trop petit alors que 13 × 8 = 104 est trop grand. L’unique multiple de 13 qui donne un résultat compris entre 90 et 99 est 13 × 7 = 91. Nous avons « utilisé » les deux premiers facteurs et il reste 7² × 5 × 3² × 2². 7 × 12 = 84 est trop petit alors que 7 × 15 = 105 est trop grand. L’unique produit possible est 7 × 14 = 98. Il nous reste maintenant les facteurs 5 × 3² × 2 qui, multipliés entre eux, donnent 90. Par conséquent, les trois réductions ont respectivement pour valeur 9 %, 2 % et 10 %. Le vendeur croit à tort qu’Albert a droit à une réduction de 21 % et lui demande de payer 790 €. 134

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

49. UNE GRILLE DE CARREAUX 385 carrés Les carrés de la grille peuvent avoir des côtés dont les longueurs vont de 1 à 10. Nous avons 10² carrés de côté 1. Nous avons 9² carrés avec un côté de 2, car si on imagine les avoir faits en carton avec pour dimension 2 × 2, nous pouvons en placer 9 le long d’un côté et 9 sur l’autre côté, soit en tout 9². De façon analogue, nous avons 8² carrés de côté 3 et (11 – k)² de ceux de côté k. Maintenant, nous calculons la somme des premiers 10 carrés. Nous pouvons la calculer comme un exercice de calcul numérique ou bien nous pouvons résoudre la Somme des carrés (p. 91) et ensuite nous appliquons la formule pour obtenir le résultat : 385. Un défi en plus. Combien de carrés avons-nous dans une grille n × n ? Écrivez une formule qui en exprime le nombre.

50. SOMME DE CUBES La somme des premiers n cubes parfaits est le carré de la somme des n premiers nombres naturels Imaginons d’avoir un petit cube 1 × 1 × 1 et de le placer dans la première position en haut à gauche. Maintenant, prenons un cube de 2 × 2 × 2 et coupons-le en trois morceaux de 1 × 2 × 2, 1 × 1 × 2 et 1 × 1 × 2 : une avec une base carrée et les deux autres la moitié. Plaçons-les autour du premier petit Solutions

135

cube. Ils forment ensemble un parallélépipède de 1 × 3 × 3, dont le côté est de 1 + 2. Maintenant, répétons le même schéma en coupant le cube 3 × 3 × 3 en trois morceaux 1 × 3 × 3. Plaçons-les autour du parallélépipède pour en former un nouveau 1 × 6 × 6, de côté 1 + 2 + 3. Procédons n fois jusqu’à ce que nous ayons « tranché » le cube n × n × n et obtenu un parallélépipède de hauteur 1 et dont les deux autres dimensions sont chacune la somme des premiers n nombres naturels. Le volume du solide que nous avons obtenu, d’un côté, est la somme des volumes des cubes de 1 × 1 × 1 à n × n × n ; de l’autre côté, est le produit de la hauteur (1) par le carré de la somme des n premiers nombres naturels.

51. CHAUSSETTES BLANCHES, CHAUSSETTES NOIRES, TIROIR DU HAUT, TIROIR DU BAS Il y a deux chaussettes noires dans le tiroir du bas ; six dans le tiroir du haut et douze blanches dans le tiroir du bas Albert donne le nombre de chaussettes blanches (B) dans le tiroir du haut (a) avec Ba. Les autres sont Bb, Na et Nb. Les informations se traduisent ainsi : Ba = 4 

 

Bb 6 =   Bb + Nb 7

 

Bb + Ba 2 = Bb + Ba + Nb + Na 3

En faisant un peu de calcul, Albert les réécrit ainsi : Ba = 4 

136

  Bb = 6Nb 

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

  Bb + Ba = 2 (Nb + Na)

Si nous substituons les deux premières dans la troisième, nous obtenons une relation entre les chaussettes noires dans les deux tiroirs : 2Nb + 2 = Na Dans le tiroir du haut, nous avons donc plus de chaussettes noires que dans celui du bas. Nous savons aussi combien en plus (c’est écrit dans le texte) ; dans le tiroir du haut, il y a quatre chaussettes noires en plus par rapport au tiroir du bas, c’est-à-dire : Na = 4 + Nb Alors 2Nb + 2 = Nb + 4, ou Nb = 2. Il y a donc deux chaussettes noires dans le tiroir du bas ; six dans le tiroir du haut et douze chaussettes blanches dans le tiroir du bas.

52. À TOUTE VITESSE ! La vitesse est de 99 km/h 2v est la vitesse totale avec laquelle Barbara et Darius parcourent le petit côté, v est celle avec laquelle ils parcourent le grand côté. Barbara et Darius mettent donc 3/(2v) + 4/v heures, alors qu’Alexandre et Charles mettent 5/45 heures pour parcourir l’hypoténuse et arriver au même moment à GéométryLand. Si les temps d’arrivée doivent coïncider, alors nous obtenons l’égalité 11/(2v) = 1/9, nous en déduisons la vitesse initiale de 2v = 99 km/h. Solutions

137

53. UNE GRILLE DE RECTANGLES 3 025 rectangles (incluant aussi les carrés) Pour compter combien il y a de rectangles, Jade devrait comprendre comment on détermine un rectangle sur la grille 10 × 10. Chaque rectangle est déterminé par son sommet en bas à droite (elle l’appelle le sommet « bas » et le désigne avec B) et par son sommet en haut à gauche (le sommet « haut » et le désigne avec A). B peut avoir plusieurs positions, mais pas toutes : il ne peut pas être sur le côté haut ni sur le côté gauche. Dans ces deux cas, A et B détermineraient un segment et non un rectangle. En excluant ces points, B peut être positionné à chaque point de la grille. Concentrons-nous sur les nœuds de la seconde colonne de gauche : le premier nœud est le sommet « bas » de 0 rectangle, le second l’est seulement de 1 (le carré de 1 × 1). Le troisième l’est de 2, le quatrième de 3 et ainsi de suite.

138

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Par symétrie, ce qui est vrai pour une colonne, est aussi vrai pour le sommet « haut » pour la ligne correspondante. Maintenant, nous considérons la troisième colonne de gauche : elle commence avec un 0, puis elle a un 2 (en effet, ce point est le sommet « bas » d’un rectangle de 1 × 1 et d’un rectangle de 1 × 2) ; le troisième point est un sommet « bas » de quatre rectangles, le quatrième de six et ainsi de suite. Sur la deuxième ligne, nous reconnaissons les nombres de 1 à 10 ; sur la troisième, il y a les mêmes nombres multipliés par 2 ; sur la quatrième multipliés par 3 ; sur la cinquième par 4 et ainsi de suite. Nous les additionnons tous : (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 2 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 4 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 5 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 6 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 7 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 8 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 9 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + 10 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)2 La somme entre parenthèses vaut 55 et son carré 3 025.

54. QUEL CADEAU VEUX-TU ? Le montant moyen du cadeau est de 5,75 € Si Marthe refuse le premier choix et change avec la seconde possibilité, elle gagne en moyenne 4,5 €. Car elle a 10 choix dont la somme est 45 €. Solutions

139

Dans quels cas est-il préférable que Marthe change ? Dans les cas où la valeur que lui offre Jade est inférieure à 4,5 €, ce qui peut arriver dans un cas sur deux. Si en revanche la valeur que lui offre Jade est supérieure à 4,5 €, ce qui peut arriver dans un cas sur deux, Marthe choisit de ne pas changer et elle reçoit en moyenne 7 €. Par conséquent, le montant moyen du cadeau est : 4,5 ×

1 1 11,5 +7× = = 5,75 € 2 2 2

Un défi en plus. Si Jade offre à son amie comme cadeau seulement une des onze valeurs entières comprises entre 0 et 10 €, quel montant recevrait en moyenne comme cadeau Marthe ?

55. L’ÉVALUATION DE ZHEN Zhen peut avoir totalisé 50, 55, 64, 73 ou 78 points Quels sont les points possibles avec deux sommes différentes ? Est-ce qu’il y en a ? Comment pouvons-nous être sûrs de les trouver tous ? Trouvons les sommes qui finissent par 0. 5 + 15 = 20 5 + 35 = 40 15 + 35 = 50 9 + 41 = 50 50 est le premier nombre de points atteignables de deux façons différentes. À partir de cela, nous pouvons en calculer trois autres. Si nous additionnons 5, nous obtenons 55 ; si nous additionnons 23, nous obtenons 73 et si nous additionnons ensemble 5 et 23 nous obtenons 78. On peut obtenir les trois résultats de deux façons différentes. 140

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Une somme finit par 1 seulement avec 41 additionné à des nombres dont la somme termine par 0 : c’est facile d’observer que les sommes finissant par 1 sont toutes différentes l’une de l’autre. De façon analogue, nous pouvons calculer les sommes qui finissent par 6 et celles qui finissent par 9. Celles-ci aussi sont toutes différentes l’une de l’autre. Les sommes qui finissent par 2 contiennent 23 + 9 et peuvent, ou non, avoir deux termes dont la somme se termine par 0. Mais nous savons déjà que ces couples sont tous différents les uns des autres. Pour cette même raison, les sommes qui finissent par 7 sont toutes différentes les unes des autres. L’analyse des sommes qui finissent par 3, par 5, et par 8 met en évidence les mêmes sommes déjà trouvées (qui ne nous donnent rien de plus). Il nous reste à contrôler les sommes qui finissent par 4, que nous obtenons de deux façons : de 23 + 41 = 64 ou de 9 additionné à un ou trois termes qui finissent par 5. Aucun terme seul ne donne 64, alors que les trois ensemble le font : 9 + 5 + 15 + 35 = 64. Pour conclure, les sommes des points qui ne permettent pas de savoir exactement les problèmes que Zhen a résolus sont 50, 55, 64, 76 et 78.

56. COUPER DE MOITIÉ UN TRAPÈZE ISOCÈLE Par le point qui définit un segment dont la longueur est égale à la demi-somme des bases N’importe quelle coupe partant d’un des sommets de la petite base à un point de la grande divise la tarte en deux polygones : un triangle et un trapèze qui ont la même hauteur, celle du trapèze de départ. La projection d’un sommet de la petite base (b) sur la grande base (B) partage cette dernière en deux segments, un long (B + b)/2, l’autre court (B – b)/2. Solutions

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Le triangle qui a comme base la demi-somme des bases est la moitié de la tarte. Marthe a fait la coupe qui part d’un sommet de la petite base jusqu’à la projection de l’autre (sommet) sur la grande base.

57. MONTY HALL/CLASSIQUE C’est mieux de changer de porte La porte que le concurrent choisit en premier a 1/3 de probabilité de cacher la voiture et 2/3 de cacher une chèvre. Après que le présentateur a découvert la chèvre, la probabilité que derrière la porte choisie par le concurrent il y ait la voiture ne change pas : elle continue d’être 1/3. La probabilité que la voiture soit derrière la troisième porte est de 1 – 1/3 = 2/3, c’est-à-dire le double. Il convient donc de changer de porte.

58. MONTY HALL/QUATRE PORTES ET TROIS CHOIX C’est mieux de jouer avec quatre portes et trois choix Dans le jeu avec les quatre portes et trois choix, la première porte choisie du concurrent a 1/4 de probabilité de cacher la voiture. La meilleure stratégie du concurrent est de confirmer la même porte, laissant le présentateur exclure la seconde chèvre. Maintenant, le concurrent sait que derrière la porte choisie (deux fois), il y a 1/4 de probabilité d’avoir la voiture. Il change donc de porte et gagne la voiture avec la probabilité de 3/4. Vu que 3/4 est supérieur à 2/3, c’est mieux de jouer avec quatre portes et trois choix plutôt qu’avec trois portes et deux choix.

142

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

59. MONTY HALL/SUPER Il est plus probable de gagner la voiture au jeu Super que de se contenter de la chèvre dans le jeu Classique Au jeu Classique, le raisonnement est identique à celui avec trois ou quatre portes et donc le candidat a une probabilité de gagner l’automobile égale à 4/5 et de 1/5 de devoir se contenter de la chèvre. Au jeu Super, après le premier choix, le présentateur exclut une chèvre. À ce moment-là, le candidat sait que la voiture se trouve derrière la porte qu’il a choisie avec la probabilité de 1/5 : la probabilité que la voiture soit derrière les trois dernières portes est de 4/15 (4/5 divisé par 3). Après le deuxième choix, le présentateur exclut le prix le plus haut, la meilleure stratégie pour le joueur est de changer de porte : c’est plus probable que l’auto soit là plutôt que derrière la première porte choisie. Si derrière il y a la voiture, le présentateur doit retirer une chèvre et alors le candidat confirme la voiture et la gagne avec la probabilité de 4/15. Si en revanche, derrière la seconde porte, il y a la chèvre, le présentateur découvre la voiture et dans tous les cas le concurrent doit se contenter d’une chèvre, avec la probabilité de 11/15. Réponse : il est plus probable (4/15) de gagner la voiture au jeu Super que de se contenter de la chèvre (1/5 = 3/15) dans le jeu Classique.

Solutions

143

60. MONTY HALL/SUPER RÉCOMPENSE Le joueur a une probabilité égale à 3/4 de gagner le premier prix et 1/4 de gagner le deuxième prix Si derrière la porte que le candidat a choisie il y a le prix de 1 000 €, le présentateur ouvre la porte qui découvre les 2 000 €. Le joueur sait alors qu’il a choisi les 1 000 € et il confirme son choix. Le présentateur est alors « contraint » de découvrir les 3 000 € et le candidat a le jeu facile de choisir les 4 000 €. Donc, dans 1/4 des cas, le joueur gagne le premier prix. Pour les 3/4 des cas restants, derrière la porte que le candidat a choisie au départ, il y a une récompense différente de 1 000 € et le présentateur ouvre la porte et découvre ces 1 000 €. Le candidat n’a aucune information sur les trois portes restantes et son choix sera indifférent. Donc autant qu’il confirme son choix initial. Si derrière celle choisie, il y a le prix de 2 000 €, le présentateur découvre les 3 000 € et le joueur a de nouveau le jeu facile pour choisir les 4 000  €. Donc il y a 3/4 × 1/3 = 1/4 des cas où le joueur gagne le premier prix. Pour la moitié des cas restants, le présentateur découvre les 2 000 € et le candidat n’a aucune information sur les portes restantes et son choix sera indifférent. Il choisit donc au hasard et il a 1/2 chance de prendre 4 000  € et 1/2 de prendre 3 000 €. Le joueur a dans l’ensemble une probabilité égale à 3/4 de gagner le premier prix et 1/4 de gagner le second prix. Autrement dit, le gain attendu est de 3 750 €.

144

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

61. MONTY HALL/SUPER MÉGA RÉCOMPENSE C’est plus intéressant de jouer à Monty Hall/Super méga récompense Si derrière la porte, il y a 0 €, le présentateur ouvre la porte des 1 000 €. À ce moment-là, le candidat comprend et confirme son choix et oblige le présentateur à ouvrir celle à 2 000 € puis celle à 3 000 €. Dans 1/5 des cas, le candidat gagne le premier prix. Dans les 4/5 des cas restants, le présentateur ouvre la porte avec 0 € et la situation à partir de ce point est identique au Monty Hall/ Super récompense (p. 77). Le candidat dans 4/5 × 3/4 = 3/5 des cas gagnera le premier prix et dans les derniers 4/5 × 1/4 = 1/5 cas gagnera le second prix. Le gain attendu est de 3 800 €, légèrement supérieur à la version Super récompense.

62. MONTY HALL/SUPER MÉGA DE LUXE ! Le gain attendu est de 3 066,67 € 1. La probabilité que le joueur ne choisisse pas la porte cachant 0 € est égale à 4/5 ; dans ce cas, le présentateur retire ce prix et le joueur n’a pas d’informations sur les autres portes, il choisira donc la seconde porte au hasard. 1.1. Si la seconde est celle à 4 000 € (probabilité de 1/4), le présentateur exclut le prix de 3 000 € et le joueur sait où est le gain maximum (derrière la seconde porte) et il ne la changera plus, obtenant le premier prix. Dans ce cas, la probabilité est égale à 1/4 × 4/5 = 1/5. 1.2. Si, en revanche, la seconde porte ne cache pas 4 000 € (probabilité de 3/4), le présentateur retire le premier prix. Solutions

145

Il reste les trois prix intermédiaires et le joueur n’a pas d’informations. S’il choisit la porte à 1 000 € (probabilité de 1/3), le présentateur retire le prix de 2 000 € et le joueur sait que derrière la troisième porte il y a 3 000 € qu’il choisira. Cette probabilité est de 3/5 × 1/3 = 1/5. Si en revanche il choisit une porte qui ne cache pas 1 000 €, le présentateur exclut cette somme et le joueur n’a pas d’informations, il choisira dans la moitié des cas (1/5) 3 000 € et l’autre moitié (1/5) 2 000 €. Le joueur a donc 1/5 de probabilités de gagner 4 000 €, 2/5 de prendre 3 000  € et 1/5 de gagner 2 000 €. 2. Il reste le cas où au début le joueur choisit la porte cachant 0 € (probabilité de 1/5) alors le présentateur exclura le prix de 1 000 € (le joueur sait où se trouve 0 €). Il ne conviendra pas au joueur de confirmer la porte, car le présentateur retirerait certainement le prix de 4 000 €, le joueur change donc de porte. 2.1. Si la seconde porte choisie est celle de 4 000 € (probabilité de 1/3), le présentateur exclut le prix de 3 000 €, le joueur gagne 4 000  € avec la probabilité de 1/5 × 1/3 = 1/15. 2.2. Si en revanche il choisit une porte différente (probabilité de 2/3), le présentateur retire 4 000 €. Le joueur choisira alors la porte à 0 € de façon que le présentateur exclut celle à 2 000 €. Il lui reste maintenant à prendre 3 000 €. La probabilité de ce cas est de 1/5 × 2/3 = 2/15. Ce deuxième cas fera gagner au joueur 4 000 € avec une probabilité de 1/15, et 3 000 € avec une probabilité de 2/15. Globalement, il gagne 4 000 € avec une probabilité de 4/15, 3 000 € avec une probabilité de 8/15 et 2 000 € avec une probabilité de 3/15. Le gain attendu est de 3 066,67 €.

146

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

IV POUVEZ-VOUS LE DÉMONTRER ?

63. DE POINTS ET DE DROITES Barbara et Darius ont raison Prenons a la longueur AB, b celle de CD et c celle de DE. Si AB est de la même longueur que CD, les deux droites AC et BD ne se croisent pas et le point P n’existe pas. AB et CD ne sont donc pas de même longueur, dans ce cas a =/ b. Prenons x la hauteur de PAB relative à AB. Les triangles PAB et PCD sont semblables. Nous écrivons la proportion entre les bases et les hauteurs a/x = b/(x − c) et devient à l’étape suivante x = ac/(a − b) La valeur de x ne dépend donc pas de la position du rectangle, mais seulement des mesures des trois segments. C’est équivalent à dire que P décrit une droite parallèle à r. De plus, si a > b, le point P est dans le même demi-plan du rectangle. Alors que si a < b, il est dans le demi-plan opposé. Barbara et Darius ont donc raison (sauf dans le cas particulier ou le segment AB est de la même longueur que CD et donc aussi à EF). Un défi en plus. Que se passe-t-il si nous remplaçons le rectangle par un parallélogramme ?

Solutions

147

64. SOMMES DE PUISSANCES Le polynôme a un degré k + 1 et le monôme de degré 1 maximum a un coefficient k+1 Appelons Pk(n) la somme des k-ièmes puissances des premiers nombres naturels jusqu’à n. Nous observons que : Pk(n) = Pk(n − 1) + nk Appelons p le degré du polynôme. Pk(n) = apnp + ap − 1np – 1 + … Supposons p > k + 1, évaluons le coefficient du monôme de degré p − 1. Parce que la différence entre Pk(n) et Pk(n − 1) a le degré k, le coefficient du monôme de degré p − 1 pour ces deux polynômes doit être identique. Dans Pk(n) est ap − 1 alors que dans Pk(n − 1) est ap − 1 + pap. Puisque ces deux coefficients sont identiques, ap = 0. Mais c’est absurde, car p est le degré du polynôme. Donc nous en déduisons que p ≤ k + 1. Pour trouver le coefficient du monôme de degré k, nous utilisons la relation ak = ak – (k + 1)ak+1 + 1, il s’en suit : ak+1 =

1 k+1

Le polynôme a le degré k + 1. Un défi en plus. Si vous avez un polynôme A(x) de degré k, que pouvez-vous dire de la somme A(1) + A(2) + … + A(n) ? 148

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

65. UNE FORME GÉOMÉTRIQUE CACHÉE Ils forment un rectangle Les points équidistants des deux côtés sont sur la bissectrice de l’angle formé par les côtés. Les quatre points s’obtiennent, donc, à l’intersection des bissectrices de deux angles consécutifs.

Les deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires, leur somme est de 180°. Il s’en suit immédiatement que leurs bissectrices sont perpendiculaires. Le quadrilatère formé ainsi est un rectangle.

66. UNE PROPRIÉTÉ INATTENDUE Le quadrilatère s’inscrit dans un cercle Si un point est équidistant de trois côtés consécutifs, il est l’intersection des bissectrices des deux angles consécutifs.

Solutions

149

Appelons 2α et 2β les deux angles consécutifs. Ainsi, l’angle formé par les bissectrices est α + β et c’est l’angle interne du quadrilatère que nous sommes en train d’étudier. Si 2γ et 2δ sont les deux autres angles, l’angle formé par leurs bissectrices est γ + δ et il est opposé au précédent. La somme des angles internes d’un quadrilatère quelconque est de 360°. Alors les deux angles opposés du quadrilatère « interne » sont supplémentaires. Le quadrilatère est donc inscriptible dans un cercle.

dove h è l’altezza relativa ad AB 67. RAPPORTS TRIANGULAIRE 2h où h est la hauteur relative à AB 2h + 3AB Appelons x la distance de C à EF et h la hauteur relative à AB. Le rapport EF/AB est identique à x/h, car les triangles EFC et ABC sont semblables. Donc EF = (x/h) AB. C Si on applique le théorème de Pythagore dans le triangle équilatéral, on obtient : x E

F h–x

A

150

D

EF 2 = EF2 2 3 (h – x)2 = EF2 4 3 EF h–x= 2 x EF = AB h

(h – x)2 +

B

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

h–x=

3 x AB 2 h

2h2 – 2hx = 3ABx x=

Le rapport entre les côtés

2h2 2h + 3AB

EF x 2h . est = h 2h + 3AB AB

68. CHANSONS DE NOËL 364 cadeaux pendant 12 jours La personne aimée reçoit 1 perdrix pendant 12 jours, 2 tourterelles pendant 11 jours, 3 poules pendant 10 jours… jusqu’à 11 joueurs de fifre pendant 2 jours et 12 batteurs pour une journée seulement. Notons que 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = … égal toujours à 13. Calculons cette somme dans un cas général d’un nombre de jours égal à N. Notre solution sera donnée par N = 12. N

n × (N + 1 – n) n=1

N est un nombre fixe, vu qu’a priori, il ne varie pas ; n en revanche, varie étape par étape. Nous pouvons, alors, réécrire la somme en la séparant, avec les propriétés associatives et commutatives, en deux termes de somme différents : N

(N + 1) ×

N

n2

n– n=1

n=1

Les calculs pour les deux sommes peuvent être lus aux chapitres Sommes d’entiers naturels (p. 52) et Somme des carrés (p. 91). Solutions

151

Avec encore un peu de calculs (que nous laissons à la patience du lecteur), on obtient cette belle expression : N (N + 1) (N + 2) 6 Pour notre cas de Noël, N vaut 12 et le nombre de cadeaux est de 364.

69. PARALLÉLOGRAMMES ET ENCORE DES PARALLÉLOGRAMMES Ils sont semblables Si un point est équidistant de deux sommets, il appartient à la médiatrice du segment défini par les deux sommets. Un point équidistant des trois sommets est l’intersection des médiatrices des deux côtés consécutifs. Alors, les quatre points que nous cherchons sont les intersections des médiatrices des côtés.

Les médiatrices sont perpendiculaires aux côtés : elles sont deux à deux parallèles. Et c’est ainsi qu’elles forment elles-mêmes un parallélogramme qui a les mêmes angles que le parallélogramme de départ. 152

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Maintenant, voyons s’il y a une proportionnalité entre les côtés : cherchons deux segments correspondants qui sont proportionnels entre eux. Projetons un sommet du parallélogramme initial (par exemple le sommet D indiqué sur la figure) sur chacune des droites qui portent les côtés du parallélogramme parallèles à ceux qui concourent en D.

Nous trouvons un segment qui est la hauteur du parallélogramme identifié par l’intersection des médiatrices. Regardons maintenant les deux triangles avec les deux côtés en pointillés, c’est-à-dire ceux formés de la hauteur d’un côté et de la hauteur du parallélogramme identifié par l’intersection des médiatrices. Ces deux triangles rectangles sont semblables. Alors les hauteurs du parallélogramme initial et du « nouveau » sont proportionnelles. Mettons tous les morceaux ensemble : les deux parallélogrammes ont les mêmes angles et ils ont les hauteurs respectivement proportionnelles. Ils sont donc semblables.

Solutions

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70. UNE AUTRE MÉTHODE POUR DIVISER EN PARTIES ÉGALES UN TRAPÈZE (QUELCONQUE) Le point P doit être un point quelconque du segment qui a comme extrémités les points milieux des côtés obliques (à moins que le trapèze soit un parallélogramme, et alors…)

Appelons a, b, c et B les quatre côtés du trapèze dont b et B sont respectivement la petite et la grande base. Appelons x, y, z et w les distances entre le point P et chaque côté du trapèze. Alors ax + by + cz + Bw est le double de l’aire du trapèze. On voit que y + w est la hauteur relative aux bases et (b + B) (y+w) est le double de l’aire du trapèze. En écrivant l’équivalence entre les deux expressions de l’aire, nous trouvons cette relation : ax + cz = bw + By Considérons que les deux triangles formés par P et les deux bases sont la moitié de celle du trapèze avec une relation entre les aires : by + Bw = bw + By 154

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

d’où  (B − b) (w − y) = 0 Si B = b, le trapèze est un parallélogramme et la position du point P n’importe pas : chaque point P divise le parallélogramme en quatre triangles, qui deux à deux le partagent à moitié. Si les bases sont différentes, w doit être égal à y ; w = y. Donc chaque point P se trouvant sur le segment reliant les milieux des côtés obliques a la propriété que les deux triangles opposés sont la moitié du trapèze.

71. SOMMES DES CARRÉS La formule est n (n + 1) (2n + 1) 6 Albert écrit immédiatement que la somme des carrés des premiers n nombres entiers naturels est un polynôme de degré 3 dont le coefficient monôme de degré 3 doit être 1/3. On en déduit la formule suivante : P3(n) =

1 3 n + an2 + bn + c 3

Ensuite, il pense que la somme « jusqu’à 0 » doit faire 0, et qu’alors c est 0, donc P3(n) =

1 3 n + an2 + bn 3

Maintenant, il calcule P3(1) = 1 et P3(2) = 5. 1=

1 + a + b  3

  5=

8 + 4a + 2b 3

Solutions

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Et facilement il trouve que a = 1/2 et b = 1/6, dont il en déduit la formule : n (n + 1) (2n + 1) 6

72. UNE MYRIADE DE PETITS CUBES 8, 12 000, 6 000 000, 1 000 000 000 Raisonnement général, après avoir peint en rouge le cube, partageons chaque arête en n segments de même longueur. Division arête

n

3 faces colorées

8

2 faces colorées

12(n − 2)

1 face colorée

6(n − 2)2

0 face colorée

(n − 2)3

Pour n’importe quelle valeur de n, les petits cubes avec trois faces colorées sont ceux qui contiennent un des 8 sommets du grand cube. Ceux avec deux faces colorées se trouvent le long des 12 arêtes (sans inclure les petits cubes des sommets), chacun de ceux-ci est long n − 2. En tout, il y a 12(n − 2). Ceux avec une face colorée sont sur les 6 faces (sans inclure ceux avec des arêtes et des sommets), chacune de celles-ci est formée de (n − 2)² carrés. En tout, il y a 6(n − 2)². Enfin, les petits cubes sans faces colorées forment le cube interne, en enlevant la couche des petits cubes extérieurs. En tout, il y en a (n − 2)3. 156

À LA CHASSE AUX CHIFFRES

Dans le cas de la division en 1 002 segments congruents, il y a 8 petits cubes avec trois faces colorées, 12 000 (douze mille) petits cubes avec deux faces colorées, 6 000 000 (six millions) petits cubes avec une face colorée et 1 000 000 000 (un milliard) petits cubes sans faces colorées. Parce que le cube est formé de 1 006 012 008 petits cubes.

Solutions

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TABLE DES MATIÈRES

Chiffres et opérations élémentaires. Une partie de fléchettes (p. 13) ; Une sortie à Rome (p. 18) ; Le défi des cinq 7 (p. 21) ; Achats à la papeterie (p. 29) ; L’autobus (p. 34) ; Un nombre mystérieux (p. 41) ; Une piscine à remplir (p. 45) ; Le 2 016e chiffre (p. 54) ; Mathématiciens et diplômés en mathématiques (p. 63) ; Question de soldes (p. 65) ; Somme de cubes (p. 67) ; L’évaluation de Zhen (p. 72). Géométrie plane. Entre les morceaux d’un puzzle (p. 14) ; Combien d’espaces (p. 24) ; Alignement dans les rectangles (p. 36) ; Les diagonales de l’octogone (p. 42) ; Dans un polygone régulier (p. 47) ; Couper un trapèze (quelconque) à moitié (p. 49) ; La piste d’athlé­ tisme (p. 50) ; Le logo de la « Mathesis » (p. 57) ; Couper de moitié un trapèze isocèle (p. 73) ; De points et de droites (p. 83) ; Une forme géométrique cachée (p. 85) ; Une propriété inattendue (p. 85) ; Parallélogrammes et encore des parallélogrammes (p. 89) ; Une autre méthode pour diviser en parties égales un trapèze (quelconque) (p. 90). Logique. Une année… magique ? (p. 15) ; Les petits-enfants d’Albert (p. 20) ; Le classement (p. 26) ; Question de titre (p. 28) ; Le solitaire des neuf 1 (p. 43).

Partie 4. Solutions

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Schémas et modèles. Une partie de poker circulaire (p. 16) ; Encore un poker (p. 19) ; Une troisième (et dernière) partie de poker (p. 23) ; Produits sur le… gril (p. 35) ; Confusion à table (p. 39) ; Carrés magiques (p. 48) ; Sommes d’entiers naturels (p. 52) ; Pièces égales (p. 55) ; Une grille de carreaux (p. 66) ; Une grille de rectangles (p. 70) ; Sommes de puissances (p. 84) ; Chansons de Noël (p. 88) ; Somme des carrés (p. 91). Géométrie dans l’espace. Volumes (p. 17) ; Octaèdres peints (p. 22) ; Cônes (p. 25) ; Le volume du parallélépipède (p. 58) ; La somme des arêtes (p. 59) ; Ballon de foot (p. 64) ; Une myriade de petits cubes (p. 92). Probabilité. Un dîner entre amis (p. 27) ; Trois dés spéciaux (p. 38) ; Ouvrir la porte d’entrée (p. 60) ; Chaussettes blanches, chaussettes noires, tiroir du haut, tiroir du bas (p. 68) ; Quel cadeau veux-tu ? (p. 71) ; Monty Hall/Classique (p. 74) ; Monty Hall/Quatre portes et trois choix (p. 75) ; Monty Hall/Super (p. 76) ; Monty Hall/Super récompense (p. 77) ; Monty Hall/Super méga récompense (p. 78) ; Monty Hall/Super méga de luxe ! (p. 79). Triangles. Le troisième côté (p. 33) ; Triangles pythagoriques (p. 37) ; Échauffement géométrique (p. 40) ; Dans un triangle équilatéral (p. 44) ; Triangles scalènes acutangles et cure-dents (p. 46) ; Un match de tennis… sur deux tours (p. 51) ; Le côté plus court (p. 53) ; Quali colombe dal disio chiamate… (p. 56) ; À toute vitesse ! (p. 69) ; Rapports triangulaires (p. 87).

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À LA CHASSE AUX CHIFFRES