Die Bücher des Apollonius von Perga de sectione rationis [Reprint 2019 ed.] 9783111590714, 9783111216829

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Die Bücher des Apollonias von Perga

DE SECTIONE RATIONIS nach dem Lateinischen des E d m .

H a l l e y

frey bearbeitet, and mit einem Anhange rersehen von

Dr. ordentlichem

W.

A.

Diesterweg,

Professor der Mathematik an der königl. Rheinuniversitat.

Mit 9 S t e i n t a f e l n .

B e r l i n ,

bey

G e o r g

R e i m e r .

1 8 2 4.

preuM.

V o r r e d e .

V o n den Schriften des A p o l l o n i u s von Perga gehörte die Schrift xtpl verloren gegangenen.

koyov aitoxoiinq z u den

Glücklicherweise fand sich

in der Bodlejanischen Bibliothek eine. arabische Uebersetzung

derselben,

welche,

nachdem es

mehreren Gelehrten mißlungen w a r , da9 Glück hatte, von dem berühmten Mathematiker, E d m . Halley, in

das

Professor zu O x f o r d , im Jahr Lateinische

ist

eine

als

ein Muster

übersetzt zo werden.

vortreffliche der

Schrift,

und

1706 Sie

verdient

geometrisch - analytischen

Behandlung einer Aufgabe in allen ihren Fällen von jedem jungen Mathematiker studiert zu w e r den.

D a f ü r bürgt das ZeugniCs des Alterthums,

welches

ihrem

Verfasser

grofsen Geometers nifs N e u t o n ' s ,

den

Nahmen

des

beilegte, und das Z e u g -

welcher sie mit dem Nahmen

seiner Lieblingsschrift beehrte.

IV

Ich übergebe sie hiermit dem mathematischen Publicum in Deutschland, in einer freyen Bearbeitung, nicht einer Uebersetzung ; mit Zusätzen und einem Anhange über verwandte versehen.

Um

auch

die

Leser ,

Aufgaben

welche

die

sehr seltene Halley'sche Uebersetzung nicht zur Hand haben , in den Stand zu setzen ,

über die

Beschaffenheit des Originals und dieser Bearbeitung selbst zu urtheilen, so lasse ich der Vorrede einen Hauplfall nach der Halley'schen Ausgabe beydrucken. U m die Anordnung systematischer zu machen ,

habe ich den Gang des Originals nicht

überall beybehalten.

Defshalb findet man loc. X.

(Apollonius bezeichnete die Hauptfälle der behandelten Aufgabe mit röjtog, locus) nach loc. X I V . abgehandelt. Ich füge der Vorrede eine Uebersicht des Inhaltes bey. Bonn,

im Dec. 1823. D i e s t e r weg.

A p o l l o n i i F e r g a e i eie S e c t i o n e r a t i o n i s L i b , II. L o c u s

Tertius.

O c c u r r a t j a m r e c t a , per p u n c t u m H duct a ipsique A T p a r a l l e l a , rectae alteri M B citra p u n c t u m Z ; s i v e inter illud ac punctum M , ail m o d u m rectae H K : ac manifestum est rectas duci posse per p u n c t u m H , juxta q u i n q u e diversos Casus. Cat. I. ( F i g . 1.) D u c a t u r a u t e m imprimis recta A B , juxta C a s u m p r i i n u m , anferens s e g m e n t a T A ad B Z in rationc data. J u n g e T H ; ac per p u n c t u m 0 d u c a t u r recta ipsi T A p a r a l l e l a , u t recta 2 0 0 . Q u o n i a i n ratio T H ad H © d a t u r , ratio T A ad A © d a t a est. C u m q u e ratio T A ad B Z d a t a est, d a b i t u r q u o q u e ratio A © ad Z B . S u n t a u t e m rectae d u a e p o s i t i o n e d a t a e , S O , M B ; ac sumitur in recta M B p u n c t u m Z , in recta a u t e m 2 0 p u n c t u m 0 ; d a t u m a utein p u n c t u m H èst intra a n g u l u i n O 0 B . Dacenda est igitur recta A H B , a u f e r e n s r a t i o n e m A © ad Z B datatn. Recta autem A H B p o s i t i o n e d a t u r , juxta Casum priinum Loci s e p t i n i i , n e q u e h a b e t limites. C o n s t r u e t u r a u t e m per ea q u a e ibidem d o c e n t u r .

VI Cat. I I . ( F i g , 2 . 3 . ) Ducatur recta A B , juxta Casum secundum, auferens rationein T A ad B Z datain. Manentibus autern descriptis, cum ratio T A ad A 0 data est, atque etiaiu ratio ©A ad Z B da tur, recta quoque A B dabitur positioue, per Casum se* cuudum Loci septimi. Determinatur autein hunc in modum. Capiatur © B media proportionalis inter ipsas Z 0 , 0 K ; junctäque H B ac producta ad A , dico quod recta A B aufert rationem T A ad B Z , minorem quavis alia ratione, quae resecari possit à rectis per punctum H ductis, ipsique K Z occurrentibus. Ducatur enim alia, ut A H N , Cuinque recta © B media proportionalis est inter Z 0 , 0 K ; erit ratio 2 © ad B Z minor ratione O © ad Z N : ac permutando, erit ratio 2 © ad © O minor ratione B Z ad Z N . Sed 2 © est ad © O ut A T a d T A ; adeoque ratio A T ad T A minor erit ratione B Z ad Z Ì i : quare permutando, ratio AT ad B Z minor erit ratione T A ad Z N . Recta igitur A B aufert rationem A T ad B Z minorem qualibet ratione, à rectis per H transeuntibus rectaeque K Z occurrentibus, abfcissä. Coinponetur autein problema hunc in moduin. Manentibus jam descriptis; sit © B media proportionalis inter rectas Z 0 , © K ; junctaque H B producatur ad A. Dico quod recta A B auferet rationem T A ad B Z , minorem quavis alia ratione, quam abscindere ]>otest recta quaevis alia per punctum H ducta, ipsique K Z occurrens. Quod si ratio ad construen* duui proposita aequalis fuerit rationi T A ad Z B ; tum recta A B sola solvit problema; si minor fuerit eä, compositio fieri non potest. S i vero major fuerit ea,

VII

componetur duobus inodis, ab utràque parte ipsius A B . Sit autein (Fig. 3.) ratio data sicut N ad T , quae major sit ratione F A ad BZ. Fìat ut T H ad H © ita N ad S : ac manifestum est ex aequo, quod ratio E ad T major erit ratione © 2 ad BZ. Sed ratio ©O ad N Z major e s t e à ; quia ©B media proportionalis est inter Z © et ©K: unde constat rectas duas duci posse per punctum H , ab utraque parte ipsius A B , quae secent à rectis 0 2 , Z K , rationes aequales rationi E ad T. Constat autein ex praemissis rectas hunc in modum ductas solvere problema. Cai. III. (Fig. 4.) Ducatur jam, juxta Casum tertium, recta auferens rationein T E ad A Z datarn. Quoniam ratio E T ad B© datar, ac ratio quoque B © ad AZ data est; recta E H positione datun per Casum tertium Loci septimi, qui quidem non habet li mites, adeoque manifesta est compositio, Cos. IV. (Fig. 5. 6. 7. 8.) Ducatur j a m , ad modum quartuin, recta H N auferens rationein T N ad A Z datam. Quoniam ratio TN ad ©Z datur, etiaui ratio 2 © ad A Z data est; unde recta H N positione datur. Reducitar enim ad Casum quartnui Loci septimi. Determìnatur autem problema hunc in modum. Maiientibus prius descriptis, capiatur media proportionalis inter Z© et ©K. Haec vel minor erit recta © M , vel non minor eà: ac primo non sit minor eä. Junge H M , ac dico quod recta H M aufert rationein T M ad M Z , majorem quavis ratione, a recta qualibet per punctum H dueta ipsique T M occurrente, abscissa. Ducatur enim alia ut HN. Quoniam ine-

Vili dia proportionales inter Z 0 , 0 K non est minor quaui 0 M ; recta H M vel auferet rationem ©A ad Z M maximain, vel propior erit rectae rationem maximam auferenti: atleoque ratio A© ad Z M major erit ration? 0 2 ad A Z ; permutando autem A© ad 0 2 major erit ratione Z M ad A Z. Sed A© est ad 0 2 ut est M T ad T N ; quare ratio M T ad TN major erit ratione M Z ad A Z : ac permutando iterimi, ratio M r a d . M Z major erit ratione T N ad AZ. Recta igiltir H M aufert rationem T M ad M Z , majorem quavis ratione qnam aufert recta quaelibet alia per punctum H ducta ipsiqne T M occurrens. Q. E . D. Sit jam media proportionales inter Z 0 et © K minor quam 0 M , ut ©A. Juugantur H M , H A , ac prodilcatur HA ad A. Dico quod recta HA aufert rationem T A ad A Z , majorem quavis alia ratione, quam abscindit recta quaelibet per H ducta, totique rectae T M occurrens: quodque recta H M aufert rationem T M ad M Z , minorem quävis alia rectà ipsi AM occurrente. Ducantur enim rectac duae ut H ü , H B . Quouiam autem © A media proportionale est inter Z 0 , © K , auferet recta H A rationem ©N ad A Z maxiniam. Est igitur ratio © N ad A Z major ratione 2 © ad Z O ; et permutando ratio © N a d 2© major erit ratione A Z ad ZO. Sed NO est ad © 2 ut A T ad T B , quae proinde .ratio major est ratione A Z ad ZO: permutando auteui ratio AT ad AZ major erit ratione r B ad ZO. , Ac pari modo demolisti alur rationem illam majorem esse ratione r n ad P Z . Quapropter recta HA aufeit rationem TA ad A Z, majorem omnibus rationibus à rectis per H ductis rectaeque T M occurrentibus, abscissis. Dico

IX

praeterea quoti recta H M aufert rationein T M ad M Z , minorem ratione quacunque, à rectà quavis p e r H ductä, ipsamque A M intersecante, abscissa. Quoniam eniui (Fig. 6.) recta H I I propior est ipsi H A , maxiuiam ralionem auferenti, quam est recta H M ; ac rectae quae propiores sunt illi semper abscintlunt rationes majores: igitur ratio © E ad P Z major etit ratione A © ad M Z . Permutando autem ratio E © ad © A major erit ratione P Z ad Z M . Seti E © est ad © A ut n r ad T M ; ratio igitur n r art T M major erit ratione P Z ad Z M : ac permutando ratio n r ad P Z major erit ratione T M ad M Z . Quocirca redta HA aufert rationeui T A ad A Z , majorem quavis ratione quam abscintlere potest recta aliqua alia per H ducta, ita ut rectis T M , A M occurrat. Recta vero H M aufert rationem minorem quavis alia rectaui A M solain intersecante. Sic anteui coinponetur problema hoc. Mäneant [am descripta; ac media proportionale inter Z © , ©K vel minor erit quam M © ; vel non erit minor eä. Imprimis autem non sit minor ea. Junge H M ; ac recta H M abscindet rationem T M ad M Z , majorem quam recta quaevis per H ducta ipsamque T M interseca ns. .Igitur si ratio ad construendum data fueiit aequaiis rationi T M ad M Z ; recta H M eaque sola solvit problema. S i vero ratio minor fuerit, construetur problema unico tantum modo. Quoti si (Fig. 7.) ratio data, quae sit ut P ad T , minor fuerit ratione T M ad M Z , fiat ut T H ad H © ita P ad E ; ac demoustrari potest ex aequo, quoti ratio S ad T minor erit ratione A © ad M Z : uncle patet quoti possibile sit per punctum H ducere duas rectas, quae

X

auferant à rectis T M , tylZ rationein aequalem ratioui S ad T. Hae si ducantur, cadent ab utraque parte ipsius H M ; ac manifestum est alteram ex his rectis ut H O , quae per punctum H transit ac producta occurrit ipsi T M , solvere problema; alteram vero non item: adeoque unico tantum modo efficitur. Q, E . D. Jam sit (Fig. 8.) media proportional!» Tnter Z © et ©K minor quam recta © M ; sit ea 0 N . Junge rectas H M , H N ; et produca tur H N ad 2 ; ac recta haec H S auferet tationem F E ad N Z , majorem quavis, quae resecari possit à rectis per punctum H ductis, ipsique T M occurrentibus. Recta vero H M auferet rationem T M ad M Z , minorem quavis ratione à rectis per H ductis, ipsique S M soli occur» rentibus, abscissa. Propositi autcm ratione conStruendà, quae aequalis sit rationi T 2 ad N Z j manifestum est quod sola recta H S solvet problema. Si ratio proposita major fuerit ea, tum componi non potest Quod si minor fuerit ratione T 2 ad N Z , major vero quam T M ad M Z ; hoc in casa dupliciter solvi potest problema per praecedentia : à rectis scilicet ab utràque parte ipsius H 2 duceqdis, ìpsisque r 2 , Z M occurrentibus. Quod si ratio data aequalis fuerit rationi T M ad M Z ; constat etiam ex deterniinalione praemissa, quod duobus modis solvi possit* nempe recta H M , ac rectà alia ut HP. Si vero ratio minor fuerit quam T M ad M Z ; turn cadet altera è rectis ultra ipsam H M , adeoque non satisfaciet probleuiati. Manifesta autem sunt liaec omnia ex iis quae jam pridem demonstravimus.

XI

Cas. V. (Fig. 9-10.) Ducatur jam recta H A , juxta Casum q u i n t u m , anferens rationem T A ad A Z a ta m. Quoniam ratio. TA ad O N datur, ratio etiaui N 0 ad A Z d a t u r ; unde recta quoque H A positione data est, per demolisti ata i n C a s u quarto Loci septimi, qui quidam deterininationem habet. Deteruiinatur autem hunc in modum. Quoniam media proportionalis inter Z 0 , 0 K , vel major esse potest q u a m recta 0 M , vel minor e á ; primula non sit m a j o r eá. Junge H M , ac manifestum est ex liinitationibus praecedentibus, quod recta H M auferet rationem r M ad M Z . m a j o r e m rationibus omnibus, à rectis per punctum H ductis rectaeque A M occurrentibus, abscissis. Si vero media proportionalis inter Z 0 , 0 K inaior sit quam recta © M ; u t est recta 0 A : j u n g a n t u r H A , H M ; ac patet ex liinitationibus praecedentibus, quod recta H A auferet rationem TA ad A Z , majorem O Q i n i r a t i o n e , quam auferunt rectae quaevis per H ductae, ipsique A M © occurrentes. Recta vero H M auferet rationem T M ad M Z , minorem quavis ratione, á rectis per H ductis, solique rectae A M occurrentibus, abscissa. Q. E. D. Componetur autem problema hunc in modum. Manentibus jam descriptis, eiit media proportionalis inter Z© et 0 K , vel major quam © M , vel non major ea. Primo autein non sit major eá. Junge H M auferentem rationem T M ad M Z , majorem omni ratione, à rectis per H ductis, ipsique A M occurrentib u s , abscissa: ac si fuerit ìatio ad componenduin data ut T M ad M Z , sola recta H M solvit problema. Si major fuerit e à , tum construi non potest. Quod &i r a t i j minor fuerit e á , ex praecedentibus constat

XII

u n a m solaiu rectatn duci posse, quae occurrens ipsi A M problemati satisfaclat. Q. E . D. Quod si © A , media proportionalis inter Z 0 et © K , m a j o r fuerit quam © M ; jungantur H M , H A ; ac recta H A auferet rationem TA ad A Z , majorem omni ratioue q u a m abscindunt rectae aliae per H d u c t a e , ipsique © M continuatae occurreutes: recta vero H M auferet rationem miniinam, nempe rationem r M acl M Z . Jam si proponatur ratio ad cons t r u e n d u m , quae fuerit ut T A ad A Z ; patet quod recta H A sola solvet p r o b l e m a : ac si major fuerit ratio, non construetur. Quod si minor fuerit ratione T A ad A Z , major vero quam T M ad M Z , manifestum est ex praemissis, problema effici posse duobus m o d i s ; ductis rectis, ab utraque parte ipsius H A , rectae A M occurrentibus. Si vero minor fuerit ratione T M ad M Z , ex praecedentibus limitationibus c o n s t a t , unico solum inodo solvi posse problem a ; scilicet recta ipsain A M intersecante. Denique si ratio aequalis fuerit rationi T M ad M Z , duplicein habebit solutionem. Recta enim H M , atque etiain alia ipsi A M occurrens ultra punctum A , rem praestant. T o t u m hoc p?tet ex prius demonstratis.

XIV

Inhaltsanzeige.

A.) nicht zwischen den gegebenen Linien,

(loc. I. Fig. i - 3.)

B.)

(loc. II. Fig. 4—7.)

«wischen

—

—

—

II.) Die gegebenen Linien A B , C D sind nicht parallel. loc. I I I - V I I .

lib. II. loc. I - X I V . )

Die in

(lib. I,

denselben

gegebenen Funkte liegen A . ) beide im Durchschnittspunkte, (lib. I. loc. III. Fig 8 - 11.) B.) nicht beide im Durchschnittspunkte E. (lib.I. loc. IV—VII. lib. II. loc. I - X I V . ) a . ) Der auf AB gegebene Punkt liegt i n E (lib. I.loc. I V - V I I . ) , der auf CD gegebene a . ) auf E C.

ß.)

auf E D .

(üb. - I. loc. IV. Fig. 12. i3.) (lib. I. loc. V - V I I . )

NO in K , wenn O K # A B . (lib. I. loc.V. Fig. 1 4 - 1 6 . ) 3 . ) zwischen E, K .

(lib. I. loc. VI. Fig. 1 7 - 3 1 . )

3.) auf der Verlängerung von K E . (loc. VII. Fig. 22—28.) b . ) Keiner liegt im Durchschnittspunkt I. (lib. II.) A B gegebene Punkt liegt 1.) auf I B (loc. I — V I . ) , der auf C D gegebene a . ) auf I C .

Goc-1-

0.) auf 1 D.

(loc. II - VI.)

N ) in K .

F

'g- a 7 — 2 £>)

(loc. II. Fig. 3o — 39.)

Der auf

Inhalts anzeige.

XV

3 . ) auf der Verlängerung von 1 K . (loc. I I I . Fig. 4«—49«) DauflK.

(loc.

IV-VI.)

i . ) zwischen E , K ,

wenn E

der Durchschnitt

der Linien O F , CD ist. (loc. IV. Fig. 6 0 - 6 0 . ) a . ) zwitchen E , I . 3 . ) in E. Ii.) auf I A .

(loc. V. Fig. 6 1 — 6 5 . )

(loc. VI. Fig. 66 - 69.)

(loc. V I I - X I V . )

/ E K : R F p : q ) ( E O : OL OG' zwey andere Segmente EG', F'H auf den Linien E B , F D (Fig. 2. a.), oder auf den Linien EA, FC (Fig. 2. b.) mit der gegebenen Eigenschaft, welches Fall 1., oder Fall 3. ist.

Fall

3.

Die verlangten Segmente sollen liegen auf den Linien E A , F C (Fig. 3.)

14

Buch

1.

Anal ysis. Es sey O G die gesuchte Linie, ihre Durchschnittspunkte mit A B , C D seyen G , H , so ist, wenn die die Linie C D in L schneidende gerade Linie O E gezogen wird, EG : L H = E O : OL (EI. VI. 4.) also ist EG : LH gegeben (Dat. 29.1.) Da EG : FH so ist FH : HL

gegeben ist (p. hyp.) (Dat. 9 )

folglich auch L H - H F : FH gegeben (Dat. 6. Zus.) mithin ist FH (Dat. 2.), somit der Punkt H (Dat. 30.)> und die gerade Linie O H der Lage nach gegeben (Dat. 29.). Determination. Da F H < HL so ist EG : F H > I E G : HL (El. V. 8.) ¡ E O : O L (El. VI. 4.) also mufs p : q > E O : OL seyn. Construction. Buchstäblich, wie zu Fall 1. Beweis. p:q )>lEO:OL P F : FQ> | E K : KF (El. VI.4.) T F i : F R ) EK( Es ist

(Det.) (El. VI. 2.)

also RF < I F K) (E1.V.10.)

M

L oe.

i5

I.

folglich schneidet M R die Verlängerung von L F . Unil es ist E G : H L = E O : OL : KF Auch ist LH : HF = L M : F R mithin E G : HF = T F : F R = Z u s . 1.

P •• q (Apoll.)

Fiir eine andere gerade Linie O W , welche die E A, F C in W, X schneide, ist XH ; HL < XH : HF (El. V. 8.) also L H + H X j : L H ) < l F H i H X j : FH (Hauber XL i > j XF ( §.19.22.) (El. VI. 4.) W E : EG) folglich W E : F X § } E G : F H p:q

(Hauber$.43.)

mithin bestimmen eile dem Punkte F näher liegenden Punkte der Linie F C gröfsere Verhältnisse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchstäblich, wie Fall 1. Zus. 2. A n in. zu l o c . I. Die in loc. I. enthaltene Aufgabe kann also, wenn das gegebene Verhältnifs p : q i - O E O : O L nach Fall i l . 2.) aufgelöfst werden. < = > 2.

2. 3.

>

i6

Buch

1.

2) Der P n n k t O l i e g t i n n e r h a l b der W i n k e l B E F , EFD. (Fig. 4—6.) (Loc. Ii.) F a l l

I.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien E B, F D . ( F i g . 4 . a. b . c . ) Anal. ) Buchstäblich, w i e zu loc. I. Fall Constr. Bevv. Z u s . 1. ( A p o l l . ) Buchstäblich, w i e Fall 2. Zus. i . Z u s . 2. Macht man auch L M ' = » L M , und zieht R M ' , so schneidet dieselbe, w e n n nicht R M ' ^ F D , d. h. w e n n nicht T F : F R ) = T F : LM', w i e F i g . 4 . c . , PF:FQj=EK:KF p : q )=EO:OL die Linie C D in einem Punkte I i ' , und die gerade Linie OH' bestimmt z w e y Segmente E G ' , F H ' auf den Linien E A, F D (Fig. 4. a.), oder auf den Linien E B , F C (Fig. 4. b.) mit der gegebenen Eigenschaft, welches F a l l 2., oder Fall 3. ist. F a l l

2.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien E A , F D . (Fig. 5.) Anal. Det. \ Buchstäblich, w i e zu loc. I. Fall f l . j Constr. > X H : H F n. s. w . wie loc. I. Fall 1. Zus. 1. Z u s. 2. Buchst, wie loc. I. Fall 1. Zns. 1. wird eine Li» nie OG' gefunden, welche von den Linien EB, F D Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschnei' det, welches Fall 1. ist.

Fall

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien £B> F C. (Fig. 6.) Buchstäblich, wie zu loc. I. Fall

Z u s . 1.

(Apoll.)

F i t r eine andere gerade Linie O W ,

Welche tlia

Linien E B , F C in W, X schneide».ist X H t H L < X H : HI? u. s. w. wie loc. I. Fall 3. Zus. 1» Z u s . 2. Buchst Vvie zu loc. I. Fall 2. Zus. 2. Anni. zu loc. II. Die in loc. II. enthaltene Aufgabe kann also* wenn das gegebene Verhältnifs

p :q

E 0\

OL

iS

Buch

I.

A n m . z u I. ( H a l l e y ) . ( F i g . 7 . ) Wenn A ß , C D zwey der Lage nach gegebene parallele Linien, E , F in denselben gegebene Punkte sind, auch p : q ein gegebenes Verhältnifs bezeichn e t , und man macht E P = p , Q F = q , zieht P Q , welche die gerade Linie E F , oder ihre Verlängerung in S schneide, zieht auch durch S und einen ausserhalb, oder innerhalb der Parallelen gegebenen Punkt O die gerade Linie S O , welche die Parallelen in H, G schneide, so ist EG:FH=ES : SF

(EI. VI. 4.)

= E P : F Q (El. VI. 4.) = P : q Säuimtliche unter I. begriffene Fälle lassen sich also auch auf diesem Wege behandeln. Auch wird E S S in den mittleren Punkten F , S harmonisch geschnitten. II.) D i e g e g e b e n e n L i n i e n s i n d p a r a l l e l . ( F i g . 8 — 27.)

nicht

1) Die in beiden Linien gegebenen P u n k t e l i e g e n im D u r c h s c h n i t t s p u n k t e . ( F i g . 8—11.). (Loc. III.)

Fall

i.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien C E , E A . (Fig. 8.) A n a 1 y s i s. E s sey O G die gesuchte gerade Linie, so ist, vyenn eine durch O der A B parallel gezogene gerade Linie O K der Linie C D in K begegnet,

Loc.

III.

OK : KG = H E : E G (E1.VI.4.) = P=q also ist das Verhältnifs OK : KG ein gegebenes. Da OK (Dat.31.22.) der Lage und Grüfse nachgegeben ist, so ist KG (Dat. 2.) der Grüfse nach, somit der Punkt G (Dat. 30.), und die gerade Linie O G der Lage nach gegeben (Dat. 29.). Determination. Da G K > K E so ist O K : K G < O K : K E

(EI.V.8.)

also mufs p : q < O K : KE seyn. Construction, Man mache O K # A B , E P = p , E Q = q , O G : $ F Q , so sind, wenn der Durchschnitt der Linien AB, O G mit H bezeichnet w i r d , H E , E G die gesuchten Segmente. Beweis, i Es ist p : q | < O K : K E (Det.) PE : EQ[ (El. VI. 4.) O K : K G ) also KG > K E (El.V. 10.) Der Punkt G liegt mithin auf der Linie EC. Ferner ist H E : E G s = P E : E Q = P: q Zus. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien E C , E A in L , M schneidende gerade Linie O L ist

LKKG

Buch

so

J.

also OK : KL{ : KG (El. V. 8.) ME : EL) ¡HE : E G Die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie C E bestimmen mithin gröbere VerhältnJfse, als die entfernteren. F a l l

a.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien D E , E B . ( F i g . 9 ) Analysis. Buchstäblich, wie zu Fall 1. Determination. Da G K C K . E so ist OK : K G > 0 K : K E also inufs p : q

( E I . V . 8.)

> O K : K E seyn.

Construction. Buchst., wie zu Fall 1. Beweis. E s ist p : q ) > O K : K E PE : EQj (EI. V I . 4 . ) O K ! K G ) also K ü < K E Der Funkt G liegt mithin auf der Lini» KE. Ferner ist H E j E G = P E : E Q -

p;q

Lot.

III.

Zus. (Apoll.) Für eine andere die Linien E D , E B in L, M schneidende gerade Linie OM ist LK j > j KG also OK : K L f < } O K s KG (E1.V.8.) M E : EL^ /HEsEG Die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie E K bestimmen also kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. F a l l

3.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien AE, E D . (Fig. 10.) Analysis. Constructiou. Buchstäblich, wie zu Fall 1. Beweis, Es ist HE : E G = P E : EQ = P=q Zus. (Apoll.) Für eine andere die Linien A E , E D in M j L schnei« dende gerade Linie OL ist

L K

|>|

KG

also OK : K I J > } O K : KG (E1.V.8.) ME:EL\ / ilE : EG Die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie KD bestimmen mithin giöfsere Verhältnifse, als die entfernteren.

Buch l.

33

Antn. zu l o c . III. ( A p o l l . ) Die in loc. I I I . enthaltene Aufgabe kann also,

( > O K : K E , (1.3.) M nach Fall aufgelöfst werden, f 3. ) Anui. zu l o c . III. ( H a l l e y . ) . ( F i g . 11.) Die 3 Fälle dieser Aufgabe lassen sich auch folgendermaßen behandeln, Constrwction. Man mache E P = p , Q E = Q'E = q , ziehe P Q , PQ', O G # P Q , O G ' # P Q ' . Beweis. Es ist, wenn H, H' die Durchschnittspunkte der Linien A B , und O G , OG' sind, H E : E G = P E : E Q , H'E : E G ' = P E : EQ' =

p = q

=

p: q

2) D e r in d e r L i n i e A K g e g e b e n e P u n k t i s t d e r D u r c h s c h n i t t sp u n k t E d e r L i n i e n A B , C D, ( F i g . 12 — 26.). D e r in d e r L i n i e C D gegebene Punkt F liegt A . ) a u f d e r L i n i e E C. ( F i , g . 12 — l t . ) (Loc. IV.)

F a l l

i.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien A E , F C . (Fig. 12.)

Loc.

If.

s5

A n a l y sis. E s sey H G die gesuchte Linie. O K # A B , und OK : F S = p : q =HE:FG

Macht man

SO ist OK : HE; = S F : FG

KG : GE( also

G K : KE = F S ::SG

folglich K G . G S = K E F S (El. VI. 16.) D a KE ( D a t . 2 8 . ) , F S (Dat. 2 ) gegeben sind, so ist KG. GS der Gröfse nach, und da K G + G S = KF+FS=i=KS gegeben i s t , so ist KG (Dat. 8 6 . ) , somit G (Dat. 30.) und die Lage der geraden Linie O G gegeben (Dat. 30.). Construction. Man mache F N # O K # A B , O N # C D , F P = p , F Q = q , N S # P Q , F S T = R = E K Ü , T S = S F , UK = K E , beschreibe über SK als Durchmesser einen, Kreis, welcher der geraden Linie T U in R begegne, mache T R G = R , und ziehe durch O und den Durchschnitt G der Linie R G mit CD eine gerade Linie O G , welche A B in H schneide, so wird OG das Verlangte leisten. Beweis. E s ist F S < S E

(p. hyp.)

also F S . E K < S E . E K

( E l . VI. 1.)

folglich F S . E K C J S K » ( E l . II. 5.) mithin schneidet der über K S beschriebene Halbkreil die Linie T U . (Lelms. A.)

»4

Buch

1.

Es ist S G . G K l < f S E . E K {ELVI. 1.) (Lelms. A) Sa--«G 5 > j s ^ - a E a (EL II. 5.), wenn ) ( §a=t»K folglich Ga2>aE* mithin G a > a E somit GK>KE demnach F S > S G ( E l . V I . l 6 ) , P e r Punkt G liegt mithin zwischen S , F . Ferner ist GK : KE = FS : SG also KG: G E i = S F : F G OK:HE\ »owit OKJ : F S \ = H E : F G NF( PF:FQ p:q Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien FS, EA in M, L schneidende gerade Linie OM ist KE a E mithin G'K K E also K F . F S ; > r F S . K E ( E l . V I . l . ) wenn K a = a S , F a * — ) k G . G S (Lehnsatz B.)

(Gai — aS* folglich F a - X i a 2 mithin F a > a G somit F S > S G Feiner ist GK : K E = F S : SG (El. VI. 16.) also G K > K E mithin liegt der Punkt G zwischen F, E.

Loe.

IF.

27

Auch ist KG : G E = S F : FG (El. V. 17.) somit p : q = H E : FG, wie Fall 1. ß e w . Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien F E , E A in M, L schneidende gerade Linie O M ist EL^EH, MF^FG also E L : F M ^ I E H : FG (Hauber (f. 41.) f

p = q

Die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie E F bestimmen also kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dein zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Liuie T U ein Perpendikel auf T U , welches die Linie C D in G' schneide, so ist KG'.G'S=FS.EK also G'K : K E = F S : G'S folglich G'K: G'E = F S : FG' (EI. V. 18.) O K: H'E w e n n G ' O die AB in H' schneidet, mithin O K : F S) = H'E •• FG' p: q Demnach sind auch auf den Linien EA, FD zwey Seguiente mit der gegebenen Eigenschaft gefunden woulen, welches Fall 4. ist. F a l l

3.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien EB, FK. (Fig. 12.)

38

Buch

I.

A n a 1 y s i s. E s sey R'G' die gesuchte Linie. Zieht m a n O K # A B , und macht OK : F S = p : q = H ' E : FG' So ist OK : H'Ei = F S : FG' KG': G'Ei also KG' : K E = F S : G S folglich KG'. G ' S = E K . F S Da KE, F S gegeben sind, so ist KG'. G'S, und da KG'-+-G'S = KS gegeben ist, so ist KG' (Dat. 86.), somit G' und die Lage der geraden Linie OG' gegeben. C o n s t r u c t i o n. Buchst., wie zu Fall 1,, w e u n mau G',H', R' statt G, H, R setzt. Beweis. E s ist F S < S E also F S . E K < S E . E K folglich F S . E K C ^ S K * mithin schneidet der Halbkreis die Linie T U (Lelins.A.). N u n ist S G ' . G ' K i < j S E . E K (Lehns.A.) S a 1 — aG 2 ^ f S a 1 —aE' J , w e n n K « = a S , folglich G V J > E a 2 mithin G ' a > £ a demnach liegt G' zwischen E , K. Ferner ist EK : K G ' ^ G ' S : S F (El. VI. 16.) folglich K G ' : G ' E ( = S F : FG' (E1.V.17.> O K : H'E(

Loc. mithin

OK)

:

33

ir.

SF\—H'E : FG'

FN( I PF:FQ| p-q ) Z u s . 1.

(Apoll.)

Fiir eine andere die Linien E K , E B in M ' , L ' schneidende gerade Linie O M ' ist KM'. M ' S ^ ^KG'.G'S (Pfleiderers Schol. in / K E . F S E l . I I . S 38.u.Conv.) also M'K : K E > F 3 : SM' (Hauber §. 53.) folglich M'K : E M ' ^ F S : M ' F (Hauber O K : L'E\

28.)

mithin O K : F S J ^ L ' E : M'F

P: q

i

Demnach bestimmen die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie E K kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 1. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R des Xreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , welches C D in G schneide, so ist SG. G K C S E . E K . also p : q = H E : F G , wie Fall 1. Eevv. E s ist also eine zweite Linie gefunden worden, welche auf den Linien F C, E A Segmente in dein gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 1. ist.

3o

Buch

1.

F a l l

4.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien E A, F D . (Fig. 13.) Analysis, Es sey H'G' die gesuchte Linie, so ist KG'. G'S gegeben, wie Fall 3. Anal. Da nun auch G'S - KG'= KS gegeben ist, so ist KG' (Dat. 85.), somit G' und die Lage der geraden Linie OG' gegeben. Construction, Buchst., wie zu Fall 2., wenn man G', H', R' statt G, H, R setzt. Be w eis, E s ist KG'. G ' S = F S . K E (Lehns. B.) also G ' K : K E = F S : S G ' folglich P : q ^ H ' E : FG', wie Fall 3. Bew. Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien K D , E A in M', L' schneidende gerade Linie O M ' ist SG'. G'K)>SM'.M'K (El. II. 6.) FS. KES also EK : KM'>M'S : SF (Hauber J. 53.) folglich EM':M'K) ^IVLT : F S (Hauber $. 19 ) EL' : K O ( mithin EL'.-M'F*" K O : FS (Hauber §. 43.) EH' : FG'

Loc.

r.

Die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie K D bestimmen also kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s. 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U, welches CD in G schneide, so ist F K > K E , also liegt G zwischen F , E , und es ist p : q = H E : F G , wie Fall 2. Bew.; folglich sind auch auf den Linien E l ' ' , E A Segmente in dem gegebenen Verhältnifse gefunden worden, welches Fall 2. ist. Anm. zu loc. IV. Da bey keinem Falle von loc. IV. eine Determination statt findet, so kann die Aufgabe für jede? gegebene Verhältnis nach jedem Falle aufgelöst werden. B . ) a u f d e r L i n i e E D . ( F i g . 14 — 26.) E s l i e g e , w e n n K den D u r c h s c h n i t t der mit AB p a r a l l e l g e z o g e n e n L i n i e O K und der L i n i e C D b e z e i c h n e t , der P u n k t F a.) in K.

( F i g . 14—16.).

F a l l

( L o c . V.)

i.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien E A, K D . (Fig. 14.) A n a 1 ys is. Es sey H G die gesuchte Linie. Macht man O K # A B , und OK : K S = p : q =EH:KG

Buch

L

so iit OK.: HE) = S K : K.G KG : GE\ also KG : (EG—GK| = S K : IGK-KS I JiR | ¡GS folglich K G . G S = E K . K S Da E K , KS gegeben sind, so ist KG. G S rief Grofse nach, u n d , da KG—GS=KS gegeben ist, KG (Dat. 85.), somit G, und die gerade Linie O G der Lage nach gegeben. Construction, Man mache OK#AB, K P = p , K Q = q , O S # P Q , E K U = ; K S T = R , U K = K E , T S = S K , beschreibe über KS als Durchmesser einen Kreis, welcher von der geraden Link T U in R geschnitten werde, und errichte in fl auf T U die gerade Linie R G perpendicular, welche der Linie C D in R begegne, so ist O G die gesuchte Linie. Beweis. E s ist KG. GS = UK. S T (Lehns.B.) = EK.KS also GK : KE = KS : SG folglich KG : i G K + K E n = K S : JKS-+-SG) ( GE ( / KG ( OK:HE) mithin
KG also E L : KI\1§EH : KG (Hanber J. 41.) folglich bestimmen die dem Punkte E näher liegenden P u n k t e der Linie K D grüfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein die A B iu G schneidendes Perpendikel auf T U , so ist KG'. G ' S = E K . K S also G'K : K.E-—KS : SCi' Da K S < S G ' jo ist G'KCKE folglich liegt G' zwischen K, E. Ferner ist G'K: IEE =KS : ISG'-KS OK : also OK : KS j = E B ' : KG' P: H i mithin ist auch eine Linie O G' g e f u n d e n , welche von den Linien E B , E K Segmente in dem gegeben e n Verhältnifse abschneidet, welches Fall 2. ist.

(Fjjj. 14.)

34

Buch

1.

Analyst*. E s sey H'G' die gesuchte Linie. O K # A B , und OK : K S = p : q = E H ' : KG'

Macht man

so ist OK : H ' E ; = S K : KG' K G ' : G'E( also K G ' : \KG'+G'E = S K : ISKt-KG' j SG' KE folglich K G ' . G ' S = S K . K E Da SK, K E gegeben sind, so ist KG'.G'S der Gröfse nach, und, da G ' S — K G ' = K S gegeben ist, K G ' (Dat.85.)» somit G' und die gerade Linie O G ' der Lage nach gegeben. Construction. Buchst., wie zu Fall 1., wenn nur R', G',H' statt R , G , H gesetzt wird. Beweis. Es ist KG'. G ' S = E K . KS also p : q = E H ' : KG',wieFalll.Zus.2. Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien E B , E K in M , L schneidende gerade Linie ist E l / § E H ' , K M ' > I t G ' • i

•

"

• •

•

»IQ

folglich E L ' : K M ' ^ E H ' : KG' mithin bestimmen die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie K E kleinere Verhältnifse, als die entfernteren.

Loe.

K

55

Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R der Linie T U und des Kreises ein die Linie K D in G schneidendes Perpendikel auf T U , so ist KG.-GS = EK.KS folglich p j q = E H : KG (buchst., wie Bew. zu FalU.), also ist auch eine Linie O G gefunden, welche von den Linien E A , R D Segmente abschneidet in dem gegebenen Verhältnifse, welches Fall 1, ist. F a l l

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien EA, KC. (Fig. 15.160 Analysis. Es sey H G die gesuchte Linie. Macht man OK # A B , und OK : K S = p : q =EH:KG so ist OK : E H | = S K : KG KG:GE( also KG: \ K G - G E ) = S K : JSK-KG ¡GS | KE ( folglich KG. G S = E K . KS Da E K , K S gegeben sind, so ist K G . G S der Gröfse nach, u n d , da K G - t - G S = KS gegeben ist, K G ( D a t . 8 6 ) , somit G und die gerade Linie O G der Lage nach gegeben. Construction. Buchst,, wie zu Fall 1«

Buch

J.

Determination. Damit der über K S beschriebene Halbkreis der Linie TU begegne, mufs (verm, Lelms. A. Det.) seyn SK.KEiij also K E = | S K folglich 4KE=SK mithin OK : a K t ^ ^ Ü K : KS (El. V. 8.) f p: q Beweis. Es ist OK : ftKE^lp : q jOK : KS also 4KE~KS folglich Kh = iKS mithin SK.Ki ) TS. KL ! also berührt (Fig. 15.), oder schneidet (Fitj. 16 ) der Kreis die Linie T U (Lelms. A.), so dafs SG.GK=SK.KE also GK . KE=KS:SG Da KS>SG so ist GK>KE »lso liegt der Punkt G auf der Linie EC. Ferner ist GR:,lGK-K.i h = K S : IKS-SG } GE 1} j KG OK:HE )

Loc,.

V.

also OK : K S ) = H E : KG

i

P: q Z u i . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere die Linien E A, K S (Fig. 15.) in L , M schneidende gerade Linie O M ist K G . G S ) > K M . M S , weil KG=GS, SK K e J also MK : K E < K S : S M (Hauber folglich M K :

53.)

M (Hauber $.24.)

mithin OK : K S ) > E L : KM (Hauber §. 43.) EH:KG) Dieser Punkt G, für welchen GEs=EK, bestimmt also ein gröfseres Verhältnifs, als jeder andere Punkt der Linie ES. Macht man EL : KM = OK : KV so ist OK : K V < O K : KS also K V > K 3 Auch ist EL : OK) = M K : KV E M : MK\ folglich K M - M E ) : M K = I V K - K M ) : KV EK \ | MV | mithin KM. M V = E K . KV Ferner ist GK>KE also GK.VS>KE.VS folglich KG.GS+KG.SV) > 1 SK. K E + K E . V S KG GV \ j VK.KE ( KM. MV

58

Puch

I.

mithin liegt G dem Halbitungspunkte von K.V nä* h e r , als M (El. II. 50- Ist nun Y G > G M , so ist also auch K M . M V > > K Y . Y V VK.KE\ somit YK : K E < K V : VY (Hauber §. 53.) also YK: IYK-KEJ | > K V : IKV-VY (Hauber §. 24.) j YE \ ( KY OK : XE w e n n OY die AB in X schneidet, folglich OK. : K V i > E X : KY EL:KM) mithin bestimmen die dein Punkte G näher liegenden Punkte der Linie E S grüfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. ( A p o l l . ) Errichtet man (Fig. 16.) in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Liiiip T U ein Perpendikel auE T U , welches die C D in G' schneide, so ist SG'. G'K=>SK K E also G'K : K E = K S : SG' Da K S > S G ' so ist G ' K > K E folglich liegt auch der P u n k t G' auf der Linie EC. Ferner ist G'K : \ G ' K - K E l n = K S : IKS-SG' ) EG' ( } KG' O K : EH' ) also OK : K S i = E H ' : KG' p:q i

Loc.

PL

30

£ 9 ist mithin eine zweite Linie OG' gefunden, welche auf den Linien E A , KC Segmente'in dem gegebenen Verliältnifse abschneidet. A n i n . zu loc. V. Die in loc. V. enthaltene Aufgabe kann, je nach* i-) i 1.2.3.} dem p : q^>>OK : 4KE, nach Fall < 1.2. > aufgelüfst ( F D in. L, M schneidende gerade Liuie O M ist EI.gKH, FM>FG also EL : F M § E H : FG (Hauber $.41.) mithin bestimmen die dem Punkte E näher liegenden Punkte der Linie K D gröfsere Verhältnifse, als die entfernteren.

Buch

1.

Z u s . 2. Errichtet man in dein zweiten Durchschnitte II ties Kreises und der Linie T U auf T U ein Perpendikel • IL'G', welches die Linie CD in G' schneide, so ist KG'.G'S=FS.EK also KG'. G'S) > ^KF. FS , KG'.G'Sj ¡2(2EK-KF)i somit 2 C 2 E K - K F ) F S ^ K F J + F S A

demnach 4EK. FS~^.KFJ-t-2KF. FS+FS» also EK. FS I U^KF-t-FS)1 U K S T i j |KSJ olglich berührt (Fig. 18.), oder schneidet (Fig. 19.) der Kreis di» erade Linie T U , so dafs KG.GS=EK.FS also GK : KE = FS : SG Nun ist FKCKE

Buoh

/.

also K F . F S < E K . F S (E1.VI.1.) folglich KF(KF-»-FS)i < K F a + (EK. FS KG GS FK.KS |KS J —Ga' , wenn Koc=aS, mithin G « ' < ( K F - | K S p somit G a < K F - | K S «lernnach §KS-t-GaiKM.MS, weilKG=GS, SF.KEj also M K : K E < F S : SM (Hauber §. 53.) folglich M K : l E K - K M i )FG'

also E L ' : F M ' ^ E H ' = F G ' (Hauber $.41.) folglich bestimmen die deui P u n k t e E näher liegenden P u n k t e der Linie E F kleinere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet m a n in dein zweiten Durchschnitte R. des Kreises und der geraden Linie T U ein Perpendikel auf T U , welches die Linie F D in G schneide, so ist KG. G S = F S . K E also E H : F G = p : q (buchst., wie zu Fall 1. Bew.) Es ist also auch eine Linie O G gefunden, welche von den Linien E A , F D Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 1, ist. F a l l

4-

Die Segmente sollen liegen «uf den Linien E A , F C . (Fig. 20.21.) A11 a 1 y s i s. C o n s t r u c t i o n. Buchst., wie zu loc. IV. Fall 1. Determination. Damit der Kreis der geraden Linie T U begegne, mufsseyn

U K . S T ; = USK2 EK.FSj ji(KF+FS)a

also 4EK.FS = ~.KF J -t-2KF.FS+FS i

46

Buch

1.

folglich 2(2EK-KF)FS-KFJ=FS» mithin (KE+EF)MKE-EF)»i =FSJ-2(KE+EF)FS+(KE+EF)i 4KE.EF \ somit 2 V k E e P < F S - C K E + E F ) demnach K E + E F + 2 V K E . E F < F S also OK : F S j = O K : KE+EF+2VKE.EF p;q i Beweis. Es ist p : q) = OK: KE+EF+2VKE. EF OK : FS( also F S = K E + E F + 2 V K E . E F folglich F S - ( K E + E F D = 2 V k E . E F mithin FS2-2(KE+EF)FS+(KE+EFp - UKE. EF |(KEH-EF)5—(KE—EF)i somit FS5=2(2KE-KF)FS—KF2 demnach KF'+2KF.FS+FS 2 =4KE.FS also iiKF+FS)»j ^ I K E . F S ¿KS 3 j jüK.TS folglich berührt (Fig. 20.), oder schneidet (Fig. 21.) dei Kreis die Linie TU, so dafs KG. GS=KE.FS also GK : K E = F § : SG Nun ist F K < K E

Loc.

FL

47

also K F . F S < F S . K E folglich KF(KF-t-FS))OK : KE+EF-2VKEJEF) , „ p : q\ >, so kann die Anf( < OK: KE+EF+2VKE.EF( „ ii-2.3.) gäbe nach Fall J ^ > aufgelöfst werden. c.) a u f d e r V e r l ä n g e r u n g ( F i g . 22 — 26.). CLoc. V I I . )

Fall

von

EK.

i.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien E A , F D . cFig.22.) Analysis. Buchst., wie zu loc. IV. Fall 2. Construction. Buchst., wie zu loc. IV. Fall 1. Beweis. E s ist K G . G S = E K . F S

H

5o

Buch

I.

also GIC : K E = F S : S G folglich p : q = E H : FG (wie löc.IV. Falll.Bew.) Z u s . 1. ( A p o l l . ) Buchst., wie zu loc. VI. Fall 1. Zus. 1. Z u s . 2. Errichtet man auch in dein zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , so ist KG'. G ' S = F S . K E also G'K : KE-=FS : SG' Da F S < S G ' (Lelms. B.) so ist G ' K < K E also liegt der Punkt G' zwischen K, E. Ferner ist G'K: l E K - K G ' M = F S : I G ' S - S F j EG' ( / | G'F OK : EH' / wenn die gerade Linie OG' I dieLinieEBinH'schneidet, folglich OK : F S j = E H ' : FG'

p •• q i

Es ist mithin eine Linie OG' gefunden, welche von den Linien F E , E B Segmente in dein gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 3. ist.

Fall

2.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien E A, F K . (Fig. 23.24.) Analysis. Construction. Buchst., wie zu loc. IV. Fall 1.

Loc.

ril.

5i

Determination. Damit der Kreis der geraden Linie T U begegn e , mufs seyn

UK.STJ-^SK' 2 EK.FS{ ( j C K F - FS)

also 4EK.FS^RFJ-2KF.FS+FS» folglich 2(2EK+KF)FS)-KF*=FS* 2(FE+EK)FS\ mithin ( F E + E K p (FE-EKW =(FE+EK)'-2(FE+EK)FS+FS» 4FE.EK somit 2 V F E . E K = X F E + E K ) - F S demnach FS~.FE-t-EK—2VFE. ER also OK : FSj = O K : FE+EK—2>/fE. EK p: q S Beweis. Es ist p : q) = OK : F E + E K - 2 \ / f E . EK OK : F§( also F S = | f E + E . K ~ 2 V / F E . E K »FK+2KE—2VFE. EK

folglich 4FE.EK) = ( F E + E K ) M 2(FE-*-EK)FS ) + F S » (FE+EK) 1 — ^(FE-EKpi [ ¡2(2EK+KF)Fsi FK3

J)

mithin 4 E K . F S

IFKJ—2KF. F S + F S 3

KS3 somit EK.FS^JKS»

Buch

5s

I.

Der Kreis berührt also (Fig. 230, oder schneidet (Fig. 24.) die Linie TU. Auch ist FS=FK+2KE-2>/FB.EK also F S < F K folglich liegt G zwischen K, F. Ferner ist KG.GS=UK.ST =FS.EK also GR : K E = F S : SG folglich KG: lGK-»-KEn=FS: J F S + S G | GE H j FG OK:HE ) mithin OKI : FS) = HE : FG NF|

p:q Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere (Fig.23.), die Linien AE, KS in L,M schneidende gerade Linie OM ist KG. GS>>KM.MS SF. KE| also MK : K E < F S : SM folglich MK: IMK+KE) ) O K : FS also F V < F S Auch ist E L : O K j = M F : FV EM : MK folglich EM—MK» : K M = MF—FV) : VF EK \ MV mithin K M . M V = E K . V F Ferner ist F S > F V also E K . F S i > l E K . FV KG. GS j /KM. MV folglich KG. GV>KM. MV mithin liegt G dem Halbirungspunkte von K V näh e r , als M. Ist nun YG>GM, so ist KM. MV / >KY. Y V EK.VF} also KY : K E < V F : VY folglich KY: l K Y + K E n < V F : IVF-+-VY j YE \ \ | FY O K : EX ) wenn OY der AE in X begegnet, mithin OK : F V | < E i X : FY EL:FM i mithin bestimmen die dein Punkte G näher liegenden Funkte der Linie KS kleinere Verhältnüäe, als die entfernteren.

54

Buch

J.

Z u s . 2. ( A p o l l . ) Errichtet man (Fig. 2t.) auch in dem zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , so liegt G' zwischen K, F , und es ist KG'.G'S=EK.FS also p : q = H ' E : F G ' , welches bewiesen wird, wie es für die Linien HE, FG bewiesen wurde. F a l l

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien K.E, E B . (Fig. 22.) Analysis. Buchst., wie zu loc. IV. Fall 3. Construction. Buchst., wie zu loc.IV. F a l l i . , wenn man R', G', H' statt R , G , H setzt. Be w e i s. Es ist KG'.G'S=FS.KE also p : q = E H ' : FG' (buchst., wie Fall 1. Zus. 2.) Z u s . 1. ( A p o l l . ) Für eine andere, die Linien E B , F E in L',M' schneidende gerade Linie O M ist fm-|>Jfg',el| OK : FE+EK—2>/FE. EK 1 p :q

so k a n n die < OK : F E + E K - t - 2 V F E . E K ) 2 j | auf elüi st Aufgabe nach Fall U 3 S " werden.

Z W E I T E S

BUCN.

Die gegebenen Linien sind nicht parallel, und die gegebenen Punkte liegen beide ausserhalb des Durchschnittspunktes derselben,

(Fig. 3 7 — 1 0 4 . )

Bezeichnet man den D u r c h s c h n i t t s p u n k t d e r L i n i e n A B , C D m i t I , so l i e g e der a u f der L i n i e AB g e g e b e n e P u n k t F I.) a u f I B . ( F i g . 27 - 690- ( L o c . I —VII.) Der auf CD gegebene P u n k t G l i e g e 1.) a u f I C . ( F i g . 27 — 2 9 ) .

Fall

(Loc. I.)

1.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien F A , GC. (Fig. 270 Analysis. Es sey L X die gesuchte Linie. .Zieht man die gerade Linie O F , welche die Linie CD in E schneide, so ist, wenn E H # A B , und H der Durchschnitt der Linien E H , O X ist, F L : E H = F O : O E (El. V I . 4 0 ,

1/OC.

1.

59

also ist das Verhältnifs F L : E H gegeben (Dat. 28.2.). D a auch das Verhältnifs F L : GX gegeben ist (p. h y p ) , so ist das Verhältnifs E H : G X gegeben (Dat. 9.), mithin die Aufgabe auf lib. I . loc. IV. Fall 1. reducirt. Construction. Man ziehe die gerade Linie O F , welche der L i nie CD'in E begegne, mache O K # E H # V G # A B , O V # F N # C D , N P = p , N Q = q , wenn das gegebene Verhältnifs —p : q , wobey p , q gegebene Linien bezeichnen, V M # P Q , bezeichne den Durchschnitt der Linien F N , V M mit M, nehme M S # A B , bezeichne den Durchschnitt der Linien M S , C D mit S , mache G S T = R = S K U , T S = S G , U K ^ K E , beschreibe über K S als Durchmesser einen Kreis« welcher der geraden Linie T U in R begegne, errichte in R auf T U ein Perpendikel« welches der Linie C D in X begegne, uhd ziehe O X , welche iu L die Linie A B schneide, so sind F L , G X die gesuchten Segmente. Beweis. Vermöge lib; L loc. IV. Fall 1. Bew. ist E H : G X = V G : IGS

|MN Nun ist F L : E H = F O : O E = N V : VG ( E l . VI. 2.) also ist F L : G X = V N : NM ( E l . V. 20.) = P N : NQ =

p: q Z u s . 1. Vermöge lib. I . loc. IV. Fall 1. Zus. 1. ist für eine andere die Linien A I , G S , E H in Z, Y , W schneidende gerade Linie O Y

6o

Buch

II.

E W : G Y J > } V G : IGS 1 ' ¡MN Da auch F Z : E W = F O : O E = NV : V G so ist F Z : G Y J > | INV : MN l < ) ¡ F L : GX Also bestimmen die dein Punkte I näher liegenden Punkte der Linie G S größere Verhältnisse, als die entfernteren. Zus. 2 Vermöge lib. I. loc. IV. Fall 1. Zus. 2. schneidet ein in dem zweiten Durchschnitte R' } V G : GS also F Z : G Y ^ F L : G X F a l l . Zus. 1.)

(wie

6a

Buch

IL

Es bestimmen also die dem Funkte I näher liegenden Punkte der Linie G S kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtetv. inan in dem zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , welches der Linie C D in X' begegne, so ist, wenn man die die Linien E H , AB in H', L' schneidende gerade Linie OX' zieht, (vermöge IIb. I. loc. IV. Fall 2. Zus. 2.) H'E : GX'=VG : GS also F L ' : GX'=NV : GS (wie Fall 1. Zus. 2.) = p:q mithin ist eine Linie O X ' gefunden, welche von den Linien FA, G D Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 5. ist.

Fall

3.

Die Segmente sollen liegen aut den Linien FB, GD. (Fig.27.) A n a l y sis. Buchst., wie zu Fall 1., wenn man L ' , H', X' statt L, H, X setzt, also ist der Fall reducirt auf lib.I. loc. IV. Fall 3. Construction. Buchst., wie zu Fall 1., wenn man R', X', H'; L' Statt R , X , H , L setzt.

Beweis. Vermöge lib. I. loc. IV. Fall 3. Bevv. ist E H ' : GX'=OK : GS also F L ' : G X ' = p : q (wie zu Fall 1. Zus. 2.)

Loc.

I.

65

Z u s . 1. Vermöge lib.I. Joe. IV. Fall 3- Zus,l. ist für eine andere, die Linien EK, EH, F B in Y', W', Z' schneidende gerade Linie OZ, EW': GY'gVG : jGS \MN Da FZ': EW'*=FO : OE =NV:VG so ist FZ': G Y ' { < | INV : NM 1 ¡FL': GX' Es bestimmen also die dem Funkte I näher liegenden Punkte der Linie E K kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Zus. 2. Vermöge lib. I. loc. IV. Fall 3. Zus. 2. schneidet ein in dem zweiten Durchschnitte K der Linie T U und des Kreises auf T U errichtetes Perpendikel die Linie GS so, dafs, wenn die die Linien E H , I A in H , L schneidende gerade Linie O X gezogen wird, H E : G X = V G : GS also ist auch F L : GX=p : q (wie zu Fall 1. Bew.) Es ist folglich eine gerade Linie O X gefunden worden, welche von den Linien F A , GC Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 1. ist, F a l l

4.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , GD, (Fig.28.bO

64

Buch

II.

Analysis. Bnchst., wie zu Fall 1., also ist die Aufgate re-> ducirt auf lib. I. loc. IV. Fall 2. Construction. Buchst., wie zu Fall 1. Determination. Da der Punkt X auf I E liegen soll, so wird F L < F I , GX>GI also FL : G X < F I : IG (Hauber §. 4 1 ) mithin mufs p : q F I : IG (Haub $41.) Z u s . 1. Für eiiie andere, die Linien E H, E I, I F in W, Y, Z schneidende gerade Linie OZ ist (vermöge lib. I. loc. IV. Fall 2. Zus. 1.) E W : G Y J ^ J V G : GS also FZ : GY^FLrGX (wie Fall 1. Zus. 1.) Es bestimmen also die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie E I kleinere Verhältnifse, als die entfernteren.

JjOC. I. Z u s . 2. Buchst,, wie Fall 2. Zus. Ii

Fall

5.

Dia Segmente sollen liegen auf deh Linien FA,ÖÖI (Fig. 290 Analysis. Buchst., wie zu Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. IV. Fall 4. reducirt. C o n s t r u c t i o n und Beweis» Buchst., wie zu Fall 1, Zus. Vermöge lib. I. loc. IV. Fall 4. Zus. 1. ist Piir eine andere « die Linien A B , E H , K D in den Punkten Z, W ? Y schneidende geratle Linie OY EW : GY>VG : GS also FZ : G Y ^ F L : GX (wie Fall 1. Zus. 1.) Es bestimme^ aj§9 (lig dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie K D kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte tl' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel äuf dieser Linie, so ist (vermöge lib. I. loc. IV. Fall 4* Zus. 2.), wenn die die Linien EH, AB in H', L' schneidende gerade Linie OX' gezogen wird» EH' : GX'=VG : GS also F L ' : G X ' = p : q,(wie Fall i . Zus. 2») 5

06

Buch

II.

Es ist mithin eine Linie OX' gefanden worden, welche von den Linien G E , F A Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 2., oder Fall 4. ist, je nachdem X' auf G l , oder E I fällt. 2.) auf I D ( F i g . 30 — 69.)» und z w a r , w e n n die der AB p a r a l l e l g e z o g e n e g e rade L i n i e OK d i e g e r a d e L i n i e I D - i n K schneidet, A.) in K. ( F i g . 30-39.)-

Fall

( L o c . II.)

i.

Die gesuchten Segmente sollen liegen auf den Linien GD, FA. (Fig. 30.) Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. V. Fall 1. reducirt. C o n s t r u c t i on. Man ziehe die gerade Linie O F , welche der I K in E'begegne, mache O K N # E H # A B , F N M # C D , N P = p , N Q = q , O M # P Q , M S # A B , bezeichne den Durchschnitt der Linien C D , M S mit S, beschreibe über KS als Durchmesser einen Kreis, mache U K S = K S T = R , U K = K E , T S = S G , ziehe T U , errichte in dem Durchschnitte R des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , welches der KD in X begegne, und ziehe OX, welche die IA in L schneide, so sind FL, G X die gesuchten Segmente.

Loc. IL

67

Beweis. Vermöge lib. I. loc. V. Fail 1. BeW. ist EH : GXs=OK : IGS |MN Auch ist FL : EH=FO : OE =NO : OK. also ist FL : GX=ON : NM = P N : NQ -

pjq Zus. 1. Vermöge lib. I. loc. V. Fall 1. Zus. 1. ist, für einft andere, die Linien E H , IA, S D in W, Z, Y schnei» dende gerade Linie OY, EW : G Y ^ O K : IGS |MN Nun ist FZ : EW=*FO : O E =NO:OK

Mithin bestimmen die dein Punkte I näher lie» genden Punkte der Linie S D kleinere Verhältnisse, als die entfernteren. Zus. 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte Ü' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf dieser Linie, welches der E K in X' begegne, so ist, wenn die Linie O X'gezogen wird, und mit H',L' die Durchschnittspunkte derselben mit E H , A B bezeichnet werden, (vermöge lib. I. loc, V. Fall 1. Zus* 2»)

«8

Buch

IL

E H ' : GX'=OK : IGS ¡MN Nun ist F L ' : EH'=FO : OE = N O : OK. also ist F L ' : £ X ' = O N : NM = p:q Es ist mithia auch eine gerade Linie O X ' gefunden, welche von den Linien F B , G l Segmente in-dein gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 2. ist. F a l l

2.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F B , KI. (Fig. 30.) Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., wenn man «laselbst H', I.', X' statt H , L., X setzt, also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. V. Fall 2. reducirt. Construction. Buchst., wie zu Fall 1., wenn man R', X» H' t L' statt R, X, H, L setzt. Beweis. Vermöge lib. I. loc. V. Fall 2. Bew. schneidet R'X' die Linie GE so, dafs E H ' : GX'=OK : GS also ist F L ' : G X ' = p : q (buchst., wie zu Fall 1. Zus. 2.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien GE, EH', F B in Y', W , Z' schneidende gerade Linie O Z ' ist (vermöge lib. I. loc. V. Fall 2. Zus. 1.)

ItOC.

69

II.

E W ' : GY' F 3 : Gy folglich bestimmen die dem Punkte X näher liegenden Punkte der Liuie E I größere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man (Fig. 44.) in d e m zweiten Durch-

schnitte R ' der Linie TU und des Kreises ein Perpendikel auf T U , welches die Linie I S in X ' schneide, so i s t , wenn die, die Linien E H , AB in H', L' schneidende gerade Linie O X ' gezogen wird, E H ' : G X ' = O K : GS (Üb. I. loc. VII. Fall 4. Zus. 2.) also F L ' : G X ' = p : q (wie üb. II. loc. I. Fall 1. Zus. 2.) folglich ist eine Linie gefunden, welche von den Linien F A , G C Segmente in dem gegebenen Verhält« nifse abschneidet, welches Fall 5. ist. ß ) E s sey E I < V G E . E K . (Fig. 44.)

JBuch

96

II.

Determination. Da vermöge' lib. 1. loc. VII. Fall 4. Det. G S = C,E-+-EK+2\/GE.EK werden rnnfs, so wird G S > G E 4 - E K + 2 E I also K S | > 2 K I 2Ka\

"" wenn K a = a S ,

folglich K a > K I . Damit der Punkt X auf E I falle, mufs also K I ^ K a — a X seyn. Nun ist K X . X S = E K . GS also mufs p : < j ^ F I : IG seyn (wie zu E I also G E . E K + E P > 2 V G E.EK.EI ( E l . n . 9. 7.) folglich G E . E K > C 2 \ / G E . E K - E I ) E I mithin IE : E K < G E :2>/GE.ER—EI somit . I E : E K J < I G E + E I ) : IEK+2VGE.EK-EI(Hanb.§.44) FI.OKi

\

Gl

1 / G E + E K . + 2 V GE.EK—IG

demnach F I : I G < O K : GE+EK-fW-GE-EK—IG also F I : I G < O K + F I : G E + E K + 2 V G E . E K ( H a u b . $ M . )

hoc.

Hl.

g7

folglich P : q ) < l O K - + - F I { : G E + E K + 2 V G E . E K V N : j N M j | j VN \

mithin G S > G E + E k + 2 V G t i i h K also schneidet der Kreis die Linie T U . Da ferner p : q ^ - F I s I G so ist K X ^ K I (wie zu «.) Auch ist E H : G X = O K : G S (lib. I. loc. VII.Fall4.Be\v.) also F L : GX=»p : q (wie lib.II. loc.I. Fall l.Bevv.) Z u s . 1. Macht man E C = V G E . E K , und zieht die, die Linien E H , IA in FT, X schneidende gerade Linie O e , so ist, wenn auch eine die Linien E H , E I , I F in W, Y , Z schneidende gerade Linie O Z gezogen wird, E W : G Y < E p : Ge (lib. I. loc. VII. Fall 4.Zus. 1.) also E W : E ( i i < G Y : Ge FZ ; folglich F Z : G Y < F J l : Ge mithin bestimmt der Punkt e ein grüfseres Verhältnifs, als jeder Punkt der Linie E I . Ferner ist, wenn X e > Y e (verm. desselben Zus.) EH : G X < E W : GY also E H : E W i < G X j G Y FL:FZJ

folglich F L : G X < F Z s GY

7

9»

Buch

11.

mithin bestimmen die dem Funkte I näher liegenden Punkte-der Linie Ee gröfsere Verhältuifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchst., wie a. Zus. 2. y.) Es sey EI>VGE.EK. (Fig. 44. 45. 46.) N.) Es sey p : q < O R + F I : GI+IK. (Fig. 440 Determination. Da p : q ) < l O K + F I i : GI+IK V N : j N M J | \ VN j so ist GS>GI+IK also KSj>2KI 2Kay

wenn Ka=aS

folglifch Ka>Kl Damit der Punkt X auf E I falle, mufs mithin KICj^Ka—«X werden. Nun ist KX.XS=EK. GS also mufs p : q ^ F l ; IG seyn (wie zu a.). Beweis. Es ist p : q l < l O K + F i ; : G I + I K ( p . h y p ) ON : jNMJ | j ON j also GS>IG1+IK /GE+EK+2EI

Loc.

Ill.

99

folglich G S > G E + E K + 2 V G E . E K mithin schneidet der Kreis die Linie T U . Feiner ist p : qZ.FI : IG also K I ~ K X (wie zu a.)

>

Auch ist EH : GX=OK : GS (lib. I. loc. VII. Fall 4.) also F L : G X = p : q (wie lib. IL loc. I. Fall 1. Bevv.) Z u s s i 1.2. Buchst., wie ß. Zuss. 1. 2 . , wenn nur e zwischen E , I genommen wird. 3.) Es sey p : q = O K + F I : G I + l K . (Fig.45.a.) B e w e is. Es ist pr: q ) = l O K + P l ) : Gl-t-IK ON:jNM|| j ON j also GS=Gl-»-IK = GE-+-EK-4-2EI folglich mithin schneidet der Kreis die Linie T U .

also K a = K I folglich fällt der Punkt X auf E I . Auch ist EH : G X = O K : GS (lib, L'loc. VII. Fall 4.) also FL ; G X = p : q Cwielib.II.loc.I.Falll.BewO

Buch

lOO

IL

Z u s s . 1. 2. Buchst., wie N. Zuss. 1. 2. i.) E s s e y p : q > O K + F I : G I + I K . (Fig. 45. b. 46.) Determiaation. Vermöge lib. I. loc. VII. Fall 4. Det. mufs seyn GS=GE+EK4-2V'GE.EK also V N : l G S n = J VN r G E + E R + a V GE.EK ¡NM} J j O K + F I p=q

) Beweis.

Es ist p : q) = l O K + F I i: G E + E K + 2 \ / G E . EK V N : | N M | | | VN \ folglich G S = G E + E K + 2 > / G E . E K mitliin berührt (Fig. 45. b.), oiler schneidet (Fig. 46.) der Kreis die Linie T U . Ferner ist p : q l > O K + F I : GI-t-IK ON : jNWTj j also G$ G E + E K + 2 V G E . EK. demnach schneidet der Kreis die Linie T U .

io6

Buch

IL

Da ferner p : q l < V N : G I + I K VN : GSJ so ist

GS>GIh-IK

also K S ) > 2 K I 2KaJ

wenn Ka=±=aS

folglich K a > K I mithin liegt der Punkt X auf I.C. Auch ist EH : G X = O K : GS (lib. I. loc. VII. Fall 4.) also F L : GX=,p:q (wie lib v II. loc.I. F a l l l . Bevv.) Zus.

1.

Macht man Ee=\/GE.EK, und zieht Oe, welche die Linien E H , I F in [ i , X schneide, so ist, wenn auch die, die Linien E H , I A , I S in W, Z, Y schneidende gerade Linie O Y gezogen wird, (verm. lib. I. loc. VII. Fall 4. Zus. 1.) EW : G Y < E f i : E«, also bestimmt (wie Fall 4. ß. Zus. 1.) der Punkt e ein gröfsercs Verhältnifs, als jeder Punkt der Linie I S. Auch ist, wenn X e > Y e , FLe G X < F Z : G Y (vermöge desselben Zus.), also bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie I S gröfsere Verhältuifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchst., wie a. Zus. 2. 3.) Es sey p:q = O K + F I : G I - t - l K . (Fig. 48. a.) Beweis.

Es ist EI>VGE.EK

Loc.

107

III.

also G S > G E + E K + 2 \ A } E . E K , (wie X. Bew.) folglich schneidet der Kreis die Linie T U . Da ferner p : q ) = I O K + F I J : G I + I K VNrjNMjj j VN \ so ist GS = G I + 1 K also K S ) = 2 K I 2Ka(

wenn K a = a S

folglich K « = K I mithin liegt der P u n k t X auf IQ. Auch ist EH : G X = O K : G S (Hb. I. loc. VII. Fall 4.) also F L : G X = P : q (wie lib.II.loc.I. Fall 1. Bew.) Zus.

1.

B u c h s t , w i e K* Zus. 1. Zus.

2.

Errichtet man in dein zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie E I in X ' so, dafs EH' : GX'=ÜK^: G S (lib.L loc. VII. Fall4.Zus.2.) also FL : G X ' = p : q (wie lib. II. loc.I. Fall l . Z u s , 2 . ) , ' welches Fall 4. ist. X) Es sey p : q > O K + F I : G I + I K . (Fig.48.b.) Determination. Da VN:

> 1 0 K + F I { : GI+IK VN

108

Buch so w i r d

11.

GS

inufs

Ka = ^ S G ;

OF:FE} V N : NG

: Gl.

¡MNi

folglich V N : N M J = I N G : G l P

: q

\

| F I : IG

Beweis. E s ist V g E . E K < E I

also G E . E K + E P > 2 E i V g E . E K ( E 1 . I i . 9.5.)

Loc.

III.

109

folglich GE.EK>EI(2>/GE.EK"— E I ) mithin I E : E K < G E : 2 V G E . E K - E I somit I E : E K i |NM| VN : 3SG) folglich VN : NMJ = ING1 : IG p:q | j'Pi | Beweis. Es ist E I = V G E . E R also GE.EK+EP=2ElVGE.EK folglich GE.EK=(2>/GE.EK—Eljie mithin IE : EK j = G E : 2V'gE.EK—EI FI : OKI = J G E + E l j :GE+EK+2\A>E.EK IG somit FI : I G = O K : GE-t-EK+2>/üE. EK—IG = lOK+FlJ : GE+EK+2VGE.EK

Loc. de

IV. V N : GE+EK+2VGE.EK.

folglich

GS-GE+EK+2VGE.EK

mithin berührt (Fig. 53.), oder schneidet (Fig. 54.) der Kreis die Linie T U . Da ferner p : q i ^ j FI ) : IG VN :NM\ ¡NG\ so ist VN : NG) = INMi : G l OF:FE> ¡SGi KI : I E ) also K I . I G ) ~ I E . S G KI(IK-KG){ folglich

l IE.SG J+IK.KG I jiIK-KE)SG\ j IK(SG-*-GK))-KE.SG [j IK.KS !

mithin iKSi-IK.KS+KI^i-KS 3 —KE.SG somit §KS—RI^AV|KS a —KE.SG

demnach £KS-aX) ~ K I KX j Auch ist EH s G X = O K : GS" (üb. I. loc. VI. Fall 4. B ew.) also F L : G X = p s q (wie lib JLIqc.1.Falli.Bew.)

1x8

Buch

11.

Z u s . i. Ftlr eine andere, In Fig.53. die Linien E I , E H , F I in Y , W , Z schneidende gerade Linie O Z ist E W : G Y C i E H : G X (lib. I. loc.Vl. Fall4. Zus. 1 ) I O K : GS Es ist aber F Z : E W = F O : O E =NV:VG also ist F Z : G Y < ( N V : IGS J ¡MN ( mitbin bestimmt der Punkt X ein gröfseres Verbal tnifs, als jeder andere Puukt der Linie E I . Ferner ist für eine andere, die Linien EH, E I , F I in 8 schneidende gerade Linie O i , wenn y X > X Y , EW : G Y > E 0 : Gy Es ist aber F Z : E W = F O : OE

=F8 : Eß

also ist F Z : G Y > F 5 : Gy mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie E I grüfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in Fig. 54. in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U eiu Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie I C s o , dafs, wenn die, die Linien EH, I A in H', L' schneidende gerade Linie O X ' gezogen wird, E H ' : G X ' = O K : GS (lib. I. loc. VI. Fall4. Zus.2.) also F L ' : G X ' = p : q (wie lib. II. loc. I. Fall l. Zus.2.)

hoc.

IV.

119

Es ist mithin eine Linie O X ' gefunden, welche von den Linien F A , GC Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 5. ist.

0 0 E« sey E I < V G E . E K . (Fig. 54.)

Determination. Da G S ^ G E + E K + a V G E . E R (lib. I. loc.VI. Fall 4> Det.) werden mufs, so wird GS^GE+EK-f-2EI also R S = l 2 ( K E + E l ) J 3K.I folglich R a ^ K I

wenn Ra==aS

mithin mufs RI^Ra—AX seyn. Nun ist RX.XS=»ER.GS also p : q ^ F I : IG (wie zu 2 E I > / G E . E K somit also I E : E K C G E : 2 > / G E . E R - L E I

I IG-GE

120

Buch

II.

folglich IE:EK) < l G E + E I 1 :GE+EK+2V , GE.EK.-IG PI:OKi j IG j mithin F I : I G < O K : GE+EK4-2VGE.ER - IG somit F I : IG G E + E K + 2 > / G E . E K mithin schneidet der Kreis die Linie T U . Da ferner p : q ^ F I : IG (Det.) $0 ist K X = R I (wie zu a.) Auch Ist EH : G X = O K : G S (lib.I.}oc.VI.Fall4. Bew.) also F L : G X = p : q (wie IIb.II.loc. I.Fall l.Bew.) Zus. 1. Macht man E e = V G E . E K , SO bestimmt (Iib.I. loc. VI. Fall 4. Zus.l.) dej Pankt e ein gröfseres Verhältnifs, als jeder Punkt der Linie E I » und jeder dein Punkte e näher liegende Punkt derselben ein gröfseres Ver» hältnifs, als der entferntere, welches bewiesen wird, wie lib. II. loc. III. Fall 4 Zus. 1. Z u s . 2. Buchst., wie a. Zus. 2. y.) Es s 1 VN I

josh

also GS>GI+IK folglich GS+GR;>2KJ 2Ka (

wenn R a = a S

mithin Ka>K.I Damit der Punkt X anf EI falle, mufs also seyn RI^Ka-aX folglich p: q p F I : IG (wie za «.). Es ist p :: q) q) )\ VN (j also' G S > j GI+IK.. KE+EO+2EI folglich GS>KJE+EG+2>/GE.EK mithin schneidet der Kreis die Linie T U . Ferner ist p: q * F I : IG (fDet)

>39

Buch I L

Auch Ist EH : GX=OK: GS (lib.I. loc. VI. Fall 4. Bew.) also F L s G X = p : q (wie Hb. II. loc. I. Fall 1. Bew.) Z u s s . 1. 2. Buchst., wie §. Zuss. 1. 2. 3.) Es sey p : q = O K + F I : GI+IK. (Fig. 55.) Beweis. Da P : q l = ( O K + F I 1 : GI+IK V N : (NMJ / l VN / ( GS I

po ist G S ~ i GI+IK. (KE+EG+2EI folglich G S > K E + E G + 2 > / K E . E G mithin schneidet der Kreis die Linie T U . Ferner ist SG+GK)=2KI 2Ka . ) wenn K a = a S also K«=KI demnach liegt der Punkt X auf E I . Auch ist EH : G X = O K : GS (lib.I. loc.VI. Fall4'.Bew.) also F L : G X = p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Bew.) Z u s s . 1. 2. Buchst., wie ß. Zuss. 1. 2.

X ) Es sey p : q > O K + F I : GI+IK. (Fig. 56.57.) Determination. Vermöge lib. I. loc. VI. Fall 4. Det. mufs G S = G E + E K + 2 V g E EK seyn

Loe.

IF.

ia3

also V N : I N M n = l VN i : G E + E K + 2 V G E . E K ' GS i f ¡OK+FI\ p:q Beweis. E s ist p : q j = } O OK K + F I {J : G E + E K + 2 V G E . E K VN:Gsi^i

V N

i

folglich G S = G E + E K + 2 V G E . E K mithin berührt (Fig. 5 6 . ) , oder schneidet (Fig. 57 ) der Kreis die Linie T U . Da ferner p : q ) > ^ O K + F I ) : G I + I K V N : G&\ j V N \ so ist G S < G I + I 5 . also G S + G K ) < 2 K I 2Ka (

wenn K a = a S

folglich K « < K I mithin liegt der Punkt X auf der Linie E I . Auch ist E H : G X ; = O K : G S (lib. I. loc. VI.FalI4.Bew.) also F L : GX=trp : q (wie lib. II. loc. I. Fall l.Bew.) Z u s . 1. Vermöge lib. I. loc. V I . Fall 4. Zus. i. -bestimmt in (Fig. 56.) der Punkt a, für welchen E a = V g e . e k , ein giüfseres Verhältnifs, als jeder andere Punkt der Linie E I , und jeder demselben näher liegende ein giofseres, als der entferntere, welches bewiesen wird, wie lib. II. loc. I i i . Fall 4. IE.GS -IG ( W KLIG somit K l : I E K = M SG j : Gl OF i F E J K * ¡MN! VN : j N G y

demnach VN : N M K = > F l : IG P:q Auch ist EH' s GX'=OK:GS (Iii?. I. Joe.Vi. Fall 4. Z.us.2.) also F L ' : GX'=psq (wie lib. II. loc. I. Fall 1.2us. 2 ) F a l l

5.

Die Segmente sollen liegen" aut den Linier P A , GC. (Fig. 53. 58-60.)

Loc.

ir.

12 5

An a l y s i s . Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. VI. Fall 4. reducirt. Construction. Buchst, wie zu lib. II. loc. I. Fall £. «.) Es sey EI=VGE.EK. (Fig. 53. 58.) Determination. Es mufs seyn GS=GE-4-EK+2VGEJEK (lib. I. loc.Vl. Fall4. Det.) also VN : {GS M " | V N ) : GE-f-EK+2VGE.EK, ¡WNU |OK+Fl-i p-q ) Beweis. Es ist p : = J O K + F I i : GE+EK.+aV'GE.EK VN : iNM) > | VN ( \Gs/) folglich G S ^ G E 4 - E K 4 - 2 \ / g E e K mithin berührt (Fig. 53.) f oder schneidet (Fig. 58.) der Kreis die Linie T U . Ueberdiefs da G S ^ G E + E K + 2 E I ist KS= ( 2 ( K E + E I ) l l 2KI J folglich K a ^ K I , wenn K a = a S folglich liegt der Punkt X auf I C ,

136

Buch

IL

Auch ist E H : G X = O K : G S (lib.I. loc.Vl. Fall 4. Bew.) also F L : G X = p : q (wie lib.II. loc. I.Fall 1. Bew.) Z u s . 1. Vermöge Hb. I. loc. VI. Fall 4. bestimmt in Fig. 53. der Punkt a , fiir welchen E a = V r e .EG, ein grüfseres Verhältnis, als jeder andere Punkt der Linie I S , und jeder dein Punkte I näher liegende derselben ein gröfseres, als der entferntere, welches bewiesen wird, wie üb. I I . loc. IV. Fall 4. «. Zus. 1. Z u s . 2. Der durch den anderen Durchschnitt R' in Fig. 5S. bestimmte Punkt X ' fällt zwischen E , I , oder in I, also zwischen Iv C ,

Hh

je nachdem KI< =

das heifst, da K X . X S W E K . G S Ra'l-aXn also a X = V i K S i - E K . G S je nachdem K l j ^ J j K S — V ^ R S » — E K . G S

mithin 5 K S ' - E K . G s | j J j K S a - I K . K S - H K I »

J

somit IR.KS i - E R . G S = IrI» lK(KG+GS)i }( j VN \ i GSJ) mithin

G S > G E + E K + 2 V GE. E k demnach schneidet der Kreis die Linie T U .

hoc.

IV.

129

Ferner ist VN : N M ) < O K + F I : GI+IK. OK-t-FI : GS I also GS>Gl-»-]K folglich K S > 2 K l mithin K a > K I wenn KA=AS demnach liegt de? Punkt X auf I C. Auch ist EH : GX=OK:GS(lib.I.loc.VI.Fall4.Bew.) also FL : G X = p : q (wielib.IUoc.I.Falll.Bew.) Z u s . 1. Macht man E E W G E . E K , SO bestimmt (üb.I. Joe. VI. Fall 4. Zus. 1 ) der Punkt e ein gröfscres Verhäitnifs, als jeder Punkt der Linie I S , und jeder deui Punkte e näher liegende Punkt derselben ein gröfseres, als V G E . ER SO ist G S > G E + E R + 2 V G O K (wieK.ßew.) also schneidet der Kreis die Linie T U . Ferner ist VN : NM) « Ö K + F I : G I + I K O K + F I : GS \

9

i5o

Buch

IL

also GS = GI-4-IK folglich K S = 2 K I mithin Kot=KI wenn K a = a S demnach liegt der Punkt X auf I S . Auch ist EH : G X = O K : G S (Üb. I. Ioc. VI. Fall 4, Bew.) also F L : GX«=p:q (wie üb. II. Ioc. J. Fall 1. Bew.) Z u s . 1. Buchst., wie X. Zus. 1. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so ist, wenn die, die Linien E H , F I in H', L' schneidende gerade Linie O L' gezogen wird, E H ' : G X ' = V G r GS (Üb. I. Ioc. VI. Fall 4. Zus.2.) also F L ' : G X ' = p : q (wie üb. II. Ioc. I. Fall 1. Bew.), welches Fall 4. ist. i.) Es sey p : q > O K . + F I : G I + I K . (Fig.GO.) Detevuiina tion. Da p r q ) > O K 4 - F I : G I + I K VN:NMV OK+1T : GS ) also G S < G I + I K folglich KS 2 E l V G E E K folglich GE.EK>EI(aVGE.EK—EI) nithin IE : E K < G E : 2VGE.EK-i E l l IG-GE

i3a

Buch

II.

somit IE: EK1 < l GE-t-EI): GE-t-EK-tWGEJEK-IG FLORj j IG i demnach F I : 1GCOK : GE-t-EK+2VGE.EK—IG also FI : I G < O K + F I : G E + E K + W g E . E K folglich p : q} j VN j \ G S I) somit mithin schneidet der Kreis die Linie TU. Ferner ist p : q^FI : IG also KI^KX,

wie leicht aus der

Analysis erhellet. Auch ist EH : GX=OK : GS (Hb. I.loc. VI.Fall 4.Bew.) also F L : GX=sp:q (wielib.II.loc.1.Falll.Bevv. Zus. 1. Buchst, wie tf. Zus. 1. Zus. 2. Buchst., wie 3. Zus. 2. b.) auf der Linie IE. (Fig, 61 — 65.). (Loc. V.) Fall

I.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F A, GC. (Fig. 61.)

Loc.

V,

i53

Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc.I. F a l l l . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. IV. Fall 1. reducirt. Construction. Buchst., w i e zu lib. II. loc. I. Fall 1, D e t e r in i n a t i o n. Da (lib. I. loc. IV. Fall 1. Zus. 20 die durch beide Durchschnittspunkte des Kreises und der Linie T U bestimmten Punkte X , X' auf verschiedenen Seiten des Punktes E liegen, so rnufs, damit X auf I C falle, KF~[.Ka+aX seyn, wenn K«=oS, Es 1st aber K X . X S i = E K G S Ka») _ a x a j SKS'i also aX=V¿KS J — EK.GS folglich mufs seyn KI=|KS W^KS*—EK.GS inilhia Kl 2 —IK.KS+$KS J^£KS2—EK.GS somit K P I K . KS J —EK. GS IK(KG+GS)i l(IK-KE)Gsj+1K.KG IE. GS demnach KI(IK-KG)J =IE. GS Kl.IG \

Buch

i54

11.

folglich VN : N M ) = F I : I G P

:

q

i Beweis.

E s ist p : q ^ F I : I G (Det.) also K I ^ K X ,

wie aus der Deter-

mination leicht erhellet. Ferner ist £ H : G X = O K : G S (iib.I.loc.lV,FalI l . B e w . ) also F L : G X = p : q (wie Hb.II.Ioc.I.FalHLBew.) Z u s . 1. F ü r eine andere, die Linien E H , I A , I S in W , Z , Y schneidende gerade Linie O Y ist E W : G Y > V G : GS ( l i b . I . l o c . l V . F a l l l . Z u s . 1 . ) a l s o l s t F Z : G Y ^ p : q (wie l i b . I I . l o c . I . F a l l i . Z n s . 1 . ) folglich bestimuien die dein Punkte I näher liegenden Punkte der Linie I S gröfsere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R ' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe (Üb. I. l o c . l V i F a l l l.Zus.2.) die Linie E R in dem Punkte X ' 6 0 , dafs, wenn die, die Linien E H , F B in H', L' schneidende gerade Linie O L' gezogen wird, EH' : G X ' = O K : GS (Hb. I . loc. IV. Fall 1. Zus.2.) also F L ' : GX'=«p : q (wie Üb.II. loc.I. Fall l . Bew.) mithin ist eine Linip O X ' gefunden, welche von den Linien F B , G D Segmente in dein-gegebenen Verliältnifse abschneidet, welches! Fall 4. ist.

hoc. F a l l

K.

i35

2.

Die Segmente sollepi liegen auf den Linien F I , IG. (Fig.6a.) Analysis. Buchst., wie zu lib.II. loc.I. F a l l l . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. IV. Fall 1. reducirt. Const r u c t i o n . Buchst., -wie zu lib. II. loc. I. Fall 1. Deterns ination. Da (lib. I. loc. IV. Fall i. Zus. 2 ) die durch beide Duichsclinittspunkte des Kreises und der geraden Linie T U bestimmten P u n k t e X, X' auf verschiedenen Seiten des Punktes E liegen, so wufs, damit X anf G l falle, seyn K I ^ K a + a X ,

wenn K.a=saS.

Es ist aber KX.XS)=EK.GS Ka^-aX'S iKS^ also aX=>/JKS 2 —EK.GS folglich mufs seyn K J ^ K a + a X also p : q ^ F l : IG (wie zu Fall 1.) B eweis. Es ist p : q = F I : IG (Det.) also K I ^ K X , Determination erhellet.

wie leicht aus der

i56

Buch

11.

Ferner ist E H i G X = O K : G S (lib.Lloc.lV.Falll.Bew.) also F L : G X = p : q (wie Üb. I I loc.I. Fall 1. Bew.) Z u s . 1. F ü r eine andere, die Linien E H , G l , I F in W , Y, Z schneidende gerade Linie O Z ist E W : G Y > V G : GS also ist F Z : G Y ^ p : q (wie l i b . I I . l o c . I . F a l l l . Z u s . 1 ) folglich bestimmen die dem P u n k t e I näher liegenden P u n k t e der Linie E I kleinere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchst., wie Fall 1. Zus. 2.

F a l l

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , GK. (Flg. 63.) Analysis. Buchst., wie zu Üb.II. loc.I. F a l l l . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc.IV. Fall 2. reducirt. Construction. Buchst., wie zu Üb. II. loc.I. Fall 1. Beweis. E s ist EH : G X = O K : GS (lib. I . Ioc. IV. Fall 2. Bew.) also F L : G X = p : q (wie lib. II. ioc. I. Fall 1. Bew.) Z u s . 1. F ü r eine andere, die Linien E H , E G , F l in W f Y, Z schneidende gerade Linie O Z ist

Loc.

V.

1S7

EW : G Y ^ V G : GS also ist FZ : G Y ^ p : q (wielib.II.loc.I.FaUl.Zus.1.) folglich bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie G E giöfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die verlängerte 1K in einem Punkte X' so, dafs, \v?nn die, die Linien EH, 1A in H', L' schneidende gerade Linie O X ' gezogen wird, E H ' : GX'=VG : GS (lib.I.loc.IV.FaH2.Zus.2.) also F L ' : G X ' = p : q (wie lib.II. loc.I.Fall L Z u s . 2 . ) Es ist mithin eine Linie O X ' gefunden, welche von den Linien F A , GD Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 5. ist.

Fall

4.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F B , GD. (Fig.64.) Analysls. Buchst., wie zu lib.II. loc.I. Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib, I. loc. IV. Fall 3. reducirt. Cons tructiou. Buchst., wie zu lib.II. loc.1. Fall 1. Beweis. Es ist EH : G X = V G : GS (lib.I. loc.IV. Fall 3.) aho FL : G X = p : q (wie lib. II. loc.1. Fall 1. Bew.)

Buch

»38

IL

Z u s . 1. Für eine andere, die Linien E K , E H , F B in Y, W, Z schneidende gerade Linie O Z ist E W : GYVG:GS(lib.I.loc.IV.Fall4,Zus.l.) also auch F Z : GY^|>:q (wie lib. II. loc. I. Fall i . Zus. 1.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden P u n k t e der Linie K D kleinere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dein zweiten Durchschnitte R' der Linie T U und des Kreises ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie G E in einein P u n k t e X' s o , dafs, w e n n die, die Linien E H , F I in H ' , L' schneiden.de gerade Linie O X ' gezogen wird, E H ' : G X ' = O K . : G S (lib.I. loc.IV. Fall4.Zus.2.) also F L ' : G X ' = p ; q (wie lib.II. loc.I. F a l l t . Bew.) folglich ist eine Linie O X ' gefunden, welche v o n den Linien F I , G R Segmente in dem gegebenen Verhältnisse abschneidet, welches Fall3. ist,

(Loc.

c.) i n d e m P u n k t e E. ( F i g . 66 — 69. VI.)

i4o

Buch

IL

Fall

i

Die Segmente sollen liegen auf den Liniän F A , GC. (Fig. 66.) Analysis. Es sey LX eile gesuchte Linie. Zieht man A B, welche der geraden Linie O X in H begegne, so ist FL : EH—FO: OE, also ist das Verhältnifs F L : E H gegeben. Da auch das Verhältnifs FL : GX gegeben ist, so ist das Verhältnifs EH : GX gegeben, folglich die Aufgabe auf Üb. I. loc. III. Fall 1. reducirt. Construction. Man ziehe O F , O K # A B # V G N , O V # C D # F N , mache N P = p , N Q = q , ziehe V M # P Q , MS#AB, O X # V S , so sind F L , GX die gesuchten Segmente. D e t e r m i n a t ion. Da KXcKXwerden soll, so mufs seyn OKrKXi ~ OK:KI HG:GX( D a aber FL : G H = F O : OE = N V : IVG ¡OK so mufs seyn FL : GX NV : KI I ^ O K + F I : IK p :q B e w eeiiss.. E s ist p : q VN : NM also MN; = KJ GS \

: IR (Det.)

Loc.

ri.

folglich VG : G S l = O K : KI HG : G x i OK:KX) mithin K X = K I Ferner ist HG : G X = O K : GS FL : G H = F O : O G =NV:VG also F L : G X = N V : IGS |mn =» p : q Zus. Für eine andere, die ü n i e n E H , I A , I S in W, Z, Y schneidende gerade Linie ist WG : G Y > V G : GS (üb. I. loc. III. Fall 1. Zus.) also FZ : G Y > p : q ( w i e lib. II. loc. I. Fall 1. Zus. 1.) mithin bestimmen die dem P u n k t e I näher liegenden P u n k t e der Linie I S gröfsere Verliältnifse, als die entfernteren.

F a l l

2.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , IG. (Fig.67.) Analysis. Buchst., w i e zu Fall 1 . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. III. Fall 1. reclucirt. Construction. Buchst., w i e zu Fall 1.

Buck

II

Determination. Damit g X ^ K I w^rde, mufs seyo OK:KX;=OK:KI HG:GX( Da F L : GHs=FO :' O E t=NV i }VG ¡OK so mufs F L : G j O ^ i N V ! K l seyn psq PlOK+FI:lK Damit K X > K E werde, mufs seyn V G : G S < O K : K E (lib.Lloc.UI.Falli.Det) also G S > K E .E

Es ist p : q K v f* ffO OK K++FFIIll : IK V N :: N M M/f f {j VN J also JVTN|=KI GS I folglich

OK : KI

mithin K X ~ K I

Loc.

VI.

i45

Ferner 1st p : q l < ( O K + F I / : K.E VN : NM J i VN j also M t t > K E folglich OK> : iMNl i < 0 K : K.E VG» i G S i j mithin KX>K.E Auch ist EH: G X = O K : GS (lib.I. loc.III. Falll.Bew.) also F L ; G X = p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Bew.) Zus. Für eine andere, die Linien E H , E I , I F i n W , Y , Z schneidende gerade Linie O Z ist WG: GY> VG : GS (lib. I. loc. III. Fall 1. Zus.) also FZ : GY>p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Zus. 1.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegeöden Funkte der Linie E I kleinere Verhältnifse> als die entfernteren.

F a l l

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien FBj GK. (Fig. 68.) Analysis. Buchst., wie zu Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib. 1. loc. III. Fall 2. reducirt. Construction. Buchst,, wie zu Fall 1.

144

Buch

IL

Determination. Damit der Punkt X zwischen K, G liege, mufs seyn O K : G S > O K ^ K G (lib.l. Ipc.III.Fall2.Det.) also GS1CKG MN folglich V N ; N M | > O K + F I : KG Beweis. Es ist p : q ) > O K + F I : KG

folglich GS O K : KG somit KX >JPG:GQ i

p=q

Loc.

rii.

U7

Z u s . 1. Für eine andere, die Linien G D , F A in I , Z schneidende gerade Linie OY ist F Z > F L , GY F L : GX folglich bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie G D gröfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Zieht man durch den zweiten Durchschnitt T des Uber I H beschriebenen Kreises mit TK. eine, die Linie C D in X' schneidende, mit R Q parallele Linie, so liegt X' zwischen G, I, oder in I, oder zwischen I , C , je nachdem KX'KI

also T K : K X ' | = | t ' K : KI

folglich T'K a : K X ' J / i i l i \ T'K 1 ) : KI» p:q ¡( V G : GS (lib. I. loc. VI. Fali 2. Zus. 1.) also FZ : GY>p:q (wie lib. II. loc. IV. Fall 2.Zus.l.) mithin bestimmt der Halbirungspunkt X von K S , ftir welchen E X = V K E . EG , ein kleineres Verhältn i s , als jeder andere Fuukt der Linie K S.

Loc.

X1L

169

Anch ist für eine, die Linien GK, E H , F A fn y, ß, $ schneidende gerade Linie O § , wenn y X > X Y , (vermöge desselben 'Zusatzes) Ep:Gr>EW:GY also F i : GjC> F Z: GY (wie lib.II. loc.IV. Fall2.Zus.l.) mithin bestimmen die dem Halbirungspunkte von RS näher liegenden Funkte kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in Fig. 87. in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie KG (verm. lib. I. loc. VI. Fall 2. Zus. 2.) so, dafs, wenn die, die Linien E H , F A in H', L' schneidende geradfe Linie OX' gezogen wird, EH': GX'=VG : GS also FL': GX'= p: q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Zus- 2.) mithin ist eine zweite Linie OX' gefunden, welche von den gegebenen Linien Segmente in dem gegebeuen Verhältnifse abschneidet,

Fall

4.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien FA, GD. (Fig. 85.) A n a 1 y s i s. Buchst., wie zu lib.II, loc.I. Fall 1., wenn man II', X', L' statt H, X, L setzt, also ist die Aufgabe auf lib. I. loc, VI. Fall 3. reducirt. Construction. Buchet., wie zu lib.II. loc. I. Fall 1., wenn man H',X', R', L' statt H, X, R, L setzt.

Buch

170

II.

Beweis. Es ist E H ' : G X ' ^ V G : GS (Üb. I. loc. VI. Fall 3.) also FL': G X ' ~

p: q (wie lib.II,loc.I. Falll.Zus.2.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien E H , E G , F A i n W , Y', Z' schneidende gerade Linie OY' ist E W ' : GY'>VG:GS (lib. I. loc. VI. Fall 3. Zus. 1.) also FZ' : G Y ' > p : q (wielib.II.loc.IV.Fall3..Zus. 1.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie E G grofsere Verllältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R des Kreises und der'Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie K C zwischen I, C, oder in I , oder zwischen K, I , Je nachdem K I

KX

oder, da KX.XS=EK.GS folglich «X=V|KS5-EK.GS, w e n n K o = « S

Auch ist EH : G X = V G : G S (lib.I. loc.VI.Fall3.Zus.2.) also FL : G X = P : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Bew.)

hoc.

XII.

171

mithin ist eine Linie O X gefunden, welche von den Linien F I , G C , oder F B , G I Segmente vin dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 1 . , Oder Fall % ist.

F a l l

5.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F Z , G D . (Fig. 88.89.) Analysis. Buchst., wie zu lib. I I . loe. I. Fall 1 . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loe. VI. Fall 4. reducirt. Construction, B u c h s t , wie zu lib. I I . loe. I. Fall 1. D e t e r m i n a t i on. Vermöge lib. I. loe. VI. Fall 4. Det. muís seyn

gs~ge+ekWg£ek also VN : l GS n = } VN ) : G E + E K + 2 V G E . E K . |NM( > /FI—OK\

p 5q

)

Beweis.

E s ist p : qJ = I F I - O K ) : G E + E K + 2 V G E . E & VN : G s ( | VN \ folglich G S = G E + E K + 2 n / ü E . E K . mithin berührt (Fig. 88.), der Kreis die Linie T U .

oder schneidet (Fig. 890

Ferner is»t E H ; G X = O K : GS (lib. I. loc. VI. Fall 4.) also F L : G X = p : q

(wielib.II.loc.I.Falll.B^w.)

Buch

IL

Z u s . 1. Für eine andere, in Fig. 88. die Linien E S , EH, F I in Y, W, Z schneidende gerade Linie OY ist EW : C Y < V G : GS (lib.I. loc. VI. Fall 4. Zus.l.) also FZ .- G Y < p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Zus. 1.) mithin bestimmt der Punkt X , für welchen E X = y / ö K JbK, ein gröfseres Verliältnifs, als jeder andere Punkt der Linie E S . Für eine, die Linien E S , E H , F I in y , S schneidende gerade Linie Oj- ist, wenn y X > X Y , (verm. desselben Zusatzes) E£J : G r < E W : GY also F i : G y < F Z : G Y (wie lib. II. loc. III. Fall 4. Zus.l.) mithin bestimmen die dem Punkte X näher liegenden Punkte größere Verhältnisse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in Fig. 89- in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie E S in einem Punkte X ' , s o , dafs, wenn die, die Linien E H , F I in H', L' schneidende gerade Linie OX' gezogen wird, E H ' : G X ' Ä V G : G S (lib. I . loc. V I . Fall 4. Zus. 2.) also FL' : GX'=p : q (wie lib. II. loc.I. F a l l l . Zus. 2.) Es ist mithin eine zweite Linie gefunden, welche von den gegebenen Linien Segmente iu dem gegebenen Verhaltnifse abschneidet. y.) a u f d e r V e r l ä n g e r u n g ( F i g . 90 — 92.) ( L o c . XIII.)

von

KE.

Loc.

Fall

Xlll.

i?5

i.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , G D . (Fig. 90.) Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., als» ist die Aufgabe auf lib. I. loc. IV. Fall 1. reducirt. C o n s t r u c t ion. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1. Beweis. Es ist EH : G X = V G : GS (lib-1. loc. IV. Fall 1.) also FL : G X = p : q (wie lib. II. loc.I. Fall l.Bew.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien G S , KH, F l in Y, W, Z schneidende gerade Linie OY ist EW : G Y > V G : G S (lib.I. loc. IV. Fall 1. Zus.l.) also FZ : G Y > p : q (wie lib. II. loc.I.Fall 1. Zus.l.) mithin bestimmen die dein Punkte I näher liegen* den Punkte der Linie G S gröfsere Verhaltnifce, als V G : GS (lib.I. loc.IV. Fall2. Zus.l.) also F Z : G Y ^ p : q (wie lib.II. loc. I. F a l l l . Bew.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie E G kleinere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf

Loc.

Xlll

T U J so fallt der Durchschnitt X' desselben m i t der Linie K C zwischen K., I , oder auf 1, od«r z w i sehen I, C, jo nachdem K. I öder, Je nachdem p : q

K.X' FI: IG, wie aus Fall 4.

und Fall 5. erhellet. Und es ist, wenn die, die Linien E H , I B in H',L' schneidende gerade Linie O X ' gezogen wird, EH': G X ' = V G : G S (lib.I. loc.lV. Fall 2. Zus.2.) also F L ' : G X ' = p : q (wie lib. II.loc. I.Fall 1. Zus.2.) mithin ist eine Linie O X' gefanden, welche von den Linien F B , G l , oder F I , G C Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 4., oder Fall 5. ist.

F a l l

3.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F A , G l . (Fig. 90.) Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., wenn man daselbst L', X', H' statt L , X , H setzt, also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. IV. Fall 3. reducirt, C o n s t r u e t i on. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., w e n n man daselbst R', X ' , H', L' statt R, X, H, L setzt. Beweis. Es ist E H ' : G X ' = O K . : GS (lib. I. loc. IV. Fall 3.) also F L ' : G X ' = P : q (wie lib.II.loc. I. Fall 1. Zus.2.)

Buch

IL

7, u s .

1.

Für eine andere, die Linien E H , K E , F A in Y' W', Z' schneidende gerade Linie O Y ' ist E W ' : G Y > V G : GS (lib. I. Joe. I V . Fall 3.) also F Z ' : G Y > p : q (wie lib. I I . loc.I. F a l l l . Z u s . l . ) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegende» Punkte der Linie K E gröfsere Verliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R. des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie G D in dem Punkte X s o , dafs, wenn die, die Linien E H , F I in H , L schneidende gerade Linie O X gezogen wird, EH : G X = V G : GS (lib. I. loc.IV. Fall 3. Zus.2.) also F L : G X = p : q (wie lib. I I . loc.I. Fall 1. B e w . ) mithin ist eine Linie O X gefunden, welche von den Linien F I , G D Segmente in dein gegebenen Verliältnifse abschneidet, welches F a l l l , ist.

F a l l Gl.

4.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien (Fig.910 Analysis.

FB,

Buchst., wie zu Fall 3 . , also ist die Aufgabe auf lib. I. l o c . I V . Fall 3. reducirt. Construction. Buchstäblich,

wie zu F a l l 3,

Loc.

XIII.

»77

D e t e rm i u a t i o n. Damit X' auf K l liege, mufs KI~KX' seyn. Nun ist KX'.X'S) =EK.GS aX'2—I aK2

\)

wenn Ka=a

also «X'=ViKS'-hJEK.GS folglich mufs seyn

V|KS 2 +EK.GS- |KS

mithin K I'-t-IK. KS+JKS3.T J KSa-t-EK.GS somit KI 2 =

also

EK.GS—IK'.KS EK.GS-IK.KG+IK.GS IE.GS—IK.KG

: Gl

1

folglich VN : NMJ = ING : Gl p:q j ¡FI:IG Beweis. Es ist p : q = F I : IG (Det.) also KJ^KX', wie leicht aus der Determination hervorgehet 12

178

Buch

II.

Auch ist EH' : G X ' = V G : GS C»b. I. loc.IV. Fall«.) also F L ' : G X ' - p : q (wielib.II.loc.I.Falll.Zus.2) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien K I , I ß , E l l In V , U , W schneidende gerade Linie O Y ' ist E W : G Y ' J V G . G S (lib. I. lop. IV. Fall 4. Zus.l.) also F Z ' t G Y ' ^ p i q (wielib.H.loc.IV.Fall3.Zus.l.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie K I giofsere Veiliältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe (verm. lib.-l. loc.IV.FaH4. Zus. 2.) die Linie G E in dem Punkte X s o , dafs, vvenn die, die Linien E H , F I io H , L schneidende gerade Linie O X gezogen wird, EH:GX = VG:GS also F L : G X = p : q (wie üb.II. loc. I. Fall 1. Bew.) mithin ist eine Linie O X gefunden, welche von den Linien F I , G E Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 2. ist.

F a l l GC.

5.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , (Fig. 92.)

Loe.

XIII.

179

Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc.I. Falll., also ist ditt Aufgabe auf lib. I. loc.1V. Fall 4. reilucirt. Construction. Buchst., wie zu lib. II. loc.I. Fäll i. Determination. Damit tier Punkt X auf IC liege, mufs Ki^KX seyri; Nun ist KX.XS ) =EBLGS aX?— \ aK1 also ttX=i=VjKS'+EK.G3 folglich mufs seyn Kl~.V|KS2-t-EK.GS-JK.S tnilhin KJ5+IK.KS-+-|KS^|KS3-t-EK.GS somit K l 3 = i EK.GS— I IK.KS |lK(KG—GSJ 'IE.GS—1K.K.G demnach KI(IK+KG)| "IE.GS KI.1G ( also K l : = l SG ) : Gl OF : FE> j-NIN\ VN:NGi folglich VN :NlVIiJlNG : Gl p : q | | F I : IQ

i8»

Buch

IL

Beweis. E« ist p : q ^ F I : IG also R I ^ K X ,

wie leicht aus der

Determination erhellet. Auch ist EH : GX=sOK : GS (Iib.I. loc.IV. Fall 4.) folglich F L : G X = p : q (wie lib.II.loc.I.Falll.Bew.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien I C y I F , E H in Y, Z , W schneidende gerade Linie O Y ist E W : G Y > V G : GS (Üb. I. loc. IV. Fall 4. Zus. 1.) also F Z : G Y > p : q (wie Hb. II. loc.I. F a l l l . Zus.l.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Funkte der Linie I C kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchst., wie Fall 4. Zus. 2., wenn man R', X', H', U statt R , X, H, L setzt.

(Loc.

c.) a u f d e r XIV.)

L i n i e KI.

Fall

( F i g . 93 — 98.)

i.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , GC. (Fig. 930 Analysis. Buchst., w i e zu lib;II. loc. I. Fall 1., also ist die Aufgabe auf Üb. I . loc. VII. Fall 1. reduci«.

Loc.

XiP.

181

Construction. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1. Determination. Damit der Punkt X auf I C liege, mufs KI^KXseyn. Nun ist K X . X S ) = E K , G S wenn Kot—aS aX 1 — I «K2 \ > *KS 3 I also «X=\/jRSJh-HK.GS folglich mufs seyn K l ^ j K S + V ^ K S i - t - E K . G S mithin K I ' - I K . K S + J K S 5 = i K S J + E R . G S somit K I ' = i E K . G S + l I K . K . S < jlK.(KG+GS) (EI. G S+IK.K.G demnach K I ( I K - K G ) ! = E I . G S KI. I G j also K I : I E ) < } S G > s Gl OF : FE> ¡MN! VN:NG) folglich V N : N M i ~ I N G : Gl p:q

j

(FI:IG

Beweis. E s ist p : q ^ F I : IG (Det.) also K I = K X , wie leicht aus der Determination hervorgehet.

Buch

II.

Auch Ist EH : G X = O K : GS (lib. I. loc, VII. Fall 1.) also FL : G X = p : q (wie Hb;II. loc. I. Fall l.Bew.) Z u s . 1. F ü r eine andere, die Linien C I , I F , E I I in Y* Z, W schneidende gerade Linie O Y ist E W : G Y ^ V G : GS (lib.I. loc. VII. Fall 1. Zus.l.) also F Z : G Y > p : q (wie lib. II. loc.I. F a l l l . Zus.l.) mithin bestimuitm die dem Punkte I näher liegenden Funkte der Linie I C grofsere Verhältuifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in. deui zweiten Durchschnitte R' des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe die Linie K E in X' so, tlafs, wenn die, die Linien EH, FA in IJ', L' schnei« dende gerade Liuie O X ' gezogen wird, E H ' : GX'=VG : GS (lib.I. loc.VII. Fall 1. Zus.2.) ?>lso F L ' : G X ' = p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Zus. 2.) mithin ist eine Linie OX' gefunden, welche von den Linien F A , G D Segmente in dem gegebeneu Verhältuifse abschneidet, welches Fall 4. i s t

Fall

2.

Die Segmente 6ollen liegen auf den Linien F ß , Gl. (Fig. 94.) Analysis. Construction. Buchst., wie t u Fall 1.

Loc.

XI

r.

183

Determination. D a m i t der P u n k t X auf Gi liege, uaufs K I ^ K X «eyn. Nun ist K X . X S = EK.CiS also K a = V f I v S 2 - i - E K . G S wenn R a = a S folglich mufs seyn K L ^ ^ K S - t - V ¿ K S ' ^ + E K . G S ' also p : q ^ F I ; I G , hellet

w i e leicht

er-

Bevveis. E » ist p : q = F I : I G also K I ^ K X ,

(Det.)

w i e aus der Deter-

initiation leicht hervorgehet. Auch ist E H : G X = V G : G S (lib. I. loc, V I I . F a l l l . ) also F L : G X = p : q (wie l i b . I I . loc. I. F a l l l . B e w . ) Zus.

1.

F ü r eine a n d e r e , die Linien G I , 1 B , E H

in Y ,

Z , W schneidende gerade Linie O Y ist E W : G i > V G ; G S (lib.I. loc. V I I . Fall 1. Z u s . l ) also F Z : G \ >

p : q (wie lib. I I . loc J . F a l l 1. Zus.l.)

mithin bestimmen die dem P u n k t e I naher liegenden P u n k t e der Linie I G kleinere V e r h ä l t n i f s e , als die entfernteren. Zus. Buchst.,

2.

w i e Fall 1. Zus. 2.

Buch

184

11:

Fall

3.

Die Segmente sollen liegen auf detv Linien F B , GK. (Fig. 95. 96.) Analysis. Buchst., wie zu Üb.II. loc. I. Fall 1., also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. VII. Fall 2. reducirt. Construction. Buchst., wie zu Üb. II. loc. I. Fall 1. Determination. Vermöge lib. I. loc. VII, Fall 2. Det. mufs seyn GS=GE+EK—2\/GE.EK also VN : l GS M = l VN ; : G E + E K - 2 V G E . E R . |NM| | |FI—OK( P: q

)

Beweis.

Es ist p : q j = l F I - O K ; : G E + E K - 2 V G E . E K VN:GS\ j VN \ also G S = G E - + - E K - 2 V g e T e K mithin berührt (Fig. 95.), oder schneidet (Fig. 96.) der Kreis die Linie T U . Ferner ist E H : G X = O K : GS (lib. I. loc. VII. Fall 2.) also FL : G X = p : q (wie lib.II. loc.I.Fall i.Bew.) Z u s . 1. Für eine andere, in Fig. 95. die Linien K S , I B , E H in Y, Z, W schneidende gerade Linie OY ist

Loc.

X1K

18 5

E W : GYaY , und d i e , die Linien 1B, E H in E W : GY (lib. I. loc. Vi. Fall 2.Zus. 1.) also FS : G y > F Z : G Y (wielib.lI.loc.IV.Fall2Zus.l.) mithin bestimmen die dem P u n k t e a näher liegenden P u n k t e der Linie G K kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. D e r zweite Durchschuitt Fi' (Fig. 101.) des Kreises Und der Linie T U bestimmt (verin. lib. I. loc.-VI. Fall 2. Zus. 2.) eine zweite Linie O X ' mit der gegebenen Eigenschaft' F a l l 3. Die Segmente sollen liegen auf den Linien F B , Gl. (Fig. 9 9 )

iga

Buch

IL

A n a 1 ys i s. Buchst., wie zu lib.II. loc.I. Fall 1., wenn man H', X', L' statt H, X, L setzt, also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. VI. Fall 3. reducirt. Construction. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1., wenn man R ' , X ' , H ' , L ' statt R, X, H, L setzt D e t e r m ina ti on. Damit der Punkt X' auf Gl falle, mufs K I ^ K X ' seyn. Nu =EK.GS

somit oX'=VJKS' , +EK.GS mithin mufs seyn KI-ViKS^+EK.GS—JKS also KI'+IK.KS4-|KS J =iK.Sa+EK.GS

>

Lac.

X.

igS

demnach VN : NM{ ~ }NG; : IG p:q t I FI ( Beweis. Es ist P : q J F I : IG (Det.) also F I ^ K X ' ,

tvie aus der Deter-

mination leicht hervorgehet. Fernerist£H': G X ' = V G : G S (lib. I. Ioc. VI. Fall 3.) also F L ' : G X ' = p : q (wie lib.ll. loc.I. Fall 1. Zus.2.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien G l , I B , E H in Y', TJ, W schneidende gerade Linie O Y ' ist EH': G X > V G : GS (lib.I. Ioc. VI. Fall 3. Zus.l.) also F L ' : G X ' > P : q (wie lib. I I . Ioc. I. Fall 3. Zus. 1.) mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie I G kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte R des Kreises und der Linie T U ein Perpendikel auf T U , so schneidet dasselbe (verm. lib.I. Ioc.VI.Fäll3. Zus. 2.) die Linie K D in dem Punkte X s o , dafs, wenn die, die Linien F A , E H in L , H schneidende gerade Linie O X gezogen wird, E l l : G X = V G : GS also F L : G X = p : q (wie lib. J I . loc.I. Fall 1. Bew.) mithin ist eine Linie O X gefunden, welche von den Linien F A , G D Segmente in dem gegebenen Verhältnifse abschneidet, welches Fall 1. ist. 13

ig4

Buch

II.

F a l l

4.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F I , GC. (Fig. 102.) Analysis. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. F a l l l . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. VI. Fall 3. reducirt. Construction. Buchst., wie zu lib. II. loc. I. Fall 1. Determination. Damit der Punkt X auf I E falle, mufs K I ^ K X seyn. Nun ist KX.XS=EK.GS also mufs seyn p : q ^ F l : IG , wie aus Fall 3« Det. leicht erhellet. Beweis. Es ist p : q = F I : IG (Det.) also K I ^ K X , wie ans der Determination leicht hervorgehet. Femer ist E H : G X = O K : GS (lib. I. loc. VI. Fall 3.) also F L : G X = p : q (wie lib.II. loc. I. Fall 1. Bew.) Z u s . 1. Für eine andere, die Linien E I , I A , E H i n Y , Z , W Schneidende gerade Linie O Y ist E W : G Y > V G : GS (lib. I. loc. VI. Fall 3. Zus. 1.) also FZ : G Y > p : q (wie lib. II. loc. I. Fall 1. Zus. 1.)

Loc.

X.

mithin bestimmen die dem Punkte I näher liegenden Punkte der Linie I E grüfsere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Buchst., wie Fall 3. Zus. 2 . , wenn X', L', H', R' statt X , L , H, R gesetzt wird.

Fall

5.

Die Segmente «ollen liegen auf den Linien F A , GC. (Fig. 103.101.) Analysis. Buchst., wie zu lib.II. Joe.I. F a l l ^ . , also ist die Aufgabe auf lib. I. loc. VI. Fall 4. reducirt. Construction, Buchst., wie zu lib. I I . loc. I. Fall 1. Determination, Vermöge lib, I. loc. VI. Fall 4. Det. rnufs -seyö GS = GE + EK-+-2VGE7ER also VN : | & S I ) = l VN i •. GE + E K + 2 V G E . E K ¡NM] ' j0K-Fli p •• q

)

Beweis. Es ist r : q i = l O K - F I ( : G E + E I i + 2 V G E 7 h K (Det.) VN : G s j i VN \

also GS = GEh-EK-i-2VgE.ER mithin berührt (Fig. 103.), oder schneidet (Fig. 101.) der Kreis die Linie T U.

Buch

IL

Auch ist EH : G X = O K GS (lib.I.loc.IV. Fall 4.) also F L : G X = p : q (wie lib.II.loc. I.Falll.Bew.) Z u s . 1. Für eine Andere, in Fig. 103. die Linien E S , E H, I A in Y, W, Z schneidende gerade Linie O Y ist E W : G Y C V G : GS (lib. I. loc. VI. Fall 4. Zus.l.) also F Z : G Y < p : q (wie lib. II. loc. III. Fall 4. Zus. 1.) mithin bestimmt der Halbirungspunkt a der Linie KS, fiir welchen E a = N/RE. EG, ein gröfseres Verhältnifs, als jeder andere Punkt derselben. Atich ist, wenn y a > a X , und wenn die, die Linien E H , I A in schneidende gerade Linie 0 3 gezogen wird, E 0 : G y < E W : G Y (lib. I. loc. VI. Fall 4. Zus. 1.) also F i : G y < F Z : GY (wielib.II. loc.III. Fall4.Zus.l.) mithin bestimmen die dem Punkte a näher liegenden Punkte der Linie E S kleinere Verhältnifse, als die entfernteren. Z u s . 2. Der zweite Durchschnitt R' der Linie T U und des Kreises bestimmt (vermöge lib. I. loc. VI. Fall 4. Zus. 20 eine zweite Linie O X ' mit der gegebenen Eigenschaft.

A N H A N G zu

G E seyn. B e w e is. Es ist « ¿ > G E (Det.) k g )

also liegt Y zwischen E , K. Ferner ist HEJ : E O ) = f K E ) : EY f o + o e S

f

F X + E Y : E Y )

) k g - g e [ ( a—GE

)

also F X + E Y = « - G E folglich

f x + e y + g e ; = « F X + G Y

j

Zus. F ü r eine andere, die Linien F B , G D in W, Z schneidende gerade Linie O Z ist f w J f x '

,

G Z > G Y

also F W + G Z > G Y + F X

A ujg abe

I.

301

mithin bestimmen die dem Punkte G näher liegenden Punkte der Linie EJD kleinere S u m m e n , als die entfernteren,

F a l l GC.

2.

Die Segmente sollen liegen auf den Linien F A , ( F i g . 106.) Analysis.

E s sey O X die gesuchte L i n i e , 80 1st, w e n n d i e , die Linie C D in E schneidende gerade Linie O F gezogen w i r d , F X : E Y = F O : O E also F X + E Y t : E Y = F O - t - O E : O E fx+gy|+eg(

mithin ist E Y ,

somit Y ,

und die Linie O Y

der

Lage nach gegeben. Construction. Buchstäblich,

w i e zu F a l l 1,

Determination. Damit der Punkt Y auf GC falle, mufs G E ^ E Y ?eyn. Nun ist F X : E Y = F O : O E = F L : E G

also F X + E Y i : E Y = F L + E G : E G FX-t-GYj+EG»

folglich mufs a - t - E G ^ F L - t - E G mithin a ^ L F seyn.

202

Anhang. B e w e i s. Es ist « = L F (Det.) also a + E G ^ F L + E G Nun ist F X ; E Y = F L : E G folglich FX-+-EY ;. EYr=FL+EG : EG

mithin FX-+-EY : E Y = a + E G : EG FO-+-OE) : EO HE j KEi : E Y j G E , und E Y = E G werden, also a - E G : E G = F E : EO folglich a : E G = i F O : OE < F L : EG, wenn OG L ge( zogeu wild, mithin a ^ F L Beweis. Es ist ai>EG GK( also schneidet die Linie OY die Linie EC. Ferner ist a ^ F L arso « : E G ^ l F L : EG (FO : OE

Anhang.

ao4

< mithin G E ^ E Y Nun ist F X : E Y = F O : O E also F X — E Y FX+GY-EG

FE : EO KE : E Y a -EC, : EY

folglieh FX-t-GY—EG = a — E G mithin FX-t-GY

=a

Zus. Für eine andere, die Linien F L , G E schneidende gerade Linie O W ist WX : YZ=FO : OE

in W , Z

also W X > Y Z folglich F X + W X j + \ GY + Y Z < | > } F X + G Y FW i ! GZ i mithin bestimmen die dem Punkte G näher liegenden Punkte der Linie G E größere Sumineu, als die entfernteren.

II. D e r P u n k t Parallelen.

O

liegt

zwischen

den

Dieser Fall läfst sich behandeln, wie der vorhergehende.

Aufgabt

11. III.

Aufgab«

II«

Von einem gegebenen P u n k t e , welcher sich mit zweyen der Lage nach gegebenen, nicht durch denselben gezogenen gerade.n Linien in einer Ebene befindet, eine gerade Linie zu ziehen» so dafs der Unterschied der zwischen den Durchschnittspunkten mit jenen Linien und zweyen in denselben gegebenen Funkten gelegenen Segmente .einer gegebenen geraden Linie gleich sey,

A u f g a b e III.

( F i g . 108. 109.)

Durch einen innerhalb eines der Lage nach gegebenen Winkels A B C gegebenen Punkt O eine gerade Linie X Y zu legen, welche "von den Schenkeln des gegebenen Winkels Segmente, deren Suin* inen = einer gegebeneu geraden Linie a sey, abschneide. Analysi9. Es sey O X die gesuchte Linie, so ist DY:DÖ=OE:EX also DY.EX=DO.OE Es ist aber B X + B Y i = « be+ex+bd+dy! also E X + D Y = a — ( B E + B D ) folglich ist E X (Dat. 86.), somit der Punkt X , und die gerade Linie O X der Lage, nach gegeben.

Anhang.

so6

Construction. Man mache O D ^ B C , O E # A B , Q B - B D , Q H = « , H G # A B , beschreibe- über EH einen Halbkreis, mache BE»F = R = E H K , F E s = E B , RH = H G , ziehe F K , welche den Halbkreis in L erreiche,' und errichte in L ein Perpendikel L X auf F K , so ist O X die gesuchte Linie. Determination. Damit F K den Halbkreis erreiche, inufs. F E H K J = | E H » seyn DO.OE\ also 4 D O . O E ~ I E H 1 < J(HQ-QE)i ((a-(DO-4-OE))J folglich

2VDO.OE3.cc—(DO-hOE)

mithin Beweis. Es ist D O + O E + 2 V D Ö Ö E >

(Det.)

also 4 D O . O E = U « - ( D O + O E ) ) J j EH 1 folglich F E . H K = J E H ' mithin berührt (Fig. 108 ) , oder schneidet (Fig. 109.) F K den Kreis. Feiner ist EX-XH=FE.HK =DO.OE saEX.DY

Aufgabe

III.

207

somit H X = D Y also BX-t-BY=BH+BD = QH Z u s . 1. Für eine andere, in Fig. 108. tlie Linien E C , D A in den Punkten Z, W schneidende gerade Linie OZ ist DW.EZ=DQ.OE =EX.XB also DW : EX —XH : EZ folglich D W + E Z > E X - M X H ¡DY mithin

BD+DW+BE-+-EZi>lBD+DY-t-BE+EX BW+BZ j j BY+BX

demnach bestimmt der Punkt X , für welchen E X = Vdö

. O E , eine kleinere Summe, als jeder andere Punkt der Linie E C. Ferner ist für die, die Linien E C , D A in q , p schneidende gerade Linie p q , E q . D p = D O . O E = DW.EZ also qE : E Z = W D : Dp Ist nun q E < E Z so ist q E n - D p > \ V D + DZ also B p + D q > ß W + D Z mithin bestimmen die dem Punkte X naher liegenden Punkte der Linie E C kleinere Summen, als die entfernteren.

Anhang.

ao8

Z u s . 2. Errichtet mau in Fig. 109- in tiein zweiten Durchschnitte L' ein Perpendikel I.' X' auf FK, so bestimmt dasselbe eine zweite gerade Linie O X ' mit der gegebenen Eigenschaft. Anmerkung

z u A u f g a b e III. IV. V. VI.

Wenn 'in .Aufgabe III. IV. V. VI. die Segmente nicht von der Spitze des Winkels, sondern von irgend zwey in den Schenkeln desselben gegebenen Punkten an genominen w e r d e n sollen, so erhellet leicht, wie diese Aufgaben auf die vorhergehenden sich reduciren lassen. Aufgabe

IV.

Durch einen zwischen den Schenkeln eines der Lage nach gegebenen Winkels gegebenen P u n k t eine gerade Linie zu l e g e n , welche von jenen Schenkeln S e g m e n t e , deren Unterschied gleich einer gegebenen geraden Linie Y' s e y , abschneide.

Aufgabe

V. ( F i g . 110.)

Durch einen zwischen den Schenkeln eines der Lage nach gegebenen Winkels ABC gegebenen P u n k t e O eine gerade Linie zu legen, welche v o n den Schenkeln des Nebenwinkels des gegebenen Winkels Segmente abschneide, deren Summe einer gegebenen geraden Linie OL gleich sey.

Aufg;

abe

V.

209

An.alysis. Es sey OX die gesuchte Linie, so ist DY : D O = O E : EX also DY.EiX=DO,OE Nun ist BX+BY { = « EX—EB+BD—DY \ also E X — D ¥ = « + E B - B D olglich ist EX (Dat. 850 •> somit X , und die gerade Linie O X der Lage nach gegeben. Construction. Man nehme QB = B D , QII = a , H G # O E # B D , CHK = R = C E F , KH = HG, F E = E B , beschreibe über EH als Durchmesser einen Kreis, welcher die gerade Linie K.F in L schneide, und errichte in L auf der Linie LF ein Perpendikel, welches die Linie BM in X treffe, so ist O X die gesuchte Linie. Beweis« Es ist EX.XH=HK.EF =DO.OE =EX.DY also H X = D Y

folglich B X h - B Y = E X - E B + B D — H X =EH+EQ

Z u s . 1. Für eine andere, die Linien B M , B A in -Z»W schneidende geiade Linie OZ ist 14

aio

Anhang. BX>BZ

,

BY>BW

also BX+BY>BZ-+-BW mithin bestimmen die dem Punkte B näher liegenden Funkte kleinere Summen, als die entfernteren. Z u s . 2. Errichtet man in dem zweiten Durchschnitte L' des Kreises und der Linie L F ein Perpendikel auf L F , welches der Linie E C in X' begegne, so ist, w e n n die, die Linie B A in Y' schneidende gerade Linie O X ' gezogen w i r d , EX'.X'H=HK.EF =DO.OE = EX'.DI' also H X ' = D Y ' folglich B Y ' - B X ' = B D - H H X ' — B E - E X ' =EQ+EH =QII

—a mithin ist auch eine Linie gefunden, welche von den Schenkeln des gegebenen Winkels Segmente abschneidet, deren Unterschied der Linie a gleich ist.

Aufgabe

VI.

Durch einen zwischen den Schenkeln eines der Lage nach gegebenen Winkels gegebenen Punkt eine gerade Linie zu ziehen, welche von den Schenkeln des Nebenwinkels jenes Winkels Segmente abschneide, deren Unterschied einer gegebenen geraden Linie gleich sey.

A u f g a b e VII. Aufgabe

VII.

(Flg.

311

111.)

Von einem aufserhalb zvveyer der Lage nach gegebenen Parallelen A B , C D gegebenen Punkte O eine gerade Linie O X durch dieselben zu ziehen, so dafs die Summe der Quadrate der Segmente F X , E Y , welche zwischen den Durchschnittspunkten X , Y und zweyen auf den Parallelen gegebenen Punkten F , G liegen, dem Quadrate einer gegebenen geraden Linie a gleich sey. Analysis. O X sey die gesuchte Linie, so ist, wenn O F die Linie G Y in E schneidet, F X : E Y = F O : O E also F X

EY3 1 = F 0 2 : OE5 2 ) (GY-GE) [ (GY*—2GY.GE+GE2) Bestimmt man r s o , dafs r : G E = F O : O E 1

[

so ist FX 2 —r 2 : G Y 2 - 2 G Y . G E = F 0 2 : OE» folglich «»

'

i f «a 1 Bestimmt man h so, d a f s - a W « : h 2 ^ F 0 2 : F Q 2 - t - Q E 2

so ist G Y 2 : / ih^H-r2—a2)H-2GY.GE\ = F 0 2 : F 0 2 - t - 0 E 2 |j d2 [ l \ v n . d , = h ' + r 2 - a2 U 2EG.k ) (wenn2EG:d=d:k j 2EG(k+GY) J l 2EG.AY wenn A G = k folglich 2EG AY : G Y 2 = F Q J + 0 E 3 : F 0 2

213

Anhang.

mithin ist tlie Aufgabe auf ApolL de Sect. def. lib. I. Pr. 2. Ep. 2. p. 2. reduciit. (Siehe die Bücher des Apollonius tle sect, det. von Diesterweg, Bonn, 1822.) Aufgabe

VIII.

Von einem ausserhalb zweyer der Lage nach gegebenen Parallelen gegebenen Punkte eine gerade Linie durch dieselben zu ziehen, so dafs der Unterschied dier Quadrate der Segmente, welche zwischen den Durchschnittspunkteil und zweyen auf jenen Parallelen gegebenen Punkten liegen, dein Quadrate einer gegebenen geraden Linie gleich sey. A u f g a b e IX.

( F i g. 112.113. )

Durch einen Punkt O , welcher auf der Halbirungslinie eines der Lage nach gegebenen Winkels B A C liegt, eine gerade Linie XY zu legen, welche von den Schenkeln jenes Winkels Segmente abschneide, deren Summe der Quadrate dem Quadrate einer gegebenen geraden Linie a gleich sey. A n a 1 y s i s. Es sey X Y die gesuchte Linie, sey auch O B # A C , O C # A B , eo ist YB : B O = O C ; CX also BY.CX| = É O . O C (AX—AC)( A Y—AB ) \ = A C 2 mithin ist die Aufgabe auf die andeie reducirt: die Seiten eines Rechteckes zu finden, wovon die Diagonale und derjenige Theil seines, Fiäclienrauuies gegeben i s t , welcher übrig bleibt, w e n n mau seine Grundlinie und seine Höhe um gegebene geiade Linien abnehmen lakt.

4ufga.be

IX.

Au fl ö sp n g . Man ziehe O C # A B , O B # A C , beschreibe über AC ein Quadrat A C D F , mache D E = « , lege Uber D £ einen Halbkreis, errichte in dem Mittelpunkte G ouf E G ein den Halbkreis in H schneidendes Perpendikel, ziehe D H , D R # G H , mache D K = D H , A L ^ L D , beschreibe aus L als Mittelpunkt mit einem Radius = L K einen Kreis, welcher der verlängerten A D in R 'begegne, und aus R als Mittelpunkt mit einem Radius = M R einen Kreis, welcher die verlängerte A C in X erreiche, und ziehe durch 0 , X die gerade Linie O X , welche der verlängerten Linie AB in Y begegne, so sind A X , A Y die gesuchten Segmente. Determination. Damit der aus R mit R M beschriebene Kreis die Linie A C erreiche, mufs, wenn R Q A = R , seyn MR^RQ. Es ist A R = A L + L R = - j + I L K , wenn A C = ß , WlP+l*2 Auch ist AR : R Q = 1 : 5 in.§R =\/2 : 1

,

RM=DH

ai4

Anhang. folglich mithin

2a^2+P

somit demnach Sp~a.i also AD'i folglich AD=§a Beweis. Es ist A D = f a also AD5=(|a)' folglich mithin also R Q ^ R M , wie aus der Deteimination leicht erhellet, folglich berührt (Fig. 1120, oder schneidet (Fig. 413.) der aus R mit RM beschriebene Kreis die Linie AQ. Ferner ist AR.RD=tRL»-LD 5 =s=DK l =DH 1 =RM'=RX», wenn RX gezog. wird also AR : R X = R X : RD

Aufgabe

IX.

folglich AARXco A D R X , wenn X D gezogen wird mithin R A X j = R X D also liegen R, X , A, N auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt in P , wenn N P = P X , weil NAX=»R. Zieht man R P , so ist R P X = 2 R A X =R =DGH also ADGHjf A R P X folglich R P i » D G NQj mithin N X = D E

=a

Auch ist N F : F D = D C : CX somit N F . C X = F D . D C =BO.OG =BY.CX also NFssBY folglich AY = AN mithin AX a +AY , =AX5-4-AN 2 =NX»

-ofl

Z u s . 1. Zieht man (Fig, 112.) durch einen von X verschie» denen Punkt V auf der Verlängerung des Schenkels AC gerade Linien durch O , D , welche den Verlängerungen der Schenkel AB, AN in Z,\V begegnen, so ist

Anhang. VW>NX

(siehe Apoll, de inclinât, von Diesteiweg, Bonn, 1823, pag. 25)

also V W 2 | > ^ N X 2 AW 2 i + AV 3 \ ¡AY2+AX2 AZ^ mithin bestimmt der Punkt X eine kleinere Summe der Quadrate der Segmente, als jeder andere Punkt der verlängerten AC. Auch ist, wenn t X > X V , und die, die Schenke) A Z , A W in u , r schneidenden geraden Linien t o u , t d r gezogen w e i d e n , t r > V W (s. Apoll de incl. I, c.)

also t r ^ > l V W J tAa+lAr»M ¡VA^-t-lAW 2 jAuîi ¡AZ2 mithin bestimmen die dem Punkte X der verlängerten , A C näher liegenden Punkte kleinere Quadratsummen, als die entfernteren. Z u s . 2. In Fis^. 113. bestimmt der zweite Durchschnitt X' des Kreises mit der Linie A Q eine zweite Linie mit der gegebenen Eigenschaft. Z u s . 3. Bezeichnet man mit R' den zweiten Durchschnitt der Linie D K und des aus L als Mittelpunkt mit einem Radius = I.K beschriebenen Kreises, und bestimmt man in Beziehung auf R' Linien, wie es für R geschehen ist, so ergiebt sich, dafs dadurch auf den Schenkeln der Nebenwinkel des Winkels B A C >Se2mente mit derselben Eigenschaft bestimmt werden.

Aufgabe Aufgabe

X.

317

X.

Durch einen auf der Halbirungslinie eines der Lage nach gegebenen Winkels gegebenen Funkt eine gerade Linie zwischen die Schenkel des Winkels zu legen, welche von den Schenkeln des Winkels Segmente abschneide, deren Differenz der Quadrate dem Quadrate einer gegebenen geraden Li&ie gleich sey.

15

Nachricht für den Buchbinder: Taf. 9. wird dem Lateinischen der Vorrede beygeheftet.

Bonn,

gedruckt bey C. F.

Thormann.

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