Die Bücher des Apollonius von Perga De Inclinationibus [Reprint 2020 ed.] 9783111639802, 9783111257167

Citation preview

Die

Bücher des Apollonius von Perga

DE INCLINATIONIBUS wiederhergestellt von

Sam.

H o r s l e y

nach dem Lateinischen frey bearbeitet v o n

Dr. W .

A.

Diesterweg

ordentlichem Professor der Mathematik an der künigl. preuft. Rheinuniversität.

M i t 19 S t e i n t a f e l n ,

B v e r l e g t

e

r von

l

i G.

1 8 2 3.

n R e i m e r

D e in

Hochwürdigeu Herrn

Jacob Wilhelm Grimm Doctor der Theologie,

Generalsuperintendenten

und geheimem Consistorialrathe in Dillenburg

in dankbarer V e r e h r u n g gewidmet

vou dein Verfasser.

Vorrede. A i s H i n d e n b u r g die C a m e r e r ' s c h e Uebersetzung der Bücher des Apollonias von Perga über die ebenen Oerter anzeigte, schrieb er unter anderem folgendes: „ D a f s tiefere Kenntnifse der so vortrefflichen „geometrischen Analysis der Alten unter uns „seltener sind, als man wohl wünschen sollte, „davon ist gewifs eine der erheblichsten U r s a c h e n diese: dafs man so wenige, fast gar „keine brauchbare und leicht zu habende Handa u s g a b e n solchcr Schriften h a t , die dazu Anleit u n g geben, andere Ausgaben aber theils zu „selten, theils zu kostbar sind, als dafs gerade „diejenigen sich solche anschaffen konnten, die „ a m meisten daraus Nutzen ziehen würden. Und ,,so wird mancher gute Kopf zu frühzeitig in „die Algebra hineingeführt, der mit weit gröss e r e m Vortheil noch einige Zeit beym Euklides „und Archimedes und Apoll onius verweilte, und „seinen Verstand durch die scharfsinnigen Me„thoden und Wendungen dieser Geometer ges c h ä r f t und ausgebildet hätte. Was das auf „sich habe, können freilich nur diejenigen recht „übersehen, die von beiden Seiten urtheilen. „ F ü r andere kann es genug seyn, hier anzu„ f ü h r e n , dafs selbst Neutort es in der Folge „ bereut habe, dafs er in den ersten Jahren seines „mathemalischen Fleifses zu geschwind zu den

VI

, W e r k e n des Carlesiu« und anderer Algebraisten , iil ^rgegangen, bevor er die Methoden des E u ,,klides und anderer alten Geoineter recht reillich „ e r w o g e n und sich eigen gemacht, „ W a s von der Vortrefflichkeit der alten „ G e o m e t r i e und Analysis, und" der Nolhwendig, , k e i t , sich mit ihr zu beschäftigen, hier gesagt „ w o r d e n i s t , hat keineswegs die Absicht, die ,,Analysis der Neueren herabzusetzen, die die „geometrischen Untersuchungen nicht selten ung e m e i n erleichtert, in einem einzigen Ausdrucke , , o f t unzählige Fälle zusammenfafst, und wodurch „überhaupt das Gebiet der G e o m e t r i e , so wie „ d e r e n Anwendung auf wirkliche Gegenstände, „ s o beträchtlich und so glücklich ist erweitert „ w o r d e n , dafs die Alten über die Eroberungen , „ d i e man , mit diesen W a f f e n in der H a n a , in „ s o kurzer Zeit gemacht h a t , billig erstaunen „würden. Ich behaupte n u r , dafs man diese , , W a f f e n nicht recht glücklich führen k a n n , „ w e n n man sich nicht bis auf einen gewissen „ G r a d stark genug dazu fühlt. Das zu bewirken, „ i s t unstreitig die Geometrie der Alten am meisten „geschickt. Sie bereichert den Verstand mit „maftnichfaltigen Kenntnifsen und Methoden auf „ d e m W e g e der anschaulichen E v i d e n z , und ,,sichert dadurch den Besitz derselben um so „zuverläisiger. Und da das Vorfahren der neueren „Analysis sich zum T h e i l auf jenes der älteren „ g r ü n d e t , so wird man auch die Ausdrücke und ,,Formeln besser gebrauchen und sicherer a n ,,wenden lernen, durch welche die weilläuftigeren „Sclilüfse der letzteren, in jener so beträchtlich „ a b g e k ü r z t und zusammengezogen werden." Als H a o h e t t e den zweiten Anhang der Geometrie descriptiue von M o n g e herausgab,

VII

liefs er eine Uebersetzung der von J oh n L e s l i e in Edinburg herausgegebenen geometrischen Analysis folgen, weil er die Ueberzcugung gewönnen hatte , dafs das Studium dieser Wissensehaft dem Studium der Geometrie desetiptive vorausgehen miifse. L a g r a n g e , jener grofse Analytiker der neueren Zeit, sagt in den Mem. de Berlin 1770., dafs die geometrische Melhode der Alten in einigen Fällen der algebraischen Analysrs vorzuziehen sey, sowohl wegen ihrer einleuchtenden Darstellungsart, als wegen der Eleganz und Leichtigkeit ihrer Auflösungen, es gebe sogar Fälle, wo die algebraische Analysis unzureichend, und die geometrische Methode allein anwendbar scheinen könnte. Dies für diejenigen, bey welchen das Studium der Werke des grol'sen Geometers der A l t e n , Apollonius von P'erga, einer Empfehlung durch berühmte Namen bedarf.

Die Schrift des Apollonia de inclinationibus gehört mit zu den verloren gegangenen dieses Geometers. Das wenige, was P a p p u s in seinen coüectionibus mathem. lib. VII. darüber berichtet und daraus aufbewahrt hat, ist alles, was man über den Inhalt dieser Schrift weifs. Das Interesse, welches die auf uns gekommenen Schriften des Apollonia erwecken, veranlafste mehrere Mathematiker, eine Wiederherstellung dieser Schrift zu versuchen. Am glücklichsten waren S a m . H o r s l e y und R e u b e n B u r r o w , wovon jener eine Schrift Apoüonii Pergaei Inclinationum Libri duu, Oxonii 1770.

viti dieser eine Schrift A restitution of the Geometrical Treatise qf Apollonias Pergaem on Incliriationa, London 177g. herausgab, welche in Inhalt, Behandlung und Darstellung sehr mit einander übereinstimmen. Ich gebe hier die Schrift von H o r s l e y , ali die ausführlichere, in einer freyen Bearbeitung, nicht einer Uebersetzung. Ich habe überall vollständige Constructionen und Beweise gegeb e n , welche bey H o r s l e y entweder ganz f e h len , oder nur angedeutet worden sind, hab,e hin und wieder einen anderen Gang zur Angabe der Determination, Construction und des Beweises gewählt, wie er mir der Sache mehr angemessen schien, auch Anmerkungen und Zusätze hinzugefügt. Bonn im Oct. 1822. Diesterweg.

Des

APOLLONIUS ERSTES

DE

von

PERGA

BUCH

INCLINATIONIBUS.

A u f g a b e I. (Fig. 1. 2. 30 Von einem in der Ebene eines der Lage und Gröfse nach gegebenen Kreises A B C , aufserhalb, oder innerhalb desselben, gegebenen Punkte D eine gerade Linie DB durch den Kreis zu ziehen, deren in denselben fallendes Segment BE gleich der gegebenen geraden Linie N sey. A n a 1 y s i s. E s sey BE die gesuchte Linie, Macht nian F G E = R , und zieht F E , so ist E G = f B E (Eucl. El. III. 3.), also E G eine gegebene gerade Linie. Da auch F E (p. hyp,) gegeben ist, so ist Eukl. Dat. 60. ®) FG der Grüfte nach, somit (Dat. Def. 7.) ein aus F als Mittelpunkt mit einem Radius = FG beschriebener Kreis der Lage und Gröfse nach gegeben. Und da wegen des rechten Winkels D G F die Die Citate der Data von Euklid beziehen sich auf die von Schwab besorgte Ausgabe. Stuttgart 1780.

1

3

Buch

l

Linie DG eine Tangente dieses Kreises ist (El. III. so ist DG der Lage nach gegeben (Dat. 9I.), gleichwie die Durchschnittspunkte B,E mit dem (p. liyp.) gegebenen Kreise (Dat. 28.) gegeben sind. Determination. In Fig. 1. 2. 3. mufs N < A C seyn (EI. III. i5/>. In Fig. 2, 3. mufs überdiefs, damit von D eine Tangente an den aus F als Mittelpunkt mit einem Radius = D G beschriebenen Kreis gezogen werden k ö n n e , FG DH 2 ) mithin D H < ^ N somit H K ~ N seyn. Construction und Beweis. Man ziehe durch D und den Mittelpunkt F des gegebenen Kreises die gerade Linie D F , welche den Kreis in A,C schneide, lege von A aus in denselben eine Sehne = N , welches (Det.) geschehen kann. Ist N = A C , so ist AC die gesuchte Linie. Ist N < A C , so fälle man von F auf die Sehne AP, wenn A P = N , ein Perpendikel F Q , beschreibe aus F als Mittelpunkt einen Kreis mit einem Radius = FQ, und lege

Aufqahe

a.

3

an denselben von D aus eine Tangente DG, welches in Flg. i. immer geschehen kann. In Fig. a. ist HK~N also DH J N folglich HFS—FJDa| JAQ3 (AF>—FQ» mithin F D ^ F Q 5 somit FD>FQ Ist DF=FQ (Fig. 3.), so ist HK die gesuchte Linie (El. III. Ist FD>FQ, so lege man von D aus eine Tangente an den zuletzt beschriebenen Kreis, welches geschehen kann. Sind in Fig. 1. a. B,E die Durchschnittspunkte derselben mit dem über AC beschriebenen Kreise, so ist BE die gesuchte Linie. Denn es ist EGF=FQA (El. III. 18.), GF=FQ also EB= r AP (El. III. i4.) {N

Anm. 1. Da von einem ausserhalb eineä Kreises gelegenen Funkte zwey Tangenten an denselben sich ziehen lassen , so glebt es in Fig. 1. 9. zwey Linien, welche der Aufgabe Genüge thun« Anm. e. Aus Lehna. 1. s., welche in Pappt Collect, mathent. Iii. VII. Bonon. 1660. pag. 3o5. ent-

halten sind, scheint hervorzugehen, dafs Apollonias

4

Buch

1.

diese Aufgabe auf anderem Wege aufgelöst habe, nach folgender Analysis. Es sey D E B die gesuchte Linie« so ist, wenn durch den Mittelpunkt F die den Kreis in A,C schneidende gerade Linie DA gezogen wird, BD.DE =AD.DC (El. III. 36. Cor.). Da AD, DC gegeben sind (Dat. 28.), so ist AD.DC, somit BD.DE, und da BE=i= BD—DE (Fig. 1.), oder B E = B D - k D E (Fig. 2.) gegeben ist, BD der Gröfse nach (Dat. 85. oder 86..), somit DB der Lage nach (Dat. «8.) gegeben. A u f g a b e II. (Fig. 4—16.) Von dem gegebenen Endpunkte A des Durchmessers AB eines der Lage und Gröfse nach gegebenen Kreises eine gerade Linie durch den Kreis zu ziehen, deren zwischen denselben und eine in einem gegebenen Punkte auf jenem Durchmesser perpendikulare gerade Linie fallendes Segment CF der gegebenen geraden Linie N gleich sey. F a l l 1. (Fig. 4.) Der gegebene Punkt liegt in dem anderen Endpunkte B des Durchmessers AB. Analysis. Es sey C F die gesuchte Linie. Zieht man B C , so ist AAi-'F gcAACB (El. IV. 4.) also FA:AB=BA:AC folglich FA.AC=AB2 (El. VI, 17.) Da nun AB, also auch ABS gegeben j s t, so ist FA.AC, und weil FA—AC=FC=N gegeben Ist, AF tler Gröfse' nach (Dat 85.) und (Dat, 34,) der Lage nach gegeben«

A uf g a. be

a.

5

Construction. Man nehme B G = N , beschreibe über BG als Durchmesser einen Kreis, dessen Mittelpunkt D sey, ziehe durch A.,D eine gerade Linie, welche den Uber BG beschriebenen Kreis in H,E schneide, und beschreibe aus A als Mittelpunkt einen Kreis mit einem Radius = der gröfseren Linie A E , welcher die Linie B F in F schneide, so ist CF die gesuchte Linie. Beweis. Zieht man BC, so ist A A F B aAA.BC also FA:AB = BA:AC folglich FA.AC=rAB 2 (El. VI. 17.) = E A . A H (El. III. 36.) mithin FA:AE = HA:AC (El. VI. 16.) somit H A = A C also E A - A H HE BG N

FA—AC FC

Anm. Da der aus A als Mittelpunkt mit einem Radius = A E beschriebene Kreis die Linie BF zweimal schneidet, so giebt es eine zweite Linie mit der gegebenen Eigenschaft. F a l l 2. (Fig. 5—15.) Der gegebene Punkt liegt in der Verlängerung des Durchmessers AB A) über den Punkt B hinaus (Fig. 5. 6,).

6

Buch

1.

Analysis. E s sey FC die gesuchte Linie. Zieht man B C , so ist A A D F c o A ^ B C (El. VI. 4 ) also FA:AD=BA:AC folglich FA.AC=BA«AD (El. VI. 16.) Da wegen der (p. hyp.) gegebenen BA,AD das Rechteck FA.AC der Gröfse nach gegeben ist, so ist, da F A — A C = C F = N gegeben ist, FA (Dat. 85.) der Gröfse und (Dat. 340 der Lage nach gegeben. Determination. E s ist F A > A D i AC l DA—AB CF ( j BD folglich rnufs N > B D seyn. Construction. Man mache B O = O D , beschreibe über AO einen Halbkreis, lege in denselben die Sehne H O = O B , ziehe A H , auf der Verlängerung von OH nehme man K H = N , Uber KH als Durchmesser beschreibe man einen Kreis, dessen Mittelpunkt L s e y , durch A,L ziehe man eine gerade Linie, weichein M , R den über KH beschriebenen Kreis schneide, und beschreibe aus A als Mittelpunkt mit einem Radius = AR einen Kreis. Die gerade L i n i e , welche den Punkt A mit dem Punkte verknüpft, in welchem dieser Kreis die gerade Linie D F erreicht, wird das Verlaugte leisten.

Aufgabe

2.

7

B e w eis. E s ist B D ) = ( N (Det.) DA-Aß) < j M R (RA-AM also ( D A — A B ) 2 ^ ( R A - A M 3 ) E s Ist aber R A . A M = A H ' (El. III. 36.) = A O a — i O H a (El. III. 3i. I, 47.) \OB a (Constr.) = D A . A B (El. 11.6.) also(DA—AB)'+4DA.AB)~C(RA—AM) 5 +4RA.AM (DA+AB)2 J ( ( R A + A M p (El. I I . 8.) mithin D A + A B | < i R A - t - A M aAO ) l aAL somit AO . AL und A O + O D i ~ l AL-+-LR AD i j AR Der aus A als Mittelpunkt mit einein Radius = AR beschriebene Kreis erreicht also die Linie D F in D (Fig. 6.), oder in einem anderen Punkte F (Fig. 5.). Im ersten Fall ist A M = A B , weil RA.AM=DA.AB j und R A = A D , folglich RA—AM) = IDA—AB MR > i DB N ) Im zweiten Fall ist, wenn AF gezogen, und der Funkt B | mit dem Durchschnitte C derselben

8

Buch

J.

mit dem über AB liegenden Kreise durch eine gerade Linie verknüpft wird, AAFD&ABAC also FA:AD=BA:AC folglich FA.AC=BA.AD =RA.AM mithin CA=AM somit FA—AC)=jRA—AM CF J J RM ( N B) über den Punkt A hinaus (Fig. 7—15.). Analysis. Es sey FC die gesuchte Linie. Zieht man BC, eo ist AAFDceABAC (El. VI. 4.) also FA:AD=BA:AC folglich FA.AC^BA.AD (El. VI. 16.) Da wegen der gegebenen Linien BA,AD das Rechteck FA.AC der Grüfse nach gegeben ist, so ist, wegen der gegebenen N = F C = F A + A C , F A (Dat. 86.) der Gröfse und (Dat. 34.) der Lage nach gegeben. D e t e r m i n a t i o 11. Vermöge El. II. 5. mufs ^N 2 ^ IBA.AD seyn, ¡AE» (El. VI. i7.) wenn DAE = R, und E der Durchschnitt der Linie AE mit dein Kreise über BD ist, also i N > A E .

Aufgab

a

a.

9

C o n s t r u c t i o n und .Beweif. Man beschreibe über B D einen Halbkreis, mache D A E = R , verlängere A E bis zum Durchschnitt mit dem Halbkreise über B D , nehme A G = N , beschreibe über AG einen Halbkreis, und ziehe E H # AB. E s sey a ) D A < AB ( F i g . 7—10.). Ist nunl a ) A E = ^ N (Fig. 7.) 1 = A M , wenn A M = M G , so berührt ( E l . I I I . 18.) E H den Uber AG beschriebenen Halbkreis 111 H, wenn A M H = R , und es ist A M > AD ( E l . I I . 5.). Man beschreibe aus A als Mittelpunkt einen Kreis mit einein Radius = AM, welcher also die D F schneidet. E s geschehe in E. 0) Ist A E < i f N (Fig. 8. 9. 10.) I A M , wenn A M = M G , so schneidet E H den über AG beschriebenen Halbkreis. E s geschehe in H,L.* Man fälle von H,K auf A G die Perpendikel

13' jEJK

H K , L O . Ist nun DBMK2

&

mithin AQ< = >MK somit Q A + A D l j = t i AM+iMK AD ) ' < ' ] IMO ( AO Man beschreibe aus A als Mittelpunkt mit einem Radius = AO einen Kreis, welcher also die Linie DF in einem Punkte F schneiden (Fig. i3.), oder berühren (Fig. 14.)» oder gar nicht erreichen wird (Fig. i50. Iin Fall des Berührens ist DB die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im Fall des Schneidens ist, wenn man den Punkt ß mit dem Durchschnitte der verlängerten FC und des Kreises über AB durch die gerade Linie BC verknüpft, A F A D COABAC

also FÄ': AD=BA : AC

Aufgab

(t a.

i5

folglich F A . A C = B A . A D =AO.OG mithin FA : A O = O G : AC somit O G = A C also A O + O G } = I F A + A C AG ( j FC N ) Äiini. schneidet, der zweite gegebenen

D a ein Kreis eine gerade Linie zweimal so bestimmt in den Fällen des Schneidens Durchschnitt eine zweite Linie mit der Eigenschaft. F a l l 3. (Fig. 16.)

D e r gegebene P u n k t liegt auf dem Durchmesser selbst. A n a 1 y s i s. E s sey C F die gesuchte Linie. so ist A A B C w A A F D

Zieht m a n BC,

also B A : A C = F A : A D folglich B A . A D = F A , A C (El. VI. 16.) D a w e g e n der gegebenen Linien BA,AD das Rechteck FA.AC der Gröfse n a c h , und N = F C = C A —AF gegeben i s t , so ist A F (Dat. 85.) der Gröfse u n d (Dat. 34.) der Lage nach gegeben. Determination. F ü r den F a l l , dafs C F innerhalb des Kreises liege, ist B A > A C (El. I I I . i 5 . ) , F A > A D (El. I. 19.)

»4

Buch

1.

also BA—ADi> fCA—AF BD [ i CF folglich muf9 N < B D eeyn. Const ruction. Man halbire BD in O , beschreibe Uber AO einen Halbkreis, lege in denselben die Sehne H O = O D , ziehe AH, auf der verlängerten OH mache man HK = N , beschreibe über HK als Durchmesser einen Kreis, dessen Mittelpunkt L sey, ziehe durch A,L eine diesen Kreis in M,M' schneidende gerade Linie, und beschreibe aus A als Mittelpunkt Kreise mit Radien = AM,AM'. Die geraden Linien, welche den Punkt A mit den Punkten verknüpfen, in welchen diese Kreise mit der Linie DF zusammenkommen, werden die gesuchten Linien bestimmen. Beweis. Es ist M'A.AMi=AH» (El. III. 36.). (El. II. 6.) AL J —LM 2 j=AO J —OH a Nun ist N i ^ B D KHJ also L M ~ O D und LM a ~OD 2 folglich AL» B E also GB : BCi > IEB : BC (El. V. 8.) GH:HD( ¡ E F : FD (El. VI. 2.) Ferner ist A B D < R (El. I. 29. 34. Cor,) also D B H > R (El. I. i3.) • folglich auch D F H > R (El. I. 16.) mithin F D < D H (El. I. 18.) somit GH : H D < G H : FD (El. V. 8.) also auch GH : F D > E F : FD *) folglich G H > E D (El. V. 10.) L e h n s a t z B. (Fig. 17.) Wenn von einem Winkelpunkte D eines Quadrates, oder Rhombus ABCD durch die Schenkel der beiden Nebenwinkel des dem Punkte D gegenüber liegenden Winkels ABC gerade Linien KD,DH gezo*) Pro posit, de ration, inter se divtrsis Hauler. Tubing. 1793. j . 7.

demonstrat.

edid.

Aufgabe

a.

17

gen sind, deren zwischen die Schenkel der Nebenwinkel fallende Segmente LK,GH einander gleich sind, so sind auch die Segmente BL und BG,DL und DG,DH und DK, BK und BH einander gleich. Beweis. Sollte nicht B L = B G seyn, so sey B E = B L . Nun ist L B D ^ E B D (El. I. 34- Cor.) auch B D = D B also wäre B L D = B E D (El. I. 4.) mithin auch B L K = B E F (El. 1.13.) Es ist aber L B K = E B F also wäre LKj = E F (El. I. ¡6 ) GH! welches unmöglich ist (Lehnsatz A.). Da also L B = B G , auchBD=DB,LBD=GBD (El. 1.8.) so ist L D = D G , B D L = B D G Ueberdiefs ist L K = G H , D B = B D folglich ist auch KD=DH somit K B = B H Zus. 1. Die Winkel BDK,BDH sind in der gemachten Voraussetzung ebenfalls einander gleich. Zus. 2. Da K L B = H G B , so liegen die Punkte K,L,G,H auf dem Umfang eines Kreises, dessen Mittelpunkt wegen El. III. 1. Zus. in der Linie D B , folglich in O liegt, wenn GN—NH, G N O = R gemacht wird. 2

i8

Buch

I.

Da AD—BG so ist DA:AH=GB:BFI (El. VI. a.) also auch DA 2 :AH 2 =GB i :BH J ( E l . VI, 82.) N u n ist D A 2 < A H J (hyp.) folglich GB J ) < iBH a BIVP-t-MG1)

IBM2-4-MHI 3

mithin J I G < M H 5 somit M G < M H also M G < i i G H }gn somit D M < D N Da nun M D : D N = B D : B O so ist auch B D < D O also liegt O in der Verlängerung von BD. A u f g a b e I I I . (Fig. 18.) Von einem Winkelpunkte D eines der Lage und Gröfse nach gegebenen Q u a d r a t e s , oder Rhombus ABCD eine gerade Linie durch die Schenkel des Nebenwinkels des dem P u n k t e D gegenüberliegenden Winkels B zu ziehen, deren zwischen dieselben fallendes Seguient einer gegebenen geraden Linie N gleich sey. Analysis. Die gesuchten Linien Seyen E F , G H . Vermöge Lehns. B. Zus. 2. liegen H , G , E , F auf dem Umfange (eines Kreises, dessen Mittelpunkt K in der Verlängerung von DB liegt. Es ist auch G B = B E , G K = K E , B K = K B also G K B = B K E (El. I, 8.)

Aufgabe

5.

i9

folglich arc.GL=sarc.LE (El. I I I . *6.) somit D K E = D F B (El. III. ao.) Auch ist K D E = F D B mithin K E : E D = F B : B D Nun ist D E : E F = A B : B F ( E l . VI. a.) also K E : E F = A B : B D (El. V. a3.) Da A B , B D , E F gegeben sind, so ist KE der öröfse nach gegeben (Dat. 2.). Ferner ist K B F = A B D (El. I. i5.) = D B E (El. L 8.) folglich K B E = D B F = D E K (Bew.) mithin D K : K E = £ K : K B (El. VI. 4.) somit D K . K B = E K a (El. V I . 17.) Also ist DK.KB der Gröfse nach gegeben. Da auch D K — K B = D B gegeben i s t , so ist DK der Gröfse nach (Dat. 85.), somit der Punkt K , und da K E der Gröfse nach gegeben i s t , del Funkt E , gleichwie der Funkt G gegeben (Dat. 34.), folglich sind D G , D E der Lage nach gegeben. Construction. Man mache B L « N , L M # D A , D B N ^ R j N B ^ B M , D Q = Q B , beschreibe au9 Q als Mittelpunkt einen Kreis mit einem Radius = Q N , welcher die verlängerte Q B in K schneide, ziehe K O # B N , N O # B K , beschreibe aus K als Mittelpunkt mit einem Radius =sKO einen Kreis, welcher BA,BC in G , E schneide, und ziehe D G H , D E F , so ist das Verlangte geschehen.

ao

Buch

1.

Beweis. Es ist DK.KB=BN l (El. II. 6.) also DK:BN=NB:BK (El. VI. 17.) Da nun DK > KB so ist BN) >BK (El. II. 5.) KQJ Folglich schneidet der aus KmitKO beschriebene Kreis die Linien CB,BA. Ferner ist DK:KE=EK:KB (Bew.) mithin DEK= tKBE, EDK=KEB (EI. VI. 4.) tDBF also FD:DB^=KD:DE (El. VI. 4.) folglich FD.DE=KD.D3 (El. VI. 16.) Die Punkte K,B,E,F liegen somit aufdem Umfang eines Kreises (El. III. 36. Conv.). Daher ist KFB = KEB (EI. III. 21.) = KDF (Bew.) also

KF=FK:KB (El. VI. 4.)

folglich KF J =DK.KB (EI. VI. j7.) Mithin liegt F auf dem Umfang des aus K als Mittelpunkt mit KO als Radius beschriebenen Kreises. Nun ist GBS=SBE (El. I, 8.) also GB=BE (El. III. 7.) folglich GKB^BKE (El. I. 8.) mithin arc.GS = arc.SE (El. III. s6.) somit EKD=DFB (El, III, 20.)

Aufgabe

5.

also KE:ED=FB:BD (EI. VI. 4.) Auch ist DE:EF=AB:BF (EJ. VI. 2.) folglich KEwEF=AB:BD (El. V, 21.) KO =MB:BL (El. VI. 2.) BN BW mithin E F = a B L ¡N. Eben so kann der Beweis für GH geführt worden. Anrn. Beschreibt mau aus dein zweiten Durchschnitte P des aus Q mit QN beschriebenen Kreises und der verlängerten BD einen Kreis mit PY, nachdem P Y ^ B N gezogen und ON bis zum Durchschnitt mit PY verlängert worden iot, so werden, wenn dieser Kreis die Linie BM erreicht, dadurch eine, oder zwey Linien zwischen den Schenkeln des Winkels ABC bestimmt, welche = N sind. Determination. Damit der eben bezeichnete Kreis die BM erreiche, inufs, wenn PRAa=R gemacht w i r d , seyn py;>pr bn( NunistDB:BAJ =sin.BAD:sin.ADB DB:a ^ =sin.o;sin.ja, wenn AB=ra,ABC=a = 2cos.7a;i also DB = 2acos.-;« Ferner is

folglich BN =

icos^a

I (El. VI. 2.)

Buch

32 Da

I.

nun B P . P D 1 = B N 5

(EL

II.

6.)

BP(PB—BD)J s o ist

"

BP(PB—23

NJ

B P a — i B P .•a> .a.co8.-;a» .cos.^ai

4cos.ja 4 4cos.ja

a

, _ _ ea.cos.^a -4-1/ N24-4a2cos.^a also B P = ; SCOS.j« E s Ist a b e r B P : P R = i : s i n . ' « folglich P R = B P . s i n . j « 3a.sin;acos.{«2+sin.|«.f^N2-Ma2cos.itt'1 acos.ja F o l g l i c h inufs N

_

seyn

2a.sin.7«.cos.ia5+sin.^aj/N2+4a2cos.ia4

Bcos.7a> mithin

also

acos.fa

N—2a.sin;a.cos.^a2>sin.^aj/'N2+4a2cos,ia4

N3-4aN.sin^«.cos.;a22l. i

^

s o m i t N—4a.sin.ja.cos.7a

—

>

n

N.sin.ia

ift—^ folglich N.cos.ja >4a.sinfa.cos.ia

und Anro,

Nj.4a.sin.ia

Macht man Z D B = R = S D T , ZD : D T = Z A

: AB

(EI. V I .

so s.)

ist

Aufgabe

5.

a5

Es 1st aber Z D = D T (El. I. also auch ZA=AB folglich ZB=aAB =2a Ferner ist BZ> : ZT=sin.BTS:sin.ABC aa) =cos,|a:sin.a. = 1 : 2sin.7 4aN.sin.|a.cosi& mm

also N 2 > 4a"N.sin.^a.cos> , +N3sin.;a 2 folglich N 2 -4aN.sin.;ce.cos.;a ^Wsni.^a Somit N3—4aN.sin.ia.cos.^a2+4a,sin.f«2cos,7a*

mithmN^a.sin.ja.cos.^ai^sm^ai^N^H^aScos.ia 1 also ^ = 2a.sin.,'axos.;a 2 ^sin.;ap^N J +4a I cos.^«.' t scos.ia- > scos.^a =. 2a.cos,;a 2 -t-f/ TS^^^a'cos.;«4 Sin. >a 2Cos.'a. d. i. B N L P R (Determ.) PY) -

Buch

24

1.

E s berührt, oder schneidet also der aus P als Mittelpunkt mit einem Radius = P Y beschriebene Kreis die Linien BM,BC. E s geschehe in V. Man ziehe V D , welche verlängert werde bis zum Durchschnitt mit BA in W. E s ist B P . P D = B N 3 ( E L II. 6.) =PV3 also D P : P V = V P : P B (El. VI. i7.) mithin D V P = P B V , V D P = P V B (El. VI. 6.)J =DBW folglich liegen die Punkte W , B , V , P auf dem Umfang eines Kreises; also ist P W B + B V P = 2 R (El. III. 8 8 . ) Nun ist P D W = D V P + D P V (El. I. 3a.) ^ V B P + D P V (Bew.) mithin P D W 4 - P V B = V B P - t - D P V + P V B =PWB-hPVB also

PDW=PWB

folglich D P : P W = W P : P B (EI. VI. 4.) und P W S = D P . P B (EI. VI. j7.) =PY2 somit P W = P Y E s liegt also W auf dem Umfang des aus P mit P Y beschriebenen Kreises. Bezeichnet man mit X den zweiten Durchschnitt desselben Kreises mit B M , so ist X B I = I B V (EI. I. 34. Cor.)

Aufgabe

3.

25

aiso XB=s=BV (El. III. 8.) folglich X P B = V P B (El. I. 8.) mithin arc.XI=arc.VI (El. III. 26.) somit V P D = D W B (El. III. 22. Cor.) also PV:VD=WB:BD (El. VI. 4.) Auch ist DV:VW=AB:BW (El. VI. 2.) folglich PV :VW=Aß:BD (El. V. a3.) PY =MB:BL (El. VI. 2.) BN BM mithin V W = ^ B L ¡N Eben so kann der Beweis für UX geführt werden. L e l m s a t z C. (Fig. i 9 ) Jede durch den HalbirungspunktD der Grundlinie BC eines gleichschenkeligen Dreiecks BAC gezog&ne, zwischen den Schenkeln BA,AC liegende gerade Linie E F ist grüfser, als die Grundlinie, B e w eis. Es ist D F C < IACD (El.I. 16.) ¡ABD (EI. I. 5.) Macht man G B D = D F C , so liegt BG zwischen DB,BE. Es ist also G D < D E Auch ist ADBG ocADFC (EI. VI. 4.) folglich FD:DC= iBD i:DG ICDJ Nun ist D C F > R (El. I. i7.) also FD > DC (El. I. 18.)

36

Buch

1.

mithin C D > D G und auch F D > D G somit FD-t-DGj>iaCD ( E l III. i5.) FG » IBC um so mehr F E > B C . Zu9. i. Gleiche Winkel mit der Grundlinie bildende Linien dieser Art EF,ML sind einander gleich, von zweien ungleiche Winkel mit der Grundlinie bildenden HN,EF ist die den gröfseren Winkel bildende die gröbere. Beweis. Es ist LDC=EDB (p. h.) =BDM (El. I. i5.) mithin ALDCT = (/3AEDB,ABDM ' i/J ADCF also E D = D L ,

MD=DF

folglich E F = M L Macht man D E K = D H F , so ist AEDKcnAHDF (El. VI. 4.) also HD : D F = E D : DK Es ist H D > D F also E D > D K folglich HD—DRi > iFD—DE «DO J

)

2DP,wennHO=OK,FP=PE,

mithin D O > D P somit D 0 5 > D P 2

Auf

gab e

5.

Da HD.DKi=jED.DF (El. VI. i6.> HOa—ODaJ \Fpa—PD» (El. II. 5.) so ist H O s > F F 3 also H O > F P folglich H K > E F uui so mehr H N > E F . Zus. fl. Zwey gleiche Linien Jener Art bilden gleiche Winkel mit der Grundlinie. Zus. 3. (Fig. ao.) Wenn durch einen Winkelpuukt D eines Quadrates, oder Rhombus ABCD zwischen den Schenkeln AB,BC des gegenüberliegenden Winkels ABC zwey gleiche gerade Linien EF,HG gezogen sind, so sind die Segmente FB nnd BH,GB und BE,GF und HE einander gleich. Beweis. Macht man BDM=R=BDN, so ist MD=DN , FMD=DNH Auch ist MDF=HDN (Zus. z.) also MF=HN Da auch MB=BN so ist F B = B H Fsrner istMDG=N DE(Zus.2.),G1VID=DNE,MD=Dz folglich MG=NE also F G = H E somit GB=»BE

Buch Zus. 4.

I.

Da A M G D = A D N E

so ist M G D = D E N mithin Hegen die P u n k t e G,F,H,E auf dem Umfang eines Kreises. Weil auch A F D B = A H D B , also F D B = H D B , folglich a r c . F L = a r c . L H , so liegt der Mittelpunkt desselben in BD. Macht man nun F O = O E , F O K = R , so ist K D N = R also K D O < R folglich K D O - H D O K < 2 R

mithin schneiden K D , D O einander in der Verlängerung von BD. Der Mittelpunkt jenes Kreises liegt also in dieser Verlängerung. A u f g a b e IV. (Fig. 21.) Durch einen Winkelpunkt D eines gegebenen Quadrates, oder Rhombus ABCD, zwischen die Schenkel des gegenüberliegenden Winkels ABC eine gerade Linie zu legen, welche der gegebenen geraden Linie N gleich sey. A n a l y s is. E F sey'die gesuchte Linie. Macht i n a n B D M = R = B D N , N D H = F D M , so ist E F = G H (Lelms. C.Zus. 1.) Da D B = B D , F B D = D B H , F B = B H (Lehns. C. Zus. 3.) so ist F D = D H Die Punkte G,F,H,E liegen auf dem Umfang eines Kreises, dessen Mittelpunkt K in derVerlängelinig von BD liegt (Lohns. C. Zus. 4.). Es sey dieser Kreis beschrieben, und sein Mittelpunkt in K. Zieht man FK,KH, so ist FK=KH, Da K D = D K , so ist

Aufg

ab e

4.

2

9

FKD=DKH (El. I. 8.) jiso arc.FL=arc.LH folglich LKF) = i F E H (El. 111.27. 20.) BKFJ IDEB mithin BF : F K = B D : DE (EI. VI. 4.) Est ist auch CD : B F = D E : E F (El. VI. s.; also CD : F K = B D : E F (El. V. 21.) und CD : DB—KP : FE Da CD:DB ein gegebenes Verhältnifs ist (Dat. 1.), so ist auch KF:FE ein gegebenes, und da E F eine gegebene Linie ist, auch KF gegeben (Dat. 2.). Ferner ist K F B = B D E (Bew.) =KDF also BK:KF=FK:KD (El. VI. 4.) folglich BK.KD=FR2 (El. VI. i7.) mithin BK.KD der Gröfse nach gegeben, und da BK— K D = B D gegeben ist, BK ( D a t 85.) der Gröfse nach, somit der Punkt K, und wegen der gegebenen KF der aus K mit KF beschriebene Kreis, und dessen Durchschnittspunkt E mit der Linie BD, also die Lage der Linie E F gegeben. Determination. Es mufs seyn N ^ M N (Lehns. C.). Construction. Man mache B Q ^ N , Q U # D A , D B X = R , X B ^ B U , BY = YD, beschreibe aus Y als Mittelpunkt einen Kreis mit einein Radius = YX, welcher die verlängerte BD in K schneide, mache K V # B X , X V # B D , und be-

5o

Buch

/.

schreibe aus K mit einem Radius KV einen Kreis, welcher B A i n dem gesuchten Punkte F erreichen wird. Beweis. Wie oben bey Aufgabe III. Zusatz. A n m e r k u n g i. H u y g e n s giebt in der Schrift: Christ. Hugenii de circuli magnitudine inventa; atcedunt ejusdem problematum quorundam illustrium constructiones j Lugduni Batavorum, 1654. von beiden vorhergehenden Aufgaben andere Constructionen. Wegen der Eleganz derselben mögen sie hier in freier Darstellung und mit der Analysis versehen folgen. Man sehe auch Neut. Jrithm. univ.\Jmstel. 1761. Tom. 1 -pag. 802. Aufgabe

1. (Fig. aa.)

Durch den P u n k t A eines der Lage u n d Gröfse nach gegebenen Quadrates A ß C D eine gerade Linie zu legen, deren zwischen die Schenkel des dem P u n k t e A gegenüberliegenden Winkels, oder die Schenkel des Nebenwinkels desselben fallendes Segment E F der gegebenen geraden Linie N gleich sey. Analysis. E s sey E F die gesuchte L i n i e , so ist FE2) =EC2-hCF' E s ist BC»=FC2±2CF.FB-i-BFa (EI. II. 5.6.) also m + B C 2 = E C 2 i - + . a C F » ± 2 C F . F B i - t - B F » i

aFC.CB

/

Ferner ist A B : B F = E C : C F (El. VI. 4.)

4.

Aufgabe

3i

folglich AB.CF» = E C . B F (£1. VI. i7.) AC-CFf mithin N a -hBC'=EC 3 -)-aEC.CB+BF J =BHa+BH.HG+HGJ, wenn A E G = R = E H G , =(BH+HG)a «=BG5 Da N,BC gegeben s i n d , so ist auch B G , mithin AG gegeben, und weil A E G = R , so liegt E auf dem Umfange eines der Lage und Grofse nach gegebenen Halbkreises, ist also gegeben (Dat. a8.)? eouiit die Lage von AE gegeben. Construction. Man mache B A K = R , AK—N, beschreibe aus B als Mittelpunkt mit BK als Halbmesser einen Kreis, welcher die verlängerte AB in G schneide, und beschreibe über AG einen Halbkreis, welcher der DC, oder ihrer Verlängerung in E begegne, so ist AE die gesuchte Linie. Determination, Damit der über AG=GB—BA beschriebene Halbkreis die verlängerte CD erreiche, mufs seyn AG^aAB also B G ~ 3 A B somit BG 3 - 9 A B » BKS KA J i-+-AB s Na J folglich

18AB' I4BD 5

52

Buch

/.

mithin N ^ B D , Beweis. 1) Für die in dem Nebenwinkel von BCD liegende Linie FE. Es ist GB=BK also GB>BA (El. I, 19.) folglich AG > 2AB mithin schneidet der Uber AG beschriebene Halbkreis die CD. Auch ist BK 2 = B G J 2 KA +AB 2 =BH 2 + 2 BH.HG+GH 2 N 2 + A B 2 =EC 2 -h /izEC.BF j -t-BF2 (El. 1.26.) 2AB.CF I (El. VI. 4.16.) 2BC.CF j .2CF2+2BF.FC/ = iEC2+CF2l+BCJ i EF2 J also N 2 = E F 2 mithin N—EF 2) Für die in dem Winkel BCD liegende Linie FE. Es ist NZ^BD (Det.) also N 2 > i 4 B D 2 18 AB2 folglich N 2 +AB 2 > >gAB 2 BK 2 J mithin B R > 3 A B

Aufgabe

|{;r

Somit

4.

53

BK—AB AG Es beriihrt, oder schneidet also der über AG beschriebene Halbkreis die CD. Ferner ist, E mag der BerUhrungs — oder Durchschnittspunkt eeyn, BK21=BG» N2-4-ABJ3 =BH2-t-siBH.HG-t-GHJ

EC2+CF2 1-+-CB2 EF2 also N 2 = E F 2 mithin N = E F . Anm. Es erhellet von selbst, dafä es, wenn der über AG beschriebene Kreis die Linie BC schneidet, immer zwey Durchschnittspunkte giebt, wodurch zwey Linien von der gegebenen Eigenschaft bestimmt werden. Aufgabe

2. (Fig. a3.)

Durch den Punkt B eine£ gegebenen Rhombus AEBF eine gerade Linie zu legen, deren zwischen die Schenkel des gegenüberliegenden Winkels, oder die Schenkel seines Nebenwinkels fallendes Segment DC einer gegebenen geraden Linie N gleich sey. A n a 1 y s i s. Nimmt man DC als die gesuchte Linie an, so ist DC : C A = D ß : B £ (El. VI. 4.) 5

Buch

34

CD : D A = C B : iBF /BE also

L (El. VI. «.)

CD 2 : DA A C = D B BC : B E 2 (El.V. 20.) = GB.BE : BE 2 , wennBCG=AFB oder = B F C (El. VI. 4.16.) = G B : B E (El. VI. 1 ) = B G . G N : / B E . G N , wenn B A N = A F B , Ibe(GB{7}BN> < gb.be { ^ J e b . b n I C B . B d / ~ / b A 2 ( B e w . und 1

[

(El.VI.4.16.))

Beschreibt man durch die Puukte B,G,C einen Kreis, welcher die FC in H schnelle, so ist CGB+CHB=aR(Kl.llI.22.), oder CHB = CGB(El.Ill.ai.) =KDB+BDA = BDA also ist CHB = BDA Da auch H A ß = IiAL\AB = BA, «o ist HA-=AI),HH=Ul>,HBA= folglich

ABD

CB.BHj 1 AD'-= tCA.AH. *) CB.BDl + f« { c A . AD

mithin

CO2 = I)A.AC = HG.GN : CA.AD also

CDa=nßG.GN = BG ( G B J ~ J B N ) =bg2|~Jgb.bn

*) Neuteiii

Arithm. univ. Amatel.

iijöi. Tom.

i.pag.

143

XIV

Aufgabe

4»

«Otnit C D ' + A B a ^ A B í + B G H - ) ÍGB.BN t 4 " / JIGB.BL, wenn, ALB^G,

also BALOLA S=AG2

(El. II. i3.)

=AE 2 -hEG 2 {^} 3 GE.EL folglich C D 2 + A B 2 A E 2 \ ^ ( E G 2 | l } z G E . E L (EL II.i3.)CD 2 -H2AE 2 _íiBE.EL_AE 2 | CDa+{ßf» j - a B E . E l i CD 2 +BE(BE—aEL)l lEl. II. 6.) CD2-f-BL2—LE2' mithin

) E G ( G e { ^ j 2 EI.) (GL2-LE*

(El. II.6.)

CD 2 -t-BL 2 =GL 2

Da C D , BL, also auf CD2+-BL2 gegeben sind, so ist G L , somit GB, und tla BCG=BFA, der über BG des Winkels BFA, fähige. Kreisabschnitt der Lage und Grösse nach, also der Durchschnitt C und die Lage von ÉC gegeben. Construétiom Mantnäche ALB =*R=LBK, B K = N , beschreibe aus L als Mittelpunkt mit dem Radius LK einen Kreis, welcher die BE schneide inG, beschreibe über BG «inen Kreisabschnitt, fähig (des Winkels BFA { I des Nebenwinkels von B F A j t welcher die FA in C schneide, so ist BC die gesuchte Linie« Determination. Damit der über BG=GL-t-LB beschriebene Abschnitt die FA erreiche, muís, wenn BM=MG,

36

Buch

1.

B M T = R , uiid MT verlängert ist bis 211m Durchschnitt mit dem über BG beschriebenen Kreise, seyn MT{ Nun ist |BM): M T ^ i : |cot.MTB ^BG/ Jcot.ißFA» jtan.^FAE ' t a n . f V , zur Abkürzung, 3fso MT=iBG.tän.iV. E l ¡St BGaeGL-hLB = yN2-t-BL2+I.B = j/N' J -hÄB 3 .cos.jV 2 -+-AB,oos.jV und AL=AB;sin.jV Alsa mufs seyn¿tan^Vfi/W+AB'^.cosjVs+AB.cos^V.) j = J AB.sin.^V folglich j/N-i-t-AB^cSIfV 2 j = jAB.cos.iV welche Bedingung für jeden Werth von N statt findet. Damit der über BG = GIy—LB beschriebene Abschnitt die F A erreiche, mufs, wenn BM=JVXG,BMT= R , und M T verlängert i&t bis zum Durchscniit mit dem über BG liegenden Kreisbogen seyn JVTT^>|aL. Nun ist BG=W W+BV—BL N2H-AB2.cos,!V2_,AB.cofi.;V i wenn BFC = V . nnd BM : M T = i : cot.;V. folglich MT=BM.cöt.; V =t;BG.cot;V = f cot. i

ABJ.cos ; V«-AB.C69 ¿V)

Aufgabe

4.

37

Auch ist AL=r AB.siu.j-V Also muß seyn ¡cot.fV(f/

N^+AB2.c^IvrJ_AB.cos.^V)J=jAB.suiiV

inithia^Na+AB^Sü^V'J = UAB.sI^ys+AB.cSTiV2 cos.iV AB(n-shi.jV2) W

cos.jV

folglich K2.cosTiV2-HABi.cos.iV4J> J A B 2 + 2 AB2 l S n^V" 2 + AB^sin.fV« somit N^.cos.fV-t- j AB 3 (cos.jV 4 —sin.jV 4 ) jAB^cos.^Va+sin.fV^Ccos.iVJ-siTilV^)] (ABJ(cos.;VJ-sin.;V2) J j = jAB2(i+2sm.;ßJ) also

N 3 .cösTfV J |>| AB J (i+2siuTfV2—cos.jY 2 -t-sin.jV J ) AB 2 4 sin. 3 V 2

folglich

N H;j^B.ta„.;V. W j O R , wenn ABR = A B O ^ R . Beweis.

In Beziehung auf BG = G L + L B ist N J —AB , .cos^V 2 > AB 2 .cos.j\ * •also

AB 2 .cos.jV 3 -t-AB.cos. V > a A B . c o s . j V

Buch

58

II.

folglich AB?.cos7V a 4-AB.cos.;V)f >»AB.sin.iV OR I I AL Also giebt es allemal einen Durchschnitt des über BG beschriebenen Kreises mit AF. I u Beziehung auf B G = G L — L B ist N = O R (Det.) • tan.-V(1/

=>a A B . t a n . f V also

N.cos.fV=2AB.sin.|V

•oiuitN?.cosjV2=-4AB2.sin.^V3 >•

_____

'

_ _ _

=AB2(n-2sin.jV5—cos.; V^-f-siu.: V») folglich | AB?(cos.< V*—sin. jV 4 ) j mithin mcos.;V2-f- AB 2 .cos.;V 4 ~ AB^-f- 2 A BJ.s in.;V24-AB3si^V* also

N»+AB^cos7v»=AB:>(1+,sin;v:')a cos.jV^

folglich ^ABCäsin.sVa-t-cos.sV 1 cos.;Y mithin .cot; v(j/Ni+AB'cosI7v'—AB.cos.'V))

AB.sin.fV

OR Jl S\ AI Also erreicht der über BG beschriebeue Kreisbogen die FA.

Aufgabt Es ist also

4-

'9

GL 2 =N 2 -t-BL 2

GL 2 —LE 2 \ = , N 2 +BL» - LE 5

EGcGEpjzEL)!

\N 2 h-EB(BE—2EL)

EG«j^[iGE.EL]

\N3+BE2-2BE.EL I Na-+-aAH2—¿BE.EL-AE5 VN^AB 2 —AE»

folglich

AE2-+-EG2|^JGE . E L I N ' + A B 1 AG2 IzGB.BL) AB2+BG2+| | GB,BNf Aß5-t~BG.GN) , wenn BAN=AFB,

mithin BG.GN = Na Ferner ist DC : CA=DB : BE CD : DA=CB : (BF IBE also CD 2 : CA.AD = CB.BD : BE 1 = GB.BE : B E ' , wenn BCG=AFB, oder asBFC; =GB:BE = J BG.GN } : /BE.GN \

N1

J

IBE(GB{~}BN |EB.BG|^|EB.BN (CB,BD|~|BA*

4o

Buch

1.

S c h n e i d e t tler ü b e r B G beschriebene Kreis die A F z u m z w e i t e n m a l in H , so ist CGB-hCHB=2R

oder

CHB = CGB

=EDB+BDA

=BDA

also C H B = B D A

Da H A B = B A D , A B = B A

Da H A B = B A D , A B = B A ,

so ist H A = A D , H B = B D ,

. . t a Tm iiTT" so ist H A = A D , H B = B D , und

und

HBA=ABD folglich

somit C B A = A B D

C B . B H 1 — AB'-»=±=(CA.AH CB.BD

mithin

HBA=ABD

CD2

! C A.AD

CA.AD=N2

CA.AD

somit und

CD=N

W e n n der ü b e r B G t a G E — E B beschriebene Kreis die A C in C n u r b e r ü h r t , so ist A C B = C G B ( E 1 . I I I . 3 2 ) . =BDA Da nun auch so ist

CAB=BAD,AB=BA

CA=AD,CB=BD,CBA=ABD etc. w i e o b e n .

Anm.

2.

B e i d e A u f g a b e n lassen sich auch durch

die B e h a n d l u n g folgender allgemeinen A u f g a b e auflösen.

*)

(,V*ur. Jlrith»i. XIV

143.

univ.

Amstil.

1761.

Tom.

L per;.

Aufgabe

4.

A u f g a b e . ( F i g . 24.) Durch einen auf der Halbirungslinie AD eines der Lage und Grösse nach gegebenen Winkels BAC gegebenea P u n k t D eine der Grösse nach gegebene gerade Linie zwischen die Schenkel jenes Winkels zu legen. Analysis. E s sey BC die gesuchte Linie. Gedenkt man sich durch die P u n k t e A,B,C einen Kreis , dessen Mittelpunkt T s e y , beschrieben, so ist w e g e n der der Grösse nach gegebenen B C , und des gesehenen Winkels BAC sein Radius der Grösse nach gegeben (El. III. 33.)« Zieht m a n den Durchschnitt R dieses Kreises und der Linie A D mit C zusammen, so ist, w e n n R T , T C gezogen w e r d e n , sowohl R T = T C , als R T C = 2 R A C ( E 1 . . I I I . 20.) = B A C , also gegeben, folglich auch RC gegeben. Es

ist aber

folglich

B C R = B A R (El. I I I . 21.) =RAC

AR : R C = C R : R D

(El. VI.«,)

somit A R . R D = C R 2 (El. VI. 16.) Also ist A R . R D gegeben, und da A R — R D = A D gegeben i s t , AR (Dat. 85.), und der P u n k t R , somit auch der P u n k t C , in welchem ein aus R als Mittelpunkt mit einem Radius = RC beschriebener Kreis die Linie AC erreicht, folglich auch die Lage von BC gegeben. Construction. Man mache D E = der gegebenen Linie, beschreibe über D E einen des Winkels BAC' falligen Kreis-

Buch

4*

1.

abschnitt (El. III. 33.), dessen Mittelpunkt' F sey, halbire den Winkel E F D durch den Radius FH, ziehe DH, mache G D L = R , L D = D H , AU=»UD, beschreibe aus U als Mittelpunkt mit einem Radius = U L einen Kreis, welcher die verlängerte AD in R schneide, mache DAK = R, L K # A D f und beschreibe aus R als Mittelpunkt mit RK einen Kreis, welcher die AC in C erreiche. Die gerade Linie CD wird die gesuchte Linie bestimmen. Determination, Damit der zuletzt beschriebene Kreis die AC erreiche

also

HD =

N zcos.ja

Fern Ai

also AR 1 —a.AR-t-ja 5 =s;a'-f

4cos.;« 2

a'cos.;a a +N» 4cos.;« J

Aufgabe

4.

folglich AR=- aC ° S

stcos.ja Es ist AR : RQ=i: sin.;a

..1. a.8in.;a.cos.;a4-sin.:aJ/ a3cos ;a2-i-N7 mithin RQ= acos.ja Also inufs werden N ~asin.;a.cos.ia-4-sin.;af/'a2cos scos.ia 2 cos-' et folglich N—asin.;a.cos.ja^7sin.ia[/a2cos.;aJ-4-NJ also N5—zaNsin.ja.cos.ia-t-aVin.ja^.cos.;«1 ~sin.;a 2 (a 3 cos.ia 5 +N 2 ) mithin N2(i—: 1—sin.;aJ)i=2a.Nsinja.cos.;« 5cos.;aJ j N»cös, somit N=-2a.sin.;a > cos.Ja p. iia.tan.;« I PS, wennADP= ADS=R. Beweis. Es ist N=iPS (Det.) t2a.tan.;a also

N'cos.ia'i~2aNsin.;a.cos.;a

folglich N5^2aNsin.ja .cos.jon-N'sin ^a1 mithin N?~-8aNsin,;a.cos.;a+aJsiii ¡a^cos.;«*' •^"a^sin.^oci.cos.i^-f-N'shi.ja* somit N—asiu.Ja.cos.I,«^si»,Ja^//a3cos.Ja2+Nl

Buch

44

I.

acos.jafl5"') ÜCOSJ«. HD j j RA.sin.;«. RK ' ' RQ E s erreicht also der aus R als Mittelpunkt mit einem Radius = R ! i beschriebene Kreis die Linie AC. E s geschehein C, so ist AR.RD —RC J also

A R : R C = C R : R D (EIJVI. 17.)

folglich

D C R = R A C (El. VI.6.) =RAB mithin liegen die Punkte B , A , C , R auf dem Umfang eines Kreises. ^Bezeichnet man seinen Mittelpunkt m i t T , so ist R T C = s R A C =BAC =HFD Da auch D H = R C so ist H F = R T folglich E F = T R , F D = T C =TB Und da a R T C | = i a H F D BTC) { EFD so ist E D = B C Zus. E s erhellet von selbst, dafs e s , wenn der aus R mit R mit R K beschriebene Kreis die AC schneidet, eine zweite Linie von der verlangten Eigenschaft giebt. Und beschreibt man aus dem zweiten Durchschnitt R des aus U mit U L beschriebenen Kreises und der verlängerten A C einen Kreis mit der dadurch bestimmten R K , so.werden die in die Schenkel der Nebenwinkel des Winkels B A C fallenden Linien B C bestimmt, welche dieselbe Eigenschaft haben, wie die vorhin gefundenen, wie auf ganz ähnlichem Wege bewiesen wird.

Der de

Bücher

inclinationibus Zweites,

Des

A P O L L O N I U S von ZWEITES

DE

PERGA

BUCH

INQLIN ATIONIBÜS.

A u f g a b e I. (Fig. 25 — 34.) Zwischen zvvey concentrische Kreise, deren auf einer geraden Linie liegende Durchmesser AB, CD der Lage und Grösse nach gegeben fiind, von einem gegebenen Punkte dieser Durchmesser, oder ihrer Verlängerung eine einer gegebenen geraden Linie N gleiche gerade Linie zu legen. Fall i. (Fig. 25, 36.) Der gegebene Punkt liegt in dem Endpunkte B des grösseren Durchmessers. Die gesuchte Linie soll, wenn BNM eine den kleineren Kreis in N berührende, den grösseren in M schneidende gerade Linie ist, liegen zwischen den Bogen AM, CN in Fig. s5. oder in Fig. s6. A n a 1 y s i s. Es sey FG diegesuchte Linie. Fällt man vottdemgemeinschaftlichen Mittelpunkte £ der Kfeise das Perpendik«!

48

Buch

E O auf B F , so ist

II.

FO=OB,GO=OH also

(EI. III. 3.)

FG|=BH

N j folglich ist BH der Grösse und (Dat. a8.) der Lage nach gegeben. Determination. Es ist, wenn die, rFK(E1.IIL8.J|, HB 1 < j BN (El r III.8.) \AC FGJ ' M N (¿t.III.i8,3.) Also mufs n { > } a C , N | < | m N seyn. Es ist hingegen (Fig. 26.) G F c j F K ( E t III: 8.), H B } > f B N (E1.III.8 ) \AC FGJ I M N (El. III, i8;3.) Also murs n { < } A C ,

j MN seyn.

Construction. Man beschreibe aus B als Mitelpunkt einen Kreis mit einem RaÜIus = N . Der P u n k t , in welchem derselbe mit dem, kleineren Kreise zusammentrifft, wird die gesuchte Linie bestimmen. B eweis. Es ist (Fig. a5,) hingegen (Fig. a6.)

N { = } i A C , N J = ) j MN (Det.), ^UBD ^'iBN

N i = l i A C , N / ^ j i M N (Det.) I^IBD *>JIBN Also erreicht der aus B als Mittelpunkt mit einem Radius =-N beschriebene Kreis den kleineren in D

A ufgäbe

1.

49

oder N , oder in einem Punkte H zwischen B , N. Im ersten Fall ist AC, im zweiten MN die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im dritten ist, wenn BH den Kreis über AB in F , G schneidet, F O = Q B , GO = OH , wenn E O B = R , also F G = t BH Falls.

(Fig. äff 28.)

Der gegebene Punkt liegt in dem Endpunkte B des kleineren Durchmessers. Die gerade Linie soll, wenn MB auf AB perpendikulax steht, und den grösseren Kreis in M , N schneidet, liegen zwischen den Bogen CM,AFB in Fig. 27. oder 28. Analysis. E s sey F G die gesuchte Linie. Fällt man von dem Mittelpunkte E das Perpendikel E O auf BF, so ist F O = O B , G O = O H also F G | = B H N i folglich ist BH der Grösse und (Dat. 28.) der Lage nach gegeben. D etermin ation. Zieht man durch G , E eine gerade Linie, welch« den kleineren Kreis in K schneide, so ist (Fig. 27.) F G > iGK , HB) < B N (El. IIL 8.) \AC FG/ also mufs N ^ (£ig. s8.)

AC, N ™ BN seyx^

FG ( BC ( N ' folglich ist (Dat. 2.) DA der Grüfse und (Dat. a8.) der Lage nach gegeben. Determination. Da D A : A C = D E : B C (Anal.), u n d D A < A C (El, I I I , i5.) so ist also mufs

D E < BC N — B C seyn.

Buch

6o

IL

C o n s t r u c t i o u. Man mäche A C F ^ = R , F C = C B , C G = N , ziehe A F , G H # A C , H K # C F , beschreibe aus A als Mittelpunkt einen Kreis mit einem Radius = A K . Der P u n k t , in welchem derselbe mit dem kleineren Kreise zusammenkommt, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. E s ist

N CG

BC CF

also AK { " J AC Der aus Aals Mittelpunkt mit einem Radius = A K beschriebene Kreis erreicht also den kleineren Kreis in C , oder in einem Punkte D zwischen A,C. In» ersten Fall ist CB die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im zweiten i s t , wenn D C , E B gezogen

b.) von dem anderen Eudpunkte D des grösseren Durchmessers (Fig. 36. 37.)« Die gesuchte Linie soll, wenn DZ den kleineren Kreis in Z berührt, den grösseren in S schneidet, zwischen den Bogen SB,BZ (Fig. 36.), oder S B , AZ (Fig. 37.)liegen.

Aufgabe

a.

6.1

Analysis. Es sey T U die gesuchte Linie, welche den kleineren Kreis in V schneide. Macht man AY = YB, AWD = Y X D = R , und zieht B U , so ist BY : Y A = U X : XW (El. V1.2.) also U X = X W folglich T U = W V Ferner ist A D J D B i = W D : DU (El.VI.a.) N : P J =VD—TU : D T + T U , w e n n AD:DB=N:P, =VD—N:DT+N mithin A D : D B i = V D : D T + N h - P ( E l . V . 1 2 . ) ( E l . V I . 1.) A D . D B :

BD2/=VD.DT:DT(DT+N+P)

also BD'=DT(DT-+-N-+-P;(E1.III.36.) folglich ist «das Rechteck D T ( D T + N - * - P ) der Grösse nach gegeben. Da auch ( D T - f - N H - P ) - D T = N + P gegeben ist (Dat. 2.3.), ßo ist D T (Dat. 85.) iler Grüüse und (Dat. 28.) der Lage nach gegeben. D eterwination. Es ist (Eig, 36.) D B > BA also j D B i > j ¿ B A B0j { b Y , wenn B/S=ßD, folglich mithin

SY>YU YS3)>lYUa

a

(El. 1.47) Y Z + Z S a / somit also

(El. I I I . 7.)

IVU.UT+YZ3(ELII.6,HI36) 2

ZS >VU.UTi

V U : ZS < SZ : T U (Hauber 1. c. §. 53.)

6a

Buch Nun ist

IL

UD > DS,VD < DZ (El. III. 8.)

folglich U D - D V i > /SD—CZ vu mithin

1

\

sz

S Z > T U (Hauber I.e.§.11.)

also mufs N ^ S Z seyn. Es ist (Fig. 37.) UD>DS,TDDU,AD < D F folglich ÜD-DT) > (SD-DZ folglichBD-DA) > (UD-DT TU ) ( SZ AB ) ( YU also mufs N = S Z ,

N = A B seyn.

Construction. Mail mache E D B = B D P = R , E D = D B = D P , DIST^N, N L # A E , L M # D N , N M # D E , O N = N M , D O Q = R , P Q # D B , beschreibe über QE als Durchmesser einen Kreis, welcher die verlängerte BD in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einem Radius=DR einen zweiten. Der Durchschnitt desselben mit dem kleineren Kreise wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. Es ist (Fig. 36.) D R . R O = O Q . D E O) = PD.DE (Constr) —DB2 (Constr.) also RO : D B = B D : DR (El. VI. 17.) D e s Apollonius von Perga Bücher de Sectione

determinala,

frfy bearbeitet von D i e s t e r w e g , Bonn 1822, pag, 5 . )

Aufgabe

2.

65

Es ist aber OR>RD folglich auch BD > DR (El. II. 5.) In Fig. 37. ist N=AB also NB(BD+DA)=f(BD--DA)(BD+DA) [BD2-DAJ (El. II. 5.) folglich DA 5 + iND. DB) +ND . DA\ (El. VI. 16.) }AD . DLj I AD-i+(N D+D L) A D I ADJ-t-2aD.DA I

_

ißD* jDR.RO (R«2—«D2, wenn ßa^aO,

5 mithin AD^-waD.DA-t-Da^Ra
^R«i

mithin Z D — D o J ^ R «

somit D Z / > U R « + a D DR Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius ss DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen jBZ in Z I , oder einem Punkte T zwischen 1AZ in A, oderZl |B, Z IFig. (41.1. Im j ersten Fall cFig. 4t. I ist ZS> l A, Z J W J 1 zweiten Fall (Fig. 4a. I

Aufgabe

2.

7

5

im ersten Fall (Fig. 4a.) ist AB die gesuchte Liuie, wie von selbst erhellet. Im (zweiten Fall (Fig. 41.) | dritten Fall (Fig. 42J ist B D i = D R . R O =DR(RD—DN—NO) also AD.DB:BD31 = tVD.DT:DR(RD-DN-NO) AD:DB | j VD-.RD—DN-NO ND:DL» folglich AD:DB =VD-+-DN:RD-DN(E1. V11) WD:Du( w e n n A W D = R , VD-»-TU:DT—TUj weÜ W X : X U = AY:YB, wenn D X Y = R also W X = X U folglich V W = T U also VD + DT:DT—TU=VD+DR:RD—DN folglich DT—TU=RD—DN mithin T U = (ND j N Fall 2. (Fig. 43-75.) Die Kreise berühren einander nicht. A) Der eine liegt innerhalb des anderen. (Fig. 43—53.) a) Die gesuchte Linie soll gezogen werden von einem Eudpunkte des gröfseren Durchmessers (Fig. 43=47.). a) von demjenigen D , welcher von dem kleineren Kreise am weitesten entfernt ist (Fig. 43. 44.). Sie soll, wenn die gerade Linie DZ den iuneien Kreis in Z berührt, den

Buch

76

IL

äusseren in S schneidet, liegen zwischen den Bogen CS,BZ in Fig. 43., oder Fig. 44. A nalysis. Es sey T U die gesuchte Linie, welche den kleineren Kreis in V schneide. Macht man AY=YB , V W = T U , D W F = Y X D = R , und zieht C U , so ist WX : X U = F Y : YC (El. VI. a.) also FY = YC folglich A F = B C mithin ist AF der Lage und Giöise nach, somit der Punkt F (Dat. 3o.) und die gerade Linie D F (Dat. sg.) gegeben. Ferner ist F D : D C ) = W D : D U (El. VI. 2.) wenn FD:DC=N:P; N:P ) = V D - T U : D T + T U = VD—N:DT-t-N folglich F D : D C » wenn FDJ5C=AD:H;

AD:H>

J VD:DT-F-N-+-P (EI. V . 1 2 . )

j VD.DT:DT(DT-+-N-t-P)

AD.DBSBD.H'

also B D . H = D T ( D T + N + P ) (El.III.36.) Folglich ist wegen der gegebenen BD (p.' hyp.) und H (Dat. 2.) das Rechteck D T ( D T - T - N + P ) derGröfse nach gegeben. Da auch C D T - H N + P ) — D T = N - I - P gegeben i s t , so ist D T (Dat. u5.) der Gröfse und ( D a t a8.) der Lage nach gegeben. Determination. Es ist (Fig. 4 3) DA>BC (p. hyp.) also DA-+-AY j > i CB-t-BY DY f j CY

Aufgabe

2.

77

folglich C Y < mithin UY < Y S (El. III. 7.) somit UY'J YS* (El.II.G. III.3G.) T U.UV-t-YZ 2 j < lSZ a -+-ZY 3 also

TUUV D S , V D < D Z mithin UD—DVi > 1 S D - D Z UV J l sz somit S Z > T U (HauberJf.n.) Ferner ist U Y > Y C (El. III. 7.) also U Y — Y K ) > I Y C - C B , wenn YK ein UK 1 l BC Radius ist, folglich auch T U > B C (EL1II.8.) mithin mufs N ^ S Z , N > B C seyn. E s ist (Fig. 44.) U D > D S , T D < D Z also U D — D T ) > JSD—^DZ UT I 1 SZ Ferner ist C D > D U , B D < D T also CD—DBj < (UD—DT BC J 1 TU folglich mufs N > S Z , N < B C seyn. Construction. Man mache A D E = A D P = R , E D ^ D C , PD*=DB, AF=BC, DN^N, NL#AG#FE, LM#DN,NM#DL,

?8

Buch

IL

O N = N M , D O Q = R , P Q # D O , beschreibe über GQ als Durchmesser einen Kreis, welcher die verlängerte RD in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR einen zweiten. De» Punkt, in -welchem derselbe den Bogen BZ erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. Es ist N>

also ND(AD-t-DB) ND(AD—BC)+ j ND.DC j FD.DL (ND-t-DL)DF

folglich ND-t-DL DO üDa

[BC (Det), wenn das lunterei ) obere | Zeichenpaar sich auf Fig. |43.{ bezieht. 144-1 BC(AD+DB) AD.BCH-DB.BC (AD.DC)—(AD—BC)DB (FD.DGJ (ELVL16.) (GD—DB)DF ,GD—DB wenn D a = o O

mithin 2BD.Da|>|GD.DB—BD»

somit BD»-+-aBD.D«-+-D«2| > I /•rGD.DB|-+-Do1 (-(¿{DR.RO} ( Ra» also B D + D a / > ^ R « l(R«— aD (iND:DZ CY:YD[)~J wennCY=YA sCY:aYD CD—DF:DC-»-DF (EL V. i7.i8.) YD—DA : GDH-DAJ Es ist auch AD s DG=ND : iDL (MN |no

?

folglich GD-t-DA : AD=0N4-ND:DN mithin GD—DA : AD/>UON-hND) J)Z (EL V.21. Hau( < j i aD« J ber 32.) DG|>|DZ:] somit AD : DGj > jDZ:DZDaDa (El.V.18. Hauber J9. 5.) D Z ) / > ) GD-.DZ-waDa GD:I also AD : DZ)J>/ (El.V. iß.Hauber ZD ::DBj( U B D . D G (El. VI. 17. (DR.RO Hauber §.53) R«a—«D» mithin DZ*+aBD.Da+aD 2 1! >>l

somit ZDH-DAJ > J R «

und D Z J >

(|Ra—«D

! D Z : a a D - D Z (EL V. 16. Hauber J. 43.) folglich AD+DG : ADAä=ND:(LD—DNi I 2«t) / • ~ N D : D Z (EL V. a i . Hauber $,32.) wenn A Y = Y B ,

und S Z ~ f N D (El. V.9.10.) \ N Beweis. Es ist S 7 , < N (Det.) also SZ;ZD\ ~ N D : D Z aCYuDY l CD-t-DF:CD —DF | GD+DAiGD-DAj Da nun A D : D G = N D : D L also GD—DA:AD=LD— DN:ND so ist GD-t-DA: AD . a«D:DZ folglich A D : D G ~ D Z : 2 « D — D Z mithin AD:DZ) ZD:DB)

>

(El. V. i7. Hauber 22.)

DGtzaD—-DZ

somit aaD.DZ—DZ S > BD.DG

Aufgabe also

85

a.

D«»-BD.DG~DZ3-aaD.DZ+D«2

E s ist aber E a ' J + D Z ^ a D . D Z

(E1.11.9.

folglich D a ' > B D . D G D e r über G Q als Durchmesser beschriebene Kreis erreicht also die Linie D O ( S . Apoll, de Sect. det. pag, 7.). E s geschehe i n R , so ist BD.DG.=DR.DO DZ5—2aD.DZ+Da2

mithin D a ' — D R . R O 1 otR'J }

somit a R ^ Z D — D a , oder also R a + a D K D Z , DR 1

also

Ferner ist E C ^ N

aRZJaD-DZ, DZ~iDa—«R I D R ' , wenn R«=«R'>

(Det.)

also B C ( A D + D ß ) = r N D ( A D + D B > (BD+DG)DFJ > {(LD—DN)DF folglich

BD+DG^rLD—DN |

sD«

mithin B D 2 + B D . D G ^ 2 B D . D a somit B D J - a B D . D a + D a ^ i D a 2 — B D . D G 1

Ra2

Sß

Buch

II.

also BD—D« > R« folglich BD> rBa+wD \ DR Der aus D als Mittelpunkt inil einem Radius = DR beschriebene" Kreis erreicht also den Dogen BZ in B, oderZ, oder in einem Punkte T zwischen B,Z. Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR' beschriebene Kreis erreicht den Bogen BZ nicht, wenn nicht R,R' zusammenfallen. Im ersten Fall ist BC, im zweiten SZ die gesuchte Linie, wie leicht erhellet Im dritten ist BDJDG=DR.RO =DR(LD—DN-RD) also VD.DT:DR(LD-DN—DR) J = AD.DBiBD.DG VD:IJD—DN—DRi =AD:DG =ND:DL folglich ND—DV:RD-t-DN=ND:DL =FD:iDE \DC =WD:DU, wenn D T gezogen ist, welche den f grösseren 1 C kleineren) Kreis in i U l iv/ schneidet, und FVD=R,

=TU-DV:DT+TU

weil W X : X U = > F Y J Y C wenn Y X D = H

Aufgabe

a.

87

alsoWX^XU folglich W X — X V ) = r U X — X T VW

J

J

TU

mithin V D + D R : R D + D N = V D + D T : D T + T U somit R D + D N = D T + T U und D N j = T U . N } 2) Zu Fig. 46. Determination, Damit der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis den Bogen BZ erreiche, muis seyn

a) D R ) > D B Da—aRJ

wenn D a = a O ,

also « ü — D ß ^ R a folglich D«'—aaDJ)B+BD»~CRaa ID« 2 —jDR,RO \BD.DG mithin BD' J -t-BD.DG > 2aD.DB somit BD-t-DG > fzaD ILD-DN also B D . D F + f G D . D F l j ^ / ( L D . D F )—ND.DF f A D . D C i j | (ND.DCj CTB 2 « D . D Z mithin auch D a ^ B D J D G Der über GQ als Durchmesser beschriebene Kreis erreicht also die Linie D O . E s geschehe in R , so ist B D . D G = D R . R O also D « J - i D R R O ) ~ D a ' — 2 « D . D Z + Z D 2 l «R2 J folglich « R ^ D — D Z , oder a R > Z D — D a

go

Buch

11.

mithin DZ^/Da—aR, R a + a D j ^ D Z l DR DR' f ,wennRa=«R' Ferner ist BC>N (Det.) also BCCAD+DB)t~,ND(AD-i-DB) (BD-+-DG)DF* }(LD—DN)DF folglich B D + D G ^ j L D - D N l 2D0 mithin BD3-t-BD.DG > ¡jBD.Da somit Da'—aBD.D«+DB2~ ,D«2_.iBD.DG j lDR.RO ( «R» also e*D—DB^R folglich D a - a R ) > D B DR J Der aus D als Mittelpunkt mit einein Radius = DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen BZ in B, oder Z* oder iu einem Punkte T zwischen B,Z. Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius =DR' beschriebene Kreis erreicht den Bogen BZ nicht, wenn nicht R,R' zusammen fallen. Iui ersten Fall u. s. w. buchstäblich, wie zu Flg. 45. 2) Es sey Z8 > BC(Fig470. Anm. Da CD > DS, ZD > DB so ist CD—DBI>jSD—DZ BC j \ s z a'so kann dieser Fa'I bey Fip. 48. nicht statt finden.

Aufgabe

a.

9i

Determination. Damit der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis den Bogen BZ erreiche, niufs seyn

a) D R i ^ D B Da—«R| also «D—DB^^Ra

folglich Da'—äaDJDB+BD^fRa» \Da»-fDR.RO IBD.DG mithin BD J +BD.DG < saDJDB somit B D H - D G ~ L D — D N

also BD.DF-t-iGD.DFJ ~ HLD.DF i —ND.DF jAD.DCj /fNDJ)CJ DB.BC-+-AD.BC (ND(AD-t-DB) (AD-t-DB)BC , folglich B C ~ t N D IN b) D R i ^ D Z Da—«RJ also «D—DZ > R« folglich D a ' - a a D . D Z + D Z » > p « 2 lDa'~/DR.RO tBD.DG

Buch

II.

mithin B D J D G > ( i « D — D Z ) D Z somit ZD:DB , < D G : i « D — D Z AD:DZ also A D : D G ~ D Z : 2 a D — D Z folglich A D + D G : A D > a « D i D Z Da nun AD:DH=ND«DL mithin A D : G D — D A = N D : L D - D N ist GD-f-DA:GD—DA ~ N D : D Z CD-t-DF:CD—DF aCY:aDT CY:YD wenn A Y = SZ-.ZD mithin S Z ^ i N D ( N Beweis.

Es ist B C < N (Det. also B C ( A D + D B ) l ~ j N D ( A D + D B ) (BD-t-DG)DFJ

{(LD-DN)DF

folglich B D + D G ~ L D — D N mithin B D ' + B D . D G < i « D . D B

Aufg

ab«

a.

g5

somit D«'— aaD.DB+BD^Da 5 —BD.DG Da aber D a ' + D B ^ aaD.DB so ist fluch Da»>BD.DG Der über GQ beschriebene Kreis erreicht also die gerade Linie DO. Es geschehe in R , 60 ist BDJ)G=DR.RO also D«'—a«D.DB+BD»^(D«5—DR.RO { Ra» folglich wD—DB^Ra, oder BD—Da^Ra mithin Da—«Rl^DB, DR '

also BD " r R a + a D { DR, wenn R'«=aR,

Ferner ist S Z ^ N (Det.) also SZ:ZDl"ND:DZ GD+DA : G D - D A i Nun ist AD:DG=ND:DL folglich GD—DA : AD=LD—DN : ND mithin GD+DA : AD^aaD : DZ somit AD : DG^DZuaD—DZ also AD : DZI^DGwaD—DZ ZD : DBI

g4

Buch

IL

folglich BD.DG~8aD.DZ-.DZ* mithin Da*-aaD.ÜZ+DZ2^|Da'-iBD.DG j lDR.RO { Ra* souiit aD—D2i>Rot also Da— aRlZ^DZ DR i Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = )DR I beschriebene Kreis erreicht also den Bogen jDR'i BZ lin B, oder Z , oder in einem PunktTzwischen glicht, wenn nicht R , R' zusammen fallen B, Zj. Im ersten Fall ist BC, im zweiten SZ die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im dritten ist BDJ)G=DR.RO, u. s. w. buchstäblich, wie zu Fig. 45. J) Es sey ZS = BC Fig. 47. Anm. wie zu 3. Determination. Damit der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis den Bogen BZ erreiche, mufs seyn R D ^ D B , R D > D Z also B C ~ N , SZ

welches wie bey 3. bewiesen wird, od.er BC~N, S Z ~ N , wclches wie bey J. i. bewiesen wird

Aufgabe

2.

95

Da dieses nur möglich Ist, wenn B C = N = S Z > so sind B C , S Z IJnien von der gegebenen Eigenschaft. b) Die gesuchte Linie soll gezogen werden von einem Endpunkte des kleinern Durchmessers (Fig. 48-53.); «) von demjenigen, D, welcher von dem grösseren Kreise am weitesten entfernt ist (Fig. 48. 49.}. Sie soll , wenn DZ auf AD perpendikular steht, und den gifisseren Kreis in Z schneidet, liegen zwischen den Bogen BZ, CUD in Fig. 48, oder in Fig. 49. A n a 1 y s i s. Es sey TU die gesuchte Linie, welche den grösseren Kreis in V schneide. Macht man AY=YB, V W = T U , DWF—YXD=R, und zieht CU, so ist WX : XU=FY:YC also FY^YC folglich AF=BC mithin ist AF der Lage und Gröfse nach, somit der Punkt F , und die gerade Linie DF gegeben. Ferner ist FD:DC|=WD:DU wenn FD:DC=N:P; N:P j = V D - T U : D T - T U (Fig.38) =VD—N:DT—N = T U - V D : T U - D T (Fig.49) =N—VDjN—DT also N : Pi=jVD:DP+P-N(%,48.49.) wennFD:DC^=AD:H;AD:H j { VD.DTiDT(DT+P-N) AD.DB:BD.HJ folglich BD.H=DT(DT+P—N)

g6

Bit ch I i .

mithin ist wegen der gegebenen BD,HL das Rechteck DT(DT+P—N) der Gröfse nach gegeben. Da nun auch (DT+P—N)—DT=^P—N gegeben ist, so ist DT (Dat. 85.) der Gröfse und (Dat. s8.) der Lage nach gegeben. Anrn. Wenn P ~ N , so ist DT aus denselben Grtinden gegeben, und wird auf ähnlichem Wege gefunden, wie folgt« Determination. Es ist (Fig. 48.) AD>BC (p. hyp.) also AD-t-D0l>iBC+C/3, wenn D0=0C, Aß 1 l Bß Folglich BY>B0. mithin ßZ>ßT somit ßZ'l>i(3T» ßD'+DZ 2 / IDT.TU+^Di also DZ a >DT.DU folglich TD : DZ D Z mithin D Z > T U Ferner ist T£>B0' also T 0 - 0 K » > i B 0 - 0 C , wenn K 0 - 0 C , TK f | BC folglich auch TU>BC mithin mufe N < D Z , N~BC seyn.

3.

Aufgabe

97

Es ist (Fig. 4g) AD iR«—«D l DR Es ist (Fig. 4g.) N^BC also ND(AD—DBj~/BC(AD-DB) N D . D C — N D ( B C — A D ) I IAD(BD+DC)—CB.BD LDJ3F—ND.DF J UD.DC—(BC—AD) BD (LD-DN)DFJ [FD.DG—FD.DB (GD—DB) FD folglich

süDc^GD—DB,wennD«=aO,

Aufgabt

l.

9g

mithin sBD.D» < GD.DB-^BD*

T

•omlt BD»-»-aBD.Da-haD3
B D — D a , oder Ret > aD—DB mithin R a + a D L BD, DR

BD~tDa—aR \ DR' wenn R a = a R '

Ferner ist DZ.^N

)

also D Z n ~ N D . D Z BD.DAJ

Aufgab*

a.

109

folglich BD:t)Z> ,ND:DA ND(AD+DG):DA(AD+DG) N D + D L : AD-f-DG mithin B D ( A D + D G ) > a o D . D Z somit DZ2—aaD.pZrt-Da^ / Da'— j BD.DG j ¡DR.RO ( R« 2 also Z D — D a ^ d folglich

DZ>(Ra+aD j PK Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius a DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen BZ. in ß , oder Z , oder in eiuem Punkte T zwischen B,Z. (Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR' beschriebene Kreis erreicht deti Bogen BZ in B , oder gar nicht.) Im eisten Fall ist BC, im zweiten D7, die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im dritten ist BD,DG=DR.RO =DR(LD+DN—DR> also AD.DB:BD.DG 1 = iVD.DT:DR(LD+DN—DR) AD:DG | IVD:LD+DN—DR ND;DL J folglich ND:DLj=VD^-DN:ND—DR FD;DE[ WD:DU / VD—TU:TU—DTJ weil WX:XU=FY:YC, wenn YXD = R

lio

Bumh IL also WX=XU somit VW=TU

folglich VD-DT:TU—DT=VD—DR:ND—DR mithin TU—DT=ND—DR somit T U = i D N IN 3) Es sey B C > D Z , so rnufs also seyn i> In Fig. 5a. a) D R | < D B Da+aR» also N ^ B C ,

b) D R 1 J D Z Da+aRJ also D Z > N

wie vorhin unter N< s. a. b, a) In Fig. 53. a) D R l ^ D B , Da—aR'

b) D R l ^ D Z Da—aRÍ

also B C ^ N ,

also D Z ~ N ,

wie vorhin, unter K. i. a« b. Beweis. Wie vorhin, unter N. i. 2. J) Es sey BC=DZ, so muís seyn ») in Fig. 5o. D R > D B , D R < D Z also B C ^ N , D Z ~ N a) in Fig. 5i. DR>DB,DR^BD2—sBD.D«+D«2 DR.ROJ Ra 2 also Ras

BD—Da . S N D : D Z CY:YD] aCY^YD FD—DC:FD-+-DC| AD—DG:AD+DGJ Da nun AD : D G = N D : D L folglich A D + D G : A D ^ N D + D L : ND so ist AD—DG : ADiND-+-DLi : DZ J (BD.DG ' < 11 Ra 3 —aD 1

folglich DZ J —fiBD.Da-i-aD 5


)Ra»

Ra

A u f g a b e 2.

n5

somit DZ*' / BD.DG /BD(BD+DG)

1.8

Buch

II.

mjthin aDai Z. >BD-t-DG somit NDJDF—LD.DF J ND(AD-f-DB) 1

{ BD.DJF-+-FD.DG l ( AD+DB)BC

also NDJ^IBC seyn. Da DZ^^fDR seyn uiufs, so uiufs ZD—Da/ \Ra aUo DZ'-aZD.Da

j,Ra2

folglich Da»—aR»jDZ:a«D-DZ

also AD+DG : AD

ja«D:DZ seyn.

Nun Ist AD : DG=ND:DL folglich AD : AD—DG=ND:ND—DL also inufs AD+DG FD+DC aCY CY SZ

: AD-DG\ J ^ I n D : DZ : FD—DCl ( > ' : 2YD > wenn AY=YB, : YD : DZ

öl?

folglich S Z ^ J i N D seyn.

Beweis.

"Ö

Es ist NBC (Det.)

also ND(AD+DB)|^UAD +-DB)BC (ND—DL)DFi ( > ) (BD+DG)DF

Buch 11

13Q

folglich a a D / ^ ( ß D + D G ,

mithin a a D J D B ) ^

wenn D a ^aO,

VBD3+BD.DG

somit D « a — B D . D G < ^ i ß D 2 — 2 « D . D B - + - D « 2 > Da

BD2+Da2~2«D.D3

so ist für das untere Zeichenpaar

DaJ>BD,DG

Ferner ist S Z ^ V N > )

also S Z : Z D AD-+-DG:AD—DG

]= >ND : D Z (> }

N u n ist A D : D G = * N D : D L also A D — D G : A D = I N D — D L i j

2«D

: ND

j

folglich A D + D G : A D ) < U a D : D Z f> i

mithin A D : D G ) ^

(DZuaD—DZ

Aufgabt!

2.

121

somit AD-.DZ J) * VDG:aaD—DZ ZDiDB (( < ;

also

DZ)DZ.|^|BD.DG.

folglich D«»-BD.DG|^ ¡DZ»—aaD.DB+Da» Es ist aber DZ>+Da' > 2 « D . D B mithin; ist' für das obere Zeichenpaar a D 2 > B D . D G Der über GQ als Durchmesser beschriebene Krejs erreicht also die gerade Linie DO. Es geschehe in R , so ist DR.RO=BD.DG, folglich sowohl Da»—DR.RO/ < f \BD3-aBD.Pa-+.aD» Ra» K> mithin Ra/ ^ \BD—Da

somit R a + a D / / ^ > B D DR (l als auch Da*—DR.RO^ ¡^DZ»-2aD.DB+>Da2 Ra»

X 22

Buch

II.

mithin R a y } Z D —D D « , und R«< R « | _^ J>«D—DZ «D—I

somitRa+aDU^SDZ, DR f l < >

und D z J ^ i j l ) « — « R l < > \ DR', wenn « R ' = a R ,

Der au? D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen B Z in B , oder Z , oder in einem Punkte T zwischen B,Z. (Ein aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR' beschriebene Kreis erreicht ihn in Z , oder gar nicht.) Im ersten Fall ist BC , im zweiten, Z S die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet Im dritten ist BD.DG=DR.RO = DR(ND—DL—DR) also BD.DA:BD.DG \ = V D . D T : D R ( N D - D L - D R ) AD:DG J wenn D T den Kreis Uber AB ND:DL ) in V schneidet, =VD:ND—-DL—D R folglich ND:DL\=VD4-DN:ND—DR FD:DCl WD:DU> wenn F W D = R , und D T den I Kreis Uber CD in U schneidet, V D + T U : T U - D T J weil W X ; X U = F Y : Y C wenn Y X D = R , also W X = X U folglich V W = T U

Aufgabe

a.

l ao

mi ithin TU—DT=ND—-DR

!

somit T U = / N D I N C) Der eine Kreis schneidet den anderen (Flg. 58-75.). a) Die gesuchte Linie soll gezogen werden von einem der äusseren Endpunkte, D , der Durchmesser (Fig.-58—67.). Der andere Endpunkt C des Durchmessers CD fällt a) in den Mittelpunkt des über AB beschriebenen Kreises (Fig. 58. 5g.). Die gesuchte Linie soll, wenn die gerade Linie D Z den P u n k t D mit dem Durchschnittspunkte Z beider Kreise verbindet, zwischeu den Bogen BZ, CZ (Fig.58.)> oder B Z , AZ (Fig. 5g.) liegen. Analysis. E9 sey T U die gesuchte Linie, welche den Kreis Uber AB in V schneide. Zieht man C U , so ist C U D = R , also TU*=UV, folglich T V = a T U = a N , mithin ist TV eine gegebene gerade Linie, somit die Aufgabe auf Buch I. Aufgabe i. reduclrt. ß) Zwischen den Mittelpunkt des anderen Kreises, und denjenigen Endpunkt seines Durchmessers, welcher dem Punkte D am nächsten liegt (Fig. 6o—63). Die gesuchte Linie soll, wenn die den Durchschnitt H beider Kreise mit D verbindende gerade Linie DH den über AB liegenden Kreis in K schneidet, und die diesen Kreis in Z berührende gerade Linie DZ den über CD liegenden in 3 schneidet, liegen

Buch

124

II.

X) Zwischen den Bogen BK, CH (Fig. 60.). A n a l y s i s. Es sey T U die gesuchte Linie, welche den über AB liegenden Kreis in V schneide: Macht man A Y = Y B , V W = T U , D W F = Y X = D R und zieht mithin ist wegen der gegebenen BD,H das Rechteck DT(DT—N—P) gegeben. Da auch D T - ( D T - N — P ) =N-+-P gegeben ist, so ist D T (Dat. 85.) der Gröfse und (Dat. s8.) der Lage nach gegeben. Determination Macht man K I = I H , und zieht IY,CH, so ist IH:HD—YC:CD=XU:UD Da niiu H D < D U , U D < D C so ist IH H K , N ^ B C seyn. Constructlou. Man mache A D E - A D P ^ R , E D = D C , P D = D B , A F = BC, DNr=N, N L # A G # F E , L M # D N , N M # D E , O N = N M , ; D O Q = R , P Q # D O , beschreibe über GQ als Durchmesser einen Kreis, welcher die verlängerte D O in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR einen anderen. Der P u n k t , in welchem derselbe den Bogen BK erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis, Es ist B C ~ N somit

(AD+DB)BC\~/ND(AD+DB)

AD.BC)fDB.Bc| AD(BD-DC)f (ADfBC)DB—f

AD.DC

l 11

JGD(ADtBCn

p D . D A f jND.DB
HK—2.D« also HK:KD\ >HK—zDa : KD CFv.FD weil IH:HD=YC:CD, FD—DCf \ wenn HI=IK AD—DG:AdI also KH:HD = FC:CD weil FD:DE = AD:DG/ . folglich HK:KD=CF:FD folglich AD:DG>KD:HD + aD« mithin AD:DKi >GD:HD+2D« HD:DBj somit H£>a+aHI>.Da>fBD.DG DR.RO also HD 2 4-2HD.Da-i-aD 2 >Ra J folglich H D + D a x x R mithin HD>iRet—aD l DR Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen BH in B , oder einem Punkte T zwischen B,H. Im ersten Fall ist BC die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im zweiten ist

Aufgabe

a.

i3i

BD.DG=DR.RO =DR(DR+ND+DL)

also A D - D B : B D . D G ) = V D ! D T : D R ( D R + N D + D L ) AD : DG

ND:DL

(=VDRDR+ND-J-DL

)

folglich ND : D L } = V D — D N : RD+DN FD : DCj W D : D U F wean F W D = R , und D T J den Kreis über CD in U i schneidet, VD-TU : DT+TUJ weil W X : X U = F Y : X C , wenn Y X D = R , also W X = X U folglich V W = T U mithin V D - h D T : D T - 4 - T U = V D + D R : R D + D N

somit DT+TU=RD-+-DN und T U = j D N { N )) Zwischen den Bogen KZ,SH, (Fig. 62.) Analysis. Buchstäblich, wie bey X. (Fig. 60.) D eterm ination. Wenn man KI=IH macht, und IY, C H , C S zieht, 60 ist IHiHD=YC:CD =XU:UD=ZS:SD Da UD < D H , SD < DU

so ist U X < I H , S Z < X U

Buch

l52

11.

also U X + X T I < RHI+IK, S Z < IUX-T-XT TU

J

}

X

HK

TU

folglich mufs N < H K , N > S Z seyn. Construction. Man mache A D E = A D P = R , E D = D C , P D = D B , AF=BC, D N = N , NL#AG#FE, LM#DN, NM#DE, O N = N M , D O Q = R , P Q # D O , beschreibe über GQ als Durchmesser einen Kreis, welcher die verlängerte D O in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einein Radius = D R einen anderen. Der Punkt, in welchem derselbe den Bogen K Z erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. Es ist H K ! ~ N also H K ( F D + D C ) = ( N D ( F D + D C ) ) ND.DF+LD.DF [2aD.DF, w e n n D a = « ö , folglich H K : 2 D « ^ I D F : F D + D C ¡DK:KD+DH, weil I H : H D = Y C : C D wenn K I = I H , also K H : H D = F C : C D folglich K D : D H = F D : D C mithin HKiiDa—HK>KD:DH

Aufgabe

2. iD«-HK:DH

somit H K j K D CFì-.FD FD—DCl AD—DG:AD also

folglich

AD:DG>HD:DK—aDa

AD:DHi~GD:DK—îDa KD:Dßj

mithin D K 3 — K D . D a ~ ( B D . D G DR.RO f Ra3—aD2 omit D K 3 — a K D . D « + a D » > R a 3

also K D — D a

>

Ra

folglich K D ~

IRa+aD i

Ferner ist S Z ^ N

also

DR (Det.)

SZ:ZDl~ND:DZ CY:YDf

aCY:2YD FD—DC:FD+DC AD—DG:AD-»-DG ' Da A D : D G — N D : R L so ist

AD+DG:AD=ND4-DL:ND

Buch

i34 also

II.

AD-DG:AD~2Ü«:DZ

folglich mithin

AD:DG N D : D Z folglich D Z ~ D i i , wie bey

. (Fig. 62.)

Ferner ist H K c H K + s D a also HK:KD KH—zDa also HK;KD >HK—STD«:KD CFJ:FD weil IH:HD=YC:CD, CD+DFJ wenn HI=K,' GD+-DA : AD also KHjHD=FC*CD folglich HKJCD=GE:FD folglich AD:DGDX

Da H D < D U

so 1st CY>UX

so ist I H < X U

Weil auch AB>VT

Weil YXTX

so ist T X > I K

soistCY-+-YBi> jTX-t-XU alsoHl-»-IK1 H K seyn. Construction. Man mache A D E = A D G = R , E D = D C , P D = D B , AF=BC, D N = N , N L # A G # F E , LM#DN, N M # D E , O N = N M , welche O N > N D , weil F D < D C , nehme D O Q = R , P Q D # 0 , beschreibe über GQ als Durchmesser einen Kreis , welcher die verlängerte OD in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR einen anderen. Der Punkt, in welchem derselbe den Bogen BH erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. Es ist BCj^N (Det.) also (AD—DB)BC)~/ND(AD—DB) AD(CD+DB)—DB BC f J ND.DA—ND(ßC—CD) GD.DF—DB(BC—AD) | j LD.DF—ND(BC—AD) (GD—DB)(BC—AD)' ' (LD—DN)(BC—AD) folglich G D — D B > a D « ,

wenn Dft=aO,

Buch

IL

mithin GD.DB—BD 2 > 2BD.Da somit GD.DB) ~BD J -+-aBD.Da DR.RO > Rai—«D^J also Ra~BD2+2BDJD«+oDi folglich R « > B D + D « mithin R a — « D i ^ D B DR

i

Ferner ist H K ^ N also H K ( C D — D F ) ^ R N D ( C D - D F ) ]FD.DL-ND.DF | aFD.Da folglich H K : 2 D « < I D F : C D — D F KD:HD—DK, weil IH:HD=YC:CD, wenn H I = I K , also KH:HOR=FC:CD fplglich K D : D H = F D : D C mithin H K : I D « + H K ~ K D ; D H ^2D«+HK:DH (El. \ (51. VI. 2. V. 1 8 )

Aufgabe

2.

i5i

also AD:DG>DH:2«D-+-DK folglich

AD:DHv=DG-.27*D+DK KD:DBJ >

mithin KD 2 -tiaaD.Dß= I B D . D G ' > {Rqa-ctDa somit KD J +2aD.DB+Da a ^Ra J also K D + D a ^ a R folglich KD

iRa— oD l DR

Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = D R beschriebene Kreis erreicht mithin den Bogen DK in B , oder K, oder in einem Punkte T zwischen B,K. Im ersten Fall ist BC, im zweiten HK die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im dritten ist BD.DGzsdr.RO = DR(DR+LD—DN) also AD.DB:BD.DG j =VD.DT:DR(DR+LD—DN) ÄD:DG | wenn D T den Kreis über ND:DL I AB in V schneidet, =VD:DR-t-LD-DN folglich ND:DL\=ND—DV:ND—DR FD:DC| WDiDUfl wenn F W D = R , und DT l den Kreis über CD in U Schneidet kl T U — D V;TU—DT ) weil WX:XU=FY:YC? wenn Y X D = R ,

i52

Buch

21. alio W X ^ X U folglich V W = T U

mithin VD— DT:TU—DT=VR—DR:ND—DR somit TU—DT=ND—DR und T U = f N D l N J) Zwischen den Bogen DH,HZ. (Fig. 740 Analysis. Es eey T U die gesuchte Linie, welche den über AB liegenden Kreis in V schneide. Macht man AY = Y B , V W = T U , D W F = Y X D = R , und zieht C U , so ist WX : X U = F Y : YC also FY=YC folglich AF=BC mithin ist AF der Lage und Gröfse nach, somit der Punkt F , und die gerade Linie DF gegeben. Ferner ist FD:DCi=WD:DU wenn FD:DC=*=N:P, N:Pj = VD—TU:DT—TU, =VD-N:DT—N also N : P ) = V D : D T - t - P - N für FD:DC=AD:H, AD:H ( = VD.DT:DT(DT+P-N) AD.DB:BD.HJ folglich BD.H=DT(DT-t-P—N) mithin ist wegen der gegebenen BD,H das Rechteck DT(DT+P—N) der Gröfse nach gegeben. Da auch (DT+P—N)—DT^P—N gegeben i s t , so ist D T

Aufgabe

2.

i55

(Dat. 81?) der Gtöfi-e uml (.Dat. 18.) der Lage nach gegphpu. Determination. Ks ist DC > DB (hyp.) also j P C | > - D B Da ancli jT B > DY (hyp.) so ist I'(J> DY folglich f 7 7 > § T mithin pr,a+DZ a J

IDT.TU+Sm

somit D2. a > DT.TU also T D : D Z < Z D : T U Es ist aber T D > DZ folglich Z D > T U mithin mufs M ~ D Z seyn. Construction. Man mache A D E = A D P = R , ED=>DC, P D = D B , A F = I i C,.DN=i=N,Nl4J:AG#FE, LM#DN,1XM#DE, Ü N = N M , welche O N > N M , weil F D < D C , nehme D O Q = R , P Q # D O , beschreibe über GQ als Durchmesser einen Kreis, welcher die verlängerte VD in R schneifle, uihI aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR einen anderen. DerPunkt, in welchem 11

i.H

Buch

11.

derselbe den Bogen H Z erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. E s ist D Z ^ N

(Det)

also D Z 2 ) > D N . D Z AD.DB) folglich B D : D Z = f N D : D A f ND(GD—DA)

):(GD-DA)AD

AD.DL-ND.DA| sAD.Da ;wennD«=aO, aDa:GD—DA mithin

BD.DG—BD.DA>2aD.DZ somit B D . D G ) ~DZ 2 -+-AAD.DZ DR.ROJ Raa—«D2) also R a ^ D Z i - t - a a D . D Z + D a a folglich R A > Z D - » - D a mithin Ra- D Z DR i Ferner ist K H c K H + a D a also H K : K D \ < K H + a D a : K D CFI : FD I CD+DF/

weil I H : H D = Y C : C D ,

}

(E1.VI,2.V.I8.)GD+DA:ADJ

wenn H I = I K , ALSQ

KH:HD=FC:CD

Aufgabe

9.

i55

folglich H K : K D = C F : F D folglich AD:DG>KD:DH-+- 2 Da mithin A D : D K i > G D : D H + 2 D «

HD:DBJ somit DH'-t- 2HD.D a > i BD.D G IRaJ—aD» also DH a -t-2HD.Da-haD J >Ra a folglich HD-i-Da>Ra mithin H D > r R a — « D i DR Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschiiebene Kreis erreicht also den Bogen HZ in Z , oder einem Punkte T zwischen H,Z. Im ersten Fall ist D Z die gesuchte Linie, wie von selbst erhellet. Im zweiten ist BD.DG=DR.RO =DR(DR+LD—DN) also ADJDB:BD.DG J = V D . D T : D R ( D R + L D — D N ) AD:DG [=VD:DR+LD—DN ND:DL ) folglich N D : D L } = V D — D N : R D = D N FD:DC I WD:DUL wenn FWD — D R , und DT I den Kreis über CD in U l schneidet, VD—TU:DT —TU J weil W X : X U = F Y : Y C , wenn Y X D = R , also WX = XU

Buch

i56

IL folglich V W = T U

mithin T D — D V : D T — T U = R D — D V - . R D — somit

ON

DT—TU=RD-DN uütl

TU=iDN i

N

Z w i s c h e u den B o g e n D H , Z K . ( F i g . 75.) Analysis. B u c h s t ä b l i c h , w i e bey 3. ( F i g . 73.) Determination. E s ist C D > D A

(hyp.)

also ; C D i > j D A

m

D a auch

¿DA>DY

so ist 0 D > D Y folglich 0 Z < 0 T mithin ßDS-j-DZ 2 »

IDT.TU+/3D2

somit D Z 2 < D T . T U also

1

TD:DZ>ZD:TU

E s ist aber

TDXU

wenn

HI=lk,

jffujgube

J.

Nun it-t \ ' X > Y ! also

k T t X

folglich KI + J H i > j T X + \ D KH I l TU mithin mufs N > D Z , N ^ RH seya. C o n s t r 11 c t i o n, Man mache A D E = ADG = R, ED,= DC, P P = OB, AF=BC, D N = N , NI.#AG#FE,LM#DN, NMftOE, O N = N M , wflehe O N > N M wegen F D < DC, nehme D O Q = R , P ^ f t D O , beschreibe über GQ als Durchinesser einen Kreis, welcher die verlängerte O D in R schneide, und aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR einen «luderen. Der P u n k t , in welchem derselbe den Bogen K.Z erreicht, wird die gesuchte Linie bestimmen. Beweis. Es ist D Z ^ N also D2.2; < N D . I Z AH D ß ] folglich B r : D Z < N D : D A mithin D R < D Z , wie uey X {l" tv,- 7+) F e r n e r ist H K ^ N also HK(CD — D F ) ~ N D ( C D — D F ) folglich D K < D R , wie. bey 3- (Fig. 73.)

Buch

IL

Der aus D als Mittelpunkt mit einem Radius = DR beschriebene Kreis erreicht also den Bogen KZ ¡11 Z, oder K, oder in einem Punkte T zwischen K,Z» Im ersten Fall ist D Z , im zweiten HK die gesuchte Linie, wie von eelbst erhellet. Im dritten ist BD.DG=DR.RO also T U = N , wie bey 3. (Fig. 73.) y) zwischen dem Mittelpunkte desselben und dem innerhalb des Kreises über DC liegenden Endpunkte seines Durchmessers. Dieser Fall ist durch 0 erlediget.

B o n n , gedruckt bey C. F. T h o r m a n n .

Der de

Bücher

i n c1i n a t i o n i b u s Erstes.

¿/cd? I.

O

SteindriickeTvy

VCTL HucLJicMwht

6-

m Mannheim

.

t / a ^ . K .

.J3. M

M

O

\(Ü

\H

H

X y

tJZyr

31.

JV

A

A

3S.

w

¿/a/^Jt.