Curso Básico De Variable Compleja [3 ed.] 9786070245558

Citation preview

 

Álgebra superior. Curso completo Carmen Gómez Laveaga

Introducción a la geometría avanzada Ana Irene Ramírez-Galarza José Seade Kuri

Álgebra superior I Antonio Lascurain Orive

Álgebra superior II Antonio Lascurain Orive

Invitación a las geometrías no euclidianas Ana Irene Ramírez-Galarza Guillermo Sienra

Un acercamiento a los fundamentos de cálculo. El infinito y los números reales

L

a variable compleja es una rama central de la matemática (aplicada y teórica), más aún, es una herramienta fundamental en la física. Esta bella rama presenta al estudiante de la licenciatura una visión unificada de la matemática, ya que interactúa con otras ramas como son el cálculo (análisis), la geometría, el álgebra, la topología y la teoría de números. Este libro es una introducción formal a la variable compleja, que incluye la teoría básica del curso Variable Compleja I impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM para los estudiantes de física y matemáticas. El primer capítulo trata de los fundamentos, esto es, el álgebra y la geometría de los números complejos, el estudio de algunas funciones y la teoría elemental de la analiticidad y la conformalidad. En el segundo capítulo se discute la integral compleja y se prueba formalmente el teorema de Cauchy en su forma general para curvas cerradas homotópicas. Este resultado, junto con el lema de las integrales de tipo Cauchy, permiten mostrar hechos importantes, como son las fórmulas integrales de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental del álgebra y la fórmula de Poisson. El tercer capítulo inicia con los teoremas de Weierstrass y Taylor; posteriormente se prueba el teorema de Laurent y se analizan las singularidades aisladas. El libro concluye con la aplicación del teorema del residuo al cálculo de integrales reales impropias y trigonométricas.

Javier Fernández García

Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional Antonio Lascurain Orive

Cálculo integral de varias variables Javier Páez Cárdenas

ISBN: 978-607-02-4555-8

9 786070 245558

Curso básico de variable compleja

Otros títulos de esta colección:

Antonio Lascurain Orive

Temas de Matemáticas Antonio Lascurain Orive

Curso básico de variable compleja Tercera edición

Antonio Lascurain Orive

Es doctor en Matemáticas por la Universidad de Columbia, Nueva York. Realizó su tesis doctoral bajo la dirección de Troels Jørgensen. Desde 1979 es profesor en las áreas de álgebra, análisis, geometría y topología en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido en múltiples ocasiones la materia Variable Compleja I y dirigido numerosas tesis de licenciatura sobre geometría hiperbólica. Ha publicado diversos artículos de investigación en prestigiosas revistas nacionales y extranjeras. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) desde 1992. Su principal área de investigación es la geometría hiperbólica. Algunas de sus publicaciones son: “Some Presentations for Γo(N)”, en Conformal Geometry and Dynamics (2002) y “On Commutators and Hyperbolic Groups in PSL(2, R)”, en Journal of Geometry (2014). Es autor, en esta misma serie, de los libros Una introducción a la Geometría hiperbólica bidimensional, Álgebra superior I y Álgebra superior II.

Antonio Lascurain Orive

CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

Lascurain Orive, Antonio Curso básico de variable compleja / Antonio Lascurain Orive -- 3 edición. -- Reimpresión. México : UNAM, Facultad de Ciencias, 2013. v, 218 páginas : ilustraciones ; 22 cm. - (Las prensas de ciencias) (Temas de matemáticas) Bibliografía: páginas 203-204 ISBN: 978-607-02-4555-8 1. Funciones de variables complejas. 2. Variables (Matemáticas). I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. II. título. III. Serie. IV. Serie 515.9-scdd20

Biblioteca Nacional de México

Curso básico de variable compleja 1a edición, 2007 2a edición, 2011 3a edición, 2013 1a reimpresión, 2016 2a reimpresión, 2020

© D.R. 2013. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán, C. P. 04510, Ciudad de México Coordinación de servicios editoriales: [email protected] Plaza Prometeo: tienda.fciencias.unam.mx

ISBN: 978-607-02-4555-8 Diseño de portada: Laura Uribe Hernández Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.

A Adda Stella A Guadalupe y Antonio

Pr´ ologo La variable compleja es una rama central de las matem´aticas te´oricas y aplicadas, adem´as de ser un pilar fundamental de la f´ısica. Una formaci´on matem´atica s´olida incluye conocimientos de variable compleja, ya que ´esta proporciona una visi´on unificada del ´algebra, el an´alisis, la geometr´ıa y la topolog´ıa. M´as a´ un, temas estudiados al inicio de la licenciatura que involucran pruebas largas o complicadas, como los c´ırculos coaxiales o algunos aspectos de la geometr´ıa anal´ıtica del plano, se comprenden de manera simple y clara bajo la luz de la variable compleja. Asimismo, muchas integrales reales impropias y algunas trigonom´etricas, solamente pueden resolverse con la variable compleja. Hadamard lleg´o a decir que el camino m´as corto entre dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo. La variable compleja es tambi´en fuente de dos ramas muy importantes en la actualidad: la geometr´ıa no euclidiana y los sistemas din´amicos. Por una parte, las transformaciones de M¨obius complejas determinan en gran medida lo que sucede en la geometr´ıa hiperb´olica (cf. [3] y [15]), por otra, el estudio de la iteraci´on de las funciones racionales complejas contribuye a entender temas de gran relevancia en din´amica (cf. [4]). El prop´osito de este texto es exponer en forma clara y sencilla los temas del programa vigente, aprobado por el Consejo T´ecnico, de la materia Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico (UNAM). El libro est´a dirigido principalmente a los alumnos de las carreras de F´ısica y Matem´aticas que han aprobado los cuatro cursos de c´alculo diferencial e integral. Puede ser de utilidad tambi´en para los estudiantes de las carreras de Ingenier´ıa que encuentren dif´ıcil la comprensi´on de esta materia debido a la carencia de pruebas formales en sus cursos, as´ı como para los alumnos de la carrera de Actuar´ıa interesados en obtener una formaci´on matem´atica m´as amplia. Es preciso mencionar que los resultados se prueban rigurosamente, lo cual es muy formativo para los estuv

vi

diantes; este enfoque les permite adem´as tener la certeza de que sus c´alculos son correctos. Cabe se˜ nalar que aunque existen muchos libros muy buenos sobre el tema, por ejemplo [1], [6], [8] y [12], muy pocos son adecuados para cubrir el temario de la materia Variable Compleja I. Ciertamente el texto m´as apegado al programa vigente es el de Marsden y Hoffman [12], sin embargo, ´este tiende a ser enciclop´edico y complicado para un sector importante de alumnos, lo cual incide en el alto ´ındice de reprobaci´on en esta materia. El presente libro, basado en gran parte en el de Marsden y Hoffman [12], pretende establecer los m´ınimos que el estudiante debe saber para aprobar con la m´axima calificaci´on el curso de Variable Compleja I. El m´etodo es completamente formal y pone ´enfasis en buscar la simplicidad en las pruebas. Por ejemplo, el uso del n´ umero de Lebesgue permite simplificar la prueba de la versi´on general del teorema de Cauchy que aparece en [12]. Tambi´en, la prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy (que me ense˜ no´ Lipman Bers) es m´as simple que la que aparece en [12]. En el primer cap´ıtulo se establecen los fundamentos b´asicos de la teor´ıa, esto es, el ´algebra y la geometr´ıa de los n´ umeros complejos, as´ı como algunas funciones muy importantes, entre ´estas, la exponencial, el logaritmo y las trigonom´etricas; se concluye con la teor´ıa elemental de la analiticidad, a saber, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la conformalidad. El segundo cap´ıtulo trata de la integral compleja; despu´es de establecer los resultados y definiciones b´asicas, se prueba formalmente el teorema de Cauchy en su forma general para curvas cerradas homot´opicas. Este resultado, junto con el lema de las integrales de tipo Cauchy, permite probar, sin mayor dificultad, una cascada de importantes consecuencias, como son las f´ormulas integrales de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental del a´lgebra, la f´ormula de Poisson y muchas otras m´as. El tercer cap´ıtulo se inicia con el teorema de Weierstrass (tambi´en llamado de la convergencia anal´ıtica), que es la base para establecer los discos de convergencia de las series de potencias y el teorema de Taylor. Posteriormente se prueba el teorema de Laurent y se estudian las singularidades aisladas, lo cual lleva a la prueba del teorema del residuo. El libro concluye con la aplicaci´on de este teorema al c´alculo de ciertas integrales reales impropias (de funciones racionales y otras definidas por la transformada de Fourier) y de las integrales llamadas trigonom´etricas. El aspecto geom´etrico de los fundamentos de la variable compleja no se discute ampliamente en este texto, ya que no corresponde al temario vigente de la materia Variable Compleja I, sin embargo, algunas de estas importan-

vii

tes ideas pueden consultarse en los primeros dos cap´ıtulos de [10]. V´eanse tambi´en las notas de Santiago L´opez de Medrano [5]. Deseo agradecer a diversas personas que contribuyeron de una u otra forma a la realizaci´on de este trabajo; H´ector Cejudo Camacho, por el esmerado trabajo y el empe˜ no en la elaboraci´on de las figuras. Luis Rodrigo Gallardo Cruz, por la captura de la versi´on en V´ınculos Matem´ aticos en el a˜ no 2000, la cual fue muy u ´til para la realizaci´on del presente texto. Jos´e Lucio S´anchez Garrido por la elaboraci´on de la Figura 2.25 y la captura de mi primera versi´on sobre este tema en el a˜ no de 1992. Mi agradecimiento tambi´en a los estudiantes que se han inscrito como mis alumnos en esta materia, enriqueci´endome con sus comentarios e intervenciones. Gratitud igualmente a muchos de mis colegas por sus valiosas y pertinentes ense˜ nanzas, en particular a uno de los dictaminadores del presente libro, por su cuidadosa revisi´on. Asimismo a Adda Stella Ordiales de la Garza por la correcci´on de estilo y cuidado de la edici´on, adem´as de su constante apoyo y est´ımulo. Finalmente, a las autoridades de la Facultad de Ciencias y de la Direcci´on General de Asuntos del Personal Acad´emico DGAPA, que me apoyaron para la publicaci´on de este libro con el proyecto PAPIME EN107-403. En esta tercera edici´on agradezco en particular a Fernando Santana Plascencia, cuya revisi´on minuciosa del texto contribuy´o a mejorar la edici´on, y a Raybel Garc´ıa Ancona, por la reelaboraci´on de algunas figuras.

Contenido 1. Fundamentos y analiticidad ´ 1.1. Algebra de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . 1.1.1. C es un campo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Significado geom´etrico de la multiplicaci´on . 1.1.3. Ra´ıces n-´esimas de complejos . . . . . . . . 1.1.4. Otras propiedades b´asicas . . . . . . . . . . 1.2. Plano complejo extendido, continuidad . . . . . . . 1.2.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Proyecci´on estereogr´afica y m´etrica cordal . 1.3. Algunas funciones importantes . . . . . . . . . . . . 1.3.1. La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . 1.3.2. La funci´on logaritmo . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . 1.4. Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad 1.4.3. Conformalidad . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 4 11 14 17 17 19 27 27 31 36 42 47 47 49 63

2. Integraci´ on 2.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Versi´on particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas . . . 2.3. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. F´ormula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Principio del m´aximo, lema de Schwarz y funciones arm´onicas

71 71 80 88 111 124

ix

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

x

3. Series y aplicaciones 3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass . 3.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . 3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas 3.4. Teorema del residuo, aplicaciones . . . .

Contenido

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

139 139 154 166 183

Glosario de simbolog´ıa

201

Bibliograf´ıa

203

´Indice anal´ıtico

205

Cap´ıtulo 1

Fundamentos y analiticidad 1.1.

´ Algebra de n´ umeros complejos

1.1.1.

C es un campo

Definici´ on 1 El conjunto de los n´ umeros complejos, denotado por C, consiste en todos los n´ umeros de la forma a + i b, donde a, b ∈ R. Es importante destacar que existe una correspondencia biun´ıvoca de C con R 2 mediante la asociaci´on x + i y −→ (x, y). Por ende, se pueden identificar los n´ umeros complejos con los puntos del plano. La parte real del n´ umero complejo a + i b es el n´ umero real a, y la parte imaginaria es el n´ umero real b. De esta manera, al eje X se le llamar´a eje real y al eje Y se le llamar´a eje imaginario. Si z ∈ C, z = x+i y, se escribir´a Re z = x e Im z = y.

Definici´ on 2 Se define una operaci´on de suma y multiplicaci´on escalar en C como sigue: (x 1 + i y 1 ) + (x 2 + i y 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ), a (x + i y) = a x + i a y, a ∈ R. 1

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

2

az

z+w w

z

z

Figura 1.1: Suma de complejos y multiplicaci´on por escalares El significado geom´etrico de la suma y de la multiplicaci´on escalar es el usual en espacios vectoriales (v´ease la Figura 1.1). Es claro tambi´en que la suma de complejos cumple las propiedades de conmutatividad, asociatividad, y que tambi´en todo n´ umero complejo tiene un inverso aditivo, donde el elemento neutro es el origen. Obs´ervese tambi´en que Re (z + w) = Re z + Re w y que Im (z + w) √= Im z + Im w. La definici´on del producto en C conlleva la ecuaci´on i = −1. Definici´ on 3 Se define una operaci´ on de producto en C como sigue: (a + i b)(x + i y) = a x − b y + i (a y + b x). Para recordar esta definici´on es u ´til notar que queremos i 2 = −1. El significado geom´etrico de la multiplicaci´on se discutir´a en la siguiente subsecci´on. N´otese que 1 + 0 i es un neutro multiplicativo. Esta operaci´on de producto es conmutativa, asociativa y distributiva. Probamos aqu´ı la primera y la u ´ltima propiedad, quedando la segunda como ejercicio. Escribiendo (a + i b)(c + i d + e + i f ) = a c − b d + a e − b f + i (a d + b c + a f + b e) = (a + i b)(c + i d) + (a + i b)(e + i f ), se prueba la distributividad. Tambi´en, las ecuaciones (a + i b)(c + i d) = a c − b d + i (a d + b c) = (c + i d)(a + i b)

1. Fundamentos y analiticidad

3

prueban la conmutatividad. Como se ve en estas igualdades, estas leyes del producto son consecuencia de las mismas propiedades de los n´ umeros reales. Ahora, dado z = a + i b, z = 0, un inverso multiplicativo de z es un n´ umero w = x + i y tal que z w = 1, esto es ax − by = 1 b x + a y = 0. Este sistema tiene como u ´nica soluci´on −b a , y = 2 . x = 2 a + b2 a + b2 A w se le denota por z −1 o por 1/z. Hemos probado el siguiente resultado. Teorema 1.1.1 El conjunto de los n´ umeros complejos C constituye un campo.

z = a + ib

|z |

b

a

Figura 1.2: Norma de un complejo N´otese que el campo de los n´ umeros reales est´a incluido de manera natural en los complejos, la asociaci´on x ∈ R −→ x + 0 i ∈ C es un monomorfismo de campos. Bajo esta identificaci´on, se conviene en que los reales son un subconjunto de los complejos. Se escribe simplemente x para denotar x + 0 i. EJERCICIOS 1.1.1 1. Demuestre que el producto de n´ umeros complejos cumple la ley asociativa.

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

4

z z/|z| sen θ cos θ

θ 1

Figura 1.3: Argumento de un complejo z

1.1.2.

Significado geom´ etrico de la multiplicaci´ on

Se define la norma o longitud de un n´ umero complejo √z = a + i b de la manera usual para vectores del plano R 2 , esto es, |z| = a 2 + b 2 (v´ease la Figura 1.2). Evidentemente, se tiene |Re z| ≤ |z| y |Im z| ≤ |z|. Ahora, dado z cualquier complejo no nulo, si la longitud del arco en el c´ırculo unitario que va del vector e 1 al vector z/|z| (en el sentido contrario a las manecillas del reloj) es θ y |z| = r, es claro que z puede expresarse de la forma r (cos θ + i sen θ) (v´ease la Figura 1.3). Tambi´en, z = r (cos ψ + i sen ψ), donde ψ es cualquier n´ umero de la forma θ + 2 k π, k ∈ Z. A estas expresiones se les llama polares; al n´ umero ψ se le llama el argumento de z, ´este se denota por arg z. Obs´ervese que el argumento no est´a definido un´ıvocamente, sin embargo, si es tomado en el intervalo [0, 2 π), ´este es u ´nico. El siguiente resultado describe la esencia de la acci´on geom´etrica del producto.

1. Fundamentos y analiticidad

5 zw

w α+β

β z α

Figura 1.4: El argumento del producto es la suma de los argumentos

arg(−i) =

3π 2

arg(−i)(−i) = 3π

arg(−1) = π

Figura 1.5: El argumento del producto de −i por −i Teorema 1.1.2 Para cualesquiera z, w ∈ C, se tiene (i) |z w| = |z| |w|, (ii) arg (z w) = arg (z) + arg (w). La afirmaci´on de la segunda parte del teorema se debe interpretar de tal manera que si se toman valores arbitrarios de los argumentos de z y w, se tiene que la suma de ´estos es uno de los argumentos del producto z w (v´eanse las Figuras 1.4 y 1.5). ´ n. Escribiendo Demostracio z = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 )

y

w = r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 )

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

6 se tiene

z w = r 1 r 2 [cos θ 1 cos θ 2 − sen θ 1 sen θ 2 + i (cos θ 1 sen θ 2 + sen θ 1 cos θ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sen (θ 1 + θ 2 )] , 

lo cual prueba el teorema.

zw

γ

w z

α α

γ 1

Figura 1.6: Interpretaci´on geom´etrica del producto con tri´angulos semejantes El teorema anterior exhibe un hecho fundamental, multiplicar complejos es sumar sus argumentos y multiplicar sus normas. V´eanse las Figuras 1.4 y 1.5. Es importante recalcar que en la segunda parte del Teorema 1.1.2, la suma de los argumentos no necesariamente es el argumento del producto, aun si se toman todos los argumentos en cuesti´on, en el rango de [0, 2 π). Por ejemplo, −i y −1 = (−i)(−i) tienen argumentos 3 π/2 y π, respectivamente. En este caso, 3π 3π + = 3 π ≡ π m´od 2 π. 2 2 Se sigue tambi´en del Teorema 1.1.2 que dados dos complejos z, w, w = 0, se tiene z |z|   ,   = w |w|

1. Fundamentos y analiticidad

7

es decir, la norma de un cociente es el cociente de las normas. Este hecho se sigue de la siguiente ecuaci´on z z      |z| =  w =   |w|. w w Otra interpretaci´on geom´etrica del producto de dos n´ umeros complejos z y w se obtiene al dibujar dos tri´angulos semejantes, como se muestra en la Figura 1.6. El Teorema 1.1.2 prueba que en efecto el punto z w es uno de los v´ertices del tri´angulo descrito por w y el origen, ya que se sigue de la proporcionalidad que |z| |z w| = . 1 |w|

z ψi (z)

Figura 1.7: La funci´on z → z i es una rotaci´on de π/2 en el sentido positivo Estas interpretaciones geom´etricas del producto tambi´en se pueden ver en un contexto de funciones. Dada w ∈ C se define ψ w : C → C como ψ w (z) = z w, es decir, ψ w es multiplicar por w, lo cual es rotar un a´ngulo igual a arg w (donde 0 ≤ arg w < 2 π) en el sentido contrario al de las manecillas, y aplicar una homotecia: contracci´on si |w| < 1, dilataci´on si |w| > 1 (si |w| = 1 la funci´on es solamente una rotaci´on). Por ejemplo, ψ i es una rotaci´on de π/2 radianes en el sentido positivo (v´ease la Figura 1.7). En general, para cualquier w, ψ w es una transformaci´on lineal de R 2 en

8

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

R 2 , ya que es la composici´on de una rotaci´on y una homotecia. Esto tambi´en se puede probar directamente: si λ, μ ∈ R y z 1 , z 2 ∈ C, entonces ψ w (λ z 1 + μ z 2 ) = λ z 1 w + μ z 2 w = λ ψ w (z 1 ) + μ ψ w (z 2 ). N´otese que este mismo argumento muestra que esta funci´on ψ w tambi´en es lineal como funci´on de C en C. z

z

Figura 1.8: La conjugaci´on de un complejo Definici´ on 4 Dada z = a + i b ∈ C se define el conjugado de z, denotado por z, como a − i b. La conjugaci´on es precisamente la reflexi´on sobre el eje real (v´ease la Figura 1.8). Evidentemente, z = z, z + w = z + w y |z| = |z|. Tambi´en es inmediato que z = z si y s´olo si z ∈ R. El conjugado de un producto es tambi´en el producto de los conjugados, esto es, z w = z w. Esto se sigue, ya que si z = a + i b y w = c + i d, se tiene z w = a c − (−b)(−d) + i [a(−d) + (−b)c] = a c − b d − i(a d + b c) = z w. Como en el caso de la norma, esta propiedad tambi´en se extiende al cociente, esto es, dados z, w n´ umeros complejos se tiene z z = . w w Un argumento, casi id´entico al que se us´o, para probar que la norma de un cociente es el cociente de las normas, prueba este hecho.

1. Fundamentos y analiticidad

9

Las siguientes tres propiedades, cuya prueba es inmediata, se usan frecuentemente y son de gran utilidad. z z = |z| 2

(1.1)

z + z = 2 Re z. z − z = 2 i Im z. z

θ z −1

z

Figura 1.9: El inverso multiplicativo de un complejo Cabe destacar algunos aspectos muy importantes de la primera de estas identidades; por una parte exhibe de manera inmediata sin ning´ un c´alculo el inverso de un n´ umero complejo no nulo. 1 z . = z −1 = z |z| 2 Por otra parte, esta descripci´on del inverso multiplicativo de un n´ umero z ilustra nuevamente la geometr´ıa que define la multiplicaci´on de complejos: el inverso es un n´ umero cuyo argumento es − arg z, esto es, es un n´ umero que se encuentra en la semirrecta que va del origen a z. Tambi´en, como al multiplicar complejos se multiplican sus normas, el inverso de z est´a en el c´ırculo de radio 1/|z|. En resumen, el inverso de un n´ umero complejo no nulo z se obtiene al reflejar dos veces: primero sobre el eje de las abscisas y posteriormente sobre el c´ırculo unitario (o viceversa) z −→ z −→

z z 1 = = , |z| 2 |z| 2 z

cf. Figura 1.9.

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

10

Obs´ervese, que como multiplicar complejos es sumar sus argumentos, esto tambi´en significa que dividir complejos es restar sus argumentos. Por ejemplo, si se tienen tres puntos distintos en una recta z 1 , z 2 , z 3 , apareciendo en ese orden, entonces necesariamente z3 − z1 ∈ R+ . z2 − z1 N´otese que esta condici´on no s´olo es necesaria sino tambi´en suficiente para que tres puntos sean colineales. Otra aplicaci´on de la identidad (1.1) es que muestra la manera adecuada (en la mayor´ıa de los casos) de dividir n´ umeros complejos, esto es, zw zw z = = . w ww |w| 2 Por ejemplo: 2 + 3i (2 + 3 i)(4 + 2 i) 1 7 = = + i. 4 − 2i 20 10 10

EJERCICIOS 1.1.2   1. Demuestre que wz = wz .   i)2 2. Exprese (2+3 de la forma x + i y. 4+ i 3. Demuestre que α es ra´ız de un polinomio real si y s´olo si α lo es. 4. Sean z 1 , z 2 , z 3 , z 4 complejos en un cuadril´atero que aparecen en orden c´ıclico y positivo, demuestre que estos complejos son conc´ıclicos (esto es, 2 z 3 −z 4 existe un c´ırculo que los contiene) si y s´olo si zz 13 −z < 0. −z 2 z 1 −z 4 1 5. Sean z 1 , z 2 , z 3 ∈ C tales que cumplen zz 23 −z = −z 1 tres puntos determinan un tri´angulo equil´atero. √ 6. Sea z = x + iy, pruebe que |x| + |y| ≤ 2 |z|.

z 1 −z 3 , z 2 −z 3

demuestre que estos

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

1. Fundamentos y analiticidad

1.1.3.

11

Ra´ıces n-´ esimas de complejos

Con la interpretaci´on geom´etrica de la multiplicaci´on, conociendo el argumento de un n´ umero complejo veremos que se obtienen f´acilmente sus ra´ıces n-´esimas. Mostramos primero una f´ormula para encontrar las ra´ıces cuadradas sin usar el argumento. Proposici´ on 1.1.3 Dado z = a + i b ∈ C, z = 0, se tiene que z tiene exactamente dos ra´ıces cuadradas dadas por ⎞ ⎛ √ √ 2 + b2 2 + b2 a + a −a + a ⎠ si b > 0, +i ±⎝ 2 2 y

⎛ ± ⎝−

a+

√

a2 + b2 +i 2

−a +

⎞ a2 + b2 ⎠ 2

√

si

b < 0.

´ n. Si z = a+i b, z = 0, se busca w = x+i y tal que w 2 = z, Demostracio 2 2 i. e. (x − y ) + i(2 x y) = a + i b. Esto nos da el sistema x2 − y 2 = a 2 x y = b.

(1.2) (1.3)

Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 = a 2, 4 x 2 y 2 = b 2, y por consiguiente x2 + y 2 =

√

a 2 + b 2.

Ahora, sumando y restando a esta u ´ltima ecuaci´on aquella definida por (1.2) se obtiene √ √ a + a2 + b2 −a + a 2 + b 2 2 2 , y = . x = 2 2 Finalmente, la proposici´on se sigue de la ecuaci´on (1.3).



´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

12

Por ejemplo, las ra´ıces cuadradas de 1 − 2 i son ⎞ ⎛ √ √ 1+ 5 −1 + 5 ⎠ +i . ± ⎝− 2 2 El siguiente resultado se sigue directamente de la interpretaci´on geom´etrica de la multiplicaci´on (Teorema 1.1.2). Corolario 1.1.4 (F´ ormula de De Moivre) Si

entonces

z = r (cos θ + i sen θ),

z n = r n (cos nθ + i sen nθ).

Esta u ´ltima f´ormula nos permite encontrar las ra´ıces n-´esimas de cualquier complejo no nulo sin mayor dificultad (conociendo el argumento). Teorema 1.1.5 Sea z = r(cos θ + i sen θ) ∈ C, z = 0, entonces z tiene exactamente n ra´ıces n-´esimas dadas por la siguiente f´ ormula 

 √ θ + 2kπ θ + 2kπ + i sen , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. w k = n r cos n n ´ n. Se busca w = ρ(cos ϕ + i sen ϕ), tal que w n = z, esto es Demostracio w n = ρ n (cos nϕ + i sen nϕ) = r (cos θ + i sen θ), de donde ρ n = r,

y n ϕ = θ + 2 k π,

por lo cual ρ =

√ n

r

y ϕ =

k ∈ Z,

θ + 2kπ . n

Finalmente, dos argumentos θ + 2 k1 π , n

θ + 2 k2 π n

definen la misma soluci´on si y s´olo si θ + 2 k2 π θ + 2 k1 π − = 2 m π, n n

m ∈ Z.

1. Fundamentos y analiticidad

13

Esta u ´ltima condici´on se cumple si y s´olo si k 1 − k 2 = m n,

m ∈ Z,

por lo que tomando k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 se obtienen todas las ra´ıces.



Obs´ervese que habiendo obtenido la primera ra´ız, las otras ra´ıces se obtienen rotando esta ra´ız por un a´ngulo 2π/n, de manera consecutiva, en el sentido positivo. Por lo que las ra´ıces n-´esimas siempre describen un pol´ıgono regular de n lados. Por ejemplo, √ una de√las ra´ıces cuartas de −16 es w 0 = 2 (cos π/4 + i sen π/4) = 2(1/ 2 + i/ 2), las otras se obtienen multiplicando por i, i 2 , y i 3 . Es decir, ´estas son i w 0 , −w 0 , −i w 0 = w 0 (v´ease la Figura 1.10). La f´ormula de De Moivre es u ´til para expresar cos nθ y sen nθ en t´erminos de cos θ y sen θ. Por ejemplo, tomando n = 3, se tiene (cos θ + i sen θ) 3 = cos 3θ + i sen 3θ. El miembro izquierdo de esta expresi´on se puede desarrollar tambi´en usando la f´ormula del binomio de Newton obteni´endose cos 3 θ + i 3 cos 2 θ sen θ − 3 cos θ sen 2 θ − i sen 3 θ, y tomando la parte imaginaria se tiene sen 3θ = 3 cos 2 θ sen θ − sen 3 θ.

w1

w0

w2

w3

−2

Figura 1.10: Ra´ıces cuartas de −16

´ ´ meros complejos 1.1. Algebra de nu

14 EJERCICIOS 1.1.3

1. Calcule las ra´ıces cuadradas de 3 + 4 i y de 1 + 2 i. 2. Calcule las ra´ıces sextas de −64 y las ra´ıces c´ ubicas de 8 i. 3. Demuestre que 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0, donde z es una ra´ız n−´esima de la unidad, z = 1.   n−1 n 4. Demuestre la identidad 2 n−1 = k=1 sen πnk . Sugerencia: factorizar la expresi´on 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 usando las ra´ıces n−´esimas de la unidad, posteriormente eval´ ue en z = 1.   θ sen n θ+ 2 , 2 sen(θ/2)

5. Demuestre que 1 + cos θ + · · · + cos nθ = 12 + donde θ no es un m´ ultiplo par de π. Esta identidad se atribuye a Lagrange. Sugerencia: calcular la parte real de 1 + z + z 2 + · · · + z n , donde z = cos θ + i sen θ.

1.1.4.

Otras propiedades b´ asicas

Como en el caso real, los complejos tambi´en satisfacen la desigualdad del tri´angulo y la de Cauchy-Schwarz. Proposici´ on 1.1.6 (Desigualdad del tri´ angulo) Sean z, w ∈ C, entonces |z + w| ≤ |z| + |w|. ´ n. Demostracio |z + w| 2 = (z + w) (z + w) = (z + w) (z + w) = z z + z w + w z + w w = |z| 2 + 2 Re (w z) + |w| 2 ≤ |z| 2 + 2 |w z| + |w| 2 = (|z| + |w|) 2 .  De la misma manera que sucede con los n´ umeros reales, se cumple la siguiente variante de la desigualdad del tri´angulo    |z| − |w|  ≤ |z − w|. Esto se sigue ya que |z| = |z − w + w| ≤ |z − w| + |w|, por lo cual se tiene |z| − |w| ≤ |z − w|, etc´etera. La desigualdad del tri´angulo y la f´ormula de De Moivre son u ´tiles para encontrar cotas superiores e inferiores. Por ejemplo, el supremo de la expresi´on √ |i z 4 + i| en el disco {z | |z| ≤ 2} es 5, ya que |i z 4 + i| ≤ |z| 4 + 1 ≤ 5,

1. Fundamentos y analiticidad

15

√ √ un, este valor y claramente este valor es tomado en ± 2 y en ± 2 i. M´as a´ no es tomado en ning´ un otro punto, ya que si z = r (cos θ + i sen θ), se tiene |z 4 + 1| 2 = |r 4 (cos 4θ + i sen 4θ) + 1| 2 = |r 4 cos 4θ + 1 + i r 4 sen 4θ| 2 = r 8 + 2 r 4 cos 4θ + 1. Teorema 1.1.7 Sean z 1 , z 2 , . . . , z n y w 1 , w 2 , . . . , w n dos n-e´adas de n´ umeros complejos, entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz   |z 1 | 2 + · · · + |z n | 2 |w 1 | 2 + · · · + |w n | 2 . |z 1 w 1 + · · · + z n w n | ≤ ´ n. Una prueba muy ingeniosa es la siguiente. Se toma Demostracio a =

n 

2

|z k | ,

b =

k=1

n 

2

|w k | ,

u =

k=1

n 

z k w k,

y v =

k=1

u . b

Bajo esta notaci´on se tiene 0 ≤

n 

|zk − v w k | 2 =

k=1

=

n 

n 

(zk − v w k ) (z k − v w k )

k=1

zk zk − v

k=1

n 

zk wk − v

k=1

n 

wk zk + v v

k=1

n 

wk wk

k=1 2

= a − v u − v u + |v| 2 b = a − 2 Re (v u) + |v| b

 uu |u| 2 = a − 2 Re + |v| 2 b = a − 2 + |v| 2 b b b |u| 2 |u| 2 |u| 2 = a−2 + = a− , i. e., a b ≥ |u| 2 . b b b  Una manera m´as natural de probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usar la siguiente igualdad atribuida a Lagrange,  n  n   n 2      2 2   z k w k = |z k | |w k | |z j w k − z k w j | 2 . −  k=1

k=1

k=1

1≤j 0, tal que D(z, ) = {w ∈ C | |w − z| < } ⊂ A. De los cursos de c´alculo recordamos que los discos D(z, ) son abiertos. Estudiaremos las funciones con dominio un subconjunto del plano complejo (generalmente abierto) y con codominio C. A ´estas se les llama funciones complejas de variable compleja. Obs´ervese que tambi´en se pueden pensar como funciones de R 2 en R 2 . Usualmente denotaremos a estas funciones como f (x + i y) = u(x + i y) + i v(x + i y),

1.2. Plano complejo extendido, continuidad

18

donde u y v son funciones reales. Algunas veces escribiremos tambi´en f (x, y), u(x, y), etc´etera. Definici´ on 6 Sea f : A ⊂ C → C y a ∈ C punto de acumulaci´ on de A. Se dice que l´ım f (z) = L si z→a

∀ > 0 ∃ δ > 0, tal que si 0 < |z − a| < δ, se tiene que |f (z) − L| < . Siendo esta definici´on id´entica a la equivalente para funciones de R 2 en R , todas las propiedades demostradas para dichas funciones son v´alidas en nuestro caso, por ejemplo, la unicidad y el hecho de que el l´ımite de la suma es la suma de los l´ımites. M´as a´ un, las mismas demostraciones hechas en c´alculo real de una variable tambi´en sirven para probar lo siguiente: 2

(i) Si l´ım f (z) = L 1 y l´ım g(z) = L 2 , entonces z→a

z→a

l´ım f (z) g(z) = L 1 L 2 .

z→a

(ii) Si l´ım f (z) = L 1 y l´ım g(z) = L 2 , L 2 = 0 y g(z) = 0 ∀ z, entonces z→a

z→a

l´ım

z→a

f (z) L1 = . g(z) L2

La continuidad se define igual que en los cursos de c´alculo. Definici´ on 7 Sean A ⊂ C y f : A → C, se dice que f es continua en z 0 , si ∀ > 0 ∃ δ > 0, tal que si |z − z 0 | < δ, se tiene que |f (z) − f (z 0 )| < . De nuevo como en c´alculo, la suma, producto, cociente y composici´on de funciones continuas son funciones continuas. Asimismo, la convergencia de sucesiones de n´ umeros complejos se define de manera id´entica al caso de R n . Definici´ on 8 Se dice que la sucesi´ on de n´ umeros complejos z n , n ∈ N, converge a z 0 , si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N, se tiene entonces que |z n − z 0 | < . Por supuesto, el l´ımite es u ´nico, y dadas dos sucesiones w n , z n , n ∈ N, se tiene que si w n → w y z n → z, cuando n → ∞. Entonces

1. Fundamentos y analiticidad

19

(i) w n + z n → z + w, cuando n → ∞; (ii) w n z n → w z, cuando n → ∞; (iii) si w = 0,

zn wn

→

z , w

cuando n → ∞.

Obs´ervese que para una sucesi´on z n , n ∈ N, se tiene que z n → z, cuando n → ∞, si y s´olo si Re (z n ) → Re z e Im (z n ) → Im z, cuando n → ∞. Esto se sigue ya que |z − z n | =



Re z − Re (z n )

2

 2 + Im z − Im (z n ) .

Como en R n , se dice que una sucesi´on z n , n ∈ N, es de Cauchy, si dada

> 0 ∃ N ∈ N, tal que si n, m > N, entonces |z n − z m | < . Se sigue tambi´en como en los cursos de c´alculo que una sucesi´on en C es convergente si y s´olo si es de Cauchy. Usaremos con frecuencia para probar continuidad el siguiente hecho (v´alido en cualquier espacio m´etrico): una funci´on f : A ⊂ C → C es continua en z 0 ∈ A si y s´olo si para toda sucesi´on z n , n ∈ N, tal que z n → z 0 , cuando n → ∞, se tiene f (z n ) → f (z 0 ), cuando n → ∞. EJERCICIOS 1.2.1 1. Demuestre la u ´ltima afirmaci´on de esta subsecci´on. 2. Demuestre que una sucesi´on en R n es de Cauchy si y s´olo si es convergente. Sugerencia: probar primero que un subconjunto infinito de un compacto tiene un punto de acumulaci´on.

1.2.2.

Proyecci´ on estereogr´ afica y m´ etrica cordal

La proyecci´on central descrita en la Figura 1.12 sugiere que el plano complejo se puede pensar como la esfera unitaria en R 3 sin el polo norte. Resulta natural entonces que el polo norte corresponda a un punto ideal que representa al infinito. Definici´ on 9 Los puntos del plano complejo junto con ∞ forman el plano  complejo extendido, denotado por C.

1.2. Plano complejo extendido, continuidad

20



(x1 , x2 , x3 )

e3

x21 + x22

x3

1

|z| z

Figura 1.12: La proyecci´on estereogr´afica El incluir el s´ımbolo ∞ es particularmente u ´til en el contexto de las transformaciones de M¨obius complejas z −→

az + b , cz + d

a d − b c = 0,

a, b, c, d ∈ C.

(1.4)

 en C  (cf. [10]). La esfera ´ Estas son las u ´nicas biyecciones meromorfas de C unitaria  S 2 = {x ∈ R 3  |x| = 1}, llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en S 2 usamos la siguiente idea geom´etrica: se toma el plano x 3 = 0 como el plano complejo C, y la l´ınea que proyecta el polo norte e 3 = (0, 0, 1) de la esfera de Riemann a cualquier otro punto x = (x 1 , x 2 , x 3 ) en dicha esfera. Esta l´ınea cruza el plano complejo en un u ´nico punto, para encontrarlo se parametriza e 3 + t (x − e 3 ), t ∈ R, y se debe cumplir [e 3 + t (x − e 3 )] · e 3 = 0, 1 + t (x − e 3 ) · e 3 = 0, 1 t = . 1 − x3

1. Fundamentos y analiticidad

21

De donde el punto asociado a x es 1 e3 + (x − e 3 ) 1 − x3

 x1 x2 x3 − 1 = e3 + , , 1 − x3 1 − x3 1 − x3

 x1 x2 = , ,0 . 1 − x3 1 − x3 Una prueba geom´etrica de este hecho se obtiene observando que la proyecci´on de x debe tener la direcci´on de (x 1 , x 2 ), y por semejanza se obtiene que  x12 + x22 |z| = 1 1 − x3 (v´ease la Figura 1.12). Con base en estas ideas, se define la funci´on ψ : S 2 − {e 3 } −→ C,

dada por (x 1 , x 2 , x 3 ) −→

x1 + i x2 . 1 − x3

Se afirma que ψ es una biyecci´on de S 2 − {e 3 } al plano complejo C. 1. ψ es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obs´ervese que si z = ψ (x 1 , x 2 , x 3 ), como (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S 2 , se tiene que  x + i x 2 x12 + x22 1 − x32 1 + x3  1 2 = = |z| 2 =   = 2 2 1 − x3 (1 − x3 ) (1 − x 3 ) 1 − x3 y despejando x3 =

|z| 2 − 1 . |z| 2 + 1

Tambi´en z+z =

(1.5)

2 x1 , 1 − x3

y x1

z+z (z + z) (1 − x 3 ) = = 2 2 esto es,

|z| 2 − 1 1− |z| 2 + 1

x1 =



z+z . |z| 2 + 1

z+z = 2

2 2 |z| + 1



(1.6)

,

1.2. Plano complejo extendido, continuidad

22 Finalmente, como

z−z = se sigue que x2 =

2 i x2 , 1 − x3

z−z . i (|z| 2 + 1)

(1.7)

Por consiguiente, ψ es inyectiva, ya que z determina (x 1 , x 2 , x 3 ). Obs´ervese tambi´en que la funci´on

 z+z z−z |z| 2 − 1 π(z) = , , |z| 2 + 1 i (|z| 2 + 1) |z| 2 + 1 es inversa por la izquierda de ψ. 2. ψ es sobre. Un c´alculo sencillo muestra que π es tambi´en una inversa derecha de ψ (ejercicio). Haciendo corresponder ∞ con el polo norte e 3 , se obtiene una biyecci´on  y el modelo buscado. A esta biyecci´on se le llama la proyecci´ de S 2 en C on estereogr´ afica. Geom´etricamente es evidente que el hemisferio sur (x 3 < 0) corresponde al disco unitario  Δ = {z ∈ C  |z| < 1} y el hemisferio norte (x 3 > 0) al exterior de este disco; la f´ormula (1.5) tambi´en muestra este hecho de manera anal´ıtica. En esta representaci´on esf´erica del plano complejo no hay una interpretaci´on f´acil de la suma y el producto, su ventaja radica en que ∞ no es un punto distinguido. Convendremos en que toda recta incluye al punto ∞. El siguiente resultado exhibe una propiedad fundamental de la proyecci´on estereogr´afica.  y c´ırculos Proposici´ on 1.2.1 Bajo la proyecci´on estereogr´ afica, rectas en C 2 en C se transforman en c´ırculos en S y viceversa. ´ n. Probamos primero que un c´ırculo en la esfera se transforma Demostracio en una recta o un c´ırculo en el plano. Un c´ırculo en S 2 es la intersecci´on de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuaci´on de la forma a x 1 + b x 2 + c x 3 = d.

1. Fundamentos y analiticidad

23

Por lo tanto, este c´ırculo es la imagen bajo la proyecci´on estereogr´afica de un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuaci´on en el plano a

 z−z   |z| 2 − 1   z+z  + b + c = d. |z| 2 + 1 i (|z| 2 + 1) |z| 2 + 1

Escribiendo z = x + i y, se obtiene 2 a x + 2 b y + c (x 2 + y 2 − 1) = d (x 2 + y 2 + 1), que es la ecuaci´on de una recta o un c´ırculo en el plano, dependiendo si d = c o si d = c (al completar cuadrados no se puede obtener un radio negativo, puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vac´ıo). Probamos ahora que una recta en el plano se transforma en un c´ırculo en la esfera. Una recta est´a definida por la ecuaci´on a x + b y = c. Estos puntos, bajo la proyecci´on estereogr´afica, son llevados al conjunto de puntos en la esfera definidos por la ecuaci´on  x   x  1 2 +b = c, a 1 − x3 1 − x3 a x 1 + b x 2 = c (1 − x 3 ), los cuales est´an contenidos en la intersecci´on de un plano y la esfera, es decir, se trata de un c´ırculo. Como π(∞) = (0, 0, 1) satisface dicha ecuaci´on, este c´ırculo pasa por el polo norte, lo cual tambi´en es evidente a partir de la construcci´on geom´etrica. Finalmente, un c´ırculo en el plano est´a definido por las siguientes ecuaciones | z − a | 2 = r 2, (z − a) (z − a) = r 2 , |z| 2 − a z − a z + |a| 2 = r 2 , por lo que usando (1.5), se tiene 1 + x3 − 2 Re (a z) = r 2 − |a| 2 . 1 − x3

1.2. Plano complejo extendido, continuidad

24

Si a = a 1 + i a 2 , z = x + i y, entonces Re (a z) = a 1 x + a 2 y y la imagen del c´ırculo en la esfera est´a definida por las siguientes ecuaciones 1 + x3 − 2 (a 1 x + a 2 y) = r 2 − |a| 2 , 1 − x3 1 + x3 x1 x2 − 2 a1 − 2 a2 = r 2 − |a| 2 , 1 − x3 1 − x3 1 − x3 1 + x 3 − 2 a 1 x 1 − 2 a 2 x 2 = (r 2 − |a| 2 ) (1 − x 3 ). Se sigue entonces que estos puntos est´an contenidos en un plano y por lo tanto constituyen un c´ırculo en la esfera.  Es u ´til obtener en t´erminos de z y z  , puntos del plano complejo, una f´ormula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos ´estas por (x 1 , x 2 , x 3 ) y (x 1 , x 2 , x 3 ), se tiene (x 1 − x 1 ) 2 + (x 2 − x 2 ) 2 + (x 3 − x 3 ) 2 = 2 − 2(x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 ). Ahora, usando (1.5), (1.6) y (1.7), se sigue que x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3       2   2 

z + z z−z z − z |z| − 1 |z | − 1 z+z − + = |z|2 + 1 |z  |2 + 1 |z|2 + 1 |z  |2 + 1 |z|2 + 1 |z  |2 + 1 =

2 z z  + 2 z z  + |z z  | 2 − |z| 2 − |z  | 2 + 1 (1 + |z| 2 ) (1 + |z  | 2 )

−2(z − z  )(z − z  ) + (1 + |z| 2 ) (1 + |z  | 2 ) (1 + |z| 2 ) (1 + |z  | 2 ) (el u ´ltimo paso equipara numerador y denominador). Por consiguiente, 

2 |z − z  | 2  2  2  2 (x 1 − x 1 ) + (x 2 − x 2 ) + (x 3 − x 3 ) = 2 − 2 1 − (1 + |z| 2 ) (1 + |z  | 2 ) =

4 |z − z  | 2 . (1 + |z| 2 ) (1 + |z  | 2 )  es particularmente novedosa y u Esta nueva f´ormula de distancia en C ´til porque incluye el punto al infinito. En este caso, si z  = ∞, se tiene =

x 1 x 1 + x2 x 2 + x 3 x 3 =

|z| 2 − 1 , |z| 2 + 1

1. Fundamentos y analiticidad

25

por lo que (x 1 −

x 1

2

) + (x 2 −

x 2 )2

+ (x 3 −

x 3

)

2

= 2−2

|z| 2 − 1 |z| 2 + 1

 =

4 . 1 + |z| 2

 Estos c´alculos inducen la m´etrica buscada en C. Definici´ on 10 Se define la m´etrica cordal en el plano complejo extendido de la siguiente manera ⎧ 2 |z 1 − z 2 | ⎪ ⎪   , si z 1 , z 2 = ∞. ⎪ ⎪ ⎨ 1 + |z 1 | 2 1 + |z 2 | 2 d C (z 1 , z 2 ) = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ , si z 2 = ∞. ⎩  1 + |z 1 | 2 Como S 2 es un subespacio m´etrico de R 3 , esta distancia define en efecto  El t´ermino cordal proviene de que se miden cuerdas en una m´etrica en C. la esfera d C (z 1 , z 2 ) = |π(z 1 ) − π(z 2 )|. Proposici´ on 1.2.2 Las m´etricas cordal y euclidiana inducen la misma topolog´ıa en C, es decir, definen los mismos abiertos en C. Adem´as d C (z n , ∞) −→ 0

si y s´olo si

|z n | −→ ∞.

´ n. Para la primera parte hay que probar que la funci´on idenDemostracio tidad Id : C E −→ C C es bicontinua, donde C E es el plano complejo provisto con la m´etrica euclidiana, y C C con la m´etrica cordal. Si |z n − z| → 0 cuando n → ∞, entonces |π(z n ) − π(z)| → 0 cuando n → ∞, ya que la funci´on π es continua, lo cual prueba que la funci´on Id es tambi´en continua. Ahora, por la continuidad de ψ, si d C (z n , z) → 0 cuando n → ∞, entonces |π(z n ) − π(z)| → 0 y |ψ π(z n ) − ψ π(z)| = |z n − z| → 0 cuando n → ∞. Para la segunda parte, sea z n , n ∈ N, una sucesi´on en C, tal que |z n | → ∞ cuando n → ∞, como 2 d C (z n , ∞) =  , 1 + |z n | 2

1.2. Plano complejo extendido, continuidad

26

se sigue que d C (z n , ∞) → 0 (ejercicio). Por otra parte, si d C (z n , ∞) → 0 cuando n → ∞, dado > 0 existe N  , tal que si n > N , se tiene 



2 1 + |z n

|2

< y por lo tanto |z n | >

4 −1

2

(ya que se puede tomar < 2). Por lo que, dado M > 0, tomando tal que  M =

4 − 1,

2

se obtiene |z n | > M, si n > N  . Esto es, |z n | → ∞.



Una de las virtudes de haber introducido la m´etrica cordal y el modelo de la esfera de Riemann es que nos permite de manera casi inmediata probar muchas de las propiedades b´asicas de las transformaciones de M¨obius. El estudio de estas funciones, que son importantes en muchas ramas de las matem´aticas, permite al lector profundizar en los aspectos geom´etricos de la variable compleja. Los ejercicios siguientes fueron planeados con ese prop´osito, m´as informaci´on sobre el tema aparece en [10]. EJERCICIOS 1.2.2 1 +i x 2 1. Demuestre que la funci´on estereogr´afica (x 1 , x 2 , x 3 ) → x 1−x de la 3 esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

2. Demuestre que si z n → ∞ cuando n → ∞, entonces d C (z n , ∞) → 0, cuando n → ∞. 3. Las transformaciones de M¨obius definidas en (1.4) se extienden a la esfera  como sigue: si c = 0, T (∞) = ∞, y si c = 0, T (∞) = a/c y de Riemann C T (−d/c) = ∞. Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la m´etrica cordal. 4. Demuestre que si A, B son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de M¨obius f, g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composici´on gf , que tambi´en es de M¨obius. Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en s´ı misma, y que adem´as constituyen un grupo.

1. Fundamentos y analiticidad

27

5. Demuestre que las transformaciones de M¨obius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: dada una terna, encuentre una funci´on de M¨obius que la mande en 1, 0, e ∞. 6. Pruebe que las transformaciones de M¨obius son composici´on de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, homotecias, traslaciones y z → 1/z. Concluya mostrando que las transformaciones de M¨obius preservan la familia de c´ırculos y rectas. 7. Demuestre que las transformaciones de M¨obius son transitivas en la familia de c´ırculos y rectas. 8. Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumple la ecuaci´on | z−a | = k, k ∈ R+ , a, b ∈ C, a = b, constituye una recta o z−b un c´ırculo (llamado de Apolonio). z+c 9. Sean a, c complejos, tal que no son ambos nulos, probar que | ac z+a | = 1, si |z| = 1. Interpretar geom´etricamente.

10. Probar que la funci´on z → 1/z es una rotaci´on de π radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x. 11. Probar de manera anal´ıtica y geom´etrica que dados dos puntos z, w ∈ C, se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son ant´ıpodas si y s´olo si z w = −1. 12. ¿Cu´al es la imagen de una recta por el origen bajo la funci´on z → 1/z?

1.3.

Algunas funciones importantes

Antes de proceder a estudiar las funciones de variable compleja de manera general, exhibimos algunos ejemplos. Comenzamos extendiendo al plano complejo algunas funciones muy importantes del c´alculo real.

1.3.1.

La funci´ on exponencial

Recordamos de los cursos de c´alculo que la funci´on exponencial se puede desarrollar en series de potencias, esto es, si x ∈ R, entonces ex = 1 + x +

x2 x3 x4 + + + ··· . 2! 3! 4!

1.3. Algunas funciones importantes

28

Pensando de manera intuitiva se puede sustituir en esta identidad x por i y, y ∈ R, y obtener eiy = 1 + i y +

(i y) 2 (i y) 3 (i y) 4 + + + ··· , 2! 3! 4!

reordenando los sumandos se tiene 



y3 y5 y2 y4 iy + − ··· + i y − + − ··· , e = 1− 2! 4! 3! 5! lo cual sugiere e i y = cos y + i sen y. Estas observaciones, junto con la propiedad del c´alculo real e s+t = e s e t , motivan la definici´on de la exponencial compleja.

ez iy

eiy

1

Figura 1.13: La exponencial manda rectas horizontales en semirrectas por el origen Definici´ on 11 Dado z ∈ C, z = x + i y, se define e z como e x (cos y + i sen y). Es inmediato de esta definici´on que esta funci´on es una extensi´on de la exponencial real y que |e z | = e x , por lo que esta funci´on no se anula. Tambi´en es evidente que si n ∈ Z, entonces e 2 π n i = 1.

1. Fundamentos y analiticidad

29

Obs´ervese adem´as que arg (e z ) = y. En cierto sentido la geometr´ıa de la funci´on exponencial es simple, por ejemplo, la imagen de la recta horizontal Im z = y bajo esta funci´on es la semil´ınea que surge del origen con argumento y, esto es, la que pasa por el punto e i y = cos y + i sen y. N´otese que dicha recta, Im z = y, se transforma biyectivamente en la semil´ınea abierta. Por otra parte, dada x ∈ R, la l´ınea vertical Re z = x se transforma en el c´ırculo de radio e x , recorri´endolo un n´ umero infinito de veces (v´eanse las Figuras 1.13 y 1.14). Geom´etricamente tambi´en es claro que la funci´on exponencial restringida al rect´angulo infinito R 0 = {z ∈ C | 0 ≤ Im z < 2 π} es inyectiva y cubre todo el plano complejo menos el origen (ve´ase la Figura 1.15). Es f´acil visualizar el punto e i y , ´este es el u ´nico punto en el c´ırculo unitario con argumento y, dicho de otra manera, ∀ w ∈ C, w = 0, e i arg w =

w . |w|

3π

π

Por ejemplo, e i 2 = i, e π i = −1 y e i 2 = −i, v´ease la Figura 1.15. Como en el caso real, la exponencial compleja distribuye la suma en producto.

ez

x

ex

Figura 1.14: La exponencial manda rectas verticales en c´ırculos

1.3. Algunas funciones importantes

30

π

3π 2

i

πi

e

3π 4

i

e2

i

= i π

ez

e4

i

eπ i = −1 1

π 2

i e

5π 4

e

i

e

3π 2

i

7π 4

i

= −i

Figura 1.15: La exponencial manda el rect´angulo infinito 0 ≤ Im z < 2 π biyectivamente en C − {0} Proposici´ on 1.3.1 Dadas z, w ∈ C se tiene e z+w = e z e w .

´ n. Si z = x + i y y w = s + i t, tenemos Demostracio e z+w = e (x+s)+i (y+t) = e x+s [cos(y + t) + i sen(y + t)] = e x+s [cos y cos t − sen y sen t + i (sen y cos t + sen t cos y)] = e x e s (cos y + i sen y)(cos t + i sen t) = e z e w , como consecuencia del mismo hecho para variable real.



Esta proposici´on exhibe una segunda prueba de que la exponencial compleja no se anula, ya que ∀ w ∈ C se tiene que e w e−w = e 0 = 1. Como ya se mencion´o, los complejos de la forma 2 k π i, k ∈ Z, son enviados al 1 bajo la exponencial, de hecho estos puntos constituyen la preimagen de 1: si e x (cos y + i sen y) = 1, se sigue al tomar las partes imaginarias que y = (entero) π, y al tomar las partes reales que y = 2 k π, k ∈ Z, y x = 0.

1. Fundamentos y analiticidad

31

Proposici´ on 1.3.2 La funci´ on exponencial compleja es peri´odica, todos los periodos son de la forma 2 k π i, k ∈ Z. ´ n. Se sigue de la Proposici´on 1.3.1 que 2 k π i, k ∈ Z, es un Demostracio periodo. Ahora, si w es un periodo, por definici´on e w+z = e z

∀ z ∈ C.

En particular, tomando z = 0 se tiene e w = 1, y w = 2 k π i, k ∈ Z.



Obs´ervese que el m´ınimo periodo es 2 π i. EJERCICIOS 1.3.1 1. Sea A = {z ∈ C | 0 < Re z < 2, −π/2 < Im z < π/2}. ¿Cu´al es la imagen de A bajo la exponencial? π 2. Exprese e (4+i 6 ) en la forma x + i y. 3. Demuestre que la funci´on exponencial compleja no est´a acotada en ninguna semirrecta por el origen (salvo en el eje imaginario). Describa la imagen. 4. Demuestre que bajo la acci´on de la funci´on exponencial, dos l´ıneas horizontales, sim´etricas con respecto al eje x, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra. 5. ¿Qu´e puntos del plano complejo cumplen e i w = e i w ?

1.3.2.

La funci´ on logaritmo

Como en el caso real, el logaritmo es una inversa derecha de la exponencial, sin embargo, dada la periodicidad de esta u ´ltima funci´on, se debe restringir el codominio de logaritmo (para que tambi´en sea inversa izquierda). La afirmaci´on de que la exponencial restringida al rect´angulo horizontal infinito R 0 es inyectiva se puede generalizar (v´ease la Figura 1.16). Proposici´ on 1.3.3 La funci´on exponencial restringida al rect´angulo infinito R y 0 = { z ∈ C | y 0 ≤ Im z < y 0 + 2 π} es biyectiva sobre C − {0}.

1.3. Algunas funciones importantes

32

(y0 + 2π)i

e y0 i

y0 i

Figura 1.16: La exponencial manda el rect´angulo infinito y 0 ≤ Im z < y 0 +2 π biyectivamente en C − {0} ´ n. Si e z = e w , z, w ∈ R y 0 , entonces Demostracio e z−w = 1

y

w − z = 2 π n i, n ∈ Z.

Por lo cual z = w, ya que la distancia entre las partes imaginarias de dos puntos cualesquiera en R y 0 es menor que 2 π. Por lo tanto e z | R y 0 es inyectiva. Ahora, dado u ∈ C, u = 0 u = |u|

u = ex eiy |u|

si y s´olo si log |u| = x

y e i arg u = e i y .

La segunda ecuaci´on tiene un n´ umero infinito de soluciones, una de las cuales satisface y 0 ≤ y < y 0 + 2 π. Por consiguiente, e z | R y 0 es suprayectiva.  N´otese que en la prueba de la proposici´on anterior la asociaci´on u −→ log |u| + i arg u establece una funci´on inversa, lo cual sugiere la siguiente definici´on.

1. Fundamentos y analiticidad

33

Definici´ on 12 La funci´ on con dominio C − {0}, codominio R y 0 y regla de correspondencia log z = log |z| + i arg z,

arg z ∈ [y 0 , y 0 + 2 π)

se llama rama de logaritmo. Obs´ervese que hay una infinidad de estas funciones; el problema es que un mismo s´ımbolo denota a todas ellas, por lo que se debe manejar con cuidado la terminolog´ıa. Reemplazando el dominio por una superficie de Riemann, que tiene la forma de una espiral infinita, se puede definir de manera u ´nica esta funci´on (cf. [12] cap´ıtulo 6); sin embargo, en este texto s´olo discutiremos las funciones con dominios que son subconjuntos de C − {0}. N´otese que para que el logaritmo sea funci´on, es necesario restringir el codominio; por el momento ´este ser´a tomado de la forma    x + i y ∈ C  y 0 < y ≤ y 0 + 2 π , y 0 ∈ R, o    x + i y ∈ C  y 0 ≤ y < y 0 + 2 π , y 0 ∈ R.

e i y0

(y0 + 2 π) i log z y0 i

Figura 1.17: Las ramas de logaritmo mandan c´ırculos conc´entricos al origen en intervalos verticales La geometr´ıa de la funci´on logaritmo es la inversa de la exponencial: c´ırculos conc´entricos al origen se desarrollan en segmentos de l´ıneas verticales, y semirrectas que parten del origen se transforman en rectas horizontales. Estas afirmaciones son evidentes al escribir la funci´on en forma polar   log r e i θ = log r + i θ,

1.3. Algunas funciones importantes

34

(v´eanse las Figuras 1.17 y 1.18). Un ejemplo de estas funciones se obtiene tomando y 0 = 0, y como intervalo para el argumento (0, 2 π], en este caso log (1 − i) = log |1 − i| + i arg (1 − i) = log

√

2+i

7π . 4

Sin embargo, si y 0 = −π, y se toma el intervalo (−π, π], √ π log(1 − i) = log 2 − i . 4

log z

ei(y0 +t)

(y0 + t)i

eiy0

y0 i

Figura 1.18: Las ramas de logaritmo mandan semirrectas por el origen en l´ıneas horizontales Teorema 1.3.4 El logaritmo es la inversa de la exponencial en el siguiente sentido: si log z representa una rama de logaritmo, entonces e log z = z

∀ z ∈ C − {0};

tambi´en, si se elige la rama y 0 ≤ y < y 0 + 2 π, entonces log (e z ) = z

∀ z ∈ R y0.

´ n. Como log z = log |z| + i arg z, Demostracio e log z = e log |z| e i arg z = |z|

z = z. |z|

Rec´ıprocamente, si z = x + i y, donde y 0 ≤ y < y 0 + 2 π, se tiene log (e z ) = log |e z | + i arg (e z ) = log (e x ) + i y = z.

1. Fundamentos y analiticidad

35

Esto se sigue ya que arg (e z ) = arg (e i y ) = y, por la forma en la que se eligi´o la rama de logaritmo.  N´otese que en la proposici´on anterior si z ∈ / R y 0 , entonces no necesariamente log (e z ) = z, por ejemplo, si y 0 = 0, y z = 2 π i, se tiene log (e 2 π i ) = 0. Posteriormente, se restringir´a el dominio del logaritmo a conjuntos de la forma C − B y 0 , donde y 0 es un real fijo y B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}. El objeto de esta restricci´on ser´a lograr que el logaritmo sea una funci´on continua. Proposici´ on 1.3.5 Sea log z la rama de logaritmo cuyo argumento toma valores en [y 0 , y 0 + 2 π), y z, w ∈ C − {0}, entonces log (z w) = log z + log w

m´od 2 π i.

´ n. Por una parte, Demostracio log |z w| = log |z| + log |w|, y tambi´en arg (z w) = arg z + arg w

m´od 2 π.

 Este u ´ltimo resultado se entiende mejor a la luz de un ejemplo: tomando la rama cuyo argumento toma valores en [0, 2 π), multiplicamos los complejos   √  1 i √ −√ = −1 − i, ahora − 2i 2 2 

 √ √ 1 3π 7π i + log (− 2 i) + log √ − √ = log 2 + log 1 + i 2 4 2 2 √ 13 π = log 2 + i , por otra parte 4 √ 13 π 5 π 5π log (−1 − i) = log 2 + i , y − = 2 π. 4 4 4 EJERCICIOS 1.3.2 1. Calcule log (3 − 3 i) con las ramas [−π, π), [0, 2 π) y [− π2 ,

3π ). 2

2. Calcule todos los valores que toman las distintas ramas de logaritmo de √ 3 1 + i . 2 2

1.3. Algunas funciones importantes

36

1.3.3.

Potencias complejas

Se prob´o que dado un n´ umero complejo no nulo se cumple que e log z = z, para cualquier rama de logaritmo que se tome. Si n ∈ N, se tiene entonces que   n     = e log z e log z · · · e log z = e n log z . z n = e log z  !  n veces

Estas consideraciones sugieren c´omo deben definirse las potencias complejas. Definici´ on 13 Sean z, w ∈ C, z = 0, y log una rama de logaritmo, se define z w = e w log z . Por ejemplo, si 1 i z = √ − √ y w = i 2 2 se sigue, tomando la rama con valores en [−π, π), que 

zw = e

i

log 1−

iπ 4

 π

= e 4.

Obs´ervese que, en general, es necesario elegir una rama de logaritmo para que la asociaci´on z → z w sea una funci´on. Por ejemplo, como se vio en la secci´on de las ra´ıces n-´esimas, la asociaci´on z → z 1/n toma n valores. En contraste, la asociaci´on w → z w es m´as simple, puesto que en este caso log z es una constante. Es muy importante enfatizar que al tomar las distintas ramas de logaritmo, los valores obtenidos difieren por factores de la forma e w ( 2 π n i) ,

n ∈ Z.

Esto se sigue ya que dada una rama de logaritmo denotada por z → log z, cualquier otra es de la forma z → log z + 2 π n i, n ∈ Z, por lo cual todas las posibles ramas de z w son de la forma e w(log z+2 π n i) = e w log z e w (2 π n i) ,

n ∈ Z.

En el ejemplo que acabamos de mencionar los otros valores de z w son e

π 4

e i (2 π n i) = e

π −2 π n 4 ,

n ∈ Z.

1. Fundamentos y analiticidad

37

N´otese tambi´en que para z ∈ C fija ( z = 0), z w est´a un´ıvocamente determinada, es decir, no depende de la rama de logaritmo que se elija, si y s´olo si w es un entero. Esto se cumple dado que ew(2πni) = 1 ∀ n ∈ Z

⇐⇒

wn ∈ Z ∀n ∈ Z

⇐⇒

w ∈ Z.

En consecuencia, si w no es un entero, para que la asociaci´on z → z w sea funci´on, hay que elegir una rama espec´ıfica de logaritmo. Proposici´ on 1.3.6 Sean z ∈ C, z = 0, y p/q ∈ Q fijos, donde p, q son primos relativos y q es positivo, entonces z p/q toma exactamente q valores que son las ra´ıces q-´esimas de z p . ´ n. Basta analizar cu´antos n´ Demostracio umeros distintos hay de la forma e

p (2πni) q ,

n ∈ Z.

Se tiene p

⇐⇒

( 2 π n i)

p

eq = eq p (n − m) ∈ Z q

(2πmi)

⇐⇒

,

n, m ∈ Z, n≡m

(m´od q),

puesto que (p, q) = 1, por lo que z p/q toma exactamente q valores. Tambi´en, para cualquier rama z → log z se tiene q

p log z = e p log z = z p . e q  Proposici´ on 1.3.7 Sean z ∈ C, z = 0 y w ∈ C − Q fijos , entonces z w toma un n´ umero infinito de valores. ´ n. Si w ∈ C − Q, entonces Demostracio e w 2 π n i = e w 2 π m i, ⇐⇒ e

w 2 π (n−m) i

n, m ∈ Z,

= 1 ⇐⇒ w (n − m) ∈ Z ⇐⇒ n = m.

1.3. Algunas funciones importantes

38

Una segunda prueba, para el caso w = x + i y ∈ C − R, se obtiene al escribir e w 2 π n i = e−2 π n y e 2 π n i x . Por lo que si e w 2 π n i = e w 2 π m i , al tomar normas se tiene que e−2 π n y = e−2 π m y

y n = m.

 Con base en el concepto de potencias complejas se pueden definir las funciones que son ra´ıces n-´esimas. √ Definici´ on 14 La funci´on ra´ız n-´esima, denotada por n z o z 1/n , se define como log z e n , donde log z es una rama de logaritmo. Aunque existen una infinidad de estas funciones, se sigue de la Proposici´on 1.3.6 que para un complejo fijo no nulo existen exactamente n ra´ıces n´esimas. M´as a´ un, ´estas son las mismas que las descritas en la Proposici´on 1.1.5. Para mostrar esto se puede tomar la rama del logaritmo cuya parte imaginaria toma valores en (0, 2 π], la ra´ız n-´esima est´a dada entonces por e

log z n



= e

log r i θ + n n



=

√ n

re

iθ n ,

donde z = r e i θ , θ ∈ (0, 2 π]. Como en las demostraciones de las Proposiciones 1.1.5 y 1.3.6, las otras n − 1 soluciones se obtienen rotando consecutivamente esta soluci´on en el sentido positivo, por un a´ngulo de 2 π/n, esto es, multiplicando la soluci´on por 

e

2πki n



,

k = 1, 2, . . . , n − 1.

Analizamos ahora la geometr´ıa de algunas de estas funciones. La funci´on elevar al cuadrado z −→ z 2 dobla el argumento y eleva al cuadrado la norma (ya que multiplicar complejos no nulos es multiplicar sus normas y sumar sus argumentos), por lo

1. Fundamentos y analiticidad

39

que transforma el primer cuadrante en la cerradura del semiplano superior H 2 , y ´esta a su vez la transforma en todo el plano (v´ease la Figura 1.19).

z2

z

z2

2θ

θ 1

Figura 1.19: La funci´on z → z 2 duplica el argumento

z2

√

z

√ Figura 1.20: La funci´on z → z, usando la rama [−π, π), es la inversa de ´ltima a la uni´on del semiplano z → z 2 , restringiendo el dominio de esta u derecho abierto con el eje imaginario inferior (abierto) La funci´on z → est´a dada por

√

z, definida al tomar la rama de logaritmo [0, 2 π), √

θ √ z = r ei 2, √ donde z = r e i θ . Como θ/2 ∈ [0, π), z es un real positivo o un punto en el semiplano superior: el efecto es dividir el a´ngulo en dos, por lo cual esta ra´ız cuadrada es una inversa (izquierda y derecha) de la funci´on elevar al cuadrado, cuando esta u ´ltima se restringe a la uni´on del semiplano superior  abierto H 2 y los reales positivos. En contraste, por ejemplo, (−i) 2 = i.

z −→

1.3. Algunas funciones importantes

40

√ Por otra parte, si se toma la√ra´ız cuadrada z definida por la rama de logaritmo [−π, π), se tiene que z toma valores en el conjunto formado por la uni´on del semiplano derecho y el eje imaginario inferior abierto (v´eanse las Figuras 1.20 y 1.21). En general (a semejanza del logaritmo), cualquier rama de la ra´ız cuadrada definida en C − {0} es una inversa derecha de la funci´on elevar al cuadrado. El siguiente resultado describe algunos aspectos de la geometr´ıa de la funci´on elevar al cuadrado.

1 θ

√

θ 2 z

z

Figura 1.21: La funci´on z →

√

z usando la rama [−π, π)

Proposici´ on 1.3.8 La funci´on z → z 2 transforma las l´ıneas verticales y horizontales (excluyendo los ejes) en par´abolas. ´ n. Si z = x + i y, entonces Demostracio z 2 = x 2 − y 2 + 2x y i. Para analizar la recta Im z = c, c = 0, hacemos un cambio de variable 2 x c = t. Con esta notaci´on, la imagen de dicha recta consiste en los puntos de la forma 

2 t 2 − c , t , t ∈ R, 4 c2 lo cual define una par´abola. El mismo an´alisis, aplicado ahora a las rectas verticales Re z = c, c = 0, muestra que sus im´agenes constituyen el lugar de los puntos de la forma

 t2 2 c − , t , t ∈ R, 4 c2

1. Fundamentos y analiticidad

41

que de nuevo definen una par´abola. N´otese que la segunda familia de par´abolas se obtiene al reflejar la primera familia por el eje imaginario.  En la Figura 1.22 se ilustra la prueba de la proposici´on anterior: la imagen de la recta Im z = 1 es la par´abola definida por t −→

t2 −1 4

que cruza al eje imaginario en ± 2 i y al eje real en −1. Asimismo, la imagen de la recta Im z = 2 cruza a los ejes en ± 8 i y en −4. Si se toman ahora las im´agenes correspondientes a las rectas dadas por Re z = 1, 2, se obtienen las otras par´abolas que pasan por 1 y 4, respectivamente. En la secci´on de conformalidad al final de este cap´ıtulo se entender´a por qu´e estas par´abolas se intersecan ortogonalmente.

8i

2i -4

-1

1

4

−2i

−8i

Figura 1.22: La funci´on z → z 2 transforma rectas verticales y horizontales en par´abolas

1.3. Algunas funciones importantes

42 EJERCICIOS 1.3.3

1. Calcule todos los valores de (1 − i) 4−2i , z i y i w .

√ 2. Describa la imagen del conjunto C − {0} bajo la funci´on 3 z definida por la rama de logaritmo [−π, π). ¿Cu´al es la imagen de dicho conjunto bajo la ra´ız c´ ubica definida por la rama de logaritmo [0, 2 π)? 3. Demuestre que si w ∈ R, entonces |z w | = |z|w .

4. Exhiba z, w ∈ C, para las cuales no se cumpla |z w | = |z| |w| . 5. Demuestre que la funci´on ra´ız cuadrada definida por la rama de logaritmo [0, 2 π) transforma las l´ıneas verticales y horizontales de C − {R+ ∪ {0}} en ramas de hip´erbolas.  √ √ 6. Sea w ∈ C − {0} y una rama de la ra´ız, ¿se cumple 1/w = 1/ w ?

1.3.4.

Las funciones trigonom´ etricas

Como e i y = cos y + i sen y, se tiene que cos y =

e i y + e−i y 2

y

sen y =

e i y − e−i y . 2i

Esto sugiere la siguiente definici´on. Definici´ on 15 ∀z ∈ C, se definen las funciones trigonom´etricas cos z =

e i z + e−i z , 2

sen z =

ei z − e−i z . 2i

Claramente estas funciones son extensiones de las correspondientes funciones reales. Es evidente tambi´en que estas funciones complejas cumplen las identidades: cos z = cos(−z) y sen(−z) = − sen z. Adem´as, heredan otras de sus propiedades como funciones reales, como se muestra en el siguiente resultado. Proposici´ on 1.3.9 Dados z, w ∈ C, se cumplen las siguientes igualdades (i) sen 2 z + cos 2 z = 1, (ii) sen(z + w) = sen z cos w + sen w cos z, (iii) cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.

1. Fundamentos y analiticidad

43

´ n. Probamos primero (i) Demostracio 2 i z 2

iz e − e−i z e + e−i z + sen 2 z + cos 2 z = 2i 2

=

e 2 i z + 2 + e−2 i z e 2 i z − 2 + e−2 i z + = 1. −4 4

Para probar (ii), n´otese que la expresi´on sen z cos w+sen w cos z est´a dada por  iw  iw  iz 

iz e + e−i w e − e−i w e + e−i z e − e−i z + = 2i 2 2i 2 ei(z+w) + ei(z−w) − ei(−z+w) − e−i(z+w) + ei(w+z) + ei(w−z) − ei(−w+z) − e−i(w+z) 4i

=

e i (z+w) − e−i (z+w) = sen(z + w). 2i

La prueba de (iii) es an´aloga a la de (ii) y queda como ejercicio.



Usando esta proposici´on se deriva f´acilmente que las funciones sen z y cos z son peri´odicas y su m´ınimo periodo es 2 π (ejercicio). Adem´as, se sigue directamente de la Proposici´on 1.3.9 (ii) que la funci´on coseno es la funci´on seno aplicada a la composici´on de la rotaci´on por el origen de π radianes, seguida de la traslaci´on por π/2, esto es, π  sen − z = cos z. (1.8) 2 Es interesante que las funciones complejas seno y coseno se relacionan con las funciones trigonom´etricas hiperb´olicas reales, esto es, si t ∈ R se tiene cosh t = cos(i t) y i senh t = sen(i t). Probamos la segunda identidad, la prueba de la primera es m´as simple.

t  e−t − e t e − e−t e i( i t) − e−i (i t) = = i = i senh t. sen(i t) = 2i 2i 2

1.3. Algunas funciones importantes

44

sen z

− π2

− π4

- π6

π 6

π 4

π 2

−1

− 12

1 2

1

Figura 1.23: Las funci´on z → sen z transforma rectas v´erticales en hip´erbolas

Para analizar la geometr´ıa de la funci´on z → sen z mostramos primero cu´al es la imagen bajo esta funci´on de las rectas verticales y horizontales, para esto escribimos sen z = sen(x + i y) = sen x cos (i y) + sen (i y) cos x = sen x cosh y + i senh y cos x = u + i v. (1.9) En consecuencia, los puntos de la imagen de la recta Im z = y 0 , y 0 = 0, cumplen la ecuaci´on de la elipse u2 v2 + = 1, cosh 2 y 0 senh 2 y 0 ya que sen 2 x + cos 2 x = 1. N´otese que la imagen da un n´ umero infinito de vueltas a dicha elipse. Tambi´en la imagen de la recta vertical Re z = x 0 , x 0 = k2π , k ∈ Z, satisface u2 v2 − = cosh 2 y − senh 2 y = 1, sen 2 x 0 cos 2 x 0 y por lo tanto constituye la rama de una hip´erbola (por conexidad es solamente una rama). En el eje real, se sigue de (1.9) que sen z = sen x, por lo que ´este se transforma en el intervalo [−1, 1], que se puede pensar como una elipse

1. Fundamentos y analiticidad

45

degenerada. Por otra parte, en el eje imaginario, se tiene sen z = i senh y, por lo que se transforma en s´ı mismo, caso que tambi´en se puede considerar como una hip´erbola degenerada (cuando las dos ramas se juntan en una sola). Otros casos degenerados suceden con las rectas Re z = π/2 y Re z = −π/2, que se transforman en los segmentos reales [1, ∞) y (−∞, −1], respectivamente, ya que en estos casos sen z = ± cosh y (esta situaci´on l´ımite es cuando las ramas de las hip´erbolas se doblan en un segmento, v´ease la Figura 1.23). Claramente, este comportamiento se repite en todas las rectas verticales que son de la forma Re z = π/2 + k π, k ∈ Z. Intuitivamente es claro entonces que si restringimos la funci´on seno a la regi´on  # "  π π  , z ∈ C  − < Re z < 2 2 ´esta se transforma biyectivamente en C−{z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Dejamos la verificaci´on formal de este hecho como un ejercicio para el lector. Para probar esto es u ´til usar la relaci´on sen(π−z) = sen z, que es una consecuencia inmediata de la Proposici´on 1.3.9. Terminamos esta secci´on analizando algunos aspectos de las funciones inversas del seno. Para esto, si sen z = w, entonces e i z − e−i z = w ⇐⇒ e i z − e−i z − 2 i w = 0 ⇐⇒ e2 i z − 2 i w e i z − 1 = 0. 2i Esta ecuaci´on cuadr´atica tiene soluciones √ √ 2 i w ± −4 w 2 + 4 iz e = = i w ± 1 − w 2. 2 Por lo que tomando las distintas ramas de logaritmo se obtienen todas las preim´agenes de w bajo la funci´on seno. Esto es   √ i z = log i w ± 1 − w 2 o

  √ z = −i log i w ± 1 − w 2 .

(1.10)

Por ejemplo, si w = 0 y se toma la rama de logaritmo cuyo argumento toma , 32π ] se obtienen los valores 0 y π. Por consiguiente, todas valores en ( −π 2 las preim´agenes del 0 bajo la funci´on seno son k π, k ∈ Z.

1.4. Algunas funciones importantes

46

Posteriormente mostraremos que la f´ormula descrita en (1.10) nos permite, tomando ramas adecuadas, encontrar una funci´on inversa (anal´ıtica) del seno en la regi´on C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Una f´ormula an´aloga se puede obtener para la funci´on coseno. Las otras funciones trigonom´etricas se definen como en el caso real, de la manera usual, por ejemplo, tan z =

sen z , cos z

donde z =  k π + π/2, k ∈ Z (es f´acil verificar que ´estos son los puntos donde se anula el coseno complejo). EJERCICIOS 1.3.4 1. Pruebe la identidad cosh t = cos(i t). 2. Pruebe que el m´ınimo periodo de las funciones sen z y cos z es 2 π. 3. Pruebe el tercer inciso de la Proposici´on 1.3.9. 4. Resuelva cos z = −1/2, cos z = 0 y sen z = i.     5. Demuestre la identidad sen z − sen w = 2 sen z−w cos z+w . 2 2 6. Demuestre que en la regi´on {z ∈ C | −π/2 < Re z < π/2} la funci´on sen z es inyectiva, probando que las im´agenes de las restricciones de esta funci´on a segmentos horizontales son ajenas. 7. Demuestre que en la regi´on {z ∈ C | − π/2 < Re z < π/2} la funci´on sen z es inyectiva, usando el Ejercicio 5. 8. Demuestre que la funci´on z → sen z transforma biyectivamente la regi´on {z ∈ C | − π/2 < Re z < π/2} en la regi´on C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. 9. Describa la geometr´ıa de cos z en la regi´on {z ∈ C | 0 < Re z < π}. Sugerencia: usar (1.8). √ 10. Sean log y dos ramas cualesquiera de logaritmo y de la ra´ız cuadrada, respectivamente. Demuestre que si z = 0, ±i, entonces se cumple la identidad    1 1 1+i z = cot i log 1−i z . z

1. Fundamentos y analiticidad

47

1.4.

Funciones anal´ıticas

1.4.1.

Diferenciabilidad

Definici´ on 16 Sea A abierto en C, se dice que una funci´ on f : A → C es diferenciable en el sentido complejo en z 0 ∈ A, si l´ım

z→z 0

f (z) − f (z 0 ) z − z0

existe. Este l´ımite, llamado la derivada, se denota por f  (z 0 ). Se dir´a que f es diferenciable en el sentido complejo en A, si lo es en cada punto de A. Definici´ on 17 Sea A abierto en C, f : A → C, se dice que f es anal´ıtica u holomorfa en z 0 ∈ A, si f es diferenciable en el sentido complejo en una vecindad alrededor de z 0 . Es conveniente formular de esta manera la definici´on de analiticidad puntual, ya que por ejemplo la funci´on z → |z| 2 es diferenciable en el sentido complejo en el origen, sin embargo como se podr´a constatar posteriormente (usando el Teorema 1.4.2) esta funci´on no es holomorfa en ninguna vecindad del origen. Se dice que una funci´on f es holomorfa (o anal´ıtica) en A si lo es en cada punto de A. Si la funci´on es holomorfa en C se dice que es entera. Evidentemente, las funciones constantes son enteras y tienen derivada 0, tambi´en la funci´on id´entica es entera y su derivada es la funci´on constante z → 1 ∀ z ∈ C. Algunas propiedades de la analiticidad como las que mencionamos a continuaci´on se prueban de manera id´entica al caso real (de una variable), por lo que se omiten las demostraciones. Primero, si f  (z 0 ) existe, entonces f es continua en z 0 . Tambi´en, si A es abierto en C y f y g son anal´ıticas en A, entonces 1. α f + β g es anal´ıtica en A y (α f + β g)  (z) = αf  (z) + β g  (z) ∀ z ∈ A y ∀ α, β ∈ C. 2. f g es anal´ıtica en A y (f g)  (z) = f  (z) g(z) + f (z) g  (z) ∀ z ∈ A.

1.4. Funciones anal´ıticas

48

3. Si g(z) = 0 ∀z ∈ A, entonces f /g es anal´ıtica en A y

 f  (z) g(z) − f (z) g  (z) f (z) = ∀ z ∈ A.  2 g g(z) N´otese tambi´en que se sigue de manera inmediata a estos hechos que cualquier polinomio a 0 +a 1 z+· · ·+a n z n es una funci´on entera y su derivada es a 1 + 2 a2 z + · · · + n a n z n−1 . Estas propiedades implican asimismo que cualquier funci´on racional a0 + a1 z + · · · + an z n b0 + b1 z + · · · + bn z n es anal´ıtica en C, excepto en los ceros de b 0 +b 1 z+· · ·+b n z n . Por supuesto, la regla de la cadena se cumple para las funciones anal´ıticas. Incluimos la prueba de este hecho para mostrar la cabal analog´ıa con el caso real. Proposici´ on 1.4.1 Sean A, B abiertos en C, f : A → C y g : B → C holomorfas, tales que f (A) ⊂ B, entonces g ◦ f : A → C es holomorfa en A y   (g ◦ f )  (z) = g  f (z) f  (z) ∀ z ∈ A. ´ n. Sean z 0 ∈ A y f (z 0 ) = w 0 . Se define para w ∈ B Demostracio $ g(w)−g(w 0 ) − g  (w 0 ) si w = w 0 , w−w 0 h(w) = 0 si w = w 0 . Obs´ervese que como g  (w 0 ) existe, h es continua en B, y por lo tanto l´ım (h ◦ f )(z) = h(w 0 ) = 0.

z→z 0

Ahora, ∀ z ∈ A reemplazando w por% f(z) y despejando & % en la expresi´ & on de arriba, se tiene (g ◦ f )(z) − g(w 0 ) = h f (z) + g  (w 0 ) f (z) − w 0 , por lo que si z = z 0 ,     f (z) − w 0 (g ◦ f )(z) − g(w 0 ) = h f (z) + g  (w 0 ) . z − z0 z − z0 Finalmente, tomando el l´ımite en esta expresi´on cuando z → z 0 , se obtiene el resultado. 

1. Fundamentos y analiticidad

49

Por ejemplo, la funci´on f (z) =

z4 + 2z3 + 1 z2 + 1

es holomorfa en C − {±i} y usando las observaciones anteriores se puede calcular f´acilmente su derivada 2z 5 + 2 z 4 + 4 z 3 + 6 z 2 − 2 z (4z 3 + 6 z 2 )(z 2 + 1) − 2 z (z 4 + 2 z 3 + 1) = . 2 2 (z + 1) (z 2 + 1) 2 EJERCICIOS 1.4.1 1. Demuestre la identidad (f g)  (z) = f  (z) g(z) + f (z) g  (z). 2. Encuentre una regi´on donde

3 z 4 −2 z 2 +i z 3 −27 i 2

sea holomorfa, calcule la derivada.

3. Sea f la funci´on de R 2 en R definida por f (x, y) = (x 2 + y 2 , 0) (en notaci´on compleja z → |z| 2 ), calcule su matriz jacobiana. 4. Sea f (z) = p(z)/q(z), donde p(z), q(z) son polinomios sin ra´ıces comunes y de grados distintos, sup´ongase tambi´en que n es el mayor de sus grados y que α es un complejo no nulo. Pruebe que la ecuaci´on f (z) = α tiene exactamente n soluciones contadas con multiplicidad.

1.4.2.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad

Las funciones anal´ıticas adem´as de satisfacer propiedades que son comunes al caso real constituyen una clase m´as restringida, por ejemplo, probaremos que si una funci´on es anal´ıtica, entonces tiene derivadas de todos los ´ordenes, es decir, es C ∞ en el sentido complejo. El resultado clave que marca una clara distinci´on entre estos dos tipos de funciones lo establece el Teorema 1.4.3. Dado un abierto A en C y una funci´on f : A → C, esta funci´on tambi´en se puede pensar como una funci´on f : A ⊂ R 2 → R 2 . Recordamos del c´alculo que f es diferenciable en el sentido real en (x 0 , y 0 ) ∈ A, si existe una transformaci´on lineal Df(x 0 , y 0 ) de R 2 en R 2 que satisface

l´ım

(h, k)→(0, 0)

f (x 0 + h, y 0 + k) − f (x 0 , y 0 ) − Df(x 0 , y 0 ) (h, k) = 0. |(h, k)|

1.4. Funciones anal´ıticas

50

Usaremos en el siguiente teorema el hecho (f´acil de probar) de que si g es una funci´on compleja tal que l´ım g(z) existe, entonces existen l´ım Re g(z) z→z 0

z→z 0

y l´ım Im g(z), y adem´as z→z 0

l´ım g(z) = l´ım Re g(z) + i l´ım Im g(z).

z→z 0

z→z 0

z→z 0

Teorema 1.4.2 Sean A abierto en C y f : A → C una funci´on holomorfa en z 0 ∈ A, entonces si f (z) = u(z) + i v(z), se tiene ∂v ∂u (z 0 ) = (z 0 ), ∂x ∂y ∂u ∂v (z 0 ) = − (z 0 ). ∂y ∂x

(Ecuaciones de Cauchy-Riemann)

´ n. Sea z 0 = x 0 + i y 0 , por hip´otesis Demostracio f  (z 0 ) = l´ım

z→z 0

f (z) − f (z 0 ) . z − z0

En particular, si nos aproximamos a z 0 por la recta horizontal Im z = y 0 , se tiene que u(x, y 0 ) − u(x 0 , y 0 ) + i (v(x, y 0 ) − v(x 0 , y 0 )) f (x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = , (x − x0 ) + i (y 0 − y 0 ) x − x0 y tomando el l´ımite cuando x → x 0 , se obtiene f  (z 0 ) =

∂u ∂v (x 0 , y 0 ) + i (x 0 , y 0 ). ∂x ∂x

Esta u ´ltima afirmaci´on se sigue de la observaci´on previa al teorema. An´alogamente, aproxim´andose ahora por la recta vertical Re z = x 0 , la expresi´on

f (z) − f (z 0 ) z − z0

se puede escribir como u(x 0 , y) − u(x 0 , y 0 ) + i (v(x 0 , y) − v(x 0 , y 0 )) (x 0 − x 0 ) + i (y − y 0 ) u(x 0 , y) − u(x 0 , y 0 ) v(x 0 , y) − v(x 0 , y 0 ) = + . i(y − y 0 ) y − y0

1. Fundamentos y analiticidad

51

Nuevamente tomando el l´ımite, ahora cuando y → y 0 , se obtiene f  (z 0 ) =

1 ∂u ∂v ∂v ∂u (x 0 , y 0 ) + (x 0 , y 0 ) = (x 0 , y 0 ) − i (x 0 , y 0 ). i ∂y ∂y ∂y ∂y

Igualando estas dos expresiones para f  (z 0 ), se obtienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.  N´otese que la prueba del resultado anterior proporciona f´ormulas expl´ıcitas para la derivada, dadas por f  (z) =

∂v ∂v ∂u ∂u (z) + i (z) = (z) − i (z). ∂x ∂x ∂y ∂y

Obs´ervese que se tienen tambi´en otras expresiones de la derivada en t´erminos de las parciales de u(z) (o de las de v(z)). El lector podr´a notar asimismo que en el enunciado del Teorema 1.4.2 se pudo haber reemplazado la hip´otesis de analiticidad por diferenciabilidad compleja, ya que solamente se us´o esta propiedad en la prueba. Dicho teorema establece condiciones necesarias para que una funci´on sea anal´ıtica; el siguiente importante resultado generaliza este hecho estableciendo condiciones suficientes y necesarias. Teorema 1.4.3 Sea z 0 un punto en un conjunto abierto A, y f : A → C una funci´on, entonces f es holomorfa en z 0 si y s´olo si en una vecindad de z 0 , f es diferenciable en el sentido real y satisface las condiciones de Cauchy-Riemann. Una consecuencia fundamental de este teorema es el hecho de que cualquier funci´on f : A → C (A abierto en C) con derivadas parciales continuas en una vecindad de z 0 ∈ A, y que adem´as satisface las condiciones de CauchyRiemann (en dicha vecindad), es anal´ıtica. Para demostrar el teorema se necesita primero un lema que muestra la relaci´on que hay entre las dos descripciones de la funci´on lineal en R 2 que resulta de multiplicar por un complejo, a saber, en t´erminos de complejos, y en t´erminos de matrices reales de dos por dos.   Lema 1.4.4 Una matriz ac db con entradas reales representa bajo multiplicaci´ on matricial, la multiplicaci´on por un n´ umero complejo si y s´ olo si a = d y b = −c. El n´ umero en cuesti´ on es a + i c o a − i b.

1.4. Funciones anal´ıticas

52

´ n. La operaci´on conmutativa de multiplicar por el n´ Demostracio umero a + i c, en notaci´on compleja, est´a dada por (x + i y) −→ (a + i c) (x + i y) = (a x − c y) + i (c x + a y).   Esta funci´on l´ıneal es tambi´en la definida por la matriz ac −c a , ya que

    a −c x = a x − c y, c x + a y . c a y   Viceversa, si la matriz ac db representa la multiplicaci´on por α + i β, se sigue que para todo n´ umero complejo x + i y ∈ C, se tiene

  a b x = (α x − β y, β x + α y), c d y es decir,

a x + b y = α x − β y, c x + d y = β x + α y.

En particular, tomando los valores particulares (1, 0) y (0, 1) se obtiene a = α,

c = β,

b = −β

y d = α. 

El Teorema 1.4.2 y el lema anterior permiten probar ahora sin gran dificultad el resultado principal. ´ n del Teorema 1.4.3. Si f es holomorfa en z 0 , entonces Demostracio ∀ z en una vecindad de z 0 existe l´ım

w→z

f (w) − f (z) , w−z

que denotamos por f  (z). Este l´ımite es equivalente a f (w) − f (z) − f  (z) (w − z) = 0, (w − z)

l´ım

w→z

que a su vez equivale a l´ım

w→z

|f (w) − f (z) − f  (z) (w − z)| = 0, |w − z|

1. Fundamentos y analiticidad

53

o usando coordenadas reales, l´ım

w→z

|f (w) − f (z) − Df z (w − z)| = 0, |w − z|

umero complejo f  (z) (en virtud del donde Dfz es la matriz que define el n´ Lema 1.4.4). Este u ´ltimo l´ımite muestra que f es diferenciable en el sentido real en z y que satisface las condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto. Este lema muestra tambi´en que todos los pasos son reversibles.  El Teorema 1.4.3 permite tambi´en exhibir otros importantes ejemplos de funciones holomorfas. Denotaremos tambi´en a f  (z) por d (f (z)) , dz

o simplemente

df . dz

Proposici´ on 1.4.5 La exponencial es entera y su derivada es ella misma. ´ n. Como e z = e x cos y + i e x sen y, se tiene que e z es de Demostracio ∞ clase C real; adem´as ∂u ∂v (z) = e x cos y = (z) ∂x ∂y

∂u ∂v (z) = −e x sen y = − (z). ∂y ∂x

y

Se sigue pues del Teorema 1.4.3 que e z es anal´ıtica ∀z ∈ C, y que d (e z ) = e x cos y + i e x sen y = e z . dz

 z5

Otros ejemplos se derivan de este resultado, por ejemplo, la funci´on e −4 5 es entera y su derivada es (5 z 4 ) e z . Tambi´en, se tiene que las funciones sen z y cos z son enteras. Adem´as, como en el caso real d (sen z) = cos z dz

y

d (cos z) = − sen z. dz

Esto se sigue ya que d (sen z) = dz El otro caso es an´alogo.

eiz 2i



i−

e−i z 2i

 (−i) = cos z.

1.4. Funciones anal´ıticas

54

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann permiten tambi´en detectar f´acilmente funciones que no son holomorfas, por ejemplo, la funci´on f (z) = z. Si denotamos f = u + i v, se tiene ∀ z que u(z) = x y v(z) = −y, por lo que ∂u ∂v (z) = 1 = −1 = (z) ∂x ∂y y f no es holomorfa en ning´ un punto del plano. Volviendo al caso general de las funciones holomorfas, resulta que sus partes reales e imaginarias tienen propiedades muy distintivas, como se muestra a continuaci´on. Definici´ on 18 Sea A un abierto en C y u : A → R una funci´on de clase C 2 , se dice que u es arm´onica en A si ∀ z ∈ A se tiene ∂2u ∂2u (z) + (z) = 0. ∂ x2 ∂ y2 A esta expresi´ on se le llama el laplaciano de u y se le denota por ∇ 2 u. Proposici´ on 1.4.6 Sea A un abierto en C y f : A → C holomorfa, entonces u, v son funciones arm´onicas en A, donde f (z) = u(z) + i v(z). ´ n. Probaremos en el siguiente cap´ıtulo que si una funci´on es Demostracio holomorfa, entonces es de clase C ∞ en el sentido complejo, por lo que basta verificar que los laplacianos de u y v son cero. Como en A se tiene ∂u ∂v = , ∂x ∂y

se sigue que

∂2u ∂2v . = ∂ x2 ∂ x∂ y

por lo que

∂2v ∂2u = − . ∂ y2 ∂y∂x

Tambi´en se tiene ∂v ∂u = − , ∂y ∂x

En consecuencia, al sumar ambas ecuaciones se tiene ∇ 2 u = 0. La prueba para la funci´on v es an´aloga.  En algunas aplicaciones a la f´ısica es conveniente expresar las condiciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares; para encontrarlas se usa la funci´on polar definida de (0, 2 π) × R+ en R 2 por T (θ, r) = (r cos θ, r sen θ),

1. Fundamentos y analiticidad

55

donde R+ = {x ∈ R | x > 0}. Se restringe el ´angulo a (0, 2 π), ya que de otra manera, si, por ejemplo, se toma como dominio (0, 2 π] × R+ , se tendr´ıa que T −1 no es continua en el eje real positivo. Esto se puede mostrar tomando la sucesi´on e

2πi n ,

n ∈ N,

la cual converge a 1, sin embargo   2πi  T −1 e n = 2nπ , 1 no converge a T −1 (1) = (2 π, 1). V´ease la Figura 1.24. Es claro que un argumento similar se aplica si se toma como dominio [0, 2 π) × R+ .

T −1

2π

Figura 1.24: La funci´on polar inversa no es continua en R 2 − {0}

on Proposici´ on 1.4.7 Sea A una regi´on en C−R+ y f : A → C una funci´ anal´ıtica, f (z) = u(z) + i v(z). Entonces ∀ (θ, r) ∈ T −1 (A) ∂v ∂u (θ, r) = −r (θ, r) ∂θ ∂r ∂v ∂u (θ, r) = r (θ, r), ∂θ ∂r

y

donde u = u ◦ T y v = v ◦ T . A estas igualdades se les llama ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar.

56

1.4. Funciones anal´ıticas

´ n. Tomando T (θ, r) = z, z ∈ A, se tiene Demostracio ⎞ ⎛ ∂v ∂u (z) − (z)

 ⎜∂ x ∂x ⎟ ⎟ −r sen θ cos θ ⎜ D(f ◦ T )(θ, r) = ⎜ ⎟ ⎠ r cos θ sen θ ⎝∂ v ∂u (z) (z) ∂x ∂x ⎛ ⎞ ∂u ∂v ∂u ∂v −r sen θ (z) − r cos θ (z) cos θ (z) − sen θ (z) ⎜ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ ∂v ∂u ∂v ∂u ⎠ −r sen θ (z) + r cos θ (z) cos θ (z) + sen θ (z) ∂x ∂x ∂x ∂x Por consiguiente, como esta u ´ltima matriz es precisamente ⎛ ⎞ ∂u ∂u (θ, r) (θ, r) ⎜∂ θ ⎟ ∂r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝∂ v ∂v (θ, r) (θ, r) ∂θ ∂r se sigue la proposici´on.



N´otese que el resultado anterior se puede adaptar a dominios diferentes a C − R+ , variando el argumento, esto es, tomando otras funciones polares con dominios (y 0 , y 0 + 2 π) × R+ . Existe un resultado an´alogo al Teorema 1.4.3 para coordenadas polares: si A es una regi´on en C−R+ y f : A → C es diferenciable en el sentido real y se satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann en forma polar, se concluye que f es anal´ıtica en A. La demostraci´on queda como ejercicio para al lector. De nuevo, esta situaci´on tambi´en se aplica a otros dominios. Una manera de probar la analiticidad de una rama de logaritmo en un cierto dominio, es usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann polares. Para poder hablar de la derivada del logaritmo, se necesita restringir el dominio para que esta funci´on sea continua. Esto sucede ya que en los dominios donde se defini´o originalmente la funci´on rama de logaritmo no resulta ser continua. Por ejemplo, si se toma la rama con valores del argumento en (y 0 , y 0 +2 π] la sucesi´ e i (y 0+1/n) , n ∈ N, converge a e i y 0 , cuando n → ∞, sin embargo  oi (yn +1/n) log e 0 no converge a log (e i y 0 ) = (y 0 + 2 π) i, v´ease la Figura 1.25. Si se toma el intervalo [y 0 , y 0 + 2 π), un argumento similar se aplica.

1. Fundamentos y analiticidad

57

Por consiguiente, consideraremos dominios de la forma C − B y0,

(1.11)

donde B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}. (y0 + 2π)i log z y0 i eiy0

Figura 1.25: El logaritmo no es continuo en C − {0} Proposici´ on 1.4.8 Sea f la rama de logaritmo definida en C−B y 0 y cuyo argumento toma valores en (y 0 , y 0 + 2 π), entonces f es holomorfa en este dominio y 1 f  (z) = . z . ´ n. En forma polar, si z = r e i θ se tiene Demostracio f (z) = log r + i θ. Como log r y θ son funciones de clase C 1 de r y θ, tambi´en lo son de x y y. Esta u ´ltima afirmaci´on se puede comprobar usando el teorema de la funci´on inversa aplicado a la transformaci´on polar T (θ, r) = (r cos θ, r sen θ). En consecuencia, para probar que esta rama de logaritmo es holomorfa en el dominio C − B y 0 , basta verificar que se cumplen las ecuaciones de CauchyRiemann polares. Usando la notaci´on de la Proposici´on 1.4.7, esto se obtiene directamente ∂u ∂v = 0 = ∂θ ∂r

y

∂v ∂u = r . ∂θ ∂r

1.4. Funciones anal´ıticas

58

Para calcular la derivada se observa primero que 1 ∂r ∂ (log r) (z) = (z), ∂x r ∂x por lo cual f  (z) =

∂θ 1 ∂r ∂θ ∂ (log r) (z) + i (z) = (z) + i (z). ∂x ∂x r ∂x ∂x

Ahora, estos valores los podemos encontrar con la matriz inversa del jacobiano de la funci´on polar, esto es, como

 −r sen θ cos θ DT (θ, r) = , r cos θ sen θ se sigue que el determinante de esta matriz es −r y ⎛ ⎞ ⎛ ∂θ sen θ ⎜ ∂ x (z) ∗ −   ⎟ ⎜ ⎜ r DT −1 T (θ, r) = ⎝ ⎠ = ⎜ ⎝∂ r cos θ ∗ (z) ∂x

⎞ ∗⎟ ⎟ ⎟, ⎠ ∗

donde T (θ, r) = z. Por consiguiente f  (z) =

sen θ 1 z cos θ 1 −i = 2 (x − i y) = = . r r r |z| 2 z 

Posteriormente, usando el teorema de la funci´on inversa complejo daremos una prueba muy simple de esta proposici´on. Tambi´en, en el siguiente cap´ıtulo mostraremos dominios de analiticidad del logaritmo m´as sofisticados. Definici´ on 19 A la rama de logaritmo cuyos argumentos toman valores en (−π, π) se le llama la rama principal. Por ejemplo, usando la rama principal la funci´on z −→ log(z 2 ) es holomorfa en A = C − {z | Re z = 0} . Esto se sigue ya que si z ∈ A, entonces z 2 = 0 y arg (z 2 ) = π. Sin embargo, si se busca una regi´on de analiticidad se debe restringir el dominio a uno de los dos semiplanos.

1. Fundamentos y analiticidad

59

Se pueden construir otras funciones enteras con las potencias, por ejemplo, si se toma un complejo no nulo b y cualquier rama de logaritmo, se tiene que la funci´on f (z) = b z es entera y su derivada est´a dada por (log b) b z . Esto se sigue de la regla de la cadena, ya que b z = e (log b) z . Proposici´ on 1.4.9 Si se fija una rama de logaritmo, la funci´on z −→ z b es anal´ıtica en la regi´ on de analiticidad de dicha rama de logaritmo, y   d zb = b z b−1 . dz Se sobreentiende que z b y z b−1 usan la misma rama de logaritmo. ´ n. La funci´on z b = e b log z es holomorfa en el dominio de la Demostracio rama de logaritmo elegida debido a la regla de la cadena. Ahora   d e b log z b = e b log z = b e− log z e b log z = b e (b−1) log z = b z b−1 , dz z donde z b y z b−1 usan la misma rama de logaritmo.



Obs´ervese que z es entera si b ∈ N ∪ {0}, z es holomorfa en C − {0} si b ∈ Z, y si b ∈ / Z, los dominios de analiticidad de las funciones z → z b son los descritos por la Proposici´on 1.4.9. Un caso de particular importancia en la Proposici´on 1.4.9 es la funci´on ra´ız n-´esima, z −→ z 1/n . Una funci´on de este tipo es anal´ıtica en cualquier regi´on de la forma (1.11), y en ese dominio     1 d z 1/n 1 −1 = z n . dz n b

b

Terminamos esta secci´on exhibiendo los dominios de analiticidad de otras funciones que, de manera similar a las ramas de logaritmo y a las potencias presentan en la frontera de su dominio l´ıneas de corte y puntos de corte, que se les llama tambi´en de ramificaci´on. √ z + 1 podemos elegir el dominio Por ejemplo, para la funci´on g(z) = e√ de la rama principal de logaritmo para z → z . Por lo tanto, para encontrar un dominio de analiticidad de la funci´on g(z) se necesita caracterizar {z ∈ C | e z + 1 ≤ 0}.

1.4. Funciones anal´ıticas

60

Primero, e x+iy ∈ R si y s´olo si y = k π, k ∈ Z. Si k es par e z = e x > 0. Si k es impar e z = −e x , en este caso −e x + 1 ≤ 0, siempre que 1 ≤ e x , lo cual se cumple si y s´olo si x ≥ 0. Por consiguiente A = C − {x + i y ∈ C | x ≥ 0, y = (2 n + 1)π, n ∈ Z} es la regi´on buscada, y   d (e z + 1) 1/2 dz

=

ez z (e + 1)−1/2 2

∀z ∈ A

(v´ease la Figura 1.26).

3πi

πi

−πi

Figura 1.26: Dominio de analiticidad para z →

√

ez + 1

Mostramos ahora que tomando la rama de la ra´ız definida por la rama de logaritmo con argumento en (0, 2 π), la funci´on √ z −→ z 2 − 1 es anal´ıtica en C − B, donde B = {z ∈ C | Im z = 0, |Re z| ≥ 1} (v´ease la Figura 1.27). Para esto, basta observar que z ∈ B si y s´olo si se cumplen las condiciones Re (z 2 − 1) ≥ 0

y

Im(z 2 − 1) = 0.

1. Fundamentos y analiticidad

61 z

r2

r1 θ1

θ2 −1

1

Figura 1.27: Dominio de analiticidad para z →

√

z2 − 1

√ Una segunda descripci´on de la funci´on z 2 − 1 est´a dada por la siguiente expresi´on √ r 1 r 2 e i (θ 1 +θ 2 )/2 , (1.12) donde r i , θ i , i = 1, 2, se determinan de acuerdo con la Figura 1.27, bajo las condiciones 0 < θ 1 < 2 π √ y −π < θ 2 < π. Para probar esta √ afirmaci´on, obs´ervese primero que si z +√1 es ra´ ız cuadrada de z + 1 y z − 1 es ra´ız √ cuadrada de z − 1, entonces z + 1 z − 1 es ra´ız cuadrada de (z + 1) (z − 1) = z 2 − 1. √ Ahora, se toma para definir z − 1 la rama de logaritmo con valores en (0, 2 π), por lo que esta funci´on es holomorfa en C − {x + i y ∈ C | y = 0, x ≥ 1}. Es claro tambi´en de la Figura 1.27 que, como la funci´on por

√ z − 1 est´a definida

1

z −→ e 2 (log |z−1|+i arg(z−1)) , donde 0 < arg z < 2 π, se tiene que √ √ z − 1 = r 1 e i θ 1 /2 . √ Finalmente, para z + 1 se toma la rama principal, por lo que esta funci´on es holomorfa en C − {x + i y ∈ C | y = 0, x ≤ −1}.

62

1.4. Funciones anal´ıticas

Tambi´en, como z + 1 = z − (−1), se sigue de la Figura 1.27, como en el otro caso, que √ √ z + 1 = r 2 e i θ 2 /2 . Por consiguiente, la funci´on descrita en (1.12) es holomorfa en C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. √ M´as a´ un, las dos descripciones mencionadas de z 2 − 1 definen la misma funci´on, dejamos la verificaci´on de este hecho como ejercicio para el lector. EJERCICIOS 1.4.2 1. Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la funci´on z → 3 z 3 + 2 z. 2. Sea A una regi´on en C − R+ y f : A → C diferenciable en el sentido real y tal que cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, demuestre que f es anal´ıtica en A. √ 3. Demuestre que las dos descripciones que se exhibieron de z 2 − 1 al final de esta secci´on, son la misma funci´on. Sugerencia: usar un argumento de conexidad y continuidad. un punto del 4. Demuestre que la funci´on z → sen z no es holomorfa en ning´ plano. 5. Encuentre un dominio de analiticidad para la funci´on z → log(z − 7 + i) y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en ( π2 , 5π ). 2 6. Encuentre un dominio de analiticidad para la funci´on z → log(e z + 1) y encuentre la derivada, donde log denota la rama (0, 2 π) de logaritmo. 7. Demuestre que la funci´on f (z) = z 5 /|z| 4 , si z = 0, y f (0) = 0, cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el origen, sin embargo no es diferenciable en dicho punto. Sugerencia: aproximarse al origen por una recta a 45 o . √ 8. Encuentre una regi´on de analiticidad para la funci´on z → z 3 − 1 usando la rama principal de logartimo. Calcule la derivada. √ 9. Encuentre una regi´on donde la funci´on z → z + 1 sea holomorfa, usando la rama (0, 2 π) para definir la ra´ız. Calcule la derivada. 10. Exhiba una familia infinita de funciones de C en C diferenciables en el sentido real pero no anal´ıticas.

1. Fundamentos y analiticidad

63

11. Usando la Proposici´on 1.4.12, pruebe que si f es una funci´on holomorfa en la regi´on A = {z ∈ C | |z − 10| < 10−10 }, y se tiene que su imagen est´a contenida en la recta Re z = −3, entonces f es constante.

1.4.3.

Conformalidad

La regla de la cadena para funciones de varias variables reales junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann proporcionan una interesante y fundamental interpretaci´on geom´etrica de las funciones holomorfas. Teorema 1.4.10 Sea γ : [a, b] → C una curva diferenciable contenida en una regi´ on A, sup´ongase tambi´en que f : A → C es holomorfa, entonces f ◦ γ es una curva diferenciable y (f ◦ γ)  (t) = f  (γ(t)) γ  (t)

∀ t ∈ [a, b].

´ n. La regla de la cadena real implica que Demostracio (f ◦ γ)  (t) = Df (γ(t)) γ  (t). A su vez, la demostraci´on del Teorema 1.4.3 dice que esto puede escribirse como (f ◦ γ)  (t) = f  (γ(t)) γ  (t).  El Teorema 1.4.10 conlleva la geometr´ıa local de las funciones anal´ıticas; muestra que en los puntos donde no se anula la derivada, la funci´on, infinitesimalmente, es aproximadamente una rotaci´on en el sentido positivo, seguida de una homotecia —las cuales pueden ser triviales—. Para mostrar esto, suponemos que bajo las hip´otesis del teorema, se tiene tambi´en que ∀ t ∈ [a, b] γ  (t) = 0 y f  (γ(t)) = 0. Ahora, si denotamos a la curva imagen f ◦ γ por φ, se tiene φ  (t) = f  (γ(t)) γ  (t), y por consiguiente φ  (t) = 0. M´as a´ un, la direcci´on de la tangente a φ en φ(t) est´a determinada por arg φ  (t) = arg f  (γ(t)) + arg γ  (t)

(m´od 2 π).

Esto dice que el a´ngulo que forman las tangentes a φ en φ(t) y a γ en γ(t) es arg f  (γ(t)), es decir, no depende de la curva γ, s´olo depende del punto z = γ(t) y de la funci´on f (v´ease la Figura 1.28).

1.4. Funciones anal´ıticas

64

f



φ

(t)

φ(t)

γ  (t) γ(t)

Figura 1.28: Las funciones conformes rotan positivamente las tangentes Estas hip´otesis tambi´en implican que dos curvas cuyas tangentes forman un a´ngulo θ en z se transforman en dos curvas cuyas tangentes forman un a´ngulo θ en f (z). Esto se sigue, al tomar dos curvas diferenciables γ 1 , γ 2 , con derivadas no nulas que se intersecan en un punto z ∈ A, denotando las curvas im´agenes por φ 1 , φ 2 , y restando las siguientes expresiones arg φ 1 (t) = arg f  (γ 1 (t)) + arg γ 1 (t) (m´od 2 π) arg φ 2 (t) = arg f  (γ 2 (t)) + arg γ 2 (t) (m´od 2 π), donde γ 1 (t) = γ 2 (t) = z. V´ease las Figuras 1.29 y 1.30. φ2 γ2

f φ1

θ z θ

f (z)

γ1

Figura 1.29: Las funciones conformes preservan ´angulos Hemos probado algo de gran importancia: las funciones holomorfas con derivada no nula preservan ´angulos. A esta propiedad se le conoce como

1. Fundamentos y analiticidad

65

conformalidad. En el contexto de funciones complejas de variable compleja, una definici´on precisa es la siguiente. Definici´ on 20 Sea A una regi´on en C y f : A → C anal´ıtica. Se dice que f es conforme en z ∈ A, si f  (z) = 0. Esta definici´on se generaliza a funciones de R n en R n (cf. [3], p. 7). Un ejemplo no trivial de esta propiedad de preservar ´angulos se presenta con la ortogonalidad de las rectas verticales y horizontales en el plano que la funci´on exponencial transforma en c´ırculos conc´entricos al origen y semirrectas por el origen, respectivamente (los cuales tambi´en se intersecan ortogonalmente). V´ease la Figura 1.15.

f z0

f (z0 )

Figura 1.30: Efecto local de una funci´on conforme Por otra parte, si la derivada de una funci´on holomorfa en un punto es nula, entonces no se preservan los ´angulos. Por ejemplo, la funci´on z → z 2 tiene derivada nula en el origen y transforma el eje real positivo en s´ı mismo, mientras que transforma el eje imaginario positivo en el eje real negativo, por lo cual, en el origen, un ´angulo recto se transforma en otro de π radianes (v´ease la Figura 1.19). Otra propiedad que se relaciona con el t´ermino conforme, es el cambio lineal de escala. Bajo las hip´otesis del Teorema 1.4.10, si la funci´on f es conforme en z 0 ∈ A, se sigue de la desigualdad del tri´angulo que    f (z) − f (z 0 )    = |f  (z0 )|. l´ım z→z 0  z − z0 

1.4. Funciones anal´ıticas

66

Este l´ımite significa que la raz´on de contracci´on (o dilataci´on) lineal de cualquier segmento (que comience en z 0 ) bajo f es, en el l´ımite, constante, y no depende de la direcci´on que se elija. Por supuesto, este cambio, en general, varia de punto a punto. En particular, si γ(t) = z 0 y γ  (t) = 0, se tiene |φ  (t)| = |f  (γ(t))| |γ  (t)|, esto es, los vectores tangentes a curvas por z 0 se dilatan o contraen por el factor |f  (z 0 )| (o se preservan en norma, si |f  (z 0 )| = 1). Resumiendo, una transformaci´on conforme, infinitesimalmente, cerca de z, es aproximadamente una rotaci´on por un a´ngulo arg f  (z) seguida de una homotecia por un factor |f  (z)|. Dicho de otra manera, si una funci´on es conforme en un punto z, y se tiene un vector tangente w a una curva diferenciable por z, entonces el vector tangente a la curva imagen en f (z) se obtiene al rotar w por arg f  (z) y al multiplicar su norma por |f  (z)|. Por ejemplo, si f (z) = z 4 − z 2 , se tiene que f  (z) = 4 z 3 − 2 z, y entonces f  (−i) = 6 i, por lo que infinitesimalmente, f cerca de −i es aproximadamente una dilataci´on por un factor de 6, seguida de una rotaci´on de π/2. M´as precisamente, dada una curva diferenciable γ por −i con vector tangente w en dicho punto, la curva f ◦ γ tiene como vector tangente en f (−i) el vector 6 i w. Teorema 1.4.11 (De la funci´ on inversa) Sea f : A → C holomorfa, donde A es una regi´ on en C, sup´ongase tambi´en que f  es continua en A, y que f es conforme en z 0 ∈ A. Entonces existen abiertos U y V en C, un, f −1 : V → U tales que z 0 ∈ U y f |U es una biyecci´on sobre V . M´as a´ es holomorfa y ∀ w ∈ V, si w = f (z) se tiene (f −1 )  (w) = ´ n. Se tiene que Demostracio ⎛∂ u Df (z 0 ) = ⎝

∂x

det Df (z 0 ) =

∂u (z 0 ) ∂x

f

.

(z 0 ) − ∂∂ xv (z 0 )

∂v (z 0 ) ∂x

1  (z)

2

+

⎞ ⎠,

y

∂u (z 0 ) ∂x

∂v (z 0 ) ∂x

2 = |f  (z 0 )| 2 = 0.

1. Fundamentos y analiticidad

67

Por consiguiente, usando el teorema de la funci´on inversa para funciones de R n en R n , se deduce que existen abiertos U y V en C, z 0 ∈ U tales que f |U : U → V es una biyecci´on; f −1 es diferenciable en el sentido real en V, y ∀ z ∈ U se tiene ⎛ ∂u ⎞ 

(z) ∂∂ xv (z) ∂ x 1 ⎠. I ⎝ Df −1 (f (z)) = det Df (z) ∂v ∂u − ∂ x (z) ∂ x (z) Por lo que f −1 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en V y por lo tanto es anal´ıtica. Adem´as

 ∂u ∂v f  (z) 1 1 −1  (z) − i (z) = =  . (f ) (f (z)) =  2 det Df (z) ∂ x ∂x |f (z)| f (z)  La hip´otesis de que la derivada deba ser continua fue necesario incluirla en esta fase del texto, sin embargo no es necesaria, ya que como se mostrar´a en el siguiente cap´ıtulo, si una funci´on es holomorfa, entonces tiene derivadas de todos los ´ordenes en el sentido complejo. Por otra parte, obs´ervese que el Teorema 1.4.11 establece una biyecci´on local y no global, como puede f´acilmente detectarse en el ejemplo f (z) = z 2 , ya que esta funci´on en cualquier vecindad del origen no es biyectiva. V´ease la Figura 1.19. A manera de una aplicaci´on del teorema de la funci´on inversa se exhibe una segunda prueba de que las funciones rama de logaritmo son holomorfas en sus dominios de analiticidad, con derivada z → 1/z . Usando la notaci´on de la Proposici´on 1.4.8, probamos que la rama de logaritmo definida en C−B y 0 , y cuyo argumento toma valores en (y 0 , y 0 + 2 π), es holomorfa en ese dominio y su derivada est´a dada por z → 1/z. Para esto restringimos el dominio de la exponencial a la banda infinita R y 0 = {z ∈ C | y 0 < Im z < y 0 + 2 π}. Si denotamos a esta restricci´on como f , se sigue entonces del Teorema 1.4.11 que la funci´on inversa f −1 es anal´ıtica en C − B y 0 , ya que ∀ z ∈ R y 0 f  (z) = e z = 0. M´as a´ un, escribiendo w = e z , donde y 0 < Im z < y 0 + 2 π, se tiene  −1   1 1 1 = z = . (w) =  f f (z) e w

1.4. Funciones anal´ıticas

68

Se puede deducir tambi´en del Teorema 1.4.11 que existe una funci´on inversa del seno, que es holomorfa en la regi´on C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Esto se sigue de la descripci´on que se hizo anteriormente sobre la geometr´ıa de la funci´on seno, y del hecho de que en la franja |Re z| < π/2 , la funci´on seno no tiene singularidades, esto es, puntos donde la derivada se anule (en los puntos ±π/2 la funci´on se ramifica, es dos a uno). Se tiene entonces que la funci´on z → sen z es una biyecci´on conforme entre ambas regiones. Sin embargo, no es evidente qu´e ramas se pueda tomar en la relaci´on (1.10) para la ra´ız cuadrada y para el logaritmo, de tal manera que esta f´ormula proporcione la inversa. Un an´alisis detallado, considerando los distintos cuadrantes, muestra que tomando la rama principal, se tiene √doblemente   que en efecto w → −i log i w + 1 − w 2 define la inversa en la regi´on C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Dejamos la verificaci´on de este resultado como ejercicio para el lector. Se concluye este cap´ıtulo probando que una funci´on holomorfa definida en una regi´on con derivada nula es constante. Para esto, observamos primero que si A es una regi´on en C y z, w ∈ A, entonces existe una poligonal (esto es, una curva formada por un n´ umero finito de segmentos de recta consecutivos no alineados) totalmente contenida en A que une z con w. Dejamos la verificaci´on de este hecho al lector. Proposici´ on 1.4.12 Sea A una regi´on en C y f : A → C anal´ıtica, tal  que f (z) = 0 ∀ z ∈ A, entonces f es constante en A. ´ n. Sean z, w ∈ A y γ : [a, b] → A una poligonal que une z Demostracio con w. Entonces existe una partici´on a = x 0 < x 1 < x 2 . . . < x n = b, tal que γ| [x i−1 , x i ] es diferenciable, i ∈ {1, 2, . . . , n}. En dichos subintervalos se tiene (f ◦ γ)  (t) = f  (γ(t)) γ  (t) = 0, escribiendo f = u + i v, esto implica que d (u ◦ γ) d (v ◦ γ) (t) = 0 = (t), dt dt por lo que estas funciones son constantes (en los subintervalos) y u ◦ γ(xi ) = u ◦ γ(xi−1 ),

v ◦ γ(xi ) = v ◦ γ(xi−1 ),

∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}. Por lo cual f (z) = f (w).



1. Fundamentos y analiticidad

69

EJERCICIOS 1.4.3 1 Interprete geom´etricamente la no conformalidad de la funci´on z → z 4 en el origen. 2. Describa el comportamiento infinitesimal de la funci´on f (z) = 3 z 2 + 2 cerca de 1 + i. 3. Demuestre que en una regi´on del plano complejo, cualesquier dos puntos se pueden unir por medio de una poligonal. Sugerencia: usar un argumento de conexidad. 4. Sea B = {z ∈ C | Im z = 0, |Re z| ≥ 1} demuestre queusando √ (doble mente) la rama principal de logaritmo, la funci´on z → i log i z + 1 − z 2 es una biyecci´on conforme de C − B en {z ∈ C | |Re z| < π2 }. Esta transformaci´on es una inversa de la funci´on seno. 5. Demuestre que si una funci´on f es conforme en un punto z, entonces la matriz jacobiana de f en z es el producto de una matriz escalar por una matriz ortogonal especial (elemento de SO(2)). 6. Demuestre que si una funci´on g es holomorfa en un dominio D y se anula en todo punto su derivada n-´esima, entonces la funci´on es un polinomio de grado menor o igual a n − 1. Sugerencia: aplicar inducci´on sobre n.

Cap´ıtulo 2

Integraci´ on En este cap´ıtulo se prueban algunos de los resultados m´as importantes de la variable compleja como son el teorema y las f´ormulas integrales de Cauchy; posteriormente se muestran algunas de sus consecuencias, a saber, los teoremas de Liouville y fundamental del a´lgebra, y varios otros, como el principio del m´aximo y la f´ormula de Poisson que soluciona el problema de Dirichlet en el disco. El uso del n´ umero de Lebesgue permite simplificar la prueba de la versi´on general del teorema de Cauchy —para homotop´ıas de curvas cerradas— que aparece en el libro de Marsden-Hoffman [12].

2.1.

Fundamentos

En esta secci´on se establecen las propiedades b´asicas de la integraci´on compleja y el teorema fundamental del c´alculo complejo. Definici´ on 21 Sea h : [a, b] → C, h(t) = u(t) + i v(t), donde u y v son funciones continuas. Se define )

)

b

h(t) dt

)

b

como

b

u(t) dt + i

a

a

v(t) dt. a

Definici´ on 22 Sea γ : [a, b] → C una curva continua. Se dice que γ es de clase C 1 por tramos, si existe una partici´on a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b de [a, b], tal que ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} γ| (x i−1 , x i ) es diferenciable y la restricci´on de γ  al intervalo (x i−1 , x i ) tiene una extensi´on continua a [x i−1 , x i ]. 71

2.1. Fundamentos

72

Integraremos principalmente a lo largo de curvas que sean de clase C 1 por tramos. La integraci´on sobre curvas solamente continuas se usar´a u ´nicamente en la parte te´orica de la prueba del teorema de Cauchy. Definici´ on 23 Sea A una regi´ on en C, f : A → C una funci´ on continua y γ : [a, b] → A una curva de clase C 1 . Se define )

) f (z) dz

b

como

γ

f (γ(t)) γ  (t)dt.

a

Se extiende esta definici´on en forma natural a curvas de clase C 1 por tramos (sumando cada contribuci´on). Recordamos del c´alculo que si se tiene una curva γ : [a, b] → A de clase C 1 , donde A es una regi´on en R 2 y g : A → R es una funci´on continua, entonces se definen las siguientes integrales llamadas de l´ınea: ) ) b g(x, y) dx = g (x(t), y(t)) x  (t) dt y γ

a

)

)

b

g(x, y) dy = γ

g (x(t), y(t)) y  (t) dt,

a

donde γ(t) = (x(t), y(t)) . El siguiente resultado muestra que la integral compleja est´a formada por cuatro integrales de l´ınea. Proposici´ on 2.1.1 Sean f (z) = u(z) + i v(z) y γ(t) = (x(t), y(t)) como en la Definici´on 23. Entonces ) ) ) f (z) dz = [u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i [u(x, y) dy + v(x, y) dx] . γ

γ

γ

´ n. Sin perder generalidad se puede suponer que la curva γ Demostracio 1 es de clase C , y en este caso se tiene f (γ(t)) γ  (t) = [u (x(t), y(t)) + i v (x(t), y(t))] [x  (t) + i y  (t)] = u (x(t), y(t)) x  (t) − v (x(t), y(t)) y  (t) + i [u (x(t), y(t)) y  (t) + v (x(t), y(t)) x  (t)] . 

´n 2. Integracio

73

Una forma de recordar la f´ormula anterior es escribir f (z) dz = (u + i v) (dx + i dy) = u dx − v dy + i (u dy + v dx). * * Escribiremos algunas veces γ f por γ f (z) dz. Si γ 1 : [a, b] → C y γ 2 : [b, c] → C son curvas de clase C 1 por tramos, tales que γ 1 (b) = γ 2 (b), se define la curva γ 1 + γ 2 : [a, c] → C por $ γ 1 (t) si t ∈ [a, b] , (γ 1 + γ 2 )(t) = γ 2 (t) si t ∈ [b, c] . Ahora, si esta nueva curva est´a en el dominio de continuidad de una funci´on compleja f , se sigue de la misma propiedad para integrales reales que ) ) ) f = f+ f. γ 1 +γ 2

γ1

γ2

Por otra parte, si A es una regi´on en C, f, g : A → C son funciones continuas y γ es una curva en A de clase C 1 por tramos, entonces se sigue directamente de la definici´on que ) ) ) f +g = f + g. γ

γ

γ

Esta observaci´on y la siguiente proposici´on implican que la integral compleja, a semejanza de la real, es lineal. Proposici´ on 2.1.2 Sea A una regi´on en C, f : A → C una funci´ on con1 tinua, γ una curva en A de clase C por tramos y α ∈ C, entonces ) ) α f = α f. γ

γ

´ n. Basta probar la proposici´on para curvas de clase C 1 . El Demostracio resultado es consecuencia de la siguiente afirmaci´on: dada h : [a, b] → C continua y α ∈ C, se cumple la siguiente propiedad )

)

b

b

α h(t) dt = α a

h(t) dt. a

2.1. Fundamentos

74

Esto se sigue, ya que suponiendo v´alida la afirmaci´on se tiene ) ) b ) b )   αf = α f (γ(t)) γ (t) dt = α f (γ(t)) γ (t) dt = α f. γ

a

γ

a

Para probar la afirmaci´on, sean α = c + i d y h(t) = h 1 (t) + i h 2 (t), entonces ) b (c + i d) (h 1 (t) + i h 2 (t)) dt a ) b ) b [c h 1 (t) − d h 2 (t)] dt + i [c h 2 (t) + d h 1 (t)] dt = a a 

) b ) b h 1 (t) dt + i h 2 (t) dt . = (c + i d) a

a

 Tambi´en, dada A una regi´on y γ : [a, b] → A de clase C 1 por tramos, se define −γ(t) = γ(a + b − t), es decir, −γ recorre la misma curva que γ, pero en sentido inverso. Ahora, si f : A → C es una funci´on continua, se sigue del teorema de cambio de variable real (aplicado dos veces) que ) ) f = − f. (2.1) −γ

γ

Usaremos el siguiente resultado de c´alculo para probar que la integral compleja no depende de la parametrizaci´on. Recordamos que una parametrizaci´on unitaria es aquella cuyos vectores tangentes tienen norma 1. k k((C)) 0

x

(C)

x k(0) k(x)

Figura 2.1: Parametrizaci´on unitaria, x ∈ [0, (C)] va a un punto k(x), cuya distancia a lo largo de C de k(0) es precisamente x

´n 2. Integracio

75

Teorema 2.1.3 (Parametrizaci´ on unitaria) Sea C la curva descrita por la funci´ on g : [a, b] → R n de clase C 1 , y con derivada no nula*en todo [a, b]. t Si  : [a, b] → [0, (C)] es la funci´on longitud, i. e., (t) = a |g  (s)| ds y −1 ϕ =  , entonces la parametrizaci´on de C dada por g ◦ ϕ : [0, (C)] → R n es unitaria. Es ilustrativo constatar que ∀ t ∈ [0, (C)], g ◦ ϕ(t) es el punto que se encuentra a una distancia t de g(a) a lo largo de C (v´ease la Figura 2.1). Corolario 2.1.4 Sean g : [a, b] → R n zaciones de una curva C de clase C 1 , f  (t) = 0 ∀ t ∈ [c, d], g(a) = f (c) y difeomorfismo h : [a, b] → [c, d], tal que

y f : [c, d] → R n dos parametritales que g  (t) = 0 ∀ t ∈ [a, b], g(b) = f (d). Entonces existe un f ◦ h = g.

´ n. Por el teorema de parametrizaci´on unitaria existen difeoDemostracio morfismos ϕ 1 : [0, (C)] → [a, b] y ϕ 2 : [0, (C)] → [c, d] tales que g ◦ ϕ 1 y f ◦ ϕ 2 son parametrizaciones unitarias. Debido a la descripci´on de una parametrizaci´on unitaria g ◦ ϕ 1 = f ◦ ϕ 2 , por lo tanto, g ◦ ϕ 1 ◦ ϕ−1 2 = f.  Ahora, sean A una regi´on en C, f : A → C continua y g 1 : [a 1 , b 1 ] → A, g 2 : [a 2 , b 2 ] → A dos parametrizaciones que recorren una curva γ en A en el mismo sentido, y que tienen derivada no nula. Se sigue entonces del Corolario 2.1.4 que existe un difeomorfismo ϕ, tal que g 1 ◦ ϕ = g 2 , por lo que si se escribe f ◦ g 1 (t) g 1 (t) = u(t) + i v(t), se tiene )

b1

f (g 1 (t))

g 1 (t) dt

a1

)

b1

=

[u(t) + i v(t)] dt a1

b2

= )

)

[u (ϕ(s)) ϕ  (s) + i v (ϕ(s)) ϕ  (s)] ds

a2 b2

= a2

f ◦ g 1 (ϕ(s)) g 1 (ϕ(s)) ϕ  (s) ds =

)

b2

f (g 2 (s)) g 2 (s) ds,

a2

como consecuencia del teorema de cambio de variable. umero finito de puntos, enSe concluye que si γ  s´olo se anula en un n´ * tonces γ f no depende de la parametrizaci´on (se sobreentiende que las parametrizaciones recorren la curva * en el mismo sentido). Como ejemplo calculamos γ (Re z) dz, donde γ es el segmento de l´ınea que une el origen con el punto −1 − i. Se puede parametrizar γ : [0, 1] → C

2.1. Fundamentos

76 como γ(t) = −t − i t. Por lo cual γ  (t) = −1 − i y )

)

1

(Re z) dz = 0

γ

(−t)(−1 − i) dt )

1

(t + i t) dt =

= 0

1 t 2  t2 1 i +i = + . 2 2 0 2 2

1+i

i

1

Figura 2.2: La curva γ determinada por el per´ımetro del cuadrado formado por los puntos 0, 1, 1 + i e i * Como un segundo ejemplo evaluamos γ (Im z) dz, donde γ es el per´ımetro del cuadrado formado por los puntos 0, 1, 1+i e i. Se parametriza γ como ⎧ t 0 ≤ t ≤ 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨1 + (t − 1) i 1 ≤ t ≤ 2, γ(t) = ⎪ (3 − t) + i 2 ≤ t ≤ 3, ⎪ ⎪ ⎩ (4 − t) i 3 ≤ t ≤ 4, v´ease la Figura 2.2. De esta manera ) (Im z) dz = γ

)

1

= 0

)

) 3  j =0

j+1 j

Im (γ(t)) γ  (t) dt

) 3 ) 4 0(1) dt + (t − 1) (i) dt + (1)(−1) dt + (4 − t)(−i) dt 1 2 3 2 4

2

 t t 2   − t  i − 1 + −4 t + = i = −1. 2 2 3 1 2

´n 2. Integracio

77

Recordamos que la longitud de una curva de clase C 1 γ : [a, b] → C est´a dada por ) b |γ  (t)| dt. (γ) = a

El siguiente importante resultado —an´alogo al caso real— que exhibe cotas superiores para la norma de una integral, se usar´a frecuentemente. Teorema 2.1.5 Sean A una regi´on en C, γ : [a, b] → A de clase C 1 por tramos y f : A → C continua. Entonces, )       (i) si f γ(t)  ≤ M ∀ t ∈ [a, b], se tiene  f  ≤ M (γ); γ

)  )     (ii)  f  ≤ γ

b

     f γ(t)  γ  (t) dt.

a

   * b  La integral a f γ(t)  γ  (t) dt se denota por

) |f | |dz| . γ

´ n. La primera parte (i) es consecuencia de la segunda (ii), Demostracio para probar esta u ´ltima se afirma que si g : [a, b] → C es continua, entonces )   

b a

 )  g(t) dt ≤

b

|g(t)| dt. a

  Esta afirmaci´on prueba (ii) al tomar g(t) = f γ(t) γ  (t). El truco para probar la afirmaci´on es expresar la integral de manera polar. Escribiendo ) b

g(t) dt = r e i θ , a

se sigue de la afirmaci´on en la prueba de la Proposici´on 2.1.2 que r = e−i θ

)

)

b

b

g(t) dt = a

e−i θ g(t) dt.

a

Tambi´en, se sigue de la definici´on de integral que 

) b ) −i θ e g(t) dt = r = Re( r) = Re a

b a

  Re e−i θ g(t) dt.

2.1. Fundamentos

78 Finalmente ) b  )    = r =  g(t) dt   a

b

  Re e−i θ g(t) dt ≤

a

)

b

 −i θ  e g(t) dt =

a

)

b

|g(t)| dt. a

 Ilustramos el teorema con un ejemplo, si γ es el semic´ırculo inferior unitario recorrido en el sentido positivo, entonces usando la primera parte del Teorema 2.1.5 se tiene )   2 ez  2e  dz  ≤ π ,  5 γ 5z ya que en el c´ırculo unitario la norma de la exponencial es e cos t , t ∈ [0, 2 π]. * Algunas veces se usan integrales del tipo γ f |dz|, ´estas se definen como *b f (γ(t)) |γ  (t)| dt, donde γ es una curva de clase C 1 por tramos que a est´a definida en el intervalo [a, b] y que toma valores en una regi´on donde la funci´on f es continua. Terminamos esta secci´on con el teorema fundamental del c´alculo complejo que, al igual que el caso real, permite calcular integrales de manera inmediata, sin hacer muchas cuentas. Teorema 2.1.6 (Fundamental del c´ alculo complejo) Sea A ⊂ C una regi´ on y f : A → C continua, sup´ongase tambi´en que f = g  , donde g : A → C es holomorfa, y que γ : [a, b] → A es una curva C 1 por tramos en A. Entonces )     f = g γ(b) − g γ(a) . γ

En particular, si la curva es cerrada, es decir, γ(b) = γ(a), ) f = 0. γ

´ n. Si γ es de clase C 1 Demostracio ) ) b ) b ) b        f = f γ(t) γ (t) dt = g γ(t) γ (t) dt = (g ◦ γ)  (t) dt a a a γ     = g γ(b) − g γ(a) , la u ´ltima igualdad se sigue f´acilmente al escribir g ◦ γ(t) = u(t) + i v(t) y aplicar dos veces el teorema fundamental del c´alculo real. El caso general se sigue sumando todas las contribuciones. 

´n 2. Integracio

79

* Como ejemplo evaluamos γ 3 z 2 dz, donde γ es √ el segmento de la elipse dada por 2 x 2 + y 2 = 1 que une z = i y z = −1/ 2 en el sentido positivo (en general, siempre que se integre sobre c´ırculos, elipses o curvas simples cerradas, se tomar´an las curvas orientadas positivamente, es decir, al recorrerlas, la regi´on acotada que delimitan estar´a a la izquierda). En virtud del Teorema 2.1.6 no es necesario parametrizar la elipse, ya que d (z 3 ) . dz

3z2 = Por lo cual

)

2

3 z dz = γ

−1 √ 2

3

1 − i 3 = − √ + i. 2 2

√ Es crucial notar que si se toma cualquier otra curva que una i con −1/ 2, se obtiene el mismo resultado, ya que la funci´on z → z 3 es entera. El siguiente ejemplo es de particular importancia y se usar´a posteriormente. Sea γ el c´ırculo de radio r alrededor de a ∈ C y n ∈ Z, entonces $ ) 0 si n = −1, (z − a) n dz = 2πi si n = −1. γ Esto se sigue, ya que si n ≥ 0 o n ≤ −2, (z − a)

n

d = dz

1 (z − a) n+1 n+1



en C − {a}, y por el Teorema 2.1.6 ) (z − a) n dz = 0. γ

Por otra parte, si n = −1 parametrizando γ como γ(θ) = a + r e i θ , donde θ ∈ [0, 2 π], se tiene que γ  (θ) = i r e i θ y ) 2π ) 2π ) 1 i r eiθ dz = dθ = i dθ = 2 π i. (r e i θ + a) − a γ z −a 0 0 Es importante destacar que no existe ninguna funci´on holomorfa con dominio en C − {0} cuya derivada sea z → 1/z. Si esta funci´on existiera,

80

´ n particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas 2.2. Versio

usando el Teorema 2.1.6 se tendr´ıa ) 1 dz = 0, γ z donde γ es el c´ırculo unitario, sin embargo esto contradice el c´alculo hecho en el ejemplo anterior. Recordemos que la identidad d (log z) 1 = dz z es v´alida solamente en el dominio de analiticidad de alguna rama de logaritmo. Como ya se discuti´o, el logaritmo no es una funci´on continua en C−{0}, y por lo tanto tampoco puede ser holomorfa en dicho dominio. EJERCICIOS 2.1 1. Demuestre la identidad (2.1). * 2. Calcule γ 3 z 4 dz, donde γ es cualquier curva de clase C 1 por tramos que une i con 7. 3. Sea γ*: [0, 2 π] → C dada por γ(t) = i + 4 + 3 e i t y f (z) = (z − i − 4)−7 , calcule γ f . * 4. Calcule γ f, donde f (z) = Im z y γ es el segmento de l´ınea que une 2 * * con −i. ¿ Se cumple Re ( γ f ) = γ Re f ? * 5. Demuestre que | γ f | ≤ 34 log 2, donde f (z) = sen z y γ es el segmento en el eje imaginario que une el origen con (log 2) i. * * 6. Calcular γ |z|dz|3 | y γ |dz| , donde γ es el c´ırculo de radio 2 con centro en z el origen.

2.2.

Versi´ on particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas

. Es did´actico exhibir de manera intuitiva algunas ideas geom´etricas relacionadas con el teorema de Cauchy, sin embargo en las pruebas formales de las secciones subsecuentes no se usar´an estos resultados. Recordamos que una curva simple cerrada es una curva continua que s´olo se autointerseca en sus

´n 2. Integracio

81

puntos finales, es decir, si γ : [a, b] → C es una parametrizaci´on de dicha curva, la u ´nica autointersecci´on es γ(a) = γ(b).

int(γ)

γ

ext(γ)

Figura 2.3: Una curva simple cerrada separa en dos componentes al plano El famoso teorema de Jordan de la topolog´ıa (cf. [14] cap´ıtulo 4) establece que una curva simple cerrada divide a C en dos componentes; a la componente acotada se le llama el interior de γ, y a la no acotada se le llama el ´ exterior. Estas se denotan por Int(γ) y Ext(γ) respectivamente, v´ease la Figura 2.3. N´otese que una curva simple cerrada no necesariamente es un objeto simple, ya que este conjunto puede constituir un fractal, por ejemplo, el conjunto l´ımite de un grupo cuasifuchsiano cf. [15], p. 226. Una manera f´acil de probar una versi´on particular del teorema de Cauchy es aplicando el teorema de Green que se estudia en los cursos de c´alculo. Este teorema establece que si A es una regi´on en C que contiene una curva simple cerrada γ y a su interior, de tal manera que este u ´ltimo es una regi´on elemental en el sentido de los cursos de c´alculo, y se tienen definidas dos funciones reales P y Q de clase C 1 en A, resulta que  ) ) ∂P ∂Q (x, y) − (x, y) dA. P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ∂x ∂y γ Int(γ)

Este teorema se generaliza a otro tipo de curvas, por ejemplo, a aquellas cuyos interiores se pueden descomponer en un n´ umero finito de regiones elementales, al bisectar con segmentos verticales y horizontales (cf. [13], p. 357).

82

´ n particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas 2.2. Versio

Teorema 2.2.1 (De Cauchy, versi´ on particular) Sea A una regi´ on en C que contiene una curva γ como la descrita arriba, y a su interior, sup´ ongase tambi´en que f : A → C es anal´ıtica y f  es continua, entonces ) f = 0. γ

´ n. Escribiendo f = u + i v, Demostracio )  ) ) ) f = (u + i v)(dx + i dy) = u dx − v dy + i u dy + v dx γ γ γ γ   ) ) ∂v ∂u ∂u ∂v − dA + i − dA = 0. − = ∂x ∂y ∂x ∂y Int(γ)

Int(γ)

La pen´ ultima igualdad es consecuencia del teorema de Green, la u ´ltima de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.  Se ver´a despu´es que la condici´on f  continua es consecuencia de que f sea anal´ıtica. M´as a´ un, probaremos de manera rigurosa en la siguiente secci´on una versi´on mucho m´as general de este importante resultado. El teorema de Cauchy es de gran utilidad para calcular integrales, por ejemplo, si se tiene la funci´on f (z) = e sen z , y γ es el cuadrado determinado por ± i, ± 1, entonces como f es entera tenemos, sin necesidad de calcular, ) e sen z dz = 0. γ

Tambi´en, si γ es el c´ırculo −3 i + 2e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π y* log z denota la rama de logaritmo definida por (π/2, 5π/2), se sigue que γ log z dz = 0, ya que dicha rama de logaritmo es holomorfa en una regi´on que contiene el c´ırculo y a su interior. Es crucial notar que si la funci´on no es holomorfa en el interior de la curva, entonces la integral no necesariamente es 0. Recordamos para esto el ejemplo de la integral sobre un c´ırculo conc´entrico al origen de la funci´on z → 1/z. A continuaci´on damos una versi´on intuitiva del Teorema de la deformaci´on 2.3.12. Este teorema es uno de los m´as importantes del curso y tiene como consecuencia inmediata la versi´on general del Teorema de Cauchy 2.3.13.

´n 2. Integracio

A

83

γ1

γ2

τ

σ

Figura 2.4: Teorema de la deformaci´on, versi´on intuitiva Teorema 2.2.2 (De la deformaci´ on, versi´ on intuitiva) Sea f una funci´ on anal´ıtica en una regi´ on A que contiene una curva simple cerrada γ 1 . Sup´ ongase tambi´en que γ 1 puede ser deformada continuamente en A a otra curva simple cerrada γ 2 , de tal manera que a la regi´on comprendida entre estas curvas se le puede aplicar el teorema de Green. Entonces ) ) f = f. γ1

γ2

Posteriormente se definir´a formalmente esta idea de la deformaci´on, se dir´a que γ 1 es homot´opica a γ 2 . ´ n. [Intuitiva] Se traza una curva auxiliar σ como en la Demostracio Figura 2.4. A la curva γ 1 + σ − γ 2 − σ se le puede aplicar el teorema de Cauchy, ya que aunque esta curva no es simple cerrada, se pueden tomar copias paralelas a σ obteniendo una curva simple cerrada τ, como en la Figura 2.4, y despu´es tomar el l´ımite. De esta manera ) ) ) ) ) f = 0, por lo que f+ f− f − f = 0. γ1

γ 1 +σ−γ 2 −σ

Lo cual implica

)

σ

γ2

σ

) f = γ1

f. γ2



84

´ n particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas 2.2. Versio

Podemos aplicar este resultado para conocer el valor de algunas integrales, por ejemplo, si γ es una curva simple cerrada que no contiene al cero, pero lo contiene en su interior, y se le puede aplicar el teorema de Green, entonces se tiene que ) 1 dz = 2 π i. γ z Para mostrar esto se puede tomar un c´ırculo suficientemente peque˜ no alrededor del origen de tal manera que est´e contenido en el interior de γ. Si denotamos a este c´ırculo por λ, se intuye entonces que γ se puede deformar continuamente a λ —esta u ´ltima afirmaci´on se puede probar rigurosamente usando nociones b´asicas de la topolog´ıa algebraica—, por lo que usando el teorema de la deformaci´on se sigue la igualdad de arriba. El teorema de la deformaci´on se puede generalizar como mostramos a continuaci´on. Sean γ 1 , γ 2 , . . . , γ n curvas simples cerradas en el interior de otra curva simple cerrada γ, de tal manera que a la regi´on comprendida entre γ y las curvas γ i , i = 1, 2, . . . , n se le puede aplicar el teorema de Green. Sup´ongase tambi´en que f es anal´ıtica en una regi´on que contiene al conjunto  n  + Int(γ) − Int (γ k ) , k=1

entonces

) f = γ

n )  k=1

f,

(2.2)

γk

v´ease la Figura 2.5, para el caso n = 2. Para mostrar la validez de este resultado de manera intuitiva se dibujan curvas auxiliares σ 1 , σ 2 , . . . , σ n que unan γ con γ 1 , γ 2 , . . . , γ n respectivamente, de esta manera se construye una curva simple cerrada τ, cf. Figura 2.5. Ahora, ya que el interior de τ est´a contenido en el dominio de analiticidad de f, se tiene ) f = 0. τ

Adem´as, salvo cantidades que se pueden hacer arbitrariamente peque˜ nas, τ consiste en recorrer γ en la direcci´on original, γ 1 , γ 2 , . . . , γ n negativamente y σ 1 , σ 2 , . . . , σ n en ambas direcciones. Estas u ´ltimas contribuciones se cancelan obteni´endose (2.2).

´n 2. Integracio

85 γ γ1 σ2

γ2

σ1

τ

Figura 2.5: Teorema de la deformaci´on generalizado, versi´on intuitiva Definici´ on 24 Se dice que una regi´ on A en C es simplemente conexa, si toda curva continua cerrada γ en A se puede deformar (en A) a una curva constante (es decir, a un punto). En este caso se dice que γ es homot´ opica a un punto. Intuitivamente A es simplemente conexa si no tiene hoyos (v´ease la Figura 2.6). Con esta definici´on, el teorema de Cauchy se puede reescribir como sigue: sea f anal´ıtica en una regi´on simplemente conexa A con derivada continua, y γ una curva simple cerrada en A a la que se le puede aplicar el teorema de Green, entonces ) f = 0. γ

A continuaci´on mostramos un ejemplo intuitivo que muestra que si una funci´on es holomorfa en la vecindad agujerada de un punto, y adem´as es

86

´ n particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas 2.2. Versio

acotada en esa vecindad, entonces se comporta como una   funci´on holomorfa. Sea A el disco agujerado z ∈ C  0 < |z − z 0 | < r y f anal´ıtica en A, sup´ongase tambi´en que la funci´on est´a acotada por M en A. Resulta bajo estas hip´otesis que si γ es una curva simple cerrada en A que contiene en su interior a z 0 , y a la que se le puede aplicar el teorema de Green, se tiene ) f = 0. (2.3) γ

Esto se sigue del teorema de la deformaci´on, ya que intuitivamente es claro que γ se puede deformar a un peque˜ no c´ırculo alrededor de z 0 . Si el radio    de dicho c´ırculo es , escribiendo C  = z ∈ C |z − z 0 |  = , se tiene por el Teorema 2.1.5 )  )       f =   ≤ 2 π M. f     γ

C

Como esto es cierto para toda (suficientemente peque˜ na), se sigue (2.3). Este hecho es natural, ya que posteriormente demostraremos que si una funci´on es holomorfa en un disco agujerado y adem´as est´a acotada, entonces es holomorfa en todo el disco. Terminamos esta secci´on con un resultado sobre ciertos casos donde las integrales sobre curvas que unen dos puntos fijos, no dependen de las curvas que se tomen.

Figura 2.6: Regi´on que no es simplemente conexa y regi´on que s´ı lo es

´n 2. Integracio

87

Teorema 2.2.3 (De independencia de trayectorias, ) Sea A una regi´ on simplemente conexa en C y f : A → C anal´ıtica, entonces si γ 1 y γ 2 son dos curvas que unen z 1 con z 2 en A, de tal manera que juntas constituyen una curva simple cerrada a la que se le puede aplicar el teorema de Green, se tiene ) ) f = f. γ1

γ2

´ n. [intuitiva] Sea γ = γ 1 − γ 2 , entonces el resultado se Demostracio sigue del teorema de Cauchy, puesto que ) ) ) f = f− f = 0 γ

γ1

γ2



(v´ease la Figura 2.7).

γ1 z1

z2 γ2

Figura 2.7: Teorema intuitivo de independencia de trayectorias Cuando se haya probado el Teorema de la deformaci´on ( 2.3.12) ser´a evidente que este resultado se generaliza a cualesquier dos curvas de clase C 1 por tramos, que unan z 1 con z 2 , independientemente de que ´estas se autointersequen.

2.3. Teorema de Cauchy

88 EJERCICIOS 2.2 sen z

1. Calcule la integral de f (z) = e|z| 3 en el c´ırculo {z | |z| = 2}. * 2. Calcule |z−7|=5 log z dz, donde log z es la rama principal de logaritmo. √ * z 2 − 1 dz, donde la ra´ız se define tomando la rama 3. Calcule |z|=1/2 (0, 2 π).

2.3.

Teorema de Cauchy

En esta secci´on se probar´a de manera formal una versi´on muy general del teorema de Cauchy que se aplica a curvas cerradas de clase C 1 por tramos, simples o no, y no se usar´a el teorema de Green. Se prueba primero una versi´on local que es pieza clave en la prueba del caso general.

R1 R3 R2

R

Figura 2.8: Prueba del lema de Goursat

´n 2. Integracio

89

Teorema 2.3.1 (Lema de Goursat) Sean A una regi´ on en C, f : A → C anal´ıtica y R = [a, b] × [c, d] ⊂ A, entonces ) f = 0. ∂R

* ´ n. Para cada rect´angulo P denotaremos por I(P ) a ∂P f. Demostracio Bisectando el rect´angulo R al dividir la base y la altura en partes iguales, se obtienen cuatro subrect´angulos que denotamos por R 1 , R 2 , R 3 y R 4 . Como las fronteras comunes de estos subrect´angulos R i , i = 1, 2, 3, 4, se cancelan 4 4   I(R) = I(R i ) y |I(R)| ≤ |I(R i )| , i=1

i=1

por lo que alguno de los R i satisface |I(R i )| ≥

1 |I(R)| . 4

Denotamos a dicho subrect´angulo R 1 . Iterando este proceso (v´ease la Figura 2.8), se obtiene una sucesi´on de rect´angulos R, R 1 , . . . , R k , . . . que cumplen (i) R ⊃ R 1 ⊃ R 2 . . . ,   (ii) |I(R)| ≤ 4 k I(R k ), (iii) R k tiene di´ametro D/2 k , donde D es el di´ametro de R. Se afirma que el conjunto

∞ ,

Rk

k=1

consiste exactamente en un punto. Es claro que no puede contener m´as de un punto, ya que di´am (R k ) → 0. Para probar que no es vac´ıo se puede tomar un punto z k en cada subrect´angulo R k , y se tiene que la sucesi´on z k , k ∈ N, es de Cauchy, ya que si l ≥ k |z k − z l | ≤

D . 2k

2.3. Teorema de Cauchy

90

Por lo tanto, ∃ z 0 ∈ C, tal que z k → z 0 , cuando k → ∞, y como todos los rect´angulos R k son cerrados, z 0 est´a en la intersecci´on de todos ellos. Ahora, como

)

) z dz = 0 = ∂R k

dz, ∂R k

se sigue que )

%

k

I(R ) = ∂R k

& (f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f  (z 0 ) dz.

Tambi´en, como f es anal´ıtica en z 0 , dado > 0 existe δ > 0, tal que |f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f  (z 0 )| < |z − z 0 | , si |z − z 0 | < δ. Finalmente, si k es suficientemente grande se tiene que di´am (R k ) < δ, por lo que en virtud del Teorema 2.1.5 se tiene

    (∂R) I(R k ) ≤ D , 2k 2k y usando (ii)  

D (∂R) = D (∂R), |I(R)| ≤ 4 k I(R k ) ≤ 4 k 4k 

lo cual implica I(R) = 0.

Usaremos para la prueba del caso global, la siguiente generalizaci´on del lema de Goursat. z0

R

Figura 2.9: Prueba de la generalizaci´on del lema de Goursat

´n 2. Integracio

91

Corolario 2.3.2 Sean A una regi´on en C, y f : A → C una funci´ on continua, sup´ ongase tambi´en que esta funci´ on es holomorfa en A − z 0 , donde z 0 ∈ R ⊂ A, y R es el interior de un rect´angulo. Entonces ) f = 0, ∂R

´ n. Suponemos primero que z 0 ∈ ∂R. Se subdivide R como se Demostracio describe en la Figura 2.9. En dicha partici´on se denota por R 1 , R 2 , R 3 , R 4 y R 5 a los subrect´angulos que no contienen a z 0 , y por R∗ al que s´ı lo contiene (si z 0 es un v´ertice son cuatro los subrect´angulos, sin embargo el procedimiento es el mismo). Se tiene por el lema de Goursat que ) ) ) 5 )  f = f + f = f. ∂R

i=1

∂R i

∂R∗

∂R∗

Ahora, por compacidad f est´a acotada en R por un real positivo M ,  )   f  ≤ M (∂R∗ ). ∴  ∂R

na como se quiera, se Como evidentemente (∂R∗ ) se puede hacer tan peque˜ sigue que ) f = 0. ∂R

Si z 0 ∈ Int R, el argumento anterior claramente se puede aplicar, en este caso se obtienen nueve subrect´angulos.  N´otese que el corolario anterior se generaliza a cualquier funci´on que sea continua en toda la regi´on, y holomorfa salvo quiz´a en un n´ umero finito de puntos. Para probar este hecho, basta subdividir el rect´angulo en subrect´angulos que solamente contengan un punto donde la funci´on podr´ıa no ser holomorfa. El siguiente teorema es otro ingrediente b´asico para la prueba del Teorema de la deformaci´on (2.3.12). Teorema 2.3.3 (Local de la primitiva) Sean f : A → C anal´ıtica, donde A es una regi´ on en C. Sup´ongase tambi´en que R = [a, b] × [c, d] ⊂ A, entonces existe g : U → C anal´ıtica tal que g  = f en U , donde U ⊂ A es una vecindad abierta de R.

2.3. Teorema de Cauchy

92

τh

R

z

z+h

λz

z0

P

ψz

Figura 2.10: Prueba del teorema local de la primitiva ´ n. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe otro Demostracio rect´angulo P, tal que R ⊂ Int P ⊂ A, y tal que los lados de P son paralelos a los de ∂R. Sea z 0 el v´ertice inferior izquierdo de P, para cada z ∈ Int P se definen λ z y ψ z como las poligonales descritas en la Figura 2.10, que unen z 0 con z. Expl´ıcitamente, si z = x + i y y z 0 = x 0 + i y 0 , $   x 0 + i y 0 + t(y − y 0 ) si t ∈ [0, 1], λ z (t) = x 0 + (t − 1)(x − x 0 ) + i y si t ∈ [1, 2]. De manera an´aloga se parametriza ψ z . La funci´on primitiva, es decir, aquella cuya derivada es f, se va obtener al definir ) f. g(z) = λz

Para probar que g es holomorfa en Int P y que g  (z) = f (z) para toda z ∈ Int P, notamos primero que se sigue del lema de Goursat que ) ) f = f. λz

ψz

Ahora, si h ∈ R es suficientemente peque˜ na ) g(x + h, y) − g(x, y) = f (x, y) dz, τh

´n 2. Integracio

93

donde τ h es el segmento horizontal que une (x, y) con (x + h, y), y como la variaci´on vertical de τ h es nula, se obtiene ) x+h g(x + h, y) − g(x, y) = f (t, y) dt, x

al tomar x como par´ametro para τ h . N´otese que esto se cumple tambi´en si h < 0, ya que en este caso ) x f (t, y) dt. g(x + h, y) − g(x, y) = − x+h

Por consiguiente g(x + h, y) − g(x, y) 1 = h h Se afirma que

)

x+h

f (t, y) dt.

(2.4)

x



) x+h 1 f (t, y) dt = f (x, y). l´ım h→0 h x

(2.5)

Esto se demuestra en forma similar al teorema fundamental del c´alculo. Por continuidad, dada > 0 existe δ > 0, tal que |f (t, y) − f (x, y)| < , si |t − x| < δ. Por lo cual, si 0 < h < δ  ) x+h   ) x+h  1  1       f (t, y) dt − f (x, y) =  f (t, y) − f (x, y) dt h h x x ) x+h

h 1 = . |f (t, y) − f (x, y)| dt ≤ ≤ |h| x h * x+h ultiLa primera igualdad es cierta ya que x f (x, y) dt = hf (x, y), y la pen´ ma desigualdad se sigue de la prueba del Teorema 2.1.5. El caso h < 0 se demuestra en forma similar y queda como ejercicio. Por lo tanto se cumple la igualdad (2.5). Escribiendo g(z) = g 1 (z) + i g 2 (z) y f (z) = u(z) + i v(z), se sigue entonces de la relaci´on (2.4) que en Int P ∂g1 ∂g2 +i = u + i v. ∂x ∂x

2.3. Teorema de Cauchy

94

Usando ψ z en lugar de λ z se obtiene de manera similar ∂g2 ∂g1 +i = −v + i u. ∂y ∂y Esencialmente, esto se sigue ya que al tomar como par´ametro el segmento vertical, aparece en la derivada el valor i; dejamos la verificaci´on de los detalles al lector. Finalmente, como u y v son continuas y las parciales de g 1 , g 2 existen y est´an relacionadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, g es anal´ıtica en Int P , y en dicho conjunto g  = f. 

1

1 2

γ1 γ 12 0

γ0

Figura 2.11: Curvas homot´opicas El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema fundamental del c´alculo complejo y del de la primitiva local. Corolario 2.3.4 Bajo las hip´otesis del Teorema 2.3.3, si adem´ as γ es una curva cerrada de clase C 1 por tramos en R, se tiene ) f = 0. γ

´n 2. Integracio

95

El siguiente resultado, que se usar´a posteriormente, generaliza el teorema de la primitiva local y se sigue del Corolario 2.3.2, ya que en la prueba del teorema de la primitiva local se us´o la analiticidad de la funci´on f, solamente para aplicar el lema de Goursat. N´otese que como f es continua, las parciales de g1 , g2 lo son, lo que asegura la analiticidad de g (junto con la validez de Cauchy-Riemann). Corolario 2.3.5 Se puede generalizar el Teorema 2.3.3, debilitando las hip´otesis, suponiendo solamente que f es continua en A y anal´ıtica en A−{z 0 } , donde z 0 es un punto arbitrario en R. Habiendo probado los resultados locales necesarios para probar el Teorema de la deformaci´on (2.3.12), se introducen ahora algunas definiciones y se prueba un caso particular. Definici´ on 25 Sea A una regi´ on en C, se dice que las curvas γ 0 : [a, b] → A y γ 1 : [a, b] → A son homot´opicas (como curvas cerradas) en A, si existe una funci´ on continua H : [a, b] × [0, 1] → A, que cumple (i) H(s, 0) = γ 0 (s), (ii) ∀ t ∈ [0, 1],

H(s, 1) = γ 1 (s),

se tiene

H(a, t) = H(b, t).

Es conveniente pensar a la segunda variable como el tiempo, as´ı, en el tiempo 0 se est´a en la curva γ 0 y en el tiempo 1 en γ 1 . Esta definici´on exhibe la forma rigurosa de decir que γ 0 es deformable a γ 1 (v´ease la Figura 2.11). Obs´ervese que las curvas s → H(s, t) se pueden autointersecar, n´otese tambi´en que una curva constante es cerrada. Mostramos ahora un ejemplo: sea A la regi´on {z ∈ C | 1 < |z − (7 + i)| < 4}, entonces los c´ırculos |z − (7 + i)| = 2 y |z − (7 + i)| = 3 son homot´opicos en A como curvas cerradas. La homotop´ıa est´a dada por H(s, t) = 7 + i + (2 + t) e i s , donde s ∈ [0, 2 π], y t ∈ [0, 1], v´ease la Figura 2.12. Definici´ on 26 Se dice que una regi´ on A en C es simplemente conexa, si cualquier curva continua y cerrada es homot´opica, como curva cerrada, en A a una curva constante, es decir a un punto.

2.3. Teorema de Cauchy

96

•

Figura 2.12: C´ırculos homot´opicos en un anillo A las curvas descritas en la definici´on anterior que se pueden deformar a un punto, algunas veces se les llama nulhomot´opicas. Definici´ on 27 Se dice que un subconjunto A de R n es convexo si dados dos puntos cualesquiera en A, el segmento que los une tambi´en est´a en A. Esto es, ∀ x 1 , x 2 ∈ A y ∀ t ∈ [0, 1] se tiene x 1 + t (x 2 − x 1 ) ∈ A. Al segmento {x ∈ R n | x = x 1 + t(x 2 − x 1 ), t ∈ [0, 1]} se le llama la combinaci´on convexa de x 1 y x 2 , tambi´en se escribe como (1 − t) x 1 + t x 2 . Algunos ejemplos de regiones convexas son los discos y los semiplanos, por   ejemplo, si z 1 , z 2 ∈ D(z 0 , r) = {z |z − z 0 | < r}, entonces |tz 2 + (1 − t)z 1 − z 0 | = |t(z 2 − z 0 ) + (1 − t)(z 1 − z 0 )| < tr + (1 − t)r = r, donde t ∈ [0, 1], v´ease la Figura 2.13. N´otese que la intersecci´on de regiones convexas es convexa. El siguiente resultado muestra que en las regiones convexas una curva se puede deformar en cualquier otra. Proposici´ on 2.3.6 Sea A una regi´on convexa en C y γ 0 , γ1 : [a, b] → A dos curvas continuas y cerradas, entonces γ 0 es homot´opica a γ 1 en A. ´ n. Se define una homotop´ıa H : [a, b] × [0, 1] → C como Demostracio H(s, t) = t γ 1 (s) + (1 − t) γ 0 (s),

´n 2. Integracio

97

donde 0 ≤ t ≤ 1. Puesto que γ 0 y γ1 son continuas, tambi´en lo es H, adem´as, para t fija, H(a, t) = t γ 1 (a) + (1 − t) γ 0 (a) = t γ 1 (b) + (1 − t) γ 0 (b) = H(b, t), por lo que s → H(s, t) es una curva cerrada. Finalmente, H(s, 1) = γ 1 (s),

H(s, 0) = γ 0 (s),

y como A es convexa, ∀ (s, t) ∈ [a, b] × [0, 1], se tiene que H(s, t) ∈ A. 

z2 tz2 + (1 − t)z1 z1

z0

Figura 2.13: Los discos son convexos Como consecuencia inmediata de esta proposici´on, se sigue el siguiente resultado al tomar una curva continua y cerrada, y una curva constante. Corolario 2.3.7 Una regi´on convexa es simplemente conexa. Definici´ on 28 Se dice que una homotop´ıa como la descrita en la Definici´on 25 es de clase C 1 por tramos, si las restricciones a segmentos horizontales o verticales son de clase C 1 por tramos.

2.3. Teorema de Cauchy

98

1 H

γ1

0

a

b

γ0 Rj

Figura 2.14: Prueba del teorema de la deformaci´on para homotop´ıas de clase C 1 por tramos Teorema 2.3.8 (De la deformaci´ on para homotop´ıas C 1 por tramos) Sean A ⊂ C una regi´ on, f : A → C una funci´ on anal´ıtica, γ 0 : [a, b] → A y γ 1 : [a, b] → A curvas cerradas de clase C 1 por tramos, sup´ongase tambi´en que existe una homotop´ıa H : [a, b] × [0, 1] → A de clase C 1 por tramos entre ellas. Entonces ) ) f = f. γ0

γ1

Para probar el teorema se necesita el lema que se enuncia a continuaci´on. La prueba de este resultado se sigue f´acilmente usando t´ecnicas b´asicas de la topolog´ıa de R n ; queda como ejercicio para el lector; alternativamente este resultado puede consultarse en [2], p. 89. Lema 2.3.9 Sea M un subconjunto compacto de R n , y sea {U j }nj=1 una cubierta abierta de M . Entonces existe un n´ umero δ > 0, llamado n´ umero de Lebesgue de la cubierta, tal que si W es un subconjunto de M de di´ametro menor a δ, entonces W ⊂ U j para alguna j. ´ n. [Del Teorema 2.3.8] El conjunto compacto H([a, b]×[0, 1]) Demostracio puede cubrirse por medio de un conjunto finito de rect´angulos abiertos R j , con la propiedad de que para cualquier j, f | R j = g j , donde g j es una

´n 2. Integracio

99

funci´on anal´ıtica en una vecindad de R j . Esto se sigue por compacidad, usando el teorema local de la primitiva. Ahora, la colecci´on {H −1 (R j )} es una cubierta abierta de [a, b] × [0, 1]. Sea U j un abierto en R 2 tal que U j ∩([a, b] × [0, 1]) = H −1 (R j ), y sea δ el n´ umero de Lebesgue de la colecci´on {U j }. El siguiente paso es subdividir el rect´angulo [a, b] × [0, 1] en una colecci´on de subrect´angulos cerrados {W i } definidos por una ret´ıcula de di´ametro menor a δ, v´ease la Figura 2.14. Obs´ervese que como para cada i, W i ⊂ H −1 (R j ) para alguna j, se tiene que H(W i ) ⊂ R j , y dado que H(∂W i ) es una curva cerrada C 1 por tramos, ) f = 0, H(∂W i )

ya que en R j , f es la derivada de una funci´on. Por consiguiente, como se cancelan todas las integrales definidas por los segmentos verticales y horizontales que no forman parte de la frontera de [a, b] × [0, 1], al ser recorridas en ambos sentidos, se tiene que ) ) ) 0 = f = f− f. i

H(∂W i )

γ0

γ1

N´otese que la funci´on H restringida a {a} × [0, 1] define la misma curva que la definida por la restricci´on de H a {b} × [0, 1], pero esta u ´ltima se recorre en sentido contrario, por lo que estas contribuciones se cancelan.  Es did´actico constatar que en la prueba del teorema anterior las curvas H(∂Wi ) no son necesariamente simples y pueden intersecarse unas con otras. Para probar el teorema de la deformaci´on en su forma general se necesitan dos lemas. El primero, que se enuncia a continuaci´on, establece que toda curva continua se puede aproximar por otra curva de clase C 1 por tramos. Lema 2.3.10 Sea λ : [a, b] → C continua y > 0, entonces existe una curva γ : [a, b] → C C 1 por tramos, tal que |λ(s) − γ(s)| < para toda s ∈ [a, b]. ´ n. Sea > 0, por continuidad uniforme existe una partici´on Demostracio a = s0 < s 1 < . . . < s n = b, tal que para i = 1, 2,. . . , n − 1 se tiene λ(s) ∈ D(λ(s i ), ) ∀ s ∈ [s i−1 , s i+1 ].

2.3. Teorema de Cauchy

100

Se define la curva γ como la poligonal que une los puntos λ(s k ). M´as precisamente, ∀ k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} se define  γ  [s k , s k+1 ] = ψ k ◦ φ k , donde φ k : [s k , s k+1 ] → [0, 1] est´a dada por φ k (s) =

s − sk , s k+1 − s k

y ψ k : [0, 1] → C por ψ k (t) = t λ(s k+1 ) + (1 − t) λ(s k ). De esta manera, γ|[s k , s k+1 ] describe el segmento que une λ(s k ) con λ(s k+1 ). Adem´as, es una composici´on de funciones afines, y es, por lo tanto, de clase C 1 , es decir, γ es de clase C 1 por tramos. V´ease la Figura 2.15. Finalmente, si s ∈ (s k , s k+1 ), por construcci´on se tiene que λ(s k ) y λ(s k+1 ) pertenecen al disco D(λ(s), ), adem´as γ(s) est´a en el segmento que une λ(s k ) con λ(s k+1 ). Por consiguiente, como los discos son convexos se tiene que |γ(s) − λ(s)| < . Aplicando este razonamiento a cada subintervalo se sigue el resultado.



λ(sk ) γ(s) λ(sk+1 ) λ(sk−1 )

λ(s)

Figura 2.15: Una curva continua se puede aproximar por una de clase C 1 por tramos En el contexto del lema anterior se dir´a que λ y γ son curvas -cercanas. A continuaci´on probamos que la distancia entre dos conjuntos ajenos en R n , uno compacto y otro cerrado, se alcanza. Lema 2.3.11 Sean A, B subconjuntos ajenos de C, B cerrado y A compacto. Entonces existen u ∈ A y v ∈ B, tales que |u − v| ≤ |z − w|, para cualesquiera z ∈ A, w ∈ B.

´n 2. Integracio

101

´ n. Se puede suponer que B tambi´en es compacto, puesto Demostracio que si z 0 ∈ B y M = diam(A ∪ {z 0 }), se tiene que D(z 0 , 2M ) ∩ B, que es compacto, contiene a todos los puntos de B que est´en m´as cerca de A que z 0 . Para demostrar esta afirmaci´on t´omese z 1 ∈ B, tal que d(z 1 , A) < d(z 0 , A). Como la funci´on distancia es continua y A es compacto, existe w 1 ∈ A tal que d(z 1 , A) = d(z 1 , w 1 ), por lo tanto, d(z 1 , z 0 ) ≤ d(z 1 , w 1 ) + d(w 1 , z 0 ) < 2M, v´ease la Figura 2.16. Finalmente, si B es compacto, A × B es un subconjunto de  compacto   4 R , ya que si A ⊂ D(0, r 1 ) y B ⊂ D(0, r 2 ), A × B ⊂ D 0, r12 + r22 , y tambi´en si (z n , w n ) → (z, w), n ∈ N, donde z n ∈ A y w n ∈ B, entonces (z, w) ∈ A × B, por lo que el lema es consecuencia de que la funci´on (z, w) −→ |z − w| es continua.  D(z0 , 2M )

w1 A

z1

B z0

Figura 2.16: La distancia entre un compacto y un cerrado se alcanza Para probar el teorema de la deformaci´on de manera general s´olo nos falta definir la integral de una funci´on sobre una curva continua (cerrada) que no

2.3. Teorema de Cauchy

102

necesariamente sea de clase C 1 por tramos. Para esto, sea A una regi´on en C, f : A → C una funci´on anal´ıtica, λ : [a, b] → A una curva continua y cerrada, = d(λ([a, b]), A c ) y γ 1 , γ 2 dos curvas cerradas, de clase C 1 por tramos, -cercanas a λ. N´otese que ambas curvas est´an en A. Definimos una homotop´ıa entre γ 1 y γ 2 como sigue H(s, t) = t γ 1 (s) + (1 − t) γ 2 (s). Es claro que esta homotop´ıa es de clase C 1 por tramos cuando se restringe a segmentos verticales y horizontales, adem´as H toma valores en A, ya que ∀ s, γ 1 (s) y γ 2 (s) est´an en el disco D(λ(s), ) que es convexo. Por consiguiente, se sigue del Teorema 2.3.8 que ) ) f = f. γ1

γ2

Definici´ on 29 Sean A, f , λ y como arriba, y γ una curva cerrada de clase C 1 por tramos, -cercana a λ, entonces ) ) f = f. γ

λ

Las observaciones anteriores muestran que esta integral est´a bien definida. Finalmente, probamos el teorema de la deformaci´on. Teorema 2.3.12 (Teorema de la deformaci´ on) Sea A una regi´ on en C y γ 0 , γ 1 dos curvas cerradas de clase C 1 por tramos, que son homot´opicas como curvas cerradas en A. Sup´ongase tambi´en que f : A → C es holomorfa, entonces ) ) f = f. γ0

γ1

´ n. Sea H : [a, b] × [0, 1] → A una homotop´ıa de curvas ceDemostracio rradas entre γ 0 y γ 1 , y  

= d H([a, b] × [0, 1]), A c . Como H es uniformemente continua, existe δ > 0 tal que si |(s 1 , t 1 ) − (s 2 , t 2 )| < δ,

´n 2. Integracio

103

entonces |H(s 1 , t 1 ) − H(s 2 , t 2 )| < /2. Sean 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1 tales que |t j − t j+1 | < δ

∀ j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .

Denotamos por λ t j a H|([a, b] × t j ), obs´ervese que   λ t (s) − λ t (s) < /2 ∀ j. j j+1 Ahora, la curva γ 0 es C 1 por tramos, mientras que λ t 1 puede ser s´olo continua, pero como por construcci´on son /2-cercanas se sigue de la definici´on que ) ) f = γ0

f, λt1

ya que d (λ t 1 ([a, b]), A c ) ≥ d (H([a, b] × [0, 1]), A c ) = . El siguiente paso es tomar una curva auxiliar ψ 1 , C 1 por tramos, que sea /2-cercana a λ t 1 . Esta nueva curva es - cercana a λ t 2 , ya que |λ t 2 (s) − ψ 1 (s)| ≤ |λ t 2 (s) − λ t 1 (s)| + |λ t 1 (s) − ψ 1 (s)| < /2 + /2 = , por lo que

)

)

)

f = γ0

)

f = λt1

f = ψ1

f. λt2

Iterando este proceso se obtiene el resultado deseado. Esto se puede hacer, ya que ∀ j si ψ es una curva (C 1 por tramos) - cercana a λ t j , como   d λ t j ([a, b]), A c ≥ d (H([a, b] × [0, 1]), A c ) = , se tiene por definici´on que

)

) f = λ tj

f. ψ

 Es importante destacar que esta versi´on general se aplica a curvas que se pueden intersecar, o tambi´en a curvas que se autointersecan. A continuaci´on mostramos un ejemplo: sean γ el c´ırculo unitario |z| = 1 y f (z) =

1 . z 2 − 1/4

2.3. Teorema de Cauchy

104 γ

γ1

− 12

0 ψ

1 2

1

γ2

Figura 2.17: Homotop´ıa entre el c´ırculo unitario y la curva ψ * Una manera de calcular γ f es obtener una deformaci´on de γ a una nueva curva ψ formada con los c´ırculos de radio 1/4 con centros en −1/2 y 1/2 (que denotamos por γ 1 y γ 2 , respectivamente), junto con el intervalo [−1/4, 1/4], recorrido en ambos sentidos, como se muestra en la Figura 2.17. Es claro, a partir de dicha figura, que se puede construir una homotop´ıa de manera expl´ıcita, que no pase por los puntos ±1/2 (ya que en estos puntos la funci´on no es holomorfa). Deben parametrizarse las curvas ψ y γ de tal manera que se pueda llevar a cabo la deformaci´on descrita en la figura. Con el objeto de precisar esta idea, mostramos como debe ser la parametrizaci´on en un primer intervalo que puede tomarse como [0, π/2]. La curva ψ se parametriza de manera natural, esto es, ψ(s) = 1/2 + e i s /4, en cambio γ se debe parametrizar adapt´andose a ψ, esto se puede obtener escribiendo γ(s) = 1/2 + k e i s , donde el n´ umero k debe cumplir 2 1    + k e i s  = 1. 2 Al resolver esta ecuaci´on se obtiene √ cos 2 s + 3 − cos s k = 2 (ejercicio).

´n 2. Integracio

105

Es claro que este proceso puede continuarse y as´ı obtener la homotop´ıa, la cual se define como sigue H(s, t) = t γ(s) + (1 − t) ψ(s),

H : [0, 4 π + 1] × [0, 1] −→ C − {±1/2},

esto es, se toma la combinaci´on convexa correspondiente al momento t entre las dos curvas, el n´ umero 4 π + 1 acontece al tomar las contribuciones de todos los subintervalos. N´otese que de hecho la homotop´ıa no intersecta los interiores de los discos que rodean γ 1 y γ 2 . Por consiguiente, es posible aplicar el teorema de la deformaci´on (a pesar de que la curva ψ no es simple), y obtener ) ) ) f = f + f, γ

γ1

γ2

ya que las contribuciones en el intervalo [−1/4, 1/4] se cancelan. Ahora, z2

1 1 1 = − , − 1/4 z − 1/2 z + 1/2

y usando el teorema de Cauchy se sigue que ) ) ) dz dz dz = − = 0 − 2 π i. 2 γ 1 z − 1/4 γ 1 z − 1/2 γ 1 z + 1/2 Un c´alculo an´alogo aplicado ahora a γ 2 , muestra que ) ) f = 2 π i, y por ende f = 0. γ2

γ

En muchos casos es importante apelar a la intuici´on para encontrar homotop´ıas. Por otro lado, usando herramientas b´asicas de la topolog´ıa algebraica en muchos casos puede detectarse si dos curvas son homot´opicas o no lo son. La versi´on general del teorema de Cauchy es una consecuencia inmediata del teorema de la deformaci´on. Teorema 2.3.13 (Cauchy) Sean A una regi´on, f : A → C anal´ıtica y γ una curva cerrada C 1 por tramos, que es homot´opica a un punto en A, entonces ) f = 0. γ

En particular, cuando A es simplemente conexo, esto se cumple si γ es cualquier curva cerrada de clase C 1 por tramos.

2.3. Teorema de Cauchy

106

´ n. Si γ : [a, b] → A es homot´opica a ψ : [a, b] → A, ψ(t) = z 0 , Demostracio para alg´ un z 0 ∈ A, se sigue del teorema de la deformaci´on y de la definici´on de integral que ) ) f = f = 0. γ

ψ



γ

-3

-1

1

A

Figura 2.18: En las regiones simplemente conexas se aplica de manera inmediata el teorema de Cauchy Esta versi´on general del teorema de Cauchy nos permite detectar de manera formal que muchas integrales son nulas, por ejemplo, sea A la regi´on que consiste de intersecar el semiplano {z | Im z > Re z} con el disco D(−1, 2), y γ cualquier curva cerrada de clase C 1 por tramos en A. Entonces ) 2 z +z+1 dz = 0, z γ esto se sigue del teorema de Cauchy, ya que dicha regi´on al ser convexa es simplemente conexa, y la funci´on que se est´a integrando es holomorfa en A, n´otese que la curva γ puede autointersecarse, por lo que es necesaria esta nueva versi´on del teorema de Cauchy. V´ease la Figura 2.18. Existe un importante teorema de la topolog´ıa que complementa al teorema de Jordan y permite establecer que el interior de cualquier curva simple

´n 2. Integracio

107

cerrada es simplemente conexo. Se dice que dos subconjuntos A, B en R n son homeomorfos si existe una biyecci´on f : A → B, tal que tanto f como f −1 son continuas. Teorema 2.3.14 (Shoenflies) Sea λ una curva simple cerrada en C, entonces Int λ es homeomorfo al disco unitario cerrado Δ = {z | |z| ≤ 1}. Una prueba de este resultado puede consultarse en [14], pp. 68-69. Este teorema es de gran utilidad en nuestro contexto, pues nos dice que el interior de una curva simple cerrada, por complicada (y tipo fractal) que sea, es una regi´on simplemente conexa. Esto se sigue, ya que si se denota por f el homeomorfismo que va de Int λ en Δ y si φ : [a, b] → Int λ es una curva continua y cerrada; como Δ es simplemente conexo, existe una homotop´ıa   H : [a, b] × [0, 1] → Δ, tal que H [a, b] × {0} = f ◦ φ y H [a, b] × {1} es un punto. Por lo que al tomar f −1 ◦ H se tiene la homotop´ıa buscada. Estas observaciones permiten detectar, v´ıa el teorema de Cauchy, que muchas integrales son nulas. Por ejemplo, sean A la regi´on determinada por el interior de una curva simple cerrada λ y p(z) un polinomio cuyas ra´ıces no est´an en A, entonces si γ es una curva cerrada C 1 por tramos en A, se tiene ) dz = 0. γ p (z) El teorema de la deformaci´on permite tambi´en probar un teorema global de la primitiva. Teorema 2.3.15 (De la primitiva) Sea A una regi´on simplemente conexa y sea f : A → C holomorfa, entonces existe g : A → C holomorfa, tal que en los puntos de A se cumple g  (z) = f (z). Adem´ as, esta funci´ on g, llamada primitiva, es u ´nica salvo una constante. ´ n. La unicidad es inmediata: si g 1 , g 2 : A → C son dos primiDemostracio tivas, se sigue entonces del Teorema 1.4.12 que h(z) = g 1 (z) − g 2 (z) es constante, ya que h  (z) = 0. Para la existencia, se define ) z g(z) = f, u

2.3. Teorema de Cauchy

108

donde u es un punto fijo en A y dicha integral significa integrar f a lo largo de cualquier curva en A, C 1 por tramos, que una u con z. El teorema de Cauchy implica que la funci´on g est´a bien definida, pues al tomar dos trayectorias se forma una curva cerrada. Ahora, si z, z 0 ∈ A, se tiene

) z ) z0  g(z) − g(z 0 ) 1 − f (z 0 ) = f− f − f (z 0 ) z − z0 z − z0 u u =

1 z − z0

)

z

f − z0

1 z − z0

)

z

f (z 0 ) = z0

1 z − z0

)

z



 f (w) − f (z 0 ) dw.

z0

Finalmente, por continuidad, ∀ > 0 existe una δ > 0, tal que si |z − z 0 | < δ, se tiene |f (z) − f (z 0 )| < . Tomando δ de tal manera que D(z 0 , δ) ⊂ A, se sigue del Teorema 2.1.5 que si 0 < |z − z 0 | < δ, entonces  ) z      g(z) − g(z 0 )    1    − f (z 0 ) = f (w) − f (z 0 ) dw  z − z0 |z − z 0 |  z 0 1 ≤

|z − z 0 | = , |z − z 0 | ya que se puede usar como curva de integraci´on el segmento de l´ınea que une  z con z 0 . Por consiguiente, g es anal´ıtica y g  (z 0 ) = f (z 0 ). Terminamos esta secci´on con un resultado que permite establecer dominios de analiticidad para las ramas de logaritmo m´as sofisticados que los que se presentaron en el primer cap´ıtulo. Teorema 2.3.16 Sea A una regi´on simplemente conexa que no contiene al 0, entonces existe g : A → C anal´ıtica tal que e g(z) = z. Adem´as, g es u ´nica salvo constantes de la forma 2 π n i, n ∈ Z. ´ n. Probamos primero la existencia de dicha funci´on. Por el Demostracio Teorema 2.3.15 existe una funci´on anal´ıtica g definida en A, tal que g  (z) =

1 z

∀z ∈ A.

Ahora, fijando z 0 ∈ A, este punto est´a en el dominio de alguna rama de logaritmo que denotamos por log z, y se puede redefinir g sum´andole una constante, de modo que g(z 0 ) = log z 0 , por lo que e g(z 0 ) = z 0 .

´n 2. Integracio

109

Afirmamos que e g(z) = z ∀ z ∈ A. Para demostrar esto t´omese f (z) =

e g (z) . z

Como 0 ∈ / A, f es holomorfa en A, y como g  (z) = 1/z se tiene

 1  g (z)  1 1  g (z) +e e f (z) = − 2 = 0, z z z por lo que f es constante en A. Puesto que f (z 0 ) = 1, dicha constante es 1, y e g (z) = z ∀ z ∈ A. Para probar la unicidad se observa primero que si se tiene una funci´on holomorfa en una regi´on que cumple e g(z) = z, se sigue al derivar dicha expresi´on que g  (z) = 1/z. Ahora, si se tienen dos funciones holomorfas en A que satisfacen e g 1 (z) = z

y

e g 2 (z) = z

∀ z ∈ A,

entonces e g 1 (z)−g 2 (z) = 1. Finalmente, tomando de nuevo un punto z 0 ∈ A, se tiene g 1 (z 0 )−g 2 (z 0 ) = 2 π n i, n ∈ Z, y como g 1 (z) − g 2 (z) = z1 − z1 = 0, la funci´on g 1 − g 2 es constante, por lo que g 1 (z) = g 2 (z) + 2 π n i ∀ z ∈ A.  A la funci´on g descrita en el teorema anterior se le llama rama de logaritmo y se denotar´a tambi´en como log z. Esta funci´on generaliza el tipo de dominios de analiticidad para el logaritmo que se describieron en el primer cap´ıtulo. Por una parte, incluye todos esos dominios, ya que si B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}, entonces C − B y 0 es simplemente conexo y por la unicidad del teorema, la rama correspondiente es precisamente una de estas funciones, ya que ∀ z ∈ C, z = 0, se ten´ıa e log z = z. Tambi´en, esta nueva definici´on incluye dominios m´as sofisticados, como el que se muestra en la Figura 2.19. EJERCICIOS 2.3 1. Probar los dos detalles faltantes en la prueba del Teorema 2.3.3. 2. Pruebe formalmente que el semiplano {z | Im z ≥ m Re z + b, m, b ∈ R} es convexo.

2.4. Teorema de Cauchy

110 3. Demuestre el Lema 2.3.9.

4. Exhiba dos subconjuntos cerrados ajenos de C, cuya distancia sea 0. 5. Calcule el valor del n´ umero k mencionado en el ejemplo que aparece a continuaci´on del Teorema de la deformaci´on (2.3.12), y encuentre la parametrizaci´on de la curva γ en el intervalo [π/2, π]. 6. Demuestre formalmente que el anillo A = {z | 1 < |z − z 0 | < 2} no es simplemente conexo, donde z 0 es cualquier punto del plano. 7. Sea γ el tri´angulo * descrito por los puntos i, 2 i y 2 i − 1, demuestre de dos maneras que γ log(z 3 ) dz es nula, donde log denota la rama principal de logaritmo. * 8. Calcule |z|=2 z 2dz+1 . 9. Sea A una regi´on estrella desde w, es decir, si z ∈ A, entonces el segmento w + t (z − w) ⊂ A, donde t ∈ [0, 1]. Pruebe que A es simplemente conexa. * dz 2 10. Sea γ la elipse x4 + y 2 = 1, demuestre formalmente que γ z+1 = 2 π i.

0

Figura 2.19: Dominio de analiticidad para una rama de logaritmo

´n 2. Integracio

2.4.

111

F´ ormula integral de Cauchy

En esta secci´on se prueban las f´ormulas integrales de Cauchy, lo cual conlleva el hecho de que las funciones anal´ıticas son de clase C ∞ . Se exhiben tambi´en algunas de las consecuencias de estas f´ormulas, como el teorema de Liouville y el teorema fundamental del ´algebra.

0

Figura 2.20: Curva de ´ındice 2 con respecto al origen En primera instancia se define el ´ındice de una curva cerrada de clase C 1 por tramos, con respecto a un punto que no est´a en la curva. De manera intuitiva, el ´ındice es el n´ umero de vueltas que la curva efect´ ua alrededor del punto (v´ease la Figura 2.20). Para precisar esta idea rigurosamente, hacemos antes unas observaciones que motivan la definici´on. Recordamos de la secci´on 2.1 que $ ) 0 n = −1, (z − z 0 ) n dz = 2πi n = −1. |z−z 0 |=r

Esto se generaliza a curvas que consisten en recorrer n veces dicho c´ırculo, por ejemplo, la curva γ(t) = z 0 + e i t , t ∈ [0, 2 π n], rodea n veces al punto z 0 , y se tiene que ) ) dz dz 1 = 2 π i n, o = n. z − z 2 π i z − z0 0 γ γ

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

112

M´as a´ un, si ψ es una curva cerrada de clase C 1 por tramos, tal que z 0 ∈ /ψ y γ es homot´opica a ψ en C − {z 0 }, se sigue entonces del teorema de la deformaci´on que ) 1 dz = n. 2 π i ψ z − z0 Es natural pensar que al ser γ y ψ homot´opicas, estas curvas deben rodear el mismo n´ umero de veces a z 0 . Tambi´en, es intuitivamente claro que una curva simple cerrada de clase C 1 por tramos γ, que contiene a z 0 en su interior (esto es, rodea a z 0 una sola vez), es homot´opica a un peque˜ no c´ırculo alrededor de z 0 , por lo que ) 1 1 dz = ± 1. 2 π i γ z − z0 1 Por otra parte, si z 0 ∈ Ext γ, entonces la funci´on z−z es holomorfa en una 0 regi´on que contiene a la curva γ y a su interior, por lo que el teorema de Cauchy implica que ) 1 1 dz = 0, 2 π i γ z − z0

ya que en virtud del teorema de Shoenflies, la curva γ es nulhomot´opica en 1 el dominio de analiticidad de z−z . Esto u ´ltimo se sigue, dado que la homo0 top´ıa que deforma el c´ırculo unitario en el origen se puede jalar a deformar γ en un punto de su interior. Las ideas anteriores desembocan en la siguiente definici´on. Definici´ on 30 Sea γ una curva cerrada de clase C 1 por tramos en C, y z 0 ∈ C − γ. El ´ındice (o n´ umero de vueltas) de γ con respecto a z 0 se define como ) 1 dz . 2 π i γ z − z0 Este n´ umero se denota por I(γ, z 0 ). N´otese que la curva γ(t) = z 0 + r e i t ,

0 ≤ t ≤ 2 π n,

tiene ´ındice n con respecto a z 0 , en cambio −γ(t) = z 0 + r e−i t

n > 0,

´n 2. Integracio

113

tiene ´ındice −n. Ahora, si γ y ψ son dos curvas cerradas de clase C 1 por tramos que no pasan por z 0 , y γ es homot´opica a ψ en C − {z 0 } , entonces se sigue del teorema de la deformaci´on que I(γ, z 0 ) = I(ψ, z 0 ). En este momento se intuye que el ´ındice debe ser un entero, como se prueba a continuaci´on. Teorema 2.4.1 Sea γ : [a, b] → C − {z 0 } una curva cerrada de clase C 1 por tramos, entonces I(γ, z 0 ) ∈ Z. ´ n. Abusando un poco de la notaci´on, es natural considerar la Demostracio funci´on ) t γ  (s) g(t) = ds, a γ(s) − z 0 ya que g(b) = 2 π i I(γ, z 0 ). Ahora, si t ∈ [a, b] y γ es de clase C 1 en una vecindad de t, aplicando el teorema fundamental del c´alculo a las partes real e imaginaria del integrando, se sigue que g  (t) =

γ  (t) . γ(t) − z 0

(2.6)

Por consiguiente, en dichos puntos se tiene   (−γ  (t))  d  −g(t) (γ(t) − z 0 ) = e−g(t) γ(t) − z 0 + e−g(t) γ  (t) = 0, e dt γ(t) − z 0 un, dicha funci´on es y e−g(t) (γ(t) − z 0 ) es constante por tramos. M´as a´ continua, puesto que g(t) es continua. Esta u ´ltima afirmaci´on se sigue de la definici´on de curva C 1 por tramos y de la continuidad de integrales con discontinuidades simples. Se concluye entonces que e−g(t) (γ(t) − z 0 ) es constante, en particular e−g(a) (γ(a) − z 0 ) = e−g(b) (γ(b) − z 0 ),

(2.7)

y como γ(a) = γ(b), resulta que e−g(b) = e−g(a) = e 0 = 1, por lo cual g(b) = 2 π n i, n ∈ Z. Esto es, I(γ, z 0 ) = n. 

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

114

La motivaci´on de considerar la funci´on e−g(t) (γ(t) − z 0 ) en la prueba del teorema anterior surge, ya que en virtud de la relaci´on (2.6), la funci´on g se puede pensar intuitivamente como log(γ(t) − z 0 ) + cte y como e− log(γ(t)−z 0 ) (γ(t) − z 0 ) = 1, se sigue que la funci´on e−g(t) (γ(t) − z 0 ) tambi´en debe ser constante, lo que permite encontrar f´acilmente el valor g(b) usando (2.7). 4i ψ

-1

1 γ

−4i

Figura 2.21: Homotop´ıa entre elipse y c´ırculo permite calcular el ´ındice Obs´ervese que si γ es una curva simple cerrada de clase C 1 por tramos, entonces Int(γ) = {z ∈ C | I(γ, z) = 0} , es decir, se puede definir el interior de una curva en forma anal´ıtica y no topol´ogica, usando la integral que define el ´ındice. Mostramos ahora un ejemplo, sea ψ(t) = cos t + i (4 sen t), t ∈ [0, 6 π], es decir, la curva consiste en una elipse centrada en el origen, que se recorre tres veces en el sentido positivo, por lo que la curva debe tener ´ındice tres con respecto al origen. Para probar esto de manera formal se toma γ(t) = cos t + i sen t, t ∈ [0, 6 π],

´n 2. Integracio

115

entonces H(s, t) = cos s + i (4 − 3 t) sen s es una homotop´ıa entre ψ y γ, v´ease la Figura 2.21. Por lo que se sigue que I(ψ, 0) = 3. Teorema 2.4.2 (F´ ormula integral de Cauchy) Sea A una regi´on, γ una curva cerrada C 1 por tramos homot´opica a un punto en A, f : A → C anal´ıtica y z ∈ A − γ, entonces ) f (w) 1 dw. f (z) I(γ, z) = 2πi γ w − z N´otese que si la curva es simple, esta f´ormula es espectacular, ya que dice que los valores que toma f en γ determinan los valores de f en el interior de γ. ´ n. El teorema de Cauchy se generaliza a funciones que son Demostracio continuas en una regi´on A y que son holomorfas en A − {z 0 }, donde z 0 es un punto en A. La raz´on es que la herramienta que se usa para demostrarlo es el Teorema 2.3.3 (local de la primitiva), que puede ser sustituido por su generalizaci´on, el Corolario 2.3.5 que debilita las hip´otesis. Sea z ∈ A − γ fija, se define ⎧ f (w) − f (z) ⎪ ⎪ si w = z, ⎨ w−z g(w) = ⎪ ⎪ ⎩  f (z) si w = z. Se tiene que g es anal´ıtica en A − {z} y continua en A, por lo que la observaci´on anterior implica que ) g = 0. γ

Finalmente, ) ) ) f (w) f (z) f (w) 0 = dw − dw = dw − 2 π i f (z) I(γ, z). γ w−z γ w−z γ w−z 

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

116

Es importante observar que esta f´ormula es muy u ´til para calcular integrales, por ejemplo, ) ez dz = 2 π i e 0 = 2 π i. z |z|=5

Tambi´en, si se quiere calcular ) |z−1|=1

e z + cos z z−

1 2

dz,

se puede encontrar una homotop´ıa expl´ıcita procediendo como en la Figura 2.22 (ejercicio), y aplicar el teorema de la deformaci´on, por lo que esta integral es igual a

 ) 1 e z + cos z 1 2 dz = 2 π i e + cos 2 . z − 12   1 1  z− 2 = 2

Para poder establecer el hecho de que las funciones anal´ıticas tienen derivadas de todos los o´rdenes, se necesita un importante lema. Al lector no familiarizado con convergencia de funciones se le sugiere leer la primeras p´aginas del cap´ıtulo 3, antes de estudiar la demostraci´on de este resultado.

1 0

1 2

2

Figura 2.22: Homotop´ıa entre c´ırculos tangentes

´n 2. Integracio

117

Lema 2.4.3 (Integrales de tipo Cauchy) Sean γ : [a, b] → C una curva C 1 por tramos, ϕ : γ([a, b]) → C continua, n ∈ Z, n = 0, y ) ϕ(w) (w − z) n dw, g(z) = γ

  entonces g es anal´ıtica y C ∞ en el sentido complejo en C − γ [a, b] . Adem´ as, si n = −1, para cualquier k ∈ N, ) ϕ(w) k g (z) = k ! dw. k+1 γ (w − z) N´otese que esta f´ormula se puede recordar derivando respecto a z dentro del signo de integral. Usaremos el resultado siguiente, que ser´a demostrado en el cap´ıtulo 3 (Teorema 3.1.13). Sean γ una curva de clase C 1 por tramos en una regi´on A, y f n , n ∈ N, una sucesi´on de funciones continuas definidas en γ y que adem´as convergen uniformemente a una funci´on f en γ, entonces ) ) l´ım fn = f. n→∞

γ

γ

´ n del lema. Para demostrar el lema basta probar que para Demostracio cualquier z 0 ∈ C − γ y cualquier sucesi´on h k , k ∈ N, que converja a cero, se tiene ) g(z 0 + h k ) − g(z 0 ) −→ −n (w − z 0 ) n−1 ϕ(w) dw, hk γ ya que esto implica que g es derivable en z 0 y que )  g (z 0 ) = −n (w − z 0 ) n−1 ϕ(w) dw, γ

e iterando este proceso inductivamente se demuestra el lema. Ahora, ) g(z 0 + h k ) − g(z 0 ) (w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n = ϕ(w) dw, hk hk γ as´ı que es suficiente demostrar que 

(w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n ϕ(w) −→ −n (w − z 0 ) n−1 ϕ(w) hk

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

118

uniformemente en γ. Esto equivale a probar que (w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n −→ −n (w − z 0 ) n−1 hk uniformemente en γ, ya que al ser esta curva un conjunto compacto, la funci´on ϕ alcanza un m´aximo en ella. Escribimos para abreviar, u = w − z 0 , probamos este hecho por casos.

z 0 + hk •

z0

ω

γ

•

Figura 2.23: Prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy Si n > 0,     (u − h k ) n − u n n−1   + n u   hk  



   n n−2 n n−3 2 n−1 n−1   + u hk − u hk + · · · + n u  = −n u 2 3   ≤ c |h k | + |h k | 2 + · · · + |h k | n−1 , para alguna constante c. Esta u ´ltima desigualdad se justifica por la compacidad de γ, que implica que las normas |u| = |w − z 0 | est´an acotadas superiormente (v´ease la Figura 2.23). Como el u ´ ltimo t´ermino converge a 0, cuando k → ∞, y no depende de w, este argumento demuestra la convergencia uniforme para este caso. Si n < 0, escribiendo m = −n, se tiene         1  (u − h k ) n − u n 1 1 n−1  n−1    = + n u − + n u   h k (u − h k ) m u m   hk

´n 2. Integracio

119

     1  u m − (u − h k ) m  n−1  =  + nu  hk  (u − h k ) m u m      m h u m−1 − m h 2 u m−2 + · · ·  k  k n−1  2 =  + nu    h k (u − h k ) m u m    m u m−1    n−1  ≤  + n u + c  |h k | + |h k | 2 + · · · + |h k | m−1  m m (u − h k ) u    m m 

 ≤  − m+1  + , (u − h k ) m u u 2 para alguna > 0, si k es suficientemente grande. La primera desigualdad se sigue de que |u| y |u − h k | est´an tambi´en acotadas inferiormente, debido a la compacidad de γ, v´ease la Figura 2.23. Finalmente       m u m − m (u − h k ) m  m m   m m     (u − h k ) m u − u m+1  =  (u − h k ) m u m+1  ≤ c |u − (u − h k ) | , donde c  es una constante. Esta u ´ltima expresi´on converge de manera uniforme a 0, lo cual termina la demostraci´on del lema.  La f´ormula integral de Cauchy junto con el lema sobre integrales de tipo Cauchy tienen como consecuencia casi inmediata el hecho de que las funciones holomorfas tienen derivadas de todos los ´ordenes en el sentido complejo. Teorema 2.4.4 (Las funciones holomorfas son C ∞ complejo) Si f es una funci´ on holomorfa en una regi´on A. Entonces i) f tiene derivadas de todos los ´ordenes en el sentido complejo; ii) si γ es una curva cerrada, C 1 por tramos, homot´opica a un punto en A, y z ∈ A − γ, se tiene ∀ k ∈ {0, 1, 2, . . . } que k! f (z) I(γ, z) = 2πi

)

k

donde f 0 = f.

γ

f (w) dw, (w − z) k+1

(2.8)

120

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

N´otese que la f´ormula (2.8), llamada f´ormula integral de Cauchy para la derivada k−´esima, cuando k > 0, generaliza la f´ormula integral de Cauchy mencionada en el Teorema 2.4.2. ´ n. Probamos primero i) Dada z 0 ∈ A, existe r > 0 tal que Demostracio D(z 0 , r) ⊂ A. Sea ψ el c´ırculo ∂D(z 0 , r), recorrido una vez positivamente. Como I(ψ, z) = 1, ∀z ∈ Int ψ (ejercicio), se sigue de la f´ormula integral de Cauchy que para estos puntos ) f (w) 1 dw. f (z) = 2πi ψ w − z Como ´esta es una integral de tipo Cauchy, el Lema 2.4.3 permite concluir que f es C ∞ en D(z 0 , r), y por lo tanto en la regi´on. Para probar la segunda parte obs´ervese que dicho lema tambi´en implica que la funci´on ) 1 1 I(γ, z) = dw 2πi γ w − z es anal´ıtica y C ∞ en el sentido complejo en C − γ, de hecho es localmente constante por tomar valores enteros. Ahora, por la f´ormula integral de Cauchy, si z ∈ A − γ se tiene ) f (w) 1 dw. f (z) I(γ, z) = 2πi γ w − z Finalmente, aplicando de nuevo el lema, ahora a la funci´on G(z) definida por f (z) I(γ, z), se obtiene inductivamente que ) f (w) k! k k G (z) = f (z) I(γ, z) = dw, k ∈ N. 2 π i γ (w − z) k+1  Este u ´ltimo teorema tiene muchas consecuencias de enorme importancia en la variable compleja, como las que se muestran a continuaci´on. Adem´as, es tambi´en de gran utilidad para calcular integrales, por ejemplo, si se quiere calcular la integral ) sen w + 3 w 4 dw. (w − 1) 3 |w−1|=1

´n 2. Integracio

121

Escribiendo f (w) = sen w + 3 w 4 , como |z − 1| = 1 es homot´opica a un punto en el dominio de analiticidad de f (w), se sigue de la f´ormula integral de Cauchy para la segunda derivada que ) sen w + 3 w 4 2 dw, f 2 (1) = 2 π i |w−1|=1 (w − 1) 3 adem´as, al derivar la funci´on f dos veces se tiene f 2 (w) = − sen w + 36 w 2 , por lo que el valor de la integral es π i (− sen 1 + 36). El siguiente importante resultado establece cotas para las derivadas k-´esimas y tiene como corolario inmediato el teorema de Liouville. Teorema 2.4.5 (Desigualdades de Cauchy) Sea f : A → C holomorfa, donde A es una regi´ on en C. Sup´ongase tambi´en que D(z 0 , R) ⊂ A y que ∀ z ∈ ∂D(z 0 , R), se tiene |f (z)| ≤ M , entonces  k  f (z 0 ) ≤ k ! M. Rk ´ n. Usando la f´ormula de Cauchy para la derivada k- ´esima se Demostracio tiene ) f (w) k! k dw, f (z 0 ) = 2πi (w − z 0 ) k+1 |z−z 0 |=R

por lo que

 k  f (z 0 ) ≤ k ! M 2 π R = k ! M . 2 π R k+1 Rk 

El siguiente sorprendente resultado no se cumple en la variable real, por ejemplo, la funci´on x → sen x + cos x es de clase C ∞ en los reales y ciertamente est´a acotada. Corolario 2.4.6 (Teorema de Liouville) Sea f : C → C entera y acotada, entonces f es constante. ´ n. Utilizando el Teorema 2.4.5 para la primera derivada se Demostracio tiene que si M es una cota superior para los valores de la funci´on, entonces |f  (z)| ≤

M R

∀ z ∈ C y ∀ R ∈ R+ .

´ rmula integral de Cauchy 2.4. Fo

122

Por consiguiente, la funci´on derivada f  se anula en todo el plano y por lo tanto f es constante.  A su vez el teorema de Liouville proporciona una prueba bastante simple del teorema fundamental del ´algebra, como se muestra a continuaci´on. Recordamos que a los ceros de los polinomios se les llama ra´ıces. ´ Teorema 2.4.7 (Teorema fundamental del Algebra) Cualquier polinomio con coeficientes complejos y no constante tiene al menos una ra´ız. ´ n. Sea p(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 0 un polinomio con Demostracio coeficientes complejos, n ≥ 1, y a n = 0. Si p(z) = 0 ∀ z ∈ C, entonces la funci´on 1/p(z) es entera. Para z = 0, se puede escribir 1 1 1 zn = = a0 , a n n−1 n−1 p(z) a n z + a n−1 z + · · · + a0 + ··· + n an + z z por lo que al tomar el l´ımite cuando z → ∞, se tiene l´ım

z−→∞

1 = 0. p(z)

Por consiguiente, existe M tal que si |z| > M , se tiene |1/p(z)| < . Tambi´en, esta funci´on est´a acotada en el compacto D(0, M ), por lo que 1/p(z) est´a acotada en todo el plano. En este caso, se tendr´ıa por el teorema de Liouville que la funci´on 1/p(z) ser´ıa constante, y por ende el polinomio p(z), lo cual es una contradicci´on.  El siguiente interesante teorema muestra, esencialmente, que si las integrales de una funci´on continua en curvas cerradas se anulan, entonces la funci´on es holomorfa. Teorema 2.4.8 (Teorema una regi´ on A, * de Morera) Sea f continua en 1 sup´ ongase tambi´en que γ f = 0 para toda curva cerrada C por tramos γ en A, entonces f es holomorfa en A, y adem´as tiene una primitiva, es on holomorfa en A. decir, f = g  , donde g es una funci´ ´ n. Recordamos que en la prueba del teorema de la primitiva, Demostraci*o la condici´on γ f = 0 equivale a la posibilidad de definir, fijando u ∈ A, una funci´on g : A → C holomorfa tal que ) z f (z) dz. g(z) = u

´n 2. Integracio

123

Se prob´o (Teorema 2.3.15) que bajo tales condiciones g es holomorfa en la regi´on A y que g  (z) = f (z). Finalmente, usando ahora el Teorema 2.4.4, se sigue que f = g  tambi´en lo es.  Otra consecuencia del hecho de que las funciones holomorfas son de clase C , es que si una funci´on es continua en una regi´on y holomorfa, salvo quiz´a en un punto, entonces en realidad la funci´on es holomorfa en toda la regi´on. Esta situaci´on evidentemente se generaliza a un n´ umero finito de puntos. ∞

Corolario 2.4.9 Sea f continua en una regi´on A y anal´ıtica en A − {z 0 }, entonces f es anal´ıtica en A. ´ n. Se puede tomar un rect´angulo contenido en la regi´on, tal Demostracio que tenga al punto z 0 en su interior, aplicando entonces el Corolario del teorema de la primitiva local (2.3.5), y posteriormente el Teorema 2.4.4 se sigue el resultado.  EJERCICIOS 2.4 1. Exhiba de manera expl´ıcita la homotop´ıa descrita en la Figura 2.22. 2. Complete el detalle formal faltante en la prueba del Teorema 2.4.4. * (z 2 +z) +cos(2 z+1) 3. Calcule la integral |z−1|=1 e dz. z−1 * (z+2) +sen(2 z+1) 4. Calcule la integral |z|=1 e dz. z4 5. Sea f una funci´on entera, tal que Re f (z) > 0 ∀ z, pruebe que dicha funci´on es constante. 6. Pruebe formalmente que el ´ındice de la curva γ con respecto al origen es −2, donde γ(s) = i + 2 e−i s , γ : [0, 4 π] → C. * |w| 2 7. Demuestre que la funci´on g(z) = |w−3i|=5 (w−z) 4 dw es holomorfa en el complemento del c´ırculo {w | |w − 3 i| = 5}. Calcule su derivada.

8. Sea γ una curva simple cerrada C 1 por tramos y f una funci´on que es holomorfa en una regi´on que contiene a Int(γ). Sup´ongase tambi´en que la funci´on se anula en la curva, pruebe que la funci´on f se anula tambi´en en el interior de la curva. 9. Sea f una funci´on entera, tal que |f (z)| ≤ M | z| n , si |z| > R, pruebe que dicha funci´on es un polinomio de grado menor o igual a n.

124

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

2.5.

Principio del m´ aximo, lema de Schwarz y funciones arm´ onicas

En esta u ´ltima secci´on continuamos con las aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy, como son el principio del m´aximo para funciones holomorfas y para funciones arm´onicas. Tambi´en se prueba el lema de Schwarz, as´ı como otras importantes propiedades de las funciones arm´onicas, en particular la f´ormula de Poisson que establece la soluci´on al problema de Dirichlet en el disco. El siguiente notable resultado establece que el valor de una funci´on holomorfa en el centro de un disco es el promedio de sus valores en el c´ırculo. Teorema 2.5.1 (Propiedad del valor intermedio) Sea f anal´ıtica en una regi´ on A y D(z 0 , r) ⊂ A, entonces f (z 0 ) =

1 2π

)

2π 0

f (z 0 + r e i θ ) dθ.

´ n. Parametrizando ∂D(z 0 , r) como γ(θ) = z 0 + r e i θ , y Demostracio aplicando la f´ormula integral de Cauchy se tiene 1 f (z 0 ) = 2πi

) γ

f (z) dz z − z0

1 y f (z 0 ) = 2πi

)

2π 0

f (z 0 + r e i θ ) i r e i θ d θ. r eiθ 

El siguiente resultado muestra que una funci´on holomorfa no puede tener m´aximos locales. Teorema 2.5.2 Sea f anal´ıtica en una regi´ on A. Sup´ongase tambi´en que |f (z)| ≤ |f (z 0 )| ∀z ∈ D(z 0 , r 0 ), entonces f es constante en D(z 0 , r 0 ). ´ n. Se puede suponer que f (z 0 ) ∈ R+ . Esto se sigue ya que Demostracio si f (z 0 ) = w y w ∈ / R+ , entonces la funci´on w−1 f tambi´en satisface las hip´otesis del teorema, y adem´as es constante si y s´olo si f lo es. El truco es usar la funci´on real no negativa g(z) = f (z 0 ) − Re (f (z)) .

´n 2. Integracio

125

Si r < r 0 , se tiene al usar la propiedad del valor intermedio aplicada a f que ) 2π ) 2π      iθ g z 0 + r e dθ = 2 π f (z 0 ) − Re f z 0 + r e i θ dθ 0

0

= 2 π f (z 0 ) − 2 π Re (f (z 0 )) = 0. En consecuencia, como la funci´on θ → g(z 0 + r e i θ ) es real no negativa y su integral es cero, se tiene que   g z 0 + r e i θ = 0 ∀ θ ∈ [0, 2 π], y como este argumento se aplica para cualquier r < r 0 , se sigue que Re (f (z)) = f (z 0 ) ∀ z ∈ D(z 0 , r 0 ). Finalmente, el resultado se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.  Teorema 2.5.3 (Principio del m´ aximo) Sea f : A → C una funci´on con tinua, donde A es una regi´on acotada en C, sup´ongase tambi´en que f  A es anal´ıtica. Entonces el supremo de los valores |f (z)| , z ∈ A, se alcanza en ∂A, y si en alg´ un punto de A se alcanza este valor m´aximo, f es constante. ´ n. Si existe z 0 ∈ ∂A tal que |f (z 0 )| > |f (z)| ∀ z ∈ A, no Demostracio hay nada que probar. De otra manera (por compacidad) existe z 0 ∈ A, tal que |f (z 0 )| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ A. Sea f (z 0 ) = w 0 , denotamos por g a la restricci´on de f a la regi´on A. Escribiendo B = g −1 (w 0 ), se sigue de la versi´on local que el conjunto B es abierto en A y por lo tanto en C. Si f no es una funci´on constante, entonces la restricci´on g tampoco lo es, y g −1 (C − {w 0 }) es un conjunto abierto, no vac´ıo, en A (y en C). Bajo estas hip´otesis, la regi´on A es la uni´on de dos conjuntos abiertos y ajenos, lo que contradice que es un conjunto conexo. Por consiguiente, la funci´on g es constante, y por ende f tambi´en.  Al principio del m´aximo tambi´en se le conoce como el teorema del m´odulo m´aximo. Este teorema tiene una gran importancia te´orica y tambi´en es de gran utilidad para encontrar cotas superiores de ciertas funciones holomorfas. Por ejemplo, para encontrar el supremo de |cos z| en [−1, 1] × [−1, 1] se puede escribir cos(x + i y) = cos x cosh y − i sen x senh y,

126

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

y al tomar la norma al cuadrado se tiene |cos z| 2 = cos 2 x cosh 2 y + sen 2 x senh 2 y = cos 2 x cosh 2 y + (1 − cos 2 x)(cosh 2 y − 1) = cosh 2 y + cos 2 x − 1. Por el principio del m´aximo, el supremo de |cos z| se toma en la frontera del rect´angulo, por lo que se sigue de la expresi´on obtenida que ´este se alcanza en el eje imaginario, cuando se maximiza la parte imaginaria de z. Por consiguiente, el valor m´aximo est´a dado por cosh 1, y ´este es tomado en ± i. N´otese que en general si A es una regi´on en R n y f : A → R m es continua y localmente constante, entonces f es constante. Esto se sigue, ya que si la funci´on toma el valor y 0 , y no es constante, entonces se puede descomponer la regi´on A en dos abiertos ajenos no vac´ıos: la preimagen de y 0 y la preimagen de su complemento. Volviendo a las funciones complejas, obs´ervese que una funci´on holomorfa f definida en una regi´on A, que no se anula en ning´ un punto, no puede tener m´ınimos locales estrictos, ya que en este caso la funci´on 1/f tendr´ıa un m´aximo local estricto, lo que contradice el principio del m´aximo. Sin embargo, la funci´on f (z) = z alcanza un valor m´ınimo estricto en el origen. El siguiente resultado es una importante aplicaci´on del principio del m´aximo que describe las funciones holomorfas del disco en el disco que fijan al origen. Esencialmente estas funciones son rotaciones o contracciones hacia el origen. Teorema 2.5.4 (Lema de Schwarz) Sea f : Δ → Δ holomorfa, donde Δ = {z | |z| < 1}. Sup´ongase tambi´en que f (0) = 0, entonces |f (z)| ≤ |z| ∀ z ∈ Δ y |f  (0)| ≤ 1. M´as a´ un, si existe z 0 ∈ Δ, z 0 = 0, tal que |f (z 0 )| = |z 0 |, entonces f es una rotaci´on. ´ n. Sea Demostracio

⎧ f (z) ⎪ ⎪ ⎨ z g(z) = ⎪ ⎪ ⎩  f (0)

si z = 0, si z = 0,

resulta que g es holomorfa en Δ − {0} y continua en Δ, por lo que se sigue del Corolario 2.4.9 que g es holomorfa en Δ. Ahora, en el c´ırculo |z| = r, r < 1, se tiene

´n 2. Integracio

127    f (z)   = |f (z)| ≤ 1 ,  |g(z)| =  z  r r

por lo que se sigue del principio del m´aximo que ∀ z ∈ D(0, r) |g(z)| ≤

1 , r

es decir,

|f (z)| ≤

|z| . r

Fijando z, y tomando el l´ımite cuando r → 1, en ambas desigualdades, se tiene que en Δ, |f (z)| ≤ |z| y |g(z)| ≤ 1, en particular |f  (0)| = |g(0)| ≤ 1. Finalmente, si para alg´ un punto z 0 = 0 se cumple que |f (z 0 )| = |z 0 |, entonces la funci´on g alcanza el m´aximo en un punto del interior, por lo que en virtud del Teorema 2.5.3 es constante (esto se formaliza tomando cualquier disco cerrado en Δ que contenga a z 0 en su interior). Se concluye entonces que f (z) = k z, para alguna constante k, m´as a´ un como |f (z 0 )| = |z 0 |, se sigue que |k| = 1.  A continuaci´on extendemos el principio del m´aximo a las funciones arm´onicas. Se demostr´o que las partes, real e imaginaria, de una funci´on anal´ıtica son arm´onicas de clase C ∞ . El rec´ıproco, que es consecuencia del teorema de la primitiva, tambi´en es cierto. Teorema 2.5.5 Sea A una regi´ on y u : A → R arm´onica, entonces u es de clase C ∞ y para cualquier z 0 ∈ A, u es la parte real de una funci´on holomorfa en una vecindad de z 0 . Si adem´as A es simplemente conexa, entonces existe una funci´ on f : A → C holomorfa, tal que Re f = u. ´ n. Basta probar la segunda parte, ya que el disco D(z 0 , r) Demostracio es simplemente conexo. Considerando las ecuaciones de Cauchy-Riemann es natural definir ∂u ∂u (z) − i (z), z ∈ A. g(z) = ∂x ∂y Se afirma que g es anal´ıtica en A. Escribiendo g = g 1 + i g 2 , se tiene que en la regi´on A ∂2u ∂ g1 = ∂x ∂x2 por lo cual

y

∂2u ∂ g2 = − , ∂y ∂y 2

∂2u ∂ g2 ∂2u ∂ g1 + = 0. − = ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2

128

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

Tambi´en, en dicha regi´on ∂ g1 ∂2u = ∂y ∂y∂x de donde

y

∂ g2 ∂2u = − , ∂x ∂ x∂ y

∂ g1 ∂ g2 + = 0, ∂y ∂x

ya que u es de clase C 2 . Al cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann se concluye que la funci´on g es holomorfa. Usando ahora el teorema de la primitiva, existe f : A → C holomorfa, tal que en la regi´on A se tiene f  = g. Escribiendo, f = f 1 + if 2 , se sigue f =

∂f 1 ∂u ∂u ∂ f1 −i = g = −i , ∂x ∂y ∂x ∂y

por lo que f 1 = u + k para alguna constante k ∈ R, y u = Re (f − k). N´otese que se ha probado tambi´en que cualquier funci´on arm´onica es de clase C ∞ , al ser la parte real de una funci´on holomorfa.  Obs´ervese que el resultado tambi´en es v´alido si se sustituye Re f por Im f , ya que Im (i f ) = Re f . Definici´ on 31 Se dice que u y v son arm´onicas conjugadas (o simplemente conjugadas) en una regi´ on A, si existe una funci´on f holomorfa en A, tal que f = u + i v. Corolario 2.5.6 Sea A una regi´ on simplemente conexa en C y u : A → R arm´onica, entonces u tiene una conjugada en A. Existe un m´etodo para encontrar la funci´on arm´onica conjugada, que ilustramos con un ejemplo. La funci´on u(z) = x 3 − 3 x y 2 , z = x + i y, es arm´onica en el plano (ejercicio); para encontrar su conjugada derivamos y aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si v es la conjugada arm´onica de u (´esta existe ya que C es simplemente conexo), se tiene ∂v (z) = 6 x y, ∂x

∂v (z) = 3 x 2 − 3y 2 . ∂y

Integrando la primera ecuaci´on con respecto a x se obtiene v(z) = 3 x 2 y + g 1 (y),

´n 2. Integracio

129

donde g 1 (y) es una funci´on que no depende de x. Integrando la segunda ecuaci´on, ahora con respecto a y, se obtiene v(z) = 3 x 2 y − y 3 + g 2 (x), por lo que al igualar las dos expresiones se tiene −y 3 + g 2 (x) = g 1 (y), y necesariamente g 2 (x) es una constante, por lo cual v(z) = −y 3 + 3 x 2 y + constante. Algunos lectores podr´an reconocer en este ejemplo la funci´on z → z 3 , y los c´alculos parecer´ıan innecesarios, sin embargo, el prop´osito fue decribir el m´etodo. Obs´ervese que las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que la conjugada es u ´nica salvo una constante aditiva. Recordamos de los cursos de c´alculo que el vector gradiente en un punto, de una funci´on de R n en R, es ortogonal a su curva de nivel (la preimagen de dicho punto bajo la funci´on). V´ease la Figura 2.24. El siguiente notable resultado exhibe que la propiedad de ser arm´onicas conjugadas conlleva informaci´on geom´etrica importante (v´ease la Figura 2.25).

u(x, y) (x, y)

u−1 (a1 )

Figura 2.24: Las curvas de nivel son ortogonales al gradiente Teorema 2.5.7 Sean u y v arm´onicas conjugadas en una regi´ on A que toman los valores a 1 y a 2 , respectivamente. Sup´ ongase tambi´en que los gradientes en todos los puntos de las curvas de nivel para estos valores no se anulan. Entonces si estas curvas se intersecan, lo hacen ortogonalmente. ´ n. Se sigue del teorema de la funci´on impl´ıcita que u−1 (a 1 ) y Demostracio −1 v (a 2 ) son curvas diferenciables. Basta demostrar que para cualquier punto

130

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

en la intersecci´on ∇u · ∇v = 0, que es lo mismo que  

∂v ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂u , · , = + = 0, ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y lo cual se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.



Figura 2.25: Curvas de nivel de las funciones arm´onicas conjugadas determinadas por z → z 2 Un ejemplo donde se visualiza claramente este resultado es con la funci´on f (z) = z 2 , que tiene como partes real e imaginaria a u(x, y) = x 2 − y 2

y

v(x, y) = 2 x y,

respectivamente. Las curvas de nivel constituyen las familias de hip´erbolas que se intersecan ortogonalmente, como se describe en la Figura 2.25. A continuaci´on se prueban los principios del m´aximo y el m´ınimo para funciones arm´onicas, los cuales se siguen de los correspondientes resultados para funciones holomorfas.

´n 2. Integracio

131

Teorema 2.5.8 (Del valor intermedio para funciones arm´ onicas) Si u es una funci´ on arm´onica en una regi´on A que contiene a D(z 0 , r), entonces ) 2π   1 u z 0 + r e i θ dθ. u(z 0 ) = 2π 0 ´ n. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe r 1 > r, Demostracio tal que D(z 0 , r 1 ) ⊂ A. Se sigue entonces del Teorema 2.5.5 que existe una funci´on f anal´ıtica en D(z 0 , r 1 ), tal que Re f = u. Finalmente, usando ahora el teorema del valor intermedio para funciones anal´ıticas se tiene ) 2π   1 f (z 0 ) = f z 0 + r e i θ dθ, 2π 0 y tomando partes reales se obtiene el resultado.



Teorema 2.5.9 Dada u una funci´ on arm´onica en una regi´on A, tal que alcanza un m´ aximo local en z 0 ∈ A, i. e., existe r, tal que u(z 0 ) ≥ u(z), ∀ z ∈ D(z 0 , r), entonces u es constante en dicho disco. ´ n. Existe f holomorfa en D(z 0 , r) tal que Re f = u. Ahora, Demostracio f la funci´on e tambi´en es holomorfa en ese disco, y  f (z)    e  = e u(z)  = e u(z) . Como la exponencial real es creciente, los m´aximos de u son los de e u , por lo que aplicando el principio del m´aximo para funciones holomorfas, se sigue que e f es constante en D(z 0 , r), por lo tanto tambi´en lo son e u y u.  Teorema 2.5.10 (Principio del m´ aximo para funciones arm´ onicas)  Si A es una regi´ on acotada en C, u : A → R es continua, y u A es arm´onica, entonces el supremo de los valores u(z), z ∈ A, se alcanza en ∂A. M´as a´ un, si en alg´ un punto de A se alcanza este valor m´ aximo, u es constante. ´ n. Se aplica un argumento de conexidad casi id´entico al que Demostracio se us´o en el correspondiente teorema para funciones holomorfas.  Tambi´en se cumple el principio del m´ınimo para funciones arm´onicas. Si A es una  regi´on acotada en C, u : A → R es una funci´on continua, tal que u  A es arm´onica, entonces el ´ınfimo de los valores u(z), z ∈ A, se

132

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

alcanza en ∂A, y si en alg´ un punto de A se alcanza este valor m´ınimo, u es constante. Para demostrar este resultado, basta aplicar el principio del m´aximo para funciones arm´onicas a la funci´on −u. Estos u ´ltimos resultados permiten, como en el caso de las funciones holomorfas, encontrar cotas, en este caso superiores e inferiores. Por ejemplo, si u(x + i y) = e x cos y, entonces el valor m´ınimo de esta funci´on arm´onica restringida al rect´angulo [0, 1] × [0, 1] se debe tomar en la frontera, por lo que este valor m´ınimo es e 0 cos 1 = cos 1, el cual es tomado en i. Terminamos este cap´ıtulo con una breve introducci´on al problema de Dirichlet y su soluci´on en el disco mediante la f´ormula de Poisson. Dada una regi´on A en C acotada y una funci´on u 0 : ∂A → R continua, el problema de Dirichlet consiste en encontrar una funci´on continua u : A → R, de tal   manera que uA sea arm´onica y u∂A = u 0 . El problema de Dirichlet tiene soluci´on si ∂A es suficientemente lisa (v´ease [1] pp. 240-243). Las t´ecnicas que se usan son bastante sofisticadas y corresponden a un curso m´as avanzado de la variable compleja. Sin embargo, en todos los casos, es muy f´acil probar que si existe una soluci´on, ´esta es u ´nica. Teorema 2.5.11 Si el problema de Dirichlet tiene soluci´on, ´esta es u ´nica. ´ n. Sean u y v soluciones y ϕ = u − v, entonces ϕ es Demostracio arm´onica en A y ϕ ≡ 0 en ∂A. Se sigue entonces del principio del m´aximo para funciones arm´onicas que ϕ (z) ≤ 0 ∀z ∈ A, y del principio del m´ınimo que ϕ (z) ≥ 0 ∀ z ∈ A. En consecuencia, ϕ (z) ≡ 0 ∀ z ∈ A.  Para resolver el problema de Dirichlet en el disco abierto, primero se prueba una f´ormula que expresa los valores que toma una funci´on arm´onica en el interior de un disco, en t´erminos de los valores que toma en su frontera, es decir, el equivalente a la f´ormula integral de Cauchy para funciones holomorfas adaptado a funciones arm´onicas. Teorema 2.5.12 (F´ ormula de Poisson) Sea u : D (0, r) → R continua y tambi´en arm´onica en D (0, r) , entonces si ρ < r 

u ρe

iϕ



r2 − ρ2 = 2π

)

2π 0

  u r eiθ dθ. r 2 − 2 r ρ cos (θ − ϕ) + ρ 2

´n 2. Integracio

133 z- = t2 /z

z

γt

0

Figura 2.26: Puntos inversos: truco para probar la f´ormula de Poisson ´ n. Como u es arm´onica en D (0, r) , que es simplemente Demostracio conexo, existe f : D (0, r) → C anal´ıtica, tal que u = Re f. Sean 0 < t < r y γ t el c´ırculo |w| = t, usando la f´ormula integral de Cauchy se tiene ) 1 f (w) f (z) = dw, 2 π i γt w − z lo cual se cumple para toda z en el disco abierto D(0, t). La estrategia es modificar esta expresi´on en otra m´as adecuada, para poder separar la parte real. Para esto se toma el inverso de z con respecto al c´ırculo |w| = t, que est´a dado por t2 . z A este punto lo denotamos por z-. Claramente, este punto es el inverso, ya que |z| |z | = t 2 , v´ease la Figura 2.26. Obs´ervese que z ∈ Int(γ t ) si y s´olo si z- ∈ Ext(γ t ). Por lo tanto ∀ z ∈ Int(γ t ), se tiene ) f (w) 1 dw = 0; 2 π i γ t w − zya que dicha funci´on es holomorfa en una regi´on que contiene a Int(γ t ). Usando esta observaci´on obtenemos la siguiente expresi´on para f (z) 

) 1 1 1 f (z) = − dw. f (w) 2 π i γt w−z w − z-

134

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

Como |w| = t, podemos simplificar el integrando 1 1 1 − = − w−z w − zw−z

=

1 w−

2

t z

=

z 1 + w−z w (w − z)

|w| 2 − w z + w z − |z| 2 |w| 2 − |z| 2 = . w |w − z| 2 w |w − z| 2

Obteni´endose f (z) =

1 2πi

) γt

f (w) (|w| 2 − |z| 2 ) dw. w |w − z| 2

(2.9)

Parametrizando γ t (θ) = t e i θ , θ ∈ [0, 2 π], si z = ρ e i ϕ , se tiene ) 2 π  i θ 2  i ϕ f t e (t − ρ 2 ) i t e i θ 1 f ρe dθ = 2πi 0 t e i θ |t e i θ − ρ e i ϕ | 2   ) 2π f t e i θ (t 2 − ρ 2 ) 1 = dθ. 2π 0 t 2 − ρ t (e i (θ−ϕ) + e i (ϕ−θ) ) + ρ 2 Al tomar las partes reales de esta u ´ltima expresi´on, casi se obtiene la f´ormula de Poisson   ) 2π  i ϕ u t e i θ (t 2 − ρ 2 ) 1 u ρe dθ. (2.10) = 2π 0 t 2 + ρ 2 − 2 t ρ cos (θ − ϕ) El problema es que se necesita sustituir el c´ırculo γ t por la frontera del disco D(0, r), para ello se usa un argumento de continuidad uniforme. Manteniendo ρ y ϕ fijos, la f´ormula se cumple ∀ t, tal que ρ < t < r. Tambi´en, u es continua en D (0, r) y el denominador del integrando no se anula (si t > ρ), ya que es mayor o igual a t 2 + ρ 2 − 2 ρ t = (t − ρ) 2 > 0. Se concluye que si ρ y ϕ son fijos, la funci´on   u t e i θ (t 2 − ρ 2 ) g(θ, t) = 2 t + ρ 2 − 2 t ρ cos (θ − ϕ)

´n 2. Integracio

135

es continua en el compacto # "  r+ρ  tr , (θ, t)  0  θ  2 π, 2 y por lo tanto uniformemente continua. En particular, si se toma una sucesi´on t n → r, n ∈ N, se sigue que dado

> 0 existe δ > 0, tal que si |t n − r| < δ, se tiene |g (θ, t n ) − g (θ, r)| < ∀ θ ∈ [0, 2 π] . Por consiguiente, escribiendo g (θ, t n ) = g n (θ) , se sigue que las funciones g n convergen uniformemente en θ a g r (θ) = g (θ, r) , por lo que ) 2π ) 2π 1 1 g n (θ) dθ −→ g r (θ) dθ. 2π 0 2π 0 Esto se sigue del resultado equivalente al Teorema 3.1.13 para funciones reales de variable real. La pruebas de ambos resultados (caso real y caso complejo) son casi id´enticas. Alternativamente, una prueba para el caso real se puede consultar en [16] p. 162. Finalmente, como todas las integrales de la sucesi´on son la misma, a saber  u (ρ e i ϕ ) , se sigue la f´ormula de Poisson. La f´ormula de Poisson resuelve el problema de Dirichlet en el disco abierto D(0, r), esto es, dada u 0 : {|z| = r} → R continua, la soluci´on se obtiene al definir )  i ϕ u 0 (r e i θ ) r2 − ρ2 2π u ρe dθ, = 2π r 2 − 2 r ρ cos(θ − ϕ) + ρ 2 0 si ρ < r y u (r e i ϕ ) = u 0 (r e i ϕ ). Resulta que u es continua en D(0, r), y es arm´onica en D(0, r). La prueba de la continuidad no es simple, ´esta se puede derivar de [1] pp. 167-168. Sin embargo, podemos probar ahora que la soluci´on es arm´onica en el interior del disco, para esto necesitamos primero un lema. Lema 2.5.13 La f´ ormula de Poisson se puede reescribir como 

) 2π w+z 1 u 0 (w) dθ, Re u(z) = 2π 0 w−z donde w = r e i θ .

136

´ ximo, lema de Schwarz y funciones armo ´ nicas 2.5. Principio del ma

´ n. En la prueba de la f´ormula de Poisson (2.9) y (2.10) se Demostracio mostr´o que si w = r e i θ , entonces  ) 2π  2 |w| − |z| 2 1 u (z) = u 0 (w) dθ. 2π 0 |w − z| 2 Esto se prob´o primero para w = t e i θ , t < r y luego mediante convergencia uniforme para w = r e i θ . En consecuencia, el lema se sigue de las siguientes identidades . / |w| 2 − |z| 2 w z − |z| 2 + |w| 2 − z w 1 |w| 2 − w z + w z − |z| 2 = + 2 |w − z| 2 |w − z|2 |w − z|2  1 w z z w = + + + 2 w−z w−z w−z w−z  

1 w+z w+z w+z = + . = Re 2 w−z w−z w−z  Volviendo a la soluci´on del problema de Dirichlet para el disco, escribiendo ρ e i ϕ = z, se sigue del lema que 

) 2π 1 w+z u (z) = u 0 (w) dθ Re 2π 0 w−z   ) 2π 1 w+z u 0 (w) dθ = Re 2π 0 w−z  

) 1 w + z u 0 (w) = Re dw . 2 π i |w|=r w−z w Finalmente, la funci´on  

) ) 1 u 0 (w) z u 0 (w) 1 dw + dw G (z) = 2 π i |w|=r w − z 2 π i |w|=r w (w − z) es anal´ıtica C ∞ en C − {|w| = r}, ya que es la suma de una integral de tipo Cauchy con el producto de la funci´on id´entica con otra integral de ese tipo. Por lo que la funci´on u es arm´onica en el interior del disco {z  |z| < r}.

´n 2. Integracio

137

La soluci´on al problema de Dirichlet en el disco D(0, r) resuelve tambi´en el problema para otras regiones conformemente equivalentes, ya que usando la biyecci´on conforme se puede jalar la soluci´on a estos otros conjuntos. Cf. [12] p. 347. EJERCICIOS 2.5 1. Encuentre el valor m´aximo de la funci´on z → | sen z| en [0, 1] × [−1, 1] y diga en qu´e punto (o puntos) se alcanza. 2. Encuentre, integrando parciales, la funci´on arm´onica conjugada de la funci´on u(x + i y) = cos x cosh y. 3. Encuentre, integrando parciales, la funci´on arm´onica conjugada de la funci´on u(x + i y) = 14 x y + 2 y. 4. Calcule el valor m´aximo y m´ınimo de la funci´on u(x + iy) = 2(x 2 − y 2 ) + x en el conjunto [−2, 1] × [0, 1], y diga en qu´e punto (o puntos) se alcanzan estos valores. 5. Sea f una funci´on holomorfa en Δ = {z | |z| < 1}, tal que |f (z)| = 3 para toda z, demuestre que esta funci´on es constante. 6. Sea A una regi´on acotada y f, g funciones continuas de A en los complejos. Sup´ongase tambi´en que estas funciones son holomorfas en la regi´on y que coinciden en la frontera; pruebe que son iguales. 7. Demuestre que la funci´on u(x, y) = x 3 − 3 x y 2 es arm´onica en el plano complejo. 8. Pruebe que no existe una funci´on holomorfa f : Δ → Δ, tal que f (0) = 0 y f (z) = i, para alguna z ∈ Δ. 9. El teorema del mapeo de Riemann establece que si A es una regi´on simplemente conexa del plano complejo, y distinta de ´este, entonces A es conformemente equivalente a Δ. M´as a´ un, si f : A → Δ es una biyecci´on conforme, tal que manda un punto z 0 ∈ A al origen y f  (z 0 ) > 0, entonces f es u ´nica. Demuestre esta u ´ltima afirmaci´on.

Cap´ıtulo 3

Series y aplicaciones En este cap´ıtulo veremos que la analiticidad de una funci´on se puede definir en t´erminos de una serie de potencias convergente. Se desarrollar´an los importantes teoremas de Weierstrass, Taylor, Laurent y del residuo. Al final se aplica este u ´ltimo resultado para calcular integrales reales impropias y trigonom´etricas.

3.1.

Fundamentos y teorema de Weierstrass

Recordamos del primer cap´ıtulo que una sucesi´on compleja z n , n ∈ N, converge a z, si ∀ > 0 ∃ N, tal que si n > N , entonces |z n − z| < . 0 Definici´ on 32 Se dice que la serie infinita ∞ umeros complejos) k=1 a k (de n´ converge a s si0la sucesi´ on de sumas parciales (es decir, la sucesi´ on con t´erminos s n = nk=1 a k ) converge a s. Se escribir´a

∞ 

a k = s,

o simplemente



a k = s.

k=1

Se mencion´o tambi´en que el l´ımite de una sucesi´on es u ´nico y que una sucesi´on es convergente si y s´olo si es de Cauchy. En el caso de las series, esto se traduce en el importante criterio de convergencia que sigue. 0∞ Proposici´ on 3.1.1 (Criterio de Cauchy) La serie k=1 a k converge si y s´ olo si ∀ > 0 ∃ N, tal que si n ≥ N, se tiene  n+p       a k  < ∀ p = 1, 2, 3, . . . .    k = n+1

139

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

140

En particular, para p = 1 se obtiene un criterio u ´til de divergencia. 0∞ Corolario 3.1.2 Si k=1 a k converge, entonces a k → 0. 0∞ 1 El rec´ıproco del corolario no es cierto: la serie arm´onica n=1 n diverge (v´ease la Proposici´on 3.1.6), sin embargo n1 → 0, cuando n → ∞. Definici´ on 33 Se dice que la serie 0∞ serie k=1 |a k | converge. Proposici´ on 3.1.3 Si la serie converge.

0∞ k=1

0∞ k=1

a k converge absolutamente si la

a k converge absolutamente, entonces

´ n. Aplicando el criterio de Cauchy, dada > 0 existe N, tal Demostracio que si n > N , entonces  n+p  n+p       ≤ a |a k | < ∀ p ∈ N.  k   k = n+1

k = n+1

Usando de nuevo el criterio de Cauchy, esto implica que

0∞ k=1

a k converge. 

0 Obs´ervese la utilidad de esta proposici´on, ya que la serie ∞ k=1 |a k | es real y se pueden aplicar criterios de convergencia para series reales. A continuaci´on probamos varios de estos criterios a manera de repaso de los cursos de c´alculo. Proposici´ on 3.1.4 La serie geom´etrica real

0∞ k=0

r k converge a

1 , 1−r si |r| < 1, y diverge si |r| ≥ 1. ´ n. Escribiendo Demostracio s n = 1 + r + · · · + r n,

se sigue que r s n = r + r 2 + · · · + r n+1 ,

por lo cual s n − r s n = 1 − r n+1 , y sn =

1 − r n+1 . 1−r

3. Series y aplicaciones

141

Si |r| < 1, como r n+1 = ± e (n+1) log |r| → 0, cuando n → ∞, se tiene s n −→

1 . 1−r

Por otra parte, si |r| > 1, entonces |r n+1 | → ∞, y la serie diverge. Si r = 1, s n = n + 1 → ∞, y la serie tambi´en diverge. Finalmente, si r = −1, s n = 0 si n es impar y s n = 1 si n es par, por lo que la serie no converge.  Proposici´ on de series reales) Si la 0∞ on 3.1.5 (Prueba de la comparaci´ serie b k ≥ 0, y 0 ≤ a k ≤ b k , ∀ k ∈ N, entonces k=1 b k converge, donde 0 0∞ ∞ a tambi´ e n converge. Si k k=1 k=1 c k diverge, y 0 ≤ c k ≤ d k , se sigue 0∞ que la serie d tambi´ e n diverge. k k=1 0∞ ´ n. Aplicando el criterio de Cauchy, la serie Demostracio k=1 a k converge, ya que a k + · · · + a k+p ≤ b k + · · · + b k+p . Asimismo, si M > 0 existe 0j 0j j ∈ N, tal que on 0 creciente k=1 d k ≥ k=1 c k ≥ M (ya que una sucesi´ ∞ de n´ umeros positivos diverge si y s´olo si no es acotada), por lo que k=1 d k diverge.  Proposici´ on 3.1.6 (Prueba de las series p reales) La serie converge si p > 1, y diverge si p ≤ 1.

0∞ n=1

n−p

´ n. Si p ≤ 1, entonces n−1 ≤ n−p (puesto que n x es crecienDemostracio 0∞ 0∞ −p −1 diverge si la serie arm´onica es diverte), por lo que n=1 n n=1 n gente. Esta u ´ltima diverge, ya que como 1 1 2 1 1 + 3 4 1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 .. . 2n

1 1 1 + n + · · · + n+1 +1 2 +2 2

≥ 1 1 ≥ 2 1 1 1 ≥ + = 4 4 2 1 1 1 1 1 ≥ + + + = 8 8 8 8 2 .. .

 1 1 n ≥ 2 = , n+1 2 2

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

142

0∞ 1 al sumar las desigualdades, se sigue que n=1 n diverge a ∞. Ahora, si p > 1, como x p = e (log x) p es creciente

  1 1 1 1 1 1 1 s 2 k −1 = p + + + + + + 1 2p 3p 4p 5p 6p 7p

 1 1 1 +··· + + + · · · + (2 k−1 ) p (2 k−1 + 1) p (2 k − 1) p 2 2 k−1 1 1 ≤ 1 + p + · · · + k−1 p = 1 + p −1 + · · · + k−1 p k−1 −1 2 (2 ) 2 2 (2 ) (2 ) 1 1 1 1 = 1 + p−1 + p−1 2 + · · · + p−1 k−1 < 1 . 2 (2 ) (2 ) 1 − 2 p−1 

log

1



(p−1)

2 La u ´ltima desigualdad se sigue que (1/2) p−1 = e < 1. Por lo 0ya ∞ −p n est´ a n acotadas superiormente. En tanto las sumas parciales de n=1 0∞ −p consecuencia, converge.  n=1 n 0∞ N´otese que si serie de n´ umeros positivos decreciente, k=1 a k es una 0∞ 0∞ j j 2 a converge, entonces es decir, a n+1 ≤ a n ∀ n, y si 2 j=1 k=1 a k converge tambi´en. A este criterio se le llama prueba de la condensaci´on de Cauchy, esencialmente la prueba se sigue de las siguientes desigualdades:

a 1 ≤ a 1, a 2 + a 3 ≤ 2 a 2, a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ≤ 2 2 a 4,

etc´etera.

Proposici´ on 3.1.7 (Prueba de la raz´ on para series reales) Sup´ongase que    a n+1   l´ım  n→∞  a n  0∞ existe y es menor que 1, entonces k=1 a k converge absolutamente. Si el l´ımite es mayor que 1 la serie diverge, y si el l´ımite es 1 puede ocurrir cualquiera de las dos cosas. ´ n. Sea Demostracio

   a n+1   . r = l´ım  n→∞ an 

Si r < 1, tomando r  tal que r < r  < 1, existe N ∈ N, tal que si n ≥ N    a n+1      an  < r .

3. Series y aplicaciones

143

0 Esto implica que0|a N +p | < |a N | (r  ) p , y por comparaci´on ∞ p=1 |a N +p | con∞ verge, es decir, a converge absolutamente. k k=1 Si r > 1, sea r  tal que r > r  > 1, de nuevo existe N ∈ N, tal que si n>N    a n+1      an  > r p y |a N +p | > |a N | (r  )0 , por lo que |a N +p | no converge a 0, cuando p → ∞, ∞ diverge. y por consiguiente, k=1 a 0k ∞ 0∞ −p Finalmente, las series k=1 a k , a k = 1, ∀ k ∈ N, y n=1 n , p > 1, divergen y convergen, respectivamente, sin embargo

l´ım

n→∞

a n+1 = 1 y an

1 p

n (n + 1) p l´ım = l´ım = 1. n→∞ n→∞ n+1 1 np 

Proposici´ on 3.1.8 (Prueba de la ra´ız para series reales) Sup´ongase que  l´ım n |a n | n→∞

0∞ existe y es igual a r. Entonces, si r < 1 la serie k=1 a k converge absolutamente, si r > 1 la serie diverge y si el l´ımite es 1 ambas cosas pueden suceder. ´ n. Si r < 1, tomando r < r  < 1, existe N ∈ N, tal que si Demostracio 0∞ 1/n n > N , |a n | < r  , es decir, |a n | < (r  ) n , por lo cual k=1 a k converge absolutamente. Si r > 1, tomando r > r  > 1, existe N ∈ N, tal que si n > N , entonces |a n | 1/n > r  , y |a n | > (r  ) n , as´ı que l´ım |a n | = 0 y por consiguiente n→∞ 0∞ a diverge. k k=1 0∞ 1 Finalmente, la serie arm´onica diverge y la serie n=1 2 converge, pero n

 l´ım

n→∞

n

1 = l´ım n→∞ n

1 n

1 n

= l´ım



n→∞

e

1 log n n



= 1,

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

144 por la regla de L Hˆopital, y  1 n = l´ım l´ım n→∞ n→∞ n2

1 

e

1 (log n 2 ) n



= l´ım



n→∞

e

1 2 log n n



= 1. 

Regresamos al contexto de series complejas, a continuaci´on se describen los resultados b´asicos sobre convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones complejas de variable compleja. Definici´ on 34 Sea A ⊂ C y f n : A → C, n ∈ N, una sucesi´ on de funciones. Se dice que f n → f uniformemente en A, si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , entonces |f n (z) − f (z)| < ∀ z ∈ A. Definici´ on 0 35 Sea A ⊂ C y g k : A → C, k ∈ N, una sucesi´on de funciones. ∞ Se dice que k=1 g k (z) converge uniformemente a g, si ∀ > 0 existe N, tal que si n > N , entonces   n     g (z) − g(z)   < ∀ z ∈ A. k   k=1

f +

x → xn

f fk

f −

0

1

Figura 3.1: Convergencia uniforme y convergencia no uniforme La idea intuitiva de convergencia uniforme y no uniforme se puede observar en los ejemplos (de funciones reales) que aparecen en la Figura 3.1. En

3. Series y aplicaciones

145

nuestro contexto de funciones complejas de variable compleja, la convergencia uniforme se puede establecer en t´erminos de sucesiones de Cauchy como lo muestra el siguiente resultado. Teorema 3.1.9 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme) Si A ⊂ C, y f n : A → C, n ∈ N, g k : A → C, k ∈ N, son sucesiones de funciones. Entonces i) f n (z) converge uniformemente en A si y s´olo si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , se tiene |f n (z) − f n+p (z)| < , ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N; 0∞ ii) la serie de funciones en A si y k=1 g k (z) converge uniformemente 0n+p   s´olo si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , k=n+1 g k (z) < , ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N. ´ n. Basta probar la primera afirmaci´on, ya que la segunda es Demostracio 0 consecuencia de aplicar dicho resultado a las sumas parciales de ∞ k=1 g k (z). La prueba de la necesidad es casi inmediata, si f n → f uniformemente en A, ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , se tiene |f n (z) − f (z)| < /2 ∀ z ∈ A, lo que implica |f n (z) − f n+p (z)| ≤ |f n (z) − f (z)| + |f (z) − f n+p (z)| < ∀ z ∈ A. Para probar la suficiencia, n´otese que si el criterio de Cauchy es cierto, para cada z ∈ A existe l´ım n→∞ f n (z), cuando n → ∞, que denotamos por f (z). Este l´ımite siempre existe, ya que los complejos constituyen un campo completo, es decir, cualquier sucesi´on de Cauchy converge. Ahora, dada > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , entonces |f n (z) − f n+p (z)| < /2 ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N. Tambi´en, ∀ z ∈ A existe p z ∈ N, tal que |f (z) − f N +p z (z)| < /2, ya que f (z) = l´ım n→∞ f n (z). Por lo cual, si n > N y z ∈ A, se tiene |f (z) − f n (z)| ≤ |f (z) − f N +p z (z)| + |f N +p z (z) − f n (z)| < , y f n → f uniformemente en A.



3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

146

Como se mostr´o en el cap´ıtulo anterior, la convergencia uniforme es u ´til en la variable compleja. El siguiente resultado, que se generaliza a un contexto m´as amplio, es otra instancia donde se constata la importancia de la convergencia uniforme. Teorema 3.1.10 Sean f n : A → C, n ∈ N, una sucesi´on de funciones continuas que convergen uniformemente en A ⊂ C a una funci´on f , entonces f es continua. M´ as a´ un, si g k : A → C, k ∈ N, son funciones continuas y la 0∞ serie g (z) converge uniformemente en A a una funci´on g, entonces k k=1 g es continua. ´ n. Como la suma finita de funciones continuas es continua, Demostracio basta demostrar el teorema para sucesiones. Para esto, dada > 0 y un punto z 0 ∈ A, sea N ∈ N tal que |f N (z) − f (z)| < /3 ∀ z ∈ A. Tambi´en, como f N es continua en z 0 existe δ > 0, tal que si |z − z 0 | < δ, entonces |f N (z) − f N (z 0 )| < /3, Por consiguiente, si |z − z 0 | < δ, |f (z) − f (z 0 )| ≤ |f (z) − f N (z)|+|f N (z) − f N (z 0 )|+|f N (z 0 ) − f (z 0 )| < .  Probablemente el criterio m´as u ´til para detectar convergencia uniforme es el que establece el siguiente resultado. Teorema 3.1.11 (Prueba M de Weierstrass) Sea A ⊂ C y f n : A → C, n ∈ N, una sucesi´ on de funciones, sup´ ongase tambi´en que existe una sucesi´ on de reales no negativos M n , n ∈ N, que satisfacen i) |f n (z)| ≤ M n ii)

∞ 

∀ z ∈ A,

M n converge.

n=1

Entonces,

0∞ k=1

f k (z) converge de manera uniforme y absoluta en A.

3. Series y aplicaciones

147

0∞ ´ n. Como Demostraci o n=1 M n converge, dada > 0 existe N ∈ N, tal 0n+p que M
N y ∀ p ∈ N, por lo cual k k=n+1   n+p      f k (z) ≤    k = n+1

n+p 

|f k (z)| ≤

k = n+1

n+p 

M k < ∀ z ∈ A.

k = n+1

Es decir, las hip´otesis0del criterio de Cauchy se aplican (Proposici´on 3.1.9), 0∞ ∞ por lo que las series |f (z)| y f (z) convergen uniformemente k k k=1 k=1 en A.  A continuaci´on exhibimos un ejemplo donde se aplica la prueba M de Weierstrass. Consid´erese la serie ∞  zn f (z) = , n n=1

se afirma que f (z) converge uniforme y absolutamente en    D(0, r) = z ∈ C  |z| ≤ r , r < 1. Escribiendo f n (z) = z n /n, se tiene que en dicho disco cerrado |f n (z)| =

rn |z n | ≤ ≤ r n. n n

Denotando r n = M n , se sigue la afirmaci´on, ya que geom´etrica convergente.

0∞ k=1

M k es una serie

Es interesante observar que esta funci´on f (z), en contraste, no 0 converge ∞ xn uniformemente en Δ = {z ∈ C | |z| < 1}. Si as´ı fuera, la serie n=1 n converger´ıa uniformemente en [0, 1). Esto significa que para toda > 0 existe N ∈ N, tal que si n ≥ N , se tiene x n+1 x n+p xn + + ··· + < ∀ x ∈ [0, 1) y ∀ p ∈ N. n n+1 n+p Ahora, como la serie arm´onica diverge, existe p ∈ N, tal que 1 1 + ··· + > 2 . N N +p

(3.1)

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

148

Tambi´en existe x ∈ [0, 1), tal que x N +p > 12 (esto se sigue de la continuidad de la funci´on x → x m y el teorema del valor intermedio real). Juntando esta informaci´on se obtiene 

x N +p 1 xN 1 + ··· + > x N +p + ··· + >

N N +p N N +p (x n decrece cuando n → ∞), lo cual contradice (3.1). Sin embargo, obs´ervese que la funci´on f (z) es continua en Δ, puesto que ∀ z ∈ Δ existe r > 0, tal que z ∈ D(0, r), y en dicho disco hay convergencia uniforme; por lo que en virtud del Teorema 3.1.10, f es continua en una vecindad de z y por ende en Δ. De hecho, como veremos a continuaci´on, esta funci´on es holomorfa en el disco unitario. Es f´acil demostrar que una sucesi´on de funciones complejas definidas en una regi´on A de C converge a una funci´on f uniformemente en discos cerrados de A si y s´olo si converge uniformemente en compactos de A (ejercicio). Bajo estas hip´otesis se dice que la sucesi´on converge normalmente en A. El siguiente teorema es uno de los resultados m´as importantes de la variable compleja. Teorema 3.1.12 (Weierstrass) Sea A una regi´ on en C. i) Si f n , n ∈ N, es una sucesi´on de funciones anal´ıticas en A, tales as, que f n → f normalmente en A, entonces f es anal´ıtica. Adem´ f n  → f  normalmente en A. ii) Si g k , k ∈ es una sucesi´ on de funciones anal´ıticas en A, tales que 0N, ∞ la serie g (z) converge normalmente en 0 A, a una funci´on g, k k=1   entonces g es anal´ıtica en A. Adem´as, g (z) = ∞ k=1 g k (z) normalmente en A. Esta propiedad no es cierta en el caso real, pues convergencia uniforme no implica que la sucesi´on de las derivadas converja a la derivada de la funci´on l´ımite, por ejemplo, si f n (x) =

sen(n x) √ , n

se tiene que

f (x) = l´ım f n (x) = 0, n→∞

y es f´acil ver que la convergencia es uniforme en R. Sin embargo, √ f n  (x) = n cos(n x),

3. Series y aplicaciones

149

√ y f n  (0) = n no converge a f  (0) = 0. Para probar el teorema de Weierstrass se necesita un resultado adicional que establece un principio fundamental: bajo la hip´ otesis de convergencia uniforme, se pueden intercambiar los signos de l´ımite e integral. * * Teorema 3.1.13 ( l´ım = l´ım ) Sea γ : [a, b] → A una curva de clase C 1 por tramos, donde A es una regi´on en C. i) Si f n , n ∈ N, es una sucesi´on de funciones continuas definidas en γ que convergen uniformemente a una funci´on f en dicha curva, entonces

)  )  )  l´ım fn = f. l´ım f n = n→∞

γ

γ

n→∞

γ

ii) Si g k , k ∈0N, es una sucesi´on de funciones continuas definidas en γ, ∞ tales que k=1 g k (z) converge uniformemente en γ, entonces   )  ∞ ∞ )  g k (z) = g k (z) , γ

k=1

k=1

γ

es decir, la serie se puede integrar t´ermino a t´ermino. ´ n. Dada > 0 existe N , tal que si n > N , Demostracio |f n (z) − f (z)| < ∀ z ∈ γ, as´ı que

)  ) )       f n − f  =  (f n − f ) < (γ),     γ

γ

γ

por lo cual se sigue la primera parte del teorema. La prueba de la segunda parte se obtiene al aplicar i) a la sucesi´on de sumas parciales, ya que la integral es distributiva con respecto a una suma finita de funciones.  ´ n. [Del teorema de Weierstrass] Solo es necesario demostrar Demostracio i), ya que ii) se sigue de aplicar i) a la sucesi´on de sumas parciales, puesto que la derivada es distributiva con respecto a una suma finita de funciones. Primero demostraremos que f es holomorfa en A. Dada la convergencia uniforme esta funci´on es continua. Sea z 0 ∈ A y r ∈ R+ , tal que D(z 0 , r) est´e contenido en A. Como D(z 0 , r) es simplemente conexo, se sigue del

150

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

* teorema de Cauchy que γ f n = 0, para cualquier curva cerrada γ de clase C 1 por tramos en D(z 0 , r), y ∀ n ∈ N. Ahora, como f n → f uniformemente * en γ, se sigue del Teorema 3.1.13 que γ f = 0. Siendo esto cierto para cualquier curva con estas especificaciones, el teorema de Morera implica que f es holomorfa en D(z 0 , r). γ t z0 r w A

Figura 3.2: Prueba del teorema de Weierstrass Falta demostrar que f n  → f  uniformemente en discos cerrados. Hay que probar que dados > 0 y D(z 0 , r) ⊂ A, existe N ∈ N tal que si n > N , |f n  (z) − f  (z)| < ∀ z ∈ D(z 0 , r). Usando el Lema 2.3.11 se puede encontrar t > r, tal que D(z 0 , t) ⊂ A. Si se denota por γ la frontera del disco D(z 0 , t), usando la f´ormula integral de Cauchy se tiene ) 1 f n (w) − f (w)   f n (z) − f (z) = dw ∀ z ∈ D(z 0 , r). (3.2) 2 πi γ (w − z) 2 Obs´ervese que si w ∈ γ y z ∈ D(z 0 , r), |w − z| ≥ t−r (v´ease la Figura 3.2). Tambi´en, por la convergencia uniforme en discos cerrados, dado un n´ umero μ > 0, existe N ∈ N, tal que si n > N , se tiene |f n (u) − f (u)| < μ ∀ u ∈ D(z 0 , t).

3. Series y aplicaciones

151

Por consiguiente, se sigue de (3.2) que para toda z ∈ D(z 0 , r), si n > N , se tiene μ 1 μt |f n  (z) − f  (z)| ≤ 2πt = . 2 2 π (t − r) (t − r) 2 Finalmente, escribiendo

=

μt , (t − r) 2 

y despejando μ se sigue el resultado.

Obs´ervese que aplicando el teorema de Weierstrass repetidas veces se obtiene que fnk → f k uniformemente en discos cerrados. N´otese que el teorema de Weierstrass 0∞ non supone convergencia uniforme en la regi´on A. Por ejemplo, la serie n=1 z /n converge en Δ, pero no uniformemente; sin embargo, como converge uniformemente en D(0, r), r < 1, converge uniformemente en cualquier cerrado de Δ, por lo cual se aplica el teorema0 de Weierstrass 0∞ disco ∞ n n−1 y z /n es holomorfa en Δ. Adem´ a s su derivada es , la n=1 n=1 z cual converge uniformemente en discos cerrados de Δ. En algunos casos, el teorema de Weierstrass permite detectar si una serie de funciones representa una funci´on holomorfa, por ejemplo, la funci´on f (z) =

∞  zn n3 n=1

es anal´ıtica en Δ. Esto se sigue de dicho teorema, ya que si M n = 1/n 3 , 0∞ n=1 M n converge y  n z    < 1 ∀ z ∈ Δ, n3  n3 0∞ z n converge en forma absoluta y uniforme en Δ. M´as a´ un por lo que n=1 3 n

∞ ∞   n z n−1 z n−1 = . f (z) = n3 n2 n=1 n=1 

El teorema de Weierstrass establece la analiticidad de una funci´on muy importante en la teor´ıa de los n´ umeros, a saber, la funci´on ζ (zeta) de Riemann definida por ∞  n−z , ζ(z) = n=1

3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass

152

donde n−z = e−z log n y log denota la rama principal de logaritmo. Mostramos que esta funci´on es holomorfa en la regi´on A = {z ∈ C | Re z > 1} .



D

1

Figura 3.3: Dominio de analiticidad de la funcion zeta de Riemann Para probar esto, se toma D un disco cerrado en A y la distancia de D a la recta Re z = 1, v´ease la Figura 3.3. Si z = x + i y,  −z  n  = e−x log n = n−x . Ahora, si z ∈ D, x ≥ 1 + y |n−z | = n−x ≤ n−(1+) , puesto que 0∞la funci´on t → n t = e t log n es creciente. Escribiendo M n = n−(1+) , n=1 M n es una serie p convergente, por lo cual usando la prueba M de Weierstrass, 0∞ −z se tiene que converge en forma absoluta y uniforme en D. Se n=1 n sigue entonces del teorema de Weierstrass que la funci´on ζ de Riemann es holomorfa en A, M´as a´ un ζ  (z) = −

∞ 

(log n) n−z .

n=1

Adem´as, esta u ´ltima serie converge normalmente en A.

3. Series y aplicaciones

153

0

1 D



Figura 3.4: El dominio de analiticidad de la serie geom´etrica compleja es Δ Terminamos esta secci´on con un ejemplo. Calculamos  )  ∞ n dz. z |z| = 3/4

n = −2

Para encontrar el valor de la integral se toma D un disco cerrado en Δ, la , v´ease la Figura 3.4. Como distancia0de D al c´ırculo ∂Δ y M n = (1 − ) n0 ∞ ∞ n la serie M es convergente, se sigue que converge en forma n n=0 n=0 z absoluta y0 uniforme en D. Aplicando entonces el teorema de Weierstrass se ∞ n tiene que es holomorfa en Δ, y por lo tanto n=0 z    )  ) ) ∞ ∞  dz + z n dz = z n dz = 2 π i. z n = −2 n=0 |z| = 3/4

|z| = 3/4

|z| = 3/4

EJERCICIOS 3.1 1. Sean f n : [0, 1] → R, n ∈ N, las funciones dadas por f n (x) = x n , demuestre que estas funciones convergen puntualmente pero no uniformemente. 2. Demuestre que una sucesi´on de funciones complejas definidas en una regi´on A de C converge a una funci´on f uniformemente en discos cerrados de A si y s´olo si converge uniformemente en compactos de A.

3.2. Teorema de Taylor

154

0 1 3. Demuestre que g(z) = ∞ on holomorfa en la regi´on n=0 (z−1) n es una funci´  {z ∈ C  |z − 1| > 1}, calcule su derivada. 4. Pruebe que la sucesi´on z n = (−i) n + n1 , n ∈ N, no converge y que en cambio z n = (2 + i) nnn! , n ∈ N, s´ı es convergente. 0∞ −n cos (n z), demuestre que esta funci´on es holomorfa 5. Sea g(z) = n=1 e en la regi´on {z ∈ C | − 1 < Im z < 1}. Sugerencia: en discos cerrados, acotar superiormente las funciones de la serie con los t´erminos e−n  , donde

es la distancia del correspondiente disco a la frontera de la regi´on. 0 3 −z es holomorfa 6. Explique por qu´e la funci´on g(z) = ∞ n=1 7 i (log n) n en {z ∈ C  Re z > 1}. 0∞ i n 7. Demuestre que la serie n=1 e n converge. 0∞ zn 8. Sea g(z) = n=1 2 i 2n , demuestre que esta funci´on es holomorfa en z +1  el abierto {z ∈ C  |z| = 1}. Sugerencia: para el complemento del disco unitario acotar superiormente en discos cerrados los t´erminos de la serie por funciones de la forma zkn , donde k es un real positivo apropiado al disco en cuesti´on. 0 1 on es holomorfa en 9. Sea g(z) = ∞ n=1 (2 − 3 i) n ! z n , pruebe que esta funci´ * C − {0}. Calcule la integral |z|=2 g. 0∞ i n 10. Pruebe que la serie n=1 n converge, pero no absolutamente. Sugerencia: usar el criterio de las series alternantes de los cursos de c´alculo.

3.2.

Teorema de Taylor

En esta secci´on demostraremos que f es anal´ıtica si y s´olo si f se puede expresar localmente como una serie de potencias, llamada serie de Taylor, la cual es de la forma ∞  f n (z 0 ) (z − z 0 ) n . f (z) = n ! n=0 Esta propiedad es otra instancia donde el c´alculo real es distinto del complejo. Por ejemplo, la funci´on $ −2 e−x si x = 0, f (x) = 0 si x = 0,

3. Series y aplicaciones

155

es de clase C ∞ real y f k (0) = 0, ∀ k ∈ N (ejercicio); sin embargo, f no es id´enticamente 0 cerca de 0, por lo que f no tiene una expansi´on en series de Taylor alrededor del origen. Definici´ on 36 Una serie de potencias compleja es una serie de la forma ∞ 

a n (z − z 0 ) n ,

donde z 0 ∈ C

y an ∈ C

∀ n.

n=0

El resultado que sigue es muy importante, esencialmente dice que si una serie de potencias converge en un punto espec´ıfico, entonces converge hacia dentro de dicho punto de manera normal y absoluta. Lema 3.2.1 (Abel) Si para alg´ un complejo z 1 la serie de potencias ∞ 

a n (z − z 0 ) n

n=0

converge, entonces dicha serie converge de manera normal y absoluta en D (z 0 , |z 1 − z 0 |). ´ n. Sea r 1 = |z 1 −z 0 |, se tiene que como |a n | r1n → 0, cuando Demostracio n → ∞, dicha sucesi´on est´a acotada, digamos por un real positivo M . Ahora, si r < r 1 , basta probar que la serie converge de manera absoluta y uniforme en D(z 0 , r), ya que cualquier disco cerrado en D(z 0 , r 1 ) est´a contenido en uno de estos otros discos centrados en z 0 . Para probar esto sea

Mn = M como

r r1

< 1,

0∞ n=0

r r1

n ,

M n converge. Adem´as, en D(z 0 , r),

|a n (z − z 0 ) n | ≤ |a n | r n = |a n |

r n r1n ≤ M r1n

r r1

n

por lo que la prueba M de Weierstrass implica el resultado.

= M n, 

El siguiente teorema establece un resultado fundamental: cualquier serie de potencias converge dentro de un c´ırculo y diverge fuera de ´este.

3.2. Teorema de Taylor

156

0 n Teorema 3.2.2 (Radio de convergencia) Sea ∞ n=0 a n (z−z 0 ) una serie de potencias, entonces existe un n´ umero R ∈ [0, ∞], llamado radio de convergencia, tal que si |z − z 0 | < R la serie converge, y si |z − z 0 | > R la serie diverge. La convergencia es normal y absoluta en D(z 0 , R). umero R Al c´ırculo |z − z 0 | = R se le llama c´ırculo de convergencia, y al n´ se le llama radio de convergencia. ´ n. Sea Demostracio  ∞ $ 1    n R = sup r ≥ 0  |a n | r converge .  n=0

Se afirma que R es el radio de convergencia.

0∞ n tal que r < r 1 < R y Dada r < R, existe r 1 0 n=0 |a n | r1 converge, ∞ n esto quiere decir que la serie n=0 a n (z 0 +r 1 −z 0 ) converge absolutamente y por0lo tanto tambi´en es convergente. Se sigue entonces del lema de Abel ∞ n que converge en forma absoluta y uniforme en D(z 0 , r). n=0 a n (z − z 0 ) 0 n Ahora, si |z 2 − z 0 | > R y la serie ∞ n=0 a n (z 2 −z 0 ) converge. Escribiendo r 2 = |z 2 − z 0 | y tomando R < s < r 2 , se sigue del lema de Abel que 0 ∞ n en D(z 0 , s). En n=0 a n (z − z 0 ) converge de manera uniforme 0 y absoluta n |a | s converge, lo cual particular, si z = z 0 + s, se tiene que la serie ∞ n n=0 contradice la definici´on de R. Finalmente, como la convergencia es uniforme en D(z 0 , r) ∀ r < R, tambi´en lo es en cualquier disco cerrado de D(z 0 , R).  N´otese que el teorema anterior conlleva on, por ejemplo, 0∞ mucha informaci´ n a (z − 3) converge en z = 1, si una serie de potencias de la forma n n=0 entonces no puede divergir en z = 4, ya que por el lema de Abel el radio de convergencia es mayor o igual a 2, por lo que la serie debe ser convergente para z = 4. Tambi´en, este resultado del radio de convergencia junto con el teorema de Weierstrass tienen como corolario casi inmediato el siguiente hecho. Teorema 3.2.3 (Las series de potencias son holomorfas) La serie de potencias ∞  a n (z − z 0 ) n n=0

es holomorfa en el interior del c´ırculo de convergencia.

3. Series y aplicaciones

157

´ n. El resultado se sigue de que las funciones a n (z − z 0 ) n son Demostracio enteras.  El teorema de Weierstrass permite tambi´en derivar t´ermino a t´ermino, y expresar los coeficientes de la serie con los valores de las derivadas de la funci´on en z 0 . 0∞ n Teorema 3.2.4 (Coeficientes de Taylor) Sea f (z) = n=0 a n (z−z 0 ) una serie de potencias, R el radio de convergencia y z ∈ D(z 0 , R), entonces an

f n (z 0 ) = n!



y f (z) =

∞ 

n a n (z − z 0 ) n−1 .

n=1

M´ as a´ un, el radio de convergencia de esta nueva serie es tambi´en R. A estos coeficientes se les llama de Taylor ´ n. Por el teorema de Weierstrass, Demostracio f  (z) =

∞ 

n a n (z − z 0 ) n−1

∀ z ∈ D(z 0 , R).

n=1

 c 0∞ n−1 Si n a (z − z ) converge, donde z ∈ D(z , R) , se tendr´ıa n 1 0 1 0 n=1 n−1 que la sucesi´on n |a n | r1 , n ∈ N, estar´ıa acotada, donde r 1 = |z 1 − z 0 |. Esto implica que la sucesi´on |a n | r1n , n ∈ N,0 tambi´en est´a acotada Se sigue ∞ n converge en entonces de la prueba del lema de Abel que n=0 a n (z − z 0 ) D(z 0 , r 2 ), donde r1 > r2 > R, lo cual contradice0la definici´on de R. Por ∞ n−1 consiguiente, el radio de convergencia de la serie es n=1 n a n (z − z 0 ) de nuevo R. Para demostrar la primera parte, se eval´ u0 a la serie y sus derivadas en z 0 : ∞ n−2 f (z 0 ) = a 0 , f  (z 0 ) = a 1 , como f  (z) = , n=2 n (n − 1) a n (z − z 0 )  se tiene f (z 0 ) = 2 ! a 2 . Iterando el proceso de derivar la serie de potencias, inductivamente se sigue que f k (z) =

∞ 

n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1) a n (z − z 0 ) n−k ,

n=k

y evaluando en z 0 se obtiene f k (z 0 ) = k ! a k .



Los criterios de la raz´on y de la ra´ız reales se pueden adaptar a criterios para encontrar el radio de convergencia de series de potencias complejas.

3.2. Teorema de Taylor

158

Teorema 3.2.5 (Criterios de la raz´ on y de la ra´ız) Sea R el radio de 0∞ n convergencia de a (z − z ) . n 0 n=0 |a n | existe, o es ∞, entonces dicho l´ımite es |a n+1 | ⎧ ⎪ ⎨1/ρ  n |a n | existe, o es ∞, entonces R = 0 ii) Si l´ım n→∞ ⎪ ⎩ ∞  n donde ρ = l´ım |a n | i) Si l´ım

n→∞

R. si ρ = 0, ∞, si ρ = ∞, si ρ = 0,

n→∞

´ n. Como se vio en la demostraci´on del Teorema 3.2.2, el radio Demostracio de convergencia est´a dado por  $ 1 ∞    n R = sup r ≥ 0  |a n | r < ∞ .  n=0

|a n | n→∞ |a n+1 |

Para probar i) escribimos L = l´ım

y consideramos primero el caso 0∞ n 0 < L < ∞. Aplicamos el criterio de la raz´on real a la serie n=0 |a n | r . Si 0 < r < L, entonces l´ım

n→∞

|a n+1 | r n+1 r < 1, = n |a n | r L

0∞ n y por lo tanto la serie converge. En cambio, si L < r, dicho n| r n=0 |a 0 ∞ n l´ımite es mayor a 1 y la serie |a diverge. Para el caso L = ∞ se n| r n=0 tiene que ∀ r |a n+1 | r n+1 = 0, (3.3) l´ım n→∞ |a n | r n y la serie converge en todo el plano. En contraste, si L = 0 para cualquier valor r, el l´ımite en (3.3) es ∞. Por lo tanto, R, el radio de convergencia, es L en todos los casos. Para 0∞probar ii)n consideramos primero el caso ρ ∈ (0, ∞). Se tiene que la converge o diverge, conforme a que serie n=0 |a n | r l´ım

n→∞

 n |a n | r

(3.4)

3. Series y aplicaciones

159

 sea menor o mayor que 1, respectivamente. Como l´ımn→∞ n |a n | = ρ, esto equivale a decir que ρ r sea menor o mayor a 1, esto es, r < 1/ρ, o r > 1/ρ, por lo que 1/ρ es el radio de convergencia. Si ρ = 0, el l´ımite en (3.4) es 0 ∀ r y R = ∞. En cambio, si ρ = ∞, dicho l´ımite es ∞ ∀ r y R = 0.  El criterio de la ra´ız para series de potencias se puede enunciar de tal manera que se aplica a cualquier caso. el radio de conver0∞Espec´ıficamente, n a (z − z ) est´ a dado por 1/ρ, gencia R de la serie de potencias 0 n=0 n donde  ρ = l´ım sup n |a n |  y l´ım sup es el supremo de los puntos de acumulaci´on de la sucesi´on n |a n |, n ∈ N. Esta f´ormula se le atribuye a Hadamard, la prueba queda como ejercicio para el lector, alternativamente se puede consultar en [1] p. 39. A continuaci´on 0 mostramos unos ejemplos. ∞ n tiene radio de convergencia 1, puesto que a n = 1 La serie n=0 z ∀ n ∈ N, y |a n | l´ım = 1. n→∞ |a n+1 | 0 zn Por otra parte, la serie ∞ n=0 n ! tiene radio de convergencia ∞, es decir, es una funci´on entera, ya que a n = 1/n ! y |a n | = l´ım (n + 1) = ∞. n→∞ |a n+1 | n→∞ 0∞ En contraste, la serie n=0 2 n ! z n tiene radio de convergencia 0, puesto que |a n | 1 l´ım = l´ım = 0. n→∞ |a n+1 | n→∞ n + 1 0∞ z n ız, se tiene que Para la serie n=0 n n aplicamos el criterio de la ra´  1 1 n l´ım = 0, = l´ım n n→∞ n→∞ n n l´ım

por lo que el radio de convergencia es ∞, y la serie representa una funci´on entera. Se prob´o que una serie de potencias es una funci´on holomorfa en el disco de convergencia. El resultado rec´ıproco tambi´en se cumple, es decir, cualquier funci´on holomorfa es representable localmente por una serie de potencias, por lo que ambas propiedades son equivalentes.

3.2. Teorema de Taylor

160

Teorema 3.2.6 (Taylor) Sea f holomorfa en una regi´on A, tal que el disco D(z 0 , r) ⊂ A, entonces ∀ z ∈ D(z 0 , r) f (z) =

∞  f n (z 0 ) (z − z 0 ) n . n ! n=0

A esta serie se le llama serie de Taylor. Por ejemplo, la funci´on exponencial f (z) = e z es entera y ∀ n ∈ N se tiene f n (z) = e z , en particular f n (0) = 1, y ∞  zn ∀z ∈ C. ez = n! n=0 Antes de probar el teorema de Taylor se necesita un lema y una observaci´on. 0∞

Lema 3.2.7 La serie de potencias absoluta en Δ a

n=0

z n converge de manera normal y

1 . 1−z En particular, la serie converge uniformemente en los c´ırculos |z| = r, donde r < 1. ´ n. Como ya se mencion´o, el radio de convergencia de esta Demostracio serie es 1, por lo tanto se sigue la primera parte del lema. Para calcular el l´ımite, n´otese que la misma prueba usada para la serie geom´etrica real, muestra que 1 − z n+1 sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n = , 1−z por lo cual l´ım s n = l´ım

n→∞

n→∞

1 1 − z n+1 = , 1−z 1−z

 ya que |z n+1 | = |z| n+1 → 0, cuando n → ∞. 0∞ Por otra parte, n´otese que si n=0 g n (z) converge uniformemente en un subconjunto A de C y ϕ : A → C es una funci´on 0 acotada, entonces 0∞ ∞ n=0 ϕ(z) g n (z) converge uniformemente en A a ϕ(z) n=0 g n (z). Esto es cierto, ya que si |ϕ(z)| < M ∀ z ∈ A, entonces en virtud del criterio de

3. Series y aplicaciones

161

Cauchy para convergencia uniforme se sigue que dada > 0 ∃ N , tal que si n > N , se tiene |ϕ(z) g n (z) + · · · + ϕ(z) g n+p (z))| = |ϕ(z)| |g n (z) + · · · + g n+p (z)|

≤ M = ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N. M ´ n. [Del teorema de Taylor)] Sea t > r tal que D(z 0 , t) ⊂ A, Demostracio y γ(θ) = z 0 + t e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π. Por la f´ormula integral de Cauchy, si z ∈ D(z 0 , t), entonces 1 f (z) = 2πi

) γ

f (w) dw. w−z

Ahora se aplica el truco de Taylor, esto es, 1 1 1

= = w−z w − z 0 − (z − z 0 ) (w − z 0 )

1  z − z0 1− w − z0 n ∞  1 z − z0 = . w − z0 n=0 w − z0

Usando el Lema 3.2.7, se observa que para z fijo esta serie converge uniformez−z 0 mente en γ, ya que al variar w , los valores w−z est´an todos en un c´ırculo 0 conc´entrico al origen de radio menor a 1, v´ease la Figura 3.5. f (w) , w ∈ γ, est´a acotada, ya que es continua Ahora, la funci´on w → w−z 0 en un compacto. Por lo que se sigue de la observaci´on previa a la prueba que ∞  f (w) (z − z 0 ) n (w − z 0 ) n+1 n=0

converge uniformemente en γ a ⎛ f (w) ⎜ ⎜ w − z0 ⎝

⎞

1−

⎟ 1 f (w) ⎟ . = ⎠ z − z0 w−z w − z0

3.2. Teorema de Taylor

162

La convergencia uniforme permite aplicar el Teorema 3.1.13 y se tiene ) γ

f (w) dw = w−z

 )  ∞ f (w) (z − z 0 ) n dw (w − z 0 ) n+1 γ n=0 =

∞ ) 

n=0

γ

f (w) (z − z 0 ) n dw. (w − z 0 ) n+1

Finalmente, la f´ormula integral de Cauchy para la n-´esima derivada implica que ∀ z ∈ D(z 0 , t) 1 f (z) = 2πi

) γ

) ∞  f (w) (z − z 0 ) n f (w) dw = dw n+1 w−z 2πi γ (w − z 0 ) n=0 =

∞ 

(z − z 0 ) n

n=0

f n (z 0 ) . n!

En particular, la f´ormula de Taylor se cumple ∀ z ∈ D(z 0 , r).



w

z0

z γ A

Figura 3.5: Prueba del teorema de Taylor Obs´ervese que se sigue del teorema de Taylor y del Teorema 3.2.3 que si A es una regi´on en C y f : A → C es una funci´on, entonces f es anal´ıtica en A si y s´olo si ∀ z 0 ∈ A se tiene que si D(z 0 , r) ⊂ A, entonces f D(z 0 , r) es representable como una serie de potencias. N´otese que esta afirmaci´on es

3. Series y aplicaciones

163

v´alida, incluso si D(z 0 , r) no est´a contenida en la regi´on A (ejercicio). Tambi´en, es muy importante destacar que la representaci´on en series de Taylor es u ´nica (ya que los coeficientes, llamados de Taylor, est´an determinados por las derivadas de la funci´on en el punto z 0 ). A continuaci´on mostramos un ejemplo. Usando la rama principal de logaritmo, calculamos la serie de Taylor de f (z) = log(1 + z) alrededor del 0. Esta funci´on es holomorfa en C − {z ∈ C | Re z < −1, Im z = 0} , por lo que el radio de convergencia es mayor o igual a 1. Ahora, f  (z) =

1 , z+1

−1 , (z + 1) 2

f  (z) =

f 3 (z) =

2 ! (−1) 2 , (z + 1) 3

e inductivamente se tiene f n (z) =

(n − 1) ! (−1) n−1 , (z + 1) n

ya que derivando esta u ´ltima expresi´on se tiene f n+1 (z) =

n(n − 1) ! (−1)(−1) n−1 n ! (−1) n = . n+1 (z + 1) (z + 1) n+1

Por lo cual, f (0) = log(1) = 0, f  (0) = 1, f  (0) = −1 y f n (0) = (n − 1) ! (−1) n−1 , y la serie de Taylor est´a dada por log(1 + z) =

∞ ∞   (n − 1) ! (−1) n−1 n zn z = . (−1) n−1 n! n n=1 n=1

0 1 Por u ´ltimo, si z = −1, la serie est´a dada por − ∞ n=0 n , la cual diverge, y por consiguiente el radio de convergencia es exactamente 1. Terminamos esta secci´on mostrando que la series de potencias se pueden multiplicar de manera similar a los polinomios. Espec´ıficamente, si f y g son funciones anal´ıticas en D(z 0 , r) y f (z) =

∞  n=0

a n (z − z 0 ) , n

g(z) =

∞  n=0

b n (z − z 0 ) n

3.2. Teorema de Taylor

164

son sus representaciones en series de potencias, entonces  n  ∞   f (z) g(z) = a k b n−k (z − z 0 ) n ∀ z ∈ D(z 0 , r). n=0

(3.5)

k=0

Para probar esto, primero generalizamos la regla de Leibnitz. Se afirma que n   n n (f g) (z) = f k (z) g n−k (z), k k=0 donde f 0 = f y g 0 = g. Esto se demuestra inductivamente. El caso n = 1 es la muy conocida regla de Leibnitz. Ahora, suponiendo v´alida la f´ormula para n − 1, es decir,  n−1  n−1 n−1 (z) = f k (z) g n−1−k (z), (f g) k k=0 se tiene derivando que (f g) n (z) es igual a   n−1 n−1   n−1 n−1 k+1 n−1−k (z) g (z) + f f k (z) g n−k (z) k k k=0 k=0   n n−1   n−1 n−1 k n−k (z) + f (z) g f k (z) g n−k (z) = k − 1 k k=1 k=0 n−1   n f k (z) g n−k (z) + f n (z) g(z) + f (z) g n (z), = k k=1 lo cual prueba la afirmaci´on. Finalmente, probamos (3.5). Usando la afirmaci´on y los coeficientes de Taylor, se tiene que n  1  n (f g) n (z 0 ) = f k (z 0 ) g n−k (z 0 ) n! n ! k=0 k =

n n   f k (z 0 ) g n−k (z 0 ) = a k bn−k . k! (n − k) ! k=0 k=0 3

z alrededor de 0. Como aplicaci´on encontramos la serie de Taylor de z−1 0 ∞ 1 n Se demostr´o que si |z| < 1, 1−z = n=0 z , y por la unicidad de la serie

3. Series y aplicaciones

165

de Taylor, ´esta es precisamente Por lo tanto, usando (3.5) se tiene  1 su  serie. que la serie de Taylor de − 1−z z 3 est´a dada por −

∞ 

z n.

n=3

Si z = 1, esta serie diverge, por lo que el radio de convergencia es 1. Como un segundo ejemplo calculamos los primeros t´erminos de la serie ez . Usando (3.5), se tiene de Taylor, alrededor del 0, de la funci´on 31−z 

  3 ez z2 z3 2 3 = 3 1 + z + z + z + ··· + + ··· 1+z+ 1−z 2! 3!

2  3   z z3 z = 3 1 + (z + z) + + z2 + z2 + + + z3 + z3 + ··· . 2 6 2 EJERCICIOS 3.2 −2

1. Demuestre que la funci´on f : R → R definida por f (x) = e−x , si x = 0, y f (0) = 0, es de clase C ∞ real y que f k (0) = 0, ∀ k ∈ N. 2. Demuestre que se pueden debilitar las hip´otesis del lema de Abel, suponiendo solamente que la sucesi´on |a n | r1n , n ∈ N, est´a acotada. 0 n 3. Diga por qu´e si una serie de potencias de la forma ∞ n=0 a n (z − (i + 1)) converge en z = 0, entonces no puede divergir en z = i. 0∞ n 4. Demuestre que el radio de convergencia de la serie n=0 a n (z − z 0 )  n est´a dado por 1/ρ, donde ρ = lim sup |a n |. 0∞ n 5. Encuentre el radio de convergencia de las siguientes series: n=0 2 n z , 0∞ z n 0∞ z3n n=0 2 n y n=0 (27) n . 6. Demuestre que si A es una regi´on en C, f : A → C es una funci´on holomorfa y D(z 0 , r) ⊂ A, entonces f D(z 0 , r) es representable como una serie de potencias convergente en dicho disco. 7. Encuentre las series de Taylor de las funciones sen z y cos z alrededor del origen, y pruebe formalmente que ´estas son en efecto dichas expansiones. 8. Sea w ∈ C, w = 0. Encuentre la expansi´on de Taylor de la funci´on z → z w , definida por la rama principal, alrededor de 1. 9. Encuentre la serie de Taylor de la funci´on z → cos(z 3 ) + 2 alrededor del origen.

166

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

10. Encuentre los primeros tres t´erminos de las series de Taylor de las funciones: z → (cos z) e 2 z alrededor de π/2, y z → tan z alrededor del origen. Sugerencia: usar (3.5). 11. Sea A una regi´on en C, f : A → C una funci´on holomorfa y D(z 0 , r) el mayor disco abierto, centrado en z 0 , contenido en la regi´on A. Demuestre que si la funci´on f no est´a acotada en D(z 0 , r), entonces r es el radio de convergencia de la serie de Taylor para esta funci´on alrededor de z 0 . 12. Exhiba una funci´on f que sea holomorfa en una regi´on A, tal que no se pueda extender a otra funci´on holomorfa definida en una regi´on mayor (que contenga a A), y con la propiedad de que para un punto z 0 ∈ A, el disco de convergencia de la serie de Taylor definida por f, alrededor de dicho punto, no est´a contenido en A. Sugerencia: usar la rama principal de logaritmo y el punto −1 + i, recu´erdese que las distintas ramas s´olo difieren por constantes. 13. Derivando la serie geom´etrica encuentre la expansi´on de Taylor de la funci´on (1 − z)−3 alrededor del origen.

3.3.

Series de Laurent, singularidades aisladas

En esta secci´on se discute el caso en que una funci´on f es anal´ıtica en un anillo; se muestra que esta funci´on tiene una expansi´on en series, llamadas de Laurent. El caso particular en que el anillo es de la forma D(z 0 , r) − {z 0 }, es muy importante, ya que el an´alisis de la singularidad z 0 permite aplicar la teor´ıa al c´alculo de integrales impropias reales, como se mostrar´a al final del cap´ıtulo. Primero se establece un lema dual al de Abel. on de n´ umeros Lema 3.3.1 (Dual de Abel) Sea b n , n ∈ N, una sucesi´ complejos. Si la serie ∞  bn (3.6) (z − z 0 ) n n=0 converge en un punto z 1 , entonces la serie converge de manera absoluta en    z ∈ C  r 1 < |z − z 0 | , donde r 1 = |z 1 − z 0 |. M´ as a´ un, converge uniformemente en los conjuntos    z ∈ C  r ≤ |z − z 0 | , r > r 1 .

3. Series y aplicaciones

167

γ2 γ1

z z0

z0 + r1

z0 + r2

Figura 3.6: Prueba del teorema de Cauchy para el anillo N´  el lema implica  otese que  que la serie converge normalmente en el conjunto z ∈ C  r1 < |z − z 0 | . ´ n. Como la serie converge en el punto z 1 , la sucesi´on |br nn| , Demostracio 1 n ∈ N, est´a acotada por un n´ umero M. Basta probar que si r > r 1 , la serie (3.6) converge de manera absoluta y uniforme en    z ∈ C  r ≤ |z − z 0 | . Esto se sigue de la prueba M de Weierstrass, ya que    n n   bn  ≤ |b n | = |b n | r1 ≤ M r 1 .   (z − z 0 ) n  rn r1n r n r  Otro ingrediente necesario para probar el teorema de Laurent es una f´ormula similar a la integral de Cauchy, la cual se cumple en una regi´on anular. Este resultado permite expresar la funci´on en t´erminos de dos integrales que, como se ver´a posteriormente, una representa una funci´on holomorfa hacia adentro del anillo, y la otra, una funci´on holomorfa hacia afuera del anillo.

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

168

Lema 3.3.2 (F´ ormula de Cauchy para el anillo) Sea f holomorfa en el anillo    A = z ∈ C  r 1 < |z − z 0 | < r 2 , y γ j (θ) = z 0 + t j e i θ , j = 1, 2, donde r 1 < t 1 < t 2 < r 2 , y θ ∈ [0, 2 π]. Entonces ∀ z ∈ C tal que t 1 < |z − z 0 | < t 2 , se tiene ) ) 1 f (w) f (w) 1 dw − dw. f (z) = 2 π i γ2 w − z 2 π i γ1 w − z ´ n. Dada z fija en el anillo determinado por γ 1 y γ 2 (v´ease Demostracio la Figura 3.6), se define ⎧ f (w) − f (z) ⎪ ⎪ si w = z, ⎨ w−z g(w) = ⎪ ⎪ ⎩ f  (z) si w = z. Puesto que g es anal´ıtica en A − {z} y continua en A, g es holomorfa en A (en virtud del Corolario 2.4.9). Ahora, como γ 1 es homot´opica a γ 2 en A, se sigue que ) ) g(w) dw − γ2

g(w) dw = 0, γ1

esto es, ) ) ) ) f (w) dw f (w) dw dw − f (z) − dw + f (z) = 0. w − z w − z w − z w −z γ2 γ2 γ1 γ1 Como el segundo sumando es −f (z) 2 π i y el cuarto es 0 (por el teorema de Cauchy), esta igualdad establece el lema.  Teorema 3.3.3 (Laurent) Sea f holomorfa en el anillo A = {z ∈ C | r 1 < |z − z 0 | < r 2 } . Entonces ∀ z ∈ A se tiene ∞ ∞   f (z) = a n (z − z 0 ) n + n=0

n=1

bn , (z − z 0 ) n

(3.7)

la convergencia es absoluta en A y uniforme en subanillos de A de la forma    A ss 21 = z ∈ C  s 1 ≤ |z − z 0 | ≤ s 2 , donde r 1 < s 1 < s 2 < r 2 .

3. Series y aplicaciones

169

γ2

γ1

A z0 ASS21

Figura 3.7: Prueba del teorema de Laurent A la serie descrita en (3.7) se le llama de Laurent. ´ n. Sean r 1 < t 1 < s 1 , s 2 < t 2 < r 2 y γ 1 y γ 2 como en Demostracio el Lema 3.3.2. Tomando z ∈ Int γ 2 fija y w ∈ γ 2 , se sigue de la misma manera que en la prueba del teorema de Taylor que n ∞ ∞   1 1 (z − z 0 ) n z − z0 = = , w−z w − z0 n=0 w − z0 (w − z 0 ) n+1 n=0 y

∞  f (w) (z − z 0 ) n = f (w) w−z (w − z 0 ) n+1 n=0

uniformemente en γ 2 . Por consiguiente 1 2πi

)

∞ ) f (w) (z − z 0 ) n 1  dw = f (w) dw 2 π i n = 0 γ 2 (w − z 0 ) n+1 γ2 w − z 

) ∞ f (w) 1  = (z − z 0 ) n dw . n+1 2 π i n=0 γ 2 (w − z 0 )

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

170 Escribiendo

1 = 2πi

an se obtiene 1 2πi

) γ2

) γ2

f (w) dw, (w − z 0 ) n+1

∞  f (w) dw = a n (z − z 0 ) n . w−z n=0

(3.8)

Como la serie converge ∀ z ∈ Int γ 2 , se sigue del lema de Abel que tambi´en converge en forma absoluta y uniforme en A ss 21 , ya que este anillo est´a contenido en el disco D(z 0 , t 2 ). Por otra parte, si z es un punto fijo en el exterior de γ 1 y w ∈ γ 1 , entonces 1 1 −1

= = w−z z − z 0 − (w − z 0 ) (z − z 0 )

1  w − z0 1− z − z0

n ∞ ∞   1 (w − z 0 ) n w − z0 = = . z − z0 n=0 z − z0 (z − z 0 ) n+1 n=0 N´otese que en esta u ´ltima serie la convergencia es uniforme en γ 1 , y por consiguiente se puede integrar la serie t´ermino a t´ermino, obteni´endose  ) )  ∞ −1 1 f (w) (w − z 0 ) n dw = f (w) dw 2 π i γ1 w − z 2 π i γ 1 n = 0 (z − z 0 ) n+1 1 = 2πi

=



)

∞  n=1

γ1

1 2πi

 ∞  (w − z 0 ) n−1 f (w) dw (z − z 0 ) n n=1

* γ1

f (w) (w − z 0 ) n−1 dw (z − z 0 ) n

.

Obs´ervese que los numeradores de los t´erminos de esta u ´ltima serie son constantes y no dependen de z. Por lo cual, escribiendo ) 1 f (w)(w − z 0 ) n−1 dw, bn = 2 π i γ1

3. Series y aplicaciones

se tiene que −1 2πi

171

) γ1

∞  f (w) bn dw = . w−z (z − z 0 ) n n=1

(3.9)

Esta u ´ltima serie converge ∀ z ∈ Ext γ 1 , por lo que se sigue del Lema 3.3.1 que la convergencia es uniforme y absoluta en conjuntos de la forma    z ∈ C  |z − z 0 | ≥ s, s > t 1 . En particular, tambi´en converge de esta manera en el anillo cerrado A ss 21 . Finalmente, aplicando el teorema de Cauchy para el anillo y las identidades (3.8) y (3.9) se obtiene que f (z) =

∞ 

a n (z − z 0 ) n +

n=0

∞  n=1

bn , (z − z 0 ) n

de manera absoluta en el anillo A, y uniforme en subanillos A ss 21 (ya que cualquier punto de A pertenece a uno de estos subanillos cerrados).  Corolario 3.3.4 (Unicidad de la expansi´ on de Laurent) Sea f holomorfa en el anillo A = {z ∈ C | r 1 < |z − z 0 | < r 2 }, sup´ongase tambi´en que f (z) =

∞  n=0

an (z − z 0 ) n +

∞  n=1

bn (z − z 0 ) n

∀z ∈ A,

(3.10)

donde ambas series convergen independientemente. Entonces ) ) f (w) 1 1 dw y b n = f (w) (w − z 0 ) n−1 dw, an = 2 π i γ (w − z 0 ) n+1 2πi γ donde γ(θ) = z 0 + r e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π y r 1 < r < r 2 . N´otese que lo que dice este resultado es que la serie de Laurent es u ´nica, es decir, solo depende de la funci´on f, del punto z 0 y de los radios del anillo. A los n´ umeros a n y b n se les llama coeficientes de Cauchy. ´ n. Por el lema de Abel y su dual, las series en (3.10) convergen Demostracio uniformemente en γ, por lo que tambi´en lo hacen las series ∞ ∞   bn f (z) n−(k+1) = a n (z − z 0 ) + . k+1 (z − z 0 ) (z − z 0 ) n+k+1 n=0 n=1

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

172

Si k ≥ 0, integrando t´ermino a t´ermino se tiene ) f (z) dz = 2 π i a k . k+1 γ (z − z 0 ) Tambi´en, si k < 0, se tiene ) γ

f (z) dz = 2 π i b−k , (z − z 0 ) k+1

y escribiendo n = −k, se sigue el resultado.



Algunas veces conviene usar la expresi´on unificada de la expansi´on de Laurent, esto es ∞  c n (z − z 0 ) n , f (z) = −∞

donde cn =

1 2πi

) γ

f (w) dw. (w − z 0 ) n+1

Presentamos ahora un ejemplo, calculamos la serie de Laurent para la funci´on 1 , f (z) = 2 z − z3 alrededor del origen, en el anillo con radios r 1 = 0 y r 2 = 1. N´otese que

  1 1 f (z) = , 1−z z2 0∞ n recordamos que la serie geom´etrica compleja est´a dada por y que n=0 z que converge en Δ. Por lo cual, podemos multiplicar esta serie por 1/z 2 puntualmente en el disco (salvo el origen), y obtener (por unicidad) que la serie de Laurent est´a dada por f (z) =

1 1 + + 1 + z + ··· . 2 z z

Como un segundo ejemplo (menos trivial) consideramos la funci´on f (z) =

z2

1 +1

3. Series y aplicaciones

173

y calculamos su serie de Laurent alrededor de z 0 = i, para el anillo con radios r 1 = 0 y r 2 = 2. Podemos descomponer la funci´on como sigue: z2

1 1 −i i = = + . +1 (z − i) (z + i) 2(z − i) 2(z + i)

Ahora, z+1 i es anal´ıtica cerca de z 0 = i, por lo que usando el truco de Taylor, descrito en la prueba del Teorema 3.2.6, se tiene (escribiendo w = −i) 1 1 − = = z+i (−i) − z

n ∞ 1  z−i =

, z−i −2 i n = 0 −2 i −2 i 1 − −2 i 1

lo cual es v´alido si |z − i| < 2 (v´ease la Figura 3.8). Por consiguiente 1 = 2 z +1

−i 2



∞ n 1 1  i + (z − i) n (z − i) 4 n=0 2

es la serie de Laurent buscada.

• z0 = i • z • w = −i

Figura 3.8: Truco de Taylor:

1 w−z

=

1 w−z 0 −(z−z 0 )

=

1 1   (w−z 0 ) 1− z−z 0 w−z 0

Un caso de gran importancia es cuando se tiene una funci´on holomorfa en un anillo degenerado, esto es, una regi´on de la forma  A = {z ∈ C  0 < |z − z 0 | < r,

donde 0 < r ≤ ∞.

(3.11)

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

174

En este caso se aplica el teorema de Laurent y en el anillo A se tiene f (z) =

∞ 

a n (z − z 0 ) n +

n=0

∞  n=1

bn . (z − z 0 ) n

Al punto z 0 se le llama singularidad aislada de f . En este caso existen exactamente tres posibilidades excluyentes: i) b k = 0 y b = 0 ∀  > k, umero infinito de k’ s, ii) b k = 0 para un n´ iii) b k = 0 ∀ k. En el primer caso se dice que f tiene un polo de orden k en z 0 , en el segundo que f tiene una singularidad esencial en z 0 y en el tercero que z 0 es una singularidad removible de f . Obs´ervese que en este u ´ltimo caso f es anal´ıtica en una vecindad de z 0 . Si el orden de un polo es 1, se dice que es un polo simple. N´otese que para conocer el tipo de singularidad, basta encontrar la serie de Laurent. Por ejemplo, la funci´on ez − 1 1 = 5 5 z z

z2 z3 + ··· − 1 1+z+ 2! 3!

 =

1 1 1 1 ··· + + + 4 3 2 z 2z 3!z 4!z

tiene un polo de orden 4 en el origen. La siguiente definici´on es sumamente importante, como se ver´a en la u ´ltima parte de este libro. Definici´ on 37 Sea z 0 una singularidad aislada de una funci´on f , al n´ umeon de Laurent (3.7) se le llama el residuo de f ro complejo b 1 en la expansi´ en el punto z 0 . En el ejemplo previo a la definici´on, se tiene entonces que el residuo es 1/24. A una funci´on que es holomorfa en C, excepto por polos (como en dicho ejemplo) se le llama meromorfa. Los residuos son muy u ´tiles para calcular integrales, como se muestra en el siguiente resultado y en la u ´ltima secci´on del libro, donde se calculan integrales reales impropias.

3. Series y aplicaciones

175

Corolario 3.3.5 Sea f anal´ıtica en una regi´ on que contiene un anillo de la forma (3.11) y b 1 el residuo en z 0 . Si γ es cualquier c´ırculo con centro en z 0 , y contenido en el anillo, entonces ) f (z) dz = 2 π i b 1 . γ

´ n. Los coeficientes de Cauchy est´an dados por Demostracio ) 1 f (w) (w − z 0 ) k−1 dw, bk = 2πi γ en particular, tomando k = 1 se sigue el resultado.



Mostramos ahora un ejemplo donde se aplica este resultado. Recordamos 2 3 que ∀ w ∈ C se cumple e w = 1 + w + w2 ! + w3 ! + · · · , en particular si z = 0 y w = 1/z, se tiene que ∞  1 1 , ez = n ! zn n=0 y se sigue de la unicidad de las series de Laurent que 0 es una singularidad 1 esencial de z → e z . Adem´as, como el residuo es 1 se tiene que ∀ r > 0 ) 1 e z dz = 2 π i. |z|=r

Los siguientes cuatro resultados establecen criterios para distinguir los di´ versos tipos de singularidades. Estos se atribuyen principalmente a Riemann. Proposici´ on 3.3.6 Sea A una regi´ on, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C anal´ıtica, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) z 0 es una singularidad removible de f . ii) f (z) est´ a acotada en una vecindad agujerada de z 0 . iii) l´ım f (z) existe. z→z 0

iv) l´ım f (z) (z − z 0 ) = 0. z→z 0

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

176

´ n. Evidentemente i) implica las otras tres condiciones. TamDemostracio bi´en ii) o iii) implican iv), por lo que basta probar que iv) implica que z 0 es una singularidad removible de f . Para esto se prueba que los coeficientes b k en la expansi´on de Laurent son 0. Por hip´otesis, dada > 0 existe δ > 0, tal que |f (z)| |z − z 0 | < si 0 < |z − z 0 | ≤ δ. En particular, si |w − z 0 | = δ, se tiene |f (w)| < /δ. Se puede tomar δ < 1 y tal que {z ∈ C | 0 < |z − z 0 | ≤ δ} ⊂ A. Por lo cual ) 1 f (w) (w − z 0 ) k−1 dw, bk = 2πi |w−z 0 |=δ

y aplicando el Teorema 2.1.5 |b k | ≤

1 k−1 δ 2 π δ = δ k−1 < . 2π δ

Por consiguiente b k = 0 ∀ k ∈ N.  Proposici´ on 3.3.7 Sea A una regi´ on, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C anal´ıtica, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) z 0 es un polo de orden menor o igual a k, o una singularidad removible. a acotada en una vecindad agujerada de z 0 . ii) f (z) (z − z 0 ) k est´ iii) l´ım (z − z 0 ) k f (z) existe. z→z 0

iv) l´ım (z − z 0 ) k+1 f (z) = 0. z→z 0

´ n. Si z 0 es una singularidad removible o un polo de orden Demostracio menor o igual a k, se tiene de la expansi´on de Laurent que (z − z 0 ) k f (z) es anal´ıtica y se siguen ii), iii) y iv). Como ii) o iii) implican iv), basta probar que iv) implica que z 0 es removible o un polo de orden ≤ k. Usando la Proposici´on 3.3.6, resulta que (z−z 0 ) k f (z) tiene una singularidad removible en z 0 . Ahora, la serie de Laurent de (z − z 0 ) k f (z) se obtiene multiplicando la de f (z) por (z − z 0 ) k (por unicidad), por lo que f (z) no

3. Series y aplicaciones

177

puede tener un polo de orden mayor a k (o una singularidad esencial), ya que esto implica que (z − z 0 ) k f (z) no es holomorfa en una vecindad de z 0 .  La Proposici´on 3.3.6 permite detectar singularidades removibles que aparentemente no lo son, por ejemplo, la funci´on 5 sen z z tiene en el origen una singularidad removible, ya que 

5 sen z l´ım z = l´ım 5 sen z = 0. z→0 z→0 z f (z) =

Otra prueba de este hecho se obtiene al escribir la serie de Laurent

 5 z3 z5 5z2 z4 5 sen z = z− + − ··· = 5 − + − ··· . z z 3! 5! 3! 4! Corolario 3.3.8 Sea A una regi´ on, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C anal´ıtica, entonces z 0 es un polo simple si y s´ olo si l´ım f (z) (z − z 0 ) existe y no es 0. Este l´ımite es el residuo de f en z 0 .

z→z 0

´ n. Se sigue de la Proposici´on 3.3.7 que si l´ım f (z) (z − z 0 ) Demostracio z→z0

existe, entonces z 0 es una singularidad removible o un polo simple. Si el l´ımite no es 0, entonces z 0 es un polo simple (en virtud de la Proposici´on 3.3.6). El rec´ıproco y la segunda parte son consecuencia de la expansi´on de Laurent.  Por ejemplo, la funci´on

ez 4z tiene un polo simple en el origen con residuo 1/4, dado que f (z) =

l´ım

z→0

1 ez z = . 4z 4

Corolario 3.3.9 Sea A una regi´ on, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C anal´ıtica, entonces z 0 es un polo de orden k ≥ 1 si y s´olo si existe g : V → C holomorfa, donde V es una vecindad de z 0 en A, g(z 0 ) = 0, y se cumple f (z) (z − z 0 ) k = g(z).

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

178

´ n. Si f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue Demostracio de la expansi´on de Laurent que g(z) = f (z)(z − z 0 ) k es anal´ıtica en una vecindad V de z 0 y g(z 0 ) = 0, ya que g(z 0 ) = b k . Viceversa, si g(z) = f (z)(z − z 0 ) k es anal´ıtica y g(z 0 ) = 0, se sigue de la Proposici´on 3.3.7 que f tiene una singularidad removible o un polo de orden ≤ k en z 0 . Se trata de un polo de orden exactamente k, pues de otra manera al expander f en series de Laurent se tendr´ıa que g(z 0 ) = 0.  Este u ´ltimo resultado establece condiciones necesarias y suficientes para que una singularidad aislada sea un polo de orden k. Por ejemplo, la funci´on f (z) =

ez + 7 (z − 1) 5

tiene un polo de orden 5 en z = 1. El conocimiento de los ceros de las funciones permite tambi´en establecer criterios para detectar polos. Definici´ on 38 Sea f anal´ıtica en una regi´ on A, se dice que f tiene un cero de orden k en z 0 ∈ A, si f (z 0 ) = 0, f r (z 0 ) = 0 ∀ r < k, y f k (z 0 ) = 0. Por ejemplo, f (z) = z 3 tiene un cero de orden 3 en el origen, ya que f (0) = 0, f  (0) = 0, f  (0) = 0 y f 3 (0) = 3 !. El siguiente resultado brinda una forma alternativa de definir los ceros de una funci´on. Proposici´ on 3.3.10 Una funci´on f , holomorfa en una vecindad de z 0 , tiene un cero de orden k en dicho punto si y s´olo si se cumple que f (z) = (z − z 0 ) k g(z), donde g(z) es anal´ıtica en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0. ´ n. Probamos primero la necesidad. Si z 0 es un cero de orden Demostracio k, entonces en una vecindad f (z) =

∞ 

a n (z − z 0 ) n ,

a k = 0.

n=k

Si z = z 0 se puede factorizar (z − z 0 ) k , obteni´endose f (z) = (z − z 0 )

k

∞  n=k

a n (z − z 0 ) n−k

3. Series y aplicaciones

179

(n´otese que la igualdad se cumple tambi´en para z = z 0 ). Es claro que ambas series convergen o divergen simult´aneamente, por lo que esta nueva serie representa una funci´on holomorfa que podemos denotar por g(z), obs´ervese que g(z 0 ) = a k = 0. La suficiencia se sigue de manera inmediata ya que la serie de Taylor es u ´nica.  Proposici´ on 3.3.11 Sea f holomorfa en una vecindad de z 0 , entonces f tiene un cero de orden k en z 0 si y s´olo si 1/f tiene un polo de orden k en z 0 . ´ n. Si f tiene un cero de orden k en z 0 , entonces Demostracio f (z) = (z − z 0 ) k g(z), donde g es holomorfa en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0. Como 

1 1 si z = z 0 , (z − z 0 ) k = k g(z) (z − z 0 ) g(z) k

0) es holomorfa en una vecindad agujerada de se sigue que la funci´on (z−z f (z) z 0 ; adem´as z 0 es una singularidad removible (en virtud de la Proposici´on un, como el 3.3.6, ya que 1/g es holomorfa en una vecindad de z 0 ). M´as a´ (z−z 0 ) k 1 valor de la funci´on f (z) en z 0 es g(z 0 ) = 0 (por continuidad), se concluye del Corolario 3.3.9 que z 0 es un polo de orden k de la funci´on 1/f . Inversamente, si 1/f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue del Corolario 3.3.9 que (z − z 0 ) k g(z) = f (z) es anal´ıtica en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0. Por lo tanto en una vecindad agujerada de z 0 se tiene

f (z) 1 = g(z) (z − z 0 ) k (n´otese que f no se puede anular en puntos cercanos a z 0 ). Como 1/g es f (z) holomorfa en una vecindad de z 0 , la funci´on (z−z k tiene una singularidad 0) removible en z 0 . Adem´as, su valor en dicho punto es g(z1 0 ) = 0. Finalmente, si z = z 0 se sigue que f (z) = (z − z 0 ) k

1 , g(z)

180

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

la igualdad tambi´en se cumple en z 0 , ya que este punto es una singularidad 1 removible de f, puesto que (z − z 0 ) k g(z) es holomorfa en una vecindad del punto z 0 . Por consiguiente, f tiene un cero de orden k en z 0 .  Corolario 3.3.12 Sea f una funci´on holomorfa en una vecindad de z 0 , donde este punto es un cero de orden k. Sup´ongase tambi´en que h es holomorfa en una vecindad de z 0 y h(z 0 ) = 0, entonces h/f tiene un polo de orden k en z 0 . ´ n. Se sigue de la Proposici´on 3.3.11 que 1/f tiene un polo Demostracio k 0) de orden k en z 0 , por lo que g(z) = (z−z es holomorfa en una vecindad f (z) de z 0 y g(z 0 ) = 0. En consecuencia, g(z 0 ) h(z 0 ) = 0 y como h(z) g(z) =

(z − z 0 ) k h(z) f (z)

es holomorfa en una vecindad de z 0 , resulta que h/f tiene un polo de orden  k en z 0 . Mostramos ahora un ejemplo donde se puede aplicar este corolario. Sea f (z) =

cos z , z3

entonces f tiene un polo de orden 3 en el origen. Esto se tiene, ya que z 3 tiene en ese punto un cero de orden 3 y cos 0 = 1. Otra manera de probar este hecho es mediante la serie de Laurent 

cos z 1 z 1 1 z2 z4 + − · · · = 3− + − ··· . = 1 − z3 z3 2! 4! z 2z 4! N´otese que el residuo es −1/2. El siguiente resultado, que es consecuencia de los Corolarios 3.3.12 y 3.3.8, permite simplificar en muchos casos el c´alculo de residuos para polos simples. Corolario 3.3.13 Sea f (z) = h(z) , donde h, g son funciones holomorfas en g(z) una vecindad de un punto z 0 , tales que h(z 0 ) = 0, g  (z 0 ) = 0 y g(z 0 ) = 0, entonces z 0 es un polo simple de f (z) con residuo h(z 0 ) . g  (z 0 )

3. Series y aplicaciones

181

´ ´ n. Basta probar la segunda afirmaci´on. Esta Demostracio se sigue al escribir g(z) = g  (z 0 ) (z − z 0 ) +

g  (z 0 ) (z − z 0 ) 2 + · · · = (z − z 0 ) ψ(z), 2!

y observar que ψ(z) es holomorfa en una vecindad de z 0 y ψ(z 0 ) = g  (z 0 ).  Por ejemplo, la funci´on z −→ tiene un polo simple en α = e

iπ 4

1 1 + z4

y su residuo est´a dado por

1 −α . = 3 4α 4 Si una funci´on f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces los valores de los puntos cercanos a z 0 tienden a ∞, m´as precisamente l´ım | f (z) | = ∞.

z→z 0

(3.12)

g (z) Esto es cierto, ya que f (z) = (z−z k , donde g es holomorfa y g (z 0 ) = 0, 0) por lo cual en una vecindad agujerada de z 0

|f (z)| ≥

m |z − z 0 | k

,

m > 0.

Esto implica (3.12), puesto que l´ım

z→z 0

m |z − z 0 | k

= ∞.

Sin embargo, en el caso de singularidades esenciales el comportamiento es mucho m´as complicado, de hecho es espectacular, como lo describen los siguientes resultados. Teorema 3.3.14 (Gran teorema de Picard) Sea f una funci´on holomorfa en una vecindad agujerada V de z 0 , donde este punto es una singularidad esencial. Entonces f toma en V cualquier valor en el plano complejo, salvo una excepci´ on. En dicha vecindad, cualquiera de estos valores son tomados un n´ umero infinito de veces.

182

3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas

La demostraci´on de este teorema corresponde a un curso m´as avanzado, v´ease [11] pp. 343-344 y [17] p. 283. Una versi´on m´as d´ebil se puede enunciar y probar. Teorema 3.3.15 (Casorati-Weierstrass) Sea z 0 una singularidad esencial de una funci´ on f y w ∈ C, entonces existe una sucesi´ on z n , n ∈ N, tal que zn → z 0 y f (z n ) → w. ´ n. Si el teorema no es cierto, se sigue que existe w ∈ C, > 0 Demostracio y una vecindad V de z 0 , tal que |f (z) − w| > ∀ z ∈ V − {z 0 } . Ahora la funci´on g(z) =

1 f (z) − w

es holomorfa en V − {z 0 }, y como |g(z)| < 1/ ∀ z ∈ V − {z 0 }, se tiene que un, z 0 es un cero de orden g tiene una singularidad removible en z 0 . M´as a´ k, k ≥ 0, de g. El cero es de orden finito, ya que de otra manera se tendr´ıa g(z) ≡ 0 en V , lo cual no sucede (g no se anula en V − {z 0 }). Por lo tanto, 1/g tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 ; adem´as, en esta vecindad agujerada V − {z 0 }, 1 = f (z) − w g(z)

y f (z) =

1 + w, g(z)

lo que implica que f tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 . Estas afirmaciones contradicen las hip´otesis y por ende se sigue el teorema.  Es u ´til recordar la geometr´ıa de la funci´on exponencial para entender de manera intuitiva la fuerza de estos teoremas. Para esto consid´erese el comportamiento de la funci´on z → e1/z cerca del origen. Terminamos esta secci´on con un u ´ltimo ejemplo. Se quiere analizar el comportamiento de la funci´on z3 f (z) = (e z − 1) 3 en una vecindad del origen. Para esto se estudia primero la funci´on dada z por g(z) = e z−1 , esta u ´ltima tiene una singularidad removible en el origen, una manera de probarlo es tomar la expansi´on de Laurent. M´as a´ un, como

3. Series y aplicaciones

183

1 tambi´en es holomorfa en una vecindad g(0) = 1, se tiene que la funci´on g(z) del 0, y por ende la funci´on f tiene una singularidad removible en el origen.

EJERCICIOS 3.3 1. Demuestre que se pueden debilitar las hip´otesis del lema dual de Abel, suponiendo solamente que la sucesi´on |b n | /r 1n , n ∈ N, est´a acotada. 2. Encuentre el residuo de la funci´on

e z −1−z z4

en el origen.

3. Encuentre la serie de Laurent y los residuos en el anillo 0 < |z| < ∞ de las funciones cos3z y cos(1/z). z

4. Encuentre la expansi´on de Laurent de la funci´on 0 < |z| < 1 y 1 < |z| < 3. * 5. Calcule |z|=6 sen(1/z) dz. 6. Describa el tipo de singularidad en el origen de

6 z(z−1)(z−3)

en los anillos:

z4 . (cos z−1) 2

7. Calcule los residuos de π cot πz en cada una de sus singularidades. * 8. Calcule |z−7|=1/2 π cot πz dz. 9. Suponiendo el gran teorema de Picard, pruebe el peque˜ no teorema de Picard: una funci´on entera no constante toma todos los valores complejos, salvo (quiz´a) uno de ellos. Sugerencia: escriba g(z) = f (1/z) para definir el comportamiento de f en ∞, pruebe que si una funci´on entera tiene un polo de orden k en ∞, entonces f es un polinomio. 10. Demuestre de dos maneras que la funci´on origen, ¿Cu´al es el residuo?

3.4.

cos z z2

tiene un polo doble en el

Teorema del residuo, aplicaciones

Terminamos este texto probando uno de los resultados m´as importantes de la variable compleja b´asica, el teorema del residuo. Este resultado, que generaliza el teorema de Cauchy y la f´ormula integral de Cauchy, es particularmente importante por su aplicaci´on al c´alculo de integrales reales impropias y trigonom´etricas que no se pueden resolver mediante el c´alculo real. Se probar´an y dar´an ejemplos de tres de estas aplicaciones: el c´alculo de ciertas funciones racionales impropias, el de las integrales trigonom´etricas y el de algunas transformadas de Fourier. Otros m´etodos se pueden consultar, por ejemplo, en [12] cap´ıtulo 4.

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

184

Teorema 3.4.1 (Teorema del residuo) Sea A una regi´ on en C que contiene a los puntos z 1 , z 2 , . . . , z m y f : A − {z 1 , z 2 , . . . , z m } → C una funci´ on anal´ıtica. Sup´ ongase tambi´en que γ es una curva cerrada de clase C 1 por tramos en A − {z 1 , z 2 , . . . , z m }, que es homot´opica a un punto en A, entonces ) m  f = 2πi Res (f, z j ) I(γ, z j ), γ

j =1

donde Res (f, z j ) es el residuo de f en z j . Antes de demostrar el teorema formalmente, exhibimos una prueba intuitiva para curvas simples. El resultado es consecuencia del teorema generalizado de la deformaci´on, dado que por la f´ormula de los coeficientes de Cauchy se tiene que ) 2 π i b 1 (z j ) = f (z) dz, |z−z j |=r j

no. donde b 1 (z j ) es el residuo en z j y r j es suficientemente peque˜ ´ n. Dada j ∈ {1, 2, . . . , m} existe r j > 0, tal que f se puede Demostracio expander en series de Laurent en {z ∈ C | 0 < |z − z j | < r j } , ya que z j es una singularidad aislada de f . En particular, para alguna z j fija se tiene f (z) =

∞ 

a n (z − z j )

n

+

n=0

∞  n=1

Recordamos que la parte singular, es decir,

bn . (z − z j ) n

0∞

bn n = 1 (z−z j ) n ,

converge en

el conjunto C − {z j } y lo hace uniformemente en {z ∈ C | |z − z j | ≥ } , para cualquier > 0 (en virtud del lema dual de Abel). Por lo cual, usando el teorema de Weierstrass se tiene que ∞  n=1

bn (z − z j ) n

es holomorfa en C − {z j }. Denotamos esta parte singular de f alrededor de z j por S j (z), y se procede de manera an´aloga con las otras singularidades.

3. Series y aplicaciones

185

Ahora, la funci´on g(z) = f (z) −

m 

S k (z)

k=1

es holomorfa en A − {z 1 , z 2 , . . . , z m }. Se afirma que z 1 , z 2 , . . . , z m son singularidades removibles de g. Para demostrar esto, obs´ervese que en una vecindad {z ∈ C | 0 < |z − z j | < r j } tal que no contenga a otras singularidades, se tiene ∞  f (z) = a n (z − z j ) n + S j (z); n=0

y tambi´en en dicha vecindad g(z) =

∞ 

a n (z − z j ) n −

n=0

j−1 

S k (z) −

k=1

m 

S k (z),

k = j+1

por lo cual l´ım g(z) existe, ya que S k (z) es holomorfa en z j , ∀ k = j. z→z j

Consecuentemente, g es holomorfa en A, y el teorema de Cauchy implica que ) ) m )  g = 0, y f = S j. *

γ

γ

j =1

γ

0∞ bn Para calcular γ S j , n´otese que S j es de la forma n=1 (z−z j ) n , la cual converge uniformemente en el exterior de cualquier c´ırculo alrededor de z j . En particular, la convergencia es uniforme en γ y se puede integrar t´ermino a t´ermino, por lo que ) ∞ )  bn Sj = dz. (z − z j) n γ γ n=1 Estas integrales son todas cero si n = 1, ya que γ es una curva cerrada y los integrandos son derivadas de otras funciones; en consecuencia ) S j = 2 π i b 1 I(γ, z j ). γ

 Recordamos de los cursos de c´alculo algunos hechos sobre integrales impropias, antes de proceder a las aplicaciones al c´alculo de integrales reales.

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

186

Definici´ on 39 Sea f : R → R una funci´on, entonces se dice que la integral impropia ) ∞ ) x2 f (x) dx f (x) dx = l´ım x2 →∞ x 1 → −∞

−∞

x1

est´ a bien definida, si el l´ımite existe y es finito. Si denotamos el l´ımite por L, esta definici´on dice que dada > 0 existen N 1 , N 2 ∈ N, tal que si x 1 < −N 1 y x 2 > N 2 , entonces ) x 2      < . f (x) d x − L   x1

*0 *∞ N´otese que si 0 f (x) dx y −∞ f (x) dx est´an bien definidas, entonces *∞ tambi´en lo est´a l´ım −∞ f (x) dx. Esto se sigue, ya que dada > 0 existen N 1 , N 2 ∈ N, tal que si x 1 < −N 1 y x 2 > N 2 , se tiene )   

0 x1

 

f (x) dx − L 1  < 2

donde

) L1 =

Por lo cual

y

)   

x2 0

 

f (x) dx − L 2  < , 2 )

0

f (x) dx

y

−∞

)   

x2 x1

f (x) dx − (L 1

L2 =

∞

f (x) dx. 0

  + L 2 ) < .

Es u ´til recordar el criterio de comparaci´on para funciones no* negativas: *∞ ∞ si 0 ≤ h(x) ≤ g(x) y 0 g(x) dx est´a bien definida, entonces 0 h(x) dx *t tambi´en lo est´a, dado que la funci´on H(t) = 0 h(x) dx es creciente y acotada. *∞ Usaremos el siguiente hecho: si la integral * ∞ 0 |f (x)| dx est´a bien definida, entonces tambi´en lo est´a la integral 0 f (x) dx. Esto se sigue por comparaci´on, ya que 0 ≤ f (x) + |f (x)| ≤ 2 |f (x)| y f = (f + |f |) − |f |. *∞ Definici´ on 40 Sea f : R → R, se dice que −∞ f (x) dx est´ a bien definida *r en el sentido d´ebil o condicionado, si existe l´ım −r f (x) dx, cuando r → ∞.

3. Series y aplicaciones

187

*∞ Evidentemente, si −∞ f (x) dx est´a bien definida, tambi´en lo est´a en el sentido condicionado (y por supuesto el l´ımite es el mismo). El rec´ıproco no es cierto, por ejemplo, si f (x) = x, entonces )

r

l´ım

r→∞

f (x) dx = 0, −r

*∞ sin embargo, es claro que −∞ x dx no est´a bien definida en el sentido de *∞ la Definici´on 39. Intuitivamente, para que la integral impropia −∞ f (x) dx est´e bien definida es necesario que las ´areas que determina la funci´on al converger a ± ∞ se hagan peque˜ nas (v´ease la Figura 3.9).

Figura 3.9: En las integrales impropias bien definidas, los valores de la funci´on se acercan a 0 conforme x → ± ∞

Teorema 3.4.2 Sea f anal´ıtica en C, excepto por un n´ umero finito de singularidades, los cuales no son reales. Sup´ongase tambi´en que |f (z)| ≤

k |z| 2

si |z| ≥ R,

R, k ∈ R+ ,

(3.13)

y que f toma valores reales en R, entonces ) ∞  f (x) dx = 2 π i {Residuos de f en el semiplano superior} −∞  = −2 π i {Residuos de f en el semiplano inferior} .

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

188

τr

γr

−r

r

γr

Figura 3.10: Curva de integraci´on para las funciones racionales definidas en el Teorema 3.4.2 ´ n. Sea γ r como en la Figura 3.10, donde r > R se toma suDemostracio ficientemente grande para que todas las singularidades de f en el semiplano superior est´en en el interior de γ r . Por el teorema del residuo )  f = 2πi {Residuos de f en el semiplano superior} . (3.14) γr

Adem´as

)

) f = γr

)

r

f (x) dx + −r

f (z) dz,

(3.15)

τr

donde τ r es el semic´ırculo * ∞ superior de radio r. Ahora, la integral −∞ f (x) dx est´a bien definida, ya que las integrales *0 *∞ f (x) dx y 0 f (x) dx lo est´an. Esta u ´ltima afirmaci´on se sigue de la −∞ condici´on (3.13), puesto que ) x1 ) x1 k k k k − dx = −→ , |f (x)| dx ≤ 2 x R x1 R R R *∞ cuando x 1 → ∞. Por lo que 0 f (x) dx est´a bien definida, an´alogamente *0 se muestra que tambi´en lo est´a −∞ f (x) dx. En particular, ) r ) ∞ f (x) dx = l´ım f (x) dx. −∞

r→∞

−r

3. Series y aplicaciones

189

Finalmente,

) f (z) dz = 0,

l´ım

r→∞

puesto que

)   

τr

τr

  k k f (z) dz  ≤ 2 π r = π −→ 0, r r

cuando r → ∞. Juntando esta informaci´on, el teorema es consecuencia inmediata de (3.14) y (3.15). La segunda igualdad para el semiplano inferior se obtiene de forma an´aloga.  Este teorema se aplica a ciertas funciones racionales, como se muestra en el siguiente corolario. La prueba de este resultado se sigue b´asicamente del hecho de que en un polinomio el t´ermino de grado mayor domina a los otros, cuando se analiza el comportamiento en el infinito. Corolario 3.4.3 Las hip´otesis del Teorema 3.4.2 se cumplen si f (z) es una funci´on racional de la forma p(z)/q(z), donde p(z) y q(z) son polinomios reales, grado [q(z)] ≥ 2 + grado [p(z)] y q(z) no tiene ceros en el eje real. ´ n. Sean p(z) = a n z n + · · · + a 0 y q(z) = b m z m + · · · + b 0 , Demostracio entonces m ≥ n + 2. Se afirma que existen k 1 , k 2 , R ∈ R+ , R > 1, tales que |p(z)| ≤ k 1 |z| n

si

|z| > 1,

y

|q(z)| ≥ k 2 |z| m

si

|z| > R.

Esta afirmaci´on implica el corolario, puesto que si |z| > R, se tiene    p(z)  k1 1 k1 1    q(z)  ≤ k 2 |z| m−n ≤ k 2 |z| 2 . Ahora, si |z| > 1 se sigue la afirmaci´on para el numerador, ya que |p(z)| ≤ |a n | |z n | + · · · + |a 0 | ≤ |a n | |z| n + · · · + |a 0 | |z| n   = |a n | + · · · + |a 0 | |z| n . Tambi´en b m z m = q(z) − b 0 − b 1 z − · · · − b m−1 z m−1 ,

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

190 por lo que

  |b m z m | ≤ | q(z)| + |b 0 | + |b 1 z| + · · · + b m−1 z m−1  , y

  |q(z)| ≥ |b m z m | − b m−1 z m−1  − . . . − | b 0 | .

Si B = |b 0 | + |b 1 | + · · · + |b m−1 | y |z| > 1, entonces −1/|z j | > −1, j ∈ N, por lo cual

 |b 0 | m−1 |b m | |z| − |b m−1 | − . . . − |q(z)| ≥ |z| |z| m−1   ≥ |z| m−1 |b m | |z| − B . En consecuencia, basta probar que   |z| m−1 |b m | |z| − B ≥ k 2 |z| m

|b m | |z| − B ≥ k 2 |z| ,

o

lo cual se cumple tomando k 2 < |b m | y |z| ≥

B . |b m | − k 2 

Para ilustrar una aplicaci´on del Teorema 3.4.2 y del Corolario 3.4.3 evaluamos ) ∞ 1 dx. 6 −∞ x + 1 El integrando claramente satisface las hip´otesis del Corolario 3.4.3, y las singularidades son πi

α = e 6 , α β = i, α β 2 = −α, α β 3 = −α, α β 4 = −i, α β 5 = α, donde β = α 2 , v´ease la Figura 3.11. El Corolario 3.3.13 muestra que estas singularidades son polos simples y exhibe una f´ormula para los residuos. Basta considerar las singularidades en el semiplano superior, es decir, α, i, y −α. Sus residuos son, respectivamente, 1 −α , = 6 α5 6

1 −i = 6 i5 6

y

1 α = . 6(−α) 5 6

3. Series y aplicaciones

191

Por consiguiente

 ) ∞ −α −i πi 1 α dx = 2 π i + + = (−i − α + α) 6+1 x 6 6 6 3 −∞ =

2π πi (−i − i) = , 3 3

√

puesto que α = 23 + 2i . A continuaci´on establecemos la aplicaci´on del teorema del residuo al c´alculo de las integrales llamadas trigonom´etricas. αβ = i

αβ 2 = −α

α

αβ 3 = −α

αβ 5 = α

αβ 4 = −i

Figura 3.11: Polos de la funci´on z →

1 1+z 6

Teorema 3.4.4 Sea R(x, y) una funci´ on racional en dos variables x, y, y 

 1 1 1 1 z+ , z− R 2 z 2i z . f (z) = iz Sup´ ongase tambi´en que f no tiene polos en el c´ırculo unitario, entonces ) 2π  R(cos θ, sen θ) dθ = 2 π i Res(f, z). 0

z∈Δ

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

192

´ n. Sea γ(θ) = cos θ + i sen θ, θ ∈ [0, 2π], se sigue entonces Demostracio del teorema del residuo que )  f = 2πi Res(f, z). γ

z∈Δ

El n´ umero de singularidades ya que al evaluar R en los  de f es finito, & %  puntos de la forma 12 z + z1 , 21i z − z1 , si z = 0, se puede multiplicar el numerador y el denominador por una potencia adecuada de z y obtener una funci´on racional en z. Finalmente, ) 2π ) 2π )  i θ i θ f = f e R(cos θ, sen θ) dθ. ie dθ = γ

0

0

 N´otese que en el resultado anterior, la f´ormula que define la funci´on f se puede recuperar f´acilmente al recordar la parte final de la prueba del teorema. Como ejemplo evaluamos ) 2π dθ , b > 1. b + cos θ 0 Sea γ(θ) = cos θ + i sen θ y f como en el teorema, entonces

f (z) =

iz b +

=

1 2

1

z+

1 z

 =

−2 i  1 z z + + 2b z

−2 i −2 i = , z2 + 2bz + 1 (z − α 1 )(z − α 2 )

donde

−2 b ±

√

4 b2 − 4

= −b ±

√

b 2 − 1. 2 Por lo cual, la funci´ on f tiene dos polos simples en α 1 y α 2 , el primero √ est´a en Δ, ya que b 2 − 1 < 1 + b, y claramente el otro ( α 2 ) est´a en el exterior de Δ. Ahora, α 1, α 2 =

Res (f, α 1 ) = l´ım f (z) (z − α 1 ) = z→α 1

−2 i −i = √ . α1 − α2 b2 − 1

3. Series y aplicaciones

193

Por consiguiente )

2π 0

dθ = 2πi b + cos θ

N´otese que tambi´en hecho como ejercicio.

*

π dθ 0 b+cos θ

=

√

−i √ b2 − 1

π . b 2 −1

 = √

2π . b2 − 1

Dejamos la verificaci´on de este

Para concluir este libro se desarrolla una u ´ ltima aplicaci´on del teorema del residuo al c´alculo de integrales definidas por la transformada de Fourier. Se evaluar´an integrales del tipo ) ∞ ) ∞ cos(a x) f (x) dx y sen(a x) f (x) dx, donde a > 0. −∞

−∞

Definici´ on 41 Sea f : C → C meromorfa, tal que toma valores reales en la recta real y no tiene polos reales, a la funci´ on definida por ) ∞ g(t) = f (x) e−i t x dx, t ∈ R, −∞

se le llama la transformada de Fourier de f . Esta funci´on es de gran importancia tanto en la f´ısica como en varias ramas de la matem´atica. Obs´ervese que para algunos valores puede estar definida, y para otros no. *∞ Proposici´ on 3.4.5 Sea f : R → R, tal que −∞ f (x) dx est´a bien defini*0 *∞ da, entonces tambi´en lo est´an 0 f (x) dx y −∞ f (x) dx. ´ n. Se afirma que Demostracio * xsi se tiene una sucesi´on x n , n ∈ N, tal que x n → ∞, entonces g(x n ) = 0 n f (x) dx es una sucesi´on de Cauchy. Para probar esto obs´ervese que si > 0, entonces existen N 1 , N 2 ∈ N, tales que si t 1 ≤ −N 1 y t 2 ≥ N 2 , se tiene )   

t2 t1

 

f (x) dx − L < , 2

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

194 donde L = se tiene

)  = 

*

∞ −∞

)   

f (x)dx. Por lo cual, si x n , x m > N 2 , digamos x n < x m , xm

0

) f (x) dx − )

xm

xn 0

xn

f (x) dx + −N1

xn

)  ≤ 

xm −N 1

)    f (x) dx =  )

f (x) dx −

  )   f (x) dx − L + L −

xn −N1 xn

−N 1

xm xn

  f (x) dx

  f (x) dx + L − L   f (x) dx < .

Por consiguiente, se sigue la afirmaci´on, esto es, g(x n ) es una sucesi´on convergente, digamos a un real m. Ahora, si y n , n ∈ N, es otra sucesi´on real tal que y n → ∞, cuando n → ∞. Se tiene por el mismo argumento que g(y n ) converge a un n´ umero   anterior real m , y necesariamente m = m, puesto que el razonamiento *t implica que si s y t son suficientemente grandes, entonces f (x) dx es s *∞ tan peque˜ na como se quiera (s < t). Por lo cual, 0 f (x) dx est´a bien *0 definida. Igualmente lo est´a −∞ f (x) dx (usando un argumento an´alogo).  Obs´ervese que la proposici´on anterior tambi´en es v´alida, si la funci´on f toma valores complejos, ya que la misma prueba se aplica para este caso. Teorema 3.4.6 Sea f anal´ıtica en C, excepto por un n´ umero finito de singularidades, los cuales no son reales. Sup´ongase tambi´en que f (z) → 0, cuando z → ∞, entonces ) ∞ e i a x f (x) dx −∞

est´ a bien definida y es igual a   2πi Residuos de e i a z f (z) en H 2 , donde a > 0 y H 2 = {z ∈ C | Im z > 0}. ´ n. Dada > 0, sea R tal que cumple las siguientes afirmaDemostracio ciones:

3. Series y aplicaciones

195

i) si |z| > R, entonces ii)

2R < 1 y eaR

|f (z)| < m´ın

2a 3 , , 3 3

a R > 1,

iii) las singularidades de e i a z f (z) que son puntos de H 2 est´an contenidas en el disco D(0, R). N´otese que ii) se puede aplicar, dado que el l´ımite de la funci´on x → e2axx es 0, cuando x → ∞. Obs´ervese tambi´en que las singularidades de e i a z f (z) son las mismas que las de f (z). Esto u ´ltimo es consecuencia del Corolario 3.3.9 y del Teorema 3.3.15, ya que la exponencial es entera y no nula.

y1 i •

•

γ

• • •

• −x1

x2

0

Figura 3.12: Curva de integraci´on para la transformada de Fourier Para probar el teorema se toma la curva de integraci´on γ descrita en la Figura 3.12, donde y 1 > x 1 , x2 > R. Se sigue entonces del teorema del residuo que )   e i a z f (z) dz = 2 π i Residuos de e i a z f (z) en H 2 . γ

Por otra parte, al parametrizar γ de manera natural se tiene ) ) x2 e i a z f (z) dz = I 1 + I 2 + I 3 + e i a x f (x) dx, γ

−x 1

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

196 donde

) I1 =

y1 0

) I2 = −

x2 −x 1

) I3 = − Ahora

)

|I 1 | ≤

y1 0

a

≤ 3

y1 0

e i a (x 2 + i y) f (x 2 + i y) i dy,

e i a (x + i y 1 ) f (x + i y 1 ) dx

y

e i a (−x 1 + i y) f (−x 1 + i y) i dy.

a

3

e−a y |f (x 2 + i y)| dy ≤

)

y1

e−a y dy

0

  e−a y  y 1 e−a y 1

a 1 − ≤ . =  −a 0 3 a a 3

An´alogamente |I 3 | ≤ /3. Tambi´en, ) |I 2 | ≤

x2 −x 1

e−a y 1 |f (x + i y 1 )| dx ≤

≤

−a y 1 e (x 2 + x 1 ) 3

2 y1 ≤ . a y 1 3e 3

La u ´ltima desigualdad se sigue ya que la funci´on x → e ax x es decreciente, cuando x → ∞ (derivando se verifica que esto se cumple si a x > 1). Por lo que 2 y1 2R ≤ a R ≤ 1. eay1 e Finalmente, juntando estas desigualdades se tiene  ) x 2    iax iaz 2   e f (x) dx − 2 π i f (z) en H  Residuos de e  −x 1

= |I 1 + I 2 + I 3 | < ,

3. Series y aplicaciones

197

si x 1 , x 2 > R. Por consiguiente ) ∞   e i a x f (x) dx = 2 π i Residuos de e i a z f (z) en H 2 . −∞

 Existe un teorema an´alogo para el caso a < 0. Bajo las mismas hip´otesis se tiene que ) ∞  e i a x f (x) dx = − 2 π i {Residuos de f en el semiplano inferior}. −∞

Este hecho se muestra de manera similar, la u ´nica diferencia es que el rect´angulo de integraci´on se construye en el semiplano inferior. Corolario 3.4.7 Bajo las hip´otesis del Teorema 3.4.6, si adem´as f toma valores reales en la recta real, entonces ) ∞ 4  5 cos(a x) f (x) dx = Re 2 π i Residuos de f (z) e i a z en H 2 −∞

y )

∞ −∞

4  5 sen(a x) f (x) dx = Im 2 π i Residuos de f (z) e i a z en H 2

´ n. Como Demostracio  ) x 2 ) iax e f (x) dx = Re −x 1

x2

%

Re e −x 1

iax

&

)

x2

f (x) dx =

cos(a x) f (x) dx, −x 1

el primer resultado se sigue al tomar l´ımites. El segundo se prueba de manera an´aloga.  una funci´ on racional, donde el polinomio Corolario 3.4.8 Sea f (z) = p(z) q(z) q(z) no se anula en los reales y se tiene que grado [q(z)] ≥ grado [p(z)] + 1, entonces se cumplen las hip´ otesis del Teorema 3.4.6. ´ n. Sean n, m los grados de p(z) y q(z), respectivamente. Demostracio Como en la prueba del Corolario 3.4.3 existen n´ umeros reales positivos k 1 , k 2

3.4. Teorema del residuo, aplicaciones

198

y R > 1, tales que si |z| > 1, se tiene |p(z)| ≤ k 1 |z| n , y si |z| > R, entonces |q(z)| ≥ k 2 |z| m . Por lo cual |p(z)| k 1 |z| n k1 ≤ , ≤ m |q(z)| k 2 |z| k 2 |z|

si |z| ≥ R,

por lo que f (z) → 0, cuando z → ∞.



Mostramos ahora un ejemplo. Calculamos ) ∞ x sen x dx, 2 2 −∞ x + m donde m > 0. Para esto se calcula primero ) ∞ x eix dx. 2 2 −∞ x + m Se sigue del Corolario 3.4.8 que se cumplen las hip´otesis del Teorema 3.4.6. Es claro que la funci´on z eiz g(z) = 2 z + m2 tiene exactamente dos polos, que son simples, en ± i m, por lo que basta calcular el residuo en i m. Se tiene Res (g, i m) = l´ım

z→i m

Por consiguiente ) ∞ −∞

e−m i m e i (i m) z eiz = . (z − i m) = z 2 + m2 2im 2

x eix dx = 2 π i x2 + m2

En particular, ) ∞ −∞

 −m  x sen x dx = π e x2 + m2

e−m 2 )



∞

y −∞

  = π i e−m .

x cos x dx = 0. x2 + m2

N´otese que en virtud de la Proposici´on 3.4.5, como la funci´on x → es par, se tiene que ) ∞ x sen x π (e−m ) . dx = x2 + m2 2 0

x sen x x 2 +m 2

3. Series y aplicaciones

199

Esto se sigue, ya que haciendo un cambio de variable x → −x = u se tiene que )

r 0

x sen x dx = x2 + m2

)

r 0

−x sen(−x) dx (−x) 2 + m 2 ) = −

−r 0

u sen u du = u2 + m2

)

0 −r

u sen u du, u2 + m2

por lo que )

r

l´ım

r→∞

−r

x sen x dx = 2 l´ım r→∞ x2 + m2

)

r 0

x sen x dx. x2 + m2

EJERCICIOS 3.4 1. Demuestre que el teorema del residuo implica el teorema de Cauchy y la f´ormula integral de Cauchy. *∞ 2. Calcule −∞ xx+1 dx. 4 +1 * 2 π dθ 3. Calcule 0 2−sen θ · * 2π dθ , b > 1. 4. Calcule 0 1−2 b cos θ+b 2 * ∞ cos x 5. Calcule 0 x 2 +a dx, a > 0. *∞ dx. 6. Calcule −∞ x 4 +6x+1 x 2 +25 *π dθ · 7. Calcule 0 1+sen 2θ * ∞ x sen x 8. Calcule 0 x 4 +1 dx. * π dθ * 2 π dθ = 0 b+cos , b > 1. 9. Pruebe que 2 0 b+cos θ θ

Glosario de simbolog´ıa A: cerradura del conjunto A en el plano complejo. arg z: argumento de z. B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}: semirrecta desde el origen. ∂A: frontera del conjunto A en el plano complejo. n  : coeficiente binomial. k cos z = cosh t =

e i z +e−i z : 2 e t +e− t 2

coseno complejo.

: coseno hiperb´olico real.

C: los n´ umeros complejos. C 1 : con derivada continua. C ∞ : con derivadas de todos los o´rdenes.  = C ∪ {∞}: el plano complejo extendido. C Df(x 0 , y 0 ) , Df z , Df (z): matrices jacobianas. d(f (z)) dz

=

df dz

= f  (z) = l´ımw→z

f (w)−f (z) : w−z

derivada compleja.

d(z, A): distancia del punto z al conjunto A. D(z, r) = {w ∈ C | |w − z| < r}: disco abierto. Δ = {z ∈ C | |z| < 1}: el disco unitario abierto. dC (z, w): distancia cordal de z a w. e (x+i y) = e x (cos y + i sen y): exponencial compleja. Ext γ: exterior de la curva γ. f k : derivada k−´esima. ∇u: gradiente de u. 201

202

Glosario de simbolog´ıa

H 2 = {z ∈ C | Im z > 0}: el semiplano superior abierto. Im z: parte imaginaria del complejo z. *b *b *b (u(t) + i v(t))dt = a u(t) dt + i a v(t) dt: integral de curva en el plano. a * * *b f = γ f (z) dz = a f (γ(t)) γ  (t)dt: integral compleja. γ * u dA: integral doble. R

*

w z

f (u) du: integral sobre cualquier curva de z a w.

Int γ: interior de la curva γ. * * f = |z−a|=r f : integral sobre el c´ırculo {z ||z − a| = r}.

|z−a|=r

)

)

∞

f (x) dx =

x2 →∞ x 1 → −∞

−∞ ∂2u ∂ x2

∇2 u =

x2

l´ım

(z) +

∂2u ∂y2

f (x) dx. x1

(z): laplaciano.

(γ): longitud de la curva γ. log z = log |z| + i arg z: rama de logaritmo. N: los n´ umeros naturales. ∂u : ∂x w

z

derivada parcial de u con respecto a x. = e w log z : potencia compleja.

Q: los n´ umeros racionales. Re z: parte real del complejo z. Res(f, z): residuo de f en z. R: los n´ umeros reales.  S 2 = {x ∈ R 3  |x| = 1}: la esfera unitaria. sen z =

ei z −e−i z : 2i

senh t =

e t −e− t : 2

∞ 

ak =

0∞ k=0

seno complejo.

seno hiperb´olico real. ak = a0 + a1 + a2 + a3 + . . .

k=0

Z: los n´ umeros enteros.

Bibliograf´ıa [1] Ahlfors, L. V., Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966. [2] Bartle, R. G., The Elements of Real Analysis, John Wiley and Sons, New York, 1967. [3] Beardon, A. F., The Geometry of Discrete Groups, Graduate Texts in Mathematics 91, Springer-Verlag, 1995. [4] ————— Iteration of Rational Functions, Graduate Texts in Mathematics 132, Springer-Verlag, 1991. [5] Cano Figueroa C., Notas de variable compleja, Tesis de licenciatura, UNAM, Facultad de Ciencias, 2003. [6] Conway, J. B., Functions of One Complex Variable, Graduate Texts in Mathematics 11, Springer-Verlag, 1978. [7] Herstein, I. N., Topics in Algebra, Xerox College Publishing, 1964. [8] Jones, G. A. y D. Singermann, Complex Functions, Cambridge University Press, 1987. [9] Lang, S., Linear Algebra, Addison Wesley, 1972. [10] Lascurain Orive, A., Una introducci´ on a la geometr´ıa hiperb´ olica bidimensional, 2a edici´on, Las prensas de ciencias, UNAM, 2015. [11] Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, volume III, Prentice Hall, 1967. [12] Hoffman, M. y J. E. Marsden, Basic Complex Analysis, W. H. Freeman and Company, 1996. 203

204

Bibliograf´ıa

[13] Marsden, J. E. y A. J. Tromba, C´alculo vectorial, Fondo Educativo Interamericano, 1981. [14] Moise, E. E., Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Graduate Texts in Mathematics 47, Springer-Verlag, 1977. [15] Mumford, D., C. Series y D. Wright, Indra’s Pearls, Cambridge University Press, 2001. [16] Rudin, W., Principios de an´ alisis matem´atico, McGraw-Hill, 1980. [17] Titchmarsh, E. C., The Theory of Functions, Oxford University Press, 1939.

´Indice anal´ıtico Abel lema de, 155 lema dual de, 166 abierto, conjunto, 17 anal´ıtica, funci´on, 47 Apolonio, c´ırculos de, 27 argumento, 4 arm´onica, funci´on, 54

cordal, m´etrica, 24 corte l´ıneas de, 59 puntos de, 59 coseno, funci´on, 42 criterio de la ra´ız para series de potencias, 158 criterio de la raz´on para series de potencias, 158

Casorati-Weierstrass, teorema de, 182 Cauchy coeficientes de, 171 desigualdades de, 121 f´ormula del anillo de, 168 f´ormula integral de, 115 f´ormula integral para la derivada k−´esima de, 120 integrales del tipo, 116 sucesiones de, 19 teorema de, 105 Cauchy-Riemann ecuaciones de, 50 ecuaciones polares de, 54 cero de orden k, 178 conforme, funci´on, 65 conjugada arm´onica, 128 conjugado, 8 continuidad, 18 convergencia uniforme, 144 convexo, conjunto, 96

De Moivre, f´ormula de, 12 deformaci´on, teorema de la, 102 derivada compleja, 47 desigualdad de Cauchy-Schwarz, 15 diferenciable en el sentido complejo, 47 Dirichlet, problema de, 132 eje imaginario, 1 real, 1 entera, funci´on, 47 exponencial, funci´on, 27, 28 Fourier, transformada de, 193 funci´on inversa, teorema de la, 66 funci´on ra´ız n-´esima, 38 funciones trigonom´etricas, 42 Goursat generalizaci´on del lema de, 91

205

206

´Indice anal´ıtico

lema de, 88

parte real, 1 propiedades aritm´eticas de, 2 sucesiones de, 18 suma de, 1 unicidad, 16 normal, convergencia, 148

Hadamard, f´ormula de, 159 holomorfa, funci´on, 47 homeomorfismo, 107 homot´opicas, curvas, 95 homotop´ıa de clase C 1 por tramos, Picard, gran teorema de, 181 97 plano complejo extendido, 19 ´ındice, 112 Poisson, f´ormula de, 132 infinito, punto al, 19 polo integral de una funci´on compleja sode orden k, 174 bre una curva, 72 simple, 174 integral impropia, 186 potencias complejas, 36 primitiva, 92 Jordan, teorema de, 81 teorema de la, 107 teorema local de la, 91 Lagrange, identidad de, 15 principio del m´aximo, 125 laplaciano, 54 principio del m´aximo para funciones Laurent, teorema de, 168 arm´onicas, 131 Lebesgue, n´ umero de, 98 propiedad del valor intermedio para Leibnitz, regla de, 164 funciones arm´onicas, 131 l´ımite, 18 propiedad del valor intermedio, 124 Liouville, teorema de, 121 proyecci´on estereogr´afica, 21 logaritmo analiticidad del, 57 ra´ız definici´on, 33 n-´esima, 12 propiedades, 34 cuadrada, 11 rama de, 108 radio de convergencia, 156 rama principal, 58 ramificaci´on l´ıneas de, 59 m´odulo m´aximo, 125 puntos de, 59 M¨obius, transformaciones de, 20 residuo, 174 meromorfa, funci´on, 174 teorema del, 184 Morera, teorema de, 122 Riemann n´ umeros complejos esfera de, 20 multiplicaci´on de, 2 funci´on zeta de, 151 definici´on, 1 Schwarz, lema de, 126 parte imaginaria, 1

´Indice anal´ıtico

seno, funci´on, 42 series p, 141 de Laurent, 168 de potencias, 155 de Taylor, 160 Shoenflies, teorema de, 107 simple cerrada, curva, 81 simplemente conexo, 96 singularidad aislada, 174 esencial, 174 removible, 174 Taylor coeficientes de, 157 teorema de, 160 truco de, 161 teorema fundamental del ´algebra, 122 fundamental del c´alculo complejo, 78 Tri´angulo, desigualdad del, 14 trigonom´etricas, integrales, 191 Weierstrass prueba M de, 146 teorema de, 148

207

Curso básico de variable compleja editado por la Universidad Nacional Autónoma de México se terminó de imprimir el 15 de febrero de 2020 en Gráfica premier, S. A. de C. V. 5 de febrero 2309, San Jerónimo Chicahualco. Metepec. Estado de México. CP. 052170. El tiraje fue de 1000 ejemplares Impresión offset sobre papel Book creamy de 60 g. En su composición se utilizó tipografía Computern modern 11/13 pts. El cuidado de la edición estuvo a cargo de Mercedes Perelló Valls