Variable Compleja [2000 ed.]

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Variable Compleja Hans Cristian Muller Santa Cruz 2000

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´Indice general Prefacio

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I. Variable Compleja I.1. Los N´ umeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1. El Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.2. Conjugado de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . I.1.3. M´ odulo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.4. Sustracci´ on y Divisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.5. Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.6. Topolog´ıa del Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . ¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.7. El plano complejo acabado C I.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1. Representaciones Gr´ aficas de Funciones Complejas . . . . . I.2.2. Funciones Complejas Remarcables . . . . . . . . . . . . . . I.2.3. El Logaritmo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.4. Funciones Trigonom´etricas Complejas . . . . . . . . . . . . I.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Funciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Homograf´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2. Representaci´ on Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5. Integraci´ on Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6. Un Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.7. F´ormulas Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8. Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.1. C´ alculos con Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.2. Teoremas de Unicidad y Prolongamiento An´alitico . . . . . I.8.3. Otros Resultados de las Funciones Holomorfas . . . . . . . I.9. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.9.1. Puntos Singulares Aislados de Funciones Holomorfas . . . . I.10. Residuos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.1. C´ alculo de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.2. C´ alculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.3. Valor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.11. Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.11.1. Desarrollo en Fracciones Parciales de Funciones Meromorfas I.11.2. N´ umero de Ceros y Polos de Funciones Meromorfas . . . .

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1 1 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 12 14 15 17 18 20 24 27 36 41 43 45 49 51 55 58 60 61 63 68 69 70 73

´INDICE GENERAL

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´Indice de figuras I.1.1. I.1.2. I.2.1. I.2.2. I.2.3. I.2.4. I.2.5. I.2.6. I.3.1. I.4.1. I.4.2. I.4.3. I.8.1.

Transformaciones de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyecci´on Estereogr´ afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afica de los Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afica Transformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afica del Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Lineal no Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagen de una Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable Ejemplo de Funci´ on Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaci´ on de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´ on conforme de sin . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 3 Polinomio de Taylor z − z3 + z5 + · · · + z255 en R y en C . .

I.8.2. I.8.3. I.8.4. I.8.5. I.11.1. I.11.2.

Gr´ aficas de parte real e imaginaria de (z − 1) − (z−1) 2 Composici´ on de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio del Prolongamiento An´alitico . . . . . . . . Demostraci´on Teorema de la Aplicaci´ on Abierta . . . Mapas de cot z y csc z . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Indice de Cauchy para f (z) = zez−4 −i . . . . . . . . . .

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+ . . . . . . . . . .

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(z−1)3 3

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− ··· ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(z−1)n n

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´INDICE DE FIGURAS

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Prefacio

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PREFACIO

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Cap´ıtulo I Variable Compleja En lo que concierne la teor´ıa del an´ alisis complejo, tres puntos de vista predominan en la actualidad: • Integraci´ on Compleja (Cauchy 1814-1830). • Aplicaciones holomorfas C → R (Tesis de Riemann 1851). • Series enteras (Cauchy 1831-1846, Weirstraß). Comenzaremos este cap´ıtulo por el c´alculo diferencial y las funciones holomorfas seg´ un Riemann. Luego, seguiremos la evoluci´ on de Cauchy (integrales complejas, f´ormula de Cauchy). Veremos que cada funci´ on holomorfa es anal´ıtica (admite un desarrollo en serie de potencias). Estas series simplifican la teor´ıa (punto de vistas de Weirstraß),

I.1.

Los N´ umeros Complejos

Si bien los n´ umeros complejos son familiares para todos los que siguen este curso, se vio, por ejemplo, en el primer de a˜ no de An´ alisis, en esta secci´on abordaremos el plano complejo con una ´optica geom´etrica, para comprender y asimilar la riqueza y potencia que tiene esta teor´ıa. Sabemos que el conjunto de los n´ umeros reales R provisto de la adici´ on y la multiplicaci´ on es un cuerpo completo con un orden compatible con dichas operaciones. Geom´etricamente R asociamos a una recta, que la llamamos recta real. Como es de conocimiento de todos, la ecuaci´on x2 + 1 = 0, no tiene soluci´ on en R. Nuestro objetivo ser´a construir un cuerpo que contenga R en el cual dicha ecuaci´on tenga soluci´on. Como R est´a asociado a una recta, vamos a construir un cuerpo que este asociado a un plano (real); ya que la extensi´ on inmediata de una recta constituye un plano. Consideremos R2 = {(x, y)| x, y ∈ R}. Este conjunto con la adici´ on definida por (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y la multiplicaci´ on por escalar λ(x, y) = (λx, λy) es un espacio vectorial real. En el curso de Geometr´ıa, se estudi´ o con detalle las propiedades de los diferentes objetos y las transformaciones que les est´an asociadas. 1

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CAP´ITULO I. VARIABLE COMPLEJA

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θ

Homotecia

Rotacion

θ

Similitud

Figura I.1.1: Transformaciones de R2 Para tener un cuerpo conmutativo, solamente nos falta definir una multiplicaci´ on, la cual provendr´ a de un tipo especial de transformaciones lineales del plano R2 ; m´as precisamente de aquellas transformaciones que conservan los ´ angulos en tama˜ no y orientaci´on. Definici´ on I.1.1 Una similitud directa, en tanto que aplicaci´ on lineal, es una aplicaci´ on lineal s : R2 R2 de la forma s = hλ ◦ rθ , donde hλ es la homotecia de raz´ on λ (λ > 0) y rθ es una rotaci´ on de ´ angulo θ. En la figura I.1.1, tenemos una representaci´on gr´afica de una homotecia, una rotaci´on y finalmente una similitud. Como se vio en el curso de Algebra Lineal es m´as comodo trabajar con las matrices asociadas (respecto a las bases can´ onicas). Recordemos que toda aplicaci´on lineal est´a enteramente determinada por los elementos de las bases can´ onicas y que existe un isomorfismo natural entre el espacio vectorial de las aplicaciones lineales L(R2 , R2 ) y M2,2 (R) el espacio vectorial real de las matrices de 2×2 a coeficientes reales. En lo que sigue solamente consideremos como base la can´onica o otra base ortonormal directa. Denotemos por Hλ la matriz asociada a la homotecia de raz´on λ > 0, hλ ; Rθ la matriz asociada a la rotaci´on rθ . Se tiene:     λ 0 cos θ − sin θ Hλ = , Rθ = ; 0 λ sin θ cos θ por lo tanto, la matriz Sλ,θ asociada a la similitud sλ,θ = hλ ◦ rθ , est´a dada por     λ 0 cos θ − sin θ λ cos θ −λ sin θ Sλ,θ = . 0 λ sin θ cos θ λ sin θ λ cos θ

(I.1.1)

Una simple inspecci´on da det Sλ,θ = λ > 0. Ejercicio.- Verificar que una matriz de la forma 

a −b b a



con (a, b) 6= (0, 0), es la matriz asociada a una similitud directa. Teorema I.1.1 El conjunto de las similitudes (directas) de R2 forman un grupo abeliano para la composici´ on de aplicaciones. Demostraci´ on.- Ejercicio. 

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´ I.1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

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Denotamos por S+ (R, 2) al grupo de las similitudes directas, que por cierto no solamente es un grupo abeliano para la composici´ on de aplicaciones, sino tambi´en: Teorema I.1.2 S+ (R, 2) ∪ {0} es un subespacio vectorial real de dimensi´ on 2 del espacio End(R2 ) de las aplicaciones lineales en R2 . Demostraci´ on.- Puesto que existe un isomorfismo natural (por la elecci´on de las bases can´onicas) entre End(R2 ) y M2,2 (R) el espacio de las matrices reales de 2 × 2 es suficiente ver que las matrices asociadas a las similitudes m´as la matriz nula forman un subespacio vectorial. El resto lo dejamos como ejercicio. 

I.1.1.

El Plano Complejo C

Hemos visto que R2 es un espacio vectorial para la adici´on, para que R2 tenga la estructura de un cuerpo conmutativo, solo falta dotarle de una multiplicaci´ on. Consideremos la aplicaci´ on ϕ dada por ϕ : R2

−→ S+ (R, 2) ∪ {0}   a −b (a, b) 7→ . b a

Utilizando el ejercicio y la proposici´on precedentes, se demuestra (nuevamente otro ejercicio para el alumno) que ϕ es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Denotamos por π : S+ (R, 2) ∪ {0} → R2 la aplicaci´ on inversa de ϕ. Se ve inmediatamente que     a −b a π = = (a, b). (I.1.2) b a b Definamos la multiplicaci´ on en R2 de la siguiente manera. Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) elementos de 2 R , planteamos z1 · z2 = π(ϕ(z1 ) · ϕ(z2 )). (I.1.3) Desarrollando (I.1.3), se obtiene expl´ıcitamente: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 )



a1 b1

−b1 a1

=π  a1 a2 − b1 b2 =π a1 b2 + a2 b1



a2 b2

−b2 a2



 −a1 b2 − a2 b1 a1 a2 − b1 b2   a1 a2 − b1 b2 = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) = a1 b2 + a2 b1

(I.1.4)

Remarca.- Utilizando la notaci´ on columna para elementos de R2 , la multiplicaci´ on de z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) puede expresarse como    a1 −b1 a2 z1 · z2 = . b1 a1 b2 Teorema I.1.3 R2 con la adici´ on usual y la multiplicaci´ on definida m´ as arriba es un cuerpo conmutativo.

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CAP´ITULO I. VARIABLE COMPLEJA

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Demostraci´ on.- En efecto, R2 con la adici´on es un grupo abeliano, ya visto en un cursos anteriores. Remarquemos que el elemento cero es 0R2 = (0, 0) y el opuesto de (a1 , a2 ), −(a1 , a2 ) = (−a1 , −a2 ). R2 − {0R2 } es un grupo abeliano para la multiplicaci´ on, porque la multiplicaci´ on definida m´as arriba es una ley de composici´ on interna, verificaci´on simple, y por que S+ (R, 2) es un grupo para la multiplicaci´ on. La distributividad de la multiplicaci´ on respecto a la adici´ on est´a asegurada por que ϕ y φ son aplicaciones lineales.  Definici´ on I.1.2 R2 provistos de la adici´ on y la multiplicaci´ on definida m´ as arriba se llama cuerpo de los n´ umeros complejos o plano complejo y se lo denota por C. Remarcas.1. 1C = (1, 0), 0C = (0, 0). Se define i = (0, 1). Un peque˜ no c´alculo da i2 = −1C . 2. La inyecci´on natural j : R → C, j(a) = (a, 0) es compatible con la adici´on y la multiplicaci´ on, lo que hace que R sea un subcuerpo de C. En el lenguaje algebraico, esto se llama extensi´on de cuerpos. 3. En realidad j(R) ⊂ C, pero para darle fluidez a la teor´ıa, se acostumbra a suponer que R ⊂ C, con lo que utilizamos los s´ımbolos 1 y 0 para referirnos al uno y cero de R o C dependiendo el contexto. Es frecuente utilizar la notaci´ on z = a + ib, con a, b ∈ R para representar z = (a, b). Este tipo de notaci´on facilita los c´alculos aritm´eticos en C. 4. Si z = (a, b) = a + ib,