Cosmologie: Des fondements théoriques aux observations 9782759801015

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Francis Bernardeau

Cosmologie Des fondements théoriques aux observations

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS

Illustration de couverture : Tranche de 25 mégaparsecs de côté montrant la croissance des structures dans l’univers. Cette image a été construite à partir d’une simulation numérique dite N-corps. Crédit : C. Pichon, Projet Horizon 2007.

@ 2007,EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis Cedex A

et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

ISBN EDP Sciences 978-2-86883-954-1 ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-06564-3

À Élise.

Préface La cosmologie et plus généralement l’astrophysique sont des sciences appliquées qui ont pour objectif ultime une compréhension complète de la nature. Elles font appel aux domaines les plus avancés de la physique et, grâce aux technologies développées à la fin du vingtième siècle, il devient possible de sonder l’Univers de multiples manières et sur ses plus grandes échelles. La cosmologie observationnelle connaît ainsi un essor prodigieux en s’appuyant sur une masse de données considérable et de précision inégalée, provenant non seulement de télescopes géants, mais aussi de satellites ou de détecteurs de particules. L’étude et la compréhension de l’histoire de l’objet (< Univers D s’apparentent ainsi à une modélisation globale. Elles font appel à la théorie des champs, à la relativité générale, à la mécanique des fluides, à l’interaction de la matière et du rayonnement. La cosmologie moderne peut ainsi poser un ensemble de questions débouchant sur de nouvelles avancées en physique, voire à une remise en cause de ses bases les plus fondamentales. C’est là qu’est probablement son attrait principal dans la période exceptionnelle que nous vivons. L’interprétation de ce vaste ensemble de mesures, pour être cohérente, nécessite cependant des analyses statistiques rigoureuses. C’est le prix à payer pour dégager le plus clairement possible ce qui pourrait être authentiquement en rupture avec le cadre de la physique contemporaine. L’ambition du livre de Francis Bernardeau est précisément d’établir l’inventaire des concepts et des outils nécessaires à la cosmologie moderne. Au milieu des années 1960, lorsque j’ai commencé à m’intéresser à l’astrophysique, l’Univers semblait pouvoir être décrit par un modèle cosmologique sans courbure d’espace et sans constante cosmologique. Nous avions comme héritage les apports de la relativité générale et l’hypothèse de l’atome primitif proposée en 1931 par Georges Lemaître. Hubble et Slipher avaient mis en évidence l’expansion de l’Univers et Chandrasekhar avait ensuite montré que les éléments chimiques légers comme le lithium, le béryllium et le bore n’avaient pu être synthétisés que dans un milieu plus chaud que celui du centre des étoiles. Ils avaient fait appel à un processus instable de décroissance très rapide de la température, qui pouvait s’identifier avec la phase initiale d’un modèle d’expansion de l’Univers décrit par un Big Bang chaud. Gamow et ses élèves, en particulier Alpher, avaient tiré toutes les conséquences de cette hypothèse dans les années 1950 en proposant les premiers modèles de

vi

Cosmologie

nucléosynthèse primordiale incluant la dynamique de l’expansion de l’Univers. Ils érigèrent ainsi le premier pilier observationnel sur lequel tout modèle cosmologique doit s’appuyer. Une remarquable prédiction du modèle de Big Bang chaud était l’existence d’un rayonnement micro-onde fossile (le est indéniablement une image forte et spectaculaire ; ce n’est pourtant pas forcément l’aspect le plus fécond apportée par cette nouvelle cosmogonie et de fait le problème de la de l’univers va largement au-delà du champ d’investigation des théories standard de cosmologie. C’est l’évolution cosmologique des conditions de densité et de température qui constitue le nouveau cadre conceptuel dans lequel la cosmologie observationnelle s’inscrit ; l’exploration des conséquences physiques d’une telle évolution qui est au cœur de notre travail de recherche. La découverte en 1965 du fond micro-onde par Penzias et Wilson 1205) marque d’une certaine façon le point de départ de la cosmologie moderne. Ce fond révèle en effet ce qui est identifié comme un reliquat incontournable de l’histoire thermique de l’univers, le bain de photons qui a dû émerger au moment où la température du plasma a chuté au-dessous de la température 1. Qui s’appuyait sur l’observation que les galaxies de faible luminosité présentaient un spectre systématiquement décalé vers le rouge. 2. I1 reste une petite frange de la communauté qui continue à contester la validité du modèle du 2>,c(x - el"")- d2) Dirac (x -

+ 6 F / r a c ( ~ e:'")) . -

(3.86)

Ces points sont tous caractérisés par les conditions suivantes, q5 > 40 et g = O. La deuxième condition permet de réécrire les fonctions de Dirac comme contrainte sur g en écrivant d (3.87) gz(x)= h,,(x, - e , ) avec h,, = - g 7 .

8x2

Le jacobien de cette transformation n'est autre que le déterminant de h,, . C'est aussi le signe de celui-ci qui détermine si on a un extremum local (déterminant positif) ou un point selle (déterminant négatif). I1 en résulte que F3 prend la forme,

F3 =

io

d o / d2g

J' d3h P ( 4 ,g , h) Det(h) 42,,(g).

(3.88)

Cette fonction se calcule sans trop de difficulté pour un champ gaussirn. Pour rendre le calcul aussi simple que possible, on peut remarquer que les composantes de la matrice h peuvent être décrites par une partie scalaire, 6 (sa trace), et une partie de spin 2 (à deux composantes), 7, telle que hi1 - h22 = y1 et 2h12 = 7 2 . Alors localement y est statistiquement indépendant de n et f:

= (K2) = (72)

= 5-4.

(3.89)

Dans cette description les seules variables corrélées sont n et q5 avec ( q )=

-sp.

(3.90)

Enfin si on remarque que le déterminant de h,, est (n2 - r2)/4,il vient,

13. Ce joli résultat est plus précisément une conséquence du théorème de Morse sur la connectivité des points critiques d'une telle surface [183].

3. Description statistique des champs où P(~lq5) est la distribution de n quand

83

4 est contraint. Celle-ci s’écrit,

(3.93)

(3.94) On peut vérifier que cette dernière quantité est effectivement homogène à une densité numérique.

Chapitre 4

Le développement des instabilités gravit at ionnelles La compréhension de l’émergence des structures dans l’univers, notamment des structures aux grandes échelles, est devenue le pivot de notre compréhension aussi bien du contenu en énergielmatière de l’Univers que de son histoire. Ces dernières années ont été particulièrement riches dans ce domaine tant du point du vue théorique que du point de vue observationnel. En particulier l’observation des anisotropies du fond diffus cosmologique, parce qu’elle est facilement interprétable à l’aide des premiers principes, est un moyen privilégié pour mesurer les paramètres cosmologiques ou pour sonder les étapes encore très mystérieuses de l’Univers primordial. Urie large part de cet ouvrage y sera naturellement consacrée. Le mécanisme fondamental qui donne la clé pour comprendre la formation des structures est l’instabilité gravitationnelle. I1 a été proposé très tôt par G. Lemaître mais n’a finalement été vérifié que récemment à travers par exemple la fornie des fonctions de corrélation de grand ordre développées dans les champs de galaxies comme mise en évidence dans [95] (voir figure 5.13). Dans un tel paradigme, la structure de l’Univers à grande échelle résulte d’une compétition entre les forces de gravité, qui tendent à amplifier toute fluctuation locale de densité, les forces de pression quand il y en a et l’expansion globale. L’étude complète des structures de l’Univers impose de résoudre la dynamique des instabilités gravitationnelles dans une large gamme de régimes ; avec différents types de fluides, à des échelle plus petites, comparables ou plus grandes que le rayon de Hubble, ou encore dans des régimes où les équations du mouvement peuvent être linéarisées ou non. Cependant le cas du développement des instabilités gravitationnelles dans un fluide de matière non relativiste à des échelles plus petites que le rayon de Hubble constitue un bon terrain d’entraînement. On y retrouve les principaux ingrédients présents

86

Cosmologie

daris le cas général mais sans les difficultés formelles qu’un traitement complet impose. C’est donc naturellement ce régime que l’on va d’abord étudier. Ori peut bien sûr aborder dans ce cas le régime linéaire des instabilités gravitationnelles, régime daris lequel les contrastes de densité et les gradients de vitesse restent faibles. Le comporternent des instabilités dans ce régime peut être cornplPtenlent résolu. Le taux de croissance linéaire des instabilités donrie en quelque sorte le tempo pour l’émergence des structures de l’Univers. La théorie linéaire de croissance des structures, décrite en début de chapitre, doit cependant être complétée de plusieurs façons. D’une part les structures de l’Univers local sont en fait largement entrées dans un régime complètement non perturbatif sinon il n’existerait pas de structures liées gravitatioiinellement et on verra comment on peut tenter faire face à cette difficulté dans les dernières sections de ce chapitre. D’autre part pour une très grande part les observations que l’on peut faire concernent directement ou indirectement des échelles plus grandes que l’horizon ou des régimes où la matière nc domine pas la densitt. d’énergie de l’Univers. Ce sera l’objet des chapitres suivants. ~

~

4.1

La croissance des fluctuations en théorie linéaire

4.1.1

Équation d’évolution dans l’espace des phases

Pour des échelles plus petites que le rayon de Hubble, les effets de courbure de l’Univers vont être très faibles. I1 est dès lors possible, moyeiiriant une petite entorse à la rigueur des calculs: de traiter la croissance des instabilités à l’aide de la dynamique newtoniennne. Ori suppose que le fluide est constitué d’un ensemble de particules non relativistes de même masse, sans interactions entre elles autres que gravitationnelles. Si on considère une particule de ce fluide de vitesse v alors l’accélération qu’elle subit due aux forces de gravité est donnée, selon la loi de Newton‘ par

où p(r) est la densité locale à la position (réelle) r. On introduit alors les variables x et x’ par, r = n x et r’ = a XI. De plus on introduit le contraste de densité S(x) par, P(X) = P U

+ b(x)).

(4.2)

Dans l’expression de dv/dt apparaît le terme ü x qui est compensé par G a d3x’P(x’ - x)/Ix’ - xi3 (e.g. théorème de Gauss et, première équation de Friedmann).

4. Le développement des instabilités gravita tionncllcs

87

I1 en résulte que l’équation du mouvement s’écrit pour la vitesse particulière, u = 21 - H T , écart de la vitesse totale avec le flot de Hubble,

L’impulsion s’identifie alors à (c’est aussi la variable conjuguée de x dans le lagrarigien décrivant la dynamique),

(4.4)

p = uma.

Cette équation du mouvement. écrite pour une seule particule, va permettre d’écrire l’équation d’évolution de la densité de particules dans l’espace des phases, l’équation de Vlasov. La densité dans l’espace des phases est définie par, f ( X . p) d3X d”p. (4.5)

où x est la position coniobile et p est l’impulsion. Le théorème de Liouville appliqué à l’évolution de la densit6 f donne alors l’équation de Vlasov.

a q x ) = *7rGm U ~

(.I’

1.

f ( x 3p . t)d3p - n

s

(4.7)

où est la moyenne spatiale de f ( x ;p; t)d3p. Dans toute sa généralité cette équation est évideninient très difficile & résoudre ti cause des non-linéarités qu’elle contient. Pour essayer d’en simplifier la résolution il est utile d’en prendre différents moments par rapport à p. La densité de matière est par construction donnée par, p(x,t)= m’ U3

J’ d3p f ( x .p).

(4.8)

On écrit cette densité comme un écart à la densité moyenne, p ( x , t ) = p ( t ) [l

+ 6(X>t ) ].

(4.9)

où p ( t ) se comporte donc comme l i a 3 . La vitesse moyenne locale des particules est notée’ u. Elle est donnée par la valeur moyenne locale de l’impulsion.

(4.10) 1. Pour éviter d’alourdir les notations la vitesse particulière d’une particule et la vitesse particulière moyenne daris une région de l’espace donnée sont notées de la même manière. I1 ne faut pourtant pas confondre Ics deux.

88

Cosmologie

Les moments suivants par rapport à l’impulsion vont faire apparaître la manière dont la vitesse est dispersée localement. On peut ainsi introduire la dispersion de vitesse ut3 en écrivant,

J d3P Pi Pj f ( X ’ Pl m2a2

J f d3p

= uz u j

+ uij.

(4.11)

Quand on intègre l’équation de Vlasov par rapport à p on obtient (en profitant du fait que p a 3 est constant),

soit.

1 + -vx. [(l+ S(x))u(x)]= O, dt a

d6

-

(4.13)

qui est l’équation de continuité, équation de conservation des particules. Dans une formulation plus générale de la dynamique cette équation correspond à la conservation de l’énergie. Le moment suivant par rapport à l’impulsion donne une autre équation de conservation, celle de l’impulsion. En effet quand on intègre l’équation (4.6) par rapport à p après l’avoir multipliée par p on a,

On peut réécrire cette équation en faisant apparaître la vitesse particulière du flot ce qui donne l’équation d’Euler,

du, dt

1

a 1 + -ut + -u3 a a

~

=

1

--V2@ - -(p“ ) U pa ,3 .

(4.15)

Évidemment l’ensemble des équations (4.13) et (4.15) ne constitue pas un système fermé d’équations. D’une manière générale en prenant les moments successifs de l’équation de Vlasov par rapport à l’impulsion, on construit une hiérarchie d’équations reliant les différents moments de la distribution de vitesse entre eux. Pour arriver à un système fermé il faut pouvoir faire des hypothèses sur le comportement de la distribution de vitesse aux grands ordres. Ainsi par exemple si localement le fluide est thermalisé la dispersion de vitesse devient isotrope et proportionnelle à la pression, e.g. (4.16) On a alors,

du,

1 1 + -a u, + -u,u2,3 = - - V a @ -. 9z

(4.17) Pa Cette équation jointe à l’équation de continuité et l’équation de Poisson constitue un système fermé dès lors qu’on se donne une équation d’état permettant de relier la pression à la densité locale. -

~

dt

a

U

a

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

4.1.2

89

L’approximation newtonienne avec un seul flot

En cosmologie il est possible cependant de faire, au moins pour les premières étapes du développement de l’instabilité gravitationnelle, une hypothèse radicalement différente, celle du flot unique. En effet si on se place à des échelles suffisamment, grandes, les flots cosmiques induits par la gravité vont être plus grands que les dispersions de vitesse induites par les mouvements thermiques. Cela revient à dire que la pression joue un rôle négligeable dans le développement des instabilités si bien qu’on peut supposer que non seulement oij = O mais plus généralement la densité dans l’espace des phases peut s’écrire (4.18)

Cela revient à supposer qu’en tout point on a un seul flot, e.g. que toutes les particules sont animées de la même vitesse particulière. I1 faut tout de même garder à l’esprit que cela ne pourra être valable qu’au début du développement de l’instabilité gravitationnelle. Les phases ultérieures vont inévitablement faire intervenir des croisements de coquilles, c’est-à-dire des zones où on a une superposition de 3 flots ou plus. Ce phénomène est illustré sur la figure 4.1 dans le cas d’une dynamique à une dimension. Quand on entre dans le régime multiflots, aucune des approximations habituelles ne marche. La densité dans l’espace des phases va en effet s’écrire comme la superposition de fonctions de Dirac qui ne correspond bien sûr ni à un régime à un flot ni à un fluide thermalisé (qui conduirait à une distribution gaussienne). I1 faut bien avouer que dans ce régime nous sommes bien démunis et peu de progrès, autres que purement phénoniénologiques, y ont été accomplis.

FIG.4.1 - Description schématique de l’espace des phases après les premiers croisements de coquilles et apparition de régions rnultiflots. Le schéma correspond à une dynamique unidimerisionnelle.

90

Cosmologie

L‘approximation à un seul flot conduit au système d’équations suivant,

a

1 + -v, [(l+ 6(x;t))u,(x.t ) ]= 0, at a 1 d a 1 -u%(x,~) + -U,(X>t)+ -U~(X,~)U,,,(X.~) --V,@(X,t), at a a -S(X,

t)

(4.19)

(4.20)

CL

V2@(x.t ) - 47rGP(t)a26(x.t ) = 0.

(4.21)

La dernière équation est l’équation de Poisson généralisée. C’est un système fermé qui relie la densité locale, le champ de vitesse locale et le potentiel gravitationnel. Si ce système est fermé il n’en reste pas moins difficile & résoudre : cela reste un système d’équations non linéaires.

4.1.3

La croissance des fluctuations en théorie linéaire

I1 a déjà été signalé que l’approximation à un seul flot correspondait à ce qui se passe au début du développement des instabilités gravitationnelles. Si on se restreint A ces premiers moments du développement de l’instabilité gravitationnelle, on peut linéariser les équations du mouvement, c’est-à-dire supposer que les fluctuations sont de faible amplitude et que les gradients du champ de vitesse sont petits devant la constante de Hubble,

6 O assure justement qu’on ne prend en compte que le propagateur retardé standard. On trouve que.

où

yz3(u) = O si a

< 1.

On peut aussi remarquer que yz,(z) -+ dKzJ quand a --+ 1”. ce qu’on attend évidemment puisque le champ doit se retrouver identique à celui des conditions initiales. Le premier ternie de l’équation (4.134) représente le mode croissant linéaire (et le fait que cette niatrice soit singulière exprime simplenierit le fait qu’il n’y a qu’un seul degré de liberté pour ce mode croissant) ; le deuxiènie terme donne le mode décroissant. L’équation complète (4.132) évoque alors une équation d’évolution avec des sources externes dont les propriétés statistiques dépendent des conditions initiales. On a ainsi une description des équations de la dynamique qui se rapproche d’une formulation de type théorie des champs, avec un propagateur et un vertex. I1 est d’ailleurs possible d’écrire pour chacun d’eux des équations de renormalisation [83.84]. Oii verra dans le complément 4.7.4 une application de ces équations pour le calcul des effets transitoires.

4.5

Le régime fortement non linéaire

Comme il a été dit précédemnient il n’existe pas de théorie achevée pour la croissance des structures dans le régirne non linéaire. I1 existe cependant des conjectures sur le comporternerit des fonctions de corrélation dans le régime fortement non linéaire c’est-à-dire le réginie où les fluctuations de derisit,é deviennent beaucoup plus grandes que l’unité. Qui plus est ces conjectures ne concernent qu’un nombre limité d’aspects des coniportenients des champs de densité et de vitesse. L‘essentiel de ces résult’ats ne vient pas d’une résolution brutale des équations de Vhsov, dont la complexité est trop grande pour cela, mais repose sur des arguments simples de symétrie et de stabilité. On verra qu‘on peut tout de même obtenir de cette manière des résultats utiles pour décrire le comportement des champs de densité aux petites échelles.

4.5.1 Solutions autosimilaires et corrélations stabilisées L’existence de solutions autosirriilaires repose sur deux hypothèses dans le cadre de la dynamique autogravitailte de matière noire sans pression : on s’intéresse à un cas où il n’y a pas d’échelle de temps caractéristique. À strictement parler cela impose que l’on s‘intéresse à un univers

120

Cosmologie Einstein-de Sitter, R, = 1, où le facteur d’expansion se comporte donc comme a ( t ) t2/3. En pratique on s’attend à ce que les résultats obtenus soient valables en général tant que les échelles de temps sur lesquelles varie le comportement du facteur d’expansion sont grandes ; N

-

il n’y a pas d’échelles caractéristiques, en particulier on suppose que les conditions initiales de statistique gaussienne ont un spectre de fluctuation de densité en loi de puissance Pl(lc) kn. Encore une fois, même si la réalité n’est qu’une approximation de ce comportement on s’attend à ce que les résultats obtenus gardent un certain intérêt. N

Plaçons-nous donc dans ces conditions. Alors conime les lois de la gravité elles-mêmes sont invariantes d’échelle, le système des équations du mouvement, équations de Vlasov et Poisson, ne saurait faire émerger une échelle caractéristique. I1 en résulte que ce système doit admettre une solution autosimilaire (851,

f ( x ,p, t ) = t - 3 - 3 9 (,/ta, p/t0+’/3) ,

(4.135)

où p = Q + 1/3 et t est le temps cosmique. L’intégrale sur les impulsions conduit à des fonctions de corrélation qui ne sont fonction que de la variable autosimilaire, s, xi/ta,et en particulier la fonction de corrélation à deux points se comporte comme, (4.136) avec des comportement similaires pour les fonctions de corrélation de grands ordres, e.g. &(xI,x2,~3,t)= f3(s1,s2,ss). I1 est à noter pour la suite que ce comportement doit être valable dans tous les régimes, pour toutes les échelleslo. En particulier cette équation est aussi valable dans le régime linéaire. I1 est alors possible de calculer l’indice a en imposant que (lin. (x,u ) a25-(n+3)ne soit une fonction que de la variable d’échelle, xt-“, ce qui conduit à 4 a= (4.137) 3(n 3)

-

+

Au passage on peut s’assurer que le coniportement d’échelle des fonctions de corrélation peut aussi être obtenu à partir des équations du mouvement dans la limite fluide [231] comme on s’y attend dans la mesure où seuls des arguments de symétrie ont été invoqués. D’une manière générale, le comportement autosimilaire mis en évidence dans (4.135) réduit le nombre de variables de l’équation de Vlasov. Des hypothèses de symétrie supplémentaires qui par exemple ne considèrent que des fluctuations obéissant à une certaine symétrie permettent alors d’aller plus 10. Avec la réserve près de la validité effective des hypothèses précédentes sur l’invariance d’échelle.

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

121

t

FIG.4.14 - Rapport de la vitesse particulière relative de paires à distance z par le flot de Hubble à cette distance, - u / H z , en fonction de la moyenne de la fonction de corrélation à deux points (voir équation 4.142) à cette distance, tav(z),pour un modèle CDM. Les trois courbes ont été tracées pour a = 0,3, 0,6, 0,8. Elles coïncideraient pour un spectre strictement invariant d’échelle. Elles tendent vers le comportement correspondant de corrélation stabilisée, - u / H x = 1, pour > 200. Figure extraite de [135].

loin. Ce type d’études ne permet pas cependant d’appréhender le cornportemerit autosimilaire complet des fonctions de corrélation. L’hypothèse de corrélations stabilisées (stable clustering) permet d’en dire plus. L’argument des corrélations stabilisées repose sur le fait que les structures très non linéaires qui se sont formées se découplent en quelque sorte de l’inflation dans le sens que leur taille physique ne change plus avec le temps. C’est le cas par exemple d’une galaxie, en tout cas d’une galaxie isolée, ou même d’un amas de galaxies. Cela implique que le mouvement relatif des particules à l’échelle de ces structures doit compenser en moyenne l’expansion de Hubble quand on écrit ce mouvement en variables comobiles. Et comme à des échelles Suffisamment petites pratiquement toute la matière se retrouve dans des structures liées, ce Comportement doit se retrouver au niveau de la fonction de Corrélation à deux points [200]. La mise en œuvre de cette idée à partir des équat,ionsde continuité conduit à des relations générales pour la fonction de corrélation à deux points qui, avec l’hypothèse d’homogénéité statistique, conduisent à l’équation de conservation des paires [85],

(4.138)

Cosmologie

122 où la vitesse relative de paires est définie corrime.

Dans le régime non linéaire. E >> 1, l’hypothèse de corrélation stabilisée implique que la vitesse relative de paires compense exactement le flot de Hubble u12 = -Xx12. Sous cette hypothèse l’équation (4.138) peut être résolue pour donner. E(.., 7 ) N 1 E(z,7 ) = a3(7)f.L(ax). (4.140)

+

ce qui signifie simplement que la probabilité d’avoir un voisin à une distance physique fixe est maintenant indépendante du temps. L’équation (4.138) peut alors être réécrite. (4.141) montrant que la vitesse relative de paires est effectivement reliée au comportement de la fonction à deux points. Daris cette équation on a défini une moyenne de la fonction de corrélation par. (4.142) et u12 est la norme de u12 qui. par condition d’isotropie, ne peut être que dans la direction de x2 - X I . Pour un univers Einstein-de Sitter le membre de droite de l’équation (4.141) est, en regime linéaire, 2fCdv/3. Quand Eav 2 1, Eav croît plus vite que dans la théorie linéaire de telle nianière que les vitesses relatives de paires inversent le mouvement d’expansion dû au flot de Hubble. Cela se traduit par une variation de pente brusque dans la fonction à deux points.

4.5.2

Comportements invariants d’échelle

L’utilisation conjointe des argunients de corrélation stabilisée et de solutions autosiniilaires conduit à des solutions pour les fonctions de corrélation invariantes d’échelle dans le régime non linéaire. Les indices en lois de puissance dans le régime non linéaire peuvent de plus être calculés à partir des conditions initiales. Ainsi les équations (4.136) et (4.140) imposent que f2(x) suive une loi de puissance en 2 ,

E(.)

N

(4.143)

5-7,

et en ajustant les dépendances en temps on obtient,

6

Y=- 3 a + 2

- 3(n -

~’

+ 3)

(n+5)

(4.144)

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

123

Ainsi, un coniportenient autosiniilaire dans un régime de corrélations stabilisées détermine complètement la dépendance temporelle et spatiale de la fonction de corrélation à deux points daris le réginie non linéaire [85]. Une généralisation simple de cet argument consiste à supposer que dans le régime non linéaire, u12 = -hXx12, où h est une constante donnée, pas nécessairement l’unité. Dans ce cas, l’équation (4.140) devient [ ( x , 7 ) = ~ ~ ~ ( x~) , )et fcela ( aconduit ~ à, y = 3h(n 3)/[2 h ( n 3 ) ] [192,276]. De manière intéressante, si h(71. 3 ) est une constante indépendante de l’indice spectral T L , alors la pente de la fonction de corrélation à deux points devient indépendante des conditions initiales”. I1 est, à. noter que les simulations numériques actuelles ne mettent pas en évidence une dépendance de l’indice spectral par rapport à la valeur asymptotique de la vitesse de paires. Elles soiit de plus en accord raisonnable avec l’hypothèse de corrélations stabilisées 178, 81; 1351. Cela étant les échelles dynamiques accessibles restent limitées dans ces siinulations. Le comportement des fonctions de corrélation daris le réginie iion linéaire reste donc largement ouvert. I1 existe d’ailleurs des points de vue alternatifs [193]. Les comportements des fonctions de corrélation aux grands ordres peuvent être contraints de nianière similaire. Cornnie l’hypothèse de corrélation stabilisées implique que les coefficients Q N soient indépendants du temps, et avec en plus l’hypothèse d’autosimilarité, ces coefficients sont aussi indépendants de l’échelle. Cela conduit à une relation d’iichelle pour les fonctions de corrélation de grand ordre qui peut être formulée en général coniine

+

+

+

+

N

où y est l’indice de la forictiori A deux points et X un facteur d’échelle arbi-

traire, (4.144). On voit donc que ces deux conditions ne déterminent pas complètement le comportement de la fonction à trois points ou celles des ordres supérieurs. Bien que les coefficients Q N soient globalement indépendants de l’échelle, ils dépendent n priori de la configuration des points, i.e. ils peuvent dépendre de quantités invariantes d‘échelle comme 5 1 2 / 2 2 3 , de la même manière d’ailleurs que dans le régime quasi linéaire. On atteint là ce qu’on peut faire de plus élaboré‘ tout en restant rigoureux, pour résoudre le problème de la dynamique gravitationnelle daris le réginie iion linéaire. Les équations du mouvement pour les fonctions de corrélation à deux et trois points sont des conséquences rigoureuses de l’équation de continuité. De inênie le comportement autosiniilaire est rigoureux pour des conditions initiales invariantes d’échelle dans un univers Einstein-de Sitter. Par contre les conditions de corrélations stabilisées rie sont qu’une hypothèse de travail dorit 11. Une analyse plus détaillée de la hiérarchie BBGKY montre que, en l’absence d’autosimilarité, des solutions en loi de puissance pour la fonction à deux points existent [216, 276,2771. Cependant elles ne sont pas nécessairement stables et leur relation avec l’indice spectral initial dépend de h. de et du comportement de la distribution de vitesse.

Cosmologie

124

*F

8x l o 5

2 -6x105 2 4x105 +

N v

2x105

O O

2

4

6

8

1

0

0

2

Multipole

4

6

8

1

0

1

0

Multipole

105 i=

O

2

4

6

8

Multipole

1

0

O

2

4

6

8

Multipole

FIG.4.15 - Décomposition de la fonction de corrélation à trois points en terme de développements multipolaires. La fonction à trois points en espace réel est écrite comme fonction des distances TI et r2 et de l’angle d’ouverture du triangle, 812, dont la dépendance est décomposée en polynômes de Legendre, [ ( T I , T ~ , & ~ )= %C(TI,TZ) fi(cos8iz). Ce sont les valeurs des coefficients (1 qui sont données ici pour des rapports de distances q = rI/r2. On voit que, sauf pour q = 1, la dépendance angulaire de la fonction à trois points est dominée par les premiers termes du développement multipolaire. Cette propriété s’accentue aux petites échelles. Figure tirée de 1991.

E,

on ne peut que conjecturer la validité à partir des équations de conservation supplémentaires, e.g. conservation des moments. Qui plus est, ces conditions ne permettent pas de rendre compte du comportement par exemple de Q3 avec la forme de la configuration du triplet. La résolution du régime non linéaire reste donc largement ouverte. Tout au plus a-t-on pu jusqu’à présent proposer un certain nombre de recettes qui permettent de rendre compte de divers aspects de la dynamique, évolution non linéaire de la fonction de corrélation à deux points, comportement des

4. Le développement des ins ta bilit és gravitationnelles

125

fonctions de grands ordres, etc. Certaines de ces recettes, utilisées dans la littérature sont présentées dans la suite.

4.5.3

L’évolution non linéaire de la fonction à deux points

L’autosimilarité du comportement des fonctions de distribution donne un outil utile pour prévoir le comportement de la fonction à deux points pour un spectre donné. Cette approche ne permet pas cependant de faire des prédictions qualitatives ni de dire comment cette évolution peut changer avec le spectre initial. La suggestion faite par Hamilton et ses collaborateurs [120] permet justement d’imaginer l’existence d’une fonction universelle permettant de relier la fonction de corrélation non linéaire à la fonction de corrélation initiale, celle du régime linéaire. Le point de départ est l’équation de conservation des paires, équation (4.138), qui conduit à,

(4.146)

+

Ainsi une sphère de rayon x où x3(l tav) xi est constant contiendra toujours le même nombre de particules pendant l’évolution non linéaire. Tarit que les fluctuations sont de faible amplitude, z~ N x. Cependant avec la croissance de la fonction de corrélation, x devient plus petit que ZL. I1 est alors relativement naturel de supposer que la fonction de corrélation intégrée jusqu’à l’échelle x est une fonction universelle de la fonction de corrélation linéaire prise à I’écheile x~ [i2O], e.g.

La fonction de transfert FNLest supposée être universelle, c’est-à-dire iiidépendante des conditions initiales. Au début des années 1990, cette hypothèse était en bon accord avec les résultats de simulations numériques. Depuis, des simulations plus précises ont montré qu’il subsiste une dépendance de FNL avec l’indice spectral (surtout quand n < -1). De fait, il devient tout autant pertinent d’appliquer une telle transformée non pas à la fonction de corrélation mais au spectre de puissance [197] . Dans ce cas le spectre non linéaire à l’échelle k est supposé être une fonction du spectre linéaire à l’échelle k~ définie par k = [1 A ( k ) ] 1 / 3 k ~où , A(k) 47rk3P( k )’ A(k,.) = F N L [ A ( ~ L , ~ ) I . (4.148)

+

Cette transformée dépend, a priori faiblenierit, de la forme du spectre et des paramètres cosmologiques. Des formules empiriques ont été proposées par différentes équipes qui tentent de prendre en compte des paramètres supplémentaires [15,136,198].

Cosrnoiogie

126 1000, 100 10 prkl 0.1 0.01 0.01

0.1

1

10

k

FIG.4.16 Évolution de la forme du spectre des fluctuations de derisité du régime linéaire (ligne continue) a11 régime non linéaire (pointillés longs). Le modèle correspond au modèle concordant. L'aniplitude du spectre linéaire est telle que 08 = 1. Les pointillés courts correspondent à la trarisformée di1 spectre si les fluctiiatioiis étaient d'amplitude deux fois plus faibles. ~

Dans les versions les plus couranimerit utilisées la fonction F ~ J est I , pararriétrisée à l'aide de 5 paramètres qui dépendent de l'indice spectral et qui permettent d'interpoler FNLentre le régime linéaire oil -TNL(J:)N J: et le régime fortement non linéaire. Notons que dans ce dernier -TNL x 3 / 2 (en conséquence de l'hypothèsc de corrélation stabilisée dCcrite dans le paragraphe précédent) [ 1981, N

FNL(x)

=

+

[

1

1 + BPz + [Ax]"" + [(A~)"g~(fl)/(Vz'/~)]fl

+

(4.149)

+

où A = 0,482(1 n/3)-0,"71 B = 0,226(1 r ~ / 3 ) - ' , ~ ~ cv* , = 3.310(1 n/3)-0.2441/3 = 0,862(1 7 ~ / 3 ) - ' , ~ * ~ V , = 11,55(1 7 ~ / 3 ) - O . " ' ~ , et où le facteur de croissance linéaire a été écrit Dl = ag(f2) avec g(fl) = $,/[fl, 4/7 - Cl* (1 fl,/2)(1 f2*/70)] [72]. Pour des modèles non invariants d'échelle, corrime les modèles CDhL choisir pour indice l'indice effectif n ( k ~=) [ d I n P / d I n k ] ( k = k ~ / 2 donne ) de bons résultats12 [198]. La figure 4.16 montre comment le spectre se transforme par l'application d'une telle procédure. On voit apparaître un excès de puissance aux petites échelles.

+ +

+

+

+

12. La prise en compte des oscillations baryoniqucs pose quand même des prohlèrries dans la détermination de l'indice spectral effectif. En pratique il vaut mieux rnoyenner sur une certaine échelle en IC.

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

4.5.4

127

* Les modèles hiérarchiques pour les fonctions de corrélation de grands ordres

L’absence de solutions aux équations du mouvement en régime non linéaire a motivé la recherche de relations consistantes entre fonctions de corrélation, relations inspirées soit des observations, soit des symétries de la dynamique comme le comportement autosimilaire. La construction qui a été poussée le plus loin correspond aux modèles dits hiérarchiques pour les fonctions de corrélation d’ordre p [loa, 1121. On s’attend en effet à ce qu’elles obéissent aux relations d’échelle, (4.145) ; et une manière simple de le réaliser est de supposer que,

Ep(x1,

. ..

.

n CAB

P- 1

t72

xp) =

1

Qp,a

(4.150)

étiquettes liens

a=l

Le produit est ici mené sur les p - 1 liens qui relient p points (vertex) A, B , . . . avec une fonction de corrélation [ X U associée à chaque lien. Ces configurations correspondent à des graphes en 1, pattes externes et di(,) est le nombre de vertex de ce type apparaissant dans une topologie a. La connaissance de l’ensemble des paramètres Qp,a se réduit donc à celle des vertex vi. Ce modèle a en tout cas un intérêt général phénoménologique. La structure en arbre authentique qu’il présente dans le sens où toute partie du diagramme se calcule indépendamment de la configuration globale permet en effet de faire des calculs relativement élaborés (voir par exemple [39]). En dehors de ces approches très heuristiques, quelques tentatives ont été faites pour trouver les solutions explicites à partir de la hiérarchie BBGKY (voir complément 4.7.7) des équations de Vlasov. C’est le cas dans [101,102] ou encore dans [118]. Cependant comme il a été souligné (notamment déjà dans [118]), ces investigations n’ont pas conduit à des résultats d’intérêts significatifs, les formes factorisées trouvées étant directement issues d’hypothèses faites initialement en espace des phases. En tout état de cause, ces calculs ne permettent pas d’exhiber de solutions particulières des équations de Vlasov en régime non linéaire. Et c’est bien dommage ! ~

~

4.6

Le modèle des halos

On a vu dans la section précédente que les approches rigoureuses pour la description du champ de densité dans un régime fortement non linéaire 13. Un ensemble de contraintes motivées par des hypothèses physiques peut aussi être formulé en imposant que les amas de points doivent être plus corrélés que les points isolés [ l l û , 1191. Cela conduit à (4.154)

qui est une contrainte plus forte que celle mentionnée plus haut.

129

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

-1. - 0 . 5

o.

0.5

1.

1.5

6iin

FIG.4.17 Comportement du rayon d’une surdensité en effondrement sphérique en fonction du contraste de densité linéaire pour différentes cosmologies, ligne continue pour un univers Einstein-de Sitter, pointillés longs pour un univers ouvert 00= 0,3, pointillés courts pour un univers fermé Ro = 2. ~

étaient extrêmement difficiles à mettre en œuvre. Dans cette section c’est à ce même objectif que l’on veut parvenir mais à l’aide d’une approche beaucoup plus phénoménologique. De fait on connaît en grande partie le résultat de la dynamique non linéaire : elle conduit à la formation d’objets relativement stables en équilibre hydrostatique. Plutôt que de chercher à décrire le champ de densité au travers du comportement de ses fonctions de corrélation, l’idée est de le décrire comme une collection d’objets, de halos de matière noire, de masse, de profil et de densité donnés.

4.6.1

La dynamique de l’effondrement sphérique

Pour réaliser un tel programme de travail, il nous faut rassembler un certain nombre d’ingrédients : la densité numérique d’objets attendus en fonction de leur masse, la manière dont la masse se distribue dans chacun des objets et la manière dont les objets se répartissent entre eux. Commençons par des choses simples. L’objet de ce paragraphe est de calculer le comportement d’une surdensité locale de l’Univers ayant une symétrie sphérique. Le théorème de Gauss assure que, tant qu’on a pas de croisement de trajectoires, l’évolution du rayon de la perturbation ou plus précisément du rayon d’une coquille sphérique centrée sur la perturbation, va être indépendante du profil de densité de celle-ci. En fait, l’évolution de ce rayon ne dépend que de la quantité de matière contenue dans la sphère centrée sur la perturbation qu’il définit. De cette manière la dynamique de l’effondrement sphérique peut être vue comme l’évolution différentielle du facteur d’expansion dans des cosmologies différentes.

130

Cosmologie

value of r/R

FIG.4.18 - Évolution du profil de densité dans un univers Einstein-de Sitter. Le profil initial correspond à la forme attendue d'une perturbation contrainte d'événement rare pour différentes valeur de l'indice spectral, n = -2 pour (a), n = -1 pour (b) et n = O pour (c). Les lignes continues correspondent aux profils initiaux. Noter que le cas n = O Correspond à une distribution de Poisson. Les lignes pointillées correspondent à l'évolution non linéaire des profils pour différents temps correspondant à des contrastes de densité linéaires au centre de 0.25,0,5,0,80 et 1.10. ~

~

Considérons donc une coquille de rayon R. L'équation du mouvement pour

R est donnée par, d2R A l ( < R) = -G (4.157) dt2 R2 ' où M ( < R)est la masse comprise dans le rayon R. Le contraste de densité correspondant est défini par, ~

(4.158) Des solutions explicites de ces équations sont connues pour des univers ouverts ou fermés en l'absence de constante cosmologique. Un calcul complet se trouve dans [200]où le contraste de densité est exprimé en fonction du temps t. Ces résultats peuvent être réécrits de manière un peu différente en exprimant le contraste de densité courant en fonction du contraste de densité linéaire, E (= D+(t)Giriit)[26].Une forme simple pour décrire cette relation est,

(4.159) qui correspond à la relation fonctionnelle entre de, et E dans la limite Ro + O (voir complément 4.7.8). Un résultat important de cette étude est que la densité devient sirigulière en un temps fini. La valeur exacte de la position de cette singularité est

4. Le developpernen t des irist ahili t és gravita t ionnelles

131

1.7 1.68

6 c(52,

)

.6 6 1.64 1.62 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1. 1 . 2 5 1 . 5 1 . 7 5 2

0,

FIG.4.19 Dépendance de la position de la singularité en terme dii contraste de derisiti: linéaire en fonction de la densité réduite de l‘Univers. ~

donnée par, (4.160) pour un espace Einstein-de Sitter. La dépendance de cc en fonction des paramètres cosmologiques est illustrée sur la figure 4.19. Cette faible dépendance avec les paramètres cosmologiques se retrouve aussi au niveau du corriporternent des régions sous-denses pour lesquelles la densité décroît coinine 1 6,, ( - c ) ~ ~dans / ~ tous les cas. Notoris enfiri aussi que les relations (4.233 4.240) permettent de retroilver aisément le corriporternent de la skewiess dans le régime quasi linéaire en fonction de la dcnsité réduite de l’univers. I1 suffit pour cela de développer IC c‘oritraste de dcrisité non liiiéaire eii forictioii du contrask de demit6 linéaire jusqii’à l’ordre deux.

+

4.6.2

N

Profil de densité des halos

Dans I r paragraphe prkc6dent on a vu conirrierit le profil d’une perturbation & symétrie sphkrique évoluait sous l’effet de l‘instabilité gravit,ationnelle. Les solutions analytiques trouvées ici ne sont plus valables après les premiers croisements de coquilles. On s’attend à voir apparaître alors des effets de relaxation qui conduisent à Uri équilibre hydrostatique au sein de l’objet. Quand cet équilibre est atteint on s‘attend à une équipartition entre énergie cinétique et énergie potentielle : cela implique clue la taille de l’objet est typiquement la moitié du rayon d’expansion rnaxirnale de l’objet (à cet instant l’kriergie cinétique est nulle.) On se trouve alors en présence d’un objet dont le contraste de densité est de l’ordre de 200 à la fin de la relaxation14. Les sirnulatioris numériques montrent, que c’est effectivement à peu près le cas. Pourtant une t>ellccstiniation s’appuie sur beaucoup d’approximations, en particulier cette 14. En plus du facteur 8 attendu diî à la contraction de la perturbation, il faut tenir compte de l’expansion du reste de l’Univers.

Cosmologie

132 densité réduite

0.05

0.1 0.2 rayon réduit

0.5

1

FIG. 4.20 Développement d’un système de caustiques concentriques dans le cas d’une perturbation à symétrie sphérique. À temps long il se développe un système de caustiques autosimilaires. Pour un profil initial carré, le profil moyen de la densité est en r ~ ~ ’ ~ . ~

estimation ne tient compte ni des effets d’environnement, ni de ce qui se passe après les premiers croisements de coquilles. Un aspect crucial des objets formés échappe ainsi à l’analyse, celui de leur profil. On s’attend assez naturellement à ce que celui-ci soit sinon déterminé, du moins largement affecté par les retombées secondaires de matière sur le halo, c’est-à-dire par l’accrétion nouvelle de matière sur les coquilles en train de se virialiser. Le calcul d’un tel effet a pu être mené explicitement dans le cas où l’hypothèse d’une symétrie sphérique est maintenue [43,97].C’est d’ailleurs le seul cas connu où il est possible de résoudre la dynamique gravitationnelle complète, e.g. prenant en compte les croisements de coquilles. Cette solution est présentée dans le complément 4.7.9. Elle montre qu’on s’attend à un profil en rP9I4 pour un objet dont l’excès de masse reste fini à grande distance (figure 4.20) ; pour un contraste de densité ayant un profil initial s’étendant à l’infini, la pente du profil final est moins importante. Soyons un peu plus précis. Si on définit le profil du contraste de densité h ( r ) comme,

S(r) =

AI(< 7 ) - %(< r ) ’ fir(< r )

(4.161)

où M ( < r ) est la masse totale contenue dans la perturbation à l’intérieur du rayon r et est la masse moyenne contenue dans un tel rayon, % = 47r/3pr3. Alors si h(r) (4.162)

-

le profil final de la perturbation suit encore une loi de puissance en r-7 avec 3-5

Y=-.l + €

(4.163)

Le cas d’une perturbation initiale de taille finie correspond à E = 3. Ce résultat donne une idée de la manière dont un profil de densité de halo peut s’établir

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

133

dans un régime quasi permanent (figure 4.20). Malheureusement la situation astrophysique est plus complexe : s’il est raisonnable de garder une symétrie sphérique pour les régions les plus denses; à plus grande distance ce n’est plus le cas. Les retombées secondaires ne seront donc plus à symétrie sphérique ; l’apparition de mouvements non radiaux importants change évidemment le comportement attendu et il n’est pas trop surprenant que la relation (4.163) ne se retrouve pas dans les simulations numériques. Force est donc de constater qu’on ne dispose pas de théorie permettant de rendre compte des profils de halos trouvés dans les simulations numériques, comme le profil NFW (2.53). D’un point de vue purement phénoménologique, c’est ce type de profil qui est le plus généralement adopté.

4.6.3 La théorie de Press et Schechter La théorie de l’effondrement sphérique a cependant un réel intérêt. Elle sert de base A une théorie très utilisée, et étonnamment précise, permettant de déterminer le nombre d’objets formés dans l’univers, la théorie de Press et Schechter [209]. Cette théorie vise à calculer le nombre d’objets virialisés, à l’équilibre hydrostatique, qui sont formés à une époque donnée. L’idée est la suivante, on cherche la fraction de matière qui se trouve dans un objet virialisé de masse donnée. Celle-ci, du simple fait de la conservation de la matière, est donnée par la taille R avec m = 47rR3/3 de la perturbation initiale. On va donc chercher la probabilité qu’un point doriné de l’Univers se trouve initialement dans une fluctuation de densité ii l’échelle R qui soit telle qu’elle est virialisée à une époque ultérieure donnée. Cette probabilité donne alors la fraction de masse de l’Univers f ( > m ) qui est dans des objets de masse plus grande que m au redshift z,

où p ( 6 ) est la fonction de distribution de probabilité de la surdensité initiale 6i à une échelle de filtrage R et D + ( z ) / D + ( z i )est le facteur dont croissent les perturbations entre z = zi et z en régime linéaire. Pour des conditions initiales gaussiennes P est simplement une gaussienne de variance ui ( M ) qui s’exprime en fonction du spectre et de la fenêtre de filtrage. Alors,

Cosmologie

134 et donc

2

1

Voilà un joli résultat qui doit cependant &re pris avec circonspection. Remarquons ainsi quc la fraction totale de matière dans des objets virialisés atteint 1 / 2 alors qu’on s’att’endraità ce qu‘elle atteigne 100 %, en tout cas dans un univers Einstein-de Sitter ; on s’attend à ce que tous les points de niatière soient finalement accrétés dans des puit’s de potent>iel.Cette approche ne prend pas en compte non plus les anisotropies locales du champ, les effets d’environnement, les effets de marée ou de fusion (le halos, etc. Pourtant; il se trouve que cette formule, corrigée (l’uii simple facteur 2‘ doririe uii bon accord avec les résultats de simulations numériques (figure 4.22). I1 existe en fait une justification A ce facteur correctif A partir d’un traitement probabiliste multi-échelle qui donne une très belle image des processus en œuvre. Cette justification a été développée dans [58] et s’appuie sur l’ut,ilisation d’une fenêtre de filtrage carrée daris l’espace de Fourier. En effet dans ce cas-là, A chaque changement d’échelle, la derisité locale est i n c r h e n t é e d’une quantité iridépeiidante de la derisité locale aux échelles précédentes. Si on définit b(> k ) le const,rate de derisité locale pour un filtrc carré en espace de Fourier’ il s’écrit, (4.167) Alors la différence des contrastes de derisite à deux échelles différcnte RI, et est. (4.168) quantité aléatoire (gaussieririe) indépendante de b( > k ) . Diminuer successivement l’échelle de filtrage revient donc à réaliser une inarche aléatoire niarkovienne (à pas indépendants) pour 6(> k ) . Urie tellc inarche est illustrée sur la figure 4.21. Si on adopte comme critère qii’iine striickiire se forme quaiid 6(> IC) (calculé en théorie linéaire) atteint la densité de contraste critique, alors la probabilité qu’un point donné soit daris une striict,ure est toujours un : la probabilité qu’une marche aléatoire atteigne un seuil doriné est un15. 15. Cela suppose quand même qu’il y a suffisarririierit de fluctuations de densité aux petites échelles et doric que la longueur des pas de la inarche ne tcride pas vers zéro cri uri temps fini.

4. Le développement des insta biii tés gravita tionnelies

I

135

échelle inverse

FIG.4.21 Exemple de marches aléatoires illustrant le calcul de la distribution de masse de Press et Schechter. La fraction de points de matière dans des structures de masse supérieure à hf est la probabilité qii‘iine marche aléatoire partant de l’origine représentant le contraste de densité linéaire pris à des échelles de plus en plus petites croise un seuil fixe. La marche se poursuit jusqu’à l’échelle de filtrage correspondant à l’échelle M . Si le filtrage est une fonction carrée en espace de Fourier. alors les pas de la marche aléatoire sont indépendants les uns des autres. Ils sont donnés par (4.168). Cette marche correspond un processus markovien. Les deux marches présentées sur la figure (ligne continue et pointillés) sont donc équiprobables. I1 en résulte que la probabilité que la marche franchisse le seuil 6(> I C ) = 6.Di(21> D+(-i 1 est le double de la probabilité que 6 ( > I C ) soit au-dessus du seuil quand IC = AI (cette dernière probabilité est donnée par (4.165))> ICM étant le plus grand mode correspondant à l’échelle de masse recherchée. Notons que si on cherche cette niérne loi de distribution à plus grand red&$ (za > z l ) , le critère est plus difficile A satisfaire ; le seuil est plus élevé (tirets plus courts). ~

La probabilité que la marche traverse le seuil en un terrips fini se calcule aussi. Et elle redonne la loi de Press-Schecliter multipliée16 d’un facteur 2 . Cette approche a le mérite de doririer riaturellcment une formule compacte assez séduisante mais il reste qu’elle ne résoiit pas le problème originel. Rieri en effet ne dit que le résultat obtenu soit la probabilité qu’un point de matièrr soit à l’intérieur d’une sphère quelconque de rayon supérieur à R et dont la derisité linéaire dépasse la densité critique 17... Et en plus de la complexité du problème statistique. la dynamique d’un élément de volunie pris au liasard n’est certainement pas toujours locale, 1. e. dépendante uniquement de la siirdensité locale et indépendante des effets de marées. De ce point du vue 16. La probabilité (4.165) est la probabilité que 6(> k n f ) > 6, si k f i ~est associé à l’échelle de masse A l . Or pour toute trajectoire qui atteint une valeur supérieure à 6,, il en existe une autre, équiprobahle, qui finit à une valeur inférieure : c’est la trajectoire symétrique de la première à partir du premier croisement de seuil, voir figure 4.21. C’est l’origine d u facteur 2. 17. Voir à ce sujet la discussion présentée dans [52].

Cosmologie

136

-2

-... h

b

-C

-4

P \

r: ---c

6

9 \

z:

v

c

e

-0

- 10 -1

-0.5

O

0.5

1

lno-1

FIG. 4.22 - Fonction de masse des halos - définis comme les concentrations de matière dont le contraste de densité excède 200 mesurée dans les simulations numériques du consortium Virgo. Les tirets correspondent à la prédiction de la théorie de Press-Schechter ; les pointillés à un modèle ad hoc. La figure est tirée de [140]. ~

on s’attend à ce que la théorie de Press et Schechter ne soit vraiment bien adaptée qu’à la description d’objets isolés, rares, comme les amas de galaxie. I1 reste qu’elle rend compte dans une large mesure des résultats de simulations numériques (figure 4.22). Des améliorations de cette fonction sont possibles. Elles permettent de mieux décrire les distributions de masse obtenues dans les simulations. Les pointillés de la figure 4.22 correspondent par exemple à une forme proposée dans [237]. Qui plus est, dans sa version correspondant à une marche aléatoire, la théorie de Press et Schechter peut être étendue à des distributions de masse conditionnelles. On peut ainsi évaluer la densité numérique de halos attendus à un redshifl z dans une région de volume comobile V contenant la masse M au redshift 2 0 , n(m,z l M , 6, z 0 ) . L’approche par marches aléatoires donne immédiatement le résultat. En effet, la contrainte d’environnement revient à choisir pour la marche aléatoire un point de départ décalé par rapport à l’origine. Le résultat va s’exprimer en fonction de SO(S,zo), le contraste de densité initial, extrapolé avec la théorie linéaire, que devait avoir initialement une région pour ce contraste de densité soit 6 à z = z 0 . L’expression de n(m,z l M , 6, zo) prend finalement la forme, (4.169)

137

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

où f ( v c )a la même forme fonctionnelle que pour le cas sans contrainte, (4.170) et où v, s’exprime en fonction de m par la relation, (4.171) Cette relation a au moins deux domaines d’application très utiles. Si b est choisi égal à b,(z~)alors la distribution de masse écrite donne la densité numérique de sous-halos, formés au temps 21, et qui vont se retrouver ultérieurement dans un halo de masse M se formant en z = ZO. Avoir ainsi possibilité de décrire de manière statistique les progéniteurs d’un halo donné est évidemment un outil précieux quand on cherche à construire une théorie de formation des galaxies. On s’attend en effet à ce que le contenu stellaire de tels halos dépende profondément de la manière dont le halo s’est assemblé, mais là on aborde un tout autre chapitre que ce livre n’a pas la prétention de couvrir. Un autre cas limite correspond au cas où le contraste de densité 6 reste modeste. En différentiant l’expression de n(m,zIM,S, Z O ) par rapport à 60 on accède à la manière dont les halos sont corrélés par rapport au champ de matière sous-jacent. Plus exactement, le contraste de densité tel qu’on peut le mesurer en comptant des halos de masse m, b h ( m ) ,va pouvoir être relié au contraste de densité 6 à travers un calcul perturbatif, (4.172)

Urie des conséquences de ce calcul est que le spectre de puissance associé au champ de densité représenté par les halos de masse m est, à grande échelle,

Ph(k,m)= bS(m,z ) ~ ( k ) .

(4.173)

Pour la forme fonctionnelle donnée de la théorie de Press-Schechter on a (4.174) Bien plus que le comptage de halo, la théorie de Press-Schechter et ses extensions permettent donc de calculer les propriétés de corrélation des amas et ouvrent la voie à une description globale des propriétés de corrélation du champ de matière, le modèle des halos.

Cosriiologie

138

4.6.4 L a construction du modèle des halos Nous sonirrics maintenant en possession des irigrbdieiits nécessaires ii la coristrurtiori du modèle de halos. Ce modèle stipulr que le chanip de matière est bien représenté (en termes de foiictions de corrélation) par un ensemble d r halos dorit : la distribution de niasse n ( l L f ) d M est dorinée par la théorie de PressSchechter (ou une de ses extensions) ; le profil de masse est donné par un profil moyen (par exemple le profil NFW) ; les halos sont distribués de manière à être corrélés selon les résultats obtenus dans la section précédente. On va esquisser les principaux resultats obtenus par cette approche. On en trouvera une description très complète et très critique dans 1791. À partir de là il est possible de reconstruire l’ensemble des propriétés de corrélation du champ de matière. Dans une telle description le champ p(x) d’une réalisation particulière prend la forme, P(X)

=

Em,uix

-

xzlmz),

(4.175)

2

où la somme porte sur l’ensenible des halos de masse rn, aux positions x,. sachant qu’un halo de masse m a un profil normalis6 u(rjm),

J’

d3x u(x - x,,lm) = m.

(4.176)

Les positions x,, et les masses m, sont évidemment des variables alkatoires. Elles sont telles en particulier que la moyenne d‘ensemble (notée encore une fois (..)) donnant la densité numérique de halo de masse rn est

4rn)=

( b 1 r a c ( m - mz)SDiraL(X (3) -x z)),

(4.177)

et la densité conjointe est

etc. Ainsi le calcul de la fonction de corrélation à deux points fait apparaître deux types de contribution : celle de paires de points appartenant au même

4. Le développement des instabilités gravitationrielles

139

F I G . 4.23 Dans le rnodèle des lialos, le champ de matière est représenté par une collection de lialos dorit la distribution de masse suit une loi de type Press-Sc1iecht)er avec u t i profil de masse ajusté sur les sirriiilatioris nuniériques. Les fonctions de corrélation d u charrip de matière reçoivent alors différentes contributions. Ainsi la fonction de correlation CL deux points a des contributions de points dii riiênie halo et des coritribiitioris de points venant de halos distincts (lignes continues) ; un exemple de fonction de rorrihtion A trois points > et niie partie de type > avec, (4.197) (4.198)

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

143

j o et j 1 étant des fonctions de Bessel sphériques du premier ordre (voir annexe D.2). Remarquons que ces quantités sont bien définies pour des spectres en loi de puissance avec n < -1 mais diverge quand n + -1. Cette propriété est à rapprocher du fait que la variance du champ de déplacement a une divergence infrarouge dans ce cas. Le cas n = -2 permet de mener les calculs jusqu’à une forme explicite du spectre. En effet dans ce cas,

Ao(cl) = Az(cl)

q,

(4.199)

ce qui implique que [254],

où krLLest défini par k i L P ( k r L 1=) 27r2. Sur la figure 4.25 le résultat de cette prédiction est comparé au résultat de la théorie linéaire d’une part et au résultat d’une simulation numérique. On y voit clairement que l’approximation de Zel’dovich introduit une coupure à petite échelle (grandes valeurs de k ) qui n’est pas réaliste.

4.7.3 L’émergence des non-gaussianités dans l’approximation de Zel’dovich I1 est assez facile de montrer que dans l’approximation de Zel’dovich le noyau F2 prend la fornielg,

FZ(ki.ka)=

1 2

-

1 ki.kz + 1 (ki.k2)2 + 21 ki.ka kf + T T 2 k S S $ -~

(4.201)

I1 en résulte que le paramètre de skewness réduit prend alors la forme, =4

n2( R ) + d log dlogR ’

(4.202)

pour un filtrage carré en espace réel. Dans le cas de l’approximation de Zel’dovich, il est en fait possible de calculer la fonction de distribution de probabilité de la densité locale. Le calcul se fait à partir de la relation qui exprime la densité locale en fonction de la matrice de déformation linéaire. On sait en effet que les éléments de cette matrice sont tous proportionnels au taux de croissance linéaire. I1 en est donc de même des valeurs propres de la matrice. La difficulté repose donc essentiellement sur le calcul de la distribution conjointe des valeurs propres de la matrice de déformation dans le cas de conditions initiales gaussiennes. La dérivation dans le cas tridimensionnel a été faite initialement par Doroshkevich dans [89]. Dans ce complément on va se limiter au cas d’une dynamique 19. I1 suffit pour cela de développer (4.191) à l’ordre deux.

144

Cosmologie I

' '

' ' ""'y

"""I

'

'"""1

10

o. 1

0.01 O .O 1

o. 1

10

1

10 *

kR0

FIG.4.25 Spectre de puissance A ( k ) = k3 P ( k ) / ( 2 7 ~ du ~ ) champ de densité pour des conditions initiales invariantes d'échelle d'indice n = -2 dans l'approximation linéaire (ligne pointillée), dans l'approximation de Zel'dovich (ligne continue). Les symboles sont les résultats d'une simulation numérique. ~

bidimensionnelle (traitée dans [206]). On peut montrer que dans ce cas-là la distribution des éléments, q52,J,de la matrice de la matrice de déformation s'écrit,

où

CTO

est la variance locale du contraste de densité.

Alors les valeurs propres de la matrice s'écrivent de la manière suivante,

A+ = A- =

4lJ

+ 4 2 , 2 + -,Ja 2

2

41,l + 4 2 , 2 2

Ja

--

2 '

(4.204) (4.205)

avec

A = (41J - 42J

+ 44;,,.

(4.206)

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

145

1.

0.8 0.6 pflots

(D+1 0.4

0.2

: O.

/

________------. !,,-e--

;-:--

O.

2.

6.

4.

8.

10.

DL FIG.4.26 Probabilités d’avoir respectivement 1, 3 ou 5 flots - lignes continues, tirets longs, tirets courts - en fonction du facteur de croissance linéaire D+ pour une dynamique bidimensionnelle (00 = 1). -

I1 vient alors,

avec Ji

= A+ + A - ,

et

52

= A+

A-,

(4.207)

ce qui conduit à 1>(X+,X-)

dX+ dX-

IX+

- A-

I

exp

[ $ (%J; -

-

4&)] . (4.208)

À deux dimensions, la densité locale dans l’approximation de Zel’dovich va prendre la forme, 1 (4.209) = I(1 - XlD+)(l - XzD+)I ’

Cependant pour reconstruire la PDF de la densité locale, il faut tenir compte du nombre de flots en chaque point. I1 n’y en aura qu’un si les deux valeurs propres sont telles que A, D+ < 1 ; il y en aura 3 si l’une des deux valeurs propres vérifie A, D+ > 1 ; il y en aura 5 si les deux le vérifient. Le nombre de flots aura donc tendance à augmenter au cours du temps. La forme des probabilités d’avoir 1, 3 ou 5 flots est montrée sur la figure 4.26. Le calcul de la distribution de probabilité de la densité locale s’appuie sur la forme (4.208) et la relation (4.209). Dans cette dernière relation il faut cependant tenir compte de la possibilité d’avoir des solutions multiples. Une des conséquences de cela est qu’il faudra renormaliser la PDF du nombre moyen de flots. La forme

Cosmologie

146

0.6

0.2 O. O.

0.5

1.

1.5 P

2.

2.5

3.

FIG.4.27 Forme de la fonction de distribution de probabilité de la densité locale pour une dynamique de Zel’dovich bidimensionnelle et pour un facteur de croissance linéaire valant 0,5. ~

de la PDF qui en résulte est illustrée sur la figure 4.27. Remarquons qu’à cause des pôles dans la relation (4.209), la densité moyenne n’est pas définie2’. Une facette de plus qui montre que les régimes multi-flots sont mal pris en compte dans cette approximation.

4.7.4 Effets transitoires Dans les simulations numériques, la procédure standard pour assigner à chaque particule les positions initiales est d’utiliser l’approximation de Zel’dovich. On l’a vu cependant, si le système est préparé dans cet état le champ ne suit pas strictement des conditions initiales gaussiennes. L’écart à la gaussianité se manifeste par exemple au travers de la valeur finie de la skewness déterminée dans le paragraphe précédent ou encore par le fait que la PDF de la densité locale n’est plus une gaussienne. Une fois la dynamique (< exacte >> en place on s’attend à retrouver le comportement du champ attendu dans le régime quasi linéaire ; on s’attend en particulier à avoir le bon comportement pour la skewness du champ. I1 faudra évidemment attendre un peu pour que ces propriétés se mettent en placc, étant en > avec les conditions initiales. C’est ce phénomène transitoire que l’on se propose de quantifier ici. On s’appuie pour cela largement sur l’approche de R . Scoccimarro présentée au paragraphe 4.4.7 et en particulier sur les équations (4.132) et (4.134), suivant en cela [228]. Le terme de gauche de l’équation (4.132) contient, pour n’importe quel ordre, le comportement des champs de densité et de divergence. Le comportement dominant de la skewness en théorie des perturbations sera bien sûr donné par l’ordre deux de $(k,a). Le terme de droite de (4.132) a deux contributions : l’une vient des conditions initiales, plus exactement correspond à la propagation des 20. Et pour retrouver l’expression de S3 (équation 4.202), il faut alors régulariser la distribution, voir (351.

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

147

conditions initiales suivant la théorie linéaire ; l’autre vient du couplage de modes induit par la dynamique entre les conditions initiales et le tenips final. Que les conditions initiales obéissent à une stricte statistique gaussierine ou à l’approxirnatiori de Zel’dovich, cette dernière contribution sera la même (à l‘ordre linéaire les deux champs sont les mêmes) pour l’ordre deux de @ ( k . a ) .La différence, et donc les effets transitoires, viendra de la première contribution de la propagation par l’intermédiaire de la théorie linéaire des conditions initiales. Cette contribution prend la forme, $S)transitoirc (k. a) = y2,1(O/(l’init.)~J‘’.(k,a i n i t . ) . (4.210) L’équation (4.134) doiirie le taux de croissance de ce terme. La partie qui se projette le long du mode croissant donne une croissance en a,la partie qui se projette sur le mode décroissant une croissance en a-:”2. Cette dépendance est à comparer avec le taux de croissance de l’autre contribution, en a2 (si à l‘ordre linéaire on s’est arrange pour rie pas avoir de modes décroissants). Ainsi l’importance relative de 4):raiisitoirP (k: a)va décroître au cours du temps. La forine de la skewness réduite qui en résulte est, 34 d l o g 2 ( R ) - -6 12 (4.211) S3(a) = 7 dlogR 5 a, 35

+

+-

oii a, = a/a,,,,t. Comme attendu. à a = a,,,,t, on obtient l‘expression de la skeu~nrss dans l‘approxirnation de Zel’dovich. À grand temps, on retrouve le résultat dc la dynamique exacte.

4.7.5 Origine de l’effet du filtrage sur la skewness Pour comprendre la dépendance de la skevmess en fonction de la forme du spectre il est intéressant d’examiner l’origine du ternie qui est rajouté avec les effets de filtrage. Un bon moyen de retrouver l‘origine dc cc tcrrric est de refaire le calcul en espace lagrangien et plus précisément d’appliquer l’approche perturbative décrite ici au jacobien, c J , de la transformation des coordonnées lagrarigienries-ciilérienncs. De même que le champ de densité, le jacobien peut se calculer à l’ordre deux en théorie des pert,urbations. La densité en espace lagrangieri n’est alors rien de plus que l’inverse du jacobien. Pour l’ordre deux du jacobien il vient,

(4.212) La densité filtrée jiisqii‘à l’ordre deux est l’inverse du jacobien filtré. Le coritrastc de densité s’écrit donc à cet ordre (4.213) où

,711

est le jacobien filtré & une échelle lagrangienne R donnée. Cela donne

(4.214)

Cosmologie

148

%@

Champ de demité initial

\

PDF du mnuacite de densité qui en Iissullt.

Lo

FIG.4.28 La skewness est une mesure de l’asymétrie de la distribution de densité locale. Elle émerge parce que les régions sous-denses évoluent moins vite que les régions sur-denses dès que les non-linéarités commencent à jouer un rôle. La dépendance de la skewness en fonction de la forme du spectre vient de la correspondance entre l’espace lagrangien qui donne la taille initiale de la perturbation et l’espace eulérien qui est sensible à la taille finale. À une échelle de filtrage R donnée, les régions sur-denses proviennent de l’effondrement de régions qui étaient initialement plus grandes, alors que les régions sous-denses détectées viennent de régions initialement plus petites. Du coup si on part d’un spectre de puissance avec beaucoup plus de fluctuations à petite échelle qu’à grande échelle, on s’attend à ce que la skewness décroisse. ~

I1 en résulte que le paramètre S3 devient,

(4.215)

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

149

Le fait que l’on ne trouve pas le même résultat que dans le cas eulérien ne doit pas surprendre. Ici c’est un filtrage à une échelle de masse donnée que l’on fait, et non à une échelle R donnée. La différence entre les deux est qu’un objet de masse donnée a a priori une taille d’autant plus petite que cette masse était grande. Un filtrage à une échelle eulérienne donnée mélange donc différentes échelles de masse initiales. Or pour un spectre hiérarchique les fluctuations de masse sont d’autant plus faibles que la masse est grande. On aura donc une asymétrie moins importante que celle qu’on aurait pu escompter. Le terme correctif en n 3 que l’on trouve dans (4.107) peut se calculer par la prise en compte d’un tel effet [28].

+

4.7.6

De la dépendance des cumulants par rapport aux paramètres cosmologiques

On a vu dans le texte que les cumulants réduits, en particulier la skewness, dépendaient extrêmement peu des paramètres cosmologiques. Ce résultat remarquable peut trouver au moins une explication partielle. I1 est en effet possible de montrer qu’une approximation simple conduit pour toutes les cosmologies aux mêmes relations de récursions que pour un univers Einstein-de Sitter [230]. En théorie linéaire, les champs de densité et de divergence prennent la forme,

où D l est le taux de croissance linéaire et f (Orn% Oh) est la dérivée logarithmique de D l par rapport au facteur d’expansion. Cette fonction dépend en général des paramètres cosmologiques. En général on va chercher des solutions séparables dans leur dépendance en temps, m

6(k, 7 ) =

Dn(T)6(n)(k),

(4.218)

n=l 33

o(k,T) =

-f(%,nA)

1En(7)Q(”)(k).

(4.219)

n= 1

Les équations du mouvement conduisent au système récursif suivant pour la solution d’ordre n, dDn 6, d log D i

-

E,@, =

1

d3k1d3kz bD(k - k i z ) a ( k ,k i )

et

---endE,

d log Di

+ (y32fR,

-

l)E,en

-

-D,,6, 2f2

=

Cosmologie

150

Une inspection simple de ce système montre que si f(n,,,,R A ) = Rm2 alors on a effectivement un système séparable en D , = E , = (01)’~ qui reproduit les relations de récurrence trouvées pour R,, = 1, RA = O. Et effectivement f(i2,. Cl,) = Cltiz est une très bonne approximation (voir par exemple figure 4.4). La relation (4.110) est une illustration des conséquences de cette propriété. On s’attend bien évidemment à avoir des relations similaires pour les curriulants de plus grands ordres.

4.7.7

La hiérarchie BBGKY

La hiérarchie d’équations BBGKY (pour Bogoliubov, Born: Green, Kirkwood et Yvon) est une réécriture des équations du rnouvenierit en terme des densités à N points dans l’espace des phases. Supposons que l’on ait line représentation du champ de densité par un ensemble de particules i de masses mLaux positions xz et d’impulsion pz. Alors la derisité d’ordre N dans l‘espace des phases est définie comme une fonction symétrique de {XpjPl,}:p = 1, N avec

(4.222) Cette fonction est définie de telle sorte que,

avec, dTN = dXi . . . d X N d P i . . . d P v .

(4.224)

On passe évidemment d’une densité d’ordre N à une densité d’ordre P , P < N en intégrant sur les positions et impulsions des N - P particules supplérricntaires,

f ( p ) ( { PPI) x * .=

(N N!

J’ f(lV)({Xp,P , } ) d X p + i . . . d X , v d P p + i . . . ~ P N .

(4.225) Alors l’équation de Vlasov implique un ensemble d‘équations liarit la densité à N points à la densité à N 1 points,

+

où Ft,Jest la force exercée par la particule j sur la particule 1:. (4.227) C’est la hiérarchie BBGKY [LOO]. Cette formulation sert de base à l’écriture d’équations de conservation, conservation des particules mais aussi conservation du nombre de paires, etc. Notons qu’on ne connaît pas de soliition non triviale à cette hiérarchie d’équations. Certaines conjectures propos6es dans la littérature sont évoquées dans le teste.

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

4.7.8

151

Modèle d’effondrement sphérique

On siippose que la perturbation évolue daris un espace quelconque sans constante cosmologique. Sa dynamique est alors caractérisée par un paramètre $IO de telle sorte que le paramètre de densité courant, dans cet univers-là, est

pour un univers ouvert et, il

L

(4.229) l+cos$o’ pour un univers fermé. De manière analogue le comportement du rayon R de la fluctuation correspond au comportement d’un univers de densité réduite différente, et donc caractérisé par iin autre paramètre, 80, de telle sorte que, no(t)=

blCS(t)

=

2

1

+ cos11 I90

(4.230) %

OU

2 (4.231) 1 cos00’ En utilisant les relations (2.28, 2.29) et en identifiant les temps t on peut facilenient écrire le contraste de densité en fonction des paramètres 190 et $ 0 . Celui-ci va dépendre du signe de la courbure. À ce contraste de densité est associé un contraste de densité linéaire. I1 existe alors une valeur minimale du contraste de densité linéaire au-dessoiis duquel l’univers reste sous-critique et donc ne conduit pas ti un effondrement de la structure. Cette valeur critique est donnée par,

Oes(t) =

tniiri

=

+

9 sinh SO(sinh $0 - $ 0 ) - 3. 2 (cosh~~t0 - 1)Z

-

(4.232)

dans un univers ouvert (avec une expression analogue dans un univers fermé.) I1 en résulte que, si le contraste de densité linéaire vérifie t > tir,,,,,l’évolution de la densité de la perturbation est donnée par, (4.233) avec (4.234) Si

t

< t,in

par contre on a, (4.235)

avec (4.236) Le résultat est encore une fois donné pour un univers ouvert.

Cosmologie

152

Le cas d’une perturbation s’effondrant dans un espace Einstein-de Sitter se retrouve par passage à la limite, $0 + O. Dans ce cas on a évidemment t m i n = O (dans un tel univers toute surdensité sphérique s’effondre en un temps fini, toute sous-densité croît indéfiniment en taille). La solution générale de l’effondrement sphérique s’écrit alors,

9 (sinhûo - 80)’ 2 (coshûo - 1)3 - ”

(4.237)

fies(€) = -

pour

E

(sinhûo - e o )

= --

E

(4.238)

< O et (4.239)

E

= - -(eo -sin&)

5 [ 43

1

,

(4.240)

213

pour E > O. Dans la limite 00+ O on a $0 + 03 ce qui implique emin + 312. Qui plus est est fini quand t9 est proche de $0 et donc,

E

(4.241)

ce qui donne, 1

(1 - 2~/3)3/2 - 1.

(4.242)

Les formes générales pour un univers fermé s’obtiennent par le changement de variable $0 -+ iqo. En fait, la forme de la solution de l’effondrement sphérique, exprimée comme fonction de E dépend très peu des paramètres cosmologiques. C’est en particulier le cas pour la position de la singularité, valeur de E où fi,, devient infini. Plus précisément, il est possible de montrer que la valeur du contraste de densité où a lieu la singularité est

Ec

= (1

+ (27$

(

1

+ sinh(’P0)

-‘Po

(

-3

+ sinh(’P0)) + cosh(’P0))’ ) ,

9 sinh(’P0) (-‘PO +

2 (-1

(4.243)

quand l’effondrement a lieu dans un univers ouvert avec, (4.244)

qu’elle est,

-(-)

cc = 3

5

3.rr 2

2

3 N 1,69,

(4.245)

4. Le développement des instabilités gravitationnelles

153

quand l’effondrement a lieu dans un univers plat ; et qu’elle est -1

+ (27r)H

‘Po

1 sin(*,)

-

9 sin(q0)

(3

+

2 (-1

(-90

+sin(qo))

+ cos(%))2

quand l’effondrement a lieu dans un univers fermé avec

Ro = 2/(1

+ cos *O).

(4.24 7)

Ces solutions conduisent à la dépendence montrée sur la figure 4.19.

4.7.9 Effondrement sphérique autosimilaire Dans le cas d’un effondrement sphérique on a vu qu’il était possible de donner le comportement explicite non linéaire du contraste de densité en fonction du temps avant les premiers croisements de coquilles. L’objectif de ce complément est de montrer qu’il est possible d’obtenir une solution complète des équations du mouvement qui tienne compte des croisements de coquilles pour une perturbation dont le profil de densité initial est autosimilaire.

Le comportement autosimilaire On se donne donc une perturbation centrée à l’origine. On s’intéresse alors au comportement d’une coquille initialement à la distance zz du centre. Cette coquille comprend initialement la masse M z M ( < x,,L ) , masse comprise à l’intérieur de la coquille de rayon xz au temps t,. Notons que si les conditions initiales sont telles que les contrastes de densité sont faibles alors A& x:. Pour un profil initial autosimilaire, zz le contraste de densité initiale &(xZ) à l’intérieur du rayon zzdécroît avec 1cZ en loi de puissance, N

ou encore

b,(x,)

(4.249)

N

Par exemple pour une masse centrale isolée on a t = 3 . Pour un événement rare dans un champ gaussien de spectre d’indice spectral n on aura F = n 3 (voir complément 3.4.1). Au cours du temps le rayon de cette coquille x ( t ) évolue. L’équation qui régit ce comportement est bien sûr,

+

(4.250)

Initialement, la coquille est en expansion; il n’y a pas de croisement de coquilles et donc M ( < x,t ) est conservée. Ce sera le cas au moins jusqu’à ce que la coquille atteigne son extension maximale, ~ E M ( z , ) . Cette extension maximale aura lieu au temps t E M ( Z , ) . Le moment de cette extension maximale est caractérisée par une valeur précise du contraste de densité extrapolé par la théorie linéaire t donnée

Cosmologie

154 pour un espace Einstein-de Sitter par maximale est donc caractérisé par,

Fc

= 3 / 5 ( 3 ~ / 2 ) ~Le / ~moment . de l’extension

(4.251)

où D + ( t ) est le taux de croissance des fluctuations. Dans un espace Einstein-de Sitter D + ( t ) t2l3ce qui conduit à, N

tEM(Zt)

Précisons que l’extension maximale et se comporte donc comme

N

nf,“2.

Z E ~ I ( Zt~), est

(4.252) proportionelle à &a(tEhl)/a(t,)

zEM(z,,t ) N nf(f+i)/3.

(4.253)

On veut maintenant s’intéresser à une solution autosimilaire décrivant le mouvement conjoint et autosimilaire de l’ensemble des coquilles. Après iin temps suffisamment long, pour chaque temps t il existe une coqiiille atteignant son extension maximale. Appelons XEM( t ) cette extension. Cette extension croît avec le temps puisqu’elle concerne des coquilles dont le contraste de densité est de plus en plus petit. Appelons -cez(t)le rayon initial de la coqiiille atteignant son extension maximale a u temps t . Alors X E h l ( t ) = pEhIa(t)z,,(t)oii pEMest le contraste de densité au nioment de l’extension maximale. Celui-ci est fixe. I1 vient donc, XEhI(t)

t2/s++2/(3~)

(4.254)

Notons que M E ~ la I , masse correspondante se comporte alors comme, MEhl(t)

ru

t2/‘.

(4.255)

après inversion de la relation (4.252). Une variable naturelle pour décrire le nioiivcment des coquilles est alors X ( t ) = Z ( t ) / X E h f ( t ) . Dès lors que le comportement autosimilaire est établi toutes les coquilles suivent la même trajectoire quand celle-ci est décrite en fonction de A. L’équation du mouvement de X écrite en fonction de la variable de temps = ln(t) devient ainsi pour t = 3 , (4.256) avec (4.257)

où M ( X )est la masse dans le rayon X X ( t ) .Notons que pEhIest donné pour un univers Einstein-de Sitter par pEbr= 97r2/16. Tant que l’on a pas de croisements de coquilles, M ( X ) reste inchangée et M ( X ) / M ( l )se comporte comme ~ / M E M ( ~tK2I3 ) pour t = 3. Au-delà, il faut faire le bilan de la masse des coquilles qui contribuent à M ( X ) .I1 suffit pour cela d’identifier les coquilles qui se trouvent à la même distance c’est-à-dire de résoudre A(&) = A, (4.258) N

4. Le dheloppenient des instabilités gravitationnelles

155

1.

0.5 X(t)/XEM

0. -0.5

-1.

1.

2.

3.

4.

5.

UtEM

FIG.4.29 Évolution de la taille réduite des coquilles X en fonction du temps. La niasse à l’intérieur de la coquille décrite par une ligne continue au moment en t , = 1.8 tEX[ est donnée par la quantité de matière de la coqiiiile initiale à laquelle il faut enlever la masse comprise entre les deux coquilles, en tirets courts et longs, dont l‘efforidrenient a commencé pliis tôt et dont l’extension revient à la même valeur en ~

t

= t,.

et de compter en moins ou en phis la masse de ces coquilles selon qu’elles sortent ou qu‘elles re-rentrent daris IC rayon A. e.y

(4.259) Urie illustration de ce comptage est dorinée figure 4.29. Ainsi iinc solution de (4.256) en A( 1, c’est-à-dire si E < 2 , l’intégrale diverge à l’origine et conduit

à

Dans ce dernier cas, les coquilles externes s’accuniulent dans l‘objet et l’objet adopte un profil en r p 2 .

Chapitre 5 Des fluctuations de métrique primordiales aux observations On s’intéresse ici à la croissance des fluctuations cosmologiques sans préjuger du moment auquel on se trouve, ère de la radiation ou de la matière, et pour des échelles qui peuvent être arbitrairement grandes. Cependant mener le calcul du développement des instabilités gravitationnelles dans un tel contexte est une tâche impossible si l’on ne suppose pas que les fluctuations de métrique et les fluctuations de densité sont faibles, donc que le régime linéaire s’applique ou du moins que l’on puisse appliquer une approche perturbative. Pour des raisons de simplicité de présentation on ne traitera essentiellement que le cas d‘une courbure spatiale nulle pour la partie homogène de la métrique. Ce choix est conforté par le fait qu’une éventuelle courbure spatiale lie peut jouer de rôle qu’à bas redshzft, pour des échelles plus petites que l’horizon, à un moment où les résultats du chapitre 4 sont tout à fait valables. L’objectif des calculs mis en œuvre ici est niultiple. Ils doivent permettre d’approfondir le mécanisme d’instabilité gravitationnelle en identifiant les différents modes d’instabilité et leur développement en fonction des différentes longueurs d’ondes. D’un point de vue observationnel ils doivent permettre de préciser les propriétés génériques attendues des : fonctions de transfert qui permettent, à partir de la forme du spectre de puissance primordial, de calculer le spectre de puissance linéaire dans le champ de matière, celui-là même mesuré dans les observations de l’univers local : spectres des anisotropies ou de polarisation du fond diffus cosmologique. Ces deux calculs sont évideninient liés et ce dernier fera spécifiquement l’objet du chapitre 7. Ils traduisent la nianière dont différents fluides cosmologiques réagissent aux mêmes fluctuations de métrique primordiales. Enfin, en principe, la confrontation des observations aux résultats doit permettre de préciser

Cosmologie

160

N

facteur d’expansion

‘2

*

‘2

mode k /(Ii/Mpc)

FIG.5.1 - Les différents régimes pour l’étude de la croissance des instabilités gravitationnelles représentés dans un plan IC - a en échelles logarithmiques. Les étapes importantes de l’histoire thermique sont matérialisées par des lignes horizontales. Le comportement du facteur d’expansion en particulier dépend de la nature du fluide dominant l’équation d’état de l’univers, radiation, matière puis énergie noire. Pour les observations auxquelles on s’intéresse, un moment important est la recombinaison qui offre une fenêtre sur le comportement des fluctuations de densité et de métrique à un redshzft de l’ordre de 1000. On voit que les modes accessibles à ce moment-là peuvent être plus grands ou plus petits que l’horizon. Celui-ci est matérialisé par la courbe continue épaisse. I1 est caractérisé par k q = 1 où k est le mode de Fourier considéré et q est le temps conforme. Quand kq < 1, c’est-à-dire dans la partie supérieure gauche délimitée par la courbe, le mode est superhorizon, la physique microscopique ne joue pas de rôle ; au contraire quand ICq > 1, le mode est subhorizon et il faut tenir compte des interactions entre particules pour calculer les taux de croissance.

la manière dont les fluctuations primordiales, germes des grandes structures de l’univers, ont pu être engendrées. Comme il a été dit précédemment les difficultés techniques rencontrées dans la mise en œuvre de ces calculs tiennent en grande partie au fait que les échelles mises en jeu sont de l’ordre ou plus grandes que le rayon de Hubble ce qui nécessite de se placer dans un cadre relativiste rigoureux. Qui plus est les phénomènes physiques les plus intéressants auront lieu au moment de la transition (< ère du rayonnement-ère de la matière ». II est donc utile de préciser les échelles spatiales et les échelles temporelles auxquelles on a à faire.

5. Des fluctuations de métrique primordiales aux observations

5.1

161

Horizon et rayon de Hubble

Rappelons que l’espace homogène est supposé décrit par la métrique de Friedmann-Robertson-Walker. Pour des raisons de simplicité de présentation des calculs on introduit généralement le temps conforme q avec, dq-

dt

-, U

de telle sorte que la métrique devient maintenant,

où on suppose que d a b est la métrique d’un espace plat de courbure constante K . Le fluide cosniologique a une densité homogène d’énergie p(q) et une pression P ( q ) .Dans cette nouvelle variable temporelle les équations de Friedmann vont s’écrire,

ce qui implique que, p’ = - 3 x

(P

+ p),

(5.5)

où X’ = dX/dq est la dérivée par rapport au temps conforme et où on a

87rG = l/M&. Notons que dans toute la suite on se servira essentiellement de q comme variable de temps. L’intérêt de cette variable temporelle apparaît déjà quand on s’intéresse à l’horizon d’une particule. On a déjà vu que, à un instant donné, l’horizon d’une particule est donné pour un espace de métrique spatiale plate par,

C’est une quantité bien définie dans une cosmologie standard, cette intégrale convergeant à l’origine. Si on définit q de telle sorte que q = O à t + O alors on a simplement, x H o r . ( q ) = 77. (5.7) Dans ce contexte (celui d’une cosmologie standard) remarquons que l’équation ( 5 . 3 ) peut s’écrire pour un univers sans courbure et dominé successivement par le rayonnement et par la matière,

162

Cosmologie

où aeq. et Heq,sont respectivement les valeurs du facteur d’expansion et de la constante cosmologique au moment de l’équivalence. On obtient ainsi une expression explicite pour le temps conforme,

(1 ‘6‘ = rleq.

+ a/a,,.)l/~ Jz-1

-

1

’

(5.9)

avec

(5.10) Pour un mode k , d’échelle comobile caractéristique i / k , on parlera de mode plus grand que l’horizon si l c < ~ 1, étant une fonction croissante du temps. I1 existe un moment où, pour un k donné, ce produit devient de l’ordre de l’unité. On parlera alors de > de l’Univers et un facteur d’expansion (( moyen B a ( t ) qui lui est associé. Cela ne préjuge pas nécessairement de l’observabilité de ces quantités. En particulier on peut imagiiier que cette expansion (( moyenne >> corresponde à une échelle plus grande que l’Univers observable. I1 faut cependant garder à l’esprit que les fluctuations de mét,rique observbes sont de l’ordre de lop5,essentiellement & tout,es les échelles, par rapport à une métrique moyenne définie dans l’univers observable. L’hypothèse que l’on fait ainsi semble donc bien fondée. Les arialyses de transformées de jauge présentée dans l’annexe A.8 perniettent de montrer qu’il cst légitime d’écrire les fluctuations de métriqiie de la formel,

(5.16) (5.17) (5.18) quand on ne s’intéresse qu’aux fluctuations scalaires (pas d’ondes gravitatiorinelles en particulier). C’est la jauge longitudinale où l’on a deux potentiels Q> et Q. Notons que daris l’approximation newtonienne ces deux potentiels sont égaux et s’identifient donc au potentiel newtonien. Dans la suite on va riégliger l‘existence possible de sources actives (comme des défauts topologiques) dc fliictiiatioris de la métrique. I1 s’agit donc de voir les champs et 4 , liés de manière fonctionnelle aux composantes du tenseur énergie-impulsion, coirime des cliarrips scalaires stochastiques émergeant d’un processus aléatoire antérieur. Ces fluctuations de métrique vont être ii l‘origine des graiides structures de l’Univers.

5.3

Les équations d’Einstein

La marche à suivre est niaintenarit clairement définie : pour connaître l’évolution temporelle des potentiels il faut préciser le contenu de l’univers. écrire les équations de conservation (équation de continuité, et équation d’Euler) et les équations d’Einstein (équations de Poisson généralisées). I1 reste enfin un aspect qui peut être non trivial dans un contexte relativiste : préciser coinnient 1. Voir aussi lcs articles de revue [153.184]

Cosmologie

164

les observables sont reliées aux quantités que l’on vient de définir. Comme précédemment dans le cas de l’univers local, l’équation de Liouville appliquée aux fluides de particules, et en particulier aux photons, va constituer le cœur de ces calculs.

5.3.1

Le tenseur énergie-impulsion

La forme générale du tenseur énergie impulsion au premier ordre dans les perturbations de métrique a déjà été donnée. D’une manière générale‘ pour une espèce z on a,

TO,= -px

(5.19)

- bp,.

(5.20) O

1

+

T , = --(pz PX)VX.Z, rk T\ = (P, bP,) d i j IIxzj,

+

(5.21)

+

(5.22)

où p, et P, sont respectivement la densité et la pression homogène du fluide, 6p, et 6P, les fluctuations relatives de densité et de pression, V, est le flot de z et I I X t 3 est la partie anisotrope (sans trace) de la pression. Dans ces expressions il faut comprendre qu’un mode k a été singularisé. La dépendance spatiale des fonctions qui sont écrites ici est donc celle d’une onde plane. Ainsi quand on prend la divergence d’une quantité vectorielle V , elle s’écrit & = -l/k V t t = k V . De mènie le terme de pression anisotrope est construit à partir des divergences d’un champ scalaire, II: = l/rkzII,tj 1/3y,,II. I1 faut souligner enfin qu’un tel tenseur peut être défini pour chacun des fluides en jeu, en particulier pour tous les fluides qui n’interagissent entre eux que par leur couplage gravitationnel. La première équation de conservation, la conservation de l’énergie donne,

+

3WbPX

+ bp,) + 6p;

-

(p,

+ px)(31Q/ - kv,) =

(5.23)

Comme on va le voir‘ cette équation conduit à une équation très utile dans la suite. Remarquons dès maintenant que pour un fluide d’équation d’état donnée, P, = w,px, cette équation peut encore s’écrire,

(%)/

1 rkv, + 1 + wz

=3w.

(5.24)

Le terme de droite étant le même pour tous les fluides, on obtient une relation entre les comportements des contrastes de densité pour les différents fluides. La conservation de l’impulsion permet d’obtenir une nouvelle équation, elle aussi valable pour chacun des fluides,

5. Des fluctuations de métrique primordiales aux observations

165

Pour un fluide sans pression anisotrope riX et d’équation d’état donnée, on obtient la forme, (5.26) Pour un fluide de poussière, w, = 0‘on retrouve l’équation d’Euler, écrite ici pour un mode donné, et à l’ordre linéaire. Pour un fluide avec pression, on voit apparaître un terme dû aux forces de pression.

5.3.2 Les équations d’Einstein Les équations d’Einstein vont permettre de fermer le système en reliant les potentiels gravitationnels aux éléments du tenseur énergie-impulsion total du système. On définit ainsi la densité, pression, vitesse du fluide total par additivité des tenseurs énergie-impulsion. Ces quantités seront désignées par l’indice T . Ainsi,

Les équations d’Einstein donnent trois relations dont deux seulement sont indépendantes compte tenu des équations de conservation. Ces équations s’écrivent, (5.28) (5.29) (5.30)

I1 est intéressant de voir qu’à partir des deux premières équations d’Einstein on obtient, (5.31) C’est la généralisation de l’équation de Poisson habituelle. I1 est à noter qu’il existe une jauge dans laquelle on peut annuler V - (mais au prix d’une partie mixte dans la métrique). Formellement cette équation prend alors la forme habituelle de l’équation de Poisson. Plus simplement on peut définir un contraste de densité généralisée, A, par

7

AX = - 6p, P X

+ 3’Ft(p, + Pz)-IC )

(5.32)

vX

Naturellement sous l’horizon le deuxième terme du terme de droite devient négligeable et on retrouve le contraste de densité habituel (et il est bien sûr

166

Cosmologie

le même dans toutes les jauges). Un des objectifs des calculs qui suivent est de décrire le coinportenierit de ces contrastes de derisité pour l’ensemble des fluides en présence.

5.3.3

Quantité conservée et modes superhorizon

L’équation de conservation de l’énergie peut se réécrire de la manière suivante,

+

en s’appuyant sur pk = -3’H(p, Pz). Si le fluide a une équation bien déterminée, c’est-à-dire si la pression est une fonction uniquement de la densité, alors le terme de droite de cette équation disparaît. Qui plus est. aux grandes éclielles, on s’attend à ce que le terme de vitcsse ait un effet négligeable. Aux échelles super-Hubble on a donc.

(5.34) pour tous les fluides d’équation d’état dorinée2. Pour deux fluides x et y différents3 on aura donc. (5.35)

ce qui implique que les quantités, (5.36)

soient conservées. Ce sont les densités d’entropie correspondaiit & des fluctuations de composition de l’univers. Elles ne peuvent donc être générkes aux échelles super-Hubble. Enfin si ces quantités sont toutes nulles4, le ternie de droite de l’équation (5.33) est riul aussi en supposant que le fluide total est un niélange de fluides d’équation d’état donnée. Dans ce cas. (5.37)

est une quantité conservée aux échelles super-Hubble. C’est uric quant,ité cssentielle qui permet de faire le pont entre physique sub-Hihble et, physique 2. Insistons sur le fait que cela rie signifie pas que ce soit vrai pour le fluide total. 3. On peut penser par exemple aux photons, aux neutrinos, à la matière noire, à la

matière baryonique, etc. 4. Ce sera le cas par exemple pour une inflation standard à un champ.

5. Des Aiictuatioris de métrique primordiales

aiix

observations

167

super-Hubble, que ce soit peridant les phases récentes de l’évolution de l‘Univers ou peridant une pliase inflationnaire. Le coniporterrient de chaciirie des quantités pourra alors être obtenu à partir des équations d’Einstein. Pour être un peu plus explicite. le comportement des potentiels gravitationnels aiix très grandes échelles, ou de manière équivalente à petit temps, peut facilement être obtenu en ignorant les effets de la pression anisotrope. C’est une hypothèse légitime dans la mesure où celle-ci est nulle dans un fluide de matière non relativiste, elle est nulle dans un fluide de matière relativiste couplée à de la matière non relativiste. elle est aussi nulle pour un champ scalaire, et donc en phase inflatioririaire comme on va le voir. Sous cette hypothèse @ = Q. En s’appuyant sur la deuxième equation d’Einstein, il est alors possible de donner une forme explicite pour la solution super-horizon des potentiels, la température. L’équation de Liouville pour f peut alors être transformée en une équation d‘évolutiori pour 8. À partir de (5.54), on obticiit aisément.

4 + 4, Y (1.

-

Q ’

+ La, Y = o.

(5.58)

(1

quc l’on peut enrore écrire,

(5.59) (7 est le temps conforme). Cette relation exprime le fait que, pour des potentiels statiques, û a) est conservé sur le cône de lumière. En présence de potentiels variables il faut tenir compte de la variation des potentiels sur la trajectoire des photons.

+

5. On démontre ainsi rigoureusement que dans un espace de Friedrnann-RobertsoriWalker, l’inipulsiori des photons décroît comme le facteur d’expansion, propriété que l’on avait obtenue par des arguments heuristiques sur le comportement des longueurs d’onde.

172

5.4.2

Cosmologie

Les équations de conservation pour les photons

Pour écrire les équations de conservation à partir de l’équation de Liouville, on doit prendre ses moments par rapport la direction y. On peut introduire les moments suivants,

(5.60) 8; (x)=

12

(5.61)

372 B(x,y).

(5.62) Mais cela nous obligerait à manipuler des tenseurs d’ordres de plus en plus élevés (on verra qu’on ne peut pas facilement tronquer la hiérarchie). Pour pouvoir ne manipuler que des chanips scalaires, il faut se souvenir que l’on a implicitement décomposé les champs en modes de Fourier. C’est aussi le cas pour la dépendance spatiale de 8. Pour un mode k donné les moments précédents, 80, 81,... correspondent en fait à un développement multipolaire de la forme

+ . . . (-i)‘PL

& ( k ) - i-&(k) k.7 k

(y)

& ( k ) ] , (5.63)

où PLsont les polynômes de Legendre. Par exemple pour un observateur en x, 81 représente le dipôle de température qu’il observerait. Pour un mode donné on ne manipulera finalement que des scalaires. Rappelons que les polynômes de Legendre forment une base orthogonale.

(5.64) En prenant les moments de l’équation de Boltzmann on obtient finalement la hiérarchie,

ae,

- -

drl

-

k

--Bi

-= k

3

+ -,as 877

[

B,+Q>--B2

877 802 = k [;BI 877

-

(5.65)

’1 5

;O3]

,

(5.66)

..

(5.67)

5. Des fluctuations de métrique primordiales aux observations

173

Notons qu’à cause du couplage avec les électrons les parties anisotropes au-delà du dipôle vont finalement être supprimées. Pour cela il nous faut tenir compte des interactions photons-électrons. Dans cette section on aborde enfin les calculs complets de l’évolution des fluctuations des échelles super-horizon aux échelles observables en tenant compte de la physique microscopique de la réionisation. La difficulté principale des calculs vient de la prise en compte des interactions entre les photons et les baryons (en fait les électrons). L’objectif est de décrire la forme des fonctions de transfert pour les fluctuations de métrique observables dans l’univers local, c’est-à-dire le facteur d’aniplificat,iori dont chaque mode est affecté quand on passe d’un régime super-horizon aux fluctuations de l’Univers local.

5.4.3 L’équation de Boltzmann avec interactions La forme générique de l’équation de Boltzmann quand on tient compte des interactions est donnée par, -= C[f],

(5.68)

at

-

où C [ f ]est un terme de collision. En pratique, le terme d’interaction dominant est le terme de collisio~ientre photons et électrons par diffusion Compton (on va le voir, dans la limite Thomson), y ey e-. Avant d’aller plus loin il est saris doute utile d’analyser les grandeurs physiques en présence :

+

-

+

Au moment de la réionisation, il doit y avoir équilibre thermique entre les électrons et les photons. Te = T, = T . Notons que ce n’est pas le cas pour la diffusion secondaire des photons sur les électrons dans le gaz chaud des amas de galaxies. Remarquons que, me >> T , e.g. les électrons sont non relativistes (meN 0,5 Mev et T N 0 , l eV). L’impulsion des e- est donnée par,

(5.69) L’impulsion des photons y est donnée par, p ,

N

T.

Le transfert d’impulsion dans le repère de l’électron initial au repos est donné par,

(5.70) Pr =

Pi + sé,

(5.71)

174

Cosmologie ce qui implique que, /2

Pr-pk

- -~

P7

-

2 G4eP y

=O

(me) -

«T,

(5.72)

Cela exprime le fait qiic les photoris rebondissent sur les électrons sans transfert d’énergie. C’est la limite Thorrison. On verra qiie cette dernière limite permet de coiisidérablenierit simplifier les calculs. L’écriture dc l‘équation de Boltzrriann requiert la coristructiori d’une distribution d’irripulsion q, pour le fluidc électronique.

(5.73) qui exprime IC fait que le fluide est thermalisé daris le référentiel lié au fluide d’électrons. V, est la vitesse moyenne des electrons daris le référentiel courant. Le terme de collision de l’équation dc Boltzniann prend alors la forme.

avec

(5.75) et lM12 est l’élément de matrice carré, invariant de Lorentz, qui décrit la probabilité de transition d’un état à un autre (le facteur 6(*)(pY +Ge -$ -GC) a été mis explicitement en facteur). Cette expression exprirrie un bilan entre les photons qui disparaisserit de l’élément de volume de l’espace des pliascs d3x d 3 p et ceux qui y apparaissent par diffusions. Daris cette expression le terme de suppression de Pauli et le ternie de l‘effet stimulé ont éti. supprimés. La théorie de l’électrodyriarriique doririe l‘expression de l’élément de matrice requis.

(5.76) où tf et t, sont les vecteurs de polarisation des pliotoris incidents et diffusés dans le référentiel de l’électron incident et cy est la constante de structure firie. Dans un régime de couplage fort, à l’équilibre thermodynamique. on ne s’attend évidemment pas à avoir une distribution de photons polarisés. Cependarit il est assez facile de voir que chaque diffusion terid à induire une polarisation. Pour cela faisons iiri choix de coordonnées de vecteurs polarisatiori, ft

=

( s i n ( h ) ?O, cos(@,)).

(5.77)

5 . Des fluctuations de métrique primordiales aux observations et ’ ‘f =

(cos(P)Si.(4fIl sin(B) S 4 4 . f ) ) C O S ( 4 f ) )

’

175

(5.78)

Si on suppose que les photons incidents rie sont pas polarisés, alors l’angle 4% est distribué de manière uniforme sur [O, 27r] et la moyenne de ( E % . E ~ sur ) ~ cet angle est (cos24f sin2 4f cos2 ,0)/2. Le résultat dépend de 4f ce qui montre que la diffusion Compton induit effectivement une polarisation. Cependant, celle-ci ne perdure pas en régime de diffusions multiples et pour mener à bien les calculs entrepris dans cette section il ne va pas être nécessaire de tenir compte de cet effet6. Si alors on moyenne aussi sur la polarisation induite, l’élément de matrice (5.76) s’écrit,

+

(5.79) Le reste du calcul va consister à évaluer C [ f ] . Le calcul de celui-ci exploite le fait que l’écart entre f et la distribution d’équilibre f o est faible. I1 exploite aussi le fait que la température T est beaucoup plus faible que l’impulsion des électrons. À cet ordre d’approximations il vient, E @ ) = P , E(P’)= P’, E(q) = E ( 4 ) = me. (5.80) Notons que 4’ - ï j T < 4, ce qui donne g(&) d3qé est alors triviale, et donne, N

N

g(4,). L’intégration sur

(5.81) En observant que (5.82)

(5.83) Finalement on obtient,

6. I1 sera en revanche significatif quand on s’intéressera aux fluctuations de température du fond diffus cosmologique.

176

Cosmologie

où f a été remplacée par fo dans le dernier terme, celui-ci étant affecté d’un facteur multiplicatif lui-même du premier ordre dans les perturbations. Par ailleurs l’intégrale sur la distribution des angles va faire apparaître différents moments de la distribution angulaire de température. En particulier ce terme de collision fait intervenir les moments monopolaire etJ quadrupolaire de la distribution d’impulsion. Si on écrit, (5.85) avec (5.86) il vient finalement, (5.87) où . Sori équation d’évolution est I (1 . (y’+ -0’ = -k 2 Q’ (5.109) (sans constante cosmologique) et les pointillés à un modèle HDM avec la même quantité de matière noire que pour le modèle CDM. On voit que la coupure dans le cas des modèles HDM est beaucoup plus brutale que pour le modèle CDM correspondant. On peut remarquer pour le cas du modèle A-CDM la présence d’oscillations acoustiques. Celles-ci sont dues au fait que dans ce cas-là les baryons représentent une fraction significative de la matière noire (20 %). Leur présence influence donc la forme de la fonction de transfert. ~

paramètre de forme,

r = Roh,

(5.113)

qui donne l’échelle de keq,. Alors la fonction de transfert peut, en première approximation et dans une large gamme de paramètres, être écrite en fonction de la variable, q = k / ï hMpc-’, (5.114) de la manière suivante,

+

T ( q )=

log( 1 2.34 q ) [l 2.34 q

+ 3.89q + (16.1 q ) 2 + (5.46q)3+ (6.71 q )4] -114

.

(5.115)

Cosrnologie

182

FIG.5.6 Comparaison des fonctions de transfert entre un modèle de référence, le niodèle concordant, en trait continu et un modèle avec uric famille dc neutririos massifs, la fraction totale de matière noire restant inchangée. Les tirets courts ont été obtenus pour une inasse de neutrinos de 0,66 eV donnant une contribution de Cl” = 0,074 à la densité de 1’Univcrs. Les longs correspondent à deux neutrinos massifs pour une même valeur de Cl, = 0.074. C’est la natiirc relativiste des neutrinos qui perdure plus ou moiris longtemps qui est ti l’origine de ces différences. ~

Cette forme rie décrit cependant pas les oscillattions acoustiques qui sont et visibles sur la figure 5.5 quand la fraction de clairement présentes baryons sur la matière noire devient significative et donc en particulier pour le modèle cosniologique concordant. ~~

~

Illustrons encore les dépendances possibles de la fonction de transfert ii l’aide des paramètres cosmologiques. On sait aujourd’hui que les neutrinos sont des particules niassives. Leur niasse qui est tout au plus une fraction d’électron-volt peut en effet affecter la forme des fonctions de transfert. Sur la figure 5.6 est présenté l‘effet induit en présence d’un ou deux neutrinos massifs. On voit qu’il est loin d’être négligeable ! Une mesure précise de la forme de la fonction de t,ransfert grâcc aux mesures de spectre permettrait de contraindre la masse des neutrinos [las,1621. Au-delà du paramètre de forme î il y a beaucoup à apprendre des mesures des spectres des fluctuations. La section suivante est consacrée à la présentation des moyens d’investigation dont on dispose pour sonder les grandes structures de l’univers.

5. Des A iictuations de metrique primordiales aux observations

5.5

183

Sonder les grandes structures de l’Univers avec les galaxies

Le moyen le plus direct pour sonder les grandes structures de l’univers est encore de faire des relevés extragalactiques profonds et simplement de compter les galaxies présentes dans différentes régions de l’espace. Cet,t,eméthode permet au moins d‘apprécier la nianière dont se répartit la matière aux grandes échelles et historiquement ces premiers relevés ont joué un grand rôle dans la construction des modèles cosrriologiques. Les premiers relevés systématiques ont été entrepris à la fin des années 1970 et dans les années 1980. Mentionnons en particulier le relevé CfA (figure 5.7).

FIG.5.7 Illustration d’un des premiers grands relevés extragalactiques reproduisant la position 3D de milliers de galaxies. Cette (< tranche d’Univers n a été publiée initialement par V. de Lapparent et ses collaborateurs [87].Chaque galaxie est dessinée à la distance donnée par son redshzft. Les structures virialisées, comme l’amas Coma dans le centre de l‘image, apparaissent comnie des structures linéaires le long des lignes de visée. Cette représentation montre à l’évidence la presence de regions sous-denses de grande extension. ~

Cela étant on se doute bien qu’une telle approche souffre de limitations importantes : en ne détectant que la lumière on s’expose à de multiples biais observationnels. Rien ne dit en effet que la quantité de lumière reçue d’une région donnée donne une bonne estimation de la quantité de matière qu’elle contient : et quand bien même une relation étroite existerait entre l’une et l’autre, cette relation a toutes les chances d’évoluer sur des temps cosmologiques. Très schématiquenient, le scénario de formation des objets extragalactiques qui a la faveur actuelle d’une majorité d’experts identifie les étapes suivantes : de petits objets (de type amas globulaires) s’effondrent eri premier pour donner les premières étoiles à un redsh cpc avec pc =

EO0.

(8.75)

La forme de ce potentiel est représentée sur la figure 8.5 dans le cas où V ( p ) est un potentiel quadratique. Dans un tel scénario, on peut donner un certain nombre de résultats génériques. Si V(p) est de la forme m2p2 et si cette partie d u potentiel reste négligeable devant VOalors les paramètres de roulement lent sont, E =

i m2p2

-~

2

v,2

m2

et r l = -. VO

(8.76)

+

Si effectivement cp < Mp1 alors 7 > E et n, = 1 2 ~ On . trouve ainsi que n, - 1est donné par la masse effective de l'inflaton. Pour un potentiel standard quadratique ou quartique dans les champs, ce résultat est en contradiction avec les résultats de WMAP. Rappelons tout de même que des incertitudes pèsent sur ces résultats. Cela étant il est possible de contourner ce problème

8. L’origine des structures

319

avec un modèle dit inversé V ( p ) = -1/2m2p2 ou encore si V(p) log(p), une situation que l’on rencontre justement dans les modèles inspirés de la physique des hautes énergies (voir complément 8.7.7). Dans ce dernier cas il vient plus précisément, N

(8.77) où Ne est le nombre de efolds. Ce potentiel permet de rendre compte d’une phase inflationnaire avec des vev de p qui peuvent être aussi faibles que voulues. Cela conduit cependant à des paramètres de roulement lent petits. Notons aussi que dans un tel scénario, la fin de la phase inflationnaire est caractérisée par la formation de défauts topologiques. La nature de ces défauts dépend des propriétés topologiques du vide. Si O est un clianip réel, le vide est caractérisé par O = h o . Ce sont des murs de domaine qui se formeront. Si O est un champ complexe, le vide est décrit par O = exp(i8) ; on a alors formation de cordes cosmiques. Les conséquences de la formation de tels objets feront l’objet d’une section à part eritière.

8.4.2

* L’inflation multi-champs

On nonime ainsi les modèles d’inflation où plusieurs directions légères scalaires coexistent dans le lagrangieri pendant la phase inflationnaire. Les inflations hybrides dont on vient de parler ne rentrent pas dans ce cas-là, le champ auxiliaire y étant lourd. Supposons donc que pendant la phase inflationnaire il y ait en plus de l’inflatoii p. des champs auxiliaires légers xz. On se liinitera ici à des champs ayant des termes cinétiques standard. La dynamique des champs est donc déterminée par le potentiel V(p, xz).Dire que qb est l’inflaton revient supposer que les champs sont définis de telle sorte quel4 (8.78) L’action dans les directions transverses s’écrit,

avec

vi = n x i .

(8.80)

Les champs légers, avec m, < H , tout comme les modes tensoriels vont développer des fluctuations super-Hubble. À la traversée de l’horizon le spectre de ces fluctuations sera, 1 P,(k)= -H2 (8.81) 21c3 * . 14. En fait génériquement il peut arriver que la direction de roulement lent change au cours du temps. Ce cas est traité dans le complément 8.7.2.

320

Cosmologie

Seulement il est à noter que ces fluctuations ne sont pas gelées pendant l’évolution super-horizon si la masse des champs n’est pas nulle. I1 en résulte que l’amplitude du spectre de fluctuations évolue mais aussi que son indice spectral ni est finalement donné par,

ni = 1 - 2t

+ 2vi,

(8.82)

(8.83) Ce terme vient de l’évolution différentielle super-Hubble des fluctuations de divers longueurs d’onde (si la masse du champ est nulle on retrouve bien sûr le même indice spectral que pour les ondes gravitationnelles). Si on ne précise pas davantage le scénario, les fluctuations en xi peuvent éventuellement donner naissance à des fluctuations isocourbes jusqu’au moment de la recombinaison. Cela dépend de manière dont les divers champs se désintègrent au cours du réchauffage de l’univers. Les données ne favorisent pas de tels scénarios. I1 est cependant possible que les fluctuations de ces champs auxiliaires soient transférées en fluctuations adiabatiques. Diverses possibilités ont été proposées dans la littérature. Elles conduisent potentiellement à des phénoménologies nouvelles. Si le transfert a lieu tardivement, que ce soit près de la fin de phase inflationnaire, à la fin ou après, on peut donner un certain nombre de résultats génériques. Le transfert peut être décrit de la manière suivante, R ( k )= fZXi(k). (8.84) i

L’amplitude du spectre des fluctuations ainsi générée dépend essentiellement de fi et dépend des détails du modèle. On s’attend donc à ce que le rapport T entre modes tensoriels et modes scalaires n’obéisse plus à la relation (8.71). Si l’espèce i domine les fluctuations de métrique l’indice spectral des fluctuations de métrique prend alors la forme,

n, = 1 - 2 t

+ 2vi.

On peut d’ailleurs remarquer que ces modèles favorisent plutôt n, étant positif.

8.4.3

(8.85)

2 1, vi

* Les champs tests en auto-interaction

La possibilité d’effectivement 1 impose alors cy > 1/&. Sous cette condition le potentiel (8.129) conduit effectivement à une phase inflationnaire”. On peut aussi relier a: à l’équation d’état de l’inflaton, w v , ce qui conduit à,

wv = -1

+2 M;1

3cY

(8.132)

Le calcul est basé sur le comportement super-horizon des solutions des équations du mouvement pour la variable de Mukhanov, U k , équation (8.52). Notons qu’ici z, défini par (8.53), prend la forme, (8.133) Les solutions Uk de l’équation (8.54) sont alors données par les fonctions de Hankel H,(q) d’indice p donné par, 3u- 1 p=(8.134) 2(u - 1 ) ’ avec (8.135) Dans la limite super-horizon, ces solutions se comportent comme, (8.136) Le spectre de puissance des fluctuations de courbure, P ~ ( l c est ) , alors donné par (8.137) 20. Mais qui ne se termine pas naturellement. Le modèle présenté ici ne saurait donc

être réaliste.

337

8. L’origine des structures

Dans la limite super-Hubble, ce spectre ne dépend plus du temps. Sa dépendance en IC est donnée par,

PR(k)

-

k - 3 - 1Y - 1 ,

(8.138)

Dans la limite v -f 00 on retrouve bien un spectre invariant d’échelle. L’écart à l’invariance d’échelle, ns = 1- 2/(v - 1)’est bien celle attendue dans un développement roulement lent. On peut plus généralement s’assurer que la relation (8.57) est bien vérifiée dans la limite rouldment lent.

8.7.4

Champ test dans un univers en expansion : une approche stochastique

Ce paragraphe a pour but de montrer comment une approche classique permet de rendre compte des propriétés stochastiques d’un champ scalaire test dans un espace en inflation. En effet pendant la phase inflationnaire, les modes super-Hubble du champ scalaire peuvent être traités de manière classique. I1 est clair que le rayon de Hubble est à une échelle comobile variable et qu’au cours de l’évolution il y aura de plus en plus de modes ayant des longueurs d’onde plus grandes que le rayon de Hubble. On s’intéresse alors à la valeur d’un champ scalaire test x couplé minimalement à la métrique. Plus précisément, on s’intéresse aux propriétés stochastiques de la valeur de ce champ quand les modes sub-Hubble ont été filtrés. On notera cette valeur X H que l’on peut écrire formellement, (8.139) à partir d’une décomposition du champ en modes de Fourier et où W est une fenêtre appropriée qui filtre les modes sous le rayon de Hubble. De cette expression il apparaît clairement que le nombre de modes entrant dans l’expression de x H i e.g. vérifiant typiquement IC < a H , est de plus en plus grand. Si on suppose que les modes concernés ont un comportement classique, alors l’évolution de x H peut être décrite par l’effet d’un terme de source stochastique classique qui représente le bruit quantique apporté par les modes traversant l’horizon. En conséquence de quoi x H obéit à une équation d’évolution de type Langevin [245] qui se prête comme on va le voir à de nombreuses manipulations. Précisons un peu les choses. Dans l’esprit des calculs présentés ici il est naturel de supposer que le terme en laplacien de l’équation de Klein-Gordon est négligeable. Dans un contexte inflationnaire il est aussi naturel de supposer que les conditions de roulement lent sont vérifiées. On peut alors écrire l’équation d’évolution de x H de la forme suivantez1

(8.140)

où le premier terme du membre de droite suit directement l’équation de KleinGordon tandis que l’autre s’obtient par différentiation par rapport à la borne de l’intégrale dans (8.139).

x

21. En écrivant cela on a aussi supposé que l’on pouvait prendre la valeur de V‘ en ce qui suppose que les fluctuations de x autour de x H restent faibles.

= xH

338

Cosmologie Formellement l’expression de

) provenant de l’auto-interaction du champ, du moins dans leurs contributions infrarouges.

Cosmologie

340

Champs tests en auto-interaction dans un univers de de Sitter

8.7.5

Dans ce supplément on se propose de donner la forme explicite de (8.90) dans le cas d'un Univers de de Sitter. Cette expression va dépendre pour des raisons de symétrie de la norme des quatre vecteurs d'onde par l'intermédiaire des combinaisons suivantes,

k,;

xi =

~2

k , k,:

= %