Brückenkurs Mathematik: Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben [korrigierte Auflage] 9783486710212, 9783486597776

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Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben

von

Prof. Dr. Karl Bosch

14., korrigierte Auflage 3., vollständig überarbeitete Auflage

OldenbourgVerlag München

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Vorwort zur ersten Auflage ¨ Studienanf¨anger haben oft in den Vorlesungen und Ubungen im Fach Mathematik große Schwierigkeiten, weil sie die dazu erforderlichen Grundkenntnisse der elementaren Grundlagen der Mathematik nicht beherrschen. Diese L¨ ucke soll der vorliegende Br¨ uckenkurs schließen. Er soll die Studierenden in die Lage versetzen, vor oder zu Beginn des Studiums die unentbehrlichen mathematischen Grundkenntnisse aufzufrischen oder nachzulernen. In dem vorliegenden Buch sollen nur die elementaren Gebiete der Mathematik behandelt werden, z.B. Bruchrechnen, Potenzen, Wurzeln, lineare und quadratische Gleichungen und Ungleichungen, Geradengleichungen, Parabeln und Polynome, Binomische Formeln, Betr¨age, trigonometrische Funktionen sowie einige Probleme der ebenen und r¨aumlichen Geometrie. Auf die Infinitesimalrechnung (Folgen, Ableitung und Integration) wird verzichtet, da diese Gebiete ausf¨ uhrlich in den Vorlesungen behandelt werden. Die vielen Beispiele sind so ausgew¨ ahlt, dass das zugeh¨ orige mathematische Problem sofort erkennbar wird. Aus diesem Grund wird auf eingekleidete Aufgaben verzichtet. Die einzelnen Abschnitte sind nach M¨ oglichkeit nicht aufeinander aufgebaut, so dass manche davon u onnen. Damit kann sich der Studienanf¨anger auf ¨bersprungen werden k¨ diejenigen Gebiete konzentrieren, in denen er Schwierigkeiten oder L¨ ucken hat. Am Ende eines jeden Kapitels sind Aufgaben gestellt. Diese sind im Anhang meistens fast vollst¨andig durchgerechnet, was zur Kontrolle benutzt werden kann. F¨ ur den Lernerfolg ist es sicher vorteilhaft, wenigstens einige der Aufgaben vollst¨andig durchzurechnen und erst danach den eigenen L¨ osungsweg mit dem des Buches zu vergleichen. Die Stoffauswahl ist allgemein und nicht fachspezifisch vorgenommen worden mit dem Ziel, dadurch einen breiten Kreis von Studierenden anzusprechen. Ich w¨ unsche den Leserinnen und Lesern einen großen Lernerfolg. F¨ ur Verbesserungsvorschl¨age, z.B. W¨ unsche einer Aufnahme zus¨ atzlicher Gebiete in sp¨ateren Auflagen bin ich jedem Leser dankbar.

Vorwort zur vierzehnten Auflage Die dritte Auflage wurde um die Infinitesimalrechnung (Kap. 22 – 24) erweitert. Bei der ¨ vollst¨andigen Uberarbeitung der elften Auflage wurde die neue Rechtschreibung und die Umstellung von DM auf Euro ber¨ ucksichtigt. Die 13. Auflage wurde vollst¨andig u ¨berarbeitet. In der 14. Auflage wurden Druckfehler beseitigt sowie weitere Verbesserungen vorgenommen. Bei allen Personen, die mich auf Fehler aufmerksam gemacht haben, m¨ ochte ich mich recht herzlich bedanken. Karl Bosch

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Grundlagen der Mengenlehre 1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Darstellungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Grundmenge und leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Durchschnitt und Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Differenz- und Komplement¨ armenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Eigenschaften der Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Zahlenbereiche (Zahlenmengen) Die nat¨ urlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die rationalen Zahlen (Br¨ uche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 17 22 24

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Das Rechnen mit reellen Zahlen Allgemeine Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Rechnen mit Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klammern in Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 29 30

4

Das Rechnen mit Br¨ uchen

33

5 5.1 5.2 5.3

Summen- und Produktzeichen Das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 43 44

6

Das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion und Summenformeln

45

7

Die binomischen Formeln

51

Inhaltsverzeichnis

VIII 8 8.1 8.2 8.3 8.4

Der binomische Lehrsatz – Fakult¨ aten – Binomialkoeffizienten Fakult¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 53 54 57

9

Das Rechnen mit Quadratwurzeln

59

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Potenzen und allgemeine Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-te Wurzeln (Potenzen mit dem Exponenten n1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osungen von Potenzgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 64 65 67 69 70

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Logarithmen Allgemeine Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zehnerlogarithmen (dekadische Logarithmen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nat¨ urliche Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln f¨ ur beliebige Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osungen von Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmen zu verschiedenen Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 74 74 74 77 77 79

12

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

81

13 13.1 13.2 13.3 13.4

Geradengleichungen in der x-y-Ebene Koordinatengleichung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schnitt zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthogonale Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 90 92 92

14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10

Quadratische Gleichungen 95 Reinquadratische Gleichungen ax2 + c = 0; a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Die spezielle quadratische Gleichung ax2 + bx = 0; a 6= 0; b 6= 0 . . . . . . . . . 96 Die allgemeine quadratische Gleichung (quadratische Erg¨anzung) . . . . . . . 97 Der Satz von Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Berechnung der zweiten L¨ osung aus einer L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Polynomdivision bei einer vorgegebenen L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Wurzelgleichungen, die auf quadratische Gleichungen f¨ uhren . . . . . . . . . . . . 105 Gleichungen, die durch Substitution auf quadratische Gleichungen f¨ uhren108 Gleichungen mit Br¨ uchen mit Unbekannten im Nenner . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Inhaltsverzeichnis

IX

15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7

Parabeln 117 Nach oben ge¨ offnete Normalparabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Nach unten ge¨ offnete (gespiegelte) Normalparabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Allgemeine Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Nullstellen von Parabeln – quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Schnitt einer Parabel mit einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Schnitt zweier Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.5.1 16.5.2 16.6

Ungleichungen und Betr¨ age 131 Das Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Betr¨age und Abst¨ ande. Ungleichungen mit Betr¨agen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Reinquadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Allgemeine quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

17 17.1 17.2 17.3

Gleichungen h¨ oherer Ordnung – Polynomdivision 149 Ausklammern einer Potenz von x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Vorgabe einer L¨ osung (Polynomdivision) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

18 18.1 18.2 18.3

Lineare Gleichungssysteme 157 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6

Grundlagen der ebenen Geometrie 165 Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Strahlens¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

20 20.1 20.2 20.3 20.4

Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß 173 Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Bogenmaß auf dem Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Sinus-und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Inhaltsverzeichnis

X 21 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9

Volumina und Oberfl¨ achen von K¨ orpern 181 Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 W¨ urfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Kreiskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Gerader Kegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

22 22.1 22.2 22.3 22.4 22.4.1 22.4.2 22.5 22.6 22.6.1 22.6.2 22.7 22.8 22.9

Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen 189 Definition einer Folge (reelle Zahlenfolge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Monotone und beschr¨ ankte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Arithmetische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Die Summe der nat¨ urlichen Zahlen von 1 bis n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Die allgemeine arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Endliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Spezielle endliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Allgemeine endliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Konvergente und divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Die unendliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

23 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6

Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen 203 Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Grenzwerte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

24 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

Integralrechnung 223 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Die Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion . . . . . . . 229 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

L¨ osungen der Aufgaben

233

Index

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1

Grundlagen der Mengenlehre

Mit Hilfe der Mengenlehre k¨ onnen oft umfangreiche und komplizierte Problemstellungen und deren L¨osungen kompakt und u ¨bersichtlich dargestellt werden. Die nachfolgende Definition geht auf den deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) zur¨ uck.

1.1

Der Begriff einer Menge

Definition: Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten unterscheidbaren Objekten (Dingen). Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststellbar sein, ob es zur entsprechenden Menge geh¨ ort oder nicht. Die einzelnen Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, heißen Elemente dieser Menge. Bezeichnungen: Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, z.B. A, B, C, . . . , X, A1 , A2 , A3 , . . . Die Elemente bezeichnet man mit kleinen lateinischen Buchstaben, z.B. a, b, c, . . . , x, y, z, a1 , a2 , a3 , . . . . Falls das Element x in der Menge A enthalten ist, schreibt man x ∈ A (x ist Element von A; x ist in A enthalten).

Falls das Element x nicht in A enthalten ist, schreibt man x 6∈ A (x ist nicht Element von A; x ist nicht in A enthalten).

1.2

Darstellungen von Mengen

Beispiel 1 (beschreibende Darstellung): a) A = Menge der am heutigen Tag arbeitslosen Personen des Landes Baden-W¨ urttemberg; b) B = Menge der am 16.10.2006 an der Universit¨at Hohenheim immatrikulierten Studierenden; c) C = Menge der durch 7 teilbaren nat¨ urlichen Zahlen; d) D = Menge der PKW’s mit dem Stuttgarter Kennzeichen. Beispiel 2 (aufz¨ ahlende Schreibweise): a) G = {2; 4; 6} (= gerade Augenzahlen eines W¨ urfels); b) A = {1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000} (= Dreierpotenzen der nat¨ urlichen Zahlen, die nicht gr¨oßer als 1000 sind);

2

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

c) M = {3, 6, 9, 12, 15, . . .} = {3n|n ist eine nat¨ urliche Zahl} (Menge der durch 3 teilbaren nat¨ urlichen Zahlen). Beispiel 3 (Venn-Diagramme): B

A 7 b

1 b

b b b

2 3 b

b

b

8

C b

9 b

10

6

4

5

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; B = {8, 9};

C = {10}.

In einer beschreibenden Form werden die Elemente einer Menge verbal beschrieben. Jedes Element, f¨ ur welches diese Beschreibung (Aussage) zutrifft, geh¨ort zur Menge (s. Beispiel 1). In der aufz¨ ahlenden Form werden die Elemente – durch Kommata getrennt – zwischen zwei geschweiften Klammern zusammengestellt (s. Beispiel 2). Bei Venn-Diagrammen werden die Elemente einer Menge als Punkte in der Zeichenebene dargestellt, die von einer geschlossenen Kurve berandet werden (s. Beispiel 3). Beispiel 4: a) Menge der Buchstaben des Wortes Mengenlehre M = {M, e, n, g, l, h, r};

b) Menge der Buchstaben des Wortes OTTO A = {O, T };

c) Menge der Primzahlen, die kleiner als 30 sind B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Achtung: Da die Elemente einer Menge wohlunterscheidbar sein m¨ ussen, darf jedes Element in der aufz¨ ahlenden Schreibweise nur einmal aufgef¨ uhrt werden. So kommt in Beispiel 4a) der Buchstabe e nur einmal vor, obwohl dieser Buchstabe im Wort Mengenlehre viermal enthalten ist. Die in der Umgangssprache benutzten Begriffe eine Menge Autos“, eine Menge Geld“ ” ” oder eine Menge Kleider“ sind im mathematischen Sinne keine Mengen, da nicht fest” stellbar ist, welche Elemente dazu geh¨ oren. Dieser Mengenbegriff“ ersetzt in der Um” gangssprache den Begriff viel“. ”

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

3

Die Menge der guten Autofahrer“ ist keine Menge nach Cantor. Zur Entscheidung, ob ” ein bestimmter Autofahrer dazugeh¨ ort, reicht diese Beschreibung nicht aus. Ebensowenig ist die Menge der reichen Personen“ eine Menge im mathematischen Sinne. ”

1.3

Grundmenge und leere Menge

Beispiel 5: A sei die Menge der Zahlen, die kleiner als 10 sind. Zur genauen Bestimmung von A muss noch angegeben werden, welche Zahlen zugelassen werden. Diese zugelassenen Zahlen bilden die sog. Grundmenge G. a) In der Grundmenge der nat¨ urlichen Zahlen G = {1, 2, 3, . . .} gilt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} mit − 1 6∈ A.

b) In der Grundmenge der ganzen Zahlen G = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ist 1 6∈ A. 2 c) Falls die Grundmenge G aus allen Br¨ uchen besteht, gilt o na √ a, b ganzzahlig, b 6= 0 mit a < 10 ; 2 6∈ A. A= b b A = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

Definition:

a) Die Grundmenge G enth¨ alt alle betrachteten Elemente. b) Eine Menge, die kein Element enth¨ alt, heißt leere Menge; die leere Menge wird mit ∅ oder {} bezeichnet. Beispiel 6: Die Menge der Quadratzahlen zwischen 105 und 120 ist die leere Menge ∅. Wegen 102 = 100 und 112 = 121 gibt es n¨ amlich in dem angegebenen Bereich keine Quadratzahl.

1.4

Gleichheit von Mengen

Definition: Die Mengen A und B sind gleich, im Zeichen A = B, falls beide Mengen aus genau denselben Elementen bestehen, wenn also jedes Element a ∈ A auch in B und jedes Element b ∈ B auch in A enthalten ist.

A 6= B (A ungleich B) bedeutet, dass A und B nicht gleich sind. Mit der logischen ¨ Implikation ⇒ (Folgepfeil) und dem Aquivalenzzeichen ⇔ (aus der linksseitigen Aussage folgt die rechtsseitige und umgekehrt) kann die Gleichheit zweier Mengen folgendermaßen definiert werden A=B⇔a∈A⇒a∈B

und

b ∈ B ⇒ b ∈ A.

4

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

Beispiel 7: Gegeben sind die Mengen 8 14 4 A = {4; 16; ; 1 3/4}; B = {22 ; 42 ; ; }; 7 14 8 4 2 2 4 7 C = {(−2) ; (−4) ; ; }; D = {−22 ; −42 ; ; 1 3/4}. 7 4 7 8 7 14 4 = ; 1 3/4 = = gilt A = B = C. 7 14 4 8 b) Wegen −22 = −4 ∈ D; −4 6∈ A ist A 6= D. a) Wegen (−2)2 = 22 = 4; (−4)2 = 16;

Beispiel 8: a) x = {x} kann nicht erf¨ ullt sein, da x ein Element ist und {x} die Menge, welche nur das Element x enth¨ alt. Es ist also x 6= {x}.

b) Die Menge {0} besitzt das Element 0. Diese Menge ist daher von der leeren Menge verschieden, d.h. ∅ 6= {0}.

1.5

Teilmengen

Beispiel 9: Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 4}; B = {1, 2, 4, 6}; C = {1, 2, 5, 6}; D = {2, 5, 6}.

Alle Elemente von A sind auch in B enthalten, daher nennt man A eine Teilmenge von B und schreibt daf¨ ur A ⊂ B. A ist keine Teilmenge von C, da das Element 4 in A, aber nicht in C enthalten ist. D ist Teilmenge von C. Definition: A heißt Teilmenge von B (A ist in B enthalten), falls jedes Element der Menge A auch in der Menge B enthalten ist; hierf¨ ur schreibt man A ⊂ B oder B ⊃ A.

A 6⊂ B bedeutet, dass A keine Teilmenge von B ist. Es gilt A ⊂ B ⇐⇒ a ∈ A ⇒ a ∈ B.

Beispiel 10: A = {x | x ist eine Stadt in Baden-W¨ urttemberg}; B = {y | y ist eine Stadt in Deutschland}; C = {z | z ist eine Stadt in Europa}; D = {u | u ist eine Stadt in China}. Hier gilt A ⊂ B ⊂ C; D 6⊂ C; C 6⊂ D.

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

5

Bemerkungen: 1) F¨ ur jede beliebige Menge A gilt ∅ ⊂ A, d.h. jede Menge A enth¨alt die leere Menge. 2) Nach der Teilmengendefinition ist A ⊂ A. Die Teilmengenbeziehung ⊂ umfasst also auch die Gleichheit. 3) Im Falle A ⊂ B und A 6= B gibt es mindestens ein Element, das in B, aber nicht in A enthalten ist. In diesem Falle heißt A eine echte Teilmenge von B. 4) Aus A ⊂ B und B ⊂ A folgt A = B und umgekehrt. Es gilt also A = B ⇔ A ⊂ B und B ⊂ A.

Beispiel 11: In dem Venn-Diagramm sollen die entsprechenden Mengen aus allen Punkten der Zeichenebene bestehen, die entweder auf oder innerhalb der Berandung (Kreis) liegen. Es gilt B ⊂ A; C 6⊂ A. A C B

Eine Menge A mit n Elementen besitzt 2n verschiedene Teilmengen. Dabei ist die leere Menge ∅ und die Menge A mitgez¨ ahlt.

1.6

Durchschnitt und Vereinigung

Beispiel 12: Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} und C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. a) Nur die Elemente 3 und 4 liegen sowohl in A als auch in B. Sie bilden den sog. Durchschnitt oder die Schnittmenge A ∩ B = {3, 4}. b) F¨ ur den Durchschnitt der Mengen B und C gilt B ∩ C = {5, 6}. c) Die Mengen A und C besitzen kein gemeinsames Element. Der Durchschnitt ist die leere Menge, d.h. A ∩ C = ∅. A und C sind disjunkt (elementenfremd). Definition: a) Der Durchschnitt (Schnittmenge) A ∩ B (sprich: A geschnitten mit B) ist die Menge derjenigen Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind: A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.

Dabei bedeutet ∧ das logische und“. Ein zu A ∩ B geh¨orendes Element muss also ” die Bedingung x ∈ A und x ∈ B, also beide Bedingungen gleichzeitig erf¨ ullen.

6

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

b) Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, heißen disjunkt oder elementenfremd. Bei disjunkten Mengen ist also der Durchschnitt leer: A, B disjunkt ⇔ A ∩ B = ∅. Bemerkung: ¨ Ahnlich wie den Malpunkt beim Buchstabenrechnen l¨asst man das Durchschnittszeichen manchmal weg und schreibt AB f¨ ur A ∩ B. Beispiel 13: a)

A

B

b)

A

B

A∩B

A ∩ B = ∅; A und B sind disjunkt c)

B A A∩B

A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A

Beispiel 14: In der Grundmenge der nat¨ urlichen Zahlen sei A = Menge der durch 3 teilbaren Zahlen; B = Menge der durch 7 teilbaren Zahlen; C = Menge der durch 12 teilbaren Zahlen; D = Menge der durch 18 teilbaren Zahlen; A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 . . .}; B = {7, 14, 21, 28, 35, . . .}; C = {12, 24, 36, 48, 60, 72, . . .}; D = {18, 36, 54, 72, 90, . . .}.

Daraus folgt A ∩ B = {21, 42, 63, 84, . . .} = Menge der durch 21 teilbaren Zahlen; A ∩ C = C folgt aus C ⊂ A, da jede durch 12 teilbare Zahl auch durch 3 teilbar ist; B ∩ C = {84, 168, 252, . . .} = Menge der durch 84 teilbaren Zahlen; C ∩ D = {36, 72, 108, . . .} = Menge der durch 36 teilbaren Zahlen; 36 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18. Merke

A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊂ B.

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

7

Beispiel 15 (vgl. Beispiel 12): Die Menge der Elemente, die zu mindestens einer der Mengen A oder B geh¨oren, stellen die sog. Vereinigungsmenge dar, es gilt: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(Elemente aus A oder B); (Elemente aus A oder C).

Definition: Die Vereinigung (Vereinigungsmenge) A ∪ B (sprich: A vereinigt mit B) der Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die zu mindestens einer der beiden Mengen geh¨oren. Man sagt auch: die Vereinigung besteht aus denjenigen Elementen, die zu A oder zu B (oder zu beiden Mengen) geh¨oren. Das benutzte oder“ ist also kein ” ausschließendes oder. Daf¨ ur wird das Symbol ∨ benutzt. Vereinigung: A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}. Die Elemente x ∈ A ∩ B sind also auch in der Vereinigung enthalten. Beispiel 16 (vgl. Beispiel 14): Aus Beispiel 14 erh¨ alt man A ∪ B = {3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, . . .} ={x|x ist Vielfaches von 3 ∨ x ist Vielfaches von 7}; A ∪ C = A folgt aus C ⊂ A; B ∪ C = {7, 12, 14, 21, 24, . . .} = {x|x ist Vielfaches von 7 oder 12}; C ∪ D = {12, 18, 24, 36, 48, 54, . . .} ={x|x ist Vielfaches von 12 oder 18}. Beispiel 17: a)

A

B

A∪B

c)

Merke:

A

B

A ∪ B; (beide Kreisscheiben)

B A

b)

A ⊂B ⇒A∪B =B

A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊂ B

8

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

¨ Ubertragung auf mehrere Mengen Durchschnitt von n Mengen (n = beliebige nat¨ urliche Zahl) n \ A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = Ai = {x | x liegt in allen Mengen Ai }. i=1

Vereinigung von n Mengen n [ A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An = Ai = {x | x liegt in mindestens einer der Mengen Ai }. i=1

Beispiel 18: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 4, 5, 6, 7}; C = {4, 5, 6, 7, 8}; D = {6, 7, 8, 9, 10}. a) A ∩ B ∩ C = {4, 5}; b) Aus A ∩ D = ∅ folgt A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅; c) A ∪ B ∪ C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Beispiel 19 (A, B, C, D = Kreisscheiben): a)

A

B

b)

A

B

A∩B∩C

C

C

D

A ∪ B ∪ C ∪ D (schraffierte Fl¨ ache) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅.

1.7

Differenz- und Komplement¨armenge

Beispiel 20: Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}; D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. a) Alle Elemente, die in A, aber nicht in B liegen, bilden die sog. Differenzmenge A \ B = {1, 2, 3, 4}.

Die Elemente, die in B, aber nicht in A liegen, bilden die Differenzmenge B \ A = {7, 8, 9, 10}.

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

9

b) A ist Teilmenge von D. Um aus der Teilmenge A die Obermenge D zu erhalten, muss zu A die sog. Komplement¨ armenge CD A = D \ A = {7, 8, 9, 10} hinzugef¨ ugt werden. Definition: a) Die Differenzmenge B \ A (lies B ohne A) besteht aus denjenigen Elementen, die zu B, aber nicht zu A geh¨ oren B \ A = {x|(x ∈ B) ∧ (x 6∈ A)}.

b) Falls A eine Teilmenge von B ist, besteht das Komplement (Komplement¨ armenge, Restmenge) CB A von A bez¨ uglich B aus denjenigen Elementen, die zu B, aber nicht zu A geh¨oren. Es gilt also CB A = {x|(x ∈ B) ∧ (x 6∈ A)}, falls

A ⊂ B.

Bemerkung: 1) Bei der Komplementbildung (Erg¨ anzung) von A bez¨ uglich B wird die Inklusion A ⊂ B ben¨otigt. Dieses Komplement h¨ angt somit von beiden Mengen A und B ab. 2) Die Komplementbildung bez¨ uglich der Grundmenge G ist immer m¨oglich. Hier wird meistens die Bezeichnung A = CG A = G \ A = {x|(x ∈ G) ∧ x 6∈ A}

benutzt.

Beispiel 21: Grundmenge = Menge der nat¨ urlichen Zahlen A = {3, 6, 9, 12, 15, . . .} B = {6, 12, 18, 24, 30, . . .}

(Menge der durch 3 teilbaren Zahlen) (Menge der durch 6 teilbaren Zahlen)

Hier gilt B ⊂ A (echte Teilmenge) mit B \ A = ∅;

A \ B = CA B = {3, 9, 15, . . .}.

A = G \ A = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, . . .}.

10

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

Beispiel 22: a)

A

b)

B

A\B

A∩B

A A\B

B\A

B

A

A\B

B B\A

B\A=∅

c) G A

d)

A

G B

A A∪B A ∪ B = Fl¨ ache außerhalb der beiden Kreisscheiben = A ∩ B

Bemerkung: 1) Aus A ∩ B = ∅ folgt

A \ B = A und

B \ A = B.

2) (A \ B) ∪ (B \ A) stellt die Elemente dar, die in genau einer der beiden Mengen liegen. 3) Allgemein gilt die Darstellung A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A \ B) ∪ (B \ A) Dabei sind die drei Mengen auf der rechten Seite paarweise disjunkt. Der erste Anteil A∩B besteht aus denjenigen Elementen, welche gleichzeitig in beiden Mengen liegen, der Rest stellt diejenigen Elemente dar, die zu genau einer der beiden Mengen geh¨oren (s. Beispiel 22a).

1.8

Eigenschaften der Mengenoperationen

Die nachfolgenden Eigenschaften der Mengenoperationen sind entweder unmittelbar plausibel oder k¨onnen mit Hilfe von Venn-Diagrammen leicht nachvollzogen werden. Bei fehlenden Klammern ist die Durchschnitts- und Komplementbildung vor der Vereinigungsbildung durchzuf¨ uhren in Analogie zur Regel Punktrechnung vor Strichrech” nung“ beim Buchstabenrechnen. Wegen des Assoziativgesetzes (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

k¨onnen die Klammern weggelassen werden, da in A ∪ B ∪ C jede Klammerung (Reihenfolge) zum gleichen Ergebnis f¨ uhrt.

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

11

A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ B) ∪ C

(Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = AB ∪ AC A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(Distributivgesetze)

A ∪ ∅ = A;

A∩∅ =∅

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) A ∪ B = A ∩ B; G = ∅;

∅ = G;

A∩B =A∪B A=A

  

(Die Morganschen Regeln) A = Komplement bez¨ uglich der Grundmenge G

 

A ⊂ B und B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

(Transitivgesetz)

A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A und A ∪ B = B A ⊂ A ∪ B und B ⊂ A ∪ B (A ∩ B) ⊂ A und (A ∩ B) ⊂ B.

1.9

Aufgaben

A1.1 Durch welche charakterisierenden Eigenschaften k¨onnen die folgenden Mengen beschrieben werden? A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .}; B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . .}. A1.2 A sei die Menge der Zahlen x mit −5 < x ≤ 5. Schreiben Sie diese Menge in aufz¨ahlender Schreibweise a) in der Grundmenge der nat¨ urlichen Zahlen; b) in der Grundmenge der negativen ganzen Zahlen; c) in der Grundmenge der ganzen Zahlen.  9 11 4 2 , ; 5 ; 8; ; 3 4 4 r     81 9 225 50 8 B = 23 ; ; 25; ; 2,75 ; C = ; ; und 16 6 4 226 72   2 x x und y sind nat¨ u rliche Zahlen . D= y2 A1.3 Gegeben sind die Mengen A =



¨ Uberpr¨ ufen Sie, ob folgende Eigenschaften richtig sind: a) A = B;

b) C ⊂ D;

c) A ⊂ D.

12

Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre

A1.4 Gegeben sind die Mengen A = {1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8, 10}; C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. a) Geben Sie folgende Mengen an A ∪ B; A ∩ B; A \ B; A \ C; B \ C; C \ A; C \ B; C \ (A ∪ B); C \ (A ∩ B); CA∪B (C) = Komplement von C bzgl. A ∪ B. b) Wie muss die Grundmenge G sein, damit f¨ ur das Komplement bez¨ uglich G gilt A ∪ B ∪ C = {11, 12}? c) Bestimmen Sie die Menge derjenigen Elemente, die in genau zwei der Mengen A, B und C liegen. A1.5 a) Bestimmen Sie alle Teilmengen von A = {a, b, c, d, e}. b) Wie viele verschiedene Teilmengen gibt es insgesamt? A1.6 Stellen Sie im nachfolgenden Venn-Diagramm alle 8 Teilmengen mit Hilfe von geeigneten Mengenoperationen durch die Ausgangsmengen A, B und C dar. G (Grundmenge) A B

C

2

Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

In diesem Abschnitt werden verschiedene Zahlenbegriffe behandelt. Ausgangspunkt sind die nat¨ urlichen Zahlen. Durch anschauliche Erweiterungen gelangt man u ¨ber die ganzen und rationalen Zahlen (Br¨ uche) zu der Menge aller Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl darstellen lassen (reelle Zahlen).

2.1

Die nat¨urlichen Zahlen

Zum Abz¨ahlen von irgendwelchen Dingen benutzt man die sog. nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . Die Menge dieser nat¨ urlichen Zahlen bezeichnet man mit

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .}

Um anzuzeigen, dass es sich um eine Zahlenmenge handelt, wird im Mengensymbol

N der doppelte Stich angebracht.

Die Bezeichnung der Symbole f¨ ur die nat¨ urlichen Zahlen ist willk¨ urlich. Anstelle der arabischen Ziffern k¨ onnten auch r¨ omische Ziffern oder andere Symbole benutzt werden. Wesentlich f¨ ur die Charakterisierung der Menge der nat¨ urlichen Zahlen sind die beiden

Eigenschaften: 1) Jede nat¨ urliche Zahl hat genau einen Nachfolger. 2) Jede nat¨ urliche Zahl – mit Ausnahme der Zahl 1 – hat genau einen Vorg¨ anger. Die Folge der nat¨ urlichen Zahlen hat ihren Anfang in der Zahl 1. Den Nachfolger der nat¨ urlichen Zahl n bezeichnet man mit n+1, den Vorg¨anger mit n−1, falls n nicht gleich 1 ist. Wegen der Eigenschaft 1) bricht die mit n = 1 beginnende Folge der nat¨ urlichen Zahlen nicht ab. Es gibt keine gr¨ oßte nat¨ urliche Zahl. Die Menge hat unendlich viele Elemente.

N

Die nat¨ urlichen Zahlen k¨ onnen auf dem Zahlenstrahl (Ordinatenachse) durch ¨aquidistante Einteilung der Gr¨ oße nach, also in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden. Dabei ist zu beachten, dass der Nullpunkt oder Ordinatenursprung 0 nicht zu geh¨ort.

N

0

1

2

3

4

5

6

n1

n2

n

14

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

F¨ ur zwei beliebige Zahlen n1 , n2 ∈

N gilt genau eine der drei Beziehungen

a) n1 = n2 (n1 ist gleich n2 ), falls beide Zahlen zusammenfallen; b) n1 < n2 (n1 ist kleiner als n2 ), falls n1 links von n2 liegt, c) n1 > n2 (n1 ist gr¨ oßer als n2 ), falls n1 rechts von n2 liegt. a)

b) n1 , n2 n1 = n2

c) n1

n2

n2

n1

n1 < n2

n1 > n2

n1 < n2 ist mit n2 > n1 gleichwertig. n1 6= n2 (n1 ungleich n2 ) wird benutzt, falls n1 = n2 nicht gilt. Beispiel 1: 2 < 5; 32 > 22 ;

17 + 3 = 20; 52 = 25.

Die Addition Die nat¨ urlichen Zahlen k¨ onnen auf dem Zahlenstrahl auch durch Pfeile (gerichtete Gr¨oßen) dargestellt werden, die vom Nullpunkt (Ordinatenursprung O) zu den auf dem Zahlenstrahl dargestellten Zahlen weisen. 7+5=5+7 7

5

5

O

1

7

5

7

12

n

Durch Parallelverschieben und Aneinanderreihen dieser Pfeile l¨asst sich die Addition n1 + n2 erkl¨aren. Die L¨ ange des (n1 + n2 )-Pfeiles ist gleich der Summe der L¨angen der n1 - und n2 -Pfeile. Die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber der Addition, d.h. mit zwei nat¨ urlichen Zahlen ist auch deren Summe wieder eine nat¨ urliche Zahl. Die Multiplikation Sind n1 und n2 nat¨ urliche Zahlen, so ist das Produkt n1 · n2 = n2 + n2 + . . . + n2 = n1 + n1 + . . . + n1 {z } | {z } | n1 Summanden n2 Summanden

ebenfalls eine nat¨ urliche Zahl.

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

15

Die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber den Operationen der Addition und der Multiplikation. Es gilt also n1 , n2 ∈

N⇒n

Die Subtraktion ist in

1

+ n2 ∈

N und n

1

· n2 ∈

N.

N nicht uneingeschr¨ankt durchf¨uhrbar. Die Gleichung

5+x=8 besitzt zwar die L¨osung x = 8 − 5 = 3 ∈ mit

N, doch gibt es keine nat¨urliche Zahl x ∈ N

10 + x = 4. x = 4 − 10 ist keine nat¨ urliche Zahl. Die Zahl Null: Falls eine Menge endlich viele Elemente besitzt, l¨asst sich die Anzahl ihrer Elemente durch eine nat¨ urliche Zahl n beschreiben. Diese nat¨ urliche Zahl kann beliebig groß sein. Die leere Menge besitzt kein Element. Bez¨ uglich der Anzahl der Elemente wird ihr die Zahl 0 zugeordnet. Aus diesem Grund ist es naheliegend, die Menge der nat¨ urlichen Zahlen um diese Zahl 0 zu erweitern. Daf¨ ur wird folgende Bezeichnung benutzt:

N

0

2.2

= {0} ∪

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

Die ganzen Zahlen

Bei Temperaturen gen¨ ugt die Angabe einer Zahl nicht. So ist aus der Temperaturangabe 3◦ Celsius nicht erkenntlich, ob der Wert oberhalb oder unterhalb des Gefrierpunkts (= 0◦ ) gemessen wurde. Zur genauen Charakterisierung werden die Zahlenangaben mit einem Vorzeichen versehen. So bedeutet +3◦ (= 3◦ ) drei Grad W¨arme (drei Grad u ¨ber 0) w¨ahrend −3◦ drei Grad K¨ alte (drei Grad unter Null) bedeutet.

5

0

5

16

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

Zur Darstellung der negativen Zahlen wird der Zahlenstrahl u ¨ber die Null hinaus nach links zur Zahlengeraden verl¨ angert. −5 −5 −4 −3 −2 −1

5 = +5

0

1

2

3

4

5

6

Der zur nat¨ urlichen Zahl n gerichtete Pfeil wird entgegengesetzt (nach links) orientiert. Falls dieser entgegengesetzt gerichtete Pfeil gleich lang ist wie der Ausgangspfeil, endet seine Spitze bei der negativen ganzen Zahl – n. Der Pfeil, der zur Zahl 0 zeigt, hat die L¨ange 0. Durch diese Spiegelung der Pfeile entsteht die Menge der ganzen Zahlen

Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Jede ganze Zahl hat genau einen Vorg¨ anger und genau einen Nachfolger. Damit gibt es in dieser Menge weder eine kleinste noch eine gr¨oßte Zahl. Die links vom Nullpunkt liegenden Zahlen heißen negative Zahlen. Rechts vom Nullpunkt liegen die nat¨ urlichen Zahlen. Um sie von den negativen Zahlen zu unterscheiden, nennt man sie positive ganze Zahlen und versieht sie gelegentlich mit einem vorgesetzten Pluszeichen, z.B. +13 = 13. Der Zahl 0 kann man beide Vorzeichen zuordnen: 0 = +0 = −0. Addition und Multiplikation sind im Bereich der ganzen Zahlen uneingeschr¨ankt durchf¨ uhrbar. Dabei gelten f¨ ur beliebige ganze Zahlen a, b ∈ die

Z

Vorzeichenregeln: +(+a) = a +(−a) =−a −(+a) =−a −(−a) = a

(+a) · (+b) = a · b (−a) · (−b) = a · b

(−a) · (+b) =−a · b (+a) · (−b) =−a · b

Die nat¨ urlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der ganzen Zahlen; es gilt also

N⊂Z

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

17

Die Subtraktion Durch z1 − z2 = z1 + (−z2 )

wird die Subtraktion auf die Addition der Gegenzahl −z2 zur¨ uckgef¨ uhrt. Diese Subtraktion ist f¨ ur beliebige ganze Zahlen durchf¨ uhrbar. Sind a und b beliebige ganze Zahlen, so hat die Gleichung a+x=b die L¨osung x = b + (−a) = b − a. Die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber den Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation; es gilt also z1 , z2 ∈

Z⇒z

1

+ z2 ∈

Z,

z1 − z2 ∈

Z;

z1 · z2 ∈

Z.

Die Division ist in der Menge der ganzen Zahlen nicht uneingeschr¨ankt durchf¨ uhrbar. So besitzt zwar die Gleichung 4·x = −12 die L¨ osung x = −3 ∈ , die Gleichung 4·x = 5 hat jedoch in keine L¨ osung, es gibt keine ganze Zahl x mit 4x = 5.

Z

Z

2.3

Die rationalen Zahlen (Br¨uche)

Beispiel 2:

H

ilf sg er ad e

Die Verbindungsstrecke vom Nullpunkt zur Zahl 1 soll in 7 gleich lange Teile zerlegt werden. Dies geschieht mit Hilfe des Strahlensatzes (s. Abschnitt 19.2). Auf einer durch den Nullpunkt gezeichneten von dem Zahlenstrahl verschiedenen Hilfsgeraden werden mit dem Stechzirkel 7 gleich lange Strecken abgetragen.

E b

b

0

1 2 3 4 5 7 7 4 7 7

6 1 7

8 9 7 7

2

x

Der so erhaltene Endpunkt E wird mit dem Punkt 1 verbunden. Zu dieser Verbindungsstrecke werden Parallelen durch die restlichen 6 Teilpunkte gezeichnet. Dadurch 2 1 2 3 4 5 6 7 entstehen auf dem Zahlenstrahl die Br¨ uche , , , , , , = 1. Addiert man zu 7 7 7 7 7 7 7 7

18

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

2 37 = . Durch Parallelverschiebung und Umorien7 7 k auf der Zahlengeraden tierung der Richtung lassen sich somit alle Zahlen ± , k ∈ 7 darstellen. die Zahl 5 so erh¨alt man die Zahl 5 +

N

F¨ ur beliebige nat¨ urliche Zahlen m und n l¨ asst sich wie in Beispiel 2 beschrieben auf m der Zahlengeraden der Quotient darstellen. Durch entgegengesetzte Orientierung n m (Spiegelung am Nullpunkt) entsteht der negative Bruch − . n Die Menge aller Br¨ uche heißt die Menge der rationalen Zahlen (Quotienten); bezeichnet, sie wird mit   p | p, q ∈ ; q 6= 0 . = q

Q

Q

Z

F¨ ur eine rationale Zahl gibt es beliebig viele a¨quivalente Darstellungen. So gilt z.B. 6 15 21 −12 3 = = = = (Erweitern oder Kurzen). 7 14 35 49 −28 z Durch z = kann jede ganze Zahl als rationale Zahl dargestellt werden. Damit gilt 1 ⊂ ⊂

N Z Q

Die Menge der ganzen Zahlen ist also eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber den Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, wobei allerdings nicht durch 0 dividiert werden darf. Rechenregeln (die auftretenden Nenner d¨ urfen nicht verschwinden) Gleichheit a1 a2 = ⇐⇒ a1 · b2 = b1 · a2 ; b1 , b2 6= 0; b1 b2 Erweitern (k¨ urzen) k·a a = , b, k 6= 0; b k·b Addition und Subtraktion gleichnamiger Br¨ uche a2 a1 ± a2 a1 ± = ; b 6= 0; b b b Addition und Subtraktion beliebiger Br¨ uche a1 a2 a1 · b 2 ± b 1 · a2 ± = , b1 , b2 6= 0; b1 b2 b1 · b2

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

19

Multiplikation a1 · a2 a1 a2 · = , b1 , b2 6= 0 b1 b2 b1 · b2 (Z¨ahler mal Z¨ ahler und Nenner mal Nenner); Division a1 a1 a2 a1 b 2 a1 · b 2 b : = a12 = · = , b1 , b2 , a2 6= 0 b1 b2 b 1 a2 b 1 · a2 b2 (Multiplikation mit dem reziproken Divisor); Vorzeichenregeln: +a a −a a = ; = ; +b b −b b

−a +a a = = − ; b 6= 0. +b −b b

Beispiel 3: a) b) c) d) e)

4 3 8 3 4+3−8+6 5 + − +2· = = ; 13 13 13 13 13 13 3 2 5 7 3·6+2·8−5·4+7 21 7 + − + = = = ; 4 3 6 24 24 24 8 8 4 8 7 2 : = · = ; 21 7 21 4 3 9 27 9·8 2 9 =− =− ; (− ) : 3 3/8 = − : 4 4 8 4 · 27 3 1 1 9 5+4 5 1 ( + ): = · = . 4 5 5 20 9 4

F¨ ur a 6= 0 kann die Gleichung a · x = b,

a, b ∈

R

1 durch Multiplikation mit dem zu a inversen Element a−1 = , also durch Division a durch a gel¨ost werden in der Form b 1 · b = = a−1 b. a a Eine Division durch 0 ist nicht m¨ oglich, da sonst aus x=

a·0= b·0

a = b folgen w¨ urde, d.h. es m¨ ussten alle reellen Zahlen gleich sein.

20

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

Dezimalzahlen Br¨ uche, bei denen im Nenner eine Zehnerpotenz steht, lassen sich als endliche Dezimalzahlen (endliche Dezimalbr¨ uche) darstellen, z.B. 7 175 7 875 = ; 1,75 = = . 1000 8 100 4 1 Die rationale Zahl ist jedoch durch keinen endlichen Dezimalbruch darstellbar. Man 3 ben¨otigt dazu den unendlichen Dezimalbruch 1 ¯ = 0,333 . . . = 0,3. 3 Die Ziffer 3 wiederholt sich unendlich oft. Es handelt sich um einen periodischen Dezimalbruch. In 8 = 0,1454545 . . . = 0,145 55 wiederholt sich die Ziffernfolge 45 beliebig oft. Wegen 1 ¯ = 0,5 = 0,500 . . . = 0,50 2 kann auch jede endliche Dezimalzahl als unendliche periodische Dezimalzahl dargestellt werden. 0,875 =

Beispiel 4: Gesucht ist der Dezimalbruch f¨ ur

4 . 33

Division mit Rest ergibt  : 33 = 0,121212 . . . = 0,12 4   − 40 33   1. Rest 70 −  66 2. Rest 4

Bei dieser Division mit Rest stimmt der 2. Rest r2 = 4 mit der Ausgangszahl u ¨berein. Aus diesem Grund wiederholt sich die Ziffernfolge 12 periodisch, also 4 = 0,12 12 12 . . . = 0,12. 33

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

21

Beispiel 5: 153 soll als periodischer Dezimalbruch dargestellt werden. 2475 In der Division mit Rest Die rationale Zahl

1. Rest 2. Rest 3. Rest

153|00 14850 450|0 2475 2025|0 19800 450|0

: 2475 = 0,0618 18 18 . . . = 0,0618

stimmt der 3. Rest 450 mit dem ersten Rest u ¨berein. Aus diesem Grund wiederholt sich die Ziffernfolge 18 periodisch. Beispiel 6: Der periodische Dezimalbruch x = 0,12356 soll als Bruch dargestellt werden. In x und 100 · x stehen die Periodenbl¨ ocke 56 untereinander.  100 · x = 12,3565656 . . . − x = 0,1235656 . . . Subtraktion ergibt 12233 12,233 = . 99 99000 Wegen der Periodenl¨ ange 2 wird hier x von 102 · x = 100x subtrahiert. 99x = 12,233;

x=

Jede rationale Zahl l¨ asst sich als endliche oder als unendliche periodische Dezimalzahl darstellen. Umgekehrt kann jede endliche oder unendliche Dezimalzahl als rationale Zahl (Bruch) dargestellt werden. Beispiel 7: a)

x = 0,¯6 = 0,666. . . (Periodenl¨ ange 1) 10x = 6,666 . . . − x = 0,666 . . . 9x = 6; 2 x= ; 3

b)

x = 0,¯9 = 0,999. . . (Periodenl¨ ange 1) 10x = 9,9999 . . . − x = 0,9999 . . . 9x = 9; x = 1.

22

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

In 0,9 sind beliebig viele Ziffern vorhanden. Die Ziffernfolge bricht nicht ab. an = 0, 99 . . . 9} | {z

n Ziffern weicht zwar von 1 ab, je mehr Ziffern jedoch hinzugenommen werden, umso n¨aher kommt an an die Zahl 1 heran. Der N¨ aherungswert an kommt an die Zahl 1 beliebig nahe heran, wenn n nur groß genug gew¨ ahlt wird. Aufrunden w¨ urde die Zahl 1 liefern.

2.4

Die reellen Zahlen

d

= √ 2

Auf der Zahlengeraden k¨ onnen Zahlen konstruiert werden, die nicht rational sind.

0

1

√ 2

2

x

d sei die L¨ange der Diagonalen in dem obigen Quadrat mit der Seitenl¨ange 1. Dann 2 2 2 gilt nach ange bezeichnet man mit √ dem Satz von Pythagoras d = 1 + 1 = 2. Diese L¨ √ d = 2 (Wurzel von 2). Auf der Zahlengeraden ist die Zahl 2 mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Q

√ √ 2 ist keine rationale Zahl, d.h. 2 6∈ . Es gibt also keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist.

Satz:

Beweis (indirekte Beweismethode − Widerspruchsbeweis). Annahme: es sei

√ 2 ∈ Q.

Dann gibt es zwei nat¨ urliche Zahlen p und q, welche teilerfremd sind, mit √ p urzen mehr m¨ oglich). 2 = (kein K¨ q 2 p Quadrieren ergibt 2 = 2 , d.h. p2 = 2q 2 . Damit ist p2 eine gerade Zahl. Da das Quadrat q einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist, muss auch p eine gerade Zahl sein. Es gibt also ein r ∈ mit p = 2r. Quadrieren ergibt p2 = 4r2 . Hieraus erh¨alt man mit p2 = 2q 2

N

2

2q = 4r2 ⇒ q 2 = 2r2 .

Dann ist auch q 2 und somit q eine gerade Zahl. p Der Bruch kann somit durch 2 gek¨ urzt werden, was nach Voraussetzung aber nicht q √ m¨oglich ist. Dadurch ist√ ein Widerspruch entstanden; die Annahme 2 ∈ muss also falsch sein, es gilt dann 2 6∈ .

Q

Q

Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen)

23

Eine weitere nichtrationale Zahl auf dem Zahlenstrahl ist die Zahl π. Sie kann als Umfang eines Kreises mit dem Radius r = 1/2 definiert werden.

π

0

x

Durch Abrollen eines Rades mit dem Radius r = 1/2 kann die Zahl π auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Alle auf der Zahlengeraden darstellbaren Zahlen heißen reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnet man mit . Eine reelle Zahl, welche nichtrational ist, √ √ heißt irrational. Beispiele f¨ ur irrationale Zahlen sind 2, π, 5.

R

Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen √ Wegen 12 < 2 < 22 gilt 1 < 2 0 die Gleichung x2 = a

√ die beiden L¨osungen ± a.

√ √ Manchmal werden auch beide Werte + a und − a als Wurzeln bezeichnet. Wir setzen √ onnen rationale Zahlen sein wie z.B. jedoch hier a ≥ 0. Quadratwurzeln k¨ r √ √ p 9 3 4 = 2; 100 = 10; 2,25 = = . 4 2 √ √ √ Manche Quadratwurzeln sind jedoch irrational wie z.B. 2; 5 und 7 (s. Abschn. 2.4). F¨ ur das Rechnen mit Quadratwurzeln gelten folgende Eigenschaften F¨ ur beliebige a, b ≥ 0 gilt c1 ·

√ √ √ a + c2 · a − c3 · a √ a·b r a b √ 2 ( a)

√ = (c1 + c2 − c3 ) · a; √ √ = a · b; √ a = √ , b 6= 0; b √ ur a ≥ 0. = a; a2 = a f¨

60

Kapitel 9: Das Rechnen mit Quadratwurzeln

Beispiel 1: √ √ √ √ a) 3 · 3 + 4 · 3 − 5 · 3 = 2 · 3; √ √ √ b) 3 · 12 = 36 = 6; √ √ √ √ √ √ √ c) 20 · 28 = 4 · 5 · 4 · 7 = 2 · 5 · 2 · 7 = 4 · 35; √ √ √ √ √ d) 6 · 22 = 2 · 3 · 2 · 11 = 4 · 33 = 2 · 33; r r r r 2 3 4 √ 2·3·4·7 √ e) · · · 7= = 1 = 1. 3 8 7 3·8·7 Beispiel 2 (Vereinfachen von Wurzelausdr¨ ucken): √

√ √ 49a2 b = 7a b f¨ ur a ≥ 0, b ≥ 0 und −7a b f¨ ur a < 0, b ≥ 0; √ 1 √ 1 √ 3√ b) · 90x = · 9 · 10x = 10x = 10x f¨ ur x ≥ 0; 3 3 3 r √ √ √ 2a · 3b √ c) 2a · 3b : ab = ur a, b > 0. = 6 f¨ ab a)

Wegen a2 = (−a)2 gilt  √ + a f¨ ur a ≥ 0 2 a = |a| = ; − a f¨ ur a < 0

|a| = Betrag von a .

Beispiel 3 (Vereinfachen): √

p √ 196x + 196y = 196(x + y) = 14 x + y f¨ ur x + y ≥ 0; p √ √ ur a, b + c ≥ 0; b) a2 b + a2 c = a2 (b + c) = a · b + c f¨ p √ √ c) 25 + 125 = 25(1 + 5) = 5 · 6; √ √ √ √ d) 49 + 64 = 113 6= 49 + 64. a)

Aus einer Summe darf die Wurzel nicht gliedweise gezogen werden. Im Allgemeinen ist √ √ √ a + b 6= a + b f¨ ur a, b > 0. Allgemein ist also p a2 + b2 6= |a| + |b|.

Gliedweises Wurzelziehen ist nur bei Produkten und Quotienten nichtnegativer Zahlen erlaubt.

Kapitel 9: Das Rechnen mit Quadratwurzeln

61

√ √ √ a · b = a · b f¨ ur a, b ≥ 0 r √ a a = √ f¨ ur a ≥ 0; b > 0. b b Falls in Summen gemeinsame Faktoren auftreten, aus denen die Wurzel einfacher gezogen werden kann, so m¨ ussen diese Faktoren ausgeklammert werden. Wegen der binomischen Formeln gilt √ √ √ ( a + b)2 = a + 2 ab + b; √ √ √ ( a − b)2 = a − 2 ab + b; √ √ √ √ ( a + b)( a − b) = a − b f¨ ur a, b ≥ 0 . Beispiel 4 (Herstellung rationaler Nenner): In den nachfolgenden Br¨ uchen sollen durch Erweiterungen rationale Nenner hergestellt werden. √ √ 1 2 2 1 a) √ = √ · √ = ; 2 2 2 2 √ √ √ √ 3 3· 5 15 b) √ = √ √ = ; 5 5 5· 5 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 2 · ( 7 + 3) 2· 7+ 2· 3 14 + 6 √ = √ √ √ √ = c) √ = ; 7−3 4 7− 3 ( 7 − 3) · ( 7 + 3) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (2 + 5)( 3 − 2) 2 3−2 2+ 5· 3− 5· 2 2+ 5 √ = √ √ √ √ = d) √ 3−2 3+ 2 ( 3 + 2)( 3 − 2) √ √ √ √ = 2 3 − 2 2 + 15 − 10;

√ √ √ √ √ √ 17 − 13 ( 17 − 13)2 17 − 2 17 · 13 + 13 √ = √ √ √ √ e) √ = 17 − 13 17 + 13 ( 17 + 13)( 17 − 13) √ √ 30 − 2 221 = 7,5 − 0,5 · 221; = 4 √ √ √ √ √ x+ y ( x + y)2 x + 2 xy + y f) √ ; x, y > 0; x 6= y; √ = √ √ √ √ = x− y ( x − y)( x + y) x−y √ √ √ √ x x · (x − x) x(x − x) x(x − x) x − x √ = √ √ = g) = = f¨ ur x > 0,x 6= 1 . x + x (x + x)(x − x) x2 − x x(x − 1) x−1

62

Kapitel 9: Das Rechnen mit Quadratwurzeln

Aufgaben A9.1 Berechnen Sie √ a) 9 · 16 · 25 ; r r √ 7 16 ·5· ; d) 2 · 3 · 3 7

√ b) 32 a2 c e)

(a, c > 0) ;

√ √ 16 + 64 : 5 ;

c) f)

r

625 ; 64

√ √ 4a + 6b : 2a + 3b .

A9.2 Multiplizieren Sie folgende Klammern aus √ √ a) ( x + 2y)2 ; √ √ b) (5 + 3 7)(5 − 3 7); √ √ √ √ c) ( 16 − 25)2 · ( 36 + 6); √ √ √ √ d) (2 2 + 7)2 · (2 2 − 7)2 ; √ √ e) 2a + 4b · 18a + 36b − 3(a + 2b). A9.3 Vereinfachen Sie √ √ √ √ ( x − 2 y)( x + 2 y) a) ; 5x√− 20y √ (2 3 + 3 5)2 √ ; c) 114 + 24 · 15

a−b √ ; b) √ a+ b x − 4y d) √ √ . x−2 y

A9.4 Berechnen Sie √ a) a2 + 2ab + b2 ; √ b) 16a2 + 32ab + 16b2 ; p c) (a − 2)4 ; √ d) a2 − 10a + 25. A9.5 Machen Sie die Nenner rational und fassen Sie zusammen √ √ 2 1 3− 2 3 4 1 √ − √ ; √ + √ − √ . a) √ + b) 2 1− 2 2+ 2 4 + 7 1 + 7 −2 + 7

10

Potenzen und allgemeine Wurzeln

10.1

Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten

n sei eine nat¨ urliche und a eine reelle Zahl. Die n-te Potenz an der Zahl a ist das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst, d.h. an = a | · a · a ·{z. . . · a · a} . n Faktoren a heißt Basis (Grundzahl) und n Exponent (Hochzahl). Beispiel 1: 23 = 8; 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 92 √ = 81; (−2)2 = 4; 10 11 24 = 22 = 4. (−1) = 1; (−1) = −1;

(−2)3 = −8;

020 = 0;

Merke: Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei gerader Hochzahl n positiv und bei ungerader Hochzahl negativ. Speziell gilt  1 f¨ ur gerades n; (−1)n = −1 f¨ ur ungerades n. F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ist 2n gerade und 2n + 1 sowie 2n − 1 ungerade. Damit gilt (−1)2n = 1; (−1)2n+1 = (−1)2n−1 = −1; Im Produkt an · am , n, m ∈ an · am = an+m .

n∈

N.

N steht der Faktor a insgesamt (n + m)-mal. Damit gilt

Die m-te Potenz

n n (an )m = a . . · an · an} | · a · .{z m − mal

enth¨alt den Faktor a insgesamt m · n-mal, woraus (an )m = an·m folgt. In an · bn kann n-mal der Faktor a · b zusammengefasst werden, also an · bn = (ab)n . Damit gelten die

64

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

Potenzgesetze an · am = an+m (an )m = (am )n = an·m an · bn = (a · b)n , n, m ∈

10.2

N

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

N

an Im Quotienten m , m, n ∈ k¨ onnen Faktoren a gek¨ urzt werden und zwar alle Faktoren a des Nenners f¨ ur m < n und alle Faktoren des Z¨ahlers f¨ ur m > n. Im Falle n = m ist der Quotient gleich Eins. Damit gilt  n−m a f¨ ur n > m;    an f¨ ur n = m; = 1 am  1   m−n f¨ ur n < m; m, n ∈ a Damit f¨ ur beliebige nat¨ urliche Zahlen n, m die Formel

N

an = an−m am allgemein benutzt werden kann, m¨ ussen Potenzen mit negativen Zahlen (f¨ ur n < m) und die Potenz a0 = 1 (f¨ ur n = m) eingef¨ uhrt werden. F¨ ur a 6= 0 setzt man a0 = 1;

a−n =

1 , an

n∈

N.

Mit dieser Festsetzung gelten f¨ ur beliebige ganze Zahlen z1 , z2 ∈ Potenzgesetze

az1 · az2 = az1 +z2 ; az 1 = az1 −z2 ; az 2

Beispiel 2: 1 1 ; a) 2−5 = 5 = 32 2 1 1 b) (−3)−4 = 4 = 81 ; (−3)

(az1 )z2 = (az2 )z1 = az1 ·z2 ; z1 , z2 ∈

Z (ganze Zahlen).

Z die

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

c) d) e) f)

65

 3  3 1 1 4 −3 4 · ·2 = · 3 = 23 · 2−3 = 20 = 1; 2 2 2 1 = 5−(−3) = 53 = 125; 5−3 1 1 ; (2−4 )3 = 2−12 = 12 = 4 096 2 (5−2 )−3 = 5(−2)·(−3) = 56 = 15 625; 3

g) (2 · a4 · b3 · (c + d)2 )3 = 8 · a12 · b9 · (c + d)6 . Beispiel 3 (Zusammenfassen): a) 23 · x5 · y 5 · x−3 · y −6 · 2−2 = 23−2 · x5−3 · y 5−6 = 2 · x2 · y −1 = b)

36x5 y 4 z 6 12x3 3 −1 f¨ ur x, y, z 6= 0 ; = 12x z = z 3x2 y 4 z 7

c)

5x4 y 3 z + 6x3 y 3 z 2 − 11x4 y 2 z 2 x3 y 2 z(5xy + 6yz − 11xz) = 3 2 x y z x3 y 2 z

2x2 f¨ ur x, y 6= 0 ; y

= 5xy + 6yz − 11xz f¨ ur x, y, z 6= 0 . Beispiel 4 (Ausquadrieren): a) (x2 + 2y 3 )2 = x4 + 4x2 y 3 + 4y 6 ; b) (2a2 − 3b2 )2 = 4a4 − 12a2 b2 + 9b4 ;

c) (3u3 − 5v 4 ) · (3u3 + 5v 4 ) = (3u3 )2 − (5v 4 )2 = 9u6 − 25v 8 .

10.3

1) n-te Wurzeln (Potenzen mit dem Exponenten n

√ Falls bn = a gilt, ist b = n a die n-te Wurzel aus a. Dabei heißt a der Radikand und n der Wurzelexponent (Wurzelhochzahl). Die n-te Wurzel aus a ist also die Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Das Radizieren oder Wurzelziehen ist die Umkehrung der Potenzrechnung. Spezialf¨ alle √ 1 a = a. √ √ n = 2: die zweite Wurzel 2 a = a ist f¨ ur a ≥ 0 die Quadratwurzel. Hier wird die 2 i. Allg. weggelassen. √ n = 3: die dritte Wurzel 3 a nennt man auch Kubikwurzel.

n = 1: f¨ ur n = 1 ist

66

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

Beispiel 5 (Kubikwurzeln): √ √ 3 −1 = − 3 1 = −1 wegen (−1)3 = −1; √ √ 3 8 = 2 wegen 23 = 8; 3 −8 = −2 wegen (−2)3 = −8; r √ √ 5 125 3 3 =− . −27 = −3; −64 = −4; 3 − 8 2 Potenzen mit geradem Exponenten sind immer√ nichtnegative Zahlen. Aus diesem Grund kann bei gerader Ordnung n die n-te Wurzel n a nur aus nichtnegativen Zahlen a ≥ 0 gezogen werden. Bei ungeraden Exponenten besitzen b und bn das gleiche Vorzeichen. Daher kann f¨ ur ungerades n die n-te Wurzel auch aus negativen Zahlen gezogen werden, wobei das √ Ergebnis wieder eine negative Zahl ist, z.B. 3 −1 = −1. Die Gleichung x3 = −8

√ besitzt die L¨osung x = − 3 8 = −2. Aus diesem Grunde kann man sich auch bei ungerader Ordnung n auf die n-te Wurzel aus nichtnegativen Zahlen beschr¨anken. Bei gerader Ordnung 2n gilt x2n = (−x)2n = a. F¨ ur beliebiges a > 0 hat diese Gleichung √ zwei L¨osungen. Falls man unter positive L¨ osung versteht, ist auch − 2n a L¨osung der Gleichung x2n = a.

√ a die

2n

Bei ungerader Ordnung 2n + 1 hat die Gleichung x2n+1 = a. f¨ ur a > 0 die einzige L¨ osung

√ a > 0.

2n+1

Dann hat x2n+1 = −a.

√ die L¨osung x = − 2n+1 a < 0. Um eine Eindeutigkeit f¨ ur alle Exponenten n zu erreichen, benutzt man wie bei der Quadratwurzel folgende eingeschr¨ ankte Wurzeldefinition: √ F¨ ur a ≥ 0 ist die n-te Wurzel aus√a, also n a, diejenige nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist, d.h. b = n a ≥ 0 ⇐⇒ bn = a. Bemerkung: Mit diesem Wurzelbegriff besitzt f¨ ur a ≥ 0 die Gleichung xn = a

√ die√einzige L¨osung x = n a, falls n ungerade ist und f¨ ur gerades n die beiden L¨osungen ± n a. F¨ ur gerades n hat im Falle a > 0 die Gleichung xn = −a < 0

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

67

√ keine L¨osung. F¨ ur ungerades n lautet die L¨ osung x = − n a. Wie bei der Quadratwurzel gelten f¨ ur nichtnegative Wurzeln die Eigenschaften √ n a·b= r a n = b √ ( n a)n =

√ √ n n a · b; √ n a √ (b = 6 0); n b √ n an = a f¨ ur

a, b ≥ 0.

Mit der Definition √ n

1

an =

a f¨ ur

a ≥ 0;

1

a− n =

1 a

1 n

1 = √ n a

f¨ ur

kann die n-te Wurzel als Potenz mit dem Exponenten Beispiel √ 6:√ 1 9 2 = 2 9 = 9 = 3; 1

1

125− 3 =

1 3

= √ 3

1

64 3 = 1

=

1 n

a>0

dargestellt werden.

√ 3 64 = 4;

1 ; 5

125 √ √ √ √ 3 3 3 3 6 1 000 000 = 10 = 103 · 103 = 103 · 103 = 10 · 10 = 100. 125

1 3

10.4

Potenzen mit rationalen Exponenten

F¨ ur beliebige nat¨ urliche Zahlen m und n setzt man m

√ 1 n am = (am ) n √ 1 ur a ≥ 0; = ( n a)m = (a n )m f¨ 1 1 1 = m = √ = √ f¨ ur a > 0; m, n ∈ n ( n a)m an am

an = m

a− n

m

Aus x = a n folgt xn = am . Dann sind auch die k-ten Potenzen gleich, d.h. (xn )k = (am )k , also xkn = akm .

N.

68

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

Hieraus folgt km

x = a kn . Damit wurde folgende Eigenschaft nachgewiesen: Der Wert einer Potenz mit gebrochener (rationaler) Hochzahl bleibt unver¨andert, km m wenn die Hochzahl erweitert oder gek¨ urzt wird: a kn = a n f¨ ur k 6= 0. Beispiel 7: √ √ 1 2 4 a) 32 = 3 4 = 3 2 = 3; √ 16 8 b) 516 = 5 8 = 52 = 25; √ √ 1 5 10 c) 45 = 4 10 = 4 2 = 4 = 2; √ 1 10 d) 64 20 = 64 2 = 64 = 8; √ 1 5 e) 125 15 = 125 3 = 3 125 = 5. F¨ ur Potenzen mit rationalen Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie f¨ ur Potenzen mit ganzen Hochzahlen: (a · b)u = au · bu ;

a−u =

1 ; au

au = au−v ; av (au )v = (av )u = au·v ; a > 0, b > 0, u, v ∈ au · av = au+v ;

Q

Beispiel 8: √ 15 5 a) x15 = x 5 = x3 ; √ √ 12 1 13 3 b) x13 = x 3 = x 3 · x 3 = x4 · 3 x f¨ ur x ≥ 0; √ 1 4 c) x8 · z 20 = (x8 · z 20 ) 4 = x2 · z 5 f¨ ur z ≥ 0; √ √ √ √ 1 1 1 1 1 13 1 1 + 3 4 ur a ≥ 0; d) a · a · a = a 2 · a 3 · a 4 = a 2 3 + 4 = a 12 = a · a 12 = a · 12 a f¨ p 2 2 4 6 3 2 4 e) (a + b) 3 · (a + b) = (a + b) 3 · (a + b) 3 = (a + b) 3 = (a + b) ; √ 2 3 2 3 7 x2 12 √ = x2 · x− 3 · x− 4 = x2− 3 − 4 = x 12 = x7 f¨ ur x > 0; f) √ 3 4 3 2 x · x √ √ 3 √ 3 2 1 2 3 2 1 2 91 31 x3 · x2 60 = x 2 · x 3 · x− 4 · x− 5 = x 2 + 3 − 4 − 5 = x 60 = x · x 60 = x · x31 f¨ g) √ √ ur x > 0. 5 4 x · x2

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

69

Beispiel 9 (Beseitigung der Wurzel im Nenner): √ 3 x2 x2/3 1 1 · = f¨ ur x > 0; = a) √ 3 1/3 2/3 x x x x √ 3 7 a3 1 a7 1 b) 4 = 4 · 3 = f¨ ur a > 0; a a7 a7 a7 1

√ 1 x x5 x x = 4 · 1 = · x 5 = 5 x f¨ ur x > 0; c) √ 5 4 x 5 5 x x x Beispiel 10 (Radizieren von Wurzeln): q √ √ 1 1 1 3 a) x = (x 3 ) 2 = x 6 = 6 x f¨ ur x ≥ 0; q √ 4 √ 2 1 1 2 1 5 b) x2 = (x 5 ) 4 = x 5 · 4 = x 10 = 10 x f¨ ur x ≥ 0; q q √ 7 √ 3 1 11 3 14 11 1 7 ur x ≥ 0; c) x11 · x3 = (x 2 ) 7 · (x 7 ) 2 = x 14 · x 14 = x 14 = x f¨ r q √ √ 3 3 1 3 1 1 3 3 3 d) x · x · x3 = (x3 · x 2 · (x 2 ) 2 ) 2 = (x3+ 2 + 4 ) 2 √ 21 5 21 1 8 = x 4 · 2 = x 8 = x2 · x 8 = x2 · x5 f¨ ur x ≥ 0.

10.5

L¨osungen von Potenzgleichungen

Eine Gleichung der Form xa = b, a 6= 0, heißt Potenzgleichung. F¨ ur b > 0 hat die Potenzgleichung mindestens eine L¨osung. 1

Die positive L¨osung der Potenzgleichung xa = b, a 6= 0, b > 0 lautet x = b a . Bemerkung: Falls ein Taschenrechner eine Funktionstaste f¨ ur beliebige Potenzen be1 sitzt, lassen sich die L¨ osungen x = b a sehr einfach berechnen. Bei ganzzahligen geraden Exponenten n besitzt die Potenzgleichung xn = b, b > 0 die beiden L¨osungen √ n x1,2 = ± b. √ Bei ungeradem n hat die√Gleichung xn = b, b > 0 die einzige L¨osung x = n b, n w¨ahrend f¨ ur b < 0 x = − −b (b < 0) die einzige L¨osung ist.

70

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln

Beispiel 11 (L¨osungen von Potenzgleichungen): √ 1 4 a) x4 = 81; x1,2 = ±81 4 = ± 81 = ±3; √ 3 b) x3 = 125; x = 125 = 5; √ 5 c) x5 = −32; x = − 32 = −2; 1

d) x10

= 3;

e) x0,4

x1,2 = ±3 10 ≈ ±1,116123;

= 5;

x

f) x3,6

= 5 0,4 ≈ 55,901699;

= 35;

x

g) x−3

= 2;

x

= 35 3,6 ≈ 2,684774; 1 1 = √ = 1 ≈ 0,793701; 3 2 23 1 = ≈ 1,305289. 1 0,85 0,61

h) x−0,61 = 0,85;

10.6

x

1

1

Aufgaben

A10.1 Vereinfachen Sie a) (−x2 )3 ; b) (x2 )−3 ; c) (−2)11 · (− 21 )12 ;

d) 4x · (3 1/2)x ; e)

24 · x5 · y 7 · z 8 2x2 · y 5 · z 8 : ; 4 · x2 · y 5 · z 10 5x4 · y 3 · z 5

(x−2 · z 2 · w3 )−2 ; (x−1 · z −2 · w−3 )3   3 7 2m+3 3 2m−3 4 m+4 : x2m+1 . x − x + x g) 4 2 5 4 f)

A10.2 Berechnen Sie r √ 32 5 3 b) a) −343; ; 243 √ √ 10 20 d) 320 ; e) 230 ; p g) 3 0,125.

c) f)

√

15

2015 ;

√ 7 10 000 000;

Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln A10.3 Berechnen Sie √ √ a) 3 4 · 3 2; 16 −1/4 ) ; b) ( 625 √ √ 3 c) ( 2 · 22 )6 ; √ √ 3 4 d) ( 22 · 2−3 )12 ; e) (

4x8 1 )2 . 25y 16

A10.4 Vereinfachen Sie r q q √ 5 √ 4 x; b) a a · a; a) q √ √ 8 16 d) x · x3 · x5 .

c)

√ √ 4 4 9 · ( 3)2 ;

A10.5 Bestimmen Sie alle L¨ osungen der Gleichungen a) x3 − 8 = 0;

b) x3 + 64 = 0;

c) x + 2 = 0;

d) 2x3 + 5 = 0;

e) x2 − 49 = 0;

f) x2 + 5 = 0;

5

g) 3x4 − 1875 = 0;

h) 3x6 = 0.

A10.6 L¨osen Sie die Klammern auf √ √ a) ( 3 a − 4 b)2 ; √ √ √ √ b) (2 a − 3 3 b) · (2 a + 3 · 3 b); 1

1

c) (a 3 + b 3 )2 .

A10.7 Beseitigen Sie die Wurzeln im Nenner durch geeignete Erweiterungen u − 2v √ ; 2u − 4v √ p 3 a2 x2 − by p . b) √ 3 ax + 4 by a) √

A10.8 Berechnen Sie alle reellen L¨ osungen der Gleichungen

a) x6 = 1; 243 = 0; c) x5 + 32 −2,3 e) x = 10.

b) x3 = 64; d) x1,4 = 5;

71

11

Logarithmen

11.1

Allgemeine Logarithmen

Beispiel 1: Gesucht sind die L¨ osungen der folgenden Gleichungen 10x = 100; 2x = 32; 5x = 1; 7x = 7; 1 e) 10x = ; 1000 1 f) 2x = = 2−7 ; 128 a) b) c) d)

g) 1x = 5; h) 1x = 1;

102 = 100; 25 = 32; 50 = 1; 71 = 7; 1 1 x = −3 wegen 10−3 = 3 = ; 10 1000 1 x = −7 wegen 2−7 = ; 128 diese Gleichung hat wegen 1x ≡ 1 (identisch gleich Eins f¨ ur alle x) keine L¨ osung; diese Gleichung ist f¨ ur jedes x ∈ erf¨ ullt. x=2 x=5 x=0 x=1

wegen wegen wegen wegen

R

F¨ ur jedes a > 0 mit a 6= 1 und jedes b > 0 hat die Gleichung ax = b

genau eine L¨osung. Diese L¨ osung heißt Logarithmus von b zur Basis a und wird mit x = loga b bezeichnet. Es gilt also x = loga b ⇐⇒ ax = b. Beispiel 2: a) x = log10 100 000; b) x = log2 1024;

10x = 100 000;

x = 5;

log10 100 000 = 5;

x

x = 10;

log2 1024 = 10;

x

2 = 1024;

c) x = log4 64;

4 = 64;

x = 3;

log4 64 = 3;

d) x = log9 81; 1 e) x = log5 ; 125

9x = 81; 1 5x = = 5−3 ; 125

x = 2;

log9 81 = 2; 1 log5 = −3. 125

x = −3;

74

Kapitel 11: Logarithmen

11.2

Zehnerlogarithmen (dekadische Logarithmen)

Beim Rechnen im Zehnersystem wird als Basis die Zahl a = 10 benutzt. Logarithmen zur Basis 10 heißen dekadische Logarithmen (Briggsche- oder Zehner-Logarithmen). Man bezeichnet sie mit lg b oder log b, also x = lg b = log b ⇐⇒ 10x = b. Beispiel 3: Es gilt lg 1 = 0;

11.3

lg 10 = 1;

lg 100 = 2;

lg 10n = n

und

lg 10−n = −n f¨ ur jedes n ∈

N.

Nat¨urliche Logarithmen

Bei vielen Naturprozessen mit stetigem Wachstum spielt die Eulersche Zahl e = 2,718281828 . . . eine zentrale Rolle. Diese Zahl ist irrational. F¨ ur große n gilt die N¨aherung 1 n (1 + ) ≈ e, n im Grenzwert n → ∞ gilt das Gleichheitszeichen. Logarithmen zur Basis e heißen nat¨ urliche Logarithmen. Man bezeichnet sie mit ln b (logarithmus naturalis von b). Es gilt also x = ln b = loge b ⇐⇒ ex = b.

11.4

Rechenregeln f¨ur beliebige Logarithmen

Wegen a0 = 1 und a1 = a gilt f¨ ur jede beliebige Basis a loga 1 = 0;

loga a = 1.

Aus x = loga b ⇐⇒ ax = b folgt f¨ ur jede beliebige Basis a sowie f¨ ur den dekadischen und nat¨ urlichen Logarithmus aloga b = b;

10lg b = b;

eln b = b.

Aus u = aloga u , v = aloga v folgt durch Multiplikation mit Hilfe der Potenzgesetze u · v = aloga u · aloga v = a(loga u+loga v) .

Kapitel 11: Logarithmen

75

Dieser Wert stimmt u ¨berein mit (u · v) = aloga (u·v) .

Damit gilt

loga (u · v) = loga u + loga v f¨ ur u, v > 0.

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen seiner Faktoren. loga (u · v) = loga (|u|) + loga (|v|) f¨ ur u, v < 0 . u u = aloga ( v ) v u aloga u = log v = a(loga u−loga v) v a a erh¨alt man

loga

u v 1

= loga u − loga v f¨ ur u, v > 0 ;

= loga 1 − loga v = − loga v f¨ ur v > 0 . v Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Z¨ahlers und Nenners. u loga = loga (|u|) − loga (|v|) f¨ ur u, v 6= 0 . v loga

v

uv = aloga (u

)

uv = (aloga u )v = av·loga u

ergibt loga (uv ) = v · loga u f¨ ur u > 0; v ∈

R.

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt des Exponenten mit dem Logarithmus der Grundzahl. F¨ ur v = n bzw. v =

1 geht diese Gleichung u ¨ber in n

loga (un ) = n · loga u;

√ loga u loga ( n u) = n

f¨ ur u > 0; n ∈

N.

Die Funktion f (x) = ln(x2 ) ist f¨ ur alle x 6= 0, also auch f¨ ur negative x definiert. Hier gilt ln(x2 ) = ln(|x|2 ) = 2 · ln(|x|) f¨ ur x 6= 0.

76

Kapitel 11: Logarithmen

Beispiel 4: a) lg 1020 = 20 · lg 10 = 20; √ 4 4 5 b) lg 104 = lg 10 5 = ; 5 1 √ 1 1 c) ln e = ln(e 2 ) = · ln e = ; 2 2 1 d) log2 = − log2 64 = − log2 26 = −6; 64 e) lg 0,00001 = lg 10−5 = −5. Beispiel 5 (Umformungen): x · y a) lg = lg x + lg y − lg z f¨ ur x, y, z > 0 z  x2 · √y  1
b) lg = lg x2 + lg y 2 − lg 10 − lg(z 5 ) 5 10z 1 ur x, y, z > 0; = 2 lg x + lg y − 1 − 5 lg z f¨ 2  x(x2 + y 2 )  c) lg = lg x + lg(x2 + y 2 ) − z · lg y f¨ ur x, y > 0; z ∈ yz

R.

Beispiel 6 (Zusammenfassen): √ 2x y √ 1 2 a) lg 2x + lg y − 2 lg z = lg 2x + lg y − lg z = lg f¨ ur x, y, z > 0 ; 2 z2 (u + v)3 1 f¨ ur u + v > 0; u2 + v 2 > 0 ; b) 3 lg(u + v) − lg(u2 + v 2 ) = lg p 2 u2 + v 2 c) − lg u − 2 lg v −

1 1 √ f¨ ur u, v, w > 0 . lg w = lg 2 2 u·v · w

Beispiel 7: Gesucht ist die L¨ osung x der Gleichung 1 1 loga x = 3 · loga 5 − loga 7. 2 3 Multiplikation mit 2 ergibt 56 2 56 loga 7 = loga 2 = loga √ . 3 3 49 73 Hieraus erh¨alt man die L¨ osung  6  5 √ 3 49 x=a loga x = 6 · loga 5 −

Kapitel 11: Logarithmen

77

Achtung: Im Allgemeinen ist der Logarithmus einer Summe nicht gleich der Summe der Logarithmen der Summanden, also loga (u + v) 6= loga u + loga v

i.Allg.

Vor dem Zeitalter der elektronischen Rechner war das logarithmische Rechnen ein unentbehrliches Hilfsmittel der Mathematik. Weil durch das Logarithmieren ein Produkt (Quotient) in eine Summe (Differenz) und eine Potenz in ein Produkt u ¨bergeht, lassen sich mit Hilfe der Logarithmen die Operationen der Multiplikation, Division und des Potenzierens relativ einfach durchf¨ uhren. Der Rechenschieber ist z.B. auf diesem System aufgebaut. Der Taschenrechner macht jedoch heutzutage das Hilfsmittel des logarithmischen Rechnens f¨ ur den Anwender u ussig. Trotzdem spielen die Logarithmen ¨berfl¨ in der Mathematik auch heute noch eine wichtige Rolle. Sie sind als Umkehrung der Exponentialfunktion y = ax zur Beschreibung vieler Naturprozesse, z.B. solchen mit stetigem Wachstum, geeignet.

11.5

L¨osungen von Exponentialgleichungen

Eine Gleichung ax = b mit a, b > 0 heißt Exponentialgleichung. Durch Logarithmieren geht sie u ¨ber in x · lg a = lg b.

F¨ ur lg a 6= 0 ⇐⇒ a 6= 1 erh¨ alt man die L¨osung der Exponentialgleichung ax = b, x=

11.6

lg b . lg a

a, b > 0, a 6= 1

Logarithmen zu verschiedenen Basen

Bei den meisten Taschenrechnern kann der Zehnerlogarithmus und der nat¨ urliche Logarithmus u urde der Logarithmus ¨ber Funktionstasten berechnet werden. Prinzipiell w¨ zu einer einzigen Basis gen¨ ugen, denn die Logarithmen zu einer anderen Basis k¨onnen daraus durch Multiplikation mit einer Konstanten berechnet werden. Gegeben sei der Logarithmus zur Basis a, also loga x. Gesucht ist der Logarithmus zur Basis c, d.h. logc x.

78

Kapitel 11: Logarithmen

Allgemein erh¨alt man hieraus x = clogc x = aloga x ; x = c ergibt c = aloga c . Setzt man diese Gleichung in die vorangehende ein, so erh¨alt man
logc x clogc x = aloga c = aloga x aloga c·logc x = aloga x .

Hieraus folgt und

loga c · logc x = loga x

logc x =

loga x loga c

f¨ ur alle x > 0

f¨ ur alle x > 0.

Die Logarithmen zur Basis c erh¨ alt man, indem man die Logarithmen zur Basis a durch die Konstante loga c dividiert. Beispiel 8: lg x lg x = ; lg e 0,4342944819 ln x ln x b) lg x = = ln 10 2,302585093 lg x lg x = ; c) log2 x = lg 2 0,3010299957 lg x lg x d) log5 x = = . lg 5 0,6989700043 a) ln x =

Durch ax = blogb (a

x

)

= bx·logb a

lassen sich Potenzen zur Basis a in solche mit der Basis b umwandeln.

Kapitel 11: Logarithmen

11.7

79

Aufgaben

A11.1 Berechnen Sie folgende Logarithmen a) log5 25; f) lg 10

√ 2

√ 10;

d) ln(e ·

b) log 0,001;

c) lg

g) log17 1;

h) log2 4096;

√ 3 e);

i) log 1 0,5; 2

A11.2 Schreiben Sie als Summen und Produkte √ √ 4 √  √x · √ 3 5 a · b2 y 10 a + b 10 √ √ ; c) lg ; ; b) lg a) lg √ 3 4 10 c c 10 A11.3 Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen

e) lg √ 5

1

; 10000√ √ 5 3 j) log2 ( 2 · 23 ). √ √ 5 x2 · ( 6 y)2 d) lg q √ . u· v

a) 2 lg u + 3 lg v; 2 1 b) lg x2 + lg y − lg z; 3 5 c) lg(u + v) + lg(u + v)2 − d)

1 1 lg u − lg v; 2 3

2 1 lg x + . 3 3

A11.4 Berechnen Sie x aus a) lg x = 2; b) lg x = 0,5; 1 1 e) lg x = lg 49 − lg 125; 2 3

3 ; d) lg x = lg 5 − lg 6; 2 √ f) lg x − lg x = 2 · lg 2. c) log2 x =

A11.5 Bestimmen Sie in den nachfolgenden Gleichungen die Unbekannte y. Die restlichen Gr¨oßen seien gegeben a) 5x = 10y ;

b) x9 = ey ;

c)

√ 7 x = 10y ;

d)

1 = ey . x2

A11.6 L¨osen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners a) 5x = 10;

b) 4x = 138;

c) 2x =

1 ; 17

d) 12−x = 7.

12

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Beispiel 1: Gesucht sind die L¨ osungen der folgenden Gleichungen a) 4x + 7 = 19 Umformungen 4x + 7 = 19 | − 7 (Subtraktion auf beiden Seiten) 4x = 12 | : 4 (Division auf beiden Seiten) x =3 Probe: 4 · 3 + 7 = 19; b) 4(x − 2) = 2x + 2 4x − 8 = 2x + 2 4x = 2x + 10 2x = 10 x = 5.

(Ausmultiplizieren) |+8 | − 2x |:2

Eine Bestimmungsgleichung, in der die Unbekannte x nur mit Zahlen multipliziert und addiert wird, heißt linare Gleichung mit einer Unbekannten. In einer linearen Gleichung darf die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommen und nicht mit sich selbst multipliziert werden. Die L¨ osungsmenge einer Bestimmungsgleichung bleibt unver¨ andert, falls folgende Rechenoperationen durchgef¨ uhrt werden (¨ aquivalente Umformungen): 1) Addition (Subtraktion) der gleichen Zahl auf beiden Seiten. 2) Division beider Seiten durch eine Zahl c 6= 0. 3) Multiplikation beider Seiten mit einer Zahl c 6= 0. Falls mit Hilfe dieser zul¨ assigen Umformungen die Gleichung in die Form x=b u uhrt werden kann, ist b (= rechte Seite) die L¨osung der Ausgangsgleichung. ¨bergef¨

82

Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Beispiel 2: 1 x+ 2 24 x+ 48

5 x− 12 20 x− 48

x 1 5 − x− + 16 4 5

1 5 x 12 = x+ + 5 16 4 25 15 12 12 1 x− x= + 48 48 25 5 17 17 x = 48 25 48 = 1,92. x= 25

(Hauptnenner = 48)

48 · 17

Beispiel 3: 5 · (4x − 5) = 2 · (10x − 1) 20x − 25 = 20x − 2 20x = 20x + 23

(Aufl¨ osung der Klammern) | + 25

Diese Gleichung kann f¨ ur kein x erf¨ ullt sein. Durch Subtraktion von 20x geht diese Gleichung u ¨ber in 0 = 23. Aus diesem Widerspruch erkennt man ebenfalls, dass die Ausgangsgleichung keine L¨osung hat. Denn h¨ atte sie eine L¨ osung, so w¨ urde daraus 0 = 23 folgen. Beispiel 4: 3 · (2x − 4) = 2(x − 2) + 4x − 8 6x − 12 = 2x − 4 + 4x − 8 6x − 12 = 6x − 12 6x = 6x 0 =0

(1) (2)

(Aufl¨osung der Klammern) | + 12 | − 6x

Die ¨aquivalenten Gleichungen (1) und (2) sind f¨ ur beliebige x erf¨ ullt. Jedes beliebige x∈ ist somit L¨ osung der Ausgangsgleichung, sie besitzt also unendlich viele L¨osungen.

R

F¨ ur eine umgeformte Gleichung der Art a·x =b gibt es folgende L¨ osungsm¨ oglichkeiten: b 1. Fall: a 6= 0 ⇒ x = ist die einzige L¨ osung. a 2. Fall: a = 0; b 6= 0 (0 · x = b 6= 0) ⇒ es gibt keine L¨osung. 3. Fall: a = 0; b = 0 (0 · x = 0) ⇒ jedes beliebige x ∈ ist L¨osung (∞ viele L¨osungen).

R

Lineare Gleichungen k¨ onnen auch beim Umformen anderer Gleichungen auftreten. Dazu einige Beispiele:

Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen Beispiel 5: 2x − 3 = 3; 5 6= x 5−x Umformungen 2x − 3 =3 5−x 2x − 3 = 3(5 − x) = 15 − 3x 2x = 18 − 3x 5x = 18 18 x = . 5 a)

Probe:

| · (5 − x) |+3 | + 3x |:5

36 − 15 18 −3 21 5 5 = = = 3. 18 25 − 18 7 5− 5 5

2·

b) (3 + x) · (4 − 2x) 12 − 6x + 4x − 2x2 12 − 2x − 2x2 12 − 2x − 2x x

= 2(1 + x) · (1 − x) = 2 · (1 − x2 ) = 2 − 2x2 =2 = −10 =5

(Aufl¨osen der Klammern) | + 2x2 | − 12 | : (−2)

Probe: (3 + 5)(4 − 10) = 2 · (1 + 5)(1 − 5) = −48. Beispiel 6: a)

b)

x+5 x−1 = | · (x − 2)(x + 2) (= x−2 x+2 (x − 1) · (x + 2) = (x + 5) · (x − 2) x2 − x + 2x − 2 = x2 − 2x + 5x − 10 x − 2 = 3x − 10 x = 3x − 8 − 2x = −8 x = 4.

Hauptnenner) | − x2 |+2 | − 3x | : (−2)

3 5 4 6 − 2x 5 − − + = | · 6x (= Hauptnenner) x 2x 3x 3 2x 30 − 9 − 10 + 8x = 3 · (6 − 2x) 11 + 8x = 18 − 6x | − 11 8x = 7 − 6x | + 6x 14x = 7 | : 14 1 x= . 2

83

84

Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Beispiel 7: 1 2x2 + 4 2x − = 2 x−1 x+1 x −1

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 1)(x + 1) = x2 − 1 geht die Gleichung u ¨ber in 2x(x + 1) − 1 · (x − 1) = 2x2 + 4 2x2 + 2x − x + 1 = 2x2 + 4 x+1 =4 x = 3.

| − 2x2 |−1

2·3 1 6 1 11 − = − = ; 3−1 3+1 2 4 4 22 2 · 32 + 4 11 = rechte Seite: = . 2 8 4 3 −1

Probe: linke Seite:

Hinweis: In den Beispielen 5 bis 7 tritt bei den Umformungen jeweils x2 auf. Diese Quadrate fielen jedoch bei der weiteren Rechnung weg, wodurch eine lineare Gleichung entstand. Der Grund f¨ ur diese Tatsache liegt in der speziellen Wahl der auftretenden Zahlen. Bei beliebig gew¨ ahlten Zahlen tritt diese Vereinfachung nicht auf. Es entstehen dann quadratische Gleichungen. Dazu das Beispiel 8: x−5 ax + 4 = ;a ∈ 2x + 7 x−3

R

| · (2x + 7) · (x − 3) (Hauptnenner)

(x − 5)(x − 3) = (ax + 4) · (2x + 7) x2 − 3x − 5x + 15 = 2ax2 + 7ax + 8x + 28 2 x − 8x + 15 = 2ax2 + 7ax + 8x + 28 2 2 x − 2ax − 8x = 7ax + 8x + 13 x2 − 2ax2 − 16x − 7ax = 13 (1 − 2a)x2 − (16 + 7a)x = 13.

| − 2ax2 − 15 | − (7a + 8)x (Zusammenfassen)

1 linear, da nur in diesem Fall der Faktor von x2 2 verschwindet. F¨ ur a = 1/2 lautet die L¨ osung Diese Gleichung ist nur f¨ ur a =

13 · 2 2 =− (f¨ ur a = 1/2). 39 3 F¨ ur jedes a 6= 1/2 entsteht eine quadratische Gleichung. Solche Gleichungen werden in Abschnitt 14 gel¨ ost. x=−

Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen

85

Praktische L¨ osung von linearen Bestimmungsgleichungen (oder solchen Gleichungen, die auf lineare Gleichungen zur¨ uckzuf¨ uhren sind): 1. Schritt: Falls x im Nenner auftritt, wird die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert. 2. Schritt: Aufl¨ osung von Klammern. 3. Schritt: Zusammenfassen der Glieder mit und ohne x auf beiden Seiten der Gleichung. 4. Schritt: Umformung der Gleichung derart, dass auf einer Seite der Ausdruck a · x und auf der anderen Seite die Zahl b entsteht: a · x = b oder b = a · x.

b 5. Schritt: Falls a 6= 0 ist, lautet die L¨ osung x = a (Division beider Seiten durch a). Falls die Gleichung 0 · x = b 6= 0

entsteht, gibt es keine L¨ osung. Dies wird bereits erkennbar, falls z.B. die Gleichung 5x + 8 = 5x + 13 entsteht.

R

osung. Das wird bereits erkennbar, falls auf beiden Seiten F¨ ur 0 · x = 0 ist jedes x ∈ L¨ die gleichen Terme entstehen, z.B. 7x + 19 = 7x + 19.

Aufgaben A12.1 Berechnen Sie x aus a) 5x + 14 = 21 − 2x;

b) 3 · (4 − 2x) = 5 · (x − 1) + 50; 1 1 2 5 4 c) x + x − = − x + ; 3 4 5 12 15 d) 1,5x + 3,1 = 0,3x + 3,3; x e) 3x − 0,75x − 3 3/4 = + 0,25. 4

86

Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen

A12.2 L¨osen Sie a) b) c) d) e)

2 1 = ; x+5 x−2 2x − 3 1 = ; 4x + 5 4 (x + 2)(x − 3) = (x + 1)(x − 5); x+5 x−4 = ; x−3 x+7 2x + 7 2x − 3 = . x+5 x−6

A12.3 L¨osen Sie 1 4 16 + = 2 ; x−3 x+3 x −9 3 7 b) − = 0; 2x + 5 4x + 5 1 2 3 5 4 3 c) + − = − + ; 3x 7x 42 21x 6x 14 3 4x − 2 x+1 1 5 + + = + . d) x 10x 15x 5x 4 a)

A12.4 L¨osen Sie a) 5(2x − 4) + 2x + 8 = 6(2x − 2) + 4;

b) 2(4x + 3) − 3(4 − x) = x − 5(3 − 2x) + 9.

13

Geradengleichungen in der x-y -Ebene

13.1

Koordinatengleichung einer Geraden

Die sog. lineare Funktion y = mx + b,

m und b reelle Konstanten

stellt die Gleichung einer Geraden g in der x-y-Ebene dar. Alle Punkte P (x, y), deren Koordinaten x, y diese Gleichung erf¨ ullen, liegen auf dieser Geraden. y

g

Beispiel 1: y = 1,5x + 1. F¨ ur x = 0 stellt y = 1 den Achsenabschnitt auf der y-Achse dar. m = 1,5 ist die Steigung der Geraden. Wenn x um eine Einheit vergr¨ oßert wird, w¨achst y um m = 1,5 Einheiten.

m = 1, 5 1

1 0

−2/3

x

1

Beispiel 2: a) y = −0,5x − 1 Achsenabschnitt b = −1; Steigung: m = −0,5 (negativ).

b) y = 2x − 2 Achsenabschnitt b = −2; Steigung: m = 2.

y=

2x −

2

y

1

2 1 0

−2 b

x

1 0.5

b

y=

−0 .5, x

−1

88

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

In der Geradengleichung y = mx + b stellt b den Achsenabschnitt auf der y-Achse dar. m ist die Steigung. Wenn x um eine Einheit vergr¨oßert wird, ¨andert sich y um m Einheiten. Bei positiver Steigung w¨ achst y, bei negativer Steigung nimmt y entsprechend ab. Im Falle m = 0 stellt y ≡ b eine zur x-Achse parallele Gerade dar. Punkt-Steigungs-Formel Die Gerade soll durch einen vorgegebenen Punkt P (x0 , y0 ) mit den Koordinaten x0 und y0 gehen und die Steigung m besitzen. Dann lautet die Gleichung der Geraden

y

m

P

y0

y − y0 = m · (x − x0 ) oder y = mx + y0 − mx0 . | {z } =b

b

1

1 0

1

x0

Beispiel 3: Gesucht sind die Gleichungen der Geraden a) g1 durch P (3; 4) mit der Steigung m =

2 ; 3

3 4 b) g2 durch P (− , −2) mit der Steigung m = − ; 3 4 c) g3 durch P (5, −3) mit der Steigung m = 0. L¨osung: 2 2 (x − 3); y = x + 2; 3 3 3 4 3 b) y + 2 = − (x + ); y = − x − 3; 4 3 4 c) y + 3 = 0; y ≡ −3 (identisch gleich − 3); a) y − 4 =

Parallele zur x-Achse.

x

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

Zwei-Punkte-Formel Durch zwei verschiedene Punkte P1 (x1 , y1 ) und P2 (x2 , y2 ) mit den Koordinaten (x1 , y1 ) bzw. (x2 , y2 ) geht genau eine Gerade. F¨ ur x1 6= x2 folgt aus dem Strahlensatz die Gleichung y − y1 y2 − y1 = = m (Steigung) x − x1 x2 − x1

(Zwei-Punkte-Formel).

89

y

g P2

y2

b

P

y

b

y1 0

P1 b

x1

b b

x

Beispiel 4: Gesucht sind die Gleichungen der Geraden durch die Punkte a) P1 (1; 2);

P2 (4; 6);

b) P1 (−2; 1); 2 c) P1 (5; ); 3 L¨ osung:

P2 (3; −2); 2 P2 (4; ). 3

6−2 4 4 4 2 y−2 = = ; y − 2 = (x − 1); y = x + ; x−1 4−1 3 3 3 3 y−1 −2 − 1 3 3 3 1 b) = = − ; y − 1 = − (x + 2); y = − x − ; x+2 3+2 5 5 5 5 2 2 2 y− − 2 3 = 3 3 = 0; y ≡ (Parallele zur x-Achse). c) x−5 −1 3 a)

Den Achsenabschnitt a auf der x-Achse erh¨alt man mit y = 0 aus 0 = ma + b = 0 b a = − f¨ ur m 6= 0 . m Aus der Geradengleichung erh¨ alt man y = mx + b y − mx = b y m − x=1 b b

| − mx |:b

f¨ ur b 6= 0

x2

x

90

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

Wegen

−m 1 = f¨ ur a 6= 0 geht diese Gleichung u ¨ber in die b a

Achsenabschnittsformel x y + = 1. a b Dabei ist a der vorzeichenbehaftete Achsenabschnitt auf der x-Achse und b der Abschnitt auf der y-Achse. Diese Formel gilt nur f¨ ur a, b 6= 0, also f¨ ur Geraden, die nicht durch den Koordinatenursprung gehen.

y

b 0

a

x

Beispiel 5: Gesucht sind die Gleichungen der Geraden mit den Achsenabschnitten a (x-Achse) und b (y-Achse) a) a = 5;

b = −2; 1 b= ; 2 b = −1.

1 b) a = − ; 4 c) a = −1; L¨osung: a)

x y − = 1; 5 2

b) − 4x + 2y = 1; c)

x y + = 1; −1 −1

13.2

y x = − 1; 2 5 1 y = 2x + ; 2 −x − y = 1;

y=

2 x − 2; 5

y = −x − 1.

Schnitt zweier Geraden

Beispiel 6: In der nachfolgenden Abbildung sind die drei Geraden eingezeichnet: g1 : y = 2x − 3; g2 : y = −0,5x + 3; g3 : y = 2x + 1. a) Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunktes P von g1 und g2 . 2x − 3 = −0,5x + 3 12 24 9 12 9 5 x = 6; x = ; y= − 3 = ; P ( ; ). 2 5 5 5 5 5

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

91

b) Die Geraden g1 und g3 sind parallel, da sie die gleiche Steigung m = 2 besitzen. Sie sind voneinander verschieden und besitzen somit keinen Schnittpunkt. Die Gleichung 2x − 3 = 2x + 1

besitzt keine L¨osung.

c) Die Koordinaten des Schnittpunktes Q von g2 und g3 erh¨alt man aus −0,5x + 3 = 2x + 1 | − 1 + 0,5x 4 8 13 4 13 5 ; Q( ; ). 2 = x; x = ; y = + 1 = 2 5 5 5 5 5 y

g3

g2

g1 Q b

b

P

1 0

1

x

Zwei Geraden g1 : y = m1 x + b1 ; g2 : y = m2 x + b2 sind parallel, falls ihre Steigungen gleich sind (m1 = m2 ). Parallele Geraden, die voneinander verschieden sind, besitzen keinen Schnittpunkt. Nichtparallele Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt. Mit Hilfe der Gleichsetzungsmethode erh¨ alt man die x-Koordinate des Schnittpunktes als L¨osung von m1 x + b 1 = m2 x + b 2 . Durch Einsetzen dieses x-Wertes erh¨ alt man die y-Koordinate des Schnittpunktes.

92

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

13.3

Orthogonale Geraden

Die beiden Geraden g1 : y = m1 x + b1 und g2 : y = m2 x + b2 stehen aufeinander senkrecht (sind orthogonal), falls f¨ ur ihre beiden Steigungen m1 und m2 gilt m1 · m2 = −1. Beispiel 7: a) Die beiden Geraden 1 g2 : y = − x − 8 2 sind wegen m1 · m2 = −1 orthogonal. g1 : y = 2x + 5;

b) Gesucht ist die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P (2; 4) geht und auf der Geraden g1 : y = 0,75x + 3 senkrecht steht. 4 m: Steigung der Geraden. m · 0,75 = −1 ⇒ m = − . 3 Punkt-Steigungsformel 4 20 4 y − 4 = − (x − 2); y = − x + . 3 3 3

13.4

Aufgaben

A13.1 Stellen Sie die Gleichungen der Geraden durch folgende Punkte auf a) P1 (1; 2);

P2 (−2; 3);

b) P1 (0; −2); 4 3 c) P1 ( ; ); 5 2 27 2 d) P1 ( ; ); 19 5

P2 (1; −6); 4 P2 ( ; −2); 3 15 2 P2 ( ; ). 37 5

A13.2 Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden durch den Punkt P mit der Steigung m a) P (2; 4); 2 7 b) P (− ; ); 3 11 √ √ c) P (3 2; 2);

m = −1; 1 m= ; 3 √ m = 2.

Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-Ebene

93

A13.3 Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden mit folgenden Achsenabschnitten a (auf der x-Achse) und b (auf der y-Achse) a) a = 1; b) a = −3; c) a =

2 ; 5

b = 1; 1 b= ; 2 3 b=− . 4

A13.4 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden a) g1 : y = −2x + 4;

4 2 b) g1 : y = − x + ; 3 5 4 c) g1 : y = x + 5; 9 2 3 d) g1 : y = x + ; 7 11

g2 : y = 3x − 7;

2 1 x+ ; 5 3 8 g2 : y = x + 10; 18 9 8 g2 : y = x+ . 21 44 g2 : y =

A13.5 Gegeben ist die Geradengleichung: g1 : y = 0,625x + 3. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g2 , die auf g1 senkrecht steht und durch den Punkt P (−3; −7) geht.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

14

Quadratische Gleichungen

14.1

Reinquadratische Gleichungen ax2 + c = 0; a 6= 0

Die reinquadratische Gleichung ax2 + c = 0,

a 6= 0

geht durch die ¨aquivalenten Umformungen u ¨ber in ax2 = −c c x2 = − . a c F¨ ur > 0 steht auf der rechten Seite eine negative Zahl. Da das Quadrat x2 jeder a c reellen Zahl x ∈ nichtnegativ ist, gibt es f¨ ur > 0 keine reelle L¨osung. a c c F¨ ur c = 0, a 6= 0 ist x = 0 die einzige L¨ osung, w¨ahrend im Falle < 0 ⇐⇒ − > 0 a a zwei L¨osungen existieren, n¨ amlich r r c c c x1 = + − und x2 = − − f¨ ur − > 0. a a a

R

c Die reinquadratische Gleichung ax2 + c = 0, a 6= 0 ist nur f¨ ur − ≥ 0 l¨osbar. a c F¨ ur − > 0 besitzt sie die beiden L¨ osungen a r r c c und x2 = − − . x1 = + − a a F¨ ur c = 0, a 6= 0 gibt es nur die einzige L¨ osung x = 0. c osung. Im Falle − < 0 gibt es keine reelle L¨ a F¨ ur a = c = 0 ist jedes x ∈ L¨ osung.

R

96

Kapitel 14: Quadratische Gleichungen

Beispiel 1: Gesucht sind alle reelle L¨ osungen der folgenden Gleichungen a) x2 − 81 = 0; b) 4x2 − 121 = 0; c) x2 −

1 = 0; 5

d) x2 + 31 = 0; e)

√ 2 2 x − 5 = 0;

14.2

x2 = 81; 121 ; x2 = 4 1 x2 = ; 5 x2 = −31; 5 x2 = √ ; 2

√ x1 = + 81 = 9; 11 x1 = + ; 2 √ 5 1 x1 = √ = ; 5 5

x2 = −9; 11 x2 = − ; 2 √ 5 x2 = − ; 5

keine reelle L¨osung; √ 5 . x1,2 = ± √ 4 2

Die spezielle quadratische Gleichung ax2 + bx = 0; a 6= 0; b 6= 0

In der speziellen quadratischen Gleichung ax2 + bx = 0,

a 6= 0

kann der Faktor x ausgeklammert werden. Dadurch geht die Gleichung u ¨ber in die Produktdarstellung ax2 + bx = x · (ax + b) = 0.

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren verschwindet. Damit besitzt diese Gleichung die beiden L¨osungen x1 = 0

b und x2 = − . a

Die spezielle quadratische Gleichung ax2 + bx = 0, a 6= 0; b 6= 0 besitzt die beiden L¨osungen x1 = 0

b und x2 = − . a

Beispiel 2: a) 5x2 + 3x = 0;

x · (5x + 3) = 0;

x1 = 0;

b) 11x2 − 9x = 0;

x · (11x − 9) = 0;

x1 = 0;

c)

√ 2 √ 8x + 2x = 0;

√ 2x · (2x + 1) = 0;

x1 = 0;

3 x2 = − ; 5 9 x2 = ; 11 1 x2 = − . 2

Kapitel 14: Quadratische Gleichungen

97

Vorsicht! H¨ aufig wird die Gleichung ax2 + bx = 0 formal durch x dividiert, also ax2 + bx = 0 ax + b = 0

|:x

b =− . a Dadurch erh¨alt man f¨ ur b 6= 0 nur die von x = 0 verschiedene L¨osung. Die L¨osung x = 0 geht bei dieser Division verloren. Der Grund daf¨ ur liegt in der Tatsache, dass bei der Division durch x der Divisor x von Null verschieden sein muss, da durch 0 nicht dividiert werden darf. F¨ ur x = 0 wird aber durch 0 dividiert. x

Durch das Ausklammern von x bleibt jedoch im Produkt ax2 + bx = x · (ax + b) = 0

der Faktor x stehen.

14.3

Die allgemeine quadratische Gleichung (quadratische Erg¨anzung)

Beispiel 3: Gesucht sind die L¨ osungen der Gleichung (x − 5)2 − 4 = 0.

L¨ osung:

(x − 5)2 − 4 = 0 (x − 5)2 =4√ x−5 = ± 4 = ±2  1. L¨osung x1 = 5 + 2 = 7 2. L¨osung x2 = 5 − 2 = 3

|+4 (Wurzelziehen) |+5 Kurzschreibweise x1,2 = 5 ±

√ 4 = 5 ± 2.

Beispiel 4 (quadratische Erg¨ anzung): x2 + 12x + 9 = 0 x2 + 12x = −9 2 x + 12x + 36 = −9 + 36 (x + 6)2 = 27 √ Wurzelziehen x + 6 = ± 27 √ √ x1 = −6 + 27; x2 = −6 − 27.

Umformung Erg¨anzung

|+



12 2

2

= 36

98

Kapitel 14: Quadratische Gleichungen

Beispiel 5 (quadratische Erg¨ anzung): x2 − 3x + 2 = 0

a)

2

Umformung: x − 3x Erg¨anzung

= −2 9 9 x − 3x + = −2 + 4 4  2 3 1 x− = 2 4 r 1 1 3 =± =± x− 2 4 2 3 1 3 1 x1 = + = 2; x2 = − = 1. 2 2 2 2 2

 2 9 3 = |+ 2 4

b) x2 + 4x + 9 = 0 x2 + 4x = −9 x2 + 4x + 4 = −9 + 4 (x + 2)2 = −5 | {z } |{z} 0: es gibt zwei verschiedene reelle L¨ osungen r p p2 p2 − 4q p −q =± . x+ =± 2 4 2 L¨ osungen der Normalform x2 + px + q = 0, falls p2 − 4q ≥ 0. r p p2 p −p + p2 − 4q x1 = − + −q = ; 2 4 2 r p p2 p −p − p2 − 4q x2 = − − −q = . 2 4 2 b Die L¨osungen der Ausgangsgleichung ax2 + bx + c = 0 erh¨alt man hieraus mit p = a c und q = als a s p b2 b −b + b2 − 4ac c x1 = − + ; − = 2a a 2a 4a2 s p c b b2 −b − b2 − 4ac − = x2 = − − , falls b2 − 4ac ≥ 0 . 2a a 2a 4a2 Damit erh¨alt man allgemein die L¨ osungsm¨ oglichkeiten Normalform 2

x + px + q = 0 2

allgemeine Form ax2 + bx + c = 0,

a 6= 0

2

D = p − 4q

D = b − 4ac

keine reelle L¨osung

keine reelle L¨osung

D=0

D=0

genau eine L¨osung p x=− 2

genau eine L¨osung b x=− 2a

D>0

D>0

zwei verschiedene L¨ osungen r p 2 p p −p + p2 − 4q x1 = − + −q = 2 r4 2 p 2 −p − p2 − 4q p p −q = x2 = − − 2 4 2

zwei verschiedene L¨osungen √ b2 − 4ac b x1 = − + 2a 2a √ 2 b − 4ac b x2 = − − 2a 2a

D 1. F¨ ur a < 0 kommt zur Streckung oder Stauchung im Verh¨altnis |a| : 1 (|a| = Betrag von a) noch eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.

2

y = 2x

2

y=x

y

y= 2 1 x 2

1

0

−1 −1

x

1 y = − 12 x2

122

Kapitel 15: Parabeln

Parallelverschiebung von y = ax2 in den Achsenrichtungen liefert die allgemeine Parabel. Die Funktionsgleichung y = y0 + a(x − x0 )2 , a 6= 0

stellt eine allgemeine Parabel dar mit dem Scheitelpunkt S(x0 , y0 ). F¨ ur a > 0 ist die Parabel nach oben, f¨ ur a < 0 nach unten ge¨offnet. Diese Parabel geht aus der entsprechenden Standardparabel durch Streckung in y-Richtung im Verh¨altnis |a| : 1 hervor. Dabei ist |a| der Betrag von a mit  a f¨ ur a ≥0; |a| = −a f¨ ur a vorteilhaft. a 6= b (a ungleich b) bedeutet entweder a < b oder a > b. Die Bezeichnung a ≦ b bzw. a ≤ b (a kleiner gleich b) besagt, dass a entweder kleiner oder gleich b, also nicht gr¨oßer als b ist. Von den beiden Beziehungen a < b oder a = b kann h¨ochstens eine richtig sein. Es gilt a ≤ b ⇐⇒ a ≯ b (a nicht gr¨ oßer als b).

Beziehungen der Art a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b heißen Ungleichungen. F¨ ur das Rechnen mit Ungleichungen gelten folgende Eigenschaften: Aus a < b und b < c folgt a < c. Aus a < b folgt a + c < b + c f¨ ur beliebiges c. Aus a < b folgt a · c < b · c f¨ ur beliebiges c > 0; a·c> b·c f¨ ur beliebiges c < 0. Aus a < b und c < d folgt a + c < b + d.

Beispiel 1: a)

2 8 c) 4 ⇒ −4 ⇒

2.

132

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

Achtung Bei der Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl c < 0 geht das < Zeichen in > u ¨ber und umgekehrt. Das Ungleichheitszeichen muss also bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl umgekehrt werden. F¨ ur a < b und b < c schreibt man abk¨ urzend a < b < c (Doppelungleichung). Bei solchen doppelten Ungleichungen m¨ ussen gleichzeitig beide Ungleichungen a < b und b < c erf¨ ullt sein. b liegt dann echt zwischen a und c. Beispiel 2: a) c)

⇒ ⇒

2< a−5 < 7 |+5 7 < a < 12 −2 < −x < −1 | · (−1) 2>x>1

16.2

b)

2 < −b < 5 | · (−1) ⇒ −2 > b > −5;

Intervalle

Zweiseitig begrenzte Intervalle bestehen aus allen reellen Zahlen, die zwischen den beiden Grenzen liegen. Dabei k¨ onnen die Randpunkte (Grenzen) dazugenommen oder weggelassen werden. F¨ ur a < b gibt es folgende Intervalle abgeschlossen:

[a; b] = {x | a ≤ x ≤ b}

offen:

(a; b) = {x | a < x < b}

halboffen:

(a; b] = {x | a < x ≤ b} (links offen, rechts abgeschlossen)

halboffen:

[a; b) = {x | a ≤ x < b} (links abgeschlossen, rechts offen)

[ ( a ( a [

] ) b ] b )

a

b

a

b

Die eckigen Klammern [;] bedeuten, dass die Intervallgrenzen zum Intervall geh¨oren, bei runden Klammern (;) geh¨ oren die Intervallgrenzen nicht dazu. Zweiseitig begrenzte Intervalle werden also durch doppelte Ungleichungen beschrieben. Einseitig begrenzte Intervalle werden durch eine einzige Ungleichung beschrieben, z.B. (−∞; a) = {x | x < a} offen, nach oben begrenzt; (−∞; a] = {x | x ≤ a} abgeschlossen, nach oben begrenzt; (a; +∞) = {x | x > a} offen, nach unten begrenzt; [a; +∞) = {x | x ≥ a} abgeschlossen, nach unten begrenzt.

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

133

Bei (halb-)offenen Intervallen werden h¨ aufig auch folgende Bezeichnungen benutzt (a; b) =]a; b[; (a; b] = ]a; b]; [a; b) = [a; b[. Intervalle treten z.B. als L¨ osungsmengen linearer oder quadratischer Ungleichungen auf (Abschnitte 16.3 bis 16.5).

16.3

Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Beispiel 3: Gesucht sind die L¨ osungsmengen der folgenden Ungleichungen a) 3x < 9 3x < 9 x < 3; b) 2x + 4 2x + 4 2x − 3x + 4 −x + 4 −x x c) 2x − 5 2x − 5 1 − x−5 2 1 − x 2 x

| : 3 (Division beider Seiten) L = {x | x < 3} = (−∞; 3) (Intervall).

< 3x + 5 < 3x + 5 | − 3x (Subtraktion auf beiden Seiten) < 3x − 3x + 5 −1} = (−1; +∞). 5 x+8 2 5 ≥ x+8 2 ≥8

5 |− x 2 |+5

≥ 13

| · (−2)

≥

≤ −26.

Durch Multiplikation mit −2 geht ≥ in ≤ u ¨ber. n o  i L¨ osungsmenge L = x x ≤ −26 = −∞; 26 .

Falls in einer Ungleichung die Variable x nur in der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um eine lineare Ungleichung, z.B. ax + b < c. Zur Bestimmung der L¨ osungsmenge L wird die Ungleichung durch wiederholte Addition und Multiplikation so umgeformt, dass x isoliert auf einer Seite steht. Dabei andert eine Addition und die Multiplikation mit einer positiven Zahl die Ungleichung ¨ nicht, w¨ahrend bei der Multiplikation mit c < 0 das Zeichen > in < u ¨bergeht und umgekehrt. Die Ungleichheitszeichen kehren sich in diesem Fall um.

134

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

Beispiel 4: Gesucht ist die x+1 > x−2

L¨ osungsmenge der Ungleichung 1 ; x 6= 2. 3

Diese Ungleichung darf nicht ohne weiteres mit x − 2 durchmultipliziert werden, da der Nenner x − 2 in Abh¨ angigkeit von x positiv oder negativ sein kann. Bei negativem Nenner x − 2 < 0 muss bei der Multiplikation mit x − 2 das Zeichen > durch < ersetzt werden. Damit sind Fallunterscheidungen notwendig. 1. Fall:

x − 2 > 0, d.h. x > 2 x+1 1 · (x − 2) (Multiplikation) > x−2 3 1 x + 1 > (x − 2) |·3 (Multiplikation) 3 3x + 3 > x − 2 |−x (Subtraktion) 2x + 3 > −2 |−3 2x > −5 |:2 5 x >− . 2 5 ur x > 2 erf¨ ullt. Damit erh¨alt man die Beide Ungleichungen x > − und x > 2 sind f¨ 2 erste L¨osungsteilmenge L1 = {x | x > 2} = (2; +∞). 2. Fall:

x − 2 < 0, d.h. x < 2 1 x+1 > | · (x − 2) (negativ) x−2 3 1 x + 1 < (x − 2) |·3 3 3x + 3 < x − 2 |−x 2x + 3 < −2 |−3 2x < −5 |:2 5 x 2 oder x < − = −∞; − ∪ 2; ∞ 2 2 (Vereinigung von Intervallen). Falls in einer Ungleichung ein Bruch vorkommt, dessen Nenner die Variable x enth¨alt, wird dieser Nenner dadurch beseitigt, dass die Ungleichung mit dem Nenner durchmultipliziert wird. Dabei m¨ ussen f¨ ur den Nenner Fallunterscheidungen gemacht werden. Bei positivem Nenner bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, w¨ahrend es bei der Multiplikation mit einem negativen Nenner umgekehrt werden muss. Beispiel 5: Gesucht ist die L¨osungsmenge von 5 + 2x < −2 | · (2 + 3x) 2 + 3x 1. Fall:

2 + 3x > 0;

3x > −2;

x>−

2 3

5 + 2x < −2(2 + 3x) 5 + 2x < −4 − 6x | + 6x − 5 8x < −9 9 x − sein kann, gibt es f¨ 8 3 d.h. L1 = ∅. 2. Fall : ⇒

2 + 3x < 0;

x −2(2 + 3x) 5 + 2x > −4 − 6x 8x > −9 9 x> − . 8 n 9 2o  9 2 L2 = x − < x < − = − ;− . 8 3 8 3 n 9 2o  9 2 L¨ osungsmenge L = L1 ∪ L2 = L2 = x − < x < − = − ;− . 8 3 8 3

136

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

16.4

Betr¨age und Abst¨ande. Ungleichungen mit Betr¨agen

Der Betrag einer Zahl a  a f¨ ur a ≥0 |a| = −a f¨ ur a 0 gilt somit a = |a| und f¨ ur b < 0 b = −|b|. Bei der Berechnung von Betr¨ agen fest vorgegebener reeller Zahlen gibt es im Allgemeinen keine Probleme. So ist z.B. |5| = 5;

| − 7| = 7;

|0| = 0;

| − 1| = 1

unmittelbar plausibel. Beim Buchstabenrechnen ist jedoch nicht unmittelbar ersichtlich, ob die entsprechende Zahl positiv oder negativ ist. Dann m¨ ussen zur Beseitigung des Betragszeichens Fallunterscheidungen gemacht werden. Eigenschaften der Betr¨ age | − a| = |a| |a · b| = |a| · |b| −|a| ≤ a ≤ |a| (folgt aus a = |a| f¨ ur a > 0, a = −|a| f¨ ur a < 0) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung). Der Betrag |a − b| stellt den Abstand zwischen a und b dar. Alle reellen Zahlen x, welche bei vorgegebenem x0 die Ungleichung |x − x0 | ≤ d f¨ ur d ≥ 0

erf¨ ullen, d¨ urfen von x0 h¨ ochstens den Abstand d haben. Die L¨osungsmenge dieser Betragsungleichung ist somit das abgeschlossene Intervall [x0 − d; x0 + d] = {x | x0 − d ≤ x ≤ x0 + d}. x0 − d

x0

x0 + d

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

137

Beispiel 6: Gesucht ist die L¨osungsmenge der Ungleichung |x − 10| ≤ 0,5x.

Zur L¨osung m¨ ussen die Betragszeichen beseitigt werden. Dazu sind zwei Fallunterscheidungen notwendig. 1. Fall: x − 10 ≥ 0, d.h. x ≥ 10.

F¨ ur x − 10 ≥ 0 geht wegen |x − 10| = x − 10 die Ungleichung u ¨ber in x − 10 ≤ 0,5x 0,5x ≤ 10 x ≤ 20.

| + 10 − 0,5x |·2

F¨ ur diesen Fall lautet die L¨ osungsteilmenge L1 = {x | 10 ≤ x ≤ 20} = [10; 20]. 2. Fall: x − 10 < 0, d.h. x < 10.

Aus x − 10 < 0 folgt |x − 10| = −(x − 10). Damit geht die Ungleichung u ¨ber in −(x − 10) ≤ 0,5x −x + 10 ≤ 0,5x |+x 2 3 | · 10 ≤ x 2 3 20 ≤ x. 3 Dieser Fall liefert die L¨ osungsteilmenge o h 20  n 20 ≤ x < 10 = ; 10 . L2 = x 3 3 Die gesamte L¨ osungsmenge ist die Vereinigung o h 20 i n 20 ≤ x ≤ 20 = ; 20 . L = L1 ∪ L2 = x 3 3

Bei Ungleichungen mit Betr¨ agen m¨ ussen zur Beseitigung der Betragszeichen wegen  a f¨ ur a ≥0 |a| = −a f¨ ur a 2 |5 − 2x| = −(5 − 2x) − 5 + 2x ≥ x + 1 x ≥ 6.

|+5−x

Aus x ≥ 6 folgt auch x >

5 . 2

L2 = {x | x ≥ 6} = [6; ∞).

 o  n 4 4i h ∪ 6; ∞ . L¨osungsmenge L = L1 ∪ L2 = x x ≤ oder x ≥ 6 = −∞; 3 3

16.5

Quadratische Ungleichungen

Ungleichungen, bei denen eine Variable nur in der zweiten und evtl. in der ersten Potenz vorkommt, heißen quadratische Ungleichungen.

16.5.1

Reinquadratische Ungleichungen

Ungleichungen der Art x2 < a;

x2 ≤ a;

x2 > a;

x2 ≥ a

heißen reinquadratische Ungleichungen. Die Ungleichung x2 < a besitzt f¨ ur a ≤ 0 keine L¨osung, da Quadrate nicht negativ sein k¨onnen. F¨ ur a > 0 folgt aus x2 = |x|2 √ |x|2 < a ⇐⇒ |x| < a mit der L¨osungsmenge  √ √ √ √
L = x − a < x < a = − a; a .

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

139

Die reinquadratische Ungleichung x2 < a besitzt f¨ ur a ≤ 0 keine reelle L¨osung (L = ∅) und f¨ ur a > 0 die L¨ osungsmenge √ √ √ √ L = {x | − a < x < a} = (− a; a) (offenes Intervall). Die Ungleichung x2 > a ist f¨ ur alle x ∈

R erf¨ullt, falls a negativ ist.

√ F¨ ur a ≥ 0 gilt x2 > a ⇐⇒ |x|2 > a ⇐⇒ |x| > a mit der L¨osungsmenge √ √ √ √ L = {x | x < − a oder x > a} = (−∞; − a) ∪ ( a; +∞). Die reinquadratische Ungleichung x2 > a besitzt f¨ ur a < 0 die L¨osungsmenge L =

R

(alle reellen Zahlen) und f¨ ur  √ √ a ≥ 0 die L¨osungsmenge L
= x x < − a oder x > a √
√ = −∞; − a ∪ a; +∞ . Bei den Ungleichungen x2 ≤ a und x2 ≥ a geh¨ oren die Randpunkte zur L¨osungsmenge. Beispiel 8: a) x2 < 25;

L = {x | −5 < x < 5} = (−5; 5); √ √ √ √ L = {x | x ≤ − 2 oder x ≥ 2} = (−∞; − 2] ∪ [ 2, ∞);

2

b) x ≥ 2;

c) x2 ≤ 0;

nur x = 0 erf¨ ullt diese Ungleichung; L = {0};

2

d) x < −1

keine reelle L¨ osung ; L = ∅ (leere Menge);

2

e) x ≥ −5

16.5.2

jedes x ∈

R erf¨ullt diese Ungleichung; L = R.

Allgemeine quadratische Ungleichungen

Ungleichungen der Form bzw.

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

bzw. bzw.

ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c ≤ 0

heißen quadratische Ungleichungen.

mit a 6= 0

a) L¨ osungen u ¨ber die Nullstellen von Parabeln Da die Funktion y = ax2 + bx + c f¨ ur a 6= 0 eine Parabel darstellt, besteht die L¨osungsmenge der quadratischen Ungleichung ax2 + bx + c > 0 (< 0)

140

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

aus denjenigen Stellen x, an denen die Parabel oberhalb (unterhalb) der x-Achse liegt. Bei Ungleichungen der Gestalt ax2 + bx + c ≥ 0 (≤ 0)

geh¨oren auch noch die Nullstellen der Parabel zur L¨osungsmenge. Bei der L¨osung quadratischer Ungleichungen spielen daher die L¨ osungen der entsprechenden quadratischen Gleichungen eine entscheidende Rolle. Dazu das Beispiel 9: a) Gesucht ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung x2 − 6x + 7 < 0. 1. Schritt: (Bestimmung der Nullstellen) x2 − 6x + 7r= 0 √ 36 − 7 = 3 ± 2; x1,2 = 3 ± 4 √ √ x1 = 3 − 2; x2 = 3 + 2.

2. Schritt: Da die Parabel nach oben ge¨ offnet ist, sind die Funktionswerte innerhalb der Nullstellen negativ. Damit lautet die L¨ osungsmenge √ √ √ √
 L = x 3 − 2 < x < 3 + 2 = 3 − 2; 3 + 2 (offenes Intervall). y

1 L 0

1

x1

x2 x

−1

b) Die Ungleichung x2 − 6x + 7 > 0

besitzt die L¨osungsmenge (außerhalb der Nullstellen) √ √
√ √
 L = x x < 3 − 2 oder x > 3 + 2 = −∞; 3 − 2 ∪ 3 + 2, ∞

(Vereinigung zweier einseitig begrenzter Intervalle).

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

141

Beispiel 10: y = −0,5x2 + 5x − 10 = −0,5(x − 5)2 + 2,5

stellt eine nach unten ge¨ offnete Parabel dar mit den Nullstellen √ √ x1 = 5 − 5; x2 = 5 + 5. 2 a) Die Ungleichung die√L¨o sungsmenge √ −0,5x + 5x√− 10 ≥ 0 besitzt √  La = x 5 − 5 ≤ x ≤ 5 + 5 = 5 − 5; 5 + 5 .

y

2,5 1 0

1

x

5

b) Die L¨osungsmenge der Ungleichung −0,5x2 + 5x − 10 < 0

ist die Komplement¨ armenge von La , also √ √   Lb = x x 6∈ La = x x < 5 − 5 oder x > 5 + 5 √ √

= −∞; 5 − 5 ∪ 5 + 5; ∞ .

c) Die Ungleichung −0,5x2 + 5x − 10 < 5 |−5 −0,5x2 + 5x − 15 < 0 ist f¨ ur jedes x ∈ erf¨ ullt, da die gesamte Parabel unterhalb von y = 5 liegt. Die L¨osungsmenge lautet

R

Lc =

R.

Die zugeh¨orige Gleichung −0,5x2 + 5x − 15 = 0

besitzt keine reelle L¨ osung, d.h. die Parabel y = −0,5x2 + 5x − 15

besitzt keine Nullstelle. Wegen y(0) = f (0) = −15 liegt die gesamte Parabel unterhalb der x-Achse, was ebenfalls die L¨ osungsmenge Lc = liefert.

R

142

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

d) Die Ungleichung −0,5x2 + 5x − 15 > 0

besitzt nach c) keine reelle L¨ osung. Die Parabel liegt unterhalb der x-Achse. Die erf¨ ullt, also Ld = ∅. Ungleichung ist f¨ ur kein x ∈

R

Bestimmung der L¨ osungsmenge der quadratischen Ungleichungen f (x) = ax2 + bx + c < 0 bzw. ax2 + bx + c > 0 f¨ ur a 6= 0. 1. Man l¨ose die quadratische Gleichung f (x) = ax2 + bx + c = 0. 1. Fall: die quadratische Gleichung besitzt keine L¨ osung. Dann besitzt die Parabel y = ax2 + bx + c keine Nullstellen. F¨ ur a > 0 liegt sie oberhalb, f¨ ur a < 0 unterhalb der x-Achse. Falls dann f¨ ur x = 0 die entsprechende Ungleichung erf¨ ullt ist, ist jedes x∈ L¨ osung der entsprechenden Ungleichung, d.h. L = . Andernfalls gibt es keine L¨ osung, d.h. L = ∅.

R

R

2. Fall: die quadratische Gleichung besitze die beiden L¨osungen p b2 − 4ac b f¨ ur D = b2 − 4ac ≥ 0. x1,2 = − ∓ 2a 2a Dabei seien die Vorzeichen so gew¨ahlt, dass x1 ≤ x2 ist (der Fall x1 = x2 ist dabei zugelassen). F¨ ur a > 0 ist die Parabel nach oben ge¨offnet. Dann gilt x1 < x < x2 x < x1 oder x > x2

⇐⇒ ⇐⇒

ax2 + bx + c < 0 f¨ ur a > 0; ax2 + bx + c > 0 f¨ ur a > 0.

F¨ ur a < 0 ist die Parabel nach unten ge¨offnet. Dann gilt x1 < x < x2 x < x1 oder x > x2

⇐⇒ ⇐⇒

ax2 + bx + c > 0 f¨ ur a > 0; ax2 + bx + c < 0 f¨ ur a > 0.

Beispiel 11: Gesucht sind alle Punkte auf der Parabel y = 0,25x2 − 2,5x + 4,75 = 0,25(x − 5)2 − 1,5,

die unterhalb der Geraden g : y = 3 − 0,25x liegen.

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

143

y

1 0 −1

x

1

Gesucht ist also die L¨ osungsmenge der Ungleichung 0,25x2 − 2,5x + 4,75 < 3 − 0,25x 0,25x2 − 2,25x + 1,75 < 0 x2 − 9x + 7 < 0.

| − 3 + 0,25x |·4

Quadratische Gleichung

x2 − 9x + 7 = 0 r 81 9 x1,2 = ± − 7; 2 4

9 x1 = − 2

√ 53 ; 2

9 x2 = + 2

√ 53 . 2

Da die Parabel y = x2 − 9x + 7 nach oben ge¨ offnet ist, lautet die L¨osungsmenge √ √ o  √ n 9 − √53 9 − 53 9 + 53  9 + 53 = . 0 ist die Ungleichung f¨ ur kein x erf¨ ullt, also L1 = ∅.

144

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

2. Fall:

x − 2 < 0;

x 0 bzw. x2 + px + q < 0. (=) (=) Bei der Division durch ein negatives a < 0 ist darauf zu achten, dass die Ungleichheitszeichen > und < umgekehrt werden. Die L¨osungsmengen dieser Ungleichungen k¨ onnen mit Hilfe der quadratischen Erg¨ anzung bestimmt werden. Diese quadratische Erg¨anzung ist unabh¨angig vom Ungleichheitszeichen. Sie wird daher nur f¨ ur > durchgef¨ uhrt. x2 + px + q x2 + px

>0

> −q 2 p2 p > −q x2 + px + 4 4  p2 p 2 > −q x+ 2 4 p 2 p2 − q. x + > 2 4

|−q p2 |+ 4

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

145

R

R

p2 erf¨ ullt, d.h. L = . − q < 0. Dann ist die Ungleichung f¨ ur jedes x ∈ 4 r p p2 p2 − q ≥ 0 ⇒ x + > − q. 2 Fall: 4 2 4  p  p p x + = x − − stellt den Abstand des Punktes x von − auf der 2 2 2 r p2 Zahlengeraden dar. Dieser Abstand muss gr¨oßer als − q sein. 4 F¨ ur x ∈ L (L¨osungsmenge) muss also gelten r r p2 p2 p p x − + − q = x2 . 2 4 2 4 Dabei sind x1 und x2 die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. p Die L¨osungsmenge ist symmetrisch zum Scheitelwert x0 = − . 2 1 Fall:

L¨ osungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 + px + q > 0 1. Fall: die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 besitzt keine L¨osung p2 − q < 0. 4 L¨osungsmenge L = , d.h. die Ungleichung ist f¨ ur jedes x ∈ ⇐⇒

R

R erf¨ullt.

2. Fall: die quadratische Gleichung besitzt die L¨osungen r r p2 p2 p p − q; x2 = − + − q (x1 = x2 ist m¨oglich). x1 = − − 2 4 2 4 L¨osungsmenge L = {x | x < x1 oder x > x2 } = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞).

F¨ ur die Ungleichung x2 + px + q ≥ 0 sind die Abgrenzungspunkte (= Nullstellen) x1 und x2 hinzuzunehmen. Es gilt p2 p 2 −q. x2 + px + q < 0 ⇐⇒ x + < 2 4

Daraus erh¨alt man die

146

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨age

L¨ osungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 + px + q < 0 1. Fall: die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 besitzt nicht zwei verschiedene p2 − q ≤ 0. L¨osungen ⇐⇒ 4 L¨osungsmenge L = ∅ (keine reelle L¨osung). 2. Fall: x2 + px + q = 0 besitzt die beiden verschiedenen L¨osungen r r p p p2 p2 − q; x2 = − + −q. x1 = − − 2 4 2 4 r r   p2 p2 p p L¨osungsmenge L = {x | x1 < x < x2 } = − − − q; − + −q . 2 4 2 4 Beispiel 13: Gesucht sind die L¨ osungsmengen der Ungleichungen a) −12x2 + 2x + 2 > 0;

b) −12x2 + 2x + 2 < 0. Durch Division durch −12 gehen die Ungleichungen u ¨ber in 1 a) x2 − x − 6 1 2 b) x − x − 6

1 < 0; 6 1 > 0. 6

1 1 Bestimmung der Nullstellen von x2 − x − = 0. 6 6 r r 1 1 1 1 5 1 25 x1,2 = ∓ + = ∓ = ∓ 12 36 · 4 6 12 144 12 12 1 1 x1 = − ; x2 = . 3 2 n 1 1o  1 1 = − ; . a) L¨osungsmenge La = x − < x < 3 2 3 2 n  1 1o  1 1 b) L¨osungsmenge Lb = x x < − oder x > ; +∞ . = −∞, − ∪ 3 2 3 2

Beispiel 14:

Gesucht ist die L¨ osungsmenge von 0,25x2 + x + 2,5 > 0 x2 + 4x + 10 > 0

|·4

Kapitel 16: Ungleichungen und Betr¨ age

147

Die Gleichung x2 + 4x + 10 = 0 p2 − q = 4 − 10 = −6 < 0 keine reelle L¨osung. Da die Ungleichung f¨ ur besitzt wegen 4 x = 0 erf¨ ullt ist, liegt die Parabel oberhalb der x-Achse. Die Ungleichung ist somit f¨ ur ullt, also L = . alle x ∈ erf¨

R

16.6

R

Aufgaben

A16.1 Bestimmen Sie die L¨ osungsmengen der folgenden Ungleichungen a) 5x − 4 < 3x − 1; d) 2x − 4 < 10 ≤ x + 5;

3 b) − (x − 5) < 7; c) − 3 < 2x − 4 < 5; 2 e) 6 · (x + 1) < 15 < 5x + 4.

A16.2 Bestimmen Sie die L¨ osungsmengen der Ungleichungen 1 ≤ 3; x 5x + 2 d) ≥ 2; 3x − 7 a)

2 − 3x > 0,5; 4x + 5 2x − 4 e) < 1. x+5

b)

c)

5x + 2 2 + 4x < + 1; 3x 5x

A16.3 Bestimmen Sie die L¨ osungsmengen der Ungleichungen a) |x − 5| ≤ 2;

b) |x + 100| > 200;

d) |2x − 10| ≤ x;

e) |4 − 3x| > 2x + 10;

c) |2x + 3| < 5; 2x + 3 > 2. f) |4x − 6|

A16.4 Bestimmen Sie die L¨ osungsmengen der Ungleichungen a) x2 ≤ 100;

b) 2x2 − 18 > 0;

g) − 0,5x2 + x + 4 > 0;

h) x2 − 2x + 3 ≥ 0;

d) 2x2 + 3 < 0;

j) 4x2 − 12x + 9 ≤ 0.

e) 4x2 + 1 ≥ 0;

c) x2 − 2 < 0;

f) 2x2 + 3x − 2 ≥ 0; x2 3 10 i) − + x− > 0; 8 8 32

A16.5 Bestimmen Sie die L¨ osungsmengen der Ungleichungen a)

1 < x; x

b)

2x + 3 > x + 1. x−2

17

Gleichungen h¨oherer Ordnung – Polynomdivision

Bisher wurden nur lineare und quadratische Gleichungen betrachtet sowie solche Gleichungen, die sich darauf zur¨ uckf¨ uhren lassen. Lineare Gleichungen besitzen immer eine L¨ osung, quadratische Gleichungen m¨ ussen nicht unbedingt l¨osbar sein. Falls jedoch L¨ osungen existieren, k¨ onnen sie mit Hilfe einer geschlossenen Formel berechnet werden. In einer Gleichung n-ten Grades kommen von x nur Potenzen bis zum n-ten Grad vor, also an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0;

an 6= 0.

Auf der linken Seite steht ein Polynom n-ten Grades. Dabei sind die Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an reelle Zahlen. F¨ ur dieses Polynom n-ten Grades schreibt man n P abk¨ urzend Pn (x) = ak · xk . k=0

Die L¨osungen der Gleichung n-ten Grades stellen die Nullstellen des Polynoms n-ten Grades dar. Beispiel 1: a) 5x3 − 4x2 + 8x + 5 = 0 ist eine Gleichung 3. Grades;

b) −2x5 + 0,8x4 − 0,3x3 + 5x2 + 3x + 5 = 0 ist eine Gleichung 5. Grades. F¨ ur n ≥ 3 sind die Gleichungen n-ten Grades im Allgemeinen nicht mit elementaren Methoden l¨osbar. Man ben¨ otigt dazu meistens numerische Methoden, die mit einem enormen Rechenaufwand verbunden sind. Aus diesem Grund betrachten wir hier nur spezielle Gleichungen, die l¨ osbar sind.

Ausklammern einer Potenz von x

17.1 Beispiel 2:

x5 − x4 − 6x3 = 0.

Durch Ausklammern von x3 geht die Gleichung u ¨ber in x3 · (x2 − x − 6) = 0.

150

Kapitel 17: Gleichungen h¨oherer Ordnung – Polynomdivision

Ein Produkt verschwindet, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Die Gleichung ist somit erf¨ ullt f¨ ur x3 = 0 und f¨ ur x2 − x − 6 = 0.

x3 = 0 besitzt nur die L¨ osung x1 = 0 (dreifache L¨osung). Die L¨osungen der quadratischen Gleichung x2 − x − 6 = 0 sind r 1 1 5 1 +6= ± ; x2 = −2; x3 = 3. x2,3 = ± 2 4 2 2 Die L¨osungsmenge der Gleichung 5. Grades lautet somit L = {−2; 0; 3}. Beispiel 3: x6 − 6x5 + 11x4 = 0.

x Ausklammern von x4 ergibt x4 · (x2 − 6x + 11) = 0. a) x4 = 0 ⇒ x1 = 0 (vierfache L¨ osung).

p2 − q = −2 < 0 keine b) x2 − 6x + 11 = 0; diese quadratische Gleichung besitzt wegen 4 reelle L¨osung. Die Gleichung 6. Grades besitzt nur die L¨ osung x1 = 0, also L = {0}. Beispiel 4: 2x11 + 3x10 = 0 x · (2x + 3) = 0 10

a) x10 = 0 ⇒ x1 = 0;

b) 2x + 3 = 0 ⇒ x2 = −1,5. L¨osungsmenge L = {−1,5; 0}. In den Beispielen 2 und 3 erh¨ alt man durch das Ausklammern der niedrigsten Potenz von x ein Produkt, wobei der eine Faktor eine Potenz von x darstellt. Diese Potenz verschwindet nur f¨ ur x = 0. Nullsetzen des anderen Faktors ergab eine quadratische Gleichung. In Beispiel 4 liefert das Nullsetzen des zweiten Faktors eine lineare Gleichung. Diese Ausklammerungsmethode ist nur dann anwendbar, wenn in der Gleichung kein konstantes (x-freies) Glied vorkommt, also f¨ ur a0 = 0. Falls sich die Exponenten der h¨ochsten und niedrigsten Potenz nur um zwei (eins) unterscheidet, entsteht eine quadratische (lineare) Gleichung. Allgemein f¨ uhrt dieses Verfahren nur dann zur L¨osung, falls in der Gleichung n-ten Grades das konstante Glied fehlt und die niedrigste Potenz von x mindestens gleich n − 2 ist.

Kapitel 17: Gleichungen h¨ oherer Ordnung – Polynomdivision

151

L¨ osung der Gleichung axn + bxn−1 = 0; n ≥ 2; a 6= 0 Ausklammern von xn−1 ergibt xn−1 · (ax + b) = 0.

Nullsetzen der Faktoren:

xn−1 = 0 ⇒ x1 = 0 ((n − 1)-fache L¨ osung) b b ax + b = 0 ⇒ x = − ; L¨ osungsmenge L = {− ; 0}. a a

L¨ osung der Gleichung axn + bxn−1 + cxn−2 = 0, n ≥ 3; a 6= 0 Ausklammern von xn−2 ergibt

xn−2 · (ax2 + bx + c) = 0.

Nullsetzen der beiden Faktoren: 2

xn−2 = 0 ⇒ x1 = 0 f¨ ur n ≥ 3

((n − 2)-fache L¨osung)

ax + bx + c = 0. Die L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung sind auch L¨osungen der Ausgangsgleichung. Dadurch erh¨ alt man alle L¨osungen. Vorsicht: H¨aufig wird zur Bestimmung der L¨ osung einer Gleichung vom Typ xn−2 · (ax2 + bx + c) = 0, n−2

diese Gleichung durch x Gleichung

n>2

durchdividiert. Dadurch entsteht zwar die quadratische

ax2 + bx + c = 0 (Nullsetzen des zweiten Faktors), w¨ ahrend die L¨osung x1 = 0 f¨ ur xn−2 = 0, n > 2 ver” lorengeht“. Diese muss zus¨ atzlich ber¨ ucksichtigt werden. Der Grund f¨ ur diese Tatsache n−2 liegt darin, dass bei der Division durch x die Variable x von Null verschieden sein muss, da durch Null nicht dividiert werden darf.

17.2

Vorgabe einer L¨osung (Polynomdivision)

Beispiel 5: Die Gleichung 3. Grades x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0

besitzt die L¨osung x1 = 1.

152

Kapitel 17: Gleichungen h¨oherer Ordnung – Polynomdivision

Dann kann aus dem Polynom 3. Grades der Faktor x − x1 = x − 1 ausgeklammert werden. Den zweiten Faktor erh¨ alt man aus der Polynomdivision: −

n x3 − 6x2 + 11x − 6 x3 − x2 (= x2 · (x − 1)) n −5x2 + 11x − − 5x2 + 5x = −5x(x − 1) 6x − 6 o − 6x − 6 −

: (x − 1) = x2 − 5x + 6 6 = 6x : x − 5x = −5x2 : x

Damit geht die Ausgangsgleichung u ¨ber in x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1) · (x2 − 5x + 6) = 0.

Nullsetzen des zweiten Faktors ergibt die quadratische Gleichung x2 − 5x + 6 = 0

mit den L¨osungen r 25 5 1 5 − 6 = ± ; x2 = 2; x3 = 3. x2,3 = ± 2 4 2 2 Damit lautet die L¨ osungsmenge der Gleichung 3. Grades L = {1; 2; 3}. Wegen x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3) gilt f¨ ur die Ausgangsgleichung x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) = 0.

Aus dieser Produktdarstellung werden die L¨ osungen sofort ersichtlich. Beispiel 6: Die Gleichung 3. Grades x3 − 3x2 + 4 = 0

besitzt die L¨osung x1 = −1.

Division durch (x − x1 ) = (x + 1) ergibt −

n x3 − 3x2 + 0 · x + 4 x3 + x2 (= x2 · (x − 1)) n −4x2 + 0 · x − − 4x2 − 4x 4x + 4 o − 4x + 4 − −

: (x + 1) = x2 − 4x + 4

Kapitel 17: Gleichungen h¨ oherer Ordnung – Polynomdivision

153

Daraus folgt x3 − 3x2 + 4 = (x + 1) · (x2 − 4x + 4) = 0.

2. Faktor x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 = 0; L¨ osung x2 = 2 (nur eine L¨osung, doppelt); L¨ osungsmenge L = {−1; 2}. Hier gilt x3 − 3x2 + 4 = (x + 1) · (x − 2)2 = 0. Falls eine Gleichung n-ten Grades die L¨ osung x = x1 besitzt, kann der Faktor ¨ (x−x1 ) ausgeklammert werden. Uber die Division der linken Seite durch (x − x1 ) (Polynomdivision) erh¨ alt man als zweiten Faktor ein Polynom (n − 1)-ten Grades. Falls von einer Gleichung dritten Grades eine L¨ osung x = x1 bekannt ist, erh¨alt man mit Hilfe der Division des Ausgangspolynoms durch x − x1 als zweiten Faktor ein Polynom zweiten Grades. Nullsetzen dieses Faktors ergibt eine quadratische Gleichung, deren L¨ osungen die weiteren L¨ osungen der Ausgangsgleichung sind. Falls bei einer Gleichung 4. Grades eine L¨ osung x1 bekannt ist, ergibt die Division durch (x − x1 ) eine Gleichung 3. Grades. Ist noch eine zweite L¨osung x = x2 bekannt, so kann auch noch der Faktor (x − x2 ) ausgeklammert werden. Division der Gleichung 3. Grades durch (x − x2 ) ergibt dann eine quadratische Gleichung. Anstelle dieser zweimaligen Division kann die Ausgangsgleichung 4. Grades direkt durch (x − x1 ) · (x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 ) · x + x1 · x2

dividiert werden. Dann entsteht sofort eine Gleichung 2. Grades. Beispiel 7: Die Gleichung 4. Grades x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = 0

besitzt die L¨osungen x1 = 1 und x2 = 2. Polynomdivision durch (x − 1) · (x − 2) = x2 − 3x + 2 ergibt −

n x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 : (x2 − 3x + 2) = x2 − 7x + 12 x4 − 3x3 + 2x2

− 7x3 + 33x2 − 50x o − − 7x3 + 21x2 − 14x

o 12x2 − 36x + 24 − 12x2 − 36x + 24 − − −

154

Kapitel 17: Gleichungen h¨oherer Ordnung – Polynomdivision

Die Ausgangsgleichung ist darstellbar als x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = (x − 1) · (x − 2) · (x2 − 7x + 12) = 0.

Nullsetzen des letzten Faktors liefert die quadratische Gleichung x2 − 7x + 12 = 0

mit den L¨osungen r 49 7 1 7 − 12 = ± ; x3,4 = ± 2 4 2 2

x3 = 3;

x4 = 4.

Aus x2 − 7x + 12 = (x − 3) · (x − 4) erh¨ alt man die Darstellung

x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0.

Die Ausgangsgleichung besitzt die L¨ osungsmenge L = {1; 2; 3; 4}. Beispiel 8: Die Gleichung x4 − 3x3 + 4x2 − 2x = 0

besitzt die L¨osungen x1 = 0 und x2 = 1. Division durch (x − x1 ) · (x − x2 ) = x · (x − 1) = x2 − x ergibt −

n x4 − 3x3 + 4x2 − 2x : (x2 − x) = x2 − 2x + 2 x4 − x3 − 2x3 + 4x2 o − − 2x3 + 2x2 2x2 − 2x o − 2x2 − 2x −

p2 − q = 1 − 2 < 0 keine reelle 4 2 L¨osung. Damit ist x − 2x + 2 nicht als Produkt darstellbar. Die quadratische Gleichung x2 − 2x + 2 besitzt wegen

Die Ausgangsgleichung kann nur zerlegt werden in
x4 − 3x3 + 4x2 − 2x = x · (x − 1) · x2 − 2x + 2 = 0 {z } | unzerlegbar mit der L¨osungsmenge L = {0; 1}. Bemerkung: Die Division eines Polynoms n-ten Grades durch (x − x1 ) geht nur dann ohne Rest auf, wenn x1 eine Nullstelle des Polynoms, also eine L¨osung der entsprechenden Gleichung n-ten Grades ist.

Kapitel 17: Gleichungen h¨ oherer Ordnung – Polynomdivision

17.3

155

Aufgaben

A17.1 Bestimmen Sie alle L¨ osungen der folgenden Gleichungen a) b) c) d)

2x3 − 5x2 = 0; 3x5 − x4 − 2x3 = 0; x3 − 2x2 − x = 0; 16x5 − 8x4 + 9x3 = 0.

A17.2 Bestimmen Sie alle L¨ osungen der nachfolgenden Gleichungen mit der vorgegebenen L¨osung a) x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0; b) x3 − 3x2 + 2 = 0; c) 12x3 + 16x2 − 13x + 6 = 0;

x1 = −1; x1 = 1; x1 = −2.

A17.3 Die Gleichung x4 + 5x3 − 19x2 − 65x + 150 = 0

hat die L¨osungen x1 = 2;

x2 = −5.

Berechnen Sie alle L¨ osungen der Gleichung. A17.4 Die Gleichung x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0

besitzt die beiden L¨ osungen x1 = 1 und x2 = −1. Berechnen Sie alle L¨osungen der Gleichung.

18

Lineare Gleichungssysteme

Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten (Variablen) heißt linear, wenn die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen, z.B. 5x + 4y − 3z = 38.

Die Unbekannten d¨ urfen also nur mit reellen Zahlen multipliziert und anschließend addiert werden. In linearen Gleichungen d¨ urfen die Variablen weder mit sich selbst noch mit anderen Variablen multipliziert werden. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erf¨ ullt sein m¨ ussen.

18.1

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Eine Gleichung der Form a1 x + a2 y = b,

a1 , a2 , b ∈

R;

a1 , a2 nicht beide gleich Null,

ist eine lineare Gleichung in x und y. Alle Punkte P (x, y), deren Koordinaten diese lineare Gleichung erf¨ ullen, liegen auf einer Geraden in der Zahlenebene. F¨ ur a2 6= 0 geht diese Gleichung nach Division durch a2 u ¨ber in b a1 f¨ ur a2 6= 0. y =− x+ a2 a2 a1 b m=− ist die Steigung und der Abschnitt auf der y-Achse. a2 a2 b Falls a2 verschwindet und a1 von Null verschieden ist, gilt a1 x = b ⇒ x = . Da alle a1 x-Werte konstant sind, handelt es sich um eine Gerade, die parallel zur y-Achse verl¨auft. Beispiel 1: Die Geraden, die durch folgende Gleichungen beschrieben werden, sollen skizziert werden. a) b) c) d) e)

g1 : g2 : g3 : g4 : g5 :

3x + 4y = 12; −2x + 4y = 10; 5x = −20; 3y = −6; 2x − y = 0.

158

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

L¨osung: a) b) c) d) e)

x = 0 ⇒ y = 3; y = 0 ⇒ x = 4; (Achsenabschnitte); x = 0 ⇒ y = 2,5; y = 0 ⇒ x = −5; (Achsenabschnitte); x ≡ −4 f¨ ur alle y; Parallele zur y-Achse; y ≡ −2 f¨ ur alle x; Parallele zur x-Achse; y = 2x; Gerade durch den Koordinatenursprung mit der Steigung m = 2. y

g3

g5

g1 g2

1 −1

g2 g4

1 −1

x g4

g3

g5

g1

Wir beschr¨anken uns auf die Behandlung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 . Dabei sind die Koeffizienten a11 , a12 , a21 , a22 und die rechten Seiten b1 , b2 vorgegebene reelle Zahlen. L¨ osungen dieses Gleichungssystems (x, y) sind alle Zahlenpaare, die beide Gleichungen gleichzeitig erf¨ ullen. Geometrisch sind also alle Punkte P (x, y) zu bestimmen, die gleichzeitig auf beiden Geraden liegen. Dabei gibt es folgende L¨ osungsm¨ oglichkeiten 1) Es gibt genau eine L¨ osung, d.h. die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. 2) Es gibt mehrere L¨ osungen, d.h. die beiden Geraden sind identisch (fallen zusammen). 3) Es gibt keine L¨ osung, d.h. die beiden Geraden sind parallel und voneinander verschieden.

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

159

1. Die Einsetzungsmethode Beispiel 2: Gesucht sind die L¨ osungen des Gleichungssystems (1) 2x + 3y = 7 (2) 3x − 2y = 4 L¨ osung: Aus (1) folgt x = 3,5 − 1,5y. Dieses x in (2) eingesetzt ergibt 3 · (3,5 − 1,5y) − 2y = 4 10,5 − 4,5y − 2y =4 6,5 = 6,5y ⇒ y = 1. x = 3,5 − 1,5y ergibt x = 3,5 − 1,5 = 2 ⇒ x = 2. Probe: 2x + 3y = 2 · 2 + 3 · 1 = 7; 3x − 2y = 3 · 2 − 2 · 1 = 4. Beispiel 3: (1) 2x − 4y = 10 (2) −3x + 6y = −15

(1) ⇒ x = 2y + 5 in (2) eingesetzt ergibt − 3(2y + 5) + 6y = −15 − 6y − 15 + 6y = −15 − 15 = −15 oder

0 = 0.

Diese Gleichung ist f¨ ur jedes y erf¨ ullt. L¨ osung: y beliebig ⇒ x = 2y + 5. Beide Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar. Beispiel 4: (1) 4x − 6y = 7 (2) −x + 1,5y = 2 (2) ⇒ x = 1,5y − 2 in (1) eingesetzt ergibt 4 · (1,5y − 2) − 6y = 7 6y − 8 − 6y =7 −8 =7

(Widerspruch).

Es kann keine L¨osung geben, da sonst −8 = 7 sein m¨ usste (Widerspruch). Beide Geraden sind parallel und voneinander verschieden.

160

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

Einsetzungsmethode 1) Aufl¨osen einer der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten. 2) Einsetzen des f¨ ur diese Unbekannte erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung. 3) Aufl¨osung dieser Gleichung nach der (verbliebenen) einzigen Unbekannten. 4) Einsetzen dieser Unbekannten in 1). Dadurch erh¨alt man die L¨osung f¨ ur die zweite Unbekannte. Falls in 3) ein Widerspruch entsteht, gibt es keine L¨osung (parallele verschiedene Geraden). Falls in 3) eine Identit¨ at, z.B. 5x + 7 = 5x + 7 oder 5 = 5 entsteht, gibt es unendlich viele L¨osungen (gleiche Geraden).

2. Die Gleichsetzungsmethode Beispiel 5: (1)

3x − 4y = 5

(2)

9x + 3y = 6 3 5 (1) ⇒ y = x − (1′ )  4 4 Gleichsetzen ergibt (2) ⇒ y = −3x + 2 (2′ ) 5 3 x− = −3x + 2 4 4 15 13 13 x= ⇒x= 4 4 15 3 3 39 (2′ ) ⇒ y = − + 2 = − ; y = − ; 15 5 5 13 3 L¨osung: x = ; y=− . 15 5 Beispiel 6: (1) (2)

−3x + 6y = 10

2x − 4y = 8 10 ) (1) ⇒ x = 2y − Gleichsetzen 3 (2) ⇒ x = 2y + 4 10 2y − = 2y + 4 | − 2y 3 10 =4 Widerspruch; keine L¨ osung. − 3

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

161

Beispiel 7: (1)

3x − 6y = 12

(2) −4x + 8y = −16 (1) ⇒ x = 2y + 4  2y + 4 = 2y + 4 ist f¨ ur alle y erf¨ ullt. (2) ⇒ x = 2y + 4 L¨ osung: y beliebig; x = 2y + 4 oder x beliebig und y = 0,5x − 2. Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgel¨ ost. Gleichsetzen der Ausdr¨ ucke f¨ ur diese Unbekannte liefert eine Gleichung f¨ ur die andere Unbekannte. Einsetzen der L¨osung in die im ersten Schritt aufgel¨oste Gleichung ergibt die L¨ osung f¨ ur die andere Unbekannte. 3. Die Additionsmethode Beispiel 8: (1)

2x − 3y = −4

(2)

3x + 5y = 13

(1′ ) = ′

3 × (1)

(2 ) = −2 × (2)

|·3 | · (−2)  6x − 9y = −12 + −6x − 10y = −26 − 19y = −38; y = 2;

3 (1) ⇒ x = y − 2 = 1 2 L¨ osung: x = 1; y = 2.

Bei der Additionsmethode werden beide Gleichungen so durchmultipliziert, dass bei der Addition (Subtraktion) dieser multiplizierten Gleichungen eine Unbekannte wegf¨allt. Dadurch entsteht eine Gleichung f¨ ur eine Unbekannte. Aus einer der beiden Ausgangsgleichungen erh¨ alt man dann die L¨ osung f¨ ur die andere Unbekannte. Beispiel 9: 2x + 4y = 3

|·3

1,5x + 3y = 2 6x + 12y = 9 −6x − 12y = −8 0

=1



| · (−4) + Widerspruch; keine L¨osung.

162

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

Beispiel 10: 5x −

7y = 2

6x − 8,4y = 2,4

30x − 42y = 12

− 30x + 42y = −12 −

|·6



0=0

| · (−5) + ist f¨ ur alle y erf¨ ullt.

L¨osung: y beliebig; x = 1,4y + 0,4.

18.2

Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten

Wir betrachten hier nur drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Bei drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten wird aus einer Gleichung eine Unbekannte durch die beiden anderen eliminiert. Dieser Ausdruck wird in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt. Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Beispiel 11: x + 2y + z = 8 x − y + 2z = 5

(1) (2)

2x + 3y − 3z = −1

(3)

Aus (1) folgt x = 8 − 2y − z (2) ⇒ (8 − 2y − z) − y + 2z = 5

(3) ⇒ 2 · (8 − 2y − z) + 3y − 3z = −1

Damit entsteht das Gleichungssystem (2′ ) ′

(3 )

−3y +

z = −3

− y − 5z = −17  −3y + z = −3 3y + 15z = 51

| · (−3) +

16z = 48;

z = 3;

(3′ ) ⇒ y = 17 − 5z = 2;

y = 2;

(1) ⇒ x = 8 − 2y − z = 1;

L¨osung: x = 1; y = 2; z = 3.

x = 1;

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

163

Durch die Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsmethode wird die L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht ver¨ andert. Falls dabei eine nicht l¨ osbare Gleichung oder ein Widerspruch entsteht, ist das lineare Gleichungssystem nicht l¨ osbar.

Beispiel 12: (1) (2) (3)

−x − 3y + 4z = 8

2x + y − 3z = 5

4x − 3y − z = 10

(1) ⇒ x = −3y + 4z − 8

(2) ⇒ 2(−3y + 4z − 8) + y − 3z = 5

(3) ⇒ 4(−3y + 4z − 8) − 3y − z = 10 Damit entsteht das Gleichungssystem (1′ ) − 5y + 5z = 21 (2′ ) −15y + 15z = 42

(2′ ) −3 × (1′ ) ⇒ 0 = −21 ⇒ keine L¨ osung. Die L¨osung eines linearen Gleichungssystems mit mehr als drei Unbekannten erfordert einen großen Rechenaufwand. Aus diesem Grund sollen solche Gleichungssysteme hier nicht behandelt werden. Zur praktischen Berechnung ist der Gaußsche Algorithmus geeignet. Dieser Algorithmus erniedrigt sukzessive die Anzahl der Unbekannten. Er wird meistens in den entsprechenden Vorlesungen behandelt. Falls ein lineares Gleichungssystem eine einzige L¨osung liefert, sollte diese L¨osung durch Einsetzen in alle gegebenen Gleichungen u uft werden. Es gen¨ ugt nicht, die Probe ¨berpr¨ mit einer einzigen Gleichung durchzuf¨ uhren. Wenn zum Beispiel bei zwei Gleichungen f¨ ur zwei Unbekannte mit einem falschen y-Wert der x-Wert aus der ersten Gleichung berechnet wird, so stimmt die Probe f¨ ur diese Gleichung, obwohl y und vermutlich auch x falsch sind. Der Fehler wird erst bei der Probe mit der zweiten Gleichung erkennbar. F¨ ur eine Kurzprobe k¨ onnen alle Gleichungen addiert werden. Dann wird ein Fehler zwar nicht immer, jedoch in den meisten F¨ allen erkennbar.

164

18.3

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme

Aufgaben

A18.1 L¨osen Sie mit Hilfe der Einsetzungsmethode a) 2x + 3y = 3 3x − 4y = −4

c) x − 2y = 8 −2x + 4y = −16

b) 4x − 5y = 8 −5x + 6,25y = 4

d) x + y = 3 2x − 2y = 14.

A18.2 L¨osen Sie mit Hilfe der Gleichsetzungsmethode a) 3x + 4y = 6 2x − 3y = 38

c) 8x − 6y =5 10x − 7,5y = 8

b) 2x − 3y = −2 x + 2y = 6 d) 4x + 6y = 8 5x + 7,5y = 10.

A18.3 L¨osen Sie mit Hilfe der Additionsmethode a) x − 2y = 7 2x + 2y = 2

b) 2x + 3y = 1 3x + 5y = 3.

A18.4 L¨osen Sie mit Hilfe einer geeigneten Methode a) 2x + 5y = 2 3x − 5y = 3

c) 5x + 10y = 15 3x − 6y = 6.

b) x + 2y = 8 x − 3y = −7

A18.5 L¨osen Sie a) x + 2y − 2z = 5 2x − 4y − 3z = 0 −3x + 5y + 5z = −2. c) 2x + 3y − z = 4 −3x + 2y + 4z = 3 7x + 4y − 6z = 5.

b) x + 2y + 3z = 5 2x + 3y − 5z = 4 4x + 7y + z = 11

19

Grundlagen der ebenen Geometrie

In diesem Kapitel sollen einige Grundbegriffe und Formeln aus der Geometrie der Ebene zusammengestellt werden.

19.1

Dreieck

In einem Dreieck betr¨ agt die Summe der drei Winkel 180◦ , d. h. α + β + γ = 180◦ . C b

γ

a

b

b

β

α

c

A

b

B

F¨ ur die L¨angen der drei Seiten gilt die Dreiecksbedingung Die L¨ange einer Seite ist kleiner als die Summe der L¨angen der beiden u ¨brigen Seiten, also a < b + c;

b < a + c;

c < a + b.

In einem beliebigen Dreieck schneiden sich die H¨ ohen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt.

2s b

b

bc

bc

s b

H¨ ohen eines Dreiecks

Seitenhalbierende

Winkelhalbierende

Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verh¨altnis 2 : 1, d. h. der an der Spitze liegende Teil der Seitenhalbierenden ist doppelt so lang wie der andere Teil.

166

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

Der Inhalt der Fl¨ ache des Dreiecks ist halb so groß wie der Inhalt des umschriebenen Rechtecks. C

hc

c

A

Damit gilt

B

Der Fl¨ acheninhalt eines Dreiecks ist gleich der H¨alfte des Produkts einer Sei1 tenl¨ange mit der zugeh¨ origen H¨ ohe (= · Seite · H¨ohe). 2 1 1 1 F = c · hc = a · ha = b · hb . 2 2 2

Satz von Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der L¨angen der Katheten gleich dem Quadrat der L¨ ange der Hypotenuse. F¨ ur γ = 90◦ gilt a2 + b2 = c2 . C b

a e

A

e

et

α

et

h at

K

h at

K

b

Hypotenuse

β

c

B

Zwei Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie in ihren Winkeln u ¨bereinstimmen. Falls zwei Dreiecke in zwei Winkeln u ¨bereinstimmen, sind auch die 3. Winkel gleich. Diese Eigenschaft folgt aus der Winkelsumme α + β + γ = 180◦;

α′ + β ′ + γ ′ = 180◦ . C′ γ′

C γ

b

a′

a β

α

A

b′

c

β′

α′

B

A′

c′

B′

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

167

Wegen α = α′ und β = β ′ (hieraus folgt γ = γ ′ ) sind die beiden gezeichneten Dreiecke ahnlich. ¨ In ¨ahnlichen Dreiecken stimmen die Verh¨ altnisse der drei entsprechenden Seiten u ¨berein, es gilt also a′ : a = b′ : b = c′ : c, d.h.

a′ b′ c′ = = . a b c

Hieraus folgt a′ a a′ b b′ a = ′; = ′; = ′; b b c c c c die Verh¨altnisse der entsprechenden Seiten sind gleich.

19.2

Strahlens¨atze

Legt man durch zwei Strahlen zwei parallele Geraden, so entstehen ¨ ahnliche Dreiecke. Die Dreiecke ABC und AB ′ C ′ sind ¨ ahnlich, da sie in ihren Winkeln u ¨bereinstimmen. C′ γ

C γ

A = A′

(parallel)

α β

B

β B′

Strahlens¨ atze In den ¨ahnlichen Dreiecken ABC und AB ′ C ′ stimmen die Verh¨altnisse entsprechender Seiten u ¨berein. Bezeichnet man allgemein mit P Q die L¨ ange der Verbindungsstrecke vom Punkt P zum Punkt Q, so gilt mit den obigen Bezeichnungen: AB : AC = AB ′ : AC ′ AB : AB ′ = AC : AC ′ = BC : B ′ C ′ . Diese Gleichungen gelten sowohl f¨ ur die obere, als auch die nachfolgende Zeichnung.

168

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie C γ

B′ β bc

α

(parallel)

α

A

γ

β

C′

B

Die Dreiecke ABC und AB ′ C ′ sind ¨ ahnlich.

19.3

Viereck

In einem Viereck betr¨ agt die Winkelsumme 360◦ , d. h. α + β + γ + δ = 360◦ . Durch jede der beiden Diagonalen kann ein Viereck in zwei Dreiecke zerlegt werden. D δ

γ

C

α β

A

B

Falls jeweils die beiden gegen¨ uberliegenden Seiten parallel sind, heißt das Viereck Parallelogramm. Parallelogramm: Umfang U = 2a + 2b Fl¨ acheninhalt F = a · ha

(Seitenl¨ ange mal H¨ohe). a α

β b α

ohe ha =H¨

b β

b

a

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

169

Ein Viereck (Parallelogramm) mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck. Rechteck: Umfang U = 2a + 2b Fl¨ acheninhalt F = a · b

(L¨ ange mal Breite). a

b

b

b

b b b

a

Ein Rechteck mit gleichen Seitenl¨ angen ist ein Quadrat. Quadrat: Umfang U = 4a Fl¨acheninhalt F = a2 . a b

b

a

a

b

b

a

Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten ist ein Trapez Fl¨ acheninhalt eines Trapezes 1 F = · (a + c) · h 2 a = L¨ange der Grundseite c = L¨ange der Deckseite h = H¨ohe a+c 2

c h b

a

170

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

Das eingezeichnete Rechteck mit den Seitenl¨angen h und Fl¨acheninhalt wie das Trapez.

19.4

a+c besitzt den gleichen 2

Vieleck

Ein n-Eck (n ≥ 3) wird von einem geschlossenen Streckenzug, der n verschiedene in einer Ebene liegende Punkte (Eckpunkte) miteinander verbindet, gebildet. Dabei d¨ urfen ¨ keine Uberschneidungen auftreten und keine zwei aufeinanderfolgende Streckenz¨ uge auf einer Geraden liegen.

Sechseck

F¨ unfeck

Ein n-Eck heißt regelm¨ aßig, falls alle n Seiten gleich lang und alle n Innenwinkel gleich groß sein. Alle n Eckpunkte eines regelm¨ aßigen n-Ecks liegen auf dem Umkreis.

Regelm¨ aßiges Sechseck

Regelm¨ aßiges Zw¨ olfeck

Die Winkelsumme im n-Eck betr¨ agt (n − 2) · 180◦ f¨ ur n ≥ 3. Ein regelm¨aßiges Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein regelm¨aßiges Viereck ein Quadrat.

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

19.5

171

Kreis

r = Radius

d = 2r = Durchmesser

Kreis mit dem Radius r Fl¨ acheninhalt F = πr2 Umfang U = 2rπ

M

r

bc

ϕ

r

F(ϕ)

b

Kreisausschnitt b = L¨ange des Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel ϕ und dem Radius r. ϕ : 360 = b : U = b : 2rπ

b = 2rπ ·

ϕ = L¨ ange des Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel ϕ. 360

F (ϕ) = Fl¨acheninhalt des Kreissektors ϕ : 360 = F (ϕ) : F = F (ϕ) : πr2

F (ϕ) = πr2 ·

ϕ Fl¨ acheninhalt des Kreissektors mit dem = Mittelpunktswinkel ϕ. 360

172

19.6

Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie

Aufgaben

A19.1 Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt folgende Kathetenl¨angen a und b. Berechnen Sie die L¨ange der Hypotenuse c und den Fl¨ acheninhalt F . a) a = 5 cm; b = 8 cm;

b) a = 3 cm; b = 4 cm.

A19.2 Berechnen Sie die H¨ ohe und den Fl¨acheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenl¨ange a. A19.3 Berechnen Sie die L¨ ange der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenl¨ange a. A19.4 Bei einem gleichschenkligen Trapez seien die Grundseite 14 cm, die Deckseite 8 cm und die Schenkel 5 cm lang. Gesucht ist der Fl¨acheninhalt. A19.5 Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius r = 20 cm. a) Berechnen Sie Umfang und Fl¨ acheninhalt des Kreises. b) Aus dem Kreis werde ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel ϕ = 45◦ ausgeschnitten. Berechnen Sie die Fl¨ ache des Kreissektors sowie die L¨ange des zugeh¨origen Teilkreisbogens. ¨ A19.6 Um die Erdkugel (Aquator) werde ein Kabel, das 5m l¨anger als der Erdumfang ist, aufgespannt und zwar so, dass alle Punkte des Kabels den gleichen Abstand von der Erdoberfl¨ache haben. Berechnen Sie diesen Abstand f¨ ur den Idealfall, dass die Erde eine Kugel ist. Hinweis: Setzen Sie den Radius gleich R.

20

Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

Trigonometrische Funktionen k¨ onnen f¨ ur Winkel zwischen 0 und 90◦ im rechtwinkligen Dreieck erkl¨art werden. F¨ ur beliebige Winkel wird i.Allg. der Einheitskreis benutzt, auf dem einem Winkel ϕ das zugeh¨ orige Bogenmaß x zugeordnet wird.

20.1

Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck

Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit γ = 90◦ b

ath nk ge Ge

t ka

a=

b=

An

te he

ete

α

β c = Hypotenuse

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a Gegenkathete b Ankathete = ; cos α = = ; c Hypotenuse c Hypotenuse (Sinus) (Kosinus) sin α =

Gegenkathete sin α a = = ; b Ankathete cos α (Tangens)

tan α =

Ankathete cos α 1 b = = = . a Gegenkathete sin α tan α (Kotangens) cot α =

20.2

Bogenmaß auf dem Einheitskreis

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r = 1. Sein Umfang ist U = 2π. Im Einheitskreis kann jedem orientierten Winkel ϕ das (vorzeichenbehaftete) Bogenmaß x = x(ϕ) zugeordnet werden. Dabei l¨ auft die mathematisch positive Orientierung gegen

174

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

die Uhrzeigerdrehung. Bogenmaß x = x(ϕ) ϕ −ϕ

r=1 −x(ϕ)

x verh¨alt sich zum Gesamtumfang U = 2π wie ϕ zum vollen Winkel 360◦ . Damit erh¨alt man die Umrechnungsformel vom Grad- ins Bogenmaß ϕ x = 2π 360

oder

x=

π · ϕ. 180

Im Einheitskreis kann ϕ beliebig gew¨ ahlt werden. Dem Winkel ϕ = 540◦ entsprechen 1 1/2 Kreisumf¨ange, also π · 540 = 3π. x(540) = 180 Winkel ϕ (in Grad)

1◦

45◦

90◦

180◦

270◦

360◦

Bogenmaß x (in L¨ angeneinheiten)

π 180

π 4

π 2

π

3 π 2

2π

20.3

Sinus-und Kosinusfunktion v P

1

x sin x ϕ cos x

1

u

−45◦ −

π 2

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

175

P sei ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Bogenmaß x. Das Bogenmaß x bestimmt also die Lage des Punktes P . Um Verwechslungen mit dem Bogenmaß x auszuschließen, werden die Koordinaten im eingezeichneten rechtwinkligen Koordinatensystem mit u und v bezeichnet. Die (vorzeichenbehafteten) Koordinaten des Punktes P mit dem Bogenmaß x bezeichnet man mit u = cos x (Kosinus);

v = sin x (Sinus).

Aus dem Einheitskreis k¨ onnen unmittelbar folgende Werte abgelesen werden ϕ (in Grad)

x (in Einheiten)

sin x

cos x

0◦

0 π 2 π

0

1

1

0

0

−1

−1

0

0

1

90◦ 180◦ 270◦ 360◦

3 π 2 2π

Nach dem Satz von Pythagoras gilt

sin2 x + cos2 x = 1 f¨ ur jedes x ∈

R.

π (ϕ = 45◦ ) entsteht ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit 4 π π sin = cos = z. 4 4 Aus dem Satz von Pythagoras folgt √ 1 2 2 π 2 2 2 π + cos = 2z ⇒ z = ; z = . 1 = sin 4 4 2 2 √ π 2 π Es ist also sin = cos = . 4 4 2 F¨ ur x =

Nach einer Kreisumdrehung (= 2π) wiederholen“ sich die Funktionswerte. F¨ ur ” x und x + 2π fallen die entsprechenden Punkte auf den Einheitskreis zusammen. Ihre Koordinaten stimmen somit u ¨berein. Es gilt also

176

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

sin(x + 2π) = sin x;

cos(x + 2π) = cos x.

Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionen mit der Periode 2π. In Abh¨angigkeit vom Bogenmaß x sind in der nachfolgenden Skizze die beiden Funktionen y = sin x und

y = cos x

graphisch dargestellt. Die Funktionswerte liegen zwischen −1 und +1, die Grenzen mit eingeschlossen. Wegen sin(−x) = − sin x ist y = sin x eine ungerade Funktion (Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung). y = cos x ist wegen cos(−x) = cos x eine gerade Funktion (die y-Achse ist SymmetrieAchse). y

1 y = sin x

−2π

− 32 π

−π

0

− π2

π 2

π

3 π 2

2π

x y = cos x

1

Mit sin x = cos(x −

π ); 2

cos x = sin(x +

π ) 2

l¨asst sich jede der beiden Funktionen aus der anderen durch Parallelverschiebung um π π bzw. − Einheiten in x-Richtung darstellen. 2 2

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

20.4

177

Tangens- und Kotangensfunktion

In der nachfolgenden Zeichnung sind die mit einem Vorzeichen versehenen Werte tan x (Tangens) und cot x (Kotangens) eingezeichnet. Ein nach oben (rechts) gerichteter Pfeil ist positiv, sonst negativ. Nach dem Strahlensatz gilt sin x : tan x = cos x : 1. Hieraus folgt tan x =

sin x . cos x v

cot x

1

ϕ bc

P tan x x

sin x bc

ϕ cos x

1

u

Aus den beiden ¨ahnlichen Dreiecken ergibt sich cot x : 1 = 1 : tan x, also cos x 1 = . cot x = tan x sin x W¨ ahrend sin x und cos x beschr¨ ankte Funktionen sind, hat die Funktion y = tan x an π den Stellen x = (2k +1)· , k = 0, ±1, ±2, . . . Polstellen. An diesen Stellen verschwindet 2 der Nenner. Falls sich x von links einer Polstelle n¨ahert, wachsen die Funktionswerte unbeschr¨ankt gegen +∞. Bei einer Ann¨ aherung von rechts gegen die Polstellen fallen die Funktionswerte gegen −∞. Die Funktion y = cot x hat an den Stellen x = kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . Polstellen. Beide Funktionen sind ungerade und besitzen die Periode π, es gilt also tan(−x) = − tan x;

cot(−x) = − cot x;

tan(x + π) = tan x;

cot(x + π) = cot x.

√ 2 π π = cos (= ) gilt 4 4 2 π π tan = cot = 1. 4 4

Wegen sin

178

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

y

y = tan x

1 −2π

− 23 π

0

− π2

−π

π

π 2

−1

2π

3 π 2

x

y y = cot x

1 −2π

− 23 π

−π

− π2

0 −1

π 2

π

3 π 2

2π

x

Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß

179

F¨ ur 0 ≤ ϕ ≤ 90◦ stimmen die Definitionen von sin ϕ und cos ϕ im rechtwinkligen ¨ Dreieck und Einheitskreis u ¨berein. ABC sei ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. Uber den Einheitskreis entsteht ein Dreieck AP P ′ , das zu ABC ¨ahnlich ist. In diesen ¨ahnlichen Dreiecken (Strahlensatz) ist das Verh¨ altnis entsprechender Seitenl¨angen konstant. Damit gilt 1 a Gegenkathete sin ϕ = ⇒ sin ϕ = = ; a c c Hypotenuse cos ϕ 1 b Ankathete = ⇒ cos ϕ = = . b c c Hypotenuse B

b

Einheitskreis

c A

ϕ

1

cos ϕ b

a

P sin ϕ

b

b

P′ b

C

21

Volumina und Oberfl¨achen von K¨orpern

In diesem Abschnitt sollen Volumina und Oberfl¨achen einiger K¨orper angegeben werden.

21.1

Quader

Ein Quader ist ein von sechs Rechtecken begrenzter K¨orper, wobei je zwei gegen¨ uberliegende Rechtecke parallel und kongruent sind. Die Kanten stehen senkrecht auf den jeweiligen gegen¨ uberliegenden Begrenzungsebenen.

c

a b

Quader mit der L¨ ange a, der Breite b und der H¨ ohe c

21.2

Volumen

V = a · b · c (= Grundfl¨ache mal H¨ohe)

Oberfl¨ ache

O = 2ab + 2ac + 2bc (sechs Rechtecksfl¨achen).

W¨urfel

Ein W¨ urfel ist ein Quader, bei dem alle 12 Kanten gleich lang sind.

a a a

182

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨achen von K¨orpern

W¨ urfel mit der Kantenl¨ ange a

21.3

Volumen

V = a3

Oberfl¨ ache

O = 6a2 .

Kreiszylinder

Bei einem Kreiszylinder sind Grund- und Deckfl¨ache Kreise mit dem Radius r, auf denen die Mantellinien senkrecht stehen. Der Kreiszylinder ist bestimmt durch den Radius r und die H¨ohe h. r

h

Der Zylindermantel (oben und unten offene Dose) kann l¨angs einer Mantellinie aufgeschnitten und zu einem Rechteck abgewickelt werden. Dieses Rechteck besitzt die Seitenl¨angen 2πr (= Kreisumfang) und h (= H¨ohe des Kreiszylinders). Kreiszylinder mit dem Radius r und der H¨ ohe h

21.4

Volumen

V = πr2 h

Mantelfl¨ ache

M = 2πrh

Oberfl¨ ache

O = 2πrh + 2πr2

(Grundfl¨ache mal H¨ohe) (Fl¨ ache des abgewickelten Rechtecks) (Mantel + Boden + Deckel).

Prismen

Bei einem Prisma bestehen Grund- und Deckfl¨ache aus zwei parallelen kongruenten n-Ecken. Die Verbindungslinien (Mantellinien) entsprechender Ecken m¨ ussen dabei parallel sein. Falls die beiden n-Ecke nicht u ¨bereinander liegen, sind die Mantellinien nicht vertikal, sondern schief. Ein solches Prisma heißt schief. Bei einem geraden Prisma liegen die n-Ecke u ¨bereinander, so dass die Mantellinien vertikal, also senkrecht auf der Grund- und Deckfl¨ ache stehen. Bei einem schiefen Prisma mit n-eckiger Grundfl¨ache besteht der Mantel aus n Parallelogrammen. Bei einem geraden Prisma gehen diese Parallelogramme in Rechtecke u ¨ber. Die H¨ohe eines Prismas ist der Abstand der beiden n-Ecke. Nur bei geraden Prismen stimmt die H¨ohe mit der L¨ ange der Mantellinien u ¨berein.

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨ achen von K¨ orpern

183

h h

b

Gerades Prisma mit siebeneckiger Grundfl¨ ache

Schiefes Prisma mit dreieckiger Grundfl¨ ache

Prisma der H¨ ohe h Volumen Mantelfl¨ ache Oberfl¨ ache

21.5

V = F · h;

M = U · h;

F = Fl¨ acheninhalt des n-Ecks der Grundfl¨ache U = Umfang des n-Ecks

O = 2F + U · h

(Grund- und Deckfl¨ache + Mantel).

Kreiskegel

Bei einem Kreiskegel (Kegel) besteht die Grundfl¨ache aus einem Kreis mit dem Radius r. Alle Punkte des Grundkreises werden mit der nicht in der Kreisebene liegenden Spitze S verbunden. Bei einem geraden Kegel liegt die Spitze senkrecht u ¨ber dem Kreismittelpunkt. Falls die Spitze nicht senkrecht u ¨ber dem Kreismittelpunkt liegt, heißt der Kegel schief. S

S

s h

h r b

b

r Gerader Kegel

Schiefer Kegel

Der Mantel eines geraden Kegels l¨ asst sich in einen ebenen Kreissektor abwickeln. √ Der Radius dieses Kreissektors stimmt mit der L¨ange der Mantellinie s = r2 + h2 u orige Bogenl¨ ange b ist gleich dem Umfang des Grundkreises, d.h. ¨berein, die zugeh¨ b = 2πr.

184

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨achen von K¨orpern

Der volle Kreis mit dem Radius s besitzt den Umfang U = 2πs. Der Kreisbogen b = 2πr verh¨ alt sich zu U wie ϕ zu 360, also 2πr r ϕ = = . 360 2πs s ϕ

s

b = 2πr

Die gesuchte Mantelfl¨ ache M (= Fl¨ ache des Kreissektors) verh¨alt sich zur gesamten Kreisfl¨ache πs2 wie ϕ zu 360. Damit gilt ϕ r M 2 = 360 = s . πs √ Hieraus erh¨alt man die Mantelfl¨ ache M = πrs = πr r2 + h2 . Volumen eines beliebigen Kegels Mantelfl¨ ache eines geraden Kegels Oberfl¨ ache eines geraden Kegels

1 2 πr h (h = H¨ohe) 3 √ M = πrs; s = r2 + h2 V =

O = πr2 + πrs = πr(r + s) (Kreis + Mantel).

Beispiel 1: Aus einem Kreis mit dem Radius 12 cm werde ein Kreisausschnitt mit dem Innenwinkel ϕ = 120◦ hergestellt. Aus diesem Kreisausschnitt werde der Mantel eines geraden Kegels hergestellt. a) Mit s = 12 erh¨ alt man den Radius r des Kegelgrundkreises aus ϕ 120 r = ; r= · 12 = 4 cm. s 360 360 b) F¨ ur die H¨ohe des Kegels gilt h2 + r2 = s2 , also p √ √ h = s2 − r2 = 144 − 16 = 8 · 2 cm.

128 · 1 2 πr h = 3 3 d) Die Mantelfl¨ache ist M = πrs = 48π cm2 . c) Das Volumen des Kegels ist V =

√ 2

· π cm3 .

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨ achen von K¨ orpern

21.6

185

Pyramiden

Bei einer Pyramide werden alle Eckpunkte eines in der Grundfl¨ache liegenden n-Ecks mit der nicht in der Grundfl¨ ache liegenden Spitze S geradlinig verbunden. Diese Verbindungsstrecken sind die Kanten. S

h

b

Pyramide mit einem Sechseck als Grundfl¨ ache

Eine Pyramide setzt sich aus einer n-eckigen Grundfl¨ache und n Seitendreiecken zusammen. 1 F ·h 3 F = Grundfl¨ache des n-Ecks; h = H¨ ohe Volumen einer Pyramide V =

Oberfl¨ ache O = Grundfl¨ ache +n Dreiecksfl¨ achen.

Beispiel 2: Die Grundfl¨ache einer Pyramide sei ein Rechteck mit den Seiten a = 10 m und b = 5 m. Die Spitze S liege 18 m senkrecht u ¨ber dem Rechtecksmittelpunkt. a) Das Volumen der Pyramide betr¨ agt a·b·h 10 · 5 · 18 = = 300 m3 . 3 3 b) Die beiden gegen¨ uberliegenden Manteldreiecke mit der Grundseitenl¨ange a besitzen die H¨ohe h1 . V =

h

h2

h1 b b

a

b

186

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨achen von K¨orpern

Aus dem gestrichelten rechtwinkligen St¨ utzdreieck folgt b h21 = h2 + ( )2 = 182 + 2,52 = 330,25 2 p h1 = 330,25.

F¨ ur die H¨ohe h2 der beiden anderen Manteldreiecke gilt √ a h22 = h2 + ( )2 = 182 + 52 = 349; h2 = 349. 2 Damit lautet die Oberfl¨ ache 2a · h1 2b h2 + 2 p 2 √ = 10 · 5 + 10 · 330,25 + 5 · 349 ≈ 325,136 m2 .

O = a·b+

21.7

Gerader Kegelstumpf

Bei einem geraden Kegelstumpf besitze der Grundkreis den Radius R und der Deckkreis den Radius r < R. Beide Kreise sind parallel, die Mittelpunkte liegen vertikal u ohe des Kegelstumpfes sei h. ¨bereinander. Die H¨ S

h′

s′ r

s b

h

R

Zur Volumen- und Mantelfl¨ achenberechnung wird der Kegelstumpf zu einem geraden Kegel erg¨anzt. Die H¨ohe h′ des fehlenden Kegels erh¨ alt man mit Hilfe des Strahlensatzes aus R h′ + h R = ; h′ + h = h′ · ; ′ r r h r ′ ·h. h = R−r

h = h′ · (

R R−r − 1) = h′ · ; r r

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨ achen von K¨ orpern

187

Das Volumen des Kegelstumpfes erh¨ alt man als Differenz der Volumina des ganzen Kegels mit dem Radius R und der H¨ ohe h + h′ und des Erg¨anzungskegels mit dem ′ Radius r und der H¨ ohe h als 1 1 2 πR · (h + h′ ) − πr2 h′ 3 3 1 1 2 2 = πR h + π · (R − r2 ) · h′ 3 3 1 1 2 = πR h + π · (R + r) · (R − r) · h′ | {z } 3 3

V =

=rh

1 1 = πR2 h + π · (R + r) · rh 3 3 1 = πh · (R2 + R · r + r2 ). 3

Als Differenz der Mantelfl¨ achen des ganzen Kegels und des Restkegels erh¨alt man die Mantelfl¨ache des Kegelstumpfes M = πR · (s + s′ ) − πrs′ = πRs + π(R − r)s′ .

Nach dem Strahlensatz gilt

s′ r = , d.h. (R − r)s′ = sr. Damit erh¨alt man s R−r M = πRs + πrs = π(R + r)s mit s2 = h2 + (R − r)2 . Damit gilt Gerader Kegelstumpf mit dem Grundkreisradius R, dem Deckkreisradius r < R und der H¨ohe h 1 Volumen V = πh · (R2 + R · r + r2 ) 3 p Mantelfl¨ ache M = π(R + r) · s = π · (R + r) h2 + (R − r)2 Oberfl¨ ache

O = M + πR2 + πr2

(M = Mantelfl¨ache).

188

21.8

Kapitel 21: Volumina und Oberfl¨achen von K¨orpern

Kugel

F¨ ur eine Kugel mit dem Radius r gilt Oberfl¨ ache Volumen

O = 4πr2 4 V = πr3 3

r

21.9

Aufgaben

A21.1 Berechnen Sie die L¨ ange der Raumdiagonalen eines W¨ urfels mit der Kantenl¨ange a. A21.2 Auf einen Kreiszylinder mit dem Radius r = 9 cm und der H¨ohe h = 25 cm wird ein gerader Kreiskegel mit dem gleichen Radius und der H¨ohe 10 cm aufgesetzt. Berechnen Sie Volumen und Oberfl¨ ache des dadurch entstehenden K¨orpers. A21.3 Auf einen W¨ urfel mit der Kantenl¨ ange a = 10 cm wird eine gerade Pyramide aufgesetzt. Als Pyramidengrundfl¨ ache wird die Deckfl¨ache des W¨ urfels benutzt. Die Spitze der Pyramide liege 15 cm u urfeldeck¨ber dem Mittelpunkt des Quadrates der W¨ fl¨ache. Berechnen Sie von dem dadurch entstehenden Gesamtk¨orper a) das Volumen; b) die Oberfl¨ache. A21.4 Ein gerader Kreiskegel besitze den Radius R und die H¨ohe h. In welcher H¨ohe h′ muss der Kegel horizontal durchgetrennt werden, damit der abgetrennte Restkegel und der verbleibende Kegelstumpf das gleiche Volumen besitzen?

22

Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

22.1

Definition einer Folge (reelle Zahlenfolge)

Jeder nat¨ urlichen Zahl n werde durch eine eindeutige Abbildungsvorschrift f genau eine reelle Zahl f (n) = an zugeordnet. Dann heißt a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . oder (an ), n = 1, 2, 3, . . . . eine Folge (Zahlenfolge), n heißt der Index der Zahl an ; an ist das n-te Folgenglied. Eine Zahlenfolge ist also eine Abbildung der Menge der nat¨ urlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Beispiel 1 (durch Rechenvorschriften bestimmte Folgen): 1 1 1 1 1 1 ergibt die Folge 1; ; ; ; ; ; . . . . n 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 n liefert die Folge ; ; ; ; ; ; . . . . b) an = n+1 2 3 4 5 6 7 c) an = 2n−1 ist die Folge 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; . . .. a) an =

Durch die vorgegebene Rechenvorschrift an = f (n) l¨asst sich jedes beliebige Folgenglied an direkt berechnen. Beispiel 2 (rekursiv definierte Zahlenfolge): Durch die Rekursionsvorschrift an+2 = an + an+1 f¨ ur n = 1, 2, . . . . ist die Folge noch nicht eindeutig bestimmt. Erst die beiden Anfangsglieder a1 und a2 legen die gesamte Folge fest. a1 = a2 = 1 ergibt die Folge der sog. Fibonaccischen Zahlen 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; . . . .

190

22.2

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

Monotone und beschr¨ankte Folgen

Eine Zahlenfolge (an ), n = 1, 2, 3, . . . . heißt monoton wachsend, streng monoton wachsend, monoton fallend, streng monoton fallend,

falls falls falls falls

an an an an

≤ an+1 < an+1 ≥ an+1 > an+1

f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

alle alle alle alle

n; n; n; n.

Bemerkung: Bei monotonen Folgen l¨ asst man auch zu, dass aufeinanderfolgende Glieder gleich sind. Um dies zum Ausdruck zu bringen, benutzt man f¨ ur den Begriff monoton wachsend (fallend) auch die Bezeichnung monoton nichtfallend (monoton nichtwachsend). Die Gleichheit aufeinanderfolgender Glieder wird bei der strengen Monotonie ausgeschlossen. Beispiel 3: 1 1 1 ist streng monoton fallend wegen > f¨ ur alle n. n n n+1 n b) Die Folge an = ist streng monoton wachsend wegen n+1 n+1 n (n + 1)(n + 1) − n(n + 2) n2 + 2n + 1 − n2 − 2n an+1 − an = − = = n+2 n+1 (n + 2)(n + 1) (n + 2)(n + 1) 1 > 0; daraus folgt an+1 > an f¨ ur alle n. = (n + 2)(n + 1) c) an = (−1)n · 2n ist die alternierende Folge −2; 4; −8; 16; −32; . . . . Sie ist weder monoton wachsend noch monoton fallend, also nicht monoton. a) Die Folge an =

Eine Folge (an ), n = 1, 2, 3, . . . . heißt nach unten beschr¨ ankt, falls es eine Konstante c1 gibt mit an ≥ c1 f¨ ur alle n; nach oben beschr¨ ankt, falls es eine Konstante c2 gibt mit an ≤ c2 f¨ ur alle n; beschr¨ ankt, falls sie nach unten und oben beschr¨ankt ist, d.h. wenn mit zwei Konstanten c1 und c2 gilt c1 ≤ an ≤ c2 f¨ ur alle n. Gleichwertig damit ist |an | ≤ K, d.h. −K ≤ an ≤ K f¨ ur alle n mit einer Konstanten K (Beschr¨anktheit der Betr¨ age). Beispiel 4: a) Die Folge an = 2n ist wegen 2n ≥ 2 nach unten, nicht jedoch nach oben beschr¨ankt, da die Folgenglieder beliebig groß werden k¨onnen. b) an = (−1)n , n = 1, 2, 3, . . . . stellt die alternierende Folge dar −1; 1; −1; 1; −1; 1; −1; . . .. Wegen |an | = 1 ist die Folge beschr¨ankt. c) Die Folge an = (−1)n · 5n ist weder nach unten noch nach oben beschr¨ankt. F¨ ur gerade Indizes n (positives Vorzeichen) werden die Glieder beliebig groß und f¨ ur ungerade Indizes n (negatives Vorzeichen) beliebig klein.

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

22.3

191

Arithmetische Folge

Eine Folge heißt eine arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert annimmt. Mit dem Anfangsglied a1 = a und der konstanten Differenz an+1 − an = d f¨ ur alle n l¨asst sich die arithmetische Folge darstellen in der Form a; a + d; a + 2d; a + 3d; . . . . . ; a + (n − 1) d; . . . . . das n-te Glied lautet an = a + (n − 1) d f¨ ur n = 1, 2, 3, . . . Beispiel 5: a) Die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a1 = 3 und der Differenz d = 2 lautet 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; . . . . b) Die durch 7 teilbaren nat¨ urlichen Zahlen bilden eine arithmetische Folge, deren Anfangsglied und Differenz jeweils gleich 7 ist, also die Folge 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; . . . . c) a1 = 2 und a5 = 12 seien Glieder einer arithmetischen Folge. Gesucht ist die Formel f¨ ur das n-te Glied. Aus 10 = a5 − a1 = 4d folgt d = 2,5. Damit gilt an = 2 + 2,5 · (n − 1). Eigenschaft einer arithmetischen Folge: Aus an = a + (n − 1)d und an+2 = a + (n + 1)d folgt

1 (an + an+2 ). 2 Bei einer arithmetischen Folge ist jedes Folgenglied mit n ≥ 2 gleich dem arithmetischen Mittel seiner beiden benachbarten Folgenglieder.

an + an+2 = 2a + 2nd = 2(a + nd) = 2an+1 , also an+1 =

Anwendungen: 1. Zinsrechnung ohne Zinseszins Ein Kapital der H¨ohe K wird j¨ ahrlich mit p % verzinst. Die Zinsen werden nicht mehr weiterverzinst. Dann w¨ achst das Kapital j¨ ahrlich um den gleichen p Zinsbetrag d = K · . Der Kapitalstand nach n Jahren lautet dann 100 p p Kn = K + n · · K = K · (1 + n · ). Die Kapitalst¨ande nach jeweils einem Jahr 100 100 p ) und K1 ; K2 ; K3 ; . . . ; Kn ; . . . bilden eine arithmetische Folge mit K1 = a = K · (1 + 100 p d = Kn+1 − Kn = · K. 100

192

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

2. Lineare Abschreibung Ein bestimmtes Gut mit dem Anschaffungswert A werde in N gleichen Jahresraten A . Dann vollst¨andig abgeschrieben. Die j¨ ahrliche Abschreibungsrate betr¨agt damit N lautet der Bilanzwert B am Ende des n-ten Jahres n

n A = A · (1 − ) f¨ ur n = 1, 2, . . . , N mit BN = 0. Bn = A − n · N N Die Bilanzwerte bilden den Anfang einer monoton fallenden arithmetischen Folge mit 1 A a = B1 = A · (1 − ) und der negativen Differenz d = − . N N

22.4

Arithmetische Reihe

22.4.1

Die Summe der nat¨urlichen Zahlen von 1 bis n

Gesucht ist die Summe der ersten n nat¨ urlichen Zahlen, also x = 1 + 2 + 3 + ...... + n =

n X

i.

i=1

Schreibt man die Summe in der umgekehrten Reihenfolge unter die Ausgangssumme, so erh¨alt man durch gliedweise Addition x = 1+ x = n+

2 + 3 + . . . . . . + (n − 2) + (n − 1) + (n − 1) + (n − 2) + . . . . . . + 3 + 2 +

no + 1

2x = (n + 1)+ (n + 1) + (n + 1) + . . . . . . + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = n · (n + 1). Jeweils u ¨bereinanderstehende Summanden bilden immer die gleiche Summe n + 1. Insgesamt sind es n St¨ uck. Summation ergibt damit 2x = n · (n + 1), also 1 + 2 + 3 + ...... + n =

n P

i=1

22.4.2

i=

n · (n + 1) 2

(letztes Glied mal Nachfolger geteilt durch zwei)

Die allgemeine arithmetische Reihe

Gesucht ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge ai = a + (i − 1)d, also z = a1 + a2 + . . . + an = Es gilt

n X

ai .

i=1

z = a + a + d + a + 2d + . . . + a + (n − 1)d = n · a + d · [1 + 2 + . . . + (n − 1)].

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

193

Wendet man die in 22.4.1 abgeleitete Summenformel anstatt f¨ ur n auf n−1 Summanden an, so muss n durch n − 1 ersetzt werden mit (n − 1) · n . 2 Damit erh¨alt man mit a = a1 und a + (n − 1)d = an 1 + 2 + 3 + ...+ n− 1 =

z = n·a+d· =

n n (n − 1) · n = · [2a + (n − 1)d] = · [a + a + (n − 1)d] 2 2 2

n · [a1 + an ]. 2

Damit gilt Arithmetische Reihe = Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge ai = a + (i − 1)d f¨ ur i = 1, 2, . . . , n: n X n n a1 + a2 + . . . + an = ai = · [2a + (n − 1)d] = ·(a1 + an ). 2 2 | {z } i=1 (erstes + letztes Glied)

Beispiel 6: Gesucht ist die Summe aller h¨ ochstens vierstelligen nat¨ urlichen Zahlen, welche durch 13 teilbar sind. Diese Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit a1 = a = 13 und d = 13. Betrachtet werden nur solche Zahlen, die kleiner als 10 000 sind. Die gesuchte Anzahl n 10 000 dieser Zahlen erh¨alt man aus dem ganzzahligen Anteil (abgerundeter Wert) von 13 als n = 769. Die gr¨ oßte derartige Zahl lautet a769 = 13 + 768 · 13 = 769 · 13 = 9 997. Damit erh¨alt man aus der obigen Summenformel die gesuchte Summe 769 z= · [13 + 9 997] = 3 848 845. 2 Beispiel 7: ¨ Im Jahre 1982 hat die deutsche Bundespost Uberlegungen angestellt, Briefmarken von Automaten drucken zu lassen und zwar von 5 Pfg. an aufw¨arts bis zu 100 DM in 100 Abst¨anden von jeweils 5 Pfg. Insgesamt g¨ abe es dann = 2 000 verschiedene Brief0,05 marken, deren Werte eine arithmetische Folge mit a = d = 0,05 bilden. F¨ ur den Erwerb aller solcher Briefmarken h¨ atte ein Sammler insgesamt 2000 · [2 · 0,05 + 1 999 · 0,05] = 100 050 DM 2 aufwenden m¨ ussen.

194

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

22.5

Geometrische Folge

Eine Folge heißt eine geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert annimmt. an+1 Mit dem Anfangsglied a1 = a und dem konstanten Quotienten q = f¨ ur alle n an l¨asst sich die geometrische Folge darstellen in der Form a; aq; aq 2 ; aq 3 ; aq 4 ; . . . . . ; aq n−1 ; . . . . . Das n-te Glied der Folge lautet an = aq n−1 f¨ ur n = 1, 2, 3, . . . mit q 0 = 1. Beispiel 8: a) Die geometrische Folge mit dem Anfangsglied a = 5 und dem konstanten Quotienten q = 2 lautet 5; 10; 20; 40; 80; 160; 320; . . . . b) a = 2 und q = −3 ergibt die geometrische Folge 2; −6; 18; −54; 162; −486; 1458; . . . .

c) Von einer geometrischen Folge sei das zweite Glied gleich 40 und das sechste Glied gleich 2,5. Gesucht ist die allgemeine Formel f¨ ur das n-te Glied. Aus a2 = aq = 40 und a6 = aq 5 = 2,5 erh¨alt man durch Division p 2,5 a6 = = 0,0625; q = 4 0,0625 = 0,5. a2 40 40 = a2 = aq = 0,5a ergibt a = 80. Damit lautet das n-te Glied q4 =

an = 80 · 0,5n−1 f¨ ur n = 1, 2, 3, . . . Eigenschaft einer geometrischen Folge Aus an · an+2 = aq n−1 · aq n+1 = a2 · q 2n folgt p p |an · an+2 | = a2 · q 2n = |a · q n | = |an+1 |.

Der Betrag eines jeden Folgengliedes ist f¨ ur n ≥ 2 gleich dem geometrischen Mittel der Betr¨age (= Wurzel aus deren Produkt) der beiden benachbarten Folgenglieder. Anwendungen: 1. Zinsrechnung mit Zinseszins Ein Kapital K wird j¨ ahrlich mit p % verzinst, wobei die Zinsen wieder verzinst werden. Dann lautet der Kapitalstand nach n Jahren  p n f¨ ur n = 1, 2, 3, . . . . Kn = K · 1 + 100 Die Kapitalst¨ande nach jeweils einem Jahr bilden eine geometrische Folge mit  p p  und q = 1 + K1 = a = K · 1 + . 100 100

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

195

2. Geometrisch degressive Abschreibung Bei der geometrisch degressiven Abschreibung wird in jedem Jahr p% vom Restwert aus dem Vorjahr abgeschrieben. Mit dem A lautet der Restwert nach  Anschaffungswert p n f¨ ur n = 1, 2, . . . n Jahren (Abschreibungen) Rn = A · 1 − 100 p Auch hier handelt es sich um eine geometrische Folge mit q = 1 − . 100

22.6

Endliche geometrische Reihe

22.6.1

Spezielle endliche geometrische Reihe

Gesucht ist eine Formel f¨ ur die endliche Summe n X q k (n + 1 Summanden). x = 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn = k=0

Zur Berechnung von x wird die Summe f¨ ur q · x versetzt geschrieben und davon die urspr¨ ungliche Summe x subtrahiert. Dabei heben sich die jeweils untereinanderstehenden Summanden gegenseitig weg.  q·x = q +q 2 + q 3 + . . . . . . + q n−1 + q n + q n+1 − x = 1 + q +q 2 + q 3 + . . . . . . + q n−1 + q n q · x −x = (q − 1)·x = q n+1 − 1. F¨ ur q 6= 1 folgt hieraus x =

q n+1 − 1 . q−1

F¨ ur q = 1 sind alle n + 1 Summanden gleich 1 mit x = n + 1. Damit gilt

1 + q + q2 + q3 + . . . + qn =

n X

qk =

k=0

(n + 1 Summanden).

q n+1 − 1 f¨ ur q 6= 1. q−1

Hinweise: 1. Falls nur bis q n−1 summiert werden soll (n Summanden) muss in der obigen Formel n durch n − 1 ersetzt werden mit 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n−1 =

n−1 X k=0

qk =

qn − 1 f¨ ur q 6= 1. q−1

Im Z¨ahler der Summenformel steht also das Glied der geometrischen Folge, welches auf den letzten Summanden folgen w¨ urde.

196

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

2. Die Summe muss mit 1 beginnen. Falls der Summand 1 fehlt, die Reihe also mit q beginnt, muss der Faktor q ausgeklammert werden mit q + q 2 + q 3 + . . . + q n = q · (1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) = q ·

qn − 1 f¨ ur q 6= 1. q−1

Beispiel 9: 311 − 1 1 = · (311 − 1) = 88 573. 3−1 2 2n+1 − 1 n+1 2 3 n =2 − 1. b) 1 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 1 2 − 1  1 6  1 7 −1 1 1 1 1 1 1 1 c) + + + . . . + = · 2 = · 1 + + ...+ = 1 − 7. 2 4 8 128 2 2 2 2 1 2 −1 2 a) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + . . . + 310 =

22.6.2

Allgemeine endliche geometrische Reihe

Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge heißt endliche geometrische Reihe. Mit ai = aq i−1 f¨ ur i = 1, 2, . . . , n erh¨alt man mit der Formel aus 22.6.1 f¨ ur n − 1 sn = a1 + a2 + . . . + an = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−1 qn − 1 f¨ ur q 6= 1. = a · (1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n−1 ) = a · q−1 Damit gilt

Endliche geometrische Reihe. Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge ak = aq k−1 , k = 1, 2, . . . , n lautet f¨ ur q 6= 1 sn = a1 + a2 + . . . + an = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−1 = a · (n Summanden)

qn − 1 . q−1

Anwendung (j¨ ahrliche konstante Einzahlung bei Zinseszins): J¨ahrlich werde der gleiche Betrag E auf ein Konto eingezahlt, wobei das gesamte Konto jeweils zum Jahresende mit Zinseszins mit einem Zinssatz von p% verzinst wird. Gesucht ist der Kontostand Kn nach n Jahren. a) Vorsch¨ ussige Einzahlung jeweils zum Jahresbeginn: Die erste Einzahlung wird n Mal, die zweite (n − 1) Mal, die dritte (n − 2) Mal, . . ., schließlich die letzte einmal verzinst. p Daraus folgt mit q = 1 + 100 qn − 1 . Kn = Eq n + Eq n−1 + . . . + Eq = Eq · (1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) = Eq · q−1

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

197

b) Nachsch¨ ussige Einzahlung jeweils zum Jahresende: Die erste Einzahlung wird (n − 1) Mal, die zweite (n − 2) Mal, . . . , die zweitletzte einmal und die letzte nicht verzinst. Damit gilt n ˆ n = Eq n−1 + Eq n−2 + . . . + Eq + E = E · (1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) = E · q − 1 . K q−1

22.7

Konvergente und divergente Folgen

Eine Folge (an ), n = 1, 2, . . . konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die Betr¨age der Differenzen |an − a| beliebig klein werden, falls der Index n nur groß genug gew¨ahlt wird. Mathematisch bedeutet dies: Zu jeder beliebigen (noch so kleinen) Zahl ε > 0 gibt es einen (im Allg. von ε abh¨angenden) Index n0 = n0 (ε), so dass f¨ ur alle Indizes n ≥ n0 gilt |an − a| < ε, d.h. a − ε < an < a + ε. Vom Index n0 an liegen s¨amtliche Folgenglieder an im offenen Intervall (a − ε; a + ε). Daf¨ ur schreibt man lim an = a. n→∞

Eine gegen den Grenzwert 0 konvergierende Folge heißt Nullfolge.

Beispiel 10: 1 a) Die Folge an = (−1)n · konvergiert gegen 0. Zu beliebigem ε > 0 gilt n 1 1 1 ur alle n > . W¨ ahlt man als n0 die kleinste nat¨ urliche Zahl > , |an − 0| = < ε f¨ n ε ε so ist die obige Konvergenzbedingung erf¨ ullt. b) Die konstante Folge an = 5 f¨ ur alle n konvergiert gegen 5 wegen |an − 5| = 0 f¨ ur alle n. n c) Die Folge an = konvergiert gegen 1 wegen n+1 n − (n + 1) n 1 1 = 1 < ε f¨ − 1 = ur n + 1 > , also n > − 1. |an − 1| = n+1 n+1 n+1 ε ε

d) Die alternierende Folge an = (−1)n ist nicht konvergent, da jedes zweite Glied gleich +1 bzw. −1 ist. 1 1 1 ur n > 2 . e) Die Folge an = √ konvergiert gegen 0 wegen |an − 0| = √ < ε f¨ n n ε 1 f) F¨ ur jede reelle Zahl α > 0 konvergiert die Folge α gegen Null. n Wegen α > 0 wird nα beliebig groß, wenn nur n groß genug gew¨ahlt wird. Daraus folgt 1 1 < ε f¨ ur n > 1 . nα εα

198

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

Eigenschaften konvergenter Folgen: 1) Bei einer gegen a konvergenten Folge konvergieren s¨amtliche Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert a. Anwendung: Falls eine Folge zwei Teilfolgen besitzt, die gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren, kann die gesamte Folge nicht konvergent sein. In Beispiel 10 d) konvergiert die Teilfolge mit ungeraden Indizes gegen −1 und die Teilfolge mit geraden Indizes gegen +1. 2) Jede konvergente Folge ist beschr¨ ankt. Aus der Konvergenz folgt also die Beschr¨anktheit. Die Umkehrung dieser Aussage gilt im Allg. nicht. Aus der Beschr¨ anktheit folgt noch nicht die Konvergenz. Gegenbeispiel: die Folge an = (−1)n ist beschr¨ankt, aber nicht konvergent. Anwendung: Eine nichtbeschr¨ ankte Folge kann nicht konvergieren. 3) Jede monotone und beschr¨ ankte Folge ist konvergent. 4) F¨ ur jede reelle Zahl q mit |q| < 1 gilt lim q n = 0. n→∞

Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Sie heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. −∞), falls die Folgenglieder beliebig groß (bzw. klein) werden, wenn der Index nur groß genug gew¨ ahlt wird. Daf¨ ur schreibt man lim an = +∞ bzw. lim an = −∞. Mathematisch bedeutet dies:

n→∞

n→∞

Zu jeder beliebig großen Zahl K gibt es einen Index n0 (K), so dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt an > K (bestimmt divergent gegen +∞) bzw. an < −K (bestimmt divergent gegen −∞). Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent.

Das praktische Rechnen mit Grenzwerten: Zum praktischen Berechnen von Grenzwerten kann man folgende Eigenschaften konvergenter Folgen benutzen: Die Folge (an ) konvergiere gegen a und (bn ) gegen b, d.h. lim an = a und n→∞ lim bn = b. Dann gilt

n→∞

Die Folge (c · an ) konvergiert gegen c · a, d.h. lim (c · an ) = c · lim an f¨ ur jede Konn→∞ n→∞ stante c. Die Folge (an ± bn ) konvergiert gegen a ± b, d.h. lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn . n→∞

n→∞

n→∞

Die Folge (an · bn ) konvergiert gegen a · b, d.h. lim (an · bn ) = lim an · lim bn . n→∞

Die Folge

a 

a an n konvergiert gegen , d.h. lim n→∞ bn bn b

n→∞

n→∞

lim an

=

n→∞

lim bn

n→∞

, falls b 6= 0.

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

199

1 1 1 1 Anwendung: Mit konvergiert auch 2 = · gegen Null. Dann konvergiert auch n n n n 1 1 1 asst sich mit Hilfe des Prinzips der vollst¨andi3 = 2 · n gegen Null. So fortfahrend l¨ n n 1 gen Induktion zeigen, dass f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl k die Folge k gegen Null konvern giert. Beispiel 11: a) an =

5n3 + 4n2 − 8n + 15 ; Division von Z¨ ahler und Nenner durch n3 ergibt 8n3 − 2n2 + 4n − 9

15 4 8 − 2+ 3 n n n . an = 2 4 9 8− + 2 − 3 n n n 5+

c gegen Null konvernk gieren, konvergiert der Z¨ ahler gegen 5 und der Nenner gegen 8. Folglich konvergiert 5 5 an gegen , d.h. lim an = . n→∞ 8 8 2 n + 2n + 6 b) an = ; Division von Z¨ ahler und Nenner durch n ergibt n+7 6 n+2+ n an = . Der Nenner konvergiert gegen 1. Der Z¨ahler wird beliebig groß, 7 1+ n wenn n nur groß genug gew¨ ahlt wird. Da f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl k und jede Konstante c die Folgen

an wird gr¨oßer als jede noch so große vorgegebene Zahl K. Die Folge (an ) ist also bestimmt divergent mit lim an = +∞. n→∞

22.8

Die unendliche geometrische Reihe

Nach Abschnitt 22.6.2 lautet die endliche geometrische Reihe sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−1 = a ·

1 − qn f¨ ur q 6= 1. 1−q

1 − qn , n = 1, 2, . . . stellt eine Zahlenfolge dar, die genau dann konvergiert, 1−q wenn q n konvergiert. Nach Eigenschaft 4) aus 22.7 konvergiert q n gegen 0, falls |q| < 1 1 ist. Dann gilt lim sn = a · f¨ ur |q| < 1. n→∞ 1−q

sn = a ·

200

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

Falls dieser Grenzwert existiert, bezeichnet man ihn mit lim sn = lim

n→∞

n→∞

n X

k=1

a · q k−1 = lim

n→∞

n−1 X i=0

a · qi =

F¨ ur |q| < 1 heißt der existierende Grenzwert

∞ P

n=0

∞ X i=0

a · qi = a ·

a · qn = a ·

konvergente unendliche geometrische Reihe.

1 f¨ ur |q| < 1 . 1−q

1 1−q

Beispiel 12: ∞  n X 1 1 1 1 1 1 ergibt + ... . = 1+ + + + 2 2 2 4 8 16 n=0 1 = 2. = 1 1− 2 Interpretation: Man kommt an die Summe 2 beliebig nahe heran, wenn nur gen¨ ugend viele Summanden hinzugenommen werden.

a = 1 und q =

Anwendung: Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gemeinen Bruch (s. Abschnitt 2.3). Beispiel 13: Der periodische Dezimalbruch 0,1234 steht als Abk¨ urzung f¨ ur x = 0,123434343434343434 . . . (beliebig viele Bl¨ocke 34). Dieser Bruch kann mit Hilfe einer geometrischen Reihe dargestellt in der Form   2 3 1 1 1 + 0,0034 · + .... + 0,0034 · x = 0,12 + 0,0034 + 0,0034 · 100 100 100 Mit a = 0,0034 und q =

1 erh¨ alt man 100

100 0,34 12 34 = 0,12 + 0,0034 · = 0,12 + = + 1 99 99 100 9900 1− 100 1222 611 12 · 99 + 34 = = . = 9900 9900 4950

x = 0,12 + 0,0034 ·

1

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

22.9

201

Aufgaben

A22.1 Bei einer arithmetischen Folge sei das dritte Glied gleich 10 und das achte Glied gleich 25. Wie lautet die Formel f¨ ur das n-te Glied? Berechnen Sie das Folgenglied mit dem Index 100. A22.2 In einem Amphitheater umfasst die unterste Reihe 90 Sitzpl¨atze. In jeder nachfolgenden Reihe befindet sich 9 Sitzpl¨ atze mehr. Insgesamt gibt es 20 Reihen. a) Wie viele Sitzpl¨ atze hat die oberste Reihe? b) Bestimmen Sie die Anzahl aller Sitzpl¨ atze. A22.3 Bestimmen Sie die Summe aller vierstelligen nat¨ urlichen Zahlen, die durch 17 teilbar sind. A22.4 100 000 EUR werden j¨ ahrlich mit Zinseszins zu 7% verzinst. Berechnen Sie den Kapitalstand nach 5 Jahren. A22.5 Auf ein Konto werden j¨ ahrlich 3 000 EUR eingezahlt. Die Verzinsung erfolge j¨ ahrlich zu 6 % mit Zinseszins. Berechnen Sie den Kontostand nach 10 Jahren a) bei vorsch¨ ussiger Einzahlung, b) bei nachsch¨ ussiger Einzahlung. A22.6 Ein Gut soll in 10 Jahren geometrisch degressiv auf 1% seines Anschaffungswertes abgeschrieben werden. Wie viel % muss dann jedes Jahr abgeschrieben werden? A22.7 Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Monotonie und Konvergenz: 2 ; a) an = 5 + √ 3 n d) an = 5n ;

b) an = 0,9n ;

c) an = (−0,7)n ;

e) an = (−1,1)n .

A22.8 Bestimmen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen √ 2n2 − 4n + 8 3n + 9 ; ; b) an = √ a) an = 2 n + 5n + 10 10n − 4 n3 + 4n + 20 4n − 6 c) an = 2 ; d) an = 2 . 2n − 5n + 10 2n + 8n + 8

202

Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen

A22.9 Berechnen Sie im Falle der Existenz k ∞  ∞  k X X 1 2 ; b) ; − a) 3 2 k=0 k=0 ∞  k ∞ X X 3 k (−2) . c) ; d) 2 k=0

k=0

A22.10 Wandeln Sie die nachfolgenden periodischen Dezimalbr¨ uche in gemeine Br¨ uche um. a) 1,456;

b) 12,45678.

23

Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

23.1

Definition einer Funktion

R

Jeder reellen Zahl x aus dem Definitionsbereich D ⊆ werde durch eine eindeutige Abbildungsvorschrift f eine reelle Zahl y = f (x) zugeordnet. Dann heißt f eine (reelle) Funktion. x heißt die unabh¨ angige Variable (Abszisse) und y die abh¨ angige Variable (Ordinate). Die Menge der Funktionswerte stellt den Wertebereich oder Wertevorrat W dar. Graphische Darstellung: F¨ ur jedes Element x aus dem Definitionsbereich erh¨alt man mit dem zugeh¨origen Funktionswert f (x) ein Wertepaar (x; y = f (x)). In einem kartesischen Koordinatensystem kann der entsprechende Punkt mit diesen beiden Koordinaten eingezeichnet werden. Dadurch entsteht eine graphische Darstellung oder der sog. Graph der Funktion. Dieser Graph wird im Allg. mit der Funktion identifiziert. Er wird oft auch einfach Kurve genannt. Wegen der Eindeutigkeit der Abbildungsvorschrift liegt senkrecht u ¨ber oder unter jedem x-Wert genau ein Punkt der Kurve. Beispiel 1 (Gerade): y = f (x) = 0,5x + 1 stellt eine Gerade dar mit der Steigung m = 0,5. Der Definitionsbereich ist ganz , ebenfalls der Wertebereich.

R

y g

1 0 −1

1

x

204

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Beispiel 2 (Betragsfunktion):  x f¨ ur x ≥ 0 f (x) = |x| = −x f¨ ur x < 0

R

und den Wertevorrat W = R+ = {y | y ≥ 0}. besitzt den Definitionsbereich D = Die Kurve besteht aus zwei Geradenst¨ ucken, die sich in der Knickstelle (Koordinatenursprung) schneiden. y

1 −1 0

1

x

Beispiel 3 (Treppenfunktion):  1 f¨ ur x ≥ 0 f (x) = 0 f¨ ur x < 0

stellt eine Treppenfunktion dar mit der einzigen Sprungstelle x = 0. Der Definitionsbereich ist ganz , der Wertebereich besteht nur aus den beiden Zahlen 0 und 1, also W = {0; 1}.

R

y

1

−1

0

1

x

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

205

Beispiel 4 (Treppenfunktion mit isoliertem Punkt):  ur x < 0  −1 f¨ 0 f¨ ur x = 0 f (x) =  +1 f¨ ur x > 0

stellt eine Treppenfunktion mit dem Koordinatenursprung 0 als isoliertem Punkt dar. Der Wertebereich lautet W = {−1; 0; +1}. y

1 b

−1

0

x

1 −1

Beispiel 5 (Halbkreise): √ y = f1 (x) = + 4 − x2 (positive Quadratwurzel) stellt den oberen Halbkreis mit dem Radius r = 2 um den Koordinatenursprung 0 dar. √ y = f2 (x) = − 4 − x2 (negative Quadratwurzel) ist die Gleichung des unteren Halbkreises. y 2 f1 1

−2

-1

0

2

1

f2 −2

x

206

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

F¨ ur sich allein betrachtet stellt f1 und f2 jeweils eine Funktion mit dem gleichen Definitionsbereich D = {x | −2 ≤ x ≤ 2} = [−2; +2] (abgeschlossenes Intervall) dar. f1 besitzt den Wertevorrat Wf1 = {y | 0 ≤ y ≤ 2} = [0; 2], f2 den Wertevorrat Wf2 = {y | −2 ≤ y ≤ 0} = [−2; 0]. Beide Funktionen zusammen stellen den gesamten Kreis dar. Die Gleichung des Kreises x2 + y 2 = 4 erh¨ alt man durch Quadrieren der Funktionen. Der gesamte Kreis stellt jedoch keine Funktion dar, weil die Eindeutigkeit verletzt w¨are. Der Abszisse x = 0 m¨ ussten z.B. die beiden verschiedenen Werte +2 und −2 zugeordnet werden, was bei einer Funktion wegen der Forderung der Eindeutigkeit nicht m¨oglich ist.

23.2

Grenzwerte einer Funktion

Ist xn , n = 1, 2, 3, . . . eine Punktfolge aus dem Definitionsbereich der Funktion f , so bilden die zugeh¨origen Funktionswerte f (xn ) = an , n = 1, 2, 3, . . . eine Zahlenfolge. Aus der Konvergenz der Folge xn , n = 1, 2, . . . folgt im Allg. noch nicht die Konvergenz der Folge der Funktionswerte f (xn ), n = 1, 2, 3, . . .. Grenzwert einer Funktion: Die Funktion f sei in einer Umgebung der festen Stelle x0 definiert, wobei die Stelle x0 nicht unbedingt zum Definitionsbereich von f geh¨oren muss. An der Stelle x0 kann also eine Definitionsl¨ ucke vorhanden sein. Dann besitzt f an der Stelle x0 den Grenzwert b, falls folgende Bedingung erf¨ ullt ist: F¨ ur jede gegen x0 konvergente Punktfolge xn aus dem Definitionsbereich konvergiert die Folge der Funktionswerte f (xn ) gegen den gleichen Wert b. Aus lim xn = x0 n→∞ folgt also lim f (xn ) = b. n→∞

F¨ ur diesen Sachverhalt schreibt man lim f (x) = b oder lim f (x0 + h) = b. x→x0

h→0

Bemerkung: In der angegebenen Bedingung ist darauf zu achten, dass die Folge f (xn ) der Funktionswerte f¨ ur jede beliebige gegen x0 konvergente Folge xn aus dem Definitionsbereich gegen denselben Grenzwert b konvergiert. Es gen¨ ugt nicht, dass dieser Grenzwert nur f¨ ur eine spezielle Punktfolge xn existiert oder dass verschiedene Punktfolgen verschiedene Grenzwerte ergeben. Beispiel 6: Die Funktion f (x) =



1 f¨ ur x ≥ 0 −1 f¨ ur x < 0

besitzt an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert. F¨ ur die gegen 0 konvergente Folge 1 xn = (−1)n · gilt f (xn ) = (−1)n . Diese Folge konvergiert nicht. Damit besitzt f an n der Stelle 0 keinen Grenzwert, obwohl diese Stelle zum Definitionsbereich geh¨ort.

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

207

Beispiel 7:

5x2 + 4x ist an der Stelle x = 0 nicht definiert. F¨ ur xn 6= 0 mit x 5x2n + 4xn = 5xn + 4. lim xn = 0 erh¨alt man nach K¨ urzen durch xn 6= 0 f (xn ) = n→∞ xn Dann folgt aus lim xn = 0 lim f (xn ) = lim (5xn + 4) = 5 · lim xn + 4 = 4.

Die Funktion f (x) =

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Die Funktion besitzt an der Stelle x0 = 0 den Grenzwert 4. Diesen Grenzwert erh¨alt man auch dadurch, dass zun¨ achst in f Z¨ ahler und Nenner durch x gek¨ urzt wird und danach x = 0 eingesetzt wird. Doch f¨ ur x = 0 wurde formal durch 0 gek¨ urzt, was gar nicht zul¨assig ist. Beispiel 8: 1 besitzt an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert, da f¨ ur xn 6= 0 x 1 mit lim xn = 0 der Grenzwert lim nicht existiert. n→∞ n→∞ xn

Die Funktion f (x) =

Einseitige Grenzwerte: Falls die Punktfolge xn von rechts (links) gegen x0 konvergiert und die zugeh¨orige Funktionenfolge f (xn ) immer gegen denselben Grenzwert konvergiert, heißt dieser Grenzwert rechts- bzw. linksseitig. br heißt rechtsseitiger Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0 , wenn f¨ ur jede von rechts gegen x0 konvergente Punktfolge xn > x0 gilt lim f (xn ) = br . n→∞

Man schreibt daf¨ ur x→x lim f (x) = lim f (x0 + h) = br . 0 x>x0

h→0 h>0

bl heißt linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x0 , wenn f¨ ur jede von links gegen x0 konvergente Folge xn < x0 gilt lim f (xn ) = bl . n→∞

Man schreibt daf¨ ur x→x lim f (x) = lim f (x0 − h) = bl . 0 x0

An der Stelle x0 existiert ein Grenzwert genau dann, wenn an dieser Stelle sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert existieren und beide u ¨bereinstimmen. Sie stellen dann den Grenzwert b dar mit br = bl = b. Beispiel 9: a) In Beispiel 3 gilt f (xn ) = 0 f¨ ur xn < 0 und f (xn ) = 1 f¨ ur xn > 0. Damit ist der linksseitige Grenzwert an der Stelle x0 = 0 gleich 0 und der rechtsseitige gleich 1. Da beide Grenzwerte voneinander verschieden sind, existiert an der Stelle x0 = 0 kein Grenzwert. b) In Beispiel 4 ist der linksseitige Grenzwert an der Stelle x0 = 0 gleich −1 und der rechtsseitige Grenzwert gleich +1. Auch f¨ ur diese Funktion existiert an der Stelle x0 = 0 kein Grenzwert.

208

23.3

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Stetige Funktionen

Die Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle x0 l¨asst sich am bequemsten mit Hilfe des Grenzwertes der Funktion definieren (s. Abschnitt 23.2), weil damit zur Untersuchung auf Stetigkeit s¨ amtliche Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen benutzt werden k¨onnen. Verzichtet man bei der Definition der Stetigkeit auf konvergente Zahlenfolgen, so muss in die Definition der Konvergenz einer Zahlenfolge der Begriff der Stetigkeit mit eingearbeitet werden. Dies geschieht im Stetigkeitskriterium. Die Funktion f ist an der Stelle x0 ∈ D stetig, wenn an der Stelle x0 der Grenzwert lim f (x) existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle x0 u ¨bereinstimmt, wenn

x→x0

also gilt lim f (x) = lim f (x0 + h) = f (x0 ) = f ( lim x).

x→x0

x→x0

h→0

An einer Stetigkeitsstelle x0 sind die Grenzwertbildung und Funktionswertberechnung vertauschbar. f ist an der Stelle x0 rechtsseitig stetig, wenn an der Stelle x0 der rechtsseitige Grenzwert existiert und mit f (x0 ) u ¨bereinstimmt, wenn also lim f (x) = lim f (x0 + h) = f (x0 ) gilt.

x→x0 x>x0

h→0 h>0

f ist an der Stelle x0 linksseitig stetig, wenn an der Stelle x0 der linksseitige Grenzwert existiert und mit f (x0 ) u ¨bereinstimmt, wenn also lim f (x) = lim f (x0 − h) = f (x0 ) gilt.

x→x0 x0

Eine Funktion ist genau dann an der Stelle x0 stetig, wenn sie dort links- und rechtsseitig stetig ist. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist. Beispiel 10: 

1 f¨ ur x ≥ 0 0 f¨ ur x < 0 ist an der Stelle x0 = 0 rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig.  ur x > 0  +1 f¨ 0 f¨ ur x = 0 b) (vgl. Beispiel 4): Die Funktion f (x) =  −1 f¨ ur x < 0 ist an der Stelle x0 = 0 weder links- noch rechtsseitig stetig. a) (vgl. Beispiel 3): Die Funktion f (x) =

Beispiel 11 (vgl. Beispiel 2): Die Funktion f (x) = |x| ist auch an der Knickstelle x0 = 0 stetig, da lim xn = 0 n→∞ gleichwertig ist mit lim |xn | = lim f (xn ) = 0 = f (0). n→∞

n→∞

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

209

Beispiel 12 (hebbare Unstetigkeitsstelle; vgl. Beispiel 7): 5x2 + 4x ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. Nach Beispiel 7 Die Funktion f (x) = x besitzt sie dort jedoch den Grenzwert lim f (x) = 4. x→0

Durch f (0) = 4 entsteht eine Funktion, die auch an der Stelle x0 = 0 definiert und stetig ist und f¨ ur x 6= 0 mit der Ausgangsfunktion u ¨bereinstimmt.

Die Funktion f (x) =



x2 mx + b

f¨ ur x ≤ 1 f¨ ur x > 1;

m, b feste reelle Zahlen 1

Beispiel 13:

y=

2x −

y y = x2

y

1

+ ,5x =0

0,5

b

0

1

x

ist an jeder Stelle x0 < 1 und x0 > 1 stetig. An der Stelle x0 = 1 ist sie f¨ ur jedes m und b auch linksseitig stetig. Sie ist genau dann auch rechtsseitig stetig, also stetig, wenn gilt x→1 lim f (x) = x→1 lim (mx + b) = m + b = f (1) = 1. x>1

x>1

F¨ ur beliebige Konstanten m und b mit m + b = 1 ist die Funktion auch an der Stelle 1 stetig. Falls m 6= 2 ist, entsteht im Falle m + b = 1 an der Stetigkeitsstelle x0 = 1 ein Knick. Nur f¨ ur m = 2 und b = −1 gibt es keinen Knick an dieser Stetigkeitsstelle (vgl. Beispiel 17). Im Falle m + b 6= 1 ist x0 eine Sprungstelle. Die Stetigkeit kann auch ohne konvergente Zahlenfolgen definiert werden. Bei dieser Definition muss die Konvergenz einer Zahlenfolge u ¨ber das ε in die Definition der Stetigkeit eingearbeitet werden. Dadurch erh¨ alt man eine gleichwertige Definition. Anschaulich besagt sie, dass die Funktionswerte f (x) vom Funktionswert f (x0 ) beliebig wenig abweichen, wenn nur x nahe genug bei x0 liegt (s. nachfolgende Abbildung). Dieser Sachverhalt wird mathematisch formuliert im

210

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Stetigkeitskriterium: Die Funktion f ist an der Stelle x0 genau dann stetig, wenn folgende Bedingung erf¨ ullt ist: Zu jedem beliebigen ε > 0 gibt es eine im Allg. von ε und x0 abh¨angige Zahl δ > 0, so dass f¨ ur alle x ∈ D mit |x − x0 | < δ gilt |f (x) − f (x0 )| < ε. y f (x0 )+ε f (x0 ) f (x0 )−ε 0 x −δ x0 x +δ 0 0

x

Beispiel 14 (Wurzelfunktion): √ Die Wurzelfunktion f (x) = x mit dem Definitionsbereich D = {x | x ≥ 0} ist an jeder Stelle x0 > 0 stetig wegen √ √ √ √ ( x − x0 ) · ( x + x0 ) √ √ √ |f (x) − f (x0 )| = | x − x0 | = √ x + x0 | |x − x0 | |x − x0 | = √ 0 gew¨ ahlt wird, f¨ ur |x| < δ nimmt die Funktion f beliebig oft alle Werte zwischen −1 und +1 an. Damit existiert kein Grenzwert an der Stelle x0 = 0. Die Funktion ist an der Stelle x0 = 0 nicht stetig, obwohl diese Stelle keine Sprungstelle ist.

212

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen (

1 x · sin f¨ ur x 6= 0 x 0 f¨ ur x = 0 1 ist wegen |f (x)| = |x| · sin ≤ |x| · 1 auch an der Stelle x0 = 0 stetig. x

b) Die Funktion f (x) =

1

0

1 π

1 x

Eigenschaften stetiger Funktionen: 1) Die Funktionen f und g seien an der Stelle x0 stetig. Dann sind dort auch folgende Funktionen stetig: c · f f¨ ur jede Konstante c; f ± g (Summe u. Differenz); f · g (Produkt) und f (Quotient), falls g(x0 ) 6= 0. g 2) Ist die Funktion f an der Stelle x0 stetig und ist die Funktion g an der Stelle f (x0 ) stetig, so ist die zusammengesetzte Funktion h(x) = g(f (x)) an der Stelle x0 ebenfalls stetig. 3) Eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt in diesem Intervall das Maximum und Minimum an. 4) Eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt in diesem Intervall jeden Funktionswert zwischen dem Maximum und Minimum mindestens einmal an (Zwischenwertsatz). 5) Eine in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion besitze an den Intervallgrenzen verschiedene Vorzeichen. Dann besitzt diese Funktion im Innern dieses Intervalls mindestens eine Nullstelle (Nullstellensatz).

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

213

Anwendungen: Durch wiederholte Anwendung der Eigenschaften 1) erh¨alt man unmittelbar folgende Aussagen: a) Jedes Polynom vom Grade n Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . . + an xn (ganz rationale Funktion) ist stetig. a0 + a1 x + a2 x2 + . . . . + an xn b) Jeder Quotient zweier Polynome Q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . . + bm xm (gebrochen rationale Funktion) ist an jeder Stelle stetig, an welcher der Nenner nicht verschwindet.

23.4

Die Ableitung einer Funktion

Falls die Ableitung einer Funktion f an einer festen Stelle x0 existiert, stellt sie die Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt P (x0 , f (x0 )) dar. Die Betragsfunktion f (x) = |x| (s. Beispiel 2) hat im Koordinatenursprung 0 eine Knickstelle. Das Tangentenproblem ist an dieser Stelle nicht eindeutig l¨osbar, da es mehrere durch den Koordinatenursprung gehende Geraden gibt, welche die Kurve dort ber¨ uhren. Es sind dies alle Geraden y = mx, deren Steigung m zwischen −1 und +1 liegt. An der Knickstelle gibt es jedoch eine rechtsseitige Halbtangente, n¨ amlich die Gerade y = x f¨ ur x ≥ 0 und eine linksseitige Halbtangente y = −x f¨ ur x ≤ 0, welche die Kurve in die jeweilige Richtung ber¨ uhren. Ihre Steigung stellt die recht- bzw. linksseitige Ableitung dar. Durch die benachbarten Kurvenpunkte P0 (x0 , f (x0 )) und P1 (x0 + h, f (x0 + h)), h > 0, wird von P0 ausgehend nach rechts durch P1 eine Halbgerade gelegt. Diese rechtsseif (x0 + h) − f (x0 ) , h > 0. Falls tige Sekantenhalbgerade besitzt die Steigung tan α = h dieser rechtsseitige Differenzenquotient f¨ ur h → 0 einen Grenzwert besitzt, stellt er die Steigung der rechtsseitigen Halbtangente dar. Bei dieser Grenzwertbildung geht die Halbsekante u ¨ber in die Halbtangente. Im Falle der Existenz heißt dieser Grenzwert die rechtsseitige Ableitung von f an der Stelle x0 mit fr′ (x0 ) = lim

h→0 h>0

f (x0 + h) − f (x0 ) . h

W¨ ahlt man h negativ, so liegt der Punkt P1 (x0 +h, f (x0 +h)) links von P0 (x0 , f (x0 )). Die f (x0 + h) − f (x0 ) linksseitige Sekantenhalbgerade besitzt die Steigung tan β = , h < 0. h Falls der Grenzwert f¨ ur h → 0 existiert, stellt er die Steigung der linksseitigen Halbtangente dar und heißt die linksseitige Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mit f (x0 + h) − f (x0 ) . fl′ (x0 ) = lim h→0 h h 0 und h < 0 gleich. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Grenzwert f¨ ur beliebige h existiert. Dieser

214

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Grenzwert heißt dann die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mit f ′ (x0 ) = lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) h

(h beliebig). tr e nt e e e ng rad tig ta sei albge lb s t a h h H rec nten a ige k t e i S e f b tss  ch re f (x0 + h) − f (x0 ) P0 α b  h

y

f (x0 + h) (h > 0)

lin ks s

b

 

β



f (x0 + h) (h < 0)

ei tig lin kss e H eit Se al ige kan bt ten an ha ge lbg nt era e de tl

y0 = f (x0 )

−h

x0 +h h0

x

Im Falle der Existenz heißt fr′ (x0 ) = lim

h→0 h>0

f (x0 + h) − f (x0 ) die rechtsseitige Ableitung, h

f (x0 + h) − f (x0 ) die linksseitige Ableitung und h f (x0 + h) − f (x0 ) df (x) = lim (h beliebig) die Ableitung f ′ (x0 ) = h→0 dx x=x0 h (sprich: df (x) nach dx an der Stelle x0 ) fl′ (x0 ) = lim

h→0 h 0. √ = √ f¨ h→0 2 x x+h+ x f (x + h) − f (x) = h

d) (Betragsfunktion, vgl. Beispiele 2 und 11): x0 = 0: rechtsseitige Ableitung: fr′ (0) = lim

|0 + h| − 0 h = lim = lim 1 = 1. h→0 h h h→0 h>0

linksseitige Ableitung: fl′ (0) = lim

−h |0 + h| − 0 = lim = lim (−1) = −1. h→0 h→0 h h h0

h→0 h 1 ist an der Stelle x0 = 1 stetig f¨ ur m + b = 1, also f¨ ur f (x) = mx + 1 − m f¨ ur x > 1. Die Stetigkeit ist notwendig f¨ ur die Differenzierbarkeit. An der Stelle x0 = 1 lautet die linksseitige Ableitung wegen f (1 + h) = (1 + h)2 f¨ ur h < 0 und f (1) = 1 fl′ (1) = lim

h→0 h0

Die Funktion ist an der Stelle x0 = 1 genau dann differenzierbar mit der Ableitung f ′ (1) = 2, wenn m = 2 und m + b = 1 (Stetigkeit) ist, also f¨ ur f (x) = 2x − 1 f¨ ur x > 1. Dann stellt das Geradenst¨ uck die rechte Halbtangente an die Parabel dar. F¨ ur m + b = 1, aber m 6= 2 hat die Funktion f an der Stelle x0 = 1 einen Knick. F¨ ur m + b 6= 1 ist x0 = 1 eine Sprungstelle. Ableitungsregeln: Die Funktionen u(x) und v(x) seien an der Stelle x differenzierbar. Dann gelten folgende Ableitungsgesetze (c · u(x))′ = c · u′ (x) f¨ ur jede Konstante c;

(u(x) ± v(x))′ = u′ (x) ± v ′ (x) (Ableitung einer Summe u. Differenz); (u(x) · v(x))′ = u′ (x) · v(x) + u(x) · v ′ (x) (Produktregel);  u(x) ′ v(x) · u′ (x) − u(x) · v ′ (x) = , falls v(x) 6= 0 (Quotientenregel); v(x) v 2 (x)  1 ′ v ′ (x) , falls v(x) 6= 0 (spezielle Quotientenregel). =− 2 v(x) v (x) Anwendungen: Wiederholte Anwendungen dieser Regeln ergibt folgende Aussagen: a) Jedes Polynom n-ten Grades Pn (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+an xn ist differenzierbar mit Pn′ (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . + nan xn−1 . b) Jede gebrochen rationale Funktion(Quotient zweier Polynome)ist an denjenigen Stellen differenzierbar, an denen der Nenner nicht verschwindet. Zur Differentiation wird die Quotientenregel benutzt. Beispiel 18: √ √ 1 a) f (x) = x · sin x; f ′ (x) = √ · sin x + x · cos x; 2 x b) f (x) = =

x2 + 3x + 6 ′ (2x2 + 5) · (2x + 3) − (x2 + 3x + 6) · 4x ; f (x) = 2 2x + 5 (2x2 + 5)2 −6x2 − 14x + 15 4x3 + 6x2 + 10x + 15 − 4x3 − 12x2 − 24x = . 2 2 (2x + 5) (2x2 + 5)2

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

217

Die Kettenregel: Bei zusammengesetzten Funktionen dient als Ableitungsregel die Kettenregel. Dazu das einf¨ uhrende Beispiel 19: √ außere Funktion mit der AbleiIn f (x) = 2x3 + 4x2 − 2x + 10 ist die Wurzel die ¨ 1 3 2 tung √ und u(x) = 2x + 4x − 2x + 10 die innere Funktion mit der Ableitung 2 u′ (x) = 6x2 +p 8x − 2. Damit l¨ asst sich die zusammengesetzte Funktion darstellen in der Form f (x) = u(x). Mit Hilfe der Kettenregel erh¨alt man die Ableitung der gesamten Funktion als f ′ (x) =

1 √ · (6x2 + 8x − 2). 3 2 2x + 4x2 − 2x + 10 ¨außere Ableitung

innere Ableitung

Kettenregel: Die zusammengesetzte Funktion f (x) = g(u(x)) besitzt die Ableitung f ′ (x) = g ′ (u(x)) · u′ (x) außere · innere Ableitung ¨ Beispiel 20: a) In f (x) = (3x2 + 5x + 7)200 ist u(x) = 3x2 + 5x + 7 die innere und g(u) = u200 die ¨außere Funktion. Damit erh¨alt man f ′ (x) = 200 · (3x2 + 5x + 7)199 · (6x + 5).

b) In f (x) = cos(5x) ist u(x) = 5x die innere und g(u) = cos u die ¨außere Funktion. Damit gilt f ′ (x) = [− sin(5x)] · 5 = −5 sin(5x). H¨ ohere Ableitungen: Falls die Ableitungsfunktion f ′ (x) nochmals differenzierbar ist, erh¨alt man die zweite Ableitung f ′′ (x) = (f ′ (x))′ . So fortfahrend erh¨alt man rekursiv die k-te Ableitung f (k) (x) = (f (k−1) (x))′ f¨ ur k = 1, 2, . . . . . Dabei ist die nullte Ableitung die Ausgangsfunktion, also f (0) (x) = f (x).

218

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Ableitungen elementarer Funktionen: (c)′ (x)′ (xn )′ 1 ( n )′ x (xα )′ (ex )′ (ax )′ (ln x)′ (loga x)′ (sin x)′ (cos x)′ (tan x)′ (cot x)′

23.5

=0 f¨ ur jede Konstante c =1 = n · xn−1 f¨ ur jede nat¨ urlicheZahl n n f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n = − n+1 x = α · xα−1 f¨ ur jede reelle Zahl α x =e = ax · ln a 1 = x 1 1 = · ln a x = cos x = − sin x 1 = = 1 + tan2 x cos2 x 1 = − 2 = −(1 + cot2 x) sin x

Kurvendiskussion

Zur graphischen Darstellung einer Funktion f ist es nicht sinnvoll, in Form einer Wertetabelle an m¨oglichst vielen Stellen Funktionswerte zu berechnen. Besser ist es, typische Eigenschaften der Funktion zur Zeichnung zu benutzen und Punkte zu zeichnen, die u ¨ber der Kurvenverlauf viel Information liefern. 1. Symmetrieeigenschaften: a) Symmetrie zur y-Achse, falls f (−x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ D (gerade Funktion);

b) Symmetrie zum Koordinatenursprung, falls f (−x) = −f (x) f¨ ur alle x ∈ D (ungerade Funktion). 2. Nullstelle: xN ist Nullstelle, falls f (xN ) = 0 (Schnittpunkt mit der x-Achse). 3. Monotonie: f ist an der Stelle x streng monoton wachsend, falls f ′ (x) > 0; f ist an der Stelle x streng monoton fallend, falls f ′ (x) < 0.

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

219

4. (Relative) Extremwerte: Notwendige Bedingung f¨ ur ein Extremwert an der Stelle xE : f ′ (xE ) = 0, falls die Ableitung existiert und stetig ist. Hinreichende Bedingung f¨ ur ein Extremum: f ′ (xE ) = 0 und f ′′ (xE ) < 0 → (relatives) Maximum an der Stelle xE ;

f ′ (xE ) = 0 und f ′′ (xE ) > 0 → (relatives) Minimum an der Stelle xE . 5. Kr¨ ummungsverhalten:

f ′′ (x0 ) < 0 ⇒ f ist in der Umgebung von x0 von oben konkav oder rechtsgekr¨ ummt.

f ′′ (x0 ) > 0 ⇒ f ist in der Umgebung von x0 von oben konvex oder linksgekr¨ ummt.

konkav (Rechtskr¨ ummung)

konvex (Linkskr¨ ummung)

6. Wendepunkte: ¨ In einem Wendepunkt findet ein Ubergang von einem konvexen zu einem konkaven Bereich oder umgekehrt statt. Notwendige Bedingung f¨ ur einen Wendepunkt an der Stelle xw : f ′′ (xw ) = 0, falls die zweite Ableitung existiert und stetig ist. Hinreichende Bedingung f¨ ur einen Wendepunkt: f ′′ (xw ) = 0 und f ′′′ (xw ) 6= 0. Beispiel 21: f (x) =

x3 − x2 − 3x. 3

Ableitungen: f ′ (x) = x2 − 2x − 3 f ′′ (x) = 2x − 2 f ′′′ (x) = 2 x Nullstellen: f (x) = · (x2 − 3x − 9) = 0. √ 3 3 45 2 x1 = 0; x − 3x − 9 = 0 ergibt x2,3 = ± . 2 2 ′ 2 Extremwerte: f (x) = x − 2x − 3 = 0 ergibt x4 = −1; x5 = 3.

f ′′ (−1) = −4 < 0; Maximum an der Stelle x4 = −1 mit f (−1) =

f ′′ (3) = 4 > 0; Minimum an der Stelle x5 = 3 mit f (3) = −9.

Wendepunkte f ′′ (x) = 2x − 2 = 0. x6 = 1; f ′′′ (1) 6= 0;

Wendepunkt an der Stelle x6 = 1 mit f (1) = −

11 . 3

5 ; 3

220

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen y

b

1 b b b

0 −1

x

1

b

(Wendepunkt)

b

23.6

Aufgaben

A23.1 Gegeben ist die Funktion f (x) =



x3 + 2x 5x + 8



x2 − 1 −x2 + 4x − 3

f¨ ur x < 3 f¨ ur x > 3.

Wie muss der Funktionswert an der Stelle x0 = 3 festgesetzt werden, damit die Funktion f dort a) rechtsseitig, b) linksseitig stetig ist? A23.2 Gegeben ist die Funktion f (x) =

f¨ ur x ≤ 1 f¨ ur x > 1.

Ist die Funktion f an der Stelle x0 = 1 stetig bzw. differenzierbar?

Kapitel 23: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

221

x2 − 1 . x→1 x − 1

A23.3 Berechnen Sie den Grenzwert lim A23.4

x2 − 4x + 3 . x2 − 3x + 2 b) Zeigen Sie, dass die Funktion f an der Stelle x0 = 1 einen Grenzwert besitzt und bestimmen Sie diesen Grenzwert. a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f (x) =

A23.5 Gegeben ist die Funktion f (x) =



−x2 + 5x + 4 mx + b

f¨ ur x ≤ 0 f¨ ur x > 0.

a) Welche Bedingung m¨ ussen die Konstanten m und b erf¨ ullen, damit die Funktion f stetig ist? b) F¨ ur welche Konstanten m und b ist die Funktion u ¨berall differenzierbar? A23.6 Bilden Sie die erste Ableitung f¨ ur folgende Funktionen: √ a) f (x) = 5x3 + 2x + x; 1 b) f (x) = ; x √ 3 c) f (x) = x2 ; x2 + 2x ; 2x + 5 1 e) f (x) = x · cos ; x √ f) f (x) = 5x3 + 6x;

d) f (x) =

g) f (x) = sin(6x2 + 5x + 10). A23.7 F¨ uhren Sie f¨ ur die Funktion f (x) = x3 − 3x + 2 eine Kurvendiskussion durch. x = 1 ist dabei eine Nullstelle. Skizzieren Sie f . x+2 − 2 den maximal m¨oglichen A23.8 Bestimmen Sie f¨ ur die Funktion f (x) = √ x+1 Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Skizzieren Sie f .

24

Integralrechnung

Das Integral kann anschaulich u acheninhalt eingef¨ uhrt werden, den eine ¨ber den Fl¨ Funktion f u ¨ber einem bestimmten Intervall mit der x-Achse einschließt. Dabei erh¨alt man f¨ ur nichtnegative Funktionen (bei Kurven oberhalb der x-Achse) den positiven Fl¨ acheninhalt und f¨ ur negative Funktionen (Kurven unterhalb der x-Achse) den negativen Fl¨acheninhalt. Zur Berechnung des Fl¨ acheninhalts (bestimmtes Integral) wird die Fl¨ ache beliebig genau durch Rechtecke approximiert. Der Grenzprozess liefert schließlich den exakten Wert (s. Abschnitt 24.1). Zur praktischen Berechnung eines Fl¨acheninhalts eignet sich jedoch der Grenzprozess kaum, da dieser im Allg. nicht einfach zu berechnen ist. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion (s. Abschnitt 24.4). Die Integration ist in gewisser Weise die Umkehrung der Differenziation“. ”

24.1

Das bestimmte Integral

Wir gehen von einer nichtnegativen stetigen Funktion f (x) ≥ 0 f¨ ur a ≤ x ≤ b aus. Gesucht ist der Inhalt F der Fl¨ ache, den die Kurve u ¨ber dem Intervall [a; b] mit der x-Achse einschließt. Zur Berechnung wird das Intervall durch die Zwischenpunkte a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn−1 < xn = b in n Teilintervalle Ii = [xi−1 , xi ] f¨ ur i = 1, 2, . . . , n zerlegt. In jedes dieser Teilintervalle wird das gr¨oßte Rechteck unterhalb der Kurve und das kleinste Rechteck oberhalb der Kurve eingezeichnet. Diese Rechtecke besitzen die Breiten ∆xi = xi − xi−1 . Die H¨ohen mi bzw. Mi sind die minimalen bzw. maximalen Funktionswerte aus den entsprechenden Intervallen mit mi = min f (x); Mi = max f (x) f¨ ur i = 1, 2, . . . , n. x∈Ii

x∈Ii

y

M1 mi

Mi

mn Mn

m1 0

∆x1 x0 = a

∆x2 x1

∆x3 x2 . . . x3

∆xi

∆xn

xi−1 xi . . . xn−1

x xn = b

224

Kapitel 24: Integralrechnung

Der Inhalt mi · (xi − xi−1 ) des unteren Rechtecks ist h¨ochstens kleiner als der gesuchte Fl¨acheninhalt u ¨ber dem Intervall [xi−1 ; xi ] und der Inhalt Mi · (xi − xi−1 ) des oberen Rechtecks h¨ochstens gr¨ oßer. Die Summe der Fl¨ acheninhalte der unteren Rechtecke heißt n P

Untersumme Un =

i=1

mi · (xi − xi−1 ) =

n P

i=1

mi · ∆xi ;

entsprechend ist die Summe der Fl¨ acheinhalte der oberen Rechtecke die Obersumme On =

n P

i=1

Mi · (xi − xi−1 ) =

n P

i=1

Mi · ∆xi .

F¨ ur jede beliebige Zerlegung liegt der gesuchte Fl¨acheninhalt F zwischen der Unterund der Obersumme, d. h. es gilt Un ≤ F ≤ On

f¨ ur jedes n. Die Differenz der beiden Summen betr¨agt On − Un =

n X i=1

(Mi − mi ) · (xi − xi−1 ).

Bei stetigen Funktionen unterscheidet sich das Minimum mi vom Maximum Mi um beliebig wenig, wenn die beiden Grenzen xi−1 und xi nur nahe genug beieinander liegen. Falls die Intervalleinteilung so verfeinert wird, dass die L¨angen s¨amtlicher Teilintervalle gegen Null konvergieren, so konvergiert die Differenz Un − On gegen Null, d. h. lim (On − Un ) = 0.

n→∞

Aus Un ≤ F ≤ On folgt dann, dass sowohl die Untersummen als auch die Obersummen bei einer solchen Intervallverfeinerung gegen den Fl¨acheninhalt F konvergieren, d. h. lim Un = lim On = F.

n→∞

n→∞

W¨ahlt man aus dem Intervall Ii eine beliebige Zwischenstelle ξi mit xi−1 ≤ ξi ≤ xi , so gilt mi ≤ ξi ≤ Mi f¨ ur jedes i. Das Rechteck mit der H¨ ohe f (ξi ) besitzt den Fl¨acheninhalt f (ξi ) · (xi − xi−1 ). Dieser Inhalt liegt zwischen dem Inhalt des unteren und oberen Rechtecks. Damit gilt f¨ ur die Zwischensumme Un ≤

n X i=1

n P

i=1

f (ξi ) · (xi − xi−1 )

f (ξi ) · (xi − xi−1 ) ≤ On f¨ ur jedes n.

Mit Un und On konvergiert dann auch die Zwischensumme gegen den Fl¨acheninhalt. Mit ∆xi = xi − xi−1 besitzt die Zwischensumme den Grenzwert lim

n→∞

n X i=1

f (ξi ) · ∆xi =

Zb a

f (x) dx

(sprich: Integral von a bis b u ¨ber f (x)).

Kapitel 24: Integralrechnung

225

Dieser Grenzwert heißt das bestimmte Integral der Funktion f u ¨ber das Intervall [a; b]. Die Funktion f heißt dann im Intervall [a; b] integrierbar. Neben den stetigen Funktionen k¨onnen auch andere Funktionen integrierbar sein, z. B. jede im Intervall [a; b] beschr¨ankte Funktion, welche dort nur endlich viele Sprungstellen besitzt und außerhalb der Sprungstellen stetig ist. Definition des bestimmten Integrals: Die Funktion f (x) sei im Intervall [a; b] definiert. a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b; n = 1, 2, . . . sei eine Zerlegungsfolge des Intervalls [a; b] mit max (xi − xi−1 ) → 0 f¨ ur n → ∞. ξi sei eine beliebige Stelle i=1,2,...,n

mit xi−1 ≤ ξi ≤ xi f¨ ur i = 1, 2, . . . , n. Im Falle der Existenz heißt der Grenzwert n Rb P lim f (ξi ) · (xi − xi−1 ) = f (x) dx (sprich: Integral von a bis b u ¨ber f (x))

n→∞ i=1

a

das bestimmte Integral u ¨ber f (x) von a bis b. Die Funktion f heißt dann im Intervall [a, b] integrierbar, f heißt Integrand.

Eigenschaften des bestimmten Integrals: Zb Za (Vertauschen der Integrationsgrenzen). f (x) dx = − f (x) dx 1) a

b

2)

Zb

f (x) dx +

3)

Za

f (x) dx = 0.

a

Zc b

f (x) dx =

Zc

f (x) dx

(Zusammenfassen von Integrationsintervallen).

a

a

4)

Za

[c1 · f (x) + c2 · g(x)] dx = c1 ·

b

Zb a

f (x) dx + c2 ·

Zb

g(x) dx

a

f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 (Linearit¨at). Mittelwertsatz der Integralrechnung: Die Funktion f (x) sei im Intervall [a; b] stetig. Dann gibt es mindestens eine Zwischenstelle ξ mit a ≤ ξ ≤ b mit Zb f (x) dx = f (ξ) · (b − a). a

Hinweise: Eine wesentliche Voraussetzung bei diesem Zwischenwertsatz ist die Stetigkeit der Funktion f im abgeschlossenen Intervall [a; b].

226

Kapitel 24: Integralrechnung

Fl¨ achenberechnung mit Hilfe des bestimmten Integrals: Falls die Funktion f im Intervall [a; b] nicht negativ ist, stellt das bestimmte Integral Rb f (x) dx den Inhalt der von der Kurve und der x-Achse zwischen x = a und x = b bea Rb randeten Fl¨ache dar. Ist f im gesamten Intervall negativ, so ist f (x) dx der negative a Fl¨acheninhalt. y

y

a F =

Rb

b F =−

f (x)dx

a

Rb

f (x)dx

x

a

b x

a

Falls die Funktion zwischen a und b Nullstellen besitzt, ist Inhalte der Fl¨achen oberhalb und unterhalb der x-Achse.

Rb

f (x) dx die Differenz der

a

y + a

+ −

b −

x

Wenn der gesamte Fl¨ acheninhalt gesucht ist, den die Funktion im Intervall [a; b] mit der x-Achse einschließt, darf nur von einer Nullstelle bis zur n¨achsten integriert werden. Ist die Funktion in dem Bereich positiv, so liefert das Integral unmittelbar den zugeh¨origen Fl¨acheninhalt. Bei negativen Funktionen muss das Integral mit – 1 multipliziert werden. Den gesamten Fl¨ acheninhalt erh¨ alt man durch Integration der Betragsfunktion |f (x)| als Zb F = |f (x)| dx. a

Kapitel 24: Integralrechnung

24.2

227

Die Integralfunktion

Wird im bestimmten Integral bei festgehaltener unterer Grenze a die obere Grenze als Variable x aufgefasst, so entsteht die sog. Integralfunktion Zx I(x) = f (u) du. a

y

I(x)

a

x

u

Da die obere variable Grenze mit x bezeichnet wird, m¨ ussen wir f¨ ur die Integrationsvariable u einen anderen Buchstaben verwenden, um Verwechslungen auszuschließen. Falls der Integrand f (x) an der Stelle x stetig ist, ist die Integralfunktion I(x) dort differenzierbar und besitzt als Ableitung den Integranden an der oberen Grenze, es gilt also Zx d ′ I (x) = f (u) du = f (x), falls f an der Stelle x stetig ist. dx a

Beweis: Aus den Eigenschaften 1) und 2) des bestimmten Integrals und dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt 1 I(x + h) − I(x) = · h h

x+h   x+h Z Zx Z 1 f (u) du f (u) du − f (u) du = · h a

a

x

1 = · f (ξ) · (x + h − x) = f (ξ), h wobei die Zwischenstelle ξ = ξ(h) zwischen x und x + h liegt. Da nach Voraussetzung die Funktion f an der Stelle x stetig ist, konvergiert f¨ ur h → 0 mit ξ(h) → x auch der Funktionswert an der Zwischenstelle ξ(h) gegen f (x). Damit gilt I ′ (x) = lim

h→0

I(x + h) − I(x) = lim f (ξ(h)) = f (x). h→0 h

228

24.3

Kapitel 24: Integralrechnung

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Jede differenzierbare Funktion F (x) mit F ′ (x) = f (x) heißt Stammfunktion von f (x). Wegen I ′ (x) = f (x), ist die Integralfunktion eine Stammfunktion. x3 wegen 3 3 x +C F ′ (x) = x2 . Da beim Differenzieren eine additive Konstante C wegf¨allt, ist auch 3 Stammfunktion f¨ ur jede Konstante C.

Beispiel 1: Die Funktion f (x) = x2 besitzt die Stammfunktion F (x) =

F1 (x) und F2 (x) seien zwei Stammfunktionen zur gleichen Funktion f (x) mit F1′ (x) = F2′ (x) = f (x). Dann besitzt die Funktion der Differenz D(x) = F1 (x) − F2 (x) die Ableitung D′ (x) = F1′ (x) − F2′ (x) = f (x) − f (x) ≡ 0. Die einzige differenzierbare Funktion, deren Ableitung identisch verschwindet, ist aber die Konstante. Daraus folgt F1 (x) − F2 (x) = C mit einer Konstanten C. Damit gilt Zwei Stammfunktionen zur gleichen Funktion f (x) unterscheiden sich h¨ochstens um eine additive Konstante C. Jede Integralfunktion ist Stammfunktion. R Das unbestimmte Integral f (x) dx einer integrierbaren Funktion f (x) ist die Menge aller Stammfunktionen von f (x). Ist F (x) eine beliebige Stammfunktion von f (x), so gilt Z f (x) dx = F (x) + C mit einer beliebigen Konstanten C. Beispiel 2: a) Die Funktion f (x) = x5 + 3x2 + 5 besitzt die Stammfunktion x6 F (x) = + x3 + 5x und damit das unbestimmte Integral 6 Z x6 (x5 + 3x2 + 5) dx = + x3 + 5x + C; 6 Z b) sin x dx = − cos x + C; Z xn+1 + C f¨ ur n 6= −1. c) xn dx = n+1

Kapitel 24: Integralrechnung

229

Grundintegrale: Z Z Z Z Z Z Z Z Z

xn dx xα dx

xn+1 + C; n+1 xα+1 + C; = α+1

n ganz; n 6= −1

=

1 dx x

= ln |x| + C

ex dx

= ex + C

ax dx

=

α beliebig reell mit α 6= −1

ax +C ln a

f¨ ur a > 0; a 6= 1

sin x dx = − cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = − ln | cos x| + C cot x dx = ln | sin x| + C

24.4

Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion

Die Berechnung bestimmter Integrale f¨ uhrt man am bequemsten mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion durch. Dabei w¨ ahlt man selbstverst¨andlich die einfachste Stammfunktion. Rb Gesucht ist das bestimmte Integral f (u) du (Integrationsvariable = u).

Mit der Integralfunktion I(x) =

Rx

a

f (u) du ist das bestimmte Integral gleich der Inte-

a

gralfunktion an der Stelle b, also

Rb

f (u) du = I(b).

a

F (x) sei eine beliebige Stammfunktion von f (x). Da die Integralfunktion I(x) ebenfalls Stammfunktion ist, unterscheiden sich beide um eine additive Konstante C. Es gilt also I(x) = F (x) + C. An der Stelle x = a verschwindet die Integralfunktion 0 = I(a) = F (a) + C. Hieraus folgt C = −F (a).

230

Kapitel 24: Integralrechnung

Damit gilt I(x) = F (x) − F (a).

x = b ergibt Zb a

x = b . f (u) du = I(b) = F (b) − F (a) = F (x) x=a

Somit gilt der

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Mit einer beliebigen Stammfunktion F (x) zur Funktion f (x) erh¨alt man Zb a

b x = b = F (x) f (x) dx = F (b) − F (a) = F (x) a x=a

(Funktionswert von F an der oberen Grenze minus Funktionswert an der unteren Grenze). Beispiel 3: a) b) c) d)

x = 1 x4 x3 x2 25 1 1 1 (x + x + x + 1) dx = + + + x . = + + +1= 4 3 2 4 3 2 12 x = 0 0 R64 1 √ x = 64 √ dx = 2 · x = 2 · (8 − 2) = 12. x=4 x 4 x = π Rπ = − cos π + cos 0 = 2. sin x dx = − cos x x=0 0 2π x = 2π R = − cos 2π + cos 0 = 0. sin x dx = − cos x x=0 0

R1

3

2

Die beiden Teilfl¨ achen ober- und unterhalb der x-Achse haben den gleichen Inhalt. Beispiel 4: a) F¨ ur die Funktion f (x)=x3 −x2 −2x soll eine Kurvendiskussion durchgef¨ uhrt werden. Nullstellen: f (x) = x · (x2 − x − 2) besitzt die Nullstellen x1 = 0; x2 = −1 und x3 = 2.

Ableitungen:

f ′ (x) = 3x2 − 2x − 2 f ′′ (x) = 6x − 2 f ′′′ (x) = 6.

Kapitel 24: Integralrechnung ′

231

Extremwerte: f (x) = 0; x4,5

√ 7 1 = ± 3 3

√ 7 1 f (x4 ) > 0; Minimum an der Stelle x4 = + 3 3 √ 1 7 f ′′ (x5 ) < 0; Maximum an der Stelle x5 = − . 3 3 1 Wendepunkt: f ′′ (x) = 6x − 2 = 0; xw = ; f ′′′ (xw ) = 6 6= 0; Wendepunkt. 3 ′′

y

1 −1 b

+

0 −1

b

b

1

x

−

b) Gesucht ist der Inhalt der endlichen Fl¨ ache, welche die Funktion f mit der x-Achse einschließt. Zwischen den ersten beiden Nullstellen ist die Funktion positiv, zwischen der zweiten und der dritten negativ. Damit lautet der Fl¨acheninhalt I =

Z0

−1

f (x) dx −

Z2 0

x=0 x = 2 f (x) dx = F (x) − F (x) x = −1 x=0

= F (0) − F (−1) − F (2) + F (0) = 2 · F (0) − F (−1) − F (2). x3 x4 − − x2 mit F (0) = 0. 4 3 i h 16 8 i h1 1 − −4 Damit erh¨alt man I = − + − 1 − 4 3 4 3 1 1 8 37 = − − +1+ = . 4 3 3 12 Eine Stammfunktion lautet F (x) =

232

Kapitel 24: Integralrechnung

24.5

Aufgaben

A24.1 Berechnen sie folgende Integrale: Z Z Z √ 1 4 x dx; c) √ dx; a) x dx; b) x Z √ 3 e) x5 dx .

d)

Z

(2x + 5)3 dx;

A24.2 Berechnen Sie

a)

e)

Z4

−2 Z2

−1

x3 dx;

b)

|x| dx;

f)

Za

−a Z1

−1

x7 dx;

(x + |x|) dx;

c)

g)

Z2

(5x − 4)2 dx;

1 Z100

−1

Zπ/2 d) sin 4x dx; 0

(x − |x|) dx.

A24.3 Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Fl¨ache, welche die Funktion f aus Aufgabe 23.7 mit der x-Achse einschließt.  0 f¨ ur x < 0 A24.4 Gegeben ist die Funktion f (x) = 1 f¨ ur x ≥ 0 Zx a) Berechnen Sie die Integralfunktion I(x) = f (u) du. 0

b) Ist I(x) an der Stelle x0 = 0 stetig und differenzierbar? A24.5 a) Berechnen Sie f¨ ur die Funktion f (x) = |x| die Integralfunktion Zx I(x) = f (u) du. 0

b) Ist I(x) an der Stelle x0 = 0 stetig bzw. differenzierbar?

L¨osungen der Aufgaben A1.1 A = gerade nat¨ urliche Zahlen; B = Quadratzahlen. A1.2 a) A = {1, 2, 3, 4, 5}; b) A = {−4, −3, −2, −1}; c) A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. A1.3 a) A = B ist richtig. 9 225 50 32 152 25 52 = 2 ∈ D; = 2 ∈ D; = = 2 ∈ D; 4 256 72 36 2 16 6 ⇒ C ⊂ D ist richtig. √ 4 4 urliche Zahl ist, gilt 6∈ D. c) l¨asst sich nicht mehr k¨ urzen. Da 3 keine nat¨ 3 3

b)

Damit gilt A 6⊂ D, d.h. A ⊂ D gilt nicht. A1.4

a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A ∩ B = ∅; A\B = A; A\C = {1, 3}; B\C = {2, 4}; C\A = {6; 8; 10}; C\B = {5, 7, 9}; C\(A ∪ B) = (C\A) ∩ (C\B) = ∅; C\(A ∩ B) = C (wegen A ∩ B = ∅); CA∪B (C) = {1, 2, 3, 4};

b) G = A ∪ B ∪ C ∪ {11, 12} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; c) {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

A1.5 a) Nullelementige Teilmenge: ∅ (leere Menge); einelementige: {a}; {b}; {c}; {d}; {e}; zweielementige: {a, b}; {a, c}; {a, d}; {a, e}; {b, c}; {b, d}; {b, e}; {c, d}; {c, e}; {d, e}; dreielementige: {a, b, c}; {a, b, d}; {a, b, e}; {a, c, d}; {a, c, e}; {a, d, e}; {b, c, d}; {b, c, e}; {b, d, e}; {c, d, e}; vierelementige: {a, b, c, d}; {a, b, c, e}; {a, b, d, e}; {a, c, d, e}; {b, c, d, e}; f¨ unfelementige {a, b, c, d, e} = A.

b) x = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 .

234

L¨osungen der Aufgaben

A1.6

G (Grundmenge) A AB C

B ABC

ABC

ABC

A BC

ABC

ABC

C

ABC

A2.1 81 · 8 648 81 = = = 0,648; 125 1000 1000 39 39 · 25 975 78 = = = = 9,75; 8 4 100 100 7 · 625 4 375 7 = = ; 5 7/16 = 5,4375; 16 10 000 10 000 19 : 6 = 3,16; 11 : 13 = 0,846153; 481 : 330 = 1,457. A2.2 a) 0,129 = b)

129 ; 1000

x = 0,126767 . . . . . . 100x = 12,676767 . . . . . . 99x = 12,55;

c)

x = 0,01457457 . . . . . . 1000x = 14,57457457 . . . . . . 999x = 14,56;

d)

x = 0,599 . . . . . . 10x = 5,999 . . . . . . 9x = 5,4;



−

x= 

−

x= 

−

x=

(Periodenl¨ange 2) 1255 251 = ; 9900 1980 (Periodenl¨ange 3) 364 1456 = ; 99900 24975 (Periodenl¨ange 1) 6 = 0,6. 10

L¨ osungen der Aufgaben

235

A2.3 Widerspruchsbeweis √ √ p Annahme 7 ∈ ⇒ 7 = , p, q ∈ q Daraus folgt

Q

N; p, q teilerfremd (*)

p2 ⇒ p2 = 7 · q 2 ; 7 ist Teiler von p2 ⇒ 7 ist Teiler von p q2 p = 7 · r ⇒ p2 = 49 r2 = 7q 2 ; q 2 = 7r2 ⇒ 7 ist Teiler von q; p und q haben den gemeinsamen Teiler 7. Widerspruch zu (*). √ . Daher ist die Annahme falsch, es gilt also 7 6∈ 7=

Q

A3.1 a) 2,7x − 2,5y + 11z;

b) 11x − 23y + 9z;

c) 12u2 − 13uv.

b) 8a − 6b; e) − 0,1xz + 0,16yz.

c) − 10xu + 15yu;

A3.2 a) 2x − 6y; d) 6ab − 9b2 + 12bc; A3.3 a) b) c) d) e) f) g)

2v(4u + w − 3v); 2xy(y + 2z − 3xw); 2a(4x + 5y) − 3b(4x + 5y) = (2a − 3b)(4x + 5y); 3u(5x − 3y) + 7w(−5x + 3y) = (3u − 7w)(5x − 3y); (5u − 1)(2x − 3y); 2x(a − 2b + 3c) + 3y(−a + 2b − 3c) = (2x − 3y)(a − 2b + 3c); 2x(2x − 3v) + u(2x − 3v) = (2x + u)(2x − 3v);  2  1 1  2   2  h) a b + c + b+ c = a+ b+ c . 3 9 3 9 3

A3.4

a) u − 5[x − 3v + 3x + 3u] = u − 20x + 15v − 15u = −14u + 15v − 20x;

b) 2,5{2a − 0,5[b − 3a + 6b − 8a + 16b] + b}

= 2,5{2a − 0,5[23b − 11a] + b}    15 23 11 21  = 2,5 2a − b + a + b = 2,5 a− b 2 2 2 2 15 5 3 · (5a − 7b) = (5a − 7b); 2 2 4 c) 2 − 4(3 − 2(8 − 7 + 2) − 9) = 2 − 4(3 − 6 − 9) = 2 − 4 · (−12) = 50;

d) 5(x + 2(x − y − 3x + 3y) + 4x − 4y − 2x) = 5(3x + 2(−2x + 2y) − 4y)

= 5(3x − 4x + 4y − 4y) = −5x.

236

L¨osungen der Aufgaben

A4.1 a)

7 105 21 = = ; 405 81 27

d)

2x(17a − 3b) 2x = f¨ ur y · (17a − 3b) 6= 0; 3y(17a − 3b) 3y

f)

x(3u − 4v) + 2y(3u − 4v) (x + 2y)(3u − 4v) 3u − 4v = = f¨ ur (x + 2y) · (v − 3u) 6= 0; x(v − 3u) + 2y(v − 3u) (x + 2y)(v − 3u) v − 3u

g)

b)

144 18 6 = = ; 168 21 7

c)

21b f¨ ur a, b, c 6= 0; 11a

e) − 1 f¨ ur x − 2y 6= 0;

2x(u − 2v) − 4y(u − 2v) + 6z(u − 2v) (2x − 4y + 6z)(u − 2v) x − 2y + 3z = = −2x(u − 2v) + 2y(u − 2v) − 6z(u − 2v) 2(−x + y − 3z)(u − 2v) −x + y − 3z f¨ ur (−x + y − 2z) · (u − 2v) 6= 0 .

A4.2 a)

11 ; 3

c)

y(z − 1) xy + yz − y + x − xy − x = = z − 1 f¨ ur y 6= 0; y y

d)

x+b−y+a−b x−y+a = f¨ ur a − b 6= 0. a−b a−b

b) 1;

A4.3 a)

45 + 48 − 50 43 = ; 60 60

b)

105 + 56 − 48 113 = ; 420 420

c)

63 + 28 + 14 − 72 33 11 = = ; 84 84 28

d)

x2 − y 2 f¨ ur x, y 6= 0; yx

e)

ab − ac − ab + bc c(b − a) a(b − c) − b(a − c) = = f¨ ur (a − c)(b − c) 6= 0; (a − c)(b − c) (a − c)(b − c) (a − c)(b − c)

f)

6 · 4a + 3 · 3b − 2 · 2(a + 2b) 24a + 9b − 4a − 8b 20a + b = = f¨ ur a + 2b 6= 0; (a + 2b) · 2 · 3 6(a + 2b) 6(a + 2b)

g)

10x2 − 14x + 25x − 35 − 10x2 − 15x + 6x + 9 (2x + 5)(5x − 7) − (5x − 3)(2x + 3) = (2x + 3)(5x − 7) (2x + 3)(5x − 7) =

2x − 26 3 7 f¨ ur x 6= − ; x 6= ; (2x + 3)(5x − 7) 2 5

14 + 12 40 26 · 20 21 = . = h) 5+8 21 · 13 21 20

L¨ osungen der Aufgaben

237

A4.4 a)

2 ; 5

d)

2 f¨ ur (4a − 5b)(6x + 9y) 6= 0; 3

b)

3 · 22 2 = ; 11 · 15 5

c)

7 29 29 · = = 1 13/16; 4 28 16

e)

2bx f¨ ur a, x, y 6= 0. 9y

A4.5 9 15 · 18 = ; 48 · 25 40 2x f¨ ur y 6= 0. c) 3y a)

b)

7ab · 5ac 5a2 = f¨ ur c, x, a, b 6= 0; 9cx · 63bx 81x2

A4.6 x = x − 1 f¨ ur x 6= 0; x 6= 1; 1−1−x 1−x b+a a b = a f¨ b) ur a, b 6= 0; 6= −1; a+b b b a b−a b−a c) ab = f¨ ur a, b 6= 0; a 6= −b. b+a b+a ab a)

A4.7 24x 3a − 4b + 8c · = 2 f¨ ur x · (3a − 4b + 8c) 6= 0; 12x 3a − 4b + 8c 175a b b) + 14 · f¨ ur a, b, x, y 6= 0. 32b a a)

A5.1 a) b)

5 X i−1

i=1 4 X i=1

c)

i+2

=0+

1 2 3 4 241 + + + = ; 4 5 6 7 140

(2i − 5)2 = (−3)2 + (−1)2 + 12 + 32 = 20;

5 5 X X 1 4 (2i + 3 − ) = 2 · i +5·3− 4· i i i=1 i=1 i=1  1 1 1 1 = 2 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 15 − 4 1 + + + + 2 3 4 5 137 538 137 = 45 − = = 35 13/15. = 2 · 15 + 15 − 4 · 60 15 15

5 X

238

L¨osungen der Aufgaben

A5.2 Zusammenfassen liefert a)

30 X i=1

b)

10 X i=1

=

(8 − 6i + 2i − 3 − 4 + 4i) =

30 X

1 = 30;

i=1

(i2 + 2i − 3 + 3i2 + 5i + 8 − 4i2 − 6i + 10) =

10 X

i+

i=1

10 X

15 =

i=1

10 X i=1

10 X

(i + 15)

i=1

i + 10 · 15 = 55 + 150 = 205;

c) Ausquadrieren und zusammenfassen ergibt 10 X i=1

=

(1 + 2i + i2 − (1 − 2i + i2 )) =

10 X i=1

4i = 4 ·

10 X i=1

10 X i=1

(1 + 2i + i2 − 1 + 2i − i2 )

i = 4 · 55 = 220.

A5.3 a)

7 X i=1

d)

10 X i+1 i=1

A5.4 a)

13 Y

i=10

b)

2i = 2 ·

i

;

7 X

i;

b)

i=1

8 X

(2i + 1);

i=1

e)

11 X

c)

9 X i=1

(i2 + 1).

i=1

i = 10 · 11 · 12 · 13 = 17 160;

6 Y 1 1 1 1 1 1 1 =1· · · · · = ; i 2 3 4 5 6 720 i=1

c) Mit dem ersten Faktor verschwindet auch das Produkt. (i + 1)(i − 1) d) (i + 1) · (i − 1) = i2 − 1 ⇒ = 1 f¨ ur alle i > 1. i2 − 1 ⇒ Produkt ist gleich Eins. 1 2 3 4 18 19 20 2 1 e) · · · · · · · · · = = . 3 4 5 6 20 21 22 21 · 22 231

(5 + 7 · (i − 1));

L¨ osungen der Aufgaben

239

A6.1 a)

100 X

i=

i=1

c)

10 X

100 · 101 = 5 050; 2

i2 =

i=1

b)

50 X

i=30

i=

50 X i=1

i−

29 X

i=

i=1

50 · 51 29 · 30 − = 840; 2 2

10 · 11 · 21 = 385. 6

A6.2 211 − 1 = 211 − 1 = 2 047; 2−1 b) Gesuchte Summe = x. Zur Anwendung der Formel fehlt der 1. Summand 1 a) q = 2; n = 10; Summe =

x + 1 = 1 + 3 + 32 + · · · + 38 = x = 9 840; c) q = 1/2; n = 10. x =

39 − 1 = 9 841; 3−1

 1 11

 −1 1  1 1 2 = 2 · 1 − 11 = 2 − 10 = 2 − . 1 1 024 2 2 −1 2

A6.3 a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,

1) n = 1; 1 = 1 (Behauptung ist f¨ ur n = 1 richtig).

2) Voraussetzung: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n0 − 1) = n20

3) ⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n0 − 1) + (2(n0 + 1) − 1) = n20 + 2(n0 + 1) − 1 = n20 + 2n0 + 1 = (n0 + 1)2 .

Die Behauptung gilt dann auch f¨ ur n = n0 + 1. 1 1 1 n b) + + ...+ = . 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1

1 1 = ; 1·2 2 1 1 1 n0 2) Annahme + + ...+ = 1·2 2·3 n0 (n0 + 1) n0 + 1 1 1 1 1 + + ...+ + 3) ⇒ 1·2 2·3 n0 (n0 + 1) (n0 + 1)(n0 + 2) n0 1 n0 (n0 + 2) + 1 = + = n0 + 1 (n0 + 1)(n0 + 2) (n0 + 1)(n0 + 2)

1) n = 1:

(n0 + 1)2 n0 + 1 n20 + 2n0 + 1 = = . (n0 + 1)(n0 + 2) (n0 + 1)(n0 + 2) n0 + 2 Die Behauptung gilt dann auch f¨ ur n = n0 + 1.

=

240

c)

L¨osungen der Aufgaben

1 n+2 2 3 n + 2 + 3 + ...+ n = 2 − n . 2 2 2 2 2 1 3 1) n = 1 : = 2 − . 2 2 2) Induktionsvoraussetzung: n0 + 2 2 1 3 n0 + + 3 + . . . + n0 = 2 − 2 22 2 2n0 2 2 n0 + 1 n0 n0 + 2 n0 + 1 1 + no +1 3) ⇒ + 2 + . . . + n0 + n0 +1 = 2 − 2 2 2 2no 2 2 2(n0 + 2) − (n0 + 1) n0 + 3 =2− = 2 − n0 +1 . 2n0 +1 2 Die Behauptung gilt dann auch f¨ ur n = n0 + 1.

A6.4 Behauptung: n2 + n + 1 ist ungerade. 1. Beweis durch vollst¨ andige Induktion. 1) n = 1: 1 + 1 + 1 = 3 ist ungerade 2) Induktionsannahme n20 + n0 + 1 sei ungerade 3) ⇒ (n0 + 1)2 + (n0 + 1) + 1 = n20 + 2n0 + 1 + n0 + 1 + 1

= n20 + 3n0 + 3 = n20 + n0 + 1 +2 (n0 + 1) | | {z } {z } ungerade gerade Da die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ungerade ist, gilt die Behauptung dann auch f¨ ur n = n0 + 1.

2. Beweis (direkt) 1. Fall: n = gerade ⇒ n2 ist gerade ⇒ n2 + n ist gerade ⇒ n2 + n + 1 ist ungerade.

2. Fall: n ist ungerade ⇒ n2 ist ungerade ⇒ n2 + n ist gerade ⇒ n2 + n + 1 ist ungerade. A7.1 a) 2a2 + 2b2 ;

b) 4ab;

c) 4x2 − 12ax + 9a2 ;

d) 4a2 x2 − 49b2 y 2 .

A7.2 a) 20x2 + 70x − 45;

b) [(x − 1) · (x + 1)]2 = (x2 − 1)2 = x4 − 2x2 + 1;

A7.3 a) b) c) d) e)

312 = (30 + 1)2 = 900 + 60 + 1 = 961; 572 = (60 − 3)2 = 3 600 − 360 + 9 = 3 249; 78 · 82 = (80 − 2) · (80 + 2) = 6 400 − 4 = 6 396; 1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201; 9992 = (1 000 − 1)2 = 1 000 000 − 2 000 + 1 = 998 001.

c) 5y 2 − 5x2 .

L¨ osungen der Aufgaben

241

A7.4 a) (4x − 3)2 ; 2

2

b) (7u − 3v)2 ; 2

c) (12ax + 9by)(12ax − 9by);

2

d) (2w y + 4ux ) · (2w y − 4ux ). A8.1   50 · 49 · 48 50 = = 19 600; 1·2·3 3     11 11 = 11; = 1 10





200 · 199 · 198 · 197 = 64 684 950; 1·2·3·4     1 000 · 999 1000 1 000 = = = 499 500. 2 998 1·2 200 4

=

A8.2 (a + b)10 = a10 + 10a9 b + 45a8 b2 + 120a7 b3 + 210a6 b4 + 252a5 b5 + 210a4 b6 + 120a3 b7 + 45a2 b8 + 10ab9 + b10 . A8.3 a) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; b) (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 . A9.1 √ 25 c) ; d) 40; a) 3 · 4 · 5 = 60; b) 3a · c; 8 p √ √ 16(1 + 4) 5 √ ur 2a + 3b > 0. e) = 4 · √ = 4; f) 2 f¨ 5 5 A9.2 √ a) x + 2 2xy + 2y f¨ ur x, y ≥ 0; √ 2 2 b) 5 − (3 · 7) = 25 − 9 · 7 = −38; √ √ √ c) (−1)2 · ( 36 + 6) = 6 + 6; √ √ √ √ d) [(2 2 + 7) · (2 2 − 7)]2 = (4 · 2 − 7)2 = 1; √ √ √ √ e) 2 · a + 2b · 18 · a + 2b − 3(a + 2b) = 3(a + 2b) = 3a + 6b f¨ ur a + 2b ≥ 0. A9.3 x − 4y 1 a) = f¨ ur x − 4y 6= 0; x, y ≥ 0; 5x − 20y 5 √ √ √ √ √ ( a − b)( a + b) √ √ b) = a − b f¨ ur a, b ≥ 0; a + b > 0; √ a+ b √ √ 57 + 12 15 1 4 · 3 + 12 15 + 9 · 5 √ √ = = ; c) 2 114 + 24 · 15 2 · (57 + 12 15) √ √ √ √ ( x − 2 y)( x + 2 y) √ √ √ d) ur x, y ≥ 0; x 6= 4y 2 . = x + 2 y f¨ √ x−2 y

242

L¨osungen der Aufgaben

A9.4 a) |a + b|;

p 16(a + b)2 = 4 · |a + b| ; p p d) a2 − 10a + 25 = (a − 5)2 = |a − 5| .

b)

c) (a − 2)2 ; A9.5

√ √ √ √ √ 2 2 · (1 + 2) (3 − 2) · (2 − 2) √ √ − √ √ a) √ √ + 2 · 2 (1 − 2) · (1 + 2) (2 + 2) · (2 − 2) √ √ √ √ 2 2+2 6−3 2−2 2+2 + − = 2 1−2 4−2 √ √ 2 √ 5√ = 2 = 2 2 − 6; − 2−2−4+ 2 2 √ √ √ 4 · (1 − 7) 2+ 7 3 · (4 − 7) √ √ + √ √ + √ √ b) (4 + 7)(4 − 7) (1 + 7) · (1 − 7) (2 − 7)(2 + 7) √ √ √ 12 − 3 7 4 − 4 7 2 + 7 = + + 16 − 7 1−7 4−7 √ √ √ 7 2 2 7 4 2 = − 7− − − + = 0. 3 3 3 3 3 3 A10.1 a) −x6 ; b) x−6 =

1 f¨ ur x 6= 0; x6

1 c) − ; 2  7 x  4 · 7 x d) 4x · = = 14x ; 2 2 4 · x3 · y 2 5x2 10x5 e) · 2 3 = 5 f¨ ur x, y, z 6= 0; 2 z 2y z z x4 · z −4 w−6 = x7 z 2 w3 f¨ ur x, y, z 6= 0; x−3 z −6 w−9 16 7 ur x 6= 0. g) x2 − 2 · x−4 + x−m+3 f¨ 3 15 f)

L¨ osungen der Aufgaben

243

A10.2 a) − 7;

b)

20

d) 3 10 = 32 = 9; f) 10; A10.3 a)

1 43

·

1 23

=

2

1 83

3
12

d) 2 3 · 2− 4 A10.4

= 2;

2 ; 3 30

c) 20; 3

1

e) 2 20 = 2 2 = 2 · 2 2 = 2 · √ 3 125 5 1 g) √ = = . 3 10 2 1000 √ 4 5 625 b) √ = ; 4 2 16

= 28 · 2−9 =

1 ; 2

√ 2;

1

2
6

c) 2 2 · 2 3 e)

= 23 · 24 = 27 = 128;

2x4 f¨ ur y 6= 0. 5y 8

1
1 5

1 √ ur x ≥ 0; = x 20 = 20 x f¨ √ 1 1
1 1 1
1 7 1 7 8 ur a ≥ 0; b) a · (a · a 2 ) 2 2 = a · a 2 a 4 2 = a 4 · 2 = a 8 = a7 f¨ 1 1 1
2 1 c) 9 4 · 3 4 = 3 2 · 3 2 = 3; 3
1 5 11 5 d) x · x 8 2 · x 16 = x 16 · x 16 = x f¨ ur x ≥ 0.

a) x 4

A10.5

√ 3 b) x = − 64 = −4;

a) x = 2; d) x = −

r 3

5 ; 2

f) keine (reelle) L¨osung;

√ 5 c) x = − 2;

√ √ e) x1 = + 49 = 7; x2 = − 49 = −7; r 4 1875 g) x1,2 = ± = ±5; h) x = 0. 3

A10.6 √ √ √ √ 3 ur a, b ≥ 0; a) a2 − 2 · 3 a · 4 b + b f¨ √ √ √ 2 3 3 2 b) (2 a) − (3 · b) = 4a − 9 b2 f¨ ur a, b ≥ 0; √ √ √ 3 3 2/3 1/3 2/3 2 c) a + 2 · (ab) + b = a + 2 · 3 ab + b2 f¨ ur a, b ≥ 0. A10.7

√ √ √ √ √ √ 2u + 4v (u − 2v)( 2u + 4v) (u − 2v)( 2u + 4v) √ √ √ a) √ = = 2u − 4v 2 ( 2u − 4v)( 2u + 4v) fur ¨ u, v ≥ 0; u + v > 0; u 6= 2v; √ √ p p p p √ √ 3 3 ( a2 x2 − by) · ( 3 ax − 4 by) ( a2 x2 − by)( 3 ax − 4 by) √ p p p b) √ = √ 3 ( 3 ax + 4 by) · ( 3 ax − 4 by) ( a2 x2 − by) √ √ √ √ = 3 ax − 4 by f¨ ur ax, by ≥ 0; 3 ax 6= 4 by.

244

L¨osungen der Aufgaben

A10.8 a) x1,2 = ±1;

b) x = 4;

1

d) x = 5 1,4 ≈ 3,156925;

c) x = − 1

e) x =

1

10 2,3

r 5

243 3 =− ; 32 2

≈ 0,367466.

A11.1 a) 2; f)

√ 2;

1 ; 2

b) − 3;

c)

g) 0;

h) 12;

d)

4 ; 3

i) 1;

4 e) − ; 5 14 . j) 15

A11.2 1 1 lg a + 2 lg b − lg c; 2 4 √ √ 4 c) 10 · lg( 3 a + b) − lg c;

a)

10 ; 3 1 1 1 2 d) lg x + lg y − lg u − lg v. 5 3 2 4 b) 5 lg x + 2 lg y −

A11.3 √ x2 · 3 y √ ; 5 z2 √ 1 2 √ √ 3 3 d) lg x 3 + lg 10 3 = lg( 3 x · 102 ) = lg 100x.

a) lg(u2 · v 3 );

b) lg

A11.4 a) x = 10lg x = 102 = 100; x = 100; 1 √ b) x = 10lg x = 10 2 = 10; √ 3 c) x = 2log2 x = 2 ⁄2 = 2 · 2; 5 5 d) lg x = lg ⇒ x = ; 6 6 √ √ 7 7 3 e) lg x = lg 49 − lg 125 = lg 7 − lg 5 = lg ⇒ x = ; 5 5 √ √ x f) lg x − lg x = lg √ = lg x = lg 4 ⇒ x = 16. x A11.5 a) y = x · lg 5; c) y =

1 · lg x; 7

b) y = 9 · ln x; d) y = −2 · ln x .

(u + v)3 ; c) lg √ √ u· 3v

L¨ osungen der Aufgaben

245

A11.6 1 lg 10 = ≈ 1,430677; lg 5 lg 5 1 lg lg 17 17 c) x = =− ≈ −4,087463; lg 2 lg 2

b) x =

a) x =

A12.1 a) x = 1;

lg 138 ≈ 3,554262; lg 4

d) x = −

lg 7 ≈ −0,783092. lg 12

b) x = −3;

c) x =

2 ; 3

d) x =

17 ; 4

c) x =

1 ; 3

d) x = −

1 ; 6

e) x = 2.

A12.2 a) x = −12;

b) x =

23 ; 19

e) x = −

17 . 32

A12.3 a) Hauptnenner x2 − 9 = (x − 3)(x + 3). Durch Multiplikation mit diesem Hauptnenner geht die Gleichung u ¨ber in x + 3 + 4(x − 3) = 16

5x = 25; L¨osung x = 5;

b) Multiplikation mit (2x + 5) · (4x + 5) ergibt 3 · (4x + 5) − 7 · (2x + 5) = 0

x + 10 = 0; L¨osung x = −10;

c) Multiplikation mit dem Hauptnenner 42x ergibt 14 + 12 − 3x = 10 − 28 + 9x 11 ; 12x = 44; L¨ osung x = 3 d) Multiplikation mit dem Hauptnenner 60x ergibt 300 + 18 + 4(4x − 2) = 12(x + 1) + 15x 298 . 11x = 298; L¨ osung x = 11 A12.4 a) 10x − 20 + 2x + 8 = 12x − 12 + 4 12x − 12 = 12x − 8 | − 12x −12 = −8 ⇒ keine L¨ osung. b) 8x + 6− 12 + 3x = x − 15 + 10x + 9 11x − 6 = 11x − 6 Diese Gleichung ist f¨ ur alle x erf¨ ullt. Jedes x ∈ R ist L¨osung.

246

L¨osungen der Aufgaben

A13.1 3−2 1 1 7 y−2 = =− ; y =− x+ ; x−1 −2 − 1 3 3 3 y+2 −6 + 2 b) = = −4; y = −4x − 2; x 1 y − 3⁄2 −2 − 3⁄2 105 105 27 c) = =− ; y=− x+ ; 4⁄3 − 4⁄5 x − 4⁄5 16 16 4 2 d) y ≡ (Parallele zur x-Achse). 5 a)

A13.2 a) y − 4 = −(x − 2); 1 2 7 = (x + ); b) y − 11 3 3 √ √ √ c) y − 2 = 2 · (x − 3 2);

y = −x + 6; 1 85 y = x+ ; 3 99 √ √ y = 2x + 2 − 6.

A13.3 a) x + y = 1; x b) − + 2y = 1; 3 4 5 c) x − y = 1; 2 3

y = −x + 1; x 1 y= + ; 6 2 15 3 y= x− . 8 4

A13.4 11 2 11 2 a) − 2x + 4 = 3x − 7; 5x = 11; x = ; y = − ; P ( ; − ); 5 5 5 5 4 2 1 2 b) − x + = x + ; 3 5 5 3 7 16 7 14 1 122 61 7 61 = x; x = ; y= + = = ; P( ; ); 15 15 16 80 3 240 120 16 120 c) Die Geraden sind parallel und verschieden ⇒ kein Schnittpunkt.

d) Die Geraden sind identisch ⇒ jeder Punkt auf der Geraden ist Schnittpunkt. A13.5 1 = −1,6 0,625 y + 7 = −1,6 · (x + 3); y = −1,6x − 11,8;

a) Steigung m = −

b) 0,625x + 3 = −1,6x − 11,8 ⇒ 2,225x = −14,8; 14800 592 5 592 −370 + 267 103 x=− =− ; y=− · +3= =− 2225 89 8 89 89 89 592 103 Schnittpunkt P (− ;− ). 89 89

L¨ osungen der Aufgaben A14.1 9 9 ; x2 = − ; 4 4 √ √ x1 = 3,4; x2 = − 3,4; x = 0; keine reelle L¨osung; x · (x + 5) = 0; x1 = 0; x2 = −5; 4 6 2 x · ( x + ) = 0; x1 = 0; x2 = − . 3 5 5

a) x1 = b) c) d) e) f)

A14.2 a) x1 = 3; x2 = −2; 3 b) x = − ; 2 √ √ c) x1 = 2 + 3; x2 = 2 − 3; d) keine reelle L¨osung; e) x1 = 1,2; x2 = −1,1; f) x1 = 2,1; x2 = −1,7; g) keine reelle L¨osung; 5 √ 5 √ h) x1 = + 5; x2 = − 5; 4 4 √ √ 2 2 3 3 ; x2 = − − ; i) x1 = − + 2 √ 2 2 2 √ 3 3 ; x2 = 3 − . j) x1 = 3 + 3 3 A14.3 (x − x1 ) · (x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 ) · x + x1 · x2 = 0 (Vieta); a) (x − 3)(x − 5) = x2 − 8x + 15 = 0; b) (x + 2)(x − 7) = x2 − 5x − 14 = 0; 3 3 c) x · (x − ) = x2 − x = 0; 2x2 − 3x = 0; 2 2 d) x1 + x2 = 4; x1 · x2 = 2; x2 − 4x + 2 = 0; e) x2 − 5 = 0; 9 5 31 f) x1 + x2 = −3; x1 · x2 = − = ; 4 16 16 31 = 0; 16x2 + 48x + 31 = 0. x2 + 3x + 16

247

248

L¨osungen der Aufgaben

A14.4 x2 + px + q = (x − x1 ) · (x − x2 ) = 0; a) x1 = 2;

x2 = 3;

b) x1 = 5;

x2 = −4; √ √ c) x1 = 3 + 2; x2 = 3 − 2; √ √ d) x1 = 1 + 7; x2 = 1 − 7;

(x − 2) · (x − 3) = 0;

(x − 5) · (x + 4) = 0; √ √ (x − 3 − 2) · (x − 3 + 2) = 0; √ √ (x − 1 − 7) · (x − 1 + 7) = 0;

e) keine Produktdarstellung m¨ oglich, da die quadratische Gleichung keine reellen L¨osungen besitzt;  3 3 2 f) x1 = x2 = ; x− = 0. 2 2 A14.5 a) 6 = x1 + x2

⇒ x2 = 5

(Satz von Vieta);

b) −7 = x1 + x2 ⇒ x2 = −5; 7 c) Normalform x2 + x + 3 = 0 2 7 − = x1 + x2 ⇒ x2 = −2; 2 2 d) x2 = . 5 A14.6 √ a) 8x − 7 = 2x − 3

8x − 7 = (2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9 0 = 4x2 − 20x + 16

x2 − 5x + 4 = 0 r r 25 9 5 5 5 x1,2 = ± −4= ± = ± 2 4 2 4 2 x1 = 4; x2 = 1; x1 = 4 ist L¨ osung; √ b) 4 − 2x = 4 − 2x

3 . 2 x2 = 1 ist keine L¨osung.

16 − 16x + 4x2 = 4 − 2x 4x2 − 14x + 12 = 0 p 142 − 16 · 12 7 1 14 ± = ± x1,2 = 8 8 4 4 x1 = 2 ist L¨ osung; x2 = 1,5 ist L¨osung;

L = {1,5; 2}.

L = {4}.

L¨ osungen der Aufgaben

c) x − 3 =

249

√ 6 − 2x

x2 − 6x + 9 = 6 − 2x

x2 − 4x + 3 = 0;

L = {3}. √ d) 5x − 1 = 7 − 2x

x1,2 = 2 ± 1;

x1 = 3 ist L¨osung;

x2 = 1 ist keine L¨osung;

5x − 1 = (7 − 2x)2 = 49 − 28x + 4x2

4x2 − 33x + 50 = 0 p 33 ± 17 33 ± 332 − 16 · 50 = x1,2 = 8 8 25 x1 = ist keine L¨ osung der Ausgangsgleichung; 4 x2 = 2 ist L¨ osung der Ausgangsgleichung;

L = {2}. p e) x + 7 − 8(x − 3) = 8 p x−1 = 8(x − 3) x2 − 2x + 1

= 8x − 24

x2 − 10x + 25

L = {5}.

(quadrierte Gleichung)

= (x − 5)2 = 0;

x = 5 ist L¨osung

√ x − 6 + x − 6 = 4 (quadrierte Gleichung) √ √ −2· x+2· x−6 = −2x + 8 | : (−2) √ √ x+2· x−6 =x−4

f) x + 2 − 2 ·

√

x+2·

= (x − 4)2

(x + 2) · (x − 6) x2 − 4x − 12

= x2 − 8x + 16

4x

= 28;

x = 7 ist L¨osung;

L = {7}.

√ √ g) 2x + 3 + 2 2x + 3 · x + 1 + x + 1 = 1 (quadrierte Gleichung) √ √ 2 · 2x + 3 · x + 1 = −3x − 3 = 9(x + 1)2

4(2x + 3) · (x + 1) 2

8x + 20x + 12 x1,2 = 1 ±

(quadriert)

2

= 9x + 18x + 9 0 = x2 − 2x − 3

√ 1+3=1±2

x1 = 3 ist keine L¨ osung der Ausgangsgleichung x2 = −1 ist L¨ osung.

L = {−1}.

250

L¨osungen der Aufgaben

A14.7 √ a) x = u;

r 1 1 u − u − 6 = 0; u1,2 = ± + 6; u1 = 3; u2 = −2; 2 4 x1 = 32 = 9 ist L¨ osung der Ausgangsgleichung, x2 = 4 dagegen nicht. L = {9}. √ √ √ b) x = u; u2 − 2u − 1 = 0; u1 = 1 + 2; u2 = 1 − 2 √ √ √ x1 = (1 + 2)2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 erf¨ ullt die Gleichung. n √ 2 √ √ o x2 = (1 − 2) = 3 − 2 · 2 erf¨ ullt die Gleichung nicht. L = 3 + 2 · 2 . c) u =

√ 3 x;

2

2u2 + 3u − 2 = 0;

u1 =

1 ; 2

u2 = −2;

1 ullen die Gleichung. x1 = u1 3 = ; x2 = u2 3 = −8; beide Werte erf¨ 8 n o 1 L = −8; . 8 x+3 = u; u2 − 2u − 3 = 0; u1 = 3; u2 = −1. d) 2x − 6 x + 3 = 2ux − 6u; 3 + 6u = (2u − 1) · x 3 + 6u 3 + 18 21 3−6 x= ; x1 = = ; x2 = =1 2u − 1 5 5 −3 n 21 o . L = 1; 5 √ 5 5 11 25 + 96 2 2 e) x = u; 4u + 5u − 6 = 0; u1,2 = − ± =− ± ; 8 8 8 8 3 u1 = ; u2 = −2; 4 √ √ 3 3 3 2 x = u1 = ; x1 = ; x2 = − ; x2 = u2 = −2 hat keine reelle L¨osung. 4 2 2 n √3 √3 o . ; L= − 2 2 f) x2 = u; u2 − 13u + 36 = 0; u1 = 4; u2 = 9; x2 = u1 = 4; 2

x = u2 = 9;

x1 = 2;

x3 = 3;

L = {−3; −2; 2; 3}.

x2 = −2;

x4 = −3.

L¨ osungen der Aufgaben

251

√ u2 − 6u + 7 = 0; u1,2 = 3 ± 9 − 7 √ √ u1 = 3 + 2; u2 = 3 − 2 > 0 q q q q √ √ √ √ x1 = 3 + 2; x2 = − 3 + 2; x3 = 3 − 2; x4 = − 3 − 2 q q q n q √ √ √ √ o L = − 3 + 2; − 3 − 2; 3 − 2; 3+ 2 .

g) x2 = u;

h) x2 = u; 3

i) x = u; 3

x = 8;

u2 + 5u + 6 = 0; 2

u1 = −2;

u + 19u − 216 = 0; 3

x1 = 2;

x = −27;

j) x4 = u;

u1 = 8;

u2 = −3; keine reelle L¨osung. L = ∅.

x2 = −3;

u2 = −27;

L = {−3; 2}.

u2 − 3u − 10 = 0; u1 = 5; u2 = −2; √ √ 4 4 x4 = 5; x1 = 5; x2 = − 5; x4 = −2 hat keine L¨osung. √  √ 4 4 L = − 5; 5 .

A14.8 a)

7x + 4 2x + 8 = 2x − 4 4x − 2

| · (2x − 4) · (4x − 2)

(2x + 8) · (4x − 2) = (7x + 4) · (2x − 4)

8x2 − 4x + 32x − 16 = 14x2 − 28x + 8x − 16 0 = 6x2 − 48x 2

x1 = 0; b)

x2 = 8;

|:6

0 = x − 8x = x · (x − 8) L = {0; 8}.

4 16 + =3 x−6 x+8

| · (x − 6) · (x + 8)

4x + 32 + 16x − 96

= 3x2 + 6x − 144

4 · (x + 8) + 16 · (x − 6) = 3(x − 6)(x + 8)

x1 = 8; c)

0 = 3x2 − 14x − 80 p 142 + 12 · 80 14 14 34 7 17 x1,2 = ± = ± = ± 6 6 6 6 3 3 n 10 o 10 x2 = − ; L = − ; 8 . 3 3

3x2 − 5x + 10 x+1 x−1 + = x−2 x+2 x2 − 4

| · (x + 2)(x − 2)

(x + 1)(x + 2) + (x − 1)(x − 2) = 3x2 − 5x + 10

x2 + 3x + 2 + x2 − 3x + 2

= 3x2 − 5x + 10

0 = x2 − 5x + 6

x1 = 2 ist keine L¨ osung, da der Nenner x − 2 verschwindet.

x2 = 3 ist L¨osung. L = {3}.

252

d)

L¨osungen der Aufgaben

x2 + 6x − 1 x + 1 2x + 4 − = −2 + x−2 x+3 (x − 2) · (x + 3)

| · (x − 2) · (x + 3)

(x + 1)(x + 3) − (2x + 4)(x − 2) = −2(x − 2) · (x + 3) + x2 + 6x − 1

x2 + 4x + 3 − 2x2 + 4x − 4x + 8 = −2x2 − 2x + 12 + x2 + 6x − 1 − x2 + 4x + 11

= −x2 + 4x + 11 .

F¨ ur jedes beliebige x ∈ R ist diese Gleichung erf¨ ullt. Da die Nenner nicht verschwinden d¨ urfen, muss x von 2 und −3 verschieden sein, also L = {x ∈ | x 6= 2; x 6= −3}.

R

A15.1 1 2 1 7  = x− − 2; Scheitel S( ; −2); 4 2 2 1 √ 1 √ Nullstellen: x1 = + 2; x2 = − 2. 2 2 b) y = −(x2 − 2x) − 3 = −(x − 1)2 − 2; Scheitel S(1; −2); a) y = x2 − x −

keine Nullstellen, da (x − 1)2 = −2 keine reelle L¨osung besitzt.

c) y = 3(x2 − 4x) − 15 = 3((x − 2)2 − 4) − 15 = 3(x − 2)2 − 27; Scheitel S(2; −27);

Nullstellen (x − 2)2 = 9; x1 = −1; x2 = 5. 1 1 d) y = − (x2 − 8x) + 10 = − (x − 4)2 + 18; Scheitel S(4; 18); 2 2 2 Nullstellen: (x − 4) = 36; x1 = −2; x2 = 10. A15.2 a) 2x2 − 4x + 6 = 2x + 3; 2x2 − 6x + 3 = 0; √ √ 36 − 24 3 6 3 x1,2 = ± = ± ; 4 4 2 2 √ √ √ √ 3+ 3 ; 6 + 3); y1 = 6 + 3; y2 = 6 − 3; P1 ( 2 b) −3x2 + 4x + 3 = −2x + 6; 3x2 − 6x + 3 = 0; 0 = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 ;

√ √ 3− 3 ; 6 − 3). P2 ( 2

x = 1; y = 4;

nur ein Schnittpunkt P (1; 4) = Ber¨ uhrungspunkt. Die Gerade ist Tangente an die Parabel im Punkt P . c) −2x2 − 8x − 7 = −1,5x + 5; x2 + 3,25x + 6 = 0;

x1,2

2x2 + 6,5x + 12 = 0; s 3,252 − 6; keine L¨osung = −1,625 ± | 4 {z }

= ; +∞ . 2 2 2 2 3 3 3 1 c) Linke Ungleichung: −3 < 2x − 4; 1 < 2x; x > ; 2 9 rechte Ungleichung: 2x − 4 < 5; 2x < 9; x < ; 2 n 1 9o 1 9 = . ; L= x 15;

x > 2,2.

Beide Ungleichungen k¨ onnen nicht gleichzeitig erf¨ ullt sein. L = ∅ (leere Menge).

254

L¨osungen der Aufgaben

A16.2 a)

b)

n  1o h1 1 = ;∞ ; ≤ 3; 1. Fall: x > 0 ⇒ x ≥ ¹⁄³; L1 = x x ≥ x 3 3 2. Fall: x < 0 ⇒ x ≤ ¹⁄³; L2 = {x | x < 0} = (−∞; 0); 1 L = {x | x < 0 oder x ≥ ¹⁄³} = (−∞; 0) ∪ [ ; ∞). 3 2 − 3x > 0,5; 4x + 5 1. Fall: 4x + 5 > 0; x > −1,25; 2 − 3x > 2x + 2,5; L1 = {x | −1,25 < x < −0,1};

−0,5 > 5x;

x < −0,1;

2. Fall: 4x + 5 < 0; x < −1,25; 2 − 3x < 2x + 2,5; −0,5 < 5x; x > −0,1; L2 = ∅, da x < −1,25 und x > −0,1 gleichzeitig nicht erf¨ ullt sein k¨onnen.

L = {x | −1,25 < x < −0,1} = (−1,25; −0,1). c)

2 + 4x 5x + 2 < + 1. Multiplikation mit 15x. 3x 5x 1. Fall: x > 0 25x + 10 < 6 + 12x + 15x 4 < 2x; 2 < x; L1 = {x | x > 2}. 2. Fall: x < 0 25x + 10 > 6 + 12x + 15x 4 > 2x; 2 > x; L2 = {x | x < 0}.

L = {x | x < 0 oder x > 2} = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). d)

5x + 2 ≥2 3x − 7 1. Fall: 3x − 7 > 0;

x>

5x + 2 ≥ 6x − 14;

7 3

16 ≥ x;

n 7 o L1 = x < x ≤ 16 ; 3

7 2. Fall: 3x − 7 < 0; x < 3 5x + 2 ≤ 6x − 14; x ≥ 16; L2 = ∅. n 7 o 7 i L = x < x ≤ 16 = ; 16 . 3 3 2x − 4 e) 0; x > −5; 2x − 4 < x + 5; x < 9; L1 = {x | −5 < x < 9}; 2. Fall: x + 5 < 0; x < −5 2x − 4 > x + 5; x > 9;

L = {x | −5 < x < 9} = (−5; 9).

L2 = ∅;

L¨ osungen der Aufgaben

255

A16.3 a) L = {x | 3 ≤ x ≤ 7} = [3; 7];

b) L = {x | x < −300 oder x > 100} = (−∞; −300) ∪ (100; +∞);

5 3 c) |x + | < ; L = {x | −4 < x < 1} = (−4; 1); 2 2 d) | 2x − 10 |≤ x 1. Fall: 2x − 10 ≥ 0;

x ≥ 5;

2. Fall: 2x − 10 < 0;

x < 5;

2x − 10 ≤ x;

x ≤ 10;

L1 = {x | 5 ≤ x ≤ 10};

n 10 o 10 ; L2 = x ≤x 2x + 10

4 ; 3 4 − 3x > 2x + 10; −6 > 5x; 4 2. Fall: 4 − 3x < 0; x > ; 3 −4 + 3x > 2x + 10; x > 14;

1. Fall: 4 − 3x ≥ 0;

x≤

−1,2 > x;

L1 = {x | x < −1,2};

L2 = {x | x > 14};

L = {x | x < −1,2 oder x > 14} = (−∞; −1,2) ∪ (14; +∞); f)

2x + 3 > 2; x 6= 1,5 ⇒ |4x − 6| > 0 |4x − 6| 2x + 3 > 2 · |4x − 6| 1. Fall: 4x − 6 > 0;

x > 1,5;

2x + 3 > 2 · (4x − 6) = 8x − 12

15 > 6x;

2,5 > x;

2. Fall: 4x − 6 < 0;

L1 = {x | 1,5 < x < 2,5);

x < 1,5;

2x + 3 > 2 · (−4x + 6) = −8x + 12;

10x > 9;

x > 0,9;

L2 = {x | 0,9 < x < 1,5};

L = L1 ∪ L2 = (0,9; 1,5) ∪ (1,5; 2,5).

256

L¨osungen der Aufgaben

A16.4 a) x2 ≤ 100; |x| ≤ 10; L = {x | −10 ≤ x ≤ 10} = [−10; 10]; b) 2x2 − 18 > 0; x2 > 9; |x| > 3; L = {x | x < −3 oder x > 3} = (−∞; −3) ∪ (3; +∞); √ c) x2 − 2 < 0; x2 < 2; |x| < 2; √ √ √ √  L = x | − 2 < x < 2 = (− 2; 2); 3 d) 2x2 + 3 < 0; x2 < − ; keine L¨ osung; L = ∅; 2 1 e) 4x2 + 1 ≥ 0; x2 ≥ − ist f¨ ur jedes x ∈ R erf¨ ullt; L = R; 4 3 f) 2x2 + 3x − 2 ≥ 0 | : 2 ⇒ x2 + x − 1 ≥ 0; 2 r 3 3 5 1 9 Nullstellen x1,2 = − ∓ + 1 = − ∓ ; x1 = −2; x2 = ; 4 16 4 4 2 1 1 x = 0 6∈ L ⇒ L = {x | x ≤ −2 oder x ≥ } = (−∞; −2] ∪ [ ; +∞); 2 2 g) −0,5x2 + x + 4 > 0 | · (−2) x2 − 2x − 8 < 0 √ Nullstellen x1,2 = 1 ± 9; x1 = −2; x2 = 4; x = 0 ∈ L ⇒ L = {x | −2 < x < 4} = (−2; 4); h) x2 − 2x + 3 ≥ 0. r 4 − 3; keine Nullstellen. Nullstellen x1,2 = 1 ± |4{z } 0 | · (−8) i) − + x − 8 8 32 x2 − 3x + 2,5 < 0 r 3 9 Nullstellen x1,2 = ± − 2,5; keine Nullstellen. 2 |4 {z } 1 ⇒ L1 = {x | x > 1};

2. Fall: x < 0 ⇒ 1 > x2 ⇒ |x| < 1 ⇒ L2 = {x | −1 < x < 0}; L = {x | −1 < x < 0 oder x > 1} = (−1; 0) ∪ (1; ∞);

b)

2x + 3 > x + 1. x−2 1. Fall: x − 2 > 0;

x > 2;

2x + 3 > (x + 1)(x − 2) = x2 − x − 2 0 > x2 − 3x − 5;

L¨osungen von x2 − 3x − 5 = 0 r √ 9 29 3 3 x1,2 = ∓ +5= ∓ 2 √ 4 2 √2 3 + 29 3 − 29

; 2 √ 2 √ o   n 3 − 29 3 − 29 = −∞; ; L2 = x x < 2 2 √ √  3 − 29   3 + 29  ∪ 2; . L = −∞; 2 2 A17.1 n 5o 5 a) 2x3 − 5x2 = x2 (2x − 5) = 0; x1 = 0; x2 = ; L = 0; ; 2 2 b) x3 · (3x2 − x − 2) = 0; x1 = 0√ 1 2 1 + 24 3x2 − x − 2 = 0; x2,3 = ± ; x2 = 1; x3 = − ; 6 6 3 n 2 o L = − ; 0; 1 . 3 c) x · (x2 − 2x − 1) = 0; x1 = 0; √ √ √  x2 − 2x − 1 = 0; x2,3 = 1 ± 2; L = 1 − 2; 0; 1 + 2 ;

d) x3 · (16x2 − 8x + 9) = 0; x1 = 0. 16x2 − 8x + 9 = 0; b2 − 4ac = 64 − 4 · 16 · 9 < 0; keine reelle L¨osung; L = {0};

257

258

L¨osungen der Aufgaben

A17.2 n 3 a) x + 6x2 + 11x + 6 : (x + 1) = x2 + 5x + 6 − x3 + x2 − 5x2 + 11x o − 5x2 + 5x o − 6x + 6 − 6x + 6 − − r 25 5 2 x + 5x + 6 = 0; x2,3 = − ± − 6; x2 = −2; 2 4 L = {−3; −2; −1}; b)

c)

−

n

−

n

A17.3

x3 = −3;

x3 − 3x2 + 0 · x + 2 : (x − 1) = x2 − 2x − 2 x3 − x2 o −2x2 − 2 −2x + 2x o − −2x + 2 − −2x + 2 − − √ √ √  x2 − 2x − 2 = 0; x2,3 = 1 ± 3; L = 1 − 3; 1; 1 + 3 .

12x3 + 16x2 − 13x + 6 : (x + 2) = 12x2 − 8x + 3 12x3 + 24x2 −8x2 − 13x o −8x2 − 16x − − 3x + 6 o 3x + 6 − − − Die quadratische Gleichung 12x2 − 8x + 3 = 0 besitzt keine reelle L¨osung; L = {−2}.

Division durch (x − 2) · (x + 5) = x2 + 3x − 10 x4 + 5x3 − 19x2 − 65x + 150 : (x2 + 3x − 10) = x2 + 2x − 15 − 4 x + 3x3 − 10x2 2x3 − 9x2 − 65x o 2x3 + 6x2 − 20x − o − 15x2 − 45x + 150 − − 15x2 − 45x + 150 − − − √ x2 + 2x − 15 = 0; x3,4 = −1 ± 16; x3 = 3; x4 = −5 = x2 . L = {−5; 2; 3}. n

L¨ osungen der Aufgaben

259

A17.4 n

Division durch (x − 1) · (x + 1) = x2 − 1

4 3 2 2 2 − x4 − x − 7x2 + x + 6 : (x − 1) = x − x − 6 x − x − x3 − 6x2 + xo − − x3 +x o 2 − 6x +6 − − 6x2 + 6 − − r 25 1 2 ; x3 = 3; x − x − 6 = 0; x3,4 = ± 2 4 L = {−2; −1; 1; 3} .

x4 = −2.

A18.1 a) 2x + 3y = 3 ⇒ x = 1,5 − 1,5y 3x − 4y = −4 ⇒ 3 · (1,5 − 1,5y) − 4y = −4 4,5 − 4,5y − 4y = −4 − 8,5y = −8,5; y = 1 x = 1,5 − 1,5y = 0 L¨ osung: x = 0; y = 1.

b)

4x − 5y = 8 ⇒ x = 2 + 1,25y − 5x + 6,25y = 4 ⇒ −5 · (2 + 1,25y) + 6,25y = 4 − 10 − 6,25y + 6,25y = 4 0 = 14 Widerspruch; keine L¨ osung.

c)

x − 2y = 8 ⇒ x = 2y + 8 − 2x + 4y = −16 ⇒ −2 · (2y + 8) + 4y = −16 − 4y − 16 + 4y = −16 ⇒ y beliebig; x = 2y + 8.

d) x + y = 3 2x − 2y = 14

⇒y =3−x 2x − 2 · (3 − x) = 14 4x = 20; x = 5; y = −2.

A18.2 4 x = − y + 2; 3 3 2x − 3y = 38; x = y + 19; 2 4 3 17 − y + 2 = y + 19; −17 = y; 3 2 6

a) 3x + 4y = 6;

y = −6;

x = 10.

260

L¨osungen der Aufgaben

3 y−1 2 x + 2y = 6 x = −2y + 6 7 3 y − 1 = −2y + 6; y = 7; y = 2; x = 2. 2 2 o c) 8x − 6y = 5 ⇒ x = 0,75y + 0,625 ⇒ keine L¨osung. 10x − 7,5y = 8 ⇒ x = 0,75y + 0,8 o d) 4x + 6y = 8 ⇒ x = −1,5y + 2 ⇒ y beliebig; x = −1,5y + 2. 5x + 7,5y = 10 ⇒ x = −1,5y + 2

b) 2x − 3y = −2

⇒x=

A18.3

a) x − 2y = 7 2x + 2y = 2 3x = 9;

o

x = 3;

2y = x − 7 = −4;

b) 2x + 3y = 1 3x + 5y = 3

|·3 | · (−2)

⇒

+

A18.4 a) 2x + 5y = 2 3x − 5y = 3 5x = 5;

o

b) x + 2y = 8 x − 3y = −7 5y = 15;

y = 3;

y = −2.

6x + 9y = 3 −6x − 10y = −6 −y = −3;

o

+ y = 3;

x = −4.

+

x = 1; o −

y = 0.

x = 2.

c) 5x + 10y = 15 ⇒ x = −2y + 3 3x − 6y = 6 ⇒ x = 2y + 2 −2y + 3 = 2y + 2;

4y = 1;

y=

1 ; 4

x=

5 . 2

A18.5 a) (1) (2) (3)

x + 2y − 2z = 5 ⇒ x = 5 − 2y + 2z 2x − 4y − 3z = 0 −3x + 5y + 5z = −2

(2) ⇒ 2 · (5 − 2y + 2z) − 4y − 3z = 0 (3) ⇒ −3(5 − 2y + 2z) + 5y + 5z = −2 o (2′ ) −8y + z = −10 + (3′ ) 11y − z = 13 3y = 3; y = 1; (3′ )z = 11y − 13 = −2; L¨osung: x = −1; y = 1; z = −2.

(1) ⇒ x = −1.

L¨ osungen der Aufgaben

b) (1) (2) (3)

261

x + 2y + 3z = 5 ⇒ x = 5 − 2y − 3z 2x + 3y − 5z = 4 4x + 7y + z = 11

(2) ⇒2(5 − 2y − 3z) + 3y − 5z = 4 (3) ⇒4(5 − 2y − 3z) + 7y + z = 11 (2′ ) −y − 11z = −6 o − (3′ ) −y − 11z = −9

(3′ ) c) (1) (2) (3)

0=3

(Widerspruch) keine L¨osung.

2x + 3y − z = 4 ⇒ z = 2x + 3y − 4 −3x + 2y + 4z = 3 7x + 4y − 6z = 5

(2) ⇒−3x + 2y + 4(2x + 3y − 4) = 3 (3) ⇒ 7x + 4y − 6(2x + 3y − 4) = 5 (2′ ) 5x + 14y = 19 (3′ ) −5x − 14y = −19 (3′ ) = −(2′ )

R;

19 14 − λ 5 5 38 28 18 13 (1) ⇒z = − λ + 3λ − 4 = − λ. 5 5 5 5 A19.1 √ a·b = 20 cm2 ; a) c2 = 52 + 82 = 89; c = 89 cm; F = 2 b) c2 = 25; c = 5 cm; F = 6 cm2 . y beliebig; y = λ ∈

(2′ ) ⇒ x =

A19.2 a2 = h2 +

 a 2

= h2 +

2 3 h2 = a2 ; 4 √ 3 H¨ ohe h = a; 2√ a·h 3 2 = a . F = 2 4

a2 ; 4 a

a

h

a 2

262

L¨osungen der Aufgaben

A19.3 d2 = a2 + a2 = 2a2 ;

d=

√

2 · a.

d

a

a 4

A19.4 h2 + 9 = 25; h = 4 cm 1 F = (14 + 8) · 4 = 44 cm2 . 2

5

h

A19.5

3 2

a) U = 40π cm; F = 400π cm . Fϕ 45 1 b) = = ; Fϕ = 50π cm2 F 360 8 1 bϕ = ; bϕ = 5π cm. U 8 A19.6 R = Radius der Erdkugel; L¨ange des Kabels L = 2π(R + h) = 2πR + 2πh

Erdumfang U = 2πR R

L − U = 2πh = 5 m 5 h= ≈ 0,7958 m. 2π Dieser Wert ist vom Erdradius R unabh¨ angig.

A21.1 d2 = a2 + 2a2 = 3a2 √ d = 3 · a.

a

d

h

√ 2 ·a

L¨ osungen der Aufgaben

263

A21.2 10

2 3 2 1 V = π | · 9{z · 25} + |/3π9{z · 10} = 2 295π cm . (Zylinder) (Kegel)

O=

9

√ + 18π · 25 + π · 9 · 181 ≈ 2 048,58 cm2 . π · 92 Grundkreis Zylindermantel Kegelmantel

25 9

A21.3 1 a) V = 103 + 102 · 15 = 1500 cm3 . 3 b) Die Oberfl¨ache besteht aus 5 Quadraten mit der Kantenl¨ange 10 cm und aus vier kongruenten Dreiecken mit der Grundseite 10 cm und der H¨ ohe √ √ ′ 2 2 h = 15 + 5 = 5 · 10.

15

Fl¨ache eines Dreiecks √ √ 1 F∆ = · 10 · 5 · 10 = 25 · 10 cm2 2 √ O = 5 · 102 + 4 · 25 · 10 √ = 500 + 100 · 10 ≈ 816,23 cm2 .

h′ 5 b

10

10

A21.4 Volumen des Ausgangskegels 1 V1 = πR2 h. 3 Volumen des Restkegels 1 V2 = πr2 · (h − h′ ). 3 h − h′ r Strahlensatz = . h R r ′ ·h ⇒ h−h = R 1 r πr3 h ⇒ V2 = πr2 · · h = ; 3 R 3R πr3 h πR2 h R3 1 = ⇒ r3 = V2 = V1 ⇒ 2 3R 6 2 R ⇒r= √ . 3 2  ′ r 1 h 1  h−h ′ ′ √ √ = = √ ; h − h = ; h = h 1 − . 3 3 3 h R 2 2 2

h − h′ r

h′ R

264

L¨osungen der Aufgaben

1 2 πR h 3 1 h V1 h 1 R2 1 1 π√ . ·√ = = πR2 h = V2 = πr2 (h − h′ ) = πr2 · √ 3 3 3 3 3 3 6 2 2 2 22

Probe: V1 =

A22.1 a3 = a + 2d = 10 o − a8 = a + 7d = 25

5d = 15 ⇒ d = 3; a + 2d = 10 ⇒ a = 10 − 6 = 4 an = 4 + (n − 1) · 3, n = 1, 2, . . . ; a100 = 4 + 99 · 3 = 301. A22.2 a) a20 = 90 + 19 · 9 = 261; b) s20 = 10 · (90 + 261) = 3 510. A22.3 kleinste Zahl = 1 003;

gr¨ oßte Zahl = 9 996;

n = Anzahl = 530.

Summe s = 265 · (1 003 + 9 996) = 2 914 735.

A22.4 K5 = 100 000 · 1,075 = 140 255,17 EUR . A22.5

a) vorsch¨ ussig: K10 = 3000 · 1,06 ·

1,0610 − 1 = 41 914,93 EUR; 0,06

˜ 10 = K10 = 39 542,38 EUR. b) nachsch¨ ussig: K 1,06

A22.6 A = Anschaffungswert; Restwert nach 10 Jahren R10 = 0,01 · A.  p p 10 = 0,01A; p = 100 · (1 − 10 0,01) = 36,9042656%. R10 = A · 1 − 100 A22.7 a) Streng monoton fallend mit lim an = 5; n→∞

b) streng monoton fallend mit lim an = 0; n→∞

c) nicht monoton; lim an = 0; n→∞

d) streng monoton wachsend; bestimmt divergent mit lim an = +∞; n→∞

e) nicht monton; unbestimmt divergent. A22.8 p 0,3;

a) lim an = 2;

b) lim an =

c)

d) lim an = 0.

n→∞

lim an = +∞ (bestimmt divergent);

n→∞

n→∞

n→∞

L¨ osungen der Aufgaben A22.9 1 = 3; 1 − 2/3 2 1 = ; b) s = 1 + 1/2 3 a) s =

c) s = +∞ (bestimmt divergent); d) unbestimmt divergent. A22.10    1 2  1 3 1 a) x = 1,4 + 0,056 · 1 + + + + .... 100 100 100 1 56 721 14 14 + 0,056 · + = ; = = 1 10 10 990 495 1− 100    1 2  1 3 1 b) x = 12,45 + 0,00678 · 1 + + + + .... 1 000 1 000 1 000 1 678 414 811 1245 1245 + 0,00678 · + = . = = 1 100 100 99 900 33 300 1− 1 000 A23.1 a) f (3) = 23;

b) f (3) = 33.

A23.2 a) f ist an der Stelle x0 = 1 stetig mit f (1) = 0; b) f ist an der Stelle x0 = 1 differenzierbar mit f ′ (1) = 2. A23.3 x2 − 1 2x = lim = 2. x→1 x − 1 x→1 1 A23.4 lim

a) D = {x | x 6= 1; x 6= 2}; b) f (1) = A23.5

0“ ; ”0

x2 − 4x + 3 2x − 4 = 2. = lim x→1 x2 − 3x + 2 x→1 2x − 3 lim

a) b = 4; m beliebig; b) m = 5; b = 4.

265

266

L¨osungen der Aufgaben

A23.6 a) f ′ (x) = 15x2 + 2 + 1 ; x2 2 1 c) f ′ (x) = · √ ; 3 3x

1 √ ; 2· x

b) f ′ (x) = −

2x2 + 10x + 10 ; (2x + 5)2 1 1 1 e) f ′ (x) = cos + · sin ; x x x 7,5x2 + 3 f) f ′ (x) = p ; 5x3 + 6x g) f ′ (x) = (12x + 5) · cos(6x2 + 5x + 10).

d) f ′ (x) =

A23.7 f (x) = (x − 1)2 · (x + 2)

Nullstellen:

x1 = x2 = 1(doppelt);

x3 = −2;

Extremwerte: x4 = 1 Minimum; x5 = −1 Maximum; Wendepunkt xw = 0.

y

b

2 b

1 b b

−1

0

1

x

L¨ osungen der Aufgaben

267

A23.8 Definitionsbereich D = {x | x > −1} = (−1; ∞); Nullstelle:

xN = 0 (doppelt);

Minimum:

xmin . = 0;

Wendepunkt: xw = 2. y

(Wendepunkt) b

0,1 b

−1 0

1

2

3

4

5

x

A24.1 x5 + C; 5 1 d) (2x + 5)4 + C; 8

2 3/2 x + C; 3 3 e) x8/3 + C. 8

b)

a)

c) 2 ·

√ x + C;

A24.2 43 a) 60; b) 0; c) ; 3 2 0 2 Z Z Z x2 e) |x| dx = (−x) dx + x dx = − 2 −1

−1

0

f) Aus x + |x| =

(

2x f¨ ur x ≥ 0

g) Aus x − |x| =

(

0 f¨ ur x ≥ 0

0 f¨ ur x < 0

2x f¨ ur x < 0

folgt

folgt

d) 0; 0 2 2 +x = 1 + 4 = 5; 2 0 2 2 2 −1 Z1

(x + |x|) dx =

−1 Z100 −1

Z1

(x + |x|) dx =

0

1 2x dx = x2 = 1;

Z0

−1

0

0 2x dx = x2 = −1 . −1

268

L¨osungen der Aufgaben

A24.3 Z1 27 . F = (x3 − 3x + 2)dx = 4 −2

A24.4 a) x < 0 : I(x) = 0;

x ≥ 0 : I(x) =

Zx

1 du = x.

0

b) I ist an der Stelle x0 = 0 stetig mit I(0) = 0. linksseitige Ableitung Il′ (0) = 0; rechtsseitige Ableitung Ir′ (0) = 1; da beide verschieden sind, existiert die Ableitung nicht. A24.5 a) x ≥ 0 : I(x) =

Zx 0

x2 ; u du = 2

x < 0 : I(x) =

Zx 0

(−u) du = −

x2 . 2

b) I(x) ist an der Stelle x0 = 0 stetig. Wegen Il′ (0) = 0; Ir′ = 0 ist I(x) auch an der Stelle 0 differenzierbar. Der Knick wird durch die Integration beseitigt.

Index Ableitung 214 Abschreibung –, geometrisch degressive 195 –, lineare 192 Abstand 136 Abszisse 203 Achsenabschnitt 88, 90 Achsenabschnittsformel 90 Addition 14, 15 –, von Br¨ uchen 34 Additionsmethode 161 ahnliche Dreiecke 166 ¨ Approximation 23 ¨ Aquivalenzzeichen 3 arithmetische Folge 191 arithmetische Reihe 192 Assoziativgesetze 11, 25 Basis 63, 73–75 Betrag 136 Binomialkoeffizient 53 binomische Formeln 51 Binomischer Lehrsatz 54, 55 Biquadratische Gleichungen 110 Bogenmaß 173 Briggsche Logarithmen 74 Br¨ uche 17, 33–36 dekadische Logarithmen 74 Dezimalzahlen 20 –, endliche 20 Differenzialrechnung 203 Differenzmenge 9 disjunkt 6 Diskriminante 98 Distributivgesetze 11, 25 Division 17 –, von Br¨ uchen 35 doppelte Ungleichungen 132 Dreieck 165, 166

Durchmesser 171 Durchschnitt 5 Einheitskreis 173 Einsetzungsmethode 159, 160 Element 1 –, inverses 19 elementenfremd 6 endliche Dezimalzahlen 20 Eulersche Zahl 74 Exponent 63 Exponentialgleichung 77 Extremwert 219 Fakult¨ at 53 Fibonaccische Zahlen 189 Fl¨ achenberechnung 226 Folge 189 –, arithmetische 191 –, beschr¨ ankte 190 –, divergente 198 –, geometrische 194 –, konvergente 197 –, monotone 190 –, rekursiv definierte 189 Funktion 203 –, Ableitung einer 213 –, ¨ außere 217 –, Grenzwert einer 206 –, innere 217 –, integrierbare 225 –, linksseitig stetige 208 –, rationale 213 –, rechtsseitig stetige 208 –, stetige 208 ganze Zahlen 15 Gaußscher Algorithmus 163 geometrisch degressive Abschreibung 195 geometrische Folge 194

270 geometrische Reihe 195, 196, 199 Geraden 87–93 Geradengleichungen 87–90 Gleichheit 3, 34 Gleichsetzungsmethode 160, 161 Gleichungen –, biquadratische 110, 111 –, h¨ oherer Ordnung 149 –, lineare 81 –, quadratische 95 –, von Geraden 87–93 Graph 203 Grenzwert einer Folge 197 Grenzwert einer Funktion 206 gr¨ oßer (gleich) 131 Grundmenge 3 Grundzahl 63 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 230 Hochzahl 63 H¨ ohen 165 Implikation 3 Induktion, vollst¨ andige 45 Induktionsanfang 45–47 Induktionsschluss 45–47 Induktionsvoraussetzung 45–47 Integral 223, 225 –, bestimmtes 225 –, unbestimmtes 228 Integralfunktion 227 Intervall 132 –, abgeschlossenes 132 –, einseitig begrenztes 132 –, offenes 132 inverses Element 19, 25 irrationale Zahl 23 Kegel 183 Kegelstumpf 186 Kettenregel 217 Klammern 25–30 kleiner (gleich) 131 Kombinatorik 54 Kommutativgesetze 11, 25 Komplement 9 Komplement¨ armenge 9 Komplexe Zahlen 24

Index Kosinus 175 Kotangens 177 Kreis 171 Kreisausschnitt 171 Kreisbogen 171 Kreiskegel 183 Kreissektor 171, 183 Kreiszylinder 182 Kr¨ ummungsverhalten 219 Kubikwurzel 65 Kugel 188 Kurvendiskussion 218 K¨ urzen 33 leere Menge 3 lineare Gleichung 81–85, 157–164 lineare Gleichungssysteme 157–164 lineare Ungleichung 133 Logarithmen 73 logische Implikation 3 Mantel 182–184 Maximum 219 Menge 1–3 Minimum 219 Mittelwertsatz 225 Morgansche Regeln 11 Multiplikation 14, 17 –, von Br¨ uchen 35 n-Eck 170 n-te Wurzel 65–67 Nachfolger 13 nat¨ urliche Logarithmen 74 nat¨ urliche Zahlen 13 negative Zahlen 16 Normalparabel 117–120 –, gestauchte 121 –, gestreckte 121 Null 15 Nullfolge 197 Nullpunkt 13, 117, 136 Nullstelle 149, 218 Obersumme 224 oder, logisches 7 Ordinate 203 Ordinatenachse 203 orthogonal 92

Index Parabel, allgemeine 121 parallel 91 Parallelogramm 168 Pascalsches Dreieck 55 Periode 176, 177 periodischer Dezimalbruch 20 Polynom n-ten Grades 149, 213, 216 Polynomdivision 104, 151–154 Potenzen 63–69 Potenzgesetze 64 Potenzgleichung 69 Prisma 182 Produktregel 216 Produktzeichen 43 Punkt-Steigungs-Formel 88 Punktrechnung 26 Pyramide 185 Pythagoras, Satz von 166 Quader 181 Quadrat 169 quadratische Erg¨ anzung 97, 98, 118, 144 quadratische Gleichung 95–115, 124 quadratische Ungleichung 138–147 Quadratwurzel 59, 65 Quadrieren 105 Quotienten 18 Quotientenregel 216 Radikand 59, 65 Radius 171 Radizieren 65 Randpunkte 139 rationale Funktion 213 rationale Zahlen 17, 18 Rechteck 169 reelle Zahlen 22–23 regelm¨ aßiges n-Eck 170 Reihe –, arithmetische 192 –, geometrische 195, 196, 199 reinquadratische Gleichung 95 reinquadratische Ungleichungen 138, 139 Restmenge 9 Satz von Pythagoras 166 Satz von Vieta 101–103 Scheitel 117 Scheitelpunkt 117

271 Schnitt zweier Geraden 90–91 Schnitt zweier Parabeln 127–129 Schnittmenge 5 Schnittpunkt 91 Seitenhalbierende 165 Sinus 175 Spezielle quadratische Gleichung 96 Stammfunktion 228 Steigung 88 stetige Funktion 208 Strahlensatz 17, 167 Strichrechnung 25, 26 Substitutionsmethode 108 Subtraktion 17 Subtraktion von Br¨ uchen 34 Summationsgrenze 40 Summationsindex 40 Summenformeln 46–48, 193 Summenzeichen 39 Symmetrie 218 Symmetrieachse 117 Tangens 177 Teilmenge 4 Transitivgesetz 11 Trapez 169 trigonometrische Funktionen 173–179 Umkreis 170 und, logisches 5 ungleich 131 Ungleichungen 131 –, doppelte 132 –, lineare 133 –, quadratische 139–145 –, reinquadratische 138, 139 Untersumme 224 Venn-Diagramm 2 Vereinigung 7 Vereinigungsmenge 7 Vieleck 170 Viereck 168 Vieta, Satz von 102 Vorg¨ anger 13 Vorzeichenregeln 25 Wendepunkt 219 Wertebereich 203

272 Winkelhalbierende 165 W¨ urfel 181 Wurzel 59–71 Wurzelexponent 65 Wurzelgleichungen 105–107 Wurzelhochzahl 65 Wurzelziehen 65–71

Index Zahlen 13–24 Zahlenfolge siehe Folge Zahlenmenge 13–24 Zahlenstrahl 13 Zehnerlogarithmen 74 Zinsrechnung 191, 196 Zwei-Punkte-Formel 89 Zwischensumme 224