Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven [Reprint 2021 ed.] 9783112459348, 9783112459331

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S i t z u n g s b e r i c h t e der

H e i d e l b e r g e r

A k a d e m i e

d e r

W i s s e n s c h a f t e n

Stiftung H e i n r i c h L a n z Mathematisch - naturwissenschaftliche Abteilung J a h r g a n g 1922.

Klasse

A

3. A b h a n d l u n g .

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Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven. Von Richard

Baldus

in Karlsruhe.

Eingegangen am 14. Juni 1922. Vorgelegt von A. K r a z e r.

B e r l i n V e r e i n i g u n g

und

L e i p z i g

1942

w i s s e n s c h a f t l i c h e r

W a l t e r

de

V e r l e g e r

G r u y t e r & C o .

v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g I J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r I K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & C o m p .

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich. L a n z

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse Abteilung J a h r g a n g 1922.

A

3. A b h a n d l u n g .

Ober die singulären Punkte reeller Parameterkurven. Von

Richard Baldus in Karlsruhe.

Eingegangen am 14. Juni 1922. Vorgelegt von A. K r a z e r .

B e r l i n und L e i p z i g 1922 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger W a l t e r de Gruyter & Co. v o r m a l s G. J. Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g l G e o r g Keimer / ICarl J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

—

Die Bezeichnungen regulär und singulär für die Punkte r e e l l e r , ebener, stetig differenzierbarer Kurven 1 ) werden in sehr verschiedener Weise gebraucht: Im Anschluß an K . v. STAUDT 2) wird ein stetiger reeller Kurvenbogen mit stetig variierender Tangente dann nirgends singulär genannt, wenn er weder als Punktgebilde noch als Tangentengebilde Rückkehrelemente enthält. Die Krümmungsverhältnisse für die verschiedenen sich daraus ergebenden Arten regulärer und singulärer Punkte behandelt CHE. WIENER 3) auf Grund anschaulicher Schlüsse. In den analytischen Betrachtungen der Funktionentheorie und der Differentialgeometrie werden in hiervon abweichendem Sinne diejenigen Punkte eines in Parameterform gegebenen Kurvenstückes x = 0 und daher

e ( t ) (wobei auch mehrere j einander gleich sein können). Es sind alle j> 2, außerdem gilt die )

13 ) Diese Formel für die Krümmung ist hier und im folgenden bequemer als der sonst bei Parameterdarstellungen verwendete Ausdruck für die Krümmung in einem beliebigen Kurvenpunkte, der leicht aus ihr abgeleitet werden kann.

Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.

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Gleichung j 1 + i 2 + -\~jg -\-i— r q. Die höchste in (5) vorkommende Ableitung von

2« 0

Fall a „

b

„

c 20 ).

") Die zugehörigen Figuren finden sich z. B. bei G. SOHEFFERS a. a. 0. S . 107, wo aber die Buchstaben m und n gegenüber der hier getroffenen Wahl zu vertauschen sind. 16 ) Diese Bezeichnung eines ungeraden Exponenten durch 1, eines geraden durch 2 wird vor allem in den späteren Ausführungen der Nr. 19 bequem sein. n

) Der Fall [1, 2] ist in der v. STAUDTschen Auffassung nicht singulär.

18

) In den Fällen [1, 2] und [1, 1] ist bei der oben angegebenen Definition des regulären Kurvenstückes nach W. F . OSGOOD der Punkt P 0 regulärer Kurvenpunkt. Diese Singularitäten sind dort, falls sie auftreten, Parametersingularitäten. So wäre z.B. x = ts, y=t6 zu ersetzen durch x = x, y = tf. Daß dabei in anschaulich paradoxer Weise der scheinbare Wendepunkt den Krümmungsradius 0 hat ohne singulär zu sein, spielt für die OsGOODsche Auffassung, welche nur erste Ableitungen berücksichtigt, keine Eolle. 19 ) Nach R. v. LILIENTHAL a. a. 0. S. 5. 20 ) Dieses einfache Kriterium für die Krümmung ist bei R . v. LILIENTHAL a. a. 0. S. 11 angegeben. Die dortige Bezeichnungsweise hängt mit der hier gewählten durch die Gleichungen zusammen v — m, X = n—m. Ein spezieller Fall findet sich schon bei G . CRAMER, Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genf 1750, S. 544, wo bemerkt wird, daß die Parabel y = a«11 bei

12

R.

BALDUS:

Durch Berücksichtigung der Krümmung erhält man so folgende 10 Typen singulärer Punkte: [1,2]0, [132]6, [l,2] c , [l,l] o , [1,1]0, [2,l] fl , [2,11 [2,2]a, [2,2]fc, [2,2]c. 21J 7. P a r a m e t e r s i n g u l a r i t ä t e n . Der Vergleich von Nr. 6 mit Nr. 7 zeigt, daß nur bei ungeradem m und zwar in den Fällen [1,2]6, [1,2]c, [1, l] c eine Parametersingularität vorliegen kann. Daraus folgt zunächst: ersetzt man die Gin. (4) für die Umgebung eines regulären Punktes P 0 den Parameter t durch eine Funktion yj (t), welche die Bedingungen I —IV für ein gerades [a, erfüllt, dann erhält man eine Parameterdarstellung in t in der = 0 ist, und es müßte Po ein singulärer Punkt vom Typus [2, 2] werden, wenn die Voraussetzung V I I erfüllt wäre. Da es keine Parametersingularität [2,2] gibt, genügt die Darstellung in t der Bedingung V I I nicht, sie liefert nicht die beiderseitige Umgebung von Po, sondern nur den von Po aus im ersten Quadranten verlaufenden Teil des Kurvenstückes, diesen aber doppelt überdeckt. Es liege nun ein singulärer Punkt Po mit ungeradem m vor. Setzt man in den Gin. (7) für die Umgebung dieses Punktes cp(t) = z und %(t) = g (T), dann ist nach Nr. 5 im Intervall JA die Beziehung zwischen x (d. h. r) und t umkehrbar eindeutig und stetig, demnach gilt hier in dem zugehörigen x- Intervall J x die Voraussetzung I für g(r). Handelt es sich nun in P 0 um eine Parametersingularität, dann muß nach dem Satze von Nr. 3 die Funktion g (T) auch die Bedingungen I I —IV für /t > 2 erfüllen und nach den Gin. (6) gilt für alle Werte t von die Gleichung

•9*

(0

Dabei geht (t) aus gi (T) hervor, indem man r durch seinen (eindeutigen) Ausdruck in t ersetzt. %i {t), tpi (t) und g-i (t) sind beschränkt, außerdem sind x ( n ) (0)> K und rp^ (0) 0. Dividiert man diese Gleichung durch tn, dann liefert der Wert t — 0 die Bezeichnung n — mp, rationalem / ¿ > 1 im Scheitel unendliche, endliche oder verschwindende Krümmung hat, je nachdem h ^ 2 ist. 21

) Bei CHR. WIENER a. a. 0 . sind, bei anderer Bedeutung des Wortes Singular, diese 10 Fälle unterschieden. In v. MANGOLDT, Kurven Nr. 19 AI ist der Fall [1, 2}b nicht berücksichtigt.

Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.

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wobei 2 ist. Damit ist eiue notwendige Bedingung für eine Parametersingularität gefunden: a) m m u ß u n g e r a d e > 2 u n d n e i n g a n z z a h l i g e s f a c h e s n = mp v o n m s e i n , p

Viel-

8. D e r F a l l n=mp. Ist m ungerade ^>2 und n = mp, dann liegt in P 0 nach den soeben gemachten Bemerkungen dann und nur dann eine Parametersingularität vor, wenn g(r) in Jx für ¡x=%m=p

die

Voraussetzungen I I — I V erfüllt.

Da

Dabei ist p ganzzahlig ^ j-.

nach Nr. 5 in Jt nur im Punkte t = 0 die Ableitung