Beiträge zur Inversionsgeometrie III [Reprint 2019 ed.] 9783111410258, 9783111046594

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich L a n z Mathematisch. - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e

Klasse

Abteilung A . Jahrgang 1923.

4. A b h a n d l u n g .

Beiträge zur Inversionsgeometrie III. Von

Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Eingegangen am 7. Juni 1923

Berlin

Walter

und

Leipzig

1923

d e G r u y t e r & Co.

vormals G. J. (¡ösclien'sche Verlagshandlung I J. ßuttentag, VerlagsBuchhandlung / (ieorg Reimer I KarI .). Ti iibner l Veit & Comp.

=

Beiträge zur Inversionsgeometrie III. Die fruchtbaren Leitgedanken für die Behandlung der inneren Geometrie einer Gruppe sind im Artikel I I I A B 4b der Mathematischen Encyklopädie (G. FANO, Kontinuierliche geometrische Gruppen) Nr. 37 dargelegt und es liegen bekanntlich auch aus jüngster Zeit viele allgemeine und spezielle Untersuchungen vor, die ihnen folgen. In diesem Sinne wurde der hier vorliegende dritte Beitrag x ) zur Inversionsgeometrie verfaßt. In § 1 werden die Gesichtspunkte für die innere Geometrie durch die Begriffe: Eigenparameter, Eigengruppe, Extremalenproblem gegliedert. In § 2 wird die Gruppe der ebenen Kreisverwandtschaften demgemäß behandelt mit Hinweis auf die LAGTJEBREsche Inversionsgeometrie. § 3 endlich holt den Beweis eines schon früher 2 ) mitgeteilten Satzes über Minimalflächen nach. § 1.

Die innere Geometrie der Gruppen.

1. D e r E i g e n p a r a m e t e r . Wenn eine Gruppe durch einfache geometrische Eigenschaften gekennzeichnet ist, so gelangt man leicht zu dem für ihre Behandlung geeigneten invarianten E i g e n p a r a m e t e r , dem bei der Gruppe der ebenen Bewegungen die Bogenlänge entspricht. Bei der sechsgliedrigen Gruppe der ebenen Kreisverwandtschaften z. B. ist zu beachten, daß Kreise in Kreise Übergehn und Winkel ungeändert bleiben. Es bestimmen aber zwei benachbarte Linienelemente einer Kurve den Krümmungskreis. Der Winkel des dritten benachbarten Liuienelementes mit dem Krümmungskreis ist dann invariant. Bezeichnet man alsdann mit s die Bogenlänge, mit Q den Krümmungsradius, mit T den Neigungswinkel der Kurve, mit T den des Kreises, so ist

') Vgl. Die LlEsche Cyklide und die Inversionskrümmung. Heidelberger Berichte 1922 (3. November) zweite Abhandlung (angeführt mit „J. I"). Beiträge zur Inversionsgeometrie der Kurven. Münchener Berichte 1923 (3. Februar). (Wird in F. augeführt mit ,J. II.") 2 ) „J. I."; Seite 18.

4 aber

HEINRICH

-„_s_ '

also wird eine Invariante.

_

„ _s

Q' _

r

LIEBMANN:

—r

~ e s'o'

s g e2'

Q2 Demgemäß wird der Eigenparameter aus

zu bestimmen sein.1) ® Noch ein Beispie] möge hier herangezogen werden, die zehngliedrige projektive Gruppe des linearen Komplexes. Drei Punkte ABC und eine von C ausgehende Gerade haben zusammen 3 + 3 + 3 + 2 = 1 1 Bestimmungsstücke, die jedenfalls eine Invariante besitzen, und es kommt nur darauf an, sie als Doppelverhältnis zu erfassen. Die durch die drei Punkte bestimmte Ebene (ABC) ist Nullebene eines bestimmten ihr angehörigen Punktes S, und auf CS liegt noch ein Punkt C1 der Geradeu (AB) und der Spurpunkt C2 der Polaren von g auf (ABC). Das Doppelverhältnis gQ^ gQ^ CCj

cc%

ist dann invariant bei der Gruppe des Komplexes und fuhrt durch Grenzübergang auf den Eigenparameter, der für die Invariantentheorie der Kurven zu verwenden ist. Ist der (bei allen Transformationen einer Gruppe invariante) Eigenparameter gefunden, so bestimmen sich die Erweiterungen jeder der Gruppe angehörigen Transformation ') Vgl. „J. II." § 1. — Genau so erhält man den Eigenparameter für die Inversionsgeometrie der Raumkurven. Entwickelt man nämlich den Richtungscosinus u — cos a der Kurventangente nach Potenzen von As und versteht unter 1 : r die Krümmung, 1 : g die Torsion, so kommt . +, l/ r'— cos, A cosa—, cos w\i As—2 + . . . u = cos a H, cos—k As r

r V I"2 TQ ) 2 Für die Richtung (u + du, v + $v, to + Sw) des Krümmungskreises erhält man diese Formel mit der Vereinfachung r' = 0, 1 : Q = 0. Es ist also

invariant, daher (mit Einführung des Radius R der Schmiegungskugel) i K2

dt = — ds

das Differential des Eigenparameters. — Auf eine höhere Invariante führt die Rerechnung des Winkels, den die durch drei Linienelemente bestimmte Schmiegungskugel mit dem vierten Element einschließt.

lieiträge zur Inversionsgeometiie HI.

5

also die Zuwachsgrößen der Differeutialquotientcn xlt y1, x2, y2 . . . nach (lein Eigenparameter, aus den Formeln v Xl =

dX W

dY

v

dX, * -df>

v X =

„ i =

dY-, ~df

USW

"

2. D i e E i g e n g r u p p e e i n e s E l e m e n t e s . Wenn bei einer ra-gliedrigen Gruppe eine eingliedrige Untergruppe durch Wahl eines Elementes (n— 1) der Ordnung bestimmt ist, von dem eine Bahnkurve ausgeht, so wollen wir diese Untergruppe die E i g e n g r u p p e d e s E l e m e n t e s nennen. So ist z. B. bei ebenen Bewegungen die Eigengruppe eines Krümmungselementes die Gesamtheit der Drehungen um den Mittelpunkt des Kreises, dem das Element angehört. Man findet dann die Eigengruppe eines Elementes durch Auflösung der Gleichungen X = x-l, Y = yx, X1 = x2, Y1 = y2... Wir wollen dies ausführen für die spezielle lineare Gruppe der Ebene, die Gruppe der „Affingeoroetrie" mit den fünf erzeugenden infinitesimalen Transformationen X : 1, 0, y, 0, x Y: 0, 1, 0, x, ~y und dem durch , ZiV-i - Vix2 = 1 festgelegten Affinparamcter t. Die Eigengruppe des Elementes (x, y; x1, yx\ x2, y2; x.s, ?/3) «i ü, (/•) + a2U2(f)

+ a3 ü3(f ) + aMf)

+

a5U5(f)

wird hier durch Auflösung der sechs Gleichungen «i

+as!/ a2

+aix

+asx -a^y

=X = xv = Y = yv

«3^1

+ a&xi = xi = X2' «4^1 = Y i = y*

«32/2

+ a 5 i c 2 = Z 2 = a?3, « A - «5^2 = Y 2 = y 3

zu berechnen sein.

Den bei dieser Untergruppe festbleibenden „Affindrehpunkt" (x, y) bestimmt man, nachdem die a berechnet sind, aus «i und erhält

+ a3y «2

-1- a 5 x = 0, + «4^ — ahV ~

0

6

HEINRICH

LJEBMANN

(1 + xiu — IIX*) x = x.2 —— J i - - - i J + XY (xij2—yx,t),

y = m2 ^

Xys

~ 4 -

V\

— yx2).

Die Kurven mit gegebenem Affindrehpunkt ihrer Elemente siud dann die Kegelschnitte, die diesen Punkt zum Mittelpunkt haben. 3. D a s E x t r e m a l e n p r o b l e i n . Ganz von selbst wird man durch den Eigenparameter auf das Variationsproblem geführt, diejenigen Kurven zu bestimmen, für welche die Variation

>fdt

zu Null wird. Bei den Bewegungen erhält mau als Extremalen Gerade, also Bahnkurven einer Untergruppe. Auch die Bahnkurven der allgemeinsten Untergruppe, die Kreise, sind Extremalen eines invarianten isoperimetrischen Problems. So wird man auf die Frage geführt, wie wohl die Bahnkurven aller Untergruppen einer gegebenen Gruppe als Extremalen invarianter Variationsprobleme gedeutet werden können. § 2.

Die Gruppe der ebenen Inversionen.

1. B e s t i m m u n g d e r I n v e r s i o n s k r ü m m u n g . Es sei q der Krümmungsradius, x der Neigungswinkel der Tangente, t der oben (§ 1, Nr. 1) eingeführte Eigenparameter, so daß die Beziehung gilt Ist dann x, y der Punkt der Kurve, u, v der zugehörige der Evolute, also _ X- -Q siu X, V=y + Q cos Z

ux = (>! sin T, = cos x, so findet man folgende Tabelle der Zuwachsgrößen U:

1

0

V: 0 1

bei der

P2

2 UQ 0 vq Q 0 0 — Q!cosx — sin x ^ (q-ucosx-vsin x) q1 (uCOSTvsiuR) 0 0 — ^sini pjcosr ^(wcosr—«sint) (q -f11 sin x — v cos x) 0 0 1 0 V — Q cos t — U — Q sinr Die Erweiterungen für die Zuwachsgrötien von xlt r a , x3 ergeben den vier ersten Gruppen (Bewegung und Ähnlichkeit) Null, bei fünften

P: 0 0 Ui: V1: T:

U, V, P, U1} Vu T von u, v, q, ux, v1! T U2 — V2 + Q2 UV u -v 2 2 — u -t- V2 + u UV V

Beiträge zur Inversionsgcometrie III.

7

T x = p sin r Tj T 2 = p(sin r ( 1 + t 2 ) + c o s (sin % (rx

_ lj

t.t,) 1

rt2

— r J) + cos t ( 2 t 1 4 - 3 t 1 t 2 ) )

+

und bei der sechsten 1\ — — Q cos t t1 {> (—cos t ( 1 + t 2 ) + sin r.Ti) =

Q (~

cos

r

( T i ~ 1 + H Ti~1 + t 3 ~ Ti) +

sin

T

(2

+ 3 h T2)).

Hieraus erhält man zur Bestimmung der niedrigsten Differentialinvariante das leicht zu integrierende vollständige System

tl +(1+r2) iri if2 T

mit der Lösung J = 2r2

i

oi2

+

(Tl

"1

+ T2Tl

~1 +

+ ( 2 + 3 T 2) F T " = OT3 3

— r

+ 2

T 3

"

r D

lr3

=

0

'

0

x2 x 3 Ti—1 — i + V '

Diese Invariante ist die I n v e r s i o n s k r ü m m u n g . 1 ) Bei der logarithmischen Spirale aextp

r = ist

r

dQds

— -Kdw» XU/W

t

Q also

2.

w

=

v2

=—=

ch (u +

v).

Die erste Form kommt dem Linienelement der LlEschen Fläche zu, die zweite dem der geraden Schraubenfläche.

Beiträge zur Inversionsgeometrie III.

13

In der T a t : Die LiEsche Fläche

u3

u iu3

.u

w(2 hat das Bogenelement

und ihre Krümmungslinien sind bestimmt durch dv2 - 0

-

X j ^

=

0-

Durch die Substitution /

n

2v

n1+vl

werden also die Krümmungslinien als Parameterkurven eingeführt und man erhält rf.s2 =

(du, - ifoj) 2 + ^ d 2 ( l -

2

= ^ («! +v1)i

Ä2

(du^ +

was dem ersten w entspricht. Der Zusammenhang des zweiten 10 mit der Schraubenfläche ist in „J. I.", S. 18 dargelegt. Damit ist dann der zu Anfang des Paragraphen aufgestellte Satz bewiesen.