Bazele teoriei numerelor

Citation preview

INTHODUCERE

Teoria numerelor se ocupa eu studiul proprietàtilur n11 • merelor întregi •precum �i cu unele proprietati ale numerelor · fract,ionare sn,n ira.t,ionale direct . legate· de cele ale numerelm· întrPgi. In am;amblul disciplinelor matematice, teoria numerelor llet,ine un loc de baza. Am putea spune ca ton.ta algebra mo­ derna s'a axat pe preocuparea de a largi �i generaliza atât o­ biectul -:- câmpul de elemente matemati�e eu care se lucreaza - cât �i structura proprietaWor, relatiilor din.tre aceste ele­ mente, având mereu în fa�a modelul initfal al teoriei nunum�­ lor întregi. Dar nu numai în construct,ia �tüntifi,ca obiec.tiya, ci 1$Î îu formarea umù matematician, în desvoltarea gustului ijÏ apti­ tudiuilor pentru cercetarile matematice, teoria numerelo1· ,le­ tine un loc de baza. Simetria, simplitatea �i frumuset,ea unor 1·ezultate na�te sentimentul adevarului �tüntific �i al dtagostei pentru el. Pe de alta parte, obstacolele pe care le prezinta. altP­ chestiuni oarecum simple în enuntul Ior, dar dificile în rezol:­ vare, creeaza sentimentul unei tensiuni, al" prezeniei unei. pro­ bleme, opresc spiritul de a considera ca adevarnl matem�tic este fructul unui joc facil �i, dimpotriva, fac sa se vada ca alle · varul' �tiintific necesita un efort sistematic, prelungit uneori pe mai multe secole. Un efort în care se împletesc contributiifo a foarte mulii matematicieni �i din cei consacraii �i din cei mai. mi.ci, astfel încât creatia �tiintifica apa1·e ca o opera coleet;i va: de durata. Ca orice alta disciplina matematica, teo.ria numerelor. m·e un rol important în aplica�ii practice. De multe ori, aceste apli­ catii nu sunt aparente·: ele se realizeaza prin intermediul con­ tribut,iei pe care teoria numerelor o da alto1� �tünte mai strân1-; legate de tehniea. Dar teoria numerelor are iji aplicaiü cµrect.e, . :imediate. Ca -exemplu, amintim cititorului articolul ,,O aplica-t;ie 3

PARTEA .ÎNTÂfA TEORIA'·· ·ELEMENTARl

. CAPITOLUL I

CHESTIUNI PREGA.TITOAHE Voni reaminti in acest capitol, chesti unile · de a1·itmetica, invatat,e · în formele anterioare de învatamânt*) care vor fi necesare pentru desvoltarile date în capitolele ulterioare. § J. Numei·e nallll'ale �irul 1, 2, 3, ...n, .... se nume�te ½irul numerelor natura.le. Doua numere oareeare clin acest· �ir J)Ot fi totdea.una adunate sau înmultite. Ele nu pot fi scazute de�iâ.t n,t;nnèi cân 4, putem scadea din 23 pe 4 ; ohçinem 19. �i din 19 putem scadea pe 4, 19 - 4 = 15. Mai departe: 15 - 4 = 11; 11 - 4 = 7; 7 - 4 = 3.Ajungem dupa *) Se -recomanda ca cititorul sa-�i recapituleze el tnsu*i aceste cl1estiuni: eu ajutorul manualelor pe care a tnv;ltat•.

9

. Revenfm la tabela a == -16 �i sa, aratam ca 54 - 1 este un multiplu inipa1· de 16. Observam ca nu mat este nevoie sa cal-­ culam pe 5�; este destul sa· scriem 5 = 8 - 3-; 54 = (8 -3)4; în desYoltare, vom �vea termeni care sunt multipli·de 32 (cu­ prinzând pe-84, 83, 82 ; penultimul termen cuprinde pe �1, îns� c·u coeficientul .4). Dec.i (8 - 3)4_ = $R:32 + 34 = €>lt32 + 16(2q + .1)· + 1 = 16(2Q + i), deci 54 - i· este tot un multiplu impar de 16. Ca i,i pentru 3 · vom tre�e la �abelele m·�a�oare. T:recem ·1a 7. Avem 72 = 16 · 3 + 1, deci 7 2 - 1 = mul­ tiplu impar de 16. Ya reznl:ta ca fSÎ mai sus 74 - 1 = multiplu_ impar _de 32 ; 7 8 - 1 · -rnultiplu impar de. 6�, etc., exponentul la care -apare 1 se va dubla dela· o tabela la alta.' •· •''· Daca/treœm dela"'a = 32 la a ' 64,· ·avem �i pe 9, 11, 13, însa pe âce§tia. îi scriem respectiv (16 - 7), {16 - 5), (16 - 3} �L ne ·convingem r.a mai sus pentru i5. In felul a-cesta ajungem in tabela a= 32 la jumatate, .1a: J:;5 �i 17 .. Pentru ace�tia scriem: .. 15 =· 16 ...,..... 1; 15 2 = 161 • -:--: 2.-16+·l= 32 (2q + 1) + 1. La fel pentr� 1,7.· Pentr-Q ç_�fütlt-i din tabela a= 32 ne . d_am se�ma prin sime.trie,. de exemplu 2.3 = 32 - 9, . deci 234 = €>lt64 + 9 4 = �64 · + 32 (2Q + J) + 1 . 32 · (2Q + 1) + 1. In felul · acesta ne dam seama ca la oricare tabèla a-= 2 a: ajuns, oriunde este exponentul l avem multipli impari de i:_a ;, dq�i ,n tabela .urmatoare exponentul la care se afla 1 ·se va dubla. · 4 °. Re sturile puterilor unor numere de .forma ms + 1 ( de exemplu 9, 17, 25 în · tabela a= 64) sunt tot de forma.· �tt8'+ L ·. Resturile puterilor unor numere de forma· �s· + 3 (de­ exemplu 3, 11, 19) sunt de forma �8 + 1 la puteri pare �i �1?:8. + 3 la puteri impare. _ A'ceea�i observat,ie pentru numerele de forrna ms + & · · · sau �8+7. · · sa· demonstram ca acest lucru are loc în general. Pentri numerele .de f01•ma ��8 + 1 lucrul rezulta i�ediat. · 3) avem b"= ::. • q + r, de unde 1' = b" - � • q = =�8+1_:�1?:8=�8+1. �a demonst1·am ·acum ceeace am afirmat pentru nume1·ele · cle forma. �8 + 3, �8 + 5, €)tt8 + 7. · In primul rând; aràtitni ca orice numar impar ridicat la patrat este de forma 2'1t8 + 1. Acest lucru �e verifica imediat

.+

am

76

'l'ABLA DE M,4TE·Rll 3

Jnlroduccre Prirlea inlcU 'l'JWRIA EI.EllENTAllÀ Cap.l.Chei-:thml 1m�(pititonrl, ..... . . . . . § 1.Numl're nuturalc ... . .. întregi .. . . . .. § ·;, impârtirea numcrelor !mturalc § t.rnvh'.ihilitate .... . • • . • § �>. ,):1sf'rva\ii usupra impurtirU . · § 13.Teoreme de baz�l ac;upra dh'i:1.ibilitatii .... § i.Numere prime .............. § 8.Un numar carc nu este prim udmite ccl pu\.i_n un divi:rnr pri1n .................. . .... § !), $irul numerelor prime es Le nesfàr�it ......... § 10.Formarea !jirului de nnmerc prime inferioare unui nmiulr