Arithmetik [3. Aufl. Reprint 2019] 9783111702780, 9783111314020

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

47

ARITHMETIK von

PROF. PAUL B. F I S C H E R +

Mit 19 Abbildungen

Dritte

Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. Tormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Gultentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1958

Die Durchsicht der dritten Auflage besorgte freundlicherweise Herr Professor Dr. Hans R o h r b a c h , Mainz

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. - Archiv-Nr. 11 00 47. Satt und Drude 1/10/14 Walter d e Gruyter Sc Co. - Printed in Germany. 5000/267/67

Inhaltsverzeichnis Erster Abschnitt Zählen und Zahlen

Seite 5 9 12

i 1. Entwicklung eines Zahlensystems | 2. Das Zahlensystem der Gegenwart § 3. Bestimmte und allgemeine Zahlen

Zweiter Abschnitt Der Bereich der natürlichen Zahlen S S I i § J 5 (

4. 6. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Addition Subtraktion Vereinigung von Addition und Subtraktion Multiplikation Division Die Grundgesetze beim praktischen Itechnen Die Potenz und ihre Umkehrungen Eigenschaften der natürlichen Zahlen

18 22 24 31 36 40 43 48

Dritter Abschnitt Der Bereich der ganzen Zahlen J $ | § $

12. 13. 14. 16. 16.

Einführung der Null als Zahl 55 Einführung der negativen Zahlen 56 Addition und Subtraktion im Bereich der ganzen Z a h l e n . . . . 69 Multiplikation und Division im Bereich der ganzen Zahlen . . . 61 Geschichtliche Bemerkungen zur Erweiterung des Zahlbegriffs durch die Null und die negativen Zahlen 64

Vierter Abschnitt Der Bereich der rationalen Zahlen S 1% § 18. i 19. I 20. § 21. i 22.

Einführung der Brüche als Zahlen Die Bruohrechenregeln Kettenbrttche Einordnung der Brüche in die Reibe der ganzen Zahlen . . . . Proportionen oder Verhältnisgleichungen Dezimalbrüche oder Zehnerbrüche 1*

68 72 74 78 81 83

4

Inhaltsverzeichnis Seite

Fünfter Abschnitt Der Bereich der reellen Zahlen § § § § § § § §

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

§ 31. § 32.

Einführung der irrationalen Zahlen Stetigkeit und irrationale Zahlen (die Dedekindschen Schnitte) Rechnen mit reellen Zahlen Das allgemeine Verfahren des Wurzelziehens Irrationale "Werte beim Wurzelziehen Das Kettenbruchverfahren zur Berechnung von Quadratwurzeln Wurzeln von der Form + b, wo b Teiler von a ist . . . DasHeronsche Verfahren und seine Beziehung zu denKettenbruchentwicklungen der Quadratwurzeln Potenzen mit gebrochnen und irrationalen Exponenten . . . Logarithmen

90 94 98 100 105 110 114 116 119 123

Sechster Abschnitt Der Bereich der komplexen Zahlen § 33. § 34. § 35.

Imaginäre Zahlen Komplexe Zahlen Höhere komplexe Zahlen (Quaternionen)

129 132 134

Anhang § 36. Arithmetische und geometrische Reihen 5 37. Zinseszins- u n d Renteniechnung 5 88. Kombinatorik | 39. Der binomische Lehrsatz Literatur Namenverzeichnis. . Sachverzeichnis

.

.

138 141 143 147 150 150 151

Erster Abschnitt Zählen und Zahlen § 1. Entwicklung eines Zahlensystems Beginnt ein Kind zu zählen, so hat es den ersten Schritt in das Reich der A r i t h m e t i k 1 ) getan, in den T e i l d e r M a t h e m a t i k , der sich mit den Zahlen und ihren B e z i e h u n g e n z u e i n a n d e r b e f a ß t . Beim Zählen knüpft der Lehrer an, wenn er den ganz Kleinen das ABC des Rechnens beibringen will, und vom Zählen wollen wir ausgehen, um den Leser in die Arithmetik einzuführen. Was zählt man? Nur g l e i c h a r t i g e D i n g e werden gezählt. Der Bauer zählt zum Beispiel nicht, wieviel lebende Tiere er überhaupt hat, sondern etwa die Pferde für sich, die Kühe für sich, die Schafe und so weiter. Umgekehrt darf man daraus, daß irgendwelche Dinge gezählt werden, den Schluß ziehen, daß diese Dinge für den Zweck der Zählung als gleichartig angesehen werden sollen. Wie zählt man ? Wir greifen wieder ein bestimmtes Beispiel heraus. Der Bauer hat uns einen Vorrat Kartoffeln gebracht, und ihre Menge soll festgestellt werden. Wir verfügen über Körbe, die jeder mit 25 kg Kartoffeln gefüllt werden können. Dann wird jedesmal, wenn ein Korb Kartoffeln in den Vorratskeller kommt, ein Strich gemacht. Derartige Zählungen hat wohl jeder schon einmal ausgeführt. Uns kommt es hier auf die Art der Zählung an. Jedem Korb wird der Reihe nach ein Strich zugeordnet, wobei die Reihenfolge, in der die Körbe vorbeigetragen werden, vollkommen gleichgültig ist, mit anderen Worten: ') Griechisch, bedeutet Zahlenlehre.

6

I. Zählen und Zahlen

Die R e i h e n f o l g e , in der die zu z ä h l e n d e n Dinge a n g e o r d n e t w e r d e n , i s t f ü r das E r g e b n i s des Zählens belanglos. Die Gesamtheit der Striche stellt ein n a t ü r l i c h e s Zahlbild dar, eine Zahl. Die r ö m i s c h e n Z a h l z e i c h e n für die ersten drei Zahlen zeigen uns noch solche S t r i c h - Z a h l b i l d e r . Auf Würfeln und Dominosteinen finden wir P u n k t - Z a h l b i l d e r . Auch die Spielkarten weisen solche natürlichen Zahlbilder auf. Beim Sprechen könnte man jedes von den zu zählenden Dingen mit Hilfe eines kurzen Lautes kennzeichnen, etwa durch „ein". Man hätte dann die n a t ü r l i c h e n Z a h l w ö r t e r „ein", „ein-ein", „ein-ein-ein" . . . , wie sie von den Schlagwerken der Uhren „gesprochen" werden. Ähnlich werden sich die Uranfänge des Zählens überall und zu allen Zeiten abgespielt haben. Einen Schritt weiter ging die Entwicklung des Zählens dadurch, daß man die natürlichen Zahlbilder und Zahlwörter durch kürzere Zeichen und Wörter ersetzte. Damit war ein notwendiger Schritt vorwärts getan, wenn auch noch nicht allzuviel erreicht. Denn auf diese Weise konnte man einfach nicht die auch nur einigermaßen angewachsenen Zahlen durch immer neue Zahlzeichen oder Wörter bezeichnen. Es mußte also ein abkürzendes Verfahren gefunden werden. Wir kommen nochmals auf das obige Beispiel des Zählens der Körbe zurück. Für eine schnelle Übersicht ist es entschieden von Vorteil, wenn wir die Striche übersichtlicher anordnen, vielleicht in der hier abgebildeten Form:

rnmu

Ähnliches wird auf dem Metermaß erreicht, das die Zentimetereinteilung aufweist; jeder fünfte Strich ist etwas größer,

§ 1. Entwicklung eines Zahlensystems

7

und jeder zehnte noch größer. Durch regelmäßige Abstände werden beim Zählen Ruhepunkte erzwungen, also damit neue, größere E i n h e i t e n geschaffen. Neben dem E i n e r entsteht der Z e h n e r . Das läßt sich natürlich fortsetzen. Eine interessante Zählart wird in dieser Beziehung von südafrikanischen Völkerschaften berichtet: Drei Mann gehören da zum Zählen, wenn es in die Hunderte geht. Nr. 1 zählt an den Fingern immer wieder bis 10, Nr. 2 entsprechend, wie oft Nr. 1 je 10 gezählt hat und Nr. 3 wieder, wie oft es Nr. 2 getan hat. Derartige Zählmethoden wird es von altersher immer gegeben haben. Zu einer entsprechenden Ausbildung von Zahlwörtern braucht es da gar nicht gekommen zu sein. Ferner weiß man, daß die Zahl zehn keineswegs stets zugrunde gelegt wurde, wenn es auch wegen der Zehnzahl der Finger die verbreitetste Art war, die sich ja schließlich durchgesetzt hat. Die obigen drei Mann können nun durch einen einzigen Zählenden ersetzt werden, wenn dieser vielleicht nach je zehn gezählten Dingen jedesmal ein Steinchen (Zehner) beiseite legt und dann am Ende der Zählung nochmals diese Steinchen zählt und nach je zehn vielleicht eine Muschel (Hunderter) beiseite legt. Das natürliche Zahlbild des Zählergebnisses sieht dann vielleicht so aus: 3 Muscheln 7 Steinchen 4 Finger = 374 oder, wenn ein Schreibverfahren schon ausgebildet ist, vielleicht so: ooooooo

IUI

Abb. 1.

Daß es tatsächlich solche Z e h n e r s y s t e m e oder d e k a d i s c h e Z a h l e n s y s t e m e unter Zugrundelegung der S t u f e n z a h l e n 1,10,100,1000,... gegeben hat, mag gezeigt werden durch ein kurzes Eingehen auf die rund 5000 Jahre alten

8

I. Zählen und Zahlen

Zahlzeichen der ägyptischen Hieroglyphen Die Einer wurden durch senkrechte Striche gekennzeichnet, die Zehner durch Hufeisen, die Hunderter durch gerollte Palmblätter, die Tausender durch Lotosblumen, die Zehntausender durch gekrümmte Finger, die Hunderttausender durch kleine Frösche:

i n b

a c, so erhält man 13. a < b 14. a > b b< c b> c a< c a>c und könnte dementsprechend den letzten vom Leser aufgestellten Satz erweitern; man nennt in den beiden letzten Fällenb e i n e z w i s c h e n a u n d c l i e g e n d e Zahl,insbesondere bei 13. die Zahlen a,b,c e i n e w a c h s e n d e u n d bei 14. eine a b n e h m e n d e Folge dreier Zahlen. Schließlich mag sich der Leser noch selbst klar machen, daß man bei 15. a < b c>b einen Schluß über a und c aussprechen kann, aber nicht bei 16.

a< b a < c

über b und c. Die bisher aufgestellten Sätze werden G r u n d s ä t z e oder A x i o m e der Gleichheit und Verschiedenheit genannt; sie sind auf Grund unserer Ausführungen über das Zählen alle selbstverständlich. Eine Hauptbedingung für solche Sätze ist natürlich, daß sie untereinander widerspruchsfrei sind, nicht aber, daß sie voneinander unabhängig sind. Da wir alle unsere Betrachtungen auf dem Zählen aufgebaut haben, gelten sie auch nur für die natürlichen Zahlen.

§ 3. Bestimmte und allgemeine Zahlen

17

Der Zahlstrahl Ein geometrisches Abbild der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 hat man auf dem Meterstab, der mit einer Zentimetereinteilung versehen ist. Denkt man sich diesen Stab beliebig verlängert, dann hat man in ihm eine Veranschaulichung der natürlichen Zahlenreihe. Unter dem Zahlstrahl versteht man allgemein einen Strahl, auf dem man von seinem Ausgangspunkt ab immer ein und dieselbe Strecke als Einheit abträgt und an ihre E n d p u n k t e die Zahlen 1, 2, 3 , . . . als Marken anbringt. i

^

1 j

2

1

3

1

Einheit

4

1

5

1

6

1

7

1.

8

1

>

Abb. c.

Entweder kann man auf diesem Strahl die E n d p u n k t e der Einheitsstrecken als Vertreter der natürlichen Zahlen ansehen oder ihre Entfernungen vom Ausgangspunkt. Wir werden im Verlauf unserer Betrachtungen von beiden Auffassungen je nach Erfordernis Gebrauch machen. Jede Skala (auch der deutsche Name Leiter wird gebraucht) ist ein solcher Zahlstrahl, wie etwa auf dem Thermometer, Barometer, Wasserstandsmesser und so weiter, wo etwas „gemessen" — wir können auch sagen „gezählt" — werden soll. Auch f ü r die graphischen Darstellungen bildet der Zahlstrahl die Grundlage. Bei den vorausgehenden Überlegungen hätten wir bereits den Zahlstrahl zur Veranschaulichung heranziehen und etwa untersuchen können, wie auf ihm die Zahlen a und b bei a < 6 oder a > b liegen müssen, ferner weshalb wir bei a > b und b > c von einer Zahlenfolge, von einem „Liegen des b zwischen a und e" sprechen, weshalb bei 15. ein Schluß gezogen werden kann und bei 16. nicht; doch dies sei dem Leser wieder selbst überlassen.

Fiecber. Arithmetik

2

18

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen Zweiter Abschnitt

Der Bereich der natürlichen Zahlen. Vorbemerkung. Unter Zahlen schlechthin verstehen wir in diesem Abschnitt (§ 4 bis § 11) stets natürliche Zahlen, also Zahlen aus der natürlichen Zahlenreihe 1 2 3 4 5 6 . . . § 4. Addition Definition der Addition Wenn zwei Zahlen a und b gegeben sind und wir diejenige Zahl c bestimmen sollen, welche in der natürlichen Zahlenreihe die 6te auf a folgende Zahl ist, so sprechen wir vom A d d i e r e n (Zusammenzählen) der.beiden Zahlen a und b. In der arithmetischen Schreibweise drücken wir dies aus durch: 1.

a-\-b

= e

( + gelesen p l u s ) 6 ) .

Hierin heißen a und b die beiden S u m m a n d e n , c die S u m m e von a und b; man bezeichnet auch a + b als eine Summe. Damit ist die A d d i t i o n vermöge des Zählbegriffs eingef ü h r t , wir sagen d e f i n i e r t ; sie stellt eine Verknüpfung zweier Zahlen dar und wird als d i e e r s t e G r u n d r e c h e n a r t ( f u n d a m e n t a l e O p e r a t i o n ) d e r A r i t h m e t i k bezeichnet. Die Grundgesetze der Addition In der Summe a b dürfen wir iede Zahl durch eine ihr gleiche ersetzen (Satz (3) §3), das heißt: 2. Aus a = c und b = d folgt a + 6 = c + d, in Worten: G l e i c h e Z a h l e n zu g l e i c h e n a d d i e r t e r g e b e n gleiche Zahlen.

wieder

•) Das Wort,,plus" kann etwa durch „vermehrt um" verdeutscht werden; die wörtliche Übersetzung ,,mehr" hat sich leider nicht eingebürgert wie dag Wort , .weniger" für ,,minus". In der Mathematik vermeidet man das Wort „und" statt „plus", während es im Zahlenrechnen de» täglichen Lebens üblich ist. Falsch ist es aber, das Zeichen ,, + " zu setzen, wo es keine Addition ausdrückt; Wilhelm Busch schrieb nicht „Max + Moritz, diese b e i d e n . . . " .

§4. Addition

19

Noch kürzer findet man dies öfters ausgedrückt durch: „Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches." Bei der Vorschrift über die Bildung von a + b ist über die beiden Zahlen a und b nichts ausgesagt; wir können also im Bereich der natürlichen Zahlen u n b e s c h r ä n k t addieren (1) und erhalten stets wieder eine Zahl im gleichen Bereich; diese Zahl ist nach den früheren Betrachtungen über das Zählen eindeutig b e s t i m m t . (2) Auf Grund der Unabhängigkeit der Reihenfolge der zu zählenden Dinge muß die &-te auf a folgende Zahl in der natürlichen Zahlenreihe dieselbe sein wie die a-te auf b folgende Zahl, also ist 3. a + 6 = b + a, und es gilt der Satz: Die beiden Summanden einer Summe können m i t e i n a n d e r v e r t a u s c h t werden. (3)

4

+ Abb. 7.

3

-

7

(Vgl. Anm. 7)

Wir griffen dieser Tatsache eigentlich schon voraus, als wir oben den Zahlen a und b den gemeinsamen Namen Summanden beilegten. Bei drei Zahlen a, l, c würde a + 6 + c bedeuten, daß in der natürlichen Zahlenreihe zunächst die 6-te auf a folgende *) Die Entwicklung der Arithmetik hat gezeigt, daß es möglich ist, ihre Gesetze ohne die Hilfsmittel der Geometrie aufzustellen, während die Ableitung der arithmetischen Gesetze aus der Geometrie bisher noch nicht folgerichtig und vollständig durchgeführt werden könnt«. Trotzdem mag hier auf die sogenannten ,,einfachen anschaulichen Beweise" nicht vollständig verzichtet werden, weil sie dem Anfänger manches klarer machen. Die alten Inder liebten diese Beweise ganz besonders; zu einer solchen Beweisflgur setzten sie einfach das Wort „ S i e h e " . So mag der Leser die Abbildungen verstehen, die hier und da nach einem arithmetischen Beweis ohne irgendwelche Erklärungen beigegeben sind. 2*

20

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

Zahl gesucht werden soll und zu dieser, wir bezeichnen sie durch (a + 6), die darauf folgende c-te Zahl. Entsprechend könnten wir bei vier und noch mehr Summanden verfahren; stets ist das angeführte Zählverfahren unbeschränkt ausführbar (1) und führt stets zu einem eindeutig bestimmten Ergebnis (2): 4. a + b + c = (a + b) + c, 5. a + b + c + d = [(a + b) + c] + d und so weiter. Auch der Sinn der Gleichung 3. läßt sich auf mehr Summanden ausdehnen. Denn da die Reihenfolge der zu zählenden Dinge beliebig ist, kann man diese Dinge auch in einzelne Gruppen einteilen und diese unter sich umordnen: 6. a-\-b + c — a-\-c-\-b = b + a-\-c — l + c + a= c+ a + b= c+ b+ a

(3)

Abb. 8.

Die 24 Anordnungsmöglichkeiten bei einer Summe von vier Zahlen entsprechend zu 6. mag sich der Leser selbst überlegen. Noch auf eine andere Umordnung sei hingewiesen: ( a + 6 ) + c = a + 6 - f c nach 4.' a + b + c= b + c + a nach6. (a + Z>) + c = a + ( & + c)(4) 6 + c + a = ( 6 + c) + a nach4. (b+c)+a= a+ (6 + e) nach 3. Es kommt also auf dasselbe hinaus, ob wir in der natürlichen Zahlenreihe die auf a folgende 6-te Zahl bestimmen und zu dieser die auf sie folgende c-te Zahl oder ob wir die auf b folgende c-te Zahl bestimmen und dann die auf a folgende ( 6 - f c)-te Zahl. (Veranschaulichung am Zahlstrahl!) Auch diese Tatsache läßt sich durch wiederholte Anwendung der entsprechenden Sätze auf mehr Zahlen und Klammern ausdehnen:

§4. Addition

a+(b oder

21

+ c + d) = a +.(b + c) + d = (a + b) + (c + d)

243 + (818 + 74) + [82 + (157 + 526)] = 243 + 818 + 74 + 82 + 157 + 526 = 243 + 157 + 818 + 82 + 74 + 526 = (243 + 157) + (818 + 82) + (74 + 526) = 400 + 900 + 600 = 1900. Ganz allgemein können wir sagen: Bei e i n e m „ a r i t h m e t i s c h e n A u s d r u c k " m i t i r g e n d welchen K l a m m e r n , in dem n u r A d d i t i o n e n vork o m m e n , d ü r f e n diese K l a m m e r n alle oder t e i l weise w e g f a l l e n u n d alle S u m m a n d e n in beliebiger R e i h e n f o l g e a n g e o r d n e t und wieder beliebig in K l a m m e r n eingeschlossen werden. U n g l e i c h u n g e n bei Additionen.

Aus dem Zählbegriff

ergibt sich ohne weiteres 7. a -f- 6 > c, falls a= c. Sind zwei Zahlen a und b gegeben, so daß a > b, und bestimmt man zu jeder die auf sie in der natürlichen Zahlenreihe folgende c-te Zahl, so muß man bei der größeren auch zu einer größeren Zahl kommen: 8. Aus a> b folgt a + o b + c. (5) In der Art unserer Schlüsse in § 3 könnte man das schreiben: 9. a> b Erst recht 10. a> b c = c add. gilt dann o d add. a+ ofc + c o b + d Eine Erweiterung zu 7. wäre: E i n e S u m m e von b e l i e b i g vielen S u m m a n d e n i s t s t e t s g r ö ß e r als j e d e r i h r e r e i n z e l n e n Summ a n d e n u n d als j e d e Summe aus n i c h t allen i h r e r Summanden.

22

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

Eine entsprechende Erweiterung zu 10. mag sich der Leser selbst überlegen, auch für den Fall, daß einzelne von den Zahlenpaaren gleich sind: Das letztere würde eine Verallgemeinerung und Vereinigung von 9. und 10. ergeben. Alle die aufgestellten Sätze über Additionen von natürlichen Zahlen und solche, die wir noch aufstellen könnten, ergeben sich sämtlich aus folgenden fünf Sätzen, die wir bereits durch (1) bis (5) kennzeichneten; sie heißen: Die fünf Grundgesetze der Addition von natürlichen Zahlen (1) G e s e t z der u n b e s c h r ä n k t e n

Ausführbarkeit:

a -f- 6 ist stets wieder eine natürliche Zahl. (2) G e s e t z

der

Eindeutigkeit:

a + 6 ist eindeutig bestimmt. (3) G e s e t z gesetz):

der

Vertauschbarkeit a-{-b

(Kommutativ-

— b-\-a.

(4) G e s e t z der V e r b i n d u n g (Assoziativgesetz): (a + 6) + c = a + ( 6 + c). (5) Gesetz der G l e i c h m ä ß i g k e i t (Monotoniegesetz): Aus a > b folgt a + c>b

+ e.

Das Gesetz der Eindeutigkeit der "Addition findet man auch angegeben durch: „Aus a — a' und 6 = 6' folgt o + 6 = a' + 6 " ' oder „Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches". § 5. Subtraktion Definition der Subtraktion Wenn zwei Zahlen a und 6 aus der natürlichen Zahlenreihe gegeben sind, so daß a > 6 ist, und diejenige Zahl c bestimmt werden soll, welche die 6-te zu a vorausgehende in dieser Zahlenreihe ist, so sprechen wir vom S u b t r a h i e r e n (Abziehen) der Zahl 6 von der Zahl a.

§ 5. Subtraktion

23

In der arithmetischen Schreibweise drücken wir dies aus durch 1. a — b = c (gelesen „a minus &")8). Hierin heißt a der M i n u e n d , i der S u b t r a h e n d und c die D i f f e r e n z (Unterschied) der beiden Zahlen a und 6; man bezeichnet aber auch a—b als eine Differenz. Damit ist die S u b t r a k t i o n (ebenso wie früher die Addition) mit Hilfe des Zählbegriffs definiert; sie stellt eine neue Verknüpfungsart zweier Zahlen dar. Man kann aber die Subtraktion auch unabhängig vom Zählbegriff definieren, indem man sie auf die Addition zurückführt: a—6 ist die Zahl c, welche zu 6 addiert o ergibt 9 ), also: b + e = a.

2.

Eine Veranschaulichung der gegenseitigen Abhängigkeit der beiden Gleichungen 1. und 2. voneinander gibt Abb. 9. a /

b

a-b-c

V

/

Abb. 9.

Wegen der zweiten Definition kann die Subtraktion nicht als eine Grundrechenart 10 ) der Arithmetik bezeichnet werden. Es ist nun möglich, die Aufstellung ihrer Gesetze lediglich mit denen der Addition vorzunehmen. Allein für den Anfänger ist dies nicht ohne gewisse Schwierigkeiten, die wir •) Vgl. Anm. 6. •) Im täglichen Leben benutzt der Kaufmann dleBe Erklärung, wenn er auf ein größeres Geldstück herausgibt und durch „Aufaddieren" das herauszugebende ßeld bestimmt. Bekannt ist dieses Verfahren unter dem Namen der ö s t e r reichischen Subtraktion. ") Im täglichen Leben bezeichnet man wohl auch die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division als die vier Grundrechenarten; es genügt jedoch vollständig, wenn man sie als die vier Äechenarten des täglichen Lebens be« zeichnet. Dadurch'hat man das Wort Grundrechenart frei im Sinne unserer Verwendung, und das Fremdwort „fundamentale Operation" wird überflüssig.

24

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

dadurch vermeiden, daß wir den Zählbegriff nicht völlig ausschließen. Die früheren Grundgesetze in ihrem Verhältnis zur Subtraktion Die Differenz a—b h a t nur dann Sinn, wenn a > b ist: Das Gesetz von der u n b e s c h r ä n k t e n A u s f ü h r b a r k e i t (1) gilt hier nicht. Kommen im Folgenden (§ 5 und 6 ) Subtraktionen vor, so sollen sie stets als möglich angesehen werden. Das Gesetz von der E i n d e u t i g k e i t (2) bleibt für die Subtraktion bestehen. E s folgt (natürlich im Falle der Möglichkeit der Subtraktion) ohne weiteres aus dem Zählbegriff 1 1 ). Wir können ihm auch die Form geben: G l e i c h e Z a h l e n von g l e i c h e n s u b t r a h i e r t g e b e n gleiche Zahlen. Das Gesetz von der V e r t a u s c h b a r k e i t (3) gilt nicht mehr. Von V e r b i n d u n g s g e s e t z e n (4) können wir erst weiter unten sprechen, wo von der Vereinigung der Addition und Subtraktion die Rede sein wird. Das Gesetz von der G l e i c h m ä ß i g k e i t (5) gilt für die Subtraktion in dem Sinn, daß 3. für a > b die Beziehung besteht a—c>b— c, deun die c-te zu a vorausgehende Zahl in der natürlichen Zahlenreihe ist größer als die c-te zu b vorausgehende Zahl, wenn a > 6 ist. Veranschaulichungen auf dem Zahlstrahl überlassen wir für die Subtraktion dem Leser. § 6. Vereinigung von Addition und Subtraktion Umstellung von Gliedern einer Gleichung Die Gleichungen 1. und 2. in § 5 1. a—b = c und 2. a = b + c

und außerdem

" ) Wollte man das Gesetz der Eindeutigkeit für die Subtraktion aus den Gesetzen der Addition ableiten, so könnte man dies erreichen entweder durch den ,SchluB der vollständigen Induktion" (Schluß von n aufm + 1) oder durch die .indirekte Beweismethode".

§ 6. Vereinigung von Addition und Subtraktion 3.

a—c

=

25

b,

von denen jede aus der andern gefolgert werden kann, sind die Grundlage für den wichtigen Satz der Gleichungslehre: A n s t a t t e i n e Z a h l auf der e i n e n S e i t e e i n e r G l e i c h u n g zu s u b t r a h i e r e n , k a n n m a n s i e auf der andern S e i t e addieren und umgekehrt. Da die A d d i t i o n und S u b t r a k t i o n wegen ihrer engen Verwandtschaft die beiden R e c h e n a r t e n e r s t e r S t u f e genannt werden, wird der eben erwähnte Satz auch als Umstellungs-(Transpositions-)Regel erster Stufe bezeichnet. Sie ist die erste Grundregel für die Lehre von den Gleichungen 12 ), also für die Algebra 13 ). Der durch 1. und 3. angedeutete Satz, daß man in einer Subtraktionsaufgabe Subtrahend und Ergebnis (Differenz) miteinander vertauschen kann, ist nur ein Sonderfall der allgemeinen Regel. Addition u n d Subtraktion als entgegengesetzte Rechenatten 4 a. ( a — 6) -f- b = a, ohne Klammern a— b + b = a, das heißt, wenn keine Klammern da sind, soll von links nach rechts fortschreitend gerechnet werden. " ) Rechenaufgaben (3 + 4 = 7) n e n n t man i d e n t i s c h e G l e i c h u n g e n . Eine B u c h s t a b e n g l e i c h u n g nennt man i d e n t i s c h , wenn sie f ü r alle Zahlen richtig bleibt, die m a n f ü r die in der Gleichung a u f t r e t e n d e n Buchstaben einsetzt. Eine identische G l e i c h u n g nennt man auch eine F o r m e l , wenn sie arithmetische Gesetze ausspricht, die Bich auf alle Zahlen bezieht. So bleibt 0 + 6 = 6 + 0 richtig f ü r die beliebig gewählten Zahlen a = 3 und 6 = 7 oder a = 19 u n d 6 r 237. Sind in einer Gleichung alle darin vorkommenden Buchstaben bis auf einen, den m a n durch x bezeichnet, bekannt, so nennt m a n sie eine B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g . Ist im besonderen in einer solchen Gleichungz Summand oder Subtrahend, so findet man mit Hilfe der obigen Umstellungsregel die Zahl, die m a n f ü r x setzen muß, d a m i t die Gleichung identisch (richtig) wird. u ) Zu Beginn des 9. J a h r h u n d e r t s h a t der Araber A l c h w a r i z m i ein Lehrbuch über die Gleichungslehre geschrieben, in dessen Titel die beiden arabischen Worte a l g e b r w a l m u k a b a l a h vorkommen. Das erste W o r t bezieht sich auf das ,,Hinüberschaffen" eines Gliedes der Gleichung auf die andere Seite. A u s , , a l g e b r " h a t sich die Bezeichnung A l g e b r a f ü r die G l e i c h u n g s l e h r e entwickelt. Von der e l e m e n t a r e n A l g e b r a handolt das Bündchen 930 dieser Sammlung

26

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

Dies sagt nichts anderes aus als die zweite Definition der Subtraktion zu Beginn von § 5. 4 b. (« + &)—b = a oder a - f - 6 — b — a. Diese Beziehung verlangt auf der linken Seite die Zahl zu finden, die zu b addiert a -\-l ergibt; das kann aber nur a sein. Beide Beziehungen 4. zusammen geben den Satz: S u b t r a k t i o n und Addition oder Addition und S u b t r a k t i o n hintereinander mit derselben Zahl a u s g e f ü h r t h e b e n sich a u f ; sie w e r d e n d a h e r a l s e n t g e g e n g e s e t z t e R e c h e n a r t e n (1. S t u f e ) bezeichnet. Man nennt auch d i e e i n e d i e U m k e h r u n g d e r anderen. Es gilt aber ebenso: 5. a— ( a — b) = b, denn ( a — 6) + b = a. Als Folgerungen zu 4. und 5. gelten auch die Beziehungen 6 a. ( a + c ) — (b+c) = a— b, denn a— b + b + e — a + c , ferner 6 b. ( a — c ) — (b— c) = a— b, denn a— b + l—

e—a—c.

Schlüsse auf die Gleichheit zweier Zahlen bei gewissen gleichen Summen oder Differenzen 7. A u s a + 6 = a + c f o l g t b = c. Durch Vertauschung der Glieder auf jeder Seite und beiderseitige Subtraktion der Zahl a wird die Anwendung von 4. möglich. 8 a. Aus a — b = c — b folgt a = c durch beiderseitige Addition der Zahl b und darauffolgende Anwendung von 4 a. 8b.

Aus

a—b=a—c

Denn setzt man

a—b = p

b+ p = a

folgt und

und

a—e

b = c. = j>, so ist

c + p = a.

§ 6. Vereinigung von Addition und Subtraktion Daraus folgt und daraus nach 7.

27

b + p = c+ p b = c.

U m s t e l l u n g v o n Gliedern bei U n g l e i c h u n g e n

9. Aus o — l > e folgt a>b-\-c durch beiderseitige Addition der Zahl b und Anwendung von 4, ebenso 10. Aus a— b < c folgt a < b + e. Diese beiden Schlüsse verbunden mit den beiden sich gegenseitig bedingenden Gleichungen 1. und 2., also mit dem Schluß: 11. Aus a — b = c folgt a = 6 + c, geben den folgenden Satz: I s t a — b gleich, g r ö ß e r oder k l e i n e r als c, so i s t a u c h a gleich, g r ö ß e r oder k l e i n e r als J + c und umgekehrt. Für zwei Differenzen a— b und c— d gilt, wenn zu beiden b + d und d + b entsprechend addiert wird, der Satz: I s t a — b gleich, g r ö ß e r oder k l e i n e r als c — d , so ist a u c h a + b + c, 21. a— 6 + c = (a + c ) — b, falls a>b. Dehnt man-diese Betrachtungen auf ein Aggregat mit beliebig vielen Gliedern aus, so gelangt man durch mehrfache Anwendung der letzten Beziehungen zu dem Satz: Die Summanden und Subtrahenden eines Aggregats mit beliebig vielen Gliedern sind untereinander vertauschbar, sofern durch die Umstellung der Glieder nicht unmögliche Subtraktionen entstehen. Für die praktische Berechnung ist eine Folgerung dieses Satzes wichtig, nämlich: Der Wert eines Aggregates ist gleich der Summe aller Summanden vermindert um die Summe aller Subtrahenden. Nr. 19. bis 21. sind Sonderfälle dieses Satzes. Denkt man sich die Klammern in Nr. 13. bis 17. (auf den rechten Seiten) weggelassen, so können wir sagen: Sind in einem Aggregat einzelne Glieder selbst wieder Aggregate, die in Klammern gesetzt sind, so kann man die Klammern des ersten Gliedes weglassen und ebenso die Klammern, die auf das Rechenzeichen , , - f " folgen; auch die Klammern, die auf das Rechenzeichen „—" folgen, kann man weglassen, wenn man gleichzeitig die in den ent-

§'7. Multiplikation

31

sprechenden Klammern vorkommenden Kechenz e i c h e n a l l e in die e n t g e g e n g e s e t z t e n v e r w a n d e l t , s o f e r n die a u s z u f ü h r e n d e n S u b t r a k t i o n e n m ö g l i c h sind. Ein entsprechender Satz gilt natürlich auch vom Setzen neuer Klammern. § 7. Multiplikation Definition der Multiplikation Die Multiplikation ist eine besondere Art der Addition; wenn nur untereinander gleiche Summanden a vorliegen, so ist deren Summe offenbar allein von der Zahl a und der Anzahl dieser Summanden, sie sei b, abhängig. Man schreibt: 1)

2)

3)

b)

« + « + « + ••• + a = a-b

(gelesen a m a l b).

Damit ist die Multiplikation definiert und eine neue Verknüpfungsart zweier Zahlen geschaSen. Die Zahl a nennt man den M u l t i p l i k a n d , die Zahl b den M u l t i p l i k a t o r , a-b das P r o d u k t , gleich ob es die Ergebniszahl oder der Ausdruck a • b ist. Der Mal-Punkt wird bei Buchstaben meist weggelassen, auch wenn die erste Zahl in Ziffern geschrieben ist, a b e r n i c h t , wenn nur die zweite Zahl oder beide in Ziffern geschrieben sind 15 ). Der Multiplikand kann eine benannte Zahl sein, aber ein Produkt von zwei benannten Zahlen hat nach unserer Definition keinen Sinn 16 ). Im folgenden handelt es sich stets um unbenannte Zahlen. Da die Multiplikation sich auf die Addition zurückführen läßt, gelten für sie auch dieselben fünf Grundgesetze, natürlich in sinngemäßer Übertragung: ") Seiten '«) 1 cm •

Eine Veranschaulichung des Produkts ab gibt ein Rechteck mit den a und b. 3 cm • 4 cm = 12 cm' ist keine Ausnahme, wenn man bedenkt, daß 1 cm als 1 cm' definiert werden kann.

32 Die

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen Grundgesetze

der

Multiplikation Zahlen

von

natürlichen

(1) Gesetz der u n b e s c h r ä n k t e n A u s f ü h r b a r k e i t : a • b ist stets eine natürliche Zahl. (2) Gesetz der E i n d e u t i g k e i t : a • b ist eindeutig bestimmt oder Gleiches mit Gleichem multipliziert gibt Gleiches. (3) Gesetz der V e r t a u s c h b a r k e i t (Kommutativgesetz): a-b

= b- a.

(4) Gesetz der V e r b i n d u n g (Assoziativgesetz): (a • 6) • e = a • (b • c) = a • 6 • c. (5) Gesetz der G l e i c h m ä ß i g k e i t (Monotoniegesetz): Aus a > b folgt a • c > 6 • c. Hinzu kommt noch ein weiteres Gesetz für den Zusammenhang mit der Addition: (6) Gesetz der V e r t e i l u n g (Distributivgesetz): a • (b + c) = a • b + a • c.

Von diesen sechs Gesetzen folgen die unter (1), (2) und (5) ohne weiteres aus den entsprechenden Gesetzen der Addition. Das Gesetz der Vertauschbarkeit ergibt sich aus dem Zählbegriff, nach dem es gleichgültig ist, ob man die zu zählenden Dinge in a Gruppen zu je 6 Einheiten oder in b Gruppen zu je a Einheiten einteilt. In der Gleichung ab = ba kann für a und b jede beliebige Zahl aus der natürlichen Zahlenreihe gesetzt werden, also auch 6 = 1. Dabei kann aber a • 1 unserer Definition gemäß nicht als Summe angesehen werden, während l)

2)

3)

a)

l . a = l + l + l + .-. + l eine Summe darstellt. Den Widerspruch lösen wir dadurch auf, daß wir den. Begriff Summe auch auf den Fall aus-

§ 7. Multiplikation

33

dehnen, daß nur ein Summand vorhanden ist, also 1. setzen.

1•a= a 1= a

Eine V e r a n s c h a u l i c h u n g des Gesetzes der Vertauschbarkeit von Multiplikand und Multiplikator, die beide deshalb den gemeinsamen Namen F a k t o r tragen, gibt Abb. 12. 3.4

4.3 Abb. 12.

Auch die Anordnung von Punkten nach Zeilen und Spalten erreicht dasselbe (vgl. Abb. 13).

• • • • '

•

•

•

^4.3

^T-T— *

Abb. 13

Durch wiederholte Anwendung des Vertauschungsgesetzes bei zwei Faktoren läßt sich dieses auch auf mehrere Faktoren ausdehnen. Man erhält mit (4): 2.

abc = a • (b • c) = a • (c -b) = a c - b

usw.

Ähnlich wie bei 6. in § 4 hat man dann sechs Möglichkeiten: abc = acb = bac = bca = cab = cba. Eine Veranschaulichung des Verbindungsgesetzes hat man in einem Quader von der Länge a, der Breite b und der Höhe c, den man sich in Kubikzentimeter zerlegt denkt und einmal mit der Grundfläche ab, dann mit der Fläche bc und schließlich mit der Fläche ac hingestellt denkt; das Verbindungsgesetz für die Multiplikation folgt dann aus der Berechnung des Volumens (ab)c = (bc)a = a(bc) = (ac)b = abc. F i s c h e r , Arithmetik

3

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

34

Auch die andern Betrachtungen bei der Addition, die als Folgerungen aus den fünf Grundgesetzen angeführt wurden, lassen sich in entsprechender Weise für die Multiplikation anstellen. Das Verteilungsgesetz der Multiplikation folgt aus: 1) 2) 3) 6+C) a(b + c) = a + a + a -|— +a 1) 2) 3) b) 1) a) 3) e) = (a + a + < H — • + a ) + (a-f- c anders darzustellen, setzen wir 6 — c = d, also b = c-{-d und ab = a(c + d) = ac + ad, woraus folgt ad = ab — ac, also 4.

a(b—c)

=

ab—ac.

Aus 3. und 4. folgen dann unter Beachtung der früheren Regeln über das Auflösen von Klammern: 5. (a + b) (c + d) = = 6. (a + b) (c— d) = =

(a + ac + (a + ac -f

b) • c + (a + b) • d bc + ad + id. b) • c— (a + b)d bc— ad— Id.

§7. Multiplikation 7. (a— b) (c + d) = ( a — — ac— 8. (a— b) ( c — d) = ( a — = ac—

35

6) • c + ( a — 6) d bc + ad— bd. 6) • c — ( a —fc)d 6 c — ad + W.

Für 4., 6., 7., 8. müssen natürlich die auftretenden Subtraktionen möglich sein. Zur Veranschaulichung von 5. bis 8. nehmen wir die Rechteckdarstellung zu Hilfe:

ac

b-c

ad

bd

Abb. 14.

Abb. 15.

Abb. 16.

In Abb. 14 ist das ganze ungeschraSte (unschraffierte) Rechteck entsprechend 5. gleich der Summe der vier Teilrechtecke. In Abb. 15 ist das ungeschraffte Teilrechteck entsprechend 7. gleich der Summe (a—6)c+(a—b)d, also ac—bc + ad—bd. Die Veranschaulichung von 6. führt zu einem ganz ähnlichen Rechteck wie in Abb. 15. In Abb. 16 wird vom großen Rechteck ac erst bc weggenommen und dann ad. Dabei wird aber das doppelt geschraffte Rechteck zweimal weggenommen, also muß es am Schluß einmal wieder hinzugefügt werden, wie ja 8. auch angibt. Die wiederholte Anwendung der bisherigen Verteilungsregeln führt zu folgendem allgemeinen Satz: E i n K l a m m e r a u s d r u c k , in dem nur Summanden und S u b t r a h e n d e n in beliebiger Aufeinander3*

36

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

folge vorkommen, wird mit einem andern solchen Klammeraugdruck multipliziert, indem man jedes Glied der ersten K l a m m e r m i t j e d e m Glied der zweiten K l a m m e r m u l t i p l i z i e r t und jedem Teilp r o d u k t das R e c h e n z e i c h e n + o d e r — g i b t , je nachd e m in i h m gleiche oder u n g l e i c h e R e c h e n z e i c h e n zusammentreffen. § 8. Division Definition und Grundgesetze Wir führen die vierte Verknüpfungsart zweier Zahlen, die Division, auf die Multiplikation zurück und definieren: a: b ist die Zahl c, die mit b multipliziert a ergibt. Die Beziehung 1. a: b = c (: gelesen g e t e i l t d u r c h oder nur d u r c h ) drückt also nur aus, daß in 2.

b- e = a

der Wert des Produktes a und der eine Faktor b bekannt ist, während der andere Faktor c gesucht werden soll. Wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren in 2. gilt natürlich auch 3. a:c = b. In 1. heißt a der D i v i d e n d , b der D i v i s o r , c der Q u o t i e n t ; man bezeichnet auch a:b als Quotient. Eine Division wird nur dann als möglich angesehen werden können, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. F ü r alle im folgenden auftretenden Divisionen nehmen wir das an, sonst haben die angeführten Beziehungen und Sätze keinen Sinn. Das Verhältnis der Division zur Multiplikation entspricht dem Verhältnis der Subtraktion zur Addition (S. 26). Waren die A d d i t i o n u n d S u b t r a k t i o n die R e c h e n a r t e n 1. S t u f e , so bezeichnet man die M u l t i p l i k a t i o n u n d

37

§8. Division

D i v i s i o n als die R e c h e n a r t e n 2. S t u f e . Die D i v i s i o n ist ebenso wie die Subtraktion k e i n e G r u n d r e c h e n a r t . Man braucht sich nur klar zu machen, daß man etwa 5 6 : 8 = 7 nur deswegen sofort angeben kann, weil man das Einmaleins „im Kopf" hat. Bei der Multiplikation sahen wir, daß alle Gesetze der Addition — in sinngemäßer Ü b e r t r a g u n g — f ü r die Multiplikation erhalten blieben. Da nun die Subtraktion auf die Addition und die Division auf die Multiplikation zurückgeführt wurden, so müssen die Gesetze der Subtraktion ohne weiteres auf die Gesetze der Division führen, wenn wir die Rechenzeichen + und — durch die Rechenzeichen und : ersetzen. Die Grundgesetze der u n b e s c h r ä n k t e n A u s f ü h r b a r k e i t und der V e r t a u s c h b a r k e i t gelten f ü r die Division nicht. Die andern Grundgesetze der Multiplikation behalten f ü r die Division ihre Gültigkeit. Das Gesetz von der E i n d e u t i g k e i t d e r D i v i s i o n (im Falle der Ausführbarkeit) kann auch wieder die Form annehmen: Gleiche Zahlen durch g l e i c h e Z a h l e n , oder aus a = c

und

gleiche

dividiert

geben

b = d folgt a:b = c: d.

Das G l e i c h m ä ß i g k e i t s g e s e t z bleibt ebenfalls erhalten: Aus a > b folgt

a:c>b:c

(§ 5 Nr. 3.)

Über die V e r b i n d u n g s - u n d Verteilungsgesetze bei der Division siehe weiter unten. Im folgenden sind die Nummern 4. bis 18. die entsprechenden zu denen in § 6. Die vorkommenden Divisionen sind als möglich anzusehen. Die drei obigen Beziehungen 1. bis 3. enthalten.

38

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

Die Umstellungsregel zweiter Stufe A n s t a t t die g a n z e l i n k e S e i t e e i n e r G l e i c h u n g m i t e i n e r Z a h l (durch eine Zahl) zu m u l t i p l i z i e r e n ( d i v i d i e r e n ) , k a n n man a u c h die ganze r e c h t e S e i t e durch diese Z a h l d i v i d i e r e n (mit dieser Z a h l m u l t i plizieren). Die beiden Beziehungen 4a.

( a : i) • b = a

und

4b.

(a • 6 ) : b = a

geben den Satz: D i v i s i o n und M u l t i p l i k a t i o n oder M u l t i p l i k a t i o n und D i v i s i o n h i n t e r e i n a n d e r m i t d e r s e l b e n Z a h l a u s g e f ü h r t h e b e n sich auf. Dazu gehört noch: 5.

(a • c): (b • c) — a: b.

F o l g e r u n g e n aus 4. und 5.: 6a. (a:b)

• (b: c) = a: c

und

6b. ( a : c): ( 6 : e) =

a:b.

D i v i d e n d und D i v i s o r eines Q u o t i e n t e n kann man b e l i e b i g m i t ein und d e r s e l b e n Zahl m u l t i p l i zieren oder d i v i d i e r e n . In diesem Sinne spricht man auch vom „Erweitern" und „Kürzen" eines Quotienten. S c h l ü s s e bei der G l e i c h h e i t gewisser P r o d u k t e oder Quotienten: 7. 8a. 8b.

Aus a-b — a-c „ a:6 = c:6 „ a:b = a:c

Umstellungsregel 9. 10. 11.

bei

Aus a:b>e „ a:b be a a:b und Aus a > b > c folgt < ^ , & [a:c>b:c. Verbindungssätze

13. 14. 15. 16. 17. 18a. 18b.

a- (b- c)= a- (b:c) = a: (b - c) = a: (b: c) = (a • c): b = ( a : 6) • ( c : d) = (a: b): (c: d) =

(a-b)- c (a-b): c (a:b): c (a• c):b (a: b) • c {a- e): (b • d) (a • d): (b • c).

Der Leser vervollständige die folgenden Sätze zu 13. bis 18.: „Eine Zahl wird mit einem Produkt (Quotient) multipliziert . . . " „Eine Zahl wird durch ein Produkt (einen Quotienten) dividiert..." „Zwei Quotienten werden miteinander multipliziert (durcheinander d i v i d i e r t ) . . . " In den Beziehungen 13. bis 17. kann man auf der rechten Seite die Klammern weglassen, wenn man bestimmt, daß bei aufeinanderfolgenden Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts fortschreitend gerechnet wird. Tut man dies, so geben 13. bis 17. an, wie man Klammern setzen (von rechts nach links gelesen) und weglassen kann (von links nach rechts gelesen). Von den entsprechenden Sätzen, zu denen über Aggregate (einen entsprechenden Namen hat man bei aufeinanderfolgen-

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

40

den Multiplikationen und Divisionen nicht) sei nur noch der folgende erwähnt: In einem A u s d r u c k , der keine K l a m m e r n enth ä l t u n d in dem k e i n e a n d e r n R e c h e n a r t e n v o r k o m m e n als M u l t i p l i k a t i o n e n u n d D i v i s i o n e n , darf m a n die F a k t o r e n u n d D i v i s o r e n u n t e r e i n a n d e r v e r t a u s c h e n ; er w i r d b e r e c h n e t , i n d e m m a n d a s P r o d u k t aller F a k t o r e n durch das aller Divisoren d i v i d i e r t , s o f e r n die D i v i s i o n e n m ö g l i c h sind. Verteilungsgesetze 19.

(a -j-b):

20.

(a—b):c =

c =

a: c + 6 : c

a:c—b:c.

Ihre Richtigkeit ergibt sich ohne weiteres aus der Definition der Division. Der Leser mag selbst die entsprechenden Regeln in Worten aussprechen, aber auch von rechts nach links gelesen, also „Zwei Quotienten mit geichem Divisor werden a d d i e r t . . . " und so weiter. Steht in der Klammer ein Aggregat, so werden beide Regeln vereinigt. § 9. Die Grundgesetze beim praktischen Rechnen Die fünf Grundgesetze der Addition und die sechs Grundgesetze der Multiplikation geben zusammen die elf Grundgesetze, auf denen das ganze praktische Zahlenrechnen beruht. Hierzu einige Beispiele. 1. Beispiel. 13 • 6 = (10 + 3) • 6 nach dem Verteilungsgesetz d. Mult. = 6 - 1 0 + 18 „ Verbindungsgesetz d. Add. = (6 • 10 + 10) + 8 = 7 • 10 + 8 = 78. Das Loslösen der Zahl 10 von 18 und Addieren zu 6 • 10 nennt man die Z e h n e r ü b e r t r a g u n g .

§ 9. Die Grundgesetze beim praktischen Rechnen

41

Im folgenden Beispiel mag der Leser die einzelnen Schritte selbst erkennen; außer der Zehnerübertragung findet auch die Hunderter- und Tausenderübertragung statt. Im übrigen zeigt das Beispiel, wie sich aus der Anwendung der Grundgesetze das schriftliche Multiplizieren entwickelte. 2. Beispiel.

34 • 47 = (30 + 4) • (40 + 7) = 30 • 40 + 4 • 40 + 30 • 7 + 4 • 7 = 3 • 4 • 100 + 4 • 4 • 10 + 7 • 3 • 10 + 2-10 + 8 = (10 + 2) • 100 + (30 + 9) • 10 + 8 = 1000 + 5 • 100 + 9 • 10 + 8 = 1598.

Im schriftlichen Rechnen setzt man die ausgerechneten vier Produkte der zweiten Zeile untereinander, zählt aber die ersten beiden Zahlen nach dem bekannten Verfahren gleich zusammen, ebenso die letzten beiden

1598 Beim Kopfrechnen verfährt man etwas anders: 3 4 - 4 7 = 34- ( 5 0 — 3 ) = 34 • 50 — 34 • 3 = 1700—102 = 1598. 3. Beispiel. Es entwickelt das schriftliche Divisionsverfahren aus den Grundgesetzen, zum Beispiel: 7542:9 = (75 • 100 + 42): 9 = ([8 - 9 + 3] • 100 + 42): 9 = 8 • 100 + (3 • 100 + 42): 9 = 8 • 100 + (34 • 10 + 2 ) : 9 = 8 - 1 0 0 + ( [ 3 - 9 + 7 ] - 1 0 + 2 ) : 9 = 8 - 1 0 0 + 3-10 + 72:9 = 8 • 100 + 3 • 10 + 8 = 838

42

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

oder kürzer: oder noch kürzer: 7542: 9 = 800 + 30 + 8 7542:9 = 838 7200 72 "342 34 270 27 ~72 72 72 72

oder schließlich: 7542:9 = 838 34 "72

Wenn man die angeführten Beispiele daraufhin durchsieht, welche der 11 Grundgesetze Verwendung finden, so fällt auf, daß die Gleichmäßigkeitsgesetze nirgends in Erscheinung treten. Überhaupt wird man beim gewöhnlichen Zahlenrechnen, wo es sich ja stets nur um ganz bestimmte Zahlen handelt, diese Gesetze nicht verwendet finden. Von um so größerer Bedeutung jedoch sind diese Gesetze für eine gewisse Art von Aufgaben, bei denen es sich um rein praktische Dinge handelt. Soll zum Beispiel der Flächeninhalt eines Rechteckes bestimmt werden, dessen Länge zu 428 mm und dessen Breite zu 273 mm gemessen ist, so wissen wir, daß der . Inhalt dann in Quadratmillimetern durch das Produkt 428 • 273 (=116844) angegeben wird. Allein so einfach liegen die Dinge nicht, denn alles, was durch die menschlichen Sinne wahrgenommen wird — also alle Messungen —, unterliegt auch menschlichen Irrungen, die sich nur durch den Grad ihrer Stärke unterscheiden, aber doch stets vorhanden sind. Bei einer immerhin noch sorgfältigen Messung kann man doch im Zweifel sein, ob man das letzte Millimeter noch mitrechnet oder nicht, ganz abgesehen davon, ob man selbst mit der äußersten Sorgfalt abgelesen hat. Jedenfalls darf man oben bei den Zahlen 428 und 273 die beiden letzten Stellen nicht als absolut sicher ansehen, und man tut gut, mit in Erwägung zu ziehen, wie sich das Ergebnis ändert, wenn die beiden letzten Ziffern je um 1 größer oder kleiner sind.

§10. Die Potenz und ihre Umkehrungen

43

Das Gleichmäßigkeitsgesetz der Multiplikation sagt sofort folgendes aus: (428— 1) (273— 1) < 428 • 273 < (428 + 1) (273 + 1 ) . Rechnen wir die Produkte aus (einmal durch Subtraktion von (428 + 2 7 3 — 1 ) und einmal durch Addition von (428 + 273 + 1) zum mittleren Produktwert), so wird 116144 < 116844 < 117546. Also geringe Unterschiede in der letzten Stelle der Faktoren können bereits zu Unterschieden beim Produkt führen, die bis in die Tausender hineinreichen. Dabei halte man sich aber vor Augen, daß wir mit der obigen Annahme die günstigste Möglichkeit von auftretenden Ungenauigkeiten angenommen haben. Wie steht es aber in dem Fall, daß über die letzte Stelle der beiden Faktoren mit Sicherheit überhaupt nichts Bestimmtes ausgesagt werden kann ? Dann ist nach dem Gleichmäßigkeitsgesetz: 420 • 270 < 428 • 273 < 430 • 280, und wir werden nach dem Ausrechnen feststellen müssen, daß die Unsicherheit auch auf die Zehntausender übergreifen kann. Aus diesen Betrachtungen folgt, daß es auf jeden Fall eine unnötige Arbeit ist, die obigen Multiplikationen genau auszuführen, weil dadurch keineswegs ein genaues Ergebnis erreicht wird. Das Gleichmäßigkeitsgesetz setzt uns aber in die Lage, wenigstens angeben zu können, bis zu welchen Stellen das Ergebnis als sicher angesehen werden kann. Eine eingehende Schilderang des Rechnens mit ungenauen Zahlen kann hier natürlich nicht gegeben werden; aber die Bedeutung des Gleichmäßigkeitsgesetzes sollte wenigstens an einem bestimmten Beispiel hervortreten. § 10. Die Potenz und ihre Umkehrungen Die Potenz ist eine besondere Art des Produktes. Wenn nur untereinander gleiche Faktoren a vorliegen, so ist das Produkt

44

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

offenbar allein von der Zahl a und der Anzahl dieser Faktoren, sie sei n, abhängig. Man schreibt: 1)

1.

2)

3)

n)

a • a • a • • • a = an

(gelesen a hoch n).

Damit ist die P o t e n z definiert und wieder eine neue Verknüpfungsart zweier Zahlen geschaffen. Die Zahl a heißt G r u n d z a h l (Basis), die Zahl n E x p o n e n t , die neue Verknüpfung die n-tc Potenz von a. Die Verdeutschung „Hochzahl" statt Exponent wird jetzt häufig gebraucht. Nach der Definition der Potenz muß n gleich oder größer als 2 sein, sonst kann man j a von keinem Produkt reden. Unter a 1 wollen wir jedoch die Grundzahl a selbst verstehen, also 2. a 1 = a. Damit dehnen wir — ähnlich wie bei Nr. 1 in § 7 — den Begriff Produkt auch auf den Fall aus, daß nur ein Faktor vorhanden ist. ä 2 nennt man das Q u a d r a t vona, und zwar mit Rücksicht auf den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seite a. a3 nennt man die K u b i k z a h l von a (Kubus =

Würfel!).

Die aufeinanderfolgenden Potenzen irgendeiner Zahl a > 1 aus der natürlichen Zahlenreihe o a 2 a 3 . . . a" . . . bilden eine steigende Folge von Zahlen. Für a — 1 sind alle Potenzen gleich 1: 2.

l" 1 = 1

für alle natürlichen Zahlen m.

Da sich die Potenz auf das Produkt zurückführen läßt, ebenso wie früher (§ 7) das Produkt auf die Summe, lassen sich auch alle die Sätze über Produkte auf Potenzen übertragen, die früher aus ihrer Beziehung zur Addition aufgestellt wurden.

45

§ 10. Die Potenz und ihre Umkehrungen

E s g i l t f ü r die P o t e n z das G r u n d g e s e t z der u n b e s c h r ä n k t e n Ausführbark e i t und das G r u n d g e s e t z der E i n d e u t i g k e i t . Es gilt nicht das G r u n d g e s e t z der V e r t a u s c h b a r k e i t , denn 2 3 = 8, aber 3 2 = 9. Das G r u n d g e s e t z der V e r b i n d u n g g i l t in dem S i n n , daß 3. (a?)» = « " • ' = ( a 7 \ denn das sind p • q Faktoren a, die man entweder in q Produkten zu je p Faktoren oder in p Produkten zu je q Faktoren oder in p • q Faktoren anordnen kann: (a 3 ) 2 = (a • a • a) • (a • a • a) = a • a • a • a - a • a = (a- a)- (a- a)- (a- a) = (a 2 ) 3 . D a s G r u n d g e s e t z der V e r t e i l u n g g i l t sowohl bei gleichen Grundzahlen (siehe 4. u. 5.) wie bei gleichen Exponenten (6. u. 7.): P 1 4 a • a' =

a

P+9

,

denn

1)

2)

3)

p)

1)

2)

3)

p + q)

(a • a • a = a• a• a 5.

1)

2)

3)

q)

a) • (a • a • o

a)

a. dF

:aq

= av~g

(falls p > q).

Das ist ohne weiteres eine Folge von 4., denn av

6. denn

= = ar'-q

• a" =

a

v

'

q + q

.

ap-bp=(a-b)p, 1) (a

2)

3)

1) =

(a

• b)

a) 2)

•

1)

p)

• a- a

2)

3)

p)

• (b - b - b 3)

(a • 6) • (a • 6)

b) V)

(a • &) =

(a

• b f .

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

46

av :bp — (a: b)p,

7. denn 1) '(a•

1)

2)

3)

p)

a•

a

a): ( b - b - b

2)

= ( a : 6) • ( a :

1) 2) 3)

b) •

(a:

falls a: b möglich ist,

3)

p) b) p)

(a: 6) = ( a :

b)

b f .

Die Formeln 3. bis 7. geben die bekannten Potenzgesetze, allerdings meist in der Aufeinanderfolge 4. bis 7. und 3. Der Leser ergänze nun die folgenden Sätze selbst, spreche sie aber auch für den Fall aus, daß er die Formeln von rechts nach links liest. 4. u. 5. „Potenzen mit gleichen Grundzahlen werden multipliziert (dividiert), indem man die gemeinschaftliche Grundzahl..." 6. u. 7. „Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man das Produkt (den Quotienten) der Grundzahlen . . . " 3. „Eine Potenz wird potenziert, indem man die Grundzahl..." Das G l e i c h m ä ß i g k e i t s g e s e t z g i l t a u c h f ü r Potenzen. Ohne weiteres aus 4. folgt nämlich: a v + g > a p (allerdings für a > 1). Als wichtige Formeln berechne der Leser durch fortgesetztes Ausmultiplizieren (a + 6)2, (a + 6)3, aber auch die weiteren Potenzen, und versuche festzustellen, ob zwischen den Zahlenkoeffizienten zweier aufeinanderfolgender Potenzen eine Beziehung besteht. Von (a + b)n handelt der letzte Paragraph 39. Wurzeln und Logarithmen

Das Potenzieren hat zwei Umkehrungen, je nachdem in der Gleichung 8.

a

n

= e

e r s t e n s a bei gegebenem c und n oder zweitens« „ „ c „ a gesucht wird.

47

§ 10. Die Potenz und ihre Umkehrungen

Der e r s t e F a l l führt zum W u r z e l z i e h e n (Radizieren). Man soll zu einer gegebenen Zahl e und einem gegebenen Exponenten n eine Zahl a als Grundzahl finden, so daß die Gleichung a" = e besteht. Arithmetisch drückt man diese neue Verknüpfungsart zweier Zahlen aus durch n

9. a = |/c und nennt c R a d i k a n d , n W u r z e l e x p o n e n t u n d a w-te W u r z e l aus c. 2

1

_

_

Man schreibt j[a = ]/a und versteht unter ]ja die Zahl a selbst, ebenso wie früher a 1 = a war. Das Wurzelziehen 17 ) löst hiernach die Aufgabe, eine gegebene Zahl in eine vorgeschriebene Anzahl gleicher Faktoren zu spalten. Der z w e i t e F a l l führt zum L o g a r i t h m i e r e n . Man soll zu einer gegebenen Zahl c und einer gegebenen Grundzahl a eine Zahl n als Exponent finden, so daß an = e wird. Arithmetisch drückt man diese Verknüpfungsart zweier Zahlen aus durch 10. n = "log c und nennt c den N u m e r u s , a die Basis und n den L o g a r i t h mus von e zur Basis o. Die folgenden Beispiele werden diese Erklärungen weiter erläutern; der Leser mag aber selbst weitere aufstellen: 3

53=

125,

25 =

32,

=5,

8

= 2,

2

1/10000= 10,

10

/l2ö 5 /32

log 125

=3;

log 32

=5;

4

10 4 =10000,

log 10000 = 4.

3

" ) Wie man Va und Ya aas einer natürlichen Zahl a praktisch zieht, wird in § 26 gezeigt.

48

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

Das Logarithmieren (ein Exponentsuchen) löst demnach die Aufgabe anzugeben, wie oft man eine gegebene Zahl durch eine andere fortgesetzt dividieren kann, also c: a, das Ergebnis wieder durch a, das neue Ergebnis wieder und so weiter, bis man schließlich auf 1 kommt, sonst ist die Aufgabe nicht möglich. Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren werden als Rechenarten d r i t t e r Stufe bezeichnet und im besonderen die beiden letzten als Umkehrungen der ersteren. Die Bedeutung der Wurzeln und Logarithmen im Bereich der natürlichen Zahlen ist gering, daher wollen wir uns -*in dieser Stelle mit den gegebenen Definitionen begnügen. § 11. Eigenschalten der natürlichen Zahlen

Der Teil der Arithmetik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen beschäftigt, heißt Zahlentheorie. Hier können davon natürlich nur die allerersten Anfänge besprochen werden, soweit sie auch für das Rechnen in Betracht kommen. Bei der Division wurde bereits erwähnt, daß im Falle ihrer Möglichkeit für die ganzen Zahlen a, i, c die beiden Gleichungen bestehen a:i = c und a = b- c, ferner daß man i einen Teiler von a und a ein Vielfaches von b nennt. Zahlen, die 2 zum Teiler haben, heißen gerade, die2 nicht zum Teiler haben (es sind alle anderen) ungerade. Jede Zahl, die nur 1 und sich selbst zu Teilern hat, heißt Primzahl, also etwa 7, 19, 31. Jede Zahl, die außer 1 und sich selbst noch andere Teiler hat, heißt zusammengesetzt, also etwa 18, 35, 91. Dividiert man fortgesetzt eine zusammengesetzte Zahl durch ihre Teiler > 1, so werden die Quotienten immer kleiner, bis schließlich eine Primzahl erscheinen muß. Deshalb ist

§ 11. Eigenschaften der natürlichen Zahlen

49

jede zusammengesetzte Zahl als ein Produkt von Primzahlen darstellbar. Ordnet man in dem Produkt diese Primzahlen ihrer Größe nach und faßt die gleichen zu einer Potenz zusammen, so sagt man, die Zahl sei in ihre P r i m f a k t o r e n zerlegt: 48 = 24 • 3; 72 = 23 • 3 2 ; 98 = 2- 72; 1820 = 22 • 5 • 7 • 13; 1896 = 23 • 3 • 79. Streicht man in der natürlichen Zahlenreihe jede 2. Zahl außer der 2 selbst, also 4, 6, 8 , . . . , dann jede 3. Zahl (die vorher gestrichenen Zahlen immer wieder mitgerechnet) außer der 3 selbst, jede 5., 7., 11. und so weiter außer der 5, 7, 11 und so weiter selbst, so bleiben nur die Primzahlen übrig. Dies Verfahren kannten schon die alten Griechen (Sieb des E r a t o s t h e n e s 276—194?). Geht man in der natürlichen Zahlenreihe immer weiter, so stößt man außer auf zusammengesetzte Zahlen auch stets wieder auf Primzahlen, so daß keine Primzahl denkbar ist, zu welcher nicht eine noch größere gefunden werden kann, mit anderen Worten: E s g i b t keine g r ö ß t e P r i m z a h l . Denn wäre etwa a die größte aller Primzahlen, so müßte das Produkt 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • • • a aller möglichen Primzahlen durch jede Primzahl teilbar sein. Es müßte also die auf dieses Produkt folgende Zahl bei der Division durch jede der Primzahlen bis a den Rest 1 übrig lassen, also entweder selbst Primzahl oder durch eine größere Primzahl, als a ist, teilbar sein. Das widerspricht aber beides der Annahme, daß a die größte aller Primzahlen sein soll; also gibt es keine größte Primzahl. Dieser Beweis stammt von E u k l i d (um 300 v. Chr.). Wir führten ihn besonders auch deswegen an, damit der Leser die indirekte Beweismethode kennenlernt. Die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren führt auch zu ihren sämtlichen Teilern, wie folgendes Beispiel zeigt: f i 8 c b e r , Arithmetik.

$

50

II. Der Bercich der natürlichen Zahlen

600 = 2 3 - 3 - 5 2 ; Teiler von 600 sind 1,2, 2 ,2 ,3-1, 3-2, 3-2 2 , 3-2», 5-1, 5-2, 5-2 2 , 5.2 3 , 5-3-1, 5 • 3 • 2, 5 • 3 • 2 2 ,5 • 3 • 23, ö2 • 1, ö2 • 2,5 2 • 2 2 ,5 2 • 23, ö2 • 3 • 1, 52 • 3 • 2, 5 2 • 3 • 2 2 , 52 • 3 • 23. Zur Übung mag der Leser 648 in Primfaktoren zerlegen und alle Teiler bestimmen (es müssen 20 verschiedene Teiler sein, 1 und 648 mitgerechnet!) 2

3

Rest- und Teilbarkeitsregeln Wenn in der Division a: b die Buchstaben a und b irgendwelche Zahlen aus der natürlichen Zahlenreihe darstellen, so muß zunächst a 2g b ¡2 1 sein 18 ). Dann sind zwei Fälle möglich: Entweder es ist a ein Vielfaches von b, also a = nb (dann ist die Division möglich), oder es liegt a zwischen zwei aufeinander folgenden Vielfachen von b, das heißt, es ist a = n • b + r, wo r < b. Hier ist r der Rest, der bei der Division durch b bleibt (die Division geht nicht auf, sie ist nicht möglich). Beide Fälle faßt man zusammen durch n•b a < (m + 1) • b. Im ersten Fall sprechen wir von einem v o l l s t ä n d i g e n Q u o t i e n t e n , im andern Fall von einem u n v o l l s t ä n d i g e n Quotienten. Nach diesen Darlegungen wird man ohne weiteres verstehen, was man ausdrücken will, wenn man sagt: Alle geraden Zahlen haben die Form 2n, oder alle ungeraden Zahlen haben die Form 2n + 1, oder alle nicht durch 7 teilbaren Zahlen haben die Form 7n + k, wo k die Werte 1 bis 6 annehmen kann. ") Gelesen „größer oder gleich"; in entsprechendem Sinn ist auch d u Doppelzeichen £ oder gar das dreifache Zeichen ^ zu verstehen.

§ 11. Eigenschaften der natürlichen Zahlen

51

Ferner gilt der Satz: Gleiche Zahlen geben bei der Division durch ein und dieselbe Zahl gleiche R e s t e . Um mit Hilfe dieses Satzes R e s t r e g e l n zu beweisen, bezeichne man die Einer einer Zahl N mit die Zehner mit die Hunderter mit a 2 und so fort, also: . N = a0 + 10 • ax + 102 • a2 + 103 • a3 H Da nun 10 durch 2,10 2 durch 2 2 ,10 3 durch 23 und so fort teilbar ist, so ergibt sich die folgende: Restregel für 2, 4, 8 , . . . : E i n e Zahl l ä ß t , durch 2 d i v i d i e r t , denselben R e s t wie ihre l e t z t e Ziffer, f e r n e r , durch 4 d i v i d i e r t , denselben R e s t wie die aus den beiden l e t z t e n Ziffern bestehende Zahl, und so fort. Entsprechend lauten die Restregeln für 5, 25, 1 2 5 . . . , weil 10 durch 5, 102 durch 52 und so fort teilbar ist. Schreibt man N = a0 + 10 • % -J- 102 • a 2 — • in der Form: ^ = K + a l + «2 + a 3 + " - ) + 9 - ( « l + 11 « 2 + 111 )> so erkennt man die Richtigkeit der folgenden Restregel für 3 und für 9; E i n e Zahl l ä ß t , durch 3 oder durch 9 d i v i d i e r t , denselben R e s t wie die Summe ihrer Ziffern (Quersumme). Aus den R e s t r e g e l n ergeben sich die aus dem Rechenunterricht bekannten T e i l b a r k e i t s r e g e l n , wenn die Divisionen aufgehen, also wenn kein Rest vorhanden ist. Neunerprobe

Mit Hilfe der Restregel für 9 findet man bei einer Zahl oder einem Zahlen-Ausdruck den Rest, der bei der Teilung durch 9 bleibt, viel schneller, als wenn man die Division ausführt. Um etwa den Neunerrest von 784582 zu finden, verfährt man so: 7 + 8 = 15. 15 hat die Ziffern 1 und 5. 4

52

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

1 + 5 = 6, 6 + 4 = 10, 1 + 0 =1, 1 + 5 = 6 , 6 + 8 14, 1 + 4 = 5, 5 + 2 = 7. Jede Zahl, welche r als Neunerrest besitzt, h a t die Form 9 n + r. D a nun ( 9 n + r ) ( 9 » ' + r') = 9 (9nn' + nr' + m V ) + rr' ist, so gilt der Satz: Den Neunerrest des Produktes zweier Zahlen erhält man, wenn man ihre Neunerreste multipliziert und zu dem erhaltenen Produkte den Neunerrest bestimmt. Die Anwendung dieses Satzes heißt N e u n e r p r o b e . Faktor: 7346 Neunerrest: 2 Faktor: 834 Neunerrest: 6 29384 22038

Produkt: Neunerrest:

12 3

58768 6126564

Neunerrest:

3

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes g e m e i n s a m e s Vielfaches Haben Zahlen außer 1 keinen Teiler gemeinsam, so heißen sie t e i l e r f r e m d ( r e l a t i v p r i m ) , etwa 14 u n d 15, oder 3 9 , 1 6 , 49. Sind Zahlen nicht teilerfremd, so entsteht die Aufgabe, ihren g r ö ß t e n g e m e i n s a m e n T e i l e r zu finden. Dies geschieht dadurch, daß man die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt und dann ein P r o d u k t bildet, das jeden Primfaktor so oft enthält, wie er dort steht, wo er am s e l t e n s t e n vorkommt. Beispiel: 900 = 2 2 • 3 2 • 5 2 Der größte gemeinsame Teiler muß 378 = 2 • 3 3 • 7 die 2 einmal, die 3 zweimal, 5, 7, 1386 = 2 • 3 2 • 7 • 11 11 gar nicht als F a k t o r enthalten, daher 2 • 3 2 = 18. Abgekürzt: 900,378,1386 2) 450, 189, 693 9) 50, 21, 17. daher ist 2 • 9 = 18 der größte gemeinsame Teiler, weil 50, 21, 77 teilerfremd sind.

§ 11. Eigenschaften der natürlichen Zahlen

53

Um das k l e i n s t e g e m e i n s a m e V i e l f a c h e zu finden, also um die kleinste Zahl zu bestimmen, von welcher alle gegebenen Zahlen Teiler sind, muß man ein Produkt bilden, das jeden vorkommenden Primfaktor so oft enthält, wie er dort steht, wo er am h ä u f i g s t e n vorkommt. Beispiel: Das kleinste gemeinsame Vielfache 900 = 2 2 • 3 2 • ö 2 muß die 2 zweimal, die 3 dreimal, die 5 zweimal, die 7 einmal, die 11 einmal 378 = 2 • 3 3 • 7 1386 = 2 • 3 2 • 7 • 11enthalten, daher 2 2 • 3 3 • 5 2 • 7 • 11 = Abgekürzt:

207900.

900,378,1386 2 ) 450, 189, 9) 7)

50,

693

21,

77

3,

11,

daher 2 • 9 • 7 • 50 • 3 • 11 =

207900.

Größter gemeinsamer Teiler zweier Zahlen Werden die beiden Seiten der früheren Gleichung

a= n• b+ r durch m dividiert, so gibt das

a:m — (n:m)-b

+

r:m.

Sind n: m und r: m natürliche Zahlen, so ist auch a: m eine natürliche Zahl. Sind zweitens n: m und a: m natürliche Zahlen, so ist auch r : m eine natürliche Zahl. Daher gelten die beiden Sätze: 1. W e n n b e i e i n e r D i v i s i o n D i v i s o r u n d R e s t d u r c h e i n e u n d d i e s e l b e Z a h l t e i l b a r s i n d , so t e i l t diese Zahl auch den D i v i d e n d e n . 2. W e n n b e i e i n e r D i v i s i o n D i v i d e n d u n d D i visor durch eine und dieselbe Zahl t e i l b a r sind, so t e i l t d i e s e Z a h l a u c h den B e s t . Auf diesen Sätzen beruht das im Rechen-Unterricht ge-

54

II. Der Bereich der natürlichen Zahlen

lehrte Verfahren, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, ohne diese in Primfaktoren zu zerlegen. Beispiele: I I . 828 und 5635 I. 30 und 72 5635:828 = , 6 7 2 : 30 = 2 4968 60 828 : 1 5 6 7 = 1 667

30:i2 = 2 24

667 : 1 6 1 = 4 644 1 6 1 : "23 = 7 161

1 2 : "6 = 2

12

Der letzte Divisor 6 bei Beispiel I (23 bei I I ) ist der größte gemeinschaftliehe Teiler der Zahlen 30 und 72 bei I (828 und 5635 bei II). Dieses Verfahren ( E u k l i d i s c h e r A l g o r i t h m u s , auch Kettendivision genannt) gestattet, einen Quotienten durch die beiden kleinsten möglichen Zahlen auszudrücken. Ist der letzte Divisor 1, so sind die beiden Zahlen teilerfremd. Zahlensysteme Wie wir zu Beginn unserer Betrachtungen sahen, ist unser Zahlensystem ein Zehnersystem, und oben bei den Restregeln sahen wir bereits, daß sich jede Zahl N durch N = a0 + 1 0 • ^ + 10* • a2 + 10 3 • a3 darstellen ließ, wobei % die Einer, a^ die Zehner, a 2 die Hunderter und so weiter bedeuteten 19 ). Rein begriffsmäßig lassen sich natürlich solche Zahlensysteme auch für andere Zahlen als mit der Grundlage 10 aufstellen. Allgemein wäre so irgendeine Zahl N in dem System mit der B a s i s b darstellbar durch Nb

=

a0 +

b - a

l

+

Via2

+

V

s

a

3

+ - - - ( l

^ a . - ^ i - l )

1 9

) .

) T r i t t eine Potenz von 10 bzw. b nicht auf, so steht an der entsprechenden Stelle der Zifferndarstellung, die Ziffer 0. Das gleiche gilt, wenn das Symbol a, die Ziffer 0 bedeutet. 19

§ 12. Einführung der Null als Zahl

55

Die Potenzen von b nennt man die Stufenzahlen des Systems. Die natürliche Zahlenreihe im Sechsersystem würde lauten: 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 2 1 . . . , und jede Zahl N in diesem System wird dargestellt durch Ne = Oy + 6 • % + 36 • a2 + 216 • a3 . Welche Zahl im Zehnersystem wird durch die Zahl 53 (sie sei bezeichnet durch 536) im 'Sechsersystem dargestellt ? Es ist 53„ = 3 + 6 • 5 = 3310. Ferner ist 241e = 1 + 6- 4 + 36- 2 = 9710. Was ist umgekehrt 19410 im Sechsersystem? 194: 36 = 5 Rest 14 und 14: 6 = 2 Rest 2, also 194 10 = 2 + 6 • 2 + 36 • 5 = 522„. Das Rechnen in anderen Zahlensystemen bleibt entsprechend dasselbe wie im Zehnersystem. D r i t t e r Abschnitt Der Bereich der ganzen Zahlen § 12. Einführung der Null als Zahl Bisher hatte der Ausdruck a — b für a iS 6 zwar die Form, aber nicht den Sinn einer Differenz. Wenn nun etwas noch keinen Sinn hat, so kann man ihm einen Sinn zuerkennen. In unserm Fall der sinnlosen Verknüpfung kann das nur heißen, daß die Differenz a— b (a ^ b) denselben Sinn erhält wie a — b (a > b ) derart, daß man auch mit ihr rechnen kann wie mit den eigentlichen Differenzen. Mit anderen Worten, wir müssen auch den uneigentlichen Differenzen den Charakter von Zahlen geben, die jedoch nicht in den natürlichen Zahlen mit enthalten sein können, sondern sich diesen beigesellen und dieselben Gesetze befolgen wie diese. Es muß also eine E r w e i t e r u n g des bisherigen Zahlbegriffs eintreten.

56

III. Der Bereich der ganzen Zahlen

Zunächst wenden wir uns dem Fall a— b (a = b) zu. Die volkstümliche Vorstellung, daß man nichts übrig behält, wenn einem alles weggenommen wird, verbindet bereits mit dem Begriff a — a den des „Nichts". Da nun von den zehn Ziffern 1 2 3 . . . 9 0 nur die ersten neun entsprechend dem ZählbegriS zugleich Zahlen sind, da ferner die Ziffer 0 beim Zehnersystem das Zeichen für eine leere Stelle (vgl. sifr § 2) darstellt, also gewissermaßen auch schon mit dem Begriff des Nichts behaftet ist, führen wir die Null als Z a h l in dem Sinn ein, daß a—a — 0 ist. Die neue Zahl Null ordnet sich den früheren Rechengesetzen unter, wenn folgendes festgesetzt wird, wobei a jede beliebige natürliche Zahl sein kann: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Die Null ist kleiner als jede-natürliche Zahl. a + 0 = 0 + a = a und 0 + 0 = 0. a— 0 = a „ 0 = a — a = 0 — 0. a - 0 = 0- a = 0 „ 0 0 = 0. 0 : a = 0 (die Division durch 0 ist nicht zulässig). 0" = 0 und a° = 1. § IB. Einführung der negativen Zahlen

Die Differenz a— 6 (a < l) mußten wir früher aus den bekannten Gründen ausschließen. Gerade in diesem Fall ist aber 1. b—a = c ausführbar, und c ist eine natürliche Zahl. Der gesunde Menschenverstand macht sich diese Überlegung zunutze, wenn etwa folgender Fall vorliegt: Jemand will etwas kaufen, das 8 DM kostet, hat aber nur 6 DM bei sich. Der Verkäufer schlägt vor, zunächst nur mit den vorhandenen 6 DM zu bezahlen und den Rest von 2 DM später. Diesen Rest bezeichnet der Volksmund als Schulden.

§ 13. Einfühlung der negativen Zahlen

57

Wir können also mit der Differenz a—b (a < b) schon rechnen, nur müssen wir, wenn wir nach 1. verfahren, dann das Ergebnis nicht ohne weiteres c nennen, sondern diesem e irgendeine Bezeichnung geben, die es von der natürlichen Zahle unterscheidet. Man ist übereingekommen, das durch das Rechenzeichen ,,—" zu tun: 2. a—b ——c (gelesen „minus c"), wobei c die natürliche Zahl b— a = c ist. In dieser Verwendung des Rechenzeichens,,—" nennt man es ein Vorzeichen, und zwar das n e g a t i v e V o r z e i c h e n im Gegensatz zum p o s i t i v e n V o r z e i c h e n , , + " , das man jetzt den natürlichen Zahlen ohne weiteres beigesellt, also 8 = -f- 8. Dementsprechend werden Zahlen von der Art — c oder — 8 n e g a t i v e Z a h l e n und c = + c °der Zahlen von der Art + 8 p o s i t i v e Z a h l e n genannt. Die G e s a m t h e i t der p o s i t i v e n Z a h l e n , der Null und der n e g a t i v e n Z a h l e n b e z e i c h n e t man als g a n z e Z a h l e n . Mit der Definition der ganzen Zahlen hat die in § 12 erwähnte Erweiterung des Zahlbegriffs der natürlichen Zahlen stattgefunden. Jedes Vorzeichen bezeichnet man als das entgegengesetzte des anderen und jede der ganzen Zahlen als die entgegengesetzte zu derjenigen, die sich von ihr nur durch das Vorzeichen unterscheidet: solche Zahlen ( + 8 und — 8) nennt man auch e n t g e g e n g e s e t z t gleich. Ist bei 2. a—b= — c (a < b) a im besonderen gleich Null, so gilt 3. 0— b = - b . Hierin ist links das ,,—"-Zeichen ein Rechenzeichen, b eine natürliche Zahl, während rechts — b eine negative Zahl ist; die Gleichung 3. drückt dann aus, daß eine positive Zahl in die ent-

58

III. Der Bereich der ganzen Zahlen

sprechende negative Zahl übergeht, wenn man sie von Null abzieht. Schließlich entspricht es den bisherigen Entwicklungen, wenn wir sagen: J e d e p o s i t i v e Z a h l i s t größer a l s N u l l und j e d e n e g a t i v e Z a h l i s t k l e i n e r a l s N u l l . Die Null trennt also die positiven Zahlen von den negativen, und man kann nunmehr die ganzen Zahlen der Größe nach geordnet als folgende R e i h e der g a n z e n Z a h l e n aulfassen.

i — 3 —2 —1

0

+ 1

+2

+3

+ 4 •••

Der obige Satz über die Vergleichung der positiven und negativen Zahlen mit der Null kann mit Hilfe dieser Reihe dahin erweitert werden: — a < — b bedeutet, daß — a links von — b steht, obwohl a > b ist. Mit Hilfe dieser Reihe der ganzen Zahlen kann man den ZaMstrahl in § 3 (Skala, Leiter) ebenfalls einer „Erweiterung" unterziehen: «

-3

1

-2

1

-1

1

0

0

+1

1

+2

1

+3

1

>

Abb. 17.

Den früheren Ausgangspunkt bezeichnet man jetzt als N u l l p u n k t des Zahlstrahls. Der so „erweiterte" Zahlstrahl findet als Z a h l g e r a d e Anwendung (Thermometer, Wasserstandsmesser). Auch bei den heute so beliebten graphischen Darstellungen für mit der Zeit veränderliche Größen (etwa den Wirtschaftskurven) bildet die Zahlgerade die Grundlage. Die frühere Erwähnung der Schulden und die Anwendungen der Zahlgerade zeigen, daß man die negativen Zahlen auch auf benannte Zahlen übertragen kann. Dabei läßt sich aus einer negativen benannten Zahl durch Veränderung eines

§ 14. Addition und Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen

59

Wortes meist die entsprechende positive benannte Zahl bilden. So heißt zum Beispiel: — a Schritte vorwärts dasselbe wie a Schritte rückwärts, — a DM Vermögen dasselbe wie a DM Schulden, — a DM Gewinn dasselbe wie a DM Verlust und im besonderen 0 Schritte vorwärts dasselbe wie keinen Schritt vorwärts und auch keinen zurück. § 14. Addition und Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen Wir zeigen zunächst, daß das Subtrahieren von ganzen Zahlen, also von mit Vorzeichen versehenen natürlichen Zahlen immer als ein Addieren von solchen Zahlen angesehen werden kann. Wenn a < b, so setzten wir (§ 13, 2): 1. a — 6 = — c, worin c als natürliche Zahl bestimmt ist durch 2. b — a = c\ also gilt auch 3. b— c = a oder, was dasselbe ist, 4. b — (-f- c) = a. Die Subtraktion 1. legt die Festsetzung nahe: 5. b + (— c) = a. Aus 4. und 5. folgt 6.

b— (+ c) = b + ( — c).

Das heißt:

Die S u b t r a k t i o n einer positiven Zahl kann als die Addition der entsprechenden negativen Zahl angesehen werden. Was ist unter a— ( — c), wir nennen es z, zu verstehen? Nach der Definition der Subtraktion ist 7. z + ( — c) = a. Nach 5. ist aber auch 8. 6 + ( — c) = a. Aus beiden Gleichungen folgt 9. ? = b.

60

III. Der Bereich der ganzen Zahlen Nach der Definition der Subtraktion folgt aus 2. oder 3. 10. 11.

b= a+ c und aus 9. und 10. a—(—c) = a + c oder a — (—c) = a + ( + c ) , das heißt:

Die S u b t r a k t i o n einer n e g a t i v e n Zahl kann als die Addition der entsprechenden positiven Zahl angesehen werden. Die beiden Sätze zu 6. und 11. zeigen, daß jede Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen als eine Addition solcher Zahlen angesehen werden kann. Mit anderen Worten: Die Addition im B e r e i c h der ganzen Zahlen ums c h l i e ß t auch die entsprechende S u b t r a k t i o n . Die Kegeln über die Addition von positiven und negativen Zahlen ergeben sich aus folgenden Formeln und Beispielen von selbst: 12. ( + a) + (+ i) = a + b, 13. ( + « ) + ( _ b) = a— b, wobei das Ergebnis von 13. für a > b eine positive, für a < b eine negative Zahl ist. Ferner ist 14. (—o) + ( - 6 ) = ( - « ) - ( + 6) = - ( ( + b) - (—«)) = — (6 + a ) = — ( a + 6 ) . Noch ein Wort zu den Klammerregeln in § 6. Was wir dort von den Rechenzeichen gesagt haben, gilt nun ganz entsprechend, wenn wir diese als Vorzeichen und das ganze Aggregat als Summe auffassen. Stets mußten wir bei vorkommenden Subtraktionen den Zusatz machen, falls diese möglich sind; das fällt nun weg, und die früheren Ergebnisse gelten jetzt ganz allgemein. Zum Beispiel mußte früher etwa der Ausdruck 5 — 8 + 4 als unmöglich gelten, da ein solcher Ausdruck von links nach rechts fortschreitend zu berechnen war. Wenn nun im täglichen Leben schon von der Umstellung 5 + 4 — 8 Gebrauch gemacht wurde, so benutzte man schon unbewußt die Überlegung — 3 + 4 = 1. Aber ein solches Verfahren beim

§ 15. Multiplikation und Division im Bereich der ganzen Zahlen

61

Kaufmann ist schon manchmal schlecht ausgegangen, wenn er beim Eingehen neuer Verbindlichkeiten sich zu sehr auf etwa zweifelhafte Außenstände verließ. Zum Schluß dieser Betrachtungen sei noch angeführt, daß infolge der Verschmelzung von Addition und Subtraktion die früheren fünf Grundgesetze für die Addition der natürlichen Zahlen in § 4 nunmehr ganz allgemein Geltung im Bereich der ganzen Zahlen haben, wobei wir bezüglich des Gleichmäßigkeitsgesetzes auf die Betrachtung verweisen, die wir oben in § 13 an die Reihe 3 — 2 —1 0 + 1 + 2 +3--angeschlossen hatten. § 15. Multiplikation und Division im Bereich der ganzen Zahlen Für die B l u l t i p l i k a t i o n von ganzen Zahlen, also von mit Vorzeichen behafteten natürlichen Zahlen, kommen vier Fälle in Betracht: ( + a) • ( + 6), ( + a ) •(—&), ( — a ) • ( + 6 ) , (— a) • (— b), von denen die beiden mittleren nicht wesentlich verschieden sind. Hier muß so verfahren werden, daß die früheren Regeln (5. bis 8. in § 7) erhalten bleiben, auch wenn einige der natürlichen Zahlen a, b, c, d Null sind, das ist nur dann der Fall, wenn wir definieren: 1. ( + & ) . ( + * ) = + M, 2. ( — b ) •(+(?)= — bd und ( + b) • (—d) = — bd, 3. (— b) • ( - d) = + bd. Diese Formeln geben folgende Regel, die man gewöhnlich die V o r z e i c h e n r e g e l nennt: Zwei Z a h l e n , von d e n e n j e d e p o s i t i v o d e r n e g a t i v sein k a n n , w e r d e n m u l t i p l i z i e r t , i n d e m m a n sie z u n ä c h s t o h n e R ü c k s i c h t auf d a s V o r z e i c h e n m u l t i p l i z i e r t , u n d dem e r h a l t e n e n P r o d u k t das p o s i t i v e o d e r das n e g a t i v e V o r z e i c h e n g i b t , je

62

III. Der Bereich der ganzen Zahlen

nachdem die beiden gegebenen F a k t o r e n gleiche oder ungleiche Vorzeichen haben. Wird nach dieser Regel verfahren, dann g e l t e n f ü r die M u l t i p l i k a t i o n im B e r e i c h der g a n z e n Zahlen wieder die früheren Grundgesetze wie bei der Multiplikation im Bereich der natürlichen Zahlen (§7). Nur das frühere fünfte Grundgesetz der Gleichmäßigkeit muß jetzt anders lauten. Für natürliche Zahlen wurde es dargestellt durch die Ungleichung a- c > 6 • c, falls a > i; wir können also schreiben: Ist a > bt so gilt a • c > 6 • c, wenn c > 0 ist. Aber für c = 0 muß es heißen: Ist a > b, so gilt a- c — b- c, wenn c = 0 ist. Für a>b ist aber — a < — b; da ferner c-(— a) = (— c) • a Und c • (— 6) = (— c) • b, so muß es heißen: Ist a > b, so gilt a - cb, so wird a- c%b- c, wenn c < 0 ist." Der Leser rechne selbst Zahlenbeispiele nach. Die obige Vorzeichenregel läßt sich natürlich auch auf beliebig viele Faktoren ausdehnen: Mehrere ganze Zahlen werden multipliziert, indem man sie vom Vorzeichen abgesehen multipliziert und diesem P r o d u k t das positive oder negative Vorzeichen gibt, je nachdem eine gerade oder ungerade Anzahl negativer F a k t o r e n vorhanden ist. Für die Potenz liefert diese Regel den Satz: ^ , ,„ _ an für eine gerade natürliche Zahl n, ' ~ [—a" ,, ,, ungerade natürliche Zahl». Entsprechend der Verallgemeinerung der Regeln 5. bis 8. in § 7 findet der Leser die Beantwortung der folgenden Frage:

§ IB. Multiplikation und Division im Bereich der ganzen Zahlen

63

Wie ist der Schlußsatz von § 7 für die Multiplikation zweier Aggregate, also zweier Summen ganzer Zahlen auszusprechen ? Auch für die Division gelten unsere früheren Betrachtungen in § 8 nunmehr allgemein für die ganzen Zahlen, da sich ja die Division auf die Multiplikation zurückführen läßt. Wir beschränken uns hier auf folgendes: Die obige Vorzeichenregel für die Multiplikation (1. bis 3.) heißt für die Division 4. ( + b ) : ( + d ) = + (b:i), 5. ( _ J ) : ( + d ) = — o d e r (+b):(—d) = — (b:i), 6. ( _ 6 ) : ( _ d ) = + (&:d). Im Anschluß an das 3. Beispiel (§ 9) mag noch das Divisionsverfahren zweier mehrgliedriger Ausdrücke gegeben werden (für den Fall, daß der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist), weil dieses Verfahren ganz analog dem der Division mehrziffriger Zahlen ist; damals konnte es nicht Platz finden, da die Subtraktion positiver und negativer Zahlen noch nicht behandelt war und auch nicht die Potenzen. Die Beispiele sprechen für sich selbst. 7. (24m2 + 6 w n - 4 m - 3 n 2 - 2 w ) : ( 2 m + n ) = 1 2 m - 3 « - 2 24w2 + 12tom (subt.) — 6mn— 4m— 3w2 — 2 n — 6mn —3w2 (subt.) — 4m — 2n — 4m — 2n 8. (15a4— 7a? + 15a?— 7a; + 4):(3a;2—2a; + l) = 5 x 2 + x + 4 15a?— 10a? + 5a;2 + 3a? + 10a?—7a;+4 + 3a?— 2a;2 + x + 12a:2—8a; + 4 + 12a;2—8a; + 4

64

III. Der Bereich der ganzen Zahlen

Mit Hilfe dieser Divisionsmethode zeige der Leser, daß d2—1 teilbar ist durch a-—1 und durch a + 1, a3 + l „ „ „ a + 1, a4—1 „ ,, „ a — 1 und durch a + 1. Wie muß n beschaffen sein, damit a " — 1 teilbar ist durch a—• 1 und durch a + 1, a» + l „ „ „ a + 1? Mit Hilfe dieser Überlegungen kann man im Anschluß an die Betrachtungen in § 11 auch die Kestregel für die Zahl 11 und damit auch die Teilbarkeitsregel für 11 aufstellen. Schreibt man irgend eine mehrstellige Zahl N wie in § 11: N = a0 + 10 • a x + 102 • a2 + 103 • a3 + • • und das in der Form: (a 0 — a x + a2— a3 H ) + ( l l a j + 99a 2 + 1001a3 -\ ), wobei 99 = 102-— 1, 1001 = 103 + 1 und so weiter, so sind alle Glieder in der zweiten Klammer durch 11 teilbar, und der Best bei derDivision N : 11 ist nur von der ersten Klammer abhängig. Am Schluß dieser Betrachtungen mag noch erwähnt werden, daß man auch vom a b s o l u t e n B e t r a g | a | einer ganzen Zahl a spricht, wenn man unter | a | den Wert dieser Zahl ohne jedes Vorzeichen meint. Was bedeuten dann die folgenden Beziehungen ? 9. | 2 | = s für 2 > 0, 10. | g | = — 2 für 2 < 0 und [ 0 | = 0, 11. j a • b | = | a | • | b |, 12. | a : b \ = | a | : | 6 |, falls b + 0. § 16. Geschichtliche Bemerkungen zur Erweiterung des Zahlbegriffs durch die Null und die negativen Zahlen Es bedurfte einer sehr langen Zeit, ehe die E i n s das Wesen einer Zahl erlangte. Um 300 v. Chr. definierte E u k l i d die Eins besonders: „Einheit ist das, wonach jedes Ding eins ge-

§ 16. Geschichtliche Bemerkungen z. Erweiterung d. Zahlbegriffs 65

nannt wird" und dann erst die Zahlen: „Zahl ist aus der Einheit zusammengesetzte Menge". Seitdem dauerte es noch rund zwei Jahrtausende, ehe die Eins ganz allgemein als Zahl anerkannt war. Der Null erging es schlimmer; denn heute noch schließen wir sie aus, wenn wir von den natürlichen Zahlen reden. N e g a t i v e Zahlen gab es bei den alten Griechen noch nicht; erst rund 600 Jahre nach Euklid unterschied ein spätgriechischer Mathematiker hinzuzufügende und abzuziehende Zahlen, rechnete aber nur mit den eigentlichen Differenzen. Erst die Inder stellten sich (Anfang des 8. Jahrhunderts n. Chr.) bewußt auf eine höhere Stufe; sie müssen daher als die Erfinder der negativen Zahlen (wie auch der Null) angesehen werden. Die Araber übernahmen von den Indern die Null, aber nicht die negativen Zahlen. Im Abendland wird der Standpunkt der Inder in der Auffassung der negativen Zahlen erst zu Beginn des 17. Jahrhunderts erreicht. Noch D e s c a r t e s spricht bei Gleichungen von falschen Lösungen, wenn sich negative Zahlen ergeben, aber wohl mehr dem Geschmack der Zeit entsprechend. Besonders gefördert wurde die Anerkennung der negativen Zahlen durch ihre sich mehr und mehr zeigende Verwendungsmöglichkeit, wozu im besonderen auch die immer stärker hervortretende analytische Geometrie (Fermat und Descartes) beitrug, deren Grundlagen ja zwei sich im Nullpunkt schneidende Zahlgeraden bilden. Das 18. Jahrhundert brachte so gut wie keine Fortschritte; dies blieb der Wende dieses Jahrhunderts und besonders der Mitte des 19. Jahrhunderts vorbehalten, als man sich mehr der Grundlegung der Arithmetik widmete. Man erkannte, daß kein logischer Zwang, sondern nur Zweckmäßigkeitsgründe für die negativen Zahlen sprachen. Hermann H a n k e l 2 0 ) war es, dem die endliche Klarstellung gelang vermöge eines von ihm aufgestellten P r i n z i p s '") Das betreffende Werk Hankels heißt: „Theorie der komplexen Zahl»yateme" (Leipzig 1867). F i s o h e r . Arithmetik. 5

66

III. Der Bereich der ganzen Zahlen

d e r P e r m a n e n z f o r m a l e r G e s e t z e . Davon soll noch kurz die Rede sein. Wir knüpfen an zwei einfache P u n k t e von früher an. In § 7 unter Nr. 1 konnten wir das P r o d u k t 1 • a als eine Summe von a Einsen ansehen, dagegen versagte eine solche Auffassung f ü r a • 1, was wohl die Form, aber nicht den Sinn eines Produktes h a t t e . Das Gesetz der Vertauschung bei der Multiplikation würde also hier versagen. Damit dies nicht eintritt, erweiterten wir den Begriff der Summe auch auf den Fall eines einzigen Summanden. Dann h a t a • 1 ebenfalls den Sinn eines Produktes, und nunmehr bleibt das Vertauschungsgesctz auch f ü r die F o r m a • 1 erhalten. Man sagt: Das Grundgesetz der Vertauschung bleibt formal erhalten oder auch: das formale Gesetz der Vertauschung bleibt erhalten. In diesem Sinn spricht Hankel von der E r h a l t u n g (Permanenz) formaler Gesetze. Um dies noch deutlicher erkennen zu lassen, greifen wir forner das P r o d u k t einer negativen Zahl mit einer positiven heraus : (— a) • b kann wohl als eine Summe von b Summanden angesehen werden, von dem jeder gleich — a ist, aber nicht & • ( — « ) als eine Summe von lauter Summanden b von der Anzahl — a. Wir erteilen trotzdem auch der Produktform b • (— a) einen Sinn, nämlich den von ( — a) • b. Es findet also ähnlich wie vorhin eine Erweiterung des Begriffs der Multiplikation s t a t t , d a m i t das Vertauschungsgesetz f ü r sie wieder formal erhalten bleibt, auch wenn ein F a k t o r eine negative Zahl ist. Damit ist wieder das formale Grundgesetz der Multiplikation erhalten geblieben, aber nicht nur f ü r einen Einzelfall wie oben, sondern f ü r eine ganze Gruppe von Zahlen. Nach diesen einfachen Beispielen wird der Leser verstehen, was Hankel im oben angeführten Werk meinte, wo er in § 3 über das P e r m a n e n z p r i n z i p , wie es kurz genannt wird (man findet auch die gute verdeutschte Bezeichnung „Grundsatz der Ausnahmslosigkeit", während uns der kurze Ausdruck

§ 16. Geschichtliche Bemerkungen Z.Erweiterung d. Zahlbegriffs 67 „Erweiterungsverfahren" in seiner Bedeutungsfülle zu allgemein erscheint), folgendes sagt: „Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der Arithmetik ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfache Größen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgendwelchen anderen Inhalt bekommen. Das Prinzip wird im folgenden unsere Schritte leiten, es darf aber in seiner Allgemeinheit nicht ohne weiteres und überall verwendet werden, sondern nur zur Definition von Regeln." „Wie wir die Regeln der rein formalen Verknüpfungen definieren, steht in unserm Belieben, nur muß eine Bedingung als wesentlich festgehalten werden: nämlich daß irgendwelche logischen Widersprüche in denselben nicht einbegriffen sein dürfen." Wir erinnern dabei daran, daß (Ende § 12) die Division durch Null ausgeschlossen wurde. Wir wollen diese Betrachtungen über das Permanenzprinzip, auf das wir weiterhin immer wieder zurückkommen, abschließen mit einer Bemerkung von F e l i x K l e i n 2 1 ): „Als wichtigstes psychologisches Moment, das zur Einführung der negativen Zahlen Anlaß gab, kommt die allgemeine Eigentümlichkeit der menschlichen Natur in Betracht, daß wir unwillkürlich geneigt sind, nach Regeln, die für spezielle' Fälle abgeleitet und gültig sind, auch unter anderen allgemeinen Umständen zu verfahren." Im Anschluß daran spricht Klein vom Permanenzprinzip und sagt unter anderem, daß gerade die auf diesem Prinzip beruhenden Festsetzungen geeignet seien, einen gleichförmig bequemen Weg (bei Klein „Algorithmus") zu liefern, während jede andere Festsetzung immer zu zahlreichen Fallunterscheidungen bei allen Regeln zwingen würde. 21 ) Felix K l e i n , Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus. 1. Bd. 1. Teil, II 1. Jul. Springer, Berlin 1933.

IV. Der Bereich der rationalen Zahlen

68

Vierter Abschnitt Der Bereich der rationalen Zahlen § 17. Einführung der Brüche als Zahlen Wenn wir die Brüche erst nach den negativen Zahlen einführen, so folgen wir nicht der geschichtlichen Entwicklung. Brüche hat es schon immer gegeben; das praktische Leben zwang die Menschen beim Teilen und Messen, sich mit Brüchen abzugeben. Wir wissen, daß die S u m e r e r , die V o r l ä u f e r d e r B a b y l o n i e r , schon vor rund 5 Jahrtausenden mit Brüchen gerechnet haben; die a l t e n Ä g y p t e r hatten es im Rechnen mit Brüchen rund 1000 Jahre später sogar zu einer „staunenswerten Vollkommenheit" gebracht. Es muß also an den Brüchen schon etwas durchaus „Wirkliches" sein, wenn sie infolge ihrer Bedeutung für das praktische Leben ein derart ehrwürdiges Alter besitzen. Wir wollen das an zwei einfachen Beispielen zeigen. Teilt man einen Apfel in 4 gleiche Teile, so nennt man jeden Teil einen Viertelapfel, und je nachdem man von den 4 Teilen einen nimmt, oder zwei, drei, so stößt man auf die Bruchteile f . f ; a H e vier Teile zusammen geben | oder das Ganze. Die Bezeichnung Viertel erinnert in der Silbe „tel" an das Wort „Teil". Will man eine Strecke s messen, so muß man ein Grundmaß, eine Einheitsstrecke e haben, die man so oft (n mal) hintereinander auf die zu messende Strecke s abträgt, wie es geht; bleibt eine Reststrecke r, so ist diese kleiner als die Einheitsstrecke. Man erkennt die Ähnlichkeit dieses Vorgehens, das sich durch 1.

s= n • e+ r

ausdrückt, mit der Gleichung zu Beginn der Rest- und Teilbarkeitsregel in § 11. Um diese Reststrecke r auch irgendwo zahlenmäßig ausdrücken zu können, teilt man die Einheits-

§ 17. Einführung der Brüche als Zahlen

69

strecke e in gleiche Unterteile und mißt damit die Reststrecke r. So wird man auch beim Messen zu Unterteilungen der Einheit, des Ganzen gezwungen und kommt damit zu den Brüchen. Um nun dem Bruch die Bedeutung einer Zahl beizulegen, gehen wir auf den Begriff des Q u o t i e n t e n zurück. Wir unterschieden (§11) v o l l s t ä n d i g e und u n v o l l s t ä n d i g e Quot i e n t e n a: b, je nachdem a ein Vielfaches von b war oder a zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vielfachen von b lag: 2. a = nb + r, wo 0 fS r < b, oder 3. nb =^, + 1

U

2

Zjj 1 «;» = — = , m 3 h +

1 i — h +

1

,

1

ir

h

1

;

+ ,6 3 6 2 + 1 h h

h h h

+

+ h

1

+

=

h

h h h ^

+ gi +

^h

§19. Kettenbrüche «4_ w4

^ 4

77

1

__

h h

+

1

+ &4 +

h h h

h i h h

+

V

+

h

+

M s M i + M i + M i + M s + 1 bi-n a + n 2 Durch den Schluß von n auf (n + 1 ) läßt sich zeigen, worauf wir aber nicht eingehen, daß für ein beliebiges l k sich wk durch die Zähler und Nenner von bk—i und genau z.

so ausdrücken läßt, wie etwa — durch die Zähler und Nenner nt von den beiden vorhergehenden Näherungswerten und außerdem durch &4: z w Zk = 7lk • k-1 + ^4—2 • k = — %

h

• nk_x

+ «¿_ 2

Hat man also die beiden ersten Näherungswerte für einen Bruch bestimmt, so kann man daraus den dritten Näherungswert finden und aus dem zweiten und dritten Näherungswert den vierten und so weiter: IQ - = ( 0 ; 2 , 1 , 3,1,3). Z, % Ws

Zn n2

^ g3 ^ hz-i + h «3 Ma + %

w . =

6

1 2

^

=

K h

+

% =

w4 _ g5

\ n 3 + «2 +

Mg

6 s m 4 +M 3

1 3

+ 4 3-3 + 2 11' 1 - 4 + 1 = _5_ 1 • 11 + 3 14' 5 + 4 19

3 - 1 4 + 11 53' 19 , 1 1 4 5 Die Näherungswerte zu — sind also —, -5-, —, — öo £ O 11 14

78

IV. Der Bereich der rationalen Zahlen

Eine Vergleichung dieser Werte mit — zeigt, daß der wahre ÖO

Wert des Kettenbruches stets zwischen je zweien der aufeinanderfolgenden Näherungswerte liegt, und zwar ist stets ein ungerader Näherungswert (das soll heißen, bei dem k eine ungerade Zahl ist) größer als der wahre Wert und ein gerader Wert kleiner. Auch das könnte man natürlich allgemein zeigen. Die Näherungswerte sind um so weniger vom wahren Wert verschieden, je größer k ist; man sagt, d i e R e i h e d e r N ä h e r u n g s w e r t e n ä h e r t sich mit w a c h s e n d e m k gegen den wahren Wert. Die Bedeutung der Kettenbrüche liegt in der möglichen Verwendung eines der Näherungswerte statt des wahren Wertes überall da, wo man gezwungen ist, mit Brüchen zu rechnen, deren Nenner recht groß ist, also auch, falls Dezimalbrüche mit großer Stellenzahl hinter dem Komma vorliegen. Bedenkt man außerdem, daß j e d e r e i n z e l n e N ä h e r u n g s w e r t d i e b e s t e A n n ä h e r u n g d a r s t e l l t , die sich mit einem B r u c h v o n n i c h t g r ö ß e r e m N e n n e r ü b e r h a u p t erm ö g l i c h e n l ä ß t , so ist der Wert der Kettenbrüche für das praktische Rechnen genügend gekennzeichnet 23 ). § 20. Einordnung der Brüche in die Reihe der ganzen Zahlen D i e Z a h l g e r a d e für rationale Z a h l e n

Auf der Zahlgeraden für ganze Zahlen (Abb. 17, § 13) denken wir uns die Einheitsstrecken zwischen den Punkten zweier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen eingeteilt in Halbe, Drittel, Viertel und so weiter. Die Teilpunkte erhalten als Marken die ihnen entsprechenden echten Brüche, und jedem Teilpunkt auf der Zahlgeraden ordnen wir diejenige ratiozs ) Die hier behandelten Kettenbrüche heißen r e g e l m ä ß i g (Teilzähler alle gleich 1 und Teilnenner natürliche Zahlen) und e n d l i c h . Fällt die Einschränkung in der Klammer weg, so spricht man von a l l g e m e i n e n Kettenbrüchen. Bezüglich einer eingehenden Behandlung sei verwiesen auf O. P e r r o n , Die Lehre von den Kettenbrüchen, B. G. Teubner, Leipzig, 1929.

§ 20. Einordnung der Brüche in die Reihe der ganzen Zahlen

79

nale Zahl zu, welche die Summe bildet aus der ganzen Zahl des Anfangspunktes der betreffenden Einheitsstrecke und dem echten Bruch, der als Marke an dem Teilpunkt steht; hierbei ist als Anfangspunkt einer Einheitsstrecke stets der Endpunkt zu verstehen, der näher am Nullpunkt liegt. «

-3 i - 2 J - l J 0 J+l 2+2 i+3 ,, i . . . i . . . i . . . o. • i ' • • l ' ' 1 ' 12 1 1 2 1 J 1 I n l I i 1 2 3 123 444 444 4 4 4 U 4 4 4 444 444 Abb. 18.

—»

Damit ist der Begriff der Zahlgeraden der ganzen Zahlen erweitert zur Z a h l g e r a d e n der r a t i o n a l e n Zahlen. Bei immer weitergehender Unterteilung der Einheitsstrecken rücken die r a t i o n a l e n P u n k t e - — um einen kurzen Ausdruck zu haben — mehr und mehr aneinander, und die gedankliche Fortsetzung kann es erreichen, daß die r a t i o n a l e n P u n k t e ü b e r a l l d i c h t liegen. Damit wird folgendes gemeint: In jedem Stück der Zalüengeraden, das noch so klein sein kann, lassen sich stets beliebig viele rationale Punkte (gedanklich) angeben. Auf dasselbe kommt es hinaus, wenn man sagt: Zu irgendeinem rationalen Punkt P gibt es keinen nächsten rationalen Punkt; denn gäbe es einen solchen P', so ließe sich die Strecke TT' wieder (gedanklich) in gleiche Unterteile zerlegen, und man hätte einen neuen nächsten Punkt P", was einen Widerspruch darstellt. Schließlich findet man diese Tatsache auch so ausgedrückt: Sind A und B irgend zwei rationale Punkte des Zahlstrahls, die die rationalen Zahlen a und b(a< b) darstellen, so gibt es zwischen A und B keinen Punkt mit einer größten und keinen mit einer kleinsten rationalen Zahl. Die Begriffe „Größer", „Gleich" und „Kleiner" bei rationalen Zahlen

Die Begriffe „Kleiner" und „Größer", die wir bei Abb. 17 in § 13 bereits für die ganzen Zahlen mit der Zahlgeraden in

80

IV. Der Bereich der rationalen Zahlen

Verbindung brachten, dehnen wir auch auf die rationalen Zahlen aus und sagen: Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige die größere, deren Punkt auf der Zahlgeraden rechts von dem der andern Zahl liegt. Dies soll jetzt arithmetisch ausgedrückt werden. Ist ein Bruch

gegeben, so nimmt er stets die Form ' b |b | an und erhält nach der Vorzeichenregel in § 18 das Vorzeichen + bei gleichen Vorzeichen von a und b, das Vorzeichen — bei ungleichen Vorzeichen. Dann gilt entsprechend unserer letzten Festsetzung auf der Zahlgeraden ohne weiteres, daß jeder positive Bruch größer als jeder negative Bruch anzusehen ist. Innerhalb der negativen Brüche nennen wir: a c \a\ I cI

1>T

wenn

|i| ß oder ß < oc. Gibt es jedoch in Bx wenigstens zwei verschiedene Zahlen, die nicht in A t enthalten sind, so nennen wir oc < ß oder ß > oc. Nach diesen Definitionen wird das S y s t e m der r e e l l e n Z a h l e n ein g e o r d n e t e s G e b i e t von e i n e r D i m e n siongenannt. Damit soll nur gesagt sein, daß jetzt die früheren Gesetze I, II, I I I auch für dieses System gelten, wenn man dort die kleinen lateinischen Buchstaben durch kleine griechische Buchstaben ersetzt, das heißt, wenn man in jenen Gesetzen unter dem System R jetzt das System der reellen Zahlen versteht. Außerdem besitzt das System der reellen Zahlen dieselbe Stetigkeit, die oben den Punkten der geraden Linie zugeschrieben wurde, denn man kann zeigen, daß es im Gebiet der reellen Zahlen keine solchen Lücken geben kann F i s c h e r , Arithmetik.

1

98

V. Der Bereich der reellen Zahlen

wie im Gebiet der rationalen Zahlen. Was Dedekind unter dem Wesen der Stetigkeit versteht (siehe oben), stimmt mit dem Cantorschen Axiom am Ende von § 23 überein, natürlich abgesehen von der äußern Form der Einkleidung. § 25. Rechnen mit reellen Zahlen Sind oc und ß zwei reelle Zahlen, durch welche die Schnitte {Av A2) und (Bv B2) hervorgebracht werden, so soll untersucht werden, was es heißt, wenn oc und ß durch eine Rechenart verknüpft und das Ergebnis der Rechnung durch y bezeichnet wird. Gelingt es, eine solche Rechnung auf die entsprechende Verknüpfung rationaler Zahlen zurückzuführen, so soll diese Rechnung als für reelle Zahlen definiert angesehen werden. Das ist aber der Fall, wenn es gelingt, einen Schnitt (Cx, C2) zu definieren, der dem Rechenergebnis der Verknüpfung von oc und ß entspricht. Dedekind führt dies in § 6 für oc + ß durch: „Ist c x irgendeine rationale Zahl, so nehme man sie in die Klasse G1 auf, wenn es eine Zahl a x in A1 und eine Zahl 6 1 in B1 von der Art gibt, daß ihre Summe + c 1 wird; alle andern rationalen Zahlen c2 nehme man in die Klasse C2 auf. Diese Einteilung aller rationalen Zahlen in die beiden Klassen Cv C2 bildet offenbar einen Schnitt, weil jede Zahl c1 in G1 kleiner ist als jede Zahl c2 in C2. Sind nun beide Zahlen tx, ß rational, so ist jede in G1 enthaltene Zahl q a + ß, weil ax SS oc, ^ ß, also auch + + ^ ist; wäre ferner eine in C2 enthaltene Zahl c2 < oc + ß, also oc + ß — c2 + Vi wo P eine positive rationale Zahl bedeutet, so wäre c2 = {oc~\V) + (ß-\p), was im Widerspruch mit der Definition der Zahl c 2 steht, weil oc — \f eine Zahl in Ax und ß — \ p eine Zahl in Bi ist; folglich ist jede in C2 enthaltene Zahl c 2 S i a + ß. Mithin wird in diesem Fall der Schnitt (Cv C2) durch die Summe

99

§ 25. Rechnen mit reellen Zahlen

1,416 > 1,41428 > 1,414215 • • • > j/2 1,4 < 1,413 < 1,41420 < 1,414213 • • • < j/2

W2

Wt

We

Ws

•••

Man erkennt, wie die W mit ungerader Zahlenbezeichnung (Index) immer kleiner, die mit gerader immer größer werden und je zwei übereinanderstehende Werte den wahren Wert von j / 2 (in § 27 wurde \!7l auf 8 Stellen genau 1,4142135 . . . bestimmt) in immer engere und engere Grenzen einschließen.

112

V. Der Bereich der reellen Zahlen

Berechnung von ^ 3 : x = |/§; a? = 3; a ; 2 — 1 = 2; ( « — 1 ) ( & + 1 ) = 2; x— 1 = 2 : (tc + 1);

l 2

I 1 +

_i

1

2

2+®— 1

+

2 1 + — (x— l)undsofort. u

Man sieht, daß die Teilnenner die Periode 1,2 haben, wir schreiben: 1/3 = 1 + (0; 1 , 2 , 1 , 2 , . . . ) = (1;

w,

Die Näherungswerte wn lassen sich wieder nach § 19 berechnen und sind aus der folgenden Zusammenstellung der W„ zu erkennen:

2

1

> 1

3

. . . ) = (1;

< 1

W2

4

w3

ws

3

11

> 1

, 8 i i
1

, 4 i

30

w7

41 5 - 6

> 1

wt

wu

153

, 571

2 Ü 9

„112 , 418 1 5 3 < 1 5 - 7 1 wt f8 W10

> 1

f1 5

^ 7953

7 8 Ü -

> 1

l W

>

^ ,/i

< 1

Man beachte die Beziehung des Nenners in W n mit dem Zähler in WN+I hier und bei |/2! Die entsprechende Darstellung in Dezimalbruchform überlassen wir dem Leser; er wird dann wieder die Einschließung von j/3 in immer engere und engere Grenzen erkennen, besonders wenn er sie mit dem in § 27 angegebenen Wert vergleicht.

3

§ 28. Das Kettenbrachverf. z. Berechnung v. Quadratwurzeln

113

Um ferner dem Leser die Gelegenheit zu einer eignen Entwicklung einer Quadratwurzel zu geben, folgen hiernach die Näherungswerte für |/ö

— 4 = 1 ; x— 2 =

*

2

j:

i 2± 2— 2 - ^ 2 ^ 2 5473 4 ' 17' 72' 305' 1292' 5473' 23184''"' Die Entwicklung der Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl in einen unendlichen Kettenbruch weist stets eine Periode der Teilnenner auf. Ein Beispiel einer vierstelligen Periode zeigt |/7: 3 g? = 7; a 2 — 4 = 3 ; ® x— 2 = - ; ferner x+ 2 ts—1 2 x1 1 = 6; also © - = • -. 3 a+1 Teilnenner: ® 3 1 1 x—2= = = : «,1 = 1. x+ 2 x+ 2 1' + .3, 3 a—1 © 2 1 1 «2 = 13 b+ 1 x+ 1 a:— 1' 2

2

„ =

K -

+ Zfl-2 ™ , die Werte 1 + «»-2

I 2 — 2 U 22° 231 2 ' 2 3 ' 14' 17' 31' 4 8 ' ' " * Um dem Leser Gelegenheit zu weiteren solchen Kettenbruohdarstellungen zu geben, seien noch angeführt: 3

2 2

] / n = (3; C 6 ) , | / 4 l = (6; 2 ^ 1 2 ) ,

_

/ l 9 = (4; 2, 1, 3 , 1 , 2, 8), l/31 = (5; 1,1, 3, 5, 3 , 1 , 1 , 1 0 ) . Aus den letzten beiden Beispielen erkennt man bereits die allgemeine Form der Periode: ist sie fc-stellig, so wiederholen sich bei den ersten k — 1 Stellen von der Mitte ab die Stellen in umgekehrter Reihenfolge (symmetrische Folge), während die fc-te Stelle gleich der doppelten Zahl ist, die die Ganzen angibt. Der Leser prüfe daraufhin die bisher genannten Wurzeln. § 29. Wurzeln von der Form j/a2 + b, wo h Teiler von 2a ist Ist z = a 2 + b, a 2 die nächstkleinere Quadratzahl zu z, so ist i durch z — a? bedingt, also b < (a + l ) 2 — a 2 = 2a + 1, und jede natürliche Zahl z läßt sich in dieser Form darstellen. Auch der Fall, daß z ein endlicher Dezimalbruch ist, läßt sich so darstellen, wenn man z mit einer entsprechenden Potenz von 100 multipliziert und den Wurzelwert durch dieselbe Potenz von 10 dividiert. Liegt z näher an (a +1)2 als an a 2 , so könnte man die Form a 2 -—6 betrachten, aber dabei a 2 als das Quadrat von der nächsthöheren Quadratzahl zu 2 ansehen und in a2 + b die Zahl b als negativ. Wir entwickeln a = |/a 2 + b, zunächst ohne Rücksicht auf die obige Bedingung für b, in einen Kettenbruch:

. _ . _ » _ » [/ll > \/18, ^27, 1 / 3 8 , . . . C. b = a, x = l/a2 + a = natürlichen Zahlen a, die Produkte zweier Zahlen sind: fö, j/6,

j/a • (a + 1) = (a, 2^2a) für alle also Quadratwurzeln aus Zahlen, aufeinanderfolgenden natürlichen / l 2 , ^20, (/30, j / 4 2 , . . .

D. b ist Teiler von a. Wir setzen a = bn, also 2 = J/b2w? + 6 = (6»; 2n, 2bn) für alle natürlichen Zahlen b und n. Man erhält etwa für b = 3 und n = 2, 3, 4 , . . . ; 6 = 4 und w = 2, 3 , . . . 8'

116

V. Der Bereich der reellen Zahlen

und so fort, die Entwicklungen von j/39, )/84, j / 1 4 7 , . . . ; |/68, j / 1 4 8 , . . . ; l / l Ö 5 , 1 / 2 3 0 , . . . ; . . . . Der Leser vergleiche hiermit die früheren Kettenbruchentwicklungen. § 30. Das Heronsche Verfahren und seine Beziehung zu den Kettenbruchentwicklungen der Quadratwurzeln 29) Wir wenden uns jetzt dem allgemeinen Fall zu, daß für \ß = j/a 2 + 6 die Zahl 6 kein Teiler von a ist, aber 6 < 2a + 1. Geht man von dem „Grundwert" a für |/i aus, so ist \/z — j/a • (z: a) genau das geometrische Mittel (§ 21) zu o und z: a. Ersetzt man das geometrische Mittel durch das 1 ( z so ist dies ein verarithmetische Mittel W l = — [a -| u

\

GL

besserter Wert von a für j/i, und man hat das Quadratwurzelziehen erspart. Die beistehende Abbildung c zeigt, daß das arithmetische Mittel r zu zwei Zahlen p und q ihrem geometrischen Mittel h um so näher kommt, je näher p an q liegt, das heißt für unsern Fall, je näher a an zÄ~ DM liegt. Abb. 19. Eine Wiederholung des Verfahrens mit Wx liefert einen weiteren verbesserten Wert Wn. Wir schreiben: w,

+

+

^ = a + - = a+

Wl.

Vgl. hierzu Anfang § 27 a + (&: 2a) auf S. 106. '•) Vgl. hierzu K. K o m m e r e i l , Das Grenzgebiet der elementaren und höheren Mathematik, Leipzig 1936, § 1 und i 15.

§ 30. Das Heronsche Verfahren und seine Beziehung usw

=

+

4a?l + ¥ — n : 8a 3 + 4ab

~

a

+1

w

n11

8a4 + 8 a2& + i 2 8a 3 + 4a&

^

64a 6 1 + 80a4 ¥ + 24a2 P + W

_ ~

0

a +

5

3

2

128a' + 192a 6 + 80a 6 + 8

6

117

_

8aV> ~ 4

2

a

+

W l u

_ 128a + 256a & + 160a & + 32a fc + &4 128a7 + 192a5 6 + 80a3 i 2 +

2

3

Sab3

'

Diese Werte finden sich wieder, wenn man die Näherungswerte Wn = a + wn des Kettenbruches von §29

2aj be-

rechnet. Es zeigt sich, daß Da für bestimmte Zahlen die Rechnungen einfacher werden, mag der Leser für die Wurzeln )/2 und (§ 28) auch W j bis Wjv berechnen; er wird finden, daß WIV = Wlb = a + w15 ist. Aus diesem Grunde wurden damals die Werte w so weit angegeben. Aber auch für andere Werte statt als Ausgangswerte des Heronschen Verfahrens ergeben sich wieder Näherungswerte der Kettenbruchentwicklung derart, daß aus Wn sofort W2n+i folgt. Mit Hilfe der obigen allgemeinen Werte W„ läßt sich zeigen, daß F i = W2 zu Wn = Ws " ) Man venneidet bei dieser Ausrechnung gewisse Schwierigkeilen, wenn man zunächst bis w, f ü r (0; qit qt) berechnet; man wird erhalten:

1 fr

tO\ — —. tCi =

«i . 10a = , + 1 . M. = gigj + 2 q, t • • • m, + i ifii + 2j, q\q\ + 3?,«, + l ?!«! + + 6 qtq, + l q\q\ + 6ff5«I + 10q\q, + 4

2a Dann setzt man q, = — und q, — 2a und bildet Wn = a + wn. o

118

V. Der Bereich der reellen Zahlen

führt, mit den früheren Werten Wn von }/2 und | / § sogar, daß Wn = Ws führt zu Wm = Wn (auch dieser Wert wurde früher angegeben). Die engen Beziehungen des Heronschen Verfahrens zu den Kettenbruchentwicklungen

2a j sind also gezeigt.

(Daß das Heronsche Verfahren mit Vorteil auch auf jeden beliebigen Näherungswert einer Quadratwurzel angewendet werden kann, leuchtet ohne weiteres ein.) Für die mehr als zweistelligen periodischen regelmäßigen Kettenbrüche gelten diese Beziehungen im allgemeinen nicht, wie der Leser für j/31 (§ 28) nachrechnen mag; aber für ]/7 folgt aus Wn = W3 wieder W m = W~. Noch einige kurze geschichtlichen Hinweise: Bei den alten I n d e r n aus dem 5. bis 4. Jahrh. v. Chr. kommt für j/2 der Wert vor 1 + — + -—-— - — d a s o o-4 o•4•o4 ist unser Wert Wlu für j/2. Für j/3 hat A r c h i m e d e s (3. Jahrh. v. Chr.) folgende Grenzen angegeben: 265 1351 < 153 ^ W Das sind die früheren Werte Wg und Wlv wobei sich nach Heron berechnen läßt w

- L

w —— w

aber Wa 31 ) läßt sich so nicht erklären. Von H e r o n (um 100 v. Chr.) wissen wir, daß er das nach ihm benannte Verfahren gekannt hat; in seiner Vermessungslehre hat er es sogar wiederholt. sl ) K o m m e r e l l ( v g l . Anm. s »)gibt dafür in§ l e i n e glaubwürdige Erklärung wie ArchlmedeB den Wert gefunden haben könnte.

§31. Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten

119

Schlußbemeikung zu der Berechnung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche Auch dritte und höhere Wurzeln lassen sich in gewöhnliche Kettenbrüche verwandeln, ferner die noch zu besprechenden Logarithmen, wie überhaupt alle irrationale Zahlen; sie sind aber nicht mehr periodisch. Für n = (3; 7 , 1 5 , 1 , 292, 1 , 1 , 1 - • •), das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser, seien die entsprechenden Näherungswerte angegeben: w 1 —— w 7'

2

— — w3 — — w4 106' 113'

103993

33102

" "

mit einer entsprechenden Genauigkeit bis zur 2, 4, 6, 9-ten Stelle des zugehörigen Dezimalbruchwertes nach dem Komma. Als Merkwürdigkeit sei noch angeführt, daß 3 ,— 22 289 Y31 = (3; 7 , 1 3 , 1 , . . . ) mit den Näherungswerten — , — der Zahl n sehr nahe kommt. g 31. Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten Definition und Wurzelgesetze Die Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten in § 10 wurden in § 17 auf solche mit ganzen Zahlen ausgedehnt. J e t z t soll auch den Potenzen ein Sinn beigelegt werden, deren Exponenten rationale Zahlen sind; das müssen Potenzen sein, die als Sonderfälle die bisherigen Potenzen einschließen. Die damit eintretende Erweiterung des Potenzbegriffs, die getreu dem Permanenzprinzip vorgenommen wird, darf mit den bisherigen Potenzgesetzen nicht in Widerspruch stehen. V

Da nach der Definition vQn —, wo p und q natürliche 3 Zahlen sein mögen, nq

j • q = f ist, da ferner f ü r q n

= n

das Gesetz a = ( « " ) » = (a ) erhalten bleiben muß, so wird (für teilerfremde Zahlen j> und q und a > 0) definiert

120

V. Der Bereich der reellen Zahlen

o» = denn das ist die Zahl, welche mit q potenziert aP ergibt, ferner —£ ? a 9=1: entsprechend dem Begriff einer Potenz mit negativem Exponenten (§ 17). Die Gesetze für das Rechnen mit Wurzeln ergeben sich ohne weiteres aus den frühern Potenzgesetzen in § 10, wenn V dort n durch — ersetzt wird: 2 I. V e r t e i l u n g s f o r m e l n : n n n n n n | l / ä : l / & = |/ÜTI II. V e r b i n d u n g s f o r m e l n : v

p n-p

v "1 Ig

v-i

p

III. 1 = da sich ihre Richtigkeit durch Potenzieren ergibt. Der Wortlaut dieser Wurzelgesetze (von rechts nach links gelesen und umgekehrt) bleibe dem Leser überlassen. Um die Eindeutigkeit des Wurzelzeichens zu bewahren, n

soll festgesetzt werden, daß unter Yä, wo a positiv ist, immer nur die eine positive Zahl x verstanden werden soll, welche die Gleichung xn = a erfüllt. Unter dieser Vorausn n setzung darf man aus a=b schließen ]/a = j/fc und umgekehrt. Die Bestimmung der anderen Wurzelwerte gehört in das Gebiet der Gleichungen 32 ). " ) Vel. Bd. 930 dieser Sammlung: W. K r u f l , Elementare Algebra.

§ 31. Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten Beispiele:

121

4

3 6 * = j/36 = 6 ; 1 6 * = ( j / l 6 ) 3 = 2» = 8 (j/ä + ]/&)2 = a + & + 2 ]/ö& (2

+ 3 / 5 ) 2 = 4 • 3 + 12 j/lö + 9 • 5 = 57 + 12 |/l5

( j / 3 - j/2) (1/3 + J/2) = (1/3 ) tfä-1

)* = V8 -

. r f t - i f c ^

3 1/4 + 3 h

'7-1/3 3 _

22

2 2 . ( S . + 3|/6

+

3

2

- (1/2)2 = 1 - 1 ; ^

=

= }

|/25) =

9 +

3

13( 46V

=

7*-(l/3)2

f c

1/2

+

' fe

da ( a 3 — &3) = ( a — 6) • (o 2 + ab + 1 / 2 0 2 5 = / 2 5 ^ 8 i = 5 - 9 = 4 5 ; 3• ^ p

p

]/ (») = »*. Natürlich kann hier p > n sein, was bei den Variationen ohne Wiederholung unmöglich wäre. Kombinationen Sollen n E l e m e n t e zur p - t e n K l a s s e k o m b i n i e r t werden, so heißt dies, man soll aus n Elementen p Elemente so oft, als es möglich ist, herausgreifen, ohne daß auf die Anordnung der herausgegriffenen Elemente geachtet wird. Folglich wird sich die Anzahl Kp (n) aus der entsprechenden Formel für die Variationen ergeben, wenn man noch durch p 1 (die Anzahl der Permutationen der herausgegriffenen Elemente) dividiert: K

, .

K

*{U) =

w ( w — l ) ( w — 2 ) - - - ( w — p + 1)

Man schreibt dafür ^

1• 2• 3• • • p

•

j und liest das „n über p" oder „n tief

p"; man beachte, daß im Zähler ebensoviel Faktoren stehen wie im Nenner. Dabei ist ^ " j = n und setzen

=

(q)

=

39)

" ) Ohne Schwierigkeit kann man auch folgende Formeln

pl(n—p)l

finden:

= ( " ) ; [ % ( " ) ; ( " ) + ( " ] = (n+1). \pJ \pj \n—pl \pl \p—11 \ v /

^

zu

147

§ 39. Der binomische Lehrsatz

Bezüglich der K o m b i n a t i o n e n m i t W i e d e r h o l u n g e n mache man sich an Zahlenbeispielen klar, daß ihre Anzahl für n Elemente zur p-ten Klasse gleich der Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung für (n + p— 1) Elemente ist. Dann ergibt sich die Formel: , . _ n(n + l ) ( n + 2 ) - - - ( w + p — 1 ) W

1-2-3 ...p

•

§ 39. Der binomische Lehrsatz Aus der Formel (a + 6)2 = a 2 + 2ab + 6* kann man erhalten: ( a + 6 ) 3 = ( a 2 + 2 a 6 + 6 2 ) • (a+b) = a 3 -|-3a 2 6+3a& 2 + V>. Diese beiden Formeln schreiben wir anders: (a + bf = aa + ab + 66 + 6a (a + bf = aaa + aab + abb + 666 + aba + bab + baa + 66a. Würde man das fortsetzen, so erhielte marr'für (a + 6)" schließlich alle Variationen für die beiden Elemente a und 6 zur n-ten Klasse, aber mit Wiederholung. Dabei sind natürlich diese Variationen als Produkte anzusehen uhdzu addieren. Wieviel solcher gleichartigen jeder Gruppe gibt es? Irgendein Glied der Entwicklung wird eine bestimmte Potenz von o enthalten, etwa die pte, dann ist die von 6 die (n — p) te, so daß wir von einem Glied a?bn—p reden können. Dieses wird so oft vorkommen, wie sich n Elemente (nämlich p Elemente a und n — p Elemente 6) permutieren w! lassen, also nach § 38 — , mal, was nach Anm. 39 -) p\ (n—p)\ gleich ^"j ist. 10*

148

Anhang

In der Entwicklung für (a + 6)" kommt somit das Glied Pl vor. Um nun alle Glieder der gewünschten Entwicklung zu erhalten, braucht man nur in dem eben aufgestellten Glied der Reihe nach für p alle ganzen Zahlen von n bis 0 zu setzen und diese n + 1 Glieder zu addieren. Man erhält so

+ (w—^(2)

o^+ Q

(0y

Abgekürzt schreibt man das auch in der Form: p—n . .

(a + 6)" = £

Q

a>l n ~v.

Früher wurde erwähnt, daß ( M ) = ( W ) und ins\pl \n—pl besondere

=

= 1 ist; darausfolgt, daß die Glieder,

die gleich weit vom Anfang und Ende entfernt sind, gleiche Koeffizienten haben, so daß wir erhalten: (a + b)n = a" + Q

a»-1 b + Q

an~2 V H

+(2) M n - 2 +(3 «&"-1+ Hierin können a und b irgendwelche reellen oder komplexen Zahlen sein; n ist der Ableitung entsprechend eine natürliche Zahl. Vom binomischen Lehrsatz kommt man zum p o l y n o m i s c h e n L e h r s a t z , wenn man Summen von mehr als zwei Gliedern potenziert. Unsere obigen Betrachtungen

§ 39. Der binomische Lehrsatz

149

führen damit z. B. bei vier Gliedern in ähnlicher Weise zu dem Ergebnis «,ß,y,6=0

Hierin durchlaufen tx, ß, y, ö alle ganzen Zahlen von 0 bis n, jedoch derart, daß stets a + ß-hy + ö = n. Beispiel: (a + 2b— c)4 = (a + 26) 4 — 4- (a + 26)3c + 6- (a + 2bfc2 — 4(a + 26)c 3 + c4 = a 4 + 8a3b + 24a262 + 32a?)3 + 16 6 4 — 4a 3 e— 24 a 2 6c— 48 a6 2 c— 3263c + 6a 2 c 2 + 24a6e 2 + 2 4 & V - 4a«!3— 86c« + c4. Der Leser versuche selbst diese Berechnung nach dem polynomischen Lehrsatz zu erhalten.

150 Literatur (Die Literatur der Anmerkungen ist hier nicht mit aufgenommen.) H. W i e l e i t n e r , Der Begriff d. Zahl in seiner logischen u. historischen Entwicklung. B. G. Teubner, Leipzig 1927. H, B u r k h a r d t , Funktionentheoret. Vöries. Neu hrsg. v. G. Faber. Bd. I, 1: Algebraische Analysis. W. de Gruyter & Co., Berlin 1920. Besonders zu empfehlen. F. K l e i n , Elementarmathematik v. höh. Standpunkt aus. Bd. I. A r i t h m e t i k , . . . Springer-Verlag, Berlin 1938. Für ältere Literatur vgl. „Encyklopädie d. math. Wissenschaften". Bd. 1,1. B. G. Teubner, Leipzig 1898ff. Die modernen Werke setzen an die Spitze ihrer Betrachtungen die Mengentheorie: W e b e r - W e l l s t e i n , Encyklopädie d. Elementarmathematik. Bd. I : Arithmetik,... B. G. Teubner, Leipzig 1954. v . - H a n g o l d t - K n o p p , Einführung i. d. höh. Mathematik. Bd. I, S. Hirzel, Leipzig 1931. Dieses Werk sei wegen seiner ausführlichen und klaren Darstellungen ganz besonders empfohlen. H . B e c k , Einführung i. d.Axiomatik d. Algebra. W. de Gruyter & Co., Berlin- 1926. F e i g l - R a h r b a c h , Einführung in die höhere Mathematik. Springer, Berlin-Heidelberg 1953. S c h u b e r t , H., Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für. logarithmisches und trigometrisches Rechnen. Slg. Göschen Bd. 8.

Namenverzeichnis Alchwarizmi 26 Archimedes 118 Aristoteles 91

Fei gl, G 150 Fermat, P 65 Foerster, E. 143

Beck, H. 150 Böhm, F. 143 Briggs, 127 Burkhardt, H. 150

Cauß, C. F. 133

Cantor, O. 93 Cantor, M. 10 Dedeklnd, R. 93ff. Descartes, R, 65 EratostheneB 49 Eudoxos 91 Euklid 49, 54, 64, 74 f.

V. Mangoldt, H 134 Molvre 131 Perron, O., 78, 99, 11.1 Pythagoras 91

Riese, Adam, 10 Hamilton 135 Hankel, H. 65f., 69, 134f. Rohrbach, H 150 Heron 116 ff. Schubert, H. 127, 150 Hofmann, J 10 Tropfke, J. 10 Hlein, F. 67, 99, 150 KoinmereU, K. 116, 118 Weber, H. 150 Knopp, K. 133f., 150 Weierstraß, ,K. 93 Knill, W. 120. w ellsiein, J . 150 Widmann 10 Löffler, E. 10 Wieleitner, ä . 150

151 Sachverzeichnis (Die Fachausdrucke des Inhaltsverzeichnisses sind hier nicht mit aufgenommen.) Abbildung-d. reell. Zahlen 93 Absoluter Betrag 64 Aggregat 28, 30, 39f. Algebra 25, 150 Algörithmua 54, 67, 74, 100 Allg. Kettenbruch 78 Al.tägypt. Zahlzeichen 8 Althochdeutsche Zahlwörter 10 f.Arabische Ziffern 9 f . Arithmetik 5, 90, 134, 150 -^¿politische 143 Arithmet. Ausdhick 21 — Mittel 82, 116, 139 — Schlüsse 15f., 2 4 , 2 6 f f . , 38 Assoziativgesetz 22, 32 Ausführbarkeit, unbeschränkte 22, 32, 45 Ausnahmgloäigkeit, Gesetz der 66 Axiom 16, 92 f. Axiomatik 150 Bestimmungsgleichung 25 Bevölkerungsstatist- 143 Buchstabeng'leichung 25 Buchstabengrößen 12 Dicht, überall 79 Dimension 97 Distributivgesetz 32 Doppeldeutigkeit • 102f. Doppelzeichen 50 Eindeutigkeit 22, 24, 32, 3 7 , 4 5 , 1 0 i, 1 2 0 f . , 1 3 6 f . Eineindeutig 93 Einer, Einheit 7, 131, 135 Einheitsstrecke 17, 78 f. Einschließen i. Grenzen86, 99, 107 ff., 122 f., 125 Encyklopfidie 11, 150 Endliche Dezimalbrüche 88 — Kettenbrüche 78 Entgegengesetzte itechenarten 26, 36 — Vorzeichen 57

Entgegengesetzt gleich 57 Erweitern 38, 70 Erweiterung d. Zahlbegriffs 55, 57, 64ff., 69, 90 f., 119, 124, 130 ff. — d. Zahlgeraden 79, 95 ff. Exponent 44, 71, 119f., 122 f. Formale Gesetze 66 f. Formel 25 Gemeinsame Teiler, Vielfache 52 f. Geometr. Mittel 82, 116, 140 Geschichtliches 8ff., 25, 49, 64ff., 68,89f.,91ff., 118, 127, 133 Gleiche Zahlen 13 ff. , Komplexe 133, 135 Gleichmäßigkeit, Grundgesetz d. 22, 24, 28, 32, 37, 4 ' f . , 46, 61f., 80, 99, 133 Gleichung 13f., 25, 27 Gobarziffern 10 Grenzen s. Einschließen Grenzwert 140f. Größer als 14ff., 79f., s. ferner Einschließen, Gleichmäßigkeit, Ungleichungen Größter gemelns. Teiler 52f., 71 Grundgesetze 18f., 22, 24, 32, 36f., 40, 45, 61, 133, 137 Grundrechenarten 18, 23 Grundsatz d. Ausnahmslosigkeit 66 — d. Gleichheit u. Verschiedenheit 16 Gwaliorinschrift 9

Identische Gleichung 25 Indirekter Beweis 24, 49, 92 Indische Ziffern 9 f . Induktion, vollst. 24, 77 Interpolation 139 Kehrwert e. Bruches 71 Klammern "28ff., 34ff., 40, 60 Kleiner als s. Größer Kleinstes gemeinsames Vielfaches 52f. Kombination 146 f. Kommutativgesetz. 22, 32 Konvergieren 78 Kubikwurzel 104, 119 Kürzen 38, 70 Lücken 92 Lückenlosigkeit 93 Mengentheorie 150 Monotoniegesetz 22, 32 Mittel 82, 116, 139f. Näherungswerte eines Kettenbruches 76f., 111 ff. Natürliche Zahlenreihe 17 — Zahlbilder, Zahlwörter 6 Neunerprobe 51 f. Nullpunkt 58, 65, 133 Numerische Berechnung höh. Wurzeln 1 0 9 — — d. Logarithmen: 124 f. Österreich. Subtraktion 23

Permanenzprinzip 65 ff., 69, 119 Permutation 143 f. Periode 88, 112ff. Polynom. Lehrsatz 148 Primfaktor 48ff., 54 Primzahl 48 ff. Harmonisches Mittel 82 Produktengleichung 81 Hochzahl 44 Höhere Wurzeln 109, Punkt u. Zahl 17, 58, 79, .92f., 94ff., 97 f. 119

152 Quadratwurzel 100, 1.10 Quotient, vollst, u. unvollst. 50, 69

Sachverzeichnis

Ilmgekehrter Wert 71 Verteilungsgesetz 32, 34, Umkehrbare Zuordnung 37, 40, 45, 120 93 Vielfache 36, 48, 52f. Umkehrung e. Ilechenart Vollständ. Induktion 24, 77 Rechenarten 1. Stufe 26, 26, 36, 43, 46ff. Umstellungsregel 25, 38 2. St. 37, 3. St. 48 Vorperiodische DezimalUnendliche Dezimal— d. tägl. Lebens 23 brüche 88 brüche 88 f. Vorzeichen 57 — entgegengesetzte 25 f., —regel 61 ff. 36 — geom. Reihe 140ff. Rechenstab (log.) 128 — Kettenbrüche HOff. Rechnen mit ungenauen Ungenaue Zahlen 43 Wohlgeord. Gebiet 97 Ungleich 14ff., 96, 133, "Wurzelziehen durch ProZahlen 43 Regelmäß. Kettenbr. 78 ferner unter Größer bieren 109 f. Reihe d. ganzen Z. 68 Ungleichungen a. Größer Unstetigkeit 96 Zahlbilder 6 — d. nat. Zahlen 17 Unterteilung der Einheit Zahlen, benannte, unben., Relativ prim 52 69, 78 f. bestimmte, unbest., Restregeln 50f., 64 gleiche, ungleiche 11 ff., Reziproker Wert 71 96 f., 133, 135, ge Römische Zahlzeichen 8 mischte 70, gerade, unVariation 145f. gerade 48, teilerfremVektor 133 Schlüsse, s. arithm. de 52, 92, ungenaue 43, Veranschaulichung, geoSchnitt 96 zusammengesetzte 48 metrische 19f., 23f., Sechsersystem 55 Zahlenebene v. Gauß 133 29, 33, 35 Sieb d. Eratosthenea 49 Zahlenform 132 Verbindung, Gesetz der Skala 17, log. — 128 22, 24, 32, 37, 39f., Zahlenpaar 133 Stammbruch 70 Zahlenreihe, natürl. 18, 45, 120 Stellenwert 9 49 Verknüpfung v. Zahlen Stetigkeit 95 ff., 98 18, 23, 31, 36, 44, 47, Zahlentheorie 48 Stufenzahlen 7f., 55 132, 135 Zahlgerade 58, 78f. Verschmelzung d. Add. Zahlstrahl 17, 58, 128 Teilbarkeit 50ff., 64 Zahlwörter 6, 10 f. u. Subtr. 61 Teiler 48, 114 Zahlzeichen 8 f. Versicherungsmath. 143 — größter gem. 52 ff. Vertauschbarkeit, Gesetz Zählbegriff 5ff., 18, 23 Teilerfremd 52, 92 der 22, 24, 29, 32f., Zählmethoden 6 f. Teilnenner, -Zähler 75 Ziffern, — system 9 45, 136 f. Trugschlüsse 74, 103

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Englisch 4 —

E r d - und L ä n d e r k u n d e 5 —

Geologie 9 — Germanisch 4 —

Hebräisch 5 —

H o c h - und T i e f b a u 11 —

Franzö-

Geschichte 3 — Griechisch 5 Indogermanisch 4 —

Italie-

nisch 4 — K r i s t a l l o g r a p h i e 9 — K u n s t 3 — L a n d - und F o r s t w i r t s c h a f t 9 Lateinisch 5 — Musik 3 —

Maschinenbau

Pädagogik 2 —

10 —

Mathematik 6 —

Philosophie 2 —

Publizistik 5 —

Religionswissenschaften 3 —

Soziologie 2 —

Technologie 8 —

Mineralogie 9

Physik 7 — Psychologie 2 Russisch 5 — Sanskrit 5

Volkswirtschaft 5 —

W a s s e r b a u 11

Z o o l o g i e 8. Die Zahlen entsprechen den Seiten i m Innern des H e f t e s .

W A L T E R

D E

B E R L I N

35

W

G R U Y T E R &

C O .

Geisteswissenschaften Philosophie Einführung in die Philosophie von H. Leisegangf. 3 . Aufl. 145 S. 1957 (Bd. 281) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmel f . 7., u n v e r ä n d . Aufl. 177 S. 1950 (Bd. 500) Geschichte der Philosophie 1: Die Griechische Philosophie von W. Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Leukippos. 2., erw. Aufl. 135 S. 1953 (Bd. 857) 11: Die griechische Philosophie von W. Capelle. 2. Teil. Von d e r Sophisttk bis z u m T o d e P i a t o n s . 2., s t a r k erw. Aufl. 144 S. 1953 (Bd. 8581 I I I : Die griechische Philosophie von W. Capelle. 3. Teil. Vom T o d e P i a t o n s bis z u r Alten Stoa. 2., s t a r k erw. Aufl. 132 S. 1954 (Bd. 859) I V : Die griechische Philosophie v o n W. Capelle. 4. Teil. Von d e r Alten Stoa bis z u m Eklektizismus im 1. J h . v . Chr. 2., s t a r k erw. Aufl. 132 S. 1954 (Bd. 863) V : Die Philosophie des M i t t e l a l t e r s von J. Koch. In Vorb. (Bd. 826) V I . Von d e r Renaissance bis K a n t von K. Schilling. 234 S. 1954 (Bd. 3941394a) V I I : I m m a n u e l K a n t v o n G. Lehmann. In V o r b . (Bd. 536) V I I I : Die Philosophie des 19. J a h r h u n d e r t s v o n G. Lehmann. 1. Teil. 151 S. 1953 (Bd. 571) I X : Die Philosophie des 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 2. Teil. 168 S. 1953 (Bd. 709) X : Die Philosophie im ersten D r i t tel des 20. J a h r h u n d e r t s I von G. Lehmann. 128 S. 1957 (Bd. 845) Die geistige Situation der Zeit (1931) von K. Jaspers. 4., u n v e r ä n d . Abd r u c k d e r 1932 b e a r b . 5. Aufl. 211 S. 1955 (Bd. 1000) Erkenntnistheorie von G. Kropp. I. Teil: Allgemeine G r u n d l e g u n g . 143 S. 1950 (Bd 807) Philosophisches Wärterbuch von M . Apelf. 5. Aufl., n e u b . v o n P. Ludz

2

1958 In V o r b . (Bd. 103111031a) Philosophische Anthropologie. Menschliche S e l b s t d e u t u n g in Geschichte u n d G e g e n w a r t von M. Landmann. 266 S. 1955 (Bd. 1561156a)

Pädagogik, Psychologie Soziologie

von Geschichte der Pädagogik Herrn. Weimer. 12., n e u b . u. v e r m . Aufl. von Heinz Weimer. 177 S. 1956 (Bd. 145) Therapeutische Psychologie. Ihr W e g d u r c h die Psychoanalyse v o n IV. M. Kranefeldt. Mit einer E i n f ü h r u n g von C. G. Jung. 3., u n v e r ä n d . Aufl. 152 S. 1956 (Bd. 1034) Allgemeine Psychologie v o n Th. Erismann. 3 Bde. I : G r u n d p r o b l e m e . 2., n e u b . Aufl. 144 S. 1958 (Bd. 831) Soziologie. Geschichte u n d H a u p t probleme von L. von Wiese. 5. Aufl. 162 S. 1954 (Bd. 101) Sozialpsychologie von P. R. Hofstätter. 181 S., 15 A b b . , 22 T a b . 1956 (Bd. 1041104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede. 1958 In Vorb. (Bd. 8511851a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 120 S. 1956 (Bd. 103)

Religionswissenschaften Jesus von M. Dibeliusf. 2. Aufl. U n v e r ä n d . N a c h d r . 137 S. 1949 (Bd.1130) Paulus von M. Dibeliusf. N a c h d e m T o d e des Verfassers herausgegeben u n d zu E n d e g e f ü h r t v o n W. G. Kümmel. 2. Aufl. 155 S. 1956 (Bd. 1160) Römische Reilglonsgeschichte v o n F. Altheim. 2 Bde. 2., u m g e a r b . Aufl. I : Grundlagen und Grundbegriffe. 116 S. 1956 (Bd. 1035) I I : Der geschichtliche Ablauf. 164 S. 1956 (Bd. 1052) Geschichte Israels von E.-L. Ehrlich. 1958 In V o r b . (Bd. 2311231a)

Musik Musikästhetik von H. J. Moser, 180 S. 1953 (Bd. 344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Aufl. 136 S. 1950 (Bd. 1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bde. 1. Teil : D e r c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. Aufl. 223 S. 1950 (Bd. 1148) 2. Teil: Ü b u n g e n im d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d im K a n o n . I 3 7 S . 1957 (Bd. 116411164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchges. Aufl. 155 S. 1955 (Bd. 2201220a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bde. 1: 109 S. 1954 (Bd. 809) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 S. 1953 (Bd. 170) Die Musik des 20. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 1958 In V o r b . (Bd. 1711171a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., d u r c h ges. u n d verb. Aufl. 144 S^ 5 Fig. 1954 (Bd. 5761576a) Die Kunst des Dirigierens von H. W. von Waltershausen f . 2. Aufl. 138 S. 1954 (Bd. 1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K. Schubertt 3. Aufl. 110 S. 1954 (Bd. 1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bde. 3., durchges. Aufl. I : Vorzeit, Antike, Mittelalter. 136 S., 94 A b b . 1958 (Bd. 80) I I : S p ä t m i t t e l a l t e r u n d Neuzeit. 1958 In V o r b . (Bd. 781) Archäologie von A. Rumpf. 2 Bde. I : Einleitung, historischer Überblick. 143 S., 6 Abb., 12 T a f . 1953 (Bd. 538) I I : Die Archäologensprache. Die a n t i k e n R e p r o d u k t i o n e n . 136 S., 7 Abb., 12 T a f . 1956 (Bd. 539)

Geschichte Einführung in die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 2. Aufl. 121 S. 1952 (Bd. 270)

Z e i t r e c h n u n g d . röm. Kaiserzeit, des Mittelalters u n d der Neuzeit f ü r die J a h r e 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann-f. 3. Aufl., durchges. von K. Aland. 130 S. 1956 (Bd. 1085) K u l t u r der Urzeit von F. Behn. 3 Bde. 4. Aufl. d e r „ K u l t u r der U r z e i t " Bd. I — I I I von M. Hoern.es. I : Die vormetallischen K u l t u r e n . (Die Steinzeiten E u r o p a s . Gleichartige K u l t u r e n in a n d e r e n E r d t e i len). 172 S., 48 Abb. 1950 (Bd. 564) I I : Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der M e t a l l b e n u t z u n g . K u p fer- u n d Bronzezeit in E u r o p a , im Orient u n d in Amerika). 160 S., 67 A b b . 1950 (Bd. 565) I I I : Die jüngeren M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als K u l t u r m e t a l l . Halls t a t t - L a t i n e - K u l t u r in E u r o p a . Das erste A u f t r e t e n des Eisens in den a n d e r e n Erdteilen). 149 S-, 60 A b b . 1950 (Bd. 566) Vorgeschichte Europas v o n F. Behn. Völlig neue B e a r b e i t u n g der 7. Aufl. der „ U r g e s c h i c h t e der M e n s c h h e i t " von M. Hoernes. 125 S., 47 A b b . 1949 (Bd. 42) Der Eintritt der G e r m a n e n In die Geschichte v o n J. Haller. 3. Aufl., durchges. von H. Dannenbauer. 120 S., 6 Ktnskizz. 1957 (Bd. 1117) Von den Karolingern zu den S t a u fern von J. Haller f . Die a l t d e u t s c h e Kaiserzeit (900—1250). 4., durchges. Aufl. von H. Dannenbauer. 1958 In V o r b . (Bd. 1065) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation u n d des 3 0 j a h r i g e n Krieges von F. Härtung. 129 S. 1951 (Bd. 1105) Deutsche Geschichte von 1648 bis 1740 von IV. Treue. 120 S. 1956 (Bd. 35) Deutsche Geschichte von 1713 bis 1806 von W. Treue. 168 S. 1957 (Bd. 39) Quellenkunde der deutschen Geschichte im Mittelalter (bis z u r Mitte des 15. J a h r h u n d e r t s ) von K. Jacob f . 3 Bde. I I : Die Kaiserzeit (911 — 1250). 4. Aufl. 127 S. 1949 (Bd. 280) I I I : Das S p ä t m i t t e l a l t e r ( v o m Int e r r e g n u m bis 1500). Herausgeg. von

3

F. Weden. 152 S. 1952 (Bd. 284) Geschichte Englands von H. Preller. I : bis 1815. 3., s t a r k u m g e a r b . Aufl. 135 S., 7 S t a m m t a f . , 2 Ktn. 1952 (Bd. 375) I I : von 1815 bis 1910. 2., völlig u m g e a r b . Aufl. 118 S., 1 S t a m m t a f . , 7 K t n . 1954 (Bd. 1088) Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bde. 2., verb. A u f l . I : Bis zur Schlacht bei P y d n a (168 v . Chr.). 123 S. 1956 (Bd. 19) 11: Bis z u r Schlacht bei A c t i u m (31 v . Chr.). 130 S. 1956 (Bd. 677) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von 0. Graf zu Stolberg-Wernigerode. 192 S., 10 K t n . 1956 (Bd. 105111051a)

Deutsche Sprache und

Literatur

Geschichte der deutschen Sprache von H. Sperber. 2. Aufl., durchges. von W. Fleischhauer. 1958 In Vorb. (Bd. 915) Deutsches rt echtschreib vi ngswörterbuch von M. Gottschald. 2., verb. Aufl. 269 S. 1953 (Bd. 2001200a) Deutsche Wortkunde. Eine k u l t u r geschichtliche Betrachtung des d e u t s c h e n W o r t s c h a t z e s von A. Schirmer. 3., durchges. Aufl. 109 S. 1949 (Bd. 929) Deutsche Sprachlehre von IV. Hofstaetter. 9., n e u b e a r b . Aufl. von G. Spree. 144 S. 1953 (Bd. 20) Stimmkunde f ü r Beruf, K u n s t u n d Heilzwecke von H. Biehle. 111 S. 1955 (Bd. 60) Redetechnik. E i n f ü h r u n g in die Rhetorik von H. Biehle. 115 S. 1954 (Bd. 61) Sprechen und Sprachpflege (Die K u n s t des Sprechens) v o n H. Feist. 2., v e r b . Aufl. 99 S., 25 A b b . 1952 (Bd. 1122) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zelt von H. Naumann. (Deutsche L i t e r a t u r g e s c h i c h t e v o m 5.—13. J a h r h u n d e r t ) . 2., v e r b . Aufl. 166 S. 1952 (Bd. 1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzelt von G. Muller (1270—1700). 2., durchges. Aufl. 159 S. 1949 (Bd. 1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus 4

(1700—1890). von K. Vielor f 3., d u r c h g e s . Aufl. von G. Erdmann. 1958 In Vorb. (Bd. 1096) Der Nibelunge NAt in Auswahl m i t k u r z e m W ö r t e r b u c h von K. Langosch. 10., durchges. Aufl. 164 S. 1956 (Bd. 1) Kudrun- und Dietrich-Epen in Auswahl m i t W ö r t e r b u c h von O. L. Jiriczek. 6. Aufl. b e a r b . von R. Wisniewski. 173 S. 1957. (Bd. 10) Wolfram von Eschenbach. Parzlval. Eine Auswahl mit A n m e r k . u n d W ö r t e r b u c h . Von H. Jantzen. 2. A u f l . , b e a r b . von H. Kolb. 128S. 1957 (Bd. 921) Die deutschen Personennamen von M. Gottschald. 2., v e r b . Aufl. 151 S. 1955 (Bd. 422) Althochdeutsches Elementarbuch von H. Naumann+ u n d IV. Betz. 2. Aufl. 156 S. 1954 (Bd. 1111) Mittelhochdeutsche Grammatik von H. de Boor u n d R. Wisniewski. 141 S , 1956 (Bd. 1108)

Indogermanisch,

Germanisch

Gotisches Elementarbuch. G r a m m a tik, T e x t e mit Ü b e r s e t z u n g u n d E r l ä u t e r u n g e n von H. Hempel. 2., u m gearb. Aufl. 165 S. 1953 (Bd. 79) Indogermanische Sprachwissenschaft'von H. Krähe. 2 B d e . 3. Aufl. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 1958. In V o r b . (Bd. 59) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bde. 3., neub. Aufl. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 147 S. 1956 (Bd. 238) I I : Formenlehre. 149 S. 1957 (Bd. 780) Altnordisches Elementarbuch v o n F. Ranke. S c h r i f t t u m , Sprache, Texte mit Übersetzung und Wörterb u c h . 2., durchges. Aufl. 146 S. 1949 (Bd. 1115)

Englisch, Französisch Italienisch Altenglisches Elementarbuch von M . Lehnert. E i n f ü h r u n g , G r a m m a t i k , T e x t e mit Ü b e r s e t z u n g u n d W ö r t e r b u c h . 3., verb. Aufl. 178 S. 1955 (Bd. 1125)

Historische neuenglische L a u t - und Formenlehre v o n E.Ekwall. 3.,durchges. A u f l . 150 S. 1956 (Bd. 735) MutschEnglische Phonetik v o n H. mannt. 117 S. 1956 (Bd. 601) Englische Literaturgeschichte. 4 B d e . I : D i e alt- und m i t t e l e n g l i s c h e P e riode v . F. Schubel. 163 S. 1954 (Bd. 1114) I I : V o n der Renaissance bis zur A u f k l ä r u n g v o n F. Schubel. 160 S. 1956 (Bd. 1116) I I I : R o m a n t i k und V i k t o r i a n i s m u s v o n P . M e i s s n c r t . 150 S. 1938 (Bd. 1124) I V : Das 20. J a h r h u n d e r t v o n P . Meissner-^. 150 S. 1939 (Bd. 1136) Beowulf v o n M. Lehnert. Eine A u s w a h l m i t E i n f ü h r u n g , teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. 2., v e r b . A u f l . 135 S. 1949 (Bd. 1135) Shakespeare v o n P. Meissner+. 2. A u f l . neubearb. v o n M. Lehnert. 136 S. 1954 (Bd. 1142) Italienische Literaturgeschichte v o n K . Voss/er f . U n v e r ä n d . N a c h d r . der 1927 erschien. 4., durchges. und v e r b . A u f l . 148 S. 1948 (Bd. 125) Romanische Sprachwissenschaft v o n H. Lausberg. 2 B d e . 1956. I : Einleitung und Vokalismus. 160 S. (Bd. 12S/128a) 11: Konsonantismus. 95 S. (Bd. 250)

Griechisch,

Lateinisch

Griechische Sprachwissenschaft v o n W. Brandenstein. 2 Bde. I : Einleitung, L a u t s y s t e m , E t y m o logie. 160 S. 1954 (Bd. 117) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bde. 1: Bis z u m A u s g a n g der klassischen Z e i t v o n O. Hoff mann f . 3. A u f l . bearb. v o n >4. Debrunner. 156 S. 1954 (Bd. 111) I I : G r u n d f r a g e n und G r u n d z ü g e des nachklass. Griechisch. V o n A . Debrunner. 144 S. 1954 (Bd. 114) Geschichte der griechischen Literatur v o n W. Nestle. 2 B d e . 2., v e r b . Aufl. I I : V o n A l e x a n d e r d . G r . bis z u m A u s g a n g der A n t i k e . 128 S. 1948 (Bd. 557) Geschichte der lateinischen Sprache v o n F. Stolzf. 3., stark u m g e a r b .

A u f l a g e v o n A. Debrunner. 1953 (Bd. 492)

Hebräisch, Sanskrit,

136 S.

Russisch

Hebräische Grammatik v o n G. ß c e r f . 2 B d e . 2., v ö l l i g neub. A u f l . v o n R. Meyer. I : Schrift-, L a u t - und Formenlehre I .157 S. 1952 (Bd. 763j763a) I I : F o r m e n l e h r e I I . S v n t a x und Flexionstabellen. 195 * S . 1955 (Bd. 764/764a) Sanskrit-Grammatik v o n M. Mayrhofer. 89 S. 1953 (Bd. 1158) Russische Grammatik von E. Berneker. 6., u n v e r ä n d . A u f l . v o n M. Vasmer. 155 S. 1947 (Bd. 66)

Erd- und Länderkunde A f r i k a v o n F. Jaeger. Ein g e o g r a p h . Ü b e r b l i c k . 2 B d e . 2., u m g e a r b . A u f l . I : Der L e b e n s r a u m . 179 S., 18 A b b . 1954 (Bd. 910) I I : Mensch u n d K u l t u r . 152 S., 6 A b b . 1954 (Bd. 911) Australien und Ozeanien v o n H. J. 176 S., 46 Skizz. 1953 Krug. (Bd. 319) K a r t e n k u n d e v o n M. Eckert-Greifendorff f . 3., durchges. A u f l . v o n IV. Kleffner. 149 S., 63 A b b . 1950 (Bd. 30)

Volkswirtschaft,

Publizistik

Allgemeine Betriebswirtschaftslehre v o n K. Mellerowicz. 3 B d e . 9., unveränd. Aufl. I : 142 S. 1956 (Bd. 1008) I I : 112 S. 1956 (Bd. 1153) I I I : 143 S. 1956 (Bd. 1154) Allgemeine Volkswirtschaftslehre v o n A. Paulsen. 4 B d e . I : Grundlegung, Wirtschaftskreisiauf. 2., durchges. u. e r g . A u f l . 140 S. 1958 (Bd. 1169) I I : Haushalte, U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 1. A u f l . 163 S., 32 A b b . 1956 (Bd. 1170) Zeltungslehre v o n E. Dovifat. 2 B d e . 3., neubearb. A u f l . I: Theoretische und rechtliche Grundlagen — N a c h r i c h t und M e i nung — Sprache und F o r m . 148 S. 1955 (Bd. 1039) 11: R e d a k t i o n — Die Sparten V e r lag und V e r t r i e b , W i r t s c h a f t und T e c h n i k , Sicherung der ö f f e n t l i c h e n A u f g a b e . 158 S. 1955 (Bd. 1040) 5

Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der Mathematik von J. E. Hofmann. 3 Bde. I : Von den Anfängen bis zum Auftreten von Fermat und Descartes. 2 0 0 S. 1953 (Bd. 226) 11: Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden. 109 S. 1957 (Bd. 875) I I I : Von den Auseinandersetzungen um den Calculus bis zur Französischen Revolution. 107 S. 1957 (Bd. 882) Mathematische Formelsammlung von F. Ringleb. Vollst, umgearb. Neuausg. des Werkes von O. Th. Bürklen. 6., erw. Aufl. 278 S., 53 Fig. 1956 (Bd. 51151a) Fünfstellige Logarithmen von A. Adler. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlwerten. 2. Aufl. Neudr. 127 S., 1 Taf. 1949 (Bd. 423) Arithmetik von P. B. Fischer + 3. Aufl. von H. Rohrbach. 1958 In Vorb. (Bd. 47) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bde. 4., durchges. Aufl. I : Lineare Gleichungen. 152 S. 1957 (Bd. 931) I I : Gleichungen höheren Grades. 158 S., 5 Fig. 1958 (Bd. 932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra von H. Hasse und W. Klobe. 2., verb. und verm. Aufl. 181 S. 1952 (Bd. 1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt von W. Krull. 2 Bde. 2., erw. Aufl. I : 136 S. 1952 (Bd. 930) Einführung In die Zahlentheorie von A. Scholzf. Uberarb. und herausgeg. von B. Schoeneberg. 2. Aufl. 128 S. 1955 (Bd. 1131) Elemente der Funktionentheorie von K. Knoppf. 4. Aufl. 144 S., 23 Fig. 1955 (Bd. 1109) Funktionentheorie von K. Knopp-f. 2 Bde. I : Grundlagen der allgem. Theorie der analytischen Funktionen. 9.,

6

neub. Aufl. 144 S., 8 Fig. 1957 (Bd. 668) I I : Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 8./9. Aufl. 130 S., 7 Fig. 1955 (Bd. 703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knoppf. 2 Bde. I : Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. 5. Aufl. 135 S. 1958 (Bd. 877) I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 4. Aufl. 151 S. 1949 (Bd. 878) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 5., durchges. Aufl. 129 S. 1956 (Bd. 920) Partielle Differentialgleichungen v. G. Hoheisel. 3., neub. Aufl. 130 S. 1953 (Bd. 1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von 0. Hoheisel. 2., umgearb. Aufl. 124 S. 1952 (Bd. 1059) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., durchges. Aufl. 1958 In Vorb. (Bd. 1099) Mengenlehre von E. Kamke. 3., neub. Auflage. 194 S., 6 Fig. 1955 (Bd. 9991999a) Ebene und sphärischeTrlgonometrle von G. Hessenberg. 5. Aufl., durchges. von H. Kneser. 172 S., 60 Fig. 1957 (Bd. 99) Darstellende Geometrie von IV. Haack. 3 Bde. I : Die wichtigsten Darstellungsmethoden. Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper. 2. Aufl. 1958 In Vorb. (Bd. 142) I I : Körper mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. 129 S., 86 Abb. 1954 (Bd. 143) I I I : Axonometrie und Perspektive. 127 S „ 100 Abb. 1957 (Bd. 144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 201 S., 73 Abb. 1958 (Bd. 65165a) Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene von R. Haussnerf. Mit den vollständigen Lösungen. 139 S., 22 Fig. Neudr. 1949 (Bd. 256)

Nichteuklidische Geometrie. H y p e r bolische Geometrie der E b e n e . Von R. Baldusf. 3., v e r b . Aufl., d u r c h ges. u n d herausgeg. von F. Lobeil. 140 S., 70 Fig. 1953 (Bd. 970) Differentialgeometrie von K. Strubecker ( f r ü h e r R o t h e ) . 3 Bde. I : K u r v e n t h e o r i e der E b e n e u n d des R a u m e s . 150 S., 18 Fig. 1955 (Bd. 111311113a) I I : F l ä c h e n t h e o r i e . 1958 I n Vorb. (Bd. 117911179a) I I I : Theorie der F l ä c h e n k r ü m m u n g . 1958 In Vorb. (Bd. 1180/ 1180a) Einführung In die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 5., erw. Aufl. 180 S., 42 Fig. 1956 (Bd. 7681768a) Vektoren und Matrizen von S. Valentiner. 8., erw. Aufl. d e r „ V e k t o r a n a l y s i s " . Mit A n h . : A u f g a b e n z u r V e k t o r r e c h n u n g von H. König. 1958 In V o r b . (Bd. 354j354a) Vermessungskunde von P. Werkmeister. 3 Bde. I : S t ü c k m e s s u n g u n d Nivellieren. 10., voll. n e u b . Aufl. von W. Grossmann. 140 S., 117 Fig. 1958 (Bd. 468) 11: Messung v o n Horizontalwinkeln. Festlegung v o n P u n k t e n im Koord i n a t e n s y s t e m . A b s t e c k u n g e n . 7. Aufl. 151 S., 93 Flg. 1949 (Bd. 469) I I I : Trigonometrische u n d b a r o metrische H ö h e n m e s s u n g . T a c h y metrie u n d T o p o g r a p h i e . 6, Aufl, 147 S. r 64 Fig. 1949 (Bd. 862) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bde. I : E l e m e n t e d e r Versicherungsrechnung. 3., v e r m . u n d verb. Aufl. Durchges. N e u d r . 151 S. 1954 (Bd. 180) II: Lebensversicherungsmathemat i k . E i n f ü h r u n g in die technischen G r u n d l a g e n d e r Sozialversicherung. 2., verb. Aufl. 205 S. 1953 (Bd. 9171917a)

III: O p t i k . 117 S., 32 A b b . 1956 (Bd. 78) I V : T h e r m o d y n a m i k . 107 S., 9 A b b . 1956 (Bd. 374) V : S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 114 S., 12 A b b . 1957 (Bd. 1017)' Atomphysik von K. Bechert und CA. Gerthsen. 7 Bde. 3., u m g e a r b . Aufl. I : Allgemeine G r u n d l a g e n . 1. Teil. 124 S., 55 A b b . 1955 (Bd. 1009) I I : Allgemeine G r u n d l a g e n . 2. Teil. 112 S „ 4 8 A b b . 1955 (Bd. 1033) I I I : Theorie des A t o m b a u s . 1. Teil. 148 S „ 16 A b b . 1954 (Bd. 112311123a) I V : Theorie des A t o m b a u s . 2. Teil. 170 S., 14 A b b . 1954 (Bd. 116511165a) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 2. Aufl. 148 S., 16 Fig. 1950 (Bd. 1070) Physikalische Formelsammlung v o n G. Mahlert u n d K . Mahler. 9., durchges. Aufl. 153 S., 69 Fig. 1955 (Bd. 136) Physikalische Aufgabensammlung von G. Mahlert. Neub. v o n K. Mahler. Mit den E r g e b n . 9., d u r c h ges. A u f l . 127 S „ 1957 (Bd. 243)

Chemie

Geschichte der Chemie in kurzgef a ß t e r D a r s t e l l u n g von G. Lockemann. 2 Bde. I : Vom A l t e r t u m bis z u r E n t d e k k u n g des Sauerstoffs. 142 S., 8 Bildn. 1950 (Bd. 264) I I : Von der E n t d e c k u n g des Sauerstoffs bis z u r Gegenwart. 151 S., 16 Bildn. 1955 (Bd. 2651265a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 10., d u r c h g e s . u n d erg. Aufl. 185 S., 18 A b b . 1958 (Bd. 37) Organische Chemie von IV. Schlenk. 7., erw. Aufl. 269 S., 16 A b b . 1957 (Bd. 38138a) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 Bde. 4., neubearb. Aufl. Physik 1: 139 S., 10 Fig. 1955 (Bd. 71) Einführung in die theoretische I I : 176 S., 37 Fig. 1956 Physik von W. Döring. 5 Bde. (Bd. 6981698a) I : Mechanik. 119 S., 29 A b b . 1954 Molekülbau. T h e o r e t i s c h e G r u n d (Bd. 76) lagen u n d M e t h o d e n d e r S t r u k t u r I I : Das e l e k t r o m a g n e t i s c h e Feld. e r m i t t l u n g v o n IV. Schulze. 1958 In Vorb. (Bd. 786) 123 S., 15 A b b . 1955 (Bd. 77) 7

Analytische Chemie von J. Hoppe. 2 Bde. 5., verb. Aufl. I : Reaktionen. 135 S. 1950 (Bd.247) I I : Gang der qualitativen Analyse. 166 S. 1950 (Bd. 248) MaBanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemischen Titrierverfahren. Von G. Sanier und K. F. Jahr. 7., erg. Aufl. 303 S., 50 Fig. 1956 (Bd. 2271221a) Thermochemie von W. A. Roth. 2., verb. Aufl. 109 S., 16 Fig. 1952 (Bd. 1057) StAchlometrische Aufgabensammlung. Mit den Ergebn. von W. Bahrdtf und R. Scheer. 6., durchges. Aufl. 1 1 8 S . 1957 (Bd. 452) Elektrochemie und ihre physikaUsch-chemlschen Grundlagen von A. Dossier. 2 Bde. I : 149 S., 21 Abb. 1950 (Bd. 252) I I : 178 S., 17 Abb. 1950 (Bd. 253)

Technologie

Warenkunde von K. Hassakf und E. Beutelf. 2 Bde. I : Anorganische Waren sowie Kohle und Erdöl. 8.Aufl. Neubearb. von A. Kutzelnigg. 1 9 5 8 I n V o r b . (Bd. 222) I I : Organische Waren. 7. Aufl. 143 S., 32 Fig. 1949 (Bd. 223) Die Fette und Öle von K. Braun f . 5., völlig neubearb. und verb. Aufl. von Th. Klug. 145 S. 1950 (Bd. 335) Die Seifenfabrikation von K. Braunf. 3., neubearb. und verb. Aufl. von Th. Klug. 116 S., 18 Abb. 1953 (Bd. 336) Textilindustrie I : Spinnerei und Zwirnerei. Von A. Blümcke. 111 S „ 43 Abb. 1954 (Bd. 184)

Biologie

116 S., 61 Abb., 7 T a b . 1951 (Bd. 1127) GrundrlB der allgemeinen Mikrobiologie von W. Schwartz. 2 Bde. I : 104 S., 17 Abb. 1949 (Bd. 1155) I I : 93 S-, 12 Abb. 1949 (Bd. 1157) Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen von P. Buchner. 2., verb. und verm. Aufl. 130 S., 121 Abb. 1949 (Bd. 1128)

Botanik Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches von H. Heil. 2. Aufl. 138 S „ 94 Abb., 1 Tab. 1950 (Bd. 1137) Morphologie der Pflanzen von L. Geitler. 3. Aufl. 126 S., 114 Abb. 1953 (Bd. 141) Pflanzengeographie von L. Dielsf. 5., voll. neub. Aufl. von F. Mattick. 196 S., 2 Ktn. 1958 (Bd. 3891389a) Die Laubhölzer. Kurzgefaßte Beschreibung der in Mitteleuropa gedeihenden Laubbäume und Sträucher. Von F. W. Negert und E. Münchf. 3., durchges. Aufl. herausgeg. von B. Huber. 143 S., 63 Fig. 7 Tab. 1950 (Bd. 718) Die Nadelhölzer (Koniferen) und Übrigen Gymnospermen von F. W. Negerf und E. Münchf. 4. Aufl. Durchges. und erg. von B. Huber. 140 S., 75 Fig., 4 Tab., 3 Ktn. 1952 (Bd. 355) Pflanzenzüchtung von H. Kuckuck 2 Bde. I : Grundzüge der Pflanzenzüchtung. 3., völlig umgearb. Aufl. 132 S., 22 Abb. 1952 (Bd. 1134) I I : Spez. gartenbaul. Pflanzenzüchtung. 178 S., 27 Abb. 1957 (Bd. 117811178a)

Einführung in die allgemeine BioloZoologie gie von M . Hartmann. 132 S., 2 Abb. 1956 (Bd. 96) Entwicklungsphysiologie der Tiere Hormone von G. Koller. 2., neu- von F. Seidel. 2 Bde. bearb. und erw. Aufl. 187 S., I : Ei und Furchung. 126 S., 29 Abb. 60 Abb., 19 Tab. 1949 (Bd. 1141) 1953 (Bd. 1162) Fortpflanzung im Tier- und Pflan- 11: Körpergrundgestalt und Organzenreich von J. Hämmerling. bildg. 159 S., 42 Abb. 1953 (Bd.1163) 2., erg. Aufl. 135 S., 101 Abb. 1951 Das Tierreich. (Bd. 1138) F i s c h e von D. Lüdemann. 130 S., Geschlecht und Geschlechtsbestim- 65 Abb. 1955 (Bd. 356) Lengerken. mung Im Tier- und Pflanzenreich I n s e k t e n von H. von von M. Hartmann. 2., verb. Aufl. 128 S „ 58 Abb. 1953 (Bd. 594) 8

L u r c h e (Chordatiere) von K. Herler. 143 S., 129 Abb. 1955 (Bd. 847) S p i n n e n t i e r e (Trilobitomorphen, Fühlerlose) und Tausendfüßler, von A. Kaestner. 96 S., 55 Abb. 1955 (Bd. 1161) W ü r m e r . Platt-, Hohl-, Schnurwürmer, Komptozoen, Ringelwürmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von S . Jaeckel. 114 S., 36 Abb. 1955 (Bd. 439) W e i c h t i e r e . Urmoilusken,Schnekken, Muscheln, Kopffüßer von S.* aeckel. 92 S., 34Abb. 1954 (Bd. 440) t a c h e l h ä u t e r . Tentakulaten, Binnenatmer u. Pfeilwürmer von S . Jaeckel. 100 S., 46 Abb. 1955 (Bd. 441) S c h w ä m m e u n d H o h l t i e r e von H. J. Hannemann. 95 S., 80 Abb. 1956 (Bd. 442) K r e b s e von H. E. Gruner und K. Deckert. 114S.,43Abb. 1956(Bd.443) E i n z e l l e r , P r o t o z o e n von E. Reichenow. 115 S., 59 Abb. 1956 (Bd. 444) Vergleichende Physiologie der Tiere von K. Herter. 2 Bde. 3. Aufl. der „Tierphysiologie". I : Stoff- und Energiewechsel. 155 S., 64 Abb. 1950 (Bd. 972) I I : Bewegung und Reizerscheinungen. 148 S., 110 Abb. 1950 (Bd. 973)

Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 S „ 11 Abb. 1952 (Bd. 228) Kulturtechnische Bodenverbesserungen von O. Fauser. 2. Bde. 4., neubearb. Aufl. i

I : Allgemeines, Entwässerung. 122 S., 47 Abb. 1947 (Bd. 691) I I : Bewässerung, Ödlandkultur, Umlegung. 150 S., 67 Abb. 1949 (Bd. 692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bde. I : Pflanzenernährung. 143 S. 1953 (Bd. 329) I I : Futtermittelkunde. 192 S. 1956 (Bd. 3301330a)

Geologie, Mineralogie Kristallographie

Geologie von F. Lotze. 176 S., 80 Abb. 1955 (Bd. 13) Mineral- und Erzlagerstättenkunde von H. Hullenlocher-f. 2 Bde. I : 128 S., 34 Abb. 1954 (Bd. 1014) I I : 156 S „ 48 Abb. 1954 (Bd. 101511015a) Allgemeine Mineralogie. 9., erw. Aufl. der „Mineralogie" von R. Braunst und K. F. Chudoba. 104 S., 107 Flg., 1 Taf., 2 Tab. 1955 (Bd. 29) Spezielle Mineralogie. 9., erw. Aufl. der „Mineralogie" von R. Braunst und K. F. Chudoba. 133 S „ 105 Fig. 1955 (Bd. 31) Petrographle (Gesteinskunde) von W. Bruhnsf und P . Ramdohr. 4., durchges. Aufl. 104 S., 10 Fig. 1955 (Bd. 173) Kristallographie von W. Bruhnsf und P. Ramdohr. 4. Aufl. 106 S., 163 Abb. 1954 (Bd. 210) Einführung In die Kristalloptik von E. Buchwatd. 4., verb. Aufl. 138 S., 121 Fig. 1952 (Bd. 619) Lötrohrproblerkunde. Mineraldiagnose, mit Lötrohr- und Tüpfelreaktion. Von M. Henglein. 3., verb. Aufl. 91 S., II Fig. 1949 (Bd. 483)

Technik Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von M . Pirani. 3., erw. Aufl.bearb. von J. Fischer unter Benutzung der von 1. Runge bes. 2. Aufl. 216 S., 104 Abb. 1957 (Bd. 7281728a)

Elektrotechnik

Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 3 Bde.

I : Die drei Feldformen. 96 S., 41 Abb., 6 Taf. 1956 (Bd. 196) I I : Die wichtigsten elektr. und phys. Grunderscheinungen. 95 S., 36 Abb., 7 Taf. 1956 (Bd. 197) I I I : Schalt Vorgänge, Widerstandsformen, Meßtechnik. 91 S., 59 Abb., 1 Taf. 1956 (Bd. 198) Die Gleichstrommaschine von K . Humburg. 2 Bde. 2., durchges. Aufl. 9

I : 102 S., 59 A b b . 1956 (Bd. 257) I I : 101 S., 3 8 A b b . 1956 (Bd.881) Die synchrone Maschine von K . Humburg. Neudr. 109 S., 78 Abb. 1951 (Bd. 1146) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erw. Aufl. 142 S., 49 Abb. 1954 (Bd. 1140) Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen von H. H. Meinke. 2. Aufl. 180S., 120Abb. 1957 (Bd. 115611156a) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte von F. Kesseling. 3. Aufl. 144 S., 92 Abb. 1950 (Bd. 711) Einführung in die Technik selbsttätiger Regelungen von IV. zur Megede. 174 S „ 86 Abb. 1956 (Bd. 7141 714a) Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) von A. Schwaiger. 3., neubearb. Aufl. 96 S., 34 A b b . 1952 (Bd. 827) Technische Tabellen und Formeln von IV. Müller. 4., verb. und erw. Aufl. von E. Schulze. 152 S., 105 Fig. 1951 (Bd. 579) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. Durchges. Neudr. 122 S., 98 Abb. 1950 (Bd. 1132)

I: Allgemeine Schwingungsgleichungen, einfache Schwinger. 120 S., 101 Abb. 1953 (Bd. 953) I I : Torsionsschwingungen in Maschinenanlagen. 102 S., 59 Abb. 1955 (Bd. 9611961a) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung von K. P. Matlhes. 4 Bde. I : 100 S., 27 Abb., 11 Zahlentaf., 1 Tafelanh. 1954 (Bd. 561) I I : Fertigungstechnische Grundlagen der neuzeitlichen Metallbearbeitung. 101 S., 30 Abb., 5 Taf. 1955 (Bd. 562) Transformatoren von W . Schäfer. 3., Überarb, u. erg. Aufl. 130 S.. 73 A b b . 1957 (Bd. 952) Das Maschinenzeichnen mit Einführung in das Konstruieren von W. Tochtermann. 2 Bde. 4. Aufl. I : Das Maschinenzeichnen. 156 S., 77 Taf. 1950 (Bd. 589) I I : Ausgeführte Konstruktionsbeispiele. 130 S., 58 Taf. 1950 (Bd. 590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende. 3., verb. Aufl., 166 S., 175 Fig., 9 Taf. 1956 (Bd. 313a) Maschinen der Eisenhüttenwerke von L. Engel. 156 S., 95 Abb. 1957 (Bd. 5831583a)

Walzwerke von H. Sedlaczek unter Mitarbeit von F. Fischer und M. Buch. 206 S., 157 Abb. 1958 (Bd. 5801580a) Maschinenbau Getriebelehre von P. Qrodzinski. Metallkunde von H. Borchers. 2 Bde. 2., neubearb. Aufl. 2 Bde. 3. Aufl. 1: Geometrische Grundlagen. 159 S., I : Aufbau der Metalle und Legie- 142 Fig. 1953 (Bd. 1061) rungen. 120 S., 90 Abb., 2 Tab. Gießereitechnik von H. Jungbluth. 2 Bde. 1956 (Bd. 432) I I : Eigenschaften, Grundzüge der I : Eisengießerei. 126 S., 44 Abb. Form und Zustandsgebung. 154 S., 1951 (Bd. 1159) 100 Abb., 8 Tab. 1957 (Bd. 433) Die Dampfkessel und Feuerungen Die Werkstoffe des Maschinenbaues einschließlich Hilfseinrichtungen in von H. Thum und C. M. von Theorie, Konstruktion und BeMeysenbug. 2 Bde. rechnung von IV. Marcard-f. 2 Bde. I : Einführung in die Werkstoffprü- 2. Aufl. Neubearb. von K. Beck. fung. 2., neubearb. Aufl. 100 S., I : Die theoretischen Grundlagen, 7 Tab., 56 A b b . 1956 (Bd. 476) Wärme, Verbrennung, WärmeüberDynamik von W. Müller. 2 Bde. tragung. 150 S „ 42 Abb., 16 Tab. 2., verb. Aufl. 1951 (Bd. 9) I i Dynamik des Einzelkörpers. I I : Dampfkessel. 147 S., 43 Abb. 128 S., 48 Fig. 1952 (Bd. 902) 1952 (Bd. 521) I I : Systeme von starren Körpern. Dampfturbinen, ihre Wirkungs102 S., 41 Fig. 1952 (Bd. 903) weise, Berechnung und KonstrukTechnische Schwingungslehre von L . tion von C. Zietemann. 3 Bde. 3., Zipperer. 2 Bde. 2., neubearb. Aufl. verb. A u f l . 10

I : Theorie der Dampfturbinen. 139 S „ 48 Abb. 1955 (Bd. 274) I I : Die Berechnung der Dampfturbinen und die Konstruktion der Einzelteile. 132 S „ I I I Abb. 1956 (Bd. 775) I I I : Die Regelung der Dampfturbinen, die Bauarten, Turbinen für Sonderzwecke, Kondensationsanlagen. 126 S., 90 Abb. 1956 (Bd. 716) Verbrennungsmotoren von IV. Endres. 3 Bde. 1: Uberblick, Motor-Brennstoffe, Verbrennung im Motor allgemein, im Otto- und Diesel-Motor. 153 S., 57 Abb. 1957 (Bd. 707617076a) Technische Thermodynamik von W. Nußelt. 3 Bde. I : Grundlagen. 4., verb. Aufl. 144 S., 71 Abb. 1.956 (Bd. 7084) 11: Theorie der Wärmekraftmaschinen. Neudr. 144 S., 87 Abb., 32 Zahlentaf. 1951 (Bd. 1751) Autogenes Schweißen und Schneiden von H. Niese. 5. Aufl. Neubearb. von A. Küchler. 136 S „ 71 Fig. 1954 (Bd. 499) Die elektrischen SchwelBverfahren von H. Niese. 2. Aufl. Neubearb. von H. Dienst. 136 S., 58 Abb. 1955 (Bd. 1020) Hebezeuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. 2., verb. Aufl. 176 S., 230 Fig. 1954 (Bd. 414/414a)

Wasserbau Wasserkraftanlagen von A. Ludin u. Mitarb. v. W. Borkenstein. 2 Bde. I : Planung, Grundlagen und Grundzüge. 124 S., 60 Abb. 1955 (Bd. 665) I I : Anordnung und Ausbildung der Hauptbauwerke. 1958 In Vorb. (6661666a) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bde. I : Entwurfsgrundlagen, Flußregelungen. 103 S., 52 Abb. 1950 (Bd. 585) I I : Flußkanalisierung und Schifffahrtskanäle. 94 S., 60 Abb. 1950 (Bd. 597) I I I : Schleusen und Hebewerke. 98 S „ 70 Abb. 1950 (Bd. 1152)

Wehr- und Stauanlagen von H. Dehnert. 134 S., 90 Abb. 1952 (Bd. 965) Talsperren von F. Tölke. 122 S., 70 Abb. 1953 (Bd. 1044)

Hoch- und

Tiefbau

Die wichtigsten Baustoffe des Hochund Tiefbaus von O. Graf. 4., verb. Aufl. 131 S., 63 Abb. 1953 (Bd. 984) Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Kleinlogel. 2., neubearb. und erw. Aufl. 126 S., 35 Abb. 1951 (Bd. 978) Festigkeitslehre. 2 Bde. I : Elastizität, Plastizität und Festigkeit der Baustoffe und Bauteile von W. Gehler f und W. Herberg. Durchges. und erw. Neudr. 159 S., 118 Abb. 1952 (Bd. 1144) I I : Formänderung, Platten, Stabilität und Bruchhypothesen von W. Herberg und N. Dimitrov. 187 S., 94 Abb. 1955 (Bd. 114511145a) Grundlagen des Stahlbetonbaus von A. Troclie. 2., neubearb. und erw. Aufl.208 S.,75 Abb., 17 Bemessungstaf., 20 Rechenbeisp. 1953(Bd.7078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 4 Bde. I : Grundlagen. 100 S., 51 Abb., 8 Formeltaf. 1956 (Bd. 119) I I : Statisch bestimmte Stabwerke. 107 S., 52 Abb., 7 Taf. 1957 (Bd.120) I I I : Statisch unbestimmte Systeme. 1958 In Vorb. (Bd. 722) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerksgerechten Konstruktion von W. Wickop. 4., Überarb. und erg. Aufl. 155 S., 95 Abb. 1955 (Bd. 7092) Heizung und Lüftung von J. Körtings und W. Körting. 2 Bde. 8., neubearb. Aufl. I : Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 140 S., 29 Abb., 18 Zahlentaf. 1951 (Bd. 342) I I : Die Ausführung der Heizungsund Lüftungsanlagen. 152 S., 165 Abb., 7 Zahlentaf. 1954 (Bd. 343) Industrielle Kraft- und Wärmewirtschaft von F. A. F. Schmidt u. A.Beckers. 167 S., 73 Abb. 1957 (Bd. 3781318a) 11

SAMMLUNG GÖSCHEN/BANDNUMMERNFOLGE 1 Langosch, Der Nibelunge Not 120 T e i c h m a n n , - II 3 / 3 a v. E n d e , Die Maschinen122 T e i c h m a n n , - I I I elemente 125 Vossler, Ital. L i t e r a t u r g e s c h . 9 Marcard-Beck, D a m p f k e s s e l I 128/128a Lausberg, R o m a n i s c h e 10 Jiriczek-Wisniewski, Sprachwissenschaft I K u d r u n - u n d Dietrichepen 136 Mahler, Physikalische Formel13 Lotze, Geologie sammlung 19 Altheim, R o m . Geschichte I 141 Geitler, Morphol. der P f l a n z e n 20 H o f s t a e t t e r - S p r e e , D t . Sprachl. 142 H a a c k , D a r s t . Geometrie I 29 B r a u n s - C h u d o b a , Allg. Mine- 143 H a a c k , — II ralogie 144 H a a c k , — I I I 30 Eckert-Greifendorff-Kleffner, 145 W e i m e r , Gesch. der Pädagogik Kartenkunde 156/156a L a n d m a n n , Philosophische Anthropologie 31 B r a u n s - C h u d o b a , Spez. Mineralogie 170 O e h l m a n n , Musik des 19. J a h r h . 35 T r e u e , D t . Geschichte v o n 171/171a O e h l m a n n , Musik des 20. 1648 bis 1740 Jahrhunderts 37 K l e m m , Anorganische Chemie 173 B r u h n s - R a m d o h r , P e t r o g r a p h i e 3 8 / 3 8 a Schlenk, O r g a n . Chemie 180 B ö h m , V e r s i c h e r u n g s m a t h . I 3 9 T r e u e , D t . Geschichte v o n 184 Blümcke, T e x t i l i n d u s t r i e I 1713 bis 1806 196 Mohr, G r u n d l a g e n d . Elektro42 Behn, Vorgeschichte E u r o p a s technik I 47 Fischer, A r i t h m e t i k 197 Mohr, II 51/51 a Ringleb-Bürklen, M a t h e - 198 Mohr, - I I I matische Formelsammlung 200/200 a G o t t s c h a l d , D t . R e c h t 59 K r ä h e , I n d o g e r m . Sprachwiss. schreibungswörterbuch 60 Biehle, S t i m m k u n d e 210 B r u h n s - R a m d o h r , Kristallo61 Biehle, R e d e t e c h n i k graphie 65/65a G r o t e m e y e r , Anal. G e o m . 220/220a Moser, Allg. Musiklehre 66 Berneker-Vasmer, Russische 221 /221a J a n d e r - J a h r , M a ß a n a l y s e Grammatik 222 H a s s a k - B e u t e l , W a r e n k u n d e I 71 Schulze, Allg. u . p h y s . Chemie I 223 H a s s a k - B e u t e l , - II 76 Döring, Einf. i. d. t h e o r e t . 226 H o f m a n n , Geschichte d e r MaPhysik I thematik I 77 Döririg, II 228 Vogel, L a n d w . T i e r z u c h t 78 Döririg, - I I I 231/231 a Ehrlich, Geschichte Israels 79 Hempel, Gotisches E l e m e n t a r b . 238 K r ä h e , G e r m a n . Sprachwiss. I 8 0 Weigert, S t i l k u n d e I 243 Mahler, P h y s i k a l . Aufgabenslg. 96 H a r t m a n n , Einf. i. d. allgem. 247 H o p p e , Analytische Chemie I Biologie 99 H e s s e n b e r g - K n e s e r , E b e n e u n d 248 H o p p e , - II 250 Lausberg, R o m a n . S p r a c h sphär. Trigonometrie w i s s e n s c h a f t II 101 v . Wiese, Soziologie 2 5 2 Dassler, E l e k t r o c h e m i e I 103 D a h r e n d o r f , I n d u s t r i e - u n d 253 Dassler, - II Betriebssoziologie 256 Haussner, A u f g a b e n s a m m l . zur 104/104a H o f s t ä t t e r , Soziala n a l y t . Geometrie der E b e n e psychologie 257 H u m b u r g , Die Gleichstrom111 H o f f m a n n - D e b r u n n e r , Gesch. maschine I d . griechischen S p r a c h e I 264 L o c k e m a n n , Geschichte der 114 D e b r u n n e r , — II 117 B r a n d e n s t e i n , Griechische Chemie I 265/265a L o c k e m a n n , - II Sprachwissenschaft I 270 Kirn, E i n f ü h r u n g in die Ge119 T e i c h m a n n , S t a t i k der B a u konstruktionen I schichtswissenschaft 12

274 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n I 280 J a c o b , Q u e l l e n k u n d e der d e u t schen Geschichte I I 281 L e i s e g a n g , E i n f ü h r u n g in die Philosophie 284 J a c o b - W e d e n , Quellenkunde der deutschen Geschichte I I I 318/318a S c h m i d t , Industrielle K r a f t - und W ä r m e w i r t s c h a f t 319 K r u g , A u s t r a l i e n und O z e a n i e n 329 Scharrer, A g r i k u l t u r c h e m i e I 330/330a Scharrer, II 335 B r a u n - K l u g , F e t t e und ö l e 336 B r a u n - K l u g , S e i f e n f a b r i k a t i o n 342 K ö r t i n g , H e i z u n g und L ü f t u n g I 343 K ö r t i n g , II 344 Moser, Musikästhetik 354/354a V a l e n t i n e r , V e k t o r e n 355 N e g e r - M ü n c h , N a d e l h ö l z e r 356 L ü d e m a n n , Fische 374 D ö r i n g , E i n f . in die t h e o r e t . Physik I V 375 Preller, Geschichte E n g l a n d s I 389/389a D i e l s - M a t t i c k , P f l a n z e n geographie 394/394a Schilling, V o n der Renaissance bis K a n t 4I4/414a T a f e l , H e b e z e u g e 1 422 G o t t s c h a l d , Deutsche Personennamen 423 A d l e r , Fünfstell. L o g a r i t h m e n 432 Borchers, M e t a l l k u n d e 1 433 Borchers, — I I 439 Jaeckel, W ü r m e r 440 Jaeckel, W e i c h t i e r e 441 Jaeckel, Stachelhäuter 442 H a n n e m a n n , S c h w ä m m e und Hohltiere 443 G r u n e r - D e c k e r t , K r e b s e 444 R e i c h e n o w , E i n z e l l e r 452 Bahrdt-Scheer, S t ö c h i o m e t r i sche A u f g a b e n s a m m l u n g 468 W e r k m e i s t e r , Vermessungskunde I 469 W e r k m e i s t e r , — I I 476 T h u m - M e y s e n b u g , D i e W e r k s t o f f e des Maschinenbaus I 483 H e n g l e i n , L ö t r o h i r p r o b i e r k u n d e 492 S t o l z - D e b r u n n e r , Geschichte der lateinischen Sprache 499 Niese, A u t o g e n . Schweißen 500 S i m m e l , H a u p t p r o b l e m e der Philosophie 521 M a r c a r d - B e c k , D a m p f k e s s e l I I 536 L e h m a n n , K a n t 538 R u m p f , A r c h ä o l o g i e I 539 R u m p f , II

557 N e s t l e , Griechische L i t e r a t u r geschichte I I 561 M a t t h e s , W e r k z e u g m a s c h i n e n ! 562 M a t t h e s , II 564 Behn, K u l t u r der U r z e i t I 565 Behn, II 566 Behn, III 571 L e h m a n n , P h i l o s o p h i e des 19. Jahrhunderts I 576/576a Moser, Gesangskunst 579 M ü l l e r - S c h u l z e , T e c h n . T a b e l l e n 580/580a Sedlaczek, W a l z w e r k e 583/583 a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 585 D e h n e r t , Verkehrswasserbau I 589 T o c h t e r m a n n , Maschinenzeichnen I 590 T o c h t e r m a n n , II 594 L e n g e r k e n , Insekten 597 D e h n e r t , Verkehrswasserbau I I 601 M u t s c h m a n n , E n g l . P h o n e t i k 619 B u c h w a l d , K r i s t a l l o p t i k 665 L u d i n , W a s s e r k r a f t a n l a g e n I 666/666a L u d i n , — I I 668 K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e I 677 A l t h e i m , R o m . Geschichte I I 691 Fauser, K u l t u r t e c h n . B o d e n verbesserungen I 692 Fauser, II 698/698a Schulze, A l l g e m e i n e und physikalische Chemie I I 703 K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e l l 709 L e h m a n n , P h i l o s o p h i e des 19. Jahrhunderts I I 711 Kesselring, Berechnung der Schaltgeräte 714/714a zur Megede, E i n f . in die Technik selbsttät. Regelungen 715 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n I I 716 Z i e t e m a n n , — I I I 718 N e g e r - M ü n c h , L a u b h ö l z e r 728/728a Pirani, G r a p h . D a r s t e l l u n g 735 E k w a l l , Historische neuengl. L a u t - und F o r m e n l e h r e 763/763a B e e r - M e y e r , Hebräische Grammatik I 764/764a B e e r - M e y e r , II 768/768a B i e b e r b a c h , E i n f ü h r u n g in die k o n f o r m e A b b i l d u n g 780 K r ä h e , G e r m . Sprachwiss. I I 781 W e i g e r t , S t i l k u n d e I I 786 Schulze, M o l e k ü l b a u 807 K r o p p , E r k e n n t n i s t h e o r i e I 809 Moser, H a r m o n i e l e h r e 1 826 K o c h , P h i l o s o p h i e des M i t t e l alters 13

827 Schwaiger, E l e k t r o m o t o r i s c h e Antriebe 831 E r i s m a n n , Allg. Psychologie I 845 L e h m a n n , Philosophie im ersten Drittel des 20. J a h r h . 847 H e r t e r , Lurche 8 5 1 / 8 5 l a Moede, Psychologie des Berufs- u n d W i r t s c h a f t s l e b e n s 857 Capelle, Griech. Philosophie I 858 Capelle, II 859 Capelle, - I I I 862 W e r k m e i s t e r , Vermessungskunde III 863 Capelle, Griech. Philosophie IV 875 H o f m a n n , Gesch. d. M a t h . II 877 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur F u n k t i o n e n t h e o r i e I 878 K n o p p , — II 881 H u m b u r g , Gleichstrommaschine II 882 H o f m a n n , Gesch. d. M a t h . I I I 902 Müller, D y n a m i k I 9 0 3 Müller, - II 910 J a e g e r , Afrika I 911 J a e g e r , - II 915 Sperber-Fleischhauer, Gesch. der d e u t s c h e n S p r a c h e 917/917a Böhm, Versicherungsm a t h e m a t i k II 920 Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 921 J a n t z e n - K o l b , W . v. Eschenbach. Parzival 929 Schirmer, D t . W o r t k u n d e 930 Krull, E l e m e n t a r e u n d klassische Algebra 1 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, - II 952 Schäfer, T r a n s f o r m a t o r e n 953 Zipperer, T e c h n . Schwingungslehre I 961/961 a Zipperer, — II 965 D e h n e r t , W e h r - u n d S t a u a n l . 970 Baldus-Löbell, N i c h t e u k l i d . Geometrie 972 H e r t e r , Tierphysiologie I 973 H e r t e r , - II 978 Kleinlogel, B a u s t o f f v e r a r b . u. Baustellenprüf. des Betons 984 Graf, Die wichtigsten B a u stoffe des H o c h - u. T i e f b a u s 999/999a K a m k e , Mengenlehre 1000 J a s p e r s , Geistige Situation 1003 Hoheisel, Partielle Differentialgleichungen 1008 Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I 14

1009 B e c h e r t - G e r t h s e n , A t o m physik I 1014 H u t t e n l o c h e r , Mineral- u n d Erzlagerstättenkunde I 1015/1015a H u t t e n l o c h e r , - II 1017 Döring, Einf. i. d . t h e o r e t . Physik V 1020 Niese-Dienst, Elektr. Schweißverfahren 1031/1031 a Apel, Philosophisches Wörterbuch 1033 Bechert-Gerthsen, A t o m physik II 1034 K r a n e f e l d t , T h e r a p e u t i s c h e Psychologie 1035 Altheim, R o m . Religionsgeschichte I 1039 Dovifat, Zeitungslehre I 1040 D o v i f a t , - II 1044 Tölke, Talsperren 1045 S c h u b e r t , Technik des Klavierspiels 1051 /1051a Stolberg-Wernigerode, Gesch. der Verein. S t a a t e n von A m e r i k a 1052 Altheim, R o m . Religionsgeschichte II 1057 R o t h , T h e r m o c h e m i e 1059 Hoheisel, A u f g a b e n s a m m lung zu den gewöhnl. u n d partiellen Differentialgleichungen 1061 Grodzinski, Getriebelehre I 1065 Haller, Von a e n Karolingern zu den S t a u f e r n 1070 S a u t e r , Differentialgleichungen der Physik 1076/10763 E n d r e s , V e r b r e n n u n g s motoren I 1078 Troche, S t a h l b e t o n b a u 1082 Hasse-Klobe, A u f g a b e n s a m m l . zur Höheren Algebra 1084 Nußelt, Technische T h e r m o dynamik I 1085 L i e t z m ^ n n , Z e i t r e c h n u n g 1086 Müller, D t . Dichten u. Denken 1088 Preller, Geschichte Englands II 1092 Wickop, Fenster, T ü r e n , Tore 1094 Hernried, S y s t e m . M o d u l a t i o n 1096 Vietor, D t . D i c h t e n u n d Denken 1099 Hoheisel, Integralgleichungen 1105 H ä r t u n g , D t . Geschichte im Zeitalter der R e f o r m a t i o n 1108 de Boor-Wisniewski, Mittelhochdeutsche Grammatik

1109 K n o p p , E l e m e n t e der F u n k tionentheorie 1111 N a u m a n n - B e t z , Althochdeutsches Elementarbuch 1113/1113a S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I 1114 Schubel, Englische L i t e r a t u r geschichte I 1115 R a n k e , A l t n o r d . E l e m e n t a r b . 1116 Schubel, Englische L i t e r a t u r geschichte II 1117 Haller, E i n t r i t t d e r G e r m a n e n in die Geschichte 1121 N a u m a n n , D t . D i c h t e n u n d Denken 1122 Feist, Sprechen u. S p r a c h pflege 1123/1123a B e c h e r t - G e r t h s e n , Atomphysik III 1124 Meissner, Englische Literaturgeschichte III 1125 L e h n e r t , Altengl. E l e m e n t a r b . 1127 H a r t m a n n , Geschlecht u n d G e s c h l e c h t s b e s t i m m u n g im Tier- u n d Pflanzenreich 1128 B u c h n e r , Symbiose d e r Tiere m i t pflanzl. Mikroorganismen 1130 Dibelius, J e s u s 1131 Scholz-Schoeneberg, E i n f ü h r u n g in die Zahlentheorie 1132 F r ü h a u f , Ü b e r s p a n n u n g e n und Überspannungsschutz 1134 K u c k u c k , P f l a n z e n z ü c h t u n g I 1135 Lehnert, Beowulf 1136 Meissner, Englische Liter a t u r g e s c h i c h t e IV 1137 Heil, Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreichs 1138 H ä m m e r l i n g , F o r t p f l a n z u n g im Tier- u n d Pflanzenreich 1140 Unger, I n d u k t i o n s m a s c h i n e n 1141 Koller, H o r m o n e

1142 Meissner-Lehnert, S h a k e speare 1144 Gehler-Herberg, Festigkeitslehre I 1145/1145a H e r b e r g - D i m i t r o v , - I I 1146 H u m b u r g , S y n c h r o n e Maschine 1147 v . W a l t e r s h a u s e n , K u n s t des Dirigierens 1148 Pepping, Der p o l y p h o n e Satz I 1151 Nußelt, Technische T h e r m o d y n a m i k II 1152 D e h n e r t , Verkehrswasserbau III 1153 Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre 11 1154 Mellerowicz, — I I I 1155 S c h w a r t z , Mikrobiologie I 1156/1156a Meinke, K o m p l e x e Berechn. d e r W e c h s e l s t r o m schaltungen 1157 S c h w a r t i , Mikrobiologie II 1158 M a y r h o f e r , S a n s k r i t - G r a m matik 1159 J u n g b l u t h , Gießereitechnik I 1160 Dibelius-Kümmel, P a u l u s 1161 K a e s t n e r , Spinnentiere 1162 Seidel, E n t w i c k l u n g s physiolog. der Tiere I 1163 Seidel, — II 1164/1164a Pepping, Der polyphone Satz 11 1165/1165a B e c h e r t - G e r t h s e n , A t o m p h y s i k IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 P a u l s e n , — II 1178/1178a Kuckuck, Pflanzenz ü c h t u n g 11 1179/1179a S t r u b e c k e r , Different i a l g e o m e t r i e II 1180/1180a S t r u b e c k e r , — I I I

AUTORENREGISTER Adler 6 Aland 3 A l t h e i m 2, Apel 2 Bahrdt 8 Baldus 7

Bechert 7 Beck 10 Beckers 11 Beer 5 Behn 3 Berneker 5

Betz 5 Beutel 8 Bieberbach Biehle 4 Blümcke 8 Böhm 7

de Boor 4 Borchers 10 Borkenstein Brandenstein Braun 8 Brauns 9 15

Bruhns 9 Buch 10 Buchner 8 Buchwald 9 Bürklen 6 Capelle 2 Chudoba 9 Dahrendorf 2 Dannenbauer 3 Dassler 8 Debrunner 5 Deckert 9 Dehnert 11 Dibelius 2 Dlels 8 Dienst 11 Dimitrov 11 Döring 7 Dovifat 5 EckertGreifendorff 5 Ehrlich 2 Ekwall 4 Ende, vom 10 Endres 11 Engel 10 Erdmann 4 Erismann 2 Fauser 9 Feist 4 Fischer, F. 10 Fischer, J . 9 Fischer, P. B . 6 Fleischhauer 4 Frühauf 10 Gehler 11 Geitler 8 Gerthsen 7 Gottschald 4 Graf 11 Grodzinski 10 Grossmann 7 Grotemeyer 6 Gruner 9 Haack 6 Hämmerling 8 Haller 3 Hannemann 9 Hartmann 8 Härtung 3 Hassak 8

Hasse 6 Haussner 6 Hell 8 Hempel 4 Henglein 9 Herberg U Hernried 3 Herter 9 Hessenberg 6 Hoernes 3 Hoffmann 5 Hofmann 6 Hofstätter 2 Hofstaetter 4 Hoheisel 6 Hoppe 8 Huber 8 Humburg 9, 10 Huttenlocher 9 Jacob 3 Jaeckei 9 Jaeger 5 Jähr 8 Jander 8 Jantzen 4 Jaspers 2 Jiriczek 4 Jung 2 Jungbluth 10 Kaestner 9 Kamke 6 Kesselring 10 Kirn 3 Kleffner 5 Kleinlogel 11 Klemm 7 Klobe 6 Klug 8 Kneser 6 Knopp 6 Koch 2 König 7 Körting 11 Kolb 4 Koller 8 Krähe 4 Kranefeldt 2 Kropp 2 Krug 5 Krull 6 Kuckuck 8

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Überreicht durch:

Küchler 11 Kümmel 2 Hützel nigg 8 Landmann 2 Langosch 4 Lausberg 5 Lehmann 2 Lehnert 4,5 Leisegang 2 Lengerken,von Lietzmann 3 Lockemann 7 Lobell 7 Lotze 9 Ludin 11 Ludz 2 Lüdemann 8 Mahler 7 Marcard 10 Matthes 10 Mattick 8 Mayrhofer 5 Megede, zur 10 Meinke 10 Meissner 5 Mellerowicz 5 Meyer 5 Meysenbug 10 Moede 2 Mohr 9 Moser 3 Müller G. 4 Müller W. 10 Münch 8 Mutschmann 5 Naumann 4 Neger 8 Nestle 5 Niese 11 Nußelt 11 Oehlmann 3 Paulsen 5 Pepping 3 Pirani 9 Preller 4 Ramdohr 9 Ranke 4 Reichenow 9 Ringleb 6 Rohrbach 6 Roth 8

Rumpf 3 Runge 9 Sauter 7 Schäfer 10 Scharrer 9 Scheer 8 Schilling 2 Schirmer 4 Schlenk 7 Schmidt 11 Schoeneberg 6 Scholz 6 Schubel 5 Schubert 3 Schulze, E . 10 Schulze, W. 7 Schwaiger 10 Schwartz 8 Sedlaczek 10 Seidel 8 Simmel 2 Sperber 4 Spree 4 Stolberg-Wernigerode, zu 4 Stolz 5 Strubecker 7 Tafel 11 Teichmann 11 Thum 10 Tochtermann 10 Tölke 11 Treue 3 Troche 11 Unger 10 Valentiner 7 Vasmer 5 Viëtor 4 Vogel 9 Vossler 5 Waltershausen, von 3 Weden 4 Weigert 3 Weimer 2 Werkmeister 7 Wickop 11 Wiese, von 2 Wlsniewski 4 Zietemann 10 Zipperer 10