Analysis I [4th revised and enlarged ed. 1991] 9783110854770, 9783110132243

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de Gruyter Lehrbuch Barner/Flohr · Analysis I

Martin Barner · Friedrich Flohr

Analysis I 4., durchgesehene und erweiterte Auflage

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Walter de Gruyter G Berlin · New York 1991 DE

Martin Barner Friedrich Flohr Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Hebelstr. 29 D-7800 Freiburg

7997 Mathematics Subject Classification: Primary: 26-01 Mit 640 Aufgaben, überwiegend mit Lösungshinweisen 1974 Erstaufl. 1983 2., verb. Aufl. 1987 3., durchges. Aufl.

® Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Barner, Martin:

Analysis / Martin Barner ; Friedrich Flohr. Berlin ; New York : de Gruyter. (De-Gruyter-Lehrbuch) NE: Flohr, Friedrich: 1.-4., durchges. und erw. Aufl. - 1991 ISBN 3-11-013225-7 brosch. ISBN 3-11-013224-9 Gb.

© Copyright 1991 by Walter de Gruyter & Co., D-1000 Berlin 30. Dieses Werk, einschließlich aller seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Satz: Tutte Druckerei GmbH, Salzweg-Passau. - Druck: Gerike GmbH, Berlin. Buchbinderische Verarbeitung: D. Mikolai, Berlin.

Vorwort zur 4. Auflage Zum Studium der Mathematik gehört wesentlich das selbständige Lösen von Aufgaben. Unser Buch enthält deshalb eine größere Zahl von Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades. Mit der neuen Auflage folgen wir dem oft geäußerten Wunsch, Hinweise zu den Lösungen zu geben. Bei einfacheren Aufgaben sind zur Kontrolle die Ergebnisse genannt, bei schwierigeren werden Anleitungen zu möglichen Lösungswegen angeboten. Man beachte, daß jede Aufgabe im Zusammenhang mit dem voranstehenden Text zu sehen ist. Wie bei den vorausgehenden Auflagen haben wir den Text durchgesehen und einige kleinere Korrekturen vorgenommen. Freiburg i. Br., September 1991

M. Barner, F. Flohr

Vorwort zur 1. Auflage Diese Darstellung der Analysis ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autoren an der Universität Freiburg i. Br. mehrfach gehalten haben. Es handelte sich dabei um eine dreisemestrige Einführung in die reelle Analysis. Der vorliegende erste Band enthält die Differential- und Integralrechnung der Funktionen einer reellen Variablen; die Theorie der Funktionen mehrerer reeller Variablen soll im zweiten Band dargestellt werden. Im ersten Band haben wir uns auf den Integralbegriff für Regelfunktionen beschränkt; das Lebesguesche Integral wird bei den Funktionen mehrerer Variablen eingeführt. Für die klassischen Anwendungen der Integralrechnung kommt man mit dem Bereich der Regelfunktionen aus (dieser ist etwas enger als der Bereich der Riemann-integrierbaren Funktionen, der in der Lehrbuchliteratur sonst bevorzugt wird). Wir haben uns bemüht, den Aufwand an Begriffen gering zu halten und behutsam an abstraktere Begriffsbildungen heranzuführen. Die zahlreichen Aufgaben stehen in enger Verbindung zum Text, so daß wir hoffen, daß dieses Buch auch zum Selbststudium geeignet ist. Danken möchten wir auch an dieser Stelle Frau A. Helbling für ihren unermüdlichen Einsatz bei der Herstellung des Manuskriptes, Herrn Dr. V. Drumm für seine große Hilfe bei den Korrekturarbeiten und dem Verlag für gute Zusammenarbeit. Freiburg i. Br., August 1974

M. Barner, F. Flohr

Inhalt

Vorwort

5

1 Die reellen Zahlen 1. l Körperaxiome l .2 Anordnungsaxiome 1.3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion l .4 Vollständigkeitsaxiom 1.5 Bemerkungen

9 10 14 21 34 44

2 Funktionen 2. l Abbildung, Verkettung, Umkehrabbildung 2.2 Endliche, abzählbar unendliche und überabzählbare Mengen 2.3 Beispiele für reelle Funktionen 2.4 Eigenschaften reeller Funktionen 2.5 Vektorräume reeller Funktionen

52 52 60 64 78 86

3 Konvergente Folgen 3.1 Konvergenz von Zahlenfolgen 3.2 Beispiele 3.3 Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen 3.4 Konvergenzkriterien 3.5 Limes inferior, Limes superior

91 91 99 106 112 123

4 Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion 4. l Natürlicher Logarithmus 4.2 Exponentialfunktionen

128 129 133

5 Reihen 5.1 Konvergenz von Reihen 5.2 Umordnung von Reihen, absolute Konvergenz 5.3 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 5.4 Potenzreihen 5.5 Summierbare Zahlenfamilien

141 141 149 158 167 173

6 Komplexe Zahlen, Winkelfunktionen 6. l Komplexe Zahlen 6.2 Winkelfunktionen

186 187 196

7 Stetige Funktionen 7. l Stetigkeit von Funktionen 7.2 Topologie von IR 7.3 Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen 7.4 Stetige Fortsetzbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit 7.5 Stetige Homomorphismen von ((R, +) und (IR + , ·)

211 211 222 232 238 247

8

Inhalt 8 Differenzierbare Funktionen 8. l Differenzierbarkeit von Funktionen 8.2 Mittelwertsatz 8.3 Höhere Ableitungen 8.4 Taylorsche Formel

251 252 266 280 287

9 Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz 9.1 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen 9.2 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen 9.4 Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz 9.5 Differenzierbarkeit und gleichmäßige Konvergenz 9.6 Treppenfunktionen und Regelfunktionen

302 303 308 314 319 328 338

10 Integration 10.1 Integration von Treppenfunktionen 10.2 Integration von Regelfunktionen 10.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 10.4 Integration und Grenzübergang 10.5 Parameterabhängige Integrale 10.6 Numerische Integration

345 346 351 363 386 398 406

11 Uneigentliche Integrale 11.1 Uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall 11.2 Parameterabhängige uneigentliche Integrale 11.3 Andere Typen uneigentlicher Integrale

416 416 427 436

12 Fourier-Reihen 12.1 Trigonometrische Reihen, Fourier-Reihen 12.2 Der Satz von Fejer 12.3 Konvergenz im Sinne der Hilbert-Norm 12.4 Punktweise Konvergenz

450 450 458 466 473

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben Anhang Symbole Literatur Zeittafel Namenverzeichnis Sachverzeichnis

483 533 535 536 537 538 540

l Die reellen Zahlen

Grundlegend für die Analysis sind die reellen Zahlen. Im Dezimalsystem kann jede reelle Zahl durch eine periodische oder nichtperiodische „Dezimalentwicklung" dargestellt werden; so hat man zum Beispiel: =1,428571428571 . . . 1/2=1,4142135. . . =3, 1415926... . Es liegt daher nahe, die reellen Zahlen direkt durch „Dezimalentwicklungen" einzuführen. Dieses Vorgehen führt aber rasch auf Probleme, deren Beantwortung keineswegs einfach ist. So ist die Bedeutung der drei Punkte in den Beispielen nicht ohne weiteres ersichtlich. Im ersten Fall ist es zwar einfach, für die drei Punkte am Ende der geschriebenen Ziffernfolge die richtige Deutung zu finden; die Ziffernfolgen, die zu J/2 bzw. zu gehören, sind jedoch nicht periodisch und nur Schritt für Schritt zu bestimmen. Will man etwa für die Summe oder das Produkt zweier Zahlen die Dezimalentwicklung finden, so treten neue Schwierigkeiten auf. Auch die Bevorzugung der dezimalen Schreibweise möchte man möglichst vermeiden, weil die Zahl Zehn aus mathematischer Sicht nicht ausgezeichnet ist. Es wäre ermüdend, wollten wir uns zu Beginn gleich mit den angedeuteten Problemen auseinandersetzen. Wir gehen deshalb folgenden Weg, der sich auch in anderen Situationen in der Mathematik vielfach bewährt hat: Wir stellen ein System von Gesetzen zusammen, die von den reellen Zahlen - was immer das sein mag - erfüllt werden und auf die allein bei den Beweisen zurückgegriffen wird. Die ausgewählten Gesetze nennt man in diesem Zusammenhang Axiome; die Axiome zusammen bilden ein Axiomensystem für die reellen Zahlen. Wenn wir, von dieser Basis ausgehend, unsere Untersuchungen weit genug vorangetrieben haben, werden wir das Problem der Dezimalentwicklung der reellen Zahlen wieder aufgreifen und die genannten Schwierigkeiten bewältigen können.

10

l Die reellen Zahlen

1.1 Körper axiome

Hier werden solche Gesetze aufgezählt, die zur Begründung des „Rechnens", d. h. der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, ausreichen. In den Axiomen kommen zunächst nur Addition und Multiplikation vor; Subtraktion und Division werden später definiert. Wir nehmen folgendes an: Je zwei reellen Zahlen a, b ist eindeutig eine reelle Zahl a + b, ihre Summe, zugeordnet. Ebenso gehört zu a, b eindeutig eine reelle Zahl a · b, das Produkt von a und b. Für diese Zuordnungen (genannt Addition bzw. Multiplikation) gelten die folgenden Gesetze: Körperaxiome

(l.a)

a+b=b+a

(l.b) (l.c) Addition (i.d)

a + (b + c) = (a + b) + c

Es gibt genau eine Zahl 0, so daß für alle a gilt: a + 0 = a Zu jedem a gibt es genau ein je, so daß gilt: + = 0 (2.a) a · b = b ·a (2.b) a · (b · c) = (a · b) · c (2.c) Multi- Es gibt genau eine von 0 verplika- schiedene Zahl 1 , so daß für alle a gilt: a · 1 = a tion (2.d) Zu jedem 0 gibt es genau ein x, so daß gilt: a · = 1 a-(b + c) — a-b + a-c (3)

Kommutativgesetz Assoziativgesetz Existenz und Eindeutigkeit derO Eindeutige Lösbarkeit der Gleichung a + = 0 Kommutativgesetz Assoziativgesetz Existenz und Eindeutigkeit der 1 Eindeutige Lösbarkeit der Gleichung a-x=i für 0 Distributivgesetz

Dabei bedeutet etwa das Kommutativgesetz (l.a): Für alle reellen Zahlen a, b gilt a + b = b 4- a. Entsprechend sind die Gesetze (l.b), (2.a), (2.b) und (3) zu verstehen. Für das Produkt a · b werden wir meistens die kürzere Schreibweise ab verwenden. Die beiden Assoziativgesetze (l.b) und (2.b) ermöglichen es, Klammern wegzulassen:

1.1 Körperaxiome

11

a + (b + c) = (a + b) + c — a + b -f c a(bc) — (ab)c=-.abc

Hierbei haben wir das mit einem Doppelpunkt versehene Gleichheitszeichen benutzt, um darauf hinzuweisen, daß es sich um Definitionen handelt. So bedeutet u ~v, daß u definitionsgemäß gleich v ist; schreibt man diese Definitionsgleichung in der Form v=-.u, so liest man etwa: v wird abgekürzt durch u. Wir wollen hier nur an einigen wenigen Beispielen zeigen, wie aus den Körperaxiomen bekannte Aussagen über reelle Zahlen formal hergeleitet werden können. Für eine ausführliche Darstellung verweisen wir auf die Lehrbücher der Algebra. Beispiele :

1) Bevor wir die binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 beweisen, erinnern wir an die Definitionen 2 :=! + !,

(a + b)2-.=(a + b)(a + b),

2

··=

,

b2:=bb.

Wir erhalten dann: (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b

nach Axiom (3)

= a(a + b) + b(a + b)

nach Axiom (2. a)

= = = =

nach Axiom (3) nach Axiom (l .b) nach Axiom (l.b) und (2.a) nach Axiom (2.c) und (3)

(aa + ab) + (ba + bb) ((aa + ab) + ba) + bb (aa + (ab + ab)) + bb (aa + ab(i + 1)) + bb

Aufgrund unserer Definitionen und nach nochmaliger Anwendung des Kommutativgesetzes (2. a) können wir das Ergebnis in der gewohnten Form (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

schreiben. 2) Nach (l.d) besitzt die Gleichung a + x = Q für jede reelle Zahl a genau eine Lösung, die wir - wie üblich - mit (—a) bezeichnen. Es gilt also

Wir zeigen, daß für alle reellen Zahlen a und b die Gleichung

a + x =b eine und nur eine Lösung besitzt.

12

l Die reellen Zahlen

Addition von (—a) ergibt nämlich (auf die Reihenfolge der Summanden brauchen wir wegen (i. a) nicht zu achten)

und diese Zahl je erfüllt auch wirklich die vorgegebene Gleichung:

+ (b + (-«)) = (a + (-a)) + b = b. Man schreibt kürzer b + (-a)~ b-a

und nennt diese Zahl Differenz. Damit ist die Subtraktion auf Grund der Körperaxiome definiert. B e m e r k u n g : Man beachte, daß das Minuszeichen in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird: ( — a) ist eine reelle Zahl, die der reellen Zahl a nach (l.d) eindeutig zugeordnet ist. Die Differenz b — a ist dagegen für je zwei reelle Zahlen a, b als Summe von b und (—a) erklärt. Die Überlegungen aus Beispiel 2) lassen sich entsprechend auch für die Multiplikation durchführen. Wir notieren als Ergebnis: Nach (2.d) gibt es zu jedem 0 genau eine Zahl a~ 1, so daß gilt aa~ J = l . Statt a~l wird auch — geschrieben. Für a

0 besitzt die Gleichung

ax = b genau eine Lösung x = ba -i =··b— ; man nennt diese Zahl Quotient. Damit ist die Division für

0 erklärt.

Aufgabe: Man führe die Beweise analog zu Beispiel 2) durch. 3) Für jedes a gilt: < z - 0 = 0. Nach Axiom (l.a) und (l.c) hat man c = 0 + c. Setzt man b = 0 in Axiom (3), so folgt ac = a(0 + c) = a · 0 + ac. Addition von (— ac) auf beiden Seiten der Gleichung liefert die Behauptung. Wir haben also bewiesen: Ist in einem Produkt mindestens ein Faktor 0, so ist das Produkt 0.

1.1 Körperaxiome

13

Dieser Satz läßt sich umkehren. Sei nämlich ab = Q und

0, so ergibt sich:

0 = 1( ) = f-a]b = l -b = b. a \a )

(Für a = 0 braucht nichts mehr bewiesen zu werden !) 4) Schließlich zeigen wir noch

Die Zahl ( — ab) ist nach Definition die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung

Andererseits rechnet man nach, daß die Zahl ( — ä)b auch Lösung dieser Gleichung ist: ab + (-a}b = (a + (-a)) -b = Q-b = Q.

Wegen der Eindeutigkeit der Lösung muß also gelten: (-a)b = (-ab). Aufgaben 1. Man beweise die binomische Formel für den Exponenten 3 und gebe bei jedem Beweisschritt genau an, welches Körperaxiom benutzt wird. 2. Man zeige, daß gilt: ((a + b) + c) + d = (a + b) + (c + d) = (a + (b + c)) + d =

Für diese Zahl schreibt man kurz: + b + c + d. Wieviel Möglichkeiten der Beklammerung gibt es bei 5 Summanden? 3. Man zeige, daß ( — ( — a)) = a gilt. 4. Im Anschluß an Beispiel 4) beweise man

5. Man zeige, daß für jedes (-a)-l=-(a-1).

0 gilt:

6. Aus den Körperaxiomen lassen sich die Regeln der „Bruchrechnung" herleiten. Unter der (notwendigen) Voraussetzung b 0 und d 0 beweise man die folgenden Aussagen:

14

l Die reellen Zahlen

(1)

\

U

ü c Aus — = — folgt ad = bc und umgekehrt folgt aus ad = bc auch b d a c b d' f. + _£. - a'd + b'c b d b-d l

f\\

l M·

l

(4)

(

)·

I ^

l

)

.

fc*L-

=f^.

falls

^ch

1.2 Anordnungsaxiome

Hier handelt es sich darum, eine tragfähige Basis für das Umgehen mit der Kleinerbeziehung, die durch das Zeichen < symbolisiert wird, zu legen. Wir nehmen an, daß folgendes gilt: Sind a, b irgend zwei reelle Zahlen, so steht fest, ob a < b richtig oder falsch ist. Für die Kleinerbeziehung gelten die folgenden Gesetze:

(D (2) (3) (4)

Anordnungsaxiome Trichotomiegesetz Entweder gilt a = b oder a < b oder b < a Aus a < b und b < c folgt a < c Transitivgesetz Monotoniegesetz der Addition Aus a< b folgt a + c < b + c Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation

Die Zahl 0 ist durch die Körperaxiome ausgezeichnet. Gilt 0 < a, so heißt a positiv; gilt a < 0, so heißt a negativ. Eine Beziehung der Art a < b nennt man Ungleichung, in manchen Zusammenhängen auch Abschätzung.

1.2 Anordnunesaxiome

15

Wir zeigen an einigen Beispielen, wie aus den Anordnungsaxiomen - zusammen mit den Körperaxiomen - Folgerungen gezogen werden können. Beispiele: 1) Aus a < b und c < d folgt

4- c < b + d.

Beweis: Nach Axiom (3) folgt aus

0 gilt n+ l >n. Eine unmittelbare Folgerung aus der Definition der natürlichen Zahlen ist die „Induktionseigenschaft". Da IN0 die kleinste induktive Menge ist, muß jede in NO enthaltene induktive Menge W schon mit N 0 übereinstimmen. Es gilt also der

1.3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion

Satz:

23

Es sei W a N 0 und es gelte (l)OeiF (2) wenn n e W, so n + l e W. Dann gilt W= IM 0 .

Dieser „Induktionssatz" ist die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion: Es sei A (n) eine Aussage über die natürliche Zahl n. Gelingt es zu zeigen: (1) I n d u k t i o n s a n f a n g : A(Q) ist richtig. (2) I n d u k t i o n s s c h r i t t : Aus der Annahme, A (n) sei richtig, folgt, daß auch A(n+ 1) richtig ist. Dann ist A (n) für jede natürliche Zahl n richtig. Betrachtet man nämlich die Menge W aller natürlichen Zahlen n, für die A (n) richtig ist, so erfüllt die Menge W die Bedingungen des Induktionssatzes. Es gilt also W = N 0 , d.h. A (n) ist für jede natürliche Zahl n richtig. Bemerkung: An Stelle von 0 kann eine beliebige andere natürliche Zahl «0 als ,Anfangszahl" treten. Läßt sich der Induktionsschritt dann für n^>n0 durchführen, so ist A (n) zumindest für alle natürlichen Zahlen n ^ n0 richtig. Wir beweisen diese Verallgemeinerung am Ende dieses Abschnitts, verwenden sie jedoch schon in den Beispielen. Die folgenden Beispiele dienen der Einübung der vollständigen Induktion. Wir verwenden dabei die Begriffe: Summe von n Summanden, Produkt von n Faktoren in naiver Weise: a1+a2 + a3+ ... +a„_l+a„ · 2· 3·... · _! · . Zur korrekten Definition dieser Begriffe hat man die Induktionseigenschaft der natürlichen Zahlen heranzuziehen; wir kommen hierauf in Kap. 2 zurück. Speziell ist die n-te Potenz an einer reellen Zahl a das Produkt a"—a · · · ...· · . /i-inal Hierbei ist zunächst n ^ 2 vorauszusetzen. Im Einklang mit der Rechenregel am+n = am · a" setzt man weiter fest: ·.= «":=!.

(Insbesondere wird also auch 0° = l gesetzt.)

24

l Die reellen Zahlen

In den Beispielen verwenden wir auch die übliche „dezimale Darstellung" der natürlichen Zahlen, ohne sie zu begründen (vgl. dazu Aufg.l l, S. 34). Beispiele: 1) Es sei a > — l . Dann gilt die Ungleichung

(1+ )" ^ 1+ na für jede natürliche Zahl n. Man bezeichnet diese Aussage als Bernoullische Ungleichung.

Beweis: 1) I n d u k t i o n s a n f a n g : Für n0 = 0 ist (l + a)° ^ l + 0 · a

richtig. (2) Induktionsschritt: Aus der Aussage für « (l + a}" ^ i + na folgt durch Multiplikation mit der positiven Zahl (l + d) die Ungleichung

d.h. Da a2 ^ 0 und n ^ 0 gilt, folgt weiter na2 ^. 0 und damit

l + (n + \)a + na2 ^ 1+ (n + l)a. Wegen der Transitivität von ^ gilt also (1+ )

+1

^ 1 + 0 + 1) .

2) Für alle natürlichen Zahlen n ^ 5 gilt: 2">n2. Beweis: (i) I n d u k t i o n s a n f a n g : Für «0 = 5 ist die Behauptung richtig, denn 25 = 32>25 = 5 2 . (2) I n d u k t i o n s s c h r i t t : Aus der Annahme 2">n2 folgt durch Multiplikation mit 2: 2"+1>2n2.

1.3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion

25

Wir müssen nun zu zeigen versuchen, daß 2n2 ^ (n + l) 2 gilt. Diese Ungleichung ist aber für n _ 3 richtig, weil dann n _ 3 > 2 H— und damit n 2n2 = n2 + nn > n2 + n 12 + — J = (n + l)2

gilt. Also folgt aus der Annahme 2" > n2, falls n _ 3, die Ungleichung 2 n + 1 > ( n + l) 2 . Damit ist der Induktionsbeweis geführt. Man sieht an diesem Beispiel, daß beim Induktionsschritt die Bedingung n ^ 3 benötigt wird, während für den Induktionsanfang die natürlichen Zahlen 0, l, 5 nicht aber die Zahlen 2, 3, 4 in Frage kommen. Deshalb ist die Aussage für n = 0,1 und für alle n _ 5 richtig. 3) Für alle natürlichen Zahlen n ^ l gilt: l + 3 + 5 + ... + (2/i - 3) + (2/i - 1) = n2.

Beweis: (1) I n d u k t i o n s a n f a n g : Für n0 — l erhält man die richtige Gleichung 1 = 1. (2) I n d u k t i o n s s c h r i t t : Aus der Annahme l +3 + 5 4- ... + (2/i - 3) + (2n - 1) = n2

folgt durch Addition der Zahl (2n + 1): l + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) + (In + 1) = n2 + (2n + 1)

d.h. l + 3 + 5 + ... + (2/i - 1) + (2w + 1) = (n + l) 2 ,

also die Aussage für n + l. Es ist zweckmäßig, für die Summe a t +a2 + a3 + ... +an_l+an eine abkürzende Schreibweise einzuführen: n

! + a2 + a3 + ... + a„_ l + a„ =·. £ a}. J=l

£ heißt Summenzeichen, der Buchstabe j wird in diesem Falle als Summationsindex verwendet. Er kann beliebig umbenannt werden; so gilt z. B.

26

l Die reellen Zahlen n j=l

°j=

*=

A=l

r=l

«r-

Aufgrund der Erklärung hat man die Gleichung:

(.

n

\

n+1

^ ) + «+ = ^ aJ·

Entsprechend verwendet man die abkürzende Schreibweise

Für das folgende Beispiel benötigen wir die sogenannten Binomialkoeffizienten. Diese sind für beliebiges natürliches n und natürliches k mit 0 _^ k _^ « erklärt durch

M

n!

Dabei bedeutet n! (lies: n Fakultät) die natürliche Zahl 1 - 2 - 3 · . . . · « . Ferner setzt man 0! = l. Wir beweisen durch Nachrechnen (für l ^ k ^ n): ( n \

+(n\

/ +1\

U-ij UH J-

Nach den gegebenen Definitionen ergibt sich: n\ (k-i)\(n-k + l)l

n\ _ n\k k\(n-k)\ k\(n+i-k)\

n\(n+i-k) k\(n+l-k)\

k\(n+i-k}\

und damit die Behauptung. 4) a, b seien reelle Zahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n ^ 0: " 'n

(Binomische Formel). Beweis: (1) I n d u k t i o n s a n f a n g : Für n = 0 erhält man die richtige Gleichung 1 = 1.

1.3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion

27

(2) Induktionsschritt: Aus der Annahme £ in ft = 0 \KJ

folgt durch Multiplikation mit (a + b):

*= o n+i

k=o

+1 fc (a + br+i=a + ty= i ("V ~ ^+ W

k= o

Setzt man in der zweiten Summe für den Summationsindex k=j—i ein, so erhält man weiter

Da die Benennung des Summationsindex ohne Bedeutung ist, können die beiden mittleren Summanden zusammengefaßt werden:

& l W + U"-

d.h.

5) Es sei q

l . Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n ^ 0:

(Geometrische Summenformel). Beweis: (1) Für n = 0 erhält man 1 = 1. (2) Aus der Annahme n+1

1 — /7 y" l gilt:

6) Für alle natürlichen Zahlen n ^ l gilt: Wenn x1,x2,...,x„ positive reelle Zahlen sind, deren Produkt xt · x2 · . . . · x„ = l ist, dann gilt für ihre Summe die Ungleichung

Die Gleichheit tritt genau dann ein, wenn

=

2

... = x„ = l gilt.

Beweis: (1) Für n = i ist die Aussage offensichtlich richtig. (2) Für je n positive Zahlen sei die Aussage richtig. Wenn nun x

l ' X2 ' X3 ' · · · ' xn ' Xn + 1 = l

ist und nicht alle dieser positiven Zahlen gleich l sind, so muß mindestens eine kleiner als l und eine größer als l sein (warum?). Es sei etwa xl > l und jc2 < l, also (x1 — lj(jc2 - 1) = XiX2 — *i — *2 + l *! · x2 ergibt sich hieraus die Aussage für die n + l positiven Zahlen xlf x 2 » *3> · · · > xn> xn+i'·

Insbesondere kann also das Gleichheitszeichen nur gelten, wenn alle Zahlen gleich l sind. Aufgabe: Für positives a l5 a2,..., a„ gilt die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel:

n n

\—+ 02

(Wenn wir die n-te Wurzel definiert haben werden (vgl. S. 83), läßt sich diese Ungleichung in der Form

1.3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion

«i +a2 + ... +a„ . -schreiben.)

29

+ Ö2

+

+ a

"

Wir beweisen nun einige Aussagen über natürliche Zahlen, die selbstverständlich zu sein scheinen, aber aufgrund unserer Definition der natürlichen Zahlen doch bewiesen werden können und müssen. Dies hätte auch schon unmittelbar im Anschluß an den Satz von der vollständigen Induktion (vgl. S. 23) geschehen können. Die vorgeführten Beispiele werden hierbei nicht verwendet (sie dienten der Einübung der Beweismethode). Satz:

Es seien m und n natürliche Zahlen. Dann sind auch m +n und m · n natürliche Zahlen.

Beweis: Um die Behauptungen durch vollständige Induktion beweisen zu können, denken wir uns m festgehalten. (1) I n d u k t i o n s a n f a n g: m + 0 = m und m · 0 =0 sind natürliche Zahlen. (2) I n d u k t i o n s s c h r i t t : Wenn m + n eine natürliche Zahl ist, dann gilt dies auch von (m + n) + l ; also ist auch m + (n + 1) eine natürliche Zahl. Damit gilt also bei festem m für alle natürlichen Zahlen n, daß m + n eine natürliche Zahl ist. Da m beliebig gewählt werden kann, folgt der erste Teil der Behauptung. Wir verwenden dieses Resultat beim Beweis des Induktionsschrittes für das Produkt: Wenn m · n eine natürliche Zahl ist, dann gilt dies auch von mn + m; also ist auch m(n + 1) eine natürliche Zahl. Um nun zu zeigen, daß für m ^ n auch die Differenz m — n eine natürliche Zahl ist, sind einige Vorüberlegungen erforderlich. Zunächst weisen wir nach, daß es keine natürliche Zahl m gibt, für die 0 < m < l gilt. Dies ergibt sich unmittelbar daraus, daß die Menge

induktiv ist (Beweis als Aufgabe). Weiter überlegt man sich, daß der Induktionssatz auch mit dem Induktionsanfang l richtig ist, d. h. daß folgendes gilt: Wenn eine Menge W natürlicher Zahlen die beiden Eigenschaften

(1) (2)

\tW wenn n ^ l und n e W, so n + l e W

besitzt, dann gehören alle natürlichen Zahlen, die größer oder gleich l sind, zu W. Zum Beweis prüft man nach, daß die Menge W = {0} \j W die Bedingungen des Induktionssatzes (vgl. S. 23) erfüllt. Es gilt deshalb W - N 0 . Da zwischen 0 und l keine natürliche Zahl liegt, folgt die Behauptung. Die Menge aller natürlichen Zahlen, die größer oder gleich l sind, bezeichnen wir mit N . Es gilt also tNl 0 = {0}ulN. Wenn n zu N gehört, so ist n — l eine natürliche Zahl. Diese Aussage ist für n = l richtig und wenn sie für n ^ l richtig ist, so auch für n + 1. Denn (n + 1) — l = n gehört nach Annahme zu INI, also erst recht zu INI 0 . Satz:

Für jede natürliche Zahl n gilt: es gibt keine natürliche Zahl m mit der Eigenschaft n < m < n + l .

30

l Die reellen Zahlen

Beweis: (1) I n d u k t i o n s a n f a n g : Wir haben oben schon gezeigt, daß es keine natürliche Zahl m mit 0 < m < l gibt. (2) I n d u k t i o n s s c h r i t t : Wenn es keine natürliche Zahl m mit n f , was je2 < 2 widerspricht. Die Existenz einer kleinsten oberen Schranke kann jedoch in diesem Fall nicht aus den Körper- und Anordnungsaxiomen gefolgert werden. Wie wir auf S. 36 zeigen werden, muß die kleinste obere Schranke s0 von M - falls sie existiert nämlich die Gleichung s% = 1 erfüllen. Im Körper der rationalen Zahlen, für

36

l Die reellen Zahlen

den die Körper- und die Anordnungsaxiome gelten, ist aber die Gleichung m So = 2 nicht lösbar. Dies kann man folgendermaßen einsehen: Wäre — eine Lösung der Gleichung, so wäre m2 = In2. Dann müßte m gerade sein, also etwa m = 2m'. Weiter müßte dann wegen 2 · m'2 = n2 auch n gerade sein. Da man aber von vornherein davon ausgehen kann, daß m und n nicht beide gerade sind - da man sonst kürzen könnte - erhält man einen Widerspruch. Durch die Forderung der Existenz des Supremums für jede nach oben beschränkte Menge erreichen wir nun unser Ziel, die reellen Zahlen zu kennzeichnen. Wir nehmen an, daß folgendes gilt: Vollständigkeitsaxiom Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke. Über die Zugehörigkeit der kleinsten oberen Schranke s0 = sup M zur Menge M wird nichts ausgesagt. Wenn 5·0 zu M gehört, schreibt man manchmal statt sup M auch max M und nennt s0 das Maximum von M. Die Zahl s0 ist dann das größte Element von M. Beispiel: Das Vollständigkeitsaxiom sichert uns für die Menge M={x\x2 2 als falsch nachweisen. 1) Es gilt nicht jg < 2. Wäre nämlich SQ < 2, so könnten wir ein h > 0 so bestimmen, daß s0 + h noch zu M gehört, d.h. daß (So+h)2 s0 gilt, kann s0 nicht obere Schranke von M sein. Die Annahme s% < 2 steht also im Widerspruch zur Voraussetzung s0 = sup M. 2) Es gilt nicht s% > 2. Wäre nämlich SQ > 2, so wäre auch die kleinere Zahl st -2

S = S0 -- r2s0

noch obere Schranke von M. Wegen

folgt für jedes

e M:

x2 0 derart, daß für kein e M die Ungleichung ^ - < 5 s richtig ist, dann würde für alle e M gelten .xrg s — ,

d. h. s — wäre eine kleinere obere Schranke von M als s. Also ist auch (2) erfüllt. Wenn umgekehrt die beiden Bedingungen (1) und (2) erfüllt sind, dann ist s wegen (1) eine obere Schranke von M. Nach (2) muß s sogar kleinste obere Schranke von M sein, denn zu jeder kleineren Zahl s' = s — gibt es ein xe M mit s — < . Die Begriffe untere Schranke und größte untere Schranke einer Menge M von reellen Zahlen werden in analoger Weise definiert: u heißt untere Schranke von M, wenn u 5 : für alle e M gilt. Die untere Schranke MO von M heißt größte untere Schranke von M, wenn für jede untere Schranke u von M gilt: M ^ MO· Die Zahl u0 heißt auch das Inßmumvon M und wird mit infM bezeichnet. Gehört u0 zu M, so schreibt man auch u0 = min M und nennt u0 das Minimum von M oder das kleinste Element von M. Jede nicht leere, nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen hat eine größte untere Schranke. Beweis: Ist M die gegebene nach unten beschränkte Menge, so ist die durch „Spiegelung am Nullpunkt" entstehende Menge M' = {x\(-x)eM} nach oben beschränkt. Auf M' können wir daher das Vollständigkeitsaxiom anwenden. Die kleinste obere Schranke s'0 von M' liefert eine größte untere Schranke u0 von M: "o = -s'o·

1.4 Vollständigkeitsaxiom

39

Zu zeigen ist, daß diese Zahl w0 untere Schranke und sogar größte untere Schranke von M ist. Es gilt nach Voraussetzung

d.h.

X^S'Q

für alle

e M'

(-*)£(- ) = y Si M0

für allexe M' für alle yeM.

Genau so folgt, daß jede obere Schranke s' von M' eine untere Schranke M = — s' von M liefert. Da s'0 ^ s' für jede obere Schranke s' von M' gilt, muß auch u0 ^ u für jede untere Schranke von M gelten. Ist eine Menge M reeller Zahlen nach oben und unten beschränkt, so heißt M beschränkt. Für eine beschränkte Menge M existieren also die beiden reellen Zahlen sup M und infM; über ihre Zugehörigkeit zu M läßt sich allgemein nichts aussagen. Als Grundlage für die weiteren Untersuchungen verwenden wir nur die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Da das Rechnen mit reellen Zahlen geläufig ist, benützen wir Folgerungen aus den Körperaxiomen ohne besonderen Hinweis. Auch an das Umgehen mit Ungleichungen werden wir uns bald so gewöhnt haben, daß Hinweise auf die Anordnungsaxiome nicht mehr notwendig sind. Hervorheben werden wir jedoch die Verwendung des Vollständigkeitsaxioms. Für die Menge aller reellen Zahlen verwenden wir die Bezeichnung (R; die Menge der positiven bzw. der nichtnegativen reellen Zahlen bezeichnen wir mit (R+ bzw. (RQ. Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrationale Zahlen. Archimedische Anordnung der reellen Zahlen

Im vorigen Abschnitt hatten wir festgestellt, daß es keine größte natürliche Zahl gibt. Eine natürliche Zahl kann daher nicht obere Schranke der Menge [Kl sein. Möglich wäre es jedoch, daß eine reelle Zahl s, die nicht zu INI gehört, obere Schranke von (NJ ist. Daß dies nicht der Fall ist, läßt sich mit Hilfe der Vollständigkeitseigenschaft beweisen. Satz:

Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt.

Beweis: Wäre N nach oben beschränkt, so gäbe es für N eine kleinste obere Schranke s0; für jedes n e INI würde also n ^ s0 gelten. Andererseits muß es eine natürliche Zahl n0 geben mit n0 > s0 — l, weil sonst s0 — l obere Schranke von N wäre, also s0 nicht kleinste obere Schranke von INI sein könnte. Aus

40

l Die reellen Zahlen

n

o > so — l f°lgt arjer «0 + l > Ä O ; es kann daher nicht « ^ s0 für alle natürlichen Zahlen gelten. Aus dem bewiesenen Satz ergibt sich unmittelbar die folgende Aussage, die schon in der griechischen Mathematik (Eudoxus, Archimedes) eine Rolle spielte. Satz:

Zu jedem a > 0 und jedem b e (R gibt es eine natürliche Zahl n derart, daß gilt na > b.

Für diesen Sachverhalt sagt man kurz: Der Körper (R ist archimedisch angeordnet. Beweis: Gäbe es keine solche Zahl n, so würde für alle n e N gelten na^b, d.h. n ^— a

für alle n e INI.

— wäre obere Schranke der Menge IN. Widerspruch! Eine weitere Folgerung, die bei der Behandlung des Grenzwertbegriffs Verwendung finden wird, lautet: Satz:

Ist a ^ 0 und gilt für jede natürliche Zahl n a< —, dann ist — n

Beweis: Wäre

0, also

0 die Ungleichung

= 0. > 0, so würde n ^ — gelten für alle natürlichen n,

d.h. — wäre obere Schranke von IN. Eine solche obere Schranke gibt es aber a nicht; deshalb muß = 0 sein. Schließlich zeigen wir noch, daß es zu zwei verschiedenen reellen Zahlen stets eine rationale Zahl gibt, die zwischen beiden liegt. Satz:

Sind a, b reelle Zahlen mit a a]i n ist nicht leer und besitzt also (vgl. S. 30 unten) ein kleinstes Element k. Wir k k wissen schon, daß a < — richtig ist und haben noch zu zeigen, daß — < b gilt. k Wäre — > b, so würde folgen n —

was der Definition von k widerspricht. Der Fall a ^ 0 läßt sich auf den hier diskutierten zurückführen, indem man statt a, b die beiden Zahlen a + c, b + c mit geeigneter rationaler Zahl c betrachtet. Die Durchführung sei dem Leser überlassen. In jedem Intervall, zu dem mehr als ein Element gehört, gibt es also eine rationale Zahl. Aufgaben: 1. Man beschreibe folgende Mengen reeller Zahlen in möglichst einfacher Form: a) {x||x-l| = |*-3|} b) {x\x2-x+iO>i6}

d) { || -1| + | jc-1 e) = 2}.

x+i

42

l Die reellen Zahlen

Man stelle für jede dieser Mengen fest, ob sie nach oben beschränkt ist und bestimme gegebenenfalls die kleinste obere Schranke. 2. Man bestimme Supremum und Infimum - falls sie existieren - für folgende Mengen und untersuche jeweils, ob diese Zahlen zur betreffenden Menge gehören:

Mi = {x\x = (-1)" · (i + i j mit n e } / M2 = {x\x=l

l\ m l

3

mit m, w e N}

M3 - {x\(x - a)(x - b)(x - c) < 0). 3. Es sei M eine nicht leere, nach unten beschränkte Menge mit infM>0. Man zeige, daß dann die Menge M' = {x\-eM}} nach oben beschränkt ist und daß gilt: supM'= ——-. mfM 4. Die Mengen A und B seien nach oben und unten beschränkt. Man zeige, daß die Menge

C= {x\x = y + z mit yeA und zeB] nach oben und unten beschränkt ist und daß gilt:

sup C = sup A + sup B inf C = inf A + inf B. 5. Man zeige: b + \b-a\ 2 a + b- \b-a\ inf {a, b] = min (a, b} = 2

sup {a, b] = max [a, b} =

6. Die Mengen A und B seien beschränkt. Man zeige:

sup (A u B) = max {sup A, sup B} inf ( u 5) = min {infA, infB}.

1.4 Vollständigkeitsaxiom

43

Wenn A = ^=fcko». Ist / injektiv, so ist auch die Umkehrabbildung /"1 injektiv. Deshalb besitzt auch /"1 eine Umkehrabbildung (/" 1)~1. Diese stimmt mit / überein, denn C/"1)"1 und / haben beide die Definitionsmenge A und es gilt: y =f(x)

genau dann, wenn

x=f~l (y)

sowie

x=f~*(y) Man hat also für jedes

genau dann, wenn

y = (f~l}"1(x).

e A:

/(*) = (/-T H*), d.h.

/=cr 1 r 1 .

Die folgenden beiden Begriffe beziehen sich nicht auf Abbildungen schlechthin; bei ihnen ist auch die Angabe der Zielmenge erforderlich. Gibt es bei der Abbildung f:A—>B zu jedem Element y e B stets ein e A, so daß y =/(*) gilt, so sagt man, / sei eine Abbildung von A auf B (statt: in B), f heißt auch surjektiv bezüglich B. Jedes Element aus B tritt dann als Bild auf, die Wertemenge von / ist B. (Selbstverständlich kann es mehrere Elemente in A geben, die dasselbe Bild haben.) Ist die Abbildung f:A-+B sowohl injektiv als auch surjektiv bezüglich B, so heißt / bijektiv bezüglich B. Das bedeutet, daß jedem Element aus A genau ein Element aus B zugeordnet ist und umgekehrt zu jedem Element aus B genau ein Element aus A existiert, das auf dieses Element aus B abgebildet wird. Man sagt dafür auch: A ist umkehrbar eindeutig (oder eineindeutig) auf B abgebildet. B e m e r k u n g : Wir zeigen noch, wie der nicht näher definierte Begriff der „Zuordnung" auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann. (Für das Um-

2.1 Abbildung, Verkettung, Umkehrabbildung

59

gehen mit Abbildungen ist diese Zurückführung nicht von Belang.) Man benötigt dazu den Begriff des „cartesischen Produkts" zweier Mengen (vgl. Anhang). Def.:

Eine Abbildung f von A in B ist eine Teilmenge von A mit der Eigenschaft: Zu jedem aus A gibt es genau ein y aus B, so daß (*,jOe/.

Eine Abbildung / ist also eine solche Menge von Paaren, daß aus (x, y) ef und (x, y')ef stets y = y' folgt. Diese Auffassung entspricht der bekannten Darstellung von Funktionen durch „Wertetabellen", aus denen man zu jedem das zugehörige y eindeutig ablesen kann. Damit ist der Abbildungsbegriff auf den Mengenbegriff zurückgeführt. Uns kommt es im folgenden nicht darauf an, „Menge" als einzigen Undefinierten Begriff zu haben. Das intuitiv klare Wort „Zuordnung" in der am Anfang dieses Abschnitts gegebenen Erklärung des Abbildungsbegriffs reicht aus, um richtig mit Abbildungen umgehen zu lernen. Aufgaben

1. Man zeige, daß für zwei Abbildungen f:A-+B

und

g:B->C

folgendes gilt: (1) /, g (2) g°f (3) g°f (4) /, g (5) g°f (6) g°f (7) /,g

injektiv => g of injektiv injektiv => / injektiv injektiv, / surjektiv => g injektiv surjektiv => g ° f surjektiv surjektiv => g surjektiv surjektiv, g injektiv => / surjektiv bijektiv => g°f bijektiv und (g°f)~1 = f~1 °g~l.

(Hier und im folgenden sind „surjektiv" und „bijektiv" bezüglich der betreffenden Zielmengen zu verstehen.) 2. Für die Abbildungen f:A^>B und g:B—*A gelte:

g°f = idA

und

f°g = idB.

Man zeige, daß / und g bijektive Abbildungen sind. Welcher Zusammenhang besteht zwischen / und g? 3. Man zeige, daß es zu jeder surjektiven Abbildung f:A—+B eine Abbildung g: B —»· A gibt derart, daß

60

2 Funktionen

ist.

Weiter gebe man ein Beispiel einer surjektiven Abbildung /: A —» B an, so daß für keine Abbildung h:B—>A gilt

(Eine Abbildung /, die eine „rechtsinverse" Abbildung besitzt, braucht also keine „linksinverse" Abbildung zu haben.) 4. Sei / eine Abbildung von A in sich. Wenn für alle Abbildungen g : A —* A gilt f°g — g ° f , dann muß / = idA sein. 5. Sei g:A^>A eine konstante Abbildung. Für welche Abbildungen /: A —»· A 6. Man zeige, daß die bijektiven Selbstabbildungen einer Menge M („Permutationen von M") eine Gruppe bilden, wenn man als Verknüpfung die Verkettung nimmt. Hat M mindestens drei Elemente, so ist diese Gruppe nicht kommutativ. Für die Menge M = {l, 2, 3} gebe man alle bijektiven Selbstabbildungen explizit an und stelle weiter eine „Gruppentafel" auf, aus der die Verkettung je zweier Permutationen abgelesen werden kann.

2.2 Endliche, abzählbar unendliche und überabzählbare Mengen Der intuitiv klare Begriff der „endlichen Menge" und der Anzahl der Elemente einer solchen Menge läßt sich in einfacher Weise präzisieren, wenn man die Menge der natürlichen Zahlen zur Verfügung hat. Es liegt nahe, die „Abschnitte" von N 0 als Standardmengen zur Bestimmung der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M zu verwenden, indem man M bijektiv auf einen solchen Abschnitt abbildet. Dies Vorgehen führt indessen nur dann zu einer korrekten Definition, wenn M nicht auf zwei verschiedene Abschnitte bijektiv abgebildet werden kann. Def.:

Ist n eine natürliche Zahl, so heißt die Menge A„ = {k\k m, dann gibt es keine injektive Abbildung f:A„—+Am („Schubfachschluß1·'}.

Wir führen den Beweis indirekt, nehmen also an, es gäbe einen Abschnitt, der injektiv in einen Abschnitt kleinerer Länge abgebildet werden kann. Dabei genügt es, den Fall m = n — l zu untersuchen, denn jede injektive Abbildung von A„ in Am (n >m) kann auch als injektive Abbildung von A„ in A„^1 aufgefaßt werden. Sei nun k die kleinste natürliche Zahl, so daß der Abschnitt der Länge k + l injektiv in den Abschnitt der Länge k abgebildet werden kann. Wir zeigen, daß es dann auch eine injektive Abbildung des Abschnitts der Länge k in den Abschnitt der Länge k — l gibt. Nach Annahme gibt es eine injektive Abbildung

Wir unterscheiden die Fälle: (a) Die Zahl k — l tritt nicht als Bild bei der Abbildung / auf. (b) Die Zahl k - l ist Bild der Zahl k bei der Abbildung /. (c) Die Zahl k — l ist Bild einer Zahl j < k bei der Abbildung /. In den beiden ersten Fällen ist die Restriktion von / auf Ak eine injektive Abbildung von Ak in Ak_l. Im Fall (c) wird durch , v

i/W

s(x) = -(,,.. (f(k)

für xeAk, .. =j cfür

./

eine injektive Abbildung g von Ak in Ak_ t definiert. Damit erhalten wir einen Widerspruch zu der Annahme, daß k die kleinste natürliche Zahl ist, für die Ak + 1 injektiv in Ak abgebildet werden kann. Folgerung: Für m

gibt es keine Bijektion von Am auf A„.

Damit können wir nun definieren : Def. :

Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt derart, daß eine Bijektion von An auf M existiert. Die natürliche Zahl n heißt „Anzahl der Elemente" von M.

Eine endliche Menge kann also nicht auf eine ihrer echten Teilmengen bijektiv abgebildet werden. Für unendliche ( = nicht endliche) Mengen gilt dies nicht, wie das Beispiel der bijektiven Abbildung n i—> n + l von IN0 auf N zeigt.

62

2 Funktionen

Auch für unendliche Mengen kann eine Typeneinteilung vorgenommen werden, indem man Mengen, die bijektiv aufeinander abgebildet werden können, zu demselben Typ rechnet. Zum einfachsten Typ unendlicher Mengen gehört die Menge IM0 der natürlichen Zahlen. Def.:

Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn eine Bijektion von fN 0 auf M existiert.

Die Mengen, die entweder endlich oder abzählbar unendlich sind, nennt man gemeinsam abzählbare Mengen. Etwas ungenau, aber doch treffend, kann man sagen, daß die Elemente einer abzählbaren Menge „durchnumeriert" werden können. Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist wieder abzählbar. Auch die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar. Satz:

Die Menge Q aller rationalen Zahlen ist abzählbar.

Zum Beweis ordnen wir zunächst die positiven rationalen Zahlen in einem Schema an, an dem zu erkennen ist, daß eine Durchnumerierung erfolgen kann. Daß in diesem Schema rationale Zahlen mehrfach auftreten, stört die Betrachtung nicht; eine solche Zahl bekommt nur bei ihrem ersten Auftreten eine Nummer und wird im folgenden einfach ausgelassen; wichtig ist, daß jede rationale Zahl tatsächlich auftritt; dies erkennt man aber unmittelbar. Hier das Schema: l

—^ 2 — 3 -»,· 4 —>

5

^ / / / i i l f i

···

l / / / ^ i f ! f ! 1 4

2 4

l / 1

3 4

4 4

5 4

3

4

5

/ 2

Die Durchnumerierung erfolgt in der Reihenfolge der Pfeile und erfaßt alle im Schema auftretenden, d.h. alle positiven rationalen Zahlen. Bezeichnet man die positiven rationalen Zahlen entsprechend der angegebenen Abzählung mit r l 5 r 2 , r 3 ,..., so erhält man eine Abzählung aller rationalen Zahlen folgendermaßen:

2.2 Endliche, abzählbar unendliche und überabzählbare Mengen

63

Läßt sich die Menge A weder auf einen Abschnitt von N 0 noch auf N 0 selbst bijektiv abbilden, so heißt A überabzählbar (oder auch nicht abzählbar). Satz:

Die Menge IR aller reellen Zahlen ist überabzählbar.

Die Menge [R ist sicher nicht endlich, da sie die Menge N enthält. Es muß also noch ausgeschlossen werden, daß (R abzählbar unendlich ist. Wir nehmen dazu an, die Menge IR könnte durchnumeriert werden: XQ,

, X2, X$, X4, · · · ·

Dann wählen wir ein abgeschlossenes Intervall /0 = [a0,60], das x0 nicht enthält. J0 zerlegen wir in drei abgeschlossene Teilintervalle; diese haben höchstens Endpunkte gemeinsam. jCj kann daher nicht in allen drei Teilintervallen zugleich liegen. Es gibt somit ein in J0 enthaltenes Intervall [«!, bi] = /!, dem x1 nicht angehört. Setzt man dieses Auswahlverfahren fort, so erhält man eine Folge abgeschlossener Intervalle JQ ID Jl ID J2^> JT, =>... derart, daß x„$J„ = \_an, b„~] für jedes n e N 0 gilt. Nun betrachte man die Menge M der linken Endpunkte der genannten Intervalle. M ist nach oben beschränkt, z. B. ist jedes b„ obere Schranke von M. Nach der Eigenschaft der Vollständigkeit besitzt M daher eine kleinste obere Schranke s. Diese reelle Zahl s muß zu jedem der Intervalle J0, Jlf J2,... gehören. Andernfalls gäbe es nämlich eine natürliche Zahl n, so daß s$J„, also s > b„ gelten würde. Da b„ obere Schranke von M ist, wäre s nicht die kleinste obere Schranke von M. Die reelle Zahl s kann unter den reellen Zahlen XQ, Xl, X2, X$, . . .

nicht vorkommen, weil für jedes n e N 0 gilt: s e J„, aber x„$J„, also sicher 5

x„.

Die vorgegebene Durchnumerierung von (R kann also nicht alle Elemente von [R erfassen. Unsere Überlegung hat uns noch das folgende wichtige Resultat mit erbracht: Der Durchschnitt einer „absteigenden''1' Folge abgeschlossener Intervalle ist nicht leer. Außerdem zeigt der Beweis, daß jedes Intervall, das mehr als einen Punkt enthält, überabzählbar ist.

64

2 Funktionen

Aufgaben l . Man beweise durch vollständige Induktion: Jede nicht leere endliche Menge M reeller Zahlen besitzt ein kleinstes und ein größtes Element. 2. Wieviele Abbildungen von A in B gibt es, wenn A eine Menge mit m Elementen und B eine Menge mit n Elementen ist? Wieviele dieser Abbildungen sind Injektionen? 3. Man zeige, daß die Abbildungen (m, n) -» 2m · (2n + 1) und

(m, n) t-> l

l+m+ l

Bijektionen von INJ0 INJ0 auf IN sind. (Man beachte, daß (\) = 0 ist.) 4. Es seien A, B abzählbar unendliche Mengen. Man beweise, daß A abzählbar unendlich ist. Weiter zeige man, daß die Menge [x\x = a + b ]/2 mit a, b e Q}

abzählbar unendlich ist. 5. Die Menge aller Intervalle mit rationalen Endpunkten ist abzählbar unendlich. 6. Eine Menge von Intervallen, von denen jedes mehr als einen Punkt enthält und die paarweise disjunkt sind, ist abzählbar. 7. Man zeige, daß die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen eine abzählbare Menge ist. Daraus folgere man, daß die Menge aller irrationalen Zahlen überabzählbar ist. 8. Alle Intervalle - außer der leeren Menge und den einpunktigen Intervallen lassen sich bijektiv auf (R abbilden. Man gebe für alle Intervalltypen Bijektionen auf [R an. 9. Eine Menge A ist genau dann unendlich, wenn A bijektiv auf A\{a] (a beliebig aus A) abgebildet werden kann.

2.3 Beispiele für reelle Funktionen Ist / eine Abbildung einer Teilmenge von [R in die Menge IR, so nennen wir / eine reelle Funktion. Die Definitionsmenge bezeichnen wir dann meistens mit D; die Zielmenge ist (R.

2.3 Beispiele für reelle Funktionen

65

Bevor wir uns mit besonderen Eigenschaften reeller Funktionen beschäftigen, führen wir einige wichtige Typen reeller Funktionen ein: die ganzrationalen Funktionen, die rationalen Funktionen und die Treppenfunktionen. Weiter erörtern wir, um die Allgemeinheit des Funktionsbegriffs zu erläutern und um Material für Gegenbeispiele zu haben, einige besondere Funktionen.

Ganzrationale Funktionen

Sind c0, cl, . . ., c„ fest vorgegebene reelle Zahlen mit c„ 0, so wird durch die Zuordnung n

ckxk

für xe (R

eine ganzrationale Funktion vom Grad n definiert. Statt ganzrationaler Funktion sagt man auch Polynom. Definitionsmenge und Zielmenge ist IR. Die Wertemenge ist, falls der Grad n ungerade ist, ebenfalls IR; ist dagegen n gerade und n 2:2, so ist die Wertemenge ein Intervall des Typs {X|JC>TÖ} oder { :| : ^ a}. Diese Behauptung beweisen wir hier nicht; sie ergibt sich aus den Sätzen des Abschnitts 7.3 (vgl. auch Aufg. 1 1, S. 86). Die Definition des Grades einer ganzrationalen Funktion bedarf einer Rechtfertigung; denn es kann zunächst nicht ausgeschlossen werden, daß durch zwei verschiedene „Koeffizientensysteme" dieselbe Funktion festgelegt wird. Tatsächlich kann dies nicht geschehen. Zum Beweis bilden wir die Differenz zweier Darstellungen und haben dann zu zeigen, daß eine ganzrationale Funktion / nur dann für alle e IR den Wert 0 annehmen kann, wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind. Für 0 schreiben wir f ( x ) in der Form X

Xn

X

und schätzen |/(x)| für „große x" nach unten ab; für 10 von S. 33) 2

für

2: l folgt weiter

|/(*)| >t|c„|-i^

>0 gilt (vgl. Aufgabe

66

2 Funktionen

Wählt man nun ein x so groß, daß

|g.-il + |c,- 2 l + . . . + kol X

< 11

- 2l J

gilt (warum ist dies möglich?), so ergibt sich

Wenn also c„

0 ist, kann /(x) = 0 nicht für alle x e IR richtig sein.

Damit ist bewiesen: Zwei ganzrationale Funktionen sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizientensysteme übereinstimmen. Aufgabe: Die Zahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion / ist höchstens gleich dem Grad n von /. (Ob überhaupt Nullstellen vorhanden sind, bleibt offen.) Anleitung: Ist a eine Nullstelle von /, so gibt es eine ganzrationale Funktion g vom Grad n — i derart, daß /(x) = (x - a) · g(x) für alle x e (R gilt. Summe und Produkt zweier ganzrationaler Funktionen sind wieder ganzrationale Funktionen. Es gilt Grad (/ · g) — Grad / + Grad g. Die ganzrationalen Funktionen, deren Grad höchstens gleich l ist, bezeichnen wir als affine Funktionen: xh-^co + cjx

(xelR).

Zu ihnen gehören auch die auf [R konstanten Funktionen, insbesondere die Nullfunktion —»0 (man beachte, daß für die Nullfunktion der Grad nicht erklärt ist, im Gegensatz zu den anderen konstanten Funktionen, die alle den Grad 0 besitzen).

Rationale Funktionen

Sind g und h ganzrationale Funktionen und ist M die Menge der Nullstellen von h, so wird durch /(*) =

g(x) h(x)

eine Funktion / mit der Definitionsmenge D — [R\M erklärt. / heißt (gebrochen) rationale Funktion.

2.3 Beispiele für reelle Funktionen

67

Eine rationale Funktion kann auf ihrer Definitionsmenge mit einer ganzrationalen Funktion übereinstimmen, wenn nämlich h „Teiler" von g ist. Beispielsweise gilt für e IR\{ — l , l } : l - x2

.

Die Funktionen i—> l + x2

für

e (R

und

1-x 4 i-x2

für j t e l R \ { - l , 1}

sind aber wegen der Verschiedenheit ihrer Definitionsmengen zu unterscheiden. Dagegen ist die ganzrationale Funktion

x i—> l — x2

für A: e (R

gleich der (scheinbar gebrochen) rationalen Funktion l -x 4

für x e (R .

l +x2

f

Wenn Grad g ^ Grad h gilt, dann kann man — in der Form p -\— schreiben; h h dabei sind p und r ganzrationale Funktionen mit Grad p = Grad g — Grad und Grad r < Grad h. In der Praxis bestimmt man p und r mit dem „Divisionsalgorithmus". Beispiel:

g(x)

=

h(x)

·

p(x)

+

r(x)

x5 + x* + x3 + x2 -2x4 -2x2+ x-i -2x4 -2x3 -2x2 -2x 2x3 + 3x - 1 3 2x -2x 2 + jc-3

Daß dieses Verfahren bei jedem g und h zum gewünschten Ziel führt, erkennt man daran, daß bei jedem Schritt sich auf der linken Seite der Grad um mindestens l erniedrigt.

68

2 Funktionen

Treppenfunktionen

Die Funktion / sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b\ erklärt. Eine Einteilung von [0, b~\ wird gegeben durch endlich viele „Teilpunkte" dieses Intervalls und wird beschrieben durch = x0 x2 im Intervall {χ | χ ^ 0} streng monoton fallend und im Intervall (Λ:|Λ: 3:0} streng monoton wachsend. A u f g a b e : Man zeige, da die Potenzfunktion χ ι—>· χ" f r n ^ l im Intervall {x\x 3i 0} streng monoton wachsend ist. Die Funktion χ \—> [x] ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend. Monoton wachsende bzw. monoton fallende Funktionen brauchen also nicht injektiv zu sein, wie das letzte Beispiel zeigt. Eine hinreichende Bedingung f r die Injektivit t erh lt man aber mit der strengen Monotonie: Satz:

Ist f streng monoton, so ist f injektiv und die Umkehrfunktion /-1 ist ebenfalls streng monoton.

Beweis: Sei / etwa streng monoton wachsend. Gilt xl φ χ2, so mu entweder Xi 0, y > 0)

(} j/jT ( IRo") streng monoton wachsend ist. 5. Man prüfe, welche der folgenden Funktionen dehnungsbeschränkt sind: (1)

/(Jf)

(2)

f(x) = y^

für e (R0+

(3)

/(*) = -

f ü r x e ( R +.

l+

•V

Man gebe passende Intervalle an, in denen die zugehörigen Restriktionen dehnungsbeschränkt sind. 6. Die Funktion / sei in den Intervallen

, — jeweils affin und es sei

/1 — l — 0 für gerades k sowie / f — l = l für ungerades k. Setzt man \kj \kj /(O) = 0, so ist/in [0, 1] erklärt. Ist / dehnungsbeschränkt? Gibt es Teilintervalle, in denen / dehnungsbeschränkt ist?

86

2 Funktionen

7. Sind / und g beide dehnungsbeschränkt und ist die Verkettung g °f möglich, so ist g°f dehnungsbeschränkt. 8. Gibt es zu einer Funktion / eine Zahl c' > 0 derart, daß für alle jq, x2 e D gilt so ist / umkehrbar und die Umkehrfunktion ist dehnungsbeschränkt. Ist / außerdem dehnungsbeschränkt und D ein Intervall, so ist / streng monoton. 9. Man untersuche (für beliebiges rationales r) die Funktion —> ? ( e [R +) auf Beschränktheit, Monotonie, strenge Monotonie und Dehnungsbeschränktheit. Man gebe Intervalle an, so daß die entsprechende Restriktion alle diese Eigenschaften besitzt. 10. Ist / in [ , £] dehnungsbeschränkt und gilt f(d)-f(b) l . Dann ist / eine konstante Funktion. Zum Beweis unterteile man das Intervall mit den Endpunkten jq und x2 äquidistant. 13. Es sei D eine beliebige nichtleere Teilmenge von [R. Durch f ( x ) = 'wf{z\z = \x-y\, yeD] wird eine Funktion /: (R —* KQ erklärt. Man zeige, daß / dehnungsbeschränkt ist. Kann / außer den Punkten von D noch andere Nullstellen haben? 14. Die Funktion /:£)—* IR sei dehnungsbeschränkt mit der Dehnungsschranke c. Man zeige, daß durch F(x) = inf {z\z =f(y) + c\x-y\,yeD} eine dehnungsbeschränkte Fortsetzung von / erklärt wird, die auf ganz [R definiert ist und dieselbe Dehnungsschranke c wie / besitzt.

2.5 Vektorräume reeller Funktionen

Sind / und g reellwertige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, so definiert man die Funktion / + g durch die Festsetzung (/ + g}(*) '=/(*) + g(x)

für e D.

2.5 Vektorräume reeller Funktionen

87

Damit ist in der Menge $(D) aller reellwertigen Funktionen mit der Definitionsmenge D eine Verknüpfung „ + " erklärt. 5 (D) mit dieser Verknüpfung ist eine kommutative Gruppe. Das „Nullelement" ist die konstante Abbildung xt— > 0

(ürxeD,

die wir kurz mit 0 bezeichnen. Weiter gibt es zu / eine Abbildung ( -/), die durch

i—» —f(x)

für je E D

erklärt ist, so daß gilt:

/ + (-/) = o. Ist a eine reelle Zahl und fe^(D), so definiert man das Produkt af von a und / durch

(af) (x) = a -f(x)

für

e D.

af ist ein Element von ^(D). Für diese Multiplikation gelten die Regeln:

1) 2) 3) 4)

!/ = /.

Zusammenfassend sagt man: $(D) ist einVektorraum über (R. (Zu den auftretenden Begriffen der „Linearen Algebra" vergleiche man zum Beispiel H. J.Kowalsky, Lineare Algebra.) In der Analysis beschäftigt man sich nicht so sehr mit dem Vektorraum 5 (D) aller in D erklärten reellen Funktionen, sondern vielmehr mit bestimmten Untervektorräumen von ft (D), von denen wir einige in den folgenden Beispielen beschreiben werden. Die Sonderfälle D = IM, D = [a, b~], D = K sind auch hier besonders wichtig. 1) Die Menge aller beschränkten Funktionen

ist ein Untervektorraum von $(D). Zum Beweis zeigen wir, daß mit /, g auch / + g sowie mit a e IR auch af beschränkte Funktionen sind. Aus \f(x)\£b

und

\g(x)\£c

für alle xeD

88

2 Funktionen

folgt nämlich I(/ + *)WI = l/W +*WI ^ l/W l + IgWI ^ + c sowie |(«/)WI = |fl ·/(*)! = M ' |/(x) | < |fl| · b

für alle xeD, für alle xe£.

Für D = N erhält man die Aussage: Der Vektorraum $(M) aller Zahlenfolgen enthält als Untervektorraum die Menge aller beschränkten Zahlenfolgen. 2) Die Summe zweier monoton wachsender Funktionen /, g ist ebenfalls monoton wachsend. Die Funktion ( — f) ist dagegen monoton fallend, falls / monoton wachsend ist. Deshalb ist die Menge der monoton wachsenden Funktionen (mit fester Definitionsmenge D) kein Vektorraum. Wohl aber gelangt man zu einem Vektorraum, wenn man die Funktionen / betrachtet, die Differenz zweier monoton wachsender Funktionen g, h sind: / = *-*· Der Beweis, daß af auch diese Eigenschaft hat, ergibt sich aus der Fallunterscheidung a ^ 0 bzw. a < 0. Weiter folgt aus f\=g\— A 1; /2 = £2 — A 2 :

Für den Fall, daß D ein abgeschlossenes Intervall [a, b~] ist, nennt man die Elemente dieses Vektorraums auch „Funktionen endlicher Variation". Der Grund für diese Bezeichnung wird in Kap. 12 erörtert werden (vgl. S. 478). 3) Auf S. 81 haben wir gezeigt, daß mit / und g auch die Funktionen f + g und a-f dehnungsbeschränkt sind. Die Menge aller in D dehnungs beschränkten Funktionen ist also ein Untervektorraum von %t(D). 4) Die Menge aller ganzrationalen Funktionen ist ein Untervektorraum von ), denn mit m fl

k**

XI—+

sind auch die Summe X l ^

maxfm,«} / \flit ^ 0

r UL·)X

/dk = Q fUT k>W l j \ bk = 0 r·*· für A: > n

2.5 Vektorräume reeller Funktionen

89

sowie das Produkt mit a e [R aakx

= k=0

k=0

ganzrationale Funktionen. Auch die Menge aller ganzrationalen Funktionen, deren Grad höchstens gleich der vorgegebenen natürlichen Zahl n ist, ist ein Untervektorraum von 5((R). In diesem Fall ist die Dimension endlich und zwar gleich n + l (Beweis als Aufgabe). 5) Es sei D = [a, b}. Dann bildet die Menge aller Treppenfunktionen mit der Definitionsmenge [ 0 und b > 0 sowie das Rekursionsschema

A=b

Es ist einsichtig, daß auch in dem letzten Beispiel (Beispiel 7) jedem n e IM genau eine Zahl /„ zugeordnet ist; diese ist aber nicht explizit angegeben, sondern rekursiv definiert. Daß ein solches „Rekursionsschema" wirklich eine und nur eine Folge definiert, haben wir im Abschnitt 2.3 (vgl. S.72) bewiesen. Aufgabe: Welche der Folgen in den Beispielen sind injektiv, beschränkt,

3.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

93

monoton bzw. streng monoton? Welche der Wertemengen sind endlich bzw. abzählbar unendlich? Man vergleiche die Wertemengen der Folgen in den Beispielen 2) und 3). Mit dem Begriff konvergente Zahlenfolge wollen wir Zahlenfolgen erfassen, bei denen sich die Werte /„ „mit wachsendem «" einer reellen Zahl „immer mehr nähern". Dies trifft für die Beispiele 1) bis 3), nicht aber für 4) bis 6) zu. Bei Beispiel 7) läßt sich dies nicht auf Anhieb entscheiden. Bei den Beispielen 4) und 5) erfolgt eine „Annäherung" sozusagen gegen mehrere Zahlen; diese Zahlenfolgen sollen nicht zu den konvergenten gerechnet werden. Es gibt jedoch hier und auch in Beispiel 6) konvergente „Teilfolgen" (vgl. hierzu S. 97).

Damit sich /„ „mit wachsendem «" der reellen Zahl a „immer mehr nähert", müssen die /„ für alle großen n in einer „kleinen" Umgebung von a liegen und wie klein auch immer wir diese Umgebung wählen, immer müssen alle bis auf endlich viele Werte f„ der Folge in dieser Umgebung liegen. Diese Überlegung präzisieren wir durch folgende Definitionen. Def.:

Sei > 0; als -Umgebung von a (kurz Umgebung von a) bezeichnen wir die Menge

U (a, ) — { \ — — erfüllt - etwa die kleinste aller dieser natürlichen Zahlen. (Solche natüro

liehen Zahlen existieren, wie in Abschnitt 1.4 bewiesen wurde.) Dann gilt für alle n^n

n

«o

womit die Behauptung bewiesen ist. Folgen, die konvergent mit dem Grenzwert 0 sind, heißen auch Nullfolgen. Damit können wir sagen: l — l ist eine Nullfolge. Zwischen beliebigen konvergenten Zahlenfolgen und den Nullfolgen besteht dieser Zusammenhang: Satz:

Eine Folge (/„) ist genau dann konvergent mit dem Grenzwert a, wenn die Folge (/„ — a) eine Nullfolge ist.

Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Satz von S. 93. Folgen, die mit keiner Zahl a als Grenzwert konvergent sind, nennt man divergent. Die Divergenz einer Folge (/„) bedeutet also: Zu jeder Zahl a gibt es eine Umgebung U von a derart, daß gilt: /„

U

für unendlich viele n .

Oder: Zu jedem a e (R gibt es ein \f„ — a\ 3

> 0 derart, daß gilt:

für unendlich viele n.

Die Folgen aus Beispiel 4) bis 6) von S. 92 sind divergent. Wir führen den Beweis durch für Beispiel 4) : Ist a l , so gehören der Umgebung

die Werte der Folge für unendlich viele gerade n nicht an.

96

3 Konvergente Folgen

Ist a = l , so gehören der Umgebung

die Werte der Folge für ungerades n nicht an. Oft kann man die Divergenz einer Folge schon dadurch nachweisen, daß man zeigt, daß eine für die Konvergenz notwendige Bedingung nicht erfüllt ist. Zum Beispiel gilt: Satz:

Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt.

Beweis: Konvergiert die Folge (/„) gegen a, so wählen wir irgendeine feste -Umgebung von (etwa mit = 1). Außerhalb dieser Umgebung liegen n»-r endlich viele Werte der Folge; nimmt man zu diesen noch die beiden Zahlen — und a + hinzu, so erhält man eine endliche Menge. Zwischen dem kleinsten und dem größten Element dieser Menge liegen alle Werte der Folge. Eine Folge, die nicht beschränkt ist, ist also divergent. Eine andere notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge verwendet den Begriff der Teilfolge. Man erhält eine Teilfolge von (/„), indem man aus der ursprünglichen Folge (/„) gewisse Werte wegstreicht, jedoch noch unendlich viele Werte übrigläßt. In ihrer natürlichen Reihenfolge bilden diese übriggebliebenen Werte wieder eine Folge, die wir mit (/ ( )) bezeichnen:

Die „natürliche Reihenfolge" bedeutet, daß eine streng monoton wachsende Abbildung von N in N ist. Wir präzisieren diese Überlegungen in folgender Def. :

Sei (/„) eine Zahlenfolge und Dann heißt die Folge n ->

(»)

: N —»· N streng monoton wachsend. ( e INI)

eine Teilfolge von (/„). Aufgabe: Ist alle n. Satz:

: N —> N streng monoton wachsend, so gilt

( )^

für

Ist (/„) konvergent mit dem Grenzwert a, so gilt dies auch von jeder Teilfolge von (/„).

3.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

97

Denn liegen in einer vorgegebenen Umgebung von a fast alle Werte der Folge, so erst recht fast alle Werte der Teilfolge. Hat also eine Folge eine divergente Teilfolge, z.B. die Folge aus Beispiel 6) auf S. 92 die Teilfolge (/2k-i) — (&)» so ist sie selbst divergent. Wenn eine Folge zwei Teilfolgen hat, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, so ist die Ausgangsfolge ebenfalls divergent, z.B. die Folge aus Beispiel 4) auf S. 92 mit (f2k) J-lL^und ( f 2 k _1, ) = ( \2k+iJ ~"~ ' \

2k

"Λ 2k J

Aufgabe: Man zeige, da die Folge (r„) aus Beispiel 5) auf S. 92 divergent ist. Bemerkung: Bei Konvergenzuntersuchungen einer Folge kommt es immer nur auf die Werte der Folge &nfas( allen Stellen an. Zwei Folgen, die sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden, konvergieren beide gegen denselben Grenzwert oder sind beide divergent. Auch kann man, wenn es um die Konvergenz einer Folge geht, endlich viele Werte immer weglassen und insbesondere statt der Folge (/„) bei festem k die Teilfolge n\-^fk+n betrachten. Aufgaben 1. Die Folge (/„) sei konvergent mit dem Grenzwert a. Man zeige, da die Folge (g„) genau dann gegen α konvergiert, wenn (/„ — g„) eine Nullfolge ist. 2. Man zeige, da die Folge (/„) mit

den Grenzwert l besitzt. Zu vorgegebenem ε > 0 bestimme man ein n0 derart, da f r alle n ^ n0 gilt |/„ - 11 < ε. (Man verwende die Bernoullische Ungleichung.) 3. Man untersuche, ob (/„) konvergent oder divergent ist f r (1) (2)

/.= (Μ)·|/ϊΓ(|/ϊΓΓΪ-1/ΐΟ

(3) (4)

f„ =

l +2-1- ... + n n+2

n 2

98

3 Konvergente Folgen t2 , ~ ) 2 ,

1 +2 + n2 (6)

, „2 +n

/„ =

Gegebenenfalls bestimme man die Grenzwerte. 4. Die Folge (/„) sei rekursiv definiert durch

und

=

Man zeige, daß (/„) streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. 5. Die Wertemenge einer konvergenten Folge besitzt ein Maximum oder ein Minimum. Man gebe je ein Beispiel einer konvergenten Folge, die Maximum und Minimum bzw. nur eines von beiden besitzt. 6. Konvergiert (/„) gegen 0, dann gilt . Jn

"

(Man zeige zunächst, daß /„ 0 für fast alle n gilt.) 7. Es sei (/„) eine Nullfolge. Man zeige, daß dann auch (g„) mit gn

_

+

+·.·+/. n

eine Nullfolge ist. Anleitung: Zu vorgegebenem >0 gibt es ein n0 derart, daß |/ k |n0 gilt. Man spalte nun für n>nQ folgendermaßen auf: .·. +fnn0

n

n

Kann (#„) auch konvergieren, wenn (/„) divergent ist? 8. Es gelte lim/„ = a. Dann folgt n

n

. +/.+-.+/._„. n

Weiter zeige man, daß aus lim (g.,, —g„) = a folgt lim — = a. n

n

n

9. Es sei (a„) eine Folge positiver Zahlen und die Folge (b„) mit bn = al+a2+ ... +a„

3.2 Beispiele

99

sei nicht beschränkt. Für jede konvergente Folge (/„) gilt dann lim/n=lim^+fl2/2+-"+aj;'

a1+a2+ ... +a„

10. Wenn (/„) eine Nullfolge und (g„) beschränkt ist, dann ist auch die Folge (hn) mit h.=

n

eine Nullfolge. Weiter zeige man, daß aus lim f„ = a und lim g„=b folgt:

lim i · n

2-i n

· · · · ! = ab

1 1 . Es sei (g„) eine streng monoton wachsende divergente Folge. Weiter sei

f — f eine Folge (/„) gegeben, für die lim J-^± —— = a gilt. »

£n + l - g n

f

Man beweise: lim — = a . Sn

"

Anleitung: Man schätze / k — / k _i nach oben und unten ab und dan

nach die Summe

( — / k -i)·

_ l Als Anwendung beweise man: lim fc=1p+ i = -. (p e N) n n p+ l 12. Es sei (r„) die Folge aller positiven rationalen Zahlen in der Numerierung, wie sie auf S.62 eingeführt wurde. Gibt es zu jeder nichtnegativen reellen Zahl eine Teilfolge von (r„), die den Grenzwert : besitzt? 13. Gibt es zu der Folge (/„) endlich viele Teilfolgen, die sämtlich gegen denselben Grenzwert konvergieren und kommt jedes /„ der Ausgangsfolge in mindestens einer der Teilfolgen vor, so gilt lim fn — a. n

Gilt die Aussage auch bei unendlich vielen Teilfolgen? 3.2 Beispiele Die folgenden Beispiele dienen nicht nur dazu, mit dem Konvergenzbegriff vertraut zu machen, die bewiesenen Ergebnisse werden später immer wieder benötigt.

100

3 Konvergente Folgen

1) Sei p ^ l eine natürliche Zahl. Dann gilt: lim -4p = 0 n n

(np) ist divergent. (Was gilt für p = 0?) Beweis: Für jedes l —p < n

>0 ist die Bedingung

äquivalent mit

n>

l

W

Die Menge der natürlichen Zahlen, die diese Bedingung erfüllen, ist nach l .4. nicht leer. n0 sei die kleinste solche Zahl. Dann gilt für n 3: /i0: l l Pr — < — 0 überhaupt natürliche Zahlen n gibt, für die \ 0 und n ^ 3 die

102

3 Konvergente Folgen

Abschätzung " 'n

Wir setzen nun l + h = — und haben also

\q\

\q\"
0 ein geeignetes «0 bestimmen.

5) Sei a > 0 . Dann gilt lim I/a = l

(Was gilt für a = 0?) Beweis: Sei zunächst a ^ 1. Wir zeigen mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung, daß die Folge (g„) mit

eine Nullfolge ist. Es gilt einerseits 0 g g„ und andererseits a = (l+g„)"^l+ng„ also >"=

n

Daraus folgt für a ^ l die Behauptung. Den Fall 0 < a < l führt man auf den soeben bewiesenen zurück. Dazu verwendet man am einfachsten eine der Regeln über das Rechnen mit konvergenten Folgen, die wir im nächsten Abschnitt herleiten werden. Wir stellen deshalb den Beweis bis dahin zurück.

3.2 Beispiele

103

6) Es gilt lim ]/n = 1. n

Beweis: Wir betrachten die Folge (g„) mit

Da 0 ^ g„ für alle n gilt, ergibt sich aus der binomischen Formel

also für n 3i 2 £^|

oder

0^ n

7) Es gilt für jedes reelle a

lim ^-=0. n n! Beweis: Für genügend großes m wird der Bruch — kleiner als — ; wir wählen m 2 deshalb eine natürliche Zahl k > 2a und erhalten dann für n>k:

^-^L rt ~ kl'

mii+1

k 2ä)k — — (~\~ ^ — m k\\2] ~ ~W' T'
0 gäbe, so daß für alle n

gelten würde, so hätte man:

a"

für alle n.

104

3 Konvergente Folgen

fa"\ Die Folge — ist aber, wie wir gesehen haben, eine Nullfolge. V«!/

Aufgabe: Man zeige, daß gilt lim_=0. " Aufgaben

1. Man untersuche, ob (/„) konvergiert oder divergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert für

(a) (b) (c)

fn=ya" + b"

(a,b^

2. Für die nachgenannten Nullfolgen bestimme man zu vorgegebenem > 0 jeweils ein passendes n0 derart, daß |/„ | < für n ^ n0 gilt. (Dabei ist es nicht nötig, «0 möglichst klein zu wählen, vielmehr schätze man die /„ durch möglichst einfache Ausdrücke grob ab!) ,a ,

,

«2+n+l n3 +n22 +n

(>

/. =

(b)

/„ -

(d)

i V -l / „ = i/ l + -j

l

(peN)

3. Man untersuche die Folgen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert: (a)

fn=(Vn-W

(b)

fn=]fö

(C)

fn =

(k*i) 2·4·6·...·2

'

3.2 Beispiele

105

4. Für die Folge (/„) gelte: \imfn=a2

und

lim (/n + 1 -/„) = 0.

Konvergiert die Folge? 5. Es sei s eine beliebige reelle Zahl und |#| < 1. Dann ist (/„) mit j ( s - l ) . . . ( j - y i + l) „ j # n! eine Nullfolge. Weiter ist auch (g„) mit

=

eine Nullfolge. 6. (/„) sei eine Folge positiver reeller Zahlen mit lim n

/n H-l /" 7n

= a.

Man zeige: (a) Ist a < l, so ist (/„) konvergent. Man bestimme den Grenzwert. (b) Ist a > l , so ist (/„) divergent. (c) Im Falle a — l kann die Folge (/„) konvergent oder divergent sein. Man gebe für beide Fälle ein Beispiel an. 7. Die Folge (/„) sei rekursiv definiert durch =/„„ +

Für welche , b konvergiert diese Folge? Welchen Grenzwert hat sie in diesem Fall? 8. Es sei (a„) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a. Wenn alle a„ und a zur Definitionsmenge einer dehnungsbeschränkten Funktion / gehören, dann gilt lim/(«„)=/(*). n

Anwendung: Aus lim a„ — a > 0 folgt n

lim ar„ — ar n

für beliebiges rationales r. Für welche r gilt dies auch im Fall 9. Für die Folge (/„) gelte

/„>0

und

"

= 0?

106

3 Konvergente Folgen

Dann ist die Folge (]£,) konvergent und es gilt ]/f„ = a.

3.3 Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen Wir leiten nun einige Sätze her, die für Konvergenzuntersuchungen und die Bestimmung von Grenzwerten nützlich sind. Satz:

Es sei c e IR und es gelte lim /„ = a und lim g„ = b. n

n

Dann sind die Folgen (f„ + g„) und (cf„) konvergent und es gilt lim (f„+g„) = a + b n

lim cf„ = ca n

Beweis: Sei >0 vorgegeben. Da (/„) und (g„) konvergent sind, gibt es zu g

— > 0 jeweils eine natürliche Zahl nQ und eine natürliche Zahl m0, so daß gilt: \f-a\

\gn-b\ l und die Folge (g„) mit

3.3 Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen

109

also konvergent mit dem Grenzwert l. Damit ist auch (/„) = i — j konvergent mit dem Grenzwert 1. \Kn/ Die Aussage von S. 108 über die Folge (F(fn)) mit ganzrationalem F kann nun aufgebrochen rationale Funktionen ausgedehnt werden. Satz:

Es sei F eine rationale Funktion mit der Definitionsmenge D und (/„) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert aeD. Dann ist die (für fast alle n erklärte) Folge (F(f„)) konvergent und es gilt

Beispiel für die Anwendung dieses Satzes: ... +arnr . . . , \b0 + bln+ ... +bsns

. , , m i t r < j \ i n d a r = t = 0 , 65

ist eine Nullfolge. (Man dividiere Zähler und Nenner durch ns). Eine weitere Anwendung betrifft Beispiel 7) von S. 92. Wenn wir annehmen, daß die durch das Rekursionsschema

+ f.)-) definierte Folge konvergent ist mit dem Grenzwert c, so können wir diesen Grenzwert c berechnen. Die Folge (g„) = (/n + i) ist dann nämlich auch konvergent mit dem Grenzwert c. Daß c 0 gelten muß, folgt aus der Ungleichung

Somit gilt

110

3 Konvergente Folgen

und also wegen lim g„ = c: n

c = iYc +

d.h. c =

Y

die rekursivdefinierte Folge (/„) konvergiert, ist ihr Grenzwert die Zahl ya . Daß (/„) tatsächlich eine konvergente Folge ist, muß aber noch bewiesen werden (vgl. den folgenden Abschnitt S. 1 13). Wir haben gesehen, daß jede konvergente Folge durch eine gebrochene rationale Funktion wieder in eine konvergente Folge abgebildet wird und daß der Grenzwert der Bildfolge das Bild des Grenzwertes ist. Entsprechendes gilt auch für den absoluten Betrag. Satz:

lim/„=a => lim \f„\ - \a\. n

n

Beweis: Da ||/„| — \a\\ 5 |/„ — a\ ist, können wir zu > 0 die wegen der vorausgesetzten Konvergenz von (/„) existierende natürliche Zahl n0 auch für die Folge (|/J) verwenden. Die Umkehrung der Aussage ist falsch, wie Beispiel 4) von S. 92 zeigt. Für Nullfolgen ist jedoch wegen ||/„| — 0| = \f„\ auch die Umkehrung richtig. Eine Folge ist also genau dann eine Nullfolge, wenn dies für die Folge der absoluten Beträge zutrifft. Auch Ungleichungen übertragen sich bei konvergenten Folgen auf die Grenzwerte. Satz:

Es sei lim f„ = a, lim g„ = b und f„ ^ g„ für fast alle n. n

n

Dann gilt a^b. Wir führen den Beweis indirekt. Wäre a >b, so gäbe es disjunkte Umgebungen U, V von a bzw. b. Für fast alle n müßte /„et/ und ebenso müßte g„eV für fast alle n richtig sein; also müßte /„ > g„

für fast alle n

gelten. Widerspruch zur Voraussetzung. Zu beachten ist, daß auch aus der Voraussetzung f„ < g„ für fast alle n nur auf a^b geschlossen werden kann. Beispiel: = 0, gn = -, a = b = Q.

3.3 Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen

111

Aus dem bewiesenen Satz ergibt sich leicht der folgende „Einschachtelungssatz": Satz:

Wenn lim /„ = lim g„ = a und für die Folge (h„) gilt n

n

f„^h„^ g„

förfast

alle n,

so ist (h„) konvergent mit dem Grenzwert a: lim h„ = a. n

Beweis: In der beliebig vorgegebenen Umgebung U von a liegen für fast alle n die Werte der Folgen (/„) und (g„). Wegen f„ ^ h„ ^ g„ gilt dasselbe für die Folge (A„). Aufgaben

l. Welchen Grenzwert hat die rekursiv definierte Folge (/„), wenn sie konvergent ist? (a)

/, = !,

f„+ l =!/!+/„

(b)

/!=«>(),

/n + 1 =

(c)

/! = !,

/„ + ! =

yi — l »

Jn + \ —

f

·

> Jn

2. Man diskutiere das Konvergenzverhalten der Folge fa02 + 1 aln + ... + arnr\ . . , y — --r— mit ar 0 und bs 0 VÄ 0 + A 1 / i + . . . + M / für r^s und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert der Folge. 3. Es sei / eine ganzrationale Funktion. Dann ist zu zeigen: Hm ^±1>=1. Gilt dies auch, wenn / eine beliebige rationale Funktion ist? 4. Man beweise bzw. gebe ein Gegenbeispiel für jede der folgenden Behauptungen an: (1) (2)

(/„) und (g„) konvergieren genau dann, wenn (/„ + g„) und (/„ - g„) konvergieren Wenn (/„) und (g„) divergent sind, so auch (/„ +g„) und (f„-g„)

112

3 Konvergente Folgen

(3) (4) (5)

(J%) konvergiert genau dann, wenn (|/„ |) konvergiert Sind (/„) und (g„) konvergent, so auch (max{/„, g„}) Ist (/n + 1 -/„) eine Nullfolge, so konvergiert (/„)

(6)

Gilt/„ >0 und ^- < l für alle n, so konvergiert (/„). Jn

5. Die Folge (/„) habe nur positive Werte und es gebe eine Zahl q mit 0 < q < l derart, daß für alle n gilt

Dann ist (/„) eine Nullfolge. 6. Man berechne folgende Grenzwerte:

O) (2)

1-2 + 3 - 4 + . . . - 2n

hm (l _ i + i _ . . . + ( - ! ) » )

7. Für welche a e (R konvergiert die Folge (/„), falls

0)

a 2 "- l /n = ^r-r

(2) (3)

/„ = n» · (a - [a] + i)"

Wenn möglich, bestimme man die Grenzwerte.

3.4 Konvergenzkriterien

In der Konvergenzdefinition ist festgelegt, wann eine Folge (/„) konvergent mit dem Grenzwert a genannt werden soll. Oftmals ist es jedoch so, daß man die Zahl a nicht kennt. Die Fragestellung lautet dann: Existiert ein a e (R, so daß die in der Definition formulierte Bedingung erfüllt ist? Ist diese Frage positiv entschieden, so kann die Folge (/„) zur näherungsweisen numerischen Berech-

3.4 Konvergenzkriterien

113

nung von a dienen. So werden wir z. B. die Zahl e mit Hilfe von Folgen einführen und Näherungswerte für e ermitteln. Monotone beschränkte Folgen Zuerst werden wir uns mit den monotonen beschränkten Folgen beschäftigen; bei ihnen ergibt sich die Konvergenz unmittelbar aus dem Vollständigkeitsaxiom. Als Anwendung folgt der Satz von der Intervallschachtelung. Wir hatten in 3.1. schon festgestellt, daß jede konvergente Folge beschränkt ist. Für monotone Folgen gilt auch die Umkehrung. Satz:

Ist (/„) monoton wachsend und nach oben beschränkt, so ist (/„) konvergent.

Beweis: Als Grenzwert a kommt in diesem Fall nur das Supremum der Wertemenge der Folge (/„) in Frage. Ist nun > 0 vorgegeben, so gibt es nach dem Satz von S. 38 ein Element f„Q der Wertemenge, so daß gilt

Für alle n^n0 gilt wegen der Monotonie der Folge /„0 5S/„ 5 a, also auch

a-

)!

'"

1 / («+!)·' V

1 1+1

'"

l («+1)'" 1 /'

Hieraus ergibt sich aufgrund der geometrischen Summenformel (vgl. S. 27) die Abschätzung

h

1


0, b > 0, x, y e IR): (a · b)x = ax-bx

Aufgabe: Man führe die Beweise für diese Rechenregeln aus. Die Funktion i—> bx

(x 6 (R)

heißt Exponentialfunktion zur Basis b. Die Basis b = i ist nicht interessant; für 0 < b < i ist die Exponentialfunktion zur Basis b wegen In 6 l wegen ln& > 0 streng monoton wachsend. Die Wertemenge ist in beiden Fällen 1R + .

4.2 Exponentialfunktionen

137

Falls b l ist, existiert die Umkehrfunktion von zur Basis b genannt und mit

—> bx, sie wird Logarithmus

bezeichnet. Mit dem natürlichen Logarithmus besteht der Zusammenhang

denn aus

= by = exp(>> · In b) folgt: Injc = y · Inb = \ogbx\nb.

Aufgaben

l . Die beiden reellen Zahlen a, b seien fest vorgegeben und nicht beide gleich l . Man bestimme alle in [R 4 definierten Funktionen /, die die Funktionalgleichung /(*! · x2) = af(Xl) + bf(x2)

(*!, x2 e R + )

erfüllen. 2. Man zeige, daß es bei vorgegebenem a > 0 genau eine in [R + definierte Funktion / gibt, die den beiden Bedingungen (I)

genügt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen / und In? 3. Man zeige, daß für In in jedem Intervall 0 < je 5 b die Abschätzung -r b

besteht und folgere, daß exp in jedem nach oben beschränkten Intervall dehnungsbeschränkt ist (vgl. Aufg. 8 von S. 86). 4. Durch die Definition der allgemeinen Exponentialfunktion (vgl. S. 136) sind auch die Potenzfunktionen mit beliebigen reellen Exponenten s mit erfaßt:

138

4 Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

Man untersuche diese Funktionen auf Monotonie und Dehnungsbeschränktheit. 5. Man bestimme folgende Grenzwerte: (1)

lim

(2)

lim — In n » n lima„ · lna„

(3)

mn

falls lim a„ = 0 n

n

s

(4)

limn -e-"

(5)

lim - \l (n + k) n n Uk=l

6. Es sei s > 0 und 0