Analisis y Evaluacion de Proyectos de Inversion [2 ed.] 9681813278, 9789681813277

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inversión

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Análisis y evaluación de proyectos de inversión

Raúl Coss Bu

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

a LIMUSA NORIEGA EDITORES MÉXICO • Esparta • Venezuela • Colombia

17oo'

La presentación y disposición en conjunto de

ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NlNGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANS­ MITIDA, MEDÍANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMA­ CIÓN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

Derechos reservados:

© 1995, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES Balderas 95, México, D.F. C.P. 06040 ® 521-21-05 B 512-29-03 CANIEM Núm. 121 Décima reimpresión Hecho en México

A mi esposa Idalia y a mis hijos Kartita y Raulito

Prólogo

Este libro ha sido escrito teniendo como principal objetivo contribuir en mínima parte al desarrollo y estudio de esta materia. Además, puesto que la gran mayoría de los libros existentes relacionados con esta materia, están escritos en inglés, y los que están escritos en español son traducciones, con este libro se pretende dar una idea de la aplica­ ción de las técnicas de análisis y evaluación de proyectos dentro del contexto de nuestro país, es decir, a través de los ejemplos presentados a lo largo del texto, se intenta descri­ bir la situación actual de México, y no la de países extranjeros a los cuales pertenecen la gran mayoría de los autores relacionados con esta materia. El contenido del libro es presentado a través de dieciséis capítulos. En los primeros doce capítulos se describen las principales técnicas que se utilizan para evaluar proyectos bajo certeza. En esta primera parte, además de presentar los métodos tradicionales de eva­ luación de proyectos, se da especial atención y se enfatiza el impacto que la inflación tiene en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiar­ lo. En la segunda parte del libro, se describen y explican a través de ejemplos Sencillos, las técnicas más utilizadas para manejar el riesgo y la incertidumbre que es inherente a todo nuevo proyecto de inversión. El desarrollo de este libro ha sido influenciado por dos factores. El primero se refie­ re a la gran cantidad de experiencias y opiniones recopiladas en el salón de clase, y en las enseñanzas obtenidas de varios maestros y amigos, como: Dr. Alberto Sabino Paria, Dr. Fernando González, Robert Oakford, Grant Ireson, etc. El segundo se refiere a las expe­ riencias prácticas obtenidas en el análisis y evaluación de nuevos proyectos de inversión reales. En este aspecto agradezco profundamente al Sr. Fernando Díaz Villanueva la gran oportunidad que me brindó para adquirir experiencia práctica en esta materia. Enumerar todas las personas que contribuyeron directa o indirectamente al desarro­ llo de este libro podría ser interminable. Sin embargo, merecen especial mención, Martha Graciela Serna Ríos, quien se encargó de mecanografiar el manuscrito de este libro, y Ro­ lando Santos y Celso Ramírez quienes se encargaron de desarrollar las tablas de interés. 7

8 Prólogo

Finalmente, agradezco profundamente a mi esposa Idalia su paciencia durante la preparación de este libro. Ella demostró gran interés durante el desarrollo del libro al pre­ guntar constantemente: “Si sabes mucho sobre evaluación de nuevas inversiones, ¿por qué no somos ricos?”

Raúl Coss Bu

Contenido

1. INTRODUCCION 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

15

Identificación de alternativas. Consecuencias cuan tifie ables. Consecuencias no cuantificables Análisis délas alternativas. Control déla alternativa seleccionada.

2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO 2.1. Valor del dinero a través del tiempo. 2.2. Interés simple e interés compuesto. 2.3. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto discreto. 2.3.1. Flujos de efectivo únicos. 2.3.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 2.3.2.1. Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo. 2.3.2.2. Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo. 2.3.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos. 2.3.3.1. Gradientes aritméticos. 2.3.3.2. Gradientes geométricos 2.4. Interés nominal e interés efectivo. 2.5. Interés real. 2.6. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto continuo 2.6.1. Flujos de efectivo únicos. 2.6.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 9

15 16 16 16 17

19 19 19 20 20 22 22 24 25 25 27 29 31 33 33 34

10 Contenido

2.6.2.1.

Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo. 2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo. 2.6.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos. / 2.6.3.1. Gradientes aritméticos. 2.6.3.2. Gradientes geométricos Fórmulas de equivalencia suponiendo que los flujos de efectivo son a través del período. 2.7.1. Valor presente de un flujo de fondos. 2.7.2. Valor futuro de un flujo de fondos.

3. METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE 3.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual. 3.2. Selección de alternativas mutuamente exclusivas. 3.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos. 3.2.2. Solamente los gastos son conocidos. 3.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes. 3.3. Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas. 3.4. Anualidades de inversiones de larga vida.

4. METODO DEL VALOR PRESENTE 4.1. 4.2.

4.3

Análisis y evaluación de un proyecto individual. Selección de proyectos mutuamente exlcusivos. 4.2:1. Valor presente de la inversión total. 4.2.2. Valor presente del incremento en la inversión. Inconsistencia del método del valor presente al comparar alternativas mutuamente exclusivas.

5. METODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO PARTE 1.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO

Tasa interna de rendimiento (TIR) Significado de la tasa interna de rendimiento. Evaluación de un proyecto individual. Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos.

PARTE 2. PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO

Contenido 11 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

Proyectos sin tasas internas de rendimiento. Proyectos con una sola tasa interna de rendimiento. Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento. Algoritmo de James C. T. Mao. 5.8.1. Clasificación de los proyectos. 5.8.2. Descripción del algoritmo.

6. CONSIDERACION DE IMPUESTOS EN ESTUDIOS ECONOMICOS 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Depreciación — qué significa. Métodos de depreciación. Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital. Tasa interna de rendimiento y valor presente después de impuestos. Certificados de promoción fiscal (CEPROFI). Depreciación acelerada.

7. TECNICAS DE ANALISIS EN ESTUDIOS DE REEMPLAZO

81 81 81 82 82 84

91 91 92 94 96 101 105

113

7.1. Consideraciones de un estudio de reemplazo. 7.1.1. Causas que originan un estudio de reemplazo. 7.1.2. Factores a considerar en un estudio de reemplazo. 7.1.3. Tipos de reemplazo. 7.2. Determinación de la vida económica de un activo. 7.3. Análisis de reemplazo del activo actual. 7.3.1. Vida del defensor mayor o igual ala vida económica del retador. 7.3.2. Horizonte de planeación conocido. 7.4. Conclusiones.

121 122 125

8. SELECCION DE PROYECTOS EN CONDICIONES LIMITADAS DE PRESUPUESTO

129

8.1 Generación de alternativas mutuamente exclusivas. 8.2. Selección entre muchos proyectos con restricciones. 8.3. Formulación con programación entera. 8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo. 8.3.2. Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones líquidas. 8.3.3. Utilidad y aplicabilidad. 8.4. Métodos de selección aproximados. 8.4.1. Ordenado por tasa interna de rendimiento. A) Asignación de recursos en una corporación formada por dos divisiones. B) Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones. 8.4.2. Ordenado del valor presente por peso invertido.

113 113 115 116 116 120

130 134 134 135 138 139 139 141 141 143 143

x

12 Contenido

8.5.

8.4.3. Ordenados combinados. Decisiones secuenciales vs.decisiones en grupo.

9. EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN SITUACIONES INFLACIONARIAS 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Inflación — qué significa. Efecto de la inflación sobre el valor presente. Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento. Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo. Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante. Efecto de la inflación en nuevas inversiones con diferentes proporciones de activo circulante. 9.7. Efecto de la inflación en activos no depreciables. 9.8. Inflación diferencial. 9.9. Conclusiones.

10. COSTO DE CAPITAL 10.1

Costo de capital — cómo se calcula.

PARTE 1. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS 10.2. Proveedores. 10.3. Préstamos bancarios de corto plazo. 10.4. Pasivo alargo plazo. Obligaciones. Crédito hipotecario industrial. Crédito hipotecario normal. Crédito hipotecario con inflación. Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación. Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación. Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios de paridad. Arrendamiento financiero.

144 145

151 151 152 153 154 159 160 162 165 167

171 172 173 173 174 176 176 179 179 180 181 184' 185 186 187

PARTE 2. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS

192

10.5. Acciones preferentes. 10.6. Acciones comunes. 10.7. Utilidades retenidas. 10.8. Costo ponderado del capital. 10.9. Conclusiones.

192 194 196 197 198

APENDICE “A” al capítulo 10. Amortización creciente, un nuevo método de amortización

203

Contenido 13

A. 10.1 Introducción A.l 0.2 Análisis comparativo de los métodos tradicionales de amortización A. 10.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante A.l 0.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos A.l 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante A.l 0.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización A. 10.3 Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización A.l 0.3.1 Costo después de impuestos cuando la amortización es constante A.1 0.3.2 Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. 213 A.l 0.3.3 Costo después de impuestos cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante A.l 0.4 Costo después de impuestos que se obtiene en los diferentes métodos de amortización, al considerar la inflación A. 10.5 Conclusiones Saldo del crédito cuando la amortización de capitale interés es constante

205 205 205 206 208 210 213 213

214 215 217 218

11. EFECTO DE LA INFLACION EN EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO Y EN EL COSTO DE LA FUENTE UTILIZADA PARA FINANCIARLO 221 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

Efecto de la inflación sobre el rendimiento de un proyecto. Efecto de la inflación sobre el costo de un crédito hipotecario. Efecto de la inflación en la aceptación de un proyecto de inversión. Conclusiones

12. DISTINCION ENTRE DECISIONES DE INVERSION Y DECISIONES DE FINANCIAMIENTO 12.1. Decisión de inversión y decisión de financiamiento. 12.2. Combinación de la decisión de inversión y la decisión de financiamiento. 12.3 Conclusión.

13. ANALISIS DE SENSIBILIDAD 13.1. Sensibilidad de una propuesta individual. 13.2. Isocuanta de una propuesta individual. 13.3. Sensibilidad de varias propuestas. 13.4. Conclusiones.

222 222 223 227

229 229 232 237

239

’

239 245 248 250

14 Contenido

14. ARBOLES DE DECISION

253

14.1. Arboles de decisión. 14.2. Conclusiones.

253 259

15. ANALISIS DE RIESGO

263

15.1. Distribuciones de probabilidad más utilizadas en análisis de riesgo. 15.1.1. Distribución normal. 15.1.2. Distribución triangular. 15.2. Teorema del límite central. 15.3. Distribución de probabilidad del valor presente neto. 15.4. Distribución de probabilidad del valor anual equivalente. 15.5. Distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento. 15.6. Conclusiones.

16. SIMULACION 16.1. Ideas básicas en análisis de riesgo. 16.2. Lógica de la simulación. 16.3. Conclusiones.

264 264 265 267 267 272 273 275

279 279 280 288

APENDICE A. INTERES COMPUESTO DISCRETO

291

APENDICE B. INTERES COMPUESTO CONTINUO

317

APENDICE C. FLUJOS DE FONDOS

343

APENDICE D. SOLUCIONES A PROBLEMAS

363

APENDICE E. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

371

1 Introducción

Este libro es en última instancia, una presentación de algunas técnicas utilizadas en el proceso de toma de decisiones. Aun cuando el grueso de este libro se limita a cierto tipo de decisiones, es de cualquier modo conveniente decir algunas ideas sobre decisiones en general. El hecho de que a lo largo de nuestra vida debemos tomar un sinnúmero de decisio­ nes, podría hacernos pensar que el dirigir esfuerzos a estudiar algo que todo mundo hace, es perder el tiempo. Sin embargo, la mayor parte de las decisiones que tomamos son tri­ viales, esto significa que no se requiere de ningún procedimiento formal o estructurado para tomarlas. Además, cuando las decisiones son triviales, las consecuencias de no tomar la mejor decisión son despreciables. Por el contrario, cuando tenemos que tomar una deci­ sión importante, no debemos proceder de igual manera, es decir, no debemos tomar la decisión de una manera intuitiva, sino que debemos establecer un procedimiento gene­ ral que nos ayude a seleccionar la decisión que producirá los mejores resultados para no• sotros. 1.1 IDENTIFICACION DE ALTERNATIVAS Cuando nos enfrentamos a una decisión, lo primero que tenemos que hacer es deter­ minar los posibles cursos de acción que se pueden seguir. La existencia de diferentes cursos de acción es un requisito indispensable en el proceso de toma de decisiones. Cuando sólo se tiene una sola alternativa de decisión, no es necesario perder tiempo en analizar cómo proceder; se deberá seguir la única alternativa existente. Este' paso del proceso de toma de decisiones requiere que se generen todas las alter­ nativas disponibles. Lo anterior significa que se debe tener mucho cuidado en tratar de incluir ^odas las alternativas. Para esto, debemos estar capacitados para reconocer cuan­ do ya se han agotado los diferentes cursos de acción a través de los cuales una decisión puede ser tomada. La recomendación anterior es muy importante, puesto que sería muy indeseable descubrir una mejor forma de hacer las cosas, después de habernos comprome­ tido irreversiblemente en otro curso de acción. Se ha dicho que es recomendable generar todas las alternativas disponibles para una determinada decisión. Sin embargo, esto no significa que siempre estaremos generando

15

16 Introducción

nuevas alternativas, y postergando por consiguiente la decisión, sino por el contrario, tam­ bién vale la pena preguntarnos cuándo vamos a dejar de generar alternativas y empezar a analizar las disponibles. La respuesta a la pregunta anterior es clave, ya que de otra mane­ ra el proceso de toma de decisiones sería demasiado lento.

1.2 CONSECUENCIAS CUANTIFICABLES Una vez que se han generado todas las alternativas a analizar, el siguiente paso es de­ terminar las consecuencias cuantificables de cada alternativa, es decir, es necesario evaluar todo aquello que sea factible de cuantificar. Si aplicamos estas ideas generales en la eva­ luación de proyectos de inversión, entonces, después de generar las alternativas con las cuales se puede realizar el proyecto, se debe tratar de expresar en términos monetarios las consecuencias de cada curso de acción. Es muy importante distinguir claramente cuáles resultados son relevantes. Lo que es común a todas las alternativas bajo análisis es irrelevante. Por ejemplo, si en la compra de cierto equipo los ingresos son independientes del tipo de equipo, entonces, en el análisis del tipo de equipo a adquirir, los ingresos serían irrelevantes y sólo se deben considerar los costos que se tendrían con cada tipo diferente de equipo. También es importante seña­ lar que el pasado por ser común a todas las alternativas es irrelevante. El único valor que puede tener el pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.

1.3 CONSECUENCIAS NO CUANTIFICABLES Al analizar las diferentes alternativas disponibles, es muy común encontrar factores que son importantes pero que no se pueden medir monetariamente. Por ejemplo, todos sabemos que un Renault Mirage es más económico que un LeBaron; sin embargo, muchas veces la gente se decide por comprar un LeBaron, ya sea porque le gusta más, o porque es de más “status” tener este tipo de carro. Aun cuando no es posible medir cuantitativamente ciertos factores relevantes, éstos deben ser considerados en el análisis antes de tomar la decisión. Normalmente lo que se hace es seleccionar aquellas alternativas que presenten las mayores ventajas monetarias^ a menos de que los factores imponderables pesen más que los que se pueden evaluar obje­ tivamente.

1.4 ANALISIS DE LAS ALTERNATIVAS Una vez que las alternativas han sido generadas y sus consecuencias cuantificables evaluadas, el siguiente paso es utilizar algún procedimiento general que ayude a seleccio­ nar la mejor de ellas. El grueso de este libro precisamente está dedicado a indicar cómo se deben comparar estas alternativas. En la evaluación de las alternativas se tomará el punto de vista de un analista y no el de un ejecutivo. Lo anterior significa que el analista es responsable de hacer un análisis que soporte mejor la decisión del ejecutivo, el cual antes de tomar la decisión deberá considerar los factores imponderables. Aun cuando el resto del libro está dedicado al análisis de alternativas, es conve-

Control de la alternativa seleccionada 17

niente mencionar algunas consideraciones generales que debemos seguir cuando las anali­ zamos. La primera establece que es necesario hacer una diferenciación con respecto al ta­ maño de los proyectos a analizar, es decir, no podemos utilizar el mismo método de análi­ sis o asignar la misma cantidad de recursos, cuando se está decidiendo comprar una máquina de escribir, que cuando se desea incursionar en nuevos mercados con nuevas líneas de productos. El análisis de las alternativas como cualquier otro estudio, requiere de recursos para realizarse. Por consiguiente, debemos de preguntarnos ¿cuánto estamos dispuestos a gastar en el análisis? La respuesta es simple: nunca debemos gastar más de los benefi­ cios que esperamos recibir. Lo anterior significa que las decisiones poco importantes, donde una mala decisión no tenga consecuencias desastrosas, deberán tomarse después de un análisis muy superficial. Por otra parte, otra consideración que debemos tomar en cuenta son los diferen­ tes métodos de análisis, de los cuales podemos distinguir: los empíricos y los cuantitativos. La diferencia entre estos métodos estriba en que en estos últimos se utilizan técnicas nu­ méricas que nos ayudan a visualizar mejor las diferencias entre las alternativas, mientras que con los primeros solamente se hace una evaluación subjetiva de dichas diferencias. Lo anterior significa que el usar métodos cuantitativos nos lleva a ser más consistentes en nues­ tras decisiones, porque siempre se usaría la misma lógica para arribar a la decisión reco­ mendada. Además, es de esperarse que el usar procedimientos lógicos, basados en cálculos matemáticos, nos ayudará consistentemente a tomar mejores decisiones. Finalmente, es conveniente decir algunas ideas sobre lo que es una buena decisión. Debemos distinguir entre una buena decisión y un buen resultado. Para la mayoría de las personas esta distinción no es fácil de hacer. Una buena decisión es una basada en la infor­ mación disponible y tomada después de un análisis lógico que considere todas las conse­ cuencias de las diferentes alternativas. Sin embargo, una buena decisión no necesariamente producirá buenos resultados, y una mala decisión puede producir buenos resultados, esto es, nadie espera que una persona obtenga buenos resultados de todas y cada una de las decisiones que tome, sin embargo, si una persona toma consistentemente buenas decisio­ nes, entonces, tendrá un alto porcentaje de buenos resultados.

1.5 CONTROL DE LA ALTERNATIVA SELECCIONADA Procedimientos para seguir y controlar las propuestas de inversión seleccionadas, aseguran el logro de las metas fijadas por la organización y permiten mejorar el proceso de planeación al eliminar aquellas estrategias que conducen ala organización hacia un objetivo no planeado y no deseado. Mediante procedimientos de seguimiento y control del proyecto seleccionado, es posible comparar la inversión actual, los ingresos netos obtenidos, y el rendimiento real obtenido, con las estimaciones de inversión, ingresos netos y rendimiento esperado del proyecto. Estos procedimientos de seguimiento y control de las inversiones es muy reco­ mendable que sean implantados en toda organización, pues permiten comparar los resultados obtenidos con los planeados. Cuando sistemáticamente los costos incurridos en un proyecto de inversión son mayores que los estimados, entonces es obvio que el ren­ dimiento real obtenido en este proyecto será mucho menor que el esperado. Para este tipo de situaciones, vale la pena preguntarse si los procedimientos de evaluación que se utilizan

18 Introducción

son los adecuados, o si vale la pena ser más pesimista al estimar las inversiones, ingresos y gastos del proyecto de inversión. Para .implantar procedimientos de seguimiento y control de las inversiones, se re­ comienda emitir reportes periódicos durante la vida de la inversión y al término de ésta. Con los reportes que se emitan durante la vida del proyecto, se podrá cambiar de direc­ ción, o establecer medidas correctivas que encaucen o dirijan a la organización hacia los objetivos planeados. Con el reporte emitido al final de la vida de la propuesta, se podrá evaluar qué tan alejado se está de los objetivos planeados. Los procedimientos de seguimiento y control no tienen como objetivo señalar al responsable de los errores ocurridos, sino evitar que estos mismos errores se vuelvan a co­ meter en el futuro. Además, cuando estos procedimientos son implementados, la alta administración de una organización está en una mejor posición de evaluar el riesgo y la incertidumbre inherente a todo proyecto de inversión.

2 Valor del dinero a través del tiempo

La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien la renta que se gana al invertir nuestro dinero. Puesto que estas dos situaciones se presen­ tan en innumerables formas, es conveniente desarrollar una serie de fórmulas de equivalencia con las cuales se pueda evaluar más exactamente: el rendimiento obtenido en una deter­ minada inversión, o el costo real que representa una determinada fuente de financiamiento. Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar las fórmulas de equivalencia más utilizadas considerando interés compuesto, tanto discreto como continuo, así como también flujos de fondos.

2.1 VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto período usualmente un año, es importante reconocer que un peso que se reciba en el futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente. Es precisamente esta relación entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiem­ po. Por ejemplo, un peso que se tenga actualmente puede acumular intereses durante un año, mientras que un peso que se reciba dentro de un año no nos producirá ningún rendi­ miento. Por consiguiente, el valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor, si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

2.2 INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses a su vez generan intereses, mientras que cuando se utiliza interés simple los intereses son función únicamente del prin­ cipal, el número de períodos y la tasa de interés. Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido pres-

19

20 Valor del dinero a través del tiempo

tados $1,000 para pagarlos dentro de dos años a una tasa de interés del 10% . Si se utiliza interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería: 1000 4- 1000 (2) (.1)= 1200 Por otra parte, si se utiliza interés compuesto, el adeudo al final del segundo año se­ ría como se muestra a continuación:

Año

Adeudo al principio del año

1 2

1000 1100

In tereses 100 110

Adeudo al final del año 1100 1210

Como se puede observar, existe una diferencia entre los adeudos obtenidos median­ te estos dos enfoques. Esta diferencia se debe precisamente a los intereses ($10) que pro­ dujeron los intereses ($100) generados en el primer año.

23 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO DISCRETO Puesto que el interés compuesto es más frecuentemente encontrado en la práctica que el interés simple, a lo largo de este capítulo se supondrá que el interés es compuesto, a menos de que se especifique lo contrario. También en esta sección se va a suponer que los períodos de interés son discretos, es decir, las tasas de interés utilizadas serán anuales, semestrales, mensuales, etc. Bajo estas suposiciones, en esta sección se van a desarrollar fórmulas de equivalencia que relacionan flujos de efectivo únicos, series uniformes de flu­ jos de efectivo y flujos de efectivo con gradientes aritméticos y geométricos.

23.1 Flujos de efectivo únicos

Para desarrollar la fórmula de equivalencia que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura, veamos primero la figura 2.1. En esta figura, P representa el desem­ bolso inicial, el cual ocurre al principio del primer período, Fia cantidad que se va a recu­ perar al final del período n, y n es el número de períodos durante los cuales se está ganando una tasa de interés de z% . Puesto que el interés es compuesto, la cantidad acumulada al final del primer período sería P 4- /¥, la cual es equivalente a P (1 4- z), y la cantidad acu­ mulada al final del segundo período, sería la cantidad que se tiene al principio del segundo período (final del primer período) P (1 4- z), más los intereses generados por esta cantidad P (1 4- i )i, es decir, la cantidad acumulada al final del segundo período sería P (1 4- z)2 . Si­ guiendo esta misma lógica se pueden seguir obteniendo las cantidades que se acumulan al final de los siguientes períodos (ver tabla 2-1). De esta tabla se puede observar que la fórmula que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura es:

Formulas de equivalencia 21 f=p(i+íji

(2.1)

esto es, para obtener la cantidad que se acumula después de n períodos a una tasa de inte rés de i% , solamente se multiplica la cantidad presente P por el factor (1 + i)n, el cual ge neralmente se denota por (F/P, i%, tí).

1

2

3

n—1n

P FIGURA 2.1. Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro. TABLA 2-1. Desarrollo del factor que relaciona una cantidad presente con una

cantidad futura. Ano Cantidad acumulada al principio del año 1 P 2 p(\+i) 3 P(1 +¿)2

n

Intereses ganados Pi p (1 + 0 i P(1 + í)2¿

P (1 + ¿)”_1 p (1 +í)”_1í

Cantidad acumulada al final del año P+Pi

1

P(1 + í)2 +P(1 +Í)2Í

=P(1 +0 =P(1 + ¡)2 =P(1 + »)3

P(i + ¡)"’1 + P(l +o"-1í

=P(1 +(•)"

p(i +¡) + P(i + 0 i

También la ecuación (2.1) puede ser presentada en la forma siguiente: P = F—^------

(2.2)

(1+zf la cual se utilizará para determinar la cantidad presente que se tiene que invertir durante n períodos a una tasa de interés de i%, para acumular una cantidad F. Al factor 1/(1 + i)n se le denota por (P/F, i %, ri). Este factor al igual que el anterior y los próximos a derivar, se pueden encontrar en tablas (ver apéndice), o bien muchas de las calculadoras de bolsillo producidas por la Hewlett Packard o por la Texas lnstruments, tienen la facilidad de obtenerlos directamente. Ejemplo 2.1 Una persona pide prestado la cantidad de $1000 para pagarla dentro de 5 años a una tasa de interés del 20% anual. ¿Cuánto pagaría esta persona al final del quinto año?

22 Valor del dinero a través del tiempo

Utilizando la ecuación (2.1) tenemos: F = 1000 (1 + 0.2)s F= 1000 (2.4883) = 2488.30 esto es, la cantidad a pagar al final del quinto año sería de $2488.30. 2.3.2 Series uniformes de flujos de efectivo Existen situaciones tales como: depósitos constantes al final de cada período, o percepción de ingresos constantes al final de cada período, en las cuales es conveniente derivar fórmulas para obtener la equivalencia de estos flujos en el presente, o bien su equi­ valencia en el futuro.

2.3.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efec­ tivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denotaremos por A (ver figura 2.2) Esta variable representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n perío­ dos. Por consiguiente, la cantidad acumulada F al final del año n, se puede obtener al su­ mar la equivalencia (al final del período tí) de cada una de las A ’s.

FIGURA 2.2. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad futura con una serie uniforme de flujos de efectivo.

Por ejemplo, la equivalencia de la última A en el tiempo n es A, puesto que este flujo no produce ningún interés. Sin embargo, la penúltima A produce intereses durante un perío­ do, por lo cual su equivalencia en el tiempo n es A (1 + z). Siguiendo esta misma lógica, la primera A produce intereses durante n — 1 períodos por lo cual su equivalencia en el tiempo n es A (1 + z)”"1. Sumando las equivalencias de las n A’s encontramos: F = A (1 +(1 +z) + (l +i)2 + • • +(1 +0" _1) la cual se reduce a: F = A (-0

+F

~1)

i

F = A(F/A, i%, n)

(2.3)

Fórmulas de equivalencia 23 La ecuación (2.3) también puede ser expresada en la forma siguiente: X=F (--------------i--------- 1)

(2-4)

(1 + i/* - 1 Ó

A=F(A¡Ft i%, n) esto es, con esta última expresión se trata de determinar el flujo neto A al final de cada período durante n períodos, que es necesario desembolsar, para acumular al final del pe­ ríodo n una cantidad F. Ejemplo 2.2 Un estudiante del ITESM que actualmente está cursando su último semestre de la carrera, y que paga actualmente una colegiatura de $250,000; desea conocer lo que sus futuros hijos pagarán de colegiatura semestral en el ITESM. Para esto se va a asumir que la colegiatura aumentará 20% por semestre y que su primer hijo ingresará al ITESM a cur­ sar una carrera profesional dentro de 20 años. Utilizando la ecuación (2.1) tenemos: F= 250,000(1 + ,2)40 = 5367,442,900

Ejemplo 2.3 Considere usted que en este momento tiene $250,000 que a la paridad actual equi­ valen a 1,000 Dlls. Si los bancos en México pagan un interés anual de 50% en depósitos a un año, y los bancos en U.S.A. pagan un 10% anual en depósitos similares, ¿cuál es el deslizamiento diario a partir del cual conviene depositar nuestro dinero en U.S.A.? Utilizando la ecuación (2.1) tenemos: ^MEXICO = 250,000 (1 T .5) = 375,000 pesos

fu

.s.a.

1,000(1 + .1) =

1,100 doláres

si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se considera a d como el deslizamiento diario, se obtiene lo siguiente: Vr1,100(250 + 365d) = 375,000

lo cual se reduce a:

24 Valor del dinero a través del tiempo

Ejemplo 2.4 Una persona deposita al final de cada mes, durante dos años, la cantidad de $1000. Si la cuenta de ahorros paga el 1.5%mensual, ¿cuánto se acumularía al final del segundo año? Utilizando la ecuación (2.3) se tienr F=1000 (-^ + -015) 4 .015

)

F = 1000 (28.6335) = 28,633.5

esto es, al final del segundo ano se habrá acumulado la cantidad de $28, 633.50 23.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo La figura 2.3 muestra un diagrama de flujo que relaciona una cantidad en el presen­ te con una serie uniforme de flujos de efectivo. Para determinar la equivalencia en el tiempo cero de estos flujos netos al final de cada período durante n períodos, se puede proceder en igual forma que en el inciso anterior, es decir, la equivalencia en el tiempo cero de esta serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener al sumar la equivalencia en el tiem­ po cero de cada una de las n A k

FIGURA 2.3. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie de flujos de efectivo.

Por ejemplo, la equivalencia en el tiempo cero del primer flujo es A/(l + z) y la equivalen­ cia del segundo esj4/(l + í)2. Siguiendo esta misma lógica, la equivalencia del último flujo en el tiempo cero es A 1(1 4- z)n. Sumando todas estas equivalencias encontramos:

P = A (----- 1--- +------- í-----+ .. . + _____ 1___

(1+02

(1+í)

(1+0"

y simplificando la expresión anterior se obtiene:

P = A (-^ +

z (1 +0"

~1)

(2-5)

Fórmulas de equivalencia 25 o P=A(P/A, i%, ri) también la ecuación (2.5) se puede poner en la forma siguiente:

A =P

1

/ kjO Al

(1 + /)” - 1 ’

' 0**^

E G>o\uA¿f^‘1 (2.6)

O

A = P (A/P, i%, n) la cual se utiliza para determinar la cantidad A que se recibiría (pagaría) al fmal de cada período durante n períodos, si en el tiempo cero se invierte (recibe) una cantidad P. Ejemplo 2.5 Una persona deposita $100,000 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si esta persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre durante 5 años, ¿de qué tamaño sería cada retiro? Sustituyendo esta información en la ecuación (2.6) se tiene: A = 100,000 (- 05

-

o + -05)1 °_) (1 + .05)*0 - 1

A= 100,000 (.12950) = 12,950 esto significa que dicha persona podrá hacer 10 retiros iguales de $12,950 al final de los cuales se agotará la cuenta. 2.3.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. Tam­ bién, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcen­ taje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supo­ ne que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para flujos de efectivo que se comporten en forma de gradiente ya sea aritmético o geométrico. 2.3.3.1 Gradientes aritméticos Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura 2.4. Como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es,4 j, y del según-

26 Valor del dinero a través del tiempo

do año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la figura 2.5, el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra serie uniforme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta

g g' g‘ g

FIGURA 2.4. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos.

FIGURA 2.5. Flujo de efectivo equivalente al mostrado en la figura 2.4.

llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad ^42 se puede obtener al mul­ tiplicar la suma de los valores futuros de estas series por (A/Ft i%, n), esto es, Á2 se puede determinar por medio de la siguiente expresión: A2 =8 ( (F/A, i%, n - 1) + (F/A, z%, n - 2) + ... + (F/A, i%, 2)+ .. . ... +(F/AÍ%,1) ) (A/F,i%,n)

A2=j- ((1 + z)"_1 +(1 +z)n_2 +... + (1 +i)2 +(1 + í)-(n-1))(4/F, i%,n) (1 +z)"-l i

-nX

(1 + 0" - 1

)

Fórmulas de equivalencia 27 la cual se reduce a: a2 =g (—---------------- -------- ) i (1+/)”-!

(2.7)

O

A2=g (A/g, i%, ri) Es importante señalar que a pesar de que el gradiente empieza en el período dos, en la obtención del factor (A/g, i%, n) se utiliza el valor de n y no el de n — 1. Ejemplo 2.6 Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empe­ zar, esta persona piensa depositar al final del año $ 5,000. Sin embargo, puesto que su sala­ rio está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en $1,000 cada año. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma? Utilizando la ecuación (2.7)y sustituyéndola información presentada en el ejemplo, esta persona tendría que depositar: A = 5,000 + 1,000 (-1---------------- 19------ ) .12 (1 + .12)10 — 1 >1 = 5,000 + 1,000(3.585) >1 =$8,585 es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al final del primer año $5,000 y después incrementar el depósito en $1,000 por año. 2.3.3.2 Gradientes geométricos Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren como se mencionaba anteriormente, en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épo­ cas de recesión. Esto significa que los flujos de efectivo de un período al siguiente pueden aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo, es decir, el flujo de efectivo del Kth período se puede representar como:

Ak =Ak-\ (1 + /) para/¿ = 2, 3, . . ó =^i (1 +/)Á’~1 para K = 1,2, 3,. . , n

28 Valor del dinero a través del tiempo

FIGURA 2.6. Flujos de efectivo en forma de gradiente geométrico.

donde / representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de efectivo entre un período y el siguiente. Conociendo este porcentaje de cambio entre un período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente expresión:

n

p

Ak

n A^\+jf^

K=l0.+i)K

(1+0*

ó Al £ 1+'> ( 1 +/ K=1

1 +i 7

la cual se reduce a:

(

1-(1+/)"/(!+01) SiI^ 0-7)

(2-8)

o a la siguiente expresión: (2-9) Independientemente de que / sea igual o diferente a z, las ecuaciones (2.8) y (2.9) se repre­ sentan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente:

Interés nominal e interés efectivo 29 Ejemplo 2.7 Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie la carrera de US en el ITESM. La carrera en esta institución dura 9 semestres y debido a la inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si la colegiatura del primer semestre es de $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura ocurre al final del semestre. Sustituyendo esta información en la ecuación (2.8), se obtiene: P = 10,000 ( _l-(l + -08)9/(l + .06)9 (.06 - .08)

}

P = 10,000 (9.1603)= 91,603 lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita $91,603, con los cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres.

2.4 INTERES NOMINAL E INTERES EFECTIVO Generalmente, en muchos estudios económicos las tasas de interés utilizadas son en bases anuales. Sin embargo, en la práctica es posible encontrar situaciones en las cuales los intereses se tengan que pagar más frecuentemente, ya sea cada semestre, cada trimestre o cada mes. En tales situaciones, conviene analizar, por ejemplo, si existe alguna diferencia entre pagar el 1% mensual y el 12% anual. Para analizar si existe realmente diferencia, suponga que usted necesita $1,000 y ha recurrido al banco a solicitarlos. El banco ha acordado prestárselos a una tasa del 12% anual. Por otra parte, usted conoce a otra persona, la cual le presta la misma cantidad de dinero cobrándole el 1% mensual. Si el plazo que se le da para reponer el dinero es de un año, entonces, usted tendría que pagar a cada parte lo siguiente: Fbanco

= 1000 (1 + .12)* = $1,120.00

Apersona: = 1000 (1 + -OI)12 = $1,126.80 como se puede observar, aceptar el dinero al 12% anual resulta más conveniente.- Este resultado no es nada sorprendente, puesto que al cobrarse los intereses en base mensual, es obvio que se acumularán más intereses, ya que cuando el interés que se cobra es com­ puesto, los intereses generados a su vez producen más intereses. Del ejemplo anterior se puede concluir que el 1% mensual no equivale al 12% anual. Por consiguiente, si quisiéramos determinar el interés efectivo anual al cual equivale el 1^ mensual, tendríamos que hacer el siguiente cálculo: 1,126.80- 1,000

= 12.68%

1,000

-% *

30 Valor del dinero a través del tiempo

Esto significa que la fórmula general para determinar el interés efectivo anual sería: , PO.+r/Mf-P ef~ ’ P (2.10) (2.10) donde: 4/ = interés efectivo anual r = interés nominal anual M = número de períodos en los cuales se divide el año Por ejemplo, el 12% anual sise capitaliza cada semestre, equivale al 12.36% efectivo anual; si se capitaliza cada trimestre, equivale al 12.55% efectivo anual; si se capitaliza cada mes, equivale al 12.68% y así sucesivamente. Sin embargo, si la capitalización es más frecuente aún, el interés efectivo anual no aumenta gran cosa, esto significa que en el caso límite de capitalizar un número infinito de períodos en el año, esto es, continuamente, el interés efectivo anual converge a:

¡ef= Lím ( (1 + r/M/1lr )' - 1

pero Lím (1 +r/M?tlr = e Por consiguiente: \lef = er(2.11) es decir, si el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, entonces, el interés efectivo anual es er - 1. Para finalizar este inciso, conviene puntualizar que siempre el interés a utilizar en un determinado problema, debe corresponder al tamaño del período seleccionado, es decir, si el período es de un semestre, el interés debe ser expresado en forma semestral. También conviene señalar que cuando la capitalización es más frecuente que un año (mensual, tri­ mestral, etc.) y los flujos de efectivo ocurren sólo al final del año, entonces, existen dos alternativas de resolver el problema: 1) seleccionar como período ya sea el mes, trimes­ tre o semestre y la tasa de interés correspondiente, o 2) seleccionar como período un año y utilizar el interés efectivo anual. Cuando son flujos únicos es indistinto usar cualquiera de las dos alternativas, sin embargo, cuando se están manejando series uniformes de flujos de efectivo, conviene utilizar la segunda alternativa.

Interés real 31 2.5 INTERES REAL Existen en la práctica ciertos problemas en los cuales se nos asegura que nos van a cargar una cierta tasa de interés. Los problemas más comunes de este tipo son las compras que se hacen a crédito, los préstamos bancarios, etc. Sin embargo, muy probablemente en la mayoría de estas transacciones el interés real es mucho mayor al que supuestamente se nos está cobrando. El concepto de interés real es muy similar al de interés efectivo, de hecho, son equi­ valentes. Sin embargo, cuando hablamos de interés efectivo, normalmente nos referimos a un año, y cuando hablamos de interés real, el tamaño del período puede ser de un mes, un trimestre o un semestre. Lo anterior significa que al interés real también le podemos lla­ mar interés real efectivo. Para comprender mejor este concepto analicemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.8 Una persona ha solicitado al banco un préstamo por la cantidad de $10,000. El ban­ co para este tipo de préstamos otorga un plazo de seis meses a un interés del 1.5% men­ sual. Si la persona recibe $10,000 menos los intereses generados por el préstamo, ¿cuál es el interés real mensual en esta transacción? Primeramente se va a determinar la cantidad neta de dinero que esta persona recibe: Pz 10,0^

P= 10,000 - (10,000 (1 + .015)6 - 10,000)

C*

P = 9,066

) . S. V . rs.-J* I

es decir, la persona va a recibir $9,066 a cambio de pagar $10,000 dentro de seis meses. Lo anterior significa que el interés real mensual en este préstamo, sería la tasa de interés que hace $9,066 igual a $10,000 dentro de seis meses, esto es: 9,066(1 +z^)6 =10,000 y despejando iR encontramos: io,oou Ln

9,066 n

)-1 = 1.65%

Por consiguiente, el interés real de este préstamo es de 1.65% mensual, el cual equivale a 21.70% anual efectivo. Además, conviene señalar que 1.65% representa también el inte­ rés efectivo mensual, es decir, en este caso es indistinto usar el término interes real men­ sual o interés efectivo mensual. La razón por la cual el interés real resultó mayor que 1.5%, estriba en el hecho de que los intereses se están calculando sobre una cantidad mayor a la que estamos recibien­ do, y además se están cobrando por adelantado. Ejemplo 2.9 Un alto ejecutivo desea comprar un automóvil que vaya de acuerdo con el nivel je­ rárquico que ocupa. Para esto ya se ha decidido por un “Century Limited” modelo 1985,

32 Valor del dinero a través del tiempo

el cual cuesta $5.000,000. Las condiciones de pago son dar el 20% de enganche y el resto a 36 meses. Si el banco le financia el 80% del valor del automóvil y le cobra un 2.6% glo­ bal mensual y le determina el tamaño de los pagos mensuales de la siguiente manera:

Mensualidad =

4,000,000 + 4,000,000 (.026) (36) 36

= 215,111

¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento? El interés real mensual en esta operación sería la tasa de interés que iguala el valor presente de 36 mensualidades de $215,111, con el valor del financiamiento de $4,000,000, esto es: 4,000,000 = 215,111 (P/A, iR%,36) y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 4.13%. Lo anterior significa que si se acepta el financiamiento del banco, el interés real mensual sería de 4.13% y el efec­ tivo anual de 62.52%/ Ejemplo 2.10 Una persona planea casarse dentro de cuatro meses. Su principal preocupación por el momento es comprar lo más indispensable para la casa, como lo son: la estufa, el come­ dor, el refrigerador, la sala y la recámara. Específicamente esta persona está interesada en comprar una recámara modelo “provenzal delicias”, la cual está marcada a un precio de $30,000. Sin embargo, ésta persona tiene dos opciones para comprar dicha recámara: 1) comprarla de contado a un precio de $18,000, o 2) comprarla a crédito (12 pagos men­ suales) a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si esta persona compra la recámara a cré­ dito, ¿cuál sería el interés real mensual? Antes de evaluar el interés real mensual, primero es necesario determinar la magni­ tud de cada pago mensual para la alternativa de comprar a crédito. Tal mensualidad la mueblería la calcula de la manera siguiente: 30,000 + 30,000 (.015) (12)

= 2,950

12 Por consiguiente, el interés real mensual en esta transacción, sería la tasa de interés que iguala el valor presente de doce mensualidades de tamaño $2,950 con el valor de contado el cual es de $18,000, esto es: 18,000 = 2,950 (P/A, iR%, 12) y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 12.3%. Esto significa que si la re­ cámara se compra a crédito, el interés real mensual sería de 12.3% y el efectivo anual de 302%. Existen básicamente dos razones por las cuales el interés real en este ejemplo es excesivamente alto: 1) primeramente, los intereses se obtienen a partir del precio a crédi-

Fórmulas de equivalencia 33 to (S 30,000) y 2) los intereses generados en el futuro (próximos 12 meses) se están su­ mando como si estuvieran en el mismo punto del tiempo. Los dos ejemplos anteriores muestran claramente la importancia de manejar bien estos conceptos, puesto que de esta manera se podrán tomar mejores decisiones en la compra de activos a crédito, es decir, se podrán encoger mejorías fuentes de financiamiento (más baratas) con las cuales se adquirirán los activos.

2.6 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES COMPUESTO CONTINUO Puesto que generalmente las transacciones monetarias dentro de una empresa ocu­ rren diariamente, y el dinero normalmente se pone a trabajar inmediatamente después de que se recibe, vale la pena desarrollar fórmulas de equivalencia en las cuales se considere que el interés compuesto es capitalizado continuamente. Por consiguiente, en esta sección se van a desarrollar las mismas fórmulas presentadas anteriormente, pero asumiendo una capitalización continua.

2.6.1 Flujos de efectivo únicos Para determinar la fórmula de equivalencia que relaciona un valor presente P con un valor futuro F, cuando el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, los intere­ ses generados a cada instante deben ser agregados al principal (P) al final de cada infinitesi­ mal período de interés, esto es, si la capitalización es anual, el valor futuro sería: F = P(1 +r)n si la capitalización es semestral, el valor futuro sería: F=P(1 +r/2')2n si la capitalización es mensual, el valor futuro sería:

F = P(1 + r/12)12"

y si la capitalización es continua, el valor futuro sería: F= Lím P(1 + r¡Mfn

pero rearreglando términos tenemos:

34 Valor del dinero a través del tiempo y como

Lím (1 4- r/M^^r = é entonces, el valor futuro se obtiene con la siguiente expresión: F=Pern

(2.12)

y al factor resultante Z" comúnmente se le representa por(F/P, r%, rí). La ecuación (2.12) también se puede representar como: P=

(2-13)

en la cual se trata de obtener el valor presente dado que se conoce el valor futuro. Al fac­ tor resultante e~rn se le denota por (P/F, r%, rí).

Ejemplo 2.11 En países con altas tasas de inflación como Bolivia, donde se han llegado a padecer inflaciones del 30,000% anual, se puede considerar para propósitos prácticos, que la capi­ talización es continua, ya que los precios de los bienes y de los servicios suben casi a cada momento. Si se asume que la inflación en este país es de .5% cada seis horas, y un automó­ vil mediano cuesta $20,000,000, ¿cuánto costará dicho automóvil dentro de un año? Puesto que la tasa de inflación cada seis horas es de .5%, entonces, la tasa anual no­ minal es de 730% y usando la ecuación (2.12) el valor del coche sería: F = 20,000,000 e(7J) = 29,606 millones 2.6.2 Series uniformes de flujos de efectivo 2.6.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo Siguiendo el mismo razonamiento presentado en las secciones anteriores, la suma acumulada al final del año n, se puede obtener al sumar las equivalencias de cada una de las A ’s en el año n, es decir: F=A (1 +er 4-e2r + . .. + e(n“1)r) la cual se reduce a: (

■)

Z-l ó F = A (F/A, r%, rí)

(2.14)

Fórmulas de equivalencia 35 también la ecuación (2.14) puede ser expresada en la forma:

A = F (—~ 1 )

(2.15)

ó A = F (A/F, r%, n) Ejemplo 2.12 Seis depósitos semestrales iguales de S 10.000 son hechos en t = 0, 1,2, 3, 4 y 5 en una cuenta que paga el 40% anual capitalizable continuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $%ení = 8yr=ll.Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros? De acuerdo con la figura que se presenta a continuación y aplicando las ecuaciones (2.12), (2.13) y (2.14) se obtiene:

i i $x 0

2

1

3

4

5

6

7

♦

i

8

i---------------

9

10

11

v

o

A- SI 0,0.00 10,000 (F/p. 20%, 5) + 10,000 (F/A. 20%, 5) = X (P/F, 20%, 3) + X (P/F, 20%, 6) y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B se obtiene: 10,000(2.7183)+ 10,000(7.7609) = X (.5488) +X(.3012) X = 104,792 .8498 X = $123,314^2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo La equivalencia en el tiempo cero de una serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener siguiendo la misma lógica del inciso anterior, es decir, sumando las equi­ valencias en el tiempo cero de cada una de las A ’s, esto es: P = A (e~r + e"2r + . . . +e“Mr) la cual se reduce a. (2-16)

36 Valor del dinero a través del tiempo

ó P — A (P/A, r%, n) la ecuación (2.16) también se puede expresar como:

A = P( g'~-l -) 1 „-rn

(2.17)

ó A =P (A/P, r%, ri) Ejemplo 2.13 ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual ca­ pitalizadle continuamente, si se quieren hacer 5 retiros anuales iguales de $100,000, em­ pezando dos años después de hacer el depósito? El diagrama de flujo de efectivo de este ejemplo se presenta a continuación:

A =100,000 ib

1

‘iL

i

>

2

M

i

5

6

F

P =? De acuerdo con esta figura y aplicando las»ecuaciones (2.12) y (2.16), se obtiene: P = 100,000 (P/A, 30%, 5) (P/F, 30%, 1) y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: P = 100,000 (2.2205) (.7408) = $164,490 Ejemplo 2.14 Considere una tasa nominal anual de $300% y que un refrigerador cuesta $500,000. ¿De qué tamaño serían 3 anualidades iguales que saldaran dicha cantidad? Utilizando la ecuación (2.17) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene: A = 500,000 M/P, 300%, 3) A = 500.000 [(e3 - 1)/(1 - e-9)] A = $9,543,723

Fórmulas de equivalencia 37 2.6.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos

2.6.3.1 Gradientes aritméticos De acuerdo a las figuras 2.4 y 2.5 y a la ecuación (2.14), la cantidad A2 se puede determinar por medio de la siguiente expresión:

A2=g( (F/A, r%, n - 1)4- (F/A, r%,n-2)+...+ (F/A, r%, 1) ) (A/F, r%,«)

la cual se reduce a: (2.18)

A 2 = g(A/g, r%, n) Ejemplo 2.15 ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta que paga el 30% anual capitalizable. continuamente, si se requiere hacer 5 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de $20,000 y a partir del segundo los retiros aumentan a una razón constante de $5,000. Utilizando las ecuaciones (2.16) y (2.18) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene: P = [20,000 + 5,000 (X/g, 30%, 5)] (P/X, 30%, 5) y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: P = [20,000 + 5,000 (1.4222)] (2.2205) P = $60,200 2.6.3.2 Gradientes geométricos

vo

De acuerdo a la figura 2.6 y a la ecuación (2.13) y suponiendo que el flujo de efecti­ período se puede expresar como:

38 Valor del dinero a través del tiempo

AK=Ax(\+¡'f 1

para K= 1,2,3,... n

el valor presente de estos flujos de efectivo vendría dado por la siguiente expresión: nA P=s K=1 ó p__

i - 2 ( 1 +¡ )K er (1 +/) K=i

la cual se reduce a:

(2-19) o

P = AX (P/A, r%fj%f n) Ejemplo 2.16 Una persona ha depositado 5100,000 en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 5 retiros que crezcan a una razón de 15% anual, ¿cuál sería el tamaño del primer retiro, de tal modo que al hacer el quinto se agote la cuenta? Utilizando la ecuación (2.19) y la información presentada en el ejemplo, se tiene: A = 100,000 1 (P/^,

30%, 15%, 5)

y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene: 100,000 = 536,258 2.7580 2.7 FORMULAS DE EQUIVALENCIA SUPONIENDO QUE LOS FLUJOS DE EFECTIVO SON A TRAVES DEL PERIODO En las secciones anteriores se suponía que los flujos de efectivo ocurrían al final del período. Sin embargo, es muy probable que en algunos casos el dinero fluya a través del pe­ ríodo. Por consiguiente, en algunas ocasiones es conveniente suponer que el dinero fluye continuamente a través del período a una razón constante. En tales situaciones, en vez de tener una serie uniforme de flujos de efectivo discretos de magnitud A, se va a tener un flujo A, el cual fluye uniforme y continuamente a través del período de tiempo dado.

Fórmulas de equivalencia 39 2.7.1 Valor presente de un flujo de fondos

Para determinar la fórmula de equivalencia que determina el valor presente de una serie uniforme de flujos de fondos, vamos a analizar el comportamiento del valor presente a medida que se desparrama el flujo a través del período, esto es, primero se va a determi­ nar, por ejemplo, el valor presente de gastar (recibir) A pesos al final del año durante n años si el interés nominal anual es r. Tal valor presente viene dado por:

P=A

r(l+r)"

Ahora, si en lugar de gastar (recibir) A pesos al final del año gastamos (recibimos) X/2 al final de cada semestre (durante n años), entonces, el valor presente sería: ( G + r/2)^w— 1 )

P=

2

-y 0 + r/2)2"

y si por otra parte se gasta (se recibe) >1/4 pesos al final de cada trimestre (durante n años), entonces, el valor presente sería: A ( (1 +r/4)4n - 1 4

— (l+r/4)4” 4

Es obvio que la expresión anterior a medida que se desparrama más el flujo durante el año, más se aproxima a un valor límite. Este límite se alcanza precisamente cuando el número de períodos en el año es infinito, es decir, cuando el flujo de efectivo fluye a través del año. El valor presente en tal situación sería:

A^(X+r!Mfn-l M

-L (1 + r/Mfn

rearreglando la expresión anterior encontramos: (ji+r/w)M/ry/2 -1 P — A ( >--------------- ------------ ) r ((1 la cual se reduce a:

P=Z(

r ¿n

)

(2.20)

40 Valor del dinero a través del tiempo ó P = A (P/A, r%, rí) es importante señalar que la ecuación (2.20) aunque se desarrolló suponiendo que los pe ríodos son de un año, también se puede aplicar a casos en los cuales el período sea menor que un año. Lo importante en la aplicación de esta fórmula es suponer que el flujo será a través del período. Por ejemplo, si A es el flujo que fluye a través de un semestre, enton­ ces, r sería el interés nominal semestral. Por otra parte, la ecuación (2.20) también puede ser expresada en la forma siguiente:

(2.21) O

Á=P(A/P, r%, n) Ejemplo 2.17 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año durante 5 años y que crece a una razón de 30% anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer año es de $25,000 y la tasa de interés nominal anual es de 25%. Utilizando la ecuación (2.20) para el flujo del primer año, se tiene: P = 25,OOO(P//4,25%, 1) y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice C, se obtiene: P = 25,000 (.8848) = $22,120 Lo anterior significa que el flujo de fondos original, se transforma en un flujo de efectivo que se comporta de acuerdo con un gradiente geométrico, que crece a una razón anual de 30%. En forma gráfica, el flujo de efectivo resultante, sería como el que se muestra a con­ tinuación:

Fórmulas de equivalencia 41 Por consiguiente, si se aplica la ecuación (2.19). el valor presente de dicho flujo sería: P = 22,120 + 28,756(PM. 25%. 30%. 4)

y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B. se obtiene: P = 22.120 + 28.756 (3.1738) P = SI 13.386

2.7.2 Valor futuro de un flujo de fondos Siguiendo el mismo razonamiento que en el inciso anterior, el valor futuro de una serie uniforme de flujo de fondos que ocurren durante n períodos, vendría dado por la expresión: F = Lím ( 0 + r¡Mfn - 1 Mv r/M

y rearreglando la expresión anterior encontramos: Lím ~A ( Ld M—

-1

}

r

la cual se reduce a:

(2.22) ó F = A (F¡A, r%, rt)

Por otra parte la ecuación (2.22) también puede ser expresada como:

A=F( ern -1

(2.23)

42 Valor del dinero a través del tiempo ó A = F(A/Ff r%, n) Finalmente, conviene señalar que aunque interés compuesto continuo y flujos de fondos representan más de cerca las transacciones que ocurren en una empresa, estos con­ ceptos no han sido ampliamente aceptados por los analistas encargados de evaluar proyec­ tos de inversión.

Ejemplo 2.18

¿Cuál es el valor futuro de gastar $100,000, $120,000, $140,000, $160,000 y $180,000 en t - 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente si los desembolsos se hacen a través del período, y la tasa de interés nominal anual es de 20%. Utilizando la ecuación (2.22) para un período de un año. el flujo de efectivo origi­ nal se transforma en un flujo con gradiente aritmético, como el que se muestra a conti­ nuación:

Lo anterior significa que ahora se tiene un flujo de efectivo con gradiente aritmético de $22,140, y por consiguiente, el valor futuro será: F = [110,700 4- (22,140) (Ajg, 20%, 5)] (FM/20%,5) y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene: F = [110.700 + (22,140) (1.6068)] (7.7609)

\---------- -^4 - - -

Problemas 43

PROBLEMAS

ZÍ 2.2 2.3 2.4

/

2^ 2.6 ■2

2.7

2.8 / 2.9

l/ 2.10

2.11 2.12 2.13

Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan $1,000 anuales durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depóto se hizo al final del año 1 ? ¿Qué cantidad es, necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 10% para acumular al final del quinto año $ 10,000? ¿Cuál es el interés que se gana en un proyecto que requiere de una inversión inicial de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años? ¿Cuál es el tamaño de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, y las condiciones.de pago son 10% de enganche y el resto se reparte por igual en mensualidades y anualidades? ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en duplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual? Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en el ITESM. Las carreras en este Instituto duran normalmente 8 semestres, y la cole­ giatura semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación a una razón del 10% semestral. Para lograr este objetivo, el padre de familia pien­ sa ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo ani­ versario del nacimiento de su hijo. Si la cuenta de ahorros paga un 15% anual, y el primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del año 18; ¿z) ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en la cuenta de ahorros, de tal modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuenta? b) ¿De qué tamaño debe ser,el primer depósito, si las cantidades que se depositan cada año pueden crecer a una razón constante de $5,000? Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va dismi­ nuyendo a una razón constante de $500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $10,000 y el último de $5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual, ¿de qué magnitud debe ser un depósito anual constante du­ rante el mismo tiempo, de tal modo que la cantidad acumulada sea la misma? ¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual, de modo que se puedan retirar $700 al final del año 1, $1,500 al final del año 3 y $2,000 al final del año 5, y la cuenta quede agotada? Una persona deposita en una cuenta de ahorros $10,000 anuales durante 5 años, al final de los cuales la mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, $20,000 anuales son depositados en la misma cuenta durante 5 años más, siendo el saldo acumulado retirado a¡ final del año 15. Si en la cuenta de ahorros se gana un 10% anual, ¿qué cantidad sería retirada: a) al final del quinto año;Z?) al final del año 15? Una deuda por valor de SX es contraída en t = 0. Si el interés que se cobra es de 10%, y los pagos que se acordaron hacer son de $5,000, $4,000, $3,000, $2,000 y $ 1,000 ení = 6,7,8,9y 10 respectivamente, determine el valor de $^f. ¿Cuál es el interés efectivo de una tasa de interés de 18% anual si se capitaliza: a) anualmente, Z?) sem&stralmente, c) mensu^lmente y d) continuamente? Si se hacen depósitos anuales de $1,000 durante 5 años, en una cuenta de ahorros que paga el 5% semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al final del año 5? Una persona desea recibir $1,000 al final de cada uno de los próximos cuatro tri-

44 Valor del dinero a través del tiempo

2/14

1|2

2.15

4^fc-^2.16

i o '&'*-* ■

2.17

2.18

mestres. Si la cuenta de ahorros paga un 8% anual capitalizable cada trimestre, ¿cuál es el depósito inicial requerido? Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una tasa interés de 10% anual capitalizable cada trimestre, el cual piensa pagar en 10 pagos semestrales iguales. Si el primer pago se hace un año después de conseguir el préstamo, ¿cuál sería la magnitud de estos pagos? ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual capitalizable cada semestre? Una* persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancada que le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al mo­ mento de recibir el préstamo, ¿cuál sería eltamaño de estas anualidades? Después de haber analizado los intereses reales que se cobran en diferentes esta­ blecimientos comerciales, una persona ha decidido dedicarse a prestamista. Para ello, va a establecer la compañía llamada “El Ultimo Recurso”. En esta compañía, la forma de operar es la siguiente: Cuando una persona solicite un préstamo de $P, esta cantidad será transladada al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la expresión: F — P (F/P, 10%, ri). Posteriormente, para determinar el tamaño de los pagos anuales, la cantidad F es dividida entre el número de años que abarca el préstamo. Si una persona solicita a esta compañía un préstamo de $P a un plazo de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esta transacción? Una persona obtuvo un préstamo de $5,000 a un plazo de 3 años, y a una tasa de interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron como sigue: Intereses = 5,000 (F/P, 15%, 3) - 5,000 = 2*,605 y fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la canti­ dad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés real anual que se va a pagar en este préstamo? Una persona ha solicitado un préstamo de $100,000 para comprar un automóvil. Ella desea pagar este préstamo en 36 mensualidades iguales. Si la agencia prestamis­ ta cobra un 2% mensual y determina el tamaño de los pagos mensuales de la si­ guiente manera: Mensualidad = 10°.°0° + 100.0°° ( °2) 36 _¿„8 36

/ /¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financia/ miento? 2/20 Cuatro depósitos trimestrales iguales de $1,000 son hechos en í = 0, 1,2 y 3 (los períodos son trimestres) en una cuenta que paga el 10% anual capitalizable conti­ nuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $X en t = 5 y r = 10. Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros? 2.21 Depósitos semestrales de $500 son hechos en una cuenta que paga el 12% anual capitalizable continuamente. ¿Cuál sería el valor acumulado en esta cuenta des­ pués de hacer 10 d.epósito£?

(J r

{/>r -

(

Problemas 45 2.22 ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual capitalizable continuamente, si se quieren hacer 10 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de $1,000 y a partir del segundo, los retiros aumentan a una ra­ zón constante de $500. 2.23

Una persona ha depositado $10,000 en una cuenta de ahorros que paga elk^5%^ anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 10 re­ tiros que crezcan a una razón de ip%jínual, ¿cuál sería el tamaño del primer reti­ ro, de tal modo que al hacer el décimo se agote la cuenta?

2.24 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año duran­ te 5 años y que crece a una razón del 20% anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer año es de $5.000 y la tasa de interés nominal anual es de 10%. 2.25 ¿Cuál es el valor futuro de gastar $10,000, $15,000 y $20,000 en t = 1,3 y 5 resr pectivamente, si los desembolsos se hacen a través del período, y la tasa de interés nominal anual es de 15%? 2.26 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine el factor (P/gf i%, n).

g s

A

n

3

"T

2.21 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determínelos factores (/%4, i %, nx) y (F/A, i%, nx).

A

X

Nota: X es un número entero mayor que 1.

A

A

A

46 Valor del dinero a través del tiempo 2.28 2.29 2.30

Resolver el problema 2.26 suponiendo que: a) la capitalización es continua y ¿>) los flujos de efectivo son a través del período. Resolver el problema 2.27 suponiendo que la capitalización es continua. Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (A/g, í%, nx) y (A/g, r%, nx).

8

g

l

x

g

A X 2X 3X «X

(n - 1)X nX

t

3 Método del valor anual equivalente

El concepto del valor del dinero a través del tiempo introducido en capítulos ante­ riores, revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes-a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades equivalentes: • Método del valor anual equivalente ' • Método del valor presente • Método de la tasa interna de rendimiento Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es ana­ lizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, de las preferencias del analista y, de cuál arroja los resultados en una forma que sea fácil­ mente comprendida por las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones. De los tres métodos mencionados, en este capítulo se discutirá y analizará el mé­ todo del valor anual. En el capítulo, primeramente se explica el significado e interpreta- ' ción del método del valor anual cuandc éste se aplica al análisis y evaluación de un proyecto individual. Posteriormente, en el capítulo se muestra cómo aplicar el método del valor anu^l cuando: 1) Los ingresos y gastos de las alternativas son conocidos; 2) Solamente los gastos de cada alternativa son conocidos; y 3) Las vidas de las alternativas son diferentes. Finalmente, en el capítulo se muestra el proceso de selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas y, cómo analizar proyectos de inversión de vida infinita. Por otra parte, cabe hacer la aclaración que los análisis mostrados en este capítulo son aqtes de impuestos. El efecto de los impuestos en estudios económicos será tratado en capítulos subsiguientes.

3.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL /

Con el método del valor anual equivalente, todos los ingresos y gastos que ocurren durante un período son convertidos a una anualidad equivalente (uniformé). Cuando di47

48 Método del valor anual equivalente cha anualidades positiva, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado. Este método es muy popular porque la mayoría de los ingresos y gastos que origina un proyecto son medidos en bases anuales. Esta característica hace al método más fácil de aplicar y de entender que los otros métodos mencionados. Para comprender mejor la mecánica de este método, suponga que usted.está intere­ sado en comprar una computadora /7P-3000 con la cual se podría proporcionar servicios de consultoría a la pequeña y mediana industria. Tales servicios podrían ser: nómina, mo­ vimientos de personal, facturación, distribución, inventarios, etc. También, asuma que investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente información: la computadora ya instalada cuesta un millón de pesos y su valor de rescate después de 5 años de uso intensivo se considera despreciable, y el mercado para éste nego­ cio es tal que la utilidad proyectada en los próximos 5 años es de $400,000/año. Final­ mente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria la cual le cobrará una tasa de interés anual de 20% y le exige devolver el préstamo en 5 anualidades iguales. Para esta información, el método del valor anual equivalente sugiere transformar todos los flujos que origina este proyecto (ver figura 3.1) a una base anual. Por consiguiente, el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al b““:

IM;,;1; ílWKOtoW A = 400,000 - 1,000,000 (A/p, 20%, 5) A = 400,000 - 1,000,000(33438) A = $65,620 1

Puesto que la anualidad equivalente es positiva, entonces, vale la pena emprender este pro-

FIGURA 3.1. Flujo de efectivo que resulta de la adquisición de una computadora HP-3000. El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés/ el costo de capital (costo ponderado de las fuentes de financiamiento utilizadas para financiar los proyectos de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las utilidades proyec­ tadas en lugar de ser de $400,000 anuales sean de $340,000. Con la información modifi­ cada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de

Selección de alternativas 49 utilidad es demasiado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insufi­ ciente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva), pero utilizando como tasa de interés, una tasa mayor que el costo de capital y a la cual se le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta manera, no existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el caso crítico de tener un proyecto con una anualidad de cero, significaría que el rendimiento obtenido es exactamente igual al mínimo requerido. Además, el utilizar como valor de z la TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden con­ siderar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) La disponibilidad de dinero de la empresa; y 3) La tasa de inflación prevaleciente en la eco­ nomía nacional. -—, Para finalizar esta sección, se muestran a continuación las fórmulas generales que se pueden utilizar para determinar la anualidad equivalente de un proyecto de inversión:

A = -p(A/p, i°/o, n) +

(A/p, iX.n) + F\A/F, i%, n) (3.1)

(1 + 0f donde: A = Anualidad equivalente. p = Inversión inicial. = Flujo de efectivo neto del año £ F = Valor de rescate. n = Número de años de vida del proyecto. i = Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA). También, la fórmula (3.1) puede ser presentada de otra forma, si se hace uso de la identidad (A/p, i%, n) = (A/F, i%, n) + Z%

(3.2)

y si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, la ecuación (3.1) se transforma en: , A = S — {(p-F) (A/p, i°/o, ri) + F(z%)}

(3.3)

3.2 SELECCION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas formas, es decir, puede ser que de las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien pueden ser que las vidas de las alterna­ tivas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos. 3.2.1 Los ingresos y gastos son conocidos Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, la alternativa seleccionada será aquella que tenga el mayor valor anual equivalente (siem­

50 Método del valor anual equivalente pre y cuando esta anualidad sea positiva). Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de compu­ tadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La información para cada alternativa se muestra en la tabla 3-1. También, considere que pa­ ra comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor de TREMA de 25%. Para esta información, y aplicando la ecuación (3.3), las anualidades que se obtienen para cada alter­ nativa son: \ ah p

y APw

y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada. V

TABLA 3-1. Flujos de efectivo para las dos computadoras consideradas (miles de pesos). HP - 300*0 Inversión inicial Ingresos anuales Gastos anuales Valor de rescate Vida

-$1,000 700_ W 300 5 años

Honeywell 4080 -$1,500 _700^ 100 300 w 5 años

11

Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se ana­ lizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales casos, la decisión a tomar es “no hacer nada”, es decir, se deberán rechazar todas las alter­ nativas disponibles. 3.2.2 jotamente los gastos son conocidos Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con diferentes precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas corta­ doras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas en base a sus costos relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema producirá el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación sola­

Selección de alternativas 51 mente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos y comparar las alternativas en base al valor absoluto de los costos. Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analice­ mos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que Industrias Tuck, S. A., para efec­ tos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos de los posibles proveedores (Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resul­ tados mostrados en la tabla 3-2. También, suponga que la empresa utiliza una TREMA de 25%para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecua­ ción (3.3), los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son:

1’5) = 0 y puesto que la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es 12.37%, en­ tonces el incremento en la inversión no se justifica, y el mejor proyecto es el A.

PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO La mayoría de las propuestas de inversión que son analizadas en una empresa, con­ sisten de un desembolso inicial, o una serie de desembolsos iniciales, seguidos por una serie de ingresos positivos. Para estas situaciones, como más adelante se verá, la existencia de una sola tasa interna de rendimiento facilita grandemente el proceso de toma de deci­

Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento 81 siones. Sin embargo, no todas las propuestas de inversión generan flujos de efectivo de este tipo. Para algunas propuestas, los desembolsos requeridos no están restringidos a los primeros períodos de vida de la inversión. Por consiguiente, es posible que en los flujos de efectivo netos existan varios cambios de signo. Para estos casos, es posible que la propuesta presente el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Es indudable que la discusión de proyectos con tasas múltiples de rendimiento, aumentará el entendimiento que se tiene del método de la TIR. Por consiguiente, en esta sección del capítulo se describe y explica un método que se recomienda usar cuando la propuesta posee múltiples tasas de rendimiento.

5.5 PROYECTOS SIN TASAS DE RENDIMIENTO Se debe de reconocer que existen algunos proyectos para los cuales no existe tasa interna de rendimiento. El ejemplo común de esta situación se presenta en los casos en que el flujo de efectivo está formado en su totalidad, ya sea por ingresos o egresos. Generalmente, los casos más comunes de este tipo son los proyectos para los cuales se conocen solamente los egresos. Para este caso, no es posible determinar la tasa interna de rendimiento de cada proyecto en forma individual. Sin embargo, como ya se explicó anteriormente, sí es posible aplicar el método de la TIR en una forma incremental aLanálisis y evaluación de proyectos mutuamente exclusivos donde solamente los gastos son conocidos.

5.6 PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Porque es deseable y fácil de analizar las propuestas con una sola tasa interna de rendimiento, es necesario conocer las condiciones que se tienen que cumplir para que se garantice la existencia de una sola tasa de rendimiento. Se puede decir por norma general, que toda propuesta de inversión cuyos desembolsos ocurran en los primeros períodós'de su vida, y los ingresos en los períodos posteriores, y además se cumpla que la suma'abso­ luta de los ingresos es mayor que la suma absoluta de los egresos, tendrá una función de valor presente similar a la presentada en la figura 5.2, es decir, la propuesta tendría una sola tasa interna de rendimiento. La tabla 5-3 muestra los flujos de efectivos de dos propuestas (A y B) quesí cumplen con las condiciones anteriores y dos propuestas (C y D) que no las cumplen. Para la pro­ puesta A la suma de los ingresos ($ 15,000) es mayor que la suma de los egresos($5,000) y para la propuesta B también los ingresos ($6,000) exceden a los egresos ($3,500). Para estas propuestas sí se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Sin embargo, para las propuestasCy D es posible que sus funciones de valor presente sean di­ ferentes a la mostrada en la figura 5.2.

5.7 PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO Para la toma de decisiones, los proyectos con una sola tasa interna de rendimiento son muchu más fáciles de manejar que los proyectos con tasas múltiples de rendimiento. Cuando se tienen varias tasas de rendimiento surgen preguntas tales como: ¿Cuál tasa de

82 Método de la tasa interna de rendimiento TABLA 5-3. Proyectos con diferentes comportamientos de flujos de efectivo. Año

0 1 2 3 4 5

Propuesta A

Propuesta B

Propuesta C

-$5,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

-$2,000 - 1,000 500 1,500 2,000 2,500

-$10,000 5,000 6,000 - 15,000 8,000 10,000

Propuesta D

-$3,000 0 4,000 0 - 5,000 8,000

rendimiento es la correcta? O ¿son aplicables las reglas de decisión para la selección de pro­ yectos cuando se presentan tasas múltiples de rendimiento? La respuesta a estas preguntas se comprenderá mejor cuando se analice el método de James C. T. Mao. ' Para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento, a continuación se muestra la expresión para evaluar el valor presente de la propuesta C mostrada en la tabla 5-3. VPN = - 10.000 +

5,000

6,000

(I + í)

(1 +/)2

y sustituyendo X = 1/(1 4- i) en la ecuación anterior, se obtiene: -10,000 4- 5.000% 4- 6.000%2

15,000%3 4- 8,000%4 4- 10,000%5 = 0

Para este polinomio es posible que existan 5 raíces que satisfagan la ecuación. El número de raíces reales positivas (%) es igual al número de tasas múltiples de rendimiento que tiene la propuesta de inversión. Sin embargo, la pregunta que surge en este momento es: ¿Cuál es el efecto del comportamiento del flujo de efectivo de la propuesta en el número de tasas internas de rendimiento? Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento, es la regla de los signos de Descartes para un polinomio de grado Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado n, con coeficientes reales, no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la sucesión de sus coeficientes, en caso de que el número de tales raíces sea menor, la dife­ rencia será un número par. Por ejemplo, para las propuestas A y B de la tabla 5-3, la regla de los signos indica que no existe más de una tasa de rendimiento. En el caso de las propuestas C y D la regla de Descartes nos indica que el número máximo de raíces reales positivas, es tres.

LGORITMO DE JAMES C. T. MAO La aplicación del algoritmo de James C. T. Mao, requiere que los proyectos sean cla­ sificados en ciertas categorías. Esta clasificación permite visualizar más rápidamente a aquellos proyectos que presentan el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. 5.8.1 Clasificación de los proyectos Las inversiones en general pueden ser clasificadas de acuerdo al diagrama mostrado en la figura 5.3. En este diagrama se puede observar que las inversiones pueden ser de dos

Algoritmo de James C. T. Mao 83 tipos: simples y no-simples. En los flujos de efectivo de las inversiones simples, solamente puede haber un cambio de signo. Con esto se garantiza la existencia de una sola tasa interna de rendimiento. Por el contrario, en los flujos de efectivo de las inversiones no-simples, pueden existir varios cambios de signo. Las inversiones no-simples a su vez se subdividen en dos tipos: inversiones puras e inversiones mixtas. De estos dos tipos de inversiones, las que presentan el problema de tasas múltiples de rendimiento son las inversiones mixtas. Debe ser notado que aunque las inversiones puras tienen varios cambios de signo en sus flujos de efectivo, éstas solamente tienen una sola tasa interna de rendimiento. Simples (una sola TIR)

Inversiones (

Puras (una sola TIR) No-simples < Mixtas (varias TIR’s) FIGURA 5.3. Clasificación de las inversiones.

La distinción entre inversiones simples y no-simples es muy sencilla, basta con de­ terminar el número de cambios de signo en el flujo de efectivo de la inversión. Sin em­ bargo, la clasificación de las inversiones no-simples en puras y mixtas es más difícil de visualizar. No obstante esta dificultad se han desarrollado dos criterios que resuelven este problema. Con el primer criterio, una inversión pura está definida como una inversión en la que los saldos no recuperados (ver ecuaciones 5.4 y 5.5) evaluados con la tasa interna de rendimiento de la inversión (/*) son negativos o ceros a través de la vida de la propuesta. Por consiguiente, una inversión espura si,y sólo si,Fr (¿*) 0 para algunos valo­ res de t y Ff(z*) < 0 para el resto. Para inversiones puras sí podemos hablar de su tasa interna de rendimiento, mientras que para las mixtas el rendimiento obtenido tiende a variar con la TREMA de la empresa. Otra forma de clasificar los proyectos es explicada a continuación. Debe ser notado que debido a que la inversión inicial es un desembolso, se puede lograr que cualquier in­ versión satisfaga la condición /y(/‘) < 0 para t = 0, 1,2,. . . , h-1 , al incrementar el valor de j__a algún valor crítico que llamaremos rtJlín. Con este valor de i, puede ser positivo, cero, o negativo. Si > 0’ entonces existe alguna tasa de interés r* (rendimiento sobre el capital invertido) >rtn¡n que hará A^(r*) =0. Puesto quer* entonces /y(r*) < 0 para í=0, 1, 2,. .., h-1 y por lo tanto la inversión es pura. Sin embargo, si (rmín) < 0,existe algunar* 0 para el resto, entonces la in­ versión es mixta. Criterio 2. $ea rmín un valor tal que entonces la inversión es pura Si Fn (rm ) < 0, entonces la inversión es mixta I 5.8.2 Descripción de algoritmo El algoritmo de James C. T. Mao es un procedimiento que se recomienda utilizaren, la evaluación de inversiones no-simples. La descripción de este algoritmo se muestra en la fi­ gura 5.4. En esta figura, se puede observar que el primer paso en la aplicación de este algo­ ritmo es encontrar por tanteos rm^.Con el valor de rmin se evalúa Fn {rmín) y se determina si la inversión es pura o mixta. Si la inversión es pura, el problema de tasas múltiples de rendimiento no existe y la evaluación sería similar a la de las inversiones simples. Por el contrario, si la inversión es mixta es necesario calcular r* (rendimiento sobre el capital invertido) de modo que /^(r*, TREMA) = 0. Si el rendimiento sobre el capital invertido es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado. La diferencia fundamental entre inversiones puras y mixtas estriba en los saldos del proyecto. En las inversiones puras, el saldo no recuperado de la inversión siempre es nega­ tivo, es decir, el proyecto de inversión siempre nos debe y esta deuda se reduce a cero al final de su vida. En las inversiones mixtas, el saldo no recuperado de la inversión puede ser positivo o negativo. Si el saldo es negativo, entonces después de transcurrir un período el proyecto nos deberá una cantidad que depende de r*. Por otra parte, si el saldo es positivo, entonces significa que se dispone de cierta cantidad de dinero que puede ser invertida a una tasa de interés igual a TREMA. Para comprender mejor la lógica de este algoritmo, a continuación una serie de ejem­ plos son presentados.

Algoritmo de James C. T. Mao 85 Paso 1. Encontrar por intento y error rmín. Paso 2. É valuar Fn(rm ín). Paso 3. '¿Es Fn(rmín) > 0? Si la respuesta es afirmativa,entonces el proyecto es una inversión pura y por consiguiente existe una sola tasa interna de rendimiento, la cual deberá ser comparada con TREMA. Si la T1R> TREMA la inver­ sión debe ser aceptada. Por el contrario, si la respuesta es negativa continúe con el paso 4. Paso 4. Calcular los saldos no recuperados del proyecto en la forma siguiente: F¿(r*,TREMA) = Fr.;(l + r*) + K(r*, TREMA) = g + trEMA) +

siFf.; 0

Paso 5. Determine el valor de r* de modo que: F„(r*, TREMA) = 0

sir* > TREMA, entonces el proyecto debe ser aceptado. FIGURA 5.4. Descripción del algoritmo de James C.T. Mao en la evaluación de inversiones no-simples.

Ejemplo 5.5 s&sv Suponga que cierta compañía que usa una TREMA de 25% , se encuentra analizando la deseabilidad económica de una inversión que promete generar la siguiente serie de flu­ jos de efectivo: 0

Ano Flujo de efectivo

-200

100

2

3

4

200

—400

1,000

Puesto que la inversión es no-simple, el primer paso del análisis es determinar si el proyecto es una jnversión pura o una mixta. Para este proyecto, se van a utilizar los cri­ terios que aparecen en la tabla 5-4. De acuerdo al criterio l,se requiere encontrar la tasa de interés que iguala a-cero el valor presente del proyecto: -200 +

100 + 200 (1+í*)

400 (1+í*)2

(1+í*)3

+

1,000

=0

(1+í*)4

y la tasa de interés z* que satisface la ecuación anterior es 58.7%. Con esta tasa interna de rendimiento los saldos no recuperados del proyecto son: Fo (58.7%) = -200 F2 (58.7%) =-145 F4 (58.7%) = 0

F) (58.7%) = -217 4 F3 (58.7%) = -630.2

86 Método de la tasa interna de rendimiento y puesto que Ft (58.7%) 12 como B t y B2 son mutuamente exclusivas. Sin embargo, la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas A i yyl2 es independiente de la selección de cualquier propuesta del conjunto de propuestas Bx y B2-

Generación de alternativas mutuamente exclusivas 131 TABLA 8.1. Alternativas mutuamente exclusivasparatrespropuestasindependientes. Propuestas División 1 División 2 División 3

Alternativas mutuamente exclusivas 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 1

TABLA 8.2. Alternativas mutuamente exclusivas para dos conjuntos independientes de propuestas mutuamente exclusivas. Alternativas mutuamente exclusivas 1 2 3 4 5 6 7. 8 9

División 1 Ai A2

División 2 52

0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0 1

Si las propuestas son contingentes, también es posible agruparlas en un conjunto de alternativas mutuamente exclusivas. Suponga que en una determinada división se generan tres propuestas: A, B y C, donde la propuesta Ces contingente a la aceptación de la pro­ puesta A y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A. La tabla 8.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo de propuestas con las relaciones de contingencia descritas. TABLA 8.3. Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes Alternativas mutuamente exclusivas 1 n 3 4

A 0 1 1 1

Propuestas B C 0 0 0 0 1 0 1 1

132 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto Hasta ahora, los ejemplos que se han explicado son demasiado sencillos. Sin embar­ go, es obvio que en una división existen muchas áreas de inversión (producción, distribu­ ción, mercadotecnia, etc.), y dentro de cada área de inversión pueden existir varias propues­ tas mutuamente exclusivas. Esta nueva situación implica que la enumeración exhaustiva de alternativas mutuamente exclusivas podría ser impráctica y tediosa. Sin embargo, como más adelante se verá, la programación lineal o entera alivian esta gran dificultad. La figura 8.2 muestra en forma de diagrama la situación más general que se podría presentar en una corporación formada por 2 divisiones. Para este caso, es obvio que el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se forman, puede ser obtenido con la siguiente expresión.

donde: Pj . = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área / dentro de la divi­ sión 1. = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área / dentro de la divi­ sión 2. n j = cantidad de áreas de inversión dentro de la división 1. n2 = cantidad de áreas de inversión dentro de la división 2. Para ilustrar la aplicación de la fórmula anterior, suponga que en la división 1 hay 5 áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respecti­ vamente, y en la división 2 hay 4 áreas cada una con 2, 3, 3 y 2 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, entonces, de acuerdo a la fórmula 8.1 el número total de al­ ternativas mutuamente exclusivas sería: N= ( (2 + 1)*(3 + 1) (4 + 1) (2 + 1) (2 + 1) ) ( (2 + 1) (3 + 1) (3 4-1) (2 + 1) ) TV =77,760 Por consiguiente, es claro que un análisis manual de esta cantidad de alternativas sería prácticamente imposible. Además, conviene señalar que el ejemplo ilustrado no es repre­ sentativo de lo que ocurre en una corporación, esto es, generalmente en una corporación existen más divisiones, y dentro de cada división pueden existir una gran cantidad de áreas de inversión. Finalmente, se muestra la fórmula que se utiliza para determinar el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se pueden formar en una corporación que tiene muchas divisiones: /n N - i 7F

ni

7T

V= 1 >1 donde: P¡ j = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la divi­ sión i.

Generación de alternativas mutuamente exclusivas 133

FIGURA 8.2. Generación de alternativas en una corporación.

134 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto n¡ = cantidad de áreas de inversión dentro de la división i. n = cantidad de divisiones. La generación de alternativas mutuamente exclusivas en condiciones limitadas de presupuesto difiere un poco del procedimiento explicado anteriormente. Al igual que an­ tes, todas las posibles combinaciones de propuestas son listadas y los flujos de efectivo de estas alternativas mutuamente exclusivas son determinados. El único procedimiento adi­ cional requerido es la eliminación de todas las alternativas mutuamente exclusivas que requieran más dinero del que se dispone.

8.2 SELECCION ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES Cuando estamos frente a un grupo de muchas áreas de inversión con interrelaciones técnicas dentro de ellas y además limitaciones económicas, se presentan problemas com­ plicados computa cionalmente. Para ilustrar la aplicación de la técnica que considera limitaciones económicas, es necesario formar todas las combinaciones posibles de propuestas tomando en cuenta rela­ ciones técnicas, eliminando aquellas a las cuales los recursos las hagan no factibles, y esco­ giendo aquellas para las que se obtenga mayor valor presente. Ahora por simplicidad, suponga que en una división determinada de la corporación se tienen únicamente dos áreas de inversión, separadas y bien definidas (ver tabla 8.4). Además, suponga de que se disponen de $400,000 para inversiones. Es claramente visible que en el primer grupo de proyectos (área 1), la propuesta P1 4 puede ser descartada, puesto que cuesta $200,000 y rinde $76,000, cuando existe, en la misma área, un equipo que cuesta menos (180,000) y rinde más ($80,000). Las otras propuestas rinden mayor valor presente neto, a mayor costo, lo cual hace posible incluirlas en la formulación. Además, existe la opción “hacer nada” o sea, no tomar nin­ guna propuesta de ese grupo. En la tabla 8.5 se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se pueden generar (todas las alternativas incluyen una propuesta del área obligada) con su costo total y se marcan con un * las alternativas cuyo costo excede el presupuesto total. La mejor alternativa consiste en aceptar la propuesta Pj } j del área 1 y las propues­ tas/^,3 Y^2,3 del área 2. Usualmente el valor presente de la inversión total es el criterio más eficiente y el que más se utiliza para resolver el problema de selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto. Es importante señalar que sería igualmente válido y correcto utilizar alguna otra base de comparación como: anualidad equivalente, valor futuro o tasa interna de rendimiento.

8.3 FORMULACION CON PROGRAMACION ENTERA Muchas corporaciones evalúan la deseabilidad económica de sus propuestas usando métodos tradicionales de presupuestos de capital como el período de recuperación y la tasa interna de rendimiento. Estos métodos tradicionales pueden ser satisfactorios cuando se está analizando un solo proyecto en un punto particular en el tiempo. Sin embargo, estos métodos no son adecuados cuando en la corporación se generan muchas propuestas

Formulación con programación entera 135 TABLA 8.4. Inversión inicial y valor presente neto de cada propuesta.

Area

Propuestas mutuamente exclusivas A,1

1

Pl,2 Pl,3

^1.4 2 (obligada)

P2,l p2,2

*^2,2 p2.3 *^2.3

Inversión inicial

Valor presente neto

$ 150,000 180,000 300,000 200,000

$ 68,000 80,000 137,000 76,000

S 60,000 100,000 20,000 208,000 32,000

- 30,000 20,000 15,000 100,000 28,000

^2,2 y ^2,3 son contingentes a ^2,2 y ^2,3 respectivamente.

de inversión. Las limitaciones en dinero, las interrelaciones técnicas entre las propuestas y las tendencias de crecimiento de cada una de las divisiones que integran la corporación, requiere de la formulación y el desarrollo de un modelo de programación entera. Por con­ siguiente, el objetivo de esta sección es desarrollar un modelo de programación entera que resuelva el problema de selección de propuestas en condiciones económicas limitadas.

8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo Un modelo matemático de programación entera tiene 3 componentes principales: 1) la función objetivo, la cual puede ser maximizada o minimizada; 2) restricciones y 3) condición de no-negatividad de las variables de decisión. En nuestro modelo la condición de no-negatividad se restringe a que las variables de decisión sólo pueden tomar el valor de cero (cuando la propuesta es rechazada) y el valor de 1 (cuando la propuesta es aceptada). La función objetivo puede ser matemáticamente expresada como sigue: • m n T $jkt MAX VPN = X E 2 ------------------- 1 Xfk = l r=0 (i+zy 7=i donde; KR7V = valor presente neto. Sjkt = flujo de efectivo neto del proyecto / en la división k durante el período í. Xjk = variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero cuando el proyec­ to j de la división k es rechazado o un valor de uno cuando el proyecto es aceptado. i = tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA). Por otra parte, las restricciones más comunes que se presentan en este tipo de mode­ los matemáticos son las siguientes:

Alternativas mutuamente exclusivas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Alternativa óptima.

Inversión inicial

Propuestas pl.l

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

P1.2

0 0 0 0 •0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

P1.3

P2,l

P2,2

p1 2, 2

^2,3

1 rP2,

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

3

Valor presente neto

$ 60,000 $- 30,000 20,000 100,000 120,000 35,000 100,000 208,000 240,000 128,000 38,000 210,000 50,000 240,000 107,000 360,000 250,000 88,000 100,000 280,000 400,000 157,000 103.000 270,000 300,000 115,000 172,000 ■ 420,000* 168,000 358,000 180,000 388,000 508,000* 237,000 390,000 196,000* 420,000* 208,000 265,000 540,000*

136 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto

TABLA 8.5. Combinaciones factibles.

Formulación con programación entera 137 A. Restricción financiera nT SX r=0 donde: Ajkt = necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k durante el período t bfct = disponibilidad de capital en la división k durante el período t. Conviene señalar que estas disponibilidades de dinero tendrán que ser pronosticadas. B. Propuestas mutuamente exclusivas Pueden existir propuestas que se consideren mutuamente exclusivas, esto es, la aceptación de una de ellas implica el rechazo del resto. Por ejemplo, suponga que los pro­ yectos 1, 2 y 3 de la división 1 son mutuamente exclusivos, entonces, matemáticamente esta relación puede ser expresada como sigue:

En esta restricción, sólo una de las variables puede tomar el valor de 1 y el resto estarán forzadas a tomar el valor de cero. Además, en esta restricción no se descarta la posibilidad de rechazar todas las propuestas. C. Relaciones de contingencia Existen situaciones en las cuales la aceptación de un proyecto depende de la acepta­ ción previa de otro proyecto al cual se está relacionado. Por ejemplo, no se puede justifi­ car la compra de equipo periférico mientras no se haya comprado una computadora. Para ilustrar la expresión matemática que representa a este tipo de restricción, suponga que el proyecto 1 de la división 1 es contingente al proyecto 2 de la división 1 (el proyecto 1 só­ lo se puede aceptar si el proyecto 2 ha sido aceptado), entonces: -*1,1 +*2?l>0 En esta restricción, no se permite que X^i valga 1 a menos que X2j valga 1. Pero 2,1 puede ser uno con Xy igual a cero. También queda abierta la posibilidad de que tanto Aij como A 2i sean cero. D. Area obligada Es posible que en algunas ocasiones, existan dentro de alguna división “áreas obliga­ das”, esto es, áreas en las cuales es forzoso escoger una propuesta de entre las varias que pertenecen a dicha área. Por ejemplo, suponga que en el área de almacén de producto ter­

138 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto minado se requiera urgentemente comprar un montacargas, el cual agilizaría grandemente el traslado del producto terminado del departamento de inspección y empaque al almacén. Ahora, suponga que en el mercado sólo existen tres tipos de montacargas: el A, el B y el C, entonces, la expresión matemática que representa a este tipo de restricción sería: ^1,1 + ^2,1 + ^3,1 = 1 donde: Xi i X2 1 X$ 1

= comprar el = comprar el = comprar el

montacargas tipo A para la división 1 montacargas tipoB para la división 1 montacargas tipoC para la división 1

E. Restricción de no-negatividad La condición de no-negatividad restringe los valores de las variables de decisión a: cero cuando el proyecto se rechaza o 1 cuando el proyecto se acepta. Lo anterior significa que cada variable de decisión puede tomar sólo dos valores. Sin embargo, si la condición de no-negatividad se expresa en la forma siguiente: 0t > 0 para k = 1,2, . . . n y T= 1, 2. . . T FIGURA 8.3. Modelo matemático de programación entera que considera incrementos en el pasivo e inversiones líquidas.

Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto

m MAX VPN = X

Métodos de selección aproximados 141 8.4.1 Ordenado por tasa interna de rendimiento Bajo esta idea, se procede a escoger dentro de cada área de inversión, la mejor alter­ nativa. En seguida se ordenan las mejores alternativas en orden descendente de acuerdo a su tasa interna de rendimiento y se aceptan propuestas hasta que se agoten las propuestas o se agota el dinero dedicado a inversión. Este método simplificado es muy conocido, y ha recibido muchas simpatías por su sencillez, y también porque casi siempre da unas selecciones bastante buenas si se le com­ bina con un poco de criterio del analista. En pruebas simuladas opera obteniendo selec­ ciones con valores presentes cercanos a los de la selección óptima. Para ilustrar el proceso de selección utilizando este método aproximado, considere que en una determinada división dentro de la corporación se generaron las propuestas mostra­ das en la tabla 8.6. También, suponga que la cantidad de dinero disponible para invertir es de Si000. Bajo estos supuestos en la figura 8.4 se muestra en forma gráfica el ordena­ miento de las propuestas de acuerdo a su tasa interna de rendimiento. Como puede apre­ ciarse en dicha figura, las propuestas que deben ser seleccionadas son de la A a la E. Es obvio que esta selección no es la óptima ya que es preferible ganar un rendimiento del 26% sobre una inversión de $350 (propuesta F) a ganar un rendimiento de 37% sobre una inversión de $100 (propuesta B). Esta es precisamente una de las desventajas teóricas del método de ordenado por tasa interna de rendimiento. En el ejemplo anterior se supuso que el dinero disponible para nuevas inversiones provenía netamente de las utilidades generadas por la división. Sin embargo, es práctica común que todo negocio utilice pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones (la mejor forma de financiarse es con pasivo, siempre y cuando el rendimiento obtenido en TABLA 8.6. Generación de propuestas independientes. Propuesta A E B C D F G Inversión inicial 150 100 300 250 200 350 175 40 37 35 30 28 26 25 TIR (%) las nuevas inversiones sea mayor que el costo del pasivo). Con estas nuevas suposiciones, el proceso de selección sería como se muestra en la figura 8.5. En esta figura se puede ob­ servar que todos los proyectos antes del punto X serían aceptados si el incremento en pasivo permitido es mayor que (X— ¿sUR). Por el contrario, si el incremento en pasivo permisible es muy raquítico, entonces, ciertos proyectos tendrán que ser rechazados a pesar de tener un rendimiento aceptable. Lo anterior es consecuencia del hecho de no poder aumentar el pasivo en forma irracional y desmedida, sino de acuerdo a una cierta estructura financiera previamente establecida. Finalmente conviene señalar que el 1 en el eje de las abscisas puede estar a la izquierda o a la derecha del punto X, dependiendo del incremento en pasivo permitido. A. Asignación de recursos en una corporación formada por dos divisiones El proceso de selección y de asignación de recursos que hasta ahora se ha discutido, corresponden al caso de tener solamente una división. Sin embargo, es conveniente expli­ car cómo se haría el proceso de selección y de asignación de recursos en una corporación

142 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto

FIGURA 8.5. Proceso de selección considerando apalancamiento financiero.

Métodos de selección aproximados 143 formada por dos divisiones. La figura 8.6 ilustra tal procedimiento. En esta figura se ob­ serva que del presupuesto disponible, la proporción OX se deberá asignar a la división 1. También, es posible considerar en este caso incrementar el pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones.

FIGURA 8.6. Asignación de recursos en una corporación formada por 2 divisiones.

B. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones Para el caso de tener una corporación formada por muchas divisiones, el proceso de selección y de asignación de recursos puede realizarse al recopilar las propuestas indepen­ dientes de cada una de las divisiones y ordenarlas en orden descendente de acuerdo a su tasa interna de rendimiento tal como lo muestra la figura 8.7. Para poder hacer la selec­ ción, es necesario determinar el monto real de las utilidades generadas por cada una de las divisiones, así como sus incrementos en pasivos permisibles. Con esta información, el pro­ ceso de selección es similar al descrito en el inciso 8.4.1 para el caso de una división. Una vez realizado el proceso de selección, se determina cuántas y cuáles propuestas se acepta­ ron de cada división, para finalmente determinar la cantidad de recursos que se asignarán a cada división. 8.4.2 Ordenado del valor presente por peso invertido La mecánica de este método es similar al anterior, con la diferencia de que se obtie­ ne la relación de valor presente a inversión requerida para las mejores alternativas dentro íe cada área de inversión, y esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo pri-

144 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto &URj= Incremento en las utilidades retenidas de la división j. = Incremento en el pasivo de la división /. IIk = Inversión inicial requerida por la propuesta k.

i i i _i—

Z &UR¡ í

X

? IIk K. S &URj + S AP;

FIGURA 8.7. Asignación de recursos en una corporación formada por muchas divisiones.

mero a las de mayor índice. Lo anterior significa que tendrán mayor prioridad aquellos proyectos que ofrezcan mayor “ganancia por peso invertido”, y el cómputo es muy simple, más aún que en el ordenado por tasa interna de rendimiento. Este índice no tiene un atractivo intuitivo tan grande como la tasa interna de rendi­ miento, pero en pruebas simuladas opera al menos tan bien como el anterior, y con menos cálculos. En la tabla 8.7 se muestra un ejemplo en el cual se utiliza este método aproximado. Para la solución de este problema se supuso que el dinero disponible para nuevas inversio­ nes es de $400 y que la división cuenta con dos áreas de inversión. Finalmente, es impor­ tante señalar que la solución obtenida con este método es la misma que se hubiera obtenido al utilizar programación entera, es decir, la solución que se obtuvo es la óptima.

8.4.3 Ordenados combinados Ofrecen la ventaja de permitir tres o cuatro ordenamientos y selecciones lo que nos dará, en general, mejores soluciones que en los casos en que se usa un solo índice. Específicamente, se definen varios índices, por ejemplo tasa interna de rendimiento, valor presente por peso invertido o relación beneficio costo (para casos en que haya pro­ yectos con desembolsos netos en más de un período). En seguida, se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes dentro de ca­ da área de inversión para todas las divisiones que integran la corporación. Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto a uno de los índices, intercalándolas a medida que sea necesario. Se empiezan a seleccionar alternativas en su orden de aparición respecto al índice en tumo. Al aceptar una alternativa dentro de una área de inversión, se eliminan todas las otras alternativas dentro de esa área que aparezcan posteriormente. En caso de que algunas alternativas no se puedan aceptar por falta de fondos, se brinca a la siguiente que sí se pueda aceptar. El proceso continúa hasta que se acaben las alternativas o se acabe el dine­ ro. Se anota cuál fue la selección y cuál es la suma de los valores presentes de los proyec­ tos seleccionados.

Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo 145 TABLA 8.7. Ordenado por relación de valor presente a inversión requerida.

Area 2 2• 1 1 1 2 2 2

Propuesta b5 b4 a3 Aí ^2 ¿3

b2 Bí

VPN 128 100 137 68 80 35 20 - 30

Costo 240 208 300 150 180 120 100 60

VPN/Costo 0.533 0.481 0.457 0.453 0.444 0.242 0.200 - 0.500

Decisión A ra

AS A ra ra ra ra

Costo acumulado 240 240 240 390 390 390 390 390

donde: A = Aceptar = Rechazar por falta de dinero R¿ = Rechazar porque otro proyecto de la misma área de inversión ha sido aceptado Decisión recomendada: Aceptar la propuesta y la A j con las cuales se obtiene un valor presente de $196.

El proceso se hace para todos los índices que parezca oportuno y se selecciona aquella alternativa con la cual se maximiza el valor presente. Esta ligera complicación (fácil de hacer manualmente en casi todos los casos) rinde muy buenas selecciones, que en muchos casos coinciden con las obtenidas por medio de la programación entera. Finalmente, es importante señalar los problemas que se pueden presentar cuando una área de inversión es obligada. Para este caso se puede hacer lo siguiente: •

Si las áreas obligatorias tienen alternativas únicas, adoptarlas de antemano (son decisiones ya hechas). • Si las áreas obligatorias tienen varias alternativas, establecer límites al dinero que se pueda gastar antes de seleccionar alguna alternativa del área obligada, de tal modo que el proyecto más pequeño del área se pueda tomar.

8.5 DECISIONES SECUENCIALES vs. DECISIONES EN GRUPO Tanto los modelos de programación entera como los métodos aproximados que fue­ ron presentados en las secciones anteriores, suponen que al tomador de decisiones se le presenta un grupo de proyectos, los cuales están actualmente disponibles o lo estarán en un tiempo específico del futuro. Sin embargo, es obvio que los proyectos aparecen gene­ ralmente en forma secuencia!-. Ante esta discrepancia en el proceso real de generación de

146 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto propuestas, es conveniente analizar qué procedimiento de decisión es más efectivo: deci­ siones secuenciales o decisiones en grupo. Tomar decisiones en forma secuencial a medida que las propuestas de inversión van surgiendo, tiene la ventaja aparente de que no habrá ningún retraso en la aceptación e im­ plantación de propuestas altamente productivas. Por otra parte, tomar decisiones en forma periódica sobre un grupo de propuestas, tiene la ventaja de que el tomador de deci­ siones rechazará aquellas propuestas que no presenten ningún atractivo, sobre todo en el caso de tener fondos limitados para inversión. Una comparación entre estos dos procedimientos de decisión sería un tanto difícil de realizar, ya que esto implicaría pronosticar los resultados que se hubieran logrado con cada uno de ellos. Sin embargo, aparentemente tomar decisiones en forma periódica es más efectivo que hacerlo en forma secuencial. Esta conclusión se deriva del hecho de que al tomar decisiones en forma secuencial, se pueden aceptar propuestas que a pesar de te­ ner un rendimiento superior al mínimo requerido, son peores que otras propuestas que se van a presentar posteriormente. Lo anterior significa, que una propuesta atractiva se acep­ taría independientemente del procedimiento de decisión utilizado, sin embargo, una pro­ puesta no muy atractiva (con rendimiento superior al mínimo requerido) puede ser aceptada si las decisiones son hechas en forma secuencial, pero probablemente sería rechazada si la decisión estuviera basada en un grupo de propuestas. Hasta la fecha se han realizado varios estudios, entre otros, la disertación doctoral de A. Sabino Parra Vázquez en la cual se trata de determinar mediante simulación, cuál de los siguientes procedimientos de decisión es el más efectivo: • Las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas. • Similar al anterior excepto que las decisiones son repetidas ocho veces por año. • Las decisiones son hechas en forma secuencial a medida que las propuestas se van generando. Bajo este procedimiento de decisión, alternativas económicamente aceptables que no pueden ser aceptadas por insuficiencia de fondos, no son con­ sideradas posteriormente. • Las decisiones son hechas en forma secuencial como en el punto anterior, excep­ to que las alternativas económicamente atractivas que fueron rechazadas por fal­ ta de fondos, podrán competir con las propuestas que se generen durante el próximo año. Los resultados de tal estudio revelaron que de los procedimientos de decisión anali­ zados el más efectivo es el primero, esto es, cuando las decisiones son hechas anualmente sobre un grupo de propuestas se logran mayores rendimientos. Sin embargo, es convenien­ te señalar que las diferencias en los rendimientos que se obtuvieron con cada uno de estos procedimientos de decisión son insignificantes.

PROBLEMAS 8.1.

Suponga que la corporación “B” está formada por tres divisiones. Si en la división 1 hay 3 áreas de inversión cada una con 3, 2 y 1 propuestas mutuamente exclusi­ vas respectivamente, en la división 2 hay 2 áreas de inversión cada una con 3 y 4 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, y en la división 3 hay una

Problemas 147

8.2.

área de inversión con una sola propuesta, determine el número total de alternati­ vas mutuamente exclusivas que se pueden formar. La compañía X actualmente está analizando 4 propuestas de inversión. La pro­ puesta A es contingente a la aceptación de la propuesta C o la propuesta D. La propuesta C es contingente a la aceptación de la propuesta D, mientras que la pro­ puesta D es contingente a la aceptación de la propuesta A o la propuesta B. Si el presupuesto disponible de esta compañía es de $2,000,000, y la TREMA es de 10%, ¿qué alternativa debe ser seleccionada? Año 0 1 2 3 4 5

8.3.

0 1-8 8

C

- $ 400,000 -$ 500,000 100,000 75,000 100,000 85,000 100,000 95,000 100,000 105,000 200,000 300,000

D

$ 100,000 30,000 30,000 30,000 30,000 30,000

-$ 60,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000

A -$1,000,000 300,000 400,000

B -$1,250,000 500,000 100,000

C -$ 900,000 250,000 1,200,000

D -$1,000,000 200,000 1,000,000

La compañía W actualmente se encuentra analizando tres propuestas de inversión. Las propuestas B y C son mutuamente exclusivas, y la propuesta C es contingente a la aceptación de la propuesta A. Si la cantidad de dinero que dispone esta com­ pañía es de $1,250,000 y la TREMA es de 10%, determine mediante el método del valor presente la mejor alternativa. Ano 0 1 2 3 4 5

8.5.

B

Cuatro propuestas de inversión están siendo consideradas por la compañía Y. Las propuestas B y D son mutuamente exclusivas. La propuesta C es contingente a la aceptación de la propuesta B o la propuesta D. Las propuestas A y C son mutua­ mente exclusivas. Además, la propuesta B o la D debe ser incluida en la alternativa seleccionada (propuesta obligatoria). Si el presupuesto disponible de esta compa­ ñía es de S2,000,000, y la TREMA es de 20% , determine mediante el método de la TIR la mejor alternativa. Año

8.4.

A

B A -$1,000,000 -$500,000 200,000 200,000 300,000 200,000 400,000 200,000 500,000 200,000 600,000 200,000

C -$200,000 50,000 50,000 50,000 50,000 150,000

La compañía Z se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de inver­ sión. Las propuestas A y B son mutuamente exclusivas, así como A y D. La pro­

148 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto puesta C es contingente a la aceptación de la propuesta D. Si el presupuesto disponible que tiene esta compañía para nuevas inversiones es de $7,500,000, y la TREMA es de 25%, ¿qué propuestas debería la compañía seleccionar? B

A Inversión inicial Ingresos anuales Gastos anuales Valor de rescate Vida 8.6.

$6,000,000 4,500,000 2,000,000 1,000,000 10 años

$3,500,000 2,000,000 500,000 500,000 10 años

$3,000,000 3,500,000 2,000,000 500,000 10 años

La compañía “B” se encuentra actualmente analizando cuatro propuestas de in­ versión. Las propuestas A y C son mutuamente exclusivas, y la propuesta D es contingente a la aceptación de la propuesta B. Si la compañía dispone de un fondo de $4,000,000 para emprender nuevos proyectos de inversión, y la TREMA es de 20%, ¿qué propuestas deben ser seleccionadas?

Inversión inicial Ingresos anuales Gastos anuales Valor de rescate Vida 8.7.

$4,500,000 3,000,000 1,000,000 500,000 10 años

D

C

A $2,000,000 1,400,000 1,100,000 500,000 10 años

B $2,000,000 1,600,000 1,250,000 500,000 10 años

C $3,000,000 2,000,000 1,200,000 1,000,000 10 años

D $1,500,000 2,000,000 1,500,000 500,000 10 años

El director de producción de la compañía X ha recibido un conjunto de propues­ tas que provienen de tres actividades independientes de producción. Las propuestas que pertenecen a una misma área de producción se identifican con la misma letra y son mutuamente exclusivas. Si las vidas de las propuestas son de 10 años, los valores de rescate al término de este tiempo son despreciables y la TREMA es de 25%, ¿qué propuestas deben seleccionarse si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es: ¿7) ilimitada, ti) $ 500,000 y c) $200,000? Propuesta Actividad A A1 ^2 >Í3

Inversión inicial

Ingreso neto anual

$ 100,000 200,000 300,000

$ 30,000 65,000 85,000

b2 b3 b
3,1 n3,2

División 4 ^4,1 ^4,2

8.9. 8.10.

Resolver el problema 8.7 utilizando el método aproximado de ordenado del valor presente por peso invertido. La compañía X está evaluando un grupo de propuestas de investigación relaciona­ das con 3 de sus productos. Ya se ha decidido que una propuesta del conjunto de

Propuesta Producto A A¡ Producto B 5i b2 b3

Producto C Ci c2 C3 C4

Inversión inicial

Costo neto anual

$ 400,000 600,000

$ 50,000 20,000

200,000 250,000 300,000

60,000 50,000 40,000

150,000 200,000 400,000 500,000

100,000 90,000 50,000 35,000

. 150 Selección de proyectos en condiciones limitadas de presupuesto propuestas relacionadas a un producto debe ser seleccionada. Las propuestas para un mismo producto son mutuamente exclusivas, e independientes de las propues­ tas de otros productos. Además, la vida esperada de estas propuestas de investiga­ ción es de 5 años, al término de los cuales los valores de rescate de las propuestas son nulos.'.Si la TREMA es de 25%, y todas estas propuestas producen a la compa­ ñía los mismos beneficios ($300,000/año), ¿qué propuestas deben ser seleccio­ nadas si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es a) ilimitada, b) $1,150,000, c) $950,000? (Utilice el método aproximado de ordenado del va­ lor presente por peso invertido.) 8.11. 8.12.

Formular el modelo de programación entera para los problemas 8.7, 8.8 y 8.10. La compañía W se encuentra actualmente analizando las propuestas de inversión de cuatro de sus áreas más importantes. Las propuestas de inversión del área A son mutuamente exclusivas. El área B es obligada, es decir, es obligatorio seleccionar una propuesta de inversión de esta área. En el área Cía propuesta C2 es contingen­ te a C\ y la C3 es contingente a Q o C2. En el área D la propuesta D2 es contin­ gente a Dj o D3. Si el dinero disponible de esta compañía para nuevas inversiones es de $1,000,000, y la TREMA es de 30%, ¿cuál sería el modelo de programación entera que maximiza el valor presente de estas propuestas? (Considere que la vida de las propuestas es de 5 años). Propuesta

Inversión inicial

Ingreso neto anual

$ 300,000 400,000 500,000

$ 120,000 140,000 200,000

$ 50,000 80,000 100,000

b2

700,000 800,000

300,000 340,000

200,000 250,000

Area C Ci Ci C3

350,000 100,000 80,000

140,000 40,000 35,000

80,000 30,000 20,000

380,000 150,000 250,000

160,000 60,000 90,000

80,000 40,000 60,000

Area A Ai a2 a3

Area B Bi

Area D Di d2 d3

Valor de rescate

9 Evaluación de proyectos de inversión en situaciones inflacionarias

_ Incrementos significativos en el nivel general-de precios tanto de los artículos como de los servicios, han originado la necesidad de modificar los procedimientos tradicionales de evaluación de propuestas de inversión, con el objeto de lograr una mejor asignación. deU capital. Un ambiente crónico inflacionario disminuye notablemente el poder de compra de la unidad monetaria, causando grandes divergencias entre flujos de efectivo futuros reales y nominales. De esta forma, puesto que estamos interesados en determinar rendi­ mientos reales, debemos incluir explícitamente el impacto de la inflación al hacer un aná­ lisis económico. El propósito de este capítulo es presentar una estructura, que explícitamente incor­ pore una cierta inflación, anticipada en los flujos de efectivo. No considerar el efecto de la inflación, tiende a producir decisiones cuyos resultados no van de acuerdo a las metas y objetivos fijados por una organización. Además, es un hecho que la inflación merma sig­ nificativamente los ahorros-en impuestos atribu ib les _a. la ..depreciación, puesto que ios procedimientos tradicionales basan los cálculos de depreciación en los costos históricos de los activos. Decisiones subóptimas también pueden resultar al no considerar la disminución en el rendimiento real debido a impuestos e inflación. Sin inflación, una tasa de impuestos del 50% y una tasa interna de rendimiento antes de impuestos de 4%, se obtiene un ren­ dimiento real después de impuestos de aproximadamente 2% . Sin embargo, si una tasa de inflación del 4% es considerada, el rendimiento antes de impuestos debe ser incrementado a 12% para poder compensar los efectos combinados de impuestos e inflación. Incremen­ tar en 4% el rendimiento antes de impuestos para contrarrestar el 4% de inflación es insufi­ ciente y causaría una reducción del 2% en el rendimiento real, ya que los impuestos son pagados sobre ingresos nominales y no sobre ingresos reales.

9.1 INFLACION-QUE SIGNIFICA Aunque la palabra inflación es utilizada todos los días, mucha gente encuentra difícil definirla. La mayoría de_las personas-están-concientesq ue una-determinada-can 151

152 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias tidad de dinero compra cada vez menos cantidad de artículos y servicios a-medidarpie.el tiempo transcurre. Sin embargo, muy probablemente esta gente nc está capacitada para expresar este conocimiento cuantitativamente. Antes de discutir el impacto de la inflación en la tasa interna de rendimiento, es conveniente decir algunas ideas sobre cómo medir la inflación. En términos simples, los resultados de las actividades de un negocio son expresados en pesos. Sin embargo, los pe­ sos. son una unidad imperfecta de medida, puesto que su valor cambia a través del tiempo. La inflación es el término que se usa para expresar esa disminución en valor. Por ejemplo, si se depositan SI ,000 en una cuenta de ahorro que paga el 10% anual, y el dinero es reti­ rado después de un año, se puede decir que la tasa interna de rendimiento es 10% . Lo an­ terior es cierto siempre y cuando el poder adquisitivo del dinero retirado sea el mismo del año anterior, o expresado en otras palabras, el rendimiento es 10% si con el dinero obtenido puedo comprar un 10% más de bienes y servicios. Sin embargo, si la inflación ha reducido el valor del dinero en un 20% , entonces, el rendimiento real resulta en una pérdida econó­ mica en el poder de compra de un 10% . Por consiguiente, se puede decir que la inflación es la medida de la disminución en el poder de compra del peso. f ; ^Existen dos.clases de inflación que pueden ser considerada.s.:. general o inflación abierta-y reprimida Q.j4flacióa4ifer^nciaL En el primer caso,..todos los precios y .GQ.Stos.sein^ crementan en la misma proporción^ Para el segundo caso, la tasa de inflación dependerá del sector económico involucrado. Por ejemplo, los costos de mano de obra y materia pri­ ma dentro de una empresa, pueden incrementarse a distintas tasas de inflación. Finalmente, es necesario mencionar que el efecto de la inflación en el valor real de los flujos de efectivo futuros de un proyecto no debe ser confundido con los cambios de valor que el dinero tiene a través del tiempo. Las dos situaciones anteriores producen el mismo efecto; un peso el próximo año tiene un valor menor que un peso ahora. Sin embargo, el cambio del valor del dinero a través del tiempo surge debido a que un peso ahora puede ser invertido a la tasa de interés prevaleciente en el mercado y recuperar ese peso y los intereses el próximo año. Por el contrario, el efecto de la inflación surge simple­ mente porque con un peso se compra más ahora que en el próximo año, debido a la alza general de los precios. Esta distinción se comprenderá mejor en las siguientes secciones.

9.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL VALOR PRESENTE El valor presente de los flujos de efectivo generados por un proyecto (ver figura 9.1) pueden ser calculados utilizando la siguiente fórmula:

VPN = -S o+ v Si --------r=l (1 + /)'

(9.1)

donde Sz es el flujo de efectivo neto del período t y So es la inversión inicial. Sin embargo, la expresión anterior sólo es válida cuando no existe inflación. Para el caso de que exista una tasa de inflación general (ver figura 9.2), los flujos de efectivo futuros no tendrán el mismo poder adquisitivo del año cero. Por consiguiente, antes de determinar el valor pre­ sente, los flujos deberán ser deflactados. Una vez hecho lo anterior, la ecuación de valor presente puede ser escrita en la forma siguiente:

Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento 153

n (9.2)

r=l

(i+

Of

Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la tasa de inflación es cero, entonces, la última ecuación se transforma idéntica a la primera. Finalmente, es conveniente señalar que los flujos de efectivo que aparecen en las figuras 9.1 y 9.2 no son iguales. Lo anterior es obvio, puesto que en épocas inflacionarias los flujos de efectivo se están incrementando de acuerdo a las tasas de inflación prevale­ cientes. S2

Si

Sn i

2

n

FIGURA 9.1. Flujos de efectivo sin considerar inflación.

S’i/Í’ + Í,-)

S-2/(l + ¡z)2

L

12

FIGURA 9.2. Flujos de efectivo considerando inflación. 9.3 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Un flujo de efectivo X tendría un valor de X(1 + i) al final del próximo año si es invertido a una tasa de interés i. Si la tasa de interés es tal que el valor presente es cero, entonces, a dicha tasa de interés se le conoce como la tasa interna de rendimiento. Si hay una tasa de inflación anual i¡, entonces, una tasa interna de rendimiento efec­ tiva, ¡e, puede ser obtenida por la siguiente ecuación:

154 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias

x(i+ie)

X(l + z) (l + zf)

y simplificando:

(9-3)

ie “ (Z~Z/) / (1 + Z/)

(9.4)

En esta ecuación, i puede ser vista como la tasa interna de rendimiento nominal (sin considerar inflación) y ie se puede considerar como la verdadera o real tasa interna de ren­ dimiento. Es práctica común en vez de usar la ecuación 9.3, tratar de obtener el valor real de la tasa interna de rendimiento de la forma siguiente:

(9.5) La ecuación (9.3) muestra que la ecuación (9.5) es sólo una aproximación, que de­ bería usarse sólo en el caso de que tanto las tasas de interés y de inflación sean bajas. Las fórmulas presentadas anteriormente es obvio que solamente son válidas para inversiones de un período, es decir, si se hace por ejemplo una inversión a un año en la cual el rendimiento esperado es 20%y la tasa de inflación anual es 20%, entonces, el ren­ dimiento real o efectivo es cero. Por el contrario, las fórmulas anteriores no son válidas para inversiones cuyas vidas sean mayores a un período (mes, trimestre, año, etc.). Para estos casos, es necesario primero deflactar los flujos de efectivo después de impuestos y luego encontrar la tasa de interés efectiva que iguala a cero su valor presente.

9.4 EFECTO DE LA INFLACION EN INVERSIONES DE ACTIVO FIJO Básicamente el efecto nocivo de la inflación en inversiones de activo fijo, se debe principalmente al hecho de que la depreciación se obtiene en función del costo histórico del activo. El efecto de determinar la depreciación en esta forma, es incrementar los im­ puestos a pagar en términos reales y disminuir por ende los flujos de efectivo reales des­ pués de impuestos. Para ilustrar y aclarar el impacto de la inflación en una inversión de activo fijo, ana­ licemos el siguiente ejemplo; suponga que una empresa está considerando la posibilidad de reemplazar una máquina vieja por una nueva. Su TREMA es de 10%. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $3.000. Esta máquina se piensa que ahorrará en los próximos cinco años una cantidad anual de $1,000. Al término de la vida económica esta máquina tendrá cero valor de rescate. Además, la tasa de impuestos es de 50%y la empre­ sa va a depreciar al activo en línea recta. Finalmente, es asumido que las personas involu­ cradas en esta evaluación, podrán proyectar en una forma aproximada la tasa de inflación de los próximos cinco años.

Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo 155 Primeramente, la decisión de reemplazar el activo debe ser analizada bajo la influen­ cia de diferentes niveles de inflación. La tabla 9-1 muestra los resultados del análisis sin que la inflación sea considerada. En este caso el valor presente de los flujos de efectivo es de $32. Por consiguiente, el rendimiento sobre la inversión es mayor que 10% y la máqui­ na vieja debe ser reemplazada. TABLA 9.1. Opción de compra sin considerar inflación

Año

Flujo de efectivo antes de impuestos

0 1 2 3 4 5

-$ 3,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Ingreso Depreciación gravable

600 600 600 600 600

400 400 400 400 400

Flujo de efectivo después de Impuestos impuestos

200 200 200 200 200

-$ 3,000 800 800 800 800 800

Valor presente (10%) -$ 3,000 727 661 601 546 497 32

Ahora, si se modifica este ejemplo y se supone que hay una tasa general de inflación del 5% y 10% por año, y se aplica erróneamente la ecuación 9.1 (ver tablas 9-3 y 9.5), los resultados que se obtienen son demasiado engañosos puesto que el rendimiento que se ob­ tiene en dicha inversión parece ser mayor de lo que realmente es. Sin embargo, si la infla­ ción es correctamente considerada (ver tablas 9-2 y 9-4) los resultados son estrictamente diferentes. La figura 9.3 muestra los resultados obtenidos cuando la inflación es o no co­ rrectamente considerada. Es evidente de los ejemplos analizados que el valor presente obtenido utilizando la ecuación (9.2) es menor al obtenido uulizando la ecuación (9.1). Más aún, entre mayor sea la tasa de inflación, mayor será la diferencia en los resultados obtenidos con ambos métodos. La razón de esta diferencia puede ser explicada al examinar la forma en que la depreciación es calculada y los impuestos son pagados. Las deducciones por depreciación son calculadas tomando como base los valores históricos de los activos, no sus valores de mercado, y por otra parte los impuestos son función directa de los ingresos, no del poder adquisitivo de ellos. Por consiguiente, a medida que los ingresos se incrementan como un resultado de la inflación y las deducciones por concepto de depreciación son mantenidas constantes, el ingreso gravable crece desmesuradamente. Esto origina que una empresa no pueda recuperar a través de la depreciación, el costo de reemplazo de un activo en tiempos de altas tasas inflacionarias. La disminución en el valor presente considerando correctamente la inflación (ver tablas 9-2 y 9-4), se debe exclusivamente a los impuestos pagados. La depreciación es un gasto deducible el cual reduce los impuestos a pagar y por consiguiente aumenta el flujo de efectivo en esa cantidad ahorrada. Sin embargo, el gasto por depreciación de acuerdo a la Ley del Impuesto sobre la Renta, debe ser calculada de acuerdo a los costos históricos -de. los activos. Lo anterior significa que a medida que el tiempo transcurre, la depreciación

156 Proyectos de inversión en situaciones inflacionarias que se está deduciendo está expresada en pesos con menor poder de compra; y como resul­ tado, el costo “real” de los activos no está totalmente reflejado en los gastos por deprecia­ ción. Los gastos por depreciación por consiguiente están subestimados y el ingreso gravable está sobreestimado. Para ilustrar el efecto de la inflación en los impuestos pagados, la tabla 9-6 muestra cómo los impuestos en términos reales se están incrementando en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida del activo. Desde luego, a medida que la tasa efectiva o real de impuestos se incremente, la tasa interna de rendimiento disminuye. Finalmente, en la tabla 9-7 se muestra cómo los ahorros que origina la depreciación,, en términos reales, disminuyen en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida del activo.

TABLA 9.2. Opción de compra con 5% de inflación y deflactando los flujos de efectivo después de impuestos-. O

o

-

Flujos de 4 i. 0 efectivo Ingreso < antes de Año impuestos Depreciación gravable Impuestos 0 -$ 3,000 1 1,050 1C(1 -r)Jl

Por ejemplo, si en el caso presentado en la tabla 10-8 una tasa de inflación de 10% anual es considerada, la aplicación de la ecuación (10.17) produce un resultado de 5.2% (ver tabla 10.9).

TABLA 10.8. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (miles de pesos).

Ano

0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo antes de impuestos

Beneficio de la depreciación (arrendador)

Deducible

A horro en impuestos

-100 -100 -100 -100 -100

- 10 -400 ... 4OQ -400 -400 -470

5 200 200 200 200 235

$ 1,010 - 400 - 400 - 400 - 400 - 470

Flujo de efectivo después de impuestos

$ 1,005 - 300 - 300 - 300 - 300 - 335

COSTO REAL = 15.7%

TABLA 10.9. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una inflación del 10% anual (miles de pesos).

Ano

0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo antes de impuestos

$ 1,010 - 400 - 400 - 400 - 400 - 470

Beneficio de la depreciación (arrendador)

-100 -100 -100 -100 -100

Deducible

- 10 -400 -400 -400 -400 -470

A horro en impuestos

5 200 200 200 200 235

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)

$ 1,005 - 300 - 300 - 300 - 300 - 335

$ 1,005 - 273 - 248 - 225 - 205 - 208

COSTO REAL = 5.2% En el ejemplo anterior, se determina el costo de arrendamiento cuando el plazo del contrato es igual al período de depreciación del activo. Sin embargo, sería interesante ana­ lizar el caso de un arrendamiento cuando el plazo del contrato es menor a la vida fiscal del activo. Para este caso, puesto que al concluir el contrato, no existe ningún desembolso del

Pasivo a largo plazo 191

arrendatario, ni beneficio fiscal de la depreciación por parte del arrendador, y puesto que parte de la renta y el desembolso que hace el arrendatario si ejerce la opción de compra, se amortizan en el tiempo que falta para que el bien se termine de depreciar conforme a las tasas que indica la ley, entonces, el flujo de efectivo después de impuestos en los úl­ timos períodos será positivo. Lo anterior significa que el flujo de efectivo después de impuestos que resulta en este tipo de arrendamiento, es no-simple, y por consiguiente existe el fenómeno de “múltiples costos de arrendamiento”. Para resolver este proble­ ma, es necesario aplicar el algoritmo de James C. T. Mao presentado en el capítulo 5. Sin embargo, para aplicar este algoritmo al caso de arrendamiento con múltiples costos, es necesario hacer las siguientes modificaciones:

• Multiplicar por - 1 el flujo de efectivo después de impuestos. • Calcular los saldos no recuperados en la forma siguiente:

Ft(Kafi TREMA) = F,

x

(1 + Kaf) +

Ft(Kaf, TREMA) = Ft _ x (1 + TREMA) 4- St

0

• Determinar el valor de Kaj que satisface:

Fn(Kaf, TREMA) = 0

Si Kaf < TREMA, entonces, el arrendamiento es atractivo, puesto que su costo es menor que la tasa de recuperación mínima atractiva que ofrece el proyecto que va a ser fi­ nanciado a través de esta fuente. Para ilustrar un ejemplo de este tipo: suponga que se desea arrendar un activo que tiene un precio de mercado de SI,500,000 y cuya tasa de depreciación anual es de 20%. También, suponga que el plazo del contrato es de 3 años, durante los cuales el arrendatario pagará una renta anual de $800,000. Si en el contrato se establece adquirir el activo al final de su duración a un costo de S500.000, los gastos de apertura de crédito son de $15,000, la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30%, ¿cuál es el costo de arrendar el activo? Para esta información y aplicando el método de Mao con las modificaciones señala­ das anteriormente, se obtiene un valor para el costo del arrendamiento de 17.75% (ver tabla 10-10). Puesto que el costo del arrendamiento es menor que TREMA, entonces, conviene aceptar esta fuente de financiarmento. Por otra parte, si en este mismo problema una tasa de inflación de 10% anual es introducida, la aplicación del algoritmo de Mao arro­ ja un valor de 8.1% (ver tabla 10-11), y puesto que este costo disminuye, entonces, esta fuente de financiamiento se hace más atractiva.

192 Costo de capital TABLA 10-10. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación (mi­ les de pesos).

Año

0 1 2 3 -4 5

Flujo de efectivo an tes de impuestos

Beneficio de la depr. (arrendador)

$1,515 - 800 - 800 -1,300

- 150 - 150 - 150

Deducible 30% Compra 70%

~ 336 - 336 - 336 - 336 - 336

- 240 - 240 - 240 - 250 - 250

Flujo de efectivo A horro en despuésde impuestos impuestos

- 7.5 288.0 288.0 288.0 293.0 293.0

$1,507.5 -662.0 - 662.0 - 1,162.0 293.0 293.0

COSTO REAL =17.75% TABLA10-11. Flujos de efectivo después de impuestos considerando inflación (miles de pesos).

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo Beneficio antes de de la depr. impuestos (arrendador) $1,515 - 800 - 800 -1,300

- 150 - 150 - 150

Dedu c ib le 70% 30% Compra

-

336 -240 336 -240 336 -240 336 336

- 250 - 250

A horro en impuestos -7.5 288.0 288.0 288.0 293.0 293.0

Flujo de FLujo de efectivo efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos co­ (pesos rrientes) constantes) $1,507.5 - 662.0 - 662.0 - 1,162.0 293.0 293.0

$1,507.5 - 601.8 - 547.1 - 873.0 200.1 181.9

COSTO REAL = 8.1% COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS 10.5 ACCIONES PREFERENTES Se conoce como acciones preferentes aquellas que representan una parte del capital social de una compañía pero que, a diferencia de las acciones comunes, tiene su rendi­ miento o dividendo garantizado y a cambio de este privilegio tienen limitaciones en la participación de la administración de la empresa. La garantía del rendimiento o dividendo a este tipo de acción, permanece aun cuando en algún ejercicio la empresa no haya tenido utilidades, ya que en cuanto ésta vuelva a generarlas se aplicarán preferentemente al pago de los dividendos de las acciones preferentes. Esta forma de financiamiento es utilizada en los casos en que no se desee o no se puedan aumentar los pasivos de la empresa (capacidad de crédito limitada) y los actuales accionistas no quieran perder o compartir su control sobre la misma. Como hemos mencionado, estas acciones tienen un dividendo garantizado y ñjo por lo cual el flujo de efectivo que se origina en la empresa después de una emisión de acciones de este tipo, es como sigue:

Acciones preferentes 193

P = IB - GT

1

2

3

D

D

O

donde: P = Cantidad neta recibida. IB = Ingresos brutos recibidos de la emisión. GT = Gastos de colocación, emisión, descuentos, etc. D = Dividendo percibido por el poseedor de la acción. Por consiguiente, el costo de esta alternativa de financiamiento es la tasa de interés (Kap) que satisface la ecuación:

P - S ----------- -- ------ - = 0 7=1 (1 +g)M

0

(10.24)

7=1 y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:

Por otra parte, como los gastos totales que origina la emisión son deducibles, el costo después de impuestos de esta fuente, es la tasa de interés (K’ac) que satisface la ecuación:

196 Costo de capital oo

IB — GT - i)

£(1 +g)M

s 7=1

(10.25)

0

(1 v + K' ac'

y resolviendo la ecuación anterior encontramos que:

K'ac =

D/(IB-GT(l-t)) + g

Finalmente, como esta fuente de finan ciamiento es de largo plazo, el costo después de impuestos considerando una tasa de inflación promedio por período de i., se obten­ dría al resolver la ecuación: ; p(i +gy-1/(i +¿,y

IB - GI\\ - i)

o

(10.26)

(1 + V

7=1

y la tasa de interés que satisface la ecuación anterior es: ¿>/(l +/,-)

+ S~Íl

(IB - G7(l - 7) )

(1+9

Para aclarar la aplicación de esta última ecuación, suponga que una empresa ha emitido acciones comunes por valor de $1,000,000. Tal emisión originó gastos totales del orden de $50,000. La empresa espera repartir en el primer año $200,000 en dividendos, los cua­ les se espera que crezcan a una razón del 5%. Además, la empresa ha pronosticado que la inflación promedio en los próximos años será de 15% anual. Por último, la tasa de im­ puestos de esta empresa es de 50%. Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) arroja un valor para K'ac de: , ac

=

200,000/(1,15) (975,000)

,

(.05 -.15) g J4% (1.15)

Por último, antes de terminar el inciso conviene mencionar que, además del método ex­ plicado, se han desarrollado otros métodos para medir el costo del capital común tales como: Simulación del rendimiento obtenido por el accionista y razón de utilidad a capital contable. Sin embargo, estos métodos al igual que el anteriormente explicado, implican pronosticar una serie de eventos futuros (precios por acción, utilidades, etc.) cuyo grado de seguridad es muy relativo.

10.7 UTILIDADES RETENIDAS Las utilidades retenidas son recursos generados internamente por la empresa. Este hecho ha originado que muchas empresas consideren su costo erróneamente como cero.

Costo ponderado del capital 197

Sin embargo al evaluar el costo de estos recursos debemos considerar los posibles usos que éstos pueden tener como son: ser reinvertidos en la empresa, o ser repartidos a los ac­ cionistas. Para el primer caso, se espera que el rendimiento obtenido sea el mismo que el del capital común, ya que para el accionista representan una inversión similar. Para el segundo caso, el costo de las utilidades retenidas puede ser considerado como un costo de oportunidad el cual está representado por el rendimiento que podría lograr el accionista al haber invertido el dividendo no recibido en otra alternativa de inver­ sión. Si este fuere el caso, el costo de las utilidades retenidas se podría encontrar con la expresión: Kur = R(\ — t) (1-c)

(10.27)

donde: R = Rendimiento bruto obtenido. t = Tasa marginal de impuestos del accionista. c = Comisiones (expresadas en porcentaje). La idea anterior se basa en el supuesto de que si la compañía no puede generar oportuni­ dades de inversión atractivas para sus accionistas, éstos podrían encontrar otros proyectos para invertir con el mismo grado de riesgo y con un rendimiento mayor. Por las dificultades obvias que esta segunda alternativa de cálculo implica, la prác­ tica común es considerar el costo de las utilidades retenidas, igual al del capital común.

10.8 COSTO PONDERADO DEL CAPITAL Una vez que hemos determinado el costo individual de cada una de las diferentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que forman el capital de la empresa, po­ demos proceder a calcular el costo ponderado del capital. Ese cálculo se puede hacer sobre bases históricas, sin embargo, el pasivo y el capital contable actual de la empresa ya se encuentran invertidos, por lo cual evaluar su costo sería irrelevante. Lo que vale la pena es determinar el costo ponderado de las diferentes fuentes que se van a captar en el fu­ turo y compararlo con el rendimiento esperado de los proyectos de inversión que se tienen en cartera. Si dichos proyectos de inversión generan un rendimiento mayor al costo pro­ medio ponderado del capital, el precio de mercado de la acción aumentará. • Conociendo las fuentes de financiamiento que se van a captar, sus costos después de impuestos y el porcentaje que cada una representa del total obtenido, entonces, el costo ponderado de capital vendría dado por la expresión: n

K = Y K.Xi i=1 donde: K = Costo promedio ponderado del capital. = Costo después de impuestos de la fuente i.

(10.28)

198 Costo de capital X¿ = Porcentaje que la fuente i representa del total de fondos próximos a recabarse. n - Número de alternativas de financiamiento próximas a obtenerse.

Para finalizar este capítulo se explica cómo el costo ponderado del capital es evaluado. Pa­ ra esto, suponga que una empresa piensa obtener fondos a través de un préstamo bancario, una emisión de obligaciones y otra de acciones comunes. Además, para que la empresa mantenga una estructura financiera 1:1 se ha pensado en solicitar un préstamo bancario pór $25,000, emitir obligaciones por $25,000 y finalmente emitir acciones comunes por valor de $50,000. El costo después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de: 10%, 11% y 15% respectivamente. Para la información anterior, la aplicación de la ecuación (10.28) produce un valor para el costo ponderado del capital de 12.75% (ver tabla 10.12). Lo anterior significa que todos los proyectos que se van a emprender utilizando parte del capital obtenido a través de estas fuentes, deberán tener un rendimiento mayor al costo ponderado de las mismas. TABLA 10-12. Costo ponderado del capital

Préstamo bancario Obligaciones Acciones comunes

Cantidad obtenida por fuente

Proporción con respecto al total

Costo después de impuestos

$ 25,000 25,000 50.000 $100,000

25% 25 50

.10 .11 .15

Costo ponderado

2.50 2.75 7.50 12.75%

10.9 CONCLUSIONES A lo largo de este capítulo se ha explicado la forma de evaluar el costo de las dife­ rentes fuentes de financiamiento (externas e internas) que la empresa utiliza para financiar sus proyectos de inversión. Sin embargo, el punto más importante de este capítulo es com­ prender que un proyecto de inversión debe ser aceptado si su tasa interna de rendimiento supera el costo ponderado del capital utilizado para emprenderlo. Otra cuestión muy importante a enfatizar, es el hecho de que el conocimiento del costo de las diferentes al­ ternativas de financiamiento a las cuales una empresa tiene acceso, permite tomar mejores decisiones en cuanto a estructuras financieras, puesto que es obvio que el problema de seleccionar la fuente de financiamiento más adecuada debe ser resuelto independiente­ mente de la utilización que se les den a los fondos obtenidos. Comprender con exactitud el costo que cada fuente de financiamiento implica, per­ mite también en algunas ocasiones substituir una fuente por otra, por ejemplo, si nos percatamos que el costo de no aprovechar un descuento es demasiado alto, entonces, vale la pena preguntarnos cuál sería el costo de un préstamo que cubriese el saldo promedio que normalmente se tienen con los proveedores. Si el costo del préstamo es menor, signi­ fica que en lo sucesivo se deberían pedir préstamos y aprovechar siempre los descuentos por pronto pago.

Problemas 199

También, de este capítulo se puede concluir que la mejor forma de financiarse siem­ pre será con pasivo, puesto que los intereses son deducibles. Además, si los pasivos se captan a tasas fijas y en ambientes inflacionarios, entonces el costo de esta fuente se reduce considerablemente. Por otra parte, es bien sabido que los dividendos no son deducibles, además, generalmente éstos crecen de acuerdo a las tasas de inflación prevalecientes. Lo anterior origina que el costo de las fuentes internas de la empresa sea generalmente supe­ rior al costo de las fuentes externas. Sin embargo, a pesar de saber que el pasivo es más barato que el capital contable, una empresa no puede aumentar en forma desmedida su nivel de pasivo, ya que éste debe ser regulado de acuerdo a su liquidez y capacidad de endeudamiento. Finalmente, es importante resaltar el hecho de que si bien la inflación castiga enor­ memente 'los méritos económicos y financieros de un proyecto de inversión, también disminuye considerablemente el costo real de las fuentes de financiamiento de largo plazo, es decir, si un proyecto es financiado con un crédito hipotecario en una época en la cual la tasa de inflación promedio anual es mayor que el costo anual fijo pactado para este préstamo, entonces, el costo real de esta alternativa de financiamiento es negativa. Bajo este supuesto el proyecto deberá ser aceptado si su tasa interna de rendimiento es positiva.

PROBLEMAS 10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

Los términos de venta de un proveedor para un producto con valor de $1,000 son: 1) 2% de descuento por pronto pago si la factura es liquidada dentro de los 10 días siguientes a la fecha de compra, ó 2) el neto si se paga a treinta días. ¿Cuál es el interés efectivo anual de no aprovechar el descuento? Una persona ha solicitado un préstamo bancario directo a seis meses por la can­ tidad de $100,000. La institución ban caria exige un interés de 1% mensual simple pagado anticipadamente, y los gastos bancarios incurridos en la captación de este préstamo son de $10,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta per­ sona si acepta el préstamo? Una empresa ha solicitado un préstamo ban cario directo a seis meses por la canti­ dad de un millón de pesos. La institución ban caria exige: una reciprocidad del 10%, intereses al 1.5% mensual simple pagados anticipadamente y gastos bancarios por $50,000. ¿Cuál es el interés efectivo anual que pagaría esta empresa si acepta el préstamo? La compañía IV ha emitido $20,000,000 en obligaciones al 22% anual con venci­ miento a cinco años. Los gastos de emisión se estiman en $1,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación en los próximos años es 20%, ¿cuál es el costo de esta fuente de financiamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación? La compañía X ha obtenido un préstamo de $50 millones a 5 años de una institu­ ción bancaria del país, la cual le cobrará el 20% sobre saldos insolutos. También, considere que la obtención de tal préstamo le ocasionó a la empresa gastos del or­ den de $2,000,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 18%, ¿cuál es el costo de este pasivo a largo plazo sin considerar y tomando en cuenta la inflación? Una empresa ha solicitado un préstamo de $40 millones a una institución bancaria del país a un plazo de 10 años. Además, la gerencia de planeación estratégica de esta empresa estima que la inflación en los próximos 3 años será de 15%, en los

200 Costo de capital 3 años subsiguientes será ,de 18%, y en los últimos 4 años se estima que será de 22%. Por otra parte, la gerencia de planeación considera que la institución bancaria pensando en las_ta§as_de inflación que van a prevalecer en el futuro, cobrará intereses de 20% en los tres primeros años, de 25% en los siguientes 3 añosy~28% en los últimos cuatro años."Si la captación de este pasivo le originó a la empresa gastos del orden de $1,500,000, y la tasa de impuestos es de 50%, ¿cuál sería el costo real de esta fuente de financiamiento? 10.7. Una empresa ha solicitado un préstamo a una institución bancaria de los Estados Unidos. La magnitud del préstamo es de $5 millones de dólares, el plazo para pa­ garlo es 10 años, y la tasa de interés es de 12% sobre saldos. Además, esta empresa estima que la paridad en el año t puede ser obtenida de acuerdo a la siguiente ex­ presión: t 7T

(1 + INM^

Pt = Po -------------------------------------- yPo =23 pesos (X+INUSA?)

7r

j=1 donde:. INMj = tasa de inflación en México para el año /. INUSAj = tasa de inflación en Estados Unidos para el año /. Si las tasas de inflación en México y Estados Unidos páralos próximos 10 años son:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

México

15

18

20

22

25

28

30

35

40

50

U.S.A.

8

10

12

Í4

16

18

20

22

24

25

Año

Los gastos que origina la obtención del préstamo son de dos millones de pesos y la tasa de impuestos es de 50% , ¿cuál es el costo real de este pasivo de largo plazo en moneda extranjera? \ 10.8. Resolver el problema anterior suponiendo que las tasas de interés que cobra la institución bancaria en los próximos 10 años son:

Ano Tasa de interés

123456789 10

12

14

10 16

18

20

22

24

26

28

Problemas 201 La compañía X desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que tiene un precio de mercado de $500,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del contrato es de 5 años y la renta anual es de $220,000. Además, en el contrato se estipula que la compañía X comprará el activo al final del año 5 a un precio de $30,000. Si los gastos de apertura de crédito son de-$5,000, la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación? 10.10. La compañía Z desea establecer un contrato de arrendamiento de un activo que tiene un precio de mercado de $3,000,000 y una vida fiscal de 5 años. El plazo del contrato es de 3 años y la renta anual es de $1,400,000. Además, en el contrato se establece que la compañía Z adquirirá el activo al término del plazo del con­ trató a un precio de $100,000. Si los gastos de apertura de crédito son de $30,000, la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual en los próximos años es de 20%, ¿cuál es el costo de este arrendamiento sin considerar y tomando en cuenta la inflación. (Asuma una TREMA del 25% ) 10.11. Cierta empresa ha emitido acciones preferentes por valor de $15,000,000 y los gastos de emisión incurridos fueron de $750,000. Si el dividendo es un 20% del valor nominal de la acción (considere que siempre se reparte), la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, ¿cuál es el costo que esta emisión representa para la empresa? 10.12. Cierta empresa ha emitido acciones comunes por valor de $10,000,000. Tal emi­ sión originó gastos totales del orden de $600,000. Esta empresa espera repartir en el primer año $ 1,800,000 en dividendos, los cuales se espera que crezcan a una ra­ zón anual d/8%) Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próxiínG^años es de 18%, ¿cuál es el costo que para la empresa representa esta emisión de acciones comunes? 10.13. La compañía “B” con el propósito de financiar la gran cantidad de propuestas de inversión que actualmente se están analizando, ha decidido incrementar el pasivo y el capital contable en una proporción de 1:1. Para este propósito la compañía “B” ha solicitado un préstamo por $5,000,000,ha emitido obligaciones por valor de $5,000,000 y finalmente ha emitido acciones comunes por valor de $ 10,000,000. Si los costos después de impuestos de estas fuentes de financiamiento son de 12%, 14% y.20% respectivamente, ¿cuál es el rendimiento mínimo que los proyectos que se están analizando deben rendir para que se justifique el empleo del capital para adoptarlos?

10.9.

Apéndice “A” al capítulo 10

Amortización creciente, un nuevo método de amortización

Análisis comparativo de los métodos de amortización 205

A. 10.1 INTRODUCCION En la actualidad, la gran mayoría de las organizaciones públicas y privadas atravie­ san por graves problemas de liquidez. Este problema se debe principalmente a la crisis económica que vive el país y que ha traído consigo una baja significativa en la demanda agregada. Si a lo anterior se añade que esta crisis sorprendió a la mayoría de las organiza­ ciones con altos endeudamientos en moneda nacional y extranjera, entonces se compren­ de por qué ahora las empresas enfrentan problemas financieros tan serios. Conscientes de la problemática anterior, el Gobierno Federal a través del Banco de México, ha instrumentado una serie de procedimientos tendientes a aliviar el problema de liquidez de las empresas. El primer sistema que se creó fue FICORCA (Fideicomiso de cobertura de riesgos cambiarios), y ahora la mayoría de los créditos que otorga FONEI, pueden ser amortizados en forma creciente, al igual que fueron estructurados los créditos en moneda extranjera mediante dicho fideicomiso. La clave de estos nuevos sistemas de amortización creciente que otorga FONEI, está en adecuar de mejor manera las eroga­ ciones del deudor a su capacidad de pago, evitando con ello que dichas erogaciones se re­ carguen, en términos reales, en la primera etapa de vida del crédito, lo cual normalmente ocurre con los procedimientos tradicionales de amortización. El presente apéndice, por consiguiente, tiene como objetivo principal hacer un aná­ lisis comparativo de los procedimientos tradicionales de amortización, con el nuevo mé­ todo de amortización creciente. A. 10.2 ANALISIS COMPARATIVO DE LOS METODOS TRADICIONALES DE AMORTIZACION En el presente inciso se analizan en forma comparativa los métodos de amortización que actualmente se usan con más frecuencia. En este punto en particular se hará énfasis en los flujos de efectivos que resultan con cada uno de los métodos, así como en el com­ portamiento que se tendrá en los saldos del crédito al utilizar diferentes formas de amor­ tización. Para propósitos del análisis comparativo, se considera que se ha obtenido un cré­ dito de $1,000 a una tasa del 60% anual y a un plazo de ocho años; y para entender la derivación matemática del flujo de efectivo que resulta en cada tipo de amortización, a continuación se explica el significado de cada una de las variables que serán utilizadas: P = Valor del crédito. ¿x = Valor de la amortización anual del año x. n = Plazo del crédito. i = Tasa de interés anual. Sx = Saldo del crédito al final del año x. Ix = Incremento del saldo del crédito en el año x. A. 10.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante Si el crédito que se menciona en el párrafo anterior se amortiza en cantidades igua­ les cada año, el valor de la amortización vendría dado por la siguiente fórmula:

i (1+0" (1+/•)"-1

Ax ----------------------x

Para x = 1,2,

n

206 Apéndice A al capítulo 10 Por consiguiente, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a con­ tinuación (ver tabla A. 10.1):

(1+0*

í (1 +

-i)

(i +í)"-i

í(i+í)"+2

í(i+o"+1

Í(1 +/)” — !

(l+0"-l

í(i +0" (1 + í)n -1 Es evidente que este saldo al final del año n, debe ser cero. Lo anterior se demuestra en el apéndice 1, al final de este apéndice. Si aplicamos las fórmulas presentadas en la tabla A. 10.1 al ejemplo antes mencio­ nado se obtienen los resultados que aparecen en la tabla A.10.2. TABLA A. 10.2. Flujo de efectivo cuando la amortización es constante.

Ano

Saldo del crédito al principio del año

intereses devengados

1 2 3 4 5 6 7 8

$1,000.00 985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384:05

$600.00 591.42 577.69 555.73 520.58 464.35 374.38 230.43

Saldo del crédito al final del año $1,600.00 1,577.12 ' 1,540.51 1,481.94 1,388.22 1,238.27 998.35 614.30

Amortización al final del año

Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización

$614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30 614.30

$985.70 962.82 926.21 867.64 773.92 623.97 384.05 0

A. 10.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos Si en el crédito en mención, se amortiza su capital en partes iguales, y los intere­ ses son sobre saldos insolutos, entonces la amortización del año x se calcularía con la si­ guiente fórmula:

Así, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a continuación (ver tabla A.10.3):

TABLA A.10.3. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos

Saldo del crédito al principio del año

' Intereses devengados

Saldo del crédito al final del año

1

P

p¡

p(i +0

2

P(1 -•-) n

• • X • • • n

•

P(l~

P(l

n

P(1

n

P(1 -

n

P(1 -

n

P(1 - f"^>, n

Pd -llLZll)

P(l-

A mortización al final del año ^Pt n £P+P(1-

--)(l n +0

n

-^^)(l+í) n

n

(1 +í)

-+P(1n

n

+

-) i

P(A - -)n

1

1 n

P(1 - -) n

n

P(l- -) n

n

P(1i

F(l--) = 0 n

Análisis comparativo de los métodos de amortización 207

Año

Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización

208 Apéndice A al capitulo 10 Si se aplican las fórmulas presentadas en la tabla A. 10.3 a los datos presentados en el ejemplo anterior, se obtienen los resultados que aparecen en la tabla A. 10.4. TABLA A.10.4. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los in­ tereses son sobre saldos insolutos.

Año .

Saldo del crédito al principio del año

1 2 3 4 5 6 7 8

$1,000.00 875.00 750.00 625.00 500.00 375.00 250.00 125.00

Intereses devengados

Saldo del crédito al final del año

Amortización al final del año

Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización

$600.00 525.00 450.00 375.00 300.00 225.00 150.00 75.00

$1,600.00 1,400.00 1,200.00 1,000.00 800.00 600.00 400.00 200.00

$725.00 650.00 575.00 500.00 425.00 350.00 275.00 200.00

$875.00 750.00 625.00 500.00 375.00 250.00 125.00 0

A.l 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante Las formas de amortización que se presentan en los dos párrafos anteriores, son las tradicionalmente utilizadas. Sin embargo, recientemente a raíz del FICORCA surgió una nueva forma de amortización, cuya característica principal es que el valor presente de to­ das las amortizaciones que se harán para saldar el crédito, es constante. Si el crédito del ejemplo que se ha venido utilizando se amortiza de acuerdo con este nuevo procedimiento, entonces la amortización del año x vendría dada por la siguien­ te fórmula:

Ac=F (l+0X Y el valor presente de la amortización Ax vendría dado por:

vp

= £ (i + nx/d + ox = £

Lo anterior significa que el valor presente de cualquier amortización que se haga en el futuro será P¡n. Para este nuevo sistema de amortización, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a continuación (ver tabla A. 10.5): Sx =P(1 + i)x

(1 - J)

TABLA A.10.S. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante

Saldo del crédito al principio del año

Intereses devengados

Saldo del crédito al final del año

1

P

p¡

P(\+Í}

2

Pd+Od")

X

Pd +'■)*■1 (1 -

n

P(H-Í)"-1

*»

Pd+o’d-^-) Pd+O’-’ d—^LÜ)Í

n

•

Amortización al final del año

f(1+»

Pd +0d~l)

fd=O2

Pd+Í)2 (l-J)

p(i +o* a

Pd+ira-^v11)

Pd+o*d-j¡b

fd+'T

P(i+/)« d-¡7)=o

Análisis comparativo de los métodos de amortización 209

Año

Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización

210 Apéndice A al capítulo 10 Y puesto que la cantidad amortizada en las etapas iniciales del crédito es inferior a los intereses devengados, el saldo del crédito en estas primeras etapas aumentaría. En particular, el aumento del saldo del crédito en los primeros años y la reducción de dicho saldo en los últimos, se obtendría con la siguiente fórmula: Ix =?(1 +í)x’1

F í1 +XÍ)

Si se aplican las fórmulas presentadas en la tabla A. 10.5, a los datos del ejemplo ci­ tado, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla A. 10.6. TABLA A.10.6. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante.

Año

Saldo del crédito al principio del año

Intereses devengados

Saldo del crédito al final del año

1 2 3 4 5 6 7 8

$1,000.00 1,400.00 1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16 4,194.30 3,355.44

$ 600.00 840.00 1,152.00 1,536.00 1,966.08 2,359.29 2,516.58 2,013.26

$1,600.00 2,240.00 3,072.00 4,096.00 5,242.88 6,291.45 6,710.88 5,368.70

r. II b

£

l

Amortización al final del año $ 200.00 320.00 512.00 819.20 1,310.72 2,097.15 3,355.44 5,368.70

Saldo del crédito al final del año después de deducir la amortización $1,400.00 1,920.00 2,560.00 3,276.80 3,932.16 4,194.30 3,335.00 0

i

l.

A. 10.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización Los tres métodos de amortización son presentados en forma gráfica en las figuras A. 10.1 y A. 10.2. Por ejemplo, en la figura A. 10.1 se muestra la amortización anual que resulta en cada método de amortización y la figura A.10.2 muestra el saldo del crédito al final del año. En estas gráficas se puede observar cómo el nuevo método de amortiza­ ción creciente tiene un comportamiento totalmente distinto al de los métodos tradicio­ nalmente usados. Este nuevo comportamiento representa para el nuevo método en cues­ tión una serie de ventajas y desventajas: Ventajas: Entre las ventajas que ofrece el método de amortización creciente, se pue­ den mencionar las siguientes: 1) Libera una gran cantidad de flujo de efectivo en los primeros años de vida del crédito, lo cual garantízala buena marcha del negocio en sus inicios, 2) Se mejoran los índices financieros de liquidez, puesto que el exceden­ te de efectivo que resulta de los intereses no liquidados normalmente aumenta los niveles de activo circulante de la empresa (los intereses no liquidados se convierten en pasivos de largo plazo), y 3) Puesto que las amortizaciones son pequeñas en los primeros años, el índice de cobertura se mejora significativamente.

Análisis comparativo de los métodos de amortización 211

FIGURA A.10.1. Amortización anual de lote tres métodos de amortización.

212 Apéndice A al capitulo 10

FIGURA A. 10.2. Saldo del crédito para los tres métodos de amortización.

Costo después de impuestos 213

Desventajas: Las ventajas anteriores pueden ser contrarrestadas o eliminadas si los excedentes del flujo de efectivo que se originan en las etapas iniciales del cré­ dito, no son manejados en forma efectiva y rentable. Las desventajas que pueden surgir al final de la vida del crédito son las siguientes: 1) El pasivo y los gastos finan­ cieros crecerán en forma excesiva, lo cual puede originar problemas de liquidez, y 2) La utilidad puede ser negativa.

A. 103 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE CON LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION

* En las secciones anteriores se hizo un análisis comparativo de los métodos tradicio­ nales de amortización con el nuevo método de amortización creciente. En este análisis se enfatizaron las ventajas que el método de amortización creciente tiene sobre los de­ más. Sin embargo, existe otro factor que es necesario considerar en la comparación de estos tipos de amortización. Este factor es el costo después de impuestos que resulta al utilizar diferentes formas de amortización. Este factor obviamente resulta más relevante y más objetivo al comparar y seleccionar la forma de amortizar un nuevo crédito. Por con­ siguiente, en esta sección se determinará, para cada tipo de amortización, el costo después de impuestos del ejemplo planteado al principio de este apéndice.

A.10.3.1 Costo después de impuestos cuando la amortización es constante Para determinar el costo después de impuestos cuando la amortización es constan­ te, es necesario hacer referencia a la tabla A.10.2, donde se puede observar que la amor­ tización anual durante 8 años para saldar un crédito de $1,000.00 será de $614.30. La diferencia entre esta cantidad y los intereses devengados que se muestran en la columna dos de la tabla A. 10.2 es precisamente el abono a capital. Consecuentemente, con la amor­ tización del principal y los intereses devengados se podrá determinar el costo después de impuestos. Esta información aparece en la tabla A. 10.7. Como se puede apreciar en esta tabla, el costo después de impuestos que resulta con este tipo de amortización es de 30%. Este costo, es la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna de la tabla A.10.7.

A. 103.2 Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos Para este caso en particular, el capital se amortiza en parte iguales, es decir, en $125.00 anuales y los intereses, por consiguiente, son sobre saldos insolutos. Los flujos de efectivo para calcular el costo después de impuestos, se muestran en la tabla A.10.8. En esta tabla se puede apreciar que la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna es de 30%. Consecuentemente, al igual que en el caso anterior el costo después de impuestos resulta el mismo, como era de esperarse.

214 Apéndice A al capítulo 10 TABLA A.10.7. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es constante.

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Flujo de efectivo antes de impuestos Capital Intereses 1,000.00 - 14.30 -22.90 -36.60 -58.60 -93.70 - 149.90 - 239.92 — 383.87

Cantidad deducible

A horro en impuestos

Flujo de efectivo después de impuestos

-600.00 -591.42 -577.69 -555.73 -520.58 -464.35 - 374.38 -230.43

300.00 295.71 288.84 277.86 260.29 232.17 187.19 115.21

1,000.00 -314.30 -318.59 -325.46 -336.44 -354.01 -382.13 -427.11 -499.09

- 600.00 -591.42 -577.69 -555.73 -520.58 -464.35 -374.38 -230.43

COSTO REAL = 30% A.10.3.3 Costo después de impuestos cuan^KlaamoíUzaUon es en forma creciente pero con valor presente constante Cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante, el flujo de efectivo que resulta al saldar el crédito en cuestión, se muestra en la tabla A. 10.6. En esta tabla se puede observar que en el primer año, por ejemplo, la amortización de $200.00 es menor a los intereses generados de $600.00, y en consecuencia, el pasivo aumen­ tará en $400.00. Sin embargo, se podrán deducir en el primer año de vida del crédito los intereses por valor de $600.00. Toda esta información aparece en la tabla A. 10.9. Para el año 2 (ver tabla A.10.6) la amortización es de $320.00 y los intereses devengados son de $840.00, por lo que el pasivo aumenta $520.00 y la cantidad a deducir será $840.00 (ver tabla A. 10.9). TABLA A.10.8. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos.

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Flujo de efectivo antes de impuestos Capital Intereses

Cantidad deducible

A horro en impuestos

Flujo de efectivo después de impuestos

1,000.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00

-600.00 -525.00 -450.00 -375.00 - 300.00 -225.00 - 150.00 - 75.00

300.00 262.50 225.00 187.50 150.00 112.50 75.00 37.50

1,000.00 -425.00 -387.50 -350.00 -312.50 -275.00 -237.50 - 200.00 - 162.50

-600.00 -525.00 -450.00 -375.00 -300.00 -225.00 - 150.00 - 75.00

COSTO REAL = 30%

Costo después de impuestos 215

Con base en lo anterior, se puede observar en la tabla A. 10.9 que en los primeros 6 años de vida del crédito, el pasivo aumenta hasta un valor de $4,194.3 (ver tabla A.10.6), cantidad que es amortizada en los años 7 y 8. Por otra parte, la cantidad que aparece co­ mo deducible en la tabla A. 10.9, es la columna 2 de la tabla A. 10.6. Finalmente, la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna es 11.9%. Como se puede observar, el costo después de impuestos que resulta con esta forma de amortiza­ ción, es mucho menor al obtenido en los dos casos anteriores. La explicación de esta diferencia en los costos, se basa en que en la última forma de amortización se deducen la totalidad de los intereses devengados, aunque no sean desembolsados.

A.10.4 COSTO DESPUES DE IMPUESTOS QUE SE OBTIENE EN LOS DIFERENTES METODOS DE AMORTIZACION, AL CONSIDERAR LA INFLACION

En las tablas A.10.10, A.10.11 y A.10.12 se muestra el costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización, al considerar una inflación anual de 60%. El costo real que resulta en los dos casos de amortización tradicional es de — 18.75%, y en cambio, con amortización creciente, el costo real que resulta es de — 30.03%. Se observa que la ventaja obtenida en costo con el método de amortización creciente se mantiene, así se considere o no la inflación. Más específicamente, Ja ventaja sin considerar inflación es de 18.1%, y considerándola es de 11.28%.

TABLA A.10.9. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son crecien­ tes con valor presente constante.

Año 0 1 2 3 4 5 6 7

8

Flujo de efectivo antes de impuestos Capital Intereses*

Cantidad deducible

Ahorro en impuestos

1,000.00 400.00 520.00 640.00 716.80 655.36 262.14 -838.86 -3,355.44

-600.00 -840.00 - 1,152.00 - 1,536.00 -1,966.08 -2,359.29 -2,516.58 -2,013.26

300.00 420.00 576.00 768.00 983.04 1,179.65 1,258.29 1,006.63

-200.00 - 320.00 -512.00 -819.20 -1,310.72 -2,097.15 -2,516.58 -2,013.26

Flujo de efectivo después de impuestos 1,000.00 500.00 620.00 704.00 665.60 327.68 - 655.36 -2,097.15 -4,362.07

COSTO REAL = 11.9% ♦Puesto que en los primeros seis años de vida del crédito la amortización es menor que los intereses devengados, entonces, en esta columna aparecerá precisamente dicha amortización. En los años 7 y 8 la amortización ya es mayor que los intereses devengados, y por consiguiente, en esta columna apare­ cen dichos intereses.

216 Apéndice A al capítulo 10

TABLA A.10.10. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es constante y se considera una inflación anual de 60%.

Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Flujo de efectivo antes de impuestos Intereses Capital

Cantidad deducible

A horro en impuestos

1,000.00 - 14.30 - 22.90 - 36.90 - 58.60 - 93.70 - 149.90 -239.92 -383.87

- 600.00 -591.42 -577.69 -555.73 -520.58 -464.35 - 374.38 — 230.43

300.00 295.71 288.84 277.86 260.29 232.17 187.19 115.28

- 600.00 -591.42 -577.69 - 555.73 -520.58 -464.35 -374.38 -230.43

Flujo de Flujo de efectivo . efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos (pesos corrientes) constantes) $1,000.00 -314.30 -318.59 -325.46 - 336.44 -354.01 -382.13 -427.11 i- 4997(19

$1,000.00 - 196.44 - 124.45 - 79.46 - 51.34 - 33.76 - 22.78 - 15.91 " = Thfó

COSTO REAL = - 18.75%

TABLA A.10.11. Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en par­ tes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos y además se considera una inflación anual de 60%.

A no 0 1 2 3 4 5 6 7 8'

Flujo de efectivo antes de impuestos Cap i tal In tere se s $1,000.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00 - 125.00

- 600.00 -525.00 -450.00 -375.00 -300.00 -225.00 - 150.00 - 75.00

Cantidad deducible - 600.00 -525.00 -450.00 ' -375.00 -300.00 -225.00 - 150.00 - 75.00

Ahorro en impuestos 300.00 262.50 225.00 187.50 150.00 112.50 75.00 37.50

COSTO REAL = - 18.75%

Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos (pesos corrientes) constantes) $1,000.00 -425.00 -387.50 -350.00 -312.50 -275.00 -237.50 -200.00 - 162.50

$1,000.00 — 265.63 - 151.37 - 85.45 - 47.68 - 26.23 - 14.16 7.45 3.78

Conclusiones 217

TABLA A.10.12. Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son cre­ cientes pero con valor presente constante, y además se considera una inflación anual de 60%.

. Año 0 1 '2 3 4 5 6 7 8

Flujo de efectivo antes de impuestos Cantidad Intereses deducible Capital $ 1,000.00 400.00 520.00 640.00 716.80 655.36 262.14 - 838.86 -3,355.44

— 200.00 - 600.00 - 320.00 - 840.00 - 512.00 - 1,152.00 - 819.20 - 1,536.00 - 1,310.72 - 1,966.08 -2,097.15 -2,359.29 -2,516.58 -2,516.58 -2,013.26 -2,013.26

A horro en impuestos 300.00 420.00 576.00 768.00 983.04 1,179.65 1,258.29 1,006.63

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)

$ 1,000.00 $ 1,000.00 500.00 312.50 620.00 242.19 704.00 171.88 665.60 101.56 327.68 31.25 - 655.36 39.06 -2,097.15 78.12 -4,362.07 101,56

COSTO REAL = - 30.03%

A.10.5 CONCLUSIONES Del análisis presentado en las secciones anteriores, se puede concluir que el nuevo sistema de amortización creciente que se utiliza en FICORCA y que en lo sucesivo se uti­ lizará en la mayoría de los créditos otorgados por FONEI, es muy atractivo y viene a lle­ nar un hueco que se requería satisfacer para sacar adelante a las empresas existentes, y asegurar la buena marcha de muchos de los negocios que se emprendan en lo sucesivo. En resumen, se puede decir que el nuevo método de amortización creciente pre­ senta las siguientes ventajas: 1) Libera flujo de efectivo en las primeras etapas de la vida del crédito, 2) Se mejoran los índices financieros de liquidez y de cobertura de deuda y 3) La principal, el costo después de impuestos que se obtiene, es mucho menor al obte­ nido con los métodos tradicionales de amortización. Además de las ventajas anteriores del nuevo método de amortización, conviene mencionar las condiciones principales en las que FONEI otorga sus créditos, y que son: 1) Los intereses se cobran vencidos y no en forma anticipada como se realiza tradicional­ mente en la banca comercial, 2) No se cobra comisión por apertura de crédito, 3) No se exige reciprocidad, 4) La diferencia que se cobra arriba de cpp es fija, y no revisable co­ mo normalmente se acostumbra en la banca comercial y 5) Las garantías físicas que se exigen por el crédito son menores a las que la banca exige para otorgar el crédito. En consecuencia, esta situación reduce aún más la tasa efectiva que resulta al utilizar un cré­ dito de FONEI. Finalmente, es conveniente mencionar que este nuevo sistema de amortización aún no se utiliza en forma generalizada. El principal obstáculo a vencer es la propia banca. Los argumentos que se exponen son los siguientes: 1) Inmovilizaría una gran cantidad de re­ cursos si una gran parte de los créditos se otorgan con el nuevo esquema, 2) Puesto que

218 Apéndice A al capítulo 10 el capital de la deuda no se revalúa, se tendría una pérdida al momento de recuperarlo. Obviamente, estos dos obstáculos pueden ser vencidos si se considera, para el primer caso,que no todos los créditos se cambiarían simultáneamente a amortización creciente. Esto significa que si los créditos con el nuevo esquema se otorgan en forma paulatina, con el paso del tiempo las amortizaciones de los créditos más antiguos podrán apoyar las peque­ ñas amortizaciones de los créditos más recientes, y con ello se eliminaría el problema de liquidez de la banca. Con respecto al segundo punto, si bien es cierto que el negocio para la banca no resulta tan atractivo con el nuevo esquema de pagos crecientes, también es cierto que a través de estos nuevos esquemas, la banca podrá contribuir en mayor medida al desarrollo económico de las empresas y de nuestro país.

SALDO DEL CREDITO CUANDO LA AMORTIZACION DE CAPITAL E INTERES ES CONSTANTE

El objetivo de este apéndice es demostrar que:

Z(1 +/)" (i + 0" -1

í(i + í)w+2

í(l + z)" + 1

(i + 0” -1

(1 + z)" - 1

=0

(1)

Por consiguiente, lo anterior se reduce a demostrar que:

i

(1 4- z)"+ í"-1) + - ■ - - (1 + z)w+ 2 + (1 + z’)"+ 1 +

(1 +0” - i + (1 + z)" } = (1 + z)"

(2)

Si se observa el lado izquierdo de la ecuación anterior, podemos detectar una progresión geométrica de razón (1 + í). Consecuentemente, la suma de esta parte de la ecuación la podemos obtener de acuerdo con el siguiente procedimiento: 5 = (1 + z)" + (i + z)”+1 +(i +z)" + 2 + .... (i +/yi+(n-i)

(3)

Si se multiplican ambos lados de esta ecuación por (1 + í) se obtiene: S (1 + i) = (1 + í)"+ 1 + (1 + í)"+ 2 + (1 + 0"+ 3 + • • • • (1 + 02w Si se resta la ecuación (3) de la (4) se obtiene:

(4)

Saldo del crédito 219

Si = (1 + i)2” - (1 + ¡y1 = (1 + f)»

s.

i

(1 + i)n - 1

Si se sustituye la ecuación (6) en (2) se obtiene: i

(1 + i)” - 1

(1 + 0* i

(i + 0* -1

Lo cual es exactamente lo que se quería demostrar.

= 0+0*

11 Efecto de inflación en el rendimiento de un proyecto y el costo de la fuente utilizada para financiarlo

Recientemente se ha publicado gran cantidad de literatura acerca del impacto de la inflación en el rendimiento de un proyecto de inversión. Sin embargo, en esta literatura solamente se menciona la gran disminución que en el rendimiento de un proyecto origina la inflación y no se enfatiza el hecho de que la inflación al mismo tiempo que disminuye el rendimiento del proyecto, disminuye considerablemente el costo real de las diferentes fuentes de financiamiento utilizadas por la empresa, llegando este costo a ser negativo en situaciones en las que la inflación es excesivamente alta. Es por estas razones que el objetivo del presente capítulo es mostrar un panorama completo de las dos caras de la moneda, es decir, a través de una serie de ejemplos se va a señalar y enfatizar el impacto de la inflación en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiarlo. La idea principal que se pretende mostrar en este capítulo es la consistencia con la que los proyectos de inversión deben ser evaluados. Por ejemplo, si una empresa no consi­ dera la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión, entonces, los ren­ dimientos probables de estos proyectos deben ser comparados con el valor nominal de su costo marginal de capital, o bien lo cual es más recomendable, con un valor de TREMA que sea mayor que este costo de capital. Por el contrario, si en una empresa la inflación es considerada en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, entonces, los rendimientos esperados de estos proyectos deben ser comparados con el valor real de su costo marginal de capital, o bien deberán compararse con un valor de TREMA en el cual se considere el efecto positivo que la inflación tiene en el costo marginal del capital (sobre todo, en los pasivos captados a largo plazo y a tasa fija). También, es conveniente señalar que en la mayoría de las situaciones prácticas, las empresas consideran la inflación en la evaluación de sus nuevos proyectos de inversión. Sin embargo, estas mismas empresas normalmente comparan los rendimientos así obtenidos, con el valor nominal de su costo marginal de capital. Obviamente, con esta práctica se tendería a rechazar una gran cantidad de proyectos que lejos de perjudicar, beneficirían la situación financiera de la empresa. Finalmente, conviene señalar que en los ejemplos que se presentarán posteriormente en este capítulo, se supone que los proyectos de inversión van a ser financiados con un cré­ dito hipotecario de largo plazo y a tasa fija. 221

222 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto 11.1 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO . La tasa interna de rendimiento (ver capítulo 5) como se le llama frecuentemente, está definida como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ingresos y egresos, es decir, la tasa interna de rendimiento de una propuesta de inversión es aquella tasa de interés ( í*) que satisface la ecuación. n St

s ---------

=0

(11-1)

t = 0(1+ í*/

donde es el flujo de efectivo neto después de impuestos en el período t. Sin embargo, la expresión anterior sólo es válida cuando no existe inflación. En el caso de que exista una tasa de inflación promedio anual de ( z ■), la ecuación anterior debe ser escrita en la forma siguiente. n yf/(l +/.)f s --------------------- — =0 r = o (l+z*)f

(11-2)

Esta última ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos de efectivo futuros. Si la ta­ sa de inflación es cero, entonces la ecuación (11.2) se transforma idéntica a la (11.1).

11.2 EFECTO DE LA INFLACION SOBRE EL COSTO DE UN CREDITO HIPOTECARIO El flujo de efectivo para la empresa que origina un crédito hipotecario (ver capítulo 10), es como sigue:

P 1

2

j

n

Pln+Pi(\ln) ) Pln+Pi(\?\ln\

Pln+Pi(\-(j-\)ln)

P¡n+Pi donde: P = magnitud del préstamo solicitado. n = plazo concedido para pagar el préstamo (años). i = tasa nominal de interés sobre saldos. NOTA: St puesto que en Sj se están considerando las tasas de inflación prevalecientes en la eco­ nomía nacional

Efecto de la inflación 223 y el costo antes de impue.stos de esta alternativa de financiamiento, sería la tasa de interés (Ah) Que satisface la ecuación: n

«(l-(/-l)/n)+P/n ----------------------- :------- -0

P- s 7-

(!+**)'

(H.3)

y puesto que los intereses que origina el préstamo son deducibles, el costo después de im­ puestos de un crédito hipotecario, sería la tasa de interés (K'h) que satisface la ecuación:

PÍ(l-(/-l)/nXl-0+^/« (1 + Kft)'

(H.4)

Sin embargo, la expresión anterior es válida para situaciones en las cuales no exista infla­ ción. Para casos en los cuales existe una tasa de inflación promedio anual de (i¿) la expresión anterior se transforma en:

Pf(l-(/-l)/MXl-r)+P/M (11.5)

a + Kk y a +yí

y al igual que para el rendimiento de un proyecto, cuando la tasa de inflación es cero, esta ecuación se transforma idéntica a la (11.4).

11.3 EFECTO DE LA INFLACION EN LA ACEPTACION DE UN PROYECTO DE INVERSION En capítulos anteriores se explicó cómo la inflación afecta el rendimiento de un pro­ yecto (capítulo 9) y el costo real de un crédito hipotecario (capítulo 10). Sin embargo, el rendimiento de un proyecto es menos afectado por la inflación que el costo de un crédito hipotecario. Tal aseveración es válida puesto que en el proyecto de inversión, los flujos de efectivo que el proyecto genera, están creciendo de acuerdo a las tasas de inflación pre­ valecientes en nuestra economía, y en cambio en el crédito hipotecario, los desembolsos para la empresa ya están fijos (suponiendo que el préstamo se haya obtenido en moneda nacional y a una tasa fija) desde el momento de pactar el préstamo. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé­ rico: considere que una empresa planea emprender un proyecto de inversión, el cual requiere de una inversión inicial de $100,000 y promete generar flujos de efectivo antes de deprecia­ ción e impuestos de $40,000 anuales. La vida útil de esta nueva inversión se estima en 5 años, al final de los cuales no habrá ninguna recuperación económica. También, considere que la empresa utiliza depreciación en línea recta y paga impuestos a una tasa del 50%. Por

224 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto otra parte, suponga que la empresa para financiar este proyecto de inversión, ha obtenido de una institución bancaria del país, un préstamo de $100,000 a 5 años y a una tasa del 20% anual sobre saldos. Con esta información se determinan primero, los flujos de efectivo después de im­ puesto que genera el proyecto (ver tabla 11-1). Para estos flujos de efectivo, la tasa interna de rendimiento que se obtiene al aplicar la ecuación (11.1) es de 15.3% . En seguida, se determina con la ayuda de la ecuación (11.4), el costo después de impuestos del crédi­ to hipotecario con el cual se va a financiar el proyecto, el cual aparece en la tabla 11-2. Como se puede observar en esta tabla, el costo después de impuestos de dicho préstamo es del 10%. Puesto que el rendimiento esperado del proyecto es mayor que el costo de la fuen­ te con la cual se va a financiar, entonces, vale la pena emprender este proyecto de inversión. Después de este breve análisis, veamos qué le pasa al rendimiento del proyecto y al costo del crédito hipotecario, si en las evaluaciones respectivas, se considera por ejemplo un 20% de inflación promedio anual. Primeramente en la tabla 11-3, se muestran los flujos de efectivo después de impuestos a pesos constantes que genera el proyecto. También en esta tabla se muestra que aplicando la ecuación (11.2), la tasa interna de rendimiento que se obtiene con este proyecto al considerar una tasa de inflación anual del 20%es de 9.7% . Por otra parte, en la tabla 11-4 se muestran los flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario para el caso de considerar inflación. En esta tabla se puede observar que aplicando la ecuación (11.5) el costo real que se obtiene para esta fuenté de financiamiento es de -8.3%. Los resultados anteriores confirman lo que se decía al principio de esta sección, es decir, la inflación castiga más a la fuente de finaneiamiento que al proyecto de inversión. Por ejemplo, para el caso anterior, el rendimiento del proyecto baja de 15.2% a 9.7%y el costo del crédito baja de 10% a -8.3% si la inflación es considerada. El ejemplo anterior muestra un caso en el cual el proyecto de inversión es aceptado sin o considerando la inflación. Sin embargo, uno de los objetivos de este capítulo es mos­ trar cómo un proyecto que es rechazado en condiciones normales (sin inflación), sería aceptado considerando la inflación. Para tal propósito, suponga que en el mismo proyecto presentado anteriormente, los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar de ser de $40,000 son de $30,000 anuales. Para esta modificación, la tabla 115 muestra el rendimiento que se obtiene en este proyecto de inversión (7.9% ) si la inflación no es considerada. Puesto que el costo del crédito después de impuestos sin considerar inflación es de 10% , entonces, este proyecto debe de ser rechazado. De acuerdo al análisis anterior, el nuevo proyecto de inversión debe ser rechazado porque su rendimiento es menor al costo de la fuente utilizada para financiarlo. Sin embar­ go, veamos qué pasa si en la evaluación de este nuevo proyecto, se considera una tasa de inflación del 20% anual. Para esta suposición, la tabla 11.6 muestra el nuevo rendimiento obtenido, el cual resulta ser de 1.7% . Lo anterior significa que considerando una tasa de inflación del 20% ,el nuevo proyecto debe ser aceptado puesto que su rendimiento (1.7%) es mayor que el costo del crédito utilizado para emprenderlo (-83%). Los resultados anteriores no son nada sorprendentes, puesto que la inflación al be­ neficiar más al costo de la fuente utilizada (crédito hipotecario), era de esperarse que un proyecto que era malo en sí, resultara bueno al tomar en cuenta la inflación. Finalmente, también de estos resultados se puede concluir que a medida que aumen­ ta la tasa de inflación anual, es más probable que un proyecto malo se transforme en atractivo.

Efecto de la inflación 225 • TABLA 11-1. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar la inflación.

Año

Flujo de afectivo antes de impuestos

0 1-5

-$100,000 40,000

Depreciación

- 20,000

Ingreso gravable

Impuestos

20,000

10,000

Flujos de efectivo después de impuestos -$ 100,000 30,000

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 15.2% TABLA 11-2. Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario sin considerar inflación. Flujo de efectivo antes de impuestos

Año

0

i

2 3 4 5

Ingreso gravable

CAP.

INT.

$ 100,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000

-20,000 -16,000 -12,000 - 8,000 - 4,000

-20,000 -16,000 -12,000 - 8,000 - 4,000

Ahorro en impuestos

10,000 * 8,000 6,000 4,000 2,000

Flujo de efectivo después de impuestos

$ 100,000 30,000 - 28,000 - 26,000 24,000 - 22,000

COSTO DEL CREDITO = 10%

TABLA 11-3. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación del 20% anual.

Flujo de efectivo antes de Año impuestos 0 1 2 3 4 5

-$100,000 48,000 57,600 69,120 82,944 99,533

Depreciación

Ingreso gravable

Impuestos

Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de impuestos impuestos (pesos co­ (pesos rrientes) constantes)

-20,000 -20,000 -20,000 -20,000 -20,000

28,000 37,600 49,120 62,944 79,533

-14,000 -18,800 -24,560 -31,472 -39,766

-$100,000 -$100,000 34,000 28,333 38,800 26,944 44,560 25,787 51,472 24,822 59,767 24,019

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 9.7%

226 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto TABLA 11-4. Flujos de efectivo después de impuestos del crédito hipotecario considerando una inflación del 20% anual. Flujo de Flujo de efectivo efectivo después de después de Flujo de ipipuestos impuestos efectivo (pesos Ahorro en (pesos co­ Ingreso antes de constantes) impuestos rrientes) gravable A ño impuestos INT.

CAP. 0 1 2 3 4 5

$ 100,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000

-20,000 -16,000 -12,000 - 8,000 - 4,000

-20,000 -16,000 -12,000 - 8,000 - 4,000

10,000 8,000 6,000 4,000 2,000

$ 100,000 - 30,000 - 28,000 - 26,000 - 24,000 - 22,000

$ 100,000 - 25,000 - 19,444 - 15,046 - 11,576 8,841

COSTO DEL CREDITO = - 8.3% TABLA 11-5. Flujos de efectivo después de impuestos sin considerar inflación.

Año

Flujo de efectivo antes de impuestos

Depreciación

0 1-5

-$100,000 30,000

- 20,000

Ingreso gravable * 10,000

Impuestos

Flujo de efectivo después de impuestos

5,000

-$100,000 25,000 -

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 7.9% TABLA 11-6. Flujos de efectivo después de impuestos considerando una tasa de inflación del 20% anual.

Flujo de efectivo antes de Año impuestos 0 1 2 3 4 5

-$100,000 36,000 43,200 51,840 62,208 74,650

Depreciación

Ingreso gravable Impuestos

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos co­ rrientes)

- 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000 - 20,000

16,000 23,200 31,840 42,208 54,650

-$100,000 -$100,000 23,333 28,000 21,944 31,600 35,920 20,787 19,823 41,104 47,325 19,019

8,000 • 11,600 15,920 21,104 27,325

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 1.7%

Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)

* Problemas 227 11.4 CONCLUSIONES La conclusión más importante de este capítulo es comprender que la inflación no sólo castiga los méritos económicos y financieros de un proyecto de inversión, sino que también y en mayor grado, los costos de las diferentes fuentes de fmanciamiento son re­ ducidos. Lo anterior significa que bajo ciertas condiciones, proyectos que deben ser recha­ zados, son aceptados si en las evaluaciones económicas se toma en cuenta la inflación. También, vale la pena señalar que ciertas fuentes de fmanciamiento son más afecta­ das por la inflación. Por ejemplo, es obvio que un préstamo de largo plazo, con tasa fija y en moneda nacional; captado en ambientes crónicos inflacionarios, cuesta mucho menos que un préstamo captado en las mismas circunstancias, pero con tasas flotantes y en mo­ neda extranjera. Lo anterior es obvio, puesto que un fmanciamiento en moneda extranje­ ra presenta el peligro de cambios de paridad.

PROBLEMAS La corporación x desea incursionar en un nuevo negocio cuya inversión inicial re­ querida es de $100 millones ($70 millones de activo fijo y $30 millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 5 años y el valor de rescate al término de este tiempo es un 20% del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos que se esperan de este proyecto antes de depre­ ciación e impuestos son de $40 millones anuales, la tasa de impuestos es de 50%, y la tasa de inflación promedio anual en los próximos años es de 15%, ¿cuál es la tasa interna de rendimiento que promete rendir este proyecto? Por otra parte, la corporación x para financiar este proyecto de inversión, va a emi- tir $30 millones en obligaciones a una tasa del 22% con vencimiento a 5 años (los gastos de esta emisión se asumen en $600,000). También, la corporación x ha con­ seguido un préstamo hipotecario de $20 millones a cinco años, a una tasa de interés de 20% sobre saldos y los gastos que originó la captación de este préstamo fueron del orden de $500,000.Finalmente, la corporación x va a emitir acciones comunes por valor de $50 millones, las cuales originarán gastos adicionales de $ 1 millón. La corporación x piensa repartir $10 millones en dividendos el primer año, los cuales se espera que crezcan a una razón del 8% anual. Bajo esta situación, ¿debería la corporación x emprender el nuevo proyecto de inversión? Cambiaría su decisión esta corporación si los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos en lugar de ser de $40 millones son de $30 millones? 11.2. La compañía z desea emprender un proyecto de inversión cuya inversión inicial requerida es de $40 millones ($30 millones de activo fijo y $10 millones de activo circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 10 años y el valor de rescate al término de este tiempo es un 10% del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes de depredación e impuestos son de $ 10 millones anuales, la tasa de impuestos es de 50%, y el proyecto va a ser financiado con el crédito descrito en el problema 10-6, ¿debería la compañía z seguir adelante con el nuevo proyecto de inversión? (Asu­ ma la misma tasa de inflación del problema 10-6.) 11.3. La compañía w está interesada en entrar en un negocio cuya inversión inicial re­ querida es de $115 millones ($80 millones de activo fijo y $35 millones de activo

11.1.

228 Efecto de la inflación en el rendimiento de un proyecto •

11.4.

I

circulante). El activo fijo se va a depreciar en línea recta en un período de 10 años y el valor de rescate al término de este tiempo es un 15% del activo fijo y un 100% del activo circulante. Si los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes de depreciación e impuestos sonde $35 millones anuales, la tasa de impuestos es de 50% , y el proyecto va a ser financiado con el pasivo descrito en el problema 10r7, ¿debería la compañía w aceptar este proyecto de inversión? (Asuma la misma tasa de inflación del problema 10-7.) La compañía y por su rápido crecimiento requiere de la adquisición de una com­ putadora. Ya se han iniciado las investigaciones respectivas y se ha decidido comprar una hp-3000 cuyo costo inicial es de $3,000,000. Esta compañía estima que los beneficios (ahorro en personal, mejor control de las operaciones de la empresa, in­ formación más confiable, periódica y oportuna, etc.) potenciales de esta compu­ tadora serán de $1,000,000 anuales. Además, este activo va a ser depreciado en línea recta en un período de 5 años, y el valor de rescate al término de este tiempo se estima en $500,000. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la computadora va a ser arrendada en los términos descritos en el problema 10-10, ¿debería la compa­ ñía arrendar la computadora? (Asuma las mismas tasas de inflación del problema 10-10.)

12 Distinción entre decisiones de inversión y decisiones de financiamiento

Los beneficios que en el largo plazo una empresa puede lograr, dependen en gran parte de la forma en que los siguientes problemas son resueltos: 1) Selección de ñfentes de financiamiento adecuadas, y 2) Racionamiento del capital obtenido entre las diferen­ tes propuestas de inversión disponibles. Las dos decisiones anteriores deben manejarse en forma separada. La selección de propuestas de inversión debe basarse en los méritos finan­ cieros de cada propuesta, independientemente de la fuente o costo de la fuente con que se financia cada propuesta. Los fondos para inversión que una empresa posee deben ser con­ siderados como una caja fuerte en la cual no se pueden separar en compartimientos, el capital obtenido de cada una de las diferentes fuentes de financiamiento. Además, el pro­ blema de seleccionar la fuente de financiamiento más adecuada debe ser resuelto indepen­ dientemente de la utilización que se le den a los fondos obtenidos, y se debe basar en los méritos de cada fuente, esto es, la fuente seleccionada debe ser aquella de menor costo y al mismo tiempo aquella que represente el menor riesgo para la empresa. 12.1 DECISION DE INVERSION Y DECISION DE FINANCIAMIENTO El procedimiento lógico de selección de propuestas de inversión, debe ser basado en la medición de los méritos financieros de cada propuesta de acuerdo a alguna base de comparación, tales como: Tasa intema de rendimiento, valor presente, período de recupe­ ración, retomo sobre la inversión, etc. En seguida, después de haber justificado la pro­ puesta, esto es, después de comprobar que dicha propuesta tiene una TIR mayor que TREMA o un valor presente mayor míe cero y además un período de recuperación acep­ table, se debe seleccionar la fuente de financiamiento más adecuada (menor costo y menor riesgo). Lo anterior significa que en algunas ocasiones es posible identificar las posibles fuentes de financiamiento que se pueden utilizar en una determinada propuesta. Sin em­ bargo, si no es posible hacer tal identificación, la propuesta debe ser aceptada, puesto que su rendimiento esperado es mayor que el costo ponderado de las diferentes fuentes de fi­ nanciamiento que la empresa utiliza. Con el propósito de aclarar estas ideas, a continuación se resuelve un ejemplo numé­ rico: Suponga que una empresa planea adquirir un nuevo activo el cual cuesta $25,000, y 229

230 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento promete generar flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos de $15,000 anuales. La vida útil de este activo se estima en 5 años, al final de los cuales no habrá ninguna recu­ peración monetaria. Además asuma que la empresa utiliza depreciación en línea recta, paga impuestos a una tasa del 50% y ha fijado su TREMA en 25%. • Con esta información se determinan primeramente los flujos de efectivo después de impuestos, los cuales se muestran en la tabla 12-1. Para estos flujos de efectivo la tasa in­ terna de rendimiento que se obtiene es de 28.6%. Como la TIR > TREMA se justifica aceptar la propuesta de inversión. Es muy importante señalar que la justificación de la deseabilidad económica de la propuesta supone implícitamente financiarla con fondos que provienen en su totalidad del capital contable. TABLA 12-1. Flujo de efectivo después de impuestos suponiendo que la inversión total fue obtenida de los dueños de la empresa.

li w

Año

Flujo de afectivo antes de impuestos

i

0 1-5

-25,000 15,000

Depreciación

-5,000

Ingreso gravable

10,000

Impuestos

-5,000

Flujo de efectivo después de impuestos -25,000 10,000

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 28.6%.

Después de haber justificado la propuesta, el siguiente paso sería identificar las posi­ bles formas de financiarla. Posteriormente se haría un análisis de las mismas, con el propó­ sito de seleccionar la más adecuada. Cabe hacer la aclaración, que en la mayoría de los casos no es posible identificar las fuentes de financiamiento que se van a utilizar en una determinada propuesta. En tales casos, la propuesta de inversión deberá ser emprendida ya que sus méritos económicos y financieros la hacen atractiva, independientemente de la forma como esta propuesta pueda ser financiada. Para propósitos de aclarar la metodología que se debe seguir en la selección de la fuente de financiamiento más adecuada, se va a suponer que la propuesta de inversión puede ser financiada de dos maneras: 1) Pedir prestado los $25,000 a una tasa de interés del 20%. Los intereses serían pagados al final de cada año y el principal al final del quinto año. 2) Arrendar el activo pagando una renta anual de $8,500. Para estas dos posibles formas de financiamiento, se muestran primero, en la tabla 12.2, los flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el activo es financiado con pasivo y en la tabla 123 se muestran dichos flujos para el caso de arrendar el activo. Con estos flujos y los presentados en la tabla 12.1 se obtienen los flujos con los cuales se obtiene el costo de cada fuente de financiamiento, es decir, el costo del pasivo por ejem­ plo, es aquella tasa de interés para la cual el valor presente de los flujos presentados en la tabla 12.1 es igual al valor presente de los flujos presentados en la tabla 12.2*. Lo anterior es equivalente a determinar la tasa de interés para la cual el valor presente de la diferencia entre los flujos mencionados es igual a cero. Los flujos de efectivo diferenciales de la al­ ternativa pedir prestado, son mostrados en la tabla 12.4, y en la tabla 12.5 aparecen los * Los costos de estas fuentes de financiamiento también se pueden obtener utilizando las ecuaciones desarrolladas en el capítulo 10.

Decisión de inversión y de firtanciamien to 231 flujos diferenciales de la alternativa arrendar el equipo. De los flujos diferenciales mostra­ dos en las tablas 12.4 y 12.5 se obtienen los costos de financiamiento de cada alternativa, los cuales en este caso resultan ser de: 10% para la alternativa pedir prestado y 10.9% para la alternativa arrendar el equipo. TABLA 12-2. Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es finan­ ciado en su totalidad con pasivo.

0 1 2 3 4 5

Flujos de efectivo antes de impuestos Depreciación

Intereses

Ingreso gravable

0 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000

-5,000 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000

5,000 5,000 5,000 5,000 5,000

-5,000 -5,000 -5,000 —5,000 -5,000

Flujos de efectivo después Impuestos Principal de impuestos -2,500 -2,500 -2,500 -2,500 -2,500

0 7,500 7,500 7,500 7,500 -25,000—17,500

TABLA 12.3 Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es arrendado. Flujos de Flujos de efectivo efectivo Ingreso después de antes de Renta * Año Impuestos gravable impuestos impuestos 0 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000

0 1 2 3 4 5

-8,500 -8,500 -8,500 -8,500 -8,500 -8,500

6,500 6,500 6,500 6,500 6,500 6,500

0 3,250 3,250 3,250 3,250 3,250

-3,250 -3,250 -3,250 -3,250 -3,250 -3,250

TABLA 12.4 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa “pedir prestado”.

A ño

Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.1

Flujo de efectivo después de impuestos Tabla 12.2

0 1 2 3 4 5

-25,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

• 7,500 7,500 7,500 7,500 -17,500

Diferencia (Tabla 12.1-Tabla 12.2) -25,000 2,500 2,500 2,500 2,500 27,500

COSTO DEL PRESTAMO = 10% ♦Se asume que el plazo del contrato es igual a la vida fiscal del activo, y por consiguiente, la renta es deducible en un 100%en el período en que se incurre (ver ecuación 10.16).

232 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 12.5 Flujos de efectivo diferenciales para la alternativa “arrendar el activo”.

Ano

Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.1

Flujos de efectivo después de impuestos Tabla 12.3

Diferencia (Tabla 12.1-Tabla 12.3)

0 1 2 .3 4 5

-25,000 . 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

0 3,250 3,250 3,250 3,250 3,250

-25,000 6,750 6,750 6,750 6,750 6,750

COSTO DE ARRENDAMIENTO = 10,9%

P í

*

I

9

Del análisis anterior, es obvio que la mejor forma de financiar el activo es a través de un préstamo.

12.2 COMBINACION DE LA DECISION DE INVERSION Y LA DECISION DE FINANCIAMIENTO En el inciso anterior se explicó que el procedimiento normal de selección de propuestas consiste de: • Justificación de la propuesta. • Cuando sea posible, seleccionar la fuente de financiamiento más adecuada. Sin embargo, sería interesante analizar los resultados y las conclusiones que se ob­ tienen cuando en la evaluación de una propuesta mala (TIR < TREMA) se combina la decisión de inversión con la decisión de financiamiento. Para tal propósito, suponga que en el ejemplo anterior, los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos son de $12,000 en lugar de $15,000. Con esta nueva suposición los flujos de efectivo después de impues­ tos que se obtienen se muestran en la tabla 12.6. Para tales flujos de efectivo la TIR que se obtiene es de 20.8%. Como la TIR obtenida es menor que el rendimiento mínimo re­ querido por la empresa, entonces, la propuesta de inversión debe ser rechazada. Sin embargo, veamos qué pasa si en el análisis económico de esta propuesta, consideramos la forma co­ mo ésta va a ser financiada. Para tal efecto, se va a suponer que la empresa pedirá prestado específicamente para dicha propuesta a una tasa de interés del 20% sobre saldos. Bajo esta nueva situación, se va a suponer primero que el 20% del valor total del activo va a ser financiado a través de pasivo. La tabla 12.7 muestra los flujos de efectivo después de impuestos y la TIR que se obtiene para tal suposición. Como puede apreciar­ se, el simple hecho de suponer que parte de la inversión será financiada con pasivo, aumenta la tasa interna de rendimiento de la propuesta.

Combinación de decisiones 233 En las tablas 12.8,12.9 y 12.10, se muestra el mismo tipo de análisis para el caso de financiar el 40%, 60% y 80% del valor total del activo, respectivamente. Como puede ob­ servarse, a medida que aumenta la proporción de pasivo en la inversión total, la TIR aumenta más que proporcionalmente, llegando en el caso teórico a ser 00 cuando toda la inversión es financiada con pasivo. En la figura 12.1, se muestra el comportamiento de la TIR para diferentes proporciones de pasivo en la inversión total. En esta figura, se pue­ de observar que la propuesta tiende a ser cada vez mejor (en forma exponencial) a medida que se utiliza más pasivo para financiarla. Tal resultado no es sorprendente, ya que los in­ tereses, al ser deducibles, convierten a la propuesta en más deseable a medida que la pro­ porción de pasivo aumenta. Sin embargo, es conveniente volver a puntualizar que una propuesta debe ser aceptada de acuerdo a sus méritos económicos y financieros, indepen­ dientemente de la forma como se financie. Finalmente, en la mismafigura 12.1 se puede apreciar que si las decisiones de inversión y de financiamiento son combinadas, la propuesta se aceptaría para niveles de pasivo arri­ ba del 35% del valor total del activo. Por otra parte, conviene resaltar el hecho de que las malas decisiones que resultan de usar el método de la TIR, son exactamente las mismas que resultarían de usar el méto­ do del valor presente, es decir, si la decisión de inversión y la decisión de financiamiento son combinadas y el método del valor presente es utilizado, el proyecto se recharazaría para niveles de pasivo cercanos a cero (valor presente negativo) y el proyecto resultaría atracti­ vo para niveles de pasivo arriba del 35% del valor total del activo (ver figura 12.2). TABLA 12.6. Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo que el activo es financiado con capital 1 contable. Flujos de Flujos de efectivo efectivo después de Ingreso antes de impuestos Impuestos gravable Depreciación impuestos Año 0 1-5

-25,000 12,000

-5,000

7,000

-25,000 8,500

-3,500

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 20.8%. TABLA 1X7. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el 20% del valor total del activo es financiado con pasivo. Flujos de efectivo antes de Año impuestos 0 -20,000 12,000 1 12,000 2 12,000 3 412,000 12,000 5

Depreciación Intereses

Ingreso gravable Impuestos

Pagos al prin­ cipal

-5,000 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000

6,000 6,200 6,400 6,600 6,800

-1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000

-1,000 - 800 - 600 - 400 - 200

-3,000 -3,100 -3,200 -3,300 -3,400

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 23.2%

Flujos de efec­ tivo des­ pués de impues-. tos -20,000 7,000 7,100 7,200 7,300 7,400

234 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento TABLA 12.8. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el 40% del valor total del activo es financiado con pasivo. Flujos de efectivo Flujo de Pagos después de efectivo al prin­ impues­ Ingreso antes de cipaltos Año impuestos Depreciación Intereses gravable Impuestos 0 1 2 3 4 5

-15,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000

-5,000 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000

-2,000 -1,600 -1,200 - 800 - 400

5,000 5,400 5,800 6,200 6,600

-2,500 -2,700 -2,900 -3,100 -3,300

-2,000 -2,000 -2,000 -2,000 -2,000

-15,000 5,500 5,700 5,900 6,100 6,300

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 27%

TABLA 12.9. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el 60% del valor total del activo es financiado con pasivo.

Flujos de efectivo antes de Año impuestos 0 1 2 3 4 5

-10,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000

Depreciación Intereses -5,000 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000

-3,000 -2,400 -1,800 -1,200 - 600

Ingreso gravable 4,000 4,600 5,200 5,800 6,400

Flujos de efecízvo des­ Pagos pués de al prin­ impues­ cipal tos

Impuestos -2,000 -2,300 -2,600 -2,900 -3,200

-3,000 -3,000 -3,000 -3,000 —3,000

-10,000 4,000 4,300 4,600 4,900 5,200

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 34.1%

TABLA 12.10. Flujos de efectivo después de impuestos, suponiendo que el 80% del valor total del activo es financiado con pasivo.

Flujos de efectivo antes de Ano impuestos 0 1 2 3 4 5

-5,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000

Depreciación Intereses -5,000 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000

-4,000 -3,200 -2,400 -1,600 - 800

Ingreso gravable Impuestos 3,000 3,800 4,600 5,400 6,200

-1,500 -1,900 -2,300 -2,700 -3,100

Flujos de efecvo des. pués de Pagos al impues­ principal tos -4,000 -4,000 -4,000 -4,000 -4,000

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 52.5%

-5,000 2,500 2,900 3,300 3,700 4,100

Combinación de decisiones 235

FIGURA 12.1. Comportamiento de la TIR para diferentes proporciones de pasivo en la inversión total.

236 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento

—--------- ► PASIVO INV. TOTAL

FIGURA 12.2. Comportamiento del VPN para diferentes proporciones del pasivo en la inversión total.

Problemas 237 12.3

CONCLUSION

La conclusión más importante de este capítulo es que las decisiones de inversión y de financiamiento, se deben hacer en forma separada. Combinar estas dos decisiones nos pue­ den llevar a aceptar propuestas malas, sobre todo cuando disminuye la aportación de los accionistas con respecto a la inversión total. Las ideas presentadas en este capítulo también se pueden hacer extensivas a la adquisición o fusión de empresas ya existentes, o al establecimiento de nuevas empresas. En tales circunstancias, considerar como inversión inicial la aportación de los accionistas al capital contable de la empresa adquirida, o de la nueva empresa establecida, tiende a producir el efecto ilusorio de un alto rendimiento. Sin embargo, un análisis económico co­ rrecto debe considerar como inversión inicial: 1) Para el caso de adquirir una empresa en operación; el valor de mercado de su capital contable, más el pasivo que actualmente tiene la empresa, y 2) Para el caso de establecer o iniciar una nueva empresa; los activos totales requeridos (activo circulante, más activo fijo).

PROBLEMAS 12.1.

12.2.

12.3.

La compañía X desea incursionar en el negocio de fraccionar terrenos. Específica­ mente, a esta compañía se le ha ofrecido un terreno de 10 hectáreas de área vendi­ ble, a un precio de $20,000,000. La compañía estima que la venta y urbanización de los lotes tardará 2 años. En el primer año la compañía estima que gastará $10 millones en gastos de urbanización y $3 millones por gastos de venta (comisiones), y en el segundo año los gastos serán de $8 millones y $3 millones respectivamente. Por otra parte, los ingresos estimados en los próximos 7 años son de $8, $10, $12, $14, $15, $15 y $15 millones respectivamente. Si la tasa de impuestos es de 50%, y la compañía tiene que pagar por el terreno $10 millorles ahora y el resto a un plazo de 5 años y a una tasa de interés de 20% sobre saldos. ¿Debería la compañía adquirir el terreno y fraccionarlo? ¿Cuál es la TIR de este proyecto si la decisión de inversión y de financiamiento son combinadas? Cierta empresa planea adquirir un nuevo activo cuyo costo inicial es de $750,000. Los flujos de efectivo antes de depreciación e impuestos que promete generar este activo son de $300,000 anuales. La vida fiscal de este activo es de 5 años al final de los cuales no existirá ninguna recuperación monetaria. Además, esta empresa paga impuestos a una tasa del 50%, y ha fijado su TREMA en 25%. Por otra parte, la empresa considera que este activo puede ser financiado de dos maneras: 1) Pedir prestados los $750,000 a una tasa del 20% sobre saldos y 2) Arrendar el activo. El plazo del contrato sería de 5 años y la renta anual de $250,000. Si el activo es arrendado, la empresa comprará el activo al final del año 5 a un pre­ cio de $40,000. Para la información anterior, ¿cuál fuente de financiamiento debe la empresa se­ leccionar? Si la decisión de inversión y de financiamiento son combinadas, deter­ mine una gráfica que relacione TIR con la proporción de pasivo en la inversión total. (Considere proporciones de 20%, 40%, 60%, 80% y 90%.) A la corporación “B” se le ha ofrecido en venta la compañía X. La estructura fi­ nanciera actual y las utilidades proyectadas para los próximos 10 años de esta compañía son como sigue:

238 Distinción entre decisiones de inversión y de financiamiento Estado de situación financiera

Activo circulante Activo fijo

Año Utilidades netas después de impuestos Depreciación

$30,000,000

$50,000,000

Pasivo total

70,000,000

50,000,000

Capital contable

Proyección de utilidades (millones de pesos) 12 3 4 5 6 7 8

9

10

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Si la TREMA de la corporación “B” es de 25%, ¿cuál es la cantidad máxima que esta corporación estaría dispuesta a pagar por la compañía X? (no tome en cuenta la forma en que la corporación se va a financiar, o el pasivo actual que puede se­ guir utilizando dicha corporación). ¿Cuál sería el rendimiento sobre el capital con­ table si la corporación compra $36 millones del capital contable de la compañíaXI

13 Análisis de sensibilidad

Generalmente hay un elemento de incertidumbre asociado a las alternativas estudia­ das. No sólo son problemáticos los estimativos de las condiciones económicas futuras, si­ no que además los efectos económicos futuros de la mayoría de los proyectos solamente son conocidos con un grado de seguridad relativo. Es precisamente esta falta de certeza sobre el futuro lo que hace a' la toma de decisiones económicas una de las tareas más difí­ ciles que deben realizar los individuos, las industrias y el gobierno. Además, es un hecho que los tomadores de decisiones rara vez se conforman con los resultados simples de un análisis. Generalmente lo que a estas personas les interesa es un rango completo de los posibles resultados que pueden ocurrir como una consecuencia de variaciones en las estimaciones iniciales de los parámetros del proyecto. Por consiguiente, un estudio económico completo debe de incluir la sensibilidad de los criterios económicos a cambios en las estimaciones usadas.

13.1 SENSIBILIDAD DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL La sensibilidad de una propuesta individual debe hacerse con respecto al paráme­ tro más incierto. Por ejemplo, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga mucha incertidumbre con respecto al precio unitario de venta de los productos o servicios que se pretenden comercializar. En estos casos, es muy conveniente determinar qué tan sensible es la TIR o el VPN a cambios en las estimaciones del precio unitario de venta, es decir, para este tipo de situaciones es muy recomendable determinar el precio unitario de venta a partir del cual la propuesta sería económicamente atractiva. También, es posible que en la evaluación de una propuesta se tenga incertidumbre con respecto a los costos que se van a incurrir, o con respecto a la vida de la propuesta. En estos casos, también es posible determinar una curva que muestre la sensibilidad de la TIR o el VPN a cambios en los costos incurridos, o a cambios en la vida de la propuesta. El análisis de sensibilidad también puede ser utilizado para determinar la vulnerabili­ dad de un proyecto a cambios en el nivel de demanda. Por ejemplo, en la evaluación de la construcción de un hotel es posible obtener los diferentes rendimientos que se lograrían con distintos grados o porcentajes de ocupación del hotel. 239

240 Análisis de sensibilidad Es importante señalar que la sensibilidad de un proyecto debe hacerse con res­ pecto al parámetro más incierto, es decir, o se determina la sensibilidad de la TIR o el VPN del proyecto a cambios en el precio unitario de venta, o a cambios en los costos, o a cambios en la vida, o a cambios en el nivel de demanda. Cambios simultáneos en varios de los parámetros no es posible realizar por la dificultad de visualizar gráficamente los resul­ tados obtenidos (una variación simultánea de dos parámetros implica analizar los resulta-. dos en tres dimensiones). Además, cuando en una propuesta de inversión la mayoría de sus parámetros son inciertos, la técnica de análisis de sensibilidad no se recomienda utili­ zar. Para estos casos un análisis de riesgo, o simulación estocástica seria lo más aconsejable. Para comprender mejor la metodología que se debe utilizar cuando se estudia el gra­ do de sensibilidad de los criterios económicos (TIR, VPN, etc.,) a cambios en las estima­ ciones de los parámetros utilizados, a continuación una serie de ejemplos son presentados.

Ejemplo 13.1 La corporación “B” se encuentra analizando la posibilidad de entrar en el negocio de fabricación de plataformas marinas, las cuales se utilizan en la exploración y explota­ ción del petróleo en la región del Golfo de México. Investigaciones preliminares realizadas por la dirección de nuevos proyectos de esta corporación indican que la inversión reque­ rida para este tipo de negocio será de $185,000,000, la cual se compone de los siguientes elementos: Activo circulante Activo fijo: Terreno Edificios Maquinaria y equipo Preoperación y organización

$ 70,000,000 10,000,000 10,000,000 90,000,000 5,000,000 $185,000,000

Los costos variables de operación, el nivel anual de ventas, y la eficiencia de operación de los próximos 10 años (horizonte de planeación que utiliza la corporación) se muestran en la tabla 13.1. Además, se estima que los gastos por concepto de mano de obra indirecta serán del orden de $4,830,000/año, y los gastos indirectos de fabricación de $7,517,000/año. Con respecto a la depreciación, los edificios se van a depreciar en 20 años y la maquinaria y. el equipo y los gastos preoperarivos y de organización en un período de 10 años. Tam­ bién, se sabe que la tasa de impuestos para esta corporación es de 50%, la TREMA es de 25%, y el valor de rescate se estima en 10% del activo fijo y 100% del activo circulante. Finalmente, la dirección de nuevos proyectos estima que el precio de venta para este pro­ ducto es de $40,000/ton.

Sensibilidad de una propuesta individual 241

Para la información anterior, la tabla 13.2 muestra los flujos de efectivo después de impuestos que promete generar esta propuesta de inversión. Para estos flujos, la tasa inter­ na de rendimiento es de 31%. Puesto que la TIR > TREMA vale la pena emprender este nuevo proyecto de inversión. Sin embargo, la TIR de este proyecto sería de 31% si todas las estimaciones que se hicieron con respecto a los parámetros del proyecto fueran co­ rrectas. Si el precio de venta por tonelada es menor de $40,000, entonces, la TIR del*pro­ yecto disminuye. La TIR del proyecto también disminuye si los costos variables directos por tonelada se incrementan. Por consiguiente, es recomendable analizar la sensibilidad de U TIR de este proyecto a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los cos­ tos variables directos.

TABLA 13.1. Costos de operación, ventas anuales y eficiencia de operación. Año

Eficiencia

1 2 3 4 5-10

70% 80% 90% 100% 100%

Ventas (Tons/año)

5,917 6,763 7,608 8,454 8,454

MOD/ton*

Matl/ton *

Maq/ton*

Flete /ton

$4,235 3,705 3,294 2,964 2,964

$7,814 7,814 7,814 7,814 7,814

$11,440 11,440 11,440 11,440 11,440

$783 783 783 783 783

La sensibilidad de la TIR a cambios en el precio unitario de venta se muestra en la figura 13.1. En esta figura se puede apreciar que el proyecto es atractivo o aceptable si el precio de venta por tonelada es mayor que $36,800. Por consiguiente, si se considera muy probable que el precio de venta por tonelada sea mayor que este valor, entonces se reco­ mienda seguir adelante con este proyecto. La recomendación anterior es válida si las esti­ maciones de los demás parámetros son correctas. Como los costos directos representan arriba del 90% de los costos totales, cualquier variación en ellos repercutirá grandemente en la TIR del proyecto. La figura 13.2 muestra la sensibilidad de la TIR a cambios en los costos directos. En esta figura se puede apreciar que si todas las demás estimaciones (precio de venta, gastos indirectos, etc.) son correctas, el proyecto de inversión puede soportar hasta un 15% de aumento en los costos variables directos. También, en la misma figura se puede observar que si los costos variables directos disminuyen un 15%, la TIR obtenida sería de aproximadamente 37.5%. Finalmente, la figura 13.3 muestra la sensibilidad de la TIR a cambios en el precio unitario de venta y a cambios en los costos variables directos. En esta figura se puede apreciar que la TIR es más sensible a cambios en los costos. También, en esta figura se puede observar que si el precio de venta real es menor que el estimado en una cantidad mayor que 8%, entonces el proyecto de inversión deja de ser atractivo o aceptable.

*"MOD/ton = Mano de obra directa por tonelada Matl/ton « Material directo por tonelada Maq/ton = Maquila por tonelada (las láminas de acero son dobladas antes de llegar a la planta).

242 Análisis de sensibilidad

FIGURA 13.1. Sensibilidad de la TIR a cambios en el precio de venta.

Sensibilidad de una propuesta individual 243

FIGURA 13.2. Sensibilidad de la TIR a variaciones en las estimaciones de los costos directos.

244 Análisis de sensibilidad

FIGURA 13.3. Sensibilidad de la TIR a cambios en el precio de venta y a cambios en los costos variables directos

Is o cuanta de una propuesta individual 245

TABLA 13.2 Flujos de efectivo después de impuestos suponiendo un precio de venta de $ 40,000/Tons. (Miles de pesos) .

Ano:

Flujo de efectivo antes de impuestos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

-$ 185,000 80,716 97,606 .114,471 131,362 131,362 131,362 131,362 131,362 131,362 131,362 81,500

Depreciación

$ 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

Gravable

$ 70,716 87,606 104,471 121,362 121,362 121,362 121,362 121,362 121,362 121,362

Impuestos

$ 35,358 43,803 52,235 60,681 60,681 60,681 60,681 60,681 60,681 60,681 3,250

Flujo de efectivo después de impuestos

-$ 185,000 45,358 53,803 62,236 70,681 70,681 70,681 70,681 70,681 70,681 70,681 78,250

TASA INTERNA DE RENDIMIENTO = 31%

13.2 ISOCUANTA DE UNA PROPUESTA INDIVIDUAL

Otra herramienta muy útil en análisis de sensibilidad son las isocuantas o líneas de indiferencia. Todos los puntos que pertenecen a estas curvas son equivalentes. Por consi­ guiente, mediante estas curvas es posible obtener regiones o áreas en las que no se reco­ mienda invertir, y regiones o áreas en las que el proyecto debe ser emprendido. Para com­ prender mejor la aplicación de esta técnica, a continuación se presenta un ejemplo. Ejemplo 13.2 La compañía IV está considerando la posibilidad de entrar en el negocio de renta de Bulldozers. Ya se han iniciado los estudios de mercado correspondientes y aunque.éstos estarán terminados dentro de un mes, se estima que cuando menos se puede rentar el bulldozer por dos horas diarias. En caso de buena demanda se rentaría 8 horas diarias. El valor de rescate de un bulldozer se estima después de 5 años de uso (vida fiscal), en el 50% de su valor original, aunque ya se encuentre totalmente depreciado. Los costos de operación estimados son: Costos fijos por año: Mano de obra del operador Prestaciones

$ 40,000 10,000

Costos variables: Combustibles y materiales Reparación y mantenimiento

$ 10/hr 30/hr

246 Análisis de sensibilidad Además, se sabe que en este tipo de negocio se tiene fijada una tarifa de $400/hora * y sólo se permite trabajar de lunes a viernes. Finalmente, el director de esta compañía que paga impuestos del 50%, ha manifestado en repetidas ocasiones que negocio que no da el 25% después de impuestos no es negocio. Para la información anterior, es posible determinar unaisocuanta o línea de indife­ rencia que permita determinar la cantidad máxima a invertir en el bulldozet, en función de la cantidad de horas que se va rentar por día. Obviamente, a mayor cantidad de horas rentadas por día, mayor será la cantidad que la compañía W está dispuesta a invertir en el bulldozer. Para determinar la isocuanta o línea de indiferencia de la inversión contra las horas rentadas por días, suponga que X representa la cantidad de horas rentadas por día. Por consiguiente, los ingresos y los costos anuales serían:

• Ingresos anuales

Mano de obra del operador Prestaciones Combustible X (5) (52) (10) = Rep. y mant. X (5) (52) (30) =

$ 40,000 10,000 2,600 X 7,800 X_________ 50,000 +10,400 X

Con estos ingresos y costos anuales, es posible determinar los flujos de efectivo des­ pués de impuestos. Tales flujos se muestran en la tabla 13.3. A partir de estos flujos se puede determinar la isocuanta o línea de indiferencia, al igualar a cero su valor presente. Por consiguiente, la ecuación de la isocuanta sería: - P + (46,800 X - 25,000 + 0.1 P) (P/A, 25% , 5) + 0.25 P (P/F, 25%, 5) = 0

y simplificando se obtiene: P= 193,885 X- 103,571 la cual puede ser graficada (ver figura 13.4) y de esta forma visualizar las áreas en las que es conveniente invertir en dicho proyecto. Por ejemplo, si las horas que se espera rentar el bulldozer por día son 4, entonces la compañía W está dispuesta a hacer una inversión máxi­ ma de $671,969 en el bulldozer. Si el precio del bulldozer es menor que esta cantidad, la T1R sería mayor que 25%. Para un precio mayor el rendimiento obtenido sería menor que TREMA.

Isocuanta de una propuesta individual 247

FIGURA 12.4 Isocuanta de la inversión en el bulldozer en función de las horas rentadas por día.

248 Análisis de sensibilidad TABLA 13.3. Flujo de efectivo después de impuestos que genera el bulldozer.

Año

0

Flujo de efectivo antes de impuestos

Ingreso gravable

Impuestos

93,600 X -50,000 - 0.20 P

-46,800 X 25,000 0.10P

46,800 X -25,000 0.10P

-P

-P

' 93,600 X 1-5 -50,000 5

Depreciación

Flujo de efectivo después de impuestos

0.20 P

0.50 P .

-0.25P

0.25 P

13.3 SENSIBILIDAD DE VARIAS PROPUESTAS

Para ilustrar cómo se aplica la técnica de análisis de sensibilidad a varias propuestas, a continuación se analiza la variación de la anualidad equivalente de dos alternativas de inversión a cambios en la vida esperada del servicio que van a proporcionar. Para este pro­ pósito, suponga que la compañía X que usa una TREMA de 25%, desea seleccionar la mejor de las siguientes dos alternativas:

Inversión inicial Ingresos netos/año del año n

A $10,000 10,000 — (n — 1) 1000

B . $30,000 13,000

Puesto que el tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que pueden propor­ cionar las alternativas A o B, es incierto, es necesario determinar para cada alternativa su anualidad equivalente en función de la vida esperada del servicio que van a proporcionar. Tales anualidades serían: Aa=~ 10,000 (A/P, 25%, n) + 10,000 - 1,000 (A/g, 25%, n) AB =- 30,000 (A/P, 25%, n) + 13,000 y sus valores para distintos valores de n se muestran en la tabla 13.4. En la figura 13.5 aparecen en forma gráfica estos resultados. En esta figura se puede apreciar que las alter­ nativas A y B requieren que el servicio que van a proporcionar sea demandado al menos 1.3 y 3.8 años respectivamente, si se quiere asegurar una utilidad. También, en esta figura se pueden observar los rangos de la vida del servicio para los cuales una alternativa domina a la otra. Estos rangos serían: » Alternativa preferida A B

Vida del servicio 0-‘l-‘>-‘l-‘l-‘l-‘l-‘l-‘>-‘ 00©0©0©0©0©0©0©0©0©«q©©>t‘WtOI-‘0©COq©©^CObJH

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INTERES DISCRETO i = 1.5% N

F/P.í %,n

P/F. i%,,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180

1.0150 1.0302 1.0457 1.0614 1.0773 1.0934 1.1098 1.1265 1.1434 1.1605 1.1779 1.1956 1.2135 1.2317

0.9852 0.9707 0.9563 0.9422 0.9283 0.9145 0.9010 0.8877 0.8746 0.8617 0.8489 0.8364 0.8240 0.8119 0.7999 0.7880 0.7764 0.7649 0.7536 0.7425 0.6892 0.6398 0.5939 0.5513 0.5117 0.4750 0.4410 0.4093 073800 0.3527 0.3274 0.3039 0.2821 0.2619 0.2431 0.2257 0.1675 0.0686

1.2690 1.2880 1.3073 1.3269 1.3468 1.4509 1.5630 1.6838 1.8139 1.9541 2.1051 2.2678 2.4430 "2.6318 2.8352 3.0543 3.2903 3.5446 3.8185 4.1136 4.4315 5.9684 14.5809

'

F/A,i °/o,n

1.0000 2.0149 3.0450 4.0906 5.1519 6.2290 7.3224 8.4321 9.5585 10.7018 11.8622 13.0400 14.2356 15.4489 t 1X6805) 19.1995 20.4873 21.7946 23.1213 30.0599 37.5346 45.5870 54.2615 6X6066 73.6736 84.5188 96.2017 108.7877 122.3463 136.9527 152.6876 169.6389 187.8997 207.5717 228.7640 331.2249 905.3928

A/F,i %,n

1.0000 0.4963 0.3284 0.2445 0.1941 0.1605 0.1366 0.1186 0.1046 0.0934 0.0843 0.0767 0.0702 0.0647 0.0600 0.0558 0.0521 0.0488 0.0459 0.0433 0.0333 0.0266 0.0219 0.0184 0.0157 0.0136 0.0118 0.0104 0.0092 0.0082 0.0073 0.0065 0.0059 0.0053 0.0048 0.0044 0.0030 0.0011

P¡A,i %,n

0.9852 1.9558 2.9120 3.8541 4.7823 5.6967 6.5977 7.4853 8.3599 9.2215 10.0703 10.9066 11.7307 12.5424 13.3422 14.1302 14.9065 15.6714 16.4250 17.1673 20.7181 24.0142 27.0738 29.9139 32.5504 34.9976 37.2694 ____ 39.3781 41.3355"“ 43.1527 44.8394 46.4052 47.8586 49.2078 50.4602 51.6227 55.4967 62.0945

A/P,i %,n

1.0150 0.5113 0.3434 0.2595 0.2091 0.1755 0.1516 0.1336 0.1196 0.1084 0.0993 0.0917 0.0852 0.0797 0.0750 0 0708 0.0671 0.0638 0.0609 0.0583 0.0483 0.0416 0.0369 0.0334 0.0307 0.0286 0.0268 0.0254 ' 0.0242 0.0232 0.0223 0.0215 0.0209 0.0203 0.0198 0.0194 0.0180 0.0161

296 Apéndice A

INTERES DISCRETO i = 2% N

F/P,¿ %,n

P/F,i %,n

F/A.i %,n

A/F,i %,n

P/A,i %,n

A/P,i %,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180

1.0200 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 1.2936 1.3195 1.3459 1.3728 1.4002 1.4282 1.4568 1.4859 1.6406 1.8113 1.9998 2.2080 2.4378 2.6915 2.9716 3.2809 3.6223 3.9993 4.4156 4.8751 5.3825 5.9427 6.5612 7.2440 10.7641 35.3155

0.9804 0.9612 0.9423 0.9238 0.9057 0.8880 0.879.6 0,8535 0.8368 0.8204 0.8043 0.7885 0.7730 0.7579 0.7430 0.7285 0.7142 0.7002 0.6864 0.6730 0.6095 0.5521 0.5000 0.4529 0.4102 0.3715 0.3365 0.3048 0.2761 0.2500 0.2265 0.2051 0.1858 0.1683 0.1524 0.1380 0.0929 0.0283

1.0000 2.0199 3.0603 4.1214 5.2038 6.3078 7.4340 8.5826 9.7542 10.9492 12.1682 13.4115 14.6796 15.9731 17.2926 18.6384 20.0111 21.4112 22.8394 24.2961 32.0286 40.5658 49.9915 60.3983 71.8881 84.5737 98.5797 114.0433 131.1163 149.9661 170.7779 193.7556 219.1246 247.1342 278.0586 312.2019 488.2039 1715.7737

1.0000 0.4951 0.3268 0.2426 0.1922 0.1585 0.1345 0.1165 0.1025 0.0913 0.0822 0.0746 0.0681 0.0626 0.0578 0.0537 0.0500 0.0467 0.0438 0.0412 0.0312 0.0247 0.0200 0.0166 0.0139 0.0118 0.0101 0.0088 0.0076 0.0067 0.0059 0.0052 0.0036 0.0040 0.0036 0.0032 0.0020 0.0006

0.9804 1.9415 2.8838 3.8076 4.7133 5.6012 6.4718 7.3252 8.1619 8.9823 9.7865 10.5750 11.3480 12.1058 12.8488 13.5772 14.2914 14.9915 15.6779 16.3509 19.5228 22,3958 24.9979* 27.3547 29.4894 31.4228 33.1740 34.7601 36.1967 37.4979 38.6764 39.7438 40.7106 41.5863 42.3794 43.0978 45.3549 48.5842

1.0200 0.5151 0.3468 0.2626 0.2122 0.1785 0.1545 0.1365 0.1225 0.1113 0.1022 0.0946 0.0881 0.0826 0.0778 0.0737 0.0700 0.0667 0.0638 0.0612 0.0512 0.0447 0.0400 0.0366 0.0339 0.0318 0.0301 0.0288 0.0276 0.0267 0.0259 0.0252 0.0246 * 0.0240 0.0236 0.0232 0.0220 0.0206

•

Interés compuesto discreto 297

INTERES DISCRETO i = 3% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 180

F/P,i %,n 1.0300 1.0609 1.0927 1.1255 1.1593 1.1940 1.2299 1.2668 1.3048 1.3439 1.3842 1.4257 1.4685 1.5126 1.5579 1.6047 1.6528 1.7024 1.7535 1.8061 2.0937 2.4272 2.8138 3.2619 3.7815 4.3837 5.0819 5.8913 6.8296 7.9174 9.1783 10.6402 12.3348 14.2994 16.5768 19.2170 34.7075 204.4722

P/F,i %,n 0.9709 0.9426 0.9151 0.8885 0.8626 0.8375 0.8131 0.7894 0.7664 0.7441 0.7224 0.7014 0.6810 0.6611 0.6419 0.6232 0.6050 0.5874 0.5703 0.5537 0.4776 0.4120 0.3554 0.3066 0.2644 0.2281 0.1968 0.1697 0.1464 0.1263 0.1090 0.0940 0.0811 0.0699 0.0603 0.0520 0.0288 0.0049

F/A,i %,n

A/F,i %,i

1.0000 2.0300 3.0908 4.1835 5.3090 6.4682 7.6622 8.8921 10.1588 11.4635 12.8074 14.1916 15.6173 17.0857 18.5983 20.1562 21.7608 23.4136 25.1159 26.8694 36.4578 47.5734 60.4593 75.3976 92.7152 112.7907 136.0637 163.0435 194.3204 230.5786 272.6113 321.3389 377.8276 443.3127 519.2275 607.2332 1123.5820 6782.4062

1.0000 0.4926 0.3235 0.2390 0.1884 0.1546 0.1305 0.1125 0.0984 0.0872 0.0781 0.0705 0.0640 0.0585 0.0538 0.0496 0.0460 0.0427 0.0398 0.0372 0.0274 0.0210 0.0165 0.0133 0.0108 0.0089 0.0073 0.0061 0.0051 0.0043 0.0037 0.0031 0.0026 0.0023 0.0019 0.0016 0.0009 0.0001

P/A,i %,n 0.9709 1.9134 2.8286 3.7179 3.5796 5.4171 6.2301 7.0195 7.7859 8.5300 9.2524 9.9538 10.6347 11.2958 11.9377 12.5608 13.1658 13.7532 14.3235 14.8772 17.4128 19.6001 21.4869 — 23.1144 24.5184 25.7294 26.7741 27.6753 28.4526 29.1232 29.7016 30.2005 30.6310 31.0022 31.3225 31.5988 32.3729 33.1703

A¡P,i %,n 1.0300 0.5226 0.3535 0.2690 0.2184 0.1846 0.1605 0.1425 0.1284 0.1172 0.1081 0.1005 0.0940 0.0885 0.0838 0.0796 0.0780 0.0727 0.0698 0.0672 0.0574 0.0510 0.0465 0.0433 0.0408 0.0389 0.0373 0.0361 0.0351 0.0343 0.0337 0.0331 0.0326 0.0323 0.0319 0.0316 0.0309 0.0301

298 Apéndice A

* INTERES DISCRETO i = 4% N 1 2 3 4-----5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . 19 20 25 30 35 40 45 50 55 . 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120

F/P,i 7o,n 1.0400 1.0816 1.1249 1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5394 1^010 1.6651 1.7317 1.8009 1.8730 1.9479 2.0258 2.1068 2.1911 2.6658 3.2433 3.9460 4.8009 5.8410 7.1065 8.6461 10.5192 12.7982 15.5710 18.9444 23.0487 28.0421 34.1174 41.5090 50.5018 110.6544

P¡F,i 7o,n 0.9615 0.9246 0.8890 0 8548 0.8219 0.7903 0.7599 0.7307 0.7026 0.6756 0.6496 -Q-.6246------------0.6006 0.5775 0.5553 0.5339 0.5134 0.4936 0.4746 0.4564 0.3751 0.3083 0.2534 0.2083 0.1712 0.1407 0.1157 0.0951 0.0781 0.0642 0.0528 0.0434 0.0357 0.0293 0.0241 0.0198 0.0090

F/A,i %, n 1.0000 2.0400 0.1216 4.2464 514163 6.6329 7.8982 9.2141 10.5826 12.0059 13.4861 IR 16.6265 18.2916 20.0232 21.8241 23.6970 25.6449 27.6706 29.7774 41.6449 56.0835 73.6502 95.0226 121.0254 152.6617 191.1519 237.9810 294.9556 364.2737 448.6099 551.2163 676.0535 827.9360 1012.7239 1237.5461 2741.3604

. A¡F,i 7o,n 1.0000 0.4902 0.3204 0.2355 0.1846 0.1508 0.1266 0JL085 0.0945 0.0833 0.0742 0 0666 0.0601 0.0547 0.0499 0.0458 0.0422 0.0390 0.0361 0.0336 . 0.0240 0.0178 0.0136 0.0105 0.0083 0.0066 0.0052 0.0042 0.0034 0.0027 0.0022 0.0018 0.0015 0.0012 0.0010 0.0008 0.0004

P/A,i 7o,n

A/P,i 7o,n

0.9615 1.8861 2.7751 3.6298 ^4.4518, 572421 6.0020 6.7327 7.4352 8.1108 8.7604 9.3850 9.9855 10.5630 11.1183 11.6522 12.1655 12 6592 13.3338 13.5902 15.6219 17.2919 18.6645 19.7926 20.7199 21.4821 22.1085 22.6234 23.0466 23.3944 23.6803 23.9153 24.1085 24.2672 24.3977 24.5050 24.7741

1.0400 0.5302 0.3604 0.2755 0.2246 0.1908 0.1666 9.1485 0.1345 0.1233 0.1142 0.1 Ofifi 0.1001 0.0947 0.0899 0.0858 0.0822 0.0790 0.0761 0.0736 0.0640 0.0578 0.0530 0.0505 0.0483 0.0466 0.0452 0.0442 0.0434 0.0427 0.0422 0.0418 0.0415 0.0412 0.0410 0.0408 * 0.0404

Interés compuesto discreto 299

INTERES DISCRETO i = 5% N

F/P.i %,n

P/F,i %,n

F/A,i %,n

A/F,í %,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10' 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120

1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763

Z 0.9524 \ 0.9070 0.8638 0.8227 | 0,783.5. -- ^T7Í62 0.7107 „ 0.6768 0.6446 #613$ 0.5847 0.5568 0.5303 0.5051/ 0.481Ó 0.4581 0.4363 0.4155 0.3957 0.3769 0.2953 0.2314 0.1813 0.1421 0.1113 0.0872 0.0683 0.0535 0.0419 0.0329 0.0258 0.0202 0.0158 0.0124 0.0097 0.0076 0.0029

1.0000 2.0500 3.1524 4.3100 5.5255 6.8018 8.1418 9.5489 11.0263 12.5776 14.2064 15.9167 17.7125 19.5981 21.5779 23.6568 25.8396 28.1315 30.5380 33.0649 47.7254 66.4362 90.3164 120.7941 159.6920 209.3365 272.6960 353.5608 456.7666 588.4854 756.5945 971.1487 1244.9785 1594.4607 2040.4956 2609.7607 6957.3906

1.0000 0.4878 0.3172 0.2320 0.1810 0.1470 0.1228 0.1047 0.0907 0.0795 0.0704 0.0628 0.0565 0.0510 0.0463 0.0423 0.0387 0.0355 0.0327 0.0302 0.0210 0.0151 0.0111 0.0083 0.0063 0.0048 0.0037 0.0028 0.0022 0.0017 0.0013 0.0010 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0001

1.4071 1.4774 1.5513 1.6289 1.7103 1.7958 1.8356 1.9799 2.0789 2.1828 2.2920 2.4066 2.5269 2.6532 3.3863 4.3218 5.5158 7.0397 8.9846 11.4668 14.6348 18.6780 23.8383 30.4243 38.8297 49.5574 63.2489 80.7230 103.0248 131.4880 348.8696

P¡A,i %,n

0.9524 1.8594 2.7232 .3.5459

5.7863 6.463¿a— 7.1077

8.8631 9.3934 9.8985 10.3795 10.8376 11.2739 11.6894 12.0852 12.4621 14.0938 15.3723 16,3741 17.1590 17.7740 18.2558 18.6334 18.9292 19.1610 19.3426 19.4849 19.5964 19.6838 19.7522 19.8059 19.8479 19.9427

A/P,i %,n

1.0500 0.5378 0.3672 0.2820 0.2310 0.1970 0.1728 0.1547 0.1407 0.1295 0.1204 0.1128 0.1065 0.1010 0.0963 0.0923 0.0887 0.0855 0.0827 0.0802 0.0710 0.0651 0.0611 0.0583 0.0563 0.0548 0.0537 0.0528 0.0522 0.0517 0.0513 0.0510 0.0508 * 0.0506 0.0505 0.0504 0.0501

300 Apéndice A INTERES DISCRETO i = 8% N

F/P,i 7o,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55

r.osoo 1.1664 1.2597 1.3605 1.4693 1.5869 1.7138 1.8509 1.9990 2.1589 2.3316 2.5182 2.7196 2.9372 3.1721 3.4259 3.7000 3.9960 4.3157 4,6609 6,8484 10.0625 14.7850 21.7240 31.9196 46.9002 68.9116

P/F.í 7o,n

F¡A,i %,n

0.9259 - 0.8573 0.7938 0.7350 0.6806 0.5835 0.5403 0.5003 0.4632 0.428$ O.397lS^ 0.3677 0.3405 _ítaí52r> 0.2919 0.2703 0.2503 0.12317 0.2146 (11460 0.0994 0.0676 0.0460 0.0313 0.0213 0.0145

1.0000 2.0800 3.2464 4.5061 5.8666 7.3359 8.9227 10.6365 12.4874 14.4864 16.6453 18.9769 21.4950 24.2146 27.1518 30.3239 33.7498 37.4497 41.4457 45.7613 73.1047 ns.s’sio 172.3130 259.0498 386.4949 573.7527 848.8950

A¡F,i 7o,n

1.0000 0.4808 0.3080 ' 0.2219 0.1705 0.1363 0.1121 0.0940 0.0801 0.0690 0.0601 0.0527 0.0465 0.0413 0.0368 0.0330 0.0296 0.0267 0.0241 0.0219 0.0137 O.OOSlT 0.0058 0.0039 0.0026 0.0017 0.0012

P/A,i 7o,n

A/P,i 7o,t

0.9259 1.7833* * 2.5771 . 3.3121 3.9927 4.6229 5.2063 5.7466 6.2469 ^6.7101. 7.1389 7.5360 7.9037 8.2442 8.5594 8.8513 9.1216 9.3719 9.6036 _O fl l fl.1 10.67485 11^578 11.6546 11.9246 12.1084 12.2335 12.3186

1.0800 0.5608 0.3880 0.3019 0.2505 0.2163 0.1921 0.1740 0.1601 0.1490 0.1401 0.1327 0.1265 0.1213 0.1168 0.1130 0.1096 0.1067 0.1041 0.1019 0.0937 0.0888 0.0858 0.0839 0.0826 0.0817 0.0812

INTERES DISCRETO i =IÍÓ% N

F/P,i 7o,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.1000 1.2100 1.3310 1.4641

12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55

“T/7716 1.9487 2.1436 2.3579 ,2^937— 2.8531 3.1384 3.4522 3.7975 4.1772 4.5949 5.0544 5.5598 6.1158 6.7274 10.8345 . 1774489 28.1015 45.2576 72.8876 117.3857 189.0499

P/F,i 7o,n

0.9091^ k 0.8264 0.7513 0.6830 0.-6209. 0.5645 / 0.5132 // 0.4665 A424^ i 0.35^5'" 0.3186 0.2897 0.2633 0.2394 0.2176 0.1978 0.1799 0.1635 0.1486 0.0923____ ___ 0.0573 0.0356 0.0221 0.0137 0.0085 0.0053

F/A,i 7o,n

A/F,i 7o,n

1.0000 1.0000 2.1000 0.4762 3.3100 0.3021 4.6410 0.2155 6.1050 0.1638 7.7155 0,12y 6 9.4871 0.1054 11.4357 0.0874 13.5796 0.0736 —15^372—__ 0.0627 18.5309 0.0540 21.3840 0.0468 24.5223 0.0408 27.9745 0.0357 31.7719 0.0315 35.9491 0.0278 40.5440 0.0247 45.5983 0.0219 51.1581 0.0195 57.2738 0.0175 28.3447--------- .. 0.0102 164.4893 0.0061 271.0154 0.0037 442.5764 0.0023 718.8760 0.0014 1163.8567 0.0009 1880.4990 0.0005

A/P,i 7o, n

PJA,i 7o,n

0.9091 1.7355 2.4888 3J.698, ^779(n£ .

c4,8684

5.3349^ 5jtaso / 6.14434 6.4950 6.8137 7.1033 7.3687 7.6060 7.8237 8.0215 8.2014 8.3649 8.5135 $.0770 — 9.4269 9.8442 9.6442 9.8628 9.9148 9.9471

*

1.1000 0,5762 0.4021 0.1155 0.2638 0.2296 0.2054 0.1874 0.1736 0.1627 0.1540 rO.r468 0.1408 0.1357 0.1315 0.1278 0.1247 0.1219 0.1195 0.1175 0.1061 0.1037 0.1023 0.1014 0.1009 0.1005

Interés compuesto discreto 301

INTERES DISCRETO i = 12% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55

F/P,í %,n

P/F.í %,n

F/A,i %,n

1.1200 1.2544 1.4049 1.5735 1.7823 1.9738 2.2107 2.4760 2.7731 3.1058 3.4785 3.8960 4.3635 4.8871 5.4735 6.1304 6.8660 7.6899 8.6127 9.6462 16.9999 29.9595 52.7988 93.0494 163.9846 288.9961 509.3086

0.8929 \ 0.7972 1 | 0-7118j O.«355 0.5674 0.5066 0.4524 0.4039 0.3606 1/ 0.3220^ Ó.2875 0.2567 0.2292 0.2046 0.1827 0.1631 0.1456 U1300 0.1161 0.1037 0.0588 0.0334 0.0189 0.0107 0.0061 0.0035 0.0020

1.0000 2.1200 _______ 137_44 4.7-793 6.3528 8.1152 10.0890 12.2996 14.7756 17.5486 20.6544 24.1330 28.0289 32.3924 37.2794 42.7530 48.8833 55.7493 63.4391 72.0518 133.3324 241.3297 431.6570 767.0786 1358.2053 2399.9685 4235.9062

A/F,i 7o,n 1.0000 0.4717 0.2964 0.2092 0.1574 0.1232 0.0991 0.0813 0.0677 _ o,05 7 o 0.0484 0.0414 0.0357 0.0309 0.0268 0.0234 0.0205 0.0179 . 0.0158 0.0139 0.0075 0.0041 0.0023 0.0013 0.0007 0.0004 0.0002

P/A,i 7o,n

A/P,i %,/

0.8929 ’ 1.6900 2.40183.0373 3.6048 4.1114 4.5637 4.9676 5.3282 5.6502 5.9377 6.1944 6.4235 6.6282 6.8109 6.9740 7.1196 7.2497 7.3658 7.4694 7.8431 8.05Ó2 8.1755 8.2438 8.2825 8.3045 8.3170

1.1200 0.5917 0.4163 0.3292 0.2774 0.2432 0.2191 0.2013 0.1877 0.1770 0.1684 0.1614 0.1557 0.1509 0.1468 0.1434 0.1405 0.1379 0.1358 0.1339 0.1275 0.1241 0.1223 0.1213 0.1207 0.1204 0.1202

INTERES DISCRETO Z = 15% N•

F/P.í %,n

P/F,i %,n

F/A,í %,n

A/F,i 7o,n

1.1500 1.3225 1.5209 1.7490 21)114 2.3131 7 2.6600 8 3.0590 3.5179 9 10 4.0455^ 11 4.6524 12 5.3502 13 6.1527 14 7.0756 15 8.1370 16 9.3575 17 10.7611 18 12.3753 19 14.2316 20 16.3663 35____ ___ 32.9184 30 66.2104 35 133.1722 40 267.8560 45 538.7522 50 1083.6191

' 0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4372 | 0.4323 0.3759 0.3269 J 0.2843 l 4).247X 0.2149 0.1869 0.1625 0.1413 0.1229 . 0.1069 0.0929 0.0808 0.0703 0.0611 0.0304 0j015l 0.0075 0.0037 0.0019 0.0009

1.0000 2.1500 3.4725 4.9933 6JL423. 8.7537 11.0667 13.7267 16.7857 20.3035 24.3490 29.0014 34.3515 40.5042 47.5798 55.7168 65.0743 75.8353 88.2106 102.4420 212.7891 434.7á&8 881.1482 1779.0398 3585.0151 7217.4609

1.0000 0.4651 0.2880 0.2003 0.1433 Ó.1142 0.0904 0.0729 0.0596

3.7845 4.1604 4.4873 4.7716 5.0188 5.2337 5.4206 5.5831 5.7245 5.8474 5.9542 6.0472 6.1280 6.1982 6.2593 l 6:4643 6.5830 6.6166 6.6418 6.6543 6.6605

1.1500 0.6151 0.4380 0.3503 0 2983 * 0.2404 0.2229 0.2096 Q.1993 0.1911 0.1845 0.1791 0.1747 0.1710 0.1679 0.1654 0.1632 0.1613 0.1598 0.1547 0.1523 0.1511 0.1506 0.1503 0.1501

302 Apéndice A

INTERES DISCRETO i = 18% N

/

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45

F/P,í %,n

1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2877 2.6995 3.1855 3.7588 4.4354 5.2338 6.1759 7.2375 8.5993 10.1471 11.9736 14.1288 16.6720 19.6729 23.2141 27.3926 62.6673 143.3670 327.9875 750.3530 1716.6187

P/F,i %,n

FJA,i %,n

0.8475 0.7182 0.6086 0.5153 \0.Í3W 0.3704 0.3139 0.2660 0.2255 0.1911 0.1619 0.1372 0.1163 0.0986 0.0835 0.0708 0.0600 . 0.0508 0.0431 0.0365 0.0160 0.0070 0.0030 0.0013 0.0006

1.0000 2.1800 3.5724 5.2154 7.1542 9.4419 12.1414 15.3269 19.0857 23.5211 28.7548 34.9307 42.2181 50.8174 60.9644 72.9380 87.0668 103.7386 123.4115 146.6254 342.5962 790.9277 1816.5979 4163.0703 9531.2148

A/F,i %,n

1.0000 0.4587 0.2799 0.1917 0.1398 0.1059 0.0824 0.0652 0.0524 0.0425 0.0348 0.0286 0.0237 0.0197 0.0164 0.0137 0.0115 0.0096 0.0081 0.0068 0.0029 0.0013 0.0006 0.0002 0.0001

P/A,i %,n

0.8475* • 1.5656 2.1743 2.6901

3.8115 4.0776 4.3030 4.4941 4.6560 4.7932 4.9095 5.0081 5.0916 5.1624 5.2223 5.2732 5.3162 5.3527 5.4669 5.5168 5.5386 5.5482 5.5523

A/PJ %tn

1.1800 0.6387 0.4599 0.3717 0.3198 — 0.2859 0.2624 0.2452 0.2324 0.2225 0.2148 0.2086 0.2037 0.1997 0.1964 0.1937 0.1915 0.1896 0.1881 0.1868 0.1829 0.1813 0.1806 0.1802 0.1801

INTERES DISCRETO i = 19% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

F/P,i °/o,n 1.1900 1.1461 1.8852 2.0053 2.3863 2.8398 3.3793 4.0214 4.7854 5.6947 6.7766 8.0842 9.5964 11.4197 13.5894 16.1714 19.2439 22.9003 27.2513 32.4290 77.3869 184.6721 440.6912 1051.6423

P/F,i %,n 0.8403 0.7062 0.5934 0.4987 (K4191> 03521 0.2959 0.2487 0.2090 0.1756 0.1476 0.1240 0.1042 0.0876 0.0736 0.0618 0.0520 0.0437 0.0367 0.0308 0.0129 0.0054 0.0023 0.0010

F/A,i % ,n 1.0000 2.1900 3.6061 5.2912 7.2966 9.6829 12.5226 15.9019 19.9233 24.7087 30.4033 37.1799 45.2441 54.8404 66.2800 79.8494 96.0207 115.2646 138.1647 165.4160 402.0364 966.6951 2314.1638 5529.6953

A/F,i %,n

PIA,i %,n

A¡P,i %,r

1.0000

0.8403 1.5485 2.1399

1.1900 0.8466 0.4873 0.3790 ’ 0.3271 0.2933 0.2699 0.2529 0.2402 0.2305 0.2229 0.2169 0.2121 0.2082 0.2051 0.2025 0.2004 0.1987 0.1972 0.1960 0.1925 0.1910 0.1904 0.1902

0.4566 0.2773 0.1890 0.1371 0.1033 0.0799 0.0629 0.0502 0.0405 0.0329 0.0269 0.0221 0.0182 0.0151 0.0125 0.0104 0.0087 0.0072 0.0060 0.0025 0.0010 0.0004 0.0002

2

I/TostS» 1 ^3.4098 3.7057 3,9544 4.1633 4.3389 4.4865 4.6105 4.7147 0.8023 4.8759 4.9377 4,9897 5.0333 5.0700 5.1009 5.1951 5.2347 5.2512 5.2582

Interés compuesto discreto 303

INTERES DISCRETO i = 20% N 1 2 3 4 5 ? 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

F/P.f %,n

1.2000 1.4400 1.7280 2.0736 _2.4883 2.9860 3.5832 4.2998 --------5.1598

P/F,i 7o,n

F/A,i % ,n

0.8333 0.6944 0.5787 0.4823

0^3^ 0.2791 0.2326 0.1938 0.1615 7.4300 071-346 8.ai£0_______ _ 0.1122 0.0935 10.6993 0.0779 12.8391 15.4069 0.0649 0.0541 18.4883 22.1859 0.0451 26.6231 0.0376 0.0313 31.9477 0.0261 38.3372 0.0105 95.3950 237.3726 0.0042 590.6570 0.0017 1469.7400 0.0007

-----

1.0000 2.2000 3.6400 5.3680 7.4416 9.9299 12.9158 16.4990 20.7988 25.9585 3231502^ 39.5802 48.4963 59.1955 72.0345 87.4413 105.9296 128.1154 154.7384 186.8859 471.9749 1181.8630 2948.2849 7343.6992

A/F,i 7o,n 1.0000-_ 0.4545 0.2747 0.1863 0.1344 0.1007, Ó.0774 0.0606 0.0481 0.Q385> Ó.0311 __ 0.0.253 0.0206 0.0169 0.0139 0.0114 0.0094 0.0078 0.0065 0.0054 0.0021 0.0008 0.0003 0.0001

P/A,i 7o,n 0.8333 1.3278 2.1065

.Z&KL-

A/P,i. 7o,n 1.2Q0XL 0.6545 0.4747 0.3863

3.3255 O.áOÓ7 3.6046 0.2774 0.2606 ----- 3.8372 — 0.2481 tjmo íJf2385^ 41925 > 4.3271 0.2311 .... 44aaa„ . — 4.5327 0.2206 0.2169 4.6106 4.6755 0.2139 4.7296 0.2114 4.7746 0.2094 4.8122 0.2078 4.6435 0.2065 4.8696 0.2054 4.9476 0.2021 4.9789 0.2008 4.9915 0.2003 4.9966 0.2001

INTERES DISCRETO z = 21 % N

F/P,i 7o,n

P/F,i 7o,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

1.2100 1.4641 1.7716 2.1436 2.5937 3.1384 3.7975 4.5949 5.5599 6.7274 8.1402 9.8496 11.9180 14.4208 17.4491 21.1134 25.5472 30.9121 37.4036 45.2583 117.3876 304.4714 789.7163 2048.3088

0.8264 0.6830 0.5645 0.4665 0.3855 0.3186 0.2633 0.2176 0.1799

0.1015 0.0839 0.0693 0.0573 0.0474 0.0391 0.0323 0.0267 0.0221 0.0085 0.0033 0.0013 0.0005

F¡A,i % ,n 1.0000 2.2100 3.6741 5.4456 7.5892 10.1829 13.3213 17.1187 21.7136 27.2735 34.0009 42.1410 . 51.9905 63.9084 78.3291 95.7781 116.6914 142.4384 173.3503 210.7536 554.2268 1445.1021 3755.7922 9749.0898

A¡F,i 7o,n

P¡A,i 7o,n

A/P,í 7o,n

1.0000 0.4525 0.2722 0.1836 0.1318 0.0982 0.0751 0.0584 0.0461 0.0367 0.Ó294 0.0237 0.0192 0.0156 0.0128 0.0104 0.0086 0.0070 0.0058 0.0047 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001

0.8264 1.5095 2.0739 2.5404 2.9260 3.2446 3.5079 3.7256 3.9054 4.0541 41789 4.2784 4.3624 4.4317 4.4890 4.5364 4.5755 4.6079 4.8346 4.8567 4.7213 4.7463 3.7559 4.7596

1.2100 0.6625 0.4822 0.3936 0.3418 0.3082 0.2851 0.2684 0.2561 0.2467 0.2394 0.2337 0.2292 0.2256 0.2228 0.2204 0.2186 0.2170 ’ 0.2158 0.2147 0.2118 0.2107 0.2103 0.2101

304 Apéndice A

INTERES DISCRETO i = 22% F/P,i %,n

N'

P/F,i %,n

1.2200 0.8197 1 1.4884 0.6719 2 3 1.8158 0.5507 0.4514 4 2.2153 -----0^700 5 ------ - --------- 2J702T-—— 6 3.2973 0.3033 7 4.0227 0.2486 8 4.9077 0.2038 0.1670 9 5.9874 10 7.3046 0.1369 8.9116 11 0.1122 12 10.8721 0.0920 13 0.0754 13.2640 14 16.1820 0.0618 19.7420 15 0.0507 16 24.0853 0.0415 17 29.3840 0.0340 18 35.8484 0.0279 19 43.7351 0.0229 20 53.3567 0.0187 25 144.2071 0.0069 30 389.7478 0.0026 35 1053.3704 0.0009

F/A,i % ,n 1.0000 2.22Q0 3.7084 5.5242 10.4422_ 13.7395 17.7621 22.6698 28.6571 35.9617 44.8732 55.7453 69.0091 85.1911 104.9330 129.0182 158.4021 194.2503 237.9852 650.9414 1767.0356 4783.5000

A¡F,i %,n

P/A,i %,n

1.0000 0.4505 0.2697 0.1810 0 1292 0.0958 0.0728 0.0563 0.0441 0.0349 9.9278 0.0223 0.0179 0.0145 0.0117 0.0095 0.0078 0.0063 0.0051 0.0042 0.0015 0.0006 0.0002

0.8197 0.4915 2.0422 JL4936 >3.1669> 3^155 3.6193 3.7863 3.9232 4.0354 4.1274 0.2028 0.2646 4.3152 4.3567 4.3908 4.4187 4.4415 4.4603 4.5139 4.5338 4.5411 •

A/P,i %,r

‘

1.2200 0.6705 0.4897 0.4010 0.3492 0.3158 0.2928 0.2763 0.2641 0.2549 0.2478 0.2423 0.2379 0.2345 0.2317 0.2295 0.2278 0.2263 0.2251 0.2242 0.2215 0.2206 0.2202

INTERES DISCRETO i = 23% F/P,i %,n

N 1 2 3 4 — 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18* lJ 20 25 30 35

1.2300 1.5129 1.8609 2.2889 2,8153 3.4628 4.2593 5.2389 6.4438 7.9259 9.7489 11.9911 14.7490 18.1413 22.3138 27.4459 33.7585 41.5229 51.0731 62.8199 176.8568 497.9041 1401.7485

P/F,i %,n 0.8130 0.6610 0.5374 0.4369 0.3552 0.2888 0.2348 0.1909 0.1552 0.1262 0.1026 0.0834 0.0678 0.0551 0.0448 0.0364 0.0296 0.0241 0.0196 0.0159 0.0057 0.0020 0.0007

F¡A,i % ,n 1.0000 2.2300 3.7429 5.6037 7.8926 10.7079 14.1707 18.4299 23.6688 30.1126 38.0385 47.7873 59.7784 74.5273 92.6686 114.9823 142.4281 176.1865 217.7092 268.7820 764.5947 2160.4526 6090.2109

A[F,i %,n

P/A,i %,n

1.0000 0.4484 0.2672 0.1785

0.8130 1.4740 2.0114 2.4483 2.8035 3.0923 3.3270 3.5179 3.6731 3.7993 3.9018 3.9852 4.0530 4.1082 4.1530 4.1894 4.2190 4.2431 4.2627 4.2786 4.3232 4.3391 4.3447

0.0934 0.0706 0.0543 0.0422 0.0332 0.0263 0.0209 0.0167 0.0134 0.0108 0.0087 0.0070 0.0057 0.0046 0.0037 0.0013 0.0005 0.0002

A/P,i %,n 1.2300 0.6784 Q.4972 *» 0.4085 0.3567 0.3234 0.3006 0.2843 0.2722 0.2632 0.2563 0.2509 0.2467 0.2434 0.2408 0.2387 0.2370 0.2357 0.2346 0.2337 0.2313 0.2305 0.2302

Interés compuesto discreto 305

INTERES DISCRETO i = 24% N

F/P.í %,n

P/F,í %,n

F/A,i % ,n

A/F,í %,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

1.2400 1.5376 1.9066 2.3642 2.9316 3.6352 4.5077 5.5895 6.93l0 8.5944 10.6570 13.2147 16.3862 20.3189 25.1954 31.2423 38.7405 48.0381 59.5673 73.8634 216.5393 634.8098 1861.0198

0.8065 0.6504 0.5245 0.4230 0.3411 0.2751 0.2218 0.1789 0.1443 0.1164 0.0938 0.0757 0.0610 0.0492 0.0397 0.0320 0.0258 0.0208 0.0168 0.0135 0.0046 0.0016 0.0005

1.0000 2.2400 3.7776 5.6842 8.0484 10.9800 14.6152 19.1228 24.7123 31.6433 40.2376 50.8946 64.1093 80.4955 100.8143 126.0097 157.2520 195.9923 244.0303 303.5974 898.0803 2640.8748 7750.0820

1.0000 0.4464 0.2647 0.1759 0.1242 0.0911 0.0684 0.0523 0.0405 0.0316 0.0249 0.0196 0.0156 0.0124 0.0099 0.0079 0.0064 0.0051 0.0041 0.0033 0.0011 0.0004 0.0001

•

P/A,í %,n

-

A/P.í %,n

0.8065 1.4568 1.9813 2.4043 2.7454 3.0205 3.2423 3.4212 3.5655 3.6819 3.7757 3.8514 3.9124 3.9816 4.0013 4.0333 4.0591 4.0799 4.0967 4.1103 4.1474 4.1601 4.1644

1.2400 0.6864 0.5047 0.4159 0.3642 0.3311 0.3084 0.2993 0.2805 0.2716 0.2649 0.2596 0.2556 0.2524 0.2499 0.2479 0.2464 0.2351 0.2441 0.2433 0.2411 0.2404 0.2401

P/A,i %,n

A/P,i %tn

INTERES DISCRETO i = 25%

6 7 8. 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

F/P,i %,n

P/F.i %,n

1.2500 1.5625 -1.95312.4414 3JQ5A&. 3.8147 4.7684 5.9605 7.4506 94Q32 11.6Ü5 14.5519 18.1899 22.7374 28.4217 35.5271 • 44.4089 • 55.5111 69.3889 __ 86JZ361. 264.6975 807.7932 2465.1890

0.8000 0.6400 0.5120

/

0.2097 0.1678 0.1342 0.1074 ÜÓ85fT 0.0687 0.0550 0.0440 0.0352 _____ 0.0281 0.0225 0.0180 0.0144 0.0115 0.0038 0.0012 0.0004

F/A,i % ,n-

AJF¿ %tn

1.0000 2.2500 3.8125 5.7656

1.0000 0.4444 0.2623 0.1734

11.2588 15.0735 19.8419 25.8023 33.2529 42.5661 54.2077 68.7595 > 86.9495 109.6868 138.1085 173.6356 218.0446 273.5557 342.944A 1054.7900 . 3227.1729 5856.7539

0.0888 0.0663 4h0504^ -------- 070388 0.0301 0.0235 0.0184 0.0145 0.0115 0.0091 0.0072 0.0058 0.0046 0.0037 041029— 0.0009 0.0003 0.0001

0.8000 179520 2.31616 /2.68 3.1611 3.3289 3.4831 -3.&4Í15 3.6564 3.7251 3.7801 3.8241 3.8593 3.8874 3.9099 3.9279 3.9424 3.9849 3.9950 3.9984

1.2500 0.8944 q 51,23 0.4234

0.3163 (K3OO4 0.266S0.2801 z V^D.27"^ 0.2684 0.2645 0.2615 0.2591 0.2572 0.2558 0.2546 0.2537 0.2509 0.2503 0.2501

*

306 Apéndice A

INTERES DISCRETO i = 26% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30

F/P,i %,n

1

1.2600 1.5876 2.0004 2.5205 3.1758 4.0015 5.0419 6.3528 8.0045 10.0856 12.7079 16.0119 20.1750 25.4204 32.0297 40.3575 50.8504 64.0714 80.7299 101.7196 323.0396 1025.9041

P/F.i %,n

0.7937 0.6299 0.4999 0.3968 0.3149 0.2499 0.1983 0.1574 0.1249 0.0992 0.0787 0.0625 0.0496 0.0393 0.0312 0.0248 0.0197 0.0156 0.0124 0.0098 0.0031 0.0010

F¡A,i 7o,n 1.0000 2.2600 3.8478 5.8479 8.3684 11.5442 15.5457 20.5875 26.9402 34.9447 45.0303 57.7381 73.7499 93.9248 119.3452 151.3748 191.7321 242.5823 306.6533 387.3831 1238.6135 3941.9387

A/F,i 7o,n 1.0000 0.4425 0.2599 0.1710 0.1195 0.0866 0.0643 0.0486 0.0371 0.0286 0.0222 0.0173 0.0136 0.0106 0.0084 0.0066 0.0052 0.0041 0.0033 0.0026 0.0008 0.0003

P/A,i 7o,n

A¡P,i 7o,n

0.7936 1.4235 1.9234 2.3202 2.6351 2.8850 3.0833 3.2407 3.3657 3.4648 3.5435 3.6059 3.6555 3.6949 3.7261 3.7509 3.7705 3.7861 3.7985 3.8083 3.8342 3.8424

1.2600 0.7025 0.5199 0.4310 0.3795 0.3466 0.3243 0.3086 0.2971 0.2886 0.2822 0.2773 0.2736 0.2706 0.2684 0.2666 0.2652 0.2641 0.2633 0.2626 0.2608 0.2603

INTERES DISCRETO i = 27% N

F/P,i 7o,n

P/F,i 7o,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30

1.2700 1.6129 2.0484 2.6014 3.3038 4.1959 5.3287 6.7675 8.5947 10.9153 13.8624 17.6052 22.3586 28.3954 36.0621 45.7989 58.1645 73.8689 93.8134 119.1430 393.6277 1300.4766

0.7874:

0.6200 0.4882 0.3844 oi^cotot-*otDoo-aa>Qirf^Gotot-

1

GRADIENTE GEOMETRICO CON INTERES DISCRETO i = 35% (P/A,i % ,)% ,n) 10

12

15

18

20

25

30

35

0.7407 1.3443 1.8361 2.2368 2.6633 2.8294 3.0462 3.2228 3.3667 3.4840 3.5796 3.6574 3.7209 3.7726 3.8147 3.8490 3.8770 3.8997 3.9183 3.9334 3.9761 3.9914 3.9969 3.9989 3.9996 3.9999

0.7407 1.3553 1.8651 2.2881 2.6390 2.9302 3.1717 3.3721 3.5383 3.6762 3.7906 3.8856 3.9643 4.0297 4.0839 4.1288 4.1662 4.1971 4.2228 4.2441 4.3071 4.3318 4.3415 4.3454 4.3489 4.3475 ,

0.7407 1.3717 1.9093 2.3672 2.7572 3.0895 3.3725 3.6136 3.8190 3.9940 4.1430 4.2700 4.3781 4.4703 4.5487 4.6156 4.6725 4.7211 4.7624 4.7976 4.9092 4.9593 4.9617 4.9918 4.9983 4.9984

0.7407 1.3882 1.9541 2.4488 2.8812 3.2591 3.5894 3.8782 4.1306 4.3511 4.5440 4.7125 4.8598 4.9886 5.1011 5.1995 5.2855 5.3607 5.4263 5.4838 5.6790 5.7786 5.8294 5.8553 5.8886 5.8753

0.7407 1.3992 1.9845 2.5047 2.9671 3.3782 3.7436 4.0684 4.3571 4.6137 4.8418 5.0446 5.2248 5.3850 5.5274 5.6540 5.7665 5.8665 5.9555 6.0345 6.3159 6.4720 6.5586 6.6067 6.6334 6.6482

0.7407 1.4266 2.0617 2.6497 3.1942 3.6983 4.1651 3.5973 4.9975 5.3681 5.7112 6.0269 6.3230 6.5954 6.8476 7.0811 7.2973 7.4975 7.6829 7.8545 8.5399 9.0063 9.3237 9.5397 9.6868 9.7868

0.7407 1.4540 2.1409 2.8024 3.4393 4.0527 4.6433 5.2121 5.7598 6.2872 6.7951 7.2842 7.7551 8.2086 8.6454 9.0659 9.4709 9.8608 10.2364 10.5980 12.2148 13.5536 14.6622 15.5801 16.3401 16.9695

0.7407 1.4815 2.2222 2.9630 3.7037 4.4444 ■ 5.1852 5.9259 6.6667 7.4074 8.1482 8.8889 9.6296 10.3704 11.1111 11.8519 12.5926 13.3333 14.0741 14.8148 18.5185 22.2222 25.9259 29.6296 33.3333 37.0370

•

fr

Apéndice B Interés compuesto continuo

TABLAS DE FACTORES PARA INTERES COMPUESTO CONTINUO

(F¡Ptr% ,ri) = e™

(P¡F9t% (F/A,r%

—

er-i

(A/Ftr% ,n)=_±L e™-l

1-e’™

(P/A,r% ,n) =

er A

(A/P,r% ,n) =l2L 1-e'™ ■1

n

er-l

ern-\

(PIA,r % j%,n) = — er

319

(

l-(l+/)”/er”x l. INTERES CONTINUO r = 19% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

F/P,r % ,n

P/F,r % ,n

F¡A,r % ,n

A¡F,r % ,n

P/A,r % ,n

AjP,r % ,n

1.2092 1.4623 1.7683 2.1383 2.5857 3.1268 3.7810 4.5722 5.5290 6.6859 8.0849 9.7767 11.8224 14.2963 17.2878 20.9052 25.2796 30.5694 36.9660 44.7012 115.5842 298.8674 732.7839 1998.1948

0.8270 0.6839 0.5655 0.4677 0.3867 0.3198 0.2645 0.2187 0.1809 0.1496 0.1237 0.1023 0.0846 0.0699 0.0578 0.0478 0.0396 0.0327 0.0271 0.0224 0.0087 0.0033 0.0013 0.0005

1.0000 2.2093 3.6715 5.4398 7.5781 10.1638 13.2906 17.0716 21.6438 27.1728 33.8587 41.9436 51.7202 63.5427 77.8390 95.1268 116.0320 141.3116 171.8811 208.8471 547.5957 1423.5037 3688.3430 9544.5586

1.0000 0.4526 0.2724 0.1838 0.1320 0.0984 0.0752 0.0586 0.0462 0.0368 0.0295 0.0238 0.0193 0.0157 0.0128 0.0105 0.0086 0.0071 0.0058 0.0048 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001

0.8270 0.5108 2.0763 2.5^40 2.9308 3.2506 3.5151 3.7338 3.9146 4.0642 4.1879 4.2902 4.3748 4.4447 4.5025 4.5504 4.5899 4.6227 4.6497 4.6721 4.7376 4.7630 4.7728 4.7766

1.2092 0.8819 0.4816 0.3931 *0.3412 0.3070 0.2845 0.2678 0.2555 0.2461 0.2388 0.2331 0.2286 0.2250 0.2221 0.^198 0.2179 0.2163 0.2151 0.2140 0.2111 • 0.2100 0.2095 0.2094

«

Interés compuesto continuo 329 INTERES CONTINUO r = 20%

N

F/P,r % ,n

P/F,r % ,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7183 3.3201 4.0552 4.9530 6.0496 7.3390 9.0250 11.0232 13.4637 16.4446 20.0855 24.5325 29.9641 36.5982 44.7012 54.5981 148.4130 403.4285 1096.6321 2980.9551

0.8187 0.6703 0.5488 0.4493 ^0.3070, 0.3012 0.2466 0.2019 0.1653 0.1353 0.1108 0.0907 0.0743 0.0608 0.0498 0.0408 0.0334 0.0273 0.0224 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003

F/A.r % ,n

1.0000 2.2214 3.7132 5.5353 7.7609 10.4791 13.7993 17.8544 22.8074 28.8571 36.2462 45.2711 56.2943 69.7580 86.2025 106.2882 130.8206 160.7846 197.3827 242.0837 665.8127 1817.6277 4948.5820 13459.4062

AfF,r % ,n

1.0000 0.4502 0.2693 0.1807 0.1289 0.0954 0.0725 0.0560 0.0438 0.0347 0.0276 0.0221 0.0178 0.0143 0.0116 0.0094 0.0076 0.0062 0.0051 0.0041 0.0015 0.0006 0.0002 0.0001

PlA,r % ,n

A/P,r % ,n

0.8167 1.4890 2.0379 2.4872 2.8551 "■371563 3.4029 3.6048 3.7701 3.9054 4.0162 4.1069 4.1812 4.2420 4.2918 4.3325 4.3659 4.3932 4.4156 4.4339 4.4862 4.5055 4.5125 4.5151

1.2214 0.8716 0.4907 0.4021 0.3503 ó.3188 0.2939 0.2774 0.2652 0.2561 0.2490 0.2435 0.2392 0.2357 0.2330 0.2308 0.2290 0.2276 0.2265 0.2255 0.2229 0.2220 0.2216 0.2215

INTERES CONTINUO r = 21% ■y

F/P,r % ,n

P/F,r % ,n

F¡A,r % ,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40

1.2337 1.5220 1.8776 2.3164 2.8576 3.5254 4.3492 5.3656 6.6194 8.1662 10.0744 12.4286 15.3329 18.9158 23.3361 28.7892 35.5166 43.8160 54.0548 66.6862 190.5661 544.5715 1556.1941 4447.0625

0.8106 0.6570 0.5326 0.4317 0.3499 0.2837 0.2299 0.1864 0.1511 0.1225 0.0993 0.0805 0.0652 0.0529 0.0429 0.0347 0.0282 0.0228 0.0185 0.0150 0.0052 0.0018 0.0006 0.0002

1.0000 2.2337 3.7556 5.6333 7.9496 16.8073 14.3327 18.6819 24.0475 30.6669 38.8330 48.9075 61.3361 76.6689 95.5848 118.9209 147.7100 183.2266 227.0426 281.0974 811.2280 2326.1575 6655.2891 19026.4570

A/F,r % ,n

1.0000 0.4477 0.2663 0.1775 0.1258 0.0925 0.0698 0.0535 0.0416 0.0326 0.0258 • 0.0204 0.0163 0.0130 0.0105 0.0084 0.0068 0.0055 0.0044 0.0036 0.0012 0.0004 0.0002 0.0001

P¡A,r % ,n

0.8106 1.4676 2.0002 2.4319 2.7819 3.0855 3.2955 3.4818 3.6329 3.7554 3.8546 3.9351 4.0003 4.0532 4.0960 4.1307 4.1589 4.1817 4.2002 4.2152 4.2569 4.2715 4.2766 4.2784

A¡P,r % ,n

1.2337 0.6814 0.4999 0.4112 * 0.3595 0.3262 0.3034 0.2872 0.2753 0.2663 0.2594 0.2541 0.2500 0.2367 0.2441 0.2421 0.2404 0.2391 0.2381 0.2372 0.2349 0.2541 0.2338 0.2337

330 Apéndice B

INTERES CONTINUO r = 22% N

FJP,r% ,n

. P/F,r % ,n

F/A,r % ,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

1.2461 1.5527 1.9348 2.4109 3.0042 3.7434 4.6646 5.8124 7.2427 9.0250 11.2458 14.0132 17.4615 21.7584 27.1126 33.7844 42.0979 52.4573 65.3658 81.4508 244.6917 735.0940 2208.3455

0.8025 0.6440 0.5169 0.4148 0.3329 0.2671 0.2144 0.1720 0.1381 0.1108 0.0889 0.0714 0.0573 0.0460 0.0369 0.0296 0.0238 0.0191 0.0153 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005

1.0000 2.2461 3.7988 5.7336 8.1445 11.1486 14.8921 19.5566 25.3691 32.6118 41.6368 52.8827 66.8958 84.3574 106.1158 133.2285 167.0128 209.1108 261.5681 326.9336 990.3083 2983.1931 8970.1562

A/F,r% ,n

P/A,r% ,n

A/P,r% ,i

0.8025 1.4466 1.9654 2.3782 2.7111 2.9782 3.1926 3.3646 3.5027 3.6135 3.7024 3.7738 3.8310 3.8770 3.9139 3.9435 3.9672 3.9883 4.0016 4.0139 4.0472 4.0582 4.0819

1.2461 0.6913 0.5093 0.4205 0.3689 0.3358 0.3132 0.2972 0.2855 0.2767 0.2701 0.2650 0.2610 0.2579 0.2555 0.2536 0.2521 0.2509 0.2499 0.2491 0.2471 0.2464 0.2462

A/F,r% ,n

P/A,r% ,n

A/P,r% ,i

1.0000 0.4428 0.2602 0.1713 0.1198 0.0869 0.0646 0.0488 0.0373 0.0288 0.0224 0.0175 0.0137 0.0108 0.0085 0.0067 0.0053 0.0042 0.0033 0.0026 0.0008 0.0003 0.0001

0.7945 1.4258 1.9274' 2.3259 2.6425 2.6941 3.0940 3.2528 3.3790 3.4793 3.5589 3.6222 3.6725 3.7125 3.7442 3.7694 3.7895 3.8054 3.8181 3.8281 3.8547 3.8631 3.8657

1.2586 0.7014 0.5188 0.4299 0.3784 0.3455 0.3232 0.3074 0.2959 0.2874 0.2810 0.2761 0.2723 0.2694 0.2671 0.2653 0.2639 0.2628 0.2619 0.2612 0.2594 0.2589 0.2587

* 1.0000 0.4452 0.2632 0.1744 0.1228 0.0897 0.0671 0.0511 0.0394 0.0307 0.0240 0.0189 0.0149 0.0119 0.0094 0.0075 0.0060 0.0048 0.0038 0.0031 0.0010 0.0003 0.0001

’

INTERES CONTINUO r = 23% N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

F/P,r % ,n 1.2586 1.5841 1.9937 2.5093 3.1582 3.9749 5.0028 6.2965 7.9248 9.9742 12.5335 15.7998 19.8857 25.0281 31.5004 39.6464 49.8989 62.8027 79.0435 99.4842 314.1899 992.2734 3133.7896

P/F,r 7o ,n

F/A,r% ,n

0.7945 0.6313 0.5016 0.3985 0.3166 0.2516 0.1999 0.1588 0.1262 0.1003 0.0797 0.0633 0.0503 0.0400 0.0317 0.0252 0.0200 0.0159 0.0127 0.0101 0.0032 0.0010 0.0003

1.0000 2.2586 3.8427 5.8364 8.3457 11.5038 15.4788 20.4815 26.7781 , 34.7029 44.6770 57.2305 73.0303 92.9160 117.9440 149.4444 189.0907 238.9894 301.7922 380.8354 1211.0967 3833.2271 12114.4102

i

Interés compuesto continuo 331 INTERES CONTINUO r = 24% F/P,r% ,n

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

'

1.2712 1.6161 2.0544 2.6117 3.3201 4.2207 5.3656 6.8210 8.6711 11.0232 14.0132 17.8143 22.6464 28.7892 36.5982 46.5254 59.1454 75.1885 95.5833 121.5102 403.4280 1339.4280 4447.0547

P/F,r% ,n

F/A, r% ,n

A/F,r % ,n

0.7866 0.6188 0.4868 0.3829 0.3012 0.2369 0.1864 0.1466 0.1153 0.0907 0.0714 0.0561 0.0442 0.0347 0.0273 0.0215 0.0169 0.0133 0.0105 0.0082 0.0025 0.0007 0.0002

1.0000 2.2713 3.8873 5.9418 8.5534 11.8736 16.0943 21.4598 28.2808 36.9519 47.9751 61.9883 79.8026 102.4489 131.2381 167.8364 214.3619 273.5071 348.6958 444.2791 1483.6118 4934.3164 16391.0547

1.0000 0.4403 0.2572 ‘ 0.1683 0.1169 0.0842 0.0621 0.0466 0.3066 0.0271 0.0208 0.0161 0.0125 0.0098 0.0076 0.0060 0.0047 0.0037 0.0029 0.0023 0.0007 0.0002 0.0001

P/A,r % ,n 0.7866 1.4054 1.8922 2.2751 2.5763 2.8132 2.9996 3.1462 3.2615 3.3522 3.4236 3.4797 3.5239 3.5586 3.5859 3.6074 3.6243 3.6376 3.6481 3.6563 3.6775 . 3.6839 3.6858

A/P,r% ,n 1.2712 0.7115 0.5285 0.4395 0.4882 0.3555 0.3334 . 0.3178, 0.0354 0.2983 0.2921 0.2874 0.2838 0.2810 0.2789 0.2772 0.2759 0.2749 0.2741 0.2735 0.2719 0.2715 0.2713

INTERES CONTINUO r = 25% N

F/P,r% ,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35

1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 4.4903 4.4817 5.7346 7.3891 9.4877 12.1825 15.6426 20.0855 25.7903 33.1154 42.5211 54.5981 70.1054 90.0171 115.5843 148.4132 518.0129 1808.0425 6310.6875

P/F,r% ,n 0.7788 0.6065 0.4724 0.36ZSL 0.2865 0.2231 0.1738 0.1353 0.1054 0.0821 0.0639 0.0498 0.0388 0.0302 0.0235 0.0183 0.0143 0.0222 0.0087 0.0067 0.0019 0.0006 0.0002

F/A,r % ,n

A/F,r % ,n

P/£r% ,n

1.0000 2.2840 3.9327 6.0498 8.7680 14.2584 16.7401 22.4947 29.8837 39.3715 51.5540 67.1966 87.2822 113.0725 146.1880 188.7091 243.3073 313.4126 403.4299 519.0142 1820.3064 6362.2578 22215.2383

1.0000 0.4378 0.2543 0.1653 0.1141 0.0816 0.0597 0.0445 0.0335 0.0254 ' 0.0194 0.0149 0.0115 0.0088 0.0068 0.0053 0.0041 0.0032 0.0025 0.0019 0.0005 0.0002 0.0000

0.7788 1.3853 1.8577 2.2256 2.5121 2.7352 2.9090 3.0443 3.1497 3.2318 3.2957 3.3455 3.3843 3.4145 3.4380 3.4563 3.4706 3.4817 3.4904 3.4971 3.5140 3.5189 3.5203

A/P,r% ,t 1.2840 0.5218 0.5383 0.4493 0.39£l 0.3656 0.3438 0.3285 0.3175 0.3094 0.3034 0.2989 0.2955 0.2929 0.2909 0.2896 0.2881 0.2672 0.2865 0.2860 0.2846 0.2842 0.2841

332 Apéndice B

INTERES CONTINUO r = 26% N

F/P,r°/o ,n

P/F,r% ,n

F/A,r°/o ,n

A/F,r% ,n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30

1.2969 1.6820 2.1815 2.8292 3.6693 4.7588 6.1719 8.0045 10.3812 13.4637 17.4615 22.6464 29.3707 38.0918 49.4024 64.0715 83.0962 107.7700 139.7702 181.2722 665.1411 2440.6001

0.7711 0.5945 0.4584 0.3535 0.2725 0.2101 0.1620 0.1249 0.0963 0.0743 0.0573 0.0442 0.0340 0.0263 0.0202 0.0156 0.0120 0.0093 0.0072 0.0055 0.0015 0.0004

1.0000 2.2969 4.9790 6.1604 8.9896 12.6589 17.4177 23.5896 31.5940 41.9753 55.4390 72.9005 95.5468 124.9176 163.0094 212.4118 276.4829 359.5791 467.3491 607.1194 2236.6899 8216.0664

1.0000 0.4354 0.2513 0.1623 0.1112 0.0790 0.0574 0.0424 0.0317 0.0238 0.0180 0.0137 0.0105 0.0080 0.0061 0.0047 0.0036 0.0028 0.0021 0.0016 0.0004 0.0001

P/A,r% ,n

*• t