Análisis y diseño electrónico basados en el Amplificador Operacional: Fundamentos, problemas y simulaciones 8490523185, 9788490523186

Citation preview

J. J. GONZÁLEZ DE LA ROSA

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL Fundamentos, problemas y simulaciones

JUAN JOSÉ GONZÁLEZ DE LA ROSA

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL Fundamentos, problemas y simulaciones

Madrid • Buenos Aires • México • Bogotá

© Juan José González de la Rosa, 2021 Reservados todos los derechos. «No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.»

Ediciones Díaz de Santos Internet: http//www.editdiazdesantos.com E-mail: [email protected] ISBN: 978-84-9052-318-6 edición papel e-ISBN: 978-84-9052-359-9 edición electrónica Fotocomposición y diseño de cubiertas: P55 Servicios Culturales

Printed in Spain / Impreso en España

A mis Hijos María y Alberto. A Tina y a Iselbar, in memoriam. … fuentes constantes de inspiración y de motivación.

¡Ad Astra per Áspera!

ÍNDICE

PREFACIO..........................................................................................................XIII 1. El Amplificador Operacional (AO) de propósito general: Características y Configuraciones ....................................................... 1 1.1. Introducción........................................................................................1 1.2. Análisis de un circuito diferencial genérico......................................... 1 1.3. El amplificador diferencial...................................................................3 1.4. El amplificador operacional de propósito general.............................. 9 1.5. El amplificador operacional ideal y la realimentación negativa........12 1.6. Configuraciones básicas. Primeros análisis en CC y CA.................15 2. Desviaciones de la idealidad de los amplificadores operacionales.........................................................................................33 2.1. Introducción......................................................................................33 2.2. Límites operativos o valores límite...................................................33 2.3. Características..................................................................................44 2.4. Encapsulados...................................................................................52 3. Comparadores electrónicos.................................................................53 3.1. Introducción......................................................................................53 3.2. Efectos del ruido sobre los circuitos comparadores.........................54 3.3. Realimentación positiva....................................................................55 3.4. Detector de cruce por cero con histéresis........................................55 3.5. Detectores de nivel de tensión con histéresis..................................58 3.6. Control independiente del punto central y del ancho de histéresis......................................................................................62 3.7. Limitaciones del AO de propósito general como comparador.........63 3.8. El comparador integrado LM311y otros comparadores comerciales......................................................................................66 3.9. Aplicaciones de los comparadores .................................................. 71 4. Amplificadores diferenciales para instrumentación..........................79 4.1. Introducción......................................................................................79 4.2. El amplificador diferencial básico.....................................................79 -IX-

Juan José González de la Rosa

4.3. Mejoras introducidas al amplificador diferencial básico...................83 4.4. El amplificador de instrumentación...................................................86 4.5. Otros amplificadores diferenciales...................................................86 5. Filtros analógicos activos: configuraciones generales y síntesis.................................................................................................89 5.1. Introducción. Objetivos del capítulo..................................................89 5.2. Filtros activos ideales........................................................................89 5.3. Filtros activos de primer orden.........................................................91 5.4. Filtros activos de segundo orden......................................................96 6. Amplificadores Operacionales con Diodos......................................127 6.1. Introducción....................................................................................127 6.2. Limitador paralelo básico...............................................................127 6.3. Limitador serie básico....................................................................129 6.4. Mejoras al recortador básico.........................................................129 6.5. Circuito de zona muerta de precisión............................................132 6.6. Rectificador de media onda de precisión......................................134 6.7. Rectificadores de onda completa de precisión: circuitos de valor absoluto..............................................................134 6.8. Amplificadores logarítmicos y anti-logarítmicos o exponenciales..............................................................................139 6.9. Comparador de ventana................................................................143 7. Generadores de Señales.....................................................................147 7.1. Introducción....................................................................................147 7.2. Circuitos astables o multivibradores libres.....................................147 7.3. Temporizador con disparo único retardado....................................158 7.4. Circuito monoestable basado en amplificador operacional...........161 7.5. El temporizador integrado 555.......................................................164 7.6. Generador de ondas cuadradas y triangulares..............................169 7.7. Generador de señal en forma de “diente de sierra”.......................171 8. Realimentación electrónica: características y topologías de diseño..............................................................................................175 8.1. Introducción y objetivos del capítulo...............................................175 8.2. Clasificación de los amplificadores electrónicos realimentados.................................................................................175 8.3. Realimentación negativa................................................................178 8.4. Ventajas e inconvenientes de la realimentación negativa.............180 8.5. Topologías básicas de los amplificadores realimentados..............183 8.6. Realimentación de tensión en serie...............................................184 8.7. Realimentación de tensión en paralelo..........................................189 -X-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

9. Respuesta en frecuencia y estabilidad de la electrónica realimentada.........................................................................................195 9.1. Introducción y objetivos del capítulo...............................................195 9.2. Características de un circuito realimentado con amplificadores operacionales.........................................................195 9.3. El Principio de Inversión.................................................................199 9.4. Concepto de estabilidad y revisión de técnicas para su estudio.......................................................................................205 9.5. Lugar de las raíces de un circuito electrónico................................216 9.6. Compensación electrónica. Técnicas.............................................230 10. Osciladores Sinusoidales con Amplificadores Operacionales y Transistores.......................................................................................237 10.1. Introducción y objetivos................................................................237 10.2. Principios operativos. Criterio de Barkhausen.............................238 10.3. Osciladores RC o basados en redes desplazadoras de fase......241 10.4. Osciladores LC.............................................................................252 10.5. Osciladores eléctricos con cristales de cuarzo............................257 ANEXO I. Transformada de Laplace y respuesta en frecuencia de un circuito..........................................................................................263 ANEXO II. Reglas para el trazado del lugar de las raíces.......................275 ANEXO III. Trazado de diagramas de Bode básicos con MATLAB.........279 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................281

-XI-

PREFACIO

El objeto de la presente obra es, como su título indica, el análisis y el diseño de los circuitos y sistemas electrónicos basados en el Amplificador Operacional (AO). Está concebida fundamentalmente para estudiantes universitarios de los Grados de Ingeniería en Electrónica y Automática, y materias afines, entre las que cabe citar la Ingeniería Industrial, las Tecnologías Industriales, las Ciencias Físicas y las Comunicaciones, y su continuidad en los másteres; sin olvidar a la Formación Profesional, muy presente por el carácter práctico de la obra. Aborda el análisis de numerosas aplicaciones de circuitos electrónicos en los diferentes ámbitos de la Tecnología y la Industria. El libro también aborda el tratamiento de circuitos digitales, cuya base de operación se basa en la Electrónica Analógica. Desde el primer capítulo se sientan las bases de análisis de los circuitos lineales y no lineales basados en el AO, mostrando al lector técnicas de análisis que, desde su concepción, son eminentemente pragmáticas. Es por ello, que los capítulos primero y segundo se consideran fundamentales en la estrategia de diseño de esta obra. Las técnicas de resolución en ellos adquiridas, junto con el anexo, se aplican en el resto de los temas, por lo que se recomienda para la presente obra una lectura continuada. A pesar de las numerosas obras de Electrónica Analógica y Digital existentes (entre las que figuran varias del autor), la presente está concebida desde un punto de vista que se ha querido denominar de “rigor práctico”, en el sentido de proporcionar con detalle al lector toda la explicación del funcionamiento del circuito en cuestión en base a las operaciones matemáticas, pero también añadiendo la información práctica, que se deriva de la larga experiencia docente e investigadora, con la idea subyacente de que el estudiante adquiera una formación técnica profunda e interdisciplinar. Como prueba de ello, se incluyen numerosas gráficas (y consejos de programación) que resultan de realizar simulaciones con PSPICE y con MATLAB. Por ello, la obra se considera un libro “moderno” de problemas, en el que éstos se encuentran imbricados en el desarrollo o cuerpo de cada capítulo, aludiendo a cuestiones prácticas, conforme surge la necesidad. En cuanto a la numeración de expresiones matemáticas, y debido a la cantidad, se numeran sólo las expresiones necesarias, que conducen al correcto seguimiento de las demostraciones o resolución de los ejercicios planteados en cada contexto. Por último, deseo expresar mi sentimiento de gratitud a todas aquellos seres que me han proporcionado inspiración, esencial para escribir esta obra. Asimismo, agradezco al Gobierno de España la financiación de los proyectos de investigación que hemos recibido a lo largo de nuestra carrera investigadora en nuestro equipo investigador. Los proyectos de innovación docente acometidos han realzado también este libro; gracias a -XIII-

Juan José González de la Rosa

la Unidad de Innovación Docente de la Universidad de Cádiz por su decisiva apuesta. Finalmente, agradezco a la Junta de Andalucía el apoyo a la actividad investigadora de nuestro Grupo de Investigación PAIDI-TIC-168, en “Instrumentación Computacional y Electrónica Industrial (ICEI)”, alma y centro de mi actividad profesional, cuya productividad anual da fe de su progreso y consolidación cada vez mayores en el panorama científico internacional. Juan José González de la Rosa

-XIV-

1

El Amplificador Operacional de propósito general: Características y Configuraciones

1.1. Introducción En este capítulo se estudia en primer lugar el amplificador diferencial, primera etapa y más relevante desde una perspectiva funcional de un amplificador operacional (AO, abreviado con frecuencia a partir de aquí), con el objetivo de comprender el funcionamiento del circuito integrado del que forma parte. Con el fin de familiarizar al lector con las configuraciones diferenciales se comienza realizando un análisis del circuito diferencial genérico. Posteriormente se analizan sus primeras aplicaciones del AO, que abordan aplicaciones y problemáticas específicas de circuitos propiamente dichos. 1.2. Análisis de un circuito diferencial genérico Sea el circuito diferencial lineal de la Fig. 1.1. En él, las entradas individuales están referidas a tierra y posee en general alimentación de tensión bipolar, que se omite a menudo por sencillez. Las salidas se obtienen como combinaciones lineales de las dos tensiones de entrada según el sistema de Ecs. (1): vo1  A11  vi1  A12  vi 2 vo 2  A21  vi1  A22  vi 2

,

(1)

donde Aij son magnitudes complejas que definen la estructura interna y el funcionamiento del circuito1 en régimen sinusoidal permanente, en el cual se comporta como sistema lineal, es decir, las salidas se obtienen como combinaciones lineales de las entradas.

1

Matriz de coeficientes Aij del circuito.

-1-

Juan José González de la Rosa

+Vcc

vi1

vo1

Circuito Lineal Diferencial

vi2

Fuente de alimentación de corriente continua y valor constante

vo2 -Vee

0

Figura 1.1. Circuito lineal diferencial genérico, con dos entradas y dos salidas. Se considera la fuente de alimentación de CC (DC) y el punto de referencia o tierra de la instalación.

Se definen a continuación las siguientes magnitudes. La tensión diferencial de entrada2, como la diferencia de las dos entradas: v iD  v i1  v i 2 .

Y la tensión de entrada en modo común, como la media aritmética de las dos entradas: v iCM 

v i1  v i 2 2

.

A partir de estas definiciones, dividiéndolas por “2”, sumándolas y restándolas, se obtienen las entradas individuales al circuito: v iD 2 v iCM

vi2   viD 2 2    vi1  viCM  2 v v  i1  i 2  2 2 



v i1



vi 2  viCM 

viD 2

.

(2)

Llevando la Ec. (2) a la Ec. (1) y renombrando los coeficientes de las relaciones lineales, se obtienen las salidas de tensión individuales, vo1 y vo2, en función de las ganancias diferenciales y de modo común del circuito, respectivamente, y asociadas a cada una de las entradas:

Los subíndices de las magnitudes eléctricas vienen expresados en mayúsculas para enfatizar que corresponden a un circuito y a no un componente. En este último caso se emplearán minúsculas. Adicionalmente, se emplean subíndices en mayúsculas para indicar que el funcionamiento operativo se da en corriente alterna (AC ó CA) y en corriente continua (DC ó CC).

2

-2-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

v  v    v o1  A11  v iCM  iD   A12  v iCM  iD  2  2    v  v    v o 2  A21  v iCM  iD   A22  v iCM  iD  2  2    ... ... ... ... v o1  AD1  v iD  ACM 1  v iCM v o 2  AD 2  v iD  ACM 2  v iCM

Antes de extraer consecuencias operacionales, se define la tensión diferencial de salida, parámetro que también se considera aunque no tan asiduamente: v oD  v o1  v o 2  AD  v iD  ACM  v iCM

.

(3)

En un buen amplificador diferencial se debe verificar la condición de que cualquier salida sólo debe depender de la diferencia entre las entradas. Es por ello que la ganancia diferencial debe superar con suficiencia a la ganancia de modo común. En otras palabras, la salida sólo debe depender del término diferencial, y éste debe ser elevado. Para cuantificar en qué medida se verifica la condición diferencial se define el factor de rechazo al modo común, en decibelios (dB)3: 4

CMRR  20  log

AD ACM

.

Por ejemplo, un valor de CMRR = 60 dB (que es muy conservador), significa que la relación entre la ganancia diferencial y de modo común es: CMRR  20  log

AD ACM

 60 dB



AD ACM

 1000 .

Por otra parte, esta magnitud depende de la frecuencia de operación y presenta una respuesta paso-baja. Se dice pues que el CMRR se degrada con la frecuencia. En Electrónica, los comportamientos de los circuitos dependen de la frecuencia; si a un circuito se le excita con una frecuencia comprendida dentro de su ancho de banda, su comportamiento es óptimo; i.e., responde a ecuaciones predeterminadas, verificándose las expectativas de diseño. Fuera del ancho de banda el fabricante no garantiza que el comportamiento real coincida con el explicitado en los modelos lineales. 1.3. El amplificador diferencial Este circuito constituye la etapa de entrada de numerosos circuitos electrónicos integrados, analógicos y digitales; formando parte de amplificadores operacionales de propósito general, comparadores y circuitos integrados digitales de la familia ECL.

El decibelio se define como 20 por el logaritmo decimal del módulo o valor absoluto del cociente de tensiones. 4 CMRR: Common Mode Rejection Ratio. 3

-3-

Juan José González de la Rosa

1.3.1 Circuito diferencial básico El amplificador diferencial básico se muestra en la Fig. 1.2 y consta de una pareja de transistores (versión bipolar) acoplados por el emisor. La simetría que presenta la topología del circuito conlleva una simetría funcional, le dota de un comportamiento peculiar. Por ello se encuentra integrado y no realizado con componentes discretos. 1.3.1.1 Análisis del amplificador diferencial básico en CC Se analiza el circuito de la Fig. 1.2, considerando perfecta a la fuente de corriente (resistencia eléctrica infinita en el modelo Norton), y simetría total en componentes y transistores. Considerando los transistores polarizados en la región activa, sus corrientes de colector vienen dadas por: V BE  VBE   VT    F  I ES  e  1   F  I ES  e VT    

IC   F  I E

.

Ahora se plantea la relación entre las corrientes de colector: VB E1

I C1 IC2



VT

e

VB E 2

e

VB E1 VB E 2

e

ViD

 e VT

VT

,

(4)

VT

donde la diferencia de tensiones: VBE1-VBE2=Vi1-VE-(Vi2-VE). A continuación se plantea la suma de las corrientes de colector de Q1 y de Q2, que es constante e igual a la corriente de la fuente, IEE: I C1  I C 2   F  I E1   F  I E 2   F  I EE

.

(5)

Combinando las expresiones (4) y (5) se obtienen las corrientes de colector del par diferencial bipolar con fuente de corriente, en función de la tensión diferencial de entrada que, como veremos, se encarga de desplazar la conductividad de este par de transistores con una alta sensibilidad al cambio de tensión. Resultan:  F I EE

I C1 

1 e



 F I EE

IC2 

ViD

ViD

1 e

VT

.

VT

Con el fin de mostrar el desplazamiento de la conducción del par diferencial integrado, se utilizan ecuaciones en las que las corrientes de colector están normalizadas a la corriente de referencia proporcionada por la fuente de corriente integrada, IEE; las tensiones diferenciales se normalizadas a la tensión térmica VT; también se tiene en cuenta que F generalmente es próximo a la unidad: I C1 I EE



IC2

1 1 e



ViD VT

I EE

-4-



1 ViD

1 e

VT

.

(6)

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Vcc

Vcc

RC1

RC2 Q1

vi1

vo1 vo2 Q2

IEE

vi2

RE -VEE

Figura 1.2. Amplificador diferencial básico, basado en transistores bipolares. La fuente de corriente se representa por su modelo equivalente de Norton.

Considerando el valor de la tensión térmica a temperatura ambiente, VT = 25 mV (también 26 mV en otra literatura), se obtienen las gráficas de la Fig. 1.3. En ellas se aprecian los desplazamientos de conducción de la pareja de transistores, y la estrecha franja de región lineal, que demuestra que esta región operativa es muy poco probable. En efecto, el mismo ruido superpuesto desplazaría la conducción. La Fig. 1.3 muestra el comportamiento del par diferencial cuando opera en lazo abierto (circuito sin realimentación, como se muestra en la Fig. 1). En general, la situación de saturación se describe para las tensiones de salida, en lugar de establecerse para corrientes. Se demuestra, que las dos salidas vienen dadas por las siguientes expresiones: V o1  V cc 

 F  I EE  R c 1 e



V o 2  V cc 

ViD

 F  I EE  R c ViD

.

(7)

1  e VT

VT

El comportamiento, observado en la Fig. 1.3, indica que el AO en lazo abierto podría ser un circuito prácticamente sin utilidad. En efecto, se usará realimentación negativa en circuitos lineales, para obtener salidas controladas (e.g., amplificadores), o realimentación positiva en circuitos no lineales (e.g., comparadores), para acelerar la puesta en saturación. La expresión para la tensión de salida diferencial es, por definición:

V oD  V o1  Vo 2

  F  I EE

   I R   Vcc  F EEV c  iD  1  e VT 

  1 1  Rc    ViD ViD   VT 1  e VT 1 e

     I R    Vcc  F EE c ViD   1  e VT  

    

   V    F  I EE  Rc  tanh  iD   2  VT 

-5-

   

(8)

Juan José González de la Rosa

Figura 1.3. Desplazamiento de la conductividad del par diferencial de la Fig. 1. Obsérvese la estrecha franja de comportamiento lineal en torno al origen. El comportamiento diferencial se produce para tensiones diferenciales muy pequeñas en valor absoluto. El comportamiento diferencial finaliza aproximadamente en el doble de la tensión térmica.

Las líneas de MATLAB5 que permiten obtener las gráficas de la Fig. 1.3 son las siguientes: %Inicialización clear; close all; clc %Parámetros transistores alfa_f=0.99; IEE=10^(-3); Rc=1000; VT=25*10^(-3); Vcc=12; ViD_VT=(-0.25:0.00001:0.25)/VT; %Tensión diferencial normalizada %Modelado de las tensiones y corrientes numerador=alfa_f*IEE*Rc; denominador_1=1+exp(-ViD_VT); denominador_2=1+exp(ViD_VT); %Tensiones de salida Vo1=Vcc-numerador./denominador_1; Vo2=Vcc-numerador./denominador_2; %Corrientes de salida Ic1_IEE=1./denominador_1; Ic2_IEE=1./denominador_2; figure(1) subplot(121) plot(ViD_VT,Vo1,'-k',ViD_VT,Vo2,'--b','linewidth',2); grid on; xlabel('V_i/V_T'); ylabel('V_{o1,2} (V)'); title('Par diferencial: Tensiones de salida') legend('V_{o1}','V_{o2}') subplot(122) plot(ViD_VT,Ic1_IEE,'-k',ViD_VT,Ic2_IEE,'--b','linewidth',2); grid on; xlabel('V_i/V_T'); ylabel('I_{c1,2}/I_{EE}'); title('Par diferencial: Corrientes normalizadas') legend('I_{c1}/I_{EE}','I_{c2}/I_{EE}')

Pueden ejecutarse desde la ventana de comandos (“command window”) o desde un “script” o fichero independiente (extensión .m).

5

-6-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

La expresión (8) establece la relación no lineal entre la entrada diferencial, viD, y la salida diferencial del circuito, voD. Al realizar la aproximación lineal de primer orden, resulta una tensión diferencial de salida, voD, proporcional a la tensión diferencial de entrada, viD: VoD  Vo1  Vo 2  

 F  I EE  Rc 2  VT

 ViD

.

(9)

Generalmente se admite como válida la aproximación (9) lineal en un margen de anchura el doble de la tensión térmica en torno al origen: 2VT = 52 mV. Para diferencias mayores entre las dos entradas del amplificador diferencial, el comportamiento ya no se considera lineal. Por último comentar, a título experimental, que se demuestra que la región lineal puede incrementarse intercalando dos resistencias idénticas en serie con los emisores de los transistores. 1.3.1.2. Análisis del amplificador diferencial básico en CA Sea el circuito simétrico de pequeña señal de la Fig. 1.4, que proviene de aplicar las consideraciones de CA al circuito de la Fig. 1.2. Se contemplan las siguientes situaciones. En el caso de una entrada diferencial pura, las entradas son: v i1 

v iD

vi 2  

2

v iD 2

.

Esto permite separar el circuito en dos mitades simétricas, ya que por la resistencia RE no circula corriente (las corrientes son iguales y opuestas). Resulta el circuito modelado para pequeña señal expuesto en la Fig. 1.5. La ganancia del circuito de la Fig. 1.5 resulta ser un cociente de magnitudes diferenciales, según la siguiente expresión ya conocida en el ámbito de los circuitos con transistores: AD 

v oD v iD

v oD 

v iD

2     Rc     Rc   g  R . m c rbb '  rb 'e 0  rb 'e 2

RC

RC

rbb’ vi1 rb’e

rbb’

vo1 vo2

vi2

gmvb’e1 gmvb’e2

rb’e

i2

i1

RE

Figura 1.4. Modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 1.2.

-7-

Juan José González de la Rosa

rbb’ voD/2

viD/2 ib rb’e

gmvb’e R C

Figura 1.5. Mitad simétrica del circuito modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 1.4 en modo diferencial puro.

Esta expresión nos indica que la ganancia diferencial depende de la transconductancia del transistor (gm); ésta a su vez depende de la corriente de colector en reposo (Ic) y, a su vez, ésta depende de la corriente de la fuente (IEE). Por lo tanto, es la corriente de la fuente de polarización inferior del par diferencial (IEE), la que determina la ganancia diferencial del circuito. La situación descrita ilustra un caso de control de ganancia de pequeña señal (AD) mediante una magnitud de (Ic): AD   g m  R c 

IC VT

 Rc .

Se obtienen a continuación otros parámetros. La resistencia de entrada diferencial es: R iD 

v iD ib

 2  rb 'e  2  r  2 

0 gm 

 2 0 

VT IC

.

r

Esto supone que, para conseguir una resistencia de entrada diferencial elevada, se requieren corrientes de polarización (Ic) más bien pequeñas, lo cual perjudica a la ganancia diferencial y, en consecuencia, al factor de rechazo al modo común. Para la situación de una entrada en modo común ideal o pura, es decir, con las dos entradas idénticas, se tiene una entrada diferencial nula: vi1  vi 2  vCM

 viD  0 .

Por simetría, las corrientes (colector y emisor) son iguales, y resulta como consecuencia el circuito representado en la Fig. 6, que se emplea para obtener la expresión de la ganancia en modo común, ACM, del circuito, que resulta ser: ACM 

v oCM v CM



 g m  Rc  1    2  g m  RE 1   1   0  

.

Esta expresión demuestra que un aumento de la resistencia de emisor (RE) conlleva una disminución de la ganancia en modo común (ACM). Este hecho supone que conviene emplear fuentes de corriente casi ideales, es decir, con resistencias de salida (RE) altas.

-8-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

rbb’ voCM

vCM ib r b’e

gmvb’e

RC

2RE Figura 1.6. Mitad simétrica del circuito del modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 1.4 en modo común puro.

Por otra parte, si la transconductancia, gm, debe ser elevada, como gm=Ic/VT, se exige que la corriente de polarización sea lo más alta posible, lo cual normalmente no es deseable. De forma complementaria, se define la resistencia de entrada en modo común: RiCM 

v CM ib

   1    2  g m  RE  .  rb 'e  1  1   0    

Con todo, el factor de rechazo al modo común del circuito resulta: CMRR

dB



AD ACM

dB

 1    2  g m  RE  1  1    0  

 2  g m  RE

dB

.

dB

Como ejemplo numérico, para una corriente de colector y resistencia de fuente típicas de Ic = 1 mA, RE = 13 k, resultan un CMRR=60 dB a temperatura ambiente. 1.4. El amplificador operacional de propósito general El amplificador operacional (AO) es un circuito electrónico integrado que se comporta como amplificador diferencial de gran ganancia en lazo abierto. Su arquitectura se fundamenta en bloques de la Electrónica Integrada, de los que hemos estudiado con detalle el amplificador diferencial, y se clasifican en diversos grupos atendiendo a los criterios que estudiaremos a continuación. 1.4.1. Clasificación de los amplificadores operacionales En los siguientes esquemas aparecen los símbolos y criterios de clasificación más frecuentes de los amplificadores operacionales. Nos ayudarán a conocer sus configuraciones y parámetros característicos de cada una de ellas. Son los siguientes: - Número de entradas y de salidas: Quedan clasificados en la Fig. 1.7, donde hemos supuesto que las magnitudes son tensiones y ganancias de tensión, pero pueden ser corrientes y ganancias de corriente también. - Tipo de señal de entrada y tipo de señal de salida. Quedan clasificados en los esquemas de la Fig. 1.8 y son los que se relacionan a continuación:

-9-

Juan José González de la Rosa

OVA: Amplificador operacional de tensión. OTA: Amplificador operacional de transconductancia. OFA: Amplificador operacional de transimpedancia. OCA: Amplificador operacional de corriente.

+ Av

Vi

Av

Vi

Vo

-

Vo=Av Vi (a)

Vo Vo=AvVi

(b)

+ Av

Vi

-

Vo Vo=AvVi

(c) Figura 1.7. a) AO con una entrada y una salida (entrada simple-salida simple). b) Entrada diferencial-salida simple. c) Entrada diferencial-salida diferencial.

Existen otras clasificaciones atendiendo a su finalidad (de instrumentación, comercial, militar, etc.) y al tipo de transistor empleado en su fabricación (BJT, JFET, NMOS, CMOS, BI-CMOS, etc.). El AO de uso más extendido es el OVA (tratados fundamentalmente en esta obra) de entrada diferencial y salida única, si bien en los últimos años está aumentando la utilización de los OTA y la salida diferencial, buscando unas corrientes de polarización cada vez más pequeñas.

+

V1

V1

Av

Vi V2

Vo

V2

Vo=Av(V1- V2)=AvVi=AdVd

-

Io= Gm (V1- V2)= Gm Vi (b)

(a)

Rm

Io

Gm

Vi

-

Ii

+

Ii

Vo Vo=Rm Ii

Ai

Io

Io= Ai Ii (d)

(c)

Figura 1.8. Clasificación de los amplificadores operacionales según los tipos de entrada y de salida: a) OVA. b) OTA. c) OFA. d) OCA.

-10-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

1.4.2. Arquitectura interna del circuito integrado Las arquitecturas o diagramas de bloques típicos de un OVA (AO a partir de ahora) de una y dos etapas se muestra en la Fig. 1.9. La primera etapa es diferencial, y su misión consiste en proporcionar una primera ganancia y convertir la entrada diferencial a única. La segunda etapa es la de ganancia, que tiene por fin proporcionar una ganancia adicional. La tercera etapa fija la tensión de continua de la salida a unos niveles apropiados para su utilización. La cuarta etapa proporciona baja impedancia de salida; la alta impedancia de entrada del AO proporciona junto con esta característica el aislamiento o efecto de carga despreciable de este circuito integrado.

+ Vi

Amplificador

Diferencial

-

Desplazador de Nivel o “Level Shifter”

Etapa de Salida

Vo

(a)

+ Vi

Amplificador Diferencial

-

Etapa de Ganancia

Desplazador De Nivel o “Level Shifter”

Etapa de Salida:

Vo

Seguidor de Emisor

(b)

Figura 1.9. Arquitecturas de OVAs: a) De 1 etapa. b) De 2 etapas.

Figura 1.10. Diagrama esquemático de un AO de propósito general extraído del modelo LM741. Consta de las siguientes etapas integradas: amplificador diferencial, etapa de ganancia de CC-CC, desplazadora de nivel y etapa de salida.

La Fig. 1.10 muestra el diagrama esquemático de un AO integrado de propósito general. En ella se aprecian diferentes configuraciones integradas típicas, que no corresponden a

-11-

Juan José González de la Rosa

los objetivos de este libro, pero que sí permiten intuir las funciones electrónicas que incorpora el circuito integrado. En la práctica, y con el fin de trabajar con los circuitos electrónicos basados en el AO se emplean modelos equivalentes basados en cuadripolos, que consisten en modelos matemáticos de cuatro terminales que constan de dos entradas y dos salidas. A partir de este punto, se continúa hacia un modelo de terminales para el AO, que permita explicar la operación delos circuitos que lo incorporan. 1.5. El amplificador operacional ideal y la realimentación negativa Se plantea en este apartado el primer circuito con el fin de estudiar las primeras configuraciones. 1.5.1. Características del AO ideal y planteamiento del modelo equivalente En primer lugar se tratan las características del AO ideal y de su conexión con el modelo real. Un AO es ideal si verifica las siguientes características: a) Presenta un factor de rechazo al modo común muy elevado. Matemáticamente tiende a infinito: CMRR  . b) Resistencia de entrada infinita. Así, no circula corriente por ningún terminal de entrada. En la práctica existe pero es unos seis órdenes de magnitud menor que la que circula por los componentes del circuito (e.g., para el modelo 741 la corriente de polarización de entrada es de unos 80 nA). c) Resistencia de salida nula. La salida del AO sería una fuente de tensión ideal. d) Ganancia de tensión (ganancia diferencial) en circuito abierto infinita: A v  . Esta condición supone que la salida diverge, Vo = AvVid  , a menos que la entrada sea nula, Vid  0, en lazo cerrado. A esta circunstancia se le denomina cortocircuito virtual, y conlleva que los terminales inversor y no inversor del circuito integrado están “virtualmente” al mismo potencial. Cuanto mayor es la ganancia diferencial mejor es el cortocircuito virtual. El cortocircuito virtual es por tanto necesario para obtener una salida controlada en lazo cerrado. Se verá que esto se consigue con la realimentación negativa. e) El ancho de banda es infinito. En la práctica estos componentes presentan una respuesta en frecuencia del tipo paso-baja. Presentado de esta forma ideal, y teniendo en cuenta las dos alimentaciones que limitan el rango de tensiones de salida, la gráfica característica estática ideal de AO, en lazo abierto, queda representada en la Fig. 1.11.

-12-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Vo +Vsat Vo =Av(V+-V-)  0

Vid=V+-V-

-Vsat Figura 1.11. Característica de transferencia estática (relación entrada-salida) de un AO ideal en lazo abierto (sin realimentación).

Como indica la Fig. 1.11, cuando la tensión diferencial se desplaza un infinitésimo del origen, el componente en lazo abierto se satura (la salida no puede superar la alimentación menos cierta cantidad disipada); la tensión de salida evoluciona de forma instantánea hacia uno de los dos “carriles-raíles” del circuito: Vsat= VOM. Desde un enfoque analítico la función característica, o de transferencia, en lazo abierto queda como sigue:



V o  Av  V   V 



   V sat , si V   V  , V d  0   Av  V d      V sat , si V   V  , V d  0 ind . si V  0 d 

Av  

Como se observa, la salida es indeterminada (ind.) para una tensión diferencial nula. Tal y como se ha definido el componente, en lazo abierto, su funcionamiento es inútil, pues si aplicamos una diferencia de entradas por pequeña que sea, éste se satura. De ahí que para tener una salida controlada se deba insertar el componente en un circuito externo y aplicar realimentación. Esto nos llevará al concepto de realimentación negativa y su relación con la tierra virtual. 1.5.2. Modelo del AO ideal El circuito equivalente se representa en la Fig. 1.12. En ella se consideran los casos de resistencias de entrada y de salida, ideales (a) y no ideales (b), respectivamente. Los modelos de la Fig. 1.12 se utilizan con el fin de analizar los circuitos electrónicos basados en el AO. Comenzamos con los circuitos que tienen por objeto la obtención de una salida controlada, es decir, que incorporan realimentación negativa.

-13-

Juan José González de la Rosa

Ro +

+ + AV - v id

Vid -

+

+

Vo

Vid

-

-

+ AV - v id

Ri

Vo -

(b) (a) Figura 1.12. Modelos equivalentes para el AO de tensión: a) Con resistencia de entrada infinita y de salida nula. b) Con resistencias de entrada y de salida finitas, y eligiendo un punto de referencia.

1.5.3. Concepto de realimentación negativa El concepto de realimentación negativa se introduce por ejemplo con una configuración inversora, como la de la Fig. 1.13, que usa un AO ideal. La realimentación consiste en introducir una muestra de la salida en el circuito de entrada; en nuestro caso se realiza mediante el terminal inversor. Veamos el mecanismo de estabilización de la salida. La dinámica de la realimentación negativa tiene por objeto estabilizar la salida de forma que en el estado estacionario, la salida tome un valor controlado, es decir, responda a unas expectativas de diseño. En el régimen transitorio la tensión diferencial no es nula. Vamos a suponer que V - > V+, entonces Vo  -. Pero al aplicar esta tensión muy negativa al terminal inversor, hacemos que esta tensión decrezca hasta que no se dé la desigualdad V- > V+. Análogamente (si viene de descompensarse) si V+ > V-, entonces Vo  + y ello conduce a que V- crezca. Por tanto, la situación de equilibrio consiste en la igualdad de tensiones: V- = V+. El equilibrio tiende a tensión diferencial nula. A la circunstancia así descrita se le denomina cortocircuito virtual (conocido también como el Principio de tierra virtual). Recordemos que está presente siempre que la ganancia en circuito abierto del AO sea muy elevada. Hemos demostrado que la realimentación negativa fuerza el cortocircuito virtual. Ii R1

R2

0

Vi

Ii

+Vcc

=

Vo

+

-Vcc

Figura 1.13. AO en configuración inversora6: entrada por el terminal inversor del AO.

A menudo la resistencia R2 se nota como RF con el fin de enfatizar que es una resistencia de realimentación (Feedback). 6

-14-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Obsérvese que la realimentación negativa es un mecanismo que tiende a compensar aumentos en la entrada que puedan provocar saturaciones en el componente. Por el contrario, la realimentación positiva (a través del terminal no inversor del circuito integrado) tiende a acelerar el proceso de entrada en saturación, como veremos en el capítulo de circuitos comparadores basados en el amplificador operacional. 1.6. Configuraciones básicas. Primeros análisis en CC y CA En este apartado se analizan los primeros circuitos electrónicos basados en el AO, considerando el componente ideal a todos los efectos. 1.6.1. Configuración inversora o amplificador de tensión inversor El circuito de la Fig. 1.13 se analiza con facilidad planteando las condiciones de idealidad:  

Ganancia en lazo abierto infinita: cortocircuito virtual. Resistencia de entrada infinita: no existe corriente hacia el interior del operacional, por ninguno de sus nudos de entrada.

Empezamos en CC, régimen en el que se distinguen las magnitudes en mayúsculas. Aplicando las condiciones anteriores, y la segunda ley de Kirchhoff al nudo inversor, queda pues la expresión: Vi  0 R1



0  Vo R2



Vo Vi



R2 R1

.

Esta expresión demuestra que es una configuración inversora, por lo que la salida y la entrada desfasan en 180º. Obsérvese que la ganancia no es función de los parámetros del AO y sólo depende del cociente de resistencias. Esta es una de las principales ventajas que presenta la realimentación negativa; que la salida del circuito es independiente del componente activo; dicho de otra forma, es insensible ante las sustituciones del componente. La Fig. 1.14 muestra la característica estática del circuito para los valores concretos R1 = 10 k y R2 = {20 k, 50 k, 100 k}. En ella se observa que cuanto mayor es el valor absoluto de la ganancia, menor es la zona de funcionamiento lineal. En efecto, al aumentar el valor de la resistencia de realimentación la corriente de realimentación disminuye y se pierden posibilidades de estabilizar la salida. La resistencia de entrada del circuito (respecto de esa entrada) se evalúa realizando el cociente entre la tensión de entrada y la corriente que fluye por ese terminal: Ri 

Vi Ii



Vi  0

-15-

Ii

 R1 .

Juan José González de la Rosa

Figura 1.14. Conjunto de características estáticas de la configuración inversora, para distintos valores de resistencias. Obsérvese que para R2  , la configuración se comporta en lazo abierto.

En CA (AC, señales variables en el tiempo) el análisis es análogo y quedan por interpretar la gráficas en el dominio del tiempo en régimen permanente. Para ello, vamos a considerar el ejemplo concreto con valores de resistencias: R1 =10 k y R2 =20 k; esto es, una ganancia teórica de - 2. Introduciendo una señal de entrada sinusoidal, de valor medio 1 y 2 Vpp y 1 kHz de frecuencia; el diagrama de señales en régimen permanente viene representado en la Fig. 1.15. En ella se aprecia la amplificación y la inversión. Dada por el cambio de signo. Si la entrada no posee acoplado ningún valor de CC, se observa la compensación interna de offset del AO, ya que existe simetría en torno al punto central. La situación se refleja en la Fig. 1.16.

Figura 1.15. Respuesta a una señal sinusoidal de la configuración inversora. Las características de la entrada son: 2 Vpp, Vm=1, f=1 kHz. La entrada al circuito es la señal superior.

-16-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Figura 1.16. Respuesta a una señal sinusoidal sin valor medio de la configuración inversora. Las características de la entrada son: 2 Vpp, Vm=0, f=1 kHz.

1.6.2. El amplificador de tensión no inversor o configuración no inversora Su esquema del circuito se muestra en la Fig. 1.17. El análisis del circuito se realiza bajo las mismas hipótesis de idealidad del componente. Consideramos cortocircuito virtual y, de la misma forma que en el caso anterior resulta: 0  Vi R1



Vi  V o R2



Vo Vi

 1

R2 R1

.

La ganancia es positiva, no es inversora, y de nuevo se observa que no depende de los parámetros del AO, sólo de los componentes del circuito (las resistencias en este caso).

R2 R1

-

+Vcc

=

+

Vi

Vo -Vcc

Figura 1.17. Configuración no inversora basada en un AO ideal y sin resistencia de carga (la tensión de salida se mide en vacío).

-17-

Juan José González de la Rosa

1.6.3. Sumadores ideales 1.6.3.1. Sumador/escalador inversor Su esquema o circuito se muestra en la Fig. 1.18. Aplicando los mismos principios, se considera la suma de corrientes en la terminal inversora del AO: I 1  I 2  I 3  ...  I N  I F



V1  0 R1



V2  0 R2



V3  0 R3

 ... 

VN  0 RN



0  Vo RF

.

De aquí se sigue que la salida es la suma ponderada de las entradas (circuito sumador/escalador), cambiada de signo (inversor): V V V V V o   R F   1  2  3  ...  N RN  R1 R 2 R3

   RF   

N

R i 1

Vi

.

i

Donde, la salida es la suma de cada una de las entradas ponderadas según el cociente entre la resistencia de realimentación y cada resistencia de la rama de entrada: RF/Ri. Si todas las resistencias de rama son iguales (R), la tensión de salida resulta ser: Vo  

RF R

N



V

i

.

i 1

Con lo que se demuestra la realización de la función “suma invertida”. IF

RF R1

0

V1

I1

+Vcc

=

R2

Vo

+

V2

-Vcc

I2 R3 V3

I3

…

… RN VN IN Figura 1.18. Circuito sumador inversor basado en un AO de propósito general ideal.

-18-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

1.6.3.2. Sumador/escalador no inversor Su esquema se muestra en la Fig. 1.19. Se realiza el planteamiento de ecuaciones, con las corrientes en el terminal no inversor: 0  I 

V1  V 



R1

V2  V  R2



V3  V  R3

 ... 

VN  V  RN

;

V  V .

Se plantea ahora un divisor de tensión en el terminal inversor: R R  RF

V   Vo 

.

Combinando las tres últimas expresiones, se obtiene la expresión casi definitiva: V1  Vo  0

R R  RF

R1

V 2  Vo  

R R  RF

R2

V3  V o  

R R  RF

R3

V N  Vo   ... 

RN

RF R

-

+Vcc

=

R1 V1

I+=0

I1

+

Vo -Vcc

R2 V2 I2 R3 V3 I3

…

…

RN VN IN Figura 1.19. Sumador no inversor basado en AO ideal.

-19-

R R  RF

.

Juan José González de la Rosa

Desarrollando la expresión anterior, se tiene: 0

V1



R1

Vo  R

R1  R  R F 



V2



VN



R2 RN

Vo  R

R 2  R  R F 





Vo  R

R N  R  R F 

V3 R3



Vo  R

R 3  R  R F 

 ...

.

Se define ahora la resistencia en paralelo: Vo  R R  RF

 1 1 1 1        ...  R R R N  1 R 2  3 

N

R i 1

Vi

.

i

1/ R'

De donde, finalmente se obtiene la salida del circuito: Vo 

R  RF R

N

R

 R '

Vi

i 1

donde : R '  R1 // R 2 // R3 // ... // R N

i

1.6.4. Seguidor de tensión o seguidor de fuente El circuito se muestra en la Fig. 1.20. También recibe el nombre de amplificador de ganancia unitaria o amplificador de aislamiento (o buffer). De la Fig. 1.20 (a), la señal o tensión de entrada se aplica directamente a la entrada no inversora del AO. Al existir cortocircuito virtual, las tensiones en los terminales inversor y no inversor coinciden, por lo que: Vi  V



V



 Vo  Vi  Vo

.

Obsérvese que la tensión de salida coincide con la de entrada en magnitud y signo. La ganancia de tensión es la unidad y “la salida sigue a la entrada”.

i0 -

+Vcc

-

vo

vd  0 i+  0 vi

0

+Vcc

Io

Vd  0

+

+ -Vcc

I-

Vi=5 V

IL -Vcc

Vo RL= 10 k

(b)

(a)

Figura 1.20. (a) Seguidor de tensión o amplificador de aislamiento (buffer). (b) Configuración para análisis de corrientes en CC.

La Fig. 1.20 (b) permite realizar un análisis en CC. Se basa en la suma de corrientes en el nudo de salida. En este circuito aparece por primera vez la corriente de salida del AO (Io). Aunque en la práctica la corriente de salida es muy parecida a la corriente que circula por

-20-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

la resistencia de carga del AO, se ha querido expresar la relación entre ambas a través dela corriente que circula por uno de sus terminales, así como su orden de magnitud: Io

I

IL

IL

0

Vo

Vi

5V

RL

RL

10 k

0.5 mA .

Como se verá en el siguiente capítulo, dedicado al estudio de los límites prácticos del AO, la corriente de salida y la de entrada de un AO no pueden tomar un valor arbitrariamente elevado (ni arbitrariamente pequeño) sin alejar al dispositivo del régimen de funcionamiento lineal y, en el caso extremo, sin deteriorarlo irreversiblemente. El bloque seguidor de tensión se emplea con el fin de disminuir los efectos de carga entre etapas interconectadas. En efecto, al ser su resistencia de entrada muy alta, demanda muy poca corriente de una fuente que a él se conecte. El efecto puede comprobarse al comparar el seguidor de tensión con configuraciones que posean una resistencia de entrada finita., cuando se les conectan fuentes de resistencia de salida elevadas. En esta línea, considérese el circuito de la Fig. 1.21. Comprobaremos que la entrada del circuito inversor (Vi) no coincide con la señal de excitación del sensor (Vs), que es la que debe ser amplificada, y no una fracción de ella. Para ello se plantean otra vez las corrientes en la malla de entrada: Ii 

V s  Vi Rs



Vi  0 R1



0  Vo



R2

 1 1    Vi    Rs  R1 R s 

Vs

 R1  Vi    R1  R s

   V s . 

R2=10 k Rs=100 k Vi R1=10 k Vs= 1V

Ii

0

-

+Vcc Vo

=

+

-Vcc

R L= 10 k

Figura 1.21. Amplificador inversor basado en AO, conectado a fuente de CC, Vs (señal que puede provenir de un sensor cuya salida debe ser acondicionada), de resistencia de salida, Rs, elevada.

De la relación anterior se deduce que, cuando la resistencia de la fuente tiende a cero (en la práctica, es muy pequeña), la tensión de entrada al circuito es prácticamente la de la fuente de señal. Este hecho evidencia un efecto de carga mínimo. Analíticamente se expresa como sigue:  R1  V s  V s . lim V i     Rs  0  R1  0 

En el caso práctico que nos ocupa se obtiene un valor para la tensión de entrada de:

-21-

Juan José González de la Rosa

R1

Vi

R1

Vs

Rs

10 k 10 k

100 k

1V

10 110

1V

0.0909 V

.

Como se observa, se comete un error de casi el 90 % debido a este efecto de carga. En efecto, en la entrada deberíamos tener 1 V y se tienen aproximadamente 0.1 V (el 10 %). 1.6.5. Integradores tipo Miller (de corriente constante) En primer lugar se estudia el comportamiento en el dominio del tiempo. La aplicación (función) lineal de integración se lleva a cabo mediante circuitos que incorporan un condensador en el lazo de realimentación. El primer circuito, integrador básico, se muestra en la Fig. 1.22. C=10 nF

ic(t)

vi(t)

R=100 k i-  0 ii(t)

vd  0

+ vc(t) 12 V

-

741

+

vo(t) -12 V

Figura 1.22. Integrador Miller7 básico basado en el AO741.

Antes de realizar el análisis, se comprueba que el circuito realiza la función de integrar la señal de entrada en el dominio del tiempo. Para ello supondremos todo lo referente a la idealidad del componente. Si Q es la carga almacenada en el condensador C, podemos plantear directamente la tensión de salida del circuito según: ii t   ic t   ii t  

vi t 

R vc t    vo t 

dQ dt

C

d vc t  dt   t d vo t  1         v t   RC  v t  v t  vi t   dt .  i o o 0 dt RC  t0   



En esta última expresión se han considerado no nulas las condiciones iniciales de integración. Queda demostrada pues la función integración del circuito. Antes de pasar al análisis práctico del circuito veamos en teoría cómo se comporta ante determinadas entradas. Por ejemplo, ante el escalón de tensión de la Fig. 1.23 (a). Se parte de condiciones iniciales nulas, y se obtiene la evolución de la tensión de salida del circuito en función del tiempo:

7

En honor a su desarrollador John M. Miller.

-22-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

vo t   vo t0  

t

t

t  t  . v t   dt  0  V  dt   RC  RC  RC 1

1

V

i

0

t0

t0

Considerando los valores numéricos mostrados en la Fig. 1.23(b), y suponiendo que se parte del origen con condiciones iniciales nulas, se plantea el caso R=100 k y C=10 nF. Al cabo de 3 ms, la salida resulta:   RC  105  108  1 ms

vo t  3 ms  0 

vi(t)

1 1

t  3 ms

1  dt   1 ms 3 ms  0  3 V . 1

t0 0

vo(t)

V

V= 1 V

0

t

t0

t0

0

t1=3

t (ms)

vo(t1) vo(t) (a)

(b)

Figura 1.23. Respuesta de un integrador ideal (a) a un escalón de tensión (a).

Este valor de salida queda lejos de la tensión de saturación negativa (aproximadamente 12 V). Si se espera más tiempo se termina por alcanzar la saturación. Es interesante observar que el integrador realmente efectúa una suma de 1 V a la salida cada vez que transcurre una constante de tiempo, es decir, cada vez que pasa 1 ms. Por lo tanto, como han pasado 3 ms y el integrador es inversor, entonces tendremos -3 V en la salida. El caso práctico que se plantea con ORCAD-PSPICE en condiciones estacionarias en el domino del tiempo, consiste en suponer una señal cuadrada con T=10 ms, 1 Vpp y valor medio nulo. Suponiendo el condensador inicialmente descargado, la respuesta periódica en el dominio del tiempo viene representada en la Fig. 1.24.

-23-

Juan José González de la Rosa

Figura 1.24. Entrada y salida del integrador básico basado en el AO741. Se supone, por ejemplo, que la señal empieza en nivel bajo. Obsérvese que la integración no finaliza en el cero por efecto de la tensión de offset de entrada del AO. Para hacer la simulación hay que habilitar la opción “Skip Initial Transient Solution” (saltar/obviar el transitorio inicial), para que el integrador empiece en cero. En caso contrario empezaría la integración en 12 ó en -12 V.

La constante de tiempo característica8 del integrador es:   RC  10 5  10 8 s  1 m s .

Este valor de τ nos hace considerar unidades de tiempo del orden de los ms en el transcurso del análisis (es como una referencia). Para obtener la señal se analizan las dos situaciones o estados fluctuantes que tienen lugar de manera periódica en el tiempo: vi=-0.5 V en el intervalo 0-5 ms.vo t

Cuando t=5 ms:

vo t 0

vo t

t

1 RC

5 ms

vi t dt

1

0

1

t0

2.5 V

t

0.5 dt 0

0.5 1

t

0.5t

.

, como se aprecia en la Fig. 1.24. Este es el valor

inicial para el siguiente intervalo temporal, correspondiente al otro nivel de tensión de entrada. vi=0.5 V en el intervalo 5-10 ms.vo t

vo 5

1 1

t

0.5 dt

2.5

0.5

5

1

t

5

2.5

0.5 t

5

.

Esta rampa decreciente finaliza en el instante t=10 ms. En él: vo 10

2.5

0.5 10

8 Como regla empírica, la

5

0V

.

constante de tiempo de cualquier circuito nos permitirá saber el orden de magnitud de su dinámica temporal. En este caso, al ser de 1 ms las señales tendrán periodos fundamentales de varios ms.

-24-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Esto ratifica la evolución de la señal en el dominio del tiempo. A su vez, este valor constituye la situación inicial para el segundo periodo, y todo vuelve a repetirse. Por otra parte, en la gráfica se observa que no se llega exactamente a cero; hecho que se atribuye a la tensión de offset de entrada del AO. Una resistencia en paralelo con el condensador de realimentación reduce el efecto de la tensión de offset de entrada. Por ahora hay que conocer esta circunstancia a nivel cualitativo. La nueva situación se muestra en la Fig. 1.25, en la que se ilustra una compensación hacia el otro sentido, con otro signo, de la tensión de offset. Utilizando el modelo de AO ideal se obtiene también la Fig. 1.25, sin necesidad de conectar la resistencia de realimentación elevada.

Figura 1.25. Integrador con resistencia de realimentación de 10 M. Se compensa la tensión de offset de entrada del AO; en este caso se compensa hacia el otro signo.

A continuación se estudia la respuesta en frecuencia del integrador. Se toma como circuito prototipo el integrador básico anterior. Se comienza con un AO ideal a todos los efectos, salvo la ganancia diferencial en lazo abierto que será en primer lugar muy elevada, Ad0=106. Se obtiene la respuesta de la Fig. 1.26, el diagrama de Bode de ganancias. Es este un diagrama semi-logarítmico, que representa los decibelios de la ganancia frente al logaritmo en base 10 (logaritmo decimal) de la frecuencia:  V  20 log o   Vi  1 

vs.

log f  .

En la Fig. 1.26 se observa el punto de corte con el eje horizontal de la frecuencia, que se calcula partiendo de la constante de tiempo del integrador (1 ms). La pulsación característica se define como la inversa de la constante de tiempo, y así también se define la frecuencia característica, que a continuación se expone: wc

1 t

1 10

3

s

1000 rad / s

1 krad / s

fc

wc

1000

2p

2p

159.15 Hz

.

Recordemos que este es un diagrama de Bode de ganancias, porque la salida está referida a la entrada, que en este caso posee 1 V de amplitud.

-25-

Juan José González de la Rosa

Figura 1.26. Respuesta en frecuencia de un integrador básico (sin resistencia en paralelo con el condensador), basado en un AO con ganancia diferencial muy elevada (106).

Si se utiliza un modelo de AO “menos ideal”, por ejemplo, con una ganancia diferencial pequeña de valor 1000, aparecerá una zona plana en la respuesta en frecuencia. La situación de marcado de la frecuencia de corte se aprecia en la Fig. 1.27. Esta frecuencia depende del condensador de compensación del AO, cuestión que no nos ocupa en este capítulo.

Figura 1.27. Respuesta en frecuencia de un integrador básico (sin resistencia en paralelo con el condensador), basado en un AO con ganancia diferencial en lazo abierto de 1000 (60 dB).

En la Fig. 1.27 se aprecia la situación para calcular la frecuencia superior de corte (3 dB por debajo de la ganancia en la zona plana, 60-3= 57 dB). El cursor indica unos 158,6 mHz. Veamos qué resulta de aplicar la expresión experimental (cuasi-empírica) para su cálculo. Seguimos en un circuito integrador básico con R=100 k y C=10 nF: wH

1 Ad 0 t

1 10

3

10

3

s

1 rad / s

1000 mrad / s

fH

wH

1000

2p

2p

159.16 mHz

,

la cual obviamente es muy parecida a la obtenida por simulación. La ganancia diferencial del AO en lazo abierto es Ad0=1000, y recordemos que es la causante de la zona plana con frecuencia de corte tan pequeña. A continuación se comprueba que la resistencia en paralelo con el condensador de realimentación, cuya misión era suprimir el efecto de la tensión de offset de entrada,

-26-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

provoca por otra parte (en el domino de la frecuencia) un aumento de la zona plana del integrador. La situación se muestra en la Fig. 1.28. En ella se aprecia que cuanto mayor es la resistencia de realimentación, más próximo es el comportamiento del circuito al del integrador básico. Además, el cociente R2/R1 constituye la ganancia en la zona plana o banda de transmisión del integrador. Es precisamente esta característica la que a menudo da nombre al circuito de “integrador con banda de transmisión”.

Figura 1.28. Respuesta en frecuencia de un integrador con banda de transmisión (con resistencia R2 en paralelo con el condensador), basado en un AO ideal (OPAMP de PSPICE) con ganancia diferencial en lazo abierto 1000 (60 dB). Se indican los cuatro valores de la resistencia de realimentación. El barrido en frecuencias se ha realizado de 10 mHz a 10 kHz, con el fin de apreciar los cambios que experimenta la curva de Bode de ganancias.

A continuación se obtiene analíticamente la característica de transferencia del integrador en régimen sinusoidal permanente. Para ello consideraremos el circuito de la Fig. 1.29. Se consideran los fasores y la variable “s” del dominio de Laplace es s ≡ jw. En estas condiciones la función de transferencia se denomina transmitancia isócrona. Obtengamos ahora la característica de transferencia. Suponemos todas las idealidades del AO, y así se obtiene (igualando las corrientes que circulan por las dos impedancias): Vi  0 Z1



0  Vo Z2



Vi  0 R1



0  Vo R2



1  jwR 2 C

R R R   2    2    2   R1   R1   R1     w f Vi 1  jwR 2 C 1 j 1 j wc fc

Vo

.

Se observa en primer lugar la ganancia para frecuencias bajas (en concreto para CC, f=0 Hz) que se responde a –R2/R1, y que coloquialmente se denomina zona “plana”. Además, en esta ecuación se observa la frecuencia característica o frecuencia superior de corte del circuito, fc. Para trazar los diagramas de Bode de ganancias se toman logaritmos de los módulos de las magnitudes complejas y se multiplica por un factor de “20”: Vo Vi

dB

V    R  f   20 log o   20 log  2   20 log 1  j .  R  V   f c  1    i  

-27-

Juan José González de la Rosa

Z2 R2=10 M C=10 nF

Z1 R 1= 100 k

vi(t)

ii(t)

i-  0

-

+Vcc

vd  0

vo(t)

+

-Vcc

Figura 1.29. Circuito integrador con banda de transmisión.

Desarrollando (llamamos W a la magnitud):   R  R f  W dB  20 log  2   20 log 1  j  20 log 2  R   f c  1   R1  

 f2   20 log 1   f c2 

.

En la práctica, el tratamiento de esta expresión se realiza de forma aproximada asintóticamente, tomando como referencia la frecuencia característica (frecuencias de trabajo mucho menores y mucho mayores). En efecto: R f  f c : W  20 log 2  R1

 10 7    20 log  10 5  

R f  f c : W  20 log 2  R1

 f   f     40  20 log  dB.   20 log   fc   fc 

   40 dB  

Se aprecian los 40 dB de la zona plana y la pendiente de -20 dB/dec ó -6 dB/oct. Esto siempre ocurre en circuitos con sólo una frecuencia característica en el denominador (en circuitos con un solo polo). Por otra parte, si el integrador no posee resistencia en paralelo con el condensador, y el AO es ideal (con ganancia diferencial infinita, el integrador más básico tratado), el análisis es más simple aún: Vi  0 Z1



0  Vo Z2



Vi  0 R1



0  Vo V 1 1 1  W  jw   o    1 w f Vi jwR 1C j j jwC wc fc

.

En este caso, la representación semi-logarítmica es una recta en cualquier rango de frecuencias. A lo largo de todo el intervalo de frecuencias para el que dura la pendiente de esta recta, se produce la integración. La ecuación es:  f   dB  20 log f   20 log f c  dB . W dB  20 log  fc 

-28-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

En el dominio de Laplace (s ≡ jw), las expresiones anteriores resultan indicadas en la Tabla 1.1: Tabla 1.1. Funciones de transferencia de los integradores con W(s) ≡ Vo(s)/Vi(s).. Integrador básico Integrador con banda de transmisión 1 1  W s   sR1C s 1

con  1  R1C

R   2  R1  k  W s    1  sR 2 C 1  2s

con  2  R 2 C y k 

R2 R1

Obsérvese que ambas funciones de transferencia son inversoras. El integrador con banda de transmisión tiene un polo9 en s=-1/, y no tiene ceros. El integrador básico tiene un polo en el origen (s=0), y no tiene ceros. En ambos circuitos, la zona de frecuencias de integración corresponde a la pendiente. El integrador con banda de transmisión se considera un filtro activo (amplifica) de orden 1 (el polinomio denominador es de grado “1” en “s”), paso-baja. Por analogía a la nomenclatura del tema 5, su característica de transferencia puede expresarse en la forma: H s  

H0 1  s

, con

  R2 C

y

H0  

R2 R1

.

Es interesante con la vista puesta en el tema de filtros activos, familiarizarse con esta forma de expresar la función de transferencia, en el dominio algebraico de la variable “s”, de Laplace. El mismo conjunto de gráficas de respuesta en frecuencia se puede obtener con MATLAB. Con ese fin está diseñado el Ejemplo 1.1: Ejemplo 1.1. Obtener con MATLAB los diagramas de Bode de ganancias y de fases de una configuración inversora con R1=100 k y para los valores de R2={0.1 ,1, 10, 100 Meg}; y para C=10 nF. A continuación se reproducen las líneas de código MATLAB. clear; clc; close all C=10^(-9); %en F R1=100; %en Kohms R2=[100, 10^3, 10^4, 10^5]; %en Kohms R2_entre_R1=R2/R1; s = tf('s'); %Define la función de transferencia de manera simbólica %en lugar de definir numerador y denominador por separado figure('Position',[100 50 800 600]) for i=1:4 W(i)=-R2_entre_R1(i)/(1+s*R2(i)*C); %Función de transferencia iésima bode(W(i)) hold on end

Los ceros (polos) de un circuito son aquellos valores de “s” que anulan el polinomio numerador (denominador). La función de transferencia del circuito se considera como el cociente de los polinomios numerador y denominador: W s   N s  / D s  .

9

-29-

Juan José González de la Rosa

hold off title('Bodes de ganancias y de fases para configuración inversora') legend('100','10^3','10^4','10^5 (R_2, k \Omega)') grid on %Habilita rejilla

La Fig. 1. Ej. 1.1 muestra el resultado gráfico de los cuatro diagramas de Bode de ganancias y de fases. D C B A

A B

A B C D

C D

Figura 1. Ej. 1.1. Resultados de la simulación con MATLAB de los diagramas de Bode de ganancias y de fases para el circuito configuración inversora. En el lazo “for” se ha creado una matriz de cuatro sub-sistemas de tiempo continuo en paralelo que comparten una salida. Esta circunstancia es fácil de apreciar sin más que teclear el nombre de la variable “W” en la ventana de comandos. El resultado se muestra a continuación: >> W W = From input 1 to output: -1 ----------1e-07 s + 1 From input 2 to output: -10 ----------1e-06 s + 1

-30-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

From input 3 to output: -100 ----------1e-05 s + 1 From input 4 to output: -1000 -----------0.0001 s + 1 Continuous-time transfer function.

Esta circunstancia también se aprecia al teclear “whos”: >> whos Name

Size

C R1 R2 R2_entre_R1 W i s

Bytes

1x1 1x1 1x4 1x4 1x4 1x1 1x1

8 8 32 32 1865 8 1049

Class

Attributes

double double double double tf double tf

Si se quisiera acceder a los numeradores y denominadores de los subsistemas así formados no hay más que invocar a las propiedades desde la ventana de comandos. Por ejemplo, si consideramos el subsistema W(2), podemos obtener su matriz numerador y su matriz denominador tecleando: >> num_W_2 = [W(2).num{:}], den_W_2 = [W(2).den{:}] num_W_2 = 0

-10

den_W_2 = 0.0000

1.0000

Para otras versiones de MATLAB habrá que teclear, por ejemplo: >> num_W_2 = [W(2).Numerator{:}], den_W_2 = [W(2).Denominator{:}]

1.6.6. Circuitos derivadores El circuito electrónico derivador produce una salida proporcional al ritmo de variación temporal de la entrada (su derivada). El circuito básico de integración se muestra en la Fig. 1.30. Con razonamientos similares, teniendo en cuenta que la tensión de entrada es la que cae también el condensador por causa de la tierra virtual, se obtiene la expresión de la tensión de salida instantánea: i i t   C

d v i t  dt

 v o t    i i t R 2   R 2 C

-31-

d v i t  dt

.

Juan José González de la Rosa

Realizando razonamientos similares, se obtiene la función de transferencia. En este caso mostramos el procedimiento tomando la transformada de Laplace (operador “L”) a ambos lados de la expresión anterior, y suponiendo condiciones iniciales nulas: d v i t    Lv o t   L   R 2 C   V o s    R 2 C  s  V i s  dt   V s   W s   o   R 2 C  s   2 s.  V i s  2

Z2 R2=10 M Z1 C=10 nF + vi(t) ii(t)

ii(t)

i 0

+Vcc

-

-

vd  0

vo(t)

+

-Vcc

Figura 1.30. Circuito derivador básico basado en AO de propósito general ideal.

Se observa que la función de transferencia tiene un cero en el origen (i.e., s=0). Para trazar el diagrama de Bode de ganancias (siempre en régimen sinusoidal permanente) en su versión semi-logarítmica, se plantea la expresión en decibelios:  f   dB  20 log f   20 log f c  dB . W ( f ) dB  20 log   fc 

Es decir, es una recta de pendiente 20 dB/dec.

-32-

2

Desviaciones de la idealidad de los amplificadores operacionales

2.1. Introducción Los AOs son componentes electrónicos cuyo comportamiento en un circuito real es muy similar al previsto idealmente. Además, en numerosas ocasiones los circuitos de los que forman parte incorporan realimentación negativa, que reduce el efecto que podrían producir las desviaciones de la idealidad en ausencia de realimentación, aproximándoles más al comportamiento ideal. Esto no significa que las limitaciones prácticas no hayan de ser consideradas en el análisis, puesto que suponen una pérdida de prestaciones, a menudo muy necesarias en aplicaciones específicas (e.g., tensión de offset de entrada y/o corrientes de polarización en amplificadores de instrumentación, o alto slew rate en aplicaciones que requieran velocidad de respuesta). Se dividen en dos grupos: los valores límite o límites operativos, y las características. En este capítulo se estudian las desviaciones prácticas más importantes del componente. Estas no-idealidades se ampliarán en diversos contextos de capítulos posteriores. 2.2. Límites operativos o valores límite Para que el AO se comporte como un amplificador diferencial de alta ganancia y mantenga sus características de bloque constructivo, sin deterioro de las funcionalidades del circuito, las variables de entrada y de salida deben permanecer dentro de unos límites operativos. Se puede decir también que si estas variables se mantienen dentro de esos límites, el funcionamiento del circuito es predecible por modelos matemáticos relativamente sencillos, y aproximadamente lineales. Los valores límite más significativos son los siguientes:    

Rango de entrada. Rango de salida. Máxima corriente de salida. Máxima velocidad de cambio de la tensión de salida.

-33-

Juan José González de la Rosa

Veamos a continuación cada uno de ellos mediante ejemplos que en sí mismos constituyen ejercicios y problemas. 2.2.1. Rango de tensiones de entrada Las tensiones aplicadas a las entradas inversora y no inversora del AO no pueden tomar un valor arbitrariamente extremo. De lo contrario no se satisface la relación o modelo lineal entre la ganancia diferencial y la tensión de salida, mediante la tensión diferencial de entrada Ad, y que permite explicar el funcionamiento en lazo abierto:





v o  Ad  v   v   Ad  v id

.

Para cada circuito integrado, el fabricante especifica el intervalo para la tensión de entrada en modo común (VICM), es decir, la máxima y mínima tensión que pueden tener las dos entradas aplicadas a la vez (con cortocircuito virtual) al componente. Este parámetro se proporciona de esta forma porque en la mayoría de las aplicaciones la tensión en las dos entradas del AO es muy parecida (en los circuitos lineales la realimentación negativa fuerza el cortocircuito virtual). Debe pues garantizarse que este valor quede dentro del rango especificado en la hoja de características. Este parámetro depende de las tensiones de alimentación del circuito, y la relación entre ambos es aproximadamente lineal. En la práctica suelen tomarse unos 2 (ó 1,5) V por debajo, i.e., es un poco menor en valor absoluto que la tensión de alimentación. Así por ejemplo, para alimentación de Vcc = 12 V, VICM = 10 V. En la práctica, suele especificarse mediante una sencilla curva que representa la tensión de modo común frente a la de alimentación, o viceversa. A continuación, se aplican estos límites operativos al amplificador diferencial básico de la Fig. 2.1 (como anticipo del capítulo 5, dedicado a amplificadores de instrumentación); el resultado de la esta aplicación definirá los límites operativos para la entrada del circuito, dentro del rango dinámico lineal.

R2=100 k R1=10 k V2

-

+12 V

R1=10 k V1

Vo

+ -12 V

R2= 100 k

Figura 2.1. Circuito de amplificador diferencial básico.

La tensión de salida se obtiene aplicando al circuito la hipótesis de operación lineal, y considerando al AO ideal a todos los efectos. Por una parte, el divisor de tensión de la entrada no inversora permite obtener:

-34-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

V   V1

R2 R1  R 2

.

Por otra, como la resistencia de entrada al componente es infinita, la corriente que circula por R1 (por donde se conecta V2) es la misma que la corriente de realimentación, que circula por R2; también se aplica el cortocircuito virtual. Con todo, resulta: 

V2  V  R1



V   Vo

V   R2 V 2  V1 R1  R 2



R2

R1



V   R2 V1  Vo R1  R 2



R2

.

De esta ecuación se despeja la tensión de salida, cuyo proceso se muestra a continuación: V2 R1

R2  V1

R1

R1  R 2



V1 R1  R 2



Vo

 R V 1  o  V1  2  1 R1 R2  R1  R 2  R1

V2



R2

.

Al final, despejando la tensión de salida, resulta: Vo  

R2 R1

R  R2  R  R1 R V 2   2  1 V1   2 V 2   2 R R  R R 2 1  1  1  R1

 R2   R  R V1 . 2  1

De donde finalmente se tiene: Vo  

R2 R1

V2 

R2 R1

V1 

R2 R1

  V 2  V1 

Vo 



R2 R 1

 V1  V 2  .

AD

Es interesante observar que se ha introducido de nuevo el concepto de ganancia diferencial del circuito), AD, (ahora con un ejemplo) como complemento a la ganancia diferencial del AO, Ad1. Obsérvese que si las dos resistencias coinciden, el circuito se comporta como un restador de tensiones de entrada. Aplicando ahora la limitación práctica, se tiene que la entrada no inversora (y la inversora) verifica la siguiente desigualdad: V   V   10  10  V   10



 10 

R2 R1  R 2

 V1  10



 10 

100 110

 V1  10

Esto significa que la entrada V1 debe estar comprendida en: V1 

1100 100

 11 V

.

Obsérvese de nuevo que el subíndice de las magnitudes del componente va en minúsculas, mientras que en el circuito se expresa en mayúsculas. 1

-35-

Juan José González de la Rosa

Por lo tanto, este ejemplo sirve para comprobar que de una limitación del componente se deduce una limitación para el circuito. Esta va a ser la norma general a tener en cuenta ya que las magnitudes del circuito dependen o están relacionadas matemáticamente con las del componente que contienen. Para la otra entrada se realiza una estrategia similar. 2.2.2. Rango de tensión de salida Viene dado por las tensiones de saturación (“raíles”) del componente. Generalmente y como criterio práctico suelen tomarse 1,5 ó 1 V menores que las de alimentación, y la relación es aproximadamente lineal. Estos valores de saturación suelen ser simétricos y el fabricante los agrupa en el parámetro oscilación de la tensión de salida (VOM). 2.2.3. Máxima corriente de salida El componente AO no puede absorber ni suministrar una cantidad arbitrariamente elevada de corriente. Superar este límite de corriente supondría degradar la tensión de salida, e incluso la ruptura del circuito integrado. El fabricante especifica el límite en forma de parámetro, como la corriente de cortocircuito (IOS). Consideremos un primer ejemplo para ver cómo afecta el valor de la resistencia de carga al comportamiento del AO, en cuanto a su corriente de salida. Sea una configuración no inversora, como la mostrada en la Fig. 2.2. Los límites de la tensión de salida del AO son 12 V, y los límites máximos de la corriente de salida, Io, son 25 mA (valor estándar en AO de propósito general). Determinar la máxima amplitud de la tensión de entrada si la resistencia de carga RL es de 10 k. Repetir el cálculo si la resistencia de carga es de 100 .

R2=3 k R1=1 k

=

+

vi

+Vcc io RL -Vcc

+ vo

Figura 2.2. Configuración no inversora con resistencia de carga RL. Ahora, la corriente de salida del AO no coincide con la corriente de carga, iL.

Veamos a continuación, que el efecto de esta limitación práctica dependerá del valor de la resistencia de carga RL. La ganancia en lazo cerrado del circuito vale 4 = (1+3/1). Los recortes en la salida comienzan cuando la tensión de salida alcanza 12 V, ó cuando la corriente de salida alcanza el valor  25 mA. Para el primer caso o valor de resistencia planteado en el problema, la resistencia de carga es relativamente grande, por lo que al haber poca demanda de corriente de salida, ésta es pequeña. Podemos en este caso predecir que los recortes se producirán cuando se alcancen los límites máximos de tensión de salida, o tensiones de saturación. Para

-36-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

comprobar esta hipótesis, se calcula la corriente de salida, cuando la tensión de salida es máxima, y se comprueba que queda por debajo de su límite máximo. En efecto imax < 25 mA: i o, máx 

v o , máx RL



v o, máx

12



R1  R 2

10

4

12



3000  1000

 4,2 mA .

Por otra parte, el circuito recortará la salida para una tensión de entrada, que viene dada por (imponiendo valor máximo de la salida): v o, máx

v i , máx 

Ganancia



12 V 4

 3V .

Sin embargo, con una resistencia de carga pequeña, la corriente de salida es grande y se puede suponer o anticipar que los recortes se producirán cuando la corriente de salida del amplificador operacional supere los 25 mA. Imponiendo este límite se plantea la siguiente ecuación: io ,máx  25 mA 

v o,máx RL



v o ,máx R1  R 2



v o ,máx 100



v o ,máx



3000  1000

v o ,máx  2,44 V .

Esta tensión de salida no excede del límite de tensión del AO; o sea que, cuando se ha superado el límite de corriente, la salida no ha alcanzado todavía ni la mitad de su valor máximo. Por lo tanto, se recortará la salida por causa de una limitación de corriente. El valor de entrada que produce este recorte, motivado por superación de corriente, es: v i ,máx 

v o ,máx Ganancia



2,44 V 4

 0,61 V

.

Como segundo ejemplo para estudiar este efecto de la limitación de la corriente de salida se considera la configuración no inversora, que se repite en la Fig. 2.3 por simplicidad, pero esta vez sin resistencia de carga externa RL. Se trata en esta ocasión de obtener los valores límites resistivos que mantienen las tensiones y corrientes del circuito dentro de las especificaciones del fabricante. Para analizarlo, se plantean en primer lugar las ecuaciones que surgen de los límites operativos del componente. En primer lugar, para no superar la máxima corriente, debe cumplirse la siguiente limitación: iL 

vi R1

 I OS .

Además, para que no se supere la máxima entrada en modo común: v i  V iCM

-37-

.

Juan José González de la Rosa

R2

iL

R1

iL

+Vcc

=

+

vi

vo -Vcc

Figura 2.3. Circuito amplificador en configuración no inversora sin resistencia de carga. La corriente de carga, iL (circularía por RL – no conectada), circula por R2, que puede hacer de resistencia de carga por defecto. Se supone alimentación dual de 15 V para obtener una estimación numérica.

Por último, con el fin de que la salida no se sature, debe verificarse que dicha tensión no supere la de saturación. Entonces, se impone la condición:  R  1  2   v i  V o , máx  R1  

Tomamos los parámetros del A741C (Fairchild Semiconductor), considerados para una tensión de alimentación dual de Vcc=15 V: I OS  25 mA

V OM  14 V

V iCM  13 V ( 12 ,5 V ) .

Vamos a razonar también este proceso aplicando una regla empírica de diseño que consiste en imponer que la corriente por la resistencia de carga sea 500 veces más pequeña que la tensión de entrada (IL=Vi/0,5 mA). Esto es lo mismo que imponer que la corriente de salida tenga en mA el doble del valor de la tensión en voltios (IL=Vi/0,5 =2Vi mA). Es decir, en el límite se cumplirá2: 500   25 m A  12500 m V    R1

I OS

.

Vi

Y en general, se verificará: V i  R1 I OS . La primera restricción del fabricante nos lleva a plantear que una tensión de entrada menor que la permitida en modo común debe producir una corriente menor que la de cortocircuito. De ahí se deduce el mínimo valor para R1:

Hemos supuesto aquí 12,5 V de tensión máxima de entrada en lugar de 13 V, como indica el fabricante. Imponiendo esto y sustituyendo IL por Ios=25 mA, se obtendrían los 500 Ω para la resistencia de carga. En realidad, esta igualdad es un caso extremo. 2

-38-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

12,5 V R1



vi R1

 I OS  25 mA 

R1 

12,5 25

k  0,5 k .

Si tomamos una resistencia de R1=500  (e.g., valor tabulado), entonces la entrada no puede superar los 12,5 V. Se trata pues de apurar simultáneamente ambos límites operativos. Con este valor de resistencia se plantea la limitación de la tensión de salida, considerando el caso más desfavorable en la entrada: R   1  2   v i  Vo , máx  14  0 ,5  

 14  R 2  0,5    1 V   i 

 14  R 2  0,5    1  0,06 k. 12 , 5  

R2 no puede exceder el valor anterior, ya que de lo contrario la salida de tensión del AO se saturaría. 2.2.4. Máxima variación de la tensión de salida en la unidad de tiempo: límite de velocidad de respuesta La tasa de cambio de la salida no puede tomar un valor arbitrario. Es decir, la entrada de un circuito no puede variar tan rápido como queramos puesto que no le da tiempo a “seguir” sus variaciones. Es decir, al circuito no se le puede excitar con una frecuencia arbitrariamente elevada. Por ello, el fabricante suministra el parámetro Slew Rate (SR, tasa de variación - máxima); sus unidades son V/s. Si se supera este parámetro, la señal de entrada se deforma y, consecuentemente, aparecen armónicos adicionales en la salida. Este parámetro suele especificarse para una configuración en seguidor de tensión. Con el fin de estudiar su efecto en un circuito determinado, se estudia la derivada de la salida del circuito en función del tiempo (su valor absoluto), imponiendo la restricción del SR. dv o dt

 SR . máx

Si esta condición se cumple, este valor límite no afecta al comportamiento del circuito, y si no se cumple habrá distorsión en la salida. Como se ha comentado, esta distorsión en se manifiesta mediante una deformación de la señal de salida (e.g., si se aplica un seno en la entrada, la salida aparece triangular). En consecuencia la frecuencia máxima de operación viene limitada. Con el fin de mostrar una aplicación práctica se considera una configuración no inversora de ganancia 10, a la que aplicamos una entrada sinusoidal. Los parámetros del AO son: SR=0,5 V/s, Vosw= 14 V3, fT=1 MHz (frecuencia de ganancia unidad). Se impone ahora la condición de limitación de velocidad para obtener la frecuencia máxima de operación:

3Otra

forma de notar a las tensiones de saturación de salida.

-39-

Juan José González de la Rosa

v i  V máx sen 2ft  



dvo dt

dvo dt



d 10V máx sen 2ft  dt

 10  V máx  2f  SR  0,5 máx

V

s



 10V máx  2f cos2ft  V  0,5    s  f  10V máx  2 V   f máx

Esta frecuencia máxima de operación del circuito recibe el nombre de ancho de banda a plena potencia, cuando la amplitud de la entrada es la máxima no saturante. En esta situación, la entrada no puede superar en valor absoluto 1,4 V (la ganancia del amplificador vale 10). Suponiendo una entrada con este valor máximo, calculamos a continuación la frecuencia máxima de operación:

f máx

V  0,5   0,025  s     10 6 Hz  5684,1 Hz  5,7 kHz . 10  1,4  2 V  1,4  

Si la entrada toma un valor menor, se obtiene una limitación de frecuencia más “relajada” (se pueden introducir señales de mayor frecuencia en el circuito): 0,5

f máx

V

0,025 s    10 6 Hz  7,9577472 10 3  10 6 Hz  8 kHz .  10  1  2 V

Si comparamos estas frecuencias máximas de operación con el ancho de banda del circuito observaremos que son mucho menores (son más limitantes). En efecto, para calcular el ancho de banda del circuito recurriremos a la constancia del producto ganancia por ancho de banda (GBW4). Esta cuestión es objeto de estudio en capítulos posteriores. Así, para una ganancia unitaria la magnitud GBW se puede relacionar con su valor en cualquier zona del diagrama de Bode de ganancias, y resulta útil la relación siguiente:  R  Ganancia  Ancho de banda  GBW  1  f T  1  2   f c  Ado f o . R1  

La situación descrita se adelanta en la Fig. 2.4, donde se pueden apreciar tres situaciones en las que evaluar el producto ganancia  ancho de banda.

4

Gain Band Width product.

-40-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

20log|Av| 20log(Ad0)

20log[1+(R2/R1)]

0 dB

f0

fT

fc

log(f)

Figura 2.4. Diagrama asintótico que muestra la constancia del producto ganancia-ancho de banda, en una configuración no-inversora. Observar que la ganancia unitaria corresponde a los 0 dB.

De la expresión anterior, se obtiene el ancho de banda del circuito:  R  Ganancia  Ancho de banda  GBW  1  f T  1  2   f c  f c  100 kHz  R1     10 6 Hz

.

10

Es decir, que la distorsión armónica por velocidad (5,7 kHz) se alcanza mucho antes que la limitación en banda por amplificación (100 kHz). Se considera como ejemplo de simulación con ORCAD-PSPICE el AO A741, alimentado a 12 V. Vamos a estudiar la limitación de velocidad. En primer lugar se indica una situación de saturación por amplitud ante una señal sinusoidal, con el fin de obtener las tensiones de saturación (11,6 V) y un valor patente de distorsión armónica a partir del cual comparar. La situación se muestra en la Fig. 2.5.

Figura 2.5. Fenómeno de saturación del amplificador no inversor para entrada sinusoidal de 1 kHz, valor medio nulo y 10 Vpp.

-41-

Juan José González de la Rosa

La distorsión armónica que se produce en esta situación no es por sobrepaso de la velocidad o frecuencia máxima de operación, sino por superación de la máxima entrada no saturante. La salida no es sinusoidal, está distorsionada, es trapezoidal. Antes de pasar a cuantificar la distorsión por velocidad, vamos a cuantificar esta distorsión armónica total en forma de onda. Este parámetro se emplea también en el tema de osciladores, y establece la lejanía de la señal de salida con respecto a la sinusoidal de entrada (se espera una salida sinusoidal si el circuito es lineal), es decir, indica la calidad de una onda sinusoidal. Se define la distorsión armónica total como: 2

5

A  A THD   2    3  A1   A1

2

 A   4   A   1

2

 A   5  A   1

2

   ... ,  

donde Ai es la amplitud del armónico i-ésimo. Los resultados de la simulación se muestran en la Tabla 2.1. En esta tabla se observa que obviamente es el armónico principal el que predomina. Además se observa que los armónicos pares tienen muy baja amplitud y que son los impares los que contribuyen al parámetro de la distorsión armónica total, que se evalúa a continuación y que se puede comprobar que coincide con el resultado de la simulación. THD  

8,049E  042  3,097 E  012  5,621E  042  1,592E  012  ... 

7,83E  07  0,096  3,16 E  07  0,025 

0,12  0,346  34,6 %.

Tabla 2.1. Resultados del análisis de Fourier en el amplificador no inversor. Se observa que los armónicos impares están presentes en la salida. FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(Vo) DC COMPONENT = 6.900900E-03 HARMONIC NO

1 2 3 4 5

FREQUENCY (HZ)

FOURIER COMPONENT

NORMALIZED COMPONENT

PHASE (DEG)

NORMALIZED PHASE (DEG)

1.000E+03 1.465E+01 1.000E+00 -6.613E-01 2.000E+03 1.179E-02 8.049E-04 9.394E+01 3.000E+03 4.538E+00 3.097E-01 -1.977E+00 4.000E+03 8.237E-03 5.621E-04 1.014E+02 5.000E+03 2.334E+00 1.592E-01 -3.269E+00 TOTAL HARMONIC DISTORTION = 3.482319E+01 PERCENT

0.000E+00 9.526E+01 6.874E-03 1.041E+02 3.684E-02

Pues bien, debido a la superación de la máxima velocidad de cambio en la entrada que puede soportar el circuito, se produce también una distorsión armónica, un alejamiento de la respuesta lineal ideal ante una entrada sinusoidal. La Fig. 2.6 muestra esta situación en el mismo circuito amplificador no inversor basado en el AO741. Se ha introducido una señal sinusoidal de valor medio nulo, 2Vpp y de frecuencia 10 kHz.

5THD:

Total Harmonic Distortion.

-42-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Figura 2.6. Deformación de la tensión de salida (aparece triangular) por superación del límite de velocidad en un amplificador no inversor de ganancia 10, basado en el AO741. La entrada posee una frecuencia de 10 kHz y casi apura el límite no saturante.

En este caso, la distorsión armónica total que calcula PSPICE vale THD  6,3 %. En primer lugar observar que este valor de distorsión armónica total es mucho menor que el obtenido para una distorsión armónica por saturación, ya que en esta la señal está mucho más distorsionada, y su forma se aleja notoriamente de una sinusoide. Ahora, en el caso de distorsión por velocidad, la frecuencia central de este análisis se ha tomado en 10 kHz. Muestra la Fig. 2.7 cómo se escoge esta opción desde el capturador de esquemas. La variable de salida ha sido etiquetada previamente en el circuito. La Fig. 2.8 muestra el espectro de la señal de salida correspondiente a esta limitación de velocidad, en el que aparecen el armónico principal y los armónicos impares (propios de la onda triangular). Como conclusión, diremos que los valores límite de los amplificadores operacionales se traducen en límites de funcionamiento de los circuitos electrónicos que los incorporan.

Figura 2.7. Capturador de esquemas de PSPICE Schematics 9.1 y habilitación de los análisis transitorio (dominio del tiempo), y de Fourier (dominio de la frecuencia) con cinco armónicos para una frecuencia central de 10 kHz.

-43-

Juan José González de la Rosa

Figura 2.8. Espectro simplificado, correspondiente a la limitación de velocidad anterior. Aparecen los picos en los armónicos impares, que son los relevantes en una señal triangular.

2.3. Características Corresponden a un grupo de parámetros relativos a la operación normal de componente, que suelen suministrarse como resultado de un test estadístico. 2.3.1. Estabilidad de la tensión de alimentación En la práctica, las tensiones de alimentación de un amplificador operacional no son exactamente continuas y constantes, sino que presentan oscilaciones o “rizados”. En consecuencia, las corrientes que demandan los integrados de estas fuentes de alimentación presentan oscilaciones en el tiempo. Más importantes aún resultan las oscilaciones de las tensiones de alimentación que resultan de que la demanda de corriente es aleatoria; en efecto, todos los circuitos conectados a la misma fuente no demandan corriente a la vez. Los amplificadores operacionales no son insensibles a estas variaciones de la tensión de alimentación. El fabricante proporciona el parámetro denominado relación de rechazo a la fuente de alimentación, definido como el cociente entre la variación en la salida producida por un rizado en la alimentación: 6

PSRR 

v o v s

ó

PSRR dB  20 log

v o v s

.

Un valor típico puede ser 30 V/V (90 dB); para que la salida varíe 30 V, el rizado debe ser de un voltio en la fuente de alimentación. 2.3.2. Resistencia de entrada En la práctica ésta es finita y suele variar entre 0,5 M y varias decenas de M. Para cuantificar su efecto se considera por ejemplo una configuración no inversora como la de la Fig. 2.9. 6PSRR:

Power Supply Rejection Ratio. El sub-índice “s” se refiere a “supply”.

-44-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

R2 i2 R1

i1

Ad

ii

Rin

+Vcc

+

vi

vo -Vcc

Figura 2.9. Configuración no inversora, que incluye amplificador operacional con resistencia de entrada finita.

Como se ha incluido en el modelo del AO una resistencia de entrada, es necesario plantear dos ecuaciones propias del componente:





v o  Ad v   v 

(1)

v   v   R in  ii

(2)

El otro conjunto de ecuaciones responden al circuito que incluye al componente AO: v   vi

(3) (4) (5) (6)



vo  v  R2  i2

v   R1  i1 i1  i 2  i i

Despejando la corriente de entrada, ii, de la Ec. (6) y sustituyendo el resto de las corrientes, se obtiene la ganancia de tensión del circuito. Se procede: i1  i 2  ii

 1 1 1 v      R1 R 2 Rin



 v  vo  v v  v   R1 R2 Rin

 vo v    Rin  R2



  v  v i ; 

v  

  vi  Ad  vo

En efecto, sustitución y desarrollo: 

 vo  1 1 1    A  vi   R  R  R 2 in  d    1

v  vi

 vo   R  R 2 in 

v



 1 vo  1 v 1 1  vo 1 1        i  v i       Ad  R1 R 2 Rin  R 2 Rin  R1 R 2 Rin 

-45-

Juan José González de la Rosa

Multiplicar todo por Ad y poner denominadores comunes:  1  1 A A 1 1  1 1    v o d  v i d  v i Ad    v o         R2 Rin  R1 R 2 Rin   R1 R 2 Rin   R R  R1 Rin  R1 R 2  v o  2 in R1 R 2 Rin 

  R R  R1 Rin  R1 R 2 A A   v o d  v i d  v i Ad  2 in   R R R1 R 2 Rin 2 in  

 R R  R1 Rin  R1 R 2  Ad R1 Rin  v o  2 in R1 R 2 Rin 

  R R  R 2 Rin  R1 Rin  R1 R 2   v i Ad  1 2   R1 R 2 Rin  

 R R  R1 Rin  R1 R 2  Ad R1 Rin  v o  2 in R1 R 2 Rin 

  R R  R1 Rin   v i Ad  2 in   RR R 1 2 in  

       

   

De aquí es sencillo comprobar la relación entrada/salida (ganancia, AV) del circuito en función de la ganancia diferencial, Ad, y de la resistencia de entrada, Rin, del AO7:

R1 R 2  Rin R1  R 2   Ad R1 Rin v o  AV 

vo vi



 Ad R in R1  R 2 v i

Ad R in R1  R 2 

R1 R 2  R in R1  R 2   Ad R1 R in



R1 R 2 Ad R in

R1  R 2 . R1  R 2   R1 Ad

A partir de aquí, al hacer el límite cuando la ganancia diferencial tiende a infinito, resulta la ganancia clásica de una configuración no inversora, 1+R2/R1:     R1  R 2 R1  R 2 R  R2 R    1  1 2 . lim  R R R  R   R1 R1    1 2 1 2 Ad    R1   R1 R 2    R1  R 2   R1 A R  A     A R A d  d in   d in     d  0

0

La resistencia de entrada, Ri, de la etapa (circuito) es directamente proporcional a la resistencia de entrada del componente, Rin. Se demuestra que la relación entre ambas responde a la expresión siguiente: Ri 

vi ii



Ad R1 R1  R 2

 Rin .

Obsérvese que si la ganancia diferencial del AO (Ad) es muy elevada, independientemente del valor de la resistencia de entrada del AO, la resistencia de entrada del circuito será también muy elevada (infinita en el caso ideal). De nuevo se comprueba la importancia de tener una elevada ganancia diferencial en lazo abierto.

7

Incluyendo los efectos de la ganancia diferencial y de la resistencia de entrada.

-46-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

2.3.3. Resistencia de salida En la práctica la resistencia de salida del componente no es nula y, al igual que el resto de las no idealidades, determina los parámetros globales del circuito. Se calcula en primer lugar la relación entre las tensiones de salida, vo, y de entrada, vi. Para ello se emplea el circuito de la Fig. 2.10(a), que emplea una configuración no inversora. R2 i2 R1

+Vcc

i2

voAO

Rout

Ad i1+i2

+

vi

vo -Vcc

RL

i1

(a) R2 I2 R1

+Vcc

I1

Rout

Ad vi

Io

+

-Vcc

V2, I2

(b) Figura 2.10. Configuración no inversora y adaptación (se anula la tensión de entrada) para estudiar el efecto de la resistencia de salida del AO en la ganancia del circuito. Se conecta en la salida vo un generador de tensión v2 que proporciona una corriente auxiliar i2.

De nuevo se deben plantear las expresiones propias el componente y del circuito. Respecto al primero, se tiene:



v oAO  Ad v i  v 

-47-



(1)

Juan José González de la Rosa

En el circuito se cumplen las siguientes relaciones sencillas: v   i 2  R1

De (3) se tiene:

i1 

R1  R2 RL

(2)

v o  i 2  R1  R 2   i1  R L

(3)

v oAO  v o  i1  i 2   Rout

(4)

vo  v   i2  R2

(5)

 i2 .

De (2) se tiene: i 2 

v R1

.

Ahora se busca expresar v- en función de vo. De (5) se obtiene: vo  v   i2  R2 

 R1 v  R 2  v    R  R1  R 2 1

   vo  

i2

Y ahora se comienza sustituyendo en (4): i2         R  R2  v R  R2 Ad   v  v    v o   1  i 2  i 2   R out   1  1   R out  R   v  L   RL  R1 i         i1   voAO

Entonces, como

 R1 v     R1  R 2

   v o : 

 R1   R  R2  R   v o  v o   1 Ad  v i  Ad   1  out R  R R 1 L    R1 2   v

   agrupando

 R1    v o   1  R2  R   v

Ad v i  v o  Ad

R1 R1  R 2

 R  R2  Rout  v o   1  1   vo R R L   1  R2

Resulta finalmente la relación entre las tensiones de entrada y salida: Ad v i  v o  Ad

 R  R2  Rout  v o   1  1   vo . R1  R 2  RL  R1  R 2 R1

Para obtener la resistencia de salida se procede anulando la entrada y conectando un generador auxiliar de tensión en la salida del circuito de la Fig. 10(b). Siguiendo este proceso, la resistencia de salida del circuito resulta ser:  R R R o  1  2  out R1  Ad 

-48-

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

A partir de esta expresión, es remarcable el hecho de que la ganancia diferencial del AO, Ad, determina la resistencia de salida del circuito. Una ganancia diferencial infinita (en la práctica muy elevada) supone que la resistencia de salida de la etapa sea nula. 2.3.4. Desviación del origen de la curva de transferencia. Tensión de offset de entrada Hasta ahora la característica de transferencia en lazo abierto del AO pasaba por el origen. En la práctica esto no sucede y presenta una forma como la ilustrada en la Fig. 2.11. Existe un desplazamiento en esta curva estática. Vo

V+-VVIO

Figura 2.11. Característica de transferencia en lazo abierto considerando la tensión de offset.

De forma que ahora en lazo abierto se cumple:



v o  Ad v   v   V IO

.

Y en lazo cerrado con realimentación negativa ya no es cero la tensión diferencial. Ahora la diferencia es igual a la tensión de offset de entrada, VIO: v   v   V IO

.

Evaluamos este efecto en un amplificador diferencial básico; circuito que se repite por simplicidad en la Fig. 2.12. Se escoge este circuito porque la tensión de offset es especialmente perjudicial en amplificadores diferenciales, ocasionando errores no compatibles con aplicaciones de bajo nivel de tensión8 (e.g., señales de termopares).

8

Se entiende que bajo nivel de tensión es por debajo de los 100 mV.

-49-

Juan José González de la Rosa

R2=100 k R1=10 k V2

R1=10 k

Vo

V1

+ R2 =100 k

Figura 2.12. Amplificador diferencial básico.

Las ecuaciones en lazo cerrado a plantear son la propia del componente, tensión diferencial con VIO, y las asociadas al circuito: v   v   V IO

v 

R2 R1  R 2

vo  v  R2



v1

v   v2 R1

La primera de ellas incorpora el efecto del offset, y las otras dos derivan del propio circuito. Operando con ellas (se sustituyen v+ y v- en la primera ecuación), se obtiene un término de error en la salida: vo 

R2 R1



R2  V IO R1     

v1  v 2   1 

.

vo

Por ejemplo, para una VIO=5 mV (valor típico en un AO de propósito general), la desviación en la salida (vo) es de 55 mV; cuantía que resulta relevante en aplicaciones de precisión y de bajo nivel de tensión. Si se considera el efecto de la tensión se offset en un integrador básico, se obtiene una expresión para la salida de tensión que muestra la influencia en el transcurrir del tiempo: vo  

1

t

v RC  0

i

 dt 

1 RC

V IO  t  V IO .

Se observa que la salida posee dos términos adicionales, uno constante (VIO) y otro proporcional al tiempo (VIO∙t/RC.), que hará que crezca indefinidamente en valor absoluto (dependiendo del signo aleatorio de la tensión de offset de entrada, ±VIO). Por último, cabe comentar que los circuitos integrados poseen un terminal externo para compensar el offset, junto con una resistencia que recomienda cada fabricante.

-50-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

2.3.5. Corrientes de polarización de entrada En la práctica circula una pequeña corriente hacia (o desde) cada uno de los terminales de entrada del AO. Además, las corrientes en cada entrada no son iguales. Por ello, los fabricantes proporcionan dos parámetros: la corriente de polarización de entrada (IBIAS), que es la media aritmética de las dos corrientes de entrada; y la corriente de compensación de entrada (IIO), que es la diferencia entre ambas: I BIAS 

I I

I IO  I   I  .

2

El primer parámetro tiene valores típicos comprendidos entre decenas de pA y varias decenas de nA. El segundo parámetro es aproximadamente un orden de magnitud menor. Normalmente se supone que por los terminales fluyen corrientes iguales a la de polarización; como por ejemplo en el circuito de la Fig. 2.13, en el que se ha anulado la entrada para evaluar el efecto en la salida de la corriente de polarización. R2 I2 R1

IBIAS

+Vcc

I1

Ad

IBIAS

+

Vi

Vo

-Vcc

Figura 2.13. Configuración no inversora para estudiar el efecto de la corriente de polarización de entrada en la salida. Para ello se anula la tensión de entrada. Despreciamos la resistencia de salida del AO por simplicidad.

A continuación se evalúa el efecto de la corriente de polarización en la tensión salida del circuito. Por una parte, para el componente se verifica que:     Vo  Ad  V   V    Ad  V  0 

 V 

Vo Ad

Por otra parte, considerando la suma de corrientes en el nudo inversor, se tiene: I BIAS  I 2  I 1  

Vo R2

Vo  V  R2



V  R1

 1 1  Vo Vo   V      R  A R R d 2  2  1

-51-

 1  1 R1  R 2 1    Vo      R  A R R R R d 1 2 2   1  2

 .  

Juan José González de la Rosa

Finalmente, multiplicando toda la expresión por  R1  1  Ad  R1  R 2 

Ad 

R1 R2 R1  R2

, se obtiene:

 R1 R 2  v o  Ad I BIAS .  R1  R 2 

Como normalmente se cumple: 1  Ad

R1 R1  R2

,

entonces, la salida resulta aproximadamente: V o  R 2 I BIAS

.

Con ello, se aprecia la desviación que experimenta la salida por efecto de esta corriente. 2.4. Encapsulados Un encapsulado típico (National j08a Package 8L CERDIP, 0.26 x 0.40 x 0.16 inch body size) de AO se presenta en la Fig. 2.14.

Figura 2.14. Encapsulado típico de AO.

La Fig. 2.15 muestra el “patillaje” del AO741.

Figura 2.15. Terminales del AO741.

-52-

3

Comparadores electrónicos

3.1. Introducción En este capítulo se estudian los comparadores electrónicos, poniendo el foco en los circuitos regenerativos y en los comparadores monolíticos basados en el AO con propósito específico de comparación. En efecto, el AO pueden actuar como comparador cuando su ganancia en lazo abierto es muy elevada y su velocidad o tiempo de respuesta de respuesta (SR; Slew Rate) alta. Para conseguir esto último se emplean circuitos integrados de alta ganancia y sin compensación interna. En los circuitos lineales, la técnica de compensación en frecuencia favorece la estabilidad, aumentando los márgenes de diseño (márgenes de ganancia y de fase) y, consecuentemente, el margen de operación lineal pero, como contrapartida, hace más lento al circuito. Así, por ejemplo, el SR del μA741 es de 0,5 V/μs; y si se requiere un integrado más rápido se puede tomar el LF353 con un SR=13 V/μs, ambos con compensación interna y con velocidades baja y moderada, respectivamente. Como ejemplo de un circuito sin compensación interna con velocidad moderada en su grupo, cabe citar al LM301 con SR=10 V μs, menor que el LF353 pero del mismo orden, y que posee terminales para la compensación externa. Todos estos son integrados de propósito general. Volveremos a los cálculos de los tiempos de respuesta al tratar las características del comparador integrado de propósito específico LM311, para el cual el mejor valor es SR=200 ns. La función de un comparador consiste en cotejar dos tensiones, obteniéndose dos posibles situaciones para la tensión de salida, correspondientes a los niveles alto y bajo de dicha tensión. Ya se estudió en el primer capítulo que en lazo abierto, el AO de propósito general se comporta como detector de nivel, correspondiendo estas tensiones alta y baja de salida a las de saturación del componente. Precisamente en esto consiste la tercera característica o limitación crítica (adicional a la elevada ganancia y a la alta velocidad de respuesta) que hay que considerar al decidirse por un modelo AO para una aplicación de comparación, ya que los niveles lógicos de salida pueden no ser compatibles con la electrónica que se conduce (a la que se conecta el circuito), como por ejemplo para direccionar una circuitería lógica (e.g., TTL ó CMOS). De esta forma, el concepto de salida del integrado en “colector abierto” viene a solucionar este extremo, permitiendo al diseñador elegir los mencionados niveles de tensión. Por otra parte, el fabricante suele detallar el circuito externo complementario que se emplea para conseguir este objetivo, y que está relacionado con la cargabilidad de la salida. Este último parámetro establece el número máximo de unidades lógicas que pueden conectarse al circuito integrado sin pérdida de nivel para la tensión de salida.

-53-

Juan José González de la Rosa

Con todo lo expuesto, el capítulo comienza exponiendo las limitaciones de los comparadores en lazo abierto, para posteriormente tratar las mejoras introducidas por la realimentación positiva; seguidamente, se pasa al estudio de los circuitos comenzando con los comparadores basados en el AO de propósito general y pasando a estudiar circuitos integrados con salida en colector abierto. 3.2. Efectos del ruido sobre los circuitos comparadores La Fig. 3.1 muestra el resultado de superponer una señal “parásita” cuadrada (modelo didáctico de la señal de ruido1) a la entrada triangular en un comparador no inversor en lazo abierto basado en AO de propósito general, cuya tensión de referencia ideal es VREF = 0 V. Se deja patente el hecho de que suceden falsos cruces por cero cuando la entrada se sitúa cerca de dicha referencia, que constituye el punto de conmutación del circuito2. vi vo +VSAT vo

vd=0

vd=0

vi

t

-VSAT

(a)

12 V vi

+ vd

VREF

vo

-12 V

(b) Figura 3.1. (a) Oscilograma de funcionamiento ideal del comparador (detector de cruce por cero) no inversor en lazo abierto; se observan transiciones limpias en torno al punto de conmutación: VREF=0 V. (b) Simulación de los falsos cruces por cero provocados por una señal de ruido: vi = triangular 10 Vpp (Vm=0) + ruido (señal cuadrada de mayor frecuencia que la triangular). Esta situación no es admisible en un comparador real.

En general, el ruido es un proceso aleatorio, por lo que la Fig. 1 debe considerarse con fines didácticos. En la práctica, los terminales de un circuito electrónico se comportan como “antenas” captadoras de ruido. 2 En los circuitos en lazo abierto (sin realimentación) el único punto de conmutación que tienen coincide con la tensión de referencia VREF externa. En los comparadores en lazo cerrado, circuitos con histéresis, existen dos puntos de conmutación. 1

-54-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Los falsos cruces por cero son una de las razones por las que los circuitos comparadores no se emplean en lazo abierto, sino que incorporan realimentación positiva con el fin de mitigar este efecto no deseado. Como veremos a continuación, a lo largo de los ejemplos, ésta les confiere inmunidad al ruido y a la vez acelera la velocidad de conmutación del circuito, produciendo así una rápida regeneración de la salida. 3.3. Realimentación positiva Se ha demostrado que la realimentación negativa fuerza el cortocircuito virtual y permite a un circuito operar en la región lineal, obteniéndose por lo tanto una salida controlada (e.g., amplificador de tensión, integrador, derivador, etc.). Por el contrario, la realimentación positiva favorece la entrada en saturación y, en consecuencia, aumenta el desequilibrio entre las tensiones presentes en las entradas inversora y no inversora del AO, siendo la tensión diferencial del AO no nula. Los circuitos que incorporan la realimentación positiva se denominan comparadores “regenerativos”, o disparadores de Schmitt3, en honor al investigador que los desarrolló, y son circuitos cuya característica estática (relación entrada/salida) exhibe histéresis, dotándoles de inmunidad al ruido. Por otra parte, la realimentación positiva aumenta la velocidad de respuesta ya que, como se ha comentado, el aumento (y la disminución) de la tensión de salida fuerza aún más el desequilibrio entre las tensiones de la terminal inversora y no inversora, acelerando la entrada en el estado de saturación. Se dice que la salida se “regenera”; por eso a los circuitos que incorporan realimentación positiva se les denomina comparadores regenerativos. A continuación se comienza el estudio de los circuitos regenerativos. Se consideran en primer lugar circuitos integrados de propósito general, para después introducir comparadores de propósito específico (con salida en colector abierto y elevado SR). 3.4. Detector de cruce por cero con histéresis El circuito de la Fig. 3.2(b) nos permitirá comprobar cómo se superan los inconvenientes que presenta la configuración en lazo abierto. En este caso, se trata de un comparador inversor (entrada Vi por la terminal inversora) regenerativo (posee realimentación positiva). Es decir, en principio se puede plantear una característica de transferencia estática como la mostrada en la Fig. 2(b), ya que solamente pueden darse dos posibles situaciones para la tensión de salida. Se comienza el análisis obteniendo la porción de tensión de salida que se realimenta por el terminal no inversor del AO. Para cualquier valor de la tensión de salida, siempre se cumple, mediante un sencillo divisor de tensión: V   Vo

R2 R1  R 2

.

Esta tensión de realimentación por la entrada no inversora adoptará dos estados, asociados a los estados alto y bajo de la salida. La situación con los posibles casos queda resumida en la Tabla 3.1.

Del investigador Otto Herbert Schmitt.

3

-55-

Juan José González de la Rosa

Vo +VOM

12 V Vi

Vo=±12 V

+

VH

VCI

VCTR

R1= 100 k

-12 V

Vi

VCS

R2= 10 k

VREF

-VOM

(a) (b) Figura 3.2. (a) Comparador regenerativo inversor basado en AO de propósito general (circuitos integrados 741 ó 301 por ejemplo). Suelen tomarse siempre las resistencias proporcionales: R1=k ∙ R2. (b) Característica estática del circuito (relación entrada/salida). En general corresponde a un comparador inversor con histéresis (regenerativo). Tabla 3.1. Resumen de los puntos de conmutación y de la dinámica del detector de cruce por cero de tipo inversor con histéresis.

Estado de la salida

Tensión realimentada

Dinámica de la tensión diferencial del AO Vd

Vo=VOM

V   VH

R2 R1  R 2

Vo=-VOM

V

 VL

R2 R1  R 2

Vi

VOM

R2 R1

R2

Vi

0

Al crecer Vi provoca la transición en el punto de conmutación superior, para el cual Vd=0. Vd



V

V

Vi

VOM

R2 R1

R2

Vi

0

Al disminuir Vi provoca la conmutación en el punto de conmutación inferior, para el cual Vd=0.

Obsérvese que el circuito exhibe histéresis porque al pasar de un estado a otro (de alto a bajo por ejemplo) lo hace por un camino distinto del de regreso (de nivel bajo a nivel alto). Es interesante observar que la histéresis es habitual en cualquier circuito o sistema; siendo una de las características estáticas más comunes de los circuitos electrónicos empleados en acondicionamiento y medida de señales analógicas procedentes de sensores, ya que éstos generalmente operan en entornos contaminados por ruido, con lo cual es necesario su inmunidad. Los puntos de conmutación superior e inferior (en función de las resistencias y de las tensiones de saturación) se obtienen anulando la tensión diferencial del AO y de imponer el valor de la entrada en cada situación, y resultan (obtenidos a partir de la tensión en la terminal no inversora): R2 VCI   VOM  ;   R  R 1 2  V

R2 VCS  VOM    R R 1 2 

Vo

V

.

Vo

Como se aprecia en las expresiones, existe simetría y las conmutaciones se producen en torno al cero (VREF=0 V). Sustituyendo los valores del circuito, se tiene:

-56-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

V CI  12 

10  1,09 V 110

V CS  12 

10  1,09 V 110

.

Se aprovecha este primer ejercicio para definir la tensión de histéresis, VH, y la tensión central del circuito, VCTR. Estos dos parámetros constituyen el objeto principal de un diseño de un comparador electrónico: V H  VCS  VCI

VCTR 

VCS  VCI 2

.

La evolución en el tiempo para una entrada triangular contaminada con ruido se muestra en la Fig. 3.3. El circuito simulado y los ajustes se muestran en la Fig. 3.3(a) y Fig. 3.3(b), respectivamente. La Fig. 3.3(c) muestra una primera aproximación de la inmunidad al ruido que presenta el circuito (no hay falsos cruces por cero); en nuestro caso es excesivo el margen de inmunidad (aproximadamente 2,2 V) y se emplea con fines didácticos; en general es del orden de decenas de mili-voltios como mucho. En este sentido, una aproximación más real se muestra en la Fig. 3.3(d), con una tensión de ruido de menor amplitud. Por otra parte, téngase en cuenta que ahora las conmutaciones no se producen dónde estaban previstas (en la tensión central). La tensión que se especifica por diseño es la central, VCTR, pero las transiciones se dan en los puntos de conmutación superior e inferior; en la práctica ni siquiera se dan las transiciones en estos puntos debido a la presencia del ruido.

(a) (c)

(b)

(d) Figura 3.3. Inmunidad frente al ruido de un comparador inversor con histéresis. (a) Esquema del circuito en PSPICE: se emplea para la entrada un generador de señal por tramos lineales y un generador de pulsos para el ruido. (b) Opciones para el análisis transitorio. (c) Se demuestra con una señal triangular de frecuencia f=1 kHz, que posee un ruido acoplado cuya tensión pico-pico (1 Vpp) queda comprendida dentro del margen de la tensión de histéresis (VH≈2,1 V) y f= 10 kHz. (d) También se ha incluido la simulación con la señal de ruido de pequeña amplitud que provocaba falsos cruces por cero en el circuito de la Fig. 3.1.

-57-

Juan José González de la Rosa

Por último, es remarcable el hecho de que un circuito con ancho de histéresis elevado se emplea en lazos de realimentación no lineal en el contexto de diseño de generadores de ondas cuadradas y triangulares. 3.5. Detectores de nivel de tensión con histéresis 3.5.1. Objetivos A menudo es deseable disponer de circuitos que presentan tensiones centrales (consignas) distintas de cero, generalizando el caso para cualquier valor de “consigna”. Cuando se diseñan o construyen este tipo de detectores de nivel de tensión, se persiguen cuatro objetivos principales:    

Una resistencia para el control de la tensión de histéresis. Una resistencia ajustable para el control de la tensión central. Ajustes de la tensión de histéresis y de tensión central independientes. La tensión central debe estar relacionada con la tensión de referencia externa.

Como se ha comentado, los problemas de análisis de circuitos se plantean a partir de la característica estática que será o no inversora dependiendo del terminal por donde se introduzca la entrada. 3.5.2. Detector no inversor de nivel de tensión con histéresis Un circuito detector de nivel no inversor se presenta en la Fig. 3.4(a); a partir del cual, y basándonos en la mera observación (por inspección), se dibuja la función de transferencia como punto de partida del análisis. Ya que la entrada al circuito se produce por la terminal no inversora, esto nos permite afirmar que es un comparador no inversor. Este ciclo de histéresis no inversor se indica a la derecha, en la Fig. 3.4(b), junto con todas sus características: tensión central, VCTR; tensión de histéresis, VH; puntos de conmutación superior e inferior (VCS, VCI); y tensiones de salida (±Vom). También se indican las dos transiciones entre estados. Vo +Vom

Vcc VREF

Vo +

0 VCI

-Vcc

VCS

Vi

VH

Vi R2=R

VCTR

-Vom

R1=kR

(a) (b) Figura 3.4. (a) Circuito comparador regenerativo no inversor basado en un AO de propósito general ideal y; (b) Característica estática en forma de ciclo de histéresis no inversor. Si VREF=0 V, tendríamos el caso simétrico del circuito de la Fig. 3.2(a).

-58-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

A continuación, para este circuito se obtienen sus puntos de conmutación. Siempre tendremos presente en el razonamiento el modelo (orientación geométrica) de ciclo de histéresis. Si partimos en primer lugar de una tensión de salida en nivel bajo, V o  VOM  V sat , entonces tratamos de buscar el punto de conmutación superior, V i  V CS , según la Fig. 3.4(b). La situación para las corrientes involucradas se muestra en el circuito de la Fig. 3.5. Vcc VREF

-

Vd=0 +

Vo=-VSAT= -Vom

-Vcc

Vi=VCS R1=R

R2=kR

Figura 3.5. Comparador regenerativo no inversor: situación de cálculo del punto de conmutación superior. La tensión diferencial, Vd, es nula sólo en los puntos de conmutación.

En efecto, siendo la impedancia de entrada al AO infinita, la corriente que circula por la resistencia R1 es igual a la que circula por R2, resultando: VCS  VREF VREF   Vom  V  VREF VREF  Vom   CS  R1 R2 R1 R2

.

Del anterior planteamiento, despejando la tensión del punto de conmutación superior, resulta: VCS  Vom

 R1 R  V 1   VREF 1  1   om  VREF 1   . R2 R2  k k  

Análogamente, para una salida o estado de nivel alto, Vo  Vom  Vsat , se trataría de buscar el punto de conmutación inferior de acuerdo con Fig. 4(b), con lo que el circuito resultante sería el mostrado en la Fig. 6. Recordemos que en ambos puntos de conmutación, la tensión diferencial del AO, Vd, es nula (para el resto de tensiones de entrada Vi, la salida es distinta de cero). Planteando de nuevo la igualdad de las corrientes: Vom  VREF VREF  VCI  R2 R1



VCI VREF VREF Vom    R1 R2 R1 R2

.

Se demuestra finalmente que, siendo R1=R y R2=kR, el punto de conmutación inferior resulta: VCI  Vom

 V R1 R  1   VREF 1  1    om  VREF 1   . R2 R k k  2  

-59-

Juan José González de la Rosa

Vcc VREF

-

Vd=0

Vo=+VSAT= +Vom

+

-Vcc

Vi=VCI R2=kR

R1=R

Figura 3.6. Comparador regenerativo no inversor: situación de cálculo del punto de conmutación inferior. La tensión diferencial, Vd≡V+-V-, es nula sólo en los dos puntos de conmutación del comparador.

A partir de aquí se obtienen las expresiones para la tensión de histéresis, VH, y la tensión central, VCTR, aplicando las definiciones generales, y resultando en consecuencia: V H  V CS  V CI 

VCTR 

VCS  VCI 2

2V om k

1   V REF 1   . k  

Es reseñable indicar que si VREF=0 V, tendríamos el caso simétrico del circuito de la Fig. 3.2(a). Se deja al lector que particularice las ecuaciones anteriores.

3.5.3. Detector de nivel de tensión inversor con histéresis El circuito objeto de estudio se muestra en la Fig. 3.7. Gracias a la observación, podemos plantear la característica estática para, posteriormente, deducir sus puntos más significativos. Vo +Vom

+Vcc Vi

Vo

+ VREF R1=R

VCTR

0 VCI

VCS

Vi

-Vcc -Vom

R2=kR

Figura 3.7. Circuito comparador regenerativo inversor y gráfica estática ideal, con todos sus parámetros característicos.

Para este circuito las tensiones importantes en su característica estática o ecuaciones de diseño son las siguientes:

-60-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

VCS 

1 k Vom  V REF 1 k 1 k

V H  V CS  V CI 

V CI  

2V om

V CTR 

1 k

1 1 k

V om 

V CS  V CI 2



k

V REF

1 k k

1 k

V REF

.

Para obtener el punto de conmutación superior, se impone salida en nivel alto y se plantea la corriente, como indica el circuito de la Fig. 3.8. VSAT  VCS VCS  VREF  R2 R1





VSAT  VCS VCS  VREF  kR R



VSAT 1   VREF  VCS 1   k k 

VSAT V k 1 k   VREF  VCS  VREF   VCS  SAT  k k 1  k 1  k  

Vo +Vom

+Vcc VCS

Vd=0 +VSAT

+

-Vcc

VREF R1=R VCS

VCTR

0

VCS

VCI

Vi

R2=kR

-Vom Figura 3.8. Circuito comparador regenerativo inversor y gráfica estática ideal, con todos sus parámetros característicos cuando se obtiene el punto de conmutación superior.

Para obtener el punto de conmutación inferior se parte de salida de nivel bajo y se plantea de nuevo la corriente, de acuerdo con la Fig. 3.9. Vo +Vom

+Vcc VCI

Vd=0

+ VREF R1=R VCI

-VSAT -Vcc

VCTR

0 VCI

VCS

Vi

-Vom

R2=kR

Figura 3.9. Circuito comparador regenerativo inversor y gráfica estática ideal, con todos sus parámetros característicos cuando se obtiene el punto de conmutación inferior.

-61-

Juan José González de la Rosa

VREF

VCI

VCI

R1

VREF

( VSAT ) R2

VCI

VCI

R

VSAT

VSAT

kR

VREF

k

VCI

1

1

k

De donde: VSAT k

VREF

VCI

k

1

VSAT

VCI

k

1

k

k 1

k

VREF

3.6. Control independiente del punto central y del ancho de histéresis La Fig. 3.10 representa el circuito con ajustes independientes para la tensión central y la tensión de histéresis. Se trata de un comparador no inversor (entrada por la terminal no inversora). El diseño se realiza para puntos de conmutación superior e inferior positivos.

aR

Ajuste del ancho de histéresis

+Vcc

-

AO741

R Vi

Vo

+

bR

Ajuste de la tensión central

-Vcc=Vref

Figura 3.10. Detector de nivel con ajustes de tensión de histéresis (resitencia: aR) y punto central (resistencia: bR) independientes, donde “a” y “b” son múltiplos enteros de R; “aR” y “bR” pueden sustituirse por potenciómetros.

Previo al análisis, sabemos por observación que el ciclo de histéresis es de tipo no inversor. Además, como se ha comentado, vamos a obtener las ecuaciones de diseño para puntos umbrales de conmutación superior e inferior mayores que cero. El análisis, como estrategia general, sabemos que parte de las dos situaciones de saturación de la salida del integrado, para las cuales la tensión diferencial del integrado es nula: ; buscamos el punto de conmutación superior: corrientes simbolizadas por flechas discontinuas en la Fig. 8. Vo  Vom  VSAT

Vi ( VCS )  V  ( 0) 0   VSAT  V  ( 0)  VREF   R aR bR



V i  V CS

. Situación de

VCS  0 0   VSAT  0  VREF   R aR bR

.

; buscamos el punto de conmutación inferior: Vi  VCI . La situación de las corrientes involucradas queda simbolizada por las flechas continuas en la Fig. 3.8. Vo  Vom  VSAT

V CI  0 R



V SAT  0 aR



-62-

0  V REF bR

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Del análisis del circuito se obtienen los puntos de conmutación: VCS 

V sat a



V ref b

;

VCI  

V ref b



V sat a

.

En consecuencia, se tiene: V H  VCS  VCI 

2Vsat ; a

VCTR 

Vref VCS  VCI  0 2 b

.

Por lo tanto, se demuestra la independencia de la tensión de histéresis y de la tensión central. En efecto, cada tensión depende de un potenciómetro o parámetro diferente (“a” o “b”). 3.7. Limitaciones del AO de propósito general como comparador Se ha expuesto en la introducción del capítulo un resumen de las principales limitaciones que presentan los AO de propósito general con respecto a los integrados concebidos para aplicaciones concretas de comparación. En este apartado se detallan cada una de ellas, y además se expone la situación de medida experimental del tiempo de respuesta de los comparadores monolíticos (integrados). 3.7.1. Limitaciones Como se anticipó en la motivación del capítulo, con independencia de la ganancia en lazo abierto, las limitaciones de los integrados de propósito general al ser usados como comparadores son las siguientes:  

Bajo “Slew-Rate” como consecuencia de emplear integrados con compensación interna. Se emplean por ello chips sin compensación interna, que permiten obtener tiempos de respuesta óptimos. No se pueden modificar los niveles lógicos de salida (e.g., TTL, CMOS, etc.). Los integrados comparadores incorporan salida en “colector abierto” la cual, mediante circuito externo, permite el ajuste los niveles alto y bajo en la salida.

En resumen, estén o no compensados, los integrados de propósito general no están concebidos para aplicaciones de comparación. Como consecuencia se emplean comparadores comerciales de propósito específico. Por ejemplo, la Tabla 3.2 muestra las características del comparador comercial LM311, en la que se observa la diferencia de prestaciones. Para los comparadores comerciales el tiempo de respuesta se mide como sigue la siguiente sección. 3.7.2. Medida del tiempo de respuesta Con el fin de caracterizar el circuito integrado, el fabricante, a partir de una señal de sobreexcitación “overdriver”, perfectamente establecida a priori, mide la evolución o dinámica de la salida. Una posible señal de excitación se muestra en la Fig. 3.11(a), que consiste en un escalón que, después de tomar el valor de -100 mV pasa a valer 5 mV. La finalidad práctica consiste en someter al circuito bajo test, mostrado por ejemplo en la Fig. 3.11(b) a este

-63-

Juan José González de la Rosa

cambio abrupto con el fin de medir el tiempo de respuesta o retardo de propagación en la salida, mostrado en la Fig. 3.11(c). Este criterio unificado permite cotejar las respuestas temporales de los comparadores integrados. Tabla 3.2. Características principales del circuito integrado LM311 comparado con un AO ideal. Ganancia de tensión Tensión offset Corriente de polarización Corriente offset Tiempo de respuesta Tensión de alimentación Margen de tensión de entrada en modo común Máxima tensión de entrada diferencial Consumo de potencia Fan-out (cargabilidad de salida máxima)

Parámetro Ad Vos IBIAS Ios tPD o tD VS VIN

Ideal infinita 0 0 0 0 infinito

LM311 200.000 2 mV 250 nA 60 nA 200 ns ±15 V de -14,5 V a +13 V

VID

infinita

±30 V

PD -

0 infinita

135 mW 10 Unidades Lógicas (U.L.)

Así, la Fig. 3.11(c) muestra la situación experimental de medida del retardo de propagación, para un comparador genérico, excitado con una entrada en forma de “escalón” de tensión con pendiente contraria a la tensión de salida, ya que es inversor. vi Sobre-excitación 5 mV

0

t

-100 mV

vo + Circuito Comparador

+

vi -

-

VOH

vo

50% VOL

tPD

0

t

(a) (b) (c) Figura 3.11. Situación de media del retardo de propagación, para el que se establece el 50 % del valor final de la tensión de salida. El símbolo triangular representa un circuito comparador (por extensión al símbolo tradicional del AO), para el que los niveles de salida se especifican de forma genérica como VOH y VOL.

La Fig. 3.12 muestra otras situaciones representativas de sobre-excitación en un comparador comercial, extraídas de su hoja de características. Dependiendo de la

-64-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

magnitud del sobre-impulso aplicado sobre la tensión final del escalón (“overdrive”), así es el tiempo de respuesta medido. Cuanto mayor sea el primero menor es el segundo. La Tabla 3.3 refleja esta situación, mostrando una comparativa de diversos modelos entre sí y con un AO de propósito general sin compensación interna.

(a)

(b) Figura 3.12. Sobre excitación en el LM311 y salidas por colector (a) y emisor (b), extraídas de su hoja de características. Tabla 3.3. Comparación de varios modelos comparadores comerciales y el AO 301, de propósito general y sin compensación interna. Comparador integrado Tiempo (ns) sobre Tiempo(ns) para sobre impulso de 5 mV impulso de 20 mV 301 >10.000 >10.000 (propósito general sin compensación interna) 311 170 (200 otro fabricante) 100 710 40 20 522 17 15

-65-

Juan José González de la Rosa

En la práctica de cada laboratorio, y con el fin de adoptar criterios de selección, se puede estimar el tiempo de respuesta a partir del Slew Rate de la hoja de características y del rango de tensiones de alimentación (o de tensiones de salida, en general). Así por ejemplo, para un 741 alimentado a ±15 V, como su SR=0,5 V/μs, el tiempo de respuesta, tD resulta de dividir el rango de variación de la salida, ΔV, entre el SR: tD 

V 30 V   60s . SR 0,5 V / s

Si consideramos además, como criterio práctico, un decremento de tensión de 2 V (también se puede tomar un decremento de 1,5 V) con respecto a la alimentación (±VSAT = ±13 V) se tiene una mejor aproximación del tiempo de respuesta o tiempo de retardo: tD 

V 26 V   52s . SR 0,5 V / s

Si el diseño requiere un tiempo de respuesta menor (mejor) se puede tomar otro integrado, incluso todavía con compensación interna, como por ejemplo el LF353, que posee un SR=13 V/μs; siendo en este caso los tiempos de respuesta de tD=2,3 μs y de tD=2 μs, según se considere o no el decremento anterior para las tensiones de alimentación, respectivamente. Si pasamos a un AO sin compensación interna, como por ejemplo el LM301 4, que posee un SR = 10 V/μs, el cálculo nos arrojaría unos tiempos de respuesta de tD=3 μs y 2,6 μs, respectivamente. Estos tiempos de respuesta, si bien mejorados, quedan aún lejos de los requeridos por aplicaciones electrónicas de alta frecuencia. Es decir, estén o no compensados, los AO de propósito general están concebidos para operar en la región lineal, por lo que sus etapas integradas no están diseñadas para operar en conmutación, en lazo abierto o con realimentación positiva. Por el contrario, los comparadores convencionales comerciales, de propósito específico, como el LM311, poseen un tD comprendido entre 50 y 200 ns. En otro apartado se sitúan los comparadores integrados concebidos para aplicaciones de muy alta velocidad (e.g., memorias o convertidores AD/DA5 tipo “Flash”), que poseen tiempos de respuesta del orden de 10 ns. La Tabla 3.4 muestra una situación comparativa global, incluyendo todos sus parámetros, de varios circuitos integrados comparadores comerciales. 3.8. El comparador integrado LM311 y otros comparadores comerciales Se detalla en este apartado este circuito integrado comparador de uso general LM311, y sus posibilidades de conexionado para medir la tensión de salida, gracias al concepto de “salida en colector abierto”. Fue uno de los primeros en comercializarse, y entre sus principales características figura la posibilidad de alimentación dual con ±15 V y única en +5V. Además, como para todos los circuitos de su familia, posee la salida en colector abierto, ventaja que le permite seleccionar los niveles de tensión para la salida.

4Este

circuito integrado posee dos terminales para realizar la compensación externa mediante circuitería especificada por el fabricante. 5A/D.- Analógico a Digital. D/A.- Digital a Analógico.

-66-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Tabla 3.4. Situación comparativa varios parámetros para diversos comparadores comerciales.

3.8.1. Características o rasgos principales Son las siguientes, repitiendo parcialmente y seleccionando el contenido de la Tabla 3.2, en esta ocasión con los parámetros más comunes:         

Ganancia de tensión: 200.000. Tensión de offset: Vos=2 mV. Corriente de polarización: IBIAS=250 nA. Tiempo de respuesta: tPD=200 ns. Tensión de alimentación máxima: VS=15 V. Margen de entrada en modo común: VICM=de –14,5 V a 13 V. Máxima tensión diferencial de entrada: VID=30 V. Consumo de potencia: PD=135 mW. Fan-out (cargabilidad máxima de salida)=10 U.L. (unidades lógicas).

3.8.2. Esquema interno del circuito integrado 311 Se muestra en la Fig. 3.13, que ha sido a su vez extraída de la hoja de características del circuito integrado. Muy resumidamente, se observa una etapa de entrada que consta de dos seguidores de tensión Q1 y Q2 que se conectan luego a una etapa diferencial compuesta por el par de transistores Q3-Q4. La salida de este par diferencial, que es a su vez una salida diferencial, se acopla a una nueva etapa compuesta por el par Q8-Q9. Finalmente, el par Q13-Q14 constituye una configuración en base común, que proporciona la corriente suficiente para excitar a la salida, conectada a Q15. El elemento clave de esta configuración es el transistor de salida, Q15, que mantiene el colector abierto. Observando la Fig. 3.13 se deduce que si V+>V- entonces Q15 está en OFF-CORTE. Si V+V

+

3

2

8

-

7

LM311

+

4

VEE

VCC

VCC

1

SAT

RC -

V 0.

Con el fin de considerar un ejemplo de conexión de la salida por el emisor de Q15, se muestra el circuito de la Fig. 3.16. La Fig. 3.17 muestra la simulación de un circuito en PSPICE, destinado a verificar los niveles de tensión de salida, y tomada ésta por el emisor del transistor de salida. Como complemento a las anteriores figuras se añade la Fig. 3.18, extraída de la hoja de características del circuito integrado, que establece una comparativa experimental de las dos posibles conexiones para la tensión de salida (tomada por el emisor o por el colector), cuando se aplica al circuito una entrada en escalón de tensión. En ella se aprecia su naturaleza simétrica.

-69-

Juan José González de la Rosa

VCC 2 V- >V+ 3

VCC 2

8

-

7

LM311

+

VCC

4

1

V- 0, correspondiente a salida de nivel bajo.

(a)

(b)

Figura 3.17. Medida de la tensión de salida por emisor en el circuito integrado LM311. (a) Circuito en el capturador de esquemas; (b) Respuesta DC del circuito realizando un barrido lineal de la entrada entre -5 y +5V.

3.8.4. Compensación del offset de tensión Como cualquier AO, el LM311 posee terminales para la compensación del offset de tensión, muy similares a los del 741, y claramente identificados en el esquema de su hoja de características. Estos terminales actúan desbalanceando las fuentes de corriente de la etapa de entrada (acción de compensación), cambiando consecuentemente las tensiones base-emisor de los transistores Q1 y Q2. La Fig. 3.19 muestra un circuito típico para la compensación del offset de tensión, que ha sido extraído de la hoja de características del LM311.

-70-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Figura 3.18. Casos presentados en la salida por emisor del comparador 311, extraídos de su hoja de características.

Figura 3.19. Circuito típico para la compensación del offset de tensión extraído de la hoja de características del LM311.

3.8.5. Terminal “strobe” Este es el terminal de habilitación, la patilla o terminal 6 del integrado. La salida cambia al estado de alta impedancia (se mantiene en estado alto), y es independiente de la entrada. Con el interruptor de habilitación abierto, el integrado opera en forma normal. En la práctica se suele conectar a tierra a través de una resistencia de 10 k, cuando se quiere hacer independiente la entrada de la salida. Por último, comentar que esta opción no está habilitada en la versión de evaluación de algunos programas de simulación, como es el caso de PSPICE. 3.8.6. Terminal ”latch” o de “cerrojo” Es el terminal de cerrojo, número 5. Gracias a él, el circuito integrado puede funcionar como un elemento de memoria. Es decir, la salida se mantiene con el valor de la comparación realizada en el ciclo o conmutación anterior. 3.9. Aplicaciones de los comparadores 3.9.1. Detectores de nivel basados en el LM311 ó en comparadores comerciales La Fig. 3.20(a) muestra un circuito detector de nivel no inversor y la Fig. 3.20(b) su característica estática o ciclo de histéresis. La resistencia R5 debe verificar siempre la desigualdad: R 5  R 3  R 4 (especificado por el fabricante). Comencemos el análisis. La salida sólo puede tomar dos valores, la alimentación y cero (niveles alto y bajo, respectivamente). Siempre se cumple, aplicando el divisor de tensión y el principio de superposición: V   V cc

R1 R1  R 2

;

V   Vo

-71-

R3 R3  R 4

 Vi

R4 R3  R 4

.

Juan José González de la Rosa

Vcc

Vo VHigh

R2

R5

-

VH

R1 Vo

+

VCTR

VLow

Vi R3

Vi VCS

0

R4

VCI (a) (b) Figura 3.20. “Schmitt trigger” no inversor basado en comparador comercial y su característica estática.

Pasemos a obtener el punto de conmutación superior. En él la tensión diferencial es cero, por lo que se plantea la igualdad de las tensiones en las terminales inversora y no inversora del AO. R3 R4 R1 V   Vo  Vi  V cc V   R R  R R R1  R 2 3 4 3 4 V L  0

.

VCS

De donde se obtiene la expresión para tensión correspondiente al punto de conmutación inferior: VCS  Vcc

R  R4 R1  3 R1  R2 R4

.

Para el punto de conmutación inferior, de la misma forma, planteando-imponiendo que la tensión diferencial es nula: R3 R4 R1 V   V High  V CI  V cc V  .  R 3  R 4 R3  R 4 R1  R 2 Vcc

De donde se obtiene la tensión correspondiente al punto de conmutación inferior:  R1 R3 VCI  V cc   R  R R 2 3  R4  1

 R3  R 4  R R  R 4 R3     .  V cc  1  3  R 4  R 4 R1  R 2 R 4  

A partir de aquí se obtienen los demás parámetros propios del circuito comparador: Tensión de histéresis: Diferencia de los puntos de conmutación. V H  VCS  VCI  Vcc

R1 R1  R2



R3  R4 R4

 R R  R 4 R3  R   Vcc 3  Vcc  1  3   R R  R R R 1 2 4  4  4

-72-

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Tensión central: Media aritmética de los puntos de conmutación. VCTR 

VCS  VCI 2



Vcc

R1

2 R1  R2



R3  R 4



R4

Vcc  R1 R3  R4 R3  R1 R3  R4 Vcc R3        Vcc 2  R4 R1  R2 R4  R4 R1  R2 2 R4

Por otra parte, todo el análisis puede verse según las relaciones que han de verificar las resistencias. De la expresión de la tensión de histéresis se obtiene: R3 R4



VH V cc

.

Y llevando esta relación al punto de conmutación superior, se obtiene la segunda relación entre las resistencias del circuito: VCS  Vcc

R  R4 R1 R1  3  Vcc R1  R2 R4 R1  R2

 R  R1  1  3   Vcc R R 4  1  R2 

 V   1  H  .  Vcc 

A partir de aquí: R1

R2 R1

Vcc VCS

1

VH

1

Vcc

R2

Vcc

R1

VCS

VH VCS VH

R2 R1

Vcc

VH

VCS

1

Vcc

VCS

VCI

VCS

1.

Finalmente, después de ordenar resulta: R2 R1



V cc  V CS  V CI V CS

1 

V cc V CS

1

V CI V CS

1 

R2 R1



V cc  VCI V CS

.

Este par de ecuaciones es otra opción de presentar los resultados del problema. 3.10.2. Comparadores de ventana El circuito se muestra en la Fig. 3.21. Se diseña/utiliza este circuito para monitorizar tensiones de entrada (e.g., sensores industriales). A continuación se realiza el análisis. Recordemos primero la operación del AO con salida en colector abierto por el terminal 7, estando el terminal 1 conectado a tierra: Si V+>V-, entonces Qsalida, OFF, Vo=Vcc. Si V+VCS (obviamente sería también Vi>VCI): Vd1VCI: Vd2>0, con lo que Qsalida,2 OFF (salida de Q2 desconectada). Con lo cual la salida es aproximadamente 0 V.

-73-

Juan José González de la Rosa

 

Si Vi 0 Figura 6.14. Circuito de valor absoluto de precisión con alta impedancia (infinita en el caso de AO ideal) de entrada. Situación para entradas positivas. La corriente que circula por la caga la suministra el AO. Esta es simplemente una aclaración al dibujo, ya que esta corriente no se emplea en el razonamiento sobre la operación del circuito.

La Fig. 6.15 muestra el circuito resultante para el caso de polaridad negativa de la señal de entrada. En el terminal inversor del AO1 está la entrada Vi (por cortocircuito virtual), por lo que en el ánodo de D2 está el doble de la entrada porque hemos “saltado” otra resistencia de igual valor (o por ganancia de configuración no inversora). En la terminal inversora del AO2 está también la entrada (cortocircuito virtual); así la salida se calcula fácilmente: Vo  Vi 2R



V i  2V i



R

Vo  Vi 2

  Vi



Vo 2



Vi 2



V o  V i .

Como la entrada es negativa, la expresión de arriba muestra que la salida es positiva, invirtiendo la entrada. +

R

-

Vi

R

2Vi

Vi

2R

D2

D1

-

R

AO2

AO1

+

+

Vo =|Vi| RL

Vi < 0 Figura 6.15. Circuito de valor absoluto de precisión con alta impedancia de entrada. Situación de corrientes para valores negativos de la entrada.

-137-

Juan José González de la Rosa

6.7.3. Rectificador de onda completa con sumador El rectificador de onda completa con sumador se realiza a partir de los rectificadores de media onda estandarizados, según se indica en la Fig. 6.16. En este caso, se emplea un rectificador de media onda inversor y un sumador inversor. En efecto, siempre se verifica: Vo' R/2



Vi R



Vo R

 Vo  2Vo'  Vi .

Entonces, si Vi >> 0, Vo’ = -Vi, Vo = -2Vo’-Vi = Vi. Por el contrario, si Vi V-=3 V (tensión diferencial del AO positiva), entonces la salida es Vo=+10 V. V 

12 R 3R

 4V

;

-143-

V 

12 R 4R

 3V.

Juan José González de la Rosa

De aquí es sencillo obtener los puntos de conmutación de los diodos. En efecto son 3,3 V para D1, y 3,7 V para D2; ya que la diferencia entre las tensiones ánodo cátodo respectivas son 0,7 V. La situación queda resumida en el esquema lineal de la Fig. 6.22. 2R

+12 V

R

D1

+

Vi

+ -

D2

Vo

-

+12 V 3R

R

Figura. 6.21. Comparador de ventana basado en AO con diodos. En el análisis se consideran ideales, salvo tensión de conducción.

D1 ON D2 OFF Vo(V)

-10

+10

Vi + negativos V- =Vi+0,7 V =3 V

2,3

D1 OFF D2 ON

D1 OFF D2 OFF +10

3,7

3,3

-10

+10

4,7

V-=Vi-0,7 V+=4 V

Vi (V)

V+=V-

V+=V-

Figura 6.22. Esquema de conducción de los diodos del circuito de la Fig. 15. También se muestran los puntos de conmutación de la tensión de salida, que son aquellos en los que la tensión diferencial del AO es cero (simbolizados mediante una flecha vertical).

b) Caso D1 ON y D2 OFF.- Caso concreto: Si Vi=0, entonces V+=0,7 V, y como V-=3 V, entonces la salida vale -10 V. En general V+=Vi+0,7. Al seguir aumentando Vi, D1 se cortará y entrará en conducción D2; esto ocurrirá para una entrada de 3,7 V. El punto de conmutación para la salida se calcula igualando las tensiones en las terminales inversora y no inversora: V  V 

Vi VCI

 V CI  0,7  3  V CI  2,3 V

.

Al seguir aumentando la entrada Vi los dos diodos se cortarán, llegando al caso (a). Si sigue aumentando la tensión de entrada alcanzamos el caso (c). c) Caso D1 OFF y D2 ON.- La salida está a nivel alto, +10 V. V-=Vi-0,7, V; y como V+= 4 V, el punto de conmutación se calcula:

-144-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

V  V 

Vi VCS

 V CS  0,7  4  V CS  4,7 V

.

La Fig. 6.23 muestra la característica estática del circuito, donde se observa la forma de ventana; y la Fig. 6.24 representa la respuesta en el dominio del tiempo ante una entrada triangular, de valor medio nulo y Vpp=16 V. Vo (V) +Vcc=10

0

×

VCI=2,3

×

VCS=4,7

Vi (V)

-Vcc=-10

Figura 6.23. Característica estática o característica de transferencia del circuito de la Fig. 6.22. Se han considerado valores de entrada positivos por simplicidad. vi, vo(t) +Vcc 8 VCS

……

VCI

0

t

-8 -Vcc

……

Figura 6.24. Oscilograma de las señales de entrada y de salida. Se observan dos conmutaciones en cada rampa de subida y de bajada, como debe ser en un comparador de ventana. Se ha supuesto una frecuencia a la que el AO responde perfectamente.

Como se comentó al principio, este circuito presenta el inconveniente que los diodos son muy sensibles a las variaciones térmicas, por lo que también lo serían las tensiones de conmutación. Como hecho general, obsérvese que cada vez que los diodos no están incluidos en lazos de realimentación, éstos (y cualquier componente) son más sensibles a los factores exógenos del circuito, como son por ejemplo los factores ambientales o del entorno de funcionamiento (e.g., industrial).

-145-

7

Generadores de Señales

7.1. Introducción En los capítulos anteriores se han tratado principalmente circuitos electrónicos que procesan señales sin importar la fuente o suministro. En éste se estudian los circuitos que las generan, sin recibir entrada externa. La primera parte del capítulo se dedica a los circuitos multivibradores astables (circuitos que alternan la salida entre dos estados o niveles temporizados, alto y bajo). En primer lugar se estudian las configuraciones basadas en el AO de propósito general, para luego pasar a ver los astables basados en comparadores de propósito específico, más veloces y que permiten controlar los niveles de tensión entre los que transita la salida. La segunda parte del tema se dedica a los temporizadores. Se trata de circuitos que, ante una excitación tipo impulso, generan un estado temporizado, cuya duración viene determinada por componentes externos al AO. Primero se tratan circuitos basados en el AO, y luego se analiza el temporizador integrado 555. De éste último también se estudia su configuración como astable. El capítulo finaliza con el estudio de los lazos de realimentación no lineal, concebidos para la generación de funciones matemáticas: triangular, cuadrada y diente de sierra. La generación de señales sinusoidales (osciladores lineales) es objeto monográfico de otro capítulo. Mayoritariamente, los circuitos de este tema se basan en la operación no lineal del AO, es decir, en régimen saturante. 7.2. Circuitos astables o multivibradores libres Un circuito multivibrador astable o de oscilación libre (free running multivibrator) es en esencia un generador de señales cuadradas. En estos circuitos interviene el análisis de la carga y la descarga de un condensador, según la expresión no lineal (1): v c t   v c t     v c t  0   v c t    e



t RC

,

(1)

donde, por simplicidad y para abreviar: lim vc t   vc     vc   ; que es simplemente t 

una notación ya que el  no es un número real. Resulta, abreviada:

-147-

Juan José González de la Rosa

v c t   v c    v c 0   v c   e



t RC

.

Resulta interesante comprobar la ecuación anterior considerando las situaciones extremas: la inicial, t=0, y la estacionaria, t→∞: 0



v c 0   v c    v c 0   v c   e  v c    v c 0   v c   RC

1



t 

RC lim v c t   v c t     v c t  0   v c t    e 

t 

0

También se puede plantear en términos genéricos del instante inicial, tin, y considerando incrementos temporales, Δt, desde que se activa la carga del condensador. v c t   v c    v c t in   v c   e

t  tin



RC

 v c    v c t in   v c   e



t



.

En ella se ha hecho uso de la notación τ≡RC, la constante de tiempo del circuito. A continuación se estudian los circuitos astables basados en el AO. 7.2.1. Basados en el amplificador operacional de propósito general El circuito queda descrito en la Fig. 7.1. El par RC provoca las transiciones del AO gracias a la carga y descarga del condensador. El divisor de tensión de la parte inferior establece los puntos de conmutación del comparador, que son los límites entre los que se realiza la carga y la descarga del condensador.

R

Icarga -

Idescarga vo +VSAT -VSAT

-

+ C

+ VREF

R1

R2

Figura 7.1. Circuito multivibrador de oscilación libre (astable) basado en un AO ideal de propósito general.

La relación de división suele denominarse a veces por la letra griega  (fracción de realimentación), y viene dada por: 

R2 R1  R 2

-148-

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Se comienza el análisis razonando las formas de las ondas de salida en función del tipo de AO que incluye el circuito. El AO adopta dos estados de salida, VSAT (VOM). En estado alto, el condensador se carga hasta el punto de conmutación superior, V CS. Desde este valor de salida el condensador, C, se descarga hasta el punto de conmutación inferior, VCI, estando la salida en estado bajo. Las señales involucradas en la dinámica del circuito se aprecian en la Fig. 7.2. En ella se han trazado las formas de las ondas correspondientes a la salida, y a la tensión del condensador. Ésta última transcurrirá realizando ciclos de carga y de descarga entre los dos puntos de conmutación del comparador regenerativo (zona del circuito correspondiente a la realimentación positiva). vo(t) vC(t)

TH

+Vcc

vo1

VCS

vo2 0

t3

t2

t0 t1

t

VCI -Vcc

TL

Figura 7.2. Dinámica estacionaria del circuito multivibrador libre de la Fig. 7.1. El periodo de la oscilación viene dado por T=TH+TL; y la frecuencia por f=1/T. En la práctica los niveles alto y bajo corresponden a ±VSAT (ó ±VOM).

Es interesante observar en primer lugar, que la tensión en el terminal no inversor del AO responde a la siguiente relación: v 

v o R 2  V REF R1 R1  R 2

.

Esta expresión se obtiene aplicando el principio de superposición en la terminal no inversora del AO. Es decir, la contribución a la tensión en la terminal no inversora es suma de la aportación de la salida y de la aportación de la tensión de referencia, según: v  v

vo ,VREF  0

 v

vo  0,VREF



vo R2 R1  R 2



V REF R1 R1  R 2

.

Esta expresión permite calcular los puntos de conmutación superior e inferior de circuito. En efecto, cuando la salida está en estado alto: v   VCS 

v o

 Vom R 2  V REF R1 R1  R 2

-149-

.

Juan José González de la Rosa

Y cuando la salida está en estado bajo: v   VCI 

v o

 Vom R 2  V REF R1 R1  R 2

.

Los tiempos involucrados en la Fig. 7.2 (t1, t2 y t3) son proporcionales a la constante de tiempo del circuito, =RC. El primero, t1, es el que tarda en alcanzar la oscilación en régimen permanente partiendo de condiciones iniciales nulas (condensador inicialmente descargado), y no interviene en el cálculo del periodo, en régimen permanente. Se obtiene aquí por interés didáctico. Para calcularlo se plantea la ecuación de carga del condensador: t t    t     RC RC RC v c t   v c t     v c t in   v c t    e  Vcc  0  V SAT  e  V SAT (1  e ).     VSAT  V SAT  

A partir de ella, cuando la tensión en C ha alcanzado el punto de conmutación superior VCS, la salida pasa del estado alto, +VSAT, al estado bajo, -VSAT, y Δt = t1-0. v c t   V SAT (1  e 



t  t1 RC



)

VCS

VCS

 1  e

V SAT



 t  t1 RC

;

de donde se obtiene la expresión final para t1:  V  t ln 1  CS    1 V RC SAT  

 t1  RC ln 1 



 V  1  CS V SAT 

   .  

Considerando ahora el valor de VCS, se tiene: VCS 

VSAT R2  VREF R1 R1  R2

;

y sustituyendo en la expresión de t1, resulta:  V t1   RC ln 1  CS V SAT 

V SAT R 2  V REF R1    R1  R 2    ln 1  V SAT    

   V R  V REF R1     ln 1  SAT 2  V  SAT R1  R 2     

V  V SAT  V REF R1  R  V SAT R 2  V SAT R 2  V REF R1    ln  SAT 1    ln   V SAT R1  R 2     V SAT R1  R 2   V  V REF R1    ln  SAT . V SAT R1  R 2  

Como norma general en diseño, el tiempo obtenido suele expresarse en función de cocientes de magnitudes:  V REF V  V SAT  V REF  V REF R1  R1  t1   ln  SAT    ln     ln  1  V SAT R1  R 2  V SAT R1  R 2  V SAT   

-150-

 R1     R1  R 2 

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

De donde finalmente se obtiene el instante de tiempo aludido: R2   1 R 1 t1   ln  V  1  REF  V SAT 

  .   

Siguiendo un procedimiento análogo se obtienen las expresiones de los tiempos de duración de los estados bajo y alto, TL y TH, respectivamente, que constituyen las ecuaciones de diseño (tiempos en función de los parámetros de componentes), y que quedan como siguen:   2R2  T L   ln 1   V  1  REF   V SAT

   ;    R1     

TH

     ln 1   

2R2  V REF 1   V SAT 

   .    R1     

Por ejemplo, para obtener TL se plantea la descarga del condensador desde el estado alto al bajo: t    t    RC RC v c t   v c t     v c t in   v c t    e  V SAT  VCS  V SAT  e      VSAT V  V SAT  CS 

En el punto de conmutación inferior vc(t)=VCI y Δt=TL: VCI  V SAT  VCS  V SAT  e



TL RC

.

De donde resulta: VCI  V SAT  VCS  V SAT  e



TL RC

 V  V SAT   VCS  V SAT   TL    RC ln  CI    ln     VCS  V SAT   VCI  V SAT 

Se sustituyen en TL las expresiones de los puntos de conmutación que se reproducen a continuación:

VCS 

V SAT R2  V REF R1 R1  R2

VCS       V R V SAT 2 REF R1   V SAT R1  R 2  T L   ln  - V R  V REF R1  V SAT  SAT 2 R1  R 2      VCI

;

VCI 

-VSAT R2  V REF R1 R1  R2

   V SAT R 2  V REF R1  V SAT R1  R 2      R1  R 2    ln     - V SAT R 2  V REF R1  V SAT R1  R 2      R1  R 2    

-151-

Juan José González de la Rosa

 V REF  R1  R1  2 R 2  V  V REF R1  V SAT R1  2V SAT R 2  SAT  T L   ln     ln  V REF V R  V R   REF 1 SAT 1   R  R 1 1   V SAT  

R  V REF 1 2 2 V R1  dividir por R1      T L   ln  SAT V  REF 1  V SAT 

  V REF R  2 2 1   V SAT R1    ln    V V  REF 1  REF 1   V V SAT   SAT    1

  R  2 2   R1    ln 1   V  REF   1 V SAT   

     

De las expresiones para TH y TL, cabe destacar su simetría, permiten realizar el diseño. El caso más sencillo corresponde a: VREF=0, TH=TL, y el ciclo de trabajo (duty cycle) sería del 50%. Veamos un ejemplo concreto distinto del ejemplo trivial anterior. Se trata de diseñar un oscilador para VSAT=(Vom)=15 V, con las especificaciones, correspondientes a los estados alto y bajo: TH=10 ms, TL=40 ms. En primer lugar, se elige una constante de tiempo del mismo orden de magnitud que los tiempos involucrados; por ello es una buena opción el valor de =10 ms. El razonamiento inverso es también válido, es decir, que el orden de magnitud de la constante de tiempo determina los órdenes de magnitud de los tiempos de diseño. Esto puede corresponder a la elección de C=1 μF, lo que conlleva una resistencia de R=10 kΩ. Con todo, las ecuaciones de diseño se particularizan en las siguientes expresiones:    10  10 ln 1   

2R2  V REF 1   V SAT 

e1  1 

  2R2  40  10 ln 1   V  1  REF   V SAT

   ;    R1     

2R2  V REF 1   V SAT 

  R1  

e 4 1 

;

      R1     

2R2  V REF 1   V SAT 

  R1  

Y ahora, las anteriores expresiones se dividen miembro a miembro: e1  1 e4 1

.

2R2  V REF 1   e  1  V SAT  2R2 e 4 1  V REF 1   V SAT  1

  R1     R1  

1  1

V REF V SAT  V REF V SAT

1 1

V REF 15 V REF

;

15

-152-

V 1  REF 1,72 15   0,0321  V REF e 4  1 53,60 1 15 e1  1

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

1 0,0321  1

V REF 15 V REF

15  V REF

0,0321 

;

15  V REF

;

0,4815  0,0321  V REF  15  V REF

15 14,5185  1,0321 V REF



V REF  14,07 V

.

Despejando la relación entre tensiones, x:

1

e1  1



e 1  4

K

x  V REF

V SAT 1 x  V REF 1 x 1 V SAT 

;

x

K 

1 x ; 1 x

K  1  x 1  K ;

K  Kx  1  x ;

e 1 K 1 x ; K 1

4 x  e 1 e 1

e4  1

1  1

e  1  e4  1 e  1  e4  1



e  e4 e  e4  2

 -0.9379

En cualquiera de las dos expresiones de los tiempos (alto o bajo) sustituimos para tener la relación que han de verificar las resistencias:   2 R2 40  10 ln 1  ;   1 0.9379 R 1 

e4  1 

2 R2 0.0621R1

R2



R1

 1,6642 .

Si se desea evitar la sustitución del número irracional “e” hasta el final, se debe optar por la siguiente relación: e4 1 

e4 1 



2 R2  K -1  1  R1  K 1

R2 R1





2 R2

1 - x R1

;

2 R2  K 1- K 1   R1 K 1  

 K  1   2 R2      2   R1



   



2

e4 1 e4 1 e4 1 e4 1  1  1  . K 1 e 1 e 1  e4 1 e  e4  2 1 e4 1 e4 1

En la práctica, esta relación es imposible, ya que hemos utilizado números irracionales, y se trabaja con valores normalizados - tabulados - de las resistencias. Por ello, se calculará un valor redondeando según el caso, y luego se tomarán los valores resistivos más aproximados.

-153-

Juan José González de la Rosa

La Fig. 7.3 muestra un circuito preparado para su simulación con el “capturador de esquemas” de circuitos electrónicos de ORCAD-PSPICE - Schematics - en el que se usan valores teóricos de los componentes, y la Fig. 7.4 muestra el resultado de una simulación del circuito.

Figura 7.3. Circuito o esquema del multivibrador astable basado en un AO ideal en el entorno Schematics de PSPICE. Los componentes poseen los valores de los parámetros ideales.

Figura 7.4. Resultados, mediante oscilogramas, de la simulación del generador de señales cuadradas con PSPICE, para el caso de una duración mayor del estado bajo. Se indican los puntos más relevantes del oscilograma, que permiten verificar al lector las duraciones de los estados alto (10 ms) y bajo (40 ms). En esta simulación se ha elegido un modelo ideal para el AO (±Vcc=(±VSAT =±15 V), y una condición inicial para el condensador de 9 V (obsérvese que corresponde al punto dónde se inicia la descarga).

Si por ejemplo se tratara de diseñar un oscilador con un tiempo de estado alto mayor que el tiempo de estado bajo, para Vom (VSAT) = 15 V, TH=20 ms, TL=10 ms, y manteniendo la misma constante de tiempo, =10 ms, las ecuaciones de diseño se concretarían en las siguientes expresiones:   20  10 ln 1    

2 R2  V REF  1  V SAT 

  ;    R1   

  10  10 ln 1    

-154-

2 R2  V REF  1  V SAT 

      R1   

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

2 e2  1  1

R2

2

R1 V REF

e1  1 

;

V SAT

R2 R1

 V  1  REF V SAT 

  

A continuación, las anteriores expresiones se dividen miembro a miembro, como antes: 2

V REF 15

R2 R1

 V REF  1  2 V SAT e 1   2 R2 e 1 R1

  

 V REF  1  V SAT 

  

x

;

3,72 

1 x 1 x

1  1



V REF V SAT  V REF V SAT

1 1

V REF 15 V REF

;

e2  1  3,7183  e 1

15

3,72  3,72  x  1  x



1 1

V REF 15 V REF 15

x  0,58  V REF  8,7 V

.

Como se observa, ahora la tensión de referencia es positiva. Para obtener la relación entre las resistencias basta con tomar por ejemplo: 2 e 1 

R2 R1

1  x 



R2 R1



1,72  1,58  1,36 . 2

Eligiendo por ejemplo R1=10 kΩ, entonces resulta R2=13,6 kΩ. El resultado de la simulación se muestra en la Fig. 7.5.

Figura 7.5. Resultado de la simulación del generador de señales cuadradas con PSPICE, en el caso de duración mayor para el estado alto que para el estado bajo. Como se observa, una división horizontal (en el dominio del tiempo) equivale a 5 ms; y una división vertical (amplitud) equivale a 5 V. Se ha elegido un modelo ideal para el AO, y una condición te tensión inicial para el condensador de -1 V.

-155-

Juan José González de la Rosa

7.2.2. Astable basado en comparador de propósito específico En este apartado de estudia un generador de ondas cuadradas u oscilador cuadrangular1 con LM111 (multivibrador de oscilación libre). Montaje experimental con PSPICE. Mostramos en esta ocasión la simulación del circuito. La Fig. 7.6 muestra en diagrama del circuito en el capturador de esquemas.

Figura 7.6. Esquema de un astable basado en AO comparador LM111, dibujado con el “capturador de esquemas” (Schematics) de ORCAD-PSPICE.

Las señales instantáneas en el condensador y en la salida, vc(t) y vo(t), respectivamente, se aprecian en la Fig. 7.7. La salida en colector abierto del LM111 y las conexiones de sus terminales indican que los niveles de tensión son +5 y 0 V, correspondientes a los estados de corte y de saturación del transistor de salida, respectivamente.

10/3

5/3

Figura 7.7. Evolución de las señales del reloj de la Fig. 3, desde el régimen transitorio al permanente. En las opciones de simulación del menú “transient” no debe habilitar la pestaña “skip initial transient solution”.

1

Denominación internacional. SWO: Square-Wave Oscillator.

-156-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Por ejemplo, en la Fig. 7.7, la expresión para la carga de C durante la subida es: vc t   vc    vc tin   vc   e



t  t in RC

5    5    5 e 3 

t  t in RC

.

Para analizar el circuito de la Fig. 6. se plantea el divisor de tensión en la terminal no inversora del AO, aplicando el principio de superposición, según: V  V 

vo ,Vcc 0

V 

Vcc ,vo 0



v o R2 // R4 

R3  R2 // R4 



Vcc R3 // R4 

R2  R3 // R4 

.

A continuación, considerando los valores resistivos en unidades de kΩ, se tienen los dos posibles valores de la salida (indicados en la Fig. 7.7):

V





Vo 100 // 100  V cc 100 // 100 100  100 // 100



Vo 50  V cc 50 150



Vo  V cc 3



Vo  5 3

10  V  5V   V.   o 3  V  0  V   5 V . o  3 

A su vez, éstos constituyen los puntos de conmutación superior e inferior del circuito, respectivamente, es decir, donde se producen las transiciones de la variable tensión instantánea del condensador, y que vienen representados en la Fig. 7.7. Entre ellos se evalúa la carga y descarga del condensador, para obtener y calcular los tiempos correspondientes a los estados alto y bajo. Veamos los tiempos de duración de los estados alto y bajo: a) Transición desde el estado alto al bajo: carga del condensador entre VCI=5/3 V y VCS=10/3 V. Siempre aplicaremos la ecuación de carga y de descarga del condensador:   RC  10 5  10 9  0,1 m s ; v c t   v c    v c t in   v c   e



t  t in RC

.

Sustituyendo los valores concretos asociados a las conmutaciones: TH

TH

10 5 10  RC   5 e   5    5 e RC     3 3 3  3

T H  0.1 ln 2   0.069 ms .

b) La otra transición, del nivel bajo al estado alto, supone plantear: 5 0 3

TL

  RC  10  3  0 e  

.

Con el fin de analizar el circuito de nuevo, se muestra esta vez en la Fig. 7.8, que es una versión extraída de la hoja de características del LM311. En la que se propone este circuito bajo el nombre ya descrito de oscilador cuadrangular (“square wave oscillator”), o generador de señales cuadradas. En primer lugar, se debe calcular la tensión en el terminal no inversor, V+. Para ello se recurre al circuito de la Fig. 7.9. En él se aplica el principio de superposición, planteando

-157-

Juan José González de la Rosa

las dos tensiones posibles de salida. Genéricamente (en función de las resistencias), resulta: V   Vcc

R 2 // R 4

R1  R 2 // R 4 

R1 // R 2

 Vo

R 4  R1 // R 2 

.

Valores concretos de las resistencias: R2 // R4 

R2 R4 R2  R4



10  39 390  k ; 10  39 49

R1 // R2  Vcc=5 V

R1=20 k C= 1500 pF

R1 R2 R1  R2

10  20 200  k 10  20 30

.

R5=1 k

R3=10 k

3

-

+

8

2

+ 4

vo

7

LM 111

R2= 10 k



R4=

1 39 k

Figura 7.8. Montaje practico de oscilador cuadrangular, o reloj temporizador, basado en el circuito LM111. En la hoja de características el montaje empela C=1200 pF. Se emplean, por ejemplo, 1500 pF está disponible.

V+ R1=20 k

Vo

5V R2= 10 k

R4= 39 k

Figura 7.9. Circuito didáctico para calcular V+ aplicando el principio de superposición.

7.3. Temporizador con disparo único retardado El circuito de la Fig. 7.10 es un temporizador que se emplea en esencia para alimentar una carga resistiva RL después de haberse conectado la tensión de alimentación, Vcc. Está basado en un AO de propósito general funcionando como comparador; es decir que ofrece como posibles salidas Vcc.

-158-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Vcc=12 V

R= 10 k

R1= 10 k

+Vcc voAO R2=

-

6V

2 k

vd vc C= 10 F

+ +

-Vcc

VZ= 5V

vo RL

R1= 10 k

vc(0)=0

Figura 7.10. Circuito de alimentación retardada de una carga resistiva RL. El diodo zéner se considera ideal, presentando tensión nula entre ánodo y cátodo cuando conduce en la zona directa, y pendientes de conducción infinitas en la zona directa y en la zona zéner.

El funcionamiento queda descrito en las siguientes líneas. En el instante t=0 s, se aplica la alimentación del circuito y aparecen 6 V en el terminal inversor del AO (que provienen del divisor de tensión en dos resistencias idénticas). Esta es la tensión de referencia del comparador; es la tensión a vencer o superar para cambiar de estado. Inicialmente el condensador está descargado, por lo que la tensión en el terminal no inversor del AO es cero. Esto significa que la tensión diferencial de entrada del AO vale -6 V; en consecuencia, la tensión de salida del AO es -12 V. Esta tensión mantiene al diodo zéner funcionando como diodo normal, y ofreciendo una tensión de conducción de 0 V. Esta es la tensión de salida si el zéner opera como diodo normal. Este estado es transitorio, ya que la tensión diferencial va creciendo con la carga del condensador, y en algún momento cambiará la salida de 0 al valor de la tensión zéner. El tiempo que dura la salida en nivel bajo (estado temporizado) se denomina tiempo o intervalo de temporización. La evolución de las señales se indica en la Fig. 7.11.

-159-

Juan José González de la Rosa

vc (V)

12 6 0

ttemp

t (ms)

5

vd (V) 6 0

t (ms) -6

voAO (V) 12

0

ttemp

t (ms)

5

-12

vo (V) 5 0

t (ms)

5

ttemp

Figura 7.11. Evolución de las señales involucradas en el temporizador de retardo. De arriba hacia abajo: tensión en el condensador, salida del AO y salida del circuito en el diodo zéner.

En resumen, dependiendo de la tensión del condensador cambia la salida: v c t   V REF  6 V  v oAO  12 V  v o  0 V v c t   V REF  6 V  v oAO  12 V  v o  5 V

A continuación, se calcula el intervalo de temporización; es decir, el tiempo que emplea el circuito en ofrecer una tensión en la salida distinta de cero (en pasar a estado alto). La constante de tiempo asociada a la carga del condensador vale =104∙10-5 s=100 ms. Planteamos la ecuación de carga del condensador partiendo de condiciones iniciales nulas: v c t   v c    v c 0   v c   e



t RC



v c t   V cc  0  V cc  e

-160-



t RC

t    V cc 1  e RC  

 .  

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Cuando se alcanzan los Vcc/2 = 6 V, se contabiliza el tiempo o intervalo de temporización, ttemp: v c t  

ttemp    V cc  1  e RC  2 

V cc

 ;  

 1  1 e 2

ttemp RC

ttemp

;

 1  e RC ; 2

 ln 2   

t temp RC

 t temp  RC ln 2 .

Finalmente, resulta: ttemp    6  121  e 100  

  .   t temp  100  ln 0,5  69,3 ms 

La tensión diferencial instantánea entre los terminales del AO es: v d t   v   v   v c t  

t    V cc  1  e RC  2 

V cc

t t  V      cc  V cc  V e RC  V  1  e RC cc cc  2 2 2  

 .  

Obsérvese que, al sustituir el valor o la expresión correspondiente a ttemp, la tensión diferencial se anula, como debe ser en el punto de conmutación: ttemp 1  v d t temp  V cc   e RC 2 





RC ln 2     V  1  e  RC cc  2  

  1  V 1  cc  RC ln 2  2   e RC 

  1  1   V cc   ln 2   0. 2 e    

Por otra parte, el estado estacionario se alcanza al cabo de cinco veces la constante de tiempo. Al cabo de este tiempo, llamado tiempo de estabilización (ts), el condensador se habrá cargado totalmente a la tensión de alimentación, y por él ya no circula corriente. Es este un criterio generalmente adoptado en Electrónica. Si se deseara modificar el tiempo de temporización sería necesario modificar la constante de tiempo. 7.4. Circuito monoestable basado en amplificador operacional Los circuitos monoestables o temporizadores de estado único generan un pulso de duración finita, y depende matemáticamente de los componentes que rodean al AO (resistencias y condensadores). El pulso generado se denomina pulso o estado temporizado. El pulso generado (estado temporizado) se emplea para excitar otro circuito, como por ejemplo a un instrumento electrónico. Por ejemplo, para sincronizar la actuación de dos equipos, el pulso que emitiera el primero serviría para iniciar alguna funcionalidad del segundo. Por lo tanto, estos circuitos presentan dos estados. En el estado estable (o de reposo), el circuito no recibe excitación que provoque la transición al estado temporizado. Cuando el circuito recibe como entrada un pulso, pasa al estado inestable o temporizado. Más tarde, y por sí mismo (sin intervención externa), el circuito abandona este estado, regresando al estado estable, que es el que presenta siempre por defecto. Una red RC es la que se encarga de provocar el regreso a este estado estable o por defecto. En concreto,

-161-

Juan José González de la Rosa

será un condensador conectado a uno de los terminales de entrada de un AO comparador, el que actúe como elemento de restablecimiento del estado estable. Todos estos componentes se aprecian formando parte del circuito de la Fig. 7.12. R

+Vcc

vd

vo

+ -Vcc

vc

R1

+

C vc(0)=0

D

R2

S

Figura 7.12. Circuito temporizador genérico de estado único basado en amplificador operacional. D es un diodo ideal. “S” es un pulsador; para accionar el circuito se cierra y se abre. ”S” por defecto está abierto.

El análisis del circuito comienza deduciendo el estado estable o por defecto que presenta, antes del disparo, es decir, antes de pulsar “S”. Partimos de la hipótesis de que este estado estable se presenta con la salida a nivel bajo. En efecto, si vo=-Vcc, V+=-Vcc. Por otra parte, si la salida está en estado bajo, el diodo D está conduciendo (en el ánodo tiene 0 V y en el cátodo -Vcc, a través de la resistencia de arriba, R). Esta situación es coherente con la tensión de 0 V que acumula inicialmente el condensador (diodo conduciendo en paralelo entre sus placas). Con todo, la tensión diferencial del comparador al inicio es muy negativa (vd=v+-v-=Vcc- (-0,6)); si consideramos D con tensión de conducción), con lo que la salida por defecto es el estado bajo: v d  v   v  V cc vc

R2 R1  R 2

 0  0  v o  V cc .

Este era nuestro punto de partida, por lo que es coherente esta situación inicial. Veamos cuál es la evolución del circuito (su dinámica) al pulsar “S” (cerrar y abrir, no se queda cerrado). Cuando esto sucede, la tensión diferencial del comparador se anula (V- estaba prácticamente a 0 V y ahora al pulsar S hacemos V+=0) y del estado bajo que estaba por defecto se pasa al alto, que es el estado temporizado. En esta situación de salida en estado alto, la tensión diferencial del comparador vale: v d  V cc

R2 R1  R 2

 v c  0  v o  V cc .

-162-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

La tensión en el condensador va creciendo y llegará un momento en que la tensión diferencial se anule y el circuito pase de nuevo al estado bajo. La conmutación hasta este estado, que ya se mantiene, se produce en el instante en que la tensión del condensador iguala a la tensión de conmutación Vcon: v c  V con  V cc

R2

.

R1  R 2

La Fig. 7.13 muestra la evolución en el tiempo de las señales mencionadas en los razonamientos anteriores, que constituyen la dinámica del circuito. El ancho del impulso viene dado por la expresión: R  T  RC ln  2  1 . R  1 

En efecto: v c t   v c    v c 0   v c   e



t



RC

v c t   V cc  0  V cc  e



t 0

t    V cc  1  e RC  

RC

 .  

T

+Vcc

Trec Vcon

vc

ttemp

0

t

vo

-Vcc

vd=0 Figura 7.13. Evolución de las señales del temporizador de disparo único, o generador de impulsos, de la Fig. 12. El circuito permanece en el estado inestable (estado alto en este caso) durante el tiempo de estado temporizado T. La tensión diferencial sólo es nula en los puntos de conmutación.

En el punto de conmutación, la tensión instantánea es: V cc

T    V cc 1  e RC  R1  R 2 

R2

T   R2   1  e RC  R1  R 2 

.

El funcionamiento del circuito es simple. Mientras la tensión en el condensador evolucionará hacia el valor inicial transcurrido el llamado tiempo de recuperación del circuito. En nuestro caso, como el condensador se carga a cero a través del diodo y de una

-163-

Juan José González de la Rosa

resistencia, predomina la resistencia dinámica del diodo y la constante de tiempo de transición al estado inicial de reposo es prácticamente cero. Durante este tiempo de recuperación no se pueden efectuar nuevos disparos. Puesto que el disparo único genera una onda rectangular que se inicia en un instante de tiempo definido, y por tanto puede utilizarse para excitar otras partes del equipo u otros circuitos, este circuito recibe en general el nombre de circuito de disparo (igual que en el ejemplo del apartado anterior). Además, como provoca una transición rápida a su estado de reposo, un tiempo T después del disparo de entrada, se denomina también circuito retardador de tiempo (como se vio con anterioridad). A continuación se estudian los temporizadores integrados. Independientemente de su tecnología de fabricación, estos circuitos se fundamentan en la introducción de biestables. 7.5. El temporizador integrado 555 Es el temporizador integrado más común y fue introducido primero por Signetics Corporation. Se puede aplicar a gran variedad de aplicaciones y es de bajo coste. Puede operar con voltajes de alimentación en el rango 5-18 V. Incluye dos comparadores, dos transistores, tres resistencias iguales, un flip-flop, y una etapa de salida. A continuación se exponen sus modos de operación. 7.5.1. Modo astable En el modo de funcionamiento astable opera como un reloj, produciendo oscilaciones entre dos estados, llamándose pues multivibrador de oscilación libre. La Fig. 7.14 muestra las señales más significativas medidas en el circuito, dibujado en la Fig. 7.15. El valor de la tensión de salida es ligeramente menor que Vcc (disipación interna en el circuito integrado), y la tensión de estado bajo es aproximadamente de 0,1 V (situaciones representadas aproximadamente en la Fig. 7.14). El funcionamiento es simple, mientras la tensión en el condensador esté comprendida entre 1/3Vcc y 2/3Vcc, las señales R (“Reset”) y S (“Set”) son cero y no provocan cambios en la salida. Cuando se alcanzan 2/3Vcc, la salida del comparador C1, la señal R, pasa a estado alto y la salida negada del biestable de pone a 1, con lo que la salida [3] del circuito se pone a cero. Como la salida negada es 1, el transistor T entra en saturación (0,1 ó 0,2 V entre [7] y tierra) y C se descarga por R2 y por la resistencia dinámica de T (que es prácticamente nula), la constante de tiempo de descarga es R2C. Planteando la ecuación de la descarga de C entre los instantes de tiempo que nos convengan (conmutaciones 2/3Vcc y 1/3Vcc), se logra obtener el tiempo de estado bajo: v c t   v c    v c 0   v c   e 1 3



t

t





TL

V cc

t

2   2   v c t   0   V cc  0 e R2C   V cc  e R2C 3  3 

2     V cc  e R2C 3 

 T L  R 2 C ln 2 .

-164-

,

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

R=S=0

TH

R=S=0

+Vcc

vo

2/3Vcc vc

1/3Vcc

t

0

R=S=0

TL R=S=0

R=1; S=0

R=0; S=1

Figura 7.14. Dinámica estacionaria teórica del circuito astable basado en el temporizador integrado 555. Las señales de activación del bi-estable RS sólo cambian en las transiciones entre estados. Vcc [8] Umbral [6]

R

+ C1 -

2Vcc/3

Vcc/3

Salida

vo

R Q

[5] Control

R [2]

Inversor

[3]

S Q

R1

+ C2 -

Disparo

[7] Descarga

T R

TR

VREF

R2 [4]

vc

+

C

Restablecimiento

Figura 7.15. Temporizador 555 en modo astable o multivibrador de oscilación libre. Cada triángulo representa un comparador. Entre corchetes se sitúan los terminales al exterior. El terminal [1], de tierra, se omite por simplicidad. A la derecha figuran sus tres elementos externos: las resistencias R1, R2, y el condensador C.

Análogamente se plantea el cálculo del tiempo de estado alto, resultando: 2 3

Vcc

Vcc

1 3

TH

Vcc

Vcc e

R1 R2 C

TH

R1

El periodo del multivibrador es la suma de ambos tiempos: T

TL

TH

R1

-165-

2R2

C ln 2 .

R2 C ln 2 .

Juan José González de la Rosa

La frecuencia se obtiene como la inversa del período: f 

1 1  T R1  2 R 2  C ln 2

.

Con el fin de ilustrar un cálculo concreto del periodo de la señal generada considérense los valores reales siguientes, con el condensador C en µF y las resistencias R1 y R2 en unidades de kΩ: T  T L  T H  C ln 2 R1  2 R 2   0,1 ln 2 6,8  2  3,3  0.929 ms.

La Fig. 7.16 muestra el circuito empleado en una simulación de este modo de operación, y la Fig. 7.17 su operación en el simulador. En ella se aprecia por primera vez el circuito en el capturador de esquemas. El terminal de control se ha conectado a tierra a través de un condensador de 0,01 µF con el fin de filtrar el ruido. Esta medida es análoga a la de un caso real.

Figura 7.16. Circuito involucrado en la simulación del 555 en modo astable. En este caso se emplea una resistencia de carga (R4) con el fin de que aparezcan representados los oscilogramas de las tensiones analógicas (marcadores “V” de la figura).

Figura 7.17. Graficas de los oscilogramas correspondientes a la simulación del circuito astable. Los cursores señalan la situación de medida del periodo de la oscilación.

-166-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

7.5.2. Modo monoestable o de un disparo No todas las aplicaciones requieren una onda periódica como la obtenida a partir de un multivibrador de oscilación libre. En el modo de funcionamiento monoestable el circuito opera como un temporizador de disparo único, generando un pulso (estado temporizado) a partir de un impulso de disparo. La duración del pulso generado depende de la resistencia y el condensador externos. La Fig. 7.18 muestra el circuito resultante, y en ella se observa que ahora desaparece R2, resultando más fácil el camino de descarga a tierra del condensador, con una constante de tiempo de descarga prácticamente cero, puesto que se descarga a través de la resistencia dinámica (interna) del transistor T. Vcc [8]

R

+ C1 -

2Vcc/3

[5] Control

R [2]

Vcc/3

Disparo, vi

Inversor

Salida

vo

R Q

[3]

S Q

R1

+ C2 -

[7] Descarga

T R

VREF

TR [4]

vc

+

C

Restablecimiento

Figura 7.18. Circuito interno del temporizador 555 en modo monoestable. La resistencia RB desaparece y el condensador C, al restablecer su carga, provoca el regreso a estado bajo, estado por defecto o estable. El estado temporizado es el estado alto.

Las distintas señales teóricas, involucradas en la dinámica del circuito, se muestran en la Fig. 7.19. Los impulsos de disparo son negativos. Es decir, el circuito es sensible a impulsos de disparo por flanco de bajada desde estado alto a bajo. La duración del estado temporizado resulta: T  R1C ln 3 . Para obtener la expresión anterior se plantea la carga del condensador desde 0 a (2/3)Vcc, según la siguiente expresión: T

 2 V cc  V cc  0  V cc e R AC 3

T



 2  1  e R AC 3

T

 2  1   e R AC 3

De donde resulta finalmente la duración del estado temporizado: T  R1C ln 3 .

-167-



T 1 ln     R1C  3

.

Juan José González de la Rosa

vi: Impulsos de disparo +Vcc

S=0 R=0

R=S=0 Q=1 T sat.

0 vo: Estados temporizados

S=0 R=1

S=0 R=1 S=0 R=0

S=0 R=0

S=0 R=0

t

S=1 R=0

S=1 R=0

+Vcc

T

T

t

0 vc: tensión condensador

2/3Vcc

t

0

Figura 7.19. Dinámica del circuito monoestable basado en el temporizador integrado 555. La descarga de C se produce de forma casi instantánea a través de la resistencia dinámica del transistor (pendientes infinitas en los oscilogramas).

La Fig. 7.20 muestra el circuito (cuando opera en modo monoestable) construido en el capturador de esquemas, y preparado para su simulación.

Figura 7.20. Circuitos involucrados en la simulación del monoestable. A la izquierda aparece el circuito de disparo, y a la derecha el temporizador integrado con el resto de sus componentes externos. Si no se emplea resistencia de carga (infinita) en el monoestable, la gráfica Vo es identificada como digital.

-168-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

La Fig. 7.21 muestra el resultado gráfico de una simulación del circuito. La sub-figura superior representa los estados temporizados. Obsérvese que la señal que provoca los disparos es cuadrada (“V_cuadrada”). Los disparos (“Vo_impulsos”) son negativos, e inician un estado alto (estado de duración predeterminada por el diseño). Una vez finalizado un estado alto temporizado, la salida pasa al estado bajo (estado estable) y el circuito queda a la espera de un nuevo disparo.

Figura 7.21. Señales involucradas en la operación del temporizador como monoestable (simulación con ORCAD-PSPICE). Los cursores indican la duración del estado temporizado, unos 746 µs. La simulación ha sido realizada con una resolución temporal de 1 µs. La sub-gráfica superior indica los estados temporizados.

La duración del estado alto temporizado es muy similar a la obtenida por la simulación, y viene dada por la ya conocida expresión: T  R1C ln 3  6,8  0,1  ln 3  0.747 ms.

La Fig. 7.22 (a-b) repite el esquema del circuito de disparo, empleado con el fin de excitar el monoestable. Al añadir D se suavizan mucho los flancos positivos, que no son deseados para el disparo. Como mucho, los impulsos de disparo pasan a valer 5 + 0,6 V. Señal cuadrada

C

Impulsos de disparo

R

D R=10 kΩ C=0,001 μF D=1N4148

5V

5V

R=10 kΩ C=0,001 μF D=1N4148

D

R Impulsos de disparo

Señal cuadrada

C

(a)

(b)

Figura 7.22. Circuito de disparo del monoestable simulado. Los valores de los componentes son los incluidos en la simulación con ORCAD-PSPICE. (a) y (b) son el mismo circuito, y ambos dibujos-orientaciones se emplean indistintamente.

7.6. Generador de ondas cuadradas y triangulares Se basa en el lazo de realimentación no lineal, como el mostrado en la Fig. 7.23. Este circuito es la base de la mayoría de los instrumentos electrónicos generadores de funciones de coste medio-bajo. Como se aprecia, está compuesto por un comparador regenerativo y un integrador de corriente constante. La salida del primero es una señal cuadrada, y la del segundo triangular. Para analizar el circuito se estudia la interacción de ambas etapas.

-169-

Juan José González de la Rosa

El circuito es la base de un generador de funciones. La primera etapa también recibe el nombre de astable puesto que su salida bascula entre las dos tensiones de alimentación del amplificador operacional. D

R’

C

R C

-

vo1

R

+

vo2

+ R2

R2> R1

R1 Figura 7.23. Lazo de realimentación no lineal, formado por un integrador Miller (integrador de corriente constante) y un comparador regenerativo. También llamado astable con integrador. En la parte superior se indica el circuito alternativo.

En régimen permanente (se repiten periódicamente), las expresiones de las señales significativas del circuito según los estados de salida, son las siguientes: v o2 t   V cs 

Salida del comparador en +Vcc: Salida del comparador en -Vcc:

v o2 t   V ci 

Puntos de conmutación del comparador:

Frecuencia de oscilación:

f osc 

1 T



t

1

V

RC 1

RC

cc dt

t0 t

V

cc dt

t0

V cs,i  Vcc 

R2 4RCR 1

R1 R2

.

La evolución en el tiempo de las tensiones relevantes del circuito se aprecia en la Fig. 7.24.

-170-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

vo1

+Vcc Vcs

vo2 0

T

t

Vci -Vcc Figura 7.24. Dinámica estacionaria o régimen permanente del circuito de la Fig. 7.20. Se muestran las dos señales o funciones matemáticas generadas.

El circuito permite incluir modificaciones interesantes, como la de añadir una resistencia R’, en serie con un diodo, para conseguir distintas constantes de tiempo de carga y de descarga. Así, C se cargaría por R (rampa creciente, cuando la salida del comparador es nivel bajo y D está en OFF) y se descargaría por R//R’ (rampa decreciente, correspondiente a una salida del comparador de nivel alto). El siguiente circuito también es un generador de “diente de sierra”. 7.7. Generador de señal en forma de “diente de sierra” El circuito de la Fig. 7.25 es un “generador de barrido”, o generador de señal en forma de diente de sierra. Las señales cuyo razonamiento se muestra a continuación, se muestran en la Fig. 7.26. El circuito puede verse como un oscilador controlado por tensión (VCO2) mediante la tensión de entrada Vi; es decir, la frecuencia de la señal de salida viene fijada por la tensión de CC en la entrada Vi. Los diodos D1 y D2 sirven de protección a los transistores Q1 y Q2. Mientras D1 no conduzca, la salida vo1(t) es una rampa creciente (si la entrada es de signo negativo), ya que el transistor Q1 está en corte y no cortocircuita el condensador del integrador. Esta situación se mantendrá mientras la salida del comparador AO2, vo2(t) sea de nivel bajo (-15 V), polarizando negativamente el ánodo del diodo D1. Por lo tanto, mientras se verifique que vo1 < VREF, se mantendrá esta situación de rampa creciente en vo1 (por entrada positiva) y vo2=-15 V. Cuando la salida del integrador vo1 alcanza la tensión de referencia VREF, se produce la transición del comparador AO2, ya que su tensión diferencial se anula, cambia pues de estado, vo2 pasa a nivel alto (15 V); consecuentemente D1 conduce y Q1 se satura, cortocircuitando el condensador del integrador, que se descargará rápidamente a través de la resistencia dinámica del transistor. Por otra parte, estos 15 V de vo2 ponen en conducción a D2, saturando al transistor Q2, y cortocircuitando el potenciómetro de la tensión de referencia que ahora sería nula. Durante toda esta rápida descarga la tensión diferencial del comparador AO2 se mantiene positiva, ya que vd=vo1-VREF.

2

Voltage Controlled Oscillator.

-171-

Juan José González de la Rosa

Al alcanzar vo1 los 0 V, finalizando la descarga de C, vd se anula y se produce otra transición, esta vez volviendo al estado bajo, y repitiéndose de nuevo todo el ciclo, que se muestra en la Fig. 7.26. RB=10 k

D1 Q1

+

C Vcc

Ri Vi

Vcc

AO1

+

vo1

+

vo2

AO2

-

-Vcc

R1= 5 k

-Vcc RB= 10 k

Vcc RC=10 k R2= 0-10 k

VREF

Q2

D2

Figura 7.25. Generador de “diente de sierra” o de barrido. Se suponen ideales los AOs y los diodos. La señal de referencia o de entrada es tal que vi=V>Rs; RoRs, entonces la entrada al amplificador y la señal del sensor prácticamente coinciden: Vi ≈ Vs. En el circuito de salida, si RL>>Ro, entonces Vo≈Av·Vi≈Av·VS. Las características propias del circuito son las ganancias de tensión en circuito abierto y con los efectos de carga: AV 

vo vi



RL R L  Ro

 Av

Av  lim AV RL  

.

(1)

Para obtener la expresión (1) basta con considerar un simple divisor de tensión en la malla de salida. En efecto: v o  io  R L 

Av v i R L  Ro   

 RL .

io

8.2.2. Modelo equivalente del amplificador de corriente Se representa en la Fig. 8.2. En el amplificador de corriente ideal la impedancia de entrada es nula y la de salida infinita. El modelo es adecuado cuando la impedancia de entrada es mucho menor que la de la fuente y la impedancia de carga lo es también frente a la de salida.

-176-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

ii

io

+

is

+

Aiii Ri

Rs vi

vo

Ro

-

RL

-

Figura 8.2. Modelo equivalente del amplificador de corriente. Tanto en el circuito de entrada como en el de salida viene representado por equivalentes de Norton.

La magnitud característica de este amplificador es la ganancia de corriente en cortocircuito. Se define según la expresión (2): AI 

io ii

Ro



R L  Ro

 Ai

Ai  lim AI RL  0

.

(2)

Para obtenerla basta con plantear la corriente en el nudo de salida, según: v o  i o  R L   Ai  i i  i o   R o ;

i o  R L  Ai  i i  R o  i o  R o .

8.2.3. Modelo equivalente del amplificador de transconductancia En el modelo ideal (Fig. 8.3) las impedancias de entrada y la de salida son infinitas, ya que el circuito de entrada es una malla (conexión serie, en la que la magnitud de interés es la tensión), y el de salida contiene un nudo (conexión en paralelo, en la que la magnitud de interés es la corriente). En la práctica, el modelo es adecuado cuando la impedancia de entrada supera con suficiencia a la de la fuente y la de salida a la de carga. Rs ii

io

+ +v s -

+

G mv i Ri

vi

vo

Ro

-

RL

-

Figura 8.3. Modelo equivalente del amplificador de transconductancia (recuadrado).

La característica de transferencia, o magnitud propia del circuito, es la transconductancia en cortocircuito: GM 

io vi



Ro RL  Ro

 Gm

-177-

Gm  lim GM RL  0

.

(3)

Juan José González de la Rosa

8.2.4. Modelo equivalente del amplificador de transresistencia El modelo ideal, representado en la Fig. 8.4, posee resistencias de entrada y de salida nulas. En la práctica, el modelo se aproxima al real cuando la resistencia de la entrada es mucho menor que la de la fuente, y la de salida lo es frente a la de carga. ii

io

Ro +

+

is

Rs vi

+ R i - mi

Ri

vo

-

RL

-

Figura 8.4. Modelo equivalente del amplificador de transresistencia.

La característica de transferencia del circuito viene dada por la transresistencia, RM: RM 

vo ii



RL RL  Ro

 Rm

Rm  lim RM RL  

.

(4)

Con todo, los cuatro amplificadores básicos descritos constituyen las topologías de partida para diseñar circuitos electrónicos realimentados. La magnitud característica de cada uno de ellos (ganancia de tensión, ganancia de corriente, transconductancia y transresistencia) es la que se desensibiliza al añadir al circuito realimentación negativa. 8.3. Realimentación negativa 8.3.1. Concepto de realimentación Un circuito posee realimentación cuando se toma una muestra de tensión o de corriente de la salida, mediante una red de muestreo, y se aplica a la entrada mediante una red o técnica de mezclado o comparación. La entrada aplicada al amplificador es el resultado del efecto de esta señal de realimentación. Un circuito posee realimentación negativa cuando cualquier variación de la salida provoca una señal de realimentación que, actuando sobre el amplificador, tiende a compensar dicha variación. Esto lo hemos visto con amplificadores operacionales; en efecto, con la realimentación negativa se conseguían salidas controladas, y no saturadas. 8.3.2. Elementos de un circuito electrónico realimentado La Fig. 8.5 muestra los elementos de un circuito electrónico realimentado genérico, en forma de diagrama de bloques.

-178-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

vs

vi= vs- vf +

A

-

+ vo

vf



RL

-

Figura 8.5. Diagrama de bloques de un lazo de realimentación negativa (“monolazo”), en el que se incluye el amplificador básico A, la red de realimentación, , y la resistencia de carga RL.

En ella se observa que al amplificador básico entra una señal de error (vi), que es la diferencia entre la tensión de la fuente de señal (la señal del sensor o vs2) y la señal de realimentación, vf. La nomenclatura y las magnitudes empleadas en los bloques se definen en la siguiente lista:      

A: Ganancia o magnitud del amplificador básico. Generalmente en ella se incluyen los efectos de carga debidos a la red de realimentación y a la resistencia de la fuente de señal de excitación y la resistencia de carga. Af: Ganancia del circuito realimentado. : Red de realimentación o factor de transmisión. -A: ganancia del lazo o relación de retorno. A>0 si la realimentación es negativa. D  1+ A: Diferencia de retorno, “desensibilidad”. N  decibelios de la realimentación: N  20 log

Af

 20 log

A

1 1  A

 20 log

1 1  A

.

Si N>1 (en módulo |A|>>1). En efecto: Af 

A 1  (1  A )



1



.

Esta circunstancia es ampliamente utilizada en el diseño de circuitos realimentados, y motiva el empleo de la realimentación negativa, ya que la ganancia así aproximada sólo dependería de elementos externos al amplificador, incluidos en la red de realimentación. La ganancia es independiente del amplificador. 8.4. Ventajas e inconvenientes de la realimentación negativa La ventaja fundamental a frecuencias intermedias (i. d. la zona donde amplifica) consiste en la desensibilización de su magnitud característica. 8.4.1. Desensibilidad de la característica de transferencia En principio se define la sensibilidad relativa de la función Af respecto del parámetro : A f A

S f 

Af 

dA f Af



.

d





En el caso concreto =A, se plantea evaluar cómo es de sensible la ganancia del circuito realimentado al variar la ganancia (magnitud) del circuito sin realimentar. Se demuestra, que la sensibilidad es la inversa de la desensibilidad, según la siguiente expresión: dA f A

SAf 

Af dA



1 D

A

En efecto, basta con aplicar la derivada y simplificar:

-180-

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

dA f A

SAf 

Af dA A

1  A  A

dA f 

dA Af

1  A 2



1 1  A

A



1 1  . 1  A D

Con esto, se puede evaluar un caso concreto. Así por ejemplo, si D=10 y la variación relativa de la ganancia del amplificador básico es de 0.1 (10 %), entonces la variación relativa de ganancia del circuito realimentado es 0.01 (1 %). Ello demuestra la estabilización de la magnitud propia del circuito realimentado. Se consigue una ganancia más estable. 8.4.2. Reducción del ruido y de la distorsión no lineal La realimentación negativa reduce las no linealidades del amplificador básico. En el caso particular, ya estudiado, de verificarse |Aβ|>>1, la distorsión se elimina totalmente, al ser la ganancia del circuito realimentado independiente del amplificador básico, e igual a la inversa de la red de realimentación, β. Por tanto, la relación entrada-salida es en esta situación ideal una recta en todo el rango de entradas; es decir, el rango lineal es total. Así por ejemplo, un amplificador básico con dos ganancias (o dos zonas con ganancias diferentes), como el mostrado en la Fig. 8.6, pasaría a tener sólo una ganancia (la del circuito realimentado ideal, 1/β) al aplicar realimentación negativa. La Fig. 8.6 muestra una situación intermedia, en la que al realimentar no se verifica que la ganancia del circuito realimentado sea la inversa de β, pero sí se observa la disminución de apuntamiento en los codos de las rectas y, consecuentemente, un aumento de la linealidad de esta característica estática. Salida, Vo A2 A1

Af2

Af1 1/β Entrada, Vi

Figura 8.6. Aumento de la linealidad en la característica estática de un amplificador, como consecuencia positiva de aplicar realimentación negativa. El apuntamiento en la zona de cambio de ganancia es menor en el caso de realimentación negativa (zonas de ganancias Af1 y Af2). Se amplía el intervalo de entradas para el que el circuito es lineal.

Si en un amplificador la amplitud de la entrada es lo suficientemente elevada como para hacerlo trabajar en la región no lineal, se generan armónicos en la salida. Si por ejemplo, se generara el segundo armónico B2, en la salida aparecería dividido por la desensibilidad: B2 f 

-181-

B2 D

.

Juan José González de la Rosa

Esto demuestra la reducción de la distorsión no lineal. Aplicando el mismo razonamiento, el ruido introducido en el amplificador queda dividido por la desensibilidad. 8.4.3. Producto ganancia ∙ ancho de banda El ancho de banda del amplificador realimentado de tensión en serie (como por ejemplo el de un amplificador en configuración no inversora) es el del amplificador original multiplicado por la desensibilidad. En la misma proporción disminuye la ganancia. La situación se demuestra a partir de la función de transferencia con un polo (es decir, con una sola frecuencia característica): A0

A jf  

1 j

.

f f0

Cuando el amplificador forma parte de un circuito realimentado la ganancia resulta: A f  jf  

vo vs



A jf



1  A jf  jf 

.

Desarrollando la expresión anterior se demuestra que la nueva ganancia en la zona de frecuencias intermedias resulta: A0 f 

A0 1  A0 

,

y que la nueva frecuencia superior de corte queda multiplicada por la desensibilidad es: f Hf  f H  1  A0   .

Si el amplificador básico posee frecuencia inferior de corte, ésta queda dividida por la desensibilidad. Estas relaciones se demuestran sin más que sustituir en la expresión de la ganancia del circuito realimentado, la expresión de la ganancia del circuito sin realimentar: A

A0 A f  jf  

vo vs



A jf



1  A jf   jf

1 j



 1

f f0

A0 1 j

0f     A0

f

A0 f





1 j

f0

f0

  A0 

1 j

1  A0  f

.

f 1  A0   0  f0 f

A partir de aquí, se observa que el producto ganancia/ancho de banda (GBW3) del circuito realimentado se conserva. En efecto: . La Fig. 8.7 (a) muestra la situación gráfica de la conservación de esta magnitud en el diagrama de Bode asintótico de ganancias. En ella se aprecian las zonas planas de GBW  A0 f  f Hf  A0  f H

3

Gain Band Width

-182-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

amplificación correspondientes al amplificador sin realimentar y realimentado, A0 y A0f, respectivamente. La Fig. 8.7 (b) muestra un ejemplo real de respuesta en frecuencia de un dispositivo (micrófono). Ganancia dB

1.- Amplificador básico

1

A0

2.- Amplificador realimentado

A0/2 (-3 dB) BW

1

1

2

A0f A0f/2 (-3 dB)

1, 2

BWf

fLf

fH

fL

fHf

log f

(a)

(b) Figura 8.7. (a) Conservación del producto ganancia/ancho de banda. Diagrama de Bode asintótico de ganancias; (b) Ejemplo práctico extraído de la hoja de características del micrófono marca Shure modelo SM58: Hz vs. dB.

8.5. Topologías básicas de los amplificadores realimentados En general, se consideran cuatro topologías básicas que dependen de la forma de mezclado de la señal de entrada con la señal de realimentación, y del muestreo de la magnitud de salida. Estas cuatro combinaciones están asociadas a la magnitud del amplificador que se desensibiliza al aplicar la realimentación negativa. Es decir, la topología, o conexionado, determina el tipo de amplificador realimentado. La Fig. 8.8 muestra las cuatro combinaciones de circuitos electrónicos realimentados. Cada topología está asociada a un tipo de amplificador básico, como muestra la Tabla 8.1. Tabla 8.1. Topologías de cada tipo de realimentación y amplificadores básicos.

Realimentación de tensión en serie tensión en paralelo corriente en serie corriente en paralelo

Amplificador básico de tensión transresistencia transconductancia intensidad

-183-

Juan José González de la Rosa

Obsérvese que, siempre que la magnitud involucrada sea una corriente se compara o se muestrea por nudo; y siempre que la magnitud sea una tensión se compara o se muestrea por malla. A continuación se estudian con detalle las topologías de circuitos electrónicos realimentados. Para cada caso, se estudia primero el cambio que experimentan las magnitudes propias del amplificador cuando se realimenta el circuito. Muestreo de tensión-por nudo Realimentación de tensión en...

Muestreo de corriente-por malla, serie Realimentación de corriente en...

io

io +

A

+

A

RL vo

RL vo -

-



 Comparación de tensión-por malla Realimentación de ... en serie

RS vS

+ vi -

Comparación de corriente-por nudo Realimentación de ... en paralelo

A

is

RS

ii

if



A 

vf + Figura 8.8. Topologías básicas empleadas en los circuitos electrónicos realimentados.

8.6. Realimentación de tensión en serie 8.6.1. Magnitudes propias La topología genérica o modelo equivalente de diagrama de bloques se muestra en la Fig. 8.9. A continuación, se obtienen sus magnitudes propias. Con el fin de simplificar el análisis se considera la red de realimentación (β) con impedancia de entrada infinita, y con impedancia de salida nula, es decir, sin efectos de carga sobre el amplificador básico. Impedancia de entrada: Se supone nula la resistencia de la fuente, Rs, por simplicidad. v s  vi  v f

Rif 

v i  ii  Ri .

vf v s vi  v f   Ri  ii ii ii

-184-

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

A partir de esta última expresión se observa que la resistencia de entrada aumenta (suma de la resistencia sin realimentar más un término positivo). Lo mismo sucede para todas las topologías con comparación por malla o serie, ya que para nada se ha trabajado sobre el circuito de salida. Esto es una ventaja ya que se demandaría menos corriente de la unidad a la que se conecta. Rs ii

io

Ro

+

+ +v s -

vi

+

Ro vo

vf

if

+ Av - v i

Ri

+

RL v o

Ri

-

Figura 8.9. Circuito equivalente de realimentación de tensión en serie.

Se concreta a continuación la expresión de la resistencia de entrada (Ri=vi/ii): Rif  Ri 

vf ii

 Ri 

  vo ii

 Ri 

  AV v i ii

 Ri  1    AV

.

(5)

Ganancia de tensión: Se obtiene a partir de la definición: vo AVf 

vo vs



vo vi  v f



vo vi  vo



vi vi vi



vo



AV 1   AV

.

(6)

vi

Esta expresión coincide con la esperada según el esquema genérico de diagrama de bloques. Es decir se obtiene la magnitud característica del amplificador realimentado, su ganancia de tensión, como la ganancia de tensión del amplificador básico con los efectos de carga (AV) dividida por la desensibilidad, D. Impedancia de salida: Abriendo el circuito por la resistencia de carga se mide la relación tensión-corriente de un generador auxiliar: Rof 

vaux iaux

 v s 0

iaux  Ro  Av vi iaux



iaux  Ro  Av v f

-185-

iaux



iaux  Ro  Av vaux iaux

.

Juan José González de la Rosa

De esta expresión se obtiene la relación entre ambas resistencias: Rof  i aux  i aux  Ro  Av  v aux

Rof  Ro 

Av  v aux

 Ro  Av  Rof

i aux

.

Finalmente resulta la expresión de la resistencia de salida del circuito realimentado: R of 

Ro 1  Av 

.

(7)

Esto significa que la resistencia de salida viene atenuada por la desensibilidad. Esta relación es válida para cualquier configuración que incorpore muestreo en paralelo, pues es independiente del circuito de entrada. Obsérvese que la expresión incluye un subíndice minúsculo en la ganancia de tensión (Av) ya que no se considera el efecto de la resistencia de carga. Por el contrario, al considerar la resistencia de salida con la incorporación de la resistencia de carga, se obtiene: R of ' 

R of  R L R of  R L



Ro ' 1  AV 

,

Ro ' 

Ro  R L Ro  R L

.

(8)

En esta expresión las magnitudes con apóstrofe hacen referencia a asociaciones en paralelo de la resistencia sin apóstrofe con la de carga. Por otra parte, el subíndice de la ganancia de tensión es ahora mayúsculo. 8.6.2 Ejemplo. Amplificador de dos etapas con transistores Se considera el amplificador en cascada de dos etapas de la Fig. 8.10, con realimentación del segundo colector al primer emisor. Los parámetros “h” de los transistores, según su modelo híbrido, son (únicos parámetros no nulos): h fe  50

hie  1,1 k

.

El tipo de realimentación se identifica fácilmente por observación. En efecto, R 1 está conectada en serie con vs (está en su misma malla) y, a la vez, pertenece a la malla de salida. Es decir, es un componente que pertenece a las mallas de entrada y de salida a la vez. Por tanto la comparación es en serie y la tensión en este componente es la tensión de realimentación, vf. Por otra parte, con el fin de inferir el tipo de muestreo, se anula la salida (vo=0); lo que significa que vf=0. Por lo tanto, esto significa que se muestrea tensión, y en consecuencia, se trata de una realimentación de tensión en serie. Se estudian ahora los efectos de carga sobre el amplificador básico, con el fin de asociarlos a cada una de las etapas y plantear las expresiones de las ganancias que ya los incorporen.

-186-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Vcc = 25 V Rb11= 150 k

Rb12= 47 k

RC1= 10 k

RC2= 4,7 k

vo

5 F Q1

+ vs Rb21= - 47 k

Q2

5 F

RE1= 4,7 k

Rb22= 33 k 50 F

+

R2= R1= 4,7 k 100 

vf -

RE2= 4,7 k

50 F

Cf = 5 F

Figura 8.10. Amplificador bi-etapa con realimentación de tensión en serie. Se supone la fuente de señal sin resistencia en serie.

Efectos de carga en la entrada: Hacemos, vo=0, y las dos resistencias quedan en paralelo: R1//R2. Efectos de carga en la salida: Se abre el circuito de entrada (ii=0), y las dos resistencias quedan en serie. Por lo tanto, una vez incorporados los anteriores efectos de carga de la red de realimentación, el amplificador básico queda esquematizado como muestra la Fig. 8.11. vs

vo

Av2

Av1

R2 R1

R2

vf

R1

Figura 8.11. Amplificador básico de la Fig. 8.10 sin realimentación y con los efectos de carga de la red de realimentación.

Analizando a continuación la Fig. 8.10, se sigue que la red de realimentación se obtiene de considerar el divisor de tensión, y cortocircuitar (condiciones de AC) el condensador

-187-

Juan José González de la Rosa

de desacoplo de la red de realimentación, Cf (véanse los elementos de realimentación de la Fig. 8.10): 

vf vo



R1

.

R1  R 2

Con ello, se pasa al cálculo de magnitudes del circuito. Para ello, se deben obtener las resistencias efectivas de cada etapa (de carga y de emisor) ya que, como se verá, intervienen en las expresiones de las ganancias de cada una de las etapas. Resistencia de carga efectiva del transistor Q1: RL1 '  Rc1 // RB 2 // hie 2  942  .

Resistencia de carga efectiva del transistor Q2: RL 2 '  Rc 2 // R1  R2   2,37

k

.

Resistencia efectiva de emisor del transistor Q1: RE  R1 // R2  98  .

Ganancias de los amplificadores (AV1, AV2) y ganancia conjunta de la cascada, AV: AV 1 

 h fe  R L1 '





hie  1  h fe R E

 7,73

AV 2 

 h fe  R L 2 ' hie

 108

AV  AV 1  AV 2  835.

Red de realimentación y ganancia del lazo:  

1 . 48

AV   835 

1  17,4 . 48

Desensibilizad del circuito: D  1  AV   18,4 .

Ganancia del circuito realimentado: AVf 

AV 1  AV 

 45,4 

1 

 48 

AVf

dB

 20  log48  33,62 dB .

Es importante observar que la ganancia no es exactamente la inversa de la red de realimentación porque se están considerando los efectos de carga.

-188-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

La resistencia de entrada sin realimentación, pero con los efectos de carga de la red de realimentación, incluye la resistencia efectiva de emisor del transistor Q1:





R i  h ie  1  h fe  R E  6,1 k

.

Resistencia de entrada del circuito realimentado: R if  R i  D  112

k

.

Resistencia de salida sin realimentación con los efectos de carga: R o '  R L 2 '  2,37

k .

Resistencia de salida del circuito realimentado: R of ' 

Ro ' D

 129

.

La simulación con PSPICE arroja los resultados trazados en la Fig. 8.12 para tres valores de la resistencia R1 (20, 100 y 200 ).

Figura 8.12. Respuesta en frecuencia del circuito realimentado de tensión en serie de la Fig. 8.11, para los tres valores de resistencia de realimentación. Las gráficas son semi-logarítmicas en decibelios de la salida. La situación del cursor corresponde a 100 , en la gráfica central.

Además de apreciar lo descrito en el pie de la Fig. 8.12, es interesante comentar que la respuesta es de tipo paso-alto, lo que evidencia que no se han considerado las limitaciones prácticas de los transistores en la respuesta a altas frecuencias (condensadores internos). Además, las gráficas de respuestas en frecuencia presentan picos de sobre-oscilación que muestran que el circuito es de orden dos o superior. 8.7. Realimentación de tensión en paralelo 8.7.1. Magnitudes propias La topología básica de realimentación de tensión en paralelo se muestra en la Fig. 8.13. En este apartado se obtienen sus magnitudes características.

-189-

Juan José González de la Rosa

Zif

Zof ii

io

Ro

+

+

is Rs if

+ R i - mi

Ri

vi

if

RL vo

vo

Ro

Ri

Figura 8.13. Circuito equivalente de realimentación de tensión en paralelo. El amplificador básico se caracteriza por la transresistencia, Rm.

Impedancia de entrada: Las resistencias de las fuentes de corriente situadas en la entrada y en la red de realimentación se consideran infinitas. Asimismo, se considera infinita la resistencia de entrada de la red de realimentación. Con todo, el efecto de carga de la red de realimentación se limita a una extracción de corriente en el circuito de muestreo. Esta situación es la que se presenta habitualmente. Para comenzar el análisis, se plantean las corrientes en los circuitos de entrada y de salida. En el circuito de entrada: i s  ii  i f  ii    v o

En el sub-circuito de salida se tiene: vo 

R m ii  R L Ro  R L



RM 

vo ii



Rm  R L Ro  R L

;

Rm  lim RM RL  

La corriente de entrada se relaciona con la tensión de salida según: v o  R M  ii

.

Sustituyendo en la expresión de la corriente de entrada resulta: i s  i i  i f  i i    R M  i i  i i  1    R M

-190-

.

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Y, finalmente, se tiene: vi

Z if  Rif 

is



ii  Ri

i i  1    R M





Ri 1    RM

.

Como se observa, se obtiene una disminución de la impedancia de entrada. Este resultado es coherente con el tipo de comparación, de corriente o de nudo. La resistencia de entrada sin realimentar queda dividida por la desensibilidad al realimentar. Ganancia de tensión: El generador de corriente de entrada se convierte a generador de tensión (conversión del modelo de Norton al de Thêvenin) y replantea la definición de ganancia del circuito realimentado:

AVf 

vo vs



vo R s i s



R Mf Rs

RM 

Rs

1  R M

.

Impedancia de salida: Por definición de impedancia de salida: Z of  Rof 

vaux iaux

is  0

El circuito resultante se muestra en la Fig. 8.14. Zof ii

Ro

iaux

+ is=0

if

vi

Ri

+ R i - mi

+v aux -

vo Figura 8.14. Circuito equivalente para calcular la resistencia de salida en una configuración con realimentación de tensión en paralelo.

-191-

Juan José González de la Rosa

En la malla de salida se tiene: iaux 

vaux  Rmii Ro

.

En la malla de entrada la corriente es la inversa de la de realimentación: i i   i f   v o   v aux .

Se combinan ambas expresiones: i aux 

v aux  R m  v aux Ro



v aux 1  R m   Ro

.

Y se aplica finalmente en la definición de impedancia de salida: Z of  R of 

v aux i aux

 is  0

Ro 1  Rm 

.

De nuevo se observa que la impedancia de salida queda dividida por una desensibilidad que contiene la transresistencia en circuito abierto. Si se considera la incorporación de la resistencia de carga del circuito se obtiene: Ro ' 1  RM 

Z of '  Z of // R L 

.

8.7.2. Ejemplo. Amplificador basado en AO en configuración inversora Se considera como ejemplo práctico el amplificador inversor basado en AO de Fig. 8.15.

R2 R1

0

vs

Ii

+Vcc

=

vo

+

-Vcc

Figura 8.15. AO en configuración inversora: amplificador electrónico de transresistencia.

La topología para este tipo de realimentación queda descrita en la Fig. 8.16. La cantidad característica del amplificador, que se desensibiliza, es en este caso la transresistencia.

-192-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

R1

ii

Ro

is +vs -

+ A v vi -

Ri

vi

if

RL, 

+

+ vo

R2 Figura 8.16. Circuito o modelo eléctrico simplificado, equivalente al de la Fig. 8.15, con realimentación de tensión en paralelo.

Ahora se consideran los efectos de carga sobre el amplificador básico. Como se trata de una realimentación de tensión, se anula la tensión salida para evaluar los efectos de carga sobre el amplificador básico, en el circuito de entrada. Como se compara corriente se anula la tensión de entrada para evaluar los efectos de carga en el circuito de salida. Al hacer lo primero, R2 queda en paralelo en el circuito de entrada; al hacer lo segundo queda en serie en el circuito de salida y en ella se mide la salida. Para obtener la expresión para la red de realimentación se considera la relación tensióncorriente, ya que es una realimentación de tensión en paralelo: i f    vo





if vo



if  i f  R2



1 R2

A continuación se plantean las expresiones de las magnitudes transresistencia y ganancia de tensión. Transresistencia: Mediante procedimientos similares (se deja al lector su planteamiento), se obtiene: RM 

vo is



Av  R 2



1

R o  R 2 Y1  Y2  Yi

.

Como es una realimentación de tensión en paralelo, esta es la magnitud afectada por la realimentación. La magnitud del circuito realimentado resulta: R Mf 

RM 1  R M



1 . 1 Y1  Y2  Yi  Y 2  R o Y 2  1  Av

Ganancia de tensión del circuito realimentado: Aplicando la definición, mediante procedimiento sencillo, se obtiene:

-193-

Juan José González de la Rosa

AVf 

vo vs

Y1

 Y2 

1 Av

 RoY2  1  Y1  Y2  Yi 

.

Ya que la resistencia de salida Ro es generalmente de un valor muy pequeño, se verifica la condición: R o Y 2  1 ,

entonces la expresión de arriba se reduce a: AVf 

Y1 Y2 

1 AV

 Y1  Y 2  Yi 

.

Nótese que, cuando la ganancia en lazo abierto tiende a infinito la ganancia corresponde a la de una configuración inversora ideal. A partir de este punto, en el próximo capítulo, se estudian las características de la respuesta en frecuencia de circuitos electrónicos basados en amplificadores operacionales. Definiremos las limitaciones prácticas del amplificador operacional, a efectos de su respuesta en frecuencia, que inciden en el comportamiento de un sistema realimentado que lo incluya. Estudiaremos en profundidad la estabilidad de estos circuitos. Los conceptos estudiados en este tema se aplicarán de manera puntual.

-194-

9

Respuesta en frecuencia y estabilidad de la electrónica realimentada

9.1. Introducción y objetivos del capítulo El AO posee limitaciones en el dominio de la frecuencia que determinan el comportamiento de los circuitos electrónicos o bloques funcionales que lo incorporan. En este capítulo se tratan estas limitaciones con el fin de estudiar la estabilidad de estos circuitos mediante técnicas en el dominio de la frecuencia. A diferencia de los capítulos anteriores, se han acotado en tablas algunos de los ejercicios, como por ejemplo los que emplean programación MATLABTM, con el fin de realzarlos del resto de los mostrados en el presente capítulo. 9.2. Características de un circuito realimentado con amplificadores operacionales 9.2.1. Especificaciones del amplificador operacional real La Fig. 9.1 representa el esquema del AO de tensión (OVA) con su función de transferencia en lazo abierto, ganancia diferencial, Ad. V1

+ Ad

Vd V2

Vo

-

Vo=Ad(V1 - V2)= AdVd Figura 9.1. Modelo de un AO en lazo abierto con ganancia diferencial, Ad, finita.

-195-

Juan José González de la Rosa

A continuación se repasan un conjunto de definiciones de parámetros asociados a un amplificador operacional real: 

Ganancia diferencial o en lazo abierto: También llamada Voltage gain/Open-loop gain/Differential-mode gain [Ad]. Planteamos la relación entre tensión de salida y tensión diferencial de entrada. Vo  Ad  Vd

.



Ancho de banda: También llamado Unity-gain closed-loop bandwidth [BW]. Se define como la frecuencia a la que la ganancia del amplificador es de -3 (dB), operando como seguidor (montaje no-inversor con ganancia unitaria).



Producto ganancia-ancho de banda: Llamado Gain-bandwidth product/Unity-gain frequency response [GBW]. Se define en AO compensados, como la frecuencia para ganancia diferencial con módulo unitario.

9.2.2. Función de transferencia del amplificador operacional real Incorpora dos limitaciones prácticas del componente: la ganancia diferencial en la mitad de la banda sin realimentación (Ado, real y negativa), y los polos, que limitan la banda a altas frecuencias. Por ejemplo, si el amplificador operacional posee tres polos, su ganancia diferencial es la siguiente: Ad ( s ) 

Ad ( s ) 

Ad 0  p1 p 2 p 3

s  p1  s  p 2  s  p 3  Ad 0  p1 p 2 p 3

s   p1  p 2  p 3  s   p1 p 2  p1 p 3  p 2 p 3  s  p1 p 2 p 3 3

2

.

Se dice que el amplificador operacional tiene polos1 en s = - p1, - p2 y - p3. El número de polos del amplificador operacional proporciona el orden del sistema. En este caso, la expresión desarrollada indica que el orden del sistema es tres. En régimen sinusoidal permanente, estas expresiones se particularizan sin más que hacer s = jw. Por ejemplo, en el caso de un amplificador con un solo polo se tiene la siguiente ganancia diferencial: Ad ( s ) 

Ad 0 Ad 0 Ad 0 s  jw w  2f  Ad ( jw)     Ad ( jf )  s w f 1 1 j 1 j w1 w1 f1

.

Se supone que el AO posee sólo polos, con lo que su respuesta en frecuencia es del tipo paso-baja. El polo de menor frecuencia determinará el ancho de banda del amplificador. Cuando un AO forma parte de un circuito realimentado, éste presenta una respuesta en frecuencia distinta. Sin embargo, sus nuevas características (ganancia y ancho de banda) guardan relación con las del componente, sin realimentación. 1

Se suelen notar también como wi, atendiendo a las pulsaciones o frecuencias angulares de los polos.

-196-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

9.2.3. Ganancia y ancho de banda de un amplificador realimentado Atendiendo a la estructura clásica de la Fig. 9.2, la función de transferencia de un circuito electrónico realimentado basado en AOs viene dada por: A f (s) 

Vs

vi= vs- vf + -

Vo

Ad A  V s 1  A 1  Ad 

A

.

+ Vo

vf



RL

-

Figura 9.2. Diagrama de bloques de un lazo de realimentación negativa, en el que se incluye el amplificador básico A, y la red de realimentación, .

En esta expresión se ha supuesto que la ganancia del sistema coincide con la ganancia diferencial del AO (e.g., AO en configuración no inversora). Supongamos que el AO tiene un polo, e incluyamos su función de transferencia en la expresión anterior de la ganancia del sistema realimentado. Se obtiene la siguiente ganancia en lazo cerrado: Ad 0 A f s  

1 j

Ad 0

f

Ad 0 1  Ad 0   fH   . Ad 0 f f 1 j 1   1  Ad 0    j f fH f H  1  Ad 0    1 j fH

Compactando la expresión se observa la forma paso-baja de la función de transferencia: A f  jf  

A0 f 1 j

f

.

f Hf

Se aprecia que la amplificación con realimentación en frecuencias medias, Aof, es igual a la amplificación en frecuencias medias sin realimentación Ad0 dividida por 1+Ad0: A0 f 

Ad 0 1  Ad 0

-197-

.

Juan José González de la Rosa

También se modifica la frecuencia superior de corte del amplificador realimentado, fHf; esta vez multiplicando la magnitud fH por (1+Ad0): f Hf  f H 1  Ad 0   .

Sin embargo, el producto frecuencia-ganancia (ganancia  ancho de banda) se mantiene constante al realimentar al amplificador: f Hf  Ad 0 f  f H 1  Ad 0   

Ad 0 1  Ad 0 

 f H Ad 0 .

Si se trasladan los anteriores razonamientos a un diagrama de Bode asintótico de ganancias, se obtiene la representación gráfica de la Fig. 9.3. La intersección de las curvas de ganancia del AO y del circuito realimentado tiene lugar en la frecuencia fHf. Para realizar la comprobación analítica no hay más que imponer la igualdad de las dos funciones de transferencia, según: 20  log Ad 0 f  {impuesto}  20  log A jf

20  log

20  log

Ad 0 1   Ad 0

Ad 0 1   Ad 0

 20  log

 20  log

Ad 0 1

Ad 0 f





f2 f H2

f  f H  1    Ad 0   f Hf

.

fH

Los puntos de corte obtenidos se aprecian en a Fig. 9.3, que muestra los diagramas de Bode de ganancias en lazo abierto y en lazo cerrado del circuito. Ganancia (dB) A0 A0/2 (-3 dB)

A0f A0f/2 (-3 dB)

(1).- Amplificador básico

20log(A0)

(2).- Amplificador realimentado

(1) (1)

BW

Pendiente = -20 dB/dec = -6 dB/oct

20log(A0f)

(2)

20log(1+β A0)

(1) (1)(2)

BWf fH

fHf

log f

Figura 9.3. Representaciones asintóticas de ganancia-magnitud de Bode de los amplificadores realimentado (2) y sin realimentar (1). BW y BWf son los anchos de banda en lazo abierto y en lazo cerrado, respectivamente.

La Fig. 9.4 muestra un circuito en configuración no inversora, cuya simulación (respuesta en frecuencia) con PSPICE se muestra en la Fig. 9.5. En ésta se ha realizado un barrido en frecuencia para distintos valores de la resistencia de realimentación. En el siguiente apartado veremos que, al variar la resistencia de realimentación (R2=RF) se obtienen distintos valores para la red de realimentación  y, por tanto, obtendremos distintos

-198-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

valores para la amplificación en lazo cerrado. Como anticipo, basta recordar que en la zona de frecuencias intermedias (en la banda de transmisión o zona plana) se verifica: Ad 0   1  A f 0 

Ad 0 1  Ad 0 



Ad 0 Ad 0 



1



.

R2 R1

-

+Vcc

=

+

Vi

Vo -Vcc

Figura 9.4. Configuración no inversora basada en AO, repetida para recordar.

Figura 9.5. Diagrama de Bode de ganancias para distintos valores de la resistencia de realimentación RF. Obsérvesé cómo se conserva el producto Ganancia ∙ Ancho de banda.

A continuación se sienta la base teórica del tratamiento de los circuitos en el dominio de la frecuencia mediante el enunciado del Principio de Inversión. 9.3. El Principio de Inversión 9.3.1. Notación de partida y enunciado del Principio de Inversión A partir de este punto utilizaremos la siguiente notación y consideraremos la estructura para el sistema realimentado con un lazo de la Fig. 9.6:

-199-

Juan José González de la Rosa

    

Ad Ganancia diferencial del amplificador operacional. G(s) Función de transferencia de la cadena directa. W(s) Función de transferencia en lazo cerrado. H(s) Función de transferencia de la realimentación. KZ2/Z1 Relación de impedancias de realimentación.

Cuando el técnico diseña un sistema de este tipo, comienza por determinar la función de transferencia del sistema en cadena abierta. Luego procede al diseño de una red de realimentación adecuada para cumplir los requisitos deseados en lazo cerrado. La ganancia en cadena directa del sistema, G(s), es el resultado de añadir a la ganancia del amplificador diferencial, Ad(s), los efectos de carga de la red de realimentación . H(s) resulta de haber añadido los efectos de carga y, según veremos, representa el inverso de la ganancia del circuito realimentado en la zona de frecuencias medias. Además, esta ganancia coincide con la del amplificador realimentado cuando su amplificador operacional es ideal (ganancia y ancho de banda infinitos). Por lo tanto, de esta forma, esta técnica permite apreciar con mayor claridad las diferencias con respecto al caso de incluir un amplificador operacional ideal.

vs

vi= vs- vf + -

G(s)

+ vo

vf

H(s)

RL

-

Figura 9.6. Diagrama de bloques genérico de un lazo con realimentación negativa en el que G(s) ya incluye los efectos de carga de la red de realimentación H(s).

Vamos ahora a enunciar el Principio de Inversión. Al abordar la tarea de análisis de un sistema realimentado, nos planteamos en primer lugar adaptar su estructura a la del diagrama de bloques anterior, es decir, identificar las funciones G(s) y H(s). El Principio de Inversión permite adaptar cualquier circuito realimentado a la estructura de la Fig. 9.6, ya que permite la aproximación de la función de transferencia en lazo cerrado a partir de las de cadena directa y de realimentación por separado. Se parte de la función de transferencia en lazo cerrado, y se plantea la situación de régimen sinusoidal permanente, s=jw. Así, la transmitancia isócrona es: W ( s) 

W ( jw ) 

G(s) 1  G( s)H ( s)

G ( jw ) 1  G ( jw ) H ( jw )



1 1 G ( jw )

-200-

 H ( jw )

.

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Esta última expresión puede ser aproximada por tramos, según el intervalo de frecuencias de trabajo (condiciones situadas en la parte izquierda), de la forma siguiente: G ( jw ) 

G ( jw ) 

1 H ( jw )

1



G ( jw )  H ( jw )  1  W ( jw ) 



G ( jw )  H ( jw )  1  W ( jw )  G ( jw ).

1 H ( jw )

H ( jw )

.

Estas simplificaciones asintóticas constituyen el fundamento del Principio de Inversión, cuyo nombre proviene del hecho de que cuando se realimenta un sistema de ganancia G(s) muy elevada, la función de transferencia resultante equivale a la "inversa" de la función de transferencia de la realimentación H(s). Se consigue de esta forma una división del sistema realimentado, en el sentido de que se comporta bien como la cadena directa, G(s), o bien como el inverso de la realimentación, H(s), según la zona de frecuencias de trabajo. La frecuencia que limita los anteriores intervalos es la frecuencia superior de corte del circuito realimentado. El análisis queda por lo tanto parcelado, permitiendo el análisis de circuitos estructuralmente complejos. 9.3.2. Ejemplo de aplicación El siguiente problema muestra la aplicación de este principio al análisis de un amplificador en configuración no inversora. Ejemplo 9.1. Un AO con Ado=105, fo=10 (Hz) forma parte de una configuración no inversora, como la mostrada en la Fig. 9.4. Hallar la función de transferencia del circuito y representar los diagramas de Bode de ganancias del amplificador y del sistema-circuito realimentado, si el módulo de la ganancia en lazo cerrado del circuito es: a) 10, b) 100. En este caso, la función de transferencia en lazo abierto, viene dada por: Ad ( jf ) 

Ad 0 1 j

f f0



10 5 1 j



f 10

10 5 10 5   Ad ( jw ) . 2  f w 1 j 1 j 2  10 2  10

Y para pasarla al dominio de Laplace (s=jw): Ad ( s ) 

10 5 2  10 6  s s  20 1 2  10

.

Si el AO se comportara idealmente, no habría limitación en frecuencia. y el circuito presentaría una ganancia de valor 1+(R2/R1) = 1+K, constante en todo el ancho de banda. Esta ganancia corresponde al circuito realimentado (en lazo cerrado) en la zona plana, y coincide con el inverso de H(jw), donde: H  jw  

R 1 , K 2. 1 K R1

-201-

Juan José González de la Rosa

Considerando el modelo de Thêvenin para el AO con resistencia de entrada infinita e incluyendo las dos limitaciones prácticas a las que se refiere el ejercicio, se demuestra que la función de transferencia directa coincide con la ganancia diferencial del AO: G(s)=Ad(s). Por lo tanto, la función de transferencia del circuito, en lazo cerrado, sin más que aplicar la expresión del diagrama de bloques mono-lazo, queda como sigue:

W (s) 

G (s) 1  G (s) H (s)

Ad ( s ) Ad 0   A (s) A A 1 s 1 d 1  d0 1  d0 s 1 K 1 K w0 1  K 1 w0

Ad 0 A 1 d0 1 K s

 1



Ad 0 s 1 w0

Ad 0 f



A  w 0  1  d 0  1 K

  

1

,

s w0 f

donde las magnitudes para el circuito realimentado quedan descritas por: Ad 0 f  1

Ad 0 Ad 0

y

A  w0 f  w0  1  d 0  1 K

  . 

1 K

Se observa que la ganancia en la zona plana y la frecuencia superior de corte del circuito realimentado quedan multiplicada y dividida, respectivamente, por los decibelios de la realimentación (1+Ad0∙H). La frecuencia de cruce representa la separación de los intervalos de validez para las funciones del Principio de Inversión. Ahora, considerando que Ado H >> 1, se tienen los siguientes casos. Caso a: Ganancia en lazo cerrado (ganancia en la zona plana), 1+K = 10; y la frecuencia superior de corte de foHf = 100 kHz. En efecto, despreciando la unidad frente a 104, se tiene: 105

Ad 0 f 

1

5



10 10

105 1  10

 105 w0 f  2 10  1   10 

 10;

4

   2  105 ( rad / s ) ( s 1 ).  

Más explicitado, en el dominio de la frecuencia, en lazo cerrado, resulta: 10 5 W ( jw ) 

Vo Vs

 1

1  10 4 jw



2 10  1  10 4





1

10 jw 2 10 5

-202-

 1 j

10 2f 2 10 5



10 1 j

f 10 5

 W ( jf ) .

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

En el dominio de Laplace se tiene: 105 W (s)  1

1  10 4 s





2 10  1  10 4

1



10 s



2 10 6 s  2 10



5

10 1  1,592  10 6 s

.

2 105

Caso b: Ganancia en lazo cerrado, 1+K = 100. En este caso se tienen una ganancia en la zona plana de 100 (siempre coincide con la ganancia de la configuración no inversora), y un ancho de banda de foHf = 10 kHz: 10 5

Ad 0 f 

1

10

 100

5

 10 5 w0 f  2 10  1  2  10 

y

   2  10 4 s 1 .  

10 2

En el dominio de la frecuencia, en lazo cerrado: 10 5 1  10 3 jw

W ( jw )  1





2 10  1  10 3

1



10 2 jw



2 10 4

10 2 10 2  2f f 1 j 1 j 4 2 10 4 10

.

En el dominio de Laplace es (s≡jw): 105 W (s)  1

1  10 3 s





2 10  1  103



1

10 2 s



2 10 6



s  2 10 4

10 2 1  1,592  10 5 s

.

2 10 4

Los diagramas asintóticos de Bode de las ganancias se muestran en la Fig. 1. Ej. 9.1. Ganancia (dB) 100 100/2; (97 dB)

40 40/2; (37 dB) 20 20/2; (17 dB)

(1).- Amplificador básico sin realimentar

(2).- Amplificador realimentado caso (a)

(1) (1)

BW

(3).- Amplificador realimentado caso (b) Pendiente = -20 dB/dec = -6 dB/oct

(3) (1)(3)

BWf,b

(2) (1)(2)(3)

BWf,a fH

fHfb

fHfa

log f

Figura 1. Ej. 9.1. Diagramas asintóticos de ganancias: (1) Ad(s); (2) W(s)a; (3) W(s)b. Los subíndices “f” (de “feeback”) hacen referencia al circuito realimentado, y “H” a high, de alta, de frecuencia superior de corte.

-203-

Juan José González de la Rosa

A continuación se indican las líneas de código del script de MATLAB que permiten realizar la simulación, y las correspondientes representaciones gráficas de los circuitos involucrados (uno en lazo abierto y dos en lazo cerrado)2: clear; clc; close all unomask_10=10; unomask_100=100; %Ganancias en lazo cerrado Ad0=10^5; w0=2*pi*10; cte_10=Ad0/(1+(Ad0/unomask_10)); cte_100=Ad0/(1+(Ad0/unomask_100)); wof_10=w0*(1+(Ad0/unomask_10)); wof_100=w0*(1+(Ad0/unomask_100)); num_Ad=[0 Ad0*w0]; den_Ad=[1 w0]; num_10=[0 cte_10]; den_10=[1/wof_10 1]; num_100=[0 cte_100]; den_100=[1/wof_100 1]; Ad=tf(num_Ad,den_Ad); W_10=tf(num_10,den_10); W_100=tf(num_100,den_100); figure('Position',[100 50 800 600]) bodemag(Ad,W_10,W_100); xlabel('Frecuencia'); ylabel('Ganancia'); title('Diagramas de Bode de ganancias del circuito en lazo abierto y de los dos circuitos realimentados'); grid on %Habilita rejilla

La Fig. 2. Ej. 9.1. muestra el resultado con las dos frecuencias angulares de corte de los dos circuitos realimentados, que están relacionadas a partir de la desensibilidad. Se puede comprobar la constancia del producto ganancia por ancho de banda.

Figura 2. Ej1. Resultados de la simulación con MATLAB de los diagramas de Bode de ganancias, donde se muestra la situación de las frecuencias de corte en los dos casos del circuito realimentado y del circuito sin realimentar (en lazo abierto).

2

Los comentarios van después del símbolo “%”.

-204-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

9.4. Concepto de estabilidad y revisión de técnicas para su estudio 9.4.1. Definición de estabilidad y criterio de estabilidad de Bode En este apartado se emplean tres de las técnicas más comunes en el diseño electrónico:   

Criterio de Bode (en el dominio de la frecuencia), Criterio de Routh-Hurtwitz, El lugar de las raíces (lugar de Evans).

Además, en los problemas volveremos a aplicar los conocimientos adquiridos con anterioridad acerca de la aplicación del Principio de Inversión. Empezamos con el criterio de Bode, para el cual es necesario definir previamente en qué consiste la estabilidad. De forma simplista, se dice que un circuito es inestable si produce salida en ausencia de entrada. Los circuitos lineales con AO emplean realimentación negativa debido a las ventajas ya mencionadas; sin embargo, existe el riesgo de oscilación. Para dar lugar a oscilaciones, la señal devuelta a la entrada del amplificador debe superarla y estar en fase con ella (véase el diagrama de bloques “mono-lazo”). Así, para vs=0, la señal de error es vi=-vf en el caso de una oscilación mantenida (oscilación sinusoidal); y cuando sucede que |vf|>|vi| se da el caso de una oscilación no controlada. En estas circunstancias se verifica que el módulo de la ganancia del lazo es mayor que la unidad: v f  vo  Ad vi  vi  Ad  1 .

De manera, que el módulo de la ganancia del lazo debe ser mayor que la unidad para que se produzcan oscilaciones. Para que esta situación se produzca, debe verificarse además que la señal realimentada y la de entrada al amplificador desfasen en 180º. Esta condición puede escribirse en términos de la ganancia en lazo cerrado, que es la inversa de la ganancia de la red de realimentación.  Ad  1  Ad 

1 

.

La frecuencia de cruce de la ganancia del lazo es aquella a la que se igualan la ganancia en lazo cerrado con la ganancia en lazo abierto. La Fig. 9.7 muestra cómo se traslada esta circunstancia al dominio de la frecuencia. A partir de ellas, se razona el criterio de estabilidad de Bode. Veamos un ejemplo para establecer el criterio de estabilidad basado en diagramas de Bode de ganancias. La Fig. 9.8 muestra la respuesta en frecuencia de un AO con tres etapas integradas. Se muestran también varias situaciones para la ganancia en lazo cerrado. Se trata de determinar si el amplificador es estable para las distintas situaciones de ganancias en lazo cerrado, que se indican en la Fig. 9.8 mediante líneas discontinuas. Para ello, ya que no nos proporcionan las gráficas de fase, hay que utilizar la expresión analítica para evaluarla.

-205-

Juan José González de la Rosa

Ganancia (dB)

Lazo abierto: Ad

90 dB

-20 dB/dec

Lazo cerrado -40 dB/dec

38 dB

1/

-60 dB/dec f2

f1

log f

f3 Frecuencia de cruce

Figura 9.7. Ejemplos prácticos de respuestas en frecuencia asintóticas: Las dos gráficas de ganancia (lazo abierto y lazo cerrado) y la frecuencia de cruce. 80 70

-6 dB/octava = -20 dB/dec

60

fc (caso 1): 1/β1=55 dB

Afb (caso 1) Afb (caso 2a)

50

fc (caso 2a) -12 dB/ octava

Av (dB)

40

Afb (caso 2b)

30

Afb (caso 3)

-18 dB/octava

20 10

31

1

2

f1

3

8 10

40

f2 Frecuencia (kHz)

160

80 100

f3

200 300 400 500 700 1000

Figura 9.8. Respuesta en frecuencia asintótica de un AO típico: diagrama de Bode obtenido a partir de notas originales de laboratorio: f1, f2 y f3 son las frecuencias de los polos en lazo abierto. Se observa que la frecuencia de cruce, fc, vale aproximadamente unos 30-31 kHz.

En el primer caso la ganancia en lazo cerrado es de 55 dB y la frecuencia de cruce vale 31 kHz (calcúlese mediante la intersección). La función de transferencia en lazo abierto tiene tres polos, y por lo tanto el ángulo de desfase en función de la frecuencia se evalúa según la expresión siguiente:  f  3  f   f     arctan  f    arctan   arctan   f .  f1   f2   3

3

Se tiene en cuenta en dicha expresión que cada polo introduce un desfase neto de -90º. En la frecuencia angular del polo se han introducido -45º, una década antes cero grados y una década después los citados -90º. Tres polos producirán un efecto neto a altas frecuencias de -270º.

-206-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

En el punto correspondiente a la frecuencia de cruce, la fase (unidades en kHz) de la ganancia en lazo abierto resulta:  31   31   31    arctan   arctan   86,31  37,78  10,97 º  135,06 º  135,1 º .  2  40   160 

 31   arctan

Al no haberse alcanzado todavía los -180º en la frecuencia de cruce, el circuito es estable, siendo el margen de fase de 180º-135,1º=44,90º (unos 45º). Calculemos otra magnitud en la frecuencia de cruce, llamada ganancia del lazo en la zona de frecuencias intermedias: 20 log Ad 0 

31 kHz



20 log Ad 0  20 log   20 log Ad 0  20 log 1 /   20 log Ad 0  20 log Ad  80  55  25 dB .  1 /   Ad ( frecuencia cruce)

De aquí se deduce el valor en la escala lineal de la ganancia del lazo e la zona de frecuencias intermedias: 25

Ad 0   10 20  18  1 .

La cuestión es que para esa frecuencia de cruce de 31 kHz, correspondiente a un valor de 55 dB de ganancia en lazo cerrado en la zona plana, el margen de fase vale 45 º. Y podemos decir que la ganancia del lazo en frecuencia media para un margen de fase dado (correspondiente a una frecuencia de cruce) es la diferencia entre Ad0 (ganancia en lazo abierto a frecuencia cero) y la ganancia a aquella frecuencia de cruce correspondiente a ese margen de fase. Un caso parecido se plantea de nuevo en la Fig. 9.9. Si el valor de  aumenta, la ganancia en lazo cerrado disminuye y también lo hacen los márgenes de ganancia y de fase. En este caso, cuando la ganancia del lazo es mayor que la unidad la fase todavía no ha llegado a -180º. En general, podemos decir que si la ganancia en lazo cerrado corta a la asíntota de pendiente -20 dB/dec (o está próximo, como en la Fig. 9.9), entonces es estable para este valor de realimentación. Analice el lector el resto de los casos mostrados en la Fig. 8. Los casos correspondientes a las realimentaciones 2b y 3 conducen a un circuito inestable (márgenes de fase negativos). Con todo, resulta claro que no son posibles las oscilaciones si el módulo de la ganancia del lazo, Aβ, es menor que la unidad cuando la fase de la ganancia del lazo toma el valor de -180º. Esta condición asegura la estabilidad de un amplificador. Con el fin de destacar esta idea, los márgenes de ganancia y de fase se aprecian en la Fig. 9.10 considerando, en este caso, la ganancia del lazo, Aβ; se calculan como siempre calculando las distancias entre el cruce de realimentación y la situación de oscilación.

-207-

Juan José González de la Rosa

Ganancia (dB)

Lazo abierto: Ad -20 dB/dec

Ad0, dB

Lazo cerrado -40 dB/dec

MG

1/ 1/osc

Frecuencia de cruce

f3 Frecuencia de oscilación

f2

f1

Fase, grados

-60 dB/dec log f log f

-90

-135 MF

-180 -225 -270

Figura 9.9. Evolución de las ganancias y de la fase. Se plantea una situación genérica de realimentación (frecuencia de cruce) y su comparación con la situación de oscilación (frecuencia de oscilación). |Aβ| (dB)

|Aβ|=1

MG: Margen de ganancia log f

Fase de Aβ, grados log f

-90 cruce -180

MF: Margen de fase

Figura 9.10. Márgenes de ganancia y de fase considerando la magnitud Aβ. El punto de cruce se establece para |Aβ|=1.

Sigamos profundizando en el criterio de Bode sobre el ejemplo de un AO con tres polos considerado en el Ejemplo 2.

-208-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Ejemplo 9.2. Un amplificador posee la siguiente ganancia de tensión en lazo abierto: AV  jf  

1000 f  f  f   1  j 1  j 1  j  1  10  50  

, donde las tres frecuencias asociadas a los polos se

sitúan en 1, 10 y 50 MHz, respectivamente. Realizar con MATLAB el estudio de su estabilidad trazando los diagramas de Bode de ganancias y de fases, y señalando los puntos más significativos en sus gráficas de respuesta en frecuencia. La función de transferencia compleja (régimen sinusoidal permanente o transmitancia isócrona) en lazo abierto queda expresada de forma inicial, y modificada posteriormente para adoptar la forma estandarizada: AV  jf  

1000 1000  1  10  50   f  f  f   f  10 f  50 f    1  j  1  j   1  j  1  j 10  j  50  j  1  10  50   1  10  50  

 1000  1  10  50  1000  1  10  50  2   w  10w  50w  2  jw 10  2  jw 50  2  jw   1  j 10  j  50  j  2  10  2  50  2     3



En el dominio algebraico de Laplace, la ganancia diferencial es: ww w

Ad ( s  jw ) 

3 12   3 1000  1  10  50  2 

    1  2  s  10  2  s   50  2  s            w   1   w2   w3 



Si se realiza el producto del denominador, se tiene que: 5  10 5  2 

3

   2 3 s 3  1  2  10  2  50  2  s 2  1  2   10  2   1  2   50  2   10  2   50  2    s  500    w1w2  w1w3  w2 w3 w1  w2  w3 w1w2 w3  

Como se aprecia, es el clásico denominador de orden tres introducido al principio del capítulo, y que identifica el orden del circuito. Las líneas de código MATLAB que permiten la representación gráfica de |Ad(jw)|dB y de su fase son las siguientes: clear; close all; clc Ad0=1000; %Ganancia en la zona plana f1=1;f2=10;f3=50; %Frecuencias de los polos: en MHz. w1=2*pi*f1; w2=2*pi*f2; w3=2*pi*f3; %Frecuencias angulares polos num=[0 0 0 Ad0*w1*w2*w3]; den=[1 w1+w2+w3 w1*w2+w1*w3+w2*w3 w1*w2*w3]; Av=tf(num,den) bode(Av); grid on; xlabel('\cdot 10^6'); ylabel('Fase')

-209-

Juan José González de la Rosa

A partir de la gráfica obtenida, si desde el valor de -180º se traza una perpendicular hasta cortar a la curva de ganancia de tensión, se observa que el valor de corte es aproximadamente de unos 23 (23,4 dB). Esta situación se produce a la frecuencia de 148 Mrad/s (23,55 MHz). Si tomamos estos 23 dB como el valor de la ganancia en lazo cerrado 1 /   23 dB , entonces en este caso se cumple que A  1 20 log A  0  . Por lo tanto, la frecuencia de oscilación resulta ser de fosc=23,55 MHz. Esta situación se detalla en la Fig. 1. Ej. 9.2.

Figura 1. Ej. 9.2. Diagramas de Bode de ganancias y de fases y situaciones de oscilación y de margen de fase de 45º.

Si ahora se toman valores de realimentación,  , tales que 1 /  sean superiores al valor de 23.3 dB el circuito es estable, porque la fase de la ganancia no habrá alcanzado aún los -180º. Por ejemplo, para un valor de ganancia en lazo cerrado de 1 /  =38.3 dB el margen de fase es de 45º. La Fig. 2. Ej. 9.2, muestra cuatro ejemplos de respuestas a escalón unitario según sea la realimentación aplicada al circuito. Obsérvese que para el caso de ganancia en lazo cerrado 23.3 dB se tiene el caso límite de oscilación. Se observa perfectamente cómo el circuito se comporta como un oscilador para un valor de ganancia en lazo cerrado de unos 23 dB. El código MATLAB que permite simular y obtener dichas gráficas se muestra a continuación. En él se emplea la función “feedback”, que sigue teniendo un enorme potencial. Se omiten las primeras funciones de borrado y puesta a cero. La función MATLAB que permite obtener la respuesta a un escalón unitario es “step”. ganancia_lazo_cerrado_dB=[22 23.3 26 38.3] ganancia_lazo_cerrado=10.^(ganancia_lazo_cerrado_dB/20) realimentacion=1./ganancia_lazo_cerrado; t_inicial=0; t_final=1.2; time_vector=t_inicial:0.0001:t_final; subplot(2,2,1) step(feedback(Av,realimentacion(1,1)),time_vector); title('1/H_{inestable}=22 dB') subplot(2,2,2) step(feedback(Av,realimentacion(1,2)),time_vector); title('1/H_{osc}=23,3 dB') subplot(2,2,3)

-210-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

step(feedback(Av,realimentacion(1,3)),time_vector); title('1/H_{estable}=26 dB') subplot(2,2,4) step(feedback(Av,realimentacion(1,4)),time_vector); title('1/H_{estable}=38,3 dB')

Figura 2. Ej. 9.2. Respuestas a un escalón unitario para distintos cvalores de la realimentación.

Con el fin de estudiar con más detalle el análisis gráfico de la estabilidad, el Ejemplo 3 muestra el planteamiento de un circuito trazando los diagramas de Bode asintóticos de ganancias y de fases. El objetivo de este ejemplo consiste en introducir el trazado manual de las respuestas en frecuencia. En efecto, a partir de cada polo las curvas de ganancia introducirán una pendiente de -20 dB/dec. Las curvas de fases individuales de cada polo se trazan considerando una década antes del polo (desfase cero), el favor del desfase en el polo (-45º) y a partir de una década del polo (desfase de -90º). Ejemplo 9.3. Considérese un amplificador con tres polos, en 1, 10 y 50 MHz, respectivamente, y con una ganancia en lazo abierto de 1000. Trazar los diagramas de Bode de amplitudes y de fases asintóticos y obtener el punto de oscilación y la situación de margen de fase (MF) de 45 grados. Los diagramas de Bode de amplitudes y de fases quedan representados en la Fig. 1. Ej. 9.3. En ella se aprecia que aproximadamente en 20 MHz la fase vale -180º. Por tanto, el amplificador oscilará a esta frecuencia de 20 MHz, si la ganancia del lazo se iguala a la unidad. Es decir si se da a la frecuencia f=20 MHz: 20 log Ad  j 20   j 20   1 .

-211-

Juan José González de la Rosa

Figura 1. Ej. 9.3. Amplificador con tres polos en lazo abierto (modelo similar al uA702A): trazado manual de diagramas de Bode de amplitudes y fases. Aproximadamente para 20 MHz la fase vale -180º.

Gráficamente, este punto de corte se encuentre para un valor de unos 25 dB (según la resolución que queramos apreciar en la gráfica). Por tanto, la oscilación se producirá para el siguiente valor de la red de realimentación: 1

 osc

 25 dB .

Como se ha comentado, el trazado manual de ganancias ha tenido en cuenta que por cada polo la pendiente disminuirá a razón de -20 dB/dec. Análogamente, para trazar la fase asociada a un polo se ha considerado una década antes, hasta la cual la fase es nula; y una década después, a partir de la cual la fase introducida por el polo considerado vale -90º. La fase (desfase) total introducida por el circuito es la resultante o suma gráfica de todas las fases. En la Fig. 1. Ej. 9.3.1 se han señalado con flechas verticales las frecuencias relevantes para trazar cada curva individual de fase. Si se desea mantener un margen de fase de 45º, lo primero es calcular la frecuencia a la que la fase de Ad(jf) valga -135º. Esta condición se cumple a 8 MHz, por lo que al trazar por ahí la horizontal, tendremos el valor de la inversa de la realimentación para mantener este margen de fase, que resulta ser unos 42 dB, es decir: 1

 MF  45 º

 42 dB .

9.4.2. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Hemos visto, de una forma simplista, que la estabilidad puede definirse como la característica de un sistema que impide que su salida aumente indefinidamente si no lo hace su entrada. También podemos decir que un circuito es estable si a toda entrada acotada corresponde una salida acotada. Pasemos a dotar de formalismo matemático a esta definición.

-212-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Sea W(s) la transmitancia (función de transferencia) de un circuito, definida como el cociente de las transformadas de Laplace de la salida, R(s), y de la entrada, E(s), que se puede expresar como el cociente entre dos polinomios, numerador y denominador, N(s) y D(s), respectivamente, según la notación general siguiente: W s  

R s  N s  N s    R s   W s   E s    E s   E s  D s  D s 

N s  N

 s  p 

 E s  

i

i 1

Con el fin de obtener la transformada de Laplace inversa, el denominador se descompone en términos irreducibles de primero y segundo orden; de esta forma, se obtiene la respuesta del circuito en el dominio del tiempo, siguiendo las reglas de cálculo de la transformada de Laplace (Anexo I): r t   k1e p1t  k 2 e p2t  ...  k N e pN t  ce t  ,

donde ce(t) es la contribución a la salida que corresponde a una entrada acotada; luego esta contribución no aumenta con el tiempo, manteniéndose a lo sumo constante. Así, para que las funciones exponenciales no diverjan, las partes reales de los polos deben ser negativas. Si la parte real de los polos (de al menos uno) fuese positiva, la salida crecería indefinidamente; si es nula, el circuito oscilaría; y si es negativa, las exponenciales se “extinguirían” y se obtendría un circuito estable. El segundo caso corresponde a un oscilador lineal o sistema marginalmente estable, y el primero a un sistema inestable. Basta pues que un polo presente parte real positiva para que el sistema sea inestable. Una condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es que todas las raíces de su ecuación característica del circuito (o polos de la transmitancia en lazo cerrado) tengan parte real negativa. Por ejemplo, la Fig. 9.11 muestra la respuesta de un circuito estable (un solo polo con parte real negativa) ante una entrada acotada; viene dada por un coseno cuya amplitud está modulada por una exponencial decreciente: p

r t   10  e

1 

 0.1 j 2  t

 0

.

ce ( t )

donde se ha considerado por simplicidad nula la contribución correspondiente a una entrada acotada, ce(t). Estos ejemplos ilustran cómo el criterio de estabilidad de Routh permite, por primera vez, relacionar la estabilidad de un circuito con las raíces de su ecuación característica; en concreto, con el movimiento de sus polos (y de sus ceros) en el plano complejo conforme varía la realimentación negativa aplicada. En efecto, una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que todas las raíces de su ecuación característica (o polos de la transmitancia en lazo cerrado) tengan parte real negativa.

-213-

Juan José González de la Rosa

clear; clc; t=0:0.01:70; e_de_t=10*exp(-0.1.*t); figure(1) plot(t,e_de_t,'linewidth',2) hold on r_de_t=e_de_t.*cos(2.*t) plot(t,r_de_t,'k','linewidth',2) hold off xlabel('t(s)'); ylabel('Amplitud (V)')

text(20,-2,'r(t)=10e^{-0.1t}cos(2t)') text(10,4.5,'e(t)=10e^{-0.1t}')

Figura 9.11. Ejemplo de respuesta de un circuito estable con un solo polo; donde se ha considerado nula la contribución correspondiente a una entrada acotada, ce(t). A la derecha se incluye el código MATLAB para su obtención (trazado directo).

Si la transmitancia en lazo cerrado se considera como el cociente de dos polinomios, N(s)/D(s), “numerador entre denominador”, como se ha comentado antes, su ecuación característica presenta la forma general que se indica a continuación:

G s

W s

G s

1

N s H s

D s

.

Y su ecuación característica resulta de igualar a cero el denominador: D s   a n s n  a n 1 s n 1  a n  2 s n  2  ...  a1 s n  a 0  0; con

an  0

a 0  0.

y

A partir de los coeficientes de la ecuación característica se construye y se calcula la tabla o matriz de Routh (Tabla 9.1), según el proceso que se explica a continuación. Tabla 9.1. Matriz de Routh genérica. Los coeficientes nulos se añaden (se explicitan en la tabla) cuando ya se agotan los términos de la ecuación característica. sn

an

an  2

an  4

n 1

a n 1

an  3

an 5

n2

b1

b2

b3

n 3

c1

c2

c3

…… …… ……

…… …… ……

…… …… ……

s s s

…… s1 s0

…… …… …… …… …… …… ……

0 0 0 0 0 0 0

Este criterio establece que un circuito es estable si en la primera columna de la matriz de Routh no existen cambios de signo. Para construir la tabla se sitúan los coeficientes de la ecuación característica en las dos primeras filas (zonas sombreadas de la Tabla 9.1),

-214-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

empezando por el de mayor orden y de manera alternada. Los parámetros de esta tabla, a partir de la segunda fila, se calculan de acuerdo a los siguientes determinantes:

b1 

an

a n2

a n 1

a n 3



a n 1

a n 1  a n  2  a n a n 3 a n 1

b3 

c1 

an

a n 6

a n 1

a n 7

a n 1

a n 3

b1

b2 b1



a n 1



c3 

;

a n4

a n 1

a n 5

a n 1

a n 1  a n  6  a n  a n  7

b1 a n 1

a n 7

b1

b4



;

c2 



a n 1

a n 5

b1

b3 b1

b1a n 7  b4 a n 1 b1

a n 1  a n  4  a n  a n 5 a n 1

;

; ………

a n 1

b1 a n 3  b2 a n 1

b1

b2 

an



b1 a n 5  b3 a n 1 b1

;

;………

En el Ejemplo 9.4 se ilustra un caso práctico de un circuito con dos cambios de signo en su primera columna, lo cual indica que existen dos polos en el semiplano derecho del plano complejo, siendo consecuentemente un circuito inestable. Ejemplo 9.4. Se considera el siguiente denominador para la función de transferencia de un circuito en lazo cerrado: D ( s )  s 3  s 2  2 s  8 . Estudiar su estabilidad aplicando el criterio de Routh-Hurwitz. Se plantea la tabla o matriz de Routh. Las dos primaras filas son fáciles de construir sin más que copiar los coeficientes. Tabla de Routh Ej4. s3 s2 s1 s0

a3=1 a2=1 b1= (1*2-8*1)/1= - 6 c1= [(-6)*8-0*1]/(-6)= 8

a1=2 a0=8 b2= (1∙0-0∙1)/1=0 c2= [(-6)∙0-0∙1]/(-6)=0

0 0 0

Como hay en la primera columna un elemento con cambio de signo: existen dos polos con parte real positiva y el circuito es inestable. Hay dos cambios de signo (de 1 a -6 y de -6 a 8), por lo que el circuito tiene dos polos en el semiplano derecho. A partir de la tabla de Routh es posible concluir si un circuito se encuentra en el límite de la estabilidad. Esta situación corresponde a un oscilador (incluso en estado estacionario), según hemos visto, y en el caso de la tabla de Routh se identifica porque se da una fila de ceros, y en consecuencia no se producen cambios de signo en la primera columna.

-215-

Juan José González de la Rosa

9.5. Lugar de las raíces de un circuito electrónico La variación de los parámetros físicos de un sistema que logran una modificación de su ecuación característica afecta a su vez a sus raíces o polos, de forma tal que se puede obtener una respuesta particular deseada. Es por ello que, conocer la ubicación de las raíces en el plano complejo ante variaciones de un parámetro, supone una herramienta muy útil de análisis y diseño. La técnica del lugar de raíces muestra las infinitas soluciones del polinomio característico del circuito en lazo cerrado, 1+G(s)∙H(s), a través de una representación gráfica en el plano complejo, empleando sólo la información de los polos y ceros de la cadena abierta. La gran ventaja que ofrece consiste en visualizar cómo se modifica el comportamiento dinámico del lazo cerrado, al realizar una variación de algún parámetro intrínseco del circuito. Se comienzan estudiando casos sencillos en los que se obtienen explícitamente los polos de la cadena cerrada, y su movimiento cuando la ganancia varía. 9.5.1. Circuito con dos polos En este apartado se estudia a través de un ejemplo la respuesta en frecuencia y la estabilidad de un amplificador inversor basado en un AO con dos polos. Se traza su lugar de las raíces sin necesidad de aplicar las reglas de trazado de sistemas lineales, cobrando de esta forma más significancia la obtención explícita de las raíces en función de la realimentación. Consideramos el AO en configuración inversora de la Fig. 9.12(a), y comparémoslo con la estructura mono-lazo genérica de la Fig. 9.12(b). R2

R1

Vs

k  R2/R1

Ad(s)

+

vi= vs- vf +

+Vcc

-Vcc

+ Vo -

Vs vf

G(s) H(s)

+ Vo -

(a) (b) Figura 9.12. (a) AO en configuración inversora, con ganancia diferencial modelada Ad(s) y, (b) Diagrama de bloques genérico de un lazo con realimentación negativa en el que la función de transferencia G(s) ya incluye los efectos de carga. A este diagrama de bloques hay que adaptar el circuito realimentado.

Comparando con el diagrama de bloques genérico de un solo lazo de la Fig. 9.12 (b), la aplicación del Principio de Inversión conduce a que la ganancia del bloque de realimentación es la inversa de la ganancia del circuito realimentado, como si el AO fuese ideal: H s   

1 k

.4

Recordar que es la inversa de la ganancia de una configuración inversora analizada como si el AO del circuito fuera ideal. 4

-216-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Por otra parte, haciendo uso de la teoría, de su circuito equivalente, la ganancia del circuito en lazo abierto, incluyendo los efectos de carga de la red de realimentación resulta: G s  

 k  Ad  s  1 k

Además, se demuestra que la función de transferencia en lazo cerrado resulta: W s  

Vo Vi



 k  Ad s 

1  k  Ad s 

,

donde Ad(s) es la ganancia diferencial en lazo abierto del AO, y k≡R2/R1. Los bloques W(s), G(s) y H(s), nos han permitido modelar el circuito. Las especificaciones del AO se describen a continuación:    

Dos polos en lazo abierto en las frecuencias angulares de –10 y –20 Mrad/seg. Ganancia en la zona plana: Ad0=5000. Impedancia de entrada infinita. Impedancia de salida nula.

Con estas especificaciones se plantea el modelo en el domino de Laplace para la ganancia diferencial del AO con dos polos en lazo abierto: Ad ( s ) 

Ad 0 p1 p 2

s  p1  s  p 2 

.

Sustituyendo en la ganancia en lazo cerrado la expresión de la ganancia diferencial en lazo abierto para dos polos, se tiene la ganancia en lazo cerrado del circuito: k W (s) 

Ad 0 p1 p 2

s  p1  s  p 2 

1 k 

Ad 0 p1 p 2



s  p1  s  p 2 

(s) N  k  Ad 0 p1 p 2  k  Ad 0 p1 p 2 1 k   . 1  k s  p1  s  p 2   Ad 0 p1 p 2 s  p  s  p   Ad 0 p p 1 2 1 2 1 k k '    D(s)

En la anterior expresión para la ganancia en lazo cerrado del circuito se ha definido la constate auxiliar k’≡Ad0/(1+R2/R1), que resulta especialmente interesante cuando se estudia el movimiento de los polos del circuito realimentado en el plano complejo cuando la realimentación varía (lugar de las raíces del circuito). Esta constante adquiere un protagonismo especial, y variará de cero a infinito en el llamado lugar de las raíces directo del circuito.

-217-

Juan José González de la Rosa

La ecuación característica del circuito en lazo cerrado resulta de igualar el denominador anterior a cero, D(s)=0. Con el fin de considerar un caso numérico sencillo, trabajaremos en unidades de 107 rad/s ó 10∙Mrad/s. Con ello, la ecuación característica resulta: D s   s 2   p1  p 2  s  1  k '  p1 p 2  s 2  3 s  2 1  k '   0 .

Las soluciones analíticas de esta ecuación de segundo grado constituyen los polos en lazo cerrado del circuito, sf, en función de la realimentación aplicada (incluida en los parámetros k’, o k), y permiten trazar exactamente el lugar de las raíces, ya que constituyen las ecuaciones del lugar geométrico en el plano complejo s=α+jβ: sf 

 3  9  81  k '  2



A  3  1  8k ' ; k'  d0 2 1 k

.

Por lo tanto, las expresiones para ambas raíces resultan: sf 1 sf

1.5

0.5 1

1.5

0.5 1

8k '

8k '

con sf 2

1.5

0.5 1

k'

8k '

5000 1

k

Se observa que, al variar la realimentación, k y por tanto k’, las expresiones de las raíces indican que éstas serán reales puras mientras el radicando sea positivo. Cuando el radicando es nulo (para ese valor de la realimentación) las dos raíces coinciden en -1,5 ∙ 107 rad/s (punto de ruptura). En efecto, las raíces serán reales puras si se verifica la siguiente condición para la realimentación: 1  8k '  0



1 5000  8 1 k

1  8k '



1  k' 8

 1  k  40000



1 Ad 0  5000  8 1 k



k  39999 .

Así pues, el punto de ruptura (notado como s=σ) se da para k=39999. Por ejemplo, para k’=1/16 las dos raíces adoptan valores reales, estando aún situadas en el lugar sobre el eje real:

sf

3

1

2

2

1

8

3

1

1

3

16

2

2

2

2

2

sf 1

4 sf 2

6

2 4

6

2 4

1.15

1.85

Si el radicando es negativo, las dos raíces son complejas conjugadas. Por ejemplo, para k’=1/4, las raíces son complejas conjugadas, adoptando una posición simétrica respecto

-218-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

al eje real5, a partir de un punto de ruptura s=-1.5, que es la parte real de todas las raíces complejas conjugadas:

sf

3

1

2

2

1

8

3

1

4

2

2

1 j

3

1

2

2

sf 1

1.5

0.5 j

sf 2

1.5

0.5 j .

j

Por otra parte, en el límite, al hacer variar k’ de 0 a infinito6, es fácil comprobar que, cuando k’→ 0 (o lo que es lo mismo, k → ∞) los polos adoptan los valores de la situación en lazo abierto: s

3 1  1,  2. 2

El lugar de las raíces del circuito simulado con MATLAB viene representado en la Fig. 9.13, donde se observa que los polos nunca tendrán parte real positiva, como hemos anticipado. Por lo tanto, el circuito realimentado con dos polos siempre es estable; se dice que es inherentemente estable. En ella, la rama hacia arriba (abajo) es sf1 (sf2).

Figura 9.13. Diagrama complejo polar del lugar de las raíces (directo) de Evans del amplificador con dos polos. El lugar parte de los polos y va a parar a los ceros (que no existen en este caso, ya que son ramas al infinito); en este caso hay dos ramas (diferenciadas por los tipos de flechas): número de polos menos el número de ceros del circuito.

Para trazar el lugar de las raíces según las reglas tradicionales (y de acuerdo con la función que emplea MATLAB), se ha de considerar el producto de la cadena directa original. Y luego se efectúan los productos respectivos hasta llegar al producto de una constante (k’) por el producto de otras dos funciones de transferencia derivadas de las primeras: G’ y

El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. Lugar de las raíces directo: se parte de los polos (k’=0) y se llega a los ceros (k’→∞). En este caso son ramas al infinito porque ceros no hay 5 6

-219-

Juan José González de la Rosa

H’. En efecto, la cadena directa GH ha de expresarse como el producto de una constante por otra cadena directa G’H’: A Ad 0 p1 p 2 A p1 p 2 1   k  Ad   1  . GH    d0     d  1  k   k  1  k 1  k s  p1   s  p 2  1  k s  p1   s  p 2        k'

H

G

G 'H '

MATLAB hará variar a k’ desde 0 a infinito, obteniendo el lugar directo de las raíces. De esta forma, este planteamiento permite adaptar el circuito realimentado al modelo teórico de trazado del lugar de las raíces. La configuración del sistema que se adopta en el modelo teórico de diagrama de bloques viene representada en la Fig. 9.14. Es como si se englobara al circuito resultante G’H’ en un solo bloque, y se dejara como único bloque de realimentación el de ganancia k’. Como se ha mencionado, debe quedar una constante (que es la que se hace variar de cero a infinito, k’) multiplicando a G y H o a dos ganancias derivadas de ellas, como son en este caso G’ y H’. La constante k’ dependerá de la realimentación inicial de forma directa o inversamente proporcional. La Fig. 9.16 muestra el diagrama de bloques equivalente una vez realizada esta aproximación.

vs

vi= vs- vf + -

G’H’(s)

+ vo

vf

k’

RL

-

Figura 9.14. Configuración del circuito realimentado que se adopta para trazar el lugar de las raíces (e.g., cuando k’ varía de cero a infinito, lugar directo).

El Ejemplo 9.5 muestra cómo obtener con MATLAB el lugar de las raíces del circuito anterior y la situación límite del punto de ruptura. Ejemplo 9.5. Obtener con MATLAB El lugar de las raíces directo del circuito realimentado amplificador inversor con Ad0=5000, y con dos polos en lazo abierto en w1=-1∙107 y w2=-2∙107 rad/s, a partir de las funciones definidas para G(s) y H(s). Se plantea a continuación el código empleado usando funciones clásicas de sistemas lineales, con la función “rlocus”. rlocus(G*H); grid on %MATLAB varía k’ de 0 a infinito en continuo

En realidad, esta gráfica es una interpolación de valores discretos, para ver los puntos hemos de hacer: rlocus(G*H,'*'); [r, k_prima] =rlocus(G*H)

La primera instrucción permite la representación del lugar de las raíces directo discreto de la Fig. 1. Ej. 9.5.. Las ”aspas, *” marcan los puntos que resultan de la computación de MATLAB para el lugar discreto.

-220-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Figura 1. Ej. 9.5. Lugar de las raíces discreto del amplificador inversor.

La segunda instrucción permite obtener los puntos matemáticamente, arrojando los siguientes valores para las raíces (r) y para la constante (variable de MATLAB k_prima): r = 1.0e+02 * Columns 1 through 5 -0.0200 + 0.0000i -0.0187 + 0.0000i -0.0170 + 0.0000i -0.0152 + 0.0000i 0.0150 + 0.0000i -0.0100 + 0.0000i -0.0113 + 0.0000i -0.0130 + 0.0000i 0.0148 + 0.0000i -0.0150 - 0.0000i

-

Columns 6 through 10 -0.0150 + 0.0002i -0.0150 + 0.0039i 0.0150 + 0.0158i -0.0150 - 0.0002i 0.0150 - 0.0109i -0.0150 - 0.0158i

-0.0150 + 0.0071i -0.0150 - 0.0039i

-0.0150 + 0.0109i -0.0150 - 0.0071i

-

-0.0150 + 0.0223i -0.0150 + 0.0311i -0.0150 + 0.0432i -0.0150 + 0.0598i 0.0150 + 1.2329i-0.0150 - 0.0223i -0.0150 - 0.0311i -0.0150 - 0.0432i 0.0150 - 0.0598i -0.0150 - 1.2329i

-

Columns 11 through 15

Column 16 Inf + 0.0000i Inf + 0.0000i k_prima =1.0e+04 * Columns 1 through 10 0 0.0000 0.0001 0.0006 0.0011

0.0001

0.0001

0.0001

Columns 11 through 16 0.0021

0.0040

0.0076

0.0144

-221-

6.0800

Inf

0.0002

0.0003

Juan José González de la Rosa

Si se quiere obtener el punto de ruptura no hay que más que programar las siguientes líneas: k=39999; k_prima=5000/(1+k); %situación límite de raíces reales G=-k*Ad/(1+k); H=-1/k; G_primaH_prima=(G*H)/k_prima; %Funciones de transferencia R = rlocus(G_primaH_prima,k_prima)

Devolviendo las dos raíces, pero esta vez con parte imaginaria nula y con idéntica parte real; es decir, cómo debe ser, raíz doble: R= -1.5000 + 0.0000i -1.5000 - 0.0000i

Si se quiere representar sólo el punto se usa la función ‘rlocus’ sin usar variable donde volcar los datos. Por ejemplo, las siguientes instrucciones representarían dicho punto en el lugar de las raíces: rlocus(G_primaH_prima,k_prima,'*'), grid xlabel('\cdot 10^7'); ylabel('\cdot 10^7'); title('Punto de ruptura')

En el caso presentado, el punto de ruptura coincide con el “centroide” (punto de corte o confluencia) de las asíntotas. En general, la notación para el primero es s0 y para el segundo, σ. Si bien el circuito estudiado es siempre estable (inherentemente estable) ya que sus raíces nunca presentan parte real positiva, desde el enfoque de su respuesta en frecuencia la realimentación puede suponer un inconveniente. En efecto, al realimentar el circuito puede llegar a presentar un pico de resonancia. Esta circunstancia o contexto se ilustra en la Fig. 9.15. La respuesta en frecuencia (diagrama de Bode de ganancias) en lazo abierto viene representada en la Fig. 9.15 (arriba), y la respuesta en frecuencia en lazo cerrado se muestra en la Fig. 9.15 (abajo), para un valor de ganancia en lazo cerrado correspondiente a -2 (k=-2). En ella se aprecia, como diferencia principal con respecto al comportamiento en lazo abierto, que presenta el anunciado pico de resonancia. A menudo no se desea trabajar en las cercanías del pico de resonancia por razones de seguridad ante sobreamplitud. El Ejemplo 9.6 explica cómo programar la obtención de dichas respuestas en frecuencia usando el comando o función “bode” de MATLAB. Ejemplo 9.6. Obtener con MATLAB las gráficas de la Fig. 9.15. Correspondientes a las respuestas en frecuencia en lazo abierto y en lazo cerrado de la configuración inversora. Se plantea a continuación el código empleado usando funciones clásicas de sistemas lineales. clc; clear; close all %borrar ventana de comandos; espacio; cerrar todo p1=1; p2=2; %polos en lazo abierto % Planteamiento de la función de transferencia num=[0 0 5000*p1*p2]; den=[1 (p1+p2) p1*p2]; Ad=tf(num,den); % Devuelve % Transfer function:

-222-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

% 10000 % ------------% s^2 + 3 s + 2 zpk(Ad);% zero-pole gain – ganancia factorizada % Zero/pole/gain: % 10000 % ----------% (s+2) (s+1) %Grafica 1 figure(1) subplot(2,1,1) bodemag(Ad);title('Lazo abierto');grid on %Circuito en lazo cerrado k=2; G=-k*Ad/(1+k); H=-1/k; sistema=feedback(G,H); subplot(2,1,2) bodemag(sistema);title('Lazo cerrado');grid on

Figura 9.15. Comparativa de las respuestas en frecuencia del AO en lazo abierto (arriba) y del circuito en lazo cerrado (abajo) en configuración inversora de ganancia -2, i.e. k=2; simulación con MATLAB usando el comando “bode”.

Seguidamente se demuestra para este circuito realimentado, que para que no exista dicho pico de resonancia (“joroba” de la gráfica), la constante k debe superar el valor de kjoroba = 3999. Es decir, que la realimentación máxima aplicable sin pico de resonancia y con banda de paso máximamente plana es:

-223-

Juan José González de la Rosa

H máx 

1 1   1 / 3999 . k joroba 3999

En efecto, hemos visto que el ancho de banda máximamente plano se da para sistemas de Butterworth7, i.e. con un factor de amortiguamiento de δ=1/√2. En esta situación, la pareja de polos complejos conjugados en un circuito de segundo orden se desplaza sobre la vertical del punto de ruptura, adoptando las expresiones: s1, 2  w0  w0  2  1  

w0 2

 w0

w 1  1  0  1  j  2 2

Estas raíces nos permiten plantear el denominador Butterworth, DButterworth(s), sin más que partir de su expresión factorizada: 2

2

  w  w w   w w   w  D Butterwort h ( s )   s  0  j 0    s  0  j 0    s  0    j 0   2 2 2 2 2 2       

 s2 

w 02 2

 2s

w0 2



w 02 2

 s2  2

w 02 2

 2s

w0 2

 s 2  s 2 w 0  w 02

Si comparamos el denominador Butterworth , DButterworth(s), con el denominador del circuito, D(s), se obtienen las siguientes expresiones: D s   s 2  3 s  21  k '      2w0

D Butterwort h s   s 2  2  w 0 s  w 02  s 2  2 w 0 s  w 02 . 2 /2

w02

Igualando coeficientes, se tiene (la frecuencia angular en unidades de 107 rad/s): 2 w0  3



3

w0 

21  k ' Butterwort h  



2

3 2 2 2



w 02

 3  9   21  k ' Butterwort h     2  2



k ' Butterwort h 

9 5 1  4 4

Ahora se recuerda la definición de k’, podemos obtener su factor de amortiguamiento: k ' Butterwort h 

Ad 0 1  k Butterwort h



5000 5  1  k Butterwort h 4

 1  k Butterwort h  4000 

k Butterwort h  3999

Si por ejemplo k=4999, entonces k’=1, y w0=2(1+k’)=4. Entonces: 2δw0=4∙δ (1+k’)=8δ=3, de donde δ=3/8=0,375 < δButterworth=√2/2. Por lo que se demuestra la existencia de “pico de resonancia” para este valor de k (k’) superior (inferior) al de kButterworth(k’Butterworth). Para circuitos que posean más de dos polos, en general es necesario aplicar las reglas tradicionales de trazado del lugar de las raíces (enunciadas en el Anexo II), ya que o no es 7

Tratado en el capítulo de filtros activos, para circuito de orden 2 con pulsación característica w0.

-224-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

posible obtener ecuaciones explícitas de las ramas del lugar, o simplemente no resulta sencillo resolver analíticamente la ecuación característica, que puede llegar a ser trascendente o de otra naturaleza. Sin embargo, como también veremos, gran parte del lugar de las raíces se puede intuir o trazar cualitativamente. 9.5.2. Circuitos realimentados con tres polos En este apartado se estudian dos ejemplos-problemas de circuitos con tres polos. El primero permite todavía soslayar el empleo de las reglas tradicionales de trazado del lugar de las raíces, y emplear cálculos algebraicos sencillos para trazar el lugar de las raíces. Esto se debe a que existen polos triviales (en el origen) y polos dobles. El segundo incluye un AO real con tres polos diferenciados, en el que se ve necesario el uso de las citadas reglas de trazado. Sus lugares de las raíces veremos que adoptan también una forma típica, compuesta básicamente por tres ramas. Sin embargo, esta vez el circuito de tercer orden resultante puede ser inestable, ya que la parte real de los polos complejos conjugados puede llegar a ser positiva a partir de cierto valor de la realimentación. Como primer ejercicio ilustrativo velamos el Ejemplo 9.7. Ejemplo 9.7. Un circuito con ganancia en lazo abierto G(s) se realimenta según la configuración de la Fig. 1. Ej. 9.7. Obtener el lugar de las raíces directo comparando los polos de la cadena directa y de la cadena cerrada. Prescindir de las unidades de las magnitudes.

vs

vi= vs- vf +

-

k

vo

vf

H(s)=1

Figura 1. Ej. 9.7. Circuito con tres polos realimentado: el parámetro k varía desde 0 a ∞ (lugar de las raíces directo).

La función de transferencia en lazo abierto indica que el AO tiene un polo doble en -1 y un polo simple trivial, en s=0. Por lo tanto, el circuito es de orden tres. G s  

1 s  s  1

2



1 s  2s 2  s 3

.

En general, esto significa que el lugar tendrá tres ramas (tres polos) y un punto de ruptura sobre el eje real. En lazo cerrado, el sistema adopta también la forma de circuito de orden tres. En su función de transferencia interviene la ganancia k:

-225-

Juan José González de la Rosa

k W s  

kG s   1  kG s H s 

2 k k s  s  1   3 2 2 1 s  s  1  k s  2 s  s  k 1 k 2 s  s  1

.

Con todo, llegados a este punto, como se ha comentado, es posible trazar el lugar de las raíces de forma manual, i.e., a partir de la información que se tiene. Considerando que el lugar es simétrico respecto del eje real, existen dos posibilidades para las raíces del denominador: que las tres sean reales (en este caso el sistema se puede expresar como tres subsistemas de primer orden), o que una sea real y las otras dos sean complejas conjugadas. Es decir, que hasta el punto de ruptura serán iguales (como sucedía en circuitos de orden dos), y a partir de ahí una sigue siendo real y las dos restantes serán complejas conjugadas. Por otra parte, con el fin de trazar las asíntotas, basta con observar que, en el límite, nuestro sistema y un posible sistema asintótico tienen valores que se asemejan; es decir, en el límite son el mismo circuito: lim

s

1 s s  1

2

 lim

s 

1

s  13

.

La Figura 2. Ej. 9.7. muestra el lugar de las raíces cuando k varía de cero a infinito. Se observan ahora tres ramas (diferencia entre el número de polos y el número de ceros) y la situación de comienzo de la inestabilidad en el punto de corte con el eje imaginario. La figura de la derecha (b) incluye las asíntotas del lugar de las raíces.

Asíntota 1 jwosc Asíntota 3

-jwosc Asíntota 2

(a) (b) Figura 2. Ej. 9.7. (a) Lugar de las raíces de un circuito con tres polos. Se indican las ramas con distintos tipos de flechas. Se parte de los polos y se llega al infinito. Existen en este caso dos puntos de ruptura. (b) Comparación con un sistema parecido para visualizar tres asíntotas.

A continuación, se reproducen las líneas de programación que permiten obtener las subfiguras Fig. 2. Ej. 7.2. (a) y (b). clc; clear all; close all %Circuitos en lazo abierto: % A1 A1 %---------- = --------------------

-226-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

% s(s+1)^2

s^3 +

2s^2 + s + 0

% A2 A2 %---------- = -------------------% (s+1)^3 s^3 + 3s^2 + 3s + 1 %Circuito original A1=1; num=[0 0 0 A1];den=[1 2 1 0]; G=tf(num,den); %Circuito asintotico A2=1; num_asin=[0 0 0 A2]; den_asin=[1 3 3 1]; G_asin=tf(num_asin,den_asin); %Lugares de raíces figure(1); rlocus(G_asin); grid on figure(2); rlocus(G,G_asin); grid on

El ejercicio anterior demuestra que son necesarias reglas adicionales de trazado del lugar de las raíces para circuitos con orden superior a dos. En efecto, si bien las asíntotas han sido explicadas usando un circuito sustitutorio (tres polos iguales), existen características o rasgos del lugar que necesitan un formalismo matemático diferente. En el siguiente ejemplo se presta atención a dos de ellas: los cortes de con el eje imaginario y el punto de ruptura del lugar s0, o separación del lugar respecto del eje real. Las reglas se explicitan en el Anexo II. La primera característica conduce al planteamiento de la condición de oscilación y a la obtención del par conjugado de raíces en situación de límite de estabilidad, o condición de oscilación (±jwosc). Ese análisis puede llevarse a cabo usando el criterio de Routh o planteando el denominador límite en oscilación. Esta última estrategia consiste en que en cualquier punto del lugar de las raíces, el denominador de la ecuación puede escribirse como:







D( s)  s  c   s  a  jb   s  a  jb   s  c   s  a    jb   s  c   s 2  2as  a 2  b 2 2

2

.

Donde c es el polo real a±jb son los polos conjugados, respectivamente. Si igualamos coeficientes con nuestro denominador concreto (e.g., en situación de estabilidad marginal), se obtienen las posiciones de los polos del circuito realimentado. Por otra parte, el planteamiento del punto de ruptura nos llevará a emplear una regla cuantitativa de trazado: la maximización de la constante de ganancia del circuito realimentado. El siguiente ejemplo lo pone de manifiesto. Ejemplo 9.8. Para el circuito del Ejemplo 9.7, usando las reglas generales del Anexo II, obtener el punto de ruptura del lugar de las raíces, s0, el centroide de las asíntotas, σ, y la frecuencia angular de oscilación wosc. Para obtener el punto de ruptura, notado como s0, se considera la definición del Anexo I, G(s)H(s)=A(s)/B(s), y su condición: B ' ( s 0 ) A( s 0 )  B ( s 0 ) A' ( s 0 )  0 : A( s )

G s  H s   1

1 s  s  1

2



 1

3 2 s  2 s s 

.

B(s)

Imponiendo la condición suficiente de punto de ruptura, resulta:

-227-

Juan José González de la Rosa

 s 01  1, s 02  1 / 3  0,3 .

B ' ( s 0 ) A( s 0 )  B ( s 0 ) A' ( s 0 )  3s 02  4 s 0  1  0    1

0

La condición necesaria es trivialmente que el punto de ruptura pertence al lugar de las raíces, es decir, es solución de la ecuación característica. Para obtener el centroide de las asíntotas (punto de confluencia) se emplea la expresión del Anexo II de las reglas de trazado generales: n

  

m

pj 

j 1

z i 1

i



nm

0 11 0  2 / 3 . 30

Con el fin ahora de calcular la frecuencia angular de oscilación planteamos el denominador en oscilación:















2 Dosc ( s )  s  c   s  jwosc  s  jwosc  s  c   s 2   jwosc   s  c   s 2  wosc 

 s cs  3

2

2 wosc

s 

2

2 cwosc .

A continuación, se comparan sus coeficientes con los del denominador en lazo cerrado: 2 2 D osc ( s )  s 3  c  s 2  wosc  s  cwosc



s 3  2 s 2  s  k osc  D ( s ) ,

donde la ganancia se ha sustituido para el caso particular de oscilación, kosc. Comparando coeficientes se obtiene de manera trivial (coeficientes de orden dos) la posición del polo real c=2. De manera similar, al comparar los coeficientes en “s”, se obtiene la pulsación 2 de oscilación wosc=1. Finalmente kosc= cwosc =2. Se considera ahora otro ejemplo, en este caso correspondiente a un AO real, consistente en una topología inversora basada en el AO MC1530, que posee tres polos en las frecuencias características: 2, 4 y 22 MHz; y una ganancia en lazo abierto para el AO de Ad0=5000. Trabajando con los polos en Mrad/s, la función de transferencia el AO en lazo abierto, o ganancia diferencial viene dada por: Ad ( s ) 

Ad 0 p1 p 2 p 3

s  p1  s  p 2  s  p 3 



Ad 0 p1 p 2 p 3

s   p1  p 2  p 3  s   p1 p 2  p 2 p 3  p1 p 3  s  p1 p 2 p 3 3

2

.

Los polos vienen expresados en unidades de (Mrad/seg): p1  2    f 1  2    2  4   p2  2    f 2  2    4  8   p 3  2    f 3  2    22  44  

Sustituyendo las expresiones de los polos en la función de transferencia en lazo abierto, tenemos:

-228-

ANÁLISIS Y DISEÑO ELECTRÓNICO BASADOS EN EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Ad ( s ) 

5000  4   8   44  . s  4  s  8  s  44 

Finalmente resulta (operaciones realizadas con MATLAB, tomando π ≈ 3.1416): Ad s  

2,1828 e08

s  12,5664 s  25,1327 s  138.2301



2,183 e08 s  175,9 s  5527 s  4,366 e04 3

2

,

donde, los polos se han expresado en Mrad/s. Con el fin de trazar el lugar de las raíces del circuito realimentado, consideramos la función de transferencia de la cadena directa del circuito: A Ad 0 p1 p 2 p 3 1   k  Ad   1  GH      d   1  k   k  1  k 1  k s  p1   s  p 2   s  p 3  A p1 p 2 p 3  d0  . 1  k s  p1   s  p 2   s  p 3   k'

G ' H '

Al sustituir los valores numéricos, resulta finalmente: G ' s   H ' s   k '

4,366 e04 s  175,9 s  5527 s  4,366 e04 3

2

.

(1)

La Fig. 9.16 muestra el diagrama de bloques que gestiona MATLAB internamente.

vs

vi= vs- vf + -

G’H’(s)

+ vo

vf

K’

RL

-

(b) Figura 9.16. Diagrama de bloques equivalente que gestiona MATLAB y modela la expresión (1).

Un ejemplo de posible código que plantea la transmitancia en lazo abierto es, empleando la función “tf”: GH_primas=tf([p1*p2*p3],[1 rlocus(GH_primas); grid

(p1+p2+p3)

(p1*p2+p1*p3+p2*p3)

(p1*p2*p3)]);

Donde p1, p2 y p3 son los polos del AO en lazo abierto. A partir de esta función auxiliar se hace variar internamente una constante k’ desde cero a infinito. MATLAB obtiene finalmente el lugar de las raíces de la Fig. 9.17 (al ir variando k’ de cero a infinito). Obténgase de manera visual, a partir de la gráfica de la Fig. 9.17 que la frecuencia de oscilación del circuito vale 74.3 Mrad/s aproximadamente.

-229-

Juan José González de la Rosa

Figura 9.17. Obtención con MATLAB del lugar de las raíces del amplificador electrónico con tres polos.

Se demuestra que para que el circuito sea estable k debe superar kosc=234. A este valor se puede llegar empleando el criterio de Routh- Hurwitz o mediante el denominador límite. Hasta ahora se han caracterizado circuitos sin prestar atención a la posibilidad de aumentar los márgenes de estabilidad. Las técnicas de compensación abordan esta cuestión 9.6. Compensación electrónica. Técnicas La compensación tiene por fin aumentar los márgenes de ganancia y de fase del sistema realimentado. Análogamente, se emplea la compensación para incrementar la realimentación manteniéndose el mismo margen de fase. Este efecto se consigue modificando las curvas de magnitud y de fase de la ganancia del lazo βA (GH), de manera que se verifique que |βA|