Algunos temas especiales en Teoría de Aproximación [2 ed.] 9789801111009

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VIII VIII Talleres Talleres de de Formación Formación Matemática Matemática Universidad Universidad de de Oriente Oriente Facultad Facultad de de Ciencias Ciencias

Iris L\'opez\\Yamilet Quintana

Algunos Temas Especiales en Teoría de Aproximación Algunos Temas Especiales en Teoría de Aproximación

TForMa IrisTalleres López de – Yamilet Quintana VIII Formación Matemática Departamentode de Oriente Matemáticas Puras y Aplicadas Universidad Universidad Simón Bolívar

Facultad de Ciencias Sartenejas - Venezuela

TForMa 2007TForMa 20072007 ISBN: 978-980-11-1100-9

VIII Talleres de Formaci´on Matem´atica, TForMa 2007 Universidad de Oriente Facultad de Ciencias

Algunos temas especiales en ´n Teor´ıa de Aproximacio

Iris L´ opez Yamilet Quintana Departamento de Matem´aticas Puras y Aplicadas Universidad Sim´on Bol´ıvar Sartenejas - Venezuela 2007

Contenido Introducci´ on

iii

1 Nociones b´ asicas 1.1

Espacios m´etricos. 1.1.1

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Un poquito de topolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Espacios con producto interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4

Convexidad, existencia y unicidad de la mejor aproximaci´on. . . . . . . . . . . . 23 1.4.1

Existencia y unicidad de las mejores aproximaciones. . . . . . . . . . . . 27

1.5

Funciones convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Aproximaci´ on polinomial 2.1

37

Aproximaci´on por polinomios de Tchebycheff y por otras familias de polinomios.

37

2.1.1

Interpolaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2

Teorema de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2

Aproximaci´on por funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

i

Contenido 3 Aproximaci´ on por el m´ etodo de m´ınimos cuadrados

ii 62

3.1

Sistemas de polinomios ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2

Convergencia de desarrollos ortogonales y convergencia uniforme. . . . . . . . . 72

3.3

Aproximaci´on polinomial en espacios de Sobolev con pesos cl´asicos. . . . . . . . 75

3.4

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ap´ endice Bibliograf´ıa

80 107

Introducci´ on La teor´ıa de aproximaci´on, es el ´area del an´alisis especializada en describir funciones dadas, en t´erminos de otras funciones m´as simples de calcular. La descripci´on de funciones hecha por la teor´ıa de aproximaci´on, se basa en dos aspectos: el cualitativo y el cuantitativo. El primero de estos aspectos, tiene como objetivo encontrar las condiciones necesarias para poder aproximar y determinar, las caracter´ısticas de la funci´on aproximante, dada una noci´on de cercan´ıa sobre un cierto espacio X de funciones. El segundo aspecto en cambio, se ocupa de encontrar un aproximante a una distancia menor que una cota prefijada, dada la existencia de la funci´on aproximante. Desde el punto de vista cuantitativo, la teor´ıa de aproximaci´on est´a fuertemente influenciada por nuestra necesidad de solucionar problemas pr´acticos, tales como:   i) Determinar un polinomio p de grado m´ınimo, tal que |p(x) − cos(x)| ≤ 10−8 , ∀x ∈ 0, π2 . ii) Determinar un polinomio p, tal que

Rb a

|f (x) − p(x)|2 < , dadas una funci´on f definida

sobre un intervalo [a, b] y un n´ umero  > 0. El objetivo en los casos anteriores, es desarrollar algoritmos; es decir, procedimientos num´ericos que nos permitan hallar la soluci´on. Sin embargo, desde el enfoque cualitativo, nos interesa responder otras preguntas del tipo: a) ¿Es siempre un polinomio la soluci´on del problema i)?.

iii

Introducci´on

iv

b) ¿Cu´al es la clase de funciones para la cual el problema ii) siempre tiene soluci´on?. Las respuestas a este tipo de preguntas, ser´an objeto de estudio a lo largo de este curso y m´as precisamente, la finalidad del curso es comprender los aspectos cualitativos y cuantitativos de la teor´ıa de aproximaci´on, haciendo ´enfasis en el segundo aspecto. El libro est´a organizado de la siguiente manera: En el primer cap´ıtulo, se desarrollan las nociones b´asicas necesarias para estudiar el tema de aproximaci´on polinomial. En el segundo cap´ıtulo, se considera el problema de aproximar una funci´on continua f , por polinomios y por polinomios generalizados, dado que el dominio de f es un intervalo compacto. En el tercer cap´ıtulo, nos dedicaremos a estudiar el m´etodo de aproximaci´on por m´ınimos cuadrados y mencionaremos una versi´on del teorema de aproximaci´on de K. Weiesrtrass en espacios de Sobolev con peso. Cada uno de los cap´ıtulos de este libro se dividen en secciones. La numeraci´on de cada resultado (lema, proposici´on, teorema o corolario) esta en concordancia con la secci´on respectiva. Adem´as, la numeraci´on de las f´ormulas est´a en correspondencia, con el cap´ıtulo donde se encuentran. Al final de cada cap´ıtulo, se presentan un grupo de ejercicios asociados al mismo. El final de cada demostraci´on es indicado con el s´ımbolo ♣. Finalmente, queremos agradecer al comit´e organizador del VIII TForMa, la oportunidad de participar en estos talleres y esperamos que este material, sirva de gu´ıa, est´ımulo y referencia, a todas aquellas personas que tengan la oportunidad de leerlo. Iris L´opez y Yamilet Quintana.

Cap´ıtulo 1 Nociones b´ asicas En la introducci´on, hemos mencionado algunos problemas en teor´ıa de aproximaci´on que involucran la elecci´on de un conjunto de elementos y un objeto matem´atico, el cual en alg´ un sentido est´a relacionado con el conjunto elegido, pero que no es elemento del referido conjunto: as´ı, en el problema i) de la introducci´on, el conjunto seleccionado es el conjunto de los polinomios P y el objeto matem´atico a aproximar es la funci´on cos(x), la cual no es un polinomio. Este problema no tiene una soluci´on precisa, hasta el momento en que nosotros decidimos c´omo “medir” la distancia entre los dos elementos. En este cap´ıtulo presentaremos los conjuntos para los cuales, es posible establecer la decisi´on de “medir” la distancia entre los dos elementos.

1.1

Espacios m´ etricos.

Usualmente, la distancia d(a, b) entre dos elementos a y b de un conjunto X, es un n´ umero real no negativo, tal que, la ecuaci´on d(a, b) = 0 es satisfecha si y s´olo si a = b y la desigualdad d(a, b) > 0 es v´alida siempre que a 6= b. Tambi´en se suele requerir que la distancia d(b, a), entre b y a coincida con d(a, b) y finalmente, que la distancia d(a, b) no sea m´as grande que la suma de las distancias entre d(a, c) y d(c, b), (ver Figura 1.1). 1

Nociones b´asicas

2 c a

c a b

b

Figure 1.1: Distancia entre puntos de un plano. La manifestaci´on abstracta de las ideas anteriores, es lo que denominaremos espacio m´etrico. M´as precisamente, Definicion 1.1 Llamaremos espacio m´etrico al par (X, d), donde X es un conjunto no vac´ıo y d : X × X → [0, ∞] es una funci´on que satisface las siguientes propiedades, para cualesquiera x, y, z ∈ X: i) d(x, x) = 0, (reflexividad). ii) d(x, y) > 0, siempre que x 6= y. iii) d(x, y) = d(y, x), (simetr´ıa). iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (desigualdad triangular). La funci´on d recibe el nombre de m´etrica sobre X. Ejemplo 1.1.1 a) Sea X = R. d(x, y) = |y − x| define una m´etrica sobre R. En este caso, las propiedades i) − iv) pueden ser deducidas, a partir de las propiedades de la funci´on valor absoluto.

Nociones b´asicas

3

b) Para cualquier conjunto X no vac´ıo, definimos la siguiente m´etrica   1 si x 6= y, d(x, y) =  0 si x = y. Esta m´etrica puede ser introducida sobre cualquier conjunto X 6= ∅. Por lo tanto, para cualquier X 6= ∅ existe una m´etrica d, tal que (X, d) es un espacio m´etrico. c) Si X = Rn , entonces dados x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) en Rn la funci´on definida P 1/2 n 2 por dE (x, y) = (y − x ) es una m´etrica sobre Rn , conocida con el nombre de j j=1 j m´etrica eucl´ıdea (verif´ıquelo). d) Dado n ∈ N, denotaremos por Pn al espacio de los polinomios a coeficientes reales, de Pn Pn j j grado menor o igual que n. Dados p(x) = j=0 bj x en Pn , si j=0 aj x y q(x) = 1/2 P n 2 , entonces (Pn , d) es un definimos d : Pn × Pn → [0, ∞] por d(p, q) = j=0 (bj − aj ) espacio m´etrico (verif´ıquelo). Presentada la definici´on de espacio m´etrico, (o el criterio de decisi´on para medir distancia entre elementos de un conjunto) estamos en condiciones de establecer nuestro Problema b´asico de teor´ıa de aproximaci´on Sea (X, d) un espacio m´etrico. Dados g ∈ X y M ⊂ X, determinar un punto f ∈ M , tal que d(f, g) sea m´ınima, es decir, d(f, g) = inf {d(h, g) : h ∈ M } .

El punto f puede existir o no. En consecuencia, estamos interesados en aquellos resultados que bajo ciertas condiciones, garanticen la existencia del punto f . Tales resultados, se conocen

Nociones b´asicas

4

como los teoremas de existencia. Una vez asegurada la existencia de f , el siguiente paso, es establecer si existen otros puntos con la misma propiedad de f y en tal caso, dichos resultados constituyen los teoremas de unicidad y/o caracterizaci´on de f . Cuando el punto f existe, se le conoce como la mejor aproximaci´on de g a M .

1.1.1

Un poquito de topolog´ıa.

En espacios m´etricos, es posible considerar muchos de los conceptos estudiados en topolog´ıa general, siendo su formulaci´on m´as simple, que en espacios topol´ogicos generales. Sin embargo, es importante destacar que definiciones y teoremas v´alidos para espacios m´etricos no siempre se extienden de manera general, a otros espacios topol´ogicos. Definicion 1.2 Dado (X,d) un espacio m´etrico, diremos que una sucesi´on de puntos {x1 , x2 , x3 , . . .} en X converge a un punto x? ∈ X si d(xn , x? ) tiende a 0 cuando n tiende a infinito, es decir, limn→∞ d(xn , x? ) = 0. Cuando {x1 , x2 , x3 , . . .} converge a x? , escribiremos xn → x? o limn→∞ xn = x? Definicion 1.3 Dados (X,d) un espacio m´etrico y K ⊆ X, diremos que K es compacto si cualquier sucesi´on de puntos en K contiene una subsucesi´on que converge a un punto que tambi´en est´a en K. Teorema 1.1 (Existencia de mejores aproximaciones sobre espacios m´etricos). Sea K un subconjunto compacto de un espacio m´etrico (X, d). Para cada punto x ∈ X, existe un correspondiente punto y ∈ K que realiza la m´ınima distancia desde x; es decir d(x, y) = inf{d(x, z) : z ∈ K}. Demostraci´ on. Como el conjunto {d(x, z) : z ∈ K} es un subconjunto de n´ umeros reales acotado inferiormente por 0, mediante el axioma del supremo podemos considerar δ =

Nociones b´asicas

5

inf{d(x, z) : z ∈ K}. Usando las propiedades del ´ınfimo de un subconjunto de n´ umeros reales, podemos construir una sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} de puntos en K tales que lim d(x, xn ) = δ.

n→∞

Por compacidad de K, la sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} posee una subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} convergente a un punto x? ∈ K. Demostraremos que el punto x? es la mejor aproximaci´on buscada. Debido a que x? ∈ K y por las propiedades del ´ınfimo de un subconjunto de n´ umeros reales, tenemos que δ ≤ d(x, x? ). Ahora, la desigualdad triangular (propiedad iv) en la definici´on 1.1) nos permite establecer que, d(x, x? ) ≤ d(x, xnj ) + d(xnj , x? ),

(1.1)

y haciendo j → ∞ en ambos miembros de la desigualdad (1.1), obtenemos que d(x, x? ) ≤ δ. Por lo tanto, d(x, x? ) = δ. ♣ Otras definiciones topol´ogicas de utilidad en nuestro desarrollo son las siguientes. Definicion 1.4 Dados (X, d) espacio m´etrico y C ⊆ X, diremos que C es cerrado si cualquier sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} en C convergente, tiene su l´ımite tambi´en en C. Es decir, C es cerrado, si y s´olo si, para cualquier sucesi´on {xn }n≥1 ⊂ C, tal que limn→∞ xn = x? , se tiene que x? ∈ C. El complemento de un conjunto cerrado es llamado conjunto abierto. Definicion 1.5 Dados (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊆ X, diremos que A es denso en B si dado  > 0, para cada x ∈ B existe y ∈ A tal que d(x, y) < . Note que si A es denso en B, entonces los elementos de B pueden ser aproximados por los elementos de A.

Nociones b´asicas

6

Definicion 1.6 Sean (X, d) y (Y, ρ) dos espacios m´etricos. Una funci´on φ : (X, d) → (Y, ρ) es continua en un punto x ∈ X, si para cualquier sucesi´on {xn }n≥1 ⊂ X, tal que limn→∞ xn = x, se tiene que limn→∞ φ(xn ) = φ(x). La funci´on φ se llama continua, si es continua en cualquier punto de su dominio. Para funciones a valores reales φ : (X, d) → (R, ρ), siempre suponemos que ρ es la m´etrica usual. Una propiedad de las funciones continuas a valores reales que nos permitir´a establecer otros resultados en el curso, est´a expresada en el siguiente Teorema 1.2 (Funciones continuas sobre conjuntos compactos). Sean (X, d) un espacio m´etrico, K ⊆ X compacto y φ : (K, d) → (R, ρ) continua. Entonces existen x? yx?? en K, tales que φ(x? ) = inf{φ(x) : x ∈ K}, φ(x?? ) = sup{φ(x) : x ∈ K}. En otras palabras, toda funci´on a valores reales definida sobre un subconjunto compacto de un espacio m´etrico, alcanza el ´ınfimo y el supremo en dicho compacto. Demostraci´ on. Sea φ una funci´on continua a valores reales definida sobre un subconjunto compacto K de un espacio m´etrico (X, d). Ya que K es compacto y φ es continua el conjunto {φ(x) : x ∈ K} est´a acotado y como consecuencia del axioma del supremo podemos considerar L = sup{φ(x) : x ∈ K}. Por las propiedades del supremo de un subconjunto de n´ umeros reales, podemos construir una sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} de puntos en K tal que lim φ(xn ) = L.

n→∞

Por compacidad de K, la sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} posee una subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} convergente a un punto x?? ∈ K. Luego usando la continuidad de φ se tiene que φ(x?? ) = L.

Nociones b´asicas

7

La demostraci´on en el caso de considerar el ´ınfimo es similar y la proponemos como ejercicio. Basta observar que inf(φ) = − sup(−φ). ♣ Teorema 1.3 (Cerrados vs. Compactos). Todo subconjunto cerrado de un conjunto compacto en un espacio m´etrico es compacto. Demostraci´ on. Sea C un subconjunto cerrado de un conjunto compacto K. Si {x1 , x2 , x3 , . . .} es cualquier sucesi´on en C, por compacidad de K, podemos encontrar una una subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} convergente a un punto x? ∈ K y como C es cerrado, x? ∈ C. En consecuencia, toda sucesi´on en C, posee una subsucesi´on que converge a un punto en C, as´ı C es compacto. ♣ Teorema 1.4 Si φ : (X, d) → (Y, ρ) es continua y K es un compacto en X, entonces φ(K) es compacto en Y . Demostraci´ on. Sean φ : (X, d) → (Y, ρ) es continua y K un subconjunto compacto de X tal que K ⊆ Dom(φ). Si {y1 , y2 , y3 , . . .} es cualquier sucesi´on en φ(K), entonces para cada n ≥ 1 existen xn ∈ K tales que yn = φ(xn ). Por compacidad de K, podemos encontrar una subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} convergente a un punto x? ∈ K y como φ es continua, φ(x? ) = limj→∞ φ(xnj ) o equivalentemente, y ? = φ(x? ) = limj→∞ ynj . Por lo tanto, φ(K) es compacto en Y . ♣ Teorema 1.5 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Todo intervalo cerrado [a, b] de R es compacto. Demostraci´ on. Realizaremos primero la demostraci´on para el intervalo cerrado [0, 1] y luego, utilizando el teorema 1.4, extenderemos un intervalo cerrado de la forma [a, b].

Nociones b´asicas

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Sea una sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} en [0, 1] fija y arbitraria. Si existe alg´ un λ ∈ [0, 1], que aparece una cantidad infinita de veces como t´ermino de la sucesi´on, entonces existe una subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} cuyos t´erminos son todos iguales a λ (una subsucesi´on constante) y es claro, que tal subsucesi´on converge a λ. Consideremos ahora el caso en el que ninguno de los t´erminos de la sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} aparece una cantidad infinita de veces como t´ermino de tal sucesi´on. Como cada t´ermino de la sucesi´on tiene una representaci´on decimal de la forma xn = 0, a1n a2n a3n . . ., donde cada ajn = 0, 1, . . . , 9, y j ≥ 1, clasificaremos a los t´erminos de la sucesi´on usando el valor de las d´ecimas en su expresi´on decimal: 1. Llamaremos S1 al conjunto de t´erminos de la sucesi´on cuyas representaciones decimales coinciden en la primera cifra decimal y dicha cifra decimal es igual a 0. Es decir, si xn y xm son dos t´erminos de la sucesi´on, ellos estar´an en S1 si xn = 0, 0a2n a3n . . . xm = 0, 0a2m a3m . . .

2. Llamaremos S2 al conjunto de t´erminos de la sucesi´on cuyas representaciones decimales coinciden en la primera cifra decimal y dicha cifra decimal es igual a 1. 3. Llamaremos S3 al conjunto de t´erminos de la sucesi´on cuyas representaciones decimales coinciden en la primera cifra decimal y dicha cifra decimal es igual a 2. En general, Llamaremos Sk+1 al conjunto de t´erminos de la sucesi´on cuyas representaciones decimales coinciden en la primera cifra decimal y dicha cifra decimal es igual a k, con k = 0, 1, . . . , 9. La familia de subconjuntos {Sk+1 : k = 0, 1, . . . , 9} es una familia tal que S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ S10 = {x1 , x2 , x3 , . . .}.

Nociones b´asicas

9

Ya que la sucesi´on est´a formada por infinitos t´erminos, entonces por lo menos uno de estos diez subconjuntos debe tener una cantidad infinita de elementos; llamaremos a ese conjunto T1 . Todos los elementos de T1 , coinciden en la primera cifra decimal y son t´erminos de la sucesi´on. Clasificaremos a los elementos de T1 usando el valor de las cent´esimas en su expresi´on decimal, (1)

es decir, llamaremos Sk+1 , al conjunto de elementos de T1 cuyas representaciones decimales coinciden en la segunda cifra decimal y dicha cifra decimal es igual a k, con k = 0, 1, . . . , 9. (1)

Nuevamente, la familia de subconjuntos {Sk+1 : k = 0, 1, . . . , 9} es una familia de subconjuntos tal que (1)

(1)

(1)

S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ S10 = T1 . Como T1 tiene una cantidad infinita de elementos, por lo menos uno de estos diez subconjuntos debe tener una cantidad infinita de elementos; llamaremos a ese conjunto T2 . Observe que los elementos de S2 coinciden en las d´ecimas y en las cent´esimas. Continuando con esta construcci´on, podemos encontrar una familia de conjuntos {T1 , T2 , . . .} tal que para cada k ≥ 1, Tk contiene una cantidad infinita de t´erminos de la sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} y sus elementos coinciden en las k primeras cifras decimales. Ahora fijemos n1 tal que xn1 ∈ T1 , n2 > n1 tal que xn2 ∈ T2 , etc. As´ı, podemos construir una subsucesi´on de {x1 , x2 , x3 , . . .} que converge al n´ umero λ = 0, cn1 cn2 cn3 . . ., donde cnk es la k-´esima cifra decimal de xnk , para cada k ≥ 1. En efecto, ya que 0 ≤ |xnk − λ| ≤ 10−k , entonces limk→∞ |xnk − λ| = 0 y en consecuencia, limk→∞ xnk = λ. Es claro, que λ ∈ [0, 1]. Por lo tanto, el intervalo [0, 1] es compacto. Finalmente, dados a, b ∈ R tales que a < b, la funci´on φ : [0, 1] → [a, b] definida por φ(x) = (b − a)x + a, es continua y φ([0, 1]) = [a, b]. Luego por el teorema 1.4, podemos concluir que el intervalo [a, b] es compacto. ♣ Definicion 1.7 Una funci´on φ : (X, d) → (Y, ρ) es uniformemente continua si dado  > 0,

Nociones b´asicas

10

existe un δ > 0 tal que la condici´on d(x, y) < δ ⇒ ρ(φ(x), φ(y)) < ,

(1.2)

es satisfecha para todo x, y ∈ X. Teorema 1.6 (Heine.) Sean (X, d), (Y, ρ) dos espacios m´etricos y f : X → Y continua. Entonces f es uniformemente continua sobre cualquier subconjunto compacto. Demostraci´ on. Supongamos que existe una funci´on continua φ : (X, d) → (Y, ρ) que no es uniformente continua sobre alg´ un subconjunto compacto K de X. Entonces existe  > 0, tal que para todo δ > 0 la condici´on 1.3 no es satisfecha para algunos x, y ∈ K. As´ı, podemos escoger un  > 0 tal que para δ = n1 , n ∈ N y algunos xn , yn ∈ K se tiene que d(xn , yn )
1. Cuando p = 2, esta norma es llamada norma eucl´ıdea. b) Denotaremos C([a, b]), al espacio de las funciones continuas sobre el intervalo [a, b], donde las operaciones algebraicas son: Suma: Para f, g ∈ C([a, b]), definimos f + g ∈ C([a, b]) como (f + g)(x) = f (x) + g(x), para todo x ∈ [a, b].

Nociones b´asicas

14

Producto por escalares: Para f ∈ C([a, b]) y λ ∈ R, definimos λf ∈ C([a, b]) como λf (x) = λf (x), para todo x ∈ [a, b]. Se define la norma kf k∞ := Maxx∈[a,b] |f (x)|. Proponemos como ejercicio, verificar que en cada caso, que las funciones definidas son normas para Rn y C([a, b]), respectivamente. Ahora, presentamos dos conceptos fundamentales del an´alisis matem´atico. Los conceptos de espacios de Banach y espacios de Hilbert. Definicion 1.9 Un espacio de Banach, es un espacio normado (X, k . k) en el cual el siguiente axioma se satisface: AC: Si {fn }n∈N ⊂ X es una sucesi´on de Cauchy (con la m´etrica inducida por el teorema 1.7), entonces existe un vector g ∈ X, tal que lim kfn − gk = 0.

n→∞

El axioma AC se conoce como axioma de completitud. Definicion 1.10 Un espacio de Hilbert, es un espacio de Banach X en el cual es v´alida la ley del paralelogramo: LP: kf + gk2 + kf − gk2 = 2kf k2 + kgk2 Teorema 1.8 El espacio C[a, b] dotado con la norma kf k∞ , es un espacio de Banach. Demostraci´ on. S´olo verificaremos el axioma de completitud, ya que la otra parte de la demostraci´on fue propuesta como ejercicio en el ejemplo 1.2.1. Consideremos una sucesi´on de Cauchy {fn } en C[a, b]. Entonces, dado  > 0, existe n0 ∈ N tal que kfn − fm k < , siempre que n, m ≥ n0 . Como para cada x ∈ [a, b] se tiene que |fn (x) − fm (x)| ≤ Max |fn (x) − fm (x)| = kfn − fm k∞ , a≤x≤b

Nociones b´asicas

15

entonces la sucesi´on num´erica {fn (x)} ⊂ R es de Cauchy para cada x ∈ R. Por lo tanto, existe yx ∈ R tal que limn→∞ fn (x) = yx . Definiendo f : [a, b] → R por f (x) := yx , nuestro problema es demostrar que f ∈ C([a, b]). Como |fn (x) − fm (x)| < , siempre que n, m ≥ n0 ; haciendo m → ∞, obtenemos que para cada  > 0, existe un n0 ∈ N tal que, |fn (x) − f (x)| < , siempre que n ≥ n0 , para cada x ∈ [a, b]. Ahora, dado x0 ∈ [a, b] arbitario, por la continuidad de fn en x0 , existe un δ > 0 tal que |fn (x) − fn (x0 )| < , siempre que |x − x0 | < δ, luego |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) + fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) + fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| < 3. Por lo tanto, f es continua en x0 . Como x0 ∈ [a, b] es arbitrario, concluimos que f ∈ C([a, b]). ♣ Se han desarrollado algunos criterios para caracterizar la compacidad de subconjuntos de un espacio m´etrico. En espacios normados, tambi´en podemos presentar un criterio adicional sobre compacidad, al introducir la noci´on de subconjunto acotado. Definicion 1.11 Un subconjunto A de un espacio normado (X, k k) se dice acotado si A ⊆ {f : kf k ≤ c}, para alguna constante c > 0. Lema 1.1 En Rn con la norma kxk∞ = max{|xi | : i = 1, . . . , n}, todo subconjunto cerrado y acotado es compacto. Demostraci´ on. Primero, demostraremos por inducci´on sobre n que los conjuntos de la forma An = {x ∈ Rn : kxk∞ ≤ 1} son compactos. Para n = 1, tenemos que A1 = [−1, 1] y por el teorema de Bolzano-Weierstrass (teorema 1.5), A1 es compacto. Supongamos que An es compacto y sea x(1) , x(2) , . . . , cualquier sucesi´on en An+1 . Cada uno de los t´erminos de

Nociones b´asicas

16 (k)

(k)

(k)

esta sucesi´on tiene la forma x(k) = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ), k ≥ 1. Como kx(k) k ≤ 1, para cada (k)

k ≥ 1, se tiene que xj

∈ [−1, 1], para cada k ≥ 1 y todo j = 1, . . . , n + 1. Entonces, la

(k)

(k )

i sucesi´on {xn+1 }k∈N ⊂ [−1, 1], contiene una subsucesi´on convergente {xn+1 }i∈N a cierto punto

tn+1 ∈ [−1, 1]. Ahora bien, con las primeras n componentes de cada t´ermino x(k) , podemos formar una (k)

(k)

(k)

sucesi´on en An , dada por y(k) = (x1 , x2 , . . . , xn ), k ≥ 1 y como por hip´otesis inductiva An es compacto, tal sucesi´on contiene una subsucesi´on convegente {y(ki ) }i∈N a cierto vector (t1 , . . . , tn ) ∈ An . Luego la subsucesi´on de {x(k) }k∈N , dada por (k )

(k )

(k )

i x(ki ) = (x1 i , x2 i , . . . , xn+1 ), i ∈ N

converge a (t1 , . . . , tn , tn+1 ) ∈ An+1 . Por lo tanto, An+1 es compacto. Consideremos ahora, cualquier subconjunto F cerrado y acotado en Rn . Como F es acotado, existe c > 0 tal que kxk ≤ c, para todo x ∈ F . Entonces F ⊆ cAn , ya que si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F , entonces x = cy, donde y = ( xc1 , xc2 , . . . , xcn ) ∈ An . Como la funci´on x → cx es continua, por el teorema 1.4, el conjunto cAn es compacto y finalmente, usando que F ⊆ cAn y el teorema 1.3, se tiene que F es compacto. ♣ Teorema 1.9 Cada subespacio cerrado, acotado y finito-dimensional en un espacio normado es compacto. Demostraci´ on. Sean (X, k k) un espacio normado y M un subespacio de X cerrado, acotado y finito-dimensional. Supongamos que dim M = k. Entonces existe un conjunto {g1 , . . . , gk } de vectores linealmente independientes, tal que para cada g ∈ M existe una u ´nica P k-tupla λ = (λ1 , . . . , λk ) ∈ Rk que satisface g = ki=1 λi gi . Sea Ψ : Rk → M , la funci´on dada por Ψ(λ) = Ψ((λ1 , . . . , λk )) =

k X i=1

λi gi = g.

Nociones b´asicas

17

Si consideramos a Rk con la norma k k∞ , entonces Ψ es una funci´on continua, ya que

k k

X

X

kΨ((λ1 , . . . , λk )) − Ψ((µ1 , . . . , µk ))k = λi gi − µi gi

i=1

i=1 k

X

= (λi − µi )gi

≤

i=1 k X

k X

i=1

i=1

|λi − µi |kgi k ≤ kλ − µk∞

kgi k.


Adem´as, M = Φ {λ ∈ Rk : Ψ(λ) ∈ M } , de modo que por el teorema 1.4, para demostrar la compacidad de M , basta demostrar la compacidad de HM := {λ ∈ Rk : Ψ(λ) ∈ M } ⊂ Rk . As´ı, por el lema 1.1, s´olo debemos verificar que el conjunto HM es cerrado y acotado. Si λ(1) , λ(2) , . . . es una sucesi´on en HM , que converge a un vector λ, entonces por continuidad de Ψ, tenemos que   Ψ(λ) = Ψ lim λ(k) = lim Ψ(λ(k) ). k→∞

k→∞

Al ser M un conjunto cerrado, tenemos que Ψ(λ) ∈ M y por definici´on de HM , es claro que λ ∈ HM . Por lo tanto HM es un conjunto cerrado. Ahora demostraremos que HM es un conjunto acotado. Sea λ ∈ HM . Como el conjunto {λ ∈ Rk : kλk∞ = 1} es compacto y Ψ es continua, entonces por el teorema 1.2 Ψ alcanza su supremo y su ´ınfimo sobre {λ ∈ Rk : kλk∞ = 1} y denotemos por α a tal ´ınfimo. Note que α > 0, porque el conjunto {g1 , . . . , gk } est´a formado por vectores linealmente independientes (verifique esta afirmaci´on). Luego, para λ ∈ {λ ∈ Rk : Ψ(λ) ∈ M }, con λ 6= 0, tenemos que

 

λ

kλk∞ = kΨ(λ)k. αkλk∞ ≤ Ψ

kλk∞ Finalmente, como Ψ(λ) ∈ M y M es acotado, entonces existe C > 0 tal que kΨ(λ)k ≤ C, de donde se deduce que kλk∞ ≤

C . α

♣ Corolario 1.1 Todo espacio normado (X, k k) de dimensi´on finita, es compacto.

Nociones b´asicas

18

Demostraci´ on. (Ejercicio). ♣

1.3

Espacios con producto interno.

Otra clase especial de espacios vectoriales, que pueden ser dotados de una norma y una m´etrica deducida a partir de tal norma, son llamados espacios con producto interno. En esta secci´on, estudiaremos algunas de sus propiedades. Definicion 1.12 Dado X un espacio vectorial real, un producto interno sobre X es una funci´on h· , ·i : X × X → R, que satisface las siguientes propiedades i) hf, f i > 0 siempre que f 6= 0 y hf, f i = 0 si f = 0. ii) hf, gi = hg, f i iii) hf, λg + hi = λhf, gi + hf, hi. El par (X, h· , ·i) recibe el nombre de espacio con producto interno. Ejemplo 1.3.1 Algunos espacios vectoriales ya considerados, son tambi´en espacios con producto interno. a) Rn y definimos para x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) el siguiente producto interno hx, yi := x1 y1 + · · · + xn yn . b) C([a, b]) y definimos para f, g ∈ C([a, b]) el producto interno, Z b hf, gi := f (x)g(x)dx. a

Nociones b´asicas

19

c) Pn y definimos sobre Pn el producto interno de la siguiente manera. Si p, q ∈ Pn , entonces p(x) =

k X

ai x

i

y

q(x) =

i=0

m X

bj x j ,

i=0

para algunos escalares ai , bj ∈ R, (0 ≤ i ≤ k), (0 ≤ j ≤ m), (0 ≤ k, m ≤ n). Definimos, hp, qi =

k+m X

ai b i .

i=0

Teorema 1.10 En cualquier espacio con producto interno (X, h , i), la ecuaci´on kf k =

p hf, f i

permite definir una norma con las siguientes propiedades i) |hf, gi| ≤ kf kkgk (desigualdad de Cauchy-Schwarz). ii) kf + gk ≤ kf k + kgk (desigualdad triangular). iii) kf + gk2 + kf − gk2 = 2kf k2 + kgk2 (ley del paralelogramo). iv) hf, gi = 0 ⇒ kf + gk2 = kf k2 + kgk2 (teorema de Pit´agoras). Demostraci´ on. i) Sean f, g ∈ X. Si alguno de los dos vectores es el vector nulo, claramente la desigualdad es satisfecha. Supongamos entonces que g 6= 0, luego f ∈ {λg : λ ∈ R} o´ f ∈ / {λg : λ ∈ R}. Si f ∈ {λg : λ ∈ R}, existe µ ∈ R tal que f = µg, de donde |hf, gi| = |µ| |hg, gi| = |µ| kgk2 = kµgk kgk = kf k kgk y en consecuencia, tambi´en es satisfecha la desigualdad. As´ı, nuestro problema se reduce a demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para el caso en que f ∈ / {λg : λ ∈ R}. Supongamos que f y g no satisfacen la desigualdad, es

Nociones b´asicas

20

g i, tenemos que decir, son tales que |hf, gi| > kf k kgk. Entonces, considerando λ = hf, kgk

      g g g g g 2 ,f − λ = hf, f i − 2λ f, +λ , f −λ kgk kgk kgk kgk kgk  2  2 g g = hf, f i − 2 f, + f, kgk kgk 2  g = kf k2 − f, n, entonces {g1 , . . . , gk } es un subconjunto con m´as de n vectores en un espacio vectorial de dimensi´on n y en consecuencia es linealmente dependiente tambi´en. P P Supongamos que ki=1 αi gi = 0, con ki=1 |αi | 6= 0. Tomando α0 = 0, entonces ∀λ ∈ R, tenemos que k X (θi + λαi )gi = 0 i=0

y podemos adem´as elegir λ tal que |λ| sea el menor valor posible de modo que θi + λαi = 0. El

Nociones b´asicas

26

resto de los coeficientes son no-negativos y no todos nulos porque θ0 + λα0 = θ0 > 0. Pero con P este λ, la suma ki=0 (θi + λαi )gi tiene al menos, un t´ermino no nulo. Sustituyendo gi por fi − g en la suma anterior, tenemos g

k X

θi + λαi =

i=0

y dividiendo por

Pk

i=0 θi + λαi ,

k X

(θi + λαi )fi ,

i=0

obtenemos una expresi´on para g, que contradice el hecho de que

k sea el m´ınimo valor, tal que los coeficientes en la representaci´on convexa de g sean positivos. ♣ Corolario 1.3 La c´apsula convexa de cualquier subconjunto compacto K en un espacio normado de dimensi´on finita, es tambi´en un conjunto compacto. Demostraci´ on. Sea (X, k k) un espacio normado, con dim X = n y K ⊂ X compacto. Dada v1 , v2 , . . . una sucesi´on en K(K), por el teorema de Carath´eodory, cada vk puede ser Pn Pn expresado en la forma vk = i=0 θki = 1 y xki ∈ K. Por la i=0 θki xki , donde θki ≥ 0, P compacidad tanto de K como del conjunto {(θ0 , . . . , θn ) : θi ≥ 0, ni=0 θi = 1}, existe una sucesi´on de ´ındices k1 , k2 , . . . tal que limj→∞ θkj ,i = θi y limj→∞ xkj ,i = xi , para cada i = 0, . . . , n. Por lo tanto, la sucesi´on v1 , v2 , . . . contiene una subsucesi´on convergente a un punto de K(K) y consecuentemente, K(K) es compacto. ♣ Teorema 1.14 Cualquier subconjunto cerrado y convexo en Rn posee un u ´nico punto de norma m´ınima. Demostraci´ on. Sea K ⊂ Rn cerrado y convexo. Consideremos {xj }j∈N ⊂ K tal que limj→∞ kxj k = δ := inf x∈K kxk. Entonces, por la ley del paralelogramo

2

1

2 2 2

. kxi − xj k = 2kxi k + 2kxj k − 4 (x + x ) i j

2

Nociones b´asicas

27

Como K es convexo 12 (xi + xj ) ∈ K, por lo que 12 (xi + xj ) ≥ δ. En consecuencia, kxi − xj k2 ≤ 2kxi k2 + 2kxj k2 − 4δ 2 , y si i, j → ∞, el miembro derecho de esta u ´ltima desigualdad tiende a 0. Por lo tanto, la sucesi´on {xj }j∈N es de Cauchy. Sea x ∈ Rn el punto l´ımite de {xj }j∈N ; como K es cerrado, x ∈ K. Por la continuidad de la funci´on norma, se tiene que kxk = δ. Para demostrar la unicidad de x, es suficiente observar que si kxk = kyk = d y x 6= y,

entonces 12 (x + y) < δ. ♣

1.4.1

Existencia y unicidad de las mejores aproximaciones.

Hemos establecido en las secciones precedentes, que agregando condiciones adicionales a los espacios m´etricos, podemos determinar mejores aproximaciones y que en general, estas mejores aproximaciones no tienen por qu´e ser u ´nicas. Finalizaremos este cap´ıtulo, estudiando una clase de espacios normados, donde se puede determinar la unicidad de las mejores aproximaciones. Teorema 1.15 (Existencia de puntos que realizan la m´ınima distancia desde un punto prefijado). En un espacio normado (X, k k), todo subespacio de dimensi´on finita contiene al menos, un punto que realiza la m´ınima distancia desde un punto prefijado. Demostraci´ on. Sea M ⊂ X de dimensi´on finita y f ∈ X un punto prefijado. Dado g0 ∈ M un punto arbitrario, el punto que queremos encontrar, debe pertenecer al conjunto S = {g ∈ M : kg − f k ≤ kg0 − f k}. S es cerrado y acotado, entonces por el teorema 1.9 S es compacto y usando el teorema 1.1, S contiene un punto cuya distancia a g es m´ınima.

♣

Nociones b´asicas

28

Cuando en un subconjunto de un espacio normado (X, k k) existan puntos que realicen la m´ınima distancia desde un punto prefijado f ∈ X, diremos que tal subconjunto posee la propiedad de m´ınima aproximaci´on al punto f . Una pregunta natural es: ¿La condici´on de dimensi´on finita es realmente necesaria o podemos debilitarla en el teorema anterior?. La respuesta a esta pregunta, la motiva el siguiente ejemplo, donde se evidencia que la hip´otesis de dimensi´on finita no puede omitirse en el enunciado del teorema anterior. No obstante, en el teorema 1.16 se demuestra que tal hip´otesis puede ser sustituida por otras, para obtener el mismo resultado. Ejemplo 1.4.1 Denotemos por c0 al espacio de todas las sucesiones {λn }n∈N ⊂ R tales que limn→∞ λn = 0, con norma k{λn }k = max |λn |. n∈N

Dotado con esta norma, c0 es un espacio de Banach (verif´ıquelo). Entonces el subespacio de c0 dado por

( M=

{λn }n∈N ∈ c0 :

∞ X

) −k

2 λk = 0 ,

k=1

no contiene ning´ un punto que realice la m´ınima distancia desde un punto prefijado en c0 . Para verificar esta afirmaci´on, consideremos f = {ηn }n∈N ∈ c0 \ M . Entonces el n´ umero P −k L= ∞ k=1 2 ηk 6= 0. Demostraremos que la distancia entre f y cualquier g ∈ M es mayor que |L|. Para ello, observamos que los puntos de la forma 2 g1 = − {L, 0, 0, . . .} + f, 1 4 g2 = − {L, L, 0, . . .} + f, 3 4 g2 = − {L, L, 0, . . .} + f, 3 .. . gn = − .. .

2n {L, L, L, . . . , L, 0, . . .} + f, 2n − 1

Nociones b´asicas

29

pertenecen a M . Adem´as, kgn − f k =

2n |L| 2n −1

→ |L|, cuando n → ∞. Ahora, si g = {λn }n∈N ∈ M ,

escogemos n0 ∈ N tal que |λk − ηk | < 12 |L|, siempre que k ≥ n0 (esta elecci´on de n0 siempre es posible, ya que los elementos de c0 son sucesiones que convergen a 0). Supongamos que kg − f k ≤ |L|, entonces ∞ ∞ X X |L| = 2−k ηk = 2−k (ηk − λk ) k=1

≤

∞ X

k=1

2−k |ηk − λk |

k=1

X

≤ |L|

k |L|, para todo g ∈ M. Definicion 1.14 Diremos que un espacio normado (X, k k) es uniformemente convexo, si para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que kf − gk < , siempre que kf k = kgk = 1 y k 12 (f + g)k > 1 − δ. Desde el punto de vista geom´etrico, ´esta es una propiedad que posee la esfera unitaria. Si el punto medio de un segmento de recta que une a un par de puntos sobre la esfera, se acerca a la superficie, entonces los puntos extremos de dicho segmento deben estar cerca. Teorema 1.16 En un espacio de Banach uniformemente convexo, todo subconjunto cerrado y convexo posee la propiedad de m´ınima aproximaci´on a un punto prefijado del espacio. Demostraci´ on. Sean X un espacio de Banach uniformemente convexo y K ⊂ X cerrado y convexo. Fijado f ∈ X, consideremos ∆ = inf g∈K kg − f k. Si ∆ = 0, entonces como K es cerrado, es inmediato que f ∈ K. Si ∆ 6= 0, podemos reemplazar f por f˜ =

f , ∆

as´ı sin

Nociones b´asicas

30

p´erdida de generalidad, podemos suponer que ∆ = 1. Elijamos una sucesi´on {fn } ⊂ K tal que limn→∞ kfn k = 1. Luego, dado  > 0, consideremos un δ > 0 como en la definici´on de convexidad uniforme y elijamos n0 ∈ N tal que kfn k − 1 < δ, siempre que n ≥ n0 . Entonces, usando la desigualdad triangular y la convexidad de K, tenemos que para n, m ≥ n0

   

1 1

fn − fm = 1 fn + fm − 1 − 1 fn − 1 − fm



2 kfn k kfm k 2 kf k kfm k  n    1 1 1 1 1 ≥ kfn + fm k − 1− kfn k − 1− kfm k 2 2 kfn k 2 kfm k > 1 − δ.

n o

fn fm fn Ahora por convexidad uniforme, tenemos que kfn k − kfm k < , es decir, la sucesi´on kfn k es de Cauchy. Como X es de Banach, existe g ∈ X tal que

fn kfn k

→ g, si n → ∞.

Por otra parte,



fn

f n

+

kfn − gk ≤ f − n

kfn k kfn − gk

 

1

1

, + − f ≤ kfn k 1 −

kfn k

kfn k

fn de donde se deduce que fn → g, si n → ∞. Como K es cerrado, g ∈ K y kfn k = 1 entonces kgk = 1. La demostraci´on de la unicidad de g, la proponemos como ejercicio al lector. ♣ En general, el punto que realiza la m´ınima distancia desde un punto prefijado en el teorema 1.15 no es u ´nico. Por ejemplo, si en R2 consideramos la norma k k∞ y M = {g = (x, 0) : x ∈ R}, para f = (0, 1) tenemos que kg − f k∞ = 1, para todo g = (x, 0) ∈ M , con |x| ≤ 1. Este ejemplo, sugiere que la curvatura de la esfera unitaria, ejerce una influencia sobre la unicidad del punto que realiza la m´ınima distancia desde un punto prefijado. En efecto, la unicidad de tal punto, puede ser garantizada si suponemos la condici´on de que la esfera unitaria de centro en 0 en un espacio normado X, no contenga segmentos de recta

Nociones b´asicas

31

f

M

Figure 1.3: En M existe m´as de un elemento que realiza la m´ınima distancia a f . sobre su superficie, es decir,



1

kf k = kgk = (f + g)

= 1 ⇒ f = g. 2

(1.4)

Los espacios normados que satisfacen la condici´on 1.4 son llamados espacios estrictamente convexos. Finalizaremos esta secci´on, con el teorema de unicidad para los puntos que realizan la m´ınima distancia desde un punto prefijado en espacios estrictamente convexos. Teorema 1.17 En un espacio normado estrictamente convexo, cualquier subespacio finitodimensional posee un u ´nico elemento que realiza la m´ınima distancia desde un punto prefijado. Demostraci´ on. Sea X estrictamente convexo y M subespacio finito-dimensional de X. Dado f ∈ X, la existencia de un elemento g ∈ M , que realice la m´ınima distancia δ, est´a garantizada por el teorema 1.15. Por lo tanto, s´olo debemos demostrar la unicidad de tal elemento. Supongamos que g 0 ∈ M es otro elemento que realiza la m´ınima distancia desde f a M . Entonces

1

0

(g + g ) − f ≤ 1 kg − f k + 1 kg 0 − f k = δ.

2

2 2

Nociones b´asicas

32

Como M es subespacio vectorial de X, 12 (g + g 0 ) ∈ M y por lo tanto,

1

(g + g 0 ) − f ≥ δ.

2

Ahora si δ = 0, es claro que g = g 0 . Si δ 6= 0, entonces los vectores h =

δ , (g−f )

h0 =

δ (g 0 −f )

y

h00 = 12 (h + h0 ) tienen norma 1 y como X es estrictamente convexo, se tiene h = h0 , de donde se deduce que g = g 0 . ♣

1.5

Funciones convexas.

En resumen, para determinar un punto en un subespacio finito-dimensional M , (de un espacio normado X) que realice la m´ınima distancia desde un punto prefijado f ; se realiza el siguiente algoritmo: 1. Escoger una base {g1 , . . . , gn } de M (suponiendo que dim M = n). 2. Buscar el m´ınimo de la expresi´on

n

X

∆(c) = ∆((c1 , . . . , cn )) = ci gi − f .

i=1

La funci´on ∆ : Rn → R, es una funci´on en n variables a valores reales. Su continuidad se deduce de la desigualdad triangular y otra propiedad ha destacar de la funci´on ∆, es que ella es una funci´on convexa. M´as precisamente, para cada x, y ∈ Rn . ∆(λx + µy) ≤ λ∆(x) + µ∆(y), siempre que λ, µ ≥ 0 y λ + µ = 1. Las funciones convexas son herramientas muy u ´tiles en los problemas de optimizaci´on y finalizaremos este cap´ıtulo, enunciando dos propiedades simples, pero muy importantes, de las funciones convexas (ver [2], [4] o´ [11]).

Nociones b´asicas

33

Teorema 1.18 Sea f una funci´on convexa. Si f alcanza un m´aximo relativo en x0 , entonces tambi´en alcanza m´aximo absoluto en x0 . Teorema 1.19 Toda funci´on convexa definida sobre un conjunto abierto y convexo de Rn , es continua.

1.6

Ejercicios.

1. Considere el espacio m´etrico del inciso b) del Ejemplo 1.1.1 y determine para este espacio a) Las sucesiones convergentes. b) Los conjuntos cerrados. c) Los conjuntos compactos. d) Las funciones continuas a valores reales. 2. ¿Cu´ales de las siguientes funciones definen una m´etrica en R? a) d(x, y) = ln(1 + |x − y|). b) d(x, y) = e|x−y| − 1. c) d(x, y) = |x − y|2 . 3. Dado (X, d) un espacio m´etrico y sea x0 ∈ X un punto fijo. Demuestre que la funci´on φx0 : (X, d) → (R, ρ) definida por φx0 (x) = d(x0 , x) es continua. Use este resultado para deducir el teorema 1.1, como corolario del teorema 1.2.

Nociones b´asicas

34

4. Dadas d y d0 dos m´etricas sobre X, diremos que d y d0 son equivalentes (d  d0 ) si existen constantes c, c0 > 0, tales que cd0 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ c0 d0 (x, y) ∀ x, y ∈ X. Considere en Rn las siguientes m´etricas: v uX u n d(x, y) = t (xj − yj )2 , j=1

d0 (x, y) = max{|xi − yi | : i = 1, . . . , n}, donde x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ). Demuestre que d  d0 . 5. Demuestre que una sucesi´on convergente en un espacio m´etrico (X, d), no puede tener dos l´ımites distintos. 6. Un punto x? ∈ (X, d) se dice punto de acumulaci´on de una sucesi´on {x1 , x2 , x3 , . . .} si existe alguna subsucesi´on {xn1 , xn2 , xn3 , . . .} que converge a x? . a) Demuestre que un subconjunto K de un espacio m´etrico (X, d) es compacto, si y s´olo si, cualquier sucesi´on en K tiene un punto de acumulaci´on que pertenece a K. b) Demuestre que si una sucesi´on en un conjunto compacto tiene un s´olo punto de acumulaci´on, entonces la sucesi´on converge a este punto. 7. Dados (X, d) un espacio m´etrico y {x1 , x2 , x3 , . . .} una sucesi´on en X, tal que xn → x? , demuestre que el conjunto {x? , x1 , x2 , x3 , . . .} es compacto. 8. ¿Es la uni´on de dos conjuntos compactos un conjunto compacto? 9. Demuestre que si x ∈ A y A es un conjunto abierto, entonces existe un  > 0 tal que {y : d(x, y) < } ⊆ A.

Nociones b´asicas

35

10. Dado (X, k k) un espacio normado, demuestre que: i) k0k = 0 ii) kf − gk ≥ |kf k − kgk| iii) Si kfn − gk → 0 y kfn − hk → 0, entonces g = h P Pm iv) k m n=1 fn k ≤ n=1 kfn k



v) Si kf k = 6 0 entonces kff k = 1 11. Demuestre que kf k∞ = |f(x)|x∈[a,b] es una norma sobre C([a, b]). 12. En C([a, b]), kfn − gk∞ → 0, si y s´olo si, {fn } converge uniformemente a g. 13. En C([a, b]), kf gk∞ ≤ kf k∞ kgk∞ . 14. Demostrar que si {fn } ⊂ C([a, b]) converge uniformemente a una funci´on f , entonces f ∈ C([a, b]). 15. Considere el espacio C([0, 2]) con norma kf k2 =

R

b a

f 2 (x)dx

1/2

y la sucesion de funciones

{fn } dada por fn (x) =

        

si 0 ≤ x ≤ 1 −

1, − nx + 2

n+1 , 2

0,

1 n

si 1 −

1 n

0 consideramos el n´ ucleo gaussiano γ(x) := e−x y es bien conocido que mediante el cambio de variable u = x−t , tenemos que h Z ∞ Z ∞ 2 √ 2 −( x−t ) h e he−u du = h π. dt = −∞

−∞

Ahora, definimos la familia Gh , como la convoluci´on de f˜ con γh (x) =

2 − x

e √( h ) πh

, ∀h > 0. M´as

precisamente, 1 Gh (x) := (f ∗ γh )(x) = √ πh

Z

∞

x−t 2 1 f˜(t)e−( h ) dt = √ πh −∞

Z

∞

2

t f˜(x − t)e−( h ) dt

(2.8)

−∞

y entonces podemos escribir, 1 Gh (x) − f˜(x) = √ πh

Z

∞

h

i t 2 f˜(x − t) − f˜(x) e−( h ) dt.

(2.9)

−∞

Mediante la continuidad uniforme de f˜, tenemos que dado  > 0, existe un δ > 0, tal que |f˜(x − t) − f˜(x)| <  si |t| < δ. Por lo tanto, Z ∞ Z Z t 2 1 − ( ) √ |f˜(x − t) − f˜(x)|e h dt ≤  |γh (t)|dt + 2kf k∞ |γh (t)|dt πh −∞ |t| 0 y x ∈ [0, 1], tales que nk − x ≥ δ, para k = 0, . . . , n. Entonces
2 k − x ≥ 1, luego n X

| nk −x|≥δ, 0≤k≤n

  n 1 xk (1 − x)n−k ≤ 2 k δ

X



k −x n

2   n k x (1 − x)n−k k

| nk −x|≥δ, 0≤k≤n 2     n  n 1 X 1 X k n k 2 n n−k ≤ 2 −x x (1 − x) = 2 2 (k − nx) xk (1 − x)n−k . δ k=0 n k δ n k=0 k

Ahora bien,   n X 2 n (k − nx) xk (1 − x)n−k = n2 Bn (x2 ; x) − 2xn2 Bn (x; x) + (nx)2 Bn (1; x) = nx(1 − x), k k=0

Aproximaci´on polinomial de donde

porque x(1 − x) ≤

49

  n 1 X nx(1 − x) 1 2 n xk (1 − x)n−k = (k − nx) ≤ 2 , 2 2 2 2 δ n k=0 k δ n 4δ n 1 4

para todo x ∈ [0, 1].

Por otro lado, n   X n k 1 = x (1 − x)n−k , de donde k k=0   n X n k f (x) = f (x) x (1 − x)n−k , luego k k=0

    n  X k n k x (1 − x)n−k f (x) − Bn (f ; x) = f (x) − f n k k=0           X X k k n k n k n−k x (1−x) + x (1−x)n−k . = f (x) − f f (x) − f n k n k | nk −x| 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [0, 1], luego si α, β ∈ [0, 1] tenemos que |f (α) − f (β)| ≤ 2M . Si x es un punto de continuidad de f , dado  > 0, existe δ1 > 0 tal que |f (x) − f (y)| < , siempre que |x − y| < δ1 . Por lo que |f (x) − Bn (f ; x)| ≤

X

    f (x) − f k n xk (1 − x)n−k n k

| nk −x| 0, se tiene que 0 ∈ M , es el punto m´as cercano en M a la funci´on f − g. Consideremos Mn = span{g1 , . . . , gn }. Entonces 0 ∈ Mn es el punto m´as cercano de Mn a la funci´on f − g. Como Mn satisface la condici´on de Haar, por el teorema de alternancia 2.8, f − g debe tener al menos n + 1 de alternancia, es decir, f − g tiene al menos n + 1 oscilaciones. Ya que esto es cierto para todo n, entonces f − g no puede ser una funci´on continua, lo cual es una contradicci´on.

♣

Definicion 2.5 Dado un conjunto {g1 , g2 , . . . , gn } ⊂ C([a, b]) que satisface la condici´ on de Haar, definimos para f ∈ C([a, b]) su menor desviaci´on como E(f ) = inf{kf − P k : P ∈ span{g1 , g2 , . . . , gn }}. Otra aplicaci´on del teorema de alternancia 2.8 es el siguiente

Aproximaci´on polinomial

57

Teorema 2.10 (Teorema de de La Vall´ee Poussin). Sea f ∈ C[a, b]. Si P es un polinomio generalizado tal que la funci´on f − P cambia de signo en n + 1 puntos consecutivos, xi ∈ [a, b], entonces min |f (xi ) − P (xi )| ≤ E(f ). i

Demostraci´ on. Supongamos que la conclusi´on del teorema es falsa. Entonces existe un polinomio generalizado P0 , tal que kf − P0 k < min |f (xi ) − P0 (xi )|. i

Por lo tanto, el polinomio P0 − P = (f − P ) − (f − P0 ) cambia de signo en n + 1 puntos y consecuentemente, se anula en n puntos. Pero esto no es posible, porque {g1 , g2 , . . . , gn } satisface la condici´on de Haar (ver ejercicio 10 de este cap´ıtulo). ♣ Respecto a la unicidad de una mejor aproximaci´on por polinomios generalizados, tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.11 (Unicidad). Si {g1 , g2 , . . . , gn } ⊂ C([a, b]) satisface la condici´on de Haar, entonces la mejor aproximaci´ on P de cada funci´on continua f ∈ C([a, b]), por polinomios generalizados ci gi es u ´nica. Demostraci´ on. Sea f ∈ C([a, b]) y supongamos que P y Q son dos polinomios generalizados que mejor aproximan a f . Por la desigualdad triangular, 12 (P + Q) tambi´en ser´ıa una mejor aproximaci´on para f (verif´ıquelo). Luego por el teorema de alternancia (corolario 2.1), existen x0 , x1 , . . . , xn en [a, b] tales que 1 f (xi ) − (P (xi ) + Q(xi )) = (−1)i , 2 donde || = kf − P k. Por lo tanto, 1 1 (f (xi ) − P (xi )) + (f (xi ) − Q(xi )) = (−1)i . 2 2

Aproximaci´on polinomial

58

Como ninguno de los sumandos del miembro izquierdo de la igualdad anterior puede tener valor absoluto mayor que ||, entonces tenemos que f (xi ) − P (xi ) = f (xi ) − Q(xi ) = (−1)i . Luego, P y Q son polinomios generalizados que toman los mismos valores en n + 1 puntos, por lo que el polinomio generalizado P − Q tiene n + 1 ceros, lo cual es una contradici´on (ver ejercicio 10 de este cap´ıtulo). ♣

2.3

Ejercicios.

1. Demuestre por inducci´on que 1 x0 x20 · · · .. .. .. .. . . . . 1 xn x2n · · ·

xn0 .. . xnn

= Π0≤j 0 y que

Rb a

f (x)w(x)dx existe, ∀f ∈ C([a, b]).

Estas condiciones son necesarias, para que se verifiquen las propiedades del producto interno definidas en la secci´on 1.3. Por ejemplo, en el postulado i) de la definici´on de espacios con producto interno tenemos f 6= 0 ⇒ hf, f i > 0. Observamos que si f 6= 0, entonces existe x0 ∈ [a, b] tal que  = |f (x0 )| > 0. Por la continuidad de f , podemos encontrar un subintervalo J ⊂ [a, b], tal que λ ∈ J y |f (x)| > 21 . Entonces Z hf, f iw = a

b

2 f (x)w(x)dx ≥ f (x)w(x)dx ≥ 4 J Z

2

2

Z w(x)dx > 0. J

El an´alogo discreto de este producto es dado por hf, gi =

m X

f (xi )g(xi )w(xi ).

(3.4)

i=1

Este es casi un producto interno, excepto por no cumplir el postulado i). Sin embargo, esta expresi´on tambi´en ser´a de uitilidad en este cap´ıtulo. En la secci´on 1.3 del cap´ıtulo 1, se coment´o algunas de las ventajas de los sistemas ortonormales como herramientas para resolver el problema de aproximaci´on b´asica. Usando sistemas

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

64

ortonormales, dimos una soluci´on expl´ıcita al problema de minimizar la expresi´on f−

n X

ci g i ,

i=1

cuando el conjunto de funciones {g1 , g2 , . . . , gn } era ortonormal. Tambi´en dimos la definici´on de sucesi´on ortonormal y ahora en este contexto, una sucesi´on de funciones continuas {fn }n∈N se dir´a ortonormal, si para cualquier par n, m ∈ N se tiene que Z b fn (x)fm (x)w(x) = δnm . a

Sea {g1 , g2 , . . . , gn } n conjunto linealmente independiente de funciones continuas sobre [a, b]. P Queremos aproximar a f ∈ C([a, b]), por los polinomios generalizados ni=1 ci gi , mediante la norma cuadr´atica. Para hacer esto, necesitamos determinar un vector c = (c1 , . . . , cn ), tal que, minimice la expresi´on Z ∆(c) = a

b

n X

!2 ci gi (x) − f (x)

w(x)dx.

i=1

Si consideramos ∆ como una funci´on de Rn en R, tenemos que ∆ es diferenciable en cada componente ci y entonces las soluciones de la ecuaci´on Como ∂∆ =2 ∂cj

Z a

b

n X

∂∆ ∂cj

= 0 son los valores extremos de ∆.

! ci gi (x) − f (x) gj (x)w(x)dx,

y esta u ´ltima expresi´on puede ser escrita de la forma  Z b X Z b gi (x)gj (x)w(x) ci = f (x)gj (x)w(x)dx, i

j = 1, . . . , n,

i=1

a

j = 1, . . . , n.

a

Obtenemos de esta u ´ltima igualdad, un sistema lineal de n ecuaciones y n inc´ognitas (las ci ) que escribimos como, n X i=1

Aji ci = bj ,

(3.5)

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

65

donde Aji = hgj , gi iw y bj = hf, gj iw . As´ı que nuestro problema se reduce a resolver el sistema lineal (3.5). Observamos que la matriz de este sistema A = (Aji ), es la matriz identidad cuando el conjunto {g1 , g2 , . . . , gn } es ortonormal. Sin embargo, el sistema lineal (3.5) es siempre resoluble por procedimientos est´andar del algebra lineal. La matriz A = (Aji ) es conocida en la literatura, como matriz de Gram y es una matriz no singular. Ahora presentaremos algunos ejemplos de sistemas ortogonales de funciones. Ejemplo 3.0.1 1. La sucesi´on

n

o

√1 , cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . 2

es una sucesi´on ortonormal con respecto

al producto interno 1 hf, gi = π

Z

π

f (x)g(x)dx. −π

(Verif´ıquelo). 2. El conjunto

n

√1 , cos x, sen x, . . . , cos(N 2

hf, gi =

− 1)x, sen (N − 1)x

2N 1 X f (xj )g(xj ), N i=1

o

es ortogonal con respecto a

donde xj =

jπ . N

(Verif´ıquelo). 3. La sucesi´on de polinomios de Tchebycheff   T0 √ , T1 , T2 , . . . 2 es ortonormal con respecto al producto interno Z 2 1 hf, giw = f (x)g(x)w(x)dx, π −1

donde w(x) = √

(Verif´ıquelo haciendo el cambio de variable x = cos θ).

1 1 − x2

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

66

4. La sucesi´on de polinomios de Jacobi n o (α,β) (α,β) (α,β) P0 , P1 , P2 , . . . es ortogonal con respecto al producto interno Z 1 f (x)g(x)w(x)dx, donde w(x) = (1 − x)α (1 + x)β , hf, giw =

α, β > −1.

−1

5. La sucesi´on de polinomios de Hermite {H0 , H1 , H2 , . . .} es ortogonal con respecto al producto interno Z ∞ hf, giw = f (x)g(x)w(x)dx,

2

donde w(x) = e−x .

−∞

Gracias al proceso de ortogonalizaci´on de GramSchmidt, podemos determinar los polinomios de los ejemplos 4 y 5, a partir de la sucesi´on {1, x, x2 , . . .}.

3.1

Sistemas de polinomios ortogonales.

Comenzaremos esta secci´on, con un criterio de independencia lineal para sucesiones de polinomios. Lema 3.1 Cualquier sucesi´on de polinomios {Q0 , Q1 , . . .} en la cual para cada n ≥ 0, Qn sea un polinomio de grado exactamente n, es linealmente independiente. Adem´as, cualquier polinomio de grado menor o igual que n, puede expresarse como combinaci´ on lineal de Q0 , . . . , Qn .

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

67

En la aplicaci´on del proceso de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt a una sucesi´on {f1 , f2 , . . .}, cada miembro gn del conjunto ortonormal construido, est´a definido como una combinaci´on lineal de fn y de los gk anteriormente construidos. En el caso de la sucesi´on {1, x, x2 , . . .}, existe un importante resultado, que permite simplificar esta construcci´on y dar de manera iterativa, la forma del sistema ortogonal derivado de {1, x, x2 , . . .} cuando el producto interno es definido como en (3.4). Teorema 3.1 (F´ormula de recurrencia a tres t´erminos). La sucesi´on de polinomios m´onicos definida de la siguiente manera Qn (x) = (x − an )Qn−1 (x) − bn Qn−2 (x), donde Q−1 (x) = 0, Q0 (x) = 1, an =

hxQn−1 ,Qn−1 iw hQn−1 ,Qn−1 iw

y bn =

hxQn−1 ,Qn−2 iw , hQn−2 ,Qn−2 iw

es ortogonal con

respecto al producto interno (3.4). Demostraci´ on. Demostraremos por inducci´on sobre n que hQn , Qi iw = 0,

para i < n.

Para n = 0, no hay nada que demostrar. Para n = 1, tenemos que hQ1 , Q0 iw = hxQ0 − a1 Q0 , Q0 iw = hxQ0 , Q0 iw − a1 hQ0 , Q0 iw , pero como a1 =

hxQ0 ,Q0 iw , hQ0 ,Q0 iw

entonces al sustituir el valor de a1 obtenemos hQ1 , Q0 iw = hxQ0 , Q0 iw − hxQ0 , Q0 iw = 0.

Ahora supongamos que nuestra hip´otesis es cierta para n − 1, es decir, hQn−1 , Qi iw = 0,

para i < n − 1.

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

68

Entonces hQn , Qn−1 iw = h(x − an )Qn−1 − bn Qn−2 , Qn−1 iw = hxQn−1 , Qn−1 iw − an hQn−1 , Qn−1 iw − bn hQn−2 , Qn−1 iw = hxQn−1 , Qn−1 iw − an hQn−1 , Qn−1 = 0. Similarmente, hQn , Qn−2 iw = h(x − an )Qn−1 − bn Qn−2 , Qn−2 iw = hxQn−1 , Qn−2 iw − an hQn−1 , Qn−2 iw − bn hQn−2 , Qn−2 iw = hxQn−1 , Qn−2 iw − bn hQn−2 , Qn−2 = 0. Ahora si i < n − 2, tenemos que hQn , Qi iw = h(x − an )Qn−1 − bn Qn−2 , Qi iw = hxQn−1 , Qi iw − an hQn−1 , Qi iw − bn hQn−2 , Qi iw = hQn−1 , xQi iw = hQn−1 , Qi+1 + ai+1 Qi + bi+1 Qi−1 iw = 0. Observamos que para esta u ´ltima igualdad, hemos empleado la f´ormula de recurrencia a tres t´erminos para despejar a xQi . ♣ Ejemplo 3.1.1 Sean [a, b] = [−1, 1] y w(x) = 1, ∀x ∈ [−1, 1]. Aplicando el teorema anterior, podemos obtener los llamados polinomios ortogonales (m´onicos) de Legendre: {Pn (x)}n≥0 .

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

69

Observamos que los primeros cinco polinomios m´onicos de Legendre son: P0 (x) = 1, P1 (x) = x, 1 P2 (x) = x2 − , 3 5 P3 (x) = x3 − x, 3 6 3 P4 (x) = x4 − x2 + . 7 35 Teorema 3.2 Los polinomios ortogonales m´onicos {Qn (x)}n≥0 dados en el teorema 3.1, son polinomios de norma m´ınima. Demostraci´ on. Como Qn (x) es m´onico y el conjunto {Q0 (x), Q1 (x), . . . , Qn (x)} es una base de Pn , cualquier polinomio m´onico P (x) puede expresarse en la forma P (x) = Qn (x) − an−1 Qn−1 (x) − · · · − a0 Q0 (x). Luego, por el teorema 1.11 del cap´ıtulo 1, la cantidad kP k2 = hP, P iw ser´a m´ınima, si y s´olo si, los coeficientes ak son los coeficientes de Fourier con respecto a la base ortogonal {Q0 (x), Q1 (x), . . . , Qn−1 (x)}, por lo que ak =

hQn ,Qk iw hQk ,Qk iw

= 0 y por lo tanto P (x) = Qn (x). ♣

Otra propiedad importante de los polinomios ortogonales asociados al producto interno h·, ·iw , es la siguiente. Teorema 3.3 Los ceros del polinomio ortogonal Qn (x) definido en el teorema 3.1, son reales, est´an contenidos en el intervalo [a, b] y son exactamente n. Demostarci´ on. (Ver [3] ´o [16]).

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

70 ♣

Finalmente, los sistemas de polinomios ortogonales nos permiten solucionar el problema de integraci´on num´erica, el cual consiste b´asicamente, en encontrar los valores aproximados de la integral definida b

Z

f (x)dx, a

a partir de un n´ umero finito de valores de la funci´on f . De la definici´on de la integral definida P como un l´ımite de sumas de Riemann de la forma f (ξi )(xi+1 − xi ), deducimos que el proceso de integraci´on num´erica es posible. Queremos entonces, encontrar una aproximaci´on de la forma

n X

b

Z

f (x)dx ≈ a

Ai f (xi ).

(3.6)

i=1

En este tipo de f´ormulas, los puntos xi est´an predeterminados y se llaman nodos, mientras que los coeficientes Ai suelen determinarse de manera que la f´ormula anterior sea exacta para los polinomios de grado menor que n. Es decir, Z

b

P (x)dx = a

n X

∀P ∈ Pn−1 .

Ai P (xi ),

(3.7)

i=1

Es posible demostrar, que si tenemos una f´ormula del tipo (3.6), ella es exacta en Pn−1 , utilizando al polinomio interpolante de Lagrange en los n nodos xi tal que P (x) =

n X

f (xi )li (x).

i=1

Observamos que Z

b

Z f (x)dx ≈

a

donde Ai =

b

P (x)dx = a

n X i=1

Z f (xi )

b

li (x)dx = a

n X

f (xi )Ai ,

(3.8)

i=1

Rb

l (x)dx. a i

Si f (x) ∈ Pn−1 , entonces P (x) = f (x) y la f´ormula de integraci´on num´erica anterior es exacta.

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

71

Adem´as, un razonamiento an´alogo es tambi´en v´alido, si agregamos una funci´on de peso a la integral Z b Z b Z b n n X X f (x)w(x)dx ≈ P (x)w(x)dx = f (xi ) li (x)w(x)dx = f (xi )Ai , a

donde Ai =

a

a

i=1

(3.9)

i=1

Rb

l (x)w(x)dx. a i

Debemos a Gauss, el descubrimiento de la escogencia de los nodos para lograr la exactitud de la f´ormula 3.9 sobre los polinomios de grado menor o igual que 2n − 1.

M´as precisamente, tenemos el siguiente teorema. Teorema 3.4 (F´ormulas de integraci´on gaussiana o f´ormulas de cuadratura gaussiana). La f´ormula de integraci´on Z

b

f (x)w(x)dx ≈ a

n X

Ai f (xi ),

i=1

satisface i)

Rb a

P (x)w(x)dx =

Pn

i=1

Ai P (xi ),

∀P ∈ Pn−1 .

ii) Adem´as, se tiene que, Z

b

P (x)dx = a

n X

Ai P (xi ),

∀P ∈ P2n−1 ,

i=1

si y s´olo si, los nodos xi son los ceros del polinomio ortogonal Qn (x), definido en el teorema 3.1. Demostraci´ on. La demostraci´on de i) ya fue realizada. Demostremos ii). Sean x1 , x2 , . . . , xn los ceros de Qn (x). Si P (x) ∈ P2n−1 , entonces por el algoritmo de la divisi´on de Euclides, podemos encontrar polinomios T (x) y R(x) tales que P (x) = Qn (x)T (x)+R(x), donde el grad (T (x))

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

72

y el grad (R(x)) son menores que n. Por i), la f´ormula de cuadratura es exacta para T (x) y R(x). Como Qn (x) es ortogonal a T (x), entonces tenemos que Z b Z b Z b R(x)w(x)dx Qn (x)T (x)w(x)dx + P (x)w(x)dx = a a a Z b = R(x)w(x)dx a

=

n X

Ai R(xi ) =

i=1

n X

Ai P (xi ).

i=1

♣

3.2

Convergencia de desarrollos ortogonales y convergencia uniforme.

Consideremos C([a, b]) dotado con el producto interno Z b hf, giw = f (x)g(x)w(x)dx. a

˜ 0 (x), Q ˜ 1 (x), . . .} la sucesi´on de polinomios ortonormales obtenida por el proceso de orSea {Q togonalizaci´on de Gram-Schmidt de la sucesi´on {1, x, x2 , . . .}. Por el teorema 1.11, sabemos que P ˜ i en si f ∈ C[a, b] es una funci´on aproximable por combinaciones lineales de la forma ni=1 ci Q la norma de m´ınimos cuadrados, entonces los coeficientes ci deben ser los coeficientes de Fourier ˜ i iw . Una observaci´on importante sobre estos coeficientes, es que ellos de f ; es decir, ci = hf, Q no dependen de n. Este hecho, contrasta enormemente con el hecho de que los coeficientes o´ptimos en las aproximaciones con la norma uniforme, generalmente dependen de n. P ˜ ˜ Ahora bien, a cada funci´on f ∈ C([a, b]), le corresponde una serie de la forma ∞ i=0 hf, Qi iw Qi , la cual tiene la propiedad de que sus sumas parciales son las mejores aproximaciones de f en m´ınimos cuadrados. No est´a claro hasta el momento, si esta serie converge en cualquier punto, o si ella representa a f (x) en los puntos donde converge. Lo que si es cierto, es que si f

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

73

es un polinomio de grado n, entonces la serie converge uniformemente a f , en virtud de la ˜ 0 (x), Q ˜ 1 (x), . . .}. En tal caso, ortogonalidad de la sucesi´on {Q f=

∞ n X X ˜ i iw Q ˜i = ˜ i iw Q ˜ i. hf, Q hf, Q i=0

i=0

Para hacer un breve estudio de estas cuestiones, denotaremos por Sn (f ) =

Pn

˜

˜

i=0 hf, Qi iw Qi

a la suma parcial de la serie anterior y por Υn (f ) al polinomio de grado menor o igual que n, que es la mejor aproximaci´on a f en la norma uniforme (o en el sentido Tchebycheff). En [2] se demuestra que no es cierto, en general que para f ∈ C[a, b], se tenga que kf − Sn (f )k∞ → 0

cuando n → ∞.

Sin embargo, para otro tipo de convergencia, la situaci´on es m´as favorable. Teorema 3.5 Para toda f ∈ C([a, b]) se tiene que i) kf − Υn (f )k∞ → 0. ii) kf − Υn (f )kw → 0. iii) kf − Sn (f )kw → 0. Demostraci´ on. El teorema de Weierstrass implica i). Para la afirmaci´on ii), tenemos que Z b Z b 2 2 2 kf − Υn (f )kw = |f (x) − Υn (f )(x)| w(x)dx ≤ kf − Υn (f )kT w(x)dx, a

a

y usando i), tenemos que kf − Υn (f )k2T → 0, de donde se deduce ii). Finalmente, para iii) tenemos que como Sn (f ) es la mejor aproximaci´on por m´ınimos cuadrados kf − Sn (f )kw ≤ kf − Υn (f )kw y por ii) kf − Υn (f )kw → 0, as´ı que kf − Sn (f )kw → 0. ♣ Para una funci´on continua particular, las sumas parciales Sn (f ) pueden no s´olo fallar en la convergencia uniforme, sino adem´as, pueden fallar tambi´en para la convergencia puntual. Es

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

74

decir, puede existir una funci´on continua f y un punto x0 ∈ [a, b] tal que limn→∞ Sn (f )(x0 ) no exista. Pero, imponiendo ciertas condiciones de suavidad sobre la funci´on f , se demuestra que kf − Sn (f )kT → 0. El teorema que hemos escogido para terminar esta secci´on, ilustra esta situaci´on. Teorema 3.6 Si f ∈ C 2 ([−1, 1]), entonces el desarrollo de f en polinomios de Tchebycheff converge uniformemente a f . Demostraci´ on. El desarrollo al que nos referimos es ∞ X 1 Ak Tk , S(f ) = A0 + 2 k=1

donde Z

1

dx . 1 − x2 −1 Realizando el cambio de variable x = cos θ, obtenemos que Z 2 π Ak = g(θ) cos(kθ)dθ, π 0 2 Ak = π

f (x)Tk (x) √

donde g(θ) = f (cos θ). Integrando por partes dos veces, nos queda Z π 2 Ak = − 2 cos(kθ)g 00 (θ)dθ. πk 0 Pero como f ∈ C 2 ([−1, 1]), entonces existe M > 0 tal que |Ak | ≤ M k −2 y por lo tanto la serie P |Ak | converge. En consecuencia, la serie de f en polinomios de Tchebycheff converge por el criterio M de Weierstrass. Adem´as, la funci´on F a la cual la serie de Tchebycheff converge es una funci´on continua, por lo que nuestro problema se reduce a demostrar que f = F . Ahora, kf − F kw ≤ kf − Sn (f )kw + kSn (f ) − F kw y usando el teorema anterior, el primer t´ermino del miembro derecho de esta desigualdad converge a 0, de esta manera otenemos que kf − F kw = 0, con lo cual finaliza la demostraci´on. ♣

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

3.3

75

Aproximaci´ on polinomial en espacios de Sobolev con pesos cl´ asicos.

Ahora, para finalizar este cap´ıtulo, vamos a realizar el estudio del problema de aproximaci´on por polinomios, en otro contexto mucho m´as general, al considerar ciertos espacios de funciones que definiremos en forma poco rigurosa. Supongamos que tenemos dos espacios de Banach, de funciones definidas sobre un intervalo [a, b], a los cuales denotaremos por W1 y W2 , con dos normas asociadas. Dado un conjunto de pesos w0 , . . . , wk , definidos sobre el intervalo [a, b], estudiaremos el problema de ”aproximaci´on simult´anea”, con respecto a las normas definidas por kf kW k,∞ :=

k X

(j)

f wj . ∞

(3.10)

j=0

kf kW k,2

k X

(j)

f , := wj

(3.11)

j=0

donde w0 , . . . , wk son funciones de peso definidas sobre el intervalo [a, b]. S. Sobolev consider´o este tipo de normas en sus espacios normados correspondientes por primera vez, por lo cual usualmente, son llamadas normas de Sobolev (ver Ap´endice). De (3.10) y (3.11) se deduce que para la funci´on f , debe existir por lo menos, hasta la k-´esima derivada y que los resultados de aproximaci´on deben estar basados en resultados de aproximaci´on para cada una de las funciones involucradas en las normas de los sumandos. Teorema 3.7 (Una versi´on del teorema de Weierstrass.) Si los pesos w0 , . . . , wk−1 est´an acotados en el intervalo [a, b], el peso wk es tal que

Rb

dx a wk (x)

0, existe un polinomio P y una constante C > 0 tales que kf − P kW k,∞ < C.

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

76

Demostraci´ on. Dado  > 0, sea Q ∈ P tal que k(f (k) − Q)wk k∞ < . Elijamos x0 ∈ [a, b] y consideremos el polinomio f (k−1) (x0 ) (x − x0 )k−1 + P (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) · · · + (k − 1)! 0

Z

x

Q(t) x0

(x − t)k−1 . (k − 1)!

Este polinomio satisface que P

(j)

(x) = f

(j)

(x0 )+· · ·+f

(k−1)

Z x (x − x0 )k−j−1 (x − t)k−j−1 (x0 ) + , Q(t) (k − j − 1)! (k − j − 1)! x0

para j = 0, . . . , k−1.

Por lo tanto, f

(j)

(x) − P

(j)

Z

x

(x) =

f a

(k)


(x − t)k−j−1 (t) − Q(t) dt, (k − j − 1)!

para j = 0, . . . , k − 1.

De donde, x

k−j−1 (k) f (t) − g(t) |x − t| dt (k − j − 1)! x0 Z b Z b

(k) wk (t) dx

(f (k) − Q)wk , dt ≤ c1 ≤ c1 f (t) − g(t) ∞ wk (t) a wk (x) a R para j = 0, . . . , k − 1, porque ab wkdx(x) ∞.

(j) f (x) − P (j) (x) ≤

Z

Consecuentemente,

kf − P kW k,∞ ≤ c2 (f (k) − Q)wk ∞ ,

con P ∈ P . ♣

Otros resultados an´alogos para el problema de aproximaci´on por funciones de clase C k o funciones de clase C ∞ , en espacios de Sobolev con peso vectorial, pueden encontrarse en [13] y [14].

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

3.4

77

Ejercicios.

1. Determine los cinco primeros t´erminos de las sucesiones de polinomios ortogonales m´ onicos de Tchebycheff, Jacobi, y Hermite. 2. Funciones de Rademacher: Un ejemplo de un sistema ortogonal de funciones discontinuas es el siguiente: dado n ≥ 1, divida el intervalo [0, 1) en 2n subintervalos de la forma  1
1 2
2 3
0, 2n , 2n , 2n , 2n , 2n , . . . y defina Rn alternando 1 y -1 en cada par de intervalos sucesivos. a) Muestre que la sucesi´on {Rn }n∈N as´ı construida es ortogonal con respcto al producto R1 interno hf, gi = 0 f (x)g(x)dx. b) Determine los tres primeros t´erminos de esta sucesi´on. 3. Muestre que si ∈ C([0, 1]), entonces Z

1

Z

2

|f (x)| dx

|f (x)|dx ≤ 0

1

1/2 .

0

Sugerencia: Recuerde la desigualdad de Cauchy-Scwarz. 4. Considere un intervalo sim´etrico [−a, a], una funci´on par w(−x) = w(x) y el producto interno h·, ·iw . Muestre que si {f1 , f2 , . . .} es una sucesi´on ortogonal de funciones pares y {g1 , g2 , . . .} es una sucesi´on ortogonal de funciones impares entonces {f1 , g1 , f2 , g2 . . .} es una sucesi´on ortogonal. 5. Si el proceso de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt es aplicado a la base {xn , xn−1 , . . . , 1} (en este orden), la sucesi´on de polinomios ortogonales resultantes satisfacer´a una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos?

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados

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6. Definimos como ”sucesi´on de Dirac”, a una sucesi´on de funciones {Kn }, a valores reales, definidas sobre todo R, que satisfacen las propiedades siguientes: I. Tenemos que Kn (x) ≥ 0 para todo n y x ∈ R. R∞ II. Cada Kn es continua y −∞ Kn (t)dt = 1. III. Dados  > 0 y δ, existe N tal que si N ≥ n, entonces Z −δ Z ∞ Kn (t)dt + Kn (t)dt < . −∞

δ

Si f es cualquier funci´on real continua a trozos y acotada, definimos la ”convoluci´on” de f con respecto a la familia {Kn }, como Z

∞

fn (x) := (f ∗ Kn )(x) =

f (x − t)Kn (t)dt. −∞

Definiremos para n ≥ 1, cn :=

R1 −1

(1 − t2 )n dt y la familia Kn como

  c−1 (1 − t2 )n , −1 ≤ t ≤ 1 n Kn (t) =  0, si no. Entonces, demostrar que (a) {Kn } es una sucesi´on de Dirac. Para ello verifique que cn ≥ 2/(n + 1). Adem´as, P k Kn (x − t) = 2n k=0 gk (t)x , donde gk son polinomios en t. P k (b) Si fn (x) := (f ∗ Kn )(x), entonces fn (x) = 2n k=0 ak x , donde los coeficientes ak = R1 f (t)gk (t)dt. 0 (c) Si f ∈ C([−1, 1]) entonces limn→∞ kf − Kn k∞ = 0. Esta es otra versi´on de la demostraci´on del teorema de Weierstrass y las funciones Kn se llaman n´ ucleos de Landau.

Aproximaci´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados 7. Sea f continua en [0, 1]. Si tenemos que

R1 0

xn f (x)dx = 0, ∀n ≥ 0, entonces f ≡ 0.

Sugerencia: Usar el teorema de Weierstrass para aproximar a f por un polinomio y demostrar que la integral de f 2 es igual a cero. 8. Si f es una funci´on continua, entonces para todo h > 0 tenemos que Z 1 h f (x) = πf (0). lim h→0 −1 h2 + x2

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Ap´ endice Biograf´ıas de algunos matem´ aticos mencionados en este libro Karl Weierstrass (1815-1897) Karl Weierstrass, nace en Prusia (hoy Alemania), el 31 de Octubre de 1815, en una familia no muy adinerada, pero muy culta. Su padre Wilhelm era un importante agente de impuestos, trabajo que lo obligaba a trasladarse continuamente de ciudad en ciudad con toda su familia. A finales de 1829, el padre de Weierstrass consigui´o un trabajo estable en Paderborn. Karl, por consiguiente, pudo estudiar en la secundaria cat´olica, donde aprenderi´o matem´atica, demostrando gran capacidad para la misma. Seguidamente, al terminar sus estudios en 1834, decide dedicarse completamente a la matem´atica, aunque el deseo de su padre era que se dedicara a las finanzas. A principios de 1839, en la academia de M¨ unster sigue las lecciones de Christoph Gudermann en funciones el´ıpticas, las cuales us´o al a˜ no siguiente con el prop´osito de lograr la autorizaci´on para la ense˜ nanza. Despu´es de 11 a˜ nos ense˜ nando en la escuela primaria, en el gimnasio cat´olico y en el colegio Deutsche Krone y de Braunsberg, fue golpeado por una enfermedad nerviosa que lo debilit´o, arriesgando sus estudios y su trabajo. 80

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Durante muchos a˜ nos trabaj´o en el anonimato; no obstante, en 1856 public´o su teor´ıa de la inversi´on de la integral hiperel´ıptica, en el Journal fr die reine und angewandte Mathematik. El trabajo fue titulado “Theorie der Abelschen funktionen” (Teor´ıa de las funciones Abelianas), el cual estaba basado en los trabajos del matem´atico noruego Niels Henrik Abel (1802-1829). Este trabajo, le asegur´o un puesto en la Escuela Regia Polit´ecnica de Berl´ın (un instituto t´ecnico). En el mismo a˜ no, fue profesor de la tambi´en prestigiosa Universidad de Berl´ın. Cabe mencionar, que esta investigaci´on de Weierstrass, tambi´en se apoyaba en la investigaci´on del matem´atico alem´an Carl Gustav Jacobi (1804-1851). En 1861 sus condiciones f´ısicas empeoraron, pero esto no le impidi´o desarrollar su trabajo y crear en el mismo a˜ no, un seminario de matem´aticos en Berl´ın. Su ciclo de lecciones incluy´o la introducci´on a la teor´ıa de funciones el´ıpticas, el c´alculo de variaciones, adem´as estuvo interesado en el trabajo del matem´atico franc´es Joseph-Luis Langrange (1736-1813) y sus teor´ıas en an´alisis matem´atico, disponiendo los cimientos para aritmetizar el an´alisis matem´atico a trav´es de rigurosos desarrollos del sistema de n´ umeros reales. A causa de conflictos internos en el ambiente matem´atico de la ´epoca, tuvo ciertos altercados con Leopold Kronecker, debido a esta tendencia de aritmetizar el an´alisis. En aquellos momentos Leopold Kronecker y su colega alem´an Julius Dedekind se encontraban desarrollando la teor´ıa abstracta, de los cuerpos y su aplicaci´on a la teor´ıa de n´ umeros. J. Dedekind encontr´o una definici´on adecuada para los n´ umeros reales, a partir de los racionales y Weierstrass conjuntamente con Georg Cantor (1845-1918) tambi´en dieron otras definiciones. Weierstrass fue asaltado por el miedo de no completar su estudio de las funciones abelianas y llegar as´ı el fracaso de todo su trabajo, debido a que las ideas fundamentales y la explicaci´on de sus m´etodos no hab´ıan sido publicados. En 1887 se encontraba profundamente seguro de la edici´on de sus trabajos despu´es de su muerte. A pesar de su esfuerzo, la publicaci´on estaba incompleta pese a que la desaparic´on prematura de L. Kronecker desvaneci´o, la gran polemica existente entre estos dos importantes matem´aticos.

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Weierstrass (conocido como el padre del an´alisis moderno), fue miembro de muchas academias y en 1892 se le confiri´o la medalla Helmoltz de la Academia en Berl´ın y la medalla Copey de la Real Sociedad. Para ese entonces, estaba imposibilitado de caminar y usaba una silla las ruedas. Estando en Berl´ın, una complicaci´on pulmonar, le causa la muerte el 19 de febrero de 1897.

Hermann Schwarz (1843-1921). Hermann Schwarz nace en Hermsdorf (actualmente Polonia) el 25 de enero de 1843. Su padre era arquitecto. Schwarz estudi´o en la secundaria de Dortmund, donde su materia favorita fue qu´ımica. Cuando termin´o la escuela, ingres´o en Gewerbeinstitut (llamada m´as tarde, Universidad T´ecnica de Berl´ın) con el objetivo de graduarse de qu´ımico. Luego de un tiempo estudiando qu´ımica, decide cambiarse a estudiar matem´aticas, influenciado por Kummer y Weierstrass. Estudiando matem´aticas, se interesa por el estudio de geometr´ıa de la mano Karl Pohlke. Tambi´en asisti´o a las clases de Weierstrass sobre el c´alculo integral, durante 1861 y las notas que tom´o de estas clases, a´ un existen. Su inter´es en geometr´ıa estuvo combinado con las ideas anal´ıticas de Weierstrass. Siempre intent´o trasladar ideas propias de la geometr´ıa al lenguaje del an´alisis. Continu´o sus estudios en Berl´ın, supervisado por Weierstrass, hasta que en 1864 culmina su doctorado. Uno de los jurados de su tesis doctoral fue Kummer. En Berl´ın, el trabajo de Schwarz fue sobre superficies minimales (superficies de a´rea m´ınima), un problema caracter´ıstico del c´alculo de variaciones. Su contribuci´on m´as importante en este campo, la hizo en 1865, cuando descubri´o la superficie que hoy en d´ıa, se conoce como superficie minimal de Schwarz. En 1892 acept´o un cargo de profesor en la Universidad de Berl´ın, donde permaneci´o hasta 1918. Adem´as de las razones profesionales, Schwarz ten´ıa razones de tipo personal para permanecer Berl´ın; se hab´ıa casado con la hija de Kummer, era miembro de la brigada voluntaria

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y m´as sorprendentemente, ayudaba al jefe de estaci´on del ferrocarril local cerrando las puertas de los trenes. Otra a´rea en la que tambi´en trabaj´o fue en aplicaciones conformes. En 1870 escribi´o un trabajo relacionado con el teorema de aplicaci´on conforme de Riemann. Su trabajo m´as importante es un art´ıculo conmemorando los 70 a˜ nos de Weierstrass. En este trabajo, respondi´o a la pregunta de que si una superficie minimal dada tiene ´area minimal. Una idea utilizada en la demostraci´on de este trabajo, fue la de construir una funci´on utilizando el m´etodo de aproximaciones sucesivas, dado por Emile Picard para su prueba de la existencia de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales. Tambi´en este trabajo, contiene la desigualdad para integrales que luego se conoceria con el nombre de desigualdad de Schwarz. Hoy en d´ıa, se sabe que esta es una desigualdad v´alida en un contexto m´as general y es conocida con el nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. No es sorprendente que gran parte de sus trabajos, est´en caracterizados por el estudio de problemas muy espec´ıficos, usando m´etodos de gran generalidad para su resoluci´on, lo cual dice mucho de su gran intuici´on, basada en un profundo sentido geom´etrico. La desigualdad de Cauchy-Schwarz aparece en formulaciones de matem´aticos como Bunyakovsky, Cauchy, Grassmann, Von Neumann y Weyl, tanto desde el punto de vista aritm´etico y geom´etrico como desde la teor´ıa general de funciones. La forma en la cual es presentada, hoy en d´ıa es, hx + my, x + myi ≥ 0, donde x, y son elementos de un espacio de Hilbert y m es un escalar (real o complejo). La demostraci´on moderna que conocemos fue dada en 1918 y se le atribuye a Weyl. Schwarz muere en Berl´ın, el 30 de noviembre de 1921.

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Stefan Banach (1892-1945) Stefan Banach naci´o en Cracovia, Austria-Hungr´ıa (hoy Polonia), el 30 de marzo de 1892. El nombre de su padre era Stefan Greczek. Lo primero que observamos, es que Banach no era el apellido de su padre. Stefan Greczek era un oficial de impuestos que no se cas´o con la madre de Banach, la cual por cierto, desapareci´o de escena despu´es de que Stefan fuera bautizado, cuando ´el s´olo ten´ıa cuatro d´ıas de nacido, y nada m´as se supo de ella. El nombre que le di´o su madre (seg´ un consta en su certificado de nacimiento) fue Katarzyna Banach. Algunos piensan que su madre trabajaba como sirvienta en la casa de su padre, mientras otros, creen que fue una lavandera que cuid´o de Banach en sus primeros a˜ nos. Se cuenta que Banach intent´o encontrar el paradero de su madre, pero su padre siempre se neg´o a ayudarlo, pues hab´ıa jurado mantener en secreto su identidad. Banach asisti´o a la escuela primaria en Cracovia terminando en 1902, para empezar su educaci´on secundaria en el Henryk Sienkiewicz No 4, tambi´en en Cracovia. All´ı estudi´o con quien ser´ıa otro excelente matem´atico, Witold Wilkosz. Su excelente rendimiento en los primeros a˜ nos de estudio, compensaron su precario rendimiento en los a˜ nos finales y le permitieron mejorar los resultados de su examen final. Banach present´o y aprob´o su examen final en 1910, pero sin honor alguno. Un 15% de sus compa˜ neros, aprobaron con honores. Cuando termin´o la secundaria, ´el y Wilkosz quisieron estudiar matem´aticas pero los dos sent´ıan que nada nuevo podr´ıa descubrirse en esta a´rea. As´ı, cada uno escogi´o trabajar en un a´rea diferente a matem´atica; Banach escogi´o estudiar ingenier´ıa y Wilkosz idiomas orientales. Cabe observar que quienes luego ser´ıan excelentes matem´aticos, pudieron tomar esas radicales desiciones, por no contar en ese momento con nadie que los orientara adecuadamente. El padre de Banach nunca le di´o mucho apoyo a su hijo y una vez que Banach termin´o la escuela secundaria le dijo abiertamente que no lo ayudadar´ıa m´as y que estar´ıa solo a partir de ese momento. Banach dej´o Cracovia y fue a Lvov (hoy Ucrania), donde se inscribi´o en la Facultad de Ingenier´ıa de la Universidad T´ecnica de Lvov. Ya que no ten´ıa apoyo financiero,

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tuvo que mantenerse dando clases particulares, lo cual le ocupaba mucho de su tiempo. As´ı se gradu´o en 1914 en m´as tiempo de lo usual. Frecuentemente, viajaba a Cracovia durante el per´ıodo de sus estudios en Lvov. No est´an completamente claros los planes de Banach, despu´es de su graduaci´on. Sin embargo, el inicio de la Primera Guerra Mundial, en agosto de 1914 poco despu´es su graduaci´on, le hizo salir de Lvov. Lvov estaba (en el momento en que Banach estudi´o all´ı) bajo el mando austr´ıaco (como hab´ıa sido desde la divisi´on de Polonia en 1772). En la juventud de Banach, Polonia no exist´ıa y Rusia controlaba gran parte del pa´ıs. Varsovia s´olo ten´ıa una universidad de idioma ruso y estaba situada en lo que se llam´o Tierra Vistula. Con el estallido de la Primera Guerra Mundial, tropas rusas ocuparon la ciudad de Lvov. Banach no aprob´o la prueba f´ısica para el servicio militar, por miop´ıa en su ojo izquierdo. Durante la guerra, trabaj´o construyendo caminos y tambi´en pas´o tiempo en Cracovia ense˜ nando en las escuelas locales. Asisti´o tambi´en a las clases de matem´atica en la Universidad de Jagiellonian en Cracovia. Un evento que causar´ıa gran impacto en la vida de Banach, ocurri´o en la primavera de 1916, cuando conoci´o por casualidad a Steinhaus en un parque de Cracovia (Steinhaus regresaba de cumplir servicio militar y se encontaba en Cracovia, pasando unos d´ıas antes de seguir su camino a Lvov para trabajar en la Universidad de Kazimierz). Un d´ıa, mientras Steinhaus caminaba por las calles de Cracovia, oy´o la frase medida de Lebesgue y se acerc´o al banco del parque donde se encontraban dos j´ovenes aprendices de matem´atica; se les present´o y ellos le dijeron que ten´ıan otro compa˜ nero de nombre Witold Wilkosz a quien alabaron de manera extravagante. Los j´ovenes eran Stefan Banach y Otto Nikodym. Desde aquel momento Steinhaus, Banach y Nikodym, se reunir´ıan frecuentemente en ese parque y alg´ un tiempo despu´es, decidieron establecer una sociedad matem´atica. Steinhaus le coment´o a Banach de un problema en el cual estaba trabajando sin lograr tener ´exito en su resoluci´on. Despu´es de que unos d´ıas, Banach ten´ıa la idea principal para el contraejemplo requerido. As´ı Steinhaus y Banach escribieron un art´ıculo juntos y se lo

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presentaron a Zaremba para la publicaci´on. La guerra retras´o la publicaci´on del art´ıculo. El primer art´ıculo de Banach, apareci´o en el Bolet´ın de la Academia de Cracovia en 1918. Tiempo despu´es de la produci´on de los primeros resultados con Steinhaus, Banach empez´o a producir resultados matem´ticos importantes con r´apidez. Es imposible decir que, sin el encuentro con Steinhaus, Banach habr´ıa seguido la ruta de investigaci´on en matem´atica. Tambi´en fue a trav´es de Steinhaus que Banach conoci´o a su futura esposa Lucja Braus, con quien se cas´o en 1920. Con la iniciativa de Steinhaus, la Sociedad Matem´atica de Cracovia fue fundada en 1919. Zaremba presidi´o la reuni´on inaugural y se le eligi´o como el primer Presidente de la Sociedad. Banach desert´o dos veces en la Sociedad durante 1919 y continu´o produciendo art´ıculos de investigaci´on de primera calidad. La Sociedad Matem´atica de Cracovia sigui´o adelante y en 1920 se transform´o en la Sociedad Matem´atica Polaca. Banach volvi´o a la Universidad T´ecnica de Lvov en 1920. All´ı present´o una disertaci´on para optar al doctorado bajo la supervisi´on de Lomnicki. Pese a que Banach no ten´ıa ning´ un t´ıtulo de matem´atica a nivel universitario, su caso se trat´o como excepcional y se le permit´o someter su trabajo a evaluaci´on. El t´ıtulo de este trabajo fue Sobre operaciones en conjuntos abstractos y sus aplicaciones a ecuaciones integrales. Esta tesis marc´o el nacimiento del an´alisis funcional. En 1924, Banach fue promovido a profesor titular de la Universidad T´ecnica de Lvov y pas´o el a˜ no escolar 1924-25 en Par´ıs. Los a˜ nos de guerra fueron sumamente ocupados para Banach. Continu´o su producci´on en investigaci´on matem´atica y palarelamente escribi´o varios textos en aritm´etica, geometr´ıa y a´lgebra para escuelas secundarias. En 1929, junto con Steinhaus, fund´o una nueva revista, Studia Mathematica, de la cual Banach y Steinhaus fueron los primeros editores. La pol´ıtica editorial estaba dirigida a la investigaci´on en an´alisis funcional y temas relacionados. Otra publicaci´on importante, fue la serie de monograf´ıas matem´aticas (1931). Estaba bajo la direcci´on editorial de Banach y Steinhaus de Lvov, Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz, y Sierpinski de Varsovia. El primer volumen en la serie fue Th´eorie des Op´erations lin´eaires,

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(escrito por Banach) y apareci´o en 1932. Fue la versi´on francesa de un volumen publicado originalmente en polaco en 1931 y r´apidamente se volvi´o un cl´asico. Otra influencia importante para Banach, fue el hecho de que Kuratowski visitara la Universidad T´ecnica de Lvov en 1927 y trabajara all´ı hasta 1934. Banach colabor´o con Kuratowski y escribieron algunos art´ıculos juntos durante ese per´ıodo. La forma de trabajo de Banach fue muy original: le gustaba hacer matem´atica con sus colegas en los caf´es de Lvov. Muy fecuentes fueron sus visitas al famoso “Caf´e Escoc´es de Lvov”. Banach pasar´ıa la mayor parte de sus d´ıas en los caf´es, no s´olo en la compa˜ n´ıa de otros matem´aticos, sino tambi´en solo. Le gustaba el ruido y la m´ usica, lo que no le imped´ıa concentrarse y pensar. Algunas veces, cuando ya no quedaba ning´ un caf´e abierto en la ciudad, Banach se marchaba a la estaci´on del tren, donde la cafeter´ıa estaba abierta y con un vaso de cerveza segu´ıa pensando en sus problemas. En 1939, justo antes del inicio de la Segunda Guerra Mundial, Banach fue elegido como Presidente de la Sociedad Matem´atica Polaca. Al principio de la guerra, las tropas sovi´eticas ocuparon Lvov. Banach hab´ıa establecido buenas relaciones con los matem´aticos sovi´eticos antes de que empezara la guerra. Visit´o Mosc´ u varias veces y fue bien tratado por la nueva administraci´on sovi´etica; le permitieron continuar con su cargo en la universidad y fue Decano de la Facultad de Ciencias. Sobolev y Aleksandrov visitaron a Banach en Lvov en 1940, mientras que Banach asisti´o luego a sus conferencias en la Uni´on Sovi´etica. Se encontraba en Kiev, cuando Alemania invadi´o la Uni´on Sovi´etica por lo que regres´o inmediatamente con su familia a Lvov. Con la ocupaci´on nazi de Lvov, en Junio de 1941, llegaron momentos muy d´ıficiles para Banach. Los nazis lo apresaron bajo la sospecha de tr´afico de dinero alem´an, pero semanas despu´es fue liberado. Sobrevivi´o al tiempo de los asesinatos de matem´aticos polacos, pero su tutor doctoral Lomnicki no tuvo la misma suerte. Hacia finales de 1941 (y durante el resto de la ocupaci´on nazi), Banach trabaj´o alimentando

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piojos para el tratamiento de enfermedades contagiosas. Cuando las tropas sovi´eticas volvieron a tomar Lvov, retom´o sus contactos y se encontr´o con Sobolev fuera de Mosc´ u, pero ya su salud se encontraba mal. Un c´ancer pulmonar estaba socavando sus fuerzas y muri´o en Lvov el 31 de agosto de 1945. Banach fund´o el an´alis funcional moderno y sus mayores contribuciones fueron hechas en espacios vectoriales top´ologicos, adem´as contribuy´o en teor´ıa de la medida, integraci´on teor´ıa de juegos y desarrollos ortogonales. En su tesis doctoral, defini´o axiom´aticamente, lo que hoy conocemos como espacios de Banach. La idea de la definici´on de estos espacios, fue introducida por otros matem´aticos casi al mismo tiempo. Por ejemplo, Wiener introdujo la noci´on pero no desarroll´o la teor´ıa. El t´ermino espacio de Banach fue acu˜ nado por Fr´echet. La importancia de su contribuci´on, radica en que ´el desarroll´o una teor´ıa sistem´atica del an´alisis funcional, donde s´olo hab´ıa, hasta ese momento, resultados aislados. La teor´ıa de Banach generaliz´o contribuciones hechas por Volterra, Fredholm y Hilbert en ecuaciones integrales. Otras contribuciones de Banach, que son conocidas en la actualidad, son el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Steinhaus, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Banach-Tarski.

David Hilbert (1862-1943) David Hilbert asisti´o a la secundaria de su pueblo natal en K¨onigsberg (hoy Kaliningrad, Rusia). Despu´es de su graduaci´on, entr´o en la Universidad de K¨onigsberg. Hiz´o su doctorado ¨ bajo la direcci´on de Lindemann y lo termin´o en 1885. El t´ıtulo de su tesis fue Uber invariante Eigenschaften specieller bin¨arer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen. Uno de sus amigos fue Minkowski, quien tambi´en realiz´o sus estudios doctorales en K¨onigsberg; cada uno fue fuertemente influenciado por el progreso matem´atico del otro. En 1884, Hurwitz comenz´o a trabajar en la Universidad de K¨onigsberg y r´apidamente se

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convirti´o en amigo de Hilbert. Esta relaci´on de amistad, jug´o un papel importante en el desarrollo matem´atico de Hilbert. Hilbert fue miembro del equipo de profesores de K¨onigsberg desde 1886 hasta 1895. En 1892, Schwarz se traslad´o de G´’ottingen a Berl´ın para ocupar el puesto de Weierstrass y Klein quiso ofrecerle un puesto a Hilbert en G´’ottingen . Klein sin embargo, no persuadi´o a sus colegas y al final Heinrich Weber se hizo con el puesto. Tres a˜ nos despu´es Weber se fue a la Universidad de Estrasburgo y finalmente, Klein tuvo ´exito en su objetivo de conseguirle un plaza a Hilbert en G´ottingen. As´ı que en 1895, Hilbert ocup´o una plaza en la Universidad G¨ottingen, d´onde ense˜ no durante el resto de su carrera. La eminente posici´on de Hilbert en el mundo de la matem´atica despu´es de 1900, llev´o a otras instituciones a tentarlo de abandonar G¨ottingen; en 1902 la Universidad de Berl´ın le ofreci´o una plaza. Hilbert rechaz´o la oferta, despu´es de lograr persuadir a la Universidad de G¨ottingen que contratara a su amigo Minkowski. El primer trabajo de Hilbert fue sobre teor´ıa de inavariantes y en 1888 demostr´o el famoso “teorema de la base de Hilbert” (catalogado por Klein como el trabajo m´as importante de ´ Algebra publicado en Mathematische Annalen). En 1893, Hilbert comenz´o a trabajar sobre la teor´ıa algebraica de n´ umeros. El resultado, fue un art´ıculo que conten´ıa una s´ıntesis brillante sobre el trabajo de Kummer, Kronecker y Dedekind, complementado con la riqueza propia de las ideas de Hilbert. Este trabajo solicitado por la Sociedad Matem´atica Alemana para su publicaci´on. El trabajo de Hilbert en geometr´ıa, ha sido la mayor influencia en esa disciplina despu´es de Eucl´ıdes. Un estudio sistem´atico de los axiomas de la geometr´ıa Eucl´ıdea llev´o a Hilbert a proponer 21 axiomas y a analizar la importancia de cada uno. Public´o estos axiomas en el libro der de Grundlagen Geometrie, en 1899. Los 23 famosos problemas dados por Hilbert en Par´ıs desafiaron (y todav´ıa son un desaf´ıo) a los matem´aticos para resolver las preguntas fundamentales. Hilbert entreg´o estos problemas

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en el discurso dado en el II Congreso Internacional de matem´aticos. Era un discurso lleno de optimismo por el progreso de la matem´atica en el siglo XX y ´el sent´ıa que los problemas abiertos eran se˜ nal de la vitalidad de la matem´atica. Los problemas de Hilbert incluyeron la hip´otesis del continuo, el buen orden de los n´ umeros reales, la conjetura de Goldbach, las potencias trascendentes de n´ umeros algebraicos, la hip´otesis de Riemann, la extensi´on del principio de Dirichlet, entre otros. Hoy en d´ıa, el nombre de Hilbert, es a menudo recordado a trav´es del concepto de espacio de Hilbert. El trabajo de Hilbert en las ecuaciones integrales, estableci´o las bases para su trabajo sobre espacios infinito dimensionales, luego llamados espacios de Hilbert. Un concepto que es muy u ´til en an´alisis matem´atico y mec´anica cu´antica. Haciendo uso de sus resultados sobre ecuaciones integrales, Hilbert contribuy´o al desarrollo de la f´ısica matem´atica, con un trabajo importante sobre la teor´ıa cin´etica de gases y la teor´ıa de las radiaciones. Muchos han afirmado, que en 1915 Hilbert descubri´o las ecuaciones de campo correctas para la teor´ıa de la relatividad antes que Einstein, pero esto nunca se reclam´o. Sin embargo, hoy se sabe que el art´ıculo de Hilbert fue sometido a evaluaci´on el 20 de Noviembre de 1915, cinco d´ıas antes de que Einstein sometiera a evaluaci´on el suyo, con las ecuaciones de campo correctas. El art´ıculo de Einstein apareceria el 2 de Diciembre de 1915, pero las demostraciones del art´ıculo de Hilbert (de fecha 6 de Diciembre de 1915) no conten´ıan las ecuaciones de campo. En 1934 y 1939 public´o dos vol´ umenes der de Grundlagen Mathematik en donde pretendi´o demostrar la consistencia de los sistem´as axiom´aticos de la matem´atica, pero ya un art´ıculo de G¨odel de 1931 demostraba que ese objetivo era imposible. Entre los estudiantes de Hilbert se destacan: Hermann Weyl, el famoso campe´on mundial de ajedrez Lasker, y Zermelo. Hilbert recibi´o muchos honores. En 1905 la Academia H´ ungara de Ciencias le di´o una menci´on especial. En 1930 cuando se retir´o, la ciudad de K¨onigsberg le nombr´o ciudadano honorario. Hilbert muere a la edad de 81 a˜ nos, en G¨ottingen, Alemania, el 14 de febrero de 1943.

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Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) Los padres de Gram, Peder Jorgensen Gram y Marie Magdalene Aakjaer fueron granjeros. Gram naci´o en Nustrup (Dinamarca), el 27 de junio de 1850. Despu´es de completar su educaci´on primaria entr´o en la preparatoria Ribe Katedralskole en 1862 y se gradu´o en 1868 e inmediatamente comenz´o sus estudios universitarios. En 1873, obtuvo una maestr´ıa en matem´atica y en aquel tiempo, la misma representaba un nivel m´as alto que el nivel actual de nuestras maestr´ıas en natem´atica por lo que puede pensarse como el equivalente a un doctorado en matem´atica en la actualidad. Gram public´o su primer resultado matem´atico importante antes de graduarse. Este era un trabajo sobre la teo´ıa de invariantes. En 1875 fue designado como un ayudante en la Compa˜ n´ıa de Seguros de Hafnia. Por esta ´epoca, comenz´o a trabajar sobre un modelo matem´atico sobre repoblaci´on forestal (silvicultura). Su carrera en la Compa˜ n´ıa de Seguros de Hafnia progres´o bien y pronto fue promovido. Sin embargo, su trabajo para la Compa˜ n´ıa lo retras´o en la investigaci´on matem´atica. Comenz´o a trabajar con probabilidad y an´alisis num´erico, dos temas cuyas aplicaciones pr´acticas, en el d´ıa a d´ıa de su trabajo en la Compa˜ n´ıa de seguros, le ser´ıan de utilidad. En 1976 public´o su primer trabajo sobre silvicultura en el Danish Forestry Journal (Revista de Silvicultura Dinamarquesa). En este trabaj´o (escrito en dan´es) present´o un modelo matem´atico para maximizar la ganancia en la repoblaci´on forestal. Nunca gan´o reconocimeiento internacional por este trabajo, porque esta publicaci´on, nunca sali´o de su pa´ıs. La carrera matem´atica de Gram estuvo caracterizada por la b´ usqueda de un equilibrio entre la matem´atica pura y la aplicada. Public´o un art´ıculo sobre Desarrollos de series determinadas por el m´etodo de m´ınimos cuadrados por el cual se le otorg´o el grado de Doctor en Ciencias en 1879. El a˜ no de 1879 fue importante para Gram tambi´en en otro contexto: el 30 septiembre de ese a˜ no, se cas´o con Dorthe Marie Sorensen, hija de un herrero. Tambi´en en 1879, public´o el segundo de sus cuatro art´ıculos en silvicultura en el Danish Forestry Journal.

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Sus trabajos en probabilidad y an´alisis num´erico, lo llevaron de manera natural a estudiar problemas abstractos en la teor´ıa de n´ umeros. En 1884, gan´o la medalla de Oro de la Sociedad de Videnskabernes por su art´ıculo Investigaciones sobre el n´ umero de primos menores que un n´ umero real dado. Fund´o su propia compa˜ n´ıa de seguros en 1884 y fue su director hasta 1910. El 9 de Abril de 1895, su esposa Dorthe muri´o y un a˜ no despu´es, el 15 de mayo de 1896 volvi´o a casarse, su segunda esposa fue Emma Birgitte Hansen. A pesar de que no fue profesor en ninguna universidad de Dinamarca y como consecuencia nunca tuvo estudiantes, la influencia de Gram sobre la siguiente generaci´on de matem´aticos daneses fue muy positiva. Present´o charlas muy a menudo, en la Sociedad matem´atica de Dinamarca. Fue editor de la revista Tidsskrift for Mathematik desde 1883 hasta 1889 y tambi´en fue a´rbitro de los art´ıculos escritos en dan´es para la revista ahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik. Gram recibi´o muchos reconocimeientos por sus contribuciones matem´aticas, a pesar de ser esencialmente, un matem´atico aficionado. Gram es mayormente recordado, por el conocido m´etodo de ortogonalizaci´on de GramSchmidt, que permite la construcci´on de bases ortogonales, a partir de bases dadas. Sin embargo, parece ser que ´el no fue el primero, sino Laplace, en usar este m´etodo, que tambi´en fue usado por Cauchy en 1836. Gram encontr´o su muerte de una manera bastante extra˜ na y muy triste: el 29 de abril de 1916 en Copenagen, iba camino a una reuni´on de la Sociedad de Videnskabernes cuando fue atropellado por una bicicleta.

Erhard Schmidt (1876-1959) Erhard Schmidt naci´o en Dorpat, Alemania (ahora Tartu, Estonia) el 13 de enero de 1876. Su padre era un m´edico y bi´ologo llamado Alejandro Schmidt. La carrera universitaria de

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Erhard sigui´o un modelo com´ un en Alemania para ese momento; los estudiantes asistian a varias universidades seg´ un el progreso de sus cursos. Schmidt asisti´o a su universidad local, en Dorpat, antes de ir a Berl´ın donde estudiar´ıa con Schwarz. Obtuvo su doctorado en la Universidad de G¨ottingen en 1905, bajo la direcci´on de Hilbert. Su disertaci´on doctoral se titul´o Entwickelung willk¨ urlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener y era un trabajo en las ecuaciones integrales. Schmidt lleg´o a la Universidad de Berl´ın poco despu´es de la muerte de Frobenius quien hab´ıa dirijido el departamento conjuntamente con Schwarz. El otro profesor titular era Schottky. Carath´eodory ser´ıa designado en 1918, para ocupar el puesto de Frobenius y liderizar la matem´atica en Berl´ın junto a Schmidt. Sin embargo, Carath´eodory s´olo estar´ıa un a˜ no en Berl´ın. As´ı, Schmidt se qued´o s´olo con la responsabilidad de llevar adelante el departamento y por ello, prepar´o una lista impresionante de candidatos: Brouwer, Weyl y Herglotz, en ese orden. El profesorado se ofreci´o a su vez a cada uno de ellos y a su vez, cada uno lo rechaz´o. La pr´oxima persona a la que se le ofreci´o un puesto fue a Hecke quien tambi´en declin´o aceptarlo. El puesto dejado por Carath´eodory s´olo ser´ıa ocupado en 1921 cuando Bieberbach lo acept´o. En ese mismo a˜ no Schottky se retir´o y Schur que ya era un profesor extraordinario. En Berl´ın fue promovido a Catedr´atico. Cuando Schmidt lleg´o a Berl´ın, no se hac´ıa matem´atica aplicada all´ı, ya que esta a´rea se consideraba m´as conveniente para las universidades t´ecnicas. Sin embargo, Schmidt fue el primer promotor de la fundaci´on de un Instituto de Matem´atica Aplicada en Berl´ın. Despu´es de la fundaci´on del instituto, Schmidt pas´o a ocupar un puesto de Director del mismo. Los a˜ nos treinta fueron a˜ nos dif´ıciles para Schmidt. Con el levantamiento nazi en 1933, la vida comenz´o a complicarse para los colegas jud´ıos de Schmidt y Schur, Von Mises y varios otros, fueron forzados a dejar sus cargos en la Universidad. En 1936, cuando los problemas ya eran muy dif´ıciles, Schmidt estaba a la cabeza de la comisi´on alemana ante el congreso internacional de matem´aticos en Oslo. All´ı defendi´o las posiciones de las autoridades de la Universidad de

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Berl´ın en los a˜ nos del dominio nazi; ´el tuvo que llevar a cabo resoluciones contra los jud´ıos en la Universidad. Despu´es del fin de Segunda Guerra Mundial, Schmidt fue designado como Director del Instituto de Investigaci´on Matem´atica de la Academia Alemana de Ciencia. Permaneci´o en ese cargo hasta 1958. Para ese entonces, ya se hab´ıa jubilado de la Universidad de Berl´ın. El inter´es principal de Schmidt fueron las ecuaciones integrales y los espacios de Hilbert. Tom´o varias ideas de Hilbert en ecuaciones integrales y las combin´o con el concepto de espacio de Hilbert en 1905. Hilbert hab´ıa estudiado ecuaciones integrales con n´ ucleos sim´etricos en 1904, demostrando que en este caso, la ecuaci´on integral posee autovalores reales y las soluciones correpondientes a estos autovalores fueron llamadas autofunciones. Schmidt public´o dos art´ıculos sobre ecuaciones integrales en 1907, donde demostr´o los resultados de Hilbert de una manera m´as simple y con menos restricciones. En uno de estos art´ıculos desarroll´o el m´etodo, que hoy en d´ıa se conoce como proceso de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt. En 1908, Schmidt defini´o a los espacios de Hilbert, a quellos espacios, cuyos elementos eran sucesiones de n´ umeros completos cuadrado sumables. Si w = {wn } y {zn } son sucesiones de P P n´ umeros complejos, tales que las series n≥0 |wn |2 y n≥0 |zn |2 convergen, entonces Schmidt defini´o el producto interno como hw, zi =

X

wn zn .

n≥0

Tal espacio de Hilbert, hoy es denotado por l2 (C). Tambi´en en este art´ıculo, aparecieron los operadores que hoy se conocen como los operadores de Hilbert-Schmidt. El trabajo de Schmidt en los espacios de Hilbert represent´o un gran avance en la matem´atica moderna. Fue uno de los primeros matem´aticos en demostrar que pueden extenderse las nociones eucl´ıdeas significativamente m´as all´a, a construciones idealizadas en matem´atica abstracta mucho m´as compleja. Despu´es de que Schmidt volvi´o a Berl´ın, sus intereses se volvieron hacia la topolog´ıa. En-

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contr´o otra demostraci´on del teorema de la curva cerrada de Jordan que r´apidamente se volvi´o un cl´asico. Fue jurado examinador de la tesis doctoral de Hopf en 1929. M´as tarde, se interes´o en desigualdades isoperim´etricas y public´o un art´ıculo sobre este tema en 1949. Schmidt muri´o en su amada Berl´ın, el 6 de diciembre de 1959.

Constantin Carath´ eodory (1873-1950) Constantin Carath´eodory naci´o en Berl´ın, Alemania, el 13 de septiembre de 1873. Su padre, Stephanos Carath´eodory, era un griego-otomano que hab´ıa estudiado leyes en Berl´ın y fue secretario de las embajadas otomanas en Berl´ın, Estocolmo y Viena. Stephanos se hab´ıa casado con Despina Petrocochino quien proven´ıa de una familia griega de hombres de negocios, establecidos en Marsella. En el momento del nacimiento de Constantin, la familia estaba en Berl´ın, porque su padre hab´ıa sido designado dos a˜ nos antes como Primer Secretario de Leyes. La familia de Carath´eodory estuv´o entre 1874-75 en Constantinopla, donde el abuelo paterno de Constantin viv´ıa. Despu´es se fueron a Bruselas, cuando fue designado como Embajador otomano all´ı. En Bruselas, nace la hermana menor de Constantin, Loulia. El a˜ no 1895 fue tr´agico para la familia de Constantin, porque en ese a˜ no muere su abuelo paterno y su madre. Entonces, la abuela materna de Constantin asumi´o la crianza de sus dos nietos, en la casa del padre de Constantin en B´elgica. Ten´ıan una sirvienta alemana que ense˜ no´ a los ni˜ nos alem´an. Para entonces, ya Constantin hablaba franc´es y griego. Constantin empez´o su instrucci´on formal en una escuela privada en Vanderstock en 1881. Dos a˜ nos despu´es sali´o y se fue a pasar una temporada con su padre a Berl´ın y tambi´en pas´o los inviernos de 1883-84 y 1884-85 en la Costa Azul italiana. Regres´o a Bruselas en 1885 y asisti´o a una escuela primaria durante un a˜ no. Es en esta escuela donde comienza su inter´es por la matem´atica. En 1886 entr´o en la escuela secundaria Ath´en´ee Royal d’Ixelles y estudi´o all´ı hasta su graduaci´on en 1891. Dos veces, durante este tiempo, gan´o un premio como el mejor

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estudiante de matem´atica en B´elgica. En esta tiempo Carath´eodory empez´o su entrenamiento como ingeniero militar. Asisti´o a la ´ Escuela Militar de B´elgica desde octubre de 1891 hasta mayo de 1895. Tambi´en estudi´o en E d’Application de 1893 a 1896. En 1897 estall´o la guerra entre Turqu´ıa y Grecia. Esta situaci´on coloc´o a Carath´eodory en una posici´on dif´ıcil, porque aunque ´el estaba del lado de los griegos, su padre hab´ıa servido al gobierno del imperio otomano. Entonces, un ingeniero especializado le ofreci´o un trabajo en el servicio colonial brit´anico. Acept´o el trabajo y se traslad´o a Egipto, para trabajar en la construcci´on de un dique, donde estuvo hasta abril de 1900. Durante los per´ıodos en los que la construcci´on se deten´ıa debido a las lluvias, Carath´eodory estudiaba matem´atica con algunos libros que hab´ıa llevado, tales como el curso de an´alisis de Jordan y el libro de Salmon sobre geometr´ıa anal´ıtica y secciones c´onicas. Tambi´en visit´o la pir´amide de Keops y le hizo mediciones, las cuales public´o en 1901. En ese mismo a˜ no public´o un libro sobre Egipto, el cual conten´ıa informaci´on hist´orica y geogr´afica de ese pa´ıs. Carath´eodory ingres´o a la Universidad de Berl´ın en mayo de 1900, cuando Frobenius y Schwarz eran profesores de esta Universidad. Asisti´o a las clases de Frobenius y al coloquio coordinado por Schwarz. Tambi´en hizo amigos en Berl´ın, entre ellos Fej´er. Despu´es de o´ır las historias sobre G¨ottingen, qued´o fascinado por esta universidad, as´ı que decidi´o continuar sus estudios all´ı en el verano de 1902. Su trabajo en el c´alculo de variaciones, estuvo influenciado por Hilbert y Klein. Recibi´o su ¨ doctorado de la Universidad de G¨ottingen en 1904. Su tesis fue titulada Uber die diskontinuierlichen L¨ usungen in der Variationsrechnung y su jurado examinador fue Hermann Minkowski. Carath´eodory pas´o un tiempo en Bruselas con su padre Stephanos durante el verano de 1907. Despu´es de unos meses, la salud de su padre se fue deteriorando y muri´o a finales de 1907. Dos a˜ nos despu´es, se casa con Euphrosyne Carath´eodory en Constantinopla; Euphrosyne -que era su t´ıa y once a˜ nos menor que ´el (estaba siguiendo una tradici´on familiar de casarse con parientes ´ıntimos.)

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En 1928 Carath´eodory fue el primer conferencista visitante de la Sociedad Matem´atica Americana. Naveg´o a Los Estados Unidos con su esposa en Enero y despu´es de que termin´o su tiempo como profesor visitante en Harvard, volvi´o a Munich en septiembre. Al a˜ no siguiente, recibi´o una oferta de trabajo de Stanford y fue designado como profesor de esta universidad en septiembre de 1929. Sin embargo, parece que ´el s´olo utiliz´o este hecho, para mejorar sus condiciones de sueldo en Munich, donde finalmente permaneci´o. Carath´eodory siempre se abstuvo de fijar posici´on contra la dictadura de Hitler. No se involucr´o en el movimiento nacional para el socialismo, pero mantuvo conexiones con los miembros del partido nazi, particularmente con Hasse, Blaschke y S¨ uss. Sostuvo que el holocausto o los cr´ımenes nazis, nunca fueron contra Grecia. Guard´o silencio ante los cr´ımenes cometidos, aceptando la autoridad de un estado ilegal y se someti´o a la expulsi´on de jud´ıos de las instituciones cient´ıficas alemanas. Carath´eodory continu´o defendiendo su puesto en Munich hasta su retiro en Agosto de 1938. Entre 1936 y 1937, hizo otra visita a Los Estados Unidos dando una conferencia a la Sociedad Matem´atica Americana con motivo de la conmemoraci´on de los 300 a˜ nos de la Universidad de Harvard y luego pas´o el semestre de invierno en la Universidad de Wisconsin. Sus contribuciones m´as significativas aparecen en el c´alculo de variaciones, la teor´ıa de la medida y la teor´ıa de funciones en una variable real. Escribi´o muchos libros, entre otros, Lectures on Real Functions (1918), Conformal representation (1932), Calculus of Variations and Partial Differential Equations (1935), Geometric Optics (1937), Real functions Vol. 1: Numbers, Point sets, Functions (1939). El vol´ umen 2 de Real functions fue escrito, pero no lleg´o a publicarse porque la editorial encargada fue destruida durante el bombardeo de Leipzig en 1943. Constantin muri´o en Munich, el 2 de febrero de 1950.

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Pafnuty Lvovich Tchebycheff (1821-1894) Los padres de Pafnuty Tchebycheff fueron Agrafena Ivanova Pozniakova y Lev Pavlovich Tchebycheff. Pafnuty naci´o el 16 de mayo de 1821 en Okatovo, Rusia. Era miembro de una familia de clase alta con una historia impresionante, su padre luch´o contra las tropas de Napole´on. En el momento del nacimiento de Tchebycheff, Rusia celebraba con orgullo nacional la derrota de Napole´on. De su madre, Tchebycheff aprender´ıa a leer y escribir, mientras que un primo le ense˜ nar´ıa franc´es y aritm´etica. Tiempo despu´es, ´el har´ıa de Francia su lugar favorito para visitar. Pero no todo era f´acil para Tchebycheff, hab´ıa nacido con una pierna m´as larga que la otra y la cojera producida por este defecto, le impidi´o tomar parte, de muchos de los juegos y actividades propios de los ni˜ nos de la ´epoca. En 1832, cuando Pafnuty ten´ıa once a˜ nos, su familia se mud´o a Mosc´ u. All´ı continuo siendo educado y tuvo como profesor de matem´atica a P. N. Pogorelski, quien para la ´epoca, era autor de algunos de los textos elementales de matem´atica m´as populares de Rusia. Ciertamente, Pogorelski inspir´o a su alumno y le di´o una formaci´on matem´atica s´olida. En consecuencia, Tchebycheff estaba bien preparado para sus estudios de natem´atica cuando ingres´o a estudiar en la Universidad de Mosc´ u en 1837. El departamento de f´ısicas y matem´atica en el que Tchebycheff estudi´o, anunci´o un concurso durante el a˜ no escolar 1840-41. Tchebycheff someti´o un art´ıculo sobre el c´alculo de ceros de ecuaciones de la forma y = f (x), usando desarrolllos en serie de la funci´on inversa de f . Este art´ıculo no se public´o en su monento (aunque s´ıen los a˜ nos 50) y con ´el Tchebycheff se hizo con el segundo lugar del concurso. A Tchebycheff nunca le gust´o ser considerado excelente matem´atico ruso. Aspiraba a el reconocimeinto internacional. Por eso la mayor´ıa de sus trabajos fueron escritos en franc´es. Su primer art´ıculo de investigaci´on (escrito en fr´ances) trataba de integrales m´ ultiples. Someti´o este art´ıculo a la evaluaci´on de Liouville y apareci´o publicado en 1842 en el Journal de Liouville.

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En 1844, public´o su segundo art´ıculo sobre convergencia de series de Taylor. En 1846 present´o su tesis de maestr´ıa sobre la ley d´ebil de los grandes n´ umeros de Poisson. Durante 1843, Tchebycheff produjo un primer proyecto de tesis, para optar a un puesto en la Universidad de Mosc´ u, pero eran tiempos duros en Mosc´ u y la universidad no ten´ıa ning´ un cargo conveniente para ofrecer a Tchebycheff. En 1847, obtuvo un cargo en la universidad de San Petesburgo donde someti´o a evaluaci´on un trabajo sobre integraci´on por medio de logar´ıtmos. En este trabajo generaliz´o, los m´etodos de Ostrogradski para demostrar una conjetura hecha por Abel en 1826 sobre integrales de funciones raciosnales. Aunque la tesis de Tchebycheff no se public´o sino hasta despu´es de su muerte, algunos resultados de ella aparecieron en un art´ıculo publicado en 1853. En 1845 Bertrand conjetur´o que siempre exist´ıa por lo menos un n´ umero primo entre n y 2n, para n > 3. Tchebycheff demostr´o la conjetura de Bertrand en 1850. Tchebycheff fue promovido profesor extraordinario en San Petesburgo en 1850. Dos a˜ nos despu´es, entre Julio y Noviembre de 1852, visit´o Francia, Londres y Alemania. Durante este viaje tuvo la oportunidad de estudiar las m´aquinas de vapor y su mec´anica de funcionamiento. El informe que hizo sobre este estudio, contiene nociones de mec´anica aplicada y sus discusiones con matem´aticos franceses como Lioville, Bienaym´e, Hermite, Serret, Lebesgue, Poncelet y los matem´aticos ingleses como Cayley y Sylvester. En Berl´ın se entrevist´o con Dirichlet. De hecho, el inter´es de Tchebycheff por la teor´ıa de mecanismos y la teor´ıa de aproximaci´on de funciones, fue la raz´on principal de estos viajes en 1852. Como consecuencia de estos viajes, aparece un art´ıculo titulado Th´eorie des m´ecanismes connus sous le nom de parall´elogrammes, en donde aparecen por primera vez, los famosos polinomios de Tchebycheff, pero fue tiempo despu´es, cuando ´el consigui´o desarrollar una teor´ıa de polinomios ortogonales. Probablemente fue Tchebycheff, el primer matem´atico en reconocer el concepto general de polinomios ortogonales. Legendre y Laplace hab´ıan descubierto los polinomios de Legendre

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en sus trabajos sobre mec´anica celeste a finales del siglo XVIII. Laplace hab´ıa descubierto y estudiado los polinomios de Hermite a principios del siglo XIX; pero fue Tchebycheff quien vi´o la posibilidad de crear una teor´ıa general con aplicaciones. Su trabajo se desarroll´o fuera de la teor´ıa de aproximaci´on por m´ınimos cuadrados y de la probablidad aplicndo a sus resultados las t´ecnicas de interpolaci´on, y las f´ormulas de cuadratura. Tambi´en descubri´o el an´alogo a los polinomios de Jacobi en el caso discreto, el cual fue redescubierto despu´es por Hahn y hoy llevan su nombre. Geronimus se˜ nal´o en su primer art´ıculo, que Tchebycheff ya conoc´ıa la f´ormula de Christoffel-Darboux. Adem´as de los matem´aticos que Tchebycheff encontr´o en sus viajes de 1852, tambi´en tuvo contacto con otros matem´aticos importantes como Lucas, Borchardt, Kronecker, y Weierstrass. Casi cada verano, Tchebycheff viajaba a Europa Occidental. No tenemos informaci´on completa sobre el itinerario de sus viajes, pero sabemos que particip´o en sesiones de la Asociaci´on francesa para el avance de la Ciencia entre 1873 y 1882. En este tiempo present´o 16 informes y tambi´en estuvo en las reuniones de Lyon en 1873, Clermont-Ferrand en 1876, Par´ıs en 1878, y La Rochelle en 1882. Varios matem´aticos famosos fueron alumnos de Tchebycheff, entre ellos Lyapunov. En 1893, siete de sus artefactos mec´anicos fueron exibidos en la exposici´on mundial de Chicago, organizada para celebrar los 400 a˜ nos del descubrimiento de Am´erica por Crist´obal Col´on. En esta exposici´on, present´o Tchebycheff una bicicleta para mujeres. Tchebycheff era un disertante maravilloso, aunque sus cursos no eran voluminosos. Nunca consider´o la cantidad de conocimiento entregado, sus charlas eran absorbentes y le gustaba dilucidar los aspectos m´as importantes de los problemas que estuviera tratando en ese momento. Una vez que sonaba la campanilla de final de clase, dejaba caer la tiza y se marchaba inmediatamente. Acerca de la vida personal de Tchebycheff, ´el nunca se cas´o y vivi´o siempre en una casa grande con diez cuartos, era rico y gastaba poco en necesidades cotidianas. S´olo tuvo un gran amor: la compra de propiedades. Gastaba en esto la mayor parte de su dinero, aunque tambi´en

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ayud´o econ´omicamente a una hija a la que nunca reconoci´o oficialmente como tal . Pas´o mucho tiempo con su hija, sobre todo, despu´es que ella se caso con un coronel. Tchebycheff se jubil´o de la Universidad de San Petesburgo en 1882. Muere el 8 de diciembre de 1894 en San Petesburgo.

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Carl Jacobi naci´o en Potsdam, Prusia (hoy Alemania) el 10 de diciembre de 1804 y proven´ıa de una familia jud´ıa. El nombre que se le di´o al nacer fue Jacques Sim´on (al estilo franc´es). Su padre, Sim´on Jacobi, era un banquero y su familia muy pr´ospera. Carl fue el segundo hijo de la familia. El mayor era Moritz Jacobi, quien fue un f´ısico famoso. Tambi´en Carl tuvo una hermana, Therese Jacobi y un tercer hermano Eduard Jacobi (ambos m´as j´ovenes que Carl). Eduard no hizo una carrera acad´emica, sino que fue banquero igual que su padre. Sin embargo, un declive comercial severo a lo largo de Prusia (de hecho a lo largo de toda Europa), llev´o a la quiebra al padre de Jacobi. La educaci´on primaria de Jacobi estuvo a cargo de un t´ıo materno, y a los once a˜ nos, estaba ingresando a estudiar en la secundaria de Potsdam. Su t´ıo le hab´ıa enese˜ nado muy bien y ya para 1817 eran notables sus talentos. Mientras estudiaba el primer a˜ no en la secundaria, comenz´o a asistir a los cursos del u ´ltimo a˜ no y para finales del a˜ no escolar 1816-1817 hab´ıa cumplido con los requisitos necesarios para ingresar a la Universidad (ten´ıa s´olo 12 a˜ nos en ese momento). La Universidad de Berl´ın, sin embargo, no aceptaba estudiantes menosres de 16 a˜ nos, por lo que Jacobi tuvo que permanecer en sus clases de secundaria hasta 1821. Jacobi no dej´o de estudiar porque no hubiera podido entrar a la universidad a los 12 a˜ nos; recibi´o honores en sus cursos de lat´ın, historia y griego. Pero el estudio de matem´atica era lo que m´as le llamaba la atenci´on. Cuando termin´o la escuela secundaria, ya hab´ıa estudiado libros de matem´atica avanzada tales como Introductio in analysin infinitorum and had been

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undertaking research on his own attempting to solve quintic equations by radicals, de Euler. Cuando ingresa a la Universidad de Berl´ın en 1821, no estaba muy seguro de cu´al carrera estudiar. Asisti´o a cursos de filosof´ıa y matem´atica, antes de decidirse finalmente. Escogi´o matm´atica, pero esto no signific´o que entrara regularmente a los cursos (en la escuela secundaria hab´ıa tenido que leerse los trabajos de Lagrange y de otros matem´aticos importantes). Para el a˜ no escolar 1823-24, Jacobi hab´ıa aprobado todos los ex´amenes necesarios para poder dar clases de matem´atica, griego y lat´ın en las escuelas secundarias. En aquel tiempo, ser jud´ıo representaba un problema para poder obtener un puesto de trabajo en una escuela. Sin embargo, el brillo de Jacobi pareci´o ser suficiente para superar esta barrera y en 1825 consigue un puesto en la Secundaria de Joachimsthalsche; una de las principales escuelas de Berl´ın. Para aquel entonces, tambi´en hab´ıa sometido su disertaci´on doctoral a la Universidad de Berl´ın. Jacobi present´o un art´ıculo sobre funciones iteradas a la Academia de Ciencias de Berl´ın, en 1825. Sin embargo, los a´rbitros no consideraron el valor de los resultados de este art´ıculo y no lo aceptaron para su publicaci´on. Este hecho no lo desanim´o y sus publicaiones durante los a˜ nos siguientes ser´ıan de notable calidad. Alrededor de 1825 Jacobi se convierte al cristianismo, lo cual le abri´o la posibilidad de ense˜ nar a nivel universitario. Para el a˜ no escolar 1825-26 ya estaba dando clases en la Universidad de Ber´ın. Sin embargo, las perspectivas para ´el en Ber´ın, no eran buenas as´ı que siguiendo el consejo de sus colegas, se traslada (en Mayo de 1836) a la Universidad de K¨onigsberg, donde se encontraria con Franz Neumann y Bessel (que estaa de profesor de astronom´ıa en K¨onigsberg). Jacobi ya hab´ıa hecho descubrimientos en la teor´ıa de n´ umeros antes de llegar a K¨onigsberg. Escribi´o una carta a Gauss para contarle sus resultados. Gauss qued´o tan impresionado, que luego escribir´ıa a Bessel para obtener m´a informaci´on sobre el joven Jacobi. jacobi, tambi´en ten´ıa ideas nuevas y notables sobre funciones el´ıpticas (al igual que Abel, aunque trabajaron de forma independiente). El 5 de Agosto de 1827, Jacobi escribi´o a Legendre, quien era en aquel

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momento, el principal experto en el tema. Legendre comprendi´o inmediatamente, que Jacobi hab´ıa hecho adelantos en su tema favorito y reaccion´o sumamente bien, al darse cuenta de que perd´ıa su posici´on como experto principal en el tema de funciones el´ıpticas. Este puesto estaba ahora en manos de Jacobi y de Abel. Jacobi pas´o a ser profesor asociado de la Universidad de K¨onigsberg el 5 de Agosto de 1828 (a la edad de 24 a˜ nos). Su promoci´on para este puesto, fue debida principalmente a la carta de recomendaci´on de Legendre. El 9 de Agosto de 1828, Legendre escribi´o a Jacobi: Me da gran satisfacci´on ver que dos matem´aticos j´ovenes como usted y Abel, cultiven con tal ´exito una rama del an´alisis, que durante largo tiempo ha sido mi tema favorito de estudio, pero que no se ha recibido en mi propio pa´ıs como merece. Por sus trabajos, ustedes ocupar´an un lugar, en la lista de los mejores analistas de nuestra era. Jacobi tambi´en llev´o a cabo una investigaci´on importante sobre ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. Trabaj´o con determinantes y estudi´o el determinante asociado a funciones de varias variables,conocido hoy en d´ıa como Jacobiano, (aunque el primero en estudiar este tipo de determinantes fue Cauchy). En julio de 1842 Jacobi y Bessel asistieron a la reuni´on de la Asociaci´on Brit´anica para el avance de la Ciencia, en Manchester. Al a˜ no siguiente, Jacobi fue diagnosticado con di´abetes. Fue aconsejado por su m´edico de pasarse un tiempo en Italia, en donde el clima le ayudar´ıa a recuperarse. Sin embargo, Jacobi no era un hombre adinerado y Dirichlet (descubriendo su condici´on, despu´es que Jacobi lo visitase) escribi´o a Alejandro Von Humboldt para que solicitara a Friedrich Wilhelm IV, ayuda financiera para costear el viaje de Jacobi. Alejandro Von Humboldt y Jacobi intercambiaban correspondencia desde 1828 aproximadamente. Von Humboldt tuvo ´exito con la solicitud y Jacobi parte a Italia, (acompa˜ nado de Dirichlet y Borchardt), llegando a Roma el 16 de noviembre de 1843.

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Jacobi frecuentemente se escrib´ıa con Alejandro Von Humboldt. La correspondencia empez´o en 1828 pero s´olo despu´es de 1839 comenzaron a escribirse regularmente y las 44 cartas supervivientes entre los dos hombres, son una la lectura fascinante. La demanda de Dirichlet a Friedrich Wilhelm IV, apoyados fuertemente por Alejandro Von Humboldt, tuvo ´exito y Jacobi recibi´o una concesi´on para pasarse un tiempo en Italia. En su paso por Italia estuvo con Borchardt y Dirichlet, despu´es de detenerse en varios pueblos y asistir a una reuni´on matem´atica en Lucca, ellos llegaron a Roma el 16 de noviembre de 1843. Schl¨afli y Steiner tambi´en estaban con ellos, Schl¨afli era su int´erprete. El clima en Italia le ayud´o a recuperarse y comenz´o a publicar de nuevo. Durante el desempleo y la p´erdida de las cosechas que azotaban a la confederaci´on alemana, llegaban noticias del derrocamiento Louis-Philippe, en Par´ıs, lo cual hizo que muchas poblaciones se revelaran y lucharan en Berl´ın. Los sentimientos republicanos y nacionalistas hac´ıan tambalear a la monarqu´ıa de aquel entonces. Jacobi por su parte, di´o un discurso pol´ıtico en el Club Constitucional de Berl´ın, pretendiendo perturbar tanto a mon´arquicos cono republicanos. En represalia, el gobierno Prusiano le neg´o unirse al personal de la Universidad de Berl´ın. Hacia el verano de 1849, la revoluci´on estaba completamente derrotada. Jacobi se mud´o con su familia a un pueblo peque˜ no de Gotha y unos meses despu´es acept´o un puesto en la Universidad de Viena. Entonces, el gobierno prusiano comprendi´o lo que perder´ıan, si obligaban a Jacobi a salir de Prusia, as´ı que le propusieron volver a dar clases en la Universidad de Berl´ın, pero que su familia se ten´ıa que quedar en Gotha. No fue un buen trato para Jacobi, pero lo acept´o (lo cual significa que seguramente estaba muy arraigado a su pa´ıs). Jacobi plane´o pasar las vacaciones universitarias con su familia y pas´o el verano de 1850 con ellos en Gotha. En enero de 1851, se contagi´o de influenza y luego se complic´o con viruela. Muri´o unos d´ıas despu´es, el 18 de febrero de 1851.

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Sergei Lvovich Sobolev (1908-1989) Sergei Lvovich Sobolev naci´o el 6 de octubre de 1908, en San Petesburgo, Rusia. Su padre se llamaba Lev Aleksandrovich Sobolev y era un abogado importante. Su madre, Nataliya Georgievna, jug´o un papel importante en la educaci´on de Sobolev, particularmente, despu´es de la muerte del padre de Sobolev (cuando ´el ten´ıa 14 a˜ nos). Sobolev estudi´o en la Escuela T´ecnica de Trabajadores de Khar’kov, All´ı se prepar´o para comenzar la secundaria en 1922 cerca de la fecha en que muere su padre. Su escuela secundaria se llamaba Escuela de Leningrado 190 y se fund´o durante la primera revoluci´on rusa, para aquellos alumnos que hab´ıan sido excluidos de las escuelas y universidades del estado, debido a su participaci´on en el movimiento revolucionario. Despu´es de graduarse de la escuela secundaria en 1925, Sobolev entr´o en la Facultad de F´ısica y Matem´atica de la Universidad Estatal de Leningrado (hoy San Petesburgo), lugar donde su talento fue r´apidamente opacado por Smirnov, quien hab´ıa regresado a Leningrado tres a˜ nos antes. Sobolev se interes´o por las ecuaciones diferenciales, tema que dominar´ıa su investigaci´on a lo largo de toda su vida. En 1929 Sobolev hab´ıa terminado su educaci´on universitaria y empez´o a ense˜ nar en varios establecimientos educativos diferentes. Por ejemplo, su primer trabajo lo obtuvo ese a˜ no, en el departamento te´orico del Instituto Sismol´ogico de la Academia de Ciencias de URSS. Sin embargo, tambi´en ense˜ no´ en el Instituto de Electr´onica de Leningrado, entre 1930 y 1931. En 1932, public´o varios art´ıculos sobre un nuevo m´etodo para solucionar cierta clase de ecuaciones diferenciales parciales. Trabajando con Smirnov, estudi´o soluciones invariantes de la ecuaci´on de onda. Los m´etodos de soluci´on que encontraron, les permitieron dar f´ormulas cerradas para la soluci´on de la ecuaci´on de onda, describiendo las oscilaciones de un medio el´astico. Estos m´etodos tambi´en les permitieron solucionar problemas relativos a la difracci´on de la luz. Sobolev fue honrado por este trabajo, con su nombramiento como miembro de la Academia de Ciencias de la USSR en 1933. Dos a˜ nos despu´es, se encontraba como jefe del

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departamento de teor´ıa de ecuaciones diferenciales en el Instituto Matem´atico de Leningrado. Durante la d´ecada de los 30 del siglo pasado, Sobolev introdujo nociones que fueron fundamentales para el desarrollo de las diferentes ´areas de la matem´atica; su estudio sobre espacios de funciones comenz´o una nueva ´area en an´alisis funcional. La noci´on de funci´on generalizada (distribuci´on) dada por Sobolev, result´o ser especialmente importante y junto con los resulatdos extensos de Schwartz y Gelfand, se volvi´o una de las nociones centrales de la matem´atica. Trabajando en Mosc´ u, construy´o un m´etodo para resolver ecuaciones el´ıticas con valores de frontera, introduciendo sus espacios de funciones. Di´o las desigualdades en norma de estos espacios, las cuales fueron importantes en la teor´ıa de inmersi´on de espacios de funciones. Luego aplic´o su m´etodo, para solucionar problemas en f´ısica matem´atica. En la d´ecada de los 50 su interes se volc´o hacia la matem´atica computacional y en 1952 estuvo a la cabeza del primer departamento de matem´atica computacional en la Universidad Estatal de Mosc´ u de la Uni´on Sovi´etica. En 1958, form´o parte de la Representaci´on sovi´etica ante la Uni´on Matem´atica Internacional y asisti´o al congreso internacional en Edimburgo, donde ofreci´o una charla sobre ecuaciones diferenciales parciales. Durante los a˜ nos sesenta, mucha de la investigaci´on de Sobolev estuvo dirigida hacia m´etodos num´ericos, en particular a interpolaci´on. Aunque la interpolaci´on para las funciones de una sola variable, hab´ıa sido largamente estudiada para la fecha, el problema de interpolaci´on para funciones de varias variables no estaba solucionado a´ un; trabaj´o buscando an´alogos en varias variables, a las f´ormulas de cuadratura en una variable. Sobolev recibi´o muchos honores y reconocimientos por sus contribuciones a la matem´atica. Fue elegido como miembro de muchas sociedades cient´ıficas: la Academia de Ciencias de Francia y la Academia Nacional de Ciencias de Italia. Recibi´o tres premios de wstado y la medalla de oro de la Academia Sovi´etica de Ciencias en 1988. Muri´o en Leningrado el 3 de enero de 1989.

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